tefan Ababei TEORIA SISTEMELORI ELEMENTE DE REGLAJ AUTOMAT Editura TEHNICA-INFO CHIINU 2006 CZU 681.51 (075.8) A 11 tefan Ababei Teoria sistemelor i elemente de reglaj automatEditura TEHNICA-INFO, Chiinu, 2006. 292 p. Refereni tiinifici: DanRotar, doctoringiner,profesorlaUniversitateadin Bacu, Romnia MihaiRomanca,doctoringiner,profesorlaUniversitatea Transilvania Braov, Romnia Descrierea CIP a Camerei Naionale a CriiAbabei, tefanTeoria sistemelor i elemente de reglaj automat/tefan Ababei. Ch.: TEHNICA-INFO,2006 (Tipogr. Iai). 294 p. Bibliogr. p.291-292 (52 titluri.) ISBN 978-9975-910-04-0300 ex. 681.51 (075.8) Consilier editorial: Alexandru MARIN, doctor n tiine tehnice, DHC, profesor la Universitatea Tehnic din Moldova, ChiinuISBN 978-9975-910-04-0 t. Ababei, 2006CUPRINSCAP. I. NOIUNI INTRODUCTIVE9 1.1. Sistem i mediu9 1.2. Definirea noiunii de teoria sistemelor i automatic 10 1.3. Elementele unui sistem automat11 1.4. Reglare automat. Sistem de reglare automat 14 1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare15 1.5. Noiuni introductive referitoare la sistemele dinamice16 1.5.1. Semnale16 1.5.1.1. Clasificarea semnalelor17 1.5.1.2. Semanle definite printr-o distribuie17 1.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui n timp19 1.5.1.4. Reprezentarea temporal a semnalelor discrete n timp20 1.5.2. Modele matematice21 1.5.2.1. Obinerea modelelor matematice pe cale analitic21 1.5.3. Tipuri de sisteme26 CAP. II. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DINAMICE NETEDE 28 2.1. Modelul matemetic intrare-ieire al sistemelor monovariabile, liniare, cu parametri concentrai28 2.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui prin metode operaionale30 2.2.1. Transformata Laplace30 2.2.2. Funcia de transfer32 2.2.2.1. Dependena funciei de transfer de sarcin32 2.2.2.2. Reprezentarea grafic a funciei de transfer34 2.2.2.3. Schema funcional 38 2.2.2.4. Reducerea formei schemelor funcionale complexe43 2.2.2.5. Calculul funciei de transfer pentru elementele tip ale sistemelor de reglare43 automat2.2.2.6. Calculul rspunsului unui sistem pe baza funciei de transfer45 2.2.2.7. Calculul erorii n regim staionar cu ajutorul funciei de transfer47 2.3. Analiza n domeniul timpului a sistemelor netede51 2.3.1. Calculul rspunsului sistemelor netede 51 2.3.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru calculul condiiilor iniiale convenionale52 ale sistemelor netede 2.3.3. Determinarea condiiilor iniiale53 2.3.4. Rspunsul la impuls55 2.3.5. Rspunsul indicial56 2.4. Analiza n frecven59 2.4.1. Transformata Fourier 59 2.4.2. Teorema eantionrii (Shanon)61 2.4.3. Rspunsul unui sistem liniar la o intrare sinusoidal62 2.4.4. Caracteristica amplitudinii i a fazei64 2.4.5. Caracteristici de frecven n reprezentare logaritmic66 2.4.5.1. Reprezentarea prin caracteristici a funciei de transfer a unor elemente tip67 2.4.6. Performanele unui sistem n domeniul frecvenelor73 2.4.7. Legtura dintre rspunsul n timp i rspunsul n frecvena73 2.4.8. Indici de performan n domeniul timpului76 2.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor automate netede78 2.5.1. Analiza principalelor elemente tipice netede 80 2.5.1.1. Element proporional (element de tip P)80 2.5.1.2. Element cu ntrziere de ordin 1(PT1)81 2.5.1.3. Element cu ntrziere de ordin 2 (PT2)84 2.5.1.4. Element integrator (I)92 2.5.1.5. Element derivativ (D)93 CAP. III. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE96 3.1. Modelul matematic intrare ieire al sistemelor discrete96 3.2. Analiza sistemelor discrete prin metode operaionale97 3.2.1. Aplicarea transformatei Z n studiul sistemelor discrete n timp97 3.2.1.1. Proprietile transformatei Z98 3.2.2. Funcia de transfer a unui sistem discret n timp101 3.2.3. Funcia de transfer a unui sistem cu eantionare102 3.2.4. Rspunsul unui sistem discret n timp103 3.2.4.1. Utilizarea funciei de transfer discrete i a transformatei Z inverse la calculul 105 rspunsului unui sistem discret n timp 3.3. Rspunsul la impuls a unui sistem discret n timp106 3.4. Analiza n frecven a sistemelor discrete108 3.4.1. Teorema eantionrii108 3.4.2. Caracteristici de frecven pentru sisteme discrete 109 3.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor discrete 110 CAP. IV. DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE117 4.1. Metode de alegere a variabilelor de stare pentru sisteme netede monovariabile118 4.1.1. Forma canonic controlabil118 4.1.2. Forma canonic observabil119 4.1.3. Forma canonic diagonal120 4.1.4. Variabile de stare fizice124 4.2. Sisteme multivariabile netede127 4.2.1. Matricea de tranziie127 4.2.1.1. Determinarea matricii de tranziie a strilor129 4.2.1.2. Metode de calcul a matricii de tranziie129 4.2.3. Soluia ecuaiei neomogene135 4.2.4. Rspunsul la impuls136 4.2.5. Matricea de transfer137 4.2.6. Sisteme dinamice echivalente138 4.2.7. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor netede139 4.2.7.1. Controlabilitatea strilor sistemelor netede 139 4.2.7.2. Observabilitatea sistemelor liniare netede142 4.2.8. dualitatea sistemelor dinamice144 4.3. Descrierea intern a sistemelor discrete 145 4.3.1. Alegerea variabilelor de stare pentru sistemele monovariabile 145 4.3.1.1. Variabile de stare sub forma canonic controlabil146 4.3.1.2. Variabile de stare sub form canonic observabil148 4.3.1.3.Variabile de stare sub form canonic diagonal150 4.3.1.4. Variabile de stare fizice151 4.3.2. Sisteme discrete multivariabile154 4.3.2.1. Ecuaia intrare-ieire154 4.3.2.1. Rspunsul al impuls155 4.3.2.3. Matricea de transfer156 4.3.2.4. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor discrete156 CAP. V. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE157 5.1. Stabilitatea extern a sistemelor netede158 5.1.1. Criteriul matematic general de stabilitate158 5.1.2. Criteriul Algebric (Ruth-Hurwitz)160 5.1.3. Criteriul Cramer-Leonhard 161 5.1.4. Metoda locului rdciniilor 163 5.1.5. Criteriul de stabilitate Nyquist166 5.1.6. Marginea de amplitudine i marginea de faz; criteriul lui Bode168 5.2. Stabilitatea extern a sistemelor discrete 171 5.2.1. Criteriul matematic general de stabilitate a sistemelor discrete171 5.2.2. Criteriul Schur-Cohn171 5.2.3. Criteriul Jury172 5.2.4. Criterii bazate pe transformri omografice173 CAP. VI. SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI174 6.1. Problemele sintezei SALC174 6.2. Proiectarea prin ncercri174 6.2.1. Reprezentri grafice utilizate la proiectarea prin ncercri175 6.2.2. Amplasarea elementelor de corecie178 6.2.3. Reele de compensare178 6.2.3.1. Reele cu avans de faz (reele derivative)179 6.2.3.2. Reele cu ntrziere de faz (reele integratoare)180 6.2.3.3. reele cu ntrziere I avans de faz (integro-derivative)181 6.2.4. Realizarea proiectrii prin metoda ncercrii-etapa compensrii183 6.3. Proiectarea analitic bazat pe localizarea punctelor singulare ale sistemului186 6.3.1. Determinarea funciei de transfer a sistemului deschis din specifiaii186 6.3.1.1. Determinarea excesului poli-zerouri186 6.3.1.2. Localizarea punctelor singulare funcie de performanele de regim static187 6.3.1.3. Legtura dinre performanele de regim dinamic i localizarea punctelor singulare190 6.3.2. Determinarea funciei de transfer a sistemului deschis din funcia de transfer a 190 sistemului nchis 6.3.2.1. Metoda reprezentrii grafice a polinoamelor191 6.3.3. Determinarea funciei de transfer a elementului de compensare193 6.3.3.1. Implementarea reelelor de corecie cu ajutorulcuadripolilor pasivi RLC194 CAP VII. STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT 197 7.1. Noiuni introductive197 7.2. Statica SRA cuplate la ieire200 CAP. VIII. REGULATOARE AUTOMATE 204 8.1. Principii generale. Clasificri 204 8.1.1. Locul regulatorului automat ntr-un sisteme de reglare automat204 8.1.2. Structura de baz a regulatorului205 8.1.3. Clasificarea regulatoarelor automate 206 8.2. Caracterizarea funcional a regulatoarelor automate207 8.2.1. Regulatoare liniare207 8.2.1.1. Regulator proporional207 8.2.1.2. Regulator integral (de tip I)209 8.2.1.3. Regulator proporional-integrativ (PI)210 8.2.1.4. Regulator proporional derivativ (PD)210 8.2.1.5. Regulatorproporional-integro-derivativ (PID)211 8.2.2. Caracterizarea funcional a regulatoarelor continui neliniare214 8.2.2.1. Regulatorul bipoziional214 8.2.2.2. Regulatorul tripoziional215 8.3. Criterii de alegere i acordare a regulatoarelor 215 8.3.1. Obiectivele proiectrii n cazul utilizrii regulatoarelor automate215 8.3.2. Criterii de alegere a regulatoarelor216 8.3.2.1. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilorprocesului reglat 216 8.3.2.2. Alegerea tipului de regulator funcie de natura fizica parametrului reglat219 8.3.2.3. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilorde frecven a procesului219 8.3.3. Criterii de acordare a regulatoarelor223 8.3.3.1. Criteriul modulului. Varianta Kessler a criteriului modulului223 8.3.3.2. Criteriul suprafeei minime a erorii ziegler Nichols225 8.3.3.3. Criteriul suprafeei patratice a erorii227 8.3.3.4. Metode de acordare bazate pe funcia de transfer a prii fixe227 CAP. IX. ELEMENTE DE EXECUIE229 9.1. Locul i rolul elementelor de execuie n cadrul sistemelor de reglare automat229 9.2. Elemente de acionare230 9.2.1. Elemente de acionare pneumatic230 9.2.1.1. Elemente de acionare pneumatic cu membran cu simplu efect230 9.2.1.2. Elemente de acionare pneumatic cu piston cu simplu i dublu efect231 9.2.2. Elemente de acionare hidraulice 232 9.2.3. Elemente de acionare electric233 9.3. Organe de reglare 235 9.4. Alegerea i dimensionarea elementelor de execuie239 CAP. X. TRADUCTOARE 241 10.1 Caracteristicile traductoarelor. Clasificri241 10.1.1. Clasificarea traductoarelor243 10.2. Traductoare analogice 243 10.2.1. Traductoare parametrice rezistive243 10.2.1.1. Traductoare reostatice244 10.2.1.2. Traductoare termorezistive245 10.2.1.3. Traductoare tensometrice245 10.2.2. Traductoare parametrice inductive246 10.2.2.1. Traductoare cu ntrefier247 10.2.2.2. Traductoare de tip transformator247 10.2.2.3. Traductoare cu miez mobil248 10.2.3. Traductoare parmetrice capcitive249 10.2.3.1. Traductoare cu distana dintre armturi variabil249 10.2.3.2. Traductoare cu suprafaa armturilor variabil249 10.2.3.3. Traductoare cu permitivitatea dielectricului dintre armturi variabil250 10.2.4. Traductoare generatoare250 10.2.4.1. Traductoare de inducie250 10.2.4.2. Traductoare termolelectrice251 10.2.4.3. Traductoare Hall251 CAP XI. SINTEZA AUTOMATELOR FINITE253 11.1 Automat finit253 11.2. Realizabilitatea fizic a expresiilor logice254 11.2.1. Reprezentarea funciilor booleene254 11.2.2. Particularitile elementelor fizice utilizate n implementarea schemelor logice255 11.2.2.1. Implementarea cu relee255 11.2.2.2. Implementarea cu elemente pneumatice257 11.2.2.3. Implementarea cu elemente hidraulice258 11.2.2.4. Implementarea cu elemente electronice de comutaie 258 11.3. Clasificarea schemelor logice259 11.3.1. Scheme logice combinaionale259 11.3.2. Noiunea de schem secvenial260 11.3.2.1. Scheme secveniale asincrone 261 11.3.2.2. Scheme secveniale sincrone263 11.4. Metode de proiectare a schemelor logice266 11.4.1. Sinteza schemelor logice combinaionale266 11.4.1.1. Etape i operaii logice utilizate266 11.4.1.2. Sinteza schemelor combinaionale cu o singur ieire267 11.4.1.3. Minimizarea cshemelor combinaionale cu mai multe ieiri270 11.4.2. Sinteza schemelor secveniale asincrone cu linii de ntrziere276 11.4.2.1. Descrierea funcionrii automatului 276 11.4.2.2. Determinarea matricii (tabelei) primitive a strilor i a ieirilor277 11.4.2.3. ntocmirea matricii reduse a strilor i a ieirilor278 11.4.2.4. Codificarea strilor matricii reduse279 11.4.2.5. Determinarea matricii de tranziie a strilor i obinerea funciilor de excitaie281 11.4.2.6. Determinarea funciilor de ieire281 11.4.2.7. Implementarea schemei282 11.4.2.8. Analiza schemei obinute282 11.4.3. Sinteza schemelor secveniale sincrone cu automate elementare282 11.4.4. Sinteza schemelor secveniale sincrone286 11.4.4.1. ntocmirea organigramelor286 11.4.4.2. Etapele sintezei schemelor logice secveniale sincrone287 BIBLIOGRAFIE291 NOIUNI INTRODUCTIVE9I. NOIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Sistem i mediu Noiuneadesistemesteonoiunecomplex,nliteraturadespecialitategsindu-semultiple definiii. Am preferat-o pe cea din [1], i anume:nsensfiziclarg,prinsistemsenelegeuncomplexunitar,relativdelimitatfade mediu, printr-o structur intern. Pentru explicitarea acestei definiii vom apela la un exemplu,a crei schem este prezentat n fig. 1.1:n figur este prezentat un ansamblu formatdintr-unrecipient(R),ncareseafllichid;prinreglareadeschideriiventiluluideintrare(V1)se poatemodificadebituldeintrare(Qi),iarprinmodificareadeschideriiventilului(V2)sepoatemodificadebituldeieire(Qe).nrecipientsemaiaflospiral(SC)princarecirculunagentde nclzirealcruidebit(Q1)poatefireglatcuajutorul ventilului (V1).Pentrudesfurareacorectaprocesului tehnologic reprezentat n figur presupunem c este necesarsfierezolvatesimultandouprobleme:a)Ssemodificeadecvatdebituldeintrare Qi, astfel nct nivelul lichidului n recipient (h) srmnconstant,indiferentdevariaiadebituluideieireQe;acestlucrupoatefirealizatprin intermediul unui operator uman, care s urmreascnivelullichiduluidinrecipientinfunciede tendina de modificare a acestuia s regleze debitul deintrare,sauutilizndunechipamentspecializat(unregulatorautomatdenivel)caresrealizezeaceeaifunciecaioperatoruluman.Elementelecareconcurlarealizareascopuluipropusacioneazntr-oanumitordineisunt intercorelate.Fig. 1.1.Deidinpunctdevederefizicspiralaseaflninteriorulrecipientului,nclzirealichidului nu influeneaz pstrarea constant a nivelului (neglijnd dilatarea recipientului i alichidului).S-a pus n eviden un prim sistem.b)SsemodificeadecvatdebitulQtalagentuluitermicastfelncttemperaturalichidului din recipientul R s rmn constant.Ca i prima problem, aceast problem poate fi rezolvat utiliznd un operator umansauunechipamentautomatspecializat(regulatordetemperatur). inacestcazseevideniazounitate,respectivunsistem;deaceastdat,variaianiveluluidinrecipientaparineunitii,deoarecetemperaturalichidului(determinatdeschimbuldecldurntreagentuldenclzireilichiduldinrecipient)depindedevolumul lichiduluidinrecipient (conformlegiicalorimetriei),decidenivelullichiduluidinrecipient,carelarndulsudepinde de debitele Qi i Qe.TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT10Pe baza acestui exemplu se pot formula urmtoarele caracteristici relative la noiunea de sistem: 1. Pentru un sistem este esenial faptul c prile sale componente sunt ntr-o anumitrelaie, care constituie totodat criteriulde delimitare fa de mediul exterior. 