econometrie
TRANSCRIPT
1
CAPITOLUL I
INTRODUCERE ÎN ECONOMETRIE
Un moment important în constituirea şi dezvoltarea Econometriei ca disciplină economică de
frontieră, apărută în domeniile de interferenţă ale teoriei economice, statisticii şi matematicii, se
consideră anul 1930, când s-a înfiinţat la CLEVELAND Societatea de Econometrie, avându-i ca
iniţiatori pe: Irving Fischer, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, şi alţii.
Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei societăţi,
care apare trimestrial, începând cu anul 1933.
Etimologic, termenul de „econometrie” provine din cuvintele greceşti: EIKONOMIA
(economie) şi METREN (măsură). Acest termen a fost introdus în anul 1926 de către Ragnar Frisch,
economist şi statistician norvegian, prin analogie cu termenul „biometrie", folosit de Galton şi Pearson
la sfârşitul secolului XIX, care desemna cercetările biologice ce utilizau metodele statisticii,
matematice.
Sub aspect istoric, studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche.
Printre precursorii econometriei mai veche pot fi citaţi: Quesnay, Petty, Gregory King, Engel şi
Marshall.
În perioada contemporană, contribuţii importante la dezvoltarea econometriei au fost aduse în
următoarele domenii:
- în domeniul analizei economice a cererii
- în domeniul funcţiilor de producţie
- în domeniul modelelor macroeconomice
- în domeniul metodelor de analiză a datelor sau al econometriei „fără modele"
În momentul actual, impulsionată puternic de revoluţia tehnico-ştiinţifică, cu
realizări de vârf în domeniul calculatoarelor, econometria a devenit un instrument metodologic de
bază, indispensabil teoriei şi practicii economice pentru investigarea riguroasă a fenomenelor şi
proceselor economice.
2
Definiţiile econometriei
Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor definiţii cu privire la
domeniul acestei discipline economice. Totuşi, marea majoritate a acestora poate fi încadrată în
următoarele trei grupe:
a) definiţia istorică;
b) definiţia restrictivă;
c) definiţia extinsă.
a) Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de Frisch în primul număr al revistei
„Econometrica" în ianuarie 1933: „experienţa a arătat că fiecare din următoarele trei puncte de
vedere, al statisticii, al teoriei economice şi al matematicii, este o condiţie necesară, dar nu şi
suficientă, pentru o înţelegere efectivă a realităţilor cantitative din economia modernă; unificarea lor
este aceea care asigură eficienţa. Econometria este tocmai această unificare".
Conform acestei definiţii, susţinătorii ei consideră că prin econometrie se înţelege
studierea fenomenelor economice pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematicii.
b) Definiţia restrictivă este propusă de Cowles Commission for Research in Economics
(Chicago, 1940-1950), consideră că nu există econometrie dacă investigarea fenomenelor
economice nu se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice).
Susţinătorii acestei definiţii, Klein, Rottier includ în domeniul econometriei numai
cercetările economice care utilizează metodele inducţiei statistice (teoria estimaţiei, verificarea
ipotezelor statistice) la verificarea relaţiilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la
fenomenele sau procesele economice cercetate.
Conform acestor definiţii, un studiu econometric presupune:
- existenţa prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul
economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă
formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat;
- posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor teoriei
economice, construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia.
Această definiţie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice care nu
se fundamentează pe:
- o teorie economică implicită sau explicită privind modelul econometric al
fenomenului, procesului sau sistemului studiat
- o interpretare aleatoare a modelului respectiv.
3
Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief ca şi statistica economică, care se
fundamentează pe metoda balanţelor, nu intră în sfera de cuprindere a econometriei: prima, deoarece
existenţa unei teorii economice nu este necesară, iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea
metodelor inducţiei statistice.
c) Definiţia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ţările anglo-saxone, ţine
seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării operaţionale: teoria
optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria jocurilor, etc.
Prin econometrie în sensul larg al termenului se înţelege econometria definită în mod
restrictiv, adică include domeniile menţionate atunci când ea este înţeleasă în sens restrictiv, la care se
adaugă metodele cercetării operaţionale.
În prezent, în domeniul econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau
analiza marilor tabele.
Deoarece încă nu s-a cristalizat o concepţie unitară privind „frontierele" econometriei,
în manualele sau tratatele de econometrie, autorii îşi menţionează concepţia pe baza căreia şi-au
structurat lucrările.
În ţara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese, cât şi
prin structura planurilor de învăţământ, econometria este concepută şi aplicată ca metodă generală
de investigare cantitativă a fenomenelor şi proceselor economice, adică în accepţiunea largă a
termenului.
Un domeniu mai puţin abordat atât teoretic cât şi practic îl constituie metodele
econometriei în sensul restrictiv al termenului respectiv modelele aleatoare (stochastice).
Modelele deterministe, utilizate în mod curent şi de multă vreme în teoria şi practica
economică din ţara noastră, sunt de multe ori inadecvate pentru a explica şi mai ales pentru a
prognoza pertinent evoluţia fenomenelor, proceselor sau sistemelor economice, elemente dinamice
prin natura lor.
De asemenea în studiile mult mai recente se insistă asupra faptului că studiul seriilor de timp
privind evoluţia fenomenelor economice nu poate fi independent de teoria economică.
4
Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei
Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul instrument de investigare
econometrică a fenomenelor econometrice.
Metoda modelelor nu constituie o noutate în ştiinţa economică. Tabloul economic al
economistului fiziocrat Quesnay (1738), legile lui Engel (1857), coeficientul de elasticitate formulat
de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la care cercetarea economică trece de la
etapa descriptivă la etapa de explicare formală a cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor
economice.
În general, MODELUL reprezintă un instrument de cercetare ştiinţifică, o imagine
convenţională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării.
Fiind o construcţie abstractă în care se neglijează proprietăţile neesenţiale, modelul este mai
accesibil investigaţiei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explicaţiile multiplelor utilizări pe
care modelul le are în epoca contemporană.
Utilizat în economie modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau sistem
economic - se construieşte în concordanţă cu teoria economică, rezultând modelul economic.
Modelul economic reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat
prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi experimentării, de la
care se obţin informaţii noi privind comportamentul fenomenului respectiv.
În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice care
explică structura fenomenului sau procesului economic de pe poziţia teoriei economice, au
întotdeauna o finalitate practică, operaţională, ele devenind instrumente de control şi dirijare, de
simulare şi de previziune a fenomenelor economice.
Variabilele care formează structura unui sistem econometric
După natura lor pot fi:
a) variabile economice
b) variabila eroare (aleatoare)
c) variabila timp
a) Variabilele economice, de regulă se împart în variabile explicate, rezultative sau
ENDOGENE notate yi (i=1,n) şi variabile explicative, factoriale sau EXOGENE notate (j=1 ,k) ,
5
independente de variabilele endogene yi , în care n reprezintă numărul variabilelor rezultative iar k
numărul variabilelor factoriale.
În cazul modelelor de simulare sau de prognoză variabilele se mai împart în variabile
exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului - c a p a c i t a t e a d e p r o d u c ţ i e a
u n e i î n t r e p r i n d e r i ) şi variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda,
impozitul pe profit etc.)
b) Variabila aleatoare, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excepţia variabilelor , care
influenţează variabila endogenă , dar care nu sunt specificate în modelul econometric. Aceste
variabile (factori) pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt considerate factori întâmplători
(neesenţiali), spre deosebire de variabilele , care reprezintă factorii determinanţi (esenţiali) ai
variabilei .
De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură, erori întâmplătoare şi
nu sistematice, conţinute de datele statistice privind variabilele economice.
Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „u” urmează o lege de
probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la natura
distribuţiei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu teste statistice adecvate
fiecărei ipoteze.
c) Variabila timp, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a
fenomenului endogen , imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele
statice.
Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la această
variabilă explicativă din două motive:
- în primul rând timpul ca variabilă econometrică, permite identificarea unor regularităţi într-
un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor variabile care
acţionează în timp;
- în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care acţionează asupra
variabilei y care, fiind de natură calitativă nu pot fi cuantificată şi ca atare nici specificată în
modelul econometric.
Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie funcţia de producţie Cobb -Douglas
cu progres tehnic autonom:
6
ueLKAQ ct ⋅⋅⋅⋅= βα , unde:
Q = volumul fizic al producţiei;
K = capitalul;
L = forţa de muncă;
e = numărul natural;
t = timpul;
u = variabilă aleatoare;
βα,,A şi c = parametrii funcţiei, în care c este măsura econometrică a influenţei
progresului tehnic asupra volumului producţiei.
Sursa de date
Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu valorile lor reale sau
empirice ( n21i y,........,y,yy = şi n21i x,........,x,xx = ; n = numărul unităţilor observate).
Aceste valori ale variabilelor unui model se pot obţine pe două căi: fie pe baza sistemului
informaţional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice special organizate -
de tipul anchetelor statistice.
O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor
statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se construieşte cu
date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe, fiind compromis sub aspect
operaţional.
Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de domeniul statisticii economice, ne
vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model
trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condiţiile de
omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:
- colectarea lor de la unităţi statistice omogene;
- reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale
acestora în timp sau în spaţiu;
- descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări
fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat;
7
- exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă în mod special
la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.
„Materia primă" pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp sau
serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau construite
pe baza băncii de date statistice existente.
O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor y şi x pe perioade egale de
timp ( t = 1,2,.., T; t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică:
t = 1, 2, . . . . . , T
T21t x,........,x,xx =
T21t y,........,y,yy =
În comparaţie cu aceasta, o serie de spaţiu rezultă prin observarea variabilelor y şi x într-o
anumită perioadă de timp (lună, trimestru, semestru, an) la un anumit număr de unităţi socio-
economice omogene, în care i = 1,n iar n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce aparţin
aceluiaşi sector economic. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea formă:
n21i
n21i
y...........yy|y
x...........xx|x
Într-un model econometric, un fenomen economic }x{x i= , în care i = 1, nu poate fi
introdus cu următoarele valori:
1) Valori reale sau empirice, )x,.......,x,x(x n21i = , valori exprimate în unităţi de măsură
specifice naturii fenomenului x, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci aparţin sistemului
numerelor raţionale.
Vectorul valorilor lui x în care )x,.......,x,x(x n21i = , poate fi definit prin doi parametri:
- media aritmetică a variabilei x
∑=
⋅==n
1iix
n
1)x(Mx
- abaterea medie patratica a variabilei x
∑σσ=
−⋅===n
1i
2i
2
xx)xx(
n
1)x(M2
8
)x(M 2
x2 =σ , fiind dispersia variabilei
2) Valorile centrate :
xxx ii −=∗
Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele aparţin sistemului numerelor reale având atât
valori pozitive cât şi negative.
Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor este
egală cu dispersia valorilor reale:
∑=
∗ =−⋅=n
1ii 0xx
n
1)x(M
∑ ∑= =
∗∗ =−⋅=⋅=n
1i
n
1i
22i
22 )x(M)xx(n
1)x(
n
1])x[(M
3) Valori centrate şi normate sau abateri standard:
x
ii
xxx
σ−
=∗∗
Media şi dispersia acestor valori este:
0
xx
n
1)x(M
n
1i x
i =−
⋅= ∑ σ=
∗∗
1xx
n
1)x(M
2
2
x
x
2n
1i x
i =σσ=
−⋅= ∑ σ=
∗∗
Abaterile standard sunt mărimi abstracte (adimensionale). Aceste calităţi conduc atât la
diminuarea calculelor statistice cu aceste valori, cât şi la efectuarea de comparaţii între distribuţiile
mai multor fenomene economice de naturi diferite.
Un model econometric poate fi format dintr-o singură relaţie sau dintr-un sistem de relaţii
statistice. Aceste relaţii pot fi: relaţii de identitate sau deterministe, relaţii de comportament, relaţii
tehnologice şi relaţii instituţionale.
9
1. Relaţiile de identitate sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în „Sistemul de
balanţe ale economiei naţionale"
2. Relaţiile de comportament sunt acele ecuaţii stochastice care reflectă şi modelează
un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene y, sub forma
deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model macroeconomic
relaţiile de comportament se referă la dependenţe privind consumul, investiţiile, importul şi exportul,
sistemul de preţuri, cererea monetară, etc.
3. Relaţiile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind producţia
cât şi relaţiile tehnico-economice existente în producţie, forţa de muncă şi fondurile de producţie ale
unei unităţi, ale unei ramuri sau ale economiei naţionale. Aceste relaţii tehnologice sunt reprezentate
de cunoscutele funcţii de producţie de diferite tipuri.
4. Relaţiile instituţionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau
stochastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradiţie sau fie de obiceiuri. Din rândul
acestora fac parte, de exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor în
funcţie de venit.
Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un model econometric poate
fi construit prin intermediul unei singure ecuaţii de comportament tehnologice sau instituţionale, sau
cu ajutorul unui sistem de ecuaţii, denumite modele cu ecuaţii multiple.
Testele statistice sunt instrumente de lucru indispensabile investigaţiei econometrice.
Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul econometric constă într-o
înşiruire logică de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a calităţii estimaţiilor obţinute, a
gradului de performanţă a modelelor construite.
Acceptarea sau respiungerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul
mai multor teste, ca de exemplu: testul „χ2”, testul „t”, testul „F”, etc.
Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă în diverse domenii se foloseşte frecvent
un test denumit „testul erorii". În general, aplicarea acestui test presupune compararea a două valori:
0 = valoarea observată sau estimată, şi
T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată.
10
Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice
Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi explicată prin prisma
raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între
elementele acestui raport.
Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub impactul progresului
ştiinţific şi tehnic modifică condiţiile şi interdependenţele din producţie, repartiţie, circulaţie şi
consum, ceea ce pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi dirijarea
evoluţiei fenomenelor economico-sociale către anumiţi indicatori ţintă formulaţi şi urmăriţi de o
anumită politică economică.
Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficienţei metodelor de
organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor în alte domenii ale
ştiinţei (matematică, fizică, chimie, astronomie etc.) pe de altă parte, au determinat adoptarea de către
ştiinţele economice a acestor metode.
Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiinţei
economice, ci prin integrarea dintre teoria economică, matematică şi statistică.
În cadrul aceastei triade, teorie economică - matematică - statistică, locul central îl ocupă
teoria economică.
Deşi pătrunderea ştiinţei economice de către metodele statistico-matematice reprezintă un
progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă componenta lor
cuantificabilă, conţin aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate. Aceste particularităţi ale
fenomenelor economice constituie, în general, limitele econometriei în sistemul ştiinţelor economice.
Raporturile econometriei cu ştiinţele economice nu sunt numai de dependenţă.
Un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie economică a
obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat depinde de nivelul de
abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi categoriilor economice, de
scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de dirijare privind obiectul studiat.
Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El reprezintă
o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza căruia ştiinţa
economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de cercetare poate fi numai
observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator.
11
Prin această experimentare mijlocită de modelul econometric, ştiinţele economice
validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică economică,
îmbogăţindu-şi în felul acesta sistemul de informaţii privind structura şi evoluţia obiectului economic.
În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele economice este extrem de
vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor economice se
datorează progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a parametrilor
modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al
utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai complexe
modele econometrice.
Previziunea macro- sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare
măsură rezultatele simulării şi mai ales ale predicţiei econometrice.
În concluzie, se poate reţine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau
metoda modelelor.
Modelul econometric, expresie formală, inductivă a unei legităţi economice - reprezintă un
mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o metodă care
conduce la obţinerea de cunoştiinţe sau informaţii noi privind starea, structura şi evoluţia unui proces
sau sistem economic.
12
CAPITOLUL 2
ANALIZA DE REGRESIE ŞI CORELAȚIE
Determinarea formei şi intensităţii legăturii dintre variabilele economice reprezintă o
componentă fundamentală a modelării econometrice.
