ACADEMIA NAVALĂ “MIRCEA CEL BĂTRÂN”FACULTATEA DE MARINĂ CIVILĂ

DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT CU FRECVENŢĂ REDUSĂDOMENIUL INGINERIE ELECTRICĂ

SPECIALIZAREA ELECTROMECANICĂ

TEORIA SISTEMELOR

ŞI REGLAJ AUTOMAT

PAUL BURLACU

Constanţa 2011

PREFAŢĂ

Manualul este destinat disciplinei „Teoria sistemelor şi reglaj automat” care sepredă studenţilor de la specializarea “Electromecanică navală”, forma de învăţământfrecvenţă redusă, Facultatea de Marină Civilă, .

În prezent, în domeniul naval se evidenţiază tendinţa de trecere de laautomatizarea locală a diverselor mecanisme la automatizarea complexă a proceselornavale, devenind operante sistemele integrate de conducere a navei în ansamblul ei.Conducerea distribuită şi ierarhizată a proceselor specifice navei a devenit o realitate desîntâlnită, s-au construit nave cu deplasamente mari a căror echipaje sunt formate dincâţiva specialişti (SUA, Japonia etc.). Utilizarea calculatoarelor, în general, a permisimplementarea unor strategii flexibile de conducere şi respectiv luarea unor deciziioptime privind conducerea navei. Dacă ne referim la nava de luptă, atunci evident căsistemele de armament, de comunicaţii, locaţie etc., interconectate, formează sistemecomplexe a căror folosire în luptă necesită solide cunoştinţe teoretice şi practice îndomeniul automaticii.

Suportul de curs dezvoltă problemele fundamentale de analiză şi în mai micămăsură de sinteză a sistemelor automate, însuşirea acestora dând posibilitatea studentului dea aborda individual lucrări de specialitate complexe, scrise de personalităţi ştiinţificeconsacrate domeniului automaticii. Altfel spus, suportul de curs reprezintă o introducere înautomatică, suficient de profundă, care însuşită, să permită studentului să exploateze corectdiferitele sisteme automate întâlnite la bordul navei.

CUPRINS

IntroducereObiectivele cursuluiConcepţia curricularăScopul unităţilor de învăţareTematica unităţilor de învăţareBibliografie

Unitatea de învăţare 1Introducere în automatică

Obiective1.1 Obiectul automaticii, definiţii, terminologie. Structuri de sisteme automate convenţionale,

principii de funcţionare. Clasificarea sistemelor automate. Principalele probleme alesistemelor de regalre automată

Unitatea de învăţare 2Analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante

Obiective2.1 Introducere în analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante.

Clasificarea modelelormatematice utilizate în analiza sistemelor. Principalele tipuri de semnale de excitaţie

convenţionale. Regimurilede funcţionare ale sistemelor liniare netede. Principalele performanţe în raport cu referinţa şi

perturbaţia treaptăunitară. Statica sistemelor de reglare automată.

2.2 Calculul răspunsului sistemelor automate şi elementelor prin rezolvarea directă a ecuaţieidiferenţiale. Calculul răspunsului şi performanţelor elementului aperiodic de ordinul 1.Calculul răspunsului şi performanţelor unui sistem liniar neted de ordinul 2.

2.3 Funcţia de transfer: definiţia funcţiei de transfer în raport cu referinţa, algebra funcţiilor detransfer. Utilizarea funcţiei de transfer pentru calculul erorii permanente.

2.4 Răspunsul la frecvenţă al sistemelor automate liniare netede. Definirea răspunsului lafrecvenţă, caracteristicilede frecvenţă, proprietăţile caracteristicilor de frecvenţă. Caracteristicile logaritmice defrecvenţă. Corelaţia dintre răspunsul indicial şi răspunsul la frecvenţă.

2.5 Metoda variabilelor de stare. Definirea variabilelor de stare şi fază. Ilustrarea alegeriivariabilelor de stare şifază. Soluţia ecuaţiilor de stare. Calculul matricei fundamentale. Realizări.

2.6 Stabilitatea sistemelor liniare netede. Definiţii, stabilitatea internă şi externă. Criteriul destabilitate Nyquist, marginile de stabilitate. Criteriul practic de stabilitate al lui Bode.

2.7 Aplicaţii.2.8 Teste de autoevaluare.

Unitatea de învăţare 3Elemente de sinteză a sistemelor liniare

Obiective3.1. Regulatoare automate clasice. Funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate tipizate.Funcţia de transfer simplificată a regulatorului automat electronic. Scheme de regulatoareautomate electronice pentru procese rapide, deducerea funcţiilor de transfer. Criteriul moduluişi simetriei de acordare optimă a regulatoarelor automate3.2. Corecţia sistemelor liniare netede. Definiţii, clasificări, metode de corecţie. Corecţia serie şiderivaţie, circuite de corecţie.

3.3 Aplicaţii.3.4 Teste de autoevaluare.

Unitatea de învăţare 4Sisteme automate neliniare

Obiective4.1. Introducere privind sistemele neliniare. Definiţii, scheme de structură. Principaleletipuri de neliniarităţi statice. Particularităţile sistemelor neliniare în raport cu sistemeleliniare4.2. Analiza sistemelor neliniare. Metoda planului fazelor. Metoda liniarizării armonice,principiul metodei, funcţia de descriere, studiul stabilităţii pe baza liniarizării armonice.Analiza sistemelor neliniare cu regulatoare bipoziţionale şi tripoziţionale.4.3 Aplicaţii.4.4 Teste de autoevaluare.

Bibliografie

INTRODUCERE

OBIECTIVELE CURSULUI1. Să descrie corect schemele de structură ale sistemelor automate liniare invariante şi neliniare;2. Să explice corect principiile de funcţionare ale sistemelor automate liniare netede şi neliniare;3. Să utilizeze modelele matematice studiate în scopul analizei sistemelor automate liniarenetede şi neliniare;4. Să utilizeze programul MATLAB-SIMULINK în scopul analizei sistemelor automate liniarenetede şi neliniare;5. Să descrie matematic funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate electronice liniare;6. Să descrie schemele de regulatoare clasice pentru procesele rapide;7. Să precizeze relul circuitelor de corecţie din cadrul sistemelor automate liniare netede şiinvariante;8. Să descrie corect principiul de funcţionare al unor sisteme automate de la nave: sisteme destabilizare a drumului navei, sisteme de stabilizare a turaţiei motoarelor Diesel din cadrulgrupurilor electrogene.

CONCEPŢIA CURRICULARĂLucrarea de faţă îţi propune să asigure pregătirea de specialitate a viitorului ofiţer maritim -

inginer electrotehnic în domeniul automatizărilor navale.Parcurgerea, înţelegerea şi însuşirea unităţilor de învăţare se bazează pe cunoştinţele

dobândite în cadrul disciplinelor fundamentale: analiză matematică, matematici speciale, bazeleelectrotehnicii, fizică, materiale electrotehnice, măsurări electrice şi electrotehnice.

Parcurgerea acestei discipline de către studenţi este necesară pentru înţelegerea disciplinelorde specialitate: acţionări electrice, instalaţii electrice de bord, producerea şi distribuţia energieielectrice, etc.

După parcurgerea acestei discipline studenţii trebuie să fie în măsură să descrie corectprincipiul de funcţionare al unor sisteme automate de la nave: sisteme de stabilizare a drumuluinavei, sisteme de stabilizare a turaţiei motoarelor Diesel din cadrul grupurilor electrogene, săremedieze defecţiunile ce survin în funcţionarea acestora şi să execute calculul de dimensionareal acestora.

SCOPUL UNITĂŢILOR DE ÎNVĂŢAREUnităţile de învăţare au fost stabilite astfel încât să ajute cursanţii în primul rând sa

identifice locul şi rolul acestei discipline în categoria disciplinelor de de bază din domeniulingineriei electrice .

Acest curs vine să aprofundeze noţiuni specifice domeniului ingineriei electrice, să oferenoţiuni noi care pot fi asimilate, evidenţiate şi puse în valoare în rezolvarea situaţiilor practicepe care le poate întâlni cel care studiază această disciplină.

Totodată unităţile de învăţare selectate au fost alese astfel încât să ajute cursanţii sădobândească o serie de noţiuni de bază legate de automatizările navale şi de utilizarea acestorala bordul navelor maritime şi fluviale.

Ca disciplină de învăţământ, “Teoria sistemelor şi reglaj automat” este prezentă în toateplanurile de învăţământ ale facultăţilor Academiei Navale “Mircea cel Bătrân”, ceea ce denotăimportanţa deosebită a acesteia.

TEMATICA UNITĂŢILOR DE ÎNVĂŢARE

Unitatea de învăţare 1Introducere în automatică

Unitatea de învăţare 2Analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante

Unitatea de învăţare 3Elemente de sinteză a sistemelor liniare

Unitatea de învăţare 4Sisteme automate neliniare

BIBLIOGRAFIE

1. Călin S., Dumitrache I., ş.a, „Automatizări electronice”, E.D.P., Bucureşti, 1982;2. Mihail Voicu, „Introducere în automatică”, ED: Polirom, Iaşi, 2002;3. Gheorghe Livinţ, „Teoria sistemelor automate”, ED. Gama, Iaşi, 1996;4. Şerban I., Corâci I.C., Popescu O., Popescu C.D., „Teoria sistemelor – Culegere de probleme. Răspunsul întimp al sistemelor liniare. Analiza stabilităţii sistemelor liniare.”, ED. MATRIX-ROM, Buc. 1997;5. Şerban S., Corâci I.C., „Teoria sistemelor. Analiza în frecvenţă a sistemelor liniare”, ED. MATRIX-ROM,Buc., 1997;6. Sever Şerban, Emil Creţu, „Sisteme liniare. Aplicaţii numerice.”, Editura Universităţii Titu Maiorescu,Buc., 2003;7. Constantinescu M., „Tehnica reglării automate”, ED. A.N.M.B., 2003;8. Constantinescu M., Preda I., „Teoria reglării automate. Sisteme liniare netede invariante. Culegere deprobleme.”, ED. ANMB, Constanţa, 2006.

Unitatea de învăţare 1INTRODUCERE ÎN AUTOMATICĂ

CuprinsObiectul automaticii, definiţii, terminologie.Structuri de sisteme automate convenţionale, principii de funcţionare.Clasificarea sistemelor automate.Principalele probleme ale sistemelor de regalre automatăAplicaţii.Teste de autoevaluare

OBIECTIVE- să indice principalele tipuri de sisteme automate;- să cunoască principiile de funcţionare ale sistemelor automate;- să enumere, să definească şi să compare sistemele automate;- să enumere principalele probleme ale sistemelor de regalre automată.

INTRODUCERE ÎN AUTOMATICĂ

1.1. Obiectul automaticii. Automatizarea proceselor. Definiţii.Ştiinţa conducerii sau cibernetica se ocupă cu stabilirea principiilor generale şi a legilor de

conducere a obiectelor, de naturi diferite, pentru atingerea de către acestea a unor scopuri anumite, pe bazaobţinerii, transmiterii, prelucrării şi utilizării informaţiei. Baza metodelor sale o constituie modelareamatematică, adică construcţia şi studiul comportării modelelor abstracte aferente sistemelor reale.

În domeniul tehnic, ramura ştiinţei care se ocupă cu studiul principiilor, metodelor şi mijloacelorprin intermediul cărora se asigură conducerea instalaţiilor şi proceselor tehnice, fără intervenţia directă aomului, poartă denumirea de automatică.

Prin automatizare se înţelege aplicarea concretă, efectivă, în practică a principiilor, metodelor şimijloacelor automaticii în scopul transformării proceselor tehnice conduse nemijlocit de om în proceseautomate, desfăşurate deci fără participarea sa.

Ansamblul de elemente pasive şi active care asigură conducerea şi controlul desfăşurării proceselortehnice sau altor categorii de procese, fără intervenţia directă a operatorului uman, se numeşte echipamentde automatizare sau dispozitiv de automatizare. În continuare dispozitivul de automatizare va fi notat cu DA.

Înainte de a definii noţiunea de sistem automat, vom definii noţiunea generală de sistem. Sistemulpoate fi definit drept un ansamblu de elemente sau obiecte, interconectate, având o anumită structură(organizare) şi o anumită destinaţie impusă de utilizator. Fiecare element din structura sistemuluiîndeplineşte o funcţie bine definită, iar în cadrul ansamblului trebuie să se respecte relaţia de cauzalitatedintre mărimile de intrare şi cele de ieşire. În cadrul sistemului transmisia semnalelor este unidirecţională.

Considerăm un sistem oarecare, pe care îl notăm cu „S”, şi specificăm legăturile acestuia cuexteriorul.

Fig. 1.1 Fig. 1.2.

În figura 1.1. este reprezentat un sistem multivariabil, iar în figura 1.2. un sistem monovariabil.Corespunzător figurii 1.1. deosebim următoarele mărimi care leagă sistemul „S” cu exteriorul: mărimile se numesc variabile de intrare sau mărimi de intrare sau mărimi de

referinţă şi sunt aplicate la intrarea sistemului (sunt mărimi de cauză); mărimile se numesc variabile de ieşire sau mărimi de ieşire

(sunt mărimi de efect); mărimile se numesc mărimi perturbatoare sau, simplu, perturbaţii (sunt mărimi

de cauză).Mărimea perturbatoare este ,în general, acea mărime care constituie cauza care produce variaţii

nedorite ale mărimi de ieşire.Mărimile sunt funcţii de timp (conform STAS 6019-62, mărimile notate cu litere mici

sunt funcţii de timp)[1]. Se constată faptul că sistemul multivariabil se caracterizează prin existenţa maimultor mărimi de intrare şi respectiv de ieşire.Din figura 1.2 rezultă că în cazul sistemului monovariabil, avem o singură mărime de intrare r şi respectiv osingură mărime de ieşire y.

Un sistem poate fi definit pornind de la structura sa sau de la funcţia îndeplinită sau în modaxiomatic, abstract. Orice sistem se proiectează astfel încât să asigure realizarea unui anumit algoritm defuncţionare impus procesului supus automatizării. Referindu-ne numai la tranziţia intrare-ieşire a unui sistemmonovariabil, dacă sistemul are variabila de ieşire y şi variabila de intrare r (fig. 1.2), vom defini sistemul ca

;m,...,2,1i,ri

;n,...,2,1j,y j

;q,...,2,1k,p k

kp

kji pşiy,r

fiind un model fizic realizabil al dependenţei variabilei y de variabila r, dacă există o relaţie de cauzalitatery şi nu există cauzalitatea yr.

Din punct de vedere matematic, un sistem este descris de o relaţie care exprimă dependenţa cauzalădintre mărimile aplicate din exterior (mărimile de cauză - de excitaţie) şi mărimile de ieşire (mărimile deefect), şi sub forma cea mai generală o astfel de relaţie poate fi exprimată astfel:

)p,r(Ay , (1.1)în care A este un operator algebric, diferenţial, integral etc, liniar sau neliniar.

Relaţia (1.1) din punct de vedere matematic devine o univocitate a lui y în funcţie de perechea (r, p),cu specificarea prealabilă a condiţiilor iniţiale, adică dându-se funcţia r(t), respectiv p(t) şi condiţiileamintite, funcţia y(t) este determinată univoc, iar reciproc nu. Reversibilitatea este în majoritatea cazurilorimposibilă sau fără sens, deci y(t) este cauzat de r(t), respectiv de p(t), unidirecţional. Relaţia (1.1) senumeşte model matematic abstract şi caracterizează sistemul. Menţionăm că prin modelul matematic abstractse asociază sistemului fizic (real) un sistem idealizat, aspect necesar obţinerii unor rezultate cu caractergeneral. Modelele matematice judicios elaborate descriu cu suficientă fidelitate sistemele reale şi constituiesuportul teoretic în proiectarea sistemelor tehnice cu calităţi prestabilite(algoritmul de funcţionare alsistemului şi performanţele sunt impuse). Dacă pentru A există un corespondent fizic, spunem că A are orealizare sau că admite o realizabilitate fizică.

Menţionăm că noţiunea de sistem este relativă. O parte a unui sistem se numeşte subsistem. Şinoţiunea de subsistem este relativă. Aceeaşi realitate fizică poate conţine unul sau mai multe sistemedistincte [3].

Prin sistem automat (SA) se înţelege ansamblul format din dispozitivul de automatizare şi instalaţiatehnologică în care se desfăşoară procesul. Sistemele automate dat fiind scopul acestora de a conduceprocese cu evoluţie mai lentă sau mai rapidă în timp (deci timpul este un factor predominant) sunt sistemedinamice.

Noţiunea de proces are un înţeles mai general, mai larg, şi reprezintă un ansamblu de transformări (fizice, chimice, tehnologice etc.). Procesul este caracterizat prin una sau mai multe mărimi măsurabile (mărimile de ieşire) a căror evoluţie în timp trebuie să corespundă unui algoritm de funcţionare impus.Automatizarea are ca obiectiv realizare algoritmului funcţional impus procesului. În continuare se fac referirinumai la sistemele monovariabile.

Instalaţia tehnologică, IT (procesul condus) are trei mărimi de legătură cu exteriorul, prezentate înfigura 1.3. În figura 1.3, reprezintă mărimea de execuţie, y este mărimea de ieşire (răspunsul sistemului),

este perturbaţia aditivă, iar reprezintă perturbaţia parametrică. Perturbaţiile sunt aplicate instalaţieitehnologice IT. Efectul perturbaţiilor (mărimi exogene) asupra lui y trebuie compensate prin automatizare.Influenţa perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire y se exercită după anumite legi interne de dependenţă dininteriorul instalaţiei tehnologice (IT), pe un canal de transfer perturbaţie-mărime de ieşire [1].

Fig. 1.3 Fig. 1.4.Perturbaţiile pot fi aditive (pa) sau parametrice (pp) [2]. Perturbaţiile aditive (pa) nu modifică

parametrii IT, iar efectul lor se cumulează la ieşire cu acţiunea mărimii xm (fig. 1.4). Deoarece modelulmatematic al IT nu este influenţat de perturbaţiile aditive, care intervin în funcţionarea acestor procese,spunem că modelul matematic al IT este invariant.

Perturbaţiile parametrice (pp) acţionând asupra IT determină modificarea parametrilor procesului,deci modificarea modelului matematic abstract al acestuia.

Mărimea de execuţie xm este generată de dispozitivul de automatizare DA şi prin intermediul ei seexecută modificările necesare în funcţionarea IT, astfel încât să se obţină o anumită variaţie în timp stabilită,prin algoritmul funcţional al procesului, pentru mărimea de ieşire y.

mx

ap pp

În cazul când asupra IT acţionează numai perturbaţii aditive sunt utilizate structuri convenţionale deSA , iar în cazul când asupra IT acţionează şi perturbaţii parametrice sunt adoptate structuri de sistemeautomate evoluate de conducere adaptivă şi optimală [2].

1.2. Structuri de sisteme automateÎn automatică se folosesc scheme de principiu (similare cu cele din electrotehnică, electronică etc.),

scheme de conexiuni şi scheme de structură (scheme bloc). În schemele de structură (schemele bloc), fiecareelement (parte componentă care îndeplineşte o funcţiune independentă) se reprezintă de regulă printr-undreptunghi, cu excepţia anumitor elemente care sunt reprezentate prin cercuri (de exemplu, sumatoarele etc.).Semnalele transmise între elemente se reprezintă prin săgeţi (transmitere unidirecţională), prin semnalînţelegându-se purtătorul material al informaţiei [1].După structură se deosebesc două grupe de sisteme automate:

sisteme automate cu structură deschisă (se mai numesc SA deschise sau SA cu circuit deschis); sisteme automate cu structură închisă (se mai numesc SA închise sau SA cu circuit închis).

Dacă avem în vedere natura perturbaţiilor care acţionează asupra IT, putem clasifica sistemele automateastfel:

sisteme automate convenţionale, care conţin procese (IT) invariante, ale căror modele matematicenu sunt influenţate de perturbaţiile care intervin în funcţionarea acestor procese [2,3]. Perturbaţiile careacţionează în cazul acestor procese, aşa cum s-a menţionat, se numesc aditive [2] şi s-au notat cu ;

sisteme evoluate, care conţin procese ale căror modele matematice se modifică, de obiceinepredictibil, sub acţiunea perturbaţiilor denumite parametrice (notate cu ) [2,3].

În continuare se vor prezenta schemele de structură fundamentale pentru SA convenţionale şirespectiv evoluate, evidenţiindu-se principiul de funcţionare al acestora.

1.2.1. Structuri de sisteme automate convenţionalea) Sisteme de comandă automate [3]

Sunt sisteme automate cu structură deschisă în care dispozitivul de automatizare DA prelucreazănumai mărimea de referinţă. Schema de structură este reprezentată în figura 1.5

Fig. 1.5

În figura 1.5. sunt evidenţiate următoarele blocuri componente: Ti - traductorul de intrare; EA -elementul de amplificare; EE - elementul de execuţie; IT - instalaţia tehnologică în care se desfăşoarăprocesul, g - aparat de măsură prin intermediul căruia se măsoară mărimea de ieşire. Dispozitivul deautomatizare DA conţine blocurile Ti, EA, EE. Mărimile caracteristice care intervin în schema de structură asistemului de comandă automată sunt: r- mărimea prescrisă care se doreşte a fi obţinută la ieşire procesului;r – mărimea de intrare (de referinţă), compatibilă cu intrare în EA; u – mărimea de comandă (sau comanda);

– mărimea de execuţie; y – mărimea de ieşire (sau răspunsul sistemului); - abaterea sau eroareamărimii de ieşire faţă de valoarea dorită a acesteia.

Pentru început analizăm cazul când perturbaţia aditivă este nulă (pa=0).Traductorul de intrare Ti are rolul de a converti mărimea prescrisă r, introdusă de operatorul uman,

într-o mărime r compatibilă cu intrarea în EA. Elementul de amplificare EA elaborează comanda u la unnivel de putere necesar pentru a acţiona asupra elementului de execuţia EE, care debitează mărimea deexecuţie prin intermediul căreia se execută modificările necesare în funcţionarea IT, astfel încât să seobţină o anumită variaţie în timp stabilită pentru mărimea de ieşire y. Elementul de execuţie este un element

ap

pp

mx

mx

de putere care poate acţiona asupra IT (procesului). De exemplu, dacă ne referim la procesul de modificare adrumului navei, ansamblul navă-cârmă reprezintă IT, iar mărimea de ieşire este drumul navei. În acest cazEE îl constituie motorul de acţionare a cârmei care poate fi, de regulă, motor electric sau hidraulic.

În schema de structură considerată, aşa cum s-a mai menţionat, s-a presupus că elementele suntunidirecţionale, respectiv asigură transferul semnalelor într-un singur sens, ceea ce corespunde realităţii cu ofoarte bună aproximaţie [1].

Se constată că sunt respectate condiţiile de cauzalitate , deci ry. A rezultat căun sistem de comandă automată (SA deschis) cuprinde două subsisteme: DA care elaborează mărimea deexecuţie şi IT care reprezintă subsistemul condus (figura 1.6).

Deci, în cazul analizat, când pa=0, DA are rolul de a genera mărimea de execuţie xm astfel încâtevoluţia în timp a răspunsului y să fie cea impusă de relaţia de cauzalitate r y. În realitate asupraIT pe lângă xm mai acţionează mărimile perturbatoare pa, care determină modificarea nedorită a răspunsuluiy.

Este specific SA cu structură deschisă (SA cu circuit deschis) faptul că lipseşte controlul automatasupra modului în care are loc evoluţia în timp a răspunsului y. Asigurarea algoritmului funcţional impusprocesului necesită prezenţa operatorului uman a cărui rol este următorul: compară valoarea măsurată amărimii de ieşire y cu valoarea prescrisă r , calculează abaterea =r y şi introduce corecţii modificândcorespunzător valoarea mărimii r, astfel încât să compenseze efectul perturbaţiilor asupra răspunsului y. Demenţionat este faptul că asupra IT acţionează mai multe perturbaţii, din care unele sunt dominante dinpunctul de vedere al influenţei asupra răspunsului y.

Din cele prezentate se pot desprinde următoarele concluzii privind sistemele de comandă automată: SA este sensibil la perturbaţiile care acţionează asupra procesului tehnologic (IT), aspect care

necesită prezenţa operatorului uman; În cazul când pa=0,mărimea de ieşire y depinde numai de mărimea de intrare r.Eliminarea operatorului uman se realizează în cadrul SA cu structuri închise ( SA cu circuit închis),

în care are loc controlul permanent asupra mărimii de ieşire y(t) şi prelucrarea în mod automat a abaterii(erorii) (t).

b) Sisteme de reglare automatăSistemele de reglare automată (SRA) sunt sistemele automate cu structură închisă (SA cu circuit

închis) care funcţionează după principiul reglării după abatere.Principiul reglării după abatere constă în următoarele : SA compară în permanenţă variabila de ieşire y(t) cuvariabila de intrare r(t), calculează în mod automat eroarea (t)=r(t) - yr(t) şi acţionează prin calea directăasupra IT în sensul anulări abaterii. O structură minimală a unui SRA este redată în figura 1.7.

Fig.1.7.

yxur m

mx

Fig. 1.6

În figura 1.7, EC reprezintă elementul de comparaţie, RA este regulatorul automat, iar Tr estetraductorul de reacţie.

Traductorul de reacţie Tr converteşte mărimea de ieşire y într-o mărime yr , numită mărime dereacţie, de aceeaşi natură fizică cu r, ambele compatibile cu intrarea în regulatorul automat RA. Traductorulde reacţie Tr este, de obicei, un element proporţional, în sensul că mărimea de la ieşirea sa yr, este în oricemoment proporţională cu y.

Legătura stabilită de la ieşirea la intrarea sistemului se numeşte reacţie principală negativă şi estespecifică SRA. În elementul de comparaţie EC se efectuează diferenţa dintre mărimea de intrare r şi mărimeade reacţie yr, rezultând la ieşirea elementului de comparaţie eroarea (abaterea) :

)t(ry)t(r)t( . (1.2)După rolul pe care îl îndeplineşte, EC este un sumator cu două intrări, una pozitivă şi una negativă.

Eroarea se aplică regulatorului automat RA, format din amplificatoare şi circuite de reacţie. La ieşirea RA seobţine mărimea de comandă u, aplicată elementului de execuţie EE, care modifică mărimea de execuţie xm şideci mărimea de ieşire y. Dacă:

)t(ry)t(r)t( ,respectiv când:

)t(ry)t(r , (1.3)răspunsul y are valoarea prescrisă.

Dacă acţiunea unei perturbări modifică valoarea mărimii de ieşire y, abaterea ei de la valoareaprescrisă va fi numai temporară, deoarece modificarea mărimii de reacţie yr va face ca egalitatea (1.3) să numai fie îndeplinită, ca urmare şi atunci prin modificarea corespunzătoare a mărimii ,sistemul va aduce din nou mărimea de ieşire la valoarea prescrisă. Se constată că în SRA acţiuneadispozitivului de automatizare DA (traductorul Tr, elementul de comparaţie EC, regulatorul automat RA,elementul de execuţie EE) este determinată nu numai de mărimea de intrare r, ci şi de perturbări; acest lucruse datorează reacţiei principale şi negative prin intermediul căreia DA primeşte informaţii asupra valorilorparametrului reglat y, deci şi asupra efectelor perturbaţiilor [1]. A rezultat că în cazul SRA se realizează olegătură între mărimile y şi (elaborată de DA), care determină modificările necesare ale mărimii u (comenzii) pentru ca influenţa nedorită a perturbaţiilor asupra răspunsului y să fie eliminată şi ca urmaremărimea de ieşire y să fie influenţată numai de mărimea de referinţă r, fiind astfel menţinută automat o legede dependenţă dorită între mărimile r şi y. Este de menţionat faptul că elementul de comparaţie EC face partedin regulatorul automat RA, dar se reprezintă separat pentru a evidenţia principiul reglării după abatere.Referindu-ne la schema de structură din figura 1.7 trebuie subliniat faptul că sarcina specialistului înautomatică constă în proiectarea RA, în condiţiile în care este cunoscută partea fixată a sistemului. Parteafixată (sau blocul fixat F) a sistemului cuprinde EE, IT şi Tr.Regulatorul automat îndeplineşte următoarele funcţiuni principale:

Calculează în mod automat eroarea:(t)=r(t)–yr(t), (1.4)

sau(t)=r(t) – y(t), (1.5)

în cazul când reacţia principală şi negativă este unitară (cu acţiune directă), adică coeficientul de transfer altraductorului de reacţie este egal cu unitatea.

Prelucrează dinamic semnalul de eroare (t). Elaborarea mărimii de comandă (de conducere) u,în SRA, presupune prelucrarea după un anumit algoritm a semnalului de eroare . Pentru exemplificare,considerăm un RA liniar şi continuu a cărui lege de reglare (sau algoritm de comandă) este de tipul PID,înţelegând prin aceasta că mărimea de comandă u(t) conţine trei componente: o componentă P proporţionalăcu eroarea + o componentă I proporţională cu integrala în timp a abaterii + o componentă D proporţionalăcu derivata în funcţie de timp a abaterii . Deci, în acest caz, dependenţa u(t)=f[(t)] (algoritmul de comandăsau legea de comandă) este de forma:

, (1.6)

P + I + D PID.

0yr r mx

mx

t

0d

iR dt

)t(dTdt)t(T1)t(k)t(u

În relaţia (1.6) deosebim următoarele mărimi: - factorul de amplificare al RA; – constanta detimp de integrare a RA; – constanta de timp de derivare a RA.

Valorile depind de partea fixată a SRA şi sunt rezultatul calculelor de proiectare a RA.

Parametri se numesc parametrii de acordare ai RA. Amplifică semnalul rezultant la un nivel de putere suficient de mare pentru a acţiona EE; Compensează constantele de timp mari ale părţii fixate, asigurând astfel reducerea timpului

tranzitoriu al sistemului.În general, un SRA conţine şi circuite de reacţie locală (secundare) în scopul corecţiei

performanţelor (aducerea lor la valorile prescrise). În figura 1.8. se prezintă un SRA cu reacţie principalănegativă unitară şi un circuit de reacţie locală. În figura 1.8, EP reprezintă elementul de prescriere cu ajutorulcăruia se fixează programul SRA (adică legea de variaţie în timp a referinţei r(t)), iar EC este elementul decorecţie destinat îmbunătăţirii performanţelor sistemului. Circuitul de reacţie locală, în cazul prezentat,cuprinde numai elementul de execuţie şi, în general, reacţia poate fi atât pozitivă cât şi negativă (în figura1.8. nu s-a menţionat, la elementul sumator, natura reacţiei, pozitivă sau negativă). În figura 1.8 xmr estemărimea de reacţie de la ieşirea elementului de corecţie EC.

Fig. 1.8.Pentru exemplificare, în figura 1.9 se prezintă schema de structură, de principiu, a unui autopilot

naval care este un SRA a cărui destinaţie este stabilizarea automată a drumului navei. Mărimea de intrare (dereferinţă) este drumul giro impus navei r=Dg0=ct., iar mărimea de ieşire o constituie drumul giro real al naveiDg. Mărimea de ieşire Dg este în permanenţă măsurată de girocompas, care în schema de structură din figura1.9 este reprezentat prin traductorul TR dispus pe circuitul reacţiei principale negative. Pentru simplificare, s-a considerat că girocompasul este un element proporţional, având coeficientul de transfer unitar, decielaborează un semnal de aceeaşi natură fizică cu referinţa şi egal cu Dg.

Eroarea de la ieşirea elementului de comparaţie va fi ryr=Dg0Dg=Dg.Algoritmul de comandă (legea de reglare) este de tipul PID. Cele trei componente (conform relaţiei

(1.6)) ale algoritmului de comandă sunt elaborate astfel: Blocul P (proporţional) generează un semnalproporţional cu eroarea, blocul I (integrator) generează un semnal proporţional cu integrarea erorii în timp,iar blocul D (derivativ) elaborează un semnal proporţional cu derivata erorii în timp.

Fig. 1.9.Contribuţia celor trei blocuri P,I,D se adună în sumatorul . SRA conţine un circuit de reacţie

secundară cu un element de corecţie EC, de tip proporţional, care elaborează o mărime de corecţieproporţională cu unghiul de cârmă (U=k ). Acest semnal de corecţie se aplică, cu semnul , la una dinintrările sumatorului . Tensiunea u1 de la ieşirea sumatorului se aplică blocului amplificator A care

Rk iT

dT

diR T,T,k

diR T,T,k

elaborează mărimea u2. Tensiunea u2 conţine atât comanda u (conform relaţiei 1.6), cât şi mărimea decorecţie de la ieşirea elementului EC. Mărimea u2 se aplică elementului de execuţie EE(motor electric sauhidraulic), iar ca rezultat cârma se bandează cu unghiul . Conform principiului reglării după abatere, când=0, rezultă Dg0=Dg, deci nava se deplasează pe drumul impus. Asupra navei acţionează perturbaţiile pa(vântul, curentul apei etc.) a căror influenţe nedorite asupra drumului navei sunt eliminate de SRA.

c) Sisteme de compensare automatăAceste sisteme funcţionează pe principiul reglării după perturbaţie. Acest principiu a fost introdus în

tehnică, pentru prima dată, de inginerul şi matematicianul francez Victor Poncelet (1788-1867).În cazul sistemelor de comandă automate, care sunt sisteme deschise, s-a arătat că urmare a acţiunii

mărimilor perturbatoare, pentru o valoare determinată a mărimii de intrare, se pot obţine valori deferite alemărimii de ieşire. Pentru diminuarea efectului perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire, în sistemele decompensare automată, se măsoară valoarea perturbaţiei aditive şi se elaborează o componentă a comenzii

,dependentă de perturbaţie, astfel încât prin intermediul mărimii de execuţie să compenseze efectulnedorit al perturbaţiei asupra răspunsului. Sistemul de compensare automată este tot un sistem deschisdeoarece nu este prevăzut cu circuit de reacţie principală negativă. În figura 1.10. se prezintă schema destructură, de principiu, a unui sistem de compensare automată. În schema de structură din figura 1.10. s-anotat cu Tp traductorul destinat măsurării perturbaţiei, iar cu RP regulatorul de perturbaţie. Comanda u(t), pelângă componenta ur(t) corespunzătoare referinţei r(t), conţine şi componenta (t) destinată compensăriiefectului perturbaţiei.

Fig.1.10Din cele prezentate se desprind următoarele concluzii privind sistemele de compensare automată: perturbaţia trebuie să fie accesibilă măsurării; trebuie să se cunoască dependenţa mărimii de ieşire funcţie de mărimea perturbatoare:

; sistemul automat este deschis; componenta comenzii aste elaborată în funcţie de perturbaţie, şi SA realizează compensarea

directă a acţiunii perturbaţiei asupra IT.

d) Sisteme de reglare combinatăFuncţionarea sistemelor de reglare combinată au la bază principiul reglării după abatere şi principiul

reglării după perturbaţie. În figura 1.10. se prezintă o schemă de structură a unui sistem de reglare combinată.Cu astfel de sisteme se realizează:

compensarea directă a acţiunii perturbaţiei aditive; funcţia de reglare în raport cu referinţa r.

Fig. 1.11.

pu

mx

pu

0t),t(p),t(yf a

pu

În figura 1.11, Reg este regulatorul automat care prelucrează dinamic eroarea , conform principiuluireglării după abatere, elaborând componenta comenzii ,iar Reg p reprezintă regulatorul de perturbaţie care

elaborează componenta comenzii . Deci, se constată că mărimea de comandă are două componente:

, comanda elaborându-se atât în funcţie de abaterea cât şi în funcţie de perturbaţia pa , caretrebuie să fie măsurabilă. De regulă, pentru diminuarea efectelor perturbaţiilor, asupra mărimii de ieşire, seintroduc filtre de perturbaţie, aşa cum se arată şi în figura 1.11.

1.2.2. Structuri de sisteme automate evoluate (facultativ)În paragraful precedent au fost prezentate structuri de sisteme convenţionale, care conţin procese

invariante, ale căror modele matematice nu sunt influenţate de perturbaţiile aditive care intervin înfuncţionarea acestora. Aşa cum s-a menţionat, în practică există procese al căror model matematic semodifică nepredictibil sub acţiunea perturbaţiilor, denumite parametrice. Automatizarea unui asemeneaproces implică utilizarea unor dispozitive automate care să asigure pe de o parte identificare automată aprocesului şi pe de altă parte în funcţie de rezultatul ei şi în conformitate cu programul impus, să generezecomanda corespunzătoare desfăşurării procesului cu satisfacerea criteriilor de performanţă dorite. Unasemenea sistem poartă denumirea de sistem adaptiv [2]. Uneori sistemele adaptive se mai denumesc şisisteme de reglare parametrice.

Ţinând cont de faptul că perturbaţiile aditive sunt compensate prin reacţia principală negativă(principiul reglării după abatere), rezultă că dispozitivul automat suplimentar introdus în scopul obţineriiadaptării trebuie să realizeze (fig. 1.12) următoarele funcţii:

identificarea procesului; calculul valorilor parametrilor blocului de reglare (regulatorului automat) funcţie de indicele de

performanţă adoptat; execuţia adaptării (realizarea valorilor calculate).Există mai multe criterii de clasificare a sistemelor adaptive [60]:a) După modul de realizare a identificării există sisteme adaptive fără semnale de probă şi cu

semnale de probă;b) După informaţia obţinută prin identificare se întâlnesc sisteme adaptive: cu identificarea

caracteristicilor părţii fixate, cu identificarea caracteristicilor întregului sistem şi cu identificareacaracteristicilor unor semnale aplicate din exterior;

c) După modul de acţionare a circuitului de adaptare se deosebesc: sisteme adaptive cuautoajustare, cu autoorganizare şi instruibile.

La sistemele cu autoajustare, circuitul de adaptare comandă modificarea unuia sau mai multorparametrii de acord ai regulatorului automat, iar la sistemele cu autoorganizare se comandă modificareastructurii blocului de reglare.

Sistemele adaptive instruibile posedă pe lângă circuitul clasic de reglare şi circuitul de adaptare, uncircuit de instruire care, pe baza informaţiilor acumulate din evoluţia anterioară, comandă modificareaprogramului elementelor de calcul din circuitul se adaptare [61]

Prin identificare se înţelege determinarea unor expresii matematice care să descrie, pe cât posibil maiaproape de realitate, procesele fizice din instalaţii [1].

Structura cea mai generală a unui sistem adaptiv este prezentată în figura 1.12. În această figură s-aconsiderat că asupra procesului acţionează atât perturbaţii aditive pa cât şi perturbaţii parametrice pp. Seconstată că structura sistemului adaptiv este organizată pe două nivele ierarhice, conform celor menţionate,[2]:

primul nivel este destinat reglării propriu zise ( SA închis); al doilea nivel, îl constituie circuitul de adaptare care trebuie să îndeplinească două funcţii: în

primul rând să efectueze o identificare automată a caracteristicilor procesului supuse unor modificăriarbitrare şi în al doilea rând să realizeze, în conformitate cu rezultatul identificării, modificăricorespunzătoare ale parametrilor sau structurii regulatorului [1].

Pentru a realiza o compensare cât mai bună a modificărilor arbitrare survenite, sub acţiuneaperturbaţiilor parametrice, circuitul de adaptare este de regulă prevăzut cu elemente de calcul (mai complexesau mai simple, funcţie de complexitatea IT), cărora li se fixează iniţial un anumit program, pentru ca înfuncţie de rezultatul identificării să determine modificările necesare ale parametrilor sau structuriiregulatorului[1]. În figura 1.12, circuitul de adaptare conţine blocul de identificare şi blocul de calcul.

u

pu

puuu

Fig. 1.12.În cazul de faţă, cum rezultă din figura 1.12, este o identificare în baza valorilor măsurate privind

procesul (sunt măsurate mărimile de intrare şi ieşire din proces, adică mărimea de execuţie şi răspunsulsistemului), blocul de identificare determinând parametrii procesului, care precum s-a arătat, nu suntcunoscuţi apriori. În general, forma modelului matematic, care descrie procesul, este cunoscută şi se puneproblema, ca prin identificare, să se determine coeficienţii modelului care depind de parametrii procesuluisupuşi modificării datorită acţiunii perturbaţiilor parametrice. În figura 1.12 blocul de identificare elaboreazăvariabila de identificare funcţie de parametrii procesului, care sunt variabili. Blocul de calcul elaboreazăvariabila de adaptare în conformitate cu criteriul de adaptare impus .

După natura criteriului de adaptare se deosebesc [3]: sisteme adaptive convenţionale, care asigură realizarea unor valori prestabilite a criteriului de

adaptare ; sisteme adaptive optimale, la care prin adaptare se urmăreşte extremizarea criteriului de adaptare

, fără cunoaşterea apriorică a valorilor extreme.Privind sistemele automate optimale, acestea pot fi clasificate funcţie de scopul optimizării, între

care se menţionează: optimizarea statică (parametrică) şi optimizarea dinamică. În continuare se prezintăcâteva aspecte privind optimizarea parametrică.O serie de instalaţii sunt caracterizate de faptul că mărimea de ieşire, în regim staţionar yST, prezintă odependenţă neliniară (cu extrem) în funcţie de variabilele de intrare ui(comenzii):

mSTST2ST1ST u...,,u,ufy , (1.7)Această dependenţă poate fi reprezentată într-un spaţiu (m+1) dimensional printr-o hipersuprafaţă (fig.1.13.a) şi corespunde, de exemplu, cazurilor când mărimea de ieşire este o mărime rezultată din calcul(randament, productivitate etc).

Fig. 1.13Sistemul care asigură funcţionarea IT în punctul de extrem (sau în jurul acestuia) se numeşte sistem

de optimizare automată, iar dispozitivul automat care permite determinarea valorilor u1ST0, u2ST0,...,umST0 alemărimilor de intrare în procesul supus automatizării poartă denumirea de optimizator automat (OA). Schemade principiu a unui astfel de sistem de optimizare automată este reprezentată în figura 1.13.c. Optimizatorulautomat OA este format din blocul operativ BO, care primeşte mărimea de ieşire y (care poate fi o mărimede calcul aşa cum s-a menţionat) şi restricţiile impuse mărimilor de comandă u1, u2, ..., um exprimate prinintermediul funcţiilor Fj sub forma unor inegalităţi 0u...,,u,uF m21j , şi din blocul de comandă BC[61].

Optimizatorul automat efectuează operaţiile de căutare a extremului funcţiei (1.7) şi determinăvalorile optime ale mărimilor (parametrilor) u1ST, u2ST, ..., umST.

După cu se ştie, problema determinării extremelor unei funcţii (liniare sau neliniare) cu ( sau fără)restricţii formează obiectul programării matematice, deci într-un anumit sens, sistemele de optimizare staticăreprezintă aplicarea tehnicilor programării matematice liniare şi neliniare.

Indiferent de structură, trebuie menţionat că atributul esenţial al unui SA este acela de a fi realist(realizabil fizic). Prin aceasta se înţelege că SA este neanticipativ, adică o valoare actuală a mărimii de ieşirey(t1) nu poate fi influenţată de nici o valoare ulterioară a mărimii de intrare r(t2) pentru t2t1 (altfel spus,mărimea de ieşire nu apare înaintea mărimii de intrare), iar r şi y sunt funcţii reale de timp (sunt vectorireali).

Privind funcţiile SA, pe lângă cele prezentate, în mod obligatoriu, sunt asigurate prin proiectare şiurmătoarele:

funcţia de semnalizare ( optic, acustic, local, general etc.).Sistemul de semnalizare aste deosebit de dezvoltat în cazul aeronavelor precum şi în cazul navelor maritimeşi fluviale. De exemplu, în Partea A-XI – Echipamente electrotehnice, Registrului Naval Român impuneutilizarea anumitor culori, impune felul semnalului şi semnificaţie acestora, conform tabelului de mai jos.

Nr.crt

Culoarea Semnificaţia Felulsemnalului

Folosirea

1 Roşie Pericol Intermitent Alarmă pentru stări de pericol carenecesită o intervenţie imediată.

Continuu Alarmă generală pentru stări de pericolprecum şi pentru stări de pericolconstatate dar neînlăturate încă.

2 Galbenă Atenţie Intermitent Stări anormale, dar care nu necesităînlăturare imediată.

Continuu Stare intermediară între starea anormalăşi starea de pericol. Starea anormalăconstatată dar neînlăturată încă.

3 Verde Siguranţă Intermitent Indică faptul că mecanismele au intrat înfuncţiune, din starea de rezervă.

Continuu Regim normal de funcţionare şi deacţionare.

4 Albastră Instrucţiuni şiinformaţii

Continuu Mecanisme şi instalaţii gata pentrupornire. Tensiune în reţea. Totul este înregulă.

5 Albă Informaţiigenerale

Continuu Semnalizări obişnuite. Inscripţiireferitoare la acţionarea automată. Altesemnale suplimentare.

funcţia de protecţie care asigură oprirea funcţionării procesului atunci când anumiţi parametridepăşesc valorile prestabilite.

Cele două aspecte menţionate nu pot fi separate, în sensul că există o selectivitate a protecţiilorcorelată cu nivelele corespunzătoare de semnalizare.

1.3. Clasificarea sistemelor automate

Sistemele automate se clasifică după diferite criterii care au în vedere destinaţia acestora, principiul defuncţionare, proprietăţile dinamice, mărimile exogene aplicate etc. Aceste criterii evidenţiază particularităţilesistemelor automate şi sunt relativ numeroase.

Dintre multiplele posibilităţi de clasificare a SA, în funcţie de criteriul adoptat, următoarele sunt maiimportante [1]:

a) După modelul matematic abstract care exprimă dependenţa dinamică intrare-ieşire aleelementelor componente ale SA, se deosebesc [1]:

a1) SA liniare (SAL), când toate dependenţele menţionate sunt descrise de ecuaţii liniare;a2) SA neliniare (SAN), când cel puţin un element al SA este neliniar, deci este descris de o ecuaţie

neliniară.b) După caracteristicile de transfer ale procesului tehnologic:b1) SA pentru procese invariante în timp: caracteristicile procesului rămân nemodificate în timp

(sisteme convenţionale);b2) SA pentru procese cu caracteristici variabile în timp (sisteme adaptive, optimale etc.).c) După aspectul variaţiei în timp a mărimii de referinţă, deosebim:c1) SA cu referinţă constantă în timp. Dacă ne referim la SRA cu referinţă constantă în timp, rolul

acestora constă în a menţine mărimea reglată la o valoare cât mai constantă, independent de natura şivaloarea perturbaţiilor care acţionează asupra sistemului. Astfel de SRA se numesc de stabilizare;

c2) SA cu referinţă variabilă în timp, care la rândul lor pot fi:c2.1) Sisteme cu program, la care referinţa este cunoscută (adică variază în timp după un

program cunoscut);c2.2) Sisteme de urmărire, dacă mărimea de referinţă variază arbitrar, legea de variaţie în

timp a acestei mărimi fiind necunoscută dinainte şi în general are caracter aleator.d) După caracterul prelucrării semnalelor se deosebesc:d1) SA continue (sau netede), când toate mărimile care intervin în SA sunt funcţii continue de timp;d2) SA discrete, când cel puţin una dintre mărimile din sistem are o variaţie discretă, discontinuă.

Astfel de sisteme se împart în SA cu impulsuri modulate şi SA numerice.e) După numărul mărimilor de ieşire, deosebim:e1) SA monovariabile, au o singură mărime de ieşire;e2) SA multivariabile, care au mai multe mărimi de ieşire.f) După caracteristicile constructive ale DA, deosebim:f1) Sisteme unificate, când toate elementele componente ale dispozitivelor de

automatizare au la intrare şi ieşire mărimi unificate, adică mărimi de aceeaşi natură fizicăşi cu aceeaşi gamă de variaţie (exemplu de mărimi unificate: 2...10 mAcc; 4...20 mAcc, 0...1 bar etc.);

f2) Sisteme specializate, când condiţia menţionată mai sus nu este îndeplinită.g) După viteza de răspuns a proceselor automatizate:g1) SA pentru procese rapide: constantele de timp ale IT nu depăşesc 10 secunde ( procese de natură

electrică, electronică etc.);g2) SA pentru procese lente( căldări, caldarine etc.): când IT au constante de timp mai mari de 10

secunde şi de multe ori sunt cu timp mort.h) După agentul purtător de semnal deosebim sisteme electronice, pneumatice, hidraulice şi mixte

(electro-pneumatice, electro-hidraulice etc.).

1.4. Principalele probleme ale teoriei sistemelor de reglare automatăSunt prezentate acele probleme ale teoriei sistemelor de reglare automată la care se va apela pe

parcursul disciplinei. Dintre acestea menţionăm [1]:a) Analiza sistemelor de reglare automată care constă în următoarele: fiind date elementele

componente ale SRA şi valorile parametrilor lor, se cere a se determina răspunsul sistemului (legea devariaţie în timp a mărimii de ieşire) datorat acţiunii mărimii de intrare r şi a perturbaţiilor pa , iar pe bazarăspunsului se obţin şi sunt analizate performanţele sistemului. Se concluzionează dacă SRA analizat poate fifolosit în anumite cazuri concrete, în practică.

b) Sinteza sau proiectarea SRA a cărei problematică este: fiind date IT şi performanţele impusefuncţionării sistemului, se cere a se determina celelalte elemente componente (elementele DA, printre carelocul central îl constituie RA) şi parametrii lor, astfel încât SRA rezultat să asigure performanţele impuse.

O fază de proiectare de amploare redusă este corecţia SRA, în acest caz sistemul în ansamblu estedat, dar în urma analizei se constată că nu sunt satisfăcute toate performanţele impuse şi atunci se proiecteazăelemente suplimentare, cu rol de corecţie, care adăugate sistemului iniţial (necorectat) conduce la un sistem(corectat) la care toate performanţele vor corespunde cu cele impuse.

c) Identificarea proceselor care au loc în IT automatizată, respectiv determinarea prin metodespecifice a unor expresii matematice care să descrie, pe cât posibil mai fidel, procesele fizice din instalaţie.Identificare proceselor din IT are un rol deosebit de important deoarece în sinteza SRA este necesarăcunoaşterea modelele matematice care descriu procesul. Metodele de identificare a sistemelor dinamice pot ficlasificate astfel:

metode active care utilizează semnale de probă (test) aplicate la intrarea procesului şi în bazaacestora se obţin informaţiile necesare (mărimea de ieşire), care prelucrate conduc la modelul căutat;

metodele pasive care utilizează variaţiile din funcţionarea normală a procesului. Metodele deacest tip nu mai sunt legate de generarea unor semnale de probă, însă din punctul de vedere al efortului decalcul sunt mai complexe. De regulă, totdeauna în cazul unei operaţii de identificare există o informaţieapriorică disponibilă despre proces. În cazul IT în care se desfăşoară procese rapide, cum sunt sistemele deacţionările electrice, identificarea se efectuează cu un grad ridicat de precizie, deoarece ecuaţiile care descriufuncţionarea maşinilor electrice sunt cu precizie determinate. În cazul IT în care au loc procese lente (căldări,caldarine etc.), operaţia de identificare este mult mai dificilă şi se efectuează cu aproximaţii relativ largi [1].

d) Precizia SRA , practic, este legată de eroarea cu care mărimea de ieşire reproduce semnalul aplicatla intrarea sistemului. În practică orice sistem este supus influenţei unor semnale aleatoare, unor zgomote, deaceea asigurarea preciziei necesare reprezintă o problemă fundamentală a reglării automate.

e) Utilizarea calculatoarelor electronice atât pentru analiza şi sinteza SRA („off-line”), cât şi caelemente componente ale sistemelor („on-line”). Rezultate preţioase se obţin, având în vedere complexitatearelaţiile matematice care descriu comportarea SA, prin simularea sistemelor. În acest sens au apărut softwarespecializate pentru modelarea şi simularea SA.

Unitatea de învăţare 2ANALIZA SISTEMELOR AUTOMATE MONOVARIABILE LINIARE NETEDEINVARIANTE

CuprinsIntroducere în analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante. Clasificarea

modelelor matematice utilizate în analiza sistemelor. Principalele tipuri de semnale de excitaţieconvenţionale. Regimurile de funcţionare ale sistemelor liniare netede. Principalele performanţe înraport cu referinţa şi perturbaţia treaptă unitară. Statica sistemelor de reglare automată.

Calculul răspunsului sistemelor automate şi elementelor prin rezolvarea directă a ecuaţieidiferenţiale. Calculul răspunsului şi performanţelor elementului aperiodic de ordinul 1. Calcululrăspunsului şi performanţelor unui sistem liniar neted de ordinul 2.

Funcţia de transfer: definiţia funcţiei de transfer în raport cu referinţa, algebra funcţiilor detransfer. Utilizarea funcţiei de transfer pentru calculul erorii permanente.

Răspunsul la frecvenţă al sistemelor automate liniare netede. Definirea răspunsului la frecvenţă,caracteristicile de frecvenţă, proprietăţile caracteristicilor de frecvenţă. Caracteristicile logaritmicede frecvenţă. Corelaţia dintre răspunsul indicial şi răspunsul la frecvenţă.

Metoda variabilelor de stare. Definirea variabilelor de stare şi fază. Ilustrarea alegeriivariabilelor de stare şi fază. Soluţia ecuaţiilor de stare. Calculul matricei fundamentale. Realizări.

Stabilitatea sistemelor liniare netede. Definiţii, stabilitatea internă şi externă. Criteriul destabilitate Nyquist, marginile de stabilitate. Criteriul practic de stabilitate al lui Bode.

Aplicaţii.Teste de autoevaluare.

OBIECTIVE- să indice principalele modele matematice utilizate în analiza sistemelor automate;- să cunoască regimurile de funcţionare ale sistemelor automate;- să enumere, să definească principalele performanţe ale sistemelor automate;- să definească funcţia de transfer;- să definească răspunsul la frecvenţă;- să definească variabilele de fază şi de stare;- să ilustreze modul de alegere al variabilelor de stare şi de fază;- să calculeze matricea fundamentală;- să aprecieze stabilitatea sistemelor automate liniare netede.

ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ MONOVARIABILE LINIAREŞI CONTINUE

2.1. Introducere în analiza sistemelor de reglare automată monovariabileinvariante liniare şi continue

2.1.1. Modele matematice utilizate în teoria reglării automateCunoaşterea modelului matematic al elementelor unui SA, precum şi a sistemului în ansamblu

reprezintă o etapă deosebit de importantă în vederea analizei sistemului, a determinării performanţelor sau asintezei acestuia. Pentru analiza SRA este folosită o varietate relativ largă de modele matematice.

Modelele matematice, utilizate frecvent, sunt de două tipuri:a) Modele matematice de tipul intrare-ieşire, care se obţin luându-se în considerare numai relaţiile

între intrarea şi ieşirea sistemului (sau subsistemului).Modelele matematice de tipul intrare – ieşire sunt:

a1) Ecuaţiile diferenţiale.Stabilirea ecuaţiei diferenţiale, care descrie funcţionarea SA, se poate realiza pe calea cercetărilor

experimentale (identificare), fie pe cale analitică. Studiul teoretic al unui sistem fizic, oricare ar fi natura lui(mecanic, hidraulic, electric etc.) constă în:

aplicarea legilor fizicii în scopul stabilirii ecuaţiilor sistemului respectiv; prelucrarea matematică a ecuaţiilor stabilite, care conduc la cunoaşterea comportării

sistemului.Prima fază impune cunoaşterea acelor domenii ale ştiinţei şi tehnicii (mecanicii, electrotehnicii,

electronicii, hidraulicii etc.) de care aparţin prin natura lor elementele componente ale SA studiat, astfel încâtsă se poată exprima matematic relaţiile dintre parametrii care intervin în sistemul fizic respectiv. Prelucrareamatematică a acestor relaţii conduce la ecuaţii diferenţiale sau integro-diferenţiale care leagă mărimea deieşire de mărimea de intrare, dar şi de mărimile perturbatoare de care depinde mărimea de ieşire. Demenţionat este faptul că orice sistem fizic conţine neliniarităţi. În cazul când neliniarităţile sunt neesenţiale şise pot neglija, în urma liniarizării se obţin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi dependenţi de oserie de parametri concentraţi ce caracterizează sistemul fizic respectiv. Ordinul ecuaţiei diferenţiale depindede numărul şi de natura elementelor acumulatoare de energie din sistemul considerat [8].

Cunoaşterea ecuaţiilor diferenţiale ale sistemului studiat şi a condiţiilor iniţiale reprezintăproblema esenţială care stă la baza teoriei S.A. [8].

În continuare menţionăm câteva aspecte referitoare la ecuaţiile diferenţiale ale SRA, care facobiectul prezentului capitol. Considerăm un SRA monovariabil, liniar, continuu, invariant cuparametrii concentraţi descris de următoarea ecuaţie diferenţială care exprimă dependenţa cauzalăry.

(2.1)

în care r şi y sunt mărimea de intrare şi respectiv cea de ieşire.SRA fiind invariant în timp, coeficienţii ecuaţiei diferenţiale sunt constante reale care depind de

parametrii sistemului invarianţi în timp. Datorită invarianţei în timp a procesului, se poate fixa arbitrarmomentul iniţial, considerându-se, de obicei, t0=0. Ca urmare interesează restricţiile semnalelor de intrarenumai pentru t 0, influenţa intrării pentru t 0 fiind concentrată în condiţiile iniţiale. SRA este cuparametrii concentraţi deoarece prin ecuaţia diferenţială (2.1) se pune în evidenţă o singură variabilăindependentă – timpul t.

SRA liniare li se aplică principiul superpoziţiei. Se presupune că r variază după o lege f(t) cunoscută,r = f(t). În acest caz, membrul drept al ecuaţiei (2.1) se poate exprima într-o formă F(t) şi reprezintă aşa-zisafuncţie de excitaţie, noţiune diferită faţă de mărimea de intrare r(t).

Principiul superpoziţiei constă în următoarele: dacă mărimea de intrare r1=f1(t), respectivfuncţia de excitaţie F1(t) produce o mărime de ieşire y1=1(t), iar mărimea de intrare r2(t)=f2(t),respectiv funcţia de excitaţie F2(t) produce mărimea de ieşire y2=2(t), atunci mărimea de intrarer3=c1r1+c2r2=c1f1(t)+c2f2(t) sau funcţia de excitaţie c1F1(t)+c2F2(t) determină o mărime de ieşirey3=3(t)=c11(t)+c22(t), unde c1 şi c2 sunt constante arbitrare.

;rbdtdrb

dtrdb

dtrdbya

dtdya

dtyda

dtyda 011

1

1011n

1n

1nn

n

n m

m

mm

m

m

În particular dacă c2=0 avem y3=c1r1=c1f1(t), funcţia de excitaţie devine c1F1(t), iar mărimeade ieşire y3=c11(t). Proprietatea că multiplicarea (amplificarea) mărimii de intrare de c ori duce lamultiplicarea (amplificarea) de c ori atât a funcţiei de excitaţie, cât şi a mărimii de ieşire, poartădenumirea de omogenitate.

Aceste condiţii se realizează numai atunci când fiecare membru al relaţiei (2.1), atât din stânga cât şidin dreapta semnului egalităţii, este o formă liniară de variabilele:

şi respectiv

În ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi (2.1) trebuie să se respecte condiţia derealizabilitate fizică n m.

Se spune că un SRALC este de ordinul n, dacă n este ordinul ecuaţiei diferenţiale caredescrie sistemul.

Ecuaţiile diferenţiale reprezintă modele matematice de bază pe care se „construiesc” şicelelalte tipuri de modele matematice, aşa cum va rezulta din cele prezentate pe parcursuldisciplinei.

a2) Funcţiile de transfer, bazate pe utilizarea transformatei Laplace directă şi inversă.Utilizarea funcţiilor de transfer permite să se stabilească anumite corespondenţe între domeniulvariabilei complexe şi domeniul timpului, corespondenţe utile atât pentru analiza cât şi pentrusinteza SRA [1];

a3) Caracteristicile de frecvenţă, care stabilesc corespondenţe între domeniul frecvenţelor şidomeniul timpului, permiţând aprecierea stabilităţii şi comportării SRA fără a fi necesară rezolvareaecuaţiilor diferenţiale care descriu funcţionarea sistemelor respective [1].

b) Modele matematice de tipul intrare-stare-ieşire, bazate pe utilizarea unor mărimi numitevariabile de stare (respectiv de fază), variabile care definesc univoc şi complet starea unui sistem şipermit să se determine evoluţia sa viitoare [1]. Aceste modele matematice au avantajul că permitfolosirea relaţiilor matriceal-vectoriale pentru descrierea funcţionării sistemului, avantaj care are oînsemnătate deosebită în cazul sistemelor multivariabile [1].

Implementarea unui model matematic pe un sistem de calcul analogic sau numeric învederea studierii proprietăţilor esenţiale ale acestuia (răspunsul la intrări tip, performanţe, stabilitateetc.) se numeşte modelare analogică, respectiv modelare numerică.

De reţinut este faptul că pentru determinarea modelului unui sistem nu se poate utilizaexclusiv analiza teoretică sau experimentală, ci o combinaţie adecvată de procedee teoretice şiexperimentale, succesiunea acestora fiind determinată de scopul modelării, de particularităţilesistemului şi informaţia iniţială disponibilă [2].

2.1.2. Principalele tipuri de semnale de excitaţie convenţionalePerformanţele verificate prin analiza SA depind de tipul semnalului aplicat la intrare sau de tipul de

variaţie în timp a perturbaţiei. Aceste semnale de excitaţie sunt adoptate prin convenţie şi permit comparareaSA în funcţie de performanţele obţinute pentru aceeaşi referinţă. În continuare sunt prezentate principaleletipuri de semnale de excitaţie utilizate în analiza şi sinteza SA.

1. Semnalul sau funcţia treaptă unitară 1(t)Funcţia treaptă unitară, sau funcţia lui Heaviside, notată cu 1(t) şi reprezentată în figura 2.1, are

valori nule pentru t 0 şi valoarea 1 pentru t 0, la t =0 având loc trecerea în salt între cele două valori [1]:

(2.2)

aceasta nefiind definită pentru t=0: 1(0+)=1 şi 1(0-)=0. În relaţia (2.2) s-a avut în vedere faptul că 1(t)=1pentru t(0+ , ), ceeace corespunde aspectelor practice.Dacă treapta unitară este întârziată cu t0, se noteazăcu 1(t-t0) (figura 2.2) şi este definită astfel:

n

n

dtyd,,

dtdy,y m

m

dtrd,,

dtdr,r

0t,0

0t,1)t(1

(2.3)

Fig. 2.1. Fig. 2.2.Imaginea Laplace a funcţiei treaptă unitate 1(t) este:

; (2.4)

şi corespunzător pentru semnalul 1(t-t0):

(2.5)

Răspunsul unui SA monovariabil liniar neted la un semnal de intrare treaptă unitară, în condiţiiiniţiale nule, se numeşte răspuns indicial sau funcţie indicială, notată pe parcursul disciplinei, cu h(t).

