7_elemente de analiza structurala 24.11

Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor

ELEMENTE DE ANALIZA STRUCTURALĂ

7.1 GENERALITĂŢI Stâlpii împreună cu grinzile formează cadre care constituie sistemul structural al construcţiei. În

acest caz sistemul structural este sensibil la deplasări laterale ceea ce conduce la valori mari ale momentelor încovoietoare în stâlpi, cât şi în grinzi. În vederea reducerii acestor deplasări, deci şi a momentelor încovoietoare, cadrele se asociază cu pereţi din beton armat sau cu elemente metalice diagonale, denumite contravântuiri (fig. 7.1). Având în vedere cele de mai sus, cadrele pot fi:

- contravântuite, la care forţele laterale sunt preluate de sistemul de contravântuire şi transmise la fundaţii;

- necontravântuite, la care forţele laterale sunt preluate de componentele structurii (stâlpi, grinzi şi plăci), datorită legăturilor rigide dintre acestea.

Ca o consecinţă a clasificării de mai sus, pot exista stâlpi contravântuiţi, respectiv stâlpi necontravântuiţi.

Perete dinbeton armat

Contravântuire metalică

Fig. 7.1 Sisteme de contravântuire a cadrelor

Capetele stâlpilor pot avea diferite tipuri de legături cu elementele vecine:

- deplasări şi rotiri blocate, ca la nivelul fundaţiilor; - deplasări şi rotiri parţial libere în funcţie de rigiditatea elementelor vecine şi de prezenţa sau

absenţa contravântuirilor; - deplasări şi rotiri libere, ca în cazul halelor industriale parter prefabricate.

Determinarea eforturilor din elementele sistemelor structurale se face pe scheme statice ideale care nu ţin cont de imperfecţiunile structurii respective şi de sensibilitatea structurii la deformaţii; în consecinţă, se ajunge la creşterea eforturilor. Având în vedere cele de mai sus, se definesc

1. Efecte de ordinul I: eforturile determinate fără a lua în considerare deformaţiile structurale, dar incluzând efectele imperfecţiunilor – M0Ed.

2. Efecte de ordinul II: creşteri ale eforturilor din cauza deformaţiilor structurale. 3. Moment încovoietor nominal de ordinul II: momentul încovoietor total, care ţine cont de

influenţa deformaţiilor structurale – MEd = ηM0Ed (η > 1,0). Efectele de ordinul II sunt produse de două categorii de deformaţii şi anume:

- deformaţiile laterale de nivel, depinzând de rigiditatea de ansamblu a structurii (fig. 7.2a); asemenea deformaţii sunt caracteristice structurilor necontravântuite;

- deformaţiile individuale ale fiecărui element, depinzând de zvelteţea elementului respectiv (fig. 7.2b); asemenea deformaţii sunt caracteristice structurilor contravântuite, dar în cazuri particulare pot să apară şi în cele necontravântuite; aceste deformaţii pot genera flambajul.

NOTE DE CURS - BETON ARMAT

81

Facultatea de Construcţii Timişoara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor Flambaj: cedare datorită instabilităţii unui element la compresiune axială în absenţa unei încărcări transversale. Încărcare de flambaj: încărcarea la care se produce flambajul; sinonimul încărcării critice determinate cu formula lui Euler pentru elementele elastice izolate. Lungimea efectivă: lungimea utilizată pentru evaluarea formei curbe de deformare; de asemenea, ea poate fi definită ca lungime de flambaj, adică lungimea unui stâlp dublu articulat având aceeaşi secţiune transversală şi aceeaşi încărcare de flambaj ca stâlpul considerat. Stâlp izolat: element izolat în mod real sau element al unei structuri care poate fi tratat ca izolat din raţiuni de calcul.

a) deformaţie de nivel b) deformaţie individuală

Fig. 7.2 Deformaţii laterale conducând la efecte de ordinul II

7.2 IMPERFECŢIUNI GEOMETRICE Analiza structurilor trebuie să ţină cont de imperfecţiunile geometrice produse în timpul execuţiei

şi de abaterile în poziţia încărcărilor. Efectul defavorabil al imperfecţiunile se ia în considerare, în calculul la stările limită ultime, pentru toate situaţiile de proiectare. De efectul imperfecţiunilor nu se ţine cont în cazul stărilor limită de serviciu.

Imperfecţiunile produse în timpul execuţiei afectează (a) dimensiunile secţiunilor, respectiv (b) geometria de ansamblu a construcţiei.

(a) Abaterile de la dimensiunile secţiunilor sunt luate în considerare prin coeficienţii parţiali referitor la materiale.

În cazul secţiunilor cu armare simetrică se adoptă excentricitatea minimă: 2030he0 ≥= mm (7.1) Aceasta înseamnă că momentul încovoietor de calcul nu poate fi mai mic decât . EdM Ed0Ne(b) Imperfecţiunile geometrice ale structurii pot fi reprezentate printr-o înclinare calculată cu

relaţia: (7.2) mh0i ααθ=θ

în care: 20010 =θ este valoarea de bază;

l2h =α ; 132 h ≤α≤ ;

( )m1150m +=α , . În relaţia (7.2), este lungimea, sau înălţimea în metri, m fiind numărul de elemente verticale ce

contribuie la efectul total. În definirea celor doi parametri, se disting situaţiile de mai jos atunci când se urmăreşte efectul imperfecţiunilor asupra unui:

l

- stâlp izolat de tip consolă: = lungimea reală a elementului; m = 1; l- sistem de contravântuire: = înălţimea clădirii; m = numărul de elemente verticale care

contribuie la forţa orizontală transmisă sistemului de contravântuire (fig. 7.4b); l

- planşeu (curent sau de acoperiş) care transmite forţe orizontale: = înălţimea etajului; m = numărul de elemente pe etaj (pe etaje) care contribuie la forţa orizontală totală aplicată planşeului (fig. 7.4c).

l

Înclinarea poate fi generală (fig. 7.4a, b) sau locală afectând numai unele elemente (fig. 7.4c).

NOTE DE CURS - BETON ARMAT 82


Pentru elementele izolate, sau care pot fi considerate ca izolate, efectul imperfecţiunilor poate fi luat în calcul prin una din cele două variante de mai jos.

