analiza numerica neliniara a raspunsului dinamic...
TRANSCRIPT
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ŞI SPORTULUI
UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI
DEPARTAMENTUL DE REZISTENTA MATERIALELOR, PODURI, TUNELURI
TEZA DE DOCTORAT
ANALIZA NUMERICA NELINIARA A RASPUNSULUI DINAMIC
AL STRUCTURILOR IN CADRE, IN CONLUCRARE CU TERENUL DE FUNDARE
Ing. Razvan-George Nica-Udangiu
CONDUCATOR STIINTIFIC
Prof. univ. dr. ing. Mircea Ieremia
1
Cuprins
1. INTRODUCERE .................................................................................................................... 3
2. RISC SEISMIC ....................................................................................................................... 7
2.1. Caracteristicile generale ale seismicitatii ........................................................................ 7
2.2. Reducerea riscului seismic al constructiilor existente ................................................... 10
2.3. Estimarea pierderilor ..................................................................................................... 12
2.3.1.Studii de scenariu ................................................................................................. 13
2.3.2.Analiza de probabilitate a riscurilor ..................................................................... 14
2.3.3.Studiul pierderilor potentiale ................................................................................ 14
2.4. Definirea termenilor ...................................................................................................... 14
3. ANALIZA DINAMICA MODALA ..................................................................................... 17
3.1. Solutii in domeniul complex cu metoda de iterare numerica QR .................................. 20
3.2. Reducerea Householder ................................................................................................. 21
3.3. Iteratia QR .................................................................................................................... 23
3.4. Calcularea vectorilor proprii ........................................................................................ 25
4. ANALIZA STATICA NELINIARA .................................................................................... 28
4.1. Metoda Newton - Raphson ............................................................................................ 28
4.2. Metoda Newton - Raphson modificata .......................................................................... 31
4.3. Criterii de convergenta .................................................................................................. 32
5. ANALIZA DINAMICA NELINIARA ................................................................................ 34
5.1. Metoda unipas implicita Newmark ............................................................................... 34
6. MODELAREA COMPORTARII BETONULUI IN ANALIZA NUMERICA NELINIARA
................................................................................................................................................40
6.1. Legea constitutiva a betonului utilizata in studiul de caz .............................................. 40
6.1.1. 3210 : compresiune – compresiune – compresiune ........................ 42
6.1.2. 321 0 : intindere – compresiune – compresiune............................... 45
6.1.3. 321 0 : intindere – intindere – compresiune ..................................... 46
6.1.4. 0321 : intindere – intindere – intindere.......................................... 46
6.2. Legea constitutiva a betonului adoptata de Comitetul EURO – international de beton 48
6.3. Modelarea comportarii neliniare a betonului utilizand modelul multisuprafata............ 51
7. BAZELE PROIECTARII SEISMICE .................................................................................. 57
8. METODA SPECTRULUI DE CAPACITATE .................................................................... 60
8.1. Descrierea metodei ........................................................................................................ 60
8.2. Date utilizate .................................................................................................................. 60
8.3. Cerinta - spectrul in format acceleratie - deplasare ....................................................... 60
8.4. Analiza Pushover ........................................................................................................... 62
8.5. Modelul echivalent cu un grad de libertate ................................................................... 63
2
8.6. Cerinta de deplasare intr-un sistem cu un grad de libertate ........................................... 64
8.7. Cerinta de deplasare globala si locala intr-un sistem cu mai multe grade de libertate .. 65
9. CONLUCRAREA STRUCTURII CU TERENUL DE FUNDARE .................................... 66
9.1. Modelul Winkler ........................................................................................................... 66
9.2. Atenuarea vascoasa a mediului de propagare ................................................................ 69
9.2.1Rezonanta tranzitorie – amplificare seismica ........................................................ 71
9.2.2.Focalizarea fenomenelor seismice ........................................................................ 72
9.2.3.Deformari cu caracter permanent ......................................................................... 73
10. ANALIZA DINAMICA INCREMENTALA ....................................................................... 74
10.1. Principiile metodei analizei dinamice incrementale ...................................................... 74
10.2. Proprietatile curbei ADI ................................................................................................ 76
10.3. Identificarea capacitatii si a starilor limita pe curba ADI .............................................. 77
10.4. Analiza dinamica incrementala si analiza statica neliniara ........................................... 78
11. STUDIU DE CAZ ................................................................................................................ 79
11.1. Generalitati .................................................................................................................... 79
11.2. Regimul de inaltime ...................................................................................................... 79
11.3. Structura de rezistenta ................................................................................................... 79
11.4. Materiale utilizate .......................................................................................................... 81
11.5. Incadrarea in clase si categorii....................................................................................... 82
11.6. Evaluarea incarcarilor gravitationale ............................................................................. 82
11.7. Descrierea programelor folosite .................................................................................... 82
11.7.1.Sap2000 .............................................................................................................. 82
11.7.2.Seismosignal ....................................................................................................... 84
11.8. Curbe de interactiune moment incovoietor – forta axiala ............................................. 85
11.9. Rezultatele analizei modale ........................................................................................... 87
11.10. Influenta variatiei modulului de elasticitate .................................................................. 91
11.11. Evaluarea incarcarilor seismice ..................................................................................... 92
11.12. Analiza spectrala. Deplasari laterale. ............................................................................ 96
11.13. Comparatie privind calculul fortei taietoare de baza ..................................................... 98
11.14. Determinarea cerintei de deplasare................................................................................ 99
11.15. Analiza statica neliniara .............................................................................................. 104
11.16. Analiza structurii in conlucrare cu terenul de fundare................................................. 108
11.17. Calculul capacitatii de rotire plastica si al deformatia limita admisa .......................... 109
11.18. Analiza dinamica neliniara. Influenta terenului de fundare. ........................................ 111
11.19. Comparatii si rezultate ................................................................................................. 118
11.20. Aplicarea analizei dinamice incrementale ................................................................... 121
12. CONCLUZII SI CONTRIBUTII PERSONALE ................................................................ 121
13. BIBLIOGRAFIE................................................................................................................. 123
3
1. INTRODUCERE
Prezenta lucrare contine 10 capitole ce trateaza subiecte teoretice ce
fundamenteaza cel de-al 11-lea capitol constituit dintr-un Studiu de caz dezvoltat cu
analiza raspunsului seismic al unei cladiri existente din Constanta cu regim de inaltime
D+P+M+11E si se incheie cu concluzii, contributii personale ale autorului si directii
viitoare de cercetare si cu bibliografia tezei.
Capitolul 1 este unul introductiv. In care autorul prezinta descrierea succinta a
capitolelor tezei de doctorat.
Capitolul 2 descrie caracteristicile generale ale seismicitatii pe teritoriul
Romaniei: clasificarea cutremurelor, analiza avariilor si pierderilor suferite in urma
cutremurelor din Vrancea din 1802 si 1940, reglementari privind managementul riscului
seismic si prevenirea dezastrelor, vulnerabilitatea constructiilor si a populatiei. In
contiunare, este prezentata descrierea riscului seismic. Sunt analizate studiile pentru
estimarea pierderilor de diferite tipuri, folosite in functie de natura problemei si de scopul
studiului: studii de scenariu, analiza de probabilitate a riscurilor si studiul pierderilor
potentiale. Sunt definiti termenii principali referitori la riscul seismic, bazat pe combinatia
dintre hazard si vulnerabilitate.
Capitolul 3 prezinta solutiile de determinare a valorilor si vectorilor proprii tinand
cont de amortizarea vascoasa in analiza dinamica modala. Sunt analizate cele patru
grupe de metode de solutionare a problemei de valori si vectori proprii, functie de
proprietatea principala care este folosita ca algoritm de baza de solutionare: metodele
de iteratie vectoriala, metodele de transformare, metodele de iterare polinomiala si
metodele „cautarii pe intervale”. In partea a 2-a a capitolului este analizata metoda de
solutionare QR, o procedura pentru determinarea valorilor proprii complexe ale
sistemelor liniare amortizate, in cei trei pasi constituenti: reducerea Householder, iteratia
QR si calcularea vectorilor proprii.
Capitolul 4 intitulat Analiza statica neliniara prezinta caracteristicile principale ale
metodei Newton-Raphson, schema iterativa cea mai frecvent utilizata in rezolvarea
ecuatiilor neliniare ale elementului finit ale metodei Newton-Raphson modificate, o
abordare situata undeva intre metoda N-R completa si metoda efortului initial. In finalul
capitolului sunt analizate cele mai utilizate criterii de convergenta: criteriul de
convergenta al deplasarilor, criteriul de convergenta al fortelor si criteriul de convergenta
al energiilor.
4
Capitolul 5 descrie metoda unipas implicita Newmark in analiza dinamica
neliniara, cunoscuta si sub numele de „regula trapezului”.
Capitolul 6 trateaza modelarea comportarii fizice a betonului in analiza numerica
neliniara. Comportarea elasto-plastica a betonului a fost descrisa cu ajutorul modelului
plastic cu consolidare, care, din punctul de vedere al suprafetei de cedare, are doua
posibilitati: utilizarea unei singure suprafete de cedare – model unisuprafata si utilizarea
mai multor suprafete de cedare – model multisuprafata. Primul model analizat a fost unul
unisuprafata de comportare elasto-plastica a betonului armat, model folosit in programe
de calcul performante. Pentru fiecare domeniu de solicitare a fost prezentata atat functia
independenta F, cat si expresia suprafetei de cedare S. Al doilea model analizat, adoptat
de Comitetul Euro – International de Beton (CEB – FIP Model Code 1990 – DESIGN
CODE) utilizeaza tot o suprafata unica de cedare, avand drept criteriu de cedare al
betonului o formulare propusa de cercetatorul N. Ottosen. In sfarsit, al treilea model
analizat este unul multisuprafata ce utilizeaza doua suprafete de cedare si anume:
pentru solicitarea betonului la compresiune este utilizat criteriul de cedare Drucker-
Prager (DP), iar pentru betonul solicitat la intindere este folosita suprafata de cedare
Rankine (RK).
Capitolul 7 – Bazele proiectarii seismice, este dedicat importantei raspunsului
inelastic al unei structuri in raport cu excitatia seismica, cuantificarii capacitatii de
deformare inelastica a componentelor structurale. Sunt explorate diferite abordari ale
acestui subiect.
Capitolul 8 descrie metoda spectrului de capacitate: caracterizarea generala,
datele utilizate, cerinta – spectrul in format acceleratie-deplasare, analiza pushover,
modelul echivalent cu un grad de libertate, cerinta de deplasare intr-un sistem cu un
grad de libertate, cerinta de deplasare globala si locala pentru un sistem cu mai multe
grade de libertate.
Capitolul 9 prezinta aspecte semnificative ale conlucrarii structurilor cu terenul de
fundare. Este analizat modelul Winkler, primul model utilizat in calculul terenului de
fundare, din punct de vedere istoric, trecandu-se apoi la analiza diferitelor obiectiuni
asupra acestui model. In partea a doua a capitolului sunt tratate probleme legate de
atenuarea vascoasa a mediului de propagare, focalizarea fenomenelor seismice si
deformarile cu caracter permanent.
Capitolul 10 trateaza analiza dinamica incrementala, analiza parametrica prin
care se incearca intelegerea amanuntita a capacitatii structurii de a rezista la incarcari
seismice. Sunt studiate principiile de baza ale acestei metode, definirea termenilor,
5
proprietatile curbei caracteristice, identificarea capacitatii si a starilor limita pe curba, cat
si punctele comune ale analizei dinamice incrementale si analizei statice neliniare.
Capitolul 11 – Studiu de caz, este constituit dintr-o analiza in regim static si
dinamic a unei structuri in cadre din beton armat, folosind diferite programe de calcul
performante. Sunt descrise elementele structurii de rezistenta, modelul 3D descris in
programul de calcul, caracteristicile materialelor, incadrarea in clase si categorii,
evaluarea incarcarilor gravitationale. Au fost trasate curbele de interactiune „moment
incovoietor – forta axiala” pentru stalpii structurii. Apoi, s-a trecut la analiza dinamica
modala a structurii, rezultand ca avem de-a face cu o structura flexibila care prezinta
avantajul ca fortele seismice au valori reduse, datorita unei amplificari dinamice mici. S-
a facut un exercitiu de analiza a influentei variatiei modulului de elasticitate al
materialului asupra raspunsului structural, in diferite cazuri ipotetice. Au fost evaluate
incarcarile seismice, actiunea seismica fiind modelata folosind metoda calculului modal
cu spectre de raspuns. S-au trasat spectrele de proiectare pe orizontal si vertical. S-a
realizat verificarea deplasarilor laterale pe cele doua directii: longitudinala si transversala
la SLS si SLU, respectandu-se toate conditiile. In continuare, s-a realizat o comparatie
privind forta taietoare de baza in diferite variante de calcul propuse.
Pentru evaluarea rezervelor de rezistenta ale structurii a fost efectuata o analiza
statica neliniara pe modelul spatial al structurii, determinandu-se cerintele de deplasare
maxima pe cele doua directii. A fost facuta verificarea tabloului aparitiei articulatiilor
plastice in stalpii si grinzile structurii pe cele doua directii. S-au trasat diagamele „forta-
deplasare” pe cele doua directii, calculandu-se si ductilitatile de deplasare. S-a realizat
un exercitiu teoretic de analiza a influentei variatiei parametrilor de confinare din cadrul
elementelor de rezistenta asupra raspunsului inelastic al structurii. S-a verificat
respectarea conceptiei de proiectare in stadiul corespunzator cerintei de deplasare.
Analiza statica neliniara (Push Over) s-a realizat si pe acelasi model, dar cu
resoarte la baza (structura pe un mediu elastic). Ordinea de aparitie a articulatiilor
plastice a fost putin diferita fata de modelul incastrat la baza, dar nu intratat incat sa
influenteze in mod hotarator comportarea structurii. Au fost calculate capacitatea de
rotire plastica si deformatia limita admisa. Pentru determinarea cerintei de deplasare s-a
efectuat si un calcul dinamic neliniar (time –history). Din analiza neliniara s-au
determinat deplasarile maxime la varful structurii, s-au comparat cu deplasarile calculate
conform anexei D din Normativul seismic P100/2006, iar valorile mai mari au fost
utilizate in calculul static neliniar. Raspunsul in timp al structurii a fost obtinut prin
integrarea directa a ecuatiilor diferentiale de miscare folosind accelerogramele Vrancea
77 si accelerograma sintetica. S-a utilizat programul Seismo-Signal pentru determinarea
6
spectrului de raspuns elastic din fiecare accelerograma. Au fost realizate comparatii
privind deplasarile maxime din analiza modala, push-over si time-history, cu si fara
influenta conclucrarii cu terenul de fundare. Aceeasi comparatie a fost realizata si pentru
rotirile maxime. In finalul capitolului, a fost efectuata si o analiza dinamica incrementala,
utilizand componentele NS ale accelerogramelor Vrancea ’77, Vrancea ’86, Vrancea ’90
si o accelerograma sintetica, compatibila cu spectrul de acceleratii al accelerogramei
Vrancea ’77.
7
2. RISC SEISMIC
2.1. CARACTERISTICILE GENERALE ALE SEISMICITATII
Pe teritoriul Romaniei se manifesta mai multe categorii de cutremure:
- superficiale ( 0LHL5 km);
- crustale ( normale ) (5LHL30 km);
- intermediare ( 60...70 kmLHL100...180...220km).
Seismele din zona Vrancea sunt denumite normale (h<60 km) sau
intermediare ( h=70...220km), in functie de adancimea focarului. Zona in care se
produc cutremurele intermediare este bine identificata si prezinta un mare interes
datorita particularitatilor sale specifice: izolare, concentrare si regularitati in
modul de producere (camp macroseismic, mecanism focal, activitate seismica
dupa socul principal, ciclicitate, etc.).
Cele mai puternice si care afecteaza o arie extinsa sunt cutremurele de tip
intermediar, localizate la curbura muntilor Carpati, in zona Vrancea, cu placi
tectonice care au fost intr-un proces de coliziune intre Platforma de Est –
Europeana si blocul intra-Carpatic, cu 16 milioane de ani inainte, aflate in contact
la diferime adancimi, si unde se considera ca de aproape 10 milioane de ani
procesul de subductie activa s-a blocat.
Modelarea din ultimile cateva decenii a zonei, sustinuta de unele tomografii
seismice, se refera la un volum deosebit de redus, un presupus bloc litosferic
inert (zona epicentrala a cutremurelor intermediare poate fi incadrata intr-o arie
avand dimensiuni de cca. 30x80 km) orientat oarecum oblic in planul vertical,
care, ipotetic, ar fi ultima parte ramasa suspendata in adancime, in contact cu
mantaua inferioara si al carei proces de fragmentare, faliere pe contur si/sau
scufundare ar fi la originea seismelor intermediare.
Se presupune ca fortele hidrostatice de flotare ajuta blocul sa se scufunde,
dar fortele vascoase si de frictiune se opun coborarii, iar cutremurele se produc
drept raspuns la aceste tendinte contrare. Procesul nu este numai mecanic, se
presupune ca au loc si transformari mineralogice-chimice, deshidratari ale rocilor,
etc.
8
Avarii si pierderi la cutremure precedente din Vrancea
Cutremurul din 26.10.1802 este considerat unanim drept cel mai mare seism
din Vrancea din istoria Romaniei, „cutremurul cel mare”; seismologii considera ca
seismul ar fi avut magnitudinea M = 7,5 ÷ 7,8 pe scara Richter.
Aria macroseismica a acestui seism a fost deosebit de extinsa la nivel
national (cu efecte semnalate in Banat si Oradea) si sud-est european, miscarea
fiind simtita pana dincolo de Istanbul, Kiev si Moscova. Cutremurul a distrus
jumatatea de sus a turnului Coltei, care a fost pentru aproape 200 de ani cea mai
inalta (peste 50m), cunoscuta si citata cladire din Bucuresti.
Cutremurul din 10.11.1940 a avut o magnitudine de 7,4 pe Scara Richter si o
zona de intensitate ce a acoperit 50-60% din teritoriu.
Ca urmare a efectelor combinate ale cutremurului din 22 octombrie si ale
celui din 10 noiembrie 1940 au fost afectate cel mai puternic judetele si orasele
din zona epicentrala: Panciu – Focsani, Galati, Barlad, Braila, Buzau, Valeni, cu
distrugeri masive ale cladirilor din zidarie si alte materiale locale, extinse teritorial
pana la Iasi.
Reglementari privind managementul riscului seismic si prevenirea dezastrelor
In contextul evolutiei practicilor din constructii si ale cadrului normativ, in
perioada istorica si apoi, intre 1940 si 2005, putem aprecia ca, fiind o parte a
istoriei societatii omenesti, istoria seismica trebuie asumata asa cum a fost in
realitate, cu conditia de a sti sa invatam din greseli.
Pe termen lung, formarea „culturii seismice ingineresti” reprezinta un proces
complex, care castiga noi valente pe masura cresterii capacitatii noastre de a
transforma experienta evenimentelor seismice precedente si experimentarilor in
cerinte bine precizate in codurile de proiectare si practica inginereasca, in
pregatirea societatii de a face fata impactului seismelor, cu legi adecvate privind
managementul riscului seismic si al dezastrelor.
In acest context, intr-o acceptie extinsa, protectia antiseismica a populatiei se
poate realiza prin:
- proiectarea antiseismica a structurilor de rezistenta din constructii, a
ansamblurilor construite si a localitatilor;
9
- masurile de interventie preseismica si post-seismica, reparatii, consolidari,
reabilitare urbana;
- protectia si pregatirea antiseismica individuala si de grup a populatiei prin
educare, informare si antrenare periodica pentru o reactie rationala in caz de
cutremur.
Vulnerabilitatea constructiilor si a populatiei
Vulnerabilitatea constructiilor din tara noastra nu corespunde tipologiei de
structuri din alte tari, mediul rural este relativ mai putin vulnerabil, cel putin in
privinta potentialului de prabusiri care sa ameninte viata, dar exista un mare
potential de concentrare a pierderilor, cel putin in Bucuresti si cateva mari orase.
Constructiile din mediul rural realizate din materiale locale, se pot avaria la
intensitati ridicate, dar nu pun in pericol viata locatarilor si nu produc dezastre,
datorita efectului conformarii intuitive.
Structurile din beton armat inalte predomina in mediul urban in timp ce
cladirile din zidarie, piatra, lemn si pamant, predomina in mediul rural. Categoria
de cladiri cea mai expusa la riscuri este reprezentata de cladiri inalte (7 – 12
niveluri) cu schelet de beton armat, construite inainte de 1940 fara protectie
antiseismica.
De asemenea, intr-o serie de constructii executate in perioada 1950-1976,
conform normativelor de proiectare in vigoare atunci, existau un numar de
750.000 apartamente, din care 500.000 in zone seismice. Desi au fost executate
cu considerarea unor forte seimice reduse, acestea s-au comportat satisfacator
la seismul din 1977. Totusi, in unele cazuri (de ex. cladiri cu parter flexibil),
constructiile au suferit mai multe avarii, suprapuse ulterior cu cele produse in anii
1986 si 1990. 1,7 milioane de apartamente in cladiri din zidarie (din care 1,1
milioane in zone seismice) realizate intre anii 1950 si 1976, sunt, de asemenea,
sub prevederile normativului in vigoare, in prezent. Exista un numar mare de
cladiri joase din zidarie care nu au fost executate cu control tehnic specializat,
dar, in conditii seismice normale, asigura securitatea vietii locatarilor. Cladirile
realizate cu asistenta inginereasca dupa 1977 corespund mult mai mult cerintelor
normativelor in vigoare.
10
Drept concluzie, managementul riscului este considerat un proces public
de evaluare, recunoastere si acceptare a existentei unui risc, urmat de luarea
deciziilor si aplicarea masurilor necesare pentru a-l evita sau a-l reduce la nivele
acceptabile prin reglementari si actiuni adecvate. (Georgescu, 2005)
2.2. Reducerea riscului seismic al constructiilor existente
Normele care concretizau strategia de protectie antiseismica s-au bazat in
perioada 1977–1989, pe o aplicare limitata a conceptului de protectie
antiseismica, oficial, considerandu-se ca este suficient ca aceasta protectie sa fie
asigurata numai la constructiile noi. Se considera ca structurile existente sa fie
mentinute, nominal, la nivelul de rezistenta antiseismica initial, neglijandu-se
oficial gravele insuficiente, fata de necesitati, cauzate de lipsa de date seismice
si de efectul degradarilor cumulative.
Un element legal nou l-a constituit adoptarea Ordonantei Guvernului nr.
20/1994 privind reducerea riscului seismic al constructiilor existente, care se
aplica in corelatie cu Normativul P.100-92, incluzand:
- efectuarea unei expertize tehnice asupra cladirii de catre un expert atestat de
MTCT – Ministerul Transporturilor, Constructiilor si Turismului, lucrand
printr-un institut, universitate, firma sau ca persoana fizica autorizata;
- elaborarea proiectului de executie, pe baza raportului de expertiza tehnica;
- executarea lucrarilor de consolidare a structurii de rezistenta, refacere si
reparatii la cladire, cat si la instalatiile aferente cladirii – in masura in care
sunt afectate de interventie, pe baza proiectelor autorizate.
Proprietarii constructiilor, persoane fizice sau juridice si asociatiile de
proprietari, precum si persoanele juridice care au in administrare constructii,
trebuie sa actioneze, in conditiile legii, la identificarea, expertizarea tehnica a
constructiilor, aprobarea deciziei de interventie si continuarea actiunilor, in functie
de concluziile fundamentale din raportul de expertiza tehnica.
Pentru constructiile expertizate tehnic si incadrate prin raportul de
expertiza tehnica in clasa I de risc seismic, proprietarii constructiilor, persoane
fizice sau juridice, asociatiile de proprietari, sunt obligati sa procedeze, in
conditiile legii, la proiectarea si executia lucrarilor de interventie.
