manual mate xii

7/21/2019 Manual Mate XII

http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 1/324

o

1

ELEMENTE

DE

ATGEBRA

Legi

de

compozilie

pe

o

mullime

.1.

Deflntfii qi

exemple

Din

studiul

diferitelor

operafii

intdlnite

pdnn

acum

(adunarea

gi

inmulfirea

numerelor,

compunerea

funcfiilor,

adunarea

El

inmulfirea

matricelor

etc.)

se pot

desprinde

concluzille:

existd.

o

mare

diversitate

atdt

in

ceea

ce

priveqte

natura

mulflmllor pe

care

sunt

dellnite

aceste

opera{tt

(numere,

funcfii,

matrice,

vectorl,

girurl,

perechl

ordonate,..),

cat

pi

in

ceea

ce

priveqte

regullle

speciflce

dupa

care

se

opereaza

cu

elementele

acestor

multimi;

*

opera{iile

algebrtce

intalnlte

au

c serte

de

proprletfi.{.i

comune,

indlferent

de

natura

elementelor

asupra

carora

opereaza

(comutativi-

tate, asociativitate

etc.).

,

Refinand

aspectele

esenfiale

ale

operaflilor,

in

acest

capitol

se

va

face

o

prezentare

a acestora

lntr-o

forma

generald.

prin

intermediul

conceptulul

de

lege

de compozifie,

concept

care

dA

posibilitatea

folosirii

metodei

axiomatice

in

algebrd..

{.

DEFtl{tTil

FieMomultimenevidd.

.O

aplicatre g:MxM+M,(r,y)-+q(x,y)

s"

numeste

lege

de compo-

zifie

(operatie algebricd)

pe

mulfimea

M.

'Elementul

g(x,

y)e

M,

care

corespunde prin

aplicafia

cp

perechii

ordonate

(*,

y)

e M

x

M se

numeste

compusul

lui x

cu

y

prin

legea

de

compozifie g.

@

Exemple

de

legi

de compozilie

o

operafia

de

adunare

.

+

"

$i

operafia

de

inmulfire

,,

.

"

pe

mul(imile

de

numere

N,

Z,

Q,

A,

C:

,,

+

":

NxN+ ir,

(x,

y)

-+

x+y,

,,

.

"i

Nx

N

+

N,

(x,

y)

-+

x,y,

,,+":

zxl-+l,

(x,y) -+x+v,

,,

.

"i

lxl

-+ t, (*,

y)

-

x,y, etc.



.

Operatia

de

adunare

,,+"

pe mulfimea'/'avectorilor

din

plan:

,,+":

'/

x'/'

->

'/

,

(a,

U)

+

a

+

t'

.

Operatiile

de

reuniune

,,t-,1..,

intersec|ie

,,n..,

diferen|i,,\..,

diferenti

simetricd

''^..'

pe

mul.timea

t/(M)

ap5.r{ilor

(submultimilor)

unei

mulfimi

M:

,,

Q

"i

t/(M)x

r(M)

-+

e

(M)'

(A'

B)

-+

Av

B'

,,

rl

":

r/

(NI)

x

,/

(M)

-+

'/

(M)

'

(e'

n)

-+

A

r-r B'

etc'

.

operatia

de

compunere

,,"*

afunc .iilorpemulfimea

,,:(M)={r

lr:u-+u}

'

,,

"

":

./

(M)

x.'r-(M)

-+ /

(M)'

(f'

g)

-

f

"

g'

Legile

de

compozifie

sunt

date

in

diferite

nota{ii:

r

in

notatie

aditiva

se

scrie

tp(",V)=x+Yl

elernentul

x

+

y

e

M

se

nume$te

suma

lui

x

cu

y, iar

operatia

Q

se

nume$te

adunare'

r

in

notatie

multiplicative

se

scrle

q(x'

V)

=

x'Yi

elementul

x'y

€

M

se

numeste

produsul

lui

x

cu

y, iar

operatia

q

se

numeqte

inmulflre'

Deseori,

dac6

*

'

*.

M

*rM

este

o

lege

de

compozitle

(operatie

algebrice)

pe multimea

M,

in

loc

de

notafia

q(x'y)

se

folosesc

notatiile

x

(p

y,

1o

J/,

x

*

y,

xTy,

x

Iy

etc'

Sxz,*dtila

.pr/atna,0

BPemulfimealQsedeflneqteoperatlaalgebrice"T"'astfel:

T :

lQxlD

*+

lQ, ("'

V)

-+

x

T

Y

=

W*x-Y'

a)

Sa

se

calculeze

2T

3,

5

T

(-3)'

(-O)T(-8)'

b)

Pentru

care

elemente

x

e

lQ'

avem

xI

2

=

8?

c) Sa

se

rezolve

ecualia

x

T

(x

+

1)

=

1'

SoLutie

.1

ry

rffi=.ffi

ffi-ffi-W=

r; 5

T

(-3)

=

5'(-3)

-

5

-(-3)

= -r7'

iar

(-6)T

(-8)

=

(-6)

(-8)

-

(-6)

-

(-8)

=

62'

b)

Avem:

xI

2

=

x' 2-

x

-

2

=

x

-

2'

obtine

x

=

lO.

c)

Avem:

x

r

(x+l)=

x(x+1)-*-("*1)

="2

-x-l'

Reanltdecualia

x2

-x-2=o

cu

soluliile

X1

=*1,

X2

=2'

Asadar'

(-1)

T

o=+1

qi

2

T

3

=

+1'

1.2.

Adunarea

9i

inrnulfirea

modulo

n

n(

al

Fie

n

e

N*

un

numdr

natural

9i

a

e

Z'

Din

rest a

numerelor intregi

rezr'lltd

cf,

exist6

qi

sunt

;i

r

e

{0,

1,

2,,..,

n-1}

cu

proprietatea

a=

nq

+

r'

Dinegalitateax-2=8se

teorema

imPdrlirii

cu

unicenumerele

qeil



Numd"rul

naturar

r

care

reprezintd

restul

impartirii

lui

a

la

n'

se

noteazd.a

mod

,,

t"I^"it""t"

".

*oaUo

tri

qi

se

numeqte

redusul

modulo

n

al

numdrului

a.

*^^-ni"a*'ffiffi**

Astfel,

dacA

n

=

6,

atunci:

15mod6

=

3,

5mod6

=

5,

(-10)mod6

=

2'

Pe

mulfimea

Z

definim

urmdtoarele

legi

de

compozilie:

a)

@

:

il-xL-

->

A,

u

A

A=

(a

+

b)

modn'

numita

adunarea

modulo

n'

a

0

b

se

numeste

suma

modulo

n

a lui

a

cu

b'

b)

o

:

il.xil-

-+il-,

a

O5

=

(ab)modn'

numitA

inmu$irea

modulo

n'

a

O

b

se

numeqte

Produsul

modulo

n

aI

lui

a

cu

b.

Astfel,

Pentru

fl

=

8'

avem:

6

o

10

=

(6;

l0)mod8

=

16mod8 =

0;

7

@

LZ

=

(7

+12)mod8

=

19

modS

=

3;

4

O

3

=

(+'

g)mod8

=

12mod8

=

4;

(-2) o

5

=

[(-2)'

5]mod8

=

(-10)mod8

=

6'

1.S.

Adunarea

qi

inmulfirea

claselor

de

resturi

modulo

n

Fie

n

e

Nu

un

numar

natural

fixat'

Pentru

a

e

T

notdm

a

=

{;+"nkl

r.

.

z1

s,i

r"

=

a

mod

n

restul

impf,rlirii

lui

a

Ia

n'

DinteoremaimpArlirilcurest,rezu|td'c6existdqetastfelincAt

a=nq+r'

"klk

'v\=lr'

{r+nhlhe

z}

=i'

-

^'lt,rnci,

i

=

{a

+

nkl

k

eL-\=

{r

+

nq

*

iol

k

eL\

=

Agadar,

in

determinarea

mu$imii

i

"Stt

esen{ial

sd

cunoaqtem

Algehri

r

l.

restul

imPar-tirii

lui

a

la

n'

#i;;;;

"";*eqte

crasa

1"

i:lT: T::":"*i'l;t3;

Xlil#:3'1"ii'XiJl?iii"ff

1;;d"l':l-::1,"i:[':i'l'Ji::ff;

n".f

;:T:;i::'5':"{Ti**,i:i"Tl1*Uf

i'"."il""i,1"fr:H,:

L"iJl3',1'

i,"u'"tJ

of

it';;l;;t";i

acestea

pot

n

considerate

6,i,2,,

.,

r:1.

MultimeaclaselorderesturimodulonsenoteaztrcuZ'''giputem

""rr"ffi

7



Pe

mulfimea

L,n se

definesc

ur-rnS"toarele

legi

de

compozitie:

a)

,,

+

";7In

xLn

+ Ln,io

6

=

.-O-.-6,

numitd.

adunarea

claselor

de

resturi

modulo

n,

iar

i

o

6

""

nurnegte

suma claselor

i

si

6;

b)

,,."'.LnxLn

+L^,;'6

=

t6E,

numitd

inmulfirea

claselor

de

resturi

modulo

n, iar i.6

u" numeste

produsul

claselor

i

qi

6.

W

Exem.ole

oFie

Za

={0.i,2,a}.

at.r.t"iavem:

2*i=s:i*3

=i:2*2=0

etc.

)

De asemene^t

2'2

=

6; ).s

=

i;

3 3

=

i.

rin

zs

={0,i,

,,3,a\..,.m, i*i=3,2*3=

6,2*2=4,4.3=0

etc.

De

asemene

^,

2.),=A,2s=

i,

s

3-4, 4

3=2

etc.

Ere*r&r, @gohtalrt

E

1.

SA se

calculeze\n

T-r:

,^'3

a)

(z)

:

Solufie

/^\J

Avem:

a)

(2,)

t^14 ,^t3

c)

t3,)

*(5)

=3

3

b)

(3

a)

6;

tr 2.

Sa se rezolve

in 7In

ecuatia

2x2 *2*

=

6.

Solutte

Soluliile ecuatiei pot

fi

doar elemente

ale

mulfimii

{O,

i, t,

3}

Fie

f

(x)

=2x2

+2x.

Avem:

.

ff0)

=2.6*2.o=6*6=6;

\/

.

f(i)

=2.i*2.i=2+2=6:

.

f(i)

=2.6*2.2=0-6=6;

"

f(t)

=2'i*2.3=2n2=6.

in

concluzie,

solufiile ecua{iei

date sunt

6, 1,

t,

3.

Dupd

cum

se

observ5",

ecuafiile

de

gradui

2,

pe

rnul{imi

diferite

de

cele uzuale,

pot

avea

mai mult

de doui solutii"

t^t4 r^r3

c)

(3)

*(5)

=i.i.A,=a.2=i;

b) (B

a)

u-E.6=2;

3.3*8

E E

=2.3.5n4.E=6"3*6=i+6=3.



1.4.

Parte

stablli.

Lege

de

compozifie

lndusi

FIe

M

o

multime

nevidd

Sl,u,,: M

x

M

-+ M

o lege

de

compozifie

pe

M.

.I.

DEFIilITIE

l'

o submultime

s

c

M

se

nume'te

parte

stabil*

a

rui

M

in

raport

cu

I

l*g"rdecomporit*"",,J";;;;,

y

c

simplica

soye

s.

Pentru

cazul

s

=

M

se

spune

cd.

M

este

parte

stab'd

in

raport

cu

egea

de

compozilie

,,u,,.

u$Euencple

o

Mulfimile

de

n'mere.

N,

u,

Q

sunt

p,.rfi

stabire

ale

lui

D

in

raport

cu

operafiile

de

dunare

qi

de

inmulfire

a

numeretoi

ieafe.

rMulfimile

pN={pxlxeN}

,

cu p

c

N

sunt

parti

stabile

ale

rui

N

in

raport

cu

operafiile

de

adunare

qi

de

inmulfire

a

numerelor

naturale.

'

Fie

'//n(c)

multimea

matricelor

pd"trate

cu

elemente

din

multirnea

r[.

submultimea

s

c.,//n(D)

a

matricelor

inversabiie

este

parte

stabila

a

lui

.//n(,t)

in

raport

cu

inmultirea

matricelor.

8ne4ilrUr 'ra7ahlalz,

tr

1.

Fie

H

c,//2(,C),

parte

stabild

a

mul

Solutie

a2

+b2

=

r].

sa

se

arate

ca

H

este

)

H={(

"

b)

l[-n

a

)

l:mii

,,//2(A)

in

raport

cu

inniul{irea

matricelor.

FieA,

B

e

H,

"=f

i :J,"=[:,

]l

u,

a2+b2=r,x2.ty2=r.

se

f-b

a)

[_V

*)

='"

'v

obfine:AB=ft

o)

[t v)-fax-bv

av+bx)

'--[-n

"J{.-v

".,l

=[-"v-bx.-uy*"*J.

(1)

Folosind

proprietatea

det(AB)

=

Oet(A).det(B),

rezultd.

cd:

det(eB)

=(a2

+o')("'

*y')=l

piastfel

(*-by)r+(ay+bx)2

=1.

(2)

Din

relafiile

(1)

si

(2)

rezurtd

ci

AB

e

H,

deci

H

este

parte

stabird

a

mulfimii

,nr(A)

in

raport

cu

inmultirea.

tr

2'

Sa

se

arate

cd

mullimea

.4n=

{0,

1,

2,...,

n-1}

este

parte

stabild

alui

7r

in

raport

cu adunarea

moduro

n

si

inmurfirea

modulo

n.



Satufte

DacA

a,be:'ln,

atunci,

din

definitie,

a@b

qi

aob

reprezint6

restul

irnpartirii

numerelor

a+

b

pi

a,b

lan.

in

concluzie,

a@b

pi

aob

sunt

elemente

ale

lul

"'/ln.

Dacd

H este parte

stalril5'

a

lui

M

in

raport

cu

legea

de

compozlfie

g

:

M

x

M

*+

M,

atunci

pe

mulfimea

H

se

poate

defini

o rege

de

compozilie

y

:

H

x

H

*+

H,

consider6.nd

y(*,

V)

=

q(x,

y),

V

x,

y

e

H.

Legea

de

compozifie

ry

se

numeqte

regea

de

compozifle

lndusE

pe

mullimea

H de

c6tre

legea

de

compozilie

q.

Pentm

simplificarea

scrierii,

se

obignuieste

s6

se

foloseascd.

aceeasi

notafie

pentru

legea

de

compozilie

pe

M

qi

legea

de

compozifie

indusd.

pe H.

1.5.

Tabla

unei

legi

de

compozifie

FieM

o

mulfimefinita,

].4={ar,a2,...,

a.}

si g:M

x

M_+

Molege

de

compozitie

pe

M.

Legea

de

compozitie

g poate

fi

descrisA

printr-un

tablou

cu

n linii

si

n

coloane

corespunz*tor

elementelor

dt.,

a2,...,

dn.

La

intersectia

liniei

i

cu

coloana

j

se

aJla

elementul

O(ai,

ar).

Acest

tablou

se

numeqte

tabla

legii

de

compozifie

sau

tabla

lui

Cayley.

Tabla

unei

legi

de

compozitie

are

un

rol

deosebit

in

perfec(ionarea

calcu-

lelor

algebrice,

precum

si

in

verificarea

compozi .ie.

&r,proi&,

@go/itala,

E

1.

Fie

*={.*

c

I

za

=r}.

sd.

se

arate

ca

H

este

parte

stabild

a

mullimii'c

in

raport

cu

inmulfirea

numerelor

complexe.

Solufie

Ecuatia

z4

=L

se

scrie

(r'z

..t)(22

+r)=0,

de

unde

se

obfine

ze{-I,I,

i,

-i}

=H.

Alcdtuim

tabla operaliei

de

inmul{ire

pe H.

ol

Cl

ts

(

unor proprietAti

ale

-1

I

-i

i

I

-l

-l

I

i-i

-ii

i-i

-ii

-l

I

I

-1

t0



Dupd

cum

se

observa

din

tabla

operafiei,

toate

rezultatele

obfinute

in

urma

compunerii

elementeloi

aparfin

mulfimii

H,

in

concluzie,

mulfimea

H

este

parLe

stabild

a

lui,c

in

raport

cu

inmulfirea.

E

2.

se

se

alcdtuiascd

tablele

operafiilor

de

adunare

qi

de

inmulfire

modulo

4

pe

:/ln

pi

de adunare qi

de

inmulfire

pe

mul{imea

claselor

de

resturi

Zn.

Solutie

Avand

in vedere

modul

in

care

s-au

definit

operadiile pe

multimile

frs

qi

il-4,

avem:

o

1

2

3

o

I

2

3

o

2

o

2

o

3

2

1

tr

3.

Pe

mu[imea

lQ se

considerd.

legea

de

compozitie

Xoy

=xy+x+y,

v

x,

y

e

lQ.

sd

se

arate

cd mulfimea

M

=l-2,

ol

este

parte

stabild

a

lui lQ

in raport

cu

legea

Ce

compozifie

,,

o

".

Solutie

Trebuie

aritat

ca dacd

x,

y

€

[-2,

0],

atunci

x

o

y

€

[-2,

0].

Deoa_

rece

x,

yef-2,0],

rezultdcd-2<x<

O,-2

<ys0sau-1

<x+

1<

L,

-l

sy+

1<

l

qi

se

obfininegalitdfile

lx+11

<t,

ly+tl<1.

prininmultire,

.

avem

inegalitatea

l(x

+

t)(y

+ r)l

<

r,

care

se

scrie

sub

forma

-1<("*t)(V+t)<1.

Dupd.

reduceri

se

obfine

-2<xy+x+y<0,

deci

xoy€[-2,0].

I

2

3

o

o

1

2

3

o

o

0

o

o

1

2

3

o

i

2

3

oooo

oi23

o2oi

i^

0321

or23

i23o2soi

30it

o

i

2

3

3

0

1

2

2

3

o

I



EXEBCtIil

$t

PBoBtEME

El.

Pe

mulfimea

Z

se

deflneite

opera-

fla

algebrlcl

,o,,

astfel:

x

o

y

=

2x

+

+y-3,Vr,yeZ.

a)

S[

ee

calculeze

4

o

Z,

(-8)"s

rt

s"(-B).

b)

Si

se

alle

vatorile

x

care

x"(gx-f)=0.

c)

Si

se

rezolve

ecuatia

=s"(*r-8).

E2.

Pe

multimea

&

=[(r

[("

deflnim

operatia

algebricn

=3A-2Il, V

A,BeJ(.

a)

Sri

se

arate

cA

12

e

J/,

b)

si

se

carcureze

[l

t)

,

(t

2)

c)

si

se

au..r-ir,"\3"

.t'r,

" ?r":{.

r

a)

(t

"2'\

[.

'i'[..,

,

)=','

83.

SA

se

calculeze:

t8

mod

E;

2g

mod

6;

lZ

mor{

g;

kil:sed*;

jr

i

"

;

?,ffi3

"

=

J;ll-.-"t'

(-4)

o

el

l,9-. :-s

o

e;

(-e)

o

rz;

(-5)

o

o(-rl),

daci

n

=

1d"-

"'

(e+.,sese

calquleze:

\--'

a)

fr,

fi,6,

A,

i

in

Z3;

u)

2.+F**6

+?,6+O

in

za;

d

2.i,,

a

6,

(6)3,.(B)o

i,,

zu;

a)

(0+6)

(il6) (6.6)

in

17.

se

rezolve

ecuafiile:

ix+i=6,

in

zs;

8

"

(-r),

e

Z

pentru

(x+t)"3=

a

I

Jl'

.

,]

Al-B=

EXERSARE

flo:.

'{;-

)

*'+

i

=

0,

in

Zsi

tQ6*'-6x+0=0,

in

zr;

fltl,

*8

+ 0x

+

0

=

6,

in

Zs.

E6.

Pe

mulfimea

p

se

deflnegc

opera,

fllle

algebrlce

x

o

y

=

x

+

y

-

xy

gl

xTy_=x-y+

Zxy,V

r,

y

e

p.

Strse

'rezolve:

a)ecuatlaxox=;f1;

b)

slstemul

1(x

+

sr)

o

I

=

-19

[(*-zy)

T

z=_22'

E7.

Pe

multimea

M

=

{O,

l,

Z,

g,

a}

se

consideri

legea

de

compozltie

xoY=1"-yl,

v

x,

ye

M.

si

se

alci-

"

tuiasci

tabla

operatiei

gi

sA

se

arate

ci

M

este

parte

stabila'in

,aport

cu

aceaste

lege

de

compozifie.

88.

Sd

se

alcdtuiasci

tabla

operafiei

,o" pe

mulfimea

M gi si

se

studieze

daci

multlmea

este

parte

stabili

in

raport

cu

,,o..,

dac6:

a)

M

=

{x

e

Nlx

divide

l2},

xoy=c.m.m.d.c.(",y);

b)

M

=

lz,

s,

+,

sl,

x.o

y

=

min

(x,

y);

c)

M

=

{e,

l,

2,9,

4}

,

xoy=max(x,

y).

E9.

Sn

se

arate

ci

mulfimea

M

este

parte

stablli

in

raport

cu

legea

de

compozifie

specifi

cati:

da)

U=f2,+-),xoy=xY-

-2(x+x)+6;

',

*

=

{[i

?)1",

b.

al,

in

raport

cu

adunarea

matricelor;

T2



Algebri

o

l.

Grupuri

lra

zt\l

^

-

I

t'

c)M=.{l

:

--

lia,

teQ, a2

-

zu2

=tl.

Nb

")l'

)

in

raport

cu

inmultirea

rnatricelor.

ElO.Pe

multimea

nf

=

{r,

2, 3, 4\

se con-

siderS,

operatia algebricn

,,o"

a cirei

tabli

este

dati

mai

jos:

a)

Si

se

determine

x=1o(2"3),

y

=

4

"

(g

"

2),

z

=

(L

.2)

"

(g

"

4).

b)

$i

se

rezolve ecuafiile x

a

2

=

4,

4oX=?qix.2ox=L.

c)

Si se

rezolve sistemele

de ecuatil:

lx.2=y fx"y=1

< sr<

Ly"z=*

''

l(*+1)"y=1'

(

rt a\l

l

Ell.Fie

-ll=1A=l

-

-

lia.Cf

qilegea

|.

\o

L)l

__J

_

de

compozifie

X

lY=

X+Y-Iz,

V X, Y

e.,il2(C)

definiti

pe

mulflmea

,,ltz$),

Si

se arate

ci

rnultirnea

,,,// este

parte

stabili a

mugimii

nz@)

in

raport

eu

operafia

de

inmu$ire

a

matricelor

qi

in

raport

cu

operafia

t..

APROFUNDARE

A,1. Se

se

determine mulfimile

M

c I4,,

eare sunt

p:4.$i

stabile nXe lwi

&a

in

raport

cu opera{ia

de adunare.

A?. 56 se arete

e{L

nntrlfirnee.

M

este

parte

stabild

in report cu opera{ia

speeificatd:

a),

M=(a,

+*),

xoy=xy-a(x+y)-r

+ag

+

a;

b)

M=

[+,

oj, xoy

=

xy*5(x+y)

+

30;

l-\

X+y

rc)lM=(-1,1),

xoy=ffi

A3. Pe rnulflmea

M

=

{2,

+

-)

se consi-

deri

legea

de compozifie:

w-2

xoy=*,

Vx,yeM.

x+y-l'

Si

se arate cd M este

parte

stabili

in

raport

GU

,,

o

",

A4.

Se

considerd

rnultimea

z[J5]={a+uv5l",

u=r}.

Si

se

arate

c6:

a)

mulfirnea

Z

["r5]

este

parte

sta-

bild. in raport cu adunarea

gi

inmul-

firea;

h,)

nautrtiruea lt{

=

{a

+

U{5

la,

b

e Z,

a2

-

3b2

=

ti

este

parte

stabila a

mul-

)

timii

li;3-l

in

raport

cu

inmuliirea.

'

L.' _l

A5.

Se considerd funcfiile

fr,

f2, fs, fa

:

Q\

{O}

+ n

r{o},

fr

(*)

=

x, f2

(x)

=

],

t"

(x)

=

*x,

f,

(x\

=

--l

. su se

arate

ci

multi-

-\

/

x

rnea

M

=

{f1,

fz, fa,

fa}

este

parte

stabili in raport cu

compunerea

funefiilor"

n'6. Fie M

=

(2, +

o)

+i

legea de compo-

zifie

pe

M:

x

o

Y

=

xY

-

2x

-

2y

+

a,

Vx,yeM.

a)

SA se determine

valoarea

minimi

a

lui

a

e Q,

astfel incdt

M

sd

fie

parte

stabili in

raport

cu

,,o",

b)

Si

se

rezolve ecuatia 4

o

x

=

8.

I

2 3

4

1 I 3 4 I

2

I

3 4 2

Jt

z

1

3

4

4

3

2

I

i3



c)

Si

se

rezolve

slstemul:

J(x+z)

"(y-3)

=

6

. o"rt* a=

Eo.

l(zx+r)"(r+r)=5e''

A7.

Sn

se

studieze

daci

mullimea

M

'este

parte

stabili

a lui

,C

in

raport

cu

inmulfirea:

a)

nr=[r.Olt3=r];

b)

M={zeOl

z=Z\:

c) M

=

{r.

ol

"'

=z\,

d)

M={zeclne(z)=o}.

A8,

S[

se

determine

mulfimile

flnlte

M

c

D,

care

sunt

pflrfi

stablle

ale

lui Q

in

raport

cu oPerafla

de

inmulfire.

Aceeagl

problemi

pentru

mulfimea C.

A9.

Fie

M

o mulfime

cu

3 elemente.

Si

se

determine

numlrul

legilor

de

compozifie

care

se

Pot

detinl

Pe

mullimea

M. GeneralTzate,

a\

(

1.

2

E

O

Proprietdli

ale

legilor

de

compozilie

2.

1.

Proprietatea

de

comutativitate

FieMomultimenevid5'.

{.

usFilultE

I

.

I*g"r

cle compozifie

,,

.

":

Mx

M

**

M,

(*,y)

*

;

o

I

s€ numeqte

comuta-

I

Uoadacd

x,y

=

y"x,

Vx,

YeM.

@

ExempLe

de

legi

de

eompozi*ie

comutstiae

o

Adunarea

Fi

inmultirea

pe

mulfimile

de numere

N, Z,

Q,

lQ,

'C.

Avem:

x+y=y+x

$i

x.y=y

x,vx,y.

r

Reuniunea,

intersec(ia

qi

diferenfa

simetrici

pe

mullimea

:l'(M)

a

submul{.imilor

multimii

M:

AvB

=

Bt-,A,

AnB

=

BnA,

AAB

=

BAA,

V A, B e

:'l'(Wt).

r

Adunarea

matricelor

pe

mullimea

',//^,

nlD):

A

+B

=

B+ A,

A,

B

e,.//*.,(,C).

@

Exemple

de legi

de compozilie

necomutative

r

Sciderea

pe

mulfimile

Z,

,Q,

lQ,

,C.

e

ScAderea

pe

multimea

matricelor

.//^,

n('t).

r

Diferenta

multimilor

pe

mulfimea

'/(A).

r

Compunerea

functiilor

pe

multimea

/;(M)

=

{f

I

f

:

U

*

M},

daca

M

are

cel

pufin

doud

elemente.



3

OBSERVATII

1.

Dacd

g:

Mx

M

-+

M

este

lege

de

compozifie

comutativi

pe

mu$imea

M

si

H c

M

este

parte stabila

a

lui

M in

raport

cu

q, atunci

operafia

indusd

pe

H

de legea

q

este

comutativa.

Se

spune

cA

proprietatea

de

comutativitate

este

ereditard..

2.

Dacd.

mul{imea

M

este

finita,

comutativitatea

unei

opera(ii

tp

pe

M

poate fi

verificati

pe

tabla

operafiei.

Legea

de compozilie

este

comutativd

dacA

tabla

legii

este

simetrici

fafe

de

diagonala

principald

a

acesteia.

Efftd{iil,

tzgnhta,

tr

Pe

mu$imea

il

a numerelor

intregi

se

defineste

legea

de

compozifie

xoy=x1r+2x+ay.

Sa

se

determine

aeil-

pentru

care

legea

de

compozi{ie

este

comutativd.

Solufie

Avem:

Y

o

x

=

y'

x

+2y+

ax. Din

egalitatea

x"y

=

yox se obtine

x.y+2x+ay=y.x+2y+ax,Vx,yeZ.

Din

faptu

cd

inmulfirea

qi

adunarea

numerelor

intregi

sunt

legi

de

compozi{ie

comutative

se obtine

("*Z)(**V)

=

O,

V

x,Y

€

t'

deunde

a=2'

3

qBSEnV{TlE

r

Multe

legi

de

compozifie

se

definesc

cu

ajutorul

altor

legi

de

compozilfu.

in

aseminea

cazuri,

in

demonstrarea

proprietdlilor

legii

de

compozifie

considerate,

intervin

in

mod

esenfial

proprietAfile

legilor

de

compozifi.e

folosite

in

definirea

acestora'

2.2.

Proprietatea

de

asociativitate

FieMomultimenevidd.

*

pEFll{ITIE

l.O

lege

de compozi{ie

M

x

M

+

M, (*,y)-)

xoy

se numeqte

asociativd

I

0"""

(*

"

y)

a

z:

x"(y

"

z),

Vx,

y,

z eM

.

@

Exemple

de

legi

lrsocig,tive

r

Adunarea

$i

inmultirea

pe

mul{imile

de

numere

N,

Z,

Q,

lD,

'C:

(**y) +z=x+(y+z)

ci

(x'y)'z: x'(y'"),

pentru

cricare

x'y'z'

15



r

Reuniunea,

intersec{ia

qi

diferen{a

simetricS..

pe

mulfimea

pdrtilor

unei

murfimi

M:

a

u

B)u,

c

=

A

u(Bvc),

(A

n

B)n

a

:

;

^(Bnc)

ei

A

A(B^c)

= (AAB)AC,

vA,

B,

c

e:/(M).

o

Compunerea

funcfiilor

pe

mulfimea

,$

(M)

=

{f

I

f

:

ira

-+

U}:

f

"(g.h)=(f

"g)"h,vf,

g,:ne,I(M).

r

Adunarea

pi

inmulfirea

matricelor

pe

mulfimea

.,//n(,C):

A+(B+c)

=

(e+B)+C,

v

A,

B,

C

e.,//n(,c)

pi

A.(B.C)

=

(A

B).c,

VA,

B,

C

e.,//n(C).

@

Exemple

d.e

legi

neasociortfoe

r

Scd.derea

pe

muldimile

de

nurnere

Z,

e, e.

C.

De

exemplu:

2

*

(3

_

l)

=

O,

iar

(2-3)_t

= _2.

o

Sc6.derea

matricelor

pe

multimea

.//n,

n(C).

c

Diferenfa

multimilor

pe

mulfimea

:?(M).

Atunci

cand

este

valabild

proprietatea

de

asociativitate,

nu

este

::::ii

P_to:o.i

parantezeloi

pentru

a

indica

compusut

n

rrer

:f::::.: 11

1".:,

caz

este

_"nffirt,:.Tffisffi]i,.,".J$

elementsepoatedeterminafiecu'ffin*",].ffi',.,aceSI

n"

,^*l"i'l

Rentl:

o

operarie

'xffi;n,

;;ffira

elemente

e

forma

dt

o

d2o..,

o3n,

acesrea

#;;;;ih;,i3iffiffT:

gruparea

termeniror

cu

aj

utorur

parantezelor.

*l.R.J,.rl:,

:.?.l._::

i

.,,

se

defineste

recursiv

astfel:

Pentru

o

lege

de

compo

zitie

,,",.asociativ'

sunt

valabile

egalitd[ile:

t

3l

o

d2

"...o2n

:

ai

"(aZ

o...

oan)i

t

3l

od2"...oo.,

=("r.",

o...o€Lk_l).(.u

""..oar),unde

2

<k

<n.

C

(lBSERVATII

1.

Proprietatea

de

asociativitate

este

ereditard.,

adicd

daca

g

este

lege

e

compozi{ie

asociativd

pe

M

9i

H

c

M

este

parte

stabila

a

lui

M

in

aport

cu

Q,

atunci

si

legea

indusd

pe

H

de

caire

rp

este

asociativa.

2'

Dacd'

g

este

lege

neasociativS

pe

M

si

H

c

M

estet

p*"

stabila

a

rui

ff:1:ii"*.,1?"1;ll

rezurtl.in

moc

necesar

""

r"g."

indusa

de

o

pe

i6



GF

Exemptu

r

Operalia

de

scidere

pe

Z

nu

este

asociativA,

dar

este

asociative

pe

mullimea

H={0}

cz.

go&/prr.pr.raga/ntalz

El

L.

Pe

multimea

,//2(a)

se

considera

legea

de

compozitje,,"",

datd

derelatia

AoB=A+B+AB.

a)

Sa se

arite

ca

legea

de

compozifie

,,"..

este

asociativi.

b)

sa

se

determirr"

It

")

.

[,t

o)

.

f

t

c'j

.

(o

r)

(0 r)

(c r)

c)

sa

se determi.,.

It t)"ft')"ft

"j"ft

4)

(o

1)

(o

r)

[o

1)

(o

1)

Solufre

a) Folosind

comutativitatea

adunaiii

gi

asociativitatea

inrnultirii

matricelor,

avem

(e,n),C

=(A+B+AE|)oC

=

A+B+AB+C+

+(a

+B+AB).C

=A+B+C+

AB +AC+BC+AEIC.

Analog,

A,(B"c)=

=

A

+

(n

"

c)

+

A'

(B

.

c)

=

A +

B + C +

BC

+

A(B

+

C

+

BC)

=

A +

ts +

C +

AB +

+AC+BC+ABC.

Asadar,

pentru

oricare

A,

B,

C

e,//2(E),

(A.B)oC

:

A.(B"C),

deci

legea

de

compozifie

,,""

este

asociativd.

b) l,egea

,,""

fiind

asociativd,

folosind

a),

rezultd:

((,

^)"ft

o)l"fr

c)

(t

a)

(r

b)

(t

c)

(t

")fl

b),

[[o

'j"[o

'jJ"[o

'J=[o

'J.[o

iJ.[;

iJ.[o

r,[o

r)'

.(;

i)[;

;).(;

i)t;

;).(:

i)t;

i)t;

;)=[:

".:.").

.[;

";').[;'i").(;'i").(;

"*1"")=(;

n"*7.n")

l(r

L['

(z

rl

Io

c)

Folosind punctul

b)

rezultd:

l)"[:

?)

.(;

i)]

"[;

i)

:

(;

':)"(:

i)

:

t;

24\

(

I

4)

(e

28)

(z

52\

(ts

80\

zJ[o

'J=[o

eJ.[o

'J:Io

rc|

24\

(t

4\

r

.,l.

[o

,)*



Algsbrt

.

L

tr

?.

p"

mulitmea

e

se

deflnepte

(*,y)

-+

x

o

y

= xy

+

ax

+

ay

+

b.

legi€a

de

compozitie

e

x

R

*>

le,

a)

Se

se

determine

a,

b

e

e,

astfel

inc6.t

legea

de

compozifie

,,o,.

s5

Iie

asociativd.

b)

sa

se

determir"

q5r-lJ,

pentru

?,

b

e

e

determinafi

la

a).

.sorufte

n termeni

a)

Folosind

proprietifile

adunirii

sj

inmu$irii

numerelor

reale,

pentru

x,y,

zelR,

avem

(".y)

"u=(*y+ax+ay+b)

"z:(,W+ax+

ay+b).2+

*

t'

("y

+

ax

+

ay

+

b)

+

az

+

b

=

wz+

axy

+

ayz

+

bz

+

axz

+

a2

x

+a2y

+

ab

+

+az+b

=

xyz+axy

+aw+aru,+a2x+a2y

+(a+b)z+ab+

b.

Analog

se

obfine:

*

.

(y

"

z)

=

xyz+

ilry

+

ayz

+

axz+

(a

+

b)x +

a2y

+

a2z

+ab

+ b.

Din

egalitatea

(*"y)oz=x"(y.z),Vx,y,zeR

se

obtine

ca

(t'

**-r)(x

*z)=0,

v

x,

zee.

Aqadar,

a2

-a-b=o

pi

astfer

xoy=

=

xy+a(x

+ y)*

u,

_a

sau,

astfei

scris,

*

"y

=

(x+

a)(y+

a)+a"

b)

Vom

folosi

metoda

furductiei

matematice.

Fle

tr,

=x

o

x

o...

ox,

compunerea

avdnd

in

total

n

termeni.

Rezulta

tl

=

x,

k

=

*

ux

=

x2

+2tx+

a2

-a,

=

(**

rS

_",

k

=

te

ols

=

(x

+

a)(t2

+a)-a

=

(x*.;ffi

*..

Presupunem

c6

k

=

(*

+a)ffi

_a.

Atuncitg

-

tk

o*

=

(*

+

a)(tp

+a)-"

=

(*

+

aW

*a.

Din

principiul

inductiei

matematice

rezultd

cd:

k

=(**.)ffi-a

pentruoricaren

e

N,

n>

l.

E

3.

intr-un

circuit

electric

sunt

legate

in paraler

doud

rezistoare

cu

ezistenfele

R1

$i

Rz,

mdsurate

in

ohmi.

nezistenta

echivalenti

R

a

grupdrii

rezistenfelor R,, R2

este

dati

de

relatia:

111

'-

R

Rr'Rr'

56

se

arate

ci

circuitele

din

figurile

totald

pentru

oricare

valori

Rt,

R2,

R3

Soluhe

I

qi

2

au

aceea$i

rezistentd

e

(0,

+

"o).

Fie

M

=

(0,

+

oo)

mulfimea

valorilor

rezistenfelor

dintr_un

circuit.

T

I

i

I

8



Relafia

(1)

defineqte

pe

mu$imea

M

urmAtoarea

lege

de compozifie:

R,

"R,

=R=

RrRz

R1

+R2

Rezisten{a

totald

a

circuitului

din

figura

I

este

R'

=

(Rr

'

Rz)

"

R3,

iar

a circuitului

din

figura

2

este

R"=Rl

.(Rr"na).

Egalitatea

R'=

Ro

este

echivalenti

cu

egali-

tatea

(Rr

"

Rr)o

R3

-

R,

.

(R,

"

Rs),

Rr,

Rz'

R3 e

M.

R1R2R3

RrRz

+R,R3

+R2R3

Analog,

Rr

"

(Rz

"

Rs)

=

*,

.*d-

=

,-

=

*'t*t

=

=

^-z

^

-r

/

-

-r

R2

+

R3

RrRz

+

RtR3

+

R2R3

Agadar

R'=

R".

Mai

mult,

se ob .ine

ca

legea

de

compunere

a

rezistenfelor

legate

in

paralel

este

asociativA.

Pe o

mulfime

M

se

pot defini

mai

multe

legi

de compozi{ie'

O

multime

nevide

inzestrati

cu

una

sall

mai

multe

legi

de

compozi.fie,

care

satisfac

un

set

de

axiome

date

sub

form&

de identitAfi

sau

alte

conditii,

fr:rmeazA

o

structure

algebric&'

*

pEFll{lTl

.

Se numeqte

semignrp

o

perech"

(S,

")

formatf

dintr-o

mul{ime

nevidd

S

9i

o lege

de

compozifie

pe

S

care

indeplineqte

axinmn

de

asaciattuttate:

51

:x"(y.r)=(x.Y)"2,

V

x,

Y,ze

S.

.

Un

semigrup

(S,

")

se

numeste

sernigrup

comutativ

sau

abelian

dacd

legea

de

compozifie

verificd

axioma

de

comutatiuitate:

52:xoY=Y"x,VX,YeS'

B

Exemple

de

semigrwPuri

c

perechile

(N,

+)

$i

(N,

.)

sunt

semigrupuri

comutative.

Ele

reprezintA

semigrupul

aditiv

Qi

semigmpul

multlplicativ

al numerelor

naturale'

.

Fie

A

o multime

ei

z(n)

mulfimea

pirfilor

lui

A.

Perechile

(e(A)'

,),

(;/(A)'

.)'

(:/

(A),

a) sunt

semigrupuri

comutative'

rFieAomulfimenevidiqi

IZ(A)={f

If

:A+A}.

Perechea (,f

(e)'")

estesemigrup'

Dacd

multimea

A

are

cel

pu{in

doua

elemente,

semigmpul

(il-

(n),

")

este

necomutativ'

,,irl...

B

xm/

Figura

1

/m\

w

igura

2

Avem

(R,

Rr)

R,

=

=*t?

"R3

=

"

R1

+R2

I

i

L-

19



Algehrd

r

L

Grupuri

EXEftCtIH

gt

PRoBTEME

-

%

EXERSARE

-:..

Efi

sa

se

srud.ieze

comutativitatea

si

ll

'il

r

asociativitatea

legilor

de

cornpozltie

ll.

,l

l\

l.

I

::11T:".i1

llrP1,)

Pe

mulflmea

z

se

consideri

tegire

cornpozifiell

'-

de comnozltle

y^r,:v,--

A

-,

definite

pe

mulgimea

lt{,

in

cazuriie:

compozlfie

xoy=x+y-4

pi

lqinn=ii;;t,;:;:il-r.-r"fil'

lli

i

1

]

"

='<v

-

4x-

4v

+2o.

$}u

=

to,

gl,

x

o

v

=

zry

-2x-zy

+6;

i

SIM=tr,

xoy=x+y+xy;

'

t'd)

M=

I, x'y

:

?xy-2x-2y+

g;

e)I1l=Q,.x"y:xy*x-y.

82"

Se

se

gtudieze

comutativitatea

si

aso-

b)

Si

se

verifice

ci

dac{

x,

y"

z

e A

glxoz=yoZ,atuncix=y.

,

c)

Se

se

determine

x

€

A

care

verifici

ecuafia

x

o

x

o

x

=

0.

9::"_.-

BabeS-Botgai,

Ctuj-Napoca,

2oo0)

a)

Si

se

arate

cil

(2,

")

+i

(2,

T)

sunt

semigrupuri

comutative.

b)Sasearatecd

x T(f.z)=(x

Ty)"

"

(x T z)

(legea

de

compozitie

T

este

distributivi

fati

de

,,.,,).

ciativitatea

legii

de

cornpozilie

,,." ll

-_

definitrrpemulfimeaM,in";;*",

ll

"u'

::

TS1T::.2

se

consid,er&

legtle

rr,,'-:__ ,-_

:_=..--*^']';;"*qrur;

ll

de

compozifie

xoy=x+y_3

qt

r

F.a)

nn

=

(-r,

r),

x

o

y:

ffi, ll

-

r;:;;;-

?.

):b]M=o,xoy=x+y+ixy; ll

alSresearateci

(2,")

9i

(z,e

l^,'p

${

=

(r,

+

oo),

ll

sunt

semlgrupuri

comutatlve.

t,

*.

-

-.f5;t:;3:E;"

ll

b)

sn

se

determtne

a,

b

e

H*, astfel

i

r-x--- : .-.

r

'11"

ll

incAtfunctiaf:t-+z,

f(x)=ax*b

1

[S)

er

=

{o,

(o)

\

{t}:

x

o

y

=

*ror;

ll

"u

vertftee

egalitatea:

,\oB

-q-E*A-E+Z[2,

86.

Fe

rnerXlirnea

&s

ss

deflmeryt*

opera-

\

ms"

$&

se

determine

eonstnntere

reale

fl

*j-"uuebried

xoy*xy+0x+fo+a,

pentnr

*are

tesire

;;;;ilil

lf

vx'

Yers.

,,o'-

sunt

cornutative

pi

asociative

ff

a)

Fentru

care

valorl

ale

lui

a

e

Z5

pe

multimile

M

dare:

li

exstA

egalitatea

(i

"

u)"

u2

=

\3M=l,x.o;n*cx+ay+b;

ll

^

6tna={J,

xoy=xy+e*oly*n;

ll

=1"("""2)t

clM=4f,

xoJr:

ixy+ax+by;

ll

o,

Si

se

determine

aeZ5

pentru

d)vr=(o,

+o),

xoy=

T*b". ff

care

operafia.o"

este

asociativi.

1+

xy

APROFI,NDARE

A.1.

Fie

a

=

[O,

e) .

fe

rnugimea

A

se.defi_

neste

legea

de

compozitie

,,o,.

prin:

xov=

4x+4Y

4oY=;;"y,x,yeA.

a)

S&

se

arate

ci

legea

este

asocia_

tivi

pi

eomutativd.

xoy

=

J*'y,

-x2

-yz

+z;

@

nx

=

{o,

*)

\

{r};

*

o

y

=

shr.

20



A2.

Pe multlmaa

P

sc

deflnegte

legea

de

compozlflc

x

o

y

*

xy

+

zax

+

by,

V

x,

y

e

D.

Legea

esto

asoclaflvi

gl

comutatlvi

daei:

e)

a=*,0=*'

b)a=o=*,

c)a2+b2=2i

d)a*l,b=2;

e)a=b=Osau"=1,b=1.

(Univ,

Marltflmd.,

Cplnstanfo,,

2OOO)

A3.

Sn se

arate

ci

urmAtoarele

legt

de

compozifle

deflnlte pe

A

sunt

comutative

gl

asoclative:

a)

x

1y

=

max(x,

y);

b)

xJ-Y=mln(r,

y).

44.

St se

determlne

a,

b

e

e

pentru

care

urmitoarele

operafii

algebrice

deflnite

pe

mulfimea

Mc

-ez(p),

sunt

comutative

gi

asociative:

.,

"={[;

:)l-,.n],

a.n=

=A+aB+blzi

o,

"={[X

,1,)l*,,.o],

AoB*aAB+bBA;

")

M={fo

o)l*.p},

e"a*

L\x

z)l

)

=""'.[l

l)r"."1.

Fie

M

o

mulflmc

nevidi

ql

operatla

elgebrlci

asoclatlvA,

o

"

definlti

pe

M.

St

se

gAseasci

condlfll

sufl-

clente

asupra

elementulul

a

e

M

pentru

care

operafle

,,

f "

definiti

pe

M

cste

asoclatlvi:

a)xIy=toxoyi

b)xJ-y=f,oroli

c)xJ-Y=aoxoyoa;

d)xJ-y-xoyoa.

Sl

se

determine

numirul

legilor

de

compozilie

comutative

definlte

pe

o

mulflme

cu

n

€

N*

elemente.

(*,

y)

-+

Xoy

admite

element

astfel

inCAt

X

o

e

=

e

o

X

=

X,

se numeste

element

neutnr

A5.

.t6.

2.3.

Element

neutru

FieMomul{imenevida.

*

pEFtl{tTil

o

kgea

de

compozifie

M

x

M

-+

M,

ncutru

dacA

existd

un

element

e e

M,

Vxe M.

(1)

r

Elementul

e

e

M

cu

proprietatea

(l)

pentm

legea

de

compozilie

,,"".

D9.Exemple

r

Numenrl

o

este

element

neutru

pentru

adunarea

numerelor pe

multimile

N,

Z,

e,

e,

,c:

x+ffi=ffi+x=x,Vx.

o

Matricea

O-,

,r

este

elernent

nbutru penbr-r

adunarea

matricelor pe

mulFmea

,l/,G"(C)t

e*ffiffi

=

ffi

+A

=

A,

y

A

e.,//^,

n(D).

2l



r

Llg$rt

r

t.Orupuri

'If):,ilttate

I"

este

element

neutru

pentru

inmultlrea

matriceror

pe

multi-

A'm

=m'A

=

A,

v

A

e,/,/n(t),

'

f"",T#,

?:r,lr:*

":fTiJffi,T,*

pentru

adunarea

vector'or

pe

murpmea

n+ffi=ffi1

i=tr,yrteL.

sd

presupunem

c5

e, qi

e,

sunt

elemente

neutre

pentru

regea de

ompozifie,,o".

Atunci

au

loc

rela{iile:

xo€t=xqie2oy=y.

Ludnd

x

-

e2

si

y

=

er,

se

obfine

cd:

.,,'"i;?;s;:i*ffi;:,;.?

rerafie

din

care

rezuus

c5

e1

= e2 qi

Erp'r?iliirtzga/uralp,

tr

1'

pe

mulfimea

Q

se

define3te^regea

de

compozifie

rp

x

rQ

+

Q,

"'v)-)xoy=xy+ax+ay+b.

sa

se

a"t".mi.r"

a,

b

e

D

pentru

care

legea

de

compozifle

Jata

admite

erement

neutru

e

=

2.

olutie

Numdrur

E=2

este

erementneutru

dac6

x

"2=20X=X,

vx

e

R.

in

acesterelafiiseob{ine

2x+2a+ax+U=*,tr*

e-

le,

de

unde

a+2=

I

T"?"=;l-;3r5'"lta

a

=

-i"i

b

=

2,'*

i+;

de

compozifie

este

(

tr

2.

Fie

M=)(^

b\

I

I

-'

r

rE

'"'

=

1lo

o'l

I

t'o

'

,oi'

a)

Se

se

arate

cd

existA

A

e

M,

astfel

inc6.t

AX

=

X,

V

X

e

M.

)

Extsta

matricea

B

e

M,

."ti"f

incAt

XB

=

X,

V

X

e

M?

olutile

eMsi

A=(u

b').

E

rvr

Dr

^

=

[.0

0,,|

*

M.

Din

egalitatea

AX

=

X

se

obfine:

a)

*"

*

=[;

;)

(a

b)

l"

v)-["

(o

o/

[o

o,/

-

lo

aY)

(x-N\

I=l

o)

[o

o)'

lj,

o"

""0.

[T

Aceast{

relatie

se



verificd

pentr:tr

oricare

x,

y

e

Q

dac[

a

=

1,

b e

IQ, deci

o=fl

ll,

o * *.

[0

0)

Rezulti

cd

existA o

inflnitate

de

matrice

A cu

proprietatea cerutA.

(a b\ (x v) (a

b)

b)

Fi. B

=

[;

;j

.

nn.

Din egalitatea

XEI

=

X se

outure

[o

i,j

[o

o)=

--(*

{)

""'

[T

o]'l=

[i

Il,

o"

unde

a

=

r,

bx

=

y.

[o

o./

---(o

o)(o

o)

A

doua

egalitate

nu

poate

avea

loc

pentru

oricare

x,

y e D.

A$adar,

^lu

existd

B e

M

cu

proprietatea ceruti.

3

OBSERVATII

1.

Fie

M

o

mulf.ime nevidd

Si,,o" o

lege

de

compozifle

pe M.

Daciexistd

e"eM,

astfelincdt

€"oX=x'Vxe

M'

elementul

es

se

numeqte

element

neutru

la

stinga.

Dacdexist[

€6€M,

astfelincat

xo€d=x'vxeM'

elementul

e6 s€

numeqte

element

neutnr

la

dreapta.

Din

problema

rezolvat6

rezultd

cA

existd

legi

de compozilie

care

au

element

neutm

la

stAnga,

dar

nu

au

element

neutru

la

dreapta.

2.

Opera .ia

de scS.dere

pe

Q

are

elementul

neutru

la

dreapta

ea

=

o,

dar

nu

are

element

neutru

la stdnga.

intr-adevar,

x

*

O

=

x,

V

x

e

lQ,

si

nu

existd

e e D

astfel incAt

€

-X=x,

V

x

e

lQ.

*

pEFll{lTll

.

Perechea

(tvt,

")

se

numegte

monoid

daci'

verilicd

urmAtoarele

axiome:

M

)

axioma

asociatiuitdfti:

(*"y)

oz=x.(y"z),

V

x,y,zeMJ

(A[)

axiams

elemenhttui

neutru:

3

e e

M,

astfel

incAt

xo€

=

eox

=

x,

Vx

e M.

o

Daci,

in

plus,

legea

de

COmpOZ\ie

,,o"

eSte

COmutativi,

mOnOidul

se

nume$te

monold

comutatlv

sau abellan

Se

observA

c6

perechea

(M,

")

este

monoid

daca

este

sbmi$rup

cu

element

neutru

(semi$rup

rrnitar)'

Ft

Exemple

r

perechile

(1,

*),

(N,

.),(2,+),(2,

,),(n,*),(D,

.)

sunt

monoizi

comutativi'

.

Perechile

('wr('c),

)'

(,rtol'

")

sunt

monoizi

necomutatlvi'

23



Algebri

r

l"

Grupuri

2.4.

D,lernente

sknetrizabile

t

DEfrlilT[

Fle

M

o

mulfime

nevid6,

i:rzestratd

cu

o lege de

compozttte

M

x

M

-+

M,

(",

y)

=

X

o

I,

care

admlte

elementul

neutru

e.

.

Elementul

x e M

se numeqte

simetrizabll

in

raport

cu

legea de

compozifig

,,o1'

dacd

existA

x'G

M, astfel incdt

x

o

Xf

=

x'o x

=

e"

(l)

r

Elementul

x'e M

se

numegte

slmetricul

elementulul

x in

raport cu

legea de

compozille

,,o".

$8

Exemple

o

Orice numAr

real

x

este simetrizabil

in

raport

cu adunarea

numerelor

reale.

in

acest caz,

x'=

*x

qi

se

numegte opusul

numdrului

x.

c

Orice

numi"r real

nenul x este

simetrizabil

in raport

cu inmulfirea

pe

Q. Simetricul

elernentului

x e Q\{o}

este *'

=f

si

se

numeqte

lnversul

lui x. Numdrul

x

=

o

x

nu este simetrizabil

in

raport

cu inmulfirea

numerelor

rea]e.

+

Fie

Z

multimea

numerelor

intregi.

Singurele elemente

simetrizabile

in raport

cu

inmultirea

sunt

1

qi

-1.

Dac5.

legea

de

compozifie pe

multimea

M

are

element

neutru,

se

noteazd.

cu ''1t (M) multimea

elementelor

simetrizabile

in

raport

cu

legea

de

compozi{ie.

Deoarece

elementul

neutru

are

proprietatea

e

o

e

=

e,

rezulta

cd.

e e

At

(M),

deci

,//

(M) este

mulfime

nevidA.

Mulfimea

,f/

(M)

se numeste

mulfimea

uniti.filor

iui

M.

Demonstratie

Fresupunem

cd

x'

gi

x"

sunt

elemente

simetrice

are

elementului

x.

Din

asociativitatea

legii

de

compozifie

,,o"

se

obfine:

X'

oX o*"

=

("'

"X)

"Xo

=

e

oXtt

=

Xt',

Si

X'

o

X

o

Xtt

=

Xt

"(X.

Xtt)

=

{t

oe

=

;/.

RezultS.

cA

x'=

x"

gi

unicitatea

este

demonstratd.

I

24



__{lgq ry.

t.

Grupuri

3

()BSERVATIE

)aca

o

lege

de compozi{ie

,,."

pe

nu

este

asociativd,

este

posibii

:rulte elemente

simetrice.

€

Exemplu

Fie

M

=

{e,

a,

b)

9i

legea de

compozitie

dat5. cu

ajutorul

tablei

lui

Cayley:

Legea

nu

este as:ciativA

deoarece:

(b.b)oa=aoa=e,

iar

b.(b"a)

=f"s=5.

Elementul

a

e

M are simetricele

a si b, deoarece

aoa=e

si

aob=e=ltoa.

eab

Demonstratie

a) Deoarece

x

o

x'=

x'o X

=

€, se

observS. cA simetricul

lui x'

este

chiar x,

deci

(t')'

=

*.

b)

Se

consideram

z

=

y'o

xn e

M. Avern:

(*"y)

"7=(x"y).(y'o*')

=

*"(yoy')

ox'=

xoe.x'=Xox'=

I

gi

z.

(x.y)

=

(y'

o

x')

"

(*.

y)

-

y'

"

(x''

x)

"

y

=

y'

o

e

o

y

=

y'

o

y

=

e.

c)

Se

foloseste

induc{ia

matematicA.

Pentru

n

=

1

gi

n

=

2,

proprietatea

este

adevd.ratS"

avAnd

i:e vecere

Lr).

Sd.

presupunem

proprietatea

adevdratA

pentm

k e N*.

Avem:

(*r

"*,

o.."oxk

"*k*r)'

=

((*,

ox2

o

..oxk)"tu*r)'

=

"t*r'

.(xr

"

Xzo..."*U)'

=

xt+r'(rr[

"....Xi)=

Xi.+r

.5f, .....71'r,

deci

proprietatea

are loc

pi

pentru

k

+

1.

in

concluzie, proprietatea

are

loc

pentru

oricar:e

n

e

R*.

o

multime

M

are element

neutru,

dar

ca un

element

x

e M

s5.

admit5

mai

25



g-llp-rr.t.?'ta/rtalz,

tr

1.

Pe

mulfimea

re

se considerd

legea

de

compozi{ie

re

x

re

-+

re,

(*,

V)

-+

x

o

y

=

V+

ax +

by+

c.

a)

se

se

determine

a,

b,

c e le pentru

care

legea

este

comutativd,,

asociativi

gi

admite

element

neutru.

b)

Pentru

valorile

a,

b,

c

gesite,

sd

se

determine

,,1/(p).

Solufie

a)

Dinrelafia

xoy=

/ox

sededuce

a=b,

deci

xoy=]ry+a(x+y)+c.

Irgea

de compr:z,gle estb

asociativd

lacd

x

"

(y

"

r)-

(x

"

y)

"

z,V x,

y,

z

e

le.

se

obfine

egalitatea

nyz+a(qy+

yz+

zx)

-',-

^2x+

a2y+(a

+

c)z

+

ac+c

=

=

xyz+

a

(xy

+

yz

+zx)

+

(a +

c) x +

a2y

+

a2

z+ ac

+

c,

d

+.

y,

z e

D.

RezultA

cA

a+c

=

a2

gi

xuy

=

xy+a(x+y)+a2

*a.

Legea

de

eompozifre

dat&'

admite

elementul

neutru

,,€,,

dacd

xoeEeox=x,

V

xelQ.

Se

obfine

egalitatea

xe+a(x+e)

+az

*a€x,

vxelQ,

deunde

(x+a)e=(x+a).(t-a),

vxere qr,

astfer,

e=

r

-a.

inconcluzie,b=g.,

c=

a2*a,ae

R.

b)

Fie

x

un

element

simetrlzabil

qi

x'

simetricul

s6u.

se

ob{ine

x'nx

=

e

qi

:or'+a(x+x,)+a2

-a=l-a,

de

unde

x,(x+a)

=

l*a2

_ax.

Se

observd

ugor

cd.

dacd

x *

-a

rezultA

x,

-

l-a2

-ax.

Aqadar,,l/(A)

=

=n\{-a}

x+a

tr

2.

Fie

,,""

le€e

de

compozifie

asociativa

si

cu

element

neutru

pe

mulfimea

M.

SA

se

arate

cd

dac6

xeult(M),y

e,,t/(M),

atunci

x"y

Si

yox

nusuntsimetrizabile.

Soluhe

s61'resupunem

prin

absurd

ci

xo

y

e,,tr(M).

Atunci

exista

s

e

aiz(M),

astfel

inc6t

(*"y)os=e=s"(x.y).

De

Y

o

s

=

x'.

Se

obfine

y

=

x'o

s'=

(s.

x)'

gi

lpoteza.

Aqadar,

xoy€,'l/(M).

Analog

se

aratd

cd yo xe,j)t(M).

aici

rezultd

*.

(y

"

s)

=

e

y

e

ull

(M),

in

contradictie

qi

cu

26



Algebri

r

l.

Grupuri

rxERcllll

$l

PB0BtEME

EXERSARP

41.

Si

se

veriflee

daci

operafia

al$e-

brici

,,o"

defLriti

pe

mulflmea

M

admlte

element

neutru:

a)M=Q,xoY=2xY+x+Y;

b)

M

=

C,

x

o

y

=

:rX

+

2x

+

2Y +

2i

c) M

=

A,

x.

o

y

*

xY

-

8x

-

3Y +

12;

d)

M=(-r,r),xoY=r*tY,

1+ xy'

e) M = 27,

x.

oY =

:(Y +

8x +8Y

+

6.

Hl.

SA

se

determlne

clementul

ncutru

pentru

operafla

,,o"

deflnltl

Pe

M:

a)

M-(-'3,

+o),

xoy*rry+3x+3Y+6;

b) M=h

+o),

roY=rqr*7x-7Y+66i

c) M=(O,

1),xoY=

=

{

:;

'2ry-x-y+1'

d)

M=(o,

+o)\{r},

xoYaxelog'Y.

E3. Sn

se

determine

elementul

slmetric

al

elementulul

s

e

M,

daci:

a)

M=Q,

xoy=ry+x+y,

".{-e

ZJ[l

b) M=l,xoy

=x*Y-13,

s e

{-L

o,

3,

11};

c) M=0,

xoy*x+Y+t,

se{L

*t,

l+t};

d)

M=(-s,g),xoY=*i3,

9+xY

".{o,

-r,,,i}.

D4.

Pc

multtmea

D

se

conslder6

legca

v

de

eompozlfle

xoY=tEF*Jf,

x,

yeD.

al S[

se

arate

cl (Q,

")

este monold

comutatlv.

b)

3[

ec

arate

cd 4/(P)

*

n.

Af

.

Sn

se

determlne

parametrll

pentru

care

operafttle

date

au

elementul

neutru

lndicat:

a) M=

R

x

oY

-

ry+ar(+ay

+2,

e

=2;

b)

M=Q,

xoY=x+Y*8,

G=-5;

5t<Y-Lk-LZY+a

c)

M=(2

3),*"y=

,#=F_6;ld

b

2

42.

Pe mu$imea Q

se

consideri

legile

de

:

compozigie

r

n

y

=g-

.

2x-2Y

+24,

4

xIy=x+Y+2,

V

x,

YeQ.

Dac[

e1

qi

es

sunt

elementele

neutre

in

raport

cu

legile

,,o",

resPectlv

,,I''

larp=o1I€2,

atuncl:

a)p=4;

b)P*-6;

clP=lO;

d)p=t2;

e)P=t6.

(ASE,

Eucureltil,

7998)

lI3.

Pe

mulflmea

O

se

deflneqte

legea

de

compoz$ie

21

o

z2

=

a.

r'2

+

1(a+

a)

-

-1

-

i,

21t

22

e C.

Daci

m

esle

mo-

dulul

elementulrri

neutru

el

legii

,,o",

atuncl:

a)m=l;

b)

c)

m=J2;

d)

el m=2J2.

(ASE,

Bucure$-i,

7998)

Pe

mulflmea

P

se

deflnegte

legea

de

compozifle

x

o

Y

=

:(Y

-

ax

+

bY.

Si

se

determlne

a, b e

D,

astfel

incit

(D,

")

si

fle

monold.

Pentru

flecare

monold

obtinut

si

se

deter'

mrne 4z(n).

(Unlu.

Bucureqtl,

7 9gG)

APROFUNDARP

A4,

#

m=JB;

m='F;

27



gq ti

r

L

G,upuri

(.,

b)"

(c,

d)

= (ac-_

ba,

ad

+

bc).

a)

Si

se

arate

ci

(tU,

")

este

monoid

comutativ.

b)

Sn

se

determine

U(M),

l(t-*

o

x\l )

46.Fieon=.ll

o

o

o

ll*.o1.

ttx

or_*)l

J

a)'Si

se

arate

ci

(_1,

.)

""t"

-orrota

comutatlv.

r

-

S.

T"

multimea

M

=

D x

e

se

consi_

deri

legea

de

compozltle:

b)

Si

se

determine

ql

@).

A7.

Fie

Z[fJ

=

{a

+

bi

I

a,

b

e

Z},

u={a2+u2fa,bezliil.

a)

Si

se

arate

ci

(z l,

+),

(z[t],

,).

(-1,

.)

sunt

monoizi

comutativl.

b).Si

se

determlne

elementele

elme-

trlzablle

ale

flecirul

monoid.

arate

c{

(_lt,

.)

formeaa[

un

mo:rold

comutatlv

ln

care

flccare

clement

eete

slmetrlzabll.

84.

Se

se

arate

ci

mulflmea:

"={(;

l),(;

l,[:;J,(_:

;),

(l;),(-',;)'(;

l'(;

T

ormeazi

un

monoid

comutatlv

in

raport

cu

inmultlrea

matrlcelor.

Si

se

determtne

A(M).

E5.

Se

consideri

matricele:

"

=

(-;

I

"=(:

:l

o

mu,ri-

mea

uil=

{"e*a

|

..

d}.

*

se

stu_

dieze

dac6

(,,1t,

.)

este

monoid

comu-

tattv

9i

si

se

determine

A (&),

83.

Se

consideri

matricea

si

mnlfimea

o

=t^"

(oor\

A=lr

o

ol

[o'o)

nez].

sise

EXERCtIil

$t

pnoBt

EME

REGAptTurATtvr

EXERSARE

,,.

:"",

{(;

l}g;),6:j,(:

;)

Si

ae

alc6tulagc6

tabla

inmulttlt

pe

mulflmea

M

gl

st

se

"t"al"""

roprlctt ile

accstela.

82.

Se

conslderl

multtmee

e

*

{L

e,

O}.

a)

Si

se

alcitutasci

tabla

dtfereniet

slmetrice

pe

mulfimea

g(A),

b)

se

se

arate

ci

(.f

1a1,

u),

(e@),

n),(*1ey,a)

sunt

_orrotrr

comutativi.

c)

56

se

determine

elementele

simetrizabile

?n

monoizif

ae

fa

l).



Algebrf,

r

L

Grupuri

A. S&

se dea exemplu

de

o

lege de

compozifie

care este

comutativi

s,i

Eu

este asociativi.

Si

se

dea exemplu

de o lege de

eompozifie

neasociativi

s,i care

adrnite element neutru.

Fie

M o

mu$ime

nevidi

9i

(.fr.(M),

,

monoidul

funcfiilor definite

pe

M.

a)

Si

se determine care sunt elemen-

tele

simetriaabile

ira raport

cu cornpu-

Derea

funcfiilor,

daci

elementul

neutru

este funclia

identici.

b)

in ce caz

monoidrd

(g

(rtt)

,

")

este

comutativ?

Fieae(O,*)qif":D-+D,

lax. x>O

f.(x)={o,

*=o.

a)

Si

se

arate

cA

f"

o

f6

=

f"o.

b)

Si

se arate ce mulflmea

g=lf"

lae(o,

o))

formeazamonoid

in raport cu

operafia

de

compunere

a

funcflilor

c) S[ se determlne

ql

(g),

Pe mulllmea R*

se deflnosc

legtle

de compozifle:

x

T

y

=

c.m.m.d.c.(x,y)

St

xJ.Y=c.m.m.m.c.(*'Y).

a)

Pcrechlle

("-,t)

ut

(*-,J)

sunt

monolzl?

APROFUNDARE

46.

b) Sd se

deterrnine

yaloarea

de aderidr

a

propoziflei:

V

x,

y,

z

e

N*o

x T

(r

Lr)= (*

r

y)r,(x

T

z).

Pe mulfirnea

Z

se definegte

legea

de

compozi .ie

,,.",

astfel:

x

o

Y

=

arcy

+bx

t

by+ c, ltnde a,

b, e

e Z.

Si

se

arate ed:

a)

legea de compozifie

,,."

este

aso-

ciativi daci

9i

numai

dacd

b2-b=ac;

b)

legea

de

compozi .ie

,,""

admite

element

neutru

dacd

gi

numai

daci

b

+

ac

=

b2

9i

b divide c.

Se

consideri mullimea

M nevid[

9i

,,o"

o

lege

de compozifie

pe

rnul,ti-

mea

M care este

asociativi

;i

admite

elernent neutru"

Daei

M'

este o mullime

nevidi

gi

f

:

M

-r

M'

o

funcfle

bijectlvi,

si

se

studleze

proprietifile legii

de

compozlgle

,,T"

definite

pe

M':

x

T

y

=

r(r-r

(x)

"

r-o(y)).

Fie

f"

:

Q

-+Q,

f.(*)={*'

*t

3.

lax,xeA\Q

qts={r"lae0}.

a)

$[

se verlflce dae6,

I

este

perte

stabilA

in raport cu

compunere&

funcflllor.

b)

S{

se studleze

aactr

(,f,

")"

este

monold

pl

si

se afle

U(fi\.

E.

ts.

a*.

A5.

47.

29



k

TESTEDEEUATUARE-

Testul

I

O

1.

Pe

mulflmee

G=(f,

+o)

se

conslderl

legea

de

compoztfle

x

ty=Ztry_

-7(x+y)+4.

Mulfrmea

G este parte

atabilr

a

lur

e

in

raport

cu

regea

de

compozlfle

,,I..?

(3

puncte)

O

2,

Pe

mulflmea

E

=

{o,

l,

2,8,

4}

se

deflnegte

legea

de

compozitle

notati

,,o..,

astfel:

x

o

y

reprezinti

reetul

imptrfirti

numdrulul

xr*y

la

b.

a)

Sri se

alcitulasci

tabla

legit

de

compozlgie

,,o...

b)

st

se

arate

ci

regea

de

compozrfie

nu

este

comutativi

gi

asocrativi.

(3 puncte)

O

3.

Pe

mulftmea

c

=

(1,

+

o)

deftntm

legea

de compozlfie

xoy=f

+(x_r)Ic(y-l).

a)

Si se

determine

2"2

ql.eise

rezolve

ecuagia

3ox

=

B.

b)

Si se

arate

ci

pentru

orlcare

x,

y

e

G, x

o

Jr

=

l

+

l0lg(r-r).8(y-r).

c)

Si

ee

gtudieze

proprtetiflle

legtt

de

compozlfle

,,o,,.

(g

punctc)

Testul

2

o 1.

Flcmugtmea

M=

{**vJV

l*,r.2}

d

u,={*+vJ7

l*,r.1,a2-zyz

=tl,

a)

si

sc

arate

ci

murfrmea

M'

egte parte

stabill

a

tut

M

rn

raport

cu

inmulflrea.

b)

St

se

dea

exemplu

de

cel

pufln

trcl

elcmente

x

+

yrlV

e

M,,

cu

y

>

O.

(3

puncte)

O

2,

Pc

multlmca

M

=

{o,

L

2,

B, 4}

sc

deflncate

legea

de

compoalfle

,,o..

prln;

f*

*

t,

daci y

e (x,

2]

I

xoy=1*-y,

dac6

y<r

Ly-*,dacl xsB

Qt

y>2

a)

Sl

se

alcltulagci

tabla

lcglt

dc

compozlfle.

b)

si

se

arate

ce

reg.ea

de

co-mpoztfte

nu

este

comutatrvi

gr

asocratrvi.

c)

st

se

arate

cr

regea

de

compoztfre

admrte

erement

neutru

gr

flecare

element

x

e M

este

slmetrizabll.

(6

puncte)

Testul

3

b)

Si

se

calculeze

in

26

suma

i+

0

+ 6+

i+6.

30



-

de

,,o",

=

r).

cu

c) Ctte

solutll

are in

Z6

ccuatle

gx

=

O?

d)

Care

este

cel

mal

mlc

numlr

natural

nenul

cu

proprletatea

cl

2+2+..'+?=

O

in

26?

n orl

(3 puncte)

(Bac

q.loure

ot,

iunie,

2 OO

3)

?2.

se

consideri

funcfiile

f.:

P+4,

f.(x)

=logz[(t*r-)"'],">o

gt

mul$imea

s=lf^lae(o,+-)).

a) Si

se

arate

ce

f.

este

funcfie

inversabill

+i

f;l

=

f;'

b)

sn

se

demonstreze

cL

mulfimea

I

este

parte stabiti

in

raport

cu

compunerea

funcfiilor.

c) si

se

arate c6 (gl,

")

este

monoid

comutativ

9i

si

se

determine

ry

(g).

(2

Puncte)

3

3.

Pe

mulflmea

numerelor

complexe

se

consideri

legea

de

compozlfle

',o"

deftnlti

prln:

x

o

y

=

xy +

ix

+

iy

-

I

-

l, V

x,

y

e C.

e) Si

se arate

cl

x

o

Y

=

(x

+

f)(y+

f)

-

t.

b)

Si

se

arate

cl

legea

,,

o

"

este

asoclativi.

c) sn

se determlne

mulflmea

valorllor

lul

n

€

F'*,

pentru

care

are

loc

egirlitatea:

xl

ox2o...oxn

=(x1

+i)(x2+t)...(*"+t)-t'

V

x1,

x2,.",

xn eC'

d)

si

se

calculcze

p

=

(-roor)

"

(-99r)

"

...

"

(-t)

o

o

o

I

o

(2t)

"

...

"

(99t)

"

(lOOr).

(4

puncb)

e)

S[

se

rezolve

ln

C

ecuafla

x

o

x

o

x

o

r

=

1

-

l'

(Bacg,lo;ureat,

fiunle,

2

O O

3)

O

Noliunea

de

grup.

Exemple

not

=xoy, o

lege

de

Fie

G

o

mulfime

nevida

qi

(*,

y)

-+

q(x'y)

compozitie

pe

G.

€.

DEFllllTll

r

Perechea

(G,

.)

se

numeste

gnrp

dacd

sunt.indeplinite

axiome:

(G

1

)

Axioma

asociatiuitdfti:

(*.Y)

oz=x"(Y"r),

V x,Y,zeG.

(G2)

Axiama

elenentului

neutru:

I

e e

G, astfel

incAt xoe

=

eox

=x,

V

x

e

G.

urmatoarele

31



(G3)

Axioma

eLementelor

s

imetrizabile

:

Vxe

G,

x'e

G, astfelincAtxox'=xf

ox=e.

r

un

grup

(G,

")

se

nume$te

grup

comutafiv

sau

abelian

daca

este

veriff

catd

axioma

de

comutatiuitate

:

(G4):xoy=yox,

Vx,ye

G.

>

COMEII|TARII

d

se

orserva

c5.

perechea

(c,

")

este

grup

dacd.

este

monoid

cu

proprie-

tatea

ci. ftecare

element

este

sirnetrwab:I.

intr-un

grup,

,a

(G)

=

c.

b)

Elementul

e e

G, a

cirui

existenfd.

este

asigurati

de

axioma

c2,

este

unic

determinat

si

se

numeqte

elementul

neutm

al

grupului.

c) ETernentui

x'e

c, d

cdnti

existenfd.

o

asigurd

axiomi

GS

pentru

fie-

care

x

e

G,

este

unic

determinat

deoarece

legea

de

compozilie

a

grupului

este

asociativd.

'

un

gmp

(G,.) se

numegte grup

finit

daca

multimea

G

este

finita.

un

grup

(G,

')

este

grup

infinit

dacd

murfimea

G nu

este

finita.

'

Fie

(G")

un

grup.

se

numegte

ordinul gnrpurui

G,

cardinalul

mulfimii

G

gi

se

noteazi

ord(G).

@ Exemple

de grtputl.

1. Din

proprietn ,ile

adund.rii

9i

inmulfirii

numerelor

rezulta.:

e)

(z'

+),(O'

+)'(p'+)'(c,+)

sunt

grupuri

abeltene,

numtte gruput

adtttv

al

numerelor

intregi,

rafionale,

reale,

respectiv

al

numerelor

complexe.

b)

(o',')'(o.,

),(o-,')

sunt grupuri

aberiene,

numite

grupur

muldplrcadv

al

numerelor

raflonale,

_reale,

respecttv

al

numerelor

complexe

nenule.

Grupurlle

de

la a)

qt

b) sunt

denumlte grupurl

numerl'ce.

2.

Multtmile

de

matrtce

J/"(2.),,,//,(o),",//,(p)

Fl

"rn(a)

impreund.

cu

adunarea

matrlcelor

formeazd.

gmpurt

comutative.

Etu

ailrt

'

torilntal

tr

Pe

mugimea

G

=

(2,

+

m)

se deffneqte legea

de compozgle

G

x

G

_+

G,

(*,y)-+xoy=xy

-2x-2y+6,

V

x,yeG.

SA

se

arate

c6

perechea

(G,

")

este

grup

abelian.

Solutle

Deoarece

x

oy

=

(*

-Z)(V

-Z)

*2,

V

x,

y

e

(2,

+oo)

se

obflne

c6

xoy)2,

deci;soy€G.

Perechea

(c,

.)

este

grup

abelia'

daca

sunt

verificate

axiomere

grupului

(ct)-19a1.

32



este

este

fte-

a

al

al

ca

i'

G

1

)

Axiama

as ociatiuitd{ii:

.{r'em:

(

*

"

y)

o

s

=

(W

-

2x

-

2y

+ 6)

"

z

=

(xy

-

2x

-

2y

+ 6)'

z

-

-J

q-

-

2x

-2y

+

6)

-

2z

+

6

=

KYz' 2(*V

+

xz

+

yz)

+

a("

*

y

+

z\

-

6'

Analog

se

obfine:

r

y, z)

=

x

"

(yz

*

2y

-

2z+ 6)

=

*'

(y"

-

2y

-

2z*

6)

-

2x

-

2(yz

-

2y

-

2z

+

6)

+

-

4

=

yz

-2(*V

+ xz +

yz)

+

4(t

*

y

+ z)

-

6.

in concluzie,

axioma

asociativitaili

(Gl)

este

verificatS..

(G2)

Axioma

elemenhtLui

neutnt:

Fie

e e G,

astfel

incAt xoe

=eox

=x,

V

x e

G.

Se

ob{ine

xe

2x

-

2e

+

6

=

X,

V x €

G,

echivalentd

cu

:..i-2)=3(x*2),VxeG.

Elementul

neutru

este

e

=

3

e

G.

(G

3)

Axioma

eLeme

ntelor

sirnetrizabile

:

Dacd.

x

e

G,

not5.m

cu

x'

simetricul

lui

r.

S€

obfine

X

o

X'

=

3

=

x'o X,

relafie

care

:cnduce

la x'.

x

-2x -2x'

+6

=

3.

Rezulta

*,

='*-

=2*J=e

(2,

+"o).

x-2

x-2

\

Asadar,

(G,

Deoarece

:icarex,YeG,

")

este

grup.

x oy

=

Ky

-2x-2y

+

6

=

YX

-2y -2x+6

=

Y

"x,

pentru

grupul

(G,

.)

este

grup

comutativ

3.1.

Grupul

aditiv

al

resturilor

modulo

n

Fie

n e

N*

qi

lt4n

=

{O,1,

2,

..., tt

-

1} mu$imea

resturilor

obfinute

la

:rnpar-tjrea

numerelor

intregi

prin n.

Pe

mu{imea

}n s-au

definit

operaliile

de

adunare

gi

i:amu$.ire

modulo

n:

(frnx

inn

-+ ifrn,

prln:

a

@

b

=

(a

+

b)modn,

respectiv

aOb

=

(a'b)modn.

Elementul

a @

b reprezintd.

restul

impSrtirii

sumel

a

+

b

prin n.

Rezulta

cA existA

numdrul

q.e

L, astfel

incdt

a+b

=

nq+(a@b)'

(l)

33



Algebri

r

l. Grupuri

Demonstratie

a) Veriffcim

axiomele

grupului:

(G

1

)

Axioma

as

o

ciatiuttdfii:

Folosind

rela{ia

(1)

se

obline

succesiv:

("ov)

@z=

(("*y)modn)@z

=

((x+y)+z)mod

n.

(2)

De

asemenea:

"@(y

@z)=

"@((v+z)mod

r)=(**(y*z))modn.

(B)

Deoarece

adunarea

numerelor

intregi

este

asociativa,

din

relafiile

(2)

qi

(3)

rezultd,cd

(x@y)@

z=x@(VAt),

V

x,y,

ze{,A,,.

Aqadar,

adunarea

modulo

n

este

asociativA.

(G2)

Numaml

O

este

element

neutru,

deoarece

se verifica

imediat

ca

0@x=x@O=x,Yxe 'dn.

(G3)

Fie

x

e

i,,/?n

\

{O}

Atunci

x'=

n

*x

e

i'An.

Rezultd.cA:

x@x'=O

gi

x'Ox=0.

AvAnd

si

o @

o

=

o,

rezultd

ca oricare

x

e ,'/ln

este

simetrizabil

in

raporL

cu

adunarea

modulo

n.

Aqadar,

(*",*)

este

gmp.

Mai mult, pentru

orice

x,

y

e

frn,

avem:

x@y

=(x+y)modr,

=(y+x)modn

=y@x,

deci

grupul

(:tn,,

A) este

grup

cornutativ.

b)

Analog

se

aratd.

ca

(n^,

O)

este

monoid

comutativ.

I

3.2.

Grupul

claselor

de resturi

modulo

n

Fie

n

e

N*

9i

O^

=

{6,i,

2,

...,

"

-l}

mul{imea

claselor

de

resturi

modulo

n. Pe

mullimea

2,,

s-au

definit

operafiile:

.

Ln

xLn

+

o., (;,

b)

-

a

*

n

Y;6-E,

numitd

adunarea

claselor

de

resturi

nnodulo

n;

n

LnxLn)r^,(;,b)_+a

6o:ttoE,

numitd

inmultirea

clasetor

de

resturi

modulo

n.

OA

dt



cA

in

Algebri

r

l.

Grupuri

a)

Verificdm

axiomele

grupului.

(G

1

)

Axtoma

as

ocintiuitdti{:

Avem

succesiv:

/^

^\

(t.

t)

*

2

=

(f@

i)

* 2

=G@t@;

^/^^\

x +(y

+

z)

=x

+

y@

z

=

x@

(V

A.)

Avand

in

vedere

asociativitatea

adunirii

modulo

n,

din

si

(2)

rezurta

(i

*

i)

*

2

=

?

+(i

.A),v

i

i,

2

e

L.n.

Asadar,

adunarea

claselor

de

resturi

modulo

n

este

asociativd..

(G2)

Axioma

elementului

neutru:

Pentruoricare

*-eil.n,

avem:

i*6=i@b=i

pi

6*i=06-r=i.

Asadar,

0 este

element

neutru

al

adunarii

claseior

de

resturi

modulo

n.

(G

3) Axioma

elementelor

simetrizabile

:

Avem:

6

*

6

=

6,

deci

6

este

propriul

sdu simetric.

Dacd

*..Ai,

atunci

existd.

q,r

€

L.,

astfelincAt

x

=

<

n

-

].

Rezultd

cd.

r,

=

n*r

€

{t,

2, ...,

n_l}

+i

avem:

x

+

r'

=

i

+

i''

=

r

o

1n:;1

=

6 si

i

*

i

=

i

+

i

=

(.n

_

r)6

r

=

6.

in

concluzie,

*. este

element

simetrtzabil,

iar

sirnetricul

sau

este

elementuli.Simetriculclaseideresturiisenoteazacu_i.

Aqadar,

(i)'

=

n-,

pentru

i

*

6

s.u

-i

=

frli.

Rezultd

cd.

(T.n,

+)

este

grup. Mai

mult, el

este

grup

comutativ

r

-

---=---

oeoarece

x+y

=x@y

=

y@x

=

y+x,

V

x,

y

eL-^.

b)

Verificd.m

axiomele

monoidului

comutativ.

(M1)

Asociatiuitatea".

pentru

oricare

;,

,,,

;e

Z,r,

se

obfine:

l^ ^\

^

tx.y/.2=xoy.z=(xoy)oz,

(3)

^

/^

^\.

*'(y.")=*'yoz=XO(Vo.1.

W)

Deoarece

inmulfirea

modulo

n

este

asociativa,

rezultd

cd:

l^ ^\ ^

^\

(" y/.2=x.\ .").

V

*,y.

zenn.

Asadar,

inmulfirea

claselor

de

resturi

modulo

n

este

asociativd.

(1)

(2)

relatiile

(i)

nq+r,0<r<

35



Algebri

.

l.

Grupuri

(M2)

Bvisy"nf,a

erementuruineutnt

pentru

oricare

*.

eL.n

se

obtine:

x.i

=

fo-t

=

i

qi

i.i

=

fo;

=

i.

Astfel'

i

este

element

neutru

pentru

iremul{irea

claselor

de

resturi

modulo

n.

in

concluzie,

(A^,.)

este

monoid.

Deoarece

i. y

=

xOy

=

yO_}

=

i.i,

V

*.,

ir

eLn,

monoidul

este

monoid

comutativ.

e)

Pentru

r

=

1,

avem

O,

=

{61

$i

(0,

l)

=

t.

Rezultd

,,U

(Lt)

=

{O}

(n",')

Fie

n

>

2.

Atunci,

$

e at

(Ar)

dacd

si

numai

astfel

incAt

i

a

=

i.

Aceasta

relafie

se

scrie

fr

=

i

Rezultd

cd"

existi

s

e

L_,

astfel

incAt

pe

+

sn

=

"r

(p,

n)

=

1.

dacd

existA

Qe

L.n,

sau

pq: I

(mod

n).

1,

relatie

echivalentd

Asadar,W.

9

OBSEBVATII

l.

Daci

n

e

N* este

numdr

prim,

murlimea

erementeror

inversabile

in

monoidul

(L^,.)

este

utr(L,)=Ai.

2'

Pentru

n

e

N*

numdrur

numerelor

naturale

mai

mici decat

n

Ei

relativ

prime

cu

n

se

noteazd.

.p(r).

Func{ia

g:

N*

-+

N

se

numeste

indicatorul

lui

Euler.

Rezultd

cd

grupul

,4/

(Z,,)

are

<p(n)

elemente.

IEF

Exemplu

r

sd

se

determine

'u

(lt)

pentru

monoidul

(Lrz,

.)

qi

sd.

se

alcatuiasca

tabla

inmultirii

gn_rpului

(u

(urr),

.)"

Sohttie:

Conform teoremei

b

elementele

inversabile

in

212

sunt

clasele

i,S,?,il,

d.o...c"

numerele

1,

5,7,

]l

sunt

relativ

prime

cu

12.

Tabla

inmultirii

este

datd

alA"turat.

Din

tabla

inmul{irii

""

ot".*a

ce pentru

y

xe'/t(tp),

existd

relafia

i,i

=

i,

deci

fiecare

element

este

propriul

s6.u

simetric

(invers).

De

asemenea,

6?=il,

6il=?

si

?

il

=

8,

adica

produsul

a

doua

erern:nte

distincte

diferite

de

i

diferit

de

i.

is?tr

a^

c

I

tl 7

a^

/tlt5

il?si

I

5

?

il

36

este

al

treilea

element



Algebri

.

l.

Grupuri

Ln,

n).

in

>

C(lMEIIITABII

a)

Un

gmp

(K,

.),

K

=

{e,

a,

b,

c}

a

cirui

tabla

a

aliturat

se

numeste

grupul

lui

Klein.

b)

Un

grup

(K,

.)

",

un

numdr

finit

de

elemente

este grup

de

tip

Klein

dacd

oricare

element

al

grupului

este

propriul

sdu

simetric

(invers).

c)

Gnrpul

(,U

(nrr),.)

este

un

grup

de

tip

Klein

cu

4

elemente.

operafiei

este

redatdr

eab

3.3.

Grupul

permutirilor

unei

mulfimi

Fie

M

o

muldime

nevidd".

o

funcfie

bijectiva

f :

M

+

M

se

nume;te

permutare

a

mulfimii

M.

Mul(imea

s(M)

a

permutdrilor

mulfimii

M

este

o

submulfime

a

mulfimii

,/(M)

a

tuturor

funcfiilor

f

:

M

-+

M.

considerand

operafia

de

compunere

a

funcfiilor,

se

sue

cd

daca

f,g€S(M),

atunci

f

.g€S(M)

$i

g,f

e

S(M).

Agadar,

mulfimea

S(M)

este parte

stabili

a

multimii

raport

cu

compunerea

funcfiilor.

./(M)

in

Demonstratie

Verilicdm

axiomele

grupului.

(G1)

Axioma

osociatiuitdfii.

operafia

de

compunere

a

pennutarilor

pe

s(M)

este

asociativd.

ca

fiind

indusd

de

compunerea

funcflilor

pe

,'i

(M),

care

este

asociativi

(G2)

Axiama elementului neutru.

Funcfia

identicd

l*

:

I.{ -+

M;

lr

(*)=

x,

este

bijectivi,

deci

este

o

permutare

a

mullimii

M,

numitd

permutare

identica

a

lui

M.

