teoria sistemelor Şi reglare automatĂ cap. 8-12 lectii curs cap 8... · teoria sistemelor Şi...

Constantin MARIN Dan POPESCU

TEORIA SISTEMELOR ŞI REGLARE AUTOMATĂ Cap. 8-12

LECTII CURS

CRAIOVA 2007

8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.1. Structura generală a unui sistem de conducere DE REGLARE AUTOMATĂ

196

(Element de (Marimi de

execuþie)

Sistem de transmitere ßi aplicare a comenzilor

execuþie)

Obiect

(Dispozitiv de conducere)

( Regulator )

conducátor

automatizatá)

Obiect condus

(Instalaþie(Comenzi)

Decizii Marimicomandate

Program

Criterii de calitate;Restricþii

Perturbaþii

Márimi de calitate

Perturbaþii másurateMárimi de procesmásurate

Márimi másurateMárimi de reacþie Sistem informatic(Traductoare)

Circuitul ínchis al informaþiilor

8. STRUCTURI ŞI LEGI DE REGLARE AUTOMATĂ 8.1. Structura generală a unui sistem de conducere În orice sistem de conducere, în particular, de conducere automată, se deosebesc urmatoarele patru elemente interconectate ca în Fig.8.1.1: a. Obiectul condus (instalaţia automatizată) b. Obiectul conducător (dispozitivul de conducere) c. Sistemul de transmitere şi aplicare a comenzilor (deciziilor) d. Sistemul informatic (de culegere si transmitere a informaţiilor privind obiectul condus).

Figura nr.8.1.1.

Obiectul conducător (dispozitivul de conducere) elaborează decizii (comenzi) care se aplică obiectului condus, prin intermediul elementelor de execuţie, pe baza informaţiilor obţinute despre starea obiectului condus prin intermediul mărimilor măsurate. Deciziile de conducere au ca scop îndeplinirea de către marimea condusă a unui program în condiţiile îndeplinirii (extremizării) unor criterii de calitate, a satisfacerii unor restricţii, când asupra obiectului condus acţionează o serie de perturbaţii. Structura de mai sus este o structură de conducere (sau în circuit închis) deoarece deciziile (comenzile) aplicate la un moment dat sunt dependente şi de efectul deciziilor anterioare. Aceasta exprimă circuitul închis al informaţiilor prin mărimile de reacţie: fenomenul de reacţie sau feedback. Dacă lipseşte legătura de reacţie sistemul este în circuit deschis şi se numeşte sistem de comandă (în particular, de comandă automată). O astfel de structură se întâlneşte în cele mai diverse domenii de activitate:

8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.1. Structura generală a unui sistem de conducere DE REGLARE AUTOMATĂ

197

tehnic, biologic, social, militar etc., în cele ce urmează referindu-ne însă numai la cele tehnice. Un sistem de conducere în structura de mai sus se poate numi sistem de conducere automată deoarece este capabil să elaboreze decizii de conducere folosind mijloace proprii de informare. Un caz particular de sisteme de conducere automată îl constituie sistemele de reglare automată (SRA). Prin sistem de reglare automată se înţelege un sistem de conducere automată la care scopul conducerii este exprimat prin anularea diferenţei dintre mărimea condusă (reglată) şi mărimea impusă (programul impus), diferenţă care se mai numeşte abatere sau eroarea sistemului. La cele mai multe sisteme de reglare automată mărimea reglată este chiar mărimea măsurată. Pentru calculul unui sistem de reglare automată sunt necesare informaţii referitoare la cele patru componente de bază de mai sus: comportare (intrare-ieşire sau intrare-stare-ieşire), structură, tehnologie de realizare, condiţii de funcţionare precum şi informaţii asupra sistemului în ansamblu:criterii de calitate şi performanţe, restricţii, programe de realizat etc. Procesul de anulare a erorii într-un SRA se efectuează folosind două principii: 1. Principiul acţiunii prin discordanţă (PAD) 2. Principiul compensaţiei (PC) În cazul PAD, acţiunea de reglare apare numai după ce abaterea sistemului s-a modificat datorită variaţiei mărimii impuse sau a variaţiei mărimii de ieşire provocată de variaţia unei perturbaţii. Deci, întâi sistemul se abate de la program ("greşeşte") şi apoi se corectează. Este realizat prin circuitul de reacţie inversă. Are avantajul compensării efectului oricăror perturbaţii. În cazul PC, una sau mai multe mărimi perturbatoare sunt măsurate şi se aplică la elementele de execuţie, comenzi care să compenseze pe această cale efectul acestor perturbaţii asupra mărimii de ieşire transmis pe cale naturală. Are avantajul că poate realiza, în cazul ideal, compensarea perfectă a anumitor perturbaţii fără ca marimea de ieşire să se abată de la programul impus. Are dezavantajul compensării numai a anumitor perturbaţii, nu a oricăror perturbaţii. Un sistem de reglare care îmbină cele doua principii se numeşte sistem de reglare combinată.

8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.2. Sisteme de reglare convenţională DE REGLARE AUTOMATĂ

198

8.2. Sisteme de reglare convenţională (SRC) 8.2.1. Structura SRC Prin sistem de reglare convenţională (SRC) se înţelege un sistem de reglare automată cu o singură intrare, o singura ieşire la care informaţia despre realizarea programului de reglare este exprimată numai prin eroarea (abaterea) sistemului ca diferenţa între mărimea impusă si mărimea de reacţie. Structura generală a unui sistem de reglare convenţională este prezentată în Fig.8.2.1. unde se evidenţiază denumirea elementelor şi mărimilor componente.

Figura nr.8.2.1.

Prin diferite exemple concrete se va ilustra modul de funcţionare a unui astfel de sistem precum şi modul de deducere a schemei bloc pornind de la schema funcţională a sistemului. Pentru clarificarea unor aspecte referitoare la dimensiunea unor mărimi şi la interpretarea unor transformate Laplace se recomandă observaţiile din paragraful 8.2.3. Elementele componente ale unui SRC a. Instalaţia tehnologică (IT): Reprezintă obiectul supus automatizării în care mărimea de ieşire ITy este mărimea care trebuie reglată iar mărimea de execuţie este una din mărimile de intrare aleasă ca mărime de comandă a ieşirii. Restul mărimilor de intrare, care nu pot fi controlate în această structură capătă statutul de perturbaţii. Alegerea mărimii de execuţie se face pe baza urmatoarelor criterii principale: - posibilitatea modificării ieşirii în domeniul cerut când perturbaţiile acţionează în limite cunoscute; - posibilitatea modificării ei printr-un element de execuţie convenabil; - respectarea unor considerente tehnologice.


199

Dependenţa intrare-ieşire prin model liniar este exprimată de relaţia

( ) ( ) ( )K

q

IT IT IT ITP kk 1

Y s H s U s H (s)P (s)=

= + ∑ (8.2.1)

unde K

ITIT P (s) 0,cond.init. nule

IT(s)

Y (s)H (s)U ==

este funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice în raport cu mărimea de comandă, iar

Pk IT

j

ITIT U (s) 0

kP (s) 0, j k, c ond..init..nule

Y (s)H (s)P (s) ≡

≡ ≠

=

este funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice în raport cu perturbaţia. b. Elementul de execuţie (EE): Realizează legătura între regulator şi instalaţia tehnologică având mărimea de intrare EEU identică cu mărimea de ieşire din regulator RY şi mărimea de ieşire EEY identică cu mărimea de intrare în instalaţia tehnologică. Majoritatea elementelor de execuţie se pot considera alcătuite din conexiunea serie a două obiecte: elementul de comandă care realizează de obicei amplificarea în putere şi organul de reglare cuprinzând ansamblul de elemente ce realizează modificarea mărimii de intrare în instalaţia tehnologică. În cazul liniar realizează relaţia EE EE EEY (s) H (s).U (s)= ,

cu funcţia de transfer EEH (s) . c. Traductorul (Tr). Converteşte mărimea fizică reglată într-o mărime r, denumită mărime de reacţie, având aceeaşi natură cu mărimile din blocul regulator. În cazul liniar realizează relaţia Tr ITR(s) H (s).Y (s)= ,

cu funcţia de transfer TrH (s) . d. Regulatorul (R): Ca şi componentă a SRA reprezintă elementul care prelucrează eroarea ε şi realizează mărimea de comandă RY în conformitate cu o aşa numită lege de reglare prestabilită în scopul îndeplinirii sarcinii fundamentale a reglării: anularea erorii sistemului. Ideal, această sarcină presupune reproducerea fidelă a mărimii impuse şi rejecţia totală a tuturor perturbaţiilor. Ca aparat, de cele mai multe ori, blocul regulator înglobează şi elementul de comparaţie.


200

e. Dispozitivul de prescriere (DP): Realizează mărimea impusă v compatibilă cu mărimea de reacţie r . Acest bloc poate fi realizat într-un dispozitiv separat sau inclus în blocul regulator. Elementele cu structura din Fig.8.2.1. constituie o aşa numită buclă de reglare. În practică, o buclă de reglare este prevăzută şi cu o serie de elemente auxiliare: aparate indicatoare sau înregistratoare, elemente de comandă de la distanţă, elemente de cuplare la un calculator de proces. Trebuie remarcat faptul că structura SRA de mai sus şi problemele de analiză şi sinteză care vor fi dezvoltate ulterior sunt aceleaşi indiferent de tehnologia de realizare a echipamentelor de automatizare (electronice, pneumatice, numerice prin calculator de proces). Referitor la un SRC se definesc următoarele noţiuni: 1. Circuitul direct: Circuitul direct este constituit din ansamblul elementelor cuprinse între abaterea ε şi marimea reglată ITY .Pentru sisteme liniare este caracterizat prin aşa numita funcţie de transfer în circuit direct,

DR EE ITH (s) H (s)H (s)H (s)= (8.2.2)

2. Circuitul deschis: Circuitul deschis este constituit din elementele cuprinse între eroare şi mărimea de reacţie, pentru sistemele liniare fiind caracterizat prin aşa numita funcţie de transfer în circuit deschis

d DR EE IT Tr TrH (s) H (s) H (s) H (s) H (s) H (s) H (s)= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (8.2.3)

Întotdeauna se consideră că un sistem "se deschide" întrerupând circuitul invers de la mărimea de reacţie r. 3. Partea fixă (fixată) a sistemului: Partea fixă (fixată) a sistemului este constituită din elementele care în procesul de sinteza a SRA se dau ca date iniţiale. Partea fixă este constituită din: instalaţia tehnologică, elementul de execuţie şi traductor. Odată precizate mărimea reglată şi mărimea de execuţie, traductorul şi elementul de execuţie se aleg din considerente tehnico-economice astfel ca proiectarea SRC se reduce la calculul legii de reglare şi proiectarea dimensional-valorică a regulatorului. Pentru sisteme liniare, este utilizată funcţia de transfer a părţii fixe F EE IT TRH (s) H (s) H (s) H (s)= ⋅ ⋅ (8.2.4)

astfel că funcţia de transfer în circuit deschis este

dR FH (s) H (s) H (s)= ⋅ (8.2.5)


201

4. Structura echivalentă a unui SRC cu reacţie directă Pentru a unifica proiectarea pentru o diversitate de instalaţii, se consideră că mărimea de ieşire din sistem este mărimea de reacţie astfel că circuitul de reacţie este direct iar în circuitul deschis apar numai două elemente: regulatorul şi partea fixă a sistemului ca in Fig.8.2.2.

Figura nr.8.2.2. Într-o astfel de structură scopul este reglarea mărimii de reacţie r cât mai aproape de v, aparent fără legătură cu mărimea fizică ITy care însă poate fi reobţinută, în schema de calcul, considerând un element cu funcţia de transfer

Tr1/ H (s) iar în practică poate fi observată pe gradaţia unui aparat înregistrator sau indicator conectat la ieşirea din traductor adică la mărimea de reacţie. Performanţele impuse asupra mărimii ITy sau erorii fizice f f

ITe v y= − , pot fi transpuse asupra mărimii y=r sau erorii e=v-y ţinând cont de dependenţa în regim staţionar f

Tr IT Trr K y ,e K e= = . Dacă traductorul are o comportare dinamică mult diferită de aceea a unui element nedinamic această transpunere a performanţelor nu se mai poate face algebric (cu excepţia celor în regim staţionar). În acest caz se poate utiliza schema echivalentă cu reacţie directă având ca marime de ieşire chiar mărimea reglată ITy ca în Fig.8.2.3.

Figura nr.8.2.3.

Chiar dacă nu există fizic o mărime vf, în schema de mai sus

fTrV (s) 1/ H (s)V(s)= exprimă acea mărime care prin intermediul traductorului

determină mărimea v.


202

8.2.2. Relaţii în SRC Considerând perturbaţiile deplasate la ieşire, structura din Fig.8.2.2. este echivalentă cu structura din Fig.8.2.4.

Figura nr.8.2.4.

Răspunsul părţii fixe a sistemului,

k

q

F F Fp kk 1

Y(s) H (s)U (s) H (s) P (s)=

= + ⋅∑ (8.2.6)

în care HF(s) este funcţia de transfer a părţii fixe şi exprimă dependenţa dintre mărimea de execuţie uF şi mărimea de ieşire y iar

PkFH (s) este Funcţia de transfer a părţii fixe în raport cu perturbaţia kp .

k F jFp U (s) 0; P (s) 0, j k, cond..init..nule

k

Y(s)H (s) |P (s) ≡ ≡ ≠= (8.2.7)

Deoarece în circuit închis F RU (s) H (s) E(s); E(s) V(s) Y(s)= ⋅ = − ,

se obţine Expresia ieşirii sistemului în circuit închis,

k

q

v p kk 1

Y(s) H (s) V(s) H (s) P (s)=

= ⋅ + ⋅∑ (8.2.8)

unde s-au definit: Funcţia de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă ,

k

dR F

v v P (s) 0, k 1:qdR F

H (s) H (s)H (s) Y(s)H (s) ; H (s) |1 H (s) H (s) V(s)1 H (s) ≡ =

⋅= =

+ ⋅+

(8.2.9)


203

Funcţia de transfer în circuit închis în raport cu perturbaţia kp ,

k

k k V(s) 0

j

Fpp pd

k P (s) 0, j k

H (s) Y(s)H (s) ; H (s) |P (s)1 H (s) ≡

= ≠

=+

(8.2.10)

Expresia erorii sistemului în circuit închis,

k

q

EC p kk 1

E(s) H (s) V(s) H P (s)ε

=

= ⋅ + ⋅∑ (8.2.11)

unde s-au definit: Funcţia de transfer a elementului de comparaţie în circuit închis.

kEC v EC P (s) 0d

1 E(s)H (s) 1 H (s); H (s) |V(s)1 H ≡= = −

+ (8.2.12)

Aceasta exprimă dependenţa dintre eroareaε şi mărimea impusă v, în circuit închis. Funcţia de transfer a elementului de comparaţie în raport cu perturbaţia

k

k k k V(s) 0

j

Fpp p p

d k P (s) 0, j k

H (s) E(s)H (s) H (s) ; H (s) |1 H P (s) ≡

ε ε

= ≠

= − = −+

(8.2.13)

Expresia mărimii de comandă în circuit închis,

k

q

R R C Cp kk 1

Y (s) H (s) E(s) H (s) V(s) H (s) P (s)=

= ⋅ = ⋅ + ⋅∑ (8.2.14)

unde s-au definit: Funcţia de transfer de comandă în circuit închis în raport cu mărimea impusă

k

R RC R EC C P (s) 0d

H (s) Y (s)H (s) H (s) H (s) ; H (s) |E(s)1 H (s) ≡= ⋅ =

+ (8.2.15)

Funcţia de transfer de comandă în circuit închis în raport cu perturbaţia kp

k

k k k V(s) 0

j

R p RCp R p Cpd

k P (s) 0, j k

H (s) H (s) Y (s)H (s) H (s) H (s) , H (s) |P (s)1 H (s) ≡

ε

= ≠

⋅= ⋅ = − =

+

(8.2.16) Cunoaşterea expresiei sau a limitelor de variaţie a mărimii de comandă Ry este importantă pentru a evidenţia menţinerea valabilităţii modelului matematic liniar, cunoscut fiind faptul că la mărimea de comandă (la ieşirea din regulator sau la intrarea în elementul de execuţie) apar limitări de tip saturaţie.


204

8.2.3. Observaţii şi precizări privind reprezentarea variabilelor 1. Mărimea de ieşire ITy din Fig.8.2.2. este o mărime fizică dimensională: C° ; Bar; Volt, după cum aceasta este o temperatură, presiune, tensiune electrică

iar mărimea de reacţie r are dimensiunea mărimii de ieşire din traductor. Prin urmare şi mărimile v şi ε au o aceeaşi dimensiune ca şi r deoarece apar în relaţie aditivă. Dacă sistemul are un dispozitiv de prescriere, acesta este prevăzut cu un buton de comandă a cărui scală este gradată în unităţi ale mărimii fizice reglate

ITy . Valoarea indicată de poziţia butonului de prescriere reprezintă mărimea fizică impusă fv . Evident, dependenţa dintre v şi fv este aceeaşi ca şi aceea între ITy şi r, fiind în regim staţionar f

TrV K V= , unde Tr TrK H (0)= este factorul de amplificare de poziţie al traductorului şi are dimensiunea [r]/[ ITy ]. De exemplu, dacă mărimea de ieşire din traductor r este o intensitate de curent între [4,20]mA care corespunde variaţiei mărimii fizice reglată ITy , de exemplu o temperatură în domeniul [20,180] C° , atunci, în ipoteza de liniaritate,

TrK =(20-4)/(180-20)=1/10 mA/ C° . În acest caz mărimea impusă fv exprimă o temperatură (marcată la dispozitivul de prescriere sau la un aparat indicator)

(V 4)(mA)( C) 20( C) mA0.1( )C

−θ = +

iar eroarea ε reprezintă un număr de mA care corespunde unei diferenţe de temperatură

fIT

(mA)v y mA0.1( )C

δ∆θ = − = .

Se poate defini şi eroarea (abaterea) în unităţi fizice,

f fIT

Tr

1v yK

ε = − = ε

dar această mărime este o mărime de calcul, şi nu întotdeauna poate fi reprezentată printr-o mărime fizică purtătoare de informaţie (tensiune, intensitate de curent, etc.). 2. Dacă anumite elemente sunt liniare invariabile în timp sau în anumite condiţii pot fi descrise prin elemente liniare, comportarea intrare-ieşire este descrisă prin operatorul funcţie de transfer, care redă numai răspunsul forţat.

8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem de reglare a poziţiei unghiulare DE REGLARE AUTOMATĂ

205

8.3. Sistem de reglare a poziţiei unghiulare 8.3.1. Prezentarea schemei funcţionale Se consideră sistemul de reglare a poziţiei unui ax din Fig.8.3.1., acţionat cu un motor de curent continuu.

Figura nr.8.3.1. Prin acest sistem de reglare automată se realizează egalitatea dintre valoarea unghiului axului (al unui organ de lucru) eα şi valoarea dorită iα a acestui unghi exprimată prin poziţia cursorului unui potenţiometru, în condiţiile în care un cuplu rezistent rC poate modifica valoarea unghiului eα prin ambreiajul prevăzut. Se presupune că reductorul mecanic are un factor de reducţie mare aşa fel încât Cr nu afectează viteza de rotaţie ω a motorului de c.c. Datorită ambreiajului relaţia dintre unghiul axului de lucru eα şi unghiul axului de ieşire din reductorul mecanic mα este

e m p(t) (t) (t)α = α + α (8.3.1)

sau în domeniul complex

[ ]s m p e eA (s) A (s) A (s) A (s) L (t),etc.= + = α , (8.3.2)

unde prin pα s-a notat deviaţia unghiulară provocată de rC în ambreiaj.

8.3.2. Descrierea comportării sistemului Comportarea unui astfel de sistem poate fi exprimată calitativ, în cuvinte astfel: În regim staţionar, dacă există un astfel de regim, unghiul eα este constant ceea ce implică viteza de rotaţie 0ω = care implică o valoare a tensiunii la bornele rotorului motorului Um=0 şi o tensiune la intrarea amplificatorului de putere Ua=0 care implică la rândul ei egalitatea dintre tensiunea prescrisă v şi tensiunea de reacţie r adică egalitatea dintre unghiurile eα şi iα dacă potenţiometrele prin care se generează mărimea prescrisă şi cea de reacţie sunt identice şi alimentate la aceeaşi tensiune.


206

Se are în vedere că amplificatorul operaţional este conectat "în montaj diferenţial" şi realizează relaţia

2a

1

Ru (s) [v(t) r(t)]R

= − , (8.3.3)

în domeniul timp, sau în domeniul complex,

2a

1

RU (s) [V(s) R(s)]R

= − (8.3.4)

Evoluţia în timp a sistemului se caracterizează prin urmatoarele trei tipuri de regimuri de funcţionare: *. Regimul staţionar, există (este definit) când toate mărimile din sistem sunt constante în timp. **. Regimul permanent, este determinat de variaţia în timp a mărimilor de intrare: mărimea prescrisă şi perturbaţiile. Regimul permanent se evidentiază distinct după anularea ("stingerea") regimului tranzitoriu dacă acest lucru este posibil (sistem stabil). În cazul sistemelor neliniare, regimul permanent poate fi reprezentat şi de aşa numitele "oscilaţii intreţinute". ***. Regimul tranzitoriu, este determinat de dezechilibrele din sistemele dinamice. Regimul tranzitoriu este determinat atât de variaţia mărimilor de intrare cât şi de condiţiile iniţiale nenule. Acestea din urmă pot apare echivalent şi datorită modificării valorilor unor parametri ai sistemului. Se vor prezenta trei tipuri de regimuri tranzitorii în funcţie de cauzele care le-au determinat: I. Regimuri tranzitorii care apar în urma variaţiei treaptă a mărimii impuse. Acestea pot fi urmărite in Fig.8.3.2. II. Regimuri tranzitorii care apar în urma variaţiei treaptă a unei perturbaţii. Acestea pot fi urmărite în Fig.8.3.3. III. Regimuri tranzitorii care apar în urma modificării valorii unui parametru al sistemului. Acestea sunt de acelaşi tip ca cele din Fig.8.3.3. Să notăm valorile mărimilor caracteristice în regimul staţionar iniţial cu indicele "0" superior, adică,

0 0 0 0e i m; 0;u 0α = α ω = = şi 0 0 0 0 0 0 0

e m p 1 i 1 e;v K r Kα = α + α = α = = α (8.3.5)

Tipul I. (Fig.8.3.2.). Dacă mărimea impusă (prescrisă) iα se modifică la o valoare 1 0

i iα > α atunci rezultă au 0> care determină mu 0> şi rotirea motorului cu o viteză 0ω > astfel că unghiul eα creşte spre valoarea 1

iα când apare eventual un nou regim staţionar.


207

În practică pot apare urmatoarele situaţii: Cazul a. Dacă raportul R 2 1K R / R= este mic, la o abatere

1 1 1i e RK (v r)ε = α − α = ⋅ − (8.3.6)

rezultă tensiunile ua si um de valori mici; motorul se va roti foarte încet şi unghiul eα se apropie încet de valoarea iα fără să depăşească noua valoare impusă 1

iα ;

Cazul b.

Dacă raportul R 2 1K R / R= este mai mare decât o valoare 1RK şi mai mică

decât o valoare limită limRK , motorul se va roti cu o viteză mai mare şi unghiul

eα atinge repede valoarea 1iα , însă, datorită inerţiei mecanice a reductorului şi

motorului sau a inerţiei electrice a amplificatorului şi motorului, unghiul eα va depăşi valoarea 1

iα rezultând o depăşire maximă

1 1 1 1 1max e max i max max; 0σ = α − α ε = −σ < , (8.3.7)

astfel că se obţine o tensiune ua<0 ce determină rotirea motorului în sens invers astfel că unghiul eα va scade însă nu se va opri la valoarea 1

iα ci o va depăşi în jos la o valoare 2 1

e max iα < α rezultând o depăşire maximă 2 2 1

max e max iσ = α − α şi 2 2max max 0ε = −σ > ; 2 1

max maxσ < σ . (8.3.8)

Când 1e iα < α tensiunea ua>0 şi motorul se va roti iar în sensul creşterii

unghiului eα rezultând 3e, maxα cu 3 2

max maxσ < σ . Un astfel de regim de funcţionare se numeşte "regim oscilant amortizat"; Cazul c. Dacă raportul R 2 1 R limK R / R K= ≥ , depăşeşte o anumită valoare limită R limK , comportarea sistemului este ca in cazul "b" dar,

1 2 3max max max ...σ < σ < σ <

Valorile extreme ale tensiunii ua (pozitive sau negative) sunt din ce în ce mai mari, teoretic cresc în modul până la infinit însă practic până la valorile maxim posibile (valori de saturaţie) ale amplificatorului operaţional. Un astfel de regim de funcţionare este denumit instabil deoarece nu se poate obţine o nouă valoare de regim staţionar, mărimea de ieşire având oscilaţii permanente în jurul valorii dorite, regim neacceptat în practică.


208

Figura nr.8.3.2. Tipul II. (Fig.8.3.3.) Dacă mărimea iα se menţine constantă însă, datorită cuplului rezistent Cr apare o alunecare în ambreiaj, atunci, în loc de valoarea staţionară 0 0 0

e m pα = α + α apare o nouă valoare 1 0 1e m pα = α + α (deci unghiul

perturbator s-a modificat de la valoarea 0pα la 1

pα rezultând un regim tranzitoriu care "fenomenologic" se poate explica la fel ca în cazul I: a) dacă 1

R RK K< va reveni la valoarea staţionara fără să aibă loc oscilaţii (regim aperiodic); b) dacă 1

R R R limK K K≤ < , eα va reveni la valoarea 0eα după un regim

oscilant (regim oscilant amortizat); c) R R limK K≥ unghiul eα nu va mai atinge valoarea staţionară, in sistem apărând oscilaţii permanente (regim instabil).

Figura nr.8.3.3.


209

Tipul III. Dacă sistemul se găseşte într-un regim staţionar, evident 0 0e iα = α şi

0 0v r= deci 0au . Dacă în această situaţie se modifică raportul RK atunci

0 0a R Ru =K [v -r ]=K .0=0 şi sistemul rămâne în acest "regim de echilibru",

oricare ar fi valoarea lui KR. Dacă R R limK K< , la cea mai mică perturbaţie de scurtă durată aplicată

sistemului, apare un regim tranzitoriu de tipul "a" dacă 1R RK K< sau de tipul

"b" dacă 1R R R limK K K≤ < . Dacă R R limK K≥ la cea mai mică perturbaţie

sistemul oscilează nerevenind la un nou regim staţionar. În cazurile "a" şi "b" regimul tranzitoriu va dispare (teoretic când t → ∞ practic după un interval finit de timp) sistemul revenind la starea de echilibru. Un astfel de sistem se spune că este stabil adică are capacitatea de a reveni "singur" într-un regim de echilibru. (Exact, se spune că starea de echilibru respectivă este asimptotic stabilă). Dacă R R limK K≥ ,la cea mai mică perturbaţie apare un regim tranzitoriu ca în cazul "c" sistemul nefiind capabil să-şi regăsească starea de echilibru. Un astfel de sistem este instabil (exact, se spune că starea de echilibru respectivă este instabilă). O astfel de descriere nu permite obţinerea unor concluzii practice din care să rezulte ce trebuie făcut pentru ca sistemul să aibă o anumită comportare în regim staţionar şi tranzitoriu (în particular pentru a fi stabil), în ce categorie de sisteme se încadrează pentru a analiza o anumită clasă de proprietăţi, cum trebuie modificată structura sistemului pentru a satisface anumite cerinţe de comportare. Singura soluţie la o astfel de situaţie o constituie modelarea matematică a structurii fizice, încadrarea modelului în anumite clase şi aplicarea metodelor de analiză şi sinteză specifice clasei respective. 8.3.3. Modelul matematic liniar al sistemului de reglare În ipotezele menţionate anterior rezultă că dacă mărimile caracteristice nu au variaţii mari, fiecare element poate fi descris printr-un model matematic liniar obţinându-se de aici o structură liniară de reglare automată. O analiză mai exactă trebuie să ţină cont şi de efectul de saturaţie în amplificatorul operaţional şi amplificatorul de putere, de efectul cuplului rezistent asupra vitezei de rotaţie, de apariţia frecărilor în elementele mecanice, de efectul jocului în angrenajele reductorului mecanic. Toate aceste aspecte pot fi studiate folosind tehnicile şi metodele sistemelor dinamice neliniare. În ipoteza de liniaritate se obţine schema bloc a sistemului de reglare în domeniul complex s, schemă care redă nu structura de interconectare a elementelor fizice componente ci relaţiile dintre mărimile caracteristice care descriu comportarea elementelor componente. Se au în vedere următoarele dependenţe intrare-ieşire ale elementelor componente:


210

-Generatorul de mărime prescrisă

i 1 i 1 imax

Ev(t) (t) K ; V(s) K A (s)= ⋅ α = ⋅ α = ⋅α

(8.3.9)

Dacă max 1max

E 5 V 1 V200( S) si E 5V K200 40S S

α = = ⇒ = = = α .

Când [ ] [ ]i 0,200 S v 0,5 V ( S inseamna grade sexagesimale)α ∈ ⇒ ∈ .

-Traductorul de poziţie

e 1 e 1max

E 1 Vr(t) (t);R(s) K A (s);K ;r [0,5]V40 s

= α = = ∈ α (8.3.10)

-Amplificatorul operaţional Având în vedere structura de montaj diferenţial

2a a R

1

Ru (t) [v(t) r(t)]; U (s) K [V(s) R(s)];R

= − = − (8.3.11)

2R

1

RK ; v r [ 5,5]V [ 10,10]VR

= − = ε∈ − ⊂ −

Presupunând că amplificatorul operaţional este alimentat cu 10V± , evident nici tensiunea de ieşire ua nu poate depăşi aceste valori. Pentru amplificatorul operaţional în montaj diferenţial, care realizează "blocul regulator" şi "elementul de comparaţie" al sistemului de reglare este importantă prezentarea "caracteristicii statice intrare-ieşire" în care se evidenţiază efectul de saturaţie. În Fig.8.3.4. se prezintă familia de caracteristici statice a amplificatorului operaţional în montaj diferenţial.

Se observă că dacă R

10K

ε ≤ comportarea în regim staţionar (pentru acest

element şi în regim dinamic) este liniară, şi modelul matematic liniar al întregului sistem este corect, rezultatele teoretice coincizând cu cele practice obţinute experimental. Figura nr.8.3.4.


211

DacăR

10K

ε > , descrierea liniara nu mai este valabilă,rezultate teoretice

corecte se obţin numai folosind modele şi tehnici pentru sisteme neliniare. -Amplificatorul de putere Converteşte semnalul de tensiune au [ 10,10]V∈ − într-o tensiune

mu [ 100, 100]V∈ − care se aplică la bornele motorului şi poate genera un curent mare, compatibil cu puterea motorului. De exemplu, dacă curentul maxim solicitat de motor este de 10A atunci amplificatorul de putere trebuie să aibă o putere max max

A m mP U I 1000W≥ ⋅ = Dacă puterea amplificatorului este mare tensiunea la bornele sale este dependentă numai de tensiunea ua şi nu depinde de valoarea curentului (se comportă ca o sursă ideală de tensiune). Caracteristica sa statică intrare-ieşire (care se poate deduce experimental) este prezentată în Fig.8.3.5. şi relevă caracterul liniar al dependenţei în limitele normale de funcţionare. Figura nr.8.3.5. Figura nr.8.3.6.

Comportarea în regim dinamic se deduce efectuând, de exemplu, o testare la semnal treaptă ca în Fig.8.3.6. din care se trage concluzia că amplificatorul de putere poate fi descris printr-o funcţie de transfer de ordinul I,

2 m2 2

2 a

K u 10VH (s) , K 10T s 1 u 1V

∆= = = =

+ ∆ (8.3.12)

2T 0.1sec.= şi m R aU (s) H (s) U (s)= ⋅

Valoarea K2 dedusă în felul acesta exprimă factorul de proporţionalitate în jurul punctului de funcţionare a m(u 5V;u 50V)= = Deoarece caracteristica statică este liniară (în domeniul de lucru) el este constant şi se poate calcula şi prin raportul

2100V ( 100)VK 1010V ( 10)V

− −= =

− −


212

-Motorul de curent continuu Privit ca obiect orientat, converteşte tensiunea mu [ 100,100]V∈ − într-o viteza de rotaţie [ 50, 50]rot / sec.ω∈ − Efectuând o testare la intrare treaptă ca în cazul amplificatorului de putere se obţine o funcţie de transfer de ordinul I de forma

33 3 3

3 m

K S/sec S/ secH (s) ,K 0.5 360 180 ; T 2secT s 1 u V V

∆ω= = = ⋅ = =

+ ∆

3 m 30.5Ω(s) H (s) U (s), H (s)

2s 1= ⋅ =

+ (8.3.13)

-Reductorul mecanic Presupunând că prin prescripţii tehnologice se cere ca la viteza maximă de rotaţie a motorului, max 50rot / secω = ., axul de poziţionat trebuie să realizeze o

rotaţie completă în 10sec (adică o viteză de rotaţie m, max1 rot / sec

10ω = ), este

necesar un factor de reducţie mecanică

m, max4 m 4 m 4

max

0.1 1K ; (t) K (t), (t) K (t)50 500

ω= = = ω = ⋅ ω α = ⋅ α

ω

Având în vedere că

m 4d sA(s) (0) (s), A (s) K A(s)dtα

= ω ⇒ − α = Ω = ⋅

rezultă dependenţa intrare-ieşire în complex şi condiţii iniţiale nule,

m 41A (s) K (s)s

= ⋅ ⋅ Ω (8.3 14)

Relaţiile (8.3.1)-(8.3.14) exprimă în domeniul complex s dependenţele intrare-ieşire ale elementelor componente ale sistemului de reglare şi relaţiile de interconexiune, formând un sistem de ecuaţii algebrice: e m pA (s) A (s) A (s)= + (8.3.15)

1 i 11 VV(s) K A (s); K40 S

= ⋅ = (8.3.16)

1 eR(s) K A (s)= ⋅ (8.3.17)

2a R R

1

RU (s) K [V(s) R(s)] ; KR

= ⋅ − = (8.3.18)

2m 2 a 2 2 2

2

RU (s) H (s) U (s); H (s) ; K 10, T 0.1sec.T s 1

= ⋅ = = =+

(8.3.19)


213

33 m 3 3 3

3

K S(s) H (s) U (s); H (s) ;K 180 , T 2sec.T s 1 V

Ω = ⋅ = = =+

(8.3.20)

4m 4

K 1 SA (s) (s); Ks 500 rot / sec

= Ω =

(8.3.21)

Relaţiile de mai sus constituie modelul matematic intrare-ieşire al sistemului de reglare şi descriu comportarea acestuia în ipotezele menţionate. De acum înainte, studiul comportării se va efectua pe acest model matematic şi nu pe sistemul fizic, concluziile fiind în final aplicate şi rezultatele comparate cu cele experimentale. Relaţiile (8.3.15)-(8.3.21) se exprimă şi prin schema bloc din Fig.8.3.6. în care s-a echivalat a R R 1 i eU (s) K [V(s) R(s)] K K [A (s) A (s)]= ⋅ − = ⋅ − (8.3.22)

Figura nr.8.3.7. Aşa cum se poate observa în Fig.8.3.7. în structura sistemului descris, apar toate elementele unui sistem de reglare convenţională. Se calculează elementele

PR F FH (s),H (s),H (s) . Dacă în locul rezistenţelor R1,R2 se montează în AO două impedanţe Z1(s), Z2(s) atunci

2R

1

Z (s)H (s)Z (s)

= (8.3.23)

1 2 3 4F

2 3

1K K K K 4000H (s)

s (T s 1) (T s 1) s (0.1s 1) (2s 1)= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (8.3.24)

PF 1

1 VH (s) K40 S

= = (8.3.25)

8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizate de reglare continuale liniare DE REGLARE AUTOMATĂ

214

8.4. Legi tipizate de reglare continuale liniare 8.4.1. Prezentare generală În practica industrială a reglării automate s-au impus aşa numitele legi de reglare de tip PID (Proporţional-Integrator-Derivator) sau elemente de tip PID, cu o funcţie de transfer RH (s) , care satisfac în majoritatea situaţiilor cerinţele tehnice impuse sistemelor de reglare convenţională. Se pot utiliza diversele combinaţii ale celor trei componente fundamentale: P=Proporţional; I=Integrator; D=Derivator, din care se obţin diverse combinaţii, în diferite variante şi structuri de realizare ca de exemplu: PI=Proporţional-Integrator; PD=Proporţional-Derivator, PID=Proporţional-Integrator-Derivator. Prin utilizarea acestor legi tipizate în cadrul unor regulatoare tipizate, proiectarea dimensional-valorică a legii de reglare se reduce la alegerea tipului de lege şi poziţionarea unor butoane sau setare soft, prin care se prescriu valorile parametrilor acestor legi rezultate în urma proiectării analitice a sistemului. Nu se poate stabili precis efectul fiecărei componente a unei legi de tip PID asupra calităţii unui SRA, deoarece acestea depind de structura sistemului, de dinamica instalaţiei automatizate. Totuşi se pot face următoarele precizări: Componenta proporţională, realizată prin factorul de proporţionalitate RK , determină o comandă proporţională cu eroarea sistemului. Cu cât factorul de proporţionalitate este mai mare cu atât precizia sistemului în regim staţionar este mai bună dar se reduce rezerva de stabilitate putând conduce în anumite cazuri la pierderea stabilităţii sistemului. Componenta integrală, realizată prin constanta de timp de integrare iT sau constanta de integrare echivalenta, *

i i RT T / val(K )= determină o comandă proporţională cu integrala erorii sistemului din care cauză, un regim staţionar este posibil numai dacă această eroare este nulă. Existenţa unei componente I într-o lege de reglare este un indiciu clar că precizia sistemului în regim staţionar (dacă se poate obţine un astfel de regim) este infinită. În regim staţionar, de cele mai multe ori componenta I determină creşterea oscilabilităţii răspunsului adică reducerea rezervei de stabilitate. Componenta derivativă, realizată prin constanta de timp de derivare dT determină o comandă proporţională cu derivata erorii sistemului. Din această cauză, componenta D realizează o anticipare a evoluţiei erorii permiţând realizarea unor corecţii care reduc oscilabilitatea răspunsului. Nu are nici-un efect în regim staţionar. Deoarece aceste tipuri de comportări se întâlnesc şi la alte sisteme nu numai în cazul regulatoarelor, în cele ce urmează se vor considera intrarea

Ru u= ieşirea Ry y= iar funcţia de transfer RH (s) H(s)= .


