1

DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

1. METODE DE STUDIU ÎN CINEMATICA FLUIDELOR Există două metode de studiu ale mişcării (determinării traiectoriilor, vitezelor şi acceleraţiilor)

fluidelor: metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.

Metoda Lagrange studiază mişcarea unei particule de fluid în aceeaşi manieră ca la mişcarea unui

punct material în mecanica clasică. Luând ca referinţă poziţia particulei )z ,y ,x(r 0000v

la momentul

iniţial 0t , mişcarea ei este cunoscută dacă se stabilesc legile de variaţie în timp a coordonatelor de

poziţie ale particulei. Pentru a descrie mişcarea a n particule ce alcătuiesc o masă de fluid sunt necesare n sisteme de

ecuaţii ale mişcării, cu soluţii complicate şi care necesită un timp îndelungat de rezolvare. Din

acest punct de vedere, mult mai comodă este utilizarea celei de a doua metode.

Metoda Euler studiază câmpul vitezelor în punctele spaţiului ocupat de fluid, precum şi variaţia în

timp a vitezelor:

k j i vrrrr

wvu ++= (1) unde: i

r, jr

, kr

sunt versorii după direcţiile x , y şi z ;

u , v , w sunt componentele scalare ale vitezei ( 22 wvu ++= 22v ), funcţii de

coordonate şi timp:

t) z, y,x,( vvt) z, y,(x,

t) z, y,(x, t) z, y,(x,

rr=⇒

===

wwvvuu

(2)

1.1 Reprezentarea grafică a mişcării unui fluid O metodă utilizată în studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentării grafice a

mişcării particulelor. Se definesc următoarele noţiuni referitoare la mişcarea fluide: Curentul de fluid reprezintă o masă de fluid aflată în mişcare. Linia de curent este curba tangentă la vectorii viteză ai particulelor care la un moment t se

găsesc pe această curbă.

Fig. 1 – Liniile de curent în jurul unui profil aerodinamic

2

În general, forma linilor de curent se modifică în timp, cazul mişcărilor nepermanente

(nestaţionare), în care parametrii fluidului variază, local, în timp (vezi figura 2), ele păstrându-şi

forma în cazul mişcărilor permanente (detalii la 2).

Fig. 2 – Vizualizarea curgerii în jurul unui profil Ecuaţia diferenţială a liniilor de curent, sub formă vectorială, se obţine din condiţia de tangenţă a

vitezei la linia de curent, caz în care vectorul viteză )( v wv, u,r

are aceeaşi direcţie cu variaţia

vectorului de poziţie )dz ,dy ,dx(rdr

. Astfel, rd || vrr

, sau:

0rdv =×rr

(3)

La momentul t sistemul ecuaţiilor diferenţiale al liniilor de curent este:

)t ,z ,y ,x(wdz

)t ,z ,y ,x(vdy

)t ,z ,y ,x(udx

== (3’)

Prezintă două proprietăţi importante şi anume:

liniile de curent nu se intersectează, cu excepţia unor puncte, numite puncte critice, în

care viteza este nulă sau infinită;

liniile de curent umplu în întregime spaţiul ocupat de curentul de fluid. Traiectoria unei particule de fluid reprezintă drumul parcurs de aceasta în mişcarea sa. În cazul

mişcărilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil în cazul

mişcărilor nepermanente. Ecuaţia diferenţială a traiectoriei este dată de relaţia:

dtvrd ⋅=rr

(4) La momentul t , raportând mişcarea la sistemul triortogonal de axe xOyz , relaţia anterioară este

echivalentă cu sistemul:

dt)t ,z ,y ,x(w

dz)t ,z ,y ,x(v

dy)t ,z ,y ,x(u

dx=== (5)

Suprafaţa de curent este suprafaţa formată din toate liniile de curent care se sprijină la un

moment dat pe o curbă de formă oarecare. Dacă respectiva curbă este una închisă, simplă, atunci

suprafaţa de curent este una tubulară, formând un tub de curent.

