limitarile filtrarii liniare a imaginiloralpha.imag.pub.ro/ro/cursuri/archive/06.pdf ·...

LIMITARILE FILTRARII LINIARE AIMAGINILOR

1

2

Scop - Reducerea efectelor zgomotului aditiv, de tip Gaussiansuprapus imaginii.

3 x 3

filtrumediere

Dar daca se schimba modelul de zgomot ?

),(),(),( 0 clzclfclf 2,0),( Nclz

0fz

ZAGA :

Filtrarea liniara de netezire

3

Valorile anumitor pixeli ai imaginii sunt inlocuite de valorileextreme ale nivelelor de gri : 0 si L-1.

Aparenta vizuala este de imprastiere a unor puncte negre si albepeste imagine: zgomot “sare si piper” (salt and pepper).

pateprobabilitcuclfpateprobabilitcu

pateprobabilitcuclf

-1),,(2/1,-L

2/,0),(

0

p = 0.05

Zgomot impulsiv

4

filtrumediere

efect de manjire aimaginii (smearing)

rezultat dorital filtrarii

Zgomot impulsiv

5

Va trebui determinata o alta metoda de combinare avalorilor din imagine prin care sa se poata determinaprezenta/ absenta impulsurilor de zgomot.

Compararea valorii pixelului prelucrat cu 0/ L-1 NU esteo solutie ....

Solutia este gasirea unei metode de combinare neliniaraa valorilor din imagine.

Zgomot impulsiv

6LABORATORUL DE ANALIZA ŞI PRELUCRAREA IMAGINILOR

C. VERTAN

FILTRAREA NELINIARAA IMAGINILOR


C. VERTAN

Operatori de vecinatate

linial

coloanac

imagine prelucrata g

T

)c,l(VfT)c,l(g

Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta dincombinarea unui numar oarecare de valori ale pixelilor din imagineainitiala, situati in vecinatatea pixelului curent prelucrat.

linial

coloanac

imagine initiala f

V


C. VERTAN

Operatori de vecinatate )c,l(VfT)c,l(g

Definirea transformarii implica specificarea:vecinatatii pixelului curent prelucrat, V(l,c)

functiei de combinare a valorilor extrase din imagine, T

Functii de combinare (transformari)liniareneliniare intrinsec neliniare

neliniare ca efect al adaptarii

Operatia de vecinatate poate fi scrisa deci ca:

KK ncmlfncmlfncmlfTclg ,,...,,,,),( 2211


C. VERTAN

Echivalent: “Fereastra glisanta”Vecinatatea folosita este o fereastra (deschidere) intr-un suport opacplasat in fata imaginii; din imagine nu se vede dacat portiunea cecorespunde ferestrei plasate in pozitia curenta.

Fereastra este glisata (“plimbata”) peste intreaga imagine, punctcu punct.

imagine initiala imagine prelucrata


C. VERTAN

Filtrarea neliniaraOrice filtru neliniar este deci definit de:

vecinatatea folosita, V

functia [neliniara] de combinare a valorilor

Ce fel de functii neliniare se pot aplica ?

min, max, log, exp, putere, ...altele ?

Tipuri de filtre neliniareCorespund celor doua tipuri de efecte esentiale dorite:

cresterea uniformitatii in interiorul regiunilor netezire

cresterea contrastului pe frontierele regiunilor contrastare


C. VERTAN

Filtrare neliniare de ordonareEste ordonarea neliniara ?Da, principiul superpozitiei nu este respectat.

Cum ar folosi ordonarea pentru a elimina impulsurile de zgomot ?

)()()( gTfTgfT

1, Ex: Fie si T operatorul de ordonare

f = (2,1,3)g = (1,3,2)f+g = (3,4,5)

T(f) = (1,2,3)T(g) = (1,2,3)T(f)+T(g) = (2,4,6)

T(f+g) = (3,4,5)

Impulsurile de zgomot au valori extreme (0 sau L-1); tot ceeace trebuie facut este alegerea unor valori cat mai departatede aceste extreme.