215

8.4.2. Element proporţional (Lege de tip P) Printr-o lege de tip proporţional, se descrie comportarea intrare-ieşire a unui element nedinamic (de tip scalor) sau comportarea în regim staţionar a unui element dinamic, eventual descris printr-o funcţie de transfer H(s), considerând această comportare liniară într-un domeniu. Pentru o caracteristică statică Y=F(U), ca în Fig.8.4.1., se poate aproxima o comportare liniara pentru min, maxu [U U ]∈ şi min, maxy [Y Y ]∈ cu min minY F(U )= , putând avea max maxY F(U )≠ .

u(t) y(t)H(s)

∞Y=y( )∞

∞U=u( )

Y%

U%

100%

0%

U1 U2

Ymax

Umax

F( )Umax

Ymin

Umin

Y1

Y2

0% 100%

Figura nr.8.4.1. În afara limitelor min şi max pentru intrare sau ieşire, comportarea fie nu este posibilă tehnologic fie nu este de dorit. De exemplu, în cazul elementelor de automatizare o anumită comportare declarată de constructor este garantată numai în domeniul de variaţie al semnalului unificat: [0 , 10]V, [4 , 20] mA, [0.2 , 1] bar etc. Pentru un sistem dinamic, dependenţa intrare-ieşire în regim staţionar este aproximată în aceste domenii printr-o relaţie liniară de forma min p minY Y K (U U ) , U u( ) , Y y( ) ,= + − = ∞ = ∞ (8.4.1)

unde pK reprezintă factorul de proporţionalitate sau factorul de amplificare de poziţie. El se poate determina experimental prin raportul dintre variaţia mărimii de ieşire în regim staţionar şi variaţia mărimii de intrare în regim staţionar care a produs acea ieşire

2 12 1

p 1 2 min, max 1 2 min, max2 12 1

Y Y y ( ) y ( )K , Y ,Y [Y Y ], U ,U [U U ]U U u ( ) u ( )

− ∞ − ∞= = ∈ ∈

− ∞ − ∞

(8.4.2)


216

Dacă o anumită valoare staţionară este apreciată (aproximată la un moment finit de timp 0t ) atunci se utilizează relaţia st 0u (t ) u( ) U= ∞ = , st 0y (t ) y( ) Y,= ∞ = înţelegând că la momentul 0t t= este atins un regim staţionar. Dacă în domeniul de liniaritate, obiectul este descris printr-o funcţie de transfer H(s) atunci, p s 0

K limH(s)→

= (8.4.3)

Dacă H(s) nu are caracter integrator, pK H(0)= .

Factorul de proporţionalitate este o mărime dimensională, p[K ] [Y]/[U]= .

Reamintim că atunci când se utilizează funcţia de transfer pentru descrierea comportării intrare-ieşire (evident valabilă numai în domeniul de liniaritate) aceasta descrie variaţia faţă de un regim staţionar remarcat la un moment 0t , considerat. Un element de tip P propriu-zis, este un element nedinamic, caracterizat prin funcţia de transfer R p RH(s) K , deci K K= =

şi min R miny(t) Y K [u(t) U ]= + ⋅ − (8.4.4)

De foarte multe ori în practică, informaţia transmisă sau prelucrată este exprimată prin variaţia procentuală a semnalului purtător de informaţie faţă de domeniul său de variaţie, astfel că valoarea minimă a semnalului exprimă mai clar informaţia zero (0%) iar valoarea maximă exprimă informaţia totală (100%). O valoare procentuală în afara domeniului [0,100]% înseamnă un semnal în afara domeniului [min, max]. Notând prin uD domeniul de variaţie al intrării, de fapt lungimea intervalului de variaţie, iar prin yD domeniul de variaţie al ieşirii,

u max min y max minD U U D Y Y= − = −

se utilizează următoarele relaţii de reprezentare procentuală:

min

u

u(t) Uu%(t) 100D−

= ⋅ min uu%(t)u(t) U D100

= + ⋅


217

min

u

U UU% 100D

−= ⋅ min u

U%U U D100

= + ⋅

u

u(t)u%(t) 100D

∆∆ = ⋅ u

u%(t)u(t) D100

∆∆ = ⋅

min

y

y(t) Yy%(t) 100D−

= ⋅ min yy%(t)y(t) Y D100

= + ⋅

(8.4.5)

min

y

Y YY% 100D−

= ⋅ min yY%Y Y D100

= + ⋅

y

y(t)y%(t) 100D

∆∆ = ⋅ y

y%(t)y(t) D100

∆∆ = ⋅

În domeniul complex, dacă Y(s)=H(s)U(s), se defineşte funcţia de transfer relativă relH (s) ca fiind raportul dintre transformata Laplace a ieşirii exprimată procentual ∆ Y%(s)=L ∆ y%(t), şi transformata Laplace a intrării exprimată procentual ∆ U%(s)=L ∆ u%(t).

rel rel u

y

DY%(s) H (s) U%(s) , H (s)= H(s)

D∆ = ⋅ ∆ ⋅ (8.4.6)

Se poate defini factorul de proporţionalitate relativ sau procentual ca fiind raportul dintre variaţia procentuală a ieşirii în regim staţionar şi variaţia procentuală în regim staţionar a intrării care a produs acea ieşire.

rel rel up p p

y

Dy%( )K ; K = K u%( ) D

∆ ∞=

∆ ∞ (8.4.7)

Evident, pK % este o mărime adimensională.

În cazul unei legi de reglare de tip P, evident rel relp RK K= .

Noţiunea de bandă de proporţionalitate. Factorul de amplificare de poziţie (factorul de proporţionalitate) nu dă informaţii privind rezerva de liniaritate în raport cu mărimea de intrare. Prin bandă de proporţionalitate, notatăBP% , se înţelege o măsură a amplificării unui sistem, exprimată prin procentul din domeniul mărimii de intrare care determină la ieşire o valoare de 100% din domeniul acesteia. În general se poate spune că dacă intrarea are o variaţie procentuală, între două regimuri staţionare consecutive, egală cu BP%, ieşirea suferă o variaţie procentuală, între aceste regimuri staţionare, egală cu 100%. În această situaţie amplificarea de poziţie este exprimată prin numărul BP%.


218

Dependenţa intrare-ieşire, în regim staţionar, a mărimilor relative este reprezentată în Fig.8.4.2.

BP%<100 BP%=100BP%>100

K prel >1

K prel<1K p

rel=1

U%

Y%100

00 100

Figura nr.8.4.2.

Panta acestor caracteristici este factorul de proporţionalitate relativ rel rel

p RK (K ) , astfel că,

relpY% K U% U% [0,100]= ∈

yrel

p up

D100 100Y% 100 U% BP% BP%K DK

= ⇒ = ⇒ = = ⋅

yrel

R uR

D100 100BP%K DK

= = ⋅ (8.4.8)

Banda de proporţionalitate este un număr adimensional. Factor de proporţionalitate mare înseamnă bandă de proporţionalitate mică şi invers. Exemplul: 4.2.1. Se consideră o instalaţie de încălzire având ca ieşire o temperatură, y [40 , 200] C= θ∈ ° iar intrarea un curent u [4 , 20]mA∈ . Rezultă y uD 160 C, D 16 mA= ° = . Presupunem că, testând această instalaţie, se obţine, la o variaţie în regim staţionar a curentului U 2 mA∆ = ,o variaţie a temperaturii Y 40 C.∆ = °

Aceasta înseamna p40 CK 20 C/ mA2mA

°= = ° .

Este mare sau mică această amplificare de poziţie? Calitatea mare sau mică se analizează în raport cu limitele de variaţie admise la intrări şi ieşiri. Amplificarea pK 20 C/ mA= ° indică faptul că la o variaţie de 1 mA rezultă o variaţie de 20 C° la ieşire. Calculând banda de proporţionalitate se obţine,


219

100 160 CBP% 50%20 C/ mA 16mA

°= ⋅ =

°

Aceasta înseamnă că, dacă intrarea depăşeşte 50% din domeniul ei, ieşirea va depăşi valoarea ei maximă admisă, adică: sau o astfel de depăşire nu este permisă tehnologic sau nu se mai garantează valabilitatea modelului matematic liniar. Cu o astfel de amplificare numai 50% din intrare poate fi utilizată în zona de liniaritate (de proporţionalitate). Deci, din acest punct de vedere amplificarea de poziţie pK 20 C/ mA= ° este mare. De aici apare şi denumirea de "Bandă de Proporţionalitate". Exemplul: 4.2.2. Să considerăm tot o instalaţie de încălzire de acelaşi tip având însău [4 , 20]mA, si Y [60 , 700] C∈ ∈ ° . Rezultă u yD 20 16 4mA, D 700 60 640 C= − = = − = ° . Dacă la o variaţie U 2mA∆ = se obţine în regim staţionar o

variaţie Y 40 C∆ = ° , înseamnă că p40 CK 20 C/ mA2mA

°= = ° , adică o aceeaşi

valoare a factorului de proporţionalitate. Calculând banda de proporţionalitate,

100 64 CBP% 200%20 C/ mA 16mA

°= ⋅ =

°

aceasta însemnând că pentru a obţine valoarea maximă a ieşirii se poate aplica la intrare dublul valorii maxime. Acelaşi factor de proporţionalitate pK 20 C/ mA= ° este mare pentru prima instalaţie şi mic pentru cea de a doua. 8.4.3. Element integrator ( Lege de tip I ) Relaţia intrare-ieşire în domeniul timp este dată de ecuaţia diferenţială

i Rdy(t)T K u(t)

dt= (8.4.9)

sau prin soluţia

0

tR

0 0i t

Ky(t) y(t ) u( )d t tT

= + τ τ ≥∫ (8.4.10)

Funcţia de transfer este


220

R

i

K 1H(s)T s

= ⋅ (8.4.11)

unde: RK = factorul de proporţionalitate, RK [Y]/[U]= , iT = constanta de timp de integrare [Ti ] = sec. Funcţia de transfer (8.4.11) se poate exprima printr-un singur parametru, constanta de timp echivalentă *

iT ,

* ii*

Ri

1 Y(s) TH(s) , TU(s) valK T s

= = = (8.4.12)

În această expresie numărul 1 de la numărător este un factor dimensional, înţelegând că ar fi un factor de proporţionalitate RK l [Y]/[U]= ⋅ .

Deoarece R R R R[Y]K valK [K ] valK [U]

= ⋅ = ⋅ , unde RvalK inseamnă

valoarea mărimii fizice RK

R

R*

i i ii

R

[Y] [Y]valK 1K 1[U] [U]H(s)Ts Ts T sT

valK

= = = =

Răspunsul la intrare treaptă 0u(t) U 1(t t )= ⋅ − , reprezentat în Fig.8.4.3. este,

R0 0 0

i

Ky(t) y(t ) (t t )U , t tT

= + − ≥ (8.4.13)

Se observă că panta la intrare constantă este

R

i

Ky(t) UT

= (8.4.14)

u(t)

y(t)

t0y( ) t1y( ) t2y( )

Uval( )∆y val( )

t

tt 0

t 0

t1 t2

=

iTiT* ------=

RKval( )

U

iT----RK U

0

0

Panta:

Figura nr.8.4.3.


221

Raportul R

i

KT

se calculează cunoscând două puncte 1 1 2, 2(t , y(t )),(t y(t ))

ale raspunsului la intrare constantă U cu relaţia

R 2 1

i 2 1 2 1

K y(t ) y(t ) yT (t t ) U (t t ) U

− ∆= =

− ⋅ − ⋅ (8.4.15)

De notat că panta unui element integrator depinde de valoarea totală a intrarii, nu de variaţia acesteia. In relaţia (8.4.15) exprimând

R R[Y]K valK ; y=val y [y] ; U=valU [U][U]

= ∆ ∆ ⋅ ⋅

se obţine,

i2 1

R

T valU [U](t t )[Y] val y [Y]valK [U]

⋅= − ⋅

∆ ⋅. (8.4.16)

Dacă *2 1 ival y valU t t T∆ = ⇒ − = .

Constanta de timp de integrare echivalentă *iT reprezintă intervalul de timp

în care mărimea de ieşire creşte cu o valoare (un număr de unităţi ale ieşirii) egală cu valoarea intrării constantă aplicată (numărul de unităţi ale intrării aplicate). Această definiţie permite determinarea rapidă a constantei *

iT pe graficul răspunsului la intrare treaptă dedus experimental (eventual prelungind pe aceeaşi direcţie răspunsul experimental). 8.4.4. Element proporţional integrator (Lege de tip PI) Relaţia intrare-ieşire în domeniul timp este exprimată prin ecuaţia diferenţială

i R i Rdy(t) du(t)T K T K u(t)

dt dt= + (8.4.17)

sau prin soluţia

0

tR

0 R 0 0i t

Ky(t) y(t ) K [u(t) u(t )] u( )d , t t T

= + − + τ τ ≥∫ (8.4.18)

Funcţia de transfer este


222

i RR R

i i i

1 [Ts 1] K (s z) 1H(s) K [1 ] K , z=Ts Ts s T

+ += + = = (8.4.19)

unde: RK = factorul de proporţionalitate , R[Y][K ][U]

=

iT = constanta de timp de integrare , [Ti ] = sec. Se observă că un element PI are un pol în originea planului complex s=0 şi

un zerou i

1sT

= − , aşa cum se poate vedea în Fig.8.4.8.

Caracteristicile Bode: Caracteristicile amplitudine-pulsaţie A(ω ) şi fază-pulsaţie ϕ (ω ),

2R i

ii

K ( T ) 1A( ) , ( )=arctg( T ) - /2

Tω +

ω = ϕ ω ω πω

sunt reprezentate la scară logaritmică în Fig.8.4.4.

planul sj ω

σ0-z = - 1Ti

ω

-20Ti1

dB/dec-20

dB/dec0

0.01 0.1 1 10 100

dBωL( )40

20

020log( )KR

ω0.01 0.1 1 10 100

Ti1

20log( )KRTi

ϕ(ω)

−π/2

0

−π/4

π/4

Ti10.2 Ti

15

Figura nr.8.4.4.

Structura în care se evidenţiază cele două componente P şi I este dată în Fig.8.4.5

U(s) +

+RK

1---iTs

xY(s)

Figura nr.8.4.5.


223

Ecuaţia de stare este

R

i

Kx(t) u(t)T

= (8.4.20)

Ry(t)=x(t)+K u(t)

În expresia (8.4.18) starea iniţială este exprimată prin 0 0 R 0x(t ) y(t ) K u(t )= − .

Răspunsul la intrare treapta 0u(t) U 1(t t )= ⋅ − , reprezentat în Fig.8.4.6., este

R0 R 0 0

i

Ky(t) y(t ) K [U 0] U (t t ) , t tT

= + − + ⋅ − ≥ . (8.4.21)

y(t)

0t0y( )tt 0

Uval( )∆y val( ) =

iTiT* ------=

RKval( )

iT----RK UPanta:

iT

RK ∆u

u(t)

tt 0

0 ∆u = U

Figura nr.8.4.6.

Raportul R iK / T se poate calcula cunoscând două puncte ale unei porţiuni a răspunsului, 1 2y(t ), y(t ) , şi valoarea constantă U a intrării care a determinat acel răspuns liniar

R 2 1

i 2 1

K y(t ) y(t )T U [t t ]

−=

⋅ − (8.4.22)


224

8.4.5. Element derivator ideal (Lege de tip D-ideal) Relaţia intrare-ieşire este

ddu(t)y(t) T ,

dt= (8.4.23)

unde dT reprezintă constanta de timp de derivare . Element derivator ideal este un element anticipativ, fizic nerealizabil. El constituie o idealizare a comportării derivativei. Operează asupra funcţiilor derivabile sau răspunsul este definit numai în momentele t pentru care intrarea u(t) este derivabilă. Funcţia de transfer este dH(s) T s= (8.4.24)

Caracteristicile Bode sunt definite prin, d dA( ) T , L( )=20 lg T 20 lg , ( )= /ω = ω ω + ω ϕ ω π 2

având L(ω ) ca în Fig.8.4.7.

0.1 1 100.01ω

L( )ωdB20

10

0 0

-10

-20

ω 0

20lgTd

ω 0+20lg20lgTd

Td

1

(

)

t

t

u(t)

y(t)

0 0

0

Panta U0

U0

Figura nr.8.4.7. Figura nr.8.4.8.

Raspunsul la intrare rampă, reprezentat în Fig.8.4.8. este,

0u(t) U t 1(t)= ⋅ ⋅ , y(t)= 0

0 , t<0U , t 0nedefinit , t=0

>


225

8.4.6. Element proporţional derivator ideal (Lege de tip PD-ideal) Relaţia intrare-ieşire:

R d Rduy(t) K T K u(t)dt

= + (8.4.25)

Este de asemenea un element anticipativ, fizic nerealizabil. Funcţia de transfer: R dH(s) K (T s 1)= + (8.4.26)

este caracterizată prin: RK = factor de proporţionalitate

dT = constanta de timp de derivare

Caracteristicile Bode: definite prin,

2R d dA( ) K (T ) 1 , ( )=arctg Tω = ω + ϕ ω ω (8.4.27)

sunt reprezentate în Fig.8.4.9. Se observă caracterul de filtru trece-sus. Raspunsul la intrare rampă este prezentat în Fig.8.4.10.

0 R d 0 R 0

0 t<0u(t) U t 1(t) y(t) K T U K U t , t>0

nedefinit t=0

= ⋅ ⇒ = +

(8.4.28)

dT 1

dBL( )ω

40

20

0

dB/dec0

ω0.01 0.1 1 10 100

RK20lg

-20

20dB/dec

ϕ(ω)π/2

00

π/4

−π/4

ω0.01 0.1 1 10 100

dT 1

dT 10.2

dT 15

U0TdKR(

)

Panta U0

Panta U0KR

u(t)

y(t)

t

t



226

8.4.7. Element derivator real (Lege de tip D-real) Relaţia intrare-ieşire:

R ddy(t) du(t)T y(t) K T

dt dtγ + = (8.4.29)

Funcţia de transfer:

dR

T sH(s) KT s 1γ

=+

(8.4.30)

RK = factor de proporţionalitate

dT = constanta de timp de derivare

Tγ = constanta de timp parazită

Ecuaţia de stare: se obţine exprimând funcţia de transfer proprie într-o sumă dintre un element scalor şi un element strict propriu ca în Fig.8.4.11.

R d R dK T K T 1H(s)T T T s 1γ γ γ

= − ⋅+

(8.4.31)

TdTγ

KR

TdTγ

KRTγs+1 1

+

-

U(s) Y(s)

X(s)

t0

∆uu (t)a

t0=0t0

⇒ TdKR ∆uA=t 0

∞⌠⌡A= y(t) dt

Tγ

Tγ

TdKR ∆u

y (t)a

t0

Figura nr.8.4.11. Figura nr.8.4.12. Se obţine:

R d2

K T1x(t) x(t) u(t)T Tγ γ

= − + (8.4.32)

R dK Ty(t) x(t) u(t)T

= − +γ

Răspunsul la intrare treaptă u(t) u 1(t)= ∆ ⋅ este

t

Td dR R

T Ty(t) K u K (1 e ) u , t 0T T

γ−

γ γ= ∆ − − ∆ ≥ (8.4.33)

şi se prezintă ca în Fig.8.4.12. Se observă că ieşirea în regim staţionar a unui element D este nulă. Elementul D acţionează numai în regim tranzitoriu. El se mai numeşte şi "element forţator".


227

8.4.8. Element proporţional derivator real (Lege de tip PD-real) Relaţia intrare-ieşire:

R d Rdy(t) dU(t)T y(t) K T K u(t)

dt dtγ + = + (8.4.34)

Funcţia de transfer,

dR

T s 1H(s) KT s 1γ

+=

+ (8.4.35)

RK = factor de proporţionalitate;

dT = constanta de timp de derivare;

Tγ = constanta de timp parazită.

Ecuaţia de stare se obţine exprimând H(s) ca în (8.4.36) şi Fig.8.4.13.

d dR R

T T 1H(s) K K (1 )T T T s 1γ γ γ

= + − ⋅+

(8.4.36)

Td

TγKR

Tγs+1 1

+

+

U(s) Y(s)

X(s)KR(1− )

TdTγ

Figura nr.8.4.13.

dR T1 Kx(t) x(t) (1 )u(t)T T Tγ γ γ

= − + − (8.4.37)

dR

Ty(t) x(t) K u(t)Tγ

= − +

Răspunsul la intrare treaptă în condiţii iniţiale nule şi caracteristicile Bode se prezintă pentru trei situaţii:


228

a) dT Tγ> . Este predominant caracterul derivator. Se comportă ca un filtru trece-sus cu avans de fază, ca în Fig.8.4.14. şi Fig.8.4.15.

∆uu (t)a

t0=0t0

KR∆u

y (t)a

t0

Td >

∆uTdKR

TγTγ

Tγ

-20

Td 1

ϕ(ω)π/2

00

π/4

−π/4

ω0.01 0.1 1 10 100

Tγ 1

(ω)L

RK20lg

Td 1

dB40

20

0

dB/dec 20

dB/dec0

dB/dec0

ω0.01 0.1 1 10 100

20log TdKRTγ

Tγ 1


b) dT Tγ< . Este predominant caracterul integrator. Se comportă ca un filtru trece-jos cu întârziere de fază, ca în Fig.8.4.16. şi Fig.8.4.17.

∆uu (t)a

t0=0t0

KR∆u

y (t)a

t0

Tγ

∆uTγ

TdKR

Td 1

ω0.01 0.1 1 10 100

ϕ(ω)

−π/2

0

−π/4Tγ 1

(ω)L

RK20lg

Td 1

dB

40

20

0

dB/dec0

dB/dec0

ω0.01 0.1 1 10 100

-20

dB/dec 20-Td <Tγ

Tγ 1

Tγ

TdKR20log

Figura nr.8.4.16. Figura nr.8.4.17. c) dT Tγ= . Comportarea intrare-ieşire este de tip scalor, însă răspunsul liber este de ordinul întâi deoarece sistemul este necontrolabil, aşa cum se poate vedea şi în schema din Fig.8.4.13. Evoluţiile stării şi ieşirii sunt,

t t

T TRx(t) e x(0) ; y(t)=K u(t) e x(0)γ γ

− −

= ⋅ + ⋅ (8.4.38)


229

( )

∆u

KR∆u

y(t)=h(t)

t

Panta UiT

KR

0

∆u

u(t)

t00

=U

++

+Td s

1TisKR

U(s) Y(s)

Comp. P

Comp. I

Comp. D

8.4.9. Element proporţional integrator derivator ideal (Lege de tip PID-ideal)

Relaţia intrare-ieşire:

2

i R i d R i R2dy(t) d u(t) du(t)T K T T K T K u(t)

dt dtdt= + + (8.4.39)

0

tR

0 R 0 R di t

K du(t)y(t) y(t ) K (u(t) u(t )) u( )d K TT dt

= + − + τ τ + ⋅∫ (8.4.40)

Funcţia de transfer:

R di

1H(s) K 1 T sTs

= + +

(8.4.41)

2 2 2

R i d i R d 1 2 R

i i

K (T T s T s 1) K T (s z )(s z ) K ( s 2 s 1)H(s)T s s T s

+ + + + θ + ξθ += = =

(8.4.42) RK = factorul de proporţionalitate iT = constanta de timp de integrare dT = constanta de timp de derivare Funcţia de transfer este fizic nerealizabilă, reprezintă o idealizare, cu două zerouri 1 , 2z z− − şi un pol în originea planului complex:

2

d i1,2

d

1 1 4(T / T ) 1z

2T− ± − −ξ ± ξ −

− = =θ

; (8.4.43)

d iT T / 4 1< ⇒ ξ > : zerouri reale, d iT T / 4 1= ⇒ ξ = : zerouri egale-reale, d iT T / 4 (0, 1)> ⇒ ξ∈ : zerouri complex conjugate

i d i d1T T ; = T / T2

θ = ξ . (8.4.44)

Structura pe componente a elementului PID-real este reprezentată în Fig.8.4.18. Figura nr.8.4.18. Figura nr.8.4.19.


230

Funcţia indicială, datorită componentei D, nu este definită ca funcţie în momentul t=0,însă formal se poate reprezenta printr-un impuls Dirac ca în Fig.8.4.19. Caracteristicile Bode sunt prezentate în Fig.8.4.20. pentru 1ξ ≥ , şi în Fig.8.4.21. pentru 0 1< ξ < .

ω0.1 1 10z1 z2

ϕ(ω)

0

π/2

0

−π/2

20log KRω 0

ω 0

dBωL( )

40

20

0

-20

dB/dec-20 dB/dec+20

dB/dec0

0.1 1 10ω

z1 z2

≥ξ 1 dBωL( )

40

20

0

-20

dB/dec-20 dB/dec+20

ω0.1 1 10 100

20log KRω 0

ω 0

20lg(2ξ)

θ1

20lg(2ξ)+20log KRθ( )

ξ<1TdTiθ=

Td

Tiξ= 12

Td< Ti4( )

θ1

ω0.1 1 10 100

ϕ(ω)

0

π/2

0

−π/2

ln10ξ

Panta

0<


8.4.10. Element proporţional integrator derivator real În funcţie de modul de realizare fizică se deosebesc mai multe structuri: 8.4.10.1. Conexiune paralel dintre un element I şi un element PD real Structura este ilustrată în Fig.8.4.22 [ PID-real = I + PD-real = (Aperiodic)• (PID-ideal) ]

+

+

Y(s)

1iT s

Tγs+1dT s+1

U(s)KR

y (t)I

PD-ry (t)

y(t)

( I )

(PD-real)

⇔ U(s) 1Tγs+1 dT* sKR

* 1

iT* s1+( + ) Y(s)

Elementaperiodic(ord. I )

PID - ideal

Figura nr.8.4.22.

Funcţia de transfer realizată:


231

dR

1

T s 11H(s) KT s T s 1γ

+= +

+ (8.4.45)

poate fi echivalată printr-o conexiune serie dintre un element aperiodic de ordinul I şi un element PID-ideal.

2

i d i * *R R d*

i i

T T s (T T )s 1 1 1H(s) K K (1 T s)Ts(T s 1) T s 1T s

γ

γ γ

+ + += = + + ⋅

+ + (8.4.46)

unde,

i*R R

i

T TK K

Tγ+

= ; *i iT T Tγ= + ; * i d

di

T TTT Tγ

=+

. (8.4.47)

Răspunsul la intrare treaptă pe care se ilustreaza modul de determinare a parametrilor funcţiei de transfer este reprezentat în Fig.8.4.23. pentru dT Tγ< şi Fig.8.4.24. pentru dT Tγ> .

∆u

t0

t0

u(t)

=U

∆uTγ

TdKR

t0

KR∆uKR∆u

KR∆u

t0

Tγ

y(t) iTKRUPanta

t0y( )st

A

B

C D

y(t)I

y(t)PD-r

y(t)PID-r

tk

y( )I

tka=

a

∆u

t0

t0

u(t)

=U

a

y(t)PID-r

∆uTγ

TdKR

t0

KR∆uKR∆u

KR∆u

t0

Tγ

y(t)iT

KRUPanta

t0y( )st

A

B

C D

y(t)I

y(t)PD-r

tk

y( )I

tka=


Pentru determinarea valorilor parametrilor R i dK , T , T , Tγ pe răspunsul la o variaţie treaptă u∆ aplicată la un moment 0t , pornind dintr-un regim staţionar,

st 0u(t) 0, y(t)=y (t )= pentru 0t t< , se evidenţiază faptul că răspunsul este suma dintre componenta I şi componenta PD-real PID r I PD ry y (t) Y (t)− −= + (8.4.48)

procedând astfel:


232

a) În punctul iniţial (A) al evoluţiei se duce o paralelă la porţiunea rectilinie a răspunsului. Aceasta reprezintă componenta Iy (t) ; b) Se prelungeşte porţiunea rectilinie a răspunsului până taie în punctul C abscisa momentului iniţial; c) Se determină componenta PD ry − a răspunsului efectuând punct cu punct scăderea PD r PID r Iy (t) y (t) y (t)− −= − (8.4.49)

d) Din vârful B al răspunsului se duce o tangentă la componenta PD ry (t)− rezultând pe ordonata punctului C segmentul CD; e) Se determină panta răspunsului determinând în zona rectilinie valorile răspunsului în două momente 1 2 1 PID r 1 2 PID r 2t , t , y y (t ), y y (t )− −= = ; f) Cunoscând valorile în unităţi ale mărimii y corespunzatoare segmentelor AB, AC, şi în timp pentru CD se calculează parametrii cu relaţiile:

d R 2 1R R

i 2 1

T K y yK u AC; K u AC; T CD; (aici U u)T T (t t ) Uγ

γ

−∆ = ∆ = = = = ∆

− ⋅

(8.4.50) Ecuaţiile de stare ale acestui element se obţin prin concatenarea ecuaţiilor elementului I şi PD-real:

R1

i

Kx (t) u(t)T

=

dR2 2

T1 Kx (t) x (t) (1 )u(t)T T Tγ γ γ

= − + − (8.4.51)

d1 2 R

Ty(t) x (t) x (t) K u(t)Tγ

= + +

Sub forma matriceal-vectorială acestea se rescriu, x Ax bu= +

Ty c x du= +

unde, R

i dR

dR

K0 0

T 1 T1A ; b= ; c= ; d=K0 TK 1 T(1 )TT T

γγ

γ γ

= − − −

(8.4.52)


233

8.4.10.2. Conexiune paralel dintre un element PI şi un element D-real real real ideal real[PID P I D (PID (Elem.aperiodic)) I PD⇔ + + ⇔ ⋅ ⇔ +

Structura acestei conexiuni paralel şi formele ei echivalente sunt indicate în Fig.8.4.25.

++

+ 1Ti sKR

U(s) Y(s)

Comp. P

Comp. I

Comp.Dr

y (t)P

y (t)I

y (t)Dr

Td sTγs+1

y (t)PIDr

⇔ dT* sKR* 1

iT* s1+( + )Tγs+1 1 U(s) Y(s)

⇔ 1 sTi

KR( )Tγs+1dT Tγ+ ( )s+1

+U(s) Y(s)

Figura nr.8.4.25.

Funcţia de transfer realizată este,

i d idR R

i i

T (T T )s (T T )s 1T s1H(s) K 1 KTs T s 1 Ts(T s 1)

γ γ

γ γ

+ + + += + + =

+ + (8.4.53)

* *R d*

i

1 1H(s) K (1 T s)T s 1T s γ

= + + ⋅+

(8.4.54)

unde

i*R R

i

T TK K

Tγ+

= (8.4.55)

*i iT T Tγ= + , (8.4.56)

i d*d

i

T (T T )T

T Tγ

γ

+=

+. (8.4.57)

Structurile 8.4.10.1. şi 8.4.10.2. sunt echivalente,

'd

ddR R

i i

T s 1

(T T )s 1T s1 1H(s) K 1 KTs T s 1 Ts T s 1

γ

γ γ

+

+ + = + + = + + +

(8.4.56)

astfel că toate tehnicile de determinare a parametrilor funcţiei de transfer de la cazul (8.4.10.1) ramân valabile, însă în urma aplicării acestor tehnici se obţin mărimile:

R iK , T , Tγ şi'd dT T Tγ= + .


234

8.4.11. Element D-real realizat cu ajutorul unui element I sau PI În numeroase aplicaţii, elementele de tip D se realizează folosind elemente de tip integrator sau proporţional-integrator în reacţie negativă, ca de exemplu: 8.4.11.1. Element D-real realizat cu un element I Structura conexiunii şi funcţia de transfer echivalentă sunt ca în Fig.8.4.26.

α+-

1 sTi

u y ⇔Tds

Tγs+1u y

Figura nr.8.4.26.

di i

ii

i

T sTs TsH(s) 1 TTs T s 11 s 1Ts

γ

α α= = = =

+ α ++ α ⋅ +α

(8.4.57)

unde constantele de timp echivalente obţinute sunt, Td=Ti ; iT T /γ = α . (8.4.58)

8.4.11.2. Element D-real realizat cu un element PI Structura conexiunii şi funcţia de transfer echivalentă sunt ca în Fig.8.4.27.

⇔Tds

Tγs+1u y

KR1iT s1+( )

u α+-

y

Figura nr.8.4.27.

di i R

R i Ri R ii

i R

T sTs (T /K ) sH(s) K (Ts 1) 1 KTs K (Ts 1) T s 11 Ts 1Ts K

γ

α ⋅α= = = =

+ + α+ α + ++ α ⋅ +α

(8.4.59)

unde constantele de timp echivalente obţinute sunt,

i Rd i

R R

T 1 KT ; T TK Kγ

+ α= = ⋅

α. (8.4.60)


235

8.4.11.3. Element PD-real realizat cu ajutorul unui element PI Structura conexiunii şi funcţia de transfer echivalentă sunt ca în Fig.8.4.28.

KR1iT s1+( )

u

α

+-

y⇔

u yTd s+1Tγs+1K

Figura nr.8.4.28

R i

ddR ii

R i Ri R i ii R

K (Ts 1) 1 (T s 1) K(T s 1)K (Ts 1)TsH(s) K (Ts 1) 1 KTs K (Ts 1) T s 11 Ts 1Ts K

γ

++ ++ α= = = =

+ + α+ α + ++ α +α

(8.4.61

unde factorul de proporţionalitate şi constantele de timp echivalente obţinute sunt,

Rd i i

R

1 1 KK ; T T ; T TKγ

+ α= = = ⋅

α α. (8.4.62)

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.1. Convenţional şi neconvenţional DE REGLARE AUTOMATĂ în sistemele de reglare automată

236

9. SISTEME NECONVENŢIONALE SPECIFICE DE REGLARE AUTOMATĂ

9.1. Convenţional şi neconvenţional în sistemele de reglare

automată Prin sistem de reglare convenţională SRC, sau buclă simplă de reglare automată, se înţelege un sistem de reglare pentru instalaţii cu o singură mărime de comandă şi o singură marime măsurată la care singura informaţie despre îndeplinirea scopului conducerii o constituie eroarea sistemului. Această informaţie înseamnă atât valoarea erorii cât şi eventual atribute ale sale ca şi funcţie în timp ca de exemplu derivate şi integrale de diferite ordine realizate prin legile de tip PID. Sistemele de reglare convenţională sunt pe departe cele mai des întâlnite în practică pentru procese simple dar nu corespund unor procese şi scopuri mai complicate. O structură de reglare convenţională este recomandată când: 1. Instalaţia tehnologică poate fi controlată convenabil printr-o singură mărime. 2. Se poate măsura şi converti în semnal unificat numai mărimea măsurată. 3. Comportarea dinamică a părţii fixe poate fi descrisă suficient de exact printr-

un model liniar invariabil în timp. 4. Exigenţele privind calitatea regimului tranzitoriu nu sunt prea severe. 5. Nu există o anumită perturbaţie dominantă. 6. Importanţa economică a procesului condus nu justifică structuri mai complexe. Deşi orice sistem care nu corespunde definiţiei de sistem convenţional poate fi considerat sistem neconvenţional de reglare automată, totuşi sub această definiţie se găsesc sistemele, diferite de sistemele convenţionale, care nu au o denumire proprie. Sistemele de reglare multivariabile, sistemele de reglare cu timp mort, sistemele stochastice, sistemele adaptive, sistemele cu legi de reglare în logică fuzzy, sistemele de reglare adaptive, etc., sunt sisteme neconvenţionale dar sunt cunoscute prin denumirile lor deoarece presupun o abordare teoretică specifică. Acelaşi lucru se poate spune despre sistemele la care mărimea de comandă poate lua numai un număr finit de valori (sisteme bipoziţionale, sisteme tripoziţionele, etc.) care, ca şi structură, sunt sisteme convenţionale, dar prin metodele lor specifice de analiză şi sinteză sunt încadrate ca şi sisteme neliniare de reglare automată. De obicei prin sistem neconvenţional se înţelege un sistem ce poate fi tratat cu acelaşi aparat matematic dar care are o structură specifică. Sistemele din acest capitol, denumite specifice, se încadrează în această categorie.

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.2. Sisteme de reglare în cascadă DE REGLARE AUTOMATĂ

237

9.2. Sisteme de reglare în cascadă 9.2.1. Definiţia sistemelor de reglare în cascadă Prin sistem de reglare în cascadă se înţelege un sistem la care se reglează prin bucle concentrice o serie de mărimi intermediare care răspund mai repede la perturbaţii decât mărimea de ieşire finală ce trebuie controlată. Prin aceste bucle concentrice se previne într-o mare măsură acţiunea perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire. Structura unui sistem de reglare în cascadă cu două bucle este prezentată în Fig.9.2.1. Ea se poate extinde pentru un număr oarecare de bucle, în funcţie de numărul de mărimi intermediare ale procesului condus necesare unui scop.

y R2

2 r 1 r

p (t) 2 p (t) 1

y R1

H (s) Tr2H (s) Tr1

H (s) 2 H (s) 1H (s) R2H (s) R1+ + +

+ +

+− −

v y 2 2v v 1 y p2 y p1 y 1 Fu

Bucla internáBucla principalá (externá)

Regulatorprincipal

Regulatorintern

ε1 ε2

H (s) Fp1~H (s) Fp2

~

Figura nr.9.2.1.

Mărimea de ieşire este 1y iar 2y este o mărime intermediară. Fiecare este prevăzută cu traductoare corespunzătoare. Elementul de execuţie şi instalaţia tehnologică sunt exprimate ca o conexiune serie de două elemente, 1H (s) şi

2H (s) între care intervin şi diferitele perturbaţii. Regulatorul principal are funcţia de transfer R1H (s) iar cel intern R2H (s) . Într-un sistem de reglare în cascadă, mărimea de comandă dintr-o buclă este mărime prescrisă pentru bucla imediat interioară. Bucla externă se numeşte şi buclă principală iar regulatorul din această buclă se numeşte regulator principal. Regulatorul principal are rolul decisiv în asigurarea erorii staţionare de poziţie nulă, şi de aceea trebuie să conţină o componentă de tip integrator. Chiar dacă sistemul global este unul de stabilizare automată, buclele interne se comportă ca şi sisteme de urmărire. Ele trebuie să menţină mărimea intermediară, căreia îi este ataşată, la o valoare dictată de bucla imediat exterioară, valoare care depinde de valorile perturbaţiilor. Structurile de reglare în cascadă sunt foarte utilizate în practica industrială. În mod frecvent, pentru reglările de viteză de rotaţie la maşinile electrice, indiferent de tip, se folosesc structuri în cascadă având curenţii motrici ca şi mărimi intermediare.