Deoarece

lru.f

=folM=f,Vf

.=S(M),

rezultS.

cd

permutarea

identicd

a

multimii

M

este

element

neutru

pentru

compunerea

permutd.rilor.

eab

aec

bce

cba

e

a

b

c

(GS)

Axioma

elementelor

simetrizabite.

Se

gtie

ci

atunci

f-t

e

S(M).

RezuitA

cd.

orice

permutare

f

e

S(M)

simetric

qi

anume

permutarea

f-1.

in

concluzie,

(s(vr),

.)

este

grup.

r

dacd

f

€

S(M),

a-re

un

element

37



3 OBSEHVATII

1'

Dacd

mullimea

M

are

unur,

sau

doud

eremente,

gmpul

s(M)

este

grup

comutativ.

2,

Dacd

mu$imea

M

are cel

pufin

B

elemente,

s(M)

este

grup

necomutativ.

3.4.

Grupul

simetric

S,,

in

cazul

in

care

M={1,2,g,...,n},

grupul

S(M)

al permutarilor

lui

M

se

noteazd

S'

Si

se

nume$te

grup

simetric

de

grad

n.

O

permutare

o.e

S*

se

noteazd

astfel:

(t

2

B

n)

6=r

I

(l)

\o'(1)

a(2)

o'(3)

"(n)j'

in

linia

a

doua

sunt

trecute

valorile

funcfiei

o.

Deoarece

o

este

o permutare

a

mul{imii

M,

rezultd

cA

{"(t)'

o(:2),.

.,"(t)}

={1,2,..-

"},

deci

a

doua

linie

a

tabelului (1)

este

format6

tot

din

elementele

mulfimii

M.

Dacii

o', t e

sr., compunerea

(produsul)

cel0r

dou5 permutSri

se

scrie:

o..=[t

2

3

n)f

t

2

B

(o(1)

o(2)

o'(3)

o'(n)J

It

(t)

r(2)

r

(3)

n)

t

(n)J

ll9.Dxemlrlu

rFieo,r.sn,o=rl

2

3

+\

(r

2

g

+)

[s42,J''=lrti;)

Avem:

o.,=(,

2

3

4)

ft

2

B

4)

(

t

2

3

4

)

l.3 4

2

t)lz

s

4

rJ-[o(r(r))

o(r(z))

o(r(s))

"1.1+y;J=

=(t

2

s

4.)fr234)

l"(z)

o.(B)

"(4)

o1r)J=l+

2

r

,),

..,,.:lr

2

s

4).l,r

2

3

4)

(r

2

s

4)

t.2

3

4

r/(.3

4

2

rJ-[+

I

3

z)

Ordinul

grupului

simetric

S,,

este

egal

cu

n .

in

grupul

sn

elementur

,reut.'

este

permutarea

identicd

1

I

=[

2

3

n)

2

3

n)

3B



Algebrd

.

l.

Grupuri

este

ce

t*

orice

permutare

"

=

["ir,

,1o,

"lr,

mruj

simetric

o-r

=

["(t)

"(2)

"(3)

"(r))

r

I

r

2

;'

.r'J'tt'"ntaPermutare

hersa

sau

inversa permutArii

o.

8

&emple

.

pentm

"=f'

2 3\

rtarea

inverqA esfe

--r-f3

t

2')

\3

r

zJ.

Ss, permutarea

inversa

este

"-'

=

[;

;

;l

sau

ordondndprimalinie,

"-t=fl

?

:'l

[2

3

t)

.rnversapermutariio=[]

? ? 1

u'

\3

5 I 2

o,J

t"t

estePermutarea:

.-r=(3

5 I 2

4\_(r 2

s

4

5)

-

[l

234s)

[34ts2)'

.

Transpozitie

Fie

i,

j

*

{1,

2,3,

...,

n}

=

M,

i

*

j.

Permutarea:

-

(t z i-r

i i+r ...

j-l

j j+r

...

n)

t..-r

'

I

se

numeste

u (t 2 i-r j i+1 ... j-l i j+t ...

n)

transpozifie.

Pentm

transpozifia

tU se

folosegte

pi

notalia tij

=

(i,

j).

}anspozi{ia (i,

j)

este o

permutare particulari

care schimbd

intre ele

:umai

elementele i

pi

j.

Se aratd uqor

cd

t5t

=

ti;,

tii

=

t,r

$i

tg

.ti,

=

e.

.

Siglnatura

unei

perrnutiri

Fie oeS,,

qi

i,jeM={1,2,...,n},i<j.

Perechea

ordonatd

i.

j)€MxM

se

numeqte

inversiune

a

permutdrii

o

dacd

o(i) >o(;).

Numdrul

tuturor

inversiunilor unei permutAri

o

e

S,,

se

noteazd

*(").

O

permutare

poate

avea

cel mult

C7 inversiuni,

deci

^

,,

n(n-l)

'J

<

m(o)<

'

/2

Numdrul

e(o)

=

(-f;-("1

se numeqte

signatura

(semnul)

permutd.rii

o.

Permutarea

o se numeqte

permutare

pari

dacd

e(o)= +l si

permu-

tare

impari

dacd"

e(o)=

*1.



llS.Exemale

'

Pentru

p..-ut"r""

,r.=[l

2

g

4)_

-

-

l+

t

2

sJ

"n'

inversiunile

sunt:

(1,

2),

(i,

g),

(L

4),

deci

m(o)=

3,

iar

e(o)=

(-r)3

=

-1.

Aqadar

o.

este perrnu-tare

impari.

o

Pentru

transpozitia

t^.

-(1

2

3

4

5)

sunt

(2,

s),

(2,*t

r,1l :",-,,;.;=:l'*:.:,

_",,.*:

zilia

t24

este

permutare

imparA.

3

OBSERVATII

f.

in general,

se

poate

ardta

cd.

orir

tare

impard.

vuctLs

arala

ca

orice

transpozifie

t1,

e

sr.

este

o

pefinu-

2.Dacaoe

S,,,

atuncie(o)=

n

"(i)-g(:)

3.

Dacd

o,

r

€

S,,,

atunci

e(o,l-;t::?")

j;;

3.5.

Grupuri

de

matrice

Fie

n

e

N.

si

,//^(c)

mulfimea

matricelor

pdtratice

de

ordinul

n

u

elemente

numere

complexe.

Dupa

cum

se

stie,

mulfimea

,,/y'n(,c)

impreund

cu

adunarea

matri_

:1Tfrtrffi?.Hrf#1.

comutativ,

iar

cu

inmultirea

matricelor

rorrneazd.

In

continuare

se

vor

pune

in

evidenfd

cdteva

submultimi

ale

mul_

imii

'//n(o),

care

impreuna

cu

inmulfirea

matric"t*

ro.-"aza

grupuri.

Grupul

liniar

general

de grad

n

:: i

''iln(o)'

se

stie

cd matricea

A

este

inversabila

in

monoidur

ffi;#;_

"

,^' \



pennu-

n

mul-

Algebri

r

l.

Grupuri

tsnqrc-.rstrafie

Fie

A,

B

e

GL.

(,C).

Rezultd

ca

det(A'B)

=

clet(A).det(B)

e

,C.,

dhn

AB

e

GLr,

(rC).

Agadar,

mullimea

GL,

(,C)

este

parte

stabila

a

nrmr.-:i:mii ,

//"(A) in raport

cu inmul{irea matricelor.

inmultirea matricelor este asociativA

qi

admite elementul

neutru

-r

:

rr.

(C).

Deoarece

det(Ir)

=

1€

,C*

rezultdca I.

e

GL,

(D).

in consecin{a,

inmul{irea

matricelor

pe

mulfimea

GLr, (,D)

admite

is:ent

neutru

gi

anume

matricea

Ir..

Daca Ae

GL,'('C),

atunci

det(a-I)=-1-. g-

9i

se

obfine

ca

\ /

det(A)

A--

: cL"

(,D).

ln

concluzie,

(GL,,

(D),

)

este

grup.

I

Gnrpul

matricelor

ortogonale

Fie A e,,//n(C).

+

DEFINITIE

I

.

Matricea

A

e,'//^

(,C)

se numegte

matrice

ortogonali.

dacd.

t

A' A

=

I,r.

Mu$imea matricelor

ortogonale

de

ordinul n

se

noteazl.

O,'

(,D).

3 0BSERVATII

L.

Daca

A e

O,, (,D),

atunci

det(A)

=

{-t,

t}.

intr-adevAr,

din A

e

O,

(,C)

se obfine

ce

tA.

A

=

Ir,.

(1)

Din relafia

(l)

se

ob{ine

succesiv:

1

=

det(r,)

=

det(tA. A)

=

aet(te).

det(A)

=

(aet(e))2.

Asadar, det(a) e

{-t,

t}.

2.

ExistA

incluziunea

O,

(,D)

c GLr,

(,C).

3),

(1,

4),

41



Dermonstratie

Fie

A,

B

e

O,,

(o);

rezultd

cd

tA.A

=

I.,

Fi

tB.B

=

I,r.

Avem:

'(ae).(AB)=(,"

.o)

(AB)=,"

(m).8=

tB.B=r,,.

Aqadar'

AB

e

o'

(o),

iar

mulfimea

o"

iffi"te

parte

stabila

a

multimii

,,ttr(,C)

in

raporl

cu

inmulfirea

matricelor.

Sa

verificam

axiomele

grupului.

(G1)

Axtoma

asocatuttd;u.

inmultirea

matriceror

pe

mulfimea

o"

('c)

este

asociativd,

fiind

opera{ie

indusd

de

inmurfirea

matricelor

pe

,,//"(,C)

(proprietatea

de

ereditate

a

asociativitafli).

(G2)

Axiornrt

erementutui

neutru.

Deoarece

,I.,

=

I'

se

obline

cd

I"'I"

=I,''

deci

I'eo.r('g).

Rezurtd

ca

I'

este

elementur

neutru

ar

inmultirii

matricelor

pe

mulfimea

On

(0).

(G3)

Axiomo

elementelor

simetrizabile.

Fie

A

e Or,

(,C).

Din

observatia

I

rezultd

cd

det(A)

=

t1,

deci

matricea

A

este

inversabild

in

mono

idur

,//n(a).

oin

rerafia

tA

.A

=

I,,

::,

_i:t:_",.

,.,7

A-1

=

tA.

Folosind

aceastd

relafie

se

obfine

(A-')

'

A-t

-

'('o).

A-r

-

A

.A-r

=

I,,,

deci

A-r

e

o,,

(o),

iar

elementut

simetric

al

matricei

A

in

O"

(,C)

este

matricea

A*1.

I

8w'tnr&z

u7alnal

"t"

).

-coso]

tr

Fie

A

e

02

(a).

arate

cd

existd

cr

e

incat

A

=(

coscr

[_sinc

SA

lQ,

as

sincr

cos

c)(

o

=

r":""

\

srn

o(

see

tfel

)

]

sau

Solutre

Fie

A=ra

Ic

l)'o,1'o1

42



'nrrncondiriatA.A=rz

seootrne:

[]

")

[,"

o)

=f

t

fl

"",,

Lr

oJ

["

aJ-[o

t)"--

la2

+c2

=r

'rr

-c2

ab+cd)

-[r

o).

n"rrrttasistemul'

]t'*

d2

--r.

r-cd

b2+d2,1

(o

r)

labocd:o

t

lr---

ecuatiu

a2

+-c2

=I

se

deduce

cd

exista

cr

e

lQ,

astfel incAt

3-

=

cos

cL.

fu:liA

c=*sincr,

iar

din

a

treia

ecuafie

se obline

bcosa=tdsincr.

3::srituinddinecua .ia

b2

+d2

=1

seob{ine

b=+sing

9i

d=tcosct.

/ coscr sina) fcoscr

sincr

)

ts::ar.

A=l

lsauA=l

l.

1-

sin

c

cos

ct

/

\

stn

c{.

-

cos

cx.

/

a

pe

cd

al

deci

3.6.

Grupul

ridicinilor

de

ordinul

n

ale

unitAfii

Fie

n

e

N*.

Se

gtie

c5.

ecua{ia

zn

=I

are

exact

n

solufii

numere

:amplexe.

Solutiite

acestei

ecuafii

se

numesc

rddicini

de ordinul

n ale

-",itatii

gi

au

forma:

zr

=cosSEn

*i"ir-r? n,k

={0,

L,2,...,

,t-1}.

Notand

r

=

cos

27r

+

isin

21,

conform

formulei

lui

Moiwe

se

obfine:

nn

zk

=

tk,

k

=

{0,

l,

2,

...,

n

-

i}.

Multimea

r5.dd.cinilor de

ordinul n

ale

unitdtii

se

noteazd

U.,

$i

avem:

k

e

{0,

r,2,...,"

-

t}i

=

{r,

,, ,2,

...,e"-1}

{t)

U^

={,

e'Dl

z^

=

1}

*t,t

I

zt<n

2ktt

Un

={cos-+lsln-

43



f\omonstratie

Sd"

arAtd.m

cd

U,,

este

parte

stabild

a

lui

O in

numerelor

complexe.

Fie

21,

22

elJn.

Rezultd cA

zl

=

I

Fi zt

=I,

(r,

'

t")"

-

zi

.

zt

=

L,

deci

zrz2

€

U.,.

Verificim

axiomele

gmpului.

{G

I

)

exUma

as

o ciniuttdtti:

inmulfirea

numerelor

complexe

este

asociativii

qi

rezultd

cd

inmul{irea

indusa

pe

multimea

U,,

este,

de

asemenea,

asociativa

(proprietatea

de

ereditate

a

asociativitafii).

(G2)

Axtoma_

elementului

neutru:

se

observ'

ugor c5'

zo

=r

este

erement

neutru

in

raport

cu

inmulfirea

pe

U*

(G

3)

Axioma

elementelor

simetrizabile

:

Fie

z

€

U.r.

RezultA

cd,

zn

=I

si

deci

l€Ur,.

Din

se

obfine

ca

f

este

elementul

sirnetric

at

rui

z,

deci

z

este

inversabil

h

U.,.

in

cazul

irr

care

z

=

tP

€

U.r, sirnetricul

lui

z

este

z, =

e^-p

.

(G4)

Axioma

comutatiuitdtii:

Din

proprietatea

de

ereditate

a

comutativitafii

se

obfine

cd

inmulfirea

Pe

u'

este

comutativd,

fiind

indusd

de

inmultirea

numerelor

complexe.

in

concl,zi"'

(ur',

')

este

grup

comutativ.

ordinur

grupurui

u,

este

egal

cu

n.

raport

cu

inmulfirea

qi

astfel:

ft)"

I

i_l

=__l

\") zn-''

I

Z.-

=l

z



i

ffiEBClill

$l

PRoBIEME

lI.

Pe

mulfimea

O

se

deflne;te

oPe-

ralia

atgebrici

O

x'C

-+

'C,

(*'

Y)

-

-+xoY=x+Y+5i'

Si

se

arate

ca

(O,

o)

este

gruP

comu-

tativ.

@.

Pe

rnulfimea

Z

se

consideri

legile

de

comPozifie

Zx

l-+A,

("'Y)-

-)xoY=x+Y+6

9i

(}(,

V)-+xfY=

=x*Y-5.

Sesearateca

(2,')

;i

(2,

f)

sunt

gruPuri

comutative'

Ui.

p"

mu$imea

M

se

consideri

legea

de

compozifie

MxM+M

(r

V)

+*"Y"

Si

se

studieze

daci

(M,

")

este

gruP'

in

cazurile:

a)

M=tr,

xoY=x+Y+3;

b)

M=9,?.,xuY=x+Y+4;

ci

M=

&,

xoY

=

ry*l'0x*10Y+11t):

d)

M=O,

xoY=ilsy'

e) M=rC,

xoY=r(+Y+iKY;

fl

M={*1,

oo},

xoY

*

x+Y+

try;

g)

M=(o,r)"xov=

rry#-fi;

ifi'

u

='D

\

{-4,

xoY

=

xlr *

+i(x+Y)-1-t

84.

Pe

mullimea

Q se

consider[

leglle

decomPozl"tieGxG-+G'

(",y)-".'vYff.l

+i

def

^T;-----

(",

y)

-

x

J-

Y

=

i/x"

+

Y"'

Care

dintre

Perechile

(G'

C

'

(G' I)

este

un

gruP?

85.

P.'

mu$imea

G=(-A

2)

-t"gitu

de

comPozilie

se

consideri

GxG+G,

Algebri

'

l. GruPuti

EXERSARE

def

1 4 'g

der

4y

L,

4y

XoV

=

--L

Sl

X*Y

=

-.

"-

r

4+KY

4+xY

Care

dintre

Perechile

(G,

")'

(C'

f)

este

gruP comutativ?

(oor

se

consideri:

\-'

c,

=

{**

yJE

x,Y

ea,

x2

'sYz

=ti

qi

G,

=

{**tGl*v.o,

"'

-31

=q'

Care

dintre

mulfimile

G1

qi

C2

este

grup

abelian

in

raPort

cu

inmulfirea

nurnerelor

reale?

87.

Se

consideri

mulfimea:

"={"=[;

T)1"'

en'

aet(a)

*

o]'

S[

se

arate

ci

G

este

un

gruP in

rap@rt

cu

inunullirea

rnatrlcelor'

[f"

o

')"

EB"

Fie

,,/t=|it

a

ol

i.(o

I

oJ

c,"us($\.

*.u,""rj.

89.

a)

$6

se

arate

cA

("r1,')

este

gruP

comutativ.

b)

Sn

se

studieze

daci

oPeralla

algebrice

A

J-

B

=

.{4'

84,

definttn

pe

mulfimea

Jl,

determini

Pe

aceasta

o

structur[

de

gruP'

Fie

A'

=

{o

e

Sr,

I

o

este

Permu-

tare

Pard).

a)

Si

se

arate

ci (eo,

')

este

gruP'

(gruput

o.ltern

de

ordinul

n)'

il)

Pintru

ce

valori

ale

lui

n

gruPul

A.

este

comutativ?

45



.

l.

Grupuri

APROFU

Ar.

Fie

c=[(2*

il.v

4x2

-gv2

=rl

'

'J',

ev)

I

,")

l*'Y

e

Q,

grup

comutativ

in

raport

cu

inmul_

firea

matricelor.

Si

se

arate

ci

G

este

1-agi

arate

ci

a)

Sr[

se

determine

cdte

elemente

are

naulfimea

G.

b)

56

se

arate

ci

{G,. )

este

grup.

ff'

lu

multimea

E

=

e*

x

e

se

consideri

Iegea

decompozitie

E

*

E

;;:'*"'-

(*,

P)

.

(c,

d)

=

(ac,

ad

i

oi.

- u

".

rate

ci

(E,

o)

este

grup.

:e

co:side,n

"

=

i[;

,)1".

r]o

legea

de

compozlfie

G

x

G._+

G,

:Tli-

"=(l

l;*(i

;l

erechea

(G, ol

este

grup?

Pe

multimea

G

=

p

\

{a}

se

deflnes_

j"^13e".

de

_compoziiJ

J_E-"d,

x

o

y

=

W

-

2x

-

2y

+U.

Se

se

aetJ.l

mine

a,

b

e

D, astfel

inc{t

(e

.)

"a

ie

un

grup

comutativ.

A5.

.A6.

AB.

ef.:F-p,f"(x)=ax+

/={f^l

aee*}.sise

(9,

.)

este

grup.

47,

Fie a

e

D

s,i

funcgiile

f.:

e

*+

e,

{

(x)

=

x.ch(a)

*

.6F"1(.).

?:'

.o

=

{f"

I

a

e

P},

sri

se

arate

cd

('Y,

o)

este

grup

abelian.

Fie

f"

:

[],

+co)

+

Il,

+o),

d

(*)

=

(".

G;-

t)".

("-

,F-)"

si

s={r.f

ae

(o,*il'.

NDARE

=

a)

Si

se

arate

ci

atunci

fo

.Ib

=ul"u

a'

B

e

(o,

+o),

b)

Si

se

arate

cd

(,9,

.)

este

un grup

abelian.

A'9.

Se

se

determine

a,

b

e

2,,

astfel

incit

legea

de

r

(x,v)-

*

o

o'oil'oozifiezxl-+l'

if,

.J,J'i"l

;"

L

:.ffi

;,li".rln"."

Alo'Fie

(Gr,

"),

(Gr,

*)

douri

gtupuri

si

E

=

_=

G,

x

G".

pe

mulgime.;

J;il;;

legea

de

compoziite

e "

e

_,

ffi:;jT

ef

J(c'

d)

-

(a

o

c,

b

*

d).

s6seara_

te

cd

(E,

J_)

este

,rn

g*p,

;-";;

rodusut

dtrect

.t

g*plriiirtji;

c".

All.Sd

se

alcdtuiasc{

tabla

grupulul:

a)

(7e

x

1",

+);

b)

(1,

x

1",

+l:

c)

(Ie

x

t",

+1,

Al2.

F-entru

un

punct

oarecare

M

din

tanut

*

rapon*r"

r.p"J"*l""illi

xOy

se

noteazr

sirnetricele

"..:r"::

,h

T:

X;

y,

respectiv

punctul

O.

Fie

funcftile

a1i

g

_+ g,

I

=I:i ;r"

;;

relafiite:

se

(M)

=

wt,

sr

(M)

=

14r,

",

(Y)

=

tr&,

so

(M)

=

nrg

qt

mulfimea

g

=

{so,

s1,

s2,

s"}.

sa

se

arate

ci:

al

9este

parte

stabild

in

raport

eu

operatia

,

o..

de

compunere

a

funcfiiilor;

b)

(,E,

")

este

grup

comutativ,

(grupul

lui

Klein).

46



Algehri

n

l.

ffrupuri

(O,

+o),

grup

astfel

E,

grup.

gi

E

=

ara-

nurnit

G,

si

din

lvls

Ox,

Fie

ae

Mr,

ci:

cu

O

Reguli

de

calcu

[mtr"un

gNrup

4.1.

Futerea

umu'i

e$emlemt

?latr-um

grup

,re

(G,)

uri

grup

in

notatie

mul'tipli'cativS'

9i

at'az"'"'a"e

G'

rr

-

,

in

gr-r-rpui

(G'

)

se

defineste

prodtlsul

dr'az

'

"

"'

an

in

rnod

--:--.'.

aslfetr:

",."r,''ll,ith$1

ltd*=t

a"'

-*^A.r.

-r

caz,ul

pa:ticuiar-

cand

a,

*

a2

'

"

'

=

a"

='

a'

produsul

:

t.

.,.,2

se

noteaed

at'

Frin

convenfie'

pentnr

n

=

# =

e.

e

fiind

etrementul

neutru

al

grurpului'

&l'

32'

"..'

2n

'=

O

se

considera

rrr+n

a-

:

:=-''

=(a*

u*

..-fl

'(a'a"',

a)

{13;3

I

"..

d

=H";-4-a*''

M

--X_.---

m

m

3

OBSERVATEE

[-I

".

:,

rotatie

aditivA,

proprieffitiie

anterioare

se

scriu:

1

-

a+.".+

a)=

*"*,

ma+

na

=

(rn+

n)a

qi

(m"n)'3'

=

1rl"(t'")'

i--;*

_

:rini

cazur'n

care

n

e

r|si

n

<

0,

puterea

at

se

defineste

ast'fel:

-:-

-

I

o-I

\-'

=

{r-'\-t ,

.r11d*

a-l

este

elementul

sirnetric

atr

eXementului

a'

.

=ld

I

_\*

l

E

TEERENNN

iI

Fie

(G,

)

*t

grlrp

$i

a

e

G'

Atunci:

.

_r

,*_,)o

,

v

ri

e

e;

")h'),

:i

,

47



a)pentrun<Orezultd:

("")-'

=(1"-,)-")-'

=

(("-,)-')-

=a_.

=("_,),.

b)

pentnr

-,

1

.

N

se

aplicd

teorema

lO.

entm

m

<

O,

n

<

O,

putem

;;;;

""

a*

.a'

=

a*

.("-"]

=

(u--)-t

("-")-t

=

(.-,

.

u--)-,

=

(._,__;-r

=

q**,.

Fiem>opin<o'

Daca

-

tl-r,

atunciexistd

r€N*,

astfellnc6tm=*n+r.

;:::

_.r,

":;;":__(:;:;f

::

-?r

'-n+n:.,=a-+n

Rezult6:

a*

'a'

=

(a

'a

....

.a).(r-t)-"

=

("

.

.

.:.

.=).(a-r

.a-r

.

...

.

"*r)

=

r

-l

-r

m

=

ta*'

'a-'t

...

1-_t)=

(a-t;-*-n

=

srr+n.

.-rn--n

N

proprietatea

este

adevdratd.

Dacd

m

<

0,

n

>

O,

=

(a-m)-n

=

"(-mX-n)

=

a^r.

Analog

se

analizeazdr

e)

Dacd

m,

n

€

atunci

avem:

("*)"

celelalte

situatii.

I

4.2,

Legi

de

simplificare

a)

Fie

x

o

y

-

x

o

z.

Compunem

la

stAnga

cu

simetricul

x_l

al

lui

x

:t":]lT

=*r-,.'

o(*

"v)

=

x-r

o

(*"')=

("-'

.";.u

=

i"-r

.")

o

t

)eoy

=



x

rl.

hil

Fre

x.

z

-

y

c

z. Compunem

la

dreapta

cu

simetricul

lui

z

9i

:r

,

z)

.

t-'

=

(y

o

z)

"

z-r

=

x

o

(t

"

"-')

=

t

"

("

"

"-') =

*

o

e

-

y

o

e

+

r=I

I

A

,[ftm

:*:tarrie

aditivi

relafiile

anterioare

se

scriu:

[

*

_;

=

s.

-

z

]

y

=

z

qix

+ z

=y

+

z ]

x

=

Y,

reprezentAnd

legile

reducerii.

Sr

:arricutar,

x + x

=

x

*

x

=

0.

t"Itri

rG.

.)

este

un

grup

finit,

atunci

in

tabla

lui Cayley

a

grupului,

iecare

linie

(coloanA)

toate

elementele

sunt

distincte.

-'der-ar,

daca, de

exemplu

pe

linia

i

ar

fi

doud elemente

egale,

ele

ar

grlf,F-:

r-

l-rna

ai.&k

=&i.?m.

Din

legile

de

simplificare

Se Obtine

oL-

&6,

Ha

ce

nu

se

poate.

&,of

brnpt.p7ol"ralet

m

1.

Fie

a)

A"

Ae,//2(o),"=[:

(

un

an*t)

-tl,

\.a.r*t

an*2

)

l)

t"

se

arate

cd:

unde

an

eL-,

n

e

N*

b) Pentru

oricare

m, n

€

N*

are

loc

relafia

or.r*n

=

&m+I

'&n+1

*

o-

'd.r'

49

M4,@7okai

m

Fie

multimea

M

=

{a,

b, c,

d}

9i

iegea

de

compozitie

M

x

M

-+

M,

,t^

v

)

-_)

x

.y.

astfel

incAt (M,

.)

este

un

grup.

Sd

se

alcS.tuia.sca

--abla

grupului, stiind

cab'

a

=

b si

b'

b

=

c.

in:=-

Tabla incornpletA a

grupului,

conform

enu.n-

:mru-u:

aratd

ca

in

figura

alaturata.

Deoarece

b

a

=

b, rezultd

tr'

a

=

b'

e

9i

dfllir-

-re{ea

simplific6rii

la

stAnga

se

obfine

a

=

e'

gs"-.r'ia

a doua

a tablei

grupuiui

trebuie

s5.

aparA

w.

+e*mentele

a

gi

d.

Dacd

b

.

d

=

d, ar

rezulta

b

=

e

=

0

$i

nu

se

poate'

#-:ine

numai

posibilitatea

b'

d

=

a

9i

Lr'

c

=

d.

-{stfel,

a

doua

linie

este

b,

c,

d,

a.

Analog,

a

doua

coloand'

este

b'

c,

d,

a.

Produsul

c

.d

nu

poate fi egal

cr-r

c

sau

d,

deoarece

acestea

apar

9i

nr

na

a

treia si

nici

cu

a,

deoarece

acesta apare deja pe coloana

a

patra'

fuita

ca

c'

d

=

b

qi,

analog,

d'

c

=b.

ft,-n-dnd

elementele

de

pe

liniile

3

gi

4 se obfine

c

.

c

=

a

qi

d'

d

=

3.



"Sotude

a)

Muitimea

,,//2(IA)

este

parte

stabild

a

lui

inmultirea

matricelor.

Rezuitd

cd

A'

e,//r(Ie)

pentn-r

oricare

n

e

N*"

n)1.

,,h(,D)

in

raporL

cu

Fie

An

neN*:

Din

egalitatea

A'*l

=

At

.A

-

A.A'

se

obtine

b")

fo

r)

(o

t).(u"

b.)

^^._

fn"

",_t"

.J

[,

rJ--[,

,J[.";

;:J*"

i;

c,,

i.d,,

Asadar,

b,

=

c,

si

d.

=

?,.

*

b,r.

Rezulta

cd

n

€ n.\*,

iar din

egatritatea

4n+l

-

A' .A

se

obtine

(ul,*t

-(

bn

a,,

+

b,.,

)

lbr"*r

-

[an

-r

b,.,

a,

+

Zbn

)'

Rezultd

b,-,

=

&,ro1

si

astfel

Au,

=

[

tr

an+r

)

{.*',.-,

an

*

an,lJ

_

Din

egalitatea

,1n'i2

-

A"

.42

se

ol:tine:

l:",

3n*3

l=[""

?n,r

)

f

i

]l

{

an

ra

[u".,

&n,2*a,.,.sJ

r,..,.,_,

,,-,

_or,,i

lu

;)-.,,i'.

J*',

si, prin

urmare,

a,nq

=

&,

*

&,r+r.

Asadar.

o'

,.l-t*

1""' l.

\'*nr.1

dn+2

)

,

O)

Folosirn

egalitatea

Am+n

=

A*

"A,

Si

rezuitd:

I

o*."

?nr.n*r

)=

[

"*

a**r

) f

a,,

an.r

)

\&m*n

.r

om-r*2

I

Ia*_r

a*_z

)'Io.

,,

an*z

)

=(

^n",

'fln

+

26*1 '?n,

I

am.an,l

*?rn

,r.an_2

)

\an

'am-l

l-?n-l

.Z.m_2

?m_1

.?n_I

J-Anr.2

.

an,Z)"

Din

aceastA

egalitate

matriceald

se

obrline

relafia

&m+n

=

&m

*'&m+1

'a,-,*,

pentru

Oricare

lTl,

n

E

n.q*.

E

2.

Fie

(G,

)

un

grLlp.

SA

se

arate

cA

pentru

oricare

a,

b,

c

e

G.

ecuatiile

ax

=

b,

]ra

=

b

gi

azb

=

c

au

solutie

unicA.

pentr

ll

1l^

./

\dn

^n

=

(u'

[."

b

cL_

n+

n

.+

Ic'

a_

TI

ltr-

n

n

n

u

Ln

+

(a

In

(u,

b,"

)

-

|

""

.1.,

,l'

an,

+Za,_r,i

)

2a,,

r

3a"

1./

d'r

)

l.

,Jl

n

runz'

bn)

,

+

br,l'

rl

D,,*t

)

a-+



b.,'

dn,

dn)

+

d,.,7'

bn)

+

b,-rl'

)

*

Algebri

r

l.

3E

rezoivAm

prima

ecuafie.

A'--ern succesiv:

ax

=

b

<=' ax

=

eb

<)rrr

=

(".

t)o

o

"*

=

"("-tu).

ialosind legea

de

simptificare

la

stAnga

se

obfine

x

=

a-lb.

l:alog

1'a

=

b

<)

ya

=

be

<>

ya

=

b(a*l")

e

y.

=

(n"-t)r.

f:losind

regula

de

simplificare

la

dreapta

v

=

ba-I.

?entru

ecuafia

azb

=

C,

avem

suCCesiv:

=

c

:=

a(zb)=

c

€ zb

=

a'rc

e

z

=a-lcb-l

EXERSARE

f[.

FE uultlmea

G

=

C

\

{1}

se

deflnegte

hgca de compozl ,ie

G x

G

-+ G,

def

ty)+xoY

=

x'iy-IKy.

,ri

St

se arate

cf,

(G,

")

este

grup

eomutatlv.

U

Se

se

calculeze

in

grupul

G:

1-t)',

(r-l)2

er

i5.

b)

Si se

determlne

4n

gl

tn,

n

> l,

xeG.

Pe

mu$imea

G

=

(4

+.o)

se

deffnegte

legea

de

compozifie

G

x 0

-+

G,

dcf

(x,

f)-+roy

=

xy-a(x+y)+2t).

a)

56

se arate

c[

(G,

"]

este

un

grup

cornutatlv,

b)

in

grupul

(c,

.)

si

se

determlne

Snglxn,n)lgtxeG.

fte

(G,

.)

un

grup ql

a,

b

e

G

astf,el

incit

ab

=

ba.

S[

se

arate

ci:

a)

a2b

=

ba2; b)

a2b3

= b3a2;

c)anb=ban,VneH.

Fle

(G,

.)

un

grup,

a,

b

e

G

gi

x

=

aba-r.

Si

se

calculeze:

a) x2;

b)

x6;

c) xn.

n

e

N*.

a)anb=bao,VneZ;

b)

a*bn=bta-,

Vm,neZ.

E,4.

85.

86.

APROFUNDARE

"

ff,"1?;"1,:;

=';:J:J;,:,"'J'

ll

5r

mHTil

$r

PR0BTEME

lrt

2a\

r&

'e

"

=

ti;

":)

,.

zi.

r.l

Si

se

arate

ci

G

eete

grup

comu-

tetiv

in raport

crr

inrnulflrea

matrl-

celor.

bJ Dact

A

e

G,

s&

se

calculeze

An,

neN'.

S5,

S€ coadder{

muglmea

C=(O

+.o)\{f}

ri legea

de

compozitie

G

x

G

-+

G,

d:"f

{.'

y)

-+

x

'y

l-

1lo8,Y.

a)

Si'

se

arate

ci

(G,

")

este

grup

eomutativ.



-}--.

(SJ"i"

(c,

.)

un grup

si

a,

b

e G,

astfel

incdt

a

=

b2

qi

b

=

a2.

SA

se

^

arate

cd:

\--.

ihj.dacn

x

=

aba,

atunci

xs

=

e;

: b"

$\daca

x

=

aba-I,

atunci

x3

=

e.

in grupul

(C,

.)

se

consideri

ele-

mentele

a

gi

b,

astfel

inc6t

ab

=

e.

Sa

se

arate

ci

ba

=

e.

i.>-'

,:1.4,,

Fie

(C,

.)

*

grup

gi

a,

b

e G,

astfel

inedt

ab2

=

e.

Si se

arate

cd

ab

=

ba"

,{5.

Fie

(C,

.) un

grup

sj

x,

y

e G

astfel

incdt

x5

=

e gi

y2

=

xyx-l.

S{

se

arate

cd ysr

=

6"

.{6.

in gruput

(G,

.)

se

considerd.

e e_

rnentele

a,

b,

c

astfel

ine6t

abc

=

e.

Sdt

se

arate

cf:

a)

b,ea

=

ei

b)

eeb

=

e.

"A?.

Se

corasfd*r#

gnarptd

{G,

.)

qi

a,

b

e

&,

astfe$

r**dt

aba =

bab. 56 se

arate

aS

e5

=

e,

dasd qi

nuslai

dae&

b5=e,

48.

S'ie

(e,

.)

un grup

si

a,

b

e &.

$d

se

arate

cd:

fi;.-,

ai

dacd

x=

aba*r,

atunci

x"

*ab*a-l

l Y:|vnEx;

.,1,

{k"'

DEZ'$TOLTARE

El.

Fie

(C,

.)

un

grup

cu

proprietatea

xl

=

sa

=+

y

=

z,

Sd

se

arate

ci

grupul

G este

connutativ.

D2.

Fte

(C,

.)

un

grup

-si

a

e G.

Si

se

arate

ci

dacd

Nag

=

ax3,

V

x

e

G,

atunci

G este

cornutativ.

I)3.

Se

considerd

un grup

(c,.),

eu

proprietatea

ci

existi

rn"

n

e N*,

b)

dacd

in

e

2."

astfel

ca

(aUa-r)"=

e,

atunci

bn

=

e.

A'9.

Fie

(e,

.)

"tr

grup,

A

=

{",

b,

c,

d,

e}.

Dacd

ab

=

d"

ca

=

e,

de

=

b,

si

se

alcituiasci

tabla

grupului"

A10.

Fie

(C,

.)

un

grup.

Si

se

arate

ed

G este

cornutativ

dacd

are

loc

una

dintre

situatiile:

a)

x2=e,

VxeG;

ut

("y)'

=

xzyz,v

x,

y

e G;

c)

(xy)-r

=

x-ry-r,

v

x,y

e G;

d)

xy-l

=

5'x-1,

V x,y

e

c

\

{e};

e)

xB

=

e

si

x2y2

=y2x2,

V x,y

e G;

fj

x3

=

e

qi

{"ry)z

=

(r)",

v

x,y

e

G;

g)

xy*r

=

**ty,

vx,y

e

c \

{e}.

Atl.

F're

*,,

t,

0

e

s4,

"

=

i']

2

3

i3 14

,=l'l

i :

1'l.r=[u

2

3

(? 1

4

3J'"-l\2

4

r

${ se

reaolve

ecuagiile:

s.)x$=r;

b)qx=U

c)

oxt

=

0;

d)

xo

=

ox;

e)

xs=6;

fJ

x2=0;

g)

tzot

"x

=

0407'

(*,

")=

L

astfel

incat

(4y)m

=

(yr,)^

9i

(w)"

=

(y*)",

V

x,

y

e G.

Si

se

arate

ed

G

este

grup

comutativ.

D4.

Fie

(C,

.)

un

grup.

Si

se

arate

ci

dacd

exist[

n

e

N*,

astfel

inc6t pen_

tru

orlcare

x,

y

e G,

(*y)t

=

*tyr,

ie{n,

n+t,

n+2},

atunci

grupul

G

este

comutativ"

4r\

2)'

4.1

3)"



e

G;

2)'

d,

e].

ce

una

se

cd

Algebri

r

l.

t/lorfisme

de

grupuri

i:e

G^.

')

si

(G2.

x)

doudgrupuri.

.a

I :

G,-+

G,

se

nl'rmegte

morfism

(omomorfism)

de

grupuri

mftmr.:

j

x

-

)')

=f(*)-f(V),

V

x,

ye

G1.

:a f :Gt

+

G2 se

numegte

izomorfism

de

grupuri

dacA f

este

m:srn

de

grupuri

si este

functie

bijectivd.

:;r-rriJe (G,,

.)

9i

(Gr,*)

se

numesc

1pryrri

izomorfe

si

se scrie

Gr

=

Gz,

dacd

dnm:=

ele existd

cel

putin

un

izomorfism

de

4r::"i.

tlqqple

- F

rc:a

f

:

I

-+

{-t,

t},

f (n)

=

(-t)"

este

morfism

intre

g:q:::le

(2,

+)

Fi

({-t,i},.)

-n:ir-"der.ar,

avem:

f

(m+n)=(-t)-*'=(-t)'

(-t)"

=

f

(m) f

(n),

v

m, n e

f,.

.i':-::ra

f

:Q-+(0,-),f(x)

=2x

este

izomorfism

intre

grupurile

(p,*)

qi

-

rl.

).

intr-adevar,

funcfia

exponentiali

f este

bijectivd

si:

f

(x

+y)=2x+v

=

=

-'

2y

=

f

(") r(v),

v x,

y

e

rQ.

riiii:-.

grupurile

(tO,

+)

si

((0,*),.)

suntizomorfe.

*1.:

-. 1C)

cM"(C)

rnultimea

matricelor

de

ordinul

n, inversabile.

Functia

:'--,f)-+o.,f(A)=det(A)

este

morfism

intre

grupurire

(r"(c),.)

qi

(,c.,.),

:r:.rece f(A B)=det(A

n)=det(a).det(n)=f(A)

f(B),

v A, Bet"(D).

:W&fsnA,

,.aga/ntae

W

Fe

multimea

Z

se

considerd

legile

de

compozitie:

t

-

I

-->

ft,

{x,y)

+

x

"yYx

+y+

1;

I

',.

t

-+

L,

(x,y)

--)

x ,

roj'x

+

y

+

5.

a) Sa

se arate

ca

(8,

")

ot

(2, I) sunt

grupuri.

b)

SA

se

determine

a,

b e

Z,

pentru

care

funcfia

f :

L

-+

il.,

::

x

=ax+b,

este

izomorfism

intre

grupurile

(/l,

")

+i

(2,

f).

f

(x).

f

(y)



r

l.

Grupuri

a)

Se verificS"

axiomele

grupului.

b)

Funcfia

f

este

morfism

de

grupuri

dacd.

f(""y)=f(t)f

f(V)

Vx,ye7I.(ll

Dinrelatia

(l)

se

obfine: a(x+y+1)+b=oX+b+ay+b+b,

y

x,y

eL.

relafie

din

care

rezultS.

a

=

b

+

5"

Aqadar,

f(x)=ax+a*5.

Pentru

ca f

sa

fie bijectivd.

este

necesar

ca f sd fie

injectiva

si

s'.rUectiv6.

Din surjectivitatea

funcdiei f,

pentru

y

=

a

-

4 trebuie

sd

existe

x e L-

asl,fel

incAt

f(x)

=

a-

4.

Rezulta ca ax

=

1,

de

unde

se

obfine a

e

{l

-

t}.

Funcliile

f

sunt:

f

(*)=

x-4

qi

f

(*)

=

-x-6,

care se

constat6

sunt

bijective.

Demonstratte

a) Avem:

f

(e,)

=

f

(e,

.er)t*oln"-r(.,),f

(",).

Simplificdnd

cu

f

(er)

in

grupr-rl

G2

se

obtine

f

(e,)

=er.

b)Avem:

r(")

t("-t)=t(*.o-t)=f(e,)=

r'2,

y

x e

G.

Din

aceasta

reta{ie rezultd:

f

(")

(f

(")-t

=

f

(")

f

(x-t)

+i,

legea

de

simplificare

la stAnga

cu

f(*),

se

obtine

rela{ia

t("-t)

=

(r('))-',

V N

e

G1.

c]

Pentru

n

=

O

rezultd

f

("r)

=

e2,

adicd.

relafia

a).

Pentru

n

e

Ni,

avern

succesiv:

aplicAnd

cen:ta.

o("")

=

t(".>r"-')

=

f(').t(r"-')

=...

=

r(")

r

(r)....

_f

(g

--(r("))"



r(v).

e

l.

ci

Algebrd

.

l.

<

0,

avem

succesiv:

,("-')-")

=

(r("-'))-"

=

(r(*))-t

(-')

=

(r1x;)"

.

r

_--UATIE

lF-,.,,-r,'.r

frm.

:mere

aditivA,

relatiile

anterioare

se

scriu:

d:

-r=0:

li:

-sr=-f(x),vxe

G1;

d:

rrt=nf("),vxeG1

gine

Z.

f,lkmnur--srarte

r)

Avem succesiv:

ffiil1:s

=

g{l(ry))

=

S(r(x;'r(v))

=

S(r1x;;

g(r(v))

=

tr(x)'h(v)'

V

x,

v

e

G'.

h)

Functia

f-l

:

Gz

+

G1

este

bijectivA.

ae

)-r

,

yz

€G2.

Deoarece

f

:

G1

+ G2

este

funcfie

bijectivd.,

rezultd

omss--a

xr,X2

e

G1,

astfelincdt

f(*r)=Yr

Fi

f

(x2)=Yz.

-rJ.:etrn:

f-t (y,.yz)

=

r-1(r(xt)

f

(xr))=

r-1(r(x,'*r))=

XlX2

=

=:*"

:-rf-l(yz).

-{-.a.dar,

f-t

este

izomorfism

de

grupuri.

I

+EilTII

Ff

=;#;To"

*

*

se numegte

endomorfism

al

grupului

G.

,'

-=

zomorfism

f :

G

-+

G

se numepte

automorfism

al

grupului

G'

]*[--:-lnmea

endomorfismelor

unui

grup

G

se

ttoteazd'

nnd(G)'

iar

='-:fdmea

automorfismelor

lui

G

se noteazd

Aut(G).

knu

n

^l

: I-J=Ii

55



a)

Din

teorema

14

rezttltd.

c5-

dacd

f, g.

End(G),

atunci

pi

f

"9

e

end(G)'

compunerea

funcfiilor

este

asociativi,

deci

qi

compunerea

endomorfismelor

lui

G

este

asociativd.

Funcfia

identica

ro

este

ndomorfism

al

lui

G.

in

concluzi.,

1ono1c),

.i;";onoid.

b)

Dacd

f'guAut(G)'

din

teorema

14

rezult.

cd

f

.g€Aut(G).

compunerea

funcfiilor

pe

aut(G)

este

asociativd

qi

admite

pe

1.

e

Aut(G)

element

neutru.

Dacd

f

e

Aut(G),

atunci

$i

f-r

e

Aut(G),

av6nd

'n

vedere

teorema

14.

Agadar,

(aut(c),

.;

"*,"

grup.

Se

observd

ca

(Aut(c),

.)

."t"

grupul

unitdfilor

monoidului

(End(G),

").

I

@

DxemBlu

.

Fie

(2,

+) grupul

aditiv

al

numerelor

intregi.

a)

Sa

se

determine

monoidul

(ena(Z),

").

b)

Sa

se

determine

aut(Z)

qi

sd"

se

ar

izomorfe.

rv rruL\r.,

Fr

sa

se

arate

cA

grupurile

(aut1z),

")

si

(2,r,+)

sunt

Solutie

;i"':j;::iltl^l:^rta.ce

r(n)

=

r(,

r)

=

nr(r),

v

n

e

z,(teorema

rB).

ma

lSJ.

ffi:,:l: il:;:: ,.,"1"*.:1"*

ar

rui

z

este

funcria

r^

:L

_+2,

f"

(x)

=

a;q.

n

concluzie,

End(Z)

=

{f^

|

a

e

U}

.

b)

Deoarece

Aut(Z)

c

End(Z),

rezultd

cd.

automorffsmele

lui

Z

e

Z

astfel

incdt

Asadar,

Aut(Z)

=

{fi,

f_r

}

Definim

s:

L2

_+

Aut(z),

astfel:

q(O)

=

r,,

o(i)

=

r-,.

Evide-t,

firnctir

deoarece:

----.''

'*"usd

g

este

bijectiva'

De

asemenea,

rp

este

$i

morfism

de

grupuri,

,r(o.

o)

=

*(0)

=

4

pi

e(0)"

a(o)

=

fi

o

fi

=

fi;

,r(o.

i)

=

r(i)

=

r-,

ci

q(6)"

r(i)

=

ri

.

r_r

=

r_

r;

'r(i.

i;

=

*(o)

=

ri

pi

e(i)",e(i)

=

r-r

.

r_r

=

ri.

Asadar,

are

loc

izomorlismul

de

grupuri

:

(Ur,

+)=

(aut(Z),

").



Si

este

pe

sunt

.

l.

Grupuri

nnflt

d

Cde

douA

table

ale

operafiilor

grupurilor

anaturat.

.*

obsen'a

ca

aceste

table

au

aceeasi

l.lb

tC,

+)

un

gnrp,

unde

G

=

Z,

e,

D,

('

i

r

e

G. Si se

arate

ci

f

:

G

-+

G,

f,{r}

=

ar

este

un

endomorflsm

de

1rryi.

in ce

caz

f este

automor-

h

de

grupuri?

$t

{G

+)

gruput

aditiv

al

numerelor

rryflFie.

Si

se

arate

ci f

:

C

-+

1;,

r{"}

=

i este

automorfism

de

lrryi.

o

(O',

.)

Sr"n"r

multlplicattv

at

rmoerelor

complexe.

Si.

se

arate

ci

f :C'+C-,f(z)=Z

este

auto-

rsfism

de

grupuri.

fl

f_r

ft f-I,

f*r

ft

ea

cu

urmdtoarea

tabla:

e

a

n

nm

{eneral,

doua grupuri

cu

un

numar

finit

de

elemente

sunt

dl^acA

tablele

operafiilor

lor

sunt

la fel

structurate.

SI PROBTEME

EXERSARE

e

a.

ae

roLrm

0(i7):{"+uJ?

la,r.0}.

.

Si

ee

arate ci:

O

(O(" ,+)este

grup comutativ;

;

I

I

57

tl

r :

o(J-z)

-+o(fi),

r(a

+

tJ-z)

=

a

*

bJ-Z

este

automorfism

de

grupuri.

,.{1

(85.

lse

consideri

mulfimea:

v

*

=

I^,*,

I

"t.r:

[l

;),

..

ri

LI

Si

se

arate

ci:

a) (M,

+)

este grup;

b)

f

:

A

-+

nn,

f

(x)

=

e(*)

este

izo-

rnorflsm

de

grupuri

intre

(D,

+)

+t

(nn,

*).

86.

Pe

rnulfimea

e

se

definesc

leg;ile

de

compozifie

xoy:x+y+a,

xfy:x+ay-L.

Si

se determine

a,

b

e

Q

pentru

care

f

:

e

-+

e,

f

(")

=

x

+

b,

si

fie izomorllsm

intre

grupurile

(n,

.)

+i

(p,r).



Algebri

r

l.

,.

87.

Fie

c

=

(-9,

3)

9t

legea

de

compo_

\-/

zifie

pe

G,

x

o

,

=

"J;.:".

si

se

arate

ce:

a)

(C,

o) este

grup

comutativ;

b)f

:G-+4,

f(x)=togzffi

""r"

lzomorflsm

lntre

grupurile

(C,

")

,

et

(D,

+).

f\l

e8,

ne

F={f1,

h,fs,f4}

unde

{:d_+d,

-J

t

=

I-

9t

f1(x)

=

x,

f2

(x)

=

_3,

fs(r)=f

,

,.(*)=-*.

Si

se

arate

c6;

a)

(F,

")

este grup

comutafiv;

este

izomorf

cu

gnrpul

Fie

F

=

{fr,

fr,

f3}

unde

f1 :

n\{A

f}

-+n\{O

r},

i=fi 9i

f1(x)

=

f2(x)=*,f3(x)=r-1.

se

arate

ci:

a)

(F,

")

este grup

comutativ;

b)

(F,

")

=

(Zs,

*).

ElO.Fte

(C,

.)

un

grup

Ft

a

e G.

pe

se

deflnegte

legea

de

G

x

G

+

G,

(x,

y)

-+

xoy=xay.

se

arate

c[

(G,

o)

este

un

gtup

(c,

")

=

(G,

,).

APROFUNDARE

il/"

j

comutativ;

[

('

"

42.

Fte

c=Ja(a)=l*

r

\_,

I

l"o

Si

se

arate

ci:

a)

(c,

')

este

un

grup

b)

(e,

.)

=

(n,

+).

Jlj"

o={"t'r=(i

l)

aen].

se

se

arate

cE:

a)

(G,

.)

este

un

grup

comutaflv;

b)

(c,

.)

=

(n,

+).

(o

r

o)

Att.Fie

A=lo

o

I

|

_l

|

+i

multimea

(_r

o

o)

u=

{e"

I

"

=

t} .

sd.

se

arate

ce

(r4

.)

este

un

girup

comutativ

izomorf

cu

un grup

multiplicativ

de

numere

complexe.

.{4.

Pe

mu$imea

G

=

(8,

+

o)

se

consi

f--Aera

tegea

de

compozlfie

x

o

y

=

=:ry-3x-gy+12.

a)

S{

se

arate

ci

(G,

")

este

un

comutativ.

b)

Si

se

determlne

a,

b

e

p,

care

f

:n|+G,

f(x)=a:K*b

este

izomorllsm

inhe

((o,

+

o),

.)

+i

(c,

";.

A5.

Fre

.,

=

{(_"":1:

::::)

I

".

"}

gi

G,

=

{z

e

a,l

lrl

=

r}.

56

se

arate

ci

(ct,

.)

ti

(cr,

.)

sunt

grupurt

izomorfe.

46.

Fie

*={(;

*)j*o.*

u-*,=l

ei

cr={"

+yJzl

*,r.e,x2-

-2y2

=

r).

Sa

se

arate

ci

grupurile

(ct,

')

pi

(Gz,

.)

sunt

tzomorfe.

5B



gnrpul

r}

(x)

=

sd

x

xay.

gtup

xoy

aratc

GxG-+G,

(x,y)-+x"y:

{tg

=

* tgy).

Sn se

arate ci:

f&.

")

este un

grup

comutativ;

[rG.,

"]

=

(p,

*).

6

=

{1,

+

o)

li

legea

de

compo-

G

x

G

-+

G,

(x,

y)

-+xoy=

-**l

-22

-y2

+2,

I

sc

arate

ca

(G,

")

este

un

rl coEutativ.

tI,

* determlne

a, b

e

R,

pentru

fr@cfla

f

:

(O

.o)-+G

f(x)

=JilTE

*

iaonor8sm

intre

grupurlle

t$q-

-'),

:) ri

(c,

").

tc-)ungrupqiaeG.Sise

Ir

ce

f

:

G

-+

G, fo

(x)

=

axa-l

"= "-;,;);i

legea

de compo-

Algehri

r

L

Grupuri

este

automorfism

al

grupului

G

(

f,u

se

numeqte

automorfism

interior

al

grupului

G).

AlO.Fie

(C,

.)

un

grup.

Si se arate

ci

f :

G

-+

G, f

(x)

=

x-r

este auto-

morfism

al

grupului

G dacfl

si

numai

daci

G este comutativ.

All.Se

consideri

funcgia

f,"

:

G

-+

G,

f"(x)=ir'xll

o

F

=

{f"

la

e

(o,

+

*)}

.

sa se arate

ci:

a)

(F,

")

este

grup

comutativ;

b)

(F,

")

=

(1o,

+

*),

.).

AI"2.Si se

arate

c[

grupurile

(G,

.)

cu trei

elemente

sunt

izomorfe cu

(Zr, +).

DEZVOLTARE

l*

arate

ci:

r

{8.*),/(n.,');

u

rc',

)z(ol,

).

E

{G1,.)

Fi

(Gr,.)

doui

grupuri

leliene

gi

Hom(Gn,

G")

=

{f

:

G,

-+

+

G"

f

morflsm

de

grupuri).

Sd

se

:

cf,€

cji

(Horn(G'

Gr),

+)

este un

jrql

abelian.

Fie

(G,.)

un

grup

abelian. 56

se

arate

ci

grupurile (2,

+)

qi

(Hom(2,

G), +)

sunt

izomorfe.

Si se determine; a)

IIom(2,

Z);

b)

Hom(Q,

Q)l

c)

[Iom(Q,

Z).

Si se arate cd.:

a)

grupul

ll,

x

Zr,

+) este

izomorf

cu

grupul

lui

Klein

(K,');

b)

grupul

(1,

x

Zs,

+) este

izomorf

cu

grupul

(Z*,

+);

c)

(Lx

l-,

+)

=

(2,*,

+)

<+

(m,

n)

=

1.

D5.

Subgrupuri

rie

(G,

.)

m

grup

in

notatie multiplicativa

si

H

c

G o

submultime

EnlTlE

Muntimea

H

se

numeste

subgrup

al

lui

G,

dacd

perechea (H,

)

fur-rnea2

grup.

59



Algebri

o

l.

ll9

Exernple

o

Mutfimea

n

=

{O,

ii

este

un

subgrup

al

grupului

(Lq,+).

"e.

DEFlillU

UerypnsfuW

a)

Folosind

proprietatea

elementului

neutru

rezuitd

e.e,=

e,,

in

3ffi1i"?.Li;."r*

J;"il,,,"o;

"e"i;;;;;-l",

",,

",,

i.g..

d.

.

b)

in

grupul

G,

avem

o,.*

=

X".x

=

..

nlr,rita

X,.x

=

x,,.x.

Folo

'

iar

in

$rupul

H

exista

egalitatea

se

:btine

*':*ll

r

sind

legea

de

simplifi"*.

r"i..rpi"

","*jl

j::1ff1j'":ltd

cd

etementul

neutru

al

unui

grup

(G,.)

este

erement

*.

*i**r,'10:xf,,J"1i:r:lii",:,,T

Jd

i*

"i*"td;ur

'u;;



'

)

.

l.

Grupuri

d

=

b) Dacd

H

este

subgrup

al lui G,

atunci (H.

')

este

grup.

Fie x,

Ehn

teorema

16 rezultd

cd

y-l

.

H. Deoarece

H

este

parte

stabi.l

_

-l

s

obtine

ca

4g-'

e

H.

-l

yr

-.i

rr,- r-r

------r1:

-- ---l

-

rr r^^i

f

=

c)

Fie

x

e

H.

Atunci

x-'

e

H

qi

din b)

rezultS.

x'x-' e H,

deci

trfuind

b)

pentru

x=€

Si

y=x-l se ob 1'e cd

x-l

=e.x-l

e

H"

H

conEne

odatd cu

un

element

qi

simetricul

acestui element.

&

r

l-

€ H.

Atunci

y-l

. H,

iar

din b) rezurtta

cA

x'Y

=

x'(V-t)-t

.

H.

F{

este

parte

stabild

a

lui

G.

rf

=

a)

Sa

ardtim

ce

(H,

') este

grup.

Din

ipotezl"

rezwltd' cd H

ng,rc

stabila

a lui G

in

raport

cu

operafia

indusd..

Proprietatea

de

te a

operafiei

grupului

G

este moqtenitS'

qi

de

operafia

pe

H.

DacA

x

e H, din

ipoteza

ce

x-l

e H

rezultd

cd

e

=

x'x-l e

h

conch:zie,

(H,

'

)

este

grup,

deci

este

subgmp

al lui G.

I

t-

me

(Gr,

.)

qi

(Gz,

')

doua

grupuri cu

elementele

neutre

e1

9i

€2,

L'

f

:

Gr

+

G2

un morfism

de

grupuri.

Sd

se

arate cA

multimile:

c

G1,

cGz

smt

subgn-rpuri

ale

grupurilor

G1,

respe'ctiv

G2.

5e aratam

cd

Kerf

este

subgrup

al

grupului

G1.

Fie

x,

y

e

Kerf.

i

f

tx)

=

€z

ei

f

(y)=

e2

ei

se

obfine:

t(*'t-t)

=

t(")

t(t-t)=

t(*)

,l-r

=e2'ei|

=e2,

deci >qy-l

e Kerf.

Conform

teoremei

17

rez:ultir

f

este

subgmp

ai

gmpului

G1.

5d

aratam

ci

Im

f

este

subgrup

al

grupului

G2.

Fle

x.

y

e

Imf. Atunci

existd

xr,

Yr

e G1,

astfel

incAt

f

(tt)

=

x

Qi

ri

=

1-.

61



Din

x1

.yr

€

Gr

se

obfine

ca

x.y-l

=f

fx-

i lf rr-"

-=r,,lf(vit)=

=

t(*,

.vir)e

rmr,

Subgrupurile

morlismului

f.

deci

Im

f

este

subgrup

al

eru

::;"*

Ker

f

qi Im

f

se

numesc

nucletolil.

:=sEN:t:rr-

imaginea

E

2'

Fie

(G'

')

un

grup

gi

H

o

submultinae

fs*.,ai

*

:=-

a

lui

G.

sd

e

arate

cd

urmAtoarele

afirmatii

sunt

ech:*=h.::

a)

H

este

subgrup

at

grupuiui

C;

*d

H

este

parti

stabilE.

irriC

in

raport

c::

::0::::::-:.

;-_:::-r-lui

G.

a)

=+

b)

Se

aplied

teorema

17.

b)

=+

a)

Fie

H

=

{xr,

x2,

...,

xr,}

parte

s.'hil.a

=

-:::

l

Vom

ardta

cd

dac6

x

e

H,

atunci

x_t

=

Ff..

I,,

stabild

a

lui

G

rezulti

ci

elementere

>o<,.

E:.

ff:ttrJ:

trril:

)o(2,

...,

:or.,)c

H.

Deoarece

elementele

>o<r.

Ifr:.

r_r_

s--::

distincte

dou6

cdte

douA,

rezultd

cd

{:or1,

a.2,

...,>o<,.,

j

=

FI_

;tr

s

=

H

rezulta

cd

existd

i

e

{1,

2,

...,

n},

astfel

incAt

x

=

X.Xi.

Folosrr-,c

.g€_a

ie

simplifi-

care

la

stAnga

in grupul

G

se

obfine

cA

x1

=

e.

deci

e:

ii

Arr:lci

existd

j'

{L

''

""

n}

altfel

inc6.t

e =

x'x,,

de

unde

rea:lta

ca .s-:

=

it

conformeoremei

17

se

obfine

ci

H

este

subgrup

al

grupr-riru

G

tr

3.

Fie

(G,

.)

ungrup

si

Hr,Hz,

subgrupuri

a-le

rur

G

sa

se

arate

cd

,

n

H2

este

subgrup

al

lui

G.

Solufre

l-ie

x,

y

e

Hr

^Hz.

Rezultd.

c6

x, y

e

Hr

gi

x,

]-

=

t_i;

Deoarece

H

I

i

Hz

sunt

subgnrpuri,

conform

teoremei

17

rea,,ta

.6

x

r--i

e

H1

qi

J"Jffi?;*rXlj,"

se

obfine

ci

x'v-r

e

Hr

^Hz.Asadar

H

^

Hz

este

C

OBSERVATII

'

Dacd

Hr,

Hz,

...,

H.

sunt

subgrupuri

ale

lui

G,

atunci

H,

^

Hz

....

n

H'

este

subgrup

al

lui

G.

'

Dacd

Hr'

Hz

sunt

subgrupuri

proprii

ale

lui

G,

atunci

G

=

H,

u

Hz.

ntr-adevdr'

dacd

presupun"-

""

G

=

Hr

uHz,

fie

x, y

€

G,

astfel

incat

e

G\H2

si

ye

G\H,.

Deoarece

x,y€

G,

rezultaca

xye

H,

sau

62



Algebri

.

l.

Grupuri

G.

Sa

G.

parte

{ro<r,

cd

existA

cA

H,

qi

este

sau

xy e

Hz.

DacA,

de exemplu,

ry

e

Hr,

atunci

existd

h1 e H1,

astfel

ca

W=hr.Atunci

y=x*l

'h1 e

H1, incontradicfiecu

yeG\H1.

Anatog

se

arati

ca

xyeH2.

Aqadar,

G*HruHz.

Rezultd

ci

orice

gn"rp

nu

se

poate

scrie

ca

reuniune

de

doui

subgrupuri proprii.

Subgnrpurile

gnrpului

aditiv

(2,

*)

Fie

(2,

+)

grupul

aditiv al

numerelor intregi.

Demonstratie

,,e"

Sd.ard.ttrmcipentm

Vne

N, mulfimea

H=nZ estesubgrup

al lui

Z.

.

Pentru

n

=

O

rezultd

O.T-

=

{O}

Oi

se

obline subgmpul nul.

.

Pentru

n

=

1

rezulta

1'il-

=L,

si

se

obfine

subgrupul

total.

Fie

n >

2

qi

H=rtT..

Dac5.

x,

y

€

nZ,

existS.

p,

qen,

astfel

incAt

x=rrp

qi

y=nq.

Atunci

x-y=np-nq=n(p-q)€

nL.=H,

Conform teoremei

17, H este

subgrup.

,,9"

S5.

ar5.td.m

ca dacd.

H

este subgn:p,

astfel

incdt

H

=

nL.

Dacd

H este subgrup

H

=

{0}

=

OZ

sau H

=L- =lT-.

Fie

H subgrup

propriu

al lui Z

gi

x

e

H.

RezultS.

cd

-x

e

H,

deci

mulfimea

H

confine

qi

numere

strict

pozitive.

Notim cu

n

cel

mai

mic

numdr

pozitiv

nenul din

H.

Deoarece

H

este

subgrup,

rezuLtd.

cd

O

e

H,

iar

din

faptul

c[

n

e H

se obfine cd. n.p

€

H,

pentru

oricare

p

eL. in concluzie, nL c,H.

Sd.

arAtAm

incluziunea

reciproch HcnT-.

Fie x

e

H. Din

teorema

impdr,tirii cu rest, rezultA cd existA

p,

r

eL.

astfelinc6t

x=flp+r,O<r<n-1.

Daci

rtO,

dinrelafia

r=x-npe

H,

rezultd,

cd r

e

H. Deoarece r

<

n,

se

contrazice faptul

cd n

este

cel mai

mic numdr

pozitiv

din

H. A$adar, r

=

O

gi

x

=

np

e nT-, de unde se

obtine H c, nL.

in

concluzie,

H

=rtL-

ei teorema

este

demonstratS..

f

atunci

existA

ne

N*,

impropriu,

atunci

63



en6*znrn&Zohtala/

tr

Fie

(2, +)

grupul

aditiv

al numerelor

rrir:eg:

*.

w

rm==:rf,e

inter-

sec{ia

subgrupurlor

2L

gi

SL..

Solufie

Fie

x

e

27lr-t3l;

rezultd

cd.

x

e2L

si s=:,t

ls

astfel

incAt

x

=2m

si

x

=

3n.

I

Rezultd

cA 2m

=

3n si

se

obtine

cA ;:

:s:

::rr:&r-

E

n=2k.

Asadar,

x

=

6k

e

6L'

deci

2llr-t37t

c

6il.

Sd. aritAm

si incluziunea

reciprocd..

Fie

x

=

6,I"

:r:r:

u

=

i;

rt p

eT_.

Atunci

x

=

6p

=Z'

(,3p)

e2.,L

si

x

=

3.(2p

i

=

JZ

.ry.

r

=

tr

^

32.

in

concluzie,

2L

aSL-

=

GL.

EXERCITII

SI PBOBTEME

EXERSARE

"-

i

,ij",

:

.

r

D1.

Fietu={z'1,

)

(

|

I

e

Z|.

sa

se

arate

ci

(wl,

)

este

subgrup

al

grupului

("1,

).

82.

Se

consideri

multimea

- ={;

i)

I

",'.

o.}.

si

se

arate

cA

(uil,.)

este

subgrup

al

gruputui

(u(*,(c)),.).

b) $E' se

nuruc od

tuFi

A

=

Z5

este

parte

strfoffi

h

qf--"c'

ga

rdunarea

qi

le

A,

emli

l.

=

Ie

Gcueralizare.

*t91

*"

(c"

t

^

Eru*

5a ce

rrete

ei:

a)

multim,crf

G=1:6

qr=xa,

V

a

e

G

?.crr

ldgrry

rn

hi

G,

nu-

mit

centm.ll

grryulhrc[

G;

b) e e"ste

daci.

G=frG

I

rr.

"*

-*

=[("

o)

I

1

L(o

b)l

lra o\ I

"4,

=

{[o

.J

I

".

a)

Si'

se

arate

cA

sunt

grupuri.

al

(*r,.)

este

subgrup

al

grupului

(,t(,.).

f+.

fie

M

c 26,

*

=

{6,

,,,

A\.

a)

S[

se

arate

ci

(tU,

*)

este

sub-

grup

al

lui

(26,

+).

DO_rr

Sn se

detcrutu

d6fuprile

gru-

pului

tui

Klprim

E"

,

K

=

{e,

a, b,

t,b.

d)

d]

('a,

;)

ci

9i

(*r'')

c)

qi

si

sc

rcMG

c{

grrpul

K

se

poate

scric

ct

relclli

nea

a

trei

subgrupuri goprii

E7.,fieMcLil=

iI.

-l

este

lubgrup

i

se

arate

ci

al

lui

(2,

-i.

Si

se arate

ed

uuttillile:

Ira

2b

r4t=1i

-

a.b=E'

^

ltoo

64



Algebri

r

l.

Grupuri

O

Grupurr

frnrte

Fie

(G,

')

*

grup.

Grupul

(G,')

se

numeqte

grup

finit

dacd

mur-

timea

G

este

finita.

Dacd.

G={"r,a2,...,ar,},

numdrul

neN.

se

nu_

meqte

ordinul

grupului

qi

se

noteaze

ord(G).

Deoarece

ord(z,r)

=

n

r€zurti.

ca

existi

grupuri

finite

de

orice

ordin.

7.L.

Subgrupul

generat

de

un

element

Fie

(C,

.)

un grup

qi

a

e

G.

Se

noteaza

(")=

{""

|

,.

"}

mullimea

puterilor

intregi

ale

elementului

a.

Mullimea

(a)

este parte

stabild

a

lui

G.

Daci

X,

y€(a),

atunciexistd.

p,q€2,

astfelirecAt

x=ap

$i

y=ae:

Atunci

ry-r

-

.n

.

(ao)-t

=

.o

.a-e

=

ap-q

.

(a).

conform

teoremei

16

rezultd"

ca

(a)

este

subgrup

al

grupului

G,

numit

subgrupul

ciclic

generat

de

elementul

a

e G.

@

Exemple

.

(")

=

{e}

qi

este

subgrupul

nul

al

grupului

G.

.

in

grupul

(2, +)

avem,

(2)

=

zt,

(S)

=

3Z

qi,

in general,

(n)

=

nz.

.

in

gmpul

(,c',

)

"""*:

(i)

=

{-r,

r,

i,

_

i}

=

un.

.

in

gmpur

(zs,

*)

"".-,

(z)

=

{o,t,

a,

6},

(a)

=

{0,

a},

(i)

=

nr.

3

OBSERVATIE

.

in

oricare

grup

(G,

.)

avem,

(*)

=

("

,)

7.2.

Ordinul

unui

element

intr_un

grup

Fie

(G,

.)

m

grup

Si

a

e

G.

*

pEFtiilTt

l'".

numeste

ordin

ar

elementurui

a

si

se

noteazd.

ord(a)

ordinur

I

subSrupului

(a).

l.U"-..t"-t":,- "e

G se

numegte

de

ordin

finit

dacd

ord(a)eN.

9i

de

I

ordin

infinit

in

caz

contrar.



,

dacA

ord(a)

=

p

<

n,

atunci

mulfimea

I

este

subgrup al

lui

G qi

este

chiar

grupul

(a).

r

l.

Grupuri

gup

(G,

.),

ord(e)

=

].

Elementul

neutru

al

grupului

este

sinElurul

element

1.

Klein

(K,

.),

oricare

element

x + e

are

ordinul

2.

(za,

+)

avem:

ord(O)

=

z,

"'a(s)=

e, ora(i)=

a"

a

=

G

se

observd.

ugor

cA

ord(a)

este

cel

mai

mic

numAr

"

=

{",

a,

a2, ...,

Se

obfine

astfel

nenul n

pentm

care

an

=

e.

,

deoarece

ora((a))=

n

*

p.

?h

aP

=

e.

Din

teorema

imper,tirii

cu rest

rezultd.

cA

existd

q

e Z

gi

I*2....,.t-U,

astfelincAt

p=nq+r.

Dacd

r*O

rezllti

e=aP=

=an9."t =("")o.ar

=e.ar

=ar,

in contradicfie

cu definifia

ordi-

nmri

element.

,{tsadar,

r=0

Si

p=nq.

Rezult6ca

nlp.

I

fi.

(G,

.)

rt

grup

Si

a,

b e

G. Se se arate

cA

ord(ab)

=

ord(ba).

Fre

n:

ord(ab). Rezulti

ca

(ab)n

=

e.

A;rem

35

=

(ab)'.t

=

("r).("u).....("u)

=

a.(ba)

(ba) ...(ba)

b.

n+l

n

F"olo.sind legea

de

simplificare

la

stAnga

cu

a

gi

la

dreapta

cu b

se

6

=

(ba)',

(t).

55

aritS.m

cd

n este

ordinul

tui

(ba). Fie

ord(b.)= p.

Din

teo-

19

rezultd.

ca

p

I

n.

Din relafia

(b")o

=

e, se

ob{ine

succesiv:

ba

=

(ba)e.'

=

gg_(o")

_Qg

=

u

gu)

(au.)__gg

a,

Qt.

p+I

p



Folosind

legea

de

simplificare,

din

relafia

(2)

se

obfine

s

=

(ab)p.

Deoarece

n

=

ord(ab),

din

teorema

1g

se

obfine

,

I

p.

Asadar, o

=

p

pi elementele ab

gi

ba

au

acelasi

ordin.

7'3'

Teoreme

remarcabile

in

teoria

grupur'or

finite

Fie

(G,

.)

rtr.grup

;i

H

un

subgrup

al

lui

G.

pentm

x

e

G

notdm:

"H={*lne

H}.

a)

Aratam

ca

H

$i

xH

au

acelagi

numd.r

de

elemente.

Definim

uncfia

f

:

H

-+

xH,

f

(h)

=

xh

qi

aratdm

cd

f

este

bijectivd.

o

lEectiuttatea.

Fie

h1,

h2

e

H

cu

proprietatea

ca

f(hr)=f(hr).

Rezultd

cd"

xh1

=

xh2

si

forosind

regula

de

simplificare

la

stdnga

se

obfine

cA

h,

=

h2.

Asadar

f

este

injectivA.

o

surjecttuitatea.

Fie

y

e

xH.

Rezultd

ci

existd

h

e

H

astfer

incat

=

xh.

Atunci

avem

ca

f

(h)

=

xh

=

y,

deci

f

este

surjectivd.

Aqadar

f

este

bijectivd

qi

astfel

card(H)

=

cardfxU).

b)

Deosebim

cazurile:

\

/

--

-\-

"

y

e

xH.

Vom

ardta

ca

xH

=

yH.

Fie

z

€

yH.

Rezultd

ca

exista

hl,he

H

astfel

incAt

y

=

xh

si

=

yht"

Se

obfine

cd.:

z

=

yhr

=

x(1h1)

"

*H

deci

yH

c

xH.

Reciproc'

fie

z

e

xH,

deci

existi

h1

e

H

cu

z=

xh1.

Rezultd

cd

z

=

xhl

=

(vn-t)nr

=

v(n-rn,)

.

yu

deci xH

c

yH. Asadar

xH

=

yH.

'

y

e xH.

Vom

ardta

cd

xH

n

yH

=

O.

presupunem

cd

exista

ex,^yH'Atunci

z

exHqiz

e yH,

deciedstd

hr,hz

e

H

astfelincat

z=x.t1,z=yhz.Aqadar,

yhz

=xh, sau

y=x(hr

hrrt.*

,,

"";;;;

ictie

cu

ipoteza.

In

concluzie

xH

n

yH

=

A.

J

68



t

ri

.

l.

Grupuri

nnE

:ul

anterior ne

aratd"

ca

craca

H

este

un

subgrup

ai grupului

nultimea

G

poate

fi

partilionata

in

submurtlrni

cu

acelasi

re

elemente

de

forma

xH,

cu

x

e

G.

Asadar

existd.

elernenteie

-r-

e

G astfel

incdt

G

=

(x,H)

u

(x2H) r,

"..

,.-/

("or),

unde

,e

x.H,

xzH,

...,xpH

sunt

disjuncte

doud

cAte

doud.

*

Gn:pul

G, avd"nd

ordinul

n,

poate

fi

\_v(

*-

-r:,.\2,...,

^nJ.

G;rnsiderarn

mulfimea

,il=lxrHl

l=f"

C]

:

=

card(M).

Se

observA

usor

ca

G

w:riunea

multilnilor

xrl{,

care

sunt

ale

lui

,.,//.

Cum

card(H)=card(x,H),

"-L,,

se

obtine

card(G)

=

r'

card(i{),

adica

n

=

r.

ord(H).

Asadar

ord(H)

divide

n

=

ord(G).

U

faca

a

e

G, iar

k=ord(a),

considerdm

(")={",

^,u2...,.u-t}

ar-ea

ca

orO((a))

divide

ord(G).

Dar

cum

orO((a))=

ord(a),

se

ca

ord(a)

divide

ord(c).

n

n. Fie

(G'

') un

grup

finit

cu

ord(G)=

p.

sd se

arate

ca

daca p

esre numd.r

prirn,

atunci

G

nu

are

subgrupuri

proprii"

3ie H

c

G un

subgrup

al

lui

G. Din

teorema

:r:rFI)

divide

numdrul p, deci

ord(H).{t,p}.

=

3

rieci

H

este

subgrup

impropriL_r"

lui

Lagrange

rezultd

Asadar,

H={e}

sau



C

OBSERVATIE

o

Grupurile

aditive

(Lr,*),(Lr,*),

...,(ro,

+),

...

cu

p

numar

prim,

nu

au

subgrupuri proprii.

tr

3;ii,ij"1#lj.

cd

toate

grupurile

care

au

ordinul

un

numd.r

prim

p

Solufte

Fie

(G,

.)

rn

grup

de

ordin

p.

Deoarece

p

este

numdr

prim,

grupul

G

are

doar

subgrupuri

improprii.

-

I

-----'

o-

-r

Dac[

xe

G\{e},

atunci

ord((x))=p,

deci

C=(*).

Asadar,

grupul

G este

grup

generat

de

un singur

element

x

e

G,

(grup

ciclic).

Fie

o={.,

x,

x2,...,

*o-i}.

Atunci

funcfia

f

:

G_rio,

f(*u)=t,

este

un

izomorfism

de grupuri,

fiind

funcfie

bijectiv',

iar

f(xk.*u,)=

=f(*n*n')

=

ilE

oi

r(xk)+f(xk,)

=

f,

*G

=

F;E.

Rezulta

cd

grup,I

(G,

.)

este

iz.omorfcu

gruptrl

(Or,

*).

A*sadar,

toate

grupurile

cu

p

elemente

sunt

izomorfe

cu

L.o,

deci

izomorfe

intre

ere.

tr

3.

Fie

(G,

.)

un

gmp

de

ordinul

4.

Sa

se

arate

c6,

G

=

ls

sau

G

=

K+,

unde

Kn

este

grup

de

tip

Klein

cu patru

elemente.

Solutie

Fie

ae

G\{e}.

Deosebimsituatiile:

.

ord(a)=4.

Atunci

G=(")={.,a,a2,a3}

ti

rezuttd.ca

f

:

G-+t_a,

t("u)

=

Q

este

izomorfism

de

grupuri,

(verificati).

Aqadar

(c,

.)

=

(Ln,

*).

.

ord(a)

<4.

Din

teorema

lui

I-agrang e

rezultd.ce

ord(a)

eAn

={t,

2

+}.

Cum

a

*

e

qi

ord(a)

*

4

se

obfine

ca

ord(a)

=

2.

A$adar

orice

element

a

e

G

\

{e}

are

ordinul

2,

deci

G este

grup

de

tip

Klein.

3

OBSERVATIE

o

Din

problemele

anterioare

rezurtd

cd

grupurile

cu

2,

B,

4,

b

elemente

sunt

comutative,

deoarece

ele

sunt

izomorfe

cu

L.2,

A3,

il,4,

A.s

sau

Ka

care

sunt

comutative.

PO

70



=

nu

p

B

4. Fie n e

N*.

SA

se

arate

cd.

dacd

aeil.,

astfel

incat

ffiffi

nr-::r{*i

ffi

(Teorema

rui

Euler)

ConsiderAm

monoidul

(2,,,

.)

si

fie

(,U(A^),.)

gruput

elementelor

lnm,

sabile ale

acestui

monoid.

Deoarece

ord(,\t(t*))=

q(r),

pentru

(., r)

=

l, vom

avea

cd.

&*

=

=

i,

ceea

ce este echivalent

"r,

"o(t)

=

I

(mod

n).

3

MSERVATIE

.

lacA

p

€

N

este

numdr prim, atunci

pentru

a

eil.,

ffi

se

ob{ine

.a

u(p)=p-1

9i

(Teorema

lui

Fermat)

ffiFncrilr

$r

PRoBLEME

EXERSARE

D: .

Si

se determine

subgrupul

generat

de

elementul

x in

grupul

speclficat:

e)r=2in(2,+);

b)

xe{-L

4

in

(e-,');

c)

x.

{2,

i} i" (2", +);

d) x e

{6,

6}

in (zrs, +);

(t2B\

"r

==[,

;

i.J

i"

1"r,.'.

Si

se

determine

elementele

de

or-

dlnul

m in

grupul

speciflcat:

.)

(e-,

.),

*=z;

b)(Ze, +),

m=2;

cl

(tzt,

+),

m=

3;

d)(c',

.),

*

=

n.

Si se

determlne

ordinul

elementelor:

a) i, 8,

6

in

gruput

(2r2,

+);

b)

i, a, 6, 6

in

grupul

(ry(ttr'),

'\.

(oo1\

tl

n"e=lo

r

ole*s(n)ar

lroo)

't

={t"

I

n.r.}.

r-t

a)

Si

se

arate

ci

('/1,

.\

este

grup

comutativ.

b) Si

se determine

ordinul

flecirui

element

A

e

Jl.

EE.

Fie .={(;

I

I

".eP*

F

o.r].

a) Si

se

arate

cA

(G,

.)

este

gruP.

b) Sn

se

determlne

elementele

lul

G de

ordlnul

2.

c) Sl

se

arate

ci matrlcele

(t 2\ (t 3\

A=l-

-l

st B=1,

I

auin

[o

-L)

\.o

-r)

grupul

G ordinul

2, dat

AB

are

ordlnul

lnflnlt.

/pO.

se se

determlne

ordlnul

permutlrll

o e

S'

in

cazurile:

(t2s\

a)"=[.s

2

r),

(t2s\

r)o=[s

,

r),

.

71



Algebrd

o

l.

Grupuri

I,

I'

-

(tz

s4

cl

o=l

[4312

-.

(tzs4

dJ

o=l

[3t42

-

(t2s4

el

o=l

(541

3

".1

lfo

o

o

r)"

/EZ.Fie"=llt

o

o

ol

'

llo

I

o

ol

Lt-o

o

L

o)

xeG,xn=e.

"'"

"=(l

I

[;

i)

t?

i){:

-J

u'].

2)

a)

Si se

arate

ci

(G,

.)

este

un

grup

finit.

b)

Si

se

determine

ordinul

fiecirui

element

al

acestui

grup.

E8.Fie*=lo=l'b\l

I

l'

(c aJ

i

a"ttet=t1'

a)

Si se

arate

ci

(G,

.)

este

grup.

b)Dac6A-fo

-r\

(r

r\

(.r

o)"i

n=[i

;),

si

se

arate

ca

ord(e)=4

ord(B)=e

iar

AB

are

ordinul

infinit.

APROFUNDARE

-*"(::)

(i;)

(;

lt;:)i

'

*)

56

se

arate

ca

(C,

.)

este grup.

K

KT

_il

g

::"::H?ilil'"':liflTru:::*,

?

iSi/fi1

element

din

G'

AB.

Fie

"

=

J[t

o\

/r

o

\

/-r

o)

lto

'j'[o

-'.j'Io

,),

(-t

o\l

'

Io

,)]''ft2@)'

A'f

.

F.ie

(c,

.)

un

grup

finit

necomu_

tativ

de

ordin

n.

a)

Si se

arate

cd

nu

existi

x

e G,

astfel

incdt

ord(x)

=

n.

b)

Se

se

arate

ce

pentru

oricare

I A"2.

a)

Si

se arare

cn

(G,

.)

este

grup

necomutativ

gi

si

se

alcituiasci

tabla grupului.

b)

Si

se

determine

elementele

de

ordinul

2

din

grupul

G.

t

A4.

Fie

(C,

.)

*

grup

sj

x,

y€c

cu

propri_

etatea

cn

ord(x)

=9,

yn

=e,

xy=y3x.

Si

se

arate

c[

dacd

yeG

\

{e},

atunci

ord(y)=Z

Fi

fx-xy.

.A5.

Fie

(C,

.)

un

grup

gi

x,

y

e

G

\

{e}

astfel

inc6t

ord

(=)

=

Z,

yo

=

e

s,i

>ry

=

yax.

Sd

se

arate

ce

ord(y)

=

=3

qi

{r=yx.

A6.

Fie

(C,

.)

un

grup

finit

gi

a,

b

e G

astfel

incdt

ab

=

6s,

iar

ord(a)

=

m,

ord(b)

=

n.

Si

se

arate

ei.

daci

(m

")

=

I

atunci

ora(al)

=

m.

rL

DEZVOT,TiRE

D1.

Si

se

arate

ci:

"l

(t,

+)

y'

(z[i], +);

b)

(zlil,

+)y'(o1i1,

+).

Fie

(Gr,.)

qi (Gr,.)

doui

grupuri

abe_

liene gi

Horn(G,

c/

=

{f

:

G1

_+

G2l

f

morfism

de

grupuri].

Si

se

arate

D3.

ca

(nom(cr, cz),

+) este

un grup

abelian.

Fte

(G,.)

un

grup

abelian.

Si

se

arate

ci

grupurile

(2,

+)

qi (Hom(Z,

G),

+)

sunt

izomorfe.

Si

se

deternnine:

a)

Hom(Z,

Z);

b)

Horn(Q,

e);

c)

Hom(e,

Z).

D2.

Pa@L

#

72



I

0'

tr

dr

"

S{

Algehrd

'

l.

Gruputi

TESTE BE

EUALUAME

Testul

1

lb

G=C

\

{1}

gilegeadecompozilie GxG-+G,

(*'y)-xoY=x+y-xy'

d

Si

se

determine:

&rye

I

ll

GruPa

2

t=

t-i)"(r+i);

ll

x=ioioioi.

t

5d

se

rezolve

in G ecuafiile:

rrr,x=i'x"i;

[l

xoi=i"(i"*)'

il

3i

se

rezolve

in G

sistemul:

:r=i:f j ll [2"x=Y.2

,rr-t)=y=1'

ll

l(e*)"Y=1'

(6

punete)

Testutr

2

rhG=i^..ftzv)

I"=[;

?)]

"*={e.c

(c

O\l

A=l l|.

t0

c)l

$

rc

arate

ci:

rr

rG"

')

este

monoid comutatlv;

U

E

-)

este

subgrup

al

grupului

(d,

+);

q

rmcria

r:

H

-+

",

t[[;

l))=

f-t1",

este

nnorfism

intre

grupurile

(H,

+)

.

{',

).

t5

Puncte)

lh

cmsideri

funclia

f

z

&6

-+

&sx

frs

datdprur

f

(a)

=

(a

mod

3; a

rnod

5)'

l

Se.

se

arate

ci

f

este funcfie

bijectivi.

u

xDace

o={t-t((o,v)) lvtns\,

s[

se

arate

c&

G

este

subgrup

al grupului

qi

3).

{4

punete)

/Testul

3

FG

nutfimea

G

=

(1,

2)

u (2,

+

o) se

definegte

legea

de

connpozilie

G.G_+G,

(",y)_rxoy=(x-r;I"(v-r)*t.

s6

se

stabileasca

valoarea

de

desEr

a

propozifiilor:

e.

G nu

este

parte

stabili

in

raport

eu

legea

dat6.

bi

Legea

de

compozifie

,,

o

"

este

asociativd.

73



r

l.

Grupuri

:l Tg.i

de

compozifie

,,

"

"

admite

elementul

neutru

numirul

e

+

2.

)

(c,

.)

este

grup

abelian.

(6

puncte)

02,

Pe

multimea

p

se

conslderi legile

de

compozlfie

xoX=ax+by_l

gi

1y

=

2xy

_2x_2y

+ c.

a)

Si

se

determine

a,

b

e

e

pentru

care

(e,

o)

este

grup

abelian.

b)

Si

se

determine

a,

b,

c

€

p

pentru

care

(e,

.)

este

grup

abelian

9i

(o"y)

Lz=(xLr).(y

rz),v

x,

y,

zeD.

c)

in

conditiile.

gisite

la

b),

si

se

aetermine

erementele

simetrizabile

in

onoidul

(p,f).

(g

puncte)

Testul

4

Or.

Fie

G

=

(o,

r)

+i

legea

de

compozifie

GxG_+G,

(*,

y)

_*.rY_____

=g._.

bxy-cx-dy+l'

a)

si

se

determine

a,

b,

c,

d

e

D, astfer

inc6t

(c,

")

si

fte grup

in

care

sime-

tricut

lui

1

es.

