c1-a4, zi, 2010 pentru 2015

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1:

Serii numerice.

Cuprins:

1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 11.2 Definiţia noţiunii de serie numerică1.3 Clasificarea seriilor numerice1.4 Rezultate teoretice şi practice corespunzătoare fiecărui tip

de serie numerică în parteTeste de autoevaluare.Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare.Lucrare de verificare nr. 1Bibliografia unităţii de învăţare 1.

1.1 Obiective

Unitate de învăţare 1 conţine, o prezentare într-o formă accesibilă, dar riguroasă a noţiunii de serie numerică, din cadrul analizei matematice, care fundamentează teoretic noţiunea de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, ce va fi expus în unitatea de învăţământ 2.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:-conceptul de serie numerică, necesar şi extrem de util, pentru a putea modela matematic

anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse;-tipul de probleme teoretice şi practice, care fac obiectul cursului de „Serii numerice” şi al

lucrărilor de verificare ale studenţilor din învăţământul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Marketing din Academia de Studii Economice Bucureşti.

1.2 Definiţia noţiunii de serie numerică

Seriile numerice sunt prin definiţie sume infinite (deci cu o infinitate de termeni), ai căror termeni sunt numere reale). În concluzie: „seriile numerice” în în sensul sensul că că sunt: au:

sume infinite termenii (deci cu o numere infinitate reale

de termeni)

Virginia Atanasiu

1.3 Clasificarea seriilor numerice

Clasificarea seriilor numerice este următoarea:

(I) STO = (serii cu termeni oarecare), având forma generală sau definiţia

matematică de mai jos: , cu ℝ, , unde numerele reale , se numesc

termenii STO considerate, iar pentru suma de la 1 la infinit, se numeşte termenul general al

respectivei STO.(II) STP = (serii cu termeni pozitivi), având forma generală sau definiţia matematică

de mai jos: , cu , unde numerele reale strict pozitive (deci pozitive, dar (şi)

diferite de zero) , se numesc termenii STP considerate, iar pentru suma de la 1 la infinit,

se numeşte termenul general al respectivei STP.

(III) SA = (serii alternate), a căror definiţie în cuvinte este cea de mai jos:SA sunt serii pentru care semnele termenilor lor alternează începând fie cu + , fie cu - , sau serii pentru care produsul a doi termeni consecutivi ai lor este . Pentru a fixa ideile, presupunem ca

formă generală sau definiţie matematică a lor următoarea şi anume: , cu ,

(factorul ce înglobează semnul a fost scris sub forma lui (-1) ridicat la puterea ,

înmulţit în continuare cu ceva strict mai mare ca zero ( ), notat de noi cu , ceea ce a condus

la forma generală a SA, în care semnele termenilor alternează începând cu -). Produsul

se numeşte termenul general al SA considerate.Observaţie: STO STP, SA (deci, seriile generale sunt STO, care includ sau înglobează

STP şi SA, iar STP şi SA apar ca şi cazuri particulare ale STO).

1.4 Rezultate teoretice şi practice corespunzătoare fiecărui tip de serie numerică în parte

Pentru aplicaţii, în legătură cu STO şi STP, ne punem următoarele 3 întrebări, referitoare

la expresia temenului lor general , şi anume:

Întrebarea 1): ne întrebăm dacă expresia lui poate fi scrisă sub forma diferenţei (-) de

termeni consecutivi ai unui şir, oricare ar fi , natural, mai mare sau egal cu 1. Deci: de

termeni consecutivi ai unui şir), . Acum redăm matematic, ceea ce am exprimat mai înainte prin cuvinte. În acest sens, notăm (în continuare) şirul la care facem vorbire mai devreme,

cu , astfel încât obţinem în mod succesiv următoarele formulări matematice ale întrebării 1):

, .

Întrebarea 2): ne întrebăm dacă expresia lui poate fi scrisă sub forma puterii cu

exponent „ ” sau funcţie de „ ”,oricare ar fi , natural, mai mare sau egal cu 1. Deci: putere

12

Matematici Aplicate În Economie.

cu exponent „ ” sau funcţie de „ ”, funcţie pe care o notăm în mod uzual cu „ ”), .

Acum redăm matematic, ceea ce am exprimat mai înainte prin cuvinte; în acest sens, obţinem

următoarea formulare matematică a întrebării 2): , (am reprezentat prin

puncte, puncte, ceea ce se ridică la puterea „ ” sau la aceea funcţie de „ ”).

Întrebarea 3): ne întrebăm dacă expresia lui tinde la zero, când (întrebarea 3’)),

sau cazul contrar, dacă expresia lui nu tinde la zero, când (întrebarea 3”)). Acum redăm

matematic, ceea ce am exprimat mai înainte prin cuvinte. În acest sens, obţinem următoarea formulare matematică a întrebării 3), formată din prima parte a ei 3’) şi respectiv cea de a doua

parte a ei 3”): .

Dacă avem răspuns afirmativ la întrebarea 1), atunci pentru a studia natura STO, sau în

particular a STP: , unde ℝ, , sau în particular, unde , , în ambele

cazuri termenul general fiind diferenţă (-) de termeni consecutivi ai unui şir, aplicăm

definiţiile noţiunilor de SC (serie convergentă), respectiv SD (serie divergentă), după cum este cazul, ceea ce revine la parcurgerea următoarelor 2 etape şi anume:

Etapa1: determinăm pe (deci ne întrebăm cu cine este egal şi scriem pe scurt ),

unde cu s-a notat suma parţială de ordinul a STOdate sau considerate, respectiv a STPdate sau considerate,

egală prin definiţie cu suma primilor termeni ai STOdate sau considerate, respectiv cu suma primilor

termeni ai STPdate sau considerate. Definiţia în cuvinte a lui de mai devreme, se scrie matematic

astfel: .

scrierea scrierea concentrată desfăşurată

a lui . a lui .

