teoria sistemelor

1

Sorin Larionescu

Draft - 2008

3

CUPRINS 1. INTRODUCERE........................................................................................9

2. TEORIA GENERAL A SISTEMELOR .............................................10 2.1. SISTEME ......................................................................................................11

2.1.1. Elemente..............................................................................................11 2.1.2. Relaii ..................................................................................................11 2.1.3. Scopuri ................................................................................................11

2.2. DINAMICA SISTEMELOR ...............................................................................12 2.2.1. Variabilele de stare .............................................................................12 2.2.2. Perturbaii ...........................................................................................12 2.2.3. ntreinere, aprare, cretere ..............................................................12

2.3. MEDIUL EXTERIOR SISTEMULUI ...................................................................12 2.4. STRUCTURA SISTEMULUI .............................................................................12 2.5. MODELELE SISTEMELOR ..............................................................................12

2.5.1. Definirea modelrii sistemice .............................................................13 2.5.2. Proprietile modelrii........................................................................13 2.5.3. Valoarea modelelor.............................................................................13

2.6. EXEMPLE DE SISTEME ..................................................................................14 2.6.1. Sistemele liniare ..................................................................................14 2.6.2. Sisteme fizice .......................................................................................14 2.6.3. Sisteme cu variabile de stare...............................................................14 2.6.4. Sisteme cu evenimente discrete ...........................................................14 2.6.5. Sisteme cu eantionare........................................................................14 2.6.6. Sisteme de conducere automat ..........................................................15 2.6.7. Sisteme informatice .............................................................................15 2.6.8. Sisteme adaptive..................................................................................15 2.6.9. Sisteme inteligente...............................................................................16 2.6.10. Sisteme de domotic ..........................................................................16

2.7. APLICAII ALE TEORIEI SISTEMELOR ............................................................16 2.7.1. Proiectarea..........................................................................................16 2.7.2. Documentarea.....................................................................................16 2.7.3. Comunicarea.......................................................................................16 2.7.4. Luarea deciziilor .................................................................................17

2.8. SOFTWARE SPECIALIZAT PENTRU TEORIA SISTEMELOR.................................17

3. SISTEME FIZICE CU PARAMETRII CONCENTRAI ...................18 3.1. MODELUL MATEMATIC AL SISTEMULUI FIZIC. ..............................................20 3.2. MODELE STRUCTURALE DE TIP REEA ALE SISTEMULUI FIZIC.......................22 3.3. MODELELE FUNCIONALE ALE SISTEMULUI FIZIC. ........................................23

3.3.1. Metoda general Kelvin. .....................................................................23 3.3.2. Programul pentru simularea sistemului fizic. .....................................26 3.3.3. Metoda variabilei auxiliare.................................................................30

4

3.4. ENERGIA I PUTEREA ...................................................................................31 3.5. SURSE REALE DE PUTERE .............................................................................33 3.6. ECUAIILE LUI LAGRANGE ...........................................................................34 3.7. MODELE CU VARIABILE DE STARE ALE SISTEMULUI FIZIC .............................37 3.8. MODELE N DOMENIUL FRECVEN ALE SISTEMULUI FIZIC ..........................46

3.8.1. Scurt istoric .........................................................................................47 3.8.2. Semnale sinusoidale ............................................................................47 3.8.3. Semnale periodice. Seria Fourier .......................................................55 3.8.4. Semnale impuls. Transformarea Fourier. Transformarea Laplace ....56 3.8.5. Semnificaii fizice n domeniul frecven.............................................62 3.8.6. Rspunsul sistemelor la semnale impuls n domeniul frecven .........62

4. SISTEME LOGICE COMBINAIONALE ..........................................65 4.1. CODURI .......................................................................................................66 4.2. ANALIZA SISTEMELOR LOGICE COMBINAIONALE ........................................67

4.2.1. Sistem logic combinaional tip I........................................................68 4.2.2. Sistem logic combinaional tip SAU....................................................69 4.2.3. Sistem logic combinaional tip NU......................................................70 4.2.4. Relaii logice caracteristice sistemelor logice combinaionale...........71 4.2.5. Elemente reale ale sistemelor logice combinaionale .........................72

4.3. SINTEZA SISTEMELOR LOGICE COMBINAIONALE .........................................73 4.3.1. Metoda formei disjunctive canonice ...................................................73 4.3.2. Metoda diagramei Karnaugh..............................................................75

4.4. TESTAREA SISTEMELOR LOGICE COMBINAIONALE......................................80 4.5. SISTEME LOGICE COMBINAIONALE CU CIRCUITE INTEGRATE ......................82

5. SISTEME CU EVENIMENTE DISCRETE..........................................84 5.1. MODELAREA SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE .................................85 5.2. DEFINIREA SISTEMELOR DISCRETE LOGICE...................................................89 5.3. TIPURI DE REELE PETRI..............................................................................90

5.3.1. Reele Petri autonome. ........................................................................90 5.3.2. Reele Petri interpretate. .....................................................................90 5.3.3. Reele Petri temporizate. .....................................................................91

5.4. ANALIZA STRUCTURAL A SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE. ...........91 5.4.1. Structuri tip folosite la modelarea cu reele Petri...............................91 5.4.2. Reele Petri ordinare...........................................................................92 5.4.3. Reele Petri pure. ................................................................................92 5.4.4. Poziia surs sau receptor...................................................................92 5.4.5. Tranziia validat. ...............................................................................92 5.4.6. Tranziia declanat............................................................................93 5.4.7. Conflictul structural i conflictul efectiv al tranziiilor.......................93 5.4.8. Interblocarea prin interpretare. ..........................................................94

5.5. ANALIZA COMPORTAMENTAL A SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE. .94 5.5.1. Ecuaia de stare. .................................................................................94 5.5.2. Graful marcajelor accesibile. .............................................................95

5.6. PERFORMANELE SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE. .........................95 5.6.1. Reversibilitatea ...................................................................................96 5.6.2. Mrginirea i sigurana. .....................................................................97 5.6.3. Viabilitatea..........................................................................................99

5.7. SISTEME CU EVENIMENTE DISCRETE I EVOLUIE PARALEL. ....................100 5.8. MAINA DE STARE. ....................................................................................103 5.9. GRAFCETUL. ..............................................................................................105

5

5.9.1. Trecerea de la reeaua Petri la grafcet. ............................................105 5.9.2. Etape, tranziii i legturi orientate. .................................................106 5.9.3. Interpretarea tranziiilor. ..................................................................107 5.9.4. Interpretarea etapelor. ......................................................................107 5.9.5. Reguli de evoluie n grafcet. ............................................................108 5.9.6. Structuri folosite la modelarea cu grafcet.........................................108 5.9.7. Compararea grafcetului cu reeaua Petri. ........................................109

5.10. SINTEZA SISTEMELOR DISCRETE LOGICE. .................................................110 5.11. IMPLEMENTAREA SISTEMELOR DISCRETE LOGICE. ...................................111 5.12. AUTOMATE ELEMENTARE CU CONTACTE I RELEU. .................................112

5.12.1. Analiza structural..........................................................................113 5.12.2. Analiza comportamental. ..............................................................114 5.12.3. Automatul elementar cu basculare..................................................115 5.12.4. Automatul elementar cu prioritate la oprire. ..................................119 5.12.5. Automatul elementar cu prioritate la pornire. ................................122 5.12.6. Automatul elementar cu neschimbarea strii..................................125 5.12.7. Automatul elementar pentru reglarea bipoziional. ......................126

5.13. AUTOMATE ELEMENTARE CU CIRCUITE INTEGRATE .................................130 5.13.1. Bistabilul RS....................................................................................131 5.13.2. Bistabilele SR i SRC. Sincronizarea. .............................................133 5.13.3. Bistabilul SCR Master Slave. .......................................................134 5.13.4. Bistabilul JKC. ................................................................................134 5.13.5. Bistabilul D. ....................................................................................135 5.13.6. Bistabilul T. .....................................................................................135

5.14. SINTEZA AUTOMATELOR IMPLEMENTATE CU CONTACTE I RELEE...........136 5.14.1. Schema tehnologic i schema bloc ...............................................136 5.14.2. Caietul de sarcini al automatului....................................................140 5.14.3. Analiza structural i comportamental .........................................140 5.14.4. Sinteza automatului cu contacte i relee. ........................................141 5.14.5. Implementarea automatului cu contacte i relee. ...........................144

5.15. PROIECTAREA AUTOMATELOR IMPLEMENTATE CU BISTABILE ..................146 5.15.1. Sinteza i implementarea automatului cu bistabile tip D................146 5.15.2. Sinteza i implementarea automatului cu bistabile JKC. ................149 5.15.3. Problema iniializrii sistemului discret logic. ...............................150

5.16. PROIECTAREA AUTOMATELOR IMPLEMENTATE CU APL ..........................154 5.16.1. Programarea automatelor programabile logice.............................154 5.16.2. Metoda Grafcet ...............................................................................157 5.16.3. Metoda listei de instruciuni............................................................157 5.16.4. Metoda schemei desfurate ...........................................................161

5.17. TRANSFORMAREA APL N AUTOMAT CU CONTACTE I RELEE..................162

6. SISTEME DE REGLARE AUTOMAT ............................................164 6.1. SISTEME CU CONDUCERE MANUAL I AUTOMAT....................................165 6.2. REGULATOARE PID CONTINUE ..................................................................174

6.2.1. Compensatorul PID analogic. ..........................................................176 6.2.2. Regulatorul PID cu dou grade de libertate.....................................176 6.2.3. Regulatorul PI cu impulsuri modulate n durat ..............................178

6.3. PROIECTAREA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE ........................................180 6.3.1. Analiza sistemelor automate .............................................................182 6.3.2. Schema bloc a sistemului automat ....................................................184 6.3.3. Sensibilitatea.....................................................................................185 6.3.4. Sensibilitatea complementar ...........................................................185

6

6.3.5. Locul rdcinilor ..............................................................................186 6.3.6. Ieirea, eroarea si comanda instalaiei automate .............................187 6.3.7. Msuri ale erorii ...............................................................................187 6.3.8. Metoda clasic de proiectare............................................................188 6.3.9. Metoda modern de proiectare .........................................................190 6.3.10. Criteriu de stabilitate robust .........................................................192 6.3.11. Criteriu de performane robuste......................................................196 6.3.12. Compensarea perturbaiilor............................................................200 6.3.13. Exemplu de proiectare ....................................................................204 6.3.14. Exemplu de simulare .......................................................................209

