sistemele fuzzy

7/26/2019 Sistemele Fuzzy

http://slidepdf.com/reader/full/sistemele-fuzzy 1/16

REFERAT SISTEME

FUZZY

Despre sistemele fuzzy

Ideea de mulţime fuzzy a fost introdusă pentru prima dată de către Lotfi A.Zadeh, profesor la Universitatea Berkeley din California, la seminarul lui publicat în



1965. Lotfi Zadeh a extins teoria posibilităţii într -un sistem formal de logicămatematică. De asemenea, a adus în discuţie modalităţile de lucru cu termeni nuanţaţiai limbajului natural. Acest instrument de reprezentare şi manipulare a termenilornuanţaţi se numeşte logica fuzzy. Logica tradiţională consideră că un obiect poateaparţine sau nu unei mulţimi. Logica fuzzy permite o interpretare mai flexibilă anoţiunii de apartenenţă. Astfel, mai multe obiecte pot aparţine unei mulţimi în gradediferite date de o funcţie de apartenenţă. Un tip incipient de logică fuzzy a apărut încă din 1920,propus de matematicianul polonez Jan Łukasiewicz (inventatorulnotaţiei poloneze).

Sistemul său permitea extinderea valorii de adevăr a unei propoziţii la toatenumerele reale din intervalul [0,1]. Un număr din acest interval era interpretat dreptposibilitateaca propoziţia considerată să fie adevărată sau falsă. Aceste cercetăriau dus la apariţia teoriei posibilităţii, o tehnică de raţionament în condiţii deinexactitate.

O altă contribuţie majoră a lui Lotfi A. Zadeh a fost introducerea, într -o lucrarepublicată în 1973 a termenului de „variabilă lingvistică”. Variabilele lingvistice potavea valori lingvistice cum ar fi „temperatură”, „presiune”, etc. O altă noţiuneintrodusă de Zadeh se referă la termenii lingvistici aferenţi unei variabile

lingvistice. Aceştia pot lua valori lingvistice cum ar fi „foarte rece”, „rece”, etc., şi suntcaracterizaţi prin funcţii de apartenenţă specifice.

Metodele tradiţionale de modelare a procesului şide analiză a sistemelor se pot folosinumai atunci când se pot determina relaţii între variabilele sistemului, ca de exempluecuaţii diferenţiale între variabilele de intrare şi ieşire. Însă intervenţia factorului uman în sistemele analizate impune analiza unor variabile care nu au valori numericeconcrete, fiind variabile lingvistice, definite prin mulţimi fuzzy. Metodele fuzzy sunt oalternativă de proiectare pentru procese şi sisteme foarte complexe. Variabilele fuzzysau lingvistice nu descriu datele numeric, ci printr-o funcţie de apartenenţă care estescalată între zero şi unu.

Operaţiile executate cu variabilele fuzzy şi regulile fuzzy aferente nu pornesc de lamodele precise ale procesului, ci de la înţelegerea fenomenelor fizice, ca de exemplu:

IF (temperatura este mare) THEN (comandă scade)

Sistemele de conducere cu modele şi algoritmi fuzzy sunt mai flexibile decât sistemeleconvenţionale, deoarece modificarea regulilor de deducţie a mărimii de comandă sepoate face prin adăugarea de noi variabile lingvistice, fiind deci mai elastice înproiectare. Deoarece proiectarea sistemelor de conducer e cu regulatoare cu logicăfuzzy (RLF) nu se face pentru un model dat al procesului şi nici pentru anumite valoriale parametrilor acestuia, rezultă ca aceste sistemele sunt mai robuste, avândperformanţe acceptabile într -o gamă relativ largă de variaţie a parametrilor procesului. Însă sistemele de conducere cu RLF sunt mai greu de proiectat pentru cazul când suntmai mult de două intrări în regulator sau atunci când acesta are mai multe mărimi decomandă, ceea ce se impune în cazul proceselor multivariabile.

În prezent sistemele fuzzy sunt de mare actualitate. Ele se întâlnesc în probleme deconducere şi luare a deciziei. Primele aplicaţii au fost semnalate în deceniul alşaptelea. După 1985 în special în Japonia s-a produs o adevărată explozie aaplicaţiilor practice care utilizează logica fuzzy. În ultimul deceniu şi în Europa adebutat o intensă activitate de cercetare pentru introducerea principiilor sistemelorfuzzy. Un domeniu de aplicare al sistemelor fuzzy care devine din ce în ce maiimportant este cel de conducere a proceselor industriale. Se pot enumera numeroaseaplicaţii, cum ar fi: comanda metrourilor cu o funcţionare mai confortabilă, în localitateaSendai din Japonia, comanda ascensoarelor, cu un timp de aşteptare mai redus,



comanda instalaţiilor de climatizare şi multe altele. Însă aplicarea pe scară largă asistemelor fuzzy este frânată de o serie de impedimente cum ar fi: inexistenţa unormetode precise de proiectare a sistemelor fuzzy, inexistenţa unor metode precise deanaliză a stabilităţii sistemlor fuzzy şi nu în ultimul rând complexitatea sporită asistemelor de dezvoltare a sistemelor fuzzy

