fuzzy control part 4

(R.-E. Precup, UPT, 2011)

4. STRUCTURA DE BAZĂ ŞI ANALIZA REGULATOARELOR FUZZY

4.0. Regulatoare tipizate După cum se cunoaşte (Dumitrache ş.a., 1993; Preitl ş.a., 1996), reglajul “clasic”, convenţional,

liniar are la bază utilizarea unor regulatoare tipizate fără sau cu dinamică (cel mai adesea). Un regulator tipizat asigură o dependenţă ieşire funcţie de intrare de tip funcţională liniară de forma:

))(()( teftu = , (4.1)

în care )()()( tytwte −= este eroarea de reglare, fig.4.0.1.

Fig.4.0.1.

Regulatoarele tipizate cel mai frecvent utilizate sunt de tip P, PDT1, PI sau PID (a se vedea tabelul aferent fig.4.0.1) şi pot fi realizate: • în variantă analogică, • în variantă numerică cvasicontinuă. De asemenea, se cunoaşte că există o varietate mare de metode de proiectare a SRA liniare care, însă, toate au la bază o modelare matematică mai mult sau mai puţin pretenţioasă şi exactă a procesului condus (PC); pe baza cunoaşterii structurii PC şi a modelului matematic (MM) acceptat, prin proiectarea SRA se rezolvă următoarele aspecte: • alegerea structurii SRA; • alegerea tipului de regulator / regulatoare şi calculul valorilor parametrilor de acordare. Adoptarea în final a unei anumite soluţii (în cazul SRA clasice) are la bază verificarea “calităţii SRA”, a comportării SRA în diferite regimuri considerate semnificative pentru comportarea SRA; în acest scop se pot utiliza diferite metode: • simularea pe calculator numeric/analogic/hibrid a comportării SRA în regimurile selectate; • testarea pe modele de laborator, staţii pilot ş.a. Ultima fază în elaborarea unui dispozitiv de conducere (DC) aferent unui SRA o constituie adoptarea soluţiei constructive (hardware şi software) pentru DC şi implementarea efectivă a soluţiei informaţionale (proiectate).

44 Structura de bază şi analiza regulatoarelor fuzzy – 4 (R.-E. Precup, UPT, 2011)

În cazul conducerii bazate pe teoria mulţimilor vagi, adică al conducerii fuzzy, faţă de conducerea convenţională (clasică) apar două mari diferenţe, şi anume: • în modul în care este caracterizat PC; de remarcat că lipsa unui MM ferm aferent PC nu va constitui

un impediment major; • în modul în care este dezvoltat regulatorul - regulatorul fuzzy, RG-F - şi în modul în care proprietăţile

acestuia pot fi adaptate la cerinţele conducerii.

4.1. Structura unui sistem cu conducere automată bazată pe utilizarea unui regulator fuzzy

4.1.1. Structura sistemului cu conducere automată Structura principială a unui SRA cu regulator fuzzy (SRA cu RG-F) cu o mărime de comandă u este prezentată în fig.4.1.1-a şi evidenţiază în raport cu structura de SRA-c (fig.4.1.1-b) următoarele două particularităţi: • una, în structura SRA, care poate fi considerat un SRA cu conexiuni multiple; • alta, în structura RG-F, care poate fi cu mai multe intrări (eventual şi mai multe ieşiri). Corespunzător, aceste particularităţi îşi răsfrâng efectele în: • proiectarea structurii SRA cu RG-F şi a RG-F; • implementarea, testarea şi adaptarea proprietăţilor RG-F astfel încât SRA-RG-F să asigure proprietăţi

/ comportare dorite(ă).

Fig.4.1.1.

Mărimile care apar în schema bloc din fig.4.1.1-a au semnificaţia cunoscută (este vorba despre w, v, z, u), iar ym reprezintă vectorul mărimilor PC după care se asigură reacţii în vederea realizării conducerii şi care va conţine: • ieşirea de măsură y; obişnuit y(t) = kM z(t); • alte mărimi interioare PC şi a căror evoluţie poate fi concludentă în conducere. De remarcat este faptul că numărul mărimilor de comandă u poate fi mai mare decât unu. Este însă obligatoriu ca fiecare comandă (ieşire a RG-F) să fie prezentă în concluziile bazei de reguli şi să acţioneze asupra unui element de execuţie. Pentru exemplificarea unei structuri de conducere cu RG-F, în continuare va fi prezentat sistemul de reglare a temperaturii şi umidităţii într-o incintă (“climatizarea incintei”) cu schema bloc principială din fig.4.1.2 (Precup şi Preitl, 1995b), pentru care mărimile de ieşire din RG-F vor acţiona simultan asupra următoarelor elemente de execuţie: - elementul de (post)încălzire (I), - elementul de răcire (R), - elementul de umidificare (U), - sistemul de ventilaţie (V), - eventual şi alte elemente de execuţie (preîncălzire, reglare raport aer recirculat/ aer proaspăt ş.a.). Procesul de climatizare a aerului într-o incintă este un proces cu transformări de stare ale aerului, puternic neliniar, cu interconexiuni greu modelabile matematic dar “relativ uşor” de caracterizat lingvistic. Din acest motiv, utilizarea reglajului fuzzy în acest domeniu prezintă interes.

(R.-E. Precup, 2011) 4.1 Structura unui sistem cu conducere automată bazată pe utilizarea unui RG-F 45

Fig.4.1.2.

4.1.2. Structura informaţională a regulatorului fuzzy Configuraţia principială a unui RG-F cu o ieşire / comandă este prezentată în fig.4.1.3 şi evidenţiază – prin blocurile marcate – mecanismul de acţiune a unui astfel de regulator; acest mecanism se derulează în următoarele etape (a se vedea capitolul 3): ♦ etapa de fuzzificare a informaţiei ferme disponibile, referitoare la evoluţia şi – după caz – tendinţele

de evoluţie ale mărimilor PC; ca rezultat se obţine informaţia vagă sub forma VL, a TL şi a f.d.ap. aferente;

♦ etapa de inferenţă, prin care informaţia sub formă vagă referitoare la intrări este prelucrată utilizând baza de reguli (conform subcapitolului 3.2) exprimată sub forma

,...2,1 , ...SAU

)iesiriconcluzia(ATUNCIintrãri)(premizaDACÃ:SAU...

=

↔↔

i

Ri ; (4.1.1)

ca rezultat se obţine concluzia vagă sub forma comenzii în caracterizarea vagă µURez0(u) (a se vedea

subcapitolul 3.2);

Fig.4.1.3.

♦ etapa de defuzzificare, adică de conversie a caracterizării vagi a comenzii întro formulare fermă, sub

forma comenzii u0; această valoare fermă este apoi aplicată elementului de execuţie E din cadrul procesului condus (fig.4.1.3).


Din cele până aici prezentate se recunoaşte faptul că, principial, RG-F astfel construit este un regulator fără dinamică, care creează o dependenţă neliniară de tip “proporţional” a comenzii u funcţie de intrările regulatorului. Dacă însă unele intrări sunt prelucrate dinamic înainte sau după mecanismul de acţiune a RG-F propriu-zis, ansamblul poate obţine proprietăţi dinamice, RG-F extins având pe lângă componenta P şi eventuale componente D şi/sau I. Referitor la natura intrărilor ferme ale RG-F se întâlnesc următoarele două situaţii tipice: a) Intrările în RG-F sunt eroarea de reglare e şi derivatele erorii e’, e” (mai rar) sau integrala erorii

∫ ττt

de0

)( ; prin aceste mărimi se pot aprecia tendinţele de evoluţie a PC. În acest caz, regulile ce compun

baza de reguli vor fi de forma: ... ...)( ...) ...( : SAUuATUNCIeSIeDACARi === & (4.1.2)

b) Intrările în RG-F sunt eroarea de reglare (explicit sau implicit) (eventual şi derivatele ei e’, e”) şi alte mărimi din proces (de regulă, mărimi de stare); mărimile din proces după care se realizează reacţii trebuie să fie cu dinamică diferită (astfel că într-o eventuală schemă bloc informaţională ele sunt separate de blocuri cu dinamică). Prin faptul că evoluţia lui e, e’ sau e” este uşor de urmărit / interpretat, dezvoltarea primelor tipuri de RG-F este de regulă mai uşoară. Prin faptul că un astfel de regulator poate prelucra suplimentar şi

componentele e, e’ sau ∫ ττt

de0

)( – calculele se efectuează în afara RG propriu-zis – sub o formă sau alta

ansamblul obţine proprietăţile dinamice amintite. Mai mult, pe această cale se pot elimina şi efectele nedorite de regim staţionar constant (RSC), referitoare la eroarea de reglare nenulă şi rejecţia parţială a efectelor perturbaţiilor constante specifice SRA cu regulatoare P (fără componentă I) (Precup şi Preitl, 1995b; Preitl ş.a., 1996). Pentru înţelegerea completă a acţiunii unui RG-F, în continuare se aduc câteva precizări suplimentare referitoare la fiecare din modulele de prelucrare fuzzy din cadrul RG-F.

