Criterii de cedare pentru materiale ductile (Tresca, von Mises)

Proiectarea structurilor se face pe baza unor modele de calcul care, în general, reprezintă relaţia dintre încărcare şi deformaţie.

• Relaţia dintre încărcare şi deformaţie se numeşte lege constitutivă şi poate fi definită atât la nivelul întregii structuri, cât şi la nivelul materialului.

• Pentru cazul in care încărcările sunt mici, materialul şi deci şi structura, de regulă, se comportă linear elastic. Atunci când tensiunea ajunge la punctul de curgere, materialul intră în faza de deformaţie plastică şi legea constitutivă a elasticităţii nu mai este valabilă. La fel se întâmplă şi cu legile constitutive care descriu deformaţia plastică. Ele nu conţin un criteriu pe baza căruia să se poată prezice ruperea, în acest caz ruperea fiind limita superioară a deformării plastice.

• Această limitare a legilor constitutive este importantă şi trebuie avută în vedere la construirea oricărui model de calcul pentru o structură. Modelul trebuie să conţină pe lângă legea constitutivă adecvată modului respectiv de deformaţie (elastică sau plastică) şi o condiţie de stare limită. Aceste condiţii sunt cunoscute sub numele de "teorii de rezistenţă" sau "teorii de stări limită.“

Criterii de plasticitate pentru materiale ductile

Criteriile de plasticitate au apărut din necesitatea de a stabili care sunt

factorii de care depinde trecerea materialului în starea plastică.

Cu alte cuvinte, ce condiţii trebuie să fie satisfăcute pentru ca deformaţiile

produse într-un element al unei structuri să se menţină şi după înlăturarea

încărcării.

Criteriul de plasticitate reprezintă o condiţie care indică la ce nivel al

tensiunii se iniţiază deformaţii plastice.

Dacă structura în cauză este o bară dreaptă supusă la întindere, tensiunile

sunt aceleaşi în fiecare punct al barei şi sunt egale cu tensiunea aplicată din

exterior, . Curgerea are loc atunci când = c, unde c (notaţia engleză este y)

este tensiunea de curgere măsurată într-un test obişnuit de întindere.

Într-o structură cu o geometrie mai complicată, însă, starea de tensiuni este

complexă şi variază de la un punct la altul. Se pune deci problema: ştiind că

materialul “curge”, când este solicitat la întindere uniaxială, la valoarea c a

tensiunii, la ce valoare a tensiunii va curge când este solicitat cu o stare complexă

de tensiune? Prin stare complexă de tensiune se înţelege o încărcare în care toţi

termenii tensorului sunt nenuli (cele trei tensiuni principale 1, 2,3 sunt

nenule). Ceea ce se caută poate fi exprimat matematic sub forma unei funcţii de

tensiunile principale:

f(1, 2,3) = fc . (1.1.a)

Deci, curgerea are loc atunci când această funcţie atinge o valoare critica, fc.

Se postulează că o astfel de funcţie există, adică, indiferent de modul de încărcare

(de valorile tensiunilor principale), curgerea are loc totdeauna la aceeaşi valoare fc.

Ecuaţia (1.1) poate fi scrisa şi ca :

c (1.1.b)

Unde se numeşte tensiune echivalentă (pentru σ¯ se mai

foloseşte şi notaţia σech ). Tensiunea echivalentă reprezintă tensiunea normală

principală care ar trebui produsă într-o epruvetă supusă la întindere simplă, pentru

a se crea în aceasta o stare de tensiune cu acelaşi grad de periculozitate ca şi în

cazul stării de tensiune iniţiale.

Există mai multe criterii de plasticitate, asociate cu teoriile de rezistenţă, care

descriu condiţiile de producere a curgerii în cazul metalelor şi al materialelor

ductile. Cele mai cunoscute sunt următoarele:

Criteriul Rankine, al tensiunii normale maxime;

Criteriul Tresca, al tensiunii tangenţiale maxime;

Criteriul von Mises, al energiei de distorsiune maxime;

Criteriile Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, având la bază teoria

dislocaţiilor.

În continuare vor fi prezentate cele două criterii mai des utilizate în activitatea

inginerească, în special pentru piese din materiale metalice.

