elemente de teoria mecanismelor

Ion FLOREA

ELEMENTE DE TEORIA MECANISMELOR

Suport curs ID

Ploieşti

2012

67

Geometria si cinematica angrenajelor

Noţiuni preliminare

Definiţii, avantajele şi dezavantajele utilizării angrenajelor

Angrenajele sunt mecanisme care realizează, prin transmiterea forţată a

mişcării de rotaţie între doi sau mai multi arbori, un raport de transmitere

constant. De regulă, un angrenaj este format din două roţi dinţate care se

rotesc in jurul axelor lor şi care ocupă o poziţie relativă invariabilă.

Roata dinţată este un organ de maşină dinţat destinat a pune în mişcare

sau a fi pus în mişcare de cǎtre alt organ de maşină dinţat, prin intermediul

dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact. Procesul de antrenare a dinţilor,

aflaţi succesiv şi continuu în contact, se numeşte angrenare.

Intr-un angrenaj una din cele două roţi este conducătoare iar cealaltă

este condusă. Transmiterea energiei mecanice de la roata conducătoare la

roata condusă se face cu modificarea caracteristicilor mişcării (multiplicare sau

demultiplicare viteza unghiulară, schimbare de sens) precum şi cu modificarea

momentului de torsiune ( amplificare la reductoarele de turaţie şi reducere la

multiplicatoarele de turaţie). Modificarea mişcării de rotaţie şi a cuplului se

realizează în limitele puterii transmise. Astfel, puterea la roata dinţată condusă

este întotdeauna mai mică decăt cea de la roata conducătoare ca urmare a

pierderilor din cuplele cinematice. Raportul dintre puterea de la arborele de

ieşire şi cea de la arborele de intrare reprezintă randamentul transmisiei.

Utilizarea angrenajelor pe scară largă se datorează avantajelor pe care

acestea le au în raport cu celelalte transmisii mecanice:

-raport de angrenare constant: 6..1u = pentru angrenajele cilindrice şi

conice şi )300(80...15)10(u = la angrenajele melcate;

-randament mecanic mare: 99,0...97,0=η pentru angrenajele cilindrice

şi conice şi 80,0...70,0)60,0(=η pentru angrenaje melcate;

68

-gamă largă de puteri transmise: P=0,001…10 000 kW;

-gama largă de viteze periferice de lucru: s/m)100(10v ≤ ;

-pot transmite puterea între arbori cu direcţii diferite în plan şi în spaţiu;

-construcţie compactă; pot fi închise în carcase pentru a putea fi

protejate împotriva factorilor externi;

-siguranţă si durabilitate mare în exploatare;

-întreţinere relativ uşoară.

Angrenajele prezintă şi unele dezavantaje în raport cu celelalte transmisii

mecanice, şi anume:

-necesită maşini de prelucrat, scule, dispozitive şi verificatoare

complicate si de precizie ridicată;

-costul ridicat de fabricaţie;

-funcţionează cu zgomot şi vibraţii la turaţii ridicate;

-nu se poate realiza orice raport de transmitere deoarece numerele de

dinţi ale roţilor sunt numere întregi; ca urmare a acestui fapt, la proiectare se

admite si o eroare cinematica de %3± a raportului de angrenare.

Avantajele prezentate mai sus, condiţionate si de unele dezavantaje,

impun utilizarea angrenajelor în domenii diverse atât în scop cinematic (pentru

transmiterea şi modificarea mişcării de rotaţie) cât şi în scop dinamic ( pentru

transmiterea momentului de torsiune). Se întâlnesc în construcţii de sine

stătătoare (ansamble) precum reductoarele şi variatoarele de turaţie, în cutiile

de viteze ale unor maşini, în diferite aparate şi dispozitive pentru realizarea

unor lanţuri cinematice.

Clasificarea angrenajelor

Clasificarea angrenajelor se face în principal în funcţie de poziţia relativă

a axelor mişcării de rotaţie, dar şi în funcţie de forma suprafeţelor de

69

rostogolire, forma profilului dinţilor, rezultând astfel formele constructive de

bază.

Mecanismele alcătuite din două roţi dinţate se numesc angrenaje iar cele

cu mai multe angrenaje care concură la realizarea unui anumit raport de

transmitere se numesc sisteme de angrenaje sau trenuri de roţi dinţate.

In continuare se prezintă o clasificare a angrenajelor şi sistemelor de

angrenaje având la bază următoarele criterii:

a) pozitia relativă a axelor

eincrucisataxecu

concurenteaxecu

paraleleaxecu

b) mişcarea relativă a axelor roţilor dinţate:

-sisteme de angrenaje cu axe fixe

)cascada(paralelinasezateroticu

serieinasezateroticu

-sisteme de angrenaje cu axe mobile

lediferentia

planetare

c) poziţia relativă a roţilor dinţate

-angrenaj exterior (ambele roţi au dantură exterioară)

-angrenaj interior (pinionul are dantura exterioară iar roata are

dantura interioară);

d) forma roţilor dinţate: angrenaje cu roţi cilindrice, conice,

hiperboloidale, melcate, cu cremalieră, necirculare;

e) forma profilului dinţilor:

angrenaje cu profil

cercdearcin

)dahipocicloi,aepicicloid(cicloidal

evolventain

f) forma dinţilor: angrenaj cu dantură dreaptă, înclinată, compusă, curbă;

g) posibilitatea variaţiei în timp a raportului de transmitere:

70

-cu raport de transmitere constant (reductoare, multiplicatoare);

-cu raport de transmitere variabil în timp (cutii de viteze);

-cu raport de transmitere variabil ciclic ( angr. cu roţi eliptice).

In fig.1.2 este prezentată o clasificare generală a angrenajelor.

Varietatea mare de tipuri şi forme constructive precum şi domeniile

multiple de utilizare a angrenajelor lasă loc şi altor criterii mai puţin importante

de clasificare.

In fig.1.1 sunt prezentate unele tipuri de angrenaje.

Fig.1.1.a.Angrenaje cilindrice cu dinti drepti si inclinati

Fig.1.1.b.Angrenaje conice cu dinţi drepţi şi curbi

Fig.1.1.c. Angrenaj melcat

71

Indicaţii tehnologice

Roţile dinţate se execută prin diferite procedee tehnologice impuse de

destinaţia acestora, de condiţiile de funcţionare precum: turaţie, putere,

precizie, zgomot, etc. Semifabricatele utilizate pentru execuţie pot fi: forjate,

matriţate, laminate, turnate, etc. Maşinile unelte pe care se execută roţile

dinţate pot fi maşini unelte universale sau speciale de danturat.

Procedee de - turnare

prelucrare a - deformare plastica: ştanţare, presare

roţilor dinţate - prelucrare -copiere - cu freză deget modul

prin aşchiere -cu freză disc modul

-rulare -mortezare - cu cuţit roată

- cu cuţit pieptene

-frezare - freză melc modul

Procedeele de turnare şi ştanţare sunt utilizate pentru roţi de precizie

scăzută, utilizate la turaţii şi sarcini mici, în domenii mai puţin precise.

Prelucrarea roţilor prin copiere conferă acestora o precizie scăzută; se

utilizează în construcţiile unde nu se impune o precizie ridicată sau la realizarea

unicatelor. Se utilizează freza disc modul sau deget modul care realizează

danturarea dinte cu dinte, prelucrând golurile pe toată adâncimea acestora

(dinţii frezei au forma golului dintre dinţi).

Prelucrarea prin rulare asigură precizie ridicată, viteză mare de execuţie,

rugozitate mică. Danturarea prin mortezare se realizează utilizând cuţitul

pieptene pentru roti cilindrice cu dantură exterioară dreaptă sau cuţit

roată pentru roţi cilindrice cu dantură exterioară sau interioară, cu dinţi drepţi

sau înclinaţi. Atât mortezarea cât şi frezarea cu freză melc modul folosesc

procedeul prin rulare (rostogolire), procedee în care scula şi semifabricatul

execută mişcările unui proces de angrenare (la care se adaugă mişcarea

intermitentă de avans radial).

72

Precizia de execuţie a roţilor dinţate cilindrice şi angrenajului este

determinată de treapta de precizie în care se execută roţile dinţate, de

rugozitatea impusă flancurilor şi de jocul dintre flancuri. Treapta de precizie se

alege în funcţie de destinaţia angrenajului şi de viteza periferică de funcţionare.

Roţile dinţate se execută în 12 clase de precizie, treapta 1 fiind cea mai precisă.

Pentru construcţiile uzuale prezintă importanţă roţile executate în clasele de

precizie 5…9.