Observaţie: Şirul de termen general , adică se numeşte şirul sumelor parţiale

asociat sau ataşat STOdate sau considerate, respectiv al STPdate sau considerate.

Etapa2: trecem la limită după tinde la infinit în expresia lui , determinată în cadrul

etapei1, adică mai precis cercetăm existenţa limitei pentru tinde la infinit a lui . Formularea

în cuvinte de mai sus, devine următoarea formulare matematică şi anume: întâi (?) , şi

apoi dacă ea , cu cât este aceasta egală, deci . Discuţie:

Cazul (i)banal: ℝ, în formulare matematică, iar în cuvinte limita pentru

tinde la infinit a lui , există şi este finită, iar dacă ne referim la şirul de termen general ,

numit (a se vedea observaţia de la sfârşitul etapei1) şirul sumelor parţiale asociat STOdate sau

considerate, sau respectiv al STPdate sau considerate, formularea în cuvinte de mai înainte este echivalentă cu următoarea şi anume: şirul sumelor parţiale asociat STOdate sau considerate este convergent, respectiv şirul sumelor parţiale asociat STPdate sau considerate este convergent. În condiţiile cazului (i), STOdată

sau considerată, respectiv STPdată sau considerată este SC (serie convergentă), conform definiţiei (matematice, şi în cuvinte) a noţiiunii de SC (serie convergentă), iar suma ei este egală cu

13

Virginia Atanasiu

valoarea limitei şirului sumelor parţiale asociat sau corespunzător ei, ceea ce în cuvinte revine la a scrie că: STOdată sau considerată, respectiv STPdată sau considerată este egală cu , unde cu am notat limita şirului sumelor parţiale corespunzător STOdate sau considerate, respectiv STPdate sau considerate, iar

matematic scriem: , dacă ℝ, , şi respectiv , dacă ,

unde peste tot: , care există şi este finită, deoarece STOdată sau considerată este SC, respectiv

deoarece STPdată sau considerată este SC.

Cazul (ii)contrar şi nebanal: , în formulare matematică, iar în cuvinte limita

pentru tinde la infinit a lui , nu există, sau există şi este infinită, iar dacă ne referim la şirul de

termen general , numit (a se vedea observaţia de la sfârşitul etapei1) şirul sumelor parţiale

asociat STOdate sau considerate, sau respectiv al STPdate sau considerate, formularea în cuvinte de mai înainte este echivalentă cu următoarea şi anume: şirul sumelor parţiale asociat STOdate sau considerate este divergent, respectiv şirul sumelor parţiale asociat STPdate sau considerate este divergent. În condiţiile cazului (ii), STOdată sau considerată, respectiv STPdată sau considerată este SD (serie divergentă), conform definiţiei (matematice, şi în cuvinte) a noţiiunii de SD (serie divergentă), iar suma ei este egală cu , dacă limita şirului sumelor parţiale asociat sau corespunzător ei este egală cu , respectiv este egală cu , dacă limita şirului sumelor parţiale asociat sau corespunzător ei este egală cu , ceea ce în cuvinte revine la a scrie că: STOdată sau considerată, respectiv STPdată sau considerată

este egală cu , respectiv este egală cu , iar matematic scriem: , unde ℝ,

, dacă , şi respectiv , unde , dacă .

Remarcă: o serie numerică a cărei sumă este cunoscută, este SG, motiv pentru care definim (atât în cuvinte, cât şi matematic) respectiva serie. SG este seria geometrică, adică (definiţia în cuvinte) seria ai cărei temeni sunt în progresie geometrică, de prim termen şi de

raţie , cu următoarea formă generală sau definiţie matematică: ( , dacă

, şi respectiv , dacă ).

Exemplificăm cele prezentate până acum, pe următoarele aplicaţii:

Aplicaţia1: natura seriei numerice , unde , este a) convergentă,

conform CRAP; b) divergentă, conform CCla limită; c) convergentă, conform CRĂD; d) divergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; e) convergentă, CR-D. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.

Rezolvare: înainte de a ne pune cele 3 întrebări, observăm că expresia lui poate fi

prelucrată, folosind proprietatea logaritmului dintr-un raport, conform căreia obţinem:

, , de unde se observă că este diferenţa a doi termeni, oricare

ar fi natural, mai mare sau egal cu 1. Întrebarea care se pune este dacă cei doi termeni, care se

scad sunt termeni consecutivi ai unui şir. Notăm (în continuare) cu pe cel mai mic termen dintre

cei doi care se scad, în expresia prelucrată a lui , deci pe , adică: ,

14


şi obţinem că cel mai mare dintre aceştia şi anume este cel de rang imediat

următor lui , şi anume . Într-adevăr: .

Din expresia prelucrată a lui , din notaţia introdusă şi consecinţa acesteia, deducem că:

, , adică este într-adevăr diferenţă de termeni consecutivi ai uni şir şi deci

avem răspuns afirmativ la întrebarea 1), astfel că aplicăm definiţia noţiunilor de SC, respectiv SD, după cum este cazul, ceea ce revine la parcurgerea următoarelor 2 etape, derulate pe verticală în jos.

Etapa1:

=

= .

