SINTEZ DE CURSdr. ing. OVIDIU SPTAR UNIVERSITATEA ROGER 2004CUPRINSCAP.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE1.1. Sisteme si subsisteme .Definiii. pag.3CAP.2. CARACTERIZAREA GENERAL A SISTEMELOR2.1. Mrimi de caracterizare a elementelor i sistemelor pag.52.2. Reprezentarea sistemelor pag.52.3. Conexiuni fundamentale pag.62.4. Test de verificare pag.13CAP.3. IDENTIFICAREA SISTEMELOR.SISTEME ABSTRACTE3.1. Modele matematice pag.143.1. Probleme pag.21CAP.4.MODELAREA ANALOGIC A SISTEMELOR4.1. Scheme bloc abstracte pag.224.2. Modelarea analogic a sistemelor continue,liniare i invariante pag.234.3. Stabilirea factorilor de scar pag.274.4. Probleme pag.29CAP.5. REPREZENTAREA SISTEMELOR PRIN GRAFURI DE FLUEN5.1. Graful sistemelor abstracte pag.305.2. Transmitana formal a sistemelor monovariabile pag.315.3. Transmitana formal a sistemelor multivariabile pag.325.4. Graful sistemelor abstracte complexe pag.325.5. Construcia grafului plecnd de la schema bloc abstract pag.335.6. Construcia grafului plecnd de la schema electric pag.345.7. Transmitana grafurilor tipice. Teorema lui Mason. pag.355.8. Probleme pag.38CAP.6.RSPUNSULSISTEMELORLINIARESIINVARIANTEUTILIZNDECUAIILE DIFERENTIALE.6.1. Definiii. pag.396.2. Semnale de intrare deterministe fundamentale pag.396.3. Caracterizarea sistemelor n domeniul timpului pag.416.4. Rspunsul sistemelor pag.416.5. Probleme pag.45CAP.7. IDENTIFICAREA SISTEMELOR CU AJUTORUL VARIABILELOR DE STARE7.1. Stare. Noiuni generale. pag.467.2. Ecuaiile de stare ale sistemelor liniare variante i invariante pag.477.3. Probleme. pag.51CAP.8. CARACTERIZAREA SISTEMELOR LINIARE I INVARIANTE N DOMENIUL COMPLEX.8.1. Introducere pag.528.2. Transformata laplace a funcilor de variabil real pag.528.3. Calculul funcilor original pag.538.4. Proprietile transformatei Laplace pag.558.5. Utilizarea transformatei operaionale la calculul rspunsului pag.588.6. Probleme pag.58CAP.9. FUNCII DE TRANSFER9.1. Definiii pag.599.2. Funcia de transfer pag.599.3. Determinarea funcilor de transfer pentru conexiuni tipice pag.609.4. Determinarea ecuailor de stare utiliznd funcile de transfer pag.649.5. Probleme pag.68CAP.10. ANALIZA SISTEMELOR LINIARE INVARIANTE IN DOMENIUL FRCEVENTELOR10.1. Definiii pag.6910.2. Reprezentarea grafic a rspunsului la frecven pag.7010.3. Determinarea experimental a rspunsului la frecven pag.7110.4. Caracteristici logaritmice de frecven pag.7210.5. Probleme pag.72BIBLIOGRAFIE pag.73ANEXE pag.743TEORIA SISTEMELOR CAP.1 NOTIUNI INTRODUCTIVECAPITOLUL 1NOIUNI INTRODUCTIVE1.1. SISTEMEngeneralputemdefiniiunsistemcafiindocoleciedeelementematerialen interaciune,realizatprindoutipuridemrimi:mrimicauzimrimiefect.Caexemplepot fi enumerate aici: sistemul unui vehicul de transport, centrala electric, un echipament de msur digital, computerul, etc.1.2. SUBSISTEMPoatefidefinitsimpluca un sistem ce este n acelai timp parte integrant a altui sistem.Unexemplupoateficonsideratoplacdeachiziiecomponentaunui sistemde prelucrare numeric (calculatorul PC).1.3. ELEMENTUL (SISTEM ELEMENTAR)Unsistemlacarenumaipotfiidentificatesubsistemepoateficonsideratunelement (sau sistem elementar). Exemplu: un transistor bipolar component al unei scheme de amplificare. Conceptele enumeratemai sussunt ngeneral relative, depinzndn general de ceea ce reprezint interes nabordarea problematicii n cauz (in exemplul de mai sus ntr-o abordaremaidiscrettranzistorulbipolarpoateficonsideratlarndulluiunsistemprin structura jonciunilor).1.4. OBIECTUL DISCIPLINEI TEORIA SISTEMELOREvoluiadiferitelortiineafostrealizatngeneralndouetape:prima comport studiul elementelor unor ansambluri (sisteme) ce prezentau interes (sisteme social culturale,socialecologice,tehnice,etc.).Launmomentdataldezvoltriitiinelor cercetareas-a orientatsprentelegereafuncionriiacestorelemetencadrulunuisistem mailarg.Acestestudiiaurelevantfaptulcdiferitelorsisteme,indiferentdedemeniul tiinificde care aparinlesuntpropriiproprieticomune:legistructuraleifuncionale.Conceputcao filozofiea tiineidectreLudwigvonBertalanffynanul1930,teoriasistemeloreste otiina caracteristicilorgeneraleiamodalitilordestudiuasistemelorindiferentde natura acestoradinurm.Sintezadefaseadreseaznprimulrndcelorcarevorlucrandomeniul 4automaticii i al calculatoarelor. 