analiza structurala=-referat criteriul druker-prager
TRANSCRIPT
ANALIZA STRUCTURALĂ ÎN DOMENIUL NELINIARPartea I-a
Ciclul II – Master
Specializarea: Proiectarea construcţiilor civile şi industriale în zone seismice
Sem 2 anul universitar 2009-2010
Titular curs: prof. dr. ing. Dan CREŢU
CUPRINS
1 Generalitati………………………………………………………………….………….1
2 Rolul plasticitatii in ingineria structurala……………………………………………….3
2.1. Introducere…………………………………………………….………….3
2.2 Modele de comportare pentru materiale in functie de legea
tensiune-deformatie. Curbe reale si curbe simplificate…………..…….…
4
3 Criterii de curgere si de cedare……………………………………………………….…
9
3.1 Spatiul tensiunilor haigh-westergaard…………………………………….9
3.2 Criterii de curgere independente de presiunea hidrostatica……………..12
3.2.1 Generalitati……………………………………………………….12
3.2.2 Criteriul de curgere Tresca……………………………………….12
3.2.3 Criteriul de curgere von Mises…………...………………………14
3.3 Criterii de cedare dependente de
presiune..................................................15
3.3.1 Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop…15
3.3.2 Criteriul Mohr - Coulomb (1900)………………………………..18
3.3.3 Criteriul de cedare Drucker - Prager (1952)……………………..22
4 Relatiile tensiuni-deformatii pentru materiale perfect plastice…………………….….27
4.1 Introducere………………………………………………………………27
4.1.1 Limita elastica si functia de curgere……………………………..27
4.1.2. Criterii de incarcare si descarcare………………………………..28
4.2 Potentialul plastic si regula de
curgere…………………………………..28
4.3 Regula de curgere asociata cu functia de curgere von Mises……...
…….30
4.4 Regula de curgere asociata criteriului de curgere Tresca…………..……
33
4.5 Regula de curgere asociata cu criteriul de curgere Mohr –
Coulomb…………....................................................................................
36
4.6 Proprietatea de convexitate, normalitate si unicitate pentru
1
1
materialul ideal elasto-plastic…......................…………………….....…39
4.6.1 Proprietatea de convexitate a suprafetei de curgere si de
normalitate a regulii de curgere…..........…….………….
………..39
4.6.2 Unicitatea solutiei si conditia de normalitate …………………....41
4.7 Relatii incrementale tensiuni - deformatii specifice…...…….
…………..42
4.7.1 Relatii constitutive in termeni de constante elastice E si
sau G si K……………...........…………………………………...………
44
4.8 Modelul Prandtl - Reuss (Teoria J2)……………………………………46
4.9 Modelul Drucker – Prager……………………………………………….47
1 GENERALITATI
2
2
Proiectarea rationala, din punct de vedere economic, a structurilor in general alcatuite
din metal sau beton armat, presupune acceptarea, in cazul actiunilor seismice majore, a
incursiunilor in domeniul post-elastic de comportare a materialelor.
Metodele actuale de proiectare accepta determinarea eforturilor printr-un calcul static
elastic liniar in care fortele seismice se introduc conventional ca forte orizontale statice.
Acestea sunt determinate in ipoteza disiparii energiei induse de seism prin incursiuni in
domeniul plastic ale grinzilor in zonele de imbinare cu elementele verticale – stalpii – precum
si la baza stalpilor. Deplasarile in cazul comportarii post-elastice se obtin prin multiplicare cu
inversul coeficientului de disipare .
Controlul formarii mecanismelor de cedare se realizeaza prin exprimarea echilibrului
global intre fortele statice seismice conventionale majorate proportional si momentele capabile
ultime din sectiunile in care se formeaza articulatiile plastice.
In prezent sunt disponibile programe de calcul care evalueaza comportarea neliniara a
structurilor plane din bare la actiunea seismica variabila in timp descrisa printr-o
accelerograma. Atingerea capacitatii plastice se considera prin formarea unor articulatii
plastice controlate prin curbe de interactiune moment - forta axiala. Acest mod de abordare
este evident simplist, potrivit unei activitati curente de proiectare, dar limitat la structuri cu
forma regulata in plan si pe verticala. In cazul unei structuri cu o forma neregulata impusa de
considerente arhitectonice si functionale nu sunt disponibile in prezent programe de aclcul
care sa permita analiza spatiala cu considerarea comportarii neliniare la actiuni variabile in
timp.
Avand in vedere aceste considerente, efortul de cerectare atat pe plan national cat si
international este concentrat in elaborarea unor programe de calcul care sa permita validarea
calculului simplificat prin analiza comportarii spatiale a structurilor. Din acest punct de
vedere, lucrarea isi propune in aceasta faza cunoasterea bazelor teoretice necesare atingerii
obiectivului propus. Se prezinta in lucrare:
- criterii de curgere si de cedare;
- bazele teoretice ale teoriei plasticitatii in cazul materialelor cu comportare ideal
elasto-plastica;
- expresiile matricii caracteristicilor fizice elasto-plastice de legatura intre tensiuni si
deformatii specifice pe baza criteriilor de curgere Tresca si von Mises;
- procedeele de rezolvare numerica a sistemelor de ecuatii neliniare (metoda Newton-
Raphson, metoda Newton-Raphson modificata, metoda quasi Newton);
3
3
Recentele cutremure din SUA – Northridge (1994) si Japonia – Kobe (1995) au repus
in actualitate necesitatea continuarii investigatiilor numerice si experimentale in cazul
cobstructiilor metalice in general. Structurile metalice considerate in general sigure, avand
invedere capacitatea mare de rezistenta si de ductilitate a materialului au prezentat o serie de
avarii care, chiar daca nu au condus la colaps, au necesitat interventii dificile si costisitoare din
punct de vedere tehnic. Principalele probleme au fost in zonele nodurilor stalpi-fundatie si
grinzi-stalpi. Aparitia si propagarea fisurilor in sudurile de imbinare continuate in stalpi
precum si voalarea talpilor si inimilor sunt de neacceptat, dar au fost frecvent observate la
constructiile metalice din zonele afectate de seism.
Ca urmare a analizelor numerice in care articulatiile plastice se considera concentrate in
sectiuni prestabilite prin atingerea starii de curgere controlata cu ajutorul curbelor de
interactiune M-N constituie procedee prea simpliste . Evident ca o analiza numerica, in care
atat fortele cat si domeniul de comportare se modifica in timpul actiunilor variabile in timp,
caracteristice actiunilor seismice, este mare consumatoare de timp, dar si susceptibila la erori
numerice. Cu toate acestea, investigarea comportarii nodurilor in care de regula se realizeaza
cele mai mari eforturi necesita modelarea acestora cu elemente finite plane si/sau
tridimensionale, in timp ce pentru restul elementelor care nu executa incursiuni semnificative
in domeniul post-elastic se pot folosi elemente de tip bara. De fapt ideea de baza este de a crea
o biblioteca de macroelemente care sa permita modelarea nodurilor grida-stalpi-contravantuiri.
Pentru aceasta, cunoasterea posibilitatilor oferite de tehnicile actuale incrementale de rezolvare
numerica, precum si modelarea realista a comportarii materialelor la actiuni seismice sunt
esentiale si constituie suportul de baza al lucrarii elaborate.
2 ROLUL PLASTICITATII IN INGINERIA STRUCTURALA
4
4
2.1 INTRODUCERE
Proiectantii de structuri urmaresc de regula doua etape:
I) Definirea campului de forte interne (calculul eforturilor)
II) Stabilirea raspunsului materialului la aceste forte.
Primul pas implica o analiza a campurilor de tensiuni. Al doilea necesita cunostinte
privind proprietatile materialelor.
Teoria Elasticitatii considera o relatie liniara intre tensiuni si deformatii specifice .
Pentru ca teoria sa fie valabila trebuie ca .
Structurile sunt corpuri complexe cu o stare de tensiuni spatiala. Exista si tensiuni
secundare ce apar in timpul procesului de fabricatie si montaj. Combinarea tensiunilor initiale,
secundare si concentrarile de tensiuni pot conduce la depasirea limitei de elasticitate ceea ce
face necesara studierea comportarii dincolo de limita elastica.
Teoria plasticitatii reprezinta o extindere a teoriei elasticitatii. Aceasta furnizeaza
informatii mai realiste privind raspunsul elementelor de constructii. Intelegerea rolului
caracteristicilor relevante ale materialelor care definesc raspunsul acestora la fortele aplicate
este esentiala pentru un inginer.
Atat teoria elasticitatii cat si teoria plasticitatii sunt valabile si se regasesc in natura. In
cazul teoriei plasticitatii trebuie urmarite doua aspecte:
- stabilirea relatiilor intre tensiuni si deformatii specifice pentru un material elasto-
plastic cu consolidare sau cu degradare de rigiditate.
- cunoasterea unor procedee numerice de rezolvare a ecuatiilor.
Teoriei plasticitatii se bazeaza pe un set de relatii intre tensiuni si deformatii specifice
pentru o stare complexa de tensiuni care pot descrie comportarea post-elastica. Regulile de
deformatie observate pentru metale au fost confirmate de experimente.Recent, metodele TP au
fost extinse si la studiul comportarii materialelor geologice cum sunt rocile, pamantul si
betonul.
2.2 MODELE DE COMPORTARE PENTRU MATERIALE IN FUNCTIE DE
LEGEA TENSIUNE-DEFORMATIE. CURBE REALE SI CURBE
SIMPLIFICATE.
5
5
Legatura dintre vectorul tensiunilor si vectorul deformatiilor specifice reprezinta
legea constitutiva a materialului.
Pentru usurinta reprezentarii grafice a relatiei - se considera pentru inceput cazul
comportarii monoaxiale. Pentru intindere 1 > 0 si 2 = 3 = 0 si pentru compresiune 3 < 0
si 2 = 1 = 0. Cele mai cunoscute curbe caracteristice 1 - 1 sau 3 - 3 vor fi reprezentate
prin modele tipice de comportare. Acestea se pot asocia diferitelor materiale.
a) Modelul liniar elastic
a) b) c) modelul Hooke
Figura 2.1
Modelul de comportare liniar-elastic se caracterizeaza printr-o relatie liniara biunivoca
intre tensiuni si deformatii, independent de timp. starea de tensiune si de deformatii este
reversibila. Incarcarea si descarcarea se produc dupa aceeasi dreapta.
b) Modelul elastic neliniar
Acesta se caracterizeaza printr-o relatie neliniara de forma = E(). Incarcarea si
descarcarea se produc dupa acelasi drum. Un caz particular il reprezinta modelul biliniar.
a) b) c) d)
Figura 2.2
Modelul (c) corespunde comportarii pamanturilor si umpluturilor. Modelul (c)
caracterizeaza comportarea rocilor cu fisurare orientata. Inainte de inchiderea fisurilor
comportarea este descrisa de constanta E1 si dupa inchiderea fisurilor de constanta E2.
c) Modelul elasto-plastic
6
6
=E()
E(),
E1
1E1
1
E2
1E2
1
, E
= E
Relatia - nu mai este liniara in acest caz si descarcarea nu mai are loc dupa aceeasi
curba cu incarcarea. Se accepta o lege de comportare liniara la descarcare. Modelul pune in
evidenta doua zone distincte de comportare.
- o zona de comportare elastic liniara (A- B)
< p , comportare elastica = e = E
- o zona de comportare plastica B-C
p , comportare plastica = e + p
a) b) c)
d) e)
Figura 2.3
Conform figurii 2.3 a si b dupa depasirea limitei de proportionalitate p apare
fenomenul de ecruisare. Aceasta indica o dependenta a tensiunilor din stadiul post-elastic de
deformatia plastica produsa. In figura 2.3 c) este prezentat modelul elastic perfect plastic
Pentru p deformatiile specifice sunt nedefinite. In cazul rocilor, modelul elastic perfect
plastic introduce o reducere a rezistentei in zona plastica aceasta fiind o consecinta a pierderii
coeziunii.
Pentru modelul descris in figura 2.3. b):
pentru p (2.1)
d) Modelul rigid -plastic
Se caracterizeaza prin deformatii specifice plastice mult mai mari decat cele elastice p
>> e. In consecinta deformatiile elastice pot fi neglijate.
7
7
p p
C
CC
B
B B
A
ep
p, pE, e
E
1
E
1
E
1
Et1
CB
E
1
ep
Figura 2.4
Pentru materialele perfect plastice limita de elasticitate se considera o marime constanta
egala la intindere si la compresiune .Pentru materiale ecruisabile limita de plasticitate
depinde de istoria incarcarii.
e) Modelul vasco-elastic (Voight-Kelvin+resort elastic Hooke)
In cazul acestui model se ia in considerare comportarea elastica a materialului la care se
adauga si cresterea deformatiei in timp la efort constant.
Figura 2.5
(2.2)
Cresterea deformatiilor in timp la tensiune constanta se numeste fluaj in cazul metalului
si curgere lenta in cazul betonului.
Viteza de deformatie depinde atat de marime lui cat si de istoria incarcarilor la care a
fost supus materialul. La descarcare deformatiile elastice se anuleaza iar cele vascoase se
recupereaza in timp.
f) Material elasto-exponential cu consolidare
8
8
p
Rigid plastic cu ecruisare liniara
C
B
p
Rigid perfect plastic
CB
0 /E
0 = 0 /E010 = E00
1 = Et
L =
0 /E1
Legea de comportare este:
(2.3)
Figura 2.6
g) Material cu lege de comportare de tip Ramberg - Osgood
Expresia legii este:
(2.4)
a, b si n fiind constante de material
Figura 2.7
h) Modulul tangent Et si modulul plastic Ep
Aceste module sunt utilizate pentru proceduri incrementale
Legatura intre tensiuni incrementale si deformatii specifice incrementale:
Figura 2.8
(2.5)
Se considera un parametru de consolidare care va caracteriza diferitele stadii de
consolidare. Prin ipoteza modulul plastic Ep este o functie de acest parametru.
Ep = Ep ()
9
9
b
a
1
E
p
B
ep
E
1
d
d
d
d
A
A
B
E
1
1
Et
1Ep
Lucrul mecanic plastic:
- deformatia plastica acumulata:
- incrementul deformatiei plastice efective:
Reguli de consolidare la incarcare - descarcare
a) Consolidare izotropa b) Consolidare cinematica
Figura 2.9
Pentru consolidarea izotropa (figura 2.9 a):
Pentru consolidarea cinematica (figura 2.9 b):
Pentru consolidarea independenta:
BC > OA
pentru > 0
pentru < 0
3 CRITERII DE CURGERE SI DE CEDARE
3.1 SPATIUL TENSIUNILOR HAIGH-WESTERGAARD
Aceasta reprezentare este deosebit de utila in studiul teoriei plasticitatii si criteriilor de
rupere. Tensorul starii de tensiune ij are sase componente distincte si independente. Deci am
putea utiliza aceste componente drept coordonate intr-un spatiu cu sase dimensiuni. Totusi
aceasta este dificil de reprezentat. Cea mai simpla alternativa este de a lua cele trei tensiuni
10
10
C’O
BA
A’
B’
BA
OC
A’
B’
1
axa hidrostatica (1 = 2 = 3)(stare de tensiune sferica)s1 = 21 - 2 - 3 = 0
principale 1, 2, 3 drept coordonate. Acest spatiu se numeste spatiul tensiunilor Haigh -
Wastergaard.
Figura 3.1
Fie o stare de tensiune exprimata prin 1, 2, 3 reprezentata prin punctul P (1,
2, 3). Vectorul de tensiune OP poate fi descompus in doua componente OP ON NP .
