teoria sistemelor automate - analiza în domeniul complex

Prefaţă Cartea se adresează în primul rând studenţilor specializării AUTOMATICĂ

ŞI INFORMATICĂ APLICATĂ – învăţământ la zi şi cu frecvenţă redusă, care au în planul de învăţământ disciplina cu acelaşi nume Teoria sistemelor automate, dar poate fi utilizată pentru completarea şi aprofundarea cunoştinţelor şi de studenţii de la specializările ELECTRONICĂ APLICATA, CALCULATOARE, ELECTROME-CANICĂ, INFORMATICA PROCESELOR CHIMICE şi INGINERIE ECONOMICĂ ÎN DOMENIUL MECANIC.

In primul capitol sunt reamintite principalele proprietăţi şi caracteristici ale sistemelor automate, câteva aspecte esenţiale privind locul, rolul şi clasificarea sistemelor automate, sunt prezentate definiţia şi rolul disciplinei Teoria sistemelor automate în pregătirea profesională a studenţilor automatişti de la ciclul licenţă.

In al doilea capitol este prezentată metoda operaţională Laplace pentru studiul sistemelor liniare continue. Caracteristica principală a acestei metode, numită şi metoda funcţiei de transfer, este forma simplă de descriere matematică a corelaţiei dinamice intrare-ieşire, cu consecinţe remarcabile în simplificarea formalismului matematic implicat în analiza şi sinteza sistemelor compuse tip serie, paralel, cu reacţie, mixte, chiar dacă această metodă implică mărirea gradului de abstractizare. O parte importantă a capitolului este destinată calculului analitic al răspunsului sistemelor elementare (de ordinul unu şi doi) şi compuse (de ordin superior). In încheierea capitolului este expus şi analizat, într-o manieră originală, cadrul general al problematicii sistemelor monotonice.

In capitolul trei este tratată problema stabilităţii sistemelor în ambele variante: stabilitatea internă (a stării) şi stabilitatea externă (a ieşirii). Sunt prezentate şi demonstrate principalele teoreme şi criterii de stabilitate internă şi externă ale sistemelor liniare continue şi discrete.

Capitolul patru este destinat analizei sistemelor în domeniul frecvenţei. Este prezentată şi demonstrată teorema de interpretare fizică a funcţiei de frecvenţă, numită şi teorema filtrării, sunt definite şi analizate caracteristicile de frecvenţă ale sistemelor liniare cu şi fără timp mort, apoi sunt prezentate criteriile frecvenţiale de stabilitate de tip Nyquist.

In capitolul cinci este tratată problema calităţii reglării în regim staţionar şi dinamic. Este demonstrată teorema erorii staţionare şi sunt prezentaţi principalii indicatori de performanţă ai reglării automate în regim dinamic. Cele două teoreme de alocare a polilor unui sistem continuu de reglare automată, pe baza factorului de magnitudine al comenzii regulatorului, sunt contribuţii originalei ale autorului.

Ultimul capitol abordează teoria structurală a sistemelor. Sunt prezentate principalele proprietăţi structurale ale sistemelor, conceptul de reglare prin reacţie după stare, analiza şi proiectarea estimatoarele de stare de ordinul unu..

Toate capitolele conţin un număr semnificativ de aplicaţii rezolvate sau propuse spre rezolvare. Rezultatele problemelor de autotestare sunt date la sfârşitul cărţii.

Vasile Cîrtoaje

CUPRINS

1. INTRODUCERE 7

2. METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 11 2.1. Transformarea Laplace ……………………………………………… 13 2.2. Funcţia de transfer ………………………………………………….. 15 2.3. Matricea de transfer …………………………………………………. 21 2.4. Funcţia de transfer a sistemelor compuse …………………………… 27 2.5. Calculul răspunsului sistemelor compuse …………………………… 30 2.6. Răspunsul sistemelor elementare ……………………………………. 32 2.7. Sisteme monotonice …………………………………………………. 49 2.8. Aplicaţii ………………………………………………………………. 52

3. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 71 3.1. Stabilitatea internă ………………………………………………….. 71 3.2. Stabilitatea externă …………………………………………………. 75 3.3. Criteriul de stabilitate Hurwitz ……………………………………… 80 3.4. Aplicaţii ……………………………………………………………… 82

4. FUNCŢIA DE FRECVENŢĂ 95 4.1. Definiţie şi proprietăţi ..……………………………………………. 95 4.2. Interpretare fizică ...………………………………………………… 96 4.3. Caracteristici de frecvenţă …………………………………………… 97 4.4. Sisteme cu timp mort .……………………………………………… 107 4.5. Criteriile de stabilitate Nyquist ………………………………………. 115 4.7. Aplicaţii ……………………………………………………………… 117

5. CALITATEA REGLĂRII 130 5.1. Calitatea reglării în regim staţionar …………………………………. 130 5.2. Calitatea reglării în regim dinamic ………………………………….. 133 5.3. Aplicaţii ……………………………………………………………… 147

6. PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR 163 6.1. Controlabilitatea şi stabilizabilitatea ..…………………………….. 163 6.2. Observabilitatea şi detectabilitatea ..……………………………….. 173 6.3. Reglarea cu reacţie după stare şi estimator de stare ………………… 178 6.4. Aplicaţii ………………………………………………………………. 186

7. REZULTATE ALE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL ………... 199

BIBLIOGRAFIE 211

1

INTRODUCERE

Sistemul este un ansamblu de elemente care funcţionează şi interacţionează între ele şi cu exteriorul după anumite reguli şi legi, în vederea realizării unui sens sau scop.

Un sistem este o conexiune de elemente, fiecare element constituind la rândul său un sistem (subsistem). Interacţiunea dintre elementele sistemului poate conferi acestuia proprietăţi, caracteristici şi moduri de manifestare pe care fiecare element în parte nu le posedă.

In cazul sistemelor fizice (reale), interacţiunea se realizează prin intermediul fluxurilor de masă şi energie, purtătoare de informaţie.

Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cunoştinţe, principii şi metode independente de aplicaţii, necesare şi utile în studiul structurii, proprietăţilor şi caracteristicilor sistemelor în general, al sistemelor automate în mod special. Teoria sistemelor introduce şi dezvoltă un mod de gândire logic, aşa zis sistemic, bazat pe respectării principiului cauzalităţii, care permite abordarea interdisciplinară a realităţii înconjurătoare. Conform principiului cauzalităţii, orice efect este rezultatul unei cauze, efectul este întârziat faţă de cauză şi, în plus, două cauze identice generează în aceleaşi condiţii efecte identice.

Sistemele au următoarele trăsături fundamentale: • caracterul structural-unitar, care reflectă proprietatea unui sistem de a fi reprezentat ca o conexiune de subsisteme a căror acţiune este orientată spre un anumit scop (sens) final; • caracterul cauzal-dinamic, care reflectă proprietatea unui sistem de a evolua în timp sub acţiunea factorilor interni şi externi, cu respectarea principiului cauzalităţii; • caracterul informaţional, care reflectă proprietatea unui sistem de a primi, prelucra, memora şi transmite informaţie.

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE

8

In sensul teoriei sistemelor, prin informaţie se înţelege orice factor care serveşte la descrierea calitativ-cantitativă a comportamentului sistemului. La sistemele tehnice, mărimile fizice constituite ca suport pentru informaţie se numesc semnale.

Teoria sistemelor operează cu conceptul de sistem abstract, care este în fapt un model matematic pentru descrierea caracteristicilor şi comportamentului dinamic al unei clase de sisteme fizice (reale).

Mărimile fizice variabile asociate unui sistem sunt de trei feluri: mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire.

Mărimile de intrare sunt independente de sistem (deci sunt de tip cauză) şi influenţează din exterior comportamentul sistemului.

Mărimile de stare sunt dependente de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect), sunt întârziate faţă de acestea şi au rolul de a caracteriza starea internă curentă a sistemului.

Mărimile de ieşire sunt dependente de mărimile de stare, uneori şi direct şi instantaneu de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect), şi au rolul de-a transmite în exterior (sistemelor învecinate) informaţie despre starea curentă a sistemului. Mărimile de ieşire ale unui sistem sunt deci mărimi de intrare pentru sistemele învecinate. Unele mărimi de ieşire pot fi mărimi de stare. Dacă mărimile de ieşire se identifică cu mărimile de stare, atunci întreaga informaţie despre starea curentă a sistemului este transmisă în exterior.

Un sistem interacţionează cu sistemele învecinate numai prin intermediul mărimilor de intrare şi de ieşire.

Mărimile de ieşire ale sistemelor tehnice sunt măsurabile, în timp ce mărimile de stare nu sunt întotdeauna accesibile măsurării.

In afara mărimilor de intrare, de stare şi de ieşire, în descrierea compor-tamentului unui sistem intervin şi unele mărimi constante sau lent variabile, numite parametri. La sistemele fizice, parametrii sunt de regulă mărimi ce caracterizează proprietăţile fizico-chimice ale sistemului: densitate, viscozitate, lungime, volum, conductivitate termică sau electrică etc.

Teoria sistemelor operează cu două concepte de sistem: sistem de tip I-S-E (intrare-stare-ieşire) şi sistem de tip I-E (intrare-ieşire). Sistemele de tip I-S-E au mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire, iar transferul intrare-ieşire se realizează în mod indirect, prin intermediul stării. La sistemele de tip I-E, numai

INTRODUCERE

9

mărimile de intrare şi mărimile de ieşire intervin în mod explicit, iar transferul intrare-ieşire se realizează direct, cu întârziere sau instantaneu (în cazul sistemelor triviale de tip static). Unui sistem fizic i se poate asocia un sistem abstract (model matematic) de tip I-E sau de tip I-S-E.

Sistemele automate sunt sisteme tehnice cu ajutorul cărora se realizează supravegherea, comanda şi conducerea proceselor şi instalaţiilor tehnologice, fără intervenţia directă a omului.

Teoria sistemelor automate este un domeniu particular de studiu care vizează în special descrierea, înţelegerea, aprofundarea şi rezolvarea problemelor specifice domeniului reglării automate a instalaţiilor şi proceselor tehnice.

Un sistem automat SA este format din două mari subsisteme: procesul (instalaţia) de automatizat P şi dispozitivul de automatizare DA (fig. 1.1). Sistemele automate cu structurile (a) şi (b) sunt sisteme deschise (în buclă deschisă), cu flux de informaţie unidirecţional), iar cele cu structura (c) sunt sisteme închise (cu buclă închisă), în care ieşirea unui subsistem influenţează intrarea şi starea acestuia, prin intermediul altor subsisteme. Sistemul cu structura (c) este un sistem de reglare automată după eroare (abatere), în buclă închisă.

Fig. 1.1. Structuri posibile ale unui sistem automat.

La sistemele de reglare automată cu structură închisă, dispozitivul de automatizare DA primeşte informaţie despre starea curentă a procesului reglat P şi, pe baza acestei informaţii, generează comenzi convenabile asupra acestuia, în vederea aducerii şi menţinerii mărimii lui de ieşire în jurul unei valori de referinţă, în condiţiile acţiunii perturbaţiilor (externe) asupra procesului, acţiunii unor perturbaţii interne şi/sau modificării mărimii de referinţă.


10

In raport cu funcţia îndeplinită, sistemele automate se clasifică în [9]: - sisteme automate de supraveghere (de măsurare şi/sau semnalizare); - sisteme automate de protecţie; - sisteme automate de comandă în buclă deschisă (după un program prestabilit

sau în raport cu o mărime de intrare); - sisteme automate de comandă în buclă închisă (de reglare); - sisteme automate de conducere (de supraveghere, protecţie, comandă, reglare).

Sistemele automate pot fi continue sau discrete. Sistemele continue sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori la toate momentele de timp din mulţimea numerelor reale şi, în plus, mărimile de stare şi de ieşire variază continuu la orice variaţie continuă a mărimii de intrare. Sistemele discrete sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori numai la momentele de timp echidistante kTtk = , unde k aparţine mulţimii numerelor

întregi, iar T este perioada (tactul, pasul) de discretizare a timpului. Sistemele care conţin atât elemente continue cât şi elemente discrete se numesc sisteme cu eşantionare sau sisteme eşantionate.

Sistemele pot fi liniare sau neliniare. Sistemele liniare sunt acelea care, în orice condiţii, verifică principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor): suma efectelor cauzelor este egală cu efectul sumei cauzelor. Sistemele neliniare sunt acelea care nu satisfac principiul superpoziţiei, adică acele sisteme care nu sunt liniare. Modul neconstructiv de definire a sistemelor neliniare (prin negarea unei proprietăţi) şi multitudinea modurilor de manifestare a neliniarităţilor conduc la ideea imposibi-lităţii construirii unei teorii unitare a sistemelor neliniare.

Sistemele pot fi monovariabile sau multivariabile. Sistemele monovariabile au o singură intrare şi o singură ieşire. Sistemele multivariabile au cel puţin două intrări şi două ieşiri; în plus, cel puţin o ieşire este influenţată de minimum două intrări.

Sistemele dinamice, spre deosebire de sistemele statice (fără memorie), se evidenţiază prin prezenţa regimurilor tranzitorii, ca o consecinţă a faptului că includ în componenţa lor elemente capabile să acumuleze şi să transfere, cu viteză finită, cantităţi semnificative de masă şi energie.

2 METODA OPERAŢIONALĂ

LAPLACE

Acest capitol este axat pe analiza de tip intrare-ieşire (I-E) a sistemelor liniare continue (netede) cu ajutorul formalismului operaţional Laplace.

Caracteristica principală a metodei operaţionale Laplace este forma simplă de descriere matematică a corelaţiei dinamice între intrarea şi ieşirea unui sistem liniar. Anticipând, modelul operaţional dinamic al sistemului va avea o formă similară celei a modelului staţionar, la care ieşirea y se obţine prin multiplicarea intrării u cu un factor constant de proporţionalitate K :

uKy = .

Forma simplă a modelului operaţional dinamic are consecinţe pozitive în special în analiza şi sinteza sistemelor compuse, cu una sau mai multe legături de reacţie. Simplificarea formalismului matematic se realizează însă cu preţul creşterii gradului de abstractizare. Aceasta presupune, în primul rând, trecerea de la studiul sistemelor în domeniul timpului la studiul în domeniul complex şi, în particular, în domeniul frecvenţei.

Reamintim că modelul primar de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil de ordinul n are forma:

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( +′+++=+′+++ −−

−− .

Prin eliminarea derivatelor mărimilor de intrare şi de ieşire se obţine modelul staţionar

uKy = , 00 /abK = .

In condiţiile aplicării la intrarea sistemului a unui semnal de tip treaptă, modelul staţionar este utilizabil pentru 0<t (când mărimile de intrare şi ieşire sunt nule) şi pentru t suficient de mare, când sistemul îşi stabileşte un nou regim staţionar


12

(teoretic, pentru ∞→t ). Modelul primar în domeniul timpului are două neajunsuri, forma relativ complicată (mai ales la sistemele de ordin superior) şi prezenţa derivatelor mărimii de intrare, care fac modelul neoperabil în cazul mărimilor de intrare discontinue şi/sau nederivabile (cazul intrării de tip treaptă).

Modelul secundar de tip I-E, cu forma

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

=++++ −−

wbwbwby

uwawawawar

r

nn

nn

0

0

1)(

1)1(

1)(

...

... ,

înlătură al doilea neajuns, dar îl accentuează pe primul, prin introducerea mărimii w care mediază transferul intrare-ieşire [8].

Ambele neajunsuri sunt eliminate în cazul modelului de convoluţie

)(*)()()()( 0 tutgdutgty t =τττ−= ∫ ,

care exprimă răspunsul )(ty la o intrare )(tu dată, de tip original (nulă pentru 0<t ), atunci când se cunoaşte funcţia pondere )(tg a sistemului (definită ca fiind răspunsul sistemului la intrarea impuls Dirac )(0 tδu = ). Răspunsul )(ty este rezultatul produsului de convoluţie ug* , care depinde de întreaga evoluţie în timp a semnalului de intrare u şi a răspunsului pondere g pe intervalul ],0[ t . In acest mod, valoarea curentă (la momentul t ) a ieşirii y cumulează toate efectele produse de semnalul de intrare u la momentele de timp din intervalul ],0[ t . Forma modelului de convoluţie evidenţiază faptul că funcţia pondere g conţine toate caracteristicile dinamice ale sistemului sub aspectul corelaţiei intrare-ieşire. Acest model, deşi are o formă relativ simplă, este foarte rar utilizat în aplicaţii, deoarece determinarea funcţiei pondere g se poate face numai analitic, prin derivarea funcţiei indiciale h , după obţinerea acesteia cu ajutorul modelului secundar. Modelul de convoluţie are însă o mare importanţă teoretică, deoarece forma sa simplă sugerează posibilitatea găsirii unui model dinamic cu forma şi mai simplă, prin înlocuirea produsului de convoluţie cu unul algebric. Acest lucru este realizabil cu ajutorul transformării Laplace.

In cadrul metodei operaţionale Laplace, modelul de convoluţie ugy *= va căpăta forma operaţională de tip algebric

)()()( sUsGsY ⋅= ,

METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE

13

unde s este variabila complexă Laplace, iar )(sY , )(sG şi )(sU sunt transformatele Laplace ale funcţiilor de timp )(ty , )(tg şi )(tu . Modelul operaţional este deci un model abstract (în domeniul complex), dar care exprimă, într-o formă algebrică simplă, faptul că ieşirea complexă )(sY este produsul dintre funcţia complexă )(sG asociată caracteristicilor dinamice ale sistemului şi intrarea complexă )(sU .

Aşa cum vom vedea în continuare, determinarea modelului operaţional al unui sistem liniar compus din modelele operaţionale ale subsistemelor componente este o operaţie mult mai simplă decât aceea de obţinere, în domeniul timpului, a ecuaţiei diferenţiale a sistemului din ecuaţiile diferenţiale ale subsistemelor. Modelul operaţional poate fi dedus pe cale algebrică, printr-o metodologie similară celei utilizate la studiul sistemului în regim staţionar sau la studiul unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero). In plus, metodologia analitică de calculul al răspunsului unui sistem pe baza funcţiei de transfer este mai simplă decât cea din domeniul timpului, prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale a sistemului.

2.1. TRANSFORMAREA LAPLACE

Variabilele de intrare, de stare şi de ieşire ale sistemelor liniare continue, aflate în regim staţionar pentru 0<t , sunt funcţii de timp de tip original, care admit transformate Laplace. O funcţie original )(tf este nulă pentru 0<t , este continuă şi derivabilă pe porţiuni şi are o rată de creştere cel mult exponenţială, adică există

0>A şi 0>B astfel încât

BtAtf e)( ≤ .

Pentru a fi satisfăcută prima proprietate, vom considera (aşa cum am procedat şi în analiza în domeniul timpului) că variabilele unui sistem reprezintă variaţiile mărimilor fizice respective faţă de valorile lor iniţiale (la momentele de timp negativ, când sistemul se află în regim staţionar). In cazul sistemelor liniare, răspunsul stare )(tX şi răspunsul ieşire )(tY la orice semnal de intrare de tip original sunt răspunsuri forţate de tip original.

Transformata Laplace sau imaginea Laplace a funcţiei original f este dată de relaţia

∫∞−

−Δ==

0e)()]([)( dttftfsF stL , C∈s .


14

In mod natural, limita inferioară a integralei s-a ales −0 pentru a include în rezultatul transformării şi efectul funcţiilor original generalizate (tip distribuţie), aşa cum este funcţia impuls Dirac )(0 tδ . In plus, această alegere simplifică formula transformatei Laplace a derivatei )(kf a funcţiei original f , deoarece derivatele iniţiale )0( −f , )0( −′f , … , )0()1(

−−kf ,

sunt nule şi nu mai intervin în expresia transformatei Laplace (vezi proprietatea derivării de mai jos).

In continuare, prezentăm câteva proprietăţi uzuale ale transformării Laplace: • proprietatea de liniaritate

)]([)]([)]()([ 22112211 tfktfktfktfk LLL +=+ , (1)

valabilă oricare ar fi funcţiile original 1f , 2f şi constantele reale 1k , 2k ;

• proprietatea de derivare (integrare) în domeniul real1

)()]([ )( sFstf kk =L , Z∈k ; (2)

• proprietatea de derivare în domeniul complex

)()]([ sFttf ′−=L ; (3)

• proprietatea de translaţie în complex

)()]([ asFtfe at +=−L , C∈a ; (4)

• proprietatea de translaţie în real

)()]([ sFetf sττ −=−L ; (5)

• proprietatea valorii finale )(lim)(lim

0ssFtf

st →∞→= , (6)

valabilă în condiţiile în care toţi polii funcţiei )(ssF au partea reală negativă, deci sunt situaţi în stânga axei imaginare;

• proprietatea valorii iniţiale )(lim)(lim

0ssFtf

st ∞→→=

+, (7)

1 In relaţia (2), derivata )()( tf k poate fi şi funcţie de tip distribuţie, definită inclusiv în punctele de discontinuitate ale functiei f(t). Astfel, prima derivată a funcţiei discontinue )(1)( e ttf at⋅= − este

distribuţia )(1e)()( 0 tattf at ⋅−=′ −δ , unde )(0 tδ este funcţia impuls Dirac.


15

valabilă atunci când limita din dreapta există şi este finită;

• proprietatea produsului de convoluţie

)()(])()([0

sUsGdutgt =−∫ τττL . (8)

Transformarea Laplace inversă este operaţia de obţinere a funcţiei original )(tf din imaginea Laplace )(sF . Transformata Laplace inversă a imaginii )(sF este

dată de relaţia

∫∞+

∞−=

j

je)(

πj21)(

σ

σdssFtf ts , (9)

în care integrala se calculează de-a lungul dreptei cu abcisa constantă σ suficient de mică pentru a asigura convergenţa integralei. In majoritatea aplicaţiilor, pentru determinarea transformatei Laplace inverse se utilizează metoda descompunerii imaginii )(sF în fracţii simple, pentru care se cunosc transformatele Laplace inverse (funcţiile original).

Dintre transformatele Laplace mai frecvent utilizate, menţionăm următoarele:

1)]([ 0 =tδL , st 1)](1[ =L , 21)](1[s

tt =⋅L , 1!)](1[+

=⋅ kk

skttL ,

astat+=⋅− 1)](1[eL , 2)(

1)](1e[as

tt at+

=⋅−L ,

22)(

)](1cos[ebas

astbtat++

+=⋅−L , 22)(

)](1sin[ebas

btbtat++

=⋅−L ,

22)](1[cosbs

stbt+

=⋅L , 22)](1[sinbs

btbt+

=⋅L .

2.2. FUNCTIA DE TRANSFER

Prin definiţie, funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu şi monovariabil este transformata Laplace )(sG a funcţiei pondere )(tg a sistemului. Aplicând transformarea Laplace modelului de convoluţie

τττ dutgty t )()()(0

−= ∫ , (10)

şi ţinând seama de proprietatea produsului de convoluţie (8), se obţine modelul operaţional dinamic intrare-ieşire

)()()( sUsGsY = , (11)


16

unde )(sU este transformata Laplace a funcţiei de intrare )(tu , iar )(sY este transformata Laplace a funcţiei de ieşire )(ty . Scriind modelul (11) sub forma

)()()(

sUsYsG = ,

rezultă Teorema funcţiei de transfer. Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu

monovariabil este egală cu raportul dintre transformata Laplace a răspunsului sistemului la o funcţie de intrare de tip original dată şi transformata Laplace a funcţiei de intrare.

Modelul operaţional (11) este modelul dinamic cu cea mai simplă formă posibilă, similară celei a modelului staţionar

uKy = ,

unde K reprezintă factorul static de proporţionalitate al sistemului. Modelul operaţional este însă un model abstract, deoarece nu realizează o corelare directă a mărimile fizice reale ale sistemului, ci o corelare a transformatelor Laplace ale acestor mărimi, care sunt funcţii de variabilă complexă.

Să considerăm acum forma primară a modelului de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil:

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( +′+++=+′+++ −−

−− , 0≠na .

Aplicând transformarea Laplace ambilor membri ai ecuaţiei diferenţiale a sistemului şi ţinând seama de proprietatea de liniaritate şi de proprietatea derivării în domeniul real, obţinem forma primară a funcţiei de transfer

01

11

011

1)(asassabsbsbsb

sG ... a ...

nn

nn

rr

rr

++++

++++−

−

−−= . (12)

care are la numitor chiar polinomul caracteristic al sistemului. La sistemele proprii (fizic realizabile), polinomul de la numărătorul funcţiei de

transfer are gradul mai mic sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer )( nr ≤ .

In ecuaţia diferenţială de tip I-E a sistemului, dacă 0a şi 0b sunt coeficienţi adimensionali, atunci toţi coeficienţii ia şi ib sunt, din punct de vedere dimensional,

constante de timp la puterea i . Prin urmare, putem considera că variabila s din expresia funcţiei de transfer )(sG are, formal, dimensiunea inversului timpului.


17

Prin definiţie, ordinul funcţiei de transfer este egal cu gradul numitorului funcţiei de transfer simplificate (aduse la forma ireductibilă), adică este egal cu numărul total de poli sau cu gradul polinomului polilor funcţiei de transfer. In consecinţă, dacă polinoamele de la numărător şi numitor sunt coprime (nu au rădăcini comune), atunci )(sG are ordinul n . Diferenţa rn− dintre gradul polinoa-melor de la numitorul şi numărătorul funcţiei de transfer reprezintă ordinul relativ al funcţiei de transfer sau excesul poli-zerouri.

Inerţia unui sistem (caracterizată prin numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului la aplicarea unui semnal treaptă la intrare) este cu atât mai mare cu cât ordinul relativ al acestuia este mai mare. Mai exact, conform teoremei condiţiilor iniţiale nule, numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului indicial )(th al sistemului este egal cu ordinul relativ rn− al funcţiei de transfer, adică

0)0()0()0( )1( ===′= ++−

++rnhhh .

Astfel, aplicând proprietatea derivării şi proprietatea valorii iniţiale, pentru 1,,1,0 −−= rni , avem

0)(lim)(lim)]([lim)(lim 1)()(0

====∞→∞→∞→→

++

sGssHsthsth iiiissst

L .

Un sistem se numeşte de fază minimă atunci când funcţia de transfer este proprie ( nr ≤ ) şi nu are zerouri (rădăcini ale numărătorului funcţiei de transfer simplificate) cu partea reală pozitivă, adică situate în semiplanul din dreapta axei imaginare.

In general, funcţia de transfer )(sG este un factor de proporţionalitate complex ce caracterizează corelaţia între transformatele Laplace (complexe) ale mărimilor de intrare şi de ieşire. In cazul particular 0=s , funcţia de transfer coincide cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:

Kab

G ==0

0)0( . (13)

La sistemele de tip proporţional, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG nu are pe s factor comun la numărător sau numitor, deci nu are zerou sau pol în origine. La sistemele de tip integral, caracterizate prin 00 =a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG are variabila s factor comun la numitor, iar la sistemele de tip derivativ, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 =b , funcţia de transfer )(sG are pe s

factor comun la numărător.


18

Observaţii. 1°. Din relaţia operaţională intrare-ieşire )()()( sUsGsY = , rezultă că transformata Laplace )(sH a răspunsului indicial )(th al sistemului are expresia

ssGsH )()( = .

Din )()( ssHsG = , regăsim relaţia dintre funcţia indicială )(th şi funcţia pondere )(tg , anume

)()0()(d)(d)( 0 ththt

thtg δ++′== .

Din proprietatea valorii iniţiale rezultă

n

n

ab

GsGssHhss

=∞===∞→∞→

+ )()(lim)(lim)0( . (14)

Dacă 0)0( =+h ( 0=nb ), atunci

n

n

ab

ssGsHsthshsss

12 )(lim)(lim)]([lim)0( −===′=′∞→∞→∞→

+ L . (15)

Prin urmare, un sistem semipropriu ( 0≠nb ) are răspunsul indicial )(th discontinuu în origine, un sistem strict propriu cu ordinul relativ unu ( 0=nb şi 01 ≠−nb ) are răspunsul indicial )(th continuu şi nederivabil în origine (tangent la o dreaptă oblică), iar un sistem strict propriu cu ordinul relativ doi sau mai mare ( 0=nb şi

01 =−nb ) are răspunsul indicial )(th continuu şi derivabil în origine (tangent la axa timpului).

In general, pentru orice sistem propriu , avem

211)0(n

nn

n

n

aba

abh −− −=′ + .

Această relaţie poate fi dedusă cu ajutorul proprietăţii valorii iniţiale, ţinând seama

că sistemul cu funcţia de transfer n

n

absGsG −= )()(1 este strict propriu şi are funcţia

indicială )(1)()(1 tab

ththn

n ⋅−= ; deci

211

112

1 )(lim)(lim)0()0(n

nn

n

n

aba

abssGsHshh

ss−− −===′=′

∞→∞→++ . (16)

2°. Din proprietatea valorii finale rezultă că dacă răspunsul indicial )(th al unui sistem tinde la o valoare finită pentru ∞→t , atunci această valoare este egală cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:


19

KabGsGssHhss

=====∞→→

00 /)0()(lim)(lim)(00

. (17)

Acest rezultat era cunoscut de la analiza în domeniul timpului, din faptul că pentru orice răspuns indicial )(th care se stabilizează la o valoare finită, deosebim două regimuri staţionare, unul trivial, pentru )0,(−∞∈t , şi unul final, la încheierea

regimului tranzitoriu (teoretic, pentru ∞→t ), iar în condiţiile celui de-al doilea regim staţionar, din ecuaţia modelului staţionar ( Kuy= ), rezultă

KKuy =∞=∞ )()( .

Prin urmare, la sistemele de tip proporţional (cu factorul static de proporţionalitate K finit şi nenul), răspunsul indicial )(th tinde la o valoare finită şi nenulă, în timp ce la sistemele de tip derivativ (cu factorul static de proporţionalitate egal cu zero), răspunsul indicial )(th tinde la valoarea zero (fiind deci sub formă de “impuls”).

La sistemele de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1

)(1 +

=sTKsG , 01 >T ,

răspunsul indicial )(th poate fi reprezentat grafic pe baza relaţiilor

0)()0( =∞=+ Gh , KGh ==∞ )0()( , 1)4...3( TTtr ≅ , (18)

unde trT este durata regimului tranzitoriu.

3°. Regulatoarele continue de tip PID, cu ecuaţia improprie

0)ddd

0

1( c

tTt

TKc d

iR

t+++= ∫

εεε ,

au funcţia de transfer

)11()( sTsT

KsG di

RR ++= . (19)

Această funcţie de transfer este improprie (cu gradul numărătorului mai mare decât cel al numitorului) datorită componentei derivative. Caracterul impropriu al acestei componente reiese şi din faptul că la intrare treaptă, componenta derivativă este de tip impuls Dirac. In realitate, funcţia de transfer a regulatorului PID are forma semiproprie

)1

11()(1 +

++=sT

sTsT

KsG d

iRR , (20)


20

unde 1T este constanta de timp de întârziere a componentei derivative (cu valoarea, de regulă, mult mai mică decât cea a constantei de timp derivative dT ). Ţinând seama de (18), răspunsul la intrare treaptă unitară a componentei derivative

semiproprii cu funcţia de transfer 11 +sT

sTd creşte instantaneu la valoarea maximă

1/TTd , apoi coboară spre zero, durata regimului tranzitoriu fiind 1)43( TTtr ≅ (egală cu timpul în care exponenţiala 1/e Tt− scade de la valoarea iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− sau 02,0e 4 ≅− ).

Prin utilizarea formei improprii a componentei derivative, în calculul răspunsului unui sistem de reglare nu apar erori semnificative, deoarece caracterul impropriu al regulatorului este compensat de caracterul strict propriu al părţii fixate (reprezentate de sistemul format din elementul de execuţie, proces şi traductor). In plus, constanta de timp de întârziere dominantă a părţii fixate este de zeci sau sute de ori mai mare decât constanta de timp de întârziere 1dT a componentei derivative semiproprii. Aşa se explică faptul că, de cele mai multe ori, funcţia de transfer a regulatorului PID apare în literatura de specialitate în forma improprie (19). Sub această formă, proprietăţile şi rolul componentei derivative sunt relativ uşor de înţeles şi de interpretat, inclusiv de către personalul din domeniu fără studii superioare.

4°. La sistemele semiproprii de tip proporţional (caracterizate printr-un răspuns indicial care tinde la o valoare finită şi nenulă), cu funcţia de transfer )(sG , definim factorul (raportul) de magnitudine mf ca fiind raportul dintre valoarea iniţială şi valoarea finală a răspunsului indicial )(th , adică

)()0(

∞= +

hhfm . (21)

Din (14), (17) şi (21) rezultă

)0()(

GGfm∞

= . (22)

Regulatorul pur proporţional, cu funcţia de transfer RR KsG =)( , are factorul de magnitudine egal cu 1, iar regulatorul de tip proporţional-derivativ, cu funcţia de transfer

)1

1()(1 +

+=sT

sTKsG dRR ,

are factorul de magnitudine 1/1 TTf dm += . Factorul de magnitudine al regulatorului

PD este supraunitar, fără a depăşi însă valoarea 20, deoarece o valoare mai mică a


21

acestuia asigură un semnal de comandă mai neted (mai puţin agresiv), o amplificare mai mică a zgomotului, o uzură mai redusă a instalaţiei comandate, un consum mai mic de energie şi combustibil. In cazul regulatorului cu componentă derivativă improprie (cu 01 =T ), factorul de magnitudine are valoarea ∞ .

5°. Modelul operaţional

)()()( sUsGsY =

permite confirmarea imediată a veridicităţii teoremei de echivalenţă intrare-ieşire, conform căreia două sisteme liniare continue sunt echivalente I-E (au acelaşi răspuns la orice intrare de tip original comună) dacă şi numai dacă funcţiile de transfer ale sistemelor sunt egale (sunt reductibile la aceeaşi expresie, deci au aceleaşi valori pentru orice C∈s din domeniul comun de definiţie).

6°. Un sistem cu ecuaţia diferenţială de ordinul n , deci având polinomul caracteristic de gradul n , se numeşte minimal dacă nu există un alt sistem echivalent intrare-ieşire care să aibă ordinul mai mic decât n .

Teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile. Un sistem liniar monova-riabil este minimal dacă şi numai dacă polinomul caracteristic şi polinomul polilor au acelaşi grad.

Din teorema de minimalitate rezultă că un sistem monovariabil de tip I-E este minimal atunci când forma primară (12) a funcţiei de transfer este ireductibilă (numărătorul şi numitorul nu au rădăcini comune). Aducerea unui sistem neminimal la forma minimală constă în aducerea funcţiei de transfer la forma ireductibilă.

2.3. MATRICEA DE TRANSFER

In conformitate cu principiul superpoziţiei, pentru un sistem continuu liniar multivariabil cu m intrări şi p ieşiri, dependenţa ieşirii )(sYi în raport cu intrările

)(1 sU , )(2 sU , … , )(sUm , este dată de relaţia

)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY mimiii +++= ,

unde )(sGij este funcţia de transfer a canalului cu intrarea jU şi ieşirea iY . Relaţiile

pot fi scrise pentru toate ieşirile sub forma vectorial-matriceală

)()()( sss UGY = , (23)

echivalentă cu


22

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mpmpp

m

m

p U

U

U

GGG

GGG

GGG

Y

Y

Y

2

1

21

22221

11211

2

1

.

Funcţia matriceală de tipul mp×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pmpp

m

m

GGG

GGG

GGG

21

22221

11211

G (24)

reprezintă matricea de transfer a sistemului. Relaţia )()()( sUssY G= exprimă faptul că în complex, vectorul Y al mărimilor de ieşire este egal cu produsul dintre matricea de transfer G a sistemului şi vectorul U al mărimilor de intrare. Intre intrarea )(sU j şi ieşirea )(sYi există relaţia operaţională

)()()( sUsGsY jiji = . (25)

In cazul sistemelor proprii, matricea de transfer )(sG poate fi reprezentată şi sub forma

01

11

011

1

asasasassss n

nn

n

nn

nn

++++++++

=−

−

−− KKKK)G( , (26)

unde iK , ni ,,2,1= sunt matrice constante de tipul mp× , iar polinomul de la

numitorul matricei de transfer este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor de la numitorul tuturor funcţiilor de transfer )(sGij . Dacă toate funcţiilor de transfer

)(sGij sunt ireductibile (minimale), atunci polinomul de la numitor este chiar

polinomul polilor matricei de transfer. Gradul polinomului polilor este egal cu numărul total al polilor matricei de transfer, şi reprezintă ordinul matricei de transfer.

Fie ),,,( DCBAΣ un sistem liniar, continuu, de ordinul n , monovariabil sau multivariabil. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiilor de stare şi de ieşire


23

⎩⎨⎧

)()()(

)()()(

t+DUtCX=t Y

t+BUtAX=tX ,

obţinem

⎩⎨⎧

+=

−= −

)()()(

)()I()( 1

sDUsCXs Y

sBUAss X.

Mai departe, înlocuind vectorul de stare )(sX din ecuaţia stării în ecuaţia ieşirii, rezultă matricea de transfer a sistemului (de tipul mp× ), sub forma

DBAsCs +−= −1)I()(G . (27)

Funcţia matriceală 1)I()( −−= AssΦ , (28)

de tipul nn× , reprezintă transformata Laplace a matricei fundamentale (de tranziţie a stării) )(1e)( tt At⋅=Φ . Intr-adevăr, aplicând transformarea Laplace relaţiei

)()0()()(' 0 ttAt δΦΦΦ ++= ,

unde I)0( =+Φ ,obţinem

I)()( += sAss ΦΦ , I)()I( =− sAs Φ , 1)I()( −−= AssΦ .

Aşadar, în afara metodelor în domeniul timpului (metoda diagonalizării şi metoda Sylvester), exponenţiala matriceală Ate poate fi calculată şi cu relaţia

])I[(e 11 −− −= AsAt L . (29)

Matricea fundamentală )(sΦ este o funcţie matriceală pătrată, raţională, strict

proprie. Ea poate fi scrisă sub forma

)()()( s

ss PE=Φ , (30)

unde )Idet()( Ass −=P

este polinomul caracteristic, iar )(sE - matricea de inversare asociată matricei As −I . Elementele )(sEij ale matricei pătrate )(sE sunt polinoame cu gradul mai

mic sau egal cu 1−n . Ţinând seama de (30), matricea de transfer )(sG a sistemului poate fi scrisă

astfel

DsBsCDBAsCs +=+−= −

)()()I()( 1

PEG ,


24

de unde rezultă că )(sG este o funcţie matriceală raţională proprie (strict proprie în cazul 0=D ).

Observaţii. 1°. Din relaţia )()()( sUssY G= , rezultă că două sisteme cu funcţiile sau matricele de transfer egale au acelaşi răspuns forţat la orice intrare comună de tip original, deci sunt echivalente intrare-ieşire. Acest rezultat constituie o extindere a teoremei de echivalenţă intrare-ieşire la sistemele multivariabile:

Două sisteme liniare continue sunt echivalente intrare-ieşire dacă şi numai dacă au matricele de transfer egale.

2°. Deoarece două sisteme echivalente I-S-E sunt, de asemenea, echivalente I-E, rezultă că două sisteme echivalente I-S-E au aceeaşi matrice de transfer. Acest rezultat poate fi obţinut şi pe baza relaţiilor date de teorema de echivalenţă I-S-E. Astfel, dacă sistemele ),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ sunt echivalente I-S-E, iar S este matricea de transformare a stării ( XSX = ), atunci:

=+−=+−= −−−− DBSASSsCSDBAsCsG 1111 )I()I()(

)()I(])I([ 1111 sGDBAsCDBSASSsSC =+−=+−= −−−− .

