MODELAREA PROCESELOR

DECIZIONALE MULTICRITERIALE

1. Multicriterialitatea în activitatea de management

2. Programarea liniară multidimensională/multiobiectiv

(vezi st caz 10 din carte Modelare economica, 2007 !!!)

3. Programarea scop

4. Proceduri de fuzzyficare a problemelor de programare liniară

(vezi carte Modelare economica, 2007 !!!)

5. Metoda utilităţii globale maxime

6. Metoda momentelor (vezi carte Modelare economica, 2007 !!!)

CURS 10

MODELARE ECONOMICA

CONF. DR. NADIA CIOCOIU

1. Multicriterialitatea în activitatea de

management

Procesul decizional presupune evaluarea mai multor

variante decizionale în vederea alegerii uneia dintre

ele.

De cele mai multe ori, evaluarea variantelor

decizionale se face pe baza mai multor indicatori

economici consideraţi criterii de evaluare.

Problemele în care se caută varianta decizională

optimă în raport cu mai multe criterii se numesc

probleme de optimizare multicriterială.

În cazul optimizării multicriteriale se tratează distinct:

optimizarea multiatribut;

optimizarea multiobiectiv.

1. Multicriterialitatea în activitatea de

management

Optimizarea multiobiectiv

(ex. Programarea scop)

Optimizarea multiatribut

(ex. Metoda utilitatii globale max)

mulţimea soluţiilor posibile este

infinită

criteriile de optim se prezintă sub

forma unor funcţii obiectiv care

trebuie maximizate sau minimizate

(metoda de programare scop = goal

programming)

soluţia conduce la abateri cât mai

mici faţă de scopurile propuse prin

funcţiile obiectiv

•mulţimea alternativelor/

variantelor de acţiune este finită;

• fiecare alternativă este

caracterizată de mai multe

atribute (exprimate cantitativ sau

calitativ)

•alternativa optimă aleasă este

aceea care satisface cel mai bine

toate atributele

Criteriile de evaluare a variantelor decizionale pot fi exprimate în

unităţi de măsură diferite.

O altă problemă constă în faptul că, unele criterii luate în

considerare urmăresc maximizarea unor indicatori economici (de

exemplu: venitul total, producţia totală tec.), iar alte criterii urmăresc

minimizarea unor indicatori (de exemplu: costul total, timpul de lucru

etc.).

Pentru alegerea variantei decizionale optime este necesară

ierarhizarea variantelor decizionale disponibile în raport cu toate

criteriile dorite. Dar, în general, o variantă optimă în raport cu un

criteriu este suboptimală în raport cu celelalte criterii. De aceea, se

caută varianta care realizează cel mai bun compromis pentru toate

criteriile.

În acest scop este necesară transformarea valorilor indicatorilor în

mărimi care să permită atât compararea variantelor cât şi agregarea

valorilor criteriilor de evaluare.

1. Multicriterialitatea în activitatea de

management

2. Programarea liniară

multidimensională/multiobiectiv

Forma generală a problemei de programare liniară cu mai

multe funcţii obiectiv:

Optimum F(x) = Cx

cu restricţiile:

Ax b

x 0,

unde: F(x) = vector coloană cu r componente f1(x), f2(x),...,fr(x), care

reprezintă funcţiile obiectiv prin care sunt exprimate criteriile de

evaluare a variantelor decizionale.

Metode:

Metoda maximizării unei funcţii sinteză de utilitate

Metoda programarii scop

2. Programarea liniară

multidimensională/multiobiectiv

METODA MAXIMIZĂRII UNEI FUNCŢII SINTEZĂ DE UTILITATE

Pentru determinarea unei soluţii care realizează cel mai bun compromis

pentru toate funcţiile se va construi o funcţie sinteză a tuturor funcţiilor

obiectiv numită funcţie sinteză de utilitate.

Funcţia sinteză de utilitate se obţine prin transformarea funcţiilor obiectiv

f1(x), f2(x), ..., fr(x), cu semnificaţii economice concrete, în funcţii de

utilitate care pot fi însumate.

Prin maximizarea funcţiei sinteză de utilitate în raport cu restricţiile

problemei se obţine soluţia de compromis cu utilitate maximă.

Algoritmul de calcul:

Pasul 1. Se obţin valorile optimiste şi valorile pesimiste ale tuturor funcţiilor

obiectiv.

