logica fuzzy si aplicatii
TRANSCRIPT
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 1/33
Multimi fuzzy. Operatii cu multimi fuzzyCapitolul 2
Doru Todinca
Departamentul CalculatoareUPT
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 2/33
Cuprins
Multimi fuzzy
Proprietati ale multimilor fuzzy
Operatii cu multimi fuzzy
Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 3/33
Cuprins
Multimi fuzzy
Proprietati ale multimilor fuzzy
Operatii cu multimi fuzzy
Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 4/33
Multimi clasice, multimi fuzzy
◮ Consideram o multime clasica (crisp ) X , in care discutam,numita universul discursului (universe of discourse )
◮ Pentru o multime clasica A ⊂ X , pentru orice x ∈ X , avem:fie x ∈ A, fie x /∈ A
◮ Pentru multimea A se poate defini o functie caracteristica
ν A : X → {0, 1}, avand ν A(x ) = 1 daca si numai daca x ∈ Asi ν A(x ) = 0 daca si numai daca x /∈ A (dsnd, sau iff - if and only if )
◮ Pentru o multime fuzzy A, un element x ∈ X apartine
multimii fuzzy ˜A ⊂ X intr-un anumit grad
◮ Functia caracteristica a unei multimi crisp va fi extinsa lafunctia de apartenenta a unei multimi fuzzy, care poate luavalori in intervalul de numere reale [0, 1]
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 5/33
Definitii
DefinitionDaca X este o colectie de obiecte (numite universul discursului )notate generic cu x , atunci o multime fuzzy A ⊂ X este multimeaperechilor ordonate
A = {(x , µA(x ))|x ∈ X }
unde µA
(x ) : X → [0, 1] se numeste functie de apartenenta saugrad de apartenenta (membership function or degree of membership ).
Cand intervalul de numere reale [0, 1] este inlocuit de multimeadiscreta {0, 1}, atunci multimea fuzzy A devine multime clasica(crisp).
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 6/33
Multimi fuzzy. Exemple de MF
◮ Multimile fuzzy (prescurtat MF) pot fi continue sau discrete◮ Intervalul [0, 1] poate fi extins la [0, k ], unde k > 0
◮ Exista si MF definite pe structuri mai complexe decatintervale de numere reale, de exemplu L-fuzzy sets , unde L
este o multime partial ordonata (a se vedea capitolul 3,Extensii ale MF)
◮ Exemplu de MF discreta (Zimmermann [Zim91]):
◮ MF: casa confortabila pentru o familie de 4 persoane in functiede numarul de dormitoare:
◮ Universul discursului: X = {1, 2, . . . , 10}◮ A ⊂ X va fi
A = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)}
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 7/33
Exemple de MF (cnt’d)
Exemplu de MF continua:numere reale apropiate de10
◮ X = R (multimea
numerelor reale)◮ Functia de
apartenenta a MFA ⊂ R:
µA(x ) = 11 + (x − 10)2
(1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-10 -5 0 5 10 15 20
1/(1+(x-10)**2)
Figura 1 : A cu µA
(x ) = 11+(x −10)2
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 8/33
Exemple de MF (cnt’d)
Exemplu de MF continua:numere reale mult mai maridecat 11
◮ X = R (multimea numerelor
reale)◮ Functia de apartenenta a
MF:B ⊂ R:
µB (x ) = (x −11)2
1+(x −11)2 daca x ≥ 11
0, daca x < 11
(2)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
funcB(x)
Figura 2 : B cu µB (x )
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 9/33
Notatii pentru multimile fuzzy
1. Perechi (element, valoare) pentru MF discrete (ca in exemplul
cu casa confortabila), respectiv (element generic, functie de apartenenta) pt MF continue: de exemplu (x , µ
A(x ))
2. Doar prin functia de apartenenta (pentru MF continue)
3. Ca “suma” pt MF discreta, respectiv “integrala” pt MF
continue (aceasta notatie poate genera confuzii !!):
A =n
i =1
µA
(x i )
x i =
µA
(x 1)
x 1+
µA
(x 2)
x 2+ . . . +
µA
(x n)
x n
A =
µ
A(x )
x
Atentie, nu e vorba de sume sau integrale, acestea sunt doar
notatii !!!