6.4. PROBLEMA TIMPULUI MORT N PROIECTAREA ASISTAT DE CALCULATOR .214 6.5. SISTEME AUTOMATE CU REGULATOARE CU MODEL INTERN .......................220

6.5.1. Definirea regulatorului cu model intern ...........................................221 6.5.2. Proiectarea regulatorului cu model intern .......................................222 6.5.3. Exemplu de proiectare ......................................................................224

6.6. SISTEME ADAPTIVE ....................................................................................229 6.6.1. Sisteme adaptive cu autoacordare ....................................................229 6.6.2. Sisteme adaptive cu model de referin.............................................230

7. SISTEME CU EANTIONARE ...........................................................238 7.1. DISCRETIZAREA N AMPLITUDINE...............................................................239 7.2. EANTIONAREA .........................................................................................239 7.3. MULTIPLEXAREA .......................................................................................241 7.4. TRANSFORMAREA Z A SEMNALELOR EANTIONATE...................................241 7.5. FUNCIA DE TRANSFER N DOMENIUL Z......................................................243 7.6. FUNCIA DE TRANSFER N Z ECHIVALENT ................................................245 7.7. COMPENSATORUL PID NUMERIC ...............................................................247 7.8. INSTRUMENTUL VIRTUAL PID. ..................................................................247 7.9. MODELUL ARMAX...................................................................................248 7.10. SISTEME CU SEMNALE ALEATOARE ..........................................................252

7.10.1. Media i variana ............................................................................253 7.10.2. Covariana i corelaia ...................................................................254 7.10.3. Eantionarea statistic i estimarea parametrilor ..........................254 7.10.4. Un exemplu de semnal aleator........................................................255 7.10.5. Intervale de ncredere .....................................................................256 7.10.6. Filtrarea ..........................................................................................257 7.10.7. Analiza semnalelor aleatoare..........................................................258 7.10.8. Funcia de autocorelaie. ................................................................258 7.10.9. Densitatea spectral de putere........................................................259 7.10.10. Rspunsul sistemelor la semnale aleatorii. ...................................261

7.11. EANTIONAREA N DOMENIUL FRECVEN. .............................................262 7.12. REGULILE DE EANTIONARE ALE KITSAS................................................265 7.13. IDENTIFICAREA SISTEMELOR....................................................................265

8. SISTEME INTELIGENTE CU LOGICA FUZZY .............................268 8.1.1. Mulimi fuzzy. ....................................................................................269 8.1.2. Logica fuzzy.......................................................................................274 8.1.3. Sisteme de conducere automat bazate pe logica fuzzy. ...................277 8.1.4. Avantajele conducerii fuzzy si domenii de aplicare. .........................286 8.1.5. Sinteza algoritmului de conducere fuzzy pentru o instalaie.............287 8.1.6. Simularea sistemelor bazate pe logica fuzzy cu ajutorul KitSAS. .....292

8.2. REGULATORUL PID FUZZY. .......................................................................295

7

9. SISTEME DE DOMOTIC I IMOTIC..........................................299 9.1. SISTEME INFORMATICE ..............................................................................303

9.1.1. Sisteme informatice la nivelul de planificare ....................................303 9.1.2. Sisteme informatice la nivelul de management .................................304 9.1.3. Sisteme informatice la nivelul de cunoatere. ...................................304 9.1.4. Sisteme informatice la nivelul operaional........................................304

9.2. SISTEME DE DOMOTIC CU STRUCTURI PARTICULARE................................305 9.2.1. Sistem de domotic pentru conducerea automat.............................305 9.2.2. Sistem de domotic pentru gestiunea cldirii - BMS ........................305 9.2.3. Conducerea tip SCADA/HMI ............................................................306 9.2.4. Sistem de domotic pentru securitatea cldirii. ................................306 9.2.5. Sistem de domotic pentru sigurana cldirii ...................................306 9.2.6. Sistem de domotic pentru gestiunea energiei ..................................306

9.3. PROTOCOALELE SISTEMULUI DE DOMOTIC...............................................307 9.3.1. Protocoalele CEN TC247 i BACnet.................................................307 9.3.2. Protocoalele RS-232, RS-422, RS-485 i HART ...............................310 9.3.3. Protocoale la nivelul linie - legtura de date ...................................312 9.3.4. Nivelele reea, transport, sesiune, prezentare i aplicaie.................313 9.3.5. Protocolul PROFIBUS......................................................................314 9.3.6. Protocolul EIB Instabus....................................................................315

9.4. SISTEME DE CONDUCERE N CAZ DE PERICOL .............................................316 9.4.1. Centrale de conducere n caz de pericol ...........................................318 9.4.2. Traductoare pentru sisteme de securitate la efracie ........................319 9.4.3. Detectoare pasive n infrarou - PIR ................................................319 9.4.4. Monitoare video de micare..............................................................319 9.4.5. Controlere de acces...........................................................................319 9.4.6. Sisteme de identificare cu frecven radio ........................................320 9.4.7. Traductoare pentru sisteme de siguran la incendiu.......................320 9.4.8. Butoane manuale de semnalizare......................................................322 9.4.9. Detectoare de temperatur................................................................323 9.4.10. Detectoare de fum cu ionizare ........................................................325 9.4.11. Detectoare de fum optice ................................................................326 9.4.12. Detectoare de fum fotoelectrice cu obturarea luminii ....................326 9.4.13. Detectoare de fum fotoelectrice cu difuzarea luminii .....................326 9.4.14. Sistemul MicroSAM.........................................................................326

9.5. SISTEME DE ECHIPAMENTE ........................................................................329

10. MEDII DE DEZVOLTARE A APLICAIILOR................................333 10.1. KITSAS ...................................................................................................333 10.2. SCILAB / SCICOS ......................................................................................340 10.3. SCILAB / CONTROLKIT.............................................................................343

10.3.1. Instalarea. .......................................................................................343 10.3.2. Ajutor ..............................................................................................343 10.3.3. Pornirea i utilizarea Control Kitului .............................................344 10.3.4. Proiectarea minimal cu ajutorul Control Kitului..........................344 10.3.5. Proiectarea cu asigurarea stabilitii i robusteii .........................345

10.4. DYNAST...................................................................................................347 10.4.1. Modelul matematic neliniar explicit................................................348 10.4.2. Instruciuni pentru elaborarea programelor DYNAST ...................349 10.4.3. Modelul matematic neliniar implicit ...............................................350 10.4.4. Modelul structural sub forma de reea............................................352

8

10.4.5. Modelul structural neliniar .............................................................354 10.4.6. Modelul funcional. .........................................................................355

10.5. SIMULATORUL APL TRILOGI ...................................................................356 10.5.1. Simulatorul Trilogi Tl4 pentru DOS ...............................................356 10.5.2. ncrcarea unui program existent...................................................357 10.5.3. Elaborarea unei scheme desfurate noi. .......................................357 10.5.4. Simularea funcionarii unui automat programabil. ........................357 10.5.5. Configurarea automatului programabil..........................................358 10.5.6. Introducerea unui comentariu.........................................................358 10.5.7. Editarea unei scheme desfurate...................................................358 10.5.8. Prezentarea tabelului de configurare si a schemei desfurate......359 10.5.9. Un exemplu de program..................................................................359 10.5.10. Simulatorul Tl5 pentru Windows...................................................363

10.6. SIMULATORUL APL EASY RELAY............................................................363

11. BIBLIOGRAFIE....................................................................................364

Cap.1 Introducere

9

1. Introducere Teoria sistemelor este o disciplin tiinific care ncearc o abordare

unitar a metodelor de cunoatere i aciune asupra lumii obiective i subiective. Dup cum se vede ambiiile teoriei sistemelor sunt foarte mari. n continuare se va face o prezentare general a teoriei sistemelor i se va exemplifica aplicarea ei pentru sistemele care apar la instalaiile, echipamentele i serviciile din cldiri, grupuri de cldiri i locuine. Se vor considera sistemele fizice cu parametrii concentrai, sistemele logice combinaionale, sistemele cu evenimente discrete, sistemele de reglare automat, sistemele cu eantionare, sistemele informatice, sistemele adaptive, sistemele inteligente cu logic fuzzy i sistemele de domotic i imotic. Modelele sistemelor prezentate sunt de tip matematic, structural sau funcional. Se insist asupra structurii sistemelor i asupra metodelor de analiz a lor. Terminologia i notaiile adoptate sunt cele folosite n cteva dintre programele de referin n domeniu: Matlab, Scilab1 i Dynast2. Programele gratuite Dynast i Scilab/Scicos sunt prezentate pe scurt i folosite la aplicaiile3 din lucrare. Se prezint i se folosesc i programele KitSAS4 i Scilab/ControlKit5 elaborate special de autor pentru simularea, analiza i proiectarea sistemelor. Pentru sistemele discrete logice se folosete simulatorul gratuit de automate programabile Trilogi6.

Elementele sistemelor pot fi att obiecte fizice ct i date, simboluri, concepte, etc. n aceast lucrare se studiaz n cea mai mare parte modelele sistemelor formate din obiecte fizice. Aceasta nseamn c o categorie larg de sisteme, care pot fi n legtur cu activitile din cldiri, grupuri de cldiri i locuine, nu sunt prezentate. Printre acestea se numr i sistemele informatice bazate pe calculatoare sau reele de calculatoare i a cror elemente sunt datele.

n cldiri i locuine sistemele sunt definite la trei niveluri: management, automatizare i cmp (procese). n lucrare sistemele vor fi prezentate n ordine ierarhic invers.

1 Un mediu de dezvoltare a aplicaiilor sistemice bazat pe modele funcionale

compatibil n mare msur cu Matlab. Poate fi descrcat gratuit de la adresa www.scilab.org. n lucrare se folosete versiunea Scilab 3.1.1.

2 Un mediu de dezvoltare a aplicaiilor sistemice bazat pe modele structurale.

Versiunea 3.1.1 Dynast Shell off line este folosit n lucrare. Ea este gratuit n varianta cu limitri pentru studeni. Poate fi descrcat de pe internet de la adresa: http://virtual.cvut.cz/dyn/download/public. Versiunea on line de la aceiai adres este gratuit i nu are limitri. Programul poate fi folosit mpreun cu Matlab.