ON OP n
1 2 31
3
1
3
1
3, , , ,
dar ONI
p 1
3 331 2 3
1 unde pI 1
3
NP OP ON si conform relatiilor de mai sus:
ON OP n p p p , ,
NP OP ON 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ( , , ) , , , , p p p p p p s s s
Se obtine:
NP s s s J12
22
32
22
Dar NP oct 3
In reprezentarea vectoriala de mai sus, ON reprezinta deci componenta hidrostatica si
vectorul NP reprezinta componenta deviatorica sij a starii de tensiune exprimate in tensiuni
principale
Sa consideram proiectiile vectorului NP pe axele de coordonate i’ pe un plan
deviatoric.
11
11
Q’
N (p, p, p)
planul deviator1 + 2 + 3) = 3
n
3
2
e1 cos
2/3
e1
FIGURA 3.2
Conform figurii 3.2:
e11
62 1 1 , ,
= 1
6 s s s1 2 3, ,
Considerand pentru s2 + s3 = -s1
cos 3
2 1s
Inlocuindu-l pe se obtine:
Folosind identitatea:
cos cos cos3 4 33
si inlocuind pe cos din relatia de mai sus rezulta:
cos/
33 3
2 23 2 1
31 2
Js s J (3.1)
Dar J2 = - (s1s2 + s2s3 + s1s3)
cos/
33 3
2 23 2 1
312
2 12
3 1 2 3 J
s s s s s s s s
Dar s1 = - (s2 + s3) si J3 = s1 s2 s3 si inlocuind in relatia de mai sus se obtine:
cos/
33 3
23
23 2
JJ
(3.2)
Aceasta relatie arata ca valoarea lui cos 3 este un invariant in raport cu J2 si J3. Se va
putea arata ca o stare de tensiune (1, 2, 3) se poate exprima prin (, , ). Acesti parametrii
se vor calcula in conditiile date de functiile de cedare, curgere sau rupere in spatiu.
s J1 22
3 cos (3.3)
Intr-o maniera similara se pot obtine ceilalti temeni ai tensorului deviatoric:
12
12
N
1’
2/32/3
3’2’
s J2 22
3
2
3
cos (3.4)
s J3 22
3
2
3
cos (3.5)
Relatiile sunt valabile daca 1 2 3 si 03
.
Deci tensiunile principale sunt:
(3.6)
3.2 CRITERII DE CURGERE INDEPENDENTE DE PRESIUNEA HIDROSTATICA
3.2.1 Generalitati
Criterii de curgere independente de presiunea hidrostatica sunt criteriul de curgere
Tresca (1869) si criteriul de curgere von Mises (1913) si sunt utilizate foarte mult in cazul
metalelor.
Criteriile de curgere definesc limita de comportare elastic liniara a unui material sub o
stare compusa de tensiuni si se pot exprima cu relatii de forma:
f (ij, k1, k2 ..............) = 0 (3.7)
in care ki sunt constante de material ( de exemplu 0 sau 0 care reprezinta limitele de curgere
pentru solicitarile de intindere simpla si de forfecare pura).
Pentru materiale izotrope relatia (3.7) se poate scrie:
f (1, 2, 3, k1, k2 ..............) = 0
sau f (I1, J2, J3, k1, k2 ..............) = 0 (3.8)
sau f (, , , k1, k2 ..............) = 0
Bridgman a efectuat in 1950 experimente pe metale si a demonstrat ca presiunea
hidrostatica nu influenteaza apreciabil curgerea. In consecinta relatia se poate scrie:
f (J2, J3, k1, k2 ..............) = 0
13
13
3.2.2 Criteriul de curgere Tresca
Acest criteriu, stabilit in 1964 este aplicat la metale. Conditia pentru determinarea
limitei de curgere se exprima sub forma: max k .
Fie 0 limita de curgere determinata experimental pentru solicitarea axiala simpla. In
acest caz se obtine
max 0
2
Pentru o stare de tensiuni exprimata in functie de tensiunile principale se obtin
urmatoarele relatii explicite:
In spatiu
0 2 3 0
2 2 2
0 1 3 0
2 2 2
0 1 2 0
2 2 2(3.9)
In plan
2 0
2 2 ;
1 0
2 2 ;
1 2 0
2 2
(3.10)
Figura 3.3
Considerand 1 2 3 criteriul de curgere se exprima:
max , , ,1
2
1
2
1
21 2 1 3 3 2
k (3.11)
1
2
1
3
2
31 3 2
J kcos cos 0 60O O (3.12)
sau
14
14
2
0
-00 1
-0
f J J2 2 023
0, sin
(3.12’)
sau
f , sin
2
300 (3.12’’)
Presiunea hidrostatica nu influenteaza suprafata de curgere. Criteriul este independent
de I1 sau de .
Figura 3.4
f J J J J k J k J k2 3 23
32 2
22 4
264 27 36 96 64 0, (3.13)
3.2.3 Criteriul de curgere von Mises
Acest criteriu, stabilit in 1913 este aplicat la metale. Conditia pentru determinarea
limitei de curgere se exprima in functie de tensiunile octaedrice.
oct J k 2
3
2
32 .
Criteriul se exprima cu relatia:
f(J2) = J2 - k2 = 0 (3.14)
15
15
Tresca
B( = 60)
von Mises
1’
3’2’
= 0
x xy
0
2
0
2
21
/
x xy
0
2
0
2
31
/
xy
0
x
0
A(=0, )
Fie 0 limita de curgere determinata experimental pentru solicitarea axiala simpla. In
acest caz se obtine k 0
3
Pentru o stare de tensiuni exprimata in functie de tensiunile principale se obtine
urmatoarea relatie:
1 22
3 22
1 32 26 k (3.15)
Ecuatia obtinuta este ecuatia unui cilindru a carui intersectie cu planul deviator este un
cerc de raza 2k .
Atat la criteriul Tresca cat si la criteriul von Mises k este limita de curgere la forfecare
pura 2 = - 1. Valorile acestui parametru sunt insa diferite conform celor doua criterii.
Raportul intre ele este:
k
kvM
T
0
0
3
2
2
3125.
In cazul criteriului von Mises, in planul x xy reprezentarea grafica este elipsa de
ecuatie
x xy
0
2
0
2
31
/
3.3 CRITERII DE CEDARE DEPENDENTE DE PRESIUNE.
3.3.1 Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop
Cedarea pentru un material este definita uzual prin termeni dependenti de capacitatea
de incarcare. Totusi, pentru modelul perfect plastic curgerea implica o cedare deci limita de
curgere este deseori o limita de rezistenta.
Ca si in cazul criteriilor de curgere, o forma generala a criteriilor de cedare poate fi data
printr-o ecuatie avand pentru materialele anizotrope forma :
f(ij, k1, k2 ,............ ) = 0 (3.16)
si pentru materiale izotrope:
f(1, 2, 3, k1, k2 ,.........) = 0 (3.17)
f(I1, J2, J3, k1, k2 ,...........) = 0 (3.17’)
f(, , , k1, k2 ,..............) = 0 (3.17’’)
16
16
Pentru materiale ductile, cum este metalul, curgerea este independenta de presiunea
hidrostatica. Comportarea multor materiale nemetalice cum sunt terenul, rocile si betonul,
depinde de nivelul presiunii hidrostatice. Din acest motiv I1 si trebuie sa fie prezenti in
criteriile de cedare.
Forma generala a suprafetei de cedare f (I1, J2, J3) = 0 sau f(, , ) = 0 in spatiul
tridimensional poate fi descrisa printr-o sectiune cu planul deviatoric si meridianele sale din
planele meridiane. Sectiunea transversala a suprafetei de cedare este curba de intersectie a
acestei suprafete cu planul deviatoric care este perpendiculara pe axa hidrostatica cu =ct.
Meridianele suprafetei de cedare sunt curbele de intersectie intre aceasta suprafata si un
plan meridian ce contine axa hidrostatica = ct. Pentru un material izotrop, forma suprafetei
de cedare trebuie sa fie simetrica. De aceea este necesar ca in experiment sa se urmareasca
sectorul 0O - 60O celelalte stabilindu-se prin simetrie.
Figura 3.5
Considerand 1 2 3 exista doua situatii extreme:
1) 1 = 2 > 3 1 = 60O
2) 1 > 2 = 3 2 = 0O
Valorile se obtin inlocuind in:
cos 3
21
2
s
J
si tinand seama de :
s1 11 2 3 1 2 3
3
2
3
J s s s s s s2 1 2 2 3 3 1
Rezulta astfel:
1) cos
1
1 3
2
1 3
1 32
3
2 3
3
23
2
6
1
2
J (3.18)
17
17
3’
c
c
1’
2’
intindere
= 0
= 60
compresiune
2) (3.19)
Meridianul asociat lui = 60 se numeste meridianul de compresiune deoarece situatia
corespunde unei stari de tensiune cu compresiune intr-o singura directie. p 1 32
3
1 = 2 > 3
11 3
1 3
21 3 1 3
31 3 1 3
2
33 3
2
3 3
2
3
2
3
(3.20)
Meridianul asociat lui = 0 se numeste meridianul de intindere deoarece situatia
corespunde unei stari de tensiune cu intindere intr-o singura directie.
p 1 22
31 > 2 = 3
13 2 1 2
21 2 2 1
21 2 2 1
2
3
2
32
3 32
3 3
(3.21)
= 30 este meridian de forfecare si caracterizeaza o situatie de forfecare pura
1
201 3 3 1 , ,
p
1 2
1 2
1 223 3
Cele trei situatii sunt descrise de:
Figura 3.6
18
18
13 1=23=2
3.3.2 Criteriul Mohr - Coulomb (1900)
Acest criteriu poate fi considerat o generalizare a criteriului Tresca. Ambele considera
valoare tensiunii tangentiale maxime max ca masura a cedarii unui material. Totusi exista o
diferenta. Criteriul Tresca considera k o valoare constanta in timp ce criteriul Mohr Coulomb
il considera ca o valoare dependenta de .
f( ) (3.22)
Functia f() se determina experimental.
Intr-o reprezentare grafica cu cercul lui Mohr, daca cercul de raza maxima 1 3
2
este
tangent la curba intrinseca f() inseamna ca s-a atins starea limita.
Figura 3.7
Cu alte cuvinte criteriul lui Mohr depinde de tensiunea medie. Cea mai simpla forma
pentru curba intrinseca este o dreapta. Ecuatia acestei drepte este cunoscuta ca ecuatia lui
Coulomb (1773)
c tg (3.23)
unde c este factorul de coeziune iar este unghiul intern de frecare. Acesti doi parametrii se
determina experimental. Daca = 0 criteriul se reduce la criteriu Tresca cu = c si coeziunea
devine egala cu k de la forfecarea pura.
19
19
c3 1
= c- tg
tg
Figura 3.8
Fie 1 2 3. Criteriul Mohr Coulomb poate fi scris:
(3.24)
sau rearanjand relatia:
1 3
1
2
1
21
sin
cos
sin
cosc c (3.25)
Cu urmatoarele notatii:
fc
c/ cos
sin
2
1
si f
ct/ cos
sin
2
1
relatia (3.19) se scrie:
1 3 1f ft c
/ / (3.26)
Daca 1 0 si 3 = 0 atunci este vorba de o solicitare uniaxiala si se poate pune in
evidenta semnificatia numitorilor: fc/ reprezinta rezistenta la compresiune si ft
/ rezistenta la
intindere.
De multe ori este convenabil sa se introduca un parametru “m”
mf
fc
t
/
/
sin
sin
1
1
Cu aceasta noua notatie ecuatia poate fi scrisa:
m fc 1 3 / pentru 1 2 3.
Considerand 1 - 3 = 0 curbele de cedare in planul 1 - 2 pot fi trasate pentru diferite
valori ale lui m.
De exemplu:
20
20
2/ fc/
1
-11
0.170.588
m = 1
m = 1.7m = 5.83
1/ fc/
= 0
Figura 3.9
Forma in spatiu a suprafetei de cedare necesita folosirea relatiilor:
1 3
1
2
1
21
sin
cos
sin
cosc c
se obtine:
(3.27)
sau:
(3.21’)
cu 0 60.
Suprafata limita corespunde unei piramide hexagonale neregulate. Meridianele sunt
linii drepte si sectiunile printr-un plan sunt hexagoane neregulate. Sunt necesare numai doua
caracteristici pentru a trasa acest hexagon t0 si c0.
Figura 3.10
21
21
c0
c0
t0 t0
1’
3’
= 0
-1
2’
60 t
c
3’3’
Inlocuind in relatia (3.21’) = 0 si = 0 se obtin t0 si c0. Se procedeaza analog si pentru =
0 si = 60.
33 2
6 0 sin sin cosc
t
cc f0
2 6
3
6 1
3
cos
sin
sin
sin
/
(3.28)
respectiv
c
cc f0
2 6
3
6 1
3
cos
sin
sin
sin
/
(3.29)
t
c
0
0
3
3
sin
sin
O famile de curbe Mohr - Coulomb obtinute cu sectiuni transversale in planul , pentru
diferite valori ale lui sunt date in figura 3.11 normalizate in raport cu fc/ . Hexagonul din
planul 1 - 2 este intersectia piramidei cu planul de coordonate 3 = 0. Daca
f f mc t/ / 0 1, hxagonul va deveni hexagon regulat si este identic cu ceea ce se obtine
utilizand modelul Tresca. Pentru a obtine o mai buna aproximatie cand apar tensiuni de
intindere, de cele mai multe ori se combina criteriul Mohr - Coulomb cu rezistenta maxima la
intindere. Astfel se obtine un criteriu cu trei parametrii. Sunt necesare doua stari de tensiune
pentru a determina c si (doua solicitari) si numai una pentru a determina rezistenta maxima
de intindere.
Figura 3.11 Curba de cedare in planul deviator
3.3.3 Criteriul de cedare Drucker - Prager (1952)
Acest criteriu este o modificare a criteriului von Mises. Influenta presiunii hidrostatice privind cedarea este introdusa prin intermediul unui termen suplimentar in expresia lui von Mises.
22
22
c0t0
1’/fc’
3’/fc’2’/fc’
= 0o
= 60o
= 30o
f I J I J k( , )1 2 1 2 0 (3.30)
sau
f k( , ) 6 2 0 (3.30’)
unde si k sunt constante de material.Cand = 0 ecuatia se reduce la criteriul von Mises.Ecuatia in spatiul tensiunilor principale este un con circular drept. Meridianul si
sectiunea cu planul deviator sunt prezentate in figura 3.12.
a) sectiunea din planul deviator b) planul meridian = 0o
Figura 3.12
Suprafata de cedare hexagonala asociata curbelor Mohr - Coulomb este convenabila din
punct de vedere matematic numai in problema in care este evidenta suprafata folosita din cele
sase. Daca aceasta informatie nu este cunoscuta in avans, colturile hexagonului pot crea
dificultati matematice deosebite in obtinerea solutiei. Criteriul Drucker - Prager este o
aproximatie a criteriului Mohr - Coulomb si poate fi facuta prin potrivirea laturilor pe con.
De exemplu, daca cercul Drucker - Prager este circumscris hexagonului Mohr -
Coulomb sau daca suprafetele coincid in lungul meridianelor de compresiune c unde = 60,
constantele si k se obtin functie de constantele c si .
(3.31)
2
3 3
sin
sin
Conul corespunzator constantelor de mai sus este circumscris piramidei hexagonale si
reprezinta o limita exterioara a suprafetei de cedare Mohr - Coulomb. Pe de alta parte conul
interior care trece prin meridianul de intindere t unde = 0 va avea constantele:
k
c
6
3 3
cos
sin
(3.32)
2
3 3
sin
sin
23
23
0 0
1’
3’2’
0
Totusi aproximatia data prin conul interior sau exterior suprafetei de cedare Mohr -
Coulomb poate fi nepotrivita pentru cateva stari de tensiune. O alta aproximatie poate fi facuta
prin meridianul de forfecare si poate fi mai potrivita. Criteriul Drucker - Prager pentru o stare
de tensiune biaxiala este reprezentat prin intersectia conului circular cu planul de coordonate
3 = 0. Curba de cedare se determina inlocuind in suprafata de cedare 3 = 0.
