Prof. univ. dr. ing. Simona-Mariana CREŢU Universitatea din Craiova, Facultatea de Mecanică

MECANISME ANALIZĂ STRUCTURALĂ

Teorie şi aplicaţii

2

3

Prof. univ. dr. ing. Simona-Mariana CREŢU Universitatea din Craiova, Facultatea de Mecanică

MECANISME ANALIZĂ STRUCTURALĂ

Teorie şi aplicaţii

Editura SITECH CRAIOVA, 2010

4

Referenţi ştiinţifici: Prof. univ. dr. ing. Păun ANTONESCU,

Universitatea „Politehnica” Bucureşti, Prof. univ. dr. ing. Constantin OCNĂRESCU,

Universitatea „Politehnica” Bucureşti, Prof. univ. dr. ing. Dan ILINCIOIU,

Universitatea din Craiova.

© Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin autorului

© Toate drepturile rezervate. Nici o parte din această lucrare nu poate fi reprodusă sub nici o formă, prin nici un mijloc mecanic sau electronic, sau stocată într-o bază de date fără acordul în prealabil al autorului.

© All rights reserved. This book is protected by copyright. No part of this book may be reproduced in any form or by any means, including photocopying or utilised any information storage and retrieval system without written permision from the copyright owner.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Mecanisme : analiză structurală : teorie şi aplicaţii / sub red.: Simona-Mariana Creţu. - Craiova : Sitech, 2010 Bibliogr. ISBN 978-606-11-0760-5

I. Creţu, Simona-Mariana (red.) 62

Editura SITECH Craiova Str. Romul, Bloc T1, Parter Tel/fax: 0251/41400

ISBN 978-606-11-0760-5

5

PREFAŢĂ

Lucrarea se adresează cu precădere studenţilor care au în

programul de studiu disciplina Mecanisme, dar este utilă şi inginerilor mecanici.

Conţinutul acestei cărţi se referă la primul capitol al Ştiinţei Mecanismelor şi a Maşinilor (ŞMM) – Analiza structurală. Se prezintă atât aspecte teoretice cât şi aplicaţii, fără a neglija însă latura istorică.

Majoritatea realizărilor practice prezentate în lucrare s-au obţinut prin autodotare, în cadrul cercurilor ştiinţifice studenţeşti Metodica predării ştiinţelor tehnice şi Istoria mecanismelor şi a maşinilor, din cadrul Facultăţii de Mecanică a Universităţii din Craiova.

Claudia Mic, Iulian Piţă, Adrian Totâlcă, Costel Burada, Daniel Lică, Floriana Mihaela Chiţu, Ahmed Bakri, Nicolae Dobre, Silviu Nănău, Dumitru Vieru, Bogdana Golumbeanu, Catălin Mitran, George Barbu, Cati Florentina Dragu, Marian Enuş, Adrian Ciucă, Cătălin Teodorescu, Răzvan Stârlea, Dumitru Panduru, George Vasilescu, Lacrimioara Drejan, Cristian Mustaţă, Mitică Stancu, Ionel Pupăză, Marius Ciobanu, Liviu Ene, Leonard Ionuţ Popescu, Eugen Ilie, Marian Ionuţ Andrei, Daniel Dragu, Marius Borhan, Andrei Enculescu, Lucian Dănciuloiu, Ionel Daniel Ilie, Sorin Ştefan Stanciu, Lucian Marcu, Alexandru Ioviţa, Eugen Marian Păun, Gigi Dragoş Ciocioi Troacă, Emil Şoarece, Mădălin Ionuţ Zăman, sunt doar câţiva dintre studenţii implicaţi în aceste cercuri, a căror activitate a fost orientată cu precădere către ŞMM.

6

Meseria de inginer mecanic presupune înţelegerea corectă a fenomenelor specifice domeniului, cunoaşterea metodelor matematice şi alegerea adecvată a acestora, întocmirea şi utilizarea corectă a programelor şi soft-urilor pentru soluţionarea aplicaţiilor concrete, corect şi rapid, dar şi cunoaşterea realizărilor predecesorilor, în vederea continuităţii şi perfecţionării sistemului de informaţii existente.

Autoarea consideră că această carte prezintă noutăţi în Structura mecanismelor şi este utilă cititorilor interesaţi de Ştiinţa Mecanismelor şi a Maşinilor.

Craiova, 2010 SM C.

7

CUPRINS

1 Introducere. Scurt istoric ............................................................. 9 Bibliografie selectivă .................................................................... 25

2 Analiza structurală a mecanismelor .......................................... 26

2.1 Elemente cinematice............................................................... 26 Bibliografie selectivă .................................................................... 28

2.2 Cuple cinematice..................................................................... 29 2.2.1 Scurt istoric asupra noţiunii de cuplă cinematică........ 29 2.2.2 Clasificarea cuplelor cinematice.................................. 31 2.2.3 Aplicaţii ....................................................................... 40

2.2.3.1 Probleme rezolvate.......................................... 40 2.2.3.2 Probleme propuse............................................ 47

Bibliografie selectivă .................................................................... 53

2.3 Lanţuri cinematice ................................................................. 54 Bibliografie selectivă .................................................................... 55

2.4 Lucrări de laborator. Studiul elementelor şi cuplelor cinematice............................................................................... 56

2.5 Grad de libertate. Grad de mobilitate al mecanismului......... 64 2.5.1 Introducere ................................................................... 64 2.5.2 Stabilirea mobilităţii mecanismelor folosind

metodele inventicii ...................................................... 71 2.5.2.1 Principiile inventicii şi strategia utilizată

în calculul gradului de mobilitate al mecanismelor .................................................. 71

2.5.2.2 Formulele pentru calculul rapid al gradului de mobilitate al mecanismelor folosind principiile inventicii......................... 74

8

2.5.2.3 Condiţiile de aplicabilitate ale unor formule pentru calculul rapid al gradului de mobilitate ................................................... 75

2.5.2.4 Exemple de calcul al gradului de mobilitate folosind strategia prezentată în subcapitolele 2.5.2.1. şi 2.5.2.2. ................ 82

2.5.3 Concluzii ...................................................................103 Bibliografie selectivă ................................................................104

2.6 Transformarea cuplelor.........................................................106 2.6.1 Principii teoretice .......................................................106 2.6.2 Aplicaţii ......................................................................109

Bibliografie selectivă ..................................................................113

2.7 Elemente cinematice pasive sau cu mişcare de prisos şi cuple cinematice pasive....................................................114

Bibliografie selectivă ..................................................................119

2.8 Schema cinematică. Schema structurală. ............................120 Bibliografie selectivă ..................................................................122

2.9 Grupe structurale ..................................................................123 Bibliografie selectivă ..................................................................131

2.10 Descompunerea mecanismului plan după principiul lui Assur ............................................................................132

Bibliografie selectivă ..................................................................134

2.11 Lucrări de laborator. Analiza structurală a mecanismelor .....................................................................135

Bibliografie selectivă ..................................................................140

3 ANEXE ....................................................................................141 3.1 Anexa 1. Realizări practice din cadrul Laboratorului

de Mecanisme .......................................................................141 3.2 Anexa 2. Standardul Internaţional EN ISO 3952 ................153

9

1 INTRODUCERE. SCURT ISTORIC

Tehnica reprezintă ansamblul procedeelor folosite pentru producerea bunurilor materiale; în concluzie, ea urmăreşte scopuri utile, economice.

Sistemul reprezintă, în general, atât elementele unei mulţimi nevide, cât şi relaţiile de interdependenţă care există între ele.

Sistemul tehnic este sistemul fizic compus cel puţin parţial din corpuri solide, creat de om prin mijloace tehnice pentru a realiza scopuri stabilite în prealabil, în conformitate cu legile naturii.

Datele existente în natură în formă primară sunt: materiale, energii şi informaţii.

Sistemele tehnice se pot clasifica astfel: – sisteme tehnologice – sunt sistemele pentru procurarea,

transformarea, elaborarea, stocarea şi/sau transportarea materialelor;

– sisteme energetice – sunt sisteme pentru procurarea, transformarea, stocarea şi/sau distribuirea de energii;

– sisteme informatice – sunt sisteme pentru preluarea, prelucrarea, stocarea şi/sau transmiterea informaţiilor.

Sistemul mecanic este sistemul de corpuri materiale rezistente (deci care sunt capabile să transmită forţă) în care mişcările mecanice se studiază în corelaţie cu forţele care le cauzează.

Cuvântul machina este de origine latină, iar cuvântul mecanism este de origine franceză; acesta din urmă a fost introdus pentru a înlocui noţiunea de maşină elementară.

S-au dat numeroase definiţii maşinii şi mecanismului de-a lungul timpului. În general, prin maşină s-a înţeles un sistem de corpuri mobile, în contact, destinate producerii lucrului mecanic. Dacă se urmărea în primul rând transmiterea mişcării şi nu producerea lucrului mecanic, atunci sistemul era numit mecanism.

Definiţiile ce urmează, referitoare la mecanism şi maşină,

10

sunt adoptate de IFToMM (Federaţia Internaţională a Ştiinţei pentru promovarea Mecanismelor şi a Maşinilor).

Mecanismul – este un sistem mecanic creat pentru a transmite şi a

transforma mişcările şi forţele unuia sau mai multor corpuri în mişcări şi forţe constrânse ale altor corpuri;

– este lanţul cinematic având un element cinematic considerat fix. Maşina – este sistemul mecanic care realizează o sarcină specifică

(cum ar fi: formarea, prelucrarea, deplasarea materialelor) prin transmiterea şi transformarea mişcării şi a forţei.

În maşină se disting, în general, următoarele părţi componente: motorul, mecanismul şi efectorul.

Motorul este subsistemul în care se transformă o anumită energie în energie mecanică.

Mecanismul este subsistemul în care se transmite şi prin care se transformă mişcarea mecanică.

Efectorul este subsistemul în care se realizează procesul tehnologic.

Între noţiunea de maşină şi mecanism există următoarele deosebiri:

– în general, în maşină se urmăreşte efectuarea unui lucru mecanic util (ex.: prelucrarea materialelor), în timp ce în mecanism se urmăreşte transmiterea mişcării;

– mecanismul poate fi parte componentă a maşinii, dar maşina nu poate fi parte componentă a mecanismului. Ştiinţa mecanismelor (ŞM) se conturează ca ramură de ştiinţă

independentă la sfârşitul secolului al XIX- lea. Ea se ocupă cu analiza şi sinteza mecanismelor.

Analiza mecanismelor studiază caracteristicile: structurale, cinematice, cinetostatice şi dinamice ale unor mecanisme date (se cunoaşte geometria mecanismului analizat: lungimile şi unghiurile constante ale elementelor, poziţiile bazelor).

În cadrul analizei structurale se determină: numărul şi tipul

11

elementelor şi cuplelor cinematice, numărul elementelor conducătoare şi se descompun schemele structurale şi cinematice ale mecanismelor în grupe structurale, respectiv cinematice (grupe assurice).

Analiza cinematică studiază mişcarea elementelor (poziţii, viteze, acceleraţii) fără a ţine cont de forţele care acţionează pe elemente.

Analiza cinetostatică determină forţele ce acţionează pe elemente în timpul mişcării.

Analiza dinamică studiază relaţiile ce există între mişcările corpurilor, forţele care solicită corpurile şi masele corpurilor, adică studiază mişcarea elementelor ţinând cont de forţele care o produc.

Sinteza mecanismelor se ocupă cu proiectarea mecanismelor care au anumite caracteristici structurale, cinematice sau dinamice date.

În antichitate, savanţi iluştri au studiat mecanismele şi au scris tratate despre ele.

Arhimede (287 – 212 î. H.), renumit matematician, astronom, filozof, fizician şi inventator grec al antichităţii (Fig. 1.1), s-a născut la Siracuza, în Sicilia. El a făcut parte dintr-o familie înstărită, fiind fiul astronomului Fidias – cel care a determinat că circumferinţa Soarelui este de 12 ori mai mare decât circumferinţa Pământului. Renumitul savant a studiat o perioadă în Egipt.

a b

Fig.1.1

12

Arhimede a scris lucrările: Despre măsurarea cercului, Despre denumirea numerelor, Despre echilibrul planelor, Despre corpurile plutitoare, Cvadratura parabolei, Despre sferă şi cilindru, Despre spirale, Despre conice şi sferoide, Despre centrul de greutate şi despre suprafeţele plane şi Metoda.

În 1879 şi apoi în 1880, profesorul J. I. Heiberg din Copenhaga publică ediţia întâi, respectiv ediţia a doua a operelor lui Arhimede. Heiberg devine celebru prin descoperirea în 1906 a manuscrisului lui Arhimede, Metoda.

Ca matematician, Arhimede defineşte spirala care-i poartă numele, măsoară suprafaţa parabolei ca o sumă infinită de arii ale unor triunghiuri, determină dependenţa dintre volumul sferei şi volumul cilindrului exînscris ei, precum şi dintre ariile lor, dintre volumul conului şi al cilindrului cu aceeaşi înălţime şi aceeaşi bază, stabileşte proprietăţi importante ale cercului, aproximează numărul π (pentru aproximarea numărului π – care reprezintă raportul dintre circumferinţa cercului şi diametrul acestuia – a folosit poligoane regulate înscrise şi exînscrise în cerc, precum şi formule de recurenţă; el a determinat numărul π ca fiind aproximativ 22/7, utilizând poligoane cu 96 de laturi).

Ca fizician, Arhimede determină legea din hidrostatică care-i poartă numele; legea lui Arhimede stabileşte dacă un corp pluteşte sau se scufundă – în funcţie de relaţia dintre greutatea corpului şi forţa cu care lichidul împinge corpul –, precum şi viteza de scufundare a corpului. De asemenea, el explică fenomene foarte utile în navigaţie, combinând principiul său cu un studiu referitor la centrele de greutate.

Ca inginer, fiind în serviciul regelui Hieron, Arhimede a folosit cunoştinţele pe care le deţinea pentru proiectarea maşinilor de război. Astfel, el a realizat numeroase catapulte care funcţionau pe principiul pârghiilor; acestea lansau asupra navelor inamice bile gigantice din plumb, pietre sau săgeţi. Un mecanism proiectat de Arhimede, format dintr-o pârghie fixată pe un stâlp, un sistem de scripeţi şi un cârlig mare (Fig. 1.2) a fost folosit cu succes de către cartaginezi pentru a se apăra de invaziile corăbiilor romane. Corabia prinsă în cârlig era ridicată în aer prin tragerea unui cablu (cablul trecea peste nişte scripeţi, acţionând pârghia), iar apoi corabia era lăsată să cadă în apă.

Cu ajutorul oglinzilor parabolice realizate de el se presupune că erau arse vasele inamice. Parabola reflecta razele de lumină, concentrându-le în focar. El a construit şi un planetariu folosind un sistem de roţi dinţate, reproducând astfel universul în miniatură şi mişcarea astrelor (soarele, luna, şi cea mai mare parte a planetelor cunoscute până la acea dată).

13

Fig. 1.2 Deoarece dispreţuia munca fizică care solicita mult oamenii, el a realizat

maşini de tracţiune ce foloseau scripeţi, pârghii, palane, ce deplasau obiecte grele cu ajutorul unor forţe mici.

Arhimede a inventat o maşină de pompat apa, numită şurubul lui Arhimede, sau şurubul fără sfârşit, sau melc. Figura 1.3a reprezintă şurubul lui Arhimede utilizat pentru transportul apei, preluat din lucrarea lui Vitruvius, Despre arhitectură.

a b Fig. 1.3

Figura 1.3b ilustrează macheta funcţională a unei maşini pentru pompat apa, realizată de studenţi ai Facultăţii de Mecanică din Craiova, iar în figura 1.4 este redat mecanismul expandat.

14

Şurubul lui Arhimede este, în general, un şurub de dimensiuni mari, deschis la ambele capete şi învelit pe întreaga lungime într-o teacă etanşă. Când un capăt al şurubului este plasat în apă, iar celălalt capăt este la un nivel superior, formând un unghi cu baza, apa captată în locaşurile dintre filet şi teacă este ridicată pe lungimea şurubului, prin rotirea acestuia, de la capătul deschis de jos până la capătul deschis de sus, pe unde ea se varsă.

Egiptenii foloseau în antichitate şurubul lui Arhimede pentru irigare, întrebuinţare care i se mai dă şi astăzi în anumite locuri de pe globul pământesc.

Principiul de funcţionare al melcului a fost utilizat atât pentru tirbuşon cât şi pentru şuruburi.

Fig. 1.4 Arhimede a lăsat însă puţine documente referitoare la lucrările sale din

domeniul ingineriei, deoarece le considera jocuri ale geometriei aplicate.

15

Anul morţii lui Arhimede este cunoscut, 287 î. H; în acel an, când trupele generalului roman Marcellus invadaseră Siracuza, un soldat roman îl străpunge pe Arhimede cu sabia, deoarece acesta din urmă – fiind ocupat cu rezolvarea unei probleme de matematică –, refuză să-i asculte ordinul de a-l urma. De asemenea, în scrierile poetului Tzetzes se găseşte informaţia că Arhimede a trăit 75 de ani.

Marcus Vitruvius Pollio (80-70 î. H. – după 15 î. H.), inginer şi arhitect roman, a scris la sfârşitul secolului I î. H. celebra lucrare a antichităţii Despre arhitectură, care conţine zece cărţi. Această lucrare este o sinteză a tot ceea ce se cunoştea despre arhitectura clasică, având o utilitate deosebită în practica arhitecturală a acelor vremuri. În carte se prezintă materialele necesare pentru construcţii şi metodele de preparare a lor. Construcţiile sunt clasificate în funcţie de aranjamentul coloanelor şi de diversele ordine. Au fost descrise amănunţit planele şi proporţiile corespunzătoare ale clădirilor private şi publice, teoria ornamentării şi materialele utilizate. Vitruvius aminteşte în lucrare şi de invenţiile lui Ctesibius din Alexandria şi ale lui Arhimede. În cartea a X-a sunt prezentate maşinile utilizate în acea vreme în ingineria militară şi civilă: maşini bazate pe scripeţi pentru ridicarea şi transportul greutăţilor, maşini care transformă mişcarea rotativă în mişcare liniară şi invers, mecanisme cu pârghii, etc.

Heron din Alexandria (Fig. 1.5), matematician, fizician, inginer şi inventator grec, a trăit între 10 (20) – 62 (70) d. H. Au fost aproximativ optsprezece scriitori greci cu numele Hero sau Heron, dar acest om de ştiinţă este cunoscut sub numele de Heron din Alexandria, deoarece se presupune că s-a născut în Alexandria – Egipt.

Fig. 1.5 Fig. 1.6 Fig.1.7 Heron a fost foarte bine cunoscut prin studiile sale matematice. Una dintre

cele mai importante lucrări ale lui este Metrica, descoperită în anul 1896. În partea I se analizează ariile triunghiurilor (este demonstrată şi formula pentru calculul ariei unui triunghi în funcţie de laturile sale), ale poligoanelor cu 4 – 12 laturi, suprafeţele piramidelor, cilindrilor, sferelor,

16

etc. Partea a II-a descrie metodele pentru calculul volumelor unor corpuri. Partea a III-a studiază divizarea volumelor şi ariilor în părţi, în funcţie de rapoarte date. Heron indică o metodă pentru determinarea rădăcinii cubice şi calculează rădăcina cubică a numărului 100.

Dar Heron este cunoscut şi ca un renumit inginer mecanic al timpului său. În lucrarea intitulată Mecanismele el a prezentat principalele realizări ale lumii antice.

Dintre lucrările lui Heron mai amintim: Mecanica, Pneumatica, Belopoeica, Maşini automate, Catoptrica, Dioptrica şi Geoponica.

Mecanica studiază deplasarea corpurilor grele. Partea I prezintă bazele staticii şi ale dinamicii. Partea a II-a descrie cele cinci maşini simple, iar partea a III-a descrie maşini de ridicat şi maşini pneumatice.

Pneumatica (două volume) este o colecţie de 80 mecanisme care funcţionează prin presiunea aerului, aburului sau lichidelor; ex.: mecanismul pentru stingerea focului, maşina automată pentru obţinerea apei prin introducerea monedelor, primul motor cu aburi.

Primul motor rotativ ce foloseşte puterea aburului (Fig. 1.6) conţine o sferă cu două tuburi îndoite, legată de un vas cu apă prin intermediul a două ţevi verticale. Prin fierberea apei din vas aburul pătrunde în sferă prin cele două ţevi verticale şi părăseşte sfera prin cele două tuburi îndoite, producând rotirea sferei.

Figura 1.7 ilustrează un dispozitiv cu o pârghie; când pe un taler al acesteia cad monede, celălalt capăt al pârghiei se ridică şi deplasează o supapă, care permite apei să curgă din vas; prin înclinarea pârghiei, monedele cad de pe taler, pârghia revine la poziţia iniţială şi supapa se închide.

Belopoeica este o colecţie de maşini de război. Deşi nu mai există manuscrisul original, există o copie scrisă de mână din perioada medievală.

Maşini automate conţine o colecţie de sisteme (numite miracole pentru temple) pentru rotirea automată a obiectelor, deschiderea automată a uşilor, etc.