Varianta 1 – ca o excentricitate 2e 0i l⋅θ=θ în care este lungimea efectivă (de flambaj) determinată conform pct. 7.4. Pentru pereţi şi stâlpi izolaţi în sisteme contravântuite se poate accepta

0l

400e 0l=θ . Varianta 2 – ca o forţă transversală în poziţia care produce moment încovoietor maxim, după cum

urmează: - pentru elemente necontravântuite NH ii θ= - pentru elemente contravântuite N2H ii θ= În figura 7.3 se exemplifică, cele de mai sus, pentru cazul unui stâlp izolat necontravântuit,

respectiv pentru unul contravântuit. Pentru fiecare caz se prezintă stâlpul real, modul de considerare a excentricităţii , respectiv schema de calcul cu forţa transversală . ie iH

Nθe θe

N NN NN

iH

Fig. 7.3 Exemple privind imperfecţiunile elementelor izolate

În cazul structurilor, efectul înclinării poate fi reprezentat prin forţe transversale care se adaugă altor încărcări. În figura 7.4 se prezintă câteva exemple, referitoare la efectul asupra:

- structurii necontravântuite: la fiecare nivel acţionează forţa ∑θ= FH ii ; - sistemului de contravântuire: la fiecare nivel acţionează forţa ( )abii NNH Σ−Σθ= ; - planşeului curent ( ) 2NNH abii Σ+Σθ= . Semnul de însumare se extinde la toţi stâlpii aferenţi unui nivel.

Fig. 7.4 Exemple privind imperfecţiunile în cazul structurilor

7.3 EFECTE DE ORDINUL II În calculul static de ordinul I (analiză liniară) calcul eforturilor se face cu luarea în considerare a imperfecţiunilor şi neglijând deformaţiile structurale. Pentru stâlpul izolat din figura 7.5 aceasta însemnă obţinerea diagramei de momente încovoietoarea M0Ed. Datorită deplasării δ, produsă de forţa H, forţa F generează diagrama de momente încovoietoare ∆M care se adiţionează diagramei M0Ed, rezultând diagrama de momente încovoietoarea MEd = M0Ed + ∆M. Sensibilitatea la efectele de ordinul II este indicată de coeficientul de zvelteţe i0l=λ , în care

este lungimea efectivă, i fiind rază de giraţie pentru secţiunea de beton nefisurată. 0l

Modul de cedare al unui element supus la compresiune cu încovoiere, redat prin curba de interacţiune M – N, depinde de caracteristicile secţiunii (b, h, fcd, fyd, As1 = As2), precum şi de zvelteţea elementului. Pentru stâlpul de tip consolă din figura 7.6a, mărirea progresivă a forţei excentrice N

1 2 3

a

b

c

θi

aiH

biH

ciH

1 2 3

θi

iH Na

Nb Na

Nb iH θi/2

θi/2 l

a) structură necontravântuită b) structură contravântuită c) planşeu

l 20ll = iH

0ll =l

a) stâlp necontravântuit b) stâlp contravântuit


83

Facultatea de Construcţii Timişoara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor conduce la creşterea momentului încovoietor în secţiunea de încastrare până la cedarea după una din cele trei variante prezentate în figura 7.6b.

F H

M0Ed MEd∆M

l

Hlδ Fδ Fig. 7.5 Creşterea momentelor încovoietoare datorită zvelteţii elementelor comprimate

Hl + Fδ

În cazul stâlpilor scurţi, la care λ ≤ 35, efectele de ordinul II sunt neglijabile. Momentele încovoietoare cresc proporţional cu forţa axială, situaţie reprezrntată prin dreapta a. Cedarea elementului se produce prin epuizarea capacităţii portante la o forţă axială egală cu . a

RdNÎn cazul stâlpilor zvelţi, la care 35 < λ ≤ 100, efectele de ordinul II nu pot fi neglijate. Momentul

încovoietor creşte mai repede decât forţa axială, datorită efectelor de ordinul II, reprezentate prin ∆Μ. Cu cât zvelteţea elementului este mai mare, cu atât curba b se îndepărtează de dreapta a. Cedarea elementului se produce prin epuizarea capacităţii portante la o forţă axială mai mică decât

şi nu prin pierderea stabilităţii (flambaj). Încărcarea critică are numai o semnificaţie teoretică, ea

nu poate fi atinsă niciodată, deoarece . Este de subliniat faptul că efectul zvelteţii se ia în considerare prin mărirea momentului încovoietor cu cantitatea

bRdN a

RdNbBN

bB

bRd NN <

δ⋅=∆ NM .

∆M

Fig. 7.6 Cedarea la compresiune excentrică în funcţie de zvelteţea elementului

În cazul stâlpilor foarte zvelţi, la care λ > 100, cedarea se produce prin pierderea stabilităţii la o forţă axială egală cu , situaţie reprezentată de curba c. După atingerea valorii , deformaţiile cresc indefinit sub o forţă axială constantă, ceea ce corespunde fenomenului de flambaj. În acest caz, capacitatea portantă este dată de încărcarea critică, adică = .

cBN c

BN

cRdN c

BNPentru structurile reale relaţia lui Euler

2 0

2B

EINl

π= (7.3)

nu descrie în mod corect corelaţia dintre capacitatea portantă şi zvelteţea elementului. Figura 7.7 redă corelaţia reală dintre capacitatea portantă NRd şi zvelteţea elementelor comprimate din beton armat, comparativ cu corelaţia teoretică, dată de relaţia lui Euler, dintre NB şi zvelteţe.

Având în vedere cele de mai sus, rezultă că nu este posibilă utilizarea relaţiei lui Euler în vederea verificării stabilităţii stâlpilor din beton armat. În zonele seismice, din motive de calcul şi alcătuire, stâlpii din beton armat nu se încadrează în categoria celor foarte zvelţi la care relaţia (7.3) ar fi aplicabilă.

e e + δ

N N

cBN

bBN

bRdN

cRdN

aRdN

c

ba

δ N

M b) diagrama de interacţiune M-a) stâlp consolă



NCurba Euler

Corelaţia reală

NRd = const. a; b; c conform fig. 7.6b

a b c λ

STÂLPI:

35 100

scurţi zvelţi foarte zvelţi CEDAREA STÂLPILOR:

starea limită ultimă flambaj Fig. 7.7 Corelaţia dintre capacitatea portantă şi zvelteţea elementelor comprimate din beton armat

Mărimea efectelor de ordinul II depinde de o serie de factori cum ar fi: - coeficientul de zvelteţe al elementului care reuneşte, într-o singură caracteristică, dimensiunile

secţiunii transversale, lungimea şi conexiunile cu alte elemente (inclusiv interacţiunea teren-fundaţie);

- fisurarea tuturor elementelor structurii; - curgerea lentă a betonului; - comportamentul neliniar al materialelor. Evaluarea efectelor de ordinul II este o problemă dificilă având în vedere factorii enumeraţi mai

sus şi de aceea, în primul rând, se urmăreşte, printr-o procedură simplificată, posibilitatea neglijării acestor efecte (pct. 7.6). În situaţia în care acest lucru nu este posibil, pentru evaluarea efectelor de ordinul II există trei metode de evaluare (pct. 7.7).