Pentru a putea efectua acest tip de analiză trebuie cunoscute în primul rând categoriile de
legături ce se stabilesc între variabilele economice.
2.1 Tipologia legăturilor dintre variabilele economice
În marea majoritate a cazurilor, variabilele economice se manifestă în cadrul unui sistem de
interdependenţe în care suferă influenţe din partea altor variabile şi la rândul lor exercită influenţe
asupra unor variabile.
Tipologia legăturilor care se stabilesc în interiorul unor astfel de sisteme este extrem de
diversă, fapt pentru care există numeroase criterii de clasificare a legăturilor.
1. După intensitatea legăturilor dintre variabile, există 3 categorii:
- conexiunea nulă (legătura inexistentă)
Apare în situaţia în care între variabilele studiate nu există nici o legătură, ele
acţionând complet independent una faţă de alta.
- legături funcţionale (deterministe)
Apar atunci când unei valori date a variabilei factoriale x îi corespunde o singură
valoare bine determinată a variabilei rezultative y.
y = f(x)
y= variabila rezultativă
x= variabila factorială (acţionează asupra lui y)
ex: y = 2 + 3x2 în ecuaţii în general nu se întâmplă aşa factori perturbatori (chiar
x = 2 y = 14 dacă condiţiile sunt aceleaşi)
Legăturile deterministe sunt specifice mai degrabă ştiinţelor exacte şi se întâlnesc mai
rar în economie.
- legături statistice (stochastice)
Apar atunci când unei valori date a variabilei factoriale x îi corespunde o repartiţie de
valori probabile ale lui y.
13
ε+= )x(fy
ex: ε++= 2x32y
x=2 y1=14 (dar această valoare a probab. de apariţie, P1)
y2=13.5 (P2) ; y3=14.5 (P3)
Această legătură face cu precădere obiectul analizei econometrice.
2. După numărul de variabile factoriale implicate există:
- legături simple, care apar atunci când este studiată acţiunea unui singur factor de influenţă, x ,
asupra variabilei rezultative y.
Modele care studiază legăturile simple se numesc modele unifactoriale.
- legături multiple, care studiază acţiunea simultană a mai multor factori de confluenţă, x1, x2, .....,
xK asupra variabilei rezultative y. Aceste legături sunt studiate cu ajutorul modelelor
multifactoriale.
3. După sensul legăturii, există:
- legături directe, care apar atunci cand variabilele x şi y variază în acelaşi sens.
- legături inverse, care apar atunci când variabilele x şi y variază In sens contrar
4. După forma legăturii dintre varaiabile, există:
- legături liniare, care apar atunci când legatura dintre variabilele x şi y poate fi reprezentată grafic
cu ajutorul unei drepte
- legături neliniare, care apar atunci când reprezentarea grafică a legăturii are diverse curbe
(hiperbolice, parabolice, exponenţiale, etc)
5. După momentul de timp al transmiterii influenţei, există:
- legături concomitente (sincrone) care apar atunci când influenţa se transmite în timp foarte scurt
dinspre x spre y.
- legături cu decalaj în timp, apar atunci când influenţa se transmite cu întârziere de-a lungul unei
perioade de timp dinspre variabila x către variabila y.
2.2 Analiza formei şi a intensitaţii legăturilor dintre variabile
Această componentă a analizei econometrice include primele etape din elaborarea unui model
econometric, începând cu formularea ipotezelor de pornire şi selectare a variabilelor şi finalizând cu
determinarea ecuaţiei modelului şi estimarea parametrilor.
Analiza formei şi intensităţii legăturilor se realizează în două etape distincte:
a) analiza de regresie
b) analiza de corelaţie
14
ANALIZA DE REGRESIE
Constă în identificarea şi selectarea variabilelor, gruparea lor pe categorii (rezultative,
factoriale sau pertubetoare) şi în estimarea parametrului modelului pe baza cărora poate fi
determinată forma şi sensul legăturii.
Pentru a putea utiliza funcţiile matematice cunoscute, cel mai adesea se reprezintă grafic
legătura dintre variabilele x şi y. Această metodă grafică este des întâlnită în practică datorită
simplităţii ei şi mai este denumită ”metoda norului de puncte”.
Dacă norul de puncte sugerează o linie dreaptă ⇒ modelul liniar
Dacă norul de puncte este neliniar ⇒ funcţia hiperbolică
Dacă norul de puncte sugerează o curbă care crşte semnificativ ⇒ funcţia exponenţială
Pe baza reprezentării grafice se alege/aleg ecuaţia sau ecuaţiile modelului, iar apoi, cu ajutorul
unor metode specifice se estimează si se interpretează parametrii modelului.
15
ANALIZA CORELAȚIEI
Constă în determinarea cu ajutorul unor parametrii specifici a intensităţii legăturii dintre
variabilele studiate. Cel mai general parametru care studiază corelaţia dintre 2 variabile x şi y este
covarianţa, notată cov(x,y).
∑=
−−⋅=n
1iii )yy)(xx(
n
1)y,xcov(
n = numărul eşantionului
ix = valorile variabilei factoriale x
x = media variabilelor factoriale x
iy = valorile variabilei rezultative y
y = media variabilelor rezultative y
Interpreatarea sensului şi a intensităţii unei legături cu ajutorul covarianţei se realizează cu
ajutorul graficului cadranelor de corelaţie:
16
I + + (+) ⇒ valori pozitive
II - + (-) ⇒ valori negative
III - - (+) ⇒ valori pozitive
IV + - (-) ⇒ valori negative
Dacă norul de puncte se concentrează în jurul primei bisectoare (cadranele I şi III) atunci
legătura dintre variabilele x şi y este puternică şi directă.
Dacă norul de puncte se concentrează în jurul celei de-a doua bisectoare (cadranele II şi IV)
atunci legătura dintre variabilele x şi y este puternică şi inversă.
Dacă norul de puncte este împrăştiat haotic pe toate cele 4 cadrane, atunci între variabilele x
şi y nu există legătură.
Covarianţa serveşte mai degrabă drept bază de pornire pentru calcularea unor parametrii mai
sintetici ai corelaţiei.
Pentru variabilele cantitative cei mai cunoscuţi parametrii ai corelaţiei sunt:
1. Coeficientul de corelaţie (liniară), notat r sau ρ
2. Raportul de corelaţie -simplă
-multiplă (rapoarte de corelaţie parţiale), notat cu R
3. Coeficientul de determinaţie, notat cu R2, folosit:
- pentru legătura simplă
- pentru legătura multiplă (coeficienţii de determinaţie parţială)
Parametrii sintetici de caracterizare a corelaţiei dintre două sau mai multe variabile sunt:
1. Coeficientul de corelaţie liniară r
yx
)y,xcov(r
σ⋅σ=
xσ = abaterea medie pătratică (deviaţia standard) a variabilei x
17
n
)xx( 2n
1ii
x
∑=
−=σ
yσ = abaterea medie pătratică a variabilei y
n
)yy( 2n
1ii
y
∑=
−=σ
∑=
−−⋅=n
1iii )yy)(xx(
n
1)y,xcov(
∑ ∑
∑
∑∑
∑
= =
=
==
=
−⋅−
−−=
−⋅
−
−−⋅=
n
1i
n
1i
2i
2i
n
1iii
n
1i
2i
n
1i
2i
n
1iii
)yy()xx(
)yy)(xx(
n
)yy(
n
)xx(
)yy)(xx(n
1
r
n
xx
n
1ii∑
== , n
yy
n
1ii∑
==
−⋅
−⋅
⋅−⋅⋅=
∑∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
=== =
= = =
2n
1ii
n
1i
2i
n
1i
2n
1ii
2i
n
1i
n
1i
n
1iiiii
yynxxn
yxyxnr , r
Interpretare:
Cu cât valorile lui r se aproprie de 1, cu atât legătura este mai puternică şi directă (când
variabilele x şi y evoluează în acelaşi sens).
Cu cât valoarea lui r este mai apropriată de -1, cu atât legătura dintre variabilele x şi y este
mai putenică şi inversă.