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 10/33
Cuprins
Multimi fuzzy
Proprietati ale multimilor fuzzy
Operatii cu multimi fuzzy
Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 11/33
Proprietati ale MF: MF normale
1. MF normale
◮ O multime fuzzy se numeste normala daca supx µA(x ) = 1,
unde sup este supremul MF
◮ Diferenta dintre maximul si supremul unei multimi: maximul
apartine multimii, supremul poate sa nu apartina multimii◮ Daca o MF nu este normala, ea se poate normaliza prin
impartirea functiei de apartenenta la supremul multimii,rezultind functia de apartenenta normalizata:
µAnorm(x ) = µ
A
(x )
supx µA(x )
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 12/33
Proprietati ale MF: suport, nucleu, margine
2. Suportul unei MF
◮
Suportul unei MF (notat supp ) este multimea crisp pentrucare µA
(x ) > 0
◮ La exemplul cu casa confortabila este multimeasupp (A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
◮ De obicei elementele unei MF avind gradul de apartenenta 0nu se afiseaza
3. Nucleul unei MF (core):
◮ este multumea crisp pentru care µA
(x ) = 1
4. Marginea (boundary) unei MF:
◮ este multimea crisp pentru care 0 < µA
(x ) < 1
Exercitiu: sa se reprezinte grafic pentru o multime fuzzy continuatrapezoidala suportul, nucleul si marginea ei.
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 13/33
Proprietati ale MF: taieturi de nivel α
5. Taieturi de nivel α (α-cuts sau α-level sets ):
◮
Taietura de nivel α (unde α ∈ [0, 1]) a multimii fuzzy ˜A avandfunctia de apartenenta µ
A(x ) este multimea crisp Aα pentru
care µA
(x ) ≥ α
◮ Se poate defini strong α cut ca fiind multimea crisp A′α
pentru care µA
(x ) > α
◮ Pentru exemplul cu casa confortabila, undeA = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)},taieturile de nivel α ale multimii fuzzy A vor fi:
◮ A0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = supp A (suportul lui A)
◮ A0.2 = {2, 3, 4, 5, 6}◮ A0.5 = {2, 3, 4, 5}◮ A0.7 = {3, 4, 5}◮ A0.8 = {3, 4}◮ A1.0 = {4} = coreA (nucleul lui A)
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 14/33
Proprietati ale MF: taieturi de nivel α
◮ Se poate demonstra ca pentru orice multime fuzzy A, are loc:
A =α
α · Aα
◮
Adica orice multime fuzzy se poate scrie ca reuniunea dupatoate valorile lui α ale produsului dintre α si taietura de nivelα
◮ Aceasta proprietate este foarte importanta si face legaturadintre multimile fuzzy si cele crisp
◮ Si este foarte utilizata pentru demonstrarea unor proprietatiale multimilor fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 15/33
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 16/33
Proprietati ale MF: convexitatea
6. Convexitatea unei multimi fuzzy
◮ O multime fuzzy A ⊂ X este convexa daca si numai daca∀x 1, x 2 ∈ X si ∀λ ∈ [0, 1] are loc relatiaµA
(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) ≥ min(µA
(x 1), µA
(x 2))
◮ Expresia λ · x 1 + (1 − λ) · x 2 se refera la segmentul situat intrepunctele de abscisa x 1 si x 2
◮ Expresia µA(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) se refera la imaginea acestuisegment prin functia µ
A(x )
◮ Echivalent, o multime fuzzy A este convexa daca si
numai daca toate taieturile sale de nivel α sunt convexe
◮ Adica, daca MF nu e convexa, exista taieturi de nivel α alesale care nu sunt convexe, adica exista segmente x α1 x α2 caresunt “intrerupte” (nu sunt continue)
Ex: Sa se reprezinte grafic o multime fuzzy continua convexa siuna continua neconvexa.