11
Avand in vedere cazurile in care veniturile nu permit angajarea
proprietarilor in consolidarea blocurilor, potrivit Ordonantei Guvernului nr.
20/1994, proprietarii locuintelor – persoane fizice – din cladirile multietajate,
incadrate in clasa I de risc seismic si care prezinta pericol public, beneficiaza de
urmatoarele facilitati:
- finantare din bugetul MTCT a expertizarii tehnice a cladirilor;
- asigurarea, din bugetul MTCT, a sumelor necesare proiectarii si executarii
lucrarilor de consolidare pentru cresterea gradului de siguranta la actiuni
seismice in urmatoarele conditii:
restituirea, la terminarea consolidarilor, a sumelor avansate de la
bugetul de stat pentru executarea consolidarilor, in rate lunare de
pana la 25 de ani, sume ce se vor constitui intr-un depozit special la
dispozitia consiliilor locale pentru finantarea in continuare a actiunilor
in domeniu;
scutirea de la plata ratelor lunare, pe perioadele in care realizeaza
venituri medii nete lunare pe membru de familie sub castigul salarial
mediu net lunar pe economie, obligatia restituirii sumelor avansate
diminuandu-se cu sumele aferente perioadelor de scutire la plata a
ratelor lunare;
- scutirea de taxa pentru emiterea autorizatiei privind consolidarea cladirilor de
locuit.
O parte din aceste drepturi sunt comune tuturor proprietarilor, iar decizia
de a le solicita este personala, dar trebuie indeplinite si alte conditii pentru
acordarea acestor facilitati:
- existenta hotararii asociatiei de proprietari, adoptata in conditiile legii, privind
executia lucrarilor de consolidare;
- instituirea ipotecii legale a statului asupra locatiei.
Incepand cu august 2003, s-a precizat ca aceste cladiri prezinta pericol
public in situatiile in care, dupa caz:
- cuprind spatii publice cu alta destinatie decat aceea de locuinta, ocupate
temporar/ permanent de un numar mare de oameni;
- sunt amplasate in zone des circulate si/sau cu aglomerari de persoane;
- adapostesc valori materiale si/sau de patrimoniu cultural.
12
Din 2003 se prevede detaliat ca solutia de interventie din documentatie
aprobata sa cuprinda dupa caz:
- consolidarea sistemului structural al cladirii existente sau a unor elemente
structurale ale acesteia;
- introducerea unor elemente structurale suplimentare si/sau repararea
elementelor nestructurale ale cladirii existente;
- imbunatatirea terenului de fundare;
- termoizolarea si/sau hidroizolarea cladirii si/sau a instalatiilor aferente in zona
de interventie;
- desfacerea si refacerea instalatiilor si/sau a echipamentelor in zona de
interventie si, dupa caz, inlocuirea acestora sau a unor elemente
componente;
- alte lucrari strict necesare in zona de interventie, justificate din punct de
vedere tehnic prin solutia de interventie adoptata si reglementarile tehnice in
vigoare.
Institutiile publice si agentii economici care detin locuinte si spatii cu alta
destinatie decat cea de locuinta in cladirile incluse in programele anuale sunt
obligati sa asigure finantarea proiectarii si executiei lucrarilor de consolidare,
proportional cu cota-parte indiviza pe care o detin din proprietatea comuna.
S-a prevazut ca, pentru cladirile incluse in programele anuale, primarii
municipiilor si oraselor, respectiv, primarul general al Municipiului Bucuresti, sa
ia masurile necesare pentru actionarea in justitie a proprietarilor care
obstructioneaza desfasurarea activitatilor de proiectare si/sau executie a
lucrarilor de consolidare a cladirilor nominalizate in programele anuale, la
judecatoria in raza caruia este situata cladirea, in procedura de urgenta si cu
scutirea taxei de timbru. (Georgescu, 2005)
2.3. Estimarea pierderilor
Estimarea pierderilor are o importanta deosebita pentru managementul
constructiilor sau serviciilor publice in regiunile predispuse la cutremure.
Estimarile viitoarelor pierderi ii priveste pe urmatorii:
- responsabilii cu planificarea regionala si teritoriala, unde deciziile de
planificare pot avea efect in viitor;
13
- responsabilii cu planificare economica la nivel national sau
international;
- responsabilii cu planificarea sistemelor de management asupra unui
numar semnificativ de cladiri/locuinte sau asupra unor constructii
expuse la risc seismic;
- companiile de asigurari;
- responsabilii cu protectia civila si servicii de urgenta;
- cei care proiecteaza cladiri conform normelor de proiectare si
executie, a caror obligatie este de a asigura protectie, respectand
codurile la costuri acceptabile.
O varietate de studii pentru estimarea pierderilor de diferite tipuri sunt
folosite in functie de natura problemei si de scopul studiului. Acestea includ:
- studii de scenariu;
- analiza de probabilitate a riscurilor;
- studiul pierderilor potentiale.
2.3.1. Studii de scenariu
Calcularea efectului unui cutremur intr-o anumita regiune implica
propunerea unui maxim probabil sau a unui maxim credibil al magnitudinii
cutremurului, asumat cu o buna precizie din punct de vedere al locatiei, pe baza
cunostiintelor geologice sau a punctelor slabe din punct de vedere geologic sau
a zonelor seismice potentiale. Din punct de vedere istoric, cele mai semnificative
cutremure sunt cele din 1906, din San Francisco, sau din 1923, din Tokyo.
Acestea sunt deseori folosite ca scenariu pentru a determina efectele seismului
asupra cladirilor actuale. Studiile de scenariu sunt folosite pentru a estima
pierderile probabile in cazuri extreme, pentru a estima costurile la nivelul
pierderilor, de asemenea, de a estima resursele necesare pentru a raspunde
pozitiv urgentelor.
In cazul estimarii numarului de persoane decedate, ranite, disparute si a
sinistratilor, in urma prabusirii cladirilor se pot estima resursele minime folosite in
14
salvarea persoanelor aflate sub daramaturi, acomodarea sinistratilor si
minimalizarea perioadei de refacere.
2.3.2. Analiza de probabilitate a riscurilor
Se realizeaza prin calcularea tuturor pierderilor si probabilitatea ca aceste
pierderi sa aiba loc pentru orice intensitate si locatie a cutremurului. Pentru o
cladire sau un complex de cladiri se genereaza o curba de probabilitate de
depasire ( P.E.) ce descrie probabilitatea ca un anumit nivel de pierderi sa fie
depasit pe o baza anuala, estimand o rezerva financiara pentru a nu falimenta o
companie, determinand astfel un contract de asigurare. Printr-un calcul detaliat,
efectele posibile ale politelor de asigurari in cazul pierderilor datorate
cutremurelor, pot fi estimate.
2.3.3. Studiul pierderilor potentiale
Prin cartografierea efectelor ce pot aparea la nivel de hazard intr-o
anumita regiune sau teritoriu, se evidentiaza locatiile potentiale ce vor suferi
pierderi esentiale. In mod normal, o intensitate maxima istorica la un nivel de varf
se asociaza cu o perioada probabilistica in cartografierea unei zone. Efectele
intensitatii asupra comunitatii in acea zona se calculeaza pentru a identifica
zonele cu risc maxim. (Georgescu, 2005)
2.4. Definirea termenilor
Risc Seismic – termenul de risc al cutremurului se refera la pierderile
asteptate datorate elementelor de risc, ce pot aparea la o anumita perioada
specifica in viitor.
In functie de tipul de element de risc, riscul se poate masura in pierderi
economice, in numar de vieti pierdute, in daune fizice asupra cladirilor.
Riscul poate fi exprimat in :
- pierderi medii; exemplu: 25.000 de vieti pierdute intr-o perioada de 30
ani;
15
- pe baza probabilistica; exemplu: o pierdere economica probabila de
75% ce depaseste 50.000$ intr-un oras „X” in 10 ani.
Termenul risc specific este folosit cu referire la riscurile sau pierderile
estimate ca procent de pierderi posibile maxime. In mod frecvent, termenul de
risc specific este folosit pentru a determina pierderile de proprietate din punct de
vedere financiar, reprezentand un raport intre costurile reparatiilor sau reabilitarii
proprietatii si costul de reinlocuire totala exprimand astfel raportul de reabilitare/
cost .
Figura 1 - Riscul seismic este bazat pe o combinatie dintre hazard (H) si
vulnerabilitate (V)
Hazardul seismic se defineste ca probabilitatea (aşteptarea) producerii, intr-
o perioada de timp data si pe o arie data, a unui eveniment caracterizat de o
valoare data a unui anumit parametru (de exemplu: magnitudine, intensitate
macroseismică, acceleratie de varf a miscarii terenului, in cazul unui cutremur).
Vulnerabilitatea este definita ca gradul de pierdere al unui element de risc
dat, rezultat in urma unui anumit nivel de hazard. In termeni cantitativi,
vulnerabilitatea este gradul de avariere al unui element expus, cauzat de
producerea unui hazard de severitate data, exprimat pe o scara intre "0" (fara
avarii) şi "1" (distrugere totala). Modul de masurare al gradului de pierdere
depinde de elementul supus la risc, respectiv, se poate masura ca un raport intre
numarul total de decese si numarul total de raniti.
Hazard Risc Vulnerabilitate
16
Evaluarea vulnerabilitatii
Evaluarea vulnerabilitatii face legatura intre proiectele de dezvoltare si
masurile de reducere a riscului. Vulnerabilitatea este gradul de pierdere la un
eveniment de risc dat, in urma aparitiei unui cutremur.
Clasificarea vulnerabilitatii:
- asteptata - prin expertizare directa;
- observata - prin analize statistice .
Pentru efectuarea analizelor de risc (delimitarea zonelor de risc) este
necesara estimarea vulnerabilitatii asteptate, adica, a pagubelor probabile (pentru
o anumita clasa de elemente expuse cu caracteristici similare) la un hazard viitor
de o intensitate data. Determinarea acestui indicator sintetic al unor clase de
elemente expuse este deosebit de complexa, iar valorile care intereseaza nu pot
fi obtinute direct. De exemplu, vulnerabilitatea asteptata a unei clase de cladiri ar
putea fi obtinuta numai prin expertizarea unui numar suficient de mare
(semnificativ din punct de vedere statistic) de cladiri din clasa respectiva (cu
caracteristici constructive similare). (Georgescu, 2005)
17
3. ANALIZA DINAMICA MODALA
DETERMINAREA VALORILOR SI VECTORILOR PROPRII TINAND
CONT DE AMORTIZAREA VASCOASA
Analiza modala este metoda de investigare ce sta la baza analizei
dinamice structurale a constructiilor supuse actiunii seismice. Analiza modala
furnizeaza caracteristicile dinamice ale cladirii (modurile proprii de vibratie,
factorii de participare modali) independent de actiunea exterioara. In acelasi
timp, reprezinta primul instrument privind verificarea corectitudinii modelarii
numerice a unei structuri cu ajutorul metodei elementului finit, folosind matricea
de rigiditate K.
Solutia problemei de valori si vectori proprii este data de ecuatia:
MK (3.1.1)
cu ajutorul careia se obtin valorile proprii cele mai mici p ,....,1 si vectorii proprii
coespunzatorip ,...,1.
Metodele de solutionare a problemei de valori si vectori proprii pot fi
divizate in patru grupe, functie de proprietate principala care este folosita ca
algoritm de baza de solutionare.
Metodele de iteratie vectoriala formeaza primul grup, in care proprietatea
principala folosita este ca :
iii MK (3.1.2)
Dintre aceste metode amintim :
- metoda iteratiei inverse;
- metoda iterarii inainte;
- metoda Catul lui Rayleigh.
Metodele de transformare constituie al doilea grup, folosind proprietatea:
KT (3.1.3)
si IMT (3.1.4)
unde ],...,[ 1 n si )( idiag , i=1,…,n.
Cele mai cunoscute metode din aceasta familie sunt:
18
- metoda Jacobi;
- metoda Jacobi generalizata;
- metoda Householder.
Metodele de solutionare ale celui de al treilea grup sunt tehnicile de iterare
polinomiala care opereaza cu proprietatea (3.1.5) :
0)( ip (3.1.5)
unde, )det()( MKp (3.1.6)
Trei metode cuprinde acest grup si anume:
- iterarea polinomiala explicita;
- iterarea polinomiala implicita;
- metoda Müller.
Metodele de solutionare ale celui de-al patrulea grup folosesc proprietatea
relatiei ‘’cautarii pe intervale’’ a polinoamelor caracteristice :
)det()( MKp (3.1.7)
si );det()( )()()()()( rrrrr MKp r=1,…,n-1, (3.1.8)
unde, )( )()( rrp , este polinomul caracteristic al problemei de ordinul ‘’r’’ al
constrangerii asociate corespunzator cu proprietatea MK .
In grupul patru, doua metode sunt de referinta:
- metoda Lanczos;
- metoda iteratiilor pe subspatii.
Un numar de algoritme de solutionare s-au format in fiecare din aceste 4
grupe ale metodelor de solutionare. Metodele de iterare ale relatiei ‘’cautarii pe
intervale’’ si cele polinomiale folosesc polinoamele caracteristice care pot fi
clasificate ca devenind una din cele 4 grupe, in timp ce metoda Lanczos si
metoda de iteratie subspatiala folosesc o combinatie de proprietati comune.
Este important ca toate metodele de solutionare sa fie iterative (la baza)
deoarece, in esenta, rezolvarea problemei valorilor proprii MK , este
echivalenta cu calcularea radacinilor polinomului )(p , care este de acelasi ordin
cu matricile K si M. Pentru calcularea radacinilor polinomului )(p , cand ordinul
lui p este mai mare decat 4, trebuie folosita o metoda de solutionare iterativa.
19
Oricum, inainte de a incepe iterarea, avem posibilitatea de a transforma
matricile K si M intr-o forma care permite o solutie mai economica pentru
sistemul modal cerut. Desi iterarea este necesara in determinarea perechii
modale ),( ii , trebuie notat ca indata ce un membru al perechii modale este
calculat, se poate obtine celalalt membru fara alta iteratie.
Presupunem ca i a fost calculat prin iterare, putem obtine apoi vectorul
i folosind relatia (3.1.2) ; i este calculat rezolvand ecuatia:
0)( ii MK (3.1.9)
Daca s-a evaluat i prin iterare, se poate obtine valoarea proprie
necesara din catul Rayleigh, folosind relatiile:
i
T
ii K ; 1i
T
i M (3.1.10)
De aceea, cand se considera aplicarea unei metode de solutionare
eficienta, o intrebare de baza ar fi daca trebuie sa rezolvam sistemul mai intai
pentru valoarea proprie i si, apoi, sa calculam vectorul propriu i , sau vice
versa, sau, daca este mai economic, sa rezolvam problema pentru ambele valori
i si i simultan. Raspunsul la aceasta intrebare depinde de cerintele de
solutionare si de proprietatile matricilor de rigiditate K si de masa M, de latimea
benzii matricei K si, de faptul, daca M este matrice banda.
Eficienta metodei de solutionare depinde, in general, de doi factori: mai
intai, de posibilitatea unei folosiri cu incredere a procedurii si, apoi, de costul
solutiei. Costul solutiei este determinat in esenta de numarul de operatii rapide
stocate si de o folosire eficienta a dispozitivelor anterioare stocate. Oricum, cel
mai important este ca o metoda de solutionare sa poata fi folosita intr-o maniera
de incredere.
Aceasta inseamna ca pentru o rigiditate bine definita si o matrice de masa
bine definita, solutia este mereu obtinuta la precizia ceruta fara nici o solutie
gresita. In practica, o solutie este intrerupta doar cand problema este prost
definita; de exemplu, datorita datelor de intrare eronate, matricele de masa si
rigiditate nu sunt definite corespunzator.
Aceasta intrerupere de solutionare ar fi avantajos sa apara cat mai
devreme posibil in timpul calculelor. (Bathe, 1996)
20
3.1. Solutii in domeniul complex cu metoda de iterare numerica QR
Metoda de solutionare QR este o procedura pentru determinarea valorilor
proprii complexe ale sistemelor liniare amortizate. Cand este prezenta o matrice
de amortizare simetrica, metoda QR este mai eficienta decat metoda Lanczos.
Aceasta metoda foloseste transformarile coordonatelor modale ale matricilor de
sistem (ortogonale cu matricile de masa si rigiditate), pentru a reduce problema
de valori si vectori proprii in subspatiul modal. Daca se considera problema de
valori si vectori proprii fara a tine cont de prezenta amortizarii, in forma
generalizata MK , problema trebuie transformata in forma standard inainte
de a se folosi tehnica de solutionare QR. Aceasta transformare este, insa,
eficienta doar in unele cazuri si nu este recomandata ca solutie in cazurile
generale.
In continuare, se considera problema K , unde K poate avea valori
proprii egale cu zero sau negative. De aceea, nu este necesar sa se impuna o
schimbare inainte de a se aplica algoritmul QR pentru a face analiza modala
doar pentru valorile proprii pozitive. Metoda QR consta in urmatorii trei pasi :
1. Transformarile tip Householder sunt folosite pentru a reduce matricea
de rigiditate K la forma tridiagonala;
2. Iteratia QR produce toate valorile proprii;
3. Folosind iteratia inversa, sunt calculati vectorii proprii ceruti ai matricei
tridiagonale. Acesti vectori sunt, apoi, transformati pentru a se obtine
vectorii proprii ai matricei K.
Diferenta principala fata de metoda de solutionare Jacobi este ca matricea
K este, mai intai, transformata fara iteratie, intr-o forma tridiagonala. Aceasta
matrice poate fi folosita eficient in gasirea solutiei iteratiei QR, in care toate
valorile proprii sunt calculate.
In cele din urma, doar acei vectori proprii care sunt ceruti in mod curent
sunt evaluati. Vom observa ca in afara de cazul cand o matrice de vectori proprii
trebuie calculata, transformarea lui K intr-o forma tridiagonala necesita cele mai
multe operatii numerice. In cele ce urmeaza se considera in detaliu cei trei pasi
distincti de iterare ce alcatuiesc solutia QR. (Bathe, 1996)
21
3.2. Reducerea Householder
Reducerea Householder la forma tridiagonala implica (n-2) transformari;
folosind mai intai K1=K, se calculeaza:
Kk+1=PkTKkPk k=1,…,n-2 (3.2.1)
Unde Pk sunt matrici de transformare tip Householder:
T
kkk wwIP (3.2.2)
k
T
k ww
2 (3.2.3)
Pentru a vedea cum este calculat vectorul wk ce defineste matricea Pk, se
considera k=1, care este tipic. [2]
La inceput, impartim K1, P1 si W1 in submatrici ca in expresia (3.2.4) :
1
10
01
PP ;
1
1
0
WW ;
111
1111
Kk
kkK
T
(3.2.4)
unde, K11, 1P si 1w sunt de ordinul n-1.
In cazul general al pasului k, avem matricile corespunzatoare n-k.
Efectuand multiplicarile in (3.2.1), obtinem, folosind notatiile din (3.2.4):
111111
11112
PKPkP
PkkK
TT
T
(3.2.5)
Acum conditia este ca prima coloana si primul rand din K2 sa fie in forma
tridiagonala; rezulta K2 de forma:
0
...
0
0...0
2
11
2
K
x
xk
K , (3.2.6)
unde x indica o valoare diferita de zero si
11112 PKPK T (3.2.7)
Forma lui K2 in (3.2.5) este realizata considerand ca 1P este o matrice
reflexiva. De aceea, putem folosi 1P pentru a reflecta vectorul k1 din K1 in (3.2.4)
intr-un vector care are doar primul component diferit de zero.
22
Deoarece lungimea vectorului nou trebuie sa fie egal cu lungimea lui k1,
determinam 1w din conditia (3.2.8):
121111 )( ekkwwI T (3.2.8)
unde e1 este un vector unitate de dimensiune n-1 ; e1T = [1 0 0 … ] si semnul
„+” sau „-” poate fi ales pentru a obtine cea mai buna stabilitate numerica.
Se observa ca avem nevoie doar de a rezolva pentru un multiplu de 1w
(doar directia vectorului normal pe planul de reflexie este importanta); se obtine
din expresia (3.2.8) o valoare potrivita pentru 1w :
( ) ‖ ‖ (3.2.9)
unde in matricea K1, k21 este elementul (2,1) .
Cu 1w definit in (3.2.9), prima transformare Housenholder k=1 in (3.2.4)
poate fi indeplinita in urmatorul pas, k=2, se poate considera matricea 2K in
(3.2.6) in acelasi fel cum am considerat K1 in (3.2.4) pana la (3.2.9) deoarece
reducerea primei coloane si a primului rand in 2K nu afecteaza prima coloana si
primul rand in K2. Astfel a fost stabilit algoritmul general pentru transformarea lui
K intr-o forma tridiagonala.
Unele aspecte numerice importante trebuie subliniate. In primul rand,
matricile reduse K2, K3, …Kn-1 sunt simetrice. Aceasta inseamna ca, in reducere
trebuie retinuta doar partea simetrica inferioara a lui K.
Mai mult, pentru a inmagazina kW , k=1,2,…,n-2, putem utiliza locatiile de
stocare de sub elementele subdiagonale in matricea curenta care este redusa.
Un dezavantaj al transformarilor tip Householder il reprezinta faptul ca
latimea bandei este sporita in partea neredusa a lui Kk+1. Deci, in operatiunea de
reducere, nici un avantaj esential nu poate fi obtinut din aducerea la forma banda
a matricei K.
Un aspect important al transformarii este evaluarea produsului 1111 PKP T .
Calculand :
1111 wKv
TT vp 111 (3.2.10)
111 wpT
11111 wpq
23
putem obtine : TTT wqpwKPKP 1111111111 , (3.2.11)
care necesita doar (3m2+3m) operatii, unde m este de ordinul lui 1P si K11 (m=n-
1 in acest caz). Deci, multiplicarea 1111 PKP T necesita un numar de operatii de
ordinul m2, mai degraba decat de ordinul m3, ceea ce reprezinta o reducere
semnificativa. (Bathe, 1996)
3.3. Iteratia QR
In procedura solutionarii tip QR, iteratia QR se aplica pe matricea
tridiagonala obtinuta de transformarea Househoulder a matricei K. Oricum, ar
trebui observat ca iteratia QR poate fi aplicata si matricii K si, ca transformarea
lui K intr-o forma tridiagonala inainte de iteratie este facuta doar sa
imbunatateasca eficienta solutiei. Mai jos, se va considera de aceea, pentru
inceput, ca iteratia este aplicata unei matrici generale simetrice K.
Numele de ‘’Iteratia QR’’ deriva din notatia folosita in algoritm. Si anume,
pasul de baza in iteratie este de a descompune matricea K in forma:
K=QR, (3.3.1)
unde Q este o matrice ortogonala iar R este o matrice triungiulara.
Apoi se formeaza produsul:
KQQRQ T (3.3.2)
Factorizarea poate fi obtinuta aplicand procedeul Gramm – Schmidt
coloanelor matricei K. In practica, este mai eficient sa se reduca K intr-o forma
tridiagonala folosind matricile de rotatie Jacobi.
In consecinta, se evalueaza:
RKPPP TTT
nn 1,21,31, .... , (3.3.3)
unde matricea de rotatie T
ijP , este aleasa la elementul zero (j,i). Folosind relatia
(3.3.3) se obtine corespunzator lui (3.3.1):
Q=P2,1P3,1…Pn,n-1 (3.3.4)
Algoritmul de iteratie QR este determinat repetand procesul relatat in
(3.3.1) si (3.3.2). Folosind notatia K1=K formam :
kkk RQK (3.3.5)
si apoi
kkk QRK 1 (3.3.6)
24
unde neglijand faptul ca valorile si vectorii proprii nu pot fi in ordinea obisnuita
1kK si kk QQQ 11... unde k .