7.4 ZVELTEŢEA ŞI LUNGIMEA EFECTIVĂ A ELEMENELOR IZOLATE Coeficientul de zvelteţe este definit de relaţia: i0l=λ (7.4)

în care reprezintă lungimea efectivă (de flambaj), iar i raza de giraţie a secţiunii nefisurate de beton; exemple privind lungimea efectivă a elementelor izolate, conform EC2, sunt prezentate în figura 7.8.

0l

Referitor la exemplele din figura 7.8, sunt necesare câteva precizări referitoare la stâlpul de tip: - a: stâlp în structură contravântuită; nu reprezintă o soluţie logică de stâlp, mai ales în zone

seismice; - b: caz uzual de stâlp în structură prefabricată parter necontravântuită; - c: caz uzual de stâlp în structură prefabricată parter contravântuită; - d: stâlp în structură contravântuită; nod inferior: fundaţie sau riglă excesiv de rigidă; nod

superior: riglă excesiv de rigidă; o asemenea riglă, care ar împiedica rotirea nodului, nu este o soluţie normală;

- e: este cazul d transpus într-o structură necontravântuită; - f: caz uzual de stâlp în structură contravântuită cu rigle cu dimensiuni normale care permit

rotiri de noduri; - g: stâlp tip consolă la ultimul nivel al construcţiei, nodul inferior al stâlpului putându-se roti;

stâlp al unei structuri parter la care sunt posibile rotiri ale fundaţiei. În figura 7.9 se prezintă lungimea efectivă a unui stâlp real dintr-o structură contravântuită, comparativ cu situaţii extreme ale conexiunilor la cele două extremităţi ale stâlpului. Încărcările orizontale fiind preluate de pereţi, sub acţiune sarcinilor verticale se pot produce numai rotiri ale nodurilor astfel încât ll <0 .


85


θ

θ θ

Fig. 7.8 Lungimi de flambaj ale stâlpilor izolaţi

Fig. 7.9 Structură contravântuită

În figura 7.10 se prezintă lungimea efectivă a unui stâlp real dintr-o structură necontravântuită, comparativ cu situaţia extremă a încastrării perfect la cele două extremităţi ale stâlpului; stâlp dublu articulat nu poate exista deoarece structura devine mecanism. Forţele orizontale şi verticale produc rotiri şi deplasări laterale ale nodurilor astfel încât . ll >0

Fig. 7.10 Structură necontravântuită

Pentru stâlpii cadrelor regulate, lungimea de flambaj se determină conform celor de mai jos: − stâlpi contravântuiţi (fig. 7.8):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=2

2

1

10 k450

k1k450

k150,,

, ll (7.5)

− stâlpi necontravântuiţi (fig. 7.9):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+⋅=2

2

1

1

21

210 k1

k1k1

k1kk

kk101max ;ll (7.6)

unde l − lungimea liberă a stâlpului.

a) schema structurii b) – c) stâlp dublu d) stâlp încastrat real

l 0 =

l

l

l 0 >

l

Stâlpul analizat

Punct de inflexiune

Stâlpul analizat

l 0 =

0,7

5l

0,75l

<l0 <

l

a) schema structurii b) stâlp dublu c) stâlp dublu d) stâlp articulat încastrat real

Punct de inflexiune

ll =0 ll 20 = ll 700 ,= ll 500 ,= ll =0 lll << 050, ll 20 >

l

c) d)a) b) e) f) g)


Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor În relaţiile (7.5) şi (7.6), şi sunt flexibilităţile relative la rotire ale cele două capete ale elementului; corespunde limitei teoretice pentru încastrare. Deoarece încastrarea perfectă este foarte rară în practică, se recomandă valoare minimă 0,1 pentru şi .

1k 2k0k =

1k 2k Conform SR EN 1992-1-1, flexibilitatea relativă la rotire se calculează cu relaţia:

l

EIM

k ⋅=θ

(7.7)

unde: este rotirea elementelor care influenţează rotirea stâlpului (fig. 7.8f şi g); θ − rigiditatea la încovoiere a stâlpului; dacă un stâlp adiacent într-un nod poate contribui la rotaţie, termenul va reprezenta suma corespunzătoare stâlpilor adiacenţi nodului; se va ţine cont de fisurarea reazemelor, în afară de cazul în care acestea nu sunt fisurate în starea limită ultimă.

EIEI

Expresia coeficientului k atrage după sine două probleme, şi anume (a) contribuţia stâlpului adiacent, respectiv (b) cunoaşterea rotirii θ . (a) Pentru stâlpul luat în considere din figura 7.11, în conformitate cu explicaţiile aferente relaţiei (7.7), la calculul flexibilităţii nodului superior termenul EI va fi EIa + EIb, deoarece este evidentă conlucrarea celor doi stâlpi.

Fig. 7.11 Conlucrarea stâlpilor

Pe de altă parte, este puţin probabil ca cei doi stâlpi să flambeze simultan şi deformaţiile stâlpul adiacent vor fi mai mici şi nu vor avea o influenţă semnificativă. Având în vedere cele de mai sus, se poate ignora aportul stâlpului adiacent nodului.

(b) În calculul practic, cunoaşterea rotirii θ implică utilizarea unui program de analiză statică care să furnizeze deplasările şi rotirile nodurilor. Având în vedere acest aspect, pentru cadrele contravântuite, dacă rigiditatea stâlpului adiacent nu diferă cu mai mult de 15% faţă de cea mai mare rigiditate, coeficientul k se poate estima ca raportul dintre rigiditatea stâlpului şi suma rigidităţilor riglelor adiacente nodului respectiv:

( )( ) 10EI2

EIk

b

c ,≥=∑ l

l (7.8)

În relaţia de mai sus momentele de inerţie se calculează pentru secţiunea nefisurată, coeficientul 2 ţinând cont de fisurarea grinzilor adiacente nodului. Pentru o evaluare preliminară, în locul utilizării relaţiei (7.5) sau (7.6), lungimea efectivă a stâlpului se poate obţine prin multiplicarea lungimii libere a stâlpului cu coeficientul obţinut din tabelul 7.1 în funcţie de condiţiile de rezemare de la capetele stâlpului: ll ⋅β=0 Condiţiile de rezemare, exemplificate în figura din tabel, sunt definite după cum urmează: 1 – stâlpul este încastrat în fundaţie sau legat monolit de o grindă cu dimensiunile secţiunii

transversale cel puţin egale cu dimensiunea secţiunii stâlpului în direcţia considerată; 2 – stâlpul este legat monolit de o placă sau de o grindă cu dimensiunile secţiunii transversale

mai mici decât dimensiunea secţiunii stâlpului în direcţia considerată;

Stâlp adiacent – EIb

θ

Stâlp analizat – EIa


87

Facultatea de Construcţii Timişoara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor 3 – stâlpul este legat de elemente care nu sunt proiectate să împiedice rotirea capătului

stâlpului dar care totuşi au o anumită capacitate de împiedicare a rotirii; 4 – capătul stâlpului este liber.