Un semnal treaptă neunitară, sau simplu semnal treaptă, de înălţime C=ct. se defineşte prin relaţiaC1(t), iar dacă semnalul treaptă este întârziat cu t0 , se exprimă prin C1(t-t0). O utilizare a funcţiei treaptăunitară 1(t), frecvent întâlnită, constă în următoarele [7]: o funcţie mărginită f(t) definită în intervalul - t , multiplicată cu 1(t), se anulează pentru t 0 şi în rest este neschimbată (figura 2.3.):

(2.6)

Fig. 2.3.

Dacă funcţia este întârziată cu t0, atunci se scrie [7]:

(2.7)

Acest aspect simplifică exprimarea unor funcţionale definite pentru t 0.

2. Semnalul dreptunghiular finit

Acest tip de semnal, deşi mai puţin utilizat în analiza SALC, apare frecvent în diversele pachete de programespecifice automaticii, în plus se obişnuieşte ca pe baza lui să se introducă semnalul impuls unitar.

Semnalul dreptunghiular neîntârziat p(t,T), reprezentat în figura 2.4, este definit astfel [7]:

0

0

0

tt,0

tt,1)tt(1

s1

1(t)L

,es1dtedte)tt(1 0

0 0t

ststst0

)t-1(t 0L

;0t,)t(f

;0t,0)t(1)t(f

00

0

00

tt,)tt(f

tt,0)tt(1)tt(f

(2.8)

unde A este aria impulsului.

Fig. 2.4. Fig. 2.5.

Cu ajutorul funcţiei treaptă unitate 1(t), semnalul p(t,T) se exprimă în felul următor ( fig. 2.5.):

(2.9)

Relaţia (2.9) permite, cu uşurinţă, să se deducă imaginea Laplace a semnalului dreptunghiularneîntârziat:

(2.10)

sau

(2.11)

În cazul semnalului dreptunghiular unitar (de arie unitate) se obţine:

; (2.12)

Impulsul dreptunghiular finit întârziat cu (figura 2.6.) se poate exprima sub forma:Fig. 2.6

Tt1t1HT,tp , (2.13)şi corespunzător imaginea Laplace este:

; (2.14)

Relaţia (2.14) se poate obţine, direct, din (2.11) dacă se utilizează teorema întârzierii.

3. Semnalul impuls unitar (funcţia lui Dirac sau impulsul delta)Impulsul delta (t) (figura 2.7) reprezintă cazul limită idealizat al impulsului dreptunghiular de

durată T extrem de scurtă (T0) şi infinit de înalt ( ),

având aria egală cu unitatea (A=1).

Tt,0

;Tt0,TA

;0t,0

)T,t(p

)];Tt(1)t(1[TA)]t(1)t(1[H)T,t(p

);e1(sHdteHdteHdteH sTststst

T

0T0

T)-1(tH-1(t)HT)p(t, LL

;sTe1A

sTT)p(t,L

sTe1)T,t(

sT

1ApL

ss e)e1(sH TT),-p(tL

T1H

(2.15)

Fig. 2.7. Fig. 2.8.

Se constată că (t) nu este definit printr-o funcţie în sensul matematic obişnuit. Impulsul (t) seîncadrează în clasa distribuţiilor. În timp ce în cazul unei funcţii f(t), fiecărei valori a funcţiei îi putem asociao valoare bine determinată pentru t, în cazul unei distribuţii, nu este posibil de a asocia distribuţiei o valoarepentru fiecare valoare t. Astfel, în cazul distribuţiei (t), indiferent de modul de trecere la limită, se pune

condiţia care defineşte de fapt funcţionala, dar nu se poate asocia o anumită valoare

funcţionalei (t) în jurul valorii t=0 [6]. Impulsul Dirac (t) se numeşte unitar pentru că măsura sa sau aria saeste egală cu unitatea. Frecvent, impulsul (t), se reprezintă grafic ca în figura 2.8.

Imaginea Laplace a funcţiei (t) este:

(2.16)

în care s-a avut în vedere, la schimbarea limitelor de integrare, figura 2.7 conform căreia (t) este nulă pestetot, mai puţin în vecinătatea lui 0.

Se obţine acelaşi rezultat utilizând relaţiile (2.12) şi (2.15):

;

deoarece pentru T0, ; se aplică regula lui Hopital şi rezult (2.16):

Pentru impulsul Dirac întârziat cu , notat cu (t - ), imaginea Laplace este:; (2.17)

Pentru funcţii cu salturi finite (cu discontinuităţi de specia I) a fost introdusă noţiunea de derivatăgeneralizată, sau derivată în sens distribiţii. Impulsul unitar reprezintă derivata în sens generalizat a trepteiunitare:

(2.18)

şi corespunzător:

(2.19)

Privind limitele de integrare din (2.19) se pot face următoarele observaţii: funcţia 1(t), prin definiţie,este nulă pentru toate valorile t 0. Corespunzător cu relaţia (2.19) funcţia treaptă unitară de asemenea estenulă pentru t 0, deoarece în acest domeniu de variaţie a variabilei funcţia (t) este nulă. Prin definiţie,funcţia 1(t) este egală cu unitatea pentru t 0. Acest aspect rezultă şi din expresia lui 1(t) din (2.19),deoarece aria funcţiei (t) este unitară corespunzând ariei impulsului de lăţime infinit mică şi infinit de înalt.

);T,t(plim)t(0T

,1dt)t(

0

0

0

00;1dt)t(dte)t(dte)t( ststδ(t)L

Tse1lim

sT

0T

δ(t)L

00

δ(t)L L

;1es

eslimTse1lim 0

sTsT

0T0T

δ(t)L

seτ)-δ(tL

;dt

)t(1d)t(

t

,d)()t(1

Răspunsul unui SA monovariabil neted, având condiţiile iniţiale nule, la un semnal de excitaţiefuncţie Dirac (t) se numeşte funcţie pondere. Funcţia pondere va fi notată cu w(t).

Pentru SA liniare , netede, invariante cu parametri concentraţi, relaţia (2.18) conduce la o relaţie deforma [1]:

(2.20)

între răspunsurile la impuls unitar şi la treaptă unitară. Deci funcţia pondere reprezintă derivata răspunsuluiindicial. Din relaţia (2.20) rezultă imediat:

(2.21)

Evidenţiem o proprietate importantă a funcţiei Dirac. Fie o funcţie f(t) continuă în origine, mărginităşi integrabilă. Facem produsul f(t)(t) şi integrăm de la - la + :

(2.22)

Această proprietate se numeşte de filtrare (figura 2.9) [7].

Fig. 2.9. Fig. 2.10.

Dacă impulsul unitar este întârziat cu t0, atunci (fig. 2.10):

(2.23)

4. Semnalul rampă unitarăÎn figura 2.11 s-a reprezentat un semnal rampă unitară, iar în figura 2.12 un semnal rampă unitară

întârziat cu t0.Semnalul rampă unitară, corespunzător figurii 2.11, este definit de relaţia:

(2.24)

iar imaginea Laplace a funcţiei v(t) este:

; (2.25)

Fig. 2.11. Fig.2.12.

În cazul semnalului rampă unitară întârziată cu t0 sunt evidente relaţiile:

;dt

)t(hd)t(w

t

0

,d)(w)t(h

0

0

0

0);0(fdt)t()0(fdt)t()t(fdt)t()t(f

);t(fdt)tt()t(fdt)tt()t(f0t

0t000

0t,t

0t,0)t(v

2s1

v(t)L

(2.26)

şi corespunzător:

; (2.27)

Din cele prezentate se constată că între v(t) şi 1(t) există dependenţa:

(2.28)

Relaţia (2.28) adesea se utilizează, în diferite medii de programare, pentru obţinerea semnaluluitreaptă unitară, generând iniţial o funcţie rampă unitară, după care aceasta este supusă derivării.

Din (2.28) rezultă:

, (2.29)

Răspunsul unui SRA la un semnal de intrare rampă unitară se numeşte caracteristică de timp deordinul 1.

5. Semnalul moment de ordinul 2 (parabolă)Funcţia moment de ordinul 2 este reprezentată în figura 2.13 şi definită de relaţia:

(2.30)

iar imaginea Laplace este de forma:

, (2.31)

Răspunsul SA la un astfel de semnal se Fig. 2.13numeşte caracteristică de timp de ordinul doi [2].

6. Semnalul sinusoidalAcest semnal este utilizat pentru a studia comportarea sistemelor în domeniul frecvenţelor. Vom

apela frecvent la relaţii, bine cunoscute, cum sunt:

(2.32)

şi respectiv:

(2.33)

2.1.3. Regimurile de funcţionare ale SRA monovariabile, invariante, liniare şicontinueScriem ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi (2.1) sub forma:

(2.34)

cu condiţiile iniţiale:

(2.35)

În ecuaţia (2.34), aşa cum s-a menţionat, F(t) este funcţia de excitaţie, iar y este mărimea de ieşire. Nepropunem să arătăm cum se comportă în timp mărimea de ieşire (răspunsul sistemului), când funcţia F(t)

0

0

tt,t

0t,0)tt(v

0stes1) 2

0t-v(tL

);t(1dt

)t(vd

t

d)(1)t(v

0t,2t

0t,0)t(f

2

3s1

f(t)L

;2eetcos;

j2eetsin

tjtjtjtj

;s

s;s 2222

tcostsin LL

;)t(Fyadtdya

dtyda

dtyda 011n

1n

1nn

n

n

;dt

)t(yd)0(y...,,dt

)t(dy)0(y;)t(y)0(y0t0t

0t 1n

1n)1n('

aplicată la intrare este de o formă cunoscută. În ecuaţia diferenţială neomogenă (2.34) necunoscuta estemărimea de ieşire y şi deci prin integrarea ecuaţiei se obţine soluţia generală căutată.

Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale neomogene este suma dintre soluţia generală a ecuaţieiomogene şi soluţia particulară a ecuaţiei neomogene:

(2.36)

în care se numeşte componentă tranzitorie sau componentă liberă a răspunsului, iar estecomponenta permanentă sau forţată a răspunsului. Răspunsul liber este dat de soluţia ecuaţiei diferenţiale(2.34) pentru intrare zero şi depinde numai de condiţiile iniţiale care determină constantele de integrarerespective, iar răspunsul forţat se obţine când toate condiţiile iniţiale sunt nule, depinzând numai de intrareasistemului.

Pentru determinarea soluţiei generale y(t) a ecuaţiei diferenţiale neomogene se parcurg patru etape: rezolvarea ecuaţiei caracteristice ataşate ecuaţiei diferenţiale omogene; stabilirea soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene; determinarea soluţiei particulare a ecuaţiei diferenţiale neomogene; calculul constantelor de integrare.

Componenta tranzitorie (liberă) este soluţia ecuaţiei omogene aferente ecuaţiei (2.34):

; (2.37)

şi depinde numai de condiţiile iniţiale ale sistemului.

Ecuaţia caracteristică, se obţine introducând în ecuaţia omogenă operatorul diferenţial dtdp (.) şi

este de forma:, (2.38)

Menţionăm că cele n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice, pi, i=1...n, depind de coeficienţi constanţi aiecuaţiei omogene, care la rândul lor depind de parametrii sistemului.

; (2.39)se numeşte polinom caracteristic al SALC.

Soluţiile ecuaţiei diferenţiale omogene formează un spaţiu vectorial de dimensiune n şi orice bază aspaţiului soluţiilor ecuaţiei omogene se numeşte sistem fundamental de soluţii.

Forma soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene (2.37) depinde de natura rădăcinilor ecuaţieicaracteristice (2.38).

Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice se stabilesc soluţiile liniar independente aleecuaţiei diferenţiale omogene având în vedere următoarele:

Dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi simple, atunci soluţiagenerală a ecuaţiei (2.37) este de forma:

; (2.40)

Dacă o rădăcină reală r este de ordin de multiplicitate k ( )atunci contribuţia acestor rădăcini la soluţia generală a ecuaţiei omogene se obţine înlocuind, în modcorespunzător, în relaţia (2.40) cei k termeni cu expresia:

; (2.41) Dacă ecuaţia caracteristică are o pereche simplă de rădăcini complexe conjugate

atunci contribuţia acestei perechi de rădăcini la soluţia generală a ecuaţiei (2.37) se obţine înlocuind, în modcorespunzător, în (2.40) perechea de termeni cu:

; (2.42) Dacă o pereche de rădăcini complexe conjugate are ordinul de multiplicitate

m, atunci în mod corespunzător cei 2m termeni din relaţia (2.40) se înlocuiesc cu expresia:, (2.43)

unde ,m,...,2,1k,kD,kC sunt 2m constante arbitrare.Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene (2.34), care reprezintă componente

permanentă (forţată) a răspunsului sistemului, putem folosi metoda variaţiei constantelor care ne permite,

),t(y)t(y)t(y ptr

ty tr ty p

0yadt

dya

dtyd

adt

yda tr0

tr11n

tr1n

1nntr

n

n

0apapapa)p(A 011n

1nn

n

011n

1nn

n apapapa)p(A

n21 r,...,r,r

0t,eCeCeCty tnrn

t2r2

t1r1tr

k21 rrr

tr1kk21 etCtCC

jr 2,1

tsinCtcosCe 21t

jr 2,1

tsintDtDDtcostCtCCe 1mm21

1mm21

t

cunoscând soluţia generală a ecuaţiei omogene, să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin ncuadraturi.

Sunt cazuri frecvente în aplicaţii când putem găsi prin identificare soluţia particulară, fără a folosimetoda variaţiei constantelor, metodă care pentru n2 conduce la calcule numeroase.

Menţionăm cazurile:a) Funcţia de excitaţie F(t) este un polinom )t(mP de gradul m. Soluţia particulară va fi în acest caz

tot un polinom de t, de acelaşi grad m, dacă . Luăm pentru un polinom de grad m, ,

calculăm derivatele , le introducem în ecuaţia diferenţială:

(2.44)

şi prin identificare determinăm pe .Ca exemplu, considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul II:

, (2.45)unde

, (2.46)

Deci, avem de determinat soluţia particulară a ecuaţiei:, (2.47)

Vom presupune că , ori în caz contrar, printr-o integrare ecuaţia (2.47) s-ar reduce la o

ecuaţie diferenţială liniară de ordinul I. Se căută soluţia particulară sub forma unui polinom , deacelaşi grad cu polinomul din membrul drept, adică:

, (2.48)

cu coeficienţii pentru moment nedeterminaţi. Avem:

, (2.49)şi, respectiv,

(2.50)

Înlocuind valorile (2.48), (2.49), (2.50) în (2.47) şi ordonând după puterile lui t, se obţine:

Din

identitatea astfel obţinută, rezultă:,

,, etc.

şi în continuare din aproape în aproape:

0

mm a

bc ,

,

etc.

b) Funcţia de excitaţie F(t) este de forma . Soluţia particulară va fi în acest caz tot un

polinom, de forma unde este un polinom arbitrar de ordinul m. Prin identificare se

determină coeficienţi lui .

0a 0 py tQm

)n(ppp y,...,y,y

),t(Pyayayaya m01)1n(

1n)n(

n

tQm

)t(Pyayaya m012

0b,btbtbtb)t(P m011m

1mm

mm

01m

1mm

m012 btbtbyayaya

0a 0 tQm

02m

2m1m

1mm

mp ctctctcy

01mm c,...,c,c

13m

2m2m

1m1m

mp ctc)2m(tc)1m(tcmy

,c

tc)3m)(2m(tc)2m)(1m(tc)1m(my

2

4m2m

3m1m

2mmp

0

2m2m

1m1m

mm

2mm21m12m0

1mm11m0

mm0

btbtbtb

tca)1m(mca)1m(cat)camca(tca

mm0 bca

1mm11m0 bcamca

2mm21m12m0 bca)1m(mca)1m(ca

)camb(a1c m11m

01m

m21m12m0

2m ca)1m(mca)1m(ba1c

)t(Pe mt

)t(Qey mpt tQm

tQm

Dacă este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei caracteristice, atunci:,

c) Funcţia de excitaţie este de forma: tsin)t(mQtcos)t(mP . Soluţia particulară este deforma:

,

unde sunt polinoame arbitrare de grad m, care se determină prin identificare.În literatura de specialitate 12,18 sunt precizate şi alte forme speciale, pe care le poate lua funcţia

de excitaţie, care permit determinarea soluţiei particulare prin identificare. Cazurile prezentate mai sussatisfac pe deplin cerinţele disciplinei.

A rezultat că soluţia particulară determinată prin identificare va avea forma membrului drept, F(t), aecuaţiei diferenţiale neomogene (2.34).

Corespunzător celor două componente ale răspunsului (2.36) se definesc două regimuri defuncţionare pentru sistemele automate liniare şi netede, invariante:

- regimul permanent- regimul tranzitoriu.Un SALC este în regim permanent dacă forma de variaţie în timp a mărimii de ieşire aste identică cu

forma de variaţie în timp a funcţiei de excitaţie.Regimul permanent este caracterizat de lipsa componentei libere (tranzitorii) . Deci, regimul

permanent se stabileşte după un timp, necesar amortizării componentei libere.Regimul permanent poate avea forme diferite funcţie de expresia funcţiei de excitaţie, astfel

deosebim: Regimul staţionar, când mărimea de excitaţie şi cea de ieşire rămân invariabile în timp

(constante) 8.Dacă funcţia de excitaţie este de forma F(t)= b0 r(t) cu r(t)=1(t), atunci valoarea de regim staţionar,

notată cu ,va fi o constantă. Introducând în ecuaţia (2.34) pe derivatele se vor anula şi va rezulta:

.ct0a0b

sty

Se constată că valoarea staţionară a mărimii de ieşire depinde atât de mărimea de excitaţie cât şide parametrii sistemului prin coeficientul .

Regimul permanent sinusoidal, când mărimea de excitaţie şi cea de ieşire variază sinusoidal cuaceeaşi frecvenţă.

Regimul permanent proporţional, când cele două mărimi variază proporţional cu timpul, deci cu oviteză constantă 8.Tot astfel se pot defini diferite alte regimuri permanente ca: parabolic, hiperbolic etc.

Regimul tranzitoriu apare la trecerea SALC de la un regim permanent la altul. Deci, apare ca urmarea modificării funcţiei de excitaţie.

Regimul tranzitoriu este caracterizat atât prin existenţa componentei ytr(t) cât şi a componentei yp(t),sau numai prin existenţa regimului liber la anularea mărimii de excitaţie.

Sistemele automate liniare continue care realizează un regim permanent se numesc strict stabile.În cazul unui SALC strict stabil: .

2.1.4. Principalele performanţe în raport cu răspunsul sistemului la o variaţieîn treaptă unitară a mărimii de intrare şi respectiv la o variaţie în treaptăunitară a unei perturbaţii

Răspunsul unui SALC depinde de variabilele de excitaţie aplicate din exterior (referinţa şiperturbaţia). Calitatea sau performanţele SALC se apreciază în baza unor indici sintetici definiţi pentruanumite tipuri de semnale exterioare. Cel mai frecvent sunt utilizate performanţele ce caracterizeazărăspunsul indicial precum şi performanţele definite pe baza răspunsului la frecvenţă. În categoriaperformanţelor sunt incluse şi cele referitoare la stabilitate, aspect care va fi tratat ulterior.

)t(Qety mptk

tsin)t(Qtcos)t(Py mmp

)t(Q,)t(P mm

0y tr

sty sty

sty

0a

0)t(ylimsau)t(y)t(ylim trpt t

Prezentăm principalii indici de performanţă a unui SRALC (fig. 2.14.) la o variaţie în treaptăunitară a mărimii de intrare şi respectiv la o variaţie în treaptă unitară a perturbaţiei.

Fig.2.14

2.1.4.1. Principalele performanţe în raport cu răspunsul sistemului la o variaţie întreaptă unitară a mărimii de intrare

Considerăm r(t)=1(t) şi p(t)=0.A) Performanţele în regim staţionar.

Principalele mărimi caracteristice regimului staţionar sunt: valoarea de regim staţionar şieroarea staţionară .

Eroarea staţionară caracterizează precizia de funcţionare a SA în regim staţionar, care se stabileştedupă amortizarea procesului tranzitoriu provocat de variaţia mărimii de intrare, deci se calculează, teoretic,pentru t. Pentru SRA cu reacţie principală unitară, mărimea de reacţie este egală cu mărimea de ieşire,

, şi eroarea staţionară corespunzătoare răspunsului indicial reprezentat în figura 2.15 are expresia:(2.51)

unde este valoarea de regim staţionar a răspunsului. Deci eroarea staţionară reprezintă diferenţadintre valoarea staţionară a mărimii de intrare şi valoarea staţionară a mărimii de ieşire. Prin valoarestaţionară a mărimii de intrare se înţelege valoarea .

După cum se constată din figura 2.15: , şi deci . În acest caz, cânderoarea staţionară este nulă, = 0 şi SRA se numeşte astatic în raport cu referinţa 1(t). Dacă ne referim laun răspuns indicial de forma celui reprezentat în figura 2.16, rezultă :

şi deci : 0;SRA a cărui eroare staţionară nu este nulă, , se numeşte static în raport cu referinţa 1(t).

Performanţa impusă erorii staţionare a unui sistem este de forma:, (2.52)

unde este o valoare impusă erorii staţionare, maximă admisibilă, din considerente legate de buna

desfăşurare a procesului tehnologic automatizat [1].Cu cât eroarea staţionară este mai mică, adică mai aproape de valoarea nulă, cu atât calitatea

regimului staţionar este mai bună. Adesea eroarea staţionară este dată în procente faţă de valoarea staţionarăa mărimii de ieşire:

(2.53)

B. Performanţele de regim tranzitoriuPerformanţele tranzitorii ce caracterizează răspunsul indicial al unui SRA sunt [2: suprareglajul

(abaterea dinamică maximă) , durata regimului tranzitoriu (timpul de răspuns) tr , gradul de amortizare ,timpul de creştere tc, timpul de întârziere tî, numărul de oscilaţii N ale procesului tranzitoriu Esenţiale pentruaprecierea calităţii răspunsului indicial sunt primele trei performanţe tranzitorii, ultimele două permiţândaprecierea vitezei de răspuns a sistemului [2.

Suprareglajul Suprareglajul reprezintă diferenţa dintre valoarea maximă a mărimii de ieşire ymax şi valoarea

acesteia de regim staţionar (fig. 2.15):

sty

st

yy r

stst yr

sty st

0t)t(r

1ryst 0y1 stst

st

,1ry st st0st

impstst

impst

[%];100sty

stystr

st

sty

= ymax – yst , (2.54)

Fig. 2.15Deci suprareglajul reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire y a valorii de regim

staţionar yst. Se obişnuieşte ca suprareglajul să se raporteze la valoarea staţionară a mărimii de ieşire şi seexprimă în procente, astfel:

% , (2.55)

Fig. 2.16

Performanţa impusă suprareglajului are aspectul unei condiţii limitative (exprimată în procente) deforma:

imp , (2.56)unde imp este valoarea impusă, maximă admisibilă pentru suprareglaj, depinzând de tipul IT şi deprocesului care se desfăşoară în această instalaţie. Valorile mari ale suprareglajului conduc la suprasolicităriale instalaţiei, a materialelor care intervin în procesul tehnologic, determinând uzuri inadmisibile.

În practică, de regulă, imp = (10...15)%. În anumite cazuri răspunsul SRA poate fi aperiodic (fig.2.17), rezultând deci = 0.

Durata regimului tranzitoriu (timpul de răspuns) tr : este timpul măsurat din momentul aplicăriisemnalului treaptă unitară şi până în momentul în care valoarea absolută a diferenţei dintre mărimea de ieşireşi valoarea ei de regim staţionar devine mai mică şi se menţine sub o anumită limită , numită plajă dereglare[11, deci:

(2.57)

unde pentru se adoptă: =0,05 yst sau =0,02 yst.În figura 2.15, s-a adoptat valoarea =0,05. Se

100y

yy

st

stmax

;tt,yy rst

constată că, în limitele adoptate, răspunsul y(t) poate avea oscilaţii faţă de valoarea staţionară, fără a depăşiînsă plaja de reglare. Timpul de răspuns tr este principalul indice de calitate ce caracterizează rapiditatearăspunsului SA. Pentru tr se impune operformanţă de forma: Fig.2.17

imprr tt , (2.58)Gradul de amortizare se defineşte astfel (fig.2.15):

, (2.59)

în care s-a ţinut cont de faptul că 1= (suprareglajul). Din figura 2.15, rezultă că gradul de amortizareexprimă raportul între două „pulsuri” de acelaşi semn ale regimului tranzitoriu 1.

În practică, gradul de amortizare se exprimă în procente:

(2.60)

Cu cât este mai mare, deci mai apropiat de unitate, cu atât amortizarea oscilaţiilor este mai rapidă,deci calitatea reglării este mai bună. Pentru gradul de amortizare se impune o performanţă de forma (deregulă în procente):

(2.61)

Timpul de creştere 2, reprezintă timpul necesar evoluţiei răspunsului în domeniul;

Timpul de întârziere 2, este timpul necesar pentru ca răspunsul să atingă valoarea 0,5yst; Numărul de oscilaţii N ale procesului tranzitoriu. Acest număr nu trebuie să depăşească 3-4

oscilaţii în decursul tipului de răspuns al SA. Pentru unele sisteme de stabilizare şi urmărire, utilizate la nave,această condiţie este ceva mai restrictivă: 1-2 oscilaţii.

Pe baza acestor indici de performanţă se apreciază precizia, viteza de răspuns şi gradul de stabilitateal SRA. Precizia, care se referă la performanţele regimului staţionar, se apreciază prin eroarea staţionară strespectiv st %, viteza de răspuns se apreciază prin durata regimului tranzitoriu tr si timpul de creştere tc,gradul de stabilitate prin suprareglarea % şi gradul de amortizare 17. Dacă referinţa este o excitaţietreaptă, performanţele se stabilesc în mod analog cu cele prezentate.

2.1.4.2. Principalele performanţe în raport cu răspunsul la o variaţie în treaptă unitară aunei perturbaţii

Adoptăm schema de structură a SRA redată în figura 2.14 şi considerăm că până în momentul t=0,când se aplică perturbaţia treaptă unitară p(t)=1(t), sistemul se află în regim staţionar, valoarea de regimstaţionar a mărimii de ieşire, pentru t 0, fiind ysto=ct. Mărimea de referinţă, în situaţia analizată, este otreaptă oarecare supraunitară r(t)=C1(t ) şi C1.

O formă posibilă a răspunsului y(t), determinat de acţiunea perturbaţiei p(t)=1(t), este prezentată înfigura 2.18. Întru-un astfel de caz, ysto = yst , unde yst este valoarea de regim staţionar a răspunsului realizatde SRA în condiţiile acţiunii perturbaţiei p(t)=1(t). Corespunzător, eroarea staţionară este nulă, st = ysto – yst= 0, deci SRA aste astatic în raport cu perturbaţia treaptă unitară (menţionăm că perturbaţia poate fi şi otreaptă cu un nivel oarecare). Dacă răspunsul y(t) are aspectul redat în figura 2.19, eroarea staţionară estediferită de zero: st = ysto – yst 0;

3

1

31 1

;%1003

,1unde,imp

Ct

sty)9,01,0(

ît

Fig.2.18.

Un astfel de răspuns corespunde unui SRA static în raport cu perturbaţia considerată. Pentruperformanţa staţionară st datorată acţiunii unei perturbaţii treaptă unitară (sau treaptă) se impune o condiţiede forma:

st st imp, (2.62)Performanţele tranzitorii cele mai importante sunt: abaterea maximă şi durata regimului tranzitoriu

tr 1. Abaterea maximă (fig. 2.18 şi 2.19) reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire y(t)t 0a valorii de regim staţionar yst. Din considerente analoage cu cele menţionate pentru suprareglajul , abateriimaxime (exprimată în procente) i se impune o condiţie de forma:

imp , (2.63)unde imp este valoarea impusă, maximă admisă.

Fig.2.19Durata regimului tranzitoriu tr (fig. 2.18.) se defineşte ca şi în cazul răspunsului sistemului la o

variaţie în treaptă unitară (sau treaptă) a mărimii de intrare, fiind impusă o performanţă de forma (2.58). Dincele prezentate a rezultat faptul că performanţele SRA la o variaţia treaptă a perturbaţiei se definesc în modanalog ca şi în cazul performanţelor sistemului la o variaţie treaptă a referinţei.2.1.4.3. Statica sistemelor de reglare automată

Pentru regimul staţionar este foarte importantă caracteristica statică în raport cu perturbaţia(dependenţa mărimii de ieşire, în regim staţionar, în funcţie de perturbaţie).

Considerăm un sistem de stabilizare cu schema de structură prezentată în figura 2.20. Se consideră căasupra IT acţionează perturbaţiile aditive . Mărimea de ieşire ,în regim staţionar,poate fi o funcţie de una sau mai multe perturbaţii:

, (2.64)

qk21 p,...,p,...,p,p sty

qk21st p,...,p,...,p,pfy

Fig. 2.20

Dacă yst este dependentă de perturbaţia de rang k, rezultă că:

, (2.65)

unde se numeşte statism sau grad de statism.Răspunsul SRA, în regim staţionar, poate fi dependent de unele perturbaţii şi independent în raport

cu alte perturbaţii. Deci sistemul automat poate fi static (s0) în funcţie de anumite perturbaţii şi astatic (s=0)faţă de celelalte perturbaţii. În practică, prezintă interes caracteristica statică liniarizată pe domeniul maximde variaţie a perturbaţiei p0,pmax, numit domeniul de proporţionalitate al sistemului 17.

În cazul SRA din electroenergetică se poate considera o singură mărime perturbatoare ca fiinddominantă, de exemplu:

sarcina activă în cazul reglării turaţiei motoarelor Diesel din cadrul grupurilor electrogene decurent alternativ;

sarcina reactivă în cazul reglării tensiunii generatoarelor sincrone.Pentru SRA cu aplicaţii în electroenergetică se admite, cu aproximaţie, că eroarea staţionară este

proporţională cu perturbaţia:, (2.66)

iar;

şi atuncispyy st0st , (2.67)

unde y0 este valoarea mărimii de ieşire la funcţionarea în gol (când perturbaţia este considerată, în caz ideal,ca fiind nulă). Relaţia (2.67) se numeşte lege de reglare în regim staţionar.

Funcţie de efectul perturbaţiei asupra mărimii de ieşire, în regim staţionar, deosebim: SRA cu statism pozitiv: s0, (caracteristica statică 1 din fig. 2.21); SRA astatice: s=0, (caracteristica statică 2 din fig. 2.21); SRA cu statism negativ: s0, (caracteristica statică 3 din fig. 2.21).

În figura 2.21 sunt prezentate caracteristicile statice liniarizate corespunzătoare celor trei cazurimenţionate mai sus.

În figura 2.21 se evidenţiază şi faptul că statismul reprezintă panta caracteristicii statice:

spε

pyy

pΔy

CDBCtgα

A

B

A

B0

A

ststst

, (2.68)

Privind gradul de statism deosebim: statismul propriu (sau natural) son : este statismul ce caracterizează procesul, deci statismul

înaintea introducerii echipamentului de automatizare; statismul artificial s: este statismul rezultat în urma introducerii automatizării.Statismul poate fi exprimat şi în unităţi relative. Dacă împărţim relaţia (2.67) la y0 se obţine:

, (2.69)

sau

0spy

kk

st

ks

spyr stst

0yr

ps1pp

yp

s1yy

n0

n

0

st

Fig. 2.21

unde este valoarea nominală a mărimii perturbatoare, reprezintă perturbaţia exprimată în

unităţi relative, iar este statismul relativ care poate fi redat şi în procente .

Rolul SRA este de a reduce gradul de statism de la valoarea statismului propriu (natural) la zero, încazul reglării astatice, sau la o valoare acceptabilă în cazul reglării statice, de regulă s = (38)%.Pentru majoritatea proceselor şi SRA statismul este pozitiv, dar se întâlnesc, mai rar, şi cazuri încare s0.

2.2. FOLOSIREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE PENTRU ANALIZA S.R.A.2.2.1. Modele matematice liniarizateÎn marea lor majoritate procesele supuse automatizării (sau partea fixată a sistemelor) sunt descrisede ecuaţii diferenţiale neliniare. Pentru simplificarea analizei, ecuaţia neliniară se înlocuieşte, dacăaceasta este posibil, cu o ecuaţie diferenţială liniară, a cărei soluţie să descrie cu o bună aproximaţieprocesul.Procedura de înlocuire a ecuaţiei diferenţiale neliniare cu una liniară, echivalentă cu cea neliniară înanumite condiţii, se numeşte liniarizare. Baza formală a liniarizării o constituie cunoscuta teoremă alui Cauchy privind descompunerea funcţiei analitice continue în serie Taylor în vecinătatea unuipunct oarecare pentru variaţii mici ale variabilelor independente şi renunţarea la termenii dezvoltăriide ordin superior n 2.

În cazul proceselor fizice, dezvoltarea în serie Taylor se face în vecinătatea unui punct staticde funcţionare, pentru abateri mici ale variabilelor independente în raport cu coordonatele punctuluistatic considerat.

Pentru exemplificare considerăm un motor de curent continuu cu excitaţie independentăcomandat pe indus care acţionează un mecanism de lucru oarecare având o caracteristică staticăneliniară. În figura 2.22 se prezintă caracteristica neliniară a cuplului static rezistent Mr() amecanismului de lucru acţionat ( care reprezintă instalaţia tehnologică) şi caracteristicile mecaniceale motorului de curent continuu cu excitaţie independentă comandat pe indus M(u,). S-a notat cuu tensiunea aplicată indusului motorului şi cu viteza unghiulară la arborele motorului electric.

În figura 2.22, punctul P(u0,0) este un punct static de funcţionare determinat de intersecţiacaracteristicii cuplului static rezistent Mr cu caracteristica mecanică M a motorului de curentcontinuu cu excitaţie independentă având tensiunea aplicată indusului egală cu u0=ct.Ecuaţia fundamentală a mişcării ansamblului motor electric - mecanism de lucru este de forma:

, (2.70)

ps1y st

npnp

pp

0

n

yp

ss 100yp

s%s0

n

rMMdtdJ

unde kgm2 este momentul de inerţie raportat la arborele motorului electric, iars -1 este viteza unghiulară la arborele motorului electric.

Fig. 2.22.

Deoarece cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul electric M şi cuplul static rezistent Mrsunt funcţii neliniare de argumentele respective, ecuaţia (2.70) este neliniară şi se dezvoltă în serieTaylor în vecinătatea punctului static de funcţionare P caracterizat de valorile u0 şi 0, a cărorvariaţii mici le notăm cu u şi respectiv .

Atunci:

(2.71)

(2.72)

Renunţând la termenii care conţin variaţiile u, la puteri mai mari decât unu şiintroducând termenii care rămân din dezvoltările (2.71) şi (2.72), în ecuaţia (2.70), obţinem:

, (2.73)

s-a avut în vedere că şi deci :

(2.74)

Introducând notaţiile:

krF

u/M;T

rFJ

;rFMrM

, (2.75)

ecuaţia (2.73) poate fi scrisă sub forma:

; (2.76)

Ecuaţia (2.76) reprezintă ecuaţia diferenţială liniarizată a motorului de curent continuu cuexcitaţie independentă comandat pe indus care acţionează un mecanismul de lucru a cărui momentde inerţie şi viteză unghiulară sunt raportate la arborele motorului. Ecuaţia (2.76) descrie regimultranzitoriu de trecere dintr-un regim permanent (u0,0) într-un alt regim permanent apropriat

J

0

M),u(M),uu(M),u(M 000

2

0uu

uuMM

!21u

uM

0

r0rr

M)(M)(M

uuMMM

dtdJ r

0

.ct;td

dtd

dtd

d0

0

uktd

dT

caracterizat prin parametrii . Constanta Fr se numeşte coeficient de autoreglare.Prin autoreglare se înţelege capacitatea I.T. ( sau părţii fixate ) ca sub acţiunea perturbaţiei să treacădintr-o stare permanentă în altă stare permanentă apropiată fără intervenţia regulatorului automat.

Deoarece 0M,0M r

rezultă că Fr>0 şi ca urmare I.T. este cu autoreglare. Dacă Fr

0, atunci apar coeficienţi negativi în ecuaţia diferenţială şi corespunzător, subsistemul analizat va fiinstabil. În ecuaţia (2.76), T(secunde) reprezintă constanta de timp, iar k este coeficientul de transfer(amplificare).

În regim staţionar:

, (2.77)

Coeficientul de transfer k se determină în regim staţionar de funcţionare şi reprezintăraportul dintre valoarea de regim staţionar a variaţiei mărimii de ieşire şi cea a mărimii de intrare.Eroarea pe care o introduce aproximarea liniarăeste dată de restul dezvoltării în serie Taylor.

Trebuie menţionat faptul că acelaşi proces (sau parte fixată) supus automatizării poate fidescris de ecuaţii diferenţiale diferite. Forma ecuaţiei diferenţiale depinde, în principal, de treiaspecte: dacă este posibilă liniarizarea, de mărimile adoptate ca mărime de intrare şi respectiv deieşire şi în ce măsură sunt considerate mărimile intermediare din proces în exprimarea dependenţeidintre mărimea de ieşire şi cea de intrare.

2.2.2. Răspunsul unui element de întârziere de ordinul I la o mărime de intraretreaptăElementele de întârziere de ordinul I (EÎO1) sunt descrise de ecuaţii diferenţile de forma:

(2.78)

în care r(t) = 1(t).Considerăm condiţia iniţială nulă:

(2.79)

Ecuaţia (2.78) se aduce la o formă prin care să se evidenţieze constanta de timp a EÎO1 şicoeficientul de transfer (de amplificare). Pentru aceasta se împarte (2.78) cu a0 şi se obţine:

(2.80)

în care:

0

1

aaT este constanta de timp a EÎO1,

oabo

k este coeficientul de transfer (amplificare).

A determina răspunsul elementului, soluţie a ecuaţiei (2.80), înseamnă a găsi expresia mărimii deieşire y(t) de la t = 0, când se aplică semnalul de intrare şi până lat = , când teoretic se încheie regimul tranzitoriu şi elementul se află în regim staţionar.

După cum s-a specificat, soluţia generală a ecuaţiei (2.80) are două componente (doitermeni):

(2.81)Componenta tranzitorie (sau liberă) a răspunsului este soluţia ecuaţiei omogene aferentă

ecuaţiei (2.80):

0)t(ydt

)t(dyT tr

tr . (2.82)

),uu( 00

ukşi0t

,0t,)t(rb)t(yadt

)t(yda 001

,0)t(y)0(y 0t

,0t),t(1k)t(ytd

)t(ydT

,0t,y)t(y)t(y sttr

Notând pdt/)(d ecuaţia caracteristică este şi corespunzător rădăcina acesteia esteT/1p . A rezultat:

0t,eCeC)t(y Tt

pttr

, (2.83)

în care C reprezintă constanta de integrare care se determină având în vedere condiţia iniţială (2.79).În cazul analizat mărimea de intrare fiind o constantă, pentru t 0, componenta de regim

staţionar (forţat) impusă de mărimea de intrare este de asemenea constantă, deci yst = ct.Introducând yst în (2.80) şi ţinând cont de faptul că derivata unei constante este zero, iar 1(t)t 0 =1,se obţine valoarea de regim staţionar a răspunsului:

(2.84)Deci, conform cu (2.81), a rezultat că expresia răspunsului EÎO1 la o mărime de intrare

treaptă este de forma:

(2.85)Se determină constanta de integrare din condiţia iniţială:

(2.86)

şi corespunzător răspunsul EÎO1 este descris de expresia:

(2.87)

În figura 2.23 se reprezintă răspunsul EÎO1 la un semnal de intrare treaptă. Răspunsulelementului fiind aperiodic stabil (componenta tranzitorie se amortizează în timp) suprareglajul =0.Elementele descrise de ecuaţia (2.80) se mai numesc elemente aperiodice de ordinul 1 şi se mainotează cu T1.

Din figura 2.23 rezultă că , ceea ce justifică condiţia iniţială (2.79) şi de asemenearelaţia:

, (2.88)

din care rezultă că se poate stabili valoarea constantei de timp T, cu ajutorul curbei de răspunsridicară experimental, ducând tangenta în origine la curba răspunsului.

Fig. 2.23

Constanta de timp T se poate determina şi din condiţia t=T, care se obţine din (2.87):

,01Tp

,0t,kyst

,0t,keC)t(y Tt

,kC;0kC)0(y

),t(1e1k)t(y T

t

0)0(y

tgTk

dt)t(dy

0t

, (2.89)

unde .Deci timpul în care răspunsul sistemului, la semnal de intrare treaptă, devine gal cu 0,632k

reprezintă constanta de timp T.Teoretic, regimul tranzitoriu se încheie la infinit. Practic, însă timpul tranzitoriu este tr = 3T,

când valoarea mărimii de ieşire atinge valoarea de 95% din valoarea staţionară a răspunsului, sau tr= 4T, când valoarea mărimii de ieşire atinge valoarea de 98% din valoarea staţionară. Din (2.80) seconstată că eroarea staţionară este nulă dacă k=1, deci dacă a0=b0.

2.2.3. Răspunsul indicial şi performanţele unui sistem liniar continuuinvariant de ordinul doiUn sistem liniar continuu invariant de ordinul doi este descris de ecuaţia:

, (2.90)

în care coeficienţii sunt constanţi şi depind de parametrii sistemului.Totdeauna prezintă interes influenţa parametrilor sistemului asupra performanţelor, deci influenţacoeficienţilor asupra răspunsului. Pentru că în ecuaţia (2.90) intervin trei coeficienţi, se preferă caaceasta să fie scrisă sub o formă în care să intervină numai doi parametrii (coeficienţi) numiţiparametri caracteristici ai sistemului de ordinul doi.

Parametri caracteristici ai sistemului sunt: factorul de amortizare al sistemului notat cu ; pulsaţia naturală a sistemului neamortizat notată cu .

Din ecuaţia (2.90), după împărţirea cu , se obţine:

, (2.91)

şi în continuare ecuaţia (2.91) se pune sub următoarea formă, în care intervin numai cei doiparametrii caracteristici , :

, (2.92)

În ecuaţia (2.92) s-a notat cu coeficientul de amplificare al sistemului.Din ecuaţiile (2.91) şi (2.92) prin identificare obţinem:

(2.93)

Coeficientul de amplificare al sistemului, după cum rezultă din (2.93), depinde de parametriisistemului prin coeficientul .

Deoarece , se constată că 0.Pentru exemplificare, vom considera un circuit electric liniar de ordinul doi, RLC serie, cu

parametrii concentraţi, prezentat în figura 2.24.Ne propunem să exprimăm ecuaţia de funcţionare a circuitului sub forma (2.90) şi corespunzător sub

forma ecuaţiei (2.92), considerând că ieşirea circuitului este în gol, iar condiţiile iniţiale sunt nule.Circuitul prezentat în figura 2.24 are la bornele de alimentare o tensiune continuă

U = ct. La închiderea bruscă a întrerupătorului, la momentul t=0, se aplică circuitului o tensiune subformă de treaptă )t(1U)t(iu , care reprezintă mărimea de intrare, iar mărimea de ieşire notată cu

este tensiune de la bornele condensatorului .

k632,0e1k)T(y 1

368,0e 1

)t(rb)t(yadt

)t(dyadt

)t(yda 0012

2

2

012 a,a,a

n

2a

)t(rab

)t(yaa

dt)t(dy

aa

dt)t(yd

2

0

2

0

2

12

2

n

)t(r)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd 2n

2nn2

2

;aa2

a;

ab

;aa

ab

ab

;aa20

1

0

02n

2

0

0

0

2

020n

0a0a,0a,0a 210

tu e tutu Ce

Fig. 2.24.

Ecuaţia de funcţionare a circuitului, pentru t 0 este:, (2.94)

Intensitatea curentului electric se exprimă prin relaţia:

, (2.95)

iar căderile de tensiune pe rezistenţă şi inductivitate, cu luarea în considerare a relaţiei (2.95), pot fiscrise astfel:

, (2.96)

Ecuaţia (2.94), cu luarea în considerare a relaţiilor (2.96), devine:

, (2.97)

Conform notaţiilor folosite în ecuaţia (2.90), pentru ecuaţia de funcţionare a circuituluielectric în regim tranzitoriu (2.97),se stabilesc expresiile coeficienţilor:

, (2.98)şi corespunzător parametri caracteristici ai circuitului electric care simulează sistemul de ordinul 2,conform cu (2.93), sunt:

, (2.99)

iar coeficientul .Determinăm răspunsul indicial al sistemului descris de ecuaţia diferenţială cu coeficienţi

constanţi (2.92), deci )t(1)t(r , adoptând condiţiile iniţiale nule: 0)0(y0y . (2.100)

Răspunsul sistemului are două componente:, (2.101)

Componenta de regim staţionar, care se stabileşte după anularea componentei tranzitorii, este:, (2.102)

iar eroarea staţionară pentru semnalul de intrare treaptă unitară va fi:, (2.103)

Pentru a obţine eroarea staţionară nulă este necesar ca valoarea coeficientului de amplificaresă fie egală cu unitatea:

1k , (2.104)

într-un astfel de caz componenta staţionară a răspunsului fiind egală cu unitatea.Adoptând condiţia (2.104) sistemul analizat este astatic în raport cu mărimea de intrare.Cu luarea în considerare a condiţie (2.104) ecuaţia (2.92) devine:

tututu)t(u iCLR

dt

tduCti e

2

e2

Le

R dt)t(ud

LCdt

tdiL)t(u,dt

tduRCtRitu

0t,)t(1Utudt

tduRC

dttud

LC ee

2e

2

Ub,1a,RCa,LCa 0012

LC

2R,

LC1

n

Uk

tytyty sttr

kyst

k1y)t(r st0tst

, (2.105)

În continuare, determinăm răspunsul indicial al sistemului descris de ecuaţia (2.105).După cum s-a menţionat, corespunzător condiţiei (2.104), componenta staţionară a răspunsului este:

, (2.106)Pentru determinarea componentei tranzitorii se scrie ecuaţia caracteristică aferentă

ecuaţiei diferenţiale (2.105), care adoptând notaţia , este de forma:, (2.107)

rădăcinile acesteia fiind:

, (2.108)Pentru componenta tranzitorie a răspunsului a rezultat o expresie de forma:

, (2.109)şi corespunzător răspunsul sistemului va fi de forma:

, (2.110)în care constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale.

Corespunzător cu (2.100) şi având în vedere expresia răspunsului (2.110) se obţine sistemulformat din două ecuaţii, în care necunoscutele sunt constantele de integrare:

rezultând:

, (2.111)

, (2.112)

Introducând relaţiile (2.111) şi (2.112) în (2.110) obţinem următoarea expresie pentrurăspunsul indicial al sistemului:

0t,epp

pepp

p1)t(y t2

12

1t1

12

2 pp

. (2.113)

Din (2.113) rezultă că forma de variaţie în timp a răspunsului depinde de natura rădăcinilorecuaţiei caracteristice, care la rândul lor depind de parametrii sistemului.

Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţie caracteristice, deci de valorile pe care le poate lua , sedisting următoarele forme de variaţie în timp ale răspunsului indicial:

Răspuns oscilant neamortizat.În acest caz şi corespunzător din (2.108) se obţin două rădăcini imaginare

p1 = jn, p2= - jn.Expresia răspunsului indicial se obţine introducând rădăcinile p1 şi p2 în (2.113):

,

t1)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd 2n

2nn2

2

1yst )t(y tr

dtdp 0p2p 2

nn2

2nn2,1 1jp

0t;eCeC)t(y tp2

tp1tr

21

0t;eCeC1)t(yy)t(y tp2

tp1trst

21

0CpCp)0(y0CC1)0(y

2211

21

12

2

21

21 pp

p

pp11p011

C

12

1

21

12 pp

p

pp11

0p11

C

2ee1e

j2j

ej2

j1)t(y

tn

jtn

jt

2pt

1p

n

n

n

n

cum tsinjtcose nntnj ,

rezultă:tncos1)t(y , (2.114) în care

pulsaţia naturală a sistemului neamortizat n are expresia:

, (2.115)

unde Tn este perioada oscilaţiilor neamortizate.

Fig. 2.25 Fig. 2.26În figura 2.25 s-au reprezentat cele două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice în planul

complex, pe care îl vom numi planul rădăcinilor, iar în figura 2.26 răspunsul indicial calculat curelaţia (2.114) în care s-a adoptat pentru perioada oscilaţiilor neamortizate valoarea Tn = 1 secundă.

Sistemul pentru =0 se află la limită de stabilitate, mărimea de ieşire h(t) reprezintă o oscilaţieneamortizată (amplitudinea este constantă), deci în sistem nu se realizează un regim staţionar. Rădăcinileecuaţiei caracteristice sunt localizate pe axa imaginară a planului complex al rădăcinilor ( care se mainumeşte axa limitei de stabilitate).

Răspuns oscilant amortizat.În cazul răspunsului oscilant amortizat 0 1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice

sunt complexe conjugate cu partea reală negativă:

, (2.116)

, (2.117)şi au acelaşi modul:

, (2.118)iar

, (2.119)Introducând (2.116), (2.117) şi (2.119) în (2.113) se obţine:

nnn T

12f2

2nn1 1jp

2nn2 1jp

n22

n2

n21 1pp

2n12 1j2pp

t21n

jtn ee

1j2

1j1)t(y

2n

2nn

t21n

jtn ee

1j2

1j2

n

2nn

t21n

jt21n

jt

nee

j21e1

2

, t , (2.120)

Reprezentăm rădăcinile ecuaţiei caracteristice în planul complex pentru diverse valori ale lui .

(figura 2.27).Fig.2.27.

Pentru simplificarea expresiei răspunsului sistemului, pentru , se introduce, camărime ce caracterizează poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex, unghiul ,aşa cum se arată în figura 2.27.

Din figura 2.27, pentru cazul analizat , rezultă:

, (2.121)

şi

, (2.122)

respectiv

, (2.123)

Înlocuind (2.121) şi (2.122) în (2.120), expresia răspunsului oscilant amortizat devine:

, t, (2.124)

iar dacă avem în vedere (2.123) se obţine:

t21n

jt21n

jee

21 2

.t1cos1t1sin1

e1 2n

22n2

tn

n

ncos

2

n

2n 1

1sin

21

tg

t1cossint1sincos1

e1)t(y 2n

2n2

tn

t1sin1

e1 2n2

tn

, t (2.125)

Din expresia (2.125), rezultă că răspunsul sistemului la semnal de intrare treaptă unitară,pentru , are o componentă tranzitorie sinusoidală amortizată.Pulsaţia oscilaţiei sinusoidale amortizate este n

2np 1 şi se numeşte pulsaţie proprie.În

baza acesteia se poate determina perioada proprie (exprimată în secunde) a oscilaţiei sinusoidaleamortizate: pp /2T [16].

Se demonstrează faptul că răspunsul oscilant amortizat este optim pentru . În figura2.28 se reprezintă, conform relaţiei (2.125), răspunsul indicial al sistemului pentru =0.1, 0.2, 0.4,0.707 şi Tn=1 s.

În continuare sunt calculate performanţele sistemului pentru cazul răspunsului oscilantamortizat .

a) Suprareglajul şi gradul de amortizare .După cum s-a menţionat în subcapitolul 2.1.4., suprareglajul se calculează cu relaţia:

, (2.126)în care y(tm) este valoarea maximă a răspunsului indicial, iar pentru cazul analizat yst=1.Pentru determinarea momentelor de maxim şi minim ale răspunsului y(t), printre care şi tm, seanulează derivata dy(t) / dt = 0, rezultând 1:

Fig.2.28.

,

de unde conform cu (2.123):

, ceea ce conduce la relaţia din care se obţin toate

momentele de maxim şi minim ale răspunsului y(t):,

şi, în final:

, (2.127)

2

2n2

1tgarct1sin

1e1)t(y

tn

1)t(y1yyy mmaxstmax

)t1sin(e

11

dt)t(dy 2

nn2

tn

0)t1cos(e1 2n

2n

tn

tg1

)t1(tg2

2n

,...2,1,0k,kt1 k2

n

,...3,2,1,0k,1

kt2

n

k

S-a arătat că regimul tranzitoriu se poate considera încheiat atunci când mărimea de ieşire intră într-ogamă de 5% din valoarea ei staţionară (numită plajă de reglare) şi ulterior nu o mai părăseşte 1.

În cazul analizat yst = 1, deci regimul tranzitoriu se va încheia când componenta tranzitorie ytr(t) a mărimii de ieşire va intra în banda 0,05 şi nu o va mai părăsi. Acest lucru se exprimă astfel:

, (2.133)Relaţia (2.133) se mai poate scrie:

, (2.134)Conform cu (2.134) condiţia încheierii regimului tranzitoriu devine:

, (2.135)

Fig. 2.31Având în vedere faptul că valorile absolute ale sinusului sunt limitate la unitate, în mod acoperitor,condiţia (2.135) devine:

, (2.136)

În cazul egalităţii t = t r :

(2.137)

Din (2.137) se obţine:

, (2.138)respectiv:

, (2.139)

Pentru sisteme descrise de o ecuaţie diferenţială de ordinul II de forma (2.105), care cuprinde înmembrul al doilea numai mărimea de intrare, fără derivate ale acestei mărimi, numite sisteme de ordinul II,se poate stabili 1 următoarea relaţie aproximativă, acoperitoare, pentru durata regimului tranzitoriu:

, (2.140)

Această relaţie pentru diferite valori ale lui conduce la valori mai mari decât prin utilizarea relaţiei(2.139), deci valori acoperitoare.

Influenţa factorului de amortizare , care în practică are o gamă limitată de variaţie ( ),asupra duratei tr este redusă, influenţa hotărâtoare asupra duratei tr este exercitată de n.

Răspunsul aperiodic critic

rst tt,05,01)t(yy)t(y

rtr tt,05,0)t(y1)t(y

r2

n2tr tt,05,0t1sin1

e)t(yt

n

r2tt,05,0

1e

tn

,05,01

e2

rt

n

)105,0(lnt 2rn

n

2

r)105,0(ln

t

nr

4t

În acest caz =1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale, negative şi multiple:, (2.141)

În figura 2.27 se evidenţiază poziţia rădăcinilor în planul complex.Din (2.113) şi (2.141) se poate scrie:

, (2.142)

care conduce la o nedeterminare.Se aplică regula lui l’Hospital:

, (2.143)

si sub formă finală:

, (2.144)

În figura (2.32) se prezintă răspunsul aperiodic critic pentru cazul Tn=1 secundă. Răspunsul supraamortizat ( se mai numeşte aperiodic)Regimul supraamortizat corespunde valorilor şi corespunzător, rădăcinile ecuaţiei caracteristice

sunt reale negative şi distincte:

, (2.145)

Fig. 2.32

iar reprezentarea rădăcinilor în planul complex este redată în figura 2.27.Expresia răspunsului indicial va fi de forma:

0t,eCeC1)t(y t2p2

t1p1 , (2.146)

în care constantele de integrare se vor determina din condiţiile iniţiale (2.111). În figura 2.32 se redărăspunsul indicial pentru = 2 şi Tn=1 secundă.

Din figura 2.32 se constată faptul că durata regimului tranzitoriu, în cazul răspunsuluisupraamortuzat, tr2 este mare în comparaţie cu cea a răspunsul aperiodic critic tr1. Viteza de răspunsul asistemului pentru 1 este foarte lentă.

Pentru răspunsul sistemului este instabil, aspect care nu este admis în practică. Studiulsistemului de ordinul II prezintă importanţă deoarece concluziile rezultate pot fi extinse şi la analiza

n21 pp

12

12

p ppepep

mil1)t(yt

2pt

1p

1p

2

npp

1etp

t1pe1

npppp

dpd

epepdpd

1)t(y

12

t2

p

12

t2

pt1

p

1

122

122

)t(1et11)t(yt

nn

01p 2nn2,1

comportării sistemelor de ordin superior. Influenţa rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asupra răspunsuluirămâne valabilă şi în aceste cazuri.

De asemenea, se va arăta că în cazul acordării optime a regulatorului automat după varianta Kassler acriteriului modulului, pe ansamblu, va rezulta un sistem de ordinul II, aspect care impune studiul detailat alacestui sistem. Se va constata că şi în cazul sintezei sistemelor liniare continue invariante, SALC de ordinulII prezintă o importanţă deosebită .

2.3. UTILIZAREA FUNCŢIILOR DE TRANSFER PENTRU ANALIZA SISTEMELOR DEREGLARE AUTOMATĂ2.3.1. Funcţia de transfer în raport cu mărimea de intrareConsiderăm un sistem (ansamblu de elemente sau element) liniar, invariant şi continuu descris de oecuaţie diferenţială de forma:

(2.147)

în care coeficienţii ai, i=0,...,n şi bj, j=0,...,m suntreali şi constanţi, iar n şi m sunt numere reale,întregi şi pozitive.

În ecuaţia (2.147), y(t) este mărimea deieşire (răspunsul sistemului), iar r(t) este mărimeade intrare în sistem, aşa cum se specifică în figura 2.33. Fig. 2.33Condiţia de realizabilitate fizică a sistemului este n m.Considerăm că procesul de reglare porneşte din repaus, adică r(t) = 0, pentru t 0şi respectiv y(t) = 0, pentru t 0, ceea ce înseamnă că şi derivatele acestor mărimi sunt nule pentru t 0. În acest caz, condiţiile iniţiale nule se scriu explicit astfel:

, (2.148), (2.149)

Descrierea sistemelor automate liniare, invariante şi continue prin funcţii de transfer sebazează pe utilizarea transformatei Laplace.

Notăm imaginile Laplace ale mărimilor y(t) şi r(t) prin:

dtey(t)y(t)Y(s) st

0

L şi dter(t)r(t)R(s) st

0

L

Aplicăm transformata Laplace ecuaţiei (2.147) cu condiţiile iniţiale nule (2.148), (2.149) şise obţine:

, (2.150)Funcţia de transfer se defineşte ca raportul dintre transformate Laplace Y(s) a mărimii de

ieşire şi transformate Laplace R(s) a mărimii de intrare, în condiţii iniţiale nule.Notăm funcţia de transfer cu G(s) şi din (2.150) va rezulta expresia:

, (2.151)

În (2.151) polinoamele A(s), B(s) au coeficienţii reali şi de obicei sunt prime (simplificărilesunt subînţelese). Din modul cum a fost definită, se constată că funcţia de transfer este independentăde mărimea de intrare şi depinde numai de parametrii sistemului.

În expresia funcţiei de transfer (2.151), grad B(s)=m şi respectiv grad A(s)=n, şi condiţia deralizabilitate fizică a sistemului se exprimă astfel:

grad A(s) grad B(s), sau n m, (2.152)

;rbdtdrb

dtrdb

dtrdbya

dtdya

dtyda

dtyda

01

1

1

1011n

1n

1nn

n

n m

m

mm

m

m

0)0(y)0(y)0(y)0(y )1n(

0)0(r)0(r)0(r)0(r )1m(

)s(R)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011m

1mm

m011n

1nn

n

)s(A)s(B

asasasabsbsbsb

)s(R)s(Y)s(G

011n

1nn

n

011m

1mm

mdef

După cum rezultă din (2.151), funcţia de transfer reprezintă un model matematic de tipulintrare – ieşire, având proprietatea de a transfera acţiunea mărimii de intrare R(s) asupra mărimii deieşire Y(s):

Y(s)=G(s)R(s), (2.153)Reprezentarea relaţiei liniare (2.153) este

dată în figura 2.34.A rezultat că având cunoscută funcţia de

transfer G(s) se poate calcula direct mărimea deieşirepentru orice mărime de intrare impusă:

(2.154) Fig.2.34Din (2.153) mai reiese şi proprietatea de superpoziţie a efectelor, valabilă numai în cazul

sistemelor liniare. Aceasta înseamnă că ieşirea Y(s) corespunzătoare intrării R1(s)+R2(s) este:Y(s)=G(s)R1(s)+R2(s)=G(s)R1(s)+G(s)R2(s), (2.155)Comparând (2.147) cu (2.151), se constată că polinomul A(s) de la numitorul funcţiei de

transfer este polinomul caracteristic aferent ecuaţiei diferenţiale (2.147) şi corespunzător ecuaţiaA(s)=0 reprezintă ecuaţia caracteristică; această regulă este generală 1. Rădăcinile numărătoruluifuncţiei de transfer G(s), deci ale ecuaţiei B(s)=0, notate cu z1, z2, ..., zm sunt zerourile finite alefuncţiei G(s), iar rădăcinile ecuaţiei A(s)=0 notate cu p1, p2,...,pn sunt polii finiţi ai funcţiei G(s).

Funcţia de transfer G(s) se poate exprima cu ajutorul polilor pi, i=1...n şi a zerourilor zj ,j=1...m, astfel:

)ps()ps()ps(a)zs()zs()zs(b)s(G

n21n

m21m

, (2.156)

Atât zerourile zj, cât şi polii pi pot să fie mărimi reale pozitive sau negative ori mărimicomplexe conjugate (cu partea reală pozitivă, negativă sau nulă). Reprezentarea funcţiei de transferG(s) în planul complex s, al rădăcinilor, prin polii şi zerourile ei constituie un mod de a pune înevidenţă proprietăţile dinamice ale sistemului (ansamblului de elemente sau elementului) din punctde vedere al tranziţiilor intrare-ieşire.

Păstrând notaţiile de mai sus pentru mărimea de intrare şi respectiv ieşire, prezentăm, încontinuare, ecuaţiile diferenţiale şi funcţiile de transfer pentru elementele frecvent întâlnite înautomatică (aşa numitele elemente tipice) 1:

Elementul proporţional (P):, (2.157a)

respectiv cu condiţii iniţiale nule:

, (2.157b)

unde kP este o constantă. Elementul derivativ (D):

, (2.158a)

respectiv cu condiţii iniţiale nule:

, (2.158b)

unde kd este un coeficient de proporţionalitate. Elementul de integrare (I):

, (2.159a)respectiv cu condiţii iniţiale nule:

)s(R)s(G)t(y1

L

)t(rk)t(y P

Pk)s(R)s(Y)s(G

dt)t(drk)t(y d

sk)s(R)s(Y)s(G d

dt)t(rk)t(y I

, (2.159b)

unde este constanta de timp integratoare. Elementul de întârziere de ordinul I (EÎO1):

, (2.160a)

respectiv cu condiţii iniţiale nule:

, (2.160b)

unde k este coeficientul de transfer, iar T este constanta de timp a elementului. Elementul de întârziere de ordinul II( denumit şi element oscilant):

, cu ,, (2.161a)

respectiv cu condiţii iniţiale nule:

, (2.161b)

Elementul de anticipare de ordinul I sau elementul proporţional–derivativ (PD):

, (2.162a)

Se constată că elementul PD are mărimea de ieşire y(t) formată din două componente: unaproporţională cu mărimea de intrare r(t), iar cealaltă proporţională cu derivata mărimii de intrare.

