logica fuzzy si aplicatii

33
Multimi fuzzy. Operatii cu multimi fuzzy Capitolul 2 Doru Todinca Departamentul Calculatoare UPT

Upload: ioana-tiriac

Post on 02-Mar-2018

263 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 1/33

Multimi fuzzy. Operatii cu multimi fuzzyCapitolul 2

Doru Todinca

Departamentul CalculatoareUPT

Page 2: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 2/33

Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzy

Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

Page 3: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 3/33

Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzy

Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

Page 4: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 4/33

Multimi clasice, multimi fuzzy

◮  Consideram o multime clasica (crisp )  X , in care discutam,numita universul discursului (universe of discourse )

◮  Pentru o multime clasica  A ⊂  X , pentru orice  x  ∈ X , avem:fie  x  ∈ A, fie  x   /∈ A

◮   Pentru multimea  A  se poate defini o functie caracteristica

ν A : X   → {0, 1}, avand  ν A(x ) = 1 daca si numai daca  x  ∈ Asi  ν A(x ) = 0 daca si numai daca  x   /∈ A  (dsnd, sau   iff - if and only if )

◮  Pentru o multime fuzzy  A, un element  x  ∈ X   apartine

multimii fuzzy  ˜A ⊂  X   intr-un anumit grad

◮  Functia caracteristica a unei multimi crisp va fi extinsa lafunctia de apartenenta  a unei multimi fuzzy, care poate luavalori in intervalul de numere reale [0, 1]

Page 5: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 5/33

Definitii

DefinitionDaca  X  este o colectie de obiecte (numite  universul discursului )notate generic cu  x , atunci o multime fuzzy  A ⊂  X  este multimeaperechilor ordonate

A =  {(x , µA(x ))|x  ∈ X }

unde  µA

(x ) : X   → [0, 1] se numeste  functie de apartenenta  saugrad de apartenenta  (membership function or degree of membership ).

Cand intervalul de numere reale [0, 1] este inlocuit de multimeadiscreta  {0, 1}, atunci multimea fuzzy  A  devine multime clasica(crisp).

Page 6: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 6/33

Multimi fuzzy. Exemple de MF

◮  Multimile fuzzy (prescurtat MF) pot fi continue sau discrete◮   Intervalul [0, 1] poate fi extins la [0, k ], unde  k  > 0

◮  Exista si MF definite pe structuri mai complexe decatintervale de numere reale, de exemplu  L-fuzzy sets , unde  L

este o multime partial ordonata (a se vedea capitolul 3,Extensii ale MF)

◮  Exemplu de MF discreta (Zimmermann [Zim91]):

◮ MF: casa confortabila pentru o familie de 4 persoane in functiede numarul de dormitoare:

◮ Universul discursului:   X   = {1, 2, . . . , 10}◮   A ⊂  X   va fi

A =  {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)}

Page 7: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 7/33

Exemple de MF (cnt’d)

Exemplu de MF continua:numere reale apropiate de10

◮   X   = R  (multimea

numerelor reale)◮   Functia de

apartenenta a MFA ⊂ R:

µA(x ) =   11 + (x  − 10)2

(1)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 1 :   A  cu  µA

(x ) =   11+(x −10)2

Page 8: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 8/33

Exemple de MF (cnt’d)

Exemplu de MF continua:numere reale mult mai maridecat 11

◮   X   = R  (multimea numerelor

reale)◮  Functia de apartenenta a

MF:B  ⊂ R:

µB (x ) =   (x −11)2

1+(x −11)2   daca  x  ≥ 11

0,   daca  x  < 11

(2)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 2 :   B   cu  µB (x )

Page 9: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 9/33

Notatii pentru multimile fuzzy

1.   Perechi   (element, valoare)  pentru MF discrete (ca in exemplul

cu casa confortabila), respectiv  (element generic, functie de apartenenta) pt MF continue: de exemplu (x ,  µ

A(x ))

2.  Doar prin functia de apartenenta (pentru MF continue)

3.  Ca “suma” pt MF discreta, respectiv “integrala” pt MF

continue (aceasta notatie poate genera confuzii !!):

A =n

i =1

µA

(x i )

x i =

 µA

(x 1)

x 1+

 µA

(x 2)

x 2+ . . . +

 µA

(x n)

x n

A =

   µ

A(x )

Atentie, nu e vorba de sume sau integrale, acestea sunt doar

notatii !!!