Pasul 2. Pe baza axiomelor von Neumann – Morgenstern, se determină

utilităţile valorilor optimiste O1, O2, ..., Or şi pesimiste P1,

P2, ..., Pr ale functiilor obiectiv.

Pasul 3. Se construiesc funcţiile de utilitate.

Pasul 4. Se rezolvă problema de programare liniară cu funcţia sinteză de

utilitate.

3. Programarea scop

PS - o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară cu mai 

multe funcţii obiectiv.

Metoda PS  a  fost  propusă  şi dezvoltată sub denumirea de "Goal

Programming" de A. Charnes şi W. Cooper.

Obiectivul programării scop: găsirea unei soluţii care verifică

restricţiile Ax b, x0 şi care conduce la abateri cât mai mici faţă de

scopurile propuse prin funcţiile obiectiv.

Ideea de bază a metodei constă în transformarea tuturor funcţiilor

obiectiv în „restricţii scop” prin:

specificarea pentru fiecare funcţie obiectiv a unui nivel de

aspiraţie sau scop;

definirea pentru fiecare scop a unei perechi de variabile de

abatere sau deviaţie:

deviaţia în plus faţă de scopul propus;

deviaţia în minus faţă de scopul propus.

Nivelurile de aspiraţie sau scopurile pot fi:

stabilite de decident;

obţinute prin optimizarea problemei de programare liniară în

raport cu fiecare funcţie obiectiv.

3. Programarea scop

Funcţia care minimizează deviaţiile faţă de nivelurile de aspiraţie sau scopurile

propuse se numeşte „funcţie scop”.

Forma generală a unui model PS:

minimizează una sau mai multe funcţii scop de forma:

supusă la restricţiile:

Ax b

x 0

şi restricţiile „scop”:

fi(x) = Vi+ d

+i - d

-

i => fi(x) - d

+i+ d

-

i = Vi, i = 1,...,N

d+

i 0, d

-

i 0, i = 1,...,N

unde:

• d+

isi d

-

ideviaţia în plus/în minus faţă de val. prestabilită pentru funcţia obiectiv i;

• πi şi ρi sunt coeficienţi ai deviaţiilor care fac posibilă însumarea lor;

• fi(x) - funcţia obiectiv i;

• Vi- valoarea prestabilită (nivelul de aspiraţie) pentru funcţia obiectiv i;

• x - vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn care reprezintă variabilele decizionale 

ale problemei.

• Ax b: restricţiile care definesc domeniul de admisibilitate al problemei pentru

variabilele decizionale x1, x2,...,xn.

)(

1

ii

N

i

ii

dd

3. Programarea scop

Elementul cheie - specificarea funcţiei obiectiv, adică definirea coeficienţilor πi şi

ρi pentru deviaţiile di+

şi di-.

Dacă deviaţiile se măsoară cu unităţi de măsură diferite, atunci este necesară

definirea unor costuri de penalizare a deviaţiilor astfel încât să se poată minimiza

suma totală a costurilor de penalizare generate de diferite deviaţii.

Funcţiilor scop li se pot asocia diferite priorităţi. În acest caz se poate proceda

astfel:

Se ordonează descrescător scopurile şi se stabileşte prioritatea de satisfacere a

fiecărui scop:

P1 P2 … Pn... unde înseamnă "mult mai mare".

Numărul priorităţilor este mai mic sau cel mult egal cu numărul funcţiilor

obiectiv, iar numărul funcţiilor scop este egal cu numărul priorităţilor acordate.

Ordonarea prin priorităţi este absolută, astfel că scopul cu prioritatea P2 nu va fi

niciodată atins înainte ca scopul cu prioritatea P1 să fie realizat cu abaterea cea

mai mică faţă de nivelul de aspiraţie propus.

În acest caz, prin metoda programării scop se rezolvă succesiv un număr

de probleme egal cu numărul priorităţilor.

Rezolvarea modelelor de PS: WINQSB/ Gp – igp sau QM/ Goal Programming.