238

Un astfel de sistem de reglare permite compensarea efectului perturbaţiilor numai după ce mărimea reglată se modifică. Buclele interioare, ca şi sisteme de urmărire, trebuie să asigure performanţe atât în raport cu referinţa lor (comanda din bucla imediat exterioară) cât şi în raport cu perturbaţiile care acţionează asupra instalaţiei până la mărimea intermediară pe care o controlează. Calculul de sinteză al unui sistem de reglare în cascadă se efectuează din interior către exterior. O buclă interioară apare ca şi componentă a părţii fixe pentru bucla imediat exterioară. Faptul că această componentă este un sistem cu reacţie, face să se atenueze neliniarităţile şi evident efectul perturbaţiilor aferente acelei bucle. În sistemele de reglare în cascadă nu se pot ignora traductoarele deoarece apar reacţii după mărimi diferite ca natură. Pentru a încadra calculul în structurile convenţionale în care apar reacţii directe, fiecare buclă este echivalată printr-o buclă cu reacţie directă având la ieşire un element cu funcţia de transfer egală cu inversul funcţiei de transfer a traductorului din acea buclă. 9.2.2. Exemplu de sistem de reglare în cascadă pentru viteza de rotaţie

a unui motor de curent continuu Este bine cunoscută schema bloc a unui motor de curent continuu cu excitaţie separată, reprezentată în Fig.9.2.2. Factorii de proporţionalitate m eK , K depind de tensiunea de excitaţie exu . Principala perturbaţie o constituie cuplul reziatent rc (t) .

= ( )u exKe KeKe

Ls+R1

Js+K1

v

c (t)r C (s) rC (s) ac (t)au(t)

U(s)

ω(t)Ω(s)

-+

+

-i(t)Km

Km Km u ex= ( )

I(s)

Figura nr.9.2.2.

Pentru a realiza un sistem de reglare în cascadă la care mărimea intermediară este curentul rotoric i(t) , se transformă schema bloc de mai sus într-o schemă echivalentă care să evidenţieze acest curent ca şi mărime intermediară. Se obţine schema bloc echivalentă a motorului de curent continuu în care


239

v1 2

v m e v

J s KG (s)(L J) s (R J L K ) s K K R K

⋅ +=

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (9.2.1)

e2 2

v m e v

KG (s)(L J) s (R J L K ) s K K R K

=⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

(9.2.2)

şi structura de reglare în cascadă din Fig.9.2.3.

Js+K1

v

c (t)r

c (t)r

c (t)r

C (s) r

C (s) r

C (s) r

C (s) ac (t)au(t)

U(s)ω (t)Ω(s)

++

+

-i(t) Km

G (s)2

G (s)1 I(s)

Schema bloc echivalentá a motorului de curent continuu

H (s) Tr2

H (s) Tr1

y R2

2 r 1 ry R1

H (s) R2H (s) R1+

+

− −

v

Bucla interná

Bucla principaláBucla externá

Regulatorprincipal

Regulatorintern

ε1 ε2

Traductor de curent

Bucla de curentTraductor de turaþie

Bucla de turaþie

Figura nr.9.2.3.

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9 3. Sisteme de reglare combinată DE REGLARE AUTOMATĂ

240

9.3. Sisteme de reglare combinată 9.3.1. Definiţia sistemelor de reglare combinată Sunt sisteme în care se îmbină principiul acţiunii prin discordanţă cu principiul compensaţiei. Conform principiului acţiunii prin discordanţă, întâi mărimea reglată se abate de la valoarea prescrisă, nu are importanţă ce perturbaţie a produs abaterea, şi apoi se reacţionează pentru compensarea acestei abateri. Acţiunea prin discordanţă este materializată prin existenţa circuitului de reacţie. Are avantajul compensării efectului oricăror perturbaţii şi dezavantajul că există abateri nenule. Principiul compensaţiei presupune măsurarea anumitor perturbaţii şi aplicarea unor corecţii suplimentare, astfel încât să se compenseze pe această cale efectul prturbaţiilor respective transmis pe cale naturală. Corecţiile se pot aplica la ieşirea din legea de reglare ca un semnal de bias sau la intrarea în legea de reglare ca un semnal de offset. Acţiunea prin compensare are avantajul că se pot realiza regimuri tranzitorii cu abateri nule şi dezavantajul că permite compensarea numai pentru anumite perturbaţii. Îmbinarea celor două principii conduce la avantaje deosebite în special când există perturbaţii dominante ce pot fi măsurate. 9.3.2. Sisteme de reglare combinată având corecţia suplimentară

aplicată la ieşirea din legea de reglare Un sistem de reglare combinată având corecţiile suplimentare aplicate la ieşirea din legea de reglare şi deci la intrarea elementului de execuţie, în funcţie numai de valoarea perturbaţiei kp , este prezentat în Fig.9.3.1.

H (s) Rpk

v+

u Fy Ry pk y pk

H (s) R

H (s) Trpk

H (s) Fpk H (s) Fpi

F (s)pk

H (s) F+ +

+ + +

−

ε

p (t) k p (t) i

yy

yuF

i=1:q, i k≠

y Rbias

Traductor pentruperturbaþie

Element decorecdþie

al regulatoruluiSemnalul de bias

bias

bias

Figura nr.9.3.1.


241

Corecţia suplimentară se realizează prin semnalul

bias biasR pk kY (s) F (s) P (s)= ⋅ (9.3.1)

unde biaspkF (s) este filtrul de corecţie

bias biaspk Rpk TrpkF (s) H (s) H (s)= ⋅ (9.3.2)

în care biasRpkH (s) este funcţia de transfer a elementului de corecţie iar TrpkH (s)

este funcţia de transfer a traductorului prin care se măsoară perturbaţia kp . Răspunsul forţat al sistemului în circuit închis, prevăzut cu această corecţie suplimentară este

q

v pk pii 1;i k

Y(s) Y (s) Y (s) Y (s)= ≠

= + + ∑ (9.3.3)

unde v vY (s) H (s) V(s)= ⋅ ; pi pi iY (s) H (s) P (s),i 1: q,i k= ⋅ = ≠ (9.3.4)

bias

Fpk pk Fpk k

R F R F

H (s) F (s) H (s)Y (s) [ ] P (s)

1 H (s) H (s) 1 H (s) H (s)⋅

= + ⋅+ ⋅ + ⋅

(9.3.5)

Componenta pky (t) a mărimii de ieşire, provocată de variaţia perturbaţiei kp (t) , este nulă dacă

Fpkbiaspk

F

H (s)F (s)

H (s)= − (9.3.6)

şi rezultă

FpkbiasRpk

Trpk F

H (s)1H (s)H (s) H (s)

= − ⋅ (9.3.7)

Se observă că în această structură, filtrul de corecţie nu depinde de legea de reglare fiind acelaşi în circuit deschis şi închis. 9.3.3. Sisteme de reglare combinată având corecţia suplimentară

aplicată la intrarea în legea de reglare Un sistem de reglare combinată având corecţiile suplimentare aplicate la intrare în legea de reglare, în funcţie numai de valoarea perturbaţiei kp , este prezentat în Fig.9.3.2.


242

y Rv+ u Fy pk y ik

H (s) R

H (s) Rpk H (s) Trpk

H (s) Fpk H (s) Fpi

F (s)pk

H (s) F

+

++

+ +

−

ε

p (t) k p (t) i

yyuF

i=1:q, i k≠

y Roff

Traductor pentruperturbaþie

Element decorecdþie

al regulatoruluiSemnalul de offset

Ru v

off

off

Figura nr.9.3.2.

Corecţia suplimentară se realizează prin semnalul

off offR pk kY (s) F (s) P (s)= ⋅ (9.3.8)

unde offpkF (s) este filtrul de corecţie de tip offset

off offpk Rpk TrpkF (s) H (s) H (s)= ⋅ (9.3.9)

în care offRpkH (s) este funcţia de transfer a elementului de corecţie iar TrpkH (s)

este funcţia de transfer a traductorului prin care se măsoară perturbaţia kp . Răspunsul forţat al sistemului în circuit închis, prevăzut cu această corecţie suplimentară este (9.3.3), în care sunt valabile relaţiile (9.3.4) însă

off

Fpk pk R Fpk k

R F R F

H (s) F (s) H (s) H (s)Y (s) [ ] P (s)

1 H (s) H (s) 1 H (s) H (s)⋅ ⋅

= + ⋅+ ⋅ + ⋅

(9.3.10)

Componenta pky (t) a mărimii de ieşire, provocată de variaţia perturbaţiei

kp (t) , este nulă dacă

offFpk pk R F k[H (s) F (s) H (s) H (s)] P (s) 0+ ⋅ ⋅ ⋅ ≡ (9.3.11)

de unde rezultă

Fpkoffpk

R F

H (s)F (s)

H (s) H (s)= −

⋅ (9.3.12)

Se observă că în această structură, filtrul de corecţie depinde de legea de reglare. Dacă RH (s) are caracter integrator atunci filtrul de corecţie off

pkF (s) are caracter derivator astfel că în regim staţionar nu se realizează nici-o corecţie.

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.4. Sisteme de reglare convergentă DE REGLARE AUTOMATĂ

243

9.4. Sisteme de reglare convergentă 9.4.1. Definiţia sistemelor de reglare convergentă Reglarea convergentă se aplică la procese cu o singură mărime de comandă şi o singură mărime reglată la care sunt disponibile o serie de mărimi intermediare, fiecare prevăzute cu traductoare adecvate. Sistemul este prevăzut cu o buclă principală de reglare, având o lege de reglare principală R1H (s) . În reglarea convergentă se aplică corecţii suplimentare, dependente de mărimile intermediare, concentrate într-un singur punct. Corecţiile sunt aplicate la ieşirea din regulatorul principal sau la intrarea acestuia, prin prelucrarea specifică şi individuală a semnalelor de ieşire din traductoarele aferente mărimilor intermediare. De multe ori pe circuitele de corecţie se introduc, în amonte sau aval faţă de elementele dinmice liniare de corecţie, o serie de neliniarităţi nedinamice. Din punct de vedere al implementărilor fizice structura de reglare convergentă este asemănătoare cu structura de reglare combinată numai că intrările în elementele de corecţie sunt preluate de la marimi intermediare, ce depind de comenzile aplicate. La reglarea combinată corecţiile erau dependente de perturbaţiile măsurate care sunt mărimi de intrare. Structura de reglare convergentă este o variantă de sistem de reglare cu mai multe bucle MLCS (Multy Loop Control System). Se prezintă în continuare două astfel de structuri considerând numai o singură mărime intermediară cu element neliniar de tip zona moartă conectat în amonte. 9.4.2.Sisteme de reglare convergentă având corecţia suplimentară

aplicată la ieşirea din legea de reglare Un exemplu de sistem cu o singură buclă de corecţie este prezentat în Fig.9.4.1. ce conţine o neliniaritate de tip zonă moartă. Dacă mărimea intermediară este mai mică decât o valoare predefinită *

2Y , *2 2y Y< ,atunci R2y (t) 0→ bucla de corecţie suplimentară

tinde să nu afecteze comportarea sistemului de reglare principal care realizează anumite performanţe îniţiale sau principale. Peste această limită, *

2 2 R2y Y y (t) 0> ⇒ ≠ , bucla suplimentară este activă şi se realizează alte performanţe. Un astfel de sistem apare ca un sistem cu structură variabilă şi poate fi încadrat în categoria sistemelor liniare pe porţiuni. Trebuie analizată cu grijă comportarea sistemului la limita de comutare *

2 2y Y=

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.4. Sisteme de reglare convergentă DE REGLARE AUTOMATĂ

244

Se poate declanşa o mişcare oscilantă în jurul acestui punct, denumit şi fenomen de "agăţare", în unele aplicaţii benefic în altele trebuind evitat sau asigurate proceduri de ieşire din regimul de agăţare.

+

u F

u R2 R2y

R1y y 1

y 1 y 2

H (s) R1

H (s) R2

+

--

v εPartea fixá

u R2y 2

2Y*0

Figura nr.9.4.1.

9.4.3. Sisteme de reglare convergentă având corecţia suplimentară aplicată la intrarea în legea de reglare Structură anterioară dar cu corecţie la intrarea în legea de reglare principală este prezentată în Fig.9.4.2.

+

u F

u R2 R2y

R2y

R1y y 1

y 1 y 2

H (s) R1

H (s) R2

+

--

v εPartea fixá

u R2y 2

2Y*0

Figura nr.9.4.2.

O aplicaţie des folosită a acestei structuri se întâlneşte la reglarea vitezei de rotaţie a unor motoare electrice, în care 1y este viteza de rotaţie şi 2y este curentul rotoric. Se ştie că dacă valoarea cuplului rezistent, care este o perturbaţie, creşte valoarea curentului rotoric poate depăşi limite de funcţionare normală moment în care sistemele de protecţie declanşează oprirea sistemului, cu consecinţele corespunzătoare. Cu structura de mai sus se evită astfel de situaţii. Dacă *

2 2y Y< se pot asigura performanţe superioare pentru viteza de rotaţie. Când *

2 2y Y> prin bucla suplimentară se limitează valoarea curentului, chiar dacă pentru viteza de rotaţie scad performanţele, dar sistemul nu se opreşte şi poate reveni singur la structura iniţială.

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.5. Sisteme de reglare paralelă DE REGLARE AUTOMATĂ

245

9.5. Sisteme de reglare paralelă 9.5.1.Definiţia sistemelor de reglare paralelă Sistemele de reglare paralelă sunt sisteme în care o aceeaşi mărime de execuţie este controlată de bucle de reglare separate care nu operează în acelaşi timp. Reglarea paralelă se aplică la procese cu mai multe mărimi ce trebuiesc controlate dar folosind o unică mărime de comandă. Pentru fiecare mărime reglată este prevăzută o buclă de reglare specifică, cu o mărime prescrisă corespnzătoare. În funcţie de anumite condiţii, dependente de starea procesului condus, se permite accesul la mărimea de comandă numai a unei singure bucle de reglare, care devine astfel buclă activă. Se efectuează reglarea numai a mărimii aferentă buclei active, celelalte mărimi de ieşire fiind libere, afectate de perturbaţii şi de comenzile date de bucla activă. Accesul la comandă se realizează printr-un circuit logic care realizeaæa comutarea mărimii de intrare în partea fixă a sistemului la ieşirea din regulatorul care va deveni activ în funcţie de o variabilă de stare logică S. 9.5.2. Sistem de reglare paralelă cu două bucle În Fig.9.5.1.a. este prezentată o structură de reglare paralelă cu două bucle.

+

+

u F

R2y

R1y

ε 2

H (s) R1

H (s) R2

-

-

1ε

Partea fixá

2Y*

Y* 1

S=1

S=0

Sy 2

y 2

y 1

S

01

a) b)

Y1

Y2

1v Y* 1=

v 2 2Y*=

Y1 Y2R( , )=0

2Y0

Figura nr.9.5.1.

Partea fixă a sistemului are două mărimi de ieşire, 1 2y , y , ce reprezintă mărimile de ieşire din traductoarele a două mărimi fizice, şi o singură mărime de comandă Fu , intrarea în elementul de execuţie.


246

Starea care dirijează circuitul de comutaţie, în acest exemplu depinde numai de mărimea 2y este dată de relaţia,

0

2 20

2 2

1, y YS

0, y Y

≥= <

(9.5.1)

astfel că dacă 02 2y Y< se conectează bucla 1y iar dacă 0

2 2y Y≥ se conectează bucla 2y . Presupunem că ambele bucle asigură eroare staţionară de poziţie nulă. În regim staţionar acest sistem realizează relaţia din Fig.9.5.1.b. , 1 2R(Y ,Y ) 0=

unde 1 1 2 2Y y ( ),Y y ( )= ∞ = ∞

cu valorile

* *1 1 2 2Y v ,Y v= = ,

date de mărimile prescrise, evident cu condiţia

* 02 2 2v Y Y= =

Implementarea acestei structuri presupune asigurarea condiţiilor de comutare fără şocuri la elementul de execuţie. 9.5.3.Exemple de aplicare a sistemelor de reglare paralelă Structura de reglare paralelă de mai sus este frecvent întâlnită în sistemele de control a incărcării bateriilor de acumulatoare electrice în care 1y i= curentul prin baterie iar 2y u= tensiunea la bornele bateriei. Atâta timp cât tensiunea la bornele bateriei este mai mică decât o valoare dată 0 0

2Y U= , de exemplu 0U 12V= , se realizează reglarea curentului de încărcare la valoarea constantă * *

1 1v Y I= = , de exemplu *I 6A= . In aceste condiţii sursa de alimentare a încărcării se comportă ca o sursă de curent. Pe măsură ce bateria se încarcă, tensiunea ei la borne creşte. Când aceasta atinge valoarea nominală 0U se conectează bucla de reglare a tensiunii şi se menţine constantă valoarea tensiunii * 0 0

2 2 2v Y Y U= = = . Pentru o funcţionare corectă şi stabilă a structurii trebuie evitate comutaţiile nedorite, sau intrarea în regim de alunecare. În acest scop caracteristica neliniară care defineşte starea de comutare este prevăzută cu zone de histerezis sau se introduc filtre suplimentare.


247

Un alt exemplu, des întâlnit în practică, de aplicare a structurii de reglare paralelă, îl constituie sistemele de reglare a vitezei de rotaţie la maşinile electrice în care 1y = ω este viteza de rotaţie iar 2y i= este curentul rotoric. Atâta timp cât curentul rotoric este mai mic decât o valoare limită

0 02Y I= se realizează reglarea vitezei de rotaţie după o caracteristică dură, adică

se menţine viteza de rotaţie ω la o valoare constantă în regim staţionar * *

1 1v Y= = Ω , oricare ar fi cuplul rezistent. Dacă intensitatea curentului rotoric depăşeşte valoarea limită 0I , datorită aplicării unui cuplu rezistent de valoare mare peste o valoare critică, atunci, pentru a nu arde motorul, se renunţă la reglarea vitezei de rotaţie şi se menţine curentul rotoric la valoarea nominală 0I . In acest regim motorul se roteşte cu o viteză maxim posibilă dar pentru care absoarbe un curent 0I . În momentul în care cuplul rezistent scade sub valorile critice de mai sus se revine în mod automat la menţinerea vitezei de rotaţie la valoarea prescrisă

* *1 1v Y= = Ω .

9. SISTEME NECONVENŢIONALE 9.6. Sisteme de reglare cu structură variabilă DE REGLARE AUTOMATĂ

248

9.6. Sisteme de reglare cu structură variabilă 9.6.1. Definiţia sistemelor cu structură variabilă Sistemele de reglare cu structură variabilă (SRSV) sunt sisteme în care parametrii sistemului (parametrii legii de reglare şi ai părţii fixe) şi/sau relaţiile de conexiune se modifică în salt în funcţie de starea sistemului, care include starea regulatorului şi a părţii fixe, sau în funcţie de caracteristicile unor mărimi de intrare (mărimea prescrisă sau perturbaţii). În acest context, valorile parametrilor şi relaţiile de conexiune existente la un moment dat, definesc o structură. Sistemele în timp continuu cu structură variabilă, în esenţă sunt descrise prin sisteme de ecuaţii diferenţiale cu partea dreaptă discontinuă. Acestea nu se încadrează în teoria clasică a ecuaţiilor diferenţiale. Există metode specifice de abordare ca de exemplu prin teoria distribuţiilor sau abordarea Filippov. Prin excelenţă sistemele cu structură variabilă sunt sisteme neliniare. Un caz particular de SRSV îl constituie sistemele în care fiecare structură exprimă un sistem liniar, fiind încadrate în clasa sistemelor liniare pe porţiuni eventual înzestrate cu un mecanism exterior de schimbare a structurii. 9.6.2. Exemplu de sistem cu structură variabilă Se ştie că în general, într-un sistem liniar, dacă factorul de proporţionalitate al legii de reglare RK are valoare mică, mic

R RK K= , atunci polii funcţiei de transfer pot fi reali şi răspunsul sistemului este aperiodic, fără suprareglaj aşa cum este ilustrat în Fig.9.6.1. Acesta este un avantaj dar din păcate răspunsul este prea lent ceeace înseamnă un dezavantaj în special când eroarea sistemului este mare.

v

v-δ

v+δ

t

ε ε= v-y

ySistem liniar

Sistem cu structurá variabilá

Sistem cu structurá variabilá

Sistem liniar

K = K R Rmic

K = K R Rmic

K = K R Rmare

K = K R Rmare

Figura nr.9.6.1.


249

Dacă în schimb factorul de proporţionalitate RK are valoare mare mare

R RK K= , polii pot fi complex conjugaţi şi răspunsul este oscilant amortizat cu un suprareglaj mare, ceeace este un dezavantaj dar răspunsul este rapid ceea ce înseamnă un avantaj mare. Deci prin cele două valori ale parametrului RK s-au definit două structuri S:

mic1 R RS S K K= ⇔ = (9.6.1)

mare2 R RS S K K= ⇔ = . (9.6.2)

Se poate concepe un sistem care să preia avantajele de la fiecare structură. În acest scop se măsoară eroarea sistemului şi dacă aceasta are o valoare în modul peste o anumită limită se setează mare

R RK K= şi dacă eroarea este mică în modul se setează mic

R RK K= . Acesta este de fapt un sistem cu structură variabilă cu o evoluţie ca în Fig.9.6.1. ce fructifică avantajele fiecărei structuri. Dacă mărimea reglată este departe de valoarea prescrisă, sistemul are o evoluţie rapidă iar, dacă mărimea reglată este aproape de valoarea prescrisă, evoluţia este lentă şi se evită apriţia unor suprareglaje. Pentru a concretiza această idee, se defineşte o vecinătate de lăţime laterală δ a valorii prescrise şi un semnal s s | |= ε −δ (9.6.3)

denumit criteriu de modificare a structurii. In funcţie de valoarea lui s se identifică structura necesară şi anume 1s 0 S S ;≤ ⇔ = ; 2s 0 S S> ⇔ = . (9.6.4)

Se concepe un dispozitiv pentru modificarea parametrilor legii de reglare care realizează relaţiile,

mic1 R Rs 0 S S | | K K≤ ⇔ = ⇔ ε ≤ δ⇒ = (9.6.5)

mare2 R Rs 0 S S | | K K> ⇔ = ⇔ ε > δ⇒ = . (9.6.6)

Pentru ca sistemul cu structură variabilă să se comporte ca în Fig.9.6.1. trebuie conceput şi un dispozitiv de evitare sau numai atenuare a şocurilor care pot apare la modificarea structurii. De exemplu, dacă legea de reglare este de tip PI şi se notează Rw(t) K (t)= ⋅ ε (9.6.7)

atunci semnalul de comandă este


250

o

tc c 0 t

i

1y (t) y (t ) w(t) w( )dT

= + + ⋅ τ τ∫ (9.6.8)

Dacă în momentul comutării la 1t t= , 2 1S S→ eroarea are o valoare 1 1(t ) 0ε = ε ≠ atunci mărimea de comandă are o variaţie bruscă, uneori

inacceptabilă,

mic marec 1 c 1 R R 1y (t ) y (t ) [K K ]+ − = − ⋅ ε . (9.6.9)

9.6.3. Regimuri de evoluţie în sistemele cu structură variabilă Într-un sistem cu structură variabilă, ca în orice sistem neliniar, sunt posibile regimuri de evoluţie care nu pot fi întâlnite la sistemele liniare. Caracteristica esenţială în evoluţia sistemelor cu structură variabilă o constituie existenţa şi unicitatea stării sistemului. Variabilele de stare sunt funcţii continuale în timp. La unele sisteme cu structură variabilă, ce conţin numai susbsisteme continue cu intrări mărginite, variabilele de stare sunt funcţii continuale şi în plus sunt şi funcţii continue în timp. Pentru aceste cazuri, sistemul intră într-o anumită structură cu o valoare iniţială a stării, egală cu valoarea finală a acestei stări din evoluţia în structura anterioară. Se remarcă două de regimuri de evoluţie: Regimul de comutare (switching mode) Regimul de alunecare (sliding mode) 9.6.3.1. Regimul de comutare În regimul de comutare starea sistemului parcurge o succesiune de structuri, evoluţia în fiecare structură fiind de durată finită. Succesiunea parcurgerii structurilor sau mai precis comutarea structurilor poate fi liberă sau forţată. Comutarea liberă este determinată de atingerea unor valori critice sau specificate ale stării eventual grupate în familii de valori critice. O familie de valori critice determină o anumită structură şi numai una. În regimul de comutare liberă, comutarea structurilor se realizează astfel în circuit închis. Comutarea forţată a structurilor se realizează în funcţie de valorile unui semnal extern sau în funcţie de condiţii de comutare externe sistemului. În regimul de comutare forţată, comutarea structurilor se realizează astfel în circuit deschis.


251

9.6.3.2. Exemplu de regim de comutare Se consideră două structuri, 1 2S ,S , liniare la limita de stabilitate, caracterizate prin două valori ale pulsaţiei libere 1 2ω > ω ,

21 1S : y(t) [ ] y(t) 0

••+ ω ⋅ = (9.6.10)

22 2S : y(t) [ ] y(t) 0

••+ ω ⋅ = , (9.6.11)

cărora le corespund traiectorii în spaţiul fazelor`

1 2x (t) y(t),x (t) y(t)•

= = (9.6.12) de forma,

2 221 1 1 1 1 1 1 0 2 0

1

xS : (x ) ( ) A ,A A ( ,x (t ),x (t )) 0+ = = ω ≥ω

(9.6.13)

2 222 1 2 2 2 2 1 0 2 0

2

xS : (x ) ( ) A ,A A ( ,x (t ),x (t )) 0+ = = ω ≥ω

(9.6.14)

asă cum este ilustrat în Fig.9.6.2. În fiecare structură răspunsul sistemului este un semnal sinusoidal, fiecare cu o anumită amplitudine şi pulsaţie, dependente de parametrii structurii respective (în cazul de faţă numai pulsaţia liberă) şi de condiţiile iniţiale în care se începe evoluţia în cadrul structurii. Deoarece 1 2ω > ω , structura 1S are traiectoriile mai alungite pe verticală decât 2S , pornind din aceleaşi condiţii iniţiale. Se observă că, dacă în cadranele I şi III, se alege structura 1S iar în cadranele III şi IV se alege structura 2S atunci din două sisteme la limita de stabilitate se pot obţin evoluţii stabile

.

S1

S1

S2

S2

x x = 12.

x1

Figura nr.9.6.2.


252

Pentru a concretiza această idee, se defineşte criteriul de modificare a structurii 1 2s x x= ⋅ (9.6.15)

In funcţie de valoarea lui s se identifică structura necesară şi anume 1 2 1s x x 0 S S= ⋅ ≥ ⇔ = (9.6.16)

1 2 2s x x 0 S S= ⋅ < ⇔ = . (9.6.17)

Se concepe un dispozitiv pentru modificarea parametrilor ce determină pulsaţia 1ω= ω sau 2ω= ω . Acesta realizează relaţiile,

1 1 2 1s 0 S S x x 0≥ ⇔ = ⇔ ⋅ ≥ ⇒ω= ω (9.6.18)

2 1 2 2s 0 S S x x 0< ⇔ = ⇔ ⋅ < ⇒ω= ω (9.6.19)

Ecuaţia care exprimă o limită criteriului de modificare a structurii (în cazul de faţă zero), s 0= , defineşte curbele de comutare, sau curbele de schimbare a structurii. În cazul de faţă 1 2s 0 x 0 or x 0= ⇒ = = (9.6.20)

sunt denumite şi drepte de comutare. 9.6.3.3. Regimul de alunecare Regimul de alunecare se caracterizează prin schimbarea alternativă a două structuri 1 2S ,S cu o frecvenţa de comutare, teoretic infinită, practic foarte mare. Dacă comutările au loc în conformitate cu un criteriu de comutare

T1 i ns s(x),x [x ,.....,x ......., x ]= = (9.6.21)

ce realizează în spaţiul de stare al unui sistem de ordinul n, 1s(x) 0 S S> ⇒ = (9.6.22)

2s(x) 0 S S< ⇒ = , (9.6.23)

atunci, în prima structură 1S valoarea criteriului este s(x) 0> având însă traiectoriile îndreptate spre cealaltă structură astfel că starea depăşeşte curba dată de s(x) 0= şi intră în domeniul unde s 0< ce corespunde celei de a doua structuri 2S dar cu traiectoriile îndreptate spre prima structură s.a.m.d., cum este ilustrat şi în Fig.9.6.3.


253

x1

S1

S1

S1 S1

S1

S1

S1

S1

S1

S2

S2S2

S2

S2

S2

x2s=0

s<0

s>0

x1 x2(t ) (t )0 0;

Evoluþia cátreregimul de alunecare

Figura nr.9.6.3.

Are loc astfel un fenomen de "alunecare" de-a lungul unei curbe, denumită curba de alunecare, o soluţie care verifică ecuaţia s(x) 0= . (9.6.24)

Aceasta înseamnă de fapt o restricţie în spaţiul stărilor deci corespunde unei evoluţii a unui sistem echivalent de ordinul n 1− . De exemplu, dacă n 2= şi variabilele de stare sunt variabile de fază,

adică 1 2x x•= , atunci o curbă de comutare dată de

2 1s(x) x c x 0= − ⋅ = , înseamnă asigurarea în regim de alunecare a unei evoluţii de ordinul întăi 1 1x c x= ⋅ (9.6.27)

indiferent de parametrii sistemelor ce definesc cele două structuri. În regim de alunecare se obţine o evoluţie robustă, îndependentă de sistemele componente însă numai dacă este posibil un regim de alunecare adică traiectoriile sunt îndreptate unele către celelalte. Contrar se realizează eventual un regim de comutare. Într-un sistem de reglare în regim de alunecare (sliding mode control) se deosebesc două etape: 1. Etapa de atingere a curbei de alunecare, ce poate însemna evoluţii în regim de comutare 2. Etapa de evoluţie în regim de alunecare, numai dacă se atinge curba de comutare în care este adevărat acest fenomen. Evoluţia în regim de alunecare se traduce până la urmă în realizarea unor variaţii alternative ale mărimii de execuţie cu frecvenţă mare sau foarte mare. Sistemele de reglare în regim de alunecare se pot aplica la procesele în care mărimea de execuţie poate suporta astfel de variaţii. Un exemplu des întâlnit în practică îl constituie acţionările electrice ce folosesc convertoare statice.

10. INDICATORI DE CALITATE ŞI PERFORMANŢE 10.1. Indicatori de calitate şi performanţe IMPUSE SISTEMELOR DE REGLARE pentru caracterizarea evoluţiei sistemelor

254

10. INDICATORI DE CALITATE ŞI PERFORMANŢE IMPUSE SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ

10.1. Indicatori de calitate şi performanţe pentru caracterizarea

evoluţiei sistemelor 10.1.1. Definiţia noţiunilor de indicator de calitate şi performanţă Prin indicator de calitate (IC) al unui sistem se înţelege o măsură a calităţii evoluţiei acelui sistem. De obicei, indicatorii de calitate se exprimă prin valori numerice. De exemplu, eroarea staţionară de poziţie, notată 0∞ε , a unui sistem de reglare a temperaturii este un număr ce exprimă diferenţa dintre valoarea dorită a temperaturii şi cea realizată de sistem, în regimul staţionar provocat de variaţia treaptă a mărimii de referinţă. Viteza v de deplasare a unui autoturism este un indicator al evoluţiei acelui autoturism, dintr-o mulţime de indicatori care se pot ataşa evoluţiei autoturismului pentru o descriere cât mai completă. In sistemele heuristice de reglare, de exemplu cele bazate pe mulţimi vagi, valorile indicatorilor de calitate pot fi etichete lingvistice, pentru care se defineşte o anumită semantică. De exemplu 0∞ε este: "mare", "foarte mare". Prin performanţă a unui sistem, raportată la un indicator de calitate ICi , se inţelege o relaţie de inegalitate (în particular egalitate) Pi , impusă acelui indicator de calitate. O performanţă poate fi satisfacută sau nu. Performanţa apare ca un predicat, i i i i i iP :"IC IC imp " sau P :"IC IC imp"≤ ≥ (10.1.1) De exeplu: 1 2P :" 5 C"; P :"v 100 km/h", etc0∞ε ≤ ° ≥ In cazul sistemelor heuristice, performanţele pot fi indeplinite mai mult sau mai puţin, în funcţie de logica adoptată. O mulţime de performanţe P=P1, P2, ...,Pn, defineşte o problemæ de sinteză. Fiecare componentă iP ,i 1...n= , se referă la un anumit indicator de calitate ICi. Prin numărul şi felul performanţelor alese în P se defineşte scopul procedurii de sinteză adică determinarea unui sistem S a cărui evoluţie să îndeplinească toate performanţele definite în problema de sinteză P . Se spune că un sistem S corespunde (satisface) setului de performanţe P dacă evoluţia sa determină valori pentru indicatorii de calitate aleşi în P astfel încât fiecare performanţă iP ,i 1...n= , este îndeplinită. Se defineşte S(P) mulţimea sistemelor generate de P . S(P) =S| S satisface P denumită clasa sistemelor satisfăcătoare în raport cu P.


255

Dacă S(P) este vidă, înseamnă că P este formulat nerealist, iar dacă are un singur element înseamnă că problema de sinteză este strict determinată. Dacă S(P) are mai multe elemente, atunci ca şi soluţie S* a problemei de sinteză se alege la întâmplare un element din S(P) sau se impun criterii suplimentare de alegere a unui anumit element S din S . Fiecare performanţă Pi acţionează ca o restricţie care îngustează clasa sistemelor S satisfăcătoare. Alegerea acestor performanţe trebuie să fie determinată de cerinţele obiective (practice) care generează procedura de sinteză. Unele performanţe sunt evidente şi uneori nu se mai menţionează explicit. De exemplu: "Sistemul este stabil", "Sistemul este liniar invariabil în timp" ⇔ "SLIT". Dacă se adoptă o procedură de sinteză bazată pe manipularea funcţiilor de transfer ultima performanţă de mai sus, în acest context având nuanţa de cerinţă (restricţie), este subînţeleasă. Alte performanţe subînţelese se referă la structura sistemului, de exemplu: "Sistem de reglare convenţională", etc. Există două categorii de indicatori de calitate: - Indicatori de calitate sintetici, denumiţi şi indicatori tehnici de calitate, care definesc (măsoară) anumite atribute ale răspunsului sistemului la intrări tip: impuls, treaptă, rampă, semnale armonice (prin caracteristicile de frecvenţă pe care le definesc) sau ale răspunsului sistemului la stare iniţială nenulă. - Indicatori globali de calitate care măsoară comportarea globală a sistemului pe un interval de timp finit sau infinit. În sistemele de reglare automată frecvent sunt utilizate următoarele categorii de atribute ale evoluţiei unui sistem, exprimate prin indicatori sintetici de calitate care măsoara: 1. Precizia sistemului in regim staţionar: erorile staţionare determinate de variaţia mărimii impuse: 1 2, ,0∞ ∞ ∞ε ε ε sau de variaţia unei perturbaţii pk: kp ∞ε , factorii generali de amplificare p v aK , K ,K . 2. Rezerva de stabilitate a sistemului care exprimă precizia in regim dinamic: suprareglajul σ ; abatere maximă ν , gradul de amortizare δ şi ρ ; marginea de fază γ ; vârful caracteristicii amplitudine pulsaţie Am, rezerva de amplitudine Aπ . 3. Viteza de răspuns a sistemului: durata regimului tranzitoriu tr, timpul de creştere tc ; timpul de întârziere td ; banda de pulsaţie bω . Aceşti indicatori de calitate definesc forma dorită a răspunsului unui sistem ce trebuie sintetizat, răspuns determinat atât de variaţia mărimii impuse cât şi de variaţia unei sau anumitor perturbaţii.


256

10.1.2. Exemple de precizare a performanţelor sistemelor Se consideră următoarele performanţe: P1:"SLIT cu doi poli complex conjugaţi".

1 v 2 2n n

KP H (s)=s 2 s

⇒+ ξω + ω

(10.1.2)

2 0P :" 0"∞ε = 3P :" 5%"σ = 4 rP :"t 7sec"= Alegând P' = 1P ⇒ S(P') este mulţimea tuturor sistemelor cu funcţia de transfer de mai sus generată prin 3 grade de libertate n(K, , )ξ ω . Dacă se alege P'=P1,P2 atunci rămân numai două grade de libertate

n, )(ξ ω deoarece 22 v nP H (0) 1 K=⇒ = ⇒ ω .

Pentru P'=P1, P2, P3, P4 de exemplu, S(P') conţine un singur element, sistemul cu funcţia de transfer Hv(s) în care n0.6901, 0.8767ξ = ω = 2

nK= 0.7687ω = Setul de performanţe P', alcătuit numai din relaţii de egalitate, este un set rigid, fară flexibilitate. El este echivalent cu o problemă de sinteză bazată pe model impus:

P' 5 5 vˆP ,P :"H (s)"⇔ unde v 2

0.7678H (s)s 1.3802s 0.7687

=+ +

, (10.1.3)

adică se cere sinteza legii de reglare: "astfel încât comportarea în circuit închis să fie aceea exprimată prin funcţia de transfer model sau dorită vH (s)".

Evident, odată precizată funcţia model, se pot deduce valorile tuturor indicatorilor de calitate posibil de definit pentru acea funcţie de transfer. În cazul de faţă pe lîngă 0 , r, t∞ε σ (care au valorile din P2, P3, P4) se pot calcula b v, ,A ,Aπγ ω etc. De multe ori această "dorinţă" de realizare a modelului impus intră în contradicţie cu alte cerinţe interne ale sistemului: realizabilitatea fizică şi simplitatea constructivă a legii de reglare, gradul de solicitare al elementului de execuţie etc. Impunând P3 ,P4 prin relaţii de inegalitate în sens acoperitor faţă de limite de acceptare, de exemplu, ' '

3 4 rP :" 5%"; P :"t 7sec"σ ≤ ≤ se obţine o familie de sisteme admise, oferind posibilitatea satisfacerii unor cerinţe suplimentare. Definirea setului de performanţe trebuie să pornească de la o realitate, limitele fiind reprezentate de cele mai slabe performanţe pe care le acceptă beneficiarul sistemului.


257

10.1.3. Indicatori globali de calitate Indicatorii globali de calitate se exprimă prin integrale (în cazul sistemelor continuale) sau prin sume (în cazul sistemelor discrete în timp), notaţi generic prin litera I. Cei mai des utilizaţi sunt indicatorii patratici (sau care pot fi echivalenţi cu indicatori patratici) în primul rând pentru că permit obţinerea unor soluţii analitice pentru o gamă mai largă de sisteme, de exemplu, sisteme liniare variabile în timp (SLVT). Performanţele se definesc prin condiţia ca aceste integrale I (sume în cazul sistemelor discrete) să aibă valoare minimă în unele probleme sau valoare maximă în alte probleme. De altfel, orice problemă de maxim pentru I este o problemă de minim pentru -I : P: " I are o valoare minimă " o astfel de performanţă P se numeşte "criteriu integral de calitate". Uneori, precizând indicatorul global de calitate I, se subânţelege (sau se menţionează dacă este cazul) scopul (obiectivul) de a-l minimiza (maximiza). În acest caz se foloseşte denumirea "criteriu integral". Performanţa P defineşte problema de sinteză P' =P, care se mai numeşte acum şi problema de optimizare în particular problema de minimizare. Forma generală a unor criterii integrale pentru sisteme dinamice cu intrarea u şi starea x este: Pentru sisteme continue,

T

0

I L(x,u,t)dt T finit sau T= = = ∞∫ , (10.1.4)

Pentru sisteme discrete,

N

k=0I= L(x,u,k) N finit sau N= = ∞∑ . (10.1.5)

x,u reprezintă starea şi intrarea la momentul t, respectiv pasul k . Funcţia L(.) se numeşte funcţie obiectiv. Într-o problemă de minimizare L(.) exprimă penalizarea la momentul t (pasul k) iar într-o problema de maximizare, câştigul la momentul t (pasul k). Cel mai dificil aspect în utilizarea criteriilor integrale pentru rezolvarea unor probleme de sinteză îl constituie modul de definire a funcţiei obiectiv L(.). Prin această definire se realizează de fapt transpunerea într-o formă matematică concisă a unor doleanţe de comportament.