3 Aplicaiile pot fi descrcate de la www.geocities.com/larionescu/.

4 Versiunea KitSAS 6.12 se poate descrca gratuit de pe internet de la una dintre

adresele www.geocities.com/larionescu/ sau www.larionescu.home.ro. 5 Un program elaborat n Scilab 3.1.1 pentru proiectarea asistat de calculator a

sistemelor de reglare automat. Versiunea ControlKit 3.0 este accesibil gratuit la adresele www.geocities.com/larionescu sau www.larionescu.home.ro.

6 O versiune TL4.1 DOS sau o versiune TL5 Windows se poate descrca gratuit de

la adresa www.tri-plc.com/trilogi.htm.

Cap.2 Teoria generala a sistemelor

10

2. Teoria general a sistemelor

Nu se poate poruncii naturii dect supunndu-te ei A cunoate adevrat nseamn a cunoate prin cauze7

Francis Bacon, 1561 1626

Teoria sistemelor este format dintr-o mulime de concepte8, metode i principii9 i constituie una dintre cile de cunoatere i acionare asupra lumii obiective i subiective. Dac pe lng teoria sistemelor se consider i mulimea format din aplicaiile ei, diferite ipoteze, preferine de aparate i echipamente, standarde i norme naionale i internaionale, criterii de evaluare a soluiilor, lucrri publicate i programe de calculator, personaliti recunoscute din domeniu, se obine paradigma sistemic10. Exist paradigme pentru sisteme sociale, economice, fizice, tehnologice, biologice, psihice, informaionale, informatice, organizaionale, etc.

Cuvntul sistem este un concept care desemneaz o parte a lumii n care trim. Teoria sistemelor este privit de diferii autori drept o teorie logic matematic, o teorie formal, un mod de gndire, un mod de percepere a lumii, o metateorie sau un metalimbaj. In continuare vom nelege prin teoria sistemelor o modalitate de cunoatere i aciune asupra lumii obiective i subiective i vom aborda aplicaii din domeniul11 instalaiilor12, echipamenmtelor13 i serviciilor14 din cldiri, grupuri de cldiri i locuine. n acest sens se pot definii, n legtur cu cldirile i locuinele, diferite sisteme fizice (mecanice, termice, fluidice, electrice), sisteme de conducere automat, sisteme informaionale de documentare, sisteme informatice bazate pe reele de calculatoare, sisteme de fabricaie, sisteme de organizare, etc. Aceste sisteme sunt studiate n mod tradiional prin teorii i paradigme specifice. Paradigma sistemic prezentat n continuare ncearc s pun n eviden aspectele comune ale acestor teorii facilitnd astfel cunoaterea, comunicarea, documentarea i studiul interaciunii ntre diferitele tipuri de subsisteme din cldiri i locuine.

7 Aceste aforisme baconiene constitue punctul de plecare al gndirii sistemice care

presupune renunarea la cunoatere n scopul desvriri ei. Conceptele de cutie neagr (black box) i dipol se bazeaz pe acest mod de abordare a cunoaterii. O alternativ la gndirea sistemic o constitue cunoaterea nelimitat, pn la atingerea esenei lucrurilor.

8 Idei abstracte.

9 Teze, legi fundamentale unanim acceptate. De exemplu principiul terului exclus

care guverneaz cunoaterea i aciunea uman. 10

n sensul lui Thomas Kuhn din cadrul teoriei revoluiilor tiinifice. 11

Aceste aplicaii implic att lumea obiectiv a fenomenelor fizice ct i lumea subiectiv a percepiilor subiecilor umani din cldiri i locuine.

12 Instalaii de aer condiionat, nclzire, frig, electrice i de iluminat.

13 Echipamente pentru ascensoare, gtit, splat, televiziune, telefonie, etc.

14 Aceste servicii pe care le ofer cldirea se refer, printre altele, la accesul n

cldire (de exemplu scara de serviciu), confortul termic i luminos, securitatea la furt i jaf, sigurana la foc, etc.

Cap. 2 Teoria general a sistemelor

11

Lumea obiectiv i subiectiv poate fi abordat pentru cunoatere i aciune ntr-o manier diferit de cea definit de paradigma sistemic. De exemplu, modelele matematice ale fenomenelor fizice obinute sub form de ecuaii integro difereniale sunt de tip sistemic. Modelele matematice ale acelorai fenomene fizice obinute sub forma unor ecuaii difereniale cu derivate pariale nu sunt de tip sistemic.

2.1. Sisteme Un sistem este definit drept o mulime de elemente, o mulime de relaii

ntre elemente i o mulime de scopuri. Determinarea elementelor, relaiilor i scopurilor nu este simpl deoarece depinde, ntr-o oarecare msur, de observatorul sistemului. Aceast observaie reflect principiul incertitudinii care afirm c atunci cnd definim un sistem ne referim la observaiile noastre care sunt mai degrab produsul nostru dect al sistemului observat.

Comportarea elementelor sistemului este limitat de relaiile dintre ele. S considerm un grup de copii pe un teren de joac. Civa alearg, alii sar, civa sunt antrenai ntr-un joc i mai muli stau i privesc. Exist aici un sistem? Da, sunt mai multe. Putem izola sistemele observnd restriciile impuse comportrii elementelor. Jocul, de exemplu, impune restricii copiilor care particip la el. Numai anumite micri sunt permise la un moment dat. Jocul, definit ca un sistem, are un scop: ctigarea jocului. Deci sistemul numit joc const dintr-o mbinare de elemente, relaii i scopuri

2.1.1. Elemente Elementele sistemului sunt formate din obiecte, idei sau evenimente.

Adeseori elementele sunt ele nsi sisteme. Dac nu se poate sau nu se dorete descompunerea mai departe n subsisteme elementul este reprezentat printr-un bloc (cutie neagr) sau dipol. Aceast metod se numete analiz funcional.

2.1.2. Relaii Elementele sistemului sunt n legtur unul cu altul n diferite moduri.

Unele relaii sunt fizice, altele sunt spaiale sau temporale15, altele sunt logice16. Principiul incertitudinii se aplic i la relaii. Un observator economist va insista pe relaiile financiare, un specialist n marketing evideniaz relaiile de cumprare, iar un informatician se ocup de schimbul de informaii. Relaiile contribuie la atingerea scopurilor sistemului prin limitarea comportrii elementelor.

2.1.3. Scopuri n cazul scopurilor sistemului principiul incertitudinii acioneaz n sens

invers. Este imposibil s se cunoasc scopurile din interiorul sistemului. Aceasta nseamn c elementele sistemului, dac sunt contiente i inteligente, pot n cel mai bun caz s trag concluzii numai pe termen scurt n legtur cu cauzele pentru care comportarea lor este limitat. Numai un observator din exterior poate constata

15 n legtura dintre ele intervine timpul.

16 Un element este necesar pentru cellalt.


12

interaciunea sistemului cu mediul su exterior i nelege de ce elementele se comport ntr-un anumit fel.

2.2. Dinamica sistemelor Sistemele se modific n timp datorit mediului nconjurtor i relaiilor

ntre elemente.

2.2.1. Variabilele de stare Variabilele interne care definesc dinamica sistemului se numesc

variabilele de stare. Acestea sunt, de obicei, legate de elementele care depoziteaz energie, materie sau informaie.

2.2.2. Perturbaii Variabilele externe care determin schimbarea sistemului se numesc

perturbaii. aceste pot fi aditive, atunci cnd se adun la variabilele de stare, sau parametrice, dac schimb parametrii elementelor.

2.2.3. ntreinere, aprare, cretere La interaciunea cu mediul exterior sistemul reacioneaz n trei moduri.

ntreinerea repar o relaie sau un element. Aprarea distruge un inamic iar creterea asimileaz un subsistem.

Sistemele automate pot repara, ntr-o oarecare msur, relaiile i pot micora efectele perturbaiilor parametrice.

Perturbaiile pot provoca instabilitatea sistemului.

2.3. Mediul exterior sistemului Sistemul poate evolua ntr-un mediu ordonat, dezordonat sau turbulent.

Evenimentele din mediul exterior turbulent pot apare sau nu17. Dac mediul este dezordonat evenimentele au diferite probabiliti de apariie, totui suma lor este unu. Intr-un mediu turbulent nu se cunosc toate evenimentele i probabilitile lor de apariie.

2.4. Structura sistemului Cteva dintre structurile sistemelor sunt: legtura direct, structura cu

reacie pozitiv sau negativ, structura cibernetic i structura cu nvare. Primele dou tipuri sunt utilizate frecvent n practica instalaiilor, echipamentelor i serviciilor oferite de cldiri i locuine. Sistemele cu structura direct pot supravieuii n medii ordonate iar cele care au structura cu reacie fac fa i n medii dezordonate. Sistemele din medii turbulente trebuie s aib o structur cibernetic. Structura cu nvare este necesar n sistemele foarte complexe.

2.5. Modelele sistemelor

17 Probabilitatea de apariie este zero sau unu.


13

Sistemele din natur18, numite sisteme de baz19, pot fi modelate, adic se pot construii sisteme mai simple , numite sisteme model20, a cror comportare s fie aproximativ aceiai. Un sistem poate avea mai multe modele. Studiul comportrii sistemelor model se numete simulare. Schema tehnologic, schema bloc, schema desfurat i reeaua Petri i alte desene sunt sisteme model.

2.5.1. Definirea modelrii sistemice21 Baza i modelul sunt sisteme. Modelul are cel mult tot attea elemente dect baza. Deci este mai

simplu. Modelul este mai simplu i n ceea ce privete relaiile dintre

elemente. Numrul lor este mai mic sau egal cu cele ale bazei. Orice este adevrat din comportarea modelului este adevrat i

referitor la comportarea bazei.

2.5.2. Proprietile modelrii Nesimetria. Modelarea merge numai ntr-o direcie. Dac A modeleaz

pe B atunci B nu poate modela pe B. Reflexivitatea. Orice model este un model al lui nsui. Tranzitivitatea. Dac B este un model al lui C i A este un model al lui

B atunci A modeleaz i pe C. Netransferabilitatea. Dou modele ale aceleiai baze nu sunt n mod

necesar echivalente. Complexitatea redus. Simplificarea obinut prin modelare se obine

prin gruparea elementelor similare sau eliminarea elementelor nesemnificative.