C. VERTAN

Filtrare neliniare de ordonare

Exemplu: 100 255 1200 157 128145 0 145

0, 0, 100, 120, 128, 145, 145, 157, 255

ordonare crescatoare

impuls dezgomot

impulsurile de zgomotsunt la capetele siruluide valori ordonate

O valoare corecta trebuiesa fie situata cat mai departede capetele afectate de zgomot.


C. VERTAN

Filtrare neliniare de ordonare

Valorile selectate de fereastra de filtrare sunt x1, x2, ..., xK.

Dupa ordonare avem: )()2()1( ... Kxxx

x(i) este statistica de ordine de ordin “i”x(1) este valoarea minimax(K) este valoarea maxima

{x(i)} sunt aceleasi valori ca si {xi}, dar in alta ordine.

14

Filtrul median

Valoarea de iesire a filtrului median este valoaresituata in centrul secventei ordonate – statistica mediana.

Iesirea filtrului median este:

parKdacaxx

imparKdacax

yKK

K

,21

,

122

21

Ex. K=5x(1) x(5)x(3)x(2) x(4)

(K+1) / 2 = 3median

Ex. K=3x(1) x(3)x(2)(K+1) / 2 = 2

median

Ex. K=4x(1) x(3)x(2) x(4)(K+1) / 2 = 2,5

median ?


C. VERTAN

Filtrul medianEx. de aplicare in cazul 1-D, cu fereastra centrata de lungime K=3

0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1

Medianul este statistica de ordine de ordin 2.

0, 0, 1

0, 0, 1ordonareextragere valori

0median

0


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


0, 1, 1


1median

0 1


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


1, 1, 3


1median

0 1 1


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


1, 3, 1


1median

0 1 1 1


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


3, 1, 3


3median

0 1 1 1 3


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


1, 3, 2


2median

0 1 1 1 3 2


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


3, 2, 3


3median

0 1 1 1 3 2 3


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


2, 3, 3


3median

0 1 1 1 3 2 3 3


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


2, 3, 3


3median

0 1 1 1 3 2 3 3 3


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


3, 2, 1


2median

0 1 1 1 3 2 3 3 3 2


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


2, 1, 1


1median

0 1 1 1 3 2 3 3 3 2 1


C. VERTAN


0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1


1, 1, 0


1median

0 1 1 1 3 2 3 3 3 2 1 1


C. VERTAN

Filtrul median

semnal initialsemnal filtrat median

inlaturarea tranzitiilor abrupte (de zgomot)

pastrarea tranzitiilor “legitime”


C. VERTAN

Filtrul median: Proprietati

NU este un filtru liniar !

Elimina zgomotul impulsiv de tip sare si piper.

Comuta cu orice functie monotona aplicata valorilor prelucrate: KK xxxmediangxgxgxgmedian ,...,,)(),...,(),( 2121

Admite semnale radacina (semnale ce nu sunt modificate prinfiltrare): semnalele radacina ale unui filtru median de lungime Ksunt secvente monotone de lungime cel putin K.

Portiunile monotone din semnal nu sunt modificate(platouri constante, tranzitii suficient de lungi).

Semnalele radacina se obtin prin filtrarea repetata aunor semnale initiale oarecari.


C. VERTAN


Strapungerea filtrului median (un impuls de zgomot din fereastrade filtrare se regaseste la iesirea filtrului):

median

x(1) x(K)x((K+1)/2)x(2) x(K-1)

......statisticilede ordine

(K-1)/2valori

(K-1)/2valori

Impulsurile de zgomot, de valoare 0 sau L-1, se regasesc lacapetele secventei de statistici de ordine.

Cand este statistica centrala (mediana) un impuls de zgomot ?

Cel putin (K+1)/2 impulsuri de zgomot de acelasi fel


C. VERTAN


Valoarea de iesire a filtrului median de lungime impara esteintotdeauna o valoare existenta in semnalul initial.

(spre deosebire de filtrarea liniara, unde combinatia liniaraponderata producea valori noi).