258

H F p k (s)

kP (s)

-+

ε(t)V(s) E(s)

Y(s)

Y(s)+

+H F (s) (s)H R

(s)UF(s)YR ≡≡yR(t) uF(t) y(t)v(t)

10.1.4. Indicatori sintetici de calitate Trebuie menţionat că definiţiile de bază ale indicatorilor de calitate de mai jos se referă la toate categoriile de sisteme de reglare, indiferent dacă sunt liniare sau neliniare. La sistemele neliniare indicatorii de calitate exprimă caracteristici ale răspunsului pentru intrări complet specificate (de exemplu, semnal treaptă de la valoarea V1 la valoarea V2 , la momentul t1). Pentru sistemele liniare indicatorii de calitate exprimă caracteristici de sistem. Prin modul lor de definiţie indicatorii depind evident de tipul (forma) semnalului de intrare dar nu şi de parametrii care diferenţiază semnalele de acelaşi tip. Mai general, semnalele de intrare şi răspunsurile se consideră că sunt definite prin variaţii faţă de valorile lor într-un regim permanent, în timp deviat cu momentul iniţial a a

0t t t 0= − = . Regimul permanent este reprezentat prin răspunsul forţat la intrări date. Regimul staţionar este un caz particular de regim permanent, în care valorile permanente sunt constante. Dacă regimul staţionar este observat la momentul de timp a a

0t t= , valorile staţionare ale mărimilor y,v,ε se notează respectiv a a a a a a

st 0 st 0 st 0y (t ),v (t ), (t )ε . Se consideră structura standard a unui sistem de reglare convenţională reprezentată în Fig.10.1.1. exprimată prin modelul liniar (sau liniarizat) în jurul valorilor de regim staţionar menţionate anterior. Acesta este aşa numitul model liniar (sau liniarizat) în abateri faţă de un regim staţionar precizat la momentul fizic a a

0t t= , unde, a a a a

0 st 0y(t) y (t t ) y (t ) Y(s) y(t)= + − ⇒ = L ; (10.1.6) a a a a

0 st 0v(t) v (t t ) v (t ) V(s) v(t)= + − ⇒ = L (10.1.7) a a a a

0 st 0(t) (t t ) (t ) E(s) (t)ε = ε + − ε ⇒ = εL (10.1.8)

Figura nr.10.1.1. Se menţionează o singură perturbaţie pk din cele q posibile. Alte structuri de reglare pot fi interpretate prin structuri standard echivalente din punctul de vedere al definirii indicatorilor de calitate.

10. INDICATORI DE CALITATE ŞI PERFORMANŢE 10.2. Indicatori de calitate care măsoară IMPUSE SISTEMELOR DE REGLARE precizia sistemului în regim staţionar

259

10.2. Indicatori de calitate care măsoară precizia sistemului în regim staţionar şi permanent

Se precizează următorii indicatori: 10.2.1. Factorii generali de amplificare ai sistemului în circuit deschis Se definesc pentru funcţia de transfer in circuit deschis

dR FH (s)=H (s) H (s)⋅ , (10.2.1)

considerând că perturbaţiile nu se abat de la valorile lor staţionare astfel că,

kP (s) 0, k 1....q,≡ = dY(s) H (s) E(s)⇒ = ⋅ . (10.2.2)

Deoarece y este o mărime de reacţie, ε şi y au aceleaşi unităţi de măsură. Toate definiţiile sunt valabile pentru orice sistem nu neapărat pentru sistemul în circuit deschis. 10.2.1.1. Factorul de amplificare de poziţie Factorul de amplificare de poziţie pK , reprezintă raportul dintre valoarea variaţiei mărimii de ieşire (faţă de valoarea ei intr-un regim staţionar anterior sau faţă de un regim permanent anterior) şi valoarea variaţiei erorii (faţă de valoarea ei în acelaşi regim staţionar sau faţă de acelaşi regim permanent anterior) care a determinat modificarea ieşirii pentru t → ∞ considerând că eroarea are o noua valoare

p t

y(t) y( )K limt) )→∞

∞= =

ε( ε(∞. (10.2.3)

pK este o mărime adimensională: deoarece y şi ε au aceleaşi dimensiuni. In general, dacă intrarea este u, oarecare, p[K ] [Y]/[U].= (10.2.4)

Pentru sisteme liniare,

dp s 0

K limH (s)→

= (10.2.5)

Dacă dH (s) nu are caracter integrator, dpK H (0)= , finit.

Relaţia de mai sus se deduce imediat folosind teorema valorii finale, în ipoteza că Y(s) şi E(s) admit această teoremă,

d s 0p s 0 s 0 s 0

s 0

limsY(s)Y(s) sY(s) y( )K limH (s)=lim limE(s) sE(s) limsE(s) ( )

→

→ → →→

∞= = = =

ε ∞. (10.2.6)


260

10.2.1.2. Factorul de amplificare de viteză Factorul de amplificare de viteză vK , reprezintă raportul dintre viteza de variaţie a mărimii de ieşire, faţă de valoarea ei într-un regim staţionar (permanent) anterior, şi valoarea variaţiei erorii, faţă de de valoarea ei în acelaşi regim staţionar (permanent) anterior care a determinat modificarea ieşirii, pentru t → ∞ , considerând că eroarea are o noua valoare staţionară finită (o variaţie finită pentru t → ∞ faţă de regimul permanent anterior).

-1v t

y(t) y( )K lim (sec );t) )→∞

∞= =

ε( ε(∞ (10.2.7)

vK este o mărime dimensională

1v[K ] sec .−= (10.2.8)

Pentru sisteme liniare,

d 1v s 0

K lim[s H (s)] (sec )−

→= ⋅ (10.2.9)

Într-adevăr, presupunând că y(t) are transformată Laplace, pentru care este adevarată teorema valorii finale,

d s 0v s 0 s 0 s 0

s 0

lim[sLy(t)]Y(s) Ly(t) y( )K lim[sH (s)] lims limE(s) E(s) lim[sE(s)] e( )

→

→ → →→

∞= = = = =

∞. (10.2.10)

10.2.1.3. Factorul de amplificare de acceleraţie Factorul de amplificare de acceleraţie aK , reprezintă raportul dintre acceleraţia variaţiei mărimii de ieşire, faţă de valoarea ei într-un regim staţionar (permanent) anterior, şi valoarea variaţiei erorii, faţă de valoarea ei în acelaşi regim staţionar (permanent) anterior care a determinat modificarea ieşirii, pentru t → ∞ , considerând că eroarea are o nouă valoare staţionară finită, (o variaţie finită pentru t → ∞ faţă de regimul permanent anterior).

2a t

y(t) y( )K lim (sec );(t) ( )

−

→∞

∞= =

ε ε ∞ (10.2.11)

aK - este o mărime dimensională:

2a 2

[Y] 1[K ] sec[ ] sec

−= ⋅ =ε

. (10.2.12)

Pentru sisteme liniare 2 d 2

a s 0K lim[s H (s)] (sec )−

→= ⋅ (10.2.13)

Evident,

2

2 da s 0 s 0 s 0 s 0

s Y(s) Ly(t) sLy(t) y( )K lims H (s) lim lim limE(s) E(s) sE(s) ( )→ → → →

∞= = = = =

ε ∞. (10.2.14)


261

10.2.1.4. Exemplu de interpretare fizică a factorilor de amplificare Se consideră trei tipuri de sisteme (a, b, c) care iniţial se găsesc într-un regim staţionar ca în Fig.10.2.1.

ay(∞) a

0(t )y a st

a 0(t )y a st

t 0 a

t a

t = -

t 0 a

(t+ ) ay

(∞)y ≠0

(∞)y. =0 (∞)=0ÿ

y(t)

0

K v=0;K a=0;K p≠0, finit;

*Sistemul ajunge intr-un nou regim stationar.

o valoare constanta.

*Sistemul nu are caracterintegrator:

*Sistem cu autoechilibrare.

*Iesirea tinde catre

(a)

ε a t 0 a

(t+ )

t 0 a

t a

t = -

a 0(t )ε ast

a 0(t )ε ast 0

aE

ε(t) ε a(∞)ε(∞)= finit

0

a 0(t )y a st

a 0(t )y a st

t 0 a

t a

t = -

t 0 a

(t+ ) ay

0

y(t)→∞ t 0 a

(t+ ) ay →∞

(∞)=0ÿ(∞)y. = finit K a=0;K p=∞;K v≠0, finit;

*Sistemul ajunge intr-un regim permanent in care.

*Sistemul are un caractersimplu integrator:

*Iesirea tinde catre infinit

iesirea are o variatie rectilinie in timp.

*Viteza constanta.

(b)

a 0(t )y a st

a 0(t )y a st

t 0 a

t a

t = -

t 0 a

(t+ ) ay

0

y(t)→∞ t 0 a (t+ ) ay →∞

ÿ(∞)= finit→∞y.(t)

*Sistemul ajunge intr-un regim permanent in care.

*Sistemul are un caracterdublu integrator:

*Iesirea tinde catre infinit

iesirea are o variatie parabolica in timp .

*Acceleratie constanta.

K p=∞;K v=∞;K a≠0, finit;

(c)

Figura nr.10.2.1. Observaţie: În cazul sistemelor de tipul b şi c, care au caracter integrator, valoarea staţionară a intrării a a a

st 0 0(t ) Eε = care a determinat regimuri staţionare pentru aceste sisteme, este o valoare particulară, care asigură o stabilitate condiţionată. (Dacă a a

0ε = ε valoarea intrării în elementul integrator este nulă). Pentru valori a a a

st 0 0(t ) Eε ≠ , ieşirile sistemelor b şi c nu pot fi menţinute constante (regim staţionar), la momentul a

0t putându-se constata eventual un regim permanent cu o variaţie în timp rectilinie (cazul b) sau parabolă (cazul c).


262

10.2.1.5. Exemple de factori generali de amplificare deduşi din funcţii de transfer

a. Se consideră sistemul în circuit deschis descris prin funcţia de transfer, fără caracter integrator,

d (s 10) (20s 1) (0.1 s 1)(20s 1)H (s) 10 50(5s 1) (s 2) (5s 1)(0.5 s 1)

+ ⋅ + ⋅ + += = ⋅

+ ⋅ + + ⋅ +. (10.2.15)

Se calculează:

d dp s 0

10K limH (s) H (0) 10 502→

= = = ⋅ =

dv s 0

K lims H (s) 0→

= = ,

2 da s 0

K lims H (s) 0→

= = .

Se observă că funcţia de transfer are două zerouri, z1=-10; z2= -0.05, şi doi poli, p1= -0.2; p2= -2. Neavând un pol în origine sistemul este fără caracter integrator deci un sistem cu autoechilibrare. b. Se consideră sistemul în circuit deschis descris prin funcţia de transfer, cu caracter integrator,

d 10(s 10) (20s 1) (0.1 s 1) (20s 1)H (s) 50s (5s 1) (s 2) s (5s 1) (0.5 s 1)

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ += = ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +. (10.2.16)

Se calculează: 1

p v aK ; K 50 sec ; K 0−= ∞ = = . Deoarece sistemul are un singur pol în originea planului complex, are caracter de simplu integrator (uneori denumit şi "izodrom"), deci este un sistem fară autoechilibrare. c. Se consideră sistemul în circuit deschis descris prin funcţia de transfer, cu caracter dublu integrator,

d2 2

10 (s 10) (20s 1) (0.1 s 1)(20s 1)H (s) 50s (5s 1) (s 2) s (5s 1)(0.5 s 1)

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +. (10.2.17)

Se calculează: 2

p v aK ; K ; K 50 sec−= ∞ = ∞ = . Deoarece sistemul are doi poli în originea planului complex, are caracter de dublu integrator, deci este un sistem fară autoechilibrare.


263

10.2.2. Eroarea staţionară de poziţie în raport cu mărimea impusă În orice sistem de reglare automată, eroarea sistemului ca mărime fizică absolută (aşa cum este citită în procesul de măsurare sau evaluare) este

a a a a a a(t ) v (t ) y (t )ε = − (10.2.18)

Ea este dependentă atât de mărimea impusă av cât şi de perturbaţiile akp ce

acţionează asupra sistemului. Efectul perturbaţiilor şi al valorilor anterioare ale mărimii av este înglobat în mărimea de reacţie ay şi nu apare explicit în relaţia de mai sus. În cazul sistemelor liniare se poate exprima aditiv efectul acestor cauze, ca o sumă de componente,

k

qa a a a a a

v pk 1

(t ) (t ) (t )=

ε = ε + ε∑ (10.2.19)

unde avε este componenta erorii provocată de mărimea impusă va, iar a

pkε este

componenta erorii provocată de perturbaţia apkp .

Presupunem că la un moment de timp a0t se constată un regim staţionar

caracterizat prin a a a ast 0 st 0v (t ), y (t ) , deci o valoare în regim staţionar a erorii

a a a a a a a a ast 0 st 0 st 0 1 1 1(t ) v (t ) y (t ) V Y Eε = − = − . (10.2.20)

Dacă la momentul a0t , mărimea impusă are o variaţie treaptă cu

valoarea 0v V∆ = , adică, a a a a a a

st 0 0 0v (t ) v (t ) V (t t )= + ⋅ −1 (10.2.21) atunci apare un regim tranzitoriu în urma căruia apare un nou regim staţionar (dacă este posibil un nou regim staţionar) caracterizat printr-o valoare în regim staţionar a erorii

a a a a2( ) v ( ) y ( ) Eε ∞ = ∞ − ∞ , (10.2.22)

ca în Fig.10.2.2.

va ay;

t 0 a

t a

t = -

[

)

ε a t 0 a

(t+ )

va

t 0a

(t+ )

t 0 a

(t+ ) ay

a 0(t )

a stv =V

a 1

a 0(t )y a st =Y

a 1

a 0(t )ε ast =E

a 1 V

a 2

ay(∞)=Y a 2

∆v=V 0 ε a(∞) == V a 2 Y

a 2E

a 2 −

t=0 Figura nr.10.2.2.


264

Variaţia treaptă V0 a mărimii impuse a afectat valoarea staţionară a erorii cu mărimea a a

2 1E E0∞ε = − . (10.2.23) Această diferenţă este aleasă ca şi indicator de calitate pentru a măsura precizia sistemului în regim staţionar în raport cu mărimea impusă. Prin eroare staţionară de poziţie în raport cu mărimea impusă, notată 0∞ε , se inţelege variaţia valorii staţionare a erorii sistemului datorită variaţiei treaptă a mărimii impuse,

a a a a a a0 0 0 0

a a a ak 0 k 0

a a a0 0 0ˆ ˆv (t t ) V 1(t t ) v ( t t )t

p (t t ); k 1:q p (t t ); k 1:q

lim[ (t t ) | t t ) | ]∞ + + ⋅ − +→∞+ = + =

ε = ε + −ε( + , (10.2.24)

unde prin

a a0

a ak 0

a a0 v (t t )

p (t t ); k 1:q

(t t ) |++ =

ε + ,

se înţelege expresia evoluţiei erorii determinată în condiţii iniţiale nule de intrările

a a0v (t t )+ , a a

k 0p (t t )+ , k=1,2,...,q, a a0t t t= + ,

iar prin

a a a a0 0 0

a ak 0

a a0 v (t t ) V 1(t t )

p (t t ); k 1:q

(t t ) |+ + ⋅ −+ =

ε + ,

se înţelege expresia evoluţiei erorii, în condiţii iniţiale nule, determinată de aceleaşi cauze a a a a

kv (t ),p (t ) , dar începând cu momentul a a0t =t ,(t 0)= , mărimea

impusă creşte cu o valoare V0 (semnal treaptă). Eroarea staţionară se analizează pe răspunsul forţat. În particular, dacă la momentul a

0t , momentul modificării cu un semnal treaptă a mărimii impuse, se constată un regim staţionar, adică a a

0a a

0k

a a a a a0 st 0 1v ( t t )

p ( t t ); k 1:q

(t t ) | (t ) E++ =

ε + = ε = , (10.2.25)

atunci reprezentarea evoluţiei este ca în Fig.10.2.2. iar relaţia de definiţie (10.2.24) devine, a a a a

00 0a a

0k

a a a a a0 0 1 2 1v (t t ) V 1(t t )t

p (t t ); k 1:q

lim[ (t t ) | E ] E E∞ + + ⋅ −→∞+ =

ε = ε + − = − . (10.2.26)

Notând prin a a a a a a

1 st 0 1 st 0V v (t ),Y y (t )= = (10.2.27) valorile staţionare pentru mărimea impusă şi mărimea de reacţie, valori constatate la momentul a a

0t =t , evident a a a

1 1 1E V Y= − . (10.2.28)


265

Comportarea sistemului se poate exprima prin variaţii faţă de acest regim staţionar, notând,

a a a0 1v(t) v (t t ) V= + − ; (10.2.29)

a a a0 1y(t) y (t t ) Y= + − ; (10.2.30)

a a a0 1(t) (t t ) Eε = ε + − . (10.2.31)

Trebuie remarcat că acest regim staţionar este un regim cu totul particular. Evoluţia reprezentată în Fig.10.2.2. apare ca în forma din Fig.10.2.3. care corespunde formei standard de prezentare, compatibilă cu abordarea prin modele liniare, în particular funcţii de transfer.

ay Y a 1y = -

va -v = V

a 1

ε(t)V 0

[

)t=0

v(t)

y(t) (∞)y (∞)v

ε(t)ε0∞=lim

→∞t

t 0

Figura nr.10.2.3.

În Fig.10.2.3. de mai sus, atât v cât şi y au aceeaşi origine pe ordonată, valoarea zero, care corespunde valorilor fizice a

1V respectiv a1Y , diferite între

ele. Eroarea staţionară de poziţie apare explicit în grafic ca un segment,

a a a a0 1 1 1

tlim t) v( ) y( ) [y ( ) V ] [v ( ) Y ]∞→∞

ε = ε( = ∞ − ∞ = ∞ − − ∞ − =

a a a a a a1 1 2 1[v ( ) y ( )] [V Y ] E E= ∞ − ∞ − − = − . (10.2.32)

Deoarece

0 01v(t) V (t) V(s) Lv(t) V s= ⋅ ⇒ = = ⋅1 , (10.2.33)

în cazul modelului liniar din Fig.10.1.1.,

EC d1E(s) H (s) V(s) [1 H (s)] V(s) V(s)v 1 H (s)

= ⋅ = − ⋅ = ⋅+

(10.2.34)

0 0ds s P

V V1lim[s E(s)] lim[s ]s 1 K1 H (s)0∞→∞ →∞

ε = ⋅ = ⋅ ⋅ =++

, (10.2.35)

v 0P

1 V [1 H (0)] V1 K0∞ 0ε = ⋅ = − ⋅+

(10.2.36)


266

Performanţa se impune prin condiţia imp0∞ 0∞ε ≤ ε , (10.2.37)

Eroarea 0∞ε depinde de valoarea 0V a semnalului treaptă. Pentru a obţine un indicator dependent numai de structura sistemului se realizează o normalizare în raport cu 0V , rezultând: Eroarea staţionară de poziţie relativă , rel

0∞ε

0

0 p

1V 1 K

α ∞0∞

εε = =+

(10.2.38)

este o mărime adimensională dată şi de relaţiile

rel0 v EC1 H (0) H (0)∞ε = − = . (10.2.39)

Eroarea staţionară de poziţie-relativă este o caracteristică de sistem şi exprimă termenul liber al dezvoltării în serie de puteri a funcţiei ECH (s) denumită şi primul coeficient al erorii. Performanţa se impune prin condiţia,

rel rel0 0 ,imp P P,imp P,imp rel

0 ,imp

1K K , K 1∞ ∞∞

ε ≤ ε ⇔ ≥ = −ε

. (10.2.40)

Eroarea de poziţie este nulă, dacă şi numai dacă factorul de amplificare de poziţie este infinit:

rel0 P0 K∞ε = ⇔ = ∞ , (10.2.41)

adică dH (s) are cel puţin un pol în originea planului complex sau practic, sistemul în circuit deschis conţine cel puţin un element integrator. Au loc echivalenţele

rel0 P v EC0 K H (0) 1 H (0) 0∞ε = ⇔ = ∞⇔ = ⇔ = (10.2.42)

Eroarea staţionară de poziţie normalizată, N0∞ε .

0 0N 00 V 1 [V ]

0 P P

V 1|val V 1 K 1 K0∞

∞ = ⋅εε = = =

+ +; N N

0 0 ,imp∞ ∞ε ≤ ε . (10.2.43)

Eroarea staţionară de poziţie normalizată N0∞ε este eroarea staţionară de

poziţie provocată de variaţia treaptă unitate a mărimii impuse. Ea are dimensiunea mărimii de ieşire y. Evident rel

0∞ε şi N0∞ε au o aceeaşi valoare numerică dar semnificaţia lor este

diferită.


267

10.2.3. Eroarea staţionară de viteză în raport cu mărimea impusă Eroarea staţionară de viteză în raport cu mărimea impusă, notată 1∞ε , este eroarea staţionară a sistemului în regimul permanent determinat de variaţia sub formă de rampă a mărimii impuse faţă de regimul permanent anterior,

( ) ( ) ( ) 00 2

Vv t V t t V s ,s

= ⋅ ⋅ ⇒ =1 (10.2.44)

unde [ ] [ ] [ ]0

V YV sec sec= = , este panta rampei.

Se consideră v(t) în variaţii faţă de un regim permanent,

( ) ( ) ( )a aperv t v t v t , t 0= − ≥ . (10.2.45)

Eroarea staţionara de viteză este,

( ) ( )0 0

1 determinat de variatia d 2t s 0 vrampă a marimii impuse

V V1lim t | lim[s ] K1 H s s∞→∞ →

ε = ε = ⋅ ⋅ =+

. (10.2.46)

Performanţa se impune prin condiţia

01 1 ,imp

v

VK∞ ∞ε = ≤ ε (10.2.47)

Se defineşte eroarea staţionară relativă de viteză rel1∞ε , prin relaţia,

[ ]rel 11

0 v

1 secV K∞

∞εε = = (10.2.48)

Aceasta are dimensiunea timp şi reprezintă timpul de întârziere la urmărire rampă, adică intervalul de timp după care mărimea de ieşire atinge valoarea mărimii impuse în procesul de urmărire rampă. Eroarea rel

1∞ε este o caracteristică de sistem şi nu depinde de valoarea pantei rampei. În Fig.10.2.4. se prezintă modul de definire al mărimilor 1∞ε şi rel

1∞ε Eroarea staţionară de viteză este zero, rel

1 v0 K∞ε = ⇔ = ∞ , (10.2.49) dacă şi numai dacă funcţia de transfer în circuit deschis Hd(s) are cel puţin doi poli în originea planului complex s, adică, în circuit deschis există cel puţin două elemente de tip integrator conectate în serie.

va (t) v

a (t)perv(t)= -

ay (t) (t) aypery(t)= -

ε(t)

ε1∞

ε1∞rel

V 0 t 1(t)v(t)=

y(t)

t00

(sec)

Figura nr.10.2.4.


268

Presupunând că sistemul este stabil şi teorema valorii finale se poate aplica, au loc echivalenţele,

( )( )

( )( )

v ECPrel1

v ECv

H 0 1 H 0 0K0

H 0 0 H 0 0K∞

= == ∞ε = ⇔ ⇔ ⇔ ′ ′= == ∞

(10.2.50)

unde s-au notat,

( ) ( ) ( ) ( )v v EC ECs 0 s 0

d dH 0 H s ; H 0 H sds ds= =′ ′= = , (10.2.51)

( )( )

ECPrel1 rel

EC 1 vv

H 0 0Kfinit 0

H 0 1/ KK finit∞∞

== ∞ε = ≠ ⇔ ⇔ ′ = ε ==

(10.2.52)

Observaţie: Eroarea relativă rel

1∞ε nu este eroarea sistemului la urmărire rampă cu pantă unitate. În relaţia de definiţie (10.2.48), s-a efectuat împărţirea prin mărimea fizică 0V , panta rampei în [V]/sec, rezultând dimensiunea timp pentru rel

1∞ε , nu prin valoarea pantei 0val V care este un număr adimensional. Se poate defini şi eroarea normalizată de viteză, N

1∞ε , determinată de variaţia unitate a pantei mărimii impuse care evoluează în rampă

[ ] [ ] 00

N 0 11 1 Y

V 1 Yv 0sec V 1sec

VK val V

∞∞ ∞

==

εε = ε = = (10.2.53)

[ ]N rel1 1

v

Y / sec1 , ; [Y]K 1/sec∞ ∞ε = ε = (10.2.54)

Deşi apare o aceeaşi relaţie, aici număratorul (cifra 1) este o mărime dimensională, adică avem 1[Y]/sec.


269

10.2.4. Eroarea staţionară de acceleraţie în raport cu mărimea impusă Eroarea staţionară de acceleraţie în raport cu mărimea impusă, notată

2∞ε este eroarea staţionară a sistemului în regimul permanent determinat de variaţia acceleraţiei mărimii impuse care evoluează sub formă de parabolă

2

0 0 3t 1v(t) V (t) V(s) V2 s

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅1 , (10.2.55)

unde 0V este acceleraţia parabolei şi are dimensiunea

0 2 2V Y[V ]

sec sec = = . (10.2.56)

Mărimea impusă v(t) se poate considera ca fiind o variaţie faţă de un regim permanent, ( ) ( ) ( )a a

perv t v t v t , t 0= − ≥ . (10.2.57) Eroarea staţionara de acceleraţie este,

( ) ( )0 0

2 determinat de variatia d 3t s 0 aparabolă a marimii impuse

V V1lim t | lim[s ] K1 H s s∞→∞ →

ε = ε = ⋅ ⋅ =+

. (10.2.58)

Performanţa se impune prin condiţia

02 2 ,imp

a

VK∞ ∞ε = ≤ ε (10.2.59)

Se defineşte eroarea relativă de acceleraţie

rel 222

0 a

1 [sec ].V K

∞∞

εε = = (10.2.60)

În Fig.10.2.5. se prezintă modul de definire a erorii: 2∞ε .

t0

va (t) v

a (t)perv(t)= -

ay (t) (t) aypery(t)= -

0

ε(t)

ε2∞

y(t)

v(t)

Figura nr.10.2.5.

Au loc echivalenţele

v EC p' '

2 v EC v'' ''

av EC

H (0) 1 H (0) 0 K

0 H (0) 0 H (0) 0 KKH (0) 0 H (0) 0

∞

= = =∞

ε = ⇒ = ⇔ = ⇔ =∞ ∞= = =

(10.2.61)

adică eroarea relativă de acceleraţie este zero dacă are cel puţin trei poli în originea planului complex ceea ce înseamnă cel puţin trei elemente integratoare în circuit deschis.


270

10.2.5. Eroarea staţionară de poziţie în raport cu o anumită perturbaţie

Este un indicator de calitate specific unei anumite perturbaţii, considerată în continuare a

kp (t) , unde k poate fi oricare indice între 1 şi q.

Prin eroare staţionară de poziţie în raport cu perturbaţia, akp (t) notată kp ∞ε ,

se înţelege variaţia valorii staţionare a erorii sistemului datorită variaţiei treaptă a perturbaţiei a

kp (t) , a a a ak 0 0

a a a aj 0 k 0a a a ak 0 k 0

a a ap 0 0ˆ ˆv ( t t ) v (t t )t

ˆ ˆp ( t t ); j k p (t t ); j 1:qp ( t t ) p (t t )

lim[ (t t ) | t t ) | ]∞ + +→∞+ ≠ + =+ +∆ ⋅ −

ε = ε + −ε( +

1

(10.2.62)]

Considerând variaţii faţă de un regim staţionar caracterizat de,

a a a a a a a as t 0 st 0 k st 0 jst 0( t ) ( t ) ( t ) ( t ), y , p , pε , mărimile utilizate în descrierea matematică

sunt,

a a a a0 st 0v(t)=v (t t ) v (t )+ −

a a a ao st 0y(t)=y (t t ) y (t )+ − (10.2.63)

a a a ak k 0 kst 0p (t)=p (t t ) p (t )+ −

a a a a0 st 0(t)= (t t ) (t )ε ε + − ε .

Dacă mărimea de ieşire în variaţii y(t) se poate exprima ca o sumă de componente,

k jv p py (t), y (t),y (t), fiecare dependentă de variaţiile v(t), pk(t), pj(t), în cazul liniar această descompunere este întotdeauna valabilă,

k j

q;j k

v p pj 1

y(t)=y (t) y (t) y (t)≠

=+ + ∑ (10.2.64)

atunci eroarea sistemului (t)ε se exprimă,

k j k j

q;j k q;j k

v p p v p pj 1 j 1

(t) v(t)-y(t) v(t)-y (t)-y (t)- y (t) (t)+ (t)+ (t).≠ ≠

= =ε = = = ε ε ε∑ ∑

(10.2.65) Componenta erorii determinată de variaţia perturbaţiei pk(t) este deci,

k kp p(t) y (t)ε = − (10.2.66)

In condiţiile de definiţie a erorii staţionare de poziţie în raport cu perturbaţia pk(t) se consideră intrările particulare


271

v(t) 0 V(s)=0= ⇒ ; j jp (t) 0 P (s)=0, j k= ⇒ ≠ ; kk k k

pp (t) p (t) P (s)=s

∆= ∆ ⋅ ⇒1

(10.2.67) astfel că

j jv

q;j k

p pj 1

(t)= 0, = - 0, j kv(t) - y(t) (t) y (t)≠

=ε ≡ ≡ ≠ε ∑ , (10.2.68)

şi eroarea (t)ε exprimă numai componenta kp (t)ε ,

k kp p(t) (t) y (t)ε = ε = − . (10.2.69)

Deci,

k k kp p pt t

lim (t) lim y (t)∞ →∞ →∞ε = ε = − (10.2.70)

Pentru sisteme liniare descrise prin funcţii de transfer, eroarea staţionară de poziţie în raport cu perturbaţia kp este,

k k k k

kp p p kp

plim s Y (s) lim [s H (s) ] lim [H (s) p ]ss 0 s 0 s 0

∞∆

= − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ∆→ → →

ε .

(10.2.71) În particular, pentru structura din Fig.10.1.1.,

k

k

Fp kp kds 0 s 0 F

RFpk Fpk

[ ]s

H (s) p 1lim s lim pH (s)11 H (s) H (s)H (s) H (s)

∞ → →

∆ε = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ∆+ + ⋅

(10.2.72) În Fig.10.2.6. este prezentat modul de definire al erorii

kp ∞ε considerând mărimile în variaţii.

0

t 0 a

(t+ ) ay - t 0

a (t+ )

ayy(t) =

0 t 0 a

t a

t = -p k

ε ∞ (∞)= −p k

y

(t)p ky y(t)=

^0 t 0

at a

t = -∆pk

-t 0 a

(t+ ) apk t 0

a (t+ )

apkpk(t) =pk (t)

≡0v(t)≡0,pj (t) ≠j k

0

^

Figura nr.10.2.6.


272

Pentru modele liniare,

k kp ps 00 limH (s) 0∞

→ε = ⇔ = (10.2.73)

adică funcţia de transfer in circuit închis în raport cu perturbaţia pk trebuie să aibă cel puţin un zerou în originea planului complex. În particular, pentru structura din Fig.10.1.1., conform relaţiei (10.2.72),

kp 0∞ε = are loc în următoarele condiţii:

a) Dacă Fpk FpkH (0) 0, adica H (s)= are cel puţin un zerou în originea planului complex. În aceste condiţii

kp 0∞ε = oricare ar fi structura în circuit deschis

dR FH (s)=H (s) H (s)⋅ . (10.2.74)

Această situaţie exprimă o perturbaţie cu acţiune nepersistentă în regim staţionar. Perturbaţia are efect numai în regim tranzitoriu şi nici-un efect în regim staţionar. b) Dacă

kFpH (0) finit 0,= ≠ atunci, din relaţia (10.2.72)

k

k k

R Fs 0R Fp s 0 Fp Fp

limH (s) H (s)H (s)H (s)0 limH (s) H (s)

→∞

→

⋅ε = ⇒ = = ∞ , (10.2.75)

deci,

kp R Fs 00 limH (s) H (s)∞

→ε = ⇒ ⋅ = ∞ , (10.2.76)

adică în circuit deschis trebuie să existe cel puţin un pol în originea planului complex (cel puţin un element integrator) indiferent dacă acesta apare în RH (s) sau FH (s) .

c) Dacă kFpH (s) are un caracter integrator, de exemplu are

kpα poli în originea planului complex, din (10.2.72),

k

k

R Fp s 0 Fp

H (s) H (s)0 limH (s)∞

→

⋅ε = ⇒ = ∞

(10.2.77)

adică funcţia de transfer în circuit deschis dR FH (s)=H (s)H (s) trebuie să aibă un

număr de poli în origine mai mare decât are FpkH (s) . Aceşti poli pot proveni atât de la FH (s) cât şi de la RH (s) În general, eroarea staţionară de poziţie provocată de o perturbaţie kp este nulă,

kp 0∞ε = , dacă între elementul de comparaţie şi punctul echivalent de aplicare al acestei perturbaţii există cel puţin un element integrator.

10. INDICATORI DE CALITATE ŞI PERFORMANŢE 10.3. Indicatori de calitate şi performanţe care IMPUSE SISTEMELOR DE REGLARE masoară calitatea sistemului în regim tranzitoriu

273

10.3. Indicatori de calitate şi performanţe care măsoară calitatea sistemului în regim tranzitoriu

In principal, aceşti indicatori măsoară rezerva de stabilitate şi rapiditatea sistemului. Se definesc în regimul tranzitoriu provocat de variaţia, cel mai frecvent treaptă, a mărimii impuse sau a unei perturbaţii. Ei se pot grupa în două categorii după cauza care a determinat regimul tranzitoriu: 1. Indicatori definiţi pe răspunsul în regim tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse. 2. Indicatori definiţi pe răspunsul în regim tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a unei perturbaţii. Prima categorie este utilă pentru sistemele de urmărire şi reglare după program. A doua categorie este utilă în orice tip de sistem în care apar perturbaţii. 10.3.1. Indicatori de calitate şi performanţe definiţi pe răspunsul în

regim tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse Se consideră un astfel de răspuns, reprezentat în variaţii ca în Fig.10.3.1. unde, a a a a a a a a a

0 0 st 0 0 st 0t t t , v(t) v (t+t ) v (t ), y(t) y (t+t ) y (t )= − = − = − . (10.3.1)

y(∞)0.95

t 0 a

t a

t = -

a 0(t )

a stvt 0

a (t+ )

avv(t) -=

a 0(t )y a stt 0

a (t+ )

ay -y(t)=

y(∞)

y(∞)

ay(∞)y(∞) a

0(t )y a st = -

y(∞)0.05

y(∞)∆

y(∞)∆

ye1 ye2 ye3

ε0∞

e1t e2t e3t

t d

t c rt

r-invt

0t =0

σ1

σ2

σ3σ4

0

v(t)y (t)inv

Figura nr.10.3.1.


274

Se definesc următorii indicatori de calitate: a). Timpul extremului j (vârful j). Timpul extremului j, uneori denumit şi timpul vârfului j, notat ejt , reprezintă intervalul de timp între momentul t0 al aplicării semnalului treaptă la mărimea impusă şi abscisa celui de al j-lea punct de extrem al răspunsului, pentru t > t0 şi după ce a avut loc o evoluţie. În cazul unei reprezentări analitice la aceeaşi scară de timp, cu timp zero în momentul aplicării semnalului treaptă ca în Fig.10.3.1., şi al unui răspuns continuu şi derivabil in timp, ejt este soluţia j a ecuaţiei

ej ej ej+1 ej 0y(t) 0, y(t) 0 t t , j 1,2,...; t <t ,t t= ≠ ⇒ = = > (10.3.2)

Evident, dacă răspunsul continuu are puncte de nederivabilitate, în ejt se includ şi momentele în care derivata întîi schimbă de semn. Momentul aplicării semnalului treaptă 0t se numeşte moment iniţial al răspunsului generat de acel semnal. Chiar dacă 0 0y(t ) 0, y(t ) 0,= ≠ t0 nu este interpretat ca şi timp de extrem. Dacă răspunsul are discontinuitate de prima speţă, se definesc extremele la stânga şi dreapta +

ej ejt , t− , prin limitele laterale corespunzătoare şi se interpretează în mod adecvat. b.) Valoarea extremă j (vârful j). Valoarea extremă j, notată ejy , uneori denumită şi vârful j, reprezintă valoarea răspunsului pentru momentul de timp ejt

ejy y (t) |= t corespunde momentului ejt (10.3.3)

Dacă momentul iniţial este zero, atunci ej ejy y (t ), j 1,2,...= = (10.3.4)

De multe ori se foloseşte exprimarea (10.3.4) presupunând (10.3.3). Pentru a obţine un indicator de calitate care să exprime o caracteristică de sistem, se folosesc: - Valoarea extremă normalizată (vârful normalizat),

ejNej

0

yy

valV = , (10.3.5)

ca fiind valoarea extremă pe răspunsul determinat de variaţia treaptă unitate a mărimii impuse. S-a considerat că ejy este observat pe un răspuns la o variaţie treaptă cu amplitudinea V0;


275

- Valoarea extremă relativă (vârful relativ),

ejrelej

yy

y( )=

∞ (10.3.6)

reprezintă valoarea vârfului ejy raportată la valoarea mărimii de ieşire în regimul staţionar care apare după aplicarea semnalului treaptă respectiv. Dacă sistemul este liniar asimptotic stabil descris printr-o funcţie de transfer vH (s) , iar v(t)=V0·1(t), atunci,

ejrelv 0 ej

0

yy( ) H (0)V y

H(0)V∞ = ⇒ = (10.3.7)

Vârful relativ este o mărime adimensională. Când sistemul are eroare staţionară de poziţie nulă, vH (0) 1= , atunci

N relej ejy si y , au aceeaşi valoare numerică.

c) Timpul intersecţiei j. Timpul intersecţiei j, notat prin zjt , reprezintă intervalul de timp între momentul aplicării semnalului treaptă la mărimea impusă şi momentul în care răspunsul atinge pentru a j-a oară valoarea sa staţionară apărută în urma acestui regim tranzitoriu. În condiţiile din Fig.10.3.1. , zjt este a j-a soluţie a ecuaţiei

zjy(t) y( ) 0 t t , j 1,2...− ∞ = ⇒ = = (10.3.8)

Sunt valabile aceleaşi consideraţii prezentate în legatură cu Fig.6.29. d) Durata oscilaţiei j. Durata oscilaţiei j, notată jθ este de două tipuri, în funcţie de modul de determinare: 1. Perioada de oscilaţie e

j iθ = θ exprimată prin intervalul de timp între două extreme de acelaşi tip (maxime sau minime): e

j i e(j+2) ejt t , j 1θ = θ = − ≥ . (10.3.9) Aceasta se poate aprecia şi prin semiperioade, definite prin intervalul de timp între două extreme succesive. 2. Perioada de oscilaţie z

j iθ = θ , exprimată prin intervalul de timp între două momente de timp în care ieşirea intersectează în acelaşi sens noua sa valoare staţionară

zj i z(j+2) zjt t , j 1 θ = θ = − ≥ (10.3.10)


276

e) Deviaţia extremă j. Deviaţia extremă j, notată jσ , reprezintă deviaţia mărimii de ieşire în punctul extrem j faţă de valoarea sa staţionară care apare în urma regimului tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse. j ejy y( ), j 1,2,...σ = − ∞ = (10.3.11)

În condiţiile în care se poate aplica (6. 75), evident j ejy(t ) y( ), j 1,2,...σ = − ∞ = (10.3.12)

f) Suprareglajulσ . Este unul din cei mai utilizaţi indicatori de calitate pentru caracterizarea regimului tranzitoriu al unui SRA. Suprareglajul σ reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire a valorii sale staţionare care apare în urma regimului tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse. Suprareglajul, în limba engleza "maximum overshoot", exprimă precizia sistemului de reglare în regimul tranzitoriu provocat de mărimea impusă, fiind considerat şi o masură a rezervei de stabilitate a sistemului. Se defineşte prin relaţia,

*j jj J

σ max | σ |, J j N ,σ y( )>0.∈

= = ∈ ⋅ ∞ (10.3.13)

Cu alte cuvinte, dacă variaţia mărimii de ieşire este pozitivă, adică a a a

st 0y( )>0 (y ( ) y (t ) 0)∞ ∞ − > , determinată de V0>0, atunci în calculul suprareglajului se consideră deviaţiile extreme jσ pozitive. Evident, dacă variaţia mărimii de ieşire este negativă, y( )<0∞ ca în Fig.10.3.2., pentru determinarea suprareglajului σ se consideră numai deviaţiile extreme jσ negative, 1 3σ ,σ ,.... . Suprareglajul σ se poate determina şi din extremul absolut al regimului tranzitoriu respectiv, folosind valoarea maximă dacă y( )>0∞ şi valoarea minimă dacă y( )<0∞ .

maxy y( )σ = − ∞ dacă y( )>0∞ , unde max t 0y max y(t)

≥= (10.3.14)

miny y( )σ = − ∞ dacă y( )<0∞ , unde min t 0y min y(t)

≥= , (10.3.15)

Dacă răspunsul atinge numai asimptotic valoarea staţionară, atunci se consideră 0σ = dar cu menţionarea comportării asimptotice când t → ∞ . Se poate impune o performanţă de forma impσ ≤ σ dar aceasta este legată de valoarea V0 a semnalului treaptă.