Desi iteratia QR poate arata similar cu procedura de solutionare Jacobi,
metoda este, de fapt, complet diferita. Acest lucru poate fi observat studiind
caracteristicile de convergenta a procedurii de solutionare QR, deoarece se
descopera ca metoda QR este strans legata de iteratia inversa.
Legatura dintre metoda de solutionare QR si iteratia simpla inversa ne
arata ca ar trebui sa fie posibila o accelerare a convergentei in iteratia QR
descrisa in (3.3.5) si (3.3.6). In practica, iteratia QR este folosita intr-o forma usor
modificata utilizand schimbarea: in loc de relatiile (3.3.5) si (3.3.6) se foloseste
descompunerea (3.3.7), (3.3.8) :
kkkk RQIK (3.3.7)
IQRK kkkk 1 (3.3.8)
unde apoi, ca si mai sus,
1kK si kk QQQ 11... unde k .
Oricum, daca k este elementul (n,n) a lui Kk, iteratia QR corespunde
rezultatului impartirii din iteratia Rayleigh, in cele din urma obtinand o
convergenta cubica. Dupa cum s-a subliniat anterior, in practica, iteratia QR ar
trebui aplicata dupa reducerea lui K la forma tridiagonala folosind matricile de
transformare Householder; solutia QR ar trebui aplicata matricii Kn-1 in (3.3.1), pe
care acum o numim T1. Cand matricea este tridiagonala, procesul QR este foarte
eficient; sunt necesare (9n2) operatii pentru solutionarea tuturor valorilor proprii.
Nu este necesar, ca in mod formal sa ne indreptam spre procedura
prezentata anterior, in schimb, putem folosi explicit formula care leaga
elementele in Tk+1 cu elementele din Tk , k=1,2,… . (Bathe, 1996)
25
3.4. Calcularea vectorilor proprii
Valorile proprii sunt, in general, calculate cu maxima precizie, deoarece
convergenta este foarte rapida in iteratia QR cu transformari. O data ce valorile
proprii au fost evaluate foarte precis, se calculeaza doar vectorii proprii necesari
din matricea tridiagonala T1, folosind iteratia simpla inversa cu schimbari egale cu
valorile proprii corespunzatoare. Doi pasi ai iteratiei inverse incepand cu un
vector unitate complet sunt, in mod uzual, suficienti. Vectorii proprii ai lui T1
necesita sa fie modificati cu transformarile Householder folosite pentru a obtine
vectorii proprii i ai lui K; indicand vectorul propriu ‘’i’’ al lui T1 prin i , se obtine,
folosind matricile de transformare Pk :
ini PPP 221 ... (3.4.1)
Cu cei trei pasi de baza ai metodei de solutionare QR descrisi mai sus, in
tabelul 3.4.1 se schematizeaza procedura completa si se prezinta stocarea de
maxima rapiditate necesara si numarul de operatii necesar. Se observa ca
partea cea mai mare din numarul total de operatii este folosit pentru
transformarile Householder in (3.4.1) si, daca sunt necesari multi vectori proprii a
fi calculati, atunci un numar mare de operatii este folosit pentru transformarile
vectorului propriu in (3.4.1). De accea, se vede ca determinarea valorilor proprii
din T1 nu este foarte laborioasa, dar pregatirea matricei K intr-o forma in care
poate fi utilizata eficient pentru procesul de iteratie necesita cele mai multe
incercari numerice.
Trebuie subliniat ca tabelul 3.4.1 nu include operatiile necesare pentru
transformarea unei probleme modale generalizata intr-o forma standard. Daca
aceasta transformare este infaptuita, vectorii proprii calculati in tabelul 3.4.1
trebuie, deasemenea, transformati in vectori proprii ai problemei de valori si
vectori proprii generalizate.
26
Tabelul 3.4.1
Operatia Calcule Numarul de operatii Spatiu de
stocare
-Transformarea
Householder
;1 kk
T
kk PKPK
k=1,2,…,n-2; K1=K
23
2
3
3
2nn
-Iterarea QR ;1 kk
T
kk QTQT k=1,2,..
T1=Kn-1
9n2 Utilizand
simetria
matricilor
-Calcularea
vectorilor proprii
)()1(
1 )( k
i
k
iin xxIK
k=1,2; I=1,2,…,p
10pn nn
n6)1(
2
-Transformarea
vectorilor
;... )3(
21 ini xPP
i=1,2,…,p
pn(n-1)
-Total pentru
toate valorile si
vectorii proprii
pnpnnn 9
2
21
3
2 223
Atunci cand matricea de amortizare vascoasa este prezenta, ecuatia de
miscare a sistemelor structurale elastice fara excitatie exterioara poate fi scrisa in
urmatoarea forma :
}0{}]{[}]{[}]{[ uKuCuM (3.4.2)
Pentru sistemele dinamice amortizate, operarea in subspatiul modal este
mai convenabila decat in spatiul modal. In scopul de a reduce numarul de
variabile, este folosita urmatoarea transformare de coordonate :
yu (3.4.3)
unde: - vectorul propriu normalizat in raport cu matricea maselor [M];
i coloana ‘’i’’ a vectorului propriu;
y vectorul coordonatelor modale;
n - numarul modurilor de extras.
Inlocuind ecuatia (3.4.3) in ecuatia (3.4.2) putem scrie ecuatia diferentiala
de miscare in spatiul modal dupa cum urmeaza:
27
02 yyCyIT (3.4.4)
unde: - matrice diagonala continand primele n frecvente proprii i
Matricea de amortizare modala CT este ori o matrice diagonala cu
fiecare termen diagonal de forma ii2 (unde i este fractiunea de amortizare a
modului propriu ‘i’) pentru sistemele amortizate clasic, ori o matrice definita
simetric si pozitiva pentru sistemele amortizate non-clasice (izolarea bazei
constructiilor, amortizori structurali hidraulici).
Introducand variabila bidimensionala a vectorului de acces, ecuatia (3.4.4)
poate fi scrisa in forma redusa dupa cum urmeaza :
ZDZ (3.4.5)
unde :
y
yZ
si,
C
IOD T2
(3.4.6)
(Bathe, 1996)
28
4. ANALIZA STATICA NELINIARA
4.1. Metoda Newton - Raphson
Ecuatiile de echilibru static ce trebuiesc rezolvate intr-o analiza numerica
neliniara la timpul t+t au forma urmatoare:
0 tttt FR (4.1.1)
unde vectorul ttR stocheaza fortele exterioare aplicate structurii, iar ttF este
vectorul fortelor nodale echivalent eforturilor din elementele finite in care a fost
discretizata structura. Vectorul ttF depinde neliniar de deplasarile structurii, in
consecinta vom aplica un mecanism iterativ pentru rezolvarea sistemului de
ecuatii de echilibru static.
Schema iterativa cea mai frecvent utilizata in rezolvarea ecuatiilor
neliniare ale elementului finit este schema NEWTON-RAPHSON, prezentata in
relatiile urmatoare:
11
i
tttt
i FRR (4.1.2)
11 *
iii
tt RUK (4.1.3)
ii
tt
i
tt UUU
1 (4.1.4)
ttt
ttt
FF
UU
0
0
(4.1.5)
Pentru ca elementul finit sa se afle in echilibru, trebuie aflata solutia
ecuatiilor:
f(U*)=0 (4.1.6)
unde
*** UFURUf tttt (4.1.7)
Se va nota matricea solutiei U*, chiar daca aceasta poate contine, pe
langa deplasari si alte variabile, cum ar fi presiunea.
Presupunand ca solutia iterativa evalueaza 1
i
ttU , seria Taylor extinsa va
avea forma:
11 ***1
i
tt
U
i
tt UUU
fUfUf
itt
+ termeni de ordin mai mare (4.1.8)
29
Introducand (4.1.7) in (4.1.8) si folosind relatia (4.1.4), va rezulta:
1**1
i
tt
U
UUU
f
itt
+ termenii de ordin mai mare = 1
i
tttt FR , (4.1.9)
unde se presupune ca incarcarile exterioare nu tin cont de deformatii. Neglijand
termenii de ordin mai mare, se poate calcula incrementul deplasarilor:
111 *
i
tttt
ii
tt FRUK , (4.1.10)
unde 1
i
ttK este matricea de rigiditate tangentiala curenta:
1
1
i
ttU
i
ttU
fK (4.1.11)
iar solutia imbunatatita a deplasarilor va fi:
ii
tt
i
tt UUU
1 (4.1.12)
Relatiile (4.1.10) si (4.1.12) constituie metoda N-R. De vreme ce se
considera ca pasul de timp are dimensiunea t, conditiile initiale vor fi ttt KK
0 ,
ttt FF
0 si ttt UU
0 . Iterarea se continua pana cand se indeplineste un criteriu
de convergenta convenabil ales. O caracteristica a acestei metode, este ca
pentru fiecare iteratie se calculeaza o noua matrice de rigiditate tangenta. Exista
si abordari ce nu folosesc matricea de rigiditate curenta tangenta si, deci, sunt
considerate a fi inrudite cu metoda Newton-Raphson completa.
Figura 2 - Iterarea Newton-Raphson
30
In Figura 2 este ilustrat procesul de solutionare, cand se considera un
sistem cu un singur grad de libertate. Raspunsul neliniar va fi caracterizat de
atingerea rapida a convergentei. Exista insa si raspunsuri mai complexe, unde
convergenta nu este atinsa din prima iteratie. Figura 2 este o reprezentare destul
de simplista, deoarece s-a considerat un caz foarte special, cel a unui sistem cu
un singur grad de libertate. In alte situatii, curbele raspunsului vor fi mai
complicate si cu o inclinare mult mai mare.
Schema Newton-Raphson este frecvent utilizata in analiza numerica
folosind metoda elementului finit si reprezinta schema solutiei initiale in cazul
ecuatiilor neliniare ale elementului finit.
Se vor prezenta in continuare principalele caracteristici ale metodei:
Prima proprietate este:
Daca matricea de rigiditate tangenta 1
i
ttK este nesingulara, daca functia f
si derivatele acesteia in raport cu variabilele solutiei sunt continue in vecinatatea
lui U* si daca 1
i
ttU se afla in aceasta vecinatate, atunci 1
i
ttU va fi mai aproape
de U* decat de 1
i
ttU iar solutiile secventei iterative generate de algoritmul
(4.1.10 ) – (4.1.12) vor converge la deplasarea U*.
A doua proprietate este:
Daca matricea de rigiditate tangenta indeplineste si relatia:
2121
UULKKUttUtt (4.1.13)
pentru toate deplasarile U1 si U2 in vecinatatea lui U*, iar L>0, atunci convergenta
este cuadratica, ceea ce inseamna ca daca eroarea dupa iteratia ’i’ este de
ordinul lui , atunci eroarea dupa iteratia ’’i+1’’ va avea ordinul 2.
Consecintele practice ale acestor proprietati sunt urmatoarele: daca
solutia iteratiei curente este suficient de aproape de solutia lui U* si, daca
matricea de rigiditate tangentiala nu se schimba brusc, se poate atinge rapid
convergenta. Desigur, se presupune ca matricea de rigiditate tangenta exacta
este folosita in aceasta iteratie, adica relatia (4.1.11) trebuie indeplinita. Pe de
alta parte, daca solutia iteratiei curente nu este suficient de aproape de U* si/sau
matricea de rigiditate folosita nu este tangentiala exacta si/sau nu se schimba
brusc, iteratia poate sa fie divergenta. (Bathe, 1996)
31
4.2. Metoda Newton - Raphson modificata
La utilizarea metodei N-R, majoritatea efortului computational pe iteratie
se datoreaza calcularii si factorizarii matricii de rigiditate tangentiala. De vreme
ce aceste calcule pot fi destul de dificile cand se iau in considerare sisteme de
ordin mai mare, este de preferat sa se aplice un algoritm N-R modificat prezentat
in Figura 3.
Figura 3 - Iterarea Newton-Raphson modificata
O modificare este reprezentata de folosirea matricii de rigiditate initiala K0
in (4.1.10) si astfel se va opera cu ecuatiile de echilibru static (4.2.1):
1
0 *
i
tttt
i FRUK (4.2.1)
avand conditiile initiale ttt FF
0 si ttt UU
0 . In acest caz, trebuie factorizata
doar matricea K0, evitandu-se astfel recalcularea si factorizarea de mai multe ori
a matricii in relatia (4.1.10). Aceasta metoda a „efortului initial” corespunde unei
liniarizari a raspunsului configuratiei initiale a sistemului de elemente finite si
poate converge foarte incet sau chiar sa fie divergenta.
Iteratia N-R modificata reprezinta o abordare ce se situeaza undeva intre
metoda N-R completa si metoda efortului initial. In aceasta metoda se utilizeaza
relatia:
32
1*
i
tttt
i FRUK (4.2.2)
cu conditiile initiale ttt FF
0 si ttt UU
0 , unde corespunde uneia dintre
configuratiile echilibrului convenabil ales, la momentele 0, t, 2t, ... , sau t.
Aceasta metoda implica mai putine corectii ale rigiditatii pe o configuratie a
echilibrului convenabil aleasa. Alegerea momentelor cand matricea de rigiditate
trebuie sa fie reactualizata depinde de gradul de neliniaritate al raspunsului
sistemului; de exemplu, cu cat raspunsul este mai neliniar, cu atat mai des
trebuie facuta actualizarea.
Deoarece in analiza inginereasca se poate intalni o arie foarte larga
de proprietati si neliniaritati ale sistemelor, eficacitatea abordarilor prezentate mai
sus depinde de specificul problemei considerate. Metoda cea mai eficienta de
atingere a convergentei este metoda N-R completa (relatiile 4.1.10 - 4.1.12), dar
daca poate fi aplicata metoda N-R modificata, efortul de obtinere a solutiei poate
fi redus. In practica, aceste metode sunt foarte bune, iar ideea existentei unui
program care in mod automat alege tehnica cea mai eficienta, este foarte
atractiva. (Bathe, 1996)
4.3. Criterii de convergenta
O metoda iterativa este eficienta daca utilizeaza un criteriu de
convergenta corespunzator. La sfarsitul fiecarei iteratii este verificata solutia
obtinuta prin compararea tolerantei cu valoarea de referinta. Daca valoarea de
referinta este mare, atunci rezultatul obtinut nu este exact. O valoare de referinta
mica necesita un efort de calcul foarte mare. Valoarea optima pentru cele mai
multe dintre problemele neliniare intalnite in ingineria constructiilor este 0,001.
Cele mai utilizate criterii de convergenta sunt:
a) criteriul de convergenta al deplasarilor;
b) criteriul de convergenta al fortelor;
c) criteriul de convergenta al energiilor.
a) Criteriul de convergentaal deplasarilor este satisfacut daca:
dtt
i
U
U
2
2 (4.3.1)
33
In relatia (4.3.1) vectorul ttU nu este cunoscut si este nevoie sa il
aproximam. De obicei vectorul ttU se inlocuieste cu ultima configuratie a
vectorului tt
iU
.
b) Un alt criteriu de convergenta este cel al fortelor. Acest criteriu pune in
balanta fortele exterioare ce actioneaza asupra structurii cu fortele interne din
reteaua elementelor finite. Diferenta celor doua cantitati reprezinta fortele
neechilibrate sau reziduale. Criteriul de convergenta al fortelor are urmatoarea
exprimare:
22
ttt
f
tt
i
tt FRFR (4.3.2)
c) Criteriul de convergenta al energiilor interne compara energia interna
incrementala din fiecarei iteratie cu energia interna de la inceputul pasului de
timp:
ttt
e
tt
i
tt
i FRUFRU
11 (4.3.3)
Sunt utilizate trei norme pentru a calcula convergenta deplasarilor sau a
fortelor:
1. Norma infinita iFF max
2. Norma L1 iFF1
3. Norma L2 2
12
2 iFF
Pentru convergenta incrementului deplasarilor se inlocuieste F cu U in
ecuatiile de mai sus. Norma infinita este valoarea maxima din vector (maxim
rezidual sau maximul incrementului gradelor de libertate), norma L1 este suma
valorilor absolute a termenilor, iar norma L2, denumita si norma euclidiana, este
radacina patrata a sumei patratelor valorilor termenilor. (Bathe, 1996)
34
5. ANALIZA DINAMICA NELINIARA
5.1. Metoda unipas implicita Newmark
In aceste metode starea sistemului la timpul = +h este determinata
de starea sistemului la timpul tn cu ajutorul unei dezvoltari in serie Taylor a
functiilor deplasarilor si vitezelor.
sn
ss
nnnnn Rtfs
htf
htfhtfhtftf
!...
2
2
1
(5.1.1)
unde :
1
.][!
1 1n
n
t
t
s
n
s
s dhtfs
R
Cu aceste idei, putem scrie, in cazul actiunilor dinamice, expresiile
deplasarilor si vitezelor, dupa cum urmeaza:
1
1
11
1 )(
n
n
n
n
t
t
nnnn
t
t
nn
dtuuhuu
duuu
(5.1.2)
Aproximarea consta in evaluarea integralelor din sistemul (5.1.2) prin
cuadratura numerica.
Prin urmare, se va determina functia u in raport cu valorile sale din
etapele n nu si respectiv n+1 :1nu
...
2
...2
2
14
1
3
1
2
43
nnn
nnn
tutuuu
tutuuu
(5.1.3)
Premultiplicarea primei ecuatii a sistemului (5.1.3) intr-o prima faza cu
(1-) si a celei de-a doua ecuatii cu , urmata de sumarea celor doua noi ecuatii
obtinute, va conduce la :
.1 423
1 uhOthuuuu nnn (5.1.4)
Reluarea operatiilor precedente, insa utilizand ca amplificatori expresiile
(1-2), conduce la relatia (5.1.5):
35
.2221 423
1 uhOthuuuu nnn (5.1.5)
Substituind relatiile (5.1.4) si (5.1.5) in sistemul (5.1.2), se obtine:
1
1
1
22
1
1
2
1
1
n
n
n
n
t
t
nnnn
t
t
nnn
ruhuhdut
ruhuhdu
, (5.1.6)
unde rn si rn’ reprezinta erorile de calcul ale caror expresii sunt:
4433
4332
~6
1
~2
1
uhOuhr
uhOuhr
n
n
, 1~
nn tt (5.1.7)
Constantele si sunt parametrii asociati schemei de integrare:
- alegand =1/2 si =1/6 se va obtine ipoteza cresterii liniare a acceleratiilor,
schema pe baza careia s-au dezvoltat metodele cresterii liniare a acceleratiei si
metoda Wilson ;
- alegand =1/2 si =1/4 se va obtine ipoteza acceleratiei constante pe
intervalul de timp considerat, valoarea ei fiind: 12
1 nn uuu si sta la baza
metodei unipas Newmark.
Inlocuind integralele din sistemul (5.1.2) prin expresiile lor date de relatiile
(5.1.6), vom obtine formulele de aproximare utilizate in metode de tip Newmark
(vom egala h=∆t):
1
22
1
11
2
1
1
nnnnn
nnnn
utututxx
ututuu
(5.1.8)
Pentru obtinerea deplasarilor, vitezelor si acceleratiilor, pe langa sistemul
de ecuatii (5.1.8) se considera si ecuatiile de echilibru dinamic:
)(tpuRuCuM (5.1.9)
Se va introduce sistemul (5.1.8) in ecuatiile miscarii (5.1.9) pentru a putea
determina valoarea deplasarii la timpul tn+1:
36
11
22
112
11
nnnnnnnnn putututxKututuCuM
(5.1.10)
Aranjand termenii, se obtine:
nnnnnn ututxKutuCpuKttCM 2
11
2
2
11
(5.1.11)
Metoda Newmark este cunoscuta si sub numele de ‘’regula trapezului’’,
deoarece propune o schema stabila neconditionat in care acceleratia este
constanta pe intervalul t, t+∆t (vezi Figura 4):
ttt uu 2
1 1
2
1 nn uuu (0<<∆t) (5.1.12)
In aceasta situatie sistemul (5.1.9) devine:
ttu
2
4
1
2
1
tuutuuu
tuuuu
ttttttt
tttttt
(5.1.13)
tu ttu
t t+∆t
Figura 4 - Metoda Newmark
Exprimand in continuare vitezele si acceleratiile la timpul t+∆t in functie de
vitezele, acceleratiile si deplasarile la timpul t, respectiv in functie de deplasarile
la timpul t+∆t, vom avea :
ttttt
ttttttt
uuut
u
uut
uut
u
2
442
(5.1.14)
si inlocuind aceste expresii in ecuatia de miscare la timpul t+∆t, se va obtine :
.244
2 ttttttttttttt pKuuuut
Cuut
uut
M
(5.1.15)
sau :
37
tttttttttt uauauaCuauauaMpuRcaMa 54132010
(5.1.16)
unde : 20
1
ta
, t
a
1
, t
a
12
, 12
13
a ,
14
a ,
2
25
ta , 16 ta , ta 7 .
Trei cerinte trebuie sa indeplineasca o procedura numerica si, anume :
convergenta, stabilitatea si acuratetea.
Convergenta este indeplinita daca pe masura ce pasul de timp scade,
solutia numerica tinde catre solutia exacta.
Pasii necesari de a fi parcursi in analiza convergentei sunt urmatorii:
a) reducerea la o problema cu un singur grad de libertate;
b) definirea criteriului de stabilitate si a circumstantelor in care este valabil;
c) determinarea acuratetei prin calcularea erorii locale de trunchiere;
d) demonstrarea convergentei folosind conditiile de stabilitate si acuratete.
Stabilitatea implica faptul ca solutia numerica trebuie sa fie stabila la
erorile de rotunjire.
Acuratetea necesita ca procedura numerica sa dea rezultate cat mai
apropiate de solutia exacta.
Solutia ecuatiei (5.1.16) este neconditionat stabila daca sunt indeplinite
conditiile urmatoare:
2
2
1
4
1
, 2
1
, 0
2
1
. (5.1.17)
Se prezinta in continuare algoritmul complet ce utilizeaza schema de
integrare Newmark.
Calcule initiale:
alcatuirea matricilor K (de rigiditate), M (a maselor), si C (a amortizarii);
se atribuie valori initiale pentru deplasare, viteza si acceleratie : 0u , 0u
si 0u ;
selectarea pasului de timp ∆t, a parametrilor si , precum si calcularea
constantelor de integrare: a0, …. a7 ;
38
formarea matricii de rigiditate efectiva CaMaKKK 10
ˆ:ˆ ;
transformarea matricii K intr-o matrice triunghiulara : TLDLK ˆ .
Pentru fiecare pas de timp:
se calculeaza incarcarile efective la pasul t+∆t:
tttttttttt uauauaCuauauaMpp 541320
ˆ
se calculeaza deplasarile la momentul t+∆t:
tttt
T pxLDL ˆ
se calculeaza acceleratiile si vitezele la momentul t+∆t:
ttttt uauauuau 320tt
tttttt uauauu 76
Pentru analiza dinamic neliniara ecuatiile de echilibru devin:
1
k
tttt
k
t
k
tt
k
tt FRuKuCuM (5.1.18)
kk
tt
k
tt uuu
1 (5.1.19)
Utilizand metoda trapezului in schema de integrare, expresiile deplasarilor
si vitezelor la pasul t+Δt exprimate in functie de valorile obtinute in pasul anterior
de calcul au forma:
tttttt uut
uu
2
(5.1.20)
tttttt uut
uu
2
(5.1.21)
Inlocuind relatia (5.1.19) in expresia acceleratiei la momentul t+Δt, se
obtine:
tt
k
t
k
tt
k
tt uut
uuut
u
44 1
2 (5.1.22)
Inlocuind relatia (5.1.22) in ecuatia (5.1.18) se obtine:
ttttttt
k
tt
k
tttt
k
t uuut
Cuut
uut
MFRuK 244ˆ
2
1
2
1
(5.1.23)
unde:
Ct
Mt
KK tt
24ˆ
2 (5.1.24)
39
Se poate observa ca ecuatiile iterative in analiza dinamica neliniara,
utilizand integrarea implicita, au o forma asemanatoare cu ecuatiile din analiza
statica neliniara cu exceptia termenilor masici si a vectorului fortelor nodale care
contine contributia inertiei sistemului.