-criteriul de precizie cinematică ;

-criteriul de funcţionare lină ;

-criteriul contactului dintre dinţi.

73

inclinatiiintdcucilindrice

inclinatiiintdcu

dreptiiintdcuhipoide

speciale

globoidale

cilindrice

melcate

elicoidale

dalehiperboloi

eincrucisat

planaroatacu.angr

tipuridiferitedeateintdroticu

paloida

eloida

circulara

curbadanturacu

inclinatadanturacu

dreaptadanturacu

conice

concurente

cremalieracu.angr

conice

eliptice)necicliceateintdroti(speciale

inclinatadanturacu

dreaptadanturacuerioareint

compusadanturacu

inclinatadanturacu

dreaptadanturacu

exterioare

cilindrice

paralele

Angrenaje

Fig.1.2. Schemǎ de clasificare a angrenajelor

74

Pentru fiecare treaptă de precizie există următoarele criterii de precizie :

Criteriul preciziei cinematice se referă la transmiterea corectă a mişcării

de rotaţie, condiţie necesară funcţionarii angrenajelor cinematice, planetare,

etc.

Criteriul funcţionării line se impune angrenajelor ce lucrează la viteze

mari, unde vibraţiile şi zgomotul trebuie limitate ca valoare.

Criteriul contactului dintre flancuri (al petei de contact) se impune

angrenajelor ce lucrează la puteri ridicate.

Criteriile enumerate mai sus nu sunt obligatorii simultan pentru toate

angrenajele, aceasta depinzând şi de destinaţia acestora. Obligatorie rămâne

însǎ precizia de execuţie a roţilor dinţate.

Pe lânga cele trei criterii de precizie enumerate, angrenajele trebuie să

respecte şi criteriul jocului dintre flancuri. Acest criteriu este independent de

treapta de precizie adoptată şi impune asigurarea unui joc minim jn,min între

flancuri.

Elementele ce concură la realizarea jocului minim dintre flancuri sunt :

-şase tipuri de ajustaje ale roţilor dinţate în angrenare, notate cu A, B, C,

D, E, H în ordinea scăderii jocului minim ;

-opt tipuri de toleranţe ale jocului dintre flancuri Tjn, notate cu (x, y, z) a,

b, c, d, e, h ;

-şase trepte de precizie pentru abaterea distanţei dintre axe, notate cu I,

II, III, IV, V, VI, în ordinea scăderii preciziei.

1.1 Geometria şi cinematica angrenajelor cilindrice cu dinţi drepţi

Sunt destinate transmiterii puterii între doi arbori cu axele paralele.

Prezintă avantajul unui cost de executie redus şi al faptului cǎ nu introduc forţe

axiale în arbori, respectiv în lagăre. Dintre dezavantaje se pot enumera: grad de

acoperire scǎzut, funcţionare cu zgomot la turaţie ridicată, portanţǎ scuzută.

75

Precizia de execuţie precum şi viteza la care poate funcţiona angrenajul

sunt în strânsă corelaţie cu destinaţia acestuia. Pentru reductoarele de uz

general roţile se execută în treptele de precizie 6, 7, 8, 9 ce permit dezvoltarea

unei viteze periferice v<10m/s.

1.1.1 Noţiuni generale privind geometria şi cinematica roţilor dinţate

Roata dinţată - organ dinţat destinat a pune în mişcare un alt organ

dinţat sau a fi pus în mişcare de către acesta, prin acţiunea dinţilor aflaţi

succesiv si continuu în contact. Din categoria de organ dinţat fac parte şi

cremaliera şi melcul.

Dintele - proeminenţa executată pe periferia roţii dinţate destinat a

antrena sau a fi antrenat de către dinţii roţii conjugate în procesul de

angrenare.

Golul (dintre dinţi) - spaţiul care separă doi dinţi alăturaţi ai unei roţi

dinţate.

Dantură - totalitatea dinţilor şi golurilor dintre dinţii unui organ dinţat.

Numărul de dinţi (notat cu z) - numărul total de dinţi pe toată

circumferinţa unei roţi dinţate (chiar şi în cazul în care aceasta nu este

danturată decât pe un sector).

Roată - roata dinţată cu numărul mai mare de dinţi, la un angrenaj

compus din roţi cu numere de dinţi neegale.

Pinion - roata dinţată cu numărul mai mic de dinţi la un angrenaj

constituit din roţi cu numere de dinţi neegale.

Roată conjugată într-un angrenaj este oricare dintre roţi, raportată la

cealalată roată a angrenajului.

Roată dinţată conducătoare, roata dinţată a unui angrenaj care

antrenează în mişcare cealaltă roata dintată.

76

Roată dinţată condusă, roata dinţată a unui angrenaj care este antrenată

în mişcare de către cealaltă roată.

Cilindrul de cap, suprafaţa cilindrică coaxială cu roata dinţată care

conţine (sau este tangentă la ) vârful dinţilor.

Cilindrul de picior, suprafaţa cilindrică coaxială cu roata dinţată care

conţine (sau este tangentă la ) fundul golurilor dintre dinţi.

Cilindrul de rostogolire, suprafaţa cilindrică descrisă de axa instantanee

de rotaţie a mişcării relative a roţii conjugate în raport cu roata considerată. In

timpul mişcarii roţilor dinţate cilindrii de rostogolire ai acestora se rostogolesc

fără alunecare (au viteze periferice egale).

Cilindrul de divizare, suprafaţa cilindrică de rostogolire a roţii dinţate în

angrenarea sa cu organul fictiv care-i defineşte dantura (cremaliera).

Suprafata frontală, intersecţia dintre roata dinţată şi un plan

perpendicular pe axa roţii.

Intersectând cilindri de cap, picior, divizare şi rostogolire cu suprafaţa

frontală rezultă cercurile de cap, picior, divizare şi rostogolire de diametre da,

df, d respective dw.

Raport de angrenare, raportul dintre numarul de dinţi al roţii conduse şi

cel al roţii conducatoare: 12

z/zu = .

77

Raport de transmitere, raportul dintre viteza unghiulară a roţii

conducătoare şi viteza unghiulară a

roţii conduse: 21

/i ωω= ; iu = .

In continuare sunt prezentate

elementele danturii (Fig.1.3):

Flancul dintelui, porţiunea de

suprafaţă, de-a lungul dintelui,

cuprinsă între suprafata de cap şi

suprafaţa de picior.

Profilul dintelui, intersecţia unui

flanc cu o suprafaţa dată. Dacă

suprafaţa dată este suprafaţa frontală

se obtine profilul frontal al dintelui;

dacă suprafaţa dată este o suprafaţă

normală pe dinte se obţine profilul

normal al dintelui.

Flancuri de dreapta, flancurile situate în dreapta unui abservator care

priveşte roata din direcţia unei suprafeţe frontale, dintele find aşezat cu capul

în sus; analog pentru flancurile de stânga.

Flancuri omoloage, toate flancurile de dreapta, respective de stânga.

Flancuri conjugate, flancurile aflate în contact (ale dinţilor roţilor

angrenajului), considerate unele în raport cu celelalte.

Capul dintelui, porţiunea de dinte cuprinsă între cilindrul de divizare şi

cilindrul de cap; înălţimea capului dintelui se notează cu ha.

Piciorul dintelui, porţiunea de dinte cuprinsă între cilindrul de divizare şi

cilindrul de picior; înălţimea piciorului dintelui se notează cu hf.

Inălţimea dintelui, distanţa radială măsurată între cilindrul de cap şi

cilindrul de picior al roţii dintate; înălţimea piciorului dintelui se notează cu h,

fahhh += .

Fig.1.3. Elementele danturii

78

1.1.2. Legea fundamentală a angrenării

Legea fundamentală a angrenării stabileşte condiţiile pe care trebuie să

la îndeplinească profilul dinţilor astfel încât funcţionarea angrenajului să fie

uniformă, cu un raport de transmitere constant.

Pentru demonstrarea legii fundamentale a angrenării se consideră roţile

dinţate 1 şi 2 cu centrele în O1 şi O2, din care au fost reprezentate , spre

simplificare, două sectoare dintate cu doi dinţi aflaţi în contact (fig.1.4). Se fac

ipotezele:

-roata 1 este roată conducătoare:

-transmiterea mişcării se face uniform, cu un raport de transmitere

constant.