2.Prilesauelementelecomponenteaufunciipreciseiocupncadrulsistemului poziiibinedeterminate,ceeacepermitesseafirmecsistemulsecaracterizeazprintr-o anumit structur.3.ntremrimilefizicealesistemuluiexistlegturidecauzalitateconcretizaten procesarea substanei, energiei i informaiei n conformitate cu legile generale ale naturii. 4.Legturiledecauzalitatepotfiastfelordonatenctncadrulsistemuluisexiste legturi inverse reacii. Acest tip de conexiune este specific sistemelor cibernetice. 5.Aciuneacomunaprilorsistemuluiasigurrealizareaunuianumitscop;prin reuniuneaprilor,sistemuldobndetecalitinoi,carenupotfiidentificatedinanaliza prilor sale, luate separat. 6.Realizareascopuluipropusnexempluldat,sepoatefaceutilizndunoperator umansauunregulatorautomat.Funcional,celedousoluiiaulabazaceeaistructurabstract a comunicaiilor ntre prile sistemului. Faptul acesta arat c legturile din cadrul sistemuluipotfidescrisepebazauneischemeabstracte.Sistemelecareauaceeaischemabstract sunt izomorfe. 7.Noiuneadesistemesterelativdeoareceunaiaceeairealitatefizicpoate cuprinde diverse sisteme corelate sau nu ntre ele. 1.2. Definirea noiunii de teoria sistemelor i automaticn natur regsim sisteme care se bucur de proprietile enunate mai nainte, n cele mai diverse domenii (economie, biologie, tehnic, etc.). Analizaunitarauneiasemeneadiversitidesistemeimpuneelaborareaunor principii,aunormetodeireguligeneralepebazacrorassepoatfaceaprecieriasupra sistemelor din cele mai diverse domenii. Teoria sistemelor este tiina care se ocup cu elaborarea metodelor de studiu cele mai generale utilizabile n studierea sistemelor din cele mai diverse ramuri de activitate. Ocategorieapartedesistemeoformeazsistemeleautomate.Acesteasuntsisteme tehnicecarefuncioneaznmodautomat(frinterveniaomului)pentrurealizareaunui scop impus de realizatorii sistemelor respective. Automaticaesteramuratiineicareseocupdeelaborareametodelordeanaliz isintez a sistemelor automate. Implementareapracticaprincipiilorimetodelorautomaticiipoartnumelede automatizare.Automatizareaproceselorindustrialerezolvcusuccesproblemelegatede asigurareaunorregimurioptimedoritepentruacesteafrinterveniasubiectiva operatoruluiuman,asigurconducereaunorprocesegreuaccesibilencareprezenaomului este imposibil.Problematicageneralaautomaticiicaramuratiineiconduceriivizeaznprimul rnd conceperea structurilor i strategiilor optime pentru conducerea proceselor i n al doilea rnd implementarea pe un suport fizic (hardware) corespunztor acestor strategii. O prim problem strns legat de elaborarea structurilor i strategiilor de conducere, oconstituieconstruciamodelelorfuncionale istructural-funcionalepentruprocesele supuseautomatizrii,respectividentificareactmaiexactaproceselortehnologice.OaltNOIUNI INTRODUCTIVE11problemceseimpunerezolvatncadrulautomaticii,oreprezintsintezastructurilor istrategiilor de conducere, n vederea realizrii unor obiective prestabilite la valori optime.Odatelaboratstructurateoreticasistemelordereglareprecum iastrategieide conducereaacestora,estenecesarsseanalizezeposibilitateaimplementriiacesteiacuelementefizice(dispozitivedeautomatizare)caresrealizezectmaifidel,cuofiabilitatemaxim i pre minim, performanele i strategiile de conducere determinate teoretic. Oultimetapnrealizareasistemelorautomate estevalidareastructurilorhardwarealeselaetapaprecedent,acestlucrurealizndu-seprindeterminareaperformanelorstructurilor hardware alese pentru implementare.Soluiadeautomatizareestedeterminatdetipulprocesuluisupusautomatizrii,departicularitile i complexitatea acestuia, de gradul de cunoatere a procesului i de cerineledeperformanimpuseacestuia.Graduldeautomatizareicomplexitateaechipamentelordestinate conducerii unui proces sunt determinate de complexitatea strategiilor sintetizate, de cerinele de performan impuse sistemului de conducere. 1.3. Elementele unui sistem automat i ale unui sisteme de reglare automatObiectivelesistemelorautomatesuntdefinitengeneralprinrealizareaunoranumitelegturintredousaumaimultemrimifizice,chiardacacesteanusuntlegateprinlegifizice.Pentruexemplificarevompresupunecdorimsrealizmodependenimpusntredou mrimi variabile n timp i(t) i y(t), dependen exprimat printr-o funcie:f(i,y,t)=0 (1.1) Pentruaceastavomintercalantreeleun dispozitivdeautomatizare(DA)carevarealiza aceast funcie ca n figura 1.2. Fig. 1.2.Nepropunemsrealizmprinintermediulunuidispozitivdeautomatizarelegturantreiluminatulinterioraluneicamere Ei i iluminatul exteriorEe.Un dispozitiv automat ca cel din figura 1.3. va realiza ceea ce ne-am propus. Instalaiaestecompusdintr-olampLalimentatlaosursdetensiuneUprin intermediulunireostatR.DispozitivuldeautomatizareesteformatdincelulafotoelectricCFEcaremsoariluminareaexterioarEe,unamplificatorAMPiunmotorMcareacioneazcursorulreostatului icareestealimentatcutensiuneadelaieireaamplificatorului.Elementele ce alctuiesc dispozitivul de automatizare precum i legturile funcionaledintre acestea sunt reprezentate n fig. 1.4. Elementul1celulafotoelectricrealizeaztransformareamrimiideintrare(iluminareaexterioar)ntr-omrimeaccesibilcelorlalteelementealedispozitivuluideautomatizare(otensiuneproporionalcuiluminarea).Aceastfuncieserealizeazncazgeneraldetraductoruldeintrare.Semnalul(mrimea)deintrarenelementul1,Ee(iluminarea exterioar) este numit n general mrime de intrare i este notat cu i. Semnalul de TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT12ieire al traductorului (n cazul nostru tensiunea v poart numele de mrime de acionare, se noteaz cu a i constituie mrimea de intrare pentru elementul 2. Fig.1.3Fig. 1.4.Elementul 2 (Amplificatorul AMP) prelucreaz semnalul primit de la traductor i genereazlarndulsuunsemnal(ncazulnostruotensiuneproporionalcutensiuneaceluleifotoelectrice) care s comande elementul 3 n scopul realizrii de ctre DA a scopului propus. n caz general elementul 3 poart numele de element de amplificare i comandiar semnalulgeneratdeel(ncazulnostrutensiuneaV)senumete semnal(mrime)decomand ise noteaz cu u.Elementul 3 (motorul M n cazul exemplului nostru) realizeaz o aciune (o rotaie n exemplulnostru)careestengeneraldenaturmecanic(rotaie,translaie),capabilsinfluenezeprocesultehnologicnsensuldorit.Elsenumetencazgeneralelementde execuieiar mrimea generat de el mrime de execuie., notat n caz general cu m.Elementele 1-3 formeaz mpreun dispozitivul de automatizare.Elementul 4 reprezint instalaiaautomatizat (numituneoriprocesultehnologic supus automatizrii, pe scurt PT) iar la ieirea lui se obine mrimea de ieire(n cazul nostru iluminatul Ei) notat n caz general cu y, mrime ce trebuie corelat cu mrimea de intrare. Dispozitivuldeautomatizarempreuncuinstalaiatehnologicformeazsistemulautomat.Pentruoiluminareexterioarconstant(decipentruoaceeaipoziieacursoruluipe rezistenaR)trebuiesavemoiluminareconstantEi.DacnslaEe=constantvariaztensiuneadealimentareabeculuiU,atunciEisevamodificansensulmodificriiluiU; AcelailucrusentmpldacsemodificrezistenabeculuisauarezistoruluiR(datorituzurii sau mbtrnirii, de exemplu).Exist dou posibiliti de a corecta funcionarea instalaiei.1.Sintercalmncircuitulbeculuiorezistenvariabilcaresaibocurbde variaieastfelnctscompensezevariaiatensiuniidealimentareUabecului;acestlucruNOIUNI INTRODUCTIVE13presupunecasfiecunoscutanticipatcurbadevariaieatensiuniiU.Pentruarealizaocorecieeficientartrebuiintroduseunnumrderezistenevariabileegalcunumrulfactorilor perturbatori care pot interveni n funcionarea instalaiei. n caz general acest lucrunuesteposibilpentrucpedeopartenuputemcunoatemoduldeevoluientimpafactorilorperturbatoridintr-oinstalaie ichiardacamcunoateacestlucru,compensareaprin mijloace tehnice a fiecrui factor perturbator ar duce la un pre prea mare al DA. Fig. 1.5.Fig. 1.6.2.Srealizmosupravegheresimultanacelordouiluminri iatuncicndEe=constantiarEivariazsacionmnaafelnctscompensmaceastvariaie.Un operatorumanarputearealizaacestlucrudacaraveaafiatelaunlocvalorilecelordouiluminri(Ei iEe),iarcndEe=ct.iEitindesvariezearacionaasupracursorului reostatului R astfel nct s compenseze variaia lui Ei. nlocuirea operatorului uman se poateface prin modificarea instalaiei ca n figura 1.5. PrinintroducereaceluleifotoelectriceCFE2ilegareaeinsensopusluiCFE1vom transmite amplificatorului AMP un semnal egal cu diferena de tensiune v1-v2; astfel motorulM va fi acionat numai cnd diferena v1-v2este diferit de zero. Schema funcionalainstalaieiesteprezentatnfigura1.6.Observmcfade schema din fig. 1.4. au aprut dou noi elemente:-elementul5celulafotoelectricCFE2carearecaintraremrimeadeieiredin sistem (Ei n cazul nostru) i genereaz la ieirea lui un semnal compatibil cu DA, n relaie cuTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT14y.ncazgeneralelpoartnumeledetraductordereacieiarmrimeageneralsenumetereacie i se noteaz de obicei cu r. - elementul 6 face compararea prin diferen a mrimilor obinute de la traductoarele deintrareidereacie iaplicacestsemnalnotatcuc(eroare)amplificatorului2.ncazul instalaieinoastreacestelementafostobinutprinlegareanopoziieacelordoucelule fotoelectrice.Analiznd schemele din fig. 1.4. i 1.6. observm cteva deosebiri: 1.Sensuldetransmisieasemnaluluiesteunicncazulschemeidinfig.1.4.,dela intrare spre ieire, i dublu, att de la intrare spre ieire pe ramura superioar ct i de la ieire spre elementul de comparaie pe ramura inferioar.2. Schema din fig. 1.4. se prezint ca un circuit deschis iar cea din fig. 1.6. se prezintca un circuit nchis (cu reacie).Rezult o prim clasificare a instalaiilor de automatizare: a)Instalaiicucircuitdeschiscareauosingurcaledetransmitereainformaiei,aceastacirculnddelaintrarespreieire.Amvzutcacesteinstalaiinupreiauinformaiireferitoarelamrimeadeieire,decinusuntsensibilelaeroare.Preciziaacestorinstalaiidepindenumaideliniaritateaelementelorcomponente.Conectarealainstalaiaautomatizatse realizeaz printr-un singur punct. b)Instalaiideautomatizarecucircuitnchiscareaudousensuridetransmiterea informaiei,corespunztorcelordoucidetransmitereainformaiei,caresuntconectatela instalaiaautomatizatndoupuncte:legturaprincipal(legturadirect)careasigurtransmitereainformaieidelaintrarespreieire ilegturasecundar(legturainverssau reacia)careasigurtransmitereainformaieidelaieirespreintrare.Acesteinstalaiistabilesc un circuit nchis i sunt denumite n mod curent bucle de automatizare. Schemele de automatizare n circuit nchis nu sunt sensibile la mrimea de intrare ci la diferenadintremrimeadeintrare(saumrimeadependentdeaceasta)imrimeade reacie(carepoatefichiarmrimeadeieiresauomrimedependentdeaceasta);ncazul exemplului nostru g=v1-v2.Deducem c instalaia automatizat n circuit deschis este un caz particularalinstalaieicucircuitnchislacares-antreruptreacia(fcndv2=0rezultc=v1=mrimea de intrare n elementul de comand a instalaiei de automatizare deschise). 