Două sisteme cu aceeaşi matrice (funcţie) de transfer nu sunt însă, în mod necesar, echivalente I-S-E (de exemplu, în cazul sistemelor de ordin diferit).

3°. Din teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile rezultă că un sistem monovariabil de tip I-S-E de ordinul n (cu dimensiunea vectorului de stare X egală cu n ) este minimal atunci când funcţia de transfer DBAsCsG +−= −1)I()( are ordinul n , adică are n poli.

In toolbox-ul CONTROL din MATLAB, sistemul cu funcţia de transfer (12) se construieşte cu funcţia tf, care are ca argumente de intrare vectorii linie

][ 011 bbbbnum nn −= şi ][ 011 aaaaden nn −= ,

formaţi cu coeficienţii de la numărătorul şi respectiv numitorul funcţiei de transfer:

stf = tf (num,den) ;

In cazul nr < , vectorul num poate fi scris şi sub forma ][ 011 bbbbnum rr −= .

Alt mod de a construi un sistem în MATLAB constă în definirea prealabilă a variabilei Laplace s , urmată de scrierea expresiei funcţiei de transfer cu ajutorul operatorilor uzuali.

De exemplu, sistemul stf cu funcţia de transfer 245

13)( 2 +++=ss

ssG poate fi construit astfel:


25

s=tf(‘s’), stf=(3*s+1)/(5*s^2+4*s+2);

In cazul sistemelor multivariabile, construcţia se face prin concatenarea subsistemelor monovariabile. De exemplu, sistemul stf cu matricea de transfer

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++

+++

=

21

215

312

21

)(2

22

sss

sss

sss

sG ,

se construieşte astfel: s11=tf([1 1], [1 1 2]); s12=tf([2 1], [1 3 0]); s21=tf([5 1], [1 2]); s22=tf(1, [1 0 2]); stf=[s11 s12;s21 s22]; sau s=tf('s ');

s11=(s+1)/(s^2+s+2); s12=(2s+1)/(s^2+3*s); s21=(5s+1)/(s+2); s22=1/(s^2+2); stf=[s11 s12;s21 s22];

De asemenea, sistemul multivariabil poate fi construit prin crearea a două mulţimi de vectori linie asociaţi numărătorilor şi numitorilor funcţiilor de transfer din componenţa matricei de transfer: Num={[1 1] [2 1];[5 1] 1}; Den={[1 1 2] [1 3 0];[1 2] [1 0 2}; stf=tf(Num,Den);

Sistemul de ordinul zero stf0 cu matricea de transfer ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

43

21)(sG poate fi construit astfel:

stf0=tf([1 2;3 4]);

Cu comanda s1=stf(i,j);

din sistemul multivariabil stf se extrage subsistemul 1s cu funcţia de transfer )(sGij .

Sistemul stf de tip I-E poate fi transformat în sistemul sis de tip I-S-E, astfel:

sis=ss(stf);

Invers, sistemul sis de tip I-S-E poate fi transformat în sistemul stf de tip I-E, astfel: stf=tf(sis);


26

2.4. FUNCTIA DE TRANSFER A SISTEMELOR COMPUSE

La sistemelor compuse, alcătuite din subsisteme liniare continue, obţinerea modelului matematic pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale subsistemelor componente este o operaţie complicată, care presupune eliminarea tuturor variabilelor intermediare şi a derivatelor acestora. In cazul metodei operaţionale, determinarea modelului unui sistem liniar compus este echivalentă cu determinarea funcţiilor de transfer ale acestuia, operaţie care se realizează pe cale algebrică, ca în cazul studiului unui sistem în regim staţionar sau al unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero).

In cazul conexiunii serie din figura 2.1, formată din subsistemul 1Σ cu funcţia de transfer 1G şi subsistemul 2Σ cu funcţia de transfer 2G , din modelele operaţionale

)()()( 2 sVsGsY = şi

)()()( 1 sUsGsV = ,

rezultă )()()()( 12 sUsGsGsY = . Prin urmare, sistemul compus are funcţia de transfer )()()( 12 sGsGsG = . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni serie de n

subsisteme monovariabile este egală cu produsul funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică:

nGGGG 21= . (31)

Fig. 2.1. Conexiune serie.

Toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In consecinţă, comportamentul dinamic al unei conexiuni serie nu diferă radical de cel al subsistemelor componente. Reamintim, în acest sens, că în cazul unui sistem cu funcţia de transfer ireductibilă, polii acestuia coincid cu rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului, iar acestea determină sub aspect calitativ comportamentul dinamic al sistemului, adică forma răspunsului indicial.


27

Dacă toate funcţiile de transfer iG şi produsul acestora nGGG 21 sunt funcţii

raţionale ireductibile, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii serie este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

La conectarea în serie a sistemelor multivariabile trebuie îndeplinită condiţia ca numărul de ieşiri ale unui subsistem să fie egal cu numărul de intrări ale subsistemului următor. Matricea de transfer a conexiunii este egală cu produsul matricelor de transfer ale subsistemelor componente, în ordine inversă, adică

11 GGGG −= nn . (32)

In cazul conexiunii paralel din figura 2.2, avem

)()()()()()()( 212121 sUGGsUGsUGsVsVsY +=+=+= ,

deci 21 GGG += . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni paralel de n

subsisteme monovariabile este egală cu suma algebrică a funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică

nGGGG +++= 21 . (33)

Ca şi în cazul conexiunii serie, toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In plus, dacă funcţiile de transfer ale subsistemelor n-au niciun pol comun, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

Fig. 2.2. Conexiune paralel.

Sistemele multivariabile pot fi conectate în paralel numai dacă au acelaşi număr de intrări m şi acelaşi număr de ieşiri p . Matricea de transfer a conexiunii este egală cu suma algebrică a matricelor de transfer ale elementelor componente – relaţia (33).

In cazul conexiunii cu reacţie negativă din figura 2.3, notând cu 1G şi 2G

funcţiile de transfer ale subsistemelor 1Σ şi 2Σ , avem

)()( 2111 YGUGVUGEGY −=−== ,


28

deci )1/( 211 GGUGY += . Prin urmare, funcţia de transfer a sistemului cu intrarea U

şi ieşirea Y este

21

11 GG

GG

+= . (34)

Dacă produsul )()( 21 sGsG este o funcţie raţională ireductibilă, atunci toţi polii conexiunii închise (cu reacţie) sunt diferiţi de polii subsistemelor componente. In consecinţă, sistemele închise, spre deosebire de sistemele deschise, pot avea un comportament dinamic radical diferit de cel al subsistemelor componente. Ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

Fig. 2.3. Conexiune cu reacţie.

Să considerăm acum sistemul de reglare automată după eroare (abatere) din figura 2.4, având ca mărimi de intrare referinţa R şi perturbaţia V (aditivă la ieşirea procesului).

Fig. 2.4. Sistem de reglare automată.

Toate celelalte mărimi ale sistemului (Y , E , C , U şi M ) pot fi considerate mărimi de ieşire. Formula funcţiei de transfer a unuia din cele zece canale intrare-ieşire ale sistemului de reglare poate fi obţinută după următoarea regulă:

- numărătorul este produsul funcţiilor de transfer ale elementelor (canalelor) de pe traseul direct intrare-ieşire;

- numitorul este acelaşi, egal cu suma )(1 sGd+ , unde

TPERd GGGGG = (35)


29

reprezintă funcţia de transfer a sistemului deschis (a conexiunii serie cu intrarea R şi ieşirea M , obţinută prin întreruperea buclei închise, după traductor). Aplicând această regulă, avem

d

PERYR G

GGGG += 1 ,

dYV G

G+

=1

G V , (36)

d

ER GG +=11 ,

d

TVEV G

GGG+

−=

1)1( , (37)

d

CR GGG+

=1

R , d

RTVCV G

GGGG+

−=

1)1(

. (38)

Formulele (36) ale funcţiilor de transfer YRG şi YVG pot fi deduse procedând astfel: se scriu succesiv relaţiile de dependenţă cauzală ale mărimii )(sY , până se ajunge la mărimile de intrare )(sV şi )(sR , şi din nou la mărimea )(sY , adică

)()()()()()()( sVGsEGGGsVGsCGGsVGsUGsY VREPVEPVP +=+=+=

)()]()([)()]()([ sVGsYGsRGGGsVGsMsRGGG VTREPVREP +−=+−= .

Rezultă )()()()1( sVGsRGGGsYGGGG VREPTREP +=+ ,

adică )()()( sVGsRGsY YVYR += , unde YRG şi YVG au expresiile (36).

Deoarece toate funcţiile de transfer ale sistemului au acelaşi numitor, sistemul de reglare are ecuaţia polilor

01 =+ TPER GGGG , (39)

echivalentă cu 01 =+ FRGG , (40)

unde TPEF GGGG =

este funcţia de transfer a părţii fixate. La sistemele de reglare automată multivariabile, vectorul referinţă R , vectorul

ieşire Y , vectorul perturbaţie V , vectorul măsură M şi vectorul eroare E au, de regulă, aceeaşi dimensiune. Sistemul de reglare are matricele de transfer:

REPTREPYR GGGGGGGG 1)I( −+= , 1)I( −+= TREPYV GGGGG , (41)

1)I( −+= REPTER GGGGG , TREPTEV GGGGGG 1)I( −+−= . (42)


30

In MATLAB, pentru construirea conexiunilor serie, paralel şi cu reacţie se utilizează funcţiile: s = series(sis1,sis2) ; p = parallel(sis1,sis2) ; f = feedback(sis1,sis2,sign);

sau operatorii “+”, “*” şi “/”: s=sis1*sis2*sis3;

p=sis1+sis2+sis3; f=sis1/(1+sis1*sis2);

2.5. CALCULUL RASPUNSULUI SISTEMELOR COMPUSE

Metoda operaţională Laplace permite determinarea pe cale algebrică a răspunsului forţat al unui sistem liniar continuu compus la funcţii de intrare analitice de tip original, atunci când se cunosc ecuaţiile diferenţiale ale fiecărui subsistem.

Calculul analitic al răspunsului )(tyi al sistemului compus la o funcţie de intrare )(tu j dată (tip impuls Dirac, treaptă, rampă, sinusoidal etc.) se face după

următoarea metodologie: • se determină transformata Laplace )(sU j a funcţiei de intrare )(tu j ;

• se determină funcţiile de transfer ale subsistemelor componente; • se calculează funcţia de transfer )(sGij a sistemului compus, corespunzătoare

intrării )(sU j şi ieşirii )(sYi , în raport cu funcţiile de transfer ale subsistemelor;

• se calculează transformata Laplace )(sYi a răspunsului sistemului, cu relaţia )()()( sUsGsY jiji = ;

• se calculează răspunsul sistemului )]([)( 1 sYty ii−=L , prin metoda dezvoltării

funcţiei )(sYi în fracţii simple. Calculul funcţiei pondere )(tgij şi al funcţiei indiciale )(thij se face cu relaţiile

)]([)( 1 sGtg ijij−=L , )](1[)( 1 sG

sth ijij

−=L .

Dacă )(sGij are toţi polii situaţi în stânga axei imaginare, atunci răspunsul

indicial are valorile iniţială şi finală

)()0( ∞=+ ijij Gh , )0()( ijij Gh =∞ .


31

In general, răspunsul indicial )(thij satisface un număr de condiţii iniţiale nule egal cu ordinul relativ al funcţiei de transfer )(sGij . Prima condiţie iniţială nenulă a

răspunsului indicial este egală cu raportul coeficienţilor termenilor de grad maxim de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer )(sGij . Astfel, dacă )(sGij este strict proprie ( 0=nb ), atunci

0)0( =+ijh , n

nij a

bh 1)0( −=′ + , )0()( ijij Gh =∞ . (43)

Dacă )(sGij este de ordinul unu, cu constanta de timp de întârziere (de la numitor) 01 >T şi constanta de timp de avans (de la numărător) 1τ , 110 T<≤τ , adică

11

)(1

1++

=sTsτ

KsGij ,

atunci durata regimului tranzitoriu al răspunsului indicial este aproximativ

))(4...3( 11 τTTtr −≅ . (44)

Pe baza acestor relaţii putem construi calitativ graficul răspunsului indicial al sistemelor de ordinul unu direct din funcţia de transfer, fără a mai efectua calculul analitic al acestuia.

Intr-un sens mai general, dacă )(sGij are numărătorul de gradul zero şi

numitorul de gradul n , de forma

)1()1)(1( 21 +++ sTsTsT n , 0,,, 21 >nTTT ,

atunci durata regimului tranzitoriu al răspunsului indicial are valoarea aproximativă

))(4...3( 21 ntr TTTT +++≅ .

O justificare a acestei relaţii este dată de aproximaţia

≅+++ )1()1)(1( 21 sTsTsT n 1)( 21 ++++ sTTT n ,

prin care un sistem de ordinul n poate fi redus (cu aproximaţie, desigur) la un sistem de ordinul unu. Si mai geenral, dacă numărătorul are forma

)1()1)(1( 21 +++ sτsτsτ n ,

cu ii Tτ <≤0 pentru ni ,,2,1= , atunci

))(4...3( 2121 nntr τττTTTT −−−−+++≅ .


32

In MATLAB, pentru calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, a răspunsului pondere şi a răspunsului la o intrare arbitrară de tip original U , în formă de scară, se utilizează funcţiile: • [Y,t] = step (sis,t) ; • [Y,t] = impulse (sis,t) ; • [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

Argumentul de intrare t , reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comandă de forma

• t=t0:T:t1,

unde t0 este valoarea iniţială (de regulă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 - valoarea finală. Argumentul de intrare t poate fi omis la funcţiile step şi impulse, caz în care acesta este generat automat de funcţia respectivă. Argumentele de intrare U şi t ale funcţiei lsim sunt vectori cu aceeaşi dimensiune. Componentele vectorilor U şi Y reprezintă respectiv valorile mărimilor de intrare şi de ieşire la momentele de timp specificate de vectorul t .

Dacă funcţiile sunt apelate fără specificarea vreunui argument de ieşire, atunci se efectuează numai reprezentarea grafică a răspunsului. In cazul contrar, se efectuează evaluarea acestor argumente, fără reprezentarea grafică a răspunsului.

2.6. RASPUNSUL SISTEMELOR ELEMENTARE

In cele ce urmează vor fi calculate, interpretate şi analizate răspunsurile sistemelor liniare elementare de tip pur integral, de întârziere de ordinul unu, derivativ de ordinul unu, de avans-întârziere de ordinul unu, de întârziere de ordinul doi, derivativ de ordinul doi şi de avans-întârziere de ordinul doi.

2.6.1. Răspunsul sistemului pur integral

Sistemul pur integral (integrator) de ordinul unu, cu factorul de amplificare K şi constanta de timp integrală iT , are modelul I-E de forma

KutyTi =

dd (45)

şi funcţia de transfer

sTKsGi

=)( . (46)

Sistemul are funcţia pondere


33

ii T

KsT

Ktg == − ][)( 1L ,

funcţia indicială

ii TtK

sTKth == − ][)( 2

1L

şi răspunsul la intrare rampă unitară, )(1 ttu ⋅= ,

ii T

tKsT

th K2][)(

2

31

1 == −L .

Se observă că sistemul pur integral de ordinul unu are funcţia pondere sub formă de treaptă, funcţia indicială sub formă de rampă şi răspunsul la intrare rampă unitară sub formă parabolică (fig. 2.5).

Fig. 2.5. Răspunsul sistemului pur integral de ordinul unu.

Sistemul pur integral de ordinul q ( 1≥q ), cu factorul de amplificare K şi constanta de timp integrală iT , are modelul I-E de forma

KuyT qqi =)(


qisTKsG

)()( = .

2.6.2. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu

Sistemul de întârziere de ordinul unu este cel mai simplu sistem dinamic liniar de tip proporţional. Acesta are modelul dinamic

KuytyT =+d

d1 , 01 >T , (47)


34

modelul staţionar uKy = ,

funcţia de transfer

1)(1 += sTKsG , (48)

unde K este factorul static de proporţionalitate, iar 1T - constanta de timp. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.6):

0)()0( =∞=+ Gh , 1

)(lim)0( TKssGh

s==′

∞→+ ,

KGh ==∞ )0()( ,

1)4...3( TTtr ≅ .

Fig. 2.6. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu.

Funcţia pondere, funcţia indicială şi răspunsul la intrare rampă unitară se calculează astfel:

1/

11

1 e]1[)( TtTK

sTKtg −− ⋅=+=L ,

)e1(]11[])1([)( 1/

1

11

1

1 TtKsTT

sKsTsKth −−− −=+−=+= LL , (49)

)]e1([]11[]

)1([)( 1/

11

1

211

21

12

11

TtTtKTsT

TsT

sK

sTsKth −−− −−=+−=+

= +LL .

Funcţia indicială )(th tinde simplu exponenţial şi concav spre valoarea finală K , atingând valorile K95,0 şi K98,0 respectiv la momentele de timp 195 3TTtr ≅ şi

198 4TTtr ≅ . Mărimile 95trT şi 98trT caracterizează durata regimului tranzitoriu


35

(timpul de răspuns) şi permit o interpretare geometrică simplă a constantei de timp 1T . Altă interpretare geometrică a constantei de timp 1T este ilustrată în figura 2.7, în

care segmentul AC este tangent la exponenţiala )(th în punctul A, situat arbitrar pe exponenţială. In cazul 01<T , răspunsul sistemului la orice tip de intrare nenulă este

nemărginit (sistemul este instabil).

Fig. 2.7. Interpretări geometrice ale constantei de timp 1T .

Pentru intrarea sinusoidală de tip original tu ωsin= , rezultă

)1(11))((

)( 221

1

21

21

21

22 ωωωω

ωωω

+−

+++=

++=

ssT

sTT

TK

sTsKsY ,

)cossine(1

)( 1/

121

21 tTtT

TKty Tt ωωωωω

−++

= − ,

)]sin(sine)[()( 1/ αωαω −+= − tMty Tt ,

unde

2

121

)(T

KMω

ω+

= , 1Ttg ωα = , )2π,0(∈α .

In regim sinusoidal permanent (după eliminarea componentei tranzitorii ce tinde exponenţial la zero), răspunsul sistemului are expresia

)sin()()( αωω −= tMtyp .

2.6.3. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul unu

Sistemul derivativ de ordinul unu are modelul dinamic


36

uTKyyT d=+1 , 01 >T , (50)

modelul staţionar 0=y , funcţia de transfer

1

)(1 +

=sT

sTKsG d , (51)

unde K este factorul de proporţionalitate, dT constanta de timp derivativă şi 1T

constanta de timp de întârziere. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.8):

1

)()0(TT

KGh d=∞=+ , 0)0()( ==∞ Gh , 1)43( TTtr ≅ .


]e1)([]1

11[]1)[)( 1/

10

11

1

11

1 Ttddd

Tt

TTK

sTTTK

sTsTKtg −−− −=

+−=

+= δLL ,

şi funcţia indicială

1/

11

1 e]1

[)( Ttdd

TT

KsTT

Kth −− =+

=L . (52)

Sistemul derivativ de ordinul unu este frecvent utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial este de tip „impuls”,

cu valoarea iniţială 1T

TK d şi valoarea finală zero. Timpul de răspuns, în care )(th are

o variaţie de 95 % din valoarea iniţială (exponenţiala 1/e Tt− scade de la valoarea iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− ), este 195 3TTtr ≅ .

Fig. 2.8. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul unu.


37

Scriind funcţia de transfer sub forma

)1

11()(11 +

−=sTT

TKsG d ,

rezultă că sistemul derivativ de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu, ambele având acelaşi factor static de proporţionalitate.

2.6.4. Răspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu

Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu are modelul dinamic

)( 11 uuKyyT +=+ τ , 01 >T , (53)

modelul staţionar uKy = ,

funcţia de transfer

1)1(

)(1

1++

= sTsK

sGτ

, (54)

unde K este factorul static de proporţionalitate, 1T - constanta de timp de întârziere, iar 1τ - constanta de timp de avans. Efectul de avans este dominant în cazul 11 T>τ , iar efectul de întârziere este dominant în cazul 110 T<<τ .

Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.9):

1

1)()0( TKGhτ

=∞=+ , KGh ==∞ )0()( , 1)43( TTtr ≅ .

Pentru 11 20 T<<τ , durata regimului tranzitoriu a răspunsului indicial poate fi exprimată prin relaţia mai precisă ||)43( 11 τ−≅ TTtr .

Funcţia pondere şi funcţia indicială se calculează astfel:

]e)1()([]1[]1)1(

[)( 1/

1

101

11

111

1

11

11 TtTtTT

KsT

TTK

sTsK

tg −−− −+=+−

+=++

=τ

δτ

ττ LL ,

]e)1(1[]11[])1(

)1([)( 1/

1

1

1

111

1

11 TtTKsT

TsKsTs

sKth −−− −−=+

−−=+

+=

τττ LL . (55)

In cazul 01<τ (cu zerou pozitiv), sistemul nu este de fază minimă. Din 0/)0( 11 <=+ TKh τ şi Kh =∞)( , rezultă că răspunsul indicial are la început o variaţie

bruscă de sens opus faţă de valoarea finală.


38

Sistemul de avans de ordinul unu (cu 11 T>τ ) este frecvent utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial are o valoare iniţială de 11 /Tτ ori mai mare decât valoarea finală. Raportul 11 /Tτ dintre

valoarea iniţială (maximă) şi cea finală a răspunsului indicial reprezintă factorul de magnitudine. Scriind funcţia de transfer sub forma

]1)(

1[)(1

11+

−+= sT

sTKsG

τ, (56)

am obţinut funcţia de transfer a unui regulator de tip PD cu constanta de timp derivativă 11 TTd −=τ .

Fig. 2.9. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu.

Scriind funcţia de transfer sub forma

)11/

()(1

11

1

1+−

−= sTT

TKsGττ

,

rezultă că sistemul de avans-întârziere de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu.

2.6.5. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul doi

Sistemul de întârziere de ordinul doi are ecuaţia diferenţială

uKyyy nnn222 ωωωξ =++ , 0>nω , (57)

modelul staţionar uKy =



39

22

2

2)(

nn

n

ssK

sGωξω

ω++

= , (58)

unde K este factorul static de proporţionalitate, ξ factorul de amortizare, iar nω

pulsaţia naturală. Deoarece excesul poli-zerouri este egal cu doi, funcţia indicială )(th este

continuă în origine şi tangentă la axa timpului, adică 0)0()0( =′= ++ hh . In plus, pentru 0>ξ , avem 1)0()( ==∞ Gh .

Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă şi sub forma

1

)(1

222 ++

=sTsT

KsG ,

unde 1T şi 2T sunt constante de timp pozitive. In continuare, vom considera 1=K .

Cazul 10 <<ξ (regim oscilant amortizat). La intrare treaptă unitară, transfor-mata Laplace a răspunsului sistemului are forma

2222222

2

)1()()(1

221

)2()(

ξξ

ξ

ξ

ξ

ξ ωω

ξωωωω

ωωω

ω

−++

++−=

+++

−=++

=nn

nn

nn

n

nn

n

ss

ssss

ssss sY .

Cu notaţiile

ωω ξ =− 21n , αξ cos= , )2π,0(∈α ,

răspunsul indicial are expresia

)sin(1

e1)sin1

(cose1)(22

αωωωξξ

ξ ξωξω +⋅

−−=

−+−=

−− tttty

tntn , (59)

fiind de tip oscilant amortizat (fig. 2.10), cu pulsaţia nωω < .

Prin anularea derivatei răspunsului indicial

tty tnn ωωω ξω sine)(

2−⋅= ,

se obţin momentele de extrem

ωπk

kt = , N∈k ,

şi valorile de extrem

αξω ctgπe)1(1e)1(1)( kktnkk

kty −− −−=−−= ,


40

din care reiese că punctele de extrem sunt situate pe exponenţialele tntf ξω−−= e1)(2,1 .

Fig. 2.10. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0<ξ<1.

Valoarea kσ a “pulsului k” este

kkkkkk ty 1

1πctg1 )1(e)1(1)( σσ α +−+ −=−=−= .

Pulsul maxim

21πctg1 ee ξ

πξ

ασ −

−

− == , (60)

se numeşte suprareglaj sau supradepăşire, iar

21

1

3 11 σσσ

δ −=−= .

reprezintă gradul de amortizare a oscilaţiilor (fig. 2.11).

Fig. 2.11. Dependenţa de ξ a suprareglajului 1σ şi a gradului de amortizare δ .


41

Cazul 0=ξ (regim oscilant întreţinut). Sistemul are răspunsul indicial

ts

ssss

ty nnn

n ωωω

ωcos1]1[]

)([)( 22

122

21 −=

+−=

+= −− LL . (61)

Răspunsul indicial este sinusoidal, cu amplitudinea constantă (egală cu 1) şi cu pulsaţia egală cu pulsaţia naturală nω (fig. 2.12).

Fig. 2.12. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0=ξ şi 1=ξ .

Aplicând la intrare semnalul armonic tu nωcos= cu pulsaţia nω , se obţine

răspunsul

tts

sty nn

n

n ωωω

ωsin2

1])(

[)( 222

21 =

+= −L ,

caracterizat prin oscilaţii sinusoidale cu amplitudinea liniar crescătoare în timp.

Cazul 1=ξ (regim critic). Sistemul are răspunsul indicial

)1(e1])(

11[])(

[)( 21

2

21 t

sssssty n

t

n

n

nn

n n ωωω

ωωω ω +−=

+−

+−=

+= −−− LL .

Răspunsul indicial este strict crescător pentru 0≥t (fig. 2.12).

Cazul 1>ξ (regim supraamortizat). Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă sub forma


42

)1)(1(1)(

21 ++= sTsTsG , 021 >≥TT , (62)

Forma convex-concavă crescătoare şi cu punct de inflexiune a răspunsului indicial (fig. 2.13) rezultă intuitiv din observaţia că sistemul poate fi descompus în două subsisteme de întârziere de ordinul unu, conectate în serie, cu funcţiile de transfer

1

1)(1

1 +=

sTsG ,

11)(

22 +

=sT

sG .

Prin eliminarea termenului de gradul doi de la numitorul funcţiei de transfer obţinem funcţia de transfer a unui sistem de întârziere de ordinul unu, cu constanta de timp

21 TT + . In consecinţă, durata regimului tranzitoriu este

))(43( 21 TTTtr +≅

Intre parametrii formelor echivalente (58) şi (62) de reprezentare a funcţiei de transfer, există următoarele relaţii:

n

T ωξξ 12

2,1−±= , 12

2

1 −+= ξξTT

, 21

1TTn =ω ,

21

212 TT

TT +=ξ .

Sistemul are răspunsul indicial

21 // e1

e1

11)( TtTt

kk

kty −−

−+

−−= , (63)

unde 1/ 12 <= TTk .

Fig. 2.13. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi, pentru ξ >1.

Parametrii asociaţi punctului de inflexiune I depind de constantele de timp 1T şi

2T , după relaţiile [9]:


43

zTt

ln1

1 −= , kTT

+=′

11

, zTT 1

1= , z

zk

Tt ln11

1

0 −−+= , zky )1(11 +−= , (64)

unde

1),e1(1 ∈−= k

k

kz .

Intre constantele de timp 1T şi 2T ale sistemului şi timpii 0t , 1t , T şi T ′ ai

răspunsului indicial există următoarea relaţie de ordonare:

011120 tTTtTtTt −′<≤−′≤≤< . (65)

Parametrii 1y , 0t , 1t , T şi T ′ pot fi determinaţi experimental din forma

răspunsului indicial. Dacă se cunosc oricare doi dintre aceşti parametri, atunci se pot calcula constantele de timp 1T şi 2T . De exemplu, dacă se cunosc T şi T ′ , atunci se

poate afla k din relaţia (fig. 2.14)

TTkk k

k ′=+ −1)1( ,

iar apoi din relaţiile

kTT

=1

2 , TTT ′=+ 21

se determină 1T şi 2T .

Fig. 2.14. Caracteristica )/(/ 12 TTTT f ′= .


44

Dacă se cunosc 0t şi T , atunci din relaţiile Ttzkz /1)ln1( 0=−−+ şi kk

kz −= 1 se obţine k , apoi cu relaţia TzT =1 se obţine 1T , iar din relaţia 12 kTT = se obţine 2T . Mai simplu, constantele de timp 1T şi 2T pot fi determinate din caracteristicile grafice )/(/ 01 TtTT f= şi )/(/ 02 TtgTT = – figura 2.15.

Fig. 2.15. Caracteristicile )/(/ 01 TtfTT = şi )/(/ 02 TtgTT = .

Cazul 01 <<− ξ (regim oscilant instabil). Răspunsul indicial al sistemului este dat de relaţiile (81), în care ),2/( ππα∈ . Răspunsul indicial se caracterizează prin

oscilaţii exponenţial crescătoare (fig. 2.16).

Cazul 1−<ξ (regim supraamortizat instabil). Funcţia de transfer poate fi scrisă sub forma

)1)(1(1)(

21 ++= sTsTsG , 021 <<TT .

Răspunsul indicial, dat de relaţia (63), este crescător şi nemărginit (fig. 2.16).

Fig. 2.16. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi pentru 0<ξ .


45

2.6.6. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul doi

Sistemul derivativ de ordinul doi are ecuaţia

uTKyyTTyTT d=+++ )( 2121 , 120 TT ≤< , (66)


1)1)((

)(21 ++

=sTsT

sKTsG d , (67)

unde dT este constanta de timp derivativă, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de întârziere. De remarcat faptul că pentru 02 =T , sistemul devine derivativ de ordinul

unu. Ca şi acesta, sistemul derivativ de ordinul doi este utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, răspunsul indicial fiind de tip „impuls” (creşte în primele momente la o valoare maximă, după care tinde spre zero, creşterea fiind însă mai lentă decât la sistemul derivativ de ordinul unu, unde creşterea este bruscă). Acest comportament mai puţin agresiv rezultă şi din faptul că sistemul derivativ de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a sistemului derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1

)(1

1 +=

sTsTK

sG d ,

cu sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11)(

22 += sTsG .

Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi:

0)()0( =∞=+ Gh , 21

)(lim)0(TT

KTssGh d

s==′

∞→+ ,

0)0()( ==∞ Gh .

In cazul 21 TT ≠ şi 1=K , răspunsul indicial este dat de relaţia:

)ee(]1)1)((

[)( 21

2121

1 Tt

Tt

dd

TTT

sTsTTth

−−− −⋅

−=

++=L . (68)

Pentru 21 TT = , răspunsul indicial are expresia (fig. 2.17)

1e]1)(

[)( 21

21

1 Tt

dd

TtT

sTTth

−− ⋅=

+=L . (69)


46

Valoarea maximă, atinsă la momentul 1Tt = , este dată de formula

1

max eTTh d= . (70)

Fig. 2.17. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul doi cu 121 ==TT , pentru diferite valori ale constantei de timp derivative dT .

2.6.7. Răspunsul în timp al sistemului de avans-întârziere de ordinul doi

Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi are ecuaţia

)()( 12121 uuKyyTTyTT +=+++ τ , 120 TT ≤< , (71)


1)1)((1)(

)(21

1++

+= sTsT

sKsG

τ , (72)

unde 1τ este constanta de timp de avans, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de

întârziere. De remarcat faptul că pentru 21 T=τ şi 11 T=τ , sistemul devine de întârziere de

ordinul unu, cu funcţia de transfer 11

1 +sT , respectiv 11

2 +sT .

Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a unui sistem de avans-întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)1(

)(1

11 +

+= sT

sKsG

τ,


47

cu un sistem de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11)(

22 += sTsG .

Din această reprezentare rezultă că răspunsul la o intrare dată a sistemului de avans-întârziere de ordinul doi este mai lent decât răspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţia de transfer )(1 sG . Pentru 02 =T , sistemul devine de avans-

întârziere de ordinul unu. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi:

0)()0( =∞=+ Gh , 21

1)(lim)0(TT

KssGhs

τ==′

∞→+ , KGh ==∞ )0()( .

In cazul 1=K şi 021 >>TT , răspunsul indicial este dat de relaţia (fig. 2.18):

21 ee1]1)1)((

1[)(21

21

21

11

21

11 Tt

Tt

TTT

TTT

sTsTssth

−−− ⋅

−−

−⋅−−

+=++

+=

τττL . (73)

Fig. 2.18. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul doi, pentru diferite valori ale constantei de timp de avans 1τ .

Răspunsul indicial este crescător pentru },max{0 211 TT≤≤τ . Pentru },max{ 211 TT>τ , răspunsul indicial este nemonotonic, având suprareglajul (depăşirea valorii finale)


48

2112 /11

21/1

1

11 )1/()1( / TTTT TT −− −⋅−= ττσ . (74)

Formula suprareglajului se obţine ţinând seama că ecuaţia 0)( =th are soluţia 0t

dată de relaţia

11ln

11

21

21

210

/

/

−−

−=

TT

TTTTt

ττ .

Sistemul de avans de ordinul doi, cu },max{ 211 TT>τ , este utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial creşte în primele momente la o valoare mai mare decât valoarea sa finală. Creşterea este însă mult mai lină decât la sistemele de avans de ordinul unu (unde creşterea este bruscă).

In cazul 21 TT = , răspunsul indicial are expresia

1e]1)1[(1)1(1

1])1(

1[)(11

12

1

11

12

1

11 1 Tt

TTsTT

sTT

ssTssth t −

− −−+=+−

++

−=++

=τττL .

Dacă 211 TT =>τ , atunci din ecuaţia 0)( =th rezultă soluţia

11

0 −= xxT

t

şi suprareglajul

1e)1( −−

⋅−= xx

xσ , (92)

unde 11

1 >=Txτ

(fig. 2.19). Pentru 4>x , avem 2,848,0 −+≈ xσ .

Fig. 2.19. Dependenţa suprareglajului σ în funcţie de raportul 11 /Tx τ= , pentru 21 TT = .


49

2.7. SISTEME MONOTONICE

Reamintim că, prin definiţie, un sistem este crescător monotonic (C-monotonic) atunci când răspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este crescător. De asemenea, un sistem este descrescător monotonic (D-monotonic) atunci când răspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este descrescător. Un sistem care nu este C-monotonic sau D-monotonic este nemonotonic. Conform teoremei fundamentale a sistemelor monotonice, un sistem liniar, invariant şi monovariabil este C-monotonic dacă şi numai dacă are funcţia pondere )(tg nenegativă (cu valori

pozitive sau nule la toate momentele de timp R∈t ) sau, echivalent, dacă şi numai dacă are funcţia indicială )(th crescătoare. O conexiune serie de subsisteme mono-

tonice este un sistem monotonic deoarece, aplicând la intrarea conexiunii un semnal treaptă unitară, răspunsul primului subsistem este monotonic, răspunsul următorului subsistem este monotonic ş.a.m.d.

In continuare ne vom referi numai la sistemele continue şi liniare. In mod evident, dacă un sistem cu funcţia de transfer )(sG este C-monotonic, atunci sistemul cu funcţia de transfer )(sG− este D-monotonic.

Prima teoremă de conservare a monotonicităţii [10]. Un sistem liniar monotonic îşi conservă proprietatea de monotonicitate prin:

a) eliminarea sau micşorarea unei constante de timp2 de avans pozitive; b) introducerea sau mărirea unei constante de timp3 de întârziere pozitive.

Pentru demonstrarea teoremei, considerăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cu funcţia de transfer )(sG . Presupunem că )(sG are constanta de timp de avans 1τ ( 01 >τ ). Prin înlocuirea constantei de timp 1τ cu 1T ( 110 τ<≤T ), obţinem sistemul

Σ cu funcţia de transfer

)(11)(

1

1 sGssTsG++

=τ

, 110 τ<≤T . (93)

2 Micşorarea unei constante de timp de avans 1T constă în înlocuirea factorului 11 +sT de la

numărătorul funcţiei de transfer cu 12 +sT , unde 12 TT < . 3 Mărirea unei constante de timp de întârziere 1T constă în înlocuirea factorului 11 +sT de la numitorul funcţiei de transfer cu 12 +sT , unde 12 TT > .

.


50

De asemenea, presupunând că )(sG are constanta de timp de întârziere 1T ( 01 ≥T ), prin înlocuirea ei cu 1τ ( 11 T>τ ), obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG

dată de (93). Demonstrarea teoremei 1 de conservare a monotonicităţii se reduce la a arăta că sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG este monotonic. Acest lucru este

adevărat deoarece sistemul Σ este o conexiune serie de două subsisteme C-monotonice: subsistemul de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţia de transfer

11)(

1

10 +

+=

ssTsG

τ

şi subsistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG . Sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1()1()1)(1()(

21

21

++++++

=sTsTsTssssG

n

rτττ , (94)

unde nr ≤ şi 0>≥ iiT τ pentru ri ,,2,1= , este C-monotonic deoarece poate fi

reprezentat ca o conexiune serie de n subsisteme monotonice, anume subsistemele de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer

11

)(++

=sTs

sGi

ii

τ , ri ,,2,1=

şi subsistemele de întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer

1

1)(+

=sT

sGi

i , nrri ,,2,1 ++= .

Sistemul cu funcţia de transfer (94), în care toate constantele de timp sunt pozitive, iar cea mai mare constantă de timp este una de avans, este un sistem nemonotonic. Pentru a demonstra acest lucru în cazul particular în care toate constantele de timp de întârziere sunt distincte, să considerăm, de exemplu, că

nTTT >>>> 211τ şi să presupunem, prin reducere la absurd, că sistemul este monotonic. Din valoarea finală a răspunsului indicial 1)0()( ==∞ Gh , rezultă că sistemul este C-monotonic. In conformitate cu teorema 1 de conservare a monoto-nicităţii, sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1(

1)(21

11 +++

+=

sTsTsTssG

n

τ

este, de asemenea, C-monotonic. Acest sistem are funcţia pondere de forma


51

nTtn

TtTt CCCtg //2

/11 eee)( 21 −−− +++= ,

care satisface proprietatea

0)1()1(

)1(1

)(elim

11

2

1

1

111

/ 1 <−−

−==

∞→

TT

TT

TTCtgn

Tt

t

τ

.

Prin urmare, funcţia pondere nu satisface condiţia 0)(1 ≥tg pentru orice 0≥t , deci sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG nu este C-monotonic, ceea ce este fals. O consecinţă a rezultatului obţinut este aceea că sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG ,

având toate constantele de timp pozitive, este C-monotonic dacă şi numai dacă

},,,{max 211 nTTT≤τ . (95)

A doua teoremă de conservare a monotonicităţii [10]. Un sistem liniar monotonic îşi conservă proprietatea de monotonicitate prin:

a) contractarea inversă4 a două constante de timp de avans pozitive ; b) dispersarea inversă5 a două constante de timp de întârziere pozitive.

Pentru demonstrarea teoremei, considerăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cu funcţia de transfer )(sG . Presupunem că )(sG are constantele de timp de avans 1τ şi

2τ ( 021 >>ττ ). Prin contractarea inversă a celor două constante de timp de avans

1τ şi 2τ , obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer

)()1)(1()1)(1()(

21

21 sGsssTsTsG++++

=ττ

, (96)

unde 02211 >>≥> ττ TT şi 12

11

12

11

−−−− +=+ ττTT . De asemenea, presupunând că )(sG are constantele de timp de întârziere 1T şi 2T ( 021 >≥TT ), prin dispersarea

inversă a acestora obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG dată de (95). Demonstrarea teoremei de conservare a monotonicităţii se reduce la a arăta că sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG este monotonic. Acest lucru este adevărat

4 Prin contractarea inversă a două numere pozitive a şi b ( ba > ) se înţelege înlocuirea acestora cu numerele pozitive c şi d astfel încât bdca >≥> şi 1111 −−−− +=+ dcba . 5 Prin dispersarea inversă a două numere pozitive c şi d ( dc≥ ) se înţelege înlocuirea acestora cu numerele pozitive a şi b astfel încât bdca >≥> şi 1111 −−−− +=+ dcba .