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica)

Pasul I: scrierea modelului econ. – matematic cu mai multe functii obiectiv:

Variabilele:

x1 = cantitatea din Pcs1

x2 = cantitatea din Pcs2

x3 = cantitatea din Pcs3

Funcţiile obiectiv:

Maximizarea venitului total

(max) f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3

Minimizarea timpului necesar de lucru

(min) f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3

Minimizarea consumului total din materia primă de import

(min) f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3

Restricţii:

referitoare la materialul Mat1:

C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3  10

referitoare la cantităţile contractate:

C2: 1x1 + 1x2 12

C3: 1x3 5

Restricţiile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, x3 0,

Se transforma in

Restrictii Scop

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica)

Pasul 2: transformarea in modelul economico – matematic de PS

Funcţiile scop:

Scopul cu prioritate 1: minimizarea deviaţiei în plus Mimpsupl faţă de consumul minim

de materie primă de import

Min G1: 1Mimpsupl

Scopul cu prioritate 2: minimizarea deviaţiei în minus Venitm faţă de venitul maxim

Min G2: 1Venitm

Scopul cu prioritate 3: minimizarea deviaţiei în plus Timpsupl faţă de timpul de lucru

necesar minim

Min G3: 1Timpsupl

Restricţiile pentru consumuri materiale şi pentru cerere:

C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10

C2: 1x1 + 1x2 12

C3: 1x3 5

Restricţiile scop:

C4: 60x1 + 120x2 + 90x3 – Venitsupl + Venitm = 2700

C5: 15x1 + 10x2 + 19x3 – Timpsupl + Timpm = 215

C6: 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 – Mimpsupl + Mimpm = 4,4

Restricţiile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, x3 0,

Venitsupl 0, Venitm 0,

Timpsupl 0, Timpm 0,

Mimpsupl 0. Mimpm 0

Niveluri de

aspiratie

Variabile de

abatere/deviatie

Pasul 3: Rezolvarea modelului cu WINQSB/Gp-igp

Goal 3: Minimize G3 = 60

Goal 2: Minimize G2 = 1480

Goal 1: Minimize G1 = 0

-753000at bound0Mimpm9

75-3001at bound0Mimpsupl8

100at bound0Timpm7

000basic60Timpsupl6

000basic1480Venitm5

010at bound0Venitsupl4

000basic5X33

-35600at bound0X22

000basic12X11

Reduced

Cost

Goal 3

Reduced

Cost

Goal 2

Reduced

Cost

Goal 1

Basis

Status

Solution

Value

Decision

Variable

Solution Summary for Studiul de caz 10

Pasul 3: Rezolvarea modelului cu WINQSB/Gp-igp

Sensitivity Analysis of the Right-Hand-Sides for Studiul de caz 10

75-300054.44.4=Mimport

prioritate 1

6

-100275-M215=Timp

prioritate 3

5

010M1220270

0

=Venit

prioritate 2

4

-1120053.25

>=Cerere PCs33

00012-M12>=

Cerere Pcs1+Pcs22

000M8.210<=Material11

Shadow

Price

Goal 3

Shadow

Price

Goal 2

Shadow

Price

Goal 1

Allowable

Max.RHS

Allowable

Min.RHS

Right

Hand

SideConstraint

2 conflicte: 1. intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 2 (-300)

2. Intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 3 (75)

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica)

Pasul 4: Analiza rezultatelor:

1. Citirea solutiei (solution value)

2. Interpretarea costului redus

3. Interpretarea pretului umbra

4. Identificarea si analiza conflictelor dintre

scopuri

5. Metoda maximizării utilităţii globale

Baza informaţională se prezintă într-un tabel de

forma Tabelului nr. 1.

Criterii c1

c2

…

cj

…

cn

Coef. de

importanţă k1 k2 ….. kj

…….

. kn

Variante

V1 11a

12a … j1

a … n1a

V2 21a

22a … j2

a … n2a

…

…

…

… …

… …

Vi 1ia

2ia … ij

a … ina

…

…

…

… …

…

…

Vm 1ma

2ma … mj

a … mna

5. Metoda maximizării utilităţii globale

Paşii metodei:

Pasul 1. Transformarea valorilor aij

în utilităţi uij

(care se înregistrează într-un

tabel asemănător cu tabelul nr.1).

a)Pentru fiecare criteriu Cj, j  =  1,...,n, se determină valoarea minimă ajmin şi

valoarea maximă ajmax;

b) În cadrul fiecărui criteriu se acordă utilitatea 1 celei mai “bune” valori aij

şi

utilitatea 0 celei mai “mici” valori.

c) Pentru restul valorilor se calculează utilităţile uij:

În cazul criteriilor de maxim: uij

=

În cazul criteriilor de minim: uij

=

Pasul 2. Se calculează utilitatea globală UGi pentru fiecare var. decizională Vi:

UGi= ,

Pasul 3. Se alege varianta Vi* cu utilitatea globală maximă 

minajmaxaj

minajaij

minajmaxaj

aijmaxaj

n

1j

ijjuk