4.2. Tratarea informaţiei de intrare în regulatorul fuzzy Până ce informaţia fermă referitoare la evoluţia PC să fie prelucrată prin schema de inferenţă, aceasta trebuie să parcurgă următorul lanţ de transformări: • A) conversia analog-numerică a semnalului / informaţiei ferm(e) primar(e); • B) tratarea semnalelor măsurate, adică tratarea numerică a informaţiei ferme, eşantionate şi cuantizate

şi transformarea informaţiei ferme, eşantionate şi cuantizate; • C) transformarea informaţiei ferme într-o formulare vagă, prin fuzzificare. A) Conversia analog-numerică a semnalului ferm (primar). Presupune operaţiile cunoscute, şi anume: eşantionarea-cuantizarea şi codificarea. Din punct de vedere al conducerii interesează doar primele două operaţii. (1) Eşantionarea semnalului analogic. Criteriile privind alegerea perioadei de eşantionare Te sunt practic similare cu cele din cazul conducerii convenţionale (Isermann, 1987; Preitl, 1992) şi depind – în primul rând – de următoarele: dinamica procesului condus, care sub o formă sau alta – mai mult sau mai puţin detaliată – trebuie

cunoscută; informaţiile necesare se referă la constantele de timp mari sau mici ale PC, timpul mort ş.a.;

dinamica SRA care urmează a fi realizat (condiţia este legată în ultimă instanţă de performanţele care se impun SRA);

echipamentul numeric la dispoziţie, care trebuie corelat cu volumul de calcule solicitate de conducere; spectrul semnalelor perturbatoare; dinamica elementului de execuţie; se reaminteşte că pentru a nu supune elementul de execuţie unor

solicitări frecvente este recomandat ca perioada de eşantionare Te să fie astfel aleasă încât pe durata ei elementul de execuţie să răspundă “complet”;

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.2 Tratarea informaţiei de intrare în regulatorul fuzzy 47 dinamica elementului de măsură ş.a.

Pentru practică se pot reţine următoarele recomandări generale privind alegerea perioadei de eşantionare: ♦ în cazul proceselor aperiodice pentru care constantele de timp mari sunt relativ bine cunoscute, notate

cu T1 > T2 > ... > Tr, unde Tr este cea mai mică constantă de timp mare, atunci Te se poate alege conform recomandării (clasice):

Te ≤ (1/2) Tr; (4.2.1) ♦ în cazul PC care conţin o componentă oscilantă de pulsaţie ω0, perioada de eşantionare se poate alege

astfel: Te ≤ π/4/ω0; (4.2.2) ♦ în cazul în care PC are cunoscute (aproximativ) constantele de timp mici sub forma sumei acestora

TΣ, perioada de eşantionare se poate alege conform relaţiei: Te ≤ (1/2 ... 1) TΣ; (4.2.3) În final mai poate fi menţionat faptul că adeseori recomandările privind alegerea lui Te pot fi contradictorii; din acest motiv experienţa proiectantului poate fi hotărâtoare. (2) Cuantizarea semnalului eşantionat. Pretenţii deosebite în raport cu cuantizarea nu se impugn. Ca şi în cazul conducerii convenţionale, o reprezentare a cuvântului binar pe mai mult de 8 (12) biţi dă satisfacţie. O cuantizare grobă şi o reprezentare pe un număr foarte redus de biţi poate avea efecte asupra: • definirii TL care sunt supuşi cuantizării atât relativ la mulţimea de bază cât şi la mulţimea vagă

aferentă (f.d.ap.); • rezultatului procesului de fuzzificare, mecanismului de inferenţă şi asupra rezultatului defuzzificării. Dacă în final comanda fermă poate lua numai un număr relativ redus de valori discrete, este posibilă şi apariţia în ieşirea PC a fenomenului “ripple”. B) Tratarea semnalelor măsurate. În principiu se poate pune problema efectuării – pe cale numerică – a următoarelor categorii de calcule: • calcule legate de postfiltrarea numerică a semnalului măsurat, supus ulterior prelucrării fuzzy (cazul

filtrării analogice nu este discutat aici); • calcule legate de determinarea derivatelor / variaţiilor de ordinul întâi (mai rar şi doi) ale unor intrări

(eroarea de reglare sau / şi alte mărimi); • eventual, calcule legate de efectuarea integralei unei mărimi; această operaţie este de cele mai multe

ori efectuată pe ieşirea RG-F. Filtrarea numerică a unei mărimi: de multe ori semnalele măsurate pot fi prefiltrate analogic şi

apoi, la nevoie, filtrate numeric (eventual, numai aceasta din urmă). În acest scop se utilizează filtre numerice simple ce au echivalentul continuu proporţional cu temporizare de ordinul întâi (PT1); ecuaţia recurentă aferentă este de forma:

10110~~

−− ++−= kkkk ybybyay , (4.2.4)

în care: y~ este eşantionul semnalului filtrat, y eşantionul semnalului nefiltrat, iar a0, b0, b1 sunt coeficienţi cu valori dependente de: - metoda de discretizare utilizată; - parametrul Tf al filtrului continuu PT1; - valoarea perioadei de eşantionare Te. Dacă, de exemplu discretizarea, este realizată cu metoda dreptunghiurilor (în variantă întârziată), atunci:

1

1111

1111

11)()(

−

−−=−

−−=

−

+==

z

z

eTsf

z

z

eTs

FF sTsHzH , (4.2.5)

iar coeficienţii a0, b0 şi b1 obţin expresiile:


a0 = Te/Tf – 1, b0 = Te/Tf, b1 = 0. (4.2.6) Raportul Te/Tf = cf poartă şi denumirea de coeficient de filtrare şi caracterizează gradul de filtrare a semnalului; astfel, pentru: cf = 0.1 → filtrare puternică, cf = 0.25 → filtrare semnificativă, cf = 0.5 → filtrare moderată, cf > 0.5 → filtrare redusă.

Derivata întâi a unei mărimi, de exemplu, a erorii de reglare e, se calculează cu relaţia:

ė(kTe) = )(1,

)()( 1−=

−==∆=∆

∆≈ kk

eeekTtee

TTtkTtttete

e

& . (4.2.7)

Derivatele de ordin superior (e”, ...) se utilizează mai puţin; la nevoie ele se pot calcula pe baza relaţiilor de discretizare cunoscute (Dragu şi Iosif, 1985).

Evaluarea integralei unei mărimi: are loc pe baza principiilor cunoscute (Preitl ş.a., 1996), prin introducerea variabilei auxiliare:

∑−

==

1

0

k

ioik,R ux , (4.2.8)

care ţine seama de istoria anterioară; u0i reprezintă (aici, de exemplu) eşantionul “i” al ieşirii din RG-F, fig.4.2.1 şi el va interveni în mărimea de comandă propriu-zisă (u0)k sub forma unui increment, astfel că ieşirea fermă actuală se calculează cu relaţia: (u0)k = xR,k + u0k. (4.2.9) Asupra utilizării / utilităţii operaţiei de integrare se va reveni.