În figura 1.8 este schiţat un mecanism cu scripeţi proiectat de Heron din Alexandria, care era folosit la deschiderea uşilor unui templu cu ajutorul focului ce ardea pe un altar.

Catoptrica studiază propagarea liniară a luminii, reflexia ei, precum şi utilizarea oglinzilor.

Dioptrica conţine o colecţie de instrumente necesare determinării lungimilor. Heron descrie construcţii similare teodolitului folosit pentru măsurarea unghiurilor şi alte instrumente pentru măsurarea distanţelor, cum ar fi odometrul (Fig. 1.9a, b).

17

Geoponica conţine studii despre Pământ.

Fig. 1.8 a b Fig. 1.9 Arhimede a explicat principiile de funcţionare ale maşinilor

elementare. Cele cinci maşini simple studiate în antichitate, în general

sunt considerate a fi: – pârghia, – troliul, – planul înclinat sau pana, – şurubul, – scripetele.

Pârghia este o bară rigidă care se sprijină pe un reazem şi asupra căreia se exercită o forţă activă şi una rezistentă (Fig. 1.10).

Pârghia poate fi considerată protomecanism (în limba greacă: protos – primul) în cadrul mecanismelor cu bare articulate.

Arhimede a formulat legea pârghiei sub formă de postulate. Pârghia de genul I are punctul de sprijin între punctul de

aplicaţie al forţei active şi cel al forţei rezistente, efectul urmărit fiind de echilibru (ex.: foarfecele, ridicarea unei greutăţi – Fig. 1.11, balanţa cu braţe egale – Fig. 1.12, balanţa cu braţe inegale – Fig. 1.13).

18

Fig. 1.10 Fig. 1.11

Fig. 1.12 Fig. 1.13

Fig. 1.14 Fig. 1.15

19

Pârghia de genul II are punctul de aplicaţie al forţei rezistente situat între punctul de sprijin şi punctul de aplicaţie al forţei active, efectul urmărit fiind forţa (ex.: cleştele de spart nuci, care este un sistem format din două pârghii de genul II – Fig. 1.14).

Pârghia de genul III are punctul de aplicaţie al forţei active situat între punctul de sprijin şi punctul de aplicaţie al forţei rezistente, având ca efect mişcarea (ex.: pedala – Fig. 1.15, membrele inferioare ale omului şi ale animalelor).

În tehnică sunt numite pârghii barele care au un punct de articulaţie sau un punct de reazem fix şi care sunt supuse în special la încovoiere; barele care sunt solicitate în special la întindere, compresiune sau torsiune, se numesc tije.

Pana (planul înclinat) este cunoscută din paleolitic. Se presupune că pentru ridicarea blocurilor foarte mari de piatră ale piramidelor omul a utilizat planul înclinat în trepte şi pârghia cu braţe inegale.

Troliul este o maşină simplă, care serveşte la ridicarea sau la transportul sarcinilor cu ajutorul unui cablu ce se înfăşoară pe un cilindru. Principalele elemente ale troliului sunt: cilindrul (unul sau doi), cablul (mai rar lanţ), transmisia intermediară (transmisie cu roţi dinţate, cu una sau mai multe trepte, ce serveşte la mărirea momentului necesar deplasării sarcinii) şi mecanismele de frânare şi siguranţă (servesc la oprirea cilindrului în poziţia dorită şi la împiedicarea învârtirii nedorite a cilindrului sub acţiunea sarcinii). Figura 1.16 ilustrează troliul simplu, iar figura 1.17 cabestanul (troliul vertical).

Fig. 1.16 Fig. 1.17

20

În figura 1.18 este reprezentat troliul pentru cariere cu roată de acţionare cu ştifturi. Roata de acţionare este foarte mare, prevăzută cu ştifturi, pe care urcau unul sau mai mulţi lucrători.

Pentru ca troliul să fie în echilibru trebuie îndeplinită condiţia din Ec. 1.1.

OBQ=OCP ⋅⋅ , (1.1)

unde: P este greutatea lucrătorilor, iar Q este sarcina care trebuie ridicată (Fig. 1.19).

Fig. 1.18 Fig. 1.19 Se notează raza roţii cu R (OA=R), iar raza cilindrului cu r

(OB=r). Sarcina utilă echilibrată de greutatea P se calculează cu Ec. 1.2.

rRsinαP=Q ⋅ (1.2)

Se putea ridica o sarcină maximă r

RP=Q ⋅ dacă punctul de

aplicaţie al forţei P era chiar pe axa orizontală care trecea prin centrul roţii (pentru 090=α ); dar acest punct nu trebuia să ajungă la punctul D, nefiind în siguranţă dacă unghiul α depăşea valoarea de 070 . Dacă o mişcare a mecanismului provoca totuşi depăşirea punctului maxim, momentul greutăţii lucrătorilor devenea mai mic decât cel al forţei Q, acesta din

21

urmă producând rotirea roţii în sens invers acţiunii lucrătorilor, ceea ce era foarte periculos pentru ei. Pentru o sarcină utilă rezistentă mai mică decât valoarea maximă calculată anterior, lucrătorii îşi stabileau poziţia A pe arcul ED, care realiza echilibrul (Fig. 1.19).

În cazul în care cablul se rupea, contragreutatea A ridica extremitatea D a troliului şi provoca blocarea clichetului B între dinţii înclinaţi ai roţii C (Fig. 1.20), ceea ce împiedica troliul să se rotească în gol, sub acţiunea greutăţii lucrătorilor.

Fig. 1.20 Fig. 1.21 Fig. 1.22

În figura 1.21 este schiţat un troliu cu angrenaje, iar figura 1.22 ilustrează realizarea practică a acestuia. Angrenajele se folosesc pentru a asigura o putere mai mare troliului, fără a creşte foarte mult raza roţii.

După schiţa troliului diferenţial din figura 1.23 s-a executat o machetă (Fig. 1.24).

Fig. 1.23 Fig. 1.24 Fig. 1.25

22

Tamburul este format din două zone cilindrice de raze diferite. Cablul se înfăşoară pe o zonă cilindrică de rază r, simultan cu desfăşurarea de pe cealaltă zonă cilindrică de rază r1; el suportă o greutate Q prin intermediul unui scripete mobil A; cele două ramuri ale cablului ( 1S , S) se consideră paralele. La o rotaţie a tamburului cu unghiul α , scripetele se deplasează cu: r)α-(r1 /2.

Scripetele este un disc care se roteşte în jurul propriei axe de simetrie, la periferia căruia se executa un canal (B) pentru aşezarea unui cablu sau a unui lanţ (Fig. 1.25).

Scripetele poate fi: – scripete fix, a cărui axă se sprijină pe suporţi ficşi, – scripete mobil, a cărui axă se deplasează în timp ce

scripetele se roteşte, – scripete compus. Figurile 1.26 şi 1.27 reprezintă sisteme cu scripeţi şi troliuri din

cartea lui Vitruvius, Despre arhitectură; sistemele pot ridica sarcini pe verticală sau pot transporta sarcini pe orizontală.

Fig. 1.26 Fig. 1.27

23

Inventarea şurubului – tijă cilindrică filetată pe o porţiune, sau pe toată lungimea – îi este atribuită lui Archytas din Tarentum (428 – 347 î. H.).

Archytas (Fig. 1.28) din Tarentum (actualul oraş Taranto, în sudul Italiei), elevul şcolii lui Pitagora, a fost filozof, astronom, excepţional matematician şi inginer. El construieşte prima maşină zburătoare cunoscută în istorie, care a zburat 200 m.

Dintre lucrările lui Archytas amintim: Despre mecanică, Despre matematică, Studii, Despre numărul 10, Despre agricultură, Despre teoria armoniei. Şuruburile au început însă a fi utilizate în mod

frecvent în sec. I î. H., fiind confecţionate din lemn; erau utilizate atât la presele pentru obţinerea sucului din fructe cât şi la presarea diferitelor ţesături necesare pentru îmbrăcăminte.

Fig. 1.28 Şurubul diferenţial al lui Prony (Fig. 1.29a – realizare

practică, Fig. 1.29b – schema cinematică) se foloseşte la instrumentele de măsură de precizie. Reuleaux atribuie inventarea şurubului diferenţial lui Prony şi lui White.

a b

Fig. 1.29 Mecanismul este compus dintr-un şurub cu două porţiuni

filetate cu paşi diferiţi, dar de acelaşi sens (1), o piuliţă fixă (2) şi o piuliţă mobilă (3). Când şurubul se roteşte cu 3600, piuliţa mobilă se deplasează cu diferenţa celor doi paşi.

Galileo Galilei scrie în 1593 Le Macchine, retipăritată de F. Brunetti în 1964 la Turin, în Operele lui Galileo Galilei.

24

J. Leupold, în lucrarea sa Theatrum machinarium generale (1724), face distincţie între maşinile simple şi cele complexe.

În 1794 se înfiinţează Şcoala politehnică din Paris, ce capătă această denumire în 1795. Predarea în învăţământul superior a noţiunilor despre elemente de maşini a început prin introducerea a două capitole în cursul de geometrie descriptivă de către G. Monge.

Hachette, Lanz şi Betancourt întocmesc prima programă analitică a cursului despre maşini în anul 1808. Primele sistematizări ale mecanismelor în funcţie de transformările mişcărilor, care se regăsesc în literatura de specialitate, sunt cele făcute de Hachette (89 de mecanisme) în funcţie de transformările mişcărilor rectilinie şi circulară şi cele făcute de Betancourt (152 de mecanisme) în funcţie de transformările mişcărilor rectilinie, circulară şi mişcarea după o curbă oarecare.

Dacă în antichitate studiul mecanismelor se realiza în cadrul mecanicii aplicate, Teoria mecanismelor se conturează ca ştiinţă independentă la sfârşitul sec. al XIX-lea – începutul sec. XX.

R. Willis publică în 1841 manualul universitar Principles of Mechanism, contribuind la formarea Mecanismelor ca ştiinţă nouă.

Contribuţii în teoria mecanismelor au adus şi P.L. Cebîşev, M. Grubler, Laboulaye, Grashof, Burmester, V.V. Dobrovolski.

F. Reuleaux publică în 1875 lucrarea Theoretische Kinematik, prin care se pun bazele teoretice moderne ale structurii mecanismelor.

H.I. Hochman şi G. Koenigs sunt consideraţi fondatorii teoriei analitice moderne a structurii mecanismelor.

În prima jumătate a secolului XX, şcolile ruse şi germane aduc importante contribuţii în teoria mecanismelor: Wittenbauer, G.G. Baranov, L.V. Assur, A.B. Kempe, Artobolevski şi alţii.

25

Disciplina Mecanisme se predă în învăţământul tehnic superior în România din anul 1948.

Fondatorul şcolii româneşti al Ştiinţei Mecanismelor şi a Maşinilor este considerat profesorul Nicolae I. Manolescu (1907 – 1993), de la Universitatea „Politehnica” Bucureşti; de asemenea şi altor profesori români li se recunoaşte o contribuţie importantă în cadrul acestei ştiinţe.

Actualmente, oameni de ştiinţă din întreaga lume se ocupă cu studiul unei varietăţi largi de mecanisme – cu bare, cu came, cu roţi dinţate, mecanisme cu elemente cu lungimi variabile, mecanisme compliante, mecanisme tensegrity...–, ceea ce demonstrează încă o dată importanţa majoră a acestui domeniu. Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Ce este maşina? Dar mecanismul? Ce diferenţe există între ele? 2. Cu ce se ocupă analiza mecanismelor? Dar sinteza mecanismelor? 3. De câte feluri este analiza mecanismelor? 4. Care sunt maşinile simple ale antichităţii? Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Ed. Printech, Bucureşti, 2003. 2. Centenar 1907-2007, Nicolae I. Manolescu. 3. Dudiţă F., Diaconescu D., Optimizarea structurală a mecanismelor, Editura tehnică, Bucureşti, 1987. 4. Dudiţă F., Diaconescu D., Gogu Gr., Mecanisme articulate, Ed. tehnică, Bucureşti, 1989. 5. Par F. J., Elements de Mecanique avec de nombreux exercices, Tours, impr. Mame, 1907. 6. Shutts K., Anne-Sinclair Beauchamp, http//www.edu/hsc/museum/ancient_inventions/ shipshaker2.html 7. Totman E., Tuohy-Sheen L., 1997, http//www.edu/hsc/museum/ancient_inventions/ hsc14b.html 8. http//www.usefultrivia.com/biographies/vitruvius_001.html 9. http//www-groups.dcs.st-and.ac.uk/histoty 10. http//www.geocities.com/Athens/Acropolis 11. http//www.cornell.edu

26

2 ANALIZA STRUCTURALĂ A MECANISMELOR

În alcătuirea unui mecanism se întâlnesc elemente cinematice şi cuple cinematice. Analiza structurală a unui mecanism se referă la:

– numărul şi forma elementelor, ordinea legării lor, precizarea elementului de referinţă;

– numărul şi tipul cuplelor cinematice (numărul mobilităţilor în mişcare relativă şi geometria contactului);

– gradul de mobilitate al mecanismului; – schema cinematică, schema structurală şi graful ataşat

mecanismului; – descompunerea mecanismului în grupe assurice.

2.1 ELEMENTE CINEMATICE

Elementul cinematic este un corp material (solid sau fluid) component al mecanismului, care are rolul de a transmite mişcarea şi forţa.

În funcţie de mobilitate, elementele se pot clasifica în: – elemente mobile, numite şi elemente cinematice; – elemente fixe sau presupuse fixe – baza sau batiul –, faţă de

care se studiază mişcarea celorlalte elemente. Din punct de vedere al stării materialului, elementele

cinematice pot fi solide sau fluide; cele solide pot fi rigide sau flexibile, iar cele fluide pot fi lichide (ex.: uleiul, apa, ...) sau gazoase (ex.: aerul comprimat, ...).

Elementele rigide (nedeformabile, sau considerate nedeformabile) sunt formate dintr-o singură piesă (organ de maşină), sau din mai multe organe de maşini asamblate rigid între ele; exemple de elemente rigide: bare, came, roţi dinţate, ...

27

Elementele flexibile (deformabile) sunt folosite pentru transmiterea la distanţă a mişcării şi a forţei; exemple de elemente flexibile: cabluri, curele, lanţuri, ...

Deşi standardizarea terminologiei ŞMM nu include în clasificarea elementelor şi elementele electrice, unele studii [3] le definesc ca fiind elemente care transmit mişcarea prin intermediul câmpului electromagnetic.

Pentru caracterizarea structurală a unui element solid se foloseşte noţiunea de rang (j). Prin rang se înţelege numărul legăturilor pe care un element le formează cu elementele vecine (Fig. 2.1.1).

Elementele cinematice simple au rangul j<=2. Elementele monare au rangul j=1, iar elementele binare au rangul j=2.

Elementele cinematice complexe au rangul mai mare decât 2. Elementele ternare au rangul 3, iar cele cu rang mai mare de 3

se numesc elemente polinare.

j=4j=3j=2j=1

Fig. 2.1.1

Elementele cinematice se reprezintă grafic sau numeric; numărul 0 este atribuit în general bazei, celelalte numere fiind atribuite elementelor mobile. Simbolurile grafice pentru principalele elemente şi cuple cinematice sunt stabilite în standarde (EN ISO 3952-1).

Elementul cinematic prin care se introduce mişcarea şi forţa în mecanism se numeşte element conducător.

Elementul de la care se obţin forţele şi mişcările dorite se numeşte element condus.

Elementul care are numai cuple de rotaţie se numeşte bară. Elementul cinematic care se roteşte complet în jurul unei axe

fixe se numeşte manivelă, iar cel care oscilează în jurul unei axe fixe în limitele unui unghi de rotaţie se numeşte balansier.

28

Elementul cinematic care nu este legat direct la bază se numeşte bielă.

Elementul cinematic care formează o cuplă cinematică translantă cu un element cinematic şi o cuplă cinematică rotativă cu alt element cinematic se numeşte culisă. Piatra de culisă sau patina reprezintă elementul cinematic compact care alunecă în lungul unui ghidaj, iar ghidajul reprezintă elementul cinematic care impune o mişcare translantă pietrei de culisă. Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Antonescu P., Antonescu O., Standardization of terminology of MMS and graphical symbols, Lucrările celui de-al treilea Seminar naţional de Mecanisme, Craiova, 2008. 3. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 4. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 5. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

29

2.2 CUPLE CINEMATICE

Definiţii Cuplă cinematică – modelul mecanic al legăturii directe (contact) a două

elemente cinematice, cu un anumit tip de mişcare relativă şi anumite grade de libertate (conectivitatea cuplei cinematice).

Cuplă – realizarea fizică a unei cuple cinematice, inclusiv

elementele intermediare de legătură. Cele două definiţii anterioare, totuşi, se consideră sinonime în

standardizarea terminologiei IFToMM.

2.2.1 Scurt istoric asupra noţiunii de cuplă cinematică [5] G. Cardano (1501 – 1576) introduce pentru prima dată în scrierile sale

noţiunea de legătură. R. Willis a definit (1841) legăturile mecanice ca fiind combinaţii de

elemente aranjate în mod diferit, prin care se transmite mişcarea fie prin contact direct, fie prin contact indirect.

Legăturile mecanice care transmit mişcarea prin contact direct pot fi legături prin rostogolire sau prin alunecare.

Se consideră două elemente cinematice în contact într-un punct, în două poziţii diferite: una considerată iniţială şi a doua finală. Se disting două situaţii: arcele descrise de cele două puncte de contact de pe cele două piese – între poziţia iniţială şi cea finală – pot fi egale, situaţie în care Willis defineşte contactul de rostogolire, sau arcele pot fi diferite, contactul fiind definit contact de alunecare. Contactul de alunecare poate fi în general un contact de rostogolire cu alunecare.

Willis analizează cuplele de rostogolire ale mecanismelor cu roţi de fricţiune (cilindrice, conice şi hiperboloidale). Exemplele tipice de contacte de alunecare indicate de Willis sunt: mecanismele cu camă şi mecanismele cu culisă.

Contactele indirecte analizate de Willis aveau elemente flexibile (curele, cabluri, lanţuri).

30

Noţiunea de cuplă cinematică a fost introdusă de Ch. Laboulaye şi preluată de F. Reuleaux.

Reuleaux, în remarcabila lui lucrare Theoretische Kinematik (1875), a analizat amănunţit formele constructive ale cuplelor cinematice. El clasifică cuplele cinematice în cuple inferioare – în care contactul elementelor se realizează pe o suprafaţă –, şi cuple superioare – în care contactul elementelor se realizează pe o curbă sau într-un punct. Reuleaux a analizat cu precădere cuplele monomobile. Dacă numai un element din cuplă este rigid, el introduce denumirea de cuplă cinematică improprie.

H.I. Hochman dezvoltă teoria lui Reuleaux şi clasifică cuplele cinematice în funcţie de legăturile (constrângerile) impuse (1890).

Mişcarea generală a unui corp rigid în raport cu un sistem de referinţă: constă din 6 mişcări – trei translaţii şi trei rotaţii independente –, denumite mişcări elementare. Constrângerea unei mişcări elementare se poate face fie prin anularea ei, fie prin impunerea de condiţii, astfel ca aceasta să devină funcţie de o altă mişcare elementară. Hochman defineşte cuplă de ordinul c, ca fiind cupla cu c constrângeri. El deosebeşte: cuple cu contact punctiform – care au cel puţin o restricţie –, cuple cu contact liniar – care au cel puţin două constrângeri – şi cuple cu contact pe o suprafaţă – care au cel puţin trei constrângeri. Hochman poate fi considerat fondatorul teoriei moderne a structurii mecanismelor.

A.P. Malîşev a analizat şi sistematizat cuplele cinematice în funcţie de legăturile impuse prin intermediul parametrilor geometrici ai suprafeţelor de contact (cuplele cinematice introduc de la una până la cinci condiţii de legătură).

V.V. Dobrovolski a sistematizat cuplele cinematice pornind de la parametrii mişcării care există în cupla cinematică.

31

2.2.2 CLASIFICAREA CUPLELOR CINEMATICE

Cuplele cinematice se pot clasifica după criteriul permanenţei

geometriei contactului într-un interval de timp impus. Dacă se alege pentru observaţie un anumit interval de timp,

este posibil ca o cuplă să-şi păstreze permanent caracterul – cuplă permanentă –, să-şi păstreze caracterul numai pe un subinterval de timp – cuplă intermitentă –, sau să-şi modifice caracterul pe diferite subintervale din intervalul de timp al analizei – cupla variabilă.

Se exemplifică această clasificare pe mecanismul cu cruce de Malta (Fig. 2.2.1). Mecanismul are rolul de a transforma mişcarea continuă în mişcare intermitentă. Elementul conducător se numeşte antrenor şi are fixat de el un opritor; elementul condus se numeşte Cruce de Malta, şi şi-a căpătat denumirea de la forma lui. Antrenorul are mişcare de rotaţie continuă, iar elementul condus are mişcare de rotaţie intermitentă.

Pentru a se evita rotirea crucii de Malta datorită inerţiei – când antrenorul iese dintr-unul din canalele crucii (moment în care nu mai există contact între antrenor şi crucea de Malta) –, s-a fixat de antrenor un opritor; prin forma sa, opritorul blochează crucea de Malta până când antrenorul intră iar într-un canal.