5TEORIA SISTEMELOR CAP.1 NOTIUNI INTRODUCTIVE1.5. PROBLEMELE CE SE CER REZOLVATE IN CADRUL TEORIEI SISTEMELOR1. Studiul posibilitilor de conexiune a elementelor n cadrul unui sistem i modul de organizare a structurii sistemului studiul structurii sistemelor.2. Studiul modului de caracterizare a sistemului utiliznd modele matamatice capabilea exprima relaile cantitative sau calitative ce caracterizeaz funcionarea caracterizarea sistemului.3. Studiulunorproprietinecesarenbunafuncionareaasistemelorstabilitate, repetabilitate, etc.4. Analiza comportrii sistemelor n regim dinamic- analiza sistemelor5. Determinareaproprietilordeconducere(algoritmi,modelematematice,etc.)ale subsistemelorsauelementelorcapabilesasigureobunfuncionareglobal- sinteza funcional a sistemelor.6. Determinareairealizareastructurilorcapabileaasiguraproprietile(algoritmi, modelematematice)subsistemelorsauelementelorcomponentedeteminatenetapa sintezei funcionale- sinteza structural. TEORIA SISTEMELOR CAP.2 ORGANIZAREA GENERAL A SISTEMELOR6 CAPITOLUL 2ORGANIZAREA GENERAL A SISTEMELOR [1]2.1. MRIMI DE CARACTERIZARE A ELEMENTELOR I SISTEMELOR [1].Funcionareaelementelorisistemelorarelabazoseriedelegiiceopereaz cu mrimifizice:vitez,turaie,temperatur,tensiune,etc.Ingenerallaoriceelement sau sistemputemdeosebidoucategoriidemrimi:a)mrimideintrarecarelarndullor pot fi-de conducere dac cu ajutorul lor este modificat controlat starea sistemului i perturbatoare dacelemodificnecontrolatinedoritstareasistemuluiib)mrimideieirece depind directdestareasistemului(potficonsideratecaunefectmrimilordeintrare). Schema convenional de reprezentare a unui sistem este prezentat n fig.2.1.PP1P2P3PmXX1X2X3Y1YY2Y3Xn YKfig.2.1.unde:P=(P1,P2,..Pm)reprezintvectorulmrimilorperturbatoare,X=(X1,X2,..Xn)reprezint vectorulmrimilordeintrare(decontrol)iY=(Y1,Y2,..YK)reprezintvectorulmrimilor de ieire (efect al mrimilor de intrare).2.2. REPREZENTAREA GRAFIC A SISTEMELORPentruuurareareprezentriiinelegeriifuncionriiunuisistem,convenionaleste utilizat reprezentarea de tip schem bloc n urmtorul fel:a) fiecarecomponentasistemului(subsistemsauelement)estereprezentat printr-unsimbolgeometricdreptunghi,cerc,etc,ncaresaualruratsunt trecute denumirea sau funcia elementului.b) Mrimile fizice ce caracterizez sistemul sunt reprezentate printr-un segment orientat (sgeat) orientat spre sau dinspre elementul al creia este cauz -mrime de intrare sau efect-mrime de ieire. YY1YYY U3nc) Elemetelesuntpoziionatenaafelnctssugerezedeplasareafluxului informaional (sau n ordinea n care se influeneaz ntr ele).n fig.2.2. sunt prezentate cteva exemple de reprezentare a elementelor unui sistem.UU1U11U2Y2U3U2U2SIUn UK nElement multivariabil la intrare si la iesire Element cu precizarea relatiei intre marimiY=U1+U2+...UnElement cu precizarea relatiei intre marimiY=U1U2...Unfig. 2.2.In fig. 2.3. este prezentat un exemplu de reprezentare in schema bloc a sistemelor:U1ELEMENTUL 1U1ELEMENTUL 2U1Y1=U2Y2 =U3Y3ELEMENTUL 3fig.2.32.3. CONEXIUNI FUNDAMENTALE ALE ELEMENTELOR IN CADRUL SISTEMELOR2.3.1.CONEXIUNEA SERIEDin punct de vedere funcional mrimea de intrare a conexiunii este mrime de intrare pentru primul element, mrimea de ieire a unui element este mrime de intrare pentru elementul urmtor: U=U1;Y1=U2;Y3=U3;.....Yn=YU1Y1=U2ELEMENTUL 1 ELEMENTUL 2Y2 =U3Yn-1=UnELEMENTUL nYn=Yfig.2.32Exemplu: Funcionarea unui bloc de redresare bialternan in punte:U1Y1=U2REDRESORTRAFO 220V/24VBIALTERNANTAY2=U3FILTRUY3=U4U1U2U3U4U1 Tensiunea de alimentare a primarului