Tabelul 7.1 Coeficientul β pentru calculul lungimii efective a stâlpului Condiţia de rezemare la partea

inferioară Condiţia de rezemare la

partea superioară 1 2 3 Stâlpii cadrelor contravântuite

1 0,75 0,80 0,90 2 0,80 0,85 0,95 3 0,90 0,95 1,00 Stâlpii cadrelor necontravântuite

1 1,2 1,3 1,6 2 1,3 1,5 1,8 3 1,6 1,8 - 4 2,2 - -

rezemare simplă

Pentru o evaluare mai detaliată, lungimea efectivă a stâlpului se poate obţine folosind Anexa 7.1

de la sfârşitul capitolului. Pentru alte cazuri, de exemplu stâlpi la care în lungul elementului variază forţa axială şi/sau

secţiunea transversală, se recomandă ca lungimea de flambaj să se determine din relaţia de mai jos: Brepr0 NEIπ=l (7.9)

unde: reprEI este valoarea reprezentativă a rigidităţii la încovoiere a stâlpului;

BN − încărcarea de flambaj, corespunzătoare rigidităţii , determinată, de exemplu, prin metode numerice sau cu programe de calcul care pot efectua calculul la flambaj.

reprEI

Utilizarea relaţiei (7.9), atrage după sine ca raza de giraţie i, folosită în relaţia (7.4), să corespundă rigidităţii . reprEI

7.5 INFLUENŢA CURGERII LENTE ASUPRA EFECTELOR DE ORDINUL II Pentru stâlpul din figura 7.12, excentricitatea iniţială e creşte cu δ datorită flexibilităţii

elementului. Sub efectul curgerii lente această deformaţia se măreşte cu δϕ. = ϕδ, în care ϕ este coeficientul curgerii lente. În consecinţă deformaţia totală la vârful stâlpului este (1+ϕ)δ.

În aceste condiţii, sub efectul zvelteţii şi a curgerii lente, momentul încovoietor de ordinul I: eNM EdEd0 =

creşte până la valoarea: ( )δϕ++= 1NMM EdEd0Ed Efectul curgerii lente asupra deformaţiilor de ordinul II depinde de mărimea acesteia şi de durata

de acţiune a diferitelor încărcări din combinaţia considerată. Durata de acţiune a încărcărilor se poate lua în considerare prin valoarea efectivă a coeficientului

curgerii lente:

( )Ed0

pEdq00ef M

Mt,∞ϕ=ϕ ( 0t,∞ϕ )

)

(7.10)

unde: este valoarea finală a coeficientului curgerii lente (pct. 6.2.3.2); ( 0t,∞ϕ − momentul încovoietor de ordinul I în combinaţia cvasi-permanentă (SLS); Edqp0M

Nod rigid

Încastrare

Nod rigid

hc1

hc2

hc3

hb2 hb2 < hc2

hb1 ≥ hc2 hb1

hb1 ≥ hc1

stâlp tip consolă



Ed0M − momentul încovoietor de ordinul I în combinaţia corespunzătoare stării limită ultime (SLU).

δ

Fig. 7.12 Efectul curgerii lente

Raportul Ed0pEdq0 MM poate fi calculat pentru secţiunea cu cel mai mare moment încovoietor

sau se poate alege o valoare reprezentativă, atunci când raportul variază în lungul elementului. Efectele curgerii lente pot fi neglijate dacă ( ) 2t0 ≤∞ϕ , , 75≤λ şi hNM EdEd0 ≥ , h fiind înălţimea secţiunii în direcţia corespunzătoare momentului încovoietor. În cazul în care condiţiile ce permit neglijarea efectelor de ordinul II conform 7.6.2 sunt îndeplinite la limită, neglijarea simultană a efectelor de ordinul II şi a curgerii lente poate să nu fie acoperitore cu excepţia cazului în care coeficientul mecanic de armare ω , definit de relaţia (7.13), este mai mare sau egal cu 0,25.

7.6 CRITERII SIMPLIFICATOARE PENTRU EVALUAREA EFECTELOR DE ORDINUL II Efectele de ordinul II ale elementelor comprimate pot fi neglijate dacă eforturile secţionale le

depăşesc pe cele din calculul de ordinul I cu mai puţin de 10% ( )Ed0Ed M11M ,≤ , ceea ce implică rezolvarea prealabilă a celor două analize.

Posibilitatea unei estimări, chiar simplificate, de neglijare a efectelor de ordinul II este mai convenabilă decât abordarea prezentată mai sus.

7.6.1 Criteriul zvelteţii pentru elementele izolate Efectele de ordinul II pot fi neglijate dacă coeficientul de zvelteţe λ satisface condiţia: (7.11) limλ≤λ

Valoarea limită a coeficientului de zvelteţe limλ se obţine din relaţia:

nABC20lim =λ (7.12) în care: ( )ef2011A ϕ+= , ; dacă nu se cunoaşte efϕ , se poate accepta 70A ,= ;

ω+= 21B ; dacă nu se cunoaşte ω , se poate accepta 11B ,= ;

mr71C −= , ; dacă nu se cunoaşte , se poate accepta mr 70C ,= ;

efϕ − valoarea efectivă a coeficientului curgerii lente a betonului, relaţia (7.10);

cdcyds fAfA=ω − coeficientul mecanic de armare; (7.13)

sA − aria totală a armăturii longitudinale;

cdcEd fANn = − valoarea relativă a forţei axiale;

0201m MMr = ;

01M , − momentele încovoietoare de ordinul I la capetele elementului; în toate situaţiile se

notează momentul mai mare cu , momentul mai mic fiind ;02M

02M 01M ( )0102 MM ≥

e

N N

e + δ + δ

δϕ

ϕ


89


În privinţa coeficientului C sunt necesare următoarele precizări: • pentru stâlpii structurilor necontravântuite C = 0,7; • pentru stâlpii structurilor contravântuite:

- dacă momentele încovoietoare de ordinul I sunt produse în întregime sau predominant de imperfecţiunile geometrice sau de încărcările transversale pe bară C = 0,7;

- dacă momentele încovoietoare rotesc în direcţii opuse, se consideră pozitiv (fig. 7.13); mr- dacă momentele încovoietoare rotesc în aceeaşi direcţie, se consideră negativ. mr

0rm > 0rm <

Fig. 7.13 Regula de semne pentru rm Având la bază simplificările acceptate pentru coeficienţii A şi B, din tabelul 7.2 se pot obţine

valori orientative ale coeficientului de zvelteţe limλ .