Dacă r are valori apropriate de 0 nu legătură liniară între variabilele x şi y.
18
Principalul dezavantaj al coeficientului de corelaţie este acela că nu poate fi folosit decât în
cazul legăturilor liniare simple, ceea ce îi restrânge aplicabilitatea. Din acest motiv pentru alte tipuri
de modele se folosesc următorii 2 parametrii ai corelaţiei şi anume:
2. Raportul de corelaţie R
Raportul de corelaţie se bazează pe analiza varianţei care descompune variaţia totală a
variabilei rezultative y în 2 componente.
ε+= )x(fy , ecuaţia generală a econometriei
Variaţia totală este cuantificată prin parametrul statistic 2yσ
n
)yy(n
1i
2i
2y
∑=
−=σ
Prima componentă o reprezintă variaţia explicată care arată variaţia lui y determinată de
acţiunea variabilei factoriale x. Această componentă se cuantifică prin:
n
)yy(n
1i
2i
2
xy
∑=
−=σ
A doua componentă o reprezintă variaţia reziduală care arată în ce măsură variaţia lui y este
determinată de influenţa factorilor întâmplători sau nesimnificativi. Această variaţie reziduală se
notează cu 2εσ .
2n
1ii
n
1i
2i
2y
2
)yy(
)yy(R x
y
∑
∑
=
=
−
−=
σ
σ=
, R
Interpretare:
- cu cât R are valori mai apropriate de 1 cu atât legătura este mai puternică
- cu cât R este mai apropriat de 0 cu atât legătura este mai slabă
ex: R > 0.8 0.5 R 0.8 R < 0.5
19
În cazul modelului unifactorial liniar între coeficientul de corelaţie liniară şi raportul de
corelaţie următoarea relaţie: R = |r|
3. Coeficientul de determinţie R2
Se calculează ca pătrat al raportului de corelaţie R
∑
∑
=
=
−
−=
n
1i
2i
n
1i
2i
2
)yy(
)yy(R
R2 ne arată proporţia în care variaţia lui y este dată de influenţa variaţiei lui x.
Inversul lui R2 adică 1 – R2 se numeşte coeficient de nedeterminaţie şi arată proporţia în care
variaţia lui y se datorează acţiunii factorilor întâmplători.
20
CAPITOLUL 3
MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE
Aceste modele studiază influenţa pe care o exercită o simplă variabilă factorială x asupra
variabilei rezultative y.
Ecuaţia generală a unui model unifactorial este de forma:
ε+= )x(fy
Aceste modele sunt destul de diverse dar criteriul de clasificare cel mai important este cel care
le împarte în:
- modele unifactoriale liniare
- modele unifactoriale neliniare
I. Modelul unifactorial liniar
Este modelul care presupune că între variabilele x şi y există o legătură care poate fi
reprezentată grafic cu ajutorul unei drepte.
Ecuaţia care stă la baza acestui model este de forma y = a + b·x + , unde a şi b sunt
parametrii modelului.
Ecuaţia modelului mai este cunoscută şi sub numele de funcţie de regresie liniară simplă.
Pentru a studia legătura dintre x si y este necesară estimarea şi interpretarea parametrilor a şi
b, adică analiza de regresie a modelului.
Estimarea parametrilor se poate face prin mai multe metode dintre care cea mai cunoscută şi
mai des utilizată în practica econometrică este metoda celor mai mici pătrate.
Principiul metodei se bazează pe minimizarea sumei pătratelor erorilor de estimare.
∑=
ε=n
1i
2iF (minimă) , iε = erorile de estimare
Utilizarea acestei metode presupune formularea unor ipoteze iniţiale concretizate în 4 restricţii
şi anume:
1) Valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei rezultative y trebuie să fie înregistrate fără erori
de observare
2) Variabila aleatoare trebuie să fie de repartiţie normală, de medie nulă şi varianţă constantă
3) Variabila aleatoare este independentă în raport cu variabila factorială x
21
4) Variabila aleatoare nu este autocorelată (nivelul prezent al variabilei aleatoare nu depinde de
valorile înregistrate în perioadele anterioare)
iii yy −=ε
- valorile reale ale variabilei y
- valorile variabilei y estimate pe baza modelului
⇒⋅−−=ε⇒⋅+= iiiii xbayxbay
→⋅−−=⇒ ∑=
n
1i
2ii )xbay(F minimă
Minimizarea funcţiei F se realizează prin egalarea cu 0 a derivatelor parţiale de ordinul I în
raport cu parametrii a şi b.
'MM2M 2 ⋅=
)1(2:/0)1)(xbay(2Fn
1iii
'a/ −⋅=−⋅−−= ∑
=
)x(/0)x)(xbay(2F i
n
1iiii
'b/ −⋅=−⋅−−= ∑
=
⇒
=⋅+⋅+⋅−
=⋅++−
∑
∑
=
=
0)xbxaxy(
0)xbay(
n
1i
2iiii
n
1iii
⋅=⋅+⋅
=⋅+⋅
∑ ∑∑
∑∑
= ==
==
n
1ii
n
1ii
n
1i
2ii
n
1ii
n
1ii
xyxbxa
yxban
Valorile estimate ale parametrilor a şi b se obţin în urma rezolvării sistemului prin una din
metodele cunoscute.
Valoarea estimată a parametrului a ne arată nivelul variabilei rezultative y atunci când x=0.
Semnul parametrului b se interpretează astfel:
Dacă b>0 ⇒ legătura dintre variabila x şi y este directă
Dacă b<0 ⇒ legătura dintre variabila x şi y este inversă
Dacă b=0 ⇒ între x şi y nu există legătură
22
Valoarea estimată a parametrului b arată cu cât creşte (variază) variabila y atunci când x
creşte cu 1 unitate.
Dacă b>1 ⇒ y este foarte sensibil la variaţiile lui x
Dacă b<1 ⇒ y este puţin influenţat de variaţiile lui x
Interpretarea parametrilor a şi b finalizează analiza de regresie a modelului.
Următoarea etapă o constituie analiza corelaţiei, care este studiată cu ajutorul parametrilor
definiţi în capitolul 2 (şi anume: coeficientul de corelaţie, raportul de corelaţie şi coeficientul de
determinaţie).
Verificarea statistică:
Aceasta reprezintă etapa în care modelul este validat sau invalidat cu ajutorul unor parametrii
şi a unor teste statistice.
1. Determinarea şi interpretarea erorilor standard
- eroarea standard a modelului εs
- erorile standard ale parametrilor modelului notate cu as şi bs
∑=
ε −−
=n
1i
2ii )yy(
2n
1s
Interpretare:
a modelului este o eroare medie generată de model, care cu cât este mai mică în raport
cu valorile lui y, cu atât modelul este mai bun.
∑ ∑
∑
= =
=ε
−⋅
=n
1i
2n
1ii
2i
n
1i
2i
a
xxn
x
ss
∑ ∑= =
ε
−⋅
=n
1i
2n
1ii
2i
b
xxn
nss
Interpretare:
Cu cât as şi bs sunt mai mici în raport cu parametrii a şi b, cu atât aceştia sunt mai
corect estimaţi.
Erorile standard ca valori în sine sunt mai greu de interpretat, ele fiind utilizate în special
pentru a calcula alţi parametrii statistici cu un grad mai mare de rigurozitate.
23
2. Testul student de verificare a semnificaţiei parametrilor modelului
Etapa 1: se formulează ipoteza nulă conform căreia parametrii a şi b sunt egali cu 0; H0 : a=0, b=0
Etapa 2: se stabileşte probabilitatea de nerealizare a testului, notată cu α ; α−= 1p (probabilitatea
de realizare)
Etapa3: se determină valorile calculate ale testului
a
a s
|a|t =
bb s
|b|t =
Etapa 4: Din tabelele statistice aferente repartiţiei student se alege o valoare tabelară (critică) în
funcţie de probabilitatea şi de n-1 grade de libertate.
