bacaule mate

Profesor Mirela-Gabriela BlagaElev………………………………………

BACALAUREAT FORMULE MATEMATICE

f : , f(x) = ax + b , a,b , a 0Funcţia de gradul întâiDacă a > 0, atunci f este strict crescătoare.Dacă a < 0, atunci f este strict descrescătoare.Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 ax + b = 0 x = - punctul A(- ,0)Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, b)

Funcţia de gradul al doileaf : , f(x) = ax2 + bx + c , a,b,c , a 0Ecuaţia f(x) = 0 are rădăcinile x1,x2 = , dacă .Vârful parabolei are coordonatele V( ).Axa de simetrie este dreapta de ecuaţie x = .minf/maxf =

imaginea funcţiei/mulţimea valorilor funcţiei forma canonică f(x) = a

Relaţiile lui Viète , unde sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0x12 + x22 = S2 – 2P

x13 + x23 = S3 – 3PSf(x) = ax2 + bx + c = a(x- )(x- ) = a(Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, c)

x dacă ->0 semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 =0 semnul lui 0 semnul lui a<0 semnul lui f(x) > 0, a > 0, < 0 f(x) 0, a > 0, 0 f(x) 0, a 0, < 0

ax2 + bx + cSemnul funcţiei de gradul al doilea

1


x2 + 4x + + + 0 - - 0 + +x 1 3- x2 + 4x - - - + + 0 - -x 2Ex. x -3 -

1

x2 - 4x + 4 + + + 0 + + +

xx2 + x + 1 + + +Funcţii

Compunerea funcţiilor g: C A şi f: A B este funcţia f g: C B, f g(x) = f(g(x)).

Ex. Fie f, g: , f(x) = 2x + 5 şi g(x)=3x –2. Să se determine f f şi f g.f f: , f f(x) = f(f(x))=f(2x + 5)=2(2x + 5)+5=4x+15f g: , f g(x) = f(g(x))=f(3x - 2)=2(3x - 2)+5=6x+1f(-x) = f(x) funcţie parăf(-x) = - f(x) funcţie imparăf(x + T) = f(x) funcţie periodicăFuncţia f: A B este injectivă (1) dacă din , f(x1) = f(x2) x1 = x2

f este injectivă (1) dacă din , x1 x2 f(x1) f(x2)Funcţia f: A B este surjectivă(2) dacă a.î. f(x) = Din (1) şi f este surjectivă(2) dacă f(A) = Bf este injectivă (1) dacă (x) > 0 sau (x) < 0

f: A B, f(x) =y, f bijectivă :B A, (y) = x

Progresia aritmetică Progresia geometricăformula termenului an = an-1 + r an = an-1 q, a1,q 0formula termenului an = a1 + (n-1)r an = a1qn-1suma primilor n termeni Sn = Sn Sn = a1(1+q+q2+...+qn-1) = a1 ,numărul termenilor n =proprietate

proprietate a,b,c 2b = a+c a,b,c b2 = acProgresii

Probabilitatea P= [ 0, 1]2


Metode de numărareNumărul submulţimilor unei mulţimi Ex. Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A={0,1,2}.Numărul submulţimilor cu k elementeale unei mulţimi cu n elemente este Cnk0 n, n

Ex.1. Să se determine numărul submulţimilor cu două elementeale mulţimii A={0,1,2}.R. C32Ex.2. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiindNumărul funcţiilor f: A B, A, Bnevide, =n , =m este mn. Ex. Să se determine numărul funcţiilor f: {0,1,2}{5,6,7,8}.Numărul funcţiilor injective f: A B, Ex. Să se determine numărul funcţiilor injective f:{0,1,2} {5,6,7,8}.R. A43, unde 4= şi 3= Numărul funcţiilor strict monotonef: A B, =n , =m este Cmn .

Ex. Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoaref:{0,1,2} {5,6,7,8}.