Fig.4.2.1.

C) Transformarea informaţiei ferme de intrare (e1k, e2k, … , eşantionate, filtrate ...) într-o formulare vagă. Ca şi până acum, în prima fază se va presupune că mărimile de intrare în RG-F au valoarea fermă bine precizată, chiar dacă ulterior aspectul poate fi reconsiderat. În aceste condiţii, pentru caracterizarea “vagă” a informaţiei ferme este necesară definirea “cât mai corectă” – dintr-un anumit punct de vedere – a numărului de TL şi a f.d.ap. pentru fiecare din VL de intrare. De remarcat că în literatură pe această temă nu se dau recomandări exhaustive, general valabile, soluţia finală fiind la latitudinea proiectantului. Câteva indicaţii cu caracter general în acest sens care pot fi luate în considerare la dezvoltarea unui RG-F sunt următoarele: (1) Indicaţii privind alegerea numărului de TL aferenţi unei VL de intrare, nTLe , care este obişnuit un număr impar 3, 5 sau 7; prin numărul TL se fixează rezoluţia conversiei vagi şi a prelucrării ulterioare. Pe baza unor studii de caz, în literatură se dovedeşte că – exceptând unele aplicaţii speciale – o creştere a numărului de TL peste 7 nu conduce la o creştere eficientă a rezoluţiei. Odată cu creşterea lui nTLe pentru fiecare VL de intrare, creşte numărul de reguli şi formularea bazei de reguli devine din ce în ce mai anevoioasă şi însăşi experienţa personală a expertului poate deveni din ce în ce mai puţin sigură / relevantă. În general, TL de denumesc astfel încât să reflecte un conţinut cât mai general şi depind de fiecare dată de mărimea în cauză. Cu referire la intrarea (VL) “eroare de reglare”, e = w – y, pentru TL se pot utiliza, de exemplu, următoarele denumiri (cele din engleză sunt consacrate):

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.2 Tratarea informaţiei de intrare în regulatorul fuzzy 49 - negativ mare NM NB - negative big; - negativ mediu Nmd NM - negative medium; - negativ mic Nm NS - negative small; - zero Ze ZE - zero; - pozitiv mic Pm PS - positive small; - pozitiv mediu Pmd PM - positive medium; - pozitiv mare PM PB - positive big. (2) Indicaţii privind definirea şi utilizarea domeniului de bază (mulţimii de bază, universului) pentru mărimile de intrare (VL). Trebuie remarcat faptul că domeniul de bază pentru mărimile de intrare este predefinit de domeniul de variaţie al ieşirii traductoarelor de măsură şi de echipamentul de interfaţare (adaptare, conversie). Acoperirea prin TL a domeniului va determina (corelat cu proprietăţile elementului de execuţie) amplificarea RG-F. De remarcat că existenţa mai multor canale de intrare face ca în jurul unui punct de funcţionare staţionară în raport cu fiecare din canale să se poată defini o valoare a amplificării (a se vedea liniarizarea sistemelor neliniare cu neliniarităţi de clasă C2). Domeniul de bază poate fi definit în diferite moduri ţinând seama de natura mărimii referite. Astfel, se pot menţiona următoarele modalităţi frecvente de definire a domeniului de bază: • în unităţi / mărimi naturale; • în unităţi normate, raportarea efectuându-se la o valoare (domeniu) de bază; • în creşteri faţă de o valoare de referinţă (sau de bază) exprimate în unităţi naturale sau în unităţi

normate; • alte modalităţi. Operaţia de definire a domeniului de bază poartă şi denumirea de scalare. Ea trebuie văzută insă corelat cu domeniul de bază al ieşirii.

Pentru exemplificare se consideră că mărimea reglată este temperatura într-un cuptor θc, θc ∈ [0, 100] oC. Dacă temperatura prescrisă este θ0, eroarea de reglare ∆θ este:

0c θ−θ=θ∆ (4.2.9)

şi, după o logică foarte simplistă, ∆θ ar trebui să aibă domeniul de variaţie [–100,+100] oC. În realitate acest domeniu va fi restrâns astfel încât, corelat cu domeniul de variaţie a comenzii, să determine amplificarea regulatorului. Observaţie: Raţionamentul şi caracterizarea matematică aferentă sunt cunoscute de la reglajul clasic la definirea benzii de proporţionalitate aferente componentei proporţionale a unui regulator convenţional:

[%] 1001respectiv[%] 1001%

% ⋅⋅=⋅⋅=e

u

pR

e

u

Rp D

Db

k DD

kb ; (4.2.10)

astfel, banda de proporţionalitate, bp%, reprezintă de fapt coeficientul prin care se modifică domeniul de

variaţie util al erorii de reglare. Revenind la exemplul enunţat, în fig.4.2.2 se prezintă câteva modalităţi de definire a domeniului de bază şi de definire a unor TL aferenţi: a) definire în mărimea de bază în unităţi naturale; TL definiţi sunt: ze - zero, m - mic, md - mediu,

M - mare, FM - foarte mare; b) definire în mărimea de bază în unităţi normate; raportarea se face la valoarea maximă θcmax =

100 oC; c), d) definire în eroarea de reglare ∆θ cu acoperirea prin TL a întregului domeniu “teoretic” de

variaţie [–100, +100]oC, în unităţi naturale sau în unităţi normate; e), f) definire în eroarea de reglare ∆θ cu acoperirea domeniului [–25, +25]oC, în unităţi naturale

sau în unităţi normate; se va observa că în acest caz orice depăşire a domeniului de către eroarea


de reglare, ∆θ<–25 oC sau ∆θ>25oC este tratată ca şi eroare de valoare (absolută) maximă de 25 oC. De fapt scalarea din cazul e) corespunde unei reconsiderări a alocării f.d.ap. ale TL din fig.4.2.2-c şi -d conform fig.4.2.2-g şi -h.

Fig.4.2.2.

(3) Iniţializarea f.d.ap. ale TL aferenţi VL de intrare. În cazurile în care nu există experienţă în definirea TL şi a f.d.ap. aferente VL de intrare, orientată pe aplicaţie (experienţă dobândită prin studii / realizări de caz), întro primă fază a proiectării se pot accepta următoarele recomandări, fig.4.2.3-(a) ... -(f) (acestea se vor corela cu cele prezentate în subcapitolul 4.5): (i) f.d.ap. aferente TL ai VL de intrare se aleg de formă triunghiulară sau trapezoidală; f.d.ap. vor avea formă simetrică (pe cât posibil) exceptând cele de la capete (a), (b);

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.2 Tratarea informaţiei de intrare în regulatorul fuzzy 51

Fig.4.2.3.

(ii) se preferă alocări de f.d.ap. care să asigure acoperirea totală a domeniului de bază (a), (b) astfel ca orice valoare fermă să activeze simultan doi TL (în ultimă instanţă două reguli); acoperirea domeniului de bază de către un singur TL (d) poate crea discontinuităţi în caracteristica statică a RG-F; punctul de intersecţie a f.d.ap. pentru doi TL adiacenţi (cu acoperire) este recomandat să aibă ordonata mai mare de 0.4 (0.45), excepţie făcând zonele de capăt ale domeniului; în cazul TL aferenţi unei VL de ieşire recomandarea trebuie însă corelată şi cu metoda de defuzzificare utilizată (a se vedea paragraful 4.1.2); (iii) dacă VL în cauză are variaţie în jurul valorii de 0 cu valori +, cum este de exemplu cazul erorii de reglare, se preferă alocarea simetrică a TL faţă de 0 (b); (iv) nu se acceptă zone ale domeniului de bază neacoperite de TL (c); situaţia de neacoperire creează incertitudini în comanda fermă u, care ca efect poate lua de exemplu chiar valoarea nulă; (v) nu se acceptă definirea unor TL astfel încât pe domeniul de bază aceştia să aibă concomitent toleranţa egală cu 1 (e); (vi) cuantizarea prea grosieră a f.d.ap. are ca efect deformări posibile în suportul / toleranţa f.d.ap. (f): µeze µeze

#; aceste deformări au efect doar la o cuantizare prea grosieră a domeniului de bază respectiv a valorii f.d.ap.; astfel, în fig.4.2.3-f se va observa, de exemplu, că o valoare fermă e0 = 0.02 determină: - activarea TL ze continuu la valoarea µeze(e0) = 0.98 şi a TL ze cuantizat la valoarea µeze

#(e0) = 0.8; - activarea TL P continuu la valoarea µeP(e0) = 0.02 şi a TL P cuantizat la valoarea µeP

#(e0) = 0. Este acum evident că prelucrarea ulterioară a informaţiei va fi afectată de cuantizarea astfel efectuată.