Așa cum spune și numele, un sistem expert cu logică fuzzy este un sistem expert cu

logică fuzzy. Necesitatea reprezintă gradul la care evidențele considerate susțin valoarea de adevăra unei propoziții sau a datei; posibilitatea reprezintă extinderea la care evidențaconsiderată nu respinge o dată, necesitatea fiindu-i 0 și posibilitatea 1. Cum din ce înce mai multe date sunt considerate necesitatea datei tinde să crească monoton, întotdeauna subiect al restricției cum că necesitatea unei date trebuie să fie egală cusau mai mică decât posibilitatea ei; cum din ce în ce mai multe date respingătoare suntconsiderate, posibilitatea unei date tinde să descrească monoton. În sisteme care potstoca două valori de adevăr, acestea fiind posibilitata si necesitatea, o dată desprecare nu cunoaștem nimic are necesitatea 0 și posibilitaea 1. O dată despre care seștie că este falsă complet are atât necesitatea cât și posibilitatea egale cu 0. O datădespre care se știe că este adevărată complet are atât necesitatea cât și posibilitatea

egale cu 1. În sisteme care funcționează pe baza stocării unei singure valori de adevăr,aceasta fiind necesitatea, nu putem dinstinge între data despre care nu se știe nimicși o dată despre care se știe că este falsă, din moment ce ambele au necesitatea 0. Înastfel de sisteme, considerăm o dată fiind drept falsă până când evidențe susținătoaresunt găsite. Deși sistemele bazate pe necesitate nu întrețin posibilitatea datelor, esteposibil să calculăm posibilitatea unei datedin evidențele respingătoare; dacăposibilitatea calculată este mai mică decât necesitatea-i existentă, necesitatea trebuieredusă ca să se supună restricției că necesitatea este mai mică sau egală cuposibilitatea. Totuși, evidențele susținătoare considerate in blocuri de reguli executatesecvențial ar putea crește necesitatea redusă. Este de preferat ca mai întâi să seexecute blocuri de reguli care să ducă la concluzii preliminarii, care în cele din urmăpot fi ambigue sau contradictorii. Apoi rezolvăm contradicțiile considerând evidențelerespingătoare în blocuri executate mai târziu în procesul de raționament.

Fundamentele sistemelor fuzzy

Definit ia 1.1. Daca este o multime de obiecte notate generic cu , atunci

o multime fuzzy in este o multime de perechi ordonate ,

unde iar este gradul de apartenenta al lui la .

Deci, o multime fuzzy este echivalenta cu o multime de referinta si o

aplicatie .

Exemplu l 1.1. Fie afirmatia „Dan a luat note in jur de 7“. Multimea fuzzy „in jurde 7“ poate fi descrisa ca

.



Exemplul 1.2. Sa notam cu multimea numerelor reale grupate in jurul lui

. Ea poate fi descrisa prin , unde

O alta notatie pentru multimi fuzzy este:

(cazul discret)

sau

(cazul continuu).

Cu aceasta notatie, multimile din exemplele anterioare se reprezinta prin:

si respectiv prin

Definitia 1.2. Fiind data o multime fuzzy , se numeste taietura de nivel

sau -taietura multimea clasica .

Multimea se numeste -taietura stricta.

Exemplu l 1.3. Referitor la multimea din exemplul 1.1, -taieturile sunt:

.

Functia de apartenenta joaca un rol fundamental in teoria multimilor fuzzy. Deaceea, operatiile cu multimi fuzzy vor fi definite cu ajutorul acestei functii.

1.2.1. Operatii fundamentale

Prezentam mai intai conceptele introduse de Zadeh in 1965 [181].



Definit ia 1.4. Fiind date doua multimi fuzzy si , intersectia lorse defineste prin functia de apartenenta

,

Definit ia 1.5. Fiind date multimile fuzzy si , reuniunea lor sedefineste prin functia de apartenenta

,

Definit ia 1.6. Fiind data multimea fuzzy , complementara sa este definita

de

Exemplu l 1.4. Fie si.

Atunci

.

1.2.2. Operatii algebrice

Definitia 1.7. Fie multimi fuzzy in ; produsul lor

cartezian este o multime fuzzy in spatiul produs avand functia de

apartenenta .

Definitia 1.8. Puterea a multimii fuzzy este definita de

Definitia 1.9. Suma algebrica (probabilista) este

, unde .



Definitia 1.10. Suma marginita este definita de

, unde .