Deoarece viteza este tangentă la pereţii tubului de curent, rezultă că prin suprafaţa acestuia nu se

face schimb da masă.

3

Fig. 3 – Tub de curent Un tub de curent de secţiune suficient de mică, astfel încât să putem admite pe ea o distribuţie

uniformă a parametrilor da stare ai fluidului (viteze, presiuni), poartă denumirea de tub elementar

de curent, sau tub de curent subţire. Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formează

un fir de fluid.

2 ACCELERA ŢIA UNEI PARTICULE FLUIDE Din relaţia (2) , componenta după direcţia x a vitezei se exprimă conform relaţiei:

zdz

ydy

xdx

tdt

d∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=uuuuu . (6)

Componenta după direcţia x a acceleraţiei se obţine prin împărţire la dt , astfe:

wuvuuuuuuuuuzyxtdt

zdzdt

ydydt

xdxdt

dttdt

dax ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

== (7) Similar:

wvvvuvvzyxt

ay ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= , wwvwuwwzyxt

az ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= . (7’) Astfel:

wvuzv

yv

xv

tvk aj ai aa zyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=++=rrrrrrrr

. (8) Din relaţia anterioară se constată că acceleraţia are două componente: acceleraţia locală, )tv( ∂∂

r,

ce rezultă din variaţia în timp a vitezei în diferitele puncte ale spaţiului ocupat de fluid şi acceleraţia

convectivă (sau de antrenare), wvuzv

yv

xv

∂∂

+∂∂

+∂∂

rrr

, rezultat al vitezelor diferite în punctele fluidului.

Observaţii:

Mişcările fluidelor pentru care 0tv=

∂∂r

se numesc permanente (sau staţionare). Cele în

care 0tv≠

∂∂r

se numesc nepermanente (sau nestaţionare).

Acceleraţia convectivă este nulă în cazurile câmpurilor de viteză omogene, în care

viteza este aceeaşi în toate punctele mediului fluid.

Relaţia (5.8) poate fi pusă şi sub forma:

( ) ⇒∇+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

== v vtvv

zyxtv

dtvda

rrr

rrr

rwvu (9)

4

vvrot 2

vgradtvvv

2v

tva

22 rrr

rrr

r×++

∂∂

=××∇+∇+∂∂

= (9.1')

În relaţia (5.9) s-a pus în evidenţă partea potenţială a acceleraţiei convective, 2

vgrad2

, precum şi partea

rotaţională a acesteia, vvrot rr

× .

3 ECUAŢIILE DE MIŞCARE ALE FLUIDELOR

3.1 Ecuaţia de continuitate (de conservare a masei) Din definiţia liniilor de curent rezultă ca în cazul unei curgeri permanente, particulele de fluid nu pot

traversa suprafaţa tubului de curent. Dacă densitatea este invariantă în timp, atunci masa de fluid

nu se concentrează în diferite puncte, deci:

Variaţia masei în timp (debitul masic) este constantă în orice secţiune a tubului de curent. Aceasta este formularea principiului continuităţii, sau legii de conservare a masei aplicată unui

fluid. Dacă aria dA a secţiunii unui tub de curent tinde către zero, atunci tubul de curent se apropie

de dimensiunea unei linii de curent (tub elementar de curent, vezi figura 4).

Fig. 4 – Tub elementar de curent Volumul de fluid ce traversează secţiunea de arie dA , în timpul dt , se poate exprima cu relaţia:

dA dt vVd = . (10) unde: v este viteza fluidului.

Astfel, masa elementară de fluid este:

dA dt v dV dm ρρ == , (11) iar variaţia acesteia în timp (debitul masic) ( )dtdmmdQm == & :

dAvmd ρ=& . (12) Debitul masic instantaneu, în fiecare secţiune de curgere, se obţine prin integrarea ecuaţiei (12):

∫=A

dAvm ρ& . (13) unde: A este aria secţiunii vii de curgere (pe direcţia normală la curentul de fluid). Astfel:

A v Qm m ρ==& . (14) Ţinând cont de principiul conservării masei:

ttancons)A v (...)A v ()A v (Q n21m ===== ρρρ . (15)

5

Aceasta relaţie exprimă principiul conservării unei mase de fluid în mişcare permanentă, printr-un

tub de curent.