)1n;(t tab −α
Etapa 5: se compară valorile calculate cu valoarea tabelară şi pot rezulta următoarele situaţii:
- 0tabba Htt,t ⇒> se respinge şi spunem cu probabilitatea p = 1 - că parametrii a şi
b sunt corecţi din punct de vedere statistic. În această situaţie modelul este validat şi poate
fi utilizat pentru a studia legătura dintre variabilele x şi y.
- 0tabba Htt,t ⇒≤ se acceptă şi spunem cu probabilitatea p = 1 - că parametrii a şi
b sunt nesemnificativi. În această situaţie modelul este invalidat şi trebuie refăcut
- taba tt > ; tabb tt ≤ ⇒ a este relevant, în schimb b este irelevant ⇒ modelul este
incorect
- taba tt ≤ ; tabb tt > ⇒ b este relevant şi a este irelevant.
Termenul liber a este eliminat din model şi ⇒ un nou model de forma : ε+⋅= xby i
⇒ modelul este resupus testării statistice.
3. Tehnica ANOVA (sau analiza varianţelor)
Această tehnică presupune descompunerea variaţiei totale, a variabilei rezultative y în două
componente.
Prima componentă este variaţia explicată (variaţia lui y ca urmare a influenţei lui x), se
notează cu 2
xyσ .
24
A doua componentă este variaţia reziduală (variaţia lui y determinată de acţiunea factorilor
întâmplători ), se notează cu 2εσ .
Analiza varianţelor presupune compararea celor două componente cu ajutorul unui test
„Fisher”.
Etapa 1: se formulează ipoteza nulă, conform căreia cele două componente sunt egale:
H: 2
xyσ =
2εσ
Deoarece se cosideră că efectul lui x asupra lui y este egal cu efectul întâmplării asupra lui y
înseamnă că x este la rândul său un factor de influenţă întâmplător şi modelul este irelevant.
Etapa 2: se stabileşte probabilitatea de nerealizare a testului , se notează cu ; iar inversul lui este
p= 1 - (probabilitatea de realizare)
Etapa 3: se determină o valoare calculată a testului „Fisher” după relaţia:
2
2
xy
Fεσ
σ= ,
- este un estimator al lui 2
xyσ calculat pe baza unui eşantion reprezentativ
- este tot un estimator al lui 2εσ calculat pe baza unui eşantion reprezentativ
Etapa 4: din tabelele repartiţiei Fisher se ia o valoare tabelară (critică) în funcţie de probabilitatea α ;
n – 1 ; n – 1 grade de libertate n - 1 = n - 1
Etapa 6: se compară valoarea calculată cu valoarea tabelară şi pot rezulta 2 situaţii:
Dacă 0tabc HFF ⇒> se respinge şi spunem cu probabilitatea p=1 - că varianţa explicată
este semnificativ mai mare decât varianţa reziduală. În această situaţie modelul este considerat
relevant din punct de vedere statistic şi poate fi utilizat pentru a studia legătura dintre x şi y.
Dacă 0tabc HFF ⇒≤ se acceptă şi spunem cu probabilitatea α−= 1p că varianţa explicată
nu diferă semnificativ de varianţa reziduală. În aceste condiţii modelul este invalidat şi trebuie refăcut.
25
II. Modele unifactoriale neliniare
Modelul liniar este foarte des utilizat în practica econometrică. El nu poate fi însă aplicat în
orice situaţie deoarece legătura dintre două variabile economice poate lua diverse forme diferite de
cea liniară.
În astfel de situaţii se folosesc diverse tipuri de modele econometrice bazate pe funcţii
neliniare. Cele mai cunoscute modele neliniare utilizate în economie sunt: modelul hiperbolic,
modelul parabolic şi modelul exponenţial.
1. Modelul hiperbolic
- are la bază o ecuaţie de forma : ε+⋅+=x
1bay
- se foloseşte atunci când norul de puncte al reprezentării grafice sugerează una din
următoarele curbe:
ε+⋅+=turicos
1baofitPr
- legătura dintre variabile este studiată prin estimarea parametrilor a şi b
- aceasta se realizează cu metoda celor mai mici pătrate după ce s-a făcut schimbarea de
variabilă 'xx
1=
26
=⋅+⋅
=⋅+⋅
∑ ∑∑
∑∑
= ==
==
n
1i
n
1ii
'i
2n
1i
'i
'i
n
1ii
n
1i
'i
)yx()x(b)x(a
y)x(ban
=
=⇒
b
a
Valoarea estimată a parametrului a ne arată nivelul către care tinde y atunci când x ia
valori foarte mari. )PIB(KLy βα ⋅=
- semnul parametrului b ne arată dacă funcţia este crescătoare (b < 0) sau descrescătoare (b
>0)
- analiza corelaţiei în cazul acestui model se realizează cu ajutorul raportului de corelaţie
(R) şi a coeficientului de determinaţie (R2)
R [0;1] , R2 [0;1]
- verificarea statistică se realizează similar cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar
2. Modelul parabolic
- are la bază o ecuaţie forma : ε+⋅+⋅+= 2xcxbay
- se foloseşte atunci când norul de puncte sugerează o reprezentare grafică de forma unei
parabole:
- parametrii a, b şi c se estimează cu metoda celor mai mici pătrate în urma căruia rezultă
sistemul de ecuaţii:
27
⋅=⋅+⋅+⋅
⋅=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
∑ ∑∑∑
∑ ∑∑∑
∑∑∑
= ===
= ===
===
n
1i
n
1ii
2i
n
1i
4i
n
1i
3i
2i
n
1i
n
1iii
n
1i
3i
n
1i
2ii
n
1ii
n
1i
2i
n
1ii
yxx3xbxa
yxxcxbxa
yxcxban
- parametrul a ne arată nivelul variabilei reprezentative y atunci când variabila factorială x
este egală cu 0
- analiza corelaţiei şi verificarea statistică sunt similare cu cazul modelului unifactorial
liniar
3. Modelul exponenţial
- are la bază o ecuaţie de forma ε⋅⋅= xbay
- modelul exponenţial se foloseşte atunci când reprezentarea grafică este de forma:
- dacă b (0;1) reprezentarea funcţiei este similară cu hiperbola
- parametrii modelului exponenţial se pot estima tot cu metoda celor mai mici pătrate după
ce funcţia este adusă la o formă liniară prin logaritmare.
ε+⋅+= lnblnxalnyln
'''' bxay ε+⋅+=
'aaln = , 'aea =
- are la bază o ecuaţie generală de forma : ε⋅⋅= bxay
Exemplu:
28
ε⋅⋅=⇒= xay1b
ε⋅⋅=⇒= 2xay2b
ε+⋅+= lnblnxalnyln
'''' bxay ε+⋅+=
29
CAPITOLUL 4
MODELE ECONOMETRICE MULTIFACTORIALE
Modelele unifactoriale deşi sunt foarte utile pentru a studia legătura dintre 2 variabile
economice nu sunt suficient de complexe pentru a reflecta realitatea economică în ansamblul ei.
Din acest motiv o largă utilizare o au modelele multifactoriale care studiază legătura dintre o
variabilă rezultativă şi mai mulţi factori de influenţă care acţionează simultan asupra sa.
Ecuaţia generală a unui model unifactorial este de forma :
ε+= )x,........,x,x(fy K21
y = variabila rezultativă
K21 x..,,.........x,x = factori de influenţă ce acţionează asupra lui y
ε = variabila reziduală
În funcţie de forma reprezentării grafice a legăturii dintre variabilele modelului, există două
mari categorii de modele: modelul multifactorial liniar şi modelul multifactorial neliniar.
1. Modelul multifactorial liniar
- se utilizează atunci când reprezentarea grafică a legăturilor dintre variabile sugerează o
dreaptă
Ecuaţia modelului este de forma:
ε+⋅++⋅+⋅+= KK22110 xa..........xaxaay
K210 a,......,a,a,a = parametrii modelului care cuantifică legatura dintre variabilele modelului
Estimarea parametrilor se realizează de obicei cu metoda celor mai mici pătrate.