În momentul intrării ştiftului antrenorului în canalul crucii de Malta trebuie ca unghiul dintre direcţia canalului şi direcţia formată de centrul ştiftului cu centrul de rotaţie al antrenorului să fie de 90o. Vectorul viteză liniară al ştiftului va avea direcţia canalului, funcţionarea mecanismului fiind astfel fără şocuri.

Între antrenor şi bază este o cuplă cinematică în tot intervalul de timp pentru analiză – deci este o cuplă permanentă –, iar între crucea de Malta şi bază este o cuplă cinematică intermitentă.

32

Între antrenorul solidar cu opritorul şi crucea de Malta este o cuplă variabilă, deoarece într-un interval de timp se realizează un tip de cuplă (între ştiftul antrenorului şi canalul Crucii de Malta) şi într-un alt interval de timp (când opritorul formează cuplă cu crucea de Malta) tipul cuplei se schimbă.

Crucea de Malta Fig. 2.2.1.

Din punct de vedere al contactului dintre elemente, pot fi: – cuple cinematice inferioare, la care contactul dintre

elemente se realizează pe o suprafaţă; aceste cuple sunt reversibile, deci caracterul mişcării relative a elementelor nu se modifică, indiferent care dintre ele este considerat fix (deoarece suprafeţele care vin în contact sunt geometric identice);

– cuple cinematice superioare, la care contactul dintre elemente se realizează pe o linie sau într-un punct; aceste cuple

antrenor

opritor

33

nu sunt reversibile, deoarece caracterul mişcării relative se modifică după cum un element sau celălalt este considerat fix.

De exemplu, cupla superioară dintre un cerc şi o dreaptă este ireversibilă. Astfel, un punct al elementului mobil descrie fie o ortocicloidă, dacă cercul se rostogoleşte fără alunecare peste dreapta fixă (Fig. 2.2.2a), fie o evolventă, dacă dreapta se rostogoleşte fără alunecare peste cercul fix (Fig. 2.2.2b).

a b Fig. 2.2.2

Din punct de vedere cinematic se disting: – cuple cinematice plane, care permit unui element cinematic să

se mişte relativ la celălalt element din cupla cinematică, într-un plan sau în plane paralele;

– cuple cinematice spaţiale, care permit elementelor cinematice în contact mişcări relative spaţiale.

Din punct de vedere constructiv, cuplele cinematice pot fi: – cuple cinematice deschise, la care contactul dintre cele două

elemente cinematice se realizează prin intermediul forţei (greutatea, forţa unui arc, ...);

– cuple cinematice închise, la care contactul dintre cele două elemente cinematice se realizează printr-o ghidare permanentă.

Din punct de vedere structural, cuplele se clasifică în funcţie de numărul de grade de libertate suprimate sau permise de legătură.

Gradele de libertate ale unui corp reprezintă numărul parametrilor scalari independenţi necesari pentru a determina la un moment dat poziţia acestuia în raport cu un sistem de referinţă. El corespunde numărului de posibilităţi de mişcări simple independente ale corpului respectiv.

Rz

M

M

34

Cea mai generală mişcare a unui corp rigid liber în spaţiu poate fi privită ca o combinaţie de trei translaţii şi trei rotaţii independente în lungul, respectiv în jurul a trei axe rectangulare. Cele 6 grade de libertate ale corpului corespund celor 6 mişcări independente.

Un corp liber să se mişte în plan are 3 grade de libertate – două translaţii în planul mişcării şi o rotaţie în jurul unei axe perpendiculare pe planul mişcării –, şi 3 constrângeri (ex.: un corp liber să se mişte în planul xOy are 3 grade de libertate – Tx,Ty, Rz –, şi 3 constrângeri – Tz, Rx, Ry –, Fig. 2.2.3).

Fig. 2.2.3

O cuplă cinematică introduce anumite legături, limitând cele 6 libertăţi de mişcare ale unui element în stare liberă, fie prin suprimarea unor mişcări elementare, fie prin dependenţa dintre anumite mişcări elementare.

Dacă se notează cu l numărul gradelor de libertate pe care o cuplă cinematică le permite elementelor ei şi cu c numărul celor anulate de cuplă, este îndeplinită condiţia din Ec. 2.2.1.

l+c=6 (2.2.1)

În concluzie, numărul de mişcări elementare permise de o cuplă cinematică poate fi mai mare decât numărul gradelor de libertate, din cauza unor condiţii geometrice ce stabilesc relaţii funcţionale între anumite mişcări elementare. De exemplu, la cupla şurub-piuliţă (Fig. 2.2.4) şurubul b are două mişcări elementare relativ la piuliţa a – una de rotaţie şi una de

y

x

z

Tx

RzO

Ty

35

translaţie în jurul, respectiv în lungul axei xx –, dar acestea sunt dependente una de alta. La o rotaţie a şurubului cu 3600 piuliţa translatează în lungul axei xx cu pasul h (Fig. 2.2.5), între cele două mişcări elementare existând o relaţie funcţională (Ec. 2.2.2).

Fig.2.2.4 Fig. 2.2.5

r2πh=tgβ (2.2.2)

Dacă nu există nici o relaţie funcţională între mişcările elementare ale elementelor cuplei cinematice (dirijate în jurul şi în lungul axelor sistemului de referinţă – Ox, Oy, Oz), aceasta permite una până la cinci mişcări elementare relative, în funcţie de modul de legare al elementelor cinematice.

După criteriul lui Malîşev, clasa cuplei cinematice este dată de numărul gradelor de libertate anulate de cuplă.

Pot fi cuple de clasa: I, a II-a, a III-a, a IVa şi a V-a. Cupla sferă pe plan (Fig. 2.2.6) este o cuplă deschisă,

spaţială, superioară, de clasa I.

l=5 (Tx, Ty, Rx, Ry, Rz); c=6-l=6-5=1. (2.2.3)

Cupla cilindru pe plan (Fig. 2.2.7) este o cuplă deschisă, superioară, de clasa a II-a.

l=4 (Tx, Ty, Rx, Rz); c=6-l=6-4=2. (2.2.4)

Cupla sferică (Fig. 2.2.8) este o cuplă închisă, inferioară, de clasa a III-a.

l=3 (Rx, Ry, Rz); c=6-l=6-3=3. (2.2.5)

36

Cupla cilindrică (Fig. 2.2.9) este o cuplă închisă, inferioară, de clasa a IV-a.

l=2 (Tx, Rx); c=6-l=6-2=4. (2.2.6)

Cupla de translaţie (Fig. 2.2.10) este o cuplă închisă, inferioară, de clasa a V-a.

l=1 (Tx); c=6-l=6-1=5. (2.2.7)

Fig. 2.2.6 Fig. 2.2.7

Fig. 2.2.8 Fig. 2.2.9

Fig. 2.2.10 Fig. 2.2.11

12

3

5

A

A1

A2A3

A44

37

Cupla cinematică complexă de ordinul p este un ansamblu de p cuple simple. În cupla cinematică complexă de ordinul p se întâlnesc p+1 elemente.

În cazul în care bolţul de asamblare al elementelor cuplei complexe nu este asamblat rigid cu nici un element cinematic, se va considera bolţul solidar cu elementul care transmite mişcarea în cupla cinematică complexă, atât pentru analiza structurală, cât şi pentru analiza cinetostatică.

Se recomandă să se identifice cuplele cinematice simple din cupla cinematică complexă conform cu realizarea constructivă a cuplei cinematice şi să se ţină cont de aceasta în calculul cinetostatic, la plasarea foţelor interioare (reacţiunile dintre elemente). În cupla complexă din figura 2.2.11 bolţul este solidar cu elementul 1.

În micromecanisme se folosesc flexuri practicate în elemente, care substituie cuplele cinematice de rotaţie de clasa a V-a. Prin practicarea unei flexuri într-un element, adică prin micşorarea secţiunii unui element într-o anumită zonă, se permite rotirea parţială a unei porţiuni a elementului, relativ la cealaltă porţiune, în jurul unei axe perpendiculare pe planul mişcării (Fig. 2.2.12).

Fig. 2.2.12 Fig. 2.2.13 Se poate realiza un lanţ cinematic înlocuitor al elementului cu

flexură care asigură aceeaşi mişcare relativă între elemente ca şi în corpul real (Fig. 2.2.13).

Definim o cuplă plană „decalată” ca fiind lanţul cinematic format din 6 elemente cinematice, dintre care două elemente

x

yRz

Rz1 2

flexura

lantul cinematic inlocuitor

Rz

38

sunt îndoite. Această cuplă permite rotirea a două elemente drepte în jurul unui centru comun de rotaţie (Fig. 2.2.14). Figura 2.2.15 ilustrează imaginile rezultate în urma rulării unui program care marchează centrul comun de rotaţie al unei cuple plane „decalate”.

a b Fig. 2.2.14

a b

Fig. 2.2.15 Cupla sferică cu elemente concentrice permite ca un număr

arbitrar de elemente să fie conectate împreună şi să participe la un centru comun de rotaţie. Ea se construieşte prin conectarea mai multor cuple plane „decalate”. Aceste cuple au fost realizate cu scopul substituirii cuplelor sferice tradiţionale, utilizate în mecanismele cu bare, care prezintă anumite

39

inconveniente (mai multe cuple sferice cu bile nu pot fi concentrice într-un punct, deoarece centrul fiecăreia se află în centrul bilei). Ele s-au folosit la realizarea unor platforme; ex.: platforma Stewart – un octaedru cu feţele laterale triunghiuri, format din bare, fiecare vârf al octaedrului fiind o cuplă sferică cu mai multe elemente concentrice. Acestea au fost utilizate la roboţii păşitori, cum este cel realizat de echipa de cercetători: G. J. Hamlin şi A.C. Sanderson, de la Centrul pentru Dezvoltarea în Automatizare şi Roboţi din New York, respectiv Institutul Politehnic din Troy.

Cuplele cinematice fundamentale sunt cuplele inferioare cu o singură mobilitate (ex.: cupla de rotaţie, cupla de translaţie, cupla şurub-piuliţă).

40

2.2.3 APLICAŢII

2.2.3.1 PROBLEME REZOLVATE

1. Se consideră cupla cinematică complexă din figura 2.2.16.

Să se specifice cuplele cinematice simple din care este formată cupla cinematică complexă (elementele ce formează fiecare cuplă cinematică simplă) şi tipul acestora.

Rezolvare Se consideră bolţul solidar cu elementul cinematic 1. Cuplele cinematice simple sunt: A1(1,2) – de clasa a V-a, de

rotaţie; A2(1,3) – de clasa a V-a, de rotaţie; A3(1,4) – de clasa a V-a, de rotaţie (R); A4(1,5) – de clasa a V-a, de translaţie (T).

Fig. 2.2.16

2. Să se simbolizeze în vederea de sus cupla cinematică complexă din figura 2.2.17. Să se specifice cuplele cinematice simple din care este formată cupla cinematică complexă (elementele cinematice care formează fiecare cuplă cinematică simplă) şi tipul acestora.

De ce ordin este cupla cinematică complexă? Rezolvare Simbolizarea cuplei complexe şi elementele cinematice (5

elemente) sunt redate în figura 2.2.18. Dacă elementul cinematic care transmite mişcarea în cupla

cinematică complexă este elementul 1, bolţul se consideră solidar cu elementul 1 (Fig. 2.2.19).

12

34

A5

41

Fig. 2.2.17

Fig. 2.2.18

Cuplele cinematice simple ale cuplei complexe sunt (Fig. 2.2.19): A1(1,2) – de clasa a V-a (R), A2(1,3) – de clasa a V-a (R), A3(1,4) – de clasa a V-a (R), A4(4,5) – de clasa a V-a (T).

Cupla complexă este de ordinul 4.

Fig. 2.2.19

12

3

5

A

A1

A2A3

A44

123

45

A

42

3. Se consideră cupla cinematică din figura 2.2.20. Să se stabilească gradele de libertate permise de cupla cinematică. De ce clasă este cupla cinematică?

2

1

Rz

O

z y

x

Fig. 2.2.20 Fig. 2.2.21

Rezolvare Cupla cinematică este formată din elementele cinematice 1 şi 2. Se analizează mişcarea relativă a elementului cinematic 2 în

raport cu elementul cinematic 1 (sistemul de referinţă se ataşează elementului cinematic 1 – Fig. 2.2.21). Gradul de libertate permis de cupla cinematică (mişcarea elementară independentă a elementului 2 relativ la elementul 1) este Rz.

l=1 (Rz); c=6-l=6-1=5. (2.2.8)

În concluzie, cupla cinematică este o cuplă de clasa a V-a. Cupla cinematică este inferioară, deoarece contactul se realizează pe o suprafaţă (suprafaţa laterală interioară a trunchiului de con 2). Cupla cinematică este o cuplă plană.

43

4. Se consideră cupla cinematică din figura 2.2.22. Să se stabilească gradele de libertate permise de cupla cinematică. De ce clasă este cupla cinematică?

Fig. 2.2.22

Rezolvare Cupla cinematică cilindrică este formată din elementele

cinematice 1 şi 2 (Fig. 2.2.23). Se analizează mişcarea relativă a elementului cinematic 1 în raport cu elementul cinematic 2 (sistemul de referinţă se ataşează elementului cinematic 2).

2

1 RxTx

O

z y

x

Fig. 2.2.23

Gradele de libertate permise de cupla cinematică (mişcările elementare independente ale elementului 1 relativ la elementul 2) sunt: Tx, Rx.

l=2 (Tx, Rx); c=6-l=6-2=4. (2.2.9)

În concluzie, cupla cinematică este o cuplă de clasa a IV-a. Cupla cinematică este spaţială. 5. Se consideră cupla cinematică din figura 2.2.24. Să se

stabilească gradele de libertate permise de cupla cinematică. De ce clasă este cupla cinematică?

44

Fig. 2.2.24

Rezolvare Cupla cinematică este formată din elementele cinematice 1 şi

2. Se analizează mişcarea relativă a elementului cinematic 1 în raport cu elementul cinematic 2 (sistemul de referinţă se ataşează elementului cinematic 2 – Fig. 2.2.25).

RyTz

x

yz

OTx

Rx1

2 Fig. 2.2.25

Gradele de libertate permise de cupla cinematică (mişcările

elementare independente ale elementului 1 relativ la elementul 2) sunt: Tx, Rx, Ry, Tz.

45

l=4 (Tx, Rx, Ry, Tz); c=6-l=6-4=2. (2.2.10)

În concluzie, cupla cinematică este o cuplă de clasa a II-a. Cupla cinematică este spaţială. 6. Se consideră cupla cinematică din figura 2.2.26. Să se stabilească gradele de libertate permise de cupla

cinematică. De ce clasă este cupla cinematică?

Fig. 2.2.26

Rezolvare Cupla cinematică este formată din elementele cinematice 1 şi

2 (Fig. 2.2.27). Se analizează mişcarea relativă a elementului cinematic 2 în raport cu elementul cinematic 1 (sistemul de referinţă este ataşat elementului cinematic 1). Gradele de libertate permise de cupla cinematică (mişcările elementare independente ale elementului 2 relativ la elementul 1) sunt: Tx, Ty, Rx, Ry.

l=4 (Tx, Ty, Rx, Ry); c=6-l=6-4=2. (2.2.11)

46

(S3)(S2)

(S1)

BA

2

1

Rz

RxTx

O

Ty

z y

x

Fig. 2.2.27

În concluzie, cupla cinematică este o cuplă de clasa a II-a. Cupla cinematică are două contacte, în punctele A şi B.

Fiecare contact reprezintă punctul de tangenţă dintre două suprafeţe: punctul de tangenţă dintre suprafeţele (S1) şi (S2) este A, iar punctul de tangenţă dintre suprafeţele (S1) şi (S3) este B.

Contactul dintre două suprafeţe tangente într-un punct este o legătură simplă, care introduce o singură reacţiune şi mai permite 5 grade de libertate în mişcarea relativă dintre elemente.

Cupla analizată are două contacte de tipul legăturii simple; există deci două reacţiuni şi mai sunt permise 4 grade de libertate în mişcarea relativă dintre elemente.

47

2.2.3.2 PROBLEME PROPUSE

1. Să se specifice cuplele cinematice simple (elementele

cinematice care formează fiecare cuplă cinematică simplă) din care este formată cupla cinematică complexă din figura 2.2.17 şi clasa acestora, în cazul în care piatra de culisă 4 este elementul care introduce mişcarea în cupla respectivă.

Indicaţie: Bolţul se va considera solidar cu elementul cinematic 4.

2. Se cunosc datele geometrice ale cuplei cinematice reprezentată în figura 2.2.28. Determinaţi relaţia funcţională dintre Ty şi Ry la cupla respectivă.

3. Se consideră cupla cinematică din figura 2.2.28. Să se stabilească gradele de libertate permise de cupla cinematică. De ce clasă este cupla cinematică? Comparaţi cupla cinematică din figura 2.2.28 cu cupla şurub-piuliţă.

P

x

yz

O

TyR

Fig. 2.2.28

4. Se consideră cuplele cinematice din figurile 2.2.29 –2.2.38. Să se stabilească gradele de libertate permise de cuplele cinematice. De ce clase sunt cuplele cinematice?

48

Fig. 2.2.29

Fig. 2.2.30

49

Fig. 2.2.31

Fig. 2.2.32

50

Fig. 2.2.33

Fig. 2.2.34

51

Fig. 2.2.35

Fig. 2.2.36

52

Fig. 2.2.37

Fig. 2.2.38

53

Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Antonescu P., Antonescu O., Standardization of terminology of MMS and graphical symbols, Lucrările celui de-al treilea Seminar naţional de Mecanisme, Craiova, 2008. 3. Artobolevski I.I., Mechanisms in modern engineering design, Mir, 1975. 4. Creţu S.M., Dumitru N., Lucrări de laborator la disciplina Mecanisme, Specializarea Tehnologia Construcţiilor de maşini, Ed. SITECH, Craiova, 2010. 5. Dudiţă F., Diaconescu D., Optimizarea structurală a mecanismelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987. 6. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 7. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 8. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995. 9. Kerle H., Pittschellis R., Einfuhrung in die Getribelehre, B.G. Teubner Stuttgart, 1998. 10. http://130.15.85.212/terminology/TerminologyWeb/index.html, Accesat in 2010.

54

2.3 LANŢURI CINEMATICE

Definiţie Lanţul cinematic este un sistem format din elemente

cinematice de diferite ranguri, legate între ele prin cuple de diferite clase.

Toate elementele lanţului cinematic sunt mobile. Clasificarea lanţurilor cinematice În funcţie de rangul elementelor componente, lanţurile

cinematice pot fi: – simple, formate din elemente cu rangul j<=2; – complexe, în care există cel puţin un element cu rangul j>2. În funcţie de forma lanţului, pot fi lanţuri cinematice: – deschise, care au cel puţin un element cu rangul j=1; – închise, care au elemente cu rangul j>=2. După felul mişcării, pot fi lanţuri cinematice: – plane, când elementele se mişcă într-un plan sau în plane

paralele; – spaţiale, când cel puţin un element are mişcare spaţială. În funcţie de caracterul mişcării elementelor, pot fi lanţuri

cinematice: – desmodrome, când pentru o poziţie dată unui element

conducător, în raport cu un element considerat fix, celelalte elemente cinematice au mişcări unic determinate;

– nedesmodrome, când pentru o poziţie dată unui element conducător, în raport cu un element considerat fix, celelalte elemente cinematice au mişcări nedeterminate.

În funcţie de cuplele pe care le conţine lanţul cinematic, pot fi:

– lanţuri fundamentale, care conţin numai cuple fundamentale;

55

– lanţuri generale, care conţin şi alte cuple decât cuple fundamentale; lanţurile generale pot fi echivalate prin lanţuri fundamentale, prin păstrarea gradului de libertate.

Policupla de clasa k (multicupla de clasa k) este un lanţ cinematic simplu deschis, care asigură aceleaşi mobilităţi ca şi o cuplă simplă de clasa k. Policuplele se utilizează în tehnică din motive constructive şi tehnologice.

Definiţie Lanţul cinematic desmodrom, cu un element fixat la bază, se

numeşte mecanism. Cuvântul desmodrom este format din două cuvintele greceşti, desmis şi

dromos, care înseamnă drum legat; mişcare desmodromă înseamnă mişcare unic determinată a tuturor elementelor, mişcare care este transmisă de la elementul conducător prin intermediul cuplelor cinematice.

Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Antonescu P., Antonescu O., Standardization of terminology of MMS and graphical symbols, Lucrările celui de-al treilea Seminar naţional de Mecanisme, Craiova, 2008. 3. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 4. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 5. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

56

2.4 LUCRĂRI DE LABORATOR

STUDIUL ELEMENTELOR ŞI CUPLELOR

CINEMATICE

1. Scopul lucrării a) Identificarea şi clasificarea elementelor cinematice din

mecanisme. b) Studiul cuplelor cinematice. c) Echivalarea cuplelor cinematice prin multicuple (lanţuri

cinematice simple deschise). d) Studiul cuplelor cinematice complexe.

2. Consideraţii teoretice

Consideraţiile teoretice necesare pentru efectuarea lucrării de laborator se vor studia din Note de curs şi/sau din cărţile indicate la bibliografia selectivă. 3. Modul de desfăşurare a lucrării

a) Se identifică şi se clasifică diverse elemente cinematice din mecanismele existente în dotarea laboratorului: mecanisme cu bare, came, roţi dinţate, elemente flexibile, elemente cu lungimi variabile, etc.