Criteriul tensiunii tangenţiale maxime (criteriul Tresca )

Conform acestui criteriu, curgerea are loc atunci când tensiunea tangenţială

maximă, indiferent de planul în care acţionează, atinge o valoare limită:

(1.2)

Pentru o stare dată de tensiune tensiunea τ max este:

(1.3)

Tensiunea critic τc poate fi dedusă cu ajutorul ecuaţiei (1.3) şi pentru solicitarea de

întindere uniaxială. În acest caz, curgerea începe când tensiunea normală = c

sau când max = c/2. Deci, c = c/2 şi criteriul poate fi scris sub forma:

(1.4)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

Trebuie observat că ecuaţia (1.4) implică independenţa curgerii de

componenta hidrostatică (presiune p uniform , pe toate direcţiile) a câmpului de

tensiune. Presiunea se calculează ca

Dacă corpul este supus la o stare de presiune, atunci σ1=σ2=σ3= -p iar

tensiunile de forfecare sunt nule în toate planele. Deci curgerea plastică nu poate fi

provocată, indifferent cât de mare este p. Aceasta este în concordanţă cu

observaţiile experimentale pe materiale metalice: presiunea nu afectează curgerea

plastică. În realitate, tensiunea de curgere este totuşi influenţată de presiune, însă

efectul este slab şi în cele mai multe cazuri este neglijat.

OBSERVAŢIE: În cazul unei stări spaţiale de tensiune, criteriul de plasticitate Tresca poate fi reprezentat sub forma unei prisme cu şase feţe, prezentată în figura 3.10. Analog cu figura 3.9, toate punctele de pe această suprafaţă reprezintă stări limită de tensiune plastică iar cele din interior corespund stărilor elastice.

Criteriul energiei maxime de schimbare a formei (criteriul von Mises )

Atunci când se aplică o tensiune asupra unui material şi acesta se

deformează, maşina de încercare efectuează lucru mecanic, care este asociat cu

deformaţia elastică şi este stocat în corp sub formă de energie potenţială de

deformaţie. Această energie poate fi împărţită în două componente: o componentă

asociată cu schimbarea volumului şi una asociată cu schimbarea formei corpului

deformabil. Presiunea produce o schimbare numai de volum şi aşa cum s-a văzut,

nu produce deformaţie plastică (în metale). De aceea, un criteriu de curgere

(o teorie de stare limită), enunţat energetic, trebuie să fie asociat numai cu energia

de schimbare a formei.

Conform criteriului von Mises, deformaţia intră în regim plastic atunci

când energia potenţială de deformaţie pentru schimbare a formei atinge o valoare

critică.

Energia totală de deformare pe unitatea de volum se calculează ca produsul

tensiunii şi deformaţiei specifice corespunzătoare:

Energia asociată deformaţiei hidrostatice (produsă de presiunea uniformă),

care provoacă numai variaţie a volumului, este

unde este deformaţia specifică (liniară) definită ca

Energia de deformaţie asociată schimbării formei este diferenţa celor două

energii menţionate mai sus, adică Uf = U – Uv şi are expresia:

(1.5)

în care G este modulul de elasticitate la forfecare.

Conform criteriului von Mises, curgerea începe datorită unei solicitări complexe atunci când această energie atinge o valoare critică:

Uf = Uc. (1.6)

Energia critică Uc poate fi evaluată particularizând încărcarea la cea de tensiune uniaxială. În acest caz, singura tensiune aplicată corpului este 1

= σ , iar în momentul în care materialul începe să curgă , 1 = c. Deci

În consecinţă, criteriul von Mises se scrie:

(1.7)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

Ca şi în cazul criteriului Tresca, criteriul von Mises nu include efectul

presiunii în producerea deformaţiei plastice, adică o stare de presiune pură

(uniformă) nu duce la deformaţie plastică.

În cazul în care corpul curge diferit pe direcţii diferite, adică materialul este

anizotrop, criteriul von Mises are nevoie de câteva schimbări pentru a putea fi

folosit corect. Aceste modificări au fost făcute de Hill, care au dus la criteriul

care-i poarta numele, dar care fundamental nu este diferit de criteriul von Mises.

Pentru material cu simetrie ortotropică, criteriul Hill se scrie:

(1.8)

unde F, G şi H sunt constante care trebuie determinate prin teste speciale,

făcute de-a lungul direcţiilor principale (de ortotropie). În aceste condiţii, se obţine

o altă expresie pentru Uc. Stări de anizotropie în deformaţia plastică se întâlnesc

frecvent în practică, de exemplu, ca urmare a operaţiilor de laminare a tablelor.

Suprafeţe de curgere

Criteriile Tresca şi von Mises (ecuaţiile (1.4) şi (1.7)) pot fi reprezentate

grafic în spaţiul tensiunilor principale. Acesta este un spaţiu tridimensional cu

axele rectangulare ,,. În acest spaţiu ecuaţia (1.7) reprezintă un cilindru drept,

a cărui axă este bisectoarea unghiului diedru format de cele trei axe, adică linia

corespunzând încărcărilor prin presiune: 1 = 2 = 3 (fig. 1.1). Raza cilindrului

depinde de tensiunea de curgere, σc.

Un punct în acest spaţiu reprezintă o stare de solicitare a materialului.