transformatorului 220V/50HzU2 Tensiunea din secundarul transformatorului 24V/50HzU3Tensiunea redresata(pulsatorie)U4 Tensiunea filtrata2.3.2.CONEXIUNEA PARALEL.fig. 2.4.ConexiuneaesterealizatcndmrimeadeintrareUestecomunsimultantuturor elementelor,iarmrimeadeieireestesumaalgebricamrimilordeieireaelementelor:nY YKK 1unde YKsunt mrimile de ieire a elementelor.U1U U2UnY1ELEM.1Y YELEM.2ELEM.nYnfig.2.5RRCExemplu: Circuitul sumator cu amplificator operaional+UpELEM.1R1SUMATORRa1D1Y1R01Y2R202AOYYK-UpR0Kfig. 2.6.2.3.3.CONEXIUNEA CU REACTIEPrincipiul acestei conexiuni const n faptul c mrimea y de la ieirea unui element se transmite direct sau prin intermediul unui element la intrarea elementului considerat acionnd asupraacestuianacelaisenssaunsenscontrar(reacianegativ)aciuniimrimii de intrare u. Conform fig. 2.7 mrimea de intrare a elementului cu reacie al conexiunii va fi:=u+r. In acest caz mrimea y de ieire a conexiunii depinde direct de : y=f().USYrRfig. 2.7Conexiunile cu reacie sunt realizate pentru:- liniarizareacaracteristicilorstaticealeelementelor,sauobinereauneirelaiineliniarede form dorit ntre intrare i ieire.- Mrirea sau micorarea coeficientului de transfer A=Y/U- atenuarea efectului perturbaiilorExemplu: Caracteristica dinamic a amplificatorului integrator cu amplificator operaional;1TU 0 y U i (t)dt + U 01 (t)0CUIRUO+fig.2.82.3.4. REDUCEREA PERTURBATIILOR PRIN REACTIA NEGATIVReacia negativ constituie un principiu des utilizat n realizarea unor sisteme automatecusensibilitatesczutlaperturbaii.Pentruexplicareaacestui fenomen se considerprezentatformalnschemadinfig.1-13,unde:x-mrimeadeintrare (de execuie),y-mrimeadeieireizmrimeaperturbatoare.Inexempluldefadependenele intre mrimeadeieireimrimeaperturbatoare(fig.)respectivntremrimeade ieirei mrimea de intraresunt prezentate n fig.Dacconsidermregimuliniialcu:z=0,x=X0 imrimeadeieirey0,sepoate evidenia faptul c la o variaie a mrimii perturbatoare cu z la ieire apare o variaie; yz=-KZz.Dac sistemuluiiserealizeazoreacienegativvomavear=Kry.Conformfig.1.15 m=x-rsau m=x-Kry.In cazul apariiei unei mrimi perturbatoare z 0 i n prezena reaciei se modific i y dar i R i m dup cum urmeaz:Y z,m Y z + Y m K Zz + Kmm K zz + Km( + r)Dar pe de alt parte dac avem: x=0 i r=KRyK ZzRezult: Y z,m K Zz + Km[0 KR(Y z,m )] , de unde: Y z,m 1+ KmKRComparnd ultima relaie cu faptul c yz=-KZz rezult: n prezena reaciei negative, variaiay, la aceeai variaie z a mrimii perturbatoare, este de (1+KmKR) mai mic dect variaia yce are loc n lipsa reaciei negative.Concluzie:asigurndvalorimaripentru(1+KmKR),abatereaieiriilainfluenamrimilor perturbatoare poate fi orict de mic.2.3.5. STRUCTURI TIPICE ALE SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT.Aplicnd n general principiul reaciei negative datorit posibilitii acestuia de reducereaefectuluimrimilor perturbatoare,sepotconstruischemeblocdesistemedereglare automat care s cuprind o serie de elemente considerate convenionale (principiul Watt) can fig. 2.9.YEP EC- rCM YEI RAEEIEIEMfig.2.9.Unde: EP- element de prescriere a mrimii de realizat y a mrimii reglate y; EM- element de msurare a mrimii reglate y; EC- element de comparare a valorii reglate y cu cea prescrisy;EE-elementedeexecuieceintervininsisteminsensulreduceriiabaterii;R-regulatorul automatsaucompensatorulcurolulasigurriicalitiistatice(comportamentulnregim staionar)idinamice(comportamentulnregimtranzitoriu)asistemuluiiEI-elemente intermediaredeadaptareanaturiifiziceavaloriloriputerilorsemnalelorelementelor din sistem unele fa de celelalte.Structura general a sistemelor complexe de reglare automat este prezentat n fig.2.10.2.3.6.MARIMICARACTERISTICEALESISTEMELORDECONDUCERESIREGLARE AUTOMATA.Formal se consider aceste mrimi ca fiind componente ale unor funcii vectoriale multidimensionale:a)vectorulmrimilorcondusevaloarealorreprezintscopulsistemuluicondus(exprimstarea obiectelor supuse conducerii)