Etapa2: ,

şir de egalităţi unde s-a ţinut seama de limita remarcabilă: , astfel încât deducem că

, deci conform definiţiei noţiunii de SD, rezultă că: este SD şi de sumă egală cu

, întrucât . Prin urmare, d) este varianta de răspuns corect.

Aplicaţia2: Suma seriei este: a) ; b) ; c) ; d) 0; e) . Justificaţi prin

rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.Rezolvare: seria dată seamănă cu SG, astfel că o facem să semene şi mai mult cu SG,

scriind astfel:

. Prin urmare, c) este varianta de

răspuns corect.

Aplicaţia3: Fie suma seriei numerice . Care variantă este adevărată ?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) . Justificaţi prin rezolvarea matematică

riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.

15

Virginia Atanasiu

Rezolvare:

. Prin

urmare, b) este varianta de răspuns corect. În cele ce urmează, continuăm incursiunea teoretică:

Dacă avem răspuns afirmativ la întrebarea 2), atunci pentru a studia natura STP ,

unde , , termenul general fiind putere cu exponent sau funcţie de , aplicăm

Criteriul Rădăcinii (notat pe scurt cu CRĂD), denumit şi Criteriul lui Cauchy, ce afirmă că: „Dacă

este o STP, a.î. , atunci pentru: i) , rezultă că STPdată = SC; ii)

, rezultă că STPdată = SD; iii) , CRĂD nu este concludent (în sensul că natura seriei nu poate fi stabilită de CRĂD, caz pe care îl vom elucida apelând – în marea majoritate a cazurilor – la un alt rezultat teoretic denumit pe scurt CR-D, iar desfăşurat Criteriul Raabe-Duhamel)”.

Remarcă. Justificarea denumirii de rădăcină dată acestui rezultat teoretic este

următoarea: CRĂD presupune existenţa limitei lui radical de ordinul din .

Exemplificăm cele prezentate până acum, pe următoarea aplicaţie:

Aplicaţia4: Natura seriei numerice , unde , este: a) convergentă,

conform definiţiei acestei noţiuni; b) divergentă, conform CCla limită; c) convergentă, conform CRĂD; d) divergentă, conform CR-D; e) divergentă, conform CRAP. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.

Rezolvare: ne punem pe rând cele 3 întrebări, vizând expresia lui , şi anume, întrebarea

1) pentru : de termeni consecutivi ai unui şir), , cu răspuns imediat negativ,

(deci varianta a) de răspuns este eliminată), apoi întrebarea 2) pentru : , ,

cu răspuns imediat afirmativ, de unde rezultă că vom aplica rezultatul teoretic denumit CRĂD (?) – CRĂD cu semnul întrebării, în sensul următor: să existe limita din cadrul lui şi să nu dăm peste cazul

egalităţii ei cu -; în acest sens, cercetăm existenţa limitei lui radical de ordinul din şi anume:

, dacă ţinem seama de următoarea limită remarcabilă şi anume că:

, pentru . Nedeterminarea de tipul poate fi soluţionată, raţionând în două moduri,

astfel:Varianta1: - scriem raportul ca suma a două fracţii cu acelaşi numitor, adică:

, dacă ţinem seama de următoarea limită

remarcabilă şi anume că: , pentru , de unde deducem că limita din CRĂD există, astfel

încât acest criteriu invocat poate fi aplicat, urmând a compara limita din CRĂD cu 1, obţinând că:

16


limita din CRĂD, egală la noi cu este strict mai mică decât 1, adică: , de unde rezultă, conform CRĂD, că STPdată = SC. Prin urmare, varianta de răspuns corect este c).Varianta2: - raportul este sumă de exponenţiale pe „sumă” de exponenţiale, deci dăm în factor comun forţat cel mai mare termen din suma de la numărător, şi respectiv cel mai mare termen din „suma” de la numitor, adică procedăm astfel:

, de unde se observă că regăsim limita din CRĂD egală cu , aşa după

cum obţinusem raţionând prin varianta1. De aici mai departe, procedăm în mod similar ca în prima variantă prezentată de noi, mai sus. În cele ce urmează, continuăm incursiunea în partea teoretică:

Dacă avem răspuns afirmativ la întrebarea 3’), atunci pentru a studia natura STP ,

unde , , cu , aplicăm Criteriul Comparaţiei La Limită (notat prescurtat cu

CCLa Limită), ce revine la parcurgerea următoarelor 2 etape şi anume:

Etapa1: se împarte la factorul din expresia lui , care tinde la zero, adică matematic scriem

astfel: ; expresia lui , care tinde pentru la , se

scrie sub forma produsului a doi factori, unul pe prima poziţie în produs, cu limita egală cu şi

altul pe a doua şi ultima poziţie în produs, cu limita diferită de , deci , de unde

deducem că raportul, la care facem referire mai sus, şi anume:

[al doilea factor din produsul, care-l defineşte pe „ ”];

Etapa2: trecem la limită în cadrul raportului calculat la etapa1, după , adică procedăm astfel:

; dacă această limită există şi aparţine intervalului

, cerut de CCLa Limită, atunci acest CCLa Limită se poate aplica, conclizia în baza lui, fiind

următoarea şi anume că seria cu termenul general de la numărătorul raportului (adică: ) are

aceeaşi natură cu seria cu termenul general de la numitorul raportului (adică:

), matematic scriind că: ~

, care se citeşte astfel: seria din stânga este

echivalentă (simbolul tilda) cu seria din dreapta, adică ambele serii au aceeaşi natură, ceea ce înseamnă că ambele serii sunt convergente (congerg în acelaşi timp) sau că ambele serii sunt

17

Virginia Atanasiu

divergente (diverg în acelaşi timp). În marea majoritate a aplicaţiilor prezentate, seria din dreapta va fi seria lui Riemann sau seria armonică generalizată, cu următoarea formă generală şi anume:

, unde puterea a lui n (adică a indicelui de sumare) este număr real, deci

ℝ.