Nepartajarea. Un model a unei pari a bazei nu este un model a ntregii baze.

2.5.3. Valoarea modelelor Valoarea modelelor pentru comunicare, documentare i luarea deciziilor

este dat de urmtoarele trei criterii. Consistena. Modelele trebuie s fie ntocmite conform standardelor i

normelor n vigoare astfel nct utilizatori s le poat folosi uor. Generalitatea. Toate aspectele importante ale sistemului de baz

trebuie modelate. Validitatea. Toate concluziile obinute pe model trebuie s fie

adevrate i pentru sistemul de baz.

18 Exist controverse cu privire la natura sistemic a realitii.

19 Sau mai simplu simplu, baze.

20 Sau mai simplu, modele.

21 Exist i alte tipuri de modelri. De exemplu modelarea matematic sau fizic.


14

2.6. Exemple de sisteme Paradigma sistemic se aplic n foarte multe domenii ale tiinei i

tehnicii. Cteva tipuri de sisteme sunt prezentate n continuare.

2.6.1. Sistemele liniare Sistemele n care se aplic principiul superpoziiei se numesc sisteme

liniare. Principiul superpoziiei afirm c rspunsul sistemului la intrri aditive este egal cu suma rspunsurilor la fiecare intrare n parte.

2.6.2. Sisteme fizice Sistemele fizice cu elemente cu parametrii concentrai au numai trei tipuri

de elemente: disipatoare, acumulatoare prin intermediul variabilei longitudinale i acumulatoare prin intermediul variabilelor transversale. Relaiile dintre elemente sunt determinate de transferul de putere sau energie dintre elementele sale. Modelele elementelor sunt n acest caz de tip dipol iar modelul sistemului este de tip structural22. Proprietile structurii sistemelor fizice determinate de geometria sistemului sunt studiate de topologie.

2.6.3. Sisteme cu variabile de stare Aceste sisteme sunt nite modele funcionale ale sistemelor fizice sau ale

sistemelor automate. n afar de variabilele de intrare i ieire se definesc i variabilele de stare. Alegerea variabilelor de stare este, ntr-o oarecare msur, arbitrar.

2.6.4. Sisteme cu evenimente discrete Evenimentele discrete apar n mod frecvent la organizarea serviciilor

oferite de cldiri i locuine, n funcionarea instalaiilor, echipamentelor informatice i a atelierelor de producie. Din aceast cauz sistemele cu evenimente discrete sunt foarte utile n luarea deciziilor referitoare la diferite aspecte ale activitii inginereti, economice i organizatorice legate de cldiri i locuine. Sistemele discrete logice sunt cazuri particulare, mai simple, de sisteme cu evenimente discrete i sunt folosite intensiv la conducerea automat a instalaiilor i echipamentelor din cldiri i locuine.

2.6.5. Sisteme cu eantionare Pentru multe sisteme se folosesc modele discrete cu eantionare. n

aceast categorie intr sistemele organizaionale, economice, financiare, sociale sau sistemele tehnice cu calculatoare. Aceste modelele au o arie larg de aplicare deoarece presupun prezena la intrarea n sistem a unui semnal determinist combinat cu un semnal aleator. In felul acesta modelele pot fi folosite nu numai la studiul sistemelor dar i la studiul semnalelor.

22 Pune n eviden structura.


15

2.6.6. Sisteme de conducere automat Elementele sistemelor de conducere sunt procesele23, traductoarele,

elementele de execuie, automatele, regulatoarele i controlerele24. Structura sistemelor de conducere este determinat de transferul de informaie i poate fi de tip feedforward, feedback negativ, feedback pozitiv sau combinaii. Elementele sunt modelate, n general, prin blocuri25 iar modelul sistemului este de tip funcional26. Sistemele automate pot urmri unul sau mai multe scopuri: a) urmrirea unui program27, b) nlturarea efectului perturbaiilor prin reglare, c) compensarea regimurilor tranzitorii, d) insensibilizarea la variaia parametrilor sistemului. Bucla cu reacie negativ, reeaua Petri sau grafcetul sunt modele ale unor sisteme de conducere automat.

2.6.7. Sisteme informatice Elementele unui sistem informatic l constituie datele28 i echipamentele

care le prelucreaz. Relaiile dintre date l constituie tranzaciile. Scopul unui sistem informatic l constituie prelucrarea datelor. Sistemele expert, bazele de date relaionale, sistemele de gestiune a cldirilor29, sistemele de securitate30, sistemele de siguran31 la foc sau sistemele de prelucrare a tranzaciilor financiare sunt exemple de sisteme informatice.

Mai multe calculatoare conectate n reea formeaz un sistem informatic. Relaiile dintre elementele sistemului (calculatoarele) pot fi definite la nivel hardware sau software i formeaz diferite structuri: stea, magistral, arbore, etc. Scopul sistemelor informatice l constituie comunicarea dintre calculatoare. Internetul i intranetul sunt sisteme informatice.

2.6.8. Sisteme adaptive Sistemele automate bine acordate au calitatea remarcabil de a fi

insensibile la modificri mic ai parametrilor proceselor conduse. Dac aceti parametrii se modific este necesar i adaptarea regulatoarelor la noua situaie.

Sistemele adaptive se deosebesc de sistemele automate clasice prin apariia unei noi bucle.

23 ntr-o instalaie pot avea loc mai multe procese, de natur fizic diferit.

24 Microcalculatoare specializate.

25 Cutii negre.

26 Pune n eviden funcia de transfer de la intrare la ieire.

27 Referine.

28 Datele sunt informaii prelucrate. Legtura dintre date i informaii este studiat

de ctre semiotic. n cadrul sistemelor informaionale datele sunt organizate n fiiere. 29

BMS, Building management system. Se gestioneaz energia electric i termic, apa cald, apa rece, numrul orelor de funcionare a instalaiilor, etc.

30 Sisteme de securitate la furt, jaf i sisteme de control a accesului.

31 Se gestioneaz evenimentele de detectare i alarmare la incendiu.


16

2.6.9. Sisteme inteligente Funcionarea sistemelor n medii ostile, aa cum este cazul echipamentelor

i instalaiilor pentru cldiri i locuine, conduce, printre altele, la existena unui nivel ridicat de perturbaii i zgomote. Dac zgomotele depesc aproximativ 10 20 % din valoarea semnalului util identificarea funciei de transfer a procesului nu mai este exact i conducerea adaptiv nu mai d rezultate mulumitoare. n aceast situaie se folosesc pentru conducere sisteme cu inteligen artificial cum ar fi sistemele expert i reelele neurale.

2.6.10. Sisteme de domotic Elementele sistemului de domotic l constituie subsistemele fizice,

automate, informaionale i informatice. Relaiile dintre elemente, care formeaz structura sistemului, este dat de protocoale cum ar fi Bacnet sau EIB. Scopul sistemului de domotic l constituie comunicarea dintre componentele sale.

2.7. Aplicaii ale teoriei sistemelor Dup cum am mai menionat paradigma sistemic reprezint o cale de

cunoatere i aciune. Cteva dintre domeniile cele mai importante n care poate fi folosit sunt: proiectarea, documentarea, comunicarea, luarea deciziilor, fabricarea, ntreinerea i altele.

2.7.1. Proiectarea Multe metode de proiectare32 a instalaiilor i echipamentelor sunt de tip

sistemic. Pe lng acestea trebuiesc menionate metodele de proiectare pentru ofertare, pentru instalaii i echipamente multidisciplinare33, pentru conducerea automat i pentru sistemele informatice.

2.7.2. Documentarea Foarte multe documente n legtur cu cldirile, locuinele i serviciile

asigurate de acestea sunt de fapt modele sistemice de diferite tipuri. Un exemplu tipic este schema tehnologic cu sau fr aparatura de automatizare. Aceasta pune n eviden elemente, relaiile dintre ele i este elaborat n scop de documentare.

2.7.3. Comunicarea Comunicarea ntre oameni, eventual de specializri diferite, este facilitat

de paradigma sistemic. Schemele bloc reprezint un exemplu de model sistemic larg rspndit n comunicare datorit simplitii lor. Comunicarea om calculator n cazul programelor de uz general34 este bazat tot pe paradigma sistemic.

32 Unele metode de proiectare, de exemplu cele care folosesc modele sub forma

ecuaiilor cu derivate pariale, nu sunt bazate pe teoria sistemelor. 33

De exemplu mecano electric sau termo electric. 34

Pentru programele specializate interfaa om calculator este, de obicei, de tip meniu.


17

2.7.4. Luarea deciziilor Adeseori suntem nevoii s lum decizii n legtur cu conducerea

manual sau automat, cumprarea sau vinderea, aprecierea calitii instalaiilor, echipamentelor i serviciilor, aprecierea confortului, aprecierea soluiilor de proiectare, etc. Pentru aceasta un ajutor important l ofer posibilitatea simulrii. Programele generale de simulare sunt ntocmite pe baze sistemice.

2.8. Software specializat pentru teoria sistemelor Aplicaiile teoriei sistemelor folosesc diferite medii de dezvoltare software

care permit construirea diferitor tipuri de modele i simularea lor. Dintre aceste menionm Dynast, Matlab, Scilab i KitSAS.

Cap.3 Sisteme fizice cu parametrii concentrai

18

3. Sisteme fizice cu parametrii concentrai Modelarea, proiectarea, simularea i conducerea diferitor echipamente

care asigur serviciile oferite de cldiri i locuine poate fi fcut n mod unitar, cel puin ntr-o prim aproximaie, folosind o metod sistemic. Acest fapt este deosebit de important pentru studenii Facultii de Instalaii care studiaz echipamente termice, hidraulice, electrice, electronice, mecanice i de automatizare. Abordarea sistemic prezint mai multe avantaje, dintre care se evideniaz folosirea unei singure metode pentru diferite tipuri de echipamente i posibilitatea de studiere a interaciunii obiectelor de natur fizic diferit.

