TEORIA HAOSULUI

Ce este teoria haosului?• Cuvantul “haos“ desemneaza in limba

greaca un spatiu infinit, vid, care exista inaintea tuturor lucrurilor.

• In conceptia moderna, haos inseamna starea de dezordine si neregularitate.

• Teoria haosului sau teoria sistemelor complexe este o ramura a matematicii si fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, a acelor sisteme care prezinta fenomenul de instabilitate numit sensibilitate fata de conditiile initiale,motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (desi se conformeaza legilor deterministe) este imprevizibil, adica aparent haotic (de unde si denumirea teoriei).

•  "Un fenomen care pare a se desfășura la întâmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic." 

Edward LorenzIn termeni mai simpli, există o ordine ascunsă în orice evoluție aparent haotică a oricărui sistem dinamic complex.

Teoria haosului in viata de zi cu zi

Dar teoria haosului poate fi ilustrată şi din altă perspectivă, a vieţii de zi cu zi. Să luăm următorul exemplu. În loc să ieşiţi pe uşa casei, aşa cum obişnuiţi în fiecare dimineaţă, la orele 8.00, într-o anume zi întârziaţi un sfert de oră pentru că vi s-a terminat pasta de dinţi, iar tubul cel nou cu pastă s-a lăsat greu găsit.  Astfel, în loc să ajungeţi la 8.45 la serviciu, e de aşteptat să ajungeţi la 9.00. Numai că la 8.50 are loc un cutremur devastator care duce la prăbuşirea clădirii unde aveţi biroul, iar toţi cei din clădire sunt striviţi. E posibil să consideraţi că vreun zeu bizar v-a avut în vedere şi v-a salvat pe dumneavoastră, având el vreun motiv ascuns. Ori e posibil să consideraţi că aţi avut noroc, să vă găsiţi un nou loc de muncă şi în jumătate de an să descoperiţi cum se poate produce energie gratuită nelimitată pentru întreaga omenire (să zicem că realizaţi fuziunea nucleară).

În felul acesta, nu numai că veţi deveni celebru, iar numele dumneavoastră va subzista atât cât va exista specia umană, dar milioane de oameni vă vor datora, literalmente, viaţa. În felul acesta, pornind de la terminarea unui tub de pastă de dinţi, umanitatea se alege cu cea mai mare realizare tehnologică din istorie.

Comportamentul haotic este foarte răspândit în natură. Haosul nu afectează doar prognoza meteo, ci a fost identificat de oamenii de ştiinţă în circuitele electrice, lasere, reacţii chimice, dinamica sateliţilor din sistemul nostru solar, creşterea populaţiei ori vibraţiile moleculare. De asemenea, unii experţi afirmă că haosul este prezent în mişcarea plăcilor tectonice şi chiar în economie.

CINE A FORMULAT TEORIA?

Simulând vremea pe calculator în 1961, Edward Lorentz  a vazut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuatii diferentiale care reprezentau schimbari în temperatura, presiune, intensitatea vântului, etc. Într-o zi, vrând sa repete o secventa interesanta din model,  din dorinta de a salva timp, a reînceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzator: desi au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierzând orice asemanare cu primul în câteva "luni". O imagine a acestor doua rulari este prezentata mai jos:

Fig. 3.1. - Graficul obtinut de Lorentz în simularea vremii        

 Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie când a introdus numerele, fie în derularea calculelor de catre calculator. Dupa ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spatiu, imprimanta includea numai patru zecimale dupa virgula, în timp ce datele în memoria calculatorului era exacte pâna la a sasea zecimala. Lorentz a introdus o diferenta între prima si a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa.

El a ajuns la concluzia ca perturbatii extraordinar de mici ale datelor se îmbina cu rapiditate, ducând la o schimbare uriasa a vremii. Asadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna "compromisa". Daca modelul lui Lorentz s-ar asemana întru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bataia de aripi a unui fluture în Amazon ar putea modifica radical vremea în Massachusettes. "Efectul fluturelui", cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de conditiile initiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale si sociale complexe.

În concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise în meteorologie datorita cunoasterii aproximative a legilor naturii si a situatiei Universului la momentul initial.

Un exemplu de sistem complet dependent de conditiile initiale e aruncarea unei monede. Exista doua variabile in aruncarea unei monede: cat de repede loveste pamantul si cat de repede se roteste. Teoretic, este posibil sa controlam aceste variabile, astfel reusind sa stabilim ce fata va cadea in sus. Practic, e imposibil de controlat in mod exact viteza de rotatie a monedei si inaltimea la care e aruncata. Este posibil sa stabilim o medie ai acestor parametri, dar e imposibil ca in baza lor sa facem estimari exacte asupra rezultatului final. Aceasta problema poate fi regasita in biologie la estimarea populatiilor biologice. Ecuatia ar fi simpla daca acele populatii doar ar creste, dar efectul pradatorilor si a rezervei limitate de hrana schimba totul.