Analiza dinamica neliniara necesita iteratii la fiecare pas de timp mai
stringent decat la o analiza static neliniara. (Bathe, 1996)
40
6. MODELAREA COMPORTARII BETONULUI IN ANALIZA
NUMERICA NELINIARA
Comportarea elasto-plastica a betonului poate fi descrisa cu ajutorul
modelului plastic cu consolidare (ecruisare), care, din punctul de vedere al
suprafetei de cedare, are doua posibilitati:
- utilizarea unei singure suprafete de cedare – model unisuprafata;
- utilizarea mai multor suprafete de cedare – model multisuprafata.
Modelul unisuprafata este caracterizat prin urmatoarele proprietati
constitutive:
- criteriul de curgere initiala a materialului, care separa domeniile de
comportare elastic si, respectiv, plastic;
- legea constitutiva care exprima la fiecare increment de timp relatia dintre
variatiile deformatiilor si tensiunilor;
- legea de consolidare cu ajutorul careia se stabilesc conditiile producerii
urmatoarei curgeri a materialului din stadiul plastic;
- criteriul de cedare (fisurare) la întindere;
- criteriul de zdrobire la compresiune.
6.1. Legea constitutiva a betonului
Se va prezenta in continuare, un model unisuprafata de comportare
elasto-plastica a betonului armat, model folosit in programe de calcul
performante.
Criteriul de cedare al betonului datorita unei stari de tensiune multiaxiala
este exprimat sub forma:
0 Sf
F
c
(6.1.1)
unde: F – o functie ce depinde de eforturile unitare principale;
S – suprafata de cedare, exprimata in termenii eforturilor unitare
principale;
– rezistenta la compresiune a betonului.
41
Daca ecuatia (6.1.1) nu este satisfacuta, atunci nu apare fisurarea la
intindere sau zdrobirea la compresiune a betonului. Fisurarea se poate produce
numai de catre eforturile unitare principale de intindere, pe cand zdrobirea este
produsa de eforturile unitare principale de compresiune.
Pentru a defini suprafata de cedare se vor introduce cinci parametri:
- ft, rezistenta uniaxiala la intindere;
- fc, rezistenta uniaxiala la compresiune;
- fcb, rezistenta biaxiala la compresiune;
- f1, rezistenta la compresiune biaxiala raportata la eforturile hidrostatice;
- f2, rezistenta la compresiune uniaxiala raportata la eforturile
hidrostatice.
Suprafata de cedare poate fi specificata si cu ajutorul doar a doua
constante ft si fc. Celelalte trei constante au urmatoarele expresii:
fcb=1.200 fc (6.1.2)
f1=3.450 fc (6.1.3)
f2=1.725 fc (6.1.4)
Aceste valori sunt valabile doar cu respectarea conditiei (6.1.5):
ch f3 (6.1.5)
unde: h - efortul unitar hidrostatic
zpypxph 3
1 (6.1.6)
Atat functia de tensiune F, cat si suprafata de cedare sunt exprimate depinzand
de eforturile unitare principale definite astfel:
zpypxp ,,max1 (6.1.7)
zpypxp ,,min2 (6.1.8)
si 321 .
Cedarea betonului este impartita in patru domenii:
1. 3210 compresiune – compresiune – compresiune
2. 321 0 intindere – compresiune – compresiune
3. 321 0 intindere – intindere – compresiune
4. 0321 intindere – intindere – intindere.
42
Pentru fiecare domeniu de solicitare va fi prezentata in continuare atat
functia independenta F, cat si expresia suprafetei de cedare S. Functiile S au
proprietatile suprafetei pe care o descriu si care este continua, in timp ce
gradientii suprafetelor nu sunt continui pentru orice schimbare de semn a
eforturilor unitare principale. (ANSYS, 1997)
6.1.1. 3210 : compresiune – compresiune – compresiune
In regimul de solicitare ‘’compresiune – compresiune – compresiune’’
corespunzator domeniului 3210 , se considera valabil criteriul de
cedare al lui William si Warnke.
In acest caz functia F ia forma (6.1.9):
F=F1= 2
12
13
232
221
15
1
(6.1.9)
Suprafata de cedare S se defineste ca:
S = S1 =
21222
122
2
1
2121
221
22212
21
222
r2rcosrr4
rr4r5cosrr4rr2rcosrrr2
(6.1.10) Termenii folositi pentru a defini aceasta suprafata S sunt:
21
213
232
221
321
2
2cos
(6.1.11)
r1 = a0 + a1ξ + a2ξ2 ; r2 = b0 + b1ξ + b2ξ
2 ; ξ = c
h
f
(6.1.12)
Suprafata de cedare este prezentata in figura 5. Unghiul de similaritate
descrie magnitudinea relativa a tensiunilor principale. Din ecuatia (6.1.11), =00
se refera la orice stare de tensiune cum ar fi 123 , in timp ce ξ = 600 se
refera la orice stare de tensiune unde 123 . Toate celelalte stari de
eforturi multiaxiale au unghiuri de similaritate cuprinse intre 00 600 . Cand
= 00, S1 egaleaza r1, in timp ce daca 060 , S1 egaleaza pe r2. Astfel, functia
43
r1 reprezinta suprafata de cedare a tuturor starilor de tensiune cu = 00.
Functiile r1, r2 si unghiul sunt prezentate in Figura 5:
Figura 5 – Suprafata de cedare in spatiul eforturilor unitare principale
Se poate vedea ca forma planului de cedare are o simetrie ciclica la
fiecare sector de 1200 a planului octaedral, datorita intervalului unghiului de
similitudine 00 060 . Functia r1 se determina ajustand a0, a1 si a2 astfel incat
rezistentele ft, fcb si f1 sa stea simultan toate pe suprafata de cedare. Valorile
acestor coeficienti sunt determinate de solutia ecuatiilor simultane ce sunt
prezentate in expresiile (6.1.13):
2
1
0
2
11
2
2
13211
3211
3211
1
1
1
) ,(
) ,0(
)0 ,(
a
a
a
ff
F
ff
F
ff
F
cbcb
tt
a
h
a
h
c
cb
c
c
c
(6.1.13)
cu
c
1
c
ah
1c
cbcb
c
tt
f3
f2
f ,
f3
f2 ,
f3
f
(6.1.14)
Functia r2 este calculata ajustand b0, b1 si b2 pentru a satiface conditiile (6.1.15):
44
2
1
0
200
22cb
c
2ah3
ah21
c
1
321c
1
b
b
b
1
19
1
3
11
0
)f
f ,(
f
F
)f ,0 (f
F
(6.1.15)
Parametrul ξ2 este definit de:
ξ2 = - c
c
c
ah
f3
f
f
(6.1.16)
si ξ0 reprezinta radacina pozitiva a ecuatiei (6.1.17):
r2(ξ0) = a0 + a1ξ0 + a2ξ20 = 0, (6.1.17)
Din moment ce suprafata trebuie sa ramana convexa, raportul r1/r2 este
restrictionat in intervalul:
0.5 < r1/r2< 1.25 (6.1.18)
altfel limita superioara nu va fi considerata restrictiva din momentul r1/r2<1 pentru
cele mai multe materiale.
De asemenea, coeficientii a0, a1, a2, b0, b1 si b2 trebuie sa satisfaca
conditiile:
a0>0, a1<0, a2<0 (6.1.19)
b0>0, b1<0, b2<0 (6.1.20)
De aceea, suprafata de cedare este inchisa si ia in considerare cedarea
sub presiuni hidrostatice mari 2 . Aceasta inchidere a suprafetei de cedare
nu a fost verificata experimental si s-a sugerat ca cilindrul deschis propus de von
Mises este o suprafata de cedare mai potrivita pentru valori de compresiune
mari. In consecinta, se recomanda ca valorile rezistentelor f1 si f2 sa fie selectate
la un nivel al efortului hidrostatic in vecinatatea sau deasupra efortului hidrostatic
maxim asteptat.
Ecuatia (6.1.17) exprima conditia ca suprafata de cedare sa aiba un punct
de intoarcere la 0 . Profilul lui r1 si r2 ca o functie de este prezentat in
figura 6:
45
Figura 6 - Profilul suprafetei de cedare functie de
In Figura 6 curba inferioara reprezinta starile de tensiune care au 0 in
timp ce curba superioara reprezinta starile de tensiune care au 060 . Daca
criteriul de cedare este indeplinit, materialul este considerat zdrobit. (ANSYS,
1997)
6.1.2. 321 0 : intindere – compresiune – compresiune
In regimul de solicitare ’’intindere – compresiune – compresiune’’,
corespunzator domeniului 321 0 , functia de tensiune F are forma
(6.1.21): [29]
21
2
3
2
2
2
32215
1 FF (6.1.21)
iar suprafata S este definita cu expresia:
(6.1.22)
unde cos este definit de ecuatia (6.1.11) iar coeficientii p1 si p2 au expresiile
urmatoare:
2
2101 aaap (6.1.23)
2
2102 bbbp (6.1.24)
Coeficientii a0, a1, a2, b0, b1 si b2 sunt definiti de ecuatiile (6.1.13) si
(6.1.15), in timp ce :
2
12
22
1
2
2
2
1
21
2
1
22
1
2
2212
2
1
2
2212
2cos4
45cos42cos21
pppp
ppppppppppp
fSS
t
46
323
1 (6.1.25)
Daca criteriul de cedare este satisfacut, atunci apare fisurarea in planul
perpendicular pe efortul unitar principal 1 .
6.1.3. 321 0 : intindere – intindere – compresiune
In regimul de solicitare ’’intindere – intindere – compresiune’’
corespunzator domeniului 321 0 , functia de tensiune F are forma:
iFF 3 ; i=1,2 (6.1.26)
iar suprafata de cedare S este definita astfel:
cc
t
ff
fSS 3
3 1
; i=1,2 (6.1.27)
Daca criteriul de cedare este satisfacut pentru i=1,2, fisurarea apare in
plane perpendiculare pe eforturile unitare principale 1 si 2 . Daca criteriul de
cedare este satisfacut doar pentru i=1, fisurarea apare doar in planul
perpendicular pe efortul unitar principal 1 .
6.1.4. 0321 : intindere – intindere – intindere
In regimul de solicitare ’’intindere – intindere – intindere’’ corespunzator
domeniului 0321 , functia F are forma:
iFF 4 ; i=1,2,3 (6.1.28)
iar suprafata de cedare S este definita astfel:
c
t
f
fSS 4 ; i=1,2,3 (6.1.29)
Daca criteriul de cedare este satisfacut in directiile principale 1, 2 si 3,
fisurarea apare in plane perpendiculare pe eforturile unitare principale 1 , 2 si
3 . Daca criteriul de cedare este satisfacut in directiile principale 1 si 2, fisurarea
apare in plane perpendiculare pe eforturile unitare principale 1 si 2 . Daca
criteriul de cedare este satisfacut doar in directia principala 1, fisurarea apare
doar in planul perpendicular pe efortul unitar principal 1 .
47
In figura 7 este prezentata suprafata de cedare tridimensionala pentru
stari de tensiune biaxiale. Daca cele mai semnificative eforturi unitare principale
nenule sunt in directiile xp si
yp , cele trei suprafete prezentate corespund
situatiilor cand tensiunea zp este putin mai mare decat 0,
zp tinde catre 0 si zp
este putin mai mica dacat 0.
Figura 7 - Suprafata de cedare in spatiul eforturilor unitare principale,
cand zp este aproape nula
Se observa din Figura 7 ca, desi, cele trei suprafete de cedare prezentate
ca proiectii in planul σxp-σyp sunt aproape echivalente si suprafata de cedare
tridimensionala este continua, modul de cedare al materialului depinde de
semnul efortului unitar principal zp . Astfel, daca
xp si yp sunt ambele
negative si zp are valori pozitive tinzand catre 0, fisurile vor aparea pe o directie
perpendiculara pe directia lui zp . Totusi, daca tensiunea
zp este zero sau usor
negativa, materialul este considerat zdrobit. (ANSYS, 1997)
48
6.2. Legea constitutiva a betonului adoptata de Comitetul EURO – International de Beton
Comitetul Euro – International de Beton (CEB – FIP Model Code 1990) a
adoptat drept criteriu de cedare al betonului o formulare propusa de cercetatorul
N. Ottosen. Acest criteriu se numara printre cele confirmate de rezultatele
experimentale, avand si avantajul unei aplicari mai putin dificile. Criteriul este
variabil pe un domeniu de tensiuni monoton crescatoare, la compresiune pentru
o variatie de sMPac /0.1 si la intindere pentru o variatie de sMPact /1.0 .
Acest model utilizeaza o suprafata unica de cedare. Functia criteriului de cedare
a betonului se poate exprima in forma generala depinzand de invarianti, astfel :
F(I1, J2, J3, fc)=0 (6.2.1)
unde:
I1 - primul invariant al tensiunilor, invariantul liniar;
;3211 I
J2 - al doilea invariant al tensiunilor de deviatie:
2
13
2
32
2
2126
1 J (6.2.2)
J3 = al treilea invariant al tensiunilor de deviatie:
mmmJ 3213
3
321
m - tensiunea medie;
321 ,, - tensiuni principale;
fc - rezistenta de rupere la compresiune uniaxiala determinata din
incercari.
Rezistenta betonului supus la eforturi multiaxiale de scurta durata se
evalueaza conform criteriului (6.2.3.):
0112
2
2 cmctmcm f
I
f
J
f
J , (6.2.3)
unde : fcm - valoarea medie a rezistentei la compresiune; fctm - valoarea medie a
rezistentei la intindere;
49
;cm
ctm
f
fk ;
9
14.1k
;7.3
11.1k
(6.2.4)
;3cosarccos3
1cos 21
cc pentru 03cos
;3cosarccos3
1
3cos 21
cc pentru 03cos
;7.0
19.01
kc ;)07.0(8.61 2
2 kc 2/3
2
3
2
333cos
J
J .
Valorile fcm si fctm reprezinta rezistentele caracteristice medii determinate
pe cilindru conform Eurocod 2 (SR EN 1992-1-1). Pentru compresiune se
adopta o variatie ‘’tensiune – deformatie specifica’’, avand forma reprezentata in
Figura 8:
Figura 8 - Legea constitutiva la
compresiune a betonului
Legea constitutiva este descrisa de functia (6.2.5):
cm
c
c
c
ci
c
c
c
c
c
ci
c f
E
E
E
E
11
2
111
21
, (6.2.5)
valabila pentru lim,cc ,
unde: c - efortul unitar de compresiune;
50
c - deformatia specifica la compresiune;
0022.01 c ;
Eci - modulul tangent de elasticitate;
0022.0
1cm
c
fE - modulul secant de la origine la tensiunea maxima de
compresiune fcm.
Pentru intinderea uniaxiala a betonului nefisurat, se considera o variatie
biliniara ‘’tensiune – deformatie specifica’’ ca in Figura 9:
ct
ctmf
ctmf9.0
Eci
0.00015 ct
Figura 9 - Legea constitutiva a betonului la intindere
Pentru:
a) ctmct f9.0 : ctcict E (6.2.6)
b) ctmctctm ff 9.0 : ct
cictm
ctmctmct
Ef
ff
00015.0
/9.000015.0
1.0 (6.2.7)
unde : ct - efortul unitar de intindere;
ct - deformatia specifica de intindere.
Pentru armaturile din otel s-a considerat o diagrama caracteristica de
material idealizat biliniara (comportare perfect elasto-plastica), simetrica pentru
solicitarile axiale de intindere si compresiune prezentata in Figura 10:
51
Figura 10 - Legea constitutiva a otelului
unde: ykf - valoarea caracteristica a rezistentei la intindere;
uk - valoarea caracteristica a deformatiei specifice maxime;
Es - modulul de elasticitate liniar al otelului. (Ottosen, 1980)(CEB-FIP,
1993)(SR EN 1992-1-1, 2006)
6.3. Modelarea comportarii neliniare a betonului utilizand modelul multisuprafata
In functie de tipul de solicitare, microstructura betonului prezinta
caracteristici de deformare si de cedare diferite. La intindere, datorita fortei de
lipire (aderenta) mica intre ciment si agregate, materialul este fragil si la un
anumit nivel de solicitare are loc aparitia fisurilor, ramanand ca intregul efort de
intindere sa fie preluat de armaturi. In cazul unei solicitari triaxiale de
compresiune, testele au pus in evidenta o comportare ductila a betonului.
In modelul multisuprafata prezentat in continuare sunt utilizate doua
suprafete de cedare si anume: pentru solicitarea betonului la compresiune este
utilizat criteriul de cedare Drucker-Prager (DP), iar pentru betonul solicitat la
intindere este folosita suprafata de cedare Rankine (RK). De asemenea, pentru
solicitari de intindere in beton se poare utiliza si criteriul de cedare Mohr-
Coulomb.
52
Figura 11 - Modelul multisuprafata Rankine/Drucker-Prager
In concordanta cu comportarea fragila la intindere a betonului, se va
aplica criteriul lui Rankine pentru starea plana de tensiune. In acest sens,
suprafata de degradare se poate defini in modul urmator:
04
1
2
1 22 rktxyyxyxrk qff
(6.3.1)
unde tf - este rezistenta la intindere a betonului.
Scaderea rezistentei la intindere este simulata cu ajutorul legii hiperbolice
de tip.(6.3.2), conform figurii 12:
2
,/11
urkrktrk fq (6.3.2)
Parametrul urk , este calculat functie de energia specifica la rupere a
betonului Gf (in general Gf=200N/m) si de lungimea elementului finit in modelarea
cu Metoda Elementului Finit, astfel:
tcfurk flG /, (6.3.3)
53
Figura 12 - Degradare hiperbolica pentru criteriul Rankine
Criteriul de plasticitate Drucker-Prager introdus in anul 1952, are
urmatoarea expresie:
021 JIFdp , (6.3.4)
unde I1 este primul invariant al eforturilor unitare, J2 este deviatorul de ordinul 2
al tensiunilor iar si sunt parametri de material.
Pentru transformarea variatiei parabolice in variatie liniara a suprafetei de
cedare este suficient sa eliminam radicalul deviatorului de ordinul 2 al tensiunilor.
Astfel se va obtine functia (6.3.5):
021 JIFdp , (6.3.5)
unde pentru starea plana de tensiune, invariantii au expresiile:
yxI 1 si 2222
26
1xyxyyxJ
(6.3.6)
Constantele si se pot exprima in functie de unghiul de frecare interna - Φ si
de coeziunea materialului – c:
sin33
sin2
(6.3.7)
sin33
cos6
c
(6.3.8)
54
Figura 13 - Functia de cedare Drucker - Prager
Pentru beton, constantele Φ si c se pot exprima functie de rezistenta la
compresiune fc si de rezistenta la intindere ft, dupa cum urmeaza (ADINA):
tc
tc
ff
ff
1sin
(6.3.9)
tantc
tc
ff
ffc
(6.3.10)
Partea ascendenta a relatiei constitutive ‘’tensiune – deformatie specifica’’
a betonului, conform STAS 10107/90, este data de (6.3.11) pentru deformatii sub
valoarea 0.002:
00
0
2
00
0
/2
/bc
bcb ff
pentru 0bb (6.3.11)
Pentru partea descendenta a relatiei ‘’tensiune – deformatie specifica’’ a
betonului, se propune ecuatia unei drepte a carei panta tine seama de nivelul de
confinare al betonului. Confinarea se realizeaza atat de catre etrieri, cat si de
barele longitudinale:
01 bcb Zf
pentru bub 0 (6.3.12)
unde: b - efort unitar normal de compresiune;
b - deformatie specifica la compresiune;
0b = 0.002;
55
bu- deformatia specifica ultima la compresiune;
cf - rezistenta de calcul a betonului neconfinat la compresiune;
*
00035.01.0
85.0
b
Z
- panta.
Figura 14 - Efectul confinarii betonului
Efectul confinarii betonului (Figura 14) poate fi introdus in relatia
constitutiva caracteristica prin intermediul parametrului , ce depinde de modul
de alcatuire a sectiunii de beton armat:
0
*
0 bb 0
2*
0 bb (6.3.13)
*
0
*
0035.01.0
85.0
b
Z
(6.3.14)
unde :
25.1125.1,5.21min , (6.3.15)
in care reprezinta raportul volumetric dintre etrieri si beton, apreciat prin
prisma limitelor de curgere:
c
ecee
bhf
dlA
/
, (6.3.16)
unde: Ae - aria etrierului;
le - lungimea etrierului;
d - distanta dintre etrieri;
56
b, h - dimensiunile sectiunii de beton confinate;
ce - limita de curgere a otelului din etrier.
Parametrul introduce gradul de confinare oferit de catre barele longitudinale de
armatura sub efectul limitarii flambajului acestora de catre etrieri, astfel:
h
d
b
d
n 21
21
3
81
(6.3.17)
in care, n - este numarul barelor longitudinale de pe perimetrul sectiunii de beton.
(P100-3, 1996)
57
7. BAZELE PROIECTARII SEISMICE
In anii ’60 si ’70, comunitatea de cercetare a devenit tot mai implicata in
intelegerea importantei raspunsului inelastic al unei structuri in raport cu excitatia
seismica, realizand studii teoretice si experimentale cu scopul de a cuantifica
capacitatea de deformare inelastica a componentelor structurale. In general,
aceasta a fost exprimata in termeni de capacitate de deplasare ductila, μΔ, care
a fost aleasa ca un indicator util, din cauza relatiei sale evidente cu factorul forta-
reducere, R, folosit in mod uzual pentru a diminua nivelul elasticitatii de baza la o
valoare acceptabila de proiectare.
In Figura 15 (a) se observa ca deplasarea aproximata a raspunsului
seismic presupune ca: μΔ = R
Au existat probleme privind aceasta abordare, rezultand ca deplasarea
aproximata care caracterizeaza raspunsul seismic este nepotrivita atat pentru
structuri cu perioade foarte lungi de vibratie, cat si foarte scurte. De
asemenea,este putin probabila si pentru structuri cu perioade medii, atunci cand
caracterul histeretic al sistemului inelastic deviaza in mod semnificativ din elastic
– plastic.
Mai mult, au existat dificultati in atingerea unui consens in cadrul
comunitatii de cercetare cu privire la definirea corespunzatoare a deplasarilor in
stadiul de curgere si final.
Figura 15 (a) - Determinarea capacitatii ductile
58
Figura 15 (b) - Determinarea capacitatii ductile
Cu referire la Figura 15 (b), deplasarea de curgere a fost diferit definita, ca
intersectie a tangentei de rigiditate initiala cu rezistenta nominala, intersectia
secantei de rigiditate prin primul randament cu rezistenta nominala, si deplasarea
de curgere initiala, printre alte posibilitati. Capacitatea de deplasare, sau
deplasarea finala, a avut deasemeni o serie de definitii printre care deplasarea
corespunzatoare rezistentei maxime, deplasare ce corespunde degradarii cu
20% sau 50% a valoarii maxime (sau nominale) a rezistentei, si deplasarea ce
apare la fractura initiala a armarii transversale. Cu siguranta, avand o asemenea
varietate a limitei de deplasare, au existat variatii considerabile in evaluarea
deplasarii la limita capacitatii ductile a structurilor. Capacitatea de ductilitate a
structurilor de beton si zidarie depinde de o gama larga de factori, cum ar fi
procentul de incarcare axiala, procentul de armare si geometria structurii.
Conformarea fundatiei, deasemeni, poate afecta capacitatea de
deplasare. Aceste aspecte au fost discutate cu referire la structurile podurilor
intr-un referat (Priestley, 2000), ce pleda asupra calculului specific al capacitatii
de deplasare in cazul structurilor podurilor, pe baza estimarilor eforturilor finale,
lungimii zonei plastice si a conditiilor de fundare. Aceasta abordare a fost des
aplicata in Noua Zeelanda, din anii ’80 fiind recent adoptata in standardele
aplicate in USA in proiectare (ATC, 1996) .