Principiul metodei:
→ε=∑=
n
1i
2iF minimă; iε =coeficient de estimare
Restricţiile metodei sunt similare cu cele prezentate le modelul unifactorial liniar.
iii yy −=ε
ε+⋅++⋅+⋅+= KiKi22i110i xa..........xaxaay
KiKi22i110ii xa..........xaxaay ⋅++⋅+⋅+−=ε
→⋅−−⋅−⋅−−=∑=
2KiKi22i110
n
1ii )xa..........xaxaay(F minime
30
Se egalează cu 0 derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei F în raport cu parametrii
K210 a,....,a,a,a
=−−−−−−
=−−−−−−⋅
−−−−−−
∑
∑
∑
=
=
=
n
1iKiKiKi22i110i
n
1iKiKiKi22i110i
n
1iKIKi22i1101
0)x)(xa.........)xaxaay(2
0)x)(xa.......xaxaay(2
)1)(xa.....xaxaay(
⇒
⋅=⋅++⋅⋅+⋅+
⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅+
=⋅++⋅+⋅+⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑∑
∑ ∑ ∑∑
= = = = =ε
= = =ε
==
= = ==
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
n
1iKi
2KiKKii22Kii11i10
n
1i
n
1i
n
1iKi
n
1iKii1K
n
1ii2i12
2i11i10
n
1i
n
1i
n
1ii
n
1iKiKi22i110
xyxa................xxaxxaxa
xyxxa................xxaxaxa
yxa.................xaxaan
În urma rezolvării sistemului se obţin valorile estimate ale parametrilor modelului, K210 a,.....,a,a,a
KiKi22i110i xa..............xaxaay ⋅++⋅+⋅+=⇒
Presupunem:
y = cursul de schimb valutar
x1 = soldul comerţuluiexterior (E-I)( CES )
x2 = masa monetară (cantitatea de lei pe piaţă)( mM )
x3 = rata dobânzii ( dR )
d3m2CE10s RaMaSaaC ⋅+⋅+⋅+=
a0 = 3,3 ; a1 = -1,5 ; a2 = 1,8 ; a3 = -1,2
a0 = 3,3, când toate variabilele sunt egale cu 0, CES creşte cu o unitate
a2, ne arată creşterea cu o unitate a masei monetare mM
a3 dR⇒ creşte cu un procent ⇒ scăderea cursului cu 1%
31
Estimarea şi interpretarea parametrilor a constituit analiza corelaţiei de regresie a modelului,
următoarea etapă, analiza corelaţiei se realizează cu ajutorul coeficienţilor definiţi în capitolul 2.
1. Raportul de corelaţie (R) ; R ∈ [0;1]
Dacă R→ 1 legătura dintre y şi variabilele factoriale (x1, x2, x3, ..., xK) este puternică
Dacă R→ 0 legătura dintre y şi variabilele factoriale (x1, x2, x3, ..., xK) este slabă
Rapoarte de corelaţie parţiale:
Kxy
2xy
1xy R,..........,.........R,R
2. Coeficientul de determinaţie (R2); R2 ∈ [0;1]
Arată proporţia în care variaţia lui y este dată de influenţa simultană a tuturor factorilor
x1, x2, . . . . . , xK.
Coeficienţi de determinaţie parţiali:
222
Kxy
2xy
1xy R.........,,.........R,R
Verificarea statistică a modelului multifactorial se realizează cu ajutorul parametrilor statistici
studiaţi în cazul modelului liniar unifactorial.
2. Modele multifactoriale neliniare
În practică există numeroase situaţii în care legăturile dintre variabilele economice nu pot fi
reprezentate cu ajutorul unei drepte. În aceste condiţii, modelul liniar nu poate fi utilizat şi el va fi
înlocuit cu o serie de ecuaţii neliniare în funcţie de forma legăturii structurale.
Cele mai utilizate modele neliniare multifactoriale sunt cele de tip exponenţial şi funcţiile de
putere.
a) Modelul multifactorial exponenţial
Se utilizează atunci când variaţia variabilelor rezultative y este exponenţială în raport cu
variaţia factorilor de influenţă x1, x2, . . . . . . . , xK.
Modelul are la bază o ecuaţie de forma ε⋅⋅⋅⋅⋅= K21 xK
x2
x10 a...................aaay
Pentru a estima parametrii a0, a1, . . . . , aK se duce funcţia la o formă liniară prin
logaritmare.
ε+++++= lnalnx..................alnxalnxalnyln KK22110
'ax....................axaxa'y 'KK
'22
'11
'0 ε+⋅++⋅+⋅+=
'0a
0'00 eaaaln =⇒=
Interpretarea parametrilor, analiza corelaţiei şi verficarea statistică sunt similare cu cele
prezentate la modelul multifactorial liniar.
b) Funcţii de putere multifactoriale
32
Această clasă de modele se bazează pe o ecuaţie generală de forma:
ε⋅⋅⋅⋅⋅= K21 aK
a2
a10 x..................xxay
''KK
'11
'0 xa........................xaa'y ε+⋅++⋅+= . Cea mai cunoscută aplicaţie
econometrică.
33
CAPITOLUL 5
FUNCŢII DE PRODUCŢIE
Funcţiile de producţie sunt modele multifactoriale neliniare care studiază legatura dintre produsul său
venitul unei economii naţionale şi factorii de producţie care contribuie în realizarea acesteia.
Există diverse variante ale acestor funcţii dintre care cele mai cunoscute sunt:
• Funcţia Cobb-Douglas
• Funcţia Solow
1. Funcţia de producţie COBB-DOUGLAS
Această funcţie presupune că între produsul realizat de către o ţară şi principalii factori de
producţie există o legatură de forma: )PIB(KLy βα ⋅= , unde:
y-venitul sau produsul realizat de economia naţională pe 1 an
→PNB
PIBVN
L-forţa de muncă; cuprinde: nr.salariaţi şi costul cu salariile (nr.salariaţi · salariu mediu)
K-capitalul fix
α-elasticitatea PIB la variaţia forţei de munca L
β-elasticitatea PIB la variaţia capitalului fix K.
Estimarea elasticităţilor α şi β se realizează prin liniarizarea funcţiei cu ajutorul logaritmului:
KlnLlnPIBln β+α=
În urma aplicării metodei celor mai mici pătrate rezultă un sistem de 2 ecuaţii cu
necunoscutele α şi β :
⋅=β+⋅α
⋅=⋅β+⋅α
∑ ∑ ∑
∑∑ ∑
= = =
== =
n
1ii
n
1i
n
1i
2ii
n
1i
n
1i
n
1ii
2
)KlnPIB(ln)K(ln)KlnLi(ln
LilnPIBln)LilnK(ln)Li(ln
În urma rezolvării sistemului se obţin valorile estimate ale elasticităţilor . Elasticitatea
arată proporţia în care factorul forţa de muncă (L) este cuprins în realizarea produsului intern brut
(PIB). Elasticitatea arată proporţia în care factorul capital fix (K) contribuie la realizarea PIB.
34
Pe termen lung suma celor 2 elasticităţi tinde către 1, ceea ce arată importanţa factorilor L şi
K în deţinerea PIB.
Analiza corelaţiei şi verificarea statistică se realizează cu ajutorul parametrilor prezentaţi la
modelul unifactorial liniar.
2. Funcţia de producţie SOLOW
Este o funcţie care completează funcţia de producţie Cobb-Douglas.
Factorii de producţie: forţa de muncă (L) şi capitalul fix (K) sunt evaluate cantitativ în cadrul
funcţie Cobb-Douglas.
Solow a observat că analiza factorilor cantitativi nu este suficientă şi a completat funcţia cu
un factor calitativ, care cuantifică productivitatea lui L şi K.