2

s

__re

f

ri

simetricul

rut

i

"n

n"

i.

b)

Si

se

determlne

m,

n

€

D, astfel

incit

funcfia

f :

(O,

+

o)

_+

(O,

f),

f

(x)

=

x+n

=

,nx

+

I

,

si

fie

izomorflsm

intre

g,upurite

((O, * .),

.)

9i

(c,

"),

pentru

valorlle

a,

b,

c,

d

gestte

anterior.

02.

Se

consideri

mulfimea

a

=

{tr

+

i)k

I

k

eZ}

c

O.

a)

Si

se

arate

c{

(A,

.)

este

subgrup

al

grupului

(".,

).

b)

Si

se

arate

ci

(e,

.)

=

(2,+).

Testul

E

Of.

Se

consideri

mulglmea

E

=exe

gl

funcfia:

f.

:

E -+

E,

f"

(x,

r)

=[-+

ay+*,

r-.j.

a)

Si

se

arate

cd

fa

o

fr

=

fa+r,

V

a,

b

e

e.

(5

puncte)

(4

puncte)

-&__

b]

nace

c

=

{fa

I

a

e

a}, st

se

arate

ce

(c,

.)

este

grup.

I-<*

c,

Aritati

ca

(c,

.)

=

(n,

+).

74

(5

puncte)



Testul

Z

OX"

Pe

mulfimea

mrmerelor

reane

& se

definepte

legea

de

compozitie:

-L

y

=

3xy_

6x_

6y+

r+,

p""i*.r1rice

x,

y

E lp"

a)

Si

se

arate

ci

legea este

asoclatlvd si cornutativ{"

b)

Si

se

derermine"ek*;;;;;:;;".

c)

si

se

demonstreze

cd pentru

orieare

n

e

H*

are

loc

identitatea:

f

1_1*...f

x=gn-I.(*-z)"+z,

xee.

xdenori

02,

pe

multimea

G

=

(f,

+

o)

se

definegte

legea

vx,yeG"

a)

Sd

se

erate

c6

{C,

*)

este

grup

abelian.

b)

$r[

se

rezolve

sisternul:

fx

-

(zy)

=

e

[(zx;*r=16'

c)

si

se

arare

c5

intr€

grupurile

((o,

+

*),

"i

9i

(G,

,*)

existi

un

izomorlism

de

f,ormaa

f(x)

=

ax"

03.

Fie

rnurfinn*

*

=

(l

*u*

r)

I

_.

o.].

wniv'

craioua,

*o,"r*3{l:"t3

a)

Sfr

se

determine

a,

b

e

eu,

astfei

inc6t

(M,

.)

si

fie grup.

b)

sd

se

arate

c[

toate

grupurile

obfinute

la

punctul

a)

sunt

izomorfe.

(2

puncte)

Testu

g

Gl.

pe

multirnea

nurnerelor

intregl

definirn

legea

de

eompozifie:

o

y

=

6xy

-

2x

*

2y

+ r'

Elernintut

neutru

al

r.*"t.i-iugi

u"t",

ele_9,

b)e=f,

ele=_1,

d)e=1,

elnuexistd.

C)2'

Fe

mulgirnea

numerelor

eornplexe

definim

regea

de

cornpozigie

,,

o..

dati

rin

relatia:

x

o

y

=

x+

y-xy.

Erernentul

sime;ic

aI

numirului

i

e

e

este:

als=',

b)s=t_i,

eis=1,

d)s=ljj,

e)s*?.-

'-

O3.

Pe

rnutfirnea

numerelor

reale

se

deflnese

operafiile

x,*y=x+y_Z

gi

oy-x+y-5,

V

x,

yee.

Functia

f,:e*rD,

Ot")=ax+l

este

izomorfism

nrre

grupurile

(A"

.)

+i

(n,

.)

pentno,

a)a=9,

bla=1,

ela=2,

dla=s,

e)a=4.

{B

ac

ar

qur

"r,

rrI1{Wil,

de

compozifie

x

*

y

-

xlog2y"

76



r

si

Algebri

o

ll. lnele

gi

corPuri

Befinilii

gi

exemPle

A

:

multime

nevidd'

9i

legile

de

compozi{ie:

-q'A-+A,(x,Y)-+xl-Y;

A.A--+A,(x,Y)+xTY"

tul

(A, l-,

T)

se

numeqte

inel

dacS'

sunt

verificate

axiomele:

;

-{.rumo

gruPuLuI:

k:-echea

(A,

f)

este

grup

comutativ.

-4xiorna

monotdutui:

F,sechea

(A,

T)

este

monoid.

-J.:crlri.ele

di"stributiuitd{ii:

r

.\'

-z)=("TY)I(xl

z).Vx.

Y.zeA:

o _

i-'t-

z

=(xT

z\-L(v

r

z),

V

x,

y.

z

e A"

.

.

.

-

-t

-'-

-^---J^^*')

e-^i

^^*"*a*irv

r:ln

-

i't-

z

=(xT

z)r(Y

r

z).

Y

x,

Y.

z

€

+"

E- -f.

_

-;

"b

n,-tni*fte

ixrel

comutativ

dacA

le€ea

de

cc'ipozif.ie

I*

se

comutative.

.

Gru.prd

(A,

f)

se

nurnegte

gmp,ul

subiacent

a.l

inelului

(A,

l' l)'

F..pi

simpiificarea

scrierii,

aluncl

cand

este

posibil,

pentm

cele

hS.

de

compozi{ie

,,l"

$i

,,T"

se

folosesc

nota{iitre

"+"

Si

"

"'

Astfe}'

Ei

A.

-,

T)

cap6td

scrierea

(A'

*'

').

r

h.ma

operatie

a inetrului

se

nume$te

adunarea

inelului,

iar

a

:ne:aie

se

numeqte

inmulfirea

ineXutrtli'

r

{ernentul

neutru

al

adunarii

inelului

se

nume$te

element

nul

ao

si

se

noteazft

06

sau,

mai

simPlu,

O'

r

S

metricul

unui

element

x

e A

in

grupul

subiacent

(R'

")

se

e

opusul

lui

x

;i

se

noteaz&

,,*x".

'

l,ac5.

a.

b e

A,

elementul

a

*

(-b)

se

noteazx

a

*b

9i

se

numeste

eiementelor

a

$i

b.

.

iiementul

neutru

al

monoidului

(A,')

se

numeqte

elementul

a-l

lneiului

qi

se

noteazf,

16

sau,

mai

simplu,

1'

.

rl-:

notatiile

,,+"

5i

,,."

pentru

opera{i.iie

inelului,

axiomele

distri-

::: se scriu:

r

l'-

z)-x'Y+x'2,

Vx,Y,

zeAi

n-

]-l

.

z

=

x' z+Y'

z,Y

x,

Y, z

e

A.

7V



Algebri

r

ll.

lnele

c0rpuri

:#r,nfiil?*:,:,s,:,:*.::l:tire

a

unui

erement

cu

o

sume,

"o

"."

T,

:jl:llu"i

un

ei

s

rime

""

;;

;;;;;

:i

ffif,T;

.:j:::-l,:l:

"]:.:yable

are

monoidurui

(A,

.)

se numesc

ere-

n:ffi

l";5,:1i1"^i"-'::ll1lo:i:,""il;;"';;.1"i;;:';"j,il::

:TTl1ff

lT:i,T-:-"j:T1,;21^r9s"l;;;;;#;i,,lll

j

:*:,::,,:::;

::T:

_sTp"1

rrnitir'or

inerurui

"

;;;:J"

[i]

abil,

inversul

sd.u

se

noteazd.

x-t

@

Exemole

de

inele

o

Din

proprietafile

adun'rii

9i

inmulfirii

numerelor

rezulti

ci

tripletele:

2,*,.),

(0,

*,

),

(p,

*,

.),tc,

.,

jl""t

i.r.t.

comutative.r.r-,"

inele

numerice.

Avd'nd

in

vedere

proprietS'tile

adunarii

s,i

inmullirii

matricelor,

rezurti

cd

tripletele:

n"@),

+,

),

(,u^(o),

*,

)

(

,;i;t,

;

)

";

Ai;;;

i:

>

2,

sunt

ine,e

neco.

ilH*f''?iH:lt:1,?JL1:.aceste

inere

este

matricea

,,.,,,

o",

iar

erementur

uni-

E

TEMA

l.

Activitate

ind.lviduo.ld.

Si

se

determlne

grupul

unltifilor

inelelor

numerlce

Z,

e,

p,

0.

2,,Actiuitate

pe

grupe

Pe

mutfimea

2 eI

"d,

fi*iffiss*ffiw**s

nstd.9li

Ie_ElIe

-de

compozitle

:

a)

si

ge

studleze

daca

(2,

t,

T)

este

lnel

comutailv.

b)

Se

se

determlne

Ae,).

1.1.

Inelul

claselor

de

resturi

modulo

n

Fie

n

e

N'

si

Zr,

=

{6,

i,

0,...,

modulo

n.

Se

gtie

cd

(2,r,

+)

este

noid

comutativ.

?"

;^"t1;t

totodati.

st

axiomele

distrib

utivitd.fii

:

x'(v+

")='i

y6i.=f

olyo-i)=

("oy)@Gor)

=

xol,**62

=

-

x

.y

+

x.z,

V

x,

y,

i

et_n.

Anarog,

(i.i)

.2=2

2*

j

2.v

Q,

j,2=L^.

Asadar'

inmurfirea

claselor

de

resturi

modulo

n

este

distributivd

n

raport

cu

adunarea

claselo.

OL

r."turi

modulo

n.

n

-

tj

mulfimea

claselor

de

resturi

grup

comutativ,

Iar

(/.n,.)

este

mo_

m]

78



Algebri

r

ll.

lnele

gi

corpuri

trie

Ae

'//"(K)

.,

rnatrice

inversab'a"

Atunci

exista Be

.//,.,(K),

astfel

incat

A'B

=

B'A

=,rn.

For*sind

proprieffitile

determinanfilor

se

oLrtine

ca

tler{A,B)

=

det(I,,)

=

I

9i

det(A)

Oet(n)

=

1,

deci

clet(A)

e

r/r(K).

Reciproc'

fre

det(A)e

a(K)"

ca

pi

in

cazur

inereror

nurnerice,

ma-

tricea

'4"*1,

in'ersa

matricei

A,

se

construieste

dupa

acerasi

argoritm:

o

constructia

rnatricei

transpuse

tA;

BO

a)

se

verificd

axiomele

inelurui,

avand

in

vedere

proprietatile

,.ffi";'1il.:i",,:]f,j:..u1.*entui

neulru

"ui*-_"o,cea

nuld

o,,

cu

oate

erernentele

egare

cu

04

-

erementul

nur

o*,r"-

^,

,lill"J;,ll

nitate

este

matricea

I'

cu

toate

erementele

de

pe

diagonala

principa-la

gale

cu

lp

si

in

rest

egale

cu

Op.

b)

Inelul

est.e

necornutativ,

deoarece,

rudnd matricele:

(r o 0.) (o I

o

o)

A=lo

o

oi.,-

io

o

o

ol

I

..i

"^

_

=i

.

.

..

...i

".

obtine:

io

o

o)

[o

o

o

a)

A.B=B

sr

ts"A=0r'

deci

A.B*ts.A.

m

{Jrmatorur

rezurtat-

precizeaza

care

sunt

elernenter"

irr.r".**"bire

in

neir"r

.

4

{K}



r

ll.Jnele

9i

corpuri

1.3.

fnele

de

funcfii

reale

Fie

(D,

+,')

inelul

numerelor

reale,

M

c

Q

o

mulfime

nevidd

gi

I(Nr)={rlr:M+D}.

Pe

multimea

:,V

(M)

se

delinesc

operafiile

de

adu

funcfiilor:

vrvrq -r'.s

uc

aqunare

pi

inmul{ire

a

,,

+,,

:

:/;

(Nr)

x

:t;

(M)

_+

a;

(M),

(f,

S).-+

f

+

g,

(f

+

S)

(*)

=

f

(*)

+

e

(x),

x

c

M

,.,,:,t;

(M)

",t;

(M)

_+

.t;

(M),(f,

e)

_,

f

s,

(f

;ji_i

=

f(x)

s(x),

x

e

M.

,""

"ffff|*i

jlr:?fi1fiile

de

adunare

si

inmul{ire

a

funcfiilor

reale

are

Demonstratie

veriffcarea

axiomelor

structurii

de

inel

se

face

avand

in

vedere

roprietifile

adundrii

qi

inrnulu;

numerelor

reale.

ace

av6'nd

in

ved

A:rioma

grupului:

(;f

@\,

+)

este

grup

comutativ.

c

Asociatiuitatea.

Fie

f, g,h

e

,I(NI).

Atunci,

pentru

x

e

M,

avem:

(r*s)+rr)(x)

=

(r+g)(x)+tr(xj

=

(r(x)

+g(x))+rr(x)

=

r1"1+(s(")

+h(x))=

=

r(x)*(g*rrX")

=

(f

+(g+h)Xx).

eqaaar:

(r*e)

+

h

_

f

+(g+

h).

""*

.,#ffi::fiffiff#::T:#:'cd

tuncna-nuta,

r:M-+,D,

r(x)

=6,

**

",#ffi':fi:ffiHhT::i;"(M),

atunci

funcfia

-f

e,r

(M)

t

Comutatiuitatea.

Fie

f,

g

e .z;(M).

Atunci,

pentru

x

e

M

avem:

r

+ gxx)

=

r(x)

+

S(x)

=

g(*)

*

(*)

=

(g

*

r)(*),

deci

f

+

g

=

g

+

f.

A:rloma

monolduluf:

(.2_(Vf),

.)

."t"

monoid

comutativ.

o

Asociatiuitatea.

Fie

f,

S,

h

e

,I

(M).pentru

x

e

M,

avem:

((r

e).r,X*)

=

(r

s)(*).n(*)

=

(ri*i

*("t.o(;)

=r(*),(e(").h(*))

=

r(*)

(st'X")

=

(f

(sh))(x),

deci

(rs)

h

_

r.(gh).

.

Elementulneuht;.-

Funcfia

f

e,t_(Nt),f

:M_+fO,

f(x)=1,

xe

ie,

este

lement

neutru

in

raport

cu

inmulfirea

functiilor.



o

Comutatiuitatea.

Daca

f,g.

J;(M)

9i

x

e

M,

avem:

(r.e)(")

=

f

(")

s(*)

=

g(*).f

(*)

=

(g

r)(x),

deci

f

.g

=

g.f.

A:riomele

de

distributivitate

Fie

f,

€,

h

e

J;

(M)

qi

x

e

M.

Se

obtine

succesiv:

(r.(s

+

n))(x)

=

r(x)

.

(g +

rr)(x)

=

r(x)

(g(") +

rr(x))

=

r(x).s(x)

+

+f(x).h(")=(f

.g)(")+(f

.h)(")=(f

.g+f

.r,)(*),deci

f

,(enh)=f

.g+f

.h.

Analog

se

aratd"

ca

(f

*

g).h

=

f

.h

+

g.h.

Asadar

(,t;(tW),

+,

.)

este

inel

comutativ.

3 OBSERVATII

l.

in

cazul

in

care

funcfiile

din

multim

ea

,r

(M)

au

anumite

proprietati,

se

obtin

inele

remarcabile

de

functii

reale.

'

Dacd

v$",

b])={f

:[a,

b]*,"

lf

continu'],

se

obtine

inelul

comu_

tativ

(ru

([a, b]),

*,

.)

ai

funcliiior

continue.

o

Dacd

"([",

b])

=

{f

:

[a,

b]-,

m

I

f

<trerivabti6.],

se

obgir:e

inelul

comutariv

i.:'([a,

b]),

*,

.)

at

functiilon

cterivabile.

r

Fentru

,'//={f:M-+in|trmarginita},

se

ob{ine

inerul

cornutativ

(,ft,

+,.)

at

funcfiiior

mflrginite.

n

Pentm

pr={f

:rQ-+&lf

periodicadeperioacl&T>0},

se

obxine

inelul

comutativ

(p",

o,

.).

2.

$dstd

inele

de

functii

reale

nu

numai

in

raport

cu

adunarea

gi inmultirea

functiilor.

Dac&

(C,*)

este

un

sub-

grup

al grupului

aditiv

(n,

+),

atunci

tripletul

(ena(C),

+,,)

este

inet

ne_

cornutativ

(inelul

endo_

morfisrnelor

lui

G).



4 grbr

r

ll.

lnele gi

corpuri

TXEHCITII

SI

PROBITME

EXERSARE

81.

Si

se

stu.dieze

distributivitatea

legii

de

compozifie

,,

T., in

raport

cu

legea

de

compozifie

,,

J_,,,

pe

mulfimea

M, in

cazurile:

a)

M=e,xrr=t*,

xIY=2x+2y;

b)

ltl=Q,xTy=xy,

xIY=x+y+l;

c)

M=Q,

N

T

y=2:cy+4x+4y+6,

xJ-Y=x+y+2;

d)

M=[),

x

T

y=-r<y+3x+By-6,

x1Y=x+y-3"

D2.

Pe

mulfimea

Z

se

consideri

opera-

tiile

algebrice

x

-L

ytt*

+

y

+

2

si

xTy=xy+2x+Zy+2,

al

Si

se

arete

cd

(2,

f,

r)

este

un

inel

eonoutativ"

t"r)

S*

se

deterrnine

elemaentene

inver-

sa *iLe

atre

inelutui"

eS.

S&

se srud.iezc

dae*

(i{, 1,

T)

este

ine qi

s&

se

d,eternrlne

elementele

imversabfle,

in

saaurile;

a)

x"Iy=:{+y-3,

xTy=xy-3x-3y'12;

b)

x-L =x+ +2,

xTy=Zt<y+42+4y:6;

c)

x1y=x+y-5,

xTy=xy-5x-5y+3O.

84.

Sn

se

studieze

dacA

adunarea

sl

inmulfirea

matricelor

determini

pe

mulflmea

M

o structura

de

inil,

pentru:

a)

b)

e)

d,l

e)

"={[;

I

M=Jr.

b

L(.-u

a

l("

o

*=1io

b

ll.o

o

f{"

2b

nn={lu

a

[["

0

iIa+n

toI

=.{t

[[

-b

",1

.

n];

|

",0.

o],

.,O

-

Oi,

o)

ol

a+b)

I

a,beQf;

j

*,

b.

oi.

O\I

|l

nli

L)

I

nlo

l

^

-b)

Af

.

t9

rnutflmea

e

se

defln€sc

opera-

tllle

algebrtce:

QxQ+R

(a

r)-+xryYrnrax{x,

y};

QND*rP,

(*,

y)-+*

ryYrntn{*,

y}.

S&

sr,

studieze

dlstributlvltatea

ope_

rtplei

,,

i,.

in

raport

"r,

op""rli,

,,

T

"

qi

a

operaflei

,,

T.,

in

raport

cu

operafia

,,

J..,.

.A2,

Pe

mullimea

Z

se

definesc

legile

de

compozitie:

lx

Z

-+2,

(*,

V)

-+*

t

yY;,+y-3;

def

xTy

=

xy+Irn(x)"1*(y).

a)

$i

se

arate

ci

tripletul

(C,

f, f)

este

lnel

comutativ.

b)

Sn

se

determine

elementele

inversabile

ale

acestui inel.

APTI.OFUNDARE

43.

(*,

y)

*

*

-r.

yuJt*.

y

-

gx

+ ay

+

b.

$5.

se

deterrnlne

a,

b

e

Z,

astfel

inc6t

legea

de

compoztlte

,,

J-,,

si

fle

dfstributlv{

in

raport

cu

,,

T

,..

Pe

multimea

O

raflile

algebrice

se

conslderi

ope-

def

xJ-y

=

x+y

9l

B4



.{4.

Pe

mulfimea

M

=

(O, +

o)

se

defi-

nesc

operatiile

algebrice:

def

def

xIy

=

x.y

Fi

xTy

=

xlnY.

a)

Si

se

arate

cA

(U,

f,

f)

este

inel

comutativ.

b) SE

se

determine

U (M).

Fie

aeD

gimulfimea:

a=l*.,d.rl"I

l=(;

l4

a)

Si se

arate

cd.

(*^,

*,,)

este

inel.

b)

Si

se

determine

U

(Mr),

Pe

mulfinnea

A

=

QxQ

se

deflnesc

operagiile

algebrlce:

def

(*,y)*(a,

b)

=

(x+a,

y+b),

(*,

y)'(a,

b)

=

(xa,

xb

+

ya)

a)

Si se

arate

cd

(4, *,

.)

este un

ineI.

b)

Si

se

determlne

q

(A).

Se

consideri

mulfimea:

*

=

lt"

zt

-+t

I

fr(*)

=

e..

xr

a

e

z).

Si

se

studieze

daci

urmitoarele

triplete f,ormeazi

inel

gl

si se afle

W (9)

in

fiecare caz:

al

(9, +,

');

b)

(9,

+,

,i1;

Si

se

arate

ci

mulflmea:

l(^ b\l

I

"=tlu

",J

l"'t'cezz]'

impreuni

cu

adunarea

gi

inmul-

lirea

matricelor

formeazi.

un inel.

Sd

se

determine

numirul

elemen-

telor

acestui

inel

pi

A

(M).

fofS"

consideri

multimea

M

=

{a,

b, c}.

[Q-"u

se

arate

cn

(s(M),

A,

n)

este

uri

inel comutativ.

r$"u

se

determin

e

ql(s(M)).

\

Alo.Fte

(A,

*,

.)

;t

(n,

+,

.)

doui tnele.

Pe mulfimea

M

=

AxB

se

deflnesc

operafiile algebrice:

("r,

br)+

(a2,

lr)Y(a,

+

a2,

b1+

b2)

qi

(ar,

h).

(.r,

tr;Y1ar.

az,

h.bz).

a)

Si se

arate

ci

(M, *,

.)

este un

inel, numlt

produsul

inelelor A

gl

B.

b)

Si

se

arate ci

u(4=q@).q(B).

All. Sn se d.etermine

produsul

inelelor:

al

(zz, +,

')

+r

(zr,

+,

.)t

,

b)

(z.2,

+,

')

ei

(zr' +'').

47.

O

Reguli

de calcul

intr-un

inel

Calculul

algebric cu

elementele

unui

inel

(A,

+,.) respectd

toate

regulile de calcul date

pentru grrp

Si

monoid, cAnd sunt.implicate

separat

adunarea, respectiv inmu{irea inelului. in afari

de acestea,

intr-un

inel existA

gi

alte reguli de calcul specifi.ce, care

fac legdtura

intre

cele

doud.

operafli

algebrice

ale

inelului.

Fie

(A,

+,

.)

un inel cu elementul nul

O

qi

elementul unitate

1.

Din

definilia

acestora se

ob(ine c5.: O+O

=

0

gi

1.O

=

O.l

=

O.

85



3 OBSERVATII

1.

inelele

numerice

Z,

,Q,

e,

'C

sunt

domenii

de

integritate.

L Fie

(A,

*,

T)

un

domeniu

de integritate.

Atunci

x T

y

=

Oa

(?

X

=

OA

sau

Y

=

OA.

c"

Fie

n )

2

un numir

natural

compus.

Atunci

inerur

(Ln,

*,.)

nu

este

domeniu

de

integritate.

intr-adevdr,

dacd.

n

=

p.e,

cu

p,

q

>

2,

se

cbrine:

6

=

i

=

i.a,

deci

fr

qi

Q

sunt

divizori

ai lui

zero.

,1"

orice

divizor

al

lui

zero

aJ

inelului

(A,

*,

.)

ru

este

element

inver-

sabil.

intr-adevd.r,

fie

a e

A, divizor

aI

lui

zero.

Daca

a e,ttt

(A), existd.

be'l/(A),

astfel

inc6.t

a.b=I

qi

b.€t=r.

Deoarece

a

este

divizor

al

lui zero

rezulta

ci

existA

c e

A

\

{0},

astfel

incd.t

c.d

=

o. Din

relalia

a.b=l

seobfine

c.(ab)=c

Fi

(ca),b=c,

deci

O=c,

incontradicf.ie

cu

c

*

O.

Asadar,

a*,,?t(A).

Urmitoarea

teorema

da

o

caracterizare

a

divizorilor

lui

zero

in

:nelul

claselor

de

resturi

modulo

n.

"\emonstratie

Sa

presupunem

ca

(x,

n)

=

d >

1.

Rezulti

cd.

existi p,

q

€

{2,9,

...,

n

-

1) astfel

incAt

X

=

p.d

qi

n

=

g,d.

Se

obfine:

i.a

=

(;On

=

plqI;

=

t;

=

6, deci

i

este

divvnr

al

lui

zero.

Reciproc,

s5'

presupunem

ca i

existi i./.nt

{0}

,

astfel

incdt

i.i

=

0.

Dacd

am

avea

(x, n)

=

1,

ar

exista

r,

s

eT-,

astfel

irrcAt

IX

i-

SI1

=

1.

Din

aceastd

relafie

se

obfine:

i=ff;;n=fr*fr=;.in6=

=;.i,

deci

i

e,tt(il.),

ceea

ce

nu

se

poate.

Asadar,

(*,r)

>

l. I

87

este

divizor

al

lui

zero.

Rezulti. cA



Mulfimea

solufiilor

ecuafiei

este

S

=

{i,

U}

b)

Ecuatia

poate

fi

adusd

la

forma:

(*

-

i)'

(*

*

2)

= o.

Mulfimea

solu{iilor

ecuafiei

este

S

=

{i,

E}

EXEnCTIil

$t

PRoBTEME

El.

Se

se

determlne

elementele

x

e Z'

care

sunt

divizorl

al

lul

zero,

in

cazurile:

a) n

=

4;

b)

n

=

6;

c)

n

=

B;

d) n=

6O.

82.

Si se

arate

c[

urmdtoarele

inele

nu sunt

inele integre:

al

(s(z),

+,

.);

b)

('ar1a7,

+,.).

E3. Pe

mulf,imea

E=QxQ

se

deflnesc

operafiile

algebrice

(a, b)

+ (*,

y)

=

=

(a + x, 6

+

y)

9i

(a,

t).(*,

y)

=

=(ax+

2by,

ty

+bx).

a)

Si se arate

ci.

(p,

*,

.)

este

inel.

b)

Si

se determine

divizorii

lui

zero

g

w(e).

E4.

Fie

(A,

+,

.)

un lnel.

Si'

se arate

ci:

a)

-(-a-b)="+b;

t)

(-a)'(-b

-

c)

=

ab

+

ac;

")

(-"

+

b).(a

+

b)

=

6z

-

a2,

daci

ab =

ba.

85.

Sn se

arate

cl intr-un

inel

comu-

tativ

(A, +,

.)

are

loc

egalitatea:

(a+b+

c)2

=rz

+b2

+c2

+

+2(ab+bc+ca).

Ce

devlne

aceastl

egalltate

fu

Az?

Dar

in

Zs?

E6.

Si se arate

ci

in

inelul

22

au

loc

egalittfile:

87.

a)

(a+b)'="*U;

b)(a+b)t=.+b,VneN*.

Si se

arate

ci in

inehrl

24

au

loc

retra-

fiile:

a)

(a

+

b)"

=

^'-

2at

+

U2;

b)

(a-b)'=r'

+|ab+b2;

c)

(a+o)n

=(.'

*o,)'=(r,

-or)'.

Si se

rezolve

ecuafiile:

a) x2+0=6

in

zs

Fi

z6;

b)

xa+x2+i=6in

zs?itzi

c)

x6+6=6

in

zz.

fie

(.+,

*,

.)

*

inel

comutativ

qi

a,

b

e A,

astfel

incdt

a2

=

d,

b2

=

b

gl

M

=

{ab,

1-a,

l-b}.

Si

se

arate

ci

daci

x

e

M, atunci

z2

=

z.

EXERSART

88.

APROFUNDARE

($

t*

se

rezotve

in

Zl2ststemele:

42.

Se

se

rezolve

in

Zs

sistemele:

')

{?"+6v=?,

o,

{:

+6v=a^.

[3x+7y=6

[3x+7y=e

i,,-

n

{i.

+av

=1,

o,

{i.

.?

=i.

, ..*' l4x+Sy=z

l3x+3y=1

'ri



iar

dacd

X

=

E

*bfi

e

o(fi)'

atunci

*x

=

(*a)+

(*n)JE

.

a({u)

este

opusul

lui

x.

Perechea

(n(n)

\

{o},

.)

este

grup

comutativ.

intr-adevar,

inmurfirea

este

asociativd

pi

cornutativa,

elementul

1

=

1+

oJd

e

Q(fi)

\

{o}

este

element

neutru.

Fiex=a+bJd.a(fi)

\{o}.

Sd

determinam

x'

.

O(Ja) \

{O},

astfel

ca

)o(,

=

L.

Avem:

*,=]=

I

-a-b.,fr

a

b

x

a+uffi=ffi=;{brd

-J*%Jo.'o(fi)

t

to}

se

observi

ce

a2

-

b2d

*

o,

deoarece

din

a2

*b2d

=

a

ar

rez,rta

a

=

+bJd,

in

contradicfie

cu

a

e

,e'.

in

concluzie,

(O(Jd)

\

{o},

.)

este

grup

comutativ.

Deoarece

inmurfirea

este

distributiva

in

raport

cu

adunarea,

se

obtine

"a

(O(Jd),

+,

.)

este

un

co{p

cornutativ.

Analog

se

aratd.

ca

(O(iJO),

*,

)

este

corp

comutativ.

in

acest

corp:

;'

=

--l--

=

^-3-^

*

=

*bi.

a +

biJd

a2

+

b2J

u2

+nra

€

=

o(iJa).

Fie

n

numdr

prirn.

Atunci

pentru

orice

i eL.n,

xelt,Z,...,

,r_l)

avem

(r,

")

=

l,

deci

i

e,'tt

(Un).

Asadar,

L,,

este

corp

comutativ.

Reciproc,

fie

ca

z',

este

corp.

Dacd,

prin

absurd,

n

nu

este

numar

prim,

rezultd

c6

existd

p,

q

€

N. \

{r},

astfel

incrit

n

=

p.q.

se

obtine

i

A

=

fr

=

6,

deci

zo

are

divizori

ai

1ui

zero,

imcontradic{ie

cu

faptul

ca

Z'

este

co{p.

Aqadar,

n

este

numdr

prim.

t

C OBSERVATII

1.

Dacd

p

€

N

este

un

numd.r

prim,

atunci

existd

corpuri

cu

p

elemente.

Un astfel

de

corp este

Zo.



r

ll. lnele

gi

corpuri

O

Morfisme

de

inele

gi

corpuri

Fie

(A,

.,

'r)

Fi (8,

t,

T")

doua inele.

*

pEFiltTil

.

O

functie

f

:

A

-+

B se

numepte

morfism

de inele,

dacd:

a)

f(x.y)

=

f(x)

r f(y),

v

x,

y

e

A;

b) f(x*y)

=f(x)

rr(v),

v

x,

y

e A;

c)

f(lo)=ln.

r

Functia

f :

A

-+

B se

numegte

izomorfism

de

inele

daci

este

mor-

fism

de

inele

si

este

funcfie

bijectivd..

.

Inelele

A

qi

B

se

numesc

inele

izomorfe

daci

existd.

un izornorfism

f:A+8.

PS.strAnd

notafiile

uz.uad'e

,,

+

"

$i

,,."

pentru

legile

de

compozilie

ale

unui

inel,

funcfla

f :

A

-+

B

este

morfism

de inele

daci.:

.

f(x+y)

=f(x)+f(v),

v

x,

y

e

A;

'

f(x'v)

=f(*)

r(v)'

v x,

veA.

'f(lo)=t".

un morfism

de

inele

f

:

A +

B este

in

particurar

un

morfism

de

grupuri.

RezultS.

c5.

f are

proprietd,file:

a)

f(O")=Osi

b)

f(-x)=-r(x),vxe

A;

c)

f(nx)=n.f(x),V

xe

A si

ne

Z.

@

Exemple

de marjisme

d.e

inele

I

Fie

(A, +,

.)

un inel.

Funcfia

identicd.

f

:

A

-+

a,

f

(x)

=

x

este

morfism

(izomorfism)

de

inele.

Un

morJism

de inele

f

:

A

-+

A

se numepte

endomorfism

al inelului

A.

Multimea

endomorfismelor

inelului

A

se noteaza

End(A).

un izomorffsm

de inele

f : A

+

A

se numeqte

automorflsm

al

inelului

A.

Mulfimea

automorfismelor

inelului

A se

noteazd.

Aut(A).

rFunctia

f

:l-+2",

f(x)=i

estemorfismdelainerul

(2,*,)

lainelul

(2",+,.),

numit

morflsm

canonic.

96



Algebri

.

ll.

lnele

9i

corpuri

Analog

se

obtine:

...,qqds#,q\

/

, r=\

(ax-3by

W)=

f

(ax

+

3by

+

(ay

+

bx)V3)

=

[

ry

n

n*

3av

+

3bx\

l=A'B:

ax+3by

j

Avand

f

(r

-

oJd)=

[;

corpuri.

Se

verificd

uqor

cd

izomorfism

de corpuri.

30)

|

=

I.. rezultA

ca

L)

f

este funcfie

bijectiva.

f

este morfisrn

de

in concluzie,

f este

#li

s:

*li

r r; irir

r lii

ItJSti*ii::=

Demonstratie

Deoarece

(K,

*),

(ff:,

+),

(t<",

*) sunt

gmpuri,

atunci

funcfiile

f

pi

g

sunt

morfisme

de

grupuri,

deci

si

I

"

f

este

morfism

de

grupuri.

Rezultd

ca:

(g.f)("+y)=(S"f)(")*(S"f)(v),

v x,

y€K.

in mod

analog,

rezult6.

cd

g

"

f

este morfism

(izomorfism)

intre

gmpurile

(^.,

)

qi (K"

\

{o},

).

Rezults.

ca:

(g

"

f)(w)

=

(g

"

f)(")

(S.

r)(v),

V

x,

y

e K.

De

asemenea,

(g

"

f)(1)

=

g(f

(t))

=

g(t)

=

t.

in

concluzie,

g

.

f,

este

morfism

(izomorfism)

de

inele

(corpuri).

I

DemonstretLe

Fie

(X,

*,

),

(K',

*,

.)

doua

corpuri, f

:

K

+

K'

un

rnorfism

de

corpuri,

qi

x,

ye

K,

astfei

incAt f(x)=f(y).

Dac5"

presupunem prin

reducere la absurd cA

x*y,

rezulta

cA x-y*0.

Atunci

x-y€

N(K)

qi

existA a

€')//(K)

astfel incdt a(*-Y)

=

f .

Se

obtine

succesiv: I

=

f(1)

=

=f(a(x-y))

=f(a).f(r-v)

=r(a)

[r(")-r(y)]

=o,

in

contradictie

cu

1*

O.

Aceastd contradictie

aratd

cd

x

=

y

qi

astfel

f

este func{ie

injectivd.



o

ll.

lnele

gi

corpuri

'7ro4lprrr?n,

?e/ilk

4zfp,

E

1"

Sa

se

determine automorfismele

corpurilolQ,

lp,

Zp.

SoLutie-

a)

Fie f

'rQ

-+

iQ

un autornorfism

de corpuri.

Rezulta ca

f

este

automorfism

al

grupului

('4,*),

deci f(")=x

f(t),Vxe

't).

Deoarece

i(1)=I

se obline cA

f

(*)=x,

Vxe

,Q,

este singurul

automorfism

al

corpului,Q.

b)

Fie f :

lQ

+

lQ un

automorl]"sm

al

corpului

lD. Vom

arata

ca

f (x)

=

x,

V

x

e Q.

Pentru

aceasta

vom

parcurge urmdtoarele

etape:

I.

Se

aratA

ca

f

(N)

=

x,

V

x

e

'Q'

2. Se

aratd

cA

f

este mclnoton

crescdtoare

pe lQ.

3.

Se

arata

cA

f

este

functia

identica.

1.

Funcfia

f fiind

automorfism

al

$rupului

(m,

+),

este

automor-

fism

si al

grr-rpului

(e,

+)si

rezulti

imediat ca

f

(x)

=

x, Vx

€'Q.

2.

Aratam

mai intAi

c5.

pentru

x

> O rezulta

f (x)

>

O.

intr-adevar,

dinrelatia

f(^'V)=f(x)

f(V),Vx,

ye1f2, pentru

x>0

se

obtine:

r(*)

=

t(Ji

J")=

(r(v?))'

'

o.

Fie

acumx<y.

Rezultd.

ca

z=Y^x>O,

qi

avem O<f

(z)=f

(y*x)=

=f

(y)*r("),deci

f

(").r(v).

Agadar,

f

este

functie

strict crescdtoare

pe

lQ"

3.

Sa

aratam

cd

f

(*)=

x, Vx

e

Q'

Sa

presupunem

ca

exista

x6 e

lQ, astfel

inc6.t

f

(x6)*

xs.

Fie,

de

exemplu,

f

(x6)<

xe.

Considerdm

r

e

'Q,

astfel

incAt

f

("0)<

r

(

Xs.

(1)

Din monotonia

funcfiei f

rezultA

ca

f

(r)

"

f

(*o

).

Dar

f

(r):.

qi

se

obfine

r

< f

(xo),

in

contradic{ie

cu

relatia(i).

Anaiog

se

aratA

ca

nu

putem avea f

("0)

t

*0.

in conciuzie,

f

(x)=

x, Vx

e

lQ.

c)

Fle

f

:7to

-+/lo

un

autornorfism.

Rezuita

c5.

f

(x+y)=f

(*)+f(V)'

Y

x,

y

eLr.

99



Dt. Fie

(e,

*,

.)

un inel

in

care

x2

=

1,

ll

or.

"i"

(e,

*,

')

un

inel

in

eare xa

=

1,

VxeA\{O}. Si

se

arate

ce

All VxeA\{O}. Si

se

arate

ci

A

este

izomorf

cu

inelul

Z2

sau

23.

ll

este

izomorf

cu unul

dintre

inelele

il

tr,23

sau

25.

DEZVOLTARE

TESTE

DE

EVATUARE

Testul

1

O1.

Pe

mulfinnea

Q

se consideri

operaliile

algebrice:

Grupa

1

ll

xly=x+y-s

ll

x T

y=3xy-l5x-15y+8o,

ll

Vx,yelQ.

ll

Si

se

studieze:

Grupa

2

xIY=x+Y+2,

xTy

=

xy

+2x+2y+2,

Vx,yelQ.

a)

ce structuri

algebrice

reprezinti

(p'

J-)

9i

(n'

T);

b)

dacn

operafia

,,

I

"

este

distributivi

in

raport

cu

,,

T

";

c)

daci

(p,

i-, T)

este

inel

firi

divizori

ai

lui zero.

(5

punete)

02.

Se

se rezolve

in

la:

Grupa

I

a) 0x3+0x=6;

12**S"=i

b)

{^

l3x

+

2y:

z

(4

puncte)

Testul

2

01.

Pe

mulfimea Z

se

consideri

operafiile:

xIy=x+y+a,

x

T

y=xy+bx+3y+c'

x'

yeZ.

a) Si

se determine

a,

b, c

e Z

pentru

care

au

loc relafiilet

(Z t

3) T

1= 41,

(2r1)

T

3=5r

qi

1T (2l-3)=(1

T

2)l(1

T

3).

b)

pentru

valorile

lui

a,

b,

c

gesite,

si

se

precizeze

daci (2, f,

f)

este

inel, si

se

afle

U (A")

ql

mulfimea

divizorilor

lui

zero.

(5

Puncte)

02.

al

Sd

se determine

n

e

N,

n

2

8,

astfel

incit

in inelul

(Zrr,

*,

')

inversul

elementului

S

sa

fie ?'

b) Pentru

valorile

lui

n

gisite

si

se determine

W

(Zn\

'

(4 puncte)

Grupa

2

a)

gx2+3*=6;

fi**n=s

b){^

:

-.

l3x+3y=2

ilt

ilfr

lJl

rll

:l

,:i

r02



r

lll.

lnele de

polinoame

.l

DEFII{ T|l

Fie

f,

g

e

KN,

f

=

(ao,

at,v2,...,

dn,

.),

g

=

(bo,

br,

bz,

.'.,

b")

doud

siruri.

.

Sirul

he

KR,

h

=(ao

+b6,

a1

+br,...,ar,

+brr,...)

siruril.or

f

qi g.

Se

noteaze

h

=

f

+

€.

.

Sirgi

h e KN,

h

=

(co,

c1,

..., c,.',

...),

unde

pentru

c*

=

asb-

+

arb*-r

+

'..

+ a*bo

=

t

"u

'b*-i.

se

k=o

sirurilor

f

qi g.

Se

noteaza

h

=

f

'S.

se numeste

suma

oricare

meN

avem

numeste

produsul

@

eEetwfu

rFie

K=O

si

f

={1,1,2,3,-1,0,0,..),g=(0,1.1,0,0'

1,0'O,

.)

Atunci

f

+g

=

{\,

2. 3,3,

*1,

1, O,

0, .),

f

g

=

(o,

r,2, 3,5, 3,

O,

2' 3,

-1'

0' O"..)"

Dernonstrati.e

Fie f,

g e

x(s),

f

=

(ao, dr,a2,...,

dm, o, o, ...),

g

=

(bo,

bl,

..., b.,,

O,

O,

...)

astfel

incAt

a*,

b.

e

f \

{O}.

a)

DacA

p > max(m,

n),

an'em

ao

+ bo

=

0

$i

astfel:

f

+g=(*o

nbo,ar

+br,..",an

i

*bo-r,

o,0'...)€K(hr).

blFie

p>rn+n

qi

f

'g=("0,"r,cz,cs,ca,.'.).

Rezulta

oo

=

i

a6.bo-r

+

i

ar.br-r

"

in

fiecare

suma

factorii

k=0

k=m+l

sublinia{i

sunt

n'rli,

deoarece

&m+t

=

&m+2

='""=

3p

=

O Si

bp--

=

bp-m-l

=

=...

=

bp

=

O.

Rezulta

ci

elementuL

co

=

0.

Apadar,

f

.g

=

("0,

"r,

...,

co-l,

o, 0,

. .)u

K(N).

tr

E

OBSERVATIE

.

Dacd

p=m+n

qi

a-,brreK",

atunci

cm+n=?..r'b.eK'.

Aqadar,

m

+

n este

rangul

cei

rnai

mare

pentn-l

care

elementul

co

este

nenul.

105



Algebrd

r

lll. lnele de

polinoame

Definim

puterile

nedeterminatei

X in

mod recurent:

X2

=

X.X,

X'

:

Xn-r

.X,

n

) 2.

Se

obtine:

x2

=

(0, o,S

o, o, ...)

x3

=

(0, o,

o,ffi

o,

o, ...)

X"

=

(O,

0,

...,

0,ffi O,

0,

...)

L_J

.

n zerouri

Se observd

c5. X2,

X3,

...,

Xt, ...

reprezinti.

monoarne.

Pentm

monomul

fk

=

(0,

O, ..., O,$j$,

O,

...),

ar

e

K*,

avem scrierea:

r--+

i\$$uil

fk

-

ar

.(9,

O,

.

,

0, l,

O,

...)

=mX$Xk.

L__J

k zerouri

Asadar

relatie

care

reprezintL

forma

algebrici

a

f1.

DouA

monoame

monomului

f6.

Numdrul

k

e

N

reprezintd"

gradul

monomului

se numesc

asemenea

dacA

au

acelagi

grad.

2.3.

Forma

algebrici

a

unui

polinom

Fie

f

.

K(N),

f

=

(ro,

a1,

...,

an,

O, 0,

...),

a'

e

K*

un polinom

de

gradul

n.

Folosind

operafiile

cu

polinoame

avem:

f

:

(ao, o,

o, ...) +

(o, ar,

O, O, ...)

+

(O,

O,

az,

O,

O, ...)

+ ...

+

r)

i

9,

O,

,9,

a,,,

O, O.

... |

= do

*

a,X

+

azXz

+...

+

?.,X'.

l- I

\

n zerouri

)

Asadar,

scriere

care

reprezintd

forma

algebricd

a

polinoametoi

de

gradut

n

in

nedeterminata

X.

Rezultd

cd

polinomul

f

este

o sum6

de

monoame.

Monomul

..r,Xt"

se

numeqte

monomul

dominant

al pori-

nomului

f.

scrienea

unui polinom

sub

formd.

argebrici

este

unici,

abstracfie

facdnd

de

ordinea

de

scriere

a

monoameloi.

+

q

i$

f

108



Algebrd

,

lll.

lnele

de

polinoame

Fie

f,

ge

K(u),

f

=&0

+arX

+a2X2

+,...+arrX*,S=bo

+brX

+b2X2

+

-...

+

tr-X*,

grad(f)

=

n

Fi

grad(g)

=

m.

polinoa,mele

f

+i g

sunt

egale

si

scriem

f

=

€,

da-cd

a'

acelasi

grad

si

coeficienlii

respectiv

egari:

1nl#W

si

ffi$l*.,:'\"$

{ffifl-i,.

.

L.ffii$#$

in particutar,

polinomul

f este

egal

cu

polinomur

nul

daca

tou

co*iiiciuniil

"ai

sunt

nuli.

Pentm

multimea

K(N)

se

va

adopta

notatia

K[x]

pentru

a

pune

in

evidenta

nedeterminata

X.

In

particular,

avem

multimile

de

Zo[X],

adic6

rmrltimile

de

potrinoame

in

in

corpuriie

,Q,

lP,

,C,

respectiv

1lo.

polinoame

,O[x],

la[X],

D[x],

nedeterminata

X

cu

coeficienti

Se

observa

ca exista

incluziunit"

iS$

,i

2.4.

valoarea

unui

polinom.

Functii

polinomiale

Fie

f

e

K[X],f

=

oo

r-arX+"..

+a,rXt,

Dr,

€

K*'n polin'm

cle gradul

n.

{.

ffiffirtMTtE

l"Daca

xe

K.

etrementul

f(*)=a0+atx+.".+,arrx'e

K

se

nr11negte

f

valoaree

polinonrului

f

in

x.

nF

Exerrqp&e

oFie

f e iO[X],f

=t+X+X2

si

xe

{_-r,O,t}.

Atunci

f

(*t)

=

1-t+1=

t, f

(0)= 1+o+02

=

t, f

(1)=

1+1+1=

3.

r

Fie

f e

c[x], f

=Z+X2

+Xa

;i

*

=

{i,

iJ5}.

Atunci

f(i)

=

2-t+r

=

z, r(iJs)

=2_s+e

:

8.

oFie

f

ezulxl"f

=)+x+3x3

+l

".{i,o,i}"

Atunci

r(i)=

2*i*3

=i,

r(o)

=

i+d

*O

=i.r{O)=0,

i*i

s

:

4*4

=

3.

o

0BsERrfATlE

Dacd"

f,

g.

K[X],

atrlnci

au

ioc

egalitd{ile:

'

(f +C)(")=f(r)"g(*),vxe

K;

"

(f

-e)(")=f

(*)*C("),v

xe

K;

.

(f

.C)(")=f(') g('),vxe

K.

l09



+

pEFtNtTil

r

lll.

lnele

de

polinoame

e

Dacd.

f

e

KIX],

atunci

functia

Reciproca

acestei

afirmafii

nu

Mai

general,

dacd

respectiv

m:

polinomiald

i

atasatA

este

adevdratd.

r

Fie

f

e

r[x]

un

polinom

nenul.

se

numeste

funcfie

polinomiala

atasatd

polinomutui

f,

funclia

f

:

K

-+

K,

i(*)

=

f(x),

x

e

K.

'Funcfia

f

:

K

+

K

se

numeste

functie

polinomiald

dacd

existd

un

polinom

ge

K[X],

astfelincAt

f

=8.

@

ExempLe

oFunctia

i:'c-+

t,r{z)=az+b,ae'c'

este

functie

polinomiaia

atasata

polino.

muiuidegradul

1,

f

€O[X],f

=b+aX.

IFunctia

i:rf,,,->a5,f(x)=Qx2+3x+o

este

functie

poiinomiara

atasati

polino-

muiui f

e

zr[X], f

=

i

+3x*ix2"

C

{lBSENUATIE

lui

f

este

unicA.

u€

.Exemp,lrr

*Fie

n*N.

ui

fne*2[x]'f'-x''

Atun"i

i"(n)=6

pi

,"{i)=i.

Aqadar"

pentru

ffi.ff:: l-.t"

{::/.2-.+Lz'tta)'=0,r{1)=i

esre

func{ia

atasata

pentru

in

cazul

*

"r:

nu

elistl

posibititatea

unei

confuzii,

se

va

nota

cu

funcdia

atasat5

polinornului

f

e

KIXJ.

S

0perafii

cu

p'rin'ame

$Grise

sub

forrn6

argehricd

3.L.

Adunarea qi

inmulfirea

polinoamelor

scrise

sub

f,ormi

algebriti

Fie

p

e

N

si

f,

g.

KiX]

monoame

de

gradul

p,

f

=ffi\Xo,

g

=*W"o

Avand

in

vedere

modui

de

definire

a

adundrii

polinoamelor

obtinem:

(roe)=-$$

xp,

(i)

f, g.

KiX]

sunt

polinoame

de

gradul

n,

f

=

&o

+

a1X

+

a2X2

+...

+

?.rXt



r

ll. lnele

de

polinoame

Eff'rri$iw,

,.pgohta*

tr

sd se determine poiinoamele

f,

g

e

,c[x]

de

gradul

1,

care

verifica

egalitdtile

(x+t)f n(x-r)g=zx2

-2

qi

fQ)=e(o).

Soluf,e

Fie f

=

aX +

b,

g

=

cX+d, a,

c c

C..

Egalitatea

datd

se

scrie:

(x

+ t)(ax

+ b)+

(x

-

t)(cx

+

d)

=

2x2

-2"

Dupd

efectuarea

inmul{irilor

si adunirii

se

obtine:

,W..

}i"'

.

Wffi

*

ffiWm=W'

*l.

xW

Egalitatea

de

polinoame

conduce

ia egalitdtile:

a+c

=

2,

a+b+

d-c

-

O, b

-d

=

-2.

RezultdcA

c=2-a,

b=-d",

d=2-d,a"=cre

,D.

Asadar,

f

=

uX

_cr,

g

=

(2

_c)X

+

Z

-

a.

Dincondifla

f(2)=g(O)

seobfine

cr=1

Si

f

=X-I,g=X+1.

EXEHCTTil

$t

PAoBLEME

EXERSATIE

EX.

S* se scrie

sub forrnd

algebrici

pol .nomul

f

qi

s[ se

specifice

gradul

acestuia:

ai

f

=(1,0,

1,2,3n

-1,

O,0,...)e

e

a[x];

b) f

=

(0, o,

0,

1,

2,

- ,

O, O, ...)

e

e n[x];

c)

f

=(o,

1,0,

1,

O,

i,

-i,

O,0,...)e

e

e[x];

d)

f

= (i,

t,

-

i,

6,

i,

6,

0,

.".).

e

z5

[x].

Se

se

determine

in funcfie

de

parametrul

m

e

Q,

gradul

polino-

mulul

f

e

n[x]:

a) f

=m+(m-L)x;

b)

f

=z+(n2

-r)x*(*2-om+

+z)x2.

Sn se

determine

gradul

polino-

mului

f, in cazurlle:

a)

f

ea[x],f

=2+(rn-r)x2+

*

(e*'

-

ann

+

r)xs;

b)

f

eZs[x],f

=i+nnX+

o(-'-

*)x2;

c)

f

e 15

[x],

f

=

(*'+

i)xs

+

o('"*3)x+O;

a)

f

eO[x],f

=trn2-t+2X+

*(*'

-

am

+

z)x2

+

(m2

-

a)x3;

e)

f

eo[x],f

=r+(m2+r)x+

+

mx2

*

(*t

*

*)x3.

E4.

Se

consider[

f

eC[X],f

=t+X+

+X2

+

x3.

se

se

calculeze:

a)

f(r+i),

f(r-i),

r(r+iJd),

t12

83.

r(r

-

iJe);



Algebrd

r

lll.

lnele de

polinoame

b) r(r+J-),

r(r-Jz),

r(s+zJ'),

r@

+

Je)l

"'(ii).'(i_.-t)

S[

se determine

f

e

C[x],

astfel

incit:

a)

f

=a+bx,

f

(t)=1,

f

(1-i)=1;

b)

f

=a+bx+cx2,

f

(r)=f

(i)=

=f(-i)+1=o.

Si

se efectueze

suma

Polinoamelor

f,

g

e

c[x]:

a)

f=1+X+X2+x3,

g=l-X2-

-x3

+

Xa;

b)

f=r+(1+i)x+(r-t)x3,

8=l+

+(r-r)x+(r+t)x3;

c)

f

=

1+

21X+3Ir2,9

= -l+ix2

+

+(r

+

i)x3"

87.

Si

se

efectueze

suma

pollnoamelor

f,gezn[x]:

a)

f=i+6x+4x',g=6+0x+

+X2+X",P=5;

b)f=2+2x+x3,g=6+ix+

+6x3-x4,p=7i

c)

f

=i+x+x2-x3,g=i+X-

-x2

+Xa

-xa,

P=2.

88.

Se

se efectueze

produsul

polinoa-

melor

f,

g

e

C[x]:

a)

f

=/r2+X+1,€-X2-X+l;

b)

f

=X-1,

g

=X2

+iX-1;

c)

f

=1+X+X2+X3,g=1-X;

d)

f

=(r+x)(z+x)(r-x),

s=(1-x)(2-x).

89.

SA

se

efeetueze

produsul

polinoa-

melor

f,

g

e

Z,

[X]:

a)

f

=i+X,

I=i+X+X2,P-2l

b)

f

=D+x+x2,

I=2+i'x-x2,

P=3'

c)

f

=(i+0x).x+x2,

e=(i+6x+x2)x,

F=5.

ElO.Sn

se

determine polinoamele

f,

g

e

en[X],

f

=aX+b,

g=eX+d,

in

cazurile:

a)x2.r+(x2+r)S=x3+1;

b)

(x +

r)2 (x +

f)

+ (x

+

g)x

=

x3 +

l.

APROFUNDARE

.A1"

Si

se determine Parametrii

Pentru

care

polinoamele f

gi

g

sunt

egale:

a)

f,

geO[x], f

=2+3X+(m+t)x2,

g

=

(2m

+

a)

+

sx

+

(m2

*

r)x3;

U)

f,geC[X],

f

=m+nX*(m+n)x2,

g

=

m2 +

nzx

+2x2i

*,

f,

gez"[x],

f

=m+i+(m*D)x*

+2X2,8=n+m2X+m5x2.

A2"

gae

f eC[x], f

=n2-1+(m+n)2x1

+(*2

-r)xz.

Pentru

ce valori

m,

n

e

C

Polinomul

f

este

Polinom

nul?

A3.

Se

conslderi

pollnoamele

f,

g

e

C[x],

f

=

("-b)x3

+

(2a+

b +

1)X

+

a+

1

ei

g=(2a-b-1)xs

+(a2

+t2)x+

+1-b.

Pentru

ce

valori

a,

be0

polinoamele au acelagi

grad?

113



6

o

lll.

lnele

de

polinoame

Consider5m

polinomul:

€r

=

a. 'bfilt*-

.€

=

arrXt

+

anbm-l

.bt'

.5"-t

+...

+

boarrb*jxr*-.

Rezult5

cd

polinornul

fi

=

f

-

€

are gradul

strict mai mic

decAt

gradui

polinornului

f.

Fie

f,

=

c0

4-

crX

+ c2X2

+...

1

cnr

X.t

,

n1 <

n.

e

Dacd

ni

<tn,

avem

fi

=f

-arrll_X*-*g

sau

f

=arrbJX"

*g*f,

si

se

ia

q

=.

a.bfiXn-m qi

n

=

fi.

"

Dacd

ni

2

rn

repetdm

procedeul

anteior

de

rnicsorare

a

gradului

printr-cr

noui

scddere,

luAnd:

92=c^,.hl"X''-''.g

qi

fz=\_Ez.

Evident

n2

:

gracl

(f,

)

.

ili

(

n.

se

repeta procedeul

pentru

perechixe

de

poiinoame

(fr,

gz)

qi

se

nbtin

succesiv

relatiile:

fi

=f

-8r

fz=\-82

{il

=fz

-Se

('{4

-tr'i1

-.'

t'Pil

AdunAi:d

relatiile

ant_eioare,

se

obtine:

f"

-

f

-Sr

*Sz

*"".*g.,

grad{f")

-

nn <

rn.

r's \

Asadar,

t=i,X.€r.J'tfu=€

e+f",

deoarece

fiecare

poiinorn

gr.

\K=t

/

ven{ica

egalitatea

€t

=

g.tx,.X'u-*,

cu

cx,

e K.

Lud.nctr

r

.=

fu,

teonemra

este

denaonstnata.

ffi

*

q8gEjyaM

o

Teorema

impartirii

cu

rest

of,er6

un algoritm

conce^et

de

deteprninare

a

cAtului

si

a restului

irnpdrtirii

a

doud polinoame.

[€

EaenaBlu

r

Fie

f e

C[X],

f

-

X3

+X2

+X+2, g

=

X2-X+1.

Construim

polinoamele

gr

=

X3-2

€

=

X.g

=

X3

-

X2 +-X"

Se ob{ine

fi

=

f

-

gt

=2)r2

+2,

g2

=2g=2I,2

--2X+2 qi

fz

=

{i

_

Ez

=2X.

Cum

f2

are gradul

rnai

mic decAt gradul

lui

g,

restul

va

fi

r

=

2X.

Avem

f

={z+Et+Ez=fz+Xg=(X+Z)

.g+ZX

giastfel

e=X+2

sir=2X.

Deoarece

intre gradele

polinoarnelor

f

,fL,f2,

,

fp, .."

existd

rela{.iile:

Fr )

I11 >

r-r2

).".

>

np

>

"."

qi

m

e

{t,

2, ..",n\,

atunci

exisL*

u.n

nurndrr

s e

N',

astfel

inc6.t

s <

11"

116



Algebri

.

lll.

lnele de

Polinoame

Algoritmul

sugelat

in

demonstraiia

teorernei

poate

fi.

arasriat

Sub

0

formA

ionvenabila,

urmAnd

o

cale

analoagd

impar,tirii

cu

rest

a

numerelor intregi.

Se

procedeazd

astfel:

.

Se

imparte

monomul

dominant

al

deimpS"r,titului

la

monomul

dominant

al

impffitorului.

se

obfine

astfel

monomul

dominant

al

catului.

.

Se

inmulteqte

monomul

ob{inut

la

cAt

cu

impdr,titorul

g

qi

produsul

obfinut

se

scade

din

deimpS.rfitul

f.

Se

ob[ine

polinomul

f1'

r

Se

continua

imperfirea

lu6.nd

ca

deimpdr,tit

polinomul

f1

gi

se

imparte

monomul

dominant

al

lui

f1

la

monornul

dominant

al

iui

g

rezultAnd

al

doilea

monom

al cAtului.

o

Se

repetd procedeul

anterior

pAnd

cdnd

polinomul

f"

are $radul

inferior

gradului

Polinomului

g.

poilnomul

f"

va

fi

restulimperfirii.

Schema

de

calcul

arattr

astfel:

(f):

arrX"

*a'rr-1Xn-l

+...+a1X+ao

I

b*X*

+b*-tXt-l

+"'+bo

(g)

-&r,Xt

-

ar.,b*-tbrritX"-t

-

a-bix"-*

+

--Il

-

lll

'mrF

$.31;.5:,

a

(rt),

(rr)'

Restul

(f"):

Et<r;rnptu

r

Sa

se imparte

polinomul

f

e

C[x],

f

=

Xa

Secvenlele

imPnrlirii

Monomul

dominant

al

cdtului

este

X4-l

=

X3.

Se

obtine:

.

fi=f

-x3g=f

-x3(x-1)=x3+X2+1'

.

Al

doilea

monom

al

cAtului

este:

x3-1

_

x2.

Se

obfine:

fz=\-Xzg=2I.2

+l'

.

Al

treilea

monom

al c6.tuiui

este

2x2-r

=

2X,

iar fs

=

fz

-

2x'

g

=

2X

+

1'

.

Al

patrulea

monom

al c6Ltului

este

2xr-t

=2,

iar

fa=fs-29=

3

=restul'

(cAtul)

+X2+1

lapolinomul

ge

C[X],9=X-f

'

Schema

irnPirfirii

deimpdrfitul

(')ffi

-Xa

+ X3

(E)

X3+X2+l

-X3

+

X2

$)

2x2

+r

-2X2

+2X

(fs)

2x+r

-2X+2

{f,}

3

impArfitorul

-.-a=f,,

ffi

(e)

tL7



Algebri

r

lll.

lnele de

polinoame

3

gEgElv4r

1.

trn

cadrul algoritmului

anterior,

asupra

coeficientilor

ceior

doua

polinoame

f

qi

€

se

efectuea'5.

numai

operafii de adunare

si

inmultire

in

corpul K.

Astfel,

va

rezulta

c5.

polinoamele

cAt

qi

rest

vor

avea

coeficienfi in

corpul K.

2.

Fie

f,

g.

K[X]

qi

f

=

€e

+

impA(irii

lui f la

g.

Dacd impi1tim f

la

gt

=

ag,

Dar f

=99+r-ag(a-tn)n

restului

rezultS.

I

=

r

gi

qr

Sd

se efeetueze

impir,tirile de

poll-

noame

in

C[x]:

a) f

=X3+X+1,

g=X-1;

b)

f=Xa+2X3

+X+2,

E=X2+X+1;

c)

f

=(xtr)(x+2)+x3,

s=(x-r)(x+r);

d)

f

=

x5

+

xa

+X2 +

1,

g

=

X2

+

1;

e) f

=

Xa

+lI(2 +

X+i,

g

=

X+1;

0

f

=

x4

+(r+i)xs

-i+1,

g=x2

+i.

Si se efectueze

impir.tirile

de

poli-

noame

in

Zn

[X]:

a)

f

=

Xs

+X2

+i,

g=*+0,

p

=

3;

b)

f= 2xa

+3x+2,

g=x+0, p=5;

c)

f

=

X5

-xa

+x-i,

g=

X2

+i,

P=2;

d)

f

=(x'*i)'+z(x3+i),

'

^\2

g=(x+1)

+1,p=9.

Si

se determine

polinomul

g

e

CI[X]

stiind ci

f

=

Xs

-

x2

+ X+

t5

e

C[x],

r, unde

q

este

cdtul, iar r este

restul

a e

K,

putem

scrie

f,

=

agqt

+

t.

r

=

agql +

r

qi

din unicitatea

cAtului

si

l

-a'q.

EXERSARE

impirfit la

g

dn cdtul

q

=X+2

qi

restul

r

=

1.

84.

Sn

se efectueze impirfirile

de

poli-

noame

in

,C[x]

:

a) f=(x-r)"*(x+r)3,

g=(x-r)'*(x+1)2;

b)

f

=

(x- t)"1x*21

+ (x+

r)2

(x+

z),

E=Xz+X+t;

c)

f

=

(x

-

r)(x+

z)(x

+

3)+

x,

g=x(x+1);

d)

f

=

x(x

-

i)(x

-

2i)(x

*

3i),

s=(x+i)(x-i).

E5. Se se efectueze

in

Zo[X]

,

irnper-

irile:

"r

r=

(x*

i)",

e

=

(**i)2,

n

=

s;

b)

r=(x+e)(x.6)(x+a),

e=(zx*i)',n=s;

"l

r

= (x3

+

x*i)2,

c

=(x"

+i)',

9=7.

81.

EXERCTI r

$r

PB0BTEME

E3.



Algebri

o

lll.

lnele de

polinoame

A1.

Se

se

determine

citul 9i

restul

impirfirii

polinornului

f la

g:

a)

f

=x6+6xa

+2,g=x2+6,

in

zu

[x];

b) f

=)iP

+M

+x2

+i

g=Xa+X+1,

in

z3

[x];

c)

f

=

ixlo

+

3x8 +

i.x+2,

I

=

x5

+

+

xa +

0, in

zs

[x].

A2.

Se se

determine

parametrii pentru

care restul

impirfirii

polinomului

fer[x]

la

gex[x]

este

eel

speciflcat:

a) f

=Xa+X-a,

g=2lK+l,r=O,

K=tC;

b)

f

=

ax3

+

bx2

+

2,

g=x2

-1,

r=2X,K=Q;

c)

f

=x3+ax2-bX+1,

g=x2-

-3X+2,r=X-1,

K=Q;

d)

f

=xs+ax2+ix+i,g=x-

-2,r=i,r=a";

e) f

=xa+2x3+aX+b,

g=2x2-

-i,

r=x+i,

K=Zs.

A3.

Fie

r

restul

imp[rfirii

polinornului

f

eC[x],

f

=Xa+x2+l

trapolirnomul

E=x2,r

zx

e

O[x].

sd

se

arate

ci

girril

(r

(n))"*

este o

progresie aritme-

tici.

44.

S[

se

afle restul

impnrftrii

pollno-

mului

f

e

x[x]

la

polinomul

(x

-

a)

(x

-

b),

in cazurile:

a)

a=r,b=2,

K=Q,

f

(1)=3,

r(z\=z;

b)

a=i,

b=1+i,

K='C, f

(i)=i,

f(r+i)=-i;

c)a=i

t=3,

r=rt,r(i)=A

r(-e)=i

APROFUNDARE

A5. Se

se

determine

polinoamele

de

gradul

al treilea,

f

e n

[x],

gtiind

ci f impirfit

la

X2

+

X

d[ restul

r=X+l

giimpirfitla

X2-x

dn

restul

rr

=

3X

+

1.

(IJnio.

Craiovo,

1994

A6. Fie

f

e0[x],

f

=X3-BX2+aX+b.

Si

se determine

a, b e

Q

pentru

care f

impnr-tit

la

X

-

2 di

restul

O

qi

impirlit

la

X

-

I

di

restul

4.

(Univ.

Transilvania,

Braqov,

2OO2l

A7.

Polinomul

f

e

n[X]

are

coefl-

cientul

dominant

L. Si

se deter-

minef

gi

a,beQ

gtiindcif

im-

pnrfit

la

X

-

a dn

citul

x2

-

-

3X +

4,

iar

cdtul

imPirfirit

lui

f

la X-b

este

X2

-4X+2.

A8. Un

polinom

f

e

n[x]

Prin imPir-

fireala

X-a,

X-b,

X-c

d[citu-

rile

9r,92,

9s.

Sn

se

arate'

c6.

(b

-

")q,

(u)

+ (c

-

b)qz (c)

+

+(a-c)le(")=o.

A9.

Un

polinom

f

e

D[x]

imPnrlit

la

X-1,

X+l

9i

X+rt

di

resturile

15,7,

respectiv

-8O.

a) Si

se

afle

restul

r

al

imPirlirii

lui

f

la (x

-r)(x

+

r)(x

+

a).

b) Se

se

determine:

ri-

t(1) *

t(2Elj.GL.

iI'?

r. 2 +2

.3

+

...

+

n(n +

1)'

A1O.Si

se

determine

f

e

C[X],

f

=

Xa

+

+

aXs +

bX2 +

cX +

3,

qtiind

ci

impirfit

la

x2

-

I di

restul R.1,

imp[rfit

la X2 +

I

di restul Rz

9i

Ry

Rz

=

5X2

-

28X

+

15"

fAS"E,

Bucureiti,2OOO)

itlll

r19



Algebrd

r

lll.

lnele

de

polinoame

l,l

gi

iin

a*,,:

D-enonsfusfre

Atr"L.

Se considerd

polinornul

f

e

C[X]

,

f

=

(X

*

1)t"

,

avdnd

f,orrna

aXgebrie&

f

=

ao

+

a1X

+

a2X2

+,."

+

a1sx10.

a)

56

se

calculeze

f(O).

b)

Sd se

caleuleze

sulrra

coefieiem-

tilor

polinorrarelui

f"

c)

Si se

arate

ed.

ao

+ ez

+

"."

+ a1g

=

29"

{Eaca.lo,ut'err't,

awgwst,

2

0 82}

Al^2" F'ie

ur

e

N*,

p,

g,

T

€ a[N],

p

=

Xn

+

+

X2n+t"

O

y;3n+2

+

...

+

X"'*"-1,

Q=

gn-r+Xn-z+...+X+L

qi

T

restul

fmrpSrtirii

lu,i

F Ia

Q.

Daci

s

este

surna

pdtratelor

coefieientilor

nlolinornului

T,

aturnci:

a)

s=ra3+2;

b)

s=I-fu])'

2

e) s=O;

cl)

s=n+5;

e) s=L6.

fA'SS,

Eueureqti,2OOS)

3.3. irnpfrrt$rea

la

X

-

a. Sahema

lui

tr{orraer

Fie

f

e

K[X],f,=ao+alx

+azxz

+.."+anxn

unpolinorndegraduln

$i

8=X-ae

K[X].

Din

teorema

irnp5rt-irii

cu

rest se

obtine:

f

=

(X

*

")q

+

r,

grad(")

"

t, deci r

e

K.

Rezultd

ca.

f

(a)

=

O.q(*)+

r,

de

unde

r

=

f

(a)"

ffi

Teorema

restului

este

eficientA pentru

determinarea

restului

imparlirii

unui poiinorn

pnin

X

-

a,

f5rh

a efectLea

inapartirea.

Swnni$i^z

,tpr7p{4wt

tr

se

considerd.

polinomul

f

e

,c[x],

f

=

x2'

+

bx'*l

+

z.

sa se

deter-

mine

restul irnparfirii

potrinomului

f

la

x

-

i

stiind

c6 irnpd"4it

la

)(-2

dA restui

151"

So&r&e

Din

teorerna

restuiui

se

obtine

ca

lbl

=

r

=

f

(2)

=

Z2n

+5.2n+L

+T

"

Se obline

ecuatia

exponeritia\*

22"

+

l0.Zn

_

L44

=

C).

Se

noteaze

2n

=

a

qi

rezulta

ecuatia

a2

+loa

* 44=a,

cr-:

soiutiile

ae

{g,

-}g}.

Avem

2n

=8

cu solutia

n=3.

Asaelar

f

=x6+FXa+?"

Restur

?mpar,tiii

lui f

la

X-i

este

r=,f(i,}=tl,

t2$



o

lll. lnele de

polinoame

Schersla

nui l{orner

Fie

f

en[X],

f,

=a0+a1X

+a2X2+'.'+a'Xt,

polinom

nenul

de

gradulngi

g-X-ae nlxl"

Not6m

e

=

bo +

brX +tsrpz

+...

+

b.,-tX'-l

c6tui

impd.rfirii

polino-

mului

f

la

g.

Din

teorema

impAr,tirii

cu rest

se

obfine:

f

=(X-")(uo

+b1X+.."+b,,-rX'

t)*o

=

r-ab'

n(iro

-abr)X+

-(b,

-

ab2)xz

+...+(b,-,-n

-"b,)x",

{xi.

trdentificand

coeficientii

ceior

doui

polinoame

in reladia

(1)

se

obtine:

&.,

=

bt-1

?n-l

=

bn

Z-

ab,-r-t

Vn-2

=

brr-g

-

Abn

Z

&2

=bt

-ab2

at

=

bo

-abt

30

=r-ailo

b6=a1

*anf1

r=&0+aLr6

in rnod

practic,

pentru determinarea

coelicientilor

b.'-r,b.,*2,

"',

br,

bo

ai catului

qi

a

restuiui

r se

alcdtuieste

urmatoarea

schemd:

Aceasti

schernA

de

lucrrr

in care

se Opereaza

numai

cu

elementul

a e K

Si

coeficien{ii

poiinornuiu"i f

se nurneste

eenaema

lui

}Iorner.

Scherna

lui Horner

are

la bazd

relatia

de

recurenta:

$;i$.:ift$

"$''r-''

k

e

{r',

2.

"',

n*1}'

Aceste

relafii

perrnit

deducerea

in

mod

recursiv

a

coeficienfilor

c6.tuiui

br'-1,

b'-e,

..., bi,

Lr6

+i

a

restului

r.

Avem:

b.r-l

=

?,',

brr,2

-&n-1

*abr"r-t

bn-B

=0r-r-2*abr.-Z

t2r

Coeficie*tii

tt

l f

in ordine

descrescdtoare

a

gradeior

ryq4gggiglol

b.,,-Z&

*

3n-2

bra

+ at

.r-ia

* an_l

.,-

l

=

3n

Coeficientii

cAtului



Algebrd

.

lll. lnele de

polinoame

ffinil€tte"t.z7a'{ntalet

tr 1.

Sa

se

efectueze

impe(irea

polinomuiui

f la

g,

dac6:

a)

f,ge

afx]

,f

=Xa

-3X3

+4x2

-3X+1,€=X-2:

b) f,

ge

rn[X], f

=

3X5

-4X3

+3X2

-X-5,

g

=X+1;

c) f,ge rafx],f

=BX3

-2x2

+X+2,g=2x_I.

Solulte

a)

Folosim schema

lui Horner

pentru

a

=2.

Avem:

CAtul

impdr.tirii este

q

=

1'X3

o

(-1)

'X2 +2X

+ 1,

iar

restul r

=

3.

b) in

acest

caz

avemg

=

X

-

(*f),

deci a

=

-1.

Schema lui Horner:

se obfine

q

:i$ixn

oif,,I,,$

"t

*

ffix'

+

4 X

*

(]5]

ri

c)

Scriem

g=z(*-l'l

,r.-

impdrli mai intai

polinomul

f

prin

\

2)

X

*

I

.

Alcittlim

schema

lui

Horner cu a

=

].

Se

obtine

c6.tul

Qr

=8X2

+2X+2

qi

restul rr

=3.

CAtul

imp5rtirii

I

luiflageste

q:;et

=4X2+X+1,

iarrestul

r=rt

=3

(veziobservatia2,

2

s3.2")

tr

2.

Fie f.ge/tr[x],f

=2x5-Xa+),x2

+mX+i,g="+2.

sasedeter-

mine rn

e/ls,

stiind

ca

restul

imparlirii

iui

f la

g

este

,

-=2.

I

-3

4

-3

I

a=2

I

t.2-3

=$,t$l

*I.2+4=t

2'2

*

3

=''X

1.2 + 1

=#=i

.t

J 0

-4

3

-1

-5

i5

3'(-1)

+

O

=

E*

(-3)'(-1)-4=

-l

(-1)'(-r)

+

3

=

&

4.(-1)-

1

=

;.i)

(-5).(-l)

-

5

=

#

8

-z

1 2

I

d--

2

8 2 2

o

i-,

r22



Algebri

.

lll.

lnele

de

2

-1

0

2

m

I

a:1

2

I

I

o

m

..-ra r-"i ..d

ffir*ftf,

Sotutie

Aflam

restul

Avem

a=-2=i.

imparlirii

polinomului

f la

g

schema

lui

Horner.

rln

EXERSARE

El.

Se

se determine

restul

impirlirii

polinomului feK[x]

la

X-ae

e

r

[x]

,

in

cazurile:

a)

f=X3

-zoozxz

+2OO6,

a=1,

K=Q;

b)

f

=

2l{s

-3X7

+X+1,

a=

-1,

K=Q;

c)

f

=xro

+2Xa

t3,

a=i,

K:O;

d)

f

=ixz

*ix6+6l-*2,^=2,

K=Zs.

E2.

Se

se determine

m

e

K

eu

ProPri-

etatea

ci

polinomul

f

e

X[X]'

im-

perFt

la

g

=

x-aeK[x]

dn

restul

specifieat:

a) f

=

Xs +

mX2 +

3X-

rrt,

L

=2,

K

=,C,

r

=l7l

b)

f

=Xa+mx2

+2,a=-i,K=C,

r=3+i;

cl

f

=ixa

+lxs

-mx

+

i,

a

=

2,

K=lz,

r

=t.

E3.

Se

se determine

citul

9i

restul

impirfirii

polinornului

f

en[x]

la

polinomul

g

e

D[x]:

a) f

=x5

+4Xa

+3X2+x-2,

g=X_2i

b)

f

=

-2xa

+3Xs

+

5x2

-6x-1,

g=X-3;

c)

f=3XG

+2Xa

+2X2

+X+2,

B=X+1;

d)

f

=x8+xa

+*2+1,9=X+2;

e)

f

=6X3+2X+2,9=2X-1;

fl

f

=

X4 +3X2

+X-6,

g

=

2X+1.

E4.

Se

se

imparti

Polinomul

f eX[X]

la

polinomul

g

e

f

[x]

Prin

schema

lui

Horner:

a) f

=X3+X2+X+1,g=X-i,

K=C;

b) f

=

Xa

-x3

+

x2

-x+2,

g

=

;.'1,

K=C;

c)

f

=2X3

+

x-1,

€

=

X+2i,

K=

C;

d)

f

=

xa +2x3

+6x+i,

g

=

x*

e,

K=Zsi

e) f

=

2x5

-

3xs

+

4x

-i',

g

=ex

-

-i,

K

=

25.

iriE

;:ttl

4#

tr

+#l

4t:

#,

:

'rdff'

': 4iii

]#ii

iliiit'

rlli,

riri::

tlr,

"l

li

:tl

:]

Restul

impdr,tirii

este

r

=rul

9i

se

obfine

ecuatia

m + i

=

2,

deci

m=i.

EXERCITII

SI

PROBTEME

L23



Algebri

r

lll. lnele

de

polinoame

APR,OFUNDARE

-

Al.

SA

se

determine

m

e

D,

astfel

incf;t

restul

impr[rfirti

polinomului

f

e

C[x], la

X

+

I

s6.

fie

numir

reat,

daci:

a)

f

=X3+tnx2+mX+3;

b)

f

=*n-(*"-r)x-ei.

.A2.

Sn

se

determine

rn

e

D

astfel

incit

restul

irnpnrfirii

polinomului

f

e

en[X],

f

=

2Xs

-

mxz

+ X-

?

la

X-2

s[

fie 3.

(Univ.

Tlro;rtsiluqnio,,

Bra.*ts,

ZAOZ)

A,3.

Se considerd polinomul

f

en[X], t=

=

X4

+ Xs

+ aX

+ 6a.

S[

se deter-

mine parametrul

a

e

R, astfel

incAt

restul

imp[rtirii polinomulul

f(X+Z)

la

X+t

sd.

fie

egal

cu

-t2.

(Uniu.

Tr.anta;ilvania,

Brapou,

2

OOZ)

A4. impnrfind

polinomul

f

e

C[X],

f

=

=2X3-mX2+nX-6 ta X-3

qt

X

+

I

se

obfin

resturi

egale

cu

_2.

Si se

atle

restul

impir_tirit

polino-

rnuluif

la

X-2.

A5.

Sn se

determine

cdtul

gi

restul

impir-

firii

polinomului

f

=

BXs

+

mXz

+

+15

e

n[X]

la

polinomul

g

=

X

-

-2

e

n[X],

gtiind

ci

restul

irnpnrfirii

acestuia

la

2I--

I

este

,

=225

.

I

46.

SA

se

determlne

a, b

e

f5

[X]

+ti-

lnd

ci

impirtind

polinomul

f

e

e

zs[x],

f

=

X3

+ax2

+ix+b,

la

po-

linoarnele

€t,

€z

e zs

[x],

gr

=

X

_

-i,

g"=6x+i

se

obtin

resturlte

\=2,

b=6,

A7.

Se

se

determine

restul

impirtirtt

poli-

nornulul

f

e

C[X],

f

=

1n+l

-BXn

+

4

la

X+2eC[X], qtiind

ci.

resttrl

impar-

ftriilutf

la

X-2

este

-12.

A8.

impirtlnd

polinomul

f

eC[X],

f

=

=

Xm

+

Xn

+

I la

potinomul

X

-

-ZeC[X]

se obfine

resrul

tB

qi

impirfindu-l

la

X-

+

e

C[X]

se ob-

fine

restul

81.

Se

se

determine

restul

impirtirii

lui

f Ia

X

-

i.

.$'9.

Pollnomul

f

€

K[X]

irnpnr,tit

ta

x-aer[x]

ei

x-bex[x]

dn

citurile

gr

gl

gz"

Si

se

arate

ci

qr

(b)

=

qz

(a).

AL0.

SE

se

determlne

pollnomul f

e

e

23

[x],

f

=

X8

+

aX7

+

2X3

+

X

+

b,

stilnd

ci

impirfit

la

g-X-O

ae

cAtut

q

gi

restul

r

=

2,

iar

q

irr-

pnrgt

la

gr

-

X

+

0

aa

restul

rr

=

6.

All.Se

consideri

polinornul

f

e

C[X],

f

=

Xa

+X3

+X2

+X+2.

Sd

se

deter-

mine

c6tul

impirgirii

polinornulul

f

la

polinomul

g=X-cosa+islmoe

ec[x],

o.(o,l),

u.urru

ci

restut

impnrtirii

este

r

=

1

+ i(t

*

J5).



Algehri

r

lll.

lnele

de

polinoame

O

Bivlzlbilitatea

pnllmoamnelor

4. ".

Relafia

de

divizibiXitate

pe

xnuX$imea

K[X]

ffia.6k'srut,@freenilfr,

tr

Fie

f,ge

rn[x],f

=2Xs+3X2+3X+2,g=X+1"

sd

se

determine

catul

qi

restr-1l

impar.tirii

polinomului

f

Ia

g.

Solufie

Aplicdm

schema

lui

Horner

9i

rezult5:

Seob .inecatul

Q=2x2

+X+2

girestul

r=0'

Asadar

f

=

g.

(ZX2

*X

+ Z).

Se

observd

cd

la

aceastd

irnpar-tire

restul

este

polinomul

nul'

Ca

qi

in

cazul

imp6r{.irii

numerelor

intregi,

in-rpir.tirea

cu

rest

zero

constituie

un

caz

speciai.

*

pEFll{lTlE

I.

Fi. (K,

*,

')

tt

corp

cornutativ

qi polinoameie

f,

g

e

K[X]'

I

spnn"m

ca

polinornul

g

divide

polinomul

f

daca

exista

un

polinom

I

h

.

K[X]

astfel

incAt

f

=

€'h,

(1)'

Dacd

potrinomul

g

divide

polinomui

f

vom

scrie

g

I

f

tse

citeqte

,,g

divide

f')

sau

f :

g

ise-

citeqte,,f

este

divizibil

cu

g")'

Polinornul

g

se

nurnegte

divizor

al

polinornului

f, iar

polinomul

f

se numeqte

multiptru

al

polinomului

g.

3

OBSERVATIE

.

Polinomul

f e

K[X]

se

divide

cu

polinomul

g

e n[X],

g

* O,

dacA

s,i

nurnai

clacd

restul

imperfirii

lui

f

la

gi

este

polinomul

nul"

4.2.

Propriet&fi

ale

Relatia

de divizibilitate

proprietd{i aserndndtoare

cu.

numerelor

intregi.

retafiei

de

divizibilitate

pe

mulfimea

de

polinoame K[X]

are

rela{ia

de

divizibilitate

pe

mu$imea

L, a

t25

2

J

3 2

-l

=

2

I

2

o



Algebrd

r

lll.

lnete

de

polinoame

pl.

Relatia

de

divizibilitate

pe

multinnea

K[x]

este

reflexiva

.fif,vfeK[x].

intr-adevdr

f=1'f,

deci

f

I

f.

F2.

Relatia

de

divizibilitat€

pe

mullimea

K

[x]

este

tranzitivi

eDacd

f,

g,

h€K[x],

f

I

g

qi gl

h' atunci

f

I

h'

intr-adevar,

din

ipotezd

rezultd

c5.

I

u,

v e tr.<

[X],

astfel

incAt

B=f

.u

qi

h=g.v.seobfinecd

h=€'v=(f

'r-r)'v=f

"(t")'

deci

f

lh'

FS.

Folinornul

nul

f

=

o

e

K[x],

este

divizibil

cu

oricare

poli-

nom

geX[X],

deoarece

O=0.g.Sespuneci

f

=0

estecelmaimare

element

in

raport

cu

divizibilitatea

pe

t<[X]'

F4.

Polinoamele

constante

f

=

8,

a

€

K*,

sunt

divizori

pentru

orice

polinom

din

I(

[x].

P5.

Dacd

f,

g,hex[X],

astfel

incit

t

I

g

9i

f

I

h,

atunci

ri ("g+vh),

V

u,

veK[x].

intr-adevar,

fie

cx,

B

e

t<[X],

astfei inc6.t S

= crf,

h

=

Ff'

Rezultd

cA

ug+vh

=

u.(crf)+v'Bf

=f

'(ou+0v),

deci

f

|

(ug+vh)'

*

pEFrlllTlE

I

.

polinoamele

f,

g.

K[X]

se

numesc

asociate

in

divizibilitate

9i

se

|

,ro..ura

f

-g.daca

f

iS

si

91r.

.iiii1i.fi.i.::',

iiri Iiiilir'

+itii+$L:,W

Derpnsfuoib

DacA

f

=ag,

atunci

glf

9i

cum

€=a-l

.f,

rezultd

f

lg,

deci

f-9.

Reciproc,

fie

f

-g.

Atunci

f

lg

si

Slf,

deci

exists

u,ve

n[X],

astfelincat

f

=ug

$i

€=r,{.

seobfineca

f

=ur,f

gicumf estenenul,

rezult5

cd

uv

=

1.

Aqaclar

u, v

e

K

\

{O}

+i

teorema

est.e

demonstrat6"

I

126



Algebri

.

lll.

lnele

de

polinoame

@

Exernole

cPolinoamele

f,geC[X],f

=2X2+X+1

Ei

E=4X2+2X+2

sunt

asociate

divizibilitate, deoarece

g

=

2f

.

rPolinoamele

f,g€t-s[X],f

=DX2+x+3

Ei

g=X2+3X+4

sunt

asociate

divizibiiitate

deoarece

g

=

ef.

gn6/cn

et@Zo/ilalz,

B 1" Fie f

e

t<[X]"

Sd se

arate

ca f

e /z(K[X])

daca si

numai

dacd

f

-

1.

SoLutie

Presupunem

ce

f

-

1.

Atunci

existS.

a

e

K*,

astfel

incAt

f

=

a'1

=

? e

K*,

deci

f

este

un

element

inversabil

in

inelul

K[X].

Reciproc,

fie f e

,iz(K[X]).

Rezulta

ca

existd

g

€

K[X], astfel

incAt

f

'g=1.

Atunci

grad(f)+grad(g)

=0,

deci

grad(f)=o,

Fi

cum f

este

nenul

se

obfine cd.

f

e

K..

Asadar

f

-

1.

tr 2.

Se se

arate

ca

polinomul

f

=

1x

+

t;6'*1

*;16n+2

e

ra[X]

se divide

cu

polinomul

g

=

X2

+

X

+

I

e

Q[X].

Solufie

Avem

E=X2

+X+I

gi

X+l:g-X2. FolosindbinornulluiNewton

rezultd cd:

1x+

l;6'*1

=

(s

-*')u"

=

c3,.,*r€6'*1

+

cl,,*rgon

'(-x2)*...*

+c3fi*rg

(-",)u"

*

"3lll

(-*r)u"*t

=

g.h

-

x12'*2,

(1).

Aqadar,

r

=

(X

*

l)u'*'

*

y6n+2

=

g.h

*;16n+2

-yr2n+2

=

g.h

-;q6n+2

.

.(*u"

-

r)

=

g.h

-

v6n+2

("t"

-

r)("t"

+

r),

tz).

Dar,

X3'

*

t

=

("u)"

-

t

=

(*t

-

r)(xs"-s

n

;13n-6 +... + X3

* t)

=

=

("t

-

t)

n,, iar din relatia

(2)

se

obtine ci

f

=

g.h

-;6n+2

(X

-

f)ghr,

Jeci f

este

divizibil

cu

g.

r27



r

lll. lnele de

polinoame

4.3.

Cel

mai

rnare

divizor

comun al

polinoamelor

.:.

OEFlt{lTlE

.

Fie f,

g.

K[X].

Un

polinom d

e

t<[X]

se

numeste

un

cel mai

mare

dlvizor

comun

al

polinoamelor f

Si

g

daca:

1.

d

este

divizor

comun

al lui fqi

g,

adic5.