În relaţia (2.161a), kP este factorul de proporţionalitate, iar Td este constanta de timp acomponentei derivative.

Cu condiţii iniţiale nule din (2.162a) rezultă:

, (2.162b)

Elementul de anticipare de ordinul II sau elementul PDD2:

, (2.163a)

unde Td1 şi Td2 sunt constantele de timp ale componentelor derivative.Mărimea de ieşire are trei componente: una proporţională cu mărimea de intrare r(t), a doua

proporţională cu prima derivată a mărimii de intrare şi a treia proporţională cu a doua derivată amărimii de intrare.

Aplicând transformata Laplace cu condiţii iniţiale nule, din (2.163a) se obţine funcţia detransfer a elementului PDD2:

, (2.163b)

Elementul proporţional – integrator sau elementul PI:

, (2.164a)

respectiv cu condiţii iniţiale nule:

, (2.164b)

unde kP este un factor de proporţionalitate, iar Ti este constanta de timp a componentei integratoare.

isT1

sk

)s(R)s(Y)s(G I

Ii k1T

)t(kr)t(ydt

)t(dyT

1Tsk

)s(R)s(Y)s(G

)t(rk)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd 2n

2nn2

2

2nn

2

2n

s2sk

)s(R)s(Y)s(G

dt)t(drT)t(rk)t(y dP

dsT1k)s(R)s(Y)s(G P

2

222d1dP

dt

)t(rdTdt)t(drT)t(rk)t(y

)1sTsT(k)s(R)s(Y)s(G 1d

22dP

2

dt)t(r

T1)t(rk)t(yi

P

sT1sT

k)sT

11(k)s(R)s(Y)s(G

i

i

iPP

Conform relaţiilor (2.164a), (2.164b) elementul PI are două componente: una proporţionalăcu mărimea de intrare r(t), iar a doua proporţională cu integrala în timp a mărimii de intrare.

Elementul proporţional – integral – derivativ, sau elementul PID are trei componente alemărimii de ieşire y(t): una proporţională cu mărimea de intrare r(t), a doua proporţională cuintegrala în timp a mărimii de intrare, iar a treia proporţională cu prima derivată a mărimii de intrare1:

, (2.165)

În condiţii iniţiale nule, din (2.164) se obţine:

, (2.166)

deci:

, (2.167)

Din (2.167) rezultă că funcţia de transfer a elementului PID nu este realizabilă fizic deoarecepolinomului de la numărătorul funcţiei de transfer este de gradul doi, iar polinomul de la numitorul funcţieide transfer este de gradul unu, deci nu se respectă condiţia (2.152).

Elementul cu timp mort care se mai numeşte element cu întârziere constantă sau întârziere detransport 1: se caracterizează prin faptul că mărimea de ieşire y(t) reproduce fidel variaţiile mărimii deintrare r(t), însă cu o întârziere constantă, deci are loc egalitatea:

y(t) = r(t - ), (2.168)respectiv, aplicând transformata Laplace:

,rezultând:

, (2.169)

2.3.2. Răspunsul indicialRăspunsul sistemului (elementului) determinat de mărimea de intrare treaptă unitară, în condiţiiiniţiale nule, se numeşte răspuns indicial. Notăm răspunsul indicial cu h(t).Consideram un sistem de reglare automată a cărui funcţie de transfer este Ho(s), definită astfel:

, (2.170)

şi corespunzător, imaginea Laplace a răspunsului este:, (2.171)

Utilizând transformata Laplace inversă ( integrala Mellin - Fourier), răspunsul ,în timp asistemului, y(t) va fi:

, (2.172)

Mărimea de intrare fiind o treaptă unitară s/11(t)L)s(R şi din (2.172) rezultă că expresiarăspunsului indicial va fi de forma:

, (2.173)

Se poate stabili o legătură între răspunsul sistemului y(t) determinat de o mărime de intrareoarecare şi răspunsul indicial.

Fie, r(t) o mărime de intrare oarecare şi corespunzător )t(rL)s(R . Imaginea Laplace arăspunsului, deci relaţia (2.171), poate fi exprimată în felul următor:

dt

)t(drTdt)t(rT1)t(rk)t(y d

iP

)s(RsTks

)s(RT1k)s(Rk)s(Y dP

iPP

sT1sTsTT

k)sTsT

11(k)s(R)s(Y)s(G

i

idiPd

iP

2

se)s(R)s(Y

se)s(R)s(Y)s(G

)s(R)s(Y)s(H 0

)s(H)s(R)s(Y 0

dse)s(H)s(Rj2

1)s(Y)t(y stjc

jc0

1-L

dses

)s(Hj2

1)t(hjc

jc

st0

, (2.174)

Dacă se are în vedere faptul că , este răspunsulindicial, iar r(0) este valoarea mărimii de intrare la momentul t=0, utilizând produsul de convoluţiese obţine:

, (2.175)

Expresia (2.175) reprezintă integrala Duhamel şi aşa cum s-a menţionat exprimă legăturadintre răspunsul sistemului determinat de o mărime de excitaţie oarecare şi răspunsul indicial.

Integrala din (2.175) are şi alte forme de scriere:

, (2.176)

, (2.177)

, (2.178)

Valoarea de regim staţionar a răspunsului indicial se poate determina cu ajutorul teoremeivalorii finale. Având în vedere relaţia (2.71) şi faptul că:

s/11(t)L)s(R ,imaginea Laplace a răspunsului indicial este:

,

şi conform teoremei valorii finale, valoarea staţionară a răspunsului indicial se calculează astfel:

, (2.179)

Deci, având cunoscută funcţia de transfer, H0(s), în care se face substituţia s=0, se obţinevaloarea staţionară a răspunsului indicial.

Se va arăta că răspunsul indicial este o caracteristică importantă a sistemului liniar continuuinvariant, cu ajutorul căreia, pe lângă performanţe, se poate studia stabilitatea acestuia. Deasemenea, sunt programe specializate care permit, având cunoscută funcţia de transfer a sistemuluisau elementului, să se calculeze răspunsul indicial.

2.3.3. Funcţia pondereRăspunsul sistemului la o excitaţie impuls unitar (funcţia Dirac), în condiţii iniţiale nule, se numeştefuncţie pondere (sau răspuns la impuls unitar) şi o vom nota cu w(t).Considerăm un sistem de reglare automată a cărui funcţie de transfer este H0(s). În general, conformcu (2.171), răspunsul sistemului de reglare automată y(t) la o excitaţie oarecare )t(rL)s(R reprezintă originalul lui Y(s) şi este determinat cu ajutorul transformatei Laplace inverse (2.172).

Dacă mărimea de intrare este un impuls unitar r(t)=(t) şi deci 1)t(L)s(R , atuncifuncţia pondere w(t) (răspunsul la impuls unitar) reprezintă originalul lui Y(s)=H0(s) şicorespunzător cu (2.172), este descrisă de relaţia:

, (2.180)

Deci, originalul funcţiei de transfer reprezintă funcţia pondere.

s

)s(H)0(r

s)s(H

)0(r)s(sRs

)s(H)0(r)0(r)s(sR)s(H)s(R)s(Y 000

0

dt)t(dr-1 r(0)-sR(s)L )t(hs)s(H0 1-L

t

0

d)(h)t(r)t(h)0(r)t(y

t

0

d)(h)t(r)0(h)t(r)t(y

d)t(h)(r)t(h)0(r)t(y

d)t(h)(r)0(h)t(r)t(y

s)s(H

)s(Y 0

)0(Hs

)s(Hslim)s(Yslim)t(hlimh 0

0

0s0st st

dse)s(Hj2

1)s(H)t(w stjc

jc00

1-L

În cazul în care funcţia de transfer H0(s) are polii în semiplanul stâng al planului complex, sepoate considera c=0 şi deci se integrează dealungul axei imaginare, relaţia (2.180) devenind:

, (2.181)

Se constată, din (2.180), (2.181) că funcţia pondere w(t) reprezintă o caracteristicăimportantă a sistemului automat, ea evidenţiază proprietăţile dinamice ale acestuia şi depinde, la felca şi funcţia de transfer H0(s), numai de parametrii sistemului. Din relaţiile (2.180), (2.181) seconstată că funcţia de transfer H0(s) reprezintă imaginea Laplace a funcţiei pondere w(t):

, (2.182)

Comparând expresia funcţiei indiciale h(t), dată de relaţia (2.173), cu expresia funcţieipondere w(t) dată de relaţia (2.180) rezultă că între acestea există o legătură care se poate exprimaprin relaţia:

, (2.183)

Relaţia (2.183) devine evidentă dacă expresia funcţiei indiciale (2.173) se derivează în funcţie detimp. Prin derivarea în raport cu timpul rezultă relaţia (2.180).

Cunoscând expresia funcţiei pondere w(t) putem determina răspunsul sistemului y(t) pentruorice mărime de intrare r(t), utilizând produsul de convoluţie.

Deoarece imaginea Laplace Y(s) a răspunsului sistemului este:,

şi reprezintă produsul a două imagini Laplace din care originalul lui H0(s) este funcţia pondere w(t),iar imaginea R(s) corespunde unei mărimi de intrare oarecare r(t), conform produsului de convoluţiese scrie:

(2.184)

Originalul din (2.184) va fi răspunsul sistemului la mărimea de intrare oarecare r(t):

, (2.185)

Dacă mărimea de intrare este aplicată, cu întârziere, la momentul t0, atunci introducând onouă variabilă = t - , se scrie:

, (2.186)

Ca exemplu calculăm, utilizând funcţia pondere, răspunsul elementului de întârziere deordinul I la o excitaţie treaptă 1:

,Aşa cum s-a menţionat, elementul de întârziere de ordinul I este descris de ecuaţia

diferenţială ( 2.78), care este adusă la forma:

(2.187)

Pentru a calcula funcţia de transfer se aplică transformata Laplace ecuaţiei (2.87), cucondiţia iniţială nulă y(0)=0, şi obţinem:

, (2.188)şi corespunzător funcţia de transfer:

j

jdse)s(H

j21)t(w st

0

0

0 dte)t(w)s(H st

dt)t(dh)t(w

)s(H)s(R)s(Y 0

,t),s(H)s(R 0

t

0

d)r()-w(tL

,t,d)t(r)(wd)(r)t(w)t(r)t(w)t(y)s(Yt t

0 0

1-L

0tt

0

t

0td)t(r)(wd)(r)t(w)t(y

)t(1C)t(r

,0t),t(rk)t(ytd

)t(ydT

)s(Rk)s(Y)1Ts(

, (2.189)

Funcţia pondere w(t) se obţine ca transformată Laplace inversă a funcţiei de transfer G(s):

, (2.190)

Calculăm răspunsul elementului la o mărime de intrare treaptă utilizând relaţia (2.185):

, (2.191)

în care:r(t - )=1, pentru t

deci

, (2.192)

Introducând (2.190) în (2.192) şi efectuând calculele se obţine răspunsul elementului laexcitaţia treaptă considerată:

, (2.193)

Relaţia (2.193) se mai poate scrie astfel încât să se evidenţieze răspunsul indicial h(t) alelementului:

, (2.194)în care:

, (2.195)este răspunsul indicial al elementului de întârziere de ordinul I.

În figura alăturată sunt prezentatefuncţia pondere şi răspunsul la excitaţietreaptă pentru elementul de întârziere deordinul I, adoptându-se valorile k=3,C=1,5 şi T=1 secundă.Valoarea staţionară a răspunsului laexcitaţia treaptă, conform cu (2.193),este ceea ce

se constată şi din figura 2.34.Acelaşi rezultat se obţine dacă

se are în vedere (2.179) şi funcţia detransfer (2.189):

;

2.3.4. Algebra funcţiilor de transferSistemele de reglare automată, în mod curent, sunt prezentate sub forma schemelor de structură.

Schemele de structură, într-o măsură importantă, uşurează studiul sistemelor deoarece indică sensulunidirecţional de transmitere a semnalelor şi oferă o reprezentare clară privind interacţiunea dintreelementele din componenţa sistemului.

Principalele elemente ale schemelor de structură sunt: blocurile componente, descrise prinecuaţii diferenţiale sau funcţii de transfer, care prelucrează şi transmit unidirecţional semnalele,elementul de comparaţie şi sumatoarele, liniile de legătură unidirecţionale dintre elemente şi

T1s

1Tk

1Tsk

)s(R)s(Y)s(G

0t,eTk)s(G)t(w T

t

1-L

t

0d)t(r)(w)t(y

t

0d)(wC)t(y

)t(1)e1(kCdeTkC)t(y T

tt

0

T

)t(1)t(hC)t(y

)t(1)e1(k)t(h Tt

5,4kC)t(ylimytst

5,4kC)0(GCyst

nodurile din care semnalele sunt transmise spre diferitele elemente din structură. Se întâlnescscheme de structură cu grade diferite de complexitate.

Algebra funcţiilor de transfer cuprinde un grup de reguli care permit ca având cunoscutefuncţiile de transfer ale mai multor elemente componente să se determine funcţia de transfer a unuielement echivalent cu întregul ansamblu; echivalenţa constă în faptul că pentru acelaşi semnalaplicat la intrarea ansamblului şi la intrarea elementului echivalent, răspunsurile ansamblului şielementului echivalent să fie identice 1.

Se va evidenţia faptul că simplificarea schemelor de structură, prin aducerea lor la schemeechivalente, va uşura aspectele referitoare la analiza şi sinteza sistemelor de reglare automată.

Se vor prezenta principalele reguli referitoare la întocmirea schemelor de structurăechivalente.2.3.4.1. Funcţia de transfer echivalentă a elementelor conectate în serie

Considerăm, pentru simplificarea tratării, trei elemente conectate în serie, ca în figura 2.35, avândfuncţiile de transfer cunoscute şi definita astfel:

(2.196)

În cazul conexiunii serie, semnalul de ieşire al fiecărui element este aplicat la intrareaelementului următor. Este de menţionat faptul că acţiunea unidirecţională a elementelor esteconcretizată prin faptul că un element , oarecare, din structură nu exercită nici o influenţă asupraelementului precedent, ci numai asupra intrării elementului următor.

Fig.2.35

Se cere a se determina funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie, definită prin:

, (2.197)

Din (2.196) rezultă:,

şi înlocuind în (2.197) se obţine funcţia de transfer echivalentă:

, (2.198)

În relaţia (2.198) se are în vedere faptul că funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie nudepinde de ordinea în care sunt conectate elementele.

În cazul când sunt conectate, în serie, n elemente, funcţia de transfer echivalentă va fi:

, (2.199)

A rezultat că funcţia de transfer echivalentă a unui grup de elemente conectate în serie esteegală cu produsul funcţiilor de transfer ale acestor elemente.

2.3.4.2. Funcţia de transfer echivalentă a elementelor conectate în paralelÎn figura 2.36 se prezintă o schemă de structură cu trei elemente conectate în paralel. La

intrarea fiecărui element se aplică acelaşi semnal X1(s), iar semnalele de la ieşirea elementelorX2(s), X3(s), X4(s) se însumează formând astfel mărimea de ieşire X5(s) a conexiunii paralel.

,)s(X)s(X)s(G,

)s(X)s(X)s(G,

)s(X)s(X)s(G

3

4C

2

3B

1

2A

)s(X)s(X

)s(G1

4D

)s(X)s(G)s(G)s(G)s(X)s(G)s(G)s(X)s(G)s(X 1ABC2BC3C4

)s(G)s(G)s(G)s(X)s(X

)s(G CBA1

4D

)s(G)s(Gn

1kkseriee

Fig. 2.36.

Cunoscând funcţiile de transfer ale elementelor componente, definite prin:

, (2.200)

se caută funcţia de transfer echivalentă a întregului ansamblu definită prin relaţia:

, (2.201)

Din (2.200) rezultă că semnalul de la ieşirea elementelor conectate în paralel este:,

de unde rezultă funcţia de transfer a celor trei elemente conectate în paralel:

, (2.202)

În cazul când sunt conectate în paralel n elemente, funcţia de transfer echivalentă este deforma:

, (2.203)

adică, funcţia de transfer echivalentă a unui grup de elemente conectate în paralel este egală cusuma funcţiilor de transfer ale acestor elemente, indiferent de numărul lor.

Dacă sumatorul care generează semnalul de ieşire are intrări negative, atunci contribuţia blocului dela intrarea negativă se va lua cu semnul minus.Şi în acest caz, se păstrează principiul transmiterii unidirecţionale a semnalelor.Modul în care se realizează însumarea semnalelor de la ieşire depinde de aplicaţia concretă care seanalizează.2.3.4.3. Funcţia de transfer echivalentă a elementului cu reacţieConexiunea cu reacţie a unui element, sau a unui grup de elemente, se realizează printr-o legăturăinversă care transmite semnalul de la ieşire înapoi spre intrarea elementului sau grupului deelemente. Legătura inversă poate fi directă sau prin intermediul unui element (fig. 2.37).

a) b)Fig. 2.37

)s(X)s(X)s(G,

)s(X)s(X)s(G,

)s(X)s(X)s(G

1

4C

1

3B

1

2A

)s(X)s(X

)s(G1

5D

)s(X)s(G)s(G)s(G)s(X)s(X)s(X)s(X 1CBA4325

)s(G)s(G)s(G)s(X)s(X

)s(G CBA1

5D

)s(G)s(Gn

1kparalel.e k

În figura 2.37.a. se reprezintă un element prevăzut cu legătură inversă neunitară, iar în figura 2.37.b.acelaşi element, dar prevăzut cu o legătură inversă directă (reacţie unitară). În figura 2.37, încircuitul legăturii inverse, semnul () corespunde unei reacţii negative, iar semnul (+) unei reacţiipozitive.Este cunoscută funcţia de transfer a elementului de pe calea directă:

, (2.204)

precum şi funcţia de transfer a elementului de pe calea (circuitul) de reacţie:

, (2.205)

Ecuaţia sumatorului în cazul unei reacţii negative este deunde iar în cazul unei reacţii pozitiveşi corespunzătorFuncţia de transfer echivalentă a elementului cu reacţie este dată de relaţia:

(2.206)

în care se ţine seama de expresiile (2.204), (2.205), rezultând:

(2.207)

iar după simplificarea cu se obţine:

(2.208.a)

Din calculele efectuate a rezultat că, în relaţia (2.208.a), semnul (+) corespunde unei legăturiinverse negative, iar semnul () legăturii inverse pozitive. Dacă legătura este unitară (reacţiedirectă), aşa cum se ilustrează în figura 2.37.b., atunci pentru a obţine funcţia de transferechivalentă, în relaţia (2.208.a) se consideră şi se obţine:

(2.208.b) în care

semnificaţia semnelor este aceeaşi ca şi în relaţia (2.208.a).2.3.4.4. Regula deplasării unui nod în schemele de structurăPentru a obţine o transformare echivalentă convenabilă, frecvent se pune problema deplasării unuinod (punct de convergenţă a mai multor linii de legătură) peste un bloc, fie în sensul transmiteriisemnalului, fie în sensul opus transmiterii semnalului.Considerăm schema de structură din figura 2.38.a., în care trebuie deplasat nodul N, în sensultransmiterii semnalului, peste elementul cu funcţia de transfer

a) b)Fig. 2.38

sXsXsG

2

3A

sXsXsG

3

4B

,sXsXsX 412 ,sXsXsX 421 sXsXsX 412

.sXsXsX 421

,sXsX

sXsXsXsG

42

3

1

3c

,sXsG

sGsX

sXsG3B

A

3

3c

sX3

,sGsG1

sGsGBA

Ac

1sGB

,sG1

sGsGA

AA

.sGB

Şi în acest caz, condiţia de echivalenţă a schemelor constă în faptul că pentru acelaşi semnal aplicatla intrarea schemei de structură iniţiale şi respectiv la intrarea schemei echivalente, răspunsurile săfie identice.

Având în vedere relaţiile (2.208.b) şi (2.199), funcţia de transfer corespunzătoare schemei destructură din figura 2.38.a. este:

(2.209)

Relaţia (2.209) se scrie sub forma:

(2.210)

Compararea relaţiei (2.210) cu expresia funcţiei de transfer a elementului cu reacţie negativăneunitară (2.208.a) permite stabilirea schemei de structură echivalente (fig. 2.38.b) în care nodul Neste deplasat în sensul transmiterii semnalului peste un bloc. Din relaţia (2.210) se constată că înramura directă sunt conectate în serie două elemente cu funcţiile de transfer iar pecircuitul de reacţie negativă se află un element cu funcţia de transfer În felul acesta, ladeplasarea unui nod peste un element cu funcţia de transfer în sensul transmiteriisemnalului, este necesar ca în circuitul de reacţie să se conecteze un element a cărui funcţie detransfer este .

În continuare, se consideră schema de structură din figura 2.39.a. în care se cere ca nodul Nsă fie deplasat peste elementul în sens opus transmiterii semnalului.

Funcţia de transfer corespunzătoare schemei de structură din figura 2.39.a este:

(2.211)

şi poate fi exprimată sub forma:

a) b)Fig. 2.39

(2.212)

Relaţia (2.212) evidenţiază o conexiune cu reacţie negativă neunitară cu funcţia de transferîn serie cu un element având funcţia de transfer (fig. 2.39.b). A

rezultat că pentru a deplasa un nod peste un bloc cu funcţia de transfer , în sens opustransmiterii semnalului, trebuie ca în circuitul de reacţie să se conecteze un element având aceeaşifuncţie de transfer

Cele prezentate sunt utile, în mod deosebit, pentru eliminarea conexiunilor cu reacţiiîncrucişate, din schemele de structură.Pentru exemplificare, ne referim la schema de structură din figura 2.40, în care se cere eliminareaconexiunilor încrucişate [1].

,sG1

sGsGsGsG1

sGsXsXsG

A

BAB

A

A

1

3c

,

sGsGsG1

sGsGsG

B

BA

BAc

,sG,sG BA

)s(G1 B

,sGB

)s(G1 B

sGB

,sGsG1

sGsGsXsXsG

BA

BA

1

3c

,sG

sGsG1sG

sXsXsG B

BA

A

1

3c

,sGsG1sG BAA ,sGB

sGB

.sGB

Fig. 2.40Pentru eliminarea conexiunilor încrucişate, din schema de structură dinfigura 2.40, sunt posibile două variante:

varianta 1: nodul M este deplasat peste elementul cu funcţia de transfer în sensopus transmiterii semnalului, rezultând schema de structură din figura 2.41;

varianta 2: nodul N este deplasat peste elementul cu funcţia de transfer în sensultransmiterii semnalului, rezultând schema de structură din figura 2.42.

Fig. 2.41

Fig. 2.422.3.4.5. Regula deplasării unui sumator în schemele de structurăÎn scopul simplificării schemelor de structură, elementul sumator poate fi deplasat peste unul saumai multe blocuri, atât în sensul transmiterii semnalului, cât şi în sens opus transmiterii semnalului.În schema de structură din figura 2.43.a., la intrările elementului sumator (1) sunt aplicate douăsemnale: având imaginea Laplace şi respectivImaginea Laplace a semnalului de la ieşirea elementului sumator este:

(2.213)Relaţia (2.213) poate fi scrisă sub forma:

(2.214)Relaţia (2.214) corespunde unei scheme de structură în care la intrarea elementului cu funcţia detransfer se aplică semnalul de la ieşirea unui sumator, la intrările căruia acţionează semnalelecu imaginile Laplace Expresia (2.214) corespunde schemei de structurăreprezentată în figura 2.43.b., în care elementul sumatora fost poziţionat peste elementul cu funcţia de transfer în sens opus transmiterii semnaluluidin ramura directă. Relaţia (2.214) şi schema de structură asociată ei, conduc la concluzia că pentrudeplasarea blocului sumator peste un element cu funcţia de transfer în sens opus transmiteriisemnalului din ramura directă, este necesar ca în circuitul de intrare, în sumator, în care acţioneazăsemnalul să se introducă un element cu funcţia de transfer

sG c

sG c

tf sFtf L .sXsGsX 1B2

,sFsXsGsX 1B

,sGsGsFsXsX BB1

sGB

.sGsFşisX B1

,sGB

,sGB

sF .sG1 B

Fig. 2.43

În schema de structură din figura 2.44.a. se cere să se deplaseze sumatorul peste elementulcu funcţia în sensul transmiterii sumatorului din ramura directă.

În figura 2.44.a. mărimea de ieşire este:(2.215)

Relaţia (2.215) se pune sub forma:(2.216)

Fig. 2.44

care permite o nouă interpretare. Relaţia (2.216) corespunde unei scheme de structură în caremărimea de ieşire este obţinută de la ieşirea unui element sumator, la intrările căruia se aplicăsemnalele şi respectiv Relaţia (2.216) conduce la schema de structurăechivalentă prezentată în figura 2.44.b.

Deci, pentru deplasarea elementului sumator peste un element cu funcţia de transferîn sensul transmiterii semnalului în ramura directă, este necesar ca în circuitul de intrare, însumator, în care acţionează semnalul să se introducă un element cu funcţia de transfer2.3.4.6. Regula deplasării sumatoarelor

În schemele de structură se poate schimba locul sumatoarelor prin intermediul cărora serealizează operaţiile de adunare (fig. 2.45.a) sau scădere (fig. 2.44.b) a semnalelor, aşa cum seilustrează în figurile 2.45.c. şi 2.45.d.

sGB

sX ,sGsFsXsX B1

,sGsFsGsXsX BB1

sX sGsX B1 .sGsF B

,sGB

sF .sGB

Fig. 2.452.3.4.7. Funcţiile de transfer asociate sistemului de reglare automatăConsiderăm un sistem de reglare automată cu reacţie principală directă

(fig. 2.46).

Fig. 2.46

Corespunzător schemei de structură din figura 2.46 se stabilesc următoarele notaţii pentru funcţiilede transfer:- Funcţia de transfer a regulatorului automat:

(2.217)

- Funcţia de transfer a elementului de execuţie:

(2.218)

- Funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice:

(2.219)

- Funcţia de transfer a părţii fixate (blocului F):

(2.220)

- Funcţia de transfer a sistemului automat deschis (SAD):

(2.221)

Mărimea de intrare în SAD este iar mărimea de ieşireAvând în vedere relaţia (2.221), schema de structură din figura 2.46 poate fi redată, sub o formăsimplificată, ca în figura 2.47.a.

,sEsUsHR

,sUsXsH m

EE

,sXsYsH

mIT

),s(HsHsUsYsH ITEEF

,sHsHsHsHsHssYsH FRITEERd

,s .sY

Fig. 2.47

- Funcţia de transfer a sistemului automat închis (SRA):

(2.222)

Utilizând relaţia (2.222) schemele de structură ale sistemului automat închis (SRA) prezentate înfigurile 2.46 şi respectiv 2.47.a. pot fi redate, în funcţia de ca în figura 2.47.b. Funcţia detransfer a SAD, se obişnuieşte să se exprime astfel încât să se evidenţieze numărul de poli înorigine şi factorul total de amplificare a sistemului.Analizăm următoarele cazuri [1]:Cazul I: funcţia de transfer a SAD nu conţine pol în origine.În acest caz, funcţia de transfer exprimată ca raportul a două polinoame în s, este de forma:

(2.223)

Se pune în evidenţă factorul total de amplificare a sistemului deschis, definit ca raportulcoeficienţilor, care nu conţin variabila complexă s, a celor două polinoame şi respectiv

(2.224)

În relaţia (2.224) coeficientul reprezintă factorul total de amplificare a sistemuluideschis, care se măsoară în regim staţionar, iar reprezintă raportul a două polinoame în s, cutermenii care nu conţin variabila s egali cu unitatea:

(2.225)

unde coeficienţiiCazul II: funcţia de transfer a SAD conţine un pol în origine (conţine un element de integrare ideal)În relaţia (2.223), dacă atunci are un pol de ordinul I în origine (o rădăcină aecuaţiei caracteristice a SAD este nulă). În acest caz relaţia (2.223) devine:

în care 1/s reprezintă elementul integrator ideal. În continuare se pune în evidenţă factorul total deamplificare a SAD:

(2.226)

,sH1

sHsRsYsH

d

d0

,sH0

,sHd

,sHd

,0A,mn,

AsA...sAsABsB...sBsB

sAsB

ssYsH 0

011n

1nn

n

011m

1mm

md

sB :sA

,sGKsasbK

1sAA...s

AA

1sBB...s

BB

AB

sAsBsH dd

0

1n

0

n

0

1m

0

m

0

0d

00d ABK sG

,mn,10GsG,

1sa...sa1sb...sb

sasbsG

0S1

nn

1m

m

.n,1k,AAaiar,m,1j,BBb 0KK0jj

,00 A sHd

,

AsA...sABsB...sB

s1

sAsBsH

12n

n

01m

md

,sG

sK

sasb

sK

1sAA...s

AA

1sBB...s

BB

AB

s1

sAsBsH dd

1

21n

1

n

0

1m

0

m

1

0d

unde: - este coeficientul total de amplificare a SAD,

.1)0(G),s(b)s(a)s(G;1n)s(agrad Cazul III: funcţia de transfer a SAD are un pol de ordinul în origine

În acest caz:

(2.227)

sau:

(2.228)

unde: origineînpoluluiordinulesteαiarα,nr

- reprezintă cele elemente integratoare ideale în funcţia de transfer a SAD,

- este factorul total de amplificare a SAD,

1)0(G),s(a)s(b)s(G .Se face o clasificare a SRA, după ordinul polului în origine din funcţia de transfer a SAD (dupănumărul de elemente integratoare ideale din funcţia de transfer a SAD), astfel [1]:- SA de tipul (SAD nu conţine element integrator ideal);- SA de tipul (SAD conţine un element integrator ideal);- SA de tipul (SAD conţine două elemente integratore ideale).Deci, în funcţia de transfer a SAD ordinul polului în origine poate fi iar pentrusistemele automate nu sunt stabile [1].Din cele prezentate a rezultat că funcţia de transfer a SAD se exprimă, într-un mod mai eficient, subforma:

(2.229)

Relaţia (2.229) va fi utilizată pentru calculul erorii permanente a sistemelor de reglare automată. Seva arăta că eroarea permanentă depinde în mod esenţial de tipul SA, adică de valorile pe care lepoate lua în practică .Introducând relaţia (2.229) în (2.222) se obţine pentru funcţia de transfer a sistemului automatînchis expresia:

(2.230)

În schema de structură a SRA din figura 2.47.a. s-aconsiderat reacţia principală directă. Dacă pecircuitul reacţiei principale se găseşte un elementtraductor (fig. 2.48) cu funcţia de transferatunci sistemul respectiv poate fi echivalat cu unsistem cu reacţie principală unitară, introducândanumite elemente suplimentare, cu păstrareaechivalenţei faţă de sistemul iniţial [1]. Fig. 2.48Aplicând relaţia (2.208), pentru reacţie negativă,la schema de structură din figura 2.48 se obţine pentru sistemul închis o funcţie de transfer deforma:

1

0d A

BK

,AAa,BBb 1KK0jj

,sasb

sK

1sa...sa1sb...sb

sK

sAsBsH d

1r

r

1m

mdd

,sGsKsH d

d

s1

AB

K 0d

,0,1,2

,2,1,0 2

,10G;2,1,0;sG

sK

ssYsH d

d

,sbKsas

sbKsRsYsH

d

d0

,sHTR

)s(TRH)s(dH1

)s(dH

)s(R)s(Y

)s(0H

(2.231)

Introducând, între mărimea de referinţă şi elementul de comparaţie, două elementeconectate în serie, cu funcţiile de transfer se obţine un sistem echivalent cu celiniţial (fig. 2.49), deoarece funcţia de transfer a ansamblului celor două elemente suplimentare,

conectate în serie, este egală cu unitatea 1: 1sH

1sHTR

TR

Ca urmare, funcţia de transfer a ansamblului reprezentat în figura 2.49, notată cu )s(H T areexpresia:

sHsH1sH

sHsH

1sRsY

sHTRd

dTR

TRT

(2.232)

deci o expresie identică cu (2.231).

Fig. 2.49

Se scrie relaţia (2.232) în următoarea formă echivalentă:

(2.233)

În relaţia (2.233) expresia corespunde unei structuri închisecu reacţie unitară negativă, având în calea directă funcţia de transfer care este înserie cu un element având funcţia de transfer Deci, relaţia (2.233) conduce la o schemăde structură echivalentă, cu reacţie principală unitară, reprezentată în figura 2.50.

A rezultat că pentru a trece de la o schemă de structură cu un element traductor pe reacţia principală, lao schemă echivalentă cu reacţie principală directă, este necesar ca funcţia de transfer a traductorului de pereacţia principală să fie introdusă pe calea directă, iar înaintea elementului de comparaţie să se introducă unelement a cărui funcţie de transfer să fie inversa funcţiei de transfer a traductorului [1].Prezenţa acestui element nu modifică mult calculele efectuate pentru bucla cu reacţie principalădirectă considerată fără acest element, întrucât în multe cazuri funcţiile de transfer ale traductoarelorpot fiaproximate prin nişte constante şi din rezultatele calculelor efectuate pentru bucla menţionatăvor trebui înmulţite cu o constantă [1].

Fig. 2.50

2.3.4.8. Funcţia de transfer a elementului de comparaţieConsiderăm schema de structură a unui SRA, cu reacţie principală directă, reprezentată în figura2.47.a. Pentru elementul de comparaţie a sistemului considerat se defineşte o funcţie de transfer

(se mai numeşte f.d.t. a erorii şi se obişnuieşte să se noteze cu Hε(s)) de forma [1]:

tr sH1şisH TRTR

,sHsH1

sHsHsH

1sHTRd

TRd

TRT

sHsH1sHsH TRdTRd ,sHsH TRd

.sH1 TR

sHEC

(2.234)

Având în vedere că:y(t),r(t)ε(t) deci:

respectiv:conform cu (2.234) rezultă:

şi împărţind cu la numărător şi numitor obţinem:

(2.235)

Având în vedere (2.221), relaţia (2.235) devine:

(2.236)

Relaţia (2.236) conduce la o schemă de structură echivalentă, asociată elementului de comparaţie,redată în figura 2.51.a.Funcţia de transfer a elementului de comparaţie se mai poate scrie sub forma:

(2.237)Expresia (2.236), precum şi cea echivalentă ei (2.237), reprezintă funcţia de transfer a elementuluide comparaţie (se mai numeşte funcţie de transfer a erorii SRA) şi caracterizează eroarea cu care seface tranziţia mărimii de intrare la ieşirea sistemului.Din expresia funcţiei de transfer a sistemului automat închis cu reacţie principală directă (fig.2.47.a) mai rezultă:

sHsHsH

sHsHsHsH dECd

dd

d

1

110 (2.238)

O schemă de structură echivalentă cu cea din figura 2.47.a. se obţine în baza relaţiei (2.238),aşa cum se redă în figura 2.51.b.

Fig.2.51

2.3.5. Utilizarea funcţiei de transfer a sistemului deschis pentru determinareaerorii permanente în raport cu mărimea de referinţă

Eroarea în regim permanent pentru un sistem automat cu circuit închis poate

fi calculată cu ajutorul teoremei valorii finale, dacă se cunoaşte funcţia de transfer a sistemuluideschis şi mărimea de intrare .

,sRssH

def

EC

,sYsRs ,sYssR

,sYs

ssRssHEC

s

,

ssY1

1sRssHEC

,sH1

1sRssH

dEC

,sH1sH 0EC

tt

lim

sHd tr

Considerăm schema de structură a sistemului automat închis, cu reacţie principală directă,redată în figura 2.47.a. De asemenea, în calculul erorii permanente considerăm că sistemul automateste strict stabil, adică S.A. închis are toţi polii poziţionaţi în .

Din expresia funcţiei de transfer a elementului de comparaţie, relaţia (2.236), rezultă:

(2.239)

Având în vedere că funcţia de transfer a sistemului automat deschis poate fi scrisă subforma:

relaţia (2.239) devine:

(2.240)

Conform teoremei valorii finale:(2.241)

şi după înlocuirea relaţiei (2.240) în (2.241) se obţine relaţia de calcul a erorii în regim permanent:

(2.242)

În cele ce urmează vom studia eroarea permanentă, în raport cu mărimea de refrinţă, a unui SRA înurmătoarele trei cazuri:

mărimea de intrare (de referinţă) este o funcţie treaptă unitară sau funcţie treaptă. În acestcaz eroarea permanentă se numeşte eroare staţionară (la poziţie)şi o notăm cu

mărimea de intrare este o funcţie rampă unitară sau rampă. În acest caz se va consideraeroarea la viteză şi o notăm cu

mărimea de intrare este o parabolă unitară sau parabolă (referinţa variază în timp cuacceleraţie constantă). În acest caz eroarea respectivă constituie eroarea la acceleraţie şi o notăm cu

a) Mărimea de intrare este o funcţie treaptă unitarăImaginea Laplace a mărimii de intrare treaptă unitară este:

(2.243)

Înlocuind în (2.242) relaţia (2.243) se obţine expresia erorii staţionare:

(2.244)

Pentru sistemele automate de tipul rezultă:

(2.245)

SA de tipul este static în raport cu mărimea de intrare treaptă unitară (şi treaptă). În figura2.52.a se prezintă un răspuns aperiodic pentru un SA de tipul cu reacţie principală directă,static în raport cu mărimea de intrare treaptă unitară. Din relaţia (2.245) rezultă că pentru

C

,sH1

sRsHsRsd

EC

2,1,0,10G,sG

sK

ssYsH d

d

,sG

sK1

1sRsd

,sslimtlim0St

,10G,sG

sK

1

1sRslimd0S

;ST

;v

.a .t1tr

,s1sR

,

sGsK1

1limsG

sK1

1s1slim

d0Sd0SST

.2,1,0

0

,ctK1

1K1

1limdd

0SST

0,0

micşorarea erorii staţionare trebuie mărit factorul total de amplificare a sistemului automat

deschis Pentru sistemele automate de tipulDin relaţia (2.244) rezultă:

(2.246)

Se constată că la referinţă treaptă unitară (sau treaptă) prezenţa unor elemente integratoare în funcţiade transfer a SA deschis, puse în evidenţă prin termenul elimină (anulează) eroareastaţionară Sistemele automate de tipul sunt astatice în raport cu mărimea de intraretreaptă unitară (sau treaptă). În figura 2.52.b se prezintă un răspuns aperiodic pentru SRA astatic înraport cu referinţa treaptă unitară.

Fig.2.52b) Mărimea de intrare are o variaţie rampă unitară

Pentru referinţa rampă unitară şi conform cu relaţia (2.242) pentru mărimea de

intrare rampă unitară se obţine expresia erorii la viteză:

(2.247)

Pentru un SA de tipul se obţine:

(2.248)

ceea ce arată că în regim permanent, cu creşterea timpului, diferenţa dintre şi răspunsulva tinde către infinit (figura 2.53.a). Un astfel de sistem, cu nu este utilizat în cazulreferinţei rampă unitară (sau rampă).

Pentru un SA de tipul

(2.249)

SA de tipul este static în raport cu mărimea de intrare rampă unitară (sau rampă). Se constatăcă, şi în acest caz, creşterea factorului total de amplificare a SA deschis conduce la micşorareaerorii de viteză În figura 2.53.b se prezintă răspunsul a unui SRA static în raport cumărimea de intrare rampă unitară;

Pentru un SA de tipul

ST

.Kd

2,1

,0

sGsK1

1s1slim

d0SST

,2,1,s1

.ST 2,1

.ttr

,s1sR 2

,2,1,0,

SGsKs

1limsG

sK1

1s1slim

1d0Sd

20Sv

0

,sGsKs

1limd

0Sv

ttr ty,0

:1

,ctK1

sGKs1lim

dd0Sv

1,dK

.v ty

:2

(2.250)

Sistemul automat de tipul este astatic în raport cu mărimea de intrare rampă unitară saurampă (fig. 2.53.c).

Fig. 2.53c) Mărimea de intrare este o parabolă unitarăPentru referinţa parabolă unitară:

(2.251)

Introducând relaţia (2.251) în (2.242) se obţine expresia erorii acceleraţie de forma:

(2.252)

Pentru SA de tipul se obţine:

(2.253)

Deci, SA de tipul nu poate fi utilizat în cazul când mărimea de intrare este o parabolă unitarăsau parabolă.

Pentru un SA de tipul expresia erorii de acceleraţie este:

(2.254)

A rezultat că şi SA de tipul nu sunt utilizabile pentru referinţă parabolă unitară sau parabolă. Pentru un SA de tipul

(2.255)

Se constată că sunt necesare două elemente integratoare în calea directă pentru ca Sistemulautomat de tipul este static în raport cu mărimea de intrare parabolă unitară sau parabolă. Dinrelaţia (2.255) rezultă că micşorarea erorii la acceleraţie se poate obţine prin mărireacoeficientului total de amplificare a sistemului automat deschis.Rezultatele obţinute sunt redate în tabelul 2.1. Din tabelul 2.1 se constată că pentru fiecare valoare există un singur tip de semnal de intrare pentru care eroarea în regim permanent este finită şi

,0

sGs

Ks

1limd0Sv

2

22ttr

,s1sR 3

,2,1,0,

sGsKs

1limsG

sK1

1s1slim

2d20Sd

30Sa

0

,

sGsKs

1lim2d20Sa

0

1

,

sGsKs

1lim1d20Sa

1:2

,ctK1

sGKs1lim

dd20Sa

.cta 2

a

diferită de zero; în aceste cazuri valoarea erorii în regim permanent variază invers cu factorul totalde amplificare a SA deschis [1]. Rezultatele obţinute sunt utile în proiectare [1]. De exemplu, cândse impune o performantă staţionară este necesar să se obţină un SA de tipul iar dacăse impune estenecesar ca sistemul să fie astfel proiectat încât să se obţină

Tabelul 2.1Tipul intrării

Tipul SATreaptă unitară Rampă unitară Parabolă unitară

0

1 0

2 0 0

În situaţiile când nu se impune o performanţă de forma ci o performanţă de forma:

(2.256)aceasta conduce la condiţia:

(2.257)unde este valoarea impusă pentru factorul total de amplificare a SA deschis, corespunzătorvalorii impuse [1].

2.3.6. Coeficienţii erorilorConform relaţiei (2.236), imaginea Laplace a erorii în raport cu mărimea de intrare este:

(2.258)

unde:

(2.259)

reprezintă funcţia de transfer a elementului de comparaţie pentru un SRA cu reacţie principalăunitară.Conform teoremei valorii finale regimului permanent îi corespunde în domeniul variabileicomplexe iar în domeniul timpuluiSe dezvoltă în serie Mac-Laurin funcţia de transfer a elementului de comparaţie (2.259):

(2.260)

în care coeficienţii dezvoltării au expresiile:

(2.261)

,0ST ,10v

.2

s/1sR 2s/1sR 3s/1sR

dK11

dK1

dK1

,0

,impus

,KK impus.dd

impus.dK

,impus

,sRsH1

1sR.sHsd

EC

,sH1

1sRssH

dEC

,0s .t

332210

dEC s

!3Cs

!2CsCC

sH11sH

,ds

sHdC,ds

sdHC,sHC0S

2EC

2

20S

EC10SEC0

,

dssHdC,,

dssHdC

0Sn

ECn

n0S

3EC

3

3

Introducând relaţia (2.260) în (2.258) se obţine:

(2.262)Seria (2.262) este convergentă pentru valori mici ale lui deci, aşa cum s-a menţionat,corespunde regimului permanent.Coeficienţii se numesc coeficienţi generalizaţi ai erorii (sau simplu coeficienţiierorilor) şi se calculează cu relaţiile (2.261).Dacă se trece la funcţiile original, din relaţia (2.262) se obţine eroarea de regim permanent în raportcu mărimea de intrare:

(2.263)

În această expresie coeficienţii generalizaţi ai erorii sunt legaţi de erorile de poziţie, de viteză şirespectiv de acceleraţie.

Pentru regimul permanent în scopul caracterizării erorii, pe lângă coeficienţii generalizaţi aierorii, se definesc factorii totali de amplificare de poziţie, de viteză şi respectiv, de acceleraţie.Din relaţia (2.228) se determină factorul total de amplificare a sistemului deschis (care este uncoeficient de transfer static):

(2.264)

În relaţia (2.228) s-a avut în vedere faptul căFactorul total de amplificare a sistemului deschis se notează diferit şi are denumiri diferite,pentru cazurile celor trei valori întâlnite în practică astfel [1]:

pentru conform cu (2.264), se defineşte factorul total de amplificare de poziţie (semai numeşte coeficientul erorii de poziţie) notat cu

(2.265)

pentru se defineşte factorul total de amplificare de viteză (se mai numeştecoeficientul erorii de viteză) notat cu

(2.266)

pentru se defineşte factorul total de amplificare de acceleraţie (se mai numeştecoeficientul erorii de acceleraţie) notat cu

(2.267)

Având în vedere (2.227) respectiv (2.228), se verifică faptul că pentru fiecare tip de sistemunul singur dintre factorii totali de amplificare menţionaţi este finit şi diferit de

zero: în cazul în cazul în cazul [1].Coeficienţii seriei (2.260) pot fi exprimaţi în funcţie de factorii din (2.265), (2.266),(2.267).Pentru sistemele cu diferite valori ale lui primii trei coeficienţi generalizaţi ai eroriipermanente, în raport cu mărimea de intrare, calculaţi cu relaţiile menţionate, au următoarele valori:pentru sistemele de tipul pentru sistemele de tipul

pentru sistemele de tipulAstfel, la un sistem automat de tipul din (2.260), cu considerarea relaţiei (2.265), se obţine:

Pd0sEC0s0 K

1)s(H1

1lim)s(HlimC

, (2.268)

,sRs!3

Cs!2

CsCCs 332210

,0ss

,C,C,C,C 3210

,dt

trd!2

Cdt

tdrCtrC 2

22

10

,sHslimK d0Sd

.10 G

dK,2şi1,0

,0:K p

,sHlimKK d0Sdp0

,1:KV

,sHslimKK d10SdV

,2:K A

,sHslimKK d2

0SdA2

2,1,0

pK ;0 VK ;1 AK 2

AVp K,K,K

,2,1,0

;Kp11C:0 0 ;K1Cşi0C:1 V10 .K2Cşi0C,0C:2 A21o

0

S-a arătat că la sistemele cu în cazul aplicării unui semnal de intrare treaptă unitară, eroareastaţionară are expresia (relaţia 2.245):

(2.269)

Comparând (2.269) cu (2.268) şi având în vedere (2.265), se constată că la SA cu cărora lise aplică o treaptă unitară, are loc relaţia [1]:

(2.270)Pentru sistemele cu a căror funcţie de transfer a sistemului deschis este:

(2.271)

factorul total de amplificare de poziţie rezultă din (2.265):, (2.272)

şi înlocuind în (2.268) se obţine:(2.273)

Înlocuind (2.273) în (2.260), se obţine pentru sistemele cu expresia [1]:

(2.274)

de unde având în vedere că numai rezultă:

(2.275)

Comparând (2.249) cu (2.275) şi având în vedere (2.266), se constată că la sistemele cucărora li se aplică la intrare un semnal rampă unitară are loc relaţia [1]:

(2.276)

În mod analog, pentru un sistem cu se obţine şi rezultând apoi [1]:

(2.277)

Înlocuind (2.268), (2.275) şi (2.277) în (2.260), se obţine:

(2.278)

Coeficienţii generalizaţi ai erorii mai pot fi determinaţi împărţind polinomul de la numărătorulfuncţiei de transfer a elementului de comparaţie, la polinomul de la numitorul acestuia şiidentificând rezultatul obţinut cu seria (2.263).Ca exemplu, considerăm, pentru un SRA cu reacţie principală unitară, că mărimea de intrare(funcţia de excitaţie) este de forma:

(2.279)iar funcţia de transfer a sistemului deschis are expresia:

(2.280)

Se cere a se determina eroarea permanentă în raport cu mărimea de intrare.Funcţia de transfer a elementului de comparaţie pentru sistemul dat este:

(2.281)

Din relaţia (2.281), împărţind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor, se obţine seria:

,0

,K11

dST

,0

,0 STC ,1

,10G,sGs

KsH dd

sHlimK d0Sp

,00 C1

,s!3

Cs!2

CsCsH1

1sH 33221

dEC

,01 C

,K1

ssH1lim

sH11

s1limsH

s1limC

vd0S

d0SEC0S1

,1 ,ttr

,11 v

vKC

2 00 C ,01 C

,122

aAK

C

,sK1s

K1

K11sH 2

AvpEC

,2atvtt1btr 20

,1TssKsH d

d

,KsTssTs

sH11sH

d2

2

dEC

iar după înmulţirea cu imaginea Laplace a mărimii de intrare se obţine:

(2.282)

Identificând coeficienţii pentru aceleaşi puteri ale lui s din (2.282) şi (2.262) se obţin coeficienţiigeneralizaţi ai erorii:

(2.283)

Calculăm derivatele mărimii de intrare: (celelalte derivate sunt nule) şi leintroducem împreună cu coeficienţii erorilor din (2.283) în (2.263), determinând astfel eroarea deregim permanent în raport cu mărimea de intrare (2.279):

(2.284)

2.3.7. Funcţiile de transfer în raport cu perturbaţiaConsiderăm schema de structură a unui SRA, cu reacţie principală unitară, reprezentată în figura2.54. În deducerea funcţiilor de transfer în raport cu perturbaţia se consideră mărimea de referinţănulă

Fig.2.54Deoarece mărimea de intrare este nulă, la intrarea regulatorului automat (cu funcţia de transfer

va acţiona semnalul unde reprezintă răspunsul sistemului

determinat de perturbaţia a cărei imagine Laplace s-a notat cu P(s)= L p(t).Semnalul de la ieşirea blocului părţii fixate, egal cu se adună în sumatorul () cusemnalul de la ieşirea blocului cu funcţia de transfer egal cuFuncţia de transfer corespunde canalului prin care perturbaţia acţionează asupra mărimiide ieşire. La ieşirea elementului sumator se obţine mărimea de ieşireFuncţia de transfer a sistemului deschis conform relaţiei (2.221) este de forma:

(2.285)iar funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu perturbaţia va fi:

(2.286)

Expresia funcţiei de transfer a sistemului automat închis, în raport cu perturbaţia, (2.286) conduce lao schemă de structură echivalentă cu ceadin figura 2.54 şi care este reprezentată înfigura 2.55.

3

3d

2d

22ddd

EC sK1

KT2s

K1

KTs

K1sH

sR

,sRsK1

KT2s

K1

KTs

K1s 3

3d

2d

22ddd

,...K

T2K16C;

K1

KT2C;

K1C;0C 2

d3d

32dd

2d

10

atrşiatvtr

,K

K1TaK

atvtd

d

d

.0tr

sHR ,tysY pp L typ ,tp

,sHsU F ,sV .sVsP

sV tp .typ

,sHsHsH FRd sP

,sH1

sVsPsY

sHd

pdef

0p

Dacă se întrerupe legătura inversă din schema de structură din figura 2.54, atunci şi rezultăcă funcţia de transfer a sistemului automat deschis în raport cu perturbaţia va avea expresia:

)s(V)s(P)s(Y)s(H P

P , (2.287)

În condiţii normale, asupra sistemului Fig. 2.55automat acţionează atât mărimea de referinţă cât şi perturbaţia În acest caz, la ieşireasistemului are loc superpoziţia efectelor celor două mărimi de excitaţie şi mărimea de ieşire sedetermină cu relaţia:

(2.288)

sau(2.289)

în care este componenta răspunsului determinată de mărimea de referinţă este

componenta răspunsului determinată de acţiunea perturbaţiei iar este funcţia de transfera sistemului automat închis în raport cu mărimea de referinţăÎn continuare, se determină funcţia de transfer a erorii în raport cu perturbaţia pentru sistemulreprezentat în figura 2.54. Pentru aceasta, în figura 2.54 se consideră mărimea de referinţă nulă

şi corespunzător eroarea (mărimea de la ieşirea elementului de comparaţie) în raport cuperturbaţia va fi:

(2.290)sau în imagini Laplace:

(2.291)

în care expresia mărimii de ieşire determinată de acţiunea perturbaţiei se obţine din relaţia(2.286):

(2.292)

Introducând relaţia (2.292) în (2.291) se obţine:

(2.293)

În baza relaţiei (2.293) se defineşte funcţia de transfer a erorii sistemului în raport cu perturbaţia:

(2.294)

De menţionat este faptul că în (2.294) expresia funcţiei de transfer rămâne aceeaşi, iarfuncţia de transfer depinde de locul în care se aplică perturbaţia.Funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu perturbaţia (2.286) ia diferite formedupă cum SA este static sau astatic, la acţiunea perturbaţiei.Din relaţia (2.286) şi utilizând teorema valorii finale, pentru regimul permanent se obţine expresiamărimii de ieşire determinată de acţiunea perturbaţiei:

(2.295)

sau

(2.296)

0tu

,tr .tp

,sPsH1

sVsRsH1

sHsYsYsYdd

dpr

,sPsHsRsHsY p00

sYr sY;sR p

,sP sH0

.sR ,tp

0tr

,tyt pp

,sYs pp

sP

,sPsH1

sVsYd

p

,sPsH1

sVsd

p

,sH1

sVsP

)s(sH

d

pdef

p

sHd

sV

,sHsPslimtylim P00Spt

,sH1

sVsPslimtylimd

0Spt

Considerăm că funcţia de transfer a sistemului deschis în raport cu perturbaţia conţine un polde ordinul în origine şi poate fi redată sub forma:

)s(GsK

)s(P)s(P

sK)s(V

2

1 , (2.297)

în care K este coeficientul de transfer static al sistemului deschis în raport cu perturbaţia, iarsunt polinoame în s care au proprietatea:

(2.298)şi deci:

(2.299)Funcţia de transfer a SA deschis se exprimă prin relaţia (2.228) şi este de forma:

(2.300)

unde este ordinul polului în origine.Ne referim la SA de stabilizare în care se consideră că perturbaţia are o variaţie treaptă [19]:

(2.301)şi corespunzător:

(2.302)

Introducând expresiile (2.297), (2.300), (2.301) în (2.296) se obţine:

(2.303)

Dacă expresia din partea dreaptă a relaţiei (2.303) este egală cu zero, atunci abaterea mărimiireglate sub acţiunea perturbaţiei este egală cu zero şi SA este astatic în raport cu perturbaţia treaptă.Cazul când termenul din partea dreaptă a relaţiei (2.303) este diferit de zero, corespunde unui SAstatic în raport cu perturbaţia treaptă.Se constată că în relaţia (2.303) dacă Deci, sistemul automat este astatic în

raport cu perturbaţia treaptă dacă ordinul polului în origine din funcţia de transfer a SA deschis înraport cu mărimea de referinţă este mai mare decât ordinul polului în origine din funcţia detransfer a SA deschis în raport cu perturbaţia.În cazul când sistemul automat este static în raport cu perturbaţia treaptă, dar este astatic înraport cu mărimea de referinţă treaptă.Erorile staţionare, după cum s-a arătat, reprezintă performanţe de regim staţionar ale sistemului dereglare automată. Se constată că atunci când se impune o eroare staţionară, în raport cu referinţa sauperturbaţia, este necesar să se precizeze tipul acestor mărimi de excitaţie.

2.4. ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIARE NETEDE ŞIÎNVARIATE ÎN DOMENIUL FRECVENŢELORÎn studiul sistemelor de reglare automată se folosesc mai multe metode, fiecare metodă fiind legatăde un model matematic specific prin care se evidenţiază o serie de proprietăţi care, în cele din urmă,vizează performanţele sistemului.Răspunsul la frecvenţă a unui SRA, precum şi caracteristicile de frecvenţă asociate acestuia,reprezintă modele matematice de tipul intrare-ieşire [1].Metoda caracteristicilor de frecvenţă a primit o largă utilizare în analiza şi sinteza SRA deoarecepermite aprecierea stabilităţii, a rezervei de stabilitate, precum şi sinteza circuitelor de corecţie.Totodată au avantajul că permit să se obţină, cu o anumită aproximaţie, răspunsul unui sistem la unsemnal de intrare treaptă [1].

sV

sPşisP 21

,100 21 PP

,10 pG sHd

,10G,sGsKsH d

d

tp ,tlptp 0

,s

psP 0

,sGKssGs

Kplimtylimd

p00Spt

0lim

typt.

2.4.1. Definirea răspunsului la frecvenţăMetoda frecvenţială de analiză a proprietăţilor dinamice ale unui sistem de reglare automată(subsistem sau element) constă în cercetarea răspunsului sistemului în regim permanent sinusoidal.La intrarea sistemului (subsistemului sau elementului) se aplică oscilaţii armonice de amplitudineconstantă, dar de pulsaţii diferite, iar la ieşirea sistemului pentru fiecare pulsaţie, în regimpermanent sinusoidal, se obţin de asemenea oscilaţii armonice de aceeaşi pulsaţie, dar cuamplitudinea şi faza iniţială diferite faţă de mărimea de intrare.Pentru definirea răspunsului la frecvenţă considerăm un element oarecare descris de o ecuaţiediferenţială de forma:

r0bdt

dr1bkdt

rkdkby0a

dt

dy1a1qdt

y1qd1qaqdt

yqdqa

, (2.304)

care prin aplicarea transformatei Laplace, în condiţii iniţiale nule, conduce la expresia:

şi respectiv la funcţia de transfer:

(2.304.a)

Pentru sistemele sau elementele reale se îndeplineşte totdeauna condiţia de realizabilitate fizică

Conform celor menţionate, dacă la intrarea elementului se aplică (pentru fiecare pulsaţie dindomeniul considerat) un semnal sinusoidal de amplitudine şi pulsaţie constante, atunci dupăterminarea regimului tranzitoriu, în regim permanent sinusoidal, la ieşire se obţine tot un semnalsinusoidal de aceeaşi pulsaţie, dar cu amplitudinea şi faza iniţială diferite faţă de mărimea deintrare.După cum s-a menţionat, răspunsul elementului conţine două componente:

),t(y)t(y)t(y ftr unde:

)t(y tr - este componenta tranzitorie sau liberă a răspunsului;)t(fy - este componenta de regim permanent sinusoidal sau forţată a răspunsului.

Determinarea analitică sau experimentală a răspunsului la frecvenţă se face, după cum s-aspecificat, în regim permanent sinusoidal, deci cu respectarea condiţiei:

sau

Pentru o pulsaţie oarecare în regim permanent sinusoidal, considerăm că mărimile de intrareşi ieşire sunt de forma:

(2.305)(2.306)

unde:- este amplitudinea mărimii de intrare- este faza iniţială a mărimii de intrare- este amplitudinea mărimii de ieşire- este faza iniţială a mărimii de ieşire.

este pulsaţia.

,sRbsb...sbsYasa...sasa 01k

k011q

1qq

q

,sPsP

asa...sasabsb...sbsb

sRsYsW

2

1

011q

1qq

q

011k

1kK

kdef

.kq

ty

tytylim ft

0tylim trt

,ct

,tsinAtr ii ,tsinAty ee

iA

i

eA

e,f2

Reprezentăm în complex nesimplificat mărimile sinusoidale din relaţiile (2.305), (2.306). Amintimcă imaginea în complex nesimplificat a unei mărimi sinusoidale este o funcţie complexă de timpavând modulul constant şi egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale şi argumentul egal cu fazaacesteia.Notăm reprezentările în complex nesimplificat astfel [20]:

(2.307)

unde este operatorul reprezentării în complex nesimplificat.Deci:

(2.308))et(ω jeAy e , (2.309)

În regim permanent sinusoidal, în ecuaţia diferenţială (2.304) mărimea de intrare este iarmărimea de ieşireOperaţiei de derivare în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde, prin reprezentareaîn complex nesimplificat, înmulţirea cu a imaginii în complex a mărimii supuse derivării.Derivatelor din (2.304) le corespund expresiile:

y)(jωdtyd , (2.310)

y2jω2dt

y2d , (2.311)

.

.

.

yqjωqdt

yqd , (2.312)

rjωdtrd

, (2.313)

rjωdt

rd 22

2

, (2.314)

...

rjωdt

rd kk

k

, (2.315)

Substituind expresiile (2.310)(2.315) în ecuaţia (2.304) se obţine:

r0bj1b...1kj1kbkjkb

y0aj1a...1qj1qaq)j(qa

, (2.316)

În baza relaţiei (2.316), raportul dintre mărimea de ieşire şi cea de intrare, reprezentate încomplex nesimplificat, pentru valori constante ale pulsaţiei , teoretic cuprinse între - şi +, senumeşte răspuns la frecvenţă a elementului (sau sistemului).

Notăm răspunsul la frecvenţă a elementului cu Atunci, din relaţia (2.316) rezultăexpresia răspunsului la frecvenţă:

(2.317)

,yyCşirrC

C

,eAr itji

,r.y

j

.jW

,...

...

2

1

011

1

011

1

jPjP

ajajajabjbjbjb

ry

jWq

qq

q

kk

kk

def

Comparând expresia (2.317) cu (2.304.a) se constată că pentru a obţine răspunsul lafrecvenţă este necesar ca în funcţia de transfer a elementului să se facă substituţia deci:

(2.318)

şi corespunzător:

(2.319)

Avându-se în vedere relaţia (2.318) şi prin analogie cu (2.304), răspunsul la frecvenţă se mainumeşte funcţie de transfer în frecvenţă [10, 11].Răspunsul la frecvenţă descris prin funcţia complexă de variabilă reală defineşte completregimul permanent sinusoidal, pentru al sistemului liniar continuu învariat cu funcţia detransfer sW . Deşi răspunsul la frecvenţă caracterizează regimul permanent sinusoidal, cu ajutorullui se pot determina proprietăţile dinamice ale sistemelor automate (stabilitatea, performanţetranzitorii).La relaţiile (2.318), (2.319) se mai poate ajunge, pe o cale mult mai scurtă, dacă se are în vederelegătura dintre transformata Laplace şi transformata Fourier. Practic, dacă în transformata Laplacese înlocuieşte variabila complexă jωσs cu variabila imaginară se obţine transformareaFourier. Rezultă că în expresia (2.319) mărimile )j(Y şi )j(R reprezintă transformatele Fourierdirecte ale mărimii de ieşire şi respectiv intrare:

dte(t)yy(t)jωY tjω

0

F , (2.320)

dtet)(rr(t)jωR tjω

0

F , (2.321)

numite imaginea Fourier a mărimii de ieşire, respectiv a celei de ieşire.Conform relaţiei (2.319) răspunsul la frecvenţă (funcţia de transfer în frecvenţă) reprezintă raportuldintre transformata Fourier directă a mărimii de ieşire şi transformata Fourier directă a mărimii deintrare, ambele în condiţii iniţiale nule.Având în vedere faptul că funcţia de transfer reprezintă imaginea Laplace a funcţiei pondere w(t),precum şi relaţia (2.318), se constată că funcţia de transfer în frecvenţă este imaginea Fourier afuncţiei pondere, deci:

,dt etjW tj

0

w

(2.322)

Funcţia compexă W(j) de variabilă reală , se poate pune sub forma: jVUeAjW )(j , (2.323)

unde:

- reprezintă amplitudinea sau modulul funcţiei de transfer în

frecvenţă )j(Warg)( - reprezintă faza sau argumentul funcţiei de transfer în frecvenţă )j(WRe)(U - este partea reală a funcţiei de transfer în frecvenţă )j(WIm)(V - este partea imaginară a funcţiei de transfer în frecvenţă.