Determinism și predictibilitate

Din punct de vedere al determinismului laplaceian, evolutia viitoare a unui sistem poate fi-cel putin in principiu- determinata pornind de la starea la un moment dat. Daca luam spre exemplu caderea libera a unei pietre sub actiunea gravitatiei terestre, legile mecanicii permit determinarea comportamentului ei: lasata libera dintr-o pozitie considerata initiala, piatra va ajunge pe pamant intr-un anumit punct. Daca schimbam putin pozitia initiala, ea va ajunge la suprafata Pamanutului intr-un punct diferit dar apropiat de primul.altfel spus, traiectoria pietrei va ramane vecina cu precedenta daca pozitiile initiale indelinesc aceasta conditie.Conform determinismului laplaceian cunoasterea la un moment dat a pozitiilor si vitezelor tuturor particulelelor din Univers da posibilitatea prezicerii evolutiei lor viitoare.

DeterminismEste o presupunere filizofică conform

căruia orice acțiune este determinată de un lanț neîntrerupt de acțiuni precedente.

PredictibilitateSe referă la gradul de corectitudine,

calitativă sau cantitativă, a unei previziuni sau a stării unui sistem.

Pentru a exprima predicitibilitatea sau impredictibilitatea, rata divergenței traiectoriilor în sistemele fazoriale poate fi măsurată.

Comportamentul haotic

Pentru ca un sistem să fie haotic, majoritatea oamenilor de știință sunt de acord ca acesta trebuie să îndeplinească trei reguli:

Să fie sensibil la condițiile inițiale;

Să se îmbine topologic;

Orbitele periodice să fie dense.

Spatiul fazelor

Poincaré a definit ceea ce numim “spaţiul fazelor”, un spaţiu a cărui dimensiune corespunde ansamblului de variabile ce caracterizează sistemul la un moment dat (poziţii, viteze, etc.).

Starea sistemului la un moment dat, caracterizată printr-o serie de parametrii independenţi este reprezentat printr-un punct în acest spaţiu. 

Atractori clasici

Un atractor este un punct, o curba, o suprafata catre care converg traiectoriile izvorate din toate punctele apartinand vecinatatii sale.Exemple: lacurile care aduna apele de pe pantele aflate in vecinatatea lor, rigolele. Starea atractiva pentru un pendul gravitational care efectueaza oscilatii amortizate este pozitia de echilibru.

Cele trei tipuri de miscare dinamica: echilibru, miscare periodica, miscare cvasiperiodica sunt atractori clasici. In prezenta unei forme de amortizare, sistemul este “ atras” spre una dintre aceste stari.

Atractorii clasici sunt asociati cu obiecte geometrice clasice in spatiul fazelor. Starea de echilibru este un punct, miscarea periodica este o curba inchisa, iar miscarea cvasiperiodica este o suprafata in spatiul fazelor tridimensional.

Atractori stranii

In spatiul fazelor tridimensional, atractorul straniu reprezinta o serie de suprafete paralele, separate de distante din ce in ce mai mici. Miscarile haotice tind spre atractori stanii. Atractorii stranii exista in spatiul fazelor, care este o “harta flexibila” a tuturor informatiilor posibile. Atractorul trebuie sa fie stabil si sa reprezinte starea finala a sistemului dinamic, sa nu se repete si sa nu se autointersecteze.

Dacă un sistem tinde către o stare de echilibru (ex. oscilatorul amortizat), vom vedea că, indiferent care ar fi starea iniţială a sistemului, acesta va evolua astfel încât traiectoriile în spaţiul fazelor vor fi curbe ce converg către punctul de echilibru. Un astfel de punct se numeşte atractor.Geometric, un atractor poate fi un punct, o curbă, o varietate sau chiar un set complicat ca un fractal, structură cunoscută ca un atractor straniu. 

Atractorul Lorenz Este cel mai celebru atractor straniu. Curbele trasate pe

calculator descriu in spatiul fazelor bucle care se incolacesc la infinit in jurul a doua puncte fixe, instabile, care atrag toate traiectoriile dintr-un anumit domeniu. Atractorul Lorenz este asemuit de cei mai multi, cu un fluture, iar de altii, cu “ochi de bufnita”.

Atractorii stranii constau dintr-un numar infinit de curbe, suprafete sau multimi supradimensionale. Ei sunt, de fapt, obiecte fractale, caracterizate prin dimensiuni neintregi sau fractionare.Atractorii stranii au structura fractala.

Ce sunt fractalii? „În ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul.”

James Glick, „Haos”, 1986 Fractalii sunt reprezentari ale planului complex, într-o

maniera recursiva. Un obiect fractal este mai dificil de surprins în complexitatea sa, el necesita din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mentala de natura unui proces nesfârsit, care este însasi esenta fractalilor - ei îsi pastreaza forma, indiferent cât de mult am mari o reprezentare.

În termenii cei mai generali, un fractal demonstreaza o limita; obiectul fractal este chiar limita acestui proces cu numar infinit de operatii.

Fractalii sunt forme autosimilare, aceasta însemnând ca structura întregului sistem e deseori reflectata în fiecare portiune a sa. Un sistem va arata autosimilar când forte asemanatoare actioneaza la mai multe nivele ale scarii.

“ Adevaratele descoperiri vin dintr-un haos”- Chuck Palahniuk

“ Ordinea este doar o forma dominanta a haosului”- Kerry Thornley

“ Civilizatia incepe cu ordinea, creste cu libertatea si moare cu haosul” - Will Durant