Definitia 1.11. Diferenta marginita este definita prin

, unde .

Definitia 1.12. Produsul algebric al doua multimi fuzzy si este

.

Exemplul 1.6. Fie si . Atunci,conform definitiilor de mai sus avem

.

1.2.3. Operatii bazate pe t-operatori

Vom descrie in continuare clase de operatori de intersectie si reuniune, dincare operatorii prezentati anterior se obtin ca fiind cazuri particulare; universul dediscurs il vom nota cu .

Definitia 1.17. Functia este o negatie (sau operator de

complementare) stricta daca

(N1)

(N2)

(N3) pentru orice .

Trillas [164] a aratat ca orice negatie stricta se poate scrie sub forma

(1.3)



unde este o functie continua si strict crescatoare cu si

numar finit. Fiind aleasa o negatie , complementara a multimii fuzzy este

data de

Operatiile cu multimi fuzzy pot fi definite mai general prin

unde , sunt operatori de reuniune si respectiv intersectie.

Asupra lui si se impun urmatoarele conditii, pentru :

– concordanta cu reuniunea si intersectia clasice:

u1)

i1)

– comutativitate

u2) i2)

– asociativitate

u3) i3)

– legile lui de Morgan: exista un operator de complementare astfel incat:

u4) i4)

– existenta elementului neutru

u5) , adica i5) , adica

– monotonie

u6) - i6) si sunt functii nedescrescatoare in fiecare argument

– continuitate

u7) - i7) si sunt functii continue.



Rezultatele obtinute in teoria ecuatiilor functionale [1, 109] permit o clasificarea operatorilor de intersectie si reuniune. Pentru aceasta avem nevoie de rezultatesuplimentare.

Definit ia 1.18. Functia ce satisface

(T1)

(T2)

(T3) daca

(T4)

pentru orice , se numeste norma triunghiulara (sau t-norma).

O t-norma continua este arhimedeana daca

(T5) .

O t-norma arhimedeana este stricta daca

(T6) pentru si .

Definit ia 1.19. Functia ce satisface

(S1)

(S2)

(S3) daca

(S4)

pentru orice , se numeste conorma triunghiulara (sau t-conorma).

O t-conorma continua este arhimedeana daca

(S5) .

O t-conorma arhimedeana este stricta daca

(S6) pentru si .



Pentru orice t-norma si orice t-conorma au loc relatiile

.

Ling [109] a demonstrat ca orice t-norma arhimedeana se poate scrie subforma

(1.4)

unde este o functie continua si strict descrescatoare iar

este pseudo-inversa lui , definita de

Daca si atunci t-norma este stricta. Daca si, t-norma se numeste nilpotenta.

Analog, orice t-conorma arhimedeana se poate scrie

(1.5)

unde este o functie continua si strict crescatoare iar

Daca si , t-conorma este stricta. Daca si t-conorma se numeste nilpotenta. Orice t-norma satisface relatia [149]

, unde

Analog, pentru orice t-conorma avem

, unde



Prin intermediul unei negatii se poate trece de la o t-norma la o t-conorma siinvers, conform teoremei urmatoare:

Teorema 1.2. [4] Daca este o t-norma si este o negatie stricta, atunci

este o t-norma si reciproc, .

1.4.1. Principiul extensiei

Unul din conceptele de baza din teoria multimilor fuzzy, care poate fi utilizatpentru a generaliza concepte matematice clasice la multimi fuzzy, este principiulextensiei.

Definit ia 1.23. Fie produsul cartezian al universurilor si

, multimi fuzzy in respectiv. Consideram functia

. Principiul extensiei ne permite sa definim o multime fuzzy

in prin

unde

Pentru , principiul extensiei se reduce la

unde

Exemplul 1.9. Fie si . Aplicand

principiul extensiei obtinem .

1.4.2. Numere fuzzy

Definit ia 1.24. O multime fuzzy se numeste normalizata daca exista cel putinun punct in care functia de apartenenta ia valoarea 1.



Definit ia 1.25. Un numar fuzzy este o multime fuzzy convexa si normalizata

a universului R cu proprietatile:

1) exista un unic R astfel incat se numeste valoarea medie

a lui

2) este functie continua pe portiuni.

Exemplul 1.10. Multimea

este numar fuzzy, dar nu este numar fuzzy deoarece

Definitia 1.26. Un numar fuzzy este pozitiv (negativ) daca functia sa deapartenenta este astfel incat .

Daca sunt operatiile algebrice obisnuite, extensiile lor la numere

fuzzy le notam cu si respectiv . Notam in continuare cu F(R) multimeanumerelor fuzzy.

Din principiul extensiei rezulta

Teorema 1.4. [41] Daca F(R) au functiile de apartenenta si

respectiv iar R R R, atunci functia de apartenenta a numarului fuzzy

este data de .