( )1 2 12
1 2 221
3 k
sau:
( )( ) ( ) ( )1 3 1 6 6 3 0212
22 2
1 2 1 22 k k
ceea ce reprezinta ecuatia unei elipse.
Figura 3.13
3.3.4 Criteriul tensiunii maxime de intindere (Rankine)
Acest criteriu a fost prezentat in 1876 si este aplicabil in cazul materialelor fragile.
max 0 (3.33)
Ecuatia: 1 = o 2 = o 3 = o este ecuatia suprafetei de cedare, care este formata
din trei plane perpendiculare pe axele 1 , 2 si 3.
24
24
Drucker -Prager1’
3’
Mohr - Coulomb
2’
-2
-1
-3
1
3
0
2
60o t
c
Figura 3.14
Cand se folosesc variabilele , si sau I1, J2 si suprafata de cedare poate fi descrisa
complet prin ecuatii in interiorul 0 60
f I J J I( , , ) cos1 2 2 1 02 3 3 0 (3.34)
f( , , ) cos 2 3 00 (3.34’)
Figura 3.15
Betonul, rocile, terenul au o buna comportare la compresiune. Sub incarcari de
compresiune are loc o confinarea, si ca urmare, acest tip de material poate avea o comportare
ductila si cedare prin forfecare. Sub incarcari de intindere se observa o cedare fragila si o
foarte joasa rezistenta.
Deseori criteriul Rankine se combina cu criteriul Tresca sau von Mises pentru a
aproxima comportarea la rupere a unor astfel de materiale Reprezentarea grafica corespunde
la doua suprafete asociate la o cedare prin forfecare la compresiune si prin intindere la
intindere.
25
25
= 0
= 60
0
0
= 60
3 0c0t0
1’
3’
= 0 = 0
2’
Tresca
von Mises
1’
3’2’
= 0
= 0
1
1
Figura 3.16
3.4 MATERIALE ANIZOTROPE. CRITERII DE CURGERE
Majoritatea materialelor sunt anizotrope. Criteriul general f (ij, k1, k2 ..............)=0 depinde de
prea multi parametrii ce definesc materialul.
3.4.1 Criterii de curgere pentru materiale ortotrope.
In fiecare punct exista trei plane de simetrie elastica. Intersectiile acestor plane sunt
axele de anizotropie. Criteriul de curgere propus de Hill (1950) in raport cu aceste axe:
(3.35)
unde a1..a6 reprezinta parametrii ce definesc materialul.
Ecuatia este o expresie quadratica in tensiuni reprezentand partea din energie care guverneaza
atingerea curgerii la materiale ortotrope. Din acest motiv criteriul Hill este considerat o
extindere a criteriului von Mises.
Lipsa termenilor liniari implica ipoteza ca materialul lucreaza identic la intindere si la
compresiune si ca presiunea hidrostatica nu influenteaza curgerea. Parametrii materialului pot
fi determinati din trei experimente de intindere simpla in directia axelor principale de
anizotropie si trei teste de forfecare in planele de simetrie. Notand cu X, Y, Z rezistentele la
intindere si S21, S13 si S23 rezistentele la forfecare se obtine:
21 1 1
1 2 2 2a
Y Z X a
S4
232
1
21 1 1
2 2 2 2a
X Z Y a
S5
132
1
26
26
21 1 1
3 2 2 2a
Y X Z a
S6
212
1
Daca materialul este transversal izotrop (simetrie rotationala fata de axe z), criteriul
definit de aceasta ecuatie trebuie sa ramana invariant pentru axele x si y arbitrare. Rezulta :
a1 = a2 ; a4 = a5 ; a6 = 2 ( a1 + 2a3)
Pentru material izotrop, particularizand in continuare rezulta 6a1 = 6a2 = 6a3 = a4 = a5 =
a6 si se obtine criteriul von Mises.
Observatie: La materiale anizotrope schimbarea axelor implica schimbarea formei suprafetei
de cedare.
4 RELATIILE TENSIUNI-DEFORMATII PENTRU
MATERIALE PERFECT PLASTICE.
4.1 INTRODUCERE
Situatia in care deformatiile plastice se dezvolta sub camp constant de tensiuni
caracterizeaza comportarea perfect sau ideal plastica.
In cazul solicitarii monoaxiale diagrama - este prezentata in figura 4.1:
a) b)
Figura 4.1
Ipoteza comportarii perfect plastice a materialului simplifica substantial analiza
problemelor structurale si permite elaborarea unor modele simple si directe necesare stabilirii
capacitatii portante a structurilor.
Comportarea unui material sub o stare complexa de tensiuni care implica sase
componente de tensiune si sase componente de deformatii specifice nu poate fi reprezentata
printr-o relatie liniara.27
27
dij incarcareincarcare
Elastic F(ij)< k ij descarcare
F(ij)= k suprafata de curgere
ij dij descarcare
4.1.1 Limita elastica si functia de curgere
Limita domeniului elastic de comportare al unui material sub toate combinatiile de
tensiuni a fost definita ca o functie de curgere de forma
f(ij , k) = F ( ij) - k (4.1)
Pentru un material ideal plastic functia de curgere se considera invarianta si deci
parametrul k ramane constant. In consecinta suprafata de curgere este fixa in spatiu (figura
1.b).
4.1.2. Criterii de incarcare si descarcare
In situatia unei deformatii plastice continue, starea de tensiuni trebuie sa ramana pe
suprafata de curgere. Aceasta situatie se numeste “incarcare”. In situatia unei stari de tensiune
a carei reprezentare este in interiorul suprafetei de curgere, nu se dezvolta deformatii plastice
si toate deformatiile incrementale vor fi elastice. Aceasta situatie se numeste “descarcare”.
Se considera atingerea limitei plastice sub o stare de tensiuni ij caracterizata printr-un
vector (figura 1.b). Daca la aceasta stare de tensiune se adauga o crestere incrementala a starii
de tensiune dij, pentru un material ideal plastic la care dezvoltarea de deformatii plastice are
loc fara cresteri de tensiune, implica necesitatea ca incarcarea aditionala dij sa fie in planul
tangent. Conditia se scrie sub forma.
f k dff
dijij
ij( , )
0 0 (4.2)
acesta fiind criteriul de incarcare.
Criteriul asociat unei descarcari (asociat unor deformatii elastice) este:
f k dff
dijij
ij( , )
0 0 (4.3)
Tensorul deformatiilor specifice totale incrementale se considera ca fiind o suma de
tensori ai deformatiilor specifice incrementale elastice si plastice.
d d dij ije
ijp (4.4)
4.2 POTENTIALUL PLASTIC SI REGULA DE CURGERE
Regula de curgere este o apreciere cinematica necesara pentru deformatii plastice.
28
28
Componentele tensorului deformatiilor plastice incrementale d ijp pot fi reprezentate geometric
printr-un vector cu noua componente in spatiul deformatiilor (figura 2). Regula de curgere va
decide directiile vectorului deformatiilor plastice incrementaled ijp . In cazul comportarii
elastice, deformatiile elastice se pot obtine ca derivata energiei complementare de deformatie,
in raport cu tensorul ij.
ijij
ij
In 1928 von Mises a propus un concept similar de functie de potential plastic, care este o
functie scalara cu variabile tensoriale g(ij). Ecuatia curgerii plastice se poate scrie sub forma:
d dg
ijp
ij
(4.5)
in care d - factor scalar pozitiv de proportionalitate care este nenul numai cand apar
deformatii plastice.
Ecuatia g(ij) este o hipersuprafata de potential plastic in spatiul cu noua dimensiuni al
tensiunilor. Cosinusii directori ai normalei la aceasta hipersuprafata in punctul ij vor fi
proportionali cu componentele
g
ij.
Vectorul curgerii plastice d ijp este un vector liber in spatiul tensiunilor cu directia
normala la hipersuprafata potentialului plastic.
Figura 4.2
Daca functia de curgere si functia potentialului plastic coincid f = g.
Atunci
d df
ijp
ij
(4.6)
29
29
ija
ijb
ijc
ijd
dijp
dijp
dijp
Potential plasticg(ij) = f(ij)=ct
colt
plat
plan tangenta
b
ccd dij
p
si curgerea plastica se dezvolta in directia normalei la suprafata de curgere. Ecuatia (4.6) se
numeste regula de curgere asociata deoarece curgerea plastica este asociata cu criteriul de
cedare. Daca f g regula de curgere este neasociata. Von Mises foloseste regula de curgere
asociata pentru a obtine relatii intre tensiuni si deformatii plastice pentru metale.
Regula de curgere asociata este valabila pentru materiale plastice ireversibile la care
lucrul mecanic produs de deformatia plastica nu poate fi recuperat.
Legea tensiuni- deformatii specifice a materialelor la care se aplica regula de curgere
asociata va rezulta ca o solutie unica. Aceasta regula face posibila formularea ecuatiilor
teoriei plasticitatii si prin considerarea unor suprafete de curgere cu forme complexe.
4.3 REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU FUNCTIA DE CURGERE VON MISES.
Functia de curgere conform criteriului von Mises este:
f(ij) = J2 - k2 = 0 (4.7)
si se va considera si functie de potential.
Regula curgerii plastice este:
d df
d sijp
ijij
(4.8)
in care sij este tensorul deviator al tensiunilor si d este un factor de proportionalitate.
ddaca J k sau J k dar dJ
daca J k si dJ
0 0
0 0
22
22
2
22
2
Ecuatia (4.8) poate fi exprimata in termeni de componente ale deformatiilor specifice
incrementale si ale tensiunilor.
d
s
d
s
d
s
d d ddx
p
x
yp
y
zp
z
xyp
xy
xzp
xz
zyp
zy
2 2 2 (4.9)
Relatia (4.9) este cunoscuta ca ecuatia Prandtl – Reuss si a fost propusa in 1924 de
Prandtl. Acesta extinsese ecuatiile Levy - von Mises si a scris prima data relatiile tensiuni-
deformatii specifice in cazul starii plane de deformatie pentru un material elastic - perfect
plastic. Reuss, in 1930, a extins ecuatiile lui Prandtl la cazul tridimensional dand forma
generala a ecuatiilor (4.9). Relatia intre deformatia plastic incrementala d ijp si functia de
curgere von Mises f = J2 sau regula de curgere asociata criteriului de curgere von Mises poate
fi reprezentata grafic in spatiul cu trei dimensiuni al tensiunilor normale principale. Este
comod ca aceasta reprezentare sa fie facuta in planul tensiunilor hidrostatice sau in planul
deviator (figura 4.3)
30
30
Planul hidrostatic Planul deviator
Figura 4.3
Normala la suprafata de curgere este paralela cu planul ( = 0) si este in directie
radiala. Aceasta directie este paralela cu directia proiectiei vectorului de tensiune
corespunzator ij pe planul deviator, care este evident vectorul componentelor tensorului
deviator al tensiunilor sij.
Ecuatiile (4.8) si (4.9) arata ca incrementul deformatiei plastice d ijp depinde numai de
starea curenta a tensiunilor deviatorice sij nu si de incrementul tensiunilor dij care este
implicat numai pentru a mentine curgerea plastica.
Deformatia volumica in stadiul plastic este nula :
d d siip
ii 0 (4.10)
respectiv d octp 0
In consecinta pentru incrementul deformatiei elastice se va aplica legea lui Hooke, iar
pentru incrementul deformatiei plastice se va aplica regula de curgere:
dE
dE
d d sd
K
ds
Gd sij ij kk ij ij
kk ijij 1
9 2(4.11)
Ecuatia (4.11) poate fi separata in doua expresii, una pentru incrementul deformatiei de
volum si una pentru incrementul deformatiei de forfecare (deviator).
dd
Kiikk
3
dds
Gd sij
ijij
2 pentru i j (4.12)
Sau in termeni expliciti:
(4.13)
31
31
dijpoct doct
p
sij
F ( ij) = kij
oct doctp
1 , d1p
3 , d3p2 , d2
p
dG
dyz yz yz 12
KE3 1 2( ) , p K Kkk
oct kk V 3
(4.14)
cu K = modulul volumic
In cazul deformatiilor plastice mari, deformatiile elastice pot fi neglijate si materialul se poate idealiza ca un material perfect rigid plastic. In aceasta situatie
d dij ijp .
Pentru un astfel de material relatia tensiuni-deformatii specifice se scrie sub forma:
sau explicit:
d
s
d
s
d
s
d d ddx
x
y
y
z
z
xy
xy
xz
xz
zy
zy
2 2 2
(4.15)
Aceasta ecuatie este cunoscuta ca ecuatia Levy - von Mises. In 1870 St Venant a
propus prima data ca axele principale ale deformatiei specifice sa concida cu axele principale
de tensiune. Relatia generala (4.15) a fost obtinuta in 1871 de Levy si independent de von
Mises in 1913. Relatia se poate scrie explicit obtinand trei termeni pentru deformatiile
specifice plastice liniare si trei pentru cele unghiulare sau de forfecare.
d dx x y z
2
3
1
2 si similar celelalte doua (4.16)
d dyz yz 2 si similar celelalte doua (4.17)
4.4 REGULA DE CURGERE ASOCIATA CRITERIULUI DE CURGERE TRESCA
Functia de curgere se poate scrie in ipoteza 1 > 2 > 3:
f(ij, k) = F(ij) - 2k = 1 - 3 - 2k = 0 (4.18)
Conform teoriei curgerii plastice adoptate se poate scrie
(d1p, d2
p, d3p ) = d(1, 0, -1) d 0 (4.19)
sau:
d df
ddp
1
1
d df
dp
22
0 (4.20)
d df
ddp
3
3
32
32
Expresii similare pot fi obtinute pentru cinci combinatii posibile privind valorile
algebrice ale tensiunilor principale. Deformatiile specifice incrementale pot fi reprezentate
geometric in planul deviator asociat conditiei 1 > 2 > 3.
a) b)
Figura 4.4
In cazul special in care 1 > 2 = 3 situatia se simplifica deoarece tensiunile tangentiale
maxime sunt egale cu limita de curgere k nu numai in planul la 45O paralel cu axa x2 dar si in
planul paralel cu axa x3. In aceasta situatie este posibil sa se considere ca limita de forfecare se
poate obtine in lungul a doua plane cu max.
max = 1 ; min = 3 ; (d1p, d2
p, d3p ) = d(1, 0, -1) d 0
sau:
max = 1 ; min = 2 ; (d1p, d2
p, d3p ) = d(1, -1, 0) d 0
Se poate considera in acest fel ca vectorul incremnentului deformatiilor plastice este o
combinatie liniara a celor doi vectori de mai sus.
(d1p, d2
p, d3p ) = d(1, -1, 0) + d(1, 0, -1) pentru d 0 si d 0
Acest caz apare in situatia in care starea curenta de tensiune ij corespunde punctelor asociate
muchiilor prismei hexagonale (punctul A), vectorul se va aseza pe directia normala la planele
adiacente. Acest punct angular al unei suprafete potentiale poate fi considerat ca un caz limita
al unei suprafete netede care contine acest punct. (figura 4.4b)
In general, intr-un punct angular in care se intersecteaza mai multe suprafete netede,
deformatiile specifice se pot exprima ca o combinbatie liniara a acelor vresteri incrementale
date prin normalele la suprafetele care se intersecteaza:
(4.21)
33
33
3 , d3p
1 , d1p
2 , d2p
1 - 2 = 2k
3 - 2 = -2k
3 - 1 = -2k3 - 1 = -2k
3 - 2 = 2k
1 - 3 = 2k
2 - 1 = -2k
dijp
1 - 3 = 2k
1 - 2 = 2k
A
A
B ij
Desigur, daca suprafata de curgere constituie o suprafata plana, acolo nu se poate scrie
o relatie unica intre tensiuni si deformatiile specifice incrementale. In general corespondenta
intre vectorii deformatiilor specifice plastice incrementale d ijp si vectorul starii de tensiune ij
nu este posibila intotdeauna.