52

deoarece sistemul Σ este o conexiune serie de două subsisteme C-monotonice: subsistemul de avans-întârziere de ordinul doi cu funcţia de transfer

)1)(1()1)(1()(

21

210 ++

++=

sssTsTsG

ττ (97)

şi subsistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG . Primul subsistem este C-monotonic deoarece

)1)(1(

)(21

12

11

12

111

21

101

21

1 ++−

+=−−−−

−−−−

ssTTsGTT

ττττ

ττ ,

0))(()( 11

12

11

11

11

12

11

11

12

11

12

11

12

11 >−−=−+−=− −−−−−−−−−−−−−− ττττττ TTTTTTTT .

Utilizând metoda inducţiei, putem demonstra

Propoziţia 1. Dacă 021 >≥≥≥ rτττ , 021 >≥≥≥ nTTT şi 1

11

1−− ≥Tτ ,

12

11

12

11

−−−− +≥+ TTττ , ……………………………………

112

11

112

11

−−−−−− +++≥+++ rr TTTτττ ,

atunci sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1()1()1)(1()(

21

21

++++++

=sTsTsTssssG

n

rτττ , nr ≤ , (98)

este C-monotonic. Propoziţia 1 poate fi reformulată după cum urmează.

Propoziţia 2. Dacă naaa ,,, 21 şi rbbb ,,, 21 ( nr ≤ ) sunt numere reale astfel

încât rbbb ≤≤≤≤ 210 , raaa ≤≤≤≤ 210 şi ∑∑==

≥k

ii

k

ii ab

11

pentru rk ,,2,1= ,

atunci sistemul cu funcţia de transfer

)())(()())(()(

21

21

n

r

asasasbsbsbssG

++++++

= (99)

este C-monotonic.


53

2.8. APLICAŢII

2.8.1. Aplicaţii rezolvate

♦ Aplicaţia 2.1. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy 2868 +=++ .

Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer

12

2)14)(12(

)14(2168

)14(2)( 2 +=

+++

=++

+=

ssss

ssssG ,

transformata Laplace a funcţiei indiciale

)2/1

11(2)12

21(2)12(

2)(1)(+

−=+

−=+

==ssssss

sGs

sH ,

funcţia indicială )e1(2)( 2/tth −−= , 0≥t

şi funcţia pondere

2/e)]([)( 1 tsGtg −== −L , 0≥t .

♦ Aplicaţia 2.2. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++68 .


)14)(12(

1168

1)( 2 +++

=++

+=

sss

ssssG ,


)14

612

11(2)14)(12(

)1(2)(1)(+

−+

+=++

+==

ssssssssG

ssH ,

funcţia indicială 4/2/ e3e2)( ttth −− −+= , 0≥t ,

transformata Laplace a funcţiei pondere

)4/1(8

3)2/1(4

1)14

312

1(21)(

++

+−

=+

++−

=ssss

sG ,

funcţia pondere

4/2/ e83e

41)( tttg −− +

−= , 0≥t .


54

♦ Aplicaţia 2.3. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++45 .


145

1)( 2 +++

=ss

ssG ,


2222 )5/1()5/2(5/31

145351

)145(1)(1)(

+++

−=++

+−=

+++

==s

ssss

sssss

ssGs

sH

22 )5/1()5/2(5/1)5/2(1

++++

−=s

ss

,

funcţia indicială )5/sin5/(cose1)( 5/2 ttth t +−= − , 0≥t ,

transformata Laplace a funcţiei pondere

222 )5/1()5/2(1

51

5/15/41

51)(

+++

⋅=++

+⋅=

ss

ssssG

2222 )5/1()5/2()5/1(3)5/2(

51

)5/1()5/2()5/21()5/2(

51

++⋅++

⋅=++−++

⋅=ss

ss ,

funcţia pondere

)5/sin35/(cose51)( 5/2 tttg t += − , 0≥t .

♦ Aplicaţia 2.4. Să se arate că sistemul monovariabil cu ecuaţia diferenţială

uuuuyyyy +′+′′+′′′=+′+′′+′′′ 443233

nu este minimal. Să se afle apoi răspunsul indicial.


2331443)( 23

23

++++++

=sssssssG .

Deoarece )1)(2(233 223 +++=+++ ssssss ,

)1)(13(144 223 +++=+++ ssssss ,

rezultă

213)(

++

=sssG .


55

Sistemul nu este minimal deoarece există un sistem echivalent intrare-ieşire având ordinul mai mic decât trei, anume sistemul de ordinul unu cu ecuaţia

uuyy +′=+′ 32 .

De asemenea, conform teoremei de minimalitate, sistemul nu este minimal deoarece polinomul caracteristic are gradul trei, iar polinomul polilor are gradul unu. Mai simplu, sistemul nu este minimal deoarece forma primară a funcţiei de transfer este reductibilă.

♦ Aplicaţia 2.5. Fie sistemul monovariabil ),,,( DCBAΣ cu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

3212

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=12

B , [ ]21=C , 0=D .

Să se afle: a) transformata Laplace a matricei fundamentale şi funcţia de transfer;

b) funcţia pondere şi funcţia indicială.

Soluţie. a) Avem 45)Idet( 2 ++=− ssAs ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

++=−= −

22

13

451)I()( 2

1

s

s

ssAssΦ ,

45

9)()( 2 ++=+=

ssDBsCsG Φ .

Se observă că polinomul caracteristic şi polinomul polilor funcţiei de transfer coincid. b) Prin descompunerea în fracţii simple a funcţiei de transfer,

43

13)(

+−

+= sssG ,

obţinem funcţia pondere

)e(e3)]([)( 41 ttsGtg −− −==−L

şi funcţia indicială

)ee43(43)()( 4

0ttt

dgth −− +−== ∫ ττ .

Funcţia indicială poate fi calculată direct astfel:

).ee4(343)

41

143(

43)1

459()( 4

211 tt

ssssssth −− +−=

++

+−=⋅

++= −− LL

♦ Aplicaţia 2.6. Fie sistemul

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=3210

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

B , [ ]11=C , 1=D .


56

Să se afle: a) funcţia de transfer )(sG ; b) răspunsul sistemului la intrarea )(1 ttu ⋅= ; c) răspunsul sistemului la intrarea )(13sin ttu ⋅= ; d) matricea fundamentală )(tΦ ;

e) răspunsul liber din starea iniţială ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=25

0X ;

f) răspunsul la intrarea tu = din starea iniţială ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=25

0X .

Soluţie. a) Avem

45)Idet( 2 ++=− ssAs , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

++=−= −

ss

ssAss

213

231)I()( 2

1Φ .

231

231)()( 2 +

+=+

+++

=+=ss

sssDBsCsG Φ .

Polinomul caracteristic nu coincide cu polinomul polilor funcţiei de transfer, primul fiind de gradul doi, iar al doilea de gradul unu.

b) Ţinând seama că 21)(s

sU = , obţinem

)e16(41)

2116(

41)1

23()]()([)( 2

22111 tt

sssssssUsGty −+−=

++−=⋅

++

== −−− LLL .

c) Deoarece 9

3)( 2 +=

ssU , rezultă

)9

152

1(131)

91

23()]()([)( 22

111

+−

−+

=+

⋅++

== −−−

ss

sssssUsGty LLL

)3sin53cos(e131 2 ttt +−= − .

In regim sinusoidal permanent, răspunsul sistemului este

)3sin53cos(131)( tttyp +−= .

d) Avem

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−

++

+−

+−

++−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

++=

22

11

22

12

21

11

21

12

213

231)( 2

ssss

sssss

sss

sΦ ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+−

−−=

−−−−

−−−−

tttt

ttttt

22

22

e2ee2e2eeee2

)(Φ .

e) Starea evoluează liber astfel:


57

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+−

−−==

−−

−−

−−−−

−−−−

tt

tt

tttt

tttt

l XttX2

2

22

22

0 e14e12e7e12

25

e2ee2e2eeee2

)()( Φ .

Răspunsul liber este

tlll txtxty 2

21 e7)()()( −=+= .

f) Avem )()()( tytyty fl += ,

unde tl ety 27)( −= - punctul e), iar )1(6

41)( 2t

f etty −+−= - punctul b). Rezultă

)291(641)( 2tetty −+−= .

♦ Aplicaţia 2.7. Să se afle matricea de transfer a sistemului multivariabil ),,,( DCBAΣ cu

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=3211

A , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=1101

B , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

1210

C , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

0000

D .

Soluţie. Avem

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

++=−= −

1213

14

1)I()( 21

ss

ssAssΦ ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++−

++=+=

3511

14

1)()( 2 ssss

ssDBsCsG Φ .

Matricea de transfer )(sG este de ordinul doi. Ea poate fi scrisă şi sub forma:

2 143511

1111

)(++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=ss

ssG .

♦ Aplicaţia 2.8. Să se studieze minimalitatea sistemelor

a) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=3212

A , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=12

B , [ ]21=C , 0=D ;

b) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−=

3210

A , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

10

B , [ ]11=C , 1=D ;

c) A = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

3211

, B = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− 11

01, C = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

1210

, D = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0000

.

Soluţie. a) Sistemul este minimal, deoarece funcţia de transfer


58

45

9)I()( 21

++=+−= −

ssDBAsCsG

are ordinul 2, egal cu cel al sistemului de tip ISE.

b) Sistemul nu este minimal, deoarece funcţia de transfer

231

231)I()( 2

1++

=+++

+=+−= −

ss

sssDBAsCsG

are ordinul 1, iar sistemul ISE este de ordinul 2. c) Sistemul este minimal, deoarece matricea de transfer

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++−

++=+−= −

3511

14

1)I()( 21

ssss

ssDBAsCsG

are ordinul 2, egal cu ordinul sistemului ISE.

♦ Aplicaţia 2.9. Fie conexiunea serie de mai jos, formată din subsistemele:

Să se afle răspunsul sistemului pentru: a) )(0 tu δ= ; b) )(1 tu = ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(1sin ttu ⋅= .

Soluţie. Avem

121)(1 +

+= sssG , 14

2)(2 += ssG , )14)(12(

)1(2)()()( 21 +++== ss

ssGsGsG .

a) 143

121

)14)(12()1(2)(

++

+−=

+++= ssss

ssY , 4/2/ e75,0e5,0)( ttty −− +−= ;

b) 1412

1222

)14)(12()1(2)(

+−

++=

+++= ssssss

ssY , 4/2/ e3e2)( ttty −− −+= ;

c) 14

4812

4102)14)(12(

)1(2)( 22 ++

+−−=

+++

=sssssss

ssY ,

4/2/ e12e2102)( tttty −− +−−= ;

d) )1(85

226)14(17

48)12(5

4)1)(14)(12(

)1(2)( 22 ++

−+

++

−=

++++

=ss

sssssssY ,

ttty tt sin852cos

8526e

1712e

52)( 4/2/ −−+−= −− .

♦ Aplicaţia 2.10. Elementele sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele funcţii de transfer:

(Σ1) uu +=+vv2 , (Σ2) v24 =+ yy .


59

kGR = ; 2=EG ; 155,0+

= sGP ; 1

1+

=s

GT .

Pentru 1=k , să se afle răspunsul y(t) pentru: a) )(0 tr δ= , b) )(1 tr = , c) )(1 ttr ⋅= , şi răspunsul )(te pentru: d) )(0 tδ=v , e) )(1 t=v , f) )(1 tt ⋅=v .

Soluţie. Deoarece perturbaţia V este aditivă la ieşirea procesului, funcţia de transfer a canalului perturbator al procesului este 1)( =sGV . In conformitate cu (36) şi (37), obţinem:

165

1)(2 +++

+=

kssskGYR ,

1651)1)(5(

2 +++++

=kss

ssGYV ,

165

1)1)(5(2 +++

++=

kssssGER ,

1651)(5

2 ++++−

=kss

sGEV .

a) Avem

]0,20,6)5[(

0,220,6)(265

1)()( 222 ++⋅++

=++

+==

ss

ssssGsY YR ,

)2,0sin22,0(cose2,0)( 6,0 ttty t += − .

b) Avem

2)62(5

4521

2)6(51)(1)( 22 ++

+−=

+++

==ss

sssss

ssGs

sY YR

22 0,20,6)(0,20,50,6)0,5(5,0

++⋅++−=

ss

s ,

)2,0sin2,0(cose5,05,0)( 6,0 ttty t +−= − .

c) Avem

2)62(5

710121

2)6(51)(1)( 22222 ++

++−=

+++

==ss

ssssss

ssGs

sY YR

222 0,20,6)(0,20,50,6)(15,0

++⋅++

+−=ss

ss,

)2,0sin5,02,0(cose15,0)( 6,0 tttty t ++−= − .

d) Avem


60

222 0,20,6)(0,220,6)(

2651)(5)()(

++⋅−+−=

+++−==

ss

ssssGsE EV ,

)2,0sin22,0(cose)( 6,0 ttte t −−= − .

e) Avem

)265

451(21

2)6(51)(5)(1)( 22 ++

−−−=

+++−

==ss

sssss

ssGs

sE EV

]0,20,6)(0,270,6)(1[2

122 ++

⋅−+−−=ss

s ,

)2,0sin72,0(cose5,05,0)( 6,0 ttte t −+−= − .

f) Avem

)265

171021(21

2)6(51)(5)(1)( 22222 ++

+−+−=

+++−

==ss

ssssss

ssGs

sE EV

222 0,20,6)(0,25,50,6)(15,0

++⋅++

+−−

=ss

ss,

)2,0sin5,52,0(cose15,0)( 6,0 tttte t ++−−= − .

Remarcă. Ţinând seama de proprietatea valorii finale, eroarea staţionară (finală) pentru )(1 t=v şi 0>k este

1

1)(lim)()(lim)(lim)(lim000

pvf

+−

=====→→→∞→

Δ

ksGsVssGssEtee EVEVst

ssst.

De asemenea, pentru )(1 tr = , avem

11)(lim)(lim

0 +===→∞→ ksGtee ERstst .

In ambele cazuri, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică, cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare.

♦ Aplicaţia 2.11. Să se arate că pentru orice k pozitiv, răspunsul indicial )(th al siste-mului cu funcţia de transfer

21

221

1)(12

)(1 +

++=

sTsTskT

sG , 01>T ,

are un punct fix.

Soluţie. Răspunsul indicial )(th se determină astfel:

2

221

1)()1(

1)(1 +

−+=

sTsTk

sG ,


61

]1)(1

)[1(11)(

)1(1)(1)( 211

2

21

111 +−

+−+=

+

−+==

sTT

sTTk

ssTsTk

ssG

ssH ,

1e)1)(1(1)(1

Tt

Ttkth

−−−+= .

Deoarece 1)( 1 =Th , toate răspunsurile indiciale ale sistemului trec prin punctul fix de coordonate )1,( 1T - figura 2.20.

Fig. 2.20. Răspunsuri indiciale pentru 51=T şi diferite valori ale lui k : 0=k ; 5,0=k ; 5,1=k ; 5,2=k ; 3=k .

♦ Aplicaţia 2.12. Să se arate că un sistem liniar nemonotonic Σ îşi conservă proprietatea de nemonotonicitate prin:

a) mărirea unei constante de timp de avans pozitive; b) micşorarea unei constante de timp de întârziere pozitive.

Soluţie. Vom utiliza metoda reducerii la absurd. (a) Presupunem că sistemul rezultant Σ este monotonic. Prin readucerea (micşorarea)

constantei timp de avans mărite la valoarea iniţială reobţinem sistemul Σ . Acesta, conform teoremei de conservare a monotonicităţii – punctul (a), este monotonic (ca şi Σ ), ceea ce este fals.

(b) Presupunem că sistemul rezultant Σ este monotonic. Prin readucerea (creşterea) constantei timp de întârziere micşorate la valoarea iniţială reobţinem sistemul Σ . Acesta, conform teoremei de conservare a monotonicităţii – punctul (b), este monotonic (ca şi Σ ), ceea ce este fals.

♦ Aplicaţia 2.13. Fie 1Σ un sistem C-monotonic cu funcţia de transfer )(1 sG având constanta de timp de întârziere 01 >T , iar 2Σ sistemul cu funcţia de transfer )(2 sG ,


62

obţinută din )(1 sG prin înlocuirea constantei de timp 1T cu 12 TT > . Să se arate că între funcţiile indiciale ale celor două sisteme există inegalitatea

)()( 21 thth ≥ , 0≥t .

Soluţie. Intre funcţiile de transfer )(1 sG şi )(2 sG ale sistemelor 1Σ şi 2Σ există corelaţia

)(11)( 1

2

12 sG

sTsTsG++

= .

Rezultă

)(1

)1()]()([1)()( 12

2

2

12121 sG

sTT

TTsGsG

ssHsH

+−=−=− .

Transformatei Laplace 12

2+sT

T îi corespunde funcţia original 2/e Tt− . In consecinţă, din

proprietatea produsului de convoluţie rezultă

∫ −−−=−t

gTTthth Tt

0 12

121 d)(e)1()()( 2/)( τττ .

Deoarece 0)(1 ≥τg pentru ],0[ t∈τ (din teorema fundamentală a sistemelor monotonice), rezultă 0)()( 21 ≥− thth pentru 0≥t .

♦ Aplicaţia 2.14. Să se arate că sistemul Σ cu funcţia de transfer

]1)1)[((

1)( 221

fTssTsG

+++= , 0>f , 0>T ,

este C-monotonic dacă şi numai dacă TT ≥1 .

Soluţie. Fie 0Σ sistemul cu funcţia de transfer

]1)1)[((

1)( 220 fTsTssG

+++= .

Suficienţa. Trebuie să arătăm că sistemul Σ este C-monotonic pentru TT ≥1 . Ţinând seama de punctul b) al teoremei 1 de conservare a monotonicităţii, este suficient să arătăm că sistemul 0Σ este C-monotonic pentru TT ≥1 . Ţinând seama de teorema fundamentală a sistemelor monotonice, trebuie să demonstrăm că TT ≥1 implică 0)(0 ≥tg pentru orice

0≥t . Intr-adevăr, avem

2202

1)(1

11)(

fTsTs

TssGf++

+−+= ,

deci

0)cos1(1)( /0

2 ≥−= −Ttfe

Ttg Ttf .


63

Necesitatea. Trebuie arătat că dacă 0)( ≥tg pentru orice 0≥t , atunci TT ≥1 . Presupunem, prin absurd, că TT <1 . Avem

1)(

)1()()(11)(

1111

000 +

−−=++

=sT

sGTTsG

TTsG

sTTssG ,

deci

)()1(1)()( 1111

0 tgTT

Ttg

TTtg −−= ,

unde

ττ τ de)()(0

1/1 0∫

−−=

t Ttgtg .

Deoarece, aşa cum am arătat mai înainte, 0)(0 ≥−τtg pentru orice ],0[ t∈τ , rezultă

0)(1 >tg pentru orice 0>t . Ţinând seama că 0)2(0 =fTg π şi TT <1 , obţinem

0)2()1(1)2( 111

<−−=ffTgT

TT

Tg ππ , ceea ce contrazice ipoteza 0)( ≥tg .

Fig. 2.21. Răspunsul indicial şi răspunsul pondere pentru sistemul cu funcţia de transfer

]64)13)[(13(

65)( 20 +++=

sssG .

♦ Aplicaţia 2.15. Fie

3

22

1)(1)()(

1 +++

=sT

kTssG , 0, 1>TT , 0≥k .

Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer )(sG este C-monotonic pentru k

TT+

≥11 .

Soluţie. Cu notaţia 1T

Ta= , condiţia k

TT+

≥11 devine ak ≥+1 . Descompunem funcţia de

transfer în fracţii simple,


64

1)1()1(

)(1

21

31 +

++

++

=sTC

sTB

sTAsG ,

unde 0)1( 22 ≥+−= kaA , )1(2 aaB −= , 02 >=aC .


1e)2

(1)(1

21

2

1

Tt

CTBt

TAt

Ttg

−

++= .

In cazul 10 ≤<a , sistemul este C-monotonic deoarece 0≥B şi deci 0)( >tg pentru orice 0≥t .

In cazul 1>a , care implică 0>A şi 0<B , scriem funcţia pondere sub forma

1e]2)[()(2 22

11

Tt

BACBTAttAgT

−

−++= .

Avem 0)( ≥tg pentru orice 0≥t , deci sistemul este C-monotonic, dacă şi numai dacă 02 2 ≥−BAC . Intr-adevăr,

0)1)(1(22 22 ≥+−−+=− akakaBAC .

Caz particular. Sistemul cu funcţia de transfer

3

2

1)(11)4()(

1 +++

=sT

ssG

este C-monotonic pentru 21 ≥T şi este nemonotonic pentru 20 1 <<T . Răspunsurile din figura 2.22 au fost obţinute cu următorul program MATLAB:

t1=[1.75 2 3]; t=0:0.1:15; s=tf('s'); hold on; for i=1:3

sis=((4*s+1)^2+1)/(t1(i)*s+1)^3; step(sis,t);

impulse(sis,t); end;

grid on


65

Fig. 2.22. Răspunsurile indiciale şi pondere pentru 3;2;75,11=T ale sistemului cu

3

2

1)(11)4()(

1 +++

=sT

ssG .

♦ Aplicaţia 2.16. Fie sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1()1()1)(1(

)(21

21++++++

=sTsTsTsssK

sGn

nτττ,

unde 0>K şi 02211 ≥>>>>>> nnTTT τττ . Să se arate că sistemul închis cu funcţia de transfer

)(1

)()(0 sGsGsG

+=

este C-monotonic.

Soluţie. Cu notaţiile )1()1)(1()( 21 +++= sTsTsTsP n

şi )1()1)(1()( 21 +++= ssssZ nτττ ,

scriem funcţia de transfer )(0 sG sub forma

)()()(0 sQ

sZsG = ,

unde )()()( 1 sPKsZsQ −+= .

Fie i

izτ

1−= rădăcinile polinomului )(sZ , iar i

i Tp 1−= rădăcinile polinomului )(sP . Rezultă

nn zpzpzp >>>>>> 2211 . Pentru orice },,2,1{ ni∈ , avem )()( ii pZpQ = şi

)()( 1ii zPKzQ −= , deci )()()()( 1

iiii zPpZKzQpQ −= . Deoarece 0)()1( 1 >− −i

i pZ şi


66

0)()1( >− ii zP , rezultă 0)()( <ii zPpZ , deci 0)()( <ii zQpQ pentru orice },,2,1{ ni∈ . Prin

urmare, toate rădăcinile ip~ ale polinomului )(sQ , adică toţi polii funcţiei de transfer )(0 sG , sunt numere reale situate între zerourile şi polii funcţiei de transfer )(sG , adică iii ppz << ~ pentru },,2,1{ ni∈ . Aşadar, putem rescrie funcţia de transfer )(0 sG sub forma

)1~()1~)(1~)(1(

)1()1)(1()(

211

210

++++

+++=

− sTsTsTKsss

sGn

nτττ,

unde constantele de timp de întârziere iT~ sunt pozitive astfel încât iii TT <<~τ ,

},,2,1{ ni∈ . Comparând funcţia de transfer )(0 sG şi funcţia de transfer )(sG cu forma (94), rezultă că sistemul închis cu funcţia de transfer )(0 sG este C-monotonic.

♦ Aplicaţia 2.17. Sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1(

)1()(21 +++

+=

sTsTsTssG

n

nτ ,

cu 0>τ şi 0>iT pentru ni ,,2,1= , este C-monotonic dacă şi numai dacă

112

11

1 ... −−−− +++≥ nTTTnτ .

Soluţie. Necesitatea rezultă din condiţia ca răspunsul indicial să fie crescător la momentul +=0t , adică 0)0(' ≥+h . In conformitate cu (16), avem

)112

11

1

21211 ...()0( −−−−−−−−+ −−=−=′ n

n

n

n

nn

n

n TTTnTTTa

baa

bh ττ ,

iar din 0)0(' ≥+h obţinem 112

11

1 ... −−−− +++≥ nTTTnτ .

Pentru a demonstra suficienţa, în conformitate cu teorema 1 de conservare a monotonicităţii, este suficient să luăm în consideraţie cazul

11

21

11 ... −−−− +++= nTTTnτ .

In continuare vom considera acest caz şi vom utiliza metoda inducţiei. Pentru n=1, avem 1)( =sG , deci sistemul este C-monotonic. De asemenea, pentru 2=n , avem

)1)(1(

)1()(21

2

+++

=sTsT

ssG τ , 21

212TTTT+

=τ ,

iar sistemul este C-monotonic deoarece

)1)(1()(

)()1)(1(

)(21

221

221212

21

2212

21 +++−

+=++

−+=

sTsTTTTTTT

sTsTTT

sGTT ττ

τ .


67

In continuare vom presupune proprietatea adevărată pentru 2−n şi 1−n , şi vom arăta că aceasta rămâne adevărată şi pentru n. Presupunem, fără a pierde din generalitate, că

nTTT ≥≥≥ 21 şi kk TT <<+ τ1 . Fie )(1 sG funcţia de transfer obţinută din )(sG prin contracţia inversă a constantelor de timp de întârziere kT şi 1+kT . Asta presupune înlocuirea

produsului )1)(1( 1 ++ + sTsT kk

de la numitorul funcţiei )(sG cu produsul

)1~)(1~( 1 ++ + sTsT kk ,

unde constantele de timp kT~ şi 1~+kT satisfac condiţiile

11~~

++ >≥> kkkk TTTT , 11

111

1 ~~ −+

−−+

− +=+ kkkk TTTT .

In plus, din mulţimea infinită de perechi )1~,~( +kk TT care satisfac aceste condiţii, alegem

perechea în care cel puţin una dintre constantele de timp kT~ şi 1~+kT este egală cu τ . In

conformitate cu teorema 2 de conservare a monotonicităţii, este suficient să demonstrăm monotonicitatea sistemului cu funcţia de transfer )(1 sG de ordinul 1−n sau 2−n . Acest sistem este însă C-monotonic conform ipotezei de inducţie.

Caz particular. Sistemul cu funcţia de transfer

)1)(13)(16(

)1()(3

++++

=sss

ssG τ

este C-monotonic pentru 20 ≤≤τ şi este nemonotonic pentru 2>τ (fig. 2.23).

Fig. 2.23. Răspunsurile indiciale şi pondere pentru 3;5,2;2;1=τ ale sistemului cu

)1)(13)(16(

)1()(3

++++

=sss

ssG τ .


68

2.8.2. Aplicaţii de autocontrol

♦ C2.1. Să se calculeze funcţia de transfer şi răspunsul sistemului

uuyy +=+ 27

la următoarele intrări: a) )(1 tu = ; b) )(0 tu δ= ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(12sin ttu ⋅= .

♦ C2.2. Să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului

uuyyy 2656 +=++ .

Să se scrie apoi ecuaţia sistemului echivalent minimal.

♦ C2.3. Să se calculeze răspunsul indicial al sistemului continuu

uuyyy +=++ 3243 .

♦ C2.4. Fie )(th răspunsul indicial al sistemului continuu

uuuyyyy ++=+++ 342544 .

Să se afle: a) )0( +h ; b) )0( +′h ; c) )(∞h .

♦ C2.5. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:

1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .

a) Să se calculeze funcţia de transfer )(sG a sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se afle )(tv ; c) Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty ;

♦ C2.6. Fie conexiunea cu reacţie formată din subsistemele:

1Σ : eyy =+4 , 2Σ : y=+vv2 .

a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi ecuaţia sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se calculeze )(sY , apoi )(ty .


69

♦ C2.7. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=12

32A , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=11

B , [ ]pC −= 2 , 0=D ,

unde R∈p .

(a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi funcţia indicială )(th ; (b) Să se arate că sistemul nu este minimal.


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=2134

A , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=0121

B , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=1121

C , 0=D .

(a) Să se afle matricea de transfer )(sG ;

(b) Să se afle răspunsul )(1 ty la intrarea )(1)(2 ttu = .


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=12

1 pA , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=21

B , [ ]11 −=C , 2=D ,

unde R∈p . Pentru ce valori ale parametrului p sistemul este minimal ?

♦ C2.10. Se dă sistemul cu funcţia de transfer

)1)(1(1)(21 ++

+= sTsTssG τ .

Dacă 0,, 21 >TTτ şi 21

111TTτ

+> , atunci răspunsul indicial al sistemului are un punct de

inflexiune la 0>t .

♦ C2.11. Să se afle răspunsul )(ty al sistemului cu

12

2)(+

=s

sG ,

la intrarea de tip original

⎩⎨⎧

≠

==

0,0

0,3)(

t

ttu .

♦ C2.12. Să se afle valoarea iniţială )0( +h şi valoarea finală )(∞h ale răspunsul sistemului cu funcţia de transfer


70

)1)(12(1)( ++

+= TssssG , 0>T ,

la intrarea de tip original

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤≤+

=

9,0

95,8

50,1

)(

t

t

tt

tu .

♦ C2.13. Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer

])1)[(1(

)1()( 21

211

22

ksTsTkssG+++

++=

τ , 0,,, 11 >kTkτ .

este C-monotonic pentru

2

1

212

1

22 )1(

2−+≥

Tk

Tk ττ .

♦ C2.14. Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer

)9)(5)(3()7)(6)(4()(

++++++

=sssssssG

este C-monotonic.

3 STABILITATEA

SISTEMELOR LINIARE

Conceptul de stabilitate este asociat sistemelor liniare pentru a ilustra caracterul mărginit sau nemărginit al mărimilor de stare şi de ieşire, în condiţiile în care mărimile de intrare sunt mărginite.

In domeniul stabilităţii sistemelor se utilizează două concepte: conceptul de stabilitate internă (referitoare la starea sistemului) şi conceptul de stabilitate externă (referitoare la ieşirea sistemului). Deoarece starea curentă a unui sistem determină ieşirea acestuia, dacă starea este mărginită (sistemul este intern stabil), atunci şi ieşirea este mărginită (sistemul este extern stabil). Reciproca acestei afirmaţii nu este adevărată, deoarece un sistem cu ieşirea mărginită nu are obligatoriu şi starea mărginită. Un exemplu în acest sens este sistemul monovariabil de ordinul doi cu variabila de stare 1x mărginită şi variabila de stare 2x nemărginită, având mărimea de ieşire identică cu starea 1x .

Sistemele fizice sunt liniare cel mult într-un domeniu de variaţie mărginit al mărimilor de stare şi de ieşire. In consecinţă, la sistemele fizice instabile, variabilele de stare şi de ieşire evoluează în afara domeniului de liniaritate. Deoarece orice sistem fizic prezintă în exteriorul domeniului de liniaritate caracteristici neliniare de tip saturaţie sau blocare, mărimile de stare şi de ieşire ale unui sistem fizic instabil rămân finite. In cele ce urmează, vom considera cazul teoretic al sistemelor cu domeniu de liniaritate nemărginit.

3.1. STABILITATEA INTERNA

Prin definiţie, un sistem este intern strict stabil dacă, oricare ar fi starea iniţială, starea sistemului evoluează în regim liber spre origine, adică

0)(lim =∞→

tXlt, 0X∀ . (1)


72

Un sistem este intern stabil dacă, în regim liber, starea sistemului rămâne finită (evoluează într-un domeniu mărginit al spaţiului stărilor), oricare ar fi starea iniţială. Un sistem stabil poate fi deci strict stabil sau semistabil (stabil la limită), iar un sistem care nu este stabil se numeşte instabil.

In regim liber, traiectoriile de stare pot fi convergente spre origine - la sistemele liniare strict stabile, convergente spre o curbă închisă - la sistemele semistabile, sau divergente - la sistemele instabile.

Tinând seama că

0)()( XttXl Φ= , (2)

unde )(tΦ este matricea fundamentală sau de tranziţie a stării, egală cu Ate ( +∈Rt ) la sistemele liniare continue şi cu tA ( N∈t ) la sistemele liniare discrete. Din (1) şi (2) obţinem

Lema stabilităţii interne. a) Un sistem liniar este intern strict stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării tinde spre zero, adică

0)(lim =∞→

tt

Φ ; (3)

b) Un sistem liniar este intern stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării este finită, adică există 0>M astfel încât

. t Mt 0,)( ≥∀≤Φ (4)

Din lema stabilităţii interne reiese că stabilitatea internă a unui sistem liniar (continuu sau discret) este o proprietate asociată exclusiv matricei A , deci o proprietate internă a sistemului.

Dacă matricea A a unui sistem liniar continuu are valorile proprii nsss ,,, 21

distincte, atunci matricea de tranziţie a sistemului poate fi scrisă sub forma

1e)( −= VVt tAΦ ,

unde V este matricea pătrată şi nesingulară a vectorilor proprii, iar

)e,,e,(ediage 21 tttt nsssA = .

Deoarece matricea V este nesingulară, avem

0)(lim =∞→

tt

Φ ⇔ 0elim =∞→

tAt

⇔ itst

i ∀=∞→

,0elim ⇔ isRe i ∀< ,0 .

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE

73

Similar, în cazul unui sistem liniar discret cu valorile proprii nsss ,,, 21 distincte,

avem 1)( −= VAVt tΦ , cu

),,,(diag 21tn

ttt sssA = ;

prin urmare, avem

0)(lim =∞→

tt

Φ ⇔ 0lim =∞→

tt

A ⇔ istt

i ∀=∞→

,0lim ⇔ isi ∀< ,1 .

Aceste rezultate sunt valabile şi la sistemele (continue şi discrete) cu valori proprii multiple. Tinând seama de acest lucru şi de faptul că valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile polinomului caracteristic )Idet()( Ass −=P , putem formula condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate strictă sub forma următoarei teoreme.

Teorema stabilităţii interne stricte. a) Un sistem continuu este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au partea reală negativă (sunt situate în semiplanul complex stâng);

b) Un sistem discret este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar (sunt situate în interiorul discului unitar cu centrul în originea planului complex).

In cazul unui sistem continuu cu valori proprii distincte, matricea )(tΦ este mărginită dacă şi numai dacă matricea diagonală tAe este mărginită. Condiţia este satisfăcută atunci când toate funcţiile

tsie sunt mărginite, adică atunci când 0≤isRe pentru },,2,1{ ni∈ . Dacă matricea A (nedegenerată) are o valoare proprie is cu

ordinul de multiplicitate 2 , atunci matricea bloc diagonală tAe conţine blocul diagonal

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

t

ttt

is

isisi tA

e0eee . (5)

Se observă că în cazul 0=isRe , matricea tiAe nu este mărginită. Acest rezultat

poate fi extins sub forma următoarei condiţii suficiente de stabilitate simplă: Un sistem continuu este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului

caracteristic au partea reală negativă sau nulă, cele cu partea reală nulă fiind rădăcini simple.

In mod similar, un sistem discret este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar sau unitar, cele cu modulul unitar fiind rădăcini simple.


74

Condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate simplă a unui sistem continuu liniar pot fi obţinute ţinând seama de expresia transformatei Laplace a funcţiei de tranziţie a stării 1)I()( −−= AssΦ . (6)

Un sistem continuu este intern stabil dacă şi numai dacă toţi polii transformatei Laplace a matricei de tranziţie a stării, adică 1)I()( −−= AssΦ , au partea reală negativă sau nulă, cei cu partea reală nulă fiind poli simpli.

Observaţii. 1°. Un sistem continuu cu matricea A degenerată poate fi semistabil chiar şi atunci când polinomul caracteristic are rădăcini multiple cu partea reală nulă. Astfel, sistemul cu parametrii matriceali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0000

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

B , [ ]11=C , 1=D ,

deşi are polinomul caracteristic 2)Idet()( sAss =−=P cu rădăcina dublă 02,1 =s ,

este totuşi intern semistabil deoarece transformata Laplace a matricei de tranziţie a stării

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−= −

10011)I()( 1

sAssΦ

are polul simplu 01 =s .

2°. Deoarece polinomul caracteristic al unei conexiuni serie sau paralel este egal cu produsul polinoamelor caracteristice ale sistemelor componente, adică

)()()( 21 sss PPP = , rezultă că spectrul sistemului rezultant (mulţimea rădăcinilor

polinomului caracteristic) este reuniunea disjunctă a spectrelor celor două sisteme componente, adică

21~σσσ ∪= .

In consecinţă, sistemul rezultant (serie sau paralel) este intern strict stabil dacă şi numai dacă sistemele componente sunt intern strict stabile.

3°. Din dezvoltarea

++++−=− −12211 )()Idet( n

nnn saaasAs

reiese că suma rădăcinilor polinomului caracteristic este egală cu suma elementelor diagonale ale matricei A , adică


75

nnn aaasss +++=+++ 221121 . (7)

Deoarece nn sResResResss +++=+++ 2121 ,

rezultă că dacă pentru un sistem continuu avem

02211 >+++ nnaaa , (8)

atunci sistemul este intern instabil. Similar, deoarece

nnnn aaassssss +++=+++≥+++ 22112121 ,

un sistem discret este intern instabil dacă

naaa nn >+++ 2211 . (9)

4°. Conceptul de stabilitate internă este specific sistemelor de tip I-S-E, dar poate fi extins şi la sistemele de tip I-E, pe baza conceptului de polinom caracteristic, comun ambelor tipuri de sisteme. Din acest motiv, în teorema stabilităţii interne am utilizat expresia “rădăcinile polinomului caracteristic“ în locul expresiei “valorile proprii ale matricei A“. La sistemele multivariabile cu m intrări şi p ieşiri,

polinomul caracteristic al sistemului este c.m.m.m.c al polinoamelor caracteristice asociate celor pm⋅ canale intrare-ieşire. 3.2. STABILITATEA EXTERNA

Prin definiţie, un sistem liniar este extern strict stabil dacă, la orice intrare de tip original mărginită pentru 0>t , ieşirea sistemului este, de asemenea, mărginită. Matematic, un sistem este extern strict stabil dacă oricare ar fi intrarea de tip original cu proprietatea 01)( >∀≤ t tU ,

există 0>M astfel încât

0 )( ≥∀≤ t MtY .

La sistemele monovariabile continue cu funcţia pondere )(tg , din relaţia de convoluţie

u-tgtyt∫= 0

)d()()( τττ , (10)


76

rezultă Prima lemă a stabilităţii interne stricte. (a) Un sistem monovariabil continuu

este extern strict stabil dacă şi numai dacă integrala

ttg∫∞

=0

d)(I (11)

este finită. (b) Un sistem liniar monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai

dacă suma

∑∞

=

=0

)(k

kgS (12)

este finită. La sistemele continue, pentru a demonstra necesitatea, vom arăta că integrala

I este finită pentru un sistem extern strict stabil. Avem

∫∫ ∫ −===∞→

∞

∞→

T

T

T

TTg ttgttg

00 0d)(limd)(limd)( ττI

)(limd))sgn(g()(lim0

TyTTgtT

T

∞→=−⋅−= ∫

∞→τττ ,

unde )(Ty este valoarea ieşirii la momentul T pentru intrarea mărginită ))(sgn()( ττ −= Tgu . Deoarece sistemul este extern strict stabil, ieşirea y este

mărginită, deci integrala I este finită. Pentru a demonstra suficienţa, vom considera integrala I finită şi vom arăta că

pentru orice intrare )(tu cu 1≤)(tu , ieşirea )(ty este mărginită. Intr-adevăr, avem

=−≤−≤−= ∫∫∫ttt

tgutgutgty000

)()()( )()( ττττττττ ddd)(

I=≤= ∫∫∞

00)()( xxgxxg

tdd .

