Elemente de teoria haosului

Colompariu Ţugui Sergiu

Clasa 11B

Colegiul Naţional „Moise Nicoară”

Georg Cantor

A elaborat Teoria Mulţimilor Infinite(1871-1884), a imaginat primul o mulţime caracterizată prin proprietatea de autosimilitudine-precursor al obiectelor studiate în cadrul geometriei fractale.

Benait Mandelbrot

Cercetator în domeniul matematicilor aplicate, expert in studiul proceselor cu proprietăţi statistice neobişnuite cum ar fi acelea în care variabila aleatoare are media sau variaţia infinită.

Între anii 1950-1960 a creat modele matematice pentru descrierea unor fenomene complexe a căror evoluţie este caracterizată de atractori stranii. A pus bazele geometriei fractale.

Rene Thom

Matematician francez care a pus bazel teoriei catastrofelor – o ramură specială a teoriei sistemelor dinamice, care studiază fenomenele a căror evoluţie este caracterizată de schimbări bruşte ce apar la mici schimbări ale contextului dinamic. A avut numeroase contribuţii în biologie, fizică,sociologie,logică, determinism si cauzalitate.

Geneza teoriei haosului este complicată, dar cuprinde momente de vârf cae au schimbat perspeciva de abordare a fenomenelor, atât sub aspect matematic, cât mai ales sub aspect al interpretărilor, bazate pe modele dinamice, în cadrul cărora, infuenţa condiţilor iniţial este esenţială(uneori conducând la aşa numite condiţii „catastrofice”).

H.Poincare a introdus acea schimbare de abordare, mai întâi în matematică, pornind de la necesitatea de a răspunde unei probleme concrete în faţa oamenilor de ştiinţa: „cât de stabil este sistemul solar, respectiv orbitele planetare în timp?”.

Saltul calitativ care se realizează este cel al trecerii de la număr la formă, de la accentul pe analiza bazată pe formule la cea care reintroduce intuitivul prin apelul le geometrie. Putem vorbi despre naşterea teoriei haosului, care apelează la un sistem dinamic, adică o regulă şi o condiţie iniţială. Această regulă este un sistem de ecuaţii diferenţiale care împreună cu condiţia iniţială poate sugera o evoluţie.

Teoria haosului are ca obiect analiza fenimenelor din natură a căror evoluţie poate fi descrisă prin ecuaţii diferenţiale neliniare. Conceptele cu care se operează în cadrul acestei teorii sunt acelea de spaţiul fazelor si de atractor.

ATRACTORUL LORENZ

În matematică şi fizică,teoria haosului descrie comportarea unor sisteme dinamice neliniare care, în anumite condiţii, se comportă imprevizibil.

O caracteristică importantă a sistemlor haotice este sensibilitaetea la condiţiile iniţiale.

Instabilitate dinamică(„haos”)

S-a constatat însă că anumite sisteme nu se supu regulii conform căreia o precizie mai mare în stabilirea condiţilor iniţiale implică o precizie mai buna în ceea ce priveşte predictibilitatea stărilor ulterioare. Pentru acest tip e sisteme, Poincare a demonstrat că o foarte mică imprecizie în determinarea condiţiilor iniţiale duce la soluţii care amplifică eroarea în timp la valori enorme.

În realitate, există sisteme macroscopice care prezintă o creştere exponenţială a abaterilor condiţiilor finale corespunzător abaterilor în privinţa condiţiilor iniţiale şi, in acest caz, rezultatele devin imprevizibile.

EFECTUL ABATERILOR

Pe o masă de biliard orizontală sunt aşezate, ca în figură, bile albe fixe, numerotate şi bila neagră va fi lansată astfel încât să ciocnească elastic, consecutiv fiecare bilă albă, aşa cum indică traiectoria reprezentată pe diagramă.

Sisteme cu comportament haotic

Roata lui Malkus: Un model de sistem dinamic haotic, propus de Malkus, ilustreazâ ideile lui Lorenz. Este vorba de un suport rotitor în plan verticalpe care sunt prinse cu axe ce permit rotirea tot în plan vertical, nişte găleţi care. La bază, au un mic orificiu de scurgere. Găleţile sunt alimentate cu un lichid printr-un sistem aflat în partea superioară - eventual, sepoate considera că alimentarea se face pe seama precipitaţiilor.

SITUAŢIA SISTEMULUI MALKUS LA DIFERITE MOMENTE

Haosul este mişcarea dezordonată cu evoluţie imprevizibilă a unui sistem fizic macroscopic, foarte sensibil la condiţiile iniţiale,care depinde de cel puţin trei parametrii iniţiali de o ecuaţie diferenţială neliniară.

Spaţiul fazelor

Dificultaţile care apar în descrierea evoluţiei sistemelor haotice impun căutarea unei posibilităţi de reprezentare care să permită găsirea cu mai mare uşurinţă a unor soluţii calitative.

Modalităţi de reprezentare aunui pendul simplu

În reprezentarea din figură pe abscisă fugurează variabila timp ţi, pe ordonată, poziţia. Planul în care fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile poziţiei şi momentul în timp constituie din punct de vedere matematic, spaţiul configuraţilor asociat sistemului.