Tabelul 7.2 Coeficientului de zvelteţe limλ . Stâlp Necontravântuit Con avântuit tr

Forţe transversale

Dia

gram

a de

mom

ente

în

covo

ieto

are

M şi M02 sunt efectul

predominant al imperfecţiunilor

etrice

01

geom

C 0,7 1,7 2,7

limλ n7810, n2026, n6041, În cazul în care forţa axială este însoţită de momente încovoietoare pe ambele direcţii

(compresiune excentrică oblică), condiţia (7.11) trebuie verificată pentru fiecare direcţie în parte; este posibil ca efectele de ordinul II să fie neglijate pentru ambele direcţii ale secţiunii transversale sau numai pentru una din cele două direcţii.

7.6.2 Efecte de ordinul II globale În cazul clădirilor etajate efectele de ordinul II pot fi neglijate dacă este îndeplinită condiţia:

2ccd

s

s1EdV

LIE

61nnkF ∑⋅+

≤,,

u este forţa verticală totală;

nde: EdVF ,

s – numărul de nivele; –

n înălţimea totală a clădirii măsurată de la secţiunea de încastrare în fundaţie; – valoarea de calcul a modulului de elasticitate al betonului, relaţia (7.14);

L cd

– momentul de inerţie al secţiunilor nefisurate ale elementelor de contravântuire. E

cI Coeficientul 1k este 0,31. Dacă se demonstrează că elementele de contravântuire nu sunt fisurate

starea limită ultimă, coeficientul se înlocuieşte cu coeficientul = 0,62. în 1k 2k

M = M01 02 |M |= M 02

02M

01


Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor Relaţia de mai sus poate fi folosită numai dacă sunt îndeplinite toate condiţiile ce urmează: – structura este relativ simetrică; – deformaţiile globale de lunecare sunt neglijabile (de exemplu, clădiri contravântuite cu pereţi structurali care nu au goluri de dimensiuni mari); – elementele de contravântuire sunt încastrate în fundaţii, aşa cum sunt pereţii din beton armat (rotirile sunt neglijabile); – rigiditatea elementelor de contravântuire este relativ constantă pe înălţimea clădirii; – încărcarea verticală creşte aproximativ cu aceeaşi valoare la fiecare nivel.

7.7 METODE PENTRU EVALUAREA EFECTELOR DE ORDINUL II Pentru luarea în considerarea a efectelor de ordinul doi există:

- metoda generală bazată pe analiza neliniară; - metoda amplificării momentelor încovoietoare, bazată pe rigiditatea nominală; - metoda bazată pe curbura nominală.

Faţă de cele de mai sus, în care ultimele două metode sunt rezolvări simplificate, mai există posibilitatea efectuării unui calcul static de ordinul doi (calcul static neliniar) pe baza rigidităţii nominale. Eforturile obţinute în urma acestui calcul includ efectele de ordinul doi.

7.7.1 Metoda generală de analiză Metoda generală se bazează pe analiza neliniară, incluzând neliniaritatea geometrică şi efectul curgerii lente. Pentru beton şi armătură se vor folosi curbe εσ − adecvate, precum cele din figurile 6.6 şi 6.11. Din analiza generală se obţine valoarea de calcul a încărcării ultime dacă se folosesc curbele

bazate pe valori de calcul. În acest scop, în figura 6.6 se înlocuieşte cu , iar se înlocuieşte cu

εσ − cmf cdf cmE

cEcmcd EE γ= (7.14) în care coeficientul cEγ = 1,2. În lipsa unui model detaliat, curgerea lentă se poate prinde în calcule prin majorarea deformaţiei specifice a betonului cu factorul , valoarea efectivă a caracteristicii curgerii lente fiind definită de relaţia (7.10).

( ef1 ϕ+ ) efϕ

Efectul favorabil al contribuţiei betonului întins dintre fisuri se poate lua în calcule sau se poate neglija pentru a simplifica procedura de calcul. În mod normal, ecuaţiile de echilibru şi de compatibilitate a deformaţiilor trebuie să fie verificate într-un anumit număr de secţiuni, însă se acceptă să se aleagă numai secţiunile critice şi să se adopte o variantă reprezentativă a curburii, de exemplu similară cu cea din analiza de ordinul I. Utilizarea eficientă a acestei metode implică existenţa unui program de calcul adecvat unei astfel de analize.

7.7.2 Metoda bazată pe curbura nominală a elementului Metoda este aplicabilă stâlpilor cu forţă axială constantă, izolaţi în mod real sau stâlpilor unei structuri care pot fi trataţi ca izolaţi din raţiuni de calcul. Metoda acceptă că deformata de ordinul II a elementului are o formă sinusoidală dezvoltată pe lungimea efectivă a stâlpului, indiferent dacă acesta este sau nu contravântuit. 0l

În cazul stâlpului izolat din figura 7.14, la momentul încovoietor la mijlocul elementului se va adiţiona mărimea care reprezintă momentul încovoietor nominal de ordinul doi .

Ed0M

2EdeN 2M Efectele de ordinul II sunt determinate, în primul rând, de forma deformată a elementului, caracterizată de săgeata maximă . Săgeata maximă depinde de curbura elementului 2e r1 în momentul cedării, curbura fiind influenţată de mărimea forţei axiale şi curgerea lentă.