80

Fig.1.4. Schita de demonstrare a legii angrenarii

Se reprezintă sensurile de rotaţie ale celor două roţi, marcându-se

vitezele unghiulare 1ω şi 2ω . Se construieşte linia centrelor roţilor O1O2 şi

normala comună a flancurilor (profilelor) dinţilor în contact N-N, care se

intersectează în C. Din O1 şi O2 se construiesc perpendicularele pe normala

comună obţinându-se punctele K1 şi K2. Fie M punctul de contact al flancurilor

celor doi dinţi aflaţi în angrenare. In punctual M se suprapun geometric

punctele M1 şi M2 care aparţin dinţilor celor două roţi. Intre punctele M1 şi M2

există mişcare relţivă. Prin unirea centrelor O1 şi O2 ale roţilor cu M1 şi M2 se

obţin razele instantanee de rotaţie R1 şi R2. In continuare se construiesc vitezele

punctelor M1 şi M2 perpendiculare pe razele R1 şi R2 (evident în sensurile date

de 1ω şi 2ω ) rezultând vitezele 1MVr

şi 2MVr

. Acestea se proiectează pe direcţia

normalei N-N obţinându-se componentele normale ale vitezei, n1MV

rşi

n2MVr

şi pe

direcţia tangentei comune la profilele în contact t-t (t-t ⊥ N-N) obţinându-se

componentele tangenţiale t1MVr

şi t2MVr

. Proiecţiile vârfurilor vectorilor viteză se

notează cu A1, A2, B1, B2.

Pentru calculul componentelor normale se consideră

MBBMKO 111 ∆≈∆ (triunghiuri dreptunghice care au câte un unghi ascuţit

egal, având douǎ laturi perpendiculare ). Din asemănarea acestora se pot scrie

rapoartele de asemănare 1

1M

11

n1M

R

V

KO

V= de unde rezultă proiecţia normală a

vitezei

111

1

1111

1

1M11n1M KO

R

RKO

R

VKOV ω⋅=

⋅ω⋅=

⋅=

Vitezele punctelor M1 şi M2 s-au calculat cu relaţiile:

111M RV ⋅ω= ; 222M RV ⋅ω=

81

Analog se procedează pentru determinarea componentei normale a

vitezei punctului M2. Se consideră triunghiurile asemenea MAAMKO 121 ∆≈∆

şi rapoartele de asemănare 2

2M

22

n2M

R

V

KO

V= de unde rezultă:

222

2

2222

2

2M22n2M KO

R

RKO

R

VKOV ω⋅=

⋅ω⋅=

⋅=

Teoretic pot exista trei cazuri privind relaţia dintre vitezele normale ale

celor două puncte:

1. n2Mn1M VV > . In acest caz dintele roţii conducatoare ar patrunde în

materialul dintelui roţii conduse, fapt ce ar conduce la distrugerea roţilor.

Practic acest fenomen nu are loc şi ca atare această situaţie se exclude.

2. n1Mn2M VV > . In acest caz roata 2 ar părăsi contactul (se desface cupla

superioară) cu roata 1. Roata 2 ar deveni roată conducatoare, contrar ipotezei.

3. n2Mn1M VV = .In acest caz sunt respectate condiţiile din ipoteză şi rămâne

singura posibilitate reală de funcţionare a angrenajului. Egalând expresiile

componentelor normale ale vitezelor, se obţine:

n2Mn1M VV = ⇒ 222111 KOKO ω⋅=ω⋅ ⇒ 2

1

11

22

KO

KO

ω

ω=

(dacă se consideră vitezele unghiulare în modul).

Prin definiţie 2

1

2

112

n

ni =

ω

ω= se numeşte raport de transmitere. Raportul de

transmitere include şi semnul (este negativ dacă cele două roţi au sensuri de

rotatie opuse şi pozitiv dacă au acelaşi sens de rotaţie). Raportul 1212 iu = se

numeşte raport de de angrenare, 11

2212

KO

KOu = .

Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice CKOCKO 2211 ∆≈∆ (au două

unghiuri opuse la vârf) rezultă: === 12

1

2

11

22 uCO

CO

KO

KO constant. Având în vedere că

distanţa dintre axe este fixă =+= COCOa 21w constant şi că ==11

2212

KO

KOu constant

82

rezultă =+

=u1

aCO W

1constant. Aceasta înseamnă că punctul C, numit polul

angrenării, ocupă o poziţie fixă pe linia centrelor.

Notând 1b11 rKO = ,

2b22 rKO = şi 1w1 rCO = ,

2w2 rCO = , relaţia raportului de

angrenare poate fi scrisă: ===1w

2w

1b

2b12

r

r

r

ru constant.

Cu aceste elemente se poate enunţa legea fundamentală a angrenării:

Condiţia necesară si suficientă pentru ca transmiterea mişcării de la roata

conducătoare (1) la roata condusă (2) să se realizeze uniform şi întrun raport de

transmitere constant este ca profilele dinţilor să fie astfel construite încât

normala comună la flancurile în contact (N-N), să treacă printr-un punc fix C,

numit polul angrenării.

Din demonstraţia prezentată se mai pot emite unele observaţii şi

concluzii legate de funcţionarea unui angrenaj, şi anume:

-vitezele punctelor în contact, M1 şi M2 sunt variabile în timp deoarece

punctele ocupă poziţii diferite pe flancul dinţilor în procesul de angrenare. De

asemenea aceste viteze sunt neegale, 2M1M VV ≠ . Având în vedere proiecţiile

vitezelor pe direcţia normalei (N-N) sunt egale ( n2Mn1M VV = ) rezultă că vitezele

tangenţiale sunt inegale 2Mt1Mt VV ≠ .

-existenţa vitezelor tangenţiale diferite are ca efect asupra mişcării

relative dintre flancuri apariţia unei alunecări relative pe lângă cea de

rostogolire. Intre dinţii aflaţi în contact există rostogolire pură în momentul în

care cei doi dinţi aflaţi în contact se află în C, polul angrenării.

-alunecarea relativă dintre flancurile dinţilor produce pierderi de putere

prin frecare, uzarea dinţilor prin frecarea de alunecare. In polul angrenării

fortele de frecare schimbă de sens, fenomen ce conduce la apariţia de vibraţii şi

sarcini dinamice .

83

1.1.3. Curbe utilizate pentru profilarea dinţilor. Evolventa

Condiţia impusă de legea de bază a angrenării ca normala comună la

profilele în contact să treacă prin polul angrenării C, poate fi îndeplinită de mai

multe curbe. Curbele utilizate pentru profilarea dinţilor trebuie să

îndeplinească condiţiile:

-să respecte legea fundamentală a angrenării;

-tehnologia de execuţie a profilului sa fie cât mai simplă dar precisă, să

necesite SDV-uri cât mai simple, ieftine, universale.

-să fie cât mai puţin sensibile la erorile de execuţie şi montaj din punctul

de vedere al cinematicii angrenajului;

-să asigure capacitate de transmitere cât mai mare;

-să permită interschimbabilitatea roţilor.

Aceste cerinţe sunt îndeplinite de curbele ciclice la care linia de

angrenare (locul geometric al punctelor sccesive de contact la flancurilor

dinţilor) este formată din arce de cerc sau segmente de dreaptă. Curba ciclică

este traiectoria descrisă de un punct invariabil de pe un cerc numit ruletă care

se rostogoleşte fără alunecare pe un

cerc fix ( de rază rb ) numit bază (sau

cerc de bază). Dacă cele două

cercuri sunt tangente exterior se

obţine epicicloida iar dacă sunt

tangente interior se obţine

hipocicloida. Dacă baza

degenerează într-o dreaptă prin

creşterea razei ( ∞→br ) se obţine

ortocicloida. In cazul în care raza

ruletei tinde către infinit iar ruleta

degenerează într-o dreaptă, curba

ciclică devine evolventă. Evolventa

Fig.1.5.Evolvente decalate

84

este curba ciclică cel mai des utilizată deoarece tehnologia de execuţie (prin

rulare) permite obţinerea unei

productivităţi şi precizii ridicate.

Evolventa

Evolventa este curba ciclică

descrisă de un punct fix al unei

drepte

care se rostogoleşte fară

alunecare pe un cerc de bază.

Puncte diferite ale dreptei descriu

evolvente identice la rostogolirea

dreptei pe cercul de bază, dar

decalate între ele. In fig.1.5. se

observă cum sunt generate două

evolvente identice decalate, de stânga, o evolventă de dreapta şi modul în care,

prin alăturarea a două evolvente, se obţin cele doua flancuri ale dintelui.

Pentru stabilirea coordonatelor unui punct curent My al evolventei, în

coordonate polare, se consideră fig.1.6.

