Teoria Haosului

Ce este teoria haosului?

•Teoria haosului (sau teoria sistemelor complexe) este o ramură a matematicii și fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, acelor sisteme care prezintă fenomenul de instabilitate numit sensibilitate față de condițiile inițiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (deși se conformează legilor deterministe) este imprevizibil, adică aparent haotic (de unde și denumirea teoriei).

Introducere in teoria haosului•Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca în

sistemele descrise de aceasta există o dezordine aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și "efectul fluturelui". Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă.

Fenomene• Sistemele complexe sunt sistemele care contin atata de multe

elemente in miscare incat e nevoie de un calculator care sa calculeze toate posibilitatile de interactiune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfarsitul secolului al XX-lea. Mai exista un alt motiv pentru care aceasta teorie a aparut atat de recent, acel motiv e Revolutia Mecanicii Cuantice si felul in care a terminat Era Deterministica. Pana la aparitia mecanicii cuantice oamenii credeau ca fenomenele sunt cauzate de alte fenomene si ca tot ce se duce in sus trebuie sa vina in jos, si numai prin descoperirea si etichetarea fiecarei particule din Univers am putea sa cunoastem tot ce urma sa se intample. Sisteme intregi de gandire au fost bazate pe aceasta idee si din nefericire inca sunt. Atunci cand Sigmund Freud a inventat psihanaliza, el a pornit de la ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut. Regresia permitea pacientului sa isi strabata amintirile, sa gaseasca si sa infrunte problema. Toata aceasta idee se baza pe o cauza si un efect liniar. Teoria Haosului ne arata ca natura lucreaza dupa anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri marunte.

Fenomene• In 1960. Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din

calculatoarele Universitatii din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii si studentii au ramas uimiti in fata modelului, deoarece acesta nu parea sa repete nici o secventa, era cat se poate de asemanator cu vremea reala. Unii oameni chiar au sperat ca daca vor fi introduse niste date meteorologice , care sa fie in concordanta cu vremea de afara, modelul s-ar transforma intr-un adevarat profet. Intr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lasat programul sa ruleze anumiti parametri in baza carora sa genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea sa observe mai bine finalitatea procesului. Dar in loc sa lase programul sa ruleze cu setarile initiale si sa calculeze rezultatul, Lorentz a decis sa opreasca si apoi sa porneasca programul de la jumatatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme si l-e tiparise. Dar imprimanta putea sa tipareasca doar ultimele 3 zecimale. Deci in loc sa introduca exact aceleasi numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Aceasta inexactitate aparent minora a fost amplificata si a dat peste cap intreg sistemul. Aceasta exactitate este foarte importanta.

Edward Lorentz

“Efectul de fluture”• Acest efect se mai numeste si “efectul fluture” si se refera la

diferenta dintre punctele de pornire ale celor doua curbe din grafic care e atat de mica incat poate fi comparata cu bataia aripilor unui fluture. “Miscarea aripilor unui fluture azi poate produce o mica schimbare a atmosferei. Din aceasta cauza si de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosfera se va schimba. Peste o luna poate, o tornada care trebuia sa loveasca coasta Indoneziei nu va mai aparea. Sau din contra, tocmai din aceasta cauza va aparea.” Acest fenomen este cunoscut mai ales pentru dependenta sa de conditiile initiale. Cea mai mica schimbare a conditiilor initiale duce la rezultate complet diferite. Aceasta schimbare poate proveni de la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratete a instrumentelor, etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de evitat, chiar si in cel mai performat si dotat laborator existent

Teoria haosului in natura• Un exemplu de sistem complet dependent de conditiile initiale e

aruncarea unei monede. Exista doua variabile in aruncarea unei monede: cat de repede loveste pamantul si cat de repede se roteste. Teoretic, este posibil sa controlam aceste variabile, astfel reusind sa stabilim ce fata va cadea in sus. Practic, e imposibil de controlat in mod exact viteza de rotatie a monedei si inaltimea la care e aruncata. Este posibil sa stabilim o medie ai acestor parametri, dar e imposibil ca in baza lor sa facem estimari exacte asupra rezultatului final. Aceasta problema poate fi regasita in biologie la estimarea populatiilor biologice. Ecuatia ar fi simpla daca acele populatii doar ar creste, dar efectul pradatorilor si a rezervei limitate de hrana schimba totul. Atractorii Sistemele complexe par uneori prea haotice pentru a mai putea recunoaste in ele un tipar. Dar prin folosirea unor anumite tehnici, o gama larga de parametri pot fi concentrati intr-un singur punct de pe un grafic.