Dependenţele între şi precum şi între şi sunt date de relaţiileevidente:

,js

,sWjW js

,2

1

jPjP

jRjYjW

jW,R

,js

jPjP

jWA2

1

A ,, VU ,, VU

- Caracteristica amplitudine-frecvenţă (pulsaţie) reprezintă dependenţa raportuluiamplitudinilor mărimilor de ieşire şi intrare în funcţie de pulsaţia

(2.332)

Modulul reprezintă amplificarea elementului sau sistemului dacă şi

respectiv atenuarea dacăPulsaţia pentru care valoarea raportului amplitudinilor mărimilor de ieşire şi intrare este egală cuunitatea se numeşte pulsaţie de tăiere, notată cu deci: 1WA tt , (2.333)

- Caracteristica fază-frecvenţă (pulsaţie) reprezintă dependenţa diferenţei dintre fazeleiniţiale ale oscilaţiilor armonice corespunzătoare mărimilor de ieşire şi intrare funcţie de pulsaţia

(2.334)Un element sau sistem dinamic este realizabil fizic dacă satisface condiţia de cauzalitate, adicărăspunsul nu precede în timp mărimea de intrare. Pentru sistemele şi elementele reale mărimeasinusoidală de la ieşire este defazată în urma mărimii sinusoidale aplicate la intrare, pentru oricepulsaţie , deci:

(2.335)Polii şi zerourile funcţiei de transfer influenţează asupra caracteristicilor de frecvenţă. O funcţie detransfer este de fază minimă dacă polii şi zerourile acesteia se găsesc în semiplanul stâng alplanului complex al rădăcinilor. Analizăm influenţa polilor şi zerourilor asupra caracteristicilorA( şi . Pentru exemplificare, se consideră două funcţii de transfer , de formămai simplă, care îndeplinesc condiţia şi a căror formă este:

Cele două funcţii de transfer auacelaşi pol , iar zerourilesunt diferite, şi respectiv

. În scopul unei analizecomparative s-a adoptat situaţia cândpoziţia zerourilor ( şi) este simetrică faţă de axa imaginarăa planului rădăcinilor. Se arată căfuncţia de transfer W1(s) este de fazăminimă. Caracteristicile amplitudine-pulsaţie asociate celor două funcţii de transfer sunt identice(fig. 2.57), Fig. 2.57în schimb caracteristicile fază-pulsaţie

, reprezentată în figura 2.58 şi respectiv , reprezentată înfigura 2.59, sunt diferite.Din figurile 2.58 şi 2.59 rezultă că , pentru aceeaşi gamă a pulsaţiilor, domeniul în care ia valoricaracteristica , asociată funcţiei de transfer de fază minimă, este mult mai mic decât celcorespunzător caracteristicii .Funcţia de transfer W2(s) este de fază neminimă. Se numesc sisteme de defazaj neminim sistemeledinamice liniare a căror funcţii de transfer au toţi polii şi numai o parte din zerouri în .

A .,0

,,0,AA

jWAi

e

jWA 1A .1A

,t

.,0 ,.0,jWarg ie

,0

C

sWşisW 21

,jWjW 21

,5s2ssW,

5s2ssW 21

,5p1 2z1

2z2

2z1 2z2

jWarg 11 jWarg 22

1

2

0sRe

Fig. 2.58 Fig. 2.59

Trasarea experimentală a caracteristicilor de frecvenţă şi presupune ca pentru fiecarepulsaţie din domeniul considerat, în regim permanent sinusoidal, să se calculeze raportulşi diferenţa după care în bază rezultatelor obţinute se trasează caracteristicile.

- Caracteristica reală de frecvenţă (pulsaţie) arată cum se modifică partea reală arăspunsului la frecvenţă în funcţie de pulsaţiaCaracteristica reală de pulsaţie satisface condiţia de simetrie menţionată prin relaţia (2.326).Cu ajutorul caracteristicii reale de pulsaţie se poate calcula răspunsul indicial al elementului sausistemului [1].

- Caracteristica imaginară de frecvenţă (pulsaţie) V() reprezintă dependenţa părţiiimaginare a răspunsului la frecvenţă în funcţie de pulsaţia .Caracteristica imaginară de pulsaţie satisface condiţiile menţionate prin relaţiile (2.327), (2.328) şide asemenea permite determinarea răspunsului indicial al elementului sau sistemului [1].Avantajul metodelor de frecvenţă constă în faptul că principalele reprezentările grafice (carcteristicaamplitudine-pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie) pot fi obţinute prin cercetări experimentale,aspect important pentru cazurile în care procesele supuse automatizării sunt complexe şi nu pot fidescrise analitic cu suficientă exactitate.Pentru sistemul automat deschis, cu funcţia de transfer se introduc: l.d.t. (sau locul Nygnist),caracteristicile logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie (diagramele Bode), iar pentrusistemul automat închis cu funcţia de transfer se introduc caracteristicile: caracteristicaamplitudine-pulsaţie, caracteristicile reală şi imaginară de pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie [2].

2.4.3. Proprietăţile locurilor de transfer ale sistemelor deschiseO importanţă deosebită în analiza SRA o prezintă caracteristica amplitudine-fază (l.d.t.) asistemului deschis deoarece permite, în conformitate cu criteriul de stabilitate Nygnist, să seaprecieze stabilitatea şi rezerva de stabilitate a sistemului.Se consideră schema de structură a SRA cu reacţie principală directă reprezentată în figura 2.47.a,iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis descrisă de relaţia (2.227):

(2.336)

şi prin substituţia se obţine răspunsul la frecvenţă:

A ie AA

,ie U

jW .,0

,sH d

sH0

,sG

sK

sasb

sK

1sa...sa1sb...sb

sK

sAsB

ssYsH dd

1r

r

1m

mdd

js

(2.337)

în careRăspunsul la frecvenţă a sistemului automat deschis poate fi exprimat sub o formă, analoagă cu(2.329), prin care sunt evidenţiate cele cinci caracteristici de frecvenţă:

(2.338)în care:

- este locul de transfer al sistemului automat deschis,

- este caracteristica amplitudine-fază,- este caracteristica fază-pulsaţie,- este caracteristica reală de pulsaţie,- este caracteristica imaginară de pulsaţie.

Aspectul l.d.t. a sistemului automat deschis depinde de valoarea şi de diferenţa m – r dintregradele polinoamelor respectiv dintre gradele polinoamelor din(2.336).Se propune a se determina asimptotele l.d.t. a sistemului deschis pentru pulsaţii joaserespectiv pentru pulsaţii foarte mari [1].

Pentru SA de tipul expresia (2.337) devine:

(2.339)

Pentru rezultă:(2.340)

deoarece şi respectivPentru SA cu l.d.t. începe de pe axa reală pozitivă (figura 2.60.a), în sensul că punctulcorespunzător pulsaţiei se află pe semiaxa reală pozitivă [1].Când în expresia (2.339) intervin numai termenii de cel mai mare grad din polinoamele

şi cum n > m rezultă:

(2.341)

deci, l.d.t. se termină în originea axelor de coordonate (figura 2.60.a). Pentru SA de tipul relaţia (2.337) ia forma:

(2.342)

în care 1nr)j(grad .Atunci când se obţine:

(2.343)

,jGjK

jajb

jK

1ja...ja1jb...jb

jK

jAjBjH

dd

1r

1m

mdd

r

.2,1,0iar,mnşinr

,jVUeAjH jd

jH d

jHA d

jHarg d

jHReU d

jHImV d

,jaşijb saşisb

,0 ,0

,jGKjajbKjH ddd

0 ,K0jH dd

10G .10jG ,0

0

jaşijb

,0jajbKlimjHlim dd

1

,jG

jK

jajb

jK

jH ddd

0

,eKlimjKlimjHlim 2

jdd

d 000

În relaţia (2.343) s-a avut în vedere că şi faptul că este un operator de rotaţie cu

(în sens direct trigonometric), iar este un operator de rotaţie cu în sens

invers trigonometric.Din relaţia (2.343) rezultă că pentru modulul vectorului complex tinde către infinit,

iar argumentul lui tinde către (figura 2.60.b). Deci, pentru asimptotă este semiaxa

imaginară negativă.Când conform cu (2.342) rezultă:

(2.344)

deoarece n = r + 1 şi n >m.Deci, şi în cazul SA de tipul l.d.t. se termină în origine (figura 2.60.b).

Pentru SA de tipul relaţia (2.337) devine:

(2.345)

Pentru se obţine:

j

2d

0d0e

Klim)j(Hlim (2.346)

în care s-a ţinut cont de faptul că şi corespunde unei rotaţii cu în sens

invers trigonometric.Din relaţia (2.346) se constată că pentru modulul lui tinde către infinit, iarargumentul său tinde către (figura 2.60.b). Deci, pentru asimptotă este semiaxa realănegativă.Pentru fiind îndeplinită condiţia n > m, n = r + 2, se obţine:

(2.347)

deci, şi în acest caz l.d.t. se termină în origine (figura 2.60.b).Din cele prezentate a rezultat:

- în domeniul pulsaţiilor mici, când argumentul vectorului complex tindecătre valoarea:

(2.348)

în care ia valorile practice .- în domeniul pulsaţiilor foarte mari datorită condiţiei n > m, unde

totdeauna 0jHlim d

(2.349)

10 jG ,ej 2j

2

,ejj1 2

j ,

2

0 jH d

2

0

,

,0jajb

jK

limjHlim dd

12

,jGjK

jajb

jK

jH 2d

2d

d

0

10 jG ,ejj1 j22

0 jHd

, 0

,0jajb

jK

jHlim dd

,0 jH d

,2

0

2,1,0 , rn

Fig. 2.60

Pentru cazul n = m, din relaţia (2.337) se obţine:

,abK)j(Hlim

n

mdd

(2.350)

Deci, punctul de pe l.d.t. corespunzător pulsaţiei se găseşte, în acest caz, pe semiaxa realăpozitivă [8].Dacă n m, punctul l.d.t. corespunzător lui este totdeauna la infinit. Elementele fizice realenu satisfac această condiţie.

2.4.4. Caracteristicile de frecvenţă ale sistemelor automate închiseSe consideră schema de structură a SRA, cu reacţie principală directă, reprezentată în figura 2.47.a,iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis descrisă de relaţia (2.336). În relaţia (2.336):

(2.351)

în care mnşim)s(Bgrad,n)s(Agrad Funcţia de transfer a sistemului automat închis este de forma:

)s(H1)s(H

)s(R)s(Y)s(H

d

d0

(2.352)

în care introducând relaţia (2.351) se obţine:

(2.353)

Se constată că n)s(Dgrad , deci funcţia de transfer a sistemului automat închis esterealizabilă fizic, respectându-se condiţia:

(2.354)Din relaţiile (2.351) şi (2.353) se constată că funcţiile de transfer ale sistemului automat deschis

şi respectiv a sistemului automat închis au acelaşi polinom la numărător, iarpolinoamele de la numitor sunt diferite, dar de acelaşi grad.În relaţia (2.352) făcând substituţia se obţine funcţia de transfer în frecvenţă asistemului automat închis, care poate fi redată sub forma:

(2.355)Din expresia (2.355) se pot obţine, pentru sistemul în stare închisă, caracteristicile de frecvenţă:

caracteristica amplitudine-pulsaţie: caracteristica fază-pulsaţie: caracteristica reală de pulsaţie: (2.356) caracteristica imaginară de pulsaţie:

,sA

)s(BssYsHd

,

dsd...sdsdbsb...sbsb

sDsB

sBsAsBsH

011n

1nn

n

011m

1mm

m0

,mn

sHd sH 0

js jH 0

,jQPeMjH j0

;jHM 0

;jHarg 0 ;jHReP 0

.jHImQ 0

aceste caracteristici exprimând, pentru sistemul în stare închisă, dependinţele de pulsaţie alemodulului, argumentului, părţii reale şi părţii imaginare a vectorului complex În bazateoremelor valorii finale şi iniţiale se poate stabili o corespondenţă între caracteristicile de frecvenţăale sistemului închis şi răspunsul indicial. Pentru SRA cu reacţie principală directă, descris defuncţia de transfer (2.352), considerăm mărimea de intrare treaptă unitară şicorespunzător:

(2.357)

Conform teoremei valorii finale, când la intrarea sistemului închis se aplică o treaptă unitară seobţine:

, (2.358)

iar după substituţia(2.359)

Din (2.359) rezultă că regimul staţionar este determinat de zona frecvenţelor joase alecaracteristicii de frecvenţă Prin aplicarea teoremei valorii iniţiale se obţine:

(2.360)

şi cum pentru trecerea în domeniul frecvenţial se face substituţia rezultă că începutulprocesului tranzitoriu este determinat de zona frecvenţelor ridicate ale caracteristicii de frecvenţă,deci lui îi corespunde în domeniul pulsaţiilor Această zonă a frecvenţelor ridicate

prezintă mai puţin interes. Porţiunea din regimul tranzitoriu pentru care se stabilescperformanţele sistemului este dată de zona pulsaţiilor medii ale caracteristicii de frecvenţă.Dintre caracteristicile de frecvenţă din (2.356), două sunt mai frecvent utilizate: caracteristicaamplitudine-pulsaţie M() şi caracteristica reală de pulsaţie P().

2.4.4.1. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului automat închisPentru schema de structură a SRA cu reacţie principală directă (figura 2.47.a), având în

vedere expresia funcţiei de transfer a acestuia, dată de relaţia (2.352), precum şi expresia funcţiei detransfer a sistemului automat deschis (relaţia 2.336) care este de forma:

(2.361)

se obţine:

,)s(GdKs

)s(GdK

)s(D)s(B

)s(R)s(Y

)s(0H (2.362)

în care valorile practice ale lui sunt .1)0(Gşi2,1,0 Făcând substituţia din (2.362)se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului închis:

(2.363)

În cazul SA de tipul din (2.363) rezultă [1]:

1)0(M)0j(0HdK1

dK)0j(0H

(2.364)

întrucât este o mărime reală şi pozitivă, iarÎn cazul SA de tipul relaţia (2.363), pentru conduce la:

.jH0

t1tr

,s1sR

0HsHlimsHssRlimssYlimtylimy 000s00s0st

:js ,0jHjHlimy 000

t .0

,sHlimsHs1slimssYlimtylim0y 000t sss

,js

0t .

,sG

sK

sAsB

ssYsH d

d

,js

,jGKj

jGKjH

d

d0

,0pentru,0

dK .10 jG,2sau1 ,0

1)0(M)0j(0HdKdK

)0j(0H (2.365)

Caracteristica începe fie de la valoarea când fie de la o valoaresubunitară cândValoarea iniţială furnizează informaţii asupra preciziei sistemului. De exemplu, pentru aobţine eroarea staţionară pentru o mărime de intrare treaptă unitară, se impune ca

deci SA să fie de tipulCând din (2.349) şi (2.363) rezultă [1]: 0)(lim 0

jH ,

deci:(2.366)

În figurile 2.61.a şi 2.61.b sunt reprezentate, în principiu, caracteristicile pentru cazuliar în figurile 2.62.a şi 2.62.b pentru cazurile

Fig. 2.61Caracteristica permite determinarea lărgimii de bandă a sistemului automat închis, carecaracterizează proprietăţile de filtru ale sistemului, adică comportarea acestuia în raport cuperturbaţiile de înaltă frecvenţă [1].

Fig. 2.62

Se consideră ca lărgime de bandă gama de pulsaţii pentru care este îndeplinită condiţia [1]:

(2.367)

la limita acestei game găsindu-se pulsaţia pentru care:

(2.368)

Pentru pulsaţii sistemul se comportă ca un filtru trece jos, iar pentru pulsaţii seconsideră că atenuarea semnalelor este puternică (reamintim că reprezintă raportulamplitudinilor sinusoidelor de la ieşirea şi intrarea sistemului automat închis).Pentru ca influenţa perturbaţiilor de înaltă frecvenţă asupra mărimii de ieşire să fie cât mai redusă,pentru lărgimea de bandă se impune o performanţă de forma:

M 10 M ,2sau1 10 M .0 0M

,0 ST ,10 M .2sau1

,

,0jHlimMlim 0

M ,0.2,1

M

,22

M

,B

,22M B

B0 B

jHM 0

Funcţia stes

sH )(0 are un pol simplu în origine (s= 0). În acest caz se efectuează integrarea de-a

lungul axei imaginare (c = 0) şi se ocoleşte originea prin semicercul de rază g infinit micăaşa cum se ilustrează în figura 2.63. Fig. 2.63

Efectuând integrarea (2.372) după conturul rezultă:

(2.373)În integrala din (2.373), din intervalul s-a exclus intervalul

Dar:

(2.374)Având în vedere (2.374), relaţia (2.373) devine

(2.375)

Înlocuind în (2.375) relaţiile cunoscute:

se obţine:

(2.376)

În relaţia (2.376) se evidenţiază partea reală şi partea imaginară:

(2.377)

Întrucât în membrul stâng al relaţiei (2.377) apare funcţia reală partea imaginară din membruldrept trebuie să fie nulă.Reţinând numai partea reală din membrul drept, relaţia (2.377) devine:

(2.378)

Sub cele două integrale din expresia (2.378) apar funcţii pare de deoarece suntfuncţii pare, iar sunt funcţii impare, aspect care permite a se lua dublulrezultatului integrării pe o jumătate a intervalului,obţinându-se:

(2.379)

Se ştie că răspunsul indicial este identic nul pentru t < 0, sistemul respectând condiţia decauzalitate.

,0g c

,0t,e

ssH

zRejj2

1)j(dej

jHj2

1ty0S

00 sttjjc

jc

j,j ,jg,jg .0g

,0Hes

sHslimes

sHzRe 00

0S0S

0 stst

,0t,0H21de

jjH

21ty 0

0 tj

tsinjtcose

,jQPjHtj

0

,0t,dtsinjtcosj

jQP210H

21ty 0

,0t,dtsinQtcosP2j

dtcosQtsinP210H

21ty 0

,ty

,0t,dtcosQ21dtsinP

210H

21ty 0

tcosşiP şitsin,Q

,0t,dtcosQ1dtsinP10H21ty

00

0

ty

Dacă în (2.379) se face schimbarea de variabilă t cu (-t) şi se are în vedere că se obţine:

(2.380)

Scăzând membru cu membru (2.380) din (2.379) se obţine:

(2.381)

Dacă adunăm relaţiile (2.380) şi (2.381) obţinem:

(2.382)

De menţionat este căRelaţiile (2.381) şi (2.382) exprimă răspunsul indicial în funcţie de partea reală, respectiv parteaimaginară a răspunsului la frecvenţă.Procedând în mod similar se calculează funcţia pondere în funcţie de şi respectivDeoarece imaginea Laplace a impulsului unitar este pentru funcţia ponderese obţine o relaţie de forma:

(2.383)

în care c = 0.Urmărind aceeaşi metodologie de calcul, pentru funcţia pondere se obţine:

(2.384)

(2.385)

Menţionăm că, de exemplu, în baza relaţiei de legătură dintre răspunsul indicial şi funcţia pondere,care este de forma:

(2.386)

din (2.384) se obţine (2.381) şi respectiv din (2.385) se obţine (2.382).Rezolvarea integralei din (2.381) şi (2.382) este dificilă deoarece deseori sunt

polinoame de ordin superior.Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează, de regulă, formula (2.381). Pentru determinarearăspunsului indicial, în baza relaţiei (2.381), se foloseşte metoda trapezelor (elaborată deSolodovnicov în 1948) care este o metodă grafoanalitică de integrare [1, 2, 3, 17, 21].

2.4.4.3. Determinarea performanţelor SRA cu ajutorul caracteristicii )(P Caracteristica reală de pulsaţie a sistemului de reglare automată permite apreciereaperformanţelor staţionare şi tranzitorii.Valoarea iniţială a caracteristicii dă informaţii privind regimul staţionar şi depinde de tipulsistemului automat. Pentru SRA cu reacţie principală directă, având funcţia de transfer a sistemului

,0ty 0t

,0t,dtcosQ1dtsinP10H210

00

0

,0t,dtsinP2thty0

,0t,dtcosQ20Hthty0

0

.000 PH

tw P .Q t ,1tsR L

,0t,dsesHj2

1twty st0

jc

jc

,0t,tdcosP21twty

0

,0t,dtsinQ21twty

0

,d)(wtht

0

QşiP

P

P

deschis dată de relaţia (2.361), rezultă funcţia de transfer a sistemului închis care este de forma(relaţia 2.362):

,)s(GdKs

)s(GdK

)s(D)s(B

)s(R)s(Y

)s(0H

(2.387)

în careÎn (2.387) făcând substituţia se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului închis:

(2.388)

Dacă SA este de tipul atunci din (2.388) pentru se obţine:

1dK1

dK)0(P)0j(0H

(2.389)

deoarece .0)0(Q Caracteristica pentru SA de tipul are valoarea iniţială subunitară (caracteristica1 din figura 2.64), conform cu (2.389). În cazul când SA este de tipul relaţia(2.388) pentru devine:

1dKdK

)0(P)0j(0H (2.390)

deci, totdeauna pentru valoarea iniţială (caracteristica 2 din figura 2.64).

Fig. 2.64

Se constată că relaţia (2.389) este identică cu (2.364), iar (2.390) identică cu (2.365).Legătura dintre regimul staţionar al sistemului şi caracteristica se stabileşte cu ajutorulteoremei valorii finale. În acest scop se scrie relaţia (2.359) astfel:

(2.391)

Relaţiile (2.391), (2.389), (2.390) permit determinarea valorii de regim staţionar a răspunsuluiindicial:

(2.392)Utilizând teorema valorii iniţiale se stabileşte legătura dintre valoarea iniţială a funcţiei indiciale şivaloarea finală a caracteristicii )(P .Conform relaţiei (2.360) putem scrie;

(2.393)

Funcţia devine nulă pentru dacă gradul m al polinomului de la numărătorul funcţieide transfer este mai mic sau egal cu gradul n al polinomului de la numitorul funcţiei detransfer, deci dacă se respectă condiţia de cauzalitate

Pentru m < n valoarea finală a caracteristicii este egală cu zero:

.2,1,0iar,10 G js

,jGKj

jGKjQPjH

d

d0

,0 0

,P ,0 0P,2sau1

0

2,1 10 P

P

,0PjQPlimjHlimh00 0

,0P0Hh 0

,PlimjQPlim0h

Q , sH 0

.mn P

(2.394)

În cazul m = n valoarea pentru este diferită de zero şi se poate demonstra că:

(2.395)

în care corespund relaţiei (2.353).Performanţele regimului tranzitoriu corespund zonei pulsaţiilor medii a caracteristicii şidepind de proprietăţile caracteristicii de frecvenţă din această zonă.Una din performanţele tranzitorii fundamentale este suprareglajul , de valoarea acestuia fiindlegată amortizarea sistemului. Suprareglajul funcţiei indiciale nu depăşeşte 18% din valoareastaţionară dacă funcţia (figura2.65) este pozitivă şi monoton descrescătoare

în tot intervalul pulsaţiilor

(2.396)

Se demonstrează cele menţionate plecând dela expresia răspunsului indicial (relaţia 2.381): Fig. 2.65

,

în care se face schimbarea de variabilă:(2.397)

şi deci:

(2.398)

Se dă lui t o valoare oarecare şi se dezvoltă răspunsul indicial în următoarea serie:

(2.399)

Expresia (2.399) mai poate fi redată astfel:

(2.400)

Deoarece seria (2.400) este alternantă şi are loc pentru orice moment de timp t considerat[2].Corespunzător cu (2.399) răspunsul indicial se poate scrie sun forma [2]:

(2.401)în care:

,0Plim

P

,0hdb

Plimn

n

nn dşib P

,hh ST P

,cu0 P:0

0d

dP0P

0,sin2

0

tdtPth

,tx

,dxx

xsintxP2th

0

th

...xdxsinxtxP

2xdxsinxtxP

2th2

0

,dxxsinxtxP

2th1k

k0k

,0P

3210 hhhhth

(2.402)

Seria alternantă (2.400) este convergentă deoarece cu creşterea lui x şi îndeplinirea condiţiilor(2.396) valorile absolute ale termenilor ei descresc şi tind către zero.Deoarece suma restului unei serii alternante convergente nu poate avea valoarea mai mare decâtvaloarea primului său termen, se poate scrie inegalitatea:

(2.403)

Înlocuind sub integrală funcţia cu valoarea ei maximă inegalitatea (2.403) se va

accentua şi mai mult şi se poate scrie:

(2.404)

Având în vedere valoarea sinusului integral

din (2.404) se obţine )0(P85,12)t(h

şi deci:

, (2.405)Inegalitatea (2.405) are loc pentru orice moment de timp, deci şi pentru momentul de timp cândrăspunsul indicial atinge valoarea maximă Cunoscând că se obţine

h18,1h m , de unde rezultă valoarea suprareglajului :

(2.406)

Adesea caracteristica nu satisface condiţiile (2.396) prezentând o valoare maximă, pentrucare conduce la creşterea suprareglajului în raport cu valoarea determinată de (2.406). În

acest caz, pentru a aprecia suprareglajul se apelează la relaţia (2.381) şi la rezultatul obţinutpentru valori mici ale suprareglajului (când se respectă 2.396). În figura 2.66.a se prezintă ocaracteristică reală de pulsaţie care conţine un maxim şi care îndeplineşte condiţiapentru valori crescătoare ale pulsaţiei , de la 0 la . O astfel de caracteristică poate fi echivalatăsub forma diferenţei caracteristicilor

(2.407)aşa cum se redă în figura 2.66.b.

,0dxxsinxtxP

21h1k

k

kk

,dxxsinxtxP

2th0

txP ,0P

,dxx

xsin0P2th0

85,1dxx

xsinS0

i

0t,0P18,1th

th .hm hP 0

,18,0

hhh m

P,0

maxP 0P

:PşiP 21 ,PPP 21

Fig. 2.66

Având în vedere (2.407), conform relaţiei (2.381) se poate scrie:

(2.408)

Renunţând în (2.408) la ultima integrală din membrul doi, care este pozitivă, se obţine:

(2.409)

Întrucât funcţia satisface condiţiile (2.396) se poate utiliza relaţia (2.405), cu luarea înconsiderare a faptului că pentru caracteristica avem (fig. 2.64.b), deci:

în care înlocuind cu şi având în vedere egalitatea rezultă:

(2.410)

Dacă, de exemplu, în (2.410) se consideră raportul atunci suprareglajul nudepăşeşte 53,5%.O limitare de forma asigură o limitare de forma [1]:

în care este o valoare maximă impusă caracteristicii în scopul limitării

suprareglajului şi deci în scopul asigurării unei performanţe de forma

În situaţia când caracteristica prezintă un maxim şi un minim, suprareglajul este determinatatât de valoarea maximă cât şi de valoarea minimă a caracteristicii.Cu cât valorile maximă şi minimă a caracteristicii vor fi mai mari, caracterul oscilant alrăspunsului indicial va fi mai pronunţat.În literatura de specialitate [2] pentru o caracteristică , având forma din figura 2.67, se prezintăurmătoarea relaţie pentru evaluarea suprareglajului :

(2.411)

Inegalitatea (2.411) în cazul când conduce la inegalitatea (2.410) iar dacă nuprezintă un maxim pentru deci se obţine inegalitatea (2.405) care poate ficonsiderată ca o inegalitate de referinţă [2].

,tdsin

P2tdsinP2th 2

0

1

0

,tdsin

P2th 1

0

1P 1P maxP0P

maxP18,1th th mh 0Ph

,1

0PP

18,10P

0PP18,1 maxmax

,3,10max PP

impvV MM

impmaxmax PP

impmaxP P.imp

PmaxP minP

P

P

,0P

0PP274,0P18,1 minmax

0min P P,0 ,0min PP

Fig. 2.67

Dacă funcţia prezintă o discontinuitate pentru o pulsaţie oarecare (fig. 2.68), atuncisistemul se află la limită de stabilitate22.

Fig. 2.68

Se consideră, conform cu (2.353), răspunsul la frecvenţă a sistemului automat închis de forma:

,

în care partea reală a lui poate fi exprimată astfel:(2.412)

unde

se obţine din polinomul caracteristic D(s) prin evidenţierea polilor, iar este conjugatacomplexă a lui . Din (2.412) rezultă că numai în cazul când arerădăcinile imaginare conjugate (j) şi când corespunzător devin nuli.

Prezenţa rădăcinilor imaginare conjugate indică faptul că sistemul se află la limită destabilitate.

Durata procesului tranzitoriu se poate evalua în funcţie de pulsaţia de bandă (fig. 2.69) definităpentru o caracteristică trapezoidală 2,4.

Fig. 2.69

)(P 1

jQPjDjBjH 0

jH 0

,jDjD/jDjBReP

k21n sjsjsjdjD

jD jD P 0sD

jDşijD

0

Pentru se utilizează relaţia în cazul caracteristicii trapezoidale 2,4 În

cazul unei caracteristici arbitrare, trebuie selectat trapezul reprezentativ şi în raport cuparametrii caracteristici ai acestuia, se evaluează şi ttr 2.

2.4.5. Obţinerea caracteristicilor şi ale sistemului automat închis cunoscândlocul de transfer a sistemului deschisPe cale grafo-analitică se poate determina caracteristicile reală de pulsaţie şi respectivimaginară de pulsaţie ale sistemului automat închis, dacă sunt cunoscute caracteristicile depulsaţie ale sistemului deschis. Se prezintă modul cum se determină caracteristicile şiutilizând l.d.t. a sistemului deschis.Pentru un SRA cu reacţie principală unitară între răspunsul la frecvenţă a sistemului închisşi răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis există relaţia:

(2.413)

în care conform relaţiilor (2.355), (2.338):(2.414)(2.415)

Introducând relaţiile (2.414) şi (2.415) în (2.413) se obţine:

respectiv:

(2.416)

Din relaţia (2.416) separând părţile reală şi imaginară rezultă:

(2.417)

(2.418)

Relaţiile (2.417) şi (2.418) exprimă dependenţele dintre funcţiile şi ale sistemuluiînchis în funcţie de coordonatele şi ale l.d.t. a sistemului deschis. Aceste relaţii permit astabili, în planul locul geometric al punctelor corespunzătoare valorilor constante

şi respectiv ale sistemului închis. Din relaţia (2.417) se obţin ecuaţiilepentru P = ct, iar din (2.418) ecuaţiile pentruPentru simplificarea scrierii se folosesc notaţiile [1]:

Se scrie relaţia (2.417) sub forma:

sau:

respectiv:

(2.419)

5.0,2.00

d

0

108t tr

P

P Q

P Q

P Q

jH 0

jHd

,jH1jH

jHd

d0

,jQPjH0 ,jVUjHd

,jVU1

jVUjQPjH 0

,VU1

jVU1jVUjQPjH220

,VU1

VU1UP22

2

,VU1

VQ22

P Q U V

,, jVU ctPP ctQQ

.ctQ

.VV,UU,QQ,PP

,0VUUPVPU2PUP 2222

,P1P2U1PV1PU 22

,P1

PP1P21UVU 22

22

2

Q21

Q21VU1

, (2.421)

care reprezintă pentru Q = ct, în planul un cerc cu centrul în punctul de coordonateşi de rază Pentru diverse valori ale parametrului Q se obţine, familia

cercurilor de Q = ct având centrele pe dreapta U()=-1 şi trecând prin punctul de coordonateaşa cum se prezintă în figura 2.71. Metodica determinării caracteristicii de pulsaţie Q()

cunoscând l.d.t. Fig. 2.71a sistemului deschis este similară cu cea descrisă pentru familia de cercuri P = ct.

2.4.6. Caracteristicile logaritmice de frecvenţăÎn analiza şi sinteza SRA au primit o largă utilizare caracteristicile logaritmice de frecvenţă(pulsaţie) datorită unor avantaje care conduce la diminuarea efortului de calcul. De asemenea,utilizarea caracteristicilor logaritmice de pulsaţie permite cuprinderea unor domenii extinse devalori pentru pulsaţia . Cele mai importante caracteristici, la scară logaritmică, sunt caracteristicaamplitudine-pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie. Reprezentarea la scară logaritmică acaracteristicilor amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie permite aproximarea acestora prin segmente dedreaptă, fără erori importante [1]. Liniarizarea acestor caracteristici constituie un avantaj alreprezentării la scară logaritmică. Un alt avantaj îl constituie faptul că reprezentările la scarălogaritmică, a caracteristicilor menţionate, permit o trece uşoară de la caracteristicile logaritmice aleelementelor componente la caracteristica ansamblului. Pentru argumentarea acestei afirmaţii seconsideră trei elementele cu funcţiile de transfer conectate în serie (fig. 2.35).Conform figurii 2.35 funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie este

iar prin substituţia se obţine:

şi, în continuare, folosind expresiile:

)j(2j22

)j(1j11

ej(G)j(G

ej(G)j(G

)j(4j44

)j(3j33

ej(G)j(G

ej(G)j(G

va rezulta:,e)j(G)j(G)j(Ge)j(G )](3)(2)(1[j

321)(4j

4

şi deci:(2.422)

),()()()( 3214 (2.423)Prin logaritmare relaţia (2.422) devine:

(2.424)Conform relaţiilor (2.423) şi (2.424) caracteristicile logaritmice de pulsaţie ale elementuluiechivalent (ale ansamblului) se obţin prin simple însumări ale caracteristicilor elementelorcomponente.Pentru trasarea caracteristicilor logaritmice de pulsaţie menţionate, cel mai frecvent în automatică,sunt utilizate ca unităţi logaritmice decibelul, decada şi, mai rar, octava şi neperul. Pentru aevidenţia cum sunt utilizate aceste unităţi în trasarea caracteristicilor de pulsaţie, la scarălogaritmică, se consideră un element cu funcţia de transfer (relaţia (2.304)) şi respectiv curăspunsul la frecvenţă )j(W , pe care-l exprimăm sub forma exponenţială:

,, jVU Q21,1 .21 Qr

,0,1 j

jHd

sG,sG,sG 321

,sGsGsGsG 3214 js ,jGjGjGjG 3214

,jGjGjGjG 3214

,jGlgjGlgjGlgjGlg 3214

sW

(2.425)În cazul caracteristicii amplitudine-pulsaţie sunt exprimate logaritmic atât valorile din axaordonatelor, cât şi cele din axa absciselor.Pe axa ordonatelor se trasează la scară liniară valoarea modulului exprimată îndecibeli notată cu

)(Alg20)j(Wlg20)(AdB , (2.426)Decibelul este unitatea logaritmică cu ajutorul căruia se poate exprima valoarea unei mărimiadimensionale cum ar fi raportul a două tensiuni, presiuni, amplitudini etc. În cazul considerat (relaţia (2.426)) se exprimă în decibeli raportul dintre amplitudinea a sinusoidei de la ieşireaelementului şi amplitudinea a sinusoidei de la intrare, pentru fiecare pulsaţie , din domeniulconsiderat.Dacă, de exemplu, raportul celor două amplitudini este atunci pentru pulsaţiarespectivă are loc o amplificare, în decibeli, egală cu Dacă,atunci şi amplitudinea în decibeli este nulă.Pulsaţia pentru care se numeşte pulsaţie de tăiere şi se notează cu Deci, pentrupulsaţia de tăcere

)(Alg20)j(Wlg20)(A tttdB (2.427)şi deci corespunde intersecţiei caracteristicii logaritmice amplitudine pulsaţiei cu axa abscisei.În gama de pulsaţii în care are loc atenuarea mărimii de intrare, raportul amplitudinilor estesubunitar şi acestei atenuări îi corespunde (pe ordonată) valori negative exprimate îndecibeli.Porţiunea de caracteristică, la scară logaritmică, corespunzătoare atenuării semnalului de intrare se

găseşte sub axa abscisei.Pe axa absciselor, vom avea la scară logaritmică pulsaţia ω(rad/s) pentru care la scară liniară vacorespunde decada sau octava.Decada este intervalul de pulsaţii, la scară logaritmică, cuprins între ωi şi 10ωi unde ωi este ovaloare oarecare a pulsaţiei.Logaritmând pe ωi şi 10ωi se stabileşte intervalul definit de o decadă astfel:

Intervalul definit de o decadă va fi:decadă110lgilgi10lg

În intervalul unei decade scara este logaritmică.Octava este intervalul de pulsaţie, la scară logaritmică, cuprins între este ovaloare oarecare a pulsaţiei. Logaritmând pe se obţine:

iar intervalul de pulsaţii definit de o octavă va fi:

În automatică şi în produsele software specializate pentru automatică se utilizează decada, faptpentru care în continuare se operează cu această unitate logaritmică. Deci, caracteristica logaritmicăamplitudine-pulsaţie este diagrama

,eAejWjW jj

AjW :Adb

2A

1A

,1012 AA.db20)AAlg(20 12 ,112 AA

01lg20 112 AA .t

:t

t

112 AA

,lg10lg10lglg

ii

i

iii unde,2şi ,2şi ii

,lg2lg2lglg

ii

i

.octavã12lglg2lg ii

.A,lg db

La caracteristica fază-pulsaţie numai axa pulsaţiilor este gradată logaritmic în decade (uneorioctave), iar axa ordonatelor este gradată în grade sau în radiani (uneori). Deci, caracteristicalogaritmică fază-pulsaţie este diagramaCele două caracteristici logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie se prezintă, de regulă,împreună alcătuind diagrama Bode (sau caracteristicile logaritmice).Pentru caracteristicile logaritmice, deşi s-a precizat că abscisa este şi nu , totuşi valorilegradaţiilor acestei axe se trec pentru şi nu pentru . Acest aspect uşurează interpretareaacestor caracteristici. Sistemul de axe la scară logaritmică (semilogaritmică) se prezintă în figura2.72.

Fig. 2.72

În figura 2.72 s-au trasat mai multe segmente de dreaptă având pante diferite. În intervalul de odecadă, de la s-au trasat trei segmente de dreaptă cu pantele

iar în intervalul deo decadă, de la un segment cu panta

Prezintă interes, din punctul de vedere al stabilităţii sistemulliniar, caracteristica de pulsaţie amplitudine-fază, care setrasează în coordonate şi este gradată înpulsaţii.În figura 2.73 se prezintă diagrama amplitudine logaritmică-fază pentru un element a cărui răspuns la frecvenţă este de forma[32]:

În figura 2.73 pe axa abscisei valorile lui sunt redate îngrade, iar pe ordonată amplitudinea este exprimată în decibeli

Caracteristica este gradată în pulsaţii,iar atunci când nu sunt specificate valorile pulsaţiilor

.,lg

lglg

,1,0la01,0 ,dec/dB40,dec/dB20,dec/dB20

,1la1,0 .dec/dB40

Alg20,

,16j1j5,0j5jG

.jGlg20Adb

sensul de creştere alpulsaţiilor se indică printr-o săgeată.

Fig. 2.73

2.4.7. Răspunsul la frecvenţă a unor elemente tipizateSe consideră schema din figura 2.34 în care este mărimea de intrare în elementulconsiderat, iar este mărimea de ieşire.

2.4.7.1. Elementul proporţional (tip P)Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.157.a), este:

(2.428)iar funcţia de transfer este:

(2.429)

În relaţia (2.429) făcând substituţia se obţine funcţia de transfer în frecvenţă (în imaginiFourier), care se scrie sub forma (2.323):

(2.430)

Din relaţia (2.430) rezultă:(2.431)(2.432)

(2.433)

(2.434)

Caracteristicile de frecvenţă sunt redate în figura 2.74 şi corespund pentru K > 0 şi

Fig. 2.74

Locul de transfer se reprezintă printr-un punct situat pe axa reală, de coordonateCaracteristica amplitudine-pulsaţie figura 2.74.a, şi respectiv caracteristica

logaritmică amplitudine-pulsaţie (figura 2.74.d) nu depind de pulsaţia . Unei valori K >1 îicorespunde amplificarea semnalului de intrare, iar K<1 corespunde atenuării acestuia. Deoarece

pentru toată gama de pulsaţii considerată, mărimea sinusoidală de la ieşire este în fază cucea de la intrare.

trsR L tysY L

,trKty

,KsRsYsW

js

,KjVUeAjRjYjW j

,KUA ,0V

,0

UVarctg

.Klg20jWlg20Alg2AdB

.,0

KjW .0, jK ,A

,0

2.4.7.2. Elementul integrator ideal (tip I)Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.159.a), este de forma

(2.435)

iar funcţia de transfer este

(2.436)

Făcând substituţia din relaţia (2.436) se obţine răspunsul la frecvenţă a elementului, carepoate fi pus sub forma:

(2.437)

Din relaţia (2.437) se constată că:

(2.438)

(2.439)

(2.440)

(2.441)

Din relaţiile (2.438)(2.441) rezultă:(2.442a)

(2.442b)

Caracteristicile de pulsaţie ale elementului integrator ideal, pentru şi suntreprezentate în figura 2.75.Din expresia (2.438) se obţine ecuaţia caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie, care esteecuaţia unei drepte:

(2.443)

Pentru a determina panta caracteristicii amplitudine-pulsaţie se consideră un domeniu de pulsaţiiegal cu o decadă (de la şi se calculează variaţia amplitudinii, la scarălogaritmică, corespunzătoare acestui interval.Pentru se scrie:

(2.444)

Având în vedere relaţia (2.443) care corespunde lui şi expresia (2.444) se calculeazăvariaţia amplitudinii, în decibeli, pentru o decadă:

(2.445)A rezultat că panta caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie a elementului integrator idealeste de – 20 dB/dec (fig. 2.75.f.).Pulsaţia de tăiere corespunde intersecţiei caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie cu axaabscisei, deci:

Din relaţia de mai sus se constată că valorii K = 1 îi corespunde iar pentru vacorespunde pulsaţia

,dttrKty

,

sK

sRsYsW

js

,eKKjjKjVUeAjW 2

jj

,KA

,ct2

,0U

,KV

,Vlim0V;Alim0A00

,0VlimV;0AlimA

,0 ,0K

,lg20Klg20Klg20A dB

)10la 21

102

,lg2010lg20Klg2010

Klg2010A dB

1

.dB2010lg20A10AA dBdBdB

t

,0Klg20At

tdB

,1t 1K

.Kt

Din relaţia (2.439), căreia îi corespunde figura 2.75.e, rezultă că elementul integrator ideal este unelement de întârziere care introduce un defazaj egal cu - /2, adică mărimea sinusoidală de la ieşireeste defazată în urma celei de la intrare cu indiferent de pulsaţie.

Fig. 2. 75

2.4.7.3. Elementul derivativ ideal (tip D)Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.158.a), este de forma

(2.446)

şi corespunzător funcţia de transfer este:

(2.447)

Se determină funcţia de transfer în frecvenţă făcând în (2.447) substituţia(2.448)

care poate fi scrisă sub forma:

(2.449)Din relaţia (2.449) se obţine:

(2.450)

(2.451)

(2.452)(2.453)

, (2.454)Caracteristicile de frecvenţă ale elementului derivativ ideal, pentru K > 0 şi suntreprezentate în figura 2.76.

,2

,dt

tdrKty

,KssRsYsW

:js ,jKjW

,eKjKjVUeAjW 2jj

,KA

,2

ct

,0U ,KV lg20Klg20Klg20AdB

,,0

Fig. 2.76

Caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie (relaţia 2.454) reprezintă o dreaptă a cărei pantă sedetermină similar cu cazul precedent.Având în vedere relaţia (2.454) şi faptul că:

se obţine variaţia amplitudinii, în decibeli, corespunzătoare unei decade:(2.455)

deci panta caracteristicii logaritmice este de + 20 dB/dec.Privind pulsaţia de tăiere, se constată că pentru K=1, din relaţia , rezultăt=1, iar pentru K1 se obţine t=1/K.Din relaţia (2.451), căreia îi corespunde figura 2.76.d, se constată că elementul derivativ ideal esteun element de anticipaţie care introduce un defazaj egal cu adică mărimea sinusoidală de laieşire este defazată, pentru toată gama de pulsaţii, înaintea celei de la intrare cu (este unelement necauzal).

2.4.7.4. Elementul de întârziere de ordinul IEcuaţia de funcţionare a elementului de întârziere de ordinul I este descrisă de relaţia (2.160.a):

(2.456)

în care T este constanta de timp a elementului, iar K coeficientul de transfer.Funcţia de transfer (relaţia 2.160.b) este:

(2.457)

Efectuând substituţia se obţine răspunsul în frecvenţă:

(2.458)

Dacă funcţia de transfer în frecvenţă se scrie sub forma:

atunci din (2.458) se obţine:

(2.459)

,10lg20lg20Klg2010Alg2010A dB

,db2010lg20A10A dBdB dBA

0Klg20A ttdB

,22

,trKtydt

tdyT

,

1TsK

sRsYsW

,js

,T1TKj

T1K

T1Tj1K

Tj1KjW 222222

,jVUeAjW j

,T1

KTV,T1

KU 2222

(2.460)

(2.461)

(2.462)Din relaţiile (2.459)(2.461) se constată că:

(2.463)

(2.464)

În figura 2.77 sunt prezentate caracteristicile de frecvenţă ale elementului de întârziere de ordinulunu având K=1,5 şi T=0,5(s). În figura 2.77.b de redă caracteristica U(), iar în figura 2.77.dcaracteristica amplitudine-pulsaţie A().Caracteristica imaginară de pulsaţie prezintă puncte de extreme a căror pulsaţie suntdeterminate din relaţia:

(2.465)

iar valorile extreme ale funcţiei sun egale cu şi respectiv(figura 2.77.c.)Pentru a trasa l.d.t. se determină dependenţa astfel:

deci:(2.466)

În relaţia (2.466) se adună şi se scade şi se obţine:iar în final:

(2.467)

deci, a rezultat ecuaţia unui cerc, cu raza K/2, al cărui centru se află pe semiaxa reală pozitivă înpunctul de coordonate În figura 2.77.a. se prezintă l.d.t. pentru EÎO1 cu valorile T şi Kadoptate. Din relaţiile (2.459)(2.461) pentru pulsaţia egală cu modulul polului funcţieide transfer, se obţine:

(2.468)

Din relaţia (2.462) se constată că:(2.469)

(2.470)

Caracteristica admite ca asimptote drepte pentru şi respectivRelaţia (2.469) conduce la o asimptotă orizontală, iar relaţia (2.470) la o asimptotă oblică, la înaltăfrecvenţă.Se obişnuieşte [11, 26] ca domeniul de pulsaţii să fie împărţit în două intervale, în raport cu pulsaţia

astfel:

,T1

KVUA22

22

,arctgTTarctg

UVarctg

,T1lg20Klg20Alg20A 22dB

;0lim0;KAlim0A

;0Vlim0V;KUlim0U

00

00

,90lim;0Alim;0Vlim;0Ulim

V

,T1,

T1,0

T11TKT

ddV

21222

22

V 2/KV 1 2/KV 2

,UfV

,kUT1

KAVU 22

2222

,0VKUU 22

22/K

,2/KV2/KKUU 2222

,2KV

2KU

22

2

.0,2/K,/1 T

,45T1,

2K

T1A,

2K

T1V,

2K

T1U

,Klg20Alim0A dBdB 0

,AlimA dBdB

dBA 0 .

,/1 T

- intervalul pulsaţiilor joase în care (sau deci în relaţia (2.462) se poateneglija termenul de sub radical, rezultând:

relaţie care coincide cu (2.469) şi care corespunde unei drepte paralele cu axa abscisei la nivelul 20lg K;- intervalul pulsaţiilor înalte în care (sau în relaţia (2.462) se consideră 1 <<

şi deci se poate neglija valoarea 1 de sub radical, obţinându-se expresia:(2.471)

care reprezintă asimptota oblică la înaltă frecvenţă.Pentru determinarea pantei asimptotei oblice se procedează ca în cazurile precedente. Având învedere relaţia (2.471) şi faptul că:

se determină variaţia amplitudinii în decibeli, corespunzătoare unei decade:

A rezultat că asimptota oblică are panta de –20 dB/dec. Cele două asimptote (care reprezintă douădrepte) se intersectează în punctul a cărui abscisă este rezultând astfel o caracteristicălogaritmică de forma unei linii frânte (caracteristica (1) din fig. 2.77.f), motiv pentru carepulsaţia se numeşte pulsaţie de frângere.

a) b)

c) d)

T/1 ),1T22T

,1T,Klg201lg20Klg20AdB

T/1 );1T22T ,1T,Tlg20Klg20A dB

,1T,10lg20Tlg20Klg2010A dB

,1T,dB2010lg20A10A dBdB

,T/1f dBA

f

e)f)

Fig. 2.77.Caracteristica logaritmică aproximativă (asimptotică), faţă de cea exactă (caracteristica (2) dinfigura 2.77.f.), prezintă eroare maximă la pulsaţia

deci eroarea maximă este de – 3 dB.Se constată că pulsaţia de frângere este egală cu inversul constantei de timp, care reprezintămodulul valorii polului funcţiei de transfer. În general, pentru elemente (sisteme) complexe,pulsaţiile de frângere sunt egale cu modulele polilor şi zerourilor funcţiei de transfer. Caracteristicalogaritmică (semilogaritmică) are numai valori negative (fig. 2.77.e), deci mărimeasinusoidală de la ieşire este defazată în urma mărimii sinusoidale de la intrare, pentru toată gama depulsaţii. Acest aspect justifică denumirea de element de întârziere.

2.4.7.5. Elementul aperiodic de ordinul IIEcuaţia de funcţionare a elementului aperiodic de ordinul II este descrisă de relaţia (conform cu2.105):

(2.472)

în care iar funcţia de transfer este de forma:

(2.473)

Se notează rădăcinile reale şi negative ale ecuaţiei caracteristice aferente funcţiei de transfer, în carecu şi atunci relaţia (2.473) devine:

,

care se mai poate scrie astfel:

(2.474)

în care este coeficientul de transfer, iar sunt constantele detimp.

Rezultă că elementul aperiodic de ordinul II este echivalent cu două elemente de întârziere de ordinulI conectate în serie, deci este un element de întârziere. Caracteristicile de frecvenţă pentru elementeleechivalente sunt descrise în paragraful precedent. Dacă se notează expresiile funcţiilor de transfer echivalentecu şi atunci caracteristicile de frecvenţă asociate funcţiei de transfer (2.474) vor fi:

:f

,dB3Klg202lg20Klg20A fdB

f

,trtydt

tdy2dt

tyd 222

2

nnn

,1

,

2ssRsYsW 22

2

nn

n

,1 2211 psşips

)ps)(ps()s(R)s(Y)s(W

21

2n

,

1sT1sTK

sRsYsW

21

212n ppK 2211 p/1Tşip/1T

sW1 ,sW2

,AAjWA;jWjWjW 2121

;jWarg

;Alg20Alg20Alg20A

21

21dB

2.4.7.6. Elementul oscilant amortizat de ordinul IIFuncţia de transfer a elementului oscilant amortizat este descrisă de relaţia (2.473) în caredeci rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă. Funcţia detransfer se scrie sub o formă în care se evidenţiază constanta de timp T introdusă prin relaţia

astfel:

(2.475)

Din relaţia (2.475), pentru se determină răspunsul la frecvenţă:

(2.476)

şi corespunzător:

(2.477)

(2.478)

(2.479)

Caracteristica de fază nu poate fi redată peste tot de funcţia şi trebuie să se folosească

exprimarea [11]:

(2.480)

(2.481)Se constată că funcţiile de frecvenţă depind atât de pulsaţia cât şi de factorul de amortizare (pentru o constantă de timp T > 0 dată).Din relaţiile (2.477) (2.480) rezultă:

,0)0(,1)0(A,0)0(V,1)0(U ,2)T1(,21)T1(A,21)T1(V,0)T1(U

;;0A;0V;0U

De asemenea, din relaţia (2.478) se constată că pentru rezultă indiferent de valorilefactorului de amortizare , iar din relaţia (2.479) se constată că la creşterea lui amplitudineascade.În figura 2.78.a se prezintă l.d.t. a elementului, iar în figurile 2.78.b,c caracteristicile reală şiimaginară de pulsaţie. Pulsaţia corespunzătoare intersecţiei l.d.t. cu semiaxa imaginară negativă sedetermină din condiţia Din această condiţie, care devine pentru sedetermină pulsaţia care permite având cunoscută pulsaţia corespunzătoare intersecţieil.d.t. cu semiaxa imaginară negativă să se determine constanta de timp a elementului. Se maiconstată, de exemplu, că în punctul D care corespunde lui (fig. 2.78.a) şi în care

,10

,0T/1n

,1Ts2sT

1

T1s

T12s

T1

sW 22

22

2

js

,T4T1

Tj2T11Tj2T

1jW222222

22

22

,T4T1

T1U222222

22

,T4T1

T2V222222

,T4T1

1jWA222222

UVarctg

,T1pentru,

T1T2arctg

,T1pentru,

T1T2arctg

22

22

,T4T1lg20Alg20A 222222dB

,0 0V A

.0U ,01 22 T ,0,/1 T

4,0 ,/1 T

valoarea ordonatei este . Valoarea absolută a ordonatei punctului D permitedeterminarea factorului de amortizare [22]: T1V21 .

Caracteristica prezentată în figura 2.78.b, admite un maxim, iar caracteristica arevalori negative şi prezintă un minim. Aceste valori extreme depind de parametrii şi T. În figura2.79, se prezintă caracteristica amplitudine-pulsaţie pentru T =0,8 (s),

Din figura 2.79 se constată că amplitudineascade, în toată gama de pulsaţii, cu creşterea factorului de amortizare .Punctul de extrem local al caracteristicii corespunde pulsaţiei de rezonanţă a elementului.Elementul de ordinul II cu prezintă fenomenul de rezonanţă la pulsaţia

este pulsaţia de frângere.

Fig. 278.a

b) c)Fig. 2. 78

Din relaţia (2.481) se rezultă că:(2.482)

(2.483)

(2.484)

.2/1/1 TV

,U V

A ,0 .0,1;7.0;6.0;4,0;1,0,s/125,1T/1f A

A r

22,0

T/1unde,21T21 ffr22

,0Alim0A dBdB 0

,AlimA dBdB

,21lg20AlimT/1A dBdB

f

Se constată că toate caracteristicile logaritmice pentru tind către asimptotapulsaţiilor joase (dreapta AB din fig. 2.80) care se suprapune peste axa abscisei (pentru f.d.t.considerată, relaţia 2.475). Pentru caracteristicile logaritmice tind către asimptotaoblică la înaltă pulsaţie (dreapta BC din fig. 2.80), care are panta egală cu – 40 dB/dec. Pentru adetermina panta asimptotei oblică la înaltă pulsaţie se procedează ca şi în cazurile precedente.

Fig. 2.79În domeniul pulsaţiilor mari se consideră şi în relaţia (2.481), sub

radical, se neglijează valoarea 1 şi termenulobţinându-se:

(2.485)Având în vedere relaţia (4.485) şi faptul că:

rezultă variaţia lui corespunzătoare unei decade:

deci, panta asimptotei oblice la înaltă frecvenţă este – 40 dB/dec. Cele două asimptote seintersectează în punctul B care corespunde pulsaţiei de frângere

Fig. 2.80

După cum rezultă din figura 2.80, abaterea caracteristicilor logaritmice trasateexact, conform relaţiei (2.481), faţă de caracteristica asimptotică, pentru şi în apropiereaacesteia, este importantă şi este determinată de valoarea factorului de amortizare .Numai în cazurile când 0,4 0,7 eroarea caracteristicii asimptotice în raport cu cea exactă nudepăşeşte 3 dB în toată gama de pulsaţii [22]. În situaţia când factorul de amortizare nu se

dBA 0

dBA

1Tdeci,T/1

,4 222 T

,1T,Tlg40Tlg20A 22dB

,1T,10lg40Tlg4010AdB dBA

,dB4010lg40A10A dBdB

.T/1f

dBAT/1f

încadrează în limitele menţionate, se preferă să se lucreze cu caracteristicile exacte, cu atâtmai mult cu cât produsele software specializate permit acest lucru. Dacă în funcţia de transfer(2.475) la numărător există un coeficient de transfer atunci caracteristicafaţă de cazul prezentat, suferă o translatare paralelă cu 20 lg K.Caracteristica fază pulsaţie se construieşte utilizând relaţia (2.480).Pentru variaţia fazei este de la 0 grade la –180 grade.Elementul oscilant amortizat de ordinul II, la fel ca şi elementul de întârziere de ordinul I, introduceo întârziere în fază, în toată gama de pulsaţii.

Fig. 2.81

În figura 2.81 se prezintă caracteristicile pentru =0;0,1;0,4;0,7;1. Din această figură seconstată că toate caracteristicile indiferent de valoarea lui trec prin punctul E corespunzătorpulsaţiei de frângere . În punctul E, indiferent de valoarea factorului de amortizare,

. Cu micşorarea lui viteza de variaţie a fazei în punctul E (tangenta dusă înpunctul E) creşte.Având în vedere cele prezentate mai sus, nu este dificil să se construiască caracteristicile defrecvenţă pentru elementul de ordinul II instabil, descris prin funcţii de transfer de forma:

, (2.486)

sau

(2.487)

De exemplu, pentru funcţia de transfer (2.486) prin substituţia se obţine:

(2.488)

în care:

(2.489)(2.490)

Caracteristica amplitudine-pulsaţie descrisă de relaţia (2.489) este identică cu caracteristicaamplitudine-pulsaţie a elementului oscilant stabil (relaţia (2.479)). Caracteristica fază-pulsaţie(2.490) se deosebeşte de caracteristica a elementului oscilant amortizat descrisă de relaţia(2.480) numai prin semn. Ca urmare, l.d.t. (relaţia (2.488)) a elementului de ordinul II instabil sepoate obţine din l.d.t. a elementului stabil (fig. 2.78.a) prin rotirea cu 180 în jurul axei reale.Funcţia de transfer (2.475) pentru devine:

dBA

,0Kşi1K ,AdB

,0

T/1f grade90f

1Ts2sT1

)s(R)s(Y)s(W 22

,

1Ts2sT1

sRsYsW 22

js

,eATj2T1

1jW j22

,T4T11A 222222

,T1T2arctg 22

0

(2.491)

Elementul cu f.d.t. de forma (2.491), care conduce la un răspuns indicial oscilant neamortizat, semai numeşte element conservativ. Caracteristica amplitudine-fază a elementului conservativ este deforma:

(2.492)

Din relaţia (2.492) se constată că pentru pulsaţia caracteristica amplitudine-pulsaţie şicaracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie tind către (fig. 2.80), iar caracteristica pentru

prezintă o discontinuitate de la 0 la -180 (fig. 2.81).În scopul obţinerii unor relaţii cu caracter de generalizare, caracteristicile sunt exprimate nu înfuncţie de pulsaţia , ci în funcţie de raportul dintre pulsaţia şi pulsaţia naturală a oscilaţiilorneamortizate Acest raport se numeşte pulsaţie normată şi rezultă din expresia [3]:

2.4.7.7. Elementul de anticipare de ordinul IEcuaţia de funcţionare este de forma:

(2.493)

şi corespunzător funcţia de transfer este:

(2.494)

Se constată că în funcţia de transfer gradul polinomului în s de la numărător este mai mare decât alnumitorului, deci f.d.t. nu este realizabilă fizic. Totuşi, elementul se studiază separat deoarece poateinterveni în factorizarea f.d.t. de formă mai complicată.În relaţia (2.494) efectuând substituţia se obţine răspunsul la frecvenţă de forma:

(2.495)

din care rezultă funcţiile de frecvenţă:

În figura 2.82 sunt reprezentate caracteristicile de frecvenţă.

Fig. 2.82

,1sT

1sW 22

,T1

1jW 22

T/1

T/1

.n

,T1, n

n

,trdt

tdrTKty

,1TsKsRsYsW

js

,KTjKTj1KjRjYjW

.T1lg20Klg20T1Klg20A;Tarctg

;T1KA;TKV;ctKU2222

dB

22

Din figura 2.82 se constată că pe măsură ce pulsaţia creşte, amplitudinea şi faza oscilaţiilor cresc.Pentru amplitudinea tinde către , iar faza spre valoarea 90. Elementul introduce oanticipare, pentru toată gama de pulsaţii (element necauzal).Caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie poate fi aproximată prin două asimptote AB şi BC(fig. 2.82.c). Asimptota oblică la înaltă frecvenţă are panta de20dB/dec. Se constată că în zona frecvenţelor asimptotele oblice ale elementului deîntârziere de ordinul I şi a elementului de anticipare de ordinul I sunt simetrice faţă de nivelul 20 lgK (iar pentru K = 1 sunt simetrice faţă de axa abscisei).

2.4.7.8. Elementul anticipativ de ordinul IIAcesta are funcţia de transfer de forma:

(2.496)în care 0 < <1 şi T >0. Dacă elementul anticipativ de ordinul II poate fi echivalat cu douăelemente anticipative de ordinul I conectate în serie. Elementul cu f.d.t. (2.496) este ideal deoarecenu este realizabil fizic în domeniul Se constată că f.d.t. (2.496) este inversa f.d.t. aelementului oscilant amortizat (relaţia 2.475).Răspunsul la frecvenţă a elementului, obţinut prin substituţia în relaţia (2.496), este deforma:

(2.497)Din (2.497) rezultă funcţiile de frecvenţă:

(2.498)(2.499)

(2.500)(2.501)

Corespunzător relaţiei (2.497) în figura 2.83 se prezintă, în principiu, locul de transfer aelementului. Se constată că la creşterea pulsaţiei , faza creşte în sens pozitiv (direct trigonometric).Privind caracteristica amplitudine-pulsaţie a elementului anticipativ de ordinul II (relaţia 2.500) seconstată că este inversa relaţiei (2.479) a elementului de ordinul II oscilant amortizat, iar expresiacaracteristicii fază-pulsaţie (2.501) se deosebeşte numai prin semn de relaţia (2.480) a elementuluioscilant amortizat de ordinul II.