Se fac următoarele notaţii:

M0 – punct de început al evolventei, situat pe cercul de bază, rb;

My – punct curent al evoventei de coordonate ),r(M yyy θ ;

K – punctul de tangenţă al dreptei ( ∆ ) cu cercul de bază peste care se

rostogoleşte fără alunecare. Punctul K este în acelaşi timp centrul de curbură al

evoventei, corespunzător punctului curent M de pe evolventă;

yρ - raza de curbură a evolventei corespunzătoare punctului curent My;

KM yy =ρ .

yα - unghiul format de raza ry corespunzătoare punctului My si tangenta

t-t la curbă în acelaşi punct. Acest unghi se numeşte unghi de presiune;

Fig.1.6. Construcţia evolventei

85

yθ - unghiul descris de raza vectoare ry, atunci când punctul curent

parcurge arcul de evolventă din punctul de început al acestuia M0 până în

punctul curent My . yθ se numeşte involută de yα ( yy invα=θ ).

La rostogolirea dreptei ( ∆ ) fără alunecare pe cercul de bază (de rază rb),

segmentul KMy este egal cu arcul KM 0

)). Se exprimă fiecare dintre acestea în

funcţie de raza curentă ry şi unghiul yα .

yyyy sinrKM α⋅=ρ= ; yby tgr α⋅=ρ

Egalând cele două expresii pentru razele locale de curbură yρ şi

efectuând calcule elementare, rezultă:

byy

rcosr =α⋅ (1)

Relaţia (1) constituie un invariant important în studiul angrenajelor. De

asemenea, din aceeaşi relaţie se poate scoate valoarea razei curente

y

b

ycos

rr

α= . Alţi invarianţi utilizaţi frecvent :

α⋅=α⋅=α⋅ cosacosa;dcosdyybyy

(2)

Pentru calculul unghiului yθ se egalează segmental KMy cu arcul de cerc

KM 0

)) unde )(rKM yyb0 α+θ⋅=

)). Această relaţie este valabilă dacă unghiurile yθ şi

yα sunt exprimate în radiani. Se obţine astfel :

ybyyb tgr)(r α⋅=α+θ⋅ ⇒ yyy tg α−α=θ .

Coordonatele punctului curent care descrie evolventa sunt:

),r(M yyy θ unde y

by

cos

rr

α= şi yyyy invtg α=α−α=θ

Valorile pentru yinvα se pot calcula sau se gǎsesc în tabele din carţile de

specialitate. Problema nu o constituie calculul pentru yyy tginv α−α=α (unghiul

exprimat în radiani) ci identificarea argumentului involutei.

86

Pentru calculul unghiului y

α atunci când se cunoaşte yinvα se poate folosi

relaţia :

)invln(e)invln()inv(d)invln(invcinvbayy

5,0

yyyyyα⋅+α⋅α⋅+α⋅α⋅+α⋅+=α

unde .70007702840,0e;5647967,0d

;47428021,0c;9767615,0b;011516685,0a−=−=

−===

Principiul de generare al evolventei însoţit de modul de determinare al

coordonatelor punctului curent My al acesteia permit formularea unor

proprietăţi ale evolventei:

-evolventa este o curbǎ ciclică care nu are niciun punct în interiorul

cercului de bază. Punctul iniţial (de origine) al evolventei M0 se află pe cercul de

bază;

-normala în orice punct la evolventă este dreapta dusă tangentă la cercul

de bază prin punctul considerat;

-centrul de curbură al evolventei este punctul de tangenţă al dreptei la

cerc iar raza de curbură este segmentul cuprins între punctul de pe evolventă

(My) şi punctul de tangenţă al dreptei la cercul de bază ( KM yy =ρ ). Evolventa

este o curbă cu raza de curbură variabilă.

1.1.4. Elementele cinematice ale danturii în evolventă

Se consideră două roţi dinţate de centre O1 şi O2 din care se reprezintă o

pereche de dinţi (conjugaţi) aflaţi în angrenare. Normala (N-N) comună la

flancurile în contact trece conform legii de bază a angrenării prin polul

angrenării (C). Acesta se află la intersecţia normalei cu linia centrelor. Se mai

construiesc:

-tangenta comuna T-T la cercurile de rostogolire ale celor două roţi şi

care trece prin polul angrenării, C;

-tangenta comună t-t la flancurile în contact care trece prin punctul de

contact M;

87

-razele locale ale punctului de contact M raportate la centrele celor două

roţi O1 şi O2, şi anume O1M=R1 şi O2M=R2.

Procesul de angrenare începe în momentul în care piciorul dintelui roţii

conducatoare ia primul contact cu capul dintelui roţii conduse (A)şi se încheie

atunci când capul dintelui roţii conducătoare părăseşte baza dintelui roţii

conduse (E). Punctele de început de angrenare (A) şi ieşire din angrenare (E) se

găsesc la intersecţia cercurilor de cap ale celor două roţi cu linia de angrenare

N-N.

Elementele cinematice ale danturii în evolventă care se definesc în acest

paragraf sunt (fig.1.7.): linia de angrenare, arcul de angrenare, unghiul de

angrenare, unghiul de presiune.

Fig.1.7.Elementele cinematice ale danturii în evolventǎ

Linia de angrenare este locul geometric al punctelor de contact ale

dinţilor aflaţi în angrenare. Teoretic linia de angrenare poate fi orice curbă.

88

Pentru roţile cu dinţi având profil evolventic, linia de angrenare este o dreaptă

N-N care este tangentă comună la cercurile de bază ale celor două roţi şi

normală la profilele în contact.

Arcul de angrenare este arcul descries de un punct de pe flancul dintelui

situat pe cercul de rostogolire de la intrarea acestuia în angrenare (A) până la

ieşirea sa din angrenare (E), '

11CC))

.

Unghiul de angrenare wα este unghiul dintre tangenta comună la

cercurile de rostogolire T-T şi normala comună N-N la flancurile în contact.

Unghiul de presiune α este unghiulm format de tangenta comună la

profilele în contact t-t şi razele locale ale puctului de contact M raportate la

cele două roţi, O1M şi O2M. Se observă că unghiurile de presiune ale dinţilor

celor două roţi ale unui angrenaj sunt diferite. Acestea devin egale între ele

atunci când cei doi dinţi sunt în contact în polul angrenării, adică CM ≡ .

Unghiurile de presiune au valori diferite şi pentru aceeaşi roată, în funcţie de

cercul pe care se află punctul de contact. Se întâlnesc astfel:

- yα - unghiul de presiune corespunzător unui cerc de rază oarecare, ry;

- fα - unghiul de presiune corespunzător cercului de picior, de rază rf;

- aα - unghiul de presiune corespunzător cercului de cap, de rază ra;

- α - unghiul de presiune corespunzător cercului de divizare, de rază r;

- wα - unghiul de presiune corespunzător cercului de rostogolire, de rază rw.

Folosind relaţia invariant (1) stabilită la prezentarea evolventei

yybcosrr α⋅= se pot exprima unghiurile de presiune corespunzătoare unor

puncte de pe flancul dintelui situate pe cercurile de cap aα , picior fα , divizare

α , rostogolire wα , oarecare yα :

a

ba

r

rarccos=α ;

f

bf

r

rarccos=α ;

r

rarccos b=α ;

w

bw

r

rarccos=α ;

y

by

r

rarccos=α .

89

1.1.5.Cremaliera de

referinţă. Cremaliera

generatoare.

Prin rostogolirea fără alunecare a unei drepte peste un cerc de bază,

puncte de pe aceasta descriu evolvente asemenea. In cazul în care raza cecului

de bază creşte, profilul dinţilor se aplatisează. Dacă ∞→br , cercul de bază

degenerează într-o dreaptă. Numărul de dinţi al roţii tinde către infinit ∞→z

iar profilele dinţilor devin linii

drepte. Roata dinţată se transformă în

cremalieră. Cercurile de cap, picior,

divizare şi rostogolire devin linii

drepte. Astfel cercul de rostogolire

devine linie de referinţă iar cercul de

divizare devine linia de divizare. In angrenarea dintre cremalieră şi roată, linia

de referinţă ( ref∆ ) este tangentă cercului de rostogolire al roţii iar dreapta de de

divizare ( div∆ ) este tangentă cercului de divizare.

Profilul dinţilor cremalierei are forma unui trapez isoscel, normala

dintelui face unghiul α cu linia de referinţă a cremalierei. Cremaliera de

referinţă este o cremalieră fictivă ai cărei dinţi au forma şi dimensiunile

precizate şi care este folosită la definirea danturii roţilor dinţate.