1.4. Reglare automat. Sistem de reglare automatReglarea automat este definit ca fiind un ansamblu de operaii care se efectueaz n circuit nchis, alctuind o bucl echipat cu dispozitive anume prevzute, cu ajutorul crora se efectueaz o comparaie prin diferen a valorii msurate a unei mrimi din procesul reglat, cu o valoare prestabilit, constant sau variabil n timp, i se acioneaz asupra procesului astfel nct s se tind spre anularea acestei diferene.Schema funcional a unui sistem de reglare automat este prezentat n fig. 1.7.Cel mai important element al sistemului de reglare automat este regulatorul automat (RA);dinpunctdevedereconstructiv, n general, regulatoarele automate conin nglobate ielementele de comparaieavnddeci douintrri, una pentru semnalul de intrare (referin),iar alta pentru semnalul reacie.ninstalaiiregulatorulpoatefireprezentatdeuncalculatornumericcareare implementai algoritmi de reglare. nsistemeledereglareautomatsentlnescdeobiceiialteelementemenitesasigurebunafuncionareasistemuluisausofereinformaiisuplimentaredesprediferite NOIUNI INTRODUCTIVE15mrimidinsistemprecum:convertoare,adaptoare,elementedecalcul,nregistratoare,surse de energie, etc. Fig. 1.7. (Legend: TrI traductor de intrare; Ec comparator diferenial;RA regulator automat; EE element de execuie; IT instalaietehnologic; TrR traductor de reacie; P perturbaie; W perturbaie pe calea de reacie)1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare Exist mai multe criterii de clasificare a sistemelor de reglare:1. Dup principiul de funcionare deosebim:a)sistemedereglareconvenionaledebazlacaremrimeadeieire(y)urmretemrimea de intrare (i) i care la rndul lor pot fi: -sistemedeurmrirelacaremrimeadeieireurmretemrimeadeintrareindiferent de evoluia n timp a mrimii de intrare;- sisteme de reglare automat la care mrimea de intrare are o evoluie n timppredeterminat;b) sisteme de reglare specializate care pot fi adaptive, optimale sau extremale. 2. Dup aspectul variaiei n timp a mrimii de intrare:a)sistemedestabilizareautomatlacaremrimeadeintrareestefix(invariantn timp) se mai numesc i sisteme de reglare automat cu consemn fix; b)sistemedereglareautomatcuprogramvariabillacaremrimeadeintrareareo evoluie impus n timp;c)sistemedereglareautomatdeurmrirelacaremrimeadeintrarevariazaleatoriu.3. n funcie de viteza de variaie a mrimii de ieire:a) sisteme de reglare automat pentru procese lente; b) sisteme de reglare automat pentru procese rapide; 4. n funcie de numrul de intrri i ieiri:a) sisteme de reglare cu o singur intrare i o singur ieire;b) sisteme de reglare cu mai multe intrri i/sau ieiri.5. n funcie de natura comenzii:a) cu comand continu, cnd mrimea de comand (u) a regulatorului automat este ofuncie continu;b) cu comand discret, cnd mrimea de comand este un tren de impulsuri (modulatn amplitudine, frecven, faz, etc.).6. Dup complexitatea schemei funcionale:a) simple, care au o singur bucl;b) complexe, care au mai multe bucle i care pot fi:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT16- n cascad, la care n cursul reglrii pe lng mrimea de ieire sunt reglate ialte mrimi intermediare;- cu reglare combinat, la care n schem sunt prevzute mai multe regulatoarecare ns intervin numai n anumite momente funcie de evoluia unor parametri din instalaiatehnologic.1.5. Noiuni introductive referitoarela sistemele dinamice 1.5.1. Semnale ntimpulfuncionriioricruisistemautomat,nelementelecarelconstituieseproceseaz materie sau energie. Legturilecesestabilescntrediferitele elementealesistemelorautomatesunt materializateprinmrimifizicecaresetransmitntreacesteelemente.Indiferentdenatura fizic i deparametrii acestor mrimifizice,ceeaceleestecomuntuturor,estec ele pot ficaracterizatenfiecaremomentprinanumitevalorialeparametriloracestormrimi,adicconinoncrcturinformaionalcesetransmitentreelementelesistemului.nanalizasistemelorproprieteorieisistemelorseianconsiderarenprimulrndcaracterulinformaionalalmrimilorimplicatenfuncionareasistemuluirespectiv,acestmoddeabordare conferind analizeicel mai nalt grad de generalitate. Ceea ce caracterizeaz orice fel de informaie este faptul c ea nu este cunoscut dinainte.O mrime fizic prin care se transmite o informaie se numete semnal.Mrimilefizicesuntcaracterizatedeomultitudinedeparametrifizici(deexempluo tensiune alternativ este caracterizat de frecven, amplitudine, defazaj); nu toi parametrii ce caracterizeazmrimeafizictransmitinformaiancadrullegturilordintreelementelesistemului. JC JRe Fig.1.8.Parametrulcaresemodificdependentdeinformaiatransmisdesemnalulrespectivsenumete parametruinformaional.ncazuloricreitransmisiideinformaieexistimplicit un emitor i un receptor al informaiei. Legturantreinformaieiparametrulinformaionalserealizeazpebazaunuicodlaemitorulinformaiei.Pentrucaspoatfinelesntregulconinutinformaionalalunui semnal, este necesar ca la receptor s se realizeze operaiainvers, adic din variaia parametrului informaional s fieextras, pe baza aceluiai cod, ca i la emisie, informaia.Pentruexemplificarevomconsideracazulmsurriiuneitemperaturicuun termocuplu ca n figura 1.8.; informaia este constituit de valoarea temperaturii . La capetele jonciuniireci(JR)atermocupluluiapareotensiunecontinu,acreivaloareeste proporionalcutemperaturajonciuniicalde(JC).Semnalulesteconstituitnacestcazdetensiuneacontinuceaparelacapetelejonciuniicaldeiarparametrulinformaionaleste constituit din valoarea efectiv a tensiunii (e).NOIUNI INTRODUCTIVE171.5.1.1. Clasificarea semnalelorSe pot stabili diverse criterii de clasificare a semnalelor:1. Dup efectele produse asupra sistemului n care acestea sunt transmise:a) semnale utile, care introduc efecte dorite;b) semnale perturbatoare, care introduc efecte nedorite asupra sistemului.2. Dup natura mrimii fizice care constituie suportul semnalului:a) semnale electrice (tensiune, curent, parametrii de circuit); b) semnale mecanice (fore, cupluri, etc.); c) semnale hidraulice (presiuni de lichide); d) semnale pneumatice (presiuni de gaze). 3. Dup mulimea valorilor pe care le poate lua parametrul informaional ntre dou valori aleacestuia:a)semnaleanalogice,atuncicndmulimeavalorilorpecarelepoateluaparametrulinformaional este o mulime inclus n mulimea numerelor reale; b)semnale numerice la care mulimeavalorilorparametruluiinformaionalesteo mulime inclus n mulimea numerelor ntregi.4. Dup modul de definire a parametrului informaional funcie de variabila de timp:a)semnalecontinuintimp,lacarepentrufiecarevaloareavariabileitimpeste definit o valoare a parametrului informaional;b)semnalediscretentimp,lacarevalorileparametruluiinformaionalsuntdefinitenumai pentru diferite valori admisibile ale variabilei de timp.5. Dup previzibilitatea evoluiei n timp:a)semnaledeterministe,lacarevaloareaparametruluiinformaionalpoatefi cunoscut aprioric pentru orice valoare admisibil a timpului;b)semnalenedeterministe,lacarepentruoricevaloareadmisibilatimpuluinuse poate face dect o estimare probabilistic a valorilor parametrului informaional.1.5.1.2. Semnale definite printr-o distribuieVom defini noiunea de distribuie prin analogie cu definirea unei funcii.O funcie este un procedeu prin care se asociaz fiecrui numr din mulimea de definiie un numr (nici unul, mai multe sau o infinitate) din mulimea valorilor. OdistribuieTesteunprocedeucareasociazfiecreifuncii dinmulimeade definiie un numr notat , sau T().Funciile pe care opereaz distribuia T aparin unui domeniu D. Funciile satisfaccondiii severe:a) funciile sunt nule n afara unui interval finit O;b) funciile sunt indefinit derivabile; c) pe D domeniul funciilor , este definit funcia norm, .carepermite s se msoare distana dintre dou funcii2 1 .Unirdefuncii ndin D convergelaimplicfaptulctoatedistanele n,) 1 ( ) 1 ( n , ...... ) ( ) ( pnp , tind ctre zero cnd n tinde la infinit. Distribuia este un procedeu liniar i continuu. TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT18Unei funcii continui i integrabil pe orice interval finit i se poate asocia o distribuienotat [f], astfel:| |) = ) ( dt t t f f ) ( ) ( , (1.2) O distribuie important este distribuia Dirac notat o careasociaz fiecrei funcii numrul (0):) 0 ( , o = ) ((1.3)n mod asemntor se definete oa astfel ca: ) ( , aa o = ) ((1.4) Unexemplusugestivreferitorlamoduldedefinirealdistribuieilconstituiecurentul care apare ntr-un circuit n care este conectat o capacitate la conectarea circuitului ca n fig. 1.9. Considernd tensiunea pe condensator definitde: >Dac distribuia este asociat unei funcii continui f atunci: =Dac distribuia este asociat unei funcii discontinui n punctul a, atunci: = +{f(a+)-f(a-)}(a)=+Af unde s-a notat f(a+) valoarea n vecintatea din dreapta iar cu f(a-) valoarea din vecintatea dinstnga lui punctului a a funciei f(t), iar: Af=f(a+)-f(a-)=saltul funciei n punctul a. Distribuia |f| exist pentru c f este local integrabil.NOIUNI INTRODUCTIVE191.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui n timpPrincipalele semnale utilizate n analiza sistemelor continui sunt: a) Semnalul treapt unitar o(t) este definit de relaia:>3.TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT302.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui prin metode operaionale2.2.1. Transformata Laplace Transformata Laplace obinuit (unilateral) a unei funcii f(t) se definete ca fiind): (2.11) ) ) = = =0 0) ( ) ( ) ( )] ( [ dt e e t f dt e t f s F t f Lt j t st e oundesesteovariabilcomplex s=o+je.TransformataLaplaceopereazcufunciicarese considernulepentrutotfaciliteazsensibil aceast cerin. Astfel fie: 0 la t0 cu a>0Pentru o asemenea funcie transformata Laplace este: ) ) = =0 0) (t j t s st ate e dt e e s Fe oa s a ses Ht a s= = 1) (0) (Aceast integral exist (este convergent) numai cnd o>a.Decipentrufunciaf(t)=eattransformataLaplaceexistcndo>a;valoarealui o0=ase numete abscis de convergen (vezi fig. 2.2). DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR31 je ao Fig.2.2Transformata Laplace invers este dat de relaia:)] ( ) (21) (1s F L ds e s Fjt fj cj cst)+= =eet(2.13) undecesteabscisademinimconvergen icestemaimaredectpartearealaoricruiadinpoliifuncieiF(s);f(t)estefunciaoriginaliarF(s)=L |f(t)|poartnumeledefuncieimagine.Proprieti ale transformatei laplace:- Liniaritate: L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(s)+F2(s) (2.14)L[af(t)]=aL[]f(s)]=aF(s) (2.15) - Derivarea originalului: L[f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0+)-sn-2f(0+)- ....-f(n-1)(0+)i dac f(0) ..... f(n-1)(0) = 0 atunci L[f(n)(t)]=snF(s) (2.16) - Integrarea originalului:L)=tss Fd f0) (] ) ( [ t t (2.17) - Deplasarea imaginii) ( )] ( [ a s F t f e Lat+ =(2.18) - Derivarea imaginii) ( )] ( [ s Fdsdt tf L = (2.19) - Integrarea imaginii)=0) ( ]) ([ ds s Ftt fL (2.20) ) ( )] ( [ as aFatf L = (2.21) - Deplasarea originalului ) ( ) ( [ s F e a t f Las = (2.22) - Teorema valorii iniiale) ( lim ) ( lim0s sF t fs t = (2.23)- Teorema valorii finale ) ( lim ) ( lim0s sF t fs t = (2.24) TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT322.2.2. Funcia de transfer Fie un sistem liniar continuu i staionar descrisde ecuaia diferenial:any(n)+an-1y(n-1)+ ...... +a1y'+a0y=bmu(m) +bm-1u(m-1) + ..... +b1u'+b0u(2.25) n care. m n >Dacnmomentulexcitriisalesistemulseaflnstaredeechilibrudezero(y(0),y'(0), .... , y(n)(0)=0) i u(t)=0pentru tm.jeorej|R +je1o 0 Rejuo C-je1Unconturcarecuprinden interiorulsutoatezerourileitoipolii funcieidetransfer(2.40)situainsemiplanuldreptinacelaitimp,nconjoar prin cercuri de raz infinit micpoliifuncieidetransfersituaipeaxa imaginaraplanuluispoartnumelede contur Nyquist i este prezentat n fig. 2.6. Pentruaobinehodografulfuncieidetransfercndsparcurgensenspozitiv unasemeneaconturtrebuiedeterminatevoluiavectoruluidepoziieH(s)atunci cndsparcurgesemicercurilederazinfinitmicisemicerculderazinfinitmare ale acestuia. Fig.2.6Sepoate demonstra c: a)Atunci cnd s parcurge n sens negativ un semicerc de razinfinitmicce nconjoar polii de pe axa imaginar, n planul funciei H(s) se obine un hodograf sub formdearcdecercderazinfinitmarecucentrulnorigineaaxelor,vectorulrotindu-sensens pozitiv.TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT36 b) Atunci cnd s parcurge n sens pozitiv semicercul de raz infinit mare al conturuluiNyquist,seobineunhodografsubformdearcdecercderazinfinitmiccucentruln originea axelor, vectorul rotindu-se n sens negativ. ncazulcelmaigeneralofunciedetransferestedatdeexpresia(2.40)ncare o+2+q=n>m.Aceastfunciedetransfersecaracterizeazprinaceeacareunpoldeordindemultiplicitate o n origine, are polii (-je1, +je1) situai pe axa imaginar, polii p1, .... ,pq i z1,....,zmsitundu-senafaraaxeiimaginare.Pentrustudiulsistemelorestefoarteimportantsse cunoasc graficul funciei de transfer exprimat de relaia (2.40) atunci cnd conturul C (pe care se deplaseaz s) are forma din fig. 2.7. Acesta se caracterizeazprin aceea c el nchide n interiorul su toate zerourile i toipoliifuncieidetransfercareseaflnsemiplanuldreptinacelaitimpnconjoarprin semicercuri de raz infinit mic polii funciei de transfer situai pe axa imaginar a planului s pentru care = ) (s H .je +je1orej|R jeo 0 orej|Rejuje1+o Pje1Rkejk-je1 C je1zks =s0ejuoo Fig.2.7 Fig.2.8nfelulacestafunciaH(s)devineanaliticnoricepuntalacestuicontur.UnasemeneaconturpoartnumeledeconturNyquist.Pentruaobineloculdetransferal funcieiH(s)estenecesarscunoatemcedevinnplanulHre-Himsemicercurilederazinfinit mic i cele de raz infinit mare ale conturului Nyquist din planul s. Pentru aceasta s considerm n fig. 2.8 un semicerc de raz infinit mic ce nconjoarpolul s=je1. Cnd s parcurge acest semicerc expresia sa este: |o ejre j s + =1(2.41.a)Pentruunzerooarecarezk(k=1,2,....,m),respectivunpoloarecarepv (v = 1,2,....q)putem scrie: i (2.41.b)kjk ke R z s+ =vv vO+ =je S p sRespectiv:i (2.41.c) kjk ke R z s = vv vO = je S p sDESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR37i cu aceasta expresia(2.40) devine: _ _