y1(t) 1

1Y(t)

y2(t)1

.1

1yp(t)]b)vectorul mrimilor de conducere acioneaz direct asupra sistemului condus.

m1(t) 1

1M(t)

m2(t)1

.1

1mr (t) ]c) vectorulmrimilor perturbatoareacioneazdirect asuprasistemului condusdinexterior nedorit i de cele mai multe ori necontrolat.

z1(t) 1

1Z(t)

z2(t)1

.1

1zi(t) ]d)vectorul variabilelor de conducere acioneaz direct asupra sistemului condus din exterior in sensul dorit de operator.

u1(t) 1

1U(t)

u2(t)1

.1

1UECrREGULATOR PE IESIRESISTEM REGLATSISTEM DE MASURAREur (t) ]YUECrREGULATOR PE INTRARESISTEMYREGLATSISTEM DE MASURARESISTEM DE REGLARE MULTIVARIABILCU REACTIE SI REGULATOR DUPA IESIREfig.2.10SISTEM DE REGLARE MULTIVARIABILCU REACTIE PE IESIRE SIREGULATOR PE INTRARE2.3.7.CLASIFICAREA SISTEMELOR DUP STRUCTUR.a)sisteme cu structur deschis: sunt sisteme la care ieirile sau mrimile de stare nu influeneaz funcionarea global a sistemului.(fig.2.11a).b)sistemecustructuranchis:suntsistemelacareieirilesaumrimiledestareinflueneaz funcionarea global a sistemului prin reacie.(fig.2.11b).US1YS2 S4S3A)Y U S2 S4S3S1 S1B)fig. 2.112.3.8.CLASIFICAREA SISTEMELOR DUP MODUL DE VARIATIE A SEMNALELOR.Este considerat cea mai complet deoarece dup modulde variaie a informaiei (a semnalelor) depinde aparatul i metoda de studiu a sistemului (fig.2.12).a) sisteme continue: sunt considerate sistemele la care mrimile de ieire, variabile fiind potaveanfunciedevariaiamrimilordeintrare,oricevaloarentr-uninterval oarecare a mrimilor reale.b) sistemediscrete:sistemelecarendiferitemoduridefuncionarepotaveaunnumr finit de valori (sisteme discrete dup nivel-cu elemente numerice sau cu numr finit de stri- automatele seveniale).c) sistemeliniare:efectulmaimultoraciunisimultaneesteegalcusumaefectelor aciunior respective luate individual principiul superpoziiei aciunilor.d)sisteme neliniare: nu este valabil principiul superpoziiei.e)sisteme variante sau invariante: dup cum reacioneaz la fel sau nu ntodeauna la aceleai mrimi cauz.f) sisteme cu semnale deterministe: variaia semnalelor poate fi determinat n funciede cauz i sisteme cu semnale aleatoare la care aceast determinare nu poate avea loc.SISTEMELINIARECONTINUENELINIARELINIAREDISCRETENELINIAREVARIANTEINVARIANTEVARIANTEINVARIANTEVARIANTEINVARIANTEVARIANTEINVARIANTEfig.2.122.4. TESTE DE VERIFICARE A CUNOTINELOR.1.CaresuntproblemelecesecerafirezolvateiclarificatencadrulTeorieiSistemelor2.Careestereprezentareaconvenionalnschemeblocaconexiunilorseriei paralel a elementelor