Numărul funcţiilor bijective f: A A Ex. Să se determine numărul funcţiilor bijective f:{0,1,2} {0,1,2}.R. 3!Numărul dreptelor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn2. Ex. Să se determine numărul dreptelor care trec prin 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare.R. C52Numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi este Cn2– n. Ex. Să se determine numărul diagonalelor unui poligon convex cu 5 laturi.R. C52-5Numărul triunghiurilor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn3. Ex. Să se determine numărul triunghiurilor care se pot forma cu

= 1, ade n ori

, a , nMulţimea numerelor reale

, a 0, , n , n 23

Profesor Mirela-Gabriela Blaga

Elev………………………………………

x x = [x] + {x} , [x] , {x} [ 0, 1) [x] x [x] + 1[x] parte întreagă Ex. x= 2,7 [x]= 2x= - 2,7 [x]= -3x= [x]= 1{x} parte fracţionară Ex. x= 2,7 {x}= 0,7x= - 2,7 {x}= 0,3

x= {x}= ecuaţia exponenţială ax = b x = loga b, a (0, )\{1}, b>0ecuaţia logaritmică loga x = b x = ab, a (0, )\{1}, x>0

Proprietăţile logaritmilorloga 1=0 Ex. log2 1=0loga a=1 Ex. log5 5=1loga an=n Ex. log3 9=log3 32=2ln1=0lne=1lg10=1lg1=0 Ex.= Ex. == Ex. == sau = sau = Ex. =loga x + loga y = loga xy Ex. log2 6 + log2 = log2 6 = log28 = log223 = 3loga x - loga y = loga Ex. log2 6 – log2 3 = log2 = log22 = 1Ex.

0!=1n!=1 2 ..... n, n

Permutări Pn = n!Aranjamente Ank = , 0 nCombinări Cnk = , 0 n

Combinatoricaformula combinărilor complementare: Cnk = Cnn-kBinomul lui Newton este (a+b)n =Cn0an + Cn1 an-1b +...+Cnnbn, a,b , n .Numărul termenilor din dezvoltarea binomială este n+1.formula termenului general/de rang k: Tk+1 = Cnk an-kbk , k = suma coeficienţilor binomiali: Cn0+ Cn1 +...+Cnn= 2nsuma coeficienţilor binomiali ai termenilor de rang impar/par: Cn0+ Cn2 +... = 2n-1 = Cn1+ Cn3 +...

4

Profesor Mirela-Gabriela BlagaElev………………………………………Binomul lui Newton Triunghiul lui

(a+b)0 =1 1 1(a+b)1 =a+b C10 C11 1 1(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 C21 C22 1 2 1(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 C30 C31 C32 C33 1 3 3 1Mulţimea numerelor complexeForma algebrică a unui număr complex este z = a + ib, a,b . Rez=a, Imz=b, i2= -1Conjugatul lui z este = a – ib .

Modulul numărului complex z este = .= , =

Forma trigonometrică a unui număr complex este z = r(cost + isint), unde r = , r 0 şi

t=arctg +k , k= , t [0, 2 ).

Formula lui Moivre: (cost + isint)n= cosnt + isinntPuterile lui i: , nsin2x + cos2x = 1 , xsin2x = 2sinxcosx

Formule trigonometrice tg(a+b) =

cos 2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x –1 = 1 - 2 sin2x sin(- x)= - sinxcos(- x)= cosxtg (- x) = - tgx

ctg(- x)= - ctgxsin(x+2k )=sinx , kcos(x+2k )=cosxtg (x+k ) =tgxctg(x+k )=ctgxsin(a + b) = sinacosb + sinbcosasin(a - b) = sinacosb - sinbcosacos(a + b) =cosacosb - sinasinb

cos(a - b) =cosacosb + sinasinbsina + sinb=2sin cossina - sinb=2cos sincosa + cosb=2cos coscosa - cosb= - 2sin sintg(a - b) =tg(a+b+c) =tg 2x =tg x =ctg x =

sinx =

cosx = arcsinx + arccosx =arctgx + arcctgx =

5

Profesor Mirela-Gabriela Blaga

Elev………………………………………x x sinx cosx tgx ctgx0 0 0 1 0 -3045 1 16090 1 0 - 0180 0 -1 0 -