Un sistem este definit ca o mulime de elemente ntre care exist o mulime relaii n vederea realizrii unor scopuri. Intr-o cldire pot fi definite sisteme fizice, sisteme informaionale, sisteme intelectuale, sisteme de producie, sisteme artistice i altele n diferite scopuri. Instalaiile i echipamentele dintr-o cldire pot fi interpretate drept sisteme de tipuri diferite. Foarte cunoscut este sistemul fizic de elemente cu parametrii concentrai cu componente de tip dipol i de tip surs . Dipolii au o born de intrare i o born de ieire ca n Fig. 3.1. Mulimea elementelor (dipoli i surse) care formeaz un sistem este obinut prin discretizarea spaial a proceselor care au loc n instalaii i echipamente. Observarea obiectiv a proceselor se poate face numai prin msurarea a dou tipuri de mrimi dinamice ce caracterizeaz dipolii i sursele: mrimi longitudinale (t) i mrimi transversale (t). Legtura dintre elementele sistemului se face prin intermediul acestor mrimi. Variabilele fizice longitudinale i transversale selectate prin analogie pentru diferite tipuri de procese sunt prezentate n Tab. 3.1. Alte mrimi longitudinale sau transversale pot fi alese. De exemplu, pentru procesele hidraulice din rezervoare n care viteza fluidului este neglijabil se folosete n locul presiunii p nlimea h a lichidului pe baza relaiei p = gh. Pentru instalaiile i echipamentele n care au loc mai multe procese fizice diferite care se influeneaz n mod semnificativ, variabilele longitudinale i transversale se aleg astfel nct s fie satisfcut relaia (3.1).

(3.1) n care P(t) este puterea instantanee. Mrimile din Tab. 3.1 satisfac condiia (3.1) cu excepia mrimilor

longitudinale pentru procesele termice i fluidice. Dac se alege pentru procesele termice drept mrime longitudinal debitul de entropie iar pentru procesele fluidice debitul de volum, toate variabilele din tabelul Tab. 3.1 satisfac condiia (3.1).

n afar de dipoli se pot defini ntr-un sistem fizic prin discretizare spaial i alte elemente de tip surse de mrimi longitudinale i transversale cu valoarea prescris cu simbolurile din Fig. 3.1. Sursele permit definirea legturii sistemului cu exteriorul, definirea condiiilor iniiale ale sistemului i reducerea elementelor cu mai multe borne (multipoli) la o combinaie de dipoli i surse cu valoarea comandat de mrimile longitudinale sau transversale ale unor dipoli.

)().()( tttP =

Cap. 3 Sisteme fizice cu parametrii concentrai

19

Fig. 3.1 Elementele pasive i active ale sistemului fizic: dipolul, sursa de variabil transversal i sursa de variabil longitudinal .

Tab. 3.1 Mrimile longitudinale i transversale ale elementelor pentru diferite tipuri de procese fizice.

Procesul Mrimea longitudinal (t) Mrimea transversal (t) electric curentul electric i [A] tensiunea electric u [V] termic debit de cldur q [J.s-1] temperatura [K] fluidic debit de mas w [kg.s-1] presiunea p [N.m-2] mecanic liniar fora f [N] viteza v [m.s-1] mecanic rotaional momentul forei M [N.m] viteza unghiular [rad.s-

1]

Tab. 3.2 Simboluri de elemente fizice pasive i ideale

)(t

)(t)(t )(t+

+

Tipul elementului ideal pasiv

Nat

ura

fiz

ica

ael

emen

tulu

iM

ecan

ica

Elec

tric

aTe

rmic

aH

idra

ulic

a

Element disipator deenergie

Element acumulatorde energie prinintermediulvariabileilongitudinale

Element acumulatorde energie prin

intermediulvariabilei

transversale

Amortizor Resort elestic Masa

Rezistenta Inductanta Capacitate

Rezistenta termica Capacitate deacumulare a caldurii

Rezistenta hidraulica Conducta lunga Capacitate hidraulica(rezervor)


20

Pentru fiecare tip de sistem fizic se pot defini trei feluri de elemente: elemente disipatoare de energie, elemente acumulatoare de energie prin intermediul variabilei longitudinale i elemente acumulatoare de energie prin intermediul variabilei transversale Tab. 2.

Dup stabilirea sistemului i a elementelor sale componente se pot defini mai multe tipuri de modele ale sistemului. Pentru sistemele fizice cele mai folosite sunt modelul matematic, modelul structural i modelul funcional.

3.1. Modelul matematic al sistemului fizic. Interaciunea elementelor sistemului fizic este descris de relaii de

echilibru i relaii de compatibilitate. Relaiile de echilibru se refer la toate variabilele longitudinale care intr sau ies dintr-un nod. Pentru ca sistemul s fie n echilibru suma acestora trebuie s fie egal cu zero. Relaiile de compatibilitate se refer la variabilele transversale ale elementelor care formeaz o bucl. Suma acestor variabile trebuie s fie egal cu zero. Relaiile de echilibru i compatibilitate decurg din structura topologic a sistemului, indiferent de natura fizic a elementelor sale. Pentru fiecare element se poate scrie ns i o relaie fizic, determinat experimental, ntre variabila transversal i variabila longitudinal a elementului.

Fig. 3.2. O instalaie format dintr-o pomp, un rezervor i un robinet. S prezentm un exemplu de definire au unui sistem fizic i a modelului

su matematic. Pentru aceasta s considerm instalaia din Fig. 3.2. In aceast instalaie au loc procese electrice, mecanice i hidraulice. Procesele electrice au loc n motorul pompei. Cuplajul ntre motor i pomp, funcionarea pompei este caracterizat de procese mecanice. Vom ignora aceste procese electrice i mecanice i vom defini un sistem fizic hidraulic. Elementele sale componente cu parametrii concentrai sunt pompa Q1, rezervorul C2 i robinetul R3. Considernd

Q1

h2(t)

w1(t)

w3(t)C2

R3


21

variabilele longitudinale i transversale definite n Tab. 3.1 pentru componentele sistemelor hidraulice rezult modelul structural sub form de reea hidraulic din Fig. 3.3. Se observ c sursa de debit corespunde pompei, capacitatea de acumulare corespunde rezervorului i rezistena hidraulic corespunde robinetului. Reeaua are dou noduri 0 i 1 i o bucl format din elementele C2 i R3. Relaia de echilibru a mrimilor longitudinale (debite) n nodul 1 este:

(3.2) Relaia de compatibilitate ntre mrimile transversale (nlimile

hidrodinamice) din bucl este:

(3.3)

Fig. 3.3. Sistemul fizic cu constante concentrate definit pentru instalaia pomp rezervor robinet.

Relaia fizic a elementului C2 exprim faptul c variaia masei de fluid din rezervor este egal cu debitul de mas w2:

(3.4)

n care A este suprafaa rezervorului iar este densitatea fluidului. Pentru rezistenele hidraulice relaia fizic depinde de regimul de curgere a

fluidului. Dac curgerea prin robinet este turbulent atunci relaia fizic pentru rezistena R3 este:

(3.5) Relaiile (3.2) .. (3.5) mpreun cu condiiile iniiale ale variabilelor

formeaz modelul matematic al sistemului fizic din Fig. 3.3. Cu ajutorul acestui model sistemul poate fi analizat, proiectat i simulat fr s mai fie necesare

w2

C2 R3

w1 w3

h2 h3Q1

0

1

+

321 www +=

032 = hh

dthAd

w)..(2 2=

33 hw =


22

structura i elementele sistemului definite n Fig. 3.3. Folosind programe corespunztoare modelul matematic ne permite s realizm toate operaiile dorite.

3.2. Modele structurale35 de tip reea ale sistemului fizic. n practica inginereasc se definesc, de cele mai multe ori, sisteme fizice

liniare. Un sistem este liniar dac i se poate aplica principiul superpoziiei conform cruia efectul unei sume de cauze aditive este egal cu suma efectelor fiecrei cauze considerate separat. Toate elementele uni sistem liniar trebuie s fie lineare. Sistemele neliniare, cum este de exemplu cel din Fig. 3.3, pot fi liniarizate pe poriuni. Cele trei tipuri de elemente ale unui sistem liniar au aceleai trei tipuri de relaii fizice ntre variabila longitudinal i variabila transversal, indiferent de natura fizic a sistemului.

Elementule pasive disipatoare de energie sunt caracterizate de relaia fizic:

(3.6) n care este o constant ce caracterizeaz rezistena opus de element la

trecerea mrimii longitudinale (t). Elementele pasive acumulatoare de energie prin intermediul mrimii

longitudinale (t) sunt caracterizate prin relaia fizic:

(3.7)

n care este o constant ce caracterizeaz acumularea de energie. Elementele pasive acumulatoare de energie prin intermediul mrimii

transversale (t) sunt caracterizate prin relaia fizic:

(3.8)

n care este o constant ce caracterizeaz acumularea de energie. Constantele , i sunt determinate din considerente fizice, fr s fie

necesar modelul matematic. De exemplu, constanta pentru capacitatea C2 din Fig. 3.3 este determinat cu relaia:

(3.9) n care A este suprafaa rezervorului iar este densitatea fluidului. Modelul structural tip reea al unui sistem fizic liniar este format dintr-un

desen care prezint mulimea elementelor componente, valoarea constantelor corespunztoare i modul lor de interconectare, adic structura sistemului. Cu un program corespunztor acest desen este introdus n calculator sub form grafic i putem analiza, proiecta sau simula sistemul fizic liniar. Nu sunt necesare relaiile matematice care formeaz modelul matematic al sistemului. Pe baza modelului

35 Sistemice.

)(.)( tt =

dttd

t)()( =

dttd

t)()( =

.2 AC =


23

structural i al definiiilor (3.5), (3.6) i (3.8) programul calculeaz singur modelul matematic care st la baza operaiilor efectuate. De exemplu, dac n Fig. 3.3 ar fi specificate valorile lui Q1, C2 i R3 reeaua respectiv ar forma un model structural. Pentru aceasta relaia (3.5) trebuie liniarizat i adus la forma (3.6).

3.3. Modelele funcionale36 ale sistemului fizic. Adeseori n practica inginereasc a sistemelor fizice liniare se dorete

cunoaterea legturii dintre un semnal de intrare i un semnal de ieire a sistemului. Se determin astfel un model funcional al sistemului fizic caracterizat printr-o schem bloc.