Page 10: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 10/33

Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzy

Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

Page 11: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 11/33

Proprietati ale MF: MF normale

1. MF normale

◮  O multime fuzzy se numeste  normala  daca supx  µA(x ) = 1,

unde sup este supremul MF

◮   Diferenta dintre maximul si supremul unei multimi: maximul

apartine multimii, supremul poate sa nu apartina multimii◮  Daca o MF nu este normala, ea se poate normaliza prin

impartirea functiei de apartenenta la supremul multimii,rezultind functia de apartenenta normalizata:

µAnorm(x ) =  µ

A

(x )

supx  µA(x )

Page 12: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 12/33

Proprietati ale MF: suport, nucleu, margine

2. Suportul unei MF

  Suportul unei MF (notat  supp ) este multimea crisp pentrucare  µA

(x ) > 0

◮  La exemplul cu casa confortabila este multimeasupp (A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

◮  De obicei elementele unei MF avind gradul de apartenenta 0nu se afiseaza

3. Nucleul unei MF  (core):

◮  este multumea crisp pentru care  µA

(x ) = 1

4. Marginea  (boundary)  unei MF:

◮  este multimea crisp pentru care 0 < µA

(x ) < 1

Exercitiu:  sa se reprezinte grafic pentru o multime fuzzy continuatrapezoidala suportul, nucleul si marginea ei.

Page 13: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 13/33

Proprietati ale MF: taieturi de nivel   α

5. Taieturi de nivel  α  (α-cuts  sau  α-level sets ):

 Taietura de nivel  α  (unde  α ∈  [0, 1]) a multimii fuzzy  ˜A avandfunctia de apartenenta  µ

A(x ) este multimea crisp Aα  pentru

care  µA

(x ) ≥ α

◮  Se poate defini  strong  α  cut  ca fiind multimea crisp  A′α

pentru care  µA

(x ) > α

◮  Pentru exemplul cu casa confortabila, undeA =  {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)},taieturile de nivel  α  ale multimii fuzzy  A  vor fi:

◮ A0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = supp A  (suportul lui  A)

◮ A0.2 = {2, 3, 4, 5, 6}◮ A0.5 = {2, 3, 4, 5}◮ A0.7 = {3, 4, 5}◮ A0.8 = {3, 4}◮ A1.0 = {4} = coreA  (nucleul lui  A)

Page 14: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 14/33

Proprietati ale MF: taieturi de nivel   α

◮  Se poate demonstra ca pentru orice multime fuzzy  A, are loc:

A =α

α · Aα

 Adica orice multime fuzzy se poate scrie ca reuniunea dupatoate valorile lui  α  ale produsului dintre  α  si taietura de nivelα

◮  Aceasta proprietate este foarte importanta si face legaturadintre multimile fuzzy si cele crisp

◮  Si este foarte utilizata pentru demonstrarea unor proprietatiale multimilor fuzzy

Page 15: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 15/33

Page 16: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 16/33

Proprietati ale MF: convexitatea

6. Convexitatea unei multimi fuzzy

◮  O multime fuzzy A ⊂  X  este convexa daca si numai daca∀x 1, x 2 ∈ X   si  ∀λ ∈ [0, 1] are loc relatiaµA

(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) ≥  min(µA

(x 1), µA

(x 2))

◮   Expresia  λ · x 1 + (1 − λ) · x 2  se refera la segmentul situat intrepunctele de abscisa  x 1   si  x 2

◮   Expresia  µA(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) se refera la imaginea acestuisegment prin functia  µ

A(x )

◮   Echivalent, o multime fuzzy  A   este convexa daca si

numai daca toate taieturile sale de nivel  α  sunt convexe

◮  Adica, daca MF nu e convexa, exista taieturi de nivel  α  alesale care nu sunt convexe, adica exista segmente  x α1 x α2   caresunt “intrerupte” (nu sunt continue)

Ex:  Sa se reprezinte grafic o multime fuzzy continua convexa siuna continua neconvexa.

Page 17: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 17/33

Proprietati ale MF: cardinalitatea

7. Cardinalitatea unei multimi fuzzy

◮  Cardinalitatea unei MF finite  A ⊂  X , notata  |A|  se definesteca fiind:

|A| =n

i =1

µA

(x i )

◮  Pentru o multime fuzzy continua  A ⊂  X , cardinalitatea sa sedefineste:

|A| =

 x 

µA

(x )dx 

daca integrala exista

7’ Cardinalitatea relativa a unei multimi fuzzy◮   Se noteaza  ||A||

◮  Se defineste ca fiind ||A|| =   |A||X | , daca exista, unde  X   este

universul discursului pentru multimea  A

f

Page 18: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 18/33

Alegerea functiilor de apartenenta

◮  Ca si in alte aspecte ale teoriei fuzzy, nu exista “retete” clare

pentru alegerea functiilor de apartenenta ale multimilor fuzzy

◮  Daca se doreste simplificarea calculelor se pot alege functii deapartenenta liniare, adica triunghiuri sau trapeze