Continutul (valorile) semnalului nu se modifica

median3 x 3

Filtrul median: Proprietati deterministe

31

Elimina complet un impuls izolat Raspuns ideal la treapta ideala Un impuls langa un front determina o shiftare a frontului Durata maxima a unui impuls complet eliminat de un filtru

median depinde de lungimea filtrului Semnalele ce trec neschimbate=semnale radacina.

Conditia: “monotonia locala sa fie de ordin k+1 pt filtru delungime 2k+1

existenta semnalelor radacina e legata de faptul ca iesireafiltrului median este totdeauna unul din esantioanele dinfereastra curenta de la intrare; aceasta provoacadezavantajul filtrului median de a produce regiuni de nivelconstant numite “streaks”. In procesarea de imagini formaacestor blocuri depinde de forma ferestrei de filtrare

Filtrul median: Proprietatideterministe

32

Efectul formei ferestrei de filtrare in cazul filtruluimedian bidimensional

Exp de masti:

Exemple cu filtrare mediana cumasti de diferite forme

33

orig

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

vertical

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

orizontal

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

patrat

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250


C. VERTAN

Extinderi ale filtrului median

1. Filtrul median separabil

+

+

Prelucrarea bidimensionalaeste inlocuita cu douaprelucrari succesive 1D, dupadirectii perpendiculare.

D.p.d.v matematic, rezultatele nu sunt identice.


C. VERTAN


2. Filtre de ordine (rank-order filters)

Kjxxxxrank jKj ,...,1,,...,, )(21

Iesirea filtrului de ordine de ordin j este statistica de ordine deordin j a setului de valori selectate din semnalul de intrare.

In particular, pentru j=1 avem filtrul de minim, pentru j=K avemfiltrul de maxim, pentru j=(K+1)/2 avem filtrul median.

Rangul j este un factor de reglaj suplimentar.


C. VERTAN


3. Filtre de ordine multietajSuccesiune de filtre de ordine de diferite ranguri

median

median

median

median

min/max

median

median median

pixelcurent


C. VERTAN


4. Filtre de ordine ponderate

Scop ponderare: marirea importantei relative a unei valori extrasedintr-o anumita pozitie a ferestrei de filtrare (vecinatate) fata derestul valorilor extrase.

Ponderarea nu se poate face prin inmultire cu scalari, ca in cazul liniar.

Ponderare = repetare valori

Coeficientul wi atasat unei pozitii din fereastra de filtrare semnificafaptul ca valoarea extrasa din acea pozitie este repetata de wi oriinainte de ordonare.

ii wx


C. VERTAN


4. Filtre de ordine ponderate: exemplu

121232121

W

masca de ponderare

534122331

I

zona curent prelucrata in imagine

Construire set valori extrase (multiset)

1 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 3 5

Construire set ordonat de valori1 3 3 32 22 2 21 1 43 3 5

median

Fara ponderare:

1 1 2 2 3 3 3 4 5

median


C. VERTAN


4. Filtre de ordine ponderate

Evident, ponderile wi sunt numere naturale Niw

Fara ponderare inseamna 1iw

Dupa ponderare numarul de valori de ordonat devine

K

iiw

1

Filtru de ordine central ponderat: toate ponderile sunt unitare,cu exceptia ponderii asociate originii ferestrei de filtrare (cecorespunde pixelului curent prelucrat in imagine).


C. VERTAN

Mai general : L-filtre

Un L-filtru este o combinatie liniara ponderata a statisticilor deordine corespunzand valorilor extrase din imagine.

K

iiiK xwxxxfiltL

1)(21 ,...,,

Particularizari:

filtru de ordine de rang j : iji jiji

w

,0,1

filtru de mediere aritmetica: Kwi

1

... altele ... dar cu ce scop ?