Fig. 3.4. Un model funcional sub form de schem bloc al sistemului din Fig. 3.3 De exemplu, dac sistemul fizic din Fig. 3.3 este liniarizat, se poate definii

pentru el modelul funcional sub forma schemei bloc din Fig. 3.4. Acest model stabilete legtura ntre debitul pompei w1(t) i nivelul fluidului h2(t) n rezervor. Se observ n figur c semnalul de intrare, semnalul de ieire i funcia de transfer sunt definite n domeniul frecven cu ajutorul transformatei Laplace. Constantele K i T ale funciei de transfer H(s) sunt determinate nu pe baza modelului matematic sau structural, ci prin alte metode, de exemplu experimental. Constanta de proporionalitate K precizeaz modul n care se efectueaz transferul semnalului de la intrarea la ieirea sistemului. Constanta de timp T caracterizeaz ineria37 sistemului. Schema bloc se poate introduce n calculator cu ajutorul unui program corespunztor i se poate analiza, proiecta sau simula sistemul fizic fr a mai fi necesar cunoaterea modelului matematic sau structural. Elaborarea modelelor funcionale

Schema bloc poate fi elaborat din modelul matematic prin mai multe metode. n continuare se prezint cteva dintre aceste metode i implementarea modelelor funcionale obinute prin programe KitSAS38.

3.3.1. Metoda general Kelvin. Metoda Kelvin se aplic n cazul ecuaiei difereniale de forma urmtoare:

(3.10)

36 Modele funcionale de tip sistemic. Exist i alte tipuri de modele funcionale, de

exemplu modelele cu variabile de stare. 37

mecanic, electric, termic sau fluidic. 38

O scurt introducere n paragraful 10.1

W1(s) H2(s)TsKsWsH

sH+

==

11

)()()(

1

2

)()()()( 00122

tubtyadt

tdya

dttyd

+=


24

Aceasta este o ecuaie diferenial de ordinul doi care reprezint modelul unui oscilator mecanic sau unei bucle standard de automatizare. Se observ c n membrul doi al ecuaiei nu exist derivate. In primul membru pot exista derivate de orice ordin, s-a ales ordinul doi pentru simplificarea expunerii.

Primul pas al metodei Kelvin de programare const n separarea derivatei de ordinul cel mai mare:

(3.11)

Al doilea pas const din obinerea variabilei y(t) cu un numr convenabil de integratori inte, doi pentru modelul considerat drept exemplu. Cu aceast ocazie se obine i prima derivat a lui z(t), Fig. 3.5.

Fig. 3.5. Al doilea pas al metodei Kelvin. In al treilea pas se observ c partea dreapt a ecuaiei se compune din

variabila independent u(t) a crei variaie n timp este cunoscut i o combinaie liniar a lui y(t) cu prima sa derivat. ns y(t) i y(t) au fost obinui n cel de al doilea pas (Fig. 3.5). Se cunosc deci toate datele pentru obinerea expresiei din partea dreapt a ecuaiei difereniale cu ajutorul unui sumator 220suma ca n Fig. 3.6.

Fig. 3.6. Al treilea pas al metodei Kelvin.

Deoarece expresia din partea dreapt a ecuaiei difereniale este egal cu y(t) cele dou semnale pot fi conectate aa cum se arat de linia punctat din figura Fig. 3.6. S-a obinut schema bloc corespunztoare modelului matematic sub forma ecuaiei difereniale de ordinul doi. Programul kit rezulta imediat din Fig. 3.6.

)()()()( 00122

tubtyadt

tdya

dttyd

=++

210inte200inte y(t)y'(t)y''(t)


220suma-a1-a0b0 u(t)


25

Totui, blocul de elemente din Fig. 3.6 nu funcioneaz, nu poate fi simulat, deoarece nu exist generatorul de semnal u(t). Elementele care mai trebuiesc adugate pentru o simulare comod vor fi prezentate n paragraful urmtor


26

3.3.2. Programul pentru simularea sistemului fizic. Schema bloc din Fig. 3.6 este echivalent programului modelului

matematic (3.10). Adeseori ns se dorete simularea unui sistem fizic pentru care coeficienii ecuaiei difereniale au anumite semnificaii.

De exemplu, pentru simularea unui oscilator sau bucle de reglare automat modelul matematic (3.10) are forma:

(3.12)

n care este fraciunea de amortizare critic, n: pulsaia natural a sistemului.

Fig. 3.7. Simularea unui oscilator.

Schema bloc pentru simularea modelului matematic (4.3) a unui oscilator este prezentat n Fig. 3.7. Comparativ cu Fig. 3.6 se observ apariia a patru poteniometrii pentru stabilirea parametrilor i n. Dac fraciunea de amortizare critic este specificat cu ajutorul elementului 202pote, pentru pulsaia natural sunt necesari trei poteniometrii. Este incomod ca o singur valoare numeric s fie introdus de trei ori. Din aceast cauz cei trei poteniometrii 204, 212 i 214 au fost unii n grupa cu numrul unu . Sunt posibile patru astfel de grupe. In aceast grup 204pom1 este poteniometrul master iar 212pos1 i 214pos1 sunt poteniometrii slave. Dac se stabilete o valoare pentru master automat aceiai valoare o iau i elementele slave. Programul corespunztor schemei bloc din Fig. 3.7 se gsete n fiierul Magazie\Demo\Oscilat.s cu urmtoarele valori numerice pentru parametrii: =0.2 , n=1 i b0=1. Coninutul fiierului este prezentat n continuare. Se observ modul de prezentare a schemei bloc pe coperta programului. Pentru condensarea textului programul este prezentat pe trei coloane.

)(2 0222

tubydtdy

dtyd

nn =++

202potez


u(t)220suma

-2-1b0

216step

204pom1On

214pos1On

212pos1On


27

In program apare i un element noop util pentru modificri ulterioare. Descrierea unui element al blocului este format din 10 linii i are urmtoarea form:

N = 0 TIP=noop n1 = 0 n2 = 0 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= **********

Primele patru caractere ale fiecrei linii constituie eticheta liniei care conine numele atributului elementului a crui valoare este definit n continuare.

Lista 3.1. Coperta i programul de simulare pentru oscilatorul mecanic.

1 : Programul Oscilat.s y"(t)+(2zOn)y'(t)+(On^2)y(t)=b0.u(t)

2 : 3 : y"-->200inte-->y'-->210inte-->y 4 : y'-->202pote-->204pom1-->|-2|220suma-->y" 5 : y -->212pos1-->214pos1-->|-1| 6 : 216step-->|b0| 7 : 8 : z-->202pote = 0.2 9 : On-->204pom1 = 1 10 : b0 = 1 11 : 12 : Durata simularii = 20 s 13 : Pasul de calcul = 0.2 s 14 : Nr pasi afisare = 5 15 : Nr canale de masura = 1 16 : Nr elem la care se masoara iesirea y(t) = 210 17 : 18 : 19 : 20 : N = 200 TIP=inte n1 = 220 n2 = 0 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= ********** N = 202 TIP=pote n1 = 200 n2 = 0 n3 = 0 K1 = 0.2 K2 = .0 K3 = .0 E = .0


28

Txt= Fractiunea de amortizare critica zita N = 204 TIP=pom1 n1 = 202 n2 = 0 n3 = 0 K1 = 1 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= Pulsatia naturala OmegaN N = 210 TIP=inte n1 = 200 n2 = 0 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= Integrator N = 212 TIP=pos1 n1 = 210 n2 = 0 n3 = 0 K1 = 1 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= Slave al 204 pentru OmegaN N = 214 TIP=pos1 n1 = 212 n2 = 0 n3 = 0 K1 = 1 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= Slave al 204 pentru OmegaN N = 216 TIP=step n1 = 0 n2 = 0 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= Generator treapta unitara N = 220 TIP=suma n1 = 204 n2 = 214 n3 = 216 K1 = -2 K2 = -1


29

K3 = 1 E = .0 Txt= Sumator N = 230 TIP=spar n1 = 5 n2 = 5 n3 = 2 K1 = 20 K2 = 0.2 K3 = .0 E = .0 Txt= K1=T final, K2=Pas calc, n1=nr pas afis, n2= nr

pas esant, n3=metoda N = 240 TIP=opar n1 = 1 n2 = 210 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= n1=nr masurari, n2=nr primul canal, n3=nr al

doilea canal N = 0 TIP=noop n1 = 0 n2 = 0 n3 = 0 K1 = .0 K2 = .0 K3 = .0 E = .0 Txt= ********** Programul are structura descris n paragraful 3.3.2. Fa de Fig. 3.7

programul cuprinde trei elemente suplimentare: 230spar, 240opar, 0noop. Elementele spar i opar nu prelucreaz semnale i sunt importante prin efectele lor laterale la nceputul simulrii.

Spar stabilete parametrii simulrii la valorile indicate de constantele sale n1, n2, n3, k1, k2 astfel: n1 Numrul de pai la care se face afiarea pe videoterminal a rezultatelor. n2 Numrul de pai la care se face eantionarea n cazul sistemelor

numerice. n3 Tipul sistemului i metoda numeric utilizat (cod numeric). K1 Durata simulrii. K2 Pasul de calcul.

Opar specific prin constantele sale cum se face msurarea rezultatelor: n1 Numrul canalelor de msur. O valoare cuprins ntre 1 i 5. n2 Numrul elementului la ieirea cruia este conectat primul canal de

msur. Primele dou canale au un statut special putnd fi conectate la un osciloscop pentru reprezentarea grafic, la un analizator de frecven sau la un nregistrator numeric pentru redarea exact a msurrilor.


30

n3 Numrul elementului la care este conectat al doilea canal de msur. Noop nu execut nici o operaie. Prezena sa este util n cazul unor

modificri ulterioare cnd poate fi nlocuit uor cu alte elemente.