Fig.1.8.Cremaliera de referinţǎ

90

Profilul cremalierei de referinţă (profilul de referinţă) este rezultatul

intersecţiei dintre cremaliera de referinţă cu un plan perpendicular pe linia

flancului dintelui (fig.1.8) .

Cremaliera de referinţă se caracterizează prin următoarele proprietăţi:

-este o cremalieră fictivă, situată de aceeaşi parte cu roata;

-roţile care au aceeaşi cremalieră de referinţă pot angrena între ele.

Pentru a micşora numărul sculelor pentru danturat şi a asigura

interschimbalitatea roţilor este necesar să se standardizeze dimensiunile

profilului de referinţă al cremalierei. Profilul cremalierei de referinţă este

standardizat conform STAS 821-82. Parametri cremalierei (profilului) de

referinţă sunt afectaţi de indicele zero (h0a – înălţimea capului dintelui de

referinţă). Având în vedere că în definirea ulterioară a geometriei roţilor

dinţate parametri nu mai sunt afectaţi de acest indice, se va face abstracţie

de el în continuare.

Parametri standardizaţi ai cremalierei de referinţă pentru un angrenaj

cilindric cu dinţi drepti sunt:

- 020=α ; unghiul de presiune al cremalierei (unghiul de înclinare al

flancului dintelui cremalierei);

- ∗

ah =1; coeficientul înălţimii capului dintelui de referinţă;

- *c = 0,25; coeficientul jocului la piciorul dintelui de referinţă;

- *

fρ =0,375; coeficientul razei de racordare la piciorul dintelui de referinţă.

Parametrii ∗∗∗ ρα fa ,c,h, pot avea şi alte valori, diferite de cele

standardizate, pentru dantură modificată .

Elementele geometrice ele profilului cremalierei de referinţă sunt:

m - modulul cremalierei de referinţă [mm], STAS 822-82;

ha – înălţimea capului dintelui de referinţă: mhh a ⋅= ∗ ;

c – mărimea jocului la piciorul dintelui de referinţă: mcc ⋅= ∗ ;

91

hf – înălţimea piciorului dintelui de referinţă: m)ch(h af ⋅+= ∗∗ ;

h – înălţimea dintelui de referinţă: m)ch2(hhh afa ⋅+⋅=+= ∗∗ ;

fρ - raza de racordare la piciorul dintelui de referinţă: mff ⋅ρ=ρ ∗ .

Exemple de valori standardizate ale modulului: 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25;

2,5; 2,75; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6; 8.

In continuare se mai pot defini următoarele elemente geometrice ale

cremalierei de referinţă:

p – pasul cremalierei de referinţă: mp ⋅π= ;

s – grosimea dintelui pe linia de referinţă: 2/m2/ps ⋅π== ;

e – mărimea golului pe linia de referinţă: 2/m2/pe ⋅π==

Pasul danturii cremalierei de referinţă este constant pe toată înălţimea

danturii. Grosimea dintelui este egală cu mărimea golului dintre dinţi numai pe

linia de referinţă.

In afara cremalierei de referinţă se mai definesc cremaliera de

funcţionare şi cremaliera generatoare.

Cremaliera de funcţionare este cremaliera cu care angrenează o roată

dintr-un angrenaj roată-cremalieră. Parametrii geometrici ai cremalierei de

funcţionare coincid cu parametrii cremalierei de referinţă ai cremalierei de

referinţă ai roţii conjugate.

Cremalierea generatoare este o cremalierǎ fictivă sau reală care, prin

rostogolirea pe cilindrul de divizare al roţii semifabricat, execută dantura roţii

dinţate. Dinţii cremalierei generatoare sunt astfel executaţi încât umplu

complet golurile dintre dinţii cremalierei de referinţă. Cremaliera generatoare

poate fi folosită ca sculă pentru generarea flancurilor evolventice ale dinţilor

unei roţi dinţate ce urmează a angrena cu o cremalieră de funcţionare.

“Angrenajul” format din cremaliera generatoare şi “roata semifabricat”

este numit “angrenaj generator” iar angrenajul format de o roată dinţată cu o

cremalieră de funcţionare este numit angrenaj de funcţionare.

92

1.1.6. Elementele geometrice ale angrenajului cilindric cu dinţi drepţi cu

profil nedeplasat

Pe baza parametrilor cremalierei de referinţă se pot defini elementele

geometrice ale danturii roţilor dinţate ale unui angrenaj cilindric cu dinţi drepţi.

Pe lângă parametri cremalierei de referinţă se mai consideră cunoscute

numerele de dinţi z1 şi z2 ale celor două roţi şi modulul danturii, m.

-înălţimea capului dintelui:

mhhhh aa2a1a ⋅=== ∗ ;

-înălţimea piciorului dintelui:

m)ch(hhh af2f1f ⋅+=== ∗∗ ;

-înălţimea totală a dintelui:

fa21 hhhh +== ;

Inălţimile parţiale şi totală ale dinţilor celor două roţi sunt egale pentru

un angrenaj căruia nu i s-a efectuat o deplasare de profil.

-pasul pe cercul de divizare:

mp ⋅= π ;

Pasul pe cercul de divizare reprezintă porţiunea din cercul de divizare

(este o lungime de arc) corespunzătoare unui plin şi un gol de dinte. Pasul are

valori diferite măsurat pe cercuri de diametre diferite. Pasul măsurat pe un cerc

oarecare de rază ry se notează cu py. In afara pasului măsurat pe cercul de

divizare p, important în definirea geometriei angrenajului este pasul măsurat

pe cercul de bază pb. Invariantul byy rcosr =⋅ α se poate extinde prin

transformări simple şi la pas,

byy pcosp =⋅ α , sau bpcosp =α⋅ .

93

-diametrele de divizare.

Din fig.1.9 se poate scrie relaţia de calcul a lungimii cercului de divizare prin

două relaţii pe care le egalăm: zpd ⋅=⋅π , zmd ⋅⋅=⋅ ππ .

Fig.1.9. Elementele geometrice ale angrenajului

cilindric cu dinţi drepţi

Rezultă:

11 zmd ⋅= şi 22 zmd ⋅= .

-diametrele cercurilor de cap:

)2z(mh2dd 11a11a +⋅=⋅+= ;

)2z(mh2dd 22a22a +⋅=⋅+= ;

-diametrele cercurilor de picior:

)5,2z(mh2dd 11f11f −⋅=⋅−= ;

)5,2z(mh2dd 12f22f −⋅=⋅−= ;

In relaţiile de mai sus s-au admis pentru coeficienţii parametrilor

cremalierei de referinţă valorile standardizate 25,0c;1h *

a==∗ .

94

-distanţa dintre axe de referinţă :

)2

zz(m

2

dda 1212 ±

⋅=±

= ;

-diametrele cercurilor de rostogolire :

22w11w dd;dd == (pentru dantură nedeplasată) ;

-distanţa reală dintre axe :

a2

dda 1w2w

w =±

= (pentru dantură nedeplasată);

-lăţimile danturii roţilor:

wa ab ⋅Ψ= ,

unde a

Ψ este factorul de laţime a danturii: ;1...3,0)10,0(a

=Ψ

mb,mm5...2b;bbb;bb 212 ≤∆=∆∆+== .

Notă : In relaţiile în care apare semn dublu (± ), semnul superior este valabil

pentru angrenajele exterioare iar cel inferior pentru angrenajele interioare.

In continuare este prezentatǎ schiţa angrenajului cilindric cu dinţi drepţi

(fig.1.10).

95

Fig.1.10.Schiţa angrenajului cilindric cu dinţi drepţi

1.1.7. Gradul de acoperire

Pentru înţelegerea noţiunii de grad de acoperire şi stabilirea relaţiei de

calcul s-a inserat fig.1.11. Se reamintesc şi câteva noţiuni necesare în acest

scop:

linie de angrenare - locul geometric descris de punctele de contact ale dinţilor

aflaţi în procesul de angrenare, N-N;

segment teoretic de angrenare - segmentul 21

KK de pe normala comună N-N

(linia de angrenare) la flancurile dinţilor aflaţi în contact şi care trece prin polul

angrenării, C ;

96

Fig.1.11.Elemente necesare înţelegerii noţiunii de grad de acoperire

Fig.1.12. Schiţa pentru calculul gradului de

acoperire

procesul de angrenare a doi dinţi- începe atunci când piciorul dintelui roţii

conducătoare ia primul contact cu capul dintelui roţii conduse (A) şi se încheie

97

atunci când capul dintelui roţii conducătoare părăseşte piciorul dintelui roţii

conduse (E);

A-punctul de intrare în angrenare a unei perechi de dinţi;

E-punctul de ieşire din angrenare a unei perechi de dinţi;

AE - segmental real de angrenare (A este situat între K1 şi C iar E este situat

între K2 şi C);

arcul de angrenare- arcul parcurs de un punct al cercului de rostogolire al

roţilor dinţate, C1 (respectiv 2

C ) pe toată durata angrenări a doi dinţi conjugaţi,

când acest punct ajunge în '

1C (respective '

2C ).