O

I

f

qi

d

I

g'

2. oricare

ar

fi alt divizor

comun

d1 al

polinoamelor f

qi g,

atunci

dtld.

Daci d

este un cel

mai

mare

divZor

comun

pentm

f

9i

g,

el se

noteazd.

c.m.m.d.c.(f,

g)

sau, mai

simplu

(f,g).

*

pEFrl{rTrE

l.

Dorra

polinoame

f,guK[X]

se

numesc

relativ

prime

(sau

prime

I

intt"

ele)

daca

(r.

g)-

i.

Demonstratie

Deoarece

d,1, d,2

e 9, atunci dr

I

d,

,

dar

9i

d,

I

dr

,

conform

condifiei

2 din

definilia c.m.m.d.c.(f,

g).

Aqadar

dr

-

d2. I

Teorema

6

ne

asigurd cd

fiind

date

doui

polinoame f,g. K[X],

polinomul

(f,

g)

este unic, atrstracfie

fdcAnd

de un factor multiplicativ

aeK*.

in continuare

vom

considera

ca

polinom

care sA desemnez"

(f,g)

polinomul unitar, iar

pentru polinoamele constante,

polinomul

constant

1.

Rezultd

cd

doud

polinoame

f,

g

"

K[X] sunt

prime

intre ele

dacd

(f,

g)=

t.

re

m

ffi

tu

c

I

fo

E

r

E

t

D

(r

128



Algebri

r

lll.

lnele

de

Polinoame

Demonstratie

Din

teorema

impd,(irii

cu

rest,

existi

q

e

K[X]

astfel

incat

f

=

€.q

+

r,

grad(r)

<

grad(g).

o

DacA

r=O,

arelocrelafia

f

=g.q

Si

(f,g)=g=(g,O)=(g,r)'

.

Fie

r*0

qi

d=(f,

g),

dr

=(g,

t).

Deoarece

alf

qi

dlg

rezulti

ci

dl(f

-gq),

deci

dlt

qi

astfel

dl(e,r)=dr.

Din

relalid

dl

=(g,t)

8i

f

=gq+r

se

obflne

cd

dt

I

f

'

deci

d1

este

divizor

comun

pentru

f

qi g.

RezultA

ci

d1

I

a

qi'

astfel

di

-

d'

I

Aceastd.

teoremd

ofer5.

posibilitatea

calculA'rii

polinomului

(f,

g)'

folosind

polinoame

de

grad mai

mic'

o€F.ExemPlu

Fie

f,gen[x],

f

=Xa-3X2+2'g=xs-x'

Avem:f=g'X-ffiRezult[ca(f,g)=WA9adarprob1emas-a

redus

la

a

calcula

c.m.m'a.c'(x3

-x,

-2x2

+z)'

avem

g

=

X3

-x

=

x(x-lxx+r) si

r

= -2(x-1)(x+l).

se

obtine

cd

c.m.m'd'c'(r,g)

=

(x-1Xx+l)

=

12

-1'

nemonstati"e

a)

in

.caz:ul

f,

=

€l=

0,

noamelor

f

Pi

$.

b)

DacA

f

*0

ql

S=0,

(f,

g)

=

g'

polinornul

nul

este

un

c'm.m.d'c'

al

poli-

avem

(f,

g)

-

f,

iar

daca

f

=

o'

g

* 0'

avem

c)

Sa

considerS'm

f

9i

$

polinoarne

nenule'

Din

cu

rest,

existi

polinoamele

qr,

rt

e

K[X],

astfel

incAt:

f

=

ger

+

rr,

grad(rr)

<

grad(g).

129

teorema

imPd.rf.irii



Algebrl

.

lll. lnele

de

polinoame

Conform

teoremei

7

avem

ca (f,

g)=

(g,

rr).

.

Daci

rr

=

0,

atunci

(f,

g)=

(g,

O)

=

g

pi

teorema

este

demon-

strati.

.

Daca

r,

*

O,

existd

polinoamele

\z,rz

e

K[x],

astfel incAt

g

=

rtg.z+

12,

grad(tr)

.

grad(rr)

9i

astfel

(g,

.t)

=

(rr,

rz).

Pentru

f2

=

A,

(g,

tt

)

=

fi

9i

astfel

(f

,'g)

=

tr.

in cazul

in

care

12 * O

se continua

procedeul obfinAnd

pirul

de

relatii:

f=$q1

+q,

$;f1Q2*12,

f1

=f2Q3*fg'

grad(rr)<

grad(q1)

grad(r2)<

grad(q)

grad(r3)<

grad(r2)

fn-l=fnQn+I*ft'ta1,

grad(r,,*r)<

grad(ro)

Deoarece

grad(q)

>

grad(rt)

>

grad(rr)

meazh

un

gir

descresc6tor

de nuxuere

naturale.

Rezultd

cA

e:dstd

p

e

\

astfel

inc6.t

ro

*

0

gi

ro*1

=

0.

in

acest

caz

se

obtine:

(f,

g)=

(g,

tr)= (rr,

rz)=...

=

(.o-,,

to)=

(t'

O)=.0.

A;adar,

polinomul

ro

este

un

c.ur.m.d.c.(f,

g).

r

Din

demonstrafia

teoremei

rezulta

qi

un

algoritm

de determinare

pentru

c.m.m.d.c.(f,g).

Acesta

este

ultimul

rest

nenul

in

girrl

de

polinoame:

f,

g,rr,

t2,,..,ffi,

O.

Acest

algoritm

poarli numele

de

algoritmul

lui Euclid

de

determinare

a

c.m.m.d.c.

pentru

doud

polinoame"

&a.6lpzn

n,iafhtaln,

tr Sa

se determine

c.m.m.d.c.(f,

g)

pentru:

f,

g.

n[x],

f =xa

-3xs

+x2

_3X+4,

g

=

X3

-1.

130



Algebri

.

lll.

lnole do

polinoame

Solu&e

Alcituim

qirul

de

polinoame,

prin

impdrfiiri

succesive:

f,g,r,

=X2

-2X+1,

r,

=WffiWrb

=0.

Rezultd.

cd

(f,g)-3(X-1).

Conform convenfiei

de

a

desemna

c.m.m.d.c.

prin

polinoame

unitare,

avem

(f,

S)

=

X

-

1.

3

(lBSERVATIE

r

Pentru

obfinerea

qirului

de

polinoame

f,

$,

11, 12,

"..,

ro,

0 conteazi

doar

restul

impnrfirilor efectuate.

Acest fapt

permite

simplificarea

sau

inmulfirea

acestora

cu

elemente

din

corpul

K

pentm

ca

impAr,tirile

sA fie mai

comode.

Astfel,

girul

anterior

poate

fi

scris:

f,g,rr

=x2

-2X+1,

12

=ffi,fg =0.

Demonstratie

AplicAnd algoritmul

lui Euclid se obtine

sirul

de egalit6"fi:

f=g.gr*rr

(1)

g= e2+r2

(2)

f1

=

f2Q3

* 13

(3)

rl

=f

-SQr

=cr1f

+Btg,

(1')

(l')

rz

=

E-rtq.z

=

a.2f

+929,

(2')

{z',)

13

=

rt

-

rzQs

=

cr3f

+

FsS'

(3')

fk

=

fk+rgk

+2

*

fk+z

(k)

tn.2= fn-tQn *fn

=rrr*tqr,

+d

(n-2)

Prin inlocuire

din aproape

in aproape

se

obtin€ 1L

-

crs +

B1g,

(k'),

qi

in

final

d

=

fn

-

crn f

+

Fr,

.9.

LuAnd 1r

=

ctn,

v

=

Fr'

teorema

este

demonstratd. I

131



Alcebrd

r

lll.

lnele

de

polinoame

ll9

.Exernlrlu

.pentru

f,

g

e,C[X],

f

=

Xa

*3X3

+X2

-3X+4,

g

=

X3

*1,

din

problema

rezolvata,

rezulta ca

d

=

3(x-1)

=

f (-x-2)*g (t' -"-

5)

*

pEFrr{rTrE

r

Fie f,

g

e

K[X].

Un

polinorn m e n[X]

se

nurneqte

un

cel mai

mic

multiplu

comun

al

poiinoarnelor f

si

$

daca:

1.

f

lm

qi glm

(mestemultiplucorrlunpentmf

qig);

2.

oricare

ar

fi

mt

e

K[X],

multiplu

comun

pentru

f

ei

g

rezultd

-l*t'

Pentru

un cel

mai

mic

rnultiplu

comu"n

al

poiinoamelor

f

qi

g

se

foloseqte

notafia c.m.rn.m.c(f,

g)

sau

[f,g].

Dac5"

f,

g

e

X[X]

sunt

polinoarne nenule

si

m este

un

c.m'm.m'c.(f'

g)'

atunci

oricare

polinom mi

-

fl

este

un c.m.m.m.c.(f'

g).

Se

va

considera

cle

reguli

c5.

poiinomul

[f,g]

este

polinomul

unitar.

Pentru

deterrninarea

[f,

g]

".

foloseqte

relafia:

ttr.

c

0BSERVATIE

.

Se

poate

defini c.m.m.d.c.

multe

polinoame.

Astfel:

(r,

e,

1')

=

((f,

g),

h)

&D6/zrn&r"z'/frete#,

E

Sasedetermine[f,g]

pentn-r

f

=x4-3x3

+x2-3X+4

Qi

g=X3-1.

Solutie

Dinrelafia(11,

f

g-(f,g)

[f,gj,

avAndtu:vedereca

(f,9)

=X-l

se

obfine:

[r,e]

-

("n

*BXB

+x2

-3x++)(x3

-l):(x*1)

=(*n

-3XB

+

+X2

-3X++)(x'z+X+

t)= *u

_

2x5

-X4 -5X3

+ 2X2

+X+4.

si c.m.m"m.c.

pentru trei,

patru

sau

mai

si

[f,

s,

h]=

[[f,

g],

h] etc.



EXERCtIil

St

PRoBLEME

EXERSARE

81.

Se

se

arate

ci

polinomul

f

eC[X]

se

dtvtde

cu polinomul

g

e

C[X]

9f

si

se

determtne

citul

impergiiii

lui

flag:

(E

r=x4-xe+x2-

x-4,

g=x+t;

8=X-l;

€)t

=

x7

-

x4

-

BX

+

s,

g

=

(x -

r)z

;

G)

r

=

(zxz

+

x

+ z)2

+

(zx2

-

x

+ z)2

_

.

-2X2,8

=

X2

+

li

Q

r

=

x6 +

(x

*r)o,

g

=

x2

-

x

+r.

/7,

(?.'

tn

rc

aratc

ci

poltnomut

f

e

Zo

[X]

ao

dtvldc

cu

poltnomul

geZn[XJ,

in cazurllc;

6)t=

xa

+x2

+

i,

g

=

x2

+x-

2,

P=9i

b)

f

=

xa

+ 6:12

+ 4x-i,

g

=

x+

6,

P=5;

c)

f

=

Xo

+ X6

*

6Xa

-

iXs

+ Xa

-

-ix+2,g=x'+x-S,p*6.

ES.

Sn

se

detcrmlne

c.m.rn.d.c.

al

poll-

noamelor

f,

gef

[X]:

a)

f

=X2-2x,g=Xe-zx-4,

K=C;

b)

f

=

XG

-1,

8=Xs

+X2

+X+1,

K=Q;

APROFUNDARE

Al.

SA

se

determine

a,

b

e K

pentru

care polinomul

f

eK[X]

se

divide

cu

pollnomut

g

e

K[X],

in

cazurile:

a)

f

=iX2

+aX+

2,

g=*+a,

K=Zsi

Q5r

=

xa

+ xs

+

ax

+

i,

g

=

2x

*

i,

K=Zsi

Gl

t

=xa

+ 4x3

+

3x2

-:

4x

-

4,

?=xs

-2x2

-sx+o,

r=p;

,d)

f=

X4

-6112

+Q,

g=X2

+4,

K=Zsi

e)

f

=X6+X5+0X+i,g=X"

-y.2+

+x+i,

K=Is.

84,

SA

se

determlne

parametrul

m

e K

pontru

care pollnomul

f

eK[X]

se

dtvtde

cu

poltnomul

gle

n[XJ:

a)

f

=xs

+ mxz

+ 4,

g

=

X-2,K=q;

b)

f

=

x4

+ mxe

+(m-t), g

=

2x+

3,

K*P;

c)

f

=Xa+Xs+mX+m,

g=X+0,

K*Zsi

d)

f

*x{+(rn*i)x+6m+6,

g=x-6,K*zs.

85.

Sd

se

determine

c.m"m.m.c.

pentru

pollnoarnele

f,

g

e

K[X]

:

a)

f

=X2*l,S=X2*X,K=e;

b)

f

=X2+1,

€=X?*lX,

K=e;

c)

f

*

Xa

+X2

+1,

6*

Xs

+X2

+X,

Kee;

d)

f=X2+X+i,

g=Xa+0,

K=1r.

'51)t=xa+x3+aX2+x+b.

g=x2+i,K=2r;

d)

f

=

X5

+ Xs

+aX2

+

i,

E =Xz

+

a,

K=Zsi

e)

f

=

Xa

+aX2

+

i,

g

=

X,

+ bX

+i,

K=Zg.

_\s\s



r

lll. lnele

da

polinoame

A2. Fie

f

e in[X],

f

=

X2

+

2X

+

m.

Si

se

determine

m

e

Q

pentru

care

poll-

nomul

e€n[x],

g=f(x2+2x)

se

divide

cu f.

(IJniu.

Tehnicd.

Cluj-N

opoca,

20

OO)

A3. Pentru

n

e

N'

se consideri polinoa-

mele

f

=

x(x

*

t)t'*t

+ (m

-

t)xn

e

e

n[x],

E

=X2

+X+1ea[x].

DaeA

nn*{memlf

flviztbficug}

pt

s*

* I **,

ntuncl:

meM

a)6*l;

blS=21

c)9*Si

d)

8*4; e)

8*5.

[{SE

Bucureptl,

2006)

44.

g[

ce

determlne

m

e R

gtllnd

ci

pollnomul

f

en[x],f

*Xe*SmXa+

+q(mz

+r'lx-ms

-B

se divldc

eu

\/

6*x-r€n[x].

S6

se deternulne

a,

b, c

e

O,

ngtfel

lneit

polinomul

f

e A

[X]

sA se

divtdd

cu

g

e

,e

[X]

:

*'a)

f

*

X4

*3Xo

+ bX2

+ aX

+ b,

g=x2-1:

'*

b)

f

=

ax3

+

bx2

-

z}x+tez,

8=x2-bx+6;

c) f

=ax3+bXz

-BZX+l4,

€

=

X2

+X- 2;

d)

f

=Xa+aX?+iXz+b,

g=X2-i;

'

e)

f

=

Xa

+

axa

-bxz -cX+

g,

e=(x-t)(x

-bx+e);

0

f

=

x5

*ax4

-

zxs

-bx2

-

gx+

*Q1$=X3+1.

A6.

Sn

se

determlne pollnoamele

f

e

e

,C

[x]

de

gradul

3,

gtiind

ci se

divld

cu

X

+

1,

iar

la

impirfirea

cu

]l-2,

)(-3,

X-4 resturile

sunt

egale.

A?. Fie

f,

g

e

R[X],

f

=

aXs

+

bX2

+

cX

+

+d,

B-3aX2+2bX+c,

aeei.

Se

se demonstreze

ci dacl

pollnomul

f

ee dlvlde

cu

g,

atuncl

f

gt g

eunt

puterl

ale unui

pollnom

de

grad

l.

A8.

Fte f,

gen[x],

f

=Xs*4X8+X+

+m,

I

*

Xt

:7X

+ m.

$fl ac dctcr.

mine

m

e

R

qtltnd

c&

(f,

g)

eate

pollnom

de

grndul

l.

A9,

9e deu

pollnoamelE

f,

BeO[X],

f

=

*X$*x2+ax+b,

B=x9+xP+

+X+1. 9&

Ee

determine

a. beC

pentru

care

pollnomul

(f,

g)

ere

gradul

2

ql

Ef, ae

afle

npot

[f,

g].

AtO.Fte

f,

$eZc[Xl,f

*X$+x2+a,

I

*

Xs + x +

0.

sA se

deternrine:

a) valorile

lui

a

e Zs

pentru

carc

polinomul

(f,

g)

are

gradul

1;

b) c.m"nn.rn.".(f,

g)

pentru,,a,,

deter.

mlnat.

Al

1.SA

se arate

cd

polinomul

r=

(r+

x+

x2 +...

+x")2

-xn

e

e

O[X]

se

divide

cu

g

=

t+

X+

+X2

+...

+

X'-1

e

O[x].

Al2.S[

se arate

ci

polinomut

f

e,C[X]

se

divide

cu

g

€

CI

[X]

,

in

cazurile:

a)

r=(x2+x+r)4"*r+

*(o'

-

x

+

r)4'*r"

€

=

x2

+

1;

$:

134



Algebri

r

lll. lnele

de

polinoame

c)

f

=

(x

-

1)2n+r

-

(-x)"*',

E=xz-x+l;

d) f=1x+t;s"*2+x+2,

8=X2+3X+3.

A19.Se

conslderi

polinomul

f

=

Xm

+

+(x

-

r)-

+

I

e

a[x].

Pentru

ee va-

lorl

m

e

H*

pollnomul

f

oste

dlvl-

zlbll cu

I

=

Xz

-

X

+

I

e

P[x]?

A14. Sn

se determlne

a, b

e

O

gl

pro-

dusul

pollnoamelor

f,

g

e

O[X]

qtt-

ind

ca

(r,g)=

Xz

+2X

it

[f,g]=

=X4+ax3+8X+b.

Al6.Pentru

care

valori

ale

lui n

e

N*

polinoamele

f,8eO[X], f

=X+1,

I =

1+ X

+

X2

+...

+

Xn

sunt

prlme

lntre ele?

A16.9f,

se determlne f,

geP[X],

qti-

lnd ci

f

(-l)- s,

g(O)=

1

9t

(f,

g)=

=

x2

+1,

[f,

g]

=

x4

-gxt

+

gxz

-

-3X

+ 2.

b)

f

=(x-r)"*'+x2'*1,

g=xz

-

x+ l;

O

Descompunerea

polinoamelor

in faetori

ireductihili

6.L.

RldAclnl ale

polinoamelor

Fie

f

e

K[X]

un

polinom nenul.

.8.

DEFIt{lTlF

IoElementul

cxeK

se

numegte

rtdlclni

I

,1o;

=

o.

@

Exetnple

r

Polinomul de

gradul

r, f e

c[x],

W$.W]{are

rtrdicina reprezentati

de numf,rul

comptexW

lPentnrpolinomuldegradulz,feD[X],Nffir5'dlcinilesuntdatede

rormurere:

ffiffi dacd A

=b2

-4ac2

o. respect,"

ffi;ffi$ffi

0"".

Sffiffi*SN

.W

t{

}#ffis'\Y

a<0.

Urmitoarea

teoremi

pune

in

evidenfA o

leg5.tur5.

intre rAdAcinile

unui

polinom

f

e

t<[X]

qi

divizibilitatea

polinoamelor

pe

mulfimea

K[X].

r35

a

polinomului

f

e

K[X]

daca



Algebri

o

lll. lnele

de

polinoame

Dercnsifrilie

a)

Fie

cr e

K

si

x

-

er e

K[xj.

nm

teorema

impdr{irii

cu

rest

rezulta

cA

existd.

h

gi

r

e K[Xj

astfel

incdt

f

*

h'(X

*

")+

r, r

c

K,

(l).

Din

teorerna

restr.rlui trezulta

ca

r

= f

(u)

Si

relatia

(1)

se

scrie

f

=

(X

*

0t.).h +

f

(n),

(2).

Din

relatia

(?)

rezult.A

cA

dac6"

s

este

rAdf,cin&

pentru

f,

atunci

f

(o)

=

g

*i

f

=

(X

*

").h,

deci

f

se

divJde

cu X.:

q.

Recipr-oc,

riacA

f

se

divide

cu

X

*

er,

din

relalia

(2)

se

obtine

eA f

(u)

,=

0.

b)

Dacd.

f

se

divide

cu

g,

atLtnci

existA

h e

K[X],

astfel

incAt

f

=

S,]r.

Rezulta

c&

este

rAdd.cinA

a pclinomului

f.

F

e4d/p*nfrrt4,ga/rlafa/

tr

Fie

f,

ge

'C[X],f

=X3+BX2+aX+b,

g*X2-BX+2.

Sd

se

deter_

mine

a,

b e

,C

pentru

care

poiino-

mul

f

se

divicle

cu

g.

Sd

se

afle

apoi

riddcinile

lui

f.

Solufie

RAdS.cinile

polinomutrui

g

sunt

date

de

ecuatia

x2

*-Bx

+2

=

O.

Se

obtine

xt

=

2,

Xz

=

l-.

Se

impun

conditiile

f

(2)

=

O

qi

f(1)=0.

cu

solutia

p(

rt

b

g

E

Ja+b=-4

[2a+b

=-2O

fa=-16

ln=rz

&

()

+r

m

pi

Se

cu

cu

l-

I

f

{n)

=

e(")

h{cl)=

0,

deci

u

Rezulta

sistemul

136



Algebri

o

lll.

lnele

de

polinoame

se obfine f

=X3+3x2-16x

+r2=("'-sx+z)(x+6),

iar

rida-

cinile

lui f sunt

xL

=

2,

xz

=

L, Xg

=

-6.

5.2.

Redicini

multiple ale

unui

polinom

*

pEFrr{rTil

.Fie

f eK[X]

un

polinom

nenul

si me N*. Elementul

ge

K se

numeqte

ridicini

multipli de ordinul

m

dacd

polinomul

f se divide

cu (x

-

o)-

,

dar nu

se

divide

cu

(x

*

o)**t

.

oNumdrul

m

se numeqte

ordinul

de

multiplicitate

al

rdddcinii

o.

oDacA

m

=

1, rddS"cina

o

se

numeqte

rddAcind.

simpli.

Daci

m

=

2,

3,

... rS"dicina

cr

se nume$te

ridd.cind

dubli,

tripli,

... .

Agadar,

daci

cr

e

K

este rS"ddcind

multipld

de

ordinul

ffi

polinomul

f

se

poate

scrie sub

forma

f

=

(X

-"ff'g,

unde

g

e

K[X]

;i

g(cr)

e K-.

%o6lerun,ryoluald,

tr

Fie fem[X],f=X3+aX+b.

Sdsedetermine

a,belQ,

qtiindcd'

cr

=

I

este rS.ddcin6

dubl5.

pentru

f.

Solutia

I

(metoda

coefi

cienf

ilor

nedetermina .i)

:

Deoarece

c[

=

1

este

raddcina

dub15,

polinomul f

se

divide

cu

(x*o)'.

Avem

f

=(X-1)'(x+c)

=x3

+x2("-z)+x(l

-2c)+c

=X3

+

+aX+b.

Folosind

egalitatea

polinoamelor,

prin identificarea

coeficienfilor

monoamelor

asemenea,

rezultd.:

c=

2,a=L-2c,

b=c,

deci

a

=-3,b=2

si

f

=(X-l)'(x+2).

Rdddcinileiuif

sunt

ctl

=cr2

=1

si ds=-2.

Solutia

2

Dacd.

cr

=

1

este raddcina

dubl5.

a

polinomului

f,

atunci f

se divide

cu (X

-\"

.

EfectuS"m

prin

schema

lui Horner

impdr,tirea

polinomului

f

cu X-1 siacAtuluirezultatcu X-1.

Avem:

t37



Algobrt

r

lll" lnele de

polinoama

Aceast6

teorernd. a fost

datA

de cdtre

matematicienii

J. L.

DAlembert

':

C. Gauss.

Problema

3

a fost

rezolvatd.. de

matematicienii N. Abel si

A. Ruffini.

3

()BSERVATII

.

Din

teorema fundamentald

a

algebrei

rezultS.

c6. o ecuafie algebrici de

gradul

n

e

F *

cu

coeficien[i

complecpi are exact

n

solulii

complexe.

.

Deoarece

polinomul

f

e

,C[X],

de

gradul

n

€

N*,

are

exact n rddd.cini complexe,

rezulte cd

el nu

poate

lua

valoarea zero

decAt

de n ori.

Astfei, daci

polinomul

se

anuleazd,

de

mai mult

de

n ori,

atunci

el

este

polinom

nul.

&a6/entn,ryoetah,

tr

Fie f

e

,C[X],

cu

proprietatea

cd f(o)=f(a+1),Vcte

,D.

S5.

se

arate cA f este

polinom

constant.

SoLutie

Pentru cx,

=

O,

I,2,

.,., se

ob{ine ca

f

(O)

=

f

(1)

=

f

(2)

=...

.

Notdm a=f(o)=f(1)=... valoarea comund

qi

fie

g=f

-cre

,C[x].

Atunci

0

=

g(O)= g(1)

=

g(2)

=...,

deci

polinomul

g

are

o

infinitate

de

raddcini.

RezultA

cd

el este

polinom

nul

gi

astfel

f

=

s

e

rD.

r39



Algebri

r

lll.

lnele

de

polinoame

5.4. Polinoame ireductibile

in K

[X]

Fie

(K,

+,

')

un

corp comutativ.

{.

DEFmtTtl

.Polinomul

nenul

f e

n[X]

se numeqte

reductibil peste

corpul

K

dacA

existd polinoamele

g,

h

e

X[X]

de

grad

cel

pufin

l,

astfel

incAt

f

=

S.h.

.Un

polinom

f e

n[X]

cu

grad(f)

t

1,

""r"

nu.

este

recluctibil

peste

K,

se

numegte

ireductibil

peste

K.

9

0BSERVATil

L.

orice

polinom

de

gradul

I

din

K[x]

este

polinom

ireductibil peste

K.

2,Dac5"

un

polinom

f

e

K[x],

de

grad

cel

pufin

2

este ireductibil

peste

K,

atunci

el

nu are

rdddcini

in K.

intr-adevar,

dac5.

f ar

avea

erementul

s

e

K

rd.dacin6,

atunci

f

se divi-

de

cu X-o

qi

am

putea

scrie

f

=

(x*").g,

deci

fnu

ar

fi

ireductibii.

3.

Daca

polinomul

f

e

K[xj

are

gradul

2 sau

3

9i

nu admite

rd.dAcini

in

K,

atunci

eI este

polinorn

ireductibil peste

K.

intr-adev5.r, dacd

f

ar

fi

reductibil

peste

K,

atunci el s-ar

scrie

sub

forma

f

=9.h,

unde

g

sau

h ar avea

gradul

l. Dacd

€=aX+b,

atunci

S(-n"-t)=

O

ut

se

contrazice

ipoteza

ca f nu

are rS.cld.cini

in K.

@ Exernole

rPolinomul

f

=X2

-Ze0[X]

esteireductibilpeste

Q.

Dacif

arfireductibilpeste

e,

atunci

eI

ar avea

o rd.dd.cini

cre

Q.

Dar

f(a)=O

conduce

la

s.2

=2,

deci

"

.

{-Jr,Jr}

"er"

ce

nu se

poate.

+

Poiinomul

f

=

x2

-2

e

a[x]

este

reductibil peste

rD

deoarece

r

=

(x-JD)(x+JD).

rPolinomul

f ez.[x],f

=X3-2

e"te

reductibil peste

az

deoarece

f(t)=0

9i

f

=("-i)3,

a"resteireductibilpeste

27,

deoarece

f(a)

+6,V

aez7.

Dupd

cum s-a

obserwat

din exemplele

anterioare,

descompunerea

in

factori

ireductibili

depinde

de

corpui

K in

care

polinomul

are

coeficientii.



Algebri

r

lll. lnele de

polinoame

Cazul

K

=

O

Fie

f

e

,C[x] un

polinom nenul

de

grad

n,

11€

N*. Dace

n

>

2,

din

teorema fundamentalS,

a algebrei

rezulti cd

f are

cel

pufin

o rS.d6cinA

cr

e,C, iar din

teorema

lui

Bezout se obfine

cd f se

divide cu

polinomul

9

=

X

-

u e

,D[X].

Aqadar

f nu

este

ireductibil

pentru

n> 2.

in concluzie,

un

polinom

nenul f e

,C[X]

este ireductibit

peste

,D

dacA

si numai

dacd are

gradul

1.

Cazul

K

=

P

Dacd f e Q[X]

este un

polinom

nenul,

el este ireductibil

numai

in

urm6toarele

douA

cazuri:

.

fare

gradul

l;

.

fare

gradul

2

qi

nu are radicini

reale.

RezultA cd orice

polinom

f e

tn[X]

de

grad

n,

n

)

3,

este

polinom

reductibil

peste lQ,

deci

el se

poate

scrie ca

produs de

polinoame de

grad

cel

pu{in

1.

Cazul

K

=

e

Si

K

=

lp,

p

prim

in

ineleie

de

polinoame

,n[X]

gi

Zp[X]

exisffi

polinoame ireductlbile

de orice

grad

n, ne

N*.

De exemplu

f

=X'-2e

rQ[X]

este

ireductibil

peste

tQ.

5.5.

Deseompturere&

polinoamelor in faetori

ireductibili

frernonstrstie

a) Folosim

inducfia

matematicS..

Daci.

n

=

1,

atunci

f

este

ireductibil

peste

adevdratd.

Presupunem

n

>

I gi

cA

afirma{ia

este

polinoame

de

grad

mai rnic

decdt n.

Daci

f

este

K

gi

afirmafia

este

adevd.ratS"

pentru

ireductibil

peste

K,

i4i



Denwstrdre

a) Dacd

u,i

e

,C

este

r6ddcind

a lui f,

atunci

f

se

divide

cu

X-crr,

Algebrd

r

lll. lnele

de

polinoame

atunci

demonstraf.ia

este

incheiatd.

in

caz contnar,

existd

g,

h

e

K[x]

astfel

incat

f

=

S.h

9i

grad(g)

"

tr,

grad(h)

<

n. Din

ipoteza

de

inductie,

poiinoarnele

g

si

h

se

scriu

ca produs

finit

de polinoame ireductibile

peste

K,

deci

f

=

g.h

este produs

de

polinoame

ireductibile

peste

K.

b)

Demonstrafia

r5.m6.ne

temd.

t

Teorerna

anterioarS.

dernonstreazd.

numai

existenta

si

unicitatea

descompunerii

in

produs

de

polinoarne

ireductibile,

dar

nu

oferd.

si

o

modalitate

concretd

de

gdsire

a acesteia.

in

cazul

inelului

D[X]

existA

o

legiturA

directi. intre

descom-

punerea

in

factori

ireductibili

si

rddAcinile

polinornului.

deci

existi

g

e

,O

[Xj

astfel

inc6t

tr

=

(X

-

or

)g.

Deoarece

cr2 este

rAddcind

a

polinomului

f, se

observA uqor

cd

trebuie

sA fie rd.dd.cinh pentnl

g.

Agadar

g

se divide

cu

X

*

cr2.

Rezulti

cd existA

€i

€,0[X]

cu

proprietatea

cA

g=(X*cr2)g1,

iar

f=(X-"r)(X-az)gr.

Se continuS"

rafionamentul

pentru

oe

Si

gr,cra

$i

Sz

etc.,

si

se

obfine

in final

descompunerea

doritd.

b) Dernonstra{ia

rdrndne

ternd.

I

Dacd.

f

e n[X],

atunci

f

poate

f"i

privit

si

ca element

al

inelului

D[X], deci

el

va

avea

rdddcinile

cornplexe

d,1,

crs, ...,

o', e

rC.

pI

rn

cA

da

ht

ne

LIT

cir

rd

g

ffi

St

Pr

Lll

d,

142



Fie

cr1, d.2t ...,

crl

e lQ

rAdAcinile

reale ale

lui f.

Atunci

f se

divide

in

a

[X]

cu

polinomul

g

=

(X

-

or

)*,

(X

-

o,

)-,

...

(X

-

or

)-u

,

unde

rn1,

trr2, ...,

rrlk

€ N*

sunt

multiplicitd{ile

rdd5cinilor

Cr1,

cr2,

...,

cr1.

Rezultd

c6 f se

scrie

sub

forna

f

=€.h,

unde

he

D[x]

gi

h

nu are

rdddcini

reale,

ci

numai

rddS.cini

zk

=

dk + b6i

e

,C

\

lD.

Dar,

se

observA

uqor

ci

dacd

h(tu)=O,

atunci

+i

ft(rr.)=O

Fi

astfel

polinomul

h se

divide

cu

hk

=(x-ru)(*-a)=

x2

-2asx+.fl

+bfl

e

rn[x]"

in concluzie, polinomul

f

e

rn[x]

va

avea

urmdtoarea

descompu-

me

ireductibile:

unde

rilt, m2,

..., 1116,

fI1,

rr2,

...,

np e

N.

qi

a1,

c12,...,

cr1 e

ie

sunt

rddd.-

cinile reale ale

lui

f, iar

polinoamele

X2

+

a"X

+

b",

s

=

{I,2,...,

p}

nu au

rdddcini

reale.

gadhnt?rtzgohta&,

E

..

SA se descornpunA

in factori

ireductibili peste

corpurile

,e,

le,

,C,

potrinoarnele:

a) f

=Xa+X2+1;

b)

f

=

xb

+Xa

-x3

-

x2

-zx*2.

Solufie

a)

Avem f

=

Xa

+2* +t-X2

=(x2

+ t)2

*xz

=(*'+x+r)(x2

-x+r).

Aceasta

este descompunerea

lui f in

factori ireductibili peste

Q

qi

lD.

Peste

corpul

,D

f are

descompunerea

r=(X*r)(*-r')(x-ur)(x-ez),

unde

e

este

o

r6dicind

a

polinomului

X2+X+1,

iar

61,12 sunt

rd-

ddcinile

polinomului

X2

-X+1.

b) Se

observ6

ca

f

(-

t)

=

0,

deci

f se divide

cu X

+

I

.

Folosind

schema

lui Horner

se

ob{ine:

r

=

(X

+ r)(xa

-x2

-2)

=

(x +

r)(x2

+

r)(x,

-

z).

Rezult5

c5.

f

are

urmitoarele

descornpuneri:

.

f

=

(x

+

r)(x2 + r)(x'z

-

2)

neste

e;

.

f

=

(x

+

r)(x2

+

r)(x

-

JZX"

*

Jr)

peste

re;

.

f

=

(x

+r)(x-i)(x+i)(x-JZX". Jt)

peste,D.

143



Algebri

r

lll.

lnele de

polinoame

E

2.

SA

se

determine

c.m.m.d.c.

si c.m.m.m.c. pentru

polinoamele:

f,g.,a[x],f

=

(X-r)("'-r)tx

*z)'

,

g

=

(x,

-BX+

z)(x,

-+).

Solufre

Vom

descompune

in

factori

ireductibili

cele

doud

polinoame.

Avem f

=(x-1)'(x+r)(x

+2)2

ai

g=(x-t)(x-2)(x-2)(x

+2)=

=(x*r)(x-z)2(x+z).

Folosind

descompunerile

in

factori

ireductibili

se

ob{ine:

(f,

g)

=

(X

-

1)(X

+

2)

(se

aleg

factorii

ireductibili

comuni

la

puterea

cea

mai

mici),

iar

[f,

C]

=

(X

-

1)'(x

+

r)(x

_

2)'

(x+

z)2

(se

aleg

factorii

comuni

qi

necomuni la

puterea

cea mai rnare).

RETINEM

Daci

polinoarnele

f,

g

e

n[X]

sunt descornpuse

in

produse

de

factori

ireductibiii, atunci:

'

(f,S)

este

produsul

factorilor

ireductibili

comuni,

luafi la

pu-

terea

cea mai micA;

.

[f,g]

este

prodtlsul

factorilor

ireductibili

comuni

sau

necom.uni,

lua{i la

puterea

cea

mai

mare.

EXEfiCITII

SI

PHOBI.EME

EXERSARE

Dl"

S&

se

determine

care dintre

ele-

mentele

specificate

sunt ri.dicini

ale

polinornului

f:

a)

f

=x3-sxz+ze0[x],

o.{r,i,r+J5};

b)

f=xs-x4+Xs+xs-x+Le

e

c[x],

".

{-t,

,.*}'

c)

f

=X6+6e27[X],

r *

ii,

A,

6" A, A, 61"

Si se determine

pentru

pollnomul

f

e

n[X] ridicinile

gi

ordlnul

de

multiplicltate

al

acestora;

a]

f

=

x2

(x

-

r)u

{zx

-

r)a;

b)

r

=

*'(o'-

x;"

(x'-

r)',

c)

r

= (x2

-*-r)'

("*,

-sx

+

r)s

.

'(*'

-

')'

.

83.

Sn

se

determine

a,

b

e

In

astfel

incit

pollnomul

f

e

Zn

[X]

si

admt-

te

redeelnlle

lndlcate

pl

sd

se afle

apol

celelalte

rd.diclnl

ale lul

f:

a) f=X3+x2+a,p=3,o=A;

b) f

=

Xa

+aX2

+i,

p

=

5,

a=

6;

c)

f*Xa

+dxz

+aX+b,p=8,

".

{i,

i}.

E2.

144



Algebri

e

lll.

lnele de

polinorme

E4.

Se

se

arate

ci

Pollnomul

f

e

K[X]

admite

rldicina

dubli

tndlcati

9t

apol

sl

se

alle

celelalte

ridicinl

ale

lul f:

a) f

=

Xg

-3X+

2, K

=Q,

cr

=

l;

b) f

=

x4

-

6x3

+

13x2

-L2x+

4,

t(=Q,61,=2;

c)

f

=

Xa

-2ixs

-6x2

+

8ix+

4,

K=C,

q=i;

d)

f

=x4-x3+3xs

-Ox+?,

fi

=lg,

a

=4.

Si

se

descomPuni

in

factori

lre-

ducttbili

polinoamele:

a)

f

=Xa-sxs

+2X2

en[x];

b)

f

=x6-1ee[x];

c)

f

=x6-xee[x];

d)

f

=Xa+3X2+aeO[x];

e)

f

=X2+iez2[x];

0

f

=

xs +4x2

+2

ezTlxft

€)

f

=x3+X2+X+iezs[x].

Fie

f eC[x],

f

=

X4

+(m+r.)xs

-

-X2

+

mX

+

n

-

1.

Sn

se

determlne

ridicinile

polinomulul

f'

gtllnd ci

o1=-l

9i

dz=-2

sunt

ridicinl

ale

acestuia.

Se

se

determlne

c.m.m.d.c.

9l

c.m.m.m.c.

al

Polinoamelor:

a) f

=

(x-

1)"

(x+

r)4

(x

-z)(x+

s),

s

=

(xt

-

r)'{x

+

r)5

(x2

-

e),

f,

g

e

a[x];

b)

f

=

(x

-

i)"

1x

+

i;2 (x

+

1)2,

g

=

(*'

+r)2

(x2

-t),

t,

g

€

o[x];

c)

f

=

xG

-1,

g=xe

*L

f,

gea[x].

E6.

D7,

APROFT'NDARE

A1.

Sn

se

determine

ridiclnile

polino-

mutui

f in

condi$iile

date:

a)

f

e

n[x],

r

=

(z+

Jd)*"

+

3x2

+

*

(r

*

zJd)x

+

3.F,

gtitnd

ci

are

o

ridicini

rafionali;

b)

f eC[x],

f

=ars

+(i+5)x2

-2lx+

+3(-1-i),

s,tiind

c[

are

o ridiclni

reali;

c)

f

ee[X],f

=(1+zt)xz+

+(Zm

-

f)x

-

(3

+

mi),

daci

m

e

D

gl

f

are

o

rldiclni

reali;

d) f eO[x],f

=x3+(o+r)x'-

-3X-m-i,

daci

meP

9lf

areo

rldicint

reali.

A2.

SA

se

determine

a

e e

gtflnd

ci

polinomul f €C[X]

admlte

ridi'

clni

reale duble:

'

a)

f

=

(x

-1)(x

+

z)(x

-a);

b)

f

=

(x+

r)(x

-

3)(x-

a)(x-

ea);

c) r

=

(x2

-

t)'

-

(x'

o.)'

.

Alt.

Si

se

rezolve

ecuafiile

in

O

gtilnd

ci

au

soluflile

indicate:

-

a) xg

-3x2

+

x+2=

0, x1

=2;

b)

xa

-

zxs

+4x2

-2x+3=o,

Xl=lrXZ--i;

c) za-\za+22

+4=O,zr=2

solu'

fte

dubli;

dl z6

-24

-

422 +72

-9

=

o, 2l

=l

solufle

triPlt.

A4.

St

se

deibrmlne

rtr

e

Q

Pentru

care

polinomul

f ee[x],f

=X4-

-mxs

+

X2 +m

+l

are

ridlcint

r45



dubli

a

-

2.

S[

se

afle

apol cele-

lalte r$diclnl ale

pollnornulul.

A5.

Sn

se alle ridrlclnlle

pollnomulul

f

eO[x], f

=X6-xa+axs+bX+c

gttind

ci are

ridicina tripli

a

=

1.

A6. Se se determlne

a

e Q

qtiind

ci

polinomul

f

e n[X]

are

ridlclni

reali dubli:

a)

f=X3-bX2+8X+a;

b) f= xs

-2x2

+aX+8;

c)

f

=X3+aX2+7X-3,,

A?.

Sn

se determlne pararnetrii gtiind

c[

polinomul

f

eA[X]

are

o

ridi-

clni

trlpli.

Si

se descompuni

apoi

in

factori

iredr.lctibtlt

polinornul

f:

a)

f

=X3-ox2+aX+b;

b)

f=X3+aX2+3X+b;

c)

f

=

Xa

-5X3

+

9X2

+bX+

a"

lfA.

Sn

se deterrrrine a

e Zs

Xrcntru

care

pollnomul f

e

z3

[x],

f

=

Xs +aXz

+

*/"*2iX+a are trel rddiclni in

l,

ls.

A9.

Se

consideri

polinomul

f

=

X2o

-

-4xn+r

+ Exn

-

4x

+

a

e D[x].

Daci

cl,

=

2

este ridicini a lul f, sE

se determine ordlnul s&u de

mul-

ttplicttate.

A1O.

Si

se

determlne

f

e

Zn

[X]

ae

gra-

dul 4,

gtitnd

ci x

=

A

este

ridi-

ctni

tripli

in cazurlle

p

e

{2,

S}.

A .L.Si

se determine

pollnoamele

lre-

duetibile

L

eZs[X],

f

=

aXs

+bX+

+2.

A12.

S[ se determlne

pollnoarnele

de

gradul

4 lreductlblle in

Z2

[X].

A13.Se se alle valoarea

parametrului,,a"

pentru

care

polinomul

f

e Zn

[X]

este ireductibil:

a) r

=

Dxs

+

(a

+

0)x+ i,

p

=

s;

b)

f=X6+aX+6,p=7;

c)

f

=

xa

+ax2

+(" +i)x+0,

p

=

5.

A14. S[

se

descompuni

in faetori ireduc-

tibllt

polinoarnele:

a)

f

=X8+X4+rea[X];

b)

f

=x8-i,ez2[xl;

c)

f

=xe-iez"[x].

AlS.Fte

f

=

Xs

+bXz

+cX+a e

Q[X],

astfel

incit

a, b, c

e

Z

qi

ab

+

ac

este numir

irnpar.

Si

se

arate ci f

este ireductibil

peste

Z.

A16"Se se

arate ci

polinomul:

f

=

(x

-

t)(x

-

2)(x

-

3)

-

r

e

0[x]

este

polinom

lreductibil

peste

Z.

AlT.Fle

p

numir

prlm"

Si

se descom-

puni

in

factori

lreductibili

poll-

nomul

f

=XP+aern[x]"

At8.Sn se arate

ci

polinomul

f

e

a[X],

f

=

(x

-

1)'(x

-2)'

.... .(x

*

n)n

+

1

este ireductlbll

peste

Z.

A19.Se

conslderi

pollnornul

f

en[X]

astfel

incer

f

(r)

+

i(z)

+...

+

i1n;

=

=

n3,

V

n

e

N*. S[

ae

deterrnlne

rid[cinlle

polinomului

f

ql

si

se

descompun6

in factori lreductibili

peste

Q.

A2O. Se

se

determine

f

e

A

[X]

qi

si

se

descompuni in factori,

gtiind

ci

(x+ s)i(x)

=

(x-r)i(x+

1),

v

x

e

Q.

L46

Algebr&

r

lll, lnsla

da

polinoamo



Algobrl

r

lll, lnele ds

polinoame

A2l.Fte

f

e

z6

[X],

f

=

Xa

+

mxo

+ix?

+

+ix+i.

Pacl

A={me26

|

fare

doui r[diclnl distlncte in

Zs]

;t

r={me

zr

lE=f

+3x+ia""

ridlcini tripli in

Z6]

atunci:

i) a)

e.

{0,

i}r b) A.

{i,

4};

c)

Ac{i,

D}; d)

Ac{0,6};

e)

Ac{6,8}.

it)

a)

B

=

{i};

u) n

=

{i,

4};

c)

B

=

{2,

6};

d) B

=

{i,

0};

e)

a

=

{i}.

(ASE,

Bucureqti,

iulie,

2OOO)

O

Relaliitetui

vidre

Fie f e,D[x],

f

=

aoX2

+

a1X

+

a2 un

polinom

de

gradul

al

doilea.

Dac6"

zy,

z2

etD

sunt rS"dicinile

polinomului

f,

atunci

acesta are

descompunerea

in factori ireductibili:

f

=40(x-2,)(x

-22),

$).

EfectuS.nd

produsul

in

relafia

(1)

obtinem c5:

f

=

aoX2

*ao(zt

+ r-r)x+ aszp2,

t?l.

Din identificarea cetror

d.ouA

exprimAri

ale

polinornului

f

otltinem

rela .iile

intre

rSdAcinile

qi

coeficienfii

acestuia:

Iar

lz1

+22=--

Ito

I'

lrr't,

=uz

lao

(relatiile

lui

Vi€te

pentru

polinomul

de

gradul

2).

. in

mod

analog,

pentru

un

polinom

de

gradul

trei,

f

e,D[X],

f

=

aoX3 +a1X2

+a2X*o3,

€lv€rn

descompunerea in

factori

ireductibili

f

=

ao

(X

-

z1)

(X

*

,z)(X

-

zs),

unde 21, 22,

zs elC

sunt rd.dicinile

poiinomului.

Din egalitatea

aeX3

+a1X2

+a2X*a'B

=

ao(X-rt)(X

-zr)(X-zt)

se ob{ine

cA

asXs

+a1X2

+a2X*o.3

=aoX3

*ao(zr*22*2")X2

+

+as(zp2

+

zrzs

+

zzzy\x-aozrzrzs,

(31.

t47



Din

identificarea

coeficien{ilor

se

obtin

relafiile:

3.t

Zt+zZ+ZS----r-

ao

Ztz2+2123*z2zg

3.o

Z1Z2Z.4

=

--:l

a6

lui

Vi0te pentru

polinomul

de

gradul

B.

Mai

general,

procedand

in

mod

analog

pentrlt

un

polinom

f

e

,C[X],

f

=

aoXt

+

alx^*l

+...

+ an-lx

+

ar'

a6

e

rC*,

cu

rdd6cinile

z:.,

22,

..., zn

I

tC,

se

obtin

relafiile

lui

Viete:

r

lSt

=Zl

+22+...*Zn=-Ol

lao

I

ls2

=

zrz2

*

z1z3

+...

+

zlzn

*

z2zg *

I

I

=^2

a6

,

numite

relatiile

do

...+Zn-lzn=----2

ao

{s)

3y

=

2,12p"..7"y

+

Zp.g...fk*t

4'

...

*.Zri*k*l

"

""..Ln_]

.Zri

: (*l)"

g-L

d.o

sn

=

2122...r"

=

(-1)"

3

o

Dupa

cum

se

obserua,

suma

sk

este

slrma

tuturor

produselor

a k

dintre

rd.ddcinile

polinomului

f.

Rezultd

cd

suma

sk

are

c| termeni.

3

OBSERVATII

1.

Pentm

ecuatia algebricd

i1x;= O soiufiile

zt,

22,

...,

zn

sunt

reda_

,

:ii:l-:-p.linomului

f

si,

astfel,

ele

verificd.

acelaqi

sistem

de

relafii

ale

.

..

,lni

Viete.

'

L.

Relatiile

lui

vi6te

se

pot

scrie

pentru

un

polinom

f

e K[x],

de

gradul

n

e R*,

care

are

toate

cele

n rddicini

o(1,

*2,

...,

on

in

corpul

K. in

caz

contrar,

nu

se

pot

scrie

relatiile

lui

Vi6te.

Astfei,

polinomul

f

e

,a[x],

f

=

Xn

-2,

n>

2,

nu

are

nici

o radacini

in

'Q,

deci

nu

putem

scrie

sistemul

(s)

de

relafii

ale

lui

viete.

t48



o

lll.

lnele

de

polinoame

,il//reer,

a,h,

u,ta,fill,h,

tui,

"//dila,

L.

Relafiile

lui

Viete

se

dovedesc

polinom

f e

,C[X],

in

cazul

cAnd

suplimentare.

%&lzrn&,&rohtald,

tr

Sa

se

rezolve

in

o

ecuafi

a

z3

-

z2

-

z

*2

=

o,

gtiind

cd

dou6.

dintre

solufiile

sale

verificd

relatia

21*

22

=

* .

Salrqfre

Din prima

rela{ie

a

lui

Viete,

zr*22*zs=

se

obfine

zs

=L_21_22

=

=I-(zr

+

zr)

=

2.

Consider6nd

polinornul

f

e

A[X],

f

=

X3

_X2

_X_2,

care

are

rd.dacina

2,

ob{inem

cu ajutoml

schemei

lui

Homer

descompunerea:

r=(X

-2)(x,

+x+t).

Rezulta

c6 ecuafia

algebricd

atasata

se

scrie

sub

forma:

(t

-Z)(tz

+

,+

t)

=

O

gi

are

solufiile

zs

=

2,

zL,z

=-l

tjlF

.

2

2.

Dac6

sunt

cunoscute

solutiile

unei

ecua{ii

algebrice

de

gradul

n

€

N*,

21,

,-2,

...,

zn,atunci

se

cunosc

"rr*.t.:;,

;;,

.

,

s,,

si

ecuafia

se

poate

scrie

sub

forma:

zn

-

slzn-r

*

s2zn-2

-...

+

(-r)"

sr,

=

o,

(l).

gaihm?t.ogalwlz

tr

1.

sa

se scrie

ecuaf.ia

de

gradur

3 cu

coeficienfi

complecqi,

are

solufiile

z1

-

l,

,z

=

i,

zg

=

I

-

i.

Solufte

Avem

st

=

zt

*22

*23

=2,

s2

=

z1z2

* z2zg

+ztzs

=2+i,

sg

=

z1z2zg

=

=

I

+

i.

AvAnd

in

vedere

relafia

(1),

oblinem

ecuatia:

z3

*zz2

+

(z +

i)z

*

(t+

i)

=

6.

tr

2.

Fie

f

e,D[X],f

=X3+X+l

cu

rdddcinile

x1,x2,x3e

().

Si

se

scrie

polinomul

unitar

de

gradul

B care

are

radicinile:

Yt

=1*Xt,

yz

=1+x2,

y3

=l+x3.

utile

in

aflarea

r5dAcinilor

unui

aceste

rddAcini

verificd

relatii

t49



r

lll"

lnela

do

polinoame

Solufis

J

Polinomul

cAutat

este g

=

X3

_

ur'X2

+

s2'X

_

sg,,

unde:

$l'

=

yl

+yr

+

ys

=

3+(x1

+x2

+xs)

=

B+s1

s2'

=

YtVz+

YrYs

+

yzye

=

(1+*,)(I**r)+(i+xr)(r+x3)+(1+x2

i

.(i+xu)

=3+2(xr

+x2

+x3)+x1x2

*x1x3

*X2X3

=3+2s1+s2

ss'

=

yryzys

=

(1+x,)(t+xr)(t**r)=

I+(xi

+x2

+xs)+

+(xrx2

+xrx3

+x2x3)+xrx2x3

=I+s1

+s2

+s3,

unde

51,

s2,

s3

sunt

da--:

de

rela{iile

lui

Vi€te

pentru

polinomul

f.

Rezult6

sr

=

0,

s2

=

1,

53

=

-l

qi

se

obtine

sr'

=

3, s2,

=

4, sa'

=

1.

Polinomul

cdutat

este

g

=

X3

_

SX2

+

4X

_

1.

Solufia

2

Din

relatiile

date

se

obfine:

Xt

=

Yt -L,

XZ

=yZ

-1,

X3

=

yg

-1.

Cu

substitutia

x

-

y*1,

ecua(ia

f(x)

=

O ata$at6

polinomului

f s:

transforma

astfel:

(v

-

i)t

*

(y

-

r)

+

I

=

o,

care

adusa

ia

forrna

cea

ma:

sirnpla

devine:

ys

-

By2

+

4y

-1 =

o.

Rezult6

ca

polinomur

g

care

arr

ataqatd

aceastA

ecuafie

este

g

=

X3

*

SXz +

4X

_

1.

E

3"

Sa

se

rezolve

in

,C

sistemele

de

ecuafii:

f"*n

*z=r

f**uy

*a2z=a3

a)

J*2

+y2

+22

=3:

U)

j"+by+

b2z=b3,

a,

b,

ce

,D

distincte.

f*t

*

ys

+zs

=r

l*n"y

+c2z=c3

Solutie

a)

considerdm

numerele

x,

y,

ze

,c

ca

ridd.cini

ale

unui

polinom

f

de

gradul 3.

Rezultd

cd

f =X3-srX2+s2X_s3,

uflde

s1 =

x+jrrz=I,

s2

=

)qF

+

ttz

+

zx

si

sg

=

xyz.

Din

relatia

x2

+y2

+""

=(*+y+z)2

-2(*v+yz+zx)

se

ob{ine

ca

3=1-2sr,

adicd

s2

=-1.

Deoarece

x,y,

z

sunt

rdd'cini

ale

polinomului

f,

obtinem:

,n3*srx2+s2x-s3

=o

y3

-

"ryz

-f

szy

-

53

=

C)

u3

-sr"z

+s2z-sg

=

o

150



Prin

adunarea

acestor

egalitA{i

se

obfine:

*3

*

yB

+

ze

-*,

(*'

+y2

+

t2)+r2("

*

y

+

z)-3su

=

g,

Av6nd

in

vedere

sistemul

dat

rezult6

cd

su

=

-1.

Apadar,

f

=

X3

-X2 -X+t

=

X'(X-1)*(X-t)=(X-1)(*,

-t)

qi

are

r6.dAcinile

x,

=

1, X2

=

1,

xg

=

*1.

Obfinem

cA

x=1,

y

=I,z=-l

sau

x=1,

y

=-I,z=I

5111

X=-1,

Y

=I,

z=L

b)

Considerd.m

polinomul

f

e

,C[X],

f

=

X3

-rX2

-

yX

-x.

Avem

f

(a)=

O,

f

(b)=

0,

f

(c)=

O,

deci

a,

b,

c sunt

rddicinile

poli-

nomului

f.

Din relafiile

lui

Viete

pentru

f, obtinem:

a+b+

c=2,

ab+bc*?.c=_y,

abc=x

$i

astfel

sistemul

are

solutia

x

=

abc,

y

=

-(ab+

bc+

ac),

z= a

+b+

c.

EXERCtIil

$t

PBoBLEME

EXERSARE

@r

=

3xo

+

zxz

-t8x

+

8,

21

+

*z'2e-$i

=58.3

-27x2

+7x+15,

z1

.zz=5i

f

=

X8

-Z){z

+

4X

+ 12,

z1

=

gzzi

f

=

X9

-

lOX2

+ZZI--

lg, zs

=

=

2zrzzi

@r

=

x4

-x2

+

l2X

-316,,

z1z2

+

+ zgz4

=

O.

84.

Se consideri

polinomul

f

eC[X],

f=X3-BXz+X+B gi

z1t

z2t zs

€

e

O

ridicinile

sale.

Sise calculeze:

@

ri

+zf+zl;

@"i

+"1+zl;

./\l 1 f

(.cy

-

Zt22zg

_. I I r

"'

t*e*et

el

zlr22-"3.

I+ z1

l+

z2

L+

zs

El.

S& se

scrle

relafllle

lul

Vt€te

pentru

polinoamele

f

e

C[X]:

Ql,r=xs-3x2+4x-lo;

ff/,

=x4

-

sx

+ r:

c)

f

=X5-t;

d).f

=

gxs

-

Xa

+2;

$t

=(x

-

r)(x

-

z)(x

-

s);

d)

f

=(*r-*+r)(x+z).

E2.

Si

se

arate

ei

polinomul

f

e Zn

[X]

are

toate

r&dicinile

in

Zn

gl

si

se

scrie

relagiile

lui

Vr6te

pentru

aqesta:

@x=xa+i

et.2[x]:

fft=x3+iez3[x]:

'c)

f

=X5+iezs[x];

d)

f

=x3-x2+X+iezs[x].

83.

St

se

determlne

ridicinile

potino-

mului

f

eO[X],

gtiind

ci

are

loc

relafia

specifleatd:

15I



Algebri

r

lll.

lnele

de

polinoame

ljo.

E6.

S[

se rezolve

in

,C

ecuafille,

gtttnd

cf,

au

loc

relafiile

datel

al

zg

*fii22

-az*12=O,

z1+22=zgi

b)

zs

-

I-l:z2

+

az

-

36

=

O,

zr

=

zzzal

cl

zs

-1222

+az-6O

=O,

zt+zs=

*

2zs,

Se eonsideri

pollnomul

f

eO[X],

f

=

1+

X

-

2X2

+

X3

eu

ridisinite

z1r

z2t

23.

Si

se forrneze polinoa-

mele care

au ridicinile:

a)

Yr

=

L- z.1,

Yz

=L-

z.2,

yg

=

l- zg;

G)

yl

=

22*

zg;

YZ =

2r#

zgt

lg

=

=

zt

-t

zZi

C)

yf

=

z2zg,

yZ

=

z1Zgt

y"

=

z1z2i

..

111

<U

Yr=

,Yz

=-,Ys=

2122-2s

S7.

Fte

f

e Z6

[X],

f

=

X4

+

X2

+ i. oace

G,1r

o2,031tr4

€

Zg

sunt

ridicinile

polinomului

f,

sn se

calcuteze:

ffi

"?

+a22+a +cr2a;

b)

cir

+

o,lt +

cr;r

+

cll:

c)

af

+

"fl*ol+of;:

d)

ql

+

cr$

+

o$

+

u,f, n

e N*.

E8.

Se sonsideri

ecuafia

xa*B*-6x-

^2

=

O in

rll,

cu

solufiile

x1t

r.2,

x3, x4

erC

gi

S=--1-*-f-+

1+x1

1+x2

11 + -

.

Atunci:

l+xg

1+x4

a)

S=2;

b)

s=-2;

c)

S=O;

d)

S=1..

fUniu.

Ttcnsiluonia,

Brrrsrrw,

ZOOO)

41.

Daci

x1,

xa,

&

€O

sunt

rAdicinile

poli-

nomului

f

=

X3

-ZXz

+

ZX

+LZ

e

1",

x.2

xal

e

C

[x]

9i

A

=

lx,

xs

x1l, atunct;

l*"

x1

*rl

a)

A=0;

b)

A=4;

c)

A=l;

d)

A=2"

(Univ.

Tyo;nsilu

o;nia,

Bra.son,

Z O

A

O)

A2.

SA

se

determine

ridd.cinile

polino-

rnului

f

e

A

[X],

qtiind

c6

ridd.ci,

nile

sale

verilici

relafia

datd,:

a)

f

=X3+mx2

-4X+/*,21+zz=O;

b)

f

=X3

+2X2

+aX+2, 21

+z,2=-g;

c)

f

=X3

-zJ(z

+aX+6,zyz2=3;

d)

f

=

xs

-

Bx2

-

4X

+

d,

Zz1

=

Bzzi

e)

f

=

xs

-(a

+

z)xz

+

(za+

r)x-a,

322

z\

22

zg

A3.

56

se

rezolve

ecuagiile

in

O,

gtllnd

ci au

solufiile

in

progresie

aritme-

tic6,pentrumeD:

al

x3-6x2+mx-2=O;

b)

z3-3lm22+62-4=0;

cl za

-102s

+ mzz

-doz+24=o:

d)

z5

-

20,za

+

azL

+bz*

c

=

o.

SE

se

rezolve

in

mullimea

O

ecua-

fiile

stiind

ci

au

solutiile

in

progresie

geometrici,

pentru

mel):

a) x3-nrx2-6x+2?=O;

Elju""

-

Boxs

+

3Ex2

+

mx

+ 2

=

o;

c) xa

*

l4xo

+ s6x

+ m_=

0.

Se considerd

polinomul

f

eO[X],

f

=

aX3

+

bXz'+

cX

+ d, astfe

nc6t

a, b,

c, d

e

Q*

sunt

in

progresie

geometric[

cu

rafia

e

e (O, +

-)

.

Sd. se

calculeze

Sr,

=

xl

+

x|

+

x$.

APROFUNDART

I

il

l

i$

.tr1k

h+.

A5.

fJ

f

=

Xa

-

8Xs

+

12l{+

a,z1z2

=

zsz4.

fr

\)"\E.

L52



'-.jw

Algebri

c

lll. lnele

de

polinoame

l\6.

Fie

f

=X3+aX+beO[x]

cur6di-

cinile

x1q

x2r x3

e

rC"

Si

se

arate

ci

dacd

a,

b

e I,

atunci:

xf

+xfi

et.,V

neN*.

A7"

9e consideri polinomul

f

=

X3

-

-

rnXz

+ aX

+ m

e CI

[X].

Si se

deter-

mine

a,

rn

e

lQ

qtilnd

ci

rid&clnlle

lui

f veriflci

retatia

of +

af, +

+ufi

=

111s.

S4 se rezolve

in

mulfimea

nurne-

relor

reale

sistemele:

x+ +z*2

*2

+g,2 +22

2< 2

=

-2

$1

(x+y+z=2

t*-

I

\?Ij*'+v2

+22

=6i

[*u*y"+23=B

[x+y*-z=8

oi

i**+y3+z$*8.

l*tnyn+25=B

O

Hezolvarea

scuntiilor

algebrlee

cu

coeficienli

V

i"""*'

-"*r-*-

..-'-.--t-

in

/1,

't),

rQ,

'D

Teorema

lui

Abel-Rufrini

afirma

cd.

pentru

ecua{ia

algebrica

de

grad

n e

N*,

n b

5,

nu

exista

lbrmule

generale

de rezolvare.

Aceasta

face

ca

rezolvarea

unor astfel

cle

ecuafii

sd {ie

<lificilA

in

lipsa

uRor

inforrnafii

suplimentare

asupra

ecuatiei.

De

asemenea,

corpul

in care

ecuatia

are

coeficienfi

poate

conduce

la

ob{inerea

unor

soiufii particulare

si

astfel,

rezolvarea

ecuatiei

s6

fie

redusa

la ecua{ii

algebrice

de

grad

inferior.

7.1,

Ecua{ii

algebrice

cu

coeficienfi

inTL

Fie

aoxn

+

arxt*l +

... +

an_tx

* ar,

=

0,

(l),

ecuafie

algebric6

de

gradul

n

€

N*, cu

coeficien{ii

a6,

ff-1

,

. .

.,

an

e T-,

Pentm

ecuafia

de tipul

{tr)

se

pot

determina

solufiile

din

z

si,e pe

baza

urmdtorului

rezultat:

:=:

=

=

:..



Al0ebrl

r

lll.

lnelo de

polinoame

Demonstratie

a)

Daci

u

e Z

este

solu{ie

pentru

ecua{ie,

rezultA

cA: a6on

*

b)

Daci cr

=

u rn-l

lol

+arl*

|

+.,.+a

\qi

formele:

W'

(*op":t

+

ar

'

po-2q

+ ,.,

't'

&o*rQ*-.l)

*

*#}'

'

O"

P

e

,e

este

q

"_,1".]*

""cl/

r/

/ \n

"oIll

*

\qi

scrie

sub

respectiv,

ffi$'

(*,p"-t

+

azp'*3q

+

"'

+

u'qo)

*

#'

p"'

-F?1cx,n-l*...*or.-1a,*arr=O

sau,altfelscris,,W("oo"-t*..'n".-r)=ffi,

(2)"

Din

relafia

(2)

rezultd.

c5. cr

divid€

4.,.

solutie

a ecuatiei,

rezultA

cA

=

Q,

egalitate

care

se

poate

Deoarece

(p,

q)=

1,

se

eibtine ed

p

divlde

a,,

Ei

q

divide

ao. I

Teorema

oferA

o modalltate

simplA

de

a

detennina

soltlfiile

a e

Z,

respectiv

s

=

P

6,p

ale unei

eeuatii

algebriee eu

eoeficien{i

numere

q

intregi.

Astfel:

r

solutiile

a

e

t-

ale eeua{iei se cautA

printre divizorii

ter:rnenului

liber

ao;

r

solutiile o

=

P

e

,Q,

(p,

Q)

=

1, se caut&

printre

numerele

rationale

q

de forma

,

unde

p

este un

divizor

al

termenului liber

a,r,

iar

q

este

q

un divizor

al

coeficientului

dominant

as.

&aile,n

A,

ir4ahtaln,

Sd

se rezolve

in

mulfimea,C

ecuatiile:

a) xa

-x3

-

5x2

*x-6

=

o;

b) 2x3

+x2

+x-l=O.

Solufie

a)

Cautam

soltrd.iile

intregi

ale ecua{iei

printre

divizorii

lui

6.

Avem:

0u={+1,+2,*3,

t6}.



r

lll.

lnele

de

polinoame

AicAtuim

schema

lui

Horner pentru

acesti

divizori:

t

-l

-5 -l

-6

cr=

I

L

O

-5

-6

-Lt

I

c{,

=

I

nu

este

uot,rti.

c{,

--

-l

1

-2

-3

2

-8

T

cr

=

*l

nu

este

*otrrti.

a=-2

1

-3

I

--q

$W'ffif

s.

=

-2

""t"

"or,rti*

.=2

I

-1

-1

-5

,l

cr=2nueste"oi,riie

g=3

I

0

I

ffiffiruW

cr

=

S

este

solutie

Agadar

s-au

gesit

dou6

solutii

intreg

dr

=

-2,02 =

3. RezultA

cA

ecuatia

se

scrle:

(x +

2)(x

*

g)(*'

+ 1)

=

6,

sr

va

avea

solutitle

er1

=

*2,

e"z

=

3, og,

4

=

*1.

b)

ge

ob{ine

uqor

eA

eeuatla

nu

are

rAdAclni

intregi,

Termenul

liber

al

ecuatlei

este

-1

$i

are

multimea

dirrlzorilor

Q-t

=

{*t,

t},

lar

termenul

dominant

este

Z

cu es

*

\^L,

L,

^Z,

Z\,

Numerele

rationale,

eare

nu

$unt

in

z,

ce

pot

fi

solufll,

aparfin

mulfimit

^ ( r

1l

5=(--"-1.

I

2'2)

Se alc6tuie$te

schema

lui

Horner:

2

I

I

-l

I

Cl,

=

--

o

Zl

2

0

i

_g

2

"

=

-

nur

este

solufie

I

C[=-

2

2

2

2

lW

o=] estesolutie

2

Asadar

(*- )b*,

\

2r\

I

C[=-

2

este

solu{ie,

iar

ecuafia

+2x+r)

=

O.

Se

gdsesc

solufiile

poate

fi

scrisd

sub

forma

_

I

11iJ5

CX,r

=*

Sl

Oto

o

=---

2

--

--t'o

2

In

cazul

in

care

termenii

d6,

3r,

eT- au

mulfi

divizori,

apar

prea

multe

fraclii

l.,O

care

trebuie

incercate

dacd

sunt

solulii.

vom

ar5ta

q

unele

modalitdfi practice

de

indepirtare

a LLnora

dintre

aceste

fractii.

155



Algebrl

r

lll.

lnele

de

polinonme

o

Fie f e

O[X],

un

polinom

de

gradul

n e N* cu

coeficienfi

intre$

gi

cr= e

,Q,

(p,q)=l

o

rddAcind asa. Rezultd

cdpolinomul

f este divi-

q

zibilcu 1-P

qi

f

=("

t)

c(x)

sau f

-(qx*p)cr(x),

unde

c1

este

un

polinom

cu

coeficienfi in Z.

Atunci

vom

ob{ine

f (l)

=

(q

-

p)Cr

(t)

si

f

(-

r)

=

(-q

-

p)cr

(-

t).

Deoarece Ct (1), Cr

(*1)

e

f,,

este necesar

ca

p

-

q

sA divida

f (1)

si

p+qsadtvidd

f(*1).

Agadar,

dac6

p

-

q

nu

divide f(1) sau

p

+

q

nu

divide f(*1),

atunci

3

e

Q

nu

este

solutie

a

ecuatiei.

q

ffiillamn,

*galuah,

E

S[

se

rezolve ecuatia 4xa

-Bxs

-

11x2 +

13x

*

3

=

o,

SoIufle

o

CdutAm

solutii

intregi

printre

divizorii lui

3"

Va

rezulta

c€

ecuafia

nu

are

solutii

in

Z.

r

CAutdm

solutii rationale.

Acestea

pot

fi:

p_fl

I

I

I 3 B B

sl

a

"

i5'

-i'V'-Z'

z'-

z'

4'- 4l'

Avem f

=AXa

-BX3 -11X2

+t3X-3

polinomul

asociat

s.

f

(t)

=

-5

si

f

(-l)

=

-15.

inlAtur6m

fracfiile

care

nu

pot

fi solufii:

r(-l)

=

-15

f

(1)=

-5

Se observi cd

au

mai rAmas

de

probat

dac5.

sunt

solu{ii nurn-a.

fractiile

P.

{1.

-1.

q.

-3}.

'

q

12

4 2 2)



Algebr{

r

lll. lnele

de

polinoamo

FAcAnd

proba prin

schema lui

Homer

se

constatA

cA

sunt solutii

o,

=

L,

o"

=

-t

si

se

obline

ecuatia:

("

-;X,.

.

;)(,.'

-

3x

+

,)

=

o.

Rezultd c5.

cr3,4

=

3rJ5

7.2. E,caafii algebrice cu coeficienfi rafionali

Fie

a,

b,

ce

,Q,

astfelincAtb*0, c> O$i

Ge

lF\,Q.

Numerele

reale

de

forma

rl

=

a +

bJc se

numesc

nurnere

irafionale

pitratice.

Numirul irational

patratic

il

=

a

-

bJ; se

numeste

conJugatul

numirulul rl=a+bJc.

Se observ5.

usor

c5.

oricare numir irafionai

pitratic

1l

=

a

+ bJc

se

poate

scrie sub

una

din formele cr +

JB

sal-r

"

-

Jpl,

unde cr,

p

e

,Q,

p

>

O,

JB

e R \,Q, avAnd

in

vedere introducerea

sau

scoaterea

factorilor

de

sub radicali.

Folosind

formutra

binomului

lui Newton, rezultA

c5.

dacd

u

=

a +

J6

este numdr irafional

patratic,

atunci

,r"

=(.*JO)" =a,,

+Jb,,,

unde

a,.,, b,,

e

,Q,

qi

br,

>O,Jb"

"lQ\,Q.

Aqadar u'

este

numar irational

pitratic.

De asemenea se

observd

ca u"

-

an

JU"

=

(,r").

Demonstra,lie

a) Avem succesiv:

f

(;)=

a6 *ai

("-JE)+...+',("-Jb)"

=

&0

*.,

(o,

-JB,

).

*

^2

(o2-

JF;)

+ ..

.

+ .,,

(o,,

-

JB;)

=

do

*

r,

(o,

*

.,.Fi)

*

^r(or.

JB,

)

+ .. . +

-t,,(*".JP")=f

(,4

=0,

deci u

este

radacind. a

polinomului

f.

r57



Algehrf,

"

lll.

lnele

de

h)

Fie

m,

ffit

e

R

ordinele

de

Polinomul

f

se

scrie'

f

=(X*n)*

g(u)* 0, c(rr)*

o.

SA

presupunem

cd m

<

ffi1.

Atunci,

din relafia

(l),

se

ob{ine:

t=(*'-zax

+a2

-o)*.("-u)*'-*.g=(*,

-zax+a2

-n)*.n,

1z).

Folinomul

tr

=

(*

-,r)*'--

.g

e

,A[x]

si

h(u)

=

0. Din

punctul

a) al

teoremei

se

ob{ine

c6 h(u)

=

6, deci

("

*

r)-'"*

.g(r)

=

O. Dar

u

-,1

*

O,

deei este

necesar

ca

g(r)

=

0, in

contradicfie

cr:

g

(u) +

0.

Apadar

nu

se poate

ca

rn <

rn1.

Analog

se arata

cd nu

are

loc inega-

litatea

ffir <

rr . in

concluzie

m

=

mr

si

teorema

este

dernonstrata.

tr

gdadlwr?A,

wga.lm,&A,

H

SA

se rezolve

in

lQ ecuat

a

x3 +2x?

+ax+b=0,

Stiind

cA a,

b e

C

pi

cA adrnite

solu{ia

xr

=

1+

0"

Sotwtie

considenf,m

f e

,Q[x],

f

=

X3

+2x2

+aX+b"

polinomul

f

admite

rdda-

cina

x,

=I+Jd,

deci

conform

teoremei

anterioare

admite

gi

radd.cind

x2=I-Jr.

Din relafiile

lui

Vi€te

se

obfine:

xl +x2

*xs

-

-2

pi

X3

-

-4.

Asadar:

r

=

(*

-

r

+

Jz)(x

-

r

-

Jz)(x

+ 4)

=

=

X3

+

2Ii2

-gX

-

4

qi

se

obfine

cd

a=-9,b=-4.

E

TEMA

pE

STUrltU

Fie

f

e

0[X]

un

pollnom

de

gradul

n

€

N*,

cu

rddiclna

x1

=

Ja

*,8

a,beQi

Fi

J;,JbeD\e.

a)

Si

se

studieze

dac6

numerele

Ja-Jb,

Jb-J;,

-G_Jb

sunt

rEdieisr

ale

polinomului

f.

b)

Care

este

gradul

minlm

al

polinomului

f?

multiplicitate

/

-\m'

(x

-')

'

e,

ale

r6ddcinilor

u

_si

(1),

unde ge

,Q[X]

158



7.3.

EeuaSii

atgebrice

cu

coeficienfi

reali

Demonstratie

(Terna)

c 08sEnvATil

Fie

f

e

'D[x],

un porinom

cu

coeficienti

reali

de

gradur

n

e

R*"

r

Polinomul

f

are

un

num{r

par

de

rfld5cini

z

e

,C

\ lD.

o

Daca

n este

irnpar,

atunci

polinomul

f

are

cel

pufin

o raddcind

real6.

Mai

mult,

nurnfrrul

de

ra.dacini

reale

este

irnpai.

%'d*z,.a'

.wrgp/ntafe,

E

1.

sa

se

rezolve

in

,c

ecualra

z3

*

z2

+z = o,

qtiind

cd. admite

solutia

zt=I+i.

Soluffe

Fie

f

e

,C[X],

f

=

XB

-X2

+2,

polinomul

cu

coeficienfi

reaii

ataqat

ecuatiei

date.

RezultA

cA

f

are

r6ddcina

zL=I+i,

deci

va

avea

qi

ridf,cind

22

=

tr-i.

Din

rela{iile

lui

Vi€te

rezultA

cd,

z,

*

22

*

zs

=

L,

deci

z.

=

*1.

tr

2.

se

se

determine

numerele

reale

a,

b

si

si

se

rezoive

ecuatia

z5

+zza

+223

+

422

+

az

+b

=

o,

gtiind

ca

admite

soiufia

dubli

zr

=

i.

Soluhe

Deoarece

ecuafia

admite

solufia

zr

=

i,

ea

va

adrnite

qi

solu{ia

zs

=

E

=

-i,

solutie

dubta.

Agadar

sunt

cunoscute

sorufiile:

21

=

22

=

i,

23

=

24

=

-i.

Din

rela{ia

lui

Viete

zt

+ 22

+

zs

+

z4.t

z5

=

_2

se

obfine

cd

zs,=

-2.

Asadar

f

=

(X

-i)"

.(x+l)2

.(xor)

=

(x,

*r)2

(x+z).

159



impa(ind

polinomul

f

prin

X2

+

I

(sau

folosind

rela .iile

lui

Viete)

seobtinecAa=

l

sib=2.

tr

3.

Sa

se

rezolve

ecuafia

*5-3x4**3+ax2+bx+c=O'

a'b'ce'Q'

gtiind

cA

admite

soluliile

Xl

=

I

+

i

qi

xz

=l-Ji'

Solufie

Fie

f

e,D[X],f

=X5

-3X4

+X3

+

aX2

+bX+c,

polinomul

ataqat

ecuatiei.

Deoarece

a,

b,

c

E

rQ,

rezultdcAf

admite

9i

soluliile

X3

=1+Jd'

x+=l-i.

Din

rela[ia

lui

Viete:

xl+x2*X3*X4*X5=3

se obfine

xs

=

-1.

Rezunf,

ca

f

are

forma

f

=(X-1-iXX-l+i)(x-r.JtX"-t-€)

.(X+t)=(*r-2X+rX*r-2x-r) (x+t).

lmpar$nd polinomul

f

la

X2

-ZX+2

9i

X+1,

sau

folosind

relafiile

luiViete

corespunzS.toare,

se

obtine

a=3,b=*4,c=-2.

EXERCITII

$l

PH0BLEME

EXERSARE

E,2,

84.

Sn

se rezolve

ecuaflile,

gtiind

ci

au

solufia

indicati:

.ej

xa

-

4xs

-4x2

+

16x +

12

=

o,

xr=r-J3;

,r3)

*n

-2xs

-

2x

-

1=

o,

xt

=t+

J2;

,-9)

z4

-zzs

+t422

-22-12=o,

21=

r

-

J5;

dl

za

-lozs

+

3lrz2

-342+12=o,

zt=3-J6;

el

za

-zt

*222

-32-1=o,

zr=L+Jdi

f,

2za

-729

+5zz

+

z

*

1=

o,

zr

=L-

Jd'

E5.

Sn

se rezolve

ecuaflile

sJtind

solufia

lndlcatS:

al

za

+

6zs

+L5i22

+

182

+

1O

=

o,

z1

=-1

-i;

fifl

sa

se

determine

solufiile

intregi

"l ale

ecuaflllor:

G;l*t-x3-x2+x

-2=Qi

b)

xa-2x8-3lx2

+8x-4=o;

c) x5 +

3x4

-

sxs

*

15x2

+

+4x+12=O.

83.

Si

se

deterrnine

soluliile

rafionale

ale

ecuafillor:

a)

2x3

tBx2+6x-4=O;

b) 4xa +

8xs

+

7xz

+8x+

3

=

O;

cl

12x5

-23lxa

+loxs+2x-l=o.

Sn

se

determine

Polinoamele

f

€

O[X]

de

gradul

4,

care

au

r6d[-

cinile:

a) 1,2,

Z+J3;

b)

-2

dubli,

t-Jd;

e)

r-J3

dubli;

al

2-J5

ryr

s*J2.



r

lll.

Inele

de

polinoame

bl

za

-2zs

+3zz

-22+2=o,

zr=ii

el

za

+

z9

+

422 +

z

+

3=

O,

zl

=

i;

dl

\za

-5123

+322

+42-2=0,

zr

=1+i;

el

2zg

-322

+

2z +

2

=

O,

zt= l+

i;

ft

,a

-

8zs +26.22

-

4oz

+

25

=

o,

zt=2-i.

APROFUNDARE

A1.

Se

se

determine

a

e

I

ql

riddclnile

polinomului feO[X]

,

f=x3-ax2+

+

3X

+

2,

qtiind

c6

acesta

admite

ridiclni

numere

intregi.

42. Fle

f

eQ[x],f

=X3+aX2+bx-2,

a, b

e

Z.

Se

se

rezolve

ecualia

f (x)=o

qtiind

ci

are

cel

Pufin

doui

solufli

in Z.

A3.

S[

se

determine

a

€

Z

qtiind

ci

polinomul

f

e

O[X]

admite

ridiclni

rafionale:

a) f

=X3+aX2+3X-3;

b)

f

=xa+ax2-3;

c)

f

=2Xs

+4X2

+aX-6;

d)

f

=

4x4-12X3+7X2+ax-2,

A4.

Sn

se determine

m

e

Q

9i

aPol

sd

se

rezolve

ecuafiile

obfinute

gtiind

ci

admit

qi

solufiile

indicate:

a)x3+5x+m=o,xr=Jd-tl

b) xa

+

z*

-@rz+m=

o, xr

=2+J5;

c)

xs

+mx2

+2m+8

=

o, xr

=G

+f.

A5.

Se

se

rezolve

ecuafiile

date'

daei

a, b e

Q

qi

admit

solu$ia

indicati:

a) zs +

222 +

az+

b

=

0,

zr=

JE

-

l.:i

b) zs

-

422

+az+b

=

o,

z1=2-J6;

cl

za

+zzs

-2a22

+Zbz+ =0,

z*

=

'13

-2i

dl

za

+4zs

+rzz

+bz+4=o,

zt=3-J5'

A6.

Sn

se determine

a,

b

e

Q'

gtiind

ci

ecua .ia

x3

-4x2

-5x+a=o

admite

solufiaxr=b+J5.

A7.

Se

se

rezolve

ecuafiile

qi

si

se

determine

a, b

€

D,

in cazurlle:

al

za

-

zs

+

az2

-

z

+l=

O,

z1

=

-i;

bl

za

+\za

+az2

+2t:z+b=O,

zr

=l

-

2i:

cl

za

+229

+az2

+bz+39=o,

zt

=3

-2ii

d) zg +

azz

+bz+2=Q,

zt=l-1.

A8.

S[

se

rezolve

ecuafiile

qtiind

ci

a'

b e Z

ql

ci admit

o solufie

dubli

numir

intreg:

a) x3+ax2+bx+l=o;

b) xa+ax3+bxz

+2x+2=oi

A9.

Se

se rezolve

ecuafiile

urmitoare,

in condifitle

date:

al

z6

-5,24

+9zs

-722

+2=o,

zt=L+JZ,

r,

=1.+l;

b)

zG

-

425 +

4za

-Bzs

+422

+

+3i22

+ 16

=

0, 2t

=

22

=

I

+

J5;

c)

z6

-

525

+lgza

-392s

+3;822

-342

+2O

=

O, 2L

=

7,

zz

=

L

+

3ii

d)

z5-429+422+42-8=o,

z1

=

Ji,

zz

= -1.

161



Algebri

r

lll.

lnele de

polinoanne

AlO.Fie a,

b,

c, d

e

Q.

Si

se

rezolve

ecua .iile

in

condiftile

speciflcate:

a) xo

+

ax5

+

bx4

+

4x3

+ 23xz

+

+cx+

d

=

o,

dac6.

xt

=

3

-Jil,

xz=2-J5;

b)

2xo

+

a*5

+

bx4

+

cx3

-

x2

+

dx

+

+8

=

o, xr

=

5

-

iJ3, xz

= +

J2"

A11"

Se

di

ecuafla

x6

+

3x5

-1r2xa

-

-42xs

-

.9x2

+

ax

+

b

=

O, a, b

e

Q.

Si se

rezolve ecuatla,

gtilnd

c[

admite solufia xr

=

JD

+

J5.

A12. 55,

se scrie ecuafia

cu

coeflclenfl

rafionati de

gradul

cel mai

rnic n

e

S,

care adrrrlte

solu$ia

x1

in

cazurile:

a)

x1

=

JD+J5;

b)

x1

=

Jz

+Js;

c)

xr=JB*J3.

A13.

SA

se rezolve ecuafiite

s,ti[pd

ci

admit solufit independente

de

para-

metrul

m

e

C:

a) xs

+(*-3,*2.

(3m+4)x-

-4m

=

O;

b)

x3-*'-(*"+m+z)x+

+2rm2+Zrn=o.

A14.Se

consideri

ecuafia:

(n"-r)"0 -

-(r'*

t)*'

-

(tn'

*

r)x2

+

*(uo'+

o)x

-

,(n'

-t)

=

o,

unde

p

e

O

\

D,

lpl

>

[

cu soluflile

x1,

x2,

x3,

x4. Daci

x1, x2 sunt solufiile

reale

independente

de p

qi

s

=

Re(x3)

+

Re(xa), atunci:

a)

Se[O,+o];

b)

Se(-co,-25);

Se(-+,

-s);

d) Se(-2,

-1);

s

e

(-r,

o).

(ASE,

Bucureeti,2OO2)

e)

e)

forma

Rezolvarea

unor

ecuafli algebrice

de

grad

superior

cu coeficienli

in

rD

8.1.

Ecuafii

bipntrate

O

ecua

lNin igrw;illl

ts

sswi{

rezolvare

se

numitd

ecuatia

rezolventd.

a

ecualiei

bip6trate;

c

se

rezolvd ecua{ia

rezolvent6

in

mulfirnea

r[

obfinAndu-se

solu{iile

yr,

yz

€'Cl

o

se

scriu

gi

se rezoivd

ecuafiiie

z2

=

yr

ei

z2

=

y,

obtinAndu-se

solu{iile

zL,22,zs,

24 ale

ecuafiei

bipS.trate.

cu coeficien{i in

.D

este

o ecuafie algebricd

de

a,b,ce,C,a*0,

Pentru

.se

rezolvare

"ge

parcurg

urmdtorii

pagi:

woteazd

kfiim:$. t

qi

se

obfine ecuafia

de

gradul

doi:

162



II9.Exemplu

.

SA

se

rezohe

ecuafiile

in

rC:

al

za

-gz2

-4

=

o;

b)

za

+(t-t)22

-i=o.

Solutie

Ecuafiile

sunt

bip|.trate.

a)

Fie

W

Se

obfine

ecuafia

rezolventf,

cu

solu{iileyr

=

*1,

Yz=4.

RezultA

z2

=-L

ei

z2

=4

cu solufiile

zr=i,22=*i,

respectiv

zs=2,2+=

^2.

b)

Notand

W

se obfine

ecuafia

rezolventa

Wffiffiffi

cu

sorufiile

Yr

=

-1

si

yz

=

i. Rezultd"

ecuafiile:

z2

=

-1

qi

z2

=

i. Din prima

ecuatie

se

obtine

z1

=i,22

=*i.

Pentm

arezolvaadouaecuafieconsideram

z=a+bie

c,a,be

ie

sise

obfine:

(a

+

bi)2

=

i

sau

^2

-b2

+

2abi

=

i.

Din

egalitatea

de

numere

cornplexe

se

obtine

sistemul

{:'

.-O'-=

O.

S.rb"titrind

b

=

;

t,

prima

ecuafie

a

sistemului

se

obtine

ecuafia

lzab=r

-

-

2a'

4aa

=

I

cu

solutiile

reale

a

=

J'

.

Rezulta

J'

't;

2

.

--__^-_*

cd

b

=

r;,

iar

zs.4

=

rf

(t +

ii.

%dlz,ruA

'n7olotalfr,

tr

Sd se

arate

cA

Solufie

r

JB+t

cos-

=

-i

54

s.timca

o= sinn

="irr(4.+l

=gn\.cos91**in&."o"?I.

(*).

\5

5)

5

---5

--'5

--"b'\/'

Notand

x=cos+

s-

av6nd

in

vedere

ci

sin3cr=3sincr-4sin3*,

5

cos

30,

=

4 cos3

cr

-

3 cos;

c,, din

relafia

(*)

""

obfine

ecuafia:

(ro"n

-r2x2

+ r)

,x

=

o.

RezuJta

cd.

x

e

Io,

*

€*

t.

*

J5 -11.

t-

4

4J

se

obfin,..

solufia

convenabili

x

=

JE

*

t.

4

8.2.

Ecuagii

binome

O

ecuafie

binomA

cu

coeficien{i

in

mulfirnea

algebricd

de

fonna

$W

unde

n

e

N*, a

e

D.