277

Figura nr.10.3.2.

Pentru a evidenţia caracteristici de sistem se definesc: -Suprareglajul relativ:

rel ,y( )

σσ =

∞ (10.3.16)

unde

a a ast 0y( ) y ( ) y (t )∞ = ∞ − . (10.3.17)

Suprareglajul relativ este o mărime adimensională. Performanţa se impune prin relaţia

rel relimpσ ≤ σ (10.3.18)

-Suprareglajul procentual:

rel imp% 100 100; % %y( )

σσ = σ ⋅ = ⋅ σ ≤ σ

∞ (10.3.19)

-Suprareglajul normalizat: Nσ , ca fiind suprareglajul produs de variaţia treaptă uniate a mărimii impuse 0(val V 1)= . Se măsoară în unităţi ale mărimii y.

N Nimp

0;

val V Νσ

σ = σ ≤ σ (10.3.20)

Dacă 0 0∞ε = atunci relσ şi Nσ au o aceeaşi valoare numerică. De cele mai multe ori suprareglajul apare în prima oscilaţie care depăşeşte valoarea staţionară, pe răspunsuri periodic amortizate ca în Fig.10.3.1. Totuşi, dacă sistemul are poli complex conjugaţi cu părţile imaginare care nu sunt în raport raţional, atunci răspunsul nu mai are un caracter periodic apărând neregulat, deşi amortizat.


278

g) Timpul de întârziere dt . Timpul de întârziere dt se defineşte prin intervalul de timp dintre momentul aplicării semnalului treaptă la mărimea impusă şi abscisa primului punct de inflexiune al răspunsului. Definiţia timpului de întârziere este ilustrată în Fig.10.3.1. Timpul de întârziere se poate obţine din soluţia ecuaţiei y(t) 0= , corelată corespunzător pe axa timp. Performanţa se impune prin d dim pt t≤ (10.3.21)

h)Timpul de creştere ct . Timpul de creştere ct , reprezintă intervalul de timp în care mărimea de ieşire se modifică de la valoarea 0.05y( )∞ până la valoarea0.95y( )∞ , în regimul tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse. Performanţa se defineşte prin condiţia c cimpt t≤ (10.3.22)

i) Durata regimului tranzitoriu rt . Durata regimului tranzitoriu reprezintă intervalul de timp dintre momentul aplicării semnalului treaptă la mărimea impusă şi momentul în care răspunsul sistemului intră într-o vecinătate | y( )|, ( 0.02 sau 0.05)∆⋅ ∞ ∆ = ∆ = , a valorii sale staţionare fără să mai depăşească această vecinatate. Definiţia duratei regimului tranzitoriu este ilustrată în Fig.10.3.1. Valoarea fracţiunii ∆ se alege în funcţie de contextul de precizie impus sistemului. Performanţa se impune prin condiţia: r r impt t≤ (10.3.23) Pentru a se obţine formule de calcul mai simple, se defineşte, în sens acoperitor, durata regimului tranzitoriu rinvt , din condiţia ca o învelitoare (majorantă sau minorantă) a răspunsului să intre în această vecinătate fără să o mai depăşească. Ca invelitoare se poate alege orice curbă continuă fără puncte de inflexiune tangentă superior sau inferior la răspuns. De cele mai multe ori acestea se obţin, dacă se cunoaşte expresia răspunsului, înlocuind funcţiile sinus sau cosinus prin 1± . Deoarece r rinvt t≤ , impunând performanţa prin relaţia r inv r impt t≤ , se asigură r inv r imp r r impt t t t≤ ⇒ ≤ . (10.3.24) j) Gradul de amortizare δ . Gradul de amortizare δ este o măsură a oscilabilităţii răspunsului provocat de variaţia treaptă a mărimii impuse:

imp3

1

σδ =1− ≥ δ

σ, sau * *e1 e2

impe3 e2

y y .y y

−δ = ≥ δ

− (10.3.25)

Limita de stabilitate este indicată de valoareaδ = 0 sau * 0δ = .


279

10.3.2. Indicatori de calitate şi performanţe definiţi pe răspunsul în regim tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a unei perturbaţii

Se consideră că o anumită perturbaţie, de exemplu, perturbaţia a ak 0p (t t )+ ,

are o variaţie treaptă kp∆ la momentul t=0 faţă de o valoare în regim staţionar

a a a a ak k 0 kst 0 kp (t) p (t t ) p (t ) p 1(t) ,= + − = ∆ ⋅ (10.3.26)

rezultând un regim tranzitoriu ca în Fig.10.3.3. t 0 a

(t+ ) apk

t 0 a

(t+ ) apk

t 0 a

( ) apkst

∆pk

≡0v(t)≡0,pj (t) ≠j k

0 t 0 a

t a

t = -

e1t e3t0

t 0 a

(t+ ) ay

0 t 0 a

t a

t = -

(t)p ky y(t)=

ay(∞) a

0(t )y a st

z1t

e2t

z2t

t r

t d

ν1

ν2

ν3 a

e1y

ae2y

ae3y

p kε ∞ (∞)= −p k

y (∞)=y

∆ ⋅ν

Figura nr.10.3.3.

Deoarece sistemul este în circuit închis răspunsul tinde să revină la valoarea staţionară anterioară a a

st 0y (t ) , atingând noua valoare staţionară ay ( )∞ eventual cu o eroare

kp ∞

ε .

Din această cauză pentru răspunsul la variaţia unei perturbaţii, indicatorul "timp de creştere" tc nu are sens. O serie de indicatori de calitate, precum: a. timpul extremului j, ejt ; c.timpul intersecţie j, zjt ; d. durata oscilaţiei j, jθ ; g. timpul de întârziere, td ; i.durata regimului tranzitoriu, tr, se definesc ca în cazul variaţiei mărimii impuse considerând evident drept moment iniţial, momentul în care s-a modificat perturbaţia respectivă. Pentru indicatorii comuni definiţi pe răspunsul în raport cu mărimea impusă respectiv perturbaţia, se vor considera aceleaşi litere de ordonare în prezentare (a, c, d, g ) eventual cu indice " ' " dacă diferă puţin (b', e', ..), iar pentru cei specifici răspunsului în raport cu perturbaţia se va continua lista de prezentare ( k, l,..).


280

c) Timpul intersecţiei j. Se consideră z1t timpul de intersecţie care apare după e1t , când mărimea de ieşire revine către valoarea ei staţionară. Dacă

kp 0

∞ε = atunci la acest z1t ieşirea atinge efectiv pentru prima

oară ay ( )∞ . b) Valoarea extremă j (vârful j). Este notată tot prin ejy şi se defineşte exact ca în cazul variaţiei mărimii impuse

ej

a a a a a aej ej st 0 ej 0 t ty y y (t ), y y (t t ) | == − = + . (10.3.27)

Valoarea extremă normalizată (vârful normalizat) în raport cu o perurbaţie pk este definită prin relaţia

ejNej

k

yy

val p =

∆ (10.3.28)

este valoarea extremă - indice j a răspunsului, determinat de variaţia treaptă unitate a perturbaţiei pk. Se consideră că ejy este observabilă pe un răspuns la o variaţie treaptă cu amplitudinea kp∆ . Valoarea extremă relativă, similară relaţiei (10.3.6) nu este relevantă în cazul răspunsului determinat de variaţia unei perturbaţii. e) Deviaţia extremă j. Se notează prin jν şi se defineşte prin relaţia

a aj ej ejy y ( ) y y( )ν = − ∞ = − ∞ (10.3.29)

Se observă că jv se determină ca şi jσ în raport cu noua valoare staţionară ay ( )∞ (sau în variaţii y( )∞ ). Oricum, dacă

kp 0

∞ε = atunci a a a

st 0y ( ) y (t )∞ =

adică y( ) 0∞ = . i. Durata regimului tranzitoriu tr. Pentru durata regimului tranzitoriu tr , vecinătatea se defineşte ca o fracţiune din abaterea maximă ν , adică " ∆ν ". k. Abaterea maximă ν în raport cu o perturbaţie pk, kp|ν = ν , reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire a valorii sale staţionare care apare în urma regimului tranzitoriu provocat de variaţia treaptă a unei perturbaţii. jj 1,2,3,....

max | |=

ν = ν (10.3.30)


281

Spre deosebire de suprareglaj, abaterea maximă se defineşte luând în consideraţie toate depăşirile extreme jν , indiferent dacă sunt deasupra sau sub noua valoare de regim staţionar. 1.Abaterea maximă normalizată Nν este abaterea maximă determinată de variaţia treaptă unitate a perturbaţiei pk.

N

kval p ν

ν =∆

. (10.3.31)

Performanţa se impune prin condiţiile

impν ≤ ν sau Nimpv v≤ . (10.3.32)

Atât v cât şi Nv sunt exprimate în unităţi ale mărimii de ieşire y. k) Gradul de amortizare ρ . Gradul de amortizare

kpρ = ρ , definit pentru o perturbaţie pk, este o măsura a oscilabilităţii răspunsului provocat de variaţia treaptă a acelei perturbaţii pk

3imp

1

v1v

ρ = − ≥ ρ (10.3.33)

Se foloseşte şi relaţia,

* *e1 e2imp

e3 e2

y y .y y

−ρ = ≥ ρ

− (10.3.34)

l) Coeficientul dinamic al reglării Rd . Este un indicator de calitate adimensional care măsoară eficienţa sistemului în circuit închis în procesul de rejecţie a efectului unei perturbaţii, perturbaţia pk. Dacă sistemul ar fi în circuit deschis, adică uF se menţine constant, şi se modifică numai perturbaţia pk, răspunsul sistemului, de fapt al parţii fixe, este

kpy (t) . Coeficientul dinamic al reglării Rd , corespunzător perturbaţiei pk este raportul dintre abaterea maximăν , determinată de variaţia treaptă kp∆ şi valoarea variaţiei mărimii de ieşire în regim staţionar dacă sistemul ar fi în circuit deschis şi s-ar aplica aceeaşi variaţie treaptă kp∆ ,

k

d d, impp

R Ry ( )

ν= ≤

∞ (10.3.35)

În cazul sistemelor liniare,

k

dFp k

RH (0) p

ν=

⋅ ∆. (10.3.36)

Coeficientul dinamic al reglării este o mărime adimensională.

10. INDICATORI DE CALITATE ŞI PERFORMANŢE 10.4. Indicatori de calitate şi performanţe IMPUSE SISTEMELOR DE REGLARE definiţi în regim armonic

282

10.4. Indicatori de calitate şi performanţe definiţi în regim armonic

Se definesc pe caracteristicile de frecvenţă ale sistemului în circuit închis, vA( ) | H ( j )|ω = ω (10.3.37)

şi în circuit deschis,

dH ( j )ω , d d d dA ( H ( j )|, ( ) arg H ( j ).ω) =| ω ϕ ω = ω (10.3.38)

m) Banda de pulsaţie bω . În automatică banda de pulsaţie, marcată prin valoarea maximă bω , se defineşte ca fiind intervalul de pulsaţie b[0, ]ω , unde bω este cea mai mică valoare pentru care

t2A( )< A(0), >2ω ⋅ ∀ω ω . (10.3.39)

În Fig.10.3.4. este reprezentată caracteristica A( )ω la scara liniară. Evident,

( )0 v0 H 0 1 A(0) 1∞ε = ⇔ = ⇔ = . (10.3.40)

Α(0)

Α(ω)

2/2Α(0)√

ωbωmaxω

Α =Α( )m maxω

mΑ

00

(scara liniara)

(scara liniara)

Figura nr.10.3.4.

Această definiţie pentru bω exprimă şi caracterul de filtru trece jos al sistemului în circuit închis. Deşi din punct de vedere al rapidităţii răspunsului este de dorit ca bω să fie cât mai mare, performanţa se impune prin condiţia b bimpω ≤ ω (10.3.41)

pentru a exprima caracterul de filtru trece jos în vederea rejectării efectului unor perturbaţii ce acţionează în spectrul frecvenţelor înalte.


283

n) Pulsaţia de rezonanţă maxω (sau rezω ). Pulsaţia de rezonanţă este pulsaţia pentru care A( )ω are o valoare maximă. p) Vârful caracteristicii de frecvenţă mA . Este valoarea maximă a caracteristicii A( )ω . Pentru a asigura limitarea suprareglajului şi a abaterii maxime, se impune performanţa m m imp A A≤ (10.3.42)

Următorii indicatori de calitate se definesc pe caracteristicile complexe de frecvenţă ale sistemului în circuit deschis, dH ( j )ω , ca în Fig.10.3.5. Aceştia se pot defini în mod similar pe caracteristicile Bode în circuit deschis.

γ

ω

ωt

ωπ

ϕd ωt( )Re( ωH j( )d )

ωH j( )djIm( )

ωH j( )dPlanul (-1,j0)

Adπ

Figura nr.10.3.5.

q) Pulsaţia de tăiere tω . Pulsaţia de tăiere tω , notată şi cω reprezintă cea mai mare pulsaţie pentru care caracteristica complexă dH ( j )ω taie cercul de rază unitate. Se obţine din

dt max ( ) 1ω = ω| Α ω = (10.3.43)

r) Marginea de fază γ . Marginea de fază γ reprezintă unghiul în sens orar, dintre direcţia vectorului d

tH ( j )ω şi semiaxa reală negativă. Exprimă rezerva de stabilitate a sistemului în circuit închis în conformitate cu criteriul Nyquist de stabilitate. Se defineşte prin

dt( )γ = π + ϕ ω , (10.3.44)

unde s-a considerat d d

t t( ) arg H ( j )ϕ ω = ω , (10.3.45)


284

reprezentat în cercul ( 2 ,0].− π Valoarea 0γ = indică limita de stabilitate. Performanţa se impune prin impγ ≥ γ (10.3.46)

prin care se asigură o "rezervă de stabilitate". s) Pulsaţia de antifază πω . Pulsaţia de antifază πω , reprezintă cea mai mică pulsaţie pentru care caracteristica complexă d H ( j )ω taie semiaxa reală negativă, Se obţine din,

dmin | ( ) πω = ω ϕ ω = −π (10.3.47)

t) Marginea de amplitudine dAπ . Marginea de amplitudine dAπ este lungimea vectorului dH ( j )πω , adică

d d)A A (π π= ω (10.3.48)

Dacă

dA ( ) 1 πω < ∀ω > ω ,

atunci dAπ exprimă clar rezerva de stabilitate a sistemului în circuit închis, conform criteriului Nyquist, astfel că performanţa se impune prin

d d imp.A Aπ π≤ (10.3.49)

11. ELEMENTE DE SINTEZĂ A 11.1. Principii generale privind sinteza SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ sistemelor de reglare automată

285

11. ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ

11.1. Principii generale privind sinteza sistemelor de reglare

automată 11.1.1. Formularea problemei de sinteză Aşa cum s-a precizat în Cap.8. în orice sistem de reglare automată se disting două componente fundamentale: 1. Partea fixă a sistemului de reglare, 2. Dispozitivul de conducere. Partea fixă a sistemului înglobează instalaţia tehnologică, elementele de execuţie şi traductoarele. Acestea sunt elemente care se aleg după criterii tehnico-economice, odată cu proiectarea sistemului fizic. Partea fixă a unui sistem de reglare, privită ca un sistem orientat la care sunt precizate mărimea de comandă şi perturbaţiile este denumită uneori şi proces condus, precizare care se efectuează în cadrul etapei analiza de proces. Pe lângǎ determinarea modelului matematic în regim staţionar şi a modelului dinamic (eventual în variaţii faţǎ de regimul staţionar), în analiza de proces se urmǎreşte precizarea următoarelor aspecte: 1. Precizarea mǎrimii reglate şi a domeniului ei de variaţie Prin aceasta trebuie precizat care este mǎrimea reglatǎ şi în ce domeniu de valori este necesar sǎ se modifice aceasta. Dacǎ trebuie sǎ se modifice într-un domeniu conform unui program sau sǎ urmǎreascǎ valorile unei alte mǎrimi, înseamnǎ cǎ este importantǎ comportarea sistemului de reglare în raport cu mǎrimea impusǎ. Dacǎ însǎ mǎrimea reglatǎ trebuie menţinutǎ constantǎ la o valoare care nu se modificǎ în permanenţǎ, dar care poate fi ajustatǎ, este importantǎ comportarea sistemului de reglare în raport cu perturbaţiile. 2. Precizarea mǎrimii de comandǎ a instalaţiei tehnologice şi modalitatea de modificare a acesteia Trebuie analizat dacǎ mǎrimea de intrare în instalaţia tehnologicǎ aleasǎ ca şi mǎrime de comandǎ: este capabilǎ sǎ determine modificarea mǎrimii de ieşire în domeniul cerut, care este nivelul energetic al semnalului de comandǎ a instalaţiei tehnologice, daca instalaţia este prevǎzutǎ cu element de execuţie. 3. Precizarea mǎrimilor perturbatoare şi a efectului lor asupra mǎrimii reglate Se analizeazǎ principalele mǎrimi perturbatoare care afecteazǎ mǎrimea de ieşire (mǎrimea reglatǎ), evidenţiindu-se: ponderea lor, banda de frecvenţǎ în care acţioneazǎ, persistenţa şi formele posibile de variaţie în timp.


286

Dispozitivul de conducere, denumit şi regulator sau controller, elaborează mărimea de comandă aplicată procesului condus, pe baza măsurătorilor din procesul condus şi a unor mărimi impuse (mărimi de referinţă) astfel încât să fie indeplinit scopul reglării. Modelul matematic implementat în regulator se numeşte lege de reglare sau algoritm de reglare. Scopul reglării îl constituie anularea erorii, adică a diferenţei dintre mărimile de referinţă şi mărimile reglate, în condiţiile acţiunii perturbaţiilor. Un sistem de reglare automată înseamnă de fapt cele două componente fundamentale, partea fixă a sistemului şi regulatorul, interconectate într-o formă care defineşte structura sistemului de reglare. Toate structurile de reglare automată exprimă sisteme cu reacţie denumite şi sisteme în circuit închis. Procedura de determinare a structurii sistemului de reglare este o problemă complexă de proiectare în care se îmbină cunostinţe şi abilităţi atât referitoare la procesul tehnologic condus cât şi din domeniul teoriei sistemelor şi reglării automate. In Cap.8. au fost prezentate diferite structuri de reglare automată printre care se remarcă structura de reglare convenţională, cea mai simplă şi des întâlnită în practică. O structură de reglare convenţională, este denumită în limbaj tehnic şi buclă de reglare. Pentru o structură de reglare precizată, se poate spune că sinteza sistemului de reglare se reduce la determinarea modelului matematic al regulatorului, deci la determinarea legii de reglare, astfel încât sistemul în circuit închis să aibă o comportare dorită. Evident, sinteza sistemului se referă la un calculul analitic, teoretic, pe baza căruia se desfăşoară procedurile de implementare a legilor de reglare. Şi această etapă, este deosebit de complexă, fiind legată de natura fizică şi particularităţile echipamentelor pe care se efectuează implementarea legii de reglare. Pentru eficienţă şi robusteţe de foarte multe ori în practică se folosesc legi de reglare cu o structură predefinită, având ca şi grade de libertate o serie de parametri. De exemplu legile de reglare de tip PID intră în această categorie. În acest caz sinteza sistemului de reglare se reduce la determinarea valorilor parametrilor legii de reglare astfel încât să se asigure o comportare dorită a sistemului în raport cu mărimea impusă şi/sau cu perturbaţiile, astfel că procedura de sinteză este denumită şi procedura de acordare a parametrilor legii de reglare. Dacă acordarea parametrilor se efectuează în mod automat, în timpul funcţionării, sistemul de reglare are caracteristica de sistem adaptiv cu autoacordare.


287

11.1.2. Metode de sinteză Există o gamă largă de metode de sinteză a sistemelor de reglare printre care se menţionează: 1. Metode de sinteză în domeniul timp Presupun descrierea matematică a procesului condus prin ecuaţii de stare în domeniul timp. Se pot aplica atât la sisteme liniare cât şi la sisteme neliniare. Presupun utilizarea unui aparat matematic sofisticat. 2. Metode de sinteză în domeniul frecvenţă Presupun descrierea procesului condus prin caracteristici de frecvenţă, eventual determinate experimental. Procedura de sinteză presupune determinarea caractersticilor de frecvenţă ale legii de reglare prin manipulări grafo-analitice. Se pot aplica la sisteme liniare, inclusiv la sistemele cu timp mort precum şi la unele sisteme neliniare. 3. Metode de sinteză bazate pe repartiţia poli-zerouri Sunt aplicabile numai la sistemele liniare invariabile în timp, descrise prin funcţii de transfer raţionale care pot reprezenta şi comportarea unor sisteme neliniare în jurul unor puncte de funcţionare. Pot fi extinse şi la sistemele cu timp mort echivalat la intrare sau la ieşire. Sunt simplu de aplicat, aparatul matematic reducându-se la operaţii algebrice în domeniul complex s pentru sisteme continue sau z pentru sisteme discrete în timp. 4. Metode heuristice de sinteză Cele trei metode de mai sus presupun cunoşterea modelelui mtematic al procesului condus din care cauză se mai numesc şi metode de sinteză bazate pe model. Metodele heuristice de sinteză nu folosesc modelul matematic al procesului condus ci numai anumite descrieri calitative ale comportării acestuia. Descrierile pot fi crisp, adică în matematica bazată pe logica bivalentă, sau fuzzy dacă matematica se bazează pe logica infinit-valentă. În categoria metodelor heuristice intră şi metodele practice de acordare a legilor de reglare direct pe instalaţie. Acestea presupun o succesiune de acţiuni asupra parametrilor legii de reglare, în timpul funcţionării sistemului fizic, astfel încât să se ajungă la un comportament dorit al sistemului în circuit închis sau cel puţin un comportament acceptabil.


288

11.1.3. Algoritmul metodei de sinteză bazată pe repartiţia poli-zerouri Sinteza bazată pe repartiţia poli-zerouri pentru sisteme de reglare descrise prin funcţii de trasfer se poate efectua prin parcurgerea următorilor paşi: 1. Se precizează structura sistemului de reglare 2. Se determină matricea de transfer a părţii fixe 3. Se precizează performanţele sistemului de reglare în circuit închis 4. Se determină funcţiile de transfer în circuit închis dorite 5. Se calculează funcţia de transfer a legii de reglare principală şi, dacă este

cazul, funcţiile de transfer ale elementelor suplimentare de corecţie 6. Se implementează legea de reglare calculată şi se fac eventuale corecţii. Acesta este aşa numitul algoritm Truxall de sinteză aplicabil la toate sistemele de reglare descrise prin funcţii de transfer. Aceasta înseamnă că toate componentele sistemului sunt descrise prin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi care eventual exprimă comportarea obiectelor fizice în variaţii faţă de un regim staţionar. De asemenea, faptul că se manipulează numai funcţii de transfer, înseamnă că toate comportările se referă numai la răspunsurile forţate, adică răspunsurile sistemului în condiţii iniţiale nule. Pentru sistemele de reglare convenţională prezentate în §8.2., care reprezintă o buclă simplă de reglare, algoritmul Truxall de sinteză se aplică în mod direct. Pentru structuri de reglare mai complexe se fac echivalări secvenţiale sau globale cu bucle de reglare simple. De exemplu, în cazul sistemului de reglare în cascadă din §9.2., se calculează mai întâi bucla interioară. Funcţia sa de transfer în circuit închis, rezultată în urma acestui calcul, este interpretată ca şi componentă a părţii fixă pentru bucla imediat următoare care apare astfel ca o buclă simplă echivalentă căreia i se aplică algoritmul de sinteză. Procesul de echivalare continuă în acelaşi mod pentru buclele următoare, deci se efectuează o secvenţă de echivalări. În cazul sistemelor de reglare combinată, de exemplu, prezentate în §9.3., se echivalează întregul sistem ca o singură buclă de reglare pentru care însă apare o lege de reglare echivalentă ce depinde de legea de reglare principală şi de elementul de compensare a perturbţiei. Din această cauză se prezintă în continuare fiecare etapă din algoritmul Truxall de sinteză, cu referire numai la sistemele de reglare convenţională.

11. ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR 11.2. Precizarea structurii sistemului de reglare DE REGLARE CONVENŢIONALĂ

289

V (s ) E (s) Y (s )= U (s)R F

y (t)= u (t)R F

RH (s )

F pH (s )

FH (s)-

+

Y (s)

Y (s )

P (s )

++

v (t) ε (t)

p (t)

y(t)

11.2. Precizarea structurii sistemului de reglare automată 11.2.1. Structură de reglare convenţională cu un singur grad de

libertate Se consideră structura standard a unui sistem de reglare convenţională (SRC) cu o singură perturbaţie deplasată la ieşirea părţii fixe a sistemului, ca în Fig.11.2.1. Aceasta este o structură cu un singur grad de libertate deoarece singurul element necunoscut care trebuie calculat, este expresia RH (s) a legii de reglare denumită şi lege de reglare de bază sau lege de reglare principală deorece are la intrare eroarea sistemului. Se reamintesc în acest sens câteva noţiuni şi notaţii în SRC, conform celor prezentate în §8.2.

Figura nr.11.2.1.

Răspunsul părţii fixe a sistemului pF F FY(s) H (s) U (s) H (s) P(s)= ⋅ + ⋅ (11.2.1)

Funcţia de transfer a părţii fixe F EE IT TrH (s) H (s) H (s) H (s)= ⋅ ⋅ (11.2.2)

Funcţia de transfer a părţii fixe în raport cu perturbaţia p,

p FF U (s) 0Y(s)H (s) |P(s) ≡= (11.2.3)

Mărimea de comandă în circuit închis F RU (s) H (s) E(s)= ⋅ (11.2.4)

Eroarea sistemului, E(s) V(s) Y(s)= − (11.2.5)

Mărimea de ieşire a sistemului în circuit închis v pY(s) H (s) V(s) H (s) P(s)= ⋅ + ⋅ (11.2.6)


290

Funcţia de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă,

d

R Fv v P(s) 0d

R F

H (s) H (s) H (s) Y(s)H (s) ; H (s) |1 H (s) H (s) V(s)1 H (s)∆

≡⋅= = =

+ ⋅+ (11.2.7)

Funcţia de transfer în circuit deschis

vdR F

v

H (s)H (s) H (s) H (s) 1 H (s)= ⋅ =−

(11.2.8)

Funcţia de transfer în circuit închis în raport cu perturbaţia p,

pFp p V(s) 0d

k

H Y(s)H (s) ; H (s) |P (s)1 H (s)∆

≡= =+

(11.2.9)

Eroarea sistemului în circuit închis, EC pE(s) H (s) V(s) H P(s)ε= ⋅ + ⋅ (11.2.10)

Funcţia de transfer a elementului de comparaţie în circuit închis,

EC v EC P(s) 0dE(s)1H (s) 1 H (s); H (s) |V(s)1 H (s)

∆

≡= = − =+

(11.2.11)

Funcţia de transfer a elementului de comparaţie în raport cu perturbaţia

pFp p p V(s) 0d

H E(s)H (s) H (s) ; H (s) |P(s)1 H (s)∆

ε ε≡= − = − =

+ (11.2.12)

Expresia mărimii de comandă în circuit închis, pR R C CY (s) H (s) E(s) H (s) V(s) H (s) P(s)= ⋅ = ⋅ + ⋅ (11.2.13)

Funcţia de transfer de comandă în circuit închis în raport cu mărimea impusă

R RC R EC C P(s) 0d

H (s) Y (s)H (s) H (s) H (s) ; H (s) |V(s)1 H (s)∆

≡= ⋅ = =+

(11.2.14)

Funcţia de transfer de comandă în circuit închis în raport cu perturbaţia

p

RC V(s) 0

Y (s)H (s) |P(s) ≡= (11.2.15)

Coeficienţii erorii Sunt coeficienţii Ck ai dezvoltării în serie de puteri a funcţiei de transfer HEC(s). Coeficienţii erorii sunt de fapt coeficienţii Markov ai funcţiei HEC(s).

2 k0 1 2 kEC

C C C CH (s) s s ... s .....0! 1! 2! k!= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + (11.2.16)


291

Se consideră funcţia de transfer în circuit deschis raţională de forma.

m

kd k 1

n

kk 1

B (s z )M(s)H (s) , 0,1,2N(s)

s (s r )

=−α

α

=

⋅ += = α =

⋅ +

∏

∏. (11.2.17)

astfel că funcţia de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă este

m

kk 1

v n

kk 1

B (s z )M(s) M(s)H (s) L(s) M(s) N(s)

(s p )

=

=

⋅ += = =

++

∏

∏. (11.2.18)

11.2.2. Structuri de reglare cu trei grade de libertate Structura de reglare standard, din §11.2.1., are un singur grad de libertate, reprezentat prin legea de reglare de bază cu funcţia de transfer RH (s) , astfel că se poate îndeplini o singură condiţie independentă de comportament. De exemplu se poate asigura o comportare dorită numai în raport cu mărimea prescrisă sau numai în raport cu o singură perturbaţie. Pentru a putea asigura mai multe condiţii independente de comportament, se realizează regulatorul cu o structură mai complicată având pe lângă legea de reglare de bază şi o serie de legi de reglare suplimentare. Legile de reglare suplimentare, denumite şi elemente suplimentare de corecţie, introduc în mărimea de comandă componente care depind numai de mărimea prescrisă sau numai de mărimea măsurată, în diferite variante de interconectare. Indiferent de structură orice lege de reglare pentru sisteme monovariabile este un sistem cu două intrări, mărimea prescrisă v şi mărimea măsurată y, şi o singură ieşire, mărimea de comandă cy , care realizează relaţia intrare-ieşire

c Rv RyY (s) H (s) V(s) H (s) Y(s)= ⋅ − ⋅ , (11.2.19)

unde Yc(s), V(s), Y(s) sunt transformatele Laplace ale mărimilor yc, v, y, ce exprimă mărimea de comandă, mărimea prescrisă şi mărimea de reacţie, în variaţii faţă de un regim staţionar. Prin RvH (s) se înţelege funcţia de transfer a legii de reglare în raport cu mărimea impusă v iar prin RyH (s) funcţia de transfer a legii de reglare în raport cu mărimea măsurată (mărimea de reacţie) y. Evident, dacă Rv Ry RH (s) H (s) H (s)= = (11.2.20)

se obţine structura clasică specifică unui sistem de reglare convenţională care conţine o singură funcţie de transfer, HR(s), deci un singur grad de liberate c R RY (s) H (s) [V(s) Y(s)] H (s) E(s)= ⋅ − = ⋅ (11.2.21)


292

11.2.2.1. Structură de reglare cu trei grade de libertate cu corecţii mixte O variantă de interconectare a legilor de reglare suplimentare este prezentată în Fig.11.2.2., prin care, la intrarea în legea de bază se aplică corecţii suplimentare în raport cu referinţa prin 1F (s) , iar la ieşirea din legea de bază se aplică corecţii suplimentare în raport cu mărimea măsurată prin 2F (s) . Deoarece corecţiile suplimentare se aplică atât la intrarea cât şi la ieşirea din legea de bază, structura se numeşte cu corecţii mixte.

RH (s)

2 F (s)

1 F (s)yc1 yc

-1

v

y

+

-

+

+ +

+ε

Figura nr.11.2.2.

Mărimea de comandă este, c R 1 R 2Y (s) H (s) [1 F (s)] V(s) [H (s) F (s)] Y(s)= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

Rv RyH (s) V(s) H (s) Y(s)= ⋅ − ⋅ (11.2.22) unde, Rv R 1H (s) H (s) [1 F (s)]= ⋅ + (11.2.23)

Ry R 2H (s) H (s) F (s)= + (11.2.24)

O astfel de lege de reglare asigură o structură de reglare în circuit închis considerând o singură perturbaţie pk deplasată la ieşire, ca în Fig.11.2.3.

ycLege dereglare

H (s)F

H (s)PFk

vy

+ + y

p k=pH (s)

PFk

H (s)PF=

Figura nr.11.2.3.

Schema bloc a acestei structuri, bazată pe reaţia (11.2.22), este ilustrată în Fig.11.2.4., care reperzintă de fapt un sistem cu două intrări, mărimea prescrisă v şi perturbaţia kp , şi o singură ieşire y.


293

y =wc1yc

RH (s)

2 F (s)

1 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

+

-

+

+

+

- +

+v yε

p k=pH (s)

PFk

H (s)PF=

Figura nr.11.2.4.

Expresia mărimii de ieşire în circuit închis este, v pk kY(s) H (s) V(s) H (s) P (s)= ⋅ + ⋅ . (11.2.25)

cu funcţiile de transfer,

R Fv 1

R 2 F

H (s) H (s)H (s) [1 F (s)] 1 [H (s) F (s)] H (s)⋅= + ⋅

+ + ⋅ (11.2.26)

Fpkpk

R 2 F

H (s)H (s) 1 [H (s) F (s)] H (s)=

+ + ⋅ (11.2.27)

Se observă că 1F (s) şi RH (s) afectează numai comportarea în raport cu mărimea impusă exprimată prin vH (s) pe cînd RH (s) şi 2F (s) afectează ambele tipuri de comportări. Foarte des în practică se aleg: HR ca o lege PI,

R Ri

1H (s) K (1 )Ts= + (11.2.28)

F2 ca lege PD-real

d2 R

y

T sF (s) K T s 1=+

(11.2.29)

F1 ca element proporţional 1F (s) = α . (11.2.30)

Această alegere determină o comportare PI + PD-real = PID-real, (11.2.31) în raport cu mărimea măsurată,


294

RH (s)

3 F (s)

yc1yc

2 F (s)-1

+

-

+

+

+

+

y

v ε

dRy R

i y

T s1H (s) K 1 Ts T s 1 = + + +

(11.2.32)

şi o comportare PI în raport cu mărimea prescrisă,

*i iRv R R

i i

Ts 1 Ts 1H (s) K (1 ) KTs Ts+ += + α ⋅ = ⋅ (11.2.33)

la care, prin parametrul α, se poate ajusta în mod independent factorul de proporţionalitate al acestei componente,

*R RK K (1 )= + α . (11.2.34)

Uneori se doreşte lipsa componentei derivative în RvH (s) pentru evitarea apariţiei unor şocuri la elementul de execuţie când operatorul ajustează manual mărimea prescrisă. Existenţa componentei derivative în RyH (s) este de dorit pentru a reduce oscilabilitatea sistemului. Prin componenta derivativă se poate compensa inerţia traductoarelor. Oricum această corecţie suplimentară prin element D (D-real) nu are nici un efect în regim staţionar. 11.2.2.2. Structură de reglare cu trei grade de libertate cu corecţii la ieşirea

din legea de bază O altă variantă de interconectare a legilor de reglare suplimentare este prezentată în Fig.11.2.5. In această structură ambele corecţii suplimentare, în raport cu referinţa prin

3F (s) , şi în raport cu mărimea măsurată prin 2F (s) , se aplică la ieşirea din legea de bază cu funcţia de transfer RH (s)

Figura nr.11.2.5.