Se va stabili rangul diverselor elemente cinematice din mecanisme. La unele mecanisme se urmăreşte solidarizarea succesivă a mai multor elemente rigide (ex.: mecanismele carburatoarelor – ANEXA 1, Fig. 3.1.1).

b) Se studiază diverse cuple cinematice şi se clasifică după criteriile cunoscute; se realizează secţiunile sau vederile minime necesare pentru înţelegerea cuplelor cinematice şi se figurează mişcările elementare; se simbolizează cuplele cinematice conform standardului român în vigoare (EN ISO 3952-1 – ANEXA 2).

57

Se analizează la microscop forma flexurilor microgripperului realizat la Universitatea Tehnică din Braunsweig (Germania), existent în dotarea laboratorului.

Se identifică cuple permanente, intermitente şi variabile la diverse mecanisme din dotarea laboratorului.

c) Se analizează diverse cuple cinematice complexe din mecanismele existente în laborator; se stabileşte ordinul cuplelor complexe şi se identifică cuplele cinematice simple ale cuplelor complexe.

d) Se identifică dintre multicuplele existente în dotarea laboratorului (Fig. 2.4.1) pe acelea care echivalează cuplele cinematice simple analizate. Se stabileşte numărul de elemente cinematice suplimentare, numărul şi tipul cuplelor cinematice care apar în fiecare multicuplă echivalentă. Se simbolizează multicupla conform standardului român în vigoare (EN ISO 3952).

4. Concluzii Studenţii vor evidenţia concluziile personale în urma

studiului cuplelor şi elementelor cinematice. Note metodice

Pentru stabilirea experimentală a gradelor de libertate pe care le permite cupla cinematică, în mişcare relativă, se procedează în modul următor: – se consideră un element din cupla cinematică fix (deoarece se analizează mişcările elementare independente pe care le are un element cinematic relativ la celălalt element cinematic din cuplă); – se ataşează elementului considerat fix un sistem de referinţă; sistemul de referinţă se poate ataşa în punctul de contact sau într-o poziţie convenabilă; – se încearcă succesiv (nu concomitent) mişcările elementare instantanee independente.

Celor care întâmpină dificultăţi în stabilirea mişcărilor de rotaţie permise de cupla cinematică li se sugerează să folosească plastilină. Cu aceasta se modelează elementul considerat mobil în cupla cinematică. Se străpunge modelul realizat din plastilină cu o sârmă. Sârma va ocupa succesiv poziţia fiecărei axe a sistemului de referinţă. Pentru fiecare poziţie a sârmei se va roti modelul în jurul ei (deci sârma rămâne fixă); mişcarea de rotaţie a unui

58

corp în jurul unei axe este o mişcare în planul perpendicular pe acea axă (la modelul din plastilină mişcarea se efectuează astfel încât să nu se lărgească gaura creată la trecerea sârmei prin model). Se va exersa apoi mişcarea – prin analogie – la elementul real al cuplei cinematice. La elementul real al cuplei, mişcarea analizată anterior pe model poate fi posibilă total sau parţial, sau poate să nu fie permisă de cupla cinematică.

Fig. 2.4.1

59

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ Laboratorul de Mecanisme Lucrarea: Studiul elementelor şi cuplelor cinematice Student: ..................... Anul/Grupa/Secţia:............ Data:......................... 1. Scopul lucrării a) Identificarea şi clasificarea elementelor cinematice din mecanisme. b) Studiul cuplelor cinematice. c) Echivalarea dintre cuplele cinematice şi multicuple (lanţuri cinematice simple deschise). d) Studiul cuplelor cinematice complexe. 2. Mersul lucrării b) Se consideră cupla cinematică simplă din figura 1.

....... Fig. 1

Simbolul cuplei cinematice conform standardului român în vigoare este:

....... Cupla cinematică se clasifica după criteriile cunoscute astfel:

....... c) Se echivalează cupla din figura 1 cu multicupla din figura 2. Numărul de elemente cinematice suplimentare este: ....... Numărul de cuple cinematice este: .......

....... Fig. 2

d) Se consideră cuplă complexă din figura 3. ....... Fig. 3

Este o cuplă complexă de ordinul: ....... Cuplele simple din cupla complexă sunt: 3. Concluzii....

60

EXEMPLU DE REFERAT

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ Laboratorul de Mecanisme Lucrarea: Studiul elementelor şi cuplelor cinematice Student: ..................... Anul/Grupa/Secţia:............ Data:......................... 1. Scopul lucrării a) Identificarea şi clasificarea elementelor cinematice din mecanisme. b) Studiul cuplelor cinematice. c) Echivalarea cuplelor cinematice prin multicuple (lanţuri cinematice simple deschise). d) Studiul cuplelor cinematice complexe. 2. Mersul lucrării b) Se consideră cupla cinematică din figura 1.

Fig. 1 Simbolul cuplei cinematice conform standardului român în vigoare este:

Cupla cinematică se clasifica după criteriile cunoscute astfel:

y

x

z

o

61

permanentă, superioară, închisă, spaţială, de clasa a II-a (gradele de libertate permise de cuplă sunt: Rx, Ry, Rz, Tx). c) Se echivalează cupla cinematică din figura 1 cu multicupla din figura 2.

Fig. 2 Numărul elementelor cinematice suplimentare este: m=1. Numărul cuplelor cinematice este: C5=1; C3=1. d) Se consideră cuplă complexă A din figura 3. Este o cuplă complexă de ordinul: 4. Cuplele cinematice simple din cupla complexă sunt: A1(1,2) – de clasa a V-a, de rotaţie; A2(1,3) – de clasa a V-a, de rotaţie; A3(1,4) – de clasa a V-a, de rotaţie; Fig. 3 A4(1,5) – de clasa a V-a, de translaţie. 3. Concluzii În stabilirea clasei cuplei cinematice se ţine cont numai de mişcările elementare independente. La echivalarea cuplei cinematice printr-o policuplă se urmăreşte ca policupla să aibă aceleaşi grade de libertate ca şi cupla cinematică. În cupla complexă bolţul este (sau se consideră) solidar cu unul din elementele cinematice care formează cupla complexă.

12

34

A5

62

TEST

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ

LABORATORUL DE MECANISME

Titlul lucrării de laborator: STUDIUL ELEMENTELOR ŞI CUPLELOR CINEMATICE

Numele

studentului:

Grupa/Secţia:

Data:

Nota

obţinută:

1. Identificaţi o cuplă cinematică. Din câte elemente cinematice este formată? Există contact între elementele cinematice? Există mişcare relativă între elementele cinematice? (se acordă 1 punct pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răspunsul este incorect) .......................................... 2. Ce fel de tipuri de elemente întâlniţi la mecanismul din figura 1? Stabiliţi rangul elementelor din figura 2. (se acordă 1 punct pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răpunsul este incorect)

Fig.1 Fig. 2 3. Figuraţi gradele de libertate ale cuplei cinematice din figura 3. De ce clasă este cupla cinematică? (se acordă 2 puncte pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răspunsul este incorect).

63

Fig. 3 4. Cupla cinematică din figura 3 este închisă sau deschisă? De ce? (1punct) ........................................ 5. Cupla cinematică din figura 3 este superioară sau inferioară? De ce? (1punct) ....................................... 6. Cupla cinematică din figura 3 este plană sau spaţială? De ce? (1punct) .......................................... 7. Se consideră cupla cinematică complexă din figura 2; să se stabilească ordinul cuplei complexe şi să se identifice cuplele cinematice simple ale cuplei complexe. (1punct) ........................................... 8. Să se echivaleze cupla cinematică din figura 3 printr-o multicuplă. Câte elemente cinematice suplimentare introduce multicupla? Câte cuple cinematice apar în multicupla echivalentă şi de ce clasă sunt acestea? Să se simbolizeze multicupla conform standardului român în vigoare (EN ISO 3952). (1punct)

................................... Observaţii: Se foloseşte notarea diferenţiată. Un punct se acordă din oficiu. În concluzie, studenţii care nu pot identifica cuplele şi elementele cinematice, sau nu pot stabili gradele de libertate ale unei cuple cinematice, nu promovează această lucrare de laborator.

y

x

z

o

64

2.5 GRAD DE LIBERTATE.

GRAD DE MOBILITATE AL MECANISMULUI

2.5.1 INTRODUCERE Definiţie Gradul de mobilitate (M) al mecanismului sau gradul de

libertate (L) al unui lanţ cinematic reprezintă numărul de parametri (coordonate) independenţi necesari pentru a defini configuraţia sistemului mecanic (poziţiile tuturor elementelor) la un moment dat, relativ la un sistem de coordonate ataşat bazei, respectiv unui element al lanţului cinematic.

Gradul de mobilitate se foloseşte pentru a verifica existenţa unui mecanism, deoarece într-un mecanism trebuie îndeplinită condiţia: M> 0.

Gradul de mobilitate reprezintă numărul de elemente conducătoare sau numărul de mişcări independente necesare pentru ca mecanismul să aibă mişcare desmodromă.

Poziţiile singulare ale unui mecanism reprezintă acele poziţii ale elementelor care implică o reducere a mobilităţii mecanismului.

Gradul de mobilitate global este un parametru care caracterizează mecanismul în toate configuraţiile, exceptându-le pe cele singulare; el are o singură valoare pentru un mecanism dat.

Gradul de mobilitate instantaneu este un parametru local, care caracterizează mecanismul într-o configuraţie dată, inclusiv în poziţiile singulare.

Într-o poziţie singulară, gradul de mobilitate instantaneu este diferit de gradul de mobilitate global.

În ultimii 150 de ani au fost prezentate în literatură aproximativ 37 de metode pentru calculul gradului de mobilitate.

65

Primele studii referitoare la mobilitatea mecanismelor au fost făcute în perioada 1854 – 1890 de: Cebîşev, Sylvester, Grubler, Somov şi Hochman.

În secolul XX s-a încercat să se găsească metode generale pentru determinarea mobilităţii oricărui mecanism cu elemente rigide.

Amintim autorii care au prezentat în literatură studii referitoare la acest subiect: Koenigs, Grubler, Malîşev, Kuţbah, Dobrobolski, Artobolevski, Moroskine, Voinea, Atanasiu, Kolchin, Rossner, Boden, Manolescu, Manafu, Ozol, Hunt, Philips, Waldron, Manolescu, Bagci, Antonescu, Freudenstein, Alizade, Herve, Baker, Gronowicz, Davies, Agrawal, Rao, Angeles, Gosselin, Dudiţă, Diaconescu, Fangella, Galleti, Fayet, Tsai, McCarthy, Huang, Rico, Ravani, Gallardo, Gogu, Bayram, Gezgin, Creţu.

Metodele pentru calculul mobilităţii se pot grupa în două categorii: • metode analitice, bazate pe calculul rangului sistemului

de ecuaţii ale constrângerilor cinematice, • metode structurale, bazate pe determinarea rapidă a

mobilităţii, fără a ţine cont de ecuaţiile constrângerilor. Rezultatul calculului mobilităţii folosind sistemul ecuaţiilor

constrângerilor cinematice (ale vitezelor) şi determinarea rangului acestuia (li se analizează dependenţa) este totdeauna corect. Analiza poziţiilor/vitezelor foloseşte metode analitice precum: teoria sistemului şurub, algebră liniară, geometrie afină, algebră Lie, etc. Este însă un calcul greoi. Din acest motiv, deşi corecte, aceste metode se utilizează mai rar.

În formula pentru calcul rapid al mobilităţii apar parametri structurali ai mecanismului precum: numărul de elemente cinematice, numărul de cuple cinematice şi parametrii de mişcare/constrângere ai cuplelor şi ai lanţurilor cinematice din mecanism. În unele cazuri aceşti parametri sunt uşor de determinat prin observaţie, renunţându-se la metodele analitice, dar în alte cazuri parametrii de mişcare/constrângere ai lanţurilor cinematice nu se identifică uşor.

66

La anumite mecanisme gradul de mobilitate real nu coincide cu cel calculat cu formulele structurale clasice, deoarece formulele respective prezintă o deficienţă în definirea familiei, respectiv a numărului de mobilitate; familia este o noţiune complementară noţiunii număr de mobilitate; dar numărul de mobilitate a fost definit iniţial greşit, deci şi familia a fost definită greşit, şi anume ea reprezenta numărul de restricţii comune tuturor elementelor mecanismului (corect ar fi fost să fie definită pentru fiecare contur independent ca reprezentând numărul de restricţii ale ultimului element din lanţul cinematic deschis asociat conturului închis – vezi definiţia numărului de mobilitate în subcapitolul 2.5.2.1).

În calculele ulterioare este necesar a se cunoaşte numărul de contururi independente ale unui mecanism. Pentru aceasta se va considera că un mecanism care are q contururi se obţine dintr-un mecanism cu q-1 contururi la care se adaugă un lanţ cinematic deschis cu nq elemente şi nq +1 cuple cinematice.

Pentru primul contur cinematic închis există relaţia: p1=n1+1, unde n1 reprezintă numărul de elemente mobile ale primului contur cinematic (un element din ciclu se consideră fix) şi p1 reprezintă numărul de cuple cinematice. Pentru următorul lanţ cinematic deschis, care se adaugă la cel anterior, există relaţia p2=n2+1, …, iar pentru lanţul cinematic q, pq=nq+1. Se însumează relaţiile anterioare şi se obţine Ec.2.5.1:

p1+p2+...+pq=n1+n2+...nq+q, (2.5.1)

unde q reprezintă numărul de cicluri independente. Dacă notăm cu n numărul total de elemente cinematice şi cu

p numărul total de cuple cinematice, se obţine Ec. 2.5.2:

p=n+q (2.5.2)

Din Ec. 2.5.2 se determină Ec. 2.5.3, pentru calculul numărului de cicluri independente.

q= p-n= p-(m-1)=p-m+1, (2.5.3)

67

unde m reprezintă numărul total de elemente, inclusiv cel considerat fix.

Cea mai uzuală formulă folosită în literatura de specialitate pentru calculul rapid al gradului de mobilitate global al mecanismelor este criteriul de mobilitate atribuit lui Cebîşev-Grubler-Kuţbah, care conţine anumiţi parametri structurali ai mecanismului (Ec. 2.5.4 – 2.5.6).

∑=

p

1iic-1)-6(m=M

(2.5.4)

∑=

p

1iif+1)-p-b(m=M

(2.5.5)

∑∑==

q

1jj

p

1ii b-f=M

(2.5.6)

unde: – m este numărul elementelor mecanismului, inclusiv

elementul fix, – p este numărul de cuple cinematice ale mecanismului, – fi este conectivitatea cuplei cinematice i (numărul gradelor

de libertate ale cuplei cinematice) [14], – ci este gradul de constrângere al cuplei i; ii f+c=6 , – q este numărul de contururi independente; numărul de

contururi independente ale unui mecanism, care are cel puţin un element cu rangul mai mare ca 2, se calculează cu Ec. 2.5.3, care în teoria grafurilor este denumită formula lui Euler,

– b este numărul gradelor de libertate ale spaţiului în care mecanismul funcţionează (denumit iniţial număr de mobilitate),

– bj este numărul gradelor de libertate ale spaţiului în care funcţionează lanţul închis j; utilizarea aceastei definiţii iniţiale a numărului de mobilitate, incorect formulată pentru termenul bj din Ec. 2.5.4–2.5.6, determină rezultate incorecte pentru gradul de mobilitate.

68

În lanţurile cinematice deschise, p=m-1 şi Ec. 2.5.5 pentru calculul gradului de mobilitate devine Ec. 2.5.7.

∑=

p

1iif=M (2.5.7)

Pentru mecanisme spaţiale cu b=6 formula gradului de mobilitate devine Ec. 2.5.8,

∑=

p

1iif+1)-p-6(m=M , (2.5.8)

iar pentru mecanisme plane cu b=3, Ec. 2.5.9.

∑=

p

1iif+1)-p-3(m=M (2.5.9)

Pentru mecanismele cu un singur lanţ cinematic închis, m=p şi Ec. 2.5.8 se transformă în Ec. 2.5.10 iar Ec. 2.5.9 se transformă în Ec. 2.5.11.

∑=

p

1iif+-6=M (2.5.10)

∑=

p

1iif+-3=M (2.5.11)

Deoarece gradul de mobilitate trebuie să fie mai mare sau egal cu 1, dacă Ec. 2.5.5 ar fi corectă pentru orice mecanism spaţial cu un singur contur închis şi cuple cinematice fundamentale, s-ar obţine condiţia ca numărul de elemente să fie mai mare ca 6 iar pentru mecanisme plane numărul de elemente să fie mai mare ca 3.

Ec. 2.5.10 şi Ec. 2.5.11sugerează că: - un lanţ cinematic plan cu un singur grad de mobilitate

necesită 4 cuple cinematice fundamentale, iar pentru mai mult

69

de 4 cuple cinematice fundamentale mobilitatea creşte cu 1 pentru fiecare cuplă suplimentară;

- pentru a construi un lanţ cinematic spaţial cu un singur contur închis, cu un singur grad de mobilitate, sunt necesare 7 cuple cinematice fundamentale; la mai mult de 7 cuple cinematice gradul de mobilitate creşte cu 1 pentru fiecare cuplă cinematică fundamentală adiţională.

Există anumite proprietăţi speciale între elemente şi/sau aranjamentul elementelor şi cuplelor care cauzează pierderea gradelor de mobilitate ale mecanismului, ceea ce determină ca un lanţ cinematic spaţial să aibă gradul de mobilitate 1 chiar dacă are mai puţin de 7 elemente şi un mecanism plan să aibă gradul de mobilitate 1 chiar dacă are mai puţin de 4 elemente.

În primele lucrări, determinarea sistematică a mobilitiăţii unui mecanism a implicat clasificarea mecanismelor în 3 clase: mecanisme triviale, mecanisme excepţionale şi mecanisme paradoxale [13], în acord cu satisfacerea sau nu a Ec. 2.5.5 a mobilitiăţii.

Mecanismele care au un ciclu de mobilitate complet şi care nu satisfac criteriul de mobilitate Cebîşev-Grubler-Kuţbah (Ec. 2.5.4 – 2.5.6) au fost numite mecanisme supraconstrânse.

De Roberval a propus primul mecanism supraconstrâns în 1670, Sarrus l-a propus pe al doilea în 1853 şi Bennett a prezentat cel mai faimos mecanism supraconstrâns în 1903. Bennett (1914), Delassus (1922), Bricard (1927), Myard (1931), Goldberg (1943), Waldron (1967, 1968, 1969), Wohlhart (1987, 1991, 1993), Dietmaier (1995), Alman, Baker, ş.a. au realizat de asemenea mecanisme supraconstrânse.

În 1927 Bricard a arătat că ecuaţia de mobilitate nu este corectă pentru orice mecanism [22].

Gogu a explicat în lucrarea [8] de ce formulele pentru un calcul rapid al mobilităţii nu dau rezultate corecte pentru anumite mecanisme.

Waldron a sistematizat toate lanţurile cinematice

70

supraconstrânse în componenţa cărora intră cuple cinematice inferioare.

Myard a realizat anumite mecanisme spaţiale paradoxale ne-comune, cu 5 şi cu 6 cuple de rotaţie, cu mobilitatea 1 [19]. Baker, Pamidi, Soni, Dukkipat, Lee, Yan, Savage, Hunt, Mavroidis, Roth şi alţii au analizat mecanismele supraconstrânse şi mobilitatea acestora [2, 7, 11, 12, 16, 22, 23, 25, 27].

Mavroidis şi Roth disting 4 clase de mecanisme supraconstrânse [18]:

– mecanisme simetrice (harta topologică simetrică este considerată o condiţie necesară pentru lanţurile cinematice supraconstrânse),

– mecanisme bazate pe mecanismul lui Bennett, – mecanisme cu geometrie specială combinate, – mecanisme derivate din manipulatoare cu 6 cuple

cinematice care au mai puţin de 6 grade de libertate pentru mişcarea efectorului lor final.

71

2.5.2 STABILIREA MOBILITĂŢII MECANISMELOR

FOLOSIND METODELE INVENTICII ([4], [5]) În continuare se tratează determinarea gradului de mobilitate

al mecanismelor folosind o metodă bazată pe unele principii ale inventicii (segmentarea şi modificarea pe termen scurt a dimensiunii spaţiului de lucru al elementelor) prezentate de teoriile rezolvării problemelor de inventică. Se prezintă formulele pentru un calcul rapid al mobilităţii şi semnificaţia noţiunii număr de mobilitate. Se va valida noua procedură prin exemple.

2.5.2.1 PRINCIPIILE INVENTICII ŞI STRATEGIA

UTILIZATĂ ÎN CALCULUL GRADULUI DE MOBILITATE AL MECANISMELOR

Metodele cunoscute pentru calculul mobilităţii mecanismelor

sunt grupate în două categorii: prima este bazată pe sistemul ecuaţiilor de constrângere cinematică şi calculul rangului acestuia, iar a doua este o metodă rapidă, care nu necesită scrierea acestor ecuaţii (vezi subcapitolul 2.5.1).