Deci, caracteristicile logaritmice amplitudinepulsaţie şi fază-pulsaţie ale elementului anticipativ deordinul II pot fi obţinute din caracteristicile analoage aleelementului oscilant amortizat prin rotirea acestora cu180 în raport cu abscisa (faţă de carecaracteristicile celor două elemente prezintăsimetrie). Astfel, caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie a elementului anticipativ de ordinul II vaavea asimptota la Fig. 2.83înaltă frecvenţă cu panta +40 dB/dec.La modificarea pulsaţiei de la 0 la infinit, faza acestui element se va modifica de la 0 la +180,rezultând astfel că elementul este de anticipare în toată gama de pulsaţii. Pentru pulsaţia de frângere

se obţine şi prin acest punct vor trece toate caracteristicile indiferentde valoarea lui . În figura 2.84 se prezintă caracteristicile logaritmice pentruelementul anticipativ de ordinul II având T=0,1 secunde şi =0,3.

,T/1f

,1Ts2sTsW 22 1

.0

js

,jVUT2jT1jW 22

,T1U 22 ,T2V

,T4T1A 222222

,T1T2arctg 22

T/1f 90f şiA dB

Fig. 2.84

2.4.7.9. Trasarea diagramelor logaritmice (Bode)Cunoscând caracteristicile logaritmice ale elementelor tipizate se pot construi caracteristicilelogaritmice asimptotice ale subsistemelor (sistemelor) a căror funcţie de transfer poate fi exprimatăca o combinaţie din aceste elemente tipizate.Considerăm, de exemplu, că f.d.t. a sistemului automat deschis este descrisă de o expresie de forma:

(2.502)

În relaţia (2.502), qpm, unde m este gradul polinomului în s de la numărătorul f.d.t. Hd(s), iarzrn , unde n aste gradul polinomului de la numitorul f.d.t. a sistemului automat deschis. Aşacum s-a menţionat, totdeauna n m, iar în practică 0,1,2.

Se face substituţia şi se determină modulul relaţiei (2.502), după care selogaritmează, obţinându-se expresia caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie a sistemuluiautomat deschis, de forma:

(2.503)

Caracteristica fază-pulsaţie a sistemului deschis va fi descrisă de relaţia:

(2.504)

Din relaţiile (2.503) şi (2.504) se constată că pentru obţinerea caracteristicii logaritmiceaproximative ale sistemului deschis se însumează algebric caracteristicile logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie ale elementelor tipizate componente.

1sT2sT1sT

1sT2sT1sT

sK

ssYsH

ii22

i

r

1ii

z

1i

KK22

K

p

1KK

q

1Kdd

js

,T4T1lg20

T4T1lg201Tlg20

1Tlg20lg20Klg20Alg20jHlg20

22i

2i

22i

r

22K

2K

2K

2p

1K

22i

1i

22K

q

dd

1i

1kz

,T1T2arctg

T1T2arctg

TarctgTarctg2

22i

iir

22K

KKp

1K

i

z

K

q

1K

1i

1i

Trasarea caracteristicii totdeauna începe cu asimptota de joasă frecvenţă, cu luarea înconsiderare a coeficientului de amplificare Fiecare din constantele de timp dinecuaţia (2.503) determină modificarea pantei asimptotei de joasă pulsaţie corespunzător pulsaţiilorde frângere În cazul elementelor de întârziere de ordinul I şi aelementelor oscilant amortizate de ordinul II, panta devine – 20 dB/dec., respectiv –40 dB/dec., iarîn cazul elementelor de anticipare de ordinul I şi II panta devine +20 dB/dec. şi corespunzător +40dB/dec. Totdeauna constantele de timp sunt considerate în sensul descreşterii lor, iar pulsaţiile defrângere sunt în sensul creşterii lor.Dacă, de exemplu, o frângere a caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie corespunde unuielement oscilant amortizat de ordinul II sau unui element anticipativ de ordinul II şi valoareafactorului de amortizare nu se încadrează în limitele 0,40,7, atunci în jurul pulsaţiei de frângerese lasă un interval, în stânga şi dreapta acestuia, de aproximativ 0,51 decadă, urmând ca pentruacest interval să se traseze caracteristica logaritmică exactă, utilizând relaţiile deduse anterior [22].Trasarea caracteristicii conform relaţiei (2.504), se preferă să se facă utilizând relaţiileexacte.De reţinut este faptul că, în prezent, se dispune de produse software specializate care permit trasareaexactă a diagramelor Bode, important este ca acestea să fie interpretate corect. De exemplu, înmediul de programare Matlab având cunoscută funcţia de transfer a elementului sau sistemului, sedetermină valorile numerice corespunzătoare caracteristicilor de frecvenţă amplitudine-pulsaţie şifază-pulsaţie şi sunt trasate caracteristicile respective la scară logaritmică (diagramele Bode).

Cele prezentate permit a stabili, pentru diferite zone de pulsaţii, care element tipizat din componenţaf.d.t. are influenţă dominantă şi corespunzător ar trebui supus unor modificări în sensul dorit.

2.5. METODA VARIABILELOR DE STARE ŞI DE FAZĂ. FOLOSIREAEXPRESIILOR MATRICEAL-VECTORIALE

Stabilirea unor modele matematice de tipul intrare-ieşire, pentru sistemele de reglare automată, nureprezintă singura modalitate de descriere matematică a comportării acestor sisteme dinamice. Acăpătat o extindere din ce în ce mai largă modalitatea de descriere matematică a sistemelorautomate în spaţiul abstract al variabilelor de stare [1]. Metoda variabilelor de stare, din punct devedere matematic, apelează la teoria algebrei matriceale şi a ecuaţiilor matriceale, ceea ce permitescrierea principalelor relaţii sub formă compactă şi comodă utilizării calculatorului numeric.Metoda variabilelor de stare permite rezolvarea problemelor specifice atât în cazul sistemelor liniare(care fac obiectul prezentului subcapitol) cât şi a celor neliniare, Menţionăm că aplicarea metodei încazul sistemelor continue învariante monovariabile nu afectează caracterul de generalitate ametodei.

2.5.1. Variabile de stare. Variabile de fazăO caracterizare mai generală şi mai eficientă a sistemului automat se obţine dacă în modelulmatematic, pe lângă informaţiile de tipul intrare-ieşire, se includ şi informaţii structurale prinintermediul variabilelor de stare [2].Starea unui sistem reprezintă o cantitate minimă de informaţii, despre sistem, la un momentinstantaneu dat, necesară pentru determinarea evoluţiei viitoare a sistemului, dacă este cunoscutăevoluţia în timp a mărimilor de intrare. Altfel spus, starea sistemului este determinată de mulţimeacoordonatelor generalizate ce caracterizează sistemul.Variabilele de stare (sau mărimile de stare) reprezintă un grup de mărimi care definesc completstarea sistemului la un moment instantaneu dat şi această stare îndeplineşte rolul unor condiţiiiniţiale pentru evoluţia ulterioară a sistemului (pentru având cunoscute mărimile de intrare.Deci, variabilele de stare permit să se determine comportarea viitoare a unui sistem atunci cândstarea prezentă a sistemului (la momentul ) şi intrările sunt cunoscute.

dBA.dK KTşiTi

.T/1şiT/1 KKii

,

0t),tt o

0t

Pentru un sistem automat liniar descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul n, numărul de variabilede stare necesar pentru definirea stării sistemului este egal cu ordinul ecuaţiei diferenţiale, deci vatrebui să alegem n variabile de stare [1].Alegerea variabilelor de stare nu este unică, starea unui sistem automat al cărui model matematicabstract este o ecuaţie diferenţială de ordinul n este complet definită de diferite grupuri de nvariabile de stare alese [1].Un avantaj al metodei variabilelor de stare îl constituie faptul că o ecuaţie diferenţială liniară deordinul n, cu coeficienţi constanţi sau variabili în timp, este echivalentă cu un sistem format din necuaţii diferenţiale de ordinul I, alegând n variabile de stare [1].Prezintă interes deosebit trecerea de la ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi de ordinuln (sau a funcţiei de transfer asociată ei) la sistemul de n ecuaţii diferenţiale de ordinul I.Un caz particular al variabilelor de stare îl constituie aşa-numitele convenţional variabile de fază, încazul în care în grupul de n variabile alese, pentru definirea stării sistemului, variabilereprezintă derivatele succesive ale variabilei cu care se completează grupul [1]. Conform metodeivariabilelor de stare un SA este descris prin ecuaţiile de stare. Pentru început, deducem formamatriceală a ecuaţiilor de stare considerând un sistem automat liniar continuu invariant de ordinulII, descris de ecuaţia diferenţială (relaţia 2.92 în care k= 1):

(2.505)

în care considerăm condiţiile iniţialeSe vor alege variabilele de stare ca variabile de fază. În (2.505) n = 2, deci se aleg două variabile depe fază pe care le notăm iar ca variabilă de bază adoptăm mărimea de ieşire .Variabilele de fază sunt definite astfel:

(2.506)(2.507)

Din (2.505) se obţine:ryy2xxy 2

n2nn12 , (2.508)

Rezultă sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul I:

rx2xx

,xx2n2n1

2n2

21

, (2.509)

Sistemul (2.509) se scrie în forma matriceal-vectorială:

(2.510)

sau:

(2.511)

În (2.511) s-a notat:

- este vectorul coloană al variabilelor de fază având n = 2 componente. În cazul

general, vectorul de stare X are n componente, care sunt variabile de stare sau defază;

- este derivata vectorului de stare;

A - este matricea sistemului care, în cazul general, este o matrice pătrată cu n linii şi ncoloane, unde n este ordinul ecuaţiei diferenţiale care descrie sistemul (ordinulsistemului) şi implicit numărul variabilelor de fază (stare);

1n

,trydtdy2

dtyd 2

n2nn2

2

.0y,0y

,, 2xx yx 1

,yx1 ,xyx 12

,r0

xx

210

xx

2n2

1

n2n2

1

,BrAXdtdXX

)t(x)t(x

tX2

1

)t(x)t(x

tX2

1

B - este matricea de intrare care, în general, are un număr de linii egal cu ordinul n alecuaţiei diferenţiale şi un număr de coloane egal cu numărul m al mărimilor deintrare. În cazul sistemului monovariabil considerat (de ordinul II) n = 2 şi m = 1.

Pentru a calcula mărimea de ieşire y, la ecuaţia (2.511) se mai adaugă o ecuaţie matriceal-vectorială. În cazul considerat mărimea de ieşire este una din variabilele de fază (care reprezintămărimea de ieşire) şi deci :

(2.512)

sau(2.513)

unde C este matricea de ieşire. Matricea de ieşire C , în cazul general, are un număr de linii egal cunumărul p al mărimilor de ieşire şi un număr de coloane egale cu ordinul n al ecuaţiei diferenţiale.În cazul sistemului monovariabil considerat (de ordinul n = 2) p = 1 şi n = 2.Pentru cazul analizat (n = 2) condiţiile iniţiale formează un vector coloană al stării iniţiale, pe care-lnotăm cu:

(2.514)şi a cărui expresie, conform relaţiilor (2.506), (2.507), este:

(2.515)

În general, vectorul coloană a stării iniţiale are n componente, deoarece ecuaţiei diferenţialede ordinul n i se impun n condiţii iniţiale. În cazul analizat (al sistemului de ordinul II) n = 2 şi

conţine 2 componente. Vectorul stării iniţiale prezintă importanţă în determinareacomponentei libere a soluţiei ecuaţiilor de stare.

Dacă, în cazul unui sistem multivariabil invariat asupra mărimii de ieşire y acţionează directmărimea de intrare, printr-o matrice D, atunci ecuaţiile de stare (relaţiile 2.511, 2.513) devin:

(2.516)(2.517)

în care:

,RD,RC,RB,RA

,Ry,Rr,RXmpnpmnnn

1p1m1n

Pentru un sistem multivariabil ieşirea y este un vectorcoloană având un număr de componente egal cu numărulmărimilor de ieşire, adică egal cu p, iar r este vectorul coloană al mărimilor de intrare avândnumărul de componente egal cu numărul m Fig. 2.85al mărimilor de intrare. Privind ordinul matricelor A, B, C, D se poate stabili o schemă de formaprezentată în figura 2.85.Ecuaţiile de stare (2.516), (2.517) conduc la o schemă de modelarevectorială, aşa cum se prezintă în figura 2.86.

,xx

01y2

1

,XCy

,tX0X 0t

,0x0x

0X2

1

0X

,BrAXX

,DrCXy

Fig. 2.86

În cazul sistemelor monovariabile invariate se preferă ca ecuaţiile de stare (2.516), (2.517) să sepună sub forma [1, 2, 3, 4, 5, 11]:

(2.518)(2.519)

în care Rd,Rc,Rb,RA n1T1nnn ,Se constatã că în sistemele liniare invariate multivariabile sau monovariabile, matricele (A, B, C, D)şi respectiv sunt matrice constante.Dacă în modelul matematic al sistemului sunt evidenţiate în mod explicit şi perturbaţiile, atunciecuaţiile de stare (2.516), (2.517) devin [1]:

(2.520)(2.521)

unde matricele A, B, C, D au semnificaţia cunoscută, este vectorul coloanã al perturbaţiiloravând un numãr de componente egal cu numărul l de perturbaţii, iar E este o matrice cu un numărde linii egal cu n şi cu un număr de coloane egal cu l,Din cele prezentate a rezultat că în cazul când modelul matematic abstract, care descrie sistemul,este o ecuaţie diferenţială de ordinul n, vectorul coloană al variabilelor de fază va avea ncomponente. Conform teoriei sistemelor de ecuaţii liniare, cele n componente aparţin unui spaţiuliniar n – dimensional, denumit spaţiul fazelor. La sistemele liniare de ordinul II, spaţiul fazelor sereduce la un plan al fazelor, acesta având ca axe de coordonate, pe abscisă iar pe ordonată

În planul fazelor evoluţia în timp a sistemului este descrisă de traiectorii de fază, gradateîn valori ale timpului.În cazul general al variabilelor de stare, pentru sistemul automat descris de o ecuaţie diferenţială deordinul n, se aleg n variabile de stare acestea reprezentând componentele vectorului Xal stărilor într-un spaţiu liniar n – dimensional [1, 2, 3].Spre deosebire de variabilele de fază, variabilele de stare nu mai sunt legate prin relaţii de derivaresuccesivă. Nu toate variabilele de stare sunt variabile măsurabile ale sistemului, dar sunt măsurabilecele care prezintă interes în sensul prelucrării lor.Evoluţia în timp a sistemului în spaţiul abstract al variabilelor de stare este descrisă prin traiectoriide stare [1, 2, 3].Alegerea variabilelor de stare nu este unică, adică variabilele de stare depind de alegerea bazeispaţiului liniar al stărilor [1, 2, 3, 23]. Schimbarea bazei spaţiului stărilor cu ajutorul uneitransformări liniare (matrice nesingulară) conduce la noi variabile de stare, pe care le notăm cu

[1]. Între vectorii coloană X şi unde X este în vechea bază, iar în noua bază,există o relaţie de forma:

(2.522)

,brAXX

,drXcy T

d,c,b,A T

,EvBrAXX

,DrCXy tv

.RE ln

tX

,1x.xx 12

,x,...,x,x n21

nxxx ~,...,~,~ 21 ,~X X~

,TXX~

unde T este matricea transformării de tipul n n, unde n este ordinul sistemului. Matricea T estenesingulară, deciDeoarece T este nesingulară, există o relaţie de reciprocitate de forma[1]:

(2.523)unde este inversa matricei T.Considerăm sistemul monovariabil invariant descris de ecuaţiile de stare (relaţiile (2.518), (2.519)):

(2.524)(2.525)

în care schimbăm componentele ale vectorului de stare X, din vechea bază, cuvariabilele de stare componente ale vectorului de stare în noua bază. Pentru aceastaînlocuim pe (2.523) în (2.524) şi (2.525) şi se obţine:

(2.526)(2.527)

În relaţia (2.526) se înmulţesc toţi termenii la stânga cu T obţinându-se:

respectiv:(2.528)

Dacă se notează [1]:

d~d

,c~Tc

,b~Tb

,A~TAT

T1T

1

(2.529)

atunci ecuaţiile de stare (2.526), (2.527) primesc forma:(2.530)(2.531)

Se evidenţiază analogiile dintre (2.524) şi (2.530) şi respectiv (2.525) şi (2.531).Răspunsul y nu este modificat de schimbarea bazei şi deci de schimbarea variabilelor de stare. Acestaspect mai rezultă şi din faptul că polinomul caracteristic al sistemului este un invariant laschimbarea bazei. Cele două matrice A şi sunt asemenea, având acelaşi polinom caracteristic,deci aceleaşi valori proprii. Problema care se pune este de a găsi o matrice diagonalizatoare(nesingulară) T, cu elemente din R, astfel încât matricea să fie o matrice diagonală pesteR, [23]. Dacă polinomul caracteristic are rădăcini multiple, se poate să nu existe totdeauna otransformare care să reducă matricea A la o formă diagonală. Se poate arăta [23] că există totdeaunao formă relativ simplă numită forma canonică Jordan, care se obţine aplicând o transformare deasemănare matricei date A. În continuare, se redă structura formelor canonice Jordan în cazulspaţiului cu n = 3 dimensiuni. Orice matrice A cu 3 linii şi 3 coloane poate fi redusă la una dinmatricele de forma:

sau sau

În forma se va reduce o matrice care are 3 valori proprii distincte cu 3 vectori propriiindependenţi. Pe diagonală se vor afla valorile proprii ale matricei A. În forma se va reduce omatrice care are 2 valori proprii egale şi una distinctă, existând numai 2 vectori

.0det TT

,X~TX 11T

,brAXX

drXcy T

nx,...,x,x 21

nx~,...,x~,x~ 21 X~

,brX~ATX~T 11

,drX~Tcy 1T

,rbTX~TATX~TT 11

.TbrX~TATX~ 1

,rb~X~A~X~

,rd~X~c~y T

A~

1~ TATA

,00

0000

3

2

1

1

J ,

000001

J

3

2

001001

J3

1J ,,, 321

2J 21

independenţi. În forma se va reduce o matrice a cărui valoare proprie are ordinul demultiplicitate 3 deci şi are un singur vector propriu. Matricea transformării secaută să fie astfel adoptată încât matricea asemenea să fie o formă canonică Jordan. Dacă notăm cuS matricea unei astfel de transformări, atunci:

(2.532)unde J este forma canonică Jordan a matricei A. În acest caz ecuaţiile de stare (2.530), (2.531)devin:

Sistemul liniar invariant se obişnuieşte să se noteze sau unde nreprezintă dimensiunea vectorului de stare sau fază, deci ordinul sistemului. Două sisteme liniaremonovariabile invariate şi se numesc echivalente, notându-se

dacă există o matrice nesingulară T astfel încât să fie satisfăcutecondiţiile (2.529). Se verifică direct că este o relaţie de echivalenţă, adică este reflexivă,simetrică şi tranzitivă [1, 2, 3]. Sistemele liniare invariante echivalente sunt caracterizate prininvarianţa polinomului caracteristic; sistemele au aceeaşi dimensiune şi aceeaşi funcţie de transfer.

2.5.2. Alegerea variabilelor de starePentru a obţine ecuaţiile de stare ale unui sistem monovariabil liniar invariant descris printr-oecuaţie diferenţială sau funcţie de transfer sunt utilizate mai multe metode [3, 1, 2].2.5.2.1. Metode bazate pe utilizarea ecuaţiei diferenţialeSe analizează două variante. În prima variantă se consideră că funcţia de excitaţie conţine mărimeade intrare, iar în a doua variantă funcţia de excitaţie conţine derivate ale mărimii de intrare până laordinul m = n, unde n este ordinul sistemului. Pentru simplificarea scrierii algoritmilor de întocmirea schemelor de modelare se va consideran = 3.Prima variantă: se consideră un sistem monovariabil liniar invariant descris de o ecuaţie diferenţialăde ordinul n = 3 în care funcţia de excitaţie conţine numai mărimea de intrare, iar variabilele destare sunt alese ca variabile de fază:

(2.533)

undeSe impun n = 3 condiţii iniţiale independente, care în mod univoc vor determina răspunsulsistemului pentru mărimea de intrare adoptată:

(2.534)Se alege ca primă variabilă de fază mărimea de ieşire iar celelalte două variabile de fază seobţin prin derivarea succesivă a acesteia [1]. Notăm variabilele de fază cu Rezultăurmătoarele dependenţe ale variabilelor de fază în funcţie de mărimea de ieşire:

(2.535)Având în vedere relaţiile (2.535), din ecuaţia (2.533) rezultă:

respectiv,

(2.536)

A rezultat următorul sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I:

3J 321

,1 JSAS

,tSbrtX~JtX~

,trdtX~Scty 1T

nD,C,B,A ,d,c,b,A nT

nd,c,b,A T nT d~,c~,b~,A~

nT d,c,b,A ,d~,c~,b~,A~ nT

,trtyadt

tdyadt

tydadt

tyda 012

2

23

3

3

.3,0i,cta i

,0y,0y,0y

,1 yx .,, 321 xxx

,yxx,yxx,yx 23121

,ra1y

aa

yaa

yaa

yx33

0

3

1

3

23

,ra1x

aa

xaa

xaa

x3

33

22

3

11

3

03

(2.537)

La acest sistem de ecuaţii se adaugă ecuaţia prin care se determină mărimea de ieşire, în raport custarea sa:

(2.538)Relaţiile (2.537) şi (2.538) scrise sub formă matriceală devin:

(2.539)

(2.540)

Din relaţiile (2.539) şi (2.540) rezultă ecuaţiile de stare scrise sub forma standard:(2.541)(2.542)

în care:

(2.543)

Se constată că în relaţia (2.542), comparativ cu (2.519), d = 0, deci are o formă mai simplă. În bazarelaţiilor (2.537) şi (2.538) se poate întocmi schema de modelare reprezentată în figura 2.87.

Fig. 2.87

Vectorul de fază al condiţiilor iniţiale este şi corespunde relaţiei(2.534). Condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare. De exemplu, condiţia iniţială

)0(y)0(x 3 se impune blocului integrator care generează mărimea ş.a.m.d.A doua variantă: se consideră sistemul descris de o ecuaţie diferenţială în caren = m şi n = 3, de forma:

,xx,xx

32

21

,ra1x

aa

xaa

xaa

x3

33

22

3

11

3

03

,xy 1

,r100

xxx

aa

aa

aa

100010

xxx

3

2

1

3

2

3

1

3

03

2

1

,xxx

001y

3

2

1

,brAXX

,Xcy T

,001c,100

b,

aa

aa

aa

100010

A T

3

2

3

1

3

0

T321 0x,0x,0x0X

3x

(2.544)

cu condiţiile iniţiale:(2.545)

Utilizând operatorul de derivare ecuaţia (2.544) se scrie sub forma:(2.546)

Se adoptă următoarele variabile de stare [3]:

(2.547)

Derivând ultima relaţie din (2.547) se obţine:

şi având în vedere ecuaţia (2.546) rezultă: de unde:(2.548)

Prima ecuaţie din sistemul (2.547) conduce la expresia mărimii de ieşire:

(2.549)

care se înlocuieşte în ultimele două ecuaţii din (2.547) şi respectiv în relaţia (2.548), obţinându-se:

(2.550)

În sistemul de ecuaţii (2.550) se introduc notaţiile [3]:

(2.551)

după care se separă în membrul stâng derivatele rezultând următorul sistem de ecuaţiidiferenţiale de ordinul I:

(2.552)

rxaa

x 313

03

iar ecuaţia de ieşire (2.549) cu notaţia din (2.551) ia forma:

(2.553)

Din ecuaţiile (2.552) şi (2.553) se obţine sistemul de ecuaţii în forma matriceal-vectorială:

,trbdt

tdrbdt

trdbdt

trdb

tyadt

tdyadt

tydadt

tyda

012

2

23

3

3

012

2

23

3

3

,0y,0y,0y

,dt/dp

,0rbyaprbyaprbyaprbya 00112

223

33

,rbyapxrbyarbyaprbyapx

,rbyapxrbyarbyapx,rbyax

1121122332

3

22122332

331

,rbyaprbyaprbyapx 11222

333

3

,0rbyax 003

,rbyax 003

,rab

ax

y3

3

3

1

,rbaaba1x

aa

xrbrab

ax

axx 32323

13

212

3

3

3

1212

,rbaaba1x

aa

xrbrab

ax

axx 31313

13

121

3

3

3

1123

,rbaaba1x

aa

rbrab

ax

ax 30303

13

00

3

3

3

103

,ab,3,1k;baaba1

3303K33K33

K

,3,1k,x K

,rxxaa

x 1213

21

,rxxaa

x 2313

12

,rax

y 03

1

(2.554)

r]xxx[]00a1[y 0

T321

3

(2.555)

sau scrise sub forma standard:(2.556)(2.557) în care

În baza relaţiilor (2.552) şi (2.553) se întocmeşte schema de modelare reprezentată în figura 2.88.Condiţiile iniţiale ale variabilelor de stare sunt determinate în funcţie de valorile

utilizând ecuaţiile (2.550). Se constată din (2.550) că în cazul cândcondiţiile iniţiale impuse intrării şi ieşirii sunt nule, valorile componentelor vectorului de stareiniţială sunt de asemenea, nule.Condiţiile iniţiale ale mărimilor de stare se introduc în blocurile integratoare [3].Se constată că în ecuaţiile de stare, pentru cazul n = m, deci şi în cazul particular descris, valoarea

Fig. 2.88

În literatura de specialitate [3. 24] sunt prezentate şi alte variate de trecere de la ecuaţia diferenţialăliniară cu coeficienţi constanţi, sau variabili în timp, la ecuaţiile de stare.După modul cum au fost prezentaţi algoritmi de trecere de la ecuaţia diferenţială la ecuaţiile destare, a rezultat că în nici o etapă nu s-a făcut referire la necesitatea coeficienţilor constanţi, deciecuaţiile de stare stabilite corespund şi situaţii când ecuaţia diferenţială liniară are coeficienţiivariabili în timp. De exemplu, pentru o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi variabili în timp, deforma:

(2.558)

ecuaţiile de stare devin:(2.559)(2.560)

În ecuaţia (2.558) se are în vedere că

,rxxx

00aa

10aa

01aa

xxx

3

2

1

3

2

1

3

0

3

1

3

2

3

2

1

brAXX

rdXcy T .0d

0,0,0 321 xxx 0r;0r;0rşi0y;0y;0y

.0d

,trtbtyta kk

0k

kk

0k

nn

,trtbtXtAtX

,trtdtXtcty T .trtrşityty 00

2.5.2.2. Metode bazate pe utilizarea funcţiei de transferEcuaţiile de stare şi respectiv schemele de modelare pot fi obţinute prin diferite metode, care au labază funcţia de transfer.Principalele metode sunt următoarele [1, 2, 3]:- metoda directă, care nu necesită determinarea polilor şi zerourilor funcţiei de transfer;- metoda algoritmului serie, care presupune stabilirea unei structuri serie echivalentă funcţiei detransfer dată;- metoda algoritmului paralel, care presupune stabilirea unei structuri paralel echivalentă cu funcţiade transfer dată.

Sunt cazuri în care pentru simplificarea ecuaţiilor de stare se apelează atât la algoritmul serie, cât şi lacel paralel. Schemele de modelare sunt formate, de regulă, din elemente integratoare ideale, elemente deîntârziere de ordinul I, blocuri de amplificare şi sumatoare. Eventualele funcţii de transfer mai complicate seaduc la forme echivalente astfel încât schemele de modelare asociate să conţină blocurile menţionate. Oastfel de componenţă a schemelor de modelare permite evidenţierea evoluţiei în timp a tuturor mărimilorcare prezintă interes.

2.5.2.2.1. Metoda directă

Se consideră funcţia de transfer a sistemului automat închis corespunzătoare ecuaţiei diferenţiale(2.544):

(2.561)

pe care o scriem sub forma:

care, conform algebrei funcţiilor de transfer, conduce la exprimarea lui prin produsul a douăfuncţii de transfer, astfel:

(2.562)

în care:

(2.563)

(2.564)

Relaţiei (2.562) îi corespunde schema de structură din figura 2.89.În stabilirea ecuaţiilor de stare se parcurg două etape. În prima etapă se determină ecuaţia matricealăintrare-stare utilizând f.d.t. (2.563), iar în etapa a doua se determină ecuaţia matriceală stare-ieşireutilizând f.d.t. (2.564).

Fig. 2.89

Prima etapă. Având cunoscută f.d.t. (2.563) în care mărimea de intrare este iar cea de ieşirese adoptă cele n = 3 variabile de stare ca variabile de fază. Se notează variabilele de fază cu

iar ca variabilă de bază se alege

,

asasasabsbsbsb

sRsYsH

012

23

3

012

23

30

,bsbsbsb

asasasa1

sRsYsH 01

22

33

012

23

30

sH0

,sHsHsYsY

sRsY

sH 211

10

,

asasasa1

sRsY

sH01

22

33

11

,bsbsbsbsYsYsH 01

22

33

12

,sR ,sY1

,,, 321 xxx .11 yx

Pentru determinarea ecuaţiei matriceale intrare-stare se utilizează algoritmul descris în paragraful2.5.2.1, prima variantă (funcţia de excitaţie conţine numai mărimea de intrare).Din expresia f.d.t. descrisă de relaţia (2.563), rezultă:

(2.565)Notând cu ecuaţia diferenţială asociată relaţiei (2.565) este deforma:

(2.566)Având adoptată prima variabilă de fază rezultă:

(2.567)

iar din ecuaţia (2.566) se determină:

(2.568)

Sistemul format din cele trei ecuaţii diferenţiale de ordinul I este de forma:

(2.569)

Ecuaţia matriceală intrare-stare este de forma:(2.570)

în care:

(2.571)

Etapa a doua. Se stabileşte ecuaţia matriceală stare-ieşire utilizând f.d.t. prin care se facetranziţia mărimii la ieşirea sistemului.Din relaţia (2.564) rezultă:

care trecută în domeniul timp devine:(2.572)

În relaţia (2.572) se introduc variabilele de stare conform relaţiei (2.567):(2.573)

Pentru a evidenţia în vectorul linie a mărimii de ieşire coeficienţii sistemului , înrelaţia (2.573) se înlocuieşte exprimat prin relaţia (2.568) şi se obţine:

(2.574)

Relaţia (2.574) se scrie sub forma:

(2.575)

Introducând notaţiile [3]:

,sH1

,sRsYa)s(sYasYsasYsa 101112

213

3

,sRrşisYy 11

11

LL

,ryayayaya 10111213

,11 yx

,yxx,yxx

,yx

123

112

11

,ra1y

aa

yaa

yaa

yx3

13

01

3

11

3

213

,ra1y

aa

yaa

yaa

x

,xx,xx

31

3

01

3

11

3

23

32

21

,brAXX

;

a100

b;

3a

aa

aa

100010

A

3

2

3

1

3

0

sH2

sY1

,sYbssYbsYsbsYsbsYsHsY 101112

213

312

,ybybybybty 10111213

,xbxbxbxby 10213233

Tc 3,0i,a i

3x

,xbxbxbra1x

aa

xaa

xaa

by 1021323

33

22

3

11

3

03

,rab

xaab

bxaab

bxaab

by3

332

3

3221

3

3110

3

30

(2.576)

relaţia (2.575) devine:(2.577)

A rezultat ecuaţia matriceală stare-ieşire:(2.578)

în care:(2.579)

Schema de modelare a sistemului descris prin funcţia de transfer (2.561) se obţine din relaţiile(2.567), (2.568), (2.573) şi este reprezentată în figura 2.90.Condiţiile iniţiale se determină din relaţia (2.577) şi a derivatelor acesteia până laordinul în care se înlocuiesc succesiv derivatele variabilelor de stare din relaţia (2.569).

Se obţine un sistem format din trei ecuaţii algebrice în care necunoscutele sunt

Fig. 2.90

2.5.2.2.2. Metoda algoritmului serieAceastă metodă de alegere a variabilelor de stare se utilizează în cazul în care ecuaţia caracteristicăasociată funcţiei de transfer admite rădăcini reale simple [1, 3]. Alegerea variabilelor de stare seface pornind de la o schemă echivalentă serie dedusă din funcţia de transfer [1].Sunt analizate două cazuri:Cazul I: în funcţia de excitaţie intervine numai mărimea de intrare fără derivate ale acesteia;Cazul II: funcţia de excitaţie conţine mărimea de intrare şi derivatele acesteia până la ordinul m <n.Pentru simplificarea scrierii relaţiilor se va considera un sistem închis de ordinul n = 3.Cazul I. Considerăm un sistem automat închis de ordinul III a cărei funcţie de transfer este deforma [1]:

(2.580)

Ecuaţia caracteristică este:(2.581)

şi conform celor menţionate, are rădăcinile reale simple şi stabile.

,ab

;3,1k,aab

bc3

301k

3

31kk

,rxcxcxcy 0332211

,drXcy T

,d;cccc 0321T

,3,1i,0x i

,21 n .3,1i,0x i

,

asasas1

sRsYsH

012

230

,0asasas 012

23

(2.582)Se scrie funcţia de transfer (2.580) astfel încât să se evidenţieze polii acesteia:

(2.583)

sau

(2.584)

unde:

(2.585)

Expresia (2.584) conduce la o schemă echivalentă formată din trei elemente de întârziere de ordinulI, cu funcţiile de transfer conform relaţiei (2.585), conectate în serie, ca în figura 2.91.

Fig. 2.91

Ca variabile de stare se aleg mărimile de ieşire ale celor trei elemente conectate în serie.Se are în vedere că relaţie necesară în a stabili ecuaţia matriceală stare-ieşire.

Fig. 2.92

Un element de întârziere de ordinul I cu funcţia de transfer de forma (2.585) poate fi echivalat cu oschemă având pe calea directă un element de integrare ideal (cu funcţia de transfer şipe calea de reacţie negativă un element proporţional (cu funcţia de transfer conformfigurii 2.92.Din figura 2.92 rezultă funcţia de transfer a elementului de întârziere de ordinul I(EÎ01):

(2.586)

şi deci, schema din figura 2.91 capătă aspectul din figura 2.93.Din figura 2.91, se constată că variabilele de stare adoptate sunt mărimile de ieşire din integratoare,iar mărimile aplicate la intrarea integratoarelor ideale sunt derivatele variabilelor de stare.

,3,1i,ps ii

,pspsps1

ssssss1sH

3213210

,sHsHsHps

1ps

1ps

1sH 321321

0

,ps

1sH;ps

1sH;ps

1sH3

32

21

1

321 ,, xxx,3 yx

)s/1sH i ),psH p

,ps

1

ps11

s1

sH 01EÎ

Fig. 2.93

Ecuaţiile de stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare, astfel:

(2.587)

iar ecuaţia matriceală stare-ieşire rezultã din:(2.588)

Forma matriceal-vectorialã a relaţiei (2.587) este:

(2.589)

respectiv(2.590)

în care:

(2.591)

Conform cu relaţia (2.588) rezultă ecuaţia stare-ieşire:(2.592)

sau(2.593)

în careCazul II. Funcţia de excitaţie conţine derivatele mărimii de intrare până la ordinul m < n. Se adoptăn = 3, m = 2 şi atunci funcţia de transfer a sistemului închis va avea aspectul:

(2.594)

Se consideră cazul când este de fază minimă, având polii şi zerourile reali şi simpli. Notămzerourile cu iar polii cu 1 1 2 2p , p ,Funcţia de transfer (2.594) poate fi scrisă sub forma:

(2.595)

Se constată din (2.595) că funcţiei de transfer i se poate asocia o schemă echivalentă serie:

(2.596)

în care:

(2.597)

,xxpx,xxpx

,rxpx

2333

1222

111

.xy 3

,r001

xxx

p100p100p

xxx

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,brAXX

,001

b;p100p100p

A

3

2

1

,xxx100y T321

,Xcy T .100cT

,

asasasabsbsb

sRsYsH

012

23

3

012

20

sH 0

,, 2211 zz .33 p

,

ps1

pszs

pszs

ab

sRsYsH

32

2

1

1

3

20

sH 0

,sHsHsH

ab

sRsYsH 321

3

20

,ps

1sH,pszs

sH,pszs

sH3

32

22

1

11

Din relaţia (2.595) rezultă:

, (2.598)

Funcţia de transfer corespunde unui element de întârziere de ordinul I. Se aduc şi funcţiile detransfer la o formă prin care să se evidenţieze un element de întârziere de ordinul I.De exemplu, funcţia de transfer se poate scrie astfel:

(2.599)

în care corespunde unui element de întârziere de ordinul I. Dacă se consideră că laintrarea blocului cu funcţia de transfer se aplică mărimea de intrare atunci relaţiei:

, (2.600)

îi corespunde schema echivalentă reprezentată în figura 2.94.Ca variabilă de stare, în figura 2.94, s-a ales mărimea de la ieşirea elementului de întârzierede ordinul I.Având în vedere relaţia (2.599) şi schema echivalentă din figura 2.94, relaţiei (2.598) îi corespundeschema de structură din figura 2.95.

Fig. 2.94

Ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşirea elementelor de întârziere de ordinul I(blocurile (1), (2), (3)) din schema de structură reprezentată în figura 2.95.

Fig. 2.95

Conform schemei de structură din figura 2.95, variabilele de stare sunt exprimate prin relaţiile:

(2.601)

iar imaginea Laplace a mărimii de ieşire este:

(2.602)

În ecuaţiile (2.601) se separă în membrul stâng termenii de forma unde esteimaginea Laplace a variabilei de stare considerate şi se obţine sistemul:

)s(Rps

1pszs

pszs

ab

sY32

2

1

1

3

2

sH3

sHşisH 21

sH1

,pspz

1pszs

)s(H1

11

1

11

111 pspz sH1 ,sR

1

111 ps

pz1sRsHsR

sX1

,sXsXsRps

1sX

,sXsRpspz

sX

sRpspz

sX

213

3

12

222

1

111

,sXab

sY 33

2

,txssX L sX

)s(R)s(Xp)s(X)s(X)s(sX)s(R)pz()s(Xp)s(X)pz()s(sX

)s(R)pz()s(Xp)s(sX

23213

22221222

11111

(2.603)

Trecând relaţiile (2.603) în domeniul timpului se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I,de forma:

(2.604)

Corespunzător relaţiei (2.602), ecuaţia de ieşire, în domeniul timpului, va fi:

(2.605)

Sub forma matriceal vectorială ecuaţiile (2.604), (2.605) devin:

(2.606)

(2.607)

sau sub forma standard:(2.608)(2.609)

În practică se întâlnesc frecvent structuri serie formate din elemente de întârziere de ordinul I,distincte. Mărimile de ieşire ale acestor elemente sunt mărimi fizice reale. Din această cauzăvariabilele de stare care constituie mărimi de ieşire ale unor elemente de întârziere de ordinul I semai numesc variabili de stare fizice [3].

2.5.2.2.3. Metoda algoritmului paralelAlegerea variabilelor de stare se face pornind de la o schemă echivalentă paralel, obţinută prinexprimarea funcţiei de transfer impuse, sub forma unor sume de funcţii de transfer corespunzătoareunor elemente de întârziere de ordinul I [1].Ecuaţia caracteristică a sistemului, asociată funcţiei de transfer impuse, poate avea rădăcini realesimple, reale multiple, complexe conjugate simple, complexe conjugate multiple. În funcţie denatura rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, variabilele de stare se aleg în mod diferit [2, 3].

În continuare, sunt analizate cazurile rădăcinilor reale simple şi a rădăcinilor reale multiple. Pentrucelelalte cazuri menţionate se poate apela la metoda directă sau la schemele de modelare prezentate înliteratura de specialitate [3].a) Cazul rădăcinilor reale simpleÎn acest caz, pentru a face o comparaţie între forma matricei sistemului obţinută prin aplicareametodei algoritmului serie şi matricea sistemului obţinută prin algoritmul paralel, adoptăm funcţiade transfer a unui sistem închis de forma (2.580):

(2.610)

Ecuaţia caracteristică (ecuaţia 2.581) are rădăcinile reale simple (relaţia 2.582) de forma:(2.611)

,rxpxxx,rpzxpxpzx

,rpzxpx

33213

22221222

11111

,xab

y 33

2

,r1

pzpz

xxx

p100p100p

xxx

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,xxxab

00y T321

3

2

,brAXX

,Xcy T

sH 0

,

asasas1

sRsYsH

012

230

,3,1i,ps ii

Având în vedere (2.611), funcţia de transfer din (2.610) se poate scrie [1]:

(2.612)

şi corespunzător:

(2.613)

în care valorile se obţin prin identificare sau conform cu relaţiile [1]:

În relaţia (2.613), sunt funcţii de transfer a unor elemente de întârziere de ordinul I,fiecăreia putându-i-se asocia o schemă echivalentă de forma redată în figura 2.92, dar cu un bloc deamplificare (cu coeficientul de transfer la ieşire. Relaţiei (2.613) i se asociază schema destructură redată în figura 2.96.Şi în această situaţie, ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşirea blocurilor integratoare, ceeace înseamnă că la intrarea integratoarelor ideale se găsesc derivatele variabilelor de stare [1].Sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I se obţine din ecuaţiile scrise blocurilor sumatoare dinstructura elementelor de întârziere de ordinul I, [1].

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x p x r,x p x r,x p x r.

(2.614)

Mărimea de ieşire y rezultă din ecuaţia scrisă sumatorului de la ieşire(figura 2.96):

(2.615)

sH 0

,sHsHsHps

cps

cps

cpspsps

1sRsYSH

3213

3

2

2

1

1

3210

,sHsHsHsR

sRps

csR

psc

sRps

csY

321

3

3

2

2

1

1

321 ,, ccc

,sHpsc

;sHpsc

;sHpsc

3ps

2ps

1ps

033

022

011

3,1i,sHi

3,1i,ci

,xcxcxcy 332211

Fig. 2.96

Relaţiile (2.614) pot fi exprimate prin următoarea relaţie matriceal-vectorială:1 1 1

2 2 2

3 3 3

x p 0 0 x 1x 0 p 0 x 1 r

1x 0 0 p x

, (2.616)

respectiv:(2.617)

iar relaţia (2.615) se scrie sub forma:(2.618)

respectiv:(2.619)

Pentru integrarea ecuaţiilor (2.614) sunt necesare condiţiile Acestea se determină cuajutorul relaţiei (2.618) şi a derivatelor ei până la ordinul , în care se elimină de fiecaredată cu expresia din relaţia (2.614). Se obţine astfel un sistem de n ecuaţii cu n = 3necunoscute [3]. Condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare.Spre deosebire de ecuaţia (2.589), se constată că în (2.616) matricea sistemului, notată cu , este omatrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice(polii funcţiei de transfer). În această situaţie se spune că variabilele de stare sunt completdecuplate. Forma matriceală obţinută (ecuaţiile (2.617), (2.619)) poartă denumirea de formăcanonică diagonală [3].

b) Cazul rădăcinilor reale multipleSe consideră un sistem automat închis, de ordinul n = 3 şi n = m, descris de următoarea

funcţie de transfer:

(2.620)

Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice, notate cu , sunt reale şi negative, iar o rădăcină, deexemplu are ordinul de multiplicitate 2, atunci relaţia (2.620) poate fi scrisă astfel:

,rbXX 1

,xxxcccy T321321

,Xcy T

.3,1i,0x i 21 n

3,1i,x i

,

asasasabsbsbsb

sPsP

sRsYsH

012

23

3

012

23

3

2

10

,1

(2.621)

Descompunând relaţia (2.621) în fracţii simple se obţine expresia mărimii de ieşire deforma:

31 20 02

1 1 2

cc cY(s) H (s) R(s) [ ] R(s) c R(s)(s ) s s

, (2.622)

unde coeficienţii au expresiile:21 1 1

1 1s 1 2 1 2

P (s) P ( )c lim[ (s ) ]P (s) ( )

,

1 1 23 2s 2 2 2 1

P (s) P ( )c lim[ (s )]P (s) ( )

Relaţiei (2.622) îi corespunde schema de structură reprezentată în figura 2.97.

Fig. 2.97

Deoarece blocul (1) conţine două elemente de întârziere de ordinul I conectate în serie, seconstată că schema de structură din figura 2.97 conţine patru astfel de elemente, deci numărulelementelor de întârziere de ordinul I depăşeşte ordinul sistemului.

În figura 2.98 se reprezintă o schemă de structură simplificată care conţine un număr n = 3elemente de întârziere de ordinul I [3].

Fig. 2.98

În figura 2.98, variabilele de stare reprezintă mărimile de la ieşireaelementelor de întârziere de ordinul I.

,ss

bsbsbsbsPsP

sRsYsH

22

1

012

23

3

2

10

sY

,sHlimc 00 s

,

PPs

sPsP

dsdlimc 2

21

11

21

1121

2

12

1s

sX,sX,sX 321

Conform schemei de structură din figura 2.98, expresiile variabilelor de stare, în imaginiLaplace, sunt:

(2.623)

Pentru a stabili sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I, este necesar să exprimămderivatele variabilelor de stare în funcţie de acestea.

Având în vedere că relaţiile (2.623) se pot scrie sub forma:

(2.624)

Trecând relaţia (2.624) în domeniul timpului, se obţine sistemul format din n = 3 ecuaţiidiferenţiale de ordinul I:

(2.625)

Ecuaţia stare-ieşire se obţine din ecuaţia sumatorului din figura 2.98, astfel:(2.626)

şi respectiv:

(2.627)

În forma matriceal-vectorială ecuaţiile intrare-stare-ieşire (2.625), (2.627) devin:

(2.628)

(2.629)sau

(2.630)(2.631)

În ecuaţia (2.631) se constată că Matricea A este o matrice Jordan corespunzătoaresistemului n = 3 şi două valori proprii egale.Pentru integrarea ecuaţiilor (2.625), din cele n = 3 condiţii iniţiale sunt determinate condiţiileiniţiale ale variabilelor de stare cu ajutorul relaţiei (2.629) şi a derivatelor ei până la ordinul

, în care se elimină de fiecare dată cu expresiile din relaţiile (2.625).

2.5.3. Rezolvarea ecuaţiilor de stare. Matricea de tranziţieSe consideră un sistem automat liniar monovariabil invariant neted descris de ecuaţiile de stare:

(2.632)Ty(t) c X(t) , (2.633)

cu condiţiile iniţiale:

,sRs

1sX

,sRs

1sX

,sXs

1sX

23

12

21

1

,3,1i,ssXx i1

i L

,sRsXssX

,sRsXssX,sXsXssX

323

212

2111

,rxx,rxx,xxx

323

212

2111

,sXcsXcsXcsRcsY 3322110

,rcxcy 0

3

1kk

k

,r110

xxx

000001

xxx

3

2

1

2

1

1

3

2

1

,rcxxxcccy 0T

321321

brAXX

drXcy T .0cd

21 n ix

,tbrtAXtX

(2.634)

în care n n n 1 T 1 nA R ,b R ,c R , iar sunt n – vectori coloană.Se determină soluţia a ecuaţiei matriceal vectoriale intrare-stare (2.632), după care în bazasoluţiei obţinute se calculează ieşireaSoluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare (2.632) conţine două componente:

l fX(t) X (t) X (t),

unde componenta este componenta liberă a vectorului de stare determinată numai decondiţiile iniţiale soluţie a ecuaţiei matriceale omogene asociată ecuaţiei (2.632), iar

fX (t) este componenta forţată determinată numai de mărimea de excitaţie (intrare) în condiţiiiniţiale nule, soluţie particulară a ecuaţiei matriceal-vectoriale (2.632), [3].

Corespunzător şi răspunsul sistemului va avea două componente:l fy(t) y (t) y (t),

în care ly (t) este componente liberă a răspunsului, iar fy (t) este componenta forţată a răspunsului.Conform cu (2.633) şi având în vedere cele două componte ale vectorului de stare rezulă:

T T T Tl f l fy(t) c X(t) c [X (t) X (t)] c X (t) c X (t) .

a) Soluţia ecuaţiei omogene asociată ecuaţiei matriceale intrare-stare;Ecuaţia matriceală omogenă se obţine din ecuaţia (2.632) în care

(2.635)cu valoarea iniţială a vectorilor de stare de forma (2.634). Soluţia ecuaţiei (2.635) este determinatăde condiţiile iniţiale nenule. Pentru a găsi soluţia ecuaţiei omogene (2.635), dezvoltăm în serieMac-Laurin:

(2.636)

Pentru a înlocui în relaţia (2.636) pe se derivează (2.635) până la ordinul n,după care se face t = 0.Derivând relaţia (2.635) se obţine:

(2.637)

Din relaţiile (2.637) şi (2.635) pentru t = 0 rezultă:

(2.638)

Având în vedere (2.638), relaţia (2.636) devine:

sau

(2.639)

,0XtX0t

0XşitX tX

.ty

tXl

,0tr

:0tr ,0t,tAXtX

tX

...!n

t0X...!3

t0X2t0Xt0X0XtX

nn

32

,0X,...,0X,0X n

tXAtX....................................................

,tXAtXAtX,tXAtXAtX

nn

32

2

0XA0X.....................................

,0XA0X,0XA0X

,0AX0X

nn

3

2

...0XA!n

t...0XA!3

t0XA2t0AXt0XtX n

n3

32

2

,0X....!ntA_...

!3tA

2tAAItX

nn3322

Cunoscând că dezvoltarea funcţiei scalare după formula luiMac-Laurin este:

şi comparând cu relaţia (2.639) se constată că paranteza reprezintă dezvoltarea în serie a funcţieiunde A este matricea sistemului (exponenţială matriceală):

Deci, relaţia (2.639) devine:(2.640)

Având în vedere că:

înlocuind relaţia (2.640) direct în ecuaţia diferenţială (2.635) se constatã cã relaţia (2.640) estesoluţie a acestei ecuaţii cu satisfacerea condiţiilor iniţiale (2.634).Relaţia (2.640) reprezintã soluţia de regim liber (componenta liberã a răspunsului) scrisă sub formămatriceală, care se notează, aşa cum s-a menţionat, astfel:

(2.641)Din relaţia (2.641), pentru , se obţine:

şi corespunzător:

rezultă că soluţia (2.641) poate fi redată sub forma:(2.642)

Expresia (2.642) reprezintã soluţia ecuaţiei diferenţiale matriceale (2.635) care satisface condiţiainiţialã:

(2.643)

Exponenţiala matricealã poartă denumirea de matrice de tranziţie sau matricefundamentală a sistemului automat. Matricea fundamentală caracterizeazã regimul liber alsistemului.În soluţiile (2.641) şi (2.642) putem privi pe respectiv pe ca puncte alespaţiului vectorial n – dimensional al condiţiilor iniţiale şi spaţiului vectorial n – dimensional alsoluţiilor, care este izomorf cu spaţiul vectorilor condiţiilor iniţiale. Transformarea de larespectiv la soluţia este determinatã de operatorul , care este un operator liniar.Deci, soluţia ecuaţiei (2.635) este imaginea lui prin operatorul liniar în spaţiul soluţiilor.În figura 2.99 se prezintă grafic interpretarea soluţiei (2.641) din punctul de vedere al operatoruluiliniar

xexf

,!n

x...!n

x...!3

x2

xx1en

0n

n32x

,eAt

!ntAe

nn

0n

At

,0XetX At

,Ae...!3tAtAA....

2tAAI

dtde

dtd AtAt

3322

22

,0XetX Atl

0tt

,0XetX 00

At

,tXe0Xee0Xe 00ttA0At0ttAAt

,0t,tXetX 0l0ttA

,tXtX 00tt

0tte 0ttA

0tt

,tXşi0X 0 tX l

,0X ,0tX tX l

0X t

.t

Fig. 2.99Denumirea de matrice de tranziţie este justificată prin faptul că determină tranziţia

sistemului din starea iniţială în starea corespunzătoare unui moment de timpPrincipalele proprietăţi ale matricei de tranziţie sunt următoarele :

(matricea unitate), (2.644)

(2.645)

(2.646)

(2.647)

Matricea fundamentală este similară funcţiei pondere pentru sistemele monovariabileintrare-ieşire [1]. Se mai constată că matricea fundamentală nu este unică deoarece oricetransformare asemenea asupra matricei sistemului conduce la matricea fundamentală.

b) Componenta forţată a răspunsului şi vectorului de stare

Dacă se introduce prin definiţie funcţia pondere [2]:

becb)t(c)t(w AtTTdef

,atunci utilizând produsul de convoluţie, componenta forţată a răspunsului determinată numaimărimea de intrare, va fi de forma:

t

0

Tt

0

t

0

)(ATf 0t,d)(br)t(cd)(brecd)(r)t(w)t(y t , ( 2.648)

Abând în vedere faptul că:)t(Xc)t(y f

Tf , ( 2.649)

şi comparând (2.648) cu (2.649) rezultă expresia componentei forţate a vectorului de stare (carecorespunde regimului tranzitoriu pe care l-ar realiza mărimile din sistem în condiţii iniţiale nule(vectorul de stare iniţial ar fi nul)):

t

0

t

0

)(Af d)(br)t(d)(bre)t(X t . (2.650)

c) Soluţia generală a ecuaţiei matriceale neomogene intrare-stare şirăspunsul complet al sistemului.

Vectorul de stare X(t), în cazul când condiţia iniţială este de forma (2.634), se determină curelaţia:

t

0

)(AAfl d)(bre)0(Xe)t(X)t(X)t(X tt , (2.651)

care se mai scrie:

t

0fl d)(rb)t()0(X)t()t(X)t(X)t(X . (2.652)

Dacă se impune o condiţie iniţială de forma (2.643) expresia vectorului de stare devine:

t

0t0

(A0

)0tt(A tt,d)(bre)t(Xe)t(X )t , (2.653)

care se mai poate scrie sub forma:

t

0t000 tt,d)(rb)t()t(X)tt()t(X , (2.654)

0tt

0t .0tt

,I0tt0tt0

,tttttt 020112

,ttsautttt 110

101

,tAdt

td

Mărimea de ieşire, corespunzător ecuaţiei stare-ieşire de forma (2.633) în care s-a consideratd=0, şi având în vedere expresia (2.654), este de forma:

0

t

0t

T00

TT tt,d)(br)t(c)t(X)tt(c)t(Xc)t(y , (2.655)

Dacă ecuaţia stare – ieşire are expresia:)t(rd)t(Xc)t(y T , (2.656)

atunci pentru mărimea de ieşire se obţine relaţia:

0

t

0t00

TT tt,)t(rd]d)(br)t()t(X)tt([c)t(Xc)t(y , (2.657)

A rezultat că dinamica sistemului automat liniar este definită dacă este cunoscută matriceafundamentală S-a menţionat că răspunsul sistemului nu este modificat deschimbarea bazei, în spaţiul n – dimensional al variabilelor de stare. Acest aspect se poate deduce înbaza relaţiei (2.657). Se consideră sistemul liniar invariant monovariabil având ecuaţiile de stare(2.524), (2.525), scrise în vechea bază şi ecuaţiile de stare (2.530), (2.531) scrise în noua bază, iarmatricea nesingulară a transformării fiind T, conform relaţiei (2.522). Se notează cu expresiamărimii de ieşire în cazul exprimării variabilelor de stare în vechea bază şi cu în cazulexprimării variabilelor de stare în noua bază.Atunci, corespunzător cu (2.657) şi având în vedere relaţia (2.656) se poate scrie:

0

t

0t

)(AT0

)0tt(AT tt),t(rdd)(rbec)t(Xec)t(y t , (2.658)

iar în noua bază:

(2.659)

Având în vedere că pentru o funcţie de matrice şi orice matrice nesingulară T este adevăratărelaţia 27:

(2.660)iar

(2.661)relaţia (2.659) devine:

(2.662)

şi respectiv:

(2.663)

deci:(2.664)

indiferent de mărimea de intrare

.sau 0ttt ty

ty ty~

,tt,tdrdbreTctX~eTcty~ 01T

t

1T t1TAT

0t

0tt1TAT

Af

,TAfTTATf 11

,tTXtX~respectiv,tX~TtX 0001

0

,tt,tdr

dTbrTTeTctTXTTeTcty~

0

11T0

11T tA

t

0t

0ttA

,tt,tdrdbrectXecty~ 0T

0T tA

t

0t

0ttA

,ty~ty .tr

După cum s-a menţionat, se caută ca matricea transformării să fie astfel adoptată încât matricea săfie o matrice Jordan (relaţia (2.532)), matricea fundamentală devenind:

(2.665)unde J este forma canonică Jordan a matricei A.

2.5.3.1. Calculul matricei fundamentaleExistă mai multe metode de calcul a matricei fundamentale sau Se va consideramatricea fundamentală de forma:

(2.670)fără ca prin aceasta să se piardă din generalitate. În continuare, este prezentată numai metodatransformate Laplace, care este cea mai utilizată în aplicaţii.

Metoda transformatei Laplace. Relaţia dintre modelul intrare-stare-ieşireşi funcţia de transfer. Realizări.

Pentru a stabili legătura dintre imaginea Laplace a matricei fundamentale şi matriceasistemului se pleacă de la ecuaţia omogenă (2.635) cu condiţia iniţială (2.634), deci de la relaţiile:

(2.671)(2.672)

Se aplică transformata Laplace ecuaţiei (2.671), obţinându-se:care se mai scrie sub forma

respectiv:(2.673)

iar originalul este:(2.674)

Dacă se compară (2.674) cu soluţia ecuaţiei omogene (relaţia (2.640)) care este de forma:

rezultă:(2.675)

deci(2.676)

Cunoscând matricea coeficienţilor A se poate determina matricea fundamentală a sistemuluicalculând inversa matricei şi transformata inversă Laplace a acesteia [1].Pentru a determina matricea fundamentală utilizând relaţia (2.676) se parcurg următoareleetape:a) se determină matricea

,ett 0ttJ0

t .0tt

,0t,et At

,0t,tAXtX

,0XtX 0t

,sAX0XssX ,0XsXAsI

,0XAsIsX 1

,0XAsIsXtX 111 LL

,0XetX At

,AsIet 11At L

,AsIts 11 L

AsI t

:AsIn

a) se calculează matricea inversă

unde iar este complementul algebric al elementului matricei Tn )AsI(

numeric egal cu minorul al elementului corespunzător liniei i şi coloanei k, luat cu semnul

Matricea adjunctă a matricei are ca elemente adică complementele algebrice alematricei T

n )AsI( . Deci se mai poate scrie:

b) se determină matricea fundamentală calculând originalul fiecărui element almatricei

În continuare se stabileşte relaţia dintre modelul intrare-stare-ieşire şi funcţia de transfer. Seconsideră un sistem de reglare liniar invariant monovariabil descris de ecuaţiile de stare (2.632) şi(2.633) cu condiţia iniţială (2.672). În ecuaţia stare-ieşire (2.633) se consideră d = 0.Ecuaţiile menţionate sunt:

(2.677)(2.678)

Se aplică transformata Laplace ecuaţiei neomogene (2.677) cu condiţia iniţială (2.672) şi se obţine:

,

as...aaa...............a...asaaa...aasaa...aaas

a...aaa...............

a...aaaa...aaaa...aaa

s...000...............0...s000...0s00...00s

AsI

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

n

:AsI 1n

,

s...ss............

s...sss...ss

A...

A............

A...

A

A...

AA

AsIs

nnn21n

n22221

n11211

nnn21n

2n2212

1n21111

1n

,AsIdet n ikA

ik

.1 ki AsIn ,Aik

,AsIdet

AsIadjAsIs

n

n1n

t :s

.ssA

t ikki

ik11

LL

,tbrtAXtX

,tXcty T

(2.679)sau

de unde:(2.680)

care în baza relaţiei (2.676) se scrie sub forma:(2.681)

Transformata Laplace a ecuaţiei (2.678) este:

care, avându-se în vedere relaţia (2.681) se exprimă sub forma:)s(Rb)s(c)0(X)s(c)s(Y TT . (2.682)

Deoarece funcţia de transfer se defineşte în condiţii iniţiale nule, relaţia (2.682) devine:)s(Rb)AsI(c)s(Rb)s(c)s(Y 1TT , (2.683)

Funcţia de transfer a sistemului de reglare se defineşte prin relaţia [1]:

(2.684)

Dacă se ţine seama de exprimarea matricei inverse în funcţie de matricea adjunctă şi determinantulacesteia, expresia funcţiei de transfer devine [1]:

(2.685)

RealizăriFuncţia de transfer a unui sistem liniar invariant monovariabil permite obţinerea uneirealizări printr-o alegere corespunzătoare a variabilelor de stare [2]. Problema realizării sepoate formula astfel: dându-se un model intrare-ieşire, se cere a se determina o realizare

astfel încâtSe numeşte realizare a lui orice sistem , dacă relaţia (2.684) este satisfăcută [2]. Demenţionat este faptul că pentru o funcţie de transfer există mai multe realizări, teoretic o infinitatede realizări [2]. Deci, trecerea de la realizarea sau la funcţia de transfer nueste unică.În cazul prezentat s-a avut în vedere sistemul închis cu funcţia de transfer H0(s), cele prezentate suntvalabile pentru orice subsistem, bloc etc.Se consideră că funcţia de transfer H(s) este o raţională strict proprie, adică gradul numărătoruluieste strict mai mic decât gradul numitorului (într-un astfel de caz în ecuaţia (2.656) d=0) şi este deforma:

011n

1nn

011n

1n

asasasbsbsb

)s(H

. (2.686)

O realizare a funcţiei de transfer, raţională strict proprie, (2.686) este cea numită standardcontrolabilă:

,sbRsAX0XssX

,sRb0XsXAsI

,sRbAsI0XAsIsX 11

,sRbs0XssX

,sXcsY T

,00 X

,bAsIcsRsYsH 1T

def

0

,b

AsIdetAsIadjcsH T

0

sH 0

Tc,b,A Tc,b,A

.bAsIcsH 1T0

sH 0 Tc,b,A

Tc,b,A d,c,b,A T

1n210 aaaa1000

01000010

A ,

10

00

b , ]bbbb[c 1n210T

O realizare a funcţiei de transfer, raţională strict proprie, (2.686) este cea numită standardobservabilă:

1n

2n

1

0

a100a0

0

010a001a000

A ,

1n

2n

2

1

0

bb

bbb

b , ]1000[cT

Controlabilitatea şi observabilitatea SLN

Controlabilitatea şi observabilitatea sistemelor dinamice sunt 2 proprietăţi interne(structurale) ale acestora, care definesc condiţiile necesare şi uneori suficiente pentru existenţa uneisoluţii în problemele de conducere automată.- Aceste proprietăţi se referă şi la sistemele SISO;- Pentru un sistem pot exista mai multe realizări

nABCD )( , funcţie de alegerea bazei

spaţiului stărilor. Proprietăţile de controlabilitate şi observabilitate se referă la realizările (A, B, C)sau (A,b,cT) pentru cele SISO.

Controlabilitatea stăriiInterpretarea grafică pentru un SLN cu n=2 (are 2 variabile de stare).

Fig. 1

Evoluţia sistemului are loc între starea iniţială x0 şi o stare finală xF

20

100 x

xX prin translatare când ],[ 0 fttt , rezultă

f

fF x

xX

2

1 .