Ecuaţii trigonometricesinx=a, a x=(-1)karcsina+k , kcosx=a, a x= arccosa+2k , ktgx=a, a x=arctga+k , kctgx=a, a x=arcctga+k , karcsin(- a) = - arcsinaarccos(- a) = – arccosaarctg(- a) = - arctgaarcctg(- a) = – arcctgaFie punctele A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ). distanţa AB =Dreapta

ecuaţia dreptei AB : = şi panta mAB =ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă d: = m (

ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0 şi panta m = -d1 d2 m1 = m2d1 d2 m1 m2 = -1

M mijloc xM = , yM =

Distanţa de la punctul A (x0 , y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(A,d) = .Centrul de greutate G al triunghiului ABC are coordonatele xG = , yG = .ABCD paralelogram = , =A,B,C coliniare AB AC sau a a.î. = a sau = 0În triunghiul ABC dreptele AA’ , BB’ , CC’ sunt concurente, atunci = 1. (Teorema lui Ceva)Fie triunghiul ABC şi M, N, P trei puncte coliniare şi distincte, situate pe dreptele AB, BC, CA. Atunci

= 1. (Teorema lui Menelau)6


= x + y modulul vectorului este == + , = +

= cos( ) = x1 x2 + y1 y2

sau , coliniari = x1 x2 + y1 y2 = 0Vectori

cos( ) == (xB– xA ) + (yB – yA )= 0+ = relaţia lui Chasles= - mediana dusă din A în triunghiul ABC+ + = , unde G este centrul de greutate al triunghiului ABCRezolvarea triunghiuluiTeorema sinusurilor: = 2R, R-raza cercului circumscris triunghiului ABCTeorema cosinusului: a2 = b2 + c2 - 2bc cosAcos A =

Formule pentru aria triunghiuluiS =S=

S = , unde p =S= ,

raza cercului înscris în triunghi: r = , unde p =raza cercului circumscris triunghiului: R =Teorema medianei: , unde este mediana corespunzătoare unghiului A al ABC

PolinoameTeorema împărţirii cu rest f : g f = gq + r, grad r < grad gTeorema restului f : (x-a) r = f(a)Teorema lui Bézout f (x-a) f(a) = 0

7


Schema lui Horner pentru f = ax3 + bx2 + cx + d împărţit la x - x3 x2 x1 x0

x1 aa b x1a+b c x1(x1a+b)+c dx1[x1(x1a+b)+c ]+d(ax3+bx2+cx+d) : (x - ) x = şi aplicăm schema

Ex. Să se afle câtul şi restul la împărţirea lui 2x3 + 3x2 - 4x + 5 prin x – 1.

x3 x2 x1 x02 3 - 4 51 2 5 1 6 = restulx – 1 = 0 x = 1 aplicăm schema

Câtul este 2x2 + 5x + 1, iar restul este 6.

Observaţie. Pentru aflarea restului putem aplica T. Bézout: f( 1 ) = 2 + 3 – 4 + 5 = 6.

ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 0, x1,2,3 sunt rădăcinile ecuaţieiRelaţiile lui Viètex12 + x22 + x32 = S12 – 2S2x1 rădăcină a ecuaţiei ax3+bx2+cx+d=0, a 0 ax13+bx12+cx1+d=0x1 rădăcină a polinomului f f(x1) = 0Dacă z1,2 sunt rădăcinile ecuaţiei z2+z+1=0, atunci sunt şi rădăcinile ecuaţiei z3-1 =0,

pentru că z3-1 = (z-1)(z2+z+1).E Forma ecuaţiei Mod de rezolvareEcuaţia binomă xn=z

xn= 1scriem z=r(cost+isint),r 0, t [0, 2 ) xk = (cos + isin ) , k=

xk = cos + isin , k=rădăcinile de ordinul n ale unităţii

Ecuaţia bipătrată ax4+bx2+c=0 notăm x2=t, obţinem at2+bt+c=0 şi rezolvăm ecuaţia de gradul al doilea, apoi revenim la notaţieEcuaţia reciprocă de ax3+bx2+bx+a=0 admite soluţia x1 = - 1, apoi aplicăm schema luiEcuaţia reciprocă de grad 4

ax4+bx3+cx2+bx+a=0

împărţim ecuaţia cu x2, x , notăm x+ = t , x2+ = t2 – 2, ...8

bacaule mate

Documents