Recomandările mai sus enumerate sunt ilustrate în fig.4.2.3-a. Aceste recomandări pot fi întregite şi cu altele după cum va rezulta din subcapitolul 4.5, unde se vor urmări aspecte legate de influenţa modificării formei f.d.ap. asupra CS a RG-F.

4.3. Baze de reguli. Mecanisme de inferenţă A) Funcţionarea RG-F are la bază setul de reguli de forma (4.1.1): ... DACĂ (premiza) ATUNCI (concluzia), ... , set de reguli care trebuie să asigure întro descriere lingvistică funcţionalitatea regulatorului pe domeniile de bază ale mărimilor de intrare şi de ieşire. Informaţiile din premiză şi concluzie sunt formulate şi conectate prin descriptorii lingvistici ŞI şi SAU respectiv prin mecanismul de evaluare a concluziei (mecanismul de inferenţă). Regulile bazei de reguli sunt conectate prin conectorul SAU. Conectarea ŞI sau / şi SAU a informaţiilor din premiză şi din concluzie depind esenţial de funcţionalitatea şi de proprietăţile procesului şi de modul de caracterizare a “experienţei în conducerea procesului”. Mărimea / dimensiunea bazei de reguli depinde de numărul VL de intrare şi de ieşire, de numărul de TL utilizaţi în caracterizarea fiecărei VL şi de conectorii utilizaţi în premiză şi concluzie. Baza de reguli poate fi: • completă, când fiecare situaţie fermă (e0) este acoperită de reguli; • incompletă, când situaţii ferme imposibile sau foarte puţin probabile (nesemnificative) pentru

funcţionarea PC nu sunt definite sau sunt lăsate spre “rezolvare” unor reguli adiacente. Se pot scrie relaţii analitice care precizează numărul de reguli nR ce formează o bază de reguli completă. Astfel, cele menţionate se exemplifică în continuare pentru mai multe situaţii:

RG-F cu două intrări (e, e& ), echivalent cu două VL de intrare, fiecare cu câte 5 TL (NM, Nm, Ze, Pm, PM), n1(TL)= n2(TL)= 5, şi o ieşire (u fiind VL de ieşire cu nu(TL)=5); regulile Ri sunt de forma:

... SAU Ri: DACĂ (e = ... ŞI e& = ...) ATUNCI (u = ...), i = 1 … nR, SAU ... . O bază de reguli completă va avea în acest caz: nR = n1(TL)•n2(TL) = 5•5 = 25 reguli;

RG-F cu patru intrări e1, e2, e3, e4, deci 4 VL de intrare fiecare cu câte 3 TL, n1(TL), n2(TL), n3(TL), n4(TL), o mărime de ieşire, deci o VL, cu nu(TL) = 5; regulile Ri sunt de forma:

... SAU Ri: DACĂ (e1=... ŞI e2=... ŞI e3=... ŞI e4=...) ATUNCI (u=...), i = 1 … nR. SAU ... Baza de reguli completă va avea în acest caz: nR = n1(TL)•n2(TL)•n3(TL)•n4(TL) = 3•3•3•3 = 81 reguli. Generalizarea celor prezentate conduce la relaţia:

∏−

=n

vvR nn

1, (4.3.1)

în care nv reprezintă numărul TL pentru fiecare VL de intrare.

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.3 Baze de reguli. Mecanisme de inferenţă 53 Observaţii: 1. Se observă că în nR numărul TL ai VL de ieşire, nu(TL), nu se manifestă. În orice caz, nu(TL) nu are voie să depăşească numărul de reguli nR. 2. La un nR mare definirea corectă a unei baze de reguli poate deveni o problemă. După caz, baza de reguli poate fi scrisă / explicitată în mai multe forme dintre care două vor fi exemplificate în continuare, (1) şi (2): (1) Descrierea simbolică de forma generală (4.1.1): ... SAU Rv: DACĂ (premiză) ATUNCI (concluzie), v = 1 … nR, SAU ... . Descrierea este de regulă compactă şi clară chiar şi în condiţiile unei baze mari (evident, ordonat scrise); scrierea ocupă însă un spaţiu relativ mare. (2) Descrierea prin matricea / tabloul de inferenţă (diagrama MacVicar-Whelan) sau tabelul de decizie. Tabelul este uşor de formulat şi de întocmit numai în cazul unui număr redus de VL de intrare nI = 1; 2; ... 4. Pentru nI > 2 tabloul devine un “tablou de tablouri de inferenţă” care pentru nI > 4 devine practic inoperant. Această manieră de descriere prezintă următoarele avantaje certe: ♦ permite aplicarea uşoară a “lupei de inferenţă” pentru zonele în care, prin extinderea numărului de

TL, este necesară o creştere a rezoluţiei prelucrării, fig.4.3.1; ♦ permite enunţarea uşoară şi sistematică a unei baze de reguli incomplete, fig.4.3.2. Pentru exemplificarea descrierii se reiau cele două exemple menţionate; tablourile de inferenţă (decizie) aferente sunt evidenţiate în fig.4.3.1 şi 4.3.2.

Fig.4.3.1.


Fig.4.3.2.

Pentru cel de-al doilea exemplu, celulele necompletate denotă situaţii pentru care nu s-au definit reguli. Observaţie: Tabloul de inferenţă poate fi redat şi sub alte forme. Astfel, cu referire la tabloul din fig.4.3.1, acesta poate fi rescris şi în forma de mai jos.

Ceea ce trebuie însă observat este faptul că la descrierea bazei de reguli prin tablou de inferenţă regulile trebuie să fie omogene (de aceeaşi formă). Această formă de tablou permite o foarte bună gestionare a situaţiilor posibile, iar eventualele reguli nedefinite vor obţine în coloana de ieşire aferentă ---. B) Mecanismul de inferenţă. După cum s-a menţionat în subcapitolul 3.2, în realizarea RG-F pentru evaluarea bazei de reguli conectorii lingvistici ŞI şi SAU pot fi evaluaţi prin diferiţi operatori vagi. Se reamintesc situaţiile principale de utilizare a conectorilor lingvistici: - conectorul ŞI: - în interiorul premizei pentru intersecţia condiţiilor de funcţionare, - la evaluarea regulii (concluzionare);

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.3 Baze de reguli. Mecanisme de inferenţă 55 - conectorul SAU: - în interiorul premizei pentru reuniunea condiţiilor de funcţionare, - la agregare, adică la cuplarea regulilor în cadrul bazei de reguli (reuniunea tuturor condiţiilor de

funcţionare). Se mai reamintesc metodele de inferenţă preferate în cadrul RG-F (a se vedea subcapitolul 3.2): MAX-MIN, MAX-PROD, SUM-PROD. Pentru prezentarea regulilor se consideră situaţia unui RG-F cu două intrări (2 VL) cu câte 3 TL (NM, ZE, PM) şi o ieşire (1 VL) cu 3 TL (NM, ZE, PM), fig.4.3.3. Pentru crearea unei varietăţi mai mari de situaţii de evaluare, regulile considerate nu vor fi omogene, fapt pentru care ele trebuie enunţate fiecare distinct.