+

=O +m qkjqjrjrmeS S S e j e SR R RA s H1 1) (2 1 12 1....... ) 2 (.....) (v| | oo e o(2.42) Vectorul s se poate exprima sub form polar:00O =je S sLa rndul su vectorul se poate exprima sub form polar: (2.43) |o ejre j+12) (12| o ejre j+i cu aceasta (2.42) devine: ) (2 1 02 101 1...... ) (......) ( | o v| o O O _ _

=m qkjq rmeS S S SR R RA s H(2.44) naceastrelaieattcalculeleR1......Rm,S1.......Sq i ctiargumentele 1.....m,u1......uq, i sunt funcii de | aa c ultima relaie se poate scrie: ] ) ( [) () (| | |o| =jreMs H (2.45) unde:qmS S SR R RA M

=...... ) (.......) (1 02 1| | ;_ _ O O = um qke1 10) ( o |vcumnssemicerculderazinfinitmicsepoateconsideracattmodulelectiargumentele rmn constante cnd | variaz de la t/2 la t/2 deci: i u = const. (2.46)const. N cu ) () (==| | je N s Hn plus N cnd o 0. Cualtecuvintecndsparcurgensensnegativsemicerculderazinfinitmiccenconjoar polul s=je1, n planul funciei H(s) de obine un loc geometric n form dearc de cerc cu raza infinit mare i cu centrul n originea axelor. Argumentul fazorului respectiv H(s)variaznacestcazdela|t/2cnde=e+la|+t/2cnde=e-vectorulrotindu-sedecin sens pozitiv. Pentru a vedea ce se ntmpl cnd s parcurge semicercul de raz infinit mic din juruloriginii (deci nconjoar polii de origine), vom menine notaia:00O =je S scumeniuneacdeaceastdatS0estefoartemic,aceastafacecanexpresia(2.40)ssputem neglija vectorul punctului sfa de vectorii polilor i zerourilor respective. Deci:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT38) ).....(2)(1(21002 1) ).......( )( () (qp p p zmeSz z zA s H O =e o(2.47) Notnd cu:(k=1,2,...);(2.48) kjk ke Z z =vqv vje P p=Obinem:)2() (2 121 02 11 10) ).......( )( () ).......( )( () (to q veO =_ _

=em qk jjqme N eP P P SZ Z ZA s H (2.49) unde i_ _ =m qk t1 1vq ) ).....( )( () ).....( )( (2 121 02qmP P P SZ Z Z AN = e (2.50)Decisemicerculderazinfinitmiccenconjoarpoluldeoriginedevinenplanul funcieiH(s)unarcdecerccuR = icucentrulnorigineaaxelor.Argumentulcomplex arg[H(s)] variaz de la t-ot/2 cnd e=0+ la t+ot/2 cnd e=0-.(2.51) =OR Sjcu RencazultransformriisemicerculuiderazinfinitmarealconturuluiNyquistnplanul funciei H(s), dat fiind c de data aceasta n conformitate cu fig. 2.8 vectorii zerourilor z1.....zmi polilor +/-je1, p1......pq se pot neglija n raport cu vectorul variabilei s, ecuaia devine: O = = =) (21) (m n jm n nmq ameRASSAS S SsA s H(2.52) Rezultcdatfiindn>m,cndsparcurgensenspozitivsemicerculderazinfinitmare alconturului Nyquist de la O=t/2 (corespunztor valorii + = e ), n planul funciei,fazorulderazinfinitmicserotetensensnegativ,ncepndcuargumentul t/2*(n-m)pentru = epn la t/2*(n-m) cnd+ = e .2.2.2.3. Schema funcionalAm vzutcsistemelesuntcaracterizateprinfunciadetransferdatngeneralsub formaunuiraportcupolinoamedevariabilcomplex s=o+je.Unmoddereprezentarea sistemelorcarepunenevidenrelaiileceexistntrediferitelepricomponentealeunui sistem este schema funcional (exemplu fig. 2.9): 1 Regulatorul; 2 Elementul de execuie;3 Elementul supus automatizrii;4 Elementul de reacie;H1(s)=Y1/c; H2(s)=Y2/Y1;H3(s)=Y1/Y2; H4(s)=Y4/Y;Y1-mrimea de comand; Y2 mrimea de execuie;Y mrimea de ieire (reglat);Y4 mrimea perturbatoare.DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR39Mrimeaperturbatoarepoatefiaplicatdirectsauprinintermediulunuiblocfuncionalla intrarea n elementul supus automatizrii sau la ieire (fig. 2.10) Y4U + cY1Y - -H1(s)H4(s)H3(s) H2(s)Fig. 2.9P(s) P(s)H2(s)H3(s)Hp(s)H2(s)Hp(s)H3(s)Fig. 2.10Pentruaflareafuncieidetransferantreguluisistemvomprezentamai ntiregulilede operare cu funciilede transfer:a) Legarea n serie:U(s) Y1Y2YFig. 2.11H1H2H3U H H HUY H HUY HU UYs H= == =1 2 3 1 2 3 2 31 1 1) ( (2.53) 3 2 1) ( H H H s H =pentru n elemente legate n serie: [=nkH H(s1)TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT40b) Legarea n paralel nainte: Y1UY2Y Y3H1(s)H2(s)H3(s)Fig. 2.123 2 1 3 2 1 3 2 1) (1) (1) ( H H H U H U H U HUY Y YU UYs H + =+= + = =(2.54) c) Legarea n paralel napoi: U+ cY-Y1Fig, 2.13Y=H1c =H1(U-Y1) =H1(U-H2Y);deci: Y+H1H2Y=H1Ui:2 111 H HHH+= (2.55)dac reacia este rigid (H2=1) atunci: 111 HHH+=d) Eliminarea blocului pe calea de reacie.Pornind de la schema din figura 2.13, punnd condiia ca Y s fie egal obinem:UY1+ c YHx=1/H2H1H2H1H2Fig. 2.142 2 112 12 11)1( )1(HHH HHU HH HH HUx x= +=+(2.56) DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR41e) Deplasarea unui bloc de sumare naintea unui bloc. Punnd condiia ca Y s fie egal rezult:UY1 YUY2Y + +Z ZH1ZHx=1/H1H1Fig. 2.1511 11) (HH H H Z U Z H Ux x= + = +(2.57) f) Deplasarea unui bloc de sumare dup un bloc. U+ Y1 Y U + Y++Y1+ZZ H1H1Hx=H1Fig2.16Din condiia ca Y s fie egal se obine:H1(U+Z)=H1U+HxZ; Hx=H1 (2.58) g) Deplasarea unui punct de intersecie naintea unui bloc. Fig2.17Punnd condiia ca valoarea semnalului Z s nu se modifice se obine:HU=HxU Hx=H (2.59)h) Deplasarea unui punct de intersecie dup un bloc. Fig. 2.18Punn condiia ca Z s nu se modifice se obine:U=YHx=HUHxHx=1/H (2.60)Cu aceste operaii oricare ar fi sistem nchis poate fi pus sub forma canonic din fig. 2.19 unde H funcia de transfer a sistemului deschis i H0 funcia de transfer a sistemuluiTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT42nchis, iar Hd funcia de transfer a elementului de comparaie; ntre aceste funcii se pot scrie relaiile:;0UYHYH = =ciUHdc=HHH+=10(2.61)001 HHH= (2.62)0 0 01 1 ;11; 1 HUyUY UUHHH Hd = == =+= =cd dH HUYUYH H H H == ==cc0 0;Hd U c Y+H0-HFig.2.19Revenind la schema din fig. 2.9 considernd perturbaia = 0 rezult:UH H H HH H HYH H H HH H HH + = + =4 3 2 13 2 14 3 2 13 2 11 1(2.63) Considernd acum U=0 i P 0 (Y4)i aplicnd regulile de algebr prezentate obinem: =4 3 2 131 H H H HH HHp +

= (2.64) sau:PH H H HH HYp

+

=4 3 2 131 (2.65) Semnalul de ieire se obine prin principiul superpoziiei, deci:PH H H HH HUH H H HH H HYp