La sistemele discrete, demonstraţia este similară, pe baza relaţiei de convoluţie

∑=

−=t

kkuktgty

0)()()( .

O condiţie necesară ca integrala I şi suma S să fie finite este ca funcţia pondere g să tindă la 0 pentru ∞→t . La sistemele liniare de ordin finit, această condiţie este şi suficientă, ca urmare a caracterului exponenţial al funcţiei pondere. Rezultă astfel


77

A doua lemă a stabilităţii interne stricte. Un sistem liniar monovariabil (continuu sau discret) este extern strict stabil dacă şi numai dacă

0)(lim =∞→

tgt

. (13)

Deoarece funcţia pondere a unui sistem I-S-E strict propriu este dependentă de matricele A , B şi C , rezultă că stabilitatea externă constituie o proprietate asociată tuturor acestor matrice, spre deosebire de stabilitatea internă, care este asociată numai matricei A .

Prin relaxarea condiţiei de stabilitatea strictă (13), se consideră că un sistem liniar monovariabil este extern stabil dacă funcţia pondere g este mărginită pentru

0>t , adică există 0>M astfel încât

. tMtg 0,)( >≤ ∀ (14)

Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu cu polii simpli kppp ,,, 21

poate fi scrisă sub forma

k2

2

1

1)(ps

Cps

Cps

CdsG k

−−+

−+= ++ , (15)

unde d este o constantă reală. Din expresia funcţiei pondere,

tptptp kkCCCtdtg eee)()( 210 21 ++++= δ , (16)

reiese că 0)(lim =∞→

tgt

dacă şi numai dacă 0<ipRe pentru orice },,2,1{ ki∈ .

Acest rezultat este valabil şi la sistemele cu poli multipli. Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor continue. Un sistem liniar

monovariabil continuu este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă.

Din expresia (16) a funcţiei pondere g reiese că aceasta este mărginită pentru 0>t dacă şi numai dacă 0Re ≤ip pentru },,2,1{ ki∈ . In cazul ppp == 21 , când

k

212)(

)(ps

C

ps

Cps

CdsG k

−−+

−+= ++ ,

tpptpt kkCtCCtdtg eee)()( 210 ++++= δ ,

funcţia pondere g este mărginită pentru 0>t dacă şi numai dacă 0<pRe şi 0≤ipRe pentru },,4,3{ ki∈ . Generalizând acest rezultat, un sistem continuu


78

este extern stabil dacă şi numai dacă polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă sau nulă, polii cu partea reală nulă fiind poli simpli.

Oricărui sistem liniar discret Σ i se poate asocia un sistem minimal 0Σ , cu funcţia de transfer ireductibilă, de forma

nn

rrzazazbzbb

zG −−

−−

++++++

= 11

110

0 1)( , C∈z .

Ambele sisteme au aceeaşi ecuaţie a polilor, anume

011

1 =++++ −−

nnnn azazaz ,

care coincide cu ecuaţia caracteristică a sistemului minimal. De asemenea, au aceeaşi funcţie pondere (deoarece sunt echivalente intrare-ieşire). Prin urmare, studiul stabilităţii externe a sistemului Σ se poate face pe baza funcţiei pondere a sistemului 0Σ , adică a răspunsului la intrare impuls unitar a sistemului cu ecuaţia

)()1()()()1()( 101 rtubtubtubntyatyaty rn −++−+=−++−+ .

Dacă rădăcinile nzzz ,,, 21 ale ecuaţiei caracteristice (identice cu polii funcţiei de

transfer) au valori distincte, atunci funcţia pondere are următoarea formă pentru t suficient de mare:

tnn

tt zCzCzCtg +++= 2211)( . (17)

Dacă rădăcinile 1z şi 2z sunt reale şi egale, atunci suma tt zCzC 2211 + trebuie înlocuită

cu tzCtC 121 )( + . In ambele cazuri, funcţia pondere )(tg tinde la 0 pentru ∞→t dacă

şi numai dacă toţi polii au modulul subunitar. Am obţinut astfel Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor discrete. Un sistem liniar

monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar.

In ceea ce priveşte stabilitatea simplă, se poate arăta că funcţia pondere )(tg este mărginită dacă şi numai dacă toţii polii au modulul unitar sau subunitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli. Prin urmare, un sistem liniar monovariabil discret este extern stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar sau unitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli.

Un sistem multivariabil este extern stabil dacă şi numai dacă toate canalele intrare-ieşire ale sistemului sunt extern stabile.


79

Observaţii. 1°. Problema stabilităţii unui sistem liniar se reduce la problema poziţionării în planul complex a rădăcinilor polinomului caracteristic - în cazul stabilităţii interne, respectiv a rădăcinilor polinomului polilor - în cazul stabilităţii externe. In cazul unui sistem monovariabil minimal, polinomul caracteristic coincide cu polinomul polilor şi, în consecinţă, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă este extern stabil. In general, un sistem intern stabil este şi extern stabil, dar implicaţia inversă nu este întotdeauna valabilă.

2°. In cazul conexiunilor serie si paralel, dacă sistemele componente sunt extern strict stabile, atunci sistemul rezultant este extern strict stabil. Teoretic, sistemul rezultant poate fi extern strict stabil şi în condiţiile în care sistemele componente nu

sunt toate extern strict stabile. De exemplu, conexiunea serie cu 11

1 +−= s

sG şi

11

2 −= sG , sau conexiunea paralel cu 11

1 −−= sG şi 12 −= s

sG , sunt extern strict

stabile, dar intern instabile. In majoritatea aplicaţiilor practice interesează stabilitatea externă a sistemului.

Totuşi, în cazul general al unui sistem compus, vom considera practic inacceptabilă soluţia stabilizării externe a sistemului prin simplificarea sau reducerea părţilor instabile.

3°. In cazul sistemului de reglare automată din figura 1.4, dacă elementele componente sunt de tip minimal (cu forma primară a funcţiilor de transfer ireductibilă) şi, în plus, produsul TPER GGGG este ireductibil, atunci polinomul

caracteristic şi polinomul polilor coincid, fiind egale cu numărătorul raţionalei

TPER GGGG+1 . (18)

In acest caz, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă este extern stabil. Această proprietate se păstrează şi în cazul mai general în care elementele componente sunt de tip minimal şi produsul raţional TPER GGGG se simplifică printr-un polinom

hurwitzian (care are toate rădăcinile cu partea reală negativă), precum şi atunci când toate elementele componente sunt stabile. In proiectarea regulatorului unui sistem de reglare a unui proces instabil trebuie evitată soluţia simplificării polului instabil al procesului printr-un zerou egal al regulatorului (în cadrul produsului PRGG ),

deoarece o simplificare perfectă nu este posibilă decât din punct de vedere teoretic.


80

3.3. CRITERIUL DE STABILITATE HURWITZ

Criteriul lui Hurwitz permite rezolvarea efectivă a problemei stabilităţii pe baza condiţiilor formulate în cadrul teoremelor de stabilitate internă şi externă. Criteriul are la bază ideea conform căreia rezolvarea problemei locaţiei rădăcinilor unui polinom în raport cu axa imaginară sau cu cercul unitar cu centrul în origine nu necesită calculul rădăcinilor polinomului.

Criteriul lui Hurwitz. Polinomul

011

1)( asasasasp nn

nnn ++++= −

− , 0>na

este hurwitzian, adică are toate rădăcinile cu partea reală negativă, dacă şi numai dacă toţi coeficienţii polinomului şi minorii principali

11 −=Δ na , 3212

312 −−−

−

−− −==Δ nnnnnn

nn aaaaaaaa

, … , 10 −Δ=Δ nn a

ai matricei Hurwitz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−−

02

1

2

31

*00**

0000

a a a

aaaa

Hnn

nn

n (19)

sunt pozitivi. Tinând seama de expresiile minorilor 1Δ şi nΔ , condiţia de pozitivitate a

acestor minori este evident superflue. Construcţia matricei Hurwitz se face astfel: se completează mai întâi diagonala

principală şi apoi coloanele, ţinând seama de faptul că indicii coeficienţilor cresc la deplasarea, de sus în jos, pe fiecare coloană.

Pentru 2=n , din criteriul lui Hurwitz rezultă că ambele rădăcini ale polinomului

012

22 )( asasasp ++= , 02 >a ,

au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi. Pentru 3=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

02

13

02

3

000

aaaaaa

H .


81

Polinomul 012

23

33 )( asasasasp +++= (cu 03 >a ) are rădăcinile cu partea reală

negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 030212 >−=Δ aaaa . (20)

Pentru 4=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

02

13

024

13

00 00 00

4

4

aaaaaaaa

aa

H .

Rădăcinile polinomului

012

23

34

44 )( asasasasasp ++++= , 04 >a ,

au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 02

30213 >−Δ=Δ aaa , unde 41322 aaaa −=Δ . In mod evident, condiţia 02 >Δ rezultă implicit din condiţia 03 >Δ .

Observaţii. 1°. Polinomul )(spn are rădăcinile cu partea reală mai mică decât R∈α , adică situate în stânga dreptei α=s , dacă şi numai dacă polinomul )(sp este

hurwitzian, unde )() α+= ssp np( (21)

Această remarcă poate fi utilizată la poziţionarea rădăcinilor polinomului caracteristic sau polinomului polilor în stânga dreptei α=s , 0<α , în vederea obţinerii unor performanţe dinamice convenabile.

2°. In analiza stabilităţii sistemelor discrete se ţine seama de faptul că transformarea omografică

11

−+= s

sz , (22)

echivalentă cu zzs 1

1−+= , aplică biunivoc interiorul cercului unitar cu centrul în

origine din planul variabilei z în semiplanul 0<sRe din planul variabilei s . In consecinţă, polinomul

011

1)( azazazaz nn

nnn ++++= −

−P , 0>na ,

are toate rădăcinile cu modulul subunitar dacă şi numai dacă ecuaţia

0)11( =

−+

ss

nP (23)


82

are toate rădăcinile cu partea reală negativă, ceea ce poate fi analizat cu criteriul Hurwitz.

3.4. APLICAŢII


♦ Aplicaţia 3.1. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia

uuyyy 2232 −=−− .

Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic

)12)(2(232)( 2 +−=−−= sssssP şi funcţia de transfer 12

1232

2)( 2 +=

−−−= sss

ssG .

Deoarece polinomul caracteristic are rădăcina 21 =s strict pozitivă, sistemul este intern

instabil. Deoarece polinomul polilor

12)( += ssP

are o singură rădăcină şi aceasta este negativă (egală cu 2/1− ), sistemul este extern strict stabil.

♦ Aplicaţia 3.2. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia

0 , )(168 2 ≥+−=−++ kuuykyy .

Soluţie. Formăm polinomul caracteristic

)4)(4(168)( 22 ksksksss −+++=−++=P


)4)(4(1)(

k1681)( 22 ksks

sssssG −+++

−−=−++

+−= .

Polinomul caracteristic are rădăcina ks −−= 41 negativă şi rădăcina ks +−= 42 negativă

pentru 4<k , nulă pentru 4=k şi pozitivă pentru 4>k . In consecinţă, sistemul este intern strict stabil pentru 4<k , intern semistabil pentru 4=k şi intern instabil pentru 4>k .

Sistemul are doi poli pentru 5≠k şi un singur pol pentru 5=k , anume 91 −=s . Rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 4<k şi 5=k , extern semistabil pentru 4=k şi extern instabil pentru 4>k , 5≠k .


83

♦ Aplicaţia 3.3. Să se studieze stabilitatea sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu

[ ] . 0= , 001= , 100

= , 4561 00110

DCBA −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

Soluţie. Polinomul caracteristic al sistemului

)3)(2)(1(64)Idet()( 23 ++−=−++=−= ssssssAssP

are o rădăcină pozitivă ( 11 =s ) şi, prin urmare, sistemul este intern instabil.

Funcţia de transfer a sistemului

3)2)((1

641)I()( 23

1++

=−++

−=+−= −sssss

sDBAsCsG ,

are polii 21 −=s şi 32 −=s , ambii negativi; în consecinţă, sistemul este extern strict stabil.

♦ Aplicaţia 3.4. Elementele componente ale sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele modele dinamice: R: εkc = , mr −=ε ; E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .

a) Să se studieze stabilitatea sistemului. b) Să se determine parametrul real k astfel încât polii sistemului de reglare să fie

situaţi în stânga dreptei 3,0−=s .

Soluţie. Elementele sistemului de reglare au următoarele funcţii de transfer

kGR = , 122+= sGE , 15

1+= sGP ,

1525,0+

−=

sGV , 1

1+= sGT .

a) Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi funcţia de transfer a sistemului deschis

)1)(15)(12(2

+++== ssskGGGGG TPERd


84

sunt ireductibile, studiul sistemului din punctul de vedere al stabilităţii interne şi externe conduce la acelaşi rezultat. Polinomul caracteristic şi polinomul polilor sistemului coincid cu numărătorul raţionalei )(1 sGd+ , adică

kssskssssP 21817102)1)(15)(12()( 23 ++++=++++= .

Coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi pentru 21−>k , iar minorul Hurwitz

)1063(2)21(1017803212 kkaaaa −=+−⋅=−=Δ

este pozitiv pentru 1063<k . Prin urmare, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai

dacă factorul de proporţionalitate al regulatorului aparţine intervalului )1063,2

1(− .

In figura 3.1 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului. Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:

k=[-0.1 0.5 2 6.3]; t=0:0.1:30; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);

sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);

hold on; for i=1:4

sis1=k(i)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on

Fig. 3.1. Răspunsul )(ty la referinţă treaptă unitară.


85

b) Impunem condiţia ca polinomul

kssssP 21)3,0(8)3,0(17)3,0(10)3,0( 23 ++−+−+−=−

14,025,0810 23 −+++= ksss

să fie hurwitzian. Din condiţia de pozitivitate a coeficienţilor rezultă 07,0>k , iar din condiţia 02 >Δ , unde kkaaaa 204,5)14,02(1085,003212 −=−−⋅=−=Δ ,

rezultă 27,0<k . In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii cu partea reală mai mică decât 3,0− pentru 27,007,0 <<k .

♦ Aplicaţia 3.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer

)411( skGR += , 12

2+= sGE , 15

1+= sGP , 1

1+= sGT .

Soluţie. Avem

1)1)(1)(5(221)(4

++++= ssss

skGd .

Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi ale sistemului deschis sunt ireductibile, polinomul polilor şi polinomul caracteristic coincid:

kskssssP +++++= )12(2163420)( 234 . Avem

)1063(814322 kaaaa −=−=Δ ,

)25217580(4 2230213 ++−=−Δ=Δ kkaaa .

Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 00 kk << , unde 178,30 ≅k . Conform criteriului Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 00 kk << .

In figura 3.2 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului. Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:

k=[0.2 0.4 1 3.17]; t=0:0.1:40; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);

sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);

hold on; for i=1:4

sis1=k(i)*(1+1/4/s)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on


86


♦ Aplicaţia 3.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer

sTGi

R11+= , 13

1+= sGE , 16

1+= sGP , 1

1+= sGT .

Soluţie. Avem

1)1)(61)(3(/1

++++

= ssssTs

G id .

Pentru }6,3,1{∉iT , polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic:

iTsssssP 12102718)( 234 ++++= .

Avem 23414322 =−=Δ aaaa

şi )8152(92

30213iTaaa −=−Δ=Δ .

Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 5281>iT . Conform criteriului

Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 55,152

81 ≅>iT . Acest rezultat este valabil şi în cazul }6,3,1{∈iT , când polinomul

caracteristic diferă de polinomul polilor, deoarece funcţia )(sGd se simplifică printr-un

polinom hurwitzian.

In figura 3.3 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale constantei de timp integrale a regulatorului.


87


♦ Aplicaţia 3.7. Fie sistemul de reglare automată ale cărui elemente au funcţiile de transfer

)11(sT

kGi

R += , 0>k ,

1=EG , )14(1++= ss

sGP , 1=TG .

Să se studieze stabilitatea sistemului pentru: (a) 1=iT ; (b) 3=iT .

Soluţie. (a) Avem

)14(

)1()( 2

2

++=ss

sksGd ,

iar polinomul polilor şi cel caracteristic coincid:

kksskssP ++++= 2)1(4)( 23 .

Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi, sistemul este stabil numai atunci când

0)1(230212 >−=−=Δ kkaaaa ,

adică pentru 1>k . In marea majoritate a aplicaţiilor practice, sistemele de reglare sunt stabile pentru valori mici ale factorului de proporţionalitate al regulatorului, când comanda generată de regulator este relativ slabă. Sistemul de reglare studiat este însă unul de excepţie, în care sistemul deschis este dublu integral, iar componenta integrală a regulatorului este foarte puternică.

In figura 3.4 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k regulatorului.


88

Fig. 3.4. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )11( skGR += .

(b) In cazul regulatorului )311( skGR += cu componenta integrală mai slabă, avem

)14(3

)1)(13()( 2 +++=

ssssksGd ,

iar polinomul polilor are expresia

kksskssP ++++= 4)1(312)( 23 .

Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi şi 012 230212 >=−=Δ kaaaa , sistemul este

stabil pentru orice 0>k (fig. 3.5).

Fig. 3.5. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )311( skGR += .


89

♦ Aplicaţia 3.8. Fie sistemul de reglare automată ale cărui elemente au funcţiile de transfer

)11( sTkGi

R += , 1=EG , )1(111 +

= sTsTGP , 1=TG .

Să se arate că sistemul este strict stabil pentru 01 >>TTi , oricare ar fi 0>k .

Soluţie. Avem

)1(

)1()(

12

1 +

+=

sTsTTsTk

sGi

id

şi polinomul polilor

kskTsTTsTTsP iii +++= 21

321)( .

Pentru 0>k , sistemul este strict stabil deoarece coeficienţii polinomului caracteristic sunt pozitivi şi 0)( 1130212 >−=−=Δ TTTkTaaaa ii .

♦ Aplicaţia 3.9. Să se studieze stabilitatea sistemului discret cu ecuaţia

)(2)1()2(2)1()(3 tututytkyty −−=−+−+ , R∈k


23)( 2 ++= kzzzP .

Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecuaţia

0)11( =−

+ssP ,

echivalentă cu 052)5( 2 =−+++ kssk ,

are rădăcinile cu partea reală negativă, adică atunci când are toţi coeficienţii pozitivi. Prin urmare, sistemul este intern strict stabil pentru )5,5(−∈k , intern semistabil pentru

}5,5{−∈k şi intern instabil pentru ),5()5,( ∞∪−−∞∈k .

Pentru 5−=k avem )23)(1()( −−= zzzP , iar pentru 5=k avem )23)(1()( ++= zzzP . In

ambele cazuri sistemul este semistabil, deoarece ecuaţia caracteristică are o rădăcină cu modulul subunitar şi o rădăcină cu modulul unitar.

Pentru studiul stabilităţii externe formăm funcţia de transfer

23

223

2)( 221

21

++−=

++−= −−

−−

kzzz

zkzzzzG .


90

Pentru 7−≠k , funcţia de transfer este ireductibilă, iar polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic. Pentru 7−=k , rezultă

131)( −= zzG ,

iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 31

1=z are modulul subunitar. In

concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }7{)5,5( −∪−∈k , extern semistabil pentru }5,5{−∈k şi extern instabil pentru ),5()5,7()7,( ∞∪−−∪−−∞∈k .

Pentru 7−=k , sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil. In figurile 3.6 şi 3.7 sunt reprezentate grafic răspunsurile indiciale ale sistemului pentru cazurile de semistabilitate 5−=k şi 5=k , respectiv pentru cazurile de stabilitate externă 7−=k şi

0=k .

Fig. 3.6. Răspunsul indicial al sistemului semistabil.

Fig. 3.7. Răspunsul indicial al sistemului stabil.


91

♦ Aplicaţia 3.10. Să se studieze stabilitatea sistemului discret ),,,( DCBAdΣ cu

[ ] 0D , 01 , 11

, 5,021

1==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−

−= CBA

αα

.

unde α este un parametru real.


)12)(12(12)34(2)Idet()( 2 +++=++++=−= ααα zzzzAzzP .

Ţinând seama că 21

1−=z şi 122 −−= αz , rezultă că sistemul este intern strict stabil pentru

)0,1(−∈α , intern semistabil pentru }0,1{−∈α şi intern instabil pentru ),0()1,( ∞∪−−∞∈α .

Pentru studiul stabilităţii externe formăm modelul echivalent intrare-ieşire. Din ecuaţiile sistemului

⎩⎨⎧

++−=+

++−=+

)()()5,02()()1()()()()1(

222

211

tutxtxtxtutxtxtx

αα

, )()( 1 txty =

rezultă

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−++−+=+

++−=+

=

)1()()1()()5,12()()1()2()()()()1(

)()(

21

21

1

tututxtxtytutxtxty

txty

ααααα ,

de unde, prin eliminarea variabilelor de stare )(1 tx şi )(2 tx , obţinem ecuaţia

)()5,03()1()()5,0()1()5,12()2( tututytyty +++=++++++ ααα ,

echivalentă cu

)2()5,03()1()2()5,0()1()5,12()( −++−=−++−++ tututytyty ααα .

Rezultă funcţia de transfer

)12)(12(162

)5,0()5,12(1)5,03()( 21

21

+++++=

++++++= −−

−−

αα

ααα

zzz

zzzzzG .

Pentru 0≠α şi 21≠α , funcţia de transfer este ireductibilă, iar polinomul polilor coincide cu

polinomul caracteristic. Pentru 0=α , avem 11)( += zzG , iar sistemul este extern semistabil

deoarece polul 11 −=z are modulul egal cu 1. Pentru 5,0=α , avem

122)( += zzG ,


92

iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 21

1−=z are modulul subunitar. In

concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }21{)0,1( ∪−∈α , extern semistabil

pentru }0,1{−∈α şi extern instabil pentru ),21()2

1,0()1,( ∞∪∪−−∞∈α . Pentru 21=α ,

sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil.

♦ Aplicaţia 3.11. Să se studieze stabilitatea sistemului discret având

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=

1,70,80,110000 α

A , R∈α .

Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei A este

α1,08,07,1)Idet()( 23 +++=−= zzzAzzP .

Mai departe, formăm ecuaţia

0)11( =

−+

ssP ,

care are forma

01)35()339()35( 23 =−+++−++ αααα sss .

Coeficienţii ecuaţiei sunt pozitivi pentru 135 <<− α . Impunând şi condiţia

01601368)1)(35()339)(35( 22 >++−=−+−−+=Δ αααααα ,

din criteriul Hurwitz rezultă că sistemul discret este intern strict stabil atunci când 10 <<− αα , unde 1047,10 ≈α .


♦ C3.1. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia

uuukyyyy −−=+++ 2 ,

unde k este un parametru real.

♦ C3.2. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia

uuyykykyk +−=+++++ 3)13()1( ,



93

♦ C3.3. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu

[ ] , = , 001= ,

1

0

0

= ,

465

1 01

100

DkCBA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=


♦ C3.4. Să se studieze stabilitatea internă a sistemului

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−−=

−+=

3213

312

311

22

32

xxxxuxxx

ukxxx ,

⎩⎨⎧

−=

−=

212

11 2xxyuxy

,


♦ C3.5. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+=

+=

−=

uxxxx

ukxx

xxx

3213

22

321

52

,

321 22 xxxy ++−= ,


♦ C3.6. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−−=+=

=

uxxkxxuxx

xx

322 3213

32

21,

1xy= ,


♦ C3.7. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu

kGR = , 122+= sGE ,

1815

22 +++

=ss

sGP , 1=TG ,



94


)411( skGR += , 12

1+== sGG TE ,

142+= sGP ,

pentru 0>k .


sTGi

R11+= , 1== TE GG ,

)18)(12(1

++= ssGP ,

pentru 0>iT .

♦ C3.10. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin

KGR = , 0>K , 1)s(24

1+

=EG , 1s41+=PG , 1=TG .

Să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 31−

=s .

♦ C3.11. Pentru ce valori ale parametrului real k , sistemul discret cu ecuaţia

)2()1()3()2(8)1(17)(10 −+−=−+−+−+ tututkytytyty

este strict intern stabil ?

♦ C3.12. Pentru ce valori ale parametrului real k , sistemul discret cu ecuaţia

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=+

+−=+

)()()()1(2

)()()1(2

211

211

tutxtxtx

tkxtxtx , )()()( 21 txtxty −= .

este strict intern stabil ?

4 FUNCTIA DE FRECVENŢĂ

4.1. DEFINIŢIE SI PROPRIETĂŢI

Considerăm un sistem liniar neted cu funcţia de transfer )(sG . Prin definiţie, funcţia de frecvenţă (sau de pulsaţie) a sistemului este funcţia complexă )( ωjG , unde R∈ω sau, mai restrictiv, +∈Rω .

Funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma

)(e)()( ωωω jΦMjG = , (1)

unde )(ωM reprezintă modulul funcţiei de frecvenţă, iar )(ωΦ faza sau argumentul funcţiei de frecvenţă.

De asemenea, funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma

)()()( ωωω jVUjG += , (2)

unde )(ωU este partea reală a funcţiei de frecvenţă, iar )(ωV partea imaginară a funcţiei de frecvenţă.

Deoarece funcţia de transfer este o funcţie raţională, ea satisface următoarea proprietate:

)()( sGsG = ,

oricare ar fi variabila complexă s . Prin urmare,

)()( ωω jGjG =− ,

iar din )()()( ωωω −+−=− jVUjG şi )()()( ωωω jVUjG −= , rezultă

)()( ωω UU =− , )()( ωω VV −=− , (3)

adică )(ωU este funcţie pară, iar )(ωV funcţie impară. Din relaţiile

)()()( 22 ωVωUM +=ω (4)


96

şi )(/)()( ωωω UVΦtg = , (5)

rezultă că )(ωM este pară şi )(ωΦ impară. Dacă funcţiile impare )(ωV şi )(ωΦ sunt continue în punctul 0=ω , atunci 0)0( =V şi 0)0( =Φ . 4.2. INTERPRETARE FIZICA

Interpretarea fizică a funcţiei de frecvenţă a unui sistem liniar continuu rezultă imediat din teorema filtrării, enunţată şi demonstrată în cele ce urmează.

Teorema filtrării. Pentru un sistem liniar continuu propriu extern strict stabil aflat în regim sinusoidal permanent cu pulsaţia ω , modulul şi argumentul funcţiei de frecvenţă )( ωjG reprezintă factorul de amplificare şi, respectiv, defazajul ieşirii în raport cu intrarea.

Demonstraţie. Considerăm că la intrarea sistemului cu funcţia de transfer )(sG se aplică semnalul sinusoidal ttu ωsin)( = . Transformata Laplace a răspunsului sistemului este

)()()( 2222 sY s

B+AssGs

sY tr++

=+

=ωω

ω ,

unde )(sYtr este o raţională strict proprie având aceiaşi poli ca )(sG , deci cu partea

reală negativă. In relaţia de identificare )()()( 22 sGsBAssG trωω +++= , înlocuim pe s cu ωj pentru a elimina termenul cu )(sGtr . Rezultă

BAjjG += ωωω )( , BAjM jΦ += ωωω ω)(e)( , deci )(sin)( ωω ΦMA= , )(cos)( ωωω ΦMB = .

Prin urmare, răspunsul )(ty al sistemului are componenta armonică permanentă

[ ] =+=+

= − tBtAs

B+Asyp ωωωω

sincos221L(t)

)](sin[)(]sin)(coscos)()[sin( ωωωωωωωω ΦtMtΦtΦM +=+=

şi componenta tranzitorie

[ ])()( 1 sYty trtr−=L ,

FUNCŢIA DE FRECVENŢA

97

care se anulează în timp, adică 0)(lim =∞→

tytrt, deoarece toţi polii funcţiei )(sYtr au

partea reală negativă. Pentru intrarea sinusoidală ttu ωsin)( = , răspunsul permanent

al sistemului )](sin[)()( ωωω ΦtMtyp += , (6)

evidenţiază faptul că funcţia de frecvenţă

)(e)()( ωωω jΦMjG =

este factorul complex de amplificare în regim armonic permanent.

4.3. CARACTERISTICI DE FRECVENTA

Caracteristicile de frecvenţă cele mai utilizate sunt caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM şi caracteristica fază-pulsaţie )(ωΦ . Caracteristica amplificare-pulsaţie este frecvent cunoscută în literatura de specialitate şi sub denumirea, oarecum improprie, de caracteristică amplitudine-pulsaţie.

In reprezentarea grafică a celor două caracteristici, pulsaţia ω este exprimată de obicei în scară logaritmică, amplificarea M în decibeli ( MM lg20][ dB = , unde lg

este logaritmul zecimal), iar faza Φ în radiani. Sub această formă, caracteristicile de frecvenţă sunt cunoscute şi sub denumirea de caracteristici Bode.

In cazul sistemelor strict proprii (cu exces pozitiv poli-zerouri), din relaţia evidentă 0)(lim =

∞→sG

s rezultă condiţia

0)(lim =→∞

ωω

M ,

care exprimă faptul că factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent al sistemelor strict proprii tinde la zero atunci când frecvenţa de oscilaţie tinde la infinit. Deoarece această proprietate caracterizează practic toate sistemele reale (fizice), rezultă că sistemele reale sunt strict proprii, cel puţin în domeniul frecvenţelor foarte înalte.

La sistemele semiproprii (cu acelaşi număr de poli şi zerouri), relaţia

n

n

absG

s=

∞→)(lim implică

0)(lim ≠=∞→ n

n

abM ω

ω.


98

Valoarea nenulă a factorului de amplificare la frecvenţe (pulsaţii) ∞→ω se datorează faptului că sistemele semiproprii satisfac la limită principiul cauzalităţii, mărimea de ieşire având o componentă care urmăreşte instantaneu variaţiile mărimii de intrare.

In cazul sistemelor fizic realizabile, caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM

trebuie să satisfacă condiţia Paley-Wiener

∞<∫∞+

∞− d

1)(ln

2 ωωω

+M . (7)

Condiţia nu este satisfăcută atunci când )(ωM are valoarea nulă pe un interval de

variaţie a pulsaţiei ω . In particular, un filtru ideal de tip trece-jos, trece-bandă sau trece-sus (caracterizat printr-o amplificare nulă în afara benzii de trecere) nu este fizic realizabil. Se pot obţine însă caracteristici amplificare-pulsaţie oricât de apropiate de cele ale unui filtru ideal. O metodă de obţinere a acestor caracteristici este aproximaţia tip Taylor de un anumit ordin n , care în cazul filtrului trece-jos cu pulsaţia de bandă (de tăiere) bω (fig. 4.1), presupune satisfacerea următoarelor

condiţii:

1)0( =M , 2

1)( =bM ω , 0)0()( =iM , ni ,1= . (8)

Banda de trecere sau lărgimea de bandă a unui filtru trece-jos reprezintă intervalul ),0( bω în care factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent

)(ωM nu scade mai mult de 2 ori (cu mai mult de 3 dB) faţă de valoarea sa

maximă.

Fig. 4.1. Caracteristica amplificare-pulsaţie a unui filtru trece- jos.

Aproximaţia tip Taylor de ordinul n are forma


99

)( ))(( 21

1)(n

bbb

npspspssG

+++=

ωωω

, (9)

unde

ni

nipi 2

π1)(2jcos2π1)(2sin −−−

= , ni ,,2,1= . (10)

Cu notaţia 1 1 / bT ω= , pentru 1=n , 2=n şi 3=n , avem respectiv

11

1( )

1b

bG s s T s

ωω == + +

, (11)

2

2 2 2 2 21 1

2

1( )

2 1b

b bG s

s s T s T sωω ω+

=+

=+ +

, (12)

3

3 2 2 2 21 1 1

( )(

1( )

) ( 1)( 1)b

b b bG s

s s s T s T s T sω

ω ω ω+=

+=

+ + + + . (13)

Fig. 4.2. Caracteristicile amplificare-pulsaţie ale filtrelor de ordinul 1, 2 şi 3.

Graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru 0≥ω se numeşte locul de transfer, iar graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru R∈ω se numeşte locul lui Nyquist.

Locul de transfer mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG

atunci când variabila complexă s parcurge semiaxa imaginară pozitivă. Dacă )(sG are un pol în origine, atunci locul de transfer este construit pentru ωjs = , 0>ω , iar dacă )(sG are poli complex-conjugaţi pe axa imaginară, atunci variabila

s ocoleşte prin partea dreaptă polul de pe axa imaginară pozitivă, pe un semicerc de rază 0→r (parcurs în sens pozitiv, trigonometric). Unui asemenea pol îi


100

corespunde în planul funcţiei de transfer un semicerc de rază ∞→R parcurs în sens negativ, orar. De regulă, trasarea analitică a locului de transfer se face pe baza tabelelor de variaţie ale funcţiilor )(ωU şi )(ωV .

Locul lui Nyquist mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG

atunci când variabila complexă s parcurge întreaga axă imaginară. Toţi polii complex-conjugaţi de pe axa imaginară ai funcţiei de transfer sunt ocoliţi de variabila s prin semicercuri de rază 0→r , parcurse prin dreapta, în sens pozitiv. Din relaţiile )()( ωω UU =− şi )()( ωω VV −=− rezultă că locul lui Nyquist este

simetric faţă de axa reală şi poate fi obţinut din locul de transfer prin adăugarea simetricului locului de transfer faţă de axa reală. Deoarece axa imaginară este un contur deschis, locul lui Nyquist va fi o curbă deschisă.

Sistemul simplu integral, cu funcţia de transfer sKsG =)( , 0>K , are funcţia

de frecvenţă jωKjωG /)( = , deci

0)( =ωU , ωKV −=)(ω ,

ωω KM =)( , 2π)( −=ωΦ .

In regim sinusoidal permanent, faza sistemului )(ωΦ este negativă şi constantă în raport cu pulsaţia ω , iar factorul de amplificare )(ωM tinde la ∞ pentru 0→ω

şi este strict descrescător în raport cu ω . Prima proprietate a factorului de amplificare este irelevantă sub aspect practic, deoarece pulsaţia ω tinde la zero atunci când perioada de oscilaţie tinde la infinit. Locul de transfer coincide cu semiaxa imaginară negativă, parcursă de jos în sus (fig. 4.3).

Fig. 4.3. Locul lui Nyquist al sistemelor simplu integral şi dublu integral.


101

Sistemul dublu integral, cu funcţia de transfer 2)(sKsG = , 0>K , are funcţia de

frecvenţă 2/)( ωKjωG −= , deci

2)(ω

KU −=ω , 0)( =ωV ,

2)(ωKM =ω , π)( −=ωΦ .

Locul de transfer coincide cu semiaxa reală negativă, parcursă de la stânga spre dreapta (fig. 4.3).

Sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)(1 += sTKsG , 0, >TK ,

are funcţia de frecvenţă

1)(1 += ωω jT

KjG ,

deci

1

)( 221 +

=ω

ωT

KU , 1

)( 221

1+

−=

ωω

ωT

KTV , (14)

1

)(22

1 +=

ωω

TKM , ωω 1arctg)( TΦ −= . (15)

Amplificarea M este strict descrescătoare cu ω (de la valoarea K la zero). Din caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM reprezentată în figura 4.4, rezultă că sistemul este un filtru trece-jos cu pulsaţia de bandă 1/1 Tb =ω .

Fig. 4.4. Caracteristica amplificare-pulsaţie a sistemului de întârziere de ordinul unu.


102

Faza Φ este negativă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la

valoarea 0 la valoarea 2π− ), având valoarea

4π− pentru pulsaţia de bandă bω .

Prin eliminarea produsului ωT1 între )(ωU şi )(ωV , obţinem următoarea

ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:

222 )2/()2/( KVKU =+− . (16)

Locul de transfer al sistemului este semicercul inferior (din cadranul IV), cu centrul în punctul )0,2/( K şi care trece prin origine, reprezentat cu linie continuă (fig. 4.5). Locul lui Nyquist cuprinde şi semicercul superior (din cadranul I), dar este o curbă deschisă care nu conţine originea.

Fig. 4.5. Locul lui Nyquist al sistemului de întârziere de ordinul unu.

Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11

)(1

1++

= sTsτ

KsG , 0,, 11 >τTK ,


1)1(

)(1

1++

= ωωτ

ω jTjK

jG ,

deci

, )1

()( 221

111

121

11+

−+=

1+1+

= 2

2

ωω ΤτT

τTK

ΤωΤΚ

ωUτ )(

, 1)(

)( 221

11+−−

=ω

ωω

TτTK

V (17)

11)(

221

221

+

+=

ωωτω

TKM , ωωτω 11 arctgarctg)( TΦ −= . (18)

Faza Φ este negativă atunci când efectul de întârziere este dominant ( 11 T<τ ) şi pozitivă - când efectul de avans este dominant ( 11 T>τ ).


103

Din caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM , rezultă că:

(a) pentru 21

1T

<τ , sistemul este un filtru trece-jos cu pulsaţia superioară de

bandă 21

21 2

1τ

ω−

=Tb ;

(b) pentru 111 22

TT

≤≤τ , sistemul este un filtru trece-tot;

(c) pentru 11 2T>τ , sistemul este un filtru trece-sus cu pulsaţia inferioară de

bandă 11

21

21 2

TT

b ττω −

= (fig. 4.6).

Fig. 4.6. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu 11 2T>τ .

Prin eliminarea variabilei ω între )(ωU şi )(ωV , rezultă următoarea ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:

0)1(1

122

1

12 =+++− Tτ

KVUTτ

KU . (19)

Pentru 11 T>τ , locul de transfer al sistemului este semicercul superior (din cadranul

I), care atinge axa reală în punctele )0,(K şi )0,(1

1Tτ

K - figura 4.7. Locul lui

Nyquist cuprinde şi semicercul inferior (din cadranul IV), dar nu conţine punctul

)0,(1

1Tτ

K .


104

Fig. 4.7. Locul lui Nyquist al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu 11 T>τ .

Sistemul derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)(1

1+= sTsτ

sG , 0, 11 >τT ,


1)(1

1+= ωωτ

ω jTj

jG ,

deci

1+

= 2

2

ω2111)(

ΤωΤτ

ωU , , 1

)( 221

1+

=ωω

ωTτ

V (20)

1

)(22

1

1

+=

ω

ωτω

TM , ωω 1arctg2

π)( TΦ −= . (21)

Faza Φ este pozitivă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la 2π/ la zero), iar amplificarea M este strict crescătoare cu ω (de la valoarea zero la 11/Tτ ). Sistemul este un filtru trece-sus cu pulsaţia inferioară de bandă 1/1 Tb =ω (fig. 4.8).

Fig. 4.8. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului derivativ de ordinul unu.


105

Prin eliminarea variabilei ω între )(ωU şi )(ωV , rezultă următoarea ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:

2

1

122

1

1 )2()2( Tτ

VTU =+−τ

. (22)

Locul de transfer al sistemului este semicercul superior (din cadranul I), cu centrul

în )0,2(1

1Tτ

şi care trece prin origine (fig. 4.9). Locul lui Nyquist cuprinde şi

Fig. 4.9. Locul lui Nyquist al sistemului derivativ de ordinul unu.