Se poate arata ca energia plastica incrementala dWp este intotdeauna unic determinata
prin magnitudinea deformatiei plastice
dW d d d k dpp p p
iip 1 1 2 2 3 3 2 max (4.22)
d p corespunde celei mai mari componente a vectorului deformatiilor specifice incrementale.
d p = i
ipdmax .
Exemplu
Fie un punct pe latura AB de ecuatie 1 - 3 = 2k
Componentele vectorului deformatiilor plastice incrementale sunt:
d p2 0
d dp p 1 3
dW d d d d k d k dpp p p p
iip p 1 1 2 2 3 3 1 3 1 12 2( ) max
Daca punctul asociat starii de tensiune coincide cu A, 2 = 3 si 1 = 3 + 2k
dW k d d dpp p p 3 1 2 2 3 32
dar in starea plastica V = 0 (conditia de incompresibilitate)
d d dp p p 1 2 3 0
Se obtine in acest caz:
dW k dpp 2 1
Deci ecuatia (4.22) este valabila pentru orice punct pe hexagon.
Consideram 0 limita de curgere pentru o solicitare monoaxiala si cazul starii plane de
tensiune
1
0
3 ,
2
0
3 si d cp1
max
max min
2
1
2 3 30 0 k
0
3k (forfecare pura)
34
34
Deformatiile specifice plastice incrementale in directiile 1 si 2sunt:
(d1p, d2
p) = d(1, -1) = (c, -c)
dW k d k cc
pi
ip 2 2
2
30max
4.5 REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU CRITERIUL DE CURGERE
MOHR - COULOMB
Unele materiale fragile cum ar fi betonul sau terenul se idealizeaza uneori in analizele
numerice ca materiale ideal elasto-plastice si in acest caz criteriul Mohr - Coulomb poate fi
acceptat ca un criteriu de curgere. Suprafata de curgere Mohr - Coulomb este o piramida
hexagonala neregulata. Functia de curgere se scrie sub forma:
1 3
1
2
1
21
sin
cos
sin
cosc c (4.26)
sau in forma compacta: m 1 - 3 = fc’ 1>2>3 (4.27)
Figura 4.5
In cazul utilizarii acestui criteriu de plasticitate pentru a obtine expresiile pentru
deformatia specifica plastica incrementala d d si dp p p 1 2 3, trebuie considerate trei cazuri privind
pozitia punctului asociat curgerii:
35
35
2 , d2p
d1 (m, 0, -1)
d2 (m, -1,0)
d1 (0, m, -1)d3 (0, -1, m)
d4 (-1, 0,m)d5 (-1, m,0)
1’
3’
2’
A
B
cazul 1 - pe una din fetele laterale ale suprafetei piramidale
cazul 2 - pe o muchie a piramidei
cazul 3 - la apex (in varful piramidei)
Cazul 1:
Se considera ca punctul asociat starii de tensiune ce produce atingerea starii limita de
curgere se afla pe suprafata plana AB unde 1>2>3. Conform regulii de curgere vom avea
urmatoarele valori ale cresterii incrementale a deformatiilor specifice plastice:
d1p = dm ; d2
p = 0 ; d1p = -d d 0
(d1p, d2
p, d3p ) = d(m, 0, -1)
In figura 4.5 sunt prezentate seturile de valori ce se obtin pentru alte 5 combinatii
algebrice posibile ale tensiunilor principale.
In toate cazurile avem:
d d d d d mp p pvp 1 2 3 1 ( )
cu
Pentru m 1 regula de curgere indica o crestere de volum cu exceptia situatiei m =
1 cand se ajunge la modelul Tresca de material. Se poate pune in evidenta partea asociata
compresiunii volumului:
d dcp respectiv intinderii: d m dt
p .
Astfel de separari se pot face si pe celelalte cinci fete ale piramidei:
d
dmt
p
cp
astfel incat:
d d dVP
tp
cp
Incrementul energiei plastice:
dW d d d mpp p p 1 1 2 2 3 3 1 3( )d
sau
sau
Cazul 2:
Punctul care descrie starea de tensiune se afla pe o muchie a piramidei hexagonale care
contine punctul A. 1 > 2 = 3 si cele doua plane (care se intersecteaza) au ecuatiile:
36
36
m1 - 3 = fC’
m1 - 2 = fC’
Se poate aplica descompunerea liniara asociata punctelor singulare:
(d1p, d2
p, d3p ) = d1(m, 0, -1) + d2(m, -1, 0) = [ (d1+ d2)m, - d2, - d1]
In acest mod vectorul deformatiilor specifice incrementale plastice se afla intre
normalele la cele doua suprafete adiacente. Pentru celelalte cinci muchii se obtin relatii
similare.
Modificarea volumului in stadiul plastic este
d VP [ (d1+ d2)m - (d1+ d2)
in care se evidentiaza cele doua parti:
d cP (d1+ d2)
d tP (d1+ d2)m
astfel incat:
d d dVP
tp
cp
Se poate observa ca pentru m > 1 se obtine d VP 0
Incrementul energiei plastice
dW d d d m m f d dpp p p
C 1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 1 2( )d ( )d ( )/
Cazul 3:
Punctul asociat atingerii curgerii se afla in varful piramidei. Toate marimile se
calculeaza intr-o maniera similara.
4.6 PROPRIETATEA DE CONVEXITATE, NORMALITATE SI UNICITATE
PENTRU MATERIALUL IDEAL ELASTO-PLASTIC
Conditia de ireversabilitate a deformatiei plastice implica disiparea de energie pozitiva
intr-un ciclu. Ca o consecinta, suprafata de curgere trebuie sa fie convexa iar deformatiile
specifice plastice sunt normale la suprafata. Conditia de normalitate garanteaza unicitatea
solutiei. Aceste proprietati generale se vor putea extinde si in cazul materialelor cu
consolidare.
4.6.1 Proprietatea de convexitate a suprafetei de curgere
si de normalitate a regulii de curgere.
37
37
Deoarece deformatiile plastice sunt ireversibile lucrul mecanic asociat acestora nu poate
fi recuperat la descarcare. Aceasta inseamna ca lucrul mecanic efectuat pentru o modificare a
deformatiei plastice este intotdeauna pozitiv.
Conditia de ireversibilitate va impune restrictii relatiilor intre tensiuni si deformatii.
a)
b) c)
Figura 4.6
Fie o stare de tensiune ij* in interiorul suprafetei de curgere. La o crestere a
incarcarilor exterioare starea de tensiune va urma drumul ABC (figura 4.6) pana la atingerea
starii de curgere. Pana in acest moment lucrul mecanic produs corespunde unor deformatii
elastice. Sa presupunem ca incarcarile exterioare mentin pentru un timp scurt starea de
tensiune ij pe suprafata de curgere si se dezvolta deformatii plastice astfel incat lucrul
mecanic ce se produce este asociat numai acestora. Daca incarcarile exterioare suplimentare
dispar, starea de tensiune revine din situatia ij la situatia ij*. Drumul de descarcare CDE este
elastic. Pentru orice modificare a starii de tensiune in domeniul elastic, comportarea este
elastica si complet reversibila, indiferent de drumul parcurs de la ij* la ij si invers, iar energia
consumata este recuperata. Lucrul mecanic plastic produs de incarcarile exterioare pe ciclul
incarcare - descarcare este un scalar si corespunde produsului dintre ij - i*
j si incrementul
vectorului deformatiilor specifice plastice d ijp . Cerinta ca acesta sa fie pozitiv implica:
(ij - ij* ) d ij
p 0
38
38
dijp
ij f (ij ) = 0
ij , dijp
dijp
ij - ij*
dijp
dijp
ij - ij*
C
B
D
Aij
*
dijp
Conditia exprimata prin produsul scalar de mai sus conduce la necesiatea ca unghiul
intre cei doi vectori sa fie 90O.
- Suprafata de curgere sa fie convexa. Daca nu este indeplinita aceasta conditie este
contrazisa restrictia de mai sus, unghiurile rezultand 90O (figura 4.6 b).
- Vectorul deformatiilor specifice incrementale, d ijp trebuie sa fie normal la suprafata
de curgere intr-un punct curent sau intre normalele la suprafetele adiacente daca punctul este
pe muchie (figura 4.6 c).
Caracterul ireversibil al deformatiei plastice impune ca incrementul lucrului mecanic
plastic sa fie pozitiv.
dW d df
dP ij ijP
ijij
0
Produsul scalar intre ij si vectorul normal la hipersuprafata de curgere este pozitiv.
Multiplicatorul d trebuie sa fie pozitiv pentru ca dW sa fie pozitiv, astfel incat conditia de
ireversibilitate a deformatiei plastice sa fie satisfacuta.
Suprafata de curgere are expresia:
f = F - k = 0 deci
f F
ij ij
ceea ce permite scrierea:
F este o functie omogena de gradul n in tensiuni la majoritatea teoriilor de curgere
aplicate pentru metale.
4.6.2 Unicitatea solutiei si conditia de normalitate
Se considera ca problema care se analizeaza admite doua solutii, ambele corespunzand
unei stari de incarcare data dTi pe AT. Se considera o variatie de deplasare dui pe Au si o
modificare a fortelor masice dFi pe V (figura 4.7).
Lucrul mecanic virtual considerand campul de deplasari ui si integrand pe V:
39
39
AU
AT dTi
Fi Vij , ij , ui
Figura 4.7
Considerand apoi o alta stare astfel incat dTi(c) = dTi
(b) pe AT , si conditii de
continuitate exprimate in deplasari pe Au satisfacute: dui(c) = dui
(b) si dFi ( c ) = dFi(b) prin scaderea
ecuatiilor de echilibru corespunzand celor doua situatii se poate scrie:
( )( )( ) ( ) ( ) ( )d d d d dVijb
Vijb
ijb
ijc 0 ceea ce impune ca integrantul sa fie nul.
dI = dijdij = dij(dije +dij
p)
Integrantul poate fi scris ca o forma patratica in tensiuni sau deformatii specifice si este
o forma patratica pozitiv definita. Pentru ca relatia sa fie adevarata trebuie ca dij = 0 sau
dij = 0 ceea ce arata unicitatea solutiei. Pentru deformatiile specifice elastice, conform legii
lui Hooke generalizate, dijdije este pozitiv definit. Pentru produsul scalar dijdij
p sunt
posibile trei situatii:
Cazul 1: Ambele solutii sunt valabile in domeniul plastic. Cum ipoteza de baza a considerat
materialul ideal elasto-plastic, , si respectiv dij trebuie sa fie in planul tangent la
suprafata de curgere. Cum d ijP este normal la suprafata de curgere inseamna ca produsul
scalar dijdij nu este negativ si este nul.
Cazul 2: Solutiile corespund unei descarcari si =0 Rezulta ca dI este pozitiv definit (dI =
dijdij )
Cazul 3: O solutie este asociata incarcarii d si dija
ijP a ( ) ( ) si alta corespunde unei descarcari
d si dijb
ijP b ( ) ( ) . Atunci:
Cum vectorul d ijb( ) asociat unei descarcari va fi in interiorul suprafetei de curgere, acesta va
face un unghi obtuz cu d ijP b ( ) normal la suprafata de curgere f, produsul scalar va fi deci:
d dijb
ijP b ( ) ( ) 0 de unde rezulta: ceea ce conduce la egalitatea celor
doua solutii deoarece ordinea in care se impun cele doua solutii nu trebuie sa afecteze semnul
produselor d dij ijP . In caz contrar daca valorile celor doua solutii s-ar inversa ar aparea o
schimbare de semn ceea ce nu corespunde situatiei in care ambele solutii conduc la atingerea
domeniului plastic de comportare.
40
40
4.7 RELATII INCREMENTALE TENSIUNI - DEFORMATII SPECIFICE
In analizele numerice ingineresti cea mai uzuala este metoda incrementala folosind
rigiditatea tangenta. Relatiile constitutive obtinute nu pot fi aplicate direct.
Incrementul deformatiei specifice totale se poate considera sub forma:
in care:
d D dije
ijkl kl
dar
kl = p ij + sij = I1/3 + sij iar sij = 2Geij
ij ij ijKI
Gs 1
9
1
21
In final rezulta: ddI
K
ds
Gije
ijij 1
9 2
iar d df
ijp
ij
Prin adunarea celor doua componente se obtine:
D dijkl kl +df
ij
dI
K
ds
Gijij1
9 2 +d
f
ij
In aceasta relatie d este un factor nedeterminat cu valoarea:
d = 0 daca (f < 0) sau daca (f = 0 si df < 0)
d > 0 daca f = 0 si df = 0
Conditia ca starea de tensiuni ij asociata atingerii curgerii, modificata cu incrementul
dij, sa se afle pe suprafata de curgere se scrie:
f(ij+ dij) = f(ij) + df = f(ij)
Aceasta relatie implica:
df = 0
fd
ijij 0
Dar
(4.30)
Rezulta :
41
41
d
fC d
fC
fij
ijkl kl
rsrstu
tu
(4.31)
respectiv:
d C
Cf f
C
fC
fdij ijkl
ijmnmn pq
pqkl
rsrstu
tu
kl
Termenul din paranteza reprezinta tensorul elasto - plastic sau modulul tangent pentru
un material ideal elasto - plastic.
C C
Cf f
C
fC
fijklep
ijkl
ijmnmn pq
pqkl
rsrstu
tu
(4.32)
Relatiile obtinute constituie cea mai generala formulare a ecuatiei constitutive pentru un
material ideal elasto - plastic. Se poate vedea ca incrementul tensiunilor poate fi determinat
unic prin functia de curgere f (ij ) si prin incrementul deformatiei dij. Se poate observa de
asemenea ca, daca starea de tensiune este cunoscuta si incrementul deformatiei specifice este
prescris, incrementul tensiunilor poate fi determinat. Daca insa se cunoaste starea de tensiune
si se prescrie incrementul tensiunilor atunci incrementul deformatiei specifice asociat nu este
unic determinat deoarece d depinde de dij si deci este nedeterminat.
4.7.1 Relatii constitutive in termeni de constante elastice E si sau G si K
Componentele tensorului constantelor elastice Cijkl, tensor care face legatura intre
tensorul tensiunilor ij si tensorul deformatiilor ij (ij = Cijkl ij ) , pentru un material elastic
liniar si izotrop, se pot scrie sub forma:
(4.33)
iar modulul volumic:
p = oct = Kkk
K
EG
E
3 1 2 2 1
Prin substitutie in relatia (4.31) a relatiei (4.33) se obtine:
42
42
d
fd
fd
f f f
ijij
ijkk ij
rs rs rsrs
1 2
1 2
2 (4.34)
Dar
1
2
3 2
3
K G
K G expresia (4.34) devine:
d
fd
K G
G
fd
f f K G
G
f
ijij
ijkk ij
rs rs rsrs
3 2
6
3 2
6
2 (4.35)
Daca se substituie ecuatia (4.33) in relatia (4.30) se obtine:
(4.36)
sau in termeni de G si K :
(4.37)
in care deij = dij - dkkij incrementul tensorului deviator al deformatiilor specifice.
Pentru o serie de materiale functia de curgere este exprimata ca functie de invaraintii I1
si J2 avand forma generala:
f(ij) = F( I1 , J2 ) - k = 0
Se poate scrie:
f f
I
I f
J
J
ij ij ij
1
1
2
2 sau:
f f
I J
f
Js
ijij ij
1 2 2
1
2 (4.38)
in care J s sij ji21
2 iar
ij ij
kks 3
Expresia (4.37) devine:
In care d are forma:
d
Kdf
I
G
J
f
Js de
Kf
IG
f
J
kk mn mn
3
9
1 2 2
1
2
2
2 (4.39)
43
43
4.8 MODELUL PRANDTL - REUSS (TEORIA J2)
Aceasta teorie deriva din criteriul de curgere von Mises:
f = J2 - k = 0 (4.40)
si este cel mai simplu model pentru materialul ideal elasto-plastic.