+

+ + =4 3 2 134 3 2 13 2 11 1sau: P s p H s H Y Y Y+ = + = ) ( ) (0 0 2 1unde H0 i H0p sunt funciile de transfer raportate la intrare , respectiv la reacie.DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR432.2.2.4. Reducereaformei schemelor funcionale complexePentrusistemelecareconinmaimultebucle imaimulteintrri,sepoateobineo schemechivalent,acreifunciedetransfersepoatescriepebazarelaiilordejastabilite. Proceduradereducereaschemelorfuncionalecomplexepoatefiprezentatsubformaurmtorului algoritm:1. Se combin toate elementele legate n serie.2. Se combin toate elementele legate n paralel.3. Se combin toate buclele interioare(secundare). 4. Se deplaseaz punctele de sumare la stnga i/sau punctele de intersec ie la dreaptabuclei principale, astfel nct s se obin bucle interne.5. Se repet punctele 1-4 pn ce o form canonic a fost obinut.6. Se repet punctele 1-5 pentru fiecare intrare a sistemului.Exemplificarea acestui algoritm este prezentat n fig 2.18.Fig 2.18G)H+H(H H+G HH - 1)H+H(H H=GG H H- 1)H+H( HH+ 1G H H- 1)H+H(H H= sHunde2 4 3 2 1 1 24 3 2 121 2 14 3 11 2 14 3 2 1012) ( (2.66)2.2.2.5. Calculul funciei de transfer pentru elementele tip ale sistemelor de reglare automat.Pentru un element proporional definit prin relaia :y(t)=k1u(t)aplicarea transformatei Laplace duce laY(s)=k1U(s)iar funcia de transfer are forma:K=U(s)Y(s)= H(s)1(2.67) Procedndnmodsimilarseobinfunciiledetransferpentruelementeletipalesistemului de reglare i anume:-Element cu ntrziere de ordin nti ecuaia diferenial:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT44U(t)k= y +dtdyT0funcia de transfer Ts+kH(s) =10(2.67) -Element de ordin doi(armonic) - ecuaia diferenial:) ( ) () ( ) (t uk= t y +dtt dy2 +dtt yd2n 02n n22e e e- funcia de transfer + 2 +k= H(s)2n n22n 0e eess(2.68) -Element cu ntrziere de ordin doi-ecuaia diferenial:) () ( ) (u(t)K= t y +dtt dy)T+T( +dtt ydT T 0 2 1222 1- funcia de transfer 1) +T1)( +T(K= H(s)2 10s s(2.69) -Element cu timp mort- ecuaia diferenial:) - u(t = y(t) t- funcia de transfer: t se= H(s) (2.70) -Element de ntrziere cu timp mort- ecuaia diferenial:) - u(tK= y +dtdyT0t- funcia de transfer: 1) (0+=Tse Ks Hst(2.71) -Element de ntrziere de ordin doi cu timp mort- ecuaia diferenial:) - u(tK= t y +dtt dy)T+T( +dtt ydT T 0 2 1222 1t ) () ( ) (- funcia de transfer: DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR451) +T1)( +T(e K= H(s)2 1s -0s st(2.72)-Element de anticipaie de ordinul nti - ecuaia diferenialt u +dtt duT = t y ) () () (- funcia de transfer: 1 T = H(s) + s (2.73) -Element de anticipaie de ordinul doi ecuaia diferenial:) () (2) () ( t u +dtt du+dtt ud= t y2n n22e efuncia de transfer:+ 2 + = H(s)2n n2e e s s (2.74)- Regulator PI - ecuaia diferenial:(t)dt]T1+ (t) [K= u(t)i0c c )- funcia de transfer: )T1+ (1K= H(s)i0s(2.75) -Regulator PD]dtdT+ (t) [K= u(t)d 0cc-Regulator PIDecuaia diferenial:]dtdT+ (t)dtT1+ (t) [K= u(t)di0cc c ) (2.77) 2.2.2.6. Calculul rspunsului unui sistem pe baza funciei de transferPentru un sistem de ordinul nti descris de ecuaia) ( ) () (t uk= t y +dtt dyT0funcia pondere se determin cu relaia:ek= (t)- 0TtThfuncia de transfer n cazul n care u(t)=o(t) este:1 + TsK= Y(s) = H(s)0TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT46Pentru a obine rspunsul sistemului se folosete transformata Laplace invers:U(s)] [H(s) = [Y(s)] = y(t)-1 -1-L L(2.77) adiceTK= ]1 + TsK[ = y(t) Tt- 0 0 1 -LPentru o intrare treapt unitar L[u(t)]=1/s, rspunsul sistemului fiind:]e- [1K= ]1 + TsTK-sK[ = ]1 + TsKs1[ = [H(s)U(s)] = y(t) Tt-00 0 1 - 0 1 - 1 -L L Ln cazul general cnd funcia de transfer a sistemului este cunoscut i dat sub forma : a+ ....... +s a+s ab+ ....... +s b+s b= H(s)01 - n1 - nnn01 - m1 - mmmpentru aplicarea transformatei Laplace invers n vederea determinrii rspunsului sistemuluila o intrare dat, este necesar dezvoltarea n sum de fracii simple a funciei.Pentruunsistemacreifunciedetransferarenpolirealisimpli iintrareaesteo treapt unitar, funcia de ieire poate fi pus sub forma : ___+ =njjnjjmiip sCsCs a ss b= Y(s)1000(2.78) iar rspunsul sistemului se calculeaz cu relaia:e C+C= ]p + s+sC[ = [Y(s)] = y(t)t p -i1n=1 i01n=1 i01 1 - 1 -i_ E1L L(2.79)undeC01,C11,C21,......,Cn1suntreziduurilefuncieiY (s).Reziduurilefunc ieiY ( s)se calculeaz cu relaia:ip s ii1)Y(s) p + (s =C =| (2.80) DacofunciecomplexF(s)areunnumrpidepolimultiplideordindemultiplicitateni,adic:) p + (sC=) p+ (ss b= F(s)kiikn=1 kr=1 i nir=1 ijjmj=0iiE E[_(2.81) reziduurile acestei funcii se calculeaz cu relaia : iiiip sni k nk - niikF(s) ) p + [(sdsdk)! -n(1=C =- ] (2.82)Exemplu: SaflmtransformataLaplaceinverspentrufuncia F(s)=1/(s+1)2(s+2);funcia F(s) are un pol multiplu de ordin 2 i un pol simplu s=-2 deci :2 + sC+) 2 + (sC+1) + (sC= F(s)21212 11(2.83) C11, C12 se calculeaz cu relaiile:DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR471 =2 + s1=2) + (s ) 1 + (s1( ) 1 + (s =C: 2) =n, 2 = k , 1 = (iC1 =) 2 + (s1- =2) + (s ) 1 + (s1) 1 + ((sdsd=C: 2) =n, 1 = k , 1 = (iCs2212 i 122s2211 i 1111) = =C21 se calculeaz cu formula (2.80) 1 =2) + (s ) 1 + (s12)( + (s =C: 2 = p ; 2 = is221i2) =deci:t t te te es s ss F221 1]21) 1 (121[ )] ( [ + + =+++++ = L L2.2.2.7. Calculul erorii n regim staionar cu ajutorul funciei de transfer.Eroareasistemuluinregimstaionar cstsepoateobinedirectcuajutorulfuncieidetransfer a sistemului deschis H(s) n condiiile n care reacia este rigid. Pentru sistemul din fig(2.19.b)funciadetransferasistemuluideschisHd(s)ncondiiilencarereaciaesteunitar poate fi pus sub forma general:(s)P(s)PsK= H(s)21o(2.84) undeKreprezint factoruldeamplificarealciidirecte, oreprezintnumruldepolinorigine ai funciei pentru calea direct, iar polinoamele P1(s) i P2(s) au ultimul termen egal cuunitatea.Aceast expresie se obine dac plecnd de la forma general :a+ ....... +s a+s ab+ ....... +s b+s b= H(s)01 - n1 - nnn01 - m1 - mmm(2.85) scoatem factor comun b0/a0=K este factorul de amplificare al sistemului deschis i deci vomavea : (s)P(s)PK =(s)P(s)Pab=1 + ....... +saa+saa1 + ....... +sbb+sbbab= H(s)2121001 - n01 - n n0n1 - m01 - m m0m00(2.86)DacH(s)areunpolmultipludeordin onorigine(P2(s)arerdcinmultipldeordinos=0) atunci: ab= K0oValoarea o definete tipul sistemului. Astfel sistemul definit n fig (2.19,a) este de tip 0 (o=0)celdefinitnfig(2.19,b)estedetip1(o=1),iarsistemuldefinitnfig(2.19,c)estedetip2 (o=2)TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT48inndseamadetipulsistemului idetipulfuncieiaplicatelaintrare,porninddelaexpresia (2.83) a funciei de transfer a sistemului deschis se pot defini coeficienii de eroare n regim staionar a sistemului.Fig. 2.19Pentru intrarea treapt unitar se definete coeficientul de eroare de poziie Kp sub forma : pentru0 = pentru K =(0)P(0)KP=(s)P s(s)PK=K2121s p> 0lim0ooo(2.87)iar eroarea n regim staionar pentru intrare treapt unitar se definete astfel ()= st=1-y()=1-yst(2.88)sau aplicnd teorema valorii finale: (s)] [s = (t) = ) ( sF(s) = f(t)s ts tc c c lim limlim lim0(2.89)unde c(s) reprezint transformata Laplace a erorii sistemului care se poate calcula cu formula : U(s)(s)P(s)PsK+ 11= U(s)H(s) + 11= (s)21oc (2.90)s-a inut cont c:) (s UH(s) + 11= (s) (s) H(s) - U(s) = Y(s) - U(s) = (s) c c c Pentru un sistem cu o=0 i cu reacie rigid(unitar), eroarea n regim staionar este : K + 11=K + 11=s1sP(s)PK+ 11 s =p21s st(((((

) (lim0c (2.91)Pentru intrarea ramp unitar se definete coeficientul de eroare de vitez : 1 > pentru1 = pentru K =(0)P(0)KP1 = pentru 0=(s)P s(s)PK= sH(s) =K2121 -1s s voooo0 0lim lim (2.92) iar eroarea de regim staionar pentru un sistem de tip 1: DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR49K1=K1=s1(s)Ps(s)PK+ 11s =v221s st(((((

0lim c (2.93)Coeficientul de eroare de acceleraie se definete pentru un sistem cu reacie unitar la intrarea creia se aplic o funcie parabol unitar u(t)=t2/ 2.1 > pentru1 = pentru K =(0)P(0)KP0 = pentru 0=(s)P s(s)PK= H(s)]s[ =K2122 -1s2s a

oooo0 0lim lim (2.94)iar eroarea de regim staionar pentru un sistem de ordin 2: K1=K1=(s)P(s)PK+s1=s1(s)P s(s)PK+ 11s = (s) s =a1 2s321s s st(((((

(((((

2020 0lim lim lim c c(2.95) Cunoatereacoeficienilordeeroareuorcalculabilidinfunciadetransfera sistemuluideschispermitecalculuieroriinregimstaionar,respectivapreciereaprecizieisistemului n regim staionar.Rezultatele obinute pentru sistemele cu reacie unitar pot fi extinse i la sistemele de reacie neunitar ns stabil astfel : DacH(s)reprezintfunciadetransferasistemuluireal,iarHi(s)reprezintfunciadetransferasistemuluiideal(carerealizeazieireadorit)eroareaseobinecadiferenntre cele 2 mrimi Yi(s) i Y (s) ob inute la ieirea sistemelor cu funciile de transfer Hi(s) iH(s) vezi figura (2.20). Fig. 2.20Eroarea de regim staionar se calculeaz n acest caz cu relaia : H(s)] - (s) sU(s)[H = Y(s)] - (s)Ys[ = (s)] [s =i s i s s st 0 0 0lim lim lim cc(2.96)iar coeficienii de eroare sunt definii astfel : a aa aa aunitar parabol intrarea pentruH(s)] - (s)H[s11=Kunitar ramp intrare pentruH(s)] - (s)H[s11=Kunitar treapt intrare pentruH(s)] - (s)H[1=Ki2sai svi sp000limlimlim'''(2.97) inndseamaderelaiaanterioar idedefinireacoeficienilordeeroareK p,K v iK aeroarea staionar pentru un sistem cu reacie neunitar se calculeaz cu formulele : TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT50a aaaunitar parabol intrare pentru -K1=unitar rampa intrare pentru -K1=unitar treapta intrare pentru -K1=,ast,vst,pstcccPentruastabiliorelaientrecoeficieniideeroarengeneral,K p,K v, iKaicoeficieniideeroarepentrusistemulcureacieunitar,considermcsistemuldorit(ideal) arefunciadetransferegalcuunitateaHi(s)=1,iarsistemulrealarereaciaunitarH0(s)=H(s)/ 1+H(s). innd seama de definiia coeficienilor de eroare, se obine :K= H(s)s1=H(s) + 11s11=KK= sH(s) =H(s) + 11s11=KK+ 1 = H(s) + 1 =]H(s) + 11[1=Ka2s2s,av ss,vp ss,p000000limlimlimlimlimlimDESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR512.3. Analiza n domeniul timpului a sistemelor netede 2.3.1.Calculul rspunsului sistemelor netede Modelul matematic intrare-ieire este:u b u b u b y a y a ymmmmnnn + ++= + ++ 0) 1 (1) (0) 1 (1) (... ... (2.98)considerndoevoluieoarecare(cunoscut)asemnaluluideintrareu(t),afaceanaliza sistemului descris de ecuaia (2.98) presupune cunoaterea mrimii de ieire atunci cnd u(t)are evoluie cunoscut, adic determinarea soluiei y(t) a ecuaiei (2.98) Aceast soluie are dou componente:) ( ) ( ) ( t y t y t yf l+ = (2.99) yl(t) este rspunsul liber (soluia ecuaiei omogene), rspuns dependent numai de proprietileinterne ale sistemului; forma general a lui yl(t) este:_== =nit pi lt h e c t yi1) ( ) ( (2.100)unde pi sunt soluiile ecuaiei asociate omogenei:0 ...011= + + +a p a pnnn(2.101)Soluia de regim forat, dependentatt de proprietile interne ale sistemului ct i de funciadeintrare(coeficienii b0, b1,,bn)poateficalculatutilizndmetodavariaieiconstantelor sau aplicnd produsul de convoluie.Prim metoda variaiei constantelor: t pi fie t t y= ) ( ) ( q (2.102)unde qi(t) sunt funcii ce trebuie determinate din condiia ca yf s satisfac ecuaia (2.98). Aplicnd produsul de convoluie real pe un interval finit 0+, :) ) = =t tfu t h t u h t y0 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( o o o o o o d d (2.103)Soluia general va fi deci: )_ + ==tnit piu t h e c t yi01) ( ) ( ) ( o o o d (2.104)Pentru ca soluia s fie unic determinat este necesar ca s determinm constantele cidin n condiii iniiale; aceste condiii vor fi:_=++ =nif l iy y c y1) 0 ( ) 0 ( ) 0 (_=+' + ' = 'nif l iy y c y1) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( (2.105) _= ++ =ninfnl iny y c y1) 1 ( ) 1 ( ) () 0 ( ) 0 ( ) 0 (Considerm o evoluie oarecare (cunoscut) a lui u(t) (figura 2.21.a); cunoatem toatevalorile u(t)attpentrut0.Dacu(t)estecauzal,u(t)=0pentrut 0, h(t) va trebui s satisfac ecuaia (2.98); aplicndderivarea n sens distribuie obinem:) ( ... )] ( [ )] ( [ ) ( ... )] ( [ )] ( [011 011t b t D b t D b t h a t h D a t h Dmmmmnnno o o + + + = + + +Aplicnd transformata Laplace rezult pentru t > 0: 011 0111... ) ( ) ... ( b s b s b s H a s a s ammmmnnnn+ + + = + + +relaie care innd cont de modul n care a fost definit H(s) devin indentitate. 3. Pentru t > 0 funcia pondere reprezint soluia ecuaiei omogene:0 ) ( ... ) ( ) (0) 1 (1) (= + + +t h a t h a t hnnnTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT56aceast proprietate rezult din faptul c pentru t > 0, o(t) = 0, h(t) obinut astfel este o funciecontinu i infinit derivabil, funcie ce apare ca o combinaie de exponeniale.4. n cazul m s n1, h(t) nu conine distribuia Dirac i derivatele salese pot calcula condiiile iniiale convenionale pentru t = 0+, aplicnd teorema valori finale a transformatei Laplace:1011012 1......lim ) ( lim ) 0 ( +=+ + ++ + += =nnnnnnnns sba s a sb s b s bs sH h ,=(((