Pentru ca angrenarea să fie continuă este necesar ca la ieşirea a doi dinţi

din angrenare (punctul E), perechea următoare de dinţi să fie deja intrată în

angrenare (să fi depăşit punctul A). Acest lucru este posibil în cazul în care arcul

de angrenare este mai mare decât pasul pe cercul de rostogolire, adică:

w

'

11pCCC >

))).

Se defineşte astfel, matematic, gradul de acoperire:

1p

CCC

w

'

11 >=ε

)))

.

Dacă, matematic, gradul de acoperire se defineşte ca fiind raportul dintre

arcul de angrenare şi pasul pe cercul de rostogolire, acesta mai poate fi definit

şi ca fiind numărul mediu de perechi de dinţi aflaţi simultan în angrenare.

Pentru desfăşurarea demonstraţiei este necesar a se face următoarele

precizări:

-1

ω ,2

ω - vitezele unghiulare ale celor două roţi;

-vC - viteza liniară a polului angrenării;

-vb – viteza liniară a unui punct de pe cercul de bază;

- t - timpul în care punctual C1 parcurge arcul de angrenare '

11CCC)))

;

98

- e1, '

1e respectiv e2, '

2e reprezintă punctele de început ale evolventei de

pe cercurile de bază, corespunzătoare începerii angrenaii respectiv ieşirii din

angrenare a doi dinţi conjugaţi . In timp ce pe cercurile de rostogolire sunt

străbătute arcele de angrenare '

11CCC)))

respectiv '

22CCC)))

, pe cercurile de bază

sunt străbătute arcele '

11ee))

respectiv '

22ee))

. Tinând seama de modul de definire a

evolventei se poate consemna faptul că AEee '

11=

)).

Având în vedere precizările de mai sus, se poate scrie:

trtvCCC1w1C

'

11⋅⋅ω=⋅=

))); trtvee

1b11b

'

11⋅⋅ω=⋅=

)).

Se ma ţine seama si de invarianţii stabiliţi la definirea evoventei:

wwb

cosrr α⋅= ; α⋅=α⋅ cospcospww

.

Făcând raportul celor două arce, se obţine:

w1b

1w

1b1

1w1

'

11

'

11

cos

1

r

r

tr

tr

ee

CCC

α==

⋅⋅ω

⋅⋅ω=))

)))

⇒ww

'

11'

11cos

AE

cos

eeCCC

α=

α=

)))))

.

Din fig 1.12.se observă că:

CKEKCKAKCEACAE1122

−+−=+=

A2b2tgrAK α⋅= ;

w2b2tgrCK α⋅= ;

E1b2tgrEK α⋅= ;

w1b1tgrCK α⋅=

2a

2b

Ar

rcos =α ;

1a

1b

Er

rcos =α ;

Se poate calcula:

2b

2

2b

2

2a

2a

2b

2

2a

2b

A

A

2

Ar

rr

r

r

r

r1

cos

cos1tg

−=

−

=α

α−=α ;

1b

2

1b

2

1a

Er

rrtg

−=α

Introducând relaţiile de mai sus în relaţia de definirea a gradului de acoperire

se obţine:

99

=α⋅

==εwww

'

11

cosp

AE

p

CCC)))

ww

w2b1b

2

2b

2

2a

2

1b

2

1a

cosp

tg)rr(rrrr

α⋅

α⋅+−−+−

Se ajunge la relaţia de lucru, relaţie de calcul a gradului de acoperire pentru un

angrenaj cilindric cu dinţi drepţi:

=εα⋅⋅π

α⋅−−+−

cosm

sinarrrrww

2

2b

2

2a

2

1b

2

1a (3)

S-a mai folosit relaţia mp ⋅π= şi s-a înlocuit

www2ww1w2b1bcosacosrcosrrr α⋅=α⋅+α⋅=+ unde

w2w1warr =+ .

Dacă dantura nu este corijată, utilizând relaţiile de la 1.1.6 , relaţia ( 3) va avea

următoarea expresie de lucru:

α⋅+−−

α⋅

++−

α⋅

+

π⋅=ε tg)zz(z

cosz

2zz

cosz

2z

2

121

2

2

2

2

22

1

2

1

1 (4 )

1.1.8. Fenomenul de interferenţă

Se constată că dacă numărul de dinţi ai pinionului este situat sub o

valoare minimă min11

zz < (min1

z , valoare ce se va stabili în acest paragraf)

angrenarea roţilor nu se mai face normal, dinţii roţii conjugate tind să intre în

materialul dinţilor pinionului. Fenomenul de pătrundere a vârfului dintelui roţii

conjugate în materialul dintelui pinionului poartă numele de interferenţă. Acest

fenomen se manifestă practic prin îndepărtarea de material din dintele

pinionului sau prin blocarea angrenajului. Dacă îndepărtarea de material se

produce la piciorul dintelui, fenomenul mai portă numele de subtăiere

(fig.1.13).

Interferenţa este nedorită prin efectele pe care le produce: micşorarea

secţiunii de rezistenţă de la baza dintelui care conduce la ruperea prematură a

100

dinţilor; modificarea geometriei danturii care conduce la apariţia unor sarcini

dinamice şi ca atare la apariţia unor solicitări suplimentare.

Interferenţa poate apărea atât în funcţionarea angrenajului cât şi în

procesul de generare (uzinare) a roţilor dinţate.

Din punct de vedere geometric şi

cinematic, interferenţa apare atunci când

punctul de intrare în angrenare A respective

punctul de ieşire din angrenare E se situează în

afara liniei teoretice de angrenare 21

KK .

Pentru stabilirea numărului minim de

dinţi ai pinionului se consideră situaţia limită

când 1

KA ≡ .

In fig.1.14 în care au fost reprezentate

centrele celor două roţi şi elementele

geometrice şi cinematice necesare calculului

geometric demonstrativ, se consideră ACO2∆

în care se aplică teorema lui Pitagora generalizată :

Fig.1.14.Schema de demonstrare

a interferenţei

)90cos(COAC2COACAO2

2

2

22

2α+⋅⋅⋅−+=

2

)h2z(m

2

mh2zm

2

h2d

2

dAO

*

a2

*

a2a22a

2

⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

⋅+== ; (5 )

2

sinzm

2

sindAC 11

α⋅⋅=

α⋅= ;

2

zm

2

dCO 22

2

⋅== ;

α−=α+ sin)90cos( .

Prin înlocuirea relaţiilor de la 1.1.6 în relaţia (5 ) se obţine:

Fig.1.13.Subtaiere la baza

dintelui

101

)sin(2

zm

2

sinzm2

2

zm

2

sinzm

2

)h2z(m

21

2

2

2

1

2*a2

α−⋅

⋅α⋅⋅

⋅−

−

⋅+

α⋅⋅=

⋅+⋅

Efectuând calculele de ridicare la patrat, reducere a termenilor

asemenea şi împarţire a relaţiei prin m2 se obţine:

2*

a

22

1

2

1

2*

a2)h(4sinz]sinz)h(4[z ⋅−α⋅=α⋅−⋅⋅ .

De unde se se ajunge la relaţia :

α⋅−

−

α⋅

=21*

a

2*

a

2

1

2

sin2

zh

)h(sin2

z

z . (6 )

In faza de uzinare (prelucrare a danturii) pinionul (semifabricatul) este

întrun proces de angrenare cu o sculă ce materializează cremaliera

generatoare. Pentru ca pinionul să angreneze corect cu o cremalieră este

suficient să punem condiţia ca aceasta să aibă un număr infinit de dinţi, adică:

∞→2

z .

Aceasta echivalează cu:

∞→α⋅− 21*

asin

2

zh .

La limită se obţine:

0sin2

zh 21*

a=α⋅− sau

α

⋅=

21sin

*h2z

unde z1 reprezintă numărul minim de dinţi ai unei roţi dinţate astfel incât să nu

apară interferenţa. Pentru valorile standardizate ale parametrilor cremalierei

de referinţă 1h*

a= şi

020=α se obţine 1,17z

min= .