Def. 1 – un SLN se numeşte de stare complet controlabilă dacă pentru orice stare iniţială asistemului

)(00 tXX există o comandă ),[: 0 fttu astfel aleasă încât să aducă sistemul la o stare finalăn

FfF RXtXX ),( într-un timp finit.Def. 2 – Un SLN este de stare complet controlabilă dacă există o comandă prin care sistemul sepoatetranslata, în timp finit, între 2 stări oarecare )( 00 tXX şi )( FF tXX , din spaţiul stărilor.

Un SLN care nu este de stare complet controlabilă se numeşte necontrolabil, iar acesta poate fi:- sistem de stare complet necontrolabil;- sistem de stare parţial controlabil (necontrolabil).

Exemplu:Sistem parţial controlabil – interpretare grafică(n=2)

Fig. 2Din figura 2 se poate constata că numai componenta x1 a sistemului este controlabilă.Se va nota cu Xc spaţiul stărilor controlabile (spaţiul stărilor accesibile prin comenzi), atunci

pentru un SLN de ordin n deosebim:- complet controlabil: nX c sau n

c RX ;- parţial controlabil: n

cc RXnnX ,1 ;- stare necontrolabilă: ]0[cX .

Pentru verificarea proprietăâii de controlabilitate se foloseşte perechea (A,B). Se spune căsistemul nCBA ),,( este controlabil dacă perechea (A,B) este controlabilă.

Pentru verificarea controlabilităţii se construieşte matricea de controlabilitate:]...[ 12)( BABAABBQ nmn

c

Def. 2 – O pereche (A,B) este controlabilă dacă şi numai dacă:rangQc=n=dimX (invariant la schimbarea bazei).

Def. 3 – Criteriul lui Hantus – O pereche (A,B) este controlabilă dacă şi numai dacă: )(; AnBAIrang n unde σ(A) este spectrul matricei A (mulţimea valorilor proprii

ale matricei A).

Observabilitatea stăriiObservabilitatea este o proprietate structurală care pune în evidenţă posibilitatea

determinării unei stări din prelucrarea mărimilor măsurate de intrare şi respectiv de ieşire.Def. 4 – Un SLN este de stare complet observabilă dacă specificându-se intrarea şi respectiv ieşireaacestuia pe un interval de timp, se poate determina în mod unic starea acestuia pe acest interval de

timp.Pentru verificarea proprietăţii de observabilitate se operează cu perechea (C,A).Se construieşte matricea de observabilitate:

2.6. STABILITATEA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIARE ŞI CONTINUEINVARIATEOrice sistem de reglare automată (SRA) trebuie să fie, înainte de toate, stabil. Răspunsul alsistemelor de reglare automată liniare continue şi invariante are două componente (relaţia (2.36)),una permanentă şi alta liberă (sau tranzitorie) Sistemele liniare în care se poate realizaun regim permanent se numesc sisteme stabile. Deci, în cazul SRA stabile componenta liberă arăspunsului se amortizează după trecerea unui interval de timp suficient de mare de la aplicareamărimii exterioare de excitaţie. Din punct de vedere matematic, problema stabilităţii presupunestudiul sistemelor dinamice pentru valori mari ale timpului, teoretic Evoluţia liberă asistemului, descrisă de componenta liberă a răspunsului, corespunde soluţiei generale a ecuaţieiomogene aferentă ecuaţiei diferenţiale neomogene (relaţia (2.37)) care descrie sistemul şi depindenumai de condiţiile iniţiale, mărimile aplicate sistemului din exterior fiind identic nule.Evoluţia liberă a sistemului depinde de rădăcinile ecuaţiei caracteristice (relaţia (2.38)), care larândul lor depind numai de parametrii sistemului. Aceasta explică faptul că în cazul SRA liniarenetede şi invariante stabilitatea este o proprietate intrinsecă a sistemului. Cele menţionate justificăimportanţa polinomului caracteristic şi respectiv a soluţiei ecuaţiei omogene în apreciereastabilităţii. Soluţia ecuaţiei omogene (evoluţia liberă a sistemului) este analizată atât în cazulmodelelor matematice de tipulintrare-ieşire, cât şi a modelelor matematice de tipul intrare-stare-ieşire.Abordarea stabilităţii sistemului utilizând modelele matematice de tipulintrare-ieşire poartă denumirea de stabilitate externă sau stabilitate intrare-ieşire. În acest cazaprecierea stabilităţii implică studierea simultană a intrărilor şi ieşirilor sistemului, deci a mărimilorexterne [3].Abordarea stabilităţii sistemului utilizând modelul matematic de tip intrare-stare-ieşire poartădenumirea de stabilitate internă (sau stabilitate în sens Liapunov). Denumirea de stabilitate internăeste justificată prin faptul că variabilele de stare sunt mărimi interne ale sistemului, măsurabile saunemăsurabile.În scopul definirii unor noţiuni specifice stabilităţii, este util să se facă o analiză calitativă astabilităţii prin care să se evidenţieze stările (punctele) de echilibru posibile pentru un sistem şicorespunzător stabilitatea acestora. Considerăm un sistem mecanic idealizat, foarte simplu, formatdintr-un mic corp solid de masă m, având un singur grad de libertate [27]. În regim liber, corpulpunctiform de masă m se mişcă cu frecare, sub acţiunea forţei de greutate, de-a lungul unui fir, careîn planul vertical descrie o curbă oarecare (figura 2.100.a). Acest sistem mecanic este descrisde două ecuaţii diferenţiale de ordinul I, care exprimă impulsul punctului material sau

şi respectiv legea a doua a lui Newton Astfel, ecuaţiile de mişcare pot

fi redate sub forma următoarelor dependenţe [27]:

în care x este deplasarea orizontală; p impulsul corpului punctiform (în direcţia tangentei la curbă);este o funcţie derivabilă care descrie forma curbei, iar derivata acesteia.

Ca variabile de stare se aleg mărimile O stare oarecare notată cueste o stare de echilibru dacă [27]: Astfel, o stare de echilibru va fi descrisă de orelaţie de forma:

ty

ty p .ty tr

.t

x txmtp

tp

mtx 1

.tFtp

,tp,txftx x

,tp,txftp p

x x .tpşitx Ttptxtq

.0pşi0x

0kîncât valoaredeastfeloarekunde,0k

qe

Aspectele calitative ale stabilităţii stărilor (punctelor) de echilibru sunt analizate în raport cu formafirului în vecinătatea punctelor pentru care Modificând forma curbei se pot realizadiferite variante, de astfel de sisteme, care prezintă interes din punctul de vedere al interpretăriistabilităţii.

Fig. 2.100

În figura 2.100.b, corpul ocupă o poziţie iniţială de echilibru în domeniul în care firuleste orizontal. Dacă se imprimă corpului o anumită viteză iniţială, suficient de mică,corpul va ocupa o nouă poziţie de echilibru în apropierea celei iniţiale. O astfel de stare (punct) deechilibru este stabilă.Dacă se modifică forma firului, la ambele capete, realizând un punct de echilibru stabil x = k, ca înfigura 2.100.c, astfel încât atunci la abateri mici(mai mici decât în modul) faţă de acest punct de echilibru, corpul în final va reveni la poziţiainiţială, fie printr-o mişcare aperiodică, fie efectuând câteva oscilaţii (amortizate) în jurul punctuluide echilibru.O astfel de stare de echilibru este asimptotic stabilă. Deoarece abaterea maximă faţă de punctul deechilibru este limitată, se spune că stabilitatea asimptotică este locală sau în sens restrâns.Dacă firul descrie curba din figura 2.100.d, pentru careatunci pentru orice abatere faţă de punctul de echilibru în final, corpul revine în punctuliniţial. Revenirea corpului în punctul de echilibru se poate face aperiodic sau după efectuarea unoroscilaţii amortizate. Deoarece nu s-au pus restricţii abaterii maxime faţă de punctul de echilibru,teoretic această abatere putând fi infinită, se spune că stabilitatea asimptotică este globală sau înmare.Dacă firul este curbat în jos, la ambele capete, ca în figura 2.100.e, atunci, pentru abateri oricât demici faţă de punctul de echilibru, corpul părăseşte punctul de echilibru depărtându-se continuu deacesta. Această stare de echilibru este instabilă. Se constată, cu uşurinţă, că şi punctul de echilibrudin figura 2.100.f este instabil.

.0 x x

,21 xxx 0la tt

,0x ;kxk ,;0 kxkx

;0k;kx,0x ,kx,0x

,0k

Aceste exemple evidenţiază, sugestiv, sensurile fizice legate de stabilitatea în sens Leapunov şipermit o înţelegere mai uşoară a unor teoreme şi definiţii specifice stabilităţii.

2.6.1. Stabilitatea externăProprietatea unui sistem de a fi stabil extern (stabil intrare-ieşire) poate fi formulată astfel [2, 3]:Un SRA monovariabil liniar este stabil extern dacă pentru orice mărime de intrare mărginită

(2.688)mărimea de ieşire este, de asemenea, o funcţie mărginită

(2.689)unde sunt mărimi pozitive oarecare.

Corespunzător formulării de mai sus, acest tip de stabilitate se mai numeşte “intrare mărginită – ieşiremărginită” [IMEM sau BIBO (bounded input – bounded autput )].Stabilitatea externă a SRA monovariabile netede şi invariante poate fi analizată cu ajutorul funcţieipondere, răspunsului indicial şi răspunsului la frecvenţă [3].

2.6.1.1. Stabilitatea externă a SRA liniare netede şi invariante în raport cu funcţiapondere

Pentru definirea stabilităţii externe se va pleca de la funcţia pondere:(2.690)

unde este funcţia de transfer a SRA.Cunoscând funcţia pondere se poate determina răspunsul SRA pentru orice variabilă de intrare

astfel:

(2.691)

Deoarece în studiul stabilităţii variabila independentă t are valori mari, teoretic limităsuperioară a integralei (2.691) poate fi luată şi atunciSe caută să se stabilească condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească pentru caSRA să fie stabil extern (stabil în sens IMEM).Definiţia 1. Un sistem monovariabil liniar neted şi invariant este stabil extern(stabil IMEM) dacă există un număr real M > 0 astfel încât:

(2.692)Definiţia 2. Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem monovariabil liniar neted şi invariant să fiestrict stabil IMEM este ca funcţia pondere să fie absolut integrabilă:

0

Rt,Md)(w , (2.693)

unde M > 0, iar pentru t < 0.Pentru a demonstra condiţia necesară de stabilitate strictă IMEM se consideră că:

0

Md)(w ,

,0t,Mtr r

,0t,Mty y

yr M,M

,sHtw 01L

sRsYsH 0 tw

,tr

,t,drtwtyt

0

,t .tyty f

sHşitw 0

,0t,Mtw

tw

0tw

iar este o variabilă de intrare mărginită pentru toate valorile lui t > 0. Răspunsulsistemului, în condiţii iniţiale nule, în valori absolute este:

(2.694)

deci:

0

Md)(w , (2.695)

pentru toate valorile lui t > 0. În felul acesta , SRA este strict stabil IMEM.Condiţia suficientă de stabilitate IMEM, a SRA, se demonstrează arătând că dacă într-un cazparticular condiţia (2.693) nu este satisfăcută, SRA nu este strict stabil. Se presupune că SRA estestrict stabil IMEM, dar nu se respectă condiţia (2.693), deci:

0

d)(w (2.696)

Răspunsul sistemului, cu condiţii nule, la momentul se determinã utilizândrelaţia:

,

Se consideră cazul particular când mărimea de intrare este unitară, deci mărginită, exprimată astfel[19, 27]:

(2.697)

atunci, având în vedere relaţia (2.696), se poate scrie:

(2.698)

ceea ce contrazice ipoteza iniţială (relaţia (2.693)).De menţionat este faptul că funcţia pondere depinde de tipul rădăcinilor ecuaţiei

caracteristice asociate funcţiei de transfer deci problema stabilităţii externe este o problemăde alocare a polilor raţionalei ireductibile

2.6.1.2. Criteriul fundamental de stabilitateEste important a stabili o corelaţie între poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice ale lui şiproprietăţile funcţiei pondere, în scopul aprecierii stabilităţii externe a SRA. Prezintă interes, dinpunctul de vedere al stabilităţii, delimitarea în planul complex s a domeniului rădăcinilor stabile [3].

tr ,Mtr r

MMdwM

dtrwdtrwty

r

0

r

00

,0careîn, 11 ttt

drtwty 11

1t

,twtw

r1

1

dtw

dtwdtw

twty

1

11

21

1

1t

1t1t

tw ,sH0

.sH 0

sH 0

Conform cu relaţiile (2.181), (2.182) relaţiile dintre funcţia pondere şi funcţia de transfersunt următoarele:

(2.699)

şi

(2.700)

cu 0s eR în care este abscisa de convergenţă absolută a integralei (2.700).În (2.699) integrarea trebuie să se facă pentru valori care aparţin intervalului care asigurăconvergenţa absolută a integralei (2.700). Funcţia de transfer a sistemului există numai însemiplanul variabilei complexe s, în partea dreaptă a dreptei verticale infinite care trece prinrădăcina ecuaţiei caracteristice cu cea mai mare parte reală, această parte reală reprezentând În(2.700) integrarea se face după dreapta verticală determinată prin relaţiile sIm pentru

0s eR , deci, în relaţia (2.699) se iaDin punctul de vedere al stabilităţii prezintă interes rădăcinile ecuaţiei caracteristice dispuse însemiplanul stâng al planului complex (corespunde rădăcinilor stabile), deci se adoptă şiintegrarea în (2.699) se face în lungul axei imaginare de la –j la + j. Funcţia esteanalitică în domeniul de convergenţă determinat de relaţia 0s eR , unde dar are osingularitate esenţială în punctul s = . De aceea trebuie adăugată o curbă astfel încât axa verticalăsă formeze un contur închis (C), iar (2.699) pe acest contur închis să fie egală cu integrala efectuatăpe axa verticală. Această curbă poate fi redată considerând semiplanul drept din planul complex s caun semicerc, cu centrul în originea axelor planului s, de rază R tinzând spre infinit (rezultă dinteorema rezidurilor şi lema lui Jordan), ca în figura 2.101.a. În felul acesta, este evitatăsingularitatea de la , iar domeniul delimitat de curbă şi axa imaginară reprezintă domeniul deconvergenţă al integralei (2.699). Pentru t > 0, funcţia de transfer nu poate avea singularităţiîn domeniul de convergenţă. În caz contrar sistemul este instabil şi astfel de sisteme nu prezintăinteres practic.Unele funcţii de transfer, cum sunt cele ale sistemelor deschise, au adesea poli pe axa imaginară aplanului s, aceşti poli constituind puncte singulare care pot fi excluse din conturul C prin ocolirealor cu circumferinţe de rază infinit mică, aşa cum se arată în figura 2.101.b. Conturul C din figurile2.101.a şi 2.101.b poartă denumirea de contur Nyguist [2, 3, 8, 9]. Conform relaţiei (2.362) funcţiade transfer a SRA nu poate avea poli în origine.

Fig. 2.101

Integrala (2.699) se rezolvă utilizând teorema reziduurilor şi pentru t > 0:

tw sH 0

,0t,dsesHj2

1tw stjc

jc

0

,,0

0 jsdtetwsH st

0

.0

.0c

C 00

stesH 0

,00

sH 0

abscisei.stângadinsingularepuncteleîn

sfuncţieiorreziduuril 0021 HsdesH

jtw

jc

jc

st

Pentru o funcţie de transfer, asistemului închis, realizabilă fizic (de forma (2.151) cu n > m), funcţiapondere w(t), pentru t>0, a sistemului închis, este o funcţie continuă şi satisface ecuaţia diferenţialăomogenă, asociată lui )s(H0 . Deoarece SRA este liniar, conform principiului superpoziţiei, funcţiapondere poate fi redată astfel:

(2.701) unde

reprezintă contribuţia fiecărei rădăcini, a ecuaţiei caracteristice a SRA, la răspunsulPrin criteriul fundamental de stabilitate se exprimă condiţiile de stabilitate în funcţie de poziţiarădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex, astfel [3]:Teoremă. Un SRA monovariabil liniar invariant este strict stabil IMEM dacă şi numai dacă toţipolii funcţiei de transfer a sistemului închis au partea reală strict negativă [2, 3]. În condiţiileteoremei de mai sus, n,1,0 ii eR fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice, fiecare termen din(2.701) satisface condiţia

şi deci:(2.702)

ceea ce conduce la satisfacerea condiţiei (2.693). Relaţia (2.702) corespunde SRA strict stabilIMEM.Teoremă. Un SRA monovariabil liniar neted invariant este stabil IMEM dacă şi numai dacă toţipolii funcţiei de transfer a sistemului închis au partea reală negativă sau nulă, iar acei poli care aupartea reală nulă trebuie să fie simpli [2].

În condiţiile teoremei menţionate, fiecare termen din (2.701), care reprezintă contribuţiaunui pol cu partea reală strict negativă, se amortizează pentru iar termenul care corespundeunei perechi de rădăcini conjugate dispuse pe axa imaginară este mărginit (funcţiile cos şi sin fiindmărginite). Un astfel de SRA se spune că se află la limită de stabilitate.

În practică sunt utilizate SRA strict stabile. Din cele prezentate a rezultat că pentruaprecierea stabilităţii IMEM se impune determinarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice. Existămetode, numite criterii de stabilitate, care permit aprecierea stabilităţii fără a determina rădăcinileecuaţiei caracteristice. Se deosebesc criterii de stabilitate algebrice şi criterii de stabilitatefrecvenţiale.

2.6.2. Stabilitatea internăÎn cazul SRA liniare netede şi invariante se studiază stabilitatea stărilor (punctelor) de echilibru.Se consideră ecuaţia omogenă aferentă ecuaţiei matriceale intrare-stare (2.632):

, (2.703)O stare (punct) de echilibru satisface condiţia:

, (2.704)Se consideră punctul de echilibru caracterizat de vectorul coloană al variabilelor de stare

în care variabilele de stare (coordonatele vectorului de stare)

sunt constante.Evoluţia liberă a sistemului, pentru datorată unor condiţii iniţiale (impuse la momentul

) din vecinătatea punctului de echilibru este descrisă de o traiectorie de stare pe care o numim

tw

,twtw i

n

1i

tw i

.tw

,0twlim it

,0twlimt

,t

tAXtX

0tX

,xxxX Tnee2e1e

,n,1i,x ie

,0tt

0tt

mişcare perturbată. Stabilitatea punctului de echilibru înseamnă, din punct de vedere geometric, căîn orice moment punctul de pe traiectoria de stare a mişcării perturbate se găseşte într-ovecinătate destul de mică a punctului de echilibru Punctul de echilibru este instabil dacă,pentru mişcarea perturbată se depărtează continuu de acest punct, oricât de mici ar ficondiţiile iniţiale care scot sistemul din echilibru.

Analiza stabilităţii în vecinătatea punctului de echilibru poate fi redusă la analizastabilităţii în vecinătatea centrului de coordonate al spaţiului stărilor. Acest lucru se obţinetotdeauna printr-o schimbare de variabile, care din punct de vedere geometric corespunde uneitranslatări (fără rotaţie) a sistemului de coordonate, în punctul de echilibru considerat. Sepresupune, în cele ce urmează, că translatarea este realizată şi se studiază stabilitatea în sensLiapunov a soluţiei banale

Se poate demonstra că orice soluţie a ecuaţiei omogene (2.703) este stabilă dacă soluţiabanală este stabilă [33].

Se consideră condiţia iniţială din vecinătatea punctului (stării) de echilibru Seştie că evoluţia liberă a sistemului, pentru este descrisă de ecuaţia:

(2.705)În sens Liapunov, starea de echilibru a sistemului liber este stabilă dacă pentru orice

număr real existã un număr real ( depinde de ) astfel încât dacă starea iniţialăsatisface condiţia

(2.706)atunci

(2.707)În relaţiile (2.706) şi (2.707) s-a considerat norma euclidiană a vectorilor respectivi.Starea (punctul) de echilibru a sistemului liber, este asimptotic stabilă dacă el este stabil şi înplus orice mişcare perturbată tinde către centrul de coordonate când teoretic deci:

(2.708)

În figura 2.102 se prezintă o interpretare geometrică, pentru cazul bidimensioanaln =2, a noţiunilor de stabilitate în sens Liapunov.În figura 2.102, domeniul din jurul stării de echilibru , în care pot lua valori stările iniţiale,este reprezentat prin cercul cu centrul în originea axelor şi de rază , iar domeniul mărginit încare pot evolua mişcările libere perturbate este reprezentat prin cercul de rază , [3].În figura 2.102.a interpretarea geometrică corespunde situaţiei când soluţia banalã

este stabilă, deoarece oricare ar fi starea iniţială (perturbată) deci în

interiorul cercului ,traiectoria de stare a mişcării perturbate, după normă, , la creşterea

nelimitată a timpului rămâne în interiorul cercului deci

A rezultat că dacă starea este stabilă, atunci soluţia sistemului liber perturbatpoate fi obţinută oricât de apropiată de soluţia banală, după normă, printr-o alegere corespunzătoarea condiţiilor iniţiale

Conform Figurii 2.102.b, punctul de echilibru este instabil deoarece pentru o valoareşi corespunzător o valoare există o stare iniţială din interiorul cercului C căreia îi

corespunde o traiectorie de stare care, după normă, depăşeşte domeniul mărginit de cercul C .

0tt .Xe

,0tt

eX

.0X

0tX .0X,0tt

,0000 tXtttXetX ttA

0X0

,tX 0

,tt,tX 0

0X,t

,0tXlimt

0XC

C0X

0x,0x e2e1 ,0 tX

C tX,C .,, ttX

0X tX

.0 tX0X

0 ,

În figura 2.102.c punctul de echilibru este asimptotic stabil deoarece pentru oricestare iniţială din interiorul cercului traiectoria de stare a mişcării rămâne în interiorul cercului

şi în plus, când ea tinde către soluţia banală (originea centrului de coordonate).

Fig. 2.102

Altfel spus, starea de echilibru este asimptotic stabilă dacă ea este stabilă şi dacătoate mişcările libere care încep dintr-o stare iniţială oarecare, dar mărginită, tind către zero.

Dacă domeniul din vecinătatea punctului de echilibru în care pot lua valori stărileiniţiale este infinit, se spune că stabilitatea asimptotică este globală sau în mare [3].

Dacă domeniul din vecinătatea stării în care stările iniţiale satisfac condiţia destabilitate asimptotică este limitat, stabilitatea asimptotică este locală sau în sens restrâns.

Conform relaţiei (2.705) în care este un vector coloană cu componente constante,rezultă că toate condiţiile de stabilitate impuse răspunsului liber perturbat, pot fi exprimate în raportcu matricea fundamentală a sistemului.

Dacă ne referim la ecuaţia matriceală intrare-stare, rezultă că soluţia ecuaţiei de stareneomogene este stabilă (asimptotic stabilă) atunci şi numai atunci când este stabilă (asimptoticstabilă) soluţia ecuaţiei omogene asociate.

Formulările şi interpretările geometrice prezentate conduc la următoarele definiţii alestabilităţii în sens Liapunov, prezentate în continuare.

A) Punctul de echilibru al sistemului liniar, caracterizat prin realizareaeste intern stabil dacă şi numai dacă norma matricei fundamentale este mărginită, adică există oconstantă M >0 astfel încât:

, (2.709)Analizăm matricea fundamentală pentru justificarea stabilităţii definite prin relaţia(2.709). Condiţia (2.709) este suficientă, în sensul că pentru un dat, există unastfel încât dacă atunci Având în vedere proprietatea normei, din relaţia(2.705) rezultă:

0X,C

C ,t

0X

0X

0X

0tX

0X ,c,b,A T

00 tt,Mtt

0tt 0 M/

0tX .tX

0000 tXtttXtttX

în care se presupune că funcţia este mărginită:

(2.710)Dacă starea iniţială satisface condiţia:

(2.711)

unde este arbitrar, din (2.710) se obţine:(2.712)

deci punctul de echilibru este stabil în sens Liapunov.Condiţia (2.709) este necesară, în sensul că dacă soluţia banală este stabilă, atunci relaţia(2.712) este satisfăcută pentru şi pentru )t(X 0 .

B) Punctul de echilibru al sistemului liniar, caracterizat prin realizareaeste intern asimptotic stabil dacă matricea fundamentală, după normă, este mărginită şi tinde cătrezero atunci când

, (2.713)şi

(2.714)

Deoarece condiţiile stabilităţii asimptotice ale sistemului liniar liber sunt determinate înexclusivitate de norma matricei fundamentale, aceste condiţii coincid şi cu condiţiile stabilităţiiasimptotice în mare. Deoarece

şi

atunci,

pentru toate stările iniţiale:

Proprietăţile matricei fundamentale sunt determinate numai de valorile proprii ale matricei A.Deoarece condiţiile de stabilitate internă sunt impuse matricei fundamentale, rezultă că stabilitateainternă depinde numai de repartiţia valorilor proprii ale matricei A în planul complex. În raport devalorile proprii ale matricei sistemului A, cele două definiţii referitoare la stabilitatea internă maipot fi redate astfel [3]:

a) un sistem liniar neted invariant, caracterizat prin realizarea este stabil intern (este stabil) dacă şi numai dacă valorile proprii ale matricei A au toate partea reală negativă,

iar cele care au partea reală nulă trebuie să fie valori proprii simple.b) un sistem liniar neted invariat Tc,b,A este asimptotic stabil intern (punctul este

asimptotic stabil) dacă şi numai dacă toate valorile proprii ale matricei A au partea reală negativă.Întotdeauna, stabilitatea asimptotică (internă) implică stabilitatea (externă) strictă. Implicaţia

inversă are loc numai dacă forma primară a funcţiei de transfer este ireductibilă [2].

2.6.3. Criteriul de stabilitate HurwitzProblema criteriilor de stabilitate, adică a evaluării stabilităţii fără a determina rădăcinile ecuaţiei

caracteristice, pentru sisteme descrise de ecuaţii diferenţiale de orice ordin, a fost formulată de Maxwell înanul 1868. Această problemă, a fost rezolvată, pentru prima dată, sub formă algebrică de Routh în anul 1873pentru ecuaţii de ordinul patru şi cinci, iar în anul 1877 – complet (criteriu cunoscut sub denumirea decriteriul Routh). Independent de Routh, matematicianul Adolf Hurwitz, la solicitarea profesorului slovac

0tt

,tXMtX 0

0tX ,

MtX 0

,tt,tX 0

0X0X

0tt 0X ,c,b,A T

:t 00 tt,Mtt

0ttlim 0t

00 tXtttX

,0ttlim 0t

0tXlimt

0tX

,c,b,A T

0X

0X

Stodel care se ocupa cu procesele de reglare a turbinelor, în anul 1895 a formulat criteriul algebric destabilitate care-i poartă numele. S-a demonstrat în 1911 (Bompiani) că cele două criterii de stabilitate, Routhşi Hurwitz, sunt echivalente. Deoarece criteriul Routh are un algoritm de calcul mai incomod, o largăutilizare a primit criteriul Hurwitz [26].

În continuare, se prezintă criteriul de stabilitate Hurwitz fără a fi demonstrat. Criteriul de stabilitateeste reprezentat de Hurwitz sub formă de determinanţi.

Considerăm un SRA monovariabil liniar neted invariant descris de următoarea funcţie de transfer(relaţia 2.353):

(2.715)

Polinomului caracteristic(2.716)

i se asociază determinantul lui Hurwitz care se construieşte astfel: pe diagonala principală se trececoeficienţii polinomului caracteristic scris în ordinea descrescătoare a puterilor lui s, ca în relaţia(2.716), începând cu şi până la pe fiecare coloană sub diagonala principală se trece coeficienţiitermenilor de grad superior, iar deasupra diagonalei principale se trec coeficienţii termenilor de grad inferior;locurile rămase libere, după epuizarea coeficienţilor, se completează cu zerouri.

Determinantul Hurwitz construit cu coeficienţii polinomului caracteristic este de forma:

(2.717)

Notăm rădăcinile ecuaţiei caracteristice cu , atunci formulăm criteriul destabilitate Hurwitz, astfel:

Condiţia necesară şi suficientă ca rădăcinile polinomului caracteristic(2.718)

să fie toate plasate în este ca determinantul Hurwitz precum şi toţi minorii principaliai acestuia, să fie strict pozitivi

Criteriul Hurwitz precizează condiţiile pentru ca SRA să fie strict stabil.Un polinom cu coeficienţi reali, peste C, se numeşte hurwitzian dacă are toate rădăcinile plasate în

deci partea reală strict negativă. Un polinom hurwitzian are toţi coeficienţii strict pozitivi.Deci pentru ca SRA să fie strict stabil este necesar şi suficient ca polinomul caracteristic al acestuiasă fie hurwitzian.De exemplu, polinomul nu este hurwitzian deoarece coeficientul lui s este zero. Nu estehurwitzian nici polinomulSe verifică cu uşurinţă, că pentru polinoamele de ordinul unu şi doi condiţia coeficienţilor strictpozitivi este nu numai necesară, dar şi suficientă pentru ca rădăcinile acestora să fie plasate în(să aibă partea reală strict negativă). Pentru polinoame de ordin superior condiţia coeficienţilor strictpozitivi este necesară dar nu şi suficientă. De exemplu, toţi coeficienţii polinomuluisunt strict pozitivi, dar din cele trei rădăcini două sunt poziţionate în

După Hurwitz, condiţia ca SRA să se afle la limită de stabilitate (deci stabil IMEM) este ca:

,mn,sDsB

dsdsdbsbsb

sRsYsH

01n

n

01m

m0

,dsdsdsdsD 011n

1nn

n

sD

1nd ;d0

sD

,

ddd0000dd0000dd000

000dd0000dd0000ddd000ddd

024

13

02

2nn

3n1n

4n2nn

5n3n1n

n

0sD nii ,1,

n,,2,1,0i,0d,dsdsdsdsD i011n

1nn

n

,0edeci,C i R.n,,2,1j,0j

,C

1s3s 23 .123 234 ssss

C

6sss 23 2111,2111,2 jj

.C

(2.719)de unde:

(2.720)Hurwitz a demonstrat că dacă în condiţiile în care toţi ceilalţi determinanţi minoriprincipali sunt strict pozitivi, ecuaţia caracteristică admite două rădăcini imaginare conjugate [26,8].Un inconvenient esenţial a criteriului Hurwitz constă în faptul că pentru ecuaţii de ordin superior seobţine răspunsul numai la întrebarea dacă sistemul este stabil sau instabil.

2.6.4. Criterii frecvenţiale de stabilitateÎn baza răspunsului la frecvenţă, fără a determina rădăcinile ecuaţiei caracteristice a SRA, au fostconcepute reguli prin care se stabilesc condiţiile necesare şi suficiente pentru ca rădăcinilepolinomului caracteristic să fie dispuse în Aceste reguli se numesc criteriifrecvenţiale de stabilitate. Criteriile frecvenţiale de stabilitate se bazează pe teoria funcţiilor devariabilă complexă (teoria reziduurilor, principiul variaţiei argumentului etc.).

2.6.4.1. Consideraţii asupra principiului variaţiei argumentuluiPrincipiul variaţiei argumentului unei funcţii de variabilă complexă poate fi dedus plecând de lareziduul logaritmic [2, 3, 17] sau în baza unei interpretări geometrice simple [11, 15, 21]. Încontinuare se tratează posibilitatea a doua.Analizăm un polinom oarecare de variabilă complexă de gradul n, cu coeficienţi reali şiconstanţi, de forma:

(2.721)care poate fi scris sub forma:

(2.722)

unde sunt rădăcinile ecuaţiei Rădăcinile în general, pot fi dispuse atât în

semiplanul complex cât şi în semiplanul Se consideră că pe axa imaginară a planului complex s nuse găsesc dispuse rădăcini.Trecem (2.722) în domeniul frecvenţial făcând substituţia şi se obţine:

(2.723)undeRelaţia (2.723) poate fi adusă la forma:

(2.724)

unde este modulul vectorului

este argumentul lui

Se pune problema de a determina variaţia argumentului vectorului când variază de la 0 la. Variaţia argumentului vectorului când este egală cu suma algebrică a variaţieiargumentelor termenilor de forma pentru deci se poate scrie:

n

1i0i0 sjargjNarg (2.735)

Se determină pentru termenul variaţia argumentului:

,0d 1n0n

,01n

,01n

0sD .C

,sN

,js,cscscscsN 011n

1nn

n

,sssssssscsN nK21n

,n,1i,si .0sN ,si

,C .C

js ,sjsjsjsjcjyxjN nK21n

.0

,eNeNcjN jij

1iin

n

i

n

1iNcjNN n ,jN

ij

i eN

jNarg;sjarg;sjN;sj iiiiii

n

1i

.jN jN

jN 0 isj ,0

isj

(2.726)pentru următoarele cazuri frecvent întâlnite:

Cazul 1. Rădăcina este reală negativă şi simplă (stabilă) unde CorespunzătorConstruim hodograful acestui vector pentru Pentru rezultă

acest punct corespunde punctului de pe axa reală din figura 2.103.a. Lamodificarea pulsaţiei capătul vectorul rămâne în centrul de coordonate, iar vârfulvectorului (punctul B) se deplasează pe dreapta verticală care trece prin punctul vectorul seva roti cu radiani în sens pozitiv (sens trigonometric direct), deci:

(2.727)

Fig. 2.103

Cazul 2. Rădăcina este reală pozitivă şi simplă deci cu AtunciÎn mod analog cazului 1, se construieşte hodograful vectorului

reprezentat în figura 2.103.b şi se constată că pentru vectorul se va roti, cu radiani,în sensul invers trigonometric (sens negativ), deci:

(2.728)Cazul 3. Se consideră două rădăcini complexe conjugate cu partea reală negativă

Termenii corespunzători din (2.723) sunt de forma: Pentru

poziţia celor doi vectori este redată prin punctele din figura 2.104.a. Primul vector,

pentru este rotit în raport cu axa reală, în sens invers trigonometric, cu unghiuliar al doilea, este rotit cu acelaşi unghi în sens direct trigonometric.

a) b)Fig. 2.104

,sjarg 0i

1s ,s 11 .01 .jsj 11 .0 ,0 ;00yiar,0x 1 1A

,0 j1

;1A j1

2/1

,2/jarg 01

2s ,Cs2 ,s 22 .02

.jsj 22 ,2 j,0 2/2

,2/jarg 02

43 s,s.js 4,3 .jjşijj

,0 43 AşiA , jj ,0

, arctg , jj

(2.729)

Cazul 4. Dacă avem două rădăcini complexe conjugate cu partea reală pozitivă (aparţinatunci (figura 2.104.b):

(2.730)

Presupunem că are k rădăcini instabile (în şi corespunzător(n – k) rădăcini stabile (în În acest caz variaţia argumentului hodografului când

conform cu (2.725) şi în baza cazurilor analizate, va fi:

(2.731)

Dacă toate rădăcinile sunt poziţionate în n,1i,0sC i eR , deci k = 0, atunci:

(2.732)

Relaţiile (2.731), (2.732) rămân valabile indiferent dacă rădăcinile lui sunt simplesau multiple.

Dacă polinomul este polinomul caracteristic asociat ecuaţiei diferenţiale liniare cucoeficienţi constanţi care descrie tranziţia intrare-ieşire sau funcţiei de transfer a sistemului automatînchis, atunci relaţia (2.732) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strictstabil IMEM.

În cazul în care relaţia (2.731) devine:(2.733)

iar relaţia (2.732):(2.734)

2.6.4.2. Criteriul de stabilitate MihailovCriteriul de stabilitate Mihailov (formulat de Mihailov în anul 1936) este un criteriu frecvenţial,care utilizează polinomul caracteristic al sistemului automat închis. Având cunoscută funcţia detransfer a sistemului automat închis (relaţia 2.715) expresia polinomului caracteristic, conform cu(2.716), este:

(2.735)În (2.735) făcând substituţia se trece în domeniul frecvenţial:

(2.736)Caracteristica de frecvenţă poartă denumirea de hodograful lui Mihailov [8, 10]. Hodografullui Mihailov are proprietatea că care rezultă din proprietăţile luiRelaţia (2.732), în care se consideră reprezintă condiţia necesară şi suficientă casistemul automat închis să fie strict stabil IMEM.În baza relaţiei (2.732) se formulează criteriul de stabilitate Mihailov, astfel:Pentru ca polinomul caracteristic cu coeficienţi reali:

care nu are rădăcini pur imaginare, să fie unpolinom Hurwitz este necesar şi suficient ca hodograful lui Mihailov trasat pentru pulsaţii

să parcurgă succesiv în sens direct trigonometric n cadrane [30].

,22

sjarg

sjargsjsjarg

0

00

4

343

)C ,js 6,5

,22

arg 065

sjsj

0sN )C).C jN

,0

,k2n2

kkn2

jNarg 0

,2

njNarg 0

0sN

sN

,

,2arg knjN

,njNarg

,0d,dsdsdsD n01n

n

js ,jyxjD

jD ,00 0dxjD .yşix

, jDjN

,0dcu,dsdsdsD n01n

n

0

Polinomul caracteristic nu este hurwitzian şi respectiv sistemul dinamic corespunzător nu estestabil, dacă sensul de parcurgere al cadranelor este invers trigonometric, sau dacă numărulcadranelor parcurse este mai mic decât gradul polinomului [3].În figura 2.105.a sunt prezentate hodografele Mihailov pentru sisteme strict stabile IMEM, având n= 1, 3, 5. Pentru n = 3 hodograful se roteşte în jurul centrului de coordonate în sens directtrigonometric, la creşterea pulsaţiei parcurgând succesiv cadranele I, II şi III. Încadranul III modulul vectorului tinde spre infinit când În cazul n = 5 hodograful

parcurge succesiv cadranele I, II, III, IV şi din nou cadranul I.Dacă nu sunt îndeplinite condiţiile formulate în criteriu SRA este instabil. De exemplu, în figura2.105. b curba 1 (pentru n = 1) corespunde situaţiei când hodograful Mihailov, pentru nuîncepe de pe semiaxa reală pozitivă, iar curba 2 (pentru n = 2) nu respectă sensul trigonometricdirect şi deci nici succesiunea cadranelor parcurse. Dacă hodograful Mihailov trece prin centrul decoordonate, aşa cum este hodograful 1 din figura 2.105. c, pentru n = 3, atunci polinomulcaracteristic are rădăcini imaginare conjugate şi SRA se află la limită de stabilitate.

a) b) c)Fig. 2.105

Dezavantajul acestui criteriu constă în faptul că nu permite a evalua influenţa parametrilorsistemului automat deschis asupra stabilităţii.

2.6.4.3. Criteriul de stabilitate NyquistEste un criteriu frecvenţial de stabilitate, formulat de Nyquist în anul 1932, care permite apreciereastabilităţii sistemului automat închis utilizând locul de transfer a sistemului automat deschis, saucaracteristicile logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie (diagramele Bode) ale sistemuluideschis. Avantajul criteriului de stabilitate Nyquist constă tocmai în faptul că stabilitatea sistemuluiînchis se apreciază în baza răspunsului la frecvenţă a sistemului deschis [1]. Iniţial acest criteriu s-areferit la stabilitatea amplificatoarelor cu reacţie, iar ulterior datorită lucrărilor lui Cauchy, Mihailovşi altora, el a fost extins şi la sisteme automate [8].Considerăm un SRA cu reacţie principală directă, ca în figura 2.47.a. Funcţia de transfer asistemului automat deschis, de tipul , se scrie sub forma:

(2.737)

iar funcţia de transfer a sistemului închis (relaţia 2.715) este:

(2.738)

Ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis este de forma:(2.739)

iar cu notaţiile din (2.737) devine:

sD

,sD

jD,0

jD .

jD

,0

0

,mn,sAsB

asasabsbsb

ssYsH

01n

n

01m

md

,mn,

dsdsdbsbsb

sDsB

sH1sH

sRsYsH

01n

n

01m

m

d

d0

,0sH1sF d

(2.740)

Se constată din (2.737) şi (2.740) că ecuaţia este ecuaţia caracteristică a sistemuluiautomat deschis, iar rădăcinile acesteia reprezintă şi polii funcţiei Din relaţiile(2.738), (2.740) rezultă că ecuaţia este ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis,dar rădăcinile acesteia sunt şi zerourile funcţiei S-a arătat că

Notând cu polii expresiei deci rădăcinile ecuaţiei şi cu

zerourile expresiei deci rădăcinile ecuaţiei relaţia (2.740) primeşte forma:

(2.741)

unde este o constantă care este diferită de unitate în cazul când coeficienţii termenilorreprezentând cele mai mari puteri ale variabilei s sunt diferiţi de unitate.Considerăm că are l rădăcini instabile şi corespunzător (n – l) rădăcini stabile, iar ecuaţia

are k rădăcini instabile şi (n – k) rădăcini stabile.Trecem funcţia în domeniul frecvenţial făcând substituţia şi determinămvariaţia argumentului vectorului când pulsaţia variază Având învedere că:

(2.742)şi aplicând relaţia (2.733) pentru se obţine:

(2.743)

Pentru ca sistemul automat închis să fie strict stabil IMEM (polinomul să fie hurwitzian) estenecesar şi suficient ca toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice ale sistemului automat închis să fiestabile (situate în semiplanul stâng al planului rădăcinilor), deci l = 0 şi atunci:

(2.744)Relaţia (2.744) exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strict stabil IMEM încondiţiile în care sistemul automat deschis este instabil, ecuaţia sa caracteristică având k rădăciniinstabile (situate în deci cu partea reală strict pozitivă). Dacă ecuaţia caracteristică asistemului automat deschis are toate rădăcinile poziţionate în deci cu partea realăstrict negativă, şi deci k = 0, atunci (2.744) conduce la relaţia:

(2.745)Relaţia (2.745) exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strict stabil IMEM încondiţiile în care sistemul automat deschis este strict stabil.Dacă hodograful vectorului se trasează pentru atunci relaţia (2.744)devine:

(2.746)În planul locului de transfer asistemului automat deschis, centrul decoordonate al vectoruluicorespunde punctului de coordonate

care se numeşte punct critic destabilitate (figura 2.106).

,0sAsD

sAsBsA

sAsB1sF

0sA .sH1sF d

0sD .sF .nsDgradsAgrad

n,1i,s i ,sF ,0sA n,1i,si

,sF ,0sD

,0

ssssssssssss

CsH1sFn21

n210d

0C

0sD 0sA

sH1sF d js jHjF d1 .

,jAargjDargjFarg jAşijD

,lk2k2nl2njH1arg d

sD

,k2jH1arg d

,C 0sA ,C

,0jH1arg d

jHjF d1 ,0

,kjH1arg d

,jH d

jH1 d

,0j,1

În figura 2.106 se prezintă, pentru un SA de tipul locul de transfer alsistemului deschis şi punctul critic de stabilitate

În unele lucrări de specialitate [1, 2, 5, 21] Fig. 2.106sunt prezentate două variante ale criteriului Nyquist,una denumită criteriul simplificat (corespunzător relaţiei (2.745), iar celălalt este denumit criteriulgeneralizat (corespunzător relaţiei (2.744)). În continuare, sunt redate cele două variante alecriteriului Nyquist.Varianta generalizată se referă la sistemele deschise care conţin k poli în semiplanul drept alplanului rădăcinilor şi se enunţă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca sistemul închis să fieintern asimptotei stabil este ca locul de transfer al sistemului deschis să înconjoare în sens antiorarpunctul critic de k ori, atunci când variază de la - la .Varianta simplificată se referă la situaţia când sistemul automat deschis nu are poli în semiplanuldrept şi nici pe axa imaginară şi se enunţă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca un sistemautomat închis să fie intern asimptotic stabil, în cazul în care are polii în este ca loculde transfer al sistemului deschis parcurs pentru pulsaţii crescătoare pe intervalul ),0[ să nuînconjoare critic Astfel spus, punctul critic să se găsească în afara locului detransfer al sistemului deschis pentru ),0[ .Relaţiile (2.744) şi (2.745) sunt stabilite pentru situaţia când funcţia de transfer a sistemului deschisnu conţine poli în origine. Se demonstra că pentru sistemele automate de tipul criteriulNyquist se aplică corespunzător celor două variante formulate [1, 2].Hodograful din figura 2.106, reprezentat pentru un SA de tipul şi cu corespunde unuiSRA asimptotic stabil. În figura 2.107.a se prezintă locul de transfer corespunzător unui SA de tipul

stabil în stare deschisă (k= 0), dar instabil în stare închisă.

Fig. 2.107În figura 2.107.b se prezintă l.d.t. al unui SA deschis instabil, de tipul având k = 2 (2

rădăcini instabile). Deoarece vectorul (vectorul AB din fig. 2.107. b) la creştereapulsaţiei , se roteşte în jurul punctului critic de stabilitate în sens directtrigonometric (sens pozitiv) cu unghiul 2, denotă faptul că SRA este asimptotic stabil (conformrelaţiei (2.746)). În cazul când locul de transfer al sistemului deschis se roteşte în jurulpunctului critic de stabilitate de două ori (cu 4 radiani), îndeplinindu-se condiţia destabilitate asimptotică (2.744) pentru k = 2. În figura 2.107.b cu linie punctată este reprezentat l.d.t.negativ, deci pentruÎn cazul unor f.d.t. mai complexe, pentru a evita dificultăţile referitoare la stabilireaunghiului de rotaţie pe care îl face vectorului în jurul punctului critic, se poate da oformulare echivalentă criteriului Nyquist, utilizând regula trecerilor (sau regula lui Ţîpkin [22, 11]).Corespunzător regulii trecerilor (lui Ţîpkin) se analizează punctele de intersecţie ale l.d.t.

,0kşi0 jH .0j,1

0j,1

C sHd ,C

.0j,1 0j,1 jH d

,2,1

0 ,0k

,0

,0 ]jH1[ d

,0 0j,1

,, 0j,1

.0, sHd

jH1 d

jH d

cu porţiunea din semiaxa reală negativă, dispusă în stânga punctului critic de stabilitatedeci în porţiunea şi Se deosebesc treceri pozitive şi respectiv trecerinegative. Dacă l.d.t. intersectează semiaxa reală negativă, în porţiunea de sus înjos, pentru valori crescătoare ale pulsaţiei , atunci trecerea este pozitivă şi i se atribuie valoarea(+1), iar dacă trecerea este de jos în sus se formează o trecere negativă şi i se atribuie valoarea (-1). În cazul când l.d.t. începe (pentru dintr-un punct de pe semiaxa reală negativă, ]1,()(U şi cu creşterea pulsaţiei hodograful se continuă în cadranul III, atuncipunctului iniţial (considerat ca semitrece pozitivă) i se atribuie valoarea (+1/2). În cazul când l.d.t.

se continuă în cadranul II al planului , punctul iniţial se consideră o semitrecerenegativă şi i se atribuie valoarea (-1/2). Având în vedere regula trecerilor, criteriul de stabilitateNyquist în varianta generalizată poate fi formulată astfel: Dacă sistemul automat deschis esteinstabil şi ecuaţia sa caracteristică are k rădăcini în atunci pentru ca SA închis să fie asimptoticstabil este necesar şi suficient ca diferenţa dintre numărul trecerilor pozitive şi numărul trecerilornegative, ale l.d.t. dispuse pe semiaxa reală negativă în porţiunea să fie egală cuk/2, la creşterea pulsaţiei de la 0 la . Conform acestei reguli, referindu-ne la figura 2.107.b seconstată că l.d.t. a sistemului deschis are o trecere pozitivă în punctul C, iar treceri negative nu are.Deoarece în acest caz k = 2, diferenţa dintre numărul trecerilor pozitive şi negative trebuie să fieegal cu unitatea, condiţie care este îndeplinită, deci SRA este asimptotic stabil.Se poate arăta că sistemele a căror funcţie de transfer în stare deschisă este de forma:

în care sunt instabile [1]. De exemplu, pentru un sistem

deschis a cărui funcţie de transfer este de forma

locul de transfer este reprezentat în figura 2.108.a. Sistemul este instabil indiferent devaloarea luiUn sistem automat liniar este la limită de stabilitate (funcţionează cu oscilaţii de amplitudineconstantă) dacă locul de transfer trece prin punctul critic de stabilitate În figura2.108.b se prezintă diagramele Nyquist pentru două SA de tipul care nu au poli în . UnSA închis este asimptotic stabil , iar celălalt se află la limită de stabilitate (l.d.t. trece prin punctulcritic de stabilitate).

Fig. 2.108Dacă SRA nu are reacţie principală directă, ci pe acest circuit se găseşte un element (un

traductor de reacţie) cu funcţia de transfer ca în figura 2.109, atunci f.d.t. a sistemuluiînchis devine:

,0j,1 1,U .0V

jH d ,1,

jHd 0 jH d

jHd jH d

,C

,jHd ,1,

,10G,sGsK

sH dd ,2

,1TssK

)s(H 3d

d

jHd

.K d

jHd .0j,1,1 C

,sHTR

(2.747)

şi deci expresia din (2.739) capătă forma:,

Fig. 2.109

Pentru aplicarea criteriului Nyquist se reprezintă locul de transfer pentru, apreciindu-se stabilitatea sistemului conform variantelor formulate dar, în acest caz,

în funcţie de poziţia relativă a punctului critic în raport cu l.d.t.Criteriul Nyquist permite aprecierea gradului de stabilitate (rezervei de stabilitate), indicând cât dedeparte sau de aproape se găseşte sistemul de limita de stabilitate [1]. Problema gradului destabilitate poate fi abordată în planul rădăcinilor, în planul l.d.t. a SA deschis sau în bazacaracteristicilor logaritmice de frecvenţă ale SA deschis (se apelează la criteriulBode). În planul rădăcinilor situaţia limită este dată de axa imaginară (care este axa limitei destabilitate), iar în planul limita de stabilitate corespunde trecerii l.d.t. prin punctul critic

Admiţând că este de fază minimă (polii şi zerourile lui sunt situaţi în , în planulse apreciază gradul de stabilitate (rezerva de stabilitate) a unui SRA în baza a doi indicatori

sintetici [1, 2]:a) Marginea de amplitudine (rezerva de modul), notată cu mărime adimensională;b) Marginea de fază (rezerva de fază), notată cu măsurată în grade.Pentru definirea celor doi indicatori sintetici se apelează la diagramele prezentate în figura

2.110. În această figură s-au considerat trei locuri de transfer asociate aceleaşi funcţii de transfer defază minimă dar cu valori diferite ale factorului total de amplificare a sistemului deschis. Astfel, l.d.t. corespunde sistemului strict stabil extern (l.d.t. 1 din fig. 2.110),corespunde sistemului la limită de stabilitate (l.d.t. 2 din fig. 2.110), iar corespundesistemului instabil (l.d.t. 3 din fig. 2.110) . În cazul considerat În figura 2.110, s-a notat cu

pulsaţia de tăiere care se bucură de proprietatea că iar cu pulsaţia pentru careÎn figura 2.110 este trasat cercul de rază unitară şi este de menţionat

că porţiunea din l.d.t. din exteriorul cercului corespunde pulsaţiilor pentru care are loc o amplificarea semnalului, iar porţiunea din interiorul cercului corespunde pulsaţiilor pentru care se obţine oatenuare a semnalului.

,sH)s(H1

sHsRsYsH

TRd

d0

sF 0sHsH1sF TRd

jHjH TRd

, 0j,1 .jHjH TRd

jH d

şiA dB

jH d

.0j,1 sHd sHd C

jH d

,MA

,M

,sH d dK jH 1d jH 2d

jH 3d

.1t ,1A t .jHarg d

Fig. 2.110

Punctele A,B,C corespund intersecţiei l.d.t. cu semiaxa reală negativă. Pulsaţiile corespunzătoareacestor puncte satisfac condiţia , menţionată mai sus. Cercul de razăunitară intersectează locurile de transfer în punctele corespunzătoare pulsaţiilor de tăiere. Din figura2.110 se constată că în cazul sistemului stric stabil extern (l.d.t. 1) pulsaţia de tăiere este mai micădecât pulsaţia corespunzătoare punctului A, deci , iar Faza

deoarece este măsurată în sens invers trigonometric, deci în sens negativ.Locul de transfer al sistemului aflat la limită de stabilitate trece prin punctul critic (-1,j0), carecorespunde punctului B din figura 2.110. Caracteristic punctului B este faptul că . Faza

corespunzătoare acestei pulsaţii este , iar Privind sistemul

instabil, se constată că şi

Marginea de amplitudine este definită ca raportul dintre unitate şi modulul vectoruluicorespunzător pulsaţiei , la care unghiul de fază este

(2.748)

Marginea de fază se defineşte ca unghiul pe care îl face vectorul complex de modul unitarcu semiaxa reală negativă.

(2.749)sau, se mai scrie

Pentru SRA asimptotic stabil, cum este sistemul cu l.d.t. 1 din figura 2.110, se obţine:Pentru SRA la limită de stabilitate, l.d.t. 2 trece prin punctul critic de

stabilitate şi deci (deoarece În cazul SRAinstabile, cum este sistemul descris prin l.d.t. 3 din figura 2.110, se constată că

În practică se recomandă pentru ca sistemul să aibă un grad bunde stabilitate. De menţionat este faptul că, în prezent, sunt produse software specializate carepermit determinarea cu uşurinţă a rezervei de stabilitate.

.jHarg d

11t .1)(AOA 1

01t

22t

01802 .1)(AOB 2

33t .1)(AOC 3

AM jHd .180

,A1

jH1M

d

def

A

M

tjH d

,0,180M t

def

t

0jHarg,jHarg180M tt dd

def

.,0M,1M tA

0j,1 0M,1M A .,180 2t2t

.,0M,1M tA

102Mşi4520M A00

2.6.4.4. Criteriul practic al lui BodeAcest criteriu permite aprecierea stabilităţii sistemului închis în baza caracteristicilor logaritmiceamplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie ale sistemului deschis. Criteriul practic al lui Bode reprezintătratarea logaritmică a criteriului de stabilitate Nyquist.Aplicarea criteriului lui Bode presupune ca sistemul în circuit deschis sH d să fie de fază minimă.În acest caz caracteristica logaritmică se poate obţine cunoscând caracteristica decieste suficient să se cunoască, în astfel de cazuri, numai caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie. După cum s-a văzut, clasa sistemelor de fază minimă este foarte largă şi, de exemplu, eacuprinde elementele de întârziere de ordinul I, elementele de întârziere de ordinul II, elementelederivative de ordinul I şi II, combinaţii ale acestora etc.Sistemul închis este intern asimptotic stabil dacă şi numai dacă sunt satisfăcute condiţiile:

a) funcţia de transfer este o funcţie raţională ireductibilă;b) caracteristica asimptotică amplitudine-pulsaţie este monoton descrescătoare cu

pulsaţia şi are panta asimptotei de joasă frecvenţă egală cu 0 sau – 20 dB/dec;c) caracteristica este simetrică (sau cvasisimetrică) faţă de pulsaţia de tăiere

panta la această pulsaţie fiind – 20 dB/dec.În coordonate logaritmice, pulsaţia de tăiere se află la intersecţia caracteristicii logaritmice

cu axa pulsaţiilor deoarece şiDeoarece rezultă că pulsaţia se găseşte la intersecţia caracteristicii

semilogaritmice cu orizontala corespunzătoare valoriiÎn figura 2.111 sunt prezentate diagramele Bode pentru un SRA intern asimptotic stabil. Se

constată că SRA fiind intern asimptotic stabil. Din figura 2.111 rezultă că segmentul ABdin caracteristica fază-pulsaţie corespunde valorii iar segmentul BC, conform relaţiei(2.749), reprezintă marginea de fază Corespunzător pulsaţiei pe caracteristica

se determină marginea de amplitudine Marginea de amplitudine exprimată îndecibeli devine şi corespunde segmentului DE.

Fig. 2.111

2.7. METODA LOCULUI RĂDĂCINILOR (facultativ)Repartiţia în planul complex a zerourilor şi polilor funcţiei de transfer a sistemului închis, determinăîn totalitate proprietăţile dinamice ale acestuia. Deoarece funcţia de transfer a sistemuluiînchis, cu reacţie principală directă, este legată de funcţia de transfer a sistemului deschis

,dBA

sHd

dBA

dBA ,t

t dBA 1A t .0Alg20A tdB

, .

,t ,t

.0M ,

dBA .dBMA

dBMA Alg20A1lg20

sH 0

sHd

prin relaţia rezultă că există o legătură între repartiţia zerourilor şi polilorfuncţiei de transfer şi repartiţia polilor şi zerourilor f.d.t. Zerourile şi polii funcţiei detransfer a sistemului deschis, de regulă, se cunosc.Metoda locului rădăcinilor, elaborată de W.R. Evans în 1948 – S.U.A., permite cunoscând repartiţiazerourilor şi polilor f.d.t. a sistemului deschis să se stabilească sensul şi caracterul modificăriipolilor funcţiei de transfer a sistemului închis, în planul complex, atunci când variază un parametrual SRA. Metoda este utilizată în analiza şi sinteza SRA liniare fără timp mort [2]. Cel mai des, încalitate de parametru variabil al SRA se alege factorul total de amplificare a sistemului deschis.

Se scrie funcţia de transfer a sistemului deschis sub forma:

(2.750)

unde:sunt zerourile, iar

sunt polii funcţiei de transferAvând în vedere relaţia (2.750), funcţia de transfer a SRA, considerat cu reacţie principală directă,

devine:

(2.751)

Din relaţia (2.751) se constată că zerourile funcţiei de transfer a sistemului închis sunt aceleaşi cuzerourile funcţiei de transfer a sistemului deschis şi sunt rădăcinile ecuaţieiPolii funcţiei de transfer a sistemului închis sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice:

(2.752)în careÎn planul complex se trasează locul geometric al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice aferentesistemului închis (numit prescurtat locul rădăcinilor) în funcţie de variaţia factorului total desimplificare al sistemului deschis [1]. În practică, ca parametru variabil este de cele mai multeori ales factorul total de amplificare al sistemului deschis, deoarece variaţia acestui coeficientare efecte opuse asupra performanţelor tranzitorii şi staţionare; astfel mărirea coeficientuluiînrăutăţeşte condiţiile de stabilitate şi deci performanţele tranzitorii, iar din tabela 2.1. se constată cămărirea lui micşorează eroarea permanentă [1]. În cazul când se modifică în limitele de la 0la , atunci se vor modifica şi rădăcinile ecuaţiei (2.752), adică polii funcţiei de transfer asistemului închis. Prin aceasta fiecare pol al funcţiei de transfer (2.751) a sistemului închis vadescrie în planul complex o curbă (un loc geometric) numită ramură a locului rădăcinilor. Loculrădăcinilor este format din n ramuri distincte, unde n este ordinul ecuaţiei caracteristice (2.752) asistemului închis. Pe locul rădăcinilor se indică sensul creşterii valorilor coeficientului iar îndreptul diferitelor puncte marcate se notează valorile respective pentru [1].Se scrie ecuaţia (2.752) sub forma:

(2.753)

şi se determină coeficientul total de amplificare al sistemului deschis:

,sH1sHsH dd0 sH 0 .sH d

dK

,mn,

ps

zs

ab

KsAsBK

ssYsH

in

mddd n

1i

k

m

1k

m,1k,z;1sa...sasA;1sb...sbsbsB k1n

n11m

1mm

m

n,1i,p i .sH d

,sD

sBKsBKsA

sBKsRsYsH d

d

d0

.0sB

,0BKAD d .ngradAgradD

dK

dK

dK

dK dK

,Kd

dK

,0zbKpa k1k1i

m

mdi

n

n

dK

(2.754)

în care:

Deoarece coeficientul este o mărime reală şi pozitivă, rezultă că unghiul de fază rezultant , dinexpresia (2.754), trebuie să satisfacă condiţia:

(2.755)

În acele puncte ale planului complex în care este satisfăcută relaţia (2.755), coeficientul total deamplificare a sistemului deschis devine:

(2.756)

Expresiile (2.755) şi (2.756) stau la baza trasării locului rădăcinilor. Relaţia (2.755) reprezintăcondiţia de argument (de unghi), iar relaţia (2.756) reprezintă condiţia de modul, pentru trasarealocului rădăcinilor. În figura 2.112, pentru simplificare, se reprezintă în planul complex alrădăcinilor cazul când sistemul deschis are un singur zero şi trei poli Se consideră căun punct particular se află pe o ramură a locului rădăcinilor, altfel spus este o rădăcină aecuaţiei caracteristice (2.752) corespunzătoare unei anumite valori a coeficientului Unimzeroul şi polii cu punctul singular prin vectoriiCorespunzător cu condiţia de argument (2.755), suma algebrică a unghiurilor de fază a acestorvectori trebuie să fie egală cu 180 (pentru N = 0):

Dacă relaţia de mai sus este satisfăcută, atunci după cum rezultă din condiţia de modul (2.756)coeficientul de amplificare va fi:

În cazul în care punctul particular nu aparţine ramurii locului rădăcinilor, condiţia de argument(2.755) nu este satisfăcută. În astfel de cazuri se modifică, în planul complex, poziţia punctuluiparticular până se obţine o poziţie în careeste satisfăcută relaţia (2.755); altfel spus,devine o rădăcină a ecuaţiei caracteristice(2.752) corespunzătoare unei valorideterminată din condiţia de modul (2.756).Pentru trasarea cu uşurinţă a ramurilorlocului geometric sunt utilizate o serie deproprietăţi geometrice ale locului rădăcinilorcare, în literatura de specialitate [1, 2, 22],sunt enunţate sub forma unor reguli:

,e

zb

pa

zb

paK j

k

m

m

i

n

n

m

m

i

n

n

d

1k

1i

k1k

1i

m,1k,ezz

n,1i,eppzkj

pij

kK

ii

zkpimn

1i 1k

dK

,...3,2,1,0N,1N2zkpimn

1i 1k

,z

p

ba

KK

m

i

n

m

nd

1k

1i

1z .,, 321 ppp

.dK ,p,z 11 .p,p 32

01321 180zppp

,ba

zppp

Km

n

1

321d

dK

Regula 1. Locul rădăcinilor are n ramuri în lungul cărora Toate ramurile loculuigeometric al rădăcinilor încep din polii funcţiei de transfer a sistemului deschis, deci din punctele încare Acest aspect rezultă din ecuaţia caracteristică a sistemului închis (2.752), care pentru

devine deci se obţine ecuaţia caracteristică a sistemului deschis. Pentrupolii funcţiei de transfer a sistemului închis sunt aceeaşi cu polii funcţiei de transfer a sistemuluideschis. Acelaşi lucru rezultă şi din relaţia (2.750) conform căreia dacă se îndeplineştecondiţia: Fig. 2.112

Condiţia de mai sus, are loc în cazul apropierii punctelor ramurilor locului de transfer de polii aisistemului deschis, deci fiecare pol al sistemului deschis este un punct iniţial pentru o ramură alocului rădăcinilor.Regula 2. Dacă numărul de zerouri ale sistemului deschis este m, atunci pentru ramuriale locului rădăcinilor se termină în cele m zerouri finite ale sistemului deschis, iar ramuritind către punctul de la infinit. Această regulă rezultă din relaţia (2.756). Coeficientul total deamplitudine devine infinit de mare, dacă

deci atunci când, pe o ramură, valoarea curentă se apropie (tinde) către un zero finit asistemului deschis. Deoarece n > m, pentru celelalte (n – m) ramuri, coeficientul tunde către pentru valori infinit mari ale lui , deci cele (n – m) ramuri tind la infinit.Regula 3. Asimptotele celor (n – m) ramuri care, pentru tind la infinit, reprezintă dreptecare sunt (toate) concurente într-un punct de pe axa reală numit originea asimptotelor sau centrullocului rădăcinilor. Abscisa centrului locului rădăcinilor se calculează cu relaţia:

(2.757)

unde sunt polii şi zerourile sistemului deschis.Regula 4. Unghiurile între asimptotele ramurilor care tind la infinit şi axa reală se calculează curelaţia:

(2.758)

Dacă n – m =1, atunci există o singură asimptotă a cărui unghi este iar în cazul când n –m =2, sunt două asimptote înclinate faţă de axa abscisei cu unghiurile 90 şi 270 (-90). Pentru n –m = 3 ramurile locului rădăcinilor tind către infinit după trei asimptote înclinate faţă de axa reală cuunghiurile 60, 180 şi 300 (-60).