Observaţie: Multe dintre cazurile de interes tehnic de mişcare a fluidelor se realizează în tuburi de

curent simple sau ramificate: conducte.

Pentru fluide incompresibile, se utilizează cu precădere debitul volumic:

∫=A

dAvQ . (16)

ρmQQ = . (17)

Viteza medie în secţiunea de curgere este definită de ecuaţia:

AQv = . (18)

Pentru fluide incompresibile, .ct=ρ , ecuaţia conservării masei se exprimă sub forma:

ttanconsA v...A vA v Q nn2211 ===== . (19) unde: n21 v ..., ,v ,v sunt vitezele medii ale fluidului în senţiunile n21 A ..., ,A ,A .

Relaţia (19) este cunoscută şi ca ecuaţia debitului.

3.2 Ecuaţia lui Euler de mişcare a fluidelor. Conservarea energiei Ecuaţia de mişcare a fluidelor ideale se determină din legea fundamentală a Mecanicii, aplicată

unei mase de fluid m şi volum V , mărginit de suprafaţa A :

pmext FFFa mrrrr

+== ∑ . (20) unde: ∑ extF

r reprezintă suma forţelor exterioare ce acţionează asupra masei de fluid,

respectiv forţele masice mFr

şi de presiune pFr

. Pentru o masă elementară de fluid:

∫=⇒==V

dVdtvdρamdV

dtvdρdVρadma

rr

rrr

(21)

∫=⇒==V

mmmmm dV fFdV fdmfFd ρρrrrrr

(22)

∫∫ ∇−==⇒=VA

pp p dV dAnp F dAnp Fdrrrr

(23) unde: mf

r este forţă masică unitară; are dimensiunea unei acceleraţii şi se exprimă sub

forma:

kfjfiff mmmmrrrr

z y x +⋅+= .

În general: xUf x m ∂∂

−= ; yUf ym ∂∂

−= ; zUf z m ∂∂

−= U gradfm −=⇒r

(24)

6

U este potenţialul forţelor masice. Într-un punct, reprezintă energia potenţială masică a fluidului.

Când x mf , ymf şi z mf sunt cunoscute:

( )zd fyd fxd f)z y,x,(U z m ymx m ∫∫∫ ++−= (25) Înlocuind (21), (22) şi (23) în ecuaţia (20), aceasta devine:

∫∫∫ ∇−=VV

mV

p dVdV f dVdtvdρ ρ

rr

(26) Observaţie:

În ecuaţia anterioară nu avem nici un operator diferenţial înaintea integralelor, care

să afecteze operaţia de integrare; De asemenea în cazul unui volum care tinde

către zero, 0V→ , relaţia (5.26) se poate scrie sub forma:

p1fdtvd p f

dtvd ρ mm ∇−=⇔∇−=

ρρ

rrrr

(27) Ecuaţia (27) este Ecuaţia lui Euler de mişcare a fluidelor ideale, în formă vectorială şi exprimă

faptul că un fluid în mişcare se află în echilibru sub acţiunea forţelor inerţiale )dtvd(-r

, masice mfr

şi de presiune ρ/) p(∇ . Ţinând cont de expresia (9) a acceleraţiei unei mase de fluid, ecuaţia anterioară devine, în

formulare H. Helmholtz:

grad p1fvvrot 2

vgradtv

m2

ρ−=×++

∂∂ rrrr

(28)

În cazul fluidelor pentru care:

forţele masice derivă dintr-un potenţial U gradfm −=r

,

densitatea este o funcţie cunoscută de presiune ∫=ρρ

dp gradp grad 1

ecuaţia (28) se rescrie în forma:

0vvrot Udp2

vgradtv

dpgrad U gradvvrot 2

vgradtv

2

2

=×+

+++

∂∂

⇔−−=×++∂∂

∫

∫

rrr

rrr

ρ

ρ (29)

7

8

9

10