Contradicţia care apare în acest caz, şi pe care dorim să o eliminăm, este următoarea: îmbunătăţirea preciziei calculului gradului de mobilitate pentru orice mecanism, folosind relaţiile cele mai simple posibil (asta înseamnă să evităm scrierea ecuaţiilor de constrângere cinematică, care sunt complicate), cu parametri uşor de stabilit.

Această contradicţie va fi eliminată printr-o strategie ce utilizează principiile recomandate de metodele inventicii.

Următoarele principii au fost folosite pentru un calcul rapid al mobilităţii mecanismelor:

– segmentarea: se segmentează elementele mobile din mecanism, sau cele de referinţă, cu rang mai mare sau egal cu 2, astfel încât să existe numai lanţuri cinematice deschise, iar

72

numărul de elemente mobile să devină egal cu numărul de cuple cinematice; un singur element-bază segmentat se va considera ataşat sistemului de referinţă, restul vor fi temporar mobile,

– modificarea dimensiunii spaţiului de lucru al elementelor, prin simple acţiuni pe termen scurt, şi anume: presupunem că toate elementele sunt decuplate şi libere în spaţiu, inclusiv elementele segmentate, excepând o singură bază, care rămâne fixă; după aceasta, recompunem mecanismul.

Strategia utilizată în continuare în calculul rapid al gradului de mobilitate al mecanismelor este următoarea:

– segmentăm elementele cu rangul mai mare sau egal cu 2, inclusiv baza, formând un sistem mecanic ramificat cu lanţuri cinematice deschise (sistem mecanic tip copac), astfel încât numărul de elemente cinematice să fie egal cu numărul de cuple cinematice simple;

– decuplăm toate elementele cinematice ale sistemului mecanic, (inclusiv acelea care au fost segmentate, chiar dacă sunt baze segmentate temporar mobile), exceptând unul care este ataşat sistemului de referinţă;

– elementelor temporar libere li se permit toate mişcările, în spaţiu sau în plan, în funcţie de tipul mecanismului, spaţial, respectiv plan; numărul de grade de libertate ale noului sistem este 6m, respectiv 3m, în conformitate cu tipul mecanismului, spaţial, respectiv plan; m reprezintă numărul tuturor elementelor mobile, inclusiv elementele segmentate temporar mobile (acest număr coincide cu numărul cuplelor cinematice);

– recuplăm un element la bază, şi astfel numărul gradelor de libertate pentru acest sistem este diminuat prin constrângerile acestei cuple; procedeul se repetă pentru toate elementele care se pot mişca temporar în spaţiu (sau în plan) până când obţinem o structură ramificată deschisă (tip copac); mecanismul este astfel parţial recuplat, mai puţin elementele segmentate apărute suplimentar (în particular baze), care au posibilitatea de a se mişca temporar; numărul de grade de libertate ale sistemului

73

obţinut este ∑∑==

p

1kkp

p

1ii fc-6m - , unde: p este numărul de cuple

cinematice ale mecanismului, m este numărul tuturor elementelor cinematice, inclusiv cele temporar mobile (m = p), ci este gradul de constrângere al cuplei cinematice i, kpf este numărul de grade de libertate pasive din cupla k, adică grade de libertate care nu influenţează mişcarea elementului ce urmează a fi asamblat în lanţul deschis;

– în primul lanţ cinematic deschis se investighează numărul mişcărilor independente dintre elementul extrem şi bază; unele dintre gradele de libertate ale acestui element este posibil să fie anulate de lanţul cinematic deschis din care face parte (dacă mecanismul este supraconstrâns, acest număr este mai mic decât 3 pentru mecanismele plane şi este mai mic decât 6 pentru mecanismele spaţiale); numărul mişcărilor independente ale elementului extrem dintr-un lanţ cinematic deschis – asociat lanţului cinematic închis –, în raport cu baza, reprezintă numărul de mobilitate corect, folosit în calculul mobilităţii;

– se investighează cu atenţie numărul de mobilitate al fiecărui lanţ deschis ataşat lanţurilor închise anterior asamblate; mişcările de intrare în acest lanţ deschis sunt determinate de mişcările lanţurilor închise asamblate anterior; în anumite cazuri, mişcările de intrare într-un lanţ deschis reprezintă chiar gradele de libertate absolute ale elementului cu care acesta este cuplat, element care este integrat numai în lanţurile cinematice închise, anterior asamblate;

– numerele de mobilitate ale lanţurilor deschise (fiecare lanţ închis al mecanismului iniţial are asociat un lanţ deschis) se scad din numărul gradelor de libertate ale sistemului de tip copac şi astfel mecanismul este recuplat; numărul de grade de libertate ale mecanismului final obţinut este:

∑∑∑===

q

1ji

p

1kkp

p

1ii bf-c-6m - .

74

2.5.2.2 FORMULELE PENTRU CALCULUL RAPID AL GRADULUI DE MOBILITATE AL MECANISMELOR

FOLOSIND PRINCIPIILE INVENTICII

În acord cu strategia prezentată anterior, gradul de mobilitate al mecanismelor se determină cu Ec. 2.5.12.

∑∑∑===

p

1kkp

q

1ji

p

1ii f-bc-6m=M - , (2.5.12)

unde: – q este numărul de lanţuri cinematice independente, – p este numărul de cuple cinematice ale mecanismului, – m este numărul tuturor elementelor cinematice, inclusiv

elementele segmentate temporar mobile; acesta este egal cu numărul de cuple cinematice simple ale mecanismului, p,

– ci este gradul de constrângere al cuplei cinematice i, – fkp este numărul gradelor de libertate pasive din cupla k,

care nu influenţează mişcarea elementului ce urmează a fi asamblat în lanţul deschis,

– b1 reprezintă numărul gradelor de libertate – în raport cu baza –, ale elementului extrem al lanţului cinematic deschis, asociat primului lanţ cinematic închis selectat (parametru de mişcare al lanţului cinematic deschis, sau număr de mobilitate),

– bj reprezintă numărul gradelor de libertate – în raport cu baza – ale elementului extrem al lanţului cinematic deschis j (asociat lanţului cinematic închis j), ataşat la (j-1) lanţuri închise asamblate anterior; j=2,..,q.

Deoarece ci=6-fi şi m=p, Ec. 2.5.12 se reduce la Ec. 2.5.13. fi reprezintă conectivitatea cuplei cinematice i.

∑∑∑===

=p

1kkp

q

1jj

p

1ii f-b)f-(6-6mM -

∑∑∑===

p

1kkp

q

1jj

p

1ii f-b-f=M

(2.5.13)

75

2.5.2.3 CONDIŢIILE DE APLICABILITATE ALE UNOR FORMULE PENTRU CALCULUL RAPID

AL GRADULUI DE MOBILITATE Trecem în revistă în continuare principalele formule clasice

utilizate pentru calculul gradului de mobilitate. Prima formulă pentru calculul gradului de mobilitate al unui

mecanism plan format din cuple cinematice fundamentale (de rotaţie, de translaţie sau şurub-piuliţă) şi un singur contur este propusă de Cebîşev (1869):

52C-3n=M , (2.5.14)

unde: – n reprezintă numărul de elemente mobile ale mecanismului, – 5C reprezintă numărul cuplelor cinematice de clasa a V-a,

inclusiv cele adiacente bazei. Sylvester (1874) rescrie formula într-o formă modificată:

52C-3m=M -3, (2.5.15)

unde: – m reprezintă numărul de elemente ale mecanismului,

inclusiv elementul bază, – 5C reprezintă numărul cuplelor de clasa a V-a, inclusiv

cele adiacente bazei. Ec. 2.5.14 şi Ec. 2.5.15 se aplică numai dacă parametrul de

mişcare al lanţului, numit şi număr de mobilitate (numărul de grade de libertate ale elementului extrem din lanţul cinematic deschis asociat lanţului cinematic închis, în raport cu baza) este 3.

Grubler (1883) propune formula pentru un mecanism spaţial cu un grad de libertate:

M=6m-5 5C⋅ -6; M=1, (2.5.16)

unde:

76

– m reprezintă numărul de elemente ale mecanismului, inclusiv elementul bază,

– 5C reprezintă numărul de cuple elicoidale. Somov (1887) propune o nouă formulă în care se ţine cont de

numărul de mobilitate b, care este 3 pentru mecanisme plane şi 6 pentru mecanisme spaţiale. El extinde formula la mecanisme cu mai multe cicluri independente, spre deosebire de formulele anterioare.

Formula lui Somov-Malîşev pentru calculul gradului de mobilitate al unui mecanism spaţial este:

12345 C-2C-3C-4C-5C-1)-6(m=M , (2.5.17)

unde: – m reprezintă numărul de elemente, inclusiv elementul bază, – 5C reprezintă numărul de cuple de clasa a V-a, – 4C reprezintă numărul de cuple de clasa a IV-a, – 3C reprezintă numărul de cuple de clasa a III-a, – 2C reprezintă numărul de cuple de clasa a II-a, – 1C reprezintă numărul de cuple de clasa I. În 1927 Bricard arată faptul că formula lui Malîşev pentru

calculul gradului de mobilitate nu este valabilă în toate cazurile. Ec. 2.5.17 se aplică numai dacă numărul de mobilitate al fiecărui lanţ este 6.

Ecuaţia universală pentru calculul gradului de mobilitate, a lui Somov-Malîşev (Ec. 2.5.18), este adevărată şi pentru mecanismele supraconstrânse deoarece aceasta conţine parametrul s – numărul de constrângeri datorate închiderii lanţului (anumite exemple pot fi găsite în [15]). Acest parametru este însă greu de determinat.

s+f-c-1)-B(m=M p

p

1ii∑

=

,

(2.5.18)

unde:

77

– B este parametrul de mişcare al spaţiului unui mecanism (B=3, pentru mecanisme plane şi B=6 pentru mecanisme spaţiale),

– pf este numărul gradelor de libertate pasive. Koenigs (1905) introduce o alta formă a formulei lui Somov:

∑=

=p

1iic-1)-6(mM , (2.5.19)

unde: – p reprezintă numărul de cuple cinematice, – ci reprezintă numărul de constrângeri impuse de cupla i. Cea mai uzuală formulă folosită în literatura de specialitate

pentru calculul gradului de mobilitate al mecanismelor este formula propusă de Kuţbah în 1929.

Dacă notăm cu if numărul gradelor de libertate permise de cupla i, ţinând cont de faptul că spaţiul în care funcţionează mecanismul are 6 grade de libertate, se poate scrie: ii f+c=6 , şi formula lui Koenigs devine:

∑∑∑===

=p

1ii

p

1ii

p

1ii f+6p-1)-6(m)f-(6-1)-6(m=c-1)-6(m=M ,

∑=

=p

1iif+1)-p-6(mM . (2.5.20)

S-a ajuns la criteriul lui Hunt:

∑=

p

1iif+1)-p-λ(m=M (2.5.21)

unde λ reprezintă gradele de libertate ale spaţiului în care funcţionează mecanismul. λ are valoarea 3 pentru mecanismele plane şi 6 pentru

mecanismele spaţiale. Pentru mecanisme spaţiale:

78

∑=

p

1iif+1)-p-6(m=M (2.5.22)

Pentru mecanisme plane:

∑=

p

1iif+1)-p-3(m=M , (2.5.23)

unde: m reprezintă numărul de elemente, inclusiv elementul fix, p este numărul de cuple cinematice, iar if reprezintă numărul gradelor de libertate ale cuplei cinematice i.

Ec. 2.5.22 şi Ec. 2.5.23 se aplică numai dacă numărul de mobilitate al fiecarui lanţ este 6, respectiv 3.

Dobrovolski determină gradul de mobilitate al unui mecanism spaţial în funcţie de numărul de elemente şi cuple cinematice şi de anumite condiţii geometrice care impun nişte „restricţii generale”; numărul restricţiilor generale ale mecanismului a fost definit ca fiind familia mecanismului, d. Într-un mecanism complet spaţial există, pe ansamblu, 6 mişcări: 3 translaţii şi 3 rotaţii. Un mecanism cu o constrângere generală are pe ansamblu 5 componente de mişcare. Ţinând cont de noţiunea introdusă, familia mecanismului, se stabileşte o nouă formulă pentru calculul gradului de mobilitate al mecanismului, Ec. 2.5.24.

∑+=

⋅⋅=5

1diiCd)-(i-nd)-6(M , (2.5.24)

unde: – n reprezintă numărul de elemente mobile ale mecanismului, – d reprezintă familia mecanismului, – Ci reprezintă numărul de cuple cinematice de clasa i, – i reprezintă numărul de constrângeri ale cuplei cinematice de clasa i.

79

S-a considerat că această formulă se poate aplica pentru orice mecanism care are aceeaşi familie (d) pentru fiecare lanţ cinematic independent; există însă mecanisme la care nu se obţine un grad de mobilitate corect utilizând Ec. 2.5.24, deoarece familia cel puţin a unui lanţ cinematic închis este diferită de parametrul de mişcare al laţului deschis ataşat acestuia.

Freudenstein şi Alizade (1975) introduc numărul de mobilitate (bi) în ecuaţia pentru calculul mobilităţii – numărul de ecuaţii scalare independente ale vitezelor pentru lanţul închis i.

Tsai propune formula:

p

p

1ii f-f+1)-p-λ(m=M ∑

=

(2.5.25)

unde: – λ reprezintă gradele de libertate ale spaţiului în care

funcţionează mecanismul – m reprezintă numărul de elemente, inclusiv elementul bază – p este numărul de cuple cinematice – fi este conectivitatea cuplei cinematice i – fp reprezintă numărul gradelor de libertate pasive. Se mai propune formula:

∑=

⋅p

1iif+q-λ=M - fp (2.5.26)

unde q reprezintă numărul de contururi independente ale mecanismului (q=p-m+1) iar restul termenilor au aceeaşi semnificaţie ca în Ec. 2.5.25.

Pentru anumite mecanisme cu axele cuplelor adiacente paralele sau care se intersectează, formulele anterioare de calcul pentru gradul de mobilitate se dovedesc ineficiente.

În concluzie, formulele lui Cebîşev, Sylvester, Grubler, Somov-Malîşev, Koenigs, Kuţbah, Hunt, Razmara, Tsai, sunt

80

cazuri particulare ale raţionamentului dezvoltat în subcapitolul 2.5.2.1 pentru mecanisme plane, respectiv pentru mecanisme spaţiale, cu numărul gradelor de libertate – în raport cu baza –, ale elementelor finale din lanţurile deschise ale structurii de tip copac, egal cu 3, respectiv 6, adică mecanismele nu sunt supraconstrânse. Formula lui Dobrovolski oferă rezultate corecte pentru acele mecanisme supraconstrânse la care familia oricărui lanţ cinematic închis este egală cu parametrul de mişcare al laţului deschis ataşat acestuia.

Gogu (2005) tratează gradul de mobilitate global folosind

transformările liniare. Acest raţionament asigură rezultate corecte pentru gradul de mobilitate global, indiferent de tipul mecanismului.

Pentru roboţi paraleli se ajunge la Ec. 2.5.27 pentru calculul gradului de mobilitate global; în opinia autoarei, pentru roboţii paraleli, această formulă este mai eficientă decât Ec. 2.5.12 şi Ec. 2.5.13, obţinute folosind principiile inventicii, deşi ambele sunt corecte.

Un robot paralel este un lanţ închis, iar robotul serial este un lanţ cinematic deschis. Un mecanism hibrid este un mecanism cu lanţuri deschise şi cu lanţuri închise.

∑=

=p

1iifM - p

t

1jj SS +∑

=

(2.5.27)

unde: – if reprezintă numărul gradelor de libertate ale perechii a i-a

(i=1,..., p); – t reprezintă numărul de picioare – Sj este spaţialitatea unui picior j – Sp este spaţialitatea platformei mobile în mecanismul

paralel. Spaţialitatea unui picior Sj este definită de conectivitatea

dintre elementele extreme (platforma mobilă şi bază) ale

81

piciorului j, considerat izolat de restul mecanismului (lanţul cinematic deschis serial asociat cu piciorul elementar j), şi reprezintă numărul maxim de parametri de mişcare independenţi ai acestuia în raport cu baza.

Spaţialitatea platformei Sp este definită de conectivitatea dintre platforma mobilă şi baza mecanismului paralel şi reprezintă numărul maxim de parametri de mişcare independenţi ai acesteia în raport cu baza.

Antonescu (2008) utilizează Ec. 2.5.28 pentru calculul gradului de mobilitate [20].

∑=

⋅=5

1mm )Cm(M -∑

=

⋅6

2rr )Nr(

(2.5.28)

unde: r reprezintă rangul spaţiului care este asociat unui lanţ închis, Nr reprezintă numărul de contururi închise de rang r ( 6r2 ≤≤ ), m reprezintă clasa funcţională (conectivitatea) cuplei cinematice şi Cm este numărul cuplelor cinematice de clasă funcţională [ ]1)-(r1,m∈ din structura topologică de contururi de rangul r şi nr este numărul de elemente din respectiva structură.

∑=

=5

1mmr CN - 1nr + (2.5.29)

Ec. 2.5.29 este validă dacă şi numai dacă ∑=

⋅6

2rr )N(r este

egală cu rangul ecuaţiilor de constrângere cinematică ale sistemului liniar omogen al mecanismului.

82

2.5.2.4 EXEMPLE DE CALCUL AL GRADULUI DE MOBILITATE FOLOSIND STRATEGIA PREZENTATĂ

ÎN SUBCAPITOLELE 2.5.2.1. ŞI 2.5.2.2.

Se consideră mecanismul cu schema cinematică prezentată în figura. 2.5.1. Elementul bază se va segmenta în două părţi.

2

13

0 0

x

y

z

O

Fig. 2.5.1

Să presupunem că toate elementele sunt decuplate şi devin libere în spaţiu, excepţie un element (0) (Fig. 2.5.2).

0

3

2

1

0

Fig. 2.5.2 Deci, o bază rămâne fixă, a doua este temporar mobilă. După segmentare şi permiterea elementelor să se deplaseze

fictiv în spaţiu (sau în plan), numărul de elemente temporar mobile devine egal cu numărul de cuple cinematice, şi anume 4.

În această fază numărul total de grade de libertate este 43 ⋅ – dacă este permisă mişcarea în plan –, sau 46 ⋅ – dacă este permisă mişcarea în spaţiu.

83

Se recuplează elementele prin cuple de rotaţie de clasa a V-a, inclusiv baza-segmentată, temporar liberă, obţinându-se un lanţ cinematic deschis (Fig. 2.5.3); din gradele de libertate anterior stabilite se elimină gradele de libertate anulate de cuplele cinematice: 42 ⋅ , respectiv 45 ⋅ .

x

y

z

O

2

1 3

0

0

Fig. 2.5.3 Elementul extrem (0) al lanţului cinematic deschis are 3

grade de libertate în raport cu baza: Rx, Ty, Tz (lanţul cinematic recompus permite mişcarea în planul yOz, din cauza cuplelor cinematice cu axe paralele), atât pentru cazul când în etapa anterioară se consideră mişcarea elementelor decuplate ca fiind spaţială, cât şi pentru cazul când se consideră că elemenele decuplate se pot mişca în plan; din numărul total al gradelor de libertate ale sistemului mecanic se vor elimina cele 3 grade de libertate ale elementului extrem al lanţului deschis, pentru a recompune mecanismul (Fig. 2.5.4).

Dacă calculăm mobilitatea mecanismului folosind Ec. 2.5.12, pentru o mişcare temporară spaţială a elementelor, obţinem mobilitatea 1 (Ec. 2.5.30), şi pentru o mişcare temporară plană a elementelor obţinem acelaşi rezultat (Ec. 2.5.31).

2

13

0 Fig. 2.5.4

84

(2.5.30) 1=3-45-46=b-p5-6m=M 1 ⋅⋅⋅

1=3-42-43=b-p2-3m=M 1 ⋅⋅⋅ (2.5.31)

De remarcat că rezultatul rămâne corect indiferent dacă, temporar, elementelor le este permisă mişcarea în plan sau în spaţiu.

Pentru mecanismul plan cu două lanţuri cinematice închise (Fig. 2.5.5), deoarece 3 elemente sunt cuplate la bază prin cuple cinematice simple, baza va fi segmentată de două ori, astfel ca numărul de elemente temporar mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice simple, 7.

F

E

D

CB

A

0

5

2

1 3

0

4

0x

yz

O

Fig. 2.5.5 Conform exemplului analizat anterior, b1=3 În cupla cinematică complexă C, între lanţul cinematic

temporar deschis 4-5-0 şi lanţul cinematic închis 0-1-2-3-0, putem presupune că există un element fictiv, 6 (Fig. 2.5.6).

Analizăm mişcările de intrare în lanţul cinematic deschis 4-5-0, care sunt determinate de lanţul închis 0-1-2-6-3-0; acestea sunt chiar gradele de libertate absolute ale platformei fictive 6, integrată numai în lanţul cinematic închis asamblat anterior, 0-1-2-6-3-0.