+ + ++ + += = ' + + 1011012 1......lim )] 0 ( ) ( [ lim ) 0 (nnnnnnnns sba s a sb s b s bs h s sH s h1 211 1 21 = =n nnn n na bba b b1 2 1 01 2 31 21) (...... ... ....... ....... ......0 ...0 ... 11 ... 0 1) 0 ( +=nn n nn nnna a a ba a ba bbh5. Pentru t > 0, h(t) va avea loc forma:__= ==qinkt p k nikii ie t c t h1 1) ( (2.125)s-a considerat H(s) sub forma:[[===qinijiip sz sk s H11) () () (constantele cik se calculeaz cu relaiile prezentate anterior ca reziduri ale funciei n poli. Dinrelaia(2.124)seobservcrspunsulunuisistemlaointrareoarecarelaun moment dat, depinde att de valoarea intrrii la momentul respectiv ct i de evoluia acestuiapnlaunmomentconsiderat.Istoriaevoluieiintrriivainfluenarspunsulcuopondere dat de funcia pondere. Se poate considera aceea funcie pondere ca o memorie a sistemuluimonovariabil, memorie care se manifest numai n prezena mrimii de intrare. Rspunsul la impuls se poate obine experimental (n mod aproximativ) aplicnd sistemului la un semnal de oamplitudinectmaimare(darcarespoatfisuportatdesistem) ideoduratctmaimic, dar care s aib o energie suficient astfel ca s reacioneze printr-un rspuns la ieire.2.3.5. Rspunsul indicialConsiderm o intrare unitar o(t) aplicat unui sistem aflat n repaos.innd cont c:ss1) ( = oVom obine imaginea ieirii sub forma: DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR57ss Hs U S H s Y) () ( ) ( ) ( = = (2.126)Definiie:Senumeterspunsindicial(funcieindicial) isenoteazcuw(t)rspunsulunui sistem la o intrare impuls unitar n condiii iniiale nule. Din relaia (2.126) rezult:) )= == =t t-h t h t h s s H t w0 01) ( ) ( ) ( ) )( ( )] ( ) ( [ L ) ( t t t t o t o o d d (2.127)iss Hs w) () ( = (2.128)Proprietile rspunsului indicial sunt similare funciei pondere i anume:1. Rspunsul indicial este nul pentru t0 atunci cnd semnalul deintrare este o(t). Aplicnd derivata n sens distribuie n relaia (1), obinem:) ( ... )] ( [ )] ( ... ) ( [ ) ( [0 01t b t D b t a t w D a t w Dmmnnno o + + = + + +i aplicnd transformata Laplace obinem:sb s b s b s w a s a smmmmnnn1) ... ( ) ( ) ... (011 011+ + + = + + +relaie care devine identitate atunci cnd inem cont de relaiile (2.128) i de modul de definire a funciei transfer.3. Rspunsul indicial pentru t>0 se obine ca soluie a ecuaiei neomogene:0 011... ) ( ) ( b a t w a t wnnn= + + +(2.128)acest lucru rezultnd din definiia lui o(t).4. Legtura dintre rspunsul la o intrare oarecare i rspunsul indicial Derivnd obine:) ( ) ( t wtt hdd= (2.129)inndcontdeproprietiletransformateiLaplaceialedistribuiilordin(2.129) obinem:)]] ( [ [ L ) ( ) ( s w D s sw s H = =i ) )( ( ) )( ( ) ( t D w t Dw t h o o==Rspunsul la o intrare oarecare se va putea scrie ca: ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( t u w t u Dw t u h t y === o di:) = =tu t wtt u w D t y0) ( ) ( )] )( [( ) ( t ot t ddd(2.130)innd cont de formula de derivare a relaiei:)=) () () , ( ) (t bt at f t t t dca fiind: tt at ftt bt f t fttt bt ad) ( d) , (d) ( d) , ( d ) , (dd) () () (t t t t + = ')obinem din (34) TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT58) ' + =+tu t w t u w t y0) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( t t t d (2.131)5. Pentrumsnrspunsulindicialnuconinefunciapondereiderivateleacesteia;condiiile iniiale convenionale pot fi calculate cu relaiile:1 2 1 0 01 2 1 11 2 21 1) (...1 ...0 0 .... . . . . .0 0 ... 10 0 ... 0 1) 1 ( ) 0 ( + =n nnn nnn na a a a ba a a ba a ba bbw (2.132)Cu aceste valori iniiale se pot determina constantele Ci din soluia general a ecuaieii funcia treapt:__= =

+ =((

=riigjtijigije t k tabss Ht w1 100 1) () (L ) (o (2.133) unde:((

|.|

\|===ss Hsj gkigijigjigiij) () (dsd)! (1(2.134) Componenta permanent a rspunsului indicial este: ) 0 ( ) (00Habt wp= = (2.134)Rspunsulindicialsepoateobinecuobunaproximareaplicndunsemnalimpulsdreptunghiular cu o durat suficient de mare ca s se ajunglaregimulstaionar i o vitezfoarte mare a frontului. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR592.4. Analiza n frecven a sistemelor netede 2.4.1. Transformata Fourier Amintim c dat fiind o funcie periodic f (t) cu un numr finit de discontinuiti despea I, i un numr finit de maxime i minime, atunci aceast funcie poate fi descompus n serie Fourier conform relaiei:_ _==+ =0000cos sin ) (kkkkt k b t k a t f e e(2.136) _ _==+ + =1000 0cos sin ) (kkkkt k b t k a b t f e eunde:)=22) (10TTdt t fTb)=220sin ) (1TTtdt k t fTake)=220cos ) (1TTtdt k t fTbkee0i Tfiindpulsaiarespectivperioadasemnaluluiiniialiarb0fiindvaloareamediea acestuia.innd cont de formulele lui Euler: je ej j2sino oo= ;2coso ooj je e+=seria Fourier din relaia (2.136) se transform n seria complex:_ ==kt jkke c t f0) (eunde:)=220) (1TTt jkke t fTceinnd cont c sinke0t i coske0t au aceeai pulsaie, relaia (2.136) se poate scrie sub forma:_=+ + =10 0) sin( ) (kk kt k A b t f eunde:2 2k k kb a A + =iTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT60kkkabarctan = IndiferentdeformancareestescrisseriaFourier,eatindelaf (t)pentruoricetpentrucaref(t)estecontinu, itindelavaloareamedieasaltului f(t)pentruvalorileluitpentru care f (t) este discontinu.Considermacumofunciecontinuneperiodic f(t) iofuncieobinutprin repetarea lui f (t) ntre2T i2T pe care o notm f (t).~f (t)3T23T2T2 T2 f (t)T2 T2Unde funciaeste periodic cu un numr finit de discontinuiti de spea 1, deci poate fi descompus ntr-o serie Fourier astfel:) (~t fFig. 2.22(2.139) _ ==kt jkkoe c t fe) (~undeTte2o=este pulsaia lui) (~t f , sau notnd cu Ae distana dintre dou frecvene vecinedin spectru, n cazul nostru fiind Ae =eo, rezult expresia: _ = =A =kkt jk kect f eee00) (~(2.140) unde:dt e t fTcTTt jkk)=220) (~ 1esaudt e t f TcTTt jkk)=220) (~e(2.141) Notm cukTc j F = ) ( e (2.142) i rezult:tee 2) ( j F ck=A(2.143) DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR61nlocuind relaia (2.143) n relaia (2.140), obinem:e eteA =_ = =kkt jke j F t f0) (21) (~(2.144) Dac facem c T atunci) ( ) (~t f t f iar distana dintre dou pulsaii vecineAe 0, spectrul de frecven devine continuu, relaiile (2.142) i (2.144) devin n acest caz: dt e t f j Ft j) =ee ) ( ) ( (2.145) e eted e j F t ft j) = ) (21) ((2.146) unde am notat: ke0 = e.Relaia(2.145)definetetransformataFourierauneifunciicontinui,iarrelaia(2.146) definete transformata Fourier invers sau integrala Fourier.Dup cum se poate observa transformata Fourier a unei funcii se definete n mod identic cutransformata Laplace unde s = je. Din aceast cauz proprietile transformatei Laplace se vorpstra i n cazul transformatei Fourier.2.4.2 Teorema eantionrii (Shanon)Fie o funcie f (t) continu, cu un numr finit de maxime i minime, i un numr finitde discontinuiti de spea 1(deci care admite transformata Fourier). Considerm c f (t) este o funcie de band limitat, adic spectrul de frecven al acesteia este limitat la o frecven de pulsaie ec,adic F[f(t)]=F(je)=0pentruoricaree > ec.Eantionmacestsemnalcuofrecven a crei perioad este T. Semnalul eantionat rezultat va fi: (2.147) _= =0*) ( ) ( ) (kkT t kT f t f oAplicnd transformata Fourier n relaia (2.147), obinem:_=T jke kT f j Fee ) ( ) (*(2.148) S-a inut cont c:T jkj skTsj se e kT t L kT t Feeeo o=== = = )] ( [ )] ( [.Funcia F(je) pentru ee -, repet aspectul lui F*(je) n intervalulT Tn n e e e|.|

\|+ s s|.|

\|2121, cu:TTte2= Pentru a arta acest lucru vom considera F*(je0) i F [j(eo + neT)] astfel: _ _==+ = = +0 0) (0*0 0) ( ) ( )] ( [kkTkn jkTTe e kT f e kT f n j FTe e ee eS-a inut cont c: 122= = = t etjknjknTjkTne e eT T. Deci , ceea ce era de demonstrat. ) ( ) ( )] ( [*00*0e e eej F e kT f n j FkjkTT= = +_=TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT62Dac f(t) este banda limitat, spectrul ei de frecven arat de exemplu ca n fig. 2.23. eF*(e) F(e)e -3eT/2-ec -3eT/2+ec- 3eT/23eT/23eT/2-ec3eT/2+ec-eT/2eT/2ec-ec-ececFig. 2.23 Fig. 2.24Dac frecvena de eantionare este mai mare dect dublul frecvenei de tiere:eT> 2ec, atunci spectrul de frecven a lui f*(t) va arta ca n figura 2.24, astfel spus, spectrul defrecvenalsemnaluluieantionatestecompletcaracterizatdespectrulsemnaluluicontinuuiseobineprinrepetareaacestuia.Dac eT>2ecatuncispectrulsemnaluluieantionat obinut prin adunarea spectrelor n intervalul -ec,ec va arta ca n figura 2.25. Seobservapariiasuprapunerilornjurulpulsaiei eT/2ceeacefacecaspectrulsemnalului eantionat s nu mai fie identic cu spectrul semnalului continuu. -eT/2eT/2eec-ecF*(e)Fig. 2.25Teorema Shanon: Dac un semnal f (t) este de band limitat (adic nu conine frecvene maimari deec),atunci acestaestecompletcaracterizat de eantioanele lui luate cu frecvena eTdacestendeplinitcondiia: eT>2e.Dacnuestendeplinitaceastcondiie,prin eantionare se va pierde din informaia semnalului f(t).n practic se ia frecvena de eantionare de 10100 de ori mai mare dect frecvena ec.2.4.3. Rspunsul unui sistem liniar la o intrare sinusoidalReprezentarea n frecvena a unui sistem se obine prin aplicarea la intrarea sistemuluiaunuisemnalsinusoidaldefrecven f=e/2t,carencazulsistemelorliniaredeterminla ieireaacestoraunrspunssinusoidalcuamplitudineaifazadiferitedesemnaluldelaintrare.Vom considera un semnal u(t) = Asinet aplicat la intrarea unui element de ordin1. 2 2) (ee+=sAs U (2.149) rezult c ieirea sistemului este dat de: DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR632 211) ( ) ( ) (ee+

+==sATss U s H s Y (2.150) Prin dezvoltarea n fracii simple se obine:e e eej sCj sCsCsAss YT TT++++=+

+=3 2112 211) ( (2.151)Pentru t primul termen a crui transformare invers este e-t/T tinde la 0, deci mrimea de ieire va fi determinat n regim staionar de ultimii 2 termeni. Dup evaluarea coeficienilorvom obine:) 1 ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( 2) (+ ++=e e e e Tj j s jAj s Tj jAs Y (2.152)Aplicnd transformata invers avem:((

+= = je e e eTjA s Y t yt j j t j jst st2 11)] ( [ ) (1e e eL (2.153)Din formula lui Euler, tje et j t joo osin2=, rezult) sin(11) ( ee++= tTjA t yst(2.154) unde: = -arctget.nmodsimilarpentruunsistemdeordinulnacreifunciedetransferesteH(s)seobinerspunsul staionar al sistemului la intrarea sinusoidal sub forma:((

=((

+ +

= je e e es H Aj s jj H Aj s jj H Ayt j j t j jst2| ) ( |) ( 2) () ( 2) (1e e eeeeLrezult) sin( ) ( ) ( e e + = t j H A s H (2.155) unde = arg[H(je)]Deci un sistem liniar stabil are la ieire un rspuns sinusoidal cnd la intrare se aplicun semnal sinusoidal, acest rspuns fiind caracterizat prin vectorul H(je), al crui modul este|H(je)| i al crui argument este (e) = argH(je).DacnotmB=A|H(s)|atunciraportuldintreceledouamplitudinialesemnaluluidela ieire i de la intrare este chiar modulul funciei de transfer a sistemului pentru s=je.Astfel pentru aprecierea rspunsului n frecven al unui sistem definit prin funcia de transferH(s) se nlocuiete s = je n expresia funciei de transfer i pentru diverse valori ale pulsaieie se determin modulul i argumentul funciei H(je).Pentru analiza i sinteza sistemelor automate n domeniul frecvenelor sunt utilizate mai multecaracteristici de frecven i anume:- caracteristica amplitudine faz sau locul de transfer- caracteristica amplitudine pulsaie- caracteristica faz pulsaie- caracteristica real de frecven- caracteristica imaginar de frecvenTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT642.4.4. Caracteristica amplitudinii i a fazeiEsteceamaiimportantpentruunsistemautomat.Aceastcaracteristicsetraseazpentru sistemul deschis: ) ( ) () ( ) ( ) (e e e e ej je A e j H j H = = (2.156))] ( Im[ )] ( Re[ )] ( sin ) ( )[cos ( ) ( e e e e e e j H j j H j A j H + = + = (2.157)Locul de transfer sau caracteristica amplitudine faz reprezint hodograful vectorului H(je) n planul complex pentru valori ale lui e cuprinse ntre - i +) conform graficului fig 2.26. Pentruexemplificarevomconsideraunsistemnchiscureacieneunitaracreifunciede transfer a cii deschise este11) (+=Tss H .ImReAnA1A2A33n21Fig. 2.26nlocuind s = je i exprimnd H(je) n form polar:11) ( ) arctan( arg(1111) (2 2 2 2+= +=+=eeeeeTs H tTjTj H (2.158)i ) arctan( ) ( e e T =Pentru e = 0, e = 1, e = i T = 1) 0 ( 1 ) 0 ($ = j H punctul a din figura 2.27 ) 45 (21) 1 ($= j H punctul b din figura 2.27 ) 90 ( 0 ) ($ = j H punctul c din figura 2.27 Pentruunsistemcu(anticipaiedeordin1)avem: Ts s H + =1 ) ( T j j H e e + =1 ) ( (figura2.28) i:2 21 ) ( T j H e e + =T e e arctan ) ( =PentruunsistemcuH(s)=1+Ts(anticipaiedeordin1)avem: H(je)=1+jeT(vezifig 2.28) i:DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR65cbcReIm1 ReImFig. 2.27 Fig. 2.282 21 ) ( T j H e e + =T e e arctan ) ( =Pentru un sistem de ordin 2 e e e eeen nnjj H2) (2 22+ + =sau22222 224 122 4 11) (||.|