91

Facultatea de Construcţii Timişoara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor Curbura În cazul elementelor cu secţiune constantă şi simetrică (inclusiv armarea) se poate folosi următoarea relaţie pentru calculul curburii: 0r r1KKr1 ⋅= ϕ (7.15) unde: 0r1 este curbura corespunzătoare situaţiei de balans (fig. 7.14c), situaţie caracterizată prin zdrobirea betonului comprimat simultan cu începerea curgerii armăturii întinse; rK − factor de corecţie depinzând de forţa axială, conform relaţiei (7.17); − factor de corecţie pentru luarea în considerare a curgerii lente, conform relaţiei (7.18); ϕKEvaluarea curburii în situaţia de balans Pentru elementul de lungime unitară din figura 7.14b se poate scrie:

0r1

lim

yd

xd −ε

=

Înălţimea limx a zonei comprimate corespunzătoare balansului se poate obţine cu ajutorul valorilor din tabelul 8.1. În mod acoperitor, conform EC2, se poate adopta , rezultând în final:

d550xlim ,=

0r1dE450

fd450 s

ydyd

,,=

ε= (7.16)

În relaţia (7.16), este înălţimea utilă a secţiunii; dacă există şi armături intermediare , fiind raza de raza de giraţie a tuturor armăturilor.

dsih50d += , si

Factorul de corecţie rK Pentru stabilirea acestei corecţii se porneşte de la situaţia de balans (fig. 7.14c) caracterizată de forţa axială şi momentul încovoietor capabil maxim . În figura 8.10, acestor două valori le corespund

balN balM

limN , respectiv RlimM . Pe măsură ce forţa axială creşte în raport cu raza de curbură scade pentru ca în cazul compresiunii axiale să devină zero.

balN

a) stâlpul izolat b) deformata medie c)curba simplificată M-N

Fig. 7.14 Premise pentru calculul curburii Pornind de la asemănarea triunghiurile din figura 7.14c, cu luarea în considerare a rotirilor, se poate scrie:

r1NN

r1NN Edu

0

balu −=

− din care rezultă

43421corectie

balu

Edu0 NN

NNr1r1−−

=

în care: fA fA N cdcydtots,u += reprezintă capacitatea portantă la compresiune concentrică ( în

figura 8.10);

cRdN

NEd NMEd

NEd MEd

e2 r0

l = 1εyd

0,45dMbal

NEd

Mbal

Nbal

M rotireaMbal MEd

1/r0 1/r


Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor – forţa axială corespunzătoare situaţiei de balans. bdf N cdlimbal ξ=

Factorul de corecţie se pune sub forma:

01nn

nnK

balu

ur ,≤

−−

= (7.17)

unde:

cdc

EdfA

Nn = este valoarea relativă a forţei axiale;

− valoarea relativă a capacităţii portante la compresiune concentrică; ω+=1nu

cdc

ydtots

fAfA ,=ω − coeficientul mecanic de armare total;

− valoarea relativă a forţei axiale corespunzătoare punctului de balans; se poate accepta valoarea 0,4.

baln

Pentru calculul coeficientului mecanic de armare ω este necesară estimarea prealabilă a ariei . Dacă aria armăturii rezultată din dimensionarea secţiunii diferă de cea estimată se revine cu

noua valoare a coeficientului mecanic de armare totsA ,

ω . Factorul de corecţie ϕK

Sub încărcarea cvasipermanentă curbura 0r1 creşte datorită curgerii lente a betonului, efect de care se ţine cont prin: (7.18) 011K ef ,≥βϕ+=ϕ

unde: este valoarea efectivă a coeficientului curgerii lente, relaţia (7.10); efϕ 150200f350 ck λ−+=β , , cu λ conform relaţiei (7.4).

Momentele încovoietoare de calcul Momentul încovoietor nominal de ordinul II este:

(7.19) 2Ed2 eNM =

unde: este forţa axială de calcul; EdN

( ) cr1e 202 l= − săgeata;

r1 − curbura; − lungimea efectivă a stâlpului (lungimea de flambaj); 0l

− factor depinzând de curbură; pentru secţiune transversală constantă, se poate folosi ; dacă diagrama de momente este constantă, se poate considera

c10c 2 ≈π= 8c = .

Ca urmare a efectelor de ordinul II, momentul încovoietor de calcul se obţine din relaţia: 2Ed0Ed MMM += (7.20) în care este momentul încovoietor de calcul de ordinul I, inclusiv efectul imperfecţiunilor. Ed0M Sensul relaţiei (7.20) de însumarea grafică a diagramelor de momente încovoietoare de ordinul I şi de ordinul II. Diagrama rezultată permite stabilirea valorii maxime a momentului încovoietor . EdM În cazul structurilor static nedeterminate, analiza statică de ordinul I se efectuează pe structura reală, diagrama de momente având, de regulă, o variaţie liniară. Calculul de ordinul II se efectuează pe un stâlp izolat, diagrama lui având o formă sinusoidală pe lungimea efectivă . În figura 7.15 se prezintă cele două tipuri de diagrame pentru un stâlp real contravântuit (fig. 7.9d), respectiv pentru un stâlp real necontravântuit (fig. 7.10d).

Ed0M

2M 0l


93


a) stâlp contravântuit b) stâlp necontravântuit

Fig. 7.15 Diagrame de momente încovoietoare Particularităţi pentru stâlpii contravântuiţi În vederea simplificării procedurii pentru determinarea momentului încovoietor de calcul este permis ca momentele încovoietoare de ordinul I, de la capetele stâlpului, să fie înlocuite cu unul echivalent, conform relaţiei (fig. 7.16): (7.21) 020102e0 M40M40M60M ,,, ≥+=unde: este valoarea mai mare, presupusă pozitivă; 02M - valoarea mai mică; presupusă negativă dacă diagrama de momente intersectează axa barei. 01M

Fig. 7.16 Regula de semne în relaţia 7.21

În cazul stâlpilor contravântuiţi valoarea maximă a momentul încovoietor nominal de ordinul II apare aproximativ la mijlocul lungimii stâlpului şi din acest motiv este posibil ca valoarea maximă a momentului încovoietor să nu mai fie la extremităţile elementului. În mod curent o asemenea situaţie poate apare când diagrama de momente încovoietoare intersectează axa barei (fig. 7.17).