Remarcă: se observă imediat dacă , în următoarele 2 cazuri, vizând expresia lui

şi anume: 1) , (cu menţiunea că nu este vorba

despre aceeaşi sumă la numărător şi la numitor; formularea este realizată de noi la modul general);

2) , (cu menţiunea că nu este vorba despre aceeaşi

sumă la numărător şi la numitor; formularea este realizată de noi la modul general).Exemplificăm cele prezentate până acum, pe următoarele aplicaţii:

Aplicaţia5: Natura seriei numerice , unde , este: a) divergentă,

conform definiţiei acestei noţiuni; b) convergentă, conform CCla limită; c) divergentă, conform CRAP; d) convergentă, conform CRĂD; e) divergentă, conform CR-D. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.




cu răspuns imediat negativ, (deci varianta d) de răspuns este eliminată), şi în sfârşit întrebarea 3’)

pentru : , mai precis are (?) una dintre cele 2 forme 1) şi 2) prezentate în cadrul

remarcii de mai sus: , , cu răspuns imediat

afirmativ. În acest sens, ne putem pune problema existenţei limitei lui , pentru , astfel încât

vom obţine: (avem ceva de forma:

şi vrem ca -ul să rămână la o putere strict pozitivă, ceea ce înseamnă că vom scrie -ul la

numitor, întrucât: ; am ţinut seama de următoarele: ). Din cele de mai sus,

deducem că sau, echivalent: , ceea ce înseamnă că avem răspuns afirmativ la

întrebarea 3’), astfel încât vom aplica rezultatul teoretic denumit CCLa Limită (?) – CCLa Lmită cu

semnul întrebării, în sensul următor: să existe limita din cadrul lui şi să aparţină intervalului

18


cerut de acest criteriu; aplicarea acestui rezultat teoretic, presupune parcurgerea următoarelor 2 etape şi anume:

Etapa1: ;

Etapa2: , de unde rezultă că limita

din CCLa Limită există şi aparţine intervalului deschis , ceea ce înseamnă că acest criteriu

invocat al comparaţiei la limită se poate aplica, iar concluzia conform lui este că: ~

SC, şi deci este la rândul ei SC, astfel că răspunsul corect este dat de varianta

b).

Aplicaţia6: Seria de numere este convergentă pentru orice valoare din intervalul:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) . Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi

efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.Rezolvare: seria dată poate fi prelucrată sub aspectul termenului ei general astfel:

~ (seria lui Riemann) SC, pentru puterea a indicelui de sumare

strict mai mare decât 1, deci pentru , de unde deducem că seria dată este la

rândul ei convergentă pentru , adică varianta de răspuns corect este dată de punctul c).

Aplicaţia7: Seria de numere este convergentă pentru orice din intervalul a) ;

b) ; c) ; d) ; e) . Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi

efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.Rezolvare: seria dată poate fi prelucrată sub aspectul termenului ei general astfel:

~ (seria lui Riemann) SC, pentru puterea a indicelui de sumare

strict mai mare decât 1, deci pentru , de unde deducem că seria dată este

19

Virginia Atanasiu

la rândul ei convergentă pentru , adică varianta de răspuns corect este dată de punctul

b). Continuăm incursiunea teoretică, cu cele de mai jos:

Dacă avem răspuns afirmativ la întrebarea 3”), atunci pentru a studia natura STO ,

unde ℝ, , cu , aplicăm rezultatul teoretic denumit Condiţia Suficientă de

Divergentă (notat prescurtat cu CSD), conform căruia STOdată SD. Condiţia Suficientă de

Divergenţă (CSD) afirmă că: „Dacă STO, astfel încât , ceea ce înseamnă că

, sau (adică este finită şi nenulă, deci ℝ* sau este infintă,

deci ), atunci STOdată SD”.

Remarcă: se observă imediat dacă , în următoarele 3 cazuri, vizând expresia lui

şi anume: 1) , (cu menţiunea că nu este vorba

despre aceeaşi sumă la numărător şi la numitor; formularea este realizată de noi la modul general);

2) , (cu menţiunea că nu este vorba despre aceeaşi

sumă la numărător şi la numitor; formularea este realizată de noi la modul general); 3)

(generalizarea lui 1)), în sensul următor: cu cazul de

nedeterminare pentru , ceea ce matematic înseamnă că:

.


Aplicaţia8: Natura seriei numerice , unde , oricare ar fi este: a)

convergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; b) divergentă, deoarece ; c)

convergentă, conform CRAP; d) divergentă, conform CRĂD; e) convergentă, conform CR-D. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.




cu răspuns imediat negativ, (deci varianta d) de răspuns este eliminată), şi în sfârşit întrebarea 3”)

pentru : , mai precis are (?) una dintre cele 3 forme 1), 2) şi 3), prezentate în cadrul



20


vom obţine: . Din cele de mai sus, deducem că

sau, echivalent: , ceea ce înseamnă că avem răspuns afirmativ la întrebarea 3”), astfel încât

vom aplica rezultatul teoretic denumit CSD, conform căruia seria dată SD, deci răspunsul

corect este dat de varianta b). Prin urmare, seria dată este divergentă, fie conform CSD, fie

deoarece: .