Fig.4.3.3.

Se consideră desprinse din baza de reguli următoarele două reguli (cu structura diferită a premizelor): Ri: DACĂ (e1=ZE ŞI e2=PM) ATUNCI (u=ZE) SAU Rj: DACĂ (e1=NM SAU e2=ZE) ATUNCI (u=PM) Cele două reguli sunt activate de următoarele valori ferme ale intrărilor: e10, e20. (1) Inferenţa MAX-MIN. Evaluarea bazei de reguli se face utilizând următorii operatori: - conectori în premiză: ŞI → MIN, SAU → MAX, - concluzionare: MIN, - agregrea regulilor: MAX. Exemplificarea grafică a prelucrării:

)(),,(:R

)(),,(:R

21j

21i

PMuATUNCIZEeSAUNMeDACA

MAXSAU

ZEuATUNCIPMeSIZEeADAC

MINMAX

MINMIN

===

===

434214444 34444 21

434214444 34444 21

Scrierea analitică a prelucrării este:

))u(UPM),u(UZE)u(zRe

))u(UPM)),e(ZEE)e(NME(MAX(MIN)u(UPM

))u(UZE)),e(PME)e(ZEE(MIN(MIN)u(UZE

(MAX 0002010

02010

0

21

21

µµµ

µµµµ

µµµµ

=

=

=

. (4.3.3)

Observaţie: Confruntând relaţia (4.3.3) cu relaţiile (3.2.30) şi (3.2.31) se va constata că existenţa conectorului SAU în regula Rj a necesitat rescrierea relaţiilor tocmai în ideea celor prezentate în paragraful 3.2.3 subpunctul c).


(2) Inferenţa MAX-PROD (varianta de tratare prezentată este cea considerată clasică; uneori forma explicitată este denumită şi inferenţa MAX-PROD-MIN). Evaluarea bazei de reguli se face utilizând următorii operatori: - conectori în premiză: ŞI → MIN, SAU --> MAX, - concluzionare: PROD asupra TL de ieşire activat, - agregarea regulilor: MAX. Exemplificarea grafică a prelucrării este:

)()(:

)()(:

21

21

PMuATUNCIPMeAUSZEeDACAR

MAXSAU

ZEuATUNCIPMeSIZEeDACAR

PRODMAX

j

PRODMIN

i

===

===

434214444 34444 21

43421444 3444 21

Scrierea analitică aferentă este:

))u(UPM),u(UZE)u(zRe

))u(UPM)),e(ZEE)e(NME(MAX(PROD)u(UPM

))u(UZE)),e(PME)e(ZEE(MIN(PROD)u(UZE

(MAX 0002010

02010

0

21

21

µµµ

µµµµ

µµµµ

=

=

=

. (4.3.4)

(3) Inferenţa SUM-PROD. Evaluarea bazei de reguli se face utilizând următorii operatori: - conectori în premiză: ŞI → PROD, SAU → SUM, - concluzionare: PROD asupra TL de ieşire activat, - agregarea regulilor: SUM. Scrierea analitică aferentă este:

))(),()(Re

))()),(2)(1(()(

))()),(2)(1(()(

000

2010

0

2010

0

( uUPMuUZEuz

uUPMeZEEeNMESUMPRODuUPM

uUZEePMEeZEEPRODPRODuUZE

SUM µµ=µ

µµµµ

µµµµ

=

=

. (4.3.5)

Exemplificarea grafică a prelucrării este:

)() (:

)()(:

21

21

PMuATUNCIPMeSAUZEeDACAR

SUMSAU

ZEuATUNCIPMeSIZEeDACAR

PRODSUM

j

PRODPROD

i

===

===

434214444 34444 21

43421444 3444 21

4.4. Metode de defuzzificare. Relaţii de calcul pentru situaţii particulare frecvent întâlnite în practică

După cum s-a menţionat în subcapitolul 3.3, ieşirea / comanda fermă u0 rezultă prin defuzzificarea concluziei vagi µURez

0(u). Unele din metodele de defuzzificare frecvent utilizate în conducerea fuzzy au fost explicitate în subcapitolul 3.3 evidenţiindu-se după caz avantajele şi dezavantajele de aplicare. Operaţia de defuzzificare implică: • existenţa TL (f.d.ap.) ai (ale) VL de ieşire, corespunzător aleşi (alese) / definiţi; • alegerea unei metode de defuzzificare adecvate.

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.4 Metode de defuzzificare 57 Prealabil tratării unor detalii legate de cele două aspecte evidenţiate se reaminteşte faptul că în toate analizele efectuate trebuie luate în seamă: proprietăţile elementului de execuţie; principial, acesta este fără dinamică sau cu dinamică neglijabilă,

“absorbită” eventual de procesul condus; performanţele de comportare minimale care trebuie realizate; aspectele legate de realizarea hardware şi software a RG-F.

A) Aspecte privind alegerea TL şi a f.d.ap. pentru VL de ieşire / comandă. Principalele aspecte care interesează în acest caz pot fi rezumate (în parte, cel puţin) prin următoarele: (1) Numărul TL aleşi este obişnuit impar (3, 5, eventual 7); mărirea numărului de TL nu aduce efecte spectaculoase în alura CS (generalizate) a RG-F. Se obişnuieşte însă ca, pentru asigurarea unei sensibilităţi mari a RG-F, în anumite puncte de funcţionare (de exemplu, în jurul valorii nule pentru eroarea de reglare) să se aplice principiul lupei de inferenţă conform subcapitolului 4.3, fig.4.3.1. (2) Existenţa zonelor domeniului de bază fără acoperire prin f.d.ap. nu constituie nici o problemă; acoperirea domeniului de bază prin valori ferme continue sau discrete ale comenzii u se rezolvă prin alegerea convenabilă a metodei de defuzzificare. (3) “Scalarea” / definirea domeniului de bază. Acesta trebuie întotdeauna scalat / definit astfel încât să fie satisfăcute necesităţile de comandă ale elementului de execuţie (E); în speţă:

comanda fermă nu trebuie să depăşească valorile extreme (um, uM) admise la elementul de execuţie; depăşirea se poate referi la: închiderea / deschiderea sigură a E; forţarea de regim dinamic pentru obţinerea unui “timp de răspuns” cât mai redus ş.a.;

domeniul de variaţie a intrării în elementul de execuţie, Du(E) şi, corespunzător, şi domeniul de variaţie a ieşirii din E, Dm trebuie să fie bine acoperit de domeniul de variaţie a comenzii RG-F, Du.

Această ultimă remarcă poate constitui şi un aspect separat / specific cunoscut sub denumirea de problema de capăt a RG-F. S-a văzut (paragraful 3.2.3, fig.3.3.5) că definirea incorectă a f.d.ap. aferente TL de ieşire corelată cu o metodă de defuzzificare aleasă inadecvat poate conduce la situaţia neacoperirii domeniului Du(E) necesar de către comanda fermă obţinută. Pentru exemplificare, în fig.4.4.1 se consideră un element de execuţie (E) electrohidraulic stabilizat, compus dintr-un convertor electrohidraulic (CEH) şi un servomotor (SM), comandat de un RG-F (fig.4.4.1-a). Pentru VL “comandă vagă” se consideră 5 TL: ze, m, md, M, FM. Defuzzificarea la nivelul RG-F este asigurată prin metoda centrului de greutate (MCG).


Fig.4.4.1.