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 17/33
Proprietati ale MF: cardinalitatea
7. Cardinalitatea unei multimi fuzzy
◮ Cardinalitatea unei MF finite A ⊂ X , notata |A| se definesteca fiind:
|A| =n
i =1
µA
(x i )
◮ Pentru o multime fuzzy continua A ⊂ X , cardinalitatea sa sedefineste:
|A| =
x
µA
(x )dx
daca integrala exista
7’ Cardinalitatea relativa a unei multimi fuzzy◮ Se noteaza ||A||
◮ Se defineste ca fiind ||A|| = |A||X | , daca exista, unde X este
universul discursului pentru multimea A
f
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 18/33
Alegerea functiilor de apartenenta
◮ Ca si in alte aspecte ale teoriei fuzzy, nu exista “retete” clare
pentru alegerea functiilor de apartenenta ale multimilor fuzzy
◮ Daca se doreste simplificarea calculelor se pot alege functii deapartenenta liniare, adica triunghiuri sau trapeze
◮ Exista situatii cind se prefera functii de apartenenta neliniare
(trigonometrice, de tip Gauss, etc):◮ Exista cercetatori care considera ca functiile de apartenenta
liniare nu dau rezultate suficient de bune pentru anumiteprobleme, pe cind functiile neliniare sunt mai potrivite
◮ Problema sau domeniul pot necesita anumite tipuri de functii
de apartenenta◮ Daca logica fuzzy se combina cu alte metode, de exemplu cu
retele neuronale, poate fi necesar sa se utilizeze functii deapartenenta potrivite si pt metodele respective
C i
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 19/33
Cuprins
Multimi fuzzy
Proprietati ale multimilor fuzzy
Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy
O ii MF i i i l
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 20/33
Operatii cu MF: reuniune, intersectie, complement
◮ Fiind date doua multimi fuzzy A = {(x , µA
(x ))|x ∈ X } si
B = {(x , µB
(x ))|x ∈ X } avand acelasi univers al discursului
X , se pot defini operatiile de reuniune, intersectie sicomplement. Se defineste:
◮ reuniunea multimilor fuzzy A si B ca fiind multimea fuzzyC = A ∪ B , data de C = {(x , µ
C (x ))|x ∈ X }, unde
µC (x ) = max(µA(x ), µB (x ))
◮ intersectia multimilor fuzzy A si B ca fiind multimea fuzzyD = A ∩ B , data de D = {(x , µ
D (x ))|x ∈ X }, unde
µD (x ) = min(µA(x ), µB (x ))
◮ complementul lui A in raport cu X ca fiind multimea fuzzyE = C
AX data de E = {(x , µ
E (x ))|x ∈ X }, unde
µE (x ) = 1 − µA(x )
O tii MF i l i lit t
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 21/33
Operatii cu MF: incluziune, egalitate
◮ incluziunea MF: fiind data doua MF A si B incluse in X , areloc incluziunea A ⊆ B daca si numai daca µ
A(x ) ≤ µ
B (x ),
(∀)x ∈ X
◮ egalitatea a doua MF: doua multimi fuzzy A si B incluse in X sunt egale daca si numai daca µ
A(x ) = µ
B (x ), (∀)x ∈ X
◮ Echivalent, doua multimi fuzzy A si B incluse in X sunt egaledaca si numai daca A ⊆ B si B ⊆ A
O tii MF l
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 22/33
Operatii cu MF: exemple
1. Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy A =
casa confortabila pentru o familie patru persoane si B = casamica, undeA = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)} siB = {(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.4), (4, 0.1)}:A∪B = {(1, max(0.1, 1)), (2, max(0.5, 0.8)), (3, max(0.8, 0.4)),(4, max(1, 0.1)), (5, max(0.7, 0)), (6, max(0.2, 0)} ={(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.2)}A ∩ B = {(1, min(0.1, 1)), (2, min(0.5, 0.8)), (3, min(0.8, 0.4)),(4, min(1, 0.1)), (5, min(0.7, 0)), (6, min(0.2, 0)} =
{(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.4), (4, 0.1), (5, 0), (6, 0)}A ∪ B poate fi citit “casa confortabila pentru o familie depatru persoane sau mica”, iar A ∩ B este “casa confortabilapentru o familie de patru persoane si mica”
O e atii c MF e e le (co ti a e)
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 23/33
Operatii cu MF: exemple (continuare)
2. Sa se determine CA
X , unde X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}:
(casa ne-confortabila pentru o familie de patru persoane)CA
X = {(1, 1 − 0.1), (2, 1 − 0.5), (3, 1 − 0.8), (4, 1 − 1), (5, 1 −0.7), (6, 1 − 0.2), (7, 1 − 0), (8, 1 − 0), (9, 1 − 0), (10, 1 − 0)} ={(1, 0.9), (2, 0.5), (3, 0.2), (4, 0), (5, 0.3), (6, 0.8), (7, 1), (8, 1),
(9, 1), (10, 1)}3. Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy A =
numere reale apropiate de 10 si B = numere reale mult maimari decat 11.
◮ Analitic: C = A ∪ B si D = A ∩ B , unde
µC (x ) = max{µA(x ), µB (x )},µD
(x ) = min{µA
(x ), µB
(x )}. . .