(tr)

'i.rcffiffi--'=-ti.-

,D

este

o

ecuatie



Algehri

o

lll. lnele

de

Scriind

ecuatia

binomA

(l)

sub

forma

zn

=

a,

rezolvarea

ei

se

reduce

la

deternrinarea

radicinilor

de

ordinul

n

e

N*

ale

numdmlui

complex

a.

Dacd

a

=

r(cost

+

isint)

este

scri-

erea

sub

formA

trigonometricd

a num6-

rului

a,

atunci

se

obfine:

-/

t+2kn,:^:_t+2Er)

zy

=\r

i

cos-

+

isin

-

-'

\nn)'

k e

{0,

1,2, ...,

n

-

1},

(2),

(rdddcinile

complexe

ale

lui

z

e

tDl.

09

Exemolu

.

Sd

se

rezolve

ecua .ia

binomd.

za

-

i

=

O.

Solufie

Forma

trigonometricd"

a

m-lmd'n:lui

a

=

i

este:

i=cosl+isin3.

Av6nd

in vedelr

+2V'n

+2Wr

relafia

(21

rentltA

soluliile:

zy

=

cos2---.

i5in2--,

k

e

{0,

l,

2,

3}

.

8.3.

Eeuafii

reciproce

*

DEFrl{rTtE

f

.Polinomul

f

eK[X],f

=a0+arX

+a2X2

+...+&rX',

de

gradul

ne

\'

I

".

numeste

polinom

reciproc

dacd

intre

coeficienfii

sai

exista

I

relafiiler

a.tr

=

an-k,

k

e

{0,

I,2,

...,

n}"

(l)

@ Exemple

Polinoamele

reciproce

f e

K[X]

de

gradul

I,2,

g

qi

4

au formele:

.

fi

=aX

+a,fr=

aX2

+bX+a,

f3

=aX3+bX2

+bX+a,

respectiv

f+

=axa

+bX3-

+cX2+bX+a,

unde

a,b,ceK

qi

ae

K*.

*

DEFFilTJE

l.

t.

numeste

ecuafie

algebrici

reciproci

de

gradul

n

e N*

o

ecuatie

I

d"

forma

f

(*)

=

o,

unde

f

e

t<[x]

este

un

polinom

reciproc

de

gradul

n.

Forma particulari

a

polinoamelor (ecualiilor)

reciproce

de

gradul

n

conduce

la

cAteva

observafii

generale:

#

s

*

I

rn

I64



l.

orice

ecuafie

algebricd.

reciprocd.

de grad

impar

admite

solufia

Xl

=

-1'

intr-adevdr, polinomul

f

se poate

scrie

sub forma

f

=

&o

(i

*

x")*

*u,

(x+

X'-l

)*ur(",

*

X"-r)+...

$i

se

obfine

f

(_1)

=

o.

2'

Prin

impartirea

porinomului

reciproc

f

de grad

impar

n

la

X

+

1

se

obfine

un

cAt

care

este

polinom

reciproc

de

grad

n

_

l.

9' Daci

ecua(ia

reciproc.

are

sorufia

*,

atunci

are qi

solutia

f

.

cx,

Rezolvarea

ecuafiei

reciproce

de gradutr

3

Ecuafia

reciproci

de

gradul

s

cu

coeficienti

in

corpul

,c

are

forma:

ffiW

u",l"o--*

poate

scrie

succesiv:

a(x3+r)*

+bx(x+t)

=

o

sau

(x+t)(ax2

+(b_a)x+")

=0.

(r)

Forma

de

scriere

(r)

arata

ca

ecuafla

are

solulia

W

si

alte

doud

solufii

date

de

ecuafia

reciprocd

de

gradul

,,W

€.Exemirlu

.

Sd.

se

rezolve

in

rC

ecuatia

2xs

+

Bx2

+

3x

+

2

=

O.

Solufie

Ecuatia

se

scrie:

(x+f)(Zx2+x+Z)=O

qi

are

solufiile:

xr=*l

si

--

-lti.,G

oo=

4

Rezolvarea

ecuaglei

reciproce

de

gradul

4

Forma

intregi

este:

ng-{?Le

a

ecuafiei

reci

de gradul

4

cu

coeficienti

Se

observd.

cd

ecuafia,r"

"O*itJtolu{ia

x

=

O.

Pentru

rezolvare

se parcurg

urmdtorii

pasi:

.

Se

imparte

prin

z2

Fi

se

obfine:

az2

+bz

+

c*

*

\

=

O.

.

Se grupeazd

termenii

care

au

coeficienfi

egali:

^(

"'*+'1-'-

a(

,*L\

\ z"/

\

z)+c=o'



_

;:f+p:.f"j

o I

o

o

Se noteaza

.ffi*;5y_

qi

rezulta

ca

""

+i=y'-2.

Se obijne

#trtrW?#t

zo

ecuafia de

gradul

2 in

y:

"(t'

*z)+

by

+

c

=

O

sau

Algebri

r

lll. lnele

de

polinoame

numitA

ecuafia

rezolventi a ecua{iei reciproce

de

gradul4.

.

Se

rezolv6 ecuafia rezolventA obtin6nd solu{iile

yt,yz

€'D.

.

Se rezolvd ecuatiile ,* =yr

$i

z*1=

y,

care

se

aduc la

forrna:

zz

z2

-yp+1=0

;i

z2

-yzz+l

=0.

RezultA astfei

solu{iile

zr,22,zs,

z4

e{

ale ecuafiei reciproce.

Asadar, rezolvarea

ecuatiei

reciproce

de

gradul

4 se reduce

la

rezolvarea a

trei ecuafii

de

gradul

2.

lF

Exemnlu

.

Sa

se rezolve ecuafia reciproca t4

*

,3

-

422

+

z

+L

=

O.

SoLttie

Dupe impartirea

cu

z2 se

obtine

t .'

* *

+ *

1.r

+

=

0

sau

zzz"

z+ =z

z

Se obfin

(

"

l\

(

r

l''

.7

)+ lz+-

-

-4

=

0.

Cu nota{ia

ffi

obgnem

,' *b

=

y2

*z

qi

ecuaiia

rezotventa

$i{lW

cu

soltrtiile

yr

=

-3,

yz

=

2.

Avem ecua{.iile:

z+f *-3

ci

z

uuu

z2+32+I=0

$i

z2*22+1=0^

solufiile zr.z

*I

Si

zs,

+

=

ag$

2

C

OBSERVATII

L,

DacA

f

e

,C[X],

este

polinom

reciproc

de

graclul

n €

N*,

n numar

impar, atunci

rezolvarea

ecua{iei reciproce

de

gradul

n

se

reduce

ia

rezolvarea

ecua{iei z +

L

=

0

qi

a

unei ecualii

reciproce

de

gradul

n

-

1.

l€.Exemplu

o

S5'

se rezolve

ecuafia x5

-3x4

+2x3 +2x2

-3x+1

=

0.

Solutie

Deoarece x

=

-1

este

solufie a ecuafiei,

prin

impAr,tirea

polinomulu.i

f

=X5-3Xa+2x3+2X2-3X+l

la

g=X+l

obfinem

descompunerea

f

=(x+l).

(*n

-

4xs +ox2

-+x+t).

Rezulta

ecuafia

(x+r)(xa

-4x3

+

6x2

-4x+t)

=0.

nvem

xr

=

-1,

iarcelelalte 4

solufii suntdate de er:uatiareciproca

x4

*4x3

+6x2

-4x+1=

0.

Se obtine

xz,

g,

+, s

-

1.

166



-.**

Algebrd

o

lll.

lnele

de

polinoarne

2.Dacd f

e

,D[X],

este

un

poiinom

reciproc

de

gradul

n, n

=

2k,

rezolvarea

ecualiei

reciproce

ataqate se

poate

reduce ia

rezolvarea

unei

ecuafii

de

gradtll

k

cu

necunoscuta

y=

"* ,

gi

a

k

ecua{ii

de

L

I

graciul

2 date de

ecuafiile z+

Bg

.Eeenlplu

r

Str

se rezalve

ecuafia

reciprocS.

de

gradul

6

in mulfimea

D:

"6

-5t5

+424

+422

-52+1=

o.

p€il,2,...,k).

se

obfine:

* *4-s(t'.*'1. 4("* )=0.

Daca

zu

\

z'l \

z)

',

ffi=(,.))(*.#-,)=ffiffiWfi

se ourine

rezoivent5"

de

gradul

3 in

y: y3-5y2+y+10=0

care

se

descornpune

astfel:

(y-z)(v'

--3y-5)

=

0. Se

oblin solufiile:

y,

=

2.

yz

="#

r.

=

a#

si

se

obfin

ecuafiileinzdeforma:

t* =v,

sau z2-yz+l=0,

uncle

y

.{rt-

Jn

s*"EgJ

z'

t'

2

'

I

3.

in

cazul unei

ecuafii

reciproce

cu coeficien{i

intr-un

corp K

se

procedeaza,

in rnod

analog.

EXER0TTil

$r

pnoB .EME

EXERSAR"P

Solutie

impdrfind

cu

atunci

81.

Se se

rezolve in mulgimea

C

ecua-

glile

bipltrate:

al

za

-222

+L=ai

bl

za +2zz +L=Qi

clza-1022+9=o;

dlgza-'.oz2+l=o;

el za

-LZz2

+

16

=

o;

f) 25za

-2622

+1=0;

gl

za

+22 +2=0i

hl

za

+2922

+

loo

=

O;

1l

za

-2zz

-\5=a,

D2,

Se

se rezolve

ecuatiile

binorne

in

mulgimea

O:

alzs-125=o;

hlza-625=o;

cJ

z3+8=O;

dlzs+125=O;

elza+16=O;

f-1

za

+

1=

al

g;

z6-t=o;

hl z5

-i3

=

o.

r67



Algebri

r

lll.

Inele de

polinoame

Si

se rezolve

in

C

ecuatiile reci-

proce

de

gradul

3:

a)

xs

+

x2

+x+1=o;

b)

x3-5x2-5x+1=o;

c)

2x3

-?x2

-7x+2=o:

d)4x3-x2-x+4=O;

e)

JDx3

+*2

+x+JD=o;

9

2xs

-5x2

-5x+2=o.

Si

se rezolve

in

O

ecuatiile

reci-

proce

de

gradul

4:

a) 6xa+x3-14x2+x+6=o;

b)

xa+2x3-6'x2 +2x+1=o;

cl2xa-x3-2x2-x+2=oi

dl 7xa

-x3 -

',2x2

-x+7

=o;

e) xa

-

7xs

+L2xz

-

7x+1

=

o;

f) 2xa

-

5xs

+

1ox2

-

5x+

2

=

o.

85. Si

se

rezolve

in

C

ecuafiile

reei-

proce:

a) x5+x4+x3 +*2+x+1=o;

b)

2x5 +

x4

-

3xs

-

3x2 +

x+2

=

G

c)

3x6

+2x4

-5xs-5x2+2x+3=Q

d)

xo

+

x5

+

x4

-Gxs

+

x2

+

x+1=

(I

E6. Si

se

rezolve in

C:

")

(x-r)a+(x+l)a=s2;

b)(x-i)a+(x+i)a=16.

41.

A2.

Si

se rezolve

ecuafiile

bipitrate in

mulfimea C:

a) xa+x2+1=o;

b)

xa+LZx2+16=O;

c) x2

+

(*)'

=

^o'

I

^;2

at x2

-[9]

=

s.

'

\x/

Si

se rezolve

in

25,

ecuafiile:

a)

xa-x2+i=6;

il

Axa + x2 +2

=6;

c)

6xa+ixz+3=6;

dlixa+3x2+i=6.

Sd

se determine

a,

b

e

Q

pentru

care ecuafia

xa

+

("2

+b2

-zab

+

+2b

-

23)xs

-

(sa

+

3b

-

2)x2

-

-(a

+

b

-

7)x

+3(ab

+

a

-

b

-

1)

=

o,

este

ecuatie

bipitrati

gi

si

se

rezolve in

acest caz.

APROFUNDARE

A4. Si

se rezolve

ecuafiile in

rnulfimee

numerelor

complexe:

a)

x3+ix2+ x+1=o;

b) ixs +

(r

+

i)x2

+ (r

+

l)x +

I

=

o;

cl

zg

-ez2

-e"+l

=

0,

eo

=

l.

A5.

Pentru

care

valorl

ale

lui a

e

G"

ecuatia

x9

+ax2

+

ax+1= O

admite

solufii multiple?

l\6. Sn

se rezolve in

C

ecuafia x4 +

+(a

+

f)xo +

bx2 + 6x +

I

-

Q,

gtllnd

ci este ecuafie reclproci

gi

admlte

o solufie dubl[.

A7. Si

se

arate ci

daci

o

ecuafie

recl'

procl

de

gradul

4

cu coeflcien .t in

corpul

K admite solufia

cr,elC,

atunci

ea

admite

gi

solufia

s-l

e

K. Gene-

ralizare.

A8.

Si se rezolve ecualiile

reciproce

in

C:

a)x6-x4-x2+1=o;

b) x6-x5+gx4-6x3+Bx2-

-x+l=O.

168



Algebri

r

lll. lnele

de

polinoame

49.

Sn

se determine

a

c

D

gtiind

ci

ecua .ia

z3

+ azz

+ az

+

I

=

O

are

numai

solufii

reale.

A1O.

Pentru

ce

valori

ale

lui a

e

e

ecuafia

reciproci

x4

+x2

+ax+x+1=

O

are

toate

solugiile

reale?

Af

l.Se

se

rezolve

in

mu$imea

O

ecua ,iile

de

grad

superior:

a)

xa+

x3

+2x2

+2x+4=0:

b) xa

+

xs

-24*2

-

6x+

36

=

o;

c)

xa

+

x9

-

4a2x2

+

ax+

a2

=

o.

A12.

SA se

rezolve

ecuafiile

in

rnu$i-

mea

C:

a)

(x

-

l)a

+ (x +

t)a

=

s2;

o1.

(m=-4

u'

1,,

=,

;

b)

(x+a)a

+(x-")n

=

b, a,

b

e

D;

c)

(x+

a)a

+(x+b)a

=c,

a, b,

c

e D;

a)

(*'+x+r)2+l=o;

e)

(x

+

a)(xs

+

"")

=

*',

r.

p.

Af3"

Se

se

rezolve

eeuafia:

rog

o

+

rog

(.).

"r*

(*).

+logu6**f,=o.

(Admitere,

.#8,

Bucuregti)

414.

Sn

se

ealculeze:

.2n.nn

SlJl

----:-,

Sln

-.

. 10'

10

TE$TE

DE

EUATUARE

Testul

I

polinomul f

=

X4

-

4xs

+ 4x2

+

rnx

+

n

e

a[x]

se

dtvide

cu

polinomul

g

=

x2

-

4X

+ 3

e

Q[x],

pentru:

03. Si

se

rezolve

ecuafia

x4

-Zxi

-x2 -2x-2=A

admite

ea

ridd.cini

numirul

xr

=

l

-

J3.

(n=2

d)

{r,

=

-r'

(4

puncte)

in

mulfimea

C,

gtiind

ci

(Uniu.

de

Nord.,

Baia-Mare,2OO2)

(3

puncte)

[m=-4

b)

{r,=a

;

lrn=+

')

t'=

-t'

(Uniu.

Maritimd,

Calnsto;n ,a,

2OO2)

(3

puncte)

c2.

se consideri polinomul

f

=x3

+mx2+2x+m-rea[x]

,

avdnd

rc.dielnlle

X1r

X2r

X3.

a)

Si

se

arate

ce

xf

+

x

+

x$

=

-m3

+ Brn +

B.

b) Si se

determine

m

pentru

care

xf

+

xl

+

xA

>

g

(x1x2xs)2

.

c)

Si se determlne

m

pentru

care

polinomul

f se

divide

cu

x

-

I

qi,

in

acest

caz,

si

se

glseasci

ridieinile

sale.

(Uniu.

Bucuregti,

Fo,aultqtea

de

Motematicri

gi

InJormatictdL,

2OO2)

+

'ti

.l

:l

::i

:::

,,0;l

i:+

..+

.8

:ai;l

,r+

:-+

:i-:i:

'r-

.=.

::i n

,,ii:,

.

=::t::

=.:.

....

69



Alqebrd

.

lll. lnele

de

polinoame

Testul 2

0L.

Seionsideripolinomul

f

=#-f

+X2-x+1,

curddicinll€ x1, x2,

x9, x4

€C.

a) Si

se

calculeze

f(r)

qi

f(-1).

b) Sn

se

determine

a

e C,

astfel

incdt si

avem identitatea

f

=

a(x

-

"r)(x

-

"z)(x

*

*s)(x

-

*n).

c) Si

se arate

ci.

(r

-

xr)(r

-

*z)(r

-

"s)(1

-

x+)

=

l.

d)

Si

se

arate

c[

(r +

x1)(r

+

x2)(r+

x3)(r+

xn)

=

5.

(Ba,calo;ureat,

iulie 20

O

2t

(4

puncte)

Oz.

Fie

f

=

x4

-zxs

+

(m+

r3)x2

-

(+*

+

3)x

+

m

e

O[x].

Si

se rezolve

ecuafia

i1x;

=

o,

gtiind

ci

m

e

Q,

admite

solufia

xt=2+J5,

iar

xs

=Zxq,,

(Ilniv.

Lucio;n Blago, Sibiu'

7998)

(3

puncte)

P, C

Pollnomul

r

.J5

__+t-,

22

03.

Sd se

descompunfl

in factori

ireductiblli

peste

O,

f

=

xa

+

xs

-

x2

-

2x-

2,

qtiind

ci admite

ridicina z1

=

O1.

Si

se

determlne

r[dicinile

dacn

xf

+xl+xe

=o.

'

(Uniu.

BabeE

Bolgai, Cluj-Napoca,

7996)

(8

Punctr/

Testul 3

X1, x2r x3

ale

polinomului

f

=

X3

-

mX2

-

z

e

C[X] ,

(uniu.

Lucio;n Blo.ga, Sibiu,

2OO2)

(3

punctc)

02,

Ecuafia x4-r.3+tnx2 +2x+n=O,

rr], neQ

admitesolufia xr

=l+i

pentru:

a)m=2,n=-3;

b)m=O,n=2;

c)m=-1,n=O;

d)m=1,n=4;

elm=rr=O.

(Ilniv.

Mqritimd, @nsto;nto,,

2OOO)

(3 puncte)

03. Se

consideri ecuafla

*n

-(*-r)*"

+mx2

-(m-t)x+1=

O.

Fie

M

=

{-.

Q

I

eeuafia

are doui ridicini reale,

distincte

ql

negative}.

Atunci:

a)

M=(-oo,

O);

b)

M=[o,

+.o);

e) M=(-oo,

-r];

d) ttt=(-t, 1);

ell0rl=A.

(ASE,

Ciberneticd,

7

99n

(3

puncte)

t7a



Analizi matematici

r

l. Primitive

ETEMENTE

DE

ANALHA

MATEMATICA

in

cLc.sa

axl-a

s-a

vazllt

cd. nofiunea

de

derivata

a

unei

funcfii

a

fost introdusa

pornind

de la

cateva

considerente practice.

Astfel,

in

domeniul

fizicii,

viteza instantanee

a unui

mobil

este

descrisi

de

o

funcfie

care reprezintd,

derivata

funcliei

,,spatiu".

Fizica

experimentald.

ridicd.

insd

qi

problema

oarecum

inversa

celei

de

derivatS.,

in sensul

cd. impune

determinarea proprietdtilor

unei

func{ii

care

modeleazd"

un fenomen,

folosind

valori

ale derivatei

rezul-

tate

dintr-un

experiment.

Relativ

la

astfel

de

situatii

practice

a apdrut

conceptul

de

,,integral6".

Denumirea

de

,,integrald."

rezultd

din ideea

deducerii

unei

concluzii

asupra

intregului,

idee

formulatd.

avand

in vedere

concluzii

asupra

pirtilor

intregului,

(integer

=

intr€g,

in limba

latind.).

O

Prohtenne

eare

conduc la nofiunea

de

integrald

Froblerna spagiului parcurs

de

un rnobil

in

mipcarea nectilinie

Se

considerd

un

punct

mobil

M

care

se deplaseazd.

rectiliniu,

in

acelasi

sens,

pe

o

axd,

cu

viteza

instantanee

ia momentul

x egald

cu

"(*).

Dac5.

S(r) este

distanfa

parcursA

de mobii

de

la

mornentul

inifial

t

=

o la

momentul

t

=

x,

atunci,

conform definitiei

vitezei

instantanee,

are loc

egalitatea

v(x)

=

S'(x).

Froblema

se

poate

pune

ins6

qi

invers:

dacd.

se

cunoaqte

viteza

instantanee

"(*)

in fiecare

moment

x, atunci

se

poate

determina

distanta

parcursd

de

mobil in intervalutr

de

timp

[0,

x]?

Din punct

de vedere

matematic, problema

revine la

a studia

dacd

existi

o funcfie

S

care

verificd

egalitatea

S'(o)

=

r(*).

Cu alte

cuvinte,

problerna

revine

la

a determina

frlnc{ia

cand se

cunoagte

derivata

sa,

determinar-e

care

face

obiectivul capitolelor

urmAtoare.

:

F

;



Analizi

matematici

.

l.

primitive

Problema

ariei

unei

suprafete

plane

se

considerd"

f

:

[a,

b]+

e

o

funcfie

continud

gi

pozitiva.

Se

noteazd

cu

S

funcfia

care

asociazA

fiecAnli

x

e

[",

U]

a

suprafetei

plane

marginite

de

curLa

y=f

(x), axa

Ox

pe

[","]

si

segmentete

[AA,],

[Vrrur']

urrde

A(a,

O),

A,(",f

(")),

M'(*,

r(")),

(figura

1).

aria

S(x)

intervalul

lvt(x,0),

B(b,

o)

a(a,

0)

ru(x,

o)

xM

N(x

+

h,

0)

x

Figura

1

Funcfia

s, numitA

funclia,,arie",

este

derivabild

pe

intervalul

[",

*].

intr-adevdr,

fte

Ne

O:q N(x+kr,0),h>0

qi

X,r'

X14

e

[x

x+h] puncte

in

care

f

ia

valoare

minimd,

respectiv

valoare

maximi pe

intervalul

[x,

x

+ h].

Deoarece

aria

suprafi:tei

curbilinii

[navi'w'N]

este

cuprinsd

intre

ariile

dreptunghiurilor,cu

baza

[tvtl]

qi

cu indlfimile

egale

cu

f

(x_),

respectiv

f

(**),

au loc relafiile:

h.f

(x*)

<

S(*

+

h)

-

S(*)

<

h.f

(xr).

De

aici

se

obfine:

r(**)=q-+S<r(xy).

(r)

Pentru

h

-+

o avem:

* 1t("*)

=

f(*)

=

#Sr(**).

Prin

trecere

la limitd.

dupd.

h

+

o

in

relafia

(l)

si

folosind

definitia

derivatei

se

obfine:

172

G

r(

tr

n

fi

i1

I

$t

Hil

d

Cl

c

d

"l

ol



Analizd

matematici

r

l. Frimitive

Asadar,

funcfia

S

este

relatie care

exprirnd.

derivata

".arie"

cu

ajutorul

functiei

f.

-si

S'(")

=

f

(*), x

e

[a,

b],

(zl,

erivabil6

functiei

O

problemd

care

se

pune

in

tegd-

turd.

cu

relatia

(2)

este:

,,Sd

se

deter-

mine

aria

suprafelei

plane

asociate

funcfiei

f

p"

un

interval

lr,b],

in

ipoteza

cA

se

cunoaste

derivata

sa.".

Gottfried

Wilhelm

I-eibniz

(1646-

1716)

a

notat

aceastd

arie

cu simbolul

-gti

"*i',.$

,_1ffi

citit

'integraid

de

la

a

la

b

din

f

(x)dx

".

Rezolvarea

deplind.

a

probiemelor

care

cetr determinarea

funcfiei

cdnd

se

cunoagte

derivata

sa

se

va

face

intro-

ducAnd

noile

concepte

matematice:

,,primitivd"

qi,,integralS.

definitd.".

6fu

Prlnuitiqrele

unei

fuurcEii

V

lmtegrala

sredefinritfr

a

ur,rei

fumatli

Fie

tr c

lQ

un

interval

de numere

reale

si functia

f

;

I-+ le.

*

uenlul$t

'

Functia

f

:

I

-+

lQ

admite

primitive

pe

imtervalur

I

dacd.

existi

o

func{ie

F:I

-+

lP

astfel

lncAt:

a)

F este

func{.ie

derivabiid

pe

intervalul

I;

b)

F'(x)

=

f

(*), Vx

e L

.

Functia

F

cu

proprietd.{ile

de

mai

sus

se nurneste

{sau

antiderivat&)

a

funcfiei

f

pe

intervalul

i.

f,unctia

primitiv5.

o

Dacd.

func{ia

F

exist6,

se spune

cd

functia

f este

primitivabild

pe

intervaiul

l.

09.Exemnle

e

Functia

nuld.

f

:

Q

+ Q, f

(*)

=

0,

admite pr:irnitive

pe

e.

intr-adev5.r,

pentru

orice

numd.r

real

c, f'uncfia

tr:& -+

m,

n(x)

=

c

este

functie

derivabils

pe

Q

qi

F'(*)

=

0

=

f(x),

Vx

e

e.

173



Analizi

rnatematici

r

l. Primitive

_.3

o

Fie

functia

f

:lD+n,f(x)=x2.

Funcfiile

F:D+n,n(x)=Il

qi

G:e+e,

vJ

G

(x)

=

^

+ k.

k

e

e,

sunt

primitive

ale

funcf.iei

f

pe

e.

3

intr-adev5"r,

funcfiile

F

ei

G sunt

derivabile

pe

e

9i

n,(x)

=x2

=c'(x)=f(x),

Vx

e lQ.

rFunctia

F:(O,+oo)

-+A,F(x)=lnx

este

o

primitivd.

a

funcfiei

f

:(0,+m)

+A,

I

f

(x)

=:'

x

Deasemenea

G:(0,

+oo)-+n,

C(x)

=lnx+l

esteoprimitivAafunctieifpe

(O,

+o).

Din

exemplele

de

mai

sus

se

observd

cd

runcliile

alese

admit

mai

multe

primitive

pe

intervalul

de

definifie. Relafia

dintre

diferitele

primitive

ale

unei

functii

pe

un

interval

este

datd

de

urmdtorul

rezultat:

Dernanstrcr#e

Functiile

4,Fz

fiind prirnitive

ale

funcfiei

f

pe

intervalul

I,

sunt

clerivabile

pe

I

qi

Fi

(")=

f

(*)

=

Fi

(N),

Vx

e

I.

Folosincl

operafiile

cu funclii

derivabiie,

rezultd

cd

funcfia

e

-

Fz

este

derivabiia

$i

(Fi

-Fr)'(")

=pi(")-ri(*)

=O,

Vx

e

L

Deoarece

f,unctia

Fr

-

Fz

are

derivata

nuld pe

intervalul

I,

din

consecinta

teorernei

lui

Lagrange

rezulta

ce

existd

c e le

astfel

incdt

(r,

-

r'r)(")

=

c, vx

e

r.

Asadar

4(")*fr(")=c,

Vxe

i.

I

Teorerna

afirrnd

c[

doud

primitive

ale

unei

functii

primiti-

vabile

pe

Lrn

intervai

difer5 printr-o

constantd..

Dacd

F

este

o

primi-

tiv6

a

func{iei

f :I-+le,

atunci

orice

altd

primitivd

G a

lui

f

este

de

forma

G=F+c,

unde

c este

funcfie constantd

pe

I.

174



Analizi

matematici

o

l.

Primitiue

se

deduce

astfel

cd

dacd

funcfia

f

admite

o

prirnitivd,

atunci

adrnite

o infinitate

de

primitive.

*

0EF illTfi

Fie

I

c

lP

un

interual

si f

:

I

-+

lQ

o func{ie

care admite

prirnitive

pe

I.

.

Multimea

tuturor

primitivelor

funcliei

f

pe

intervalul

I se

numeste

integrala

nedefiniti

a

functiei

f

si se

noteazd.

jf

1x)Ax.

r

Operafia

prin

care se determind

multimea

prirnitivelor

unei

funcfii

se

nurnepte

operafia

de integrare.

E

OBSEHT'AT I

Fie

f

:

I

-+

lQ

o funcfie

primitivabilS"

qi

F o

prirnitivd.

a

funcfiei

f

pe.tr.

1. Din

teorema

1

se

deduce

cd

mulfimea primitivelor

f,unctiei

f

pe

intervalul

I satisface

egalitatea:

Jt

(r)Or

=

{r

+

c

I

c

este

funcfie

constanta} .

2.

Dacd

se noteazd.

'tr|

=

{c:

I

-+

tQ

I

c

este

funclje

constantd},

atunci

Wffi$ffi

Prectzdri

o

DacE

,/;(I)={f

lf

:I-+ru}

qi;, ,9

c.t(I),

sedefir:esc

operafiiie:

a.j

;'t;

+,{J

={f

+g

f

e

;:i"

ge tg\;

b)

I"y;

=

{lr

I

t e,y;\, ?,

e

tF;

e)

f

+

g

={f

+h

lh

e'.a\,f

€,'rtx).

"

Fentrr-r

multirnea

(/

a funclilior

constante

pe

intervalul

tr

au

egalitdtile:

W

+V/

-'(/;

')u'€

='(/,

pentru

l.

e lQ".

3. Cu ajutorul

notafiilor

utiiizate

pentru

integrala nedefinitd,

cele

exernple

conduc la urrndtoarele

egalitAfi:

Jt*

='€,xelDi

__3

[*2dn

=)*-+'/',xe

iD;

la

J

Par

=

lnx +'(',

xe

(o.

+

"o).

x



Analizd

matematici

r

l. Primitive

O

Proprietdli ale

integralei nedefinite

D

e

mo ns tr

atie

(

extinder

e)

Fie

F,

G:

I

-+

D

primitive

ale

funcliilor

f,

S

pe

intervalul I.

Functiile

F

pi

G

sunt derivabile

pe

I

qi

F'= f

$i

G'=

g.

Folosind operafiile cu

funcfii derivabile

pe

un

interval,

rezultd.

cd func{ia F

+

G

este funcfie

derivabilS.

pe

I

9i

are loc

egalitatea

(n

+ C)'

=

F'+

G'

=

f +

€.

Agadar, funcfia

f +

g

admite

primitive pe

interwalul I

9i

funcfia

F +

G

este o

primitivA

a

acesteia

pe

intervalul I.

Totodatd

au ioc urmdtoarele egalit6{i:

jf

lxlax

=F

+,€,

(Ll

fg(")d"-G+Yt"(2)'

J[r(*)

+

g(x)]ax

=

(F

-r-c)+

z.

{3)

Folosind retratia

'€

+V

='€

qi

egalitA{ile

(1),

(2),

(3}

se obfine:

jr1";4"+

Js(x)ax

=

(F

+'€)+(G

+'€)=(n+c)

+('(/

+'€\=(T +G)+'tt

=

=

I[r(")+g(x)]dx.

r

Demonstratie

Fie F

o

primitivd

a funcfiei f

pe

intervalul I.

RezultA

cd F

este

funcfie

derivabild

pe

I

qr

F'=

f.

Conform operafiilor cu

funcfii

derivabile

se obfine

cA

functia l.F

este

derivabild

pe

I

9i

(lf;'

=

fuF'= fuf. Agadar, funcfia l.f

admite

primitive

pe

intervalul

I

qi

funcfia

fuF

este o

primitivd

a

ei.



Analizd

matematicd

r

L

Primitive

tr 3.

Se

se

studieze

dac5.

funcfia

admite

primitive

pe

le,

unde

m

e le.

Solufie

O

primitivd

a funcfiei

f, :

[0,

+

oo)-+

R,

fi (x)

=

ex

este

func{ia:

F,

:

[0,

+

oo)

-+

ru,

f,

(x)= ex *

cl.

O

primitivd

a funcfiei

f2 :

(-.o, 0)-+

m, f,

(")

=2x+

rn,

este

functia:

fz

t(-*,

O)

-+

n,

F,

(")

=

x2

+

ffrx

+

c2.

Rezultd

cd

o

prirnitivd

a

functiei

f

pe

le

va

avea

forrna:

^,,

[e*+cr,

xe[0,+"o)

F(x)

=i

^

r

L

l*'+mx+cz,

xe

(-.o,0)

Constantele

c1

qi

c2 vor

fi

determinate

astfel

incAt

fi-lnctia

F

sd fie

derivabild

pe

lP,

in

particular

sd fie

continua pe

le.

Astfetr,

condi{ia

de

con-

tinuitatein

x=O,

l"rlF(x)=F(O),

conducelaegalitagle

1+c,

=c2

=c.

Rezutrtacd

Ff"x)=l*"

+c-L'

x>Q

1^/

-

Ixz

+

ffi"lx +

c. x

.:

{j

condifia

de derivahrilitate

a

f"unctiei

F

in

x

=

o condu.ce

ia

egali-

tdtite

Fa'

(0)

=

I

=

Fu'

(O)

=

*.

Asadar,

existenfa

prirnitiveXor

pentru

funcfia

f

depinde

de

valcritre

parametrului

m:

r

pentru

rD

=

1,

func{ia

f adrnite primitive

pe

ie

si

o

primitivA

este

funcfia

F

:

te + ra,

F(x)

=

{-:

-1

-rc'

*

t

o,

[x"+x+c,x<O

o

pentru

m

e lD

\

{1},

func{ia

f

nu admite prirnitive

pe

te.

>

COMENTARIU

METIIDIC

Din

problema

rezolvatd

anterior

se

contureazd"

cdteva

idei

care

vizeazd'

existen{a

sau

neexistenfa

prirnitivelor

unei

func{ii.

a)

Pentru

rl

=

l,

funclia

f

este

continud

pe

le

si

admite

prirnitive

pe

lQ.

Mai

general,

are loc

urrndtorul

rezultat:

orice funcfie

continud.

f, :

r -+

rp

adsrite

nlrimitive

pe

intenraltil

r.



Analizi

matematici

.

l. Primitive

b)Pentru

meR\{1}

funcfiaf

aredis-

continuitAti

de

spefa

I

si

nu

are

primitive

pe

le.

Mai

general,

are

loc

urmAtorul

rezultat:

Orice

funcfie

f

:

I

-+

le

care are

discon-

tinuit5li

de

speta

I

nu

admite

primitlve

pe

intervalul

I.

c)

Deoarece

funcfia

f are

discontinuitd.fl

de

spela

I

pe

lp,

nu

are

proprietatea

lui

Darbor"rx

pe

lQ.

Mai

general,

dac6.

o funcfie

f

:

I

-+

e

nu

are

proprietatea

lui

Darboux

pe

inter-

valul

I,

atunci

nu

are

primltive

pe

I.

EXEnCtIil

St PRoBtEME

EXERSARE

Et.

Sn se

determlne

funcfia

f

: D

-+ D

'

pentru

eare

o

prlmitivd

a

sa

este

de

f,orma;

VasS

S'{x}

*

*ss

*

4x'*

Sx

+

9,

x

e

&;

t'b)

'$

(x)

=

qlt

+

4x2",&,

x

e

(6,

+

e,);

e)

f

(x)=xslnx,

xeP;

d) r(x)

=

x(tnx-t),

x

e (0,

+o);

e)

r(x)={ff,xe(o,

+o):

-n0

f(x)

=

e*(x-l)

+

4,

x

e

Q;

s)

n(x)

=tgzx+tgx,

-.(",i).

E2.

SA

se verlffce

daci

functia

F

:

p

+

D,

fz"

2

l_

=*x--.

x<l

r'(")=.{112

ln2'----

este

lxo^g

lV+zx-

r,

x>l

primitivd

a

funcflei

f:e-+D,

f(x)={z**r'*<r.

[x+2,

x>1

E3.

Se

consideri

funcfiile

Fr,Fz:A+e

l"d-{

Fr(x)=i""

*

z

n*+ ''

xso,

t.-

ie*+10

x>0

i*e

x2

,_-_;+x,

xSO

n'r(x)=i

s

L

l-

|.e^-1,

x>O

Sunt

aceste

funcfil prlmitlve

ale

funcgiei

f :e-+D,

(^=

r(*)=.1"^'

*'o,

lx'+x+1,

x<O

84.

Folosind

allrmafia

ci

o

funcfle

con-

tinr.li

pe

un

interval

admlte

prtmt-

tive

pe

acest

interval,

si

se

arate

ci

urmitoarele

funefit

admit primt-

tive

pe

domeniul

de

deflnifie:

a)

f(x)

=

x3

-

4x2

+ x+

3,

x

e

e;

lsin x

I

x*O

b)f(x)=.{

x'

;

It,

x=o

c)

r(x)-{*'"i"1'

"*o,

Lo,

x=O



Analizi

matematici

c

l. Prirnitive

A4. Se

consideri

funcfia

f :

Q

-+

Q'

f(x)

=

I""*t,

x

<

-1

. si

se

arate

\ /

lz+x,x>-1

cf,

f admite

Primitive

Pe

Q

9i

s[

se

determine

o

Primltivi

F

cu

Pro-

prietatea ae

f(z)

=

9.

,2

A5.

Se

consideri

frrncfta

f

:

a-+R

f (x)

=

=

ttt"{L

*}.

sa

se

arate

ci

f

admite

prirnitive

Pe

Q

gi

si

se

determlne

o

prlmitlvi

F

care

verlflci

relafla:

4Ff

-ql -

srfll

=

sr(2).

-\.

2)

-

\2)

\ /

A6. SA

se

determlne

constant€tre

a, b e

Q

astfel

incflt

funcfia

F: (O,

+

o)

-+

A'

F(x)=itt'*,

xe(o,e]

si fle

-\--l

lax+b,xe(e,+o)

primitlvi

a unei

funcfii.

A7. Se

consideri

funcfia

F:

P

-+

Q'

f*2+"*+3,x31

r(*)=jex+u

l-,

x>l

lx'+2

Existi

valori

Pentru

a, b

e

D

astfel

incit

funcfia

F

sd fie

antiderlvata

unei

funcfii?

A8. Se

consideri

firncfia

f

:

(O,

+.o)

-+

R

f(*)=#

Si

se

determlne

constantele

a,

beD

astfel

incdt

funcfia

f : (O, +

co)

-+

D,

F(x)

=

(ax

+

b)Ji

sE

fie

o

antideri-

vati

a funcfiei

f.

A9.

Fie

functiile

f,

g:

(O,

+

o)

-+

Q,

f

(*)

=

=+= -

h(x

+

1)

si

g(x)

=

x+.1

=

Il"

+

bx

+

aln(x

+

1)].

xL

Existi

valorl

ale

constantelor

a,

b,

c

e

D

astfel

incet

functia

g

si

fle

o

Prlnnitiv&

a

funcfiei

h:

(o,

+

-)

-+

n,

h(x)

=

It

@O.Se

consideri

funcfia

f

:

[O,

3]-+

n'

[*2*t*+b,

xe[o,r]

f

(*)=lzx+r,

xe(r,2).sa

se

i.x+sa,

xe[2,

e]

determine

a,

beQ

astfelincitf

si

adrniti

prlmitive

pe

[O,

e].

gf

.Se

se

afle

constantele

a, b

e Q

astfel

inc6t

funcfia

f

:

(O,

+

o)

-+

Q,

f"=-t+inx,

xe(o,r)

f(")=.{ax+u,

xe[r,

z]

l-

l..6i_z

-2,{711,

xe

(2,

+

o)

sd

admiti

primitive

Pe

(O,

+.o).

A12.Se

se

arate

ci

urmitoarele

funcfil

f :

Q

-+

I

nu

admit

Primitive

Pe

Q,

daci:

a)

f

(x)

=

[x];

@t(*)

=

[x]-

zx;

O

t(*)

=

s€nxi

d)

e)

lx+1.x<O

f(*)={*r*,x>oi

llxl. x e

Q

r(*)=t_;,

_eD

\

e.

182



Analizi

matematici

.

L

Primitive

DEZVOLTAR.E

D1.

Se

conslderi

tunalia

f

:

[a,

b]+ e

qi

c

e

(a,

b).

Daci

f admite

primitive

pe

intervalele

[a,

c]

+f

[c,

b],

si

se

arate

ci

f admite

prirnltive

pe

["'b].

Si se

arate

ci

urmitoarele

funcfii

admit

primitlve

gi

s6'

se

determine

o

primitivi

dac6:

a)

f(x)

=l*-zl,

xee;

O

Primitive

uzuate

O

problemd.

esenfial5"

care se

pune

relativ

la

noul

concept de

,,primitivd

a

unei funcfii"

este

aceea

a

determinSrii

mulfimii

primitivelor

pentm

o

clasd

cdt mai

largd"

de

fi-rnctii.

Fie I un

interval

de numere

reale

s,i

f :I

+

iQ

o functie

care

admite

primitive

pe

I.

Dacd.

F: I

-+

lQ

este

o

primitiva

a ei,

atunci

F este

o

funcfie

derivabils.

pi F'(x)

=

f(x),

V

x

e

I.

Astfel,

definifia primitivei

dI

posibiiitatea

determinS"rii

acesteia

in

stransd

legaturd.

cu iolosirea

formuleloi:'ie

derivare

invatate

in

clasa

a

)il-a.

Ca

urmare,

apar urmdtoarele posibilitd[i:

4.1. Primitive

deduse

din

derivatele

funcfiilor

elementare

IlustrS.m acest procedeu

prin

cAteva exernple:

a)

Fie f :lQ -+

Q, f (x)=

sinx.

Avem

(sinx)'

=

"o"",

x

e D,

qi

astfel

se

obfine

b)

Fie

f :(O,+oo)+D,f(x)=lnx.

c) Fie

r ,(-or,;)-+

o,

r(x)

=

tgx.

Avem

(tgx)'

=

-+

si

se

ouli''"

frl

cos-

x

".4

u)

f

(x)=1"-rl+lx+ ,

xee"

D3.

Fie

f :I+Q

ofuncfiecareadmite

primitive

p€

I. Daci

a

e

I

gi

g:r-+P,

e(x)=it(*)'

xeI

\

i")

si

se

arate

"u

,il;rT"=;:'"t;*?"

primitive

pe

I.

r83



Analizi

matematici

r

l.

Primitive

Proceddnd

analog

pentru

alte

functii,

se

obfine

urmdtorul

tabei

de

integrale

nedefinite.

Nr.

crt.

Funcfia

Mulfimea

primitivelor

(inteqrala

nedefiniti)

1.

f:18-+n,f(x)-x',neN

--n+1

[x"dx

=n

-+?

N+I

2.

f : I

-+

n,

f(x)

=

xr,

I

c

(0,

+o),

rea\{-1}

lx'dx

=*'n'

*?

J

r+1

3.

f

: lD -+

D,

f(x)

=

ax,

a>

O,

a

* I

fa*dx

=

u*

*'(

J

lna

4.

1r

f

: I

+

P'

f

(x)

=

l'

I c

lP

x

Po*

x-

=tnlxl+'a

b.

f:I-+rn,f(x)=-+:

*-

-a2'

IclQ\{ta},a*,O

iTie*=;r"lt"l.r'

6.

f

:lD-+rn,

f

(x)

=nL-,a+O

x'+a-

t--l----d"

=

J-

als1gx

a

v

Jxo

+ao

a

a

I.

f:lQ+iA,f(x)=sinx

Jsinxdx

=

-cosx*(/

8.

f:Q+n,f(x)=cosx

Jcosxdx=sinx+Zl

9.

f:I+lD,f(x)=tgix,

rce\{tro.rlflr.z}

Jtg"ar

=

-lnlcosxl+

?

10.

f:I-+n,f(x)=ctgx,

IclD\{tcrlt<ez}

Jctgxdx

=

h:lsin

xl+'€

11.

f

:I+D,f(x)

=+*,

cos"

x

IcD\ {rro*rtI lr..z}

i.'

'21

)

i-4-

o"

=

t1x

+

?

'cos"

x

L2.

f:I+rn,f(x)=. -

srrr?

x'

IclQ\{t<"ltez}

[-j'a"

=

--ct1x+?

J

sin" x



Analizi

matematici

r

l.

primitive

f:I+n,f(x)

=+,

Va

-

-a.

trc(-a,a),

a>O

f :

tr

-+ rn,f

(x)

vxil-

a3

'

Ic(-oo,

-a)

sau

Ic(a,

+"o)

f:lQ+D,f(x)=

a*O

Snerafrrrr&gaetal

Sd

se

determine

integraXele

nedelinite

pentru

folosind

proprietd, ile

integralei

nedefinite

si

nedefinite:

a)

f(x)

=

x3

-3x2

+r/i,

x

>

O;

b)r(x)-

c9s2x-Q

,*.[0.

I),

sin'x.cosox \

Z)'

c)

r(x)=

4?+fT,

xe(

r,

r);

("'

*

o)(r

-

"z)

'

a)

f(x)

-

xa.+9x2

+

17,

x

e

ie.

xo

+4

Sotrufue

a)

Avem

J("u

-sxz

+.*&)a"

=

Jxsdx

*

fsxro*

+

fJiox

=+_

4

tl

-sJx2ox*

J'ia*

=+-s

+.9

n,,

={

-xB

+

?.*Ji*,r.

3

).r

4

'g

b)

Se

prelucreazd

expresia

de

ia

numd.ritor;i

rezult6:

cos2x

-3

=

cos2

x

-

sin2

x

-

S(sln2

x

+

cos2

*)

=

-2cos2

x

-4sin2

x.

Multimea

de

primitive

va

fi:

Idry*o*

=

i

ffe'?

;

ax

+

J.$t{-

dx

=

-2i.{-a"

-

-

n

[];dx

=

2ct€lx

-

4tgx

+,(/.

'cos'x

urmdtoarele

funcfii

tabelul

de

integrale

185



Nr.

crt.

Integrala

nedefiniti

1.

It"

(").u'(x)dx

=

ut*I

(x)

, ,

+46.

n+l

neN

6

a.

Ir'

(").

u'(x)dx

=u'.'

(:)

*

t"

r+l

r

e

lQ

\

{-1},

u(I)

c

(o,

+.o)

r'.

Ja'(*)

..r'(x)o*

=

"'9

+G,

ae

(0, +

"o)

\

{1}

4"

i#0"

=

lnlu(x)l

+G,

u(x)*

o,

x

e

r

5.

t'(*)

u(x)*+a,VxeI,a*o

u2

trx)*

a2

j

d*

=

+t"[e)-'1.

r,

2a

ju(x)

+

al

6.

J.,,#?o.

=

1.o"tg3-0')

*

6,,

o

"

7.

Jsin

u(x).

u'(x)dx

=

*cos

u(x).r

G

8.

J

cos u

(x)

,

u'(x)

dx

=

sin

u(x)

+

G

9.

u(x)x(zrr+r)f,,keZ,xe

tgu(x).u'(x)dx

=

-hlcosu

(x)l+C,

I

10"

f

ctgu(x)

u'(x)clx

=

hlsinu(x)l+

G,

u(x)*

kn

,

k

a

Z,

x e

I

11.

"

u'(x\

J;;

dx

=

tS

u(x)+G,

cos-

u(x)

u(x)x

(zt<

+

t;I,

G

X

.,

T

L2.

€

I

. u'(x)

J::ZY.

dx

=

-ctgu(x)

+

G,

u(x)

*

kn

,

k

e

X-,

x

sln-

u

(xJ

13.

dx

=

arcsinlq)-

6, a>0,

u(i)

c

(-a,

a)

a

14.

f

J

sau.

u(i)c

(a, +

"o)

dx=hlu(x). f,z(")-"3lne,

u>

0,

u(r)c(*oo,

-a)

t5.

j

u'(x)

filt;;,

ax

=

rn[u(")

+

uG{"y.

",3

f+v,

a

*

a

Analizii

matematici

o

l.

Primitive

Astfel,

daca

u :I

-+

J

este

funclie

derivabila

pe

intervalul

i,

se

obtine

urmiton-ll

tabel

de

integrale

nedefinite.

.

i

T87



Analizi

matematici

r

l.

primitive

ln general

are

loc

unnatorul

rezultat:

E*'nil/2.rz,talrtalp,

tr

1.

Se

se

calculeze

i--4q-dx,

x

e

e.

uxo

+3x+4

Solufie

Alegem

tunclia

u : rD

-+

11,

.*),,1*y

=

x2

+Sx+4,

derivabili

pe

e.

Seobtine

r'(*)

=2x+s

si

j"*r

=

t'I"J,

xeD.

x' +3x+

4

u(x)

Rezurta

"t

I;ffi

*

=

Iffi

dx

=

tniu(x

)l

+,a

=r(*'

+

3x

+

4)

+ e.

E

z.

sa

se calcule

z.

+*s

(*n -

r)t

*,

x

e

e.

Solufre

Alegem

funcfia

u:A+[-Z

+oo),

u(x)

=x4

_Z

x

e

D.

Rezulta

c6

+x3

(xa

-r)" =r'(").rrs

(*)

=

Ju'(x)..rs

(x)*

=

"-na(*)

+n

=*.("-

*z)a

+,e.

tr

g.

Sa

se

calculeze

[zx.tf,,

*

r

a",

x

e D.

Solu{ie

Alegem

funcfia

u:

D+[L

+.o),

u(x)

=*

+]u

derivabild

=2&

xe

e.

Reztrtta

ca

J2x

tf,,

.

r

a*

=

Ju,(x)

[,

(x)]ia,

=

a4o

=

i

["

(*)]i

+ ?

=i

(",

*

r)1ft,

*

r)

*

z.

188

derivabili,

cu

u(x)

=a'f,

qi

f+x3

(x4

*

z)3

a*

=

I

Iu(x)]5.'

pe

lP,

cu

u'(x)=

l+t

3

+?=



Analizi

matenaticd

r

l.

primitive

EXEHC|TI|$t

Pn0BHME

El.

S[

se

determine mulftmea

prirni-

tlvelor

urmitoarelor

functll:

@t(")=x4,xee;

St(")=Bx7,xee;

./r'. t

tDr(")=x5,

x>o;

(Dt(")=VIF,

xep;

a

/4

1$r(*)=x

3,

x>o;

\Dt(*l=rlx.tfiE,

x>o;

d

f(x)=#,

x>o;

n)

f(x)=ex,

x€Q;

t)

f(x)=2x,

xet);

$

f(x)=S,*>r,

k)

f(r)=;5*,xe(-e,

s);

r)

f(x)=*hu,xeD;

m)

f(x)=+,xe(-o,

-2);

,Jxo

-

4

n)

f(x)=*r,

xe(-z,z)t

o)

f(x)=#,

*.n,

Vx- + 25

E2.

Se

se

calculeze

integralele

nede_

flnlte:

Q

I(u*"

-

4x8

+ sx2

-

6x

+

llax,

xeD;

190

EXERSARE

1@

J(*'-

z*)s

a*,

x

e

D;

ruI(#

4-s)*,*.o,

{E

l(t-'Ji*

z"tGE)dx,

x

> o;

€t[*-zr*ov*Ja*,

x>o;

6iJ#-ax,

x>|;

tt f ."o

d*.x'9,

'9x'-26

3'

r,j;l;ft;dx,xee;

t

t*:tdx,

xee;

&

J(u"

lns

-

4x

hr6)dx,

x

e

e;

rnr

[-*-dx,

xeD;

'rl6,x2

+24

t)

t+-dx,

x>3;

rl2x2

-',g

,,,)

Igdx,

xe

(-z,z).

"l4g-g*2

83.

SAse

calculeze

integralele

nedeffnite:

{OJtt

sin

x

+ 4cos

x)dx,

a

6

p;

\)

I(,

sin2

x

-

V-6

cos2

x)ax,

x

e

n;

FD lrsmf

cos{ax,

x

e

D;

\J' 2

2

}Jr"o"'Id*,

xee;

id

J,

snz

f,dx,

x

e

e.



Analizi

matematicl

r

l. Primitive

41.

Sn

se

determine

lntegralele

nede-

flnite:

6f13x6+{**-rdx,x>o;

t)

J#dx,

x>

o;

J(-W-V-'-*V")dx,

x>o;

rxVi +

zxztl*z

l---'n--d*'

x>o;

J(z=

rnQ4

-

ros.

e")dx,

x

e

p;

I[#"

m#)*,xe..;

l$#u"'

x>r;

,{i*a-y,

l- ,-dx,

xeE;

'

x'+4

,r[*z-4*a,

l___;_dx,

x

> 2;

'

x-

-4

-.^,J,lffi"Eiu*,

-'rr

tl

q

-xa

*.

(-JD, JD);

t 2x+l

J

kj

l-:dx,

x

> 4..

nJxz-16

42.

Se se'ealuulcze:

',

I;;u*;;u;dx,

x

e

(t,

*)'

J

o,

I;ff*";dx,

xe(o,f)'

.r(x*\2

c)

J[stn:

-

""":J

dx,

x

e

e;

6;

Jsinsx-

gdx,

x

e

lo.1),

'I-cos"x

\

2I

,",

Jffff#dx,xe(r,;)'

-.r

n

J(r

+ tgsxlcx,

".

(o,

f)'

ud)

e)

*?

g)

h)

_l

iy

APTTOFUNDART

sr

J(r

+

ctg2x)dx,

x

e

(",

;).

.d3"

Sn

se

calculeze

mulflmile

de

priml-

tive:

rr=;x1+x2+rdx,xeD;

'x--x+L

r"=

Ji:r-dx,xee;

'x'+x+l

r,

=

1G-{$"$- r6

dx,

x

e

Q.

Si se

calculeze:

al

Jox(sxz

+

r)t

ax,

x

e

e;

o)

.[*n

(t

-

*u)u

dx,

x

e

e;

c)

J*a

V*uia*, x

e

e;

*

I#dx,

x>o;

t)

I*nu

xdx,

x >

o;

^

? 2x-5

tJ

.l

-=------dx,

xeQ;

r

xo

-5x+7

gl

i

"*,1

dx,xee;

'3x"-6x+11

rrr

J$:a*,

x

e

(-t,

t);

u

J#;"dx,x>z;

+J

t-+-dx,xee;

'xo+9

x

k)

f

"I-dx,

xeQ;

v*x*+1

y"rl

J#dx,

x>E;

*1

;-Sa*;

'Vr

-

9=

"

I#S*,

xee.

191



Analizi

matematici

.

l. Primitive

A5.

Se se

calculeze:

?I

f"1"gl*dr,

xee:

'

l+xn

lrb)

[-"1"*

dx,xee;

uginox-4

1

c)

[:

"it

",

drr,

x

e

ei

'9

-

coso

x

-.

r COSx

t

dJ

l----dx,

x

e

Q;

Jslnox+4

{*

Jz""i"(x2

+

r)cos(x2

+

r)ax,

riXGP;

{g

J+xsin

z(xz

+r)dx,

x

e

a;

xe)

J(tgsx

+

tgx)dx,

x

e

(" i)'

i)

J"rns

x. cos2

;rr:,

x

e

D.

46.

Se

se

calculeze

integralele

nede,

finite,

folosind

formula

de

lnte-

grare

prin

plrti:

d

*2lnxdx,x

>

o;

b)

Jxe-"dx,

Xloi

c)

Jsin2

x,lr,

x

e

Q;

d)

I(x+l)cosxdx,

xeQ;

")

JJx2.r5dx,xee;

o

J"G'z-sdx,x>3:

*d

J-+-dx,xe(o,f)'

Sh)

Jxarctgxdx,

xee.

(3

puncte)

or.

02.

o3.

#

\h)

[-gr{x,

xeD;

'J4

-

sin2 x

D

J#dx,

xeD;

J

VSln-x+l

TESTE

DE

EUATUARE

Testul

1

Fie

funcgiile

f,

€

:

Q +

e,

f(x)

=

ex

sinx,

g(x)

=

ea

cosx.

56 se

arate

c[:

a)f

esteprfunitiviafuncftei

f

+g;

b)

g

este

prlmltivi

a

funcfiei

g

_

f.

(B

puncte)

Se consideri

funcfiile

f,

F

:(O,

+o)-+

D,

f(x)=(*2

_f)frr*

9i

F(x)=

=*(ax3

-r)rnx

-=[+

-

r)

si.

se

determine

constantele

a, b

e

e

aStfel

incit

F

si

fie

o

primitivi a

lul

f

pe

(O,

+

o).

(3

puncte)

Si se

determine

mulfimea

primltivelor

ppntru

f

:

D

+

D,

daci:

a)

f(x)

=

(x

-r)2

(x

+ t),

x

e

e;

ut

f(x)=r"h-xrE,x>l;

c)

f(x)=x2ex,

xeQ.



Analizi

matemathi

o

l. Primitive

Testul

2

r:.

(2x+3,

x>O

Cf. Sisearatecd.funclia

f

:Q-+4,

f(x)=l

,

"--

admiteprimitive

[Vx'+6x+9,

x<O

pe

D

gi

si

se determine

primitiva

F care

verifici

rel,alia

f

(O)

+

F

(*g)

=

_4,5.

(3

puncte)

02.

Si se

demonstreze

in

dou6

moduri

c[

funcgia

f

:

(L +

o)

_+

A,

f

(x)

=

ln(t+

lnx)

este

o

primitivi

a

funcliei

g:

(t,

+m)+e,

g(x)

=;dC,

(3

puncte)

03.

Si

se

determine

integralele

nedefinite:

n

Jffidx,xee;

b)

I(x+

2)exdx,

x

e

Q;

c)

Jsinxcosxdx,

xee.

(3

puncte)

Testul

3

9z.i

':

b+

Fie

f,g:p-+A,f(x)=x2+ax,g(x)=tgt(x).

Si

se

determine

a,bee

pentru

care funcfla

g

este

o

primltlvi

a

functlel

f.

(3

puncte)

l(t

-

*)'

.e- ,

x

e

(-o,

t]

Sii

se

arate

cE

f :D-+Q,

f(*)=

jUrr*

admite

prlmitlve

L-=,

xe(r,

+o)

pe

Q

qi

s[

se determine

primitiva

F care

verificd.

relafia

F(e)+ F(O)

=

CI3.

S[ se

calculeze;

')

l(

*b)

J

sin x

+

cos

r)2

dx,

tfa-2g*2

a1

-

_______:_

dx,

4

-

25xo

,xeD;

(22\

*t[-u'u.,lt

nl

a)'

3e

(3

puncte)

+ct

[-J--a*,

**[o,

'cos'x

L

193

(8

puncte)



Analizi matematicl

r

ll. lntegrala

definitd

o

Fi

pact).

Diviziuni

ale

unui interval

Iu,b]

e

[a,

b] un interval

de numere

reale, inchis

si marginit

(com-

* 0EFrl{rTil

.

Se

numeqte diviziune

a intervalului

[a,

b] un sistem

finit

de

puncte

A=(*0,X1,

x2,..., Xn-l,x,r)

astfelincAt

&=Xo <xt <...(Xn*l

(Xr,

=[.

r

Punctele

X6, x1,

...,

Xn se numesc

puncte

de dlviziune

sau nodurlle

diviziunii

A, iar intervalele

[*0,

*r],

[*r,

xz],

...,[*r,_r,

xr,]

se numesc

intenrale

de dlviziune.

oSlstemul

de

puncte

€

=(€r,

82,...,€r,),

€,

*

[x,*r,

*,],

i

=f

r

se

numegte sistem

de

puncte

lntermedlare

asociat

diviziunii

A.

uS

Exerntrrlu

o

Se

considerd.

intervalul

[0,

1].

Sistemele

finite

de

puncte:

Ar

-

(0,

t),

Az

=

[0, *,

t],

o.

=

lO,

].z

\-'

z'

-

)'-" [-'

s'

llzs_\

-.,

^,

-,

:,

I

I

sunt diviziuni

ale intervalului

[0,

t].

3234

)

sistemere

,=(;,;)

-

,,=(*,#

i;

i)

",,,,t

sisteme

de

puncte

intermediare

asociate

diviziunilor

A2, respectiv

43.

3

llBSERVATII

1. ca

mulfimi

de

puncte,

diviziunile

din exemplul

dat

au

proprietatea

A1c42cA3cAa.

2.Dac'a

L',L"

suntdou5"diviziunialeintervalului

[",n]

qi

A'cA",

se

spune

ca

A"

este

mai fini

decat

A'. in

acest

sens,

pentru

exemplul

de

mai sus

se

poate

spune

ca

A1 este

mai

find"

decdt

Ar,As este

mai

find.

decAt

A,

si

decAt

A2,

iar

Aa este

mai fin6

dec6.t

A1,

A2, A3.

;'3

')

o-

=

(o,i'

r94



Analizl matematicl

.

::.

lntegrala

definiti

*

pEFrl{rTtE

l.

Rt"

A =

(xo,

Xr,

Xz,

...,

Xn-I,

xr,)

o

diviziune

a

intervalului

[a,

b].

I

s"

numeste

nonna

divlziunil

a cea

mai

mare

dintre

lungimile

intervalelor

de

diviziune

[*0,

*r],

["r,

xz], ...,

[*',*r,

*,r].

se

noteaza

ll{lY

pff

(*,

-

xi-r

).

Pentru

diviziunile

din

exemplul

anterior

avem:

lla,ll

=

r,

llnr ll

=

j,

ilou ll

=

|,

ilon il

=

+

se

observd

cd.

prin

trecere

la

o

diviziune mai

fin6,

norma

diviziunii

se

micporeazS..

. .

DEFIl{lTlE

l.

Dirriri

rnea

A

=

(xo,

X1,

X2,

...,

Xrr_1,

Xr)

a

intervalului

[a,

b]

se

nu-

I

mepte

dlvlzlune

echldlstanti

dacA toate

intervalele

de diviziune

|

[*0,

xr],

[*r,

xz],

...,

[*r,-r,

x,r] au

aceeapi

lungime.

in

acest

caz,

il{l

b-a

KF

Exemple

o

Slstemul de

puncte

A

=

(0, 1,2,

...,

n

-

1,

n) este diviziune

echidistantd"

a

intervalului

[0,

n]

cu

norma

L

r

Diviziunile

Ar

=

[0,1,

?,9,

.

.,

"

-

t

,

,),

o,

=(o,

+, +,

4=

4l

sunt

\

n n n

n

)

-

( 2" 2"

Zn 2")

diviziuni

echidistante

ale intervalului

[0,

r]

cu

llllll=

*

ur

iloril=

#

O

sume Riemann

Fie

[a,

b]c

iA

un interval

inchis si mdrginit

gi

urm6toarele

obiecte

matematree:

a) furictia

f :

[a,

b]-+

D;

b)

diviziunea

A

=

(xg,

x1, x.2,

...,

xrr*r,

x*)

a intervalului

[a,

b];

c)

sistemul

de

puncte

intermediare

E

=

(Er,

\2,

...,

(,r)

asociat

divi-

ziunii

A.

195



Analizi

matematici

r

ll. lntegrala

definiti

*

pEFrl{rTtE

I.

S"

numegte sumd

Riemann

sau

sumi integrald.

asrciatd.

func{iei

f,

I

diviziunii

A

si sistemului

de

puncte

intermediare (,

numirul

real

I

"o(f,€)

=

It(r,).(*,

-xi-r).

B Exernole

1.

Dacd. f :

[a,

b]-+

a,

f

(x)=

c,

atunci

orice sumd

Rjemann asociatS. este

ega15.

cu

c(b

-

a).

2.

Fie

f

:

[o,

2]

-+4,

f(x)

=

x+1,

a

=

fo.

1.

r

'2'

r,9,

z') si

e

=

l.o.

r,I.

z).

2)\4)

Atunci

o^

(f

,

€)

=

i

r (r,

)

.(x1

-

x,-1)

=

i=1

=

r(o)

(;-')+

r(r)

('

-;).'(;)

(;-').

+f

e\ |.r-g)=r,f

*2.1*9.1*e.I

=

39.

"\

2) 2

2 42 2

I

Interpretarea

geometrici

a sumei Riemann

Fie

funcfia

continui

f

:

[a,

o] -+

[0,

+

*),

4

=

(xo,

X1,

...,

xrr_r,

x,r)

o

diviziune

a

intervalului

[.,

b], iar

€

=

(Er,

F,z,

...,

€r,)

un sistem

de

puncte

intermediare

asoclat diviziunii

A.

196



Analizl

matematicil

'

Il.

lntegrah

delinitl

Multimea

de

puncte

din

plan

delimitatA de

curba

y

=

f

(x),

axa

Ox

gi

dreptele

x

=

a,

x

=

b

se

numeste

subgralicul func{iei f

Bi se

noteazd:

Se

observ6

cd

suma

Riemann

sistemului

de

puncte

intermediare

fefelor

dreptunghiulare

cu baza

(x,

figura

1.

Aqadar,

ol(f,E)

realizeaza

f1 al

functiei

f.

De asemenea, se

poate

observa

intuitiv

cA

dacd. di'riziunea

A

este

mai find.,

atunci

aproximarea ariei

subgraficului

este

,,mai

bun6".

asociatA

funcfiei f,

diviziur.ii

A

Si

(

reprezint6

suma

ariilor

supra-

-xi_r)

pi

indlfimea f

([,),

1< i

<

n,

o aproximare a ariei

subgraficului

o

lli'Jilill;:;i

;nei

funclii

Fiea,belQsia<b.

*

pEFrr{rTil

.

Functia f :

[a,

b]-+

Q

se

numeste

funcfie

integrabili Riemann

pe

intervalul

[",b]

sau funcfie integrabild

pe

intervalul

[",U],

dacd

existd. un numir

real I astfel inc6t

pentru

orice

gir

(A,,)

de

diviziuni

ale

intervalului

[a,

b], a,,

=

(*["),

*{"), ...,

"L?-,, "{*

),

cu

lim

lln,'ll

=

o

qi

orice

qir

de

puncte

intermediare

E(")

=

(e{"), et"),

...,

€lLl,,

et.?),

*1:l

.E{")

.*{"),t(i(kn,ne

N, girul

de

sume integrale

corespun-

ziltor

este convergent

c5.tre I.

r

NumArul I se numeqte integrala definttA sau lntegrala

funcfiei f

pe

intervalul

[*,b],

se noteaza

""

Jjf

(x)dx

gi

se citepte

,,integrald

de

Ia

a

la

b

din

f

(x)dx

".

A$adar,

r

Simbolul

J

se

numeqte

gemnul

de

lntegrare

sau semnul lntegralel,

t97



Analizil matematici

r

ll. lntegrala

deliniti

.

Numerele a

qi

b

se

numesc

limite

sau capete de integrarc; a

este

limita

de

integrare

inferioard,

iar

b este limita

de integrare supe-

rioarA.

.Intervalut

[a,

b]

se

numegte

interval

de

integrare.

o

Functia

f

se numeste funcfia

de integrat,

iar

x se

numeste

variabila

de integrare.

Variabila

de

integrare

poate

fi notatd cu

orice liter5..

Astfel, jjtl"l6*

=

Jtrlr)du

=

Jorit;ot

.t".

\iariabila

de integrare este independentd

de capetele de integrare.

Este

incorect

sd.

se scrie

jor1";a.

""r-r

J'f

1U;ou.

C

OBSERVATII

1.

Numd.ruf

Jtf

1";dx

este

unic

determinat, limita unui

gir

convergent

de numere reale

fiind

unic5.

2. Integrala

deiinitd

a

unei

funcfii integrabile

pe

un interval

[a,

b] este

un

num5.r

real, in timp ce

integrala nedefinitd

a

func{iei

f

pe

intervalul

[",U]

este o mullime de

funcfii

(mulfimea

primitivelor

funcfiei

f

pe

intervalul

[a,

b]).

3.

Dacd f

:

[a,

b]-+ D este

o

functie integrabilA, atunci,

prin

definilie

4.

Orice

func{ie integrabili

pe

intervalul

[a,

b]

este m5"rginit6.

Aqadar,

existd

m, Me

lQ

astfel inc6"t

m <f

(x)<M,

V

x

e

[a,

b].

in consecin .d, daci

funcfia f

:

[a,

b]

-+

A

nu este

mirginiti,

atunci

nu

este integrabili

pe

[",

b].

[8 Erernolu

ll

o

Functia

f :

[0,

r]-+

a,

f

(x)=

];'

*

e

(0'

i]

este funcfie nemarginite

deoarece

li,

x=o

lim f

(x)=

Ii*

f

=

+oo, Rezulti c[ functia

f

nu este integrabilfl

pe

[0,

f].

x-rO

' '

x+0x

x>0 x>0

W

nxemplu

d.e

tuncgl,el.ntsgra.bild

rFle

f ;[a,b]+R,f(x)=c

ofunctieconstantA.Functiaf

estelntegrabitepe

[a,b]

qr

frlx)ax=c(b-a),

lillN\$lllliliil

$lli

198



intr-adevar,

ffe

(a"),

o"

=

(*F',

*1"), ...,

"[")-,,

*1"1; un

sir

oarecare

de diviziuni

ale intervalului

[a,

b], cu

lla"ll-

O

si

(e{"))

un

Eir

oarecare de

puncte

interrnediare,

cu

proprietatea

* lJ s

6(")

=

*1"), i

=

r,

k".

Atunci

'o"

(r,

e(")) =

t(e{")X*{")

-

"{lJ)

=

=

"

l(-t"'

-.{ll)

=

c(b

-

a). Rezulta ce

qin:l

"o.

(r,

e("))

este

convergent

ei

;31oo"(r,

Et"l;=

c(b-.;=

f

r1*;a",

in

concluzie,

orice func(.ie constanti

pe

intervalul

[L,

b]

este integrabilf,

pe

intervalul

[a,

b]

si

jb

"

a"

=

c (b

-

a).

@ Exemplu

defunctie

care

nu este

integrobila

e

Fie

r:[o.

r]-+ a, r(x)=

{:

::tf,

li:[ ,

p;,

(r,ncu,

rui

Dirichrer)

Ard.tAm c5.

funclia

f

nu

este integrabile

pe

[0,

t].

Fie A,,=(t

* : +

r)

o

diviziune aintervalului

[o,r]

cu

lla"ll=*"Lo

Alegem

douf,

sistem" O:.

O1"",,:

intermediare

astfel:

'-ti i " \.€i.l'-'. 'l^O,pentrucrr. f(€i)=t.i=t,rr:

_

\:1.

:2, ...,9n/.=r

_

1

a,

.

,rli

i

q, r\

e'

=(e''.

4z',....e"'), e,'

=[+,'

].rn

\

Q,

pentru

".r.

t(€,')= o. i

=

L

n.

Avem o6"

(f,

€)

=

Ir(a,)(*i

-*,-rl

=

l[f

-rrf....tl

=,

u,

i=l

^'\

n ori

)

Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

deliniti

Deoarece

cele doud limite sunt diferite, rezultA

cA

func[ia f nu

este integrabilf,

pe

[O,

t].

Un

rezultat important

pentru

a

construi

sau a

demonstra

cd o

funcfle este integrabild

pornind

de

la

o functie integrabild cunoscutd

este

urmAtorul:

199



03F

Exemplu

r

Fie

funcfia

g:

[0,

r]-+

ra,

g(x)

=

{:,i:li

t)

sa

analizd.m

integrabilitatea

funcfiei

g

pe

intervalul

[0,

l].

pentru

aceasta

considerim

tuncfia

f

:

[0,

t]

-+

e,

f(x)

=

l, V

x e

[0,

f].

Func{ia

f

este

integrabila

pe

[0,

1],

fiind

funcfie

constantA

si

fif1*)A*=

jjfa*=l(l-O)=t

(vezi

exemplul

de

funcfie

integrabiln).

'

Se observ5.

totodatd"

-A

funcfia

g

se

obtine

din

f

modificAnd

valoarea

acesteia

in

punctul

x

=

l.

Pnn

unnare,

aplicdnd

teorema

1,

funclia

g

este

integrabila

pe

[0,

r]

si

Ijs(*)a"=

ljrl*;a"=r.

3 OBSERVATII

1.

ExistS.

funcfii

integrabile

care

nu

au

primitive.

ll€

Exemolu

o

Fie

functia

g

:[o,

r]-+

a,

g(x)

=

{l

::t:

1).

F,rr,"1i" g

este

functie

integrabirs.

pe

intervalul

[0,

l] aqa

cum

s-a

ardtat

mai sus,

dar

nu

posedd.

primitive

pe

[o,

r],

deoarece

g([0,

l])

=

{0,

l} * interval,

(g

nu

are

proprietatea

lui

Darboux

pe

[0,

r]).

2.

Existd

funcfii

neintegrabile

care

au

primitive.

IKF

Exemnlu

t-

| 2

I

o

Fie

funcfia

r:

[_r,

r]+

a,

f

(x)_

]2xsin

,

-:cos--z-,

x e

[-1.

1]\

{0}

.

lo,

x=o

se constatd.

ctr

funcfia

f

este

nemerginite pe

[-t,rj,

deoarece

lu6"nd

girr.l

lr

(*,,),*,,

=#---r-o,

atunci

qirul

(f

(x,)),r(*")

=#.sinn-

zJznn*n.

.cos

r

=

2Jzffit

+

Tt are

limita

egalA

cu +co.

in

consecinlA,

funcfia

f

nu

este integrabild

pe

intervalul

[-1,

1].

t,

ll +

n,

F(x)

-

{*'"t"{'

x

e

[-t'

I]

\

{o}

lo,

x=O

este

funcfte

derlvablld pe

[-1,

1]

sr

F,(x)=

f

(x),

V

x

e

[-1,

t],

Aqadar,

funcfia

f

admtte primtttve

pe

tnterualul

[-t,l],

dar

nu

este

lntegrabll[

pe

lntervalul

[-i,t].

200



Analizi

matrmaticl

r

ll.

lntegrala

definiti

EXERCtIil

St

PB0BLEME

EXERSARE

El.

Se

se

calculeze gl

s[

se

lnterpre-

teze

graflc

sumele

Riemann

asocl-

ate

funcflllor

f

in

urmitoarele

ca-

zurll

a)

f

:

[o,

2]-+

D, f (x)

=

x,

o

=

(o,*,t,3,r),

*

=

(o,t, ,r),

b)

f :[-r,

l]-+p,f(x)=2x+3,

o

=

(-t,-*,o,*,t),

"

(

1

I

r

2\

g

=[.-t,-

s

,Z,s1t

c)

f

:

[*r,

z]

-+ n,

f(x)

=

x2

+1,

t=(-r,o,1,g,r),

\

22

)'

e

=

(-]'|'t,z)'

d)

f

:

[o,

z]-r

a,

f

(x)

=

Ja,

A

=

(O,

1,2,3,5,7)

,

'=

(i

'''i'.'T)'

E2.

F'ie tuncfia

f

:

[o,

r]+R

-sirut

de divi-

ziuni

(a")

afe

intervahfui

[o,

r]

l,

=[o,

|

,?,

\nnn)

temele

de

puncte intermediare

g(').

Si

se

calcr:leze

Sr,

=

oo"

(t,

6h))

+f

"

=

l 1s.,,

in

cazurile:

a) f(x)

=

3,

6(n) =(

o, ,?,...,

t-t)'

\

nn

n)

'b)

f(x)=2x+1,

{4

=(L,2,...,t-t,r),\nn n

)

c)

f(x)

=

x2

+x,

E(")

=

[o,1,',...,

t

-

t'],

\

nn

n

)

d) f

(x)

=

13,

E(o)

=( ,2,...,

t-t,r'.|.

\nn

n

)

E3.

Se

considerl

funcfla

f :

[O,

t]-r

n,

r(*)

=

{l

::

lo'

t'.

si se

arate

ci:

a)

f

nu

are

primitlve

pe

[O,

l];

b)

f este

integrabilA

pe

[O,

tl

9i

sn

se

calculeze

Jlrt*)c".

84.

Se consideri

funcfia

f

:

[O,

f]-+

A,

f

(x)

=

I-t,

"

e

[o,

r]n

e

\-"

lr,

xe[o,r]na\a'

Sii

se

arate c5.:

a)

f

nu

are

prirnitive

pe

[O,

ll;

b)

f nu

este

integrabili

pe

[O,

U.

APROFTJNDARE

Al.

Si

se

calculeze

sumele

R.iemann

oa"

(f,

€)

in

cazurile:

a)

f

:

[o,

n]-+

a,

f

(x)

=

s63,

o=l,o,

t',

t'.

qt'

)

\

4

2

4'")'

-

(n

n

2n

5n\

.=la'3'T'

6J'

f

,'),

r)

w)'

''[*,r]-n,

(t

t

z

g

=t_

_

_

_

(ro's'E's'

:(t

t

1

I

[e'

+'

z'

Jz'

b)

A

F

f

(x)

=

log2

x,



Analizi rnatematici

r

ll. lntegrala

delinlti

O

astfel

de

posibilitate

o ofera

urmdtorul

criteriu

de

integrabilitate.

Acest

rezultat

este un

caz

parti-

cular al

unui

criteriu de

integra-

bilitate rnai

general

numit

criteriul

lui

Lebesgue.

&ffAiltiilr@ga/,oiai

tr

Fie

funcfia

f

:

[-t,

3]-+

Sd se arate

cA

functia

f

lz*.

a,f(x)=]t-*.

[4,

este integrabil

x e

[-t,

t]

xe(t,s)

.

x=3

5

pe

intervalul

[*t,

3].

Solutie

Func{ia

f este

discontinuA

in

punctele

x1

-

I,xz

=

2

gi

continud in

rest. Multimea

valorilor

func{iei

este

Imf

=

[-2,2], {4}.

Conform

teoremei lui Lebesgue,

functia f

este

integrabild

pe

intervalut

[-t,

3].

Demonstratie

Funcfia

f

este

continud

pe

un

interval

inchis

qi

marginit

[a,

b].

Conform teoremei

lui Weierstrass

func{ia

f este

marginitA.

Multimea punctelor

de

discontinuitate

pentru

o

func .ie

continud

este

mul{imea

vidd.,

deci este

o mul{ime

finitd.

AplicS,nd

teorema

lui

Lebesgue

rezultd.

c6

funcfia

continud

f

este

integrabil5

pe

intervalul

[a,

b].

203



Analizi matematici

r

ll. lntegrala

definiti

Rezultr

"r

i:

(t"'

*

2x + 1)dx

=

b) Functia f :[-1,

1]+ n,

f

(x)=

+-^

este

xo

-9

intervalul

[-f,

f] deoarece

este

functie

continud.

func{ie

integrabild

pe

nl

^

Multimea

primitivelor

funcriei

f

este

I7\o"

=

fr*[.*i-

t.

Alegdnd

primitiva

F(")=*t"l=I,

rezults

cd:

f'

-: -a*

=

ffhlx-31)l

I

=l(,r,1-hz)

=-Lr,f.

r-Ixz-9

(6

lx+31/l_,

6\ 2

)

6

4

c) Functia

r

'

[0,

;]-rn,

f

(x)*

sin2

]

este

integrabild

o"

[0,

deoarece este

funcfie

continuS.

Foiosind formula

trigonometrici

sin2l=L; I,

rezulta

ca

i.i.'*a"

-

f

-

J9 x

dr

=

+(

fr

o*

- ["o"*dx)

=

lt"

sinx)+

zz.

.'---

2

-

J

2

2\J

J t

2'

AJegAnd

primitiva

F(")

=

jt-

-

sinx),

atunci:

7t

'-

r, .6

t(n

-)

lDsin2adr=-tx-srnxl

=-l

--I

l.

J0

Z----

Z\--

-

-

/lo

2\2

)

d) Functia

f

:

[O,

2]-+ D,

f

(x)=$

este

funcfie

integrabild.

pe

Jro

-

*2

'-0.2)

deoarece este

functie continuA.

Multimea

primitivelor ei este:

- x+l - r. x . r I f:

t

':-Iv-l-.{vrl:

-r16-x2

,Jt6-*,

,Jro-?d"=-fi;*"3

+arcsinL+'('

AlegAnd

primitiva

F(x)=

-.filrP

+

arcsinl,

avem:

-

-.'T6

+

arcsino)

=

-2J5+fr

+ +.



Analizi

matematici

r

ll. lntagrala

definittr

EXEBCTIil

$t

PnoBTEME

EXERSARE

81.

Se se

calculeze tntegralele

deflnite

foloslnrd

formula

lui

leibnlz-Newton:

$

d

J-",

(t'2

-

4x+

z)ax;

S

ul

J_j(z=s

+ sx2

-

ox)ax;

I

ec)

Jo,

(l

-

zx)s

ax;

+al

Jj

s

("v;

-

V"t

)a*,

"",

I,"'[*.#)*,

so

IfF**'

t

*r

Jo'6;*"

*,

*

r,r

Ji-;-l

-

a*.

82.

Si

se

calcrdeze

unnAtoarele

intqEEle:

-{,

t}

Jot

to"

* a*;

.ra

{

ot

f-slnxdx;

6

i

u)

I,"(.osz

3x

+

sin2

sx)ax;

,

n l'"(t-2sin2r)a=,

,n

\

2)

s)

Iot;Sz;a*,

tr)

J;atg2xa..

E3.

Se se

calculeze

urmitoalele

lnteg5ale:

.'Ja 1

r"'

Jfffia*;

; ur

J"3;;l;ax;

.'

"r

Jonl;ft;a*;

ar

Jo"ffia*.

oiz'r^f,"""f,a*;

L

fl

t

a='

'f

sin2

|""r2

|

rtd)

APROFUNDARE

*.1

Al.

Se se

calculeze

integralele

folosind

formula

lui Leibniz-Newton:

oI;'#;*,

u

Jj$;a*;

J5

"r

I;ffiax;

ar

t-i-Au*.

to

J4*'*r

,42:

Sn se

verfflce

egeltt[ ile:

Cj;t=dx=h€;

"of'fft;i*=*,

6l[ffi-dx=r;

'.tr"if#dx=r;

"mff#*=#,

ri;;f#u*=#.

208



Analizd matematici

r

ll.

lntegrala

deliniti

A3. Sn se

veriflce

egalitifile:

d

ifz*Gnra*=f,;

b)

i;*Je-*,dx

=

e;

,^\

-L

o

O

JS

cosxJsinxax

=

f

;

d)

)["--:g-dx=l:

:'

Jr

"J4

-

1rr\

*^

6'

et l"lVtrr*dx

=

3.

'Jlx'

4

Viteza

unul

punct

material variaz[

in funcfie de

timp dupi

legea

"(t)

=

=

o,olt3(*/"). ce drum

parcurge

punctrrl

in

10 secunde?

44.

-{-,:s;-,6

in

vedere

de{inifia

funcfiei integrabile

pe

un interval

[",

b]

w

:ge:ar:ijJe

cu

giruri

com/ergente,

se

pot

deduce cAteva

proprietd{i

ale

trurr::-cr

integrabile

pi

ale

integralei definite.

? t-

koprietatea

de liniaritate

a

integralei

O

Proprietf,li

ale

integralei

definite

De mo ns

tr

atie

(e

xtinde r e)

a) Fie girul

(A,,), A,

ar

--::esalului

[a,

b] cu

r-i:r'-ediale.

I

fr*

=

("["t'

'1"1

hm

lla"ll

=

o

(,

*

*,

q("))

=

H,r

-,

s)(eld

)/*{"r

',{tl)

=

lr(e["r

)("{t

-

"l:?)

=

oo"

(t,

Ei"))+

on,

(s, e(")).

{n}

{n)

\

,

...,*i,"'_,,

";':',|

un

sir

de

diviziuni

qi

e ')

.

[*l:1,

-lt],

i

=

t,

t

,.,,

puncte

-{.r'em:

o,

n

-

"ltl)

.

{_

*S-

r

t

g=-

"i)(x(")



Analizf

matematicd

r

ll.

lntegrala

definiti

Deoarece

functiile

f

qi

g

sunt

integrabile

pe

[",

b]

,lgx*"

(r,

6t"11=

J'r1*;o*

ei

l*oo"

(e,€;,)=

ij*f"l*.

Folosind

operafiile

",r"l.r.i

convergente

se

j'*oo"

(t

*

n,

€("))

=

IJrf"la,

*

f

s(x)u*,

ceea

ce

aratd

f

+

g

este

integrabild

pe

[a,

b]

si

are

loc

egalitatea:

f

ft

"

g)(x)dx

=

Jtrl*)o,.

*

Jts(*)0,0.

[a,

b]

+i

intervalul

sunt

rezultd

cA

deduce

cd

ce

functia

kr,

k2

e lD,

[",b]

si

n

functii

b)

Analog

se

deduce

c5

funcfia

kf

este

integrabila

pe

[a,

b]

qi

jj

{r.r)

1"10X

=

k

f

t

t"l

dx.

r

C

OBSERVATII

l.

Afirmaliile

teoremei

pot

fi

restructurate

astfel:

Dacd

f, g:

[a,

b]-+

R

sunt

funclii

integrabile

pe

atunci

func{ia

krf

+

krg

este

integrabilA

pe

ff(u,t

+

krg)(x)dx

=

kr

J"r1*;o*.

r.,

1"g1*1d*.

2.

Daca

n

e

N'

si

ki,

kz,

...,

kr.

e

D,

ian

f,

:

[a,

b]*+

iD

ffiffi,*?kkf*":*_"*_rur

[a,

b],

atunci:

E*n+nfr,awVoAad,

E

t.

se

se

calcule

".

I:r(r",

_

+x

+

2)dx.

Solufie

Avem:

J_',(r",

*4x+z)ax

=

J1s*ra"

*

|rn*d".

I_:,

2dx

=

=

tJ_'

x2dx

-

n

1",

+

2x

11,

=

(s

+L)

-2(4

*

1)

+

2(2+

t)

=

e.

2x212

f

l-r

rt

l),

a

,lt

210



Analiz6

mstematicl

.

ll. lntEgrala

definitl

B

2.

Sa

se

determine

a

e

lQ astfel

incAt

J,

tU"

-

S)dx

=

2.

Solufie

Avem:

J.

lu*

-

5)d*

=

6

I;

x

dx

-

s

Jo

ax

=

3x2

|

;

-

u-

|

3

=

3"

-

r''

Din

condi

,tia

3a2

-

5a

=

2 se obfin"

".

{-*,

,}

'

1.3

)

P2.

Proprletatea

de

aditivitate

la

interval

a

integralei

Punerea

problemei:

f+x*

1, x

e

[-3,

o]

Se

considera

functia f

:

[-3,

1]+

Q, f

(x)

=

j t

func-

[*'

* i'

*'(o'

t]

lie

continuA

pe

intervalul

[-3,

t].

Se

ridicd

urmdtoarea

Problemi:

,,Cum

se

calculeaza

integr.t.

Jtrf

(x)d*?"'

r

Un

procedeu

de

calcul

ar

fi sd

se

determine

o

primitivA

a functiei

f

pe interv"t.rt

1-S,

1]

Si

apoi

sd

se

aplice

formula

lribniz-Newton

(tema).

r

Alt

procedeu

de

calcul

va

fi dat

de

urrndtoarea

proprietate

a

inte-

gralei clefinite

a

unei

functii

integrabile.

Func .ia

f

considerati

mai

sus

este

continud,

pe intervalele

[-S,

0]

s,i

[0,

1],

deci este

integrabili

pe

aceste

intervale. AplicAnd

teorema

6

se

obfine

Jtrrl*;a*

=

Io"r(*)0"*

fir1";a".

Rezuttd.

ca

Jtrrl*1a*

=

I-ou(n*

+ 1)dx

-

fi*6*

=

(zx2

*

")l:,

-

+arctgxlf

= -rS+{.

t



Analizl

matematici

r

ll.

ln

Erp/w{rn

,rafalntalp,

SA

se arate

cd

funcfia

f

este

integrabiia

pe

[-

L

r]

si

se

se

carculeze

f

,

r

1";

0".

Solufie

Restrictia

funcfiei

f

la

intervalul

[-L

o]

este

integrabild

fiind

o

funcfie

continud

si

lo

r(*)o*

=

f

o

r* +

r\rrx

=(t*

-)lo

-

t

Pentru

a

demonstra

integrabilitatea

funcfiei

f

pe intervalul

definim

funcfia

g:

[0,

1]+

D,

g(x)

=

*,

_..8.