◮  Exista situatii cind se prefera functii de apartenenta neliniare

(trigonometrice, de tip Gauss, etc):◮ Exista cercetatori care considera ca functiile de apartenenta

liniare nu dau rezultate suficient de bune pentru anumiteprobleme, pe cind functiile neliniare sunt mai potrivite

◮ Problema sau domeniul pot necesita anumite tipuri de functii

de apartenenta◮ Daca logica fuzzy se combina cu alte metode, de exemplu cu

retele neuronale, poate fi necesar sa se utilizeze functii deapartenenta potrivite si pt metodele respective

C i

Page 19: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 19/33

Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

O ii MF i i i l

Page 20: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 20/33

Operatii cu MF: reuniune, intersectie, complement

◮  Fiind date doua multimi fuzzy  A = {(x , µA

(x ))|x  ∈ X } si

B  = {(x , µB 

(x ))|x  ∈ X }  avand acelasi univers al discursului

X , se pot defini operatiile de reuniune, intersectie sicomplement. Se defineste:

◮   reuniunea  multimilor fuzzy  A  si  B  ca fiind multimea fuzzyC  = A ∪  B , data de  C  = {(x , µ

C (x ))|x  ∈ X }, unde

µC (x ) = max(µA(x ), µB (x ))

◮   intersectia  multimilor fuzzy  A  si  B  ca fiind multimea fuzzyD  = A ∩  B , data de  D  = {(x , µ

D (x ))|x  ∈ X }, unde

µD (x ) = min(µA(x ), µB (x ))

◮   complementul   lui  A   in raport cu  X  ca fiind multimea fuzzyE  = C

AX   data de  E  = {(x , µ

E (x ))|x  ∈ X }, unde

µE (x ) = 1 − µA(x )

O tii MF i l i lit t

Page 21: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 21/33

Operatii cu MF: incluziune, egalitate

◮   incluziunea MF: fiind data doua MF  A  si  B   incluse in  X , areloc incluziunea  A ⊆  B  daca si numai daca  µ

A(x ) ≤  µ

B (x ),

(∀)x  ∈ X 

◮   egalitatea  a doua MF: doua multimi fuzzy  A  si  B   incluse in  X sunt egale daca si numai daca  µ

A(x ) = µ

B (x ), (∀)x  ∈ X 

◮  Echivalent, doua multimi fuzzy  A  si  B   incluse in X   sunt egaledaca si numai daca  A ⊆  B   si  B  ⊆  A

O tii MF l

Page 22: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 22/33

Operatii cu MF: exemple

1.  Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy  A =

casa confortabila pentru o familie patru persoane si  B  = casamica, undeA =  {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)}   siB  = {(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.4), (4, 0.1)}:A∪B  = {(1, max(0.1, 1)), (2, max(0.5, 0.8)), (3, max(0.8, 0.4)),(4, max(1, 0.1)), (5, max(0.7, 0)), (6, max(0.2, 0)} ={(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.2)}A ∩  B  = {(1, min(0.1, 1)), (2, min(0.5, 0.8)), (3, min(0.8, 0.4)),(4, min(1, 0.1)), (5, min(0.7, 0)), (6, min(0.2, 0)} =

{(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.4), (4, 0.1), (5, 0), (6, 0)}A ∪  B  poate fi citit “casa confortabila pentru o familie depatru persoane sau mica”, iar  A ∩  B  este “casa confortabilapentru o familie de patru persoane si mica”

O e atii c MF e e le (co ti a e)

Page 23: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 23/33

Operatii cu MF: exemple (continuare)

2.  Sa se determine  CA

X , unde  X   = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}:

(casa ne-confortabila pentru o familie de patru persoane)CA

X   = {(1, 1 − 0.1), (2, 1 − 0.5), (3, 1 − 0.8), (4, 1 − 1), (5, 1 −0.7), (6, 1 − 0.2), (7, 1 − 0), (8, 1 − 0), (9, 1 − 0), (10, 1 − 0)} ={(1, 0.9), (2, 0.5), (3, 0.2), (4, 0), (5, 0.3), (6, 0.8), (7, 1), (8, 1),

(9, 1), (10, 1)}3.  Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy  A =

numere reale apropiate de 10 si  B  = numere reale mult maimari decat 11.

◮ Analitic:  C  = A ∪  B   si  D  = A ∩  B , unde

µC (x ) = max{µA(x ), µB (x )},µD 

(x ) = min{µA

(x ), µB 

(x )}. . .