C. VERTAN

Mai general : L-filtre

Tipuri de L-filtre:

netezire : reducerea zgomotului suprapus imaginii

accentuare/ conturare/ derivare : subliniere tranzitii

Conditiile de normare corespunzatoare tipurilor de filtre suntsimilare filtrelor liniare:

netezire:

derivare:

K

iiw

11

K

iiw

10


C. VERTAN

L-filtre de netezire: adaptare la distributia zgomotului

Impulsiv Median

Gaussian,aditiv

Mediere

Impulsiv +Gaussian

Medie- reglabila

Uniform Mijloc

Impulsiv +uniform

Cvasi-mijloc

Zgomot Filtru

12

1 Kw

Kwi

1

5.01 Kww

5.0 jKj ww

)2/()1(,0restin,0

,1,)2-K(1

1

KK

KKKiwi

43

L-filtre de derivare: exemplu

111

Kww minmax filtL


C. VERTAN

Filtre de ordonare de domeniuLUM – Lower, Upper, Middle filters

Filtru LUM de netezire

restin,,,

*)1(

*)1(

)(*

)(

xxxxxxx

LUM jKjK

jj

j

Filtru LUM de conturare

restin,2

,

2,

*

)1(*)1()(

)1(

)1()(*)()(

x

xxxx

x

xxxxx

LUM jKjKj

jK

jKjjj

j*x e valoarea pixelului curent

*x e valoarea pixelului curent2

1,...,1

Kj

21,...,1

Kj


C. VERTAN

Calculul distributiei statisticilor de ordine


C. VERTAN

Valorile selectate de fereastra de filtrare sunt x1, x2, ..., xK.

Dupa ordonare avem: )()2()1( ... Kxxx

Presupunem ca valorile extrase din imagine sunt independente siidentic distribuite (iid).

Functiile de densitate de probabilitate (si functiile de repartitie)ale variabilelor aleatoare “pixel din vecinatate” sunt aceleasi.

Fie: f(x) functia de densitate de probabilitate siF(x) functia de repartitie


C. VERTAN

Pentru orice variabila aleatoare, probabilitatea ca valorile acesteiasa fie cuprinse intr-un interval [t, t+dt] este f(t)dt.

Daca valorile xi selectate de fereastra de filtrare sunt realizariparticulare ale unor variabile aleatore, atunci si statisticile de ordinecorespunzatoare, x(i), sunt realizari particulare ale unor variabilealeatore.

Ne intereseaza functia de densitate de probabilitate (sau functiade repartitie) a unei variabile aleatoare de tipul “statistica de ordinede ordin k (fixat)”, fk(x).


C. VERTAN

Evenimentul de interes pentru care dorim calculul probabilitatiide aparitie este deci

dttxxxrankt Kk ,...,, 21

dttxt k )(

Probabilitatea acestui eveniment este dttfk )(

Putem insa exprima evenimentul de interes tinand cont detoate statisticile de ordine, nu numai de statistica de ordine deordin k.

)()1()()1()1( ...... Kkkk xxdttxtxx

k-1 statistici de ordine K-k statistici de ordine


C. VERTAN

Dar ce sunt statisticile de ordine x(i) ? Nimic altceva decat valorileinitiale xi considerate intr-o alta ordine.

Aceasta se poate exprima ca o permutare a indicilor “i” a valorilor,de la {1, 2, ..., K} la {i1, i2, ..., iK}.

Atunci inegalitatea

)()1()()1()1( ...... Kkkk xxdttxtxx

devine

Kkkk iiiiii xxdttxtxxx ,...,,...,,121

k-1 valori K-k valori


C. VERTAN

Probabilitatea cautata este deci probabilitatea ca:



k-1 valori (distribuite dupa f(x)) sa fie mai mici ca t

1 valoare (distribuita dupa f(x)) sa fie intre t si t+dt

Probabilitatea ca o valoare xij sa fie mai mica decat t este :

)(tF

K-k valori (distribuite dupa f(x)) sa fie mai mari ca t+dt

Probabilitatea ca o valoare xij sa fie mai mare decat t+dt este :)(1)(1 tFdttF

51

Probabilitatea unui eveniment de tipul


este atunci


kKk tFdttftF )(1)()(1

Dar cate evenimente de acest tip pot fi realizate ?