Deoarece

g

este

functie

continud

pe

[o,r],

ea

este

integrabild

pe

[o,

r]

si

jje(*)d,

=

fi(*,

-

.tr)a*

=

[+

-3"*

jl

=

*

_;

=

_*

\

/lo

Se

*hserv6

ca

f

(x)

=

g(*),

V

x

e

(0,

1]"

AplicAnd

teorema

I pentru

fu*c{.iile

f

+i

s,

se

deduce

ca func{ia

f

este

integrabiid

pe

intervalul

[0,

r]

qi

firi")o"

=

Jjs(";o*

=

-*

Aptcancr

proprietatea

de

aditivitate

ra

interval,

rezultd

ci

funcfia

f este

integrabird.

pe

intervalul

[_r,r]

qi

integrala

sa

este:

J',r1*;a*

=

Jo,

r1";0"

*

ljrl*yo*

=;_*

=

*

tr

2.

Fie

functia

f :[-t,2]-+D,f(x)=l*'-rl.

si

se

arate

ci

f

este

funcfie

integrabili

pe

intervalur

[-r,

2]

si

se

se

carcule

r"

I:rr

(x)dx.

Solulre

Funcfia

f

este

funcfie

continuA

pe

intervalul

[-L

2]

(operatii

cu

func_

lii

continue)

pi

prin

unnare

este

funcfie

integtabild

pe

intervarul

[-r,

z].

Legea

de

coresponden[d

a

funcfiei

f

se

scrie

sub

forma:

lu2 *r

f(x)

=

]x-

-:'

*

t

[-t'

o]u[t'

z]

l*-*t,xe(o,t)

[0,r]

2t2



Analizi

matematicd

r

ll.

lntegrala deliniti

}ln

proprietatea de ereditate rezultd cA funcfia f este integrabilA

gr

-:en-alele

[-1,

o],

[o,

t]

+i

[t,

z].

S,plicend

proprietatea

de

aditivitate la interval

a

integralei se obdine:

l_'.ut"ld"

=

I:,r(x)dx- Jjt(x)dx. J,"(x)dx

=

jl,("'**)a**

--.

:r-*,)d*.

i,,(*,-*)d*

=[*

*)i_,.[f

f)|,.[*

f)|,

=#

llL

hoprietatea

de

monotonle a

lntegralel

a)

Fte

qirul

(A,,),

A,,

=

(rf),

*t.'),

...,

"[,)-,,

*P) m

qir

de

diviziuni

ale

intervalului

[a,

b],

cu

rim

ll4ll

=

o,

iar

E(")

=

(el"),

ef).

,

eli)-,,

efl),

i='

=

["fl],

*{"'],

i

=

l,

k,,,

un

sistern

de

puncte

interrnediare. Atunci

k"/

'-_

{r,

q("))

=

ir(e{"))

("1"'

-

' :l)t

o,

V

n

e

N'

(s-a

rolosit ca

r(x)

> 0,

'

i=I

;

xe

[a,

b]).

Deoarece

tofi terrnenii

qirului

("^"

(t,

q(")))

sunt

pozitivi,

iar

qirr.l

este

convergent,

atunci

qi

trimita

sa

este

pozitivd,

adicA

J"f

1t;,ft

>

O.

b) D;finim

funclia

auxiliari

h:[a,b]+Q,h=€-f.

Din

proprie-

tatea

de liniaritate

a integralei rezulta

cd

functia h

este integrabild

pe

[",

O], iar din

proprietatea

de

pozitivitate

rezultA

""

J:h(x)dx

>

O.

'b-

rb

Apadar, j"[g(*)-f(x)]dx>0,

reiafie

din

care

se

obtine

J"r(x;ox<

=

J"og(x)dx

qi

proprietatea

c1e

monotonie

a integralei este demons-

tratd.

I

tw ns tr

atie

(

e

xtinde

re)



ea6/znuA'

.a/a/,naln,

E

Sd se

demonstreze

inegalitatea

Jo"trrl*+l)dx>

Jo'-:-6*,

fara

a

calcula

integralele.

So-lufqe

Fie

f,

g,[0,

e]+

Q, f

(x)=

ln(x

+

r)

si

g(*)

=

t'_

r

Vom

demonstra

ca

f

(x)>

g(x),

V

x

e

[0,

"].

Definim

funcfia

h:[0,

e]-+

e,

h(*)=

f (*)-g(x),

funcfie

derivabila

pe

[0,

e].

cu h'(x)

=

-

>(.-:.

'

(**1)2

se

observe

ce

h'(x)>

o, v

x e

[0,

e],

ceea

ce

arata

cd

func{ia

h

este

crescatoare

pe

intervalul

[0,

"]

;i

0

=

h(0)<

h(")<

h(.),

V

x

e

[0,

*].

Apadar,

h(*)

>0,

V

xe[0,

e],

adica

tr(x+1)

=*,

V

xe[0,

"].

AplicAnd

proprietatea

de

monotonie

a

integralei,

se

obfine

cd

fo'tn1x+l)dx>

feX

>

I

-cLK.

Jox+l

Intr-adevdr,

aplicind

proprietatea

de

monotonie

a

integralei

pentru

functia

f

si

functiile

constante

nr

si M

pe

intervalul

[",U]

se

ob{ine:

ij**=

fr1";0"=

frurorr

retafii

din

care

rezulti

inegalitdfile

din enun{.

Demonstratie



,ul

:

frallemB

te/ohtald,

E

Sd se

demonstreze

inegalitatea

t

=

fie*'dx

<

e.

Soiufte

Func{ia

f

:

[0,

1]-+

R,

f

(x)

=

ex'este

integrabila.

pe

[0,

l]

fihd

runcfie

continud.

s6 determind.m

m, M

e le,

valorile

extreme

ale

funcflei

i

pe

intervalul

[0,

l].

Deoarece

f,(x)

=2xe*'>0,

y

xe[O,

I],

rezultd.

c6

funetiaf

estecrescAtoarepe

[0,

l].A*adar

m=f(0)=I

Si

M=f(1)=e.

Aplicand proprietatea

de medie

se

obfine

t(t-o)

s

fir1*ydx

s

e(t

*o)

ei

problema

este

rezolvati.

Demonstratie

Din

ipoteza

cd f

este

funcfie

continue

pe

[a,

b],

rezulta

ca

lfl

este

funcfie

continud

pe

[a,

b],

deci

integrabild

pe

[a,b].

Din

proprietifite

modulului,

avem

c6

-lr(")l

< f

(")<

irr:,1,

v

x

e

[",

n]

qi

apticand

monotonia

integralei

se

obfine

-f

Ft"llr*

<

Jbr1")dr

<

J";r1"1ar.

Asadar,

llitt,.ld'l

=

i:lr(x)lox

r

ea.61pmn,

.e'rohtala/

Fie

f

:

[a,

b]-+

D

o

funcfie

integrabild

pe

intervalul

[",

b].

Daci

lrl

=

vr,

atunci

I

Ii

r

f

-l

*l

=

oo

1u

-

"y.

Soluhe

Din

consecinfa

3

qi

proprietatea

de

monotonie

a integralei

se

obfine:

lf

tt*yo*l=

f

;r1*yla*

=

f

**

=

M(b

-a).



Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

deliniti

C

OBSENVATI

l'

consecinta

B este

varabila

-si

pentm

funcfii

integrabile

oarecare.

2.

Reciproca

acestei

consecinte

este

falsd,.

ru's

u'lrsuar-c.

Dacd

funcfia

ffl

este

integrabild

pe

[a,b]

nu

rezurtd

intotdeauna

cd

funcfia

f

este

integrabila

pe

[a,

b].

u9.Exemplu

r

Fie

f :

[a,

b]+

a, f (x)=

{1'-

x

e

Q

x'rtA/=1-t,"e

R\e'

Functia

f

nu

este

integrabtlf,

pe

[a,b].

Avem

insd

lr(*)l

=

l, v

x e

[a,

b]

ei

ca

urrnare

lfl

este

integrabild.

pe

intervarur

[a,

b]

fiind

funcfie

continuA.

EXERCtIil

$t

PBoBTEME

Ef.

Si

se

arate

ci

urmitoarele

funcfil

sunt

integrabile

si

si

se

calculeze

integralele

lor:

a)

f

:

[-r,

2]+

p,

f

(x)

=

(zx

+

S,

x

e

[-r,

r].

\

/

l-sr2+1,

xe(r,z]

'

b)

f

:

[o,

B]+

D,

(r

|

_

xe[o,z)

f(x)=

)x2++

tl

[;u='

xe[z'

s]

l-:-'l-;';]-

o' r(*)

=

lstnxl;

i

I

f

:[-2,

z]-+

a,

r(x)

=

l*,

_

rl.

E2,.

Firi a

calcula integralele,

si

se

-'"r' arate

ci:

d

g#f,}dx>o;

b)

lo'(r*

-

x2)e-"dx

> o;

3-_-*_

t)

Irt

t/*3

-

3x

dx

<

o;

d)

J-t,

(*3

-

a*2

-

ex

-

s)a"

s o.

Folosind

proprietatea

de

monotonle

a integralei,

si

se

arate

ce:

.l

Ji(*,

-

sx)ax

=

l,p-

2x)dx;

o)

li:f

a*>zf#*,

q

[3Ji+td"=

Jr"(x-r)dx;

uttji-'ln(r+

x)cx

<

JJ-'=*.

Firi

a

calcula

integralele,

si

se

arate

ci:

a)

-rtr

,

[""{rt+

r)

dx

< 3E;

b)o<

cl-zs

Jo'(t*

zx-sxz)ax<f,;

10

x+2

-

I

J-r

xJc=

-t'

l-',ff*=n'

IilFEr*sJo.

a

3

Js<



Analizi matematici

r

ll. lntegrala

deliniti

-d-i

SA se arate ci

urmltoarele funcfil

sunt

lntegrabile

;i si

se calculeze

iutegralele

ace$tora:

a) f

:[-r,3]+A r(x)=max(f,

x+z);

u) r:

[o,

"]-

n,

.

fo,

x=o

rt=)=l-i"(*-u,

n9), *.(o,

"'];

c)

f

:

[o,

3]

-+

R

f (x)

=

lx

-

rl

+lz;x- 4,t

d)

f

:

[-3,

1]

-+

a,

r

(x)

=

ix2

+

zxl.

Ai

Sa se

arate ci urmitoarele

funcfii

sunt integrabile

gi

sd se

calculeze

iltegralele acestora:

a)

f

:

[-r,

2]-+

n,

f

(*)

=

[x

+ 2];

b)

f :

[o,

r]-+

a,

f

(x)

=

["Jz];

c)

f :

[r,

4]

-+ Q,

f

(*)

=

[x]-

2x;

d)

r

:

[o,

2]

+

n,

r(x)

=#tE,

e)

f

:[o,3]-+n,

f(")=*[*]-[*-z].

i3,

Folosind

proprietatea

de monoto-

nie a integralei,

s[

se arate

ci:

a)

J_2

e"*rdx

>

J',

""

a"t

u)

J2e""dx

r

Ji("'

+

r)dx;

c)

Jj

e-*'dx.

Jo'

;fua*;

ar

Ji

rnx

dx

s

I;

#*'

"r

jjt*

+

r)h(x

+

1)dx

>

fi

arctsxax;

ft fs ln(x+l)ax> [s

-?

_

a*.

'Jl

x

Jl

2x+1

A4, Se

se

arate c&:

a)

2G

s

fie*'dx

+

Jlel*'ud:r

{

I +

ei

u

f

-$#dxsJa,

APROTUNDARE

n-1il

a

Flc

girul (Io),

Io

"

J*

etnn

xdx.

a)

$A

sc

calculeze Io, I,

ql

Ir.

b)

g*

Fe

aratc e[

qlrul

(I")

eate

monoton

ql

m$rglntt.

-2

rl I

-

1

cl

-<

I

:dx<::

3

'o Jz

+

x-x2

J2'

d)r<ffi

"ou*

62g<4.

I

Jo

l+cosx

6

A5.

Se se demonstreze

inegalltdfile:

o<flx21 a*=

t

sisisecal-

rol+x

2n+1

culeze

um

[t

*2t

d*.

n-r*Jo1+x

A6.

Se consideri integralele:

t"

=

Ij;$u*

ui

,

il

r"=l;"$"*

,n,,

:,

i,:

S[ se

arate

cd:

a

Io)Jo,VneN;

t

b)

O<I"a

rr*r,VneN;

c)

lim Jn

=

O.

n-)6

47.

Sn se compare:

"at

Jfrnxdxqili+*'

',

,'

, ;.,'.

.'

\l

b)

[1

cosxdx si f

(r-4)*,

'Jo

,ol\

2)

")

If

xarctgxdx

si

ff

r"(r + x2)ax.

,3',

A8.

Fie

girul

(Io),

r"

*

f;

rn

(r

+

x")ax

.

a)

Si

se arate

ci

sirul

(I"

este mo-

noton

qi

mlrgtnlt.

b)

Si

se

arate

cE

t

s

--L,

V

n

e

N,

n+r

ql

ad

se

calculeue

llm lrr.

2r7



Analiztr matematicl

.

ll. lntegrala delinitl

AlO.

Se

consideri

funcfiile

continue

f,

g:

[a,

b]

+

A.

Si

se

arate cl

(ll

tt.l'e(*)*)'

=

r

J:fr(')a*.f

e,(x)dx.

frnegalitatea

fui Crrrchy&nialowki-

*lutan).

A11. Fie

f

:

[O,

f]+

D

tunc.tle

tntegrablli

pe

[o,

1]

lt

In

=

Jjx"r(x)dx.

Dacr

",,

=

Jrful

-

JF;,

n

e

N',

si se

calculeze

,l*""t".

(Admitere

ASE Bucureqti, 2OA

3l

DEZVOLTARE

D2.

Fle

f,

g:

[a,

b]*rQ,

func]il

contlnue.

Sl

se

arate

ci:

a)

funcfltle

ntn(f,

g)

+r

max(f,

g)

sunt lntegrablle

pe

[a,

b];

t)

jtmm(r(x),

g(x))dx

s

.

-r"

(

ll

r(x)

ax,

I.o

e

(")

a");

.)

Jnrnax(f

(x),

g(x))dx>

t

-*(

Jt

r1*1a*,

I.o

c

(*)a*).

Daci

funclitle

f,

g

:

[a,

b]

-r

Q

sunt

continue, sl

se

arate ci:

Jlttt*l

+

g(x)12

ax

<

J"o

12

1*;

ar.

.

JJl.'(*)a*.

(Inegalitate a

lui

Minkoutski)

D3.

Fte f,

g:

[a

b]

-+4,

funcftt

monotone.

a)

Dac[

f

qi g

au aceeagi monotonie,

atunct

I"o

t (r)

g

(*),1*

>

'

*

(

I:

r

1.y

a")(

Il

s

t"r

*).

b)

Daci

f

gi g

au monotonli

dlferlte,

atunci

Jltt*la(x)dx

<

=

*(

Il

r1*y

a')(

I""

e

(")

e).

(Ine

galitdfile

lui

Cebd+eu)

Ol.

Fle funcfia

f

:[o,

r]+D,

f

(x)

=N2

+22

qt

4,,

=[o,

+,?,...,t= t,r)

o

\

nn n

)

dlvlzlune

a

lntenralulut

[O,

r].

a) Si se calculeze

gumele

Rlemann Sn

=

6an

(f,

€) St

S'o

=

oa.

(f,

g'),

dac6

-

(t

z n\

(t

g

2k-r 2n-1\

q

=

f;'

i""'

nJ

n

e

=

[.il'

E r-""'

-F""'

z"

)'

b) 9A eo

calculczo llm

Sr,

6l

llm

Srr'.

(4

puncte)

TESTE DE EVALUARE

Testul

I

/1

218



Analizd

matematici

o

ll. lntegrala definiti

:c

*r

r:r-+D,

r(*)={:t

",

-r1,

".".

a

Si

se determine

a

e

Q

pentru

care funefla

admite

primitive pe

Q.

:

3F

se

calculeze

Jl[*"(x)

+

f'(x)]ax

pentru

,,a"

determinat

anterior.

(3

punete)

$-

sc

consideri

funcgia

f

:Q-ra,f(x)=l*'*l*'-"1-rl. oaca

t=

j;f(x)ax,

ero-eci:

49

a

I=-'

6

(Admit-,re

ASE Bucuregti,

7999,

Facultatea. de Comerg)

,CiJdura

specifici

a

unui

eorp

la

temperatura

t

este

egal6

cu

c(t)=q,2*

-

O,OOft.

Ce

cilduri

este necesafd

pentru

a incilzi un

gram

din acest corp de

la

O'Cla

IOO'C?

Testul

2

Se

se determine

funcfia

f

:

Q

-r

n,

f(x)

=

axz

+

bx+

c,a, b, c

e F,

care

satisface

condi$iile

f'(1)

=

8,

f

(2)

+

I'(2)

=

33

9i

Ji

t

t*l

u"

=n.

(3

punete)

sasedetermine

ae(r,

+o)

astfelincat

*

Ii[iJx.t-*)dx=4.

("

punct)

folimp{edd,

.fffi

e

loealdl

ut

r=f,;

ct

r=|;

d)

I=;.

(2

puncte]

(2

puncte)

l'P,

x=o

f

13,

Se

difuncgia

f :[o,

+o)-;n,

f (x)=]-,

i

t

l v\n.

Daci

I=

jf

tq*tra*,

t^

L*'l'

2

atunci:

a) r=1;

b)

r=*(-L.#)- ;

"r

'=#-t;

ar'=#.*.

(spuncte)

(Ad.mitere

ASE, Bucuresti,

I

998, SEI*S,

lr-x,

xeQ

t4,

Seconslderifuncfla

f :Q-+n,

f

(x)=ll,

xeD

\

e.

Lx

a) S[ se arate

c[

f nrr

este

tntegrabtlfl

pe

nlel un intenral

[n,

b]

c n.

b) S[

se

arate

el

f

o

f

are

primltive

ql

este integrabil6

pentru

orlcare

[a,

b]c

P.

319



Anterior

s-a

stabirit

ca

orice

funcfie

continud

pe

un

intervar

este

ntegrabild

pe acel

interval.

*r"rll"ililxluare

vor

fi prezentate

cateva

rezuitate

proprii

clasei

de

Funcfia

f,

fiina

func{ie

continud

pe

intervaiur

[a,

b],

este funcfiemdrginitA si

isi

atinge

marginile

{teorema lui

Weierstrass).

Fie

rn

=

inf

{f

(x)ix

e

t",

nj}

qi

M

=

sup{r1x;lx

e

[a,

b]],

marginile

funcfiei

f

pe

intervatur

[a,

b],

ia*n

v

€

i",

n],

astfel

incat

m

=

f

(u)

qi

nn=f(v)'

Deoarece

m<f(")=rvr

pentru

oricare

xe

[a,b],

apricdnd

proprietatea

de

medie

a

integralei,

se

obfin

relafiile

m(b

-

";

<

Jirl*)ox

<

<

M(b

-

a),

care

se

mai

scriu

sub

forma

f

(r)

=

*

=

*

J"f

1*;0,

<

<u=f(v).

Functia

f

este

continud

pe

intervarur

[a,

b],

deci

are

proprietatea

l,i

Darboux

pe

[u,

u]'

Rezultd

cd

existd

t

e

[a,

b]

astfel

incdt

f

(€)

=

*

Iitt"ldx

qi

demonstrafia

teoremei

este

incheiatd.

r

>

c0MEfrtTARil

l'

Numar",l

f

(6)=*J"r1*;oo

se

nurneste

valoarea

lntegral.

medie

a

funcfiei

f

pe

intervalul

[a,

bJ.

2._

lnterpretarea

geometricd"

a

teo-

rernei

de

medie

Pentru

o fi:nefie

f pozitivA.

pe

intervalul

[u,

b],

in

conditiile

teoremei

de

medie,

existA

q

*

[u,

bJ

astful

iircAt

aria

subgralicului

f1

sA

fie

egalA

cu

aria

suprafefei

dreptung]riulare

cu

dimensiunile

(U**)

$i

f

(€),

figura

tr.

220



Analizi matematici

r

ll. lntegrala

deliniti

W&lerr?n,

to7alnaln,

ffi

Sa

se

determine valoarea integralS medie

qi

punctul

{

in care

se

obtine

valoarea

integrald

medie

pentru

func .iile:

a)

f :

[r,

./5]-+

in,

f

(x)

t) r:

[0,

*l-

ia.

f

(x)

=

cosx.

\

/

J+-*'

L

2)

ifrr-ae

a) Se

aplici teorema de medie

funcfiei continue f

pe

intervalul

--

..l_.

Aqadar, exists.

E.

[L

J2]

astfel incdt:

IrJzIt*lEl

'l

=-

|

-?--dx-

-

arCsin-l

-_F--.-=--lVZrIl.

r

2

-

r

Jr

"l+

-*,

Jz

-t 2lt

Jz

-1

+=

fr(JZ

-r)

qr-'narul

I

se

poate

calcula din ecuali"

f(€)

=#(Jr+r) si

se obtine

qi

<

s

.

=?;7na1s

-zJZ1.

[r,

..8].

b)

Aplicand

teorema

de

t-ftn

:-cAt

f (q

=

ij;

co"

**

=

1,.

-

obtine

g

=

arccos?.

[t,

;]

medie

rezulta ci

existd

e

.

[0,

L

Din ecuatia

f

(t)

=

?,

respectiv

-l

I

astfel

2)

,.2

COSq

=

-,

TE

I

Demonstratie

Pentru a demonstra

cA F este

primitiv5

a

[",

n] se vor verilica urmf,toarele

proprietifi:

a)

F este

funcfie

derivabild

pe

[a,

b];

b)

F'(x)

=f(x),

V

x e

[",

b].

Funcfia

F este derivabilA intr-un

punct

limita

6

I(").:IGo)

=

F'(xo)

e

D.

x-)xo

X

-

XO

funcfiei

f

pe

intervalul

22L

xp

e

[a,

b] dacA

existA



Pentru

a

ardta

acest

lucru,

fie

x, x6

e

[a,

b],

x

*

X6,

xs

fixat,

dar

oarecare.

Avem:

n(')

-

n(*o)

=

l"

r(,)dt

-

i*.

f

(t)dt

=

J-

r1t;a..

l"

f

(t)dt

=

=

J'

f

1t;Ot

(proprietatea

de

aditivitate

la intervat),

(t).

AplicAnd

teorema

de

medie

funcfiei

f

pe

[x6,

x]

sau

[*,*o],

re-

zultd

ca

existd

l*

intre

x

qi

xe

astfel

incat

f

r

1tlat

=

f

(€*

)(x

-

x6

),

(2).

Din

rela{iile

(1)

pi

(2)

se

obfine

ry*d

=

f

(€").

Rezr-rtta

ca F'(xe)=

gT.ryjP

=

J*.f

(q,.)=

f

(xo)

(q*

."t.

intre

x

Fi

Xo,

iar funcfia

f este

continud)

qi

astfel,

F este

derivabila

in

punctul

xs

e

[a,

b].

Aqadar,

funcfia

F

este

derivabild.

pe

intervalul

[",

b]

9i

F'= f,

deci

F este

o

primitivd

a

funcfiei

f

pe

intervalul

[",

b].

Avem

totodat6.,

F(a)

=

f'f

1t;at

=

0.

I

Enodrf,

tegototaln

E

1.

Fie F:

e-+D,

F(x)=

ff**

56 se

calcuteze

F,(O),

F,(t),

F,(-2).

Solufie

Funcfia

f

: D -+

p,

f

(t)

=

*

este

continuA pe

te,

deci

are

primitive

pe

Ip.

Fie

G: D

+

tD

o

primitiv6

a funcfiei

f.

Apticand

formula

lui

kibniz-Newton

se

ob{ine

F(x)

=

c(*)

-c(O).

Rezult[ ca

F'(x)=G(x)=f(x)=

E*

-,

V

xete.

x- +l

L

Se

gdsegte

F'(O)

=

i,

F'(1)

=

9,

F'(-2)

=

?

2.

Fie

funcfia

F

: te

-+

D,

F(x)=

I,.'.tfr0,.

a)

Sa se

calculeze

F'(x),

x

e D.

b)

Sa se

studieze

monotonia

functiei

F.



Analizi

matonatici

.

ll.

aJ

iu.nctia

g

,[t,

x2

+

t]

+

iA, g(t)

=

#_

,

este

continud

pe

interva_

t"+l

_*

r-

-1_.

deci

admite

primitive

pe

acestinterval.

Fie

G

o

primitiva

ffimcsrer

€

pe

intervaful

[r,

x2

+t].

Rezultd

cd.

F(x)

=

C(x2

+t)_c(l)

(x'+1,)

+t

bil

Srudiind

semnul

funcfiei

derivate

F,

a

funcfiei

iuiln

:escrescd.toare

pe

intervalul

(_*,

0]

Ei

este

umm:nr*ul

[0,

+.o).

F,

rezultA

c6

F

crescAtoare

pe

EHCfTil

gt

PR0B|EME

EXERSARE

ff"f,|Tffitlf"frfiIa

integrari

ll 4

si

se

calcureze

ri"(x),

r(-2),

F,(z)

ic

pentru

funcfllle:

ffil

Se

se

studieze

jronotonia

func

fiet

F.

[s,

+]-+

a, r(x)

=

;5A,

m1

9

t. f :[-2,

O]

-+

e, f

(x)

=

---+--

x-

+ 4x+6

9l ec

determlne

punctul

I

in

care

se

lelti2sE2i

valoarea

integral[

uedie pentru

functiile:

rJ

f

:[r,+]+n,f(x)=Jx;

bir

f

:

[o,

r]-+

a,

f

(x)

=

xz

+2.

Se

consideri

funcfia

F :

e

_+

e,

P

{:) =

Ii

"r'

(t,

-

+)at.

@(lo"*"'[-

*u.;'=

=

-

sln

x

.lstn

xl;

")

(1o*'*n".trJT

ur)

=

=

2

(x

+ 2)"

"grr(x

+

Z);

.,

[ry"

n

(z

+ 3

cos,

.)a,)'

=

=#hs.+t'

*

t'_;

,

;l-D,

f

(x)

=

srnx;



A1.

Fie

funcfia

f

:

[a,

b]-r

e,

continui

gi

strict

monotoni.

Si. se

arate

c6

existi un

singur

punct

(

e

[a,

U],

astfel

incat

Jnr(x)dx

=

(b

-

r)f

(€).

A2.

s6

se carculeze

,$nzll.t$j*

I

Daci

Io

=

f,

arctg(nx)dx,

ne

N'

n+1

Fi

L

=

l*r(r

+

t)t,,,

atunci:

a)

L=O;

AIU=f,;

c)

L=1;

q

L=9.

2

(Admiterc

ASrE,

Buctnesti,

2AO2)

Si

se

calculeze:

d

I35#

Jo"r,,(rrt2)dt;

b)

nq;*a,

J"'*"ir,"

tdt;

c)

,.*

Ii'

r"

(r

*

t

*

t')at

x-+o

Jj

n

(r

+

t3)at

Si. se

determine

funcfiile

contlnue

f

:P-+Q

astfelincit:

t)

IJr(t)at

=x2,

x

e

e;

rt

Jo"r1t;at=

I:*r(t)dt,

xee;

c)

z

Jo"

etr (t)

a.

=

Io'"

f

(t)

dt,

x

e

D.

Fie

f

:

A

-+

A,

f(x)

=

"Eo(").

Si.

se

stu-

dieze

derlvabilitatea

funcfiei

e

(x)

=

Jr'lJ

r

t.l

dt, x

e

e.

47.

SA se

determine

func ,iile

contlnue

f,

g:

D +'D

care

indepllnesc

simul-

tan

condiflile:

J,or1*;a*

=

I

(b)

-

g(")

si

J.b

x

r

(x) ax

=

bg

(b)

-

ag

(a),

Va,beR.

APROFUNDARE

DEZVOLTART

Dl. Fle

f,

g:

[a,

b]-+

e,

funcftt

lntegra-

bile.

Daci

g(x)

> O,

V x

e

[a,

b]

+t

m

=

lnff

gl

M

=

supf,

s[ se

arate

sA exlsti

c

e

[m,

M]

astfel

incdt:

Jlttrl

g(t)dt

=

"

.

Jl*

(t)dt.

D2.

Fle

f,

g

:

[a,

b]-+

A.

Si

se

arate

cl

daci

f este

funcfle

integrabiln

pi

€ste

funcfle

monoton[,

exlsti

c

e

[a,

b]

cu

proprietatea

cA:

J.ot(*).

g(x)ax

=

g(")

J'

r1x;ax +

+

s

(b)

Jt

r

1";

a*.

224



Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

deliniti

tetode

de calcul

pentru

integrale

definite

i..l.

Metoda integririi

prin

perti

F-:ffLia

f

.g

este

funclie

derivabilA

pe

intervalui

[a,

b],

fiind

un

(fg)'

=

f'g +

fg'.

Rezultd"

cd

funcfia

fg

este

o

"e

fi-rnctii

derivabile

si

a

fr:nctiei

f'g +

fg'.

-$p{}cand

formula lui

kibniz-Newton,

se

obfine:

j__t

r')e(')

+ f(x)g'(")]e

=

f1";g1'11

i,

trf.

ftn

proprietatea

de

liniaritate

a

integralei

si rela{ia

(l)

rezulta

cd:

i-'r

r')g(")o*.

f

t(")g'(")dx

=

f

(x)

g(")

ll,

egalitate

din

care

Geftf:m€

relatia din enunt:

'

rr.*1s'(')d'

=

f(x)g(xlll

-

ft'fx)g(x)dx.

r

Mt

&/n/ntalz

m

1.

Sa se calculeze

urmS.toarele

integrale,

utilizAnd

metoda

inte-

Fdi

prin

pdrfi:

d

i.t

xe*dx;

o

i,jr.*0";

:tndnr

r"rq

d

AlegAnd f

(x)

=

x,

g'(x)

*

ex

se

obfine f'(x)

=

1,

g(x)

=

e*.

{fmd,.m formulei

integrdrii

prin

pdr,ti

rezultS:

l;xe*dx =

X€x

ll-

I,'""*

=

xex

l;--"17

=(r.,

--)-(.2

-")=.2

b)

I,

fn"a"'

e)

Ifx+f=dx;

c)

J"xcosxdx;

I

f)

[s

--

r-a;.

';

cos' x

225



b)

Se atege

f

(x)

=

tnx

si

g'(x)

=

1.

Se

obflne

f,(x)

=

|,

S(*)

=

*.

AplicAnd

metoda

integrArii

prin

pAr,ti

avem:

lirnxox

=

xlnxli-

f

1dx

=

(e-0)-*li

=

e-(e*t)=

r.

c)

Fie

f(x)=x

Fi

g'(*)="o"*.

Avem

f'(x)=t

qi

S(x)=sinx.

Cu

aceastd

alegere,

aplicand

metoda

integrlrii

prin

pe(i,

se

obtine:

Jj"co**dx

=

xsinxl[

-

Jo

sinxdx

=

O+cosxl;

=

-t

-L=-2.

>

co_MEtllTARtu

Dacd.

s-ar

face

alegerea

f

(x)

=

cosx,

g'(x)

=

x,

atunci

metoda

inte_

grarii

prin

p6rti

ar

conduce

la

egalitatea

Jj*"o**O*=$"o"*1"

*

2

lo

1 rl

o

*t

Jox'sinxdx'

Se

observd

cd

integrala

rezultata

in

membrul

al

doilea

este

mai

complicatd

decAt

integrala

inifiali.

in

astfel

de

situafii

se

face

o noud

alegere

pentru

functiile

f

Si

g,.

d)Alegem

f(x)=r[+*

qi

d(x)=1.

Rezurticd

f'(x)=ffi;

si

g(x)=x.

AplicAnd integrarea

prin

perfi

se

obfine:

J'Jr.

":a'

=

fi{r)'

Jr

*,pa*

=*.[;,Pl,

Ij*,;ft;a"

=

-

l; fl

x2

. t= .r(t*"2\-t

=J2

-

f.fto*=J2

fi\fr|l

dx=J2_

1'Jr**ro.*

.fi#crx

=

J2

-

ii.fi7dx*m(*-,Jt.*,)l'

=

=

J,

-;'Jr.7a"

+

n(r

*

J2).

Asadar,

fi.,fi?."

=

J,

-

fiJr."30"

+

rn(r

*

Jr),

relafie

din

care

se

obtine

z["tt+x2dx

=Ji*rn(r+J')

+i

fi.[-"3d"

=iln+m(r.Jt)]

>

CtlMENTARIU

calculul

acestei

integrale

putea

fi

pornit

amplificand

radicalul

cu

el

insusi,

ob inandu-".,

ljJr

*

"ra"

=

fi#a*

=

fi;ft;o*.



Analizi matematici

r

ll. lntegmla

deliniti

face

.

-{.c*

.

jj

*,

(di":

)'a*.

rcrcsi m.oment,

prima

integral&

se

calculea-;A

foloslnd formula

-l*,en--on

pentru

primitiva

r(x)=m("*.,ilp)

i"1.

cealalt&

\/

m

-:lau-leazd

prin

metoda

integrdrii

prin

pAr,ti,

alegAnd

f

(x)=

s,

T

-:

sr ca

urrnare,

f'(x)=

I

Fi

g(*)

=1ffiF

qi

*

-q-

m

:bcne:

ij.(6;p)'0"

=

*r[**p

|

'

-

fi.n**

=Je

-jjfr.*

a,.

&**r-::-

j"

r

*

*a*

=

n(t-'

€)

*

Ji

-

jjfr;70",

deci

f

.[***.

=

==.

.J

-

rr,(t

-

€)]

e]l

Sa

amplificam funclia

de

integrat

cu

r/*2

-

4.

'G

7--+*x=

*#d"= [f-={-

dx-

lf3a"=

:-":m

J"g

xv>

,ru

l*"

_4

,r"

,lr?

_+

,tu

l*,

_4

=:

-

4J?\il"l

=

,,

-

4,

(rt.

l{5

Pentru

calculul integralei

11 se foloseste metoda integrdrii

prin

par,ti,

nmri::rd

f

(x)

=x2

si

g'(*)

=+=(Jr*

-+;'

4x"

-4

Se obdne:

t,

=

f"

tr*

=

f"'(..F;i'6*-*zffllc

-

-:1.;

*^[*2

4dx=11*zjf

x.',F;dx.

''S.

oU".rvd

cA

I,

con(ine integrala

de

Ia care s-a

pornit.



Inlocuind

pe

I,

in

relafia

(1)

se

obfine

in

final

if

".AU;dx

=

I

f)

pentru

ir:ceput,

se

scrie

I

=

sin2

x

+

cos2

x

ui""oo,

*

oo*olu.

urnitorul

comun

ra

liecare

termen al

""*"oi-Jrirrir.

L"

obfine

succesiv:

i-,

-l-

a*

=

pf

sin2

x

+

cos2

-

rr

'

2.

IE

rr

"olr*

*

=

Jr"ffio"

=

li#+o".

I_;;$;a"

=

=

ftu'*

;h*

+tgx,';=

Ii*'x.

(tgx)'

ox+

(J5

-

r)

= (J5

-

r)

+r,.

(2)

u,

u.

f,JillT

calculul

integralei

I,

se

aplicd

metoda

integrdrii

prin

pdrrl

It

=

jitg'*.

(tg*)'

dx

=tgsx

li

-".[f

,ur*.

(tgx),ax

=

BJs

_L

_2\.

4

'i

-4

Rezultd

cd

I,

=

{'l'

'',

=

ior*

="lB

=t.

Din

relafiile

(2)

pi

(B)

se

obtine

in

final

cd lf

I

.,_ _

6Jd

-

+

tr

2.

sa

se

gaseas"a

o

ro.*rta

a

J|

cosa

*

*

-

-

3

-1t

vqevq

v

r.,rrrrrrla

ae

recurenfd

pentru

qirul

de integrale

(I"

)'

I,',

=

Jo'"ir"'xdx'

n

e

N.

{Bacalaureat

2oo2,sesiunea

speciard)

Solutie

Pentru

n=O=I9

Pentru

n=l:)11

=

folsinxdx=_cosxl#

=r.

Pentru

n>2

vom

aplica

metoda

integrSrii

prin

pdr,ti

alegdnc

(x)

=

sin'*rx

qi

g'(x)

="i"x.

Rezulti

ca

f,(x)

=(n-r)sinn-zx.cosx-

€(x)

=

-cosx,

iar

integrala

I,,

devine:

In

=

-sinn*rx.cosxif

.

pf"-1).sinn*z

x.co"2

xdx

=

IL

=

(t

-

l)

lor

"t.t"-2

x

.

co"2

x

dx

=

(,

*

r)

loi

"irr"-,

"

.

(,

*

sin2

x)

dx

=

=

(n

-r)

ff

sin"-2

xdx

*

(n

*

r)

Io#**"

xdx

=

(n

-r)r,_,

-(n

- r)r""



Analizi

matematici

.

ll. lntegrala

delinitil

rhdz-

I.

=

(n

-

i)Ir,-,

-

(n

-

1)I,r,

relatie

din care

se ob .ine

urmi-

ftm":la

de recuren .d:

SI

PROBTEME

e

l

co-Iculeze

folosind

integrarea

ru

ldrti:

il

r

celculcze

foloslnd

lntegrarea

ne

N,

n>2

$iIo=t,r,=r.

Si

se calculeze

folosind

integrarea

prin

pirfi:

WS

r,*o*'

EJ;tr--r)e"dx;

A

-;'b

x

dx

@Ii

*'

rn

x dx;

A.:,'ardx;'01;T*

6, f:.Fls

a*'

'-{+J

O

Gr,l

t;*.f'*ro*.

SA se

verlflce

egalltAflle:

fr

pfr.tir

t

?

irt

t.

=

1)

sin x

dx;

_

l,t

x eln

r

dx;

-

.l

,e'r6ein"xdrr:

-,o

.;X-

(

t_.

---;-dX.

-

':

sin- x

{

li-

Sa

c€

calcuteze

integralele:

rj

J-r,

xse=*ldx;

br

i;

x Inz

x dx;

"i

j"'['+

rn(r *

"')]4";

ar

jlr"(**J*"

*)u*'

e)

Ji

sin

(tn

x)

ax;l

APROTUNDARE

a)

Jjxe'-2*r

=

4;

jf

xrogs

xax;

J;

(-

.

xs)

e="dx;

Jix"mxax,

neN;

,sxln(-..[.-')

it

Jl".--r-:---rax.

ur

J$

e"

srn x dx

=

*["t

.

t),

")

j;(.

+

arcslnx)ax

=

$;

a)

Jix'zlnxdx*z{Jr.

f,

g)

h)

,["

-3



Analiz_C

matematici

r

ll. lntegrala

delinitt

A2.

Sn

se

calculeze

integrelele:

tt

*

t)

JoE

coss

x dx;

tl

ffxsh2Idx;

QDJot*arcsinxdx;

d)

Jj

*"tg

*

a*;

")

I]^xsinl..o"f,a*;

t0

Jlu-'"t'*d*;

rd

Jr

r

+;is

fi

dx;

ur't

J;ffia".

43,

SA

se

calculeze

lntegralele:

*aJjffia*r

urJjffia",

")

ffi*""*tgrfillia*;

.6

a)

Joz

m"rcgtnxdx;

.It

")

Jg

*""i"

(z.d-

*

)*-,

Jo'

0

[a-_j$%a,.,

'#(o-

x2)fr-:;t

*'

t

S)

J;(arcsinx)2cx.

44.

Se

se

calculeze:

u)

Jo'o*1"i"*la*;

b)

13,lx'z

-

xle"dx;

o

l.i'

(lr"

*l

o

]lr"

"l)a*.

45,

Sn

se

determine

a

> O

astfel

inc$,t:

*)

Jr'*t

(g*

*

2)

ex-edx

-

B;

tl

1oi1*'

-

*)

stnxdx

*

n + 8-

Bas.

.A'6.

Se

se

calculeze

integralele:

";

J'*21f,u6*,

tt

Jj*3.[2+rax.

47.

Se

se

calculeze

urmitoarele

inte-

grale:

af

f

rrnx.

g(x,pdxunde

g

:

[r,

2]

-+a

g(x)=max(x+r,

x2-r);

b)

11*"r(*)dx,

unde

f I

[-t,

2]-r

p,

f (x)

=

mtn(x,

x2),

3

rrc

t"

*

J;xnerdx,

n

e

N. sr

rc

areto

c[:

a)

In+nfn-1=o,VneN'i

b)

llm

In

=

O.

3.

tu

constderA

gtrut

(r,r),

.r

Itr

=

Jo2

cogo

xdx,

n

e

N.

a)

Si

se

calculeze

Ig,

11,

12.

b)

Sn

se

studleze

monotonia

glnrlut

(r").

c)

S&

se giseasci

o

formuli

de

recu_

renti

pentru

In

folosind

metoda

tntegr[ril

prin

pirgi.

Alo.Fie

sirul

(r,,)

,

r"

=

fi(r

_

x3)"

a* ,,

.

r,

a)

Si

se

arate

ci

Ir,

.(2n

+

l)

=

=2n.Ir"_1,

V

neN'.

b)

Sd'

se

determine

formula

terme-

nrrlui

In.



Analizi

matcmaticd

r

ll.

lntegrala definit6

dilrrrateci

{n

*4

-

i.l

.

*"3

-...

*.(: "

s3.

rcridera

qitor

(I"),

ro

=

Jre-*dn

flL=11"-'="a*,neN'.

d

|5

*

calculeze

Ig, 11

gi

12.

b)

Folosind

intcgrarea

prin

p[rfi,

si

se

arate

c6:

1

L=-:+n.I,r-1,neN'.

c)

Si

se

arate ci

t-

=

$["

-rr

e\ o

l nt)'

(BacrllaureaL

2AO2)

&2.

Metoda

schimbirii

de

variabili

&2.1.

Pl:ima

metodd.

de schimbare

de

vorio;bild

S\lnctia

f

este

eontinud

pe

J,

deci

admite

primitive

pe

J"

a

ei, Atunei

functia

F

o

u

este o

funcfie

derivabilA

pe

FieFo

[a,

b]

si

,

E

x =

F'("("))'.t'(x)=f

(u(x))'tt'(x),x

e

[a,

b]'

.arrlrilra

cd

F

u

u este o

primitivA

pentru functia

(f

"

t)'u'"

AplicAnd

Ja

lui

l,eibnia-Newton,

avem:

Jof1"1";;'t'(*)ax

=

(F.")(")ll

=

:

brl-F("(a)),

(1)"

k

de

alta

parte,

aplicAnd

formula

kibniz-Newton

pentru integrala

n:'r,rhrul

drept

al egalitaf.ii

din concluzie,

rezultd:

t_

.

r(t)dt

=

F(t)l:[:]

=

n(u(n))-

n(u(a)),

(z).

h

relatiiie

(1)

Ai

(2)

rezult6 cd

mrlr:sna

este

demonstratd..

I

23r



Analizi

matsmatici

r

ll.

>

C(IMENTA,BIU

METODIC

Prima

rormuta?e

schimbare

de

variabild

se

aptcd

in

mod

practic

_uf

se

identificd

functiile

[a,

U]3;lrn;

.

se

determind

noile

limite

de

integrare

u(a)

qi

u(b);

.

se

calcuteazd.

f.i,f)r1,;ot.

Funcf.ia

u

se

numeqte

funcfia

care

schimb6.

variabila.

E&rrer&r,

u7ahral,e,

tr

l.

Se

se

calculeze:

")

f$"irru

xcosxdx;

o)

li

(z*

*

t)

ex'-x*.

Solufib

rr

fi$.a";

d)

i^'$a"

'u

Vxa

+l

a)Seconsiderdfuncfiao,[o,;]*[0,1],ffiderivabild,

pe

[0,

t].

in

aceste

conditii

integrala

se

scrie:

ffu*uxcosxdx

=

lo#,r'(x)u'(x)dx

=

1,, {)rlryat

=

frtsot

=*/.

=*

..rJ:M::,o

il,

T";j;'l.

ffi

runcrre

derivab'a

cu

Rezulti

cd

u(O)=O

u(t)=1.

Funcfia

f:[0,

t]_+rp,

f(t)__l_

este

func{ie

continud-

Aplic,nd

prima

formuld

de

schimb*"

;"

"*5';

".

"oi'"''

*,1.T:*

=

I

fiffi*

=

*

Iiaiil,

=

j

l;^*

=

=farct*tl"

=;

;

232



-"("))0"

=

IJ(:;)t(-,)0,

=

fi

,

(2t.

ri

rdnd:

f(

rpar

per

u'(*)

'

.e

pard

;te

imp

tine,

p

f-a

lu

r0

este

f

estr

obti.

k=

[-

JO

rcd.

fel

lacd"

f r

2)seo

(*),

x,d

dx,

)si

f(

dx

)d

1)

{

_l;"

I.

tt*l

-j,

tt"

Din

(

*

u'(

ste p

este

rbtinr

dx=

lacd.

dac

(21

r

f

(-x)Ox

=

a)

b)

tr

Si

se

calculeze:

^)

I;.e*o

sinxdx;

b)

Jf"

"ou*o*.

,

--T

solufie

r r

a)

Functta

t,L-;,il-rP,

f

(x)=

exo

sinx

este

funcfie

impard,

Rezultd

"n

r*f

(x)ax

=

o.

-2

b)

Functia

t,[-?,?]*

R,

f

(x)=

cosx

este

funcfie

para,

Rezutta

o-

"^

F^cos

x

dx

=

2

lff

"o*

*

a*

=

2 sin

x

1

p

=

z

*irrf;t

=

..lS.

3

tr

g.

sa

se

catcule

ze

r

=

13.,F;;0".

Solutie

2

Expresia

de

sub radical

se

scrie

sub

forma

canonici

astfer:

x2

-

4x+

6

=

(x

-2)2

+2.

_

Pentru

integrarea

prin

metoda

schimbirii

de

variabilA,

alegem

frrncfia

"'[;'z]-[-]'

o],

ffi

derivabla

qi

cu

derivata

ffi

funcfle

continuA.

Noile

limite

de

integrare

sunt

"fg)=

-1

\2)

2

*.

[9. ,l

L2J

u(z)

=

9.

234



Analizil

matematici

.

ll.

lntegrala

deliniti

=

Funcfia t'[-;,

o]

+

rn, f

(t)

=

Jrz

.z

este

continud

pe

[

;

.]

in aceste

condifii

avern: t

=

J.'fil-)-t'u'(x)dx

=

J-1.['

*

z

at

=

2

=

rrrJI

*f,

I

-t'

=

rJF

*i+

zrn(t..'[?]

I

_.

2

z

4. sa

se

calcule

ze

rntegrara I

=

[**o"

-i:lune

setoda

1.

Avem

t

=

J$ffia*

=

1**:9:4-a"

=

,l

=

-

i;J-dt

=

-f

hlljilu

=

,,-,..8.

totz*t

2

lt+tllo

lfietoda

2. ExprimAm

cosx

in

functie

de te]

s:

a\rem:

.11+tg2

f .o

[r*il'

=

I6

4dt<=-2l6- --:l-r1:(-

-

J0-

oX

J0

cX

L-tg';

re'

2

=

-:

''-6

^l--a,

=

-rrrll:-lll'

o

=

ln..E"

-.:

(_L

lt+tlio

m

5,

sa

se

calculeze

integrala

I

=

Li

r

u?tg"

,

u *.

'u 4cos"x+sin"x

f,:,:.Lie

Exprimdrn

sinx

si cosx

in funcfie

de

tgx

si

avem:

=

,#o'

=

fig#dt

=

m(t2

.*)l:

=''l

t6-.G''{o*

=

'lo

l-sinzx



Analizd

matematici

.

ll. lntegralo

deliniti

EXERCtIil

gt

PRoBTEME

EXERSARE

Y"l

f("-3)ta*;

r'

tl

J_',

o*'

(r*"

* r)a

ax;

/o

l,'d;r*'

V

ar

Ji

1ft

-

4a*;

'/

")

J-"re*"GTn

ra*;

vull,ffi*'

{

er

Jf*a*

"/

rr)

I-rrffi*,

d

rr

ff-fl=a"'

*r

Jft'$*,,

0

/u

l;r;f;a*;

il

u

fi$a".

82.

Si

se

calculeze

foloslnd

schimbarea

de

varlabili:

")

fi*"-'a*;

ul

fi".s-2"'d";

1

.r

li$a"'

El.

Folosind

metoda

schimbirii

de vari_

abili,

si

se

calculeze

integralele:

u)

Ir'.'*

'

m4

(x

-

r)

dx;

e;

['---

]-6*.

,vex,lnox

o

Io.

z7=u:

-16

Vl

-

x*

. ,Vg

x2

et

JEEffidx;

r'r1i#a*

83.

SA

se

verlflce

dacA

urm[toarele

egalitift

sunt

adevirate:

'

a) jg

cos

sx

rtx

=

|;

b)

J#

"ir,

+x

ax

*

*

f,:

4

")

Jrijm*=f,

d

J:rFharcte2xax

=

$:

B

"

l#*.*nla*=*;

J5

nfT

I

, 63

^,

Jr

-_________d.*=_.

t

{1

-

xo

.arcsina

x

no

84.

Si

se

arate

cd:

d

J:""x2+1.

sins

xdx

=

o;

uJ_"gdx-0.

vx-+x-+tr

236



Analizi

matematicd

r

ll.

lntegrala

definitd

APR.OFUNDARE

I

rrltrbnleze

utilizflnd

metoda

ar

Jij;a";

"l

f.t

-

'=

*,

,rln2ex

_1

ot*;Fd".

43"

S[ se

calculeze

lntegralele:

'y

1;3-$s-a*;

b)

Jo;-+i

^

dx;

*)

[i "1"

*

-

"lt*

d*;

.to

slnx+cosx

tr

d)

jJa

x' sln x2

'

eos

x2dx;

,ry

et

jf

(tg3x

+

ts

x) dx;

6

N

f)

.$f

cryBxax;

6

de

variabili:

.3at;

*sr:

-

r

:-@

'r

X.

L

S-2r

-

--d.:ri

ra-1

-rl-li

,ffi;,.

*'

&-1

:dr:

'tJ-g

m

m

-

r)2ax;

1

-----:--

43;

fir-zt3

-1ax;

rfr r'-1

--;L--dx;

rrr-

-

1

. r-- COS I(

$ 13___::clx;

"

./4

-

sinz

x

-aax;

r r{-1

It

dx;

11

Ji$?a:a*:

'u Jsin4x+l

*-12-r

rl afcslnx

I r

-;--

dx;

x-

2

,n

sln

x

l4:dx.

Jo

cosxJcos2x

ud-6-+1odx;

l*ql-?x-6dx.

iategralele;

Si

se

calculeze

integralele:

a)

f

sin

x

'

cos

3x dx;

JO

1t

b)

jf

"i"

2x

.

sin 4x

dx:

6

c)

j"zn

cos a*

.

cos

bx

dx,

a, b

e N;

r.n.I-

-(lXi

firsl

-

rorl

-..5ax;

a,[-h2r

T

237



Analizi

matematici

r

ll. lr'lugrala

deliniti

d)

[F

sin x

.

sin

3x

.

cos

2x

dx;

JO

")

JJ

"f"

x'

cos

x

.

cos 2x

.

cos

4x

.

,...

,

cos

2n*1x

dx.

ft

I

f,o

6

fi

JT

fi

IE

4

fn

Jfi

a

3.

o

o

3

8e

,r

IE

I

f,o

6

fi

JJ

fi

IE

4

fn

Jfi

a

se

fd

J:,

L

It

JO

fi

fg

JJ

fi

IE

4

fn

Jfi

a

se

fd

J:,

L

It

JO

fi

Ir

si

a)

b)

c)

d)

e)

s6

a)

b)

c)

d)

e)

.A"6.

46.

calculeze

lntegralele:

1-

_--

tlxi

gln

x

t

*4-dx;

6ln- x

t-

----rdx;

coB-x

l-

-dX

slno x

cos

x

_F.--dX.

r/7

+ cos 2x

calculeze

integralele:

-

dx:

tr-+slnx

sln x

-_-

ox:

1+sinx

dx;

l+sinx+cosx

2tgx

+

tgf,

dx;

o

gcoszx+sin2x

Ji#*'

238

,,.

4

oI

dx;

fr

cosa x. sinz

x

cT dx

I a-.

'lo

slna

x + cog4

x'

11

2-etnxdx.

Jo

2

+ cogx

47.

Si

se

calculeze

lntegralele:

r,

=

fi

,

llr

-6*.

'

Jo

glnx

+

cosx

to

=

1f;

gosx

&K.

'

Jo

slnx+cosx

A8.

Se

dau urmltoarele

tnteg[de:

n

t= lz

JO

fr

g)

h)

gln

x

1+slnx+eosx

_,cqlx

dx.

[-J, r,J.

dx,

"=

J,?

1+slnx+cosx

S[ se

calculeze

I

+

.f,

A'9.

CalculAnd

in

dou&

moduri

integrala

Jl{r**)"

dx, n

e

N',

s[ se arate

ci

c3,cl.

cl

2n+r-1

r-

z

-"'-[ll=

"+r'

A1O.

CalculAnd

in doui

modurt integrala

fi

*1r* *)t

d*,

n

G

N',

si

se arate

ci

cl

,

cl

,

cil

n.2n+1

+

I

z

-

s

'"'*;lE=(n+1)(n+4'



I,

J.

ce

c6

iifilie

*

k:.-. :

---l

:

Analizi

matematici

r

ll. lntegrala

definiti

8.2.2. A

doua

metod.d.

de

schimbare

de

uariabild.

Fr.rnctiile

f

pi

u

fifu:d

contlnue,

rezultd.

c6

f

n

u

este

functie

continua

Ereffalul

[*,b],

deci

admite primitive

pe

[a,

b].

Fie

G o

prtmitivA

a

f

"

u

pe

intervalul

[*,

b].

Conform

formulei

lui

Leibniz-Newton

se poate

scrle:

i'r1u1x;)dx

=

G(b)

-

c(a),

(I).

?e de

alti. parte,

(c

",r-t)'{t)

=

G,(r

,

(.)Xr-t)'{t)

*

r{*("-t1ty))

,r

|

=

r(1).("-t)'(t).

i.ezurta

"a ffi)r1t)("

)'(,)0,

=

(c.,.,-')(t)

i:l:l

=

G(b)

-

c(a),

(2).

l,rn relafiile

{f)

pi

(2)

se

ob{ine

relafia

din enunt.

E

{rn

@ra/ntelp,

l.

Sa

se

calculeze

it

G

a*.

Jl

x+l

J;

=f(u(x)),xe[t,S].

iem

.E'=

x+L

(Ji)'*r

.\tegem

funcfiile

u:[t,3]*[r,

J5_l,NWffi

func{ie

bijectiva

si

:ila

si

r:

[r,

.6]-,o,

Wfunclie

continua.

lunctia

inversa

,t-t

,[t,

J5]-

[r,

S],

nndnrre

c".r

derivata

funclie

continuA.

239

este

funcfie

deri-

; :;rtlq:wr**r

ffi

fr,j

q

il"q,--*=*';;;*ffi



Analizi

matemarici

.

j .

l tegrata

definiti

Aplicand

a

doua

formurd

de

schimb

H

f

3

.5:

-,

..

^,

-_

--.*^-

*'

":::.mbare

de

variabild

se

ob{ine:

j)

t*:Jf

r(u(x)ax

=

I"[])r1.1

(,-')'(t)at

=

[€_l-__.,

Jr

x+r

*'

-Jr

I

(u(x//crx

=

J"ij'r1t)

("-t)'(t)at

=

[JB-L

.2t&

='1,*[t-$jo,

=2(t*arctgt)lf

=r[€

,

*)

Ji

t'J

,Lu'

E

z.

Sa

se

catculez.

l,nrrr(r

*

r&)ax.

Solutie

Se

definesc

functiile:

l*f

*:; l^t "li=

qf'ro

(u-,)'(t)ot=

t,e1t

i),n,c

$'tt*t)lnrdr

=

,[r'[(,-r)rj

krtrit

*

(t-r)2.i*tf

.

;rr(1: 160

=

=4rns-rn

r-

t:(r-z*_l).r*

=4

rnB

rn2

t*

_zt

+,".jl,

_sr,,s_*

)lz

2

Apadar,

l,'rrr(r

n

"&)o*

=

alnS

_f

.

EXEBCtIil

st

PRoEIEME

u

r

:

[2,

3]-+

[r,

+],

Er.

yjgTu

metoda

a

doua

de

schim_

oare_de

variabile,

sd

se

calculeze:

d

Ii('*G)u

4

b)

J,'(r

*

vi)n

a*;

.t

1,n-:&

u*;

al

lj;frro*.

82.

Se

se

calculeze

integralele:

o

fi;foa_;

b)

Iu"-&a*,

"l

1rn€ u*.

EXERSARE

240



Analizd

matematicf,

.

ll.

lntegrala

definiti

:

J-

hrd

nsleda a

doua de schlm-

fu

rariabilA,

sA

se

verifice

daci

qEE-htetile:

APROFUNDATTE

rlFgv$rTanE

b)

[27-

Ji-dx'

JL

1+

Vx

r4

c)

J,

cos"

Vxdx;

,3

d)

Jo

sinr/x

+

trdx.

43.

S& se

verlflce

egalit&ftler

el Y?1

a} l-

-i-dx =

-:

J_lex+tr

g.

b)

fr

=:l--dx=3r

-t'-t

1xz

+

l)ie"

*

t)

4'

.] j;m(r+tgxldx=arnz.

o

-:-l:dx

=

ll + Gh3:

{

r-{x

3'

< r

-

-\-

256

-

:-

-rr

i1-

e'ldx

=

ln"::::

-'

-Li I

ZZe'

:dx=B;

i-3r

3I-It

:

_

______T:itx=;

fr i-x.1.,x2+2 I

qilrryi

s29

integralelel

"t

-

ror,

It

li

r

,r-

:'

+

f ft:nctie {:Elrrtinud.

Fr.:e

ca

iu

r

i*;

*r*

=

fn-:-s dx.

i

r

=f

1a+b-x),

i

ra se arate e&

r

-

h

-h

5=*

-

l-fix)dx.

2

Ja

\

/

2i zi-3f(a+b-x)=S,

i"

si

se calculeze

f

"0

1]

-+

A

o

funcgie

eon-

5A se

arate cA:

ar

fj

x f

{sin

x)

dx

=

,,

jj

r

1*m

x;

u*:

u;

fjt(sin*)d*

=

PJ**r{uirr*)**.

I)3.

Fie

l'

;

[a,

b]-r

A,

o

fr.snctie

conti-

nud.

$& se ealeutreue:

. 1b

f{x-ai

a'

j'f(x-a)+f(b-4*'

b)I=[;

sin"x

dx.neN..

Jo

sinn

x

+

cosn x

, ._ 12

arctg

x

.l

=

Jr---r-dx.

ar.ctg._-*__

-rro-3x+3

24t



Analizd

matematici

c

ll.

lntegrala

definiti

Ol.

Sn

ge

calculeze:

Grupa

l:

al

Jj(zx

+

B)srnxdx;

.1r

b)

JoecosxvffiIT-rax;

"l

f.n$..a*.

'r

Vx+l

TESTE

DE

ET'ALUANE

Testul

I

Og.

SA

se

determlne

valoarea

tntegraH

medle

pentru

functla:

rupa

r:

-----

"'-v..qr.

n

fl

Grupa

2:

''f',

+]-ra,

r(x)=ffi**.

ll

il::

i1-a,

r(x)=#

Testul

Z

O1.

Fie

funcfla

f

:

[O,

+ o)

+

D,

dertvabild

gl cu

proprletatea:

"n

Jjrtrt;at

=

(x+

r)f(x),

v

x

e

[o,

+

o).

Daci

cr,

=

f

(3)

_

f

(f),

atunct:

a)

c=tn2;

b)

o=l_ln3;

c)

q,=ln3;

d)

o=2.

Grupa

2:

at

Jj

(sx

-

t)

coa

x

dx;

.ft

b)

jos

.ttr

*.,ffi-frffiJ

da;

",

lx8#d:r.

(Admitere

asn,

aucur Ji:;f:?,

oa.

sd

se

catcutez"

Jf

+*.

ffi

Vl-xo

02.

Se

se

calculeze

integralelet

d

i;("-*").s-"'dx;

o,ffG;,)h;*.

(3

punctcJ

(aniu.

d,ln

Oradeo.,

Iggg)

(8

puncte)

242



Testul

3

&

sc

considerifuncgia

f

:Q-rn'

f

(x)=

.[o*ut

(ts

*at+e)at'

Decn

A

=

{x

e P

I

x

este

punct

de

extrem

al

luf

f}'

atuncl:

et

A={-z};

u)

A={-2,

1};

c)

A={r};

d)

A*@'

(3

punate)

(Admltere ASE,

Bucureq

tt,

2 O

A

3l

M.Flca,beRqtfuncftacontlnuff:D-+QcareverlflsArelafla:

f

la-x)+f

(a+x)*2b,

V

xeR'

Dac[

I

-

Jn'"f

(t)ct'

atuncl:

rJ

I=a+b;

b)

I=3eb;

c1

l=$;

d)

I=*'

,3n,

Fte

elrul

de

lntcgrale

(ln),

rr,

*

Jr"(t"x)t

dx'

n e

ltl*'

r,l

9t

se

calculeze

11

9t

12'

bl

SA

ee

arate

cA

gkul

(Irr)

este

monoton

El

mirginlt'

cl

St

ee

gEseasc&

o

relafle

de

recurenfl

pentru

(I")

'

(

SA

se

arate

eA

lim

Ir,

*

61"

fS

pasla*fe.l

(3 puncte)

End.acums-arealDatca]crrlulunuinumArsuficientdeintegraiede

*J

r

:[a,

b]-+

R,

utilizAnd

formula

lui

LeibY*:*oo,*::11"^::::

@pin

parti

sau

metoda

schimbarii

o:

"iT1o-il-1'-tl::lffi,1;',i:tJtt

ffi*'=i"rie

tehnici

de

calcul

pentru

integralele

unor

functii

integrabile'

ilultie-Problemi:

Se

considerA

funclia

f

:l-2'1]-+

Q'

f

(*)=

:3::"

.-

xt

+x-6

e}

Este

functia

f integrabili

pe

l-Z'

tlZ

b)Dacifesteinte$rabilApe[_2,1],cumsecalculeazSintegralasa?

SuiLtr€

eJFunctiafestefuncliecontinuf,peintervalul[_2,r]fiindrezlu]-

11m;-:peratiilorcufuncfiicontinuepeintervalul[_2,t].Caurrnaref

rm

:::crie

integrabilA

pe

intervalul

[-2'

1]"

Calculul

integralelor

funcliilor

nalionalm

243



b)

in

ceea

ce

priveste

calculul

integralei

funcfiei

f

se

obsen?

c€ :

una

din

rnetodele

fol:site

pana

acum

nu

se

poate

aprica

in

mod

dire.*

De

aceea

va

fi

nevoie

de

parcurgerea

unr.i

argoritm

in

care

se

intAlni

in

inulte

cazuri

si

metodele

de-carcur

J-j*

ir-Jo""rrt".

*

nfiFtiltTl

Al11 lqaternaticd

r

ll.

nregrala

definitd

Fie

I

c

lQ

un

interval

de

numere

reale.

"

Fhnc{ia

l' :

I

*+

le

se

numeqte

funcfie

rafionali

dacd.

functii

polinomiale

p,

g,

astfel

incdt

pentru

orlcare

x

e I,

r{x)=gg

8(x)

244

'o

func :ie

rationald

f

se

numepte

funcfre

rafronali

simpli

daca

una

din

formele:

l.

f(x)=ar.,x,t

*fl'r'_1xrl*l

+...+atx*fl6,

&1

eie,

k

=b]i;

il.

f(x)

=;

A,",

ne

N",x*a,Ae

le;

tx-aj

uI.

r(x)

=;*T9

,",

n

e

N',

bz

-

4ac<

o,

B,

c

e

re.

(***hx+c,)

$3'x..

frelera1u3

$n**grale$

unef

funegi*

rat$srsale

simple

In

acest

paragraf

se

va

da

pruceetreur

de

carcu]

aI

integralei

defir*n*

unei

fi-rnctii

rationale

simple

cle

ilpui

I,

II

gi

IIX.

fi"

xnregrare

de

forma

ljr*6*1crr,

t

funcgie

*olinomiali

dr

gradu[

n

-

Daca

fr,

r[o,

F]

-+

m,

f.

(*)

=

arXn

*

o,r_1Xn-r

+...

+

arx

+

ao

este

fr:nct,*

polinorniali

de

gradur

n,

atunci,

cu

aiutoml

formulei

lui

r,eibniz_Newtsn-

se

obtine

lj("r""

+

a.,__rx'-r

+...

+

ur:<

*.0)a*

=

(

orol

--n

l r l0

=la-.x-

+a_,.x',

x2

ll'

[*'

no]-atr-r'--+"'*ar

2

n"0"jl

(t)

lfl

[€

,&kerrlpls

2

J(u*u

*8x3

-3x2

+

4x

-r)a"

=

lu.d_s

{_

-i

,

|

6

-4

a

^

tl4

-x"

+2x" _*)l_,

=

26

_2.24

*23

+2.22_r*l(*r)u

_2(*r)n

o

*3

,

*2

)l'

"

T*"

,-*l_,

-(*i)t

+z(-i)2

-(-r)

existA

8(x)

=

;

=

(x6

-zxa

-

]=so-s=zz



cd

se

doui

s

arr

de

.;] l&ri,i}.-+,.,,.,.,,,*jls,

+J

Analizil

matematics

r

ll. lntegrala

definiti

fl" lntegrale

de

forsma

n€N*na*[cr,

schimbdrii

de

variaLrilA

-"

(")^r'(*)d:r

=

Affir-"d,

=

(3)

*;o/zoa&

:a'cuieze

urxr&toarele

integrate

ile

firnctii

ralionale

simple:

-

r

e-l

5

---j-dx;

b)

l^t

"-':---ri*'

c)

i,?-**l_=A".

2

'

Jo

Bx

+

j

"'-'

-,

Jl

(ex

_6js

*^'

I

x-:.*:E::d

formula

{2)

se

oLrf,ine:

:

;-dx

=

inl"

*sll:-t

=

lne-.ln1*

J..

b

:-:

-:.:'

a

se sc:ric:

srtCCesiV

aStfei:

|

,r

I

,r

r

f;

I

,

:,,-:ar=

Jc't

:7*

t\cix=rJot

-

r

fu

3t

x*-1

u

x"{--

\

3/

3

r,rl

I

=

-l[r"s

- rr-Ll

=

-r-ure

=

f

"

Jl 3\ 3 3) 3

3

pot

fi

organizate

sj

astf'el:

pl

t

l

I

i

ti

li

i

.

i

'3'

l,'-,1,u

.I l?

=

s

1

sllo

_

1

it"l

S

,.- _

I

,.*(s*+t)' I

r*

u'(x)

.

=5iot'

s".r*=AJrt

g**1

dx=iJot

ffid"=

I'r

='

1{lne

-

lnl)

=

j

/,t

Lr

.f

245



Analizd

matemoticd

r

il. ln

c)

Metoda

t.

5

g6id'*

=

ryF*;f

o*

=

*

[f

r"

-

s)

3

ox

t'*

l*i"-.,.,

2

Metoda

2.

Aceast'

i"Tgl*a

se

poate

calcula

aplicand

mai

intdi

metod

chimbrrii

de

variibila

qi

apiiroLrr,

tsf

.

cir""r"iJ

decurg astfel:

ry*b'o*

=

*

ry6:f

dx

=

I

tfffi

*

=

;

t ?J..

=

=*I

l,-'0,=;(-#)l_

=

+(

*.,*)

=_Z

rlr.

Integrate

de

forma

f

_#:Fdn,

ha

_4ac

(

o, n

e

{r,

e}

giB,CeR

(*'*b:r+cJ--

in

functie

de

valorlre

numdrului

natural

n

gr

a

eoeflclenf'or

B,

c,

,

b,

c

apar

urrnatoarele-tipil;;tnt.grale:

-

--

.-

J

t.

rntegrate

de

forma

fiffi$,

a

*

o

Se

deosebesc

urmitoarele

situa{ii:

a)

Daca B

=

0

si

C

=

f

*"

otU"e

integrala cunoscutd:

ffpbox=j"rc,r;l:

b)

Daca

B

=

l,

C

=

O

se

obtine

integrala:

ro x

._1ro

2x

_lrB(*,-r^r\

"

;z;po*

=

t

l:;F;;o*

=

i

l;\=ulo*

=

*

1;ffi."

=

=

i

l"$i.t

=

jr.,1t1

I

":'l

lu(c)

."fq)

,

I

I

u'(x)dx

=

Iri;/,*o,

=

*l?t-3dt

=

+f_+)l-u

=

_4

(

n_3)=

_?

"l;j

-

2

8(

ztr)l_.--G["-gJ=-e



Analizi matematici

r

ll. lntegrala deliniti

c) Dacd'

B *

0,

C * O,

atunci

se obfine

integrala:

rB Bx+C

-

iiff;.x

=

Bijei;r*.

"fix.,+;udx

si

caicurur

se conti-

:ira

ca

la

punctele

a)

Si

b).

2

9

=

zi

C

fu*tfttu

"n7ohtaj

Sa

se calculeze

integralele

de funcfii

rafionale:

.)

jon#**,o)

J,'p;dx;

c)

I:'85;d"

E

a)

Avem:

ff#G

=

larct€f l.

=

+,*"tsl

-

arctso)

=

*

b)

i:Flo"

=

*

I:#;.*

=|

f$*

=*

I,'ffi*

=

-

-':

-'lat

=lrrltlltt

=f(rrr32-ln8) =Ik

4

=tnz.

;-j:i

t

2--'

'la

2'

'

2

c)

Integrala

se scrie

succesiv

astfel:

:'"

##a*

=

f6$;

dx

-2i;"*

=|

ff"

ffi*

-

-;

=.=,s;

|

:"

=

t

t"ryldx

-

arctgrm

+

arctg,

=|

E*{P*

-

r

-:

-

3

pu(zv3)lat--L

=gmltlltu

-lL

= (nru-ln8)-

n

=9r,"2-4.

l-{=2l"py

t"'-12*2"'l'llu

lt-Z\-"-

uret

LC-2^'-

IZ'

2.

Integrale

de forma

fl . t.

Lu

dx,

a *

o

'"

(*' *^')"

5e

deosebesc

urmdtoarele

situatii:

aJ

Dacd

A

=

1

si

B

=

O

se

obtine

integrala

de

forma

[ ----

>(-;d,(

'"

(*'

* u')"

rffim

* calculeazS"

cu

ajutorul

metodei

de

schimbare

de

variabili.

Se

obtine

succesiv:

i;

("=*f

u'

=

),:E+o*

=

|

Ilffi

*

:

247



I

dx.

urmd_

fu"c&a,

.rrahtai

I

sd

se

calculeze urmdtoarere

integrale

de

funcfii

rationale

simpre:

a)

I,

=

1,"*=dx

b)

r,

=

1u5--l-

^;,

";,;

=

i'*=-g1-i*

x.

+r)

lt

(x2

+t)"

{x,

+

t}_

i-.--::e

\

/

a)

Integrala

I,

este

de

tipul

III.2.a)

si

ca

urmare

se

va

carcula

apli_

rp*':

metoda

schimbdrii

de

variabild.

Se

obtine:

l.

=

;,6---

"--.r*

=

I

iJs-

2*

u-_

1

r.E

(x2

*

t)'

rt

(*r*r)'*-iJ,

ffi*=iJ,

ffid"=

=;

"3

{-(*)

o*=*I,i(,f,i.

t=-

ii;

=

*(*

*j=*

b)

Integrala

Iz

este

de

tipul

III.2.b)"

pentru

a

calcula

aceasta

''nmnrg-ala

se

va

aprica

algorltrnul

descris

la

aceet

tip

de

integrala"

-i.r'em

succeslv:

:,

=

i€-*l*-.*d*

=

/50"

li.l:1^-

-

rldf

]

xz

l.

rt

(x2or)2*-rr

-(*,f-qx=ir

l=t l*fj*=

-

-':+-a**

i6--"1-=dx

=

arctg*llG

*J

=

arcLgJS*arcrgr

_J

=

x,_1

rr

(*,nr),*.^**.

Analizi

matemalicd

r

ll.

htegrala

definiti

-n'uegrala

J se

calculeazA

foiosind

metoda

integrdrii

prin

pAr{i

ob{i-

=

pArU

=

la

-:-se

succesiv:

--=

1'5--"1-d*=

l#

(x2

+t\"

J1

\l

,,'6

I

l;v3

J-ar=

t=-il,

-2J,

*"nt

.i

r)

r tJd

r

-t)*rtt"'€"J,

i=-:ltA

cA

I, =

n

-J

=

't2

x.

--

i--=d*

=

1.6*

f

-

+.*J__l'o*

=

(x2

+

r)'

'r1

-'

i-

2

*'oi)

z-Js

Tt

=- _

B

'24'

"

(z-"ts

_+

L2

[

B

249

\_

n

) n

Js-z

24)

24'

B



a

Allli4

qatemeficd

r

il,

definitd

: :'f

iX

jL-"

scrte

ca

o

sumd

o-,;frl;*

13

=

f

"dff

*

=

u.[u/*fu

u* -

at'a*J=a*

1x'+l/

Fy

"_(*r+r)z*^-',

p.ryd"

l_::o**.

cd

r,

_

srt

-2r2.

/

rnrocuind

cu

rezultatele

oilinute

la

a)

si

b)

se

obfine:

rs

=5

-"(l__1)_

2r-2n

B

\z+

8)--

24

.

3.

Integrale

de

form"

#;ry;i&r,

a

=

b2

_4ac

<

o,

a.c

*

a)

Daca

A

-

O,

B

*

l,

se

obfine

integrala

de

tipul

pF

1

A

=

b2

-

4ac

<

O.

sv

LrYL'

J"

F;ii;

::*

calculul

acestei

integrale,

se

scrie

expresia

zu<2

+

bx

_

sub

forma

canonica,

anume

ax2

+bx

+ e

=

o(*

uil--

]o

*

r

ux

lflt""il,f.toda

de

htegrare

prrn

schi*;;(;?;H

LT;:

(s-a

notat

r,

-(

E-)'?

'-

=

l\/;p]

si

u(x)

=

*

*

#,

x

e

[a,

B]. )

Ewu&,a,

rya/lraf

tr

SA

se

calculeze

integralele:

t

=

[I----l-

*Jo;t;;dx;

,=lir-f.-*.

Solutre

2+x_

_4x+2

^^^^.:

pentru

trinomul

x2

+x+1

se

observd

cd

A

_

_S<0,

caz

in

care

acestase

scrie

sub

forma

canonicd

x2

+x*r

=[*r-]')'*

B

--

^rr

u4t

\ 2)

4'



dJ(

se

=

Anrlizi

matcmatici

r

ll.

lntegrala

deliniti

ixtegrala se

scrie:

-

pl

I

.

=

q-

---;--Ga

=

'u

x"

+

x

+

I

1

n"=li

. *

;

lfir

1

rfii

lii

I

i

dx.

I

=X+-.

2

r2

l

I

)

x)

.6

2

u(

)23I

+--

.)

4

(r

IX+-

(z

.,

_ ll

tt'(*)

_ lu(l)

-""1-)*[ff

-J"101

at

=

J,3-fuu

at

=

lg

:

2tl2

2(n n\

rrJS

=:arct$u6l

,

=.v6'[5-6J=

e

le

r

Numitorul functiei

de lntegrat are

A

= -16

gt

forma canontc6

+i

-

4x

+2

=

+(*-

+.l'

+

f

.

in acest

caz

integrala

se

scrle succesiv:

\

2)

.l=

[l

--l -d*= [l =1[l--*.-a".

ri4x2

-4x+2*',in(*_*)'.,

n'u(*_;)'

_

l

"'-

Alegand

u(x)

=.

-*,

"

-

[*,

r],

"*

u'(x)

=

r,

x .

[*,

t]

er

apucand

moda

schirnbdrli

de

varlabilA,

integrala

devine:

o(

t\2

(

lx+- I

+l

\2it

AplicAnd

metoda

schimbS,rii de variabili,

notAnd

,u:

---,

tr]

se

obfine:

b) Dacd A

=

I

Fi

B

-

0 se

ob,ine

integrala

de

Upul

J0

:=b2-4ac<0.

ax2

+bx+c

Pentm calculul

integralei se foloseste metoda schimbS.rii de

varia-

::*i.

luAnd u(x)

=

u.2

+

bx +

c,

cu u'(x)

=2ax+

b,

x .

[o,

F].

Caiculele decurg astfel:

,'.I

-x2

./3

l

----l

2)

fi

I

1.p

=

x

dx=

I

1.p

=2-,

-dx-

I

;o(zo-<+b)-b*-

Jcraxz+bx+c

2aJoaxz+bx+c 2aJo

axz+bx+c

251

'i'.'



Analizi

matematicil

.

ll.

lntegrala

detinig_

I

ppu'(x)

.

Lft

I

r.._

I

1-*(p)1..

b

r0 I

zaJ,'

"(")

*

-

zaJ";G;;d"

=

t:

J.;;iio'-#l,i;u;,"."u,

=

*,rrl''u'

-

3

lo-

.

-1-o"

a

i"{")

2"t'u

ax"

-bx

+

c

ultima

integralS'

obtinuta

este

cle

tipul

III.

3.

a)

tratat

anterior.

e)

Dacd

A x

o,

B

*

0,

atunci

integrara

se

desparte

rn

surna

de

do:

integrale

de

tipul

ceLor

intAlnite

anterior.

Astfel'

ff

. ff]"

-dx =

A

iia.-+--_*crx*

n

i - .

-r--a-,

a

ax/-

+bx+c

-J*axz

n-bx+"*"''

-u

axo+trx+c

Ere*i&&,

w#oke,

H

Fie

fi:nctia

f

:

[0,

lj-+

R,

f (x)

*

**,ith;

a)

SA

se

serie

sub

forma

cancnics

expresia

Bx?

*

$x

_r-

4.

b)

sa

se

calcu.te"*

fir1";a*,

Solutre

a)

Pentru

expresia

3xz

*

6x

+

4,

A

=

BS

*.

4g

=_

...I2.

Rezulraca

sxa

-6.xr

+.=

u(*-

*]t

-

Al,

J{x

-

r)r,

t.

b)

Avem:

fi

rr"ld"

=

fi

*{fu.rx

=

fi

*F

k;*.

fj#*J*=

=*

tl--sl--_o"*

i.l*'1-----dx

-

l

r,F::gln) ,,.

J0gxz

*6x+4*=

J03J;x_4crX

-

*ir-Frt"

-.6_rq.i.r"

-,l.au:k;o*

=*fiffi*.fij*#;iu*

=

*

*,i_

,.

2

r:

,Jdlt=*l

1n4+?#,,.^-1r

ls

+g.VS

arctg("

_

t,

lo

6

9

252



Analizd

rnatematicd

o

ll.

lntegrala

definitd

4.

Integrale

de

forma:

f;#.l-odx,

a

=

b2

-4ac

<

o,

&.c

*

o

(o-*bx+c)

Daca

ax2

+bx+c="[[".*)'.#]

pi

u(x)

=**r?,xe[u,p].

ntegrala

se

transformd.

astfel:

iu

JN

Ax+

B

_d*=1l.,lh:*j$jl

^zl(** )'*.A

l'

a2

r.,[r..*_p_)'_

o_l'

'

L[^

*T^)

"iA

)

i[".

Al

-

o"u

)

dx=

*[-4 -' u)

a'\

2a

)

,:(cu(x)+D)u'(x)*=

i:,,,j]#*dt.

unde

"=*,o

=

J'

1'1*1;;1*=

J"1*r1.2*62

)

^

.t

-A

4a2'

Agadar,

caiculul

acestei

gale

de

tipul

III.

2"

Ano{rz,

taTohtil

=

sa se

calculeze

irrtegrala

Io";

;r**3 ,a*r.

(x"+4x+8J

Srtune

Numitoml

se

scrie

sub

forma

x2 +4x+g=(x

+2)2

+4,

iar

inte-

::a-la

se scrie

succesiv

sub

forrna:

integrale

s-a redus

la

calculul

unei

inte-

'=f_r-

4:--z*.=

;0

-

2(*+2)-t--or=

fl3(")-l;

u,(x)dx=

'-'16*z)'*+l

'-'[{'n

z)2

+a]'

'-'[,r'(x)++]'

\--'

--

.

-r{o)

2t

-l

c2 2t e2

I

=l

-dt=

I

_-_

:dt-Jn,.

12dt=Ir-iz.

',r'-2)

(t2

+

4)'

'o

(,,

* n)t

-

-

'"

(*

*

4)'

Integralele

11

si

12

sunt

de

tipul

IIi.2.

Se

obtine:

253

,il

l

ffi

tJwj:.rx{e-..#'ffi-'E-



=-llt=-l-l-t

t,.. o \

-

-ti-

=

-5*a

=

B'

(v(t)

=

t'

+

4)'

ro=lt

7

,z

=

s(,,ryd'

=

i

tlfiry*

=

*

iJffi

.-

=

=

*

t:;r*-*

tr#*

=*

*****1.

*

ff,

[ntrb.J'.,

=

Analizf,

matenlaticl

.

ll,

lntegrala

definitt

in

final

se

obfine

cd"

I

=

11

+

I,

=

EXEBCtIil

st

PR0BTEME

EXERSARE

6-n

Si

se

ealculeze

urmitoarele

inte_

grale

de

funcfit

rationale

sfmptei--

81.

a)

J-',

(u""

-

6x2

+

ex

-

s)ax;

o,

J-',[(-'-

")'*

e*a]ax;

ct

Jj(+mxs

+ zpx

+

r)dx;

af

f1e"-r)(+x+3)dx.

E2'

a)

I."."'*.*'

@,[,';u"'

@['*]r,

u*'

b

ar

f,1;[a*;

4

"r

J_iu-*''r*;

I

n

J_a.

u{;

a",

d

I_',c+E*.

E3'

a)

I-',oi*'

sf-it'y*'

el"'*|y*'

at

J_',ffia",

",

L",*#rpe

u

J-',(vu.**f'".

254



o functie

rafionala

oarecare

se

poate

scrie

ca

o sumd

algebrica

de

funltii

ra{ionale

simple

pentru

care

dalcuiul

integialelor

acestora

a

fost

studiat

anterior.

pentm

a

realiza

aceastd.

scrieie

se

va utiiiza

urm6_

toanea

teorem6:

4nalizi

m4ematici

.

ll.

lntegrala

definiti

Mod

practic

de

aplicare

a

teoremei

Pentm

descompunerea

unei

f'nc{ii

rafionale

in

sumd

finit&

de

funcfii

rationale

simple

se

procedeaz6

astfel:

a)

se

efectueazi

impd.rtirea

cu

rest

a polinoamelor

p,

e,

dacd

gradP

>

gradQ,

rezultAnd

relatia

p

=

L.eo

n,

O <

gradR

.

grrag

qi

r(x)=

L(x)+ffi

b)

pentru

Rfx)

t(x;

se

foloseste

forn^ula

de

descornpunere

in

sumd.

finitA

de

funcfii

ra{ionale

sirnple

conform

teoremei

anterioare,

unde

coeficienfii

af),

Bf),

C(')

urmeaza

a

fi determinati.

256



Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

deliniti

de

c)

in

egalitatea

obfinutd

la

punctul

b)

se

elimina

nurnitor-ul

comun

l(x)

si

se

ajunge

la

o

egalitate

de

funcfii

polinorniale.

d)

Din

egalitatea

func{iilor

polinomiale

se

obfine

rrn

sistem

de

ruafii

in

care

necunoscutele

sunt

coeficienfii

af),

6ft.

"ti.

Metoda

de

determinare

a

coeficienfilor

Af),

e{l),

C;t

se

numegte

netoda

coeficienfilor

nedeterminafi.

Vom

exemplifica

utilizarea

acestei

teoreme

in

calculul

integralei

"-:nei

funcfii

rafionale

pentru

diferite

funcfii

rafionale

f

:

[a,

b]-+

D,

:{x)=ffi

g(x)*0,

pentru

xe[a,b],p,eern[X]

qi

grade<4,

listingand

intre

diferite

moduri

de descompunere

a

numitorului

e(x)

n

produs

de

factori

ireductibili.

1. Numitorul

are

ridi.cini

reale

simple.

W Exernolu

r

S5.

se

ca-lculeze

urmAtoarele

integrale:

rl

9x+2

a)l=J_r

r-

^clx:

Solufie

b).r=li*# ^-

a)

Considerdm

funcfia

rafionald.

f

:[-2,1]-+

A, f (*)=

#*

Expresia

x2

+

x-

6

are

urmd"toarea

descompunere

in

produs

de

factori

ireduc-

:bili

peste

lP

x2 + x-G

=

(x-2)(x+3).

Conform teoremei

14,

funcfia

f

are

urmitoarea

scriere

ca

sumd

de functii

=rionale

simple:

r(x1

=

ii

a1

=Wffi

'

x el-2'rl,

t)'

Se

elimind.

numitorul

comun

Ei

se obfine

egalitatea

de funcfii:

9x+2

=

x(A

+

B)

+

3A

-2b,

x

el-2.

tl,

(z).

Identific6.nd

coeficienfii

expresiilor polinomiale

din egalitatea

{2)

se

obtine

::stemul de

ecuatii:

A+B

=

9,

3A-28

=2

cu solutia

A

=

4,

B

=

S.

Aqadar,

relalia

(1)

devine:

f (*)=:_2+*,x

e

[-2,

r].

'.

Rezurta

*

t

=

Jlr(;1.*)0"

=

(+rnlx

-21

+

srnlx +sl)l

r,

=

rn+.

3

0BSERVATTE

Cu

aceastl

rezolvare s-a

inceputul

paragrafului

g.

rispuns la

situafia-problemi

formulatd

la

257



::,*J:fr:::nT:::':::"ff

f

:r'l

zt.+a'

f(x)=d##*e

se

.bs

i:t:T*91i;f,pf

fu1yit:,lxx'"rft

'rf;

ini*i:,"r:.1fl,*

Rezultd

ca

f

(x)

-Qx-t)(x2

+-2x)+(2x+2)

Ram6.ne

de

scris

ca

sumd".J;::;-

=2x='.#.

g

:

[t,

zl-

o,

*

t-i

=

ffi

t

unclii

rationa]e

simple

funcfia:

Avem:

_2x+2

_

_2x+2

x2

+2x

-;G;t

conform

teoremei

14

se

obfine

+6=Wffi,

x

e

[i,

z].

:i:f:i6Tfjti:

;,j':;,4,',at."

o.

r';1fr?o,inomia,e:

."'",'1Ti'$"::j

ffi

:$'jflt'j*l1

.Jif

l:i"inomia,e

se

obrine

sistemu,

c

Aqadar,

sk)=j

*

vxe

[Lz]

pi

r(x)=2x_rrl_+,xe[rz].

Rezuui

cd

J

=

f

?:-

r

.

]

-

_

*)*

=

(*,

_

".,i,,.i_

u,,,lx

*

zl)12

=

=2+tn2+e

h

=z+mff.

2.

Numitorul

are

rid{cini

reale

multiple.

9

Exemplu

o

SA

se

calculeze

integrala

,

_

,-)

s-z*

sorufde

r^..q'-

t-t"po:yft'

se

considera

funcua

,

,[_r,

;]

.,

n,

f

(x)

=

+:+3

Aplicand

teoreyl

ja,:xpresia

funcfiei,

*

";t]Jl;

dffu=W..t-;

-*l

""

Erimin'

nd

",r*,ffi

ffi

ffi

.

"*i,,,",.ur,,

-2x

=

A*("-r)2

+e(x

-r),

*cx2(x-r)+ox2,

".

l_r.

_rr

.-.