POZIŢIA PENDULULUI ÎN FUNCŢIE DE TIMP(fig1)

Dacă reprezentam pe ordonată viteza şi pe abscisă poziţia, rezultă pentru sistemul în discuţie figura 2. Planuzâl în fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile vitezei şi poziţiei constitiuie din punct de vedere matematic, spaţiul fazelor asociat sistemului.

EVOLUŢIA PENDULULUI SIMPLU ÎN SPAŢIUL FAZELOR(fig2)

Dacă pendulul este unul la care se produce şi amotizare în timp a oscilaţiilor, datorită frecării cu aerul, cele două moduri de reprezentre vor avea aspectul ca in fugurile 3 si 4.

OSCILAŢIILE AMORTIZATE ALE PENDULULUI ÎN SPAŢIUL CONFIGURAŢIILOR(fig3)

OSCILAŢIILE AMORTIZATE AL PENDULULUI ÎN SPAŢIUL FAZELOR(fig4)

Atractori clasici şi stranii

Prezenţa în ecuaţia de mişcare a termenului (KѲ) datorat frecării dintre acul magnetic aflat în mişcare şi aer, indică un caracter disipativ al sistemului. Energia mişcării sale,treptat, se va transforma în căldură. Mişcarea însă nu va înceta,atâta timp cât va exista un aport exterior de energie din partea câmpului magnetit rotitor (fig5).

OSCILAŢIILE IN PREZENŢA UNEI FORŢE EXERIOARE REPREZENTATE ÎN SPAŢIUL FAZELOR-ATRACOR CVASIELIPSOIDAL(fig5)

Secţiunea Poincare obţinută pentru această situaţie devine mai simplă având însă un aspect uimitor-o mulţime de puncte sunt aşezate sub forma unei structuri fascilulare. Acest tip de reprezentare se numeste atractor straniu. Mai mult, aspectul structurii obţinute este acelaşi indiferent de scara la care va fi observată , fiind caracterizată printr-o proprietate numită autosimilitudine.Un astfel de obiect geometric se numeşte fractal.

ATRACTOR STRANIU IN SPAŢIUL FAZELOR(fig6)

Secţiunea Poincare se obţine interectând traectoria de fază tridimensională ce descrie evoluţia sistemului, cu plane perpendiculare pe direcţia axei corespunzătoare parametrului temporal.

În geometrie un atracor este definit ca un obiect(punct, curbă,suprafaţă) către care converg traiectorii ce se pornesc din orice din orice punct al unei vecinătăţi a lui.

Pe baza acestui model geometric se pot descrie evoluţii al unor sisteme din natură-zona depresionară unde se formează un lac în care sunt colectate apele torenţilor ce se formează pe vresanţii unui munte constitiuie un atractorla fel si poziţia de echilibru în jurul căreia se produc oscilaţiile unui pendul.

În general atractorul corespunde poziţiei de echilibru stabil a sistemului-pozitia unde energia potenţială este minimă. Dacă există mai multe poziţii unde energia potenţială poate avea o valoare minimă, relativ la poziţiile din vecinătate atunci pot să apară evoluţii cu caracter nedeterminist ce e nasc din competiţia celor două sau mai multe stări de echilibru relativ. Modelara matematică a acestor evoluţii se bazează pe studiul analitic al condiţiilor de extrem ale funcţiilor de potenţial. În punctele de extrem, funcţia prezintă schimbări „catastrofice” ale pantei şsi convexităţiicar corespund unor schimbări relativ bruşte ale dinamicii sistemului modellat(„catastrofă”).

a)echilibru b)catastrofă de confict c)catastrofă de bifurcaţie

Atractorul Lorenz este un atractor straniu care apare când se descriu în spaţiu fazelor soluţiile sistemului de acuaţii propus de Lorenz pentru modelarea evoluţiei climatice.

Elemente de geometrie fractală

Ştiinţa este veşnic în căutarea unor modalităţi de a descrie cât ma aproape de realiate evoluţia diferitelor sisteme. În secolul XX, provocările ce au apărut în legatură cu studierea fenomenelor complexe au dus la identificarea unor unelte matematice din ce in ce mai sofisticate, dar şi fosrte potrivit scopului propus. Astfel de exemple sunt geometria neecludiană, topologia, teoria algebrică a grupurilor de simetrie etc.

Evoluţia sistemelor nedeterministe este foarte comod de reprezentat geometric în spaţiul fazelor. Sistemele cu dinamică haotică sunt descrise in acest spaţiu prin atractori stranii care au proprietăţi geometrice interesante. Autosimilitudinea este una din acestea şi defineşte respectivul obiect geometric drept un fractal.

Fractalul Koch

Creatorul geometriei fractalilor este Benoit Mandelbrot. Conform ideilor sale, un obiect fractal are următoarele proprietăţi:

Parţile au aceasi structură ca şi întregul, la diferite scări de reprezntare-omotetie(autosimilitudine)

Strucura este neregulată şi fragmentată, la orice scară de reprezentare Nu se poate utiliza geometria euclidiană pentru descrierea acesteii

structuri Structura se poate defini recursiv Dimesniunea fractală poate fi fracţionară

În natură există numeroase exemple de structuri fractale-frunzele plantelor, ramificarea tulpinei la arbori, sistmul de vase sanguine,configurarea la nivel celular a unor organe(ex creierul),structurile moleculelor diferiţilor polimeri.

CONSTRUCŢIA FRACTALĂ A LUI MADELBROT

Exemple de strucuri fractale