Ce este un atractor straniu• Imaginati-va un oras cu 10.000 de locuitori, pentru a-i acomoda pe toti,

orasul e nevoit sa construiasca 1 supermarket, 2 piscine, o biblioteca si o biserica. Sa presupunem ca aceasta configuratie multumeste pe toata lumea. Dar o companie va deschide o fabrica de inghetata in acest oras si va pune la dispozitie 10.000 de locuri de munca care vor atrage alti oameni. Orasul trebuie sa se extinda rapid pentru a reusi sa ii acomodeze pe toti cei 20.000 de locuitori. Alte constructii vor fi adaugate la cele initiale, pana in clipa in care se va ajunge la un echilibru. Acest echilibru se numeste atractor. Acum sa spunem ca in loc de a adauga 10.000 de oameni, 3.000 se vor muta si 7.000 vor ramane. Supermarket-ul are nevoie de cel putin 8.000 de clienti pentru a putea functiona. Asa ca se va inchide iar oamenii raman fara magazin. Cererea creste si o alta companie deschide un magazin in zona, sperand ca noul magazin va atrage noi oameni. Si asa si este, dar oamenii deja au hotarat ca pleaca iar noul magazin nu le schimba planurile. Magazinul e deschis timp de un an dupa care da faliment. Oamenii se muta, cererea creste, alt magazin deschis, oamenii se muta si iar nu sunt suficienti, magazinul se inchide iar si tot asa. Aceasta situatie reprezinta si ea un fel de echilibru, un echilibru dinamic. Echilibrul dinamic se numeste atractor straniu.

Diferenta dintre atractori• Diferenta dintre cei doi atractori e faptul ca atractorul

reprezinta o stare finala a sistemului, in timp ce atractorul straniu reprezinta o traiectorie pe care ruleaza sistemul de la o situatie la alta fara a ajunge la o finalitate. Descoperirea atractorilor explica multe, dar cel mai interesant fenomen descoperit de Teoria Haosului este Auto-Similaritatea. Un fulg de zapada este compus din molecule de apa. Aceste molecule nu au un sistem nervos sau A.D.N. care sa le spuna ce sa faca. Cum de stiu aceste molecule unde sa se duca si ce sa faca ca sa formeze o stea cu sase colturi? Si de ce sunt diferite de fiecare data? De unde stie molecula, ce formeaza unul din colturile fulgului, ce model o sa urmeze celelalte molecule, din alte colturi ale fulgului?

Exemple de sisteme haotice• Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o constructie

matematica numita Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginati-va un triunghi echilateral. Acuma adaugati pe fiecare latura un alt triunghi echilateral si continuati sa adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezulta e o curba Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figura autosimilara. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant. De fiecare data cand un nou triunghi este adaugat la figura centrala, lungimea liniei creste. Dar aria interioara a curbei lui Koch ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. In esenta, este o linie de o lungime infinita ce inconjoara o zona finita. Pentru a putea depasi aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale.

Fractalii• Cuvantul fractal provine din cuvantul fractional. Un

fractal este “o figura geometrica fragmentata sau franta care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului”. Dimensiunea fractala a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. In comparatie cu cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e bruta si incretita. De aceea ea ocupa spatiu mai usor, dar nu il poate umple asemenea unui patrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva intre cele doua. Termenul de fractal a ajuns sa descrie orice imagine care prezinta atributul de auto-similaritate.

Haosul inconjurator• Studii mai aprofundate ale haosului, facute de Lorenz si de alti

savanti, au dus la descoperirea faptului ca, la scara larga, sistemele haotice ordoneaza structuri si tipare. Asa a aparut geometria fractala, care descrie sistemele haotice intalnite in natura; aceasta abordare a permis identificarea importantei proceselor recursive in natura.

• De atunci, structuri fractale au fost descoperite in multe intamplari ale vietii: de la dinamica popoarelor, la traiectoria asteroizilor in sistemul solar sau la cea a satelitilor artificiali, de la turbulentele din jurul unui submarin sau ale unui avion, la evolutia Bursei. Chiar si inima omului functioneaza dupa un tipar haotic: intervalul dintre bataile inimii nu ramane constant, ci depinde de activitatea depusa de fiecare om in parte si de nivelul de stres la care acesta este supus.