Semnificaţia construcţiei geometrice din figura 1.1 este aceea că cilindrul împarte

spaţiul în stări care produc şi stări care nu produc curgerea. Stările corespunzătoare

punctelor din interiorul cilindrului nu produc curgerea materialului. De aceea,

suprafaţa respectivă se numeşte suprafaţă de curgere. Orice încărcare elastic este o

traiectorie care începe în origine şi se termină undeva pe suprafaţa de curgere.

Faptul că cilindrul are ca axă linia presiunilor, derivă din aceea că o stare

pură de presiune nu produce niciodată curgerea (axa nu intersectează suprafaţa de

curgere).

Criteriul Tesca (ecuaţia (1.4)) se poate reprezenta într-un mod asemănător.

El corespunde unei prisme hexagonale, care are aceeaşi axă ca şi cilindrul von

Mises şi se înscrie perfect în interiorul lui. Această suprafaţă de curgere este şi ea

reprezentată schematic în figura 1.1.

Dacă starea de tensiuni este plană (când una dintre tensiunile principale este nulă), suprafeţele de curgere pot fi trasate în plan (fig. 1.2), devenind curbe de curgere. Această reprezentare rezultă, pur şi simplu, prin secţionarea cilindrului şi prismei din figura 1.1 cu planul 3 = 0 . Semnificaţia lor fizică este aceeaşi: punctele din interiorul curbelor corespund stărilor plane de tensiune care nu produc curgerea, în timp ce cele din exterior corespund condiţiilor de curgere.

Comparaţie între criteriile de curgere Tresca şi von Mises

Aceste două criterii sunt larg folosite pentru a “prezice” începutul curgerii plastice în metale. Ele sunt oarecum asemănătoare, diferenţele dintre ele fiind mai mici de 15%. Această diferenţă poate fi uşor acoperită prin folosirea unui coeficient de siguranţă cu o valoare mai mare de 15%, în inginerie.

Ambele criterii concordă bine cu datele experimentale. În general, acestea se situează între cele două curbe din figura 1.2, fiind relativ mai aproape de elipsa von Mises.

Pentru a face o comparaţie între cele două criterii, în figura 1.3,a se reprezintă, pe aceeaşi figură, interpretările geometrice ale acestora pentru stări plane de tensiune.

În figura 1.3,b s-au reprezentat, pe aceeaşi figură, în spaţiul tridimensional al tensiunilor principale, suprafeţele limită corespunzătoare celor două criterii. Axa OP, egal înclinată faţă de direcţiile principale, este normală la planul octaedric (numit şi planul „π”), de ecuaţie 1 2 3 0 şi are cosinusuriledirectoare (1/ √3; 1/ √3; 1/ √3).

Starea de tensiune dintr-un punct al corpului poate fi descrisă de un vector OA (punctul A se află pe suprafaţa limită), ce poate fi descompus în două componente: OH, în lungul axei OP, reprezentând componenta hidrostatică( 1 2 3 m ) şi componenta OD, perpendiculară pe direcţia OP, aflată în planul π, reprezentând componenta tensorului deviator (cu componentele s1, s2, s3). Curbele L, care reprezintă intersecţia suprafeţelor limită cu planul π, se numesc curbe de curgere.

a) b) Figura 1.3

Teste la tractiune bi-axiala au demonstrat o mai buna concordananta cu rezultatele experimentale a criteriului von Mises decât a criteriului Tresca, mai ales în cazul materialelor metalice.

Aplicarea teoriilor de rezistenţă la calculul practic

Starea cea mai generală de solicitare în cazul unei bare se poate reduce la existenţa următoarelor tensiuni, astfel:

Pentru a se verifica dacă starea de tensiune nu o depăşeşte pe cea limită, se face verificarea:

Pentru determinarea lui σech trebuie stabilită teoria de rezistenţă care se aplică, astfel se obţin:

pentru teoria tensiunilor normale maxime (criteriul Coulomb)

pentru teoria tensiunilor tangenţiale maxime( criteriul lui tresca)

Unde

In concluzie

pentru teoria energiei de deviaţie (criteriul lui von Mises)

de unde rezultă:

În cazul solicitării axiale se aplică teoria Tσ, pentru orice alt tip de solicitare putând fi utilizate celelalte două teorii prezentate.

În cazul stării de forfecare pură (σ1= -σ2 =τ) ,tensiunea tangenţială admisibilă, în baza teoriei tensiunilor tangenţiale maxime, se calculează:

prin urmare:

în cazul teoriei energiei de deviaţie:

Bibliografie

Prof Panait Mazilu “Rezistenta materialelor”

Mocanu Florentina “Elemente de plasticitate”

Marin Cornel “ Rezistenta materialelor si Elemente din teoria elasticitati “