Sistemul de întârziere de ordinul doi de tip oscilant, cu funcţia de transfer

22

2

2)(

nn

nss

sGωξω

ω++

= , 10 <<ξ , 0>nω ,


)(2

)( 22

2

ωξωωωω

ωj

jGnn

n+−

= ,

deci

2222

2

4)(11)(

xxxxU

ξ+−−= , 2222 4)(1

x2)(xx

xVξ

ξ+−

−= , (23)

2222 4)1(

1)(xx

Mξ

ω+−

= , 1

2)(tg 2 −=

xxΦ ξω , (24)

unde nx ωω /= este pulsaţia relativă.

In cazul 12

1≤≤ξ , amplificarea M este descrescătoare cu x , deci cu pulsaţia

ω . In cazul 2

10 <<ξ , amplificarea M atinge valoarea maximă 212

1ξξ −

pentru

221 ξ−=x , adică pentru 221 ξωω −= n . In cazul 0=ξ , amplificarea M tinde la ∞ atunci când pulsaţia ω tinde spre valoarea nω (fenomen de rezonanţă).


106

Faza Φ este negativă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la zero la π− ), egală cu 2π/− pentru nωω= .

In figurile 4.10 şi 4.11 sunt reprezentate caracteristicile amplificare-pulsaţie şi locul de transfer pentru ξ = 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

Fig. 4.10. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului oscilant de ordinul doi.

Fig. 4.11. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul doi.

■ In MATLAB, pentru reprezentarea locului lui Nyguist al unui sistem sis se utilizează funcţia nyquist, sub una din formele

• function [] = nyquist(sis) ; • function [] = nyquist(sis,w) .

Dacă funcţia nyquist este apelată cu argumentele de ieşire [Re,Im,w], în locul reprezentării grafice a locului de transfer sunt returnate valorile părţii reale Re, ale părţii imaginare Im şi ale vectorului de frecvenţă (pulsaţie) w.


107

4.4. SISTEME CU TIMP MORT

Sistemul continuu pur proporţional cu timp mort are modelul

)()( τ−= tKuty , (25)


sKsG τ−= e)( , (26)

unde K este factorul de proporţionalitate şi τ timpul mort ( 0>τ ). Similar, sistemul continuu de întârziere de ordinul unu cu timp mort are modelul

)()()(1 τ−=+ tKutytyT , (27)


1e)(

1 +=−

sTK sG

sτ . (28)

Sistemele continue cu timp mort sunt sisteme infinit dimensionale, funcţia de transfer a unui sistem cu timp mort putând fi doar aproximată printr-o funcţie raţională de un anumit ordin.

Ţinând seama că

+ s + s + 2!1!1e22s τττ = ,

funcţia de transfer a elementului pur timp mort, anume

se)( ττ

−=sG , (29)

poate fi aproximată cu următoarea funcţie raţională de tipul 0+n (cu numitorul de gradul n şi numărătorul de gradul 0 )

!2!1!1

1)( 220

ns + + s + s +

sG nnn

ττττ =+ . (30)

In general, funcţia raţională de ordinul n care poate aproxima cel mai bine funcţia de transfer se)( τ

τ−=sG este una semiproprie, de forma

nn

nnnn

sa + + sa+ sa + sb + + sb+ sb +

sG 221

221

11

)( =+τ . (31)


108

Coeficienţii ia şi ib se determină prin aşa numita aproximaţie Padé, astfel încât

dezvoltările în jurul originii ale funcţiilor

nnsa + + sa+ sa + sa 2

211)( =

şi

)3!2!1!1)(1()(3322

221 + s+ s + s + sb + + sb+ sb + sb n

nτττ=

să coincidă până la ordinul maxim posibil, egal cu n2 . In acest fel, termenii cu puterile 0s , 1s , ... , ns2 ai lui )(sa şi )(sb sunt egali. Procedând astfel, obţinem

,!1)2()221)(2(2

1)(2)1)((iinnn

innnai

iτ⋅

+−−−+−−−

= (32)

ii

i ab 1)(−= . (33)

In particular, avem

2121

)(11s

ssG τ

τ

τ+

−=+ ,

12211221

)( 22

22

22

ss

sssG

ττ

ττ

τ++

+−=+ , (34)

12010211201021

)( 3322

3322

33

sss

ssssG

τττ

τττ

τ+++

−+−=+ , (35)

In majoritatea aplicaţiilor, ordinul n al aproximaţiei Padé se alege în gama 3….10. Precizia de aproximare a timpului mort este cu atât mai ridicată cu cât ordinul n este mai mare (fig. 4.12 şi 4.13). O valoare prea mare a lui n măreşte însă considerabil dimensiunea sistemului.

Deoarece nnnG )1()( −=∞+τ , răspunsul indicial al aproximaţiei Padé de ordinul n

are valoarea iniţială nh )1()0( −=+ . In zona timpului mort ( τ<< t0 ), răspunsul

indicial oscilează în jurul valorii zero, intersectând de n ori axa timpului. La sistemele dinamice cu timp mort aproximat prin metoda Padé, aceste oscilaţii sunt puternic atenuate, cu atât mai mult cu cât ordinul de aproximaţie Padé şi constanta de timp de întârziere dominantă a sistemului au valori mai ridicate (fig. 4.14 şi 4.15).


109

Fig. 4.12. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,

aproximată prin metoda Padé de ordinul 5=n .

Fig. 4.13. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,


Fig. 4.14. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer

15e)(

5

+=

−

ssG

s,



110

Fig. 4.15. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer

15e)(

5

+=

−

ssG

s,


Funcţia de frecvenţă a elementului timp mort, ωττ ω jjG −= e)( , are modulul

unitar şi faza liniar descrescătoare cu ω :

1)( =ωτM , τωωτ −=)(Φ . (36)

Prin urmare, în cazul sistemului cu timp mort cu funcţia de transfer

sesGsGmτ−= )()( , (37)

unde )(sG este funcţia de transfer a sistemului fără timp mort, avem

)()( ωω MMm = , τωωω −= )()( ΦΦm . (38)

Rezultă că locul de transfer al sistemului cu timp mort poate fi obţinut prin „spiralizarea” în sens orar a locului de transfer al sistemului fără timp mort, adică prin rotirea în sens orar în jurul originii, cu unghiul τω (exprimat în radiani), a fiecărui punct al locului de transfer fără timp mort.

Pentru sistemul pur integral cu timp mort, descris prin funcţia de transfer

sssGm

τ−= e1)( , (39)

avem

ωω 1)( =mM , τωω −−= 2π)(mΦ (40)

şi


111

ωτωω sin)( −

=mU , ωτωω cos)( −

=mV . (41)

Din ecuaţia π)12()( +−= kΦm ω , obţinem pulsaţiile punctelor de intersecţie a locului

de transfer cu semiaxa reală negativă (fig. 4.16):

τω 2π1)(4 += k

k , ,2,1,0=k (42)

Punctele de intersecţie cu semiaxa reală negativă au partea reală

π1)(42+

−= kUkτ , (43)

deci

π2

0τ−=U ,

π52

1τ−=U etc.

Fig. 4.16. Locul de transfer al sistemului pur integral cu timp mort.

La sistemele de întârziere de ordinul unu cu timp mort, descrise prin funcţia de transfer

sG sTsmτ−

+= e11)(

1 , (44)

avem

1

1)(22

1 +=

ωω

TMm , τωωω −−= 1arctg)( TΦm (45)

şi


112

1sincos)( 22

1

1

+−

=ω

τωωτωω

TTU m ,

1cossin)( 22

1

1

+−−

=ω

τωωτωω

TTVm . (46)

Prima intersecţie a locului de transfer cu semiaxa reală negativă (fig. 4.17) are partea reală 00 cosτω=U , unde pulsaţia 0ω este dată de relaţia

0001 =+ τωω tgT , πτωπ << 02 . (47)

Fig. 4.17. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul unu cu timp mort.

♦ In MATLAB, atribuirea unei valori T timpului mort al unui sistem sis se face astfel:

sis.iodelay=T;

Coeficienţii numărătorului şi numitorului raţionalei Padé )(sG nnT+ de ordinul nn+ pot fi

determinaţi cu funcţia pade, apelată sub forma

[num, den] = pade(T,n); Apelată sub forma sis1 = pade(sis,n);

funcţia returnează sistemul fără timp mort sis1 (cu funcţia de transfer raţională) care aproximează sistemul cu timp mort sis, prin înlocuirea timpului mort al sistemului sis cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ .

4.5. CRITERIILE DE STABILITATE NYQUIST

Criteriul de stabilitate Hurwitz este un criteriu de tip algebric ce poate fi aplicat în studiul stabilităţii sistemelor continue şi discrete de ordin finit. Criteriile de stabilitate Nyquist sunt de tip frecvenţial şi pot fi aplicate în studiul stabilităţii externe al tuturor sistemelor liniare continue, inclusiv cu timp mort. De regulă,


113

criteriile de stabilitate frecvenţiale sunt aplicate la sistemele de reglare cu structură închisă, pornind de la următorul rezultat cunoscut: Sistemul închis cu reacţie negativă este extern strict stabil dacă şi numai dacă ecuaţia polilor

0)(1 =+ sGd (48)

are toate rădăcinile cu partea reală negativă (situate în stânga axei imaginare).

Primul criteriu Nyquist. Considerăm un sistem de reglare automată având funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = strict proprie, cu 0n poli pe axa imaginară şi 1n poli în dreapta axei imaginare. Sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă variaţia totală a argumentului vectorului 0v cu originea în punctul critic 01 j+− şi cu vârful mobil pe ramurile locului de transfer

)(sGd este

ππ10 2

arg nn +=Δ 0v . (49)

Demonstraţie. Dacă )(sGd este o funcţie raţională proprie de ordinul n , atunci

)()()(1

sPsRsGd =+ , (50)

unde )())(()( 21 npspspssP −−−= , (51)

)())(()( 21 nzszszssR −−−= , (52)

)(sP fiind polinomul polilor sistemului deschis, iar )(sR polinomul polilor sistemului închis. Dintre polii ip ai lui )(sGd , 0n sunt situaţi pe axa imaginară, 1n în dreapta axei imaginare şi 10 nnn −− în stânga axei imaginare. Conform condiţiei

generale de stabilitate, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă polinomul )(sR al polilor sistemului închis este hurwitzian, adică are toate rădăcinile iz situate în stânga axei imaginare.

Atunci când variabila s parcurge semiaxa imaginară pozitivă, variaţia totală a argumentului funcţiei )(1 sGd+ , egală cu unghiul descris de vectorul cu punctul de

aplicaţie în originea axelor şi vârful pe locul de transfer al funcţiei, este dată de relaţia

∑∑==

−Δ−−Δ=+Δn

ii

n

iid pszsG

11)arg()arg()1arg( . (53)


114

Aşa cum reiese imediat din figura 4.18, dacă is este un număr real dat, atunci avem:

/ 2 , 0

arg( ) 0 , 0

/ 2 , 0

i

i i

i

s

s s s

s

π

Δ

π

<⎧⎪− = =⎨⎪− >⎩

. (54)

Fig. 4.18. Variaţia argumentului factorului 1ss− .

Considerăm, pentru început, că toate rădăcinile iz şi ip ale polinoamelor )(sP şi )(sR sunt reale. Dacă sistemul de reglare este stabil, adică )(sR are toate rădăcinile

iz situate în stânga axei imaginare, atunci avem

∑=

=−Δn

ii

nzs1 2)arg( π . (55)

Deoarece

ππππ1010

110 2)()2(02)()arg( nnnnnnnnps

n

ii −−=−+⋅+−−=−Δ∑

= , (56)

iar din (53) rezultă

ππ10 2

)1arg( nnGd +=+Δ .

Prin urmare, variaţia vectorului v cu centrul în origine şi vârful mobil pe ramurile

locului de transfer )(1 sGd+ este egală cu ππ10 2

nn + . Deoarece locul de transfer al

funcţiei )(sGd se obţine din locul de transfer al funcţiei )(1 sGd+ prin translatarea

acestuia spre stânga cu 1 (operaţie ce transformă originea axelor în punctul critic 01 j+− ), rezultă că variaţia vectorului 0v cu centrul în punctul critic 01 j+− şi

vârful mobil pe ramurile locului de transfer )(sGd este, de asemenea, ππ10 2

nn + ,

adică


115

ππ100 2

)1arg(arg nnGd +=+Δ=Δ v .

Reciproc, dacă ππ100 2arg nn +=Δ v , atunci ππ

10 2)1arg( nnGd +=+Δ , iar din

(53) şi (56) obţinem

=−Δ++Δ=−Δ ∑∑==

n

ii

n

idi psGzs

11)arg()1arg()arg(

22)()2( 1010πππππ nnnnnn =−−++= ,

de unde rezultă că toate rădăcinile iz ale polinomului polilor sistemului de reglare )(sR sunt negative, deci sistemul este stabil. Demonstraţia poate fi extinsă la cazul general, în care nu toate rădăcinile iz şi

ip sunt reale, pe baza următoarelor două observaţii: a) rădăcinile complexe ale polinoamelor cu coeficienţi reali )(sP şi )(sR sunt

conjugate două câte două; b) dacă jbas ±=2,1 sunt două rădăcini complex conjugate, atunci

1 2 1 2

, 0

arg( )( ) arg( ) arg( ) 0 , 0

, 0

a

s s s s s s s s a

a

π

Δ Δ Δ

π

<⎧⎪− − = − + − = =⎨⎪− >⎩

. (57)

Remarcă. In particular, din criteriul Nyquist se obţine imediat următoarea variantă simplificată: In cazul în care funcţia de transfer )(sGd este stabil şi de fază minimă, sistemul

închis este strict stabil dacă şi numai dacă la parcurgerea locului de transfer al funcţiei )( ωjGd în

sensul creşterii lui ω , punctul critic 01 j+− rămâne în stânga acestuia.

In următoarea variantă a criteriului Nyquist vom considera că variabila complexă s parcurge în sens orar aşa numitul contur Nyquist (fig. 4.19), format din axa imaginară şi semicercul din dreapta axei cu centrul în origine şi de rază ∞→R . Dacă )(sGd are poli

situaţi pe axa imaginară, conturul Nyquist îi va ocoli Fig. 4.19. Conturul Nyquist.


116

pe partea dreaptă, prin semicercuri de rază 0→r . Atunci când variabila s parcurge conturul Nyquist, funcţia de transfer )(sGd generează o curbă închisă, cu sens

continuu, numită diagrama Nyquist.

Al doilea criteriu Nyquist. Considerăm un sistem de reglare automată având funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = proprie, cu 1n poli în dreapta axei imaginare ( 1n incluzând şi polii multipli). Sistemul de reglare este

strict stabil dacă şi numai dacă diagrama Nyquist a sistemului deschis înconjoară punctul critic 010 js +−= de 1n ori (în sens trigonometric).

Demonstraţie. Se ţine seama de principiul argumentului: Când variabila s parcurge în sens orar un contur închis C, care conţine în interior z zerouri şi p poli ai funcţiei analitice )(sF , funcţia )(sF va descrie o curbă închisă ce înconjoară originea de zp− ori (în sens trigonometric).

Dacă sistemul de reglare este strict stabil, atunci funcţia )(1)( sGsF d+= nu are

zerouri pe şi în interiorul conturului Nyquist. Deoarece polii funcţiei )(sF coincid cu polii funcţiei )(sGd , din principiul argumentului rezultă că diagrama Nyquist a funcţiei )(sF înconjoară originea de 1n ori, deci diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd înconjoară punctul critic 0s de 1n ori (în sens trigonometric).

Reciproc, dacă diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd înconjoară de 1n ori punctul critic 0s , atunci diagrama Nyquist a funcţiei )(1)( sGsF d+= înconjoară originea de

1n ori. Rezultă că )(sF nu are zerouri pe şi în interiorul conturului Nyquist, deci

sistemul de reglare este strict stabil.

Observaţii 10. Cazul cel mai frecvent întâlnit în practică este acela în care sistemul deschis este stabil, adică funcţia de transfer )(sGd nu are poli în dreapta

axei imaginare, deci în interiorul conturului Nyquist. In acest caz, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd nu înconjoară punctul critic 0s . Dacă diagrama trece chiar prin punctul 0s , atunci

sistemul închis este semistabil. 20. Ambele criterii Nyquist sunt valabile şi în cazul sistemelor cu timp mort, la

care funcţia de transfer poate fi oricât de bine aproximată printr-o funcţie raţională de tip Padé.

30. Referitor la construcţia diagramei Nyquist, următoarele observaţii sunt foarte utile.


117

a) Dacă funcţia de transfer )(sGd este proprie, atunci semicercul de rază ∞→R

al conturului Nyquist se transformă în punctul n

nab

de pe axa reală (chiar în origine,

în cazul practic în care )(sGd este strict proprie). b) Polii simpli de pe axa imaginară ai funcţiei )(sGd sunt transformaţi în

″semicercuri″ de rază ∞→R , parcurse în sens orar. c) Deoarece funcţia )( ωjGd are partea reală pară şi partea imaginară impară,

diagrama Nyquist este simetrică faţă de axa reală.

d) Diagrama Nyquist este o curbă închisă, cu sensul de parcurgere continuu.

4.6. APLICAŢII


♦ C4.1. Se dă sistemul cu ecuaţia

uyyT 11 4τ=+ ,

unde sT 101 = şi s31 =τ . Să se afle: (a) valoarea maximă a amplificării în regim sinusoidal permanent; (b) pulsaţia inferioară de bandă bω ;

(c) amplitudinea A şi defazajul α ce caracterizează răspunsul permanent al sistemului

)2

sin( α+=tAy p la intrarea

2sin3 tu = .

Soluţie. (a) Sistemul are funcţia de transfer

110

121

4)(1

1+

=+

=s

ssT

ssG τ

şi funcţia de frecvenţă

110

12)(+

=ωωω

jjjG .

Modulul funcţiei de frecvenţă este egal cu raportul dintre modulul numărătorului şi cel al numitorului, adică

1100

1156

1100

12)( 22 +−=

+=

ωω

ωωM .

Deoarece funcţia )(ωM este crescătoare, sistemul este un filtru trece sus, cu amplificarea maximă


118

56)(limmax ==

∞→ω

ωMM .

(b) Pulsaţia inferioară de bandă este dată de relaţia

2

)( maxMM b =ω .

Rezultă ecuaţia

25

6

1100

122

=+b

b

ω

ω,

din care obţinem 1,0=bω rad/s.

(c) Avem

633)21( =⋅=MA ,

Argumentul funcţiei de frecvenţă este egal cu diferenţa dintre argumentul numărătorului şi cel al numitorului, adică

)10(arctg2

)( ωπω −=Φ .

Prin urmare,

05arctg2

>−=πα .

♦ Aplicaţia 4.2. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având

0, >= kkGR , sGE 151= , 112

1+

= sGP , 131+

= sGT ,

(a) cu primul criteriu Nyquist; (b) cu al doilea criteriu Nyquist; (c) cu criteriul Hurwitz.

Soluţie. (a) Avem

)13)(112(15)(++

= sssksGd ,

)19)(1144(

)( 22 ++−=

ωωω kUd ,

)19)(1144(15

)136()( 22

2

++−=ωωω

ωω kVd .

Mai departe, construim tabelul de variaţie


119

şi locul de transfer (fig. 4.20).

Intrucât funcţia de transfer )(sGd are un pol pe axa imaginară ( 01 =s ) şi nu are poli în

dreapta axei imaginare ( 10 =n , 01=n ), avem 2ππ2

π10 =+= nnα .

In cazul 425<k , argumentul vectorului 0v variază de la 2

π− la 0 , deci

α==Δ 2πarg 0v , iar din primul criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este strict stabil.

In cazul 425>k , argumentul vectorului 0v variază de la 2

π3 la 0 , deci

α≠−=Δ 2π3arg 0v şi sistemul închis este instabil.

Pentru 425=k , sistemul închis este simplu stabil .

Fig. 4.20. Locul de transfer al funcţiei )13)(112(15)(++

= sssksGd .

(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd nu are pol în dreapta axei

imaginare, sistemul închis este stabil atunci când diagrama Nyquist nu înconjoară punctul critic 1− .

La trasarea diagramei (fig. 4.21) s-a ţinut seama de faptul că polul din origine al funcţiei )(sGd se transformă într-un “semicerc” de rază infinită, parcurs în sens orar.

Se observă că: - în cazul 4/25<k , diagrama Nyquist nu înconjoară punctul critic 1− , deci sistemul

închis este strict stabil;


120

- în cazul 4/25>k , diagrama Nyquist înconjoară punctul critic 1− de două ori, în sens orar, deci sistemul închis este instabil.

Fig. 4.21. Diagrama Nyquist a funcţiei )13)(112(15)(++

= sssksGd .

(c) Ecuaţia polilor 0)(1 =+ sGd are forma

015

1536 23 ≥+++ksss .

In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi (ceea ce este adevărat) şi 02 >Δ , unde

5

)425(315

361152kk −

=⋅−⋅=Δ .

Rezultă că sistemul de reglare este strict stabil numai pentru 4/25<k . Observaţie. In acest exemplu, ca de altfel în majoritatea cazurilor practice, asigurarea

stabilităţii sistemului de reglare se realizează prin limitarea superioară a factorului de proporţionalitate al regulatorului (în general, al sistemului deschis).

♦ Aplicaţia 4.3. Să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având

)1()1()(

−+= ss

sksGd , 0>k ,



121

Soluţie. (a) Din 212)(Re)(ω

ωω+−== kjGU dd şi

)1()1()(Im)( 2

2

ωωωωω

+−== kjGV dd , realizăm

următorul tabel de variaţie pentru ),0( ∞∈ω :

şi, pe baza lui, trasăm locul de transfer corespunzător (fig. 4.22).

Funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd are un pol pe axa imaginară ( 01=s ) şi un

pol în dreapta axei imaginare ( 12 =s ); prin urmare, 10 =n şi 11=n , deci 2π3π2

π10 =+= nnα .

Deosebim trei cazuri. 1) Pentru 1<k (fig. 4.22, a), argumentul vectorului 0v variază de la 2π/ la 0, deci

α≠−=Δ 2π3arg 0v . In conformitate cu primul criteriu Nyquist, sistemul închis este instabil;

2) Pentru 1>k (fig. 4.22, b), argumentul vectorului 0v variază de la 2π/ la π2 , deci

α==Δ 2π3arg 0v ; prin urmare, sistemul închis este strict stabil .

3) Pentru 1=k , sistemul este semistabil.

Fig. 4.22. Locul de transfer al funcţiei )1()1()(

−+= ss

sksGd .

(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd are un singur pol în dreapta axei imaginare ( 11=s ), din al doilea criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este stabil

atunci când diagrama Nyquist înconjoară o singura dată punctul critic 1− , în sens trigonometric.


122

Pentru trasarea diagramei (fig. 4.23) s-a ţinut seama că: a) polul din origine al funcţiei )(sGd se transformă într-un “semicerc” de rază infinită, parcurs în sens orar; b) sensul de

parcurgere a diagramei Nyquist este continuu.

Fig. 4.23. Diagrama Nyquist a funcţiei )1(

)1()( −+= ss

sksGd .

In cazul 1<k , diagrama înconjoară punctul critic 01 j+− o singură dată, în sens orar, deci sistemul închis este instabil, iar în cazul 1>k , diagrama înconjoară punctul critic o singură dată, în sens trigonometric, deci sistemul este strict stabil.


0)1(2 ≥+−+ ksks .

In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi, adică 1>k . Pentru 1=k , sistemul este semistabil deoarece are polii js ±=2,1 cu partea reală nulă.


12)( 2 +

−=sssGd ,


Soluţie. (a) Din 1

2)( 2 −=ω

ωdU şi 1

)( 2 −−=ω

ωωdV , realizăm următorul tabel de variaţie:


123

şi trasăm locul de transfer corespunzător (fig. 4.24). Din relaţia 122+−=+ ωdd VU , care

devine 12 −=+ dd VU pentru 1→ω , rezultă că locul de transfer este asimptotic la dreapta 12 −=+ dd VU .

Fig. 4.24. Locul de transfer al funcţiei 12)( 2 +

−=sssGd .

Pentru )1,0(∈ω , argumentul vectorului 0v variază de la π la 21arctgπ− , deci are

variaţia 21arctg1 −=Δ , iar pentru ),1( ∞∈ω , de la 2

1arctg− la 0 , deci are variaţia

21arctg1=Δ . Prin urmare, variaţia totală a argumentului vectorului 0v este

0arg 210 =Δ+Δ=Δ v . Pe de altă parte, funcţia de transfer )(sGd are doi poli pe axa imaginară ( js ±=2,1 ) şi niciun pol în dreapta axei imaginare, deci

ππ02π2π2

π10 =⋅+=+= nnα .

Deoarece α≠Δ 0argv , din primul criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este instabil.

(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd nu are poli în dreapta axei

imaginare, sistemul închis este stabil atunci când diagrama Nyquist nu înconjoară punctul 01 j+− . Pentru trasarea diagramei (fig. 4.25) s-a ţinut seama că: a) polii js ±=2,1 ai

funcţiei )(sGd situaţi pe axa imaginară se transformă într-un “semicercuri” de rază

infinită, parcurse în sens orar; b) sensul de parcurgere a diagramei Nyquist este continuu.


124

Se observă că diagrama Nyquist înconjoară punctul critic 01 j+− o singură dată, în sens orar; în consecinţă, sistemul închis este instabil.


012 ≥−+ ss .

In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi. Deoarece condiţia nu este îndeplinită, sistemul este instabil.


s

e )(i

d TsG

τs−= , 0>τ , 0>iT .

Soluţie. Utilizăm primul criteriu de stabilitate Nyquist. Avem 10 =n , 01=n , deci

2ππ2

π10 =+= nnα . In cazul 1=iT , locul de transfer al funcţiei

ssG

τsd

−=

e )( este

reprezentat în figura 4.16. In figura 4.26, locul de transfer este reprezentat în variantele de

poziţionare a punctului critic 1− la stânga punctului iTU π

20

τ−= şi, respectiv, între punctele

0U şi iTU π5

21

τ−= .

Aplicând primul criteriu Nyquist şi ţinând seama că i

k TkU π)14(2+−= τ , avem:

- pentru 2π<

iTτ (fig. 4.26, a), argumentul vectorului 0v variază de la 2

π− la 0, deci

α==Δ 2πarg 0v ; sistemul închis este strict stabil;

Fig. 4.25. Diagrama Nyquist a

funcţiei 12)( 2 +

−=sssGd .


125

- pentru 2π5

2π <<

iTτ (fig. 4.26, b), argumentul vectorului 0v variază de la 2

π3 la 0 ,

deci α≠−=Δ 2π3arg 0v ; sistemul închis este instabil;

- pentru 2π)54(

2π)14( +<<+ k

Tk

i

τ , ,2,1=k , argumentul vectorului 0v variază de la

π22π3 k+ la 0 , deci α≠−−=Δ π22

π3arg 0 kv ; sistemul închis este instabil.

Fig. 4.26. Locul de transfer al funcţiei sTsGi

τsd

−= e )( .

In concluzie, sistemul cu reacţie este strict stabil pentru )2π,0(∈

iTτ , semistabil pentru

2π=

iTτ şi instabil pentru ),2

π( ∞∈iTτ .

Observaţie. Funcţia step1(tau,Ti,n,t) introdusă în mediul MATLAB sub forma fişierului step1.m realizează reprezentarea grafică a răspunsului indicial al sistemului de reglare, în condiţiile înlocuirii timpului mort τ cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ .

function step1(tau,Ti,n,t1) s=tf('s');

sis=1/Ti/s; sis.iodelay=tau; sis1=pade(sis,n); sra=sis1/(1+sis1); step(sra,0:0.1:t1); grid on

Graficele din figurile 4.27 şi 4.28, obţinute cu comenzile step1(pi/2,1,2,30) şi step1(pi/2,1,4,30), prezintă răspunsurile indiciale aproximative (datorită utilizării aproximaţiei Padé ) ale sistemului de reglare aflat la limita de stabilitate. Se observă că în cazul aproximaţiei Padé de ordinul 44+ , graficul redă cu suficientă precizie caracterul oscilant întreţinut al răspunsului indicial.


126

Fig. 4.27. Răspunsul indicial al sistemului de reglare la limita de stabilitate, în cazul utilizării aproximaţiei Padé de ordinul 22+ .


♦ Aplicaţia 4.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu 15

e )(2

+=

−

sksG

sd pentru:

a) 1=k ; b) 0>k .

Soluţie. (a) Utilizăm primul criteriu de stabilitate Nyquist. Locul de transfer al funcţiei )(sGd este reprezentat grafic în figura 4.17. Avem 00 =n şi 01=n , deci 0π2

π10 =+= nnα .

Conform primului criteriu de stabilitate Nyquist, sistemul închis este stabil atunci când punctul critic 1− se află la stânga punctului cu abcisa 00 2cos ω=U , unde pulsaţia 0ω este dată de relaţia 02tg5 00 =+ ωω , π22π/ 0 << ω . Deoarece 10 −>U , sistemul este strict stabil.

b) Cu programul MATLAB k=1; s=tf('s'); s1=1/(5*s+1); s1.iodelay=2; w=0.1:0.001:12; nyquist(s1,w); w1=0.895:0.0001:0.896; [Re,Im]=nyquist(s1,w1);

obţinem Im(:,:,3)<0, Im(:,:,4)>0 şi Re(:,:,3)≅ -0.2180, din care rezultă condiţia de stabilitate 12180,0 <k , adică 587,4<k .


127

Funcţia step2(k,tau,T1,n,t1), introdusă în mediul MATLAB sub forma fişierului step2.m, realizează reprezentarea grafică a răspunsului indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer a sistemului deschis

1

e )(1 +

=−

sTksG

sd

τ,

în condiţiile înlocuirii timpului mort τ cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ :

function step2(k,tau,T1,n,t1) s=tf('s');

sis=k/(T1*s+1); sis.iodelay=tau; sis1=pade(sis,n); sra=sis1/(1+sis1); step(sra,0:0.1:t1); grid on

Graficele din figurile 4.29 şi 4.30, obţinute cu comenzile step2(4.587,2,5,2,30) şi step2(4.587,2,5,4,30), prezintă răspunsurile indiciale aproximative (datorită utilizării aproximaţiei Padé) ale sistemului de reglare aflat la limita de stabilitate ( 587,4=k ). Ca şi la problema precedentă, în cazul aproximaţiei Padé de ordinul 44+ , graficul redă cu suficientă precizie caracterul oscilant întreţinut al răspunsului indicial.




128


♦ C4.1. Se dă sistemul cu ecuaţia uyyT =+1 , unde sT 101= . Să se afle: (a) pulsaţia de bandă bω ; (b) amplitudinea A şi defazajul α al răspunsului )4/sin( α+= tAy p al sistemului în

regim sinusoidal permanent, pentru 4/sin2 tu = .

♦ C4.2. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:

1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .

a) Pentru 3sin2 tu = , să se afle răspunsul permanent )3sin()( α+= tAtpv ;

b) Pentru 2sin tu = , să se afle răspunsul permanent )2sin()( α+= tAtyp .

♦ C4.3. Se dă sistemul

⎩⎨⎧

+−−=

=

uxxx

xx

212

21

322

2, 13xy = .

Să se afle banda de trecere şi amplificarea în regim permanent sinusoidal cu pulsaţia 1=ω rad/sec.

♦ C4.4. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având

0, >= kkGR , 151+= sGE , 110

1+= sGP , 12

1+= sGT ,

utilizând primul criteriu Nyquist.

♦ C4.4. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având

0,)411( >+= kskGR , 15

1+= sGE , 110

1+= sGP , 14

1+= sGT ,

utilizând al doilea criteriu Nyquist.

♦ C4.6. Utiliând mediul MATLAB, să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având

)12(10

e )(2

+=

−

ssksG

s

d , 0>k .

5

CALITATEA REGLĂRII

In aplicaţiile practice, sistemele de reglare automată trebuie să fie stabile şi să

satisfacă unele performanţe de regim staţionar şi dinamic, astfel încât abaterea (eroarea) produsă ca urmare a variaţiei în timp a referinţei, a unor perturbaţii externe sau a unor factori perturbatori interni să aibă o valoare cât mai redusă, atât în timpul regimului tranzitoriu, cât şi la sfârşitul acestuia.

5.1. CALITATEA REGLĂRII IN REGIM STAŢIONAR

In regim staţionar, calitatea reglării unui sistem de reglare stabil este dată de valoarea erorii staţionare )(lim t

tst εε

→∞= , (1)

la referinţă sau perturbaţie tip treaptă unitară sau rampă unitară. Sistemul este cu atât mai precis, cu cât eroarea staţionară (numită uneori offset) are valoarea în modul mai mică. Interpretarea geometrică a erorii staţionare la referinţă şi perturbaţie treaptă este ilustrată în figura 5.1.

Fig. 5.1. Interpretarea erorii staţionare pentru referinţă şi perturbaţie treaptă.


130

Lema care urmează evidenţiază relaţiile de calcul al erorii staţionare, atunci când se cunosc funcţiile de transfer ale sistemului automat de reglare, cu schema din figura 2.5 .

Lema erorii staţionare. Dacă un sistem de reglare automată strict stabil are funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = , atunci

a) ds

ERst GsG

s +==

→→ 11lim)(lim

00ε , pentru )(1)( ttr = ;

b) d

TVEVst G

GGsGss +

−==→→ 1lim)(lim

00ε , pentru )(1)( tt =v ;

c) )

11(lim)(1lim

00 dERst GssG

s ss +==

→→ε , pentru )(1)( tttr ⋅= ;

d) )1(

lim)(1lim00 d

TVEVst Gs

GGsGs ss +

−==→→

ε , pentru )(1)( ttt ⋅=v .

Formulele de calcul al erorii staţionare se obţin imediat pe baza proprietăţii valorii finale a transformării Laplace:

)(lim)(lim0

ssEtstst →∞→

== εε ,

ţinând seama şi de formulele transformatelor Laplace ale funcţiilor treaptă unitară şi rampă unitară:

s

t 1)](1[ =L , 21)](1[s

tt =⋅L .

Fig. 5.2. Sistem de reglare automată.

Observaţii. 1°. Toate relaţiile de calcul al erorii staţionare sunt valabile numai dacă sistemul de reglare este stabil, relaţia

0lim ( )sts

sE s→

ε = fiind validă numai atunci

când transformata Laplace )(sE are toţi polii cu partea reală negativă. Prin urmare,

CALITATEA REGLĂRII

131

obţinerea unei valori finite a erorii staţionare nu implică faptul că sistemul este stabil.

2°. Un sistem de reglare automată se consideră a fi precis în raport cu un semnal treaptă sau rampă aplicat la intrare (ca referinţă sau perturbaţie) atunci când eroarea staţionară este zero.

3°. Eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie tip rampă este de infinit ori mai mare decât eroarea staţionară la intrare tip treaptă. Prin urmare, dacă eroarea staţionară este nenulă la intrare treaptă, atunci ea este infinită la intrare rampă. Desigur, la sistemele fizice de reglare nu întâlnim niciodată erori staţionare infinite, deoarece domeniul de liniaritate este în toate cazurile mărginit. Astfel, în cazul exprimării procentuale a mărimilor unui sistem de reglare, valorile acestora sunt cuprinse între 0 şi 100 %.

Teorema preciziei reglării. Fie un sistem de reglare automată strict stabil, cu ambele canale ale părţii fixate (de execuţie şi perturbator) de tip proporţional.

(a) Dacă regulatorul este de tip proporţional, atunci eroarea staţionară este nenulă şi finită la intrare treaptă (cu atât mai mică în modul cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare), respectiv infinită la referinţă rampă.

(b) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală simplă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare treaptă, dar finită şi nenulă la referinţă rampă.

(c) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală dublă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare rampă, deci şi la intrare treaptă.

Teorema preciziei reglării poate fi uşor demonstrată pe baza relaţiilor date de lema erorii staţionare, în care funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd este produsul dintre funcţia de transfer a regulatorului )(sGR şi funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF :

)()()( sGsGsG FRd = .

In cazul (a), pentru )(1 tr = , avem

FRFR

st KKsGsGs ++==

→ 11

)()(11lim

0ε ,

unde RK şi FK sunt factorii statici de proporţionalitate ai regulatorului şi părţii

fixate. Prin urmare, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică cu cât


132

factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare. In majoritatea

aplicaţiile industriale (de reglare a debitului, presiunii, temperaturii etc.), factorul de proporţionalitate al regulatorului nu poate fi însă mărit prea mult, deoarece sistemul de reglare tinde să devină oscilant sau chiar instabil. Totuşi, în domeniul electronicii, întâlnim dispozitive analogice cu buclă închisă (cu legătură de reacţie negativă), având deci structura unui sistem de reglare automată, în care “regulatorul” este un amplificator de tensiune cu factorul de amplificare de ordinul sutelor sau miilor. Aceste dispozitive electronice cu buclă închisă funcţionează practic cu eroare staţionară nulă la intrare treaptă.

In cazul (b), considerând un regulator de tip PI cu funcţia de transfer

)11()(sT

KsGi

RR += ,

pentru )(1 tr = , avem

0)10(0

0)()1(

lim)()11(1

1lim00

=++

=++

=++

=→→ FRFiRi

i

Fi

R

st KKsGsTKsTsT

sGsT

K ssε ,

iar pentru )(1)( tttr ⋅= , avem

FR

i

FiRi

i

Fi

R

st KKT

sGsTKsTT

sGsT

Ks ss=

++=

++⋅=

→→ )()1(lim

)()11(1

11lim00

ε .

Prin urmare, eroarea staţionară la referinţă treaptă este nulă, iar la referinţă rampă este finită şi nenulă, cu atât mai mică cu cât factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare şi constanta de timp integrală iT mai mică.

In cazul (c), în care

)(1)( *2 sG

ssG RR = , 0)0(* ≠RG , FF KG =)0( ,

pentru referinţă rampă unitară avem

0)0(*0

0)()(

lim)1(

1lim *200=

+===

++ →→ FKRGsGsGss

GGs FRFRst

ssε .

Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă rampă, deci şi la referinţă treaptă.

Observaţie. Atunci când partea fixată a sistemului de reglare este de tip integral, eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie treaptă este nulă chiar şi în cazul unui

CALITATEA REGLĂRII

133

regulator de tip proporţional. Pentru a avea eroare staţionară nulă şi la referinţă sau perturbaţie de tip rampă se recomandă totuşi utilizarea unui regulator cu componentă integrală simplă, dar având intensitatea redusă, pentru a se evita apariţia regimului oscilant.

5.2. CALITATEA REGLARII IN REGIM DINAMIC

In regim dinamic, calitatea reglării sistemelor automate este descrisă cu ajutorul unor indici de performanţă asociaţi de obicei răspunsului sistemului la referinţă sau perturbaţie tip treaptă. Unele aspecte ale calităţii regimului dinamic pot fi descrise şi cu ajutorul caracteristicilor de frecvenţă, care permit aprecierea comportării sistemului la semnale de intrare sinusoidale de frecvenţe diverse.

5.2.1. Indici de calitate

Dintre indicii de calitate mai frecvent utilizaţi în analiza si sinteza sistemelor de reglare automată, menţionăm: banda de trecere, banda de alocare a polilor, durata regimului tranzitoriu, suprareglajul, gradul de amortizare a oscilaţiilor (indicele de oscilaţie), poziţia polilor în planul complex, diverşi indici de tip integral ş.a.