Substituind functia de curgere f in relatia (4.39) se obtine d:
d
G
Js de
G
s de
J
mn mnmn mn 2
2
ddI
K
ds
Gd
fij ij
ij
ij
1
9 2dI
K
ds
G
s de
J Jsij
ij mn mnij
1
2 29 2
1
2
dI
K
ds
G
s de
ksij
ij mn mnij
129 2 2
(4.41)
d Gde Kds Gde
ksij ij kk ij
mn mnij 2
2 2 (4.42)
Satisfacerea regulii de curgere presupune:
J2 = k2 si dff
d s dsij
ij ij ij
0
Termenul smn demn reprezinta cresterea de energie
s de s de demn mn mn mne
mnp (4.43)
si deds
Gmne mn
2dJ2 = smn dsmn = 0
Ecuatia (4.93) se reduce la
s de s demn mn mn mnp
indicand ca in domeniul elastic cresterea lucrului mecanic se datoreaza numai deformatiei
plastice.
d d dkkp
kk kke 0
ceea ce implica o modificare de volum nula in domeniul plastic
d ddI
Kkk kke 1
3
Cresterea deformatiei specifice plastice are numai componente date de deviatorul
deformatiilor specifice:
44
44
iar cresterea de energie acumulata prin deformatii plastice este:
dW d d s d J d kp ij ijp
ij ij 2 222
Rezulta: ddW
k
s de
k
s de
kp mn mn
pmn mn
2 2 22 2 2
Pentru d = 0 ecuatia constitutiva se reduce la legea lui Hooke in forma diferentiala.
In concluzie, materialul Prandtl - Reuss se caracterizeaza prin:
- deformatiile plastice incrementale depind de valorile efective ale tensorului deviator al
tensiunilor si de valorile incrementale dij care au condus la aceasta stare;
- directiile principale ale tensorului deformatiilor specifice incrementale si ale tensorului
tensiunilor coincid;
- deformatiile specifice de volum in domeniul plastic sunt nule;
- magnitudinea deformatiilor specifice plastice incrementale este determinata de scalarul d
care este raportat la incrementul energiei plastice acumulate dWp.
4.9 MODELUL DRUCKER - PRAGER
Suprafata de curgere conform criteriului Drucker - Prager este:
f = J2 + I1 - k
unde si k sunt constante pozitive ce depind de material.
Relatia intre tensiuni si deformatii corespunzand acestei functii de curgere este
ddI
K
ds
Gd
fij ij
ij
ij
1
9 2
f f
I J
f
Js
s
Jijij ij ij
ij 1 2 2 2
1
2 2
In aceste conditii rezulta:
ddI
K
ds
Gd
s
Jij ij
ij ijij
1
29 2 2
iar : d
K dG
Js de
K G
kk mn mn
3
92
2
Deformatia plastica de volum este: d dkkp 3
45
45
Aceasta arata ca deformatia plastica trebuie sa fie insotita de cresteri de volum daca
0, aceasta fiind o proprietate de dilatare si in acelasi timp o consecinta a dependentei
functiei de curgere de presiunea hidrostatica prin intermediul lui I1.
Rezulta ca orice suprafata de curgere deschisa la un capat indica o crestere de volum in
cazul deformarii plastice. Geometric, aceasta se poate descrie:
Figura 4.8
Unde: d ijpb reprezinta cresterea de volum,
1
31I iar 2 2J
Daca suprafata de curgere este deschisa in zona tensiunilor negative, componenta
orizontala d ijpb este intotdeauna pozitiva indicand o crestere de volum.
Incrementul deformatiei specifice totale a volumului :
d d dkk kke
kkp
rezulta:
S-a tinut seama ca smn = mn - kk demn = dmn - dkk ; kk = I1/3 si
mndkk = kk dmn 0 pentru m = n
= 0 pentru m n
Se poate obtine prin grupare de tensori si k = J2 + I1 conform regulii de curgere
respectiv:
46
46
d ijpa
d ijp
d ijpb
P
sau d C dij ijmnep
mn
in care:
4.10 CAZUL GENERAL AL MATERIALULUI IZOTROP
Pentru un material izotrop general, suprafata de curgere poate fi scrisa sub forma:
f ( I1, J2, J3) = 0
f f
I
I f
J
J f
J
J
ij ij ij ij
1
1
2
2
3
3
sau:
fB B s B t
ijij ij ij 0 1 2
in care B0, B1 si B2 sunt:
Bf
I01
; B
f
J12
; B
f
J23
sij sunt componentele tensorului deviator al tensiunilor: sJ
ijij
2
tij sunt patratele componentelor tensorului deviator al tensiunilor
Pentru cele trei criterii enuntate anterior se pot obtine coeficientii B:
- criteriul von Mises: f = J2 - k2
B0 = 0, B1 = 1, B2 = 0
- criteriul Drucker - Prager : f = J2 + I1 - k
B0 = , B1 = 1/(2 J2 ) , B2 = 0
- criteriul Mohr - Coulomb :
f I JJ
cij( ) sin sin cos sin cos
1
3 3 3 31 22
Avand in vedere ca:
cos 3
21
2
s
J rezulta:
cos33 3
23
23
J
J
47
47
De asemenea:
J
J
J
ctg
J2
3
25
2 2
3 3
4 3
3
2
sin
J J
ctg
J3 23
2 3
3
2 3
1 3
3
sin
Expresiile coeficientilor B se pot calcula din functia f si se obtine:
;
;
- Criteriul Tresca:
Bf
I01
0 ;
Bf
J Jctg ctg1
2 2
3 13
3
sin
;
Bf
J J23 2
33
2 3
cos
sin
Pentru alte criterii de curgere se vor obtine in mod relatii similare.
In aplicatiile de element finit relatiile constitutive ale materialelor sunt reflectate prin
matricea de rigiditate a materialelor elasto - plastice:Cijmnep
d C dij ijklep
kl
C C Cijklep
ijkl ijklp
Cijkl reprezinta tensorul constantelor elastice pentru domeniul elastic de comportare.
iar Cijklp este tensorul constantelor asociat deformatiilor plastice considerand modulul tangent
de elasticitate.
48
48
Notand cu H Cf
ij ijmnmn
si
Se obtine:
CH H
hijklp ij kl
Dar
fB B s B t
ijij ij ij 0 1 2
Avand in vedere ca: t s s Jij ik kj ij 2
3 2 ; t s s Jii ik ki 2
3 2 ; J s sij ji21
2
t s s s J s s s s Jij ij ik kj ij ij ij jk ki
2
332 3
t t s s J s s J Jij ij ik kj ij ik kj ij
2
3
2
3
2
32 2 22
H Cf
ij ijmnmn
B B s B tmn mn mn0 1 2
B B s B tmn mn mn0 1 2
2
3
1 22
1
1 20 0 1 2 0 1 2G B B B s B t G B B s B tij ij ij ij ij ij ij
1
1 2 0 1 2
B B s B tij ij ij
2
1
1 2 0 1 2G B B s B tij ij ij
B B s B tij ij ij0 1 2
2 3
1
1 22
2
360
312
2 22
22
1 2 3G B B J B J B B J
Relatiile s-au obtinul tinandu-se seama de proprietatile simbolului lui Kronecker ij si
de proprietatile inmultirii tensorilor.
Vectorii tensiunilor si deformatiilor specifice incrementale sunt:
{d} = { dx, dy, dz, dyz, dxz, dxy }
{d} = { dx, dy, dz, dyz, dxz, dxy } in care dyz = 2 dyz
respectiv vectorul asociat tensorului H este Hij = { Hx, Hy, Hz, Hyz, Hxz, Hxy } in care:
49
49
H G B B s B t G B B s B s s s Jx x x x x xy xz
2
1
1 22
1
1 2
2
30 1 2 0 1 22 2 2
2
H G B s B t G B s B s s s s s syz xz yz xz xz xy yz y yz z 2 21 2 1 2
Tensorul Cijklep in forma matriceala devine:
C C Cep p
in care conform legii lui Hooke pentru materiale elastice liniare si izotrope:
C
K G K G K G
K G K G K G
K G K G K G
G
G
G
4
3
2
3
2
30 0 0
2
3
4
3
2
30 0 0
2
3
2
3
4
30 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Tinand cont de expresiile K
EG
E
3 1 2 2 1
se obtine:
K G E
4
3
1
1 2 1
si
K G E
2
3 1 2 1
5. APLICAREA METODEI ELEMENTULUI FINIT LA OBŢINEREA RĂSPUNSULUI STRUCTURILOR SUPUSE LA ACŢIUNI STATICE ŞI DINAMICE
5.1 INTRODUCERE
50
50
Stadiul de comportare al unei structuri depinde atât de valoarea încărcărilor exterioare, cât şi de caracteristicile fizico-mecanice ale materialelor care intră în alcătuirea elementelor de rezistenţă. Pentru a controla stadiile parcurse de structură se poate folosi metoda elementului finit cu formulare în deplasări (MEF). Punctul de plecare al metodei îl constituie un câmp de deplasări aproximative care, în general, nu satisfac condiţiile de continuitate pe frontierele elementelor finite. Identificarea stadiului de comportare se poate face la nivel de "punct material" (controlând nivelul tensiunilor) sau la nivel "global" (controlând eforturile secţionale).
Primul mod de abordare este general şi utilizează procedeele Teoriei Plasticităţii. Momentul atingerii limitei de curgere se stabileşte pe baza unui criteriu de plasticitate asociat modului de comportare a materialului. Deoarece această procedură necesită un timp considerabil de calcul şi de prelucrare a rezultatelor, în analizele inginereşti este folosită numai la studiul comportării unor zone de interes deosebit sau atunci când nu poate fi aplicată teoria barelor.
Al doilea mod de abordare este destinat structurilor din bare sau alcătuite din elemente care pot fi reduse la axa lor. În acest caz, stadiul de comportare este furnizat de relaţia dintre eforturile secţionale şi curba limită de interacţiune stabilită pentru materiale cu comportare ideal elasto-plastică, specifice structurilor din oţel. Acest mod de analiză este mult mai simplu şi mai apropiat de calculul ingineresc al construcţiilor metalice. Spre deosebire de prima manieră de abordare, prin această procedură nu poate fi evidenţiată zona pe care se extind incursiunile în domeniul elasto-plastic, acestea reducându-se la nivelul unei secţiuni. Astfel, zona de articulaţie plastică se reduce la o secţiune care, în teoria barelor, devine o articulaţie punctuală.
În ambele moduri de abordare, răspunsul în domeniul elasto-plastic se obţine prin calcul incremental "pas-cu-pas", stadiul de comportare fiind controlat la finalul fiecărui pas. În funcţie de stadiul atins, se menţine constantă sau se corectează matricea de rigiditate. De asemenea, se verifică realizarea echilibrului şi, dacă este necesar, se efectuează corecţii specifice procedului numeric de rezovare.
5.2 UTILIZAREA TEORIEI PLASTICITĂŢII ÎN MEF, ÎN CAZUL MEDIILOR CONTINUE DEFORMABILE
Condiţia de echilibru poate fi exprimată la orice moment de solicitare corespunzătoare încărcării sau descărcării folosind principiul lucrului mecanic virtual [C1]:
(5.1)
în care sunt deplasările virtuale incrementale, sunt deformaţiile specifice virtuale incrmentale, sunt forţe distribuite pe suprafaţa corpului, iar sunt forţele masice. În formă matriceală, ecuaţia lucrului mecanic virtual se scrie:
(5.2)
în care ,
,
În cazul analizei geometrice liniare sau în analize bazate pe ipoteza micilor deformaţii,
51
51
şi (5.3)
în care este vectorul deplasărilor nodale. Acesta se poate exprima ca o funcţie de câmpul de deplasări acceptat , cu relaţia
(5.4)
în care este matricea funcţiei de interpolare a deplasărilor, denumită şi funcţie de formă.Matricea de legătură între deformaţiile specifice şi deplasările nodale U are
expresia:
în care este matricea operatorului diferenţial,
astfel încât
Înlocuind relaţiile (5.3) şi (5.4) în relaţia (5.2) se obţine ecuaţia de echilibru care guvernează mecanica mediilor deformabile în ipoteza micilor deformaţii:
(5.5)
sau
în care
este vectorul forţelor nodale echivalente.Dacă se consideră că relaţia între tensiuni şi deformaţii specifice este liniară, , C
fiind matricea constantelor elastice, se obţine ecuaţia de echilibru pentru analize liniare,
în care
este matricea de rigiditate a structurii.Într-o analiză elasto-plastică, relaţiile dintre tensiunile şi deformaţiile specifice sunt
neliniare şi relaţia (5.5) este o ecuaţie neliniară în funcţie de deformaţiile specifice, respectiv de deplasările nodale U. Pentru rezolvarea ecuaţiei (5.5) se aplică metode iterative. Întrucât
52
52
relaţiile constitutive elasto-plastice depind de istoria deformaţiilor, este necesară o analiză incrementală care, pentru o variaţie a încărcării exterioare să conducă la variaţiile corespunzătoare ale deplasărilor, deformaţiilor specifice şi tensiunilor. Într-o astfel de analiză, încărcarea totală R este aplicată incremental, pas cu pas [C1]. La un pas de încărcare “m+1”, încărcarea se exprimă prin:
Se presupun cunoscute soluţiile , , la un pas anterior, iar la pasul “m+1” asociat creşterii încărcării se poate scrie
Ecuaţia (5.5) devine (5.6)
în care
reprezintă forţele interne la pasul “m+1”. Rezultă
Pentru rezolvarea ecuaţiei de echilibru (5.6) dintre forţele exterioare şi forţele interne sunt necesare două tipuri de algoritme pentru determinarea incrementului deplasărilor U şi a tensiunilor incrementale . Primul algoritm va rezolva ecuaţiile de echilibru neliniar. Se pot folosi metode din familia Newton, cum ar fi metoda Newton-Raphson şi metoda Newton-Raphson modificată prezentate în capitolul 3. Al doilea algoritm este necesar pentru determinarea tensiunilor incrementale corespunzătoare deformaţiilor specifice incrementale , pentru o stare de tensiuni şi o istorie a deformaţiilor date [C1].
5.3 ALGORITMI PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR NELINIARE
Considerand ca starea de tensiuni {} este o functie de deplasarile {U} ecuatia (5.3) se
poate scrie: ( (m+1){U}) = (m+1){F((m+1){U})} - (m+1){R}.
Metodele iterative de tip Newton care se vor prezenta, constituie in formularea in
deplasari metode de iterare a echilibrului.
5.3.1 Metoda Newton – Raphson
Sa consideram ca la iteratia (i-1) s-a obtinut aproximatia deplasarilor reale (m+1){U}, (m+1){U}i-1.
Se dezvolta in serie Taylor functia reziduala ( (m+1){U}) = 0 si neglijand termenii de
ordin superior:
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ } { } { }( ) ( )m i
Um m iU
UU Um i
1 1 1 1 1
1 1 0
sau:
53
53
F
UU F Rm iU
i m i m( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ } { } { } 1 1
1 1 1 0
in care s-au facut notatiile:
{ }( )U i ( ) ( ) ( ){ } { }m m iU U 1 1 1
si { } { }( ) ( ) ( ) ( )F F Ui m m i 1 1 1 1
Se poate observa ca:
m i
UT ep
UV
KF
UB C B dVm i m i
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ){ } { }[ ] [ ] [ ]
in care:
[ ] ( ) ( ){ }CepUm i 1 1 = matricea elasto - plastica asociata deplasarilor ( ) ( ){ }m iU 1 1
( ) ( )m iK 1 1 = matricea de rigiditate tangenta a structurii.