295

Mărimea de comandă este, c R 3 R 2Y (s) [H (s) F (s)] V(s) [H (s) F (s)] Y(s)= + ⋅ − + ⋅ =

Rv RyH (s) V(s) H (s) Y(s)= ⋅ − ⋅ (11.2.35)

unde, Rv R 3H (s) H (s) F (s)= + (11.2.36)

Ry R 2H (s) H (s) F (s)= + (11.2.37)

Considerând structura de interconectare din Fig.11.2.5., se obţine schema bloc a sistemului de reglare ca în Fig.11.2.6.,

y c1yc

RH (s)

2 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

ε

3 F (s)

+

-

++

+

- +

+v w y

H (s)PFk

H (s)PF=

p k=p

Figura nr.11.2.6.

pentru care expresia mărimii de ieşire în circuit închis este, v pk kY(s) H (s) V(s) H (s) P (s)= ⋅ + ⋅ (11.2.38)

cu funţiile de transfer,

R 3 Fv

R 2 F

[H (s) F (s)] H (s)H (s)1 [H (s) F (s)] H (s)

+ ⋅=

+ + ⋅ (11.2.39)

Fpkpk

R 2 F

H (s)H (s)

1 [H (s) F (s)] H (s)=

+ + ⋅. (11.2.40)

În practică frecvent se aleg,

R Ri

1H (s) K 1 Ts = +

, (11.2.41)

d2 R

T sF (s) K T s 1γ=

+ (11.2.42)

3 RF (s) K= α . (11.2.43)


296

Aceasta asigură

dRy R

i

T s1H (s) K 1 Ts T s 1γ

= + + + , (11.2.44)

o comportare PID-real în raport cu mărimea măsurată şi

i *Rv R R *

i i

(1 )Ts 1 1H (s) K K 1Ts T s+ α + = = +

(11.2.45)

o comportare PI în raport cu marimea impusă având însă ajustate simultan atât factorul echivalent de proporţionalitate *

RK cât şi constanta de timp de integrare echivalentă *

iT ,

*R RK (1 )K= + α (11.2.46)

*i iT (1 )T= + α (11.2.47)

Ceea ce este interesant în această structură este că se poate modifica zeroul introdus de RvH (s)

vi

1z (1 )T= −+ α

(11.2.48)

independent de zerourile introduse de RyH (s) prin ecuaţia

2d i(T T )T s (T T )s 1 0γ γ γ+ + + + = (11.2.49)

care în cazul dT 0, T 0γ= = înseamnă numai zeroul

yi

1z T= − . (11.2.50)

În felul acesta se pot compensa în mod diferit polii nedoriţi pentru comportarea în raport cu v respectiv y. Toate analizele referitoare la efectul componentei derivative sunt identice cu cele prezentate în cazul anterior.

11. ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR 11.3. Determinarea matricei de transfer a părţii fixe DE REGLARE CONVENŢIONALĂ

297

11.3. Determinarea matricei de transfer a părţii fixe 11.3.1. Formularea problemei Aşa cum se observă în Fig.11.2.1. şi relaţia (11.2.1), partea fixă a sistemului apare ca un obiect cu două intrări: Fu şi perturbaţia p. Aici s-a considerat o singură perturbţie, deci q 1= . În general însă, pentru q 1≥ , ca în Fig.8.2.4. şi relaţia (8.2.6), partea fixă este descrisă printr-o matrice de transfer F(s)H de dimensiunea [1 (q 1)]× + cu componentele FH (s) şi kFpH (s), k 1: q.= Procedurile de determinare a oricărei componente sunt identice, componentele fiind interpretate la modul general ca fiind funcţii de transfer notate H(s) , cu intrarea U(s) şi ieşirea Y(s) . Modelul matematic al unui sistem poate fi obţinut pe douǎ cǎi: Modelarea pe cale analiticǎ denumitǎ şi modelare matematicǎ Modelarea pe cale experimentalǎ denumiǎ şi identificare. Pentru majoritatea sistemelor complexe, modelul matematic analitic este sau foarte dificil de obţinut sau inoperabil cu instrumente inginereşti. Din aceastǎ cauzǎ, de foarte multe ori, descrierea matematicǎ se efectueazǎ prin modele matematice care exprimǎ variaţiile funcţiilor de timp, ce descriu mǎrimile fizice, în raport cu anumite funcţii sau traiectorii nominale. În particular aceste traiectorii nominale au valori constante în timp, denumite şi valori nominale, care pot fi şi valori ce exprimǎ aşa numitul regim staţionar. În continuare se vor prezenta cãteva algoritme de deteminare experimentală a parametrilor funcţiilor de transfer sau a coeficienţilor ecuaţiilor diferenţiale, a unor obiecte fizice în următoarele condiţii:

Sunt obiecte cu o intrare şi o ieşire; Sunt descrise de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi; Se prelucrează răspunsurile la intrare treaptă sau caracteristicile de frecvenţă.

În algoritmele prezentate mai jos se impune structura modelului matematic ca fiind de ordinul unu sau doi, cu şi fără autoechilibrare. Un sistem se spune că este cu autoechilibrare dacă la intrare mărginită răspunsul tinde către o valoare finită. În cazul liniar un sistem este cu autoechilibrare dacă funcţia sa de transfer nu are poli în originea planului complex s, deci nu are caracter integrator. Un sistem este fără autoechilibrare dacă la intrare mărginită răspunsul tinde către infinit. În cazul liniar un sistem este fără autoechilibrare dacă funcţia sa de transfer are cel puţin un pol în originea planului complex s, deci are caracter integrator.


298

11.3.2. Determinarea experimentală a parametrilor funcţiei de transfer de ordinul unu cu autoechilibrare, pe baza răspunsului la intrare treaptă

Funcţia de transfer, considerãnd şi timp mort este,

sY(s) K eH(s) U(s) Ts 1

−τ⋅= =+

. (11.3.1)

Rezultatele experimentale sunt prezentate în Fig.11.3.1.

t0y ( )st t 0y ( )sty( )∞+0.6321·[ - ]

∆u

t0

t0

u(t)

y(t)y( )∞

t0y ( )st

τ T

T

t

tB

F

D

C

AE··

· ·

· ·

·

G

P Q t0y ( )sty( )∞=[ - ]∆uK·

Figura nr.11.3.1.

1. Determinarea factorului de amplificare K

Se măsoară valorile ∆u şi [ st 0y( ) y (t )∝ − ] corespunzătoare segmentelor din grafic Se calculează factorul K

[ ] [ ][ ]

st 0 yy( ) y (t )K , Ku u∞ −= =

∆ (11.3.2)

Pentru determinarea constantei de timp T se pot folosi următoarele trei metode reprezentate în Fig.11.3.1. 2. Determinarea constantei de timp T prin metoda tangentei În punctul iniţial B se duce o tangentă la răspuns care intersectează ordonata finală în C. Proiecţia DE a segmentului BC, pe axa timpului este egală cu T. Observaţie: Tangenta se poate duce în orice punct F al răspunsului până la intersecţia G a ordonatei finale y(∞). Acesta subîntinde pe axa timpului un segment PQ egal cu T, oricare ar fi punctul F. Dacă sistemul este de ordinul întâi atunci toate segmentele PQ au o aceeaşi lungime.


299

3. Determinarea constantei de timp T prin metoda ordonatei Constanta T este egală cu intervalul de timp dintre momentul iniţial (cãnd răspunsul are valoarea yst(t0)) şi momentul în care ieşirea atinge valoarea: st 0 st 0y (t ) 0.6321 [y( ) y (t )]+ ⋅ ∝ −

4. Determinarea constantei de timp T prin metoda ariei Se calculează aria

[ ]0t

A y( ) y(t) dt∞

+τ

= ∞ −∫ (11.3.3)

Se calculează:

( )st 0T A / y( ) y (t )= ∞ − (11.3.4)

5. Observaţii comparative Metoda tangentei este rapidă însă erorile de trasare a tangentei, în special cãnd obiectul are în realitate ordinul mai mare decãt unu, afectează direct rezultatul. Metoda ordonatei, de asemenea rapidă, este dependentă de perturbaţiile aditive sau erorile de măsurare care afectează direct rezultatul. Metoda ariei, deşi solicită un efort de determinare mai mare, realizează echivalarea cu un obiect de ordinul unu avãnd în vedere întreaga evoluţie a răspunsului, astfel că erorile ce apar la primele două metode aici se compensează prin mediere. 11.3.3. Determinarea experimentală a coeficienţilor ecuaţiilor

diferenţiale de ordinul II cu autoechilibrare Considerând u(t) şi y(t) variaţiile intrării şi ieşirii faţă de regimul staţionar anterior, ecuaţia diferenţială pentru un astfel de sistem este, 2 1 0a y(t) a y(t) a y(t) u(t)⋅ + ⋅ + ⋅ = (11.3.5)

Acestei ecuaţii îi corespunde o funcţie de transfer,

2 2 22 1 0 1 1

1 KH(s)a s a s a T s 2 Ts 1

= =+ + + ξ +

(11.3.6)

unde,

0

1K a= (11.3.7)

21

0

aT a= (11.3.8)


300

1

0 2

aT2 a a

ζ = (11.3.9)

Condiţiile iniţiale şi finale sunt: y(0) 0; y(0) 0; y(0) 0; u(0) 0= = = = (11.3.10)

y( ) 0; y( ) 0; u(t) u( ); t 0∝ = ∝ = = ∝ ⟩

Coeficienţii se obţin din răspunsul la intrare treaptă astfel:

0u( )a y( )

∞=∞

(11.3.11)

0 11

a Ia y( )=∞

(11.3.12)

1 1 0 22

a I a Ia y( )−=∞

(11.3.13)

unde,

[ ]10

I y( ) y(t) dt∞

= ∞ −∫ (11.3.14)

[ ]20 t

I y( ) y( ) d dt∞ ∞

= ∞ − θ θ

∫ ∫ (11.3.15)

Valorile celor două integrale se pot determina cu ajutorul calculatorului numeric sau, cu suficientă precizie pentru identificare, pe cale manuală utilizând metoda trapezelor ca mai jos. Se apreciază care este intervalul de timp Nt [0, t ]∈ în care mărimea

(t) y( ) y(t)γ = ∞ − (11.3.16)

este mai mare decât erorile aparatelor de înregistrare. Se precizează N momente tk, k=0,1,…,N(t0=0), nu neapărat distribuite uniform (mai dese unde panta răspunsului este mai mare) astfel încât să se aproximeze cât mai bine curba 0 N(t), t [t , t ]γ ∈ prin trapeze ca în Fig.11.3.2. De obicei sunt suficiente N=10...15 puncte.

y(t)

0t 1t 0 t 2 t k-1 t k t N-1 t N

y( )∞t k∆

γkγk-1

t

Figura nr.11.3.2.


301

Datele se trec într-un tablou ca mai jos:

Nr.crt (k)

tk (sec)

∆tk (sec)

γk [y]

Ak [y](sec)

I1 [y]

Bk [y](sec)

Ck [y](sec2)

I2 [y](sec2)

0 t0 - γ0 - - - 1 t1 ∆t1 γ1 A1 B1 - 2 t2 ∆t2 γ2 A2 B2 C2 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

k tk ∆tk γk Ak Bk Ck . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

N tN ∆tN γN AN I1 BN CN I2 unde, k k k 1t t t −∆ = − (11.3.17)

k k k(t ) y( ) y(t )γ = γ = ∝ − (11.3.18)

k k 1k kA t2

−γ + γ= ∆ (11.3.19)

N

1 kk 1

I A=

= ∑ (11.3.20)

N

k ii k

B A=

= ∑ (11.3.21)

k k 1k k

B BC t2−+= ∆ (11.3.22)

N

2 kk 2

I C=

= ∑ (11.3.23)

Dacă obiectul are timp mort, valoarea t0=0 corespunde momentului în care ieşirea începe să se modifice iar constanta de întârziere este dată de intervalulul de timp dintre momentul aplicării semnalului treaptă şi momentul t0.


302

11.3.3. Determinarea experimentală a coeficienţilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul II fără autoechilibrare

Considerând u(t) şi y(t) valorile absolute ale intrării şi ieşirii, sistemul este descris de ecuaţia diferenţială 2 1a y(t) a y u+ = (11.3.24)

căreia îi corespunde funcţia de transfer,

21 22 1

1 KH(s) Ts (T s 1)a s a s= =

⋅ ++ (11.3.25)

unde

[ ][ ] [ ] [ ]1

1 1(sec) u [y]T a ; T sec.; KK [u]y

⋅= = = ; 2

21

aT (sec)a= (11.3.26)

Coeficienţii se obţin din răspunsul la intrare treaptă în condiţiile iniţiale şi finale astfel: 0 st 0 0 0y(t ) y (t ); y(t ) 0; u(t ) 0; u(t) u( )= = = = ∞ (11.3.27)

1u( ) u( )a y( ) dy(t)

dt

∞ ∞= =∞

(11.3.28)

12

a Ia y( )⋅=∞

(11.3.29)

[ ]0

I y( ) y(t) dt∞

= ∞ −∫ (11.3.30)

Aceşti parametrii se pot deduce şi pe cale grafică ca în Fig.11.3.3.

0

0 t0

t0

t

t

u(t)

y(t)

∞u( )

Val ∞u( )

2T = a1a2

Val(K)T1

I

0

0 t0

t0

t

t

u(t)

y(t)Val ∞u( )

Val(k)T1

τ2T =a1

a2

∞u( )

Figura nr.11.3.3. Figura nr.11.3.4. Dacă obiectul are timp mort atunci răspunsul este ca în Fig.11.3.4., iar funcţia de transfer este,

s

1 1

K eH(s) Ts (Ts 1)−τ⋅=

⋅ + (11.3.31)


303

11.3.4. Calculul răspunsului la intrare treaptă normalizat Pentru unificarea modului de prelucrare a rezultatelor experimentale, în locul răspunsului la intrare treaptă experimental yexp(t), se utilizează răspunsul la intrarea treaptă normalizat hexp(t), normalizarea efectuându-se în raport cu variaţia răspunsului în regim staţionar,

exp st 0exp

exp exp 0

y (t) y (t )h (t) y ( ) y (t )

−=

∞ −. (11.3.32)

Prelucrarea răspunsului normalizat conduce la o funcţie de transfer H(s) cu factor de poziţie unitate, H(0) 1= (11.3.33)

Evident, obiectul supus identificării se caracterizează printr-un factor de proporţionalitate K care se determină cu relaţia

[ ] [ ][ ]

st 0 yy( ) y (t )K , Ku u∞ −= =

∆ (11.3.34)

unde ∆u reprezintă variaţia intrării care a produs modificarea ieşirii de la yst(t0)la y(∞). Funcţia de transfer a acestui obiect este K⋅H(s). În toate metodele care utilizează răspunsul la intrare treaptă normalizat, nu se mai calculează factorul K, aceasta considerându-se că se efectuează separat cu relaţia (11.3.34). După aplicarea unei proceduri de identificare se verifică prin câteva puncte erorile dintre raspunsul modelului normalizat şi cele ale răspunsului experimental normalizat,

k exp kk

exp k

h(t ) h (t )% 100h (t )−

γ = ⋅ (11.3.35)

Dacă k % (2 3)%γ < ÷ (11.3.36)

se validează modelul identificat.


304

11.3.5. Determinarea parametrilor funcţiei de transfer de ordinul II cu poli reali pe baza răspunsului la intrare treaptă normalizat

Se consideră un sistem cu funcţia de transfer cu doi poli reali, cu factor de amplificare de poziţie unitate

1 2

1 2 1 2

p p1H(s) (Ts 1)(T s 1) (s p )(s p )= =+ + + +

(11.3.37)

unde

1 21 2

1 1T , Tp p= = , (11.3.38)

care exprima modelul normalizat al unui sistem cu răspunsul expy (t) la intrare treaptă 0u(t) (t t ) u= − ⋅ ∆1 . (11.3.39)

Normalizarea s-a efectuat cu relaţia

exp st 0exp

exp exp 0

y (t) y (t )h (t) y ( ) y (t )

−=

∞ −. (11.3.40)

Funcţia indicială a acestui model, cãnd polii sunt distincţi este,

1 2t / T t / T1 2

1 2 2 1

T Th(t) 1 e e(T T ) (T T )− −= − ⋅ − ⋅

− − (11.3.41)

1 22 1p t p t

2 1 1 2

p ph(t) 1 e ep p p p− −= − ⋅ − ⋅

− −. (11.3.42)

iar dacă polii sunt egali

1 2 1 21p p p, T T p= = = = (11.3.43)

şi

( )

2

2 2p1H(s)

(s p)Ts 1= =

++ (11.3.44)

funcţia indicială corespunzătoare are forma,

t

ptTth(t) 1 (1 ) e [1 (1 p t) e ]T− −= − + ⋅ = − + ⋅ ⋅ (11.3.45)

In continuare se prezintă o metodă care se bazează pe cunoaşterea punctului de inflexiune W al răspunsului

w w w wW W T ,h , h h(T )= = . (11.3.46)


305

Pentru determinarea punctului de inflexiune pe curba experimentală, se calculează în diferite puncte tk variaţiile ∆hk, k k kh h(t ) (t ),∆ = + δ − − δ (11.3.47)

pentru δ suficient de mic. Se alege pentru punctul de inflexiune abscisa t=Tw căreia îi corespunde cea mai mare variaţie ∆hk. Relaţii între parametrii funcţiei de transfer şi elemente grafice ale răspunsului Se consideră un răspuns aperiodic ca în Fig.11.3.5. , pe care se definesc prin construcţie elementele, Tw,hw,Tc,Tu,Tn . Pentru aceasta, în punctul de inflexiune W se duce o tangentă la curba experimentală şi se determină punctele A şi B de intersecţie a tangentei cu dreptele orizontale specifice regimului staţionar iniţial şi final.

h exp(t)

0

1

tW

•

•

• A

B

TaTu

TcTw

hw

Figura nr.11.3.5.

Problema de identificare inseamnă de fapt rezolvarea unui sistem de ecuaţii având ca necunoscute valorile T1, T2 , ecuaţii dependente de valorile unor elemente grafice care pot fi evaluate uşor şi cu rezultate robuste. Se definesc o serie de mărimi adimensionale ca de exemplu:

1 2

2 1

p Tp Tγ = = (11.3.48)

ln1e

γ− ⋅ γγ−α = (11.3.49)

şi se exprimă elementele răspunsului în funcţie de acestea. Se calculează funcţia indicială, derivatele ei şi punctul de inflexiune din care se deduc: Cazul: 1 2p p 1≠ ⇒ γ ≠

1 2 1 2 2w

1 2 1 2 2 1 1

ln p ln p1 TT TT ln lnp p p p T T T−= ⋅ γ = = ⋅

− − − (11.3.50)


306

Cazul: 1 2 1 2p p p T T T 1= = ⇔ = = ⇒ γ = w 1 2T T T T 1/ p= = = = (11.3.51)

u 1 1 21 ( 1)T T ln , T T 11

− γ + αγ = ⋅ γ − ≠ ⇔ γ ≠ γ − α , (11.3.52)

[ ]u 1 2T T 3 e 0.2817 T, T T T 1= ⋅ − = ⋅ = = ⇔ γ = , (11.3.53)

c 1 2 1 21

( 1)T T T , T T 1pγ += = + ≠ ⇔ γ ≠ (11.3.54)

c 1 22T 2 T, T T T 1p= = ⋅ = = ⇔ γ = (11.3.55)

ln1

a 1 1 21

1T T e T T 1p

γ− γγ−= = ⋅ ≠ ⇔ γ ≠

⋅ α (11.3.56)

a 1 2eT T e, T T T 1p= = ⋅ = = ⇔ γ = , (11.3.57)

Pe baza acestor relaţii se calculează funcţiile de parametrul γ ,

aa / u

u

T( ) Tλ γ = şi ww /1

1

T( ) Tλ γ =

care au expresiile,

aa / u

u

T 1( ) , 1,T 1 ( 1)ln1

λ γ = = γ ≠− γ + αγ α ⋅ γ − γ − α

(11.3.58)

ln1e

γ− γγ−α =

aa / u

u

T e( ) 9.6489, 1T 3 eλ γ = = = γ =−

(11.3.59)

ww /1

1

T( ) ln , 1T 1γλ γ = = γ γ ≠

γ − (11.3.60)

ww /1

1

T( ) 1, 1Tλ γ = = γ = (11.3.61)

Funcţiile a / u ( )λ γ şi w /1( )λ γ sunt continue 0∀γ⟩ şi sunt reprezentate în Fig.11.3.6. la scară logaritmică pentru [0.01,100]γ ∈ . Valoarea minimă a funcţiei a / u ( )λ γ are loc pentru γ=1 cu

valoarea a / ue( ) 9.64893 eλ γ = =−

.


307

0.01 0 .1 1 1 0 1 0 00 0

25 1.0

50 2.0

75

1 0 0 5.0 1 2 0 6.0

TwT1Tu

Ta

Tu

Ta

Figura nr.3.9.a Figura nr.3.9.b

3.0

4.0

TwT1

9.6489 γ

Figura nr.11.3.6.

Metoda de identificare se bazează pe utilizarea valorilor a u wT ,T ,T măsurate experimental în corelaţie cu relaţiile lor analitice. Pentru aceasta se rezolvă ecuaţia a / u a u( ) /(T / T )λ γ folosind relaţiile (11.3.58) şi (11.3.59), în care valoarea a u(T / T ) se evaluează din graficul experimental. Din acaeastă ecuaţie se determină raportul γ ce permite calculul raportului

w 1(T / T ) din relaţiile (11.3.60) şi (11.3.61). Folosind valoarea wT evaluată pe grafic, se calculează 1T din raportul

w 1(T / T ) determinat anterior, iar din (11.3.48) se calculează 2T . Se parcurg următoarele etape: 1. Pe răspunsul normalizat, se realizează construcţia din Fig.11.3.5. şi se

determină constantele de timp astfel: 2. Se determină punctul de inflexiune. 3. Se trasează tangenta în punctul de inflexiune până intersectează ordonatele

hexp=0 şi hexp=1. 4. Se determină constantele a w c uT ,T T ,T .


308

5. Se calculează raportul a u(T / T ) şi se determină valoarea corespunzătoare a parametrului γ pe baza diagramei din Fig.11.3.6.a, unde

2 1(T / T )γ = (11.3.62)

6. Pentru valoarea parametrului γ de mai sus se determină pe baza diagramei din Fig.11.3.6.b. valoarea raportului w 1(T / T )

w 1(T / T )β = (11.3.63)

7. Se calculează

w w1

w 1

T TT (T / T )= =β

(11.3.64)

8. Se calculează constanta 2T cu relaţia,

2 1T T= γ ⋅ (11.3.65)

sau cu relaţia, 2 c 1T T T= − (11.3.66) Observaţii. Metoda dă rezultate exacte pentru obiecte de ordinul II. Dacă obiectul identificat are ordin mai mare decât II, atunci se poate echivala cu un obiect de ordinul II dacă,

aa u min

u

T e(T / T ) 9.6489T 3 e≥ = =−

(11.3.67)

În multe cazuri se poate duce cu precizie tangenta AB, dar nu se poate preciza valoarea ordonatei punctului de inflexiune. Deoarece constanta cT este puternic afectată de valoarea wh(t ) , în astfel de situaţii pentru calculul constantei 2T se recomandă relaţia (11.3.65), relaţia (7.100) fiind utilă pentru verificare. Este indiferent pe ce ramură se determină valoarea γ, soluţiile fiind aceleaşi. Aceasta înseamnă alegerea lui 1T constanta cea mai mică (ramura stângă) sau 1T constanta cea mai mare (ramura din dreapta).


309

1.3.6. Determinarea parametrilor funcţiei de transfer de ordinul II fără timp mort din caracteristica complexă de frecvenţă

Se consideră caracteristica complexă de frecvenţă dedusă experimental din Fig.11.3.7. expj ( )

exp expH ( j ) A ( ) e ϕ ωω = ω ⋅ , (11.3.68) din care se observă că obiectul este fără timp mort şi excesul poli - zerouri este doi.

Figura nr.11.3.7.

Pentru determinarea parametrilor T şi ξ ai funcţiei de transfer

2 2KH(s)

T s 2 T s 1=

⋅ + ξ ⋅ + (11.3.69)

se procedează astfel: 1. Se determină expA (0) K= prin testare la variaţie treaptă a intrării. 2. Se determină pulsaţia 1

/ 2 (sec )−πω pentru care defazajul este de π/2.

3. Se evaluează valoarea atenuării exp / 2A ( )πω , corespunzătoare pulsaţiei / 2πω . 4. Se calculează

/ 2

1T (sec),π

=ω

, (11.3.70)

exp

exp / 2

A (0)2A ( )π

ξ =ω

. (11.3.71)

Pentru diferite valori kω ale pulsaţiei, se verifică pe caracteristica experimentală dacă corespund pentru atenuare, valorile calculate cu relaţiile, (11.3.69), (11.3.70). Se calculează abaterile

k exp k2 2 2 2

k k

KA( ) A ( )[1 T ( ) ] (2 T )

δ ω = − ω− ⋅ ω + ξ ⋅ ω

(11.3.72)

şi se apreciază corectitudinea modelului identificat.

Aexp(0)=K

ω=0ω=∞

Aexp(ωπ/2)

Aexp(0)

j Im(Hexp(jω))

Re(Hexp(jω))

ωπ/2


310

11.4. Transpunerea performanţelor într-o repartiţie poli-zerouri 11.4.1. Formularea problemei Transpunerea unor performanţe într-o repatiţie poli-zerouri înseamnă determinarea expresiei unei funcţii de transfer H(s) raţională astfel încât răspunsurile generate de această funcţie de transfer să îndeplinească performanţe cerute. O astfel de funcţie de transfer raţională este precizată atât prin polii şi zerourile sale, care reprezintă prin inversare constantele de timp de la numitor şi respectiv numărător, dar şi printr-un coeficient care este bine definit ca şi factor general de amplificare de poziţie, viteză, sau acceleraţie. În procedurile de sinteză expresia H(s) de mai sus, este aleasă ca şi funcţie de transfer în circuit închis dorită, în raport cu mărimea impusă, şi se notează

vˆH(s) H (s)= , (11.4.1)

sau în raport cu o perturbaţie kp ,şi se notează

pkˆH(s) H (s)= . (11.4.2)

Performanţele impuse sistemului de reglare trebuie să fie corelate şi cu posibilitatea reală a procesului condus de a realiza asfel de comportări dorite. Metodele de sinteză bazate pe funcţii de transfer presupun modele liniare în care toate variabilele iau valori în spaţii liniare deci în care valorile pot fi în modul oricât de mari. Datorită puterii finite a elementelor componente din sistemul real, toate mărimile fizice nu pot depăşi anumite limite finite. Cea mai evidentă limitare apare la elementul de execuţie care poate controla procesul condus prin comenzi numai între o valoare minimă şi o valoare maximă. Atâta timp cât mărimile fizice rămân între limitele de care s-a ţinut cont atunci când s-a dedus modelul matematic liniar în variaţii faţă de un regim staţionar, este posibil ca acest model matematic sa fie valabil şi comportarea sistemului în circuit închis, preconizată în procedura de sinteză, să se regăsească în evoluţia sistemului fizic. Evident această identitate de reprezentare este valabilă pentru variaţii mici ale mărimilor fizice faţă de valorile staţionare considerate în deducerea modelelui matematic liniar. Din această cauză este indicat să se analizeaze şi evoluţia în circuit închis a mărimii de comandă generată de legea de reglare. Performanţe nerealiste au ca şi primă consecinţă necesitatea unor comenzi de valori mari. De exemplu, dacă un proces condus este caracterizat printr-un model cu constante de timp de ordinul minutelor, şi se solicită ca în circuit închis sistemul


311

să răspundă cu constante de timp de ordinul secundelor, pe modelul liniar acest lucru este perfect posibil dar, dacă se analizează evoluţia mărimii de comandă în circuit închis, se observă că valorile comenzilor sunt foarte mari. In practică, pe sistemul real nu se pot aplica aceste valori mari deci apar limitări, cel puţin la elementul de execuţie, astfel că modelul liniar folosit în procedura de sinteză nu mai reprezintă comportarea sistemului fizic şi apar diferenţe între ce se aştepta prin calcul să se întâmple şi ce se întâmplă în realitate. Oricum, comportarea dinamică a unui sistem de reglare nu poate fi rezolvată intuitiv, din care cauză metodele de sinteză bazate pe funcţii de transfer sunt indispensabile, fiind uşor de aplicat şi unanim acceptate în aplicaţiile practice. Pentru transpunerea performanţelor într-o repartiţie poli-zerouri se consideră o expresie a funcţiei de transfer în circuit închis dorită, H(s) , care poate fi vH (s) sau pkH (s) conform (11.4.1) respectiv (11.4.2), raţională cu coeficienţi parametri oarecare. Pentru această funcţie de transfer H(s) se deduc expresiile analitice ale diferiţilor indicatori de calitate ca şi funcţii de coeficienţii funcţiei de transfer. Aşa cum s-a analizat în §10.1. performanţe înseamnă relaţii de inegalitate sau egalitate impuse indicatorilor de calitate. Aceste relaţii constituie un sistem de inecuaţii şi ecuaţii în care necunoscutele sunt coeficienţii funcţiei de transfer. Pentru indicatorii de calitate în regim staţionar se pot stabili astfel de relaţii la modul general pentru oricare tip de funcţie de transfer. Stabilirea unor relaţii între indicatorii de calitate în regim tranzitoriu şi parametrii funcţiei de transfer corespunzătoare este posibilă numai pentru funcţii de transfer particulare, de ordin scăzut sau de o formă precizată. Dacă sistemul de inecuaţii şi ecuaţii nu este determinat, rămân o serie de parametri liberi, deci performanţele pot fi îndeplinite nu cu o singură funcţie de transfer ci cu o familie de astfel de funcţii de transfer. Prin impunerea unor criterii suplimentare de calitate, sub forma unor criterii de tip optimal, se obţine o soluţie unică pentru valorile parametrilor deci pentru funcţia de transfer dorită. Astfel de criterii suplimentare de tip optimal pot reprezenta condiţii ca legea de reglare să fie cât mai simplă posibil sau să fie îndeplinit criteriul modulului ce va fi prezentat în paragraful următor. Există o serie de abordări în care nu se impun apriori anumite performanţe pe care să le realizeze sistemul; acestea rezultă ca şi consecinţă în urma aplicării unei metode sau alta dar care în final depind de parametrii procesului condus. În această categorie intră de exemplu variata Kessler a criteriului modulului sau metodele practice de acordare a legilor de reglare care vor face obiectul capitolului următor.


312

11.4.2. Criteriul modulului Se ştie că scopul reglării automate îl reprezintă condiţia de anulare a erorii sistemului. Ideal, aceasta înseamnă că eroarea trebuie să fie identic egală cu zero adică să se reproducă identic mărimea impusă, şi să se anuleze efectul oricărei perturbaţii, deci ideal trebuie indeplinite condiţiile

q

v pkk 1

(t) v(t) y(t) v(t) y (t) y (t) 0, t=

ε = − = − − = ∀ ∈∑ R (11.4.3)

v vy (t) v(t), t H (s) 1= ∀ ∈ ⇔ ≡R , (11.4.4)

pk pky (t) 0, t H (s) 0,k 1: q= ∀ ∈ ⇔ ≡ =R . (11.4.5)

Pentru sistemele cu minim de fază, adică pentru sisteme la care toţi polii şi toate zerourile se află în semiplanul stâng, sunt valabile relaţiile Bode prin care se pot calcula caracteristicile fază-pulsaţie din caracteristicile amplitudine pulsaţie. Deci sistemele cu minim de fază sunt complet caracterizate numai prin caracteristicile lor amplitudine-pulsaţie. In particular, condiţiile (11.4.4), (11.4.5) se exprimă prin caracteristicile amplitudine pulsaţie, v v| H ( j ) | A ( ) 1, 0ω = ω ≡ ∀ω ≥ , (11.4.6)

pk pk| H ( j ) | A ( ) 0, 0; k 1: qω = ω ≡ ∀ω ≥ = . (11.4.7)

Deoarece este importantă comportarea aproape de regimul staţionar, sunt utile dezvoltările în serie de puteri pentru caracteristicile amplitudine-pulsaţie (11.4.6) şi (11.4.7) în jurul pulsaţiei 0ω = , care au forma

i

v(i) i (i)v v v v 0i

i 1

d A ( )A ( ) A (0) A (0) , A (0) |d

∞

ω==

ωω = + ⋅ ω =ω∑ , (11.4.8)

i

k(i) (i)ipk 0pk pk i

i 0

d A ( )A ( ) A (0) , A (0) | , k 1: qd

∞

ω==

ωω = ⋅ ω = =ω∑ . (11.4.9)

Condiţiile (11.4.6), (11.4.7) de reproducere a mărimii impuse şi de rejecţie a efectului perturbaţiilor, se exprimă prin condiţiile

(i)v vA (0) 1; A (0) 0, i 1= = ∀ ≥ (11.4.10)

(i)pkA (0) 0, i 0; k 1: q= ∀ ≥ = . (11.4.11)

Criteriul modulului înseamnă condiţia ca un număr cât mai mare de termeni (i)

vA (0) , (i)pkA (0) să îndeplinească condiţiile (11.4.10), (11.4.11), deci să

se aproximeze cât mai bine caracteristicile de frecvenţă ideale (11.4.6), (11.4.7). Are avantajul aplicării şi la sistemele cu timp mort pentru care funcţiile de transfer nu mai sunt raţionale. Pentru sistemele de reglare convenţională, criteriul modulului cere ca factorii de amplificare finiţi şi nenuli ai legii de reglare să aibă valori maxim posibile.


313

11.4.3. Relaţii între factorii generali de amplificare şi parametrii funcţiei de transfer în circuit deschis

Se reamintesc relaţiile de definiţie a factorilor generali de amplificare, Factorul de amplificare de poziţie

dp

s 0 t

y(t) y( )K lim H (s) lim (t) ( )→ →∞

∞= = = ε ε ∞(adimensional) (11.4.122)

Factorul de amplificare de viteză

d 1v

s 0 t

y(t) y( )K lim s H (s) lim (sec )(t) ( )−

→ →∞

∞= ⋅ = = ε ε ∞ (11.4.13)

Factorul de amplificare de acceleraţie

2 d 2a

s 0 t

y(t) y( )K lim s H (s) lim (sec )(t) ( )−

→ →∝

∝= ⋅ = = ε ε ∝ (11.4.14)

Se consideră funcţia de transfer în circuit deschis dH (s) de forma (11.2.17)

m

kd k 1

n

kk 1

B (s z )M(s)H (s) , 0,1,2N(s)

s (s r )

=−α

α

=

⋅ += = α =

⋅ +

∏

∏. (11.4.15)

Structura sistemului în circuit deschis, exprimată prin parametrul întreg α care redă numărul de elemente integratoare, afectează factorii generali de amplificare ca în tabelul de mai jos.

(11.4.16)

α pK vK aK

0

m

kk 1

n

kk 1

B (z )

(r )

=

=

⋅∏

∏

0

0

1

∞

m

kk 1

n 1

kk 1

B (z )

(r )

=−

=

⋅∏

∏

∞

2

∞

∞

m

kk 1

n 2

kk 1

B (z )

(r )

=−

=

⋅∏

∏


314

Se ştie că erorile staţionare relative determinate de variaţia mărimii impuse sunt dependente de forma semnalului de testare, treaptă pentru eroarea de poziţie, rampă pentru eroarea de viteză şi parabolă pentru eroarea de acceleraţie. Aceste semnale se exprimă unitar prin

11 1v (t) t 1(t) V (s) , 0,1,2! s

ββ β β+= ⋅ ⋅ ⇔ = β =

β. (11.4.17)

Se obţin

relEC

t s 0 s 0lim (t) lim s E (s) lim s H (s) V (s)β∝ β β β→∞ → →

ε = ε = ⋅ = ⋅ ⋅ (11.4.18)

Valori finite şi nenule pentru erorile staţionare se obţin numai în anumite condiţii ca în tabelul de mai jos.

(11.4.19) 11.4.4. Relaţii între factorii generali de amplificare şi parametrii

funcţiei de transfer în circuit închis Dacă funcţia de transfer în circuit deschis este de forma (11.4.15), atunci, pentru un sistem de reglare convenţională cu structura din Fig.11.2.1., funcţia de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă este

m

kdk 1

v d n

kk 1

B (s z )H (s) M(s) M(s)H (s) L(s) M(s) N(s)1 H (s) (s p )

=

=

⋅ += = = =

+++

∏

∏. (11.4.20)

Aşa cum se vede şi din relaţiile (11.4.16), factorul de amplificare de poziţie pK este finit şi nenul numai dacă 0α = adică funcţia de transfer în circuit

deschis nu are caracter integrator.

α rel0∞ε rel

1∞ε rel2∞ε

0 p

11 K+

∞

∞

1

0 v

1K

∞ 2

0

0 a

1K


315

Se calculează, m

kvd k 1

p rel n mv0

k kk 1 k 1

B (z )H (0) M(0)1K 1 H (0) 1 H (0) L(0) M(0)

(p ) B (z )

=

∞

= =

⋅= − = = = =

− −ε− ⋅

∏

∏ ∏ (11.4.21)

Performanţa se impune prin condiţia,

rel rel0 0 p p impimp

K K∞ ∞ε ≤ ε ⇔ ≥ (11.4.22)

Au loc echivalenţele,

rel0 p v 00 K H (0) 1 C 0∞ε = ⇔ = ∞ ⇔ = ⇔ = (11.4.23)

Din punct de vedere practic, se asigură eroare staţionară de poziţie nulă rel

0 0∞ε = , dacă în circuit deschis există cel puţin un element integrator, adică funcţia de transfer dH (s) are cel puţin un pol în originea planului complex s. Aşa cum se vede şi din relaţiile (11.4.16), factorul de amplificare de viteză

vK este finit şi nenul numai dacă funcţia de transfer în circuit deschis are caracter simplu integrator şi sunt îndeplinite condiţiile din (11.4.23), adică p v 0K H (0) 1 C 0= ∞ ⇔ = ⇔ = (11.4.24)

şi

2 k1 2 kEC v

C C CH (s) 1 H (s) s s ... s .....1! 2! k!= − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + (11.4.25)

Coeficientul de viteză 1C al erorii este,

rel1 EC 1ds 0 s 0 v

1 1 1 1C lim H (s) lims s K1 H (s) ∞→ →

= ⋅ = ⋅ = = ε + (11.4.26)

În acelaşi timp, coeficientul 1C se poate deduce din (11.4.25) prin derivare în punctul s=0,

1 EC s 0 EC v vs 0d dC H (s) H (0) 1 H (s) H (0)ds ds= =

′ ′= = = − = − (11.4.27)

astfel că din (11.4.26) şi (11.4.27)

rel1 v v

v

1 H (0); H (0) 1K ∝ ′= ε = − = (11.4.28)

Are loc relaţia finală, deosebit de importantă

n m

rel1

v k kk 1 k 1

1 1 1K p z∝

= =

ε = = −∑ ∑ (11.4.29)


316

Deci, cu cât o funcţie de transfer în circuit închis are mai mulţi poli cu atât eroarea relativă de viteză (timpul de întârziere la urmărie rampă) este mai mare. Introducerea unor zerouri în funcţia de transfer determină reducerea erorii de viteză, deci o îmbunătăţire a performanţelor. Performanţa se poate impune prin condiţia,

[ ]n m

rel rel1 1 v v impimpk kk 1 k 1

1 1 K Kp z∝ ∝= =

ε = − ≤ ε ⇔ ≥ ∑ ∑ (11.4.30)

Din punct de vedere practic, se asigură eroare staţionară de viteză nulă, dacă în circuit deschis există cel puţin două elemente de tip integrator, adică funcţia de transfer are cel puţin doi poli în originea planului complex s, adică,

rel1 p v0 K & K∞ε = ⇔ = ∞ = ∞ ⇔ . (11.4.31)

v v 0 1H (0) 1& H (0) 0 C 0 & C 0′= = ⇔ = = (11.4.32)

Relaţia între factorul de amplificare de acceleraţie şi parametrii funcţiei de transfer în circuit închis are sens dacă funcţia de transfer în circuit deschis are caracter dublu integrator. Se obţine,

m n

rel2 2 2

a k kk 1 k 1

1 1 1 1K 2 (z ) (p )∞

= =

ε = = ⋅ − ∑ ∑ (11.4.33)

În cazul erorii staţionare de acceleraţie efectul introducerii de poli şi zerouri este invers faţă de cel de la eroarea de viteză. Performanţa se poate impune prin condiţia,

m n

rel1 a a2 2 imp

k kk 1 k 1

1 1 1 K K2 (z ) (p )∞= =

ε = ⋅ − ⇔ ≥∑ ∑ (11.4.34)

Din punct de vedere practic, se poate asigura eroare staţionară de acceleraţie nulă, dacă în circuit deschis există cel puţin trei elemente de tip integrator, adică funcţia de transfer are cel puţin trei poli în originea planului complex s, α=3.