◮ Grafic: (mai potrivit in acest caz), in urmatoarele slide-uri:
Exemple de operatii cu MF: reuniunea
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 24/33
Exemple de operatii cu MF: reuniunea
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-10 -5 0 5 10 15 20
1/(1+(x-10)**2)
Figura 3 : A avind µA
(x )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
funcB(x)
Figura 4 : B avind µB (x )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
fA(x)funcB(x)
max(fA(x), funcB(x))
Figura 5 : A, B si A ∪ B
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
max(fA(x), funcB(x))
Figura 6 : A ∪ B
Exemple de operatii cu MF: intersectia
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 25/33
Exemple de operatii cu MF: intersectia
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-10 -5 0 5 10 15 20
1/(1+(x-10)**2)
Figura 7 : µA
(x )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
funcB(x)
Figura 8 : µB (x )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
fA(x)funcB(x)
min(fA(x), funcB(x))
Figura 9 : A, B si A ∩ B
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 5 10 15 20
min(fA(x), funcB(x))
Figura 10 : A ∩ B (detaliu)
Operatii cu multimi fuzzy: exercitii
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 26/33
Operatii cu multimi fuzzy: exercitii
1. Sa se determine CB
X , unde B este MF casa mica, iarX = {1, 2, . . . , 9, 10}
2. Sa se determine complementul unei multimi fuzzy avindfunctia de apartenenta continua trapezoidala
3. Pentru aceasta MF, sa se determine reuniunea si intersectiadintre MF data si complementul ei. Ce observati ?
Cuprins
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 27/33
Cuprins
Multimi fuzzy
Proprietati ale multimilor fuzzy
Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 28/33
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzyPentru multimi clasice in universul discursului X au locurmatoarele proprietati (dupa [NR74]):
1. Comutativitate:A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
2. Asociativitate:
(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
3. Distributivitate:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
4. Idempotenta:A ∪ A = A
A ∩ A = A
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 29/33
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF
5. Identitate: A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
A ∪ X = X ∪ A = X
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅
A ∩ X = X ∩ A = A
6. Tranzitivitate: daca A ⊆ B si B ⊆ C , atunci A ⊆ C
7. Involutie: A = A, unde A = CAX
8. De Morgan:A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 30/33
Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF
9. Absorbtie:
A ∪ (A ∩ B ) = A
A ∩ (A ∪ B ) = A
10. Legile tertului exclus (excluded middle laws):
A ∪ A = X
A ∩ A = ∅
◮ Proprietatile 1–9 au loc si pentru multimi fuzzy, dar NU si
proprietatea 10.
◮ Unii cercetatotri considera neindeplinirea legilor tertului exclusca fiind caracteristica principala a multimilor fuzzy.
Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 31/33
Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy
◮ Bellmann si Giertz au propus un set de axiome (proprietati) pe
care ar trebui sa le indeplineasca operatiile de reuniune,intersectie si complement ale MF
◮ Ei au vrut sa vada daca, pe baza acelui set de axiome, seobtin si alte operatii decit maxim pentru reuniune, minim
pentru intersectie si 1 − µA(x ) pt intersectie◮ Bellman si Giertz au determinat ca doar operatorii maxim pt
reuniune si respectiv minim pt intersectie indeplinesc setul deaxiome propus de ei
◮ In cazul complementului, nu au obtinut un unic operator.
◮ Pentru a obtine unicitate si in cazul complementului, auadaugat cerinta suplimentara ca negatul (complementul) lui1/2 sa fie 1/2.
Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 32/33
Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy
1. Directia urmata de matematicieni, care incearca
◮ pe de o parte, sa fundamenteze teoretic rezultatele din logicafuzzy (LF), operatorii si formulele utilizate in LF (ca siBellmann si Giertz)
◮ pe de alta parte, incearca sa extinda alte domenii, matematicesau ne-matematice, prin intermediul LF.
◮ Astfel, exista numere fuzzy, aritmetica fuzzy, functii fuzzy,analiza matematica fuzzy, probabilitati fuzzy, dar si automatefuzzy, bistabile fuzzy, coduri fuzzy
2. A doua directie este cea urmata de ingineri, economisti,lingvisti, medici, etc, care aplica rezultatele logicii fuzzy indomeniile lor de activitate
◮ Ei trebuie sa urmareasca si progresele realizate dematematicieni in cadrul logicii fuzzy
CV Negoita and DA Ralescu.
7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 33/33
Mult imi vagi si aplicat iile lor .Editura Tehnica, 1974.
H.-J. Zimmermann.
Fuzzy Set Theory – and Its Applications, Second, Revised Edition.Kluwer Academic Publishers, 1991.