Banda de trecere (banda de frecvenţă sau lărgimea de bandă) este un indicator ce caracterizează proprietatea de filtru trece-jos a sistemului de reglare, re-prezentând intervalul ),0( bω în care factorul de amplificare în regim sinusoidal

permanent nu scade sub 2

1 din valoarea maximă, adică [3]

max21)( MM ≥ω , (2)

unde )(ωM este modulul funcţiei de frecvenţă al canalului intrare-ieşire analizat. Pentru ca mărimea reglată y să urmărească referinţa r cu bune performanţe,

modulul funcţiei de frecvenţă )( ωjGYR trebuie să aibă valoarea apropiată de 1

pentru un domeniu cât mai larg de frecvenţe. Aşadar, în proiectare se impune limitarea inferioară a pulsaţiei de bandă bω a canalului cu funcţia de frecvenţă

)( ωjGYR , adică impωω ≥b . Pe de altă parte, pentru reducerea efectului perturbaţiei v

asupra mărimii reglate y , banda de frecvenţă asociată funcţiei de frecvenţă )( ωjGYV , trebuie să fie cât mai mică. In proiectare se impune limitarea superioară a

pulsaţiei de bandă bω a canalului cu funcţia de frecvenţă )( ωjGYV , adică impωω ≤b .


134

In continuare sunt prezentaţi principalii indici de calitate asociaţi răspunsului indicial )(ty al sistemului de reglare la o variaţie de tip treaptă a mărimii de referinţă.

Banda de alocare a polilor unui sistem de reglare dat este intervalul ],( α−∞ ,

unde α este valoarea maximă a părţii reale a polilor sistemului de reglare. In cazul unui sistem care are numai poli simpli de forma iii jbap += cu 0<ia , ni ,,2,1= ,

variabila timp t apare în componenta tranzitorie a răspunsului indicial numai prin intermediul exponenţialelor

)sin(cosee tbjtb iitatp ii += .

Presupunând că sistemul este strict stabil şi are toţi polii situaţi în stânga dreptei α=s ( 0<α ), adică α≤ia pentru orice i , cu cât valoarea lui α este mai mică, cu

atât este eliminată mai rapid componenta tranzitorie a răspunsului sistemului, obţinându-se astfel un timp tranzitoriu mai scurt. Condiţia ca toţi polii să aibă partea reală mai mică sau egală cu α este echivalentă cu condiţia ca polinomul

)( α+sP

să fie hurwitzian în raport cu variabila s , unde )(sP este polinomul polilor sistemului de reglare. In proiectare se impune limitarea capătului superior al benzii de alocare a polilor la o valoare negativă dată, printr-o condiţie de forma

impusα≤α ( 0impus <α ).

Minimizarea indicelui de calitate α în raport cu parametrii de acordare ai regulatorului asigură de regulă un răspuns indicial rapid, dar oscilant amortizat.

Durata regimului tranzitoriu ( trT ) reprezintă intervalul de timp cuprins între

momentul 0=t în care referinţa se modifică sub formă de treaptă şi momentul trTt = în care mărimea reglată )(ty atinge pentru ultima dată una din limitele Δ±sty , fără a mai ieşi din zona cuprinsă între cele două limite, unde sty este

valoarea staţionară (finală) a ieşirii, iar Δ este sty05,0 sau sty02,0 – figura 5.3.

Matematic, durata regimului tranzitoriu este cea mai mică valoare a parametrului trT astfel încât

Δ≤− styty )( trTt ≥∀ . (3)

Reamintim că la sistemele de întârziere de ordinul unu cu constanta de timp 1T , durata regimului tranzitoriu este 13TTtr ≅ pentru sty05,0=Δ , respectiv 14TTtr ≅

CALITATEA REGLĂRII

135

pentru sty02,0=Δ . De asemenea, la sistemele de întârziere de ordinul doi cu constantele de timp 1T şi 2T , durata regimului tranzitoriu este

)(3 21 TTTtr +≅ ,

respectiv )(4 21 TTTtr +≅ .

Fig. 5.3. Indicatori de calitate asociaţi răspunsului indicial.

Un sistem de reglare automată este cu atât mai performant sub aspect dinamic cu cât durata regimului tranzitoriu este mai mică. La sistemele de ordinul doi sau mai mare nu există formule analitice pentru exprimarea acestui indicator.

Suprareglajul (σ ) se defineşte ca fiind depăşirea relativă maximă a valorii staţionare a ieşirii, adică

%1001 ⋅σ

=σsty

. (4)

Sistemele cu răspuns indicial crescător au suprareglajul nul. In proiectarea sistemelor de reglare se impune limitarea superioară a suprareglajului σ la o valoare cuprinsă între 1 şi 15 %, în funcţie de specificul sistemului şi de performanţele dorite.

Gradul de amortizare (δ ) este caracteristic numai sistemelor de reglare cu răspuns indicial oscilant, fiind o măsură a raportului subunitar al primelor două depăşiri pozitive ale valorii staţionare,

1

31 σσ

δ −= . (5)

In cazul sistemelor cu răspuns oscilant amortizat, gradul de amortizare ia valori cuprinse între 0 si 1. Pentru limitarea duratei regimului tranzitoriu, δ trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1.


136

Indicii integrali, atunci când sunt aleşi convenabil, pot asigura o caracterizare mai completă a calităţii regimului dinamic şi o proiectare optimală a regulatorului, prin minimizarea valorii indicelui integral ales în raport cu structura şi parametrii regulatorului.

La sistemele de reglare cu eroare staţionară nulă la referinţă sau perturbaţie treaptă unitară, printre cei mai utilizaţi indici de tip integral, menţionăm următorii:

∫∞

=01 )( dttεI , (6)

∫∞

=0

22 )( dttεI , (7)

∫∞

+=0

2223 )]()([ dttετtεI , (8)

∫∞

−+=0

224 ]))(()([ dtctcktε stI , (9)

unde ε este eroarea (abaterea), c - mărimea de comandă, stc - valoarea staţionară a

mărimii de comandă, iar τ şi k - constante pozitive de ponderare. Indicele 1I este rar utilizat în analiza şi sinteza analitică a sistemelor, din cauza

operatorului de tip "modul", care ridică probleme în calculul analitic al integralei. Indicele integral pătratic 2I poate fi calculat analitic, iar sinteza regulatorului prin

minimizarea acestui indice asigură performanţe dinamice de bună calitate, fără a garanta însă obţinerea unui suprareglaj suficient de mic şi un consum energetic redus.

Minimizarea indicelui 3I asigură, prin comparaţie cu 2I , o reducere a vitezei de variaţie a mărimii reglate y şi, prin aceasta, o reducere a suprareglajului, în timp ce minimizarea indicelui 4I asigură, tot prin comparaţie cu 2I , o reducere a

consumului de energie în procesul de schimbare a valorii mărimii reglate. Se observă că indicii 2I , 3I şi 4I pot fi scrişi sub forma unei sume de integrale

de forma ∫

∞=

02)( dttzI , (10)

în care 0)(lim =∞→

tzt

, pentru a asigura convergenţa integralei.

In cazul unui sistem de reglare strict stabil, transformata Laplace a funcţiei )()( tεtz = la referinţă treaptă unitară este

)](1[

1)()()(sGs

sRsGsZF

ER +== , (11)

CALITATEA REGLĂRII

137

iar transformata Laplace a funcţiei

stctctz −= )()( ,

pentru referinţă treaptă unitară, este

s

GsGsZ CRCR )0()()(

−= , (12)

unde

)(1

)()(sG

sGsGF

RCR +

= . (13)

Intr-adevăr, ţinând seama de proprietatea valorii finale, avem

)0()()(lim)(lim00

CRCRst GsRssGssCcss

===→→

,

deci

s

Gs

sGs

csCsZ CRCRst )0()()()( −=−= .

Atunci când transformata Laplace )(sZ este o funcţie raţională hurwitziană, indicele de calitate integral-pătratic poate fi explicitat analitic în raport cu coeficienţii polinoamelor de la numărătorul si numitorul fracţiei )(sZ .

Teorema indicelui integral-pătratic. Dacă transformata Laplace

01

011

1)(asasa

bsbsbsZ n

n

nn

++++++

=−

−

are numitorul hurwitzian, atunci integrala ∫∞

=0

2)( dttzI , are valoarea

Δ

Δ=

n

n

a2I , (14)

în care

1

20

31

420

**0

*0*00

−

−−

−

=Δ

na

aaaa

aaa

,

iar nΔ se obţine din Δ prin înlocuirea ultimei linii cu [ ]1210 −nBBBB , unde


138

200 bB = ,

20211 2 bbbB −= ,

4031222 22 bbbbbB +−= ,

13

222 2 −−−− −= nnnn bbbB ,

211 −− = nn bB .

Principalele forme particulare ale formulei de calcul al indicelui integral I sunt prezentate mai jos.

1°. Pentru 4=n , funcţiei

01

22

33

44

012

23

3)(azasasasa

bsbsbsbsZ

+++++++

= (15)

îi corespunde integrala Δ

Δ=

4

4

2aI , unde

)( 2304

213210 aaaaaaaa −−=Δ (16)

şi

233021031

2241020

21430

20413244 )()2()2()( baaaaabbbaaabbbaaabaaaaa −+−+−+−=Δ . (17)


01

22

33

012

2)(azasasa

bsbsbsZ

+++++

= (18)

îi corespunde integrala

)(2

)2(

302130

221020

2130

2032

aaaaaabaabbbaabaa

−+−+

=I . (19)


01

22

01)(azasa

bsbsZ

+++

= (20)

îi corespunde integrala

210

210

202

2 aaababa +

=I . (21)

CALITATEA REGLĂRII

139

Observaţie. In cazul unui sistem de reglare automată cu regulator PID, indicii integrali de calitate sunt funcţii de parametrii pK , iT şi dT ai regulatorului. Pentru

indicii 2I , 3I şi 4I , teorema indicelui integral-pătratic de calitate permite determi-

narea analitică a acestor funcţii, atunci când se cunosc modelele dinamice liniare ale elementelor sistemului de reglare. In consecinţă, problema optimizării sistemului de reglare prin minimizarea unuia dintre aceşti indici de performanţă se reduce la calculul minimului unei funcţii algebrice, având ca variabile parametrii de acordare ai regulatorului.

5.2.2. Alocarea polilor

Metodele de studiu al calităţii dinamice a sistemelor de reglare pe baza indicilor integrali de calitate sunt de tip parametric, în sensul că permit evaluarea performanţelor dinamice ale sistemului de reglare în raport cu parametrii regula-torului, în condiţiile în care acesta are o structura dinamică dată.

In continuare, vom aborda problema sintezei structurii şi parametrilor regulatorului plecând de la ideea că performanţelor dinamice ale unui sistem de reglare liniar, continuu şi fără timp mort sunt determinate, în mod dominant, de poziţia în planul complex a polilor funcţiei de transfer a sistemului. Teoremele de alocare a polilor stabilesc faptul că, teoretic, un sistem de reglare liniar continuu şi fără timp mort poate realiza performanţe dinamice oricât de bune, prin alegerea convenabilă a funcţiei de transfer a regulatorului.

Prima teoremă de alocare a polilor [11]. Dacă funcţia de transfer )(sGF a

părţii fixate a unui sistem de reglare automată este ireductibilă, strict proprie, are ordinul relativ kn− şi toate zerourile cu partea reală negativă, atunci oricare ar fi polinomul hurwitzian )(sP de gradul kn− şi cu termenul liber unitar, există un regulator stabil, cu funcţia de transfer semiproprie, de ordinul n sau mai mic, astfel încât sistemul de reglare să aibă funcţia de transfer

)(

1)(0 sPsG = ,

iar funcţia de transfer a sistemului deschis să fie de tip dublu integral.

Demonstraţie. Fie

1)( 11

1 ++++= −−−−

−− scscscsP kn

knkn

kn . (22)

Din relaţia


140

)()(1

)()()(0 sGsGsGsGsG

FR

FR

+= ,

rezultă

]1)()[(

1)](1)[(

)()(

0

0

−=

−=

sPsGsGsGsG

sGFF

R . (23)

Tinând seama că

)()()( sp

srsGF = ,

unde )(sr şi )(sp sunt polinoame coprime astfel încât

0)0( ≠r , ksr =)(grad , nsp =)(grad ,

obţinem

)()()()(

1 spsrsspsGR ⋅⋅= , (24)

unde

122

11

1 )( cscscscsp knkn

knkn ++++= −−

−−−−

− . (25)

Funcţia de transfer a regulatorului are numărătorul şi numitorul de gradul n , fiind deci semiproprie.

Dacă partea fixată este de tip proporţional, deci 0)0( ≠p şi 0)0( ≠r , atunci regulatorul este de tip simplu integral.

Dacă partea fixată este de tip simplu integral, deci polinomul )(sp are un zerou

în origine, atunci regulatorul este de tip proporţional, având numărătorul şi numitorul de gradul 1−n .

Funcţia de transfer a sistemului deschis este de tip simplu integral, deoarece

)(

11)(

1)(1

)()(

10

0

spssPsGsG

sGd ⋅=

−=

−= . (26)

Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă treaptă şi, de asemenea, la efect perturbator treaptă introdus la ieşirea sistemului.

Deoarece funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF are toate zerourile cu partea reală negativă, regulatorul este stabil dacă şi numai dacă polinomul )(1 sp este hurwitzian. Conform criteriului de stabilitate Hurwitz, polinomul )(1 sp este hurwitzian dacă toţi coeficienţii 121 ,,,, cccc knkn −−− şi minorii principali 1D ,

2D , ... , 1−−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi.

CALITATEA REGLĂRII

141

Această condiţie se îndeplineşte întotdeauna deoarece polinomul polilor sistemului de reglare )(sP este ales hurwitzian şi, prin urmare, toţi coeficienţii

011 ,,,, cccc knkn −−− şi minorii principali 1D , 2D , ... , 1−−knD , knD − ai matricei

Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Cu aceasta, demonstraţia este încheiată.

Prin alegerea convenabilă a polinomului polilor )(sP , răspunsul sistemului de reglare la referinţă sau perturbaţie treaptă poate fi teoretic oricât de rapid. In aplicaţiile practice, unde modelul părţii fixate este cunoscut cu un anumit grad de incertitudine, polinomul polilor sistemului de reglare trebuie ales astfel încât constantele de timp ale sistemului de reglare să fie comparabile cu cele ale procesului reglat. De exemplu, în cazul în care partea fixată este de tip proporţional, durata teoretică a răspunsul indicial al sistemului de reglare trebuie să fie de cel mult 2 ... 5 ori mai mică decât durata răspunsului indicial al părţii fixate. Un asemenea mod practic de abordare a sintezei regulatorului asigură o mai strânsă corelaţie între rezultatele teoretice şi cele practice, precum şi o limitare adecvată a magnitudinii semnalului de comandă generat de regulator la o variaţie treaptă a referinţei. Reamintim că factorul de magnitudine al semnalului de comandă este definit ca fiind raportul )(/)0( ∞= + ccM dintre valoarea iniţială şi cea finală a semnalului de comandă )(tc la referinţă treaptă. In aplicaţiile practice, în cazul în care partea fixată este de tip proporţional, se impune limitarea factorului de magnitudine la o valoare mai mică decât 20 [12].

Factorul de magnitudine este dat de relaţia

)()(lim

)0(sGsP

GMF

F

s ∞→

= . (27)

Această relaţie din proprietăţile valorii iniţiale şi finale, astfel:

)()(

1)()()( 0

sGsPsGsGsG

FFCR == ,

)()(lim

1)(lim)()(lim)(lim)0(0

000 sGsPsGsRssGssCc

FCRCR

ssss

→→→→

====+ ,

)0(

1)0()0(

1)(lim)()(lim)(lim)(000 FF

CRCR GGPsGsRssGssCc

sss=====∞

→→→.


142

Observaţii. 1o. Dacă alegem polinomul polilor )(sP cu toate rădăcinile reale şi negative, atunci răspunsul sistemului de reglare la referinţă treaptă este monotonic mărginit.

2o. Atunci când polinoamele )(sp şi )(1 sp au rădăcini comune, funcţia de

transfer a regulatorului va avea ordinul mai mic. Să considerăm sistemul de reglare cu partea fixată

)1)(1)(1()(21 +++=

ΣsTsTsTK

sG FF , (28)

unde 1T şi 2T sunt constante de timp dominante, iar ΣT reprezintă suma constantelor de timp parazite ( 12 TTT ≤<<Σ ). Tinând seama că

)(1)( 1 sspsP =− ,

dacă alegem polinomul polilor sistemului de reglare )(sP astfel încât 1)/1( =− ΣTP ,

atunci regulatorul va avea ordinul mai mic decât 3, prin simplificarea factorului 1+Σ sT de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer.

De exemplu, alegând polinomul polilor

)1()1()( 22

1 ++= sssP ττ , (29)

cu

Σ+= Tx )1(1τ , Σ−= Tx

)11( 22τ , 1≥x ,

relaţia 1)/1( =− ΣTP este satisfăcută. Deoarece

=++++=− ssssP )2()2(1)( 212

2113

221 τττττττ

=−+−++−+= ΣΣΣ ]12)22()1[()1( 22222

2xsTxxsTxsT

xx

]12)1)[(1()1( 22

2−+−++= ΣΣΣ xsTxsTsT

xx ,

rezultă

)1()1)(1(

]1)()[(1)( 21

+++

=−=ΣΣ saTsT

sTsTKsPsGsG R

FR , (30)

cu

F

R KxxxK

)12()1( 2

2

−+= , 12

12

−−= x

xa .

CALITATEA REGLĂRII

143

Pentru 1=x , obţinem algoritmul de reglare PID, în forma improprie

sTKsTsT

sGF

RΣ

++= 4

)1)(1()( 21 ,

iar pentru 2=x , rezultă algoritmul de reglare PID, în forma semiproprie

)1(27)1)(1(4

)( 21+++

=ΣΣ sTsTKsTsT

sGF

R .

Sistemul de reglare are funcţia de transfer

)1()1(

1)(

1)(2

21

0 ++==

sssPsGττ

,

iar factorul de magnitudine al comenzii este

221

3

2

)1()1()()(lim)0(

Σ⋅

−+==

∞→TTT

xxx

sGsPGM

F

F

s

. (31)

Formele de răspuns )(ty la referinţă treaptă, pentru diferite valori ale

parametrului x , sunt reprezentate în figura 5.4.

Fig. 5.4. Răspunsul indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer

)1()1(

1)(2

21

0 ++=

sssG

ττ, unde Σ+= Tx )1(1τ , Σ−= T

x)11( 22τ .

3o. In cazul sistemului de reglare cu partea fixată (28), să considerăm că polinomul polilor are forma

)1)(122()( 22 +++= ΣΣΣ sxTsTsTsP , 0≥x . (32)


144

Ţinând seama că

]2)1(22[1)( 22 xsTxsxTsTsP ++++=− ΣΣΣ ,

rezultă

]2)1(22[

)1)(1)(1(]1)()[(

1)( 2221

xsTxsxTsTKsTsTsT

sPsGsGFF

R +++++++

=−=ΣΣΣ

Σ , (33)

)1)(122(

1)(

1)( 220 +++==

ΣΣΣ sxTsTsTsPsG . (34)

Factorul de magnitudine al regulatorului este

221

21

)()(lim)0(

Σ∞→

⋅==TTT

xsGsPGM

Fs

F . (35)

In cazul particular 0=x , regulatorul este de tip PID, cu funcţia de transfer improprie

sTKsTsT

sGF

RΣ

++= 2

)1)(1()( 21 ,

iar sistemul de reglare are funcţia de transfer

122

1)( 220 ++=

ΣΣ sTsTsG .

Am regăsit relaţiile de acordare optimă a regulatorului din cadrul variantei Kessler a criteriului modulului.

Formele de răspuns )(ty la referinţă treaptă, pentru diferite valori ale parametrului x , sunt reprezentate în figura 5.5.

Fig. 5.5. Răspunsul indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer (34).

CALITATEA REGLĂRII

145

Sistemul deschis rezultat din aplicarea primei teoreme de alocare a polilor este de tip simplu integral, indiferent dacă partea fixată este de tip proporţional sau integral.

Următoarea teoremă de alocare a polilor oferă posibilitatea proiectării regulatorului astfel încât sistemul deschis să rezulte de tip dublu integra.

A doua teoremă de alocare a polilor. Dacă funcţia de transfer )(sGF a părţii

fixate a unui sistem de reglare automată este ireductibilă, strict proprie, are ordinul relativ kn− şi toate zerourile cu partea reală negativă, atunci oricare ar fi polinomul hurwitzian )(sP de gradul 1+−kn şi cu termenul liber unitar, există un regulator stabil, cu funcţia de transfer semiproprie, de ordinul 1+n sau mai mic, astfel încât sistemul de reglare să aibă funcţia de transfer

)(

1)0()(0 sPsPsG +′

= ,

iar funcţia de transfer a sistemului deschis să fie de tip dublu integral.

Demonstraţie. Fie

1)( 11

1 ++++= −−

+−+− scscscsP kn

knkn

kn . (36)

Deoarece 10( cP =′ , din relaţia

)()(1

)()()(0 sGsGsGsGsG

FR

FR

+= ,

obţinem

]1)()[(

1)](1)[(

)()(1

1

0

0

−−+

=−

=scsPsG

scsGsG

sGsGFF

R . (37)

Tinând seama că

)()()( sp

srsGF = ,

unde )(sr şi )(sp sunt polinoame coprime astfel încât

0)0( ≠r , ksr =)(grad , nsp =)(grad ,

obţinem

)()()()1(

)(2

21

spsrsspsc

sGR ⋅⋅⋅+

= , (38)

unde

2321

12 )( cscscscsp knkn

knkn ++++= −−

−−−

+− . (39)


146

Funcţia de transfer a regulatorului are numărătorul şi numitorul de gradul 1+n , fiind semiproprie.

Dacă partea fixată este de tip proporţional, deci 0)0( ≠p şi 0)0( ≠r , atunci regulatorul este de tip dublu integral.

Dacă partea fixată este de tip simplu integral, deci polinomul )(sp are un zerou

în origine, atunci regulatorul este de tip simplu integral, având numărătorul şi numitorul de gradul n .

Funcţia de transfer a sistemului deschis este de tip simplu integral, deoarece

)(

11)(

1)(1

)()(2

21

1

1

0

0

spssc

scsPsc

sGsGsGd

+=

−−+

=−

= . (40)

Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă treaptă sau rampă, precum şi la efect perturbator treaptă sau rampă introdus la ieşirea sistemului.

Deoarece funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF are toate zerourile cu partea reală negativă, regulatorul proiectat este stabil dacă polinomul )(2 sp este hurwitzian. Conform criteriului de stabilitate Hurwitz, polinomul )(2 sp este hurwitzian dacă toţi coeficienţii 231 ,,,, cccc knkn −+− şi minorii principali 1D ,

2D , ... , 1−−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Această condiţie are loc întotdeauna deoarece polinomul )(sP este hurwitzian şi, prin urmare, toţi coeficienţii 011 ,,,, cccc knkn −+− şi minorii principali 1D , 2D , ...

, knD − , 1+−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Cu

aceasta, demonstraţia este încheiată. Prin alegerea convenabilă a polinomului polilor )(sP , răspunsul sistemului de

reglare la referinţă sau perturbaţie treaptă poate fi teoretic oricât de rapid. In aplicaţiile practice, unde modelul părţii fixate este obţinut cu un anumit grad de incertitudine, polinomul polilor sistemului de reglare trebuie ales astfel încât constantele de timp ale sistemului de reglare să fie comparabile cu cele ale procesului reglat. In cazul în care partea fixată este de tip proporţional, raportul

)(/)0( ∞= + ccM dintre valoarea iniţială şi cea finală a semnalului de comandă )(tc la referinţă treaptă constituie un indicator al magnitudinii semnalului de comandă, care nu trebuie să depăşească valoarea 20. Factorul de magnitudine este dat de relaţia

)()(

1lim)0( 1

sGsPscGM

FF

s

+=

∞→. (41)

CALITATEA REGLĂRII

147

Observaţii. 1o. Atunci când polinoamele )()1( 1 spsc + şi )()( 2 spsr ⋅ au rădăcini

comune, funcţia de transfer a regulatorului va avea ordinul mai mic. 2o. Dacă alegem polinomul polilor )(sP cu toate rădăcinile reale şi negative,

adică )1()1)(1()( 21 +++= sTsTsTsP n , 0,,, 21 >nTTT ,

atunci răspunsul sistemului de reglare la referinţă treaptă este aperiodic (fără oscilaţii), dar cu supradepăşire. Acest rezultat reiese din expresia funcţiei de transfer a sistemului de reglare,

)1()1)(1(

1)()(1)(

21

2110 +++

+++=

+=

sTsTsTsTTT

sPscsG

n

n , (42)

având în vedere relaţia (95) de la cap. 2. Valoarea suprareglajului este însă neglijabilă în cazul alegerii unei constante de timp dominante în raport cu celelalte

1−n constante de timp. Astfel, pentru

032 →=== nTTT ,

suprareglajul tinde la zero.

5.3. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 5.1. Elementele unui sistem de reglare automată au următoarele ecuaţii:

R: εkc = , mr −=ε , 0>k , E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .

Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară, respectiv rampă unitară. Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare la referinţă treaptă ?

Soluţie. Avem

kGR = , 1s2

2+

=EG , 15

1+

=s

GP , 1)s5(4

1+

−=VG ,

1s1+

=TG ,

)1)(15)(12(

2+++

==sss

kGGGGG TPERd ,

kG

sGds

ERsts 21

11

1lim)(lim00 +

=+

==ε→→

, pentru )(1)( ttr = ,

)21(4

11

lim)(lim00 kd

TVEVst G

GGsGss +

−=

+−==ε

→→, pentru )(1)( tt =v .


148

Deoarece eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară nu este nulă, la referinţă şi perturbaţie rampă unitară ea va fi ∞ , respectiv ∞− .

Scriind ecuaţia polilor 01 =+ dG sub forma

02181710 23 =++++ ksss ,

din criteriul de stabilitate Hurwitz rezultă că sistemul de reglare este strict stabil atunci când 02 >Δ , unde )1063(2)21(101782 kk −=+−⋅=Δ . Aşadar, valorile erorii staţionare obţinute anterior sunt valabile numai atunci când sistemul de reglare este strict stabil, adică pentru 3,60 << k . Prin urmare, eroarea staţionară minimă posibil la referinţă treaptă unitară este

%35,70735,03,621

1211)(

maxmin =≈

⋅+=

+=ε

kst .

♦ Aplicaţia 5.2. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin

)s411( +=KGR , 0>K , 1s2

4+

=EG , 1s41+=PG , 1s

1+

=TG .

Să se determine K astfel încât

(a) polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 2,0−=s ; (b) banda de alocare a polilor sistemului să fie cât mai la stânga posibil.

Soluţie. Sistemul de reglare are

1)1)(sss(2 ++

=KGd ,

şi polinomul polilor

KssssP +++= 23 32)( .

Din criteriul Hurwitz rezultă că sistemul este stabil pentru 230 <<K .

(a) Polii sistemului de reglare sunt situaţi în stânga dreptei 2,0−=s dacă polinomul )(sp are toate rădăcinile cu partea reală negativă, unde

KsssKssssPsp +−++=+−+−+−=−= 096,004,08,12)2,0()2,0(3)2,0(2)2,0()( 2323 .

Conform criteriului Hurwitz, este necesar şi suficient ca toţi coeficienţii ia şi minorul

principal )132,0(230212 Kaaaa −=−=Δ

să fie pozitivi. In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii situaţi în stânga dreptei 2,0−=s pentru 132,0096,0 <<K .

CALITATEA REGLĂRII

149

In figura 5.6 sunt prezentate răspunsurile indiciale )(ty ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru cele două valori extreme ale factorului de proporţionalitate K .

Fig. 5.6. Răspunsuri ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară.

(b) Trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui α astfel încât polinomul

=+α++α++α+=α+ KssssP )()(3)(2)( 23

Ksss +α+α+α++α+α+α++= 23223 32)166()21(32

să fie hurwitzian. Coeficienţii 166 21 +α+α=a şi )21(32 α+=a sunt pozitivi pentru

2113,06

33−≅

+−>α , iar coeficientul Ka +α+α+α= 23

0 32 este pozitiv pentru

α−α+α−> 23 32K . Cea mai la stânga alocare a polilor corespunde lui 6

33+−=α şi se

obţine pentru 0962,0183 ≅=K , dat de relaţia α−α+α−= 23 32K .

♦ Aplicaţia 5.3. Pentru nω dat, să se afle valoarea factorului de amortizare ξ al sistemului de întârziere de ordinul doi, cu funcţia de transfer

22

2

2)(

nn

n

ωsωsω

sG+ξ+

= ,

astfel încât indicele integral pătratic dtyty st2

02 ))((∫∞

−=I să aibă valoarea minimă, unde

)(ty este răspunsul indicial al sistemului.

Soluţie. Cu notaţia stytytz −= )()( , avem

22 2)2()0()()(

nn

n

ωsωsωs

sGsGsZ

+ξ+ξ+−

=−

= ,


150


)ξ2

1ξ(22

12 +=

nωI .

Deoarece 2ξ21ξ2 ≥+ , cu egalitate pentru 2

1=ξ , rezultă că indicele de calitate 2I are

valoarea minimă nω

1)( min2 =I , obţinută pentru 21

opt =ξ .

Fig. 5.7. Răspunsul indicial al sistemului cu 22

2

2)(

nn

nss

sGωξω

ω++

= .

Pentru această valoare a lui ξ , răspunsul indicial are o supradepăşire de 3,16 %.

♦ Aplicaţia 5.4. Pentru sistemul de întârziere de ordinul doi din exemplul precedent cu răspunsul indicial )(ty , să se determine valoarea factorului de amortizare ξ astfel încât indicele de calitate

dttyτyty st )]())([( 22203 +−= ∫∞

I

să fie minim.

Soluţie. Se observă că I3 = I2 + 2τ I, unde

)ξ2

1ξ(22

12 +=

nωI

şi

∫∞

=0

2)( dttzI ,

cu )()( tytz = . Ţinând seama că

CALITATEA REGLĂRII

151

22

2

2)()()()()(

nn

n

ωsωsω

sGsUssGssYsZ+ξ+

==== ,

cu relaţia (21) obţinem ξωn4

=I ; prin urmare,

)ξ2

1ξ(2

21 22

3n

n

ωτω

++=I .

Pentru nω dat şi ξ variabil, 3I are valoarea minimă

22min3

1)( τωωn

+=I ,

obţinută pentru

2opt

2121

nωτ+=ξ .

Valoarea factorului de amortizare optξ este mai mare decât cea obţinută prin

minimizarea indicelui de calitate 2I , deoarece 3I conţine în plus o componentă de limitare

a pătratului vitezei de variaţie a răspunsului indicial. Pentru 0=τ , avem 5,0opt =ξ (cazul problemei precedente); pentru nωτ /1= , avem

71,022

opt ≈=ξ ; pentru nω

τ 3= avem 1opt =ξ . In conformitate cu (2.60), lui 5,0=ξ îi

corespunde suprareglajul %3,161 =σ , lui 22=ξ îi corespunde suprareglajul %3,41=σ ,

iar lui 1=ξ îi corespunde suprareglajul 01 =σ .

♦ Aplicaţia 5.5. Pentru sistemul de reglare automată caracterizat prin

KGR = , 0>K , )15)(12(5

1++

=sss

GF ,

să se calculeze şi să se minimizeze )(2 KI la referinţă treaptă unitară .

Soluţie. Avem:

Ksss

sssGG

sGFR

ER +++++

=+

=53550

)15)(12(51

1)( 23 ,

Ksss

sss

sGsZ ER

+++++

==53550

)15)(12(5)()( 23 ,

iar din (19) obţinem

)27(2

3539)(2 KKKK−+

=I .


152

Indicele de calitate 2I este minim atunci când derivata sa în raport cu K este nulă. Rezultă

024514078 2 =−+ KK ,

de unde obţinem 09,1opt =K (fig. 5.8). Se observă că indicele de calitate 2I creşte foarte puţin atunci când factorul de proporţionalitate K variază între 0,7 şi 1,6.

Fig. 5.8. Caracteristica )(2 KI .

♦ Aplicaţia 5.6. Pentru sistemul de reglare automată cu

sKGR = , 0>K ,

)18(41+

=s

GF ,

să se afle K astfel încât, la modificarea treaptă unitară a referinţei, consumul de energie utilizat în comanda procesului să fie minim.

Soluţie. Vom calcula şi minimiza indicele integral

∫∞

=0

2)( dttzI , stututz −= )()( .

Avem

Kss

sKGG

GsGFR

RCR ++

+=

+=

432)18(4

1)( 2 ,

Kss

Kss

GsGsZ CRCR

++−+−

=−

=432

)128(16)0()()( 2 ,

iar din (21) obţinem

)214(32 −+=K

KI .

Indicele de calitate I este minim pentru 5,0=K .

CALITATEA REGLĂRII

153

♦ Aplicaţia 5.7. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată

)16)(15)(1(1)(

+++= ssssGF ,

să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor

(a) )143()13()( 2 ++= sssP ; (b) )13)(122()( 2 +++= ssssP .

In ambele cazuri, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.

Soluţie. Deoarece gradul polinomului polilor este egal cu ordinul relativ al părţii fixate, vom utiliza prima teoremă de alocare a polilor.

(a) In conformitate cu (23), avem

2)1(4271)( +=− sssP ,

)1(27)16)(15(4

]1)()[(1)(

+++=

−= ss

sssPsGsG

FR .


)43()13(

4)(

1)( 20 ++==

sssPsG .

Factorul de magnitudine al comenzii regulatorului, egal cu raportul dintre valoarea iniţială )0( +c şi cea finală )(∞c a semnalului de comandă la referinţă treaptă, are valoarea

940

)()(lim)0(

==→∞

sGsPGM

Fs

F .

Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare la referinţă treaptă sunt reprezentate în figura 5.9.

(b) In conformitate cu (23), avem

)586(

)16)(15)(1(]1)()[(

1)( 2 +++++=

−=

ssssss

sPsGsGF

R .


)13)(122(

1)(

1)( 20 +++==

ssssPsG .

Factorul de magnitudine al comenzii regulatorului este

5)()(lim)0(

==∞→

sGsPGM

Fs

F .

Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.10.


154

Fig. 5.9. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )

pentru )16)(15)(1(1)(

+++= ssssGF şi )1(27

)16)(15(4)(+

++= sssssGR .


pentru )16)(15)(1(1)(

+++= ssssGF şi

)586()16)(15)(1()( 2 ++

+++=sss

ssssGR .


)1)(1()(21 ++

= sTsTksGF , 0>k , 120 TT ≤< ,

să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă

polinomul polilor

(a) 22 )12()( += sTsP ;

(b) 22 )1()( += sTsP .


CALITATEA REGLĂRII

155

Soluţie. (a) Aplicând prima teoremă de alocare a polilor, rezultă

skT

sTsPsG

sGF

R2

14

1]1)()[(

1)(+

=−

= ,

adică un regulator de tip PI, cu funcţia de transfer

)11()( sTKsGi

pR += , 2

14kT

TK p = , 1TTi = .


22

0 )12(1

)(1)(

+==

sTsPsG ,

iar comanda regulatorului are factorul de magnitudine

2

14)()(lim

)0(TT

sGsPG

MF

s

F ==

∞→

.

In cazul particular 2=k , 101=T şi 22 =T , în care

)12)(110(2)(

++= sssGF ,

rezultă 25,1=M şi

)11()( sTKsGi

pR += , 85=pK , 10=iT .

Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale

sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.11.


pentru )12)(110(2

++= ssGF şi )10

11(85

sGR += .


156

(b) Aplicând prima teoremă de alocare a polilor, rezultă

)2()1)(1(

]1)()[(1)(

22

21+++

=−

= sTskTsTsT

sPsGsGF

R

şi

22

0 )1(1

)(1)(

+==

sTsPsG .

Regulatorul obţinut este de tip PID, cu funcţia de transfer

)1

11()(+τ

++=s

sTsT

KsGd

d

ipR ,

unde

)2

1(41

2

1TT

kK p += ,

22

1T

TTi += , 22T

d =τ , )2(2)2(

21

212TTTTT

Td +−

= .

Aceste relaţii pot fi obţinute alegând 22T

d =τ şi scriind apoi identitatea

skT

sTsTsTsTsT

K di

p2

212

)1)(1(]2)2)(11[( ++=+++

sub forma

sTT

TsTsTT

TsTTkKii

dp22

11

22

1)1(]2)2()2[( +++=++++ .

Se determină pK şi iT prin egalarea coeficienţilor termenilor liberi şi în s1 , apoi dT - prin

egalarea coeficienţilor termenilor în s .

Comanda regulatorul are factorul de magnitudine 2

1)()(lim

)0(TT

sGsPGM

Fs

F ==∞→

.

In cazul particular 2=k , 101=T şi 22 =T , în care

)12)(110(2)(

++= sssGF ,

rezultă 5=M şi

)1

11()1(8

)12)(110()(+

++=+

++=

sτsT

sTK

sssssG

d

d

ipR ,

unde

811=pK , 11=iT , 1=dτ , 11

9=dT .

Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty

ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.12.

CALITATEA REGLĂRII

157


pentru )12)(110(2

++= ssGF şi )1(8

)12)(110(+

++= ssssGR .


)110)(1(313)(

+++= sss

ssGF ,

să se determine )(sGR de tip proporţional astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul

polilor (a) 2)12()( += ssP ; (b) )1)(12()( ++= sssP .

Soluţie. (a) In conformitate cu prima teoremă de alocare a polilor, avem

)13(4)110(3

]1)()[(1)(

++

=−

=ss

sPsGsG

FR , 20 )12(

1)(

1)(+

==ssP

sG .



(b) In conformitate cu prima teoremă de alocare a polilor, avem

)32)(13()110)(1(3

]1)()[(1)(

++++=

−= ss

sssPsGsG

FR ,

)1)(12(1

)(1)(0 ++== sssPsG .

Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.14.


158


pentru )110)(1(313)( ++

+= sssssGF şi )13(4

)110(3)(++= s

ssGR .


pentru )110)(1(313)(

+++= sss

ssGF şi )32)(13()110)(1(3)(

++++= ss

sssGR .

♦ Aplicaţia 5.10. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată de tip integral

)110)(32(13)(

+++= sss

ssGF ,

să se determine )(sGR de tip integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul

polilor

(a) 3)12()( += ssP ;

(b) 2)1)(130()( ++= sssP .

CALITATEA REGLĂRII

159

Soluţie. (a) In conformitate cu a doua teoremă de alocare a polilor, avem

)13(4

)16)(110(]1)()[(

1)(

1

1+

++=

−−+

=ss

ssscsPsG

scsG

FR ,

)32(4

16)()()( 2 ++==ss

ssGsGsG FRd ,

21

0 )12(16

)(1

)(++

=+

=ss

sPsc

sG .




pentru )110)(32(13)(

+++= sss

ssGF şi )13(4)16)(110()( +

++= sssssGR .

(b) In conformitate cu a doua teoremă de alocare a polilor, avem

)6130)(13(

)132)(110)(32(]1)()[(

1)(

1

1++

+++=

−−+

=sss

sssscsPsG

scsG

FR ,

)6130(

132)()()( 2 ++==

ssssGsGsG FRd ,

21

0 )1)(130(132

)(1

)(++

+=

+=

sss

sPsc

sG .




160


pentru )110)(32(13)(

+++= sss

ssGF şi )6130)(13()132)(110)(32()(

+++++= sss

ssssGR .