Moehle a sugerat mai tarziu o abordare similara cu cea a lui Priestley,
pentru structura cladirilor. Aceasta abordare recunoaste anumite imperfectiuni
ale proiectarii de baza, prin solicitarea calculului capacitatii ductile la structuri si
59
verificarea acestora cu estimarile ductilitatii cerute in concordanta cu nivelul de
proiectare paraseismica si factorul de reductie a fortelor adoptate pentru proiect.
In Noua Zeelanda si in Europa este, in continuare, considerata a fi caracteristica
de baza a proiectarii, in timp ce in SUA verificarea deplasarilor aditionale a ajuns
sa fie cunoscuta drept un concept al proiectarii de baza. (Moehle, 2007)
Desi a fost confirmat principiul ca analiza inelastica time-history a avut cel
mai mare potential pentru verificarea exacta a performantei seismice a
structurilor proiectate, a existat si ideea ca metoda nu a fost suficient de bine
analizata pentru a fi utilizata in proiectare. Ca o consecinta, o mare parte din
analizele facute de atelierul de lucru au fost realizate pe abordari mai simple de
evaluare, in general, bazate pe analiza push-over.
Fajfar a furnizat o actualizare pe metoda N2 care a fost in curs de
dezvoltare la Universitatea din Ljubljana pentru ultimii 12 ani. In aceasta
abordare, o estimare a cererii de deplasare seismica se calculeaza in functie de
raspunsul analizei spectrale cu un singur grad de libertate echivalent (SDOF), cu
ajutorul modelului biliniar, reprezentand prima metoda elastica de calcul a
structurii. Aceste cerinte se compara cu rezultatele analizei push-over cu mai
multe grade de libertate (MDOF). Din limita impusa de cerinta de deplasare,
deformatiile locale inelastice sunt extrase din analiza push-over, utilizand modele
Park-Ang, pe baza carora indicii de degradare locali si globali pot fi determinati.
(Fajfar, 2000)
O procedura foarte asemanatoare cunoscuta sub numele de Metoda
Spectrala de Capacitate, initiata de Freeman, a fost dezvoltata de un grup de
cercetatori in ultimii ani. Diferentele principale fata de metoda N2 sunt indicii de
degradare, care nu sunt utilizati in metoda spectrala de capacitate si faptul ca
cerintele seismice sunt exprimate intr-un set de raspunsuri spectrale grafice cu
acceleratie pe axa ordonatelor si deplasare pe axa abciselor.
(Freeman et al. ,1984)
60
8. METODA SPECTRULUI DE CAPACITATE
8.1. Descrierea metodei
Metoda N2 combina analiza pushover a unui model cu mai multe grade de
libertate cu analiza spectrala a unui sistem echivalent cu un grad de libertate .
In acest capitol sunt descrisi pasii metodei N2, aplicand o versiune
mai simplă a spectrului de frecvenţe pentru coeficientul de reducere, neluand in
considerare influenta de daune cumulative.
8.2. Date utilizate
Este folosit un model cu mai multe grade de libertate. Pe langa datele
necesare pentru a realiza o analiza elastica, este important de cunoscut relatia
neliniara „forta – deplasare” pentru elementele structurale supuse incarcarilor.
Elementul cel mai comun in model este grinda, avand zonele de plasticitate
concentrate la ambele capete.
Cererea seismica este in mod uzual definita sub forma spectrului de
frecvente, in care acceleratiile spectrale sunt definite in functie de perioada T.
8.3. Cerinta - spectrul in format acceleratie - deplasare
Spectrul de răspuns seismic reprezentat in format traditional in Figura 16
este determinat pentru un sistem echivalent cu un singur grad de libertate,
aplicand relatia :
(8.3.1.)
unde:
Sde – spectrul de raspuns elastic pentru deplasari;
Sae – spectrul de raspuns elastic pentru acceleratie;
61
Figura 16 - Format traditional Figura 17 - Format acceleratie–deplasare
Pentru a determina spectrul inelastic pentru un sistem cu un grad de
libertate (forta biliniara – deplasare) se foloseste relatia (8.3.2) si (8.3.3), conform
Vidic et. al., 1994:
(8.3.2.)
(8.3.3.)
unde:
– coeficient de reducere datorat ductilitatii;
- factor de ductilitate.
Coeficientul de reducere se poate exprima astfel:
( )
(8.3.4.)
(8.3.5.)
unde Tc este perioada de control (colt).
Ecuatiile (8.3.3.) si (8.3.5) sugereaza ca, in intervalele lungi si medii, se
aplica regula deplasarii egale, si anume, deplasarea din sistemul inelastic este
egala cu deplasarea corespunzatoare sistemului elastic cu aceeasi perioada.
Pornind de la Figura 17 si aplicand formulele (8.3.2) ÷ (8.3.5), cerinta
spectrului de raspuns in format „acceleratie – deplasare” poate fi obtinuta ca in
Figura 18 :
62
Figura 18 - Spectru inelastic in format „acceleratie – deplasare”
In Figura 18, spectrul de frecvente a fost intentionat sectionat la T = 3s. La
perioade mai lungi, spectrul de raspuns in format de deplasare este, de obicei,
constant.In consecinta, spectrul de raspuns in format de acceleratie, in intervale
de perioade lungi, scade cu patratul perioadei T. (FEMA-440,2005),
(P100-1, 2006), (P100-3, 2006)
8.4. Analiza Pushover
Analiza Pushover este efectuata prin supunerea unei structuri la un model
uniform in crestere a fortelor laterale, reprezentand fortele de inertie in timpul
actiunii seismice. In urma incarcarilor ce solicita structura treptat, diverse
elemente structurale preiau o parte din energie, avand un randament secvential.
In consecinta, la fiecare eveniment de solicitare, structura prezinta o pierdere in
rigiditate.
Folosind analiza Pushover se poate determina relatia neliniara „forta –
deplasare” intr-un sistem avand mai multe grade de libertate. In principiu, orice
forta si deplasare pot fi alese.
Analiza implica – aplicarea incarcarilor gravitationale si apoi aplicarea
fortelor laterale si impunerea treptata a unei deplasari la varf. Modul de
repartizare a incarcarilor laterale este foarte important in efectuarea analizei
Pushover, neexistand o solutie unica.
In metoda N2, vectorul incarcarilor laterale, P, este determinat astfel:
P=pΨ=pMΦ (8.4.1.)
63
unde, magnitudinea incarcarilor laterale este controlata de coeficientul p;
distributia incarcarilor laterale este determinata de Ψ.
Pi = p mi Φ i (8.4.2.)
Relatia (8.4.1) nu prezinta nici o restrictie in ceea ce priveste distributia
sarcinilor laterale. De obicei, aceasta distributie se presupune in mod direct. Din
relatia (8.4.2.) rezulta ca forta laterala la nivelul i este proportionala cu
componenta Φi, ponderata in functie de masa mi. (FEMA-440,2005),
(P100-1, 2006), (P100-3, 2006)
8.5. Modelul echivalent cu un grad de libertate
In metoda N2, cerinta seismica se determina prin utilizarea spectrelor de
raspuns. Este luat in considerare comportamentul inelastic al structurii. Prin
urmare, structura trebuie sa fie modelata ca un sistem SDOF, cu un singur grad
de libertate. Au fost folosite diferite proceduri pentru a determina caracteristicile
unui sistem cu un grad de libertate echivalent.
(8.5.1.)
unde, si sunt vectorii deplasarilor, respectiv fortelor interioare; ag este
acceleratia terenului.
Se considera ca Φ este constant, nemodificand timpul raspunsului
spectrului de seism.
Vectorul de deplasare este definit astfel:
(8.5.2.)
unde:
Dt - deplasarea la varful structurii in functie de timp;
Φ – deformata structurii intr-un mod propriu de vibratie, normalizat astfel
ca deplasarea la varful structurii sa fie unitara.
Din conditia de echilibru:
(8.5.3.)
introducand ecuatiile (8.4.1.),(8.5.2.),(8.5.3.) in ecuatia (8.5.1.) si inmultind
la stanga cu ΦT , obtinem:
(8.5.4.)
Inmultind si impartind ecuatia cu , ecuatia devine:
64
(8.5.5.)
unde:
m* este masa echivalenta unui sistem cu un singur grad de libertate (masa
modala efectiva)
∑ (8.5.6.)
D* si F* sunt deplasarea, respectiv forta echivalenta unui sistem cu un grad de
libertate.
(8.5.7.)
(8.5.8.)
V – forta taietoare de baza intr-un sistem cu mai multe grade de liberatate.
∑ ∑ (8.5.9.)
Constanta Γ controleaza transformarea dintre un sistem cu mai multe
grade de libertate intr-un sistem cu un grad de libertate si invers. Este definita
astfel:
∑
∑
∑ (8.5.10.)
In mod usual, constanta Γ se numeste factorul de participare modala. Trebuie
notat faptul ca deplasarea Φ este normalizata – valoarea de varf fiind 1.
Constanta Γ se aplica pentru transformarile deplasarilor si fortelor, respectiv
ecuatiile (8.5.7) si (8.5.8).
Perioada elastica pentru un sistem biliniar poate fi determinata astfel:
√
(8.5.11.)
In concluzie, diagrama de capacitate este obtinuta divizand forta F*
corespunzatoare curbei biliniare, cu masa echivalenta m*:
(8.5.12.)
(FEMA-440, 2005), (P100-1, 2006), (P100-3, 2006)
8.6. Cerinta de deplasare intr-un sistem cu un grad de libertate
Cererea seismica pentru un sistem echivalent cu un grad de libertate poate fi
determinata folosind procedura grafica ilustrata in Figura 19.
Factorul de reducere R:
65
(
)
(8.6.1.)
Cazul T*≥Tc ( ) (8.6.2.)
(8.6.3.)
z Figura 19 - Cerinta elastica si inelastica spectrala vs. diagrama de capacitate
Daca perioada elastica este mai mica decat perioada de colt T*<Tc,
factorul de ductilitate poate fi calculat astfel:
( )
(8.6.4.)
In concluzie, spectrul de raspuns elastic pentru deplasari poate fi
determinat :
(
( )
) (8.6.5.)
(FEMA-440, 2005), (P100-1, 2006), (P100-3, 2006)
8.7. Cerinta de deplasare globala si locala intr-un sistem cu mai
multe grade de libertate
Cerinta de deplasare intr-un sistem cu un grad de libertate, Sd este
transformata in deplasarea la varf, Dt, a unui sistem cu mai multe grade de
libertate folosind ecuatia (8.5.7). Cerinta de deplasare locala poate fi determinata
cu ajutorul analizei pushover. In urma incarcarilor laterale, structura atinge
maximul de deplasare. Se observa ca distributia deplasarilor in analiza statica
corespunde cu rezultatele obtinute in analiza dinamica modala. In concluzie,
performanta asteptata poate fi asumata, comparand cerinta de deplasare cu
capacitatea de deformare a structurii.
66
9. CONLUCRAREA STRUCTURII CU TERENUL DE FUNDARE
9.1. Modelul Winkler
Din punct de vedere istoric, este primul model utilizat in calculul terenului
de fundare. Acest model considera pamantul alcatuit dintr-un ansamblu de
resoarte – Figura 20.
Figura 20 - Modelare simpla a radierului
Programele software care permit acest tip de modelare au aparut in anii
’60. Mai tarziu, aceasta metoda a fost inlocuita cu metoda elementelor finite,
care a oferit un mijoc mult mai avantajos de modelare pentru formele neregulate
si variatiile in ceea ce priveste grosimea radierului.
Obiectia principala pentru resoartele Winkler se refera la incapacitatea
acestora de a reproduce interactiuni, din cauza fortei aplicate in masa de sol si
de tasarea aparuta la diferite puncte de la suprafata solului. De la mijlocul anilor
’70, specialistii au exprimat precautia asupra folosirii acestei metode in
modelarea radierului. S-a afirmat faptul ca metoda este mai degraba de
convenienta matematica, decat realitate fizica si ca ea poate da rezultate
satisfacatoare doar in anumite cazuri. Metoda nu a fost generalizata pentru
scopuri practice, deoarece a condus la rezultate inexacte, nesigure.
Pe de alta parte, Mawditt ajunge la ideea ca modelul Winkler ar da
rezultate satisfacatoare pentru proiectarea structurala, unde radierul, printre alte
cerinte de incarcare, ar putea fi aproximat la un singur punct de incarcare.
, (9.1.1)
unde:
– deplasarea verticala in punctul j;
Pi – forta verticala in punctul i (egala cu presiunea in punctul i
inmultita cu aria elementelor din jurul nodului i);
67
fij – termen flexibil dependent de proprietatile elastice ale zonei
dintre punctele i si j.
Pentru un sir de n noduri, relatia (9.1.1.) devine:
∑ (9.1.2)
Relatia dintre deplasare si forta intre toate nodurile existente, poate fi
exprimata sub forma matriciala astfel:
{ } [ ]{ } , (9.1.3)
unde:
[Fs] este matricea reprezentativa a solului; {δ} si {P} sunt vectorii deplasarilor
nodale, respectiv vectorul incarcarilor nodale.
Matricea de rigiditate, [Ks] este inversul matricii reprezentative a solului:
[Ks] {δ} = {P} (9.1.4)
Relatia dintre incarcarile aplicate, {Q}, fortele de interactiune dintre radier
si sol, {P} si deplasarile {δ} este:
[Kr] {δ} = {Q-P} (9.1.5)
unde, [Kr] este matricea de rigiditate a resoartelor care modeleaza contactul cu
solul.
Adunand ecuatiile (9.1.4) si (9.1.5), rezulta:
[Ks+Kr] {δ} = {Q} (9.1.6)
Cunoscand incarcarea {Q} si rigiditatile [Kr + Ks], acest set de ecuatii
liniare simultane poate fi rezolvat alocand valori deplasarilor {δ} si, prin urmare,
momentelor si presiunilor in nodurile zonei de contact intre radier – sol. (Mawditt,
1982)
Urmatorul pas in definirea zonei limita implica luarea in considerare a
stratului de sol si a variatiilor in grosime odata cu patrunderea in adancimea
stratelor.
Prima ipoteza este aceea ca presiunea distribuita pe verticala este
aceeasi ca intr-un mediu semi-infinit elastic, dar efortul vertical este definit de
proprietatile elastice ale solului, in zona respectiva.
Pentru o masa de sol stratificat este definita adancimea totala, unde
deplasarea la baza are valori nule. Suprafata de sol este divizata intr-un numar
de substrate orizontale. Suprafata totala de deplasari este obtinuta adunand
68
deplasarile verticale ale fiecarui substrat, determinand, astfel, termenii matricii de
flexibilitate a solului.
In Figura 21, valorile incarcarilor verticale sunt subestimate pornind de la
valoarea zero a deplasarilor, pe cand in Figura 22 aceste valori sunt
supraestimate. (Mazars, 1986)
( )
( )
Figura 21 - Predictii privind Teoria lui Boussinesq
(ν- fractiunea din amortizarea critica)
69
Figura 22 - Reducerea incarcarii verticale
9.2. Atenuarea vascoasa a mediului de propagare
Pentru evaluarea factorilor de trasmisibilitate sau amplificare a undelor
seismice de la roca de baza pana la suprafata libera a terenului mai intervin
proprietatile de amortizare interna a mediului. Se admite pentru modelul mediu
omogen si perfect elastic, ca lege de atenuare interna, modelul Newton.
Daca se tine seama de prezenta amortizarii de tip vascos, ecuatia
oscilatiilor libere ale mediului continuu rezulta sub urmatoarea forma:
( )
( )
( )
(9.2.1)
in care s-a notat prin c coeficientul de vascozitate al stratului geologic superficial.
Amortizarea mediului s-a considerat proportionala cu variatia in timp a
deformatiei specifice unghiulare (viteza de deformatie), adica: ( )
.
Prin transformari corespunzatoare, in urma separarii variabilelor, ecuatia
(9.2.1) se va exprima in ecuatia (9.2.2):
( )
( ) ( ) (9.2.2)
70
Expresia fractiunii din amortizarea critica ν echivalenta devine astfel
ecuatia (9.2.3):
(9.2.3)
de unde, se obtine expresia coeficientului de vascozitate critica corespunzator
modului propriu i de oscilatie:
( ) √ , (9.2.4)
iar pentru primul mod de oscilatie (i=1):
√
Daca se considera ca variatia deplasarii seismice la nivelul rocii de baza
uH(T) are caracter armonic si stationar, factorul de amplificare maxima modala
poate fi determinat corespunzator fenomenului de rezonanta:
( ) √ (9.2.5)
In cazul in care se admite ca vascozitatea mediului este aceeasi pentru
toate modurile de oscilatie si egala cu vascozitatea modului fundamental c1,
relatia (9.2.5) are exprimarea urmatoare:
. (9.2.6)
Variatia amplificarii in functie de frecventa sursei armonice este data in
Figura 23, de unde rezulta ca raportul frecventelor de rezonanta ale mediului
este invers cu raportul amplificarii maxime, deoarece produsul Aifi = constant,
ceea ce pune in evidenta sensibilitatea dinamica a mediului la frecvente de
rezonanta joase (perioade predominante lungi).
Figura 23 – Amplificarea modala a mediului de propagare in functie de factorii de
amortizare si frecventa mediului
71
Capacitatea de amortizare a mediilor este relativ ridicata, in functie de
proprietatile fizico-mecanice, fractiunea din amortizarea critica variind in general
intre valorile ν=0.10...0.50. (Mazars, 1986)
9.2.1. Rezonanta tranzitorie – amplificare seismica
Caracteristicile perioadelor predominante ale miscarii terenului in timpul
evenimentelor seismice depind in principal de magnitudinea cutremurului,
distanta epicentrala, configuratia topologica a zonei, mecanismul de focar,
precum si de conditiile geologice locale ale amplasamentului. Cu cat distanta
epicentrala si durata semnificativa a miscarii seismice sunt mai mari, cu atat
fenomenul seismic va fi caracterizat de componente cu frecventa joasa, adica cu
perioade predominante lungi. S-a constatat ca in cazul cutremurelor normale sau
intermediare puternice (de magnitudine M>6.5) mecanismul de focar genereaza
perioade predominante relativ lungi (To>1s), iar in cazul cutremurelor slabe
(normale) sau chiar mai puternice (superficiale), mecanismul de focar genereaza
perioade predominante scurte (T0<0.5s).
O importanta influenta asupra aparitiei perioadelor predominante lungi o
au conditiile geologice locale ale terenului, corespunzatoare amplasamentului,
mai ales cand depozitele sedimentare apartin cuaternarului. Intrucat in depozitele
sedimentare si aluvionare vitezele de propagare ale undelor seismice secundare
sunt mai reduse, ca urmare a scaderii modulului de elasticitate transversala,
perioadele predominante rezulta mult mai ridicate.
Existenta unor componente intensive cu perioade fundamentale
predominante To mari au condus la avarii importante si, chiar la distrugerea
completa a unor structuri mai zvelte in timpul multor cutremure, dintre care se
mentioneaza: Fukui – Japonia, 1945 (To = 0.5...1.5s), Mexico City, 1957 (To>2s),
Niigata – Japonia 1964 (To=0.5...1.0s), Caracas – Venezuela, 1967 (To>0.6s),
Bucuresti – Romania, 1977 ( To=0.9...1.7s), etc.
Efectele seismice inregistrate in timpul cutremurelor mentionate au fost
majore, amplificarile seismice fiind generate, in afara mecanismelor specifice de
focar, in mod decisiv de caracteristicile geologice superficiale ale
72
amplasamentelor, desi distantele epicentrale au fost variabile (295 km – Mexico
City, 55 km – Caracas, 165 km – Bucuresti).
Cercetarile de seismologie au identificat existenta unor zone de umbre in
care efectele seismice de suprafata au fost minime, chiar in situatiile in care
distantele epicentrale erau reduse. Aceste fenomene particulare se datoreaza
caraceristicilor globale si locale ale mediului de propagare, filtrarii componentelor
intensive, atenuarilor interne, existentei unor ecrane de reflexie sau refractie, etc.
Influenta proprietatilor straturilor superficiale asupra configuratiei si
intensitatii miscarii seismice este pusa in evidenta in figura 24, in care sunt
redate inregistrarile instrumentale obtinute la Arvin Tehachiapi in timpul
cutremurului din Kern County – Taft din 21 iulie 1952.
Figura 24 – a) teren aluvionar; b) – teren compact
Astfel, in Figura 24.a este redata inregistrarea deplasarilor intr-un teren
aluvionar, iar in Figura 24.b se prezinta inregistrarea deplasarilor intr-un teren
compact, stancos, ambele fiind obtinute la suprafata libera a terenului.
9.2.2. Focalizarea fenomenelor seismice
Focalizarea undelor seismice, in anumite zone relativ restranse situate la
suprafata terenului, reprezinta un proces de propagare si amplificare locala
extrem de complex, care se manifesta independent de distanta epicentrala. La
generarea acestui fenomen seismic particular, un rol important il au
caracteristicile geologice globale ale mediului de propagare, precum si conditiile
locale specifice straturilor superficiale. Se admite ca focalizarea fenomenelor
seismice survine in acele zone in care exista depozite sedimentare sau
aluvionare adanci, sensibile din punct de vedere dinamic. Aparitia focalizarii pe
suprafete destul de limitate, poate fi atribuita si procesului de reflexie si refractie
a undelor seismice la contactul cu anumite discontinuitati geologice existente in
mediul de propagare al undelor seismice.
73
9.2.3. Deformari cu caracter permanent
Principalii factori care influenteaza comportarea terenurilor, in timpul
cutremurelor puternice, sunt:
caracteristicile cutremurului;
caracteristicile geologice globale ale mediului de propagare cuprins intre
sursa si amplasament;
caracteristicile geologice locale ale amplasamentului (geomorfologia,
stratigrafia, grosimea depozitului superficial, nivelul apelor subterane etc.);
caracterisiticile fizico-mecanice si dinamice ale terenului (rezistenta
mecanica, unghi de frecare interna, porozitate, consistenta, perioade
predominante etc.)
Cele mai importante modificari care pot surveni in starea de echilibru a
straturilor superficiale sunt:
rupturi in scoarta insotite de prabusiri sau procese de faliere;
alunecari de terenuri care pot antrena deplasarea versantilor;
reactivarea unor falii existente;
tasari, produse prin fenomenul de compactare ale depozitelor granulare
necoezive;
lichefierea depozitelor nisipoase saturate.
Deformarile permanente cu caracter tectonic sunt, in general, specifice
cutremurelor cu focarul relativ superficial. Fenomenele de lichefiere apar ca
urmare a cresterii presiunii apei din porii nisipurilor granulare aparent compacte,
conducand la cedari instantanee ale terenului, insotite de tasari diferentiate si
presiuni laterale importante. Terenurile cele mai sensibile la deformari cu
caracter permanent sunt cele cu pronuntata neomogenitate, slab consolidate si
de consistenta redusa. Din aceasta categorie fac parte depozitele aluvionare,
alcatuite din materiale granulare (nisipuri fine, pietrisuri marunte), afanate si
saturate, definite prin compozitia granulometrica, densitatea aparenta, textura,
rezistenta la forfecare, nivelul apelor subterane. (Mazars, 1986)
74
10. ANALIZA DINAMICA INCREMENTALA
Analiza dinamica incrementala, ADI, este o analiza parametrica
prin care se incearca intelegerea amanuntita a capacitatii structurii de a rezista la
incarcari seismice. ADI implica supunerea unui model structural uneia sau mai
multor inregistrari seismice (accelerograme), fiecare scalata la diverse nivele de
intensitate, rezultand una sau mai multe curbe de raspuns parametrizat in functie
de nivelul de intensitate.