85

6

C3C2

C1

F

E

D

B

A

0

0

542

1 3

0x

yz

O

Fig. 2.5.6 Gradele de libertate absolute ale elementului 6 din conturul

închis 0-1-2-6-3-0, reprezintă intersecţia gradelor de libertate absolute ale elementului 6 din lanţul deschis 0-1-2-6, cu gradele de libertate absolute ale elementului 6 din lanţului cinematic deschis 0-3-6, adică:

(Rx, Ty, Tz) I (Rx, Ty(Tz)) = (Rx, Ty(Tz)) (2.5.32)

Deoarece elementul 6 are dimensiuni nesemnificative şi axa de rotaţie a cuplei cinematice C2 este paralelă cu axa Ox, nu vor fi alte mişcări de intrare asigurate de lanţul cinematic închis 0-1-2-3-0, în afară de Ty(Tz).

Gradele de libertate în raport cu baza, ale elementului extrem (0) din lanţul cinematic deschis 4-5-0, ataşat lanţului cinematic închis 0-1-2-3-0, sunt determinate de mişcarea de intrare Ty(Tz) şi de mişcările relative dintre elementele lanţului cinematic deschis 4-5-0 (Fig. 2.5.6); acestea sunt în număr de 3 (Ty, Tz, Rx), deci b2=3.

Gradul de mobilitate se va calcula cu Ec. 2.5.33.

10-3-3-7f-b-b-f=M7

1kkp

2

2jj1

7

1ii ==∑∑∑

===

(2.5.33)

Pentru mecanismul cu două lanţuri cinematice închise (Fig. 2.5.7), baza şi elementul ternar mobil 3 vor fi segmentate, fiecare în două părţi, astfel încât numărul de elemente temporar mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice simple, şi anume 7.

86

O

zy

x

5

4

3

2

1

00

Fig. 2.5.7

54

3

3

2

1

0

0

Fig. 2.5.8

87

3

54

2

1 3

0

0

Fig. 2.5.9

3

4

5

2

13

00

Fig. 2.5.10

88

3

1

2

45

00

3

Fig. 2.5.11

4

5

0

31

2

0

Fig. 2.5.12 Cele două lanţuri cinematice vor fi recuplate, urmărind

principiile anterioare (Fig. 2.5.9 – 2.5.12). Elementul 3 din lanţul deschis 4-5-3, cuplat la lanţul

cinematic închis, 0-1-2-3-0, are 3 grade de libertate în raport cu baza (Fig. 2.5.11).

În faza următoare de asamblare (Fig. 2.5.12) se suprapun cele 2 elemente cu numărul 3; poziţia elementului 3 este impusă de un punct de pe elementul 3 şi direcţia elementului 3 din lanţul închis anterior (0-1-2-3-0), deci se vor anula cele 3

89

grade de libertate independente ale elementului 3 din faza de asamblare anterioară (acestea vor fi identice cu cele ale elementului 3 din lanţul închis 0-1-2-3-0).

Numărul de mobilitate pentru conturul închis 2-4-5-3-2 este: b2=3.

Gradul de mobilitate se calculează cu Ec. 2.5.34.

10-3-3-7=f-bfM7

1kkp

2

2jj

7

1ii 1

b- == ∑∑∑===

− (2.5.34)

Considerăm un alt mecanism cu două elemente profilate (Fig. 2.5.13), care are 2 cuple cinematice cu f1=f2=1 şi o cuplă cinematică cu f3=2.

O

zy

x

21

00

Fig. 2.5.13

Elementul extrem din lanţul deschis asociat lanţului închis 0-1-2-0 are trei grade de libertate: Ty, Tz, Rx (b1=3).

1=0-3-1)+2+(1=f-b-f=M3

1kkp1

3

1ii ∑∑

==

(2.5.35)

Se consideră mecanismul din figura 2.5.14, unde AB=DC, AB//DC, BC=AD, BC//AD.

Un punct E, situat la mijlocul elementului BC, descrie o traiectorie circulară, cu lungimea razei egală cu lungimea elementului AB. Cuplăm un element EF în punctul E (Fig. 2.5.15).

90

E

O

z

y

x 00

31

2

A

B C

D

Fig. 2.5.14

Prezentăm două situaţii: EF=AB şi EF//AB (Fig. 2.5.15a); EF≠ AB (Fig. 2.5.15b).

4

F

E

0 00

31

2

A

B C

Dx

y

z

O

a

4F

E

0 00

31

2

A

B

Dx

y

z

O

C

b

Fig. 2.5.15 Pentru a calcula mobilitatea mecanismului prezentat în

figura 2.5.15a segmentăm baza de două ori, astfel ca numărul de elemente mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice, adică 6 (Fig. 2.5.16a). Numărul de mobilitate al lanţului 0-1-2-

91

3-6 este b1=3 (Ty, Tz, Rx) (vezi analiza mobilităţii pentru mecanismul cu schema cinematică din figura 2.5.1).

Pentru stabilirea gradelor de libertate în raport cu baza ale elementului 5, din lanţul cinematic deschis 4-5 (Fig. 2.5.16a), ataşat conturului închis 0-1-2-3-0, încercăm mişcările independente posibile ale elementului 5 relativ la baza 0.

T2T1

E2E1

F2F1

6

E

Ty5

4

0

31

2

A

BC

Dx

y

z

O

a

E

E2E3

Ty

E1

b

Fig. 2.5.16 Punctul E este situat atât pe elementul 2 cât şi pe elemental 4.

Din acest motiv, în cazul unei deplasări infinitezimale ΔTy a elementului 5 din punctul F1 în punctul F2, poziţia finală a punctului E3 trebuie să fie la intersecţia traiectoriei circulare T1 (cercul cu dimensiunea razei egală cu dimensiunea elementului

92

AB, şi cu centrul de curbură în punctul F1) cu traiectoria circulară T2 (cercul cu dimensiunea razei egală cu lungimea elementului EF, şi cu centrul de curbură în punctul F2), ceea ce înseamnă între punctul E1 şi punctul E2 (Fig. 2.5.16b). ΔTy fiind foarte mic, punctul E3 trebuie să fie în vecinătatea punctului E1 (deoarece deplasăm punctul F din F1 in F2), dar în acelaşi timp acesta trebuie să fie în vecinătatea punctului E, care reprezintă poziţia initială (Fig. 2.5.16a); deoarece această simultaneitate de poziţii nu este posibilă, nici mişcarea independentă Ty a elementului 5 nu este posibilă.

Aceeaşi procedură se aplică pentru mişcarea independentă Tz şi rezultatul este identic. Dar mişcările Ty(Tz) şi Rx sunt posibile, deci numărul gradelor de libertate ale elementului 5 în raport cu baza este 2 (Ty(Tz), Rx), adică b2=2.

10-2-3-6f-b-b-f=M6

1kkp21

6

1ii ==∑∑

==

(2.5.36)

Şi în cel ce-al doilea caz (Fig. 2.5.15b), pentru calculul mobilităţii segmentăm baza în două părţi, astfel ca numărul de elemente mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice, şi anume 6 (Fig. 2.5.17a).

Numărul de mobilitate al lanţului cinematic 0-1-2-3-6 este b1=3 (numărul gradelor de libertate ale elementulu 6 în raport cu baza: Ty, Tz, Rx), similar exemplului anterior, dar numărul gradelor de libertate în raport cu baza ale elementului 5, din lanţul cinematic deschis 4-5, ataşat conturului închis 0-1-2-3-0, este diferit, deoarece lungimea lui EF este diferită de lungimea lui AB. Determinăm mişcările independente posibile ale elementului 5 relativ la baza 0. Realizăm mintal o translaţie infinitezimală ΔTy a elementului 5 din punctul F1 în punctul F2 (Fig. 2.5.17a).

Deoarece lungimea elementului EF este mai mică decât lungimea elementului AB, cercul T3 (de raza EF şi cu centrul în punctul F2) intersectează cercul T1 (cercul cu raza egală cu

93

lungimea elementului AB şi cu centrul de curbură în mijlocul segmentului AD) în punctul E2, în vecinătatea poziţiei iniţiale E1 a punctului E (Fig. 2.5.17b). Acest lucru este posibil, deci şi translaţia independentă Ty este posibilă.

T3T2T1

F2F1

6

ETy

5

4

0

31

2

A

BC

Dx

y

z

O

a

Ty

E2

E1

T3T2

T1

b

Fig. 2.5.17 Aceeaşi procedură se aplică pentru translaţia independentă

Tz; mişcarea independentă Tz este posibilă. Mişcarea de rotaţie independentă Rx şi ea este posibilă. Asta înseamnă că b2=3 (Ty, Tz, Rx).

00-3-3-6f-b-b-f=M6

1kkp21

6

1ii ==∑∑

==

(2.5.37)

94

În acest caz mecanismul nu funcţionează. Putem concluziona că dimensiunile elementelor unui mecanism influenţează valorile numerelor de mobilitate, deci şi mobilitatea mecanismului.

Figura 2.5.18 ilustrează schema cinematică a mecanismului lui Sarrus realizat în varianta lui Bennett.

4

6

5

X

z

y2

1

3

O

Fig. 2.5.18 Mecanismul are 6 cuple cinematice cu 1fi = . Segmentăm elementul 2 în două părţi. Elementul extrem 2 al lanţului deschis 2-4-3-1-5-6-2, asociat

lanţului închis, are 5 grade de libertate în raport cu baza (Tx, Ty, Tz, Rx, Ry); b1=5.

Când refacem lanţul cinematic deschis 2-4-3-1-5-6-2, conform procedurii descrise anterior, observăm că fiecare grad de libertate al fiecărei cuple cinematice modifică mişcarea următorului element cinematic, astfel că numărul de grade de libertate pasive ale cuplelor cinematice este zero (Ec. 2.5.38).

0=f6

1kkp∑

=

(2.5.38)

95

Gradul de mobilitate al mecanismului din figura 2.5.18 se determină cu Ec. 2.5.39.

10-5-6f-b-f=M6

1kkp1

6

1ii ==∑∑

==

(2.5.39)

Pellegrino şi colaboratorii au propus o formă alternativă a lanţului cinematic Bennett (Fig. 2.5.19), cu pliere compactă (Fig. 2.5.19e) şi desfăşurare maximă (Fig. 2.5.19a) [21].

a b

c d e

Fig. 2.5.19 Lanţul are 4 elemente cuplate prin cuple de rotaţie, cu două

plane de simetrie şi o axă de simetrie cu două plieri. Pentru acest model parametrul de proiectare λ – unghiul

ascuţit al secţiunii pătrate relativ la planul în care lanţul se desfăşoară în forma lui alternativă – are valoarea zero (λ =0); valoarea acestui parametru influenţează închiderea sistemului mecanic care este decuplat în două mişcări separate (Fig. 2.5.19b, c respectiv Fig. 2.5.19d, e).

96

Există 4 cuple cinematice, fiecare având un grad de liberate,

deci 4f4

1ii =∑

=

.

Realizăm un model cu un element segmentat în două părţi (Fig. 2.5.20), astfel ca numărul de elemente mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice.

a b

Fig. 2.5.20 Considerăm iniţial mecanismul într-o astfel de poziţie ca

planul elementelor 2 şi 3 să formeze un unghi ascuţit cu planul elementelor 1, 0 şi 4 (Fig. 2.5.21b).

32

1 0O

z

y

X a b

c d

Fig. 2.5.21

0

3

4

1

2

1

4

3 0

2

4 0

3

1

2

97

Deoarece elementul 4 are două grade de libertate independente (Ry, Rz) – Ry (Fig. 2.5.21c), Rz (Fig. 2.5.21d) –, iar Rx(Rz) (Fig. 2.5.21d), rezultă că b1=2.

20-2-4f-b-f=M4

1kkp1

4

1ii ==∑∑

==

(2.5.40)

Se poate observa în Fig. 2.5.22 că sunt necesare numai două grade de libertate pentru a uni elementul 4 (dintr-o poziţie arbitrară – Fig. 2.5.22a) cu elementul 0: Rz şi Ry (b1=2).

O

z

y

X

a b

c d

Fig. 2.5.22 Rotim lanţul 3-4 în cupla C cu Rz(Rx) (axa cuplei C este

conţinută în planul xOz) până ce unghiul dintre elementele 2 şi 3 (din cupla C) devine egal cu unghiul dintre elementele 0 şi 1 (din cupla A) (Fig. 2.5.22b).

Apoi rotim lanţul 2-3-4 în cupla B cu Ry(Rx) (axa cuplei B este conţinută în planul xOy) până când axa cuplei D este conţinută în acelaşi plan cu axa cuplei B (Fig. 2.5.22c).

În final rotim elementul 4 în jurul axei cuplei D cu Ry(Rx) până ce elementul 4 ia contact cu elementul 0 (Fig. 2.5.22d).

2 3B C 4 1 A D 0

B 2 3 C D1 A 4 0

2 3 4 1

0

2 B C 3 D A

98

Dacă considerăm sistemul asamblat în poziţia prezentată în Fig. 2.5.23a şi acţionăm cupla care are rotaţia maximă π radiani (Fig. 2.5.23b), observăm că celelalte două elemente, care nu sunt acţionate prin nici una din cuplele lor adiacente, se îndepartează de primele două (Fig. 2.5.23c şi d). Nu înseamnă ca mobilitatea este 1 (s-a demonstrat că este 2), deoarece pentru un unghi fixat între două elemente, celelalte două elemente pot avea mai multe poziţii între două limite (Fig. 2.5.23e şi f); numai limitele celui de-al doilea unghi au fost modificate.

a b c d

e f

Fig. 2.5.23 Să considerăm mecanismul într-o altă poziţie particulară,

când planul elementelor 2 şi 3 este perpendicular pe planul elementelor 1, 0 şi 4 (Fig. 2.5.21b).

În această poziţie, baza temporar segmentată, 4, are 3 grade de libertate independente: Rx, Ry, Rz. Elementul extrem 4 al lanţului cinematic deschis 0-1-2-3-4 are 3 grade de libertate în raport cu baza (Rx, Ry, Rz), deci b1=3.

Gradul de mobilitate instantaneu se determină cu Ec. 2.5.41.

99

10-3-4=ffM4

1kkp

4

1ii 1

b- == ∑∑==

− (2.5.41)

Cupla conducătoare în mecanism va fi în D (sau în B) – cupla care permite rotaţia Ry. În această poziţie instantanee rotaţiile Rx şi Rz sunt inactive.

În [24] s-a calculat gradul de mobilitate global (M=3) al unui mecanism paralel (Fig. 2.5.24) a cărei platformă mobilă are 3 translaţii.

C3

B3

A3

C2

B2

A2

C1

B1

A1

7

6

5

4

XO

z

y 0

0

2

1

3

Fig. 2.5.24 În acest mecanism există 3 picioare; fiecare picior are o

cuplă de rotaţie Ai cu f=1 şi două cuple cilindrice, Bi şi Ci, cu f=2 (i=1, 2, 3).

100

∑=

9

1iif =1+2+2+1+2+2+1+2+2=15

(2.5.42)

Există două lanţuri cinematice independente (q=p-n=9-7=2): 0-1-2-3-4-5-0 and 0-5-4-3-6-7-0.

Segmentăm de două ori baza (deoarece rangul bazei este 3) şi obţinem un sistem tip copac, cu numărul de cuple egal cu numărul de elemente temporar mobile, şi anume 9.

Numărul gradelor de libertate ale elementului cinematic extrem din lanţul cinematic deschis 0-1-2-3-4-5-0 este 6 (Tx, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz); asta înseamnă că b1=6.

Analizăm mişcările de intrare în lanţul deschis 6-7-0 (obţinut prin segmentarea bazei), determinate de lanţul închis 0-1-2-3-4-5-0. Acestea sunt chiar gradele de libertate absolute ale elementului 3, integrat numai în lanţul cinematic închis 0-1-2-3-4-5-0, şi reprezintă intersecţia gradelor de libertate absolute ale elementului 3 din lanţul cinematic deschis 0-1-2-3, cu gradele de libertate absolute ale elementului 3 din lanţul deschis 0-5-4-3:

(Rx, Ry, Tx, Ty, Tz) I (Ry, Rz, Tx, Ty, Tz) =

= (Ry, Tx, Ty, Tz)

(2.5.43)

Numărul gradelor de libertate ale elementului extrem din lanţul cinematic deschis 6-7-0, ataşat lanţului închis 0-1-2-3-4-5-0, este determinat de mişcările de intrare în lanţul deschis, stabilite anterior (Ry, Tx, Ty, Tz), şi de mişcările relative ale elementelor lanţului deschis 3-6-7-0; numărul total al gradelor de libertate este 6 (Tx, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz), deci b2=6.

Mobilitatea se calculează cu Ec. 2.5.44.

30-6-6-15=f-bfM9

1kkp

2

2jj

9

1ii -

1b- == ∑∑∑

===

(2.5.44)

În [6] s-a calculat mobilitatea globală (M=3) a

101

manipulatorului Cartezian paralel CPM (Fig. 2.5.25), pentru două lanţuri cinematice independente, folosind formula demonstrată cu teoria transformărilor liniare.

Acest mecanism are un picior pasiv (Antonescu P., 2006).

D3

C3

B3

A3

D2

C2

B2A2

D1

C1

B1

A1

10

9

8

7

6

5

4

X

O

z

0

0

2

1

3

y

Fig. 2.5.25

Aplicăm strategia prezentată în subcapitolul 2.5.2.1 pentru calculul mobilităţii acestui mecanism.

Tăiem baza de două ori (deoarece rangul bazei este 3) şi obţinem numărul de cuple cinematice egal cu numărul de elemente temporar mobile, şi anume 12.

Considerăm cele două lanţuri cinematice independente: 0-1-2-3-10-6-5-4-0 şi 0-4-5-6-10-9-8-7-0. Numărul de grade de libertate ale elementului cinematic

extrem (baza segmentă, temporar mobilă) din lanţul cinematic deschis 0-1-2-3-10-6-5-4-0, în raport cu baza rămasă fixă, este 5 (Tx, Ty, Tz, Rx, Rz), adică b1=5.

102

Numărul de grade de libertate absolute ale elementului cinematic extrem (baza segmentă, temporar mobilă) din lanţul cinematic deschis 10-9-8-7-0, ataşat lanţului cinematic închis 0-1-2-3-10-6-5-4-0, este 4 (Tx, Ty, Tz, Ry), adică b2=4.

Când recuplăm lanţurile cinematice observăm că fiecare grad de libertate al fiecărei cuple cinematice modifică mişcarea elementului cinematic următor, deci, numărul gradelor de

libertate pasive ale cuplelor cinematice este zero, 0=f12

1kkp∑

=

.

Mobilitatea mecanismului se calculează cu Ec. 2.5.45.

3=0-4-5-12=f-bf=M12

1kkp

2

2jj

12

1ii -

1b- ∑∑∑

===

(2.5.45)

Dacă vom calcula mobilitatea mecanismului cu un singur lanţ cinematic închis 0-1-2-3-10-6-5-4-0 (numai două picioare), obţinem aceeaşi mişcare a platformei mobile şi acelaşi rezultat pentru gradul de mobilitate, deoarece un picior este pasiv.

S-a stabilit anterior numărul de mobilitate pentru acest ciclu cinematic, b1=5.

Numărul de elemente temporar mobile este 8, şi este egal cu numărul cuplelor cinematice ale mecanismului analizat.

Mobilitatea platformei paralele pentru acest caz se poate calcula cu Ec. 2.5.46 sau cu Ec. 2.5.47.

3=0-5-85-86=f-b-c-6m=M8

1ikp1

8

1ii ⋅⋅∑∑

==

(2.5.46)

3=0-5-8=f-b-f=M8

1kkp1

8

1ii ∑∑

==

(2.5.47)

103

2.5.3 CONCLUZII

În concluzie, formulele lui Cebâşev, Sylvester, Grubler, Somov-

Malîşev, Koenigs, sunt cazuri particulare ale raţionamentului dezvoltat folosind principiile inventicii sau metoda transformărilor de matrici pentru mecanisme plane, sau spaţiale, cu numărul gradelor de libertate ale elementelor finale din lanţurile cinematice deschise ale sistemului mecanic de tip copac, egal cu 3, respectiv 6, adică pentru mecanisme care nu sunt supraconstrânse.

Ecuaţia universală pentru calculul gradului de mobilitate a lui Somov-Malîşev este adevărată pentru mecanismele supraconstrânse deoarece aceasta conţine parametrul s – numărul de constrângeri datorate închiderii lanţului. Acesta este însă mai dificil de determinat.

Gogu (2005) tratează gradul de mobilitate global folosind transformările liniare. Acest raţionament asigură rezultate corecte gradului de mobilitate global, ca şi raţionamentul care utilizează principiile inventicii, indiferent de tipul mecanismului. Folosind metoda ce utilizează principiile inventicii, ca şi metoda transformărilor liniare, nu este necesară eliminarea elementelor pasive, a picioarelor pasive ale robotului, sau efectul simetriei din calculul mobilităţii mecanismelor, ci numai gradele de libertate pasive din fiecare cuplă cinematică care nu schimbă mişcarea elementului următor care va fi asamblat în lanţul cinematic deschis.

Putem presupune că Cebîşev a folosit principiile inventicii, segmentarea (în cazul lanţului cu un singur contur închis segmentarea bazei în două părţi, dintre care una va deveni temporar mobilă, şi se va decupla de mecanism, ca şi restul elementelor mobile), dar a scris rezultatul final pentru cazul particular analizat; mai uşor de intuit este acest lucru în cazul formulelor lui Sylvester şi Grubler, care sunt scrise explicit.