i sistemelor.3.Din cadrul circuitelor electronice dai exemple de sisteme n conexiune serie i paralel.4.Demonstraifaptulcreacianegativarecaefectireducereaperturbailor externe i interne unui sistem.5.Care sunt principalele elemente ale unui sistemde reglare automat cu reaciedup ieire.6.Realizai o clasificare general a sistemelor dup structura lor.7.Realizai o clasificare general a sistemelor dup modul de variaie a semnalelor.8.n ce const sinteza funcional a sistemelor.9.Ce realizm prin caracterizarea sistemelor.10.Definii obiectul disciplinei Teoria sistemelor.17TEORIA SISTEMELOR CAP.3 IDENTIFICAREA SISTEMELOR. SISTEME ABSTRACTECAPITOLUL 3IDENTIFICAREA SISTEMELOR. SISTEME ABSTRACTEIncadrulteorieisistemelorunadinproblemelecelemaiimportantederezolvat este gsirearelaiilorcesestabilescntremrimiledeintrareiceledeieire.Rezolvarea acesteiproblemeseface prinabstractizareasistemelorreale, nlocul acestora operndu-secu relaii (nu cu funcii) care au diferite forme: ecuaii i sisteme de ecuaii, grafice de interdependen,funciidetransfer,grafuriischemeblocabstracte. Scopulprincipalalacestuistudiuestedeagsiexprimareacorecta comportamentului sistemelor, adic determinareavariabilelordeieireYpentrut=(t0,tn) cndsuntdatesetuldevariabilede intrare U pentru acelai inteval de timp.3.1. MODELUL MATEMATIC[1]Relaiilececaracterizeazunsistemabstractconstituiemodelulabstractalacestuia.Decelemaimulteoriacesterelaiisuntdefaptrelaiimatematicefaptceimplicautilizarea termenului de model matematic intrare-ieire (MMII) al unui sistem. Procesul de determinareamodeluluimatematicalunuisistempoartdenumireadeidentificare,maijosfiind prezentat un prim exemplu:3.1.1. METODE TEORETICE DE IDENTIFICAREExemplul.1[1] PentrucircuitulRLdinfig.3.1.ncareRiLsuntvalorile rezistenei, respectivinductaneibobineiiarUi(t)estetensiuneadeintrareiU0(t)- tensiuneadeieire, vom cuta s gsim relaia intrare-ieire ce caracterizeaz sistemul.LIUi RU0fig.3.1.Aplicnd teoreme lui Kirchoff n cele dou ochiuri de reea vom avea: 18TEORIA SISTEMELOR CAP.3 IDENTIFICAREA SISTEMELOR. SISTEME ABSTRACTEU (t) L dI(t) + RI(t)idtU0 (t) RI(t)Prin eliminarea lui I(t) rezult:U (t) LdU0 (t) + U(t)iR dt0U (t) L U'(t) + U(t)iR0 03.1.2. METODE EXPERIMETALE DE IDENTIFICARE3.1.2.1 Determinarea MMII pentru elementele liniare aperiodice de ordin 1Considerm MMII al unui sistem adus la forma: TY+Y=KU unde T este o constant temporal.Dac la intrare se aplic un semnal treapt (fig.2.2a):USemnalA)treapta0TYSemnal raspuns0 Tfig.3.20, t