\|+(((

||.|

\| (((

||.|

\|+||.|

\|||.|

\|=n nnn nnj j Heeeeeeeeeeeeecu modulul:2224 11(||.|

\|+(((

||.|

\|=n nj Heeeeeiar argumentul:212arctan ) (||.|

\| =nneeeee n cazul general a unui sistem definit prin funcia de transfer deschis: ) () () (21s Ps PsKs H=o(2.159) se determin mai nti locul de transfer la frecvene care tind spre 0 i spre nlocuind s = je obinem:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT661 ) ( ... ) ( ) (1 ) ( ... ) ( ) () () () (11111121+ ' + + ' + '+ ' + + ' + ' ==e e ee e ee eeeeo oj a j a j aj b j b j bjKj Pj PjKj Hnnnnmmmm(2.160) Pentru a calcula asimptotele locului de transfer vom calcula limitele expresiei (2.160) pentru e .) () () (lim ) ( lim210 0eeeeoe ej Pj PjKj H= i) () () (lim ) ( lim21eeeeue ej Qj QjKj H= unde u = o + n m; Q1(je) i Q2(je) sunt polinoamele obinute prin mprirea cu b'm(je) ia'n(je) a polinoamelor P1(je) i P2(je), iarnmabK K'' = '2.4.5. Caracteristici de frecven n reprezentare logaritmicAcestecaracteristici sunt icaracteristiciBodeisuntcaracteristiciamplitudine-pulsaie i faz-pulsaie care au pe abscis logaritmul pulsaiei.Reprezentarea logaritmic simplific reprezentarea acestor caracteristici pe de o parte datoritfaptului c logaritmul transform produsul n sum (aa cum vom arta mai departe), iar pe de alt parte pentru c folosind o scal logaritmic se pot reprezenta uor domenii de variaie maimari pentru e (ceea ce este necesar de multe ori).Amplitudine unei funcii de transfer se reprezint n decibeli astfel:A(e) = 20 lg |H(je)| [dB] (2.161) Caracteristicaamplitudine-pulsaiereprezintdecidependenaamplitudinimsuratn decibeli de logaritmul pulsaiei.Caracteristica faz-pulsaie, reprezint dependena dintre faza i logaritmul pulsaiei.Pornind de la relaia general ce definete funcia de transfer a unui sistem deschis, admindc are numai poli i zerouri, simpli i reali, expresia acesteia n domeniul frecvenei(pulsaiei)este:) )...( )( ( ) () )...( )( () (2 12 1nmdp j p j p j jz j z j z j Kj H+ + ++ + +=e e e ee e eeo(2.162)sau punnd n eviden constantele de timp sub forma:kkiiPTZT1;1= = , relaia 2.162 devine: [[[[++=nkminkmidT j jT jpzKj H1111) 1 ( ) () 1 () (e eeeosau) (11) () 1 ( ) () 1 () (e oee eeejnkmi bde AT j jT j Kj H=++=[[(2.163)DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR67unde[[=nkmibpzK11Prin logaritmare obinem:e e e e e lg 20 1 lg 20 1 lg 20 lg 20 ) ( lg 20 ) (1 1 + + + = =_ _= =nikmii b dT j T j K j H A (2.164) i_ _= = + + =nikmiiT j T j1 12) 1 arg( ) 1 arg( ) (to e e e (2.165)Deciprinlogaritmare,produsultermenilorliniaridelanumrtor idelanumitorsetransform n sum. Argumentul reprezint i el o sum ntruct fiecare termen se poate scrie sub forma:1 + jeTi = Ai(e)ejiinndcontderelaiile(2.164)i(2.165)caracteristicileA(e) i (e)sepotobineprinnsumarea caracteristicilor de frecven a unor elemente simple, tip. 2.4.5.1 Reprezentarea prin caracteristici a funciei de transfer a unor elemente tip.a) Termen proporional de forma: H(je) = k- are amplitudinea A(e) = 20lg|H(je)| = 20lgk- i argumentul (sau faza): < >= =0 pentru ,0 pentru , 00arctan ) ( argKKkj HteCaracteristicile sunt reprezentate n figura 2.29 A[dB] [rad]20lgklget0Fig. 2.29b) Termenul liber la numrtor: H(je) = jeT.- amplitudinea:T T j H A e e e e lg 20 lg 20 ) ( lg 20 ) (2 2= = =care este o dreapt care trece prin punctul ( ) 0 ,1T= e i a crei pant o calculm astfel:Considerm intervalul de dublare a pulsaiei (care se numete octav); e1=e; e2 = 2e;Ae = e2 e1 i rezult panta:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT6820lge2T 20lge1T = 20lg2e1T 20lge1T = 20lg2 = 6dB/octavsau considerm intervalul n care crete de 10 ori (care se numete decad) i avem:20lge2T 20lge1T = 20lg10e1T 20lge1T = 20lg2 = 20dB/decad- argumentul:2 0arctan )] ( arg[t ee =|.|

\|=Tj Hcaracteristicile sunt prezentate n figura (2.30) A[dB] [rad]0lgeT1=et20 lgeFig. 2.30c) Termen liber la numitorTjT jj He ee = =1) (- amplitudinea: TTA eee lg 201lg 20 ) ( = =deci tot o dreapt care trece prin ( ) 0 ,1T= e ,Panta dreptei:-20lg2 = -6dB/octav-20lg10 = -20dB/decad0 lgeT1=e1t0 lge[rad]A[dB]Fig. 2.31- argumentul:2 0arctant e =|.|

\| =Tcaracteristicile sunt reprezentate n figura 2.31 DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR69d) Termen liniar la numrtor: H(je) = 1 + jTe.- amplitudinea:2 21 lg 20 | ) ( | lg 20 ) ( e e e T H A + =- argumentul: (e) = arctanTeCaracteristica A(e) se traseaz aproximativ prin asimptote, considernd 2 cazuri: 1. Partea imaginar neglijabil, Te 1 sau T1>> ePentru cazul 1 caracteristica unui termen proporional cu k =1 deci A = lg1 = 0 Pentrucazul2caracteristicaesteA=20lgTecareesteodreaptcetreceprinpunctul |.|

\|= 0 ,1Te i are panta 20lg2/octav, cele 2 drepte sunt reprezentate n figura2.32, a.SepoatedefinieroareacdBcafiinddiferenadintrevaloareaaproximativ(aproximatconform celor 2 drepte) i valoarea exact a amplitudini.) ( ) (~dBe e c A A =pentru e e|.|

\|T1, 02 2 2 2dB 11 lg 20 1 lg 20 1 lg 20 e e c T T + = + =pentru e e|.|

\| ,1T2 2dB 21 lg 20 lg 20 e e c T T + =valoarea maxim a lui cdB se obine pentru e =T1i este:dB 3 2 lg 20 1max 21max 1 ~ = == =t te ec cTrasnd punct cu punct valorile lui cdB se obine caracteristica exact (caracteristica punctatdin figura 2.32, a). lge0e=1T4t2t A[dB]0 e=1Tcmaxlgea) b)Fig. 2.32TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT70Pentrutrasareacaracteristici(e)secalculeazmainti:=>T1 ) (ee arg[H(je) = jeT] = 2t.Caracteristica trece prin punctul particular |.|

\|4,1 tTe) Termen liniar la numitor:T jj Hee+=11) (- faza: -arctan eT- amplitudinea:2 21 lg 2011lg 20 ) ( TT jA eee + =+=Pentru trasarea caracteristici se procedeaz m mod similar cu punctul ca la punctul d. Deci pentru T1> ese considerA(je) = 20lgeT.Pentru cazul T1> e avemodreaptcaretreceprinpunctul|.|

\|0 ,1Tialcreipanteste6dB/octav sau 10dB/decad.Deci caracteristica este cea prezentat n figura 2.33, a. Se definete la fel ca la punctul d) coeficientul de eroare cdB a crei valoare maxim se obine de asemenea pentru T1= e i cdBmax = 20lg2 ~ 3dB.0eT=1a)cmaxlgeA[dB]__lgeb)eT=1t02t4Fig. 2.33DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR71Caracteristicadefrecventreceprinpunctul |.|

\|4,1 tTiarasimptoteleeisunt(0,0) i|.|

\| 2,ti este reprezentat n figura 2.33.b. f) Termen quadric la numrtor H(je) = e2T2 + 2jeT + 1 ( )2 2 222 24 1 lg 20 ) ( T T A e e e + =Se traseaz o caracteristic aproximativ pe intervalul e e|.|

\|T1, 0 i una pentrue e|.|

\| ,1T.nintervalul e e|.|

\|T1, 0 sepoateconsiderae2T21idecisepoateneglija unitatea i cum 2 1 rezult p1,2 rdcini reale i innd cont de relaiile lui Viete rezult p1= T1 ip2= T2. Ecuaia va avea forma (I), iar elementul se va numi element PT2 aperiodic. b) = 1 rezult p1 = p2 = - en;c) 0 < < 1 rezult p1,2 rdcini compelexe. Ecuaia va avea forma (II), iar elementul se va numi PT2 oscilant. - Pentru elementul PT2 aperiodic rspunsul la impuls va fi soluia ecuaiei:( ) ) (1 1222 1t k ydtdyT Tdty dT Tpo = + + +pentru t > 0 devine ( ) 01 1222 1= + + + ydtdyT Tdty dT TSoluiile ecuaiei ataate 0 1 ) (2 122 1= + + + p T T p T Tvor fi 11T i21Tiar soluia general21112 1) ( ) (T Te C e C t h t y + = =Condiiile iniiale se obin aplicnd teorema valori iniiale,0 ) ( lim ) 0 ( = = +s sH hsdeci:2 12 122 11 ) (lim )] 0 ( ) ( [ lim ) 0 (T Tks T T s T Tks s h s sH s hp ps s=(((

+ + += = ' + +rezult2 12 2 1 1 2 1, 0T TkT C T C C Cp= = + , deci, ) (,) (2 122 11T TkCT TkCp p== i|||.|

\|= 2 12 1) (TtTtpe eT Tkt hFuncia are un maximum pentru 212 12 11lnTTT TT Tt= i un punct de inflexiune pentru t2 = 2t1.TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 86Rspunsul indicial w(t)se obine pentru intrarea u(t) = o(t), deci ss U1) ( = .)((

||.|

\| = = tt t02 12 1211111 ) ( ) (T Te T e TT Tk d h t wpPe baza rspunsului experimental la intraretreapt unitar se pot aproxima cele douconstante de timp pe baza relaiilor12702 1tT T = +7030 70 302 145 , 06 , 0 tt t tT T += unde t30estetimpulpentrucare stw t w10030) (30= iart70estetimpulpentrucare stw t w10070) (70= .- Pentru elementul PT2, aperiodic critic: 222 22) ( 2) (nn pn nn psks sks Heee ee+=+ +=Funcia pondere: tn pn p- -nte ksks H t heeee=+= =2221 1) ()] ( [ ) ( L L20 0)] 0 ( ) ( [ lim ) 0 ( ; 0 ) ( lim ) 0 (n ps sk h s sH s h s sH h e = = ' = =+++sau notnd Tn1= e , rezult2 2) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; ) (Tkh h teTkt hp pTt= ' = =+ +Rspunsul indicial: (((

++++ =(((

+= =21 1 0 1 2221 1) (1) ()] ( ) ( [ ) (nnn pnn p- -sCsCsCkssks u s H t weeeeeL L Lrezult,n sn s nsnn nsCsCsCee e ee e1 1;1 1;1) (122 212020 = = = = =+= = ==.Deci, | |tn pne k t wee+ = ) 1 ( 1 ) (((

|.|

\|+ =TteTtk t wp1 1 ) (DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 8701) (lim ) ( lim ) 0 (22= += = +ssks s sw wnn ps see01) (lim )] 0 ( ) ( [ lim ) 0 (22=(((

+= = ' + +ssks s w s sw s wnn ps seeS-a notat Tn1= e , vom avea: w() = kp.n figura (2.48,a) este prezentataspectul rspunsuluilaimpuls unitar alunuielement PT2 iar in figura (2.48,b) este prezentat rspunsul indicial aperiodic critic, punctat; n figur a fostreprezentatrspunsulindicialpentrusistemePT2aperiodice,observndcrspunsul aperiodic critic este mai rapid. Pentru elemente PT2 oscilant: Funcia pondere se calculeaz cu: |.|

\|=(((

+ += t eks skt hnt n pn nn pn222 2211 sin12) ( eee eeeLRezultatuldemaisuss-aobinutnotndcu( )2121 ; e e e o = =n d n diarcu d dj p e o =2,rdcinileecuaieicaracteristice.Prindescompunerenfactorisimplise obine: ((

+ ++ +=d d d d-n pj sCj sCk t he o e oe2 1 1 2) ( Ldj sd dj j sCd de e oe o21 11=+ +=+ =;d dj sd dj sCe oe o = +=12=||.|

\|+ + +=d d d d dn pj s j s jkt he o e o ee1 12) (12L| |= =+ t j t jdn pd d d de ejk) ( ) (22e o e oeeh(t)t1t2tw(t)kpta) b)Fig 2.48TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 88|.|

\|= =tte kje eekntn pt j t jtdn pdd dd2221 sin12 eeeeee eoCondiiileiniialeconvenionalesecalculeazcuajutorulteoremeivaloriiiniialeiau expresiile: 0 ) ( lim ) 0 ( = = +s sH hs| |2) 0 ( ) ( lim ) 0 (n psk h s sH s h e = = '+ +nfigura(2.49,a)estereprezentataspectulgraficalfuncieipondereh(t)pentruun element oscilant de tip PT2.Perioadapropriederspunsaoscilatoriuacreisemnificaiiesteceadinfigur,se calculeaz cu relaia:212 et=nTRspunsulindicialw(t)calculatprinaplicareatransformateiLaplaceinverseimaginii semnalului corespunztor unei intrri de tip treapt se calculeaz cu: ||.|