B-2x

=

(A+c)x3

+(-2A+B-c+D)x2..o

;:."::;_,

:ll.t]:.-"

'

L

-'

il'tzt'

Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

definiti

258



Analizi

matematicd

r

ll.

lnt

observa

obtine

ca

de

dentificdnd

coeficienfii

aceloragi

puteri

ale

lui

x

din

cei

doi

membri

ai

e,galitetii (2),

t.

'-r-i.e

sistemul

de

ecuatii:

A+c=o,

-2A+B-C+D=0,

A-

2i-=_2.

B=3,

cu

nr

--:a

A=4,8=3,C=_4,

D=1.

-rsadar,

=t

-'L

=

1.+

--3-*-L

^

,

*.

[_r.

_1'l.

x21*-t)2

x'

x2

*-i-(*-t)''^=L-''-tI

tt'

\

i

Rezutra

ca:

r

=

[il1.+

-

4

*--1

"

l*

=

for,li_g

_4hlx

,r___]-]i-i

_

-fi.*

*z

*-i-1*-r1,J

\

,,

*-4lnlx

tl

*jl

:=

-3

.2

3

[]BSERVATIE

lonstantele

A, B,

c,

D

din

egalitatea

(1)

se

mai

pot

determina

astfer:

,

l:ntrr.x

=

O

se

obtine

B

=

3

qi

pentrux=

I

se

oltirr.

D

=1.

'

?entru

determinarea

constantelor

A

si

c

se

deriveaza

egalitatea

(1)

qi

re

obtine:

-2

=

A(r",

-

ax

+

1)+

2B(x

-

r)

+

c(sx,

_r*)+

2Dx.

-:raceastdegalitate,

pentru

X=o

seobtine

A:4,

iarpentru

x=1

i=

obtine

C=-4.

3.

Numitorul

are

ridicini

complexe

simple.

ffi

Exernplu

.

S: se

determine

integrala

functiei

:),1

-:i

f :[-r,

O]-+

D,

f

(x)-

16

x4

+4

)escompunerea

in

factori

ireductibiii

peste

e

a numitomlui

conduce

ia

urmd-

'-:'

scriere

x4

+4

=

x4

+ 4x2

+4-4x2

*-(^2

*z)2

*e4,

=

(*,

-

zx+z)(x2

+2x+2).

--plicam

teorema

r

s,i

obtinem

urrnitoarea

descompunere

tn

suma

finita

de

L:: ::-

rationale:

-tr'plicand

metoda

coefi

cienfiror

nedeterminafi

se

obfine

egalitatea:

16

=

(A

+C)x3

+(za+

B-2C+D)x2

+(2A+

28+2C-2D)x+28+2D,

xe

[-i,

o]

'dentificdnd

coeficienfii

acelorasi

puteri

ale

lui

x

din

cei

doi

membri

se

obtine

;:* .::::ul

de

ecuatil:

A+C=

O'2A+B-2C;D=0,

24

+28+2C-2D=O,

2B+2D=

16,

cu

sorufia

A=-2

l-=

c=2,D=4.

'{sadar'

r(4=#.##**

J.,r1x;ax

=

frffi;*.

-

-2x-4

dx=-

to(-4:z-*-2

-),--,

r0

(

2x+2

..i.2

_2x+2

J_r(;z:2x+2

-F_2_.2,J"**

J_,[-z-=

^

*

259



Analizd

matematicd

r

ll.

lntegrala

definitd

.-r-='l

*

=

- f

Fr,,

?r- ?

o"

*

z

J0

--

--_

*

f,

(

*',

*

r"

*

r)'

*

o

"+2x+2)

J-t

x2

-2x+2

*-"Lr("_l)-+l

r_,

x"+2x+2

.'J-"(".F;

=

i;+

."f:*.1'+.rfip*

=

rntl

+2arctgtl-l

+

+htl

|

+

2arctgtlf

=

hb

+

2arctg1.

4.

Numitorul

are

rd.dicini

complexe

multiple.

@

Exemplu

.

Sa

se

ca-lcuteze

integrala

I]r{= x$0"

sorufre

(x'+

IJ

Considerim

functia

rafionale

f :

[_1,

AplicAnd

teorema

14

se

obtine:

f(x.;=x?-3x+z-i

(x2

+

r)"

,

Metoda

coefi

cientilor

n.aete#itit'ffia,r""

la

urmatoarea

egalitate:

x2

-sx+z

=

(ax+n)(x2+l)+cx+D,

x

er-r

ii,

il;;;;e

sistemul

de

ecuatii:

A=O,

B=1,

A+C=-S,

B+D=2

cusolufiileA=0,

B=I,C=_3,D=1.

Re2u,,""",

e

scrie ca sumA

de

funcfii

rafionale

simple astfel:

I

3x-1

f

(*)

=

;'

-

o*

-

'r,

x

e

[-t,

l],

iar

integrala

se

scrie

sub

forma:

-+r

(x2+r)

J-',r1*1a*

=

j],Jh

-

Jl,- I-l=

crx

=

arctsx

ll,

-

i,

=

t-rr,

,r,

(x'

+

lJ

Calculim

11 in

felul

urm5tor:

=o-ft,9",*[t_

x2

-

r

6r I

-,

-]'

-

"-

r-r1xz

+r).

J_,1",.

rf

dx

=

-arcr€rxll,

*;,*14ftj

.,,

=

=-7r-

"

lt

r

rr

dx

n

l I rr

-

,

--t-

{;il)l

,

*;J-'ffi

=-;-;+aarctg*l_,

=

-}-},

er

Din

relafiile

{t)

qi

(2)

se

ob{ine

ca

frrlx;0"=t"*

"

=

i

ti,6ft

o"

-

Il,

(r

h*

=

;

I|$o,

lf,tff

=

260



Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

definiti

,#licafub,ftufrgrd,

Concentrafia

unei solufii

apoase

a

unei

suLrstante, variazd

urmdnd

':i:a:

ctt)=

#

(SU

*t;,

x

fiind grosimea

stratului

de

solu .ie.

care

este

cantitatea

g

de

substanta

confinutd

intr-o

coroan5

'::t-icala

de

solutie

a

cdrei

sectiune

dreapta

este

s

=

I

m2

gi

grosimea

:--rnd

intre

O

si

2OO

m?

i--,:ire

ConsiderArn

un

strat

foarte

mic

al

coloanei

:: solufie

apoasi

cu

sectiunea

S

si

grosimea

dx,

i-:rat

la

ad6ncimea

x

(figura

l).Cantitatea

de

substanfA

confinutA

in

acest

--::r

este:

dO

=

C.Sdx

=

i?I

*

Integrand

de

la

x+1

.=

200

se

obflne:

g

=

to

foo

I,

*

=

rg

1'2oo(x+1)-t*

-

U

x+l

Jo

x+l

=

-

J-x

-

ln(x.

t)]

I;oo

=

to(2oo

-

ln2ol).

iXEBCllll

gl

PROBIEME

Figura

1

cd

f

E1 SA

se

calculeze

integralele

de

funcftt

rafionale

(numitorti

au

ridiclni

reale

slmple):

.e2 d;

8'

Jr

1*14;

Il6;fu4u.,

74 6x+l

JoG+zx2x+1)dx;

u,

L'G-,lt#6G;t*'

ro

x3-3x2+5x

J-2-;r-;;;*dx;

riffi*

S& se

calculeze

lntegralele

de

functll

rallonale

(nurnitorii

au

rtdiclnt

reale

multiple):

d

I:;Gfu*,

tt

Jo'O$a*;

"-1

r

.)J_,,fflpax;

EXERSARE

g)

b)

c)

o

ril*:;ifu:;l*,

261



Analizi

matemqtici

o

ll.

lntegrala

definiti

o

r,'dfi#*

")

1"iE"' rgd*.

(""

-

t)

uriffi*

83.

Se

se

calculeze

integralele

de

functti

rationale

(numitorii

iu

ridncini

cor[

plexe

simple):

"t fG

dx

' Jr

x(xz

+

r)'

o,IfF;fr+;1u*

o

r56rfftrq*,

o

1"*j1a,..

84.

Sn

se

calculeze

integralele

de

raflonale

(numitoiti

au

complexe

multiple):

n

I;^Uif*'

"r_",cfr*,

ct

1f

zt-::12*.

(x"

+ 6)

"

tie;;f*

APROFUNDARE

Al.

Sn

se

calculeze

integralele

de

funcfit

rationale:

r)

f -2*';6

a*

t2

*"

+zx2

-gx

r1

1i4:_"

-"."2:I*.

"

J",ffF*.

(Untv,

Ouidius,

Crrnstanfa,

Iggg)

A2.

Se

se

calculeze

lntegralele:

'l

fi#=a*;

(Uniu.

Bucuregtl,

I

ggg)

bl lE

*2

-2**2

"t

JL

(zx

-

4(={;yax;

(Uniu.

Babeg

Botgai,

Cluj_Napoca,

lggg)

"r

Jo';u;#;*,

*.

(uniu.

^x:f;:.r#a

A3.

Fle

t"

=

Ii_rpi#;dx,

n

e H'.

Dac6

a

=

}*("

+../i

+

").

r,,,

atunci:

a)

q=

o;

c)

o=e;

b)

a=l;

d)

o=Je.

(ASE,

Srtsyrefti,

2

OA0l

44.

St

se

calculeze

lntegralelc:

n

l,'(:f)'*,

rr

f;$i{:ea",

"r

ft

"t

---.r+-"

-ro"l.

+-

-

gda

af

fi

-t

..t.r-t

:g",

.

-*l,rr.

262

**$ut-



functt

rddicirr

Analizi

matematici

r

ll.

lntegrala

definiti

.$ffi"

p€:rru

n

e

N se

consideri

integrala:

-

_,5

2x_3

-:-.4@dx.

e

Si

se

calculeze

Is,

11

gi

12.

3

Se

se

calculeze

limitele

jr*r",

:espectiv

l*"r".

A6.

Se

consideri

funcfia

f

:

[O,

f]-+

A,

f(x)=(x+l)"+(x-r)"^(a,,=--?;-_,

neN.

se

se

determine

n

astfel

incit

Jot

t

(*)

dx

e

e.

SE

se

calculeze:

Grupa

I:

")

Iot

"

ln

(x

+

t)

dx;

b)

i,J5$-d,.;

"l

4-xo

-,

12

x2

+x+2

cr

Jr

4pJ;rax.

TESTE

DE

EUALUARE

Testul

L

Grupa

II:

d

JJ"sin(x+r)dx;

o,

i;'u-pa*,

Vx-+4

,i

cl fa_-

x+4

',

J'

1**

,){""

_;14".

Testul

2

Fie

f,:(o,.)-+D,

f

(x)=

rrr(r-*)

o

r"

=

Jr"f

(x)dx,

n>r.

a)

Si

ee

calculeze

fr'

n

> l.

b)

Si

se

determine

,r,

=

|

,o.

k=r

(3

puncte)

Se

considerifuncfta

f

:e-+A,

f

(x)=x3

+mx2

++nx+p.

a)

s{

se

determine

rr],

rr,

p

e

le s,tltnd

c6

funcfia

f

admite

extreme

locale

in

x

=

-1,

x

=

I

gi

"u

J-trf

(x)dx

=

+.

b)

Pentru

valorile

determrnate

ale parametrrlor

si

se

calcur"""

jjrfoa*.

si.

se

carcu

rutu

l'

-u2

Puncte)

.,_r

u=J&.

)2,

(ASE,

Bucurelti,

2OO2)

(2

puncte)

f,3.

263



Analizi

matematicd r

ll. ln

Testul

Or.

Se

considerri

funcgia

,

,[_;,;J_

r,

Dac6

r

=

Jr"

Ot*l.cosxdx,

o,

1l'

2l

(ASE,

BucureEti, Iggg)

(3

puncte)

(Uniu.

de

Nord,

Boia

Mare,

Iggg)

(4

puncte]

(Uniu.

Luciqn

Blaga,

Sibiu,

2OOA|

(2

punct$

3

r(x)

=

I""'"*'

"'[-;'

")

i"""*-2sin*,

*.i

2

a)

I=e-

n.

4

c)r=l+3-1,

e4

atunci:

-

e+7r-l

I

=

-.

4e

r-T

I

'-

4-;'

b)

d)

Q2,

Si

se

calculeze:

a)

ro=

jJ;u;h;dx,keN';

b)

limltrrrf

*

3 )

n--+o(

,'Et*J'

os.

si

se

carcul"""

J$

rr,

(r

+

Jetg

x)

ax.

264



Analizd

matematicd

r

lll.

Aplicalii ale

integralei definite

Punctul

de

plecare

al

Calculului integral

il

reprezintA

calculul

mior

unor

suprafefe

plane

gi

calculul volumelor

unor corpuri

de rota{ie.

inca

din Antichitate,

Arhimede

(287-212

i.Hr.) a dat

metode de

qsraul

pentru

aria

segmentului

de

parabola

folosind

aproximarea

prin

w:

ale

unor

supra{bfe

particulare.

Johannes

Kepler

(1561-1630)

a

*sbilit

reguli de

deterrninare

a

volumului

butoaielor

prin

descom-

T :i:lerea

corpurilor

in

pArli

foarte

mici.

Saltul

deosebit in

problema

calcuiului

ariilor

gi

volumelor s-a

li"-':t

cu

precadere

in secolele al XVtrI-lea,

respectiv al

XV{II-lea,

cAnd

ls;:ag

l\s\Mton

(1642-LV27\

si

Gottfried

Wilhelm

Leibniz

(f646-1716)

au

ffr

-rt

prima

fundamentare teoreticd

a

domeniului

calculului

integral,

mFrofundatd.

apoi

de

matematicienii

Augustin

l,ouis

Cauchy

(1789-

::57)

si

Bernhard Riemann

(1826-1866).

Henri

l,eon Lebesgue

(1875-f941)

inif,iazFt teoria modern6

a

::junilor

de integrald,

lungime,

arie.

O

Aria

unei

suprafele

plane

in

acest

paragraf

se va defini nofiunea

de

,,mul{ime

care are

arie"

s.

se va

ard"ta cA

dac5.

f

:

[a,

b]*>

iQ*

este

o

funcfie

continui,

atunci

sub-

g:icul

ei

f1

={(*,y)

enxn

ia<x<b,

o<y<f

(x)}

este o

multime

t;:e

are arie,

iar aria sa

se va

calcula cu

ajutorul

integralei

definite.

+

oEFmrTrE

r

Q

multime

E

c lD

x

lQ se

numeste

mulfime

elementari

dacd

"

=

0o,,

(1),

unde

D,

sunt

suprafe{e

dreptunghiulare

cu

laturile

i=l

respectiv

paraleie

cu

axele de coordonate,

iar

oricare

doui

suprafe{e

ijferite

Di,

Dj au interioarele

disjuncte.

Prin

definitie,

3

()BSERVATII

X..

Reprezentarea

unei

mulf.irni

elementare sub forma

(1)

nu este unicA.

265

u

tF.

.I

$

l

.E

i

l

l

i

llr

r

l

:

:tl



de

Analizi

matematici

r

lll.

Aplicalii

ale

267

definite

:le

(A"),

A,'

=

(.

=

*f)

.

*{")

a]e

intervalului

[a'

b]

cu

tim lln"ll=

o

'

Functia f

fiind

continua

pe

:-

este

continud

pe

fiecare

subintervd

["1i],

"1"']

conform

teore-

lui

weierstrass,

f

este

mdrginitd

9i

i$i

atinge

marginile

pe

fiecare

hffi,,'al

["[:],"1")]'

i

=

1,

k,'.

in

consecinf',

exista

u['),

r{")

.

[" :], " "1]

astfel

incAt

t(r{"')=

=

-:

a'

=

inr

{r

(x)1"

.

[*{:1,

" "'

]},

t

("1"'

)

=

M[")

-

sup

{i

1"11"'

["11]'

"1"']]'

fi.

=

l-

k.r. a

Ftgura

7

Se

considerd

dreptunghiurile

cu

M1')l--

m*"o

x ")

-"[:)

ei

indgim.u

*{'),

,""-

urccdl.

nn{")

lng,tra

1):

D ")

=

["1:],

*1",]"

[0,

*[")]

'

c[")

=

["1:],

" t].

[0,

t1"'].

Se

constituie

mulfimile

elementare

E,'

def

,

respectiv

Fr.

=

v

G(')

.

care

verificf,

relafiile

E.

c

r,

c

\,

(1), pi

aria(E')

=

i*1')

'

=

i*1",

(*1",

-- ll)=Et("["')

("1"'

--t:l)-

oo"(t," "').

Fiind

continu6

pe

[a,

b],

f

este

integrabile

pe

[a'

b]

Oi

astfel:

f

r

1'y

a"

:

1i5

oo"

(t,

"{t

)

=

**

oo"

(t,

"1"'

)

=

"ri.

(E,,

)

=

aria (F.

)'

(2)

Din

relafiile

(i)

qi

(2)

qi

aplicand

definifia

mul .imii

care

are

arie,

se

btine

cd

mul .imea

f1

are

arie

9i

aria

(rr)

=

ff

l"tat

'

'

cl"'

*1ll

'01''

def

k,,

=

Uol")

*-i',

=u

t=I

rn)

\,

i=1

aria(n") -



Exp'.ol&?to/nhtalp,

tr

1.

Se

se

determine

ariile

su,tgraficelor

funcfiilor:

a)

[:[O,t]-+D,

l(x)

=x2

+x;

b]

f,

:[O,n]-+A,

fr(x)

=sinx;

c)

f,

:

[f,

e]-+

e, f,

(x)

=

lnx;

d)

fn

:

[t,

+]-+

e,

fn

(x)

=

Jx.

Solufre

Subgraficele

functiilor

vor

fi

reprezentate

ire

,lo-------:in"'"

t

desenele

aldturate

(figurile

2-b).

a)

Avem:

aria(rr,

)

=

fit,

(*)0"

=fi(r,

**)0":

(*"*')ltllb

=i-+-

ii

=_+_=_

[3

z)lo 3

2

6'

b)

aria(rr,)=

J.U(")0"=losinx

d.=-o"*

['

=

=1+1=2.

c)

aria

(r1.

)

=

I

t,

(x) ax

=

J'h

x

cx

=

=

l,

"'.Lex

dx=

xrr:x

l;

-

f"

+

dX

=

€-"1

i=

r.

a)

aria(rr.

)=

tt*(x)ax

=JiJ*.S

=

f*io"

=

=Z

*zl,

=;""

l,

=3,'-')=

+

tr

2.

Sa

se

determine

aria

mulfimii

f1

in

cazurile:

a)

f :[L

e]-+D,

f(x)=xlnx;

b) f

:[-r,z]_+a,

f(x)=l"r_*1.

Solufte

a)

Funcfia

f

este

continud qi

pozitivd

p.

[l,e].

Rezult6

c6

mulfi-

mea

11

are

arie

qi

aria(rr)

=

li*rnxdx

=

{[rr*

-+]l

'

=

.',*,

.

2\.

z)lr

4

l*'

-x,

x

€

[-r,

o]

b)

f

(x)

=

jx

-

x2,

xe

(o,

r) .

Funcfia

f

este

continud

qi

pozitivd

pe

[*'-x,xe[t,2]

intervalul

[-t,

Z].

Rezultd. cd

mulfimea

fs

are

arie

si:



Analizd matematici

r

lll.

ale

integralei

delinite

ro

aria(r,)=

J',r1"10'

=

jl("'-")d".

jj("-*')d".

I,'("'-")d"

=

,.3

"')l

o

(*'

"t)lt

(*3

*')l '

1t

=

-

-- ll

I

l--- li +i- =-.

3 2/,[2

3Jlo

[3

z)1,

6

Aria elipsei

Fie

elipsa

(d)

caracterwatl.

r:tata

grafic

in

figura

6.

Problema

care

se

pune

este:

r::erminarea

ariei

suprafefei

deli-

L-:ate

de

elipsa

(d

)

folosind

inte-

graia

definita.

Funcfiile

ale c5"ror

grafice

s*.criu

curba

(d)

sunt

urmdtoarele:

:

f2

:[-","]-+D,

f,(t)= G'*"3,

9C

de

ecuafia

:-

*

J=

-

I

=

O,

repre

ao b'

Deoarece

func{iile

tr,

f2

sunt

fi:nc 1i

'e--:r

delimitate

de

elipsa

(d')

este egal6

cu

::ia

suprafefei

has,i-lrat-e

din

figura

6.

pare,

rezutrt5.

cd

aria supra-

aria{dr)

=

4Ar,

unde

A1

este

Foiosind

tema

de

proiect de

la

pagina 227

,

se otl{ine

Aqadar,

ffi*$

Daci

&

=

b,

elipsa

(d)

devine

cercul

cu centrul

in

ori$ine

si

raza

R

=

a

=

b.

Rezultd

cd.

aria('€(O,

R))=

nR2.

Aria

suprafetelor

plane

cuprinse

intre

doui

curbe

Problemi-suport

Se

considerAfuncfiite

f,

g:[-2,

t]*+

D,

f

(x)="'+t'

g(x)=-x*3.

o)

a(a. o)

. b/q ,

r)

=

--{a-

--

x-



Analizi

matematici

r

lll.

ale

integralei

definite

a)

Se

se

ilustreze

domeniul

plan

tative

ale

funcfiilor

f

si

g

si

de

dreptele

deecuatii

x=-2,x=1.

b)

Sa

se

calculeze

aria

acestui

domeniu.

Rezoluare

-

al

Imaginea

geometricd

a

grafi_

cului

funcfiei

f

este

arcul

de

paribola

AVB

inclus

in parabola

de

ecua[ie

y=x2

+1,

cu

vdrful

V(O,

l)

si

care

trece

prin

punctele

A(-2,b)

qi

B

(t,Z),

(figura

7). Imaginea geometricd

a grafi_

cului

func{iei

g

este

segmentull

de

dreapti

[an],

reprezentat

in

figura

7.

Rezultd.

cd

domeniul

plan

D

este

regiunea

hasuratd.

b)

Se

observd

cd"

D

=fe

\fr.

Rezulta

ce

aria(D)

=

aria(r*)

_

aria(r,)

=

i_',

g(*)a*

_

J,

f

1";O*

=

=

J,(s(*)-r(*))o*

=

"[,(-*'

*x+2)dx

=

f-{-

*'

*r*]l'

=

'

|.

3

2''^)l_,-

=(

-

-- *r)-tg-1_o)

=

e

I

s

2'')-t,5-t-*)=E'

Aceastd"

problemd

sugereaza

rnodul

general

de

determinare

a

ariei

nei

suprafefe

plane

md.rginite

de

graficele

"

d;;;

n

""t"

"""Ui;;'.

n

interval

[a,b].

D

mdrginit

de

curbele

reprezen_

A(-2.5)



Analizi

matematici

r

lll.

Aplicalii

ri€ integralei delinite

reprezer

Frswar

n

ffiodhrnpr@Tohraip'

F

1. Se

se determine

aria suprafefei

plane

md.rginite de

graficele

funcliilor

f,g

:

[-t,

1]

+

Q,

f

(x)

=

2-,

g(x)

=

4

-x'.

tr-::ne

Reprezentirile

geometrice

ale

graficelor

celor

u:ua

func{ii sunt redate in figura

9.

Astfel:

aria

(r,,*

)

=

jl,[e

(")

-

r

(x)]

ax

=

D

esre

=

arie:

pe

=

-14-x,

-2.)dx=

(n

-*-+'ll'

=??

\

3

rn2

)l_,

3

x

ln4

E

2.

Sa

se

determine

aria

suprafefei

plane

ecuafii

Y=x2

-3x

qi

Y=2x-4.

5:,i^ne

Se

determind.

mai

intA{

punctele

de inter-

wie

ale celor doud curbe rezolvdnd

sistemul

[v=xt-3x

:': rUatii

i

"

[v

=2x-4

Se obfin

solufiile (t,

*

z)

qi

(4,

4)

care

s-:::

coordonatele

punctelor

de intersectie

ale

:r:::

doue curtre,

figura

10. Asociem

acestor

:-:re

func{iile

f"

g:

[1,4]-+

n,

f

(x)=

x'-3x,

g(t)=

2x*4.

Din lectura

graficd

se

observi ca

g(x)>

f (r),

V

x

e

[L

4].

Rezultd

ca

aria(r1,r)=

l,-[g(x)-r(x)]ox

=

f

(-x2

+5x-+)ax

=

-r3

sx2 )ln

9

+__4xll

=_.

3

z

)rz

F

3.

Se

considerd

funcfia

f

:

(0,

+

co)

+

Q,

f

(x)

=

Iog, x.

a) Sa

se reprezinte

grafic

functia

f.

b)

Sa

se determine

aria domeniului

plan

mArginit

de axa

Ox,

graficui

::rcriei

gi

dreptele

de

ecuafii x

=

l, x

=

2.

--n-.i:

-ife

a) Functia

f

este strict

descresc[toare

pe

(0,

+"o), liir^lf(x)=+"o;

=f

,x)=-.o.

Intersecfia curbei

logaritrnice cu

axa

O*

;;.

punctul

-1-

l.

I

). Curba logaritmicA

este

redatd

in

figura

I

1.

27L

mdrginite

de curbele

de



Analizi

matematici

r

lll.

Aplicalii

ale

integralei

definite

b)

Considerdm

funcfia

g:

[t,

2]+

D,

a

g(x)

=

O.

Rezultd

cd

aria

domeniului

plan

cuprins

intre

curbele

gr,

{4,

si

dreptele

de

ecuatii

x=1,

x=2

este:

Imaginea

geometrica

a

graficului

frrnctiei

f

este

reolta

*

ou;

ir.

*'

Aria

suprafefei

plani

has-riate

este:

a

=

ff

6)dx

*

I'to

_

r("));;jii"l*

=

=

f

(",

- sx

+

z)

a**

I,(_*,

*

s*

_

z)d"

*

*

Il ,-sx

+

z)0"

=

:.

+

*

g

=

lr.

6

6

6

6'

tr

5.

O

suprafafd

inlinitd

Oxi{a

stpfffet-e

ptane

nemdrginite

cantitate

finitd

de

vbpsea?

--"

,Solufre

Rdspunsul

este

afirmativ.

Intr-adevdr,

fie

-f,inctia

aria

(rs,r)

=

l,'tg(")

-

r(x)]dx

=

Figura

1L

ol

A

vopsite

cu

o

Ftgura

13

a-x

=

l,'[-t(*)]ax

=

-li^u;* *

=#

f

r,,*o*

=

Tnza/

=

#.

J'x,rnxdx

=

#

["r,,*1;

_

,,

*

**)

=

#

.(zmz_

"li)

=

_

2ln2

-L

ln2

tr

4'

se

se

determine

aria

suprafefei

prane

cuprinse

intre

axa

ox

s,i

ima_

"'#t*

geometricd

a

graficului

funcfiei

f

:

[0,

S]

_+

rp,

f

(x)

=

x2

_

Sx

+2.

ff

a.re

pot

at

f:D-+e,

f(x)=

t

grafic

este

rerrat

,*#"

i:.

"*"t

subgraficului

funcfiei

f pe

intervalufi:;i;_:

i.3:.:a.

""i*ptota

orizontald

spre

+oo

si

*oo.

Pentru

a>0,

aria

."t(")=

["

-fa-axo

+l

x=arctgxlu"

=2"rctga.

***i$ri



i

Xri

Analizi matematici

r

lll. Aplicalii ale integralei delinite

Aria

suprafefei

nemaiginite

limitate de

graficul

funcfiei

gi

axa

Ox

este

egald. cu:

../

=

lim

.,/

(a)

=

n.

a-++@

Aqadar,

aceastd

suprafa .a

nemf,rginiti

are

arie

finitd..

EXERGTIil

$r

PBoBLEME

EXERSARE

El.

Si se calculeze aria

mulfimii

ls

in

cazurile:

a) f(x)=3x-4,xe[z,S];

t) f(x)=1617,xe[o,r];

c)

f

(x)

=*,

x

e

[e,

e];

d)

f(x)=cosx,

".lo,f]t

e) f

(x)=*;jx+8,

xe[-2"

o];

O

r(x)=,2js*,xe[r, z];

E)

f(x)

=

x€x, x

e

[o,

r];

h)

r(x)

=

-.r+,

*.

[Jro,

s].

vx"-9

Sd' se determine aria

mulfimi fs,a

in cazurile:

a) f(x)=*2,

g(")

=4x-1

xe[t,3];

b)

f(x)

=2x-s,

g(x)=x2+1,

xe

'["3]'

c)

f(x)=4,g(*)=x*1,

xe[r,

e].

d) f

(x)

=

€-x,

g(x)

=

e-,

x

€

[O,

r];

e)

f

(x)

=

-IEJJ,

g(x)

=

Jx

+

1, x

.

x

e

[o,

e];

O

f(x)=O,

g(x)=2slnx,

xe[O,

n];

g)

r(x)

-

arctgx,

g(x)

=

o, x

e

.

[-J5,

-

r].

83.

Sn

se

deterrnine

aria suprafefei din

plan,

delimitati

de

axa

Ox

gl

ima-

ginea geometrlci

a

graficului

func-

$iei:

a)

f(x)

=4-x2,

xe[-2, z];

b) f(x)

=

x2

+ 3,

x

€

[-r,

r];

c) f

(x)

=9-x2,

x

e

[-c,

a];

d)

f(x)

=2x-x2,

x.[-r,

A];

e)

f

(x)

=

sin x,

x

e

[O,

Zn];

Ir

-

t2

,*

e

[-r,

o]

fl

f

(x)=

i

'

"

'

lt-*,xe(O,2]

E2,

APROg'UNDARE

A1. Sn

se

deterrnine

aria

mulfimii

11

pentru:

a) f(x)

=

x2arctg",

*.

[o,

J5];

b)

f (x)

=

xln2

*,

".

[",

.2];

c)

f

(x)

=,t4*-*',

x

e

[r,

s];

a)

f(x)=1"-zl,

xe[-t,

+];

e)

f

(x)=l*'-el,

xe[-+,

s];

nrlr)=l*X"l'..,,,n,

42.

Si

se

determine aria

mulfimii

cu-

prinse

intre curbele:

a)

y=

*2,y=8-x2;

273



b)

y=

x2

-4x,

y=x-4;

cly2=16-x2,y2=6x:

"

al

y2

=lox,

y=Ex;

e)

x2

+

y2

=

4,y="6.x,

x>

O.

Afl.

Si

se

determine

arla

suprafefel

plnne

mirgJinite

de graficul

i""r1i"i

r,

fo,?]

-+

p,

r(x)

=ffi

,,*.

Ox

gt

dreptele

de

ecuafil

x

=

O,

3n

x__.

4

A4.

Se

consideri

funcfiile

f

:

e

_+

D,

f(x)=

-x2

+E

9i

g

:

e.

+p, g(x)=

I

=

;5.

"u

se

determine

aria

supra_

fefel

cuprlnse

intre

graflcele

celor

doui

funclii

gi

drepteie

x

=

l,

x

=

2,

AE.

Fie

r:[o

e)+e

f(x)=?*__

$i

se

caleuleze

aria

suprafefei

mfu-

gtntte

de

grallcul

fundliei,'"**

&

_sldrepterc

x=4, x=8.

46.

Se

di

tunctia

f

:

e

\

{z}

_+

A, f

(x)

=

x2+Gx

=

-----=_.

SiL

se

determine

aria

a.-2

suprafefei

deUmitate

de

graffcul

funcfiei,

axa

Ox

gi

dreptele

;

=

_61

X=O.

.A7.

Se

di

funcfia

f

:

e

\

{r}

_+

A, f

(x)

=

x2

+ x+2

.

Si

se determlne arla

x-l

euprafegei

mirglntte

de

graflcul

funcflet,

asirnptota

obtici

CT

di"p:

tele

x=2,

x=3.

A8.

Interlorul

ellpsel

x2

+ 4yz

_

4

=

O

este

desp{.r,tit

de

hiperbola

de

ecu_

afie

x2

-4y2

-2=O

in

trei

regi-

uni.

S{

se

afle

arla

fiecirei

regiunl.

Analizi

matematici

r

lll.

Aplica;ii

ale

integralei

definite

A9.

Se

consideri

funcfia

f :

[O,

+

o)

+

A,

fe,

x=o

f(*)={

[(x+r)',

x>o

Si

se

arate

ci

aria

suprafetei

deli-

mitate

de

graflcul

funcliei,

axele

Oy

gt

Ox

qi

dreapta

x

=

I

este

mai

mic6

decit

,,e...

AlO.

Fie

f,

g:

p

+

A, f

(x)

=

xarctgx

ql

g

(*)

=

fn

(r

+

x2).

Si

se

calculeze

aria

suprafefei

cuprinse

intre

grnfi_

cele

funcliilor

fgi

g

9i

dreptele

x=O,

x=1.

All.

Se

constderi

funcfta

f

:

[O,

2]_+

n,

f

(x)

=

2x-x2,

Sn

se

determine

meQ,

astfel

incdt

dreapta

de

ecu-

afie

y

=

rnx

si

imparti

subgraficul

firncriei

in

doud

ffiffil,"r'*?,

Al2.

Fie

functia

f ,I

u al

L-a'al-+

a' r(x)

=

=

Gt;t

-

x,

a

€

ni.

se

se

deter-

mine

parametrul

,,a..

astfel

inc6t

aria

subgralicului

funcffei

f

se

fie

egalicu

(eJ5+zn).

Al3.

Fie

funcfla

f

:

D

_+

p,

f

(x)

=

*+t

=-'-_-

_,aeQ.

x-

+2x+B

a)

Si

se

determlne

valorile

lui

,,a,,

astfel inc&t aria subgrallcului

func_

fiei

f

pe

lntenralul

[a,

a

+ t]

si

ia

valoare

maximi,

respecfiv

valoare

mlnim[.

b)

Si

se

calculeze

Hm

ffi,

unde

S(r)

reprezlnti

arla

suprafefei

cuprinse

intre

graficul

functlei

si

aslmptota

acestuia

pe

intenralul

[-r,

.].

274



t

fie

,,a"

la

qi

fr

fmctiile

f

,

g:

[2,

+

o) -+

Q,

t

l1

.

.,fn;)

f r,=------

Fi

Vx-+l

=3-x2-x+5

trll=

-----

-,2

-

(x-r)

Analizi

matematici

e

lll.

Aplicalii

ale

integralei

delinite

a) Si

se calculeze

aria

e(b)

a

supra-

felei

plane

delimitate

de

graficele

celor

doui

func$ii

Pe

intervalul

[2,b],b>2.

u) se

se

calculeze

l x"tol.

fin

studiul

geometriei

in

spa{iu

sunt

cunoscute

o serie

de

corpuri

gpic.e.rice

pentru

care

se

qtiu

formulele

de

caicul

ale

volumului:

ffir=".".

pirJmida,

trunchiul

de

piramidS., cilindrul'

conul,

trunchiul

de

lrnrrr sl

sfera.

in

acest

paragraf

se

va

indica

o

cale

de a

determina

volumul

acelor

1gr:"-.l-i

obtinute

prin rotirea

subgraficului

unei

funclii

continue

qi

o=t"

in

jurui

axei

Ox

folosind

calculul

integrai,

care

pentru

func{ii

a:i'Fpr-tnzator

alese

sA

conduci

la

formulele

deja

cunr:scute

pentru

sr:urile

geometrice

enumerate

mai

sus'

Fie

f

:

[",

U]

-*

[0,

+.o],

o func{.ie

continte5'

+

pEFlHlT €

l.

Se

numeste

corp

de

rotafie

detenninat

de

funafia

f, corpul

*b{inut

I

p.- rotirea

subgraficuiui

acestela

in

jurul

axei Ox,

figura

1"

corputr

de

rota{ie

determinat

de

func .ia

f

se

noteaeS"

c19i

c,

=

{(*,

v,

z)=

rn3

|

<f("),.<*<u).

v

(^

\--.-_

l,-_

,:\

::-',--i----'--

\

i

,t-----

b

x

$'

z

Cel

mai

simplu

corp

de

rotafie

se

obfine

prin rotirea

subgraficului

funcfiei

constante

poziuve,

f

(x)=

r'

x

€

["'

b]'

in

jurul

axei ox'

figura

2'

Acest

corp

reprezintS.

un

cilindru

cu

taza

bazei

egald

cl-l

r

si

generatoarea

(inaltimea)

egal5

cu

b

-

a.

Volumul

corpurilor

de

rota[ie

Figura

275

1.

l

?r

d

4

ii

1.

I

i

i

t



Se

noteazd

C.

=

{f*,

U,

,).

rOr

f

<r,a."=o].

::

T::-T"":::::

:tTo:*i

c.

este:

vor

(c,

)

=

n

,2) b

-

^)

X#Ti:::::l:j;1":r*,:.ut

u=(.=;':*,:_

I".'

,

i",'

=or

;,1';;;1

"

:":I:1"rui

[a,

b],

.

astrer,,"j,',

;"

;:;";;

iJ

i:"jl

nten'ar

[:::*'l{:t::

v

*u[*,-''

*,),i

e

{t,2,.

,

n}.

se

spune

cd

func{ia

f

este

;";;#o"

oi"*",

*

DEF|IITIE

l'r:j$1#tri1#::;'t;:l'f"ffi

i;':trl:il,?.::ff

ilT'ilTil:;;

Volurnul

""Tr:*

mul{imi

e}ernentare

este

dat

de

formula:

Vot{C1)

-

nf

",'(",

*xi_r).

i=1

cu

ajutonrl

rnultim'or

c'indrice

erementare

se

va

de{ini

volumul

nui

corp

de

rotafie

determmaf

aJo

n

.r" ie

pozitivd.

*

0EFtl{tTtE

'

Fie

f

:

[a,

b]+

D* qi

cf

corpur

de

rota{ie

determinat

de

functra

f.

orpul

Cf

are

volum

dacd

exis

;:t*

;it*

::*H"-J"'l.

t::,;'J;*?*,.1.

$*,::

a)

G'cC1

cHr'Vne

N;

o)

j'*

vol

(G,'

)

=

l1x

vot

(H,,

)

=

z.

In

acest

caz,

volumui

corpului

Cl

este:

vot(Cr)trr.

cu

aceste

elernente-

pregdtitoare,

vom

descrie

o

metodd

oferitd

de

alculul

integral

pentru

o"t".illrJ..a

vorumulri;;;

corp

de

rotafie.

Analizi

matematicii

r

lll.

Aplicafii

ale

i

definite

276



f.

Analizi

matematici

r

lll. Aplicalii

ale

integralei

definite

'e'nonstrcit'

Fie

(r,,),A.,

=

("

=

*t",.

"{")

rn:ri

ale

intervalului

[a,

b],

cu

tirn

lln"ll

=

O. Notdm

..r{"),

respectiv

M{')

ma-rginea

inferioard, respectiv marginea superioard

a

funcfiei

f

pe

.n--ervaiut

[d:l,t{d],

i

=

r,

r,'.

Atunci

existd

,fd,rfd

.

[*{:i,

,.{",],

""tlr

:n:at

f

(uf",)=

*{",,

t("f",)

-

M{''),

i

=

r,

r.'.

Pentru

fiecare

n e

N se

de{inesc

funcfiile

constante

pe

por,tiuni:

a /_\_ f-f",

=r("{",),

*=

("fl?,*{",),

1

<

i<kn

9"(x)=i

,

,

\\

.\'

lr(*f",),"="{"),

o<i<kn

L

,_-\

lr{",=

r(.t,{"r),*.

(-fll,"f",),r

<

i

<

kn

h"(x)=i

,

\'

lr(*1"1),

"=*f"),

o<i.k.,

corpurile

de

rotafie

Gr,

gi

H'

geneiete

de

funcflile

gr'

respectiv

.:- sunt

multimi

cilindrice

elementare

c.r

proprietdfile:

(1)

G"

cCl

cHr'

ne

N;

(2)

vol(G,,)=

"Ir,'('{")X*J")

--{l})=

o6"

(nr2,.rf")),

vor

(H,,

)

=

"l

rt

("[",;1"1t

-

"{l})

=

o6.

(nr2,

"[",).

Funcfia

f fiind

continui,

rezult6,

cd

s,i

funcfia

nf2

este

continua,

mi

este

integrabild

pe

intervalul

[a,

b]

+i

prin

urrnare:

"l:f'

(x)dx

=

l31oo"(nf2,'{",)

=

l11vol(G,)

=

lgoo"(nr;,.,r1"11

=

=

3.

vol(H").

(3)

Din relafiile

(l)-{3)

qi

defini{ia

corpurilor

care

au

volum,

rezultd

cd

L

are

volum

qi vol(C1)

=

"l:t'

(x)ax.l

277



Analizi

matematici .

lll.

Aplicagii

ale

definite

e"-r.rt;">rcgt"r.t*

El

l; ?i,,;';1".":.r:,"*,rTrl

corpului

de

rora{ie

determinat

de

*rd,

f

:[2,

a]-+

a,

f

(x)

=2x_3;

b)

f

:

[o,

Bj];,"r44ff:i'ri:il:

a)

Corpul

de

rotafie

C1

determi_

nat

de

funcfia

f

este

un

trunchi

de

con

(Iigura

4).

Votumul

acestui-i.r"Ini

o.

con

se

calculeazi

astfel:

vol(c1)

=

n

If,r'

*la*

=

*

$(+x2

-

r2x

+

+e),rx

="(n*-t2{*erll

n

-G2n

( 3 2

"'-)lr--s'

u)

r(x)

=

{t"'

x

e

[0,

t]

i^-

\

,

lx+2,

xe(1,31'

t.t

tr

,1 i,1::_:li:l:r_.

*1y1ur

corpului

de

rotatie

obfinut

prin

rotirea

L

P.(rrl

roure€

:j[ru|.,T::l::

tlfimii

mirginite

de

parabo

tu

y,

=

2px

pentru

x

e

[0,

a]

(paraboloidul

de

rotafle

_

figura

5).

Solutie

Funcfia

care

determind

corpul

de

rota{ie

este

f

:

[0,

a]+

D,

f

(x)

=

€p;.

Rezulti

ci:

vol(c1)

=

nJjzp*

dx

:;r

^+l

=

npa2.

z

lo

.eolufie

Semicercul

din

enunf

este

caracterizat

de

ecuafia

*'*y,

=12,

yrO.

F"rncfia

asociatA

este:

f

(x)

=

V7=,

x

e

[-r,

r].

o'or(cr)

=

^1.(r,

-"r)o*

=

n.(

rr*_{Jl.

=4*t

[

3)-,

3

*"?U'"

i:ffi;:,I:'

l,T*

::T:r^li

*qut

prin

rotirea

in

j

umJ

ffi:"titillfd:*"t'i"upe'io;il:;#il:ruilJ'"'[3#',:#

278



Analizi matematici

.

lll. Aplicalii

ale

integralei definite

E

4. Sa se

calculeze volumul corpului obfinut

prin

rotirea in

jurul

axei

Ox

a suprafetei

plane

delimitate de

arcele de

parabolA

y

=

4

-

-x2

si

Y=2x-x2,

cu

y>o

siaxaOx.

Solufre

Suprafafa

plana

din enun{ este redatd in

igura

7. Volumul corpului

de

rotafie C1

generat

lrin

rotirea

acestei

suprafefe

este egal

cu:

'/

(c,)

=

,l:r$

-

*')'dx

-

n

I\P*-

"

)'

d"

=

6

--n['r(ta-Bx2

*"4)a'

-" l(*' -4xs

+xn)d'

=

=

n( ru,_

8x3

.4ll'

_n(

n*t_x4

+{)l'

-4e6n

.

[

3

5)l_,

[3

5)lo

15

EXERCITII

SI PROBTEME

EXERSARE

El.

Si

se calculeze volumele

eorpurilor

de rotagie determinate

de

funcfiile:

a)

f

:[o, z]-+8, f(")= 4x-x2i

b)

f

:

[o,

n]+

a,

f

(x)

=

5i111'

"r

t'

[-1,3]'

4,

r(x)

-

cosx;

d)

f :

[-r,

z]-+

Q,

f

(*)

=

J*'tr,

e)

f

:

[t,

z]-+

Q,

f

(*)

=

m'

f) f :[-2,3]+4,

f

(*)=lx-rl;

g)

f

:

[o,

s]-+

n,

f (*)

=

JE

-Jx;

h) f

:[a, a+1]-rQ,

r(*)=ut-1--a'

i) f

:

[1,

3]-+ D,

279

r(*)

=



82.

Se

se

calculeze

volumul

corlrului

obSinut

prin

rotlrea

in

jurul

axel

Ox

a

curbei

definlte

prin:

,"4}r(")='=fi,

*.[Jd,e];

x

(r)=-m,

xe[o,

1];

Vx-+l

c)

r(x)

=

rE,

x

e

[a,

s];

d)

r(x)

=

#;,

x

e

[o,

r].

APROFUNDARE

A1.

Sn

se

calculeze

volumr.ll

corpului

de

rotalie

determlnat

de

funcfia:

l- r'l

G;}

r

'

lo,*

l-r

a,

f

(x)

=

arcainx;

L2)

A5.

Sn

se

calculeze

volumul

corpuftai

obtinut

prin

rotirea

pottgonuftd

ABCD

in

jurul

exei

Ox,

dacn

A{I,

Q,

B(2,

s),

c(4,6),

D(ro,

o).

A6.

Fie

funcfiile

f,

g:

[O,

1]-+

D,

f

(")

=

=

arGcosx,

g(x)

=

J;=.

Si

se

determine

volumul

corpului

de

rotafie

generat

prin

rotirea

-rn

jurul

axei

Ox

a

mulflmii

dellmitatc

de

gralicele

celor

doui

funegii.

A7.

Se

consideri

curbele

de

ecuafil:

Y=-x2

+3x+

4,y=3x-x2,

unde

y>o.

a)

Si

se

reprezinte

gralic

aceste

curbe

pe

acelagi

sistem

de

axe

de

coordonate.

b)

Si

se

calculeze

aria

suprafefei

plane

mirginite

de

aeeste

curbe

si

axa

Ox.

c)

Si

se

calculeze

volumul

corpului

de

rotafie

obflnut

rotind

in

Juruf

axei

Ox

suprafafa

plani

cuprlnsa

intre

cele

doui

curbe

Si

axa

Ox.

calculul

limitei

se

dovedeste

largd

de

nofiuni

si

tehnici

c)

dl

t'[o,i]-+

a,

r(x)

=

x€xr

f

:

[r,

e]-+

a, f

(x)

=

Jf

h*;

f :[L

+]-+4,

f(x)=lsx+4-l*-sl.

,t3.

A4.

-

I I rl

Fie

f

:

l-;,;l-+

a,f

(x)

=

fr=-

-

x.

Si se

determine

volumul

cor_

pului

de

rotatie

deternrinat

de

func_

gia

f.

Se

consideri funcfia

r:

[r,

G]-+

a,

r(x)

=+

hVx.

Si

se

determine

volumul

corpului

de

rotafie

determinat

de

funcfla

f.

Si

se

determine

volumul

corpului

obfinut

prin

rotirea

in

jurul

axei

Ox

a

curbei

de

ecuatie

(x

_

C)y2

=

=

x(x

-

3),

*

e

[o,

e].

A

Calculul

unor

limite

de

giruri

Y

folosind

integrala

definitf,

In

clasa

a )il-a

s-au

studiat

diferite

metode

de

determinare

a

limitei

unui gir

de

numere

reale.

Pentru

anumite

Fimri

de

numere

reale

uneori

destul

de

laborios,

antren6.nd

o

arie

de

lucru.

280

Analizi

matematicd

o

lll.

Aplicalii

ale integralei

definite



in

gi

irl'':.9"-

Analizi matematici

.

lll.

ale i

delinite

>O,Vne

N*,

rezultd

Exemplu

J.asedetermine

lim( ' * 1 *...* t

',].

n-*\n+I

n+2

n+n/

l.:nsiderAm

sirul

(a.,),

."

=

-+

*

-+

*

...

*

I

n+l

n+z

n+n

n

Studiul

convergentei

pirului

(arr).

rl

Sirul (arr) este

gir

de

termeni

pozitivi qi

O

<

a, .

r

-

<

1,

V

n e N*.

Rezultd. ca

n+l

ro--

a.)

este sir marginit.

hl

Deoarece

&n+l-dn==f-*=-l

^-

1

=

2n+1

2n+2

n+l

c:

.l

(folosind

elemente

de analizS.

matematicd.

de clasa a

XI-a):

28r

2(n+1)(2n+1)

:s .-'l

este

sir strict crescd-tor.

in

concluzie

girul

(ar) este

qir

convergent.

.

)eterminarea

limitei

qirului

(ar)

?entru determinarea

limitei

qimlui

(arr) se r.'a folosi

sirul:

.tll 1

-xr),

x,

=

j*r*d*...+--lnn,

n e

N

.

?entru

studiul convergenf.ei

Eirului

(x.r) se folosepte inegalitatea

-

.

h(k +

ii-

k+1

'1

"

-

-c'

s.

<

i,

k e N

.

(1),

obfinutd.

prin

aplicarea teoremei

lui

Lagrange func{iei

11,

i

-k.

k

+

l]-r a, f

(*)=

lnx

(tema).

r(U

-*em

xrr*1

-Xn

=

"_

-ln(n+I)+lnn

<0,

V

n

e

N'.

RezultA

cd.

girul

(xrr)

este

monoton descresc6"tor, deci este

mArginit superior

de

lerrenul

xr

=

1.

lnsumind relafiile

(1)

pentru

k=l,n

se ob{ine:

l*l*...o

1,<ln(n+t)<

'

2

3

n+l

\ /

.

:-**

.

*

1,

inegaliteti

din care

se obtine xr, >

ln(n+l)-lnn

>

0, V ne N*.

2n"

RezultA cA

Sirul

(x,r)

este monoton

$i

m6.rginit, deci

este

qir

convergent.

X.€gatura

intre

qirurile

("")

Ci

(xrr)

este datA de

relafia

&n =

X2n

*

xr,

+

ln2"

Trecdnd la limitA

in

aceasttr relatie se obfine c5.

lim ar,

=

ln2.

SoLutia2

(folosind

elemente

de

calcul integral):

Termenul

general

al

qirului

(a,r)

se

poate

scrie sub forma:

""

=

i

-+

=

1

i

-L

=

1i

r[,E).

tzl

unde

r:

[o.

r]-+

a,

r(x)=

+

n

fi,n+k

t

rfir*

"ft'("/'

"'r-"''r '

*"\'-'f

1+x'

Se

observd

c5. relatia

(2)leprezintd.

suma Riemann asociata.

f'uncfiei

f

pe

intervalul

: 1].

diviziunii

o"

=[0,

.2 E,

.l)

si

sistemului

de

puncte

inrermediare

\nnnn)

(t 2 k

n\

-t_

_ _

I

:-

-l

l.

-

\n n n n)

::

ii

,:ii

:

1:

i1-

I

:.

,

l

t,

:i

ii

:'



Funcfia

f

este

continuS.

pe

intervalul

[o,

1],

deci

este

functie

integrabir'

pe

[o,

t]

s

astrer

lim

f

3,t[*J=

fir1*;o"

=

lj*l*

=

rn(x

+

r)ll

=

rnz.

Asadar,

s,irul

(a.)

este

convergent

pi

lim

an

=

In2.

>

COMENTARIU

solufia

2

arat6,

cd

pentru

anumite

siruri

de

numere

reare

ar

c.ro:

ermen

general

se

scrie

ca

o

sumd

Riemann

aiapata

unei

functii

ntegrabile

pe

un

intervar

[",u],

calculul

rimitei

se

poate

face

folosinc

ntegrala

definiti

a

acesteia.

gra&/p-".*

llj

1.

Se

se

calculeze

limitele

de

siruri:

a)

lim

lP

+2P

+...+nP

,

(

t

z

n+o

"rr-'

p

e

r:

b)

_lim

*i

";

+

2ei

solulfe

n+o

nz

I

a)

Fie girul

(a^),

&,,

=

lP

+

2P

+...

+

nP

rermenur

-.;J;-*

"J:f

.l:,'

o

Analizi

matematici

r

lll.

ale

integralei

delinite

n\

-l

+...

+

nen

l.

)

In

acest

sens,

refinem

urmdtorul

rezultat

general:

282



s

$r

t4

*,;.4i1

*

=r-[])o

*[?)o.....1,l'j'.]=

t

ifr)o

=l

ir(E).

unde

*

-

.,:

[.)

[,rJ

-"'-[;J

]-

;6t;

)

-

n#,'[']'

:

-f.

1]-+

D, f

(x)

=

xP

este o

funcfie

integra-

irmi.-;

pe

[0,

1]. Conforrn

teoremei

anterioare,

nm-ilta

ca:

, rl

{r-

a-

=

ltf

(")ar

=

frxpdx

=

*o*l

| =--l-

:l-"

J0-\

'

Jo

p+tlo

p+l

Deoarece

f

este

funcfie

integrabilS

pe

intervalul

[0,

1] se

ob .ine

cA

_1e-

u.

=

fif

1";O*,

ceea

ce

trebuia

demonstrat.

b)

Fie

pirul

(b"),b,.,

=+[."*

*2.?+...+t.;l

Il

l'

,,

n, l. ,

Atunci

u"

=1[]"i

*?.?*

*r"ll=

I

if:1":

=

t

irf ),

unde

"

rL"

n

n

_l

nfi\n

)

nrj'

\nl'

:

-r.

1]-+lD,

f

(x)=xex.

Deoarece

f

este

funcfie

continud

pe

[0,

1],

deci

mregrabila

pe

[0,

1],

aplicAnd

teorema

4 rezultd'ce

[31b,,

=

jjf

1";a"

=

=

i-xe"dx

=

fi*("-)'d*

="."1:-

jje-4"

=e*(x-t)l:

=t

E

2. Fie f

:[0,

t]+D

o

func{ie

integrabils pe

[0,

1]

si

+irul

(.,,),u,-,

=

=

I

*ffzk-t).ne

N*.

nfi

\

2n

I

a)

Sa

se

arate ca

HXa,,

=

fif

1";a".

b) sa

se calcule

ze

rim(=+.=l=

+."

+.+)

----

;-;;[2n+I

2n+3

4n-L)

qpi-une

a)

Consideram

diviziunea

1,., =

[0,

,

? ,...,

+,

'1,

...,

" \. nn n

n

gstemul

de

puncte intermediare

|

=

(6r,

Ez,

...,

€k,

...,

Er,),

n

e N

':-

-2k-r.

[o-t,5-.l,

o

=

t, n

(miilocul

intervalului).

:"

2n

-L

n'nl'--

r

Rezulta

cd

a,,

=

*Et,rk)=

oo. (f,

E).

rl

I

n)

-l'

Fl

n)

t,

unde

/

-F

Tti-Flri.rTr.--

- r]]]:rl::lr:]:]:

dd.e-i#]Fd :@s@"f

a:i

11



b)

considerdm

""

=t;*-u,*+...+*=

t=--L

-

I + I r r n ;^,- ,:"-"

+n-r

F-,2n+(2k-t)

=

*p,t5

=;

*p,r[+#)

unde

r

:

[o,

r]+

a,

r(x)

=*

este

funcfie

integrabili

pe

intervalul

[0,

tJ.

Aplicand

punctul

a)

se

obtine

ta:

u*[

I

*--l--

I

;31(tn+r

*

2,,1T+...

+Z;-)

=*

firt*ldx

=

I

IJfr*

=

I

r'(*

.

r)

l;

=

tnJi.

EI

3'

Fie

f :[o'

r]-+(t'

+m)

o

funcfie

continuipe

[0,

1] qi

qirul

(a,).

""=mneN'.

a)

sa

se

arate

"t

jg",,

=

"1J,"{*)*.

"'Js6secarcureze

#gm

Analizi

matematici

r

lll.

Aplicalii

ale

a)

Termenul

general

al

qirului

(a")

se

scrie

sub

forma:

ln

An

=€

?)...r(l)

n)

\n/

(

)

;)

(

i

r"r[ )

{=l

\n/

"*l'"'[*)*r"r(?)*.

*r"'(*)J

=

"*;

u

:

)

:

il:li;:T"Ti'l

j

;Jj;il"j

bil6

pe

intervalul

[0,

f].

Rezurte

ce

l

ri-f *

"[]')

't$

",.,

=

""-i;

"

6'(

n

j

=

.j

o

s{")a*

=

.iJ,"

r{*)*.

".

"oll:ili,::t

punctul

a)

pentru

runcria

r:

[0,

r]-+

a,

r(x)

=

r

+

x

pi

fg

m

=

"lJh(**4a*

=

"xrn(x+g

1r

-r,ifi o-

=

.,,j

4

e

284

-:r{ir'



EXEBCTIil

$t

PRoBLEME

91.

Si

se

caleul€ze

limitele

(.")

folosind

integrala

daci:

.12n

EJ

8o

=

--; *

--;

+...

* --;i

ll' n' lto

EXERSARE

sirurilor

definiti,

APR.OFUNDARE

285

V.

*

dF

*...

*

dF

n

11

il-

=:r-:+.,.+

^

vnz

+

1

Jnz

+22

I

---.

Jn2 + n2

.11

€r

a'

=

W--;E;;:=;

+'..r

I

I--

J4o^2

-"^2

8n=

)

f)

""

=*[(*)..(:)..

.(;).],

,

r+Jz+Js+...+v[

dn

=

-_______,

nVn

d)

ao

=

*:p

+

2+r

+...

+

n

f,-.

'

tt2

+ n2'

A1. Folosind

integrala

definiti,

s[ se

calculeze

limttele girurilor

(""),

daci:

-(rI

a)

atr

=

"

[p*,;z

+

,4

"nz

+

...

+

,

I

).

'n2+gn2)'

b)

ao=+*-=-- -*...*4,

./n(n

+

r)

./n(n

+

z)

Jzn,

'

.

1(

t

2 n\

c) ao=;5[ffi*15;+...+76)t

-.

t(r

2

t')

dr

ar

=;u[t6*u5;.....o6;J.

A2.

Si

se

calculije

fimitele

girurilor

(.")

folosind

lntegrala deflniti,

qtiind

cd:

.nn

8J n''=l_dt+V_*+...+

n

-.

'

n2

-4n2'

t( r2

22

b)

a,,

=;[#;+

r;i;+

32 ttz )

-+

r-1.

'

gnz

-9

an')'

.

n+l n+2

c, an

=

V;p

+

^1rz

+

...

+

n+n

f-.

'

n2

+'^2'

d)

a,

=

1[r"[t

*

3992)*

n[

\

n

)

*

m

(,r

+

2oo8)

+

...

+

rn

[t

.

l).l.

\

n/

\

n))

lI3. Folosind

integrala

definiti,

sd se

calculeze:

g

2k-r

a,

um

) --_----_'

- ;;

#1

"1@r.

-

ry

.

a",

'

b)

lime*i-^

l--,

'

;;;

'#urrr.r

1zr

_

r;2'

u*[

-l

*

1

*...*

-t

),

n-*\3n+2

3n+5

6n-1/'

-.

(

1

1

I

llml-t-*-*...*

nx\n+l

n+v'3

n+J7

e)

d)

il

fr

aE4*i r':.::::&



ul

rim

*.

-+o

Vn

A5.

Sd

se

verifice

egalititile:

a)

timl[.o"3-.

-

2n

n+on\

n

l-cosj+"'+

*

"o"

"n)

=

0,,

n)

b)

lim

I

i"inkt=2.

n-_ronff,

n

n,

"

fg#ea

*"tg{=-#,

'nkz

u)lg*P,eisinrl"o"fi=

=*(t+sin1-cosl);

")

iT*F,"'*=*-''

et4.

S{

se

arate

c&:

a)

rim

4.

_+o

n-

.t6,

Se

consideri

funcfia

f

:

D

+

e,

cu

T:r:,::r"a

c{

f

(n

+

r)

e

[n,

n

+ r),

Si

se

calculeze:

a)lim(

r

-

I

-

;Ji[;;(r)

*;;;1ry

*...

*

r)

+_

t.

n

+ f

(n)J'

b)

rim

[----t-

2

n__+-[n

+r_f

(r)

-t;;Z:i(2)

+

n)

+...+-l

znz

_r@))'

47.

Si

se

calculeze

limit

dac{:

ta qirulut

(ar),

a)

a.

=-\-

+--1-

*...

*_a

^

,

"*;

,*T

,r*

tr'='

b)a-=

I

'.

I

"

n+l_sinz-rr*r_;**

.r2

t...*-

2n

-

sin

n

Testul

f

(pe

doud

grupe)

Of

.

Si

se

calculeze

aria

suprafetei

plane

cuprinse

intre

curbele;

Grupa

l:

y-xo,

y=

4x;

Grupa

2:

y

=

2xs,,

=i;

a2'

si

se

calculeze,

volumul

corpulur

de

rotafie

generat

de

rotrrea

unctiet

r

:

[o,

z]

_+

p,

in

iuruiJ"li

"*,

rupa

f:

f

(x)=sin2x;

TESTE

DE

EUATUARE

Grupa

z;

f

(x)

=

2sin2

x.

286

(3

puncte)

graflculul

(3

puncte)

stRt'

Analizd

matematicd

r

lll.

Aplicalii

ale

in



Analizi matematici

.

lll.

ct

]I,.

3d se calculeze limitele:

Jn+1

+Jtt+z

+...+JDn

GruPa

l: t]lm-,

"^,.;

,J1,

.j..-r-i.

n-+-\n+l

n+3

3n-f/

Testul 2

Se consideri

funcfla f :(O,+o)+D,f(*)=2x+axlnx.

Si se

a

e Q

gtiind

ci

aria suprafefei

mirglnite

de

graflcul

funcgiei

f,

dreptele

x=1,

x=e esteegalicu

#

Si

se determine

volurnul

corpului de

rotafie

C;

determinat

f

:

[O,

r]-+

P,

f

(x)

l+

x2

le,

(3

puncte)

deterrnine

axa

Ox

qi

(3

puncte)

de

funcfia

(3

puncte)

13.

Si

se

calculeze

intelrafa

Jj

f"

(r

+

*2)a"

qt

limita

girului

(a,,),

""

=

*litn(r2

+

,^'\-r('

-

r)nnl,

n

.

r'.

nlr? \ /

J

(3

puncte)

(Boco,lq:ureo,t,

iunie,

7 998)

Testul

$

31.

Seconsidericurbeledeecuafii

y=x2

+mx

gi

y=x+m,

meQ.

a)

SE se determine aria

.id(m)

a suprafef,ei

plane

cuprinse intre cele doui

curbe.

b) Sn.s1 determine

m

e

Q

astfel

incflt

./(m)

=

3O.

(4

pwrcte)

02.

Se

consideri

neN'

qifuncfia

f

:[-f, 1]+4, f

(x)=cos(narccosx).

Si se

determine:

a)

volumul

corpulul

de rotafie

Cs;

b) n

e

N'

pentru

care

vol(C

)

=+,

(3

puncte)

c3.

FtekeN..sisearatecilim(

I

*

I

*...*

1

')-ln(k+r).

n-+*\n+k

n+2k n+nk/

k

(2

puncte)

287



Teme

de

sintezi

TEME

DE

SIIITEZA

TEIT4A

1

-

Mutftmi

de

numere:

e,

SETITL

I

op

pnonr,pun

(MULTTMEA

e

)

Ol.

Se

dau

numerele

reale:

.

=

(ri)-'

+

r[,"@.

o,o(e

ei

(

z

\2 r^

---

.t-2

r=

IraJ

.Lo,r25

_

o,25*(_r)*J

a)

Si

se

determine

medil

aritmetici,

med.ia

geo-

metrici

gl media

armonici

a

numerelor x,

yl

b)

Si

se

calculeze

[*

*

y],

{y

_

x}

si

togi

('y),.

4

C,2,

se

di

numirul

rear

x

=

m,

n

€

Z*.

a)

pentru

n

=

r

si

se

calculeze

produsur

primelor

3

zecimale

ale

lui

x.

b)

Si

se

determtne

mutfimea

A

=

{n

e

N

l-x

.

N}.

- --'

03.

Si

se

determlne

m

e

e

astfel

incit si

existe:

d

@

pentruorieare

xee;

b)

rosz#

04.

Si

se

ragionalizeze

erpresiile:

-t

t

-.

t r

ar

161;5.;

t)

q6,;

")5-*;.f=.

05.

Si

se

demonstreze

ci:

a)

-:--l-

.

I

-'

t

tz

+

z,ti-

-d-_*E

-...

=

;ffi;f

=,

-';=,

v

n

e

N';

b)

i+#.**...*#>..6,

v

neN*.

06.

Se

dau

lntenralele

de

numere

K=(r-x,

B).

rvalele

de

numere

reale

t=(-o'

*')'

t=(*'-r'

+o)

Sl

se

detcrmlne

x

e

e

pentru

care:

a)

K

este

lntenral

etmetitc;

9t

.*4d[r

288



Teme

de sintezi

b) K este

interval

centrat

in

a

=

-1;

c)

J este

veciniitate

a

punctului

a

=

3;

d) KcInJ.

Si se

aduci

la

forma

cea

mai

simpli

expresiile:

a) rogs,s,

(?t)+

tog

,

;

b)

lo€z

(m"n)

-

loga

884

+ log"

s

-

*St/ffi.

s

Fie mulfimea

A(a,

o)

=

{*

I

*.,o,

+.o), b

>

a}.

a)

si

se

arate

ci

A

(r,

2)

este

mulfime

mirginiti

gi

si

se

afle

inf

A,

sup

A.

b)

si

se arate

cd.

A

(1,

1)

este

nemdrginiti

superior

qi

si

se

determine

mulflmea

minoranfllor.

fg.

Se considerifuncfia

f :e-+n,

f

(x)=

o**1 :.

Si

se

determlne

Imf.

x"+x+l

:n0,

Sn se

determlne

mulflmea

de

adevir

a

predicatelor:

r)

p(x),

"(*'

-

3x+ t)(*,

-

sx-

e)

=

5,

x

e

N,,;

b)

p(x,v):,,(zx

+y+2)Jz

+(cx+y+b).F=o,

x,

yce.,.

Sprur,2

np

pnonr,pnan

(Mul1ruEA

C

)

f

1, Si

se

determine

x,

y

€

le

pentru

care

are

loc egalltatea:

"

(++syt).(+-o")=

=2(y-x)+r;

3+xl x+v

lrl

-r_---_-1.

(3

-

2t)

(e

+ zt)

)2.

c)

(x+ 2y+

i)(y

-

i)

=

(r+x+

i)(s

-+i).

si se calculeze

opusul,

inversul,

conjugatul

gl

modulul

numd.rului

complex

(r-i)(Js+i)

z=

,

,.

1+i

Si

se

determine

numirul

complex

z

in

-

r

-2+4i

J

z-

=

-:------:-i

bl

2z+z.z=4+2ii

2+7

33.

cazurile:

c)

ilzl+lz- =1+i.

289



05.

Fie

A={*.

cl

,;=r,lr="*l=r}.

o""u

s=

I

z,

atunci:

I

I

-.

lz_sil--J

"_h,-,^

a)

S=r-Zi;

b)

S=3;

c)

S=l+2i;

d)

S=

_ _2i.

55

(Admitere

ASE,

Bucuregti,

06.

valoarea expresiei

t =

i'i'

'i: ""

'72oo7

ErEr

&

=

iP

*1";;70.t

""t"t

Teme

de

sintezi

04'

Fie

s

suma

varor'or

distincte

pe

care

Ie

ia

""

=

l*"

.

*1,

x2

+

x+

l

=

O, n

e

N*.

Atunci:

a)S=4; b)S=3;

e)S=E:

d)

S=s;

e)

S=tz.

(Admitere

ASE,

Bucure$ti,

I

a)

-i;

bl

2oO7;

c)

O;

d)

d=1.

2-i'

07.

a)

Se

consideri

ecuafia

x2

_4x+E=O

cu

solufiile

x1,

x2.

Si se

x?1+x/,

xf

+x ,

xf

+x|,44 *

*1*u.

x?

_L

xZ_r'

b)

si

se

formeze

ecuafia

de

gradul

2 cu

coeficienfi

reali

care

are

o

sol@

dati

de

,,

=

I:

{.

08.

Se

conslderi

ecuafia

bipitrati

x4

_2mx2

+

(m

+

l)2

=

O,

m

e

e. Si

se

detcry_

mine

m

astfel

incdt

ecuafia

si

aibi:

a)

toate

solufille

in

O

\

D;

b)

doud

solutii

reale.

09.

Se

dau

numerele

complexe

zt

=L+iJd

si

zz

=l_i.

a)

Se

se

scrie

sub

formi

trigonometrici

z,

qI

zz.

b)

si

se

calculeze

("r"")'o

,(t)t'

si

ridicinile

de

ordinur

4

are

numirur'i

21.

ClO.

Se

consideripuncteleA,

B,

Ccu

afixele

ze.=6+Si,

z6

=Z

_Bi,

zc=_2+4L

a)

Si

se

calculeze

perimetrul

triunghiului

ABC.

b)

si

se

determine

distanfa

dintie

centrul

de greutate

al

triunghiului

si

entrul

cercului

circumscris

acestuia.

c)

si

se

deterrnine

punct'r

o

(+

+

bi)

stiind

ci

este

coriniar

cu

punctere

A

si B.

r-"-*y,

290



7

+1#;:1id

*i-

Teme

de

sintezi

TEIT4A 2

-

Funcfii. Propriet[fi

-

SETUL

1 DE

PRoBLEME

Fie func .ia

f

:

Q--+n,

f(x)

=

ax2

+bx+2,

a, b

e Q"

a) Pentru

a

=

O, si

se dea

exemplu

de o

funclie

f

care sd fle strict

crescfltoare

pe

A

qi

de alta

eare

s[

fie

strict descrescitoare

pe

D.

b)

Dacd

b

=

O, si

se

precizeze

paritatea

(impa-

ritatea)

funcfiei

oblinute.

c) Daci

a

=

1, b

=

-3,

si se arate

c[ funcfia f

este mirginitd

inferior

qi

si se

precizeze

dacril

este

funcfle convexi

sau

concavi pe

P.

[x+m,

x>1

Sedifuncfia

f:P-+lF,

f{")=l

q

^

L-*"*2x,x<L

a)

Pentru

$r

=

O

s{

se arate c[

funcfia

f

este

inversablli

si

sd se

deterrrine

f-1.

b) si

se

rezolve ecuafia

4[f

(x)

-

r-t

(*)]

=

7

-7x.

c)

Si

se

arate ci

funcfia f-r

este strict

crescitoare

pe

p.

Si

se

studieze

injectivitatea

gi

surjectivitatea

func$ieil

e)

f:C-+0,f(z)=22+1Zt

b) f

:C-ro,

f (z) +zt(i\=22+32,v

ze'C:

c)

f :

Q

\

{-2}

-r

Q\{e},

r(x)=T#

Fie

funcfia

f

:

Q

-rn'

f(x)=3x+4.

se

se

determine

funcfia

g

:p-tlQ

cu

sroprietatea

ca

(r.

g

"

r-1)(x)

=

f,*

+

r.

Si

se

studieae

periodicitatea

funcfiei:

l'nl

lnl

ti

f :z-+a,

f (n)=t;j.t;j'

bl

f :Q-+4,

f(x)=2sin3x.

5i

se

arate

c[:

rl

turctia

f.

:

-,/12(p)

--n

'Ar(n\,f

(X)

=

X2 nu

este surjectivi;

bl

functia

f,:Sr,

-+S'

f

(x)=oxd-l,

unde

oeS'

este funcfie

inversablli

qi

ri

se caleuleze

f-Ll

e;

fuacfia

f

:Zr,

+Zr

f (x)

=x2

+x+i

tt,testebijectivipentru

ne{2,3,4,5}

.

29r

+l

*r

&

I

t

t

i

L

L

E

jj

rt,i

,I

:

Jt

+

n



Teme

de

sintezd

+)

-+

{r,

z,

g,

4}

inJective,

veriflci

egalitatea:

b)

f(r)+f(2)=s2

or.

Fiefuncfla

f :e-+e,

f(x)=/to-4.34x+l+12,

x<t

a)

si

se

arate

ce pentTu

"

=

rt;ffr;ilLlri"t"..

b)

si

se

studieze

continurtatea

iuicgiei

fdrscutind

dupi

a

e

D.

(_

oz.

se

consideri

functia

f :

[o,

z]_+

a, f

(x)

=

.|li'J='r,o'

t,

Fie

A={(n,

*,

s)en3

lf

derrvab'-r"

,"|;i,nr=',t'i,

(p+m+q).

Atunci:a)

s=Z;

b)

S=_l;

c)

S=o;

d)

"=ro,

u)

"=(n;:;)."'-

"

(Admitere,

ASt,

Bucureg

tt,

t

d

os.

Seconstderifunctra

f

:e_+D,

f(x)=1_r1t.l["."

EJ*o).8,

a,

bee.

Dac6

A

=

{{",

t).

o',

I

f

este

periodici

cu perioada

2

qi

continu.

in

x

=

r}

r

)=,

I

(a+b),

atunci:

-J'

(a, b)eA

a)

S=2;

b)

S=_t;

c)

S=O;

d)

S__S;

e)

S=4.

(Admitere,

Economie

generald.,

Bucureqti,

2OO D

04.

se

consideri

runcria

r:

D

-+

a, r(x)

=

[

lx1:l:;i

e[2,

+].

a)

si

se

determine

parametrii

a,

b

e

p

"h;ff

n*Ii;r"

prrmitive

pe

e.

)

Si

se

determlne

prlmitivele

funr

c)

si

se arate

ci

pentru

.',."

"ltl.t;::::T"'iTrll,lJ;.

pe

intenrar'r

[-r,s].

d)Sisedetermtne

a,

bee

astfelincat

ff(x)dx=14

Fi

ff(x)dr=39.

05.

Se

consideri

functla

polinomlali

f

a)

Si

se

determine

a

e

D

stiind.,

;,1_:;

;j-,

=

x5

a

o*3

+

8Ex-

2.

:iffJ"H,.:

i"

rrl;

j,1

jr"rl

t eciz

ze

tnt

ervar

ete

de

m on

otoni

e

si

c

onvexitat

e

_

07.

Cdte

functii

f

:

{1,

2,

B,

a)

f(r)

.t(2)=

+;

SETUL

2

op

pnosr,sMr

292



Teme

de sintezi

f,6. a)

si

se

demonstreze

ci

suma

a doui

funcfil

convexe

f,

g

r

-r

D

(I

interval

deschis)

este

funcfie

convex6.

b)

Si se

arate

ce urmitoarele

functii

sunt

convexe:

f

:

Q

-+

A,

f

(x)

=

ax4

+

bx2

+

cx

+

d,a,

b, c,

d

e

e

qi

a, b

>

o;

h:

(O,

+o)

-+n,

n(x)

=

4x4

+gx2

-Ex+Z+logl

x.

E

@acolaureo't,

799g)

)7.

Seconsiderifuncf.ia

f :D-+e

continuiqi

a>O

astfelincet:

J'*"r1t;at=3,

v

xee.

Si se

stabileasci

valoarea

de

adevlr

a

propoziflilor:

a)

f este

periodici;

b)

f

este

injectivi.;

c)

f este surJectivi;

d) f

este

mirglniti.

-

Ecuafii,

inecuafii,

Sgrw

I

os

pRonr.nup

TETUA

3

sisteme

de ecuatii

si

inecuatii

-

31. Si

se determine

x

e

Q

in

cazurile:

.2x-l

(x-l

2x+1\

€

t_.

_

I,

s

-[

2

'

s

)'

b)

3x+re[zx,x2+r].

)2.

Fie

funclia

f

:

Q

-+

D,

f

(*)

=

(zm

+ 3)*,

-

2(t

+ 3m)x

+

z,

meQ.

a)

Pentru

ce valori

ale

lui

m

graficul

funcliei

f intersecteazi

axa

Ox

in

doui

puncte

distincte?

b)

Se se

determine

m

e

p

pentru

care

gralicul

funcfiei

este

situat sub

n:a

Ox.

c)

Sn

se

determine

m

e

e

astfel

incit

ecuafia

f

(x)

=

O si aibi

solutiile

negative.

d)

Sn

se

determine

m

e

e

astfel

incit

solufiile

x1t 2t2 ale

ecuafiei

f

(x)

=

O

si

verifice

relafia

x1

+ 2x2

=

g.

I

C3. Se

consideri

ecuatia

*'

-

l*l

=

mx

(x

+

t),

m

e

e.

Daci

M

=

{-.

D

I

ecua}ia

are

exact

trei

ridicini

reale

distincte},

atunci:

a)

M=(-.o,-11;b)

M=(-r,r);

c)

M=(2,*.o);

d)

M=e;

e) M=e.

(Ad,mitere

AS.E,

Bucuresti,

IggZ)

293

-:?€a-

* 5t€

-E-+4

::rt**--

=5*

:

=

i :

_



Teme

de

sintezd

04.

Fie

A={{*,

")

ezxzl

l1llj_*_3,

l=ll=y+3}.

DaciM-

S

x

-.vq

rv':

6, .^-'

atunci:

ff;

ur

*=3,

c)

M=

f;:

al

M=z;")

M=#.

07.

pe

D

se

definegte

legea

de

compozitie

a)

Si

se

rezolve

ecuafia

2z

o

4x

=d,

b)

Si

se

rezolve

in

N*

ecuatia

Cg

"

Cl

"

Ci

=

44

+

n.

c)

Si

se

rezolve

in

e lnecuafia

x

o

t2

s

l.

08.

Si

se

rezolve

sistemul

de

ecuafii:

AI

=

roAI-',

cI

=

3"1-.

OfO.

Si

se

rezolve

sistemele

de

ecuafii:

.,{*'.:"-="

;

br [x2+vz=g

[z+2v*r

=

19'

",

lroar*_ro-go"

=rt

")

(z

-

o6)""

+

(z

+

+"6)"*

=

ro.

06.

Se

di

functia

f

:

D

_+

e, f

(x)

=

tE:

tg

rx.

a)

Si

se

determlne

D.

b)

se

se

determine

x

e

D,

astfel

inc6t

termenul

al

crncilea

din

dezvoltarer

binomulut

(r

+

*rt-))6

sln

fle

tE.

05.

S{

se

rezolve:

",ffi.rffi=f,

b)

G;t>r-x;

(Admitere

ASE,

Bucuregti,

(Bolco,laureat,

(Simulqre

Bolcalaureqt,

2OOO,

,,o"

prin

xoy=x+y_1,

V

x,

yee.

(Bqcc,llrurest,

2OO2)

(Admitere

uniuersitq.tea

Tfqnsiluqnis.,

Bra?ou,

2OOZ)

09.

Si

se

rezolve

ecuatiile:

a)

Zsin2x+Ecosx_4=e;

b)

sinx

+

2sin3x

+ sinEx

=

g;

c)

Jdsin

2x+cos2x=2.

.l

{3"-Jilr

=s

[-x+zg}le=5'

294



SETUL

2

oP

PnosLP[{P

11.

Si

se

rezolve

ecuafiile:

I x i I lx+i l+il

")

lr**

i**l=lr-i

**il'

lx+1

ut

l*-r

lz*+o

x+3

x

2x+

3

x.l

xr

I

stii

*rl

*51

+tl=o.

rl

za.

),

2x-

x

2

2

ind

C8 X1'

X2'

J2.

l*t

x2

Si

se

calculeze

determinantut

D

=

lxz

xg

l*s

x1

x3

surlt

solufiile

ecuafiei

xs

-2x2

+2x+L7

=O.

(Adrnitere

llniuersitotea

Bra;ort,

2OOO)

S[

se

determine

a

e

P

astfel

incit

ecuafia:

|

2-a

a-x

*-ti

i

t

-

*'

x2

-1

|

=

o

si

aibri

o rldicini

dubli

numir

intreg'

lz-a-zx

x+a

*-21

Si

se

rezolve

ecuafiile

matriceale:

13.

"

[;

;)

-=(l

I

l)'

b)

A"

=[?

l)'

""u"

Ae't(2(a)

r5

Fiecr,p.se,"=[l;:

t::)

r=[l',i:

: :)

""sedetermine

signatura

permutiritor cr,

9i

p qi

sn

se

rezolve

ecuafiile:

a)

alox

=

p16;

b)

a-zoorp-ror -

1ap)5o.

f6.

2x+y+32=l

x-y+z=-l

x+2y+mz=m

(Admitere

llniuersitate

a

Craiau

o,

2 O

O

4)

)7,

Se

di

sistemul

de

ecuafii

liniare:

(z*-v+z-t=l

,1"*"

+az+t=-1,

a,

beD'

I

fx+Y+

z-t=b

a) si

se

determine

a

gi

b

astfel

incdt

matricea

sistemulul

si

fie

de ran$

2 si

sistemul

si

fie

comPatibil.

b)

Pentru

a

=

-l

9i

b

=

I

si

se

rezolve

sistemul'

(Brrcg,laureo't, 1999)

295

(z

I

3.1

Fiematriceae=lr

-1

r

le.a3(n).

l.r

2

m)

a)

Si

se

determlne

rangul

lui

A

in

funcfie

de rn'

b) Pentru

m

=

I

si

se

calculeze

A-1.

c)

Si

se

rezolve

discutflnd

sistemul

de

ecuafii

liniare

t-i

,:{:

-1:

:;

ll

I

,t

Teme

de

sintezi



Teme

de

sintezi

08,

Si

se

rezolve

ecuafiile:

a)

x1-l5x2-16=o;

b)

c)

xa-gx3+14x2_gx+r=e;

d)

3x3+zx2+Zx+3=e;

zx4

+xs

-4x2

-lox_4=g.

09.

Si

se rezolve,

ecuafia

in

condifiile

date:

a)

4x3

-

r2x2

+

I'

rx

+ 3a

=

g,

daci

soJugiile

sunt

in progresie

aritmetic{;

)

2x3

-

(x

+

a)x2

+zx

-z--ol?"u

solufiile

suntin

progresie

geometrica:

)

xa

-

ois

+

ir,

_;;'.r;,;

."o

u,

xr

=

B

_

2Jr.

d)

xa-

4xs

+x2

+ax_

20=;',".-o

ur

xr

=2+i.

OtO.

Fiepolinomul

f

eZs[x],f

=X4.f

aX2+OX+b.

a)

Si

se

determine

a,

b

e

Z5

stiind

ca

f

;

(x

+

a)(x

+ a).

:iffiT

I

=

b

=

i

si

se

descompun.

porinomul

f

in

produs

de

factori

rre-

c)

Daci

dezs[x]

este

c.m.m.d.c.

al

polinoamelor

g=Xs+6x+i

st

f

pentru

I

=

b

=

i,

sri

se

rezolve

ecuatia

d

(x)

=

6.

:Hffi.

alte

posib'itatea

ca polinoamele

f

gi

g

si

aibi

cel

pufin

o

ridicini

Qll.

Si

se

arate

c6:

a)

daci

A

=

ft

b\

(c u)..r6(c),

atunci

:_,

_(^+d)A+(ad_

bc)t"=gr;

b)

extsti

o

matrtce

*

.

4r "),

pentru

c-a11

rurS

(rvr;

*

rang

(rU2

)

;

:l$il:tr:|l:'

B

E

'il2(6)u"tu

riou""abili,

atrirtr

matricei

Br

este

inver-

d)

daci

matricea

D

e,,//2(C)

veriflci

relafla

rang(o)

=

trng(D"),

vrrl'li.

rang

(D)

=

""ng

(o2),

atunci

(Bdco,lqureat,

2OO6)

Ol.

Fte

trtunghtuf

fnC

qi

M,

N,

p

miJloacele

Iaturilor

[BcJ,

[cA],

[AB].

sa

se

demon-

.streze

ci

pentru

orlce

punct

O

dtn plan

au

loc

relaglile:

a)

OA+dE=2[p.

b)

OT+dE+oe

=otlf

+6N+6F.

02.

Se

consideri

c(8,

8),D(3,

;:""t'*

A(3'

2)'

B(8,

4),

a)

Si

se

arate

ci

vectorii

dE

Ci

eD

sunt

vectorl

coliniari.

b)

Si

se

determine

coordonatele

punctului

Mdaci

Allyl=E_eD.

TEII4A

4

-

Elemente

de

geometrle

plan6

_

296



Teme

de sintezi

f,3.

c)56sedeterminecoordonatelepunctululNastfelincitBCNDesteparale-

logram.

Jt"Se

".

arate

ci

punctele

C,

M,

N

sunt

coliniare'

Fie

D,

E,

F

miJloacele

laturilor

[aC]'

[CA]'

[AB]

ele

triung[riului

ABC'

S[

se

arate

ci:

a)

6'nd+nE'6+cF'E=o;

b)

d6.Ee+6E.6+6F'ffi

=

o,

v

o e

3'

s[

se

veriflce

daci

au

loc

egalttiftle

pe domenlul

de existenfi:

sln2x

sinx+cosx

al

----

-

-

;

=slnX+cosx;

'sinx-cosx

tg'x-l

b)

2(sin6

x +

cos6

")l

r("rrrn

r+

cos4

x) +

r

=

o;

cos(-48o')

tg5?oo.sin675o

Jo

-

r

---:-

,

et

cos66oo

cosgo0o

6

)4.

35.

Si

se

calculeze

sin(a+b)

qi

cos(a-b)

daci

(n

\ /

s7r\

".

[;,n),

o.

[",

tJ.

35-

Sl

se

aduci

la o

formi

mai

simpli

expresiile:

.

s7n27x +

sinl3x

4l

-r

'

cog41x-

cosx

sln2

3x

-

sinz

7x

9t-

'

"o"2

gx

-

cos2

7x'

c)

sln2

x +

2cosacoaxcos(a

+

x)

-

cos2

(a

+

x);

a)

tef,+

tgx *rei,.

:I.jlr

Sl

se

demonstreze

c[

pentru oricare

8,

x

e

l)

au

loc

rela$iile:

")

(r

-

stna)x2

-

2xcosa

+

I

+

slna

)

O;

b)

sinax+cos4"t].

2

36

Se

di

triun$hiul

ABC

in

care

se

cunosc

a'

=L2,

B

=

1O5o'

C

=

15o'

a) Si

se

rezolve

triunghiul

ABC.

b) Si

se caleuleze

arla

suprafetei

[ABC]'

c)

Si

se

determine

lungimea

medianel

din

A'

d) Si

se

determine

R

qi

r.

m

se

dau

punctele

A(a+

l,2a.1),

B(sa

-2,8-

:-),

c(4,6),

D(1,

O),

dls'

tlrcte.

Si

se determine

a

e

P

in cazurile:

a)

c'entrul

de

greutate al triunghiutui

ABC

este

situat

pe

prlma

bisectoare

a

sha

=

q.

sint

= -|.

qi

5'

13

r{

:l

il

:i-jl

..;1

ai

:i

1i

*i',

a

i,

trti

"i'

t

i

ii

i

li

';li

axelor

de coordonate;

I

297



Teme

de

sintezi

b)

a1nc1=f,:

c)

A,

B,

D

sunt

puncte

coliniare;

d)

dreptele

eA

qi

Cp "rrrrt

p"oi"f",

e)

dreptere

AD.ei

BC

""";;;;;;;iio,rrrr";

punctele

A

9t

B

"""t

uiai

JJperi.ru

u"

d,reapta

CD.

TEIIIA

5

_

giruri

de

numere

reale.

Limite

de

funcfii

_

01.

Fie

(a")

o

progresie

aritmetici.

a)

Sri

se

determine

&1

qi

ralia

r

daci

2ag

-3a2

* 81s

=

42

qr

a2.tg

=

ll2.

b)

Si

se

calculeze

suma

Sr,

=

i

"a"

=r

c)

Si

se

calculeze

lim

S,

.

n-+@

n}"n

02.

Fie

(ar)

o progresle

geometrlci

in

care

a3

gl

as

sunt

respectiv

cea

mai

mici

gl

cea

mai

mare

solufie

a

ecuatiei

1.

;

Lr

+

log+

(sx

*

z)]

=

log4

(r

+

Jrox

-

r

r)

.