Exemplu l 1.12. Fie numerele fuzzy si

. Atunci

1.4.3. Reprezentarea LR a numerelor fuzzy

Operatiile de calcul cu multimi fuzzy se pot realiza mai usor daca se utilizeazao reprezentare speciala, numita LR. Acest tip de reprezentare a fost sugerat de Dubois



si Prade [40]: ei numesc functia descrescatoare (si ): R functie de forma daca :

pentru

pentru

sau ( si )

Definitia 1.28. Numarul fuzzy este de tipul daca exista functiile de

forma (pentru partea stanga) si (pentru partea dreapta) si scalariiastfel incat

unde este un numar real, numit valoarea medie a lui , iar si respectiv

reprezinta intinderea stanga si respectiv dreapta. Simbolic este notat prin

Exemplul 1.13. Fie , , Atunci

Teorema 1.6.[41] Fie numerele fuzzy si .

Atunci 1)

2)

3)



Exemplu l 1.14. Fie , si

. Atunci si .

Teorema 1.7. [41] Daca si sunt numere fuzzy, atunci

daca si sunt pozitive;

daca si ;

daca si suntnegative.

Exemplul 1.15. Fie , si

Avem

=

=

deci si sunt pozitive.

Conform teoremei anterioare avem

Daca nu este numar real ci interval, se obtine un interval fuzzy.

Definit ia 1.29. Un interval fuzzy este de tipul daca exista functiile deforma si si parametrii

( , ) R , astfel incat



Un astfel de interval fuzzy se noteaza prin .

#n aplicatii practice se lucreaza frecvent cu functii si liniare:

De obicei, un interval fuzzy este numit numar fuzzy trapezoidal.

Relatiile fuzzy sunt submultimi ale lui , adica aplicatii de la la . Eleau fost studiate de numerosi autori dintre care amintim pe Zadeh [181] si Kaufmann[97]. Ne vom ocupa numai de relatii binare.

Definitia 1.30. Fie R multimi universale; atunci

se numeste relatie fuzzy pe .

Exemplu l 1.16. Fie R si = „considerabil mai mare decat“. Putemdefini aceasta relatie prin functia de apartenenta

Definitia 1.32. Fie si doua relatii fuzzy in acelasi spatiu produs;

reuniunea respectiv intersectia lor se definesc, pentru , prin



.

Definitia 1.33. Fie o relatie fuzzy. Prima

proiectie a lui este

A doua proiectie este ,

Exemplu l 1.18. Un exemplu de relatie fuzzy si proiectiile sale este:

Primaproiectie

0.1 0.2

0.4

0.8 1 0.8 1

0.2 0.40.8

1 0.8 0.6 1

0.4 0.8 1 0.8 0.4 0.2 1

a doua proiectie 0.4 0.8 1 1 1 0.8Proiectia totala 1

Definit ia 1.34. Cea mai larga relatie fuzzy a carei proiectie este se numeste

extensia cilindrica a lui .

Exemplul 1.19. Extensia cilindrica a lui din exemplul anterior este

0.4 0.8 1 1 1 0.80.4 0.8 1 1 1 0.80.4 0.8 1 1 1 0.8

Relatiile fuzzy din diferite spatii produs pot fi combinate prin operatia decompunere. Au fost sugerate diferite tipuri de compuneri, dar compunerea max-min este cea mai utilizata.

Definitia 1.35. Fie si douarelatii fuzzy. Compunerea max-min a lui cu este definita prin



Bibligrafie:

1. Marius Lucian Tomescu: Contribuţii la dezvoltarea sistemelor fuzzy cu aplicaţiiin conducerea proceselor Universitatea „Politehnica” din Timişoara 2007

2. http://www.rasfoiesc.com/educatie/matematica/MULTIMI-FUZZY61.php

3. https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_expert_cu_logic%C4%83_fuzzy#Posibilitatea_.C8.99i_necesitatea_potrivite_pentru_ra.C8.9Bionamentul_fuzzy_bazat_ pe_reguli_.C3.AEn_mai_mul.C8.9Bi_pa.C8.99i

4. http://www.cs.bris.ac.uk/~kovacs/publications/gbml-survey/html-

version/node16.html

http://www.rasfoiesc.com/educatie/matematica/MULTIMI-FUZZY61.php

https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_expert_cu_logic%C4%83_fuzzy#Posibilita

http://www.cs.bris.ac.uk/~kovacs/publications/gbml-survey/html-

http://www.cs.bris.ac.uk/~kovacs/publications/gbml-survey/html-

https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_expert_cu_logic%C4%83_fuzzy#Posibilita

http://www.rasfoiesc.com/educatie/matematica/MULTIMI-FUZZY61.php

sistemele fuzzy

Documents