◮ Grafic: (mai potrivit in acest caz), in urmatoarele slide-uri:

Exemple de operatii cu MF: reuniunea

Page 24: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 24/33

Exemple de operatii cu MF: reuniunea

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 3 :   A  avind  µA

(x )

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 4 :   B  avind  µB (x )

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

fA(x)funcB(x)

max(fA(x), funcB(x))

Figura 5 :   A,  B   si  A ∪  B 

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

max(fA(x), funcB(x))

Figura 6 :   A ∪  B 

Exemple de operatii cu MF: intersectia

Page 25: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 25/33

Exemple de operatii cu MF: intersectia

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 7 :   µA

(x )

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 8 :   µB (x )

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0 5 10 15 20

fA(x)funcB(x)

min(fA(x), funcB(x))

Figura 9 :   A,  B   si  A ∩  B 

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0 5 10 15 20

min(fA(x), funcB(x))

Figura 10 :   A ∩  B   (detaliu)

Operatii cu multimi fuzzy: exercitii

Page 26: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 26/33

Operatii cu multimi fuzzy: exercitii

1.  Sa se determine  CB 

X , unde  B  este MF casa mica, iarX   = {1, 2, . . . , 9, 10}

2.  Sa se determine complementul unei multimi fuzzy avindfunctia de apartenenta continua trapezoidala

3.  Pentru aceasta MF, sa se determine reuniunea si intersectiadintre MF data si complementul ei. Ce observati ?

Cuprins

Page 27: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 27/33

Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzy

Page 28: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 28/33

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzyPentru multimi clasice in universul discursului  X  au locurmatoarele proprietati (dupa [NR74]):

1.   Comutativitate:A ∪ B  = B  ∪ A

A ∩ B  = B  ∩ A

2.   Asociativitate:

(A ∪ B ) ∪ C  = A ∪ (B  ∪ C )

(A ∩ B ) ∩ C  = A ∩ (B  ∩ C )

3.   Distributivitate:

A ∪ (B  ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B  ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )

4.   Idempotenta:A ∪ A = A

A ∩ A = A

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF

Page 29: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 29/33

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF

5.   Identitate: A ∪ ∅ =  ∅ ∪ A = A

A ∪ X   = X  ∪ A =  X 

A ∩ ∅ = ∅ ∩ A =  ∅

A ∩ X   = X  ∩ A =  A

6.   Tranzitivitate: daca  A ⊆  B   si  B  ⊆ C , atunci  A ⊆  C 

7.   Involutie:   A = A, unde  A = CAX 

8.  De Morgan:A ∪ B  = A ∩ B 

A ∩ B  = A ∪ B 

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF

Page 30: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 30/33

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF

9.   Absorbtie:

A ∪ (A ∩ B ) = A

A ∩ (A ∪ B ) = A

10.  Legile tertului exclus  (excluded middle laws):

A ∪ A = X 

A ∩ A = ∅

◮  Proprietatile 1–9 au loc si pentru multimi fuzzy, dar NU si

proprietatea 10.

◮  Unii cercetatotri considera neindeplinirea legilor tertului exclusca fiind caracteristica principala a multimilor fuzzy.

Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy

Page 31: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 31/33

Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy

◮  Bellmann si Giertz au propus un set de axiome (proprietati) pe

care ar trebui sa le indeplineasca operatiile de reuniune,intersectie si complement ale MF

◮  Ei au vrut sa vada daca, pe baza acelui set de axiome, seobtin si alte operatii decit maxim pentru reuniune, minim

pentru intersectie si 1 − µA(x ) pt intersectie◮  Bellman si Giertz au determinat ca doar operatorii maxim pt

reuniune si respectiv minim pt intersectie indeplinesc setul deaxiome propus de ei

◮  In cazul complementului, nu au obtinut un unic operator.

◮  Pentru a obtine unicitate si in cazul complementului, auadaugat cerinta suplimentara ca negatul (complementul) lui1/2 sa fie 1/2.

Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy

Page 32: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 32/33

Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy

1.  Directia urmata de matematicieni, care incearca

◮ pe de o parte, sa fundamenteze teoretic rezultatele din logicafuzzy (LF), operatorii si formulele utilizate in LF (ca siBellmann si Giertz)

◮ pe de alta parte, incearca sa extinda alte domenii, matematicesau ne-matematice, prin intermediul LF.

◮ Astfel, exista numere fuzzy, aritmetica fuzzy, functii fuzzy,analiza matematica fuzzy, probabilitati fuzzy, dar si automatefuzzy, bistabile fuzzy, coduri fuzzy

2.  A doua directie este cea urmata de ingineri, economisti,lingvisti, medici, etc, care aplica rezultatele logicii fuzzy indomeniile lor de activitate

◮ Ei trebuie sa urmareasca si progresele realizate dematematicieni in cadrul logicii fuzzy

CV Negoita and DA Ralescu.

Page 33: Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 33/33

Mult imi vagi si aplicat iile lor .Editura Tehnica, 1974.

H.-J. Zimmermann.

Fuzzy Set Theory – and Its Applications, Second, Revised Edition.Kluwer Academic Publishers, 1991.