EdM

În asemenea cazuri, momentul încovoietor de calcul poate fi definit de relaţia: ( 2012e002Ed M50M;MM;MmaxM , )++= (7.22)

Fig. 7.17 Însumarea diagramelor pentru un stâlp contravântuit

ţi Particularităţi pentru stâlpii necontravântui

0eM

01M

02M

2M+ =

020,5M

0e 2M M+

01 020,5M + M

02M

M0Ed M2 MEd

l

0,4l

01+M

02+M

01M−

02+M

0eM 0eM

l 0l Ed0M 2M

0l

Punct de inflexiune

lEd0M 2M


Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor Deplasările laterale pot fi generate de asimetria structurii dar în special de forţele orizontale din

lanşeelor toţi stâlpii unui nivel au acelaşi mod de deformare (fig.

oarea maximă a momentul încovoietor nominal de ordinul II, care se va adiţiona la momentul

seism sau vânt; în mod curent valorile maxime ale momentelor încovoietoare de ordinul I apar la extremitatea inferioară a stâlpului. Datorită efectului de şaibă al p7.2a) şi este rezonabil ca să se utilizeze o curbură medie deşi stâlpii pot avea rigidităţi diferite. Dacă una din valori este mai mare decât media de peste două ori, ea se va exclude şi se va face o nouă medie. Valîncovoietor de ordinul I, apare la acea extremitate a stâlpului care are cea mai mare rigiditate. La celălalt capăt, momentul adiţional se poate reduce proporţional cu raportul rigidităţilor de la cele două capete ale stâlpului (fig. 7.18).

ka

kb < ka

a

M0Ed M2MEd

M02

M01

(7.19)→M2

M2 b

202aEd MMM +=,

( )ab201bEd kkMMM +=,

+ =

Fig. 7.18 Însumarea diagramelor pentru un stâlp necontravântuit

Adiţionarea se acă rigidităţile nu

ă a elementului

efectele fisurării, neliniaritatea comportării materialelor şi

zvelt supus la compresiune, rigiditatea nominală se evaluează cu relaţia:

face numai la cel mai mare moment încovoietor de ordinul I dsunt diferite la cele două extremităţi.

7.7.3 Metoda bazată pe rigiditatea nominal Această metodă poate fi folosită în....... În această analiză se iau în considerare curgerea lentă; de aceste efecte se ţine cont şi în ceea ce priveşte elementele adiacente implicate în analiză (grinzi, plăci sau fundaţii). De asemenea, dacă este necesar, se va lua în considerare şi interacţiunea dintre teren şi fundaţie. Rigiditatea nominală Pentru un element sssccdc IEKIEKEI += (7.23) unde: Ecd este valoarea de calcul a modulului de elasticitatea al betonului, conform relaţiei (7.14);

−

atea al armăturii; ate al secţiunii de beton;

momentul de inerţie al secţiunii de beton; cI − valoarea de calcul a modulului de elasticitsE − momentul de inerţie al armăturii în raport cu centrul de greutsI s − factor reprezentând contribuţia armăturii; se poate lua 1Ks = , dacă 0020,≥ρ ; K − factor reprezentând contribuţia betonului; se poate lua cK ( )ef21c 1kkK ϕ+= , dacă

0020,≥ρ ;

cs AA=ρ - coeficientul geometric de armare; − aria to

cteristicii curgerii lente, conform relaţiei (7.10);

tală de armătură; sA − aria secţiunii de beton; cA − valoarea efectivă a caraefϕ

20f= ; k ck1

200170

nk 2 ,≤=λ

;


95


cdcEd fANn = − aloarea relativă a forţei axiale; − coeficientul de zvelteţe.

Dacă coeficientul se poate lua în considerare:

vλ

de zvelteţe λ nu este definit atunci 20030nk2 ,, ≤⋅= ; Dacă 010,≥ρ , se pot lua în considerare 0Ks = şi ( )efc 50130K ϕ+= ,, , această variantă

toare fiind mai potrivită pentru o estimare prealabilă. 23) nu , în general, aplicabilă

st motiv, pentru aprecierea contribuţiei

simplifica În structurile static nedeterminate, relaţia (7. este pentru descrierea efectului defavorabil al fisurării elementelor adiacente. Din acebetonului întins dintre fisuri, se recomandă aplicarea prevederilor referitoare la evaluarea rigidităţii elementului pentru verificarea la starea limită de deformaţii. Totuşi, ca o simplificare, se acceptă neglijarea contribuţiei betonului întins dintre fisuri. Rigiditatea se determină pe baza modulului efectiv al betonului: ( )efcdefcd 1EE ϕ+=, (7.24)

în care cdE se determină cu relaţia (7.14).

ă de calcul men include efectele de ordinul II, se poate obţine printr-o

voietor de ordinul I

Metoda practic Mo tul încovoietor de calcul, caremajorare a momentului înco ( )Ed0Ed MM η= . Majorarea momentului de ordinul I se face cu relaţia:

( ) ⎥⎦

⎢⎣ −+=

1NN1MM

EdBEd0Ed

⎤⎡ β(7.25)

este momentul încovoietor de ordinul I (inclusiv efectul imperfecţiunilor); − valoarea de calcul a forţei axiale; −

− ntelor încovoietoare de ordinul I şi II. În c pentru raţiuni de calcul pot fi trataţi

or avea o formă

unde: Ed0M

NEd

încărcarea de flambaj bazată pe rigiditatea nominală; BN factor depinzând de distribuţia momeβ azul stâlpilor izolaţi, în mod real sau ai unei structuri careca izolaţi, şi având secţiune constantă, momentele încovoietoare de ordinul II vsinusoidală, de aceea: 0

2 cπ=β (7.26) Valorile coeficientul se iau în funcţie de diagrama momentului încovoietor de ordinul I: 0c

8c = pentru diagramă constantă; 69c ,= pentru diagramă parabolică; 12c = pentru diagramă 0 0 0triunghiulară.

că relaţia (7.26) nu este aplica implificare rezonabilă constă în acceptarea valorii 1 Da bilă, o s =β , astfel încât relaţia (7.25) devine:

BEd

Ed0Ed NN1

MM−

= (7.27)

Comenta poate pune sub forma Ed0Ed MMriu. Relaţia (7.27) se η= , în care ( )BEd NN11 −=η . În acest fel se regăseşte prevederea din STAS 10107/0-90 pentru luarea în considerare a efectelor de ordinul II. Particularităţi pentru stâlpii contravântuiţi Pentru elementele fără forţe transversale se poate utiliza relaţia (7.21), momentul încovoietor echivalent e0M considerându-se constant pe lungimea elementului (fig. 7.19); în consecinţă, în relaţia

ce eţionând la unul din capetele elementului (fig. 7.19), relaţia (7.25) se pune

sub forma:

(7.26) se ia 8c0 = . Deoare ste posibil ca momentul încovoietor echivalent majorat să fie mai mic decât cel mai mare moment încovoietor ac



( ) 02

2

e0Ed M1NN8

1MM ≥⎥⎤

⎢⎡

−π

+= (7.28) EdB ⎥⎦⎢⎣

Particularităţ Datorită efectului de şi mod de deformare (fig. 7.2a), în consecinţă l

r , relaţia (7.10) ţine cont de curgerea lentă

entă. În consecinţă, în acest z,

eatât pentru

tua

Fig. 7.19 Momentul încovoietor echivalent majorat

i pentru stâlpii necontravântuiţi şaibă al planşeelor, toţii stâlpii unui nivel vor avea acelaungimea efectivă este aceeaşi pentru toţi stâlpii.