Practic se admite numărul minim de dinţi 17zmin

= dinţi pentru a nu

apărea fenomenul de interferenţă atunci când nu se execută o corijare a

danturii.

102

1.1.9. Modificarea danturii

Modificarea danturii înseamnă schimbarea geometriei acesteia în scopul

îmbunătăţirii condiţiilor de funcţionare, de rezistenţă sau uzură precum şi

pentru realizarea unor condiţii impuse.

Condiţiile de funcţionare, de rezistenţă sau uzură ale angrenajului, care

pot fi îmbunătătite prin modificarea danturii, sunt:

-asigurarea unei funcţionări silenţioase prin mărirea gradului de

acoperire;

-creşterea rezistenţei de contact a angrenajului prin mărirea razelor de

curbură ale profilelor sau prin realizarea unei repartiţii uniforme a sarcinilor pe

dinte;

-mărirea rezistenţei la încovoiere a dintelui prin îngroşarea bazei

acestuia;

-mărirea rezistenţei vârfului dintelui prin ingroşarea acestuia;

-evitarea interferenţei pentru roţile dinţate construite cu un număr de

dinţi mai mic decât valoarea minimă admisă, prin realizarea unei deplasări

pozitive de profil, etc.

Dintre condiţiile impuse ce se pot realiza prin modificarea danturii pot fi

amintite:

-realizarea unei distanţe dintre axe standardizată sau impusă din alte

condiţii;

-realizarea unei roţi dinţate care să angreneze cu o roată dinţată

existentă, în condiţiile impuse de montaj, etc.

Modificarea danturii poate afecta profilul acesteia în toate planele

frontale în aceeaşi măsură sau diferit. Sub acest aspect se pot distinge:

103

-modificarea frontală în cazul în care profilul este identic modificat în

toate planele frontale;

-modificare axială în cazul în care profilul nu este identic modificat în

toate planele frontale, putând să rămână nemodificat în anumite zone.

Modificarea axială a danturii constă în reducerea progresivă a grosimii

dintelui înspre extremităţile liniei flancului(bombare). Prin această modificare

se mǎreşte capacitatea de încărcare a angrenajelor, prin micşorarea efectului

de concentratori de eforturi la marginea dintelui. Se recomandă pentru

angrenajele puternic solicitate care conduc la deformarea pronunţată a

arborilor şi la înclinarea roţilor în funcţionare.

Modificarea frontală poate fi realizată în două moduri principale:

-prin modificarea cremalierei de referinţă, respective generatoare;

- prin menţinerea nemodificată a cremalierei de referinţă.

Modificarea frontală prin modificarea cremalierei de referinţă se

realizează prin modificarea parţială sau totală a parametrilor geometriei

cremalierei de referinţă, respective generatoare. Parametri care pot fi

modificaţi sunt:

-unghiul de referinţă, 0α ;

-coeficientul de înălţime a capului dintelui de referinţă, ∗

0ah ;

-coeficientul jocului de referinţă la piciorul dintelui, ∗

0c .

Unghiul de angrenare are valoarea standardizată 0

0 20=α . Acesta poate

lua şi valori de 17030’, 15

0, 14

030’ în construcţia angreanajelor conice sau

17030’, 22

030’ şi mai mari la angrenajele cilindrice. Influenţa modificării

unghiului de referintă asupra roţilor dinţate şi angrenajului se poate sintetiza

în:

-îngroşarea dintelui la bază (pericol de subtăiere) şi subţierea vârfului

dintelui (pericol de ascuţire) prin mărirea unghiului de referinţă;

-scade numărul minim de dinţi ai roţilor dinţate fără a fi necesară

deplasarea de profil ( de ex: zmin=17 pentru 0

0 20=α şi zmin= 8 pentru 0

0 30=α );

104

-creşterea capacităţii angrenajului la presiunea de contact pe flancuri

(prin mărirea unghiului de angrenare şi implicit a razelor echivalente de curbură

ale flancurilor dinţilor). Prin modificarea unghiului de referinţă se modifică şi

gradul de acoperire, mărime ce trebuie verificată ca atare.

Factorul de înălţime a capului dintelui de referinţă are valoarea standardizată

1h 0a =∗ . Modificarea cea mai frecventă a acestuia este în sensul scurtării

dintelui, adică o micşorare a acestuia. Valoarea micşorată obişnuită este

8,0h 0a =∗ iar cea mărită 1,1h 0a =∗ , foarte rar 2,1h 0a =∗ . Consecinţele măririi

factorului de înălţime a capului dintelui de referinţă sunt:

-creşte momentul de încovoiere la baza dintelui (scade rezistenţa

dintelui);

-subţierea accentuată a vârfului dintelui (pericol de ascuţire);

-se măreşte limita inferioară a numărului minim de dinţi pentru care nu

apare fenomenul de subtăiere ( 21zmin = dinţi, pentru 2,1h*

0a= şi 0x = );

-se măreşte gradul de acoperire.

Mărirea înălţimii dintelui se întâlneşte la angrenajele cinematice, cum ar

fi în cazul construcţiei aparatelor de măsură.

Scurtarea dintelui se poate realiza prin micşorarea lui ∗0ah sau prin modificarea

difertenţiată a capului m8,0h 0a ⋅= respectiv a piciorului dintelui

m1,1chh 00a0f ⋅=+= . Modificarea danturii prin scurtarea capului dintelui

constă în micşorarea diametrului semifabricatului înainte de danturare cu o

sculă normală .

Consecinţele scurtării capului dintelui sunt:

-micşorarea momentului încovoietor la baza dintelui (creşte rezistenţa la

încovoiere);

-creşte jocul la piciorul dintelui în timpul angrenării; acesta este de fapt

principalul motiv pentru care se execută o astfel de modificare;

-se micşorează gradul de acoperire; este necesară recalcularea acestuia .

105

Mărirea jocului la piciorul dintelui se impune ca o consecinţă a realizării

altor modificări ale danturii. Astfel, în cazul micşorării piciorului dintelui, raza

de fund a roţii creşte, conducând la micşorarea jocului la piciorul dintelui.

Realizarea unui joc corespunzător la piciorul dintelui presupune mărirea

coeficientului jocului de referinţă de la 25,0c0 =∗ până la 35,0c0 =∗ . Această

modificare a jocului impune modificarea sculei generatoare.

Modificarea danturii prin menţinerea nemodificată a cremalierei

Această modificare se numeşte şi deplasare de profil. Se realizează prin

schimbarea radială a poziţiei organului de referinţă (generator) fată de cercul

de divizare al semifabricatului. Astfel, pentru realizarea unei danturi

nedeplasate, linia de referinţă a cremalierei generatoare coincide cu linia de

divizare (tangenta la cercul de divizare al roţii semifabricat). In fig.1.15

deplasarea specifică de profil este 0x = iar deplasarea reală 0mx =⋅ , unde x

este deplasarea specifică iar m modulul danturii.

Deplasarea profilului este distanţa dintre linia de referinţă a cremalierei

şi linia de divizare a roţii. Valoarea deplasării se consideră pozitivă când linia de

referinţă este deplasată spre vârful dintelui şi negativă cănd este deplasată spre

baza acestuia. Deplasarea specifică poate lua astfel valori pozitive 0x > ,

negative 0x < sau poate fi nulă 0x = în cazul în care profilul este nemodificat. In

fig.1.15 a), b), c) este prezentată poziţia cremalierei generatoare (sculei) fată de

linia de divizare a roţii (semifabricat). De asemenea sunt prezentate şi forme

ale dinţilor obţinuţi prin realizarea deplasării de profil. Se observă că la

deplasarea pozitivă vârful dintelui se ascute şi baza se îngroaşă. La deplasarea

negativă vârful se îngroaşă şi se subţiază baza dintelui.

Din fig.1.15 se observă că, prin deplasarea de profil, se modifică

înălţimea capului şi piciorului dintelui, înălţimea totală a dintelui rămânând

neschimbată. Se mai modifică diametrele de cap, picior iar ddw

≠ .

Se pot scrie următoarele relaţii de calcul:

;m)xh(h *

aa⋅+= m)xch(h **

af⋅−+= (7)

unde deplasarea specifică de profil x, îşi conţine semnul algebric;

106

aah2dd += ;

ffh2dd −= ;

w

wcos

cosdd

α

α= .

Roata dinţată care, în angrenarea cu cremaliera de referinţă, are cercul

de divizare tangent la linia de referinţă se numeşte roată cu profil nedeplasat.