104

Bibliografie selectivă 1. Alizade R., Bayram C., Gezgin E. Structural synthesis of serial platform manipulators. In: Mech. Mach. Theory, 2006. 2. Chen Y. Design of Structural Mechanisms. Doctoral thesis, 2003. 3. Contradiction Matrix. http://www.triz-journal.com/archives/1997/07/ index.htm. 4. Cretu S.M. Applications of TRIZ to Mechanisms & Bionics, Academica, Greifswald, Germania, 2007. 5. Cretu S.M., TRIZ applied to establish Mobility of some Mechanisms, 12th IFToMM World Congress, Besançon (France), June 18-21, 2007. 6. Dudita F., Diaconescu D. Optimizarea structurala a mecanismelor, Bucuresti, 1987. 7. Fang Y., Tsai L.-W. Enumeration of a class of overconstrained mechanisms using the theory of reciprocal screws. In: Mech. Mach. Theory, 39: 1175-1187, 2004. 8. Gogu G. Cebychev-Grubler-Kutzbach's criterion for mobility calculation of multi-loop mechanisms revisited via theory of linear transformations. In: European Journal of Mechanics A/Solids, 24: 427-441, 2005. 9. Gogu G. Mobility and spatiality of parallel robots revised via theory of linear transformations. In: European Journal of Mechanics A/Solids, 24: 690-711, 2005. 10. Gogu G. Mobility of mechanisms: a critical review. In: Mech. Mach. Theory, 40: 1068-1097, 2005. 11. Garcia A. P. Analysis and Design of Bennett Linkages. Doctoral thesis, http://balsells.eng.uci.edu/docs/alba_thesis 12. Guest S.D., Fowler P.W. A Symmetry-extended mobility rule, 2004, sdgîeng.cam.ac.uk 13. Hervé J. M. Analyse structurelle des Mécanismes par Groupe des déplacements. In: Mech. Mach. Theory, 13: 437-450, 1978. 14. Ionescu T.G. Terminology for mechanisms and machine science. In: Mech. Mach. Theory, 38: 7-10, 2003. 15. Kerle H., Pittschellis R. Einfuhrung in die getriebelehre, Stuttgart, 1998. 16. Kovacs F. Symmetry-adapted mobility and stress analysis of spherical and polyhedral generalised bar-and-joint structures. Doctoral thesis, 2004. 17. Mavroidis C., Beddows M. A spatial overconstrained mechanism that can be used in practical applications. http://www.coe.neu.edu/Research/robots/papers/AMR97.pdf 18. Mavroidis C., Roth B. Analysis and synthesis of overconstrained mechanisms. http://robots.rutgers.edu/papers/asme6.pdf 19. Myard F. E. Contribution a la géométrie des systèmes articules.

105

In: Bulletin de la S.M.F, tome 59: 183-210, 1931. 20. New trends in mechanisms, Eds. Cretu S.M., Dumitru N., Academica Greifswald Publishing House, 2008. 21. Pellegrino S., Green C., Guest S. D., Watt A. SAR advanced deployable structure. Technical Report, Department of Engineering, University of Cambridge, 2000. 22. Razmara N., Kohli D., Dhingra A. K. On the degrees of freedom of motion of planar-spatial mechanisms. In: Proc. of Design Engineering Technical Conferences and Computer and Information, Engineering Conference, Baltimore, Maryland, September 2000. 23. Refaat S., Hervé J. M., Nahavandi S., Trinh H. Asymmetrical three-DOFs rotational-translational parallel-kinematics mechanisms based on Lie group theory. In: Mech. Mach. Theory,25: 550-558, 2006. 24. Shen H., Yang T., Tao SD, Liu A., Ma L. Structure and displacement analysis of a novel three-translation parallel mechanism. In: Mech.Mach. Theory, 40: 1181-1194, 2005 25. Shoham M., Roth B. Connectivity in open and closed loop robotic mechanisms. In: Mech. Mach. Theory, 32: 279-293, 1997. 26. Zou H., Abdel-Malek K. A., Wang J. Y. Design Propagation in Mechanical Systems: Kinematic Analysis. In: ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 119, No. 3: 338-345, 1997. 27. Zhao J.S., Zhou K., Feng Z.-J. A theory of degrees of freedom for mechanisms. In: Mech. Mach. Theory, 39: 621-643, 2004. 28. Tate k., Domb E. How to Help TRIZ Beginners Succeed. In: TRIZ Journal, April, 1997, www.triz-journal.com 29. http://www.iftomm.3me.tudelft.nl/2057_1036/frames.html

106

2.6 TRANSFORMAREA CUPLELOR

2.6.1 PRINCIPII TEORETICE Teorema de echivalenţă a cuplelor cinematice (Grubler,

Harisberger) se enunţă astfel: o cuplă cinematică de clasa k (k<5) dintr-un lanţ cinematic, se poate înlocui cu un lanţ cinematic simplu deschis, format din (5-k) elemente, legate între ele prin (4-k) cuple cinematice fundamentale şi cu două cuple fundamentale potenţiale la capete (semicuple sau poli).

Pentru a face o analiză cinematică şi cinetostatică unitară mecanismelor plane, se substituie cuplele superioare de clasa a IV-a prin lanţuri cinematice formate din elemente cinematice şi cuple de clasa a V-a.

Principiile ce stau la baza acestei substituiri sunt: a) gradul de mobilitate al mecanismului real trebuie să fie egal cu gradul de mobilitate al mecanismului înlocuitor (echivalenţa structurală):

itormec.inlocumec.real M=M , (2.6.1)

b) mişcarea relativă dintre elemente trebuie să fie aceeaşi, înainte şi după substituirea cuplelor de clasa a IV-a (echivalenţa cinematică).

Se consideră un mecanism plan care nu este supraconstrâns, format din n elemente mobile, 5C cuple de clasa a V-a şi 4C cuple de clasa a IV-a.

Mecanismul înlocuitor este format din 'n+n elemente mobile şi 55 CC ′+ cuple de clasa a V-a.

45mec.real C-2C-3n=M (2.6.2)

)C+2(C-)n+3(n=M 55itormec.inlocu ′′ (2.6.3)

107

Înlocuind Ec. 2.6.2 şi Ec. 2.6.3 în relaţia de echivalenţă structurală, Ec. 2.6.1, se obţine Ec. 2.6.4.

45 C-C2=n3 ′′ (2.6.4)

Pentru C4=1 se obţine relaţia de dependenţă dintre numărul elementelor şi cel al cuplelor cinematice din lanţul cinematic care înlocuieşte o cuplă superioară de clasa a IV-a:

21+n3=C5

′′ (2.6.5)

Pentru 1=n' (cea mai simplă situaţie), se obţine 2=C'5 .

În concluzie, o cuplă cinematică plană de clasa a IV-a se substituie printr-un element cinematic şi două cuple de clasa a V-a .

Pentru realizarea echivalenţei cinematice se procedează astfel: • se trasează tangenta şi normala în punctul de contact al cuplei cinematice superioare de clasa a IV-a; • cele două cuple cinematice de clasa a V-a, care apar la substituirea cuplei superioare de clasa a IV-a, se vor afla pe direcţia normalei; • dacă raza de curbură a profilului unui element cinematic, în punctul de contact, este finită, în centrul de curbură se va plasa o cuplă de rotaţie de clasa a V-a; • dacă raza de curbură a profilului elementului cinematic, în punctul de contact, este infinită (centrul instantaneu de rotaţie CIR tinde la infinit, pe direcţia normalei), se va plasa o cuplă de translaţie în punctul de contact, cu direcţia de translaţie identică cu tangenta la profiluri în punctul de contact; • dacă profilul în zona de contact se reduce la un punct (ex.: la tachetul cu vârf), acel punct este considerat centrul său de curbură; • determinarea coordonatelor centrului de curbură şi a razei de curbură în punctul curent (x, y) de pe curba Γ :

108

- se consideră un profil definit prin ecuaţiile parametrice: )();( tyytxx == ; în fiecare punct al curbei se pot defini

tangenta şi normala la curbă; fiecare din acestea formează, atunci când punctul curent descrie curba, o familie de drepte care depinde de parametrul t; - familia de tangente generează curba însăşi, ca înfăşurătoare; - familia de normale generează o nouă curbă, care se numeşte evoluta curbei iniţiale; în concluzie, evoluta unei curbe plane este generată ca o înfăşurătoare a normalelor curbei plane duse în fiecare punct al ei; - orice punct al curbei evolută este centru de curbură pentru curba iniţială, într-un anumit punct al ei; - ecuaţiile parametrice ale evolutei (Ec. 2.6.6) determină coordonatele centrului de curbură (X, Y) al profilului, în punctul curent (x, y) de pe profil;

yx-yx)y+x(y-x=X

22

′′′′′′′′′

yx-yx)y+x(x+y=Y

22

′′′′′′′′′

(2.6.6)

- raza de curbură, R, în punctul de coordonate (x, y) de pe curba Γ , se calculează cu Ec. 2.6.7.

)yx-yx()y+x(y)-(Yx)-(X=R

322222

′′′′′′′′

=+ (2.6.7)

• Elementul lanţului cinematic înlocuitor al cuplei de clasa a IV-a are lungimea egală cu distanţa dintre centrele celor două cuple de clasa a V-a (adică suma razele de curbură ale elementelor cinematice, în punctul de contact, dacă aceste raze sunt finite). Mecanismul înlocuitor este acelaşi pentru orice poziţie a elementului conducător dacă profilurile sunt arce de cerc sau drepte.

109

2.6.2 APLICAŢII

1. Figura 2.6.1 reprezintă schema cinematică a unui mecanism cu camă rotativă şi tachet oscilant (1 – camă; 2 – tachet). Să se realizeze mecanismul înlocuitor obţinut prin substituirea cuplei superioare de clasa a IV-a.

Fig. 2.6.1 Rezolvare Schema cinematică a mecanismului înlocuitor – formată din

elemente de tip bară şi cuple de clasa a V-a –, care substituie mecanismul real, se prezintă în figura 2.6.3.

Fig. 2.6.2 Fig. 2.6.3

94.2011°1

A

2

1

CB 94.2011° 2

94.2011°

n

Et

n

A

1

B2 C

94.2011° 94.2011°B

94.2011°A

2

1

t

E

D oo (D=CIR)

Mecanismul inlocuitor

3

D=C

1 1

2 2

110

Cupla cinematică de clasa a IV-a (C) a mecanismului real se substituie printr-un lanţ cinematic format din elementul 3 şi cuplele cinematice de clasa a V-a, D=C şi E.

Direcţia şi mărimea elementului 3 se stabilesc prin echivalenţă cinematică (Fig. 2.6.2).

2. Figura 2.6.4 reprezintă schema cinematică a unui mecanism cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (1 – camă; 2 – tachet; 3 – rolă; rola este element pasiv din punct de vedere cinematic). Să se realizeze mecanismul înlocuitor.

Rezolvare S-a realizat schema cinematică a mecanismului înlocuitor

(Fig. 2.6.6) prin substituirea cuplei cinematice de clasa a IV-a, C, din mecanismul real, print-un lanţ cinematic format numai din cuple cinematice de clasa a V-a (D, E) şi elementul 4.

Fig. 2.6.4 Fig. 2.6.5 Fig. 2.6.6

3. Figura 2.6.7 reprezintă schema cinematică a unui mecanism cu camă rotativă şi tachet translant cu vârf (1– camă; 2– tachet).

Profilul tachetului se reduce în zona de contact la un punct (C); acesta este considerat centrul de curbură al elementului 2 în punctul de contact dintre camă şi tachet.

94.2011°

tnD

Et nC

A

B

1

23

194.2011° 1

29.6066

A

B23

1

D

C

V2

94.2011°

E

D

B

A

1

2 29.6066

4V2

1

111

Modalitatea de substituire este redată în figura 2.6.8, iar schema cinematică a mecanismului înlocuitor în figura 2.6.9.

Fig. 2.6.7 Fig. 2.6.8 Fig. 2.6.9

4. Să se calculeze centrul de curbură şi raza de curbură la o camă cu profilul spirala lui Arhimede.

Spirala lui Arhimede este o curbă matematică foarte utilizată în tehnică la elementele profilate ale mecanismelor.

Ecuaţia spiralei lui Arhimede în coordonate polare este:

at=ρ , (2.6.8)

unde: ρ este raza polară, t este unghiul polar şi a este o constantă.

Raza de curbură într-un punct curent (x, y) de pe spirala lui Arhimede se poate calcula cu Ec. 2.6.9.

3/222

22

)ρ+(ρρρ-ρ2+ρ=

R1

′′′⋅′ (2.6.9)

Coordonatele carteziene ale centrului de curbură pentru un punct curent al spiralei lui Arhimede verifică ecuaţiile parametrice ale evolutei sale:

94.2011°

tn

t n

C

A

B

1

2

1

D

94.2011° 1

29.6066

A

B2

1C

V2

94.2011°

A

1

2 29.6066 V2

1

3

B

CD

112

ρρ+ρ2+ρ)ρ+ρcost)(ρ+sintρ(-costρ=X 22

22

′′⋅′′⋅⋅′

⋅

ρρ+ρ2+ρ)ρ+ρsint)(ρ-costρ(sintρ=Y 22

22

′′⋅′′⋅⋅′

+⋅

(2.6.10)

Deoarece at=ρ , a=dtdρ

=ρ' , iar 0=ρ ′′ , ecuaţiile pentru

determinarea centrului de curbură într-un punct curent de pe spirală, de coordonate polare ( tρ, ), devin Ec. 2.6.11,

22

22

2a+ρ)ρ+cost)(aρ+sint(a-costρ=X ⋅⋅

⋅ ,

22

22

2a+ρ)ρ+sint)(aρ-cost(asintρ=Y ⋅⋅

+⋅ ,

(2.6.11)

iar formula pentru calculul razei de curbură devine Ec. 2.6.12.

22

3/222

2a+ρ)a+(ρ=R (2.6.12)

Se prezintă în continuare un program realizat în mediul de programare MAPLE V Release IV, care trasează spirala lui Arhimede, evoluta (desfăşurata) ei şi calculează raza de curbură în punctul indicat de pe spirală (de ex. pentru unghiul de 2000, unghi:=200) şi coordonatele centrului de curbură al spiralei în punctul respectiv.

S-a trasat pe direcţia normalei şi raza de curbură pentru punctul impus. restart; a:=39.7887; ro(t):=a*t; unghi:=200; x(t):=ro(t)*cos(t)-((a*sin(t)+ro(t)*cos(t))*((a*t)**2+a**2)/ (ro(t)**2+ 2*a**2)); y(t):=ro(t)*sin(t)+((a*cos(t)-ro(t)*sin(t))*(ro(t)**2+a**2)/

113

(ro(t)**2+2*a**2)); z(t):=ro(t)*cos(t); w(t):=ro(t)*sin(t); rm(t):=sqrt((ro(t)**2+a**2)**3)/(ro(t)**2+2*a**2); b:=subs(t=unghi*Pi/180,x(t)); c:=subs(t=unghi*Pi/180,y(t)); d:=subs(t=unghi*Pi/180,z(t)); e:=subs(t=unghi*Pi/180,w(t)); r:=subs(t=unghi*Pi/180,rm(t)); evalf(b);evalf(c);evalf(d);evalf(e);evalf(r); plot([[x(t),y(t),t=0..2*Pi],[z(t),w(t),t=0..2*Pi],[d+t*(b-d),e+t* (c-e),t=0..1]],scaling=constrained,color=[black],thickness=2);

Rezultatul grafic al rulării programului este reprezentat în figura 2.6.10.

Desfăşurata spiralei lui Arhimede Raza de curbură

Spirala lui Arhimede

Fig. 2.6.10

Bibliografie selectivă 1. MAPLE V Release IV 2. Murgulescu E., ş.a., Geometrie analitică si diferenţială, Ed. Didactica şi Pedagogică, 1965. 3. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

114

2.7 ELEMENTE CINEMATICE PASIVE SAU CU MIŞCARE DE PRISOS ŞI CUPLE CINEMATICE

PASIVE

Elementele pasive, elementele cu mişcare de prisos şi cuplele aferente acestora, precum şi cuplele pasive, nu influenţează mişcarea celorlalte elemente, dar sunt necesare pentru: • creşterea rigidităţii mecanismului, • depăşirea poziţiilor extreme în timpul funcţionării

mecanismului (punctele moarte), • pentru evitarea inversării mişcării, • pentru transformarea frecării de alunecare în frecare de

rostogolire. În punctele moarte momentul motor devine zero, reacţiunea

având direcţia elementului motor. Dacă se ţine cont de frecarea din cuplele cinematice, pot exista situaţii când momentul asupra elementului 1 este 0 (nu se mai roteşte) deoarece reacţiunile se află pe tangenta comună la cercurile de frecare. Blocarea se poate evita atât prin montarea unor volanţi cu mase mari, care înmagazinează energie cinetică necesară depăşirii poziţiilor critice, cât şi prin introducerea elementelor cinematice pasive.

În cazul în care calculul gradului de mobilitate se efectuează cu formulele clasice (de ex.: M=3n-2C5-C4, M=6n-5C5-4C4-3C3-2C2-C1), nu trebuie să se ţină cont de: elementele pasive, elementele cu mişcare de prisos şi de cuplele aferente acestora şi nici de cuplele pasive.

Dacă se foloseşte metodologia ce utilizeaza principiile inventicii sau teoria transformărilor liniare, gradul de mobilitate se va obţine corect chiar dacă se iau în calcul elementele pasive, cuplele pasive, dar se vor neglija mişcările de prisos ale unor elemente care nu modifică mişcarea elementelor care se vor cupla cu acestea (vezi calculul gradului de mobilitate anterior).

115

În figura 2.7.1 elementul cu mişcare de prisos, pasiv din punct de vedere cinematic, este rola 3.

Dacă se ţine cont de elementul 3 şi cuplele aferente acestuia, calculul gradului de mobilitate, atât cu formulele clasice, cât şi cu formulele bazate pe principiile inventive, se obţine eronat.

Pentru calculul clasic: n=3 (elementele: 1, 2, 3),

3C5 = (cuplele: (1,0), (2, 3), (2, 0)), 1C4 = (cupla de clasa a IV-a este formată de elementele 1 şi

3), 2=1-32-33=C-2C-3n=M 45 ⋅⋅ (fals).

Fig. 2.7.1 Pentru obţinerea gradului de mobilitate corect în formula

anterioară nu trebuie să se ţină cont de elementul pasiv 3 şi nici de cuplele aferente acestuia, astfel: n=2 (elementele: 1, 2),

2C5 = (cuplele: (1, 0), (2, 0)),

94.2011° 1

29.6066

A

B23

1

D

C

V2

116

1C4 = (cupla de clasa a IV-a este formată de elementele 1 şi 2; rola 3 se consideră solidară cu tachetul 2). Gradul de mobilitate al mecanismului se determină cu Ec. 2.7.1.

1=1-22-23=C-2C-3n=M 45 ⋅⋅ (2.7.1)

adică este necesar un singur element conducător pentru ca mecanismul să aibă o mişcare desmodromă.

Folosind metodologia prezentată la capitolul 2.5.2.2, calculăm: numărul gradelor de libertate ale tuturor cuplelor

cinematice (∑=

4

1iif =1+2+1+1=5), numărul gradelor de

libertate absolute ale elementului extrem al lanţului cinematic deschis asociat lanţului închis (b1=3) şi numărul gradelor de libertate pasive din cuplele cinematice (în cupla cinematică D rola 3 are o mişcare de rotaţie pasivă, care nu influenţează mişcarea următorului element cinematic care se va cupla în lanţul cinematic, şi anume elementul 2; deci f3p=1).

11-3-5f-b-f=M4

1kkp

1

1jj

4

1ii ==∑∑∑

===

(2.7.2)

În figura 2.7.2 elementul 4 este pasiv deoarece punctul E descrie o traiectorie sub forma unui arc de cerc, indiferent dacă există sau nu elementul 4.

În calculul gradului de mobilitate cu formula clasică a lui Cebîşev nu se va ţine cont de elementul pasiv 4 şi nici de cuplele cinematice aferente acestuia (E, F).

14233C2n3M 5 =⋅−⋅=−= (2.7.3)

unde: n=3 (elemente cinematice: 1, 2, 3), C5=4 (cuple cinematice: (0,1), (1,2), (2,3), (3,0)). Cuplele cinematice pasive au rolul de a consolida construcţia

mecanismului, distribuind reacţiunile şi în aceste cuple.

117

Dacă se calculează gradul de mobilitate folosind metodologia ce utilizează principiile inventicii, se procedează astfel: se segmentează baza de două ori, astfel ca numărul elementelor temporar mobile să fie egal cu numărul cuplelor cinematice, 6.

Există două cicluri cinematice independente: 0-1-2-3-0 şi 0-4-2-3-0.

Fig. 2.7.2

Pentru primul ciclu cinematic, elementul extrem al lanţului cinematic deschis asociat are 3 grade de libertate: Tx, Ty, Rz, deci 3=b1 .

Mişcările asigurate de lanţul cinematic închis 0-1-2-3-0 în următorul lanţ cinematic temporar deschis 2-4-0, sunt Tx(Ty), deoarece lanţul cinematic ABCD este un paralelogram articulat, deci elementul 2 are mişcare de translaţie circulară.