am K moduri de alege o valoare din cele K pentru statistica cautata,de ordin k.la fiecare dintre modurile a alege o valoare pentru x(k) trebuiealese k-1 valori din cele K-1 ramase pentru statisticile de ordin mic

)!1()!()!1(1

1

kkKKC k

K


C. VERTAN

In “total”, probabilitatea evenimentelor de tipul


este deci kKkk

K tFdttftFKC )(1)()(111

si este, de fapt: dttfk )(

Atunci: )()(1)()( 111 tftFtFKCtf kKkk

Kk

(functia de densitate de probabilitate a valorilor statisticii de ordinulk dintr-un set de K valori distribuite dupa f(x))


C. VERTAN

Ex.: K=3, k=2 (median dintr-o fereastra de 3 puncte)

)()(1)(6)(2 tftFtFtf

)()(1)()( 111 tftFtFKCtf kKkk

Kk


C. VERTAN

FILTRE STIVA


C. VERTAN

Filtre stiva

In contextul filtrarii neliniare, stiva este un mod echivalent dereprezentare a valorilor discrete.

In imaginile digitale valorile sunt intregi, cu numar finit devalori posibile ... tipic in [0, L-1] (deci L valori).

Vom trece de la reprezentarea compacta a numerelor (din formazecimala sau binara) in forma “extinsa”: pentru a reprezentanumarul x voi folosi “o gramada” de x elemente.

3 5

8


C. VERTAN

Filtre stiva“Gramada” de elemente este aranjata ca o stiva, avand un numarde L-1 nivele (corespunzand valorii maxime ce trebuie reprezentate);o valoare nula este reprezentata de o stiva goala.

3 5 8

87654321

0Ex.: stiva construita pentru L=9 (valoare maxima L-1 = 8)


C. VERTAN

Filtre stiva

Reprezentarea de tip stiva poate fi exprimata in felul urmator:notand cu Sk(x) valoarea de pe nivelul k al stivei, corespunzandreprezentarii numarului x, avem :

1,...,2,1cu,,0

,1)( Lk

restkx

xSk

x=3L=9

1)3()3()3( 321 SSS0)3()3()3()3()3( 87654 SSSSS

Trecerea de la reprezentarea stiva la reprezentarea zecimala:

1

1)(

L

kk xSx


C. VERTAN

Filtre stivaUn nivel oarecare al stivei este format numai din valori binare,deci, la nivelul intregii imagini, vom avea o imagine binara.Teoretic aceasta imagine binara este usor de prelucrat (dpdvcomplexitate).

Idee : o imagine este reprezentata ca stiva, este prelucrata la fiecarenivel si apoi este recompusa.

imagine

stiva dereprezentare

filtrare identica pe fiecare nivel al stivei

recompunere

imagine

descompunere


C. VERTAN

Filtre stivaFiltrul median

Ex. : L=4, K=5

2, 1, 3, 1, 1K valori extrasede fereastra defiltrare

2 1 3 1 11, 1, 1, 1, 1 11, 0, 1, 0, 0 0

00, 0, 1, 0, 0

stivafiltrare mediana pefiecare nivel dinstiva

1

recompunere valoare

Rezultatul filtrarii stiva este echivalent cu cel al filtrului realizatpe fiecare nivel.


C. VERTAN

Filtre median binar

Este un filtru “de majoritate”

Ex. K=3

Tabel de adevar al functiei median binar

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

I1 I2 I3 M

M = I1I2 + I2I3 + I3I1

61

Filtre stivaFiltrul median

1

1

)()(L

kk nyny

)1()1()1()()()1())1(),(),1((

nxnxnxnxnxnxynxnxnxfy

kkkkkkk

kkkk

1,...,2,1cu,,0

)(,1)( Lk

restknx

nxk

1

1

)()(L

kk nxnx

cu kidacayy ik

limitarile filtrarii liniare a imaginiloralpha.imag.pub.ro/ro/cursuri/archive/06.pdf ·...

Documents