Un angrenaj format din două roţi dinţate cu profil nedeplasat este un angrenaj

nedeplasat (necorijat). Angrenajul la care una sau ambele roţi sunt deplasate se

numeşte angrenaj deplasat. Un astfel de angrenaj are distanţa dintre axe

modificată faţă de angrenajul nemodificat. Excepţie face cazul în care suma

algebrică a deplasărilor de profil ale celor două roţi este nulă, 0xx 21 =+ .

Acest angrenaj se numeşte angrenaj zero deplasat. Atunci când 0xx 21 >+

angrenajul este un angrenaj deplasat pozitiv iar când 0xx 21 <+ angrenajul

este un angrenaj deplasat negativ.

107

Fig.1.15 Deplasare de profil

Recomandările ISO TC 60 privind alegerea coeficienţilor deplasărilor de profil :

-pentru 30z1

≥ , 0xx21

== ;

-pentru 30z1

< şi 60zz21

≥+ , )z30(03,0xx121

−⋅=−= ;

-pentru 10z1

> şi 60zz3021

<+< ,

108

)z30(03,0x11

−⋅= ; )z30(03,0x22

−⋅= ;

-pentru 30zz21

<+ , 9,0xx21

=+ .

Calitatea angrenării se poate îmbunătăţi şi prin flancarea dintelui.

Flancarea constă în retragerea flancului dintelui la vârf (flancare la cap) sau atât

la vârf cât şi la picior. Flancarea se realizează prin modificarea unghiului de

referinţă în zona capului profilului de referinţă. Scopul flancării constă în

atenuarea şocurilor la intrarea în angrenare datorită retragerii flancului dintelui

(este compensată deformarea dinţilor în timpul funcţionării sub sarcină).

Adâncimea depinde de clasa de precizie a angrenajului şi viteza periferică a

acestuia. Se recomandă ca înălţimea flancării să fie cât mai apropiată de

valoarea maximă a acesteia, adică nf

m45,0h ⋅= .

1.1.10. Calculul grosimii dintelui pe un cerc oarecare

Calculul sumei deplasărilor de profil

După cum se ştie, la cremaliera de referinţă, pe linia de referinţǎ,

grosimea dintelui s este egală cu grosimea golului dintre dinţi, e. In procesul de

danturare, cât şi cel de agrenare dintre cremaliera generatoare, respectiv cea

de funcţionare, dacă nu există deplasare de profil, linia de referinţă este

tangentă cercului de divizare. Ca atare, şi grosimea dintelui roţii este egală cu

grosimea golului dintre dinţi.

Cu cât ne depărtăm de cercul de divizare spre capul dintelui grosimea

acestuia scade iar dacă ne apropiem de baza sa, grosimea creşte.

Se pune problema calculului grosimii dintelui sy pe un cerc de rază oarecare ry

atât pentru dantura necorijată cât şi atunci când există deplasare de profil.

Cunoaşterea grosimii dintelui pe anumite cercuri este necesară ca element de

control al danturii.

109

Pentru calculul grosimii dintelui se

va considera un dinte dintrun sector

dinţat, ca în fig.1.16. Desfăşurata de

calcul se va face pentru jumătate din

grosimea dintelui, adică sy/2, respective

s/2, unde.

Conform fig.1.16 se poate scrie

egalitatea:

θ+ψ=θ+ψyy

( 8)

De asemenea se ţine seama de relaţia dintre lungimea arcului sy/2

exprimat în radiani şi raza ry respectiv unghiul la centruy

ψ :

yyy

r2

sψ⋅= ( 9 )

(yy

invα=θ de la definirea evolventei).

Analog pentru ψ şi θ .

Prin înlocuirea relaţiei (9) în 8) se obţine:

αα invr2

sinv

r2

sy

y

y+

⋅=+

⋅

Se înlocuieşte dr2 =⋅ şi yy

dr2 =⋅ şi se scoate

−+⋅= )invinv(

d

sds yyy αα

Tinând seama de invarianţii:

α⋅=α⋅ cosdcosdyy

sau α⋅=α⋅ cosrcosryy

; y

y

cos

cos

d

d

α

α=⇒

Fig.1.16 Calcul grosime dinte

110

Se obţine relaţia de lucru pentru calculul grosimii dintelui pe un cerc de rază ry:

)invinv(dcos

cosss

yy

y

yα−α⋅−

α

α⋅= (10)

unde unghiul de presiune y

α pe cercul de rază ry se poate calcula din

invarianţii:

baayyrcosrcosrcosr =α⋅=α⋅=α⋅

Obţinându-se )cosr

rarccos(

r

rarccos

yy

by αα ⋅==

La un angrenaj deplasat pozitiv există riscul ascuţirii dintelui sub o

valoare admisibilă, situaţia ce ar avea ca efect ruperea vârfului dintelui.

Evitarea ascuţirii capului dintelui se poate face calculând grosimea

acestuia pe cercul de cap, utilizând relaţia (10) cu înlocuirile corespunzătoare

cercului de cap:

mk)invinv(dcos

cosss

aa

a

a⋅≥α−α⋅−

α

α⋅= (11)

unde k=0,3 pentru dinţi normalizaţi sau îmbunătăţiţi şi k=0,5 pentru dinţi căliţi.

Având dedusă rel (10) de calcul a grosimii dintelui pe un cerc oarecare, sy

se poate proceda la calculul sumei deplasărilor de profil xs=x1+x2 ale unui

angrenaj atunci când se impune o altă distantă dintre axe ,

aw decât distanţa dintre axele de referinţă, a.

Se pleacă de la ipoteza că, în cazul unui angrenaj cu joc lateral nul,

plinurile şi golurile pe cercurile de rostogolire sunt reciproc egale, adică:

2w1w es = ; 1w2w es =

Pasul pe cercurile de rostogolire devine:

2w1w2w2w1w1ww ssesesp +=+=+= (12)

111

Se fac înlocuirile grosimii dintelui pe cercurile de rostogolire, plecând de

la relaţia de lucru. Se pot scrie relaţiile intermediare:

)invinv(dcos

cosss

w1w

w

11wα−α⋅−

α

α⋅= ; (13)

)invinv(dcos

cosss

w2w

w

22wα−α⋅−

α

α⋅= ;

wwmp ⋅π= .

unde pw respective mw reprezintă pasul respectiv modulul danturii pe cercurile

de rostogolire.

La dantura deplasată grosimile dinţilor pe cercurile de divizare s1 şi s2 nu

mai sunt egale cu p/2. Valorile pentru acestea se exprimă cu relaţiile (14) :

α⋅⋅⋅+= tgmx22/ps11

; α⋅⋅⋅+= tgmx22/ps22

(14)

Se mai foloseşte relaţia invariant

α⋅=α⋅ cosmcosmww

wmwcos

cosm

=α

α⋅⇒ şi )zz(madd

21ww2w1w+==+

Inlocuind relaţiile (13 ) şi (14 ) în relaţia (12 ), se obţine, succesiv:

2w1ww ssp +=

)invinv(dcos

coss)invinv(d

cos

cossm

w2w

w

2w1w

w

1wα−α⋅−

α

α⋅+α−α⋅−

α

α⋅=⋅π

)invinv()dd(cos

cos)ss(m

w2w1w

w

21wα−α⋅+−

α

α⋅+=⋅π

)invinv()zz(mcos

cos]tgm2)xx(m[m

w21w

w

21wα−α⋅+−

α

α⋅α⋅⋅⋅++⋅π=⋅π

)invinv()zz(mcos

cosm]tg2)xx([m

w21w

w

21wα−α⋅+−

α

α⋅⋅α⋅⋅++π=⋅π

112

)invinv()zz(mm]tg2)xx([mw21ww21w

α−α⋅+−⋅α⋅⋅++π=⋅π

Se împarte relaţia de mai sus prin mw şi se ajunge la relaţia de lucru:

)invinv(tg2

zzxxx

w

12

s21α−α

α⋅

+==+ (15)

Pentru stabilirea valorilor deplasărilor de profil x1 şi x2 se pot folosi

recomandările ISO TC( ), repartizarea deplasării proporţională cu numerele de

dinţi sau conform indicaţiilor de la modificarea danturii.

In oricare dintre situaţii trebuie verificată îndeplinirea condiţiei

deplasării minime de profil.

Relaţia de lucru pentru verificarea deplasării minime în scopul evitării

interferenţei este

17

z17x

min

−= (16)

Trebuie deci, îndeplinită condiţia:

minxx ≥ , adică

17

z17x

−≥ . (17)

elemente de teoria mecanismelor

Documents