Mişcările relative din lanţul cinematic temporar deschis 2-4-0 mai suplimentează mişcarea de intrare în lanţ, Tx(Ty), numai cu gradul de libertate Rz. Acest lucru se observă încercând acţionarea independentă a mişcărilor: la acţionarea cu mişcarea Tx a elementului mobil extrem 0 din lanţul cinematic deschis

118

asociat, 2-4-0, cuplat la lanţul cinematic închis anterior asamblat 0-1-2-3-0, apare automat şi mişcarea Ty şi invers.

În concluzie, 2=b2 .

10-2-3-6=f-fM6

1kkp

6

1ii 2

b-1

b- == ∑∑==

(2.7.4)

Vezi tratarea detaliată a subiectului în capitolul 2.5.2.4. În figura 2.7.3 se prezintă schema cinematică a unui

mecanism cu o cuplă cinematică pasivă, G(0,5).

Fig. 2.7.3

Pentru calculul gradului de mobilitate în manieră clasică se foloseşte formula lui Cebîşev şi nu se va lua în considerare cupla pasivă, pentru a se obţine un rezultat corect.

Elementele cinematice sunt: 1, 2, 3, 4, 5. Cuplele cinematice sunt: A(0,1) cuplă de clasa a V-a, de rotaţie B(1,2) cuplă de clasa a V-a, de rotaţie C(2,3) cuplă de clasa a V-a, de rotaţie D(3,0) cuplă de clasa a V-a, de rotaţie E(3,4) cuplă de clasa a V-a, de rotaţie E(4,5) cuplă de clasa a V-a, de translaţie F(5,0) cuplă de clasa a V-a, de translaţie Deci, n=5 şi C5=7.

119

1=72-53=C2-n3M= 5 ⋅⋅⋅⋅ (2.7.5)

Pentru calculul gradului de mobilitate folosind principiile inventicii, se poate lua în considerare în calculul gradului de mobilitate şi cupla pasivă G.

Se procedează astfel: – se segmentează baza de 3 ori, astfel ca numărul de elemente

cinematice temporar mobile să fie egal cu numărul de cuple cinematice, 8;

– se determină numărul de grade de libertate, în raport cu baza, ale elementului extrem din lanţul cinematic temporar deschis 0-1-2-3-0; 3=b1 ;

– se determină numărul de grade de libertate, în raport cu baza, ale elementului extrem din lanţul cinematic temporar deschis 3-4-5-0, cuplat la lanţul cinematic închis 0-1-2-3-0, anterior asamblat; 3=b2 ;

– se determină numărul de grade de libertate, în raport cu baza, ale elementului extrem din lanţul cinematic temporar deschis 5-0, cuplat la cele două lanţuri cinematice anterior asamblate; elementul extrem are o singură mişcare Tx, deci

1=b3 ; – se calculează gradul de mobilitate cu Ec. 2.7.6.

10-1-3-3-8=b-fM 3

8

1ii 2

b-1

b- ==∑=

(2.7.6)

Bibliografie selectivă 1. Creţu S.-M., Applications of TRIZ to Mechanisms & Bionics, Academica, Greifswald, 2007. 2. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972.

120

2.8 SCHEMA CINEMATICĂ. SCHEMA STRUCTURALĂ

Schema cinematică este o reprezentare simplificată la scară a

mecanismului, pentru o poziţie dată a elementului conducător, în care elementele cinematice şi cuplele cinematice se reprezintă prin simbolurile corespunzătoare, în conformitate cu standardele în vigoare.

Figura 2.8.1 ilustrează schema cinematică a unui mecanism plan format din 5 elemente cinematice (1, 2, 3, 4, 5) şi 7 cuple cinematice de clasa a V-a: A(0,1), B(1,2), C(2,3), D(3,0), E(2,4), F(4,5), H(5,0).

Mecanismul nu este supraconstrâns, deoarece b1.=b2=3, deci gradul de mobilitate al mecanismului se poate calcula cu formula clasică a lui Cebîşev (Ec. 2.8.1).

107253CC2n3M 45 =−⋅−⋅=−−= , (2.8.1)

În concluzie, este necesar un singur element conducător pentru ca mecanismul să aibă o mişcare desmodromă.

Fig. 2.8.1

121

Schema structurală este o reprezentare simplificată a mecanismului şi aceasta arată modul de legare al elementelor cinematice în mecanism.

În schema structurală elementele se reprezintă sub forma unor poligoane cu numărul de vârfuri egal cu numărul cuplelor cinematice de legare cu restul mecanismului.

În schema structurală cuplele cinematice se reprezintă sub forma cuplelor de clasa a V-a de rotaţie, având în vedere că nu interesează decât modul de legare al elementelor.

Figura 2.8.2 ilustrează schema structurală a mecanismului plan cu schema cinematică din figura 2.8.1.

Nr.

elem. Elementele cu

care se cuplează 1 0, 2 2 1, 3, 4 3 2, 0 4 2, 5 5 4, 0

Fig. 2.8.2

122

Se observă că elementul 2 a fost reprezentat ca un triunghi, deoarece se cuplează cu 3 elemente cinematice: 1, 3, 4. Restul elementelor au fost reprezentate ca elemente binare, deoarece fiecare se cuplează cu două elemente cinematice.

Aplicaţíe: Să se reprezinte schema structurală a mecanismului

cu schema cinematică din figura 2.8.3

Fig. 2.8.3

Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 3. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 4. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

123

2.9 GRUPE STRUCTURALE

Grupa cinematică (assurică, sau structurală) este lanţul cinematic cu gradul de mobilitate zero.

Prin legarea la bază a cuplelor potenţiale ea se rigidizează, devenind o grindă Baranov.

Clasa unei grupe assurice reprezintă numărul maxim de laturi ale conturilor închise din grupa respectivă (elementele binare se consideră contururi cu câte două laturi suprapuse).

Denumirea unei grupe assurice este dată de clasa sa (diada este o grupă de clasa a 2-a, triada este o grupă de clasa a 3-a, tetrada este o grupă de clasa a 4-a,...).

Ordinul unei grupe assurice este dat de numărul cuplelor cinematice potenţiale (semicuple, poli) prin care grupa structurală se leagă cu restul mecanismului.

Se admite că elementul bază şi elementul conducător formează un mecanism de clasa 1 care a fost denumit mecanism fundamental (Fig. 2.9.1).

Fig. 2.9.1

Ţinând cont că se pot substitui cuplele superioare de clasa a IV-a prin lanţuri cinematice ce conţin numai cuple de clasa a V-a, se poate scrie condiţia de rigidizare a grupei assurice:

0C2n3M 5 =−= . (2.9.1)

124

Se obţine relaţia de dependenţă dintre numărul de elemente mobile şi numărul de cuple cinematice de clasa a V-a ale unei grupe assurice (Ec. 2.9.2).

2n3C5 = . (2.9.2)

Deoarece numărul de cuple de clasa a V-a trebuie să aibă valori întregi, numărul de elemente trebuie să fie par.

Se obţine corespondenţa din tabelul 2.9.1.

Tab. 2.9.1

A. n 2 4 C5 3 6

Denumirea grupei assurice

Diadă Triadă de ordinul 3 Tetradă de ordinul 2

Tab. 2.9.1

B. n 6 8... C5 9 12…

Denumirea grupei assurice

Triadă de ordinul 4 Tetradă de ordinul 3 Pentadă de ordinul 3 Hexadă de ordinul 3

Triadă de ordinul 5 Tetradă de ordinul 4 Pentadă de ordinul 4 Hexadă de ordinul 4 ..

125

Se prezintă în continuare schemele cinematice ale unor grupe assurice (Fig. 2.9.2 – Fig. 2.9.5).

a b

c d

Fig. 2.9.2

126

e f

g h

Fig. 2.9.2

127

i

Fig. 2.9.2

a b

Fig. 2.9.3

128

c

d

Fig. 2.9.3

129

e

f

g

Fig. 2.9.3

130

a

b

Fig. 2.9.4

Fig. 2.9.5

131

Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 3. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 4. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

132

2.10 DESCOMPUNEREA MECANISMULUI PLAN DUPĂ PRINCIPIUL LUI ASSUR

Conform principiului lui Assur, orice mecanism plan se poate

descompune în elemente conducătoare, baze şi grupe assurice. Clasa şi ordinul unui mecanism sunt date de clasa maximă,

respectiv de ordinul maxim al grupelor assurice din mecanism. Descompunerea mecanismului conform principiului lui Assur

se poate realiza fie direct pe schema cinematică, fie pe schema structurală. Elementele şi cuplele cinematice trebuie să aparţină unei singure grupe assurice.

Această descompunere este importantă deoarece fiecare grupă assurică are metode specifice pentru calculul cinematic şi cel cinetostatic.

În schema structurală se izolează elementul sau elementele conducătoare. Se identifică grupele assurice pornind de la elementul conducător (elementele conducătoare), ţinând cont de faptul că cinematica punctelor de intrare în grupele respective trebuie cunoscută.

În concluzie, prima grupă assurică din calculul cinematic are cuplele potenţiale legate la elemente conducătoare sau baze (pot exista mai multe grupe assurice de acest fel, din care se selectează prima grupă assurică pentru calculul cinematic). Se identifică existenţa lor pornind de la grupa cea mai simplă (diada) către cele complexe (triada, tetrada,...).

În figura 2.10.1 mecanismul se descompune în elementul conducător 1 şi două diade, iar în figura 2.10.2 mecanismul cu aceeaşi schemă structurală se descompune în elementul conducător 5 şi o triadă.

133

Fig. 2.10.1

Fig. 2.10.2

Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Cum se calculează gradul de mobilitate la un mecanism? 2. Substituirea cuplei superioare de clasa a IV-a. 3. Ce sunt grupele assurice? Exemple. 4. Ce reprezintă clasa şi ordinul unei grupe assurice? 5. Cum se descompune un mecanism plan după principiul lui Assur?

134

Bibliografie selectivă 1. Antonescu P., Mecanisme, Editura Printech, Bucureşti, 2003. 2. Manolescu N., Kovacs Fr., Orănescu A., Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972. 3. Pelecudi Chr., Maros D., Merticaru V., Pandrea N., Simionescu I., Mecanisme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 4. Popescu I., Mecanisme, Rep. Univ. Cv., 1995.

135

2.11 LUCRĂRI DE LABORATOR

ANALIZA STRUCTURALĂ A MECANISMELOR 1. Scopul lucrării

a) Identificarea elementelor cinematice. b) Identificarea cuplelor cinematice; clasificarea acestora. c) Realizarea schemei cinematice a mecanismului. d) Calculul gradului de mobilitate al mecanismului. e) Realizarea schemei structurale a mecanismului. f) Descompunerea schemei structurale în grupe structurale şi

elemente conducătoare, conform principiului lui Assur. g) Descompunerea schemei cinematice în grupe cinematice. h) Desenarea separată a grupelor cinematice.

2. Consideraţii teoretice Consideraţiile teoretice necesare pentru efectuarea lucrării de

laborator se vor studia din Note de curs şi/sau din cărţile indicate la bibliografia selectivă. 3. Modul de desfăşurare a lucrării

a) Se identifică elementele cinematice pe modelul fizic şi se stabileşte rangul fiecăruia. Pentru a stabili elementele cinematice se acţionează elementul (elementele) conducător (conducătoare) şi se urmăreşte cu atenţie care corpuri sunt solidare (verificaţi dacă în timpul modificării poziţiei elementului conducător unghiul dintre două corpuri se modifică şi dacă există mişcare relativă de alunecare între ele).

b) Se identifică cuplele cinematice pe modelul fizic. Se clasifică cuplele cinematice după criteriile cunoscute;

atenţie la identificarea cuplelor cinematice simple din cuplele complexe ale mecanismului.

Nr. crt.

Cupla Elementele cu care se cuplează

Tipul cuplei cinematice

1 A 0, 1 Clasa a V-a, R ... ... ... ...

136

c) Se realizează schema cinematică a mecanismului (întâi se face o schiţă). Se identifică elementele şi cuplele cinematice pe schema cinematică.

d) Calculul gradului de mobilitate Se stabileşte dacă mecanismul este supraconstrâns şi metoda

de calcul pentru gradul de mobilitate. Dacă se foloseşte o formulă clasică se stabileşte dacă există elemente şi cuple pasive sau mişcări de prisos; acestea se omit din calculul gradului de mobilitate.

e) Se realizează schema structurală a mecanismului. Pentru aceasta se completează tabelul de mai jos.

Nr. element

Elementele cu care se cuplează

Simbol

1 0,2,3

... ... ... ... ... ...

f) Se descompune schema structurală în grupe structurale şi element (elemente) conducător (conducătoare), conform principiului lui Assur. Pentru aceasta se izolează întâi mecanismul sau mecanismele fundamentale, în funcţie de valoarea gradului de mobilitate � 1, respectiv mai mare decât 1. Apoi se izolează grupele structurale conform indicaţiilor teoretice din literatura de specialitate.

g) Se identifică grupele cinematice pe schema cinematică, urmărind elementele şi cuplele cinematice din grupele structurale anterior izolate.

4. Concluzii Studenţii vor evidenţia concluziile personale în urma

efectuării analizei structurale a mecanismelor.

137

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ Laboratorul de Mecanisme Lucrarea: Analiza structurală a mecanismelor Student: ..................... Anul/Grupa/Secţia:............ Data:......................... 1. Scopul lucrării

a) Identificarea elementelor cinematice. b) Identificarea cuplelor cinematice; clasificarea acestora. c) Realizarea schemei cinematice a mecanismului. d) Calculul gradului de mobilitate al mecanismului. e) Realizarea schemei structurale a mecanismului. f) Descompunerea schemei structurale în grupe structurale şi

elemente conducătoare, conform principiului lui Assur. g) Descompunerea schemei cinematice în grupe cinematice. h) Desenarea separată a grupelor cinematice.

2. Mersul lucrării a), b), g) Se consideră mecanismul din figura 1.

Fig. 1

Schema cinematică a mecanismului este redată în figura 2. ...

Fig. 2 b) Cuple cinematice ale mecanismului se prezintă în tabelul 1.

138

Tab. 1 Nr. crt.

Cupla Elementele cu care se cuplează

Tipul cuplei cinematice

d) Calculul gradului de mobilitate Mecanismul ... supraconstrâns. Gradul de mobilitate se calculează cu formula... e), f) Schema structurală a mecanismului Cu elementele simbolizate din tabelul 2 se realizează schema structurală din figura 3.

Tab.2 Nr. Element

Elementele cu care se cuplează

Simbol

.....

Fig. 3 Pe schema structurală s-a realizat descompunerea conform principiului lui Assur. S-au identificat grupele cinematice corespunzătoare grupelor structurale şi s-a realizat descompunerea pe schema cinematică din figura 2. Mecanismul se descompune în... elemente conducătoare şi ... grupe assurice:.. g) Desenarea separată a grupelor cinematice. … 3. Concluzii...

139

TEST

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ

LABORATORUL DE MECANISME

Titlul lucrării de laborator: ANALIZA STRUCTURALĂ A MECANISMELOR

Numele studentului: Grupa/Secţia: Data:

Nota obţinută:

1. Realizaţi schema cinematică a mecanismului din figura 1. (se acordă 1 punct pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răspunsul este incorect)

Fig. 1

2. Identificaţi elementele mecanismului din figura 1 şi stabiliţi de ce tip sunt. (se acordă 1 punct pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răspunsul este incorect) 3. Identificaţi cuplele cinematice ale mecanismului din figura 1 şi stabiliţi de ce clasă sunt. (se acordă 1 punct pentru răspunsul corect; se scad 9 puncte dacă răspunsul este incorect) 4. Să se calculeze gradul de mobilitate al mecanismului. Ce reprezintă el? (2 puncte) 5. Să se realizeze schema structurală a mecanismului din figura 1. (1punct) ........................................

140

6. Să se descompună schema structurală conform principiului lui Assur, în element (elemente) conducător (conducătoare) şi în grupe structurale. (1punct) ....................................... 7. Să se descompună schema cinematică conform principiului lui Assur, în element (elemente) conducător (conducătoare) şi în grupe cinematice. (1punct) ..........................................

................................... Observaţii: Se foloseşte notarea diferenţiată. Un punct se acordă din oficiu. În concluzie, studenţii care nu pot identifica cuplele şi elementele cinematice ale mecanismelor, sau nu pot realiza schema cinematică a mecanismului, nu promovează această lucrare de laborator. Bibliografie selectivă 1. Creţu S.M., Dumitru N., Lucrări de laborator la disciplina Mecanisme, Specializarea Tehnologia Construcţiilor de Maşini, Ed. SITECH, Craiova, 2010. 2. Creţu S.M. Note de curs, 2010.

141

3 ANEXE

3.1 ANEXA 1 Realizări practice din cadrul Laboratorului de

Mecanisme

Fig. 3.1.1 Mecanismele carburatoarelor

Fig. 3.1.2 Mecanismul înlocuitor al microgripper-ului cu flexuri în două poziţii: stânga - închis, dreapta - deschis

(Realizare practică - student Iulian Piţa)

142

Fig. 3.1.3 Mecanisme ale ştergătoarelor de parbriz

143

Fig. 3.1.4 Mecanism cu bare cu gradul de mobilitate 2

(Realizare practică - studenţi: Daniel Lică şi Florentina Chiţu)

Fig. 3.1.5 Mecanism cu bare cu gradul de mobilitate 2 cu unică

acţionare (Realizare practică - student Nicolae Dobre)

144

Fig. 3.1.6 Transmisie cu curele şi lanţ

Fig. 3.1.7 Mecanism cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă

145

Fig. 3.1.8 Mecanisme cu came spaţiale

Fig. 3.1.9 Mecanism cu pârghii- elemente componente

146

Fig. 3.1.10 Tren de angrenaje conice

Fig. 3.1.11 Angrenaj melc-roată melcată

147

Fig. 3.1.12 Trenuri de angrenaje

(în serie – stânga, în cascadă - dreapta)

Fig. 3.1.13 Mecanism pentru manevrarea geamului uşii maşinii

148

Fig. 3.1.14 Mecanism pentru manevrarea geamului

a b

Fig. 3.1.15 Cutii de viteze secţionate

149

c d

Fig. 3.1.15 Cutii de viteze secţionate

Fig. 3.1.16 Macara tip M

150

Fig.3.1.17 Mecanism cu elemente cu lungimi variabile

Fig. 3.1.18 Mecanism cu elemente cu lungimi variabile

Fig. 3.1.19 Lanţ cinematic ce formează două figuri echidecompozabile

151

a

b Fig. 3.1.20 Mecanism cu elemente cu lungime variabilă, cu un singur element conducător, provenit din lanţul cinematic din

figura 3.1.19, prin ataşarea elementelor profilate pe cele patru plăcuţe şi acţionarea cu ajutorul cablului

152

REALIZĂRI ALE MEMBRILOR

CERCULUI ŞTIINŢIFIC STUDENŢESC ISTORIA MECANISMELOR ŞI A MAŞINILOR

Facultatea de Mecanică Universitatea din Craiova

153

3.2 ANEXA 2

Standardul Internaţional EN ISO 3952 Standardul Internaţional EN ISO 3952 este structurat în patru părţi, şi anume:

EN ISO 3952-1:1994, EN ISO 3952-2:2001, EN ISO 3952-3:2001, EN ISO 3952-4:2001,

şi stabileşte simbolurile grafice pentru elementele schemelor cinematice ale produselor din ramurile industriei. Aceste simboluri trebuie utilizate în schemele din documentaţiile tehnice, în literatura tehnică şi pedagogică. Standardul internaţional este structurat astfel: Partea 1 1 Mişcarea elementelor componente ale mecanismelor 2 Cuple cinematice 3 Elemente componente şi legăturile lor 4 Mecanisme articulate şi componentele lor Partea 2 5 Mecanisme cu fricţiune şi cu dantură 6 Mecanisme cu camă Partea 3 7 Mecanisme cu cruce de Malta şi cu clichet 8 Cuplaje, ambreiaje şi frâne Partea 4 9 Mecanisme diverse şi componentele lor

154

Extras din Standardul român SR EN ISO 3952-1 Februarie 2001 Indice de clasificare U10

Scheme cinematice SIMBOLURI GRAFICE Partea 1 Standardul menţionat reprezintă versiunea în limba română a Standardului European EN ISO 3952-1: 1994, Scheme cinematice –Simboluri grafice – Partea 1 Elemente componente şi legăturile lor

Reprezentare Simbolul de bază

Simbolul admisibil

Aplicare

Bază (element fix)

Bară, ax, arbore Legătură fixă a

elementelor componente

Legătură fixă a

elementelor componente cu bară

(axul, arborele)

Legătură mobilă a elementelor componente

155

Cuple cinematice Tipul cuplei cinematice

Simbolul de bază Simbolul admis

Cuple cu un grad de libertate Cuplă cilindrică plană (de rotaţie)

Cuplă prismatică

(de translaţie)

Cuplă elicoidală (cu şurub)

Cuple cu două grade de libertate Cuplă cilindrică

spaţială Cuplă sferică cu

deget

Cuple cu trei grade de libertate Cuplă sferică

(articulaţia sferică)

Cuplă plană

Cuple cu patru grade de libertate Cuplă sferico-

cilindrică

Cuple cu cinci grade de libertate Cuplă sferico–

plană