Funcţia Solow (generală): teKLy ⋅γβα ⋅⋅=
te ⋅γ =impactul progresului tehnic sau inovării asupra W (productivităţii) lui L şi K , e=2,71
a=elasticitatea PIB la variaţia productivităţii, t= factorul timp
• Se liniarizează funcţia prin logaritmare:
tKlnLlnPIBln ⋅γ+β+⋅α=
• Se aplică metoda celor mai mici pătrate:
⋅=γ+⋅β+⋅⋅α
⋅=⋅⋅γ+β+⋅⋅α
⋅=⋅⋅γ+⋅β+⋅α
∑∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑
====
= = = =
= = ==
n
1ii
n
1i
2n
1ii
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
n
1iiii
2ii
n
1i
n
1i
n
1ii
n
1ii
2
)PIBlnti()ti()Klnti()Lilnti(
)KlnPIB(ln)Klnti()K(ln)KlnLi(ln
)LilnPIB(ln)Lilnti()LilnK(ln)Li(ln
În urma rezolvării sistemului se obţin valorile estimate ale elasticităţilor βα, şi γ .
35
CAPITOLUL 6
MODELE ECONOMETRICE BAZATE PE FACTORUL TIMP
6.1. Noţiuni generale privind evoluţia în timp a fenomenelor economice
Studiul evoluţiei în timp a fenomenelor şi proceselor economice este o latură importantă a
cercetării econometrice. Acest tip de analiză se bazează pe seriile de date înregistrate de-a lungul
timpului.
Seriile de date înregistrate în timp poartă numele de serii de timp (serii cronologice sau
dinamice).
Variabila a cărei evoluţie în timp este studiată, este notată generic cu y, iar reprezintă
valoarea variabilei y la momentul t.
nt21
nt21
t...........t....,.........t,t
y...........y.,.........y,y
( ) =nt21 y...........y.,.........y,y termenii seriei de timp
( ) =nt21 t...........t....,.........t,t momentele de timp la care s-a făcut înregistrarea (periodicitatea între
2 momente este egală)
Evoluţia în timp a unei variabile economice este determinată de anumite caracteristici ale
termenilor seriei:
-omogenitatea termenilor = caracteristică ce întruneşte elementele comune tuturor termenilor seriei.
Cu cât această caracteristică este mai accentuată, cu atât evoluţia în timp a
fenomenului studiat este mai stabilă şi mai uşor de previzionat.
-variabilitatea termenilor = se manifestă prin elementele individuale eterogene, specifice fiecărui
termen în parte.
Cu cât variabilitatea este mai accentuată cu atât fenomenul este mai
fluctuant şi mai greu de previzionat.
-periodicitatea termenilor = ţine de distanţa în timp între două momente succesive (exemplu: zilnică,
săptămânală, lunară, trimestrială, anuală, etc).
36
-interdependenţa termenilor = se referă la intensitatea legăturii dintre doi sau mai mulţi termeni
succesivi.
Evoluţia în timp a unei variabile este studiată de obicei prin descompunerea în mai multe
componente:
- trendul/tendinţa generală de evoluţie
- variaţiile ciclice
- variaţiile sezoniere
- variaţiile aleatoare/întâmplatoare
1. Trendul = componentă fundamentală a evoluţiei în timp a unui fenomen economic care
sintetizează tendinţa generală de evoluţie pe termen lung a fenomenului studiat.
2. Variaţiile ciclice = sunt abateri în raport cu trendul, care se manifestă la intervale mari de
timp şi cu intensităţi neregulate.
3. Variaţiile sezoniere = sunt abateri relativ regulate de la trend, care se manifestă la perioade
egale de timp, de obicei în intervalul unui an.
4. Variaţiile aleatoare = variaţii improvizabile, necuantificabile, care afectează, mai mult sau mai
puţin evoluţia fenomenului studiat.
Aceste componente pot fi studiate împreună sau separat, în funcţie de necesităţile analizei.
Există numeroase metode de cercetare a seriilor de timp, grupate pe două mari categorii:
a) metode elementare - metoda grafică
- metoda mediilor mobile
- metoda indiciilor şi indicatorilor statistici
ele fac obiectul cercetării statistice
b) metode analitice -bazate pe modele econometrice:
� funcţii de timp: forma general : tt )t(fy ε+=
-liniare
-neliniare
� modele autoregresive (AR) ( AR[K] ⇒ AR de ordin K )
tkt2t1tt )y,......,y,y(fy ε+= −−−
37
FUNCŢIILE DE TIMP
Sunt cele mai cunoscute metode analitice de studiu a evoluţiei în timp a fenomenelor şi
proceselor economice.
Ele se bazează pe construirea unei funcţii date de evoluţia istorică a fenomenului studiat,
funcţie utilizată apoi pentru a previziona evoluţia viitoare a fenomenului.
Ecuaţia generală a unei funcţii de timp este de forma:
tt )t(fy ε+=
ty = variabila studiată la momentul t
f = funcţia de timp
= variabila reziduală care cuantifică variaţile aleatoare
t = factorul timp (reprezentat de perioadă; lună; an; zi)
În raport cu reprezentarea grafică a evoluţiei în timp a fenomenelor studiate, funcţiile de timp
pot fi: liniare sau neliniare.
a) Funcţia liniară de timp
Se utilizează atunci când reprezantarea grafică a evoluţiei în timp a fenomenului studiat
(cromograma) sugerează o dreaptă.
38
Ecuaţia generală a funcţiei liniare de timp este:
tt tbay ε+⋅+= ; a,b – parametrii funcţiei
Evoluţia în timp a variabilei studiate “y” este dată de valorile parametrilor a şi b. Aceştia se
estimează cu metoda celor mai mici pătrate prin minimizarea sumei pătratelor erorilor de estimare.
→ε=∑=
n
1t
2tF minimă
→⋅−−=⇒−=ε ∑=
n
1t
2tttt )tbay(Fyy minimă
tbaytbay ttt ⋅−−=ε⇒⋅+=
Se egalează cu 0 derivatele parţiale de oridinul I ale funcţiei F în raport cu parametrii a şi b.
∑=
=−⋅−−=n
1tt
'a/ 2|:0)1)(tbay(2F
∑=
=−⋅−−=n
1tt
'b/ 2|:0)t)(tbay(2F
=⋅+⋅+⋅−
=⋅++−
⇒
∑
∑
=
=
n
1t
2t
n
1tt
0)tbtayt(
0)tbay(
⋅=⋅+⋅
=⋅+⋅
⇒
∑∑∑
∑∑
===
==
n
1tt
n
1t
2n
1t
n
1tt
n
1t
)yt(tbta
ytban
→ În urma rezolvării obţinem parametrii a şi b
Interpretare :
Daca b>0 tendinţa generală de evoluţie a fenomenului studiat este crescătoare
Daca b<0 tendinţa generală de evoluţie este descrescătoare
Daca b=0 evoluţia lui y este constantă în timp
39
Valoarea estimată a lui b ne arată variaţia medie de la o perioadă la alta a variabilei studiate.
Dacă →
−<
>
1b
1b arată o creştere accentuată de la o perioadă la alta (ne arată o pantă mai
mare de creştere sau de descreştere).
Daca →−∈ ]1;1[b ritmul de creştere (descreştere) este lent
→++=+ )1t(bay 1t previziunea pentru anul următor
Concluzie:
Previziunile cu ajutorul funcţiilor de timp nu depăşesc de obicei 2 perioade deoarece ele
transpun în viitor condiţii din trecut ceea ce nu permite previziuni pe termen lung.
Analiza corelaţiei se realizează cu ajutorul raportului de corelaţie R şi al coeficientului de
determinaţie R2; ambii coficienţi sunt situaţi în intervalul [0;1].
Daca 1R,R 2 → evoluţia în timp a fenomenului studiat este efectiv stabilă şi se poate
determina o tendinţă generală de evoluţie.
Daca 0R,R 2 → evoluţia fenomenului studiat este fluctuant imprevizibilă şi nu se poate
determina o tendinţă pe termen lung.
b) Funcţia neliniară de timp
Cele mai cunoscute funcţii de timp neliniare sunt funcţia hiperbolică, funcţia parabolic şi
funcţia exponenţială.
Funcţia de timp hiperbolică: are la bază o ecuaţie de forma:
tt t
1bay ε+⋅+=
40
tt 'tbay'tt
1ε+⋅+=⇒=
Funcţia parabolică este de forma:
t2
t tctbay ε+⋅+⋅+=
Estimarea parametrilor se realizează cu metoda celor mai mici pătrate şi se obţine un sistem
similar cu cel de la modelul unifactorial parabolic.