Prin intermediul momentului încovoieto Edqp0M

produsă de încărcările din combinaţia cvasi-permanentă, dar în această combinaţie sunt cuprinse şi încărcări variabile cu durată scurtă de acţiune şi care nu produc curgere lca Edqp0M este momentul încovoietor de ordinul I în combinaţia cvasi-permanentă fără a lua în considerare încărcările variabile orizontale cu durată scurtă de acţiune, aşa cum este vântul. În anumite situaţii, specifice construcţiei respective, este posibil ca un anumit stâlp să prezinte un comportam nt de element contravântuit, efectul de contravântuire fiind realizat de ansamblul structurii. În asemenea cazuri efectele de ordinul II pentru stâlpul respectiv se vor analiza si ţia de stâlp necontravântuit cât şi pentru cea de stâlp contravântuit.

l

0,4l

02+M

01M

02+M

01+M −

0eM 0eM

ηM0e 0eηM


97

Facultatea de Construcţii Timişoara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor Anexa 7.1 Evaluarea lungimii efective a stâlpilor1 ll ⋅β=0

Cadre etajate – stâlpi contravântuiţi

Evaluarea lungimii efective se face pentru fiecare stâlp în parte ( cEI l) – rigiditatea stâlpului; ( )∑ bsEI l – suma rigidităţilor grinzilor concurente în nodul superior al stâlpului; ( )∑ biEI l – suma rigidităţilor grinzilor concurente în nodul inferior al stâlpului;

( )( )∑

=εbs

cs EI

EIl

l;

( )( )∑

=εbi

ci EI

EIl

l

Tabelul A1 Coeficientul β pentru cadrele etajate contravântuite sε

iε 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,5 2,0 3,0

0 0,50 0,54 0,57 0,60 0,62 0,63 0,64 0,66 0,67 0,71 0,2 0,54 0,59 0,62 0,65 0,67 0,68 0,69 0,70 0,72 0,76 0,4 0,57 0,62 0,66 0,68 0,70 0,72 0,73 0,75 0,76 0,80 0,6 0,60 0,65 0,68 0,71 0,73 0,74 0,76 0,78 0,79 0,83 0,8 0,62 0,67 0,70 0,73 0,75 0,76 0,78 0,80 0,81 0,85 1,0 0,63 0,68 0,72 0,74 0,76 0,77 0,80 0,81 0,83 0,87 1,5 0,64 0,69 0,73 0,76 0,78 0,80 0,82 0,83 0,85 0,90 2,0 0,66 0,70 0,75 0,78 0,80 0,81 0,83 0,85 0,87 0,92 3,0 0,67 0,72 0,76 0,79 0,81 0,83 0,85 0,87 0,88 0,94

0,71 0,76 0,80 0,83 0,85 0,87 0,90 0,92 0,94 1,00

Cadre etajate – stâlpi necontravântuiţi

( )∑ cEI l

Toţi stâlpii unui nivel au aceeaşi lungime efectivă. Pentru determinarea lungimii efective se are în vedere conlucrarea dintre toţi stâlpii unui etaj scop în care cadrul real, corespunzător unui nivel, se înlocuieşte cu un cadru înlocuitor. Acest cadru are următoarea alcătuire:

- un stâlp cu o rigiditatea obţinută prin însumarea rigidităţii tuturor stâlpilor: ( )∑ cEI l ; - riglă superioară obţinută prin dublarea sumei rigidităţilor tuturor grinzilor de la nivelul superior:

( )∑ bsEI2 l ; - o riglă inferioară obţinută prin dublarea sumei rigidităţilor tuturor grinzilor de la nivelul

inferior: ( )∑ biEI2 l .

( )( )∑

=εbs

cs EI2

EIl

l;

( )( )∑

=εbi

ci EI2

EIl

l

1 R. Agent, V. Bănuţ – Calculul structurilor din beton armat cu stâlpi zvelţi, Editura Tehnică, 1979

( )∑ biEI2 l

( )∑ bsEI2 l



Tabelul A2 Coeficientul β pentru cadrele etajate necontravântuite sε

iε 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,5 2,0 3,0

0 1,00 1,04 1,06 1,09 1,12 1,15 1,20 1,23 1,36 2,00 0,2 1,04 1,07 1,10 1,13 1,16 1,19 1,25 1,31 1,40 2,04 0,4 1,06 1,10 1,13 1,16 1,19 1,22 1,28 1,34 1,43 2,10 0,6 1,09 1,13 1,16 1,19 1,22 1,25 1,31 1,38 1,47 2,17 0,8 1,12 1,16 1,19 1,22 1,25 1,28 1,34 1,42 1,51 2,25 1,0 1,15 1,19 1,22 1,25 1,28 1,31 1,38 1,46 1,55 2,33 1,5 1,20 1,25 1,28 1,31 1,34 1,38 1,46 1,52 1,63 2,45 2,0 1,26 1,31 1,34 1,38 1,42 1,46 1,52 1,59 1,72 2,60 3,0 1,36 1,40 1,43 1,47 1,51 1,55 1,63 1,72 1,84 2,91

2,00 2,04 2,10 2,17 2,25 2,33 2,45 2,60 2,91

Stâlpii halelor parter fără pod rulant

Evaluarea lungimii efective se face pentru fiecare element în parte, în funcţie de gradul de încastrare al stâlpului în rigle:

( )( )c

bEIEIl

l∑=ε

( cEI l) – rigiditatea stâlpului; ( )∑ bEI l – suma rigidităţilor grinzilor concurente în nodul superior al stâlpului.

Tabelul A3 Coeficientul β pentru hale parter fără pod rulant ε β ε β 0 2,00 0,80 1,20

0,05 1,80 1,00 1,16 0,10 1,67 1,50 1,11 0,15 1,57 2,00 1,08 0,20 1,50 2,50 1,06 0,25 1,44 3,00 1,05 0,30 1,40 4,00 1,04 0,40 1,33 2,00 1,03 0,50 1,28 10,00 1,01 0,6 1,28 1,00


99

7_elemente de analiza structurala 24.11

Documents