3.3.3. Metoda variabilei auxiliare Programarea modelelor matematice cu coeficieni constani i derivate n

membrul drept al ecuaiei difereniale se face prin introducerea unei variabile auxiliare. Pentru exemplificare se consider modelul matematic:

(3.13)

Dac se aplic transformarea Laplace rezult urmtoarea funcie de transfer:

(3.14)

Se introduce variabila auxiliar Z(s) prin nmulirea ei att cu numrtorul ct i cu numitorul expresiei (3.14). Se obine:

(3.15)

Se poate face urmtoarea identificare: (3.16)

(3.17)

Relaia (3.17) este de forma (3.10) numai c n locul variabilei y(t) apare z(t):

(3.18)

Schema bloc corespunztoare modelului matematic (3.18) este deci de forma din figura Fig. 3.5. Pe aceast schem se poate msura z(t) i prima sa derivat dz(t)/dt adic Z(s) i sZ(s). Modelul (3.16)n domeniul timp este:

(3.19)

)()()()(2)( 01222

tubdt

tdubtydt

tdydt

tydnn +=++

)()()(

012

01

sUsY

asas

bsbsH =

++

+=

]).[(]).[(

)()(

012

01

asassZbsbsZ

sUsY

++

+=

]).[()( 01 bsbsZsY +=

]).[()( 012 asassZsU ++=

)()()()( 0122

tutzadt

tdza

dttzd

=++

dttdzbtzbty )()()( 10 +=


31

i poate fi implementat simplu cu ajutorul unui sumator dac se cunoate y(t) i derivata sa. Schema bloc final pentru ecuaia (3.13) este prezentat n Fig. 3.8.

Fig. 3.8. Schema bloc obinut prin metoda de programare a variabilei auxiliare.

3.4. Energia i puterea Sistemele tehnice reale cuprind elemente de natura fizica diferita. S-a

constatat experimental ca legtura dintre elementele de natura fizica diferita se realizeaz proporional cu o mrime msurabila P(t) numita putere instantanee si egala cu produsul dintre mrimea longitudinala si mrimea transversala din relaia (3.1.

Puterea transferata intr-un interval de timp t1 intre doua elemente constituie chiar energia E produsa, disipata sau consumata:

(3.20)

O situaie particulara ntlnita frecvent este caracterizata de valorile constante 0 si 0 ale mrimilor (t) si (t).In acest caz energia disipata rezulta din (3.20) si (3.6):

==1 1

0 0

)()()(t t

dtttdttPE

210inte200inte z(t)z'(t)z"(t)

220suma-a1-a21 u(t)

230suma-b0-b1

y(t)


32

(3.21)

Aceste relaii sunt simple si uor de aplicat. Ar fi de dorit ca relaii asemntoare sa fie stabilite si in cazul general in care si variaz in timp. Folosind din nou (3.20) si (3.6) se obine:

(3.22)

Se impune ca energia sa fie calculata si in acest caz cu ajutorul unei expresii de forma:

(3.23)

in care ef se numete valoarea eficace a lui (t). Egalnd relaiile (3.22) si (3.23) se stabilete expresia valorii eficace:

(3.24)

O expresie asemntoare se poate calcula si pentru mrimea transversala (t).

Pentru cazul particular in care (t) si (t) se modifica in timp in mod periodic, cu perioada T, atunci in (3.24) se folosete:

(3.25)

in care este pulsaia variabilei. In aceasta situaie (t) si (t) pot fi dezvoltate in serie Fourier:

(3.26)

in care k este valoarea maxima a componentelor sinusoidale. nlocuind in (3.24) si integrnd se deduce:

(3.27)

adic ptratul valorii eficace este egal cu

1

20

120100 tttE

===

=1

0

2 )(t

dttE

12 tE ef =

=1

0

2

1

)(1t

ef dttt

==

pi21 Tt

)cos()(1

0 kk

k tkt ++=

=

=

+=1

220

2

kkefef


33

suma ptratelor valorilor eficace a tuturor componentelor Fourier. O expresie asemntoare cu (3.27) se poate calcula si pentru mrimea transversala (t).

Energia acumulata de elemente de tip in intervalul t1 rezulta din relaiile (3.20) si (3.8):

(3.28)

Energia acumulata de elementele de tip se calculeaz asemntor:

(3.29)

3.5. Surse reale de putere Spre deosebire de sursele din Fig. 3.1 sursele reale de putere nu pot

furniza mrimi longitudinale (t) sau transversale (t) cu valoarea prescrisa. Sursele reale de putere pot conine elemente disipative de tip . Ele pot fi

reprezentate cu ajutorul surselor ideale de mrime transversala si longitudinala ca in Fig. 3.9:

Fig. 3.9 Surse reale de putere cu element disipative

a) Reprezentarea cu ajutorul sursei b) Reprezentarea cu ajutorul sursei . Cele doua scheme din Fig. 3.9 sunt echivalente cu :

T= (3.30) Elementele de tip si cu energie acumulata se comporta la fel cu

sursele reale de putere. Schemele lor echivalente sunt prezentate in Fig. 3.10. Mrimile (0) si (0) reprezint valorile variabilelor longitudinale si transversale la timpul t=0.Ele se mai numesc condiii iniiale. Energia acumulata de aceste

[ ]

===

1 1

0

)(

)0(

21

2

2)0()()(

t ttddt

dtd

tE

[ ]2

)0()( 212 =

tE


34

elemente prin intermediul mrimilor longitudinale (t) si transversale (t) se calculeaz cu ajutorul relaiilor (3.28) si (3.29).

Fig. 3.10 Surse reale de putere cu elemente acumulatoare de energie de tip si de tip

Sursele echivalente de tip T sau din Fig. 3.10 sunt definite cu ajutorul funciei Dirac (t), al funciei treapta unitate u1(t) si al condiiilor iniiale (0) si (0).

3.6. Ecuaiile lui Lagrange S-au evideniat pana acum cteva proprieti importante ale sistemelor fr

nici o specificare despre natura fizica a acestora. Rezultatele obinute pot fi aplicate la fel de bine sistemelor mecanice, electrice, termice, hidraulice, etc. In continuare se va stabili in aceeai maniera ecuaiile care descriu comportarea in timp (dinamica) a sistemului. Pentru aceasta se presupune ca sistemul are un numr suficient de borne astfel nct mrimile msurate sa descrie complet starea sistemului. Un sistem care se bucura de aceasta proprietate se numete observabil. Sistemul poate fi observat numai prin intermediul mrimilor longitudinale (t) sau transversale (t). Numrul minim de mrimi prin care sistemul este observabil formeaz un grup de coordonate generalizate.

Se considera in continuare cazul mai simplu al sistemelor care nu interacioneaz cu nici un sistem exterior, deci sunt formate numai din elemente acumulatoare de energie de tip si .Aceste sisteme se numesc conservative deoarece i pstreaz energia iniial acumulata in elementele de tip si .Energia totala E a unui sistem conservativ este egala cu suma energiilor nmagazinate in fiecare dintre elementele de tip si :

)()0()( tt = )()0()( 1 tut =

)()0()( tt =)()0()( 1 tut =

Acumulator de energie

prin intermediul (t)

Acumulator de energie

prin intermediul (t)


35

(3.31)

Cu ajutorul energiilor acumulate in elementele care formeaz sistemul conservativ se poate defini o alta caracteristica importanta a sistemului, numita si funcia lui Lagrange (L):

(3.32) n care E = energia totala acumulata in elementele de tip ; E = energia totala acumulata in elementele de tip . Experimental s-a verificat urmtorul principiu al lui Hamilton: ntre doua

momente de timp t1 si t2 sistemul i modifica starea astfel nct integrala urmtoare sa aib o valoare minima:

(3.33)

Din punctul de vedere sistemic adoptat pana acum relaia precedenta poate fi interpretata ca o reflectare a faptului ca in evoluia sa in timp sistemul nu are o preferina fata de elementele de tip sau .Aceasta este foarte important deoarece definirea elementelor de tip sau de tip ale sistemului a fost fcuta numai pe baza unor considerente metodologice.

Energia E a elementelor de tip se poate determina cu relaia (3.28) in funcie de mrimea longitudinala , iar energia E a elementelor de tip se poate determina cu relaia (3.29) in funcie de mrimea transversala .Vom considera (0)=0 si (0)=0.

Un grup de coordonate generalizate utilizate frecvent este format din variabilele (t) si derivata sa definite astfel:

(3.34) Dar

(3.35)

Din (3.34) i (3.35) rezulta:

(3.36)

Folosind noul sistem de coordonate generalizate

=== 2

1

2

1

min)(t

t

t

t

dtEELdtS

)(t&)()( tt =&

)()()( tdt

tdt &==

)()( tt =

)(),( tt &

+= EEE

= EEL


36

energiile acumulate in condiii iniiale nule rezulta din (3.28) si (3.29):

(3.37)

(3.38)

Pentru un sistem format din doua elemente, unul de tip si altul de tip condiia de minim (3.33) poate fi formulata in modul urmtor:

(3.39)

Se observa ca

(3.40)

Al doilea termen din integrala (3.39) se integreaz prin pri. Rezult:

(3.41)

Calculul acestei expresii se face pstrnd limitele intervalului de micare constante. Deci

(3.42)

In aceste condiii relaia (3.41) se anuleaz numai daca:

=

= 2

)(2

)( 22 ttE

2)(2 tE &=

=

+

==

2

1

2

1

0)(),,(t

t

t

t

dtdLdLdttLddS

&&

&

ddtdd =&

=

+

=

2

1

2

1

0t

t

t

t

dtdLdtdLdLdS

&&

consttdconsttd

constt

constt

=

=

=

=

)()(

)()(

2

1

2

1


37

(3.43)

Atunci cnd se determina mai multe coordonate generalizate I ale sistemului se obin ecuaiile lui Lagrange:

i = 1,2,,n (3.44)

De exemplu, pentru sistemul conservativ cu doua elemente, unul de tip si altul de tip , energiile sunt date de relaiile (3.37) si (3.38) iar funcia lui Lagrange (3.32) devine:

(3.45)

Introducnd pe L in (3.43) se obine:

(3.46)

Particulariznd aceasta relaie pentru un sistem mecanic avem:

viteza relativa;

deplasarea relativa;

k = constanta de elasticitate;

m = masa

(3.47) Aceasta este ecuaia diferenial binecunoscuta a unui sistem mecanic

format dintr-un resort cu constanta de elasticitate k si un corp de masa m.