Aplicaţia9: Natura seriei numerice , unde , oricare ar fi natural, ,

este: a) convergentă, conform CRAP; b) divergentă, potrivit CRĂD; c) convergentă, conform definiţiei

acestei noţiuni; d) divergentă, conform CCLa Limită; e) divergentă, deoarece .

Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.



(deci varianta c) de răspuns este eliminată), apoi întrebarea 2) pentru : , ,

cu răspuns imediat negativ, (deci varianta b) de răspuns este eliminată), şi în sfârşit întrebarea 3”)

pentru : , mai precis are (?) una dintre cele 3 forme 1), 2) şi 3), prezentate în cadrul



vom obţine: . Din cele de mai sus, deducem

că sau, echivalent: , ceea ce înseamnă că avem răspuns afirmativ la întrebarea

3”), astfel încât vom aplica rezultatul teoretic denumit CSD, conform căruia seria dată SD,

deci răspunsul corect este dat de varianta e). Prin urmare, seria dată este divergentă, fie

conform CSD, fie deoarece: . Continuăm incursiunea în teorie cu cele de mai jos:

Dacă avem răspuns negativ la întrebările 1), 2) şi 3) (formată din 3’) şi 3”)), atunci pentru a

studia natura STP , unde , , cu: i) ”-„ de termeni consecutivi ai unui şir),

, întrucât avem răspuns negativ la întrebarea 1); ii) , întrucât avem

21

Virginia Atanasiu

răspuns negativ la întrebarea 2); iii) nu se observă imediat dacă , sau dacă , deci

dacă are una dintre cele 2 forme, pentru a spune imediat că , sau dacă are una dintre

cele 3 forme, pentru a spune imediat că , întrucât avem răspuns negativ la întrebările 3’) şi

3”), aplicăm rezultatul teoretic denumit Criteriul Raportului sau Criteriu lui D’Alembert, notat

prescurtat cu CRAP, ce afirmă că: „Dacă STP, astfel încât există ,

atunci (rezultă aceleaşi concluzii cu cele din CRĂD) şi anume pentru: a) , rezultă că STPdată = SC; b) , rezultă că STPdată = SD; c) , CRAP nu este concludent (în sensul că natura seriei nu poate fi stabilită de CRĂD, caz pe care îl vom elucida, apelând – în marea majoritate a cazurilor – la un alt rezultat teoretic denumit pe scurt CR-D, iar desfăşurat Criteriul Raabe-Duhamel)”.

Remarcă. Justificarea denumirii de raport dată acestui rezultat teoretic este următoarea: CRAP presupune existenţa limitei raportului a doi termeni consecutivi ai seriei, şi anume cel de

rang , deci împărţit la cel de rang n, adică .



conform CRĂD; b) convergentă, conform CR-D; c) divergentă, conform CCLa Limită; d) convergentă, conform CRAP; e) divergentă, conform definiţiei acestei noţiuni. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.



(deci varianta e) de răspuns este eliminată), apoi întrebarea 2) pentru : , ,

cu răspuns imediat negativ, (deci varianta a) de răspuns este eliminată), şi în sfârşit întrebările 3’) şi

3’’), mai precis ne întrebăm dacă are una dintre cele 2 forme, pentru a putea spune imediat că

, cu răspuns imediat negativ, (deci varianta c) de răspuns este eliminată), sau una dintre cele

3 forme pentru a spune imediat că , cu răspuns imediat negativ, de unde rezultă că avem

răspuns negativ la toate cele 3 întrebări 1), 2) şi 3), formată din 3’) şi 3’’), astfel încât vom aplica rezultatul teoretic denumit CRAP (?) – CRAP cu semnul întrebării, în sensul următor: să existe limita din cadrul lui şi să nu dăm peste cazul egalităţii ei cu -; în acest sens, cercetăm existenţa limitei

raportului a doi termeni consecutivi ai seriei şi anume cel de rang , adică împărţit la cel

de rang , adică , obţinând că: , de unde

deducem că există limita din CRAP, astfel încât acest criteriu invocat al raportului se poate aplica, urmând a compara limita din cadrul lui cu 1 (este ea strict mai mică (?), egală (?) sau strict mai

mare (?) decât 1); deoarece , conchidem că SC, conform CRAP. Deci varianta de

răspuns corect este dată de punctul d).

22



conform CR-D; b) convergentă, conform CRĂD; c) divergentă, conform CCLa Limită; d) convergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; e) divergentă, conform CRAP. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.



(deci varianta d) de răspuns este eliminată), apoi întrebarea 2) pentru : , ,

cu răspuns imediat negativ, (deci varianta b) de răspuns este eliminată), şi în sfârşit întrebările 3’) şi


, cu răspuns imediat negativ, (deci varianta c) de răspuns este eliminată), sau una dintre cele

3 forme pentru a spune imediat că , cu răspuns imediat negativ, de unde rezultă că avem

răspuns negativ la toate cele 3 întrebări 1), 2) şi 3), formată din 3’) şi 3’’), astfel încât vom aplica rezultatul teoretic denumit CRAP (?) – CRAP cu semnul întrebării, în sensul următor: să existe limita din cadrul lui şi să nu dăm peste cazul egalităţii ei cu -; în acest sens, cercetăm existenţa limitei

raportului a doi termeni consecutivi ai seriei şi anume cel de rang , adică împărţit la cel

de rang , adică , obţinând că:

, iar aici ţinem seama de

limita din cadrul observaţiei 2) de mai jos şi anume:Observaţii: 1) limita remarcabilă a numărului lui Euler, scrisă pentru cazul general de mai

jos: , dacă, ceea ce urmează după şi notat de noi cu ; 2) cazul particular al

lui 1) obţinut pentru şi anume: ; 3) consecinţa lui 2), în care

apare inversa celei de-a doua expresii de la 2) şi anume: . Prin urmare:

, de unde deducem că limita din CRAP există, astfel încât acest criteriu

invocat al raportului se poate aplica, urmând a compara limita din cadrul lui cu 1 (este ea strict mai

mică (?), egală (?) sau strict mai mare (?) decât 1); deoarece , întrucât , conchidem că

seria dată SD, conform CRAP. Deci varianta de răspuns corect este dată de punctul e).