Condiţia esenţială impusă elementului de execuţie este ca: - pentru u0 = umin (0) → E închis; - pentru u0 = umax (1) → E deschis. Pentru respectarea acestei cerinţe este necesară definirea corectă a f.d.ap. aferente TL ai VL de ieşire. Definirea “clasică” practicată până aici şi prezentată în fig.4.4.1-b, aparent “bună”, se dovedeşte necorespunzătoare întrucât la activarea numai a TL de capăt (ze, FM) se obţin u0m = 0.1 şi respectiv u0M = 0.9 (a se vedea fig.4.4.1-c). Evitarea unor astfel de situaţii poate fi obţinută în mai multe moduri dintre care se reţin ca viabile următoarele: • extensia simetrică a f.d.ap. de capăt, fig.4.4.1-d; • schimbarea formei f.d.ap. aferente TL, de exemplu singletonuri, fig.4.4.1-e; • schimbarea metodei de defuzzificare (per global sau numai în zonele de capăt). Ordinea de apelare a soluţiilor trebuie analizată dependent de toţi ceilalţi factori legaţi de RG-F. (4) Forma f.d.ap. se va alege astfel încât – corelat cu metoda de defuzzificare – să se asigure eficienţa maximă în prelucrarea informaţiei (concretizată de regulă prin timp de calcul cât mai redus); după cum s-a menţionat deja, din cadrul formelor uzuale pentru f.d.ap. (prezentate în subcapitolul 2.2), pentru TL ai VL de ieşire se recomandă a fi utilizate: - forma singleton, - forma dreptunghiulară, - forma triunghiulară şi cea trapezoidală.

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.4 Metode de defuzzificare 59 Cu referire la cele trei tipuri de f.d.ap. recomandate, fără a intra în detalii deosebite (de fapt întreaga alegere poate constitui obiectul unui studiu de caz, care se supune atenţiei cititorului), se fac următoarele aprecieri: ♦ forma singleton este cel mai simplu de prelucrat; ♦ forma dreptunghiulară modifică nesemnificativ volumul de calcule dar, prin varierea lăţimii

dreptunghiului (suportului), se pot modifica - suplimentar – proprietăţile RG-F; în plus, faţă de forma triunghiulară se poate evita problema acoperirilor (calculul centrului de greutate devenind mai greoi);

♦ pe baza punctelor de vedere anterioare, forma triunghiulară pare cea mai puţin avantajoasă. B) Aspecte privind alegerea metodei de defuzzificare. Alegerea metodei depinde de tipul elementului de execuţie (E): pentru un E cu număr finit de stări discrete se va alege între metoda maximului şi metoda

maximelor mediate; pentru un E cu domeniu de variaţie / domeniu de bază Du compact se preferă MCG.

Deşi utilizarea relaţiei generale de defuzzificare după MCG (relaţia (3.3.4)) pare greoaie, după cum s-a menţionat deja în subcapitolul 3.3, prin alegerea formelor particulare pentru f.d.ap. menţionate la punctul A) şi a metodei de inferenţă MAX-MIN, MAX-PROD, SUM-PROD, f.d.ap. rezultat al inferenţei, µRez

0(u), obţine forme care se prelucrează analitic relativ uşor. Pentru exemplificare se consideră următoarele cazuri frecvente în practică: (1) F.d.ap. aferente TL ai VL de ieşire sunt de tip singleton, fig.4.4.2; relaţia de calcul al comenzii ferme este:

Fig.4.4.2.

∑

∑=

iui

iuiiu

u 0

00

0µ

µ . (4.4.1)

(2) F.d.ap. aferente TL ai VL de ieşire sunt de tip dreptunghiular, fig.4.4.3; corespunzător, relaţia de calcul al comenzii ferme este:

Fig.4.4.3.


∑∑

µ

µ=

iuiui

iuiuii

S

Suu 0

00

0 . (4.4.2)

(3) F.d.ap. aferente TL ai VL de ieşire sunt de tip triunghiular sau trapezoidal, simetrice sau nu. În cazul cel mai general, f.d.ap. rezultat µRez

0(u) va avea o formă poligonală, fig.4.4.4; relaţia de calcul al comenzii ferme este (Preuss, 1992):

∑

∑

=++

=++++

µ+µ−

µ++µ+−= p

iuiuiii

p

iuiiiuiiiii

uu

uuuuuuu

1

0011

1

01

0111

0

])[(3

])2()2)[(( . (4.4.3)

Fig.4.4.4.

Observaţie: În toate relaţiile enumerate semnificaţia mărimilor este cea cunoscută. C) Conversia comenzii ferme. Dependent de metoda de defuzzificare şi de tipul elementului de execuţie, ieşirea fermă poate fi: - valoarea fermă actuală a comenzii, uk; - creşterea (incrementul) valorii ferme actuale în raport cu vechea valoare a comenzii, ∆uk. În ambele cazuri, valoarea rezultată este convertită în forma analogică prin intermediul unui convertor numeric-analogic. Fac excepţie situaţiile când E admite la intrare direct forma binară a comenzii ferme din cazul conducerii continue (Preitl, 1992). Probleme şi consecinţe legate de cuantizarea informaţiei sunt aceleaşi ca şi în cazul conversiei analog-numerice.

4.5. Măsuri prin care se pot modifica alurile caracteristicilor statice ale regulatoarelor fuzzy

Din simpla analiză a funcţionării unui RG-F se constată că numărul parametrilor prin care se pot modifica proprietăţile de transfer ale RG-F – care în cazul RG-F sunt tocmai caracteristicile statice (CS) – sunt numeroase şi legate de fiecare din modulele de prelucrare a informaţiei din cadrul RG-F: - modulul de fuzzificare; - modulul de inferenţă şi baza de reguli; - modulul de defuzzificare. Datorită faptului că RG-F este un regulator neliniar fără dinamică, influenţa diferiţilor factori are acelaşi efect de principiu, indiferent de numărul intrărilor, cu observaţia că efectele parţiale se manifestă însă diferit în diferite puncte de funcţionare ale RG-F; din acest motiv studiile întreprinse iau ca bază un RG-F cu o intrare şi o ieşire (fig.4.5.1-a), cu intrarea şi ieşirea considerate în valori normate cu domeniile

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.5 Măsuri prin care se pot modifica alurile caracteristicilor statice 61 de variaţie / de bază [–1, 1]. În general un astfel de studiu se bazează pe o “situaţie de bază” în raport cu care se urmăreşte influenţa fiecărui parametru / factor.

Fig.4.5.1.

Fără a intra în toate detaliile unui astfel de studiu – destul de amplu – se apreciază că pentru aplicaţiile legate de conducerea fuzzy prezintă interes următoarele concluzii practice utilizabile în dezvoltarea unui RG-F. Situaţia de bază / de referinţă luată în considerare este caracterizată prin: ♦ numărul de TL ai VL de intrare (eroarea de reglare) este 5, cu forma f.d.ap. triunghiulară

simetrică în zona centrală şi trapezoidală la capete, ca în fig.4.5.1-a (a se vedea şi fig.4.5.1-b);

♦ numărul de TL ai VL de ieşire (comanda) este 5, cu forma f.d.ap. dreptunghiulară cu suport egal, simetric distribuite pe intervalul [–1, 1]; domeniul de variaţie pentru valoarea fermă este f.d.ap. de capăt, fig.4.5.1-b;

♦ baza de reguli este completă, naturală, ceea ce determină o CS de tip “direct” situată în cadranele 1 şi 3 şi este conform tabelului de inferenţă; metoda de inferenţă utilizată este MAX-MIN;

♦ metoda de defuzzificare este MCG, care va permite utilizarea relaţiei de calcul (4.4.2). Datorită simetriilor perfecte în TL ai VL şi în baza de reguli, CS rezultată este “aproape liniară” pe domeniile e ∈ [–1, 1] şi u ∈ [–1, 1]; în raport cu CS liniară din fig.4.5.2-a,-b, CS (0), abaterile CS neliniare (NL) sunt de ordinul de mărime “procente” (raportat la valoarea maximă).


Fig.4.5.2.