3.7. Modele cu variabile de stare ale sistemului fizic Instalaiile (sistemele de echipamente) sunt studiate cel mai adesea cu

ajutorul sistemelor fizice cu parametrii concentrai. In acest caz modelul matematic corespunztor este un sistem de ecuaii difereniale. Modelul sistemic cel mai folosit este insa sistemul de ecuaii difereniale de ordinul nti, numit sistem de ecuaii de stare. Obinerea ecuaiilor de stare este ilustrata printr-un exemplu tipic. In urma scrierii relaiilor fizice a componentelor unui sistem cu parametrii

0=

LL

dtd

&

0=

ii

LLdtd

&

22

22 &

=L

0=

&&

x&& == x=

k1

=

m=

0=+ xkxm &&


38

concentrai i a aplicrii condiiilor de echilibru i de compatibilitate, se obine urmtoarea ecuaie difereniala:

(3.48)

in care u(t) este excitaia sistemului iar y(t) este rspunsul sistemului. Se considera variabila intermediara z(t) conform urmtoarei scheme bloc:

Fig. 3.11 Schema bloc a instalaiei cu explicitatea intrrii u(t), ieirii y(t) i a variabilei intermediare z(t)

Din (3.48) i Fig. 3.11 rezulta:

(3.49)

In (3.49) se pot face urmtoarele identificri:

(3.50)

(3.51)

Trecnd din nou in domeniul timp, relaiile (3.50) i) devin:

(3.52)

u(t)

U(s)

z(t)

Z(s) y(t) Y(s)

ucdtdu

cdt

udcya

dtdy

adt

yda

dtyd

++=+++ 012

2

2012

2

23

3

)()(

)()(

)()(

012

23

012

2

sUsZ

sZsY

asasas

cscsc

sUsY

=

+++

++=

012

2)()(

cscscsZsY

++=

012

23

1)()(

asasassUsZ

+++=

zcdtdz

cdt

zdcy ++= 012

2

2


39

(3.53)

In (3.52) i (3.53) se aleg variabilele de stare x1, x2 i x3 astfel:

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Ecuaia (3.56) poate fi pusa sub forma:

(3.57)

Cu ajutorul relaiilor [(3.53)(3.57)] se poate elimina variabila z i se obine urmtorul sistem de ecuaii de stare:

(3.58)

(3.59)

(3.60)

Aceste ecuaii pot fi scrise sub urmtoarea forma matriciala:

(3.61)

Procednd asemntor cu (3.52) se obine:

(3.62)

Sub forma prescurtata ecuaiile de stare (3.61) i (3.62) se pot scrie in modul urmtor:

uzadtdz

adt

zda

dtzd

=+++ 012

2

23

3

dtdx

dtzd

x

dtdx

dtdz

x

zx

22

2

3

12

1

==

==

=

dtdx

dtzd 33

3

=

+=

=

=

uxaxaxadtdx

xdt

dx

xdtdx

1021323

32

21

u

x

x

x

aaax

x

x

+

=

100

100010

3

2

1

0123

2

1

&

&

&

[ ]

=

3

2

1

210

x

x

x

cccy


40

(3.63)

(3.64) unde

In cazul mai multor mrimi de intrare i ieire ecuaiile de stare au urmtoarea forma generala:

(3.65)

(3.66)

Cu ajutorul ecuaiilor de stare se poate determina rspunsul sistemului )t(y atunci cnd se cunosc intrarea sa )t(u i condiiile iniiale )0(x . Sa

consideram cazul mai simplu al unui sistem cu o singura intrare u(t), o singura ieire y(t) i o singura stare x(t). Relaia (3.65) se transforma intr-o ecuaie difereniala de ordinul nti:

(3.67)

iar (3.66) se transforma intr-o ecuaie algebrica de ordinul nti:

(3.68)

Relaia (3.67) poate modela, de exemplu, variaia nivelului x(t) intr-un rezervor. Acesta depinde att de debitul de intrare u(t), ct i de nivelul iniial din rezervor x(0). Dar nivelul iniial poate fi echivalat cu o intrare (surs) suplimentar. Sistemul fiind liniar se poate aplica principiul superpoziiei efectelor provocate de fiecare cauza separat:

(3.69)

in care:

=

+=

)()()()()(

txcty

tubtxAtxT

&

.

,,,

scalaresteu

matriceesteA

vectorisuntcbxx&

+=

+=

)()()()()()(tuDtxCtytuBtxAtx&

)()()( tubtxatx +=&

)()()( tudtxcty +=

)()()( txtxtx fn +=


41

xn(t) este rspunsul natural al sistemului provocat numai de energia acumulata in elementele sistemului, deci pentru u(t)=0 (soluia generala a ecuaiei omogene, in termeni matematici);

xf(t) este rspunsul forat al sistemului provocat numai de intrarea u(t) cu elementele sistemului relaxate, adic fr energii acumulate i deci cu condiii iniiale nule x(0)=0 (soluia particulara a ecuaiei neomogene, in termeni matematici).

Din (3.67) rezulta ca rspunsul natural este soluia ecuaiei :

(3.70)

Se poate arata ca soluia cea mai generala este in acest caz:

(3.71)

in care K este o constanta care depinde de energia acumulata la momentul de timp iniial t=t0 (condiia iniiala).

Dac u(t)0 vom cuta o soluie general a ecuaiei (3.67) de forma:

(3.72)

in care K(t) este de data aceasta o funcie de timp. nlocuind soluia (3.72) in ecuaia (3.67) rezulta dup derivarea lui x(t):

(3.73) sau

(3.74)

Integrnd ambele pri ale acestei relaii rezulta:

(3.75)

nlocuind n (3.72) se obine:

(3.76)

Pentru determinarea lui K(t0) se face in (3.72) t=t0:

)()( txatx =&

Ketx atn =)(

)()( tKetx at =

)()()()()( tubtKeatKetKeatx atatat +=+= &&

)()( tubetK at = &

+=

t

t

a tKdubetK0

)()()( 0

+=

t

t

aat tKdubeetx0

)()()( 0


42

(3.77)

i deci soluia ecuaiei de stare (3.67) devine :

(3.78)

i se poate distinge rspunsul natural xn(t) de cel forat xf(t). Prin analogie cu (3.67) se poate scrie soluia ecuaiei matriciale de stare

(53):

(3.79)

in care exponeniala matriciala eAt se definete astfel:

(3.80)

i se numete matricea de tranziie a strilor sistemului. Rspunsul natural al sistemului rezulta imediat din (3.79) daca intrarea

0)t(u = i se cunoate starea iniiala )t(x 0 :

(3.81)

Daca evaluarea variabilelor de stare se face la un interval constant de timp T=t-t0 (70), atunci se poate calcula cu ajutorul (3.81):

(3.82)

(3.83)

in care matricea de tranziie a strilor tA

e se calculeaz o singura data cu ajutorul seriei (3.80).

Se observa ca

)()( 00 0 txetK at =

dubetxetxt

t

tatta

t

)()()( )(0)( 0 +=

+=

t

t

tAttA duBetxetx0

0 )()()( )(0)(

...)(!

1...)(

!211)( 2 +++++== ntA tA

ntAtAet

)()( 0)( 0 txetx ttA =

etcTtxeTtx

txeTtxTA

TA

...)()2()()(

00

00

+=+

=+

610276.0!10

1

=


43

Deci daca se iau zece termeni in aproximarea seriei se obin elementele matricei de transfer cu 10 cifre semnificative exacte. Cteva cazuri particulare sunt importante. Daca sistemul are o singura variabila de stare, atunci ecuaia de stare i rspunsul natural devin:

(3.84)

(3.85)

Daca t0=0 i condiia iniiala x(0)=1 atunci rspunsul natural este o exponenial:

(3.86)

Pentru a=0 ecuaia (3.84) devine (3.87)

iar rspunsul natural este o treapta unitate

(3.88)

Folosind rspunsurile naturale ale unor sisteme particulare se poate transforma problema determinrii rspunsului general (3.69) al unui sistem in problema determinrii rspunsului natural al unui sistem lrgit.

(a)

(b)

Fig. 3.12 Transformarea unui rspuns forat in rspunsul natural al unui sistem lrgit

14.0)0(2.02.0

1

111

=

+=

x

uxx&

u2.0x2.0x 111 +=&

)t(u1

1)0(0

2

2

=

=

x

x&

)t(x2 14.0)0(

2.02.0

1

211

=

+=

x

xxx&

)()()()(

0)( 0 txetx

txatxtta

n =

=

&

atn etx =)(

0)( =tx&

)()( 1 tutx =


44

In Fig. 3.12 se prezint un exemplu. Sistemul este descris de o singura ecuaie de stare de tipul (3.67) cu a=-0.2, b=0.2 i condiia iniiala x1(0)=0.14.Marimea de intrare este treapta unitate u1(t) care poate fi generata de ecuaia (3.87).Introducnd generatorul treptei unitate la intrarea in sistem (Fig. 3.12 b) se obine un sistem mai mare, descris de doua ecuaii de stare, dar omogen, fr intrare exogena (din afara sistemului):

(3.89)

(3.90)

sau in notaie matriciala:

(3.91)

in care:

(3.92)

Alegem momentul iniial de timp t0=0 i intervalul de evaluare a variabilelor T=0.5 s. Soluia ecuaiilor de stare poate fi evaluata cu ajutorul relaiilor (3.82) i (3.83).

(3.93)

(3.94)

(3.95)

1)0(0

14,0)0(2.02.0

2

2

1

211

=

=

=

+=

x

x

x

xxx

&

&

&

)(txAx =&

=

002.02.0

A

=

114.0)0(x

=

=

=

=

00001.0001.0)(

,

0001.001.0)(,

001.01.0

5.0002.02.0

3

2

TA

TATA

=

++=

=+++

1009517.090483.0

1000017.0005.01.000017.0005.01.01

)(!3

1)(!2

1)(1 32 TATATAe TA


45

Aplicnd (3.82) rezulta:

(3.96)

Soluia exacta a ecuaiei de stare din Fig. 3.12 a este urmtoarea:

(3.97)

Pentru t=0.5 s avem: (3.98)

adic aceeai cu soluia (3.96), cu excepia celei de-a 5-a cifre semnificative.

Cele patru modele matematic, structural, funcional i cu variabile de stare ale sistemului fizic pot fi folosite separat sau mpreun. Alegerea soluiei depinde foarte mult de tipul problemei, de experiena inginereasc existent i de programele disponibile. Cteva medii de dezvoltare gratuite ale aplicaiilor pentru sisteme fizice sunt Dynast, KitSAS Matlab i Scilab.

=

=

122185.0

114.0

1009517.090483.0)5.0(x

)1(14.0)()()( 551tt

fn eetxtxt

teoria sistemelor

Documents