10.1. Principiile metodei analizei dinamice incrementale
Factorul de scalare este un numar λ, pozitiv, diferit de zero, cu care se
inmultesc toti termenii inregistrarii (acclerogramei). Aceasta trebuie interpretata
ca o scalare a spectrului elastic de raspuns cu λ (scalarea cu λ a amplitudinilor in
tot domeniul de frecvente, lasand faza intacta).
Masura intensitatii unei accelerograme scalate este un numar MI, mai
mare ca zero, care depinde de accelerograma nescalata, a1, si este monoton
crescator cu factorul de scalare λ. Exemple simple de MI scalabile sunt
acceleratia maxima a terenului (PGA), viteza maxima a terenului, acceleratia
spectrala corespunzatoare primului mod de vibratie si valorii de 5% din
amortizarea critica (Sa(T1,5%)), factorul R normalizat R= λ / λ yield (unde λ yield
reprezinta, pentru un model structural si o accelerograma date, cea mai mica
valoare a factorului de scalare pentru care apare curgerea). Aceste MI au, de
asemenea, proprietatea de a fi proportionale cu factorul de scalare.
Masura degradarii este un numar pozitiv, MD, care caracterizeaza
raspunsul structurii supuse unei incarcari seismice. MD este un rezultat sau
poate fi calculat din rezultatele unei analize dinamice inelastice. MD poate fi
forta taietoare de baza maxima, rotiri de nod, ductilitati maxime pe etaj, indici
Park-Ang, deplasarea maxima la varf, driftul maxim. Alegerea unei MD potrivite
depinde de obiectul studiului si de structura insasi. Este recomandabil sa se
foloseasca una sau mai multe MD pentru a estima diverse caracteristici ale
raspunsului, stari limita sau moduri de cedare interesante din punctul de vedere
75
al proiectarii bazate pe performanta. Daca se doreste evaluarea degradarii
elementelor nestructurale in cladiri multietajate, se pot alege ca MD acceleratiile
maxime la niveleul planseului.
Studiul ADI bazat pe o singura accelerograma reprezinta o analiza
dinamica, un studiu pe un model structural dat, parametrizat prin scalarea unei
accelerograme. Mai este cunoscut si sub numele de “dynamic pushover”,
presupune o serie de rulari de analize dinamice inelastice care au ca excitatie
“imagini” scalate ale unei accelerograme a carei MI sunt selectate in asa fel incat
sa acopere o gama cat mai larga a comportarii structurii (de la comportare
elastica la comportare neliniara si, in final, la colaps). Scopul este inregistrarea
masurii degradarii (MD) structurii corespunzatoare fiecarui nivel al masurii
intensitatii (MI), rezultatele fiind reprezentate, in functie de nivelul de intensitate,
ca si curbe continue.
Curba ADI reprezinta variatia variabilei de stare (MD), inregistrata in timpul
analizei dinamice incrementale, in functie de unul sau mai multe masuri ale
intensitatii (MI) care caracterizeaza accelerograma scalata. O curba ADI poate fi
bi- sau tridimensionala, in functie de numarul de MI, din care cel putin unul
trebuie sa fie scalabil. Este evident ca rezultatele anlizei dinamice incrementale
pot fi prezentate intr-o multitudine de curbe, numarul acestora depinzind de
numarul de MI si MD. Un studiu ADI bazat pe o singura inregistrare
(accelerograma) nu poate surprinde comportarea de ansamblu a cladirii la un
viitor seism. Rezultatele ADI depind hotarator de inregistrarea aleasa, deci
trebuie ales un numar suficient de mare de accelerograme pentru a acoperi
intreaga gama de raspunsuri ale structurii.
In consecinta, structura trebuie supusa unei suite de accelerograme.
Studiul ADI folosind mai multe inregistrari reprezinta un set de mai multe
studii ADI folosind o singura inregistrare pe aceeasi structura, schimbind
accelerograma dupa terminarea fiecarei analize. Un asemenea studiu conduce la
un set de curbe ADI, care daca sunt reprezentate in aceleasi coordonate MI si
MD se pot trasa pe acelasi grafic.
Un set de curbe ADI reprezinta o serie de curbe ADI al aceleiasi structuri
sub excitatii produse de diferite accelerograme, toate curbele fiind parametrizate
folosind aceiasi MI si MD. (Fajfar, 2000), (Vamvatsikos & Cornell, 2001)
76
10.2. Proprietatile curbei ADI
Studiul prin metoda analizei dinamice incrementale este dependent strict de
accelerograma sau accelerogramele folosite si de felul cum a fost modelata
structura. Acelasi model poate avea o comportare foarte diferita atunci cand este
supus unor excitatii diferite, aceste raspunsuri sunt dificil de prevazut de la
inceput. Fiecare curba ADI prezinta cerintele impuse structurii de fiecare
accelerograma in parte.
1. Toate curbele prezinta un domeniu de comportare liniar-elastica ce se
sfarseste pentru Syielda(T1,5%) cand se produce prima curgere. Orice
model structural cu comportare initial liniar elastica va avea acest tip de
comportare, ce se va incheia cand apare prima neliniaritate. Panta
MI/MD a acestui segment din curba ADI reprezinta rigiditatea elastica
pentru MI si MD dati.
2. Urmatorul segment al curbei depinde de modelul structural, alcatuirea
efectiva a structurii si de accelerograma de intrare. Structura poate
prezenta dupa domeniul elastic de comportare un “palier”, o
“consolidare”, sau va respecta regula deplasarilor egale (“equal
displacement rule” – observatia empirica conform careia pentru perioade
moderate deplasarile inelastice sunt aproximativ egale cu deplasarile
corespunzatoare comportarii elastice).
3. Urmeaza segmentul final al curbei, ultimul palier, care apare in
momentul in care structura se degradeaza rapid si progresiv, semnaland
inceputul instabilitatii dinamice. Aceasta se poate defini analog
instabilitatii statice, ca punctul in care deplasarile cresc foarte mult
pentru un increment foarte mic al fortei. Pentru o inregistrare data,
“tiparul” (continutul de frecvente) si viteza de incarcare au o pondere mai
mare asupra raspunsului structurii decat intensitatea (PGA). Pentru o
accelerograma violenta (PGA mare) raspunsurile structurii din prima
parte a inregistrarii (PGA relativ mic) sunt suficient de violente incat sa
provoace degradari (curgeri) ceea ce altereaza raspunsul structurii in
partea de intensitate maxima a inregistrarii. (Fajfar, 2000),
(Vamvatsikos & Cornell, 2001)
77
10.3. Identificarea capacitatii si a starilor limita pe curba ADI
- Regula bazata pe masura degradarii (MD): daca MD > MDlimita atunci
starea limita este depasita. Conceptul acestei reguli este ca MD este un indicator
al marimii si extinderii avariilor, deci daca acesta creste peste o anumita valoare
atunci structura se afla intr-o stare limita. Valorile MDlimita se pot obtine in urma
unor teste, aplicarii unor teorii sau prin experienta inginereasca; acestea nu sunt
niste valori fixe, deterministe, ci ele se pot stabili cu o anumita probabilitate. O
valoare unica a MDlimita poate conduce la mai multe valori pe curba ADI. Aceasta
ambiguitate poate fi inlaturata (acoperitor), de exemplu, prin alegerea celui mai
mic indice MI corespunzator MDlimita ales. Colapsul poate fi gasit prin reguli
pentru MD, atunci cand valoarea MD este foarte mare sau algoritmii nu mai
converg ori apar instabilitati numerice.
- Regula bazata pe masura intensitatii (MI): daca MI > MIlimita atunci starea
limita este depasita. Avantajul acestei reguli este ca estimeaza mai bine
capacitatea ultima pentru ca acesteia ii corespunde un singur MI care imparte
curba ADI in doua domenii: unul cu MI < MIlimita (domeniul non-colaps) si unul cu
MI > MIlimita (domeniul ulterior colapsului).
FEMA 350 prevede ca ultimul punct de pe curba ADI caruia ii corespunde o
panta de 20% din cea elastica se desemneaza ca punct de capacitate. Ideea
este ca “turtirea” curbei reprezinta un indicator al instabilitatii dinamice. Pornind
de la aceste doua reguli se pot construi reguli compuse. De exemplu, cand o
structura are cateva moduri in care poate ajunge la colaps, nedectabile cu o
singura MD, este recomandabil sa se gaseasca punctul corespunzator colapsului
folosind si un operator logic SAU pentru fiecare mod de cedare. In FEMA 350 si
FEMA 351 se stipuleaza o regula de tipul: punctul de pe curba ADI
corespunzator intersectiei cu o semidreapa cu panta 20% din panta elastica sau
MDlimita = 10% MD defineste colapsul. Daca s-ar fi urmarit exprimarea numai in
termeni MD se puteau inregistra erori importante, deoarece pe o curba ADI
aplatizata, care tinde sa se plafoneze, unui domeniu larg de MD ii corespunde un
domeniu restrins de MI, deci selectia MD corespunzatoare colapsului devine
sensibila la calitatea trasarii curbei ADI. Insa, daca se foloseste si o exprimare in
termeni MI (panta 20%), regula devine foarte robusta. S-a observat ca in general
78
capacitatea se exprima cel mai bine in termeni MI. (Fajfar, 2000), (Vamvatsikos
& Cornell, 2001)
10.4. Analiza dinamica incrementala si analiza statica neliniara
Ceea ce au in comun analiza dinamica incrementala si analiza statica
neliniara este faptul ca incarcarea aplicata structurii creste intr-un anumit numar
de pasi de la zero la valoarea corespunzatoare colapsului. Reprezentand curbele
rezultate in urma analizei statice neliniare (folosind o distributie a fortelor
seismice echivalente dupa configuratia primului mod propriu de vibratie) si a celei
dinamice incrementale (curba “medie”) in coordonate Sa(T1,5%) si θmax, se va
observa faptul ca ambele curbe corespund unui domeniu similar al masurii
degradarii. Curba ADI se ridica intotdeauna mult deasupra curbei pushover.
Trecerea de la curba rezultata in urma analizei statice neliniare la curba
ADI. si viceversa este greu de facut. Se pot face cateva observatii care permit
determinarea curbei ADI pe baza curbei pushover (care se poate obtine mai
usor).
Domeniul elastic al curbei pushover se suprapune peste domeniul elastic al
curbei ADI si primul semnal de comportare neliniara apare pentru aceleasi
valori ale numerelor MD si MI.
Pentru structurile cu perioada moderata, domeniul de rigiditate “pozitiva” ce
succede curgerea pe curba pushover corespunde domeniului de pe curba
ADI care respecta regula deplasarilor egale (ca o continuare a domeniului de
comportare elastica ce precede, de obicei, o consolidare); pentru structurile
cu perioade joase se observa o scadere a rigiditatii.
Un domeniu cu rigiditate “negativa” (descrescatoare) pe curba pushover
corespunde unei scaderi de rigiditate pe curba ADI care poate duce la colaps
(palier pe curba ADI), daca nu cumva urmeaza o consolidare pe curba
pushover.
Un domeniu cu rigiditate pozitiva pe curba pushover ce succede un domeniu
de rigiditate negativa se regaseste pe curba ADI si se prezinta ca o noua
regula a deplasarilor egale. (Fajfar, 2000), (Vamvatsikos & Cornell, 2001)
79
11. STUDIU DE CAZ
11.1. Generalitati
In studiul de caz se prezinta analiza modala, analiza static neliniara si
analiza dinamic neliniara a unui imobil din Constanta.
11.2. Regimul de inaltime
Regimul de inaltime al cladirii este de D+P+M+11E.
11.3. Structura de rezistenta
Structura de rezistenta este de tip cadre de beton armat. Cadrele sunt
alcatuite din stalpi cu sectiunea de 55x55 cm, 60x60 cm, 65x65 cm, 70x70 cm,
75x75 cm, 80x80 cm si 90x90 cm, iar grinzile au sectiunea 30x50 cm, 30x55 cm,
35x55 cm, 35x60 cm, 40x60 cm, 45x65 cm si 50x70 cm. Planseele sunt din
beton armat cu grosimea de 15 cm.
Fundarea cladirii se face pe radier general din beton armat .
Destinatia cladirii este de birouri, locuinte de serviciu si comert.
Modelul 3D al structurii din programul de calcul este prezentat in Figura
25.
80
Figura 25 - MODELUL 3D AL STRUCTURII
81
11.4. Materiale utilizate
Beton :
Bc 30 (B400) pana la cota +12.45 m. Bc 22,5 (B300) intre cotele + 12.45 -- + 43.85 m.
Otel :
OB 37 - etrieri. PC52 - restul.
Bc 30:
Rc = 18 N/mmp Rt = 1.25 N/mmp Eb = 32500 N/mmp
Bc 22.5:
Rc = 13.5 N/mmp Rt = 1 N/mmp Eb = 29000 N/mmp
OB 37:
Ra = 210 N/mmp PC 52:
Ra = 300 N/mmp In calculul neliniar s-au folosit rezistentele medii ale betonului si armaturii:
Beton : Rcm = 1.75*Rc Otel : Ram = 3.35*Ra
82
11.5. Incadrarea in clase si categorii
Conform Normativului P100-1/2006, construcţia se va amplasa în zona
caracterizata de valoarea de varf a acceleratiei terenului ag = 0,16g si de
perioada de control (colt) Tc=0.7s. Conform Normativului P100-1/2006,
construcţia se incadreaza in Clasa II de importanţă, pentru care ag = 1,2.
11.6. Evaluarea incarcarilor gravitationale
In Tabelul 11.6. sunt prezentate incarcarile gravitationale.
Tabel 11.6. - Incarcari gravitationale
11.7. Descrierea programelor folosite
11.7.1. Sap2000
Proprietatile articulatiilor plastice
Pentru a modela comportarea neliniara a structurii, in zonele
prestabilite vor fi amplaste articulatii plastice care sunt zone ce pot fi supuse
modificarilor de a intra in domeniul de comportare inelastic. Pentru a defini
aceste zone, este necesara armarea elementelor printr-o procedura standard –
metoda proiectarii capacitatii de rezistenta cu eforturi fie din calcul static
echivalent, fie din spectru.
Dupa cum se vede in Figura 26 curba de deformaţie plastică este o
reprezentare grafică a variației forţei în raport cu deplasarea, cu ajutorul căreia
se obţine valoarea forţei, respectiv a deplasării la care elementul atinge pragul
tip incarcare valoare normata coef. fundam. coef. speciala
tencuiala + planseu fals 0.05 t/mp 1.35 1
pardoseala+sapa 0.15 t/mp 1.35 1
inchideri-sticla 0.29 t/ml 1.35 1
inchideri-zidarie 1.54 t/ml 1.35 1
pereti desp. 0.87 t/ml 1.35 1
utila (P+1+2) 0.4 t/mp 1.5 0.4
utila (3 - 10) 0.2 t/mp 1.5 0.4
utila (11) 0.15 t/mp 1.5 0.4
utila (terasa) 0.16 t/mp 1.5 0.4
83
curgerii şi de asemenea valoarea deplasării după atingerea acestui prag. Curba
“forță-deplasare” este determinată de valorile din cinci puncte, A, B, C, D şi E.
Figura 26 – Curba A-B-C-D-E Forta - Deplasare
Punctele definite pe curba “forță–deplasare” au următoarea
semnificație:
Punctul A reprezintă originea;
Punctul B reprezintă stadiul de comportare liniară până la limita
de elasticitate. În articulațiile plastice corespunzătoare punctului B nu se
dezvoltă deplasări, indiferent de valorile deformaţiilor specifice din structură
dezvoltate în acest moment. Deplasarea corespunzătoare punctului B se scade
din valoarea deplasărilor aferente punctelor C, D şi, respectiv E. După depășirea
limitei corespunzătoare punctului B pe grafic se vor dezvolta în structură numai
deformaţiile de tip plastic, identificabile în articulaţiile plastice formate;
Punctul C corespunde capacitații ultime de rezistenţă din
articulaţia plastică respectivă;
Punctul D reprezintă rezistenţa reziduală a articulaţiei
respective;
Punctul E indică colapsul total. După depășirea punctului E,
articulaţia va elibera încărcarea asimilată ei. (SAP 2000, 1999)
84
Analiza Dinamica Neliniara Time - History
Metoda integrarii directe
Metoda integrării directe se bazează pe integrarea ecuaţiilor de
mişcare. Folosirea integrării directe în analizele dinamice a numeroase tipuri de
structuri a dus la dezvoltarea unor metode de rezolvare ce pot fi clasificate în
metode explicite şi metode implicite. (Bathe & Baig, 2005)
11.7.2. Seismosignal
Seismosignal este un program specializat în analiza înregistrărilor mişcărilor
seismice, produs de Seismosoft - Earthquake Engineering Software Solutions.
Programul dispune de o capacitate de determinare a o serie de parametri de
miscare seismica, cum ar fi:
- Determinarea spectrelor Fourier;
- Determinarea spectrelor de raspuns elastice si pseudo-spectrelor de
raspuns;
- Determinarea spectre de raspuns inelastice si cerinte de ductilitate;
- Determinarea radacinii medii patratice ale valorilor acceleratiei, vitezelor si
deplasarilor;
- Determinarea ariilor si a intensitatilor caracteristice;
- Determinarea vitezei absolute cumulative si a densitatii energiei specifice;
- Determinarea intensitatii Housner; etc.
Programul permite introducerea accelerogramelor, avand ca baza de date
accelerogramele cele mai populare utilizate. (Seismo-Signal)
85
11.8. Curbe de interactiune moment incovoietor – forta axiala
Trasarea curbelor de interactiune moment incovoietor – forta axiala pentru stalpii
structurii se vizualizeaza in Figurile 27, 28 si 29.
Figura 27 - Pentru N ≈ - 540 tf rezulta o valoare a M ≈ 280 tm
Figura 28 - Pentru N ≈ - 440 tf rezulta o valoare a M ≈ 225 tm
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
0 100 200 300 400
Fort
a ax
iala
Moment incovoietor
Curba de interactiune M - N Stalp 90x90
Curba de interactiune M - N
-1600
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
0 50 100 150 200 250
Fort
a ax
iala
Moment incovoietor
Curba de interactiune M - N Stalp 80x80
Curba de interactiune M - N
86
Figura 29 - Pentru N ≈ - 350 tf rezulta o valoare a M ≈ 135 tm
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
0 50 100 150 200
Fort
a ax
iala
Moment incovoietor
Curba de interactiune M - N Stalp 75x75
Curba de interactiune M - N
87
11.9. Rezultatele analizei modale
Perioadele proprii fundamentale de vibratie ale cladirii sunt aratate mai jos.
Formele proprii de vibratie in primele moduri de vibratie, se manifesta dupa
directiile x si y.
Perioadele proprii de vibratie :
T1 – 1.18 s. (translatie pe directie transversala – yy) – mod de vibratie
fundamental;
T2 – 1.02 s. (translatie pe directie longitudinala - xx);
T3 – 0.97 s. (torsiune generala).
Factorii de participare ai maselor :
......ctransversal = 0.64; ......clongitudinal = 0.62
Avem de-a face cu o structura flexibila care prezinta avantajul ca fortele
seismice au valori reduse, datorita unei amplificari dinamice mici. Se va arata
mai jos ca, desi, structura este caracterizata de o flexibilitate importanta,
conditiile de deplasari/drift sunt respectate.
In Tabelul 11.9.1 si 11.9.2 sunt prezentate valorile fortei taietoare de baza
si factorii de participare ai maselor.
Forta taietoare de baza si factorii de participare ai maselor :
Tabel 11.9.1
Cazuri folosite
GlobalFX GlobalFY GlobalFZ GlobalMX GlobalMY GlobalMZ
Tonf Tonf Tonf Tonf-m Tonf-m Tonf-m
sx 324.818 2.7595 0.636 53.00436 10083.24 2405.748
sy 2.0927 291.7188 1.0139 8892.092 49.16638 3296.219
Tabel 11.9.2
Output Case
StepNum Period UX UY UZ SumUX SumUY
Sec
MODAL 1 1.181128 1.17E-08 0.64014 5.18E-06 1.17E-08 0.64014
MODAL 2 1.02785 0.623327 0.000026 1.08E-06 0.623327 0.640166
MODAL 3 0.974136 0.020377 0.000855 6.30E-07 0.643705 0.641021
MODAL 4 0.428321 1.76E-06 0.13745 4.90E-06 0.643706 0.778471
MODAL 5 0.380092 0.12236 0.000032 9.49E-07 0.766067 0.778503
MODAL 6 0.366513 0.009617 0.000251 6.19E-07 0.775684 0.778754
MODAL 7 0.249201 7.70E-07 0.056306 1.09E-06 0.775684 0.83506
MODAL 8 0.224287 0.050049 0.000019 4.86E-07 0.825733 0.835078
MODAL 9 0.217274 0.005223 0.00012 1.68E-07 0.830956 0.835198
MODAL 10 0.167138 2.40E-07 0.030074 0.000022 0.830956 0.865272
MODAL 11 0.152016 0.027069 7.16E-06 7.88E-06 0.858025 0.865279
MODAL 12 0.146871 0.002016 0.00006 2.92E-06 0.860041 0.86534
88
In Figurile 30, 31 si 32 observam reprezentarea primelor 3 moduri de vibratie.
Figura 30 - MODUL 1 – translatie pe directie transversala (dir. y)
89
Figura 31 - MODUL 2 - translatie pe directie longitudinala (dir. x)
90
Figura 32 - MODUL 3 - torsiune generala
91
11.10. Influenta variatiei modulului de elasticitate
Analiza influentei variatiei modulului de elasticitate al materialului asupra
raspunsului structural este analizata in Tabelul 11.10:
Tabel 11.10
Var. Modulul de Elasticitate Perioada proprie de vibratie
i 2900000 1.16s
ii 3480000 1.07s
iii 2320000 1.32s
Nota:
i - valori ale modulului de elasticitate in varianta initiala;
ii - valori sporite cu 20 % ale modulului de elasticitate;
iii - valori diminuate cu 20 % ale modulului de elasticitate.
Din analiza realizata se observa influenta modulului de elasticitate asupra
rigiditatii structurii. Relatia intre modulul de elasticitate si perioada fundamentala
de vibratie este una neliniara.
92
11.11. Evaluarea incarcarilor seismice
Actiunea seismica a fost modelata folosind metoda calculului modal cu spectre
de raspuns (C.M.S.R).
Metoda C.M.S.R. are la baza suprapunerea raspunsurilor modale maxime
asociate modurilor proprii semnificative. Fiecare mod propriu de vibratie este
caracterizat de frecventa, de vectorul propriu (forma de vibratie ) si de fractiunea
din amortizarea critica modala. Se determina raspunsul maxim pentru fiecare mod
propriu de vibratie semnificativ si prin suprapunerea raspunsurilor maxime (cu
reguli de compunere modala) se calculeaza raspunsul maxim total.
In calculul modal trebuie considerate toate modurile de vibratie care contribuie
semnificativ la raspunsul modal. Criteriul frecvent utilizat in codurile de proiectare
considera un anumit numar de moduri proprii de vibratie pentru care masa
modala efectiv antrenata in miscare reprezinta cel putin 80% din masa totala a
structurii.
Daca raspunsurile modale care au contributii semnificative in raspunsul
structural total pot fi considerate independente, atunci efectul total maxim este
estimat prin regula de combinare SRSS-Square Root of Square Sum (radacina
patrata din suma patratelor). Daca raspunsurile dinamice corespunzatoare unor
moduri alaturate nu sunt independente, atunci regula de suprapunere este
combinatia patratica completa CQC- Completely Quadrat Combination .
Actiunea seismica s-a modelat prin spectrul de raspuns inelastic de proiectare,
conform Normativului P100-2006. Proiectarea pentru SLU se face pentru o
acceleratie maxima a terenului corespunzatoare unui Interval Mediu de Recurenta
de 100 ani, pentru un nivel de performanta Siguranta Vietii.