Algoritmul de integrare Newton- Raphson este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m i i m m iK U R F 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }m i m i iU U U 1 1 1
( ) ( ) ( )m mU U 1 0 i = 1, 2, ... n, ... pana la atingerea convergentei
( ) ( ) ( )[ ] [ ]m mK K 1 0
( ) ( ) ( )m mF F 1 0
Metoda Newton - Raphson are o rata mare de convergenta si este quadratic
convergenta. Totusi trebuie sa retinem ca matricea de rigiditate tangenta ( ) ( )[ ]m iK 1 1 este
factorizata si evaluata la fiecare pas al iteratiei, ceea ce poate fi prohibit.
Pe de alta parte pentru un material perfect plastic sau cu degradare, matricea de
rigiditate tangenta poate deveni singulara sau neconditionata.
54
54
2F(1) 1F
2U 2U(2)2U(1)1U =2U(0)
1R
F (U)2R
2K0 = 1K
U(2) U(3)
2F
2K(1)
2K(2)
Figura 5.1 Metoda Newton - Raphson
5.3.2 Metoda Newton - Raphson modificata
Aceasta metoda consista in folosirea unei rigiditati tangente constante pentru toate
iteratiile dintr-un pas de incarcare. Cu alte cuvinte, matricea de rigiditate tangenta ( ) ( )[ ]m iK 1 1
din pasul de incarcare (m+1) in iteratia (i - 1) din interiorul acestui pas coincide cu matricea de
rigiditate tangenta ( )[ ]n K evaluata in pasul de incarcare anterior, n < m+1 si care se pastreaza
aceeasi pentru toate iteratiile din pasul respectiv. Daca ( ) ( )[ ] [ ]n K K 0 in care ( )[ ]0 K este matrice
de rigiditate initiala elastica corespunzatoare primului pas de incarcare si se pastreaza aceeasi
pentru toti pasii se obtine metoda tensiunilor initiale.
In metoda Newton - Raphson modificata matricea de rigiditate este deci evaluata la
inceputul fiecarui pas de incarcare si in timpul iteratiilor se pastreaza constanta. De exemplu
pentru pasul (m+1) se obtine:
Schema de iteratie a metodei Newton - Raphson modificata se exprima astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m i m m iK U R F 1 1 1 apoi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m i m i iU U U 1 1 1
si: ( ) ( ) ( )m mU U 1 0 ; ( ) ( ) ( )m mF F 1 0 ( i = 1,2,......)
Figura 5.2 Metoda Newton - Raphson modificata
Iteratiile “i” au loc pana cand criteriul de convergenta impus este satisfacut. Pentru un sistem
neliniar cu un grad de libertate, se reprezinta grafic in figura de sus principiul acestei metode.
55
55
2F(1)
F
2U 2U(2)2U(1)1U =2U(0)
1R
F (U)2R
...............
U(1)
Metoda de integrare Newton - Raphson modificata implica putini pasi pentru evaluarea
si factorizarea matricii de rigiditate si prin urmare efortul de calcul este mult redus. Fata de
metoda Newton - Raphson metoda Newton - Raphson modificata converge insa mai incet,
fiind necesare mai multe iteratii. In situatia unui material cu deformatii degradabile metoda
este foarte inceata. Rata de convergenta nu depinde de numarul de pasi la care se actualizeaza
matricea de rigiditate. Daca se produce o modificare a incarcarilor exterioare cum ar fi
descarcarea, metoda nu conduce la convergenta iteratiilor, cu exceptia cazului in care se
actualizeaza matricea pentru aceasta situatie.
5.3.3 Metoda quasi Newman (QN)
Aceasta este un compromis intre metoda Newton - Raphson si metoda Newton -
Raphson modificata. Metoda Newton - Raphson implica evaluarea si factorizarea matricii de
rigiditate a structurii la fiecare iteratie, si ca urmare un timp de calcul mai lung.
Metoda Newton - Raphson modificata pastreaza aceeasi matrice de rigiditate pentru
toate iteratiile dintr-un pas de incarcare si rata de convergenta este slaba. Spre deosebire de
aceste doua metode, metoda quasi -Newton angajeaza o matrice de ordin inferior la
actualizarea ulterioara a matricii de rigiditate, ( ) ( )[ ]m iK 1 1 1 ceea ce reprezinta o aproximare
secanta a matricii ( ) ( )[ ]m iK 1 1 .
Metoda apartine clasei de metode cunoscuta sub numele de metode cu actualizarea
matricilor.
In cele ce urmeaza se prezinta o metoda de ordin 2, Broyden - Fletcher - Goldfarb -
Shanno (BFGS) folosita uzual cu algoritmul quasi - Newton (Bathe 1982).
Se definesc:
incrementul deplasarii {} ca:
i m i m iU U ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }1 1 1
vectorul fortelor neechilibrate {R}si incrementul sau {}:
R R Fi m m i ( ) ( ) ( ){ } { }1 1
i i iR R { } { }( ) ( )1
astfel incat matricea actualizata ( ) ( )[ ]m iK1 satisface ecuatia quasi - Newton:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]m i i iK 1
Pentru o matrice de rigiditate simetrica si pozitiv definita formula de recurenta a
inversei matricii este:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]m i i T m i iK A K A 1 1 1 1 1 1
56
56
in care [A] este matricea de modificare cu expresia:
[A](i-1) = [I] + {V}(i-1){W}(i-1)T
unde [I] este matricea unitate de aceeasi dimensiune cu [K] , {V} (i-1) si {W}(i-1) sunt vectori
exprimati in termeni de {}, {R} si {}.
Procedura de iteratie pentru un pas de iteratie i (i = 1,2,….) este compusa din doi pasi:
Pasul 1:
Se evalueaza incrementul deplasarii:
=
si se obtine:
Calculul in acest pas implica produse vectoriale interne, produse scalare de vectori si rezolvarea unui set de ecuatii liniare cu o matrice a coeficientilor factorizata anterior.Pasul 2:
Calculul vectorilor de corectie {V}(i) si {W}(i) care se vor utiliza in pasul urmator de iterare.
in care c(i) este un factor pentru modificare matricii [A]:
Pentru a se evita actualizari numerice nepotrivite, actualizarea va fi facuta numai daca c (i) este mai mic decat o toleranta prestabilita (de exemplu 105).G(x) este un produs de vectori:
In pasul al doilea este necesar calculul fortelor echivalente pentru starea de tensiune ce corespunde deplasarilor . Aceasta iterare continua pana cand se ajunge la o convergenta ceruta.
Pentru cazul unui sistem neliniar cu un grad de libertate procedura este prezentata in figura 5.3
57
57
F(1)
1R
F (U)2R
R
(2)
(1)
(i) (n)
F(2)
2K(2)
Figura 5.3
Efortul de calcul in procedura quasi-Newton pentru un pas de iterare este mult mai
mare decat in metoda Newton-Raphson modificata dar mai mic decat in metoda Newton
Raphson. Aceasta metoda are o convergenta mai buna decat ce a metodei Newton-Raphson
modificata, rata de convergenta situandu-se intre o rata de convergenta liniara si una
quadratica. Matricea de rigiditate in aceasta metoda este mai putin importanta decat in
celelalte doua metode in care se folosesc matrici de rigiditate actualizate. De fapt matricea de
rigiditate elastica initiala a structurii poate chiar sa fie folosita pentru toti pasii incrementali
fara a pierde din eficienta. Ca o consecinta, aceasta metoda este potrivita pentru analiza
solidelor elasto-plastice care prezinta consolidare si degradarea deformatiilor sau pentru
analiza solidelor perfect plastice. Nu apar dificultati in caz de descarcare si este poate cel mai
bun algoritm disponibil.
5.4 DETERMINAREA RĂSPUNSULUI STRUCTURILOR ALCĂTUITE DIN BARE, SOLICITATE ÎN DOMENIUL ELASTO-PLASTIC
Prin scăderea ecuaţiilor de echilibru dinamic scrise la momentele de timp t şi se obţine
(5.21)
în care este incrementul încărcării aplicate la nodurile structurii, M este matricea maselor, iar şi sunt matricele tangente de amortizare, respectiv de rigiditate. Vectorii valorilor incrementale ale acceleraţiei, vitezei şi deplasării respectiv , şi depind de timp, dar şi de stadiul de comportare. Pentru un pas de timp finit , ecuaţia (5.21) se scrie
(5.22)
în acest caz echilibrul fiind satisfăcut aproximativ [P5]. , , şi sunt vectorii valorilor incrementale finite ale acceleraţiei, vitezei, deplasării şi, respectiv, încărcării, iar şi sunt matricele tangente de amortizare, respectiv de rigiditate, corespunzătoare stării structurii la începutul pasului de timp. Dacă în interiorul pasului de timp se produce o modificare în starea structurii, este posibil ca echilibrul să nu fie satisfăcut exact la sfârşitul pasului de timp, în noua stare ce se obţine prin rezolvarea ecuaţiei (5.22).
În cazul acţiunii seismice, deplasarea tuturor reazemelor se consideră sincronă cu cea a terenului [P5]. Ecuaţia (5.22) se scrie în acest caz
58
58
2U(i) 2U(i-1)2U(1)1U
U(2) U(i)
2U
(i)(n)
U(n)
(5.23)
reprezintă vectorul valorilor incrementale finite ale acceleraţiei absolute, iar şi sunt vectorii valorilor incrementale finite ale vitezei, respectiv deplasării relative. În modelul Housner, deplasarea absolută se compune din deplasarea de corp rigid impusă structurii de mişcarea terenului şi deplasarea relativă asociată structurii deformate în prezenţa forţelor de inerţie care se dezvoltă la nivelul maselor nodale, . Astfel, ecuaţia incrementală de echilibru (5.23) devine
(5.24)
în care este vectorul valorilor incrementale finite ale acceleraţiei relative, iar este valoarea incrementală finită a acceleraţiei terenului. Relaţia (5.24) este similară relaţiei (5.22), în care vectorul valorilor incrementale finite ale forţelor perturbatoare se înlocuieşte cu vectorul forţelor de inerţie asociate creşterii acceleraţiei terenului.
În capitolul 3 s-au prezentat câteva metode numerice de rezolvare a ecuaţiei (5.22), bazate pe considerarea unei legi de variaţie a acceleraţiei în pasul de timp, pentru care s-au arătat condiţiile în care acestea sunt stabile. De exemplu, metoda diferenţelor finite centrale este stabilă pentru perioade ale modurilor de vibraţie mai mari decât , iar metoda acceleraţiei liniare în pasul de timp este stabilă pentru perioade cel puţin egale cu . Metoda acceleraţiei medii constante este necondiţionat stabilă, dar are dezavantajul că nu introduce amortizare numerică. Acest dezavantaj este eliminat în metoda Wilson - θ, pentru modurile de vibraţie la care perioadele sunt mai mici decât pasul de timp considerat. În [W2] se arată că metoda produce disipare numerică de energie în modurile superioare de vibraţie. Performanţele acestei metode sunt similare cu utilizarea amortizării proporţionale cu rigiditatea, motiv pentru care este inclusă în multe programe de calcul.
În cazul sistemelor cu mai multe GLD, cu răspuns neliniar, se pot produce evenimente plastice la momente de timp foarte apropiate. La fiecare moment de timp la care se produce un eveniment ar trebui aplicată o procedură de oprire a calculului şi de reluare a sa cu o nouă ecuaţie de echilibru, cu alt vector de stare şi alt pas de timp, în prezenţa altor condiţii iniţiale. În această situaţie, apare mai rezonabilă sacrificarea acurateţii calculului, prin determinarea răspunsului dinamic la paşi de timp constanţi. Se recomandă folosirea metodei acceleraţiei constante în pasul de timp, care este stabilă indiferent de mărimea pasului de timp [R2]. Această metodă este adoptată în [P5], unde se arată că în cazul structurilor cu comportare liniar elastică, pentru modurile de vibraţie cu se pierde din acurateţe, dar amplitudinile răspunsului sunt corecte ca ordin de mărime. Pentru modurile de vibraţie cu acurateţea răspunsului este suficientă din punct de vedere practic, dar mai mică prin comparaţie cu metoda acceleraţiei liniare. Dacă se produc incursiuni în domeniul postelastic, pasul de timp trebuie ales suficient de mic. Se poate controla eroarea răspunsului comparând rezultatele a două analize cu paşi de timp diferiţi. Totuşi, convergenţa către soluţia exactă este o problemă ce trebuie urmărită în orice tip de analiză numerică.
5.4.1 Matricea de rigiditate tangentă
Structurile pot fi modelate cu elemente de tip bară, cu elemente finite de suprafaţă şi/sau cu elemente finite tridimensionale. Dacă structurile prezintă regularitate în plan şi pe verticală, cu cel puţin un plan de simetrie, se pot realiza modele plane ale acestora. În cazul modelelor plane cu elemente finite de tip bară, solicitările la care pot fi supuse barele pot fi de întindere sau compresiune şi de încovoiere cu sau fără forţă axială şi forţă tăietoare. Pentru
59
59
valori mari ale forţelor de compresiune există posibilitatea pierderii de stabilitate prin flambaj. Dacă flambajul se produce în domeniul elastic, nu mai există posibilitatea formării de articulaţii plastice. De aceea, elementele structurale trebuie astfel alcătuite încât să fie evitate pierderea de stabilitate în domeniul elastic şi voalarea tălpilor sau a porţiunii din inimă comprimate (secţiuni de clasa 1).
În momentul în care elementele finite de tip bară cu rigiditate axială şi/sau la încovoiere se plastifică la capete, matricea de rigiditate se modifică. Corecţia matricei de rigiditate structurală se face numai la sfârşitul pasului de timp în care unul sau mai multe elemente îşi modifică stadiul de comportare, prin introducerea schimbărilor de rigiditate asociate elementelor finite respective în matricea de rigiditate structurală curentă. În acest mod se evită reasamblarea matricei de rigiditate structurale.
5.4.1.1 Elementul finit de bară dublu articulată
Elementul finit de bară dublu articulată poate fi orientat arbitrar în planul structurii şi transmite numai forţă axială.
a bFig. 5.1 Modele de comportare a elementului de bară dublu articulată: a – plastificare la întindere şi compresiune; b – plastificare la întindere şi flambaj la compresiune
Fig. 5.2 Descompunerea relaţiei biliniare în două componente
60
60
a b
Fig. 5.3 Deformaţiile, deplasările nodale şi forţele nodale pentru elementul de bară dublu articulată
Se pot considera două moduri de comportare inelastică, şi anume plastificare atât la întindere cât şi la compresiune (fig. 5.1, a) şi plastificare la întindere dar flambaj elastic la compresiune (fig. 5.1, b). După depăşirea limitei de curgere se poate ţine seama de efectul de consolidare, considerând două componente de comportare în paralel, una elastică şi una inelastică (fig. 5.2) [P5].
Elementul de bară dublu articulată va avea numai deformaţii axiale, corespunzătoare modificării de lungime
(5.25)
în care şi sunt deplasările capetelor barei în lungul axei sale (fig. 5.3, a). Între creşterile finite ale deplasărilor nodale din sistemul local şi cele corespunzătoare din sistemul global de axe (fig. 5.3, b) se poate scrie relaţia de transformare
(5.26)
unde şi . Înlocuind relaţiile (5.26) în (5.25) se obţine
(5.27)
sau . Din stadiul elastic de comportare se cunoaşte relaţia , de unde
rezultă sau , în care este rigiditatea axială a barei şi este modul de
elasticitate tangent în starea curentă (în cazul materialelor ideal elasto-plastice, pentru şi pentru ). Raportând rigiditatea tangentă la deplasările nodale
şi ţinând seama de relaţia (fig. 5.3, b), se poate scrie (5.28)
Se pot considera forţe axiale iniţiale în lungul elementului sau efectul variaţiei uniforme de temperatură, prin forţe de încastrare perfectă a căror valoare trebuie să fie mai mică decât capacitatea limită asociată plastificării elementului.