♦ C5.1. Să se calculeze eroarea staţionară la perturbaţie treaptă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:

KGR = , 1s31+=EG ,

19202

2 ++=

ssGP ,

11220

12 ++−

=ss

GV , 1=TG .

Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare ?

♦ C5.2. Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă rampă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:

)11(2 sTGi

R += , 1s21+=EG ,

191+= sGP , 1=TG .

♦ C 5.3. Pentru sistemul de reglare automată caracterizat prin

)s411( +=KGR , 1s2

1+=EG ,

1s81+=PG , 1s4

1+=TG ,

să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 20

1−=s .

CALITATEA REGLĂRII

161

♦ C5.4. Se consideră sistemul cu funcţia de transfer

)1)(1(

1)(21 ++

+=

sTsTsτsG ,

având constantele de timp 1T şi 2T pozitive şi fixate. Pentru intrare treaptă unitară, să se arate că indicele integral pătratic

dtyty st2

02 ))((∫∞

−=I

este minim atunci când 21 TTτ += .

♦ C5.5. Elementele unui sistem de reglare automată au funcţiile de transfer

skGR = , 0>k , 1=EG ,

132+

=s

GP ,

)14(2

1+

=s

GV , 12

1+

=s

GT .

(a) Să se afle eroarea staţionară la referinţă treaptă unitară şi la perturbaţie rampă unitară.

(b) Pentru referinţă treaptă unitară, să se afle valoarea optimă a parametrului k în

raport cu indicele integral pătratic tt d)(0

22 ∫

∞= εI .

♦ C5.6. Elementele unui sistem de reglare automată au funcţiile de transfer

ssT

Gi

R 311 ++= , 1

12 +

=s

GF ,

Pentru referinţă treaptă unitară, să se afle valoarea optimă a constantei de timp integrale iT

în raport cu indicele integral pătratic tt d)(0

22 ∫

∞= εI .

♦ C5.7. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată

)110)(34)(1(3)(

+++= ssssGF ,


(a) )1()14()( 2 ++= sssP ; (b) )1()12()( 2 ++= sssP .



)110)(14)(1(15)(

++++= sss

ssGF ,


162


(a) )123)(13()( ++= sssP ;

(b) 2)12()( += ssP ;

(c) )1)(12()( ++= sssP .

In toate cazurile, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.


)13)(1(10

15)(++

+=

sssssGF ,

să se proiecteze un regulator stabil de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor 3)13()( += ssP .


)14)(13(

2)(++

=ss

sGF ,

să se determine funcţia de transfer )(sGR a regulatorului de tip simplu integral, astfel încât

semnalul de comandă generat de regulator la referinţă treaptă unitară să fie de tip treaptă.

♦ C5.11. Procesul P din componenţa sistemului de reglare după perturbaţie din figura de mai jos are modelul

P: v-v4231220 −+=++ uuyyy .

Să se determine funcţia de transfer )(sGC a compensatorului C pe canalul UV − , astfel

încât compensarea efectului perturbator să fie perfectă.

6 PROPRIETĂŢI STRUCTURALE

ALE SISTEMELOR LINIARE

Teoria structurală a sistemelor operează în mod explicit cu conceptul de STARE, esenţial pentru caracterizarea internă a sistemului la orice moment al timpului. Reamintim că vectorul de stare sintetizează întreaga informaţie utilă referitoare la evoluţia anterioară a sistemului, în sensul că starea X şi ieşirea Y ale unui sistem determinist sunt univoc determinate la momentul 0>t de starea iniţială 0X şi intrarea

],0[ tU .

In cele ce urmează ne vom referi la sistemele multivariabile (multi input-multi output) liniare, invariante şi fără timp mort (continue sau discrete), având modelul structural (tip I-S-E) de forma

⎪⎩

⎪⎨⎧

)()()(

)()()(

t+DUtCX=tY

t+BUtAX=tX, t ∈ R (1)

respectiv

⎩⎨⎧ +

)()()()()()1(

tDU+t=CXtYtBU+tAXtX =

, Z∈t . (2)

In ambele modele, vectorii de intrare U , de stare X şi de ieşire Y au respectiv dimensiunile m , n şi p . Ordinul (dimensiunea) sistemului este n .

6.1. CONTROLABILITATEA SI STABILIZABILITATEA

Controlabilitatea (reglabilitatea) este acea proprietate structurală a unui sistem liniar (stabil sau instabil) care permite reglarea acestuia, prin reacţie după stare, cu performanţe dinamice foarte bune (oricât de bune la sistemele continue), deoarece, alocarea spectrului unui sistem controlabil prin reacţie după stare se poate realiza în orice configuraţie dorită.


164

Stabilizabilitatea este o proprietate structurală mai slabă, care permite numai stabilizarea sistemului prin reacţie după stare (prin alocarea spectrului în zona de stabilitate), dar nu şi obţinerea unor performanţe dinamice oricât sau suficient de bune. Toate sistemele stabile satisfac, în mod evident, proprietatea de stabilizabilitate. Un sistem instabil şi care nu satisface proprietatea de stabilizabilitate nu poate fi stabilizat prin introducerea unei legături de reacţie după stare.

6.1.1. Controlabilitatea stării

Prin definiţie, o stare 1X este controlabilă (reglabilă) dacă există o comandă U care să transfere sistemul din starea iniţială 00 =X în starea 1X , într-un interval de

timp finit. In cazul sistemului continuu ),,,( DCBAΣ , starea 1X este controlabilă dacă există 01 >t şi ],0[ 1tU astfel încât

∫ −= 1 10

)(1 )(e

t tA dBUX τττ .

La sistemul discret ),,,( DCBAdΣ , starea 1X este controlabilă dacă există un număr finit 11 ≥k de paşi de comandă

)}1(,),1(),0({ 1 −kUUU

astfel încât

)(1

0

11

11 iBUAX

k

i

ik∑−

=

−−= .

Pe baza acestor relaţii, putem demonstra (mai uşor în cazul sistemelor discrete) următoarea teoremă.

Teorema de controlabilitate a stării. O stare 1X este controlabilă dacă şi numai dacă poate fi scrisă sub forma WCX n=1 , unde

mnnnn BAABBC ×− ∈= R][ 1 (3)

este matricea de controlabilitate a sistemului, iar mnW R∈ .

Altfel spus, o stare 1X este controlabilă dacă şi numai dacă aparţine imaginii matricei de controlabilitate nC , adică

nCX Im1 ∈ . (4)

Imaginea matricei nC , definită astfel

PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 165

},|{Im mnn

nn WWCXXC RR ∈=∈=

Δ, (5)

reprezintă subspaţiul controlabil, cu dimensiunea

nCn nc ≤= rang . (6)

In cazul nCn =rang , subspaţiul controlabil coincide cu nR , deci toate stările nX R∈ sunt controlabile. Dacă însă nCn <rang , atunci stările controlabile aparţin

subspaţiului controlabil nCIm , iar stărilor necontrolabile aparţin mulţimii nn CIm\R ,

care nu formează un subspaţiu vectorial. Există însă un cel mai mare subspaţiu vectorial format din elemente ale mulţimii stărilor necontrolabile, care reprezintă subspaţiul necontrolabil şi are dimensiunea

cnc nnn −= . (7)

Deoarece nnn ncc =+ , subspaţiul controlabil şi subspaţiul necontrolabil sunt

complementare în nR . In plus, ele sunt şi ortogonale, deoarece produsul scalar al oricăror două elemente aparţinând celor două subspaţii este nul. Astfel, dacă 1X aparţine subspaţiul controlabil, iar 2X aparţine subspaţiul necontrolabil, atunci

01221 == XXXX TT .

Orice stare nX R∈ care nu aparţine niciunui subspaţiu vectorial este o stare necontrolabilă.

Determinarea subspaţiului controlabil nCIm este echivalentă cu aflarea unei baze a acestuia. O bază cB a subspaţiului controlabil este dată de cn coloane liniar independente ale matricei de controlabilitate nC , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de ncn vectori liniar independenţi iv care verifică ecuaţia

0=iTcB v . (8)

De notat faptul că orice element al unui subspaţiu (controlabil sau necontrolabil) poate fi reprezentat ca o combinaţie liniară a vectorilor −n dimensionali care formează baza subspaţiului.

Observaţii. 1o. In cazul unui sistem continuu, dacă starea 1X este controlabilă, atunci există o comandă ],0[ 1tU care transferă starea 00 =X în 1X într-un timp 1t

oricât de mic. Acest rezultat teoretic nu poate fi însă riguros implementat în cadrul aplicaţiilor practice, în primul rând din cauza incertitudinii modelului sistemului. Dar


166

şi în cazul ipotetic al unui model perfect, reducerea substanţială a timpului de transfer necesită utilizarea unui semnal de comandă cu magnitudinea extrem de mare, greu de realizat fizic şi inacceptabil din punct de vedere practic.

2o. La sistemele discrete, timpul minim în care starea controlabilă 1X poate fi

atinsă (plecând din origine) este cuprinsă între 1 şi n .

6.1.2. Controlabilitatea sistemului

Prin definiţie, un sistem este controlabil (reglabil) atunci când toate stările nX R∈ sunt controlabile. Din teorema de controlabilitate a stării rezultă imediat următoarea teoremă.

Teorema controlabilităţii. Un sistem liniar de ordinul n este controlabil dacă şi numai dacă matricea de controlabilitate are rangul n , adică

nCn =rang . (9)

Observaţia 1o. Proprietatea de controlabilitate este asociată exclusiv ecuaţiei de stare a sistemului, adică perechii de matrice ),( BA .

Observaţia 2o. La un sistem controlabil, oricare ar fi două stări nXX R∈21, , există o comandă ],0[ 1tU care să transfere sistemul din starea iniţială 1X în starea 2X , într-un timp 1t oricât de mic (dacă sistemul este continuu), sau cuprins între 1 şi n

(dacă sistemul este discret). In cazul unui sistem continuu controlabil, dacă ],0[ 1tU ′ transferă originea spaţiului

stărilor în starea 2X , iar ],0[ 1tU ′′ transferă originea spaţiului stărilor în starea 11e XAt− ,

atunci comanda UUU t ′′+′=],0[ 1 va transfera starea 1X în starea 2X . Intr-adevăr,

ţinând seama de (3), avem

∫ ′= −1 10

)(2 )(e

t tA dUBX τττ , ∫ ′′=− −1 110

)(1 )(ee

t tAAt dUBX τττ ,

iar prin însumare, obţinem relaţia

∫ −+= 1 110

)(12 )(ee

t tAAt dBUXX τττ ,

care exprimă faptul că starea 1X poate fi transferată în starea 2X , în timpul 1t , cu

comanda UUU ′′+′= . Demonstraţia este similară în cazul sistemelor discrete.


Observaţia 3o. Intre matricele de controlabilitate nC şi nC a două sisteme

),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ echivalente I-S-E există relaţia

nn CSC = , (10)

similară relaţiei de transformare a stării XSX = . Intr-adevăr,

][][ 1111111 BSSASBSASSBSSBABABSCS nnn

−−−−−−− ⋅⋅== n

n CBAABB == − ][ 1 .

Deoarece matricea pătrată S de transformare a stării este nesingulară, din (10) rezultă

nn CC rangrang = , (11)

care exprimă proprietatea de conservare prin echivalenţă a controlabilităţii, în sensul că subspaţiile controlabile a două sisteme echivalente I-S-E au aceeaşi dimensiune, deci ambele sisteme sunt fie controlabile, fie necontrolabile.

Teorema următoare exprimă posibilitatea descompunerii unui sistem necontrolabil în două subsisteme, unul controlabil şi celălalt necontrolabil.

Teorema descompunerii unui sistem necontrolabil. Fie ),,,( DCBAΣ un sistem

liniar necontrolabil de ordinul n , cu

nnC cn <=rang .

Efectuând transformarea de stare XSX = cu

][ ncc BBS = , (12)

unde cB şi ncB sunt respectiv baze ale subspaţiului controlabil şi necontrolabil, se obţine sistemul echivalent ),,,( DCBAΣ , având

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

1211

0 AAA

A , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=01BB , [ ]21 CCC = , DD = , (13)

cu 11A de tipul cc nn × , 22A de tipul ncnc nn × , 1B de tipul mnc × şi 1C de tipul cnp× .

In cazul sistemelor continue, scriind vectorul de stare X al sistemului Σ sub forma ecuaţiile sistemului Σ devin astfel

X =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ncXcX

(14)}nc

}n-nc


168

Σ : ⎪⎩

⎪⎨⎧

XA =X

UB +XA +XA = X

ncnc

nc cc

22

11211 , DUXCXCy ncc ++= 21 . (15)

In mod clar, componenta ncX a stării X este necontrolabilă, deoarece nu poate fi

transferată din origine sub acţiunea comenzii U . Prin eliminarea acestei componente, obţinem partea controlabilă CΣ a sistemului Σ , cu ordinul nc Cn rang= şi ecuaţiile

CΣ : ⎪⎩

⎪⎨⎧

+= DUXCy UB +XA = X

c

cc

1

111 . (16)

In majoritatea aplicaţiilor practice, reglarea sistemului necontrolabil Σ se reduce la reglarea părţii sale controlabile ),,,( 1111C DCBAΣ .

Observaţia 4o. Subsistemul controlabil CΣ este echivalent la stare nulă (deci

echivalent I-E) cu sistemul Σ , deci şi cu sistemul Σ . Această proprietate este consecinţa formei particulare a celei de-a doua ecuaţii de stare a sistemului Σ , care pentru 0)0( =ncX are soluţia 0)( =tX nc pentru orice 0≥t . Prin urmare, dacă sistemul Σ are starea iniţială 0)0( =X , deci 0)0( =cX şi 0)0( =ncX , atunci 0)( =tX nc pentru orice 0≥t , iar ecuaţiile sistemului Σ devin identice cu cele ale sistemului CΣ .

Observaţia 5o. Sistemele echivalente Σ şi Σ au acelaşi spectru (constituit din mulţimea disjunctă a valorilor proprii, adică a rădăcinilor ecuaţiei caracteristice). Spectrul cσ al matricei pătrate 11A reprezintă spectrul controlabil, iar spectrul ncσ al matricei pătrate 22A este spectrul necontrolabil. Din

)Idet()Idet()Idet()Idet( 2211 AsAsAsAs −⋅−=−=− ,

rezultă nccAA σσσσ ∪== ~)()( , (17)

care exprimă faptul că spectrul unui sistem este reuniunea disjunctă a spectrelor controlabil şi necontrolabil ale sistemului.

Pe baza teoremei de descompunere a unui sistem necontrolabil putem demonstra Teorema de controlabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar ),,,( DCBAΣ de

ordinul n este controlabil dacă şi numai dacă pentru orice element λ al spectrului sistemului, matricea (de controlabilitate a lui Hautus)

]I[)( BAHc −= λλ (18)

are rangul n .


Observaţia 6o. Tinând seama de faptul că nA =− ]I[rang λ pentru )(\ Aσλ C∈ ,

teorema de controlabilitate a lui Hautus admite următoarea formă "extinsă": Un sistem este controlabil dacă si numai dacă matricea )(λcH are rangul n pentru orice C∈λ .

Observaţia 7o. In cazul unui sistem necontrolabil ),,,( DCBAΣ de ordinul n şi având spectrul )(Aσ format din n elemente distincte, spectrul controlabil şi spectrul necontrolabil sunt date de relaţiile

})(rang|)({ nHA cc =∈= λλ σσ , })(rang|)({ nHA cnc <∈= λλ σσ . (19)

Pe de altă parte, spectrul unui sistem continuu este reuniunea disjunctă a spectrului stabil (asimptotic) −σ şi a spectrului instabil +σ , definite astfel

}Re|)({ 0<∈=− λλ σσ A , }Re|)({ 0≥∈=+ λλ σσ A . (20)

6.1.3. Stabilizabilitatea

Prin definiţie, o stare 1X este stabilizabilă dacă există o comandă U care s-o

transfere în origine, într-un interval de timp finit sau infinit. In plus, un sistem este stabilizabil atunci când toate stările nX R∈ sunt stabilizabile.

Teorema stabilizabilităţii. Un sistem liniar este stabilizabil dacă şi numai dacă partea necontrolabilă este asimptotic stabilă (spectrul necontrolabil coincide cu spectrul stabil), adică −− ⊂≡ Cσσ nc . (21)

Având în vedere lanţul de echivalenţe

( −≡σσ nc ) ⇔ ( cσσ λλ ∈⇒∈ + ) ⇔ ( nHc =⇒∈ + )(rang λλ σ ),

rezultă Teorema de stabilizabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar este stabilizabil dacă

şi numai dacă matricea de controlabilitate a lui Hautus are rangul n pentru orice element λ al spectrului instabil, adică

+∈∀= σλλ nHc )(rang . (22)

6.1.4. Forme canonice controlabile

Utilizarea formelor canonice de reprezentare I-S-E a unui sistem ),,,( DCBAΣ poate aduce simplificări în rezolvarea unor probleme majore ale reglării sistemelor


170

automate. Teoria formelor canonice are la bază conceptul de echivalenţă I-S-E, care permite transformarea sistemului ),,,( DCBAΣ în sistemul echivalent ),,,( DCBAΣ ,

prin schimbarea bazei spaţiului stărilor. Determinarea noii baze S , adică a matricei de transformare a stării după relaţia XSX = , este esenţială în obţinerea formei canonice dorite şi, eventual, după rezolvarea problemei, în revenirea la forma iniţială.

In cele ce urmează este abordat numai cazul sistemelor cu o singură intrare.

Forma canonică controlabilă de tipul 1. Un sistem liniar controlabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură intrare şi cu polinomul caracteristic

011

1)Idet()( aaaA nn

n +++=−= −−+ λλλλλP ,

poate fi adus la forma canonică controlabilă de tipul unu ),,,(1C DCBAΣ , cu matricele A şi B de forma

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−1210

1000

01000010

naaaa

A ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10

00

B , (23)

prin alegerea bazei ][ 211 nc sssS = , unde

⎩⎨⎧

−− . , ,n ,n =i ,Ba+As= sB=s

i+ii

n

1211 (24)

Matricea pătrată 1cS este nesingulară deoarece, scriind relaţiile (24) sub forma

explicită

BABAaABaBas

ABBasBs

nnn

nn

n

121211

11

−−−

−−

++++=

+==

,

rezultă 11 ACS nc = ,

unde ][ 1BAABBC nn

−= este matricea de controlabilitate a sistemului Σ , iar

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

0001001

011

1

32

21

1n

n

a

aaaaa

A .


Prin urmare,

0|det||det||det||det| 11 ≠=⋅= nnc CACS .

Pentru a demonstra că prin alegerea bazei 1cS se obţine forma canonică echivalentă (23), în conformitate cu teorema de echivalenţă I-S-E trebuie arătat că 1

11 cc ASSA −= şi

BSB c1

1−= , adică 11 cc ASAS = şi BBSc =1 . Deoarece a doua relaţie este evidentă,

rămâne să demonstrăm că 11 cc ASAS = . Tinând seama de teorema Cayley-Hamilton,

avem BaBAAaAaAaAs nn

n 01

12

211 )( −=++++= −− ,

adică nsaAs 01 −= . In plus, avem niii sasAs −=+1 pentru 1,,2,1 −= ni . Rezultă

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−−

1210

1211211000

01000010

][][

n

nnnn

aaaa

ssssssssA ,

adică ASAS cc 11 = . Controlabilitatea sistemului 1CΣ reiese şi din faptul că matricea sa de contro-

labilitate ][ 1BABABC nn

−= este de forma

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

***1**10

*1001000

nC ,

deci are proprietatea 1|det| =nC .

Ecuaţia de stare asociată formei canonice controlabile de tipul 1 are forma

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−−−==

=

−

−uxaxaxax

xx

xx

nnn

nn

12110

1

21

, (25)

care evidenţiază faptul că fiecare dintre variabilele de stare nxxx ,,, 32 sunt

derivatele variabilelor de stare precedente. De menţionat faptul că sistemul monovariabil cu forma canonică controlabilă

),,,(1C DCBAΣ şi

][ 110 −= ncccC , 0=D ,


172

are funcţia de transfer

01

11

011

1)(asasas

cscscsG nn

n

nn

+++++++

= −−

−− .

Forma canonică controlabilă de tipul 2. Un sistem liniar controlabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură intrare şi cu polinomul caracteristic

011

1)Idet()( aaaA nn

n +++=−= −−+ λλλλλP ,

poate fi adus la forma canonică controlabilă de tipul doi ),,,(2C DCBAΣ , cu

matricele A şi B de forma

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

−1

210

1000

010001000

na

aaa

A ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

001

B , (26)

prin alegerea bazei 2cS egală cu matricea de controlabilitate nC a sistemului Σ .

In conformitate cu teorema de echivalenţă I-S-E,, este suficient să arătăm că nn ACAC = şi BBCn = . Tinând seama de teorema Cayley-Hamilton, avem

][ 2 BABAABAC nn =

])I([ 1110

12 BAaAaaBABAAB nn

n −−

− +++−=

A

a

aaa

BAABB n

n

n C=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

−

−

1

2

1

0

1

1000

010001000

][

şi

BCBAABBB nn =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

0

01

][ 1 .

Controlabilitatea sistemului C2Σ reiese şi din faptul că matricea sa de contro-labilitate ][ 1BABABC n

n−= este egală cu matricea unitate I .


Ecuaţia de stare asociată formei canonice controlabile de tipul 2 are forma

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=+−=

−− nnnn

n

n

xaxx

xaxxuxax

11

112

01

. (27)

6.2. OBSERVABILITATEA SI DETECTABILITATEA

Observabilitatea şi detectabilitatea sunt respectiv dualele proprietăţilor de controlabilitate şi stabilizabilitate. Dacă proprietatea de controlabilitate permite atingerea într-un timp foarte mic a oricărei stări printr-o comandă convenabilă, deci reglarea sistemului prin reacţie după stare cu performanţe dinamice foarte bune, în schimb proprietatea de observabilitate permite o estimare performantă a stării sistemului, prin măsurarea şi procesarea convenabilă a mărimii de ieşire.

Detectabilitatea este o proprietate mai slabă care permite numai stabilizarea procesului de estimare a stării sistemului prin măsurarea şi procesarea convenabilă a mărimii de ieşire, dar nu şi realizarea unei calităţi bune a operaţiei de estimare. Starea unui sistem nedetectabil nu poate fi estimată prin procesarea ieşirii.

6.2.1. Observabilitatea

Prin definiţie, o stare 1X este observabilă dacă răspunsul liber )(tYl din starea iniţială 1X este nenul pentru 0≥t . Altfel spus, o stare 1X este neobservabilă dacă răspunsul liber )(tYl din starea iniţială 1X este identic nul pentru 0≥t .

La sistemul continuu ),,,( DCBAΣ , starea 1X este neobservabilă dacă şi numai

dacă 0e 1 =XC At 0≥∀ t . (28)

La sistemul discret ),,,( DCBAdΣ , starea 1X este neobservabilă dacă şi numai

dacă 01 =XCAk ,2,1,0=∀ k . (29)

Relaţiile (28) şi (29) sunt echivalente, deoarece (29) implică (28) , conform relaţiei de definiţie a exponenţialei matriceale, iar (28) implică


174

0)e(dd

01 =

=t

Atk XC

t ,2,1,0=∀ k ,

adică (29). Pe baza acestor relaţii, putem demonstra următoarea teoremă. Teorema de observabilitate a stării. O stare 1X este neobservabilă dacă şi numai

dacă 01 =XQn , (30)

unde

npn

n

n

CA

CAC

Q ×

−

∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= R1

(31)

este matricea de observabilitate a sistemului.

Mulţimea stărilor neobservabile formează subspaţiul vectorial neobservabil, cu dimensiunea nQn rang− , în timp ce mulţimea celorlalte stări din nR (observabile) nu

formează un subspaţiu vectorial, dar conţine un cel mai mare subspaţiu vectorial, cu dimensiunea no Qn rang= , numit subspaţiul observabil. Cele două subspaţii, ca şi

subspaţiile controlabil şi necontrolabil, sunt ortogonale şi complementare în nR .

Prin definiţie, un sistem este observabil atunci când toate stările nX R∈ sunt observabile. Din teorema de observabilitate a stării rezultă imediat următoarea teoremă.

Teorema observabilităţii. Un sistem liniar de ordinul n este observabil dacă şi numai dacă matricea de observabilitate are rangul n , adică

nQn =rang . (32)

Observaţia 1o. Proprietatea de observabilitate este asociată exclusiv perechii de matrice ),( CA .

Observaţia 2o. Intre matricele de observabilitate nQ şi nQ a două sisteme

),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ echivalente I-S-E, cu matricea de transformare S

( XSX = ), există relaţia

SQQ nn = , (33)

Intr-adevăr,


SQS

CA

CAC

SASCS

ASSCSCS

AC

ACC

Q n

nnn

n =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

−

− 111

1

1

Deoarece matricea pătrată S este nesingulară, din (33) rezultă

nn QQ rangrang = , (34)

care exprimă proprietatea de conservare prin echivalenţă a observabilităţii. Din

])([])()([),( 11 TnTTTTTnTTTn CACACCACACCAQ −− ==

),( TTn CAC=

rezultă

),(rang),(rang TTnn CACCAQ = , (35)

care exprimă Principiul dualităţii. Perechea ),( CA este observabilă dacă şi numai dacă

perechea ),( TT CA este controlabilă.

Sistemele ),,,( DCBAΣ şi ),,,(1 DBCA TTTΣ se numesc sisteme duale deoarece,

conform principiului dualităţii, studiul observabilităţii/controlabilităţii unuia se reduce la studiul controlabilităţii/observabilităţii celuilalt. Din principiul dualităţii putem obţine teorema descompunerii unui sistem neobservabil (similară teoremei descompunerii unui sistem necontrolabil), precum şi

Teorema de observabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar ),,,( DCBAΣ de

ordinul n este observabil dacă şi numai dacă pentru orice element λ al spectrului sistemului, matricea (de observabilitate a lui Hautus)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

λλ

C

AHo

I)( (36)

are rangul n .

Observaţia 3o. In cazul unui sistem neobservabil ),,,( DCBAΣ de ordinul n având spectrul )(Aσ format din n elemente distincte, spectrul observabil şi spectrul neobservabil sunt date de relaţiile

})(rang|)({ nHA oo =∈= λλ σσ , })(rang|)({ nHA ono <∈= λλ σσ . (37)


176

6.2.2. Detectabilitatea

Prin definiţie, o stare 1X este detectabilă dacă este observabilă sau dacă starea sistemului în regim liber evoluează din starea iniţială 1X spre origine, într-un interval

de timp finit sau infinit. Dacă toate stările nX R∈ sunt detectabile, atunci sistemul este detectabil.

Teorema detectabilităţii. Un sistem liniar este detectabil dacă şi numai dacă spectrul neobservabil coincide cu spectrul stabil, adică

−− ⊂≡ Cσσ no . (38)

Având în vedere lanţul de echivalenţă

( −≡σσ no ) ⇔ ( oσσ λλ ∈⇒∈ + ) ⇔ ( nHc =⇒∈ + )(rang λλ σ ),

rezultă Teorema de detectabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar este detectabil dacă şi

numai dacă matricea de observabilitate a lui Hautus are rangul n pentru orice element λ al spectrului instabil, adică

+∈∀= σλλ nHo )(rang . (39)

Perechea ),( CA este detectabilă dacă şi numai dacă perechea ),( TT CA este stabilizabilă, iar sistemul ),,,( DCBAΣ este detectabil dacă şi numai dacă sistemul dual ),,,(1 DBCA TTTΣ este stabilizabil.

6.2.3. Forme canonice observabile

Forma canonică observabilă de tipul 1. Un sistem liniar observabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură ieşire şi cu polinomul caracteristic

011

1)Idet()( aaaA nn

n +++=−= −−+ λλλλλP ,

poate fi adus la forma canonică observabilă de tipul unu )~,~

,~,~

(1O DCBAΣ , cu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−1210

1000

01000010

~

naaaa

A , [ ]0001~=C , (40)

prin alegerea bazei 1oS egală cu inversa matricei de observabilitate, adică 1

1−= no QS .


Acest rezultat poate fi obţinut din forma canonică controlabilă de tipul doi (26), ţinând seama că AAT =

~ şi BC T =~ . Prin transpunere, relaţia 1

11

~oo ASSA −= devine

111 )( −= T

oTT

o SASA ; similar, 1~

oCSC = devine TTo CSB 1= . Pe de altă parte, deoarece

212 c

Tc SASA −= şi BSB c

12

−= , rezultă

212

111 )( c

Tc

To

TTo SASSAS −− = ,

BSCS cTT

o121

−= .

Prin urmare, 1oS poate fi obţinut prin transpunerea şi inversarea matricei 2cS , după ce au fost înlocuiţi parametrii A şi B din [ ]BAABBS n

c1

2−= respectiv cu TA şi

TC ; deci, 11

−= no QS .

Similar, din forma canonică controlabilă de tipul unu (23), rezultă Forma canonică observabilă de tipul 2. Un sistem liniar observabil ),,,( DCBAΣ ,

cu o singură ieşire şi cu polinomul caracteristic

011

1)Idet()( aaaA nn

n +++=−= −−+ λλλλλP ,

poate fi adus la forma canonică observabilă de tipul doi )~,~,~,~(O2 DCBAΣ , cu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

−1

2

1

0

1000

010001000

~

na

aaa

A , [ ]1000~

=C , (41)

alegând baza 2oS de forma Tno sssS ][ 21

12 =− , unde

⎪⎩

⎪⎨⎧

−− . , ,n ,n =i Ca+sA= s

C=sT

i+iT

i

Tn

121,1

(42)

De menţionat faptul că sistemul monovariabil cu forma canonică observabilă )~,~,~,~(O2 DCBAΣ şi

][~110 −= n

T bbbB , 0~=D ,

are funcţia de transfer

01

11

011

1)(asasas

bsbsbsG n

nn

nn

+++++++

= −−

−− .


178

6.3. REGLAREA CU REACŢIE DUPĂ STARE ŞI ESTIMATOR DE STARE

Reglarea automată unui sistem strict propriu ),,( CBAΣ presupune introducerea unei legi de comandă a acestuia, în funcţie de ieşirea măsurată Y şi de intrarea de referinţă I . Rezolvarea structurală a problemei sintezei sistemului de reglare se face în două etape:

- determinarea, în condiţiile controlabilităţii sistemului Σ , a unei legi de comandă liniară prin reacţie după stare, de forma

PRFXU +−= ,

astfel încât sistemul închis să aibă un spectru apriori fixat; - construirea, în condiţiile observabilităţii sistemului Σ , a unui estimator de stare

Σ~

, care să reconstituie rapid şi „asimptotic exact" starea necunoscută X a sistemului Σ , pe baza intrării U şi a ieşirii măsurate Y (fig. 6.1).

Condiţia de estimare „asimptotic exactă" a stării X a sistemului Σ semnifică faptul că ieşirea X~ a estimatorului de stare Σ

~ converge către starea X atunci când

∞→t , oricare ar fi starea iniţială )0(X şi intrarea ),0[ ∞U . Sistemul cΣ format din subsistemul de comandă după stare şi estimatorul de stare

se numeşte compensator liniar .

Fig. 6.1. Schema sistemului de reglare cu estimator de stare şi reacţie după starea estimată.

6.3.1. Reglarea prin reacţie după stare

Pentru sistemul liniar ),,( CBAΣ cu m variabile de intrare şi n variabile de stare, legea de comandă liniară după stare are forma generală

PRFXU +−= , (43)


unde qR R∈ este mărimea de intrare (de referinţă) a sistemului închis (cu reacţie), nmF ×∈R este matricea de reacţie (după stare), iar qmP ×∈R este matricea de

precompensare. Dacă sistemul Σ are o singură intrare ( 1=m ), atunci matricea de reacţie F este de tip linie.

Sistemul închis cu reacţie după stare ),,(, CBAPFΣ din figura 6.2 are modelul

⎪⎩

⎪⎨⎧

Y=CX

RX+B= AX PF , (44)

unde BFAAF −= , BPBP = . (45)

Fig. 6.2. Sistem închis cu reacţie după stare.

Un sistem ),,( CBAΣ cu n variabile de stare se numeşte alocabil dacă oricare ar fi mulţimea simetrică1 0σ de n numere reale sau complexe, există o matrice de reacţie F astfel încât spectrul sistemului cu reacţie după stare să coincidă cu 0σ , adică

0)( σ=σ FA . (46)

Se poate demonstra relativ uşor, pe baza teoremei descompunerii unui sistem necontrolabil, că un sistem necontrolabil ),,( CBAΣ nu este alocabil deoarece, oricare ar fi matricele F şi P , spectrul sistemului cu reacţie după stare ),,(, CBAPFΣ conţine

spectrul necontrolabil, deci fix, al lui Σ . Nu la fel de simplă este demonstraţia faptului că dacă sistemul ),,( CBAΣ este controlabil, atunci este şi alocabil.

Teorema alocabilităţii spectrului prin reacţie după stare. Un sistem este alocabil dacă şi numai dacă este controlabil.

Performanţele dinamice ale sistemului de reglare după stare sunt în mare măsură determinate de spectrul matricei FA . Teoretic, dacă sistemul Σ este controlabil, prin

alegerea convenabilă a matricei de reacţie F putem obţine spectrul dorit al sistemului

1 In care fiecare număr complex apare împreună cu conjugatul său.


180

închis (al matricei FA ), deci putem proiecta sistemul închis pentru a avea performanţe

dinamice oricât de bune. Practic însă, acest lucru nu este posibil, ca urmare a nivelului de zgomot şi gradului de incertitudine al modelului sistemului Σ .

In cazul sistemelor cu o singură intrare ( 1=m ), procedura de alocare este următoarea:

a) Se calculează matricea de controlabilitate ][ 1BAABBC nn

−= şi se verifică faptul că nCn =rang ;

b) Se determină vectorul h cu relaţia ]100[=nT Ch ;

c) Se calculează matricea de reacţie F (tip linie) cu relaţia

∏=

−==n

kk

TT AhAhF1

00 )I)( ( λP , (47)

unde )(0 sP este polinomul caracteristic dorit, iar 01λ , …, 0

nλ sunt elementele dorite şi apriori fixate ale spectrului 0σ sistemului închis.

Observaţie. Procedura de alocare se simplifică în cazul unui sistem CBA ,,(1CΣ ) având forma canonică controlabilă de tipul 1. Astfel, dacă sistemul are

polinomul caracteristic

011

1)Idet()( aaaA nn

n +λ++λλ=−λ=λ −−+P ,

atunci alegând matricea de reacţie

][ 1111001 −− −−−= nn aaaF ααα , (48)

sistemul închis va avea polinomul caracteristic impus

011

10 )Idet()(1

α+λα++λλ=−λ=λ −−α+ n

nn

FAP .

Intr-adevăr, avem

][

10

00

21000

01000010

111100

110

1 −−

−

−−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=− − nn

n

aaa

αααα

FBA ααα

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−110 21000

01000010

nαααα

,


deci )()](I[det 01 λ=−−λ PFBA .

Dacă sistemul controlabil Σ nu are forma canonică controlabilă de tipul 1, atunci matricea de reacţie F este dată de relaţia

111

−= cSFF , (49)

unde 1cS este matricea (24) care realizează transformarea lui Σ în 1CΣ .

In MATLAB, pentru calculul matricei de reacţie F a unui sistem ),,( CBAΣ cu o singură intrare sau cu mai multe intrări, se utilizează respectiv funcţiile

• function F = acker(A,B,S), şi • function F = place(A,B,S). Vectorul n -dimensional S defineşte spectrul dorit 0σ al sistemului cu reacţie după stare.

6.3.2. Estimatoare de stare

Cel mai simplu estimator de stare (de tipul 1) al sistemului strict propriu ),,( CBAΣ de ordinul n este sistemul liniar, de ordinul n , strict propriu, cu modelul

1~Σ :

⎩⎨⎧ −

=WX

CWY=AW+BU+LW~

( ) , (50)

unde nW R∈ reprezintă starea estimatorului, X~ este estimarea stării X a sistemului Σ , iar pnL ×∈R este o matrice de corecţie aleasă convenabil. In lipsa termenului de corecţie )( CWYL − , ecuaţia de stare a estimatorului coincide cu ecuaţia de stare a sistemului Σ . Dacă sistemul Σ are o singură ieşire ( 1=p ), atunci matricea de corecţie L este de tip coloană.

Cu notaţia LCAAL −= , (51)

modelul estimatorului de stare devine astfel:

1~Σ :

⎩⎨⎧

=WX

W+BU+LY=AW L~ . (52)


182

Estimatorul are ca intrări mărimea de intrare U a sistemului Σ şi mărimea de ieşire Y a sistemului Σ , iar ca ieşire mărimea X~ de estimare a stării X a sistemului Σ . Spectrul estimatorului de stare este mulţimea valorilor proprii ale matricei pătrate

LA . Notând cu XXE −=

~ eroarea de estimare, din ecuaţia estimatorului

)~(~~ XCY+BU+LX=AX −

şi din ecuaţiile BUAXX += , CXY =

ale sistemului Σ , obţinem ecuaţia erorii

EAE L= , (53) care implică )0(e)( EtE tAL= , (54)

unde )0(E este eroarea de estimare iniţială. Din (54) rezultă că estimatorul este asimptotic stabil, adică 0)(lim =

∞→tE

t oricare ar fi eroarea iniţială )0(E , dacă şi numai

dacă toate valorile proprii ale matricei LA au partea reală negativă. Tinând seama că

)()()( TTTTLL LCAAA −== σσσ ,

din teorema alocabilităţii spectrului prin reacţie după stare rezultă că estimatorul este alocabil dacă şi numai dacă perechea ),( TT CA este controlabilă. In conformitate cu principiul dualităţii, perechea ),( TT CA este controlabilă dacă şi numai dacă perechea

),( CA este observabilă. Obţinem astfel

Teorema alocabilităţii spectrului estimatorului. Estimatorul de stare al unui sistem are spectrul alocabil dacă şi numai dacă sistemul este observabil.

In cazul unui sistem Σ observabil, alegând valorile proprii ale matricei LA în

stânga axei imaginare şi suficient de departe de aceasta, eroarea de estimare se poate anula oricât de rapid. Practic însă, acest lucru nu este posibil, ca urmare a nivelului de zgomot şi gradului de incertitudine al modelului sistemului Σ .

Procedeul de alocare a spectrului estimatorului este similar celui de la reacţia după stare. Astfel, dacă se doreşte ca estimatorul să aibă spectrul 0σ , atunci se notează TA cu A şi TC cu B , iar după aflarea matricei de reacţie F astfel încât 0)( σσ =− BFA ,

se calculează matricea de corecţie L , cu relaţia TFL = .


Observaţii. 1o. Modelul compensatorului de tipul 1, format din legea de comandă după starea estimată

PRXFU +−=~

şi estimatorul de stare 1~Σ cu modelul (50), are forma

cΣ : ⎪⎩

⎪⎨⎧

− RP+FWU=

+LY RW+BP=JW, (55)

unde BFLCAJ −−= . (56)

2o. Să considerăm sistemul închis cu reacţie după ieşire din figura 6.3, format din sistemul liniar ),,( CBAΣ şi compensatorul cΣ de tipul 1 cu modelul (55).

Fig. 6.3. Sistem de reglare cu compensator.