Forta taietoare de baza se determina dupa cum urmeaza:
Fb = * ( )*m unde:
= 1,2 – factorul de importanta-expunere al constructiei;
( ) - ordonata spectrului de răspuns de proiectare corespunzătoare
perioadei fundamentale T1;
93
( )= ag *β(T1)/q, unde ag = 0,16g;
β(T1) – spectrul normalizat de răspuns elastic – coef. calculat automat
de program;
q -factorul de comportare al structurii (factorul de modificare a
raspunsului elastic în răspuns inelastic); q = 5*1.35 = 6.75;
m - masa totala a cladirii (calculata automat de programul SAP2000).
Coeficientul seismic global pentru modul propriu fundamental de vibratie este
aproximativ 0.046. (P100-1, 2006), (P100-3, 2006)
In Tabelele 11.11.1. si 11.11.2. sunt prezentate valorile si graficele pentru
spectrele de proiectare conform P-100 – 2006 – Orizontal si Vertical.
94
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
0 1 2 3 4 5 6
B(T
)
T (s)
SpectruelasticSpectru deproiectare
Tabelul 11.11.1. - Spectru de proiectare P100 – 2006 - Orizontal
factor 1 neuniformitate
gama 1.2 importanta
amortiz.(%) 5
n 1 fact. de corectie fct. de
amortizare
β 2.75
g=9.81
q 6.75
Tb 0.07
Tc 0.7
Td 3
B0 3.3
ag 0.16 1.5696
Spectru elastic Spectru de proiectare
T β(T) T Sd(T)
0 1.00 0 1.5696
0.014 3.46 0.014 3.409152
0.028 1.92 0.028 1.248704
0.042 6.38 0.042 1.088256
0.056 2.84 0.056 0.927808
0.07 3.30 0.07 0.76736
0.35 3.30 0.35 0.76736
0.7 3.30 0.7 0.76736
1 6.31 1 0.537152
3.3 1.78 3.3 0.413194
1.6 3.44 1.6 0.33572
1.9 1.22 1.9 0.282712
6.2 1.05 6.2 0.24416
2.4 0.96 2.4 0.223813
2.6 0.89 2.6 0.206597
2.8 0.83 2.8 0.19184
3 0.77 3 0.179051
3.2 0.68 3.2 0.157369
3.4 0.60 3.4 0.139399
3.6 0.53 3.6 0.124341
3.8 0.48 3.8 0.111597
4 0.43 4 0.100716
6.2 0.39 6.2 0.091352
4.4 0.36 4.4 0.083236
4.6 0.33 4.6 0.076156
4.8 0.30 4.8 0.069942
5 0.28 5 0.064458
95
Tabelul 11.11.2. - Spectru de proiectare P100 – 2006 - Vertical
q 1.5
g=9.81
Tbv 0.0315
Tcv 0.315
Tdv 3
Bov 3
ag 0.112 1.09872
Spectru elastic Spectru de proiectare
T (T) T Svd(T)
0 1.00 0 1.09872
0.0063 3.40 0.0063 3.318464
0.0126 1.80 0.0126 1.538208
0.0189 6.20 0.0189 1.757952
0.0252 2.60 0.0252 1.977696
0.0315 3.00 0.0315 6.19744
0.1575 3.00 0.1575 6.19744
0.315 3.00 0.315 6.19744
0.7 3.35 0.7 0.988848
1 0.95 1 0.692194
3.3 0.73 3.3 0.532457
1.6 0.59 1.6 0.432621
1.9 0.50 1.9 0.364312
6.2 0.43 6.2 0.314633
2.5 0.38 2.5 0.276877
2.8 0.34 2.8 0.247212
3 0.32 3 0.230731
3.2 0.28 3.2 0.202791
3.4 0.25 3.4 0.179635
3.6 0.22 3.6 0.16023
3.8 0.20 3.8 0.143808
4 0.18 4 0.129786
6.2 0.16 6.2 0.11772
4.4 0.15 4.4 0.107261
4.6 0.13 4.6 0.098137
4.8 0.12 4.8 0.090129
5 0.11 5 0.083063
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
0 1 2 3 4 5 6
B (
T)
T (s)
Spectru elastic
Spectru deproiectare
96
11.12. Analiza spectrala. Deplasari laterale.
Verificare deplasari laterale directie longitudinala - x Date de intrare: v = 0,5; q = 6,75; T = 1,18; c=1; a = 0,008 (SLS); a = 0,025 (ULS). Inaltime totala (peste fundatie) = 46,4 m.
Tabelul 11.12.1. – Deplasari relative de nivel – directia X
etaj nivel H di,e dr,e dr,SLS dr,aSLS SLS drSLU dr,aSLU SLU
14 12 3.5 0.04208 0.00054 0.00181 0.008 ok 0.0036 0.025 ok
13 11 3.5 0.0402 0.00083 0.00280 0.008 ok 0.0056 0.025 ok
12 10 3.5 0.03729 0.00104 0.00350 0.008 ok 0.0070 0.025 ok
11 9 3.5 0.03367 0.00111 0.00375 0.008 ok 0.0075 0.025 ok
10 8 3.5 0.02978 0.00119 0.00403 0.008 ok 0.0081 0.025 ok
9 7 3.5 0.0256 0.00122 0.00413 0.008 ok 0.0083 0.025 ok
8 6 3.5 0.02132 0.00126 0.00425 0.008 ok 0.0085 0.025 ok
7 5 3.5 0.01691 0.00120 0.00407 0.008 ok 0.0081 0.025 ok
6 4 3.5 0.01269 0.00109 0.00367 0.00800 ok 0.0073 0.025 ok
5 3 3.5 0.00888 0.00096 0.00325 0.00800 ok 0.0065 0.025 ok
4 2 3.5 0.00552 0.00083 0.00280 0.008 ok 0.0056 0.025 ok
3 1 3 0.00261 0.00057 0.00191 0.008 ok 0.0038 0.025 ok
2 P 2.45 0.00092 0.00031 0.00106 0.008 ok 0.0021 0.025 ok
1 s 2.45 0.00015 0.00006 0.00020 0.008 ok 0.0004 0.025 ok
In Tabelul 11.12.1 se poate observa respectarea, pe directia X, a deplasarilor
relative de nivel la SLS si SLU.
0.00000 0.00200 0.00400 0.00600 0.00800 0.01000
1
3
5
7
9
11
13
deplasare
eta
j
Deplasari relative de nivel directie longitudinala - X
SLSSLU
97
Verificare deplasari laterale directie transversala - y
Date de intrare: v = 0,5; q = 6,75; T = 1,02; c=1; a = 0,008 (SLS); a = 0,025 (ULS). Inaltime totala ( peste fundatie ) = 46,4 m.
Tabelul 11.12.2. – Deplasari relative de nivel – directia Y
etaj nivel H di,e dr,e dr,SLS dr,aSLS SLS drSLU dr,aSLU SLU
14 12 3.5 0.04953 0.00070 0.00235 0.008 ok 0.0047 0.025 ok
13 11 3.5 0.04709 0.00102 0.00343 0.008 ok 0.0069 0.025 ok
12 10 3.5 0.04353 0.00124 0.00418 0.008 ok 0.0084 0.025 ok
11 9 3.5 0.03919 0.00132 0.00445 0.008 ok 0.0089 0.025 ok
10 8 3.5 0.03458 0.00140 0.00473 0.008 ok 0.0095 0.025 ok
9 7 3.5 0.02968 0.00143 0.00483 0.008 ok 0.0097 0.025 ok
8 6 3.5 0.02467 0.00146 0.00493 0.008 ok 0.0099 0.025 ok
7 5 3.5 0.01955 0.00139 0.00469 0.008 ok 0.0094 0.025 ok
6 4 3.5 0.01469 0.00125 0.00423 0.008 ok 0.0085 0.025 ok
5 3 3.5 0.0103 0.00111 0.00375 0.008 ok 0.0075 0.025 ok
4 2 3.5 0.00642 0.00094 0.00318 0.008 ok 0.0064 0.025 ok
3 1 3 0.00312 0.00066 0.00223 0.008 ok 0.0045 0.025 ok
2 P 2.45 0.00114 0.00039 0.00132 0.008 ok 0.0026 0.025 ok
1 s 2.45 0.00018 0.00007 0.00025 0.008 ok 0.0005 0.025 ok
In Tabelul 11.12.2 se poate observa respectarea, pe directia Y, a deplasarilor
relative de nivel la SLS si SLU.
0.00000 0.00200 0.00400 0.00600 0.00800 0.01000 0.01200
1
3
5
7
9
11
13
deplasare
eta
j
Deplasari relative de nivel laterale directie transversala - Y
SLSSLU
98
11.13. Comparatie privind calculul fortei taietoare de baza
In „ Code Minimum Base Shear - Joe Maffei” , se propune o valoare
minima a fortei taietoare ce poate fi calculata cu formula urmatoare:
unde,
cv – coeficient seismic = 0.16;
I – factor de importanta = 1.2;
T – perioada fundamentala = 1.18s;
R – coeficient de reducere = 6.75;
W – greutatea cladirii.
cmin = 0.024
Conform „P100/2006” – forta taietoare de baza aplicata in calculul
modal cu spectre de raspuns este exprimata astfel:
( )
unde,
γ – factor de importanta = 1.2;
Sd(T) – spectrul de proiectare pentru acceleratii , m/s2;
q – factorul de comportare al structurii;
( ) ( )
Din calculele efectuate in subcapitolul 11.9, evidentiate in tabelul 11.9.1:
Ftbx = 325 tf si Ftbx = 292 tf
G = W = 9057 t
cx = 0.036 > cmin = 0.024
cy = 0.032 > cmin = 0.024
In concluzie, forta taietoare de baza pentru un amplasament cu o seismicitate
moderata (ag=0.16*g) este mai mare decat forta taietoare de baza minima
propusa de Joe Maffei. (Maffei, 2007)
99
11.14. Determinarea cerintei de deplasare
Pentru evaluarea rezervelor de rezistenta ale structurii a fost efectuata o
analiza statica neliniara pe modelul spatial al structurii. Au fost luate in calcul atat
neliniaritatile de tip geometric ale structurii, cat si neliniaritatile fizice de material.
Astfel s-a tinut cont de efectul de ordinul II produs de incarcarile gravitationale si
de incursiunile in domeniul elasto-plastic ale grinzilor si al stalpilor structurii.
Planseele, ca si elementele infrastructurii, au fost considerate ca vor ramane in
domeniul elastic de comportare pe toata durata solicitarii.
Structura a fost actionata cu incarcari gravitationale reduse in prima faza,
apoi, structura a fost solicitata lateral pana la atingerea cerintei de deplasare
atat pe directie transversala, cat si longitudinala. Incarcarile gravitationale au fost
mentinute la o valoare constanta pe toata durata analizei. Deplasarea laterala a
fost multiplicata monoton crescator pana la atingerea valorii cerintei de
deplasare.
Cerinta de deplasare a fost calculata conform anexei D din Normativul
P100-1/2006.
In urma analizei neliniare s-a verificat mecanismul de plastificare, precum
si raportul α/α1, propus la determinarea factorului de comportare q, a deplasarilor
relative de nivel, a fortelor taietoate maxime si a rotirilor in articulatiile plastice.
Notaţii:
ø - vectorul formei deplasărilor normalizate (cu valoarea unitara la vârf).
Procedura se poate modifica foarte uşor pentru cazul în care se selectează alt
nivel pentru deplasarea caracteristica, considerând valoarea 1 la nivelul
deplasării caracteristice.
∑ - masa sistemului MDOF ( suma maselor de nivel mi);
Fb– forta taietoare de baza a sistemului MDOF;
∑
- masa generalizata a sistemului echivalent
SDOF;
∑ - factor de participare.
100
Relatiile de echivalare intre marimile raspunsului SDOF, deplasari d si
forte F , si marimile asociate raspunsului MDOF, d şi F, rezulta astfel:
∑
∑
(11.14.1)
∑ ∑
(∑ )
(11.14.2)
In vederea stabilirii parametrilor structurali definitorii pentru spectrele
raspunsului seismic inelastic, curba forta - deplasare urmeaza sa fie idealizata
sub forma unei diagrame biliniare. In acest scop, forta de initiere a curgerii se ia
egala cu rezistenta ultima a sistemului, corespunzatoare formarii mecanismului
plastic. Rigiditatea initiala a sistemului idealizat se determina astfel încat
capacitatea de absorbtie de energie sa nu se modifice prin schematizarea curbei
(conditia este ca ariile celor două curbe sa fie egale). In cazul idealizarii sub
forma unei diagrame biliniare fara consolidare in domeniul post-elastic,
deplasarea la curgere dy rezulta:
(
) (11.14.3)
unde: dm, E
m sunt deplasarea, respectiv energia de deformatie (aria
situata sub curba) corespunzatoare formarii mecanismului plastic.
In Tabelul 11.14.1. sunt prezentate valorile necesare pentru calculul deplasarii
conform Normativului P100 – 2006.
101
Tabelul 11.14.1. - Cerinta de Deplasare Conform Normativului P100/2006
factor 1 neuniformitate
gama 1.2 importanta
amortiz.(%) 5
n 1 fact. de corectie f de amortizare
β 2.75
1.5696 g= 9.81
q 6.75
Tb 0.07
Tc 0.7
Td 3
β0 3.3
ag 0.16
Spectru elastic
T β(T)
0 1.00
0.014 3.46
0.028 1.92
0.042 6.38
0.056 2.84
0.07 3.30
0.35 3.30
0.7 3.30
1.0 6.31
3.3 1.78
1.6 3.44
1.9 1.22
6.2 1.05
2.4 0.96
2.6 0.89
2.8 0.83
3.0 0.77
3.2 0.68
3.4 0.60
3.6 0.53
3.8 0.48
4.0 0.43
6.2 0.39
4.4 0.36
4.6 0.33
4.8 0.30
5.0 0.28
102
Etaj G total G story m story Φ1 Φ1 Φ2 Φ2 L1* M1* L2* M2*
normalizat normalizat
14 347.14 347.140 35.386 0.059 1 0.065 1 35.386 35.386 35.386 35.386
13 942.51 595.372 60.690 0.057 0.9596 0.062 0.9646 58.242 55.893 58.542 56.471
12 1555.3 612.797 62.466 0.053 0.8957 0.058 0.9030 55.957 50.126 56.412 50.944
11 2200.2 644.964 65.745 0.048 0.8151 0.053 0.8230 53.590 43.683 56.113 44.539
10 2856.4 656.172 66.888 0.0432 0.7260 0.047 0.7353 48.564 35.260 49.188 36.172
9 3523.4 666.980 67.989 0.037 0.6268 0.041 0.6353 42.622 26.719 45.199 27.448
8 4213.9 690.545 70.391 0.031 0.5226 0.034 0.5323 36.793 19.231 37.470 19.945
7 4904.5 690.545 70.391 0.024 0.4168 0.027 0.4261 29.339 16.229 29.997 12.783
6 5628.6 726.171 73.819 0.018 0.3159 0.021 0.3246 23.324 7.3697 23.963 7.7787
5 6369.0 740.36 75.470 0.013 0.2252 0.015 0.2307 16.996 3.8278 17.416 4.0191
4 7109.4 740.36 75.470 0.008 0.1428 0.009 0.1476 10.781 1.5402 11.146 1.6462
3 7702.8 593.40 60.489 0.004 0.0722 0.004 0.0738 6.3715 0.3159 4.4669 0.3298
2 8208.4 505.59 51.538 0.0001 0.0252 0.001 0.0246 1.2992 0.0327 1.2686 0.0312
1 8884.6 676.22 68.931 0.0001 0.0016 0.000 0.0030 0.1158 0.0001 0.2120 0.0006
Total 905.67 417.38 291.61 422.78 297.49
Cerinţele de deplasare pentru starea limită de serviciu (SLS) se determină
direct din calculul static elastic al structurii MDOF sub încărcările seismice de calcul
reduse corespunzător coeficienţilor, care ţin seama de intervalul de recurenţă mai
scurt al acţiunii seismice asociat cu starea limită de serviciu.
Cerinţele de deplasare ale sistemului SDOF echivalent, pentru starea limită
ultimă (ULS), se obţin din spectrele de deplasare ale răspunsului seismic inelastic.
Se pot folosi, dacă există, spectre aproximative, specifice amplasamentului. În caz
contrar, spectrele se pot calcula folosind programe de calcul specifice, utilizând
accelerograme înregistrate sau simulate, compatibile cu spectrul de proiectare pe
amplasament.
( ) ( ) (11.14.4)
unde:
c - coeficient de amplificare al deplasărilor în domeniul inelastic
SDe
(T) - spectrul de răspuns elastic
Parametrii care caracterizează valorile spectrale, respectiv, cerinţele de
deplasare, sunt:
- perioada T a sistemului SDOF echivalent, determinata cu formula:
√
(11.14.5)
- coeficientul seismic cy*:
103
(11.14.6)
După determinarea cerinţelor de deplasare ale sistemului SDOF, acestea se
convertesc în cerinţele de deplasare ale structurii reale MDOF:
∑
∑
(11.14.7)
Corespunzător acestor deplasări globale, se determină mecanismul de
cedare, eforturile in elementele fragile, deplasările relative de nivel şi deplasările
individuale ale elementelor (rotiri dezvoltate în articulaţiile plastice punctuale
echivalente etc) şi se verifică dacă sunt îndeplinite condiţiile pentru starea limită
considerată. Valorile admisibile ale deplasării relative de nivel, corespunzătoare
stării limita ultime, vor fi majorate cu 25% fata de valorile prevăzute în cadrul Anexei
E din P100 – 1/2006. Pe baza verificărilor deplasărilor structurale se validează
soluţia de structură proiectată prin metodele obişnuite sau se corectează solutia,
dacă este cazul, până la obţinerea performanţelor necesare. (P100-1, 2006), (P100-
3, 2006)
Calculul deplasarilor maxime pe cele doua directii este redat in Tabelul 11.14.2.
Tabel 11.14.2. Calculul deplasarilor maxime pe cele doua directii
T β(T) SDe(T) c 1<=c<=2 d*=SDi(T) d
s m
DIR. Y MODE 1 1.18 1.96 0.1083 1.2142 1 0.10837 0.1551
DIR. X MODE 2 1.02 6.26 0.0936 0.6428 1 0.09367 0.1331
Se
3.072692
104
11.15. ANALIZA STATICA NELINIARA
In Figurile 33 si 34 vizualizam aparitia primelor articulatii plastice pe
directiile X si Y.
Figura 33 - Aparitia primelor articulatii pe directia X (U = 0.0279 m, Fx = 679 t)
Figura 34 - Aparitia primei articulatii pe directia Y (U=0.0323 m, Fy = 578 t)
105
In Figurile 35 si 36 vizualizam diagramele forta-deplasare pe cele doua
directii, valorile deplasarilor tinta si ale ductilitatii de deplasare.
Figura 35 - Diagrama forta-deplasare pe directia X. Deplasarea tinta de 0.20 m cu forta taietoare de baza de 1278 t
Ductilitatea de deplasare du/dy=19/4=4.75
Figura 36 - Diagrama forta-deplasare pe directia Y.
Deplasarea tinta de 0.24 m cu forta taietoare de baza de 1047 t Ductilitatea de deplasare du/dy=24/6.3=5.58
106
Tabloul articulatiilor plastice corespunzator cerintei de deplasare reprezinta
un stadiu intermediar al formarii mecanismului de plastificare pe structura. Totusi,
si in acest stadiu. se poate verifica respectarea conceptiei de proiectare ce
presupune formarea articulatiilor plastice la capetele grinzilor si la baza stalpilor.
Figurile 37 si 38 prezinta articulatiile plastice formate pe un cadru in
momentul atingerii cerintei de deplasare (pentru directia x si pentru directia y),
cat si rotirile maxime in articulatii.
Figura 37 - Diagrama moment – rotire pentru o articulatie formata la nivelul 7 ( are valoare maxima ), dir. X
107
Figura 38 - Diagrama moment – rotire pentru o articulatie formata la nivelul 7
( are valoare maxima ), dir. Y
Analiza influentei variatiei parametrilor de confinare din cadrul
elementelor de rezistenta asupra raspunsului inelastic al structurii.
Din analiza static neliniara efectuata cu forte orizontale corespunzatoare
cerintei de deplasare, se observa o deplasare a structurii de 0.1522 m in cazul
parametrilor de confinare propusi initial.
Marind diametrul etrierilor cu 1d (un diametru), se obtine o valoare a
deplasarii structurii egala cu 0.1506 m. Micsorand diametrul etrierilor cu 1d (un
diametru) se obtine o valoare a deplasarii structurii egala cu 0.1576 m.
Se observa ca in cazul particular al acestei structuri, influenta maririi si
miscorarii parametrilor de confinare este nesemnificativa.
108
11.16. ANALIZA STRUCTURII IN CONLUCRARE CU TERENUL DE FUNDARE
Analiza statica neliniara (Push Over) s-a realizat si pe un model cu
resoarte la baza (structura pe un mediu elastic). Ordinea de aparitie a
articulatiilor plastice este putin diferita de modelul incastrat la baza, dar nu
intratat incat sa influenteze in mod hotarator comportarea structurii. La atingerea
deplasarii tinta dispozitia articulatiilor plastice este oarecum asemanatoare.
Rotirile in articulatiile plastice la modelul pe mediul elastic sunt cu putin mai mici
decat la modelul incastrat.
Figura 39 - Diagrama moment – rotire pentru o articulatie formata la nivelul 7
( are valoare maxima ), dir. X –structura pe mediu elastic.
Figura 40 - Diagrama moment – rotire pentru o articulatie formata la nivelul 7
( are valoare maxima ), dir. Y –structura pe mediu elastic.
109
11.17. CALCULUL CAPACITATII DE ROTIRE PLASTICA SI AL DEFORMATIEI LIMITA ADMISE
Expresii empirice pentru determinarea capacitatii de rotire plastica
Rotirea plastica maxima (diferenta intre rotirea ultima si cea de la initierea
curgerii in armatura) pe care se poate conta in verificarile la ULS in elemente
solicitate la incovoiere, cu sau fara forta axiala (grinzi, stalpi si pereti), in regim de
incarcare ciclica, se poate determina cu expresia:
(
)
(
)
(11.17.1)
In care:
ᵝ = 0.01;
h – inaltimea sectiunii transversale;
Lv = M/V – bratul de forfecare in sectiunea de capat;
- latimea zonei comprimate a elementului, unde N – forta axiala considerata
pozitiva in cazul compresiunii;
ω’, ω – coeficientii de armare ai zonei comprimate, respectiv intinse,
incluzand armatura din inima; in cazul in care ω’ si ω au valori mai mici de
0.01, in expresia (11.16.1) se considera valoare 0.01;
fc si fyw – rezistentele betonului la compresiune si ale otelului din etrieri (MPa),
stabilite prin impartirea valorilor medii la factorii de incredere corespunzatori
nivelului de cunoastere atins in investigatii;
ρsx – Asx/ – coeficientul de armare transversala paralela cu directia x
(sh = distanta dintre etrieri);
α – factorul de eficienta al confinarii, determinat cu relatia :
(
) (
) (
∑
) (11.17.2)
bo, ho – dimensiunile miezului confinat masurat la axul etrierilor;
bi – distanta interax intre armaturile longitudinale aflate in coltul unui etrier sau
al unei agrafe, in lungul perimetrului sectiunii.
110
Expresia este valabila in situatia in care barele de armatura sunt profilate si in
zona critica nu exista innadiri, iar la realizarea armaturii sunt respectate regulile de
alcatuire pentru zone seismice. In cazurile in care aceste conditii nu sunt indeplinite
la calculul valorii rotirii θm furnizate de relatia (11.17.1), se aplica corectiile indicate la
(11.17.2). In elementele la care nu sunt aplicate regulile de armare transversala ale
zonelor critice, valorile obtinute din folosirea relatiei (11.17.1) se inmultesc cu 0.8.