Continuăm incursiunea în partea teoretică, cu cele ce urmează:

Dacă STP, pentru care limita din CRĂD există şi este egală cu , sau pentru care

limita din CRAP există şi este egală cu , ceea ce înseamnă că am aplicat la început fie CRĂD şi am obţinut că limita de acolo există şi este egală cu , fie am aplicat la început CRAP şi am obţinut că limita de acolo există şi este egală cu , atunci pentru a studia natura acestei STP aplicăm rezultatul

23

Virginia Atanasiu

teoretic denumit Criteriul Raabe-Duhamel, notat prescurtat cu CR-D, ce afirmă că: „Dacă

STP, astfel încât există limita următoarei expresii pentru şi anume

, atunci se compară această limită cu , inversându-se concluziile din CRĂD şi CRAP şi

anume pentru: i) , rezultă că STPdată = SD; ii) , rezultă că STPdată = SC; iii) , CR-D nu este concludent (în sensul că natura seriei nu poate fi stabilită de CR-D, caz pe care îl vom elucida apelând la raţionamentul dintr-un exerciţiu de la seriile numerice)”.

Exemplificăm cele prezentate până acum pe următoarele aplicaţii:

Aplicaţia12: Natura seriei numerice , unde , şi

parametru real arbitrar, dar fixat, pentru raţionamentul ce urmează, este: a) convergentă, pentru ; divergentă, pentru ; divergentă, pentru ; b) divergentă, pentru ; convergentă

pentru ; convergentă pentru ; c) convergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; d) divergentă, conform CRAP; e) convergentă, conform CRĂD. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.



(deci varianta c) de răspuns este eliminată), apoi întrebarea 2) pentru : , ,

cu răspuns imediat negativ, (deci varianta e) de răspuns este eliminată) şi în sfârşit întrebările 3’) şi


, cu răspuns imediat negativ, sau una dintre cele 3 forme pentru a spune imediat că ,

cu răspuns imediat negativ, de unde rezultă că avem răspuns negativ la toate cele 3 întrebări 1), 2) şi 3), formată din 3’) şi 3’’), astfel încât vom aplica rezultatul teoretic denumit CRAP (?) – CRAP cu semnul întrebării, în sensul următor: să existe limita din cadrul lui şi să nu dăm peste cazul egalităţii ei cu -; în acest sens, cercetăm existenţa limitei raportului a doi termeni consecutivi ai seriei şi

anume cel de rang , adică împărţit la cel de rang , adică , obţinând că:

, de unde

rezultă că limita din CRAP există, dar este egală cu , deci vom face apel la CR-D, ce presupune

existenţa limitei pentru a următoarei expresii şi anume: ; din cele de mai sus,

avem că: , , de unde deducem că inversa lui , care este este egală cu

, şi deci înlocuind în cadrul expresiei din CR-D, şi apoi efectuând calculele în paranteza

rotundă de acolo, adică din CR-D ,obţinem că:

, de unde

deducem că limita din CR-D există, astfel încât acest criteriu invocat al lui Raabe-Duhamel se poate

24


aplica, urmând a compara limita din cadrul lui cu 1 (este ea strict mai mică (?), egală (?) sau strict mai mare (?) decât 1); deoarece limita din CR-D depinde de parametrul real , rezultă că are loc următoarea discuţie, după cum limita „ ” din CR-D este strict mai mică, egală sau strict mai mare decât , obţinând următoarele 3 cazuri, pe care le derulăm pe verticală în jos:

(I) ( ) SD; (II) ( )

SC; (III) ( ) CR-D nu este concludent (pe scurt avem dubiu)Raţionamentul la care făceam referire în cadrul incursiunii teoretice este următorul: pentru termenul general al seriei date devine:

, ; ne

punem pe rând cele 3 întrebări, vizând expresia lui , şi anume, întrebarea 1) pentru :

de termeni consecutivi ai unui şir), , cu răspuns imediat negativ, apoi întrebarea 2) pentru

: , , cu răspuns imediat negativ, şi în sfârşit întrebarea 3’) pentru :

, mai precis are (?) una dintre cele 2 forme 1) şi 2) prezentate în cadrul remarcii de mai

sus: , , cu răspuns imediat afirmativ. În acest sens,

ne putem pune problema existenţei limitei lui , pentru , astfel încât vom obţine:

. Din cele de mai sus, deducem că sau,

echivalent: , ceea ce înseamnă că avem răspuns afirmativ la întrebarea 3’), astfel încât

vom aplica rezultatul teoretic denumit CCLa Limită (?) – CCLa Lmită cu semnul întrebării, în sensul

următor: să existe limita din cadrul lui şi să aparţină intervalului cerut de acest criteriu;

aplicarea acestui rezultat teoretic, presupune parcurgerea următoarelor 2 etape şi anume:

Etapa1: ;

Etapa2: , de unde rezultă că limita din CCLa Limită există şi aparţine

intervalului deschis , ceea ce înseamnă că acest criteriu invocat al comparaţiei la limită se

poate aplica, iar concluzia conform lui este că: ~ SD, deci că seria este la

rândul ei divergentă. Prin urmare, seria dată este convergentă pentru , divergentă pentru , şi de asemenea divergentă pentru , astfel încât varianta de răspuns corect este dată

de punctul a).Continuăm incursiunea în partea teoretică cu cele ce urmează:

25

Virginia Atanasiu

Dacă SA, unde , , atunci pentru a studia natura acestei SA,

aplicăm criteriul specific seriilor alternate (SA), denumit Criteriul lui Leibnitz, şi notat prescurtat

CL ce afirmă că: „Dacă SA, astfel încât sunt îndeplinite următoarele 2 condiţii: (i)

şi (ii) şir descrescător ( ), atunci SAdată SC”.

Observaţie: pentru a arăta că şirul este , raţionăm în funcţie de

expresia lui , după cum urmează:

- în cazul în care este definit ca „raport”, atunci efectuăm raportul a 2 termeni

consecutivi ai şirului şi anume cel de rang , adică împărţit la cel de rang , adică

şi îl vom compara cu , iar pentru ca şirul să fie , trebuie ca raportul să fie inferior

lui , deci să avem: , ;

- în cazul în care este definit ca „sumă sau diferenţă”, atunci efectuăm diferenţa a doi

termeni consecutivi ai şirului şi anume cel de rang , adică minus cel de rang ,

adică şi o vom compara cu , iar pentru ca şirul să fie , trebuie ca diferenţa să fie

inferioară lui , deci să avem: , ;

- în cazul în care defineşte o funcţie , cu natural, mai mare sau egal cu , adică

, atunci (pentru a putea deriva) trecem de la funcţia de variabilă naturală la

funcţia de variabilă reală ℝ, mai mare sau egal cu , deci la , cu variabilă reală, după

care calculăm derivata ei de ordinul întâi , cu variabilă reală şi arătăm că ,

, de unde deducem că funcţia este pe , iar de aici rezultă că este

.Comentariu pe marginea lui CL: - dacă cel puţin una dintre condiţiile (i) şi (ii) ale lui CL nu

este îndeplinită de către o SA, atunci criteriul invocat al lui Leibnitz nu se poate aplica pentru a studia natura respectivei SA, iar ideea (sau raţionamentul) într-o astfel de situaţie este următoarea (sau este următorul) şi ea (sau el) constă în parcurgerea a 2 etape şi anume:

Etapa1: notăm termenul general al SA în continuare cu , deci matematic scriem astfel:

, ;

factorul, ce acel cevaînglobează strict mai mare decât zero, ce urmează după el.semnul, înmulţit cu:

Etapa2: arătăm că în modul , care este întotdeauna egal cu , nu tinde la zero, pentru

tinzând la infinit, deci arătăm că:

.

Concluzia ideii (formate din cele 2 etape) sau a raţionamentului (format din cele 2 etape)

este că: SAdată SD (ori de

26


câte ori avem o serie de numere, pentru care şirul termenilor ei luaţi în modul nu tinde la zero, concluzia este că respectiva serie numerică este divergentă).

Exemplificăm cele prezentate până acum pe următoarele aplicaţii:

Aplicaţia13: Natura seriei de numere este: a) divergentă, conform CRAP; b)

convergentă, conform CR-D; c) divergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; d) convergentă, conform CL; e) divergentă, conform CRĂD. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns, considerat a fi corect.

Rezolvare: factorul ce înglobează semnul, adică ne conduce cu gândul la seriile

alternate (SA), cu condiţia ca ceea ce urmează după el, notat de noi cu să fie strict mai mare

decât zero; într-adevăr, , şi deci seria dată este o SA, astfel că vom aplica

rezultatul teoretic specific seriilor alternate (SA), denumit CL (?), cu semnul întrebării, în sensul îndeplinirii celor două condiţii (i) şi (ii), presupuse de acest rezultat teoretic şi anume:

(i) , de unde rezultă că prima condiţie (i) a

lui CL este îndeplinită;

(ii) arătăm că este şir , ceea ce revine la a demonstra că: , , deci

că:

, ,

,

, , ,

ceea ce este evident adevărat; deci şi a doua condiţie (ii) a lui CL este îndeplinită.Prin urmare, condiţiile (i) şi (ii) ale lui CL fiind îndeplinite, rezultă că acest criteriu al lui

Leibnitz se poate aplica pentru a studia natura seriei alternate date, şi astfel deducem că SAdată

SC. Deci, răspunsul corect este dat de varianta d).Remarcă: varianta de răspuns a) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece CRAP este

aplicabil numai pentru studiul naturii seriilor cu termeni pozitivi (STP); varianta de răspuns b) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece CR-D este aplicabil numai pentru studiul naturii seriilor cu termeni pozitivi (STP); varianta de răspuns c) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece termenul general al SAconsiderate nu este diferenţă de termeni consecutivi ai unui şir; varianta de răspuns e) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece CRĂD este aplicabil numai pentru studiul naturii seriilor cu termeni pozitivi (STP).