De exemplu, dacă funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma:

(2.759)

în care n = 3, m = 0, atunci corespunzător cu relaţiile (2.757) şi (2.758) seobţine:

şi deci Originea asimptotelor şi cele trei asimptotecorespunzătoare f.d.t. (2.759) sunt reprezentate în figura 2.213.

.0 dK

.0dK0dK ,0A 0dK

,0dK

,0p i

n

1i

ip

mK d , mn

dK

,0z k1k

m

Kz

dK

,dK

,mnzp k1k

m

i

n

1i0

kzşip i

,1mn,...,2,1,0N,0Kpentru,mn

1N2da

;180 a

,5s2ss

KssYsH d

d

.5,2,0 321 ppp

.2,1,0i,i3

23

;33,23

52ai0

.60300;180;3/ 2a1a0a

Regula 5. Pentru un segment de pe axa reală aparţine locului rădăcinilor dacă în dreaptaoricărui punct de pe acest segment diferenţa dintre numărul de poli şi zerouri reprezintă un numărimpar.În figura 2.213, în care se prezintă repartiţia polilor funcţiei de transfer (2.759), segmentul de pe

axa reală cuprins între aparţine locului rădăcinilor, de asemenea segmentul, depe axa reală, din stânga poluluiÎn figura 2.214 se prezintă o repartiţie a polilor şi zerourilor conform căreia segmentul de pe axareală dintre polii nu aparţine locului rădăcinilor, deoarece în dreapta oricărui punct, careaparţine acestui segment, diferenţa dintre poli şi zerouri este un număr par şi egal cu doi. Segmentulde pe axa reală dintre polul din acelaşi motiv, nu aparţine locului rădăcinilor.Celelalte segmente ale axei reale reprezintă ramuri ale locului rădăcinilor.

Fig. 2.213 Fig. 2.214

Regula 6. Pe porţiunile axei reale, care aparţin locului rădăcinilor, cuprinse între doi poli sau douăzerouri are loc desprinderea locului rădăcinilor de pe axa reală [11]. Astfel, în figura 2.114 înintervalul dintre polii ramura locului rădăcinilor se desprinde de axa reală şi tinde cătreinfinit, după asimptotele corespunzătoare. Punctul de intersecţie a ramurii locului rădăcinilor cu axareală (valoarea x de exemplu, din fig. 2.114) corespunde unei valori pentru care rădăcinileecuaţiei caracteristice (2.752) a sistemului închis sunt multiple [34]. Pentru a determina rădăcinamultiplă se apelează la proprietatea polinoamelor numerice conform căreia rădăcinilemultiple ale polinomului din relaţia (2.752), sunt rădăcini comune pentru acesta şi pentrupolinomul derivat Ca urmare în completare la ecuaţia (2.752) se adaugă ecuaţia:

(2.760)

Din ecuaţiile (2.752) şi (2.760) se elimină şi se obţine ecuaţia pentru determinareacoordonatelor punctelor (rădăcinilor) multiple:

(2.761) Valorile

determinate cu ecuaţia (2.761) trebuie să satisfacă condiţia (2.755). Dacă, de exemplu, funcţia detransfer a sistemului deschis este dată de relaţia (2.759), atunci:

şi corespunzător ecuaţia (2.761) devine:

de unde:

,0dK

2pşi0p 21 .53 p

43 pşip

,zzerorulşip 12

21 pşip

dK

e ,D

. ddD ,0

ddBK

ddA

d

dK

,0d

dABd

dBA

e

,1B,107A 23

,010143 2

Condiţia de argument este satisfăcută numai în punctul de coordonate deci acesta va fipunctul multiplu pentru cazul considerat (figura 2.115).

Fig. 2.115 Fig. 2.116

Regula 7. Unghiurile de plecare a ramurii dintr-un pol precum şi cel de sosire într-un zero, pot fideterminate cu ajutorul relaţiei (2.755), cu care se calculează unghiul de înclinare al tangentei laramură în polul şi zeroul respectiv. Ecuaţia (2.755) este satisfăcută în orice punct al ramurii loculuirădăcinilor, deci şi în punctele de capăt ale acesteia. Se notează cu unghiul corespunzătortangentei dusă la ramură în polul respectiv, iar în relaţia (2.755) separăm în membrul stâng aceastăvaloare şi notând cu suma celorlalte unghiuri, se obţine:

(2.762)Unghiul de plecare a ramurii dintr-un pol, precum şi unghiul de sosire a acesteia într-un zero, secalculează cu relaţia (2.762).Utilizarea relaţiei (2.762) este explicată pentru exemplul prezentat în figura 2.116. În figura 2.116,sunt reprezentaţi patru poli şi un zero corespunzători unui sistem deschis.Unghiul de plecare a ramurii locului geometric din polul complex este notat cu Conform curelaţia (2.762) acest unghi este egal cu:

Deoarece N ia valori întregi, unghiul de plecare a ramuri locului rădăcinilor nu depinde de N, deciîn calcule se poate considera N = 0.Regula 8. Punctele de intersecţie al locului rădăcinilor cu axa imaginară (puncte critice) se potdetermina apelând la un criteriu de stabilitate (Routh, Hurwitz sau Mihailov). Dacă se utilizeazăcriteriul lui Mihailov [34], atunci în ecuaţia (2.752) se face substituţia Egalând cu zero,separat, partea reală şi respectiv cea imaginară, se obţine:

(2.763)

În (2.763) eliminând pe se stabileşte ecuaţia cu ajutorul căreia se determină valorilecorespunzătoare limitei de stabilitate (în punctul critic):

(2.764)În cazul particular când ecuaţia (2.764) în raport cu nu depăşeşte gradul trei [34].Valoarea din punctele critice se poate determina grafic utilizând relaţia (2.756), sau analiticexprimând pe conform cu (2.763), astfel:

(2.765)

.89,0şi77,3 2e1e 21 ,89,01e

x

,1N2x

4321 ,,, pppp ,1z

1p .x

,21180 1432 zpppNx

.js

0jBImKjAIm

0jBReKjARe

d

d

dK cr

,0jAImjBRejBImjARe

,8 nm 2

dK,dK

,jBImjAIm

jBRejAReK d

Regula 9. Locul rădăcinilor este simetric în raport cu axa reală datorită rădăcinilor complexe carepot exista numai în perechi complexe conjugate [1, 34, 35].

În cazurile simple, când ordinul ecuaţiei care descrie dinamica sistemului nu este mai mare de doi,ramurile locului rădăcinilor se construiesc simplu. Pentru a ilustra acest aspect considera sistemul de reglareautomată reprezentat în figura 2.117.

Fig. 2.117

În cazul considerat, funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma:

a)s(s1K

1)ss(Tk(s)H d

1d

, (2.766)

în care:

11d T

1a,TkK ,

Corespunzător, funcţia de transfer a sistemului automat închis este:

d2

d0 Ksas

K(s)H

, (2.767)

Ecuaţia caracteristică a sistemului închis, având în vedere relaaţia (2.767) este:0Ksas d

2 , (2.768)

iar rădăcinile acesteia sunt: d

2

2,11 K4

a2

,0 ass .

Pentru Kd=0 se obţin rădăcinile 121 T1as0,s şi rădăcinile ecuaţiei (2.768) corespundpolilor f.d.t. a sistemului deschis (2.766) (aceştia sunt reprezentaţi în figura 2.117 cu cruciuliţe).Dacă 4aK0 2

d , atunci rădăcinile se deplasează pe axa reală şi pentru 4aKK 2d1d cale

două rădăcini se suprapun într-o rădăcină multiplă. În continuare, cu creşterea lui Kd rădăciniledevin complexe conjugate, ramurile celor două traiectorii se desprind de axa reală şi tind spre după o dreaptă paralelă cu axa imaginară. Din figura 2.117, în care s-a redat locul rădăcinilor, seconstată că pentru orice valoare Kd>0 sistemul este strict stabil, deoarece rădăcinile ecuaţieicaracteristice ale sistemului închis se găsesc poziţionate în semiplanul stâng al planului rădăcinilor.Valoarea factorului de amortizare se va micşora cu creşterea lui Kd , iar pulsaţia naturală asistemului neamortizat n creşte. Se deduce acest aspect identificând ecuaţia omogenă a sistemuluide ordinul II studiat (relaţia (2.92)), care aste de forma:

0yωy2ξξy 2nn ,

cu ecuaţia (2.768), iar în urma identificării se obţine:

1dn1dn kT21K2a2a,TkK .Aplicaţie. Pentru a exemplifica modul de aplicare a regulilor menţionate, se consideră următoareafuncţie de transfer a sistemului deschis:

(2.769) ,8s4ss

KssYsH 2

dd

R1. Numărul de poli n = 3, cu valorile iar zerourile m = 0.Deoarece n = 3, locul rădăcinilor conţine trei ramuri care pleacă din polii aşa cum searată în figura 2.117.R2. Deoarece n = 3 şi m = 0, pentru cele trei ramuri ale locului rădăcinilor tind spreinfinit.R3. Originea asimptotelor are valoarea abscisei egală cu:

R4. Unghiurile dintre cele trei asimptote şi axa reală se calculează conform relaţiei (2.758) în careşi se obţine a=600, 1800 şi 1200 (-600).

R5. Locul rădăcinilor are o ramură, pe axa reală, care pleacă din origine către deoarece oricepunct de pe semiaxa reală negativă are în dreapta un singur polR6. Locul rădăcinilor nu are rădăcini multiple.

Fig. 2.118

R7. Utilizând relaţia (2.762) se determină unghiurile de plecare ale ramurilor din polii funcţiei detransfer a sistemului deschis. Unghiul de plecare a ramurii din polul este:

Unghiul de plecare a ramurii locului rădăcinilor din polul este 45, iar ramura a treia sesuprapune peste semiaxa reală negativă, deci unghiul de plecare din este 180.R8. Corespunzător expresiei (2.769):

Făcând substituţia se obţine:

Pentru cazul considerat, ecuaţia (2.764) devine:deci

În figura 2.118 sunt trecute câteva valori ale coeficientului total de amplificare.

,2j2p,2j2p,0p 321 ,,, 321 ppp

,dK

34

032j22j20

mn

zp K

m

i

n

01k1i

2,1,0,3 Nmn ,

.01 p

2p 4590135180180 2p1p2x

3p01 p

.1sBşis8s4ssA 23 js

;84 32 jjA

,082 .83,28cr

Aplicaţii

PR.1.1. Ecuaţiile diferenţiale şi funcţiile de transfer asociate circuitelor electrice liniare de ordinul 1.Sunt studiate următoarele circuite liniare filiforme de ordinul 1.a) circuitul serie RL (fig. 1.12.a)b) circuitul serie RC (fig. 1.12.b)

Fig. 1.12

a) Se consideră că 0)0(i)0(i , deci circuitul are condiţia iniţiala nulă. La momentul 0t seînchide întrerupătorul K . Mărimea de intrare este tensiunea aplicată )t(u i , iar mărimea de ieşire estecăderea de tensiune pe R , notată cu Ruu e . Se consideră că circuitul funcţionează în gol.

Ecuaţia de funcţionare a circuitelor este:)t(u)t(u)t(u RLi , (1.1)

în care:

dt)t(diL)t(u L : este căderea de tensiune inductivă,

)t(Ri)t(u)t(u Re : este căderea de tensiune rezistivă.Relaţia (1.1) primeşte forma:

)t(Ridt

)t(diL)t(u i ,

care, având în vedere că R/)t(u)t(i e , devine:

)t(u)t(udt

)t(duRL

iee

sau

)t(u)t(udt

)t(duT ie

e , (1.2)

în care:

]s[RLT este constanta de timp a circuitului.

Dindt

)t(diL)t(u L rezultă A

sVL , iar din )t(Ri)t(u R rezultă

AVR , deci

sRLT

.

Pentru a obţine funcţia de transfer se aplică transformata directă Laplace ecuaţiei diferenţiale (1.2),cu condiţia iniţială nulă 0)0(i .

Notăm )s(U)t(uL ii şi )s(U)t(UL ee , obţinându-se: )s(U1Ts)s(U)s(TsU)s(U eeei ,

şi corespunzător fdt va fi :

1Ts1

)s(U)s(U

)s(Gi

e

(1.3)

b) Se consideră condiţia iniţială nulă 0)0(u)0(u CC . La momentul 0t se închideîntrerupătorul K . Mărimea de intrare )t(u i este tensiunea aplicată circuitului, iar mărimea de ieşire estecăderea de tensiune pe condensator )t(u)t(u Ce . Circuitul funcţionează în gol.

Ecuaţia de funcţionare a circuitului este:)t(u)t(u)t(u CRi (1.4)

în care:

)t(Ri)t(u R şidt

)t(duC)t(i C , deci

dt)t(du

RC)t(u CR .

Relaţia (1.4) devine:

)t(udt

)t(duRC)t(u C

Ci ,

sau:

)t(u)t(udt

)t(duT ie

e , (1.5)

în care: )s(CRT este constanta de timp a circuitului.Aplicând transformata directă Laplace ecuaţiei diferenţiale (1.5), cu condiţia iniţială nulă 0)0(u e ,

şi păstrând notaţiile de la punctul a, se obţine: )s(U)s(U1sT ie ,

şi corespunzător fdt este:

1sT1

)s(U)s(U

)s(Gi

e

. (1.6)

PR.1.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale şi a funcţiei de transfer pentru tahogeneratorul de c.c.Tahogeneratorul de curent continuu este cel mai utilizat traductor de viteză unghiulară (turaţie) [3].

Acest traductor este un generator de c.c. de mică putere excitat cu magneţi permanenţi, pentru asigurareaunui flux de excitaţie constant (fig.1.13).

Tensiunea electromotoare produsă de tahogenerator este: )t(nKte e , (1.7)

iar tensiunea de ieşire:)t(iR)t(u T2E . (1.8)

În expresia t.e.m., eK este o constantă a maşinii de curent continuu, care în cazul când turaţia n seintroduce în rotaţii/minut este egală cu:

a60NpK e

,

unde:p este numărul de perechi de poli, N este numărul total de conductoare ale înfăşurării rotarice, iar

a reprezintă numărul de perechi de căi de curent.

Fig. 1.13

Ecuaţia diferenţială de funcţionare a circuitului indusului este de forma:

dt

)t(diL)t(iR)RR(2)t(e T

TTT21 , (1.9)

unde TR şi TL sunt rezistenţa, respectiv inductivitatea înfăşurării rotarice a tahogeneratorului GT .Având în vedere relaţia (1.7), ecuaţia diferenţială (1.9) devine:

)t(nK)t(udt

)t(duT TE

E , (1.10)

unde:

ctKC,R)RR(2

CRK ee

T21

e2T

, (1.11)

T21

T

RRR2L

T

(secunde). (1.12)

În practică, constanta de timp GTaT este de ordinul milisecundelor [3]. Coeficientul de transfer rotatii/VK T se măsoară în regim staţionar.

Considerând condiţia iniţială nulă 0)0(u)t(u E0tE

, se aplică transformata directă Laplaceecuaţiei diferenţiale (1.10):

)s(nK)s(U1sT TE ,în care:

)t(uL)s(U EE şi )t(nL)s(n Rezultă expresia fdt a tahogeneratorului de c.c.:

1sTK

)s(n)s(U

)s(G TE

. (1.13)

PR1.3. Calculul răspunsului indicial al elementului aperiodic de ordinul 1 prin rezolvarea directă a ecuaţieidiferenţiale, precum şi în baza funcţiei de transfer

Se notează cu )t(r mărimea de excitaţie (referinţă), iar cu )t(y mărimea de ieşire (răspunsul).

Se consideră 01EÎ descris prin: ecuaţia diferenţială liniară de ordinul 1 de forma:

)t(1)t(r),t(r)t(ydt

)t(dyT , (1.14)

cu condiţia iniţială nulă:0)0(y)t(y

0t

(1.15)

funcţia de transfer de forma:

1sT1

)s(R)s(Y)s(G

(1.16)

Rezolvarea) Determinarea răspunsului indicial al 01EÎ utilizând ecuaţia diferenţiala (1.14). Soluţia generală a

ecuaţiei diferenţiale (1.14) are două componente:STy)t(y)t(y . (1.17)

Pentru determinarea soluţiei generale )t(y a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene se parcurgurmătoarele etape:

rezolvarea ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei diferenţiale omogene; stabilirea soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene; determinarea soluţiei particulare a ecuaţiei diferenţiale neomogene; calculul constantei de integrare.Componenta tranzitorie (liberă) a răspunsului, )t(y tr , este soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene

aferentă ecuaţiei (1.14):

0)t(ydt

)t(dyT tr

tr . (1.18)

Notând pdt/)(d , ecuaţia caracteristică este:01Tp (1.19)

şi corespunzător rădăcina acesteia este:

T1p . (1.20)

Rezultă:

0t,eCeC)t(y Tt

pttr

, (1.21)

în care constanta de integrare C se determină având în vedere condiţia iniţială (1.15).Deoarece referinţa 1)t(r 0t rămâne constantă în timp, se caută soluţia de regim staţionar (forţat)

de aceeaşi formă ctyST , care înlocuită în ecuaţia diferenţială (1.14) conduce la relaţia:

0t,1yST . (1.22)

Conform cu (1.17) a rezultat expresia răspunsului indicial al 01EÎ , de forma:

0t,1eC)t(y Tt

. (1.23)Se determină constanta de integrare utilizând condiţia iniţială:

1C,01C)t(y)0(y 0t . (1.24)Componenta tranzitorie (liberă) a răspunsului, având în vedere (1.21) şi (1.24), are expresia:

)t(1e)t(y Tt

tr

, (1.25)iar răspunsul indicial (soluţia completă) este de forma:

0t,e1)t(y Tt

. (1.26)

b) Calculul răspunsului indicial al 01EÎ utilizând fdt (1.16)Transformator Laplace a mărimii de intrare este s/1)t(1L)s(R , iar imaginea Laplace a

răspunsului elementului, având în vedere (1.16), este:

)1(1)()()(

sTs

sGsRsY . (1.27)

Pentru determinarea răspunsului indicial )s(YL)t(y 1 , expresia (1.27) se descompune în fracţiisimple şi corespunzător se apelează la tabelul din Anexa 1:

)1sT(ss)BTA(A

1sTB

sA

)1sT(s1)s(Y

, (1.28)

şi prin identificarea rezultă: 1A şi TB .S-a obţinut:

T1s

1s1

1sTT

s1)s(Y

, (1.29)

rezultând expresia răspunsului indicial:

0t,e1)s(YL)t(y Tt

1 (1.30)

Observaţie. Pentru determinarea originalului )s(YL)t(y 1 se mai poate proceda astfel:se aduce )s(Y la forma:

T1s

BsA

)T1s(s

T1

)s(Y

,

şi având în vedere că rădăcinile polinomului de la numitorul lui )s(Y (polinomului caracteristic) sunt 0s1 şi T/1s 2 , se pot utiliza relaţiile (Anexa 1):

1

T1ss

T/1slim)s(YslimA0s0s

1

T1ss

T1

T1slim)s(Y

T1slimB

T1sT

1s

,

rezultând relaţia (1.29):

T/1s1

s1)s(Y

şi corespunzător (1.30)

PR.1.4. Calculul răspunsului indicial al elementului aperiodic de ordinul 1 în MATLAB şiSIMULINK. Performanţe

Se consideră 01EÎ descris de ecuaţia diferenţială (1.14) şi respectiv de fdt (1.16) din PR.1.3, iarpentru calcule se adoptă )s(5,1T .

Din relaţia de definiţie a timpului de răspuns rt :

STr y)t(y , (1.31)

în care pentru plaja de reglare s-a adoptat valoarea )ydin%5(y05,0 STST , iar valoarea de regimstaţionar a răspunsului, conform relaţiei (1.22), fiind:

1yST , (1.32)şi având în vedere (1.26), se obţine:

05,0y05,0e1e1 STTrt

Trt

A rezultat:05,0lnTt r . (1.33)

Pentru %5 , timpul tranzitoriu este T3t r (timpul în care răspunsul atinge valoare de 95% din

STy ), iar dacă se consideră %2 se obţine T4t r (când mărimea de ieşire atinge valoarea de

STydin%98 ). Dacă în ecuaţia diferenţială (1.14) se adoptă ca mărime de intrare o funcţie treaptă,ctK),t(1K)t(r , respectiv în (1.16) la numitorul fdt vom avea K , atunci relaţia (1.33) devine:

)K05,0ln(Tt r . (1.34)Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează graficele răspunsului indicial

)t(h)t(y , componentei libere )t(y tr şi corespunzător relaţiei (1.33) se calculează rt .

% Raspunsului indicial h(t) al EÎO1; Componenta tranzitorie ytr(t),% F.d.t. este de forma: G(s)=1/(Ts+1); T=1,5 secunde

t=0:0.1:9;T=1.5num=[1]den=[T 1]ys=step(num,den,t);yl=-exp(-t/T);yst=1tr=-T*log(0.05)v=t; %%Se generează o rampă unitatedf1=diff(v)./diff(t); %%Treaptă la nivelul yst=1.00df2=0.95*df1; %%Treaptă la nivelul 0.95*ysttd=t(2:length(t));plot(t,ys,'-k',t,yl,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k');gridtitle('EÎO1-Răspunsul indicial, comp. tranzitorie, timpul de răspuns')xlabel('t(secunde)')ylabel('h(t)')axis([0 9 -1.2 1.2]);gtext('------------ytr(t)')gtext('------------h(t)')gtext('G(s)=1/(Ts+1), T=1,5 secunde')[X,Y]=ginput

Observaţie. Instrucţiunea Y,X =ginput se foloseşte, în cazul de faţă, pentru a ridica coordonatelepunctului rezultat prin intersecţia răspunsului indicial )t(h cu treapta STy95,0 . Abscina acestui punctreprezintă timpul tranzitoriu rt . S-a obţinut, prin program, valoarea rt corespunzătoare relaţiei (1.33), dar şiprin ridicarea coordonatelor punctului precizat, direct din graficul răspunsului.

Graficele corespunzătoare secvenţelor MATLAB sunt prezentate în fig.1.14.În fereastra de comandă (Command Window) sunt returnate valorile:

9503.0Y;5104.4X;4936.4t;1y;0000.15000.1den;1num;5000.1T rST

Se constată că diferenţa dintre valorile rt obţinute cu relaţia exactă (1.33) şi respectiv abscisa punctului acărui coordonate au fost ridicate cu instrucţiunea Y,X = ginput, este neglijabilă. Se mai constată că relaţia

5,45,13T3t r secunde, conduce la rezultate foarte bune (relaţie frecvent utilizată în practică). Din

figura 1.14 rezultă că suprareglajul 0 , iar eroarea staţionară 011y)t(r ST0tST

.

Fig. 1.14b) Determinarea răspunsului indicial al 01EÎ în SIMULINK. PerformanţeS-a utilizat fdt (1.16) din PR.1.3, cu )s(5,1T . Schema echivalentă de modelare în SIMULINK.

este prezentată în figura 1.15.

Fig. 1.15

În schema echivalentă de modelare, destinaţia blocurilor STEP este următoarea: STEP: generează mărimea de intrare treaptă unitară )t(1 ; STEP 1: generează o treaptă unitară, în grafic, care corespunde valorii de regim staţionar

1yST ; STEP 2: generează o funcţia treaptă )t(195,0 corespunzătoare plajei de reglare din fereastra

grafică.Parametrii blocurilor din schema echivalentă de modelare:

Block Parameters: STEPSTEP STEP1 STEP2

Step time: 0 0 0Initial value 0 0 0Final value: 1 1 0.95

Block Parameters: Transfer FcnNumerator: [1]Denominator: [1.5 1]

Block parameters: MUXNumber of inputs:

Properties:

3

Scope

Ymax: 1.2Ymin: 0Time range: auto

În pagina de editor se apelează Simulation Parameters (sau taste duble CTR+E). În fereastraSimulation parameters valorile implicite (în câmpurile de valori care pot fi modificate) sunt: Start time: 0.0 şirespectiv Stop time: 10.0.În cazul analizat având )s(5,1T , deci )s(5,4T3t r , se introduce Stop time: 7.0 (obs. în cele douăcâmpuri valorile sunt în secunde). Pentru obţinerea răspunsului, în pagina de editor, se apelează Simulation Star (sau taste duble Ctrl +T).

În figura 1.16.a se prezintă răspunsul indicial. Pentru a determina timpul tranzitoriu se deschide (cubutonul din stânga mous-ului) o mică fereastră în jurul punctului de intersecţie a răspunsului indicial cutreapta )t(195,0 .

a) b)Fig. 1.16

Fereastra selectată se extinde pe toată suprafaţa graficului (fig.1.16.b). Abscisa punctului menţionatreprezintă timpul tranzitoriu. Din figura 1.16.b se constată că )s(5,4t r .

PR.1.5. Calculul răspunsului 01EÎ la impuls unitara) Determinarea analitică a răspunsului la impuls unitar utilizând funcţia de transfer.Funcţia de transfer, conform cu (1.16), este de forma:

1Td1

)s(R)s(Y)s(G

. (1.35)

Mărimea de intrare fiind un impuls unitar )t()t(r , se obţine 1)t(L)s(R şi deci:

1sT1)s(R

1sT1)s(Y

. (1.36)

Rezultă că răspunsul la impuls unitar este: )s(GL)t(y 1 . (1.37)

Se aduce relaţia (1.36 )la forma:

T1s

T/1)s(Y

,

şi conform tabelului din Anexa 1 se obţine:

0t,eT1)t(w)t(y T

t

. (1.38)

În (1.38) s-a notat cu )t(w răspunsul 01EÎ la intrare impuls unitar - funcţie pondere. Din relaţiile(1.30) şi (1.38) se verifică faptul că între răspunsul indicial )t(h şi răspunsul la impuls unitar )t(w existălegătura:

td)t(hd)t(w , (1.39)

care se verifică imediat:

Tt

Tt

eT1e1

tdd)t(w

, (1.40)

şi corespunzător:

t

0

d)(w)t(h . (1.41)

b) Calculul răspunsului la impuls unitar în MATLABCu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează grafic răspunsul la impuls unitar

(funcţia pondere) a 01EÎ adoptând )s(5,1T :% Raspunsul EÎO1 la impuls unitar% Fdt a EÎO1: G(s)=1/Ts+1, cu T=1,5 (s).t=0:0.1:7;num=[1];den=[1.5 1];yi=impulse(num,den,t);plot(t,yi,'-k');gridtitle('Raspunsul EIO1 la impuls unitar')xlabel('t(secunde)'),ylabel('w(t)')gtext('G(s)=1/(Ts+1), T=1,5(s)')

Graficul răspunsului la impuls unitar este prezentat în figura 1.17:

Fig. 1.17

PR. 1.6. Calculul răspunsului indicial al 01EÎ utilizând produsul de convoluţieConsiderând fdt de forma (1.35), iar răspunsul 01EÎ la impuls unitar este dat de relaţia (1.38):

0t,eT1)s(GL)t(w T

t1

. (1.42)

Răspunsul indicial se calculează utilizând integrala de convoluţie [1]:

t

0

d)(w)t(r)t(h)t(y , (1.43)

în care: t,1)t(r

Relaţia (1.43) devine:

t

0

d)(w)t(h)t(y . (1.44)

Înlocuind relaţia (1.42) în (1.44) se obţine [1]:

Tt

Tt

e1)1(ee

T1

eT1de

T1)t(h)t(y

t

0

T

t

0

Tt

0

T

. (1.45)

Comparând relaţia (1.45) cu relaţiile (1.26) şi 1.30 se verifică obţinerea aceluiaşi rezultat.

PR.1.7. Calculul răspunsului 01EÎ la mărime de intrare rampă unitarăa) Utilizarea fdt pentru calcularea analitică răspunsului 01EÎ la mărime de intrare rampă unitară.Considerând fdt a 01EÎ de forma (1.16) şi având în vedere că imaginea Laplace a mărimii de

intrare rampă unitară t)t(r este [Anexa 1]:2s/1)t(L)s(R

rezultă imaginea Laplace a răspunsului:

)1sT(s1

1sT1

s1)s(G)s(R)s(Y 22

. (1.46)

Din relaţia (1.46) rezultă că ecuaţia caracteristică 0)1sT(s2 , are rădăcinile: 0ss 21 şiT/1s3 .

Pentru a calcula originalul )s(YL)t(y 1 se foloseşte metoda tabelară, relaţia (1.46) scriindu-sesub forma:

1sTC

sB

sA)s(Y 2

, (1.47)

în care:

1)1sT(s

1slim)s(YslimA 22

0S

2

0S

, (1.48)

T

1sTTlim)

1sT1(

sddlim)s(Ys(

sddlimB 20S0S

2

0S

, (1.49)

22T/1S2T/1S2T/1S

T)s1(lim

)T1s(s

T/1)T1s(lim

)1sT(s1

T1slimC

.

(1.50)Relaţia (1.47) devine:

T1s

1Ts1T

s1

1sT1T

s1T

s1)s(Y 2

22

. (1.51)

Transformata inversă Laplace )s(YL)t(y 1 este de forma (Anexa 1):

0t,eTTt)t(y Tt

. (1.52)Având în vedere faptul că:

)t(y)t(y)t(y trf , (1.53)se constată că:

Tt)t(y f , (1.54)

Tt

eT)t(y tr

. (1.55)

Din relaţia (1.52) mai rezultă:0TT0)t(ylim

0t

deci răspunsul )t(y pleacă din origine, corespunzător valorii iniţiale, iar pentru valori suficient de mari alevariabilei independente t (teoretic t ), componenta tranzitorie )t(y tr se amortizează:

0eTlim)t(ylim Tt

tt tr

A rezultat eroarea permanentă:ctT)Tt(t)(y)t(r)(

b) Calculul răspunsului 01EÎ , la mărime de intrare rampă unitară, în SIMULINKSchema echivalentă de modelare în SIMULINK este prezentată în figura 1.18.

Fig. 1.18

S-a considerat fdt a 01EÎ dată de relaţia (1.35), în care )s(5,1T .Destinaţia blocurilor Ramp din figura 1.18: Ramp: generează mărimea de intrare rampă unitară t)t(r ; Ramp 1: generează o funcţie rampă unitară, în fereastra grafică, necesară a determina eroarea

permanentă ctT)Tt(t)( .Parametrii blocurilor din schema echivalentă de modelare: Block Parameters: RampSlope: 1Start time: 0Initial output: 0 Block parameters: Transfer FcnNumerator: [1]Denominator: [1.5 1] Block Parameters: MUXNumber of inputs: 2 Properties: ScopeYmax = 10Ymin = 0Time range: auto

În figura 1.19. a. se prezintă rezultatul simulării. În reprezentarea grafică se disting două funcţii, ofuncţie reprezintă rampa unitară generată de blocul Ramp 1, iar cealaltă funcţie reprezintă răspunsul 01EÎ .S-a selectat o fereastră care cuprinde ambele curbe, la momentul instantaneu 8t secunde, redată în figura1.19.b. Fin figura 1.19.b se constată că eroarea de regim permanent este )s(5,1T .

a) b)Fig. 1.19

PR. 1.8 Calculul răspunsului indicial al SLN de ordinul 2 prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale.Performanţe

SLN2 este descris de o ecuaţie diferenţială de forma [1]:

)t(1)t(r),t(r)t(ytd

)t(yd2td

)t(ydn

2nn2

2

, (1.56)

unde este factorul de amortizare, iar n este pulsaţia naturală a sistemului neamortizat [1].Se determină răspunsul indicial al sistemului considerând condiţiile iniţiale nule:

0)0(y)0(y . (1.57)Răspunsul )t(y al sistemului conţine cele două componente:

STtr y)t(y)t(y , (1.58)unde:

)t(yST este componenta tranzitorie a răspunsului, soluţie a ecuaţiei diferenţiale omogene;ctyST este componenta forţată (permanentă) a răspunsului, soluţie particulară a ecuaţiei

neomogene (1.56).Ecuaţia diferenţială (1.56) este dedusă în condiţiile în care coeficientul de amplificare este egal cu

unitatea şi deci valoarea de regim staţionar a răspunsului este:1yST . (1.59)

Pentru determinarea componentei tranzitorii )t(y tr se scrie ecuaţia caracteristică aferentă ecuaţieidiferenţiale (1.56):

0p2p 2nn

2 , (1.60)care conduce la rădăcinile:

2nn2,1 1jp . (1.61)

Factorul de amortizare, care depinde de parametri sistemului, în cazul când sistemul nu este instabil,nu poate lua valori negative, ci numai valori pozitive:

0 . (1.62)Componenta tranzitorie a răspunsului are o expresie de forma [1]:

0t,eCeC)t(y t2p2

t1p1tr , (1.63)

şi corespunzător răspunsul sistemului este:0t,eCeC1)t(yy)t(y t2p

2t1p

1trST . (1.64)Având condiţiile iniţiale (1.57) precum şi expresia răspunsului (1.64), se obţine sistemul de două

ecuaţii algebrice în care necunoscutele sunt constantele de integrare 21 C,C :

0CpCp)0(y0CC1)0(y

2211

21

rezultând:

12

2

21

21 pp

p

pp11p011

C

, (1.65)

12

1

21

12 pp

p

pp110p11

C

. (1.66)

Introducând relaţiile (1.65) şi (1.66) în (1.64) se obţine următoarea expresie pentru răspunsul indicialal sistemului:

0t,epp

pe

ppp

1)t(y t1p

12

1t1p

12

2

. (1.67)

Din (1.67) rezultă că forma de variaţie în timp a răspunsului )t(y depinde de tipul rădăcinilorecuaţiei caracteristice, rădăcini care depind de parametrii sistemului. În figura 1.20 se reprezintă planulcomplex al rădăcinilor în care sunt poziţionate posibilele tipuri de rădăcini ale ecuaţiei caracteristice. Înfigura 1.20 având ctn şi diferite valori ale lui , sunt evidenţiate tipurile de rădăcini: imaginare,complexe conjugate cu partea reală negativă, reale negative simple şi multiple. Rădăcinile poziţionateexclusiv în semiplanul stâng C al planului rădăcinilor sunt rădăcini stabile.

Fig. 1.20

Pentru 0 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt poziţionate în C+, sistemul este instabil şi nuprezintă interes pentru a fi analizat. Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, deci de valorile pecare le poate lua , se disting următoarele forme de variaţie în timp a răspunsului indicial:

a) Răspuns oscilant neamortizat: n2n1 jp,jp,0 Cele două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice se găsesc pe axa imaginară a planului rădăcinilor

(fig.1.20). Expresia răspunsului indicial se obţine introducând rădăcinile 21 p,p în (1.67):

2ee1e

j2j

ej2

j1)t(y

tnjtnjtnj

n

ntnj

n

n

,

şi având în vedere că tsinjtcose nntnj , rezultă:

tcos1)t(y n , (1.68)în care n are expresia:

nnn T

2f2 , (1.69)

unde nT este perioada oscilaţiilor neamortizate, care de regulă se impune.Adoptând )s(1Tn , cu următoarele secvenţe MATLAB se trasează graficul răspunsului oscilant

neamortizat:

%% SLN2. Raspuns oscilant neamortizat, Tn=1 secundat=0:0.1:3.0;omega=2*pi;y=1-cos (omega*t);plot(t,y,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi') %se selectează Arial-Bold-12title('SLN de ordinul 2-raspuns oscilant neamortizat')xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')

În figura 1.21 se prezintă graficul răspunsului indicial corespunzător secvenţelor de mai sus.

Fig. 1.21

Se constată , din figura 1.21, că perioada oscilaţiilor neamortizate este )s(1Tn , iar amplitudineaoscilaţiilor este constantă. Un astfel de sistem se află la limită de stabilitate. În practică nu se acceptă acestrăspuns, sistemul fiind considerat instabil.

b) Răspuns oscilant amortizat sau subamortizatÎn acest caz 10 şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală

negativă:2

nn1 1jp , (1.70)2

nn2 1jp , (1.71)şi au acelaşi modul:

n22

n2

n21 1pp , (1.72)iar

2n12 1j2pp . (1.73)

Introducând (1.70), (1.71) şi (1.73) în (1.67) se obţine:

tt

ttt

tt

tt

2n2n

2n2nn

2nn

nn

1j1j

1j1j

1j

21j

ee2

1

...)ee(j21

e1

ee1j2

1j

...ee1j2

1j1)t(y

2

2

2n

2nn

2n

2nn

Se are în vedere faptul că:

t1sineej2

1 2n

2n2n tt 1j1j

,

t1cosee21 2

ntt 2n2n 1j1j

,

şi se obţine:

0t,)t1cos(1t1sin(1

e1)t(y 2n

22n2

tn

. (1.74)

Pentru simplificarea expresiei (1.74) se introduce ca mărime ce caracterizează poziţia rădăcinilorcomplexe conjugate 21 p,p în planul rădăcinilor, unghiul , aşa cum se arată în figura 1.20, din carerezultă:

n

ncos , (1.75)

2

n

2n 1

1sin

, (1.76)

21

tg . (1.77)

Înlocuind (1.75) şi (1.76) în (1.74) se obţine:

0t,t1cossint1sincos1

e1)t(y 2n

2n2

tn

,

şi în continuare:

0t,t1sin1

e1)t(y 2n2

tn

, (1.78)

iar dacă se are în vedere relaţia (1.77):

0t,1

arctgt1sin1

e1)t(y2

2n2

tn

. (1.79)

Din (1.79) rezultă că răspunsul indicial, pentru 10 , are o componentă tranzitorie amortizată.Performanţele SLN2 pentru 10 . Suprareglajul şi gradul (indicele) de amortizare

1)t(y1yyy 1maxSTmax , (1.80)în care )t(y 1 este valoarea maximă a răspunsului indicial.

Pentru determinarea momentelor de timp de maxim şi minim ale răspunsului )t(y , printre care şimomentul 1t , se anulează derivata 0dt/)t(yd , rezultând [1]:

0)t1cose1

...t1sine11

dt)t(dy

2n

tn2n

2n

tnn

de unde:

tg1

t1tg2

2n ,

ceea ce conduce la relaţie din care se obţin toate momentele de timp de maxim şi minim locale alerăspunsului )t(y :

...2,1,0k,kt1 K2

n şi în final:

...2,1,0k,1

kt2

n

K

(1.81)

Pentru 0k se obţine 0t 0 , deci minimul local din origine, ceea ce justifică condiţia iniţială0)0(y . Pentru 1k se obţine momentul de timp 1t la care apare suprareglajul (fig. 1.22):

2n

11

t

. (1.82)

Fig. 1.22

Introducând relaţia (1.78) se obţine:

1e1)t(y2

11 . (1.83)

Corespunzător cu (1.80) a rezultat:

21e

. (1.84)Relaţia (1.84) evidenţiază faptul că suprareglajul depinde exclusiv de factorul de amortizare şi

nu depinde de n . Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice (relaţiile (1.70) şi (1.71)) se deplasează pe

semicercul de rază n , aflat în C (fig.1.20), suprareglajul creşte pe măsură ce acestea se aproprie deaxa imaginară, care este axa limitei de stabilitate.

Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează graficul )(f .

%Graficul sigma=f(csi), sigma=suprareglajul, csi=factorul de amortizarecsi=0:0.1:1;sigma=exp(-pi*csi./(sqrt(1-csi.^2)))*100;plot(csi,sigma,'-k'),gridtitle('Suprareglajul funcţie de factorul de amortizare in procente')xlabel('Factorul de amortizare'),ylabel('Suprareglajul')

În figura 1.23 se reprezintă graficul )(f

Fig. 1.23

Gradul de amortizare Pentru a determina gradul de amortizare se calculează a doua depăşire a valorii staţionare, notată

cu 3 (Fig. 1.22), şi având în vedere relaţia (1.81) în care 3k :

2

ST331

3

ey)t(y

, (1.85)şi atunci expresia gradului de amortizare devine:

233 12

e11

. (1.86)

Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se reprezintă grafic dependenţa )(f .

%Dependenta gradului de amortizare funcţie de factorul de amortizarecsi=0:0.1:1;psi=1-exp(-2*pi*csi./(sqrt(1-csi.^2)));plot(csi,psi,'-k'),gridaxis([0 1 0 1.2])title('Gradul de amortizare funcţie de factorul de amortizare')%Se apeleaza fereastra de dialog pentru a stabili fondurileuisetfont(gca,'Fonturi')%Se selecteazăxlabel('x'),ylabel('y')

În figura 1.24 se prezintă graficul )(f

Fig. 1.24 Timpul de răspuns rtDin relaţia:

rST tt,y)t(y , (1.87)

în care 1yST şi adoptând 05,0 , se obţine:

rtt,05,01)t(y . (1.88)

Deoarece )t(yy)t(y trST , pentru rtt rezultă 05,0)t(y rtr , şi având în vedere relaţia(1.78) se obţine:

10,05,0t1sin1

e)t(y r2

n2

rtn

rtr

. (1.89)

Valorile absolute ale funcţiei sinus sunt limitate la unitate şi atunci în mod acoperitor condiţia (1.89)devine:

05,01

e2

rtn

,

din care se obţine:

2rn 105,0lnt ,

respectiv:

n

2

r

105,0lnt

. (1.90)

Pentru sistemele descrise de o ecuaţie diferenţială de ordinul 2 de forma (1.56), care cuprinde înmembrul drept numai mărimea de intrare, fără derivate ale acestei mărimi, numite sisteme de ordinul 2, s-astabilit următoarea relaţie aproximativă, acoperitoare, pentru durata regimului tranzitoriu [1] :

nr

4t

. (1.91)

Din (1.90) şi (1.91) se constată că rt depinde de şi n . În practică, are o gamă limitată devariaţie 8,05,0 şi influenţa sa asupra lui rt este redusă, influenţa dominantă o are n [1].

Dacă mediul de programare utilizat, cum este MATLAB, permite ridicarea coordonatelor unorpuncte, atunci din fereastra grafică D2 a răspunsului indicial se poate determina timpul de răspuns astfel:

- în graficul D2 a răspunsului se trasează două funcţii treaptă la nivelul )t(105,1 şi respectiv lanivelul )t(195,0 , acestea corespunzând plajei de reglare (fig. 1.22);

- se ridică coordonatele punctului în care răspunsul )t(y intră în limitele 05,01 (sau 02,01 ),fără a mai ieşi ulterior din aceste limite, abscisa punctului menţionat reprezentând timpul de răspuns rt .

c) Răspuns aperiodic critic (sau critic amortizat).În acest caz 1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale negative şi multiple:

n21 pp . (1.92)În figura 1.20 se evidenţiază poziţia rădăcinilor în planul complex.

Din (1.64) şi (1.92) se poate scrie:

12

t2p1

t1p2

1p2p ppepep

lim1)t(y , (1.93)

care conduce la o nedeterminare. Pentru eliminarea nedeterminării se aplică regula lui LHospital:

n1p2p

t2p1

t1p

n1p2p12

2

t2p1

t1p2

2

1etpe

1

pppdd

epeppdd

1)t(y

(1.94)

şi sub formă finală: )t(1et11)t(y tn

n . (1.95)d) Răspuns supraamortizat (sau aperiodic).În acest caz 1 şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale, negative şi simple:

1p 2nn2,1 , (1.96)

iar reprezentarea acestora în planul complex este redată, în principiu, în figura 1.20.Corespunzător relaţiei (1.67) expresia răspunsului indicial este de forma:

0t,epp

pe

ppp

1)t(y t2p

12

1t1p

12

2

. (1.97)

Din cele prezentate rezultă:- forma de variaţie în timp a răspunsului indicial depinde de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice,

care la rândul lor depind de coeficienţii constanti 0,0 , deci de parametrii sistemului;- în planul complex al rădăcinilor, cu cât rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt mai apropiat de axa

imaginară, cu atât răspunsul )t(y , pentru 10 , are un caracter mai oscilant cu şi rt mari, iarrăspunsurile aperiodice 1 sunt caracteriyate, de asemenea, de valori mari ale timpului de răspuns(evoluţii aperiodice lente în timp);

- este util, ca la începutul analizei, să se calculeze rădăcinile ecuaţiei caracteristice, ale oricărui SLN,pentru a distinge după tipul rădăcinilor forma de variaţie în timp a răspunsului.

PR.1.9. Calculul răspunsului indicial al SLN de ordinul 2 utilizând funcţia de transferÎn ipoteza tuturor condiţiilor iniţiale nule (relaţia (1.57)), se aplică transformata directă Laplace

ecuaţiei diferenţiale liniare (1.56): )s(R)s(Ys2s 2

n2nn

2 , (1.98)rezultând .t.d.f a SLN2 de forma:

2nn

2

2n

0 s2s)s(R)s(Y)s(H

. (1.99)

Din .t.d.f (1.99), pentru )t(1)t(r , deci s/1)s(R , se deduce valoarea de regim staţionar arăspunsului utilizând teorema valorii finale:

)0(H)s(Hlim)s(H)s(Rslim)s(sYlim)t(ylimy 000S00S0StST

,

deci:

1y 2n

2n

ST

. (1.100)

Polinomul de la numitorul .t.d.f (1.99) reprezintă polinomul caracteristic, îl notăm cu )s(A , şi prinegalarea cu zero a acestuia se obţine ecuaţia caracteristică:

0s2s)s(A 2nn

2 , (1.101)cu rădăcinile:

2nn2,1 1js (1.102)

Comparând (1.60) cu (1.10) se constată că egalând cu zero polinomul de la numitorul .t.d.f şiobţine ecuaţia caracteristică aferentă ecuaţiei diferenţiale care descrie funcţionarea sistemului; această regulăeste generală [1]. În relaţia (1.101) prin s nu se înţelege variabila complexă utilizată în scrierea transformateiLaplace, ci este o notaţie adoptată pentru scrierea ecuaţiei caracteristice asociată ecuaţiei diferenţiale. Înecuaţia (1.101) s-a păstrat notaţia s pentru a evidenţia legătura dintre .t.d.f şi ecuaţia caracteristică.

b) Calculul răspunsului oscilant amortizat: 10 .Pentru )t(1)t(r , deci s/1)s(R , din (1.99) rezultă:

)s2s(s)s(H)s(R)s(Y 2

nn2

2n

0

. (1.103)

Din ecuaţia: 0ss2s 2

nn2 , (1.104)

se determină polii funcţiei )s(Y :

0s,1js,1js 32

nn22

nn1 . (1.105)Relaţia (1.103) se pune sub forma:

sA

ssA

ssA

sss)ss()s(Y 3

2

2

1

1

21

2n

, (1.106)

în care: 3,2,1k,)s(YsslimA K

KSSK

, (1.107)

şi corespunzător:

121

2n

2

2n

1SS11SS1 s)ss(s)ss(

lim)s(YsslimA

. (1.108)

Introducând în (1.108) expresia rădăcinilor 21 s,s din (1.105) se obţine:

22

2

22222n

2n

121

2n

1

12j

21

12

j1

...)j1(12

1

1j12s)ss(A

(1.109)

2

212

2n

1

2n

2SS2SS2

12j

21

...s)ss(sss

lim)s(YsslimA2

(1.110)

1ss)ss(ss

lim)s(YslimA 2n

2n

21

2n

21

2n

0S0S3

. (1.111)

S-a obţinut:

2nn

21

1

1js1

12j

21

ssA

,

şi corespunzător Anexei 1:t1j 2

nn

21

11 e12

j21

ssA

L

,

şi în continuare:t1j 2

nn

22

21

12j

21

ssA

L

,

s1

sA 3 şi )t(1s/1L 1 .

Sistemul fiind liniar, răspunsul este dat de relaţia:

sA

Lss

AL

ssA

L)s(YL)t(y 31

2

21

1

111 ,

care după unele transformări elementare devine:

t1sint1cos11

e)t(1)t(y 2n

2n

2

2

tn

. (1.112)

Se constată că relaţia (1.112) este identică cu relaţia (1.74) dedusă prin rezolvarea directă a ecuaţieidiferenţiale. Introducând în (1.112) relaţiile (1.75), (1.76) se obţine:

0t),t1sin(1

e)t(1)t(y 2n2

tn

, (1.113)

deci, s-a obţinut relaţia (1.78).b) Calculul răspunsului aperiodic critic: 1 .Pentru un astfel de răspuns, polii fdt , corespunzător cu (1.102) sunt:

n21 ss . (1.114)Imaginea Laplace a răspunsului indicial devine:

s)ss(s)ss)(ss()s(H)s(R)s(Y 2

1

2n

21

2n

0

şi în continuare:

sC

ssB

)ss(A

s)ss()s(Y

12

12

1

2n

, (1.115)

în care:

n1

2n2

11SS s

)s(Y)ss(limA

;

1sds

dlim)s(YssdsdlimB

2n

1SS

21

1SS

;

1)ss(

lim)s(YslimC 21

2n

0S0S

.

Relaţia (1.115) devine:

s1

s1

)s(s1

ss1

)ss()s(Y

n2

n

n

12

1

n

Cunoscând că (Anexa 1):

2t

)as(1etL a

răspunsul )t(y va fi de forma:

tnn

tntnn

1 e)t1()t(1)t(1eet)s(YL)t(y . (1.116)Se constată că s-a obţinut relaţia (1.95) determinată prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale.c) Calculul răspunsului supraamortizat: 1În acest caz polii fdt sunt reali, negativi şi simpli (fig.1.20):

1s,1s 2nn2

2nn1 . (1.117)

Se adoptă valorile: 2.);(sec1T;5,2 nn

Imaginea Laplace a răspunsului indicial este:

s)s2s()s(H)s(R)s(Y 2

nn2

2n

0

Ecuaţia caracteristică este: 0ss2s 2

nn2

iar rădăcinile acesteia, pentru valorile numerice adoptate, sunt:0s,3114,1s,1045,30s 321

deci, )s(Y se pune sub forma:

sA

ssA

ssA

s)ss()ss()s(Y 3

2

2

1

1

21

2n

, (1.118)

unde coeficienţii 3,2,1k,Ak sunt calculaţi cu relaţia (1.107):

0455,01045,30)3114,11045,30(

)2(s)ss(

)s(YsslimA2

121

2n

11SS1

0455,13114,11045,303114,1

2sss

)s(YsslimA2

212

2n

22SS2

1ssss

)s(YslimA 2n

2n

21

2n

21

2n

3SS3

Relaţia (1.118) se poate scrie astfel:)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y 321

unde:

s1

sA

)s(Y

3114,1s0455,1

ssA

)s(Y

1045,30s0455,0

ssA

)s(Y

33

2

22

1

11

Descompunerea în fracţii simple se poate obţine folosind funcţia MATLAB residue, care este deforma:

k,p,r residue (num, den)

în care r este vectorul coloană al rezidurilor, p este vectorul coloană al polilor, iar k este vectorul linie alpolinomului cât (num/den). Ca argumente funcţia residue are polinomul de la numărătorul şi numitorulfuncţiei raţionale care se doreşte a fi descompusă în fracţii simple.

Pentru cazul analizat se descompune în fracţii simple funcţia )s(Y din (1.118), cu următoarelesecvenţe:

02)^pi2(pi25.221den;2^ip2num k,p,r residue (num, den)

Se obţine:

k03114.1

1045.30p

0000.10455.1

0455.0r

Notând:

0p;3114,1p;1045,30p;0000,1r;0455,1r;0455,0r

321

321

se obţine:

)s(Y)s(Y)s(Ys1

3114,1s0455,1

1045,30s0455,0

)ps(r

)ps(r

)ps(r

)s(Y

321

3

3

2

2

1

1

deci, acelaşi rezultat.Corespunzător proprietăţii de liniaritate a transformatei Laplace: )t(y)t(y)t(y)s(YL)s(YL)s(YL)s(YL)t(y 3213

12

11

11

şi în continuare, utilizând tabelul din Anexa 1, se determină:0t),t(1e0455,1e0455,0)t(y tt 3114,11045,30 . (1.118a)

Din (1.118a) se constată că valoarea de regim staţionar a răspunsului este:1)t(ylimy

tST

iar valoarea răspunsului în momentul iniţial 0t , este:010455,10455,10 , ceea ce justifică una din condiţiile iniţiale.

PR.1.10. Stabilirea ecuaţiilor intrare-stare-ieşire pentru SLN2 utilizând variabilele de fază, calcululvectorului de stare )t(X şi a răspunsului sistemului )t(y

Se consideră SLN invariant de ordinul 2 descris de ecuaţia diferenţială (1.56), cu condiţia iniţiale(1.57):

)t(r)t(y)t(y2)t(y 2n

2nn , (1.119)

0)0(y)0(y . (1.120)Sistemul fiind de ordinul 2n , se aleg două variabile de fază pe care le notăm cu )t(x),t(x 21 şi

)t(y)t(x1 .Variabilele de fază sunt definite astfel:

)t(y)t(x1 , (1.121))t(x)t(y)t(x 12 . (1.122)

Din ecuaţia diferenţială (1.119) se obţine:)t(r)t(y)t(y2)t(x)t(y 2

n2nn2 ,

sau)t(r)t(x2)t(x)t(x)t(y 2

n2n12n2 , (1.123)

rezultând sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul 1:

)t(r)t(x2)t(x)t(x

)t(x)t(x2n2n1

2n2

21

. (1.124)

Sistemul (1.124) se scrie sub forma matriceal-vectorială:

)t(r0

)t(x)t(x

210

)t(x)t(x

2n2

1

n2n2

1

(1.125)

sau)t(rb)t(XA)t(X , (1.126)

unde )t(X este vectorul de stare (fază), vector coloană având 2n componente.Pentru a determina mărimea de ieşire )t(y se are în vedere că )t(y)t(x1 şi deci:

)t(x)t(x

01)t(y2

1 , (1.127)

sau)t(Xc)t(y T . (1.128)

Ecuaţia (1.126) reprezintă ecuaţia intrare-stare (fază), iar ecuaţia (1.128) este ecuaţia stare (fază) -ieşire.

A rezultat sistemul de ecuaţii intrare-stare-ieşire:

)t(Xc)t(y)t(rb)t(XA)t(X

T

(1.129)

în care:A este matricea constantă a sistemului de tipul 22 ;b este matricea de intrare de tipul 12 ;

Tc este matricea de ieşire de tipul. 21 .Pentru mărimea de intrare treaptă unitară, în ecuaţia intrare-stare (1.126) se pune )t(1)t(r .Soluţia completă a ecuaţiei (1.126) este de forma 8,1 :

0t,d)(rbe)0(Xe)t(X)t(X)t(Xt

0f

tAtA , (1.130)

care se mai scrie:

t

0f 0t,d)(rb)t()0(X)t()t(X)t(X)t(X , (1.131)

unde:)0(X)t()0(Xe)t(X tA este componenta liberă a vectorului de stare, soluţia a ecuaţiei

omogene asociată ecuaţiei (1.126) şi depinde de )t( şi vectorul de stare (fază) iniţială )0(X , care areforma:

)0(y)0(y

)0(x)0(x

)0(X2

1

iar

t

0f d)(rb)t()t(X , este componenta forţată a vectorului de stare, determinată de

mărimea de intrare şi nu depinde de vectorul de stare iniţială.Se determină mărimea de ieşire conform ecuaţiei stare-ieşire (1.128):

t

0

TTT 0t,d)(rb)t(c)0(X)t(c)t(Xc)t(y . (1.132)

A rezultat că dinamica SLN este definită dacă este cunoscută matricea fundamentală (de tranziţie))t( :

Rt,!ktAe)t(

0k

kkAt

. (1.133)

PR.1.11. Calculul răspunsului indicial al SLN2, în MATLAB, în baza soluţiei ecuaţiei diferenţiale.Performanţe.

a) Răspunsul oscilant amortizat.Se utilizează relaţia (1.78) în care se adoptă: 50,0),s(1Tn deci 2T/2 nn .Secvenţe MATLAB:

%Raspunsul indicial al SLN2: Tn=1(sec),%Factorul de amortizare:csi=0,50;pulsatia sistemului neamortizat: wn=2*pi;%Calculul performanţelor

t=0:0.01:2.5;csi=0.5,wn=2*pi;p=[1 2*csi*wn wn^2], r=roots(p) %Radacinile ecuatiei caracteristicea1=exp(-csi*wn*t);a2=sqrt(1-csi^2);fi=acos(csi);b=sin(wn*a2.*t+fi);y=1-(a1/a2).*b; % Raspunsul indicialyst=1.00 %Valoarea de regim staţionarm=max(y)sigma=(m-yst)*100tr=log(0.05*a2)/(-csi*wn) % Timpul de raspuns%% Se generează o rampă unitarăv=t;%% Se obţine o treaptă unitară la nivelul yst=1, prin derivarea lui v(t)df1=diff(v)./diff(t);%% Se trasează plaja de reglare ± 0,05 din ystdf2=1.05.*df1;df3=0.95.*df1;td=t(2:length(t));plot(t,y,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k',td,df3,'-k'),gridtitle('Raspunsul indicial al SLN2')xlabel('t(sec.'),ylabel('h(t)')gtext('Factorul de amortizare = 0,5')gtext('1,05*1(t)')gtext('0,95*1(t)')[X,Y]=ginput %Se ridică din grafic coordonatele punctului de

% maxim şi a punctului corespunzător duratei% regimului tranzitoriu

În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate: rădăcinile ecuaţiei caracteristice:

i4414.51416.3i4414.51416.3

r

valoarea maximă a răspunsului:1630.1m suprareglajul σ (în %):sigma 3011.16 durata regimului tranzitoriu (calculată cu relaţia (1.90)):9994.0t r (în secunde)

În figura 1.25 se reprezintă graficul răspunsului indicial

Fig. 1.25

În secvenţele MATLAB prezentate, ultimul rând, cu instrucţiunea Y,X ginput s-au ridicatcoordonatele punctului de maxim şi a punctului corespunzător duratei regimului tranzitoriu (punctul în caregraficul răspunsului )t(y intră în limitele 05,01 şi se menţine în aceste limite). Obligatoriu, dupăridicarea coordonatelor punctelor care prezintă interes, se apasă tasta ENTER, prin aceasta cruciuliţavizorului se transformă în săgeata specifică mous-ului şi se „încheie” instrucţiunea ginput.

Corespunzător instrucţiunii ginput, în fereastra de comandă s-au obţinut coordonatele celor douăpuncte (în succesiunea ridicării lor):

0506.11611.1

Y

8381.05789.0

X

Pentru punctul de maxim s-a obţinut )1611.1,5789.0(p1 , iar pentru punctul corespunzător durateiregimului tranzitoriu )0506.1,8381.0(p 2 . Valoarea maximă a răspunsului, ordonata punctului 1p , este

1611.1 care este foarte apropiată de valoarea calculată 1613.1m , iar abscisa punctului 2p , egală cu8381,0 , reprezintă timpul de răspuns (în secunde) şi este foarte apropiată de valoarea )s(9994,0t r

calculată cu relaţia (1.90).Observaţie. În diversele aplicaţii, pentru SLN cu 2n , determinarea valorilor maxy şi rt necesită

calcule laborioase şi nejustificate. În astfel de cazuri instrucţiunea ginput este deosebit de eficientă.b) Răspunsurile aperiodic critic şi supraamortizat.

Sunt utilizate relaţiile (1.95), (1.118a). S-au adoptat valorile: 2),s(1T nn şi .5.2,0.1Secvenţe MATLAB:

%Răspunsul indicial al SLN2:Tn=1(sec), csi=1.0, 2.5, wn=2*pi. Performanţet=0:0.01:5;csi1=1.0,csi2=2.5,wn=2*pi;%Se calculează radacinile ecuatiilor caracteristicep1=[1 2*csi1*wn wn^2],r1=roots(p1)p2=[1 2*csi2*wn wn^2],r2=roots(p2)yst=1.00 %Valoarea de regim stationar%Raspunsul aperiodic criticy1=1-(1+wn*t).*exp(-wn*t);%Raspunsul supraamortizaty2=1-1.0455*exp(-1.3114*t)+0.0455*exp(-30.1045*t);%Se generează o rampă unitarăv=t;%Se obtine treapta unitarădf1=diff(v)./(diff(t));%Se obtine treapta la nivelul 0.95 ystdf2=0.95*df1;td=t(2:length(t));plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi')title('x=1.00, 2.00')uisetfont(gca,'Fonturi')xlabel('t(sec.)')ylabel('h(t)')axis([0 5 0 1.2])gtext('Raspunsuri indiciale')gtext('Factorul de amortizare = 1.00 , 2,50 ')gtext('------1.0')gtext('------2.5')[X,Y]=ginput

În figura 1.26 sunt redate cele două răspunsuri calculate.

Fig. 1.26

În fereastra de comandă sunt returnate valorile:

3114.11045.30

r2832.62832.6

r

2

1

Coordonatele punctelor ce definesc durata regimului tranzitoriu, obţinute cu instrucţiunea ginput,sunt:

9491.09491.0

Y

2984.27431.0

X

A rezultat că răspunsului aperiodic critic )t(Y1 îi corespunde )s(7431,0t 1r , iar răspunsuluisupraamortizat 2984,2t 2r . Răspunsurile fiind aperiodice 0 .