5.4.1.2 Elementul finit de bară cu rigiditate axială şi la încovoiere
Elementele de acest tip pot fi orientate arbitrar în planul în care se descrie structura. Rigiditatea la încovoiere se specifică prin coeficienţii matricei de rigiditate în sistemul local de axe. Se pot descrie condiţii de margine diferite la capete (încastrare sau articulaţie) şi se poate considera cazul în care secţiunea transversală este variabilă în lungul elementului, specificând
61
61
coeficienţii potriviţi de rigiditate la încovoiere. Deasemenea, se poate considera efectul forţei tăietoare asupra deformaţiilor din încovoiere şi se poate ţine seama de prezenţa unor legături excentrice la capete datorate prinderilor, prin intermediul zonelor rigide. Plastificarea se poate produce doar în articulaţiile plastice punctuale de la capetele elementului (fig. 5.4).
Consolidarea materialului este aproximată prin două componente în paralel, una elastică şi una elasto-plastică (fig. 5.5). Componenta ideal elasto-plastică corespunde articulaţiilor plastice de la capetele elementului în care momentul încovoietor este constant, iar componenta elastică corespunde zonei de consolidare a materialului, în care se permite momentului încovoietor să crească. Datorită acestui model, dacă momentul încovoietor şi secţiunea elementului sunt constante, atunci curbura şi rotirea sunt direct proporţionale, iar relaţiile moment-rotire şi moment-curbură ( ) au aceeaşi formă (fig. 5.6, a). Dacă momentul încovoietor sau secţiunea variază în lungul elementului, atunci curbura şi rotirea nu mai sunt proporţionale, iar relaţiile moment-rotire şi moment-curbură pot să difere (fig. 5.6, b) [P5].
Un element finit cu rigiditate axială şi la încovoiere poate avea deformaţie axială şi deformaţii din încovoiere căreia îi corespund rotirile de la capetele i şi j din figura 5.7.
element cu comportareelastică
Fig. 5.4 Element finit de bară cu rigiditate axială şi la încovoiere
Fig. 5.5 Descompunerea relaţiei biliniare în două componente
62
62
a b
Fig. 5.6 Relaţiile moment-rotire şi moment-curbură 6u
6F
a b
Fig. 5.7 Deformaţii, deplasări nodale şi forţe nodale – creşteri incrementale
a b
Fig. 5.8 Deplasări nodale în sistemul local de axe (a) şi deformaţiile produse de acestea (b)
5 RELAŢIA DE TRANSFORMARE DINTRE CREŞTERILE INCREMENTALE ALE DEFORMAŢIILOR ŞI DEPLASĂRILOR ESTE
(5.29a)
sau (5.29b)
63
63
În relaţia (5.29a), , , şi
; ; (5.30)
, , , , şi sunt deplasările la capetele elementului, în sistemul local de axe, iar reprezintă rotirea axei barei datorată deplasărilor şi ale capetelor (fig. 5.8).
Relaţiile (5.29) se pot demonstra pe baza corespondenţei dintre deplasările nodale din sistemul local de axe şi cele din sistemul general de axe. De exemplu, pentru nodul i se poate scrie
şi Înlocuind în relaţiile (5.30) rezultă
, etc. (5.31)
Atunci când se atinge valoarea momentului plastic în componenta elasto-plastică de comportare, se formează o articulaţie plastică. În componenta elastică, momentul încovoietor continuă să crească. Rotirea articulaţiei plastice constituie o măsură a deformaţiei plastice din încovoiere. Creşterile rotirilor din încovoiere şi produc creşteri ale rotirilor articulaţiilor plastice şi , care se datorează numai momentului încovoietor. Se poate scrie următoarea relaţie matriceală:
(5.32)
în care coeficienţii A, B, C şi D depind de poziţia nodului de capăt la care se formează articulaţia plastică şi au valori nule dacă elementul lucrează în domeniul elastic sau dacă eforturile în secţiunea asociată nodului corespund stadiului elastic de comportare:
Stadii de comportare ale secţiunilor de capăt A B C D
Stadiu elastic la ambele capete 0 0 0 0
Articulaţie plastică numai la capătul i 1 0 0
Articulaţie plastică numai la capătul j 0 0 1
Articulaţii plastice la ambele capete 1 0 0 1
Prin această formulare nu se ţine seama de interacţiunea dintre deformaţiile axiale inelastice şi deformaţiile din încovoiere după formarea articulaţiei plastice. Ca urmare, curgerea plastică are loc doar pe direcţia momentului încovoietor, nu şi pe direcţia normală la suprafaţa de curgere specifică regulilor de curgere asociate materialelor cu comportare elasto-plastică. Aceasta constituie o altă aproximaţie a modelului de bară considerat. Efectul forţei axiale asupra capacităţii plastice la încovoiere este luat în considerare prin curba de interacţiune M – N [P5].
În figura 5.9 sunt figurate eforturile secţionale în nodurile elementului, în sistemele de axe local şi general.
64
64
a b
Fig. 5.9 Eforturile secţionale la noduri în sistemul local de axe (a) şi în sistemul de axe general (b)
În stadiul elastic, se pot scrie următoarele relaţii între variaţiile eforturilor secţionale şi creşterile deformaţiilor axiale şi de încovoiere:
(5.33)
respectiv
(5.34)
în care A este aria, iar I este momentul de inerţie al secţiunii transversale. Pentru ,
matricea de rigiditate va fi în cazul barei dublu încastrate (fig. 5.10), respectiv
în cazul barei articulate în capătul din dreapta (fig. 5.11).
Fig. 5.10 Momente de încastrare perfectă ca efect al rotirii capetelor, la bara dublu încastrată ( )
Fig. 5.11 Momente de încastrare perfectă la bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt ()
După formarea articulaţiei plastice la cel puţin unul din capetele barei, termenii matricei de rigiditate asociate comportării ideal elasto-plastice devin
65
65
(5.35)
Relaţiile (5.35) indică transformarea în domeniul inelastic a elementului finit de bară dublu încastrată într-un element finit cu una sau două articulaţii la capete.
În sistemul local de axe, condiţia de echilibru pentru un increment de deformaţie se exprimă cu relaţia
(5.36a)în care
(5.36b)
şi este matricea de rigiditate obţinută prin sumarea contribuţiilor celor două componente, elastică şi inelastică. Ţinînd seama de relaţia (5.29b), relaţia (5.36a) se mai poate scrie
(5.37)
În sistemul general de axe, forţele nodale alcătuiesc vectorul . Între vectorii forţelor nodale din cele două sisteme de axe, local şi general, există relaţia de transformare , ca urmare este valabilă relaţia
(5.38)
Dacă se premultiplică relaţia (5.37) cu şi se ţine seama de relaţia (5.38), rezultă
(5.39)în care
(5.40)
reprezintă matricea de rigiditate tangentă raportată la deplasările nodale exprimate în sistemul general de axe.
În cazul structurilor în cadre, articulaţiile plastice se formează, în grinzi, la faţa stâlpilor, iar în stâlpi la faţa grinzilor, deoarece zona de prindere grindă-stâlp se consideră indeformabilă. Această comportare se modelează prin legăturile rigide dintre nodurile definite de intersecţiile axelor elementelor şi capetele elementului flexibil (fig. 5.4 şi 5.5).
Între deplasările nodului teoretic i ce formează vectorul
(5.41)şi deplasările capătului i al elementului deformabil care alcătuiesc vectorul
(5.42)se pot scrie relaţiile (fig. 5.4):
; ; (5.43)
Cu relaţii similare pentru nodul j se obţine relaţia matriceală dintre deplasări,
66
66
(5.44)
sau (5.45)
Relaţia de reducere a forţelor de încastrare perfectă de la capetele elementelor în nodurile teroretice se scriu într-o manieră similară. De exemplu, pentru nodul i,
(5.46)
Relaţia matriceală se va scrie sub forma
(5.47)
sau (5.48)
Prin reducerea forţelor nodale în nodurile teoretice, relaţia de echilibru (5.39) devine
(5.49)
a bFig. 5.12 Curbe de interacţiune
Elementul finit de bară solicitat la încovoiere şi forţă axială admite pentru fiecare capăt două tipuri de curbe de interacţiune. Acestea definesc starea limită de eforturi în momentul formării articulaţiei plastice: plastificare prin încovoiere specifică grinzilor încovoiate fără forţă axială sau cu forţă axială neglijabilă (fig. 5.12, a); plastificare prin încovoiere cu forţă axială (fig. 5.12, b). Punctele de balans a, b, c, d şi eforturile limită , , şi se stabilesc în funcţie de forma secţiunii şi de tensiunile asociate limitelor de curgere la întindere şi la compresiune [P5].
67
67
5.3.2 Determinarea stadiului de lucru
Răspunsurile static sau dinamic în cazul existenţei incursiunilor în domeniul postelastic se stabilesc printr-un calcul incremental. Într-un pas finit de timp , pentru un spor de încărcare , se calculează incremenţii deplasărilor nodale şi ai deformaţiilor elementului, . Pe baza valorilor acestora din urmă se calculează apoi valorile incrementale ale eforturilor în elemente, , respectiv eforturile de la sfârşitul pasului de timp,
. Acestea se stabilesc pe baza proprietăţilor de la începutul pasului de timp şi a creşterilor obţinute în pasul de timp. În procesul de rezolvare pas cu pas a ecuaţiilor de echilibru pot avea loc incursiuni în domeniul postelastic prin încărcare sau descărcare, precum şi reveniri în domeniul elastic, de exemplu prin descărcare după o incursiune în domeniul inelastic. De aceea, relaţia forţă-deplasare va fi neliniară, ca în figura 5.13.
Fig. 5.13 Exemplu de comportare neliniară
Fig. 5.14 Răspuns liniar şi neliniar în pasul de timp
Momentul formării unei articulaţii plastice sau al descărcării după o incursiune în domeniul plastic constituie un eveniment şi este marcat în relaţia printr-o schimbare de pantă. Între două evenimente, relaţia se consideră liniară.
Într-un pas de timp finit , pot apărea unul sau mai multe evenimente. Apariţia unui eveniment în răspunsul structural se apreciază pe baza stării de comportare a elementelor finite ce alcătuiesc structura. Liniarizarea răspunsului în cadrul pasului de timp are la bază starea elementelor de la începutul pasului. Această procedură este corectă numai dacă nu apar evenimente în pasul de timp, răspunsul liniar fiind reprezentat de linia întreruptă din figura 5.14. Incrementul liniar al efortului se notează . Linia continuă din figura 5.14 marchează răspunsul neliniar, datorat producerii evenimentelor din pasul de timp. Se observă că acceptarea unei comportări liniare conduce la valori incorecte ale incremenţilor deformaţiilor. Se poate accepta totuşi că se obţin aceleaşi deformaţii dacă se consideră sau nu neliniaritatea în pasul de timp, întrucât pasul de timp este scurt, iar răspunsul structurii este afectat
68
68
substanţial de efectele de inerţie şi de amortizare. Ca urmare, incrementul neliniar al efortului în element, , se poate calcula prin următorul procedeu:
(1) se notează cu incrementul deformaţiei unui element în pasul de timp şi cu incrementul efortului neliniar care trebuie calculat. Acesta se obţine prin sumarea de subincremenţi , aşa cum se arată în figura 5.15. Se iniţializează la zero un factor de scară şi se setează un contor i al ciclului, la valoarea 1.
Fig. 5.15 Calculul incrementului efortului în element(2) se setează
(5.50)
Pentru starea curentă a elementului, calculată la momentul de timp t, se determină incrementul efortului în element, , corespunzător incrementului deformaţiilor .
(3) se determină coeficientul corespunzător creşterii incrementale a eforturilor în element care va produce un nou eveniment, cum ar fi formarea unei articulaţii plastice sau descarcărea. Dacă are loc descărcare, valoarea lui va fi zero. Dacă nu se produce descărcare, valoarea lui care produce o articulaţie plastică la unul din capetele elementului se calculează cu relaţii de tipul
(5.51)
în care este efortul în element asociat atingerii stării limită de plastificare conform curbei de interacţiune considerate, este efortul în element la începutul ciclului i, iar este incrementul efortului calculat pentru acest ciclu. Trebuie găsită cea mai mică valoare a lui , considerând toate componentele eforturilor în element. Dacă , atunci s-a produs un eveniment în acest ciclu. Dacă , nu s-au produs evenimente în acest pas de timp şi se foloseşte valoarea .
(4) Se adună la şi se fac modificările de rigoare a datelor referitoare la starea elementului.
(5) Dacă , se reduce la şi contorul ciclului se incrementează cu 1. Se repetă etapele de calcul începând cu pasul 2, pentru a controla dacă s-au produs evenimente în alte elemente finite. Dacă , calculul incrementului forţelor care produc neliniaritate este complet.
În calculul structurilor cu incursiuni în domeniul postelastic, este deosebit de important calculul corect al deformaţiilor elementelor, deoarece acestea determină mărimea eforturilor şi, totodată, indică cerinţa de ductilitate a structurii. Procedeul de calcul al eforturilor incrementale descris mai sus stabileşte şi valorile incrementale acumulate ale deformaţiilor inelastice asociate, în fiecare ciclu de iteraţie în cadrul pasului de timp . Valorile
69
69
deformaţiilor de la sfârşitul fiecărui pas de timp servesc la calculul eforturilor corespunzătoare tipului de element finit utilizat [P5].
5.3.3 Compensarea echilibrului
Dacă nu apar evenimente în pasul de timp, răspunsul este liniar şi la sfârşitul pasului de timp vor fi satisfăcute ecuaţiile de echilibru. În caz contrar, echilibrul va fi satisfăcut pentru incremenţii liniari ai eforturilor din elemente, dar nu şi pentru incremenţii neliniari . La nivel de element finit, echilibrul necompensat corespunde eforturilor neechilibrate din figura 5.14,
(5.52)După transformarea eforturilor neechilibrate în forţe nodale şi sumarea acestora pentru
toate elementele, se obţine vectorul forţelor nodale neechilibrate . Pentru a evita erorile ce pot apărea din acumularea eforturilor neechilibrate în mai mulţi paşi de timp, se aplică o încărcare de corecţie: valorile incrementale ale forţelor nodale neechilibrate se introduc cu semn schimbat, ca forţe nodale, la începutul pasului de timp următor. La sfârşitul pasului de timp, echilibrul este satisfăcut dacă se verifică relaţia
(5.53)
în care , şi reprezintă vectorii forţelor nodale provenite din forţele de inerţie, forţele de amortizare şi, respectiv, încărcările exterioare variabile în timp. este vectorul forţelor la noduri provenite din eforturile în elemente de la sfârşitul pasului de timp,
(5.54)
presupunând o comportare liniară în pasul de timp. Atingerea unui stadiu limită în cadrul pasului de timp va produce o actualizare a forţelor neliniare de forma
(5.55)Ca urmare, ecuaţia de echilibru va fi
(5.56)
în care este încărcarea exterioară fictivă care trebuie aplicată în următorul pas de timp. Necesitatea corecţiilor pentru asigurarea echilibrului ar putea fi evitată prin
subdivizarea paşilor de timp oricând apare un eveniment şi iterarea echilibrului până ce acesta este atins în cadrul pasului de timp curent. Un astfel de procedeu este metoda Newton - Raphson, care este destul de complicată, măreşte timpul de calcul şi nu asigură o acurateţe mai bună decât procedeele bazate pe paşi de timp constanţi şi corecţii ale echilibrului.