317

11.4.5. Transpunerea în repartiţie poli-zerouri a performanţelor în regim tranzitoriu

11.4.5.1. Semnale şi funcţii de transfer în timp adimensional În cazul indicatorilor de calitate în regim tranzitoriu şi armonic nu se pot stabili, la modul general, relaţii dintre aceşti indicatori şi parametrii funcţiilor de transfer. Deaceea, se vor prezenta astfel de relaţii numai pentru câteva tipuri de funcţii de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă Hv(s) şi în raport cu o perturbaţie Hp(s). Pentru a reduce numărul de parametri implicaţi în aceste relaţii, se folosesc răspunsurile în timp adimensional şi funcţiile de transfer normalizate cu variabilă complexă adimensională. Se ştie că dacă variabila independentă t din transformarea Laplace are dimensiunea timp (sec.) atunci variabila complexă corespunzătoare s are dimensiunea frecvenţă (sec-1). Se definesc timpul adimensional t' şi variabila adimensională complexă s' prin normalizare în raport cu un parametru, cu dimensiunea frecvenţă, de exemplu o pulsaţie notată nω a cărei dimensiune este 1(sec.)− ,

nn

tt t t ′′ = ω ⋅ ⇔ =ω

(11.4.35)

nn

ss s s′ ′= ⇔ = ω ⋅ω

(11.4.36)

Dacă y(t) este un semnal în timp fizic acesta poate fi reprezentat cu aceleaşi valori dar la o scară de timp adimensional printr-un alt semnal semnal y(t )′ , denumit semnalul în timp adimensional, obţinut prin relaţia

n

tt n

ty(t ) y(t) y′=ω

′ ′ = = ω (11.4.37)

Funcţia de transfer normalizată H(s )′ se obţine din funcţia originală H(s) prin substituţia ns s nH(s ) H(s) H( s )′=ω ⋅′ ′= = ω ⋅ sau împărţind numărătorul şi numitorul prin parametrul de normalizare, nω , ridicat la o putere egală cu gradul maxim al polinoamelor de la numitor şi numărător. Indicatorii de calitate ce au dimensinea timp (sec.) , se normalizează prin înmulţire cu nω iar cei ce au dimensiunea frecvenţă 1(sec.)− se normalizează prin împăţire cu nω


318

11.4.5.2. Relaţii între indicatorii de calitate şi parametrii unei funcţii de transfer de ordinul întâi

Se consideră expresia funcţiei de transfer în circuit închis, în raport cu mărimea impusă

vc / pc 1H (s) , Ts p T s 1 p= = =

+ ⋅ + (11.4.38)

Se calculează: Funcţia de transfer în circuit deschis

d d(1)

cH (s) H (s) s (p c)= =+ −

(11.4.39)

Factorul de amplificare de poziţie

dp

cK H (0) p c= =−

(11.4.40)

Eroarea staţionară de poziţie ( )0 01 (c / p) V∞ε = − ⋅ (11.4.41) Răspunsul la intrare treaptă 0v(t) V 1(t) V(s) V /s= ⋅ ⇔ =

t

pt T(1) 0 0y(t) y (t) (c / p) [1 e ] V (c / p) [1 e ] V−−= = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (11.4.42)

Graficul răspunsului la intrare treaptă este ilustrat în Fig.11.4.1.

v(t) v(t)y(t)

0.6321· y( )∞

y( )∞

t

· ·

T= 1/p

T= 1/pV0

=[ 1- ]·V0cpε0 ∞

·V0cpy( )∞ =

00

Figura nr.11.4.1. Condiţia de eroare staţionară de poziţie nulă

v 0 vc 1 1H (0) 1 0 1 H (s) , Tp T s 1 p∝= ⇔ ε = ⇔ = ⇒ = =

⋅ + (11.4.43)

d relv 1

1 1 1 1H (s) , K ; T, TT s T p c∝= ⇒ = ε = = =⋅

(11.4.44)

Se observă că dacă se doreşte o comportare în circuit închis în raport cu mărimea impusă descrisă printr-o funcţie de transfer de ordinul întâi, se pot alege ca şi indicatori de calitate numai constanta de timp T şi valoarea erorii staţionare de poziţie. O eroare staţionară de poziţie nulă implică o comportare în circuit deschis ca şi element integrator pur.


319

11.4.5.3. Relaţii între indicatorii de calitate şi parametrii unei funcţii de transfer cu doi poli complex conjugaţi

Se consideră funcţia de transfer, vH (s)exprimată ca raport de polinoame,

2n

v 2 2n n

H (s)s 2 s

ω=+ ξω ⋅ + ω

(11.4.45)

prin poli,

2 2n n

v 2 21 2

H (s) (s p ) (s p ) (s )ω ω= =

+ ⋅ + + α + β (11.4.46)

sau prin constante de timp

v 2 21H (s)

T s 2 Ts 1=

⋅ + ξ +, (11.4.47)

în care nω [sec-1] reprezintă pulsaţia naturală a sistemului iar numărul adimensional (0,1)ξ∈ este factorul de amortizare. Constanta de timp a sistemului esteT ,

n

1T [sec.]=ω

. (11.4.48)

Polii funcţiei de transfer sunt

21,2 n np j j 1− = −α ± ⋅ β = −ξω ± ω ⋅ − ξ (11.4.49)

repartizaţi în planul complex s, ca în Fig.11.4.2. unde, s j= σ + ω . (11.4.50)

σ

ωj

σ ωjs = +

−ξωn

ωnξ21-ωj n

ξ21-ωj n-

1arg-p ϕ

2-p

1-pPlanul complex s

Figura nr.11.4.2.

Între aceşti parametri există relaţiile, 2

1 2 n 1 2 np p 2 ; p p+ = ξω ⋅ = ω (11.4.51)

2n n; 1α = ξω β = ω ⋅ − ξ . (11.4.52)

cos( )ϕ = ξ (11.4.53)


320

Funcţia de transfer normalizată în raport cu nω , se obţine folosind substituţiile,

ns s nH(s ) H(s) H( s )′=ω ⋅′ ′= = ω ⋅ (11.4.54)

în una din cele trei forme de mai sus, din care rezultă expresiile echivalente,

2 2 21 2n

1 1 1H(s ) (s p ) (s p )(s ) 2 s 1 (s ) ( )′ = = = ′ ′ ′ ′+ + +′ ′ ′ ′ ′+ ξ ⋅ + + α + β

(11.4.55) unde apar parametrii normalizaţi (adimensionali),

nn

ss , t t′ ′= = ω ⋅ω

(11.4.56)

1 21 2

n n

p pp , p′ ′= =ω ω

(11.4.57)

2

n n, 1βα′ ′α = = ξ β = = − ξ

ω ω. (11.4.58)

Funcţia de transfer în circuit deschis este

2

d n

nH (s) s(s 2 )

ω=+ ξω

(11.4.59)

d 1H (s ) s (s 2 )′ = ′ ′⋅ + ξ

Răspunsul la variaţia treaptă a mărimii impuse

00

Vv(t) V 1(t) V(s) s= ⋅ ⇔ = (11.4.60)

se poate calcula prin descompunere în sumă de fracţii simple,

03 13 23(3) 0

1 2

C C CY(s) Y (s) Vs s p s p = = + + ⋅ + +

(11.4.61)

2 103 13 23

1 2 2 1

p pC 1; C ; Cp p p p= = =− −

(11.4.62)

în timp fizic

( )nt2

n 02

ey(t) 1 sin 1 t V1

−ξω = − ω − ξ ⋅ + ϕ ⋅

− ξ (11.4.63)

( )tn0y(t) 1 e sin t V−αω = − ⋅ ⋅ β ⋅ + ϕ ⋅ β (11.4.64)

sau timp adimensional


321

( )t2

(3) 02

ey(t ) y (t ) 1 sin 1 t V1

′−ξ ′ ′ ′= = − − ξ ⋅ + ϕ ⋅

− ξ (11.4.65)

( )t

(3) 0ey(t ) y (t ) 1 sin t V

′−ξ ′ ′ ′ ′= = − β ⋅ + ϕ ⋅ ′β (11.4.66)

unde

21

arctg (0, / 2)− ξ

ϕ = ∈ πξ

(11.4.67)

Derivatele de ordinul întâi ale răspunsului în timp fizic şi adimensional sunt,

( )2

n t(3) 0

( )y(t) y (t) e sin t V−αω= = ⋅ ⋅ β ⋅ ⋅β

(11.4.68)

( )t

(3) 0ey(t ) y (t ) sin t V

′−ξ′ ′ ′ ′= = ⋅ β ⋅ ⋅′β

, (11.4.69)

iar derivata de ordinul doi în timp adimensional este

( ) ( )t

(3) 0ey(t ) y (t ) cos t sin t V

′−ξ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⋅ β ⋅ β ⋅ + ξ ⋅ β ⋅ ⋅ ′β

(11.4.70)

Indicatorii de calitate în timp fizic şi timp adimensional sunt exprimaţi prin relaţiile de mai jos, pe cât posibil pe un singur rând. Indicatorii care nu se normalizează sunt scrişi o singură dată pe un rând. 0 v0 H (0) 1∝ε = ⇔ = (11.4.71)

vnv v

n

K 1K K2 2ω ′= = =

ξ ω ξ (11.4.72)

rel rel rel1 1 n 1

n

2 1( ) 2∝ ∝ ∝ξ ′ε = ε = ω ⋅ ε =

ω ξ (11.4.73)

ek ek n ek2 2

n

k kt t t1 1π π′= = ω ⋅ =

ω − ξ − ξ (11.4.74)

2

k1k 1

ek ek 0y y(t ) 1 ( 1) e V− πξ

−ξ+

= = + − ⋅ ⋅

(11.4.57)

(11.4.65)

2 21 10e V % e 100

πξ πξ− −−ξ −ξσ = ⋅ σ = ⋅ (11.4.67)

2

211 e

πξ−−ξδ = − (11.4.68)


322

2 2

r r n rn

ln( 1 ) ln( 1 )t t t

∆ − ξ ∆ − ξ′= = ω ⋅ =−ξω −ξ

(11.4.69)

2 2

c c n cn

7.04 0,2 7.04 0,2t t t2 2ξ + ξ +′= = ω ⋅ =ξω ξ

(11.4.70)

d d n dn

1 0.7t t t 1 0.7+ ξ ′= = ω ⋅ = + ξω

(11.4.71)

2n

2 2 2 2 2 2n n

A( )( ) 4

ωω =ω − ω + ξ ω ω

(11.4.72)

n2 2n

2( ) arctg ξω ψ ω = ω − ω (11.4.73)

n1A( ) 2ω =ξ

(11.4.74)

2 2rezrez n rez

n

21 ; (0, ]; 12ω′ω = ω − ξ ξ∈ ω = = − ξω

(11.4.75)

max2

1A2 1

=ξ − ξ

(11.4.76)

2 2 2b n 1 2 (1 2 ) 1ω = ω − ξ + − ξ + (11.4.77)

2 2 2bb

n1 2 (1 2 ) 1ω′ω = = − ξ + − ξ +

ω (11.4.78)

2 2

1arccos2 4 1

γ =

ξ + ξ + (11.4.79)

Aceste relaţii sunt reprezentate în Fig.11.4.3. şi Fig.11.4.4.


323

0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ξ0 0.1 0.2 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0 .8 0.9 1

t' r

t' r

t' r

t'c

t'c

t'd

t'd t'm1

t'm1

σrel

σrel

( =0.05)∆( =0.02)∆

Figura nr.11.4.3.

0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 .8 1

maxA

maxA ϕ

ϕ

γ

γ ωb' ωrez' ω t'

ωb'

Kv'

Kv'

ω rez'ω t'

δ

δ

Figura nr.11.4.4.


324

Indicaţii de transpunere a performanţelor Pentru transpunerea performanţelor într-o repartiţie poli-zerouri cu ajutorul caracteristicilor normalizate se procedează astfel: a - Se precizează performanţele în valori absolute. b - Pe diagramele din Fig.11.4.3. şi Fig.11.4.4. se determină valorile parametrului ξ astfel încât performanţele definite pe indicatorii care nu se normalizează să fie satisfăcute (σ, Amax, A( nω )). Acestea impun Dξ∈ ξ sau

impξ = ξ c - Pentru valorile lui ζ deduse mai sus se determină valorile celorlalţi indicatori de calitate normalizaţi, adică: r r d bK ' , t , t ,′ ′ ′ω d - Se determină valoarea lui nω astfel încât celelalte performanţe să fie satisfăcute. Dacă anumite performanţe impuse nu se pot satisface înseamnă că este necesară o funcţie de transfer mai complexă. De exemplu, dacă s-a ales o valoare

*impξ = ξ = ξ (11.4.80)

iar din diagrame s-au calculat valorile adimensionale

*r n r rt t t′ ′= ω ⋅ = ; (11.4.81)

*bb b

n

ω′ ′ω = = ωω

(11.4.82)

atunci se va determin valoarea lui nω pentru a satisface performanţele în timp fizic r r,impt t≤ , (11.4.83)

b b,impω ≤ ω . (11.4.84) În acest scop se calculează

* *

r rr r,imp n

n r,imp

t tt t t′ ′= ≤ ⇒ ω ≥

ω (11.4.85)

b,imp*b n b b,imp n *

b

ω′ω = ω ⋅ ω ≤ ω ⇒ ω ≤′ω

(11.4.86)

Trebuie să aibă loc simultan condiţiile,

*

b,imprn *

r,imp b

tt

ω′ ≤ ω ≤′ω

. (11.4.87)

Aceste două performanţe, de exemplu, pot fi realizate dacă

*

b,impr*

r,imp b

tt

ω′ ≤′ω

. (11.4.88)


325

11.4.5.4. Relaţii între indicatorii de calitate şi parametrii unei funcţiei de transfer cu poli reali sau complex conjugaţi, cu părţile reale în progresie aritmetică

Se consideră asigurată condiţia v 0H (0) 1 0∝= ⇔ ε = (11.4.89) prin funcţia de transfer în circuit deschis dH (s) ce are un pol în originea planului complex s. Valorile optime ale parametrilor funcţiei de transfer în circuit deschis şi câţiva indicatori pe care-i realizează funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare sunt date în Tab.11.4.5., iar funcţiile indiciale în timp adimensional sunt prezentate în Fig.11.4.6. Valoarea lui nω se determină din Tab.11.4.5. pentru a satisface performanţa v v,impK K≥ (11.4.90) cu relaţiile din tabelul Tab.11.4.5. şi apoi se verifică valorile celorlalţi indicatori de calitate folosind răspunsul în timp adimensional din Fig.11.4.6. Valoarea lui

nω se poate determina şi din satisfacerea unei alte performanţe, prin exploatarea răspunsului în timp adimensional din Fig.11.4.6. şi apoi se evaluează valorile celorlalţi indicatori de calitate, inclusiv vK . Tabelul nr.11.4.5.

Figura nr.11.4.6.

n σ% vK 'c n ct t=ω ⋅ '

r n rt t=ω ⋅ dH (s)

2 5 n

1.4ω

2.13 5.92 2n

2ns 1.4 s

ω+ ω

3 8 n

2ω

2.34 6.55 3n

3 2n ns 2 s 2 sω

+ ω + ω

4 11 n

2.6ω

2.45 9.81 4n

4 3 2 2 3n n ns 2.6 s 3.4 s 2.6 s

ω+ ω + ω + ω

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011120

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.2

n=2

n=3

n=4

t' = tωn

h (t')0 Cazul 8


326

11.4.5.5. Relaţii între indicatorii de calitate şi parametrii unei funcţii de transfer cu poli complex conjugaţi multipli

Se consideră funcţia de transfer ïn circuit ïnchis

nvK (s) L(s)

ω= (11.4.91)

unde, 2 2 n / 2

n nL(s) (s 2 )= + ξω + ω pentru n=par (11.4.92)

n 1

2 2 2n nL(s) (s 2 )

−

= + ξω + ω pentru n=impar (11.4.93) Polinomul caracteristic L(s) se poate exprima în general,

n n 1 2 n 2 n 1 n1 n 2 n n 1 n nL(s) s A s A s ... A s− − −

−= + ω ⋅ + ω ⋅ + + ω ⋅ + ω (11.4.94)

Cu o astfel de structură, datorită polilor complex conjugaţi se obţine un răspuns mai rapid. Valorile coeficienţilor adimensionali kA , k 1: n 1, n 2 : 6= − = (11.4.95)

considerând ξ=0.75, sunt date în Tab.11.4.7. iar funcţiile indiciale în timp adimensional în Fig.11.4.8. Tabelul nr.11.4.7.

Figura nr.11.4.8.

n A1 A2 A3 A4 A5

2 1.5 3 2.5 2.5 4 3 4.25 3 5 4 7.25 7.25 4 6 4.5 9.25 12.37 9.25 4.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011120

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.1

2 3 4 5 6

t' = tωn

h (t')0 Cazul 11


327

11.4.6. Transpunerea performanţelor în raport cu o perturbaţie 11.4.6.1. Probleme specifice la transpunerea performanţelor în raport cu o

perturbaţie Pentru transpunerea performanţelor definite în regimul tranzitoriu provocat de variaţia unei perturbaţii în general se procedează ca şi în cazul modificării mărimii impuse. Se urmăreşte componenta yp(t) a mărimii de ieşire determinată de variaţia unei perturbaţii, notată aici pe scurt p(t). Pentru sisteme liniare aceasta este

ppY (s) H (s) P(s)= ⋅ (11.4.96)

unde Hp(s) este funcţia de transfer în circuit închis în raport cu perturbaţia p La sistemele de reglare convenţionale, cu structura din Fig.2.1.1., pH (s) este,

Fpp v Fpd

H (s)H (s) [1 H (s)] H (s)

1 H (s)= = − ⋅

+ (11.4.97)

în care FpH (s) este funcţia de transfer a părţii fixe în raport cu perturbaţia p

FpFp

Fp

M (s)H (s) L (s)= (11.4.98)

Dacă funcţia de transfer în circuit închis în raport cu mărimea impusă vH (s) este

vM(s) M(s)H (s) L(s) N(s) M(s)= =

+ (11.4.99)

iar funcţia de transfer în circuit deschis a sistemului Hd(s) este,

d M(s) M(s)H (s) N(s) L(s) M(s)= =−

(11.4.100)

atunci se poate exprima

Fpp

Fp

M (s)N(s)H (s) L(s) L (s)= ⋅ (11.4.101)

Transpunerea unor performanţe definite în regimul tranzitoriu determinat de variaţia treaptă a perturbaţiei p(t),

1p(t) p 1(t) P(s) ps= ∆ ⋅ ⇔ = ⋅ ∆ (11.4.102)

înseamnă determinarea unei expresii

Fpdp p

p

H (s)ˆ ˆH (s) H (s) H (s) 1H (s)

= ⇒ = − (11.4.103)

care să asigure o expresie dorită pentru componenta ieşirii în raport cu perturbaţia,

1p p p

1ˆˆy (t) y (t) L H (s) ss−= = ⋅ ⋅ ∆ (11.4.104)


328

Pentru a asigura o eroare staţionară de poziţie p∞ε în raport cu perturbaţia nulă, trebuie ca pH (s) să aibă un zerou în originea planului complex,

pp py ( ) 0 H (0) 0∞ε = − ∞ = ⇒ = (11.4.105)

Pentru transpuneri realiste trebuie avută în vedere forma (11.4.101), şi faptul că eliminarea unor poli nedoriţi din FpH (s) înseamnă includerea lor ca poli în pH (s) . 11.4.6.2. Funcţie de transfer în raport cu perturbaţia cu doi poli complex

conjugaţi Se consideră funcţia de transfer, pH (s) în timp fizic şi cea normalizată

pH (s )′

np p s s 'H (s ) H (s) =ω ⋅′ = (11.4.106)

exprimate ca raport de polinoame,

2n

p 2 2n n

C sH (s)s 2 s

⋅ ω ⋅=+ ξω ⋅ + ω

(11.4.107)

np 2

C sH (s )(s ) 2 s 1

′⋅ ω ⋅′ =′ ′+ ξ ⋅ +

(11.4.108)

prin poli,

2 2n n

p 2 21 2

C s C sH (s) (s p ) (s p ) (s )⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅= =

+ ⋅ + + α + β; (11.4.109)

1,2n np 1,22 2

1 2 n

pC s C sH (s ) , p(s p ) (s p ) (s ) ( )′ ′⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅′ ′= = =′ ′ ′ ′+ ⋅ + ω′ ′ ′+ α + β

(11.4.110)

sau prin constante de timp

p 2 21 2 n

C s C s 1H (s) , T(T s 1) (T s 1)T s 2 Ts 1⋅ ⋅= = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ω⋅ + ξ +, (11.4.111)

n np 1,2 n 12

1 2

C s C sH (s ) ,T T(T s 1) (T s 1)(s ) 2 s 1′ ′⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅′ ′= = = ω ⋅′ ′⋅ + ⋅ ⋅ +′ ′+ ξ ⋅ +

(11.4.112)

unde 2

n n, 1 ; , 1′ ′α = ξ ⋅ ω β = ω ⋅ − ξ α = ξ β = − ξ (11.4.113)

1 2 1 21 2 1 2

1 1 1 1T , T ; T , Tp p p p′ ′= = = =′ ′ . (11.4.114)

cu reprezentările ca în Cap.3.3., în care nω [sec-1] reprezintă pulsaţia naturală a sistemului iar numărul adimensional ξ∈(0,1), este factorul de amortizare.


329

Răspunsul la variaţia treaptă a perturbaţiei în timp fizic

pp(t) p 1(t) P(s) s∆= ∆ ⋅ ⇔ = (11.4.115)

nt 2p n

2n

Cy (t) e sin( 1 t) p1

−ξω = ⋅ ⋅ ω − ξ ⋅ ⋅ ∆ ω ⋅ − ξ (11.4.116)

tp

Cy (t) e sin( t) p−α= ⋅ ⋅ β ⋅ ⋅ ∆ β (11.4.117)

sau timp adimensional

t

2p

2n

C ey (t ) sin( 1 t ) p1

−ξ⋅′ ′= ⋅ − ξ ⋅ ⋅ ∆ω ⋅ − ξ

(11.4.118)

t 2p

n

Cy (t ) [e sin( t )] p, 1−ξ′ ′ ′ ′= ⋅ ⋅ β ⋅ ⋅ ∆ β = − ξ′ω ⋅ β. (11.4.119)

Timpul fizic tzk al intersecţiei k a valorii staţionare yp(∝)=0 este,

p p zk2

n

k ky (t) y ( ) 0 t t1⋅ π ⋅ π= ∞ = ⇒ = = =

βω ⋅ − ξ (11.4.120)

iar cel în timp adimensional zkt′ este,

zk n zk2

k kt t1

⋅ π ⋅ π′ = ω ⋅ = = ′β− ξ. (11.4.121)

Derivata de ordinul întâi a răspunsului în timp fizic este,

[ ] tp

Cy (t) sin( t) cos( t) e p−α= ⋅ −α ⋅ β ⋅ + β ⋅ β ⋅ ⋅ ⋅ ∆β

(11.4.122)

Timpul fizic tek al extremului k este, p eky (t) 0 t t= ⇒ =

ek2

n

k kt1

⋅ π + ϕ ⋅ π + ϕ= =βω ⋅ − ξ

(11.4.123)

iar cel în timp adimensional ekt′ este,

ek n ek2

k kt t1⋅ π + ϕ ⋅ π + ϕ′ = ω ⋅ = = ′β− ξ

(11.4.124)

unde,

2arctg [ 1 / ]ϕ = = − ξ ξ (11.4.125)

Se observă că

ek zk2

n

t t , k1ϕ= + ∀

ω ⋅ − ξ (11.4.126)


330

Valoarea extremă k, p,ek p eky y (t )= este,

2

(k )

1kp,ek p

n

Cy y ( 1) e p⋅π+ϕ ⋅ξ

−ξ= = ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ω

(11.4.127)

Depăşirea maximă kν este,

k p,ek p p,ek p,eky y ( ) y 0 yν = − ∞ = − = (11.4.128)

iar depăşirea maxima relativă relkν este

2

(k )1rel kk

kn

C ( 1) ep

⋅π+ϕ ⋅ξ

−ξνν = = ⋅ − ⋅∆ ω

(11.4.129)

Abaterea maximă ν , obţinută din condiţia, k

k| | max | |ν = ν

este dată de prima depăşire maximă

2

(k )1

0n

C e p⋅π+ϕ ⋅ξ

−ξν = ν = ⋅ ⋅ ∆ω

(11.4.130)

la momentul de timp

2

e02 2

n n

arctg 1 /t

1 1− ξ ξϕ= =

ω − ξ ω − ξ (11.4.131)

Abaterea maximă relativă ,

2

( )1rel

n

C ep

ϕ ⋅ξ

−ξνν = = ⋅∆ ω

(11.4.132)

Gradul de amortizare ρ este

2

213

11 1 e

π⋅ξ

−ξνρ = − = −ν

(11.4.133)

Deoarece scopul sistemului de reglare este readucerea mărimii reglate, modificată de efectul perturbaţiei, la valoarea sa anterioară, nu are sens indicatorul timp de creştere. Se evaluează viteza de răspuns în momentul iniţial 0 z0t t 0= = , (11.4.134)

py (0) C p= ⋅ ∆ (11.4.135)

Durata regimului tranzitoriu tr se obţine din condiţia ca o învelitoare a răspunsului, yp,inv(t) să intre într-o vecinătate a noii valori staţionare yp(∞)=0 fără sa mai depăsească această vecinătate.


331

Se defineşte vecinătatea laterală ca fiind o fracţiune din valoarea absolută a abaterii maximă

, 0.02, sau 0.05∆ ⋅ ν ∆ = ∆ = , (11.4.136)

astfel că ecuaţia de definiţie a duratei regimului tranzitoriu

p py (t) y ( ) , t t− ∞ ≤ ∆ ⋅ ν ∀ ≥ (11.4.137)

este aproximată prin ecuaţia, când yp(∞)=0,

p,inv ry (t ) = ∆ ⋅ ν (11.4.138)

Învelitoarele se obţin înlocuind în expresia răspunsului sin(•)=±1, deci

n nt tp,inv

2n

C Cy (t) e p e p1

−ξω −ξω= ⋅ ⋅ ∆ = ± ⋅ ⋅ ∆βω ⋅ − ξ

(11.4.139)

Ţinând cont de (11.4.130) şi (11.4.138), ecuaţia (11.4.137), după simplificare devine,

2n r

( )

1t 2e 1 eϕ ξ−−ξ−ξω = ∆ ⋅ − ξ ⋅ (11.4.140)

cu soluţia în timp fizic

2 2

r2n n

ln( 1 ) arctg[ 1 / ]t

1∆ ⋅ − ξ − ξ ξ

= +−ξ ⋅ ω ω ⋅ − ξ

(11.4.141)

sau normalizat,

2 2

r n r2

ln( 1 ) arctg[ 1 / ]t t

1∆ ⋅ − ξ − ξ ξ′ = ω ⋅ +

−ξ − ξ (11.4.142)

Indicaţii de transpunere Răspunsul unui astfel de sistem, la variaţia treaptă a perturbaţiei, în timp adimensional, exprimat prin mărimea

'

n p' y (t )w(t ) C p

ω ⋅=

⋅ ∆, (11.4.143)

pentru diferite valori ale factorului ξ este ilustrat în Fig.11.4.9. unde

t

n p 22

y (t ) ew(t ) sin( 1 t )C p 1

−ξ′ω ⋅′ ′= = ⋅ − ξ ⋅⋅ ∆ − ξ

. (11.4.144)

Abaterea maximă relν , exprimată prin mărimea

renn(t ) Cω′ = ⋅ ν , (11.4.145)

şi duratele regimului tranzitoriu pentru ∆=0.02 şi ∆=0.05 ca funcţii de ξ, sunt reprezentate în Fig.11.4.10.


332

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ξ=0.4

ξ=0.4

ξ=0.2

ξ=0.2

ξ=0.6

ξ=0.6

ξ=0.8

ξ=0.8

ξ=1.0

ξ=1.0

t' = · tωn

w(t')

H (s')=ωnC· · s'

(s') +2 s'+1 ξ2p

w(t')=ωn· y (t')

C· p∆p

Figura nr.11.4.9.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

H (s')= ωnC· · s'(s') +2 s'+1 ξ2p

n(t')

n(t')

n(t') =ωnC ν rel·

40t'r ; ∆=0.05

40t'r

40t'r ; ∆=0.02

ξ

Figura nr.11.4.10.

11. ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR 11.5. Determinarea funcţiei de transfer DE REGLARE CONVENŢIONALĂ în circuit deschis şi a regulatorului

333

11.5. Determinarea funcţiei de transfer în circuit deschis şi a regulatorului

11.5.1. Ecuaţii de comportament dorit Funcţiile de transfer în circuit deschis şi funcţiile de transfer ale legilor de reglare se determină astfel încât să se asigure comportări dorite atât în raport cu mărimea prescrisă cât şi cu un număr de perturbaţii. In continuare se consideră o singură perturbaţie kp(t) p (t)= , problema putând fi formulată asemănător şi pentru mai multe perturbaţii kp (t),k 1: q= . Răspunsul forţat este v p v pY(s) H (s) V(s) H (s) P(s) Y (s) Y (s)= ⋅ + ⋅ = + (11.5.1)

În funcţie de structura sistemului de reglare, expresiile v pH (s),H (s) depind numai de expresia legii de reglare principală RH (s) , pentru sistemele cu un singur grad de libertate v v RH (s) [H (s)]= Ψ (11.5.2) p p RH (s) [H (s)]= Ψ (11.5.3) sau de aceasta şi de expresiile celorlalte elemente de corecţie, de exemplu

1 2 3F (s),F (s),F (s) pentru structurile de reglare cu mai multe grade de libertate,

v v R 1 2 3H (s) [H (s)], F (s), F (s), F (s)]= Ψ (11.5.4)

p p R 1 2 3H (s) [H (s)], F (s), F (s), F (s)]= Ψ . (11.5.5) Legea de reglare principală sau de bază, este de obicei legea care prelucrează eroarea sistemului şi reprezintă componenta de bază a unei implementări. Comportarea dorită a mărimii de ieşire ca şi răspuns forţat,

v v pˆ ˆ ˆY (s) Y (s) Y (s)= + (11.5.6)

se asigură impunând anumite expresii dorite pentru funcţiile de transfer în circuit închis, v p

ˆ ˆH (s),H (s) , care exprimă o anumită repartiţie poli zerouri, conform celor prezentate în capitolul anterior. Determinarea legilor de reglare pe cale algebrică înseamnă de fapt rezolvarea sistemului de ecuaţii v v

ˆH (s) H (s)= (11.5.7) p p

ˆH (s) H (s)= (11.5.8) construit cu expresiile (11.5.2)-(11.5.5), având ca necunoscute expresiile

R 1 2 3H (s), F (s), F (s), F (s) . Pe lângă aspectele algebrice ale rezolvării, apar probleme suplimentare: Obţinerea unor legi de reglare fizic realizabile (legi cauzale), Obţinerea unor legi de reglare cât mai simple, Obţinerea unor legi de reglare tipizate.


334

11.5.2. Relaţii algebrice pentru structura de reglare cu un singur grad de libertate

Structura de reglare cu un singur grad de libertate conţine o singură lege de reglare, de obicei ca sistem de reglare convenţională (SRC), cu structura şi parametrii din §11.2.1., reluată în Fig.11.5.1.

Figura nr.11.5.1.

Comportarea dorită în raport cu mărimea impusă Comportarea dorită în raport cu mărimea impusă se asigură din ecuaţia (11.5.7) cu expresia (11.5.2),

R Fv

R F

H (s) H (s) H (s)1 H (s) H (s)⋅ =

+ ⋅ (11.5.9)

din care se deduc: Funcţia de transfer în circuit deschis dorită

vd

v

H (s)H (s) ˆ1 H (s)=

− (11.5.10)

Legea de reglare principală,

d

vR

F F v

ˆ ˆH (s) H (s)1H (s) ˆH (s) H (s) 1 H (s)= = ⋅

− (11.5.11)

Comportarea dorită în raport cu perturbaţia Comportarea dorită în raport cu perturbaţia se asigură din ecuaţia (11.5.8) cu expresia (11.5.3),

Fpp

R F

H (s)H (s)1 H (s) H (s) =+ ⋅

(11.5.12)

din care se deduc: Funcţia de transfer în circuit deschis dorită

Fpd

p

H (s)H (s) 1

H (s)= − (11.5.13)


d

FpR

F F p

ˆ H (s)H (s) 1H (s) [ 1]ˆH (s) H (s) H (s)= = ⋅ − . (11.5.14)


335

11.5.3. Relaţii algebrice pentru structura de reglare cu două grade de libertate, corecţie suplimentară în raport cu mărimea prescrisă, aplicată la intrarea în legea de reglare principală

Structura de reglare cu două grade de libertate, prin aplicarea unor corecţii suplimentare în raport cu mărimea precrisă (feed forward) la intrarea în legea de reglare principală, este ilustrată în Fig.11.5.2.

+RH (s)

1 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

-

+

+ +

+v yε

p k=pH (s)PFk

H (s)PF=

= uyc F

Figura nr.11.5.2.

Comportarea dorită în raport cu mărimea impusă se asigură din ecuaţia (11.5.7) cu expresia (11.5.4),

R Fv v R 1 1

R F

H (s) H (s)H (s) [H (s),F (s)] [1 F (s)] 1 H (s) H (s)⋅= ψ = + ⋅

+ ⋅ (11.5.15)

din care se deduce ecuaţia

R F1 v

R F

H (s) H (s) ˆ[1 F (s)] H (s)1 H (s) H (s)⋅+ ⋅ =

+ ⋅ (11.5.16)

Comportarea dorită în raport cu perturbaţia se asigură din ecuaţia (11.5.8) cu (11.5.3),

Fpp p R 1

R F

H (s)H (s) [H (s),F (s)] 1 H (s) H (s)= ψ =

+ ⋅ (11.5.17)


Fpp

R F

H (s)H (s)1 H (s) H (s) =+ ⋅

(11.5.18)

Ecuaţiile (11.5.16), (11.5.18) formează un sistem din care se deduc: Funcţia de transfer în circuit deschis dorită

Fpd

p

H (s)H (s) 1

H (s)= − (11.5.19)


FpR

F p

H (s)1H (s) [ 1]ˆH (s) H (s)= ⋅ − (11.5.20)

Funcţia de transfer a elementului de corecţie

Fp1 v

Fp p

H (s) ˆF (s) H (s) 1ˆH (s) H (s)= ⋅ −

− (11.5.21) Se observă că în această structură legea de reglare principală este dedicată comportării în raport cu perturbaţia iar 1F (s) ajustează componenta vy (t) .


336

11.5.4. Relaţii algebrice pentru structura de reglare cu două grade de libertate, corecţie suplimentară în raport cu mărimea prescrisă, aplicată la ieşirea din legea de reglare principală

Structura de reglare cu două grade de libertate, prin aplicarea unor corecţii suplimentare în raport cu mărimea precrisă (feed forward) la ieşirea din legea de reglare principală, este ilustrată în Fig.11.5.3.

= uyc F+RH (s)

1 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

-

+

+ ++v yε

p k=pH (s)

PFk

H (s)PF=

= wyc1

Figura nr.11.5.3.


Fv v R 1 R 1

R F

H (s)H (s) [H (s),F (s)] [H (s) F (s)] 1 H (s) H (s)= ψ = + ⋅+ ⋅

(11.5.22)


FR 1 v

R F

H (s) ˆ[H (s) F (s)] H (s)1 H (s) H (s)+ ⋅ =+ ⋅

(11.5.23)

Comportarea dorită în raport cu perturbaţia se asigură din ecuaţia (11.5.8) cu expresia (11.5.3),

Fpp p R 1

R F

H (s)H (s) [H (s),F (s)] 1 H (s) H (s)= ψ =

+ ⋅ (11.5.24)


Fpp

R F

H (s)H (s)1 H (s) H (s) =+ ⋅

(11.5.25)


Fpd

p

H (s)H (s) 1

H (s)= − (11.5.26)


FpR

F p

H (s)1H (s) [ 1]ˆH (s) H (s)= ⋅ − (11.5.27)


Fp Fpv1

F Fp p

ˆH (s) H (s)H (s) 1F (s) [ 1]ˆ ˆH (s) H (s)H (s) H (s)= ⋅ − ⋅ − (11.5.28)


337

11.5.5. Relaţii algebrice pentru structura de reglare cu două grade de libertate, corecţie suplimentară în raport cu mărimea măsurată, aplicată la ieşirea din legea de reglare principală

Structura de reglare cu două grade de libertate, prin aplicarea unor corecţii suplimentare în raport cu mărimea măsurată în reacţie locală (local feed-back) la intrarea în legea de reglare principală, este ilustrată în Fig.11.5.4.

+ = wyc1RH (s)

2 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

-

+

- ++v yε

p k=pH (s)

PFk

H (s)PF=

= uyc F

Figura nr.11.5.4.