Si

se

caluulezr

e

)suma

S=

I.o"

k=r

(Admitere

ASE,

Bucurerti,

2OOZ)

o3'

?H,"rT;eIe

pozitive

x,

y,

z

sunt

in

progresie

aritmetici

cu

ratia

r,

iar

r

este:

unt

in

progresie

geometrici

""

,al.

-,

n

l,

atunci

x

+

y

+ I

a)

t2;

b)

_12;

c)

9;

dl

T;

e)

lS.

(Admitere

ASE,

Bucure,

ti,

2

OO2

b)

Iim

n

'-cos

n

.

n-+@

n-

+

I

o)

j1i(Ct.

&,

-

J;{;),

05.

Si

se

determlne

constantele

reale

astfel

incAtl

a)

Iim

(n2

+ an-

bt'

)

-

..

n-+.[

n+2

n+rJ-",

04.

Sn

se

calculeze

limitele:

n

i'*(F;.;u;.....;-),

c)timlft*l,

t

r)

';;rr[^-5*b'*"'*FJt

e)

Iim[n+r

*

3t

']o*'

n_+.\2n+l

6n+1J

298



"

f-*(

( n+P

12n+r

1

q

tim 8+-=;-t

=-,

r+=\

bn'+5n+4)

e

L

se

determine

a

€

p

pentru

care funcfia

qrcc1ficat:

(3x-4.x2-l

I

f(r)

=

ttr"

-

1)x

+

r,

x

<

-r,

xo

=

-l;

$

se

calculeze:

x2+x+3

d

fim

----

^

-i

z+*d3n-5X+l

x-4

ai

llrn

4--i

x+

J2x+1-3

cos 4x

-

cos x

Elu--..----.-._.---:--1-_l

"

r+o

gitl

2x

.

sin 3x

3t-g

3

Yrz

x-21

i$

H'

tg (L+

ex)

.

z+o

2xo

+x

(

dx-2 1x+2

E

limrl+-;-i

i

r+o\

xo +x+L)

Teme de sintezi

f

:

Q

-+

Q

are limiti

in

Punctul

r,

x+y

lli

se

determine

asimptotele

funcfiilor

f

: D

-+

Q:

o,

"'tdffi36'

d)lim4- Z**l

x--+9

./x

-

3

fl ltm

x2+x-6..

'

x-+-3

arctg

(x

+

3)

ax ox

hl ltmu

-'

i

'x-+o4x-3x'

u)f(x)=#'

d)

r(x)=**.

ln

(l

+

sin 2x)

lim_=#:

x-+o

ln

(1

+ 2 sin 3x)

'

._---x3-22

,.,oIJx2+zx-sl

r-rl

x+2

I

\,/

_2

r,

f

(x)

=fp,

xlxl

6i

f

(x)

=;ri'

5t

se

calculeze

limitele

de

giruri:

"

l**("

*

.h-*.....;*;)'

2nz +5n+2

-

N

*m

l(-:-*

-J-

*...

*

-J-],

+on[R/e+1

\iez+1

t/e"+f/



Teme

de

sintezd

-

Derivate.

n, p"*

I

DE

PRoBLEME

vr.

sa

se studieze

continuitatea

litatea

funcfiei

f

:

D

_r

il--

a)

f

(r)

=

xfxf

;

b)

ffx)-1x2sinx,

x<o

\,

[n(r+*2),*ro;

c)

r(x)-{G:r,

x>r

larcsinx,

xe[_1,

l).

02'

si

se

determine

parametrii

reari

astfel

ncdt

functia

f

:

D

_

o

"ii"

u"iiij.orru,

a)

f

(x)

=[*"

*ax-2,xe[r,

z)

[u*r-2x+c,

*.(2,

+.);

b)

f(x)

=

{t"".tg*

+

b,

x

<

o

[2ax+l,x>O

TEMA

6

Primitive.

Integrate

_

gi

derivabi-

03.

Ele

funcfia

f:D

\

{_ei

_D,

f(x)_

m:(+n

n

astfel

incat

,,rr.^

,,'u lr,-'tl-;;;'

rD'

D

e

D'

incrinatila

4doffi::#]".

2)es1'

rar

tansenta

Fiefuncgia

f

:D+D,

f(r)={t"lt-x),

x<2

ar

ex

^-

-

-

Lax"-x(za-b)

a)

si

se

determine

8,

b,

c.

fi";1r,il;ll:';t:

t

f

s{

fie

de

doui

orl

derivabild

il

Si

se

determine

m

J

in

punctul

A si ft

x=2.

o5.

b)

Pentru

"=-1

pt

b=c=O

sd

se

scrie

functiel

in

punctul

A

care

are

absclsa

egali

cu

ecuafla

tangentei

la

graflcul

rgf,,(o).

f:D-+p:

u)f(x)=.*(H),

O

f(x)

=tn(zx2

+2x+r)_+arctg_x=

Si

se

caleuleze

derivata

functiei

ar

f(x)=*?-s**2.

xo

+2x+2'

c)r(x)=iF,

Fiq

f

:(r,

+o)*(8,

*o),

f(x)=Bx+

x2

_x.

si

se

arate

c6

f

este

functle

inversabiri

st

si

se

calculeze

(r_r),{rr)

si

(r_r),(se).

06.



Teme de sinteztr

J7.

Se

consideri

funcfla

f :Q-+

n,

f (x)

=22

+

ar

-5x -6",

a > O.

a)

Si

se

calculeze

f(o)

9i

f'(O).

b) SE se

determlne

a

astfel incnt

f (x)

)

O, V

x

e

Q.

fo'

-

4x

+

b

-2,

xe

[-2,

o)

f,8.

Se

d[ funcgta

f

:

[-2,

4]-+

D,

f

(x)

=

)

|*2+(c

-2)x+r,

xe[o,

+]

a)

Si

se determine

a,

b,

c

e Q

astfel

incit

pentru

func ,ia

f si fle

apllcabili

teorema

lui

Rolle.

b)

Si

se

aplice

teorema lui

Rolle funcfiet

f.

trg.

Si

se determlne

numirul

solufiilor reale

ale

ecuafillor

algebrice:

a) 3xa

-

8xs

+

9x2

*

36x+

1

=

o;

b)

8x5*loxa*3oxs

+45x2

-m=o,meQ.

310.

Folosind

teorema lui

Lagrange,

8i

se rezolve:

a)

3x +

Loz

=22x

+

32=;

b) 7x+4x>5t+6x.

2x

c)

arcsin---

+

2arcttx

=

zr.

x"+1

Sprur,z

DE

PRoBLEMD

31.

Foloslnd

re$ula

lui I'Ilospital,

sd

se calculeze:

h

(t

+

ea")

at

l :;UL.

"z=f

;

loo.xlo2-lolxror+x

b)

lim

x+l

(r

-

*)'

I

c) lim(x-g)eE:

'r--r3t

t

-

x>3

"

;-tl-."

"dtt

]

)2.

Fle

Io

=

3*3{#9,

n

€

N,

9i

p

cel

mai

mlc

numir

natural

pentru care

este

numlr

real

nenul'

Daci

M

=

;r31(t.

*t") '

atunci:

p

a) M

=

eVC;

b)M=-"Ve;

c)M=3e;

d)M=2VE.

(Admitere

ASE,

Bucureg

ti, 2 O O

4)

33.

Fle

f :

D

-+

Q

o funcfia

polinomiali

de

gradul

trel.

a)

Si

se

determine

funcfia

ptiind

ci

are un maxim

local

egal

cu

-l

in x

=

I

gi

mintm

local

egal

cu

-2

in

x

=

2.

b) Si

se

determine

lntenralele

de monotonie

ale funcfiei

f.

c)

Si

se

arate

c[

punctele

de

extrem

local

gi

punctul de inflexiune

ale

graffcului funcliei

f

sunt colinlare.

di Si se

reprezinte

grallc

funcfia

g:

D

-+

p'

g(x)

=

f

(x)

+

1.

e)

Si

se

calculeze

aria

suprafefei plane

merginite

de

graflcului

funcfiei

g

qi

axa Ox.

301

t

,

, ,i',

in



Teme

de sintezd

04.

Fle

funcfla

f

:

Q

-+

A,

f

(x)

=2a

+Z-x.

a)

S[ se

verlflce

c[

f (x)

*

f(-x),

V

x

e D.

b)

Si

se

calculeze

f,(x),

x

e

D.

c)

Si

se

arate

ce

f

este

strlct

descrescitoare

pe

(--,

O]

gi

strtct

cressltoare

pe

[o,

+

o).

d) 56' se

arate

ci

functia

feste

convex[

pe

e.

f'

r /t) at

e)

Si

se

calculeze

tim

'o

I i

x-+@

f

(")

@ocalaureat,

2QO4)

05.

Seconsider[funcfia

f :D-+n,

f

(x)=a)(*Jb-t.-.-1,

a>O,

b>O.

a)

Si

se determine

parametrii

a,

b,

c

e

le,

astfel

incit

dreapta y

=

2x

+ I

si

fie asimptote

obnci

spre

+co, iar

y

=

-l

s{

fle asimptoti

orizontali

spre

_o.

b)

sise

determine

aria subgrariculuituncgi"i

e'[:,i]-"

e(*)

=(x+r)f

(x).

oo.

se

consideri

funcfia

f

:

[-r,

2]

-+

n,

r

(*)

=

[:',

*,*: c'

x

(

I

'-\'-''

lm("2

_3x+B),

x

>

r'

a)

si.

se

determine

a,

b,

c

e

e

astfel

incit

funcfiel

f s[ i

se

poati

aplica

teorema

lui

Rolle.

b)

Pentru

I

=

-c =

-1

pi

b

=

O

si

se

calculeze:

2

H"'

1[rfr).

rfA)

*

...

*

r(r)1,

n-+6

ll

L

\n/

\n/

\n/l

ri-

I

fr|.r

*

l)*

rl,r

*

3)

*

...

*

rfr.

t').l.

n-+on[

\

n)

\

n/

\

n/J

c)

si

se

carcureze

ti

"(r.r

*)*.

O7. Fiefuncfiite

f,

g:e-+e,

f

(x)=x2-ax

qi

g(x)=aax_

x2,

te[O, +o).

a)

si

se

studieze

pozifia

paralelelor

corespunzitoare

funcflilor

f

si

g.

b)

Si

se

calculeze

aria

suprafefei

plane

S, cuprinsi

intre

cele

dou6

farabole.

c)

Daci

A

este

punctul

de

intersecfie

a

celor

doui paralele,

dlferit

de

origine,

si

se

arate

ci

dreapta

oA imparte

suprafafa

s in

doue

suprafefe

echivalente.

08.

Se consider[

funcfia

fr, :

(O,

+

o)

-+

n,

f"

(x)

=

C1+.

a)

Si se

rezolve

lnecuafia

fr

(*)

-

f2

(x)

> O.

b)

sri

se

calculeze

aria

suprafefei

plane

mirginite

de

graflcele

funcfiilor

f1

si

f2 gidreptele

x=1, x=e.

r{As\:

302



i

c)

S[

se

calculeze

volumul

corpului

de

rota]le

g

:

[r,

e]-+

a, g(x)

=

xJi[r1(x)

-

12

(x)]'

3'9,

Se

consideri

funcfia

f

:

D

-+

n,

f (x)

=

x2oo6

+

l'

a)

Si

se

calculeze

f'(x),

x e

Q'

b)

Si

se

calculeze

f,f1*;c*.

c) Si

se

arate

c[

funcfia

feste

convexfl

pe

Q'

d)

si

se

calculeze

ti* (I)J-(9)'

x-+O

X

e)

si

se

calculeze

}r**

f,sinxdx'

TEttIA

7.

-

Structuri

algebrice

-

compuneril

permutirilor

pe

mulfimea

G2'

b) Si

se

arate

ci (Gr,')

este

grup comutativ

Ci

(G2'

")

grupului

(sn,").

c)

Si

se

arate

ci

(Ct,

')

=

(Gr,

")

'

303

deterninat

de

funclla

(Bolcotaureo't,

2OOG)

este

subgruP

al

11,

Pe Q

se

consideri

legile

de

compozifie

,

o

"

Qi

,,

l-

"

definite

astfel:

x

o

Y

=

x +

Y

+

2,

x

)-Y

=

:'Y

+

x +

Y

+

a'

Vx,yeQ.

a)

Si

se

studieze

proprietfllile

legii

"

o "'

b)

S[

se

determine

a

e Q

astfel

incit

legea

,,

J

"

s[

fle

asociatlvi'

c) Pentru

a

=

O

si

se

rezolve

ecuafiile:

(*'

-t).

(z*-

3)

=

6,

z*

r

(2"

-r)

=

zr'

d)

Se

se

rezolve

sistemul

de

ecuafii

pentru

a

=

O:

[(x+r)"(y+1)=o

l(x+r)r(v-r)=2'

e)

gtiind

ca

(-z)

l-

3

=

-5,

si

se

arate

"e

? 2 +)2=',

5"[(-')

''o]'

v

n

e

n.'

Se

consideri

mulfimile:

",={[;

:),[:

l),(;

:)

(",

;)]-

'a.(n\t

((t

2

3

4\

fl

2

s

4)

fl

2

3

4)

fl

2

s

+)l

.,=t[l

;;

;,)'t;

;

;

;,J,[;

;

;

;,l'[;

;

4'J]""

a)

si

se

stabileascd

tabla

inmulfirii

matricelor

pe

mulfimea

G1

9i

tabla

Teme

de sintezi



Teme

de

sintezi

oB.

se

di

matricea

A(a)

=

[t f:

t'

')

a)

si

se.,","

*

;;, ;gj;:1""".*,

or"",u

ar

ri

a

e

D.

]|ff

::ilj;;.

e(.)

A(b)=

e(a+

b),

v

a,

b

en.

r

ecuafia

A

(x

+

r)

A

(2)

=

A

(r

_

*)

Aa.

d)

si

se

rezolve

sistemul

de

ecuatii

{^'

@+

By)

=

A

(-8)

e)

Daci

c

=

{e(a)

|

a

e

n}

"n "".".,i:i

;l;,:lli;if]j*;;]

)

Si

se

stabileasci

un

izomorflsm

intre

gtupurile

(C,

.)

*i

((O,

+ o),

.),

04.

::*Tn

o,t""

.,".

". se

conetderi mulftmea

de

numere

trtr

=

t*

I

tr'

et-j.

a)

Si

se

arate

ci

daci

r,

y

e

Hrr,

atunci

x

+

y

e

Ho.

b)

S{

se

verlflce

c6

daci

".

ff",

atuncl

_x

e

Ho.

c)

Si

se

arate

c6

daci

x.

Ho,

at.rrr"i

Ilo

c

Hn.

:'.T":"

arate

ci

pentru

orlce

numir

rafional

r,

exlsti

n

€

N*,

astfel

itrc*

"l

t:

se

arate

ci

dar:i

(c,*)

este

subgrup

ar grupurur

(e,

+)

t

;J.

G,

n

e

N-,

atunci

H'

c

G.

0

Sa

se

demor

i*Ll

:

=

"*;:

:::;:;,1"

;;;T:?#":

lf;::Xil,il:H

(Brrcrrlq;ureqt,

2OO2l

05.

pe

multlme"

A:

lxl

sedeflnesc

operafiile

algebrice:

(a,

u)

+

(c,

a)

=

(a

*

",

t

*

a),--"---

(",

b)

'(c,

d)

=

(ad

+

bc

+

2atc,

bd

_

ac).

a)

si

se

arate

ci

(A'

')

este

monoid

gi

si

se

determine

murgrmea

ql

@).

)

Si

se

arate

ci

(a,

*,

.)

este

inel.

c)

Inelul

(e,

*,

.)

are

divizori

ai

lui

zero?

06.

in

mulfimea

,,U2(A)

mulfimea

o=[(

1

Il-;

complex

z.

se

consideri

matricele

o)

o)

er

=[;

l),*

=(l

,1"'*."],

*db'

304

unde

t

este

conJugatul

numirului



lsl

€;,,-

Teme

de

sintezi

a) Si

se

veriflce

cd 12

e

G

9i

02

e

G'

b)

Sise

arate

ci

daci

z,

w

eO

9i

lzl2

+lwl2

=

o'

atuncl

Z=w=O'

c)

Si

se

arate

ei

daci

P,

Q

e

G'

atunci

P'$

e

G'

d) Si

se

arate

ci

daci

D e

G,

D

*

02,

atuncl

D

este

matrice

inversabill

9i

D-r

e

G.

e)

Si

se

giseasci

o

(-1

0\

"=[o

t).

f)

Si

se

arate

ci

daci

A,

B e

G

9i

A'B

=

02'

atunci

A

=

Oz

sau

B

=

Oz.

g)

Sn

se

arate

ci

(c

f

{Or},

')

este

gnrP

necomutativ'

h)

Si

se

arate

ci

(C,

*,

')

este grup

necomutativ'

(Bqcq,lo:ureo;t,

2OO4)

Se

consideri

polinomul

f eC[x],f

=(r+***')to

cu

forma

sa

algebrlci

f=azoX2o+...*a1X+a6'

a)

Si

se

determine

as

fi

41.

b)

Si

se

calculeze

f(r)'

f(-1)'

f(t)'

c)

Si

se

calculeze

suma

coeflclenfilor

pollnomului

f'

d)

si

se

arate

ci

a6

*

a4

*...

*

a15

=

|[ttt)

+

f

(-r)

+

f

(i)

+

f (-t)]'

(Borcqlo;ureo,t,

2OOO)

Fle

f e

C[X]

un

pollnom

de

$radul

n

e

N*'

a)Sisedeterminefgtiindcifuncllapolinomialiatas'atlverificiegalltatea

f(*)-

f'(x)

=

{,

o

x

e

Q,

(1).

b)

Si

se

arate

ci

daci

f

verifici

relatia

(1)

atunci

nu

poate

avea

ridiclni

reale

multiPle.

c)

Daci

fverifici

relafia

(1)

si

se

calculeze

f*ttt)'

d)

56

se

rezolve

in mullimea O

ecuatia

f

(x) +12

=

o

pentru

r

=

4'

Pe

mu$imea

p

se

consider[

operafiile

algebrice

x-L

y

=

x +

y

-

I'

xTy

=zxy

-

-2(x+

Y)+a,

V

x,

YeQ.

a) S[

se

determine

a

e

Q

pentru

care

(P'

1'

T)

este

inel'

b)

Pentru

a e

Q

determinat

si

se

stabileasel

Ol(A)'

c)

S[

se

alle

tn,

n€p

Pentru

care

f

:Q-+n'

f(x)=3x+n

este

izornorflsm

intre

corpurile

(n,

+,

')

+i

(n'

f'

f)

'

305

-9=+,#-+=G==-:=affitf

3*a-:'

: :,'i

_

matrlce

X e

G

cu

proprietatea

ci

XC

+

CX'

unde

J7.

ii

E

t

G

E

,{



respunsuri

INDICATII

SI

RASPUNSURI

-

ALGEBRA

-

CAPITOLUL

I.

Grupuri

l.]"_gi-q"

compozifie

pe

o

mulfime

1.5.

Tabla

unei

tegi

de

compoziiijlpag.

rZ1

.82.

a)

a=o,

a=1,5.

.

EE.

c)

x.{i,

2};

a)

*.{0,

4}.

.

eo.

rt

".{0.

i

b)

x

=

2,

y

=S.

.

89.

a)

Avem

x,

y€[2,

.o)=

x_220,

y_2)0+("_tr,,l-_

)O=xy

-2x-2y

+4>O=xoy)2.

c)

Se

are

in

vedere

cA

det(A)

=

a2

_Z*

Ei

det(A'B)

=

det(e)'det(e).

o

Etl.

al

card(,//)

=

6;

b)

se

aratd

ca

A=

_

a

_

Am+n

.A2.

b)

Din

x,

ye[4,6J

se

obfine

cd

x_5,

y_be[_L

r]

sau

l*_SI<1.

J_

S1.

As,adar

i("-s)(y-s)lsr si

-1<ry-5x*by+

2s<1,

de

unde

rennil

41xoys6. r

A3.

Avem

x,

y>2-a(x

_2)(V-2)r0+xy

_2(x+y)_+rili

=+xy-2-2(x+y-S)>O*

xy

_2>2(x+y_g)=+xoy>2.

o

"{6.

a)

r,I

=(x-z)(V-2)+2+("-

2)rz,

pentru

aef2,+m);

c)

x=fZ,

y=b.

rA8.

Fie

MclD

partestabilaalui

lD

qi

xeM.

Atunci

xreM,

v

ne\,

-

rece

M

este

ffnitd

existi

m,

n€N',

cu

xm

=xn

sau

x-

_xr

=O.

Se

x=O

sau

x--.

=1.

Se

obfin

mul{imile

{O},

{U,

{0,

U,

{_1,

i},

{_1,

O.

I

.

Mc,D

avemcA

x=0

sau

xp=1,

deciMpoatefi

{O}

,%._ei,,l/nwlO"

'un

este

mul{imea

radacinilor

de

ordinul

n ale

unitdtii.

.

A9.

3e,

respectr

legi

de

compozitie.

2.2.

Proprietatea

de

asociativitate

(pag.

20)

rE3.a)

?=c=l,beL:

b)

a=2,b=2;-d)

a=b=1.

€

{(s,

o),(0,

r)}

rAl.c)

x=0..A4.a)

a=b=O

sau

A.B=(a+b)AB

si

a,

bete.

c)

ae

te.

c)

ax=xa,

V

xeM;

d)

ax=xa,

V

xeM.

.eO.

n9.

2.4.

Elemente

simetri

zabile (pag.

2Zl

oEl.

a)

e=O;

b)

e=-1;

c)

e=B;

d)

e=O;

e)

e=3.

.

Fj2.al

e=_2:

b)

e=*

ll

c)

e=::

d)

e=2s.

.E5.b)

a+3b=3=:,a

a

=

1,

b

e

lD.

b)

Deoarece

AB

=

BA

.A5.

a)

ax

=xa,

V

xeM;

b)

a

=11

.r&.tt

-



1

*-=-=-

card(A")=

|nl,

nentru

n

>

2'

Grupul

j

J.::tru

n>

4,

avem

o.6

*

6o'

unde

"

=

f 1

l4

:

=-l:

b)

a=5;

c)

a=30.

'A4.

a=b=O

sau

a=-1'

b=1'

r

,.

=

tlil,

a(.,il)={-1,

1\e't/r'

I

si

probleme

recapitulative

(pag'

28)

-r-t

f

e,z;(M)

s,i

f'el(M)

cu

f

'f'=1r,,t

=f'"f

atuncif

estesurjectivi

r

:-

-i

respectiv

f

'

este

surjectivA

qi

f

injectivd"

AQadar

f

este

bijectivf,'

:=

:

este

funcfie

bijectiva'

'

A4'

c)

U('t;)='i'

c

A8'

Se

aratd

cd

f"

an

de

gruP.

ExemPle

(Pag' a5)

.

eo._1c,,.).

.

pe.

b)

Se

aratd

c5

A3=Is,VAe

M

qi

AIB=A+

.

89,

a)

Avem

e(o6)=e(o)'e(a)=r'1=1'

deci

o6

este

permutare

*

lndicalii

.si

risPunsuri

este

comutativ

Pentru

2 3

4 5

n)

L

3215

n)

:

1

,t

i

t

-\

.I'

i

+

r

...

nl

t.

rT--J...n)

dc

calcul

intr-un

gruP

(Pag'

51)

-

,.=2,(r-

i)'=2,is=b-4i..82.

A"=[:

T")

'E3'b)

x'=

.

E-1.

b)

x,

=(x

_+)"

*4.

.

Eb.

c)

Inductie

matematica.

.86.

c)

x"

=

-rr:

:rrrrernatica'

3

A2.

a)

Rezultd

succesiv

a=b2

=("')'=a4

9i

cu

r.:

-

ii

se

obtine

ca

a3

=

e

qi

analog

bs

=

e'

Aqadar

x2

=

(aba)(aba)

=

t,:1.

=al

gi

x3

=

aba'a2

=ab=

a'u2

=e'

"

A3'

Avem

ab=e=.a=

I .::

.A1o.

al

x2

=e-x-x-I'

Atunci

xy="-t'y-t

=(vt)-t

=r"'

,t=.:l'.-l-x ''xY-)o{yysidup6simplificAriseoblineyx=xy'

z

.,-

-t-,

-

\,-1x-1

=*-,y-t

=)

x-l

=yx-ly-I

-

x-ly

=),x"i

*

)D(=xy'

,

=

-"-

I

se

obtine

ca

xx-2

-

x-2x-l

=)

[

=

x-l

"au

x2

=

e'

=

:q-l

-':l<-2

=

x-rx-2

=*

xG

=

e,

iar

pentru

Y

=

x--l

se

obline

X4

=

e'

'

tl

=e

etc.

lr:.

::

:..

=1

se

obline

ci

existEt

p'qeL

astfel

incAt

1=mP-FnQ"

ry

=

.

---: =i(ry')-)'

(t"vi")-

=({*)*)'

({w)"1'=iv-^)*o.nq

=rx'

307



'45'

f:Gz

-+Gr,

f(cosc+isino)-[

cosa

sinc)

.Ag.a=b=1..A

'[-sina

"o"oJ''47'f(x)=tg-x-

'Arr.

r:

D

-+

",

ri;'=t;ry)

=

r(x)'r(v)

o

(ry)-'

=

*-'u-'

c)

xy

=

)x

6.

Subgrupuri

(pag.

64)

'

tt;:i;1":;:';"=2'=)

x'=2-n'

Dale

x,

".*,

atunci

x=2m.

r=r:

(-s)*

s.2=o.

Fie';.T','j;j'

l*i

i="

i.a'

';;:';;:*;;

(-s)*3.2=o.

Fie

"nrur

,-_-)i1'-:""'x=x'leA'

r

E'7.

oeM,

deoa:=:r

a,

beM,

atunci

^_,".M,2=2x+sy.

opusul

este

*z*

f**l+3.(_-r-

--r

r

Ar.

Fie

H

=Hr

"":'Ij::.::?13.",-",,+s-(-v,;

=

rl

x,)+3(y

-r

€

::"lT:

jy:trili:,:,lfiJ;.*iIJ;,:'#JjJ:1Tfii::T#

::.1=:;T:

=

G'

A2'

e2='1"'il

i(")

";"":::":iiil:::"ili#'

=f/xv-r) do^i

^-

:t

:,:-:(*)'b=f(v)

$i

ab-r

=f(")'(r(v))-'=f(x).frr,---

=

r('v-'),

deci

ab-r

e

r(H).

.

e+.

..;,;;r.""

:'=tt

(v)l

'

=

r(*)'rrln--'

=

;,::;fi":

u(.,trr(a)),H={o."1

o,

=rrJ.

A,r"_,

*=[9

,).

,,r=f_,

2)

,_ _

\.\.,

(

o

r)

--

.,

(--r

,\

(t

o/'

'

=lo

,)'x'

YeFl

a-

o=l-"t

'j

ut

1ol'=.(-;

3)-"

rAE.

Fie

xe

H

si

aeG

\

H

fixar.

Ar,:r,-

:."

\

H

qi

r(*)=g("*).

nezurta

ficare,

f(x)=g("j,*.u,

deci

f

=u

"t

r(a)'r(x)=8(.).g(")

eidupdsirn;u-

ceruta. pentru

xEG.

;;:::^:*,

o:,G.'46.

Fie

(G,+)

cu

o-on.*.*

obfine

".

",,,

(r"

*li

-T

;5J

(-"))

=

f (o)

=

L

0""'

r1";

r1-";

=

,

Ei

s*

2

'Dur-____-___-___i_

=

l.

De

aici

rezultd

cd

deci

GcZ,

oe

unoe

G=nz.

r

A8.

^.,":.*:;:r*:""t

cos2nx=r

si

x=Z

xeKerr,

atunci

r(x)=6

si

de

",",

o(i"=^;

;:It":l

r(x)=*r(r).

Dace

gi

astfel

Kerf

=

z,

deoarece

f

(x)

=

d(l).

0

se

obtine

f

(r)

=

r:

308

-F*i



*j

{,4

a..i:"r

{T

'ri i

I

i

?.

Grupuri

flnite

(Pag.

71)

.

Al.

a)

DacA

existd.

x e

G

cu

x'

=e,

atunci

G

=

(")

9i

G

este

comutativ'

b)

Fie

:=ord(x);

atunci

p

I

n

qi

avem

n=pq,

x"

=;Pa

-("o)o

=:.

o

A4.

Rezulti

ca

t'

)t

=

x6

=

e

qi

(y)2

=

fqrx

=

V(V3")"

=y4x2

=

x2'

Aqada.

(yt)'

are

ordinul

3,

.i:j.

)x

ordinul

6.

Dar

(y")t

=y"(Vr)'=yx.x2

=y<s

=y

qi

de

aici

y2

=e.

Din

=latia

datd.

>Y

=

Y3x

=

ry

=

ly'x.

CAPITOLUT

il. Inele

gi

corPuri

1.

Definifit

gi

exemPle

(Pag.

84)

.

E2.

b)u1/(L)={-1,

-3}.'

eZ.

b=3-3a.'

A4.''t/(M)=(0,

+'o)

\

{l}'

2.

Reguli

de

calcul

intr-un

tnel

(pag"

9O)

It.x<o l.o,x<o

.

E2.

r(x)=t;,

",;

e(x)=ti'";;'

Avem

r'g=o'

Y

xet'

respectiv

xerQ'

'

E3.

b)

a

(E)

=E

\

{(o,

o)}'

'

E7'

Se

are in

vedere

ca

-2

=2'

.

AS.

Din

relafiile

(f

-aU)x-l

=l

gi

"-t(1-ab)=1

se

obfine

x-r

-l=abx-r

=

=

x-rab.

Avem

(f

-Ua)(f

+bx-Ia)=1+bx-ra-ba-babx-ra

=

b("-t

-1)a+1

-

-babx-ra

=b.(abx-l)a+l-babx-la=babx-ra+1-babx-ra

=1'

n

A5'

Avem

I=1-".

=(t-")(t

+a+a2

+...+a""-r).

r

116.

a) Ohrfinem

(-*)'=-x

Qi

x2

=x,

deci

x=-x,vxeA,

sau

x*X=o.

b)

(x+Y)'="+yex2+xy+yx+y2=x+

-y(e)iry+yx=0€xy=-yx-fx'

o

A7'

a)

Avem

x6=x

Ei

(-x)u=-x'

deci

x=-x

sau

x*x=O,Vxe

A'

Rezulti

ce

(x*1)u=x+1*x6+6x5+15x4+

*2Ox3+15x2

+6x+1

sau

x6

+x4

+x2

+1

=x+1=xa

+X2

=O-+xa

--:I(2

+

t

X6

=

-Xn

=

-X2.

Dar

X6

=

X:)

)(

=

-x2

) X=

x2,

deci

inelul

A

este

bOolean

qi

este

comutativ.

r

A8.

Din

problema

A3

proprietatea

are

loc

pentru

n=1'

Presupunem

ci I-("b)"

e

a(A)'

Atunci

l-(ba)"

€

z(A)'

Aritam

ca

P(n+1)

este

adevirat'.

Avem:

1

-(ab)"*r

e,lt

(A).

LuAnd

x

=

b(ab)"

=

I

-(ab)"*l

=

1

--

-ax€

,a(A),

deci

1-xa

e,il(A).

Dar

1-XEr=l-b(ab)"&=l-(b")"*t

9i

astfel

t

-(ba)"*t

e

a(e)'

o

D2.

Se

are

invedere

c[

din

I+1=O

rezultd

&*a=o'

v

aeA''

D3'

Din

ega-

litatea(r+r)(r+1)=1+1+l+l=orezulticil+lestedivizoralluizero.Dar

1

+ 1 +

o,

altfel

ar

rezulta

ca

inelul

A

are

caracteristica

2.

'

D4'

Daci

n

nu

este

prim,

atunci

n

=

p'q

s'i

avem

p'Q

=

n'1=

0'

deci

inelul

are

divizori

ai

lui

zero'

in

contradic{ie

cu

iPoteza'

{

309

.cffirf#

]*#@ q+r'*-q



9i

rdspunsuri

3.

Corpuri

(pag.

9a)

r

44.

a)

Se

aratd

ul

=(ab)-,=b,

"' ;':::'",j-rf:;Lr]'

deci

ab=r'

a=b-t,

b=a-r.

Ar.s:

:: "1 ;-'^ T::"i.i'"""

=',

:"

='

o,.,

."li,,l'lTl;

1

;;

ll_,

-T:

;:,"=

'>a3

*l

=0+(a-r)(a,

+a+i)=0.

cum

a

_r

*0,

rezuitd

";:"

;:'_l'=:

;

H,HIJ:;?=?

Tl,i=,r..,r=;,,,,,",

x2

-r+r+1+r

=0.

Dar

K

es,.

:r

4.

Morfisme

de

ine

'":',,_::

i+;FJ

i,"

$:T,#,#:l

r(ry)

=

r(x)

r(y),

y

x, yE

Z,E

ezultdca

f(nx)=nf(x),v

xenlJ2],r.z,

pi

f(n)=nf(r),

v

neil..

Atunci

r(x

+

y€)

=

r(*)*

f(v)

r

(Jr)=

x

+yf(.D).

asaoar

izomorr.ismir

',";;::";T:":':'.

:i' ::t)

Dar

2=r(2)=r(r,

rr)=(r(o1r,

t(J")=

+Jd.

Dar

tJd

*ufJsl:t,

o."r

.,,,

existd

;

:

*;

;;;

rr,lq,,l

-^,

_l,Ji[?,"i,,"i::

::",:,"^::

sunt

izcmorfe.

b)

q;

si

Q

nu

sunt

ca::nn

chivalente.e)

Se

aratS nr f1-\__,

-

^-','

-'

v

Pr

r?

nu

sunt

ca:=

:

j ;,;".;

{

:iT[.

i

lF

I

J,

"l

;,

l];;

J

i

ffi,

"":]iH,:"

::,.:

eci

are

forrna

f

{m)

=

mr(r).

Deoarece

f

(l)

=

i,

rezutt'

";t'rdl;,

::1;

)

Fie

f

:t^

_+2r,,

morlism

de

inele.

p.T

r^.,1ni+x

^-

.,

f)in

relafia

f(x+y)=f(")+f(1,1.3,

,.

E^,

rez,rta

cd

r(px)=pr(x),

v

".2,",

",

;(rj=;air:.;:,

+r(y)

::

i

e

9{PII LUL

&r.

rnele

de

potinoanne

3.1.

Adunar""

ut

llpyt3ie-anffi1'r*"ro,

scrise

_^

".rl

formi

algerriciipa;;;;-

.

EP.

a)

pentru

m

=,+gracr(f)=o,

;i:iin;i:i

TlilT,lo,i:j*,:;:.j:,='

b)

:

=

"

83.

b)

m=i+gr"d(f)=1,

m*6=rgrad(f)=0,

m=i+grad(f)=2.

e)

;=

"

ffi.T:?;j;

-:l

-',+

grad(r)

=2,

me,c

\

{-i,

0,

i}.+

grad(r)

=

3

'

lu'

o*i

t(o)-s( '

r(i),s(i)'

r(o)-s(i)

Rezurtd

cd

a

=i,

b+

c=i,

2b-

:

=

0,

cu

solutiile

a=i,

b=0,

"=i.

.

ag.

S=a+bX+cX2

+dXB.

Din

con,:_:i

e

egalitate

se

obfine

a

=i,

a+b+c+d

= ,

^

+ib*

4"n3a

=0,

a

+su+4c

_

i:

=

3,

a*b+c

*d=2.

Se

obfine

a=i,

b=3,

c=i,

o=e

l^rn.

a)

Daca

f

es::

3io

*rd#

'



1=

=

s,

este

dec-

rj

Fi:

V.

-uncfie

polinomiali'

atunci

si

f2

=

lxl2

este

funcfie

polinomiald'

Rezulta

cd

i2

=x2,

deci

f

are

gradul

l'

Dacd'

f

(")=ax+b*ax+b=l*l'

V

xe

lQ'

Pentru

r=O=b=O

sipentru

x=I3a=1'

Dar

f(x)=x*lxl'

b)Avemca

ld=f(x)*x2'

]eci|x|arfifuncliepolinomiald'c)Dacd"farfifuncfiepolinomialS',atunciqi

z1=f

@)

-22

ar

fi

funcfie

polinomialS.

Dar

dace

g(z)

=

lzl,

atunci

pentru

x

e

Q'

ar

rezulta

ca

g(x)=lxl

este

funclie

potrinomiali,

Fais'

d)

Dac6

(K'

+")

este

:orp

finit

at.unci

orice

funcfie

f

:

K

*+

K

este

polinomiala'

intr-adevir'

fie

1J1",,

"r,

...,

x")'

Lu6.nd

f

:K-rK'

atunci

alegem

polinomui

g

de

gradul

r-l'

astfelincat

g(x')=f("')'ie{1'

2""'n}'

sistemulverificatdecoeficienlii

:olinomuluig,estesistemdetipCramer,deoarecedeterminantulsiuestede

::

\randermonde.

3.2,

tmpArfirca

polinoamelor

(pag'

118)

'

ez.

a)

"=

-#tb)

a=

2,b

=-2;

cl

a=

-2'

6=O;

d).=0;

e)

"=6,U=2"

.

A3.

RestuL

este

de

forma

r=aX+b'

iar

t(")=an+b

r:meticd..'AS.

a

=trl,

Lr=tr'

c=

2-m'

d=1'

rne

lQ'

r

A?'

*lX2

+22X+m'

t-3.

impir{ .rea

la

X

*

a'

gcherna

lui

Horner {pag'

123}

.Al.Sepurreconditiaf(*i)elB]'Seobtine:a)m=1;b}nre{*3'3}'eA4'in=

=i.n=-2.

n

lL6.

o=6'A=)'

a

617'

Din

f

(2)

=_12

se

oblirre

n=4'

apoi

-=-76.'A8.Avern

2^

+2n+1=13

9i

4*

+4'+-I=81'

Seoht'ine

m=3'

n-2

:.:i

m

=2,n=3

qi

f

=X3+X2+1"

"AI'O'

t=0'n-i'

'All"

Folosindformuia

*:

\loiwe

se

obline

cf,

sin

cx

+ sin

2cx

+ sin

3cr

+

sin

4ry

=

t

+

J7

si

cos

cr

-l-

cos

2u

+

_

::s3cr_r-

cos4u =

*i.

A

doua

rela{ie

se

scrie

cos2cr

+

2cos2

2a

-l+

2cos2a'

::,scr

=

-1

sau

cos2s(1+2cos2cr

+2coscr)

=O

cu

solulia

"

=fr'

"d.

Divizibilitatea

polinoamelor

(pa$'

133)

'E4.a)

rn*-3;

b)

m=*;

"l

*=2;

d)

m=3'

38

,A1.a)

'u{i,i};u)

3=6;

c} (a,b)e{(i'O)',(2'i)',(0'2)};

d)

a=i;

e)

a+b2=

=

i.

.

A3.

se

pune

conditia

ca

f (e)=

0,

unde

es

=

r,

0

*

1.

se

obtine

nl=

2'

'A4.

me

{0'

1,3}.

'aO"

f

=a(X3

*9X2

+26X+SO)'

'A?'

Se

obtine

aXs

+

-

:x2

+

cX

t

d

=(sux2'r

2hrX+.")[*-,,)

+i

apoi

b

=

3act'

c

-

9aa2'

d=

27act3'

care

este

Progresie

a=6,b=5.f=X3-

.:'

r.:..1i:/i;.: i4...44:::;'i:::.

=

|

:

)

*-#€;.G;+-**ffif:'1

1=

f

-

311



.3

-:-

rA8.

me

{o,2}.

.Alt.Avem

f

=(g+x")r_X,=g,

+2g;.n+x2,_X,

s:s

arats'

cd

x2"

-x'-x'(x-l)g.

o

At2.

a)

f

-(g*x)n,*r

*(g*x)n,*,

=(g_rr-+g-X)'Q

=2g'8. b)

Deoarece

X-l

=X,

-g

se

obfine:

f

=(x2

*g)"*,

+X2.-

=

=

g.

h

+

(X2)n+2 *

;E2n+l

=

g

.

h *

72n+4

*

;12n+t

=

g

.

h

*

;12n+r

(*.

*

r)

=

g.

h +

XL_

'(x+t)g'

d)

f

=("t*sX2+BX+1)".(x+r)2

+x+2=(xg*l)".(*r*

2x--

-

+X+2=9'h+(X2

+2x+l)

+X+2=g.h+g.

.

Atg.

f

=X-

*(Xr_S)-

*t=X=

*

+x2-

+g'h+l'

seconsiderS.apoi

m=3k,

m=3k+1,

m=3k+2

etc.

5'

Descompunerea

polinoameror

in

factori

ireductib'i

(pag.

r44)

E3.a)a=6;

b)

a=2;cl

a=6,b__6.

r

Al.

a)

DacA

x e,e,

atunci

f

(x)

=(Z*

+

Sx2

+

x)+

(x3

+2x

+g)JE

.

e,

irnr_.,:*

x3+2x+3=O

gi

x=-l

etc.

b)

Daca

xete+f(x)=2x3+5x2_3+i(x2

-2x_:

.

^=O;

O*t

x2-2x-3=0,

deci

xe{-f,S}

etc.c)Rezultd

cexz+2mx_6=-

n

zx-

_x_IIl=0,

de

unde

4x3

_x2_3=o,

x=lelD,

iar

fn=1.

.j{2.

a)

ae{_2

-

bl

aeJo,-t.s.--l

tl

'--t-'

r'u'--",;|

'A4.

m=s.

"A5.

a=-f,b=s,c==*

o46.

t_

schema

lui

Homer

se

obfin

relafiile

q,3

-sa2

+Bs+a=o

si

3sz

_locr-g=

_

cu

solufii

dt=2,"r=t,

etc.

o

AZ.

al

a=12,b=-g.

o

Ag.

Avern

f(O)=a__

t(i)=i

*o,t(2)=a+i.

seobfineca

a+i=6,

oeci

r=_i.

rAg.

n

_2.

oAtt.

u

pune

conditia

ca

f(i)*O,

f

(t)#6.

Se

obfine

a+b=6,

oeci

a=i,

b=

=,,*,

"=2,

b=i.

.

ArB.

a)

a=i;

b)

pentru

u.{0,

,,s,A,S,6,

?i,

poiinomri

:*

solufii

in

Zo'

R.mane

de

analizat

cazur,=i.

.

ArE.

Dacd

f

ar

fi

reduc:$

peste

Z

atunci am

avea

cd

f

=(X+m)(X2+pX+O),

cu

p,

q,

meZ,

de

r:::r:r

identificand

coericienfii

se

obfine

b=p+m,

c=q+mp,

a=Qfr

pi

ab+bc

=

c*

(p*q+

m

+mp).

Dar

ab+

bc

=i*p", conduce

la

q

pi

",

;;J;

;;;::

mp

=par

gi

egalitatea

nu

poate

avea

loc.

r

416.

presupunem

ca

f

este

reducsl

este

Z.

Atunci

avem

cd.

f

=

g.h

cu

g,

h

cu

coelieienfi

in

Z

de

gradul

cel

pu::

'

obfinem:

g(t)'h(l)

=

-L

g(2).h(2)=

-r

g(g).h(s)

=

-l

Fi

de

aici

rezurta

$

uncfiile

polinomiale

g

sau

h

au

cel

pu{in

doui

valori

egale

cu

I

sau

cu

_-

ar

unul

dintre

polin"oamer.-;;";;";re

gradul

t,

9i

atinci

er

ar

fi

consm:r:

3i2



r: nu

se

poate..

A19.

Vom avea

c5

i1n;=nt-(.t-l)t-3n2-3n+1,

l'

deci

polinomul

€=f -3X2+3X-1

are

ca

ridicini

orice

numdr

i

-+sadar

el este

polinomul

nul,

deci

f

=

3X2

-

3X

+

L.

Itri Vi€te

(pag.

r5r)

*

:

=ix*i)*;

b) r=(**i)';

.)

r=("+i)5;

d)

t=(*-i)(x,

-a).

d

3

t,-n)'

or

{+,t,ti'

c)

{6,2,-r\;

d)

{r,s,6}.

.

Eb. a}

se

rt

=

6 si se folosegte

schema

lui Horner.

a

=

-5.

bl

Din

zrz2zs

=

6 se

:

=

-6,6)

etc. cl

z"=4,7=37.

oA2.al

z"=-m.

Apoi

m=-1,

4=2,

{..

Ll

a=-b; c)

a=-b..A3.a)

m=9,"={z-JS,z,z*.J5}.

b)Dinrela-

&

*r":-xs=3m

9i

xr+x3=2xz

se obfine

Xz=m.

Prin

schema

lui

*

I.r

z2

=?-r,

ZS=a+r,

24

=a+3r.

Se

obfine

CA lO

=Zr*22+Zg*7'4=

m

=

1.5

si

x e

{t,

Z,

S,

a}.

.

ee. a)

Avem XrX3

=

x

9i

xrxrxe

=

-27.

Se

rr

=

-3.

apoi

m

=

4

si

solu{iile

-t,'*y.

b} Fie

a, aq, aq2,

aqg

rs:;.:.:ei-

Din

relatiile

lui Viete

se obfine ca

aaq6

=*

qi

"'(q*q'+2q3

+

'

4

\'

*

==

sau a2q3=tj

si

(t+q+2q"*q3*qn)=*Tot"

Rezulti

cd

:

-

)'

35'

sau

[.f.t.nl[,l*ql=t$.

c,rnota{ia

q*1=t

--;-l==4q-

\q /\q

_)

4 q

:

:-- =+

cusolufiile

t.{-I,f},

.."p""tiv

t(t+t)=--i

cusolu-

4

122)

r \ -'

4

--

:-:1J+,

etc.

.

A8. a)

Consideram

x,

y,

zelD solu{ii ale

ecuafiei

de

7

I

r

: t3

-2t2

+ mt+2=0.

Din

relatia *"

ny2 +22

=G

se obfine

ci

=

14

si cu

notafia r2

=

t

se obfine

ecuafia

(4-

-9t)f

?q

-

t')

=

24.

Re-

'

\4 )\q

)

a,*

-:

q-

-Y+w,)=6

si

)ry +

yz

+ zx=

L

A$adar

x,

y,

z

verificd

ecua{ia

-:-i=c

sau

(t-2)(t'z-t)=0.

Se obfine

x=2,y=r,z=-l

sau

&"e

:cestora.

313



rispunsuri

7.

Rezolvarea

ecuafiilor

algebrice

cu

coeficienfi

in

Z,

e,

te,

,C

(pag.

f

60)

'

E4.

a)

Ecuatia

are

si

solutia

Xz

=I+J5.

Rezultd

cd

polinomul

f

=X4

_4X.

_

-4x2

+16X+12

se

divide

cu

g-("-t-Jg)("_r_Jr)=X2_

2X_2.Se

:,:_

tine

catul

s=X2

-2x-6"

u)

r=(rr_zx_r)(x,

+r).

at

Xr,2

=3tJB,

x.

=*

X,

=3.

r

AL.

Solutiile

intregi

pot

fi

_1,

I,2,

*2.

Se

obfine

cd

a

e

lA,_2,

4,*g|.

r

A2'

Dacd.

cele

doua

solufii

sunt

simple

ele pot

fi

doi

dintre

divizorii

lui

2

s,

anume:

{",,

"r}

*

{(_r,

t),

(_l

2),

(-1,

_z),

(r,lr),

(r,

rli

"_

asemenea

pu::n

avea:

xr

=

x2

G{-t't'

-

2,

2}.

.A3.

c}

solufiile

rafionare

apar{in

murtimii

__

*

-2,2,-s,a-6,6,

* * 3;I

Rezuud

cd

ae

{-q,a,_s,_1a,

_12,_4e,_

j:

"AG.

a=14,b=B

sau

^=238.b=_l

_

1

si

Xl

=

X2

=

_,:;:;n

;=

;:

;

::':

::':"::::l=,

=.'._

onvine

deoarece

se

obfine

solu{ia

triple

X=_1"

r

AlO"

a)

polinomu]

a:_-*,1-

ecua{iei

se

divide

cu

g-x4

-10x3

+2rx2

+74X+2.

Se

gaseste

a

=-10,

b

=

--

e=14,d.=2. .

Al1.

Ecuafia

admite

gi

sclufiile

xz=J|*VE,*.

=_J2*JB

-.--

=

=

-Jz

-JS si

se

scrie

(x*x,)(x-"r)("_or)("._xa)

_0.

Altfe},

fie

x

=1V

_

",

,{turrci

x2

=5

+2J6

s.r,

(x2_t)'=

(rrlu}r,

cteuncle

xa*10x2+l=0.

8.

Rezolvarea

unor

ecuafii

algebrice

de

grad

superior

cu

coeflclenti

in

,c

(pag.

16z)

.43.

Conditia

ab+a-b-l=O

conducela

(a_f)(b+l)=O. pentru

b=_-_

:)

'=8'

iarpentru

a=1=)b2=22.

'.d5.

a.{3,-l}

.nerr.seimparteci;

r-

s,isefacnota{iile:a}

y=**3,

b) y="-3,

c) y=r.*3.

oAt2.c)Seno:e=-:r

a-rb

z'

x

x

Y-x+*2

Siseob{ineecuafia

(y*o)n*(y_o)n=c,

unde

"=+.

e)

D-.:E

efectuarea

produsului

se

imparte

cu

x2

qi

se

noteaz6

y=**{.

r

AlB.

}

X

noteazA

lo96

x

=

y

Sj

se

ob{ine

ecua{ia

reclprocA.

314



sl

PnniCve

doot"gtarei

nedefintte

(pag'

18o)

;_l"n;ix)=f

(x),

xe

o.

n

8,2.

Se

verifics

faptui

c5.

F

este

=-

:

s)

=

f(x)'

xelQ'

"

E3'

Fz

este

primitivd

a

functiei

f'

:--;,--

continue"'Es.

J(s"'*zx)ax=x3

+

x2

+n('

Dace

F(x)=

:

f

:ste

o

primitiva,

din

conrli{ia

F(-1)

=2'

rezulta

c=2

9i

-

AI.IALIZA

zuIATEIIIATICA

-

315

t

fi

ucbi.il

*:

t-

il

.

-{3, r'-nc.'iile

sunt

continue'

e}

f

(*)-

{[:

j'

:::

"

A4.

f

este

-

-t-c'-.x.-<-1

W

r

=

:^t

Din

conclifia

ci

F

este

continui

in

-c..

x>-1

1.

5

ffi--i

.,

1

=

-) -

c2

si

clin

F(2)

=;

rezulla

t'

=

-Z'

cr

=

-7

'

I

:

=

--

.A7.

Dincontinuitatea?n

x-l

rezultd

3a-b=-9

sidin

-

1l

'

t'l

lsf

r*

ri - :e

obfine

Sa

+ ?b

=

*'l

5'

ilezultii

a

'=

"- -E--' t-

"

-A

I

ri

:

-

'A9.

a=1,

be

lil,

c=0'

u

'4"1O'

3'=$=1"

o

'&^3L'

a=-3'

b='1'

**',,'n :':

..'

=

:].

c)

nu

au

proprietatea

lui

l)arboux

cleoarece:

a)

f

iin)

=

rr:

:r

:-.-=.7

speta;

e)

f ([Z'

3])

nu

este

int'erval'

LrL;

-::::

::::r

absurd

ci

g

admite

piT*i"t.

:-11*-:1'j::::i:

ts'{"n-'

*

--*'

:'

r /r\

(n

r.- a/^\\.* interval.

contradic ,ie

--+.-ir-o

nA

nrrrf,.r":

-

t-I'Dar'

h(I)={O'n-f(")}

*interval'

ct

umnle

Pag.

19O)

^

s

X

=sinx

s,i

integrala

este

jsmxdx=-cosx+'('

r".'r.t-

I

=:--cOSt

=

:1.-:*"-

:

:i

lt"='|=I+cosx'

respectiv

2sin2

\'"1'cosx'

-

sin2

x

+

co{

x

-

I

*

-1=_

etc.

b)

Se

folo-

.:..ar:

-------

2

_

=-=7--------:;-

-

*",

*

Sin:

X

<:--

\

cos'

x

sin'

x'cos-x

i:

a

4.

l:

a:

.J-'

l,

I

{.

t



ln4lcagii

gi

rdspunsuri

[x3

+

r)'

segte

formula

cos

2x

=

cos2

x

*

sin2

x.

d)

fg".Lq,o*

-

;sin3

r

_

i

,( R \

J1=cos2o*--J-;J;l

{ A \

l-cos-x

J

sinzf_

=

ll

smx______

ldr

"irrr"J*

=*cosx+8ctgx

+".n

J(t+tgrx)d"=

fiag"),dx=Er*

.

A,t|.

a)

xa+x2+t:tt-"+r)(x'z+x+t)

o

'

x2

-x+l

-F=xz+x+l

etc.

b)

Se

fo.

x3-l=(x-r)(x'z+x+r).

.

A4.

a)

Jox(sx,

+r)?ox=

I(r",

+r),(sx,

_i

:u=

=

Ju,(x).u7

(x)ox

=

#

*

n,=

(u11_*4'

+?.

ct

Jxn6u

*,

rox

=f

Js".flr-

*

.

=*(*'.r)'fi'4.k=f

I''(*)

(u(x))*d-=*.(u(x))'.i

*r.,

.

?r

;l-

+(etc'

d)

iJi-3

=

J

=

iffio*

=

1-$90"

=

zf(1ff"))'

ffi'"=ffi

"

("))

ctx

=

z./u

(x;

*

r

=

z,[*"i

*.r.

"l

J}r"*

xdx

=

fit,r*)'

.

kra

xrJx

=

Ju,(x).ua

(x)ox

=

g]

f.

-)l:l.-*.

dx

*f

g- il

-_€|-^_

I

su'{x)

_

,iJx*

_6x

+

tl

-^

6

J";r

*6;;Jo"

=

e

J;gofrr*

{1

n?

=ffx-.,

5s

* *,0,

ju

(x)l+

z:

=

=f,'(sf

-6x+rr)

+vt.

tt' i**=#*=

I#ox=

ji,,

o^i',,f4'G

k)

I**=*I6hdx=;i#**=j

"."€u(x

-

+r:=

jarcte

x2 +

?.

tl l',$uo:<

l n {"t)'

=:J-$ax

I

I

u'(x)

v(o-J

-25

-5tfr5*=

=

j.

r,,1,r1'1

*

fit*y

-

zsl

*

zr

etc.

n)

ffiu-=l;}o*nffi*=

=

*

I#f

*.

*

I#*

=

*

I#*

+r

I++*

=

jarctgx2

+

nlr"(r+xa)+

?.

..&8..)

s*g'r

+,t:

bt*"I##l

+,(i;

c)*rlff#I."

316



lndica ii

9i

ff

-

-

.,

2

=*'

(x2

+t)+'€:

f)

-cos2(xz

+t)+'a;

I

ts'**w;

r&

=-o-N

-.ru--d"=-X€-x

-e-*

+'6.

c)

Jsin2xdx=

Jsinx.(-cosx)'dx=

m

*

.i*:r.

u

ir

=

-

sinx

.

cosx

+

J(f

-

"in,

x)

*

=

-sinx

.

cosx

+

x

-

Jsin2

x

dr.

\

I

J

qM

n

:r

=

-srrx.cosx

+x+,(/,

etc.

e)

JGt-

z5

a*

=

J*'rFlEa*

=

il

m.'

*fsr

*-J7 *zs).

Rezuua

jlF.zsa-

=

j[*Gt*zs

*zs

2

'-

--a--

2

IM"

Iategrala

delinlti

ee

u.nei

firncftt

pe

un lnterval

[",

b]

(pag.

2Of)

r

"

o.

=,

d

#;

d) 12.

o

E2.

al

s,

=1

E+=

"g;1.

r=).

==

-

=2:

ct."

=81;# ,

,

=3,

dt

s"

=g-.1):-,

t-=|.

.tr

I

.t

-

:m. :

=

2.3|

+

interval.

Rezultd

ci

f

nu

are

proprletatea

lui

Darboux,

wr:::nitive pe

[0,

t].

U

f

difera

de

funcfia

integrabila

g:[O,

1]_+A,

$,

--

:unctul

xe

=

1.

Atunci

f bste

integrabilA

pe

[O,

f1

;i

ljf

l*;a"

=

:r.

5

=

3.

.

E4.

a)

Imf

={-f,

1}*interval;

b)

exista

dou6

qiruri

de

sume

:-* Lrnite distincte.

:i tr

nu

este

marginiti,

deci

nu

este

integrabila

pe

[-L

r].

tt

F

este

::pe

[-1,

1]

si

F'(x)=f(x). .A5. a4+B=10a2-t:+ae{tt,

tS}.

317

ffiffiss.=.. :|-.::-.'..-:.-..4'.



o

A6. Din condilia cd f este

integrabili

pe

[a,

b]

rezultA cA

pentru

orict

sr

diviziuni

(1"),lln"ll-+O

ale

intervalului

[a,

b] ;i

pentru

orice

qir

de

:'

intermediare

(E1"')

corespunzator, s-irul sumelor Riemann este con'"=:

Alegand

q{")

astfet

incat

f

(€1"))=

c, at,rnci oo,

(t,

g1"')=

"(o

*

a). Rer-:-::

1g

oo,

(t,

E1",)

=

"

(b

-

";

=

Jb

r

1";ar.

o

A7. Se

construiesc

doua

s::---

sume Riemann

cu limite distincte.

4. Integrabilitatea functiilor

contlnue

(pag.

2O4)

o

El. Funcfiile sunt

mArginite

qi

au

un

numdr finit

de

puncte

de

:"s:

nuitate.

.

E.2.

a),

b), c),

e)

-

funcfiile

sunt

continue, deci integrab:-: m

d)

f este

marginita

gi

are

un

punct

de discontinuitate,

deci

este

integ--:Lltis

[-

1, 1]

o

Al. a), b),

c)

funcfiile sunt

continue.

.

AIl. a), b) functiile sunt marg::**:*

un num6r

finit

de

puncte

de discontinuitate.

r

A3. al f este continua:

bJ

g

mArginita, cu doud.

puncte

de discontinuitate; c)

h

este nemArginitA,

dec:---

integrabil&; d)

j

este

continuA.

o

A4. a)

f nu

este integrabiia

pe

[-1,

1]

:*:;

existA s,iruri de

sume Riemann

cu

limite diferite; (f

.

f)(x)

=

1,

V x e

l-:

--

este

integrabild

pe

[-1,

1].

b)

(f

"f)(")=JS,

v

xe[0,2], deci

este in:t{:

pe

[0,

2].

.

A5.

f

este

integrabilA

pe

[-1,

I]

conform teoremei

lui

Lebes;

este

neintegrabil6

pe

[2,3]

deoarece

se

gAsesc

giruri

de sume

Rier-:-nr

limite distincte.

5. Formula lul Leibniz-Newton

(pag.

2Og)

rEr.a)

s:U\:

"l

$;

d)

-r;

e)

23;

U

*'

sf

S;

1-

_ln

T2

r,t

]r'I.

.

E2.

r,,

h)

J5-;

r

6-I

'2

3ll

"

-;ll

^il

"*9ll

|

i

a'

lur"tgz"l"

=;'

o,

;c)

l: d)

4(J5-1);

e) n;

fl

o;

g)

1;

o

E3. a) AICS::

*

--dut

-

t:

=

i

trl

-

'

ul

jr,''(x'z+r)i"'t,

]r'("^.r)l:

"r*nqi

-

=f

,

o,

r',1**FIll,'

"

r.,(*+"G'+e)1"

=tt'

d)

rn2

n

Al..

I

a)

urn

(r

+

Jz).

.

A^z.

318

=

iLn5;

c)

f

arcsin3x



------

-

rG

'

.""i,-,

"11'

,

u

arcsin

",.1

:f

.

'

A3.

a)

-'.3

-x2

lo

:

e)

-a

a

ln

-

q

13

-'

,n

-');l

,"r

f,

t","",;l::

d)

arcsintf)I,'",i

tt'",i1,

J

ro

ru

Fmprietnfi

ale

integralei

deflnite

(pag'

216)

il,"

"1,

b)

Functiile:f

sunt

marginite

qi

u,r,

un

numar

finit

de

puncte

de

:::inuitate.

RezultA

cA

sunt

integrabile

pe

[-1'2]'

respectiv

[0'3]

9i

r::"

dx=

Il,{r"+3)dx*

ji(-s*'+r)ax=0,

respecti"

jjf

(x)dx=

f

r(";a"*

* j ' *=:(^*.*;),

c)

reste

continud

* [{';]

tt

t=

ij(-sinx)dx+

;

jT=rx

dx=2.

d)

f

este

continui

pe

[-2,2]

si

I=

J-j(*'-r)a".

J],(t-x2)ax+

JflL

i

,t

_

l)d*

=

4.

.82.

Se

aplica

proprietatea

de

pozitivitate

a

integralei'

t[.

Se

folosegte

proprietatea

de

medie

a

integralei'

a)

m

=

-3'

M

=7;

b)

m

=

O'

=:

c)

m=

-2,M=-f,,d)

m=f;,n'r=2;

e)

m=;fu.

M=+'

eJ

:

este

continua

si

Jlr(")ax

=

ii(*

+2)dx*

Jru"'dt

=?

o'se

aplica

'z

e

-"2

*2e

"ry-:'

:i

lebesque

ai

I=

J;("-e)dx+

J"'tt'9at

--e':2e '

c)

f

este

con-

rud-

- =

i-i-s*+s)dx-r

j,'t-"+3)dx*

Jits"-5)d"

=f

u'

f

este

continua

.

=

--.

rr

-

zx)*.

J-"r(-"z

-zx)ax.

ii("'

+

zx)dx

=

+'

..-:

/

r-z \

/

.sl.

r,L

:

=te

majginitd

qi

are

un

numAr

finit

de

puncte

de

discontinuitate'

-

tr

:r-

=

i-,t**

Jtza"*

J'sat=6'

e)

f

este

integrabild

p"

[o'3]

(teorema

ru*m,.,:rci

=r

Jjr1"1a"=

fi('-2)d'

.

[itz"-2)M.

f

t"

+2)dx=4'

, x2t 9.n , , rn

r

r

-^

:-+^d,^^ d^

^c

r

.N&

S":

:.rjoseste

inegalitatea

0

;l;;F=*+#**=*.:"G

lndicatii

-

s

=:,::

se

trece

lalimitd,

dupa

n-+co'

Se

obline

limita

zero'

'

A6'

a)

Se

319

E

o IVJ

Z

F'.')t

l"

'

;mrnffi

I

"

i.,

=r"

=fr

9i

se

aplicd

teorema

cleqtelui'

'

A7'

a)

lnxz?



lndicalii

9i

rispunsuri

V

x

e

[1,

4].

Rezulta

ca

lif"*o"

-

.l',"?*.

b)

Se

arata

cd

are

loc

-x2

cosx>I-;,

V

xe[O,

I].

.

A8.

a)

x"

>*n+r.

V

xe[O.t],neN=ln{l_r=

=

>tn(r**"*t),V

xe[0,

l], neN=I,.,2I.,*r,neN,

deci

(1")

este

monoton..

o'I"Ir,

v

neN',

deci

(I")

este

mirginit.

b)

se arat6

ca

h(r*"")=x=

-

,r

e[O,f],neN.

Rezultici

I,,<Jjx"dx=*

9i

hml'=O.

.A9.b)

s-.n

>sin'*r

x,

x€[t

;],

neN3I.,

>I,.,*,.

Din

0

<sinx<1,

V

*.f0,

*-1,

""

c,=@

L2)

ca

s,irul

(I")

este

mdrginit.

r

Alo.

Din

[f(x).t-g(x)]z>o,

tere,

xe[a,'c,

prin

integrare

se

obfine:

ft'

(")dx

.

t2

-rlor(*)e(x)dx

..

J:g,

(*)dx )

o.

v telQ.

Pun6.nd

condifia

A<o

se

obfine

concluzia.

o

Atl.

Irg."

=

j.

otn

condifia

ca

f

este

integrabild

pe

[0,

1] rezulti

ci

f

este

merginita,

adica

r I\'I>0,

astfer

incat

lr(x)l=

M,

v

x

e

[0,

11*

llJx"r(x)axl=

fi*"lr1x;lax

<

=

[]

*"

.M

dx

=

Yri

l'

=

t

-+

o.

Rezuua

ca

o

n+l

lo

fl*ln'*.-''

7.

Integrarea

funcfiilor

continue

(pag.

223)

r

Er.

a)

f (€)=

#,

f",'xdx

=

$,

ol

g;

.)

t-6

b

foloseste

semnul

functiei

F'.

o

Al.

Din

teorema

de

medie,

existi

q

.

[r,

b]

astfel

incat

Jt

r

(x)

dx

=

(n

-

a)

r

(i)

.

Presupunem

ci

edsta

€r,

€r

+(,

astfel

incAt

J"f1";a"=(b-")f(€,).

Atunci

f

(q)

=

f

(6r),

relafie

care

contrazice

strict

monotonia.

Rezulti

ca

(

este

unic.

o

A2.

Din

teorerna

de

medie,

f

€.,

€(n,

n+l)

astfel

incAt

I,,

=f(q").

Deoarece

ItIl*=t,

se

obline

lian2r"

=]iT*"83'f(€")=r.

.

A3.

Din

teorema

de

+-

5n

n+@

"

n_+@

6:

medie,

rezuud

cd

3 c,,

=[*

]],

""rr"r

incat

r,-,

=(*

,l)rr"")=;r;

o

E2.

a)

*=#'

b)

€=*

.

EB.

a)

F'(")=

.*'(*'-+);n'(-z)=F,(2)=o.

b)

se

lim

arrlr,

=

Q,

n-)@

lm9'

d)

-.4

4

3'

12

320



-

arctg(nc,r).

Deoarece

l*.""

=1,

se

obfine

L=

rimarctg(nc") =Ln.

'

A4.

se

aplica

regula

lui

I'Hospital'

a),

b)

O;

c) 2'

'

A'5'

a)

f

este

continua

pe

lQ'

deci

admite

primitive

pe

tQ. Pentru

o

primitivA

F

avem:

Jo

f

1q

at

=

f'(x)

-

F(O)

=

x2,

x e

lQ'

Derivand

ultima

egalitate

se

obfine

f

(")

=

2x'

x

e

lQ'

b)

Daci

F

este

o

primitiva

a

func{iei

f,

atunci

r(*)

-

F(o)=

F(2x)

-

r(")'

x

e

lQ'

Derivdnd

aceastd

egalitate

se

obtinein

final

cef

este

fr-rnctie

constantA'

c) f

(x)

=

c'ex'

c

elQ'

l-Z'"e(-'o,

-t]

.

4,6.

g(x)

=

1r*,

x

e

(-1,

1)

9i

se

studiazA

derivabilitatea'

l.z,x.[1'+*)

r

AZ.

Dac6

a=o

si

b=XelD,

atunci

fir1t;at=g(x)-g(o)

+i

jjtrlt;at=

=xg(x).

Rezultd.

cA

$

este

functie

derivabili

pe lQ'

Se

deduce

f

(x)=g'(x)

Si

d(")=g(x)+xg'(x),xeQ.

Substituind

g' se

obline

xf

(x)-g(x)+xf

(x)'

de

unde

g(x)=o,

xeD

si

f (x)=o'

xelQ'

i_

1

="';'

.

ur

jj(z*-1)e*dx

=

fi(r*-r)(".)'6q

=(2x-1).*

li-

ii'".*=e+l-

-2".1'.=3-e.

c)

Jixrnxax=

ff[+)hxdx

=*

t"l,

f+

o*

=+-

f

,

="';'.a)

Jix'zrnxdx=f[+Jhxdx=t'"'*|"

J:+

i*=*-

*\,

='On*t.")

J,

h2xdx=

Jd*'t"'xdx=xln2xtt'-

f'x'2lnx

a*=

=4e2

-zJ"'hxdx

=4e2

-2J"x'lnxdx

=4e2

-zfxrnxli'-

f

t*)=z(e'z-r)'

U

f

Y*

=

Ji(rr,*)'lnxdx

=

lr,'"1"

-

i:Y*'

Rezulttr

ca

z

jiEx

6"

=

=ln2xl"

=t

ci

J:Y*

=L''82.

a)

f

(**l)"i"xdx-

ff(**r)(-"osx)'dx=

L:.

it'

,:l.

I

L:

,t

{_,

L

32t



* la

T

n

=-(x+l)cosxlS.

ficosxdx

=2.

bl

{.#

")

Ioi"ir,rxdx=

ffsinx(_cosx

:l=

1\.nRr

= -sinxcosxls

.

l..cos2

xd"

=

-9.

jr.(t

-sin2

*)ax

=

-+.,.;

ffsin2

r::r

-r

r(

fi

,T\

Rezurta

ca

Joosinzxdx=;[-ti.aj

d)

ry#"."=

ryx.(_ctgX

_

=

=

-xc€x

li-

ft.r1"dx

=1+

ln(sinx)

lur=;+

hJD.

.

E3.

a)

r

=

/5JF-

=

=

444

=

I,*"'.

=

zJs

-r.

ni"

1;|;

dx

=

2{E

-

r

+

a

h(x

.

J7;4)

I

:=

""

obtine

r

=

Js

*

zr'1J

d)

t=

fi*JF.ra'=

fi

"(=)d"=

il+dx+

l]+dx=rr

*J*,

-

o

J"2+I

,oJ*r*r*^

'oJ*r*t

/p

rls,-

=

=

J2

-2L

Rezulti

ci

I

=

Ji

*

zl *

J2

-1, deci

o

=rEu-J

rAl'

a)

16-2e2;

o)

{F,

"r

f

;

a)

h(r

+Jz)+t*J2;

e)

e(sinr-cos-

o

ak'

g)

rntegrala

se

scrie

*

z*.*

(r

+

'r)0"

=;

j(""')'(i

+

x2)ax

=

=

.

"

fiF.

i)

zrn(Js+z)-JE.

.

A2.

at

f

,

or

#,",

%-,

ar

f

-rn,:

/_\

e)

n;

0

+["t-'j,

'r

*(t.,"+),h)

r=;ry"

(

#)'*=

=;

T

.A3.

a)

*-*(t.JD);

r)

{,

"t

#-&},u,?+n(z-J3),

e)

fi+.6_r

t

tf[t=)'

.,""o"xdx=..

s)

*.*-],

rA4.

a)

J'xsinxdx-I,.n

.sinx

=4n.

bl

r=

i:(",

-")e*dx+

fi("-x2)e*dx.

J,r(",

-x)e*dx,

c)

i

=

=

Ij(-*"-*)**

lir,'"o"*

f'(r,'**J-Ja*=

"1*?"-2.

.

AE.

,r

,?;

ur

".i-f

,

322



=

x dx.

=

=

'

46.

a)

t

=

fi#)d.

=

fi+dx.4fi+dx =r,

+

4r2

t,

=

lj"'

({t-

+

)'

o"

=

*sJ"z

*

a

l.

-

,,

=

fr;

_

sr.

12

=

fi

_

(JF;;)'

o*

=

r--rl

=

xJx2

.

nl;

-

iiGt;d"

=

s;

-

fiffi*=

JB

_

r,

_

4tn(_.

ne;;;1'

Se

inlocuieste

11

qi

I,

in

I.

t

AZ.

a)

qh2-f,,

U

e2

+e

+2e-r

_g.

r

Ag.

a)

Se

integreazi

prin

pirti.

b)

(I")

este

m'rginit,

monoton

qi

Il+t"_,

=*.

se

trece

la

limitd

in

aceastd

egalitate

si

se

ob{ine

limita

zera..Ag.

a)

,o=t,lr=t,1r= .

b)

Avem

O<cosx<1,

V

x.fo,*l

Rezultd

inegalitatea

cos.x>cos,*rx,

V

xe

L,l

I

2)

'Lo';J

eideci

I,

)I,,*r,neN.

c)

I,,

=+

I,,-2,

n

,2,ro=t,rr=r.

'

Aro'

ul

I"

=E*#ffi.

c)

r.,

=

I.'(r-"')"*

=

fi|":

-cl,*,

+cf,(x,)'

-

-":

("')'

*

.*(-r)"

cl

(",)']*

=

":

-*ci

.*cfl

_....**"*

rAlr.

a)

Io=t-*.,r,=i*?,

rz=2-i

o,

r,,=fx,.(_"-.)'dx=*e-x

""1;*

+fn:<"-ie-*dx=*1+nlr.-r.

c)

se

demonstreaza

prin

induc[ie.

pentru

n-1,

rezultd

t,

=t-:,

egatitate

adevdrati

din

a)

Daca

r,_,

=g]f.

[r.+.

,hJ]

dinb)

rezultdr,=-l

-

1

',t["-(r* *f*...*

I

)l_"'

r r

.-+nrn-I

=-t_"1"

['

rr

'2;-

-G:,),]]="

l"-lt*f

*a

*

r

).1

L ( I 2t

("

_

t)r

nrJ_]'

8.2.f

.

Prima

metodi

de

schimbare

de

variabili

(pag.

236)

.

El.

b)

f,u",

(z*t

*

r)n

*

=

1_',(2".

+

r)'

(zx3

*

r;-

L

=

I_',r,1*;.

ua

(x;ox

=

=

Jqll,t-ot=*l:

=T

c)

,=|f''(*)

u-31x)ax=il,u.-.o,,

etc.

d)

r-

=

I-l,

r'(*)

"

,*

1";*

=

1*.'t*at,

etc.

e)

(t

-zJz),

u

*,g

j;

h)

rns;

-

1I

=

to

=

l);

e

2

,ii

[,

t,

rti

Li

323



:1' :lltri1 Prqtr, l= F:

0

hF.

I

f

r',s;

H

f5;

,t

X.

.

ez.

at

e

Ul;

tr

6fu;

c)

e-G;

a)

f;

.Ar.

a)

fr"f'

rl

f

')

i;

rr

-f,;

d

*tu#:

hl

2rn(t+

J2)-'E4.

a),blFuncriaesteimpara

;"tffi;

o-F,

n,lr.f*ff,

o

A2.

at

t+zh :

ur

fi'

c

r=

fj;il*=

fi{$*=r,,;ft,

d)

hsji:

o

r=

ffi#o*=h(e*.Gn;;l]}

l,'16

r.

e^

=

*=;

ei

se

al'ege

u(x)

=

e-''

'

A3.

al

-f

k

s, t)

-L;

c)

4

e)

f;

0

r-tnJ2:

d

fr;

rD

h(r+.,tr);

r)

-fr+rn(2./3.);

j)

f,.

o

A4.

Se transformd"

produsul

de

funcfii

trigonometrice

in

sumA.

")

_*;

t)

O;

c)

o;

d)

*[;

f]

"

t=

l.#.sin2'xdx,

etc.

rAb.a]

rnr6;

rl

2.6,

.t

f

,

d)

-1*]9r

.l

--L

r

AA

ql

rrl

nr e^ *^+

r^r^^, r-

ztg*

-'

+-

ts'

''

-#''

A6'

a)'

b)'

c)

se

pot

folosi

formulele

sinx

=

#

2

l

-

tg'*

cosx

=:.

_"i

d)

Se

pot

folosi

formulele:

sinx=-$,

cosx

=_+.

'*8t l{l+tg'x

t,/t+tg2x

sr

f;

scrie

-i-

=

J"2*

-

t

rnJz;

a)

j;



*

un

*'

tt

.i.

=,

a--

r:

:. :

; .:

.d*:;

t:.

*2.2,

A

doua

metodi

de

schimbare

de

variabili

(pag.

24O)

r

81. a)

Se

alege

"'[+, r]- [;

z],

,1*1=

I

+

Ji,

bijectiva,

derivabild,

,-',

[;'

r]

*[*'

t]'

"-'

(t)

=

(t

-

r)2

si (,,-')'

(t)

=

2(t

-

1); r'

[;,

z]

-

rn,

r(x)

=

=

xi

se

obfine

r

=

Jj

,u

.2(t

-1)

dt

=

,(+

-*)

I

;

,

etc.

c)

2

-

r

++atcts :

"2

e

2

r*zrr,1)

.

or;2."l

sff

om9),

b)

h9.

\

5i

'

-

(z

---

2

)'

-'

'^'2'

*Al.

a)

u(x)=Vi;

b)

u(x)=e*;

c)

u(x)=JGS1;

a)

u(x)=+

-

x"+l

.A2.

a)

u(x)=J"'J'

t)

u(x)={/i;

c)

u(x)=Ji:

d)

u(x)=.8+1.

.43.

a)

u(x)

=

-x;

b)

u(x)

=

*x;

c)

u(x)

=

;-

*

GIIFTTOLUL

ffI.

APLICATII

ALE

TNTEGRALEI

DEFINITE

L

Arin unel

suprafefe plane (pag.2Z3l

.Gr"

a)

f,t

al

Ji+9"rcsi'*'

.l

]r"f,;

d)

1;

e)

*,

u

**3

nf,

ulS;

"f'

u,(';t).rEB.a)T,

o,T

-2x+xz)dx

+

fi(2x

-*,)dr

*

lrt(-2"

+x2)dx

=

+.

;.lf;

dl

,,/

=

rtL

d:

.*-

t

-Jla.

-f

r)

se

aleg

t,

g:[-2,2]-+ra,

f(x)=xr,g(x)=8-x2,

aria(rr,r)=

Ii[(t-"r)_

A4 /-

==T'

c)

A,

=z(fiJ0"0".

f

Jro-*o*),o,

=

nr2

-Ar,r=4.

ceg.

;-

-"-E+

.oo.*.

.AE.

A=

Jn'-r1x;a".

rAe.

t=

)g*r;*a".

J'edx=e.

325

'.;

'::.

1.-:-=-=

=

== -- --=

-

r-s

=

=

-- = =

j

=

r

trr.

aria(ri)=f,,

*ir(rr,r)=g#d,

r11=

2-W.

r

At2.

aria(rr)=az.

--;

i,

a2

=12.

r

Al3.

46

/

il1.

^2,

aria(f1)

=

i

-rlnui

*2=u

*

6^.

a

=

-3,

respectiv

a

=

0.

a'

+

4a+6



2. Volumul

corpurilor

de

rotafie

(pag.

279)

o

Er.

a)

Tf

'

at,

q

*:

d) 6n;

"t

,,[r.

r"fi)'

u

?'

sr

ff;

r,l

t

(++no)',.

,82.

a)

$,

or ,'(t-t)'

"r

f

r"f

;

u,

;(";

"

aa.

{{rs-l6ln2);

.45.

117x.

'

A6.

nJj("t""o"x)2dx

=

-(Gn-

13).

6t

I

3.

Catculut

unor

limite

de

Eirurl foloslnd

integrala

deliniti

(pag.

285)

.

pf

"

H."

=

Jtf

1")dx,

unde:

a) f

(x)= x;

b)

f

(x)= xa;

c) f

(x)=

fi'

at

f(x)=g u,

e) f(x)'=e";

0

f(x)=rft;,

g)

f(x)

-#

.A'-.

|ga"=

jjrl',;,

unde:

a)

f(x)=?*'

u) f(x)=#'

c)

f(x)=J#'

a)

f (x)

=

xe-x.

o

A2. Funcfiile

care

se

integreazi

pe

intervalul

[0,

1]

sunt:

a) f

(x)=-j-,

b)

f

(x)

=

-x

;i

c)

f

(x)=++;

d)

f (x)=ln(x+1).

-

\' x"-4 9-x" x"+l

.

A3.

Se considera

f

:

[0.

1]-+

Q,A,,

=

[t

* ?

;),

-t

punctele

intermediare

(p

astrel:

a)

6r.

=T,f(x)=;ft4

b)

€r

=T,r(x)=J*''

c)

€r

=

3k-1

-(k-r

k\

I

-r,

-G'-r.*r-

f(x)=

=?'[-f

';,J'tt'l=

s1.^*4'

d)

4r'

==-;-'rt^r

x+r

aplica

exerci{iul

rezolvat3.

.

"4,6.

a) lima,

=

ij;ft

=ln2i

b) a,,

=*P,#*

(a+l)s (s-a)+aa

12

-It

')

Jj("

-

x2)ax

=

,-

=I+9=[?,*],-=r,,'.

.AZ.

a)

""

=*_i,*u,6o

=*[--"'"*).

[t<-t kl :-

e

l:---:,

:

I.

k

=

I, n.

b) a,.

Lnnl

ig I

nffl+Eg

326



CIJITTTINS

Prefa16

i

:1.':l"ff;li

=

Se

l.legide-compozilie

pe

o

mullime

.. .................

b

l.l.

Detjnitii

si

exemple

..........

s

1.2.

Adunarea

si

inmultirea

modulo

"

....:....;

1.3.

Adunarea

si

inmultirea

claselor

de

resturi

modulo

n

.................

.................

7

1.4.

Parte

stabild.

Lege

de

compozitie

indusd

1.5.

rabta

un.i

r.gi

Je

i;p;;jii;

.........."..

2.?roprietSliale

legilor

de

compozilie

............

L4

z.

t.

proprietatea

de

comutativjtate

............14

2.2.

Proprietatea

de

asociativitate

.

..

i;

2.3.

Element

neutru

.............2I

2.4.

Elemente

simetr2abile

......................;;

3.Jlloliunea

de

grup.

Exemple

.........,...............

3 i

3.1.

Grupul

aditiv

al

resturilor

moduio

"

..

3t

3.2.

Grupul

claselor

de

resturi

modulo

n

..

S

3.3.

Grupul

permutArilor.,n.i

muliimi

.....;;

3.4.

Grupul simetric

Sn

............................

Sg

3.5.

Grupuri

de

matrice

.......40

3.6.

Grupui

rAddcinilor

de

ordinul

n

ale

unitAfii

....................43

4.

Reguli

de

calcul

intr.un

grup

.......................47

4. 1.

Puterea

unui

element

intr_un

g.r,p

....

aZ

4.2.

I-e,gi

de

simplificare

.................

..

"........

48

5.

Morfisme

de

grupuri

.............

s3

Capitolull.

GRUpURt

6.

Subgrupuri

..............

59

3.

Corpuri

.,.,.'.'...'..'..'....',

9t

4.

Morfisme

de

inele

gi

corpuri

...."..................

96

7.

Grupuri

finite

............

..........".66

7.

l

Subgrupul

generat

de

un

element

......

a;

7.2.

Ordinul

unui

elernent

intr-un

g."p

....

OO

7.3.

Teoreme

remarcabile

in

teoria-

grupurilor

finite

..................................

6g

Capitolul

ll.

INEtE

gt

C0RpUFt

.....

.............27

l.Itefinifii

gi

exempte

...............77

l.l.

Inelul

claselor

de

resturi

moclulo

n

.....Tg

1.2.

lnele

de

matrice

pdtralice

..............

....79

r.o.

rnele

de

lunctii

reale

............

...............

g2

-2.

Beguli

de

calcul

intr.un

inel

."......................8s

le

Itltfffl*

i

;ii

o

io

Capitolul

llt.

tNELE

DE

POUN0AME

.........

ro+

1.

Mullimea

polinoamelor

cu

eoeficienti

intr.un

corp

comutativ

.........

....................

i

04

Ll.

Siruri

de

elemente

din

corpul

K ........

i0;

1.2.

Operatii

cu

siruri

cle

elemente

din corpul

K

..................................... t04

z.^Fr1qa

algebrici

a

polinoamelor

.................

IoZ

z.

[.

rot]noame

constante

.......,................

f07

2.2.

Forma

algebricA

a

unui

monom

........

107

?

9.

I.y"

atgebrica

a

unui

potinom

.......

tOB

2.4.

valoarea

unui

polinom.

Functii

polinomiale

..................

I09

3.

Operalii

cu

p0linoame

scrise

sub

forrnd

algebricd

.......

r

lo

3.

l.

Adunarea

gi

inmulfirea

poLinoamelor

-

-

-

scrise

sub

formA

algebricd

...."...........

l

l0

l.?.

l*pr*t"a

polinoameio.

................,..

i

i;

3"3.

implrtirea

la

X-a Schema

f"i

fforrr", iiO

4.

Itivizibilitatea

polinoamelor

........".".....

......

r2s

4.

I.

Relatia

de

divizibilitate

_

-

pe

mulfirnea

KlXl

......"..

t2b

4.2.

Proprietdti

aie

relatiei

de

divizibilitate

.................

l2b

4.3.

Cci

mai

mare

divizor

comun

al

polinoameior

...............12a

5.

Descompunerea

polinoamelor

in

factori

ireduetibili

.....

rgb

5.

l.

RAddcini

ale polinoameto.

................

iSs

5.2.

Radacini

multiple

ale

unui

poli"o;

..

i5;

9.9.

Ecuatii

algebrice

..........

I3g

5.4. Polinoame

ireductibile

in K[X]

........."

i;0

5.5.

Descompunerea

polinoameioi

in

factori

ireductibili

.........................

l4

I

6.

Relaliile

lui

Vidte

................t42

7.

Rezolvarea

ecualiil0r

atgebrice

cu

_c0eficienli

in

Z,

e,

[),

O

...........................

rbB

7.

1.

Ecuatii

algebrice

cu

coeficienti

inZ

..tii

7.2.

Ecualii

algebrice

cu

coeficienti

rationali

.......................

tSZ

7.3.

Ecuatii

algebrice

cu

coeficienti

reati

.

iSS

L Rezolvarea

unor

ecualii

algebrice

de

grad

^superior cu

coeficienli

in

C ............._........

8.1.

Ecuatii

bipatrate

8.2-

Ecr-ratii

binome

...,

't

ii

6',

';i

i

i-

it

:

j.;

i

i:

j:

1.

.i

.il

.-:t

':

).-

,

'1..

:L

''.

I

l'.

t

t

L'

,d

rg:

',.L:'

162

162

163

164

.>ory

JZI

8.3.

Ecuatii

reciproce

;:=EF

E€&a4=-==Z-==--



Capitotut

t.

pRtMtTtvE

.........

rzt

1. Problemri'care

conduc

la

noliunea

de

integrald

.........................

rzl

2. Primitivele

unei

funclii

lntegrala

nedefiniti

a

unei

lunclii

.............

LTB

3. Proprietdli

ale

integralei

nedefinite

...........

176

4.

Primitive

uzuale

..........

........

r8s

4.

l.

Primitive

deduse

din

derivatele

funcfiilor

elementare

........................

l

g3

"4.2.

Primitive

deduse

din

derivarea

funcfiilor

compuse

......

lg6

4.3. Primitive

deduse

din

formula

de

deri_

vare

a

produsului

a

doud

functii

......

Ig9

Capitolul

ll.

lt{TEGBALA

DEFTNlT4

...........

re4

l. Diviziuni

ale

unui

interval

la,

bl .................

194

2.

Sume

Riemann

....................

lgs

3. lntegrabilitatea

unei

func;ii

pe un

interval

la,

bl

.................................. re7

4.

lntegrabilitatea

luncfiilor

continue

...........

2oz

5. Formula

lui

leibniz-Newton

..............

........

zos

E.

Proprietili

ale

integralei

definite

..............

209

7.

lntegrarea

funcliilor

continue

...................

220

8. Metode

de

calcul

pentru

integrale

definite

.........22s

8. I.

Metoda

integrarii

prin

pdrfi

..............225

8.2.

Metoda

schimbaTii

de variabila

.........231

8.2.1.

Prima

metod6.

de

schimbare

'

devariabild

.............,..............231

4.2.2. A doua

metodi

de

schimbare

de variabilA

........299

9.Galculul

integralelor

funcliilor

ralionale

....

248

9.

l.

Calculul

integralei

unei

functii

ra{ionale

simple

...........244

9.2.

Calculul

integralei

unei

functii

ra{.ionale

oarecare

.......25s

Capitolul

lll.

APtlcAIil

AtE

tNTEcRAtEt

DEF|N|TE

.........26s

l.

Aria

unei

suprafele plane

..........................

26s

2.

Volumuf

corprrilor

de

rotalie

....................22s

3.

Calculul

unor

limite

de

girurifolosind

integrala

definitd

................280

TEME

DE

SilItTEZA

........

rrrDtcAlil

gt

RASPUNSURT

II

328

manual mate xii

Documents