4.5.1. Efectele parametrilor variabili în modulul de fuzzificare Prin redefinirea TL, a formei f.d.ap. aferente mărimilor de intrare, se pot obţine, în principal,

următoarele efecte: (1) Prin scăderea simetrică a suportului TL-ze cu creşterea concomitentă a suportului TL-NM şi TL-PM, iar TL-Nm şi TL-Pm se menţin neschimbaţi, rezultă creşterea pantei CS în zona de acţiune a TL-ze şi scăderea ei în zona de acţiune a TL-NM respectiv -PM; alura principială a CS rezultate este conform fig.4.5.2-a, CS (1). (2) Prin creşterea simetrică a suportului TL-ze cu scăderea concomitentă a suportului TL-NM şi TL-PM, iar TL-Nm şi TL-Pm se menţin neschimbaţi, rezultă scăderea pantei CS în zona de acţiune a TL-NM respectiv -PM; alura principială a CS rezultate este conform fig.4.5.2-b, CS (1). (3) Prin deformarea f.d.ap. a TL-Nm şi TL-Pm la forma trapezoidală cu menţinerea simetriei, iar TL-ze, -NM şi -PM rămân neschimbaţi, rezultă modificările principiale din alura CS conform fig.4.5.2-c, CS (1). (4) Prin scăderea simetrică a suportului TL-ze, creşterea concomitentă a suportului TL-NM şi -PM (idem caz (1)) însoţită de desimetrizarea corespunzătoare a TL-Nm şi -Pm prin alunecarea maximului concomitent cu alunecarea punctelor de contact ale TL-ze şi -Nm respectiv -ze şi -Pm, rezultă modificarea principială a CS iniţiale conform fig.4.5.2-d, CS (1). (5) Prin introducerea unor acoperiri multiple ale domeniului de bază e în vecinătatea valorii e = 0 prin intermediul lărgirii suportului TL-Nm şi -Pm fără sau cu desimetrizarea formei f.d.ap., rezultă creşterea pantei CS în zona e = 0 conform alurii principiale din fig.4.5.2-e, CS (1). (6) Prin desimetrizarea distribuţiei TL în raport cu axa 0-µe şi a suporturilor acestora, rezultă desimetrizarea CS-NL în raport cu originea; desimetrizarea CS are loc în sensul desimetrizării distribuţiei TL conform fig.4.5.2-f, CS (1). (7) Prin crearea unor zone ale domeniului e acoperite doar de un singur TL (o singură regulă activată), se obţine o CS care prezintă zone corespondente cu panta CS egală cu zero (fig.4.5.2-g, CS (1) (de exemplu, pe această cale se poate realiza un regulator multipoziţional). Se reaminteşte că observaţiile de mai sus sunt valabile în condiţiile enunţate.

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.5 Măsuri prin care se pot modifica alurile caracteristicilor statice 63 (8) Prin crearea unor zone ale domeniului e neacoperite prin TL (zona fără reguli activate), se obţin efecte catastrofale asupra CS care va prezenta astfel de discontinuităţi, fig.4.5.2-h, CS (1), încât RG-F nu poate fi utilizat. În concluzie, la dezvoltarea unui RG-F proiectantul va ţine seama de următoarele influenţe / parametrizări posibile în zona de fuzzificare:

simetria CS în raport cu originea (cu un punct al CS) necesită plasarea simetrică a TL în raport cu acel punct;

cvasiliniaritatea CS poate fi asigurată în condiţiile utilizării unor TL cu f.d.ap. triunghiulare simetrice, uniform distribuite cu acoperire uniformă a domeniului de către doi TL (condiţii iniţiale de proiectare);

modificări în panta CS se obţin eficient pe următoarele căi: creşterea pantei prin:

• scăderea suportului f.d.ap., • creşterea numărului TL ce acoperă domeniul şi activează simultan mai multe reguli;

scăderea pantei prin: • creşterea suportului f.d.ap., • creşterea toleranţei f.d.ap.,

desimetrizarea CS în raport cu originea (cu un punct al CS) necesită desimetrizarea plasării TL în raport cu acel punct;

zonele de discontinuităţi în CS se asigură prin realizarea unor zone în care domeniul de bază e este acoperit doar de câte un TL;

RG-F devine neutilizabil dacă în domeniul de bază există zone neacoperite de TL; acţiunea simultană a mai multor influenţe ce au acelaşi efect întăreşte efectul dorit; acţiunea

simultană a mai multor efecte de sens contrar poate fi mult contradictorie şi trebuie evitată.

4.5.2. Efectele parametrilor variabili în baza de reguli şi în modulul de inferenţă A) Baza de reguli. Funcţionarea corectă a unui RG-F şi, în consecinţă, a unui SRA cu RG-F

depinde esenţial de formularea corectă a bazei de reguli; aceasta depinde de buna cunoaştere a evoluţiei / eventual şi a tendinţei de evoluţie a PC. Din start trebuie precizat faptul că greşelile mari în formularea bazei de reguli pot avea efecte catastrofale privind CS a RG-F. Pentru exemplificare se consideră din nou cazul RG-F monovariabil pentru care faţă de definirea corectă a bazei de reguli din fig.4.5.1 se consideră două situaţii modificate redate în fig.4.5.3-a şi respectiv -b: (a) - formulare ce asigură pentru RG-F o CS inversă; evident, pentru o structură de reglare bine precizată efectul este catastrofal, SRA cu RG-F devenind instabil (reacţie pozitivă); (b) - formulare eronată ce asigură pentru domeniul e ∈ [–1, –0.5] ∪ [0.5, 1] o CS inversă şi, în consecinţă, o funcţionare instabilă.


Fig.4.5.3.

Evident este şi faptul că formularea bazei de reguli pentru un RG-F cu o intrare şi o ieşire nu ridică practic nici un fel de probleme. Dacă însă numărul de intrări creşte (de exemplu, e1=e, e2=e ş.a.m.d.), formularea bazei de reguli poate deveni o problemă; este, de exemplu, şi cazul regulatoarelor fuzzy după stare. Principalele proprietăţi ale unei baze de reguli bine formulate sunt următoarele: (1) baza de reguli să fie completă; (2) baza de reguli să fie consistentă; (3) baza de reguli să asigure continuitatea CS. (1) Baza de reguli să fie completă. Sensul larg care a fost dat conceptului de bază de reguli completă (a se vedea subcapitolul 4.2) se referea la numărul (teoretic) maxim de reguli ce se pot scrie pentru un RG-F. În realitate, ţinând seama de restricţiile de funcţionare ale PC, o bază de reguli poate fi completă fără a conţine numărul maxim de reguli posibile; aici trebuie avut în vedere şi faptul că premiza unei reguli poate conţine atât operatori ŞI cât şi operatori SAU care pot demultiplica o regulă (a se vedea subcapitolul 4.3). Astfel, o bază de reguli de forma: DACĂ (premiza) ATUNCI (concluzia) (4.5.1) este completă dacă toate combinaţiile tehnic posibile ale intrărilor acoperă toate valorile tehnic posibile ale comenzii / ieşirii. (2) Baza de reguli să fie consistentă. La formularea unei baze de reguli trebuie avut în vedere faptul că nu este permisă existenţa situaţiilor în care două reguli să aibă o aceeaşi premiză dar să conducă la concluzii diferite; de exemplu, formularea: DACĂ (e1 = E1i şi e2 = E2i) ATUNCI (u = Ui), DACĂ (e1 = E1i şi e2 = E2i) ATUNCI (u = Uj) este neconsistentă, o aceeaşi premiză conducând la două concluzii diferite. În acest sens, o bază de reguli de forma (4.5.1) este consistentă dacă o aceeaşi premiză conduce întotdeauna la o aceeaşi concluzie. (3) Baza de reguli să asigure continuitatea CS. În acest context, două reguli adiacente ale unei baze de reguli (definite, de exemplu, prin tabelul de inferenţă) trebuie să aibă concluzia astfel formulată încât să nu conducă la discontinuităţi în CS. Evident, este vorba de acele discontinuităţi ce pot face regulatorul inoperant. Respectarea acestor cerinţe / proprietăţi poate asigura buna funcţionare a RG-F/SRA cu RG-F. Formularea bazei de reguli devine din ce în ce mai dificilă pe măsură ce numărul intrărilor creşte. Recomandări general valabile pentru formularea bazei de reguli nu se pot da, rolul “expertului” (care cunoaşte “foarte bine” evoluţia PC) fiind dominant. Printre metodele recomandate în literatură pentru formularea bazei de reguli se menţionează următoarele:

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.5 Măsuri prin care se pot modifica alurile caracteristicilor statice 65 (1) Utilizarea cunoştinţelor unui expert în domeniul conducerii procesului în cauză (“Knowledge Engineering”); aceste cunoştinţe se obţin pe bază de interviu judicios formulat, orientat spre completarea regulilor de forma (4.5.1). Observaţie: Trebuie remarcate, de exemplu, aspectele psihologice ale interviului asupra expertului care în formularea răspunsurilor poate fi mult mai reţinut decât în intervenţiile de conducere efectivă, cel puţin din două motive: • riscul pe care şi-l asumă întrucât poate avea temerea de a nu fi “corect” înţeles; • riscul pe care şi-l asumă prin transferul know-how-ului personal, pe viitor el putând deveni astfel

mai vulnerabil. (2) Metode euristice, bazate pe analize “în spirit ingineresc” ale evoluţiilor posibile ale mărimilor procesului; astfel de analize trebuie desfăşurate în colaborare cu tehnologul de proces. (3) Utilizarea rezultatelor unor experimente anterioare, reale sau simulate pe calculator numeric, în măsura în care se dispune de un MM mai mult sau mai puţin detaliat referitor la PC. (4) Metode speciale, referitoare în principal la RG-F “neconvenţionale”: RG-F cu dinamică; RG-F sliding mode; RG-F după stare ş.a.

Câteva aspecte privind diferitele tehnici / metode de formulare a bazei de reguli vor mai fi reluate în paragrafele care urmează. B) Alegerea metodei de inferenţă. Uzual în evaluarea bazei de reguli a unui RG-F se utilizează una din cele trei metode de inferenţă discutate (în paragraful 3.6.3): MAX-MIN, MAX-PROD şi SUM-PROD. Studiile de caz efectuate de diverşi autori au arătat că, pentru o aceeaşi situaţie de bază, metoda de inferenţă are un efect nesemnificativ asupra alurii CS. În consecinţă, se va prefera acea metodă care asigură eficienţă maximă în prelucrarea informaţională.

4.5.3. Efectele parametrilor variabili în modulul de defuzzificare În modulul de defuzzificare pot fi consideraţi ca parametri variabili, prin intermediul cărora se pot influenţa caracteristicile RG-F, următorii: - definirea TL şi a f.d.ap. aferenţi / aferente ieşirii; - metoda de defuzzificare. A) Privind definirea / redefinirea TL ai VL de ieşire şi a f.d.ap. aferente acestora se pot face următoarele observaţii: (1) scăderea simetrică a suportului unui/unor TL poate conduce la creşterea pantei CS şi invers; (2) modificarea poziţiei diferiţilor TL conduce la efecte mai greu interpretabile în alura CS, fapt pentru care efectele trebuie studiate de la caz la caz; (3) modificarea gradului de acoperire a TL ai ieşirii este posibilă numai în cazul f.d.ap. de formă triunghiulară sau trapezoidală; efectul acestor modificări depinde şi de metoda de defuzzificare adoptată. Cum în cazul defuzzificării prin MCG modificările în gradul de acoperire au influenţă redusă asupra CS, utilizarea TL cu f.d.ap. de tip singleton, eventual de formă dreptunghiulară, este de preferat; (4) creşterea numărului de TL ai VL are ca efect scăderea caracterului vag al RG-F, astfel că această creştere este de regulă mărginită la 5, eventual 7. Aceste observaţii cu caracter general pot fi apoi întregite prin studii de caz orientate pe particularităţile PC şi ale structurii informaţionale a RG-F. B) Metoda de defuzzificare: este aleasă de regulă la începutul procesului de dezvoltare a RG-F corelat cu proprietăţile elementului de execuţie, E; schimbarea ei are ca rezultat schimbări substanţiale în RG-F. În literatură se specifică diferite criterii de apreciere şi de alegere a unei metode de defuzzificare ce iau în seamă în principal următoarele aspecte:


(1) aspecte legate de alura / proprietăţile CS obţinute: - u0 - rezultă continuu sau cu valori discrete, - CS obţinută este continuă sau cu discontinuităţi, - univocitatea prelucrării informaţiilor rezultate din procesul de inferenţă ş.a.; (2) aspecte legate de complexitatea calculelor de efectuat în procesul de elaborare a comenzii ferme.

4.5.4. Generalizarea concluziilor privind modificarea alurii caracteristicii statice pentru regulatoarele fuzzy cu mai multe intrări şi o ieşire

Observaţiile prezentate în paragrafele 4.5.1 ... 4.5.3 pot fi – cel puţin teoretic – generalizate pentru cazul RG-F cu mai multe intrări şi o ieşire (RG-F-MISO); ţinându-se însă seama de caracterul neliniar al RG-F, principiul suprapunerii efectelor un este valabil. Interpretarea caracteristicii statice a RG-F este încă relativ simplă în cazul două intrări şi o ieşire şi poate fi evidenţiată direct prin reprezentarea tridimensională exemplificată în fig.4.5.4-a.

Fig.4.5.4.

O altă modalitate de redare a CS pentru un RG-F este reprezentarea plană în coordonatele {e1, e2} prin curbele de u = const, fig.4.5.4-b, sau în coordonatele {e1, u} cu e2 parametru. La creşterea în continuare a numărului intrărilor (a se vedea, de exemplu, RG-F după stare), reprezentările grafice şi interpretările aferente devin din ce în ce mai greoaie şi chiar imposibile. O problemă importantă şi adeseori delicată în dezvoltarea unui RG-F-MISO o reprezintă scalarea corectă a domeniilor mărimilor de intrare. Problema implică numeroase aspecte privind funcţionarea sistemului şi poate afecta în ultimă instanţă însăşi stabilitatea sistemului. Pentru exemplificare, în fig.4.5.5 se consideră traiectorii de fază pentru un RG-F cu două intrări care conduce un proces; structura de SRA cu RG-F este stabilă.

Fig.4.5.5.

(R.-E. Precup, UPT, 2011) 4.5 Măsuri prin care se pot modifica alurile caracteristicilor statice 67 Cele trei variante de alegere / scalare a domeniului de bază se dovedesc: (a) alegere / scalare corespunzătoare a domeniului de bază: din starea iniţială A (relativ

extremă) evoluţia SRA cu RG-F este astfel încât e1 şi e2 activează bine TL aferenţi de pe domeniile de bază E1 şi respectiv E2. Regulile bazei de reguli sunt activate în următoarea succesiune: R31 → R21 → R22 → R12 → R13 → R14 → R24 → R25 → R35 → R45 → R44 → R43 → R33;

(b), (c) alegere / scalare necorespunzătoare (prea largă) a domeniilor de bază E2 respectiv E1: în evoluţia sistemului din starea iniţială A către starea finală există zone ale celor două domenii în care, deşi au fost definiţi TL, aceştia nu vor fi activaţi; aceste zone au fost marcate prin haşurare. În cele două situaţii regulile vor fi activate în succesiunea:

(b): R31 → R21 → R22 → R33 → R43 → R33; (c): R33 → R23 → R13 → R23 → R33 → R43 → R33. Dacă, din contră, domeniile de bază sunt prea restrânse, fig.4.5.6, evoluţia sistemului din starea iniţială A va fi afectată de intrarea în saturaţie a celor două mărimi (e1 şi e2).

Fig.4.5.6.

Observaţie: Ca şi în cazul SRA convenţionale, instabilitatea va fi caracterizată printr-o traiectorie de stare divergentă.

fuzzy control part 4

Documents