Dacă starea de eforturi într-o secţiune de capăt a unui element finit este în interiorul curbei limită considerate, secţiunea respectivă se află în domeniul elastic. În figura 5.16, a se arată situaţia în care, la sfârşitul pasului de timp, starea de eforturi în cazul unui element cu rigiditate axială şi la încovoiere se găseşte în afara curbei de interacţiune. În acest caz se vor aplica forţe de corecţie în pasul de timp următor celui în care s-a produs evenimentul. Acest procedeu nu este strict corect întrucât presupune că, după atingerea limitei de curgere, rigiditatea axială rămâne neschimbată şi se modifică doar rigiditatea la încovoiere. În realitate, datorită interacţiunii dintre deformaţiile din forţă axială şi moment incovoietor, ambele matrici de rigiditate ar trebui modificate. Totuşi, procedeul este acceptabil pentru analizele practice.
70
70
Deoarece rigiditatea axială rămâne constantă într-o articulaţie plastică, în paşii următori starea de eforturi va fi în afara curbei de interacţiune, aşa cum se arată în figura 5.16, b.
a b
Fig. 5.16 Corecţia echilibrului în cazul depăşirii curbei de interacţiune
De aceea, chiar dacă atingerea stării limită se produce la sfârşitul pasului de timp (starea de eforturi definită de combinaţia M - N se află pe curba de interacţiune), este necesară corecţia echilibrului în pasul de timp succesiv.
Datorită acestui procedeu de calcul, pot rezulta forţe axiale mai mari decât efortul axial limită corespunzător momentului încovoietor nul. Dacă se ajunge la astfel de situaţii, momentele încovoietoare se consideră nule, iar rezultatele obţinute trebuie examinate cu atenţie, pentru a evita posibilitatea degradării elementelor.
Un eveniment de tip descărcare după o incursiune în domeniul plastic se identifică prin semnele diferite ale incremenţilor deformaţiilor şi eforturilor în articulaţia plastică.
5.3.4 Matricea de amortizare tangentă
Considerarea amortizării într-o analiză dinamică complică rezolvarea ecuaţiilor de mişcare, datorită termenului reprezentat de forţele de amortizare. Pentru a fi posibilă decuplarea ecuaţiilor de mişcare într-un calcul elastic liniar, sunt necesare anumite restricţii asupra expresiilor coeficienţilor de amortizare.
Matricea de amortizare se poate alege de forma
unde (5.57)
Coeficienţii sunt nedeterminaţi. Pentru şi se regăseşte modelul Rayleigh,
(5.58)
Acest mod de exprimare a matricei de amortizare permite decuplarea răspunsurilor modale şi reducerea răspunsului unui sistem cu n GLD cu comportare elastic liniară la răspunsul a n sisteme cu 1 GLD decuplate.
În modul de vibraţie i, amortizarea modală are forma
(5.59)
în care este fracţiunea din amortizarea critică în modul i, iar este vectorul propriu al modului i în vibraţie liberă neamortizată cu pulsaţia . Dacă matricea de amortizare este de forma (5.57), rezultă
71
71
(5.60)
Ţinând seama de relaţia , se obţine coeficientul amortizării pentru modul de vibraţie i [C5],
(5.61)
Din relaţiile (5.59) şi (5.61) rezultă fracţiunea din amortizarea critică a modului i,
(5.62)
Dacă se cunosc fracţiunile din amortizarea critică , coeficienţii se obţin cu relaţia
(5.63)
Relaţia (5.63) se poate scrie simbolic
(5.64)
de unde rezultă vectorul coeficienţilor ,
(5.65)
Prin introducerea vectorului în relaţia (5.57) se obţine matricea de amortizare C.Relaţia (5.62) arată următoarele aspecte: dacă matricea de amortizare este proporţională cu masa ( , ), rezultă
, adică fracţiunea din amortizarea critică este invers proporţională cu frecvenţa. Ca urmare, modurile superioare de vibraţie vor avea amortizări mici (fig. 5.17);
dacă matricea de amortizare este proporţională cu matricea de rigiditate ( , ), atunci , deci fracţiunea din amortizarea critică este direct proporţională cu
frecvenţa. În acest caz, modurile inferioare de vibraţie au amortizări mici.
Fig. 5.17 Efectul masei şi rigidităţii asupra amortizării
72
72
Modelul Rayleigh permite scrierea următoarei relaţii de proporţionalitate între amortizarea, masa şi rigiditatea modală care definesc răspunsul decuplat al modului i de vibraţie:
(5.66)Dar, aşa cum s-a arătat în capitolul 3,
şi (5.67)
Înlocuind relaţiile (5.67) în (5.66) se obţine fracţiunea din amortizarea critică a modului i,
sau (5.68)
în funcţie de pulsaţia modală, respectiv de perioada de vibraţie. Dacă se cunosc coeficienţii şi pentru două moduri de vibraţie de perioade şi , fracţiunile din amortizarea critică aferente celor două moduri sunt:
şi (5.68a)
Considerând că relaţiile (5.68a) formează un sistem de ecuaţii în necunoscutele şi , prin rezolvarea acestuia rezultă cei doi coeficienţi:
, (5.69)
Acest procedeu de determinare a coeficienţilor şi necesită cunoaşterea perioadelor proprii de vibraţie şi a fracţiunilor din amortizarea critică modală. Acestea din urmă se pot obţine experimental. Pentru structurile de clădiri, în general , iar valorile cele mai întâlnite sunt în domeniul . În mod simplificat, se pot considera fracţiunile din amortizarea critică ca fiind egale pentru toate modurile de vibraţie.
Se poate dezvolta şi o altă metodă de evaluare a matricei de amortizare C pentru un set de fracţiuni din amortizarea critică specificate. Se face notaţia
(5.70)
în care masele modale ( ) sunt egale cu 1 dacă matricea modală este normalizată. Rezultă
(5.71)
De regulă, inversarea matricei modale necesită un efort mare de calcul. În baza proprietăţilor de ortogonalitate a formelor proprii de vibraţie se poate scrie
73
73
(5.72)
Având în vedere că ortogonalitatea formelor proprii este valabilă şi în raport cu matricea de amortizare, ecuaţiile diferenţiale de mişcare se decuplează în n ecuaţii liniare independente.
Pentru evaluarea energiei disipate prin amortizare, se consideră că forţele de amortizare se opun mişcării şi sunt proporţionale cu viteza de deformare relativă (amortizare vâscoasă). Datorită schimbărilor de stare prin plastificarea elementelor structurale, matricea de rigiditate tangentă se poate schimba de la un pas de timp la altul. Ca urmare, dacă se consideră amortizarea dependentă de rigiditate, matricea de amortizare se va schimba, contribuind la nerealizarea echilibrului la începutul unui nou pas de timp, după apariţia unui eveniment.
Echilibrul la sfârşitul unui pas de timp este dat de relaţia
(5.73)
în care , şi reprezintă vectorii forţelor nodale provenite din forţele de inerţie, forţele de amortizare şi din eforturile în elemente, iar reprezintă încărcările exterioare variabile în timp. Forţa de amorizare este dată de relaţia
(5.74)
La începutul pasului de timp următor, forţele de amortizare vor fi de forma
(5.75)în care reprezintă modificarea matricei de rigiditate tangente, iar este modificarea corespunzătoare a forţelor de amortizare. Pentru a restabili echilibrul este necesară aplicarea unei forţe exterioare de corecţie,
(5.76)Rezultă
(5.77)
5.4 METODA BIOGRAFICĂ (PUSHOVER)
Determinarea răspunsului în timp al unei structuri supuse la acţiunea seismică implică, pe de o parte, utilizarea unui aparat de calcul mai pretenţios şi, pe de altă parte, analiza dinamică a structurii pentru un set reprezentativ de accelerograme. Atunci când lipsesc înregistrări ale mişcării seismice în amplasamentul considerat, se pot folosi accelerograme artificiale sau se pot înlocui analizele dinamice cu un calcul static al structurii bazat pe creşterea monotonă până la colaps a forţelor statice convenţionale de cod. În acest mod se urmăresc locaţiile în care se produc articulaţiile plastice, în vederea validării conformării structurii, a sporului de rezistenţă şi a ductilităţii structurale efective.
Calculul biografic poate fi considerat ca un caz particular al acţiunii dinamice. Din punct de vedere formal, ecuaţiile diferenţiale de mişcare
(5.78)
se pot reduce la ecuaţiile de echilibru static (5.79)
74
74
prin anularea forţelor de inerţie şi de amortizare şi prin reconsiderarea semnificaţiei vectorului forţelor de excitaţie într-un vector de forţe ce se aplică static monoton crescător, de forma
(5.80)
în care sunt forţele de cod, iar este un factor de proporţionalitate cu valori de la 0 la o valoare finală asociată formării mecanismului de cedare. Forţele de inerţie şi forţele de amortizare devin nule în cazul aplicării unor acţiuni statice, pentru care acceleraţiile şi vitezele de deformare sunt nule, la orice nivel al forţelor exterioare. Se poate deci păstra, şi în cazul acţiunilor statice monoton crescătoare, algoritmul de rezolvare prin MEF a structurilor din bare supuse la acţiuni seismice definite prin deplasarea aleatoare în timp a bazei de rezemare.
Pentru un sistem cu n GLD, ecuaţia incrementală de mişcare este
în care în cazul acţiunii seismice. Pentru fiecare pas de timp , anularea forţelor de inerţe şi de amortizare presupune
şi
Aceste condiţii pot fi îndeplinite formal considerând matricea de amortizare nulă ( ) şi . Rezultă cu la . Se obţine astfel ecuaţia incrementală
de echilibru static
(5.81)
în care reprezintă acum vectorul forţelor aplicate static ale căror valori se modifică incremental cu factorul . Astfel, într-un calcul biografic, acceleraţia terenului se va interpreta ca un factor de amplificare a cărui valoare creşte liniar de la 0 pentru la pentru , în care este valoarea factorului de proporţionalitate asociată formării mecanismului de cedare sau unei deplasări maxime impuse.
La rezolvarea sistemului de ecuaţii (5.81) se ţine seama de modificarea matricei de rigiditate în momentul apariţiei unor articulaţii plastice. Incremenţii deplasărilor vor fi
Vectorul deplasărilor la timpul va fi .
5.5 EXEMPLU DE CALCUL
Pentru validarea şi exemplificarea utilizării celor două moduri de abordare bazate pe MEF, respectiv aplicarea Teoriei Plasticităţii la mediile continue deformabile şi utilizarea elementelor finite de bară, se determină forţa limită şi deplasarea ultimă pentru o grindă simplu rezemată din OL37 [T1], având următoarele caracteristici geometrice şi de material (fig. 5.18):
deschiderea grinzii este de 6 m; secţiunea grinzii este dreptunghiulară, cu dimensiunile 10 x 60 cm; constantele de material sunt daN/cm2 şi ; pentru zona de
consolidare se adoptă ;
75
75
limita de curgere a oţelului este daN/cm2.
Fig. 5.18În prima abordare, grinda se discretizează cu elemente finite patrulatere de stare plană
de tensiune, cu dimensiunile laturilor 10 x 10 cm şi grosimea de 10 cm. Reţeaua astfel obţinută are 6 x 60 elemente finite (fig. 5.19, a).
Valoarea limită a forţei P se determină în baza ipotezelor Rezistenţei Materialelor, cu
relaţia , unde cm3. Rezultă kNm şi
kN.În figura 5.19, b se prezintă nivelul tensiunilor pentru . Pentru aceeaşi valoare
a forţei sunt prezentate diagramele în secţiunea de la mijlocul grinzii (fig. 5.19, c), respectiv în secţiunile situate la o distanţă egală cu o treime din deschidere faţă de reazemele grinzii (fig. 5.19, d). Această ultimă diagramă confirmă faptul că zona elasto-plastică a grinzii se dezvoltă în treimea sa de mijloc.
P
a
b
76
76
c d
Fig. 5.19 a – reţeaua de elemente finite; b – tensiunile ; c – diagrama în secţiunea de la mijlocul grinzii; d - diagrama în secţiunile de capăt ale zonei elasto-plastice
a
b
c
Fig. 5.20 a – zona de articulţie plastică; b – diagrama de moment în stadiul limită; c – deformata în stadiul limită
În figura 5.20, a se arată zona elasto-plastică, delimitată de două curbe parabolice de
ecuaţie , cu [M3].
77
77
În Rezistenţa Materialelor, deplasarea maximă a grinzii sub acţiunea forţei ,
respectiv rotirea la capete se determină cu relaţiile ; . Rezultă
cm şi rad. În modelul cu elemente de stare plană de tensiune, pentru se obţine cm.
În a doua abordare, grinda se discretizează în 6 elemente finite de bară (fig. 5.21).
a b
Fig. 5.21 Modelarea cu elemente finite de barăPentru acest model s-a efectuat calculul biografic bazat pe algoritmul prezentat la
punctul 5.4. S-au obţinut următoarele valori ale deplasării la mijlocul grinzii:
pentru kN, în care , cm;
pentru kN, cm.Se pot face următoarele observaţii privind rezultatele obţinute prin cele două metode de
abordare şi cele cunoscute de la Rezistenţa Materialelor: pentru determinarea stării de tensiune în elementele finite de stare plană de tensiune
se folosesc relaţiile Teoriei Plasticităţii. Atingerea stării limită este controlată printr-un criteriu de plasticitate care ţine seama de toate componentele tensorului de tensiune. În acest model, pe lângă tensiunile normale şi tangenţiale acceptate în Rezistenţa Materialelor, în noduri se dezvoltă şi tensiuni normale pe axa barei, . Aceasta explică nesimetria în raport cu axa barei a domeniului elasto-plastic (fig. 5.19, b şi c). Pe de altă parte, în general în Rezistenţa Materialelor nu se ia în consideraţie efectul forţei tăietoare la formarea articulaţiei plastice;
elementele finite de bară sunt construite în ipoteza comportării elastice până în momentul formării articulaţiei plastice. Din acest motiv, acest model nu pune în evidenţă comportarea neliniară din punct de vedere al relaţiei forţă – deplasare până în momentul formării articulaţiei plastice.
În figura 5.22 se prezintă relaţia P – v pentru cele două moduri de abordare.
78
78
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
deplasarea pe direcţia axei Y [m]
Incr
emen
t for
ţă
element finit de grindă element finit plan în stare plană de tensiune
Fig. 5.22 Diagrama forţă – deplasare
Raportul dintre deplasarea maximă plastică obţinută cu modelul bazat pe Teoria Plasticităţii, cu elemente finite în stare plană de tensiune (MEFSP) şi aceeaşi deplasare calculată cu mijloacele Rezistenţei Materialelor (RM) este
, cu
iar raportul dintre deplasarea maximă plastică obţinută pe modelul cu elemente finite de bară (MEFB) şi deplasarea calculată cu mijloacele Rezistenţei Materialelor este
, cu
Se observă că ambele modele conduc la rezultate diferite de cele furnizate de Rezistenţa Materialelor. Diferenţele faţă de soluţia exactă provin din alegerea câmpului de deplasări şi a criteriului de plasticitate, precum şi din modul de considerare a formării articulaţiei plastice (într-o zonă de comportare elasto-plastică sau punctual).
Modelarea cu elemente finite de bară, prin care articulaţia plastică este punctuală, deci care nu ţine seama de existenţa unei zone plastice, este mai potrivită pentru grinzi la care factorul de formă al secţiunii transversale este apropiat de valoarea 1 şi . Secţiunile I, de exemplu, au factorul de formă mai mic decât cel al secţiunilor dreptunghiulare ( faţă de ). Lungimea zonei de articulaţie plastică este şi ea mai mică în acest caz. Ca urmare, se poate considera că pentru bare cu secţiuni I, efectul zonei plastificate este redus şi modelul simplificat de bară cu articulaţie plastică punctuală este satisfăcător. Astfel, informaţia privind deformaţiile în momentul formării unei articulaţii plastice, necesară şi aprecierii cerinţei de ductilitate, este în general satisfăcătoare pentru construcţiile metalice. Această informaţie poate fi alterată în cazul secţiunilor pline.
79
79