R Fv v R 2

R 2 F

H (s) H (s)H (s) [H (s),F (s)] 1 [H (s) F (s)] H (s)⋅= ψ =

+ + ⋅ (11.5.29)


R Fv

R 2 F

H (s) H (s) H (s)1 [H (s) F (s)] H (s)⋅ =

+ + ⋅ (11.5.30)

Comportarea în raport cu perturbaţia se asigură din (11.5.8) cu (11.5.3),

Fpp v R 2

R 2 F

H (s)H (s) [H (s),F (s)] 1 [H (s) F (s)] H (s)= ψ =

+ + ⋅ (11.5.31)


Fpp

R 2 F

H (s)H (s)1 [H (s) F (s)] H (s) =+ + ⋅

(11.5.32)


Fpdv

p

H (s)ˆ ˆH (s) H (s)H (s)

= ⋅ (11.5.33)


Fp vR

F p

ˆH (s) H (s)H (s) ˆH (s) H (s)= ⋅ (11.5.34)


v Fp2

F p

ˆ[1 H (s)] H (s)1F (s) 1ˆH (s) H (s)

− ⋅= ⋅ −

(11.5.35)


338

11.5.6. Relaţii algebrice pentru structura de reglare cu trei grade de libertate, corecţie suplimentară în raport cu mărimea prescrisă şi corecţie suplimentară în raport cu mărimea măsurată, ambele aplicate la ieşirea din legea de reglare principală

Structura de reglare cu trei grade de libertate, prin aplicarea unor corecţii suplimentare în raport cu mărimea precrisă şi cu mărimea măsurată, ambele aplicate la ieşirea din legea de reglare principală, este ilustrată în Fig.11.5.5.

+ = wyc1RH (s)

2 F (s)

1 F (s)

H (s)F

H (s)PFk

-

+

+

+

- ++v yε

p k=pH (s)PFk

H (s)PF=

= uyc F

Figura nr.11.5.5.


R 1 Fv v R 1 2

R 2 F

[H (s) F (s)] H (s)H (s) [H (s), F (s), F (s)] 1 [H (s) F (s)] H (s)+ ⋅= ψ =

+ + ⋅ (11.5.36)


R 1 Fv

R 2 F

[H (s) F (s)] H (s) H (s)1 [H (s) F (s)] H (s)+ ⋅ =

+ + ⋅ (11.5.37)

Comportarea în raport cu perturbaţia se asigură din ecuaţia (11.5.8) cu (11.5.3),

Fpkp v R 1 2

R 2 F

H (s)H (s) [H (s), F (s), F (s)] 1 [H (s) F (s)] H (s)= ψ =

+ + ⋅ (11.5.38)


Fpkp

R 2 F

H (s)H (s)1 [H (s) F (s)] H (s) =+ + ⋅

(11.5.39)

Ecuaţiile (11.5.37), (11.5.39) formează un sistem nedeterminat de două ecuaţii cu trei necunoscute, R 1 2H (s), F (s), F (s) . Se poate alege o soluţie particulară astfel încât să fie satisfăcute cerinţe suplimentare. Cu această structură se pot asigura comportări dorite în raport cu mărimea impusă şi două perturbaţii. Calculele algebrice pentru astfel de cazuri se efectuează similar celor de mai sus.


339

11.5.7. Condiţii suplimentare impuse legilor de reglare 11.5.7.1. Condiţia de realizabilitate fizică a regulatorului Aşa cum s-a văzut, calculul funcţiei de transfer în circuit deschis dH (s) şi a elementelor de corecţie R 1 2H (s), F (s), F (s) , pornind de la funcţia de transfer în circuit închis vH (s) , pH (s) , este o problemă simplă din punct de vedere algebric. În practică însă trebuiesc îndeplinite o serie de condiţii suplimentare pentru ca soluţiile algebrice să poată fi implementate. Una din acestea este condiţia de realizabilitate fizică a regulatorului, care înseamnă obţinerea unor funcţii de transfer R 1 2H (s), F (s), F (s) strict proprii sau proprii. Notând excesul poli-zerouri (diferenţa dintre numărul de poli şi numărul de zerouri) al unei funcţii de transfer H(s) prin (p-z)H, condiţia de realizabilitate pentru regulator este, RH(p z) 0− ≥ (11.5.40)

Deoarece, de exemplu, pentru structura de reglare convenţională, dv R FH H HH(p z) (p z) (p z) (p z)− = − = − + − (11.5.41)

trebuie ca v FH H(p z) (p z)− ≥ − (11.5.42)

adică funcţia de transfer în circuit închis dorită să aibă un exces poli-zerouri mai mare sau egal cu cel al părţii fixe. Dacă performanţele se pot realiza cu o funcţie de transfer vH (s) ce nu îndeplineşte condiţia (11.5.42), atunci se completează expresia funcţiei de transfer vH (s) cu poli reali, depărtaţi faţă de polii dominanţi care să nu afecteze regimul tranzitoriu dorit însă trebuie să fie respectată condiţia de eroare staţionară de poziţie nulă vH (0) 1= . De exemplu, dacă vH (s) are n poli, şi se doreşte un exces poli-zerouri cu q unităţi mai mare, se va utiliza o funcţie extinsă *

vH (s)

n qn 1 n 2*v

n 1 n 2 n q

pp pˆ ˆH (s) H(s) .......(s p ) (s p ) (s p )++ +

+ + += ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + +. (11.5.43)

se observă că,

*v v

ˆ ˆH (0) H (0)= (11.5.44)

În particular, pentru o funcţie iniţială cu doi poli,

1 2*v

1 2

p pH (s) (s p ) (s p )⋅=

+ ⋅ + (11.5.45)


340

dar partea fixă are un exces poli-zerouri, FH(p z) 4− = , se utilizează pentru determinarea funcţiei de transfer în circuit deschis dH (s) şi funcţiile de transfer R 1 2H (s), F (s), F (s) , o expresie extinsă,

2 1 2 2 1 2 3 4*v

2 1 2 2 1 2 3 4

p p p p p pˆH (s) H(s) (s p ) (s p ) (s p )(s p )(s p )(s p )+ +

+ += ⋅ ⋅ =

+ + + + + + (11.5.46)

în care se aleg polii s=-p3 şi s=-p astfel ca 3 4 1 2 np p (5 6) p p (5 6)⋅ ≥ ÷ ⋅ = ÷ ⋅ω (11.5.47) 11.5.7.2. Condiţia de simplitate constructivă a regulatorului Se consideră, ca exemplu, un sistem de reglare convenţionalâ la care partea fixă este descrisă prin funcţia de transfer,

F

F

m

F FkF k 1

F nF

Fkk 1

B (s z )M (s)H (s) H (s)

(s p )

=

=

⋅ += =

+

∏

∏ (11.5.48)

iar performanţele în raport cu mărimea impusă sunt asigurate folosind o funcţie de transfer dorită

F

F

m mmmm

Fk kknn k 1 k m 1k 1

v n n

k kk 1 k 1

bb (s z ) (s z )(s z ) aaM(s)H (s) L(s)(s p ) (s p )

= = +=

= =

⋅ + ⋅ +⋅ += = =

+ +

∏ ∏∏

∏ ∏. (11.5.49)

În acest caz, funcţia de transfer în circuit deschis dorită este,

F

F

m mm

Fk kn k 1 k m 1d

n

kk 1

b (s z ) (s z )aM(s)H (s) L(s) M(s)s (s r )

= = +−α

α

=

⋅ + ⋅ + ⋅= =

−⋅ +

∏ ∏

∏ (11.5.50)

iar funcţia de transfer a legii de reglare calculată

d

RF

H (s)H (s) H (s)= (11.5.51)

are forma,

F

F

m nm

k Fkn F k m 1 k 1

R n

kk 1

b (s z ) (s p )a BH (s)

s (s r )

= + =−α

α

=

⋅ + ⋅ + ⋅⋅

=⋅ +

∏ ∏

∏ (11.5.52)

Pentru a obţine o expresie RH (s) cât mai simplă este bine ca printre polii rk ai funcţiei de transfer în circuit deschis să se găsească cât mai mulţi poli pF ai părtii fixe.


341

Acest lucru este posibil deoarece majoritatea performanţelor se impun prin relaţii de inegalitate şi se pot obţine domenii în spaţiul parametrilor funcţiei de transfer dorite pentru care aceste performante sunt satisfăcute. Rezolvarea acestei probleme inseamnă utilizarea unor tehnici algebrice care nu se pot prezenta la modul general. Se pot stabilii două relaţii analitice, prezentate în paragraful următor care facilitează aceste operaţii. O altă posibilitate de rezolvare constă în obţinerea valorilor polilor rk conform relaţiei (11.5.50) (eventual păstrând anumite grade de libertate prin câţiva parametri ai funcţiei vH (s) şi apoi înlocuirea unor poli rk prin polii pFk

(care au valori mai apropiate). După această înlocuire se recalculează funcţia de transfer în circuit închis şi se verifică performanţele pe care le determină. Se compară noile performanţe cu cele iniţiale. Dacă nu se înrăutăţesc sau se înrăutăţesc în limite acceptabile, se adoptă ultima expresie pentru vH (s) care conduce la un regulator mai simplu. În alte situaţii, din motive tehnico-economice, este necesară utilizarea unei legi de reglare tipizată, de exemplu de tip PID. În această situaţie se aproximează expresia (11.5.52) prin expresia funcţiei de transfer a regulatorului tipizat. Cu această expresie se calculează dH (s) şi vH (s) şi performanţele care se obţin. Se compară cu performanţele impuse iniţial şi se adoptă decizia de utilizare a unui regulator tipizat însă cu noile performanţe sau se utilizează totuşi un regulator care permite o varietate mai largă de funcţii de transfer. 11.5.8. Relaţii analitice între polii funcţiei de transfer în circuit închis

şi cei ai funcţiei de transfer în circuit deschis Pentru a putea obţine cât mai mulţi poli rk egali cu poli pFk, se pot utiliza următoarele relaţii analitice: Din condiţia de satisfacere a performanţei în regim staţionar de viteză când α=1 se obţine,

n 1

n mkk 1

k k vk 1 k 1

r 1 1 1M(0) p z K

−

=

= =

= − =∏ ∑ ∑ (11.5.53)

n 1 n 1k kk 1 k 1

r p− −

= ==∏ ∏ (11.5.54)

Dacă îndeplinirea performanţelor se poate realiza într-un domeniu determinat de variaţia între anumite limite a unor parametri ai funcţiei de transfer în circuit închis, atunci folosind relaţiile (11.5.53), (11.5.54), se pot determina limitele în care se pot modifica anumiţi poli rk. Dacă acestea includ valori pF se aleg acele valori ale parametrilor care asigură rk =pFk .

12. METODE DE SINTEZĂ CARE CONDUC 12.1. Varianta Kessler a LA ANUMITE PEFORMANŢE criteriului modulului

342

12. METODE DE SINTEZĂ CARE CONDUC LA ANUMITE PERFORMANŢE ALE SISTEMELOR DE REGLARE

Metodele de sinteză din capitolul anterior au avut ca scop calculul legii de reglare astfel încât sistemul în circuit închis să aibă comportări dorite impuse apripri atât în raport cu mărimea prescrisă cât şi cu perturbaţiile. Aşa cum s-a menţionat, principala problemă a fost legată de realismul comportărilor dorite, având în vedere că se folosesc modelele matematice liniare în timp ce procesul condus este neliniar, cel puţin cu saturaţie la elementul de execuţie. Pentru o altă categorie de metode de sinteză, grupate sub denumirea de metode de sinteză care conduc la anumite performanţe ale sistemului de reglare, nu se impun apriori performanţe. Prin aplicarea unei astfel de metodă de sinteză, rezultă anumite performanţe ale sistemului, performanţe care depind de metoda folosită şi de modelul matematic al procesului condus. Pentru un acelaşi proces, metode de calcul diferite conduc la performanţe diferite. Rămâne de clarificat care din metode este mai bună şi în ce condiţii se poate aplica. Oricum, nu mai este pregnantă problema realismului performanţelor, acestea find deja corelate cu dinamica procesului condus. În continuare, din această categorie de metode, se prezintă: 1. O metodă analitică de calcul, denumită varianta Kessler a criteriului modulului; 2. Câteva metode practice de calcul pentru parametrii legilor de reglare tipizate; 3. Două metode de acordare a parametrilor legilor de reglare tipizate prin acţiuni direct asupra sistemului fizic de reglare 12.1. Varianta Kessler a criteriului modulului 12.1.1. Formularea metodei de sinteză Varianta Kessler a criteriului modulului este o metodă de calcul a parametrilor legilor de reglare din condiţia de satisfacere a criteriului modulului în raport cu mărimea prescrisă când partea fixă a sistemului are numai poli. Se presupune că polii părţii fixe se pot împărţi în două categorii, poli dominanţi sau principali, apropiaţi de originea planului complex care definesc aşa numitele constante de timp principale sau mari şi poli paraziţi, mult mai depărtaţi de originea planului complex decât cei principali, care definesc aşa numitele constante de timp parazite sau constante de timp mici. Se impune o lege de reglare cu un număr finit de zerouri şi un pol în originea planului complex. În final varianta Kessler a criteriului modulului apare ca o metodă de compensare serie a polilor dominanţi şi realizarea unor performanţe dependente de polii paraziţi printr-o constantă de timp echivalentă egală cu suma constantelor de timp parazite.


343

E(s) FH (s) v(t)

U(s) Y(s) V(s)

ε(t) u(t) y(t) + -

RH (s)

12.1.2. Structura sistemului de reglare Structura sistemului de reglare, prezentată în Fig.12.1.1., exprimă comportarea mărimii de ieşire y(t) în raport cu mărimea impusă v(t) .

Figura nr.12.1.1.

Se consideră partea fixă a sistemului exprimată prin funcţia de transfer

F FF q qn n

k i k ik 1 i 1 k 1 i 1

K CH (s)(T s 1) (T s 1) (s p ) (s p )γ γ

= = = =

= =+ ⋅ + + ⋅ +∏ ∏ ∏ ∏

, (12.1.1)

în care kT ,k 1: n= , reprezintă constantele de timp principale iar iT ,i 1: qγ = , reprezintă constantele de timp parazite deoarece, k i

1 k n 1 i qmin | T | max | T |γ≤ ≤ ≤ ≤

. (12.1.2)

Aceste constante de timp sunt numere reale dar pot fi numere complexe dacă polii corespunzători k ip , pγ− − sunt numere complexe, considerând

qn

k i F F k ik i k 1 i 1

1 1T ,T , K C / [ (p ) (p )]p pγ γγ = =

= = = ⋅∏ ∏ . (12.1.3)

Deoarece constantele de timp parazite sunt în modul foarte mici, se aproximează

q

ii 1

(T s 1) T s 1γ Σ=

+ ≈ +∏ , (12.1.4)

unde prin TΣ ∈R s-a notat constanta de timp parazită echivalentă

q

ii 1

T TΣ γ=

= ∑ , (12.1.5)

care este un număr real deoarece s-a presupus că polinomul de la numitorul funcţiei de transfer FH (s) are coeficienţi reali deci fiecare pol complex este însoţit de conjugatul său. Cu aproximarea (12.1.4), se exprimă FH (s) sub forma,

FF n

kk 1

K 1H (s) (s)(T s 1) (T s 1)Σ=

= =β+ ⋅ +∏

. (12.1.6)

unde (s)β este un polinom de gradul n+1 cu coeficienţi reali, care se pot obţine prin identificare,


344

n 1

ii

i 0

(s) b s+

=

β = ⋅∑ ,

n n n

0 1 k 2 k k jk 1 k 1 k, j 1F F F k j

1 1 1b ; b [T T ]; b [T T T T ]K K KΣ Σ

= = =≠

= = ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ , etc.

Se consideră o lege de reglare cu m zerouri kz− , reale sau complexe şi un pol în originea planului complex de forma,

m m

k R kk 1 k 1

R

( s 1) C (s z )H (s) s s

= =θ + ⋅ +

= =θ ⋅

∏ ∏, (12.1.7)

în care

m

k R kk k 1

1 , 1/ C (z )z =

θ = θ = ⋅∏ . (12.1.8)

Se exprimă RH (s) sub forma,

R(s)H (s) s

α= . (12.1.9)

unde (s)α este un polinom de gradul m cu coeficienţi reali, care se pot obţine prin identificarea relaţiilor (12.1.7) şi (12.1.9).

m

ii

i 0(s) a s

=α = ⋅∑ ,

m m

0 1 k 2 k jk 1 k, j 1

k j

1 1 1a ; a ; a= =

≠

= = ⋅ θ = ⋅ θ ⋅ θθ θ θ

∑ ∑ , etc.

12.1.3. Interpretarea criteriului modulului Ţinând cont de (12.1.6) şi (12.1.9), structura de reglare din Fig.12.1.1. se caracterizează prin funcţia de transfer în circuit deschis

dR F

(s)H (s) H (s) H (s) s (s)α= ⋅ =⋅β

, (12.1.10)

şi funcţia de transfer în circuit închis

d

v d

d

H (s) 1H (s) 11 H (s) 1H (s)

= =+ +

. (12.1.11)

Substituind (12.1.10) în (12.1.11) se obţine,

v1H (s) s (s)1 (s)

=⋅β+α

. (12.1.12)


345

Condiţia de reproducere ideală a mărimii pescrisă, exprimată în criteriul modulului prin relaţia (11.4.6), reluată (12.1.13) v v| H ( j ) | A ( ) 1, 0ω = ω ≡ ∀ω≥ , (12.1.13)

este îndeplinită şi prin condiţia

2 2v v vG( ) H ( j ) H ( j ) [A ( )] 1, 0ω = ω ⋅ − ω = ω ≡ ∀ω≥ , (12.1.14)

deoarece vA ( ) 0, 0ω ≥ ∀ω≥ şi are loc echivalenţa,

2v v[A ( )] 1 A ( ) 1ω ≡ ⇔ ω ≡ . (12.1.15)

Având în vedere (12.1.12), expresia 2G( )ω din (12.1.14) devine

22

1 1 1G( ) j ( j ) j ( j ) ( j ) ( j )1 1 1( j ) ( j ) ( j ) ( j )

ω = ⋅ =ω ⋅β ω − ω⋅β − ω ω ⋅β ω ⋅β − ω+ + +α ω α − ω α ω ⋅α − ω

(12.1.16)

22

1G( )1 g( )

ω =+ ω

, (12.1.17)

unde,

2 2 2

22

( j ) ( j ) | ( j ) |g( ) ( j ) ( j ) | ( j ) |ω ⋅β ω ⋅β − ω ω ⋅ β ωω = =α ω ⋅α − ω α ω

. (12.1.18)

Deoarece polinoamele (s), (s)α β au toţi coeficienţii reali, expresiile G şi g se exprimă ca şi funcţii de 2ω Notând

2ω = λ , (12.1.19) relaţia (12.1.17) devine

1G( ) 1 g( )λ =+ λ

. (12.1.20)

Condiţia (12.1.14) impusă de criteriul modulului se exprimă echivalent G( ) 1 g( ) 0, 0λ ≡ ⇔ λ ≡ ∀λ ≥ . (12.1.21)

Din condiţia de anulare a coeficienţilor dezvoltării în seria de puteri funcţiei g( )λ , se determină necunoscutele km; ; ,k 1: mθ θ = prin relaţiile

m=n, (12.1.22) k kT , k 1: nθ = = , (12.1.22)

F2 K TΣθ = ⋅ ⋅ , (12.1.23)

care reprezintă relaţiile Kessler de acordare a parametrilor legii de reglare.


346

12.1.4. Evaluarea performanţelor rezultate prin acordarea parametrilor regulatoarelor cu relaţiile Kessler

În urma acordării, legea de reglare este de forma

n

kk 1

RF

(T s 1)H (s) 2K T s

=

Σ

+=

⋅

∏

cu funcţia de transfer în circuit deschis

d 1H (s) 2T s (T s 1)Σ Σ=

⋅ ⋅ +

şi funcţia de transfer în circuit închis,

v 2 21H (s)

2(T ) s 2T s 1Σ Σ=

⋅ + ⋅ +

Aceasta este o funcţie de transfer cu doi poli complex conjugaţi de forma celei analizată pe larg în §11.4.5.3.,

2n

v 2 2n n

H (s)s 2 s

ω=+ ξω ⋅ + ω

pentru care

n1 2; 22 TΣ

ω = ξ =⋅

.

Folosind relaţiile din §11.4.5.3. şi diagramele din Fig.11.4.3. şi Fig.11.4.4., se obţin următoarele performanţe: 0 0∞ε = % 4.3%σ =

v1K 2TΣ

=

r 0,05 r 0,02t | 4 T ; t | 8 T∆= Σ ∆= Σ≈ ⋅ = ⋅

b n1

2 TΣ

ω = ω =⋅

Pentru n 2= , legea de reglare rezultată este de tip PID ideal. Pentru n 2> ar rezulta legi de reglare cu înalt caracter derivator, care în general se evită în aplicaţii datorită derivării zgomotului de fond. În practică se preferă complicarea structurii sistemului de reglare astfel încăt să fie necesară aplicarea relaţiilor Kessler pentru cel mult două constante de timp principale. Astfel de structuri mai complicate sunt de exemplu sistemele de reglare în cascadă, sisteme cu reacţie după stare.

12. METODE DE SINTEZĂ CARE CONDUC 12.2. Relaţii de acordare LA ANUMITE PEFORMANŢE a regulatoarelor tipizate

347

12.2. Relaţii de acordare a regulatoarelor tipizate În acest capitol se prezintă o serie de relaţii pentru determinarea valorilor optime ale parametrilor regulatoarelor tipizate, în raport cu diferite criterii, considerând părţile fixe ale sistemului cu sau fără timp mort, de ordinul 1 sau 2 şi câteva cazuri particulare de ordin mai mare. 12.2.1. Acordarea regulatoarelor după metoda Nichols Metoda Nichols se bazează pe determinarea experimentală prin acţiuni asupra sistemului de reglare fizic a doi parametri, R limK şi limT . Pentru aceasta, având iT = ∞ şi dT 0= , se măreşte factorul de proporţionalitate RK până apar oscilaţii întreţinute. Acea valoare a lui RK este

R limK , iar perioada oscilaţiilor este limT . Se recomandă următoarele valori pentru parametrii legilor de reglare: Regulator P: R R limK 0.50 K= ⋅ (12.2.1)

Regulator PI: R R limK 0.45 K= ⋅ (12.2.2)

i limT 0.85 T= ⋅ (12.2.3)

Regulator PID: R R limK 0.75 K= ⋅ (12.2.4)

i limT 0.60 T= ⋅ (12.2.5)

d limT 0.10 T= ⋅ (12.2.6)

Regulator PID cu factorul de interdependenţă q=1 Se reaminteşte că o lege de reglare PID cu factor de interdependenţă q este de forma,

* *dR R d R d*

i i i

T 1 1H (s) K (1 q T s) K (1 T s)T Ts T s= ⋅ + + + = ⋅ + + (12.2.7)

unde,

* * *d d dR R i i d d

i i i

T T TK K (1 q ); T T (1 q ); T T / (1 q )T T T= ⋅ + = ⋅ + = + . (12.2.8)


348

Pentru q 0= se obţine structura PID standard iar pentru q 1= structura este echivalentă cu o conexiune serie dintre un element PI şi un element PD ideal, care înseamnă o funcţie de transfer,

dR R d R d

i i i

T1 1H (s) K (1 ) (1 T s) K (1 q T s) q 1Ts T Ts= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + + ⇒ = (12.2.9)

Pentru o lege de reglare cu q 1= se recomandă valorile,

R R limK 0.6 K= ⋅ (12.2.10)

i limT 0.50 T= ⋅ (12.2.11)

d limT 0.12 T= ⋅ (12.2.12)

12.2.2. Acordarea regulatoarelor după metoda Oppelt Se consideră funcţia de transfer a părţii fixă de ordinul unu cu timp mort,

sFF

F

KH (s) eT s 1−τ= ⋅

+ (12.2.13)

Parametrii de acordare sunt: Regulator P:

FR

F

T1K K= ⋅τ

(12.2.14)

Regulator PI:

FR i

F

T1K 0.8 ; T 3K= ⋅ ⋅ = ⋅ ττ

(12.2.15)

Regulator PD:

FR d

F

T1K 1.2 ; T 0.25K= ⋅ ⋅ = ⋅ ττ

(12.2.16)

Regulator PID:

FR

F

T1K 1.2 K= ⋅ ⋅τ

(12.2.17)

i dT 2 T 0.42= ⋅ τ = ⋅ τ . (12.2.18)


349

12.2.3. Acordarea regulatoarelor după metoda Chien-Hrones-Reswick Se consideră funcţia de transfer a părţii fixă de ordinul unu cu timp mort,

sFF

F

KH (s) eT s 1−τ= ⋅

+ (12.2.19)

Relaţii de acordare recomandate în Tab.12.2.1. permit realizarea unui răspuns optim la variaţia mărimii impuse. Sunt indicate pentru sistemele de urmărire. Tabelul nr.12.2.1. Tip reg. Pentru obţinerea unui regim

aperiodic cu durată minimă Pentru obţinerea unui suprareglaj cu durată minimă a regimului tranzitoriu

P FR

F

T1K 0.3 K= ⋅ ⋅τ

FR

F

T1K 0.7 K= ⋅ ⋅τ

PI FR

F

i

T1K 0.35 KT 1.2

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ

FR

F

i

T1K 0.6 KT 1.0

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ

PID FR

F

i

d

T1K 0.6 KT 1.0T 0.5

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ= ⋅ τ

FR

F

i

d

T1K 0.96 KT 1.35T 0.47

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ= ⋅ τ

Relaţii de acordare recomandate în Tab.12.2.2. permit realizarea unui răspuns optim la variaţia unei perturbaţii. Sunt indicate pentru sistemele de stabilizare. Tabelul nr.12.2.2. Tip reg. Pentru obţinerea unui regim

aperiodic cu durată minimăPentru obţinerea unui suprareglaj durată minimă a regimului tranzitoriu

P FR

F

T1K 0.3 K= ⋅ ⋅τ

FR

F

T1K 0.7 K= ⋅ ⋅τ

PI FR

F

i

T1K 0.6 KT 4.0

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ

FR

F

i

T1K 0.7 KT 2.3

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ

PID FR

F

i

d

T1K 0.95 KT 2.4T 0.42

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ= ⋅ τ

FR

F

i

d

T1K 1.2 KT 2.0T 0.42

= ⋅ ⋅τ

= ⋅ τ= ⋅ τ


350

12.2.4. Acordarea regulatoarelor după metoda Kopelovici Se consideră funcţia de transfer a părţii fixă de ordinul unu cu timp mort,

sFF

F

KH (s) eT s 1−τ= ⋅

+ (12.2.20)

Relaţiile Kopelovici permit acordarea optimă la perturbaţii. Se obţin trei tipuri de comportări: 1. Proces tranzitoriu aperiodic cu durată minimă 2. Proces tranzitoriu oscilant 2 10.2ν = ⋅ ν şi durată minimă a primei oscilaţii 3. Proces tranzitoriu care minimizează integrala erorii patratice I21.

221

0

I (t) dt∞

= ε ⋅∫ (12.2.21)

Relaţiile de acordare conform metodei Kopelovici, pentru cele trei cazuri, sunt prezentate în Tab.12.2.3. Tabelul nr.12.2.3. Tip reg.

Proces tranzitoriu aperiodic cu durată minimă

Pentru a obţine 2 0.2ν = ν şi durată minimă a primei oscilaţii

Pentru a obţine valoarea minimă a integralei I21

I R

i F F

K 2.222 1T K T= ⋅ R

i F F

K 0.588 1T K T= ⋅ R

i F F

K 0.588 1T K T= ⋅

P FR

F

T0.3K K= ⋅τ

FR

F

T0.7K K= ⋅τ

FR

F

T0.9K K= ⋅τ

PI FR

F

i F

T0.6K KT 0.8 0.5T

= ⋅τ

= τ +

FR

F

i F

T0.7K KT 1.0 0.3T

= ⋅τ

= τ +

FR

F

i F

T1.0K KT 1.0 0.35T

= ⋅τ

= τ +

PID FR

F

i

d

T0.95K KT 2.4T 0.4

= ⋅τ

= τ= τ

FR

F

i

d

T1.2K KT 2.0T 0.4

= ⋅τ

= τ= τ

FR

F

i

d

T1.4K KT 1.3T 0.5

= ⋅τ

= τ= τ

La alegerea modului de reglare se are în vedere că:

F

1Tτ < ⇒ Reglare continuă

F

0.2Tτ < ⇒ Reglare bipoziţională

F

1Tτ > ⇒ Reglare numerică


351

12.2.5. Acordarea regulatoarelor după metoda Cohen şi Coon Metoda Cohen şi Coon asigură o comportare bună la variaţia treaptă a unei perturbaţii deplasată la ieşirea sistemului. Se obţine un răspuns oscilant cu amortizarea 1/4, cu abaterea maximă ν de valoare minimă şi se minimizează integrala valorii absolută a erorii. Se consideră funcţia de transfer a părţii fixă de ordinul unu cu timp mort,

sFF

F

KH (s) eT s 1−τ= ⋅

⋅ + (12.2.22)

Relaţiile de acordare conform metodei Cohen şi Coon, sunt prezentate în Tab.12.2.4. Tabelul nr.12.2.4. Tip. reg. R FK K⋅ iT dT

P F1 T3 + τ

……………… ……………

PD F1 5 T6 4+ ⋅

τ ………………. F

F

6T 222T 3

− ττ ⋅+ τ

PI F1 9 T12 10+ ⋅

τ F

F

30T 39T 20

+ ττ ⋅+ τ

……………

PID ; q=0 F1 4 T4 3+ ⋅

τ F

F

32T 613T 8

+ ττ ⋅+ τ

F

F

4T11T 2τ ⋅

+ τ

12.2.6. Acordarea regulatoarelor după metoda Pessen Se determină R limK şi limT ca în cazul metodei Nichols. Se recomandă valorile din Tab.12.2.5. Tabelul nr.12.2.5. Tip. reg. RK iT dT PID ; q=0

R lim5 K8 ⋅ lim

5 T6 ⋅ lim1 T5 ⋅

PID ; q=1 R lim

3 K8 ⋅ lim1 T2 ⋅ lim

1 T3 ⋅


352

12.2.7. Acordarea regulatorului după metoda Haazebroeck-Waerden Se consideră variaţia treaptă a mărimii de referinţă şi se alege drept criteriu pentru instalaţia tehnologică cu autoreglare, minimul integralei erorii patratice

221

0I (t)dt

∝= ε∫ (12.2.23)

unde (t)ε este eroarea sistemului de reglare, iar pentru procese fără autoreglare minimul integralei duble

222 1

0I (t)dt

∝= ε∫

t

10

(t) (t) dtε = ε ⋅∫ (12.2.24)

Acordarea se referă numai la regulatoare PI şi instalaţii cu funcţia de transfer (12.2.25), pentru care se recomandă valorile din Tab.12.2.6.

sFF

F

KH (s) eT s 1−τ= ⋅

+, (12.2.25)

Tabelul nr.12.2.6. F/ Tτ R FK / K iT / τ F/ Tτ R FK / K iT / τ

0.2 4.000 7.550 1.5 0.840 1.400 0.3 2.770 5.130 2.0 0.730 1.180 0.5 1.790 3.250 3.0 0.630 0.955 0.7 1.370 2.450 5.0 0.550 0.810 1.0 1.070 1.880 ∞ 0.500 0.625

Relaţiile de acordare pentru un regulator PI, după metoda Haazebroeck-Waerden, pentru diverse procese cu şi fără autoreglare sunt prezentate în Tab.12.2.7. şi Tab.12.2.8. Tabelul nr.12.2.7. Funcţia de transfer

FF n

F

KH (s)(T s 1)

=+

s

F FH (s) K e−τ= ⋅

n 3 4 5 10 25 50 ---- R FK K⋅

2.75 1.64 1.26 0.692 0.555 0.516 0.500

i FT / T 5.50 5.38 5.75 7.610 16.80 32.20 6.625 Tabelul nr.12.2.8. Funcţia de transfer

sF

F nF F

K eH (s)T s(T s 1)

−τ⋅=+

s

FF

F

K eH (s) T s−τ⋅=

n 2 3 4 ---- R FK K⋅

1.211⋅ FT / τ 0.571⋅ FT / τ 0.375⋅ FT / τ 1.11⋅ FT / τ

i FT / T 13.50 16.80 22.05 4.60


353

12.2.8. Acordarea regulatoarelor după metoda Grinten-Haalman În această metodă se ţine seama de factorul r, denumit de autorii metodei factor de controlabilitate, definit prin relaţia, 0r e−ω ⋅τ= (12.2.26) unde ω0 este pulsaţia de frângere, la care caracteristica logaritmică a zgomotului indus de mărimile perturbatoare, începe să scadă cu 20dB/dec. Criteriul de optimizare constă în minimizarea integralei erorii pătratice. Se consideră pentru instalaţie o funcţie de transfer de forma

sFH (s) H(s) e−ττ = ⋅ (12.2.27)

unde H(s) este partea cu faza minimă a expresiei funcţiei de transfer a procesului. Se ajunge la concluzia că regulatorul optim este de forma:

1

R sr H (s)H (s)1 r e

−

−τ⋅=− ⋅

(12.2.28)

Efectul reglării este maxim (100%) când r=1 şi are loc când procesul nu are timp mort (τ=0) sau când perturbaţiile se aplică în punctul de referinţă. Se recomandă valorile parametrilor din Tab.12.2.8. pentru două variante, şi anume metoda Haalman şi metoda Grinten, pentru regulatoare cu q=0 şi q=1 care minimizează un criteriu definit prin integrala patratului erorii. Tabelul 12.2.8.

Metoda Haalman Metoda Grinten Funcţia de transfer a procesului Tip

reg. R FK K

iT dT Tip reg.

R FK K iT dT

sFK e−τ⋅ I ----- 3

2 ⋅ τ--- PI 1

2 2τ ---

sF

F2

K eT s

−τ⋅⋅

P F22 T3 τ

--- --- PD F2Tτ

--- 2τ

sF

F1

K eT s

−τ⋅⋅

PI F12 T3 τ

F1T --- PID, q=0

12 2

τ F1T

sF

F2 F1

K eT s (T s 1)

−τ⋅⋅ ⋅ ⋅ +

PD F22 T3 τ

--- F1T PD F2Tτ

--- F1T2

τ +

sF

F1 F2

K e(T s 1) (T s 1)

−τ⋅⋅ + ⋅ ⋅ +

PID q=0

F12 T3 τ

F1T F2T PID, q=1

R FK K * iT * dT *

F1 F2R F

T T1K K * 2+= +τ

i F1 F2T * T T= τ + +

F1 F2 F1 F2d

F1 F2

(T T ) 2 T TT * 2 (T T )τ ⋅ + + ⋅ ⋅=

τ + ⋅ +

12. METODE DE SINTEZĂ CARE CONDUC 12.3. Metode practice de acordare, LA ANUMITE PEFORMANŢE a regulatoarelor direct pe instalaţie

354

12.3. Metode practice de acordare a regulatoarelor direct pe instalaţie

12.3.1. Acordarea regulatoarelor cu metoda Ziegler-Nichools Metoda realizează minimizarea unui criteriu de calitate dat de integrala pătratului erorii sistemului în regimul tranzitoriu generat de variaţia treaptă a unei perturbaţii considerată deplasată la ieşire. Acordarea regulatoarelor PI 1. Se aplică procedura de testare Ziegler-Nichools având numai regulator P şi se

determină în modul cunoscut valoarea R limK . 2. Se implementează valoarea R R limK 0.45 K= ⋅ . (12.3.1)

3. Cu factorul de proporţionalitate de mai sus se modifică iT până la apariţia oscilaţiilor, şi se notează această valoare i, limT .

4 Se implementează constanta de timp de integrare, i i limT 3 T= ⋅ . (12.3.2) Acordarea regulatoarelor PD 1. Cu dT 0= se creşte RK până la apariţia oscilaţiilor şi se menţine aceasă valoare notată R limK . 2. Se măreşte apoi dT .

2a. Dacă răspunsul devine mai prost, înseamnă că nu este nevoie de componentă derivativă; 2b. Dacă procesul se stabilizează se măreşte dT până ce reapar oscilaţiile. Se notează acestă valoare d, limT .

3. Se implementează constanta de timp de derivare,

d d lim1T T3= ⋅ . (12.3.3)

4. Se implementează factorul de proporţionalitate la valoarea R R limK 0.45 K= ⋅ . (12.3.4)

Acordarea regulatoarelor PID 1. Se setează iT = ∞ ( adică se decuplează componenta integrală) 2. Se determină şi implementează RK şi dT , ca la regulatorul PD prezentat mai

sus. 3. Cu parametrii RK şi dT de mai sus, se modifică iT până la apariţia oscilaţiilor, şi se notează această valoare i, limT .

4 Se implementează constanta de timp de integrare, i i limT 3 T= ⋅ (12.3.5)

12. METODE DE SINTEZĂ CARE CONDUC 12.3. Metode practice de acordare, LA ANUMITE PEFORMANŢE a regulatoarelor direct pe instalaţie

355

12.3.2. Acordarea regultoarelor cu metoda Hokushin Această metodă se bazează pe ajustări succesive ale parametrilor, efectuate pe sistemul fizic de reglare, şi se iau decizii în funcţie de rezultatele obţinute. Acordarea regulatoarelor PI 1. Se fixează factorul de proporţionalitate RK la valoare minimă şi constanta de timp de integrare iT la valoare maximă. 2. Se măreşte RK până la apariţia oscilaţiilor în proces. 3. Se micşorează apoi RK astfel încât să dispară oscilaţiile, păstrându-se o mică

rezervă. 4. Se micşorează iT până ce reapar oscilaţiile (de data aceasta sunt mai lente). 5. Se măreşte iT astfel ca să dispară oscilaţiile şi să existe o anumită rezervă. Acordarea regulatoarelor PID 1. Se fixează factorul de proporţionalitate RK la valoare minimă, constanta de

timp de integrare iT la valoare maximă şi constanta de timp de derivare dT la valoare minimă.

2. Se măreşte RK până la apariţia oscilaţiilor în proces. 3. Se măreşte dT până când dispar oscilaţiile. 4. Se măreşte din nou RK , iar după reapariţia oscilaţiilor se măreşte dT pentru

ca oscilaţiile să dispară. 5. Se repetă etapele 2,3,4 până când oscilaţiile nu se mai disting prin mărirea

constantei de timp de derivare dT . 6. Se micşorează RK astfel încât să existe o rezervă contra apariţiei oscilaţiilor. 7. Se micşorează iT până ce apar oscilaţii mai lente decât cele precedente. 8. Se măreşte iT până dispar oscilaţiile, apoi se fixează iT la o valoare care

asigură o anumită rezervă contra oscilaţiilor. Notă: În majoritatea echipamentelor industriale, în locul factorului de proporţionalitate RK se foloseşte banda de proporţionalitate BP% . Dacă eroarea sistemului şi mărimea de ieşire din legea de reglare au aceleaşi domenii de variaţie, atunci este adevărată relaţia,

R

100BP% K= . (12.3.6)

Creşterea factorului de proporţionalitate RK înseamnă scăderea benzii de proporţionalitate BP% şi invers, scăderea factorului de proporţionalitate înseamnă creşterea benzii de proporţionalitate.

teoria sistemelor Şi reglare automatĂ cap. 8-12 lectii curs cap 8... · teoria sistemelor Şi...

Documents