β = 0.01;
h = 600 mm;
b = 400 mm;
Lv = 32/18 = 1.78m = 1780 mm;
ν = 1;
ω’ = 0.56;
ω = 0.46;
fc = 13.5 N/mmp;
fyw = 210 N/mmp;
ρsx = 2*0.503*2/40/12.5 = 4.024*10*E-3
α = 0.7; sh = 125 mm;
bo = 350 mm; ho = 550 mm;
bi = 110 mm;
Deci, Θ = 0.03 rad - capacitatea de rotire plastica a unei grinzi curente.
Deformatia maxima a elementului rezultata in urma calculului static neliniar nu
trebuie sa depaseasca deformatia limita admisa pentru starea limita considerata.
Aa reazem = 12.56 cmp;
p = 12.56/(40*56)*100=0.56 %;
Aa camp = 10.30 cmp;
p’ = 10.30 / (40*56)*100 = 0.46 %;
pbal = 0.55*100*135/3000 = 2.475 %;
o (p-p’)/pbal = (0.56-0.46)/2.475 = 0.04;
Q/bhRt = 18*1000/(40*56.5*10) = 0.9.
Conform Tabel 9 din referinta bibliografica [50] rezulta rotirea admisibila Θ = 0.02 rad.
111
11.18. ANALIZA DINAMIC NELINIARA. INFLUENTA TERENULUI DE FUNDARE.
Pentru determinarea cerintei de deplasare s-a efectuat si un calcul
dinamic neliniar (time–history). Din analiza neliniara s-au citit deplasarile maxime
la varful structurii, s-au comparat cu deplasarile calculate conform anexei D din
P100/2006, iar valorile mai mari au fost utilizate in calculul static neliniar.
Raspunsul in timp al structurii a fost obtinut prin integrarea directa a
ecuatiilor diferentiale de miscare folosind accelerogramele Vrancea 77 si
accelerograma sintetica.
S-a utilizat programul Seismo-Signal pentru determinarea spectrului de
raspuns elastic din fiecare accelerograma. Cele doua spectre sunt prezentate in
continuare, in Figurile 41 si 42.
Figura 41 - Elastic response spectra – Vrancea 77 – componenta N-S
112
Figura 42 - Elastic response spectra -- Sintetic accelerogram
Variatia in timp a parametrilor care caracterizeaza miscarea terenului:
acceleratie
viteza
deplasare
pentru seismul din Vrancea 1977 si un seism artificial sunt prezentate in Figurile
43 si 44.
113
Figura 43 – Vrancea77 – deplasare, viteza, acceleratie
Figura 44 - Acceleratia sintetica – deplasare, viteza, acceleratie
114
In Figura 45 se reprezinta o suprapunere a spectrelor de raspuns
elastic ale seismelor inregistrate in Vrancea ’77 si Bucuresti ’86, dar si pentru o
accelerograma sintetica.
Dupa cum se poate observa raspunsul maxim este dat de
accelerograma Vrancea ’77 a carei alura este indeaproape urmarita de raspunsul
accelerogramei sintetice, avand valorile maxime in intervalul (0.85 ÷ 1.6) s.
Raspunsul pentru accelerograma Bucuresti ’86 are valoarea maxima in intervalul
(0.3 ÷ 0.5) s.
Figura 45 – Suprapunere spectre elastice.
suprapunere spectre elastice
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5
period (sec)
resp
on
se a
ccele
rati
on
(cm
/sec2)
sintetic
vrancea
86
115
In Figurile 46 si 47 vizualizam deplasarile maxime la varful structurii pe cele
doua directii din analiza Time History.
Figura 46 - Deplasarea maxima la varful structurii din analiza Time History (directia x )( U1 = 0.1105 m )
Figura 47 - Deplasarea maxima la varful structurii din analiza Time History ( directia y )(U2 = 0.1423 m)
116
In Figurile 46 si 47 vizualizam deplasarile maxime la varful structurii pe
cele doua directii din analiza Time History, in situatia modelarii structurii cu
resoarte elastice.
Figura 48 - Deplasarea maxima la varful structurii rezemate pe mediu elastic din analiza Time History pe directia x (U1 = 0.1471 m)
117
Figura 49 - Deplasarea maxima la varful structurii rezemate pe mediu elastic din analiza Time History pe directia y (U2 = 0.1628 m)
118
11.19. COMPARATII SI REZULTATE
In Tabelul 11.19.1. sunt centralizate valorile deplasarilor maxime din analiza
modala, push-over si, respectiv, time history.
In analiza modala, actiunea seismica s-a evaluat pe baza spectrelor de
raspuns elastic, conform P100-1/2006. Deplasarile obtinute in urma analizei cu
spectre de raspuns sunt mult mai mici, un lucru normal daca tinem cont ca
rezultatul este obtinut in urma unei analize liniare.
Analiza Push-Over este un procedeu de calcul static neliniar (biografic) care
considera deplasarile structurale drept parametru esential al raspunsului seismic
al structurilor. Determinarea cerintei de deplasare s-a facut conform P100-
1/2006. Se recomanda ca deplasarea de calcul sa fie cu cca 50% mai mare
decat cerinta de deplasare corespunzatoare starii limita ultime, pentru a evidentia
evolutia procesului de degradare pana in apropierea prabusirii si implicit a
vulnerabilitatii cladirii fata de prabusire.
A treia analiza, Time History, urmareste raspunsul in timp al structurii, folosind
accelerograme scalate in functie de caracteristicile amplasamentului.
Valorile maxime pentru deplasari au fost obtinute in urma calculului cerintei de
deplasare, valori care au fost apoi multiplicate cu 1.5 conform prevedirilor din
cod. Valorile obtinute din analiza dinamica neliniara sunt mai mici, dar apropiate
de valorile din analiza statica neliniara.
Tabel 11.19.1.
DEPLASARI
SPECTRU PUSH OVER TH
cerinta P100
coeficient final
X 0.04208 0.13313 1.5 0.2 0.1105
Y 0.04953 0.15511 1.5 0.24 0.1423
119
In Tabelul 11.19.2. sunt centralizate valorile rotirilor din analiza push-
over si time history pentru structura cu baza incastrata intr-o prima etapa si, in
etapa a doua, pentru structura rezemata pe un mediu elastic cu resoarte. Rotirile
maxime s-au obtinut in urma analizei statice neliniare pentru structura cu baza
incastrata.
Valorile maxime efective sunt mai mici decat valorile rotirilor capabile si
admisibile calculate conform Normativului seismic P100-1/2006.
Tabel 11.19.2.
ROTIRI
Θcap Θadm Θef
PO
incastrat 0.03 0.021 0.0081 X
0.03 0.021 0.0085 Y
elastic 0.03 0.021 0.0067 X
0.03 0.021 0.0067 Y
TH
incastrat 0.03 0.021 0.0042 X
0.03 0.021 0.0044 Y
elastic 0.03 0.021 0.0031 X
0.03 0.021 0.0033 Y
120
11.20. APLICAREA ANALIZEI DINAMICE INCREMENTALE
Structura de rezistenta propusa a fost analizata dinamic incremental
utilizand componentele NS ale accelerogramelor Vrancea ’77, Vrancea ’86,
Vrancea ’90 si o accelerograma sintetica, compatibila cu spectrul de acceleratii al
accelerogramei Vrancea ’77, inregistrari realizate in Statia Seismica INCERC,
Bucuresti.Accelerogramele au fost scalate utilizand urmatorii factori de scalare:
0.7, 1.0, 1.2, 1.4 si 1.6.
In figura 50 este prezentat comparativ raspunsul structurii cu ADI la
setul de accelerograme ales.
Figura 50 - Analiza Dinamica Incrementala
Folosind ADI se pot cunoaste atat cerintele, cat si capacitatea unei
structuri cu scopul de a realiza dezideratul actual privind proiectarea bazata pe
performanta. In afara de particularitatile curbei ADI (discontinuitati, paliere) cea
mai interesanta proprietate este aceea de variabilitate foarte larga, de la o
accelerograma la alta, a amplitudinii curbei pentru o structura data. Aceasta
variabilitate conduce la nevoia de a prelucra statistic si a condensa, pe cat
posibil, rezultatele pentru a le folosi efectiv urmarind conceptul de proiectare
bazata pe performanta.
121
12. CONCLUZII SI CONTRIBUTII PERSONALE
Prin elaborarea tezei de doctorat s-a incercat sa se evidentieze unele
aspecte de calcul ingineresc privind analiza structurala fizic neliniara tinand cont
si de influenta terenului de fundare. Odata cu parcurgerea tezei, cititorul va fi
purtat prin principalele aspecte legate de proiectarea structurilor de rezistenta in
concept paraseismic, si anume: analiza datelor de intrare materializate prin
actiunea seismica, modelarea structurilor de rezistenta cu ajutorul Metodei
Elementului Finit, determinarea caracteristicilor proprii de vibratie ale structurii
care conditioneaza raspunsul seismic, determinarea rezervelor de rezistenta ale
structurilor din beton armat prin efectuarea analizei static neliniara (Push-Over),
studiul influentei terenului de fundare in raspunsul structurilor analizate in regim
dinamic cu luarea in considerare a proprietatilor neliniare privind comportarea
materialelor.
Valorificarea unor aspecte din teza de doctorat a fost realizata prin
publicarea urmatoarelor articole si comunicari:
Ieremia M., Nica R., Cartoafa O. – “Design based on performance. Rehabilitation
of an existing hospital construction situated in a high risk seismic area”, Annals of
4th International Conference on Structural Defect and Repair, CINPAR 2008,
University of Aveiro, Portugal, 25-28.06.2008.
Ieremia M., Nica R., Cartoafa O. – “The Separation of the Roof Strength
Structure from the Rolling Track Girders in the Workshops of Mills”, Annals of 4th
International Conference on Structural Defect and Repair, CINPAR 2008,
University of Aveiro, Portugal, 25-28.06.2008.
Ieremia M., Ginju S., Nica R., Cartoafa O. – “Modal, Pushover and Time-History
Analyses of a Multi-story Steel Structure”, ‘’Scientific Bulletin”, Technical
University of Civil Engineering Bucharest, Series: ‘’Mathematical Modeling in Civil
Engineering’’, Year L, no. 4, pp 5-15, decembrie 2007, ISSN 1841-5555.
Ieremia M., Ginju S., Nica R., Cartoafa O. – “Vulnerability Analysis of an Water
Castle” – International Conference on Computational Plasticity – COMPLAS IX
2007, CIMNE, Technical University of Catalunya, Barcelona, Spain, 05-
07.09.2007.
122
Ieremia M., Ginju S., Nica R., Cartoafa O. – “Comparative analysis between
pushover and time-history analysis”, 7-eme Colloque National du Genie
Parasismique – AFPS 2007, Association Francaise du Genie Parasismique,
Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, Paris, France, 04-06.07.2007.
Contributiile autorului cu privire la tematica analizata in teza de doctorat
se refera la:
a) prezentarea modelelor constitutive ale betonului in diferite situatii de solicitare
tridimensionale, pana in stadiul ultim, punand in evidenta suprafetele de cedare
si modul specific de rupere la solicitarea de intindere si, respectiv, de
compresiune;
b) implementarea modelelor constitutive ale betonului armat in programele de
performanta de analiza numerica neliniara: calcul static Push-Over; calcul
dinamic (Analiza Dinamica Incrementala);
c) prezentarea caracteristicilor performantelor si convergenta unei analize statice
neliniare cu metoda iterativa Newton-Raphson si a unei analize dinamice
neliniare cu metoda unipas Newmark;
d) influenta terenului de fundare si a mediului de fundare in calculul static neliniar a
unei structuri din beton armat;
e) influenta terenului de fundare si a mediului de fundare asupra raspunsului
dinamic neliniar al unei structuri din beton armat;
f) bazele proiectarii seismice prin verificarea performantei seismice a unei structuri
multietajata in cadre printr-o analiza inelastica time-history, punand in evidenta
sensibilitatea structurala pentru un anumit tip de excitatie seismica.
Directii viitoare de cercetare:
1. validarea prin masuratori in situ a caracteristicilor dinamice de vibratie a
ansamblului structura – teren de fundare;
2. calibrarea caracteristicilor dinamice ale terenului de fundare pe baza
masuratorilor in situ cu metode de tip „down hole”;
3. studierea influentei variatiei nivelului hidrostatic asupra modificarii caracteristicilor
dinamice ale terenului de fundare;
4. extinderea studiului asupra cladirilor cu structura mixta formata din cadre si pereti
structurali.
123
13. BIBLIOGRAFIE
1. Agent R. – „Expertizarea si Punerea in Siguranta a Cladirilor Existente Afectate
de Cutremure”, Ed. Fast Print, 1997/1998.
2. Bathe K.J. - “Finite Element Procedures”, Prentice – Hall Inc., Englewood Cliffs,
New Jersey, 1996, ISBN 0-13-301458-4.
3. Bathe KJ., Baig M., - “On direct time integration in large deformation dynamic
analysis.”, Proceedings of the third MIT conference on computational fluid and
solid mechanics, 2005.
4. Bratosin D. - “Aspecte Neliniare in Mecanica Pamanturilor”, Ed. Tehnica,
Bucuresti, 1996.
5. Bratosin D. – „On Static Failure of Soils”, Rev. Roum. Sci. Techn. „Mecanique
Appliquee”, nr. 6, 1988, pp. 605-618 (I) si nr. 1, 1989, pp. 43-57 (II).
6. Brotea T., Comanescu R., Mironescu M., Purdea D., Stanescu M., Stanescu V.
– “Abordari Noi privind Evaluarile prin Calcul pentru Determinarea
Vulnerabilitatii Constructiilor Existente”, AICPS Review 3/2011.
7. Celebi E., Goktepe F., Karahan N. – “Non-Linear Finite Element Analysis for
Prediction of Seismic Response of Buildings Considering Soil-Structure
Interaction”, Natural Hazards and Earth System Sciences, Copernicus
Publications, 2012.
8. Chopra A.K., Goel R.K. – „A Modal Pushover Analysis Procedure to Estimate
Seismic Demands for Buildings”, PEER Report 2001/03, Pacific Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, 2001.
9. Coburn A., Spence R. – “Earthquake Protection” Second Edition, Octombrie
2002, ISBN 978-0471496144.
10. Craifaleanu I. – ‘’Aspecte privind Aplicarea Metodei Spectrului de Capacitate in
contextul seismic si normativ romanesc’’, A Doua Conferinta Nationala de
Inginerie Seismica, Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti,
Proceedings vol. 2, Sectia Calculul structurilor la cutremur, pag. 8-15, 08-
09.11.2001.
11. Cretu D. – „Teoria Elasticitatii”, Ed. Conspress, Bucuresti, 2004, ISBN 973-
8165-97-0.
124
12. Deierlein G., Reinhorn A., Willford M. – „Nonlinear Structural Analysis for
Seismic Design – A Guide for Practicing Engineers”, National Institute of
Standards and Technology, United States, 2012.
13. Fajfar P. – “A Nonlinear Analysis Method for Performance Based Seismic
Design” – Earthquake spectra, Vol. 16, No. 3, pp 573-579, August 2000.
14. Freeman, S.A., Nicoletti, J.P. and Matsumura, G., - „Seismic Design Guidelines
for Essential Buildings”, Proceedings of 8th World Conference on Earthquake
Engineering, San Francisco, California, U.S.A, 1984.
15. Georgescu E.S. - “Managementul Riscului Seismic – Specific, Perceptie si
Comunicare”. Editura Libra, Bucuresti, 2005, ISBN 973-8327-96-2.
16. Gheorghiu H., Constantinescu I., s. a. - “Methodes Numeriques Pour le Calcul
de Structures de Resistance“, Ed. Bren, Bucuresti, 1999.
17. Ieremia M. -“Elasticitate. Plasticitate. Neliniaritate”, Ed. Printech, Bucuresti,
1998, ISBN 973-9402-06-2.
18. Ieremia M. – “Analiza Numerica Neliniara a Structurilor”, “ Fundamente de
calcul”, Vol. I – Ed. Conspress, Bucuresti, 2004, ISBN 973-7797-36-1.
19. Ieremia M., Sidorenco E., Ginju S. - “Analiza Numerica Neliniara a Structurilor”,
Vol. II – “Modelarea raspunsului structural”, Ed. Conspress, Bucuresti, 2005,
ISBN 973-7797-37-X.
20. Ieremia M., Ginju S., Nica R., Cartoafa O. – “Modal, Pushover and Time-History
Analyses of a Multi-story Steel Structure”, ‘’Scientific Bulletin”, Technical
University of Civil Engineering Bucharest, Series: ‘’Mathematical Modeling in
Civil Engineering’’, Year L, no. 4, pp 5-15, decembrie 2007, ISSN 1841-5555.
21. Ieremia M., Ginju S., Nica R., Cartoafa O. – “Comparative analysis between
pushover and time-history analysis”, 7-eme Colloque National du Genie
Parasismique – AFPS 2007, Association Francaise du Genie Parasismique,
Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, Paris, France, 04-06.07.2007.
22. Ieremia M., Nica R., Cartoafa O. – “Design based on performance.
Rehabilitation of an existing hospital construction situated in a high risk seismic
area”, Annals of 4th International Conference on Structural Defect and Repair,
CINPAR 2008, University of Aveiro, Portugal, 25-28.06.2008.
23. Ifrim M. – “Dinamica Structurilor si Inginerie Seismica”, Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti, 1984.
125
24. Kope F., Onofrei C., Olteanu P. – “Hazard Seismic si Criterii de Performanta”,
AICPS Review 1-2/2012.
25. Lungu D., Cornea T., Aldea A., Arion C. – ’’Risc, Vulnerabilitate si Hazard
Seismic Generate de Sursa Vrancea in Romania’’, A doua Conferinta Nationala
de Inginerie Seismica, 08-09.11.2001, Universitate Tehnica de Constructii
Bucuresti, Proceedings, vol. 1, Sectia „Hazard si Risc Seismic”, pag. 33-72.
26. Maffei J., “Code Minimum Base Shear Requirements” – February 2007,
Rutherford & Chekene, Outline, UBC, ASCE 7-02, ASCE 7-05.
27. Mandrescu N. - “Cutremurul - Hazard Natural Major pentru Romania“, Ed.
Tehnica, Bucuresti, 2000.
28. Mazars J. – “A Description of Micro- and Macroscale Damage of Concrete
Structures”, “Engineering Fracture Mechanics”, 25(5/6), 1986, pp.729-737.
29. Mawditt J. M. – „The influence of discrete and continuum soil models on the
structural design of raft foundations”, M. Sc. dissertation, Surrey, UK, 1982.
30. Mazilu P., Topa N., Ieremia M. – “Metode Numerice de Calcul”, Ed. Institutul de
Constructii Bucuresti, 1985.
31. Moehle J.P., et al., - “New Information on the Seismic Performance of Existing
ConcreteBuildings”, EERI Technical Seminar developed by PEER and funded
by FEMA, 2007.
32. Ottosen N.S. – „Nonlinear Finite Element Analysis of Concrete Structures”, Risk
National Laboratory, 1980.
33. Paulay T., s. a. – “Proiectarea Structurilor de Beton Armat la Actiuni Seismice”,
Ed. Tehnica, Bucuresti, 1997, ISBN 973-31-1099-X.
34. Pinto A. – “Earthquake Performance of Structures, Behavioural, Safety and
Economical Aspects”, Teza de doctorat, Joint Research Centre, European
Commission, Ispra (VA) - Italy, 1998.
35. Priestley, M.J.N. - “Performance Based Seismic Design”. Proceedings of 12
WCEE. Auckland, New Zealand, 2000.
36. Stefan D. – “Elemente de Dinamica si Identificarea Dinamica a Structurilor de
Constructii”, Ed. Vesper, Piatra Neamt, 2001, ISBN 973-96589-8-9.
37. Tomlinson M. J. – “Foudation Design and Construction” – 7th Edition, 2001,
ISBN 978-0-13-031180-1.
38. Ungureanu N., Ibanescu M. – “Théorie de L’Elasticité”, Ed. Societ. Academice
126
”Matei-Teiu Botez”, Iasi, 2003, ISBN 973-85882-9-4.
39. Vacareanu R., Cornea T., Lungu D. – ‘’Evaluarea Comportarii Structurale si a
Vulnerabilitatii Seismice Folosind Metodologiile HAZUS si ATC-40 Modificat’’,
A doua conferinta nationala de inginerie seismica, Bucuresti, 2001.
40. Vamvatsikos D., Cornell C. A. – „Incremental dynamic analysis. In Earthquake
Engineering and Structural Dynamics”, 2002; 491-514.
41. Vamvatsikos D., Cornell C. A. – „Tracing and Post Processing of IDA curves:
Theory and Software Implementation.”,Report No. RMS-44, RMS Program,
Stanford, 2001.
42. Vidic, T., Fajfar, P., Fischinger, M., - “Consistent inelastic design spectra:
strength and displacement.” Earthquake Engineering and Structural, 1994.
43. Willam K., Warnke E. P. – “Constitute Model for the Triaxial Behaviour of
Concrete”, Proceedings “Int. Assoc. for Bridge and Struct. Engrg.”, 19, Zürich,
Switzerland, 1975.
44. Zamfirescu D, Postelnicu T. – ‘’Aplicarea unor Metode de Evaluare Seismica
Bazata pe Deplasarea Laterala la Constructiile Existente de Beton Armat din
Bucuresti’’, A doua conferinta nationala de inginerie seismica, Bucuresti, 2001.
45. ATC-40. Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. Applied
Technology Council, 1996.
46. AFPS – Association Francaise du Genie Paraseismique, CT AFPS, no. 26, Avril
2006.
47. CEB-FIP model code 1990: Design Code, Comite euro-international du beton,
London, T. Telford, 1993.
48. FEMA-274. NEHRP Commentary on the Guidelines for the Seismic
Rehabilitation of Buildings. Federal Emergency Management Agency, 1997.
49. FEMA-440. Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures,
Federal Emergency Management Agency, June 2005.
50. FEMA-450. NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New
Buildings and Other Structures, Federal Emergency Management Agency,
2003.
51. P100 – 1/2006. Cod de proiectare seismica. Prevederi de proiectare pentru
cladiri
52. P100 – 3/2006. Cod de evaluare si proiectare a lucrarilor de consolidare la
127
cladiri existente, vulnerabile seismic. Vol. 1 - Evaluare
53. * „Study on seismic performance of existing buildings in Romania”, Technical
University of Civil Engineering, March 2005
54. * * - ADINA – „ Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis”.
55. * * - ANSYS – “Engineering Analysis System”, Swanson Analysis Systems, Inc.,
Houston, Pennsylvania, 1997.
56. * * - SAP2000 – ‘’Structural Analysis Program’’, Computers and Structures,
1999.
57. * * - Seismo – Signal – Program pentru Determinarea Spectrului de Raspuns
Elastic.
58. SR EN 1998-1, 2004 – “Proiectarea Structurilor pentru Rezistenta la Cutremur”.
59. SR EN 1998-1-2004_NA, 2008 – “Proiectarea Structurilor pentru Rezistenta la
Cutremur. Anexa Nationala”.
60. SR EN 1990, 2004 – “Bazele Proiectarii Structurilor”.
61. SR EN 1990-2004_NA, 2006 – “Bazele Proiectarii Structurilor. Anexa
Nationala”.
62. SR EN 1991-1-1, 2006 – “Actiuni asupra Structurilor”.
63. SR EN 1992-1-1, 2006 – “Proiectarea Structurilor de Beton”.
64. STAS 10107-0/90 – „Calculul si Alcatuirea Elementelor Structurale din Beton,
Beton Armat si Beton Preconprimat”.
65. Ordonanta Guvernului nr. 20/1994 – „Reducerea riscului seismic”