Funcţia exponenţială este de forma:
tt
t bay ε⋅⋅=
41
Se aduce funcţia la o formă liniară prin logaritmare:
tt lnblntalnyln ε+⋅+=
't
'''t btay ε+⋅+=
⇒
'b
'a
'b
'a
eb'bbln
ea'aaln
=→=
=→=
MODELE AUTOREGRESIVE
De multe ori fenomenele şi procesele economice se modifică în funcţie de comportamentul
lor din perioadele anterioare.
Capacitatea de memorare a comportamentului din trecut şi modificarea comportamentului
prezent în funcţie de ceea ce s-a întâmplat anterior poartă numele de caracter autoregresiv.
Din punct de vedere econometric caracterul autoregresiv este studiat cu ajutorul a mai multor
categorii de modele numite generic modele autoregresive.
Forma generală a unui model autoregresiv care studiază comportamentul curent a unei
variabile în funcţie de comportamentul anterior al acesteia, este:
)y;........;y;y(fy Kt2t1tt −−−=
=ty variabila studiată la momentul t
42
Kt,,.........1ty −− = variabilele studiate la momentul t-1, t-2 … t-k
=ε t variabila reziduală ce cuantifică valorile aleatoare
Dintre multitudinea de modele autoregresive care pot fi utilizate, cel mai cunoscut este cel
bazat pe funcţia liniară:
Acest model are o ecuaţie de forma:
tKtK2t21t10t ya.....yayaay ε+⋅++⋅+⋅+= −−−
K10 a,.......,a,a - parametrii modelului
Modelul prezentat sub această formă este cunoscut sub denumirea de model autoregresiv de
ordinul K (aceasta ne arată pe câte perioade ne întindem).
Parametrii modelului sunt reprezentaţi cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate:
∑=
→ε=n
1t
2t )(F minimă
ttt yy −=ε
KtK2t21t10t ya.....yayaay −−− ⋅++⋅+⋅+=
KtK2t21t10tt ya......yayaay −−− ⋅−−⋅−⋅−−=ε
→⋅−−⋅−⋅−−= −−−=∑ 2
KtK2t21t10t
n
1t
)ya......yayaay(F minimă
Minimizarea funcţiei se realizează prin egalarea derivatelor parţiale de ordinul I cu 0 în raport
cu parametrii modelului .
)1(2|:)1)(ya......yayaay(2F KtK2t21t10t
n
1t
'a/ 0
−−⋅−−⋅−⋅−−= −−−=∑
)y(2|:)y)(ya......yayaay(2F 1t1tKtK2t21t10t
n
1t
'a/ 1 −−−−−
=
−−⋅−−⋅−⋅−−=∑
)y(2|:)y)(ya......yayaay(2F KtKtKtK2t21t10t
n
1t
'a/ K −−−−−
=
−−⋅−−⋅−⋅−−=∑
43
⋅=++⋅+⋅+
⋅=⋅++⋅++
=++++⋅
∑ ∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
= = = =−
=−−−−−−
= = = = =−−−−−−−
= = = =−−−
n
1t
n
1t
n
1t
n
1tKtt
2n
1tKtKKt2t2Kt1t1Kt0
n
1t
n
1t
n
1t
n
1t
n
1t1ttKt1tK2t1t2
21t11t0
n
1t
n
1t
n
1t
n
1ttKtK2t21t10
)yy()y(a.........)yy(a)yy(aya
)yy()yy(a.........)yy(a)y(aya
yya.......yayaan
În urma rezolvării sistemului se cunosc valorile tuturor parametrilor modelului. Pe baza
acestora se poate analiza evoluţia fenomenului studiat şi se pot face previziuni pentru perioadele
urmatoare.
Practica econometrică a dovedit că de cele mai multe ori cea mai importantă perioadă
anterioară este t-1 .
în aceste situaţii se foloseşte modelul autoregresiv de ordinul I de forma:
t1t10t yaay ε+⋅+= −
⋅=+
=+⋅
∑ ∑ ∑
∑∑
= = =−−−
==−
n
1t
n
1t
n
1t1tt
21t11t0
n
1tt
n
1t1t10
)yy()y(aya
yyaan
−0a în acest caz nu are relevanţă
−1a nu semnul arată dacă este crescător sau descrescător, ci dacă este supra- sau subunitar.
Tendinţa generală de evoluţie a fenomenului studiat, nu este dată de semnul parametrului
(ca în cazul altor modele econometrice) ci de valoarea acestora:
Dacă ⇒> 1a1 tendinţa generală de evoluţie a fenomenului studiat este crescătoare.
⇒< 1a1 tendinţa generală de evoluţie a fenomenului studiat este descrescătoare
44
ELEMENTE DE ECONOMETRIE FINANCIARĂ
1. Dobânda simplă, dobânda compusă
a) Dobânda simplă
În economie, împrumutarea unei sume presupune plata unei dobânzi aferente. Modalităţile de
calcul ale dobânzii sunt diverse în funcţie de necesităţile practice. Cea mai cunoscută metodă de
calcul a dobânzii, o reprezintă dobânda simplă.
rSD 0 ⋅= , unde:
D = dobânda simplă
0S = suma imprumutată
r = rata dobânzii
)r1(SrSSDSS 00001 +=⋅+=+=
1S = suma împrumutată la sfârşitul perioadei
Exemplu:
S0 = 100 000 RON, r = 14%
La sfârşitul perioadei se restituie:
RON00011414,1000100S)100
141(000100S 11 =⋅=⇒+=
RON00014100
14000100rSD 0 =⋅=⋅=
Dobânda simplă se utilizează pentru împrumuturi pe termen scurt (de obicei pâna la 1 an).
Dacă sumele împrumutate se întind pe mai mulţi ani se utilizează dobânda compusă.
b) Dobânda compusă
=0S suma împrumutată
r = rata dobânzii
45
n = perioada împrumutului (nr. de ani)
La sfârşitul primului an:
)r1(SrSSS 0001 +=⋅+=
La sfarşitul anului II :
2001112 )r1(S)r1)(r1(S)r1(SrSSS +=++=+=⋅+=
La sfarsitul anului III :
30
202223 )r1(S)r1()r1(S)r1(SrSSS +=++=+=⋅+=
n0n )r1(SS +=⇒ (se foloseşte dacă ducem valorile din prezent în trecut)
n
n0
)r1(
SS
+=⇒ (se foloseşte dacă ducem valorile din prezent în trecut)
Exemplu:
0S = 100 000 RON, r= 14%, n=5
9254,100010014,1000100)r1(SS 5505 ⋅=⋅=+=
=5S 192 540 RON, D = 92 540 RON
2. Tabloul de rambursare a unui credit
Reprezintă un tabel în care se înscriu toate elementele aferente unui credit.
Exemplu:
RON000600S0 =
n= 6 ani
r = variabilă : - r1=13%
- r2=12,5%
- r3=12%
- r4=12,5%
46
- r5=12%
- r6=11%
Anul
Valoarea creditului la
începutul anului
Amortisment
Dobânda
Rata
anuală
Valoarea creditului.
Valoarea rămasă la
sfârşitul anului
1
2
3
4
5
6
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
100 000
100 000
100 000
100 000
100 000
100 000
78 000
62 500
48 000
37 500
24 000
11 000
178 000
162 500
148 000
137 500
124 000
111 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
--------------------------
TOTAL -------------------------- 600 000 261 000 861 000 --------------------------
Amortismentul : reprezintă suma anuală de rambursare a împrumutului.
0001006
000600
n
SA 0 ===
Rata anuală = A + D
Valoarea ramasă = AS0 −
rSD 0 ⋅=
RON00078100
13000600D1 =⋅=
RON50062100
5,12000500D 2 =⋅=
RON00048100
12000400D3 =⋅=
RON50037100
5,12000300D 4 =⋅=
RON00024100
12000200D5 =⋅=
RON00011100
11000100D6 =⋅=