Prin eliminarea comenzii U , din ecuaţiile sistemului şi compensatorului obţinem modelul sistemului închis, de ordinul n2 , sub următoarea formă:

1Σ :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

WX

CY

RBPBP

WX

JLCBFA

WX

]0[

. (57)

Datorită formei simple a relaţiei (53), modelul sistemului închis se va simplifica prin înlocuirea stării W cu starea (eroarea) E . Intr-adevăr, din

EXXW +==~

şi BPRBFEXBFAPRFWBAXBUAXX +−−=+−+=+= )()( ,

obţinem modelul sistemului închis, sub forma


184

1Σ′ :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

EX

CY

RBP

EX

ABFA

EX

L

F

]0[

00

. (58)

Prin urmare, sistemul închis are spectrul

)(~)(1 LF AA σ∪σ=σ . (59)

In concluzie, spectrul sistemului închis este reuniunea disjunctă a spectrelor sistemului cu reacţie după stare şi estimatorului de stare.

3°. Matricea de precompensare P nu intervine în problema alocabilităţii sistemelor de reglare cu reacţie după stare şi estimator de stare. In consecinţă, această matrice rămâne disponibilă în vederea satisfacerii unor cerinţe suplimentare, cum ar fi cea referitoare la precizia reglării în regim staţionar.

6.3.3. Precizia de reglare

Pentru un sistem de reglare intern stabil la care vectorul de referinţă R are dimensiunea mărimii reglate Y ( pq = ), să notăm cu )(tE eroarea de reglare, adică

)()()( tYtRtE −= ,

corespunzătoare intrării tip treaptă

)(1)( 0 tRtR ⋅= , pR R∈0 .

Anularea erorii staţionare )(lim tEEt

st∞→

= poate fi realizată în două moduri: prin

precompensare şi prin introducerea câte unui integrator pe fiecare canal de eroare. Deoarece starea estimată X~ coincide în regim staţionar (pentru ∞→t ) cu starea

X , estimatorul de stare nu influenţează valoarea erorii staţionare stE . In consecinţă,

pentru calculul erorii staţionare vom considera că sistemul de reglare se identifică cu sistemul cu reacţie după stare (fig. 6.2). In acest caz, avem

s

RBAsCsRsGsRsE PFPF01

, ])I([I)()()()( −−−=−=

şi deci


01 ])([I)(lim

0RBPBFACssEE

sst

−−+==→

. (60)

Din (60) reiese că eroarea staţionară este nulă pentru orice funcţie de intrare tip treaptă dacă şi numai dacă are loc relaţia

0)(I 1 =−+ − BPBFAC . (61)

In cazul unui sistem Σ la care numărul m al mărimilor de comandă coincide cu numărul p al mărimilor de ieşire, iar matricea pătrată

BBFAC 1)( −−

este nesingulară, din (61) rezultă, în mod unic, matricea de precompensare (pătrată)

11 ])([ −−−−= BBFACP . (62)

In general, pentru ca să existe o matrice de precompensare P de tipul pm× astfel încât relaţia (61) să fie satisfăcută, este necesar şi suficient ca matricea BBFAC 1)( −− , de tipul np× , să aibă rangul p . Pe baza acestui rezultat se poate demonstra

Teorema anulării prin precompensare a erorii staţionare. Presupunând că sistemul ),,( CBAΣ este stabilizabil, de ordinul n şi are m intrări şi p ieşiri, condiţia de anulare a erorii staţionare pentru referinţă tip treaptă poate fi satisfăcută prin alegerea convenabilă a matricei de precompensare P dacă şi numai dacă este îndeplinită condiţia de rang

pnC

BA+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0rang . (63)

Deoarece matricea de rang are dimensiunea )()( mnpn +×+ , condiţia de rang nu poate fi îndeplinită atunci când sistemul Σ are mai puţine intrări (comenzi) decât ieşiri (mărimi reglate), adică pm ≤ .

Rezolvarea problemei anulării erorii staţionare prin precompensare nu oferă o soluţie robustă, datorită incertitudinii modelului sistemului Σ . Problema poate fi rezol-vată într-o manieră structural robustă, prin adăugarea unui set de p integratoare, câte unul pe fiecare canal de eroare (fig. 6.4). Sistemul ),,( CBAΣ va fi extins la sistemul

exΣ prin adăugarea intrării pR R∈ şi a stării pZ R∈ , definită astfel

YREZ −== . (64)


186

Cu notaţiile

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Z

XX ex (65)

şi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

0

0

C

AAex , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

BBex , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

I

0exE , ]0[CCex = , (66)

modelul sistemului extins devine astfel

exΣ : ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+= +

exex

exexexXexex

XCY

REUBAX . (67)

Fig. 6.4. Sistem cu elemente integratoare pentru anularea erorii staţionare.

6.4. APLICAŢII


♦ Aplicaţia 6.1. Să se studieze controlabilitatea stărilor sistemului cu ecuaţiile de stare

⎩⎨⎧

−+=

+−=

umxxxuxxx2

2

212

211 ,

unde m este un parametru real.

Soluţie. Sistemul are matricea de controlabilitate

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−==

mABBC

21251][2 .

Pentru 2/11≠m , matricea 2C are rangul 2, deci toate stările 2R∈X sunt controlabile.


Pentru 2/11=m , matricea 2C are rangul 1, deci nu toate stările 2R∈X sunt controlabile. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 1=cn , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea

1=−= cnc nnn .

Prima coloană a matricei 2C formează baza

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=21

cB

a subspaţiului controlabil. Prin urmare, elementele subspaţiului controlabil sunt de forma

α⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=21

X , R∈α , deci stările controlabile ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

1xx

X sunt situate pe dreapta

12 2xx −=

din planul 2R . Toate stările 2R∈X nesituate pe această dreaptă sunt necontrolabile. O bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de o soluţie nenulă a ecuaţiei vectoriale

0=vTcB , unde ]21[ −=T

cB . Rezultă

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 12

ncB ,

deci elementele subspaţiului necontrolabil sunt de forma α⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=12

X , R∈α , adică de forma

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

1xx

X cu

12 21 xx = .

Dreapta de controlabilitate 12 2xx −= şi dreapta de necontrolabilitate 12 21 xx = sunt

perpendiculare între ele.

♦Aplicaţia 6.2. Să se studieze controlabilitatea stărilor sistemului cu ecuaţiile de stare

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−−=

++−=

uxxxxx

uxxx

13

322

2116

2 .

Soluţie. Sistemul are matricea de controlabilitate

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−==

211060221

][ 23 BAABBC .


188

Deoarece 2rang 3 =C , nu toate stările 3R∈X sunt controlabile. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 2c =n , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea 1=−= cnc nnn .

O bază cB a subspaţiului controlabil este formată din primele două coloane ale matricei

3C , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de vectorul nenul v care verifică

relaţia 0=vTcB , unde ]21[ −=T

cB ; rezultă

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

=116021

cB , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

212

ncB .

Stările controlabile sunt de forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

βαββα

βα 62

162

101

X ,

unde R∈βα , , deci sunt situate în planul

022 321 =−− xxx

din spaţiul 3R . Toate stările 3R∈X nesituate în acest plan sunt necontrolabile. Stările subspaţiului necontrolabil sunt de forma

δ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

212

X , R∈δ .

♦Aplicaţia 6.3. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E

:Σ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−−=

++−=

uxxxxx

uxxx

13

322

211

62

, 321 xxxy −−= .

Soluţie. Avem

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−=

001610012

A , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

101

B , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−−==

211060221

][ 23 BAABBC .

Deoarece 2rang 3c == Cn , sistemul nu este controlabil. O bază cB a subspaţiului controlabil este formată din primele două coloane ale matricei

3C , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de vectorul nenul v care verifică

relaţia 0=vTcB ; rezultă


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

=116021

cB , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

212

ncB .

Cu matricea de transformare

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−−==

211160221

][ ncc BBS , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

=−

636141

14213

2711S ,

se obţine forma necontrolabilă descompusă

Σ :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

++−=

33

312

321

335

372

xx

xxx

uxxx

, 32 53 xxy −= ,

care evidenţiază clar necontrolabilitatea stării 3x . Prin eliminarea acestei stări, obţinem partea controlabilă a sistemului

CΣ : ⎩⎨⎧

=+−=

12

21 2xx

uxx , 23xy = .

Din

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 01

2011A , 322 −=A ,

rezultă că sistemul are spectrul controlabil }2{)( 11 jAc ±==ασ şi spectrul necontrolabil

}3{)( 22 −== Anc ασ .

Matricea de controlabilitate a lui Hautus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=−=

λλ

λλλ

10106101012

]I[)( BAH c

are rangul 3 pentru 2j±=λ (ultimele trei coloane fiind liniar dependente numai pentru 3−=λ şi 2=λ ) şi rangul 2 pentru 3−=λ , rezultat ce confirmă necontrolabilitatea sistemului,

dar şi modul de împărţire a spectrului sistemului în controlabil şi necontrolabil. Deoarece spectrul necontrolabil ncσ al sistemului coincide cu spectrul stabil σ− = {−3},

din teorema stabilizabilitatăţii rezultă că sistemul este stabilizabil. Acest lucru este confirmat de teorema de stabilizabilitate a lui Hautus, prin faptul că matricea )(λcH are rangul 3 pentru

}2{ j±=+∈σλ .


190

♦Aplicaţia 6.4. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar

Σ : ⎪⎩

⎪⎨⎧

++=++=

+−−+=

2213

2122

213211

32

222

uxxxuuxx

uuxxxx,

⎩⎨⎧

+−=−=

1212

311

2 uxxyxxy

.

Soluţie. Avem

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

021010122

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

301121

B , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=021101C , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

0100D ,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−==

524130111111413021

][ 23 BAABBC .

Deoarece matricea de controlabilitate 3C are rangul 2 (linia a treia este suma primelor două) sistemul este necontrolabil; subspaţiul controlabil are dimensiunea 2=cn , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea 1=ncn . Alegem baza cB a subspaţiului controlabil ca fiind formată din prima şi a treia coloană a matricei 3C , apoi baza ncB a subspaţiului necontrolabil sub

forma vectorului nenul v care verific relaţia 0=vTcB ; rezultă

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−==

110111101

][ ncc BBS , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=−

111211112

311S .

Cu matricea de transformare S , se obţine forma necontrolabilă descompusă

Σ : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

−+−−=

33

23212

21321

3+424

xxuxxxx

uuxxx ,

⎩⎨⎧

+−−−=−−=

13212

3211

232+

uxxxyxxxy

,

care evidenţiază necontrolabilitatea stării 3x . Prin eliminarea acestei stări, obţinem partea controlabilă a sistemului

CΣ : ⎩⎨⎧

+=−+−=

2212

2121

3+2 uxxxuuxx

, ⎩⎨⎧

+−−=−−=

1212

211

23 uxxxxy

y.

Din

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=2110

11A , 112 =A ,

rezultă că sistemul are spectrul controlabil }1,1{)( 11 == Ac ασ şi spectrul necontrolabil }1{)( 22 == Anc ασ .


Pentru 1=λ , matricea lui Hautus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−=−=

301211100021121

]I[)( BAHc λλ

are rangul 2 (ultima linie fiind suma primelor două), fapt ce confirmă necontrolabilitatea sistemului.

Deoarece spectrul necontrolabil ncσ al sistemului nu este asimptotic stabil, din teorema stabilizabilităţii rezultă că sistemul nu este nici stabilizabil. Acest lucru este confirmat de teorema de stabilizabilitate a lui Hautus, prin faptul că matricea )(λcH are rangul 2 pentru

}1,1,1{=+∈σλ .

♦Aplicaţia 6.5. Să se determine formele canonice controlabile ale sistemului cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

110201010

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=211

B , [ ]101 −=C , 0=D .

Soluţie. Polinomul caracteristic

13110

2101

)Idet()( 23 −−+=+−

−−−

=−= λλλλ

λλ

λλ AP ,

are coeficienţii 10 −=a , 31 −=a , 12 =a .

Pentru a obţine forma canonică controlabilă de tipul 1, cu relaţiile (24) determinăm baza 1cS , astfel:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−==211

3 Bs , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=+=

140

232 BaAss , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=+=

111

121 BaAss ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=

211141101

1cS , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−−=−

413231417

1011

1cS .

Rezultă forma canonică ),,,(1C DCBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−== −

131100010

111 cc ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

100

11 BSB c , [ ]1121 −== cCSC , 0== DD ,

adică


192

:1CΣ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+===

uxxxxxxxx

3213

32

21

3 , 3212 xxxy −+= .

Pentru a obţine forma canonică controlabilă de tipul 2, calculăm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−==

832751511

][ 22 BAABBSc ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−=−

417226

18719

1011

2cS .

Rezultă forma canonică ),,,(2C DCBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−== −

110301100

212 cc ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

001

12 BSB c , [ ]3212 −−== cCSC , 0== DD ,

adică

:C2Σ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

323

312

313xxxxxx

uxx , 321 32 xxxy −+−= .

♦Aplicaţia 6.6. Să se studieze observabilitatea şi detectabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E

:Σ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=−−=++−=

uxxxuxxxuxxx

22

323

212

211

, 321 2xxxy ++= .

Soluţie. Avem

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−=

110011011

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

221

B , [ ]211=C , 0=D ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

242220211

23CACAC

Q .

Deoarece matricea de observabilitate 3Q are rangul 2, sistemul este neobservabil; subspaţiul observabil are dimensiunea 2rang 3 == Qno , iar subspaţiul neobservabil are dimensiunea

1=non .

Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice 0)Idet( =− As , echivalentă cu 0)2)(1( =++ sss , obţinem spectrul }0,1,2{ −−=σ . Matricea de observabilitate a lui Hautus,


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

−+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

211110

011011

I)( λλ

λλλ C

AHo ,

are rangul 3 pentru 2−=λ şi 1−=λ (ultimele trei linii fiind liniar independente) şi rangul 2 pentru 0=λ , fapt ce confirmă neobservabilitatea sistemului şi permite determinarea spectrului observabil }1,2{ −−=oσ şi a spectrului neobservabil }0{=noσ . Deoarece spectrul

neobservabil nu este asimptotic stabil (adică inclus în −C ), din teorema detectabilităţii rezultă că sistemul este nedetectabil. Acest lucru este confirmat de teorema de detectabilitate a lui Hautus, deoarece rangul matricei )(λoH pentru +∈= σλ 0 este mai mic decât 3 .

♦Aplicaţia 6.7. Să se determine formele canonice observabile ale sistemului cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

110201010

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=211

B , [ ]101 −=C , 0=D .

Soluţie. Pentru a obţine forma canonică observabilă de tipul 1, calculăm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−

110100101

211

CACAC

So , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

010110011

1oS .

Rezultă forma canonică )~,~

,~,~

(1O DCBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−== −

131100010~

111 oo ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−== −

321~ 1

1 BSB o ,

[ ]001~

1 == oCSC , 0~== DD ,

adică

:1OΣ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+=+=−=

uxxxxuxx

uxx

3~~3~~2~~

~~

3213

32

21 , 1

~xy = .

Polinomul caracteristic

13110

2101

)Idet()( 23 −−+=+−

−−−

=−= λλλλ

λλ

λλ AP ,

are coeficienţii 10 −=a , 31 −=a , 12 =a .


194

Pentru a obţine forma canonică observabilă de tipul 2, cu relaţiile (42) determinăm baza 2oS , astfel:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==

101

3TCs ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=+=

001

232TT CasAs ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=+=

313

121TT CasAs ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=−

101001313

12oS ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

110301010

2oS .

Rezultă forma canonică )~,~

,~,~

(2O DCBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−== −

110301100~

212 oo ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−== −

112~ 1

2BSB o ,

[ ]100~

2 == oCSC , 0== DD ,

adică

:O2Σ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=++=

+=

uxxxuxxx

uxx

313

312

31

~~~~3~~

2~~

, 3~xy = .

Aplicaţia 6.8. Pentru sistemul ),,,( DCBAΣ de la exemplul 6.5, având

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

110201010

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

211

B ,

să se determine matricea de reacţie după stare F astfel încât sistemul rezultant să aibă spectrul }1,1,2{0 −−−=σ .

Soluţie. Matricea de controlabilitate

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−==

832751511

][ 23 BAABBC

are rangul 3 , deci sistemul este controlabil şi, prin urmare, alocabil. Din ]100[3 =ChT obţinem ]4,01,07,0[ −−=Th , iar din 2

0 )1)(2()( ++= λλλP

rezultă

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=++=

45310128686

)I)(I2()( 20 AAAP .

Prin urmare, avem


]6,14,22,2[)(0 == AhF TP .

Sistemul închis are matricea

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−−−=−=

211922181216

8711

51BFAAF ,

cu spectrul }1,1,2{)( −−−=FAσ .

Aceeaşi matrice de reacţie F poate fi obţinută pe baza relaţiei (49). Utilizând unele rezultate din cadrul aplicaţiei 6.5, avem

13)( 23 −−+= λλλλP , 254)( 23 +++= λλλλ0P , ]383[1 =F ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−−=−

413231417

1011

1cS , ]162422[1011

11 == −cSFF .

Aplicaţia 6.9. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu

A = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

1,7100,8010,100

, B = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

014

, C = [ 0 0 1 ],

să se proiecteze estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă spectrul }2,2,2{)( −−−=LAσ .

Soluţie. Notând TA cu A şi TC cu B , avem

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=

1,70,80,1100010

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

100

B .

Deoarece perechea ),( BA are forma canonică controlabilă de tipul 1, în conformitate cu relaţia (48), din

1,08,0)Idet()( 23 7,1 ++=−= + λλλλλ AP şi 812)2()( 233

0 6 ++=+= + λλλλλP ,

rezultă ]3,42,119,7[]7,168,0121,08[ =−−−=F ,

deci

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

4,311,27,9

TFL .

Estimatorul proiectat are matricea


196

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=−=610

1201800

]100[4,3

11,27,9

1,7100,8010,100

LCAAL .

şi, în conformitate cu (50), are ecuaţiile de stare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

++−=

++−=

ywwwyuwww

yuww

3,462,1112

9,748

323

312

31

.

Se poate verifica imediat că }2,2,2{)( −−−=LAσ .


♦ C6.1. Fie sistemul

⎩⎨⎧

=

++=

− 212

211 2xmxx

uxxx,

unde m este un parametru real. Să se studieze controlabilitatea stărilor şi a sistemului, precum şi stabilizabilitatea sistemului.

♦ C6.2. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului cu ecuaţiile de stare

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−=

+−= −

13

322

211 2

mxxuxxx

uxxx ,


♦ C6.3. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar

⎩⎨⎧

−=

++−=

− 22212

1211

uxmxxuxxx

, ⎩⎨⎧

−=

= +

212

211

2xxy

xxy,


♦ C6.4. Să se determine formele canonice controlabile ale sistemului cu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−=

110211010

A , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−=

201

B , [ ]111 −=C , 0=D .


♦ C6.5. Să se studieze observabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E

:Σ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

−−=

++−=

323

12

211

xxxuxx

uxxx, 321 xxxy −−= .

♦ C6.6. Să se determine formele canonice observabile ale sistemului cu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−=

100311010

A , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

221

B , [ ]111 −−=C , 0=D .

♦ C6.7. Pentru sistemul ),,,( DCBAΣ cu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−=

110121030

A , ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−=

210

B ,

să se determine matricea de reacţie după stare F astfel încât sistemul rezultant să aibă spectrul }1,1,1{0 −−−=σ .

♦ C6.8. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=110201100

A , [ ]120=C ,

să se proiecteze estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă spectrul }1,1,1{)( −−−=LAσ .

♦ C6.9. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=110201100

A , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

110

B , C = [ 0 2 1 ], D=0,

să se proiecteze un compensator astfel astfel încât sistemul cu reacţie după stare şi estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă fiecare spectrul }1,1,1{ −−−=σ , iar eroarea staţionară la referinţă

treaptă să fie nulă.


198

REZULTATELE APLICAŢIILOR DE

AUTOCONTROL

C2.1. 1712)(

++

=sssG .

a) 17

51)17(

12)(+

−=++

=ssss

ssY ; 7e751)(

t

ty−

−= pentru 0≥t .

b) )17(7

572

1712)(

++=

++

=ss

ssY ; 70 e495)(

72)(

t

tty−

+δ= pentru 0≥t .

c) 17

3551)17(

12)( 22 +−+=

++

=sssss

ssY ; 7e55)(t

tty−

−+= pentru 0≥t .

d) )14

182017

35(531

)14)(17()12(2)( 22 +

−−

+=

+++

=ss

sssssY ;

)2

sin92

cos55(531)( 7e ttty

t

+−=−

pentru 0≥t .

C2.2. 12

2)(+

=s

sG ; )12

21(2)12(

2)(+

−=+

=ssss

sH ; )1(2)( 2et

th−

−= , 0≥t ;

2e)(t

tg−

= , 0≥t ;

uyy 22 =+ .

C2.3. 243

13)( 2 +++

=ss

ssG ;

2222 )3/2()3/2(

3/21243

231)243(

)13(2)(2++

−−=

++−

−=++

+=

ss

ssss

ssssssH ,

)23sin22

23(cos1)(2 3

2

e tttht

−−=−

, 0≥t .

C2.4. 2544

138)( 23

2

+++++

=sss

sssG .

a) 2)()0( =∞=+ Gh ; b) 43)0( 1 ==+′ −

n

na

bh ; c)

21)0()( ==∞ Gh .


200

C2.5. a) 1413)(1 +

+=

sssG ,

152)(2 +

=s

sG , )15)(14(

)13(2)(++

+=

ssssG .

b) 14

11)14(

13)(+

−=++

=ssss

ssV ; 4e411)(

t

ty−

−= pentru 0≥t .

c) 15

2014

82)15)(14(

)13(2)(+

−+

+=++

+=

ssssssssY ; )21(2)( 54 ee

tt

ty−−

−+= pentru 0≥t .

C2.6. a) 14

1)(1 +=

ssG ,

121)(2 +

=s

sG , )234(2

12)( 2 +++

=ss

ssG .

b) 2222 )8/23()8/3(

8/5)8/3(1234

141)234(

24)(4++−+

−=++

−−=

+++

=s

ssss

sssss

ssY ;

)823sin

235

823(cos1)(4 8

3

e tttyt

−−=−

pentru 0≥t .

C2.7. a) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

+−=− −

22

31

)4)(1(1)I( 1

s

s

ssAs ,

1

2)I()( 1−−

=+−= −s

pDBAsCsG , )1)(2()( e −−= tpth .

b) Sistemul I-S-E nu este minimal deoarece are ordinul 2, iar funcţia sa de transfer are ordinul 1.

C2.8. a) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

++=− −

41

32

)5)(1(1)I( 1

s

s

ssAs ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

+−−

++=+−= −

2222

827

)5)(1(1)I()( 1

ss

ss

ssDBAsCsG .

b) )5(10

1)1(2

358

)5)(1(82)()()( 2121 +

−+

−=++

+==

ssssssssUsGsY ;

ttty 51 ee

101

23

58)( −− −−= .

C2.9. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

−++=− −

12

1

2121)I( 2

1

s

ps

pssAs ,

2212

23)I()( 21 +

−++−+

−=+−= −

psspsDBAsCsG ;

REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 201

3522

31)(

++

=++−

=ss

ssG pentru 2=p ;

ss

ssG 1221)( −

=+−

= pentru 21

=p .

C2.10. Pentru 21 TT < , rezultă 21 TTτ << .

])()[(11)( 21 /2

/1

12ee TtTt τTτT

TTth −− −−−

−+= .

212

221)/1/1(

)()(

0)( 21eTτTTτT

th TTt−

−=⇔=′′ − .

Există 0>t dacă 1)()(

212

221 >

−

−

TτTTτT

, adică 21

111TT

+>τ

.

C2.11. Răspunsul la intrare impuls Dirac este 2/e)( ttg −= . Deoarece sistemul este liniar şi semnalul )(tu este de infinit ori mai mic decât impulsul Dirac, răspunsul )(ty este de infinit ori mai mic decât )(tg , adică 0)( =ty pentru 0≥t .

C2.12. 0)11()1)(12(

1lim)()(lim)(lim)0( 2 =+⋅++

+⋅===

∞→∞→∞→+

ssTsssssUssGssHh

sss.

00)1)(12(

1lim)()(lim)(lim)(000

=⋅++

+⋅===∞

→→→ TsssssUssGssHh

sss.

C 2.13. 21

21

11

1 )1()1(

1)(

ksTCksTB

sTAsG

++++

++

= , unde

)1(2

111−=

TTkC ττ , 2

2

21

21

2

4C

TkkA

τ+= , A

TB −= 2

1

2τ .

0e)sincos()( 1

1

1

1

11 ≥++=

−T

t

tTkCt

TkBAtgT , deoarece

0])1(2

[2 2

1

212

1

22

21

221222 ≥−−−=−−

Tk

Tk

Tk

CBA τττ

C 2.14. Se ţine seama de Propoziţia 2. Avem 764 << , 953 << şi 34> 5364 +>+ 953764 ++=++ .

*************************************************************************** C3.1. ),1()0,( ∞∪−∞∈k - intern instabil

}1,0{∈k - intern semistabil )1,0(∈k - intern strict stabil

),1()0,3()3,( ∞∪−∪−−∞∈k - extern instabil


202

}1,0{∈k - exintern semistabil }3{)1,0( −∪∈k - extern strict stabil

C3.2. 0<k - intern instabil 0≥k - intern strict stabil

)0,1()1,( ∪−−∞∈k - extern instabil }1{),0( −∪∞∈k - extern strict stabil

C3.3. Sistemul este intern instabil pentru orice k real, deoarece polinomul caracteristic

)3)(2)(1(64)Idet()( 23 ++−=−++=−= ssssssAssP

are rădăcina pozitivă 11 =s .

Din

)3)(2)(1(

1)1()I()( 1++−

+−=+−= −

sssskDBAsCsG ,

rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 0=k şi extern instabil pentru 0≠k .

C3.4. Sistemul este intern instabil pentru orice k real, deoarece polinomul caracteristic

)42)(1(42)42()Idet()( 223 −−−=+++−−=−= ksskskssAssP

are rădăcina pozitivă 11 =s .

C3.5. Sistemul are polinomul caracteristic

)15)(()51()5()Idet()( 223 ++−=−−+−+=−= ssksksksksAssP ,

deci este intern strict stabil pentru 0<k , intern semistabil pentru 0=k şi intern instabil pentru 0>k .

Din

)15)((23)29(3)I()( 2

21

++−−−−+

=+−= −

ssksksksDBAsCsG ,

rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 0<k şi 2

761−=k , extern

semistabil pentru 0=k şi extern instabil pentru 0>k , 2

761−≠k .


ksssAss +++=−= 22)Idet()( 23P ,

deci este intern strict stabil pentru )4,0(∈k , intern semistabil pentru 0=k şi 4=k , intern instabil pentru ),4()0,( ∞∪−∞∈k .

Din


ksss

sDBAsCsG+++

−=+−= −

221)I()( 23

1 ,

rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru )4,0(∈k şi 5−=k , extern semistabil pentru 0=k şi 4=k , extern instabil pentru ),4()0,5()5,( ∞∪−∪−−∞∈k .

C3.7. Sistemul are polinomul polilor

14)102(3130)( 23 +++++= ksksssP .

Sistemul este strict stabil pentru 29

14041

<<− k , semistabil pentru

41−

=k şi 29

140=k ,

instabil pentru 41−

<k şi 29

140>k .


kssssP +++= 288)( 23 .

Sistemul este strict stabil pentru 20 << k , semistabil pentru 2=k şi instabil pentru 2>k .


iT

ssssP 121016)( 23 +++= .

Sistemul este strict stabil pentru 54

>iT , semistabil pentru 54

=iT şi instabil pentru

540 << iT .


4

168)( 2 ksssP +++= .

Polinomul

91

4328)

31( 2 −++=−

ksssP

este hurwitzian pentru 94

>k .


kzzzz +++= 81710)( 23P .


0)11( =−

+ssP ,

echivalentă cu

01)35()13(3)35( 23 =−+++−++ ksksksk ,


204

are rădăcinile cu partea reală negativă. Aplicând criteriul Hurwitz, rezultă

12

41317<<

− k .


kzAzz −−=−= 1)Idet()( 2P .


0)11( =−

+ssP ,

echivalentă cu

0)2(22 =++− kskks ,

are rădăcinile cu partea reală negativă, adică are toţi coeficienţii de acelaşi semn. Rezultă 02 <<− k .

***************************************************************************

C4.1. a) 1,01

1==ω

Tb rad/sec.

b) 294

1

222

1

=+

=ωT

A , 25arctgarctg 1 −=−=α ωT ;

C4.2. a) 1413)(1 +

+=

sssG ,

526

116

1922

2=

+ω

+ω=A ,

34arctg

24arctg3arctg −

π=−=α ωω .

b) )15)(14(

)13(2)(++

+=

ssssG ,

145

132

)125(116(

19222

2=

+ω+ω

+ω=A ,

25arctg2arctg

23arctg5arctg4arctg3arctg −−=−−=α ωωω .

C4.3. )12)(1(

3132

3)( 2 ++=

++=

sssssG ,

)14)(1(

3)(22 +ω+ω

=ωM ,

8

541−=ωb rad/sec ,

103)1( =M .

C4.4. Sistemulde reglare este strict stabil pentru 5630 << k .

C4.5. Sistemulde reglare este strict stabil pentru 560 << k .


C4.6 Cu programul MATLAB

k=1; s=tf('s'); sd=k/10/s/(2*s+1); sd.iodelay =2; w=0.1:0.001:3; nyquist(sd,w); w1=0.430:0.0001:0.431; [Re,Im]=nyquist(sd,w1);

obţinem Im(:,:,2)<0, Im(:,:,3)>0 şi Re(:,:,3)≅ -0.1762, din care rezultă condiţia de stabilitate 11762,0 <k , adică 675,5<k .

***************************************************************************

C5.1 K

Gε EVst 211)0(+

== . Rezultatul este valabil numai dacă sistemul este strict stabil,

adică pentru 5210 <<K . Prin urmare, eroarea staţionară este întotdeauna mai mare

decât 475 .

C5.2 2

)(1lim0

iER

sst

TsG

sε ==

→. Rezultatul este valabil numai dacă sistemul este strict stabil,

adică pentru 1112

>iT .

C5.3 Sistemul are polinomul polilor

KssssP +++= )18)(12(4)( . Polinomul

27250120760016000(2501)

201( 23 −+++=− KssssP

este hurwitzian pentru 12542

25027

<<K .

C5.4 Cu notaţia stytytz −= )()( , avem

1)(

)0()()(21

221

2121

+++−−+−

=−

=sTTsTTTTτsTT

sGsGsZ ,


)(2

)(

1

212

212 TT

TTTTτ+

+−−=I .

Indicele integral de calitate 2I este minim pentru 21 TTτ += .

C5.5 Sistemul este strict stabil pentru 1250 << k .


206

(a) Pentru )(1 tr = şi 1250 << k , avem

0)(lim0

==→

sGε ERs

st .

Pentru )(1 tt ⋅=v şi 1250 << k , avem

k

sGs

ε EVs

st 41)(1lim

0

−==

→.

(b) Cu notaţia )()( ttz ε= , avem

ksss

sss

sGsZ ER

256156)()( 23

2

+++++

== ,


)125(4

5382 kk

k−+

=I .

Indicele integral de calitate 2I este minim pentru 137,0≅k .

C5.6. i

ER

Tssss

ssG

sZ/123

1)()( 23

2

++++

== , )16(2

3 2

2 −=

i

iTT

I , ( iT )opt= 31 .

C5.7. (a) )34(3

)110)(1(]1)()[(

1)(+++

=−

=ss

sssPsG

sGF

R , 65

)()(lim)0(

==

∞→sGsP

GM

Fs

F ;

(b) )584(3

)110)(34)(1(]1)()[(

1)( 2 +++++

=−

=sss

ssssPsG

sGF

R , 3

10)()(lim

)0(==

∞→sGsP

GM

Fs

F .

C5.8. (a) )15(9

)110)(14(2]1)()[(

1)(+

++=

−=

ssss

sPsGsG

FR ,

916

)()(lim)0(

==

∞→sGsP

GM

Fs

F ;

(b) )15(4

)110)(14(]1)()[(

1)(+

++=

−=

ssss

sPsGsG

FR , 2

)()(lim)0(

==

∞→sGsP

GMF

s

F .

(c) )32)(15(

)110)(14)(1(]1)()[(

1)(++

+++=

−=

ssssss

sPsGsG

FR , 4

)()(lim)0(

==

∞→sGsP

GM

Fs

F .

C5.9. )15(27

)13)(19(10]1)()[(

1)(1

1+++

=−−

+=

ssss

scsPsGscsG

FR .

C5.10. Semnalul de comandă al regulatorului este de forma )(1)( tktc ⋅= , deci sksC /)( = .


Pe de altă parte

ssGsG

sGsR

sGsGsG

sCFR

R

FR

R 1)()(1

)()(

)()(1)(

)( ⋅+

=+

= .

Rezultă

)712(

)14)(13()0(/)(1

1/)(1

1)(+++

=−

=−

=ss

ssGsGksG

sGFFF

R .

C5.11. 2314

)()(

)(++

=−=ss

sGsG

sGP

VC .

***************************************************************************

C6.1. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mC

021

2 .

Cazul 0≠m . Sistemul este controlabil şi stabilizabil. Cazul 0=m . Sistemul nu este controlabil. Stările situate pe dreapta 02 =x (subspaţiul controlabil) sunt controlabile. Celelalte stări nu sunt controlabile. Subspaţiul necontrolabil e format din dreapta perpendiculară 01 =x . Spectrul controlabil este }2{=σc , iar spectrul necontrolabil este }1{−=σnc . Deoarece −⊂σ Cnc , sistemul este stabilizabil.

C6.2. ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−−−=

mmmC

0111

1113 ,

Cazul 0≠m . Sistemul este controlabil şi stabilizabil. Cazul 0=m . Sistemul nu este controlabil. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 1. Spectrul controlabil este }1{=σc , iar spectrul necontrolabil este }0,1{−=σnc .

Deoarece −⊂σ Cnc , sistemul este stabilizabil.

C6.3. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−+−−

=43210

3111012 mmm

mC .

Sistemul este controlabil şi stabilizabil pentru orice m real.

C6.4. Sistemul este controlabil deoarece matricea de controlabilitate

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

322150501

3C

are rangul 3.


208

Forma canonică controlabilă de tipul 1:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

223051105

1cS , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

001100010

111 cc ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

100

11 ASB c ,

[ ]3331 == cCSC , 0==DD .

Forma canonică controlabilă de tipul 2:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

322150501

2cS , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

010001100

212 cc ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

001

12 BSB c ,

[ ]3332 == cCSC , 0==DD .

C6.5. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

=112120111

3Q . Sistemul este observabil.

C6.6. Sistemul este observabil deoarece matricea de observabilitate

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−=

410401111

3Q

are rangul 3.

Forma canonică observabilă de tipul 1:

131−=QSo ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

021100010

111 oo ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−== −

691

11 BSB o ,

[ ]0011 == oCSC , 0==DD .

Forma canonică observabilă de tipul 2:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−−=−

111401212

12oS ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== −

010201100

212 oo ASSA ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−== −

194

12BSB o ,

[ ]1002 == oCSC , 0==DD .

C6.7. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=

332601030

3C , [ ]12191−=Th , [ ]177022

91I)( 3 =+= AhF T .


C6.8. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=

151512120

3C , [ ]4211251

−=Th , [ ]12198251I)( 3 =+= AhF T ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

12198

251TFL .

C6.9. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

12198

251TFL conform aplicaţiei 6.8.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−=

201121010

3C , [ ]112 −−=Th , [ ]111I)( 3 −=+= AhF T .

21])([ 11 −

=−−= −− BBFACP .

Ecuaţiile (55) ale compensatorului:

yrwww

www

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

12198

251

110

21

62242594635033160

251

3

2

1

3

2

1

[ ] rwww

u21111

3

2

1

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−= .

Ecuaţiile (57) ale sistemului de reglare ),,,( 00000Σ DCBA :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−

−

=

622425122409463501938033160816025252525250252525500250002500

251

0A ,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

110110

21

0B ,

[ ]0001200 =C , 00 =D .


210

BIBLIOGRAFIE

1. Autsaklis P.J., Michel A.N., Linear Systems, Mc. Graw Hill, Inc., 1997. 2. Băieşu A., Teoria sistemelor, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2007. 3. Băieşu A., Tehnica reglării automate, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2012. 4. Belea C., Automatică neliniară, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 5. Bequette B.W., Process Control-Modeling, Design, and Simulation, Prentice Hall

International, 2002. 6. Borne P., Richard J.P., Analyse et régulation des processus industriels, Editions

Technip, Paris, 1993. 7. Brogan W.L., Modern Control Theory, Prentice Hall International, 1991. 8. Cîrtoaje V., Teoria sistemelor automate – Analiza elementară în domeniul timpu-

lui, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2015. 9. Cîrtoaje V., Sisteme automate, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2012. 10. Cîrtoaje V., Linear Continuous Systems of Monotonic Type, Control Engi-

neering and Applied Informatics, Vol. 2, Number 1, December 2000. 11. Cîrtoaje V., Băieşu A., Mihalache S., Two Controller Design Procedure Using

Closed-Loop Pole Placement Technique, Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 11, Number 1, March 2009.

12. Cîrtoaje V., Băieşu A., Two Design Procedure for a Time Delay Control System, Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 12, No. 4, 2010.

13. Cook P.A., Nonlinear Dynamical Systems, Prentice Hall International, 1992. 14. Coughanowr D., Process Systems – Analysis and Control, McGraw International

Editions, 1991. 15. Cristea M., Agachi S., Elemente de teoria sistemelor, Ed. RosoPrint, Cluj-Napoca,

2002. 16. Di Stefano J.J., Stubberud A.R., Feedback and Control Systems, Mc. Graw Hill,

Inc., 1990. 17. Dragomir O., Dragomir F., Mincă E., Dumitrache C., Teoria sistemelor automate

– Fundamente teoretice şi aplicaţii MATLAB, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2010.

18. Ilaş C., Teoria sistemelor de reglare automată, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2001. 19. Ilaş C., Priboianu M., Teoria sistemelor de reglare automată - Indrumar de

laborator, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2004. 20. Filipescu A., Stamatescu F., Teoria sistemelor, Analiza şi sinteza în abordare

structurală, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2002.


212

21. Ionescu V., Teoria sistemelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 22. Ionescu V., Belea C., Teoria sistemelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1985. 23. Ionescu V., Popeea C., Conducerea structurală a sistemelor liniare, Ed. Teh-nică,

Bucureşti, 1986. 24. Popescu D., Teoria sistemelor automate, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2000. 25. Pozna C., Teoria sistemelor automate, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2004. 26. Serban S., Sisteme dinamice lineare – Aplicaţii numerice, Ed. Printech, Bucu-reşti,

2001. 27. Serban S., Corâci I., Analiza sistemelor de reglare automată, Ed. Matrix-Rom,

Bucureşti, 1997. 28. Soare C., Iliescu S., Tudor V., Făgărăşan I., Dragomir O.F., Proiectarea asistată

de calculator în MATLAB şi SIMULINK – Conducerea avansată a proce-selor, Ed. Agir, 2006.

29. Stefan D., Teoria sistemelor, Analiza sistemelor, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2005.

30. Stratulat F., Teoria sistemelor - Analiza asistată de calculator a sistemelor liniare, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2000.

31. Voicu M., Feraru L., Păstrăveanu O., Schonberger F., Introducere în automatică - Culegere de probleme, Editura MatrixRom, Bucuresti, 1999.

32. Voicu M., Introducere în automatică, Editura PoliRom, Iaşi, 2002.

teoria sistemelor automate - analiza în domeniul complex

Documents