\|+ =((

=| e2211 sin111) ( ) (tpnekss H t w Lunde:oe|21arctan arctan= =ddPunnd condiia w = 0 obinem expresia analitic a suprareglajului: 21 to= eicu|oo=21ln ,undeo1reprezintsuprareglajulmaximiaro2diferenadintrealdoilea maxim i valoarea de regim staionar a rspunsului indicial, rezult:h(t)w(t)0 0 t tTp = 021a)b)2 > 1 > 0Fig. 2.49DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 89212t|=LegturadintreepcorespunztoareperioadeipropriiTp i epestedatde 21 e e =n p.Punnd condiia ca extremele relative ale lui w(t) s se ncadreze n limitele (0,95 1,05)yst,obinem expresia analitic a timpului total tranzitoriu: ntte=21 05 , 0 lnse ia acoperitor ntte4= .Pentru = 0 se obine ) cos 1 (2sin 1 ) ( t k t k tn p n pete e + =||.|

\||.|

\|+ = .Pentru = 1 se obine expresia elementului critic amortizat prezentat anterior. Aspectulgraficalrspunsuluiindicialpentrudiferitevalorielefactoruluideamortizareeste prezentat n figura (2.49,b). Funcia de transfer are expresia: v veeee e e e eeejkjkjkj Hpnnpn nn p2 12 12) (222 2 22+ =+ =+ =undeneev = .Expresia modulului funciei de transfer va fi dat de: 2 2 2 24 ) 1 () ( | ) ( |v ve e+ = =pkM j HAspectul grafic al caracteristici M(e) pentru un element PT2 este prezentat n figura (2.50,d). PunndcondiiaM(e)=0obinem( )21202 1 v = adic,pulsaiaderezonan202 1 e e =n, iar valoarea de vrf 22 1 v=pkM .Valoarea iniial a modulului este: stspy t y k M = = = ) ( lim ) 0 (Raionaliznd n expresia funciei de transfer n frecven se obine: ( ) | |( )2 22224 12 1) (v vv ve+ =j kj Hprezult partea real a funciei de transfer n frecven:( )( )2 2222Re4 11) (v vve+ =pkHi partea imaginar:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 90( )2 222Im4 1) (v vve+ =pkHPunnd H'R(e) = 0 rezult v 2 11 = ;) 1 (14) (1 v=pRkH ; v 2 12+ = ;) 1 (14) (2 v+ =pRkH ;Caracteristicarealdefrecvenestereprezentatnfigura(2.50,a)iarcaracteristica imaginar de frecven este prezentat n figura (2.50,b). Expresia defazajului va fi: 212arctanvv|=Expresia defazajului se obine prin eliminarea variabilei entre expresiile HRe(e) i HIm(e),aspectul grafic al acestuia fiind prezentat n figura (2.50,c). Caracteristicile Bode sunt date de expresiile: - caracteristicile amplitudine-frecven:2 2 2 24 ) 1 ( lg 20 lg 20 ) ( v v e + =pk A- caracteristicile defazaj-frecven212arctan ) (vve | =M(e)M(0)Mve00 eHIm(e)0HRm(e)e= e=0c)d)e v1v2kp0HRm(e)HIm(e)ev30a)b)Fig. 2.50DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 91AspectulgraficalcaracteristicilorBodeesteprezentatnfigura2.51;caracteristicileaufost trasate prin asimptote, caracteristica exact fiind reprezentat cu linie ntrerupt:UnexempludeelementPT2aperiodicesteansamblulformatdindourecipiente reprezentat n figura (2.52,a). Pentruprimulrecipient,dincondiiadeechilibrudinamicrezult: dt Q Q dh Si) (1 1 1 = ,de unde reprezint densitatea lichidului. Pentru al doilea recipient:dt Q Q dh Se i) (2 2 = , notnd cu Rh1 i Rh2 rezistenele hidraulice ale robinetelor se obine: 11111h hRghRPQ= = ;221hRPQ = .de unde: 11111RhghQdtdhS ' = i||.|

\| =2211 22RhhRhhdtdhS rezult221 2 1 21hRhRhdtdhgRh Sh + = i nlocuind n prima ecuaie rezult succesiv eQ hRhRhdtdhRhgSRhgdtdhRhdth dgSRh S =||.|

\|+ +(((

+221 21212222221 11 20lgkplgkpA(e)a) lge(e)b)Fig. 2.51 h1 S1 QiV1a) Q1Rh1 h2 S2 QeV2 ui ueRCb)Rh2Fig. 2.52 LTEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 92( )iQdtdhRh S Rh gSdth dRh S Rh S ' = + +22 2 1 1222 2 1 1 1 22 22 12222 2 1 11 1QghdtdhgRhS SRhdth dRh S Rh Sg' = +||.|

\|+ +Notnd 222 1 1 1; ; TgRhS T Rh S kgTp= = = , obinem i pQ k h T Tdth dT T ' = + + +2 2 12222 1) (Un elementPT2 oscilant estecuadripolul din figura (2.52,b). Aplicndlegile lui Kirckoff se obine dtduC i udtdiL Ri uee i= + + = ,rezultee eiudtu dLCdtduRC u + + =22rezult: i ee euLCuLC dtduLRdtu d 1 122= + + .Notnd1 ;2;12= = =p nkLC rLC erezulti n p e ne eu k udtdudtu d2 2222 e e e = + = .2.5.1.4. Elementul integrator I:Modelul matematic are expresia: t t)=ttd uTt y0) (1) (sauS Ts Hi1) ( =Care se obine pornind de lau b y adtdyo= +0, unde a0 = 0 iiTb10=Funcia pondere este dat de:) (1 1) (1tT S Tt Ht io =((

=LRspunsul indicial este dat de expresia:) (1 1 1) (1t tT s S Tt wt io=((

=LAspectul grafic al funciei pondere i al rspunsului indicial sunt prezentate n figura (2.53,a), respectiv (2.53,b). h(t)w(t)10 0 t Ti1Tita)b)Fig. 2.53 DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 93Elementul integrator are proprietatea de a memora mrimea de ieire anterioar, atunci cnd intrarea devine zero. Funcia de transfer n frecven are expresia: iT jj Hee1) ( =Caracteristicile de frecven fiind date expresiile: 1Im Re1; 0 ;2) ( ;1) (TH HTMiete ee = = = =Hodograful este identic cu HIm,Caracteristica A(e) are expresia: A(e)= -20lgeTi.Aspectul grafic al caracteristicilor de frecven este prezentat n figura (2.54) Caexempluprezentmcuadripoluldinfigura(2.55).AplicndlegileluiKirchoffse obine succesiv: ie eudtdudtduRC = +Pentru valori succesive ale lui RC avem dtdudtduRCe e>> , rezultiudtdyRC = , cu iT RC = i)=ttd uTy0) (1t t2.5.1.5. Elementul derivativ (D):Modelul matematic al unui element derivativ are formele: s T s HdtduT t yd d= = ) ( , ) (Modelele s-au obinut pornind de la forma general a unui element de ordin 1 M(e)e0HIm(e)0e0 0 A(e) (e)lg(e)lg(e)iT1 =e2ta)b)c)d) Fig. 2.54 ui ueRCFig. 2.55 TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 94u bdtdub y a0 1 0+ =punnd condiiadTab=11i0 0a b 0(6.43) O proprietate similar posed i funcia de transfer a sistemului deschis : Np Nz > 0(6.44) Pentru realizabilitatea fizic a elementului de compensare, trebuie ca : NPC - NZC> 0(6.45) unde Npc i Nzc reprezint numrul de poli, respectiv de zerouri a funciei de transfer a acestuia Cum ns pentru funcia de transfer n circuit nchis este valabil relaia : NP - NZ = Np - Nz (6.46) iar pe de alt parte, exist relaia evident : Np -Nz = (NPI - NZI) + (Npc - Nzc)(6.47) din 6.43 i 6.47 rezult c : NP - NZ> NPI - NZI(6.48) care exprim faptul c excesul numrului de poli fa de cel al zerourilor sistemului nchis este maimaresaucelpuinegalcuexcesulpoli-zerouricorespunztorfuncieidetransfera elementelor obligate a face parte din sistem . Aceast proprietate este esenial pentru determinarea numrului minim de poli i zerouri ale sistemului nchis pentru un caz dat, atunci cnd se indic elementele obligate a face parte din sistem. SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 1876.3.1.2. Localizarea punctelor singulare funcie de performanele de regim staionarn ceea ce privete legtura dintre localizarea punctelor singulare ale sistemului nchis iperformanele n regim staionar, precizm urmtoarele : Dac H(s) are prin definiie forma : m) > n = + ( cu)s a+ _ + sa+ (1s)s b+ _ + sb+ k(1= H(s)1mm 1| o||o(6.49) avem funcia de transfer a comparatorului diferenial : ... +sk1+ sk1++k+ 11= ... +s c+ sc+c=s B+ ... + sB+Bs A+ ... + sA+A==)s b+ ... + sb+ k(1 + ) s a + ... + sa+ (1s)s a+ ... + sa+ (1s=H(s) + 11= (s)H2a vp22 1 0nn 1 0nn 1 0mm 1 11d||o||o(6.50) unde : H(s) =ksp0lim(6.51)reprezint coeficientul de eroare la poziie . sH(s) =ksv0lim(6.52)este coeficientul de eroare la vitez iH(s)s=k2sa0lim(6.53)este coeficientul de eroare la acceleraie ; Se definesc de asemenea pentru un sistem de tip N : =N = i pentruH(s)s1N i pentru 0=cNsi0lim(6.54)Deci conform relaiei (6.50) se obine : ... -sk1- sk1-k+ 1k= (s)H- 1 = (s)H2a v ppd 0(6.55) aadar : k+ 1k= (0)Hpp0(6.56)Cum H0 poate fi scris sub forma)P- (s)Z- (sk= (s)Hjnim0 0[[rezult : [ [[mi 0 jnim000p)Z(-k- )P(-)Z(-k=(0)H- 1(0)H=k(6.57) Din (6.55) avem : TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 188v =0s0k(s)]H[ s dd|1 = (6.58)n cazul sistemelor de tip I pentru care Kp = rezult : H0(0) = 1 (6.58.1)i=0s0s00v(s)]H[ s dd- =(s)H(s)]H[ s dd- =k1)`=ln0(6.59) sau : P1-Z1=P- s1-Z- s1- == )]P- (s - )Z- (s +k[ s dd- =k1jnimsjnimsjnim0v_ _ _ __ _==||.|

\|)`00ln ln ln(6.60) n cazul n care H0(0) = 1 atunci rezultatul trebuie nmulit i cu H0(0) i cu (6.57) obinem:||.|

\|||.|

\|_ _[[_ _P1-Z1)P(-)Z(-k=P1-Z1k+ 1k=k1jniminim0jnimppv(6.61) n ceea ce privete Ka din relaia (6.56) rezult : 0 =((

s022a(s)Hsdd=k2- (6.62)Pornind de la observaia c : 2) (ln(((((

(s)H(s)H s dd-sH(s)Hsdd= ] (s)H[sdd000022022(6.63)cu 6.58 i 6.62 obinem : (s)H k1+ ] (s)H[sddH=k2-02v0220aln (6.64) Derivata a doua a funciei H0(s) n s=0 se poate calcula cu relaia:Z1-P1=P- s1 s dd-Z- s1 s dd== )P- (ssdd- )Z- (ssdd= )P- (ssdd-- )Z- (ssdd+ksdd= ])P- (s)Z- (sk[sdd= (s)Hsdd2im2jnjnimin122im122in122im122022jnim022022_ _ _ __ _ [[[[ln ln lnln ln ln ln(6.65)Pentru sisteme de tip I (H0(0) = 1) se obine : Z1-P1+k1=k2-2im12jn12v a_ _(6.66)SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 189Iar pentru H0(0) = 1 se obine : ]Z1-P1+ )P1-Z1( [)P(-)Z(-k= )Z1-P1(k+ 1k+k1kk+ 1=k2-2im12jn12jn1 im1jnim02im12jn1 pp2v ppa_ _ _ _[[_ _(6.67)Pe baza relaiilor (6.60), (6.61), (6.66) i (6.67) se pot stabili configuraii ale zerourilor ipolilorfuncieidetransferasistemuluinchiscarecorespundunoranumitevaloriale constantelor kv i ka. Pentru exemplificare vom considera cazul particular kv =, deci 1/kv = 0. Pentru sistemele n care kp= (deci H(0) = 1) expresia lui kv este furnizat de ecuaia (6.60). Vom considera o configuraie poli zerouri ca n figura 6.18 care are doi poli compleci conjugaii un zero real. Fig. 6.18 Trebuie s l localizm pe Z1 astfel nct kv= . Din relaia (6.66) rezult:P1-Z1=K1j i v_ _sau:j - 1 -1-j + 1 -1-Z1= 01i n continuare: 1 - =2 -2=1 - j1 - j-1 - j1 + j=j - 1 -1+j - 1 -1=Z12 21Rezult Z1 = -1 Acelai rezultat se poate obine i plecnd de la observaia c acestei configuraii a polilor i corespunde ecuaia caracteristic:0,707 = ; 2 = : si 0 = 2 + 2s +s n2eDeci rdcinile ecuaiei caracteristice vor fi: e ee e2n n22n n1- 1 j - - = p- 1 j + - = pDin (6.60) rezult condiia:TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 190ee e e e n2n n2n ni2- =- 1 j - -1+- 1 j + -1=Z1_Relaia:en i2- =Z1_ se poate aplica direct rezultnd Z1 = -1 6.3.1.3. Legtura dintre performanele de regim dinamic i localizarea punctelor singularePentru determinarea configuraiei poli zerouri funcie de performanele de regim dinamicseutilizeazrelaiileprezentatelaparagraful6.2.1.cumeniuneacutilizareaconfiguraieiparticularecudoipoliprincipali(policompleciconjugaisituairelativaproapedeaxa imaginar), restul polilor fiind considerai poli secundari (situai departe de axa imaginar sau n vecintatea unor zerouri), este justificat din urmtoarele considerente: - majoritatea sistemelor automate se reduc cel puin ntr-o prim aproximaie la tipul de configuraie considerat; -datfiindoanumitconfiguraiepoli-zerouricarerealizeazanumiteperformanedinamice, se poate ntotdeauna gsi o configuraie de tipul celei considerate care s realizeze aceleaiperformane;nplus,aceastconfiguraiepermiteomultmaiuoarinterpretarea caracteristicilorrspunsuluidinamicfunciedelocalizareapolilo