Aplicaţia14: Natura seriei numerice: este: a) convergentă,

conform CRĂD; b) divergentă, conform CRAP; c) convergentă, conform definiţiei acestei noţiuni; d)

divergentă, deoarece sau deoarece

27

Virginia Atanasiu

; e) convergentă, conform CL. Justificaţi prin rezolvarea matematică

riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns, considerat a fi corect.

Rezolvare: factorul ce înglobează semnul, adică ne conduce cu gândul la seriile

alternate (SA), cu condiţia ca ceea ce urmează după el, notat de noi cu să fie strict mai mare

decât zero; într-adevăr, , (întrucât ceea ce se află sub primul

radical este strict mai mare decât ceea ce se află sub al doilea radical, de unde deducem că primul radical este strict mai mare decât cel de-al doilea radical, sau că diferenţa dintre primul radical şi al doilea radical este strict mai mare decât zero) şi deci seria dată este o SA, astfel că vom aplica rezultatul teoretic specific seriilor alternate (SA), denumit CL (?), cu semnul întrebării, în sensul îndeplinirii celor două condiţii (i) şi (ii), presupuse de acest rezultat teoretic şi anume:

(i) (diferenţă de radicali, ceea ce înseamnă că vom raţionaliza,

amplificând cu conjugata, deci cu

)

, de unde rezultă că

, deci că prima condiţie (i) a lui CL nu este îndeplinită, astfel că a doua condiţie a lui CL nu

ne mai interesează, iar concluzia este că acest criteriu a lui Leibnitz invocat nu se poate aplica pentru a studia natura respectivei serii alternate date; într-o astfel de situaţie, ideea este următoarea şi ea constă în parcurgerea a 2 etape şi anume:

Etapa1: , ;

Etapa2: arătăm că ; într-adevăr: , conform celor demonstrate

de noi mai sus şi deci , adică ceea ce trebuia demonstrat.

Concluzia ideii (formate din cele 2 etape) este că: SAdată SD, şi deci răspunsul corect este dat de varianta d).

Remarcă: varianta de răspuns a) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece CRĂD este aplicabil numai pentru studiul naturii seriilor cu termeni pozitivi (STP); varianta de răspuns b) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece CRAP este aplicabil numai pentru studiul naturii seriilor cu termeni pozitivi (STP); varianta de răspuns c) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece termenul general al SAconsiderate nu este diferenţă de termeni consecutivi ai unui şir; varianta de răspuns e) nu este posibilă în cazul SAdate, deoarece am arătat că rezultatul teoretic denumit CL nu este aplicabil în acest caz.

Teste de autoevaluare

Testul de autoevaluare nr. 1:

28


A) Seria numerică este convergentă, dacă: a) ; b) ; c) ; d) , e)

. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de

răspuns, considerat a fi corect.

B) Fie o serie cu termeni pozitivi şi . Atunci: a) dacă , seria este

convergentă; b) dacă , seria este convergentă; c) dacă , seria este convergentă; d) dacă , seria este convergentă; e) dacă , nu putem afirma nimic despre natura seriei. Justificaţi

prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.


A) Seria numerică este convergentă, dacă: a) ; b) ; c) ; d)

; e) . Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă,

alegerea variantei de răspuns, considerat a fi corect.

B) Fie o STP şi . Atunci: a) dacă , seria este convergentă; b) dacă

, seria este convergentă; c) dacă , seria este convergentă; d) dacă , seria este convergentă; e) dacă , seria este convergentă. Justificaţi prin rezolvarea matematică riguroasă şi efectivă, alegerea variantei de răspuns considerat a fi corect.

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare


Rezolvare: la A), (seria lui Riemann sau seria armonică generalizată) SC, pentru

puterea a indicelui de sumare strict mai mare decât , deci pentru . Prin urmare, varianta de răspuns corect este dată de punctul d).

Răspunsul corect la B) este dat de varianta b), conform Criteriului Cauchy sau Criteriului

Rădăcinii (CRĂD), ce afirmă că: „Dacă este o serie cu termeni pozitivi şi dacă există limita

( , adică finită sau infinită, dar pozitivă), atunci: i) pentru , rezultă că STPdată

este SC; ii) pentru , rezultă că STPdată este SD; iii) pentru , CRĂD nu este concludent”.

Testul de autoevaluare nr. 2:Rezolvare: la A), seria numerică dată poate fi scrisă sub o formă asemănătoare seriei geometrice (SG), prelucrând termenul ei general astfel:

29

Virginia Atanasiu

~ SG, de prim termen şi de raţie ,

deci convergentă pentru , unde am ţinut seama de forma

generală a SG şi anume: .

Deci, seria dată este la rândul ei convergentă pentru , astfel că varianta de răspuns

corect este dată de punctul a).Răspunsul corect la B) este dat de varianta d), conform Criteriului Raabe-Duhamel (CR-D), ce

afirmă că: „Dacă este o serie cu termeni pozitivi şi dacă există (

ℝ , adică finită sau infinită), atunci: i) pentru , rezultă că STPdată este SD; ii)

pentru , rezultă că STPdată este SC; iii) pentru , CR-D nu este concludent”.

Bibliografia unităţii de învăţare 1:

1. Atanasiu V., „Matematici aplicate în economie. Teorie, cazuri şi soluţii”, Editura Printech, Bucureşti, 2005,

2. Atanasiu V., „Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme: cazuri şi soluţii”, Editura Printech, Bucureşti, 2005.

3. Dedu S., Şerban F., „Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme”, Tipogrup Press, Bucureşti, 2007.

4. Purcaru I., „Matematici generale şi elemente de optimizare”, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

30

c1-a4, zi, 2010 pentru 2015

Documents