PR.1.12. Calculul răspunsului indicial şi a funcţiei pondere pentru SLN2, în MATLAB, utilizândfuncţia de transfer

a) Calculul răspunsului indicialSe utilizează fdt (1.99) în care se consideră: ,2),s(1T nn

5.2,0.1,707.0,4.0,25.0,15.0 şi se notează csi,w nn Secvenţe MATLAB:

%Calculul raspunsului indicial al SLN2:Tn=1(sec),wn=2*pi%F.d.t. Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2);yst=Ho(0)=1,%csi=0.15,0.25,0.40,0.707,1.00,2.50

t=0:0.1:3;wn=2*pi;num=[wn^2];csi1=0.15;den1=[1 2*csi1*wn wn^2];csi2=0.25;den2=[1 2*csi2*wn wn^2];csi3=0.40;den3=[1 2*csi3*wn wn^2];csi4=0.707;den4=[1 2*csi4*wn wn^2];csi5=1.00;den5=[1 2*csi5*wn wn^2];csi6=2.50;den6=[1 2*csi6*wn wn^2];y1=step(num,den1,t);y2=step(num,den2,t);y3=step(num,den3,t);y4=step(num,den4,t);y5=step(num,den5,t);y6=step(num,den6,t);plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',t,y3,'-k',t,y4,'-k',t,y5,'-k',t,y6,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi')%Se selectează Symbol-Bold-12title('x=0.15,0.25,0.40,0.707,1.00,2.50')uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selectează Arial-Bold-12xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)')gtext('Raspunsuri indiciale')gtext('Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2)')text(0.557,1.5658,['-------0.15'])text(0.5495,1.4200,['-------0.25'])text(0.5565,1.2455,['-------0.40'])text(0.3836,0.8447,['-------0.707'])text(0.3836,0.6868,['-------1.00'])text(0.5426,0.4816,['-------2.50'])

Răspunsurile indiciale sunt prezentate în figura 1.27.Din figura 1.27 se constată faptul că pentru valorile adoptate ale factorului de amortizare, 0 ,răspunsurile indiciale sunt stabile, componentele tranzitorii se amortizează în timp şi corespunzător seinstaurează regimul staţionar 1yST . Se mai constată că pentru valori mici ale factorului de amortizare

5,00 , răspunsurile indiciale au un caracter pregnant oscilant, iar suprareglajele sunt mari,inacceptabile. În practică 88,05,0 .

Fig. 1.27

Răspunsul optim al SLN2 se obţine pentru 1707,0 . Răspunsurile aperiodic critic şisupraamortizat sunt caracterizate de valori mari ale timpului de răspuns şi suprareglaj 0 .

b) Calculul răspunsului SLN2 la impuls unitar, în MATLAB, utilizând funcţia de transfer.Pentru calculul coeficienţilor fdt (1.99) se consideră: 00.1,707.0,25.0,15.0),s(1Tn iar 2n . Ca şi în exemplul precedent, se notează nn w şi csi .Secvenţe MATLAB:

%Calculul raspunsului la impuls unitar al SLN2:Tn=1(sec),wn=2*pi%F.d.t. Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2); csi=0.15,0.25,0.707,1.00.t=0:0.01:3;wn=2*pi;num=[wn^2];csi1=0.15;den1=[1 2*csi1*wn wn^2];csi2=0.25;den2=[1 2*csi2*wn wn^2];csi3=0.707;den3=[1 2*csi3*wn wn^2];csi4=1.00;den4=[1 2*csi4*wn wn^2];y1=impulse(num,den1,t);y2=impulse(num,den2,t);y3=impulse(num,den3,t);y4=impulse(num,den4,t);plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',t,y3,'-k',t,y4,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi')%Se selecteaza Symbol-Bold-12title('x=0.15,0.25,0.707,1.00')uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selecteaza Arial-Bold-12xlabel('t(sec)'),ylabel('w(t)')gtext('Raspunsuri la impuls unitar')gtext('Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2)')text(0.2800,4.7865,['-------0.15'])text(0.2661,4.2310,['-------0.25'])text(0.2730,2.4594,['-------0.707'])text(0.3274,1.6287,['-------1.00'])

Răspunsurile SLN2 la impuls unitar sunt prezentate în figura 1.28:

Fig. 1.28

Din figura 1.28 rezultă că răspunsurile SLN2 la impuls unitar, pentru 25.0,15.0 , suntcaracterizate de oscilaţii accentuate , ca şi în cazul precedent. Răspunsul optim corespunde valorii 707,0. În toate cazurile, 0 , răspunsurile la impuls unitar se amortizează în timp, aspect care denotă faptul căSLN2 sunt stabile. Deci, pentru SLN stabile:

0)t(wlimt

PR.1.13. Calculul răspunsului indicial al SLN2 în SIMULINK. Performanţe.Se utilizează fdt (1.99) şi se analizează răspunsul indicial optim, care corespunde factorului de

amortizare 707,0 .Schema de modelare echivalentă în SIMULINK este prezentată în figura 1.29:

Fig. 1.29

Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare treaptă unitară )t(1 ; Step 1: generează o funcţie treaptă )t(105,1 ; Step 2: generează o funcţie treaptă )t(195,0 ; Block Parameters: Step

Step Step 1 Step 2

Step time: 0 0 0Initial value: 0 0 0Final value: 1 1.05 0.95

Block Parameters: Transfer FcnNumerator: [(2*pi)^2]Denominator: [1 2*0.707*2*pi (2*pi)^2] Block Parameters: MUXNumber of inputs: 3 Properties: Scope

0minY2.1maxY

Time range: auto Simulation parameters:Start time: 0.0 Stop time: 1.5

În figura 1.30.a se prezintă graficul răspunsului indicial şi plaja de reglare trasată prin cele douătrepte la nivelele )t(105,1 şi respectiv )t(195,0 . Se constată că 1yST . Pentru a determina suprareglajul se deschide, în jurul punctului de maxim a răspunsului, o mică fereastră, cu butonul din stânga mous-ului(fig.1.30.b.). Din figura 1.30.b. se constată că valoarea maximă a răspunsului este 0432,1maxy , iar

suprareglajul 0432,0yy STmax , sau exprimat în procente %32,4 . De asemenea, se deschide omică fereastră în jurul punctului în care răspunsul intră în limitele plajei de reglare (fig.1.30.c.), abscisaacestui punct reprezentând timpul de răspuns )s(467,0t r .

a)

b)

c)Fig.1.30

PR.1.14. Calculul răspunsului SLN2 la o referinţă rampă unitară, cu program în MATLABSe utilizează fdt (1.99) şi se consideră 707,0),s(1Tn şi deci 2n . S-a adoptat pentru

factorul de amortizare valoarea 707,0 care corespunde unui răspuns indicial optim. Se va analiza dacă şiîn cazul referinţei rampă unitară, t)t(v)t(r , răspunsul este optim.

Secvenţe MATLAB:

%Calcularea raspunsului SLN2 la referinţă rampă unitară v=t;%Se adoptă:Tn=1(sec), csi=0.707, wn=2*pit=0:0.01:2; wn=2*pi; csi=0.707;num=[wn^2];den=[1 2*csi*wn wn^2]; v=t;[y,x]=lsim(num,den,v,t);plot(t,y,'-k',t,v,'-k');griduisetfont(gca,'Fonturi')title('x=0.707, w=2pi')uisetfont(gca,'Fonturi')xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t),v(t)')gtext('Raspunsul SLN2 la referinta rampa unitara')gtext('Ho(s)=(2pi)^2/(s^2+2*0.707*2*pi*s+(2pi)^2)')text(0.8,0.8,['----------------v(t)=t'])text(0.8,0.57,['------------y(t)'])[X,Y]=ginput

În figura 1.31 sunt reprezentate graficele răspunsului )t(y şi referinţei )t(v .

Fig. 1.31

Cu instrucţiunea ginput au fost ridicate coordonatele punctelor de intersecţie a verticalei dusă dinpunctul de pe abscisă )s(5,1t cu )t(y şi )t(v .

S-a obţinut:X= Y=

1.5000 1.50001.5000 1.2719

A rezultat valoarea erorii permanente (de viteză) egală cu 2281,02719.15000.1)( careeste necorespunzătoare. Sistemele închise descrise printr-o fdt de forma (1.99) nu pot fi utilizate în cazulreferinţei rampă unitară sau rampă, ci numai în cazul referinţei treaptă unitară sau treaptă.

PR.1.15. Evaluarea performanţelor reglării în regim permanent pentru un SLN cu n=3.Pentru sistemul de urmărire cu funcţia de transfer a sistemului deschis (fig.1.32);

de forma [4]:

Fig. 1.32.

)1sT)(1sT(sK

)s()s(Y)s(H

21

dd

a) să se calculeze primii trei termeni ai erorii;b) să se calculeze valorile numerice pentru coeficienţii erorii C1, C2, dacă Kd=100, T1=0,01 (s),

T2=0,005 (s=.Rezolvarea) În fdt (1.134) coeficientul dK este coeficientul total de amplificare al sistemului deschis, iar 1T

şi 2T sunt constantele de timp. Fdt (1.134) corespunde unui SA de tipul 1 (are un pol în origine). Se determină fdt a elementului de comparaţie numită şi fdt a erorii (notată cu )s(H ):

)s(H11

)s(R)s()s(H

d

, (1.135)

în care introducând relaţia (1.134) se obţine:

d2

213

21

221

321

d21

21

Kss)TT(sTTss)TT(sTT

K)1sT)(1sT(s)1sT)(1sT(s

)s(H

, (1.136)

Observaţie: Pentru SA de tipul 1 se demonstrează că 0C0 , [1]. Se dezvoltă fdt a erorii (1.136) în serie de puteri prin împărţirea polinomului de la numărător la

cel de la numitor [4]:

Se compară rezultatul obţinut cu seria de puteri de forma [1]:

22

10 s2

CsCC

)s(H11)s(H

d, (1.137)

rezultând coeficienţii erorii:

d21

d

2

d10 K

1TTK1

2C

,K1C,0C . (1.138)

b) Se calculează valorile numerice pentru coeficienţii erorii 21 C,C , dacă)s(005,0T),s(01,0T,100K 21d :

01,0100

1K1C

d1 , (1.139)

0001,0100

1005,001,0100

2)K1TT(

K2C

d21

d2

, (1.140)

PR.1.16. Pentru sistemul închis cu reacţie principală unitară (fig.1.32) având funcţia de excitaţie deforma:

2tatv)t(1b)t(r

2

0 , (1.141)

iar funcţia de transfer a sistemului deschis:

)1sT(sK

)s()s(Y)s(H d

d

, (1.142)

să se calculeze eroarea permanentă în raport cu intrarea.Rezolvare:Fdt a erorii este:

d2

2

d KssTssT

)s(H11

)s(R)s()s(H

. (1.143)

Corespunzător relaţiei (1.143), împărţind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor, seobţine seria:

Deci,

...sK1

KT2s

K1

KTs

K1)s(H 3

3d

2d

22ddd

(1.144)

iar după înmulţirea cu imaginea Laplace a intrării )t(rL)S(R , se obţine imaginea Laplace a erorii:

)s(R...sK1

KT2s

K1

KTs

K1)s(H)s(R)s( 3

3d

2d

22ddd

. (1.145)

Identificând coeficienţii, pentru aceleaşi puteri ale lui s , din (1.145) şi relaţia [1]:

)s(R...s!3

Cs

2C

sCC)s( 332210

, (1.146)

se obţin coeficienţii generalizaţi ai erorii:

3

d2d

32dd

2d

10 K1

KT26C,

K1

KT2C,

K1C,0C . (1.147)

Se calculează derivata funcţiei de excitaţie:tav)t(r , (1.148)

a)t(r , (1.149)

derivatele de ordine superior 2n fiind nule.Dacă se trece la funcţiile original din relaţia (1.146) se obţine expresia erorii de regim permanent:

...td

)t(rd2

Ctd)t(drC)t(rC)t( 2

22

10p (1.150)

În (1.150) se introduc derivatele (1.148), (1.149) împreună cu coeficienţii erorilor din (1.147) şi sedetermină eroarea de regim permanent în raport cu intrarea:

)K1T(

Ka

Ktav

...a2

C)tav(C

td)t(rd

2C

td)t(drC)t(

ddd

212

22

1p

(1.151)

PR.1.17. Pentru sistemul automat închis, cu reacţie principală directă, a cărui funcţie de transfer areexpresia:

200s6s502,0s001,0200s5

)s(R)s(Y)s(H 230

, (1.152)

să se calculeze eroarea permanentă dacă funcţia de excitaţie este de forma:2t10t205)t(r . (1.153)

RezolvareSe determină fdt a erorii utilizând relaţia [1]:

200s6s502,0s001,0ss502,0s001,0)s(H1

)s(R)s()s(H 23

23

0

. (1.154)

Se calculează derivatele funcţiei de excitaţie:t2020)t(r , (1.155)

20)t(r , (1.156)0)t(r , (1.157)

şi având în vedere relaţia [1]:

...td

)t(rd!3

Ctd

)t(rd2

Ctd)t(drC)t(rC)t( 3

33

2

22

10p (1.158)

se constată că trebuie determinaţi coeficienţii .C,C,C 210

Din relaţia (1.154), prin împărţirea polinomului de la numărător la polinomul de la numitor seobţine:

00236,02

C,

2001C,0C 2

10 . (1.159)

Utilizând relaţia (1.158) se determină eroarea permanentă:

t1,01472,000236,020200

t2020)t(r2

C)t(rC)t( 2

1p

(1.160)

PR.1.18. Pentru subsistemul a cărui comportare liberă este descrisă prin ecuaţia diferenţialăomogenă de forma:

0td

)t(ydtd

)t(yd)TT(td

)t(ydTT 2

2

213

3

21 , (1.161)

să se calculeze:a) matricea subsistemului A corespunzătoare variabilelor de fază;b) matricea fundamentală )t( utilizând metoda transformatei Laplace;

c) componenta liberă a vectorului de stare în cazul condiţiei iniţiale T321 )0(x),0(x),0(x)0(X .Rezolvarea) Se aleg următoarele variabile de fază:

yxx,yxx,yx 23121 , (1.162)şi se obţine următorul sistem format din trei ecuaţii diferenţiale de ordinul 1:

321

212

213

32

21

xTT

TTx

TT1yx

xxxx

(1.163)

Sistemului de ecuaţii diferenţiale (1.163) i se asociază ecuaţia omogenă matriceal-vectorială:

3

2

1

21

21

213

2

1

xxx

TTTT

TT10

100010

xxx

, (1.164)

matricea A având expresia:

21

21

21 TTTT

TT10

100010

A . (1.165)

b) Transformata Laplace a matricei fundamentale este:

AIsdet

AIsadjAIs)s(

3

313

. (1.166)

Se calculează matricea AsI 3 :

333231

232221

131211

21

21

21

21

21

21

TTTT

sTT10

1s001s

TTTT

TT10

100010

s000s000s

(1.167)

Transpusa matricei AIs 3 este:

332313

322212

312111T

3 AIs

Determinantul matricei AIs 3 , notat cu , are forma:

21

21

212

21

2121

212

T1s

T1ss

TT1sTTsTT

sTT1s

TTTT

ss(1.168)

în care s-a avut în vedere că din 0 rezultă rădăcinile ecuaţiei caracteristice:

23121 T/1s,T/1s,0s .Se scrie relaţia (1.166) astfel:

333231

232221

131211

3

3

AAA

AAA

AAA

AIsdetAIsadj

)s( , (1.169)

unde iKA este complementul algebric a elementului matricei T3 AIs , numeric egal cu minorul iK a

elementului corespunzător liniei i şi coloanei k , luat cu semnul ki1 .Matricea )s( are următoarea structură:

)s()s()s()s()s()s()s()s()s(

)s(

333231

232221

131211

, (1.170)

în care, dacă se are în vedere notaţiile din (1.167), elementele matricei de tranziţie sunt:

s1

)T1s()

T1s(s

TT1)

TTTT

s(s)1(A

)s(

21

2121

21

233233222

111111

,

21

21

21

133233123

121212

T1s

T1ss

TTTT

s)1(A

)s( ,

21

132223124

131313

T1s

T1ss

1)1(A)s( ,

0)1(A

)s( 233133213

212121

,

21

21

21

133133114

222222

T1s

T1s

TTTT

s)1(A

)s( ,

21

211323115

232323

T1s

T1s

1)1(A)s( ,

0)1(A

)s( 312232214

313131

,

2121

311232115

323232

T1s

T1sTT

1)1(A)s( ,

21

211222116

333333

T1s

T1s

s)1(A)s( .

Calculând originalul fiecărui element al matricei )s( se obţine matricea fundamentală )t( :

)s(L)s(L)s(L)s(L)s(L)s(L)s(L)s(L)s(L

sLt

331

321

311

231

221

211

131

121

111

1 , (1.171)

Pentru calculul funcţiilor original se vor folosi teoremele dezvoltării ale lui Heaviside (Anexa 1):

)t(1s1L)s(L)t( 1

111

11

, (1.172)

21

21

21

112

112

T1s

T1ss

TTTT

sL)s(L)t(

Se constată că )s(12 are un pol de ordinul unu în origine şi doi poli reali negativi şi simpli. Pentrudeterminarea originalului se foloseşte a doua teoremă a dezvoltări a lui Heaviside. Conform teoremei sescrie:

)s(Ps)s(P,)s(Ps

)s(P)s(P)s(P

)s( 323

1

2

112

în care:

21

321

211 T

1sT1s)s(P,

TTTT

s)s(P ,

iar:0)s(P3 , are rădăcinile 12 T/1s şi 23 T/1s ,

21

213 TT

TTs2)s(P

Corespunzător teoremei a doua a dezvoltării:

3

2K

S

K3K

K1

3

112

tke)s(Ps

)s(P)0(P)0(P

)t( . (1.173)

În relaţia (1.173):

213

21

211 TT

1)0(P,TTTT

)0(P

,

121

21

231

221

21

121 T

1TTTT

T1)s(P;

T1

TTTT

T1)s(P

,

21

21

21

21

123 TT

TTTT

TTT2)s(P

,

22

1

12

21

21

1232 TT

TTTT

TTT1)s(Ps

,

21

12

21

21

233 TT

TTTT

TTT2)s(P

221

21

21

12

2333 TT

TTTT

TTT1)s(Ps

După înlocuiri în (1.173) rezultă:tt

2T1

21

221T

1

12

21

2112 eTT

Te

TTT

TT)t(

, (1.174)

21

113

113

T1s

T1ss

1L)s(L)t(

Pentru determinarea originalului )t(13 se apelează, de asemenea, la a doua teoremă a dezvoltării alui Heaviside exprimată prin relaţia (1.173), în care:

1)s(P)s(P,1)0(P,1)s(P 221111

21332 T

1sT1s)s(P),s(Ps)s(P , cu

2312 T

1s,T/1s

221

21333

22

1

12232

213 TT

TT)s(Ps,

TTTT

)s(Ps,TT1)0(P

,

Făcând înlocuirile necesare în (1.173) se obţine:tt

2T1

21

2211T

1

12

22

12113 e

TTTT

eTT

TTTT)t(

. (1.175)

0)t(21 . (1.176)

21

21

21

122

122

T1s

T1s

TTTT

sL)s(L)t( .

Pentru determinarea originalului )t(22 se utilizează prima teoremă a dezvoltării a lui Heaviside,deoarece )s(22 are poli simpli. Se scrie )s(22 astfel:

212

21

211

2

122 T

1sT1s)s(P,

TTTT

s)s(P,)s(P)s(P

)s( ,

Din 0)s(P2 , rezultă 2211 T/1s,T/1s , polii funcţiei )s(22 fiind simpli se determinăoriginalul cu relaţia:

2

KS

K2

K122

1k

te)s(P

)s(P)t( (1.177)

unde:

121

21

221

221

21

111 T

1TT

TTT1)s(P,

T1

TTTT

T1)s(P

21

212 TT

TTs2)s(P

21

12

21

21

222

21

21

21

21

112 TT

TTTT

TTT2)s(P,

TTTT

TTTT

T2)s(P

şi respectiv:

2T

12

21T

21

122

tt

eTT

Te

TTT

)t(

(1.178)

21

123

T1s

T1s

1L)t(

Pentru determinarea originalului )t(23 se descompune )S(23 în fracţii simple, corespunzătorpolilor 11 T/1s şi 22 T/1s .

2121

23

T1s

B

T1s

A

T1s

T1s

1)s(

în care:

21

21

21

231

SS TTTT

T1

T1

1)s(T1slimA

1

12

21

12

232

SS TTTT

T1

T1

1)s(T1slimB

2

deci,

2

12

21

1

21

2123

T1s

1TT

TT

T1s

1TT

TT)s(

şi se obţine:

2T

12

211T

21

2123

tt

eTT

TTe

TTTT

)t(

. (1.179)

0)t(31 , (1.179.a)

2121

132

T1s

T1sTT

1L)t(

Se constată că )s(TT1)s( 23

2132 , deci, în baza proprietăţii de liniaritate, se scrie:

2T

12

1T

2123

2132

tt

eTT

1eTT

1)t(TT1)t(

, (1.180)

21

133

T1s

T1s

sL)t(

Se utilizează prima teoremă a dezvoltării a lui Heaviside, relaţia (1.177), în care:

2121

2

133 T

1sT1s)s(P,s)s(P,

)s(P)s(P

)s(

2211112211 T/1)s(P,T/1)s(P,T/1s,T/1s

21

1122

21

2112 TT

TT)s(P,TTTT)s(P

Făcând înlocuirile corespunzătoare în (1.177) se obţine:

1T

22t

121

2T

21

11T

12

233

tttt

eTeTTT

1eTT

Te

TTT

)t( . (1.181)

S-a obţinut matricea fundamentală tAe)t( , având elementele din (1.171) calculate.c) Componenta liberă a vectorului de stare este dată de relaţia:

)0(x)0(x)0(x

)t()t()t()t()t()t()t()t()t(

)0(X)t()t(x)t(x)t(x

)t(X

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

, (1.182)

din care rezultă:)0(x)t()0(x)t()0(x)t()t(x 3132121111 ,

)0(x)t()0(x)t()0(x)t()t(x 3232221212 ,

)0(x)t()0(x)t()0(x)t()t(x 3332321313 ,iar după înlocuiri se obţine:

;0xeTT

Te

TTT

1TT

0xeTT

Te

TT

TTTt10xtx

32T

21

21T

12

121

22T

21

221T

12

21

2111

tt

tt

;0xeeTT

TT

0xeTT

Te

TTT

tx

32T1T

21

21

22T

21

21T

21

12

tt

tt

0xeTT

Te

TTT

0xeTT

1eTT

1tx

31T

21

22T

21

1

22T

21

1T

213

tt

tt

PR.1.19. Pentru SLN monovariabil de ordinul 2 deschis de ecuaţiile de stare:

tXcty

tbtAXtXT

r

cu condiţiile iniţiale: T10)0(X)t(X 0t

în care:

)t(1)t(r,01c,10

b,20

11A T

(1.183)

să se calculeze:a) matricea fundamentală utilizând:

a1) metoda transformatei Laplace;a2) metoda polinomului matriceal;a3) metoda polinomului de interpolare Lagrange-Silvester;a4) metoda seriei infinite.

b) soluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare: )t(X)t(X)t(X f ;c) răspunsul SLN la intrare treaptă unitară;d) funcţia de transfer )s(H0 .Rezolvare

a) Calculul matricei de tranziţiea1) Metoda transformatei Laplace [1]Se determină matricea:

2221

1211

2s011s

2011

s00s

AIs 2 ,

Determinantul matricei AIs 2 este: 2s1sAIsdet 2 , (1.184)

iar 0 are rădăcinile 1s1 şi 2s 2 .

Se calculează matricea inversă 1AIs 2 :

AIsdet

AIsadjAIs)s(

2

22

1

(1.185)

Fiecare element al matricei AIsadjB 2 este complementul algebric al elementului

corespunzător din matricea TAIs 2 .

2s1

01sAIs

2212

21112

T ,

1s012s

BBBB

B2212

2111 . (1.186)

Matricea 12 AIs)s( are următoarea formă:

)s()s()s()s(

)s(2221

1211 , (1.187)

unde:

1s1

2s1s2s)1(B

)s( 222

111111

,

2s1s11)1(B

)s( 123

122112

,

0

1B)s( 21

32112

21

,

2s1

2s1s1s)1(B

)s( 114

222222

.

Matricea de tranziţie poate fi scrisă astfel:

2s10

)2s()1s(1

1s1

)s()s()s()s(

)s(2221

1211 .

Se calculează originalul fiecărui element al matricei )s( :

te1s

1L)s(L)t( 111

111

2s1s1L)s(L)t( 1

121

12 .

Se descompune )s(12 în fracţii simple:

2sB

1sA

2s1s1)s(12

,

unde:

121

1)s(1slimA 121ss

,

112

1)s(2slimB 122SS

,

rezultând:

2s1

1s1)s(12

cu originalul:t2t ee)t(12

0)t(21

t2e2s

1L)s(L)t( 122

122

S-a obţinut matricea de tranziţie a stării:

t2

t2tt

e0eee

)t( . (1.188)

a2) Metoda polinomului matricealFuncţia de matrice tAe)t()A(f se exprimă sub forma unui polinom de gradul 1n , în

care 2n , astfel [Anexa 1]:

1

12010k

kk AbIbAb)A(P)A(f , (1.189)

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 1s11 şi 2s 22 fiind distincte, pentrudeterminarea coeficienţilor 0b şi 1b se formează sistemul:

2,1i,P)(f ii 1 , (1.190)deci:

1

11110k

kk

t1 bbbef 0 , (1.191)

1

21220k

kk

t2 bbbe)(f 0 . (1.192)

Rezolvând sistemul format din (1.191) şi (1.192) se obţine:

t2tt2tt2t1

ee212ee2ee

b12

120

t2ttt2t1t2

eeeeeeb12

1

Matricea fundamentală a stării este de forma:

t2

t2tt

t2t

t2tt2t

t2t

t2t

t2tt2tAt

e0eee

...e2e20

eeeeee20

0ee2

2011

ee1001

ee2AbIbe 120

(1.193)

Se constată că s-a obţinut acelaşi rezultat ca şi în (1.188).a3) Metoda polinomului de interpolare Lagrange - Silvester.

Pentru valori proprii simple şi 2n , teorema Lagrange - Silvester este:

2

i

i

ki1i k1k

k2

2

1IA

)(f)A(P)A(f (1.194)

în care 11 şi 22 Se calculează:

2,1k,

)(f2

1ik 1

K

şi ki ,

pentru 1k şi 1i :

tt

e21

e)(f

21

1

,

pentru 2k şi 2i :

t2t2

e12

e)(f

12

2

,

Se calculează:

2,1i,IA2

1i2i

şi ki

pentru 1k şi 2i :

0011

2002

2011

IA 22 ,

pentru 2k şi 1i :

1010

1001

2011

IA 21

A rezultat conform (1.194):

t2

t2tt

t2

t2ttt2t

t2t1t

e0eee

e0e0

00ee

1010

e0011

e

IAe

IAee

12

21

21

22

(1.195)

a4) Metoda seriei infiniteSe utilizează relaţia:

0n

nnnn

!ntA...

!ntA...

!3tA

!2tAAtIe

3322

2At , (1.196)

unde:

2011

A ,

4031

2011

2011

AAA 2 ,

,...80

714031

2011

AAA 23

...t34t2t210

...t67t

23t...t

61

2tt1

...t

340

t67t

61

t20

t23

2t

t20tt

1001

...6tA

2tAAtIe

32

3232

3

33

2

22

3322

2At

(1.197)

Având în vedere faptul că:

...6t

2tt1

!n)t(e

32

0n

tn

...3t4

2t4t21

!n)t2(e

32

0n

t2n

...t67t

23tee 32t2t

relaţia (1.197) devine:

t2

t2ttAt

e0eeee . (1.198)

b) Soluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare este de forma [1]:

d)(rbe)0(Xe)t(X)t(X)t(Xt

0

)t(AAtf . (1.199)

Având în vedere relaţia (1.198) rezultă:

)t(2

)t(2)t()t()t(A

e0eeee

şi corespunzător:

)t(1e

ee

...)t(110

e0eee)t(1bt

)t(2

)t(2)t(

)t(2

)t(2)t()t(

(1.200)

Se calculează componenta a vectorului de stare:

t2

t2t

t

0

)t(2

t2)t(

t)t(2

t)t(2)t(

e5,05,0e5,0e5,0

e21

e21e

de

dee)t(X

0

0f

(1.201)

Pentru componenta liberă a vectorului de stare se obţine:

t2

t2t

t2

t2tt

eee

10

e0eee)0(Xe)t(X At

. (1.202)

Introducând (1.201) şi (1.202) în (1.199) se obţine:

0t,e5,15,0

e5,1e25,0e5,05,0

e5,0e5,0e

ee)t(X t2

t2t

t2

t2t

t2

t2t

.(1.203)

Pentru un domeniu al timpului suficient de mare, teoretic t :

1x2

t

tt

0)e(lim

eelim)t(Xlim t2

t2t

Deoarece ct)0(x),0(x)0(X T21 , condiţia de mai sus conduce la relaţia:

2x20

elim0

eelimelim)t(lim t2

t2tt

t

ttt

SLN care satisface condiţiile 0)t(Xlimt

şi respectiv 0)t(lim

t

se numesc intern

asimptotic stabile. La astfel de sisteme 0)t(Ylimt

c) Răspunsul SLN2 la intrare treaptă unitară.Răspunsul sistemului este de forma:

)t(Xc)t(y T , (1.204)în care se înlocuieşte (1.203):

t2tt2

t2te5,1e25,0

e5,15,0e5,1e25,001)t(y

. (1.205)

Cele două componente ale răspunsului, liberă şi forţată:)t(y)t(y)t(y f

au expresiile:

)t(1ee

e

ee01)t(Xc)t(y t2t

t2

t2t

T

)t(1e5,0e5,0e5,05,0

e5,0e5,001)t(Xc)t(y t2tt2

t2t

fT

f

Prin superpoziţia celor două componente ale răspunsului se obţine relaţia (1.205).

d) Calculul funcţiei de transferExpresia fdt este de forma:

bAIscb)s(c)s(H 12

TT0 . (1.206)

Introducând în (1.206) expresia:

2s10

2s1s1

1s1

AsI)s( 12

se obţine:

2s1s

110

2s10

2s1s1

1s1

01)s(H 0

(1.207)

PR.1.20. Pentru realizarea de stare 2Tc,b,A , din problema PR.1.19, să se calculeze, în MATLAB,componenta liberă a vectorului de stare şi să se reprezinte grafic.

RezolvareSecvenţe MATLAB:

%%Calculul componentelor libere ale vectorului de stare a SLN2%%A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=[0]; X0=[0;1]A=[-1 1;0 -2];B=[0;1];C=[1 0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)t=[0:0.01:4];x0=[0 1];u=0*t;[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);subplot(211),plot(t,x(:,1)),gridtitle('Componenta libera X1(t)')xlabel('t(sec)'),ylabel('X1(t)')subplot(212),plot(t,x(:,2)),gridtitle('Componenta libera X2(t)')xlabel('t(sec)'),ylabel('X2(t)')

În fereastra de comandă s-au obţinut coeficienţii celor două polinoame ale fdt :

231den

100num

corespunzând fdt (1.207):

)2s)(1s(1

2s3s1

)s(den)s(num)s(H 20

În figura 1.33 sunt prezentate cele două componente libere ale vectorului de stare: T21 )t(x),t(x)t(X

Din figura 1.33 se constată că 0)t(Xlimt

, deci SLN2 este intern asimptotic stabil.

În figura 1.34 se prezintă răspunsul indicial al SLN2 calculat în baza realizării de stare Tc,b,A şi T10)0(X , din problema precedentă. Graficul răspunsului indicial s-a obţinut cu

următoarele secvenţe MATLAB:

Fig. 1.33

%%Calculul raspunsului SLN2 descris de realizarea de stare%%A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=[0]; X(0)=[0;1]A=[-1 1;0 -2];B=[0;1];C=[1 0];D=[0];t=[0:0.01:4];x0=[0 1];v=t; %%Se genereaza o rampa unitarau1=diff(v)./diff(t); %%Prin derivarea lui v(t)se obtine 1(t)t1=t(2:length(t));[y1,x1]=lsim(A,B,C,D,u1,t1,x0);plot(t1,y1,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi') % Se seteaza Times New Roman-Bold-12title('Raspunsul indicial al SLN2')xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)')axis([0 4 0 0.55])gtext('A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]');gtext('C=[1 0]; D=[0]; X(0)=[0;1]')

Fig. 1.34

Răspunsul indicial obţinut )t(y corespunde relaţiei (1.205).Observaţie. Pentru o fdt există mai multe realizări [6]. Deci, trecerea de la fdt la realizarea

d,c,b,A T nu este unică, deoarece nici alegerea variabilelor de stare nu este unică, ci depinde de alegereabazei spaţiului liniar al stărilor [1]. Răspunsul )t(y nu se modifică la schimbarea bazei spaţiului stărilor şideci la schimbarea variabilelor de stare, deoarece polinomul caracteristic al sistemului este un invariant laschimbarea bazei.

Funcţia MATLAB tf2SS (Transfer function to state space) poate conduce la realizarea de stare d,c,b,A T diferită de cea calculată analitic, adoptând o variantă de alegere a variabilelor de stare, darrăspunsul sistemului rămâne nemodificat.

PR.1.21. Având funcţia de transfer a SRA de forma:

1s4s5,1s5,01s3

)s(R)s(Y)s(H 230

(1.208)

utilizând mediul de programare MATLAB, să se determine:a) realizarea de stare dc,b,A T ;b) având realizarea de stare determinată la punctul 1, să se calculeze funcţia de transfer ca raportul

)s(den/)s(num ;c) având realizarea de stare de la punctul a, să se calculeze funcţia de transfer exprimată prin poli şi

zerouri ;d) având funcţia de transfer calculată la punctul c, să se calculeze funcţia de transfer exprimată prin

raportul )s(den/)s(num ;e) să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial al SRA utilizând funcţia de transfer şi

respectiv realizarea de stare Tc,b,A .RezolvareSecvenţe MATLAB:

%Ho(s)=(3s+1)/(0,5s^3+1,5s^2+4s+1)%%Trecerea de la functia de transfer la realizarea de starenum=[6 2]; den=[1 3 8 2]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

%Trecerea de la realizarea de stare la functia de transfer%exprimata prin raportul num(s)/den(s)A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0];iu=1; %Numărul de intrari[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,iu)%Trcerea de la realizarea de stare (A,B,C,D)la funcţia de transfer%exprimata prin poli si zerouri[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)%Trecerea de la f.d.t. exprimata prin poli si zerouri la f.d.t.%exprimata prin raportul num(s)/den(s)Z=[-0.3333];P=[-1.3620+2.3223i;-1.3620-2.3223i;-0.2759];K=[6];[num2,den2]=zp2tf(Z,P,K)%Calculul răspunsului SLN2 descris de realizarea de stare%A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0];X(0)=[0;0;0]figure(1)A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0];t=[0:0.01:8];x0=[0 0 0];v=t; %Se genereaza o rampa unitarau1=diff(v)./diff(t); %Prin derivarea lui v(t)se obţine 1(t)t1=t(2:length(t));[y1,x1]=lsim(A,B,C,D,u1,t1,x0);plot(t1,y1,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi') % Arial-Bold-12title('Răspunsul indicial al SLN3')xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)')axis([0 4 0 1.05])gtext('A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0]');gtext('C=[0 6 2]; D=[0]; X(0)=[0;0;0]');%Calculul raspunsului indicial utilizând functia de transferfigure(2)t=[0:0.01:8]; num=[3 1]; den=[0.5 1.5 4 1]; ys=step(num,den,t);plot(t,ys,'-k'),griduisetfont(gca,'Fonturi')% Arial-Bold-12title('Raspunsul indicial al SLN3')xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)')axis([0 4 0 1.05])gtext('Ho(s)=(3s+1)/(0,5s^3+1,5s^2+4s+1)')

În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate: la punctul a:

A = ; B= C =0 6 2; D = 0-3 -8 -2 11 0 0 00 1 0 0

la punctul b:num 1 =

0 0.0000 6.0000 2.0000den 1 =

1.0000 3.0000 8.0000 2.0000Deci:

1s4s5,1s5,01s3

2s8s3s2s6)s(H 23230

rezultând fdt iniţială. la punctul c:

Z =- 0,3333

P =- 1.3620 + 2.3223 i- 1.3620 - 2.3223 i- 0.2759

K =6.0000

Deci, fdt exprimată prin poli şi zerouri fiind de forma:

65,0

3ab

K,pspsps

ZsK)s(H

3

1

321

10

după înlocuiri devine:

2759,0sj3223,23620,1sj3223,23620,1s3333,0s6)s(H0

la punctul d:num 2 = 0 0 6 1.9999den 2 = 1.000 2.9999 7.9997 1.9998Se constată că se obţine, cu o eroare neglijabilă, rezultatul de la punctul b. la punctul e:

Cele două răspunsuri (figure(1) şi figure (2) din program) sunt redate în figurile 1.35 şi 1.36.Rezultatele sunt identice.

Fig. 1.35

Fig. 1.36PR. 1.22. Având două SLN monovariabile 1

T111 d,c,b,A şi respectiv 2

T2222 d,c,b,A

de forma:

)t(rb)t(XA)t(X 11111

(1.209)

)t(rd)t(Xc)t(y 111T11 (1.210)

şi

)t(rb)t(XA)t(X 22222

(1.211)

)t(rd)t(Xc)t(y 222T22 (1.212)

să se calculeze realizarea de stare echivalentă d,c,b,A Te pentru:

a) conexiune serie;b) conexiune paralel;c) conexiune cu reacţie, în care 1 este pe calea directă, iar 2 pe calea de reacţie.Rezolvarea) Conexiunea serie (fig. 1.37)

Fig. 1.37.

Pentru conexiunea serie, corespunzător figurii 1.37., sunt specifice relaţiile:2211 yy,ry,rr . (1.213)

Având în vedere relaţiile (1.209) – (1.213) se scrie:

rddXcdXcy

rdbXcbXAX

rdXcy

rbXAX

121T122

T2

121T12222

11T11

1111

(1.214)

În baza relaţiilor din (1.214) se scriu ecuaţiile matriceale:

rdb

bXX

Acb0A

XX

12

1

2

1

2T12

1

2

1

, (1.215)

rddXX

ccdy 122

1T2

T12

. (1.216)

A rezultat pentru sistemul echivalent:

12TT

2T12

T

12

1

2T12

1 ddd,ccdc,db

bb,

Acb0A

A

, (1.217)

iar,

2n1ne R

XX

X2

1

.

În cazul în care 0dd 21 , din (1.217) se obţine:

0d;c0c,0b

b,Acb0A

A T2

T1

2T12

1

. (1.218)

Spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor corespunzătoare sistemelor iniţiale [15]:)A()A()A( 21 (1.219)

Dacă cele două sisteme componente sunt intern asimptotic stabile: C)A( 1 şi C)A( 2 ,

atunci şi sistemul echivalent este intern asimptotic stabil. Este adevărată şi reciproca, dacă sistemul rezultanteste intern asimptotic stabil, atunci şi cele două sisteme componente sunt asimptotic stabile.

b) Conexiunea paralel (fig. 1.38)

Fig. 1.38

Pentru conexiunea paralel, corespunzător figurii 1.38, sunt specifice relaţiile:

21

21

yyyrrr

, (1.220)

În baza relaţiilor (1.209) - (1.212) şi (1.220) se pot scrie relaţiile:

rdXcy

rbXAX

rdXcy

rbXAX

22T22

2222

11T11

1111

(1.221)

care conduc la ecuaţiile matriceale de forma:

rbb

XX

A00A

XX

2

1

2

1

2

1

2

1

(1.222)

rddXX

ccy 212

1T2

T1

(1.223)

Realizarea de stare echivalentă este descrisă prin:

21T2

T1

T

2

1

2

1 ddd,ccc,bb

b,A00A

A

(1.224)

iar T21 XXXe .Dacă 0dd 21 , atunci 0d Ca şi în cazul conexiunii serie, spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor sistemelor

iniţiale:)A()A()A( 21 (1.225)

Dacă cele două sisteme componente sunt intern stabile atunci şi sistemul rezultant este intern stabil.Este valabilă şi reciproca [15] .

c) Conexiunea cu reacţie (fig. 1.39)

Fig. 1.39

În cazul conexiunii cu reacţie sunt specifice relaţiile:

yuyy

yru

2

1

21

(1.226)

Se consideră cazul când 0dd 21 . Din relaţiile (1.209)-(1.212) se obţine:

1T1

1T12222

12T21112

T21111

Xcy

XcbXAX

rbXcbXAXcrbXAX

(1.227)

Din (1.227) se stabilesc ecuaţiile matriceale:

r0b

XX

AcbcbA

XX 1

2

1

2T12

T211

2

1

, (1.228)

2

1T1 X

X0cy . (1.229)

În ecuaţia matriceală (1.228) semnul (-) corespunde conexiunii cu reacţie negativă, iar (+) conexiuniicu reacţie pozitivă.

Pentru realizarea de stare echivalentă a rezultat:

0cc,0b

b,Acb

cbAA T

1T1

2T12

T211

. (1.230)

Se demonstrează că în cazul când sistemul rezultant este intern instabil, se poate asigura stabilitateainternă a acestuia modificând numai unul dintre subsisteme, 1 sau 2 , nu contează care.

PR.1.23. Să se întocmească, în SIMULINK, schema echivalentă de modelare a elementuluiaperiodic de ordinul 1 utilizând:

a) ecuaţia diferenţială;b) funcţia de transfer.Rezolvare.a) Pentru întocmirea schemei echivalente de modelare în baza ecuaţiei diferenţiale:

)t(1r),s(5,1T.0)0(y,ryyT

(1.231)se parcurg următoarele etape:

e1) în ecuaţia diferenţială din (1.231) se repară derivata de ordinul 1 în membrul stâng:

rT1y

T1y

(1.232)

e2) se integrează y şi se obţine y :

e3) având în vedere etapa e2 se construieşte, cu blocurile SIMULINK, relaţia (1.232), obţinându-seschema de modelare din figura 1.40.

Fig. 1.40

Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare )t(1 ; Step 1: generează funcţia treaptă )t(195,0 .Block parameters: Step

Step Step 1Step time: 0 0Initial value: 0 0Final value: 1/1.5 0.95

Function Block Parameters: Integrator

Initial condition: 0 (valoarea implicită) Function Block Parameters: GainGain: 1/1.5 Block Parameters: MUXNumber of inputs: 2 Properties: Scope

0Y1.1Y

min

max

Time range: auto Simulation parameters:Start time: 00 Stop time: 7.0

Privind răspunsul indicial şi performanţele asociate acestuia, se obţin aceleaşi rezultate ca şi înPR.1.4. Schema echivalentă de modelare din figura 1.40 este necesară atunci când prezintă interes derivata

)t(y , fie că este aplicată altor blocuri, fie că se doreşte obţinerea unui portret al fazelor.b) Se consideră fdt de forma:

1sTK

)s(R)s(Y)s(G

, (1.233)

care mai poate fi scrisă astfel:

T1

s11

s1

TK

)s(R)s(Y)s(G

şi corespunzător:

T1

s11

s1

TK)s(R)s(Y

(1.234)

În relaţia (1.234) expresia )T/1)s/1(1/(s/1 reprezintă fdt a unei conexiuni cu reacţienegativă având pe calea directă un element integrator ideal s/1 , iar pe calea de reacţie un element de tipproporţional cu coeficientul de transfer T/1 . Se obţine schema echivalentă de modelare din figura 1.41.

Fig. 1.41PR.1.24. Pentru SRA descris de ecuaţia diferenţială [1]:

r50y50y65y16y (1.235)cu condiţiile iniţiale:

0)0(y)0(y)0(y (1.236)să se determine:

a) rădăcinile ecuaţiei caracteristice, în MATLAB;b) schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, şi sistemul ecuaţiilor de stare utilizând

variabilele de fază;c) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente serie dedusă din funcţia de

transfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare;

d) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente paralel dedusă din funcţia detransfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare;

e) răspunsul indicial, în SIMULINK, utilizând blocul SS.f) răspunsul indicial, în MATLAB, utilizând realizarea de stare obţinută la punctul d.Rezolvarea) Ecuaţia caracteristică este de forma:

050p65p16p 23 Se utilizează funcţia MATLAB roots (p). Se introduce ecuaţia caracteristică sub forma unui vector

linie format din coeficienţii ecuaţiei algebrice începând cu coeficientul lui p la puterea cea mai mare.În fereastra de comandă, pe o linie, se introduce:

1510

r),p(rootsr;50,65,16,1p

S-a obţinut vectorul coloană al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice T1510r . Ecuaţiacaracteristică are rădăcini simple negative, răspunsul indicial al sistemului va fi aperiodic.

b) Ca variabilă de fază, de bază, se alege răspunsul )t(y , celelalte variabile de fază se obţin prinderivarea succesivă a variabilei de bază (a ieşirii). Se notează variabilele de fază cu yx,yx,yx 321 .

Deci:

yxxyxx

yx

23

12

1

(1.237)

iar din ecuaţia (1.235) se obţine:r50x16x65x50r50y50y65y16yx 3213 . (1.238)

Din (1.237) şi (1.238) rezultă că întocmirea schemei de modelare presupune parcurgereaurmătoarelor etape:

etapa 1: în (1.235) se separă în membrul stâng derivata de ordin maxim, obţinându-se relaţia (1.238);etapa 2: se integrează derivata de ordin maxim de 3n ori, în cazul analizat, obţinându-se mărimile

11223 xy,xyx,xyx .Sunt utilizate trei blocuri integratoare conform schemei din figura de mai jos:

etapa 3: se construieşte relaţia (1.238) avându-se în vedere etapa 2, în care apar mărimile y,y,y .Se obţine schema echivalentă de modelare prezentată în figura 1.42.

Fig. 1.42

Condiţia iniţială )0(y se impune blocului integrator care generează mărimea )t(y , condiţia iniţială)0(y se impune blocului integrator care generează mărimea )t(y etc.

Parametrii blocului din figura 1.42 sunt: GAIN : 16 GAIN 1 : 65 GAIN 2 : 50 Step : - Step time: 0

- Initial value: 0- Final value: 50

Pentru obţinerea ecuaţiilor matriceale intrare-stare-ieşire se pleacă de la sistemul de 3n ecuaţiidiferenţiale de ordinul 1:

r50x16x65x50xxxxx

3213

32

21

(1.239)

şi respectiv relaţia:1xy

Se exprimă relaţiile (1.239), (1.240) sub forma matreiceal-vectorială:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

xxx

001y

r5000

xxx

166550100010

xxx

(1.241)

iar sub forma compactă:

)t(rb)t(XA)t(X

(1.242)

)t(Xc)t(y T (1.243)unde:

0d,001c,5000

b,166550100010

A T

, (1.244)

şi condiţia iniţială:

000

)0(x)0(x)0(x

)0(X

3

2

1

. (1.245)

c) Funcţia de transfer dedusă din ecuaţia diferenţială (1.235) este:

50s65s16s50

)s(R)s(Y)s(H 230 . (1.246)

Polii fdt (1.246) sunt 1p,5p,10p 321 şi fdt se poate scrie astfel:

1s1

5s1

10s50

)1s)(5s)(10s(50

)s(R)s(Y)s(H 0

, (1.247)

sau

)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y)s(H 3210 , (1.248)

unde

1s1)s(H,

5s1)s(H,

10s50)s(H 321

(1.249)

iar)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y 321 (1.250)

Relaţiei (1.250) i se poate asocia schema de structură, în conexiune serie, reprezentată în figura 1.43.

Fig. 1.43

Variabilele de stare sunt mărimile de la ieşire elementelor aperiodice de ordinul 1.Deoarece unui element aperiodic de ordinul 1 cu fdt )ps(1)s(H ii i se poate asocia o schemă

de structură cu reacţie de forma:

rezultă că schema echivalentă cu conexiune serie din figura 1.43 mai poate fi redată ca în figura 1.44.

Fig. 1.44

Din figura 1.44, se constată că variabilele de stare sunt mărimile de ieşire din integratoare, iarmărimile aplicate la intrare acestora sunt derivatele variabilelor de stare.

Ecuaţiile intrare-stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare:

323

212

11

xxx

x5xx

r50x10x

(1.251)

iar ecuaţia stare-ieşire va fi:3xy (1.252)

Forma matriceal-vectorial a relaţiilor (1.251), (1.252) este:

500

50

xxx

10100510010

xxx

3

2

1

3

2

1

(1.253)

3

2

1

xxx

100y (1.254)

respectiv:

)t(rb)t(XA)t(X

(1.255)

)t(X)t(y T (1.256)în care:

0d,100,00

50b,

1100510010

A T

(1.257)

Pentru determinarea vectorului de stare iniţială )0(x),0(x),0(x)0(X 321 , cunoscând0)0(y)0(y)0(y , se procedează de regulă, astfel:

- se derivează mărimea de ieşire ori şi se înlocuieşte în membrul drept derivatele variabilelor de starecu expresiile din relaţiile (1.251):

- în sistemul de trei ecuaţii algebrice obţinute se înlocuieşte 0t şi se rezolvă funcţie de)0(x),0(x),0(x 321 .

Deci:

)t(x)t(x)t(x5)t(x)t(x)t(xx)t(y)t(x)t(x)t(x)t(y

)t(x)t(y

3221323

323

3

Făcând 0t , se obţine sistemul de trei ecuaţii algebrice:

0)0(x)0(x6)0(x)0(y0)0(x)0(x)0(y

0)0(x)0(y

321

32

3

din care rezultă:0)0(x)0(x)0(x 321 . (1.258)

d) Schema echivalentă derivaţie se obţine prin descompunerea fdt în fracţii simple având în vederecă 1p,5p,10p 321 .

Funcţia de transfer (1.245) se scrie astfel:

1sc

5sc

10sc

1s5s10s50

)s(R)s(Y)s(H 321

0

. (1.259)

sau

)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y)s(H 3210 (1.260)

şi corespunzător: )s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y 321 (1.261)

în care:

1825

5110150)s(Hpslimc

5,215105

50)s(Hpslimc

910

11051050)s(Hpslimc

033pp3

022pp2

011pp1

Relaţiei (1.261) i se asociază schema echivalentă paralel prezentată în figura 1.45.

Fig. 1.45

Ca şi în cazul precedent (punctul c), ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşire blocurilorintegratoare. Sistemul de 3n ecuaţii diferenţiale se obţine din ecuaţiile sumatoarelor, astfel:

rxxrx5xrx10x

33

22

11

(1.262)

iar mărimea de ieşire este:

321 x1825x5,2x

910y (1.263)

Relaţiile (1.262), (1.263) se scriu sub forma matriceal-vectorială astfel:

r111

xxx

1000500010

xxx

3

2

1

3

2

1

, (1.264)

T321 xxx18255,2

910y

(1.265)

şi respectiv:)t(rb)t(X)t(X 1 , (1.266)

)t(Xc)t(y T1 , (1.267)

unde:

0d,18255,2

910c,

111

b,100

0500010

T11

. (1.268)

Matricea sistemului este o matrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală suntpolii funcţiei de transfer (rădăcinile ecuaţiei caracteristice). În astfel de cazuri, se spune că variabilele destare sunt complet decuplate [1]. Forma matriceală obţinută poartă denumirea de forma canonică diagonală[16].

Se determină condiţiile iniţiale, 3:1i),0(x i , după acelaşi procedeu descris la punctul c (condiţiileiniţiale se introduc în blocurile integratoare) .Se obţine 0)0(x)0(x)0(x 321 .

e) Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează realizarea de stare T11 c,b, determinată la

punctul d. Schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, este prezentată în figura 1.46.

Fig. 1.46

Parametrii blocului State - Space sunt:

0:D

18/255.29/10:C

1;1;1:B

100;050;0010:A

Initial conditions: 0

Parametrii blocurilor StepStep Step 1

Step time: 0 0Initial value: 0 0

Final value: 1 0.95

Properties: Scope

0minY2.1maxY

Time range: auto

Simulation parameters:Start time: 0.0 Stop time: 10.0

A rezultat pentru sistemul echivalent:

12TT

2T12

T

12

1

2T12

1 ddd,ccdc,db

bb,

Acb0A

A

, (1.217)

iar,

2n1ne R

XX

X2

1

.

În cazul în care 0dd 21 , din (1.217) se obţine:

0d;c0c,0b

b,Acb0A

A T2

T1

2T12

1

. (1.218)

Spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor corespunzătoare sistemelor iniţiale [15]:)A()A()A( 21 (1.219)

Dacă cele două sisteme componente sunt intern asimptotic stabile: C)A( 1 şi C)A( 2 ,

atunci şi sistemul echivalent este intern asimptotic stabil. Este adevărată şi reciproca, dacă sistemul rezultanteste intern asimptotic stabil, atunci şi cele două sisteme componente sunt asimptotic stabile.

b) Conexiunea paralel (fig. 1.38)

Fig. 1.38

Pentru conexiunea paralel, corespunzător figurii 1.38, sunt specifice relaţiile:

21

21

yyyrrr

, (1.220)

În baza relaţiilor (1.209) - (1.212) şi (1.220) se pot scrie relaţiile:

rdXcy

rbXAX

rdXcy

rbXAX

22T22

2222

11T11

1111

(1.221)

care conduc la ecuaţiile matriceale de forma:

rbb

XX

A00A

XX

2

1

2

1

2

1

2

1

(1.222)

rddXX

ccy 212

1T2

T1

(1.223)

Realizarea de stare echivalentă este descrisă prin:

21T2

T1

T

2

1

2

1 ddd,ccc,bb

b,A00A

A

(1.224)

iar T21 XXXe .Dacă 0dd 21 , atunci 0d Ca şi în cazul conexiunii serie, spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor sistemelor

iniţiale:)A()A()A( 21 (1.225)

Dacă cele două sisteme componente sunt intern stabile atunci şi sistemul rezultant este intern stabil.Este valabilă şi reciproca [15] .

c) Conexiunea cu reacţie (fig. 1.39)

Fig. 1.39

În cazul conexiunii cu reacţie sunt specifice relaţiile:

yuyy

yru

2

1

21

(1.226)

Se consideră cazul când 0dd 21 . Din relaţiile (1.209)-(1.212) se obţine:

1T1

1T12222

12T21112

T21111

Xcy

XcbXAX

rbXcbXAXcrbXAX

(1.227)

Din (1.227) se stabilesc ecuaţiile matriceale:

r0b

XX

AcbcbA

XX 1

2

1

2T12

T211

2

1

, (1.228)

2

1T1 X

X0cy . (1.229)

În ecuaţia matriceală (1.228) semnul (-) corespunde conexiunii cu reacţie negativă, iar (+) conexiuniicu reacţie pozitivă.

Pentru realizarea de stare echivalentă a rezultat:

0cc,0b

b,Acb

cbAA T

1T1

2T12

T211

. (1.230)

Se demonstrează că în cazul când sistemul rezultant este intern instabil, se poate asigura stabilitateainternă a acestuia modificând numai unul dintre subsisteme, 1 sau 2 , nu contează care.

PR.1.23. Să se întocmească, în SIMULINK, schema echivalentă de modelare a elementuluiaperiodic de ordinul 1 utilizând:

a) ecuaţia diferenţială;b) funcţia de transfer.Rezolvare.a) Pentru întocmirea schemei echivalente de modelare în baza ecuaţiei diferenţiale:

)t(1r),s(5,1T.0)0(y,ryyT

(1.231)se parcurg următoarele etape:

e1) în ecuaţia diferenţială din (1.231) se repară derivata de ordinul 1 în membrul stâng:

rT1y

T1y

(1.232)

e2) se integrează y şi se obţine y :

e3) având în vedere etapa e2 se construieşte, cu blocurile SIMULINK, relaţia (1.232), obţinându-seschema de modelare din figura 1.40.

Fig. 1.40

Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare )t(1 ; Step 1: generează funcţia treaptă )t(195,0 .Block parameters: Step

Step Step 1Step time: 0 0Initial value: 0 0

Final value: 1/1.5 0.95 Function Block Parameters: IntegratorInitial condition: 0 (valoarea implicită) Function Block Parameters: GainGain: 1/1.5 Block Parameters: MUXNumber of inputs: 2 Properties: Scope

0Y1.1Y

min

max

Time range: auto Simulation parameters:Start time: 00 Stop time: 7.0

Privind răspunsul indicial şi performanţele asociate acestuia, se obţin aceleaşi rezultate ca şi înPR.1.4. Schema echivalentă de modelare din figura 1.40 este necesară atunci când prezintă interes derivata

)t(y , fie că este aplicată altor blocuri, fie că se doreşte obţinerea unui portret al fazelor.b) Se consideră fdt de forma:

1sTK

)s(R)s(Y)s(G

, (1.233)

care mai poate fi scrisă astfel:

T1

s11

s1

TK

)s(R)s(Y)s(G

şi corespunzător:

T1

s11

s1

TK)s(R)s(Y

(1.234)

În relaţia (1.234) expresia )T/1)s/1(1/(s/1 reprezintă fdt a unei conexiuni cu reacţienegativă având pe calea directă un element integrator ideal s/1 , iar pe calea de reacţie un element de tipproporţional cu coeficientul de transfer T/1 . Se obţine schema echivalentă de modelare din figura 1.41.

Fig. 1.41PR.1.24. Pentru SRA descris de ecuaţia diferenţială [1]:

r50y50y65y16y (1.235)cu condiţiile iniţiale:

0)0(y)0(y)0(y (1.236)să se determine:

a) rădăcinile ecuaţiei caracteristice, în MATLAB;

b) schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, şi sistemul ecuaţiilor de stare utilizândvariabilele de fază;

c) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente serie dedusă din funcţia detransfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare;

d) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente paralel dedusă din funcţia detransfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare;

e) răspunsul indicial, în SIMULINK, utilizând blocul SS.f) răspunsul indicial, în MATLAB, utilizând realizarea de stare obţinută la punctul d.Rezolvarea) Ecuaţia caracteristică este de forma:

050p65p16p 23 Se utilizează funcţia MATLAB roots (p). Se introduce ecuaţia caracteristică sub forma unui vector

linie format din coeficienţii ecuaţiei algebrice începând cu coeficientul lui p la puterea cea mai mare.În fereastra de comandă, pe o linie, se introduce:

1510

r),p(rootsr;50,65,16,1p

S-a obţinut vectorul coloană al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice T1510r . Ecuaţiacaracteristică are rădăcini simple negative, răspunsul indicial al sistemului va fi aperiodic.

b) Ca variabilă de fază, de bază, se alege răspunsul )t(y , celelalte variabile de fază se obţin prinderivarea succesivă a variabilei de bază (a ieşirii). Se notează variabilele de fază cu yx,yx,yx 321 .

Deci:

yxxyxx

yx

23

12

1

(1.237)

iar din ecuaţia (1.235) se obţine:r50x16x65x50r50y50y65y16yx 3213 . (1.238)

Din (1.237) şi (1.238) rezultă că întocmirea schemei de modelare presupune parcurgereaurmătoarelor etape:

etapa 1: în (1.235) se separă în membrul stâng derivata de ordin maxim, obţinându-se relaţia (1.238);etapa 2: se integrează derivata de ordin maxim de 3n ori, în cazul analizat, obţinându-se mărimile

11223 xy,xyx,xyx .Sunt utilizate trei blocuri integratoare conform schemei din figura de mai jos:

etapa 3: se construieşte relaţia (1.238) avându-se în vedere etapa 2, în care apar mărimile y,y,y .Se obţine schema echivalentă de modelare prezentată în figura 1.42.

Fig. 1.42

Condiţia iniţială )0(y se impune blocului integrator care generează mărimea )t(y , condiţia iniţială)0(y se impune blocului integrator care generează mărimea )t(y etc.

Parametrii blocului din figura 1.42 sunt: GAIN : 16 GAIN 1 : 65 GAIN 2 : 50 Step : - Step time: 0

- Initial value: 0- Final value: 50

Pentru obţinerea ecuaţiilor matriceale intrare-stare-ieşire se pleacă de la sistemul de 3n ecuaţiidiferenţiale de ordinul 1:

r50x16x65x50xxxxx

3213

32

21

(1.239)

şi respectiv relaţia:1xy

Se exprimă relaţiile (1.239), (1.240) sub forma matreiceal-vectorială:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

xxx

001y

r5000

xxx

166550100010

xxx

(1.241)

iar sub forma compactă:

)t(rb)t(XA)t(X

(1.242)

)t(Xc)t(y T (1.243)unde:

0d,001c,5000

b,166550100010

A T

, (1.244)

şi condiţia iniţială:

000

)0(x)0(x)0(x

)0(X

3

2

1

. (1.245)

c) Funcţia de transfer dedusă din ecuaţia diferenţială (1.235) este:

50s65s16s50

)s(R)s(Y)s(H 230 . (1.246)

Polii fdt (1.246) sunt 1p,5p,10p 321 şi fdt se poate scrie astfel:

1s1

5s1

10s50

)1s)(5s)(10s(50

)s(R)s(Y)s(H 0

, (1.247)

sau

)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y)s(H 3210 , (1.248)

unde

1s1)s(H,

5s1)s(H,

10s50)s(H 321

(1.249)

iar)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y 321 (1.250)

Relaţiei (1.250) i se poate asocia schema de structură, în conexiune serie, reprezentată în figura 1.43.

Fig. 1.43

Variabilele de stare sunt mărimile de la ieşire elementelor aperiodice de ordinul 1.Deoarece unui element aperiodic de ordinul 1 cu fdt )ps(1)s(H ii i se poate asocia o schemă

de structură cu reacţie de forma:

rezultă că schema echivalentă cu conexiune serie din figura 1.43 mai poate fi redată ca în figura 1.44.

Fig. 1.44

Din figura 1.44, se constată că variabilele de stare sunt mărimile de ieşire din integratoare, iarmărimile aplicate la intrare acestora sunt derivatele variabilelor de stare.

Ecuaţiile intrare-stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare:

323

212

11

xxx

x5xx

r50x10x

(1.251)

iar ecuaţia stare-ieşire va fi:3xy (1.252)

Forma matriceal-vectorial a relaţiilor (1.251), (1.252) este:

500

50

xxx

10100510010

xxx

3

2

1

3

2

1

(1.253)

3

2

1

xxx

100y (1.254)

respectiv:

)t(rb)t(XA)t(X

(1.255)

)t(X)t(y T (1.256)în care:

0d,100,00

50b,

1100510010

A T

(1.257)

Pentru determinarea vectorului de stare iniţială )0(x),0(x),0(x)0(X 321 , cunoscând0)0(y)0(y)0(y , se procedează de regulă, astfel:

- se derivează mărimea de ieşire ori şi se înlocuieşte în membrul drept derivatele variabilelor de starecu expresiile din relaţiile (1.251):

- în sistemul de trei ecuaţii algebrice obţinute se înlocuieşte 0t şi se rezolvă funcţie de)0(x),0(x),0(x 321 .

Deci:

)t(x)t(x)t(x5)t(x)t(x)t(xx)t(y)t(x)t(x)t(x)t(y

)t(x)t(y

3221323

323

3

Făcând 0t , se obţine sistemul de trei ecuaţii algebrice:

0)0(x)0(x6)0(x)0(y0)0(x)0(x)0(y

0)0(x)0(y

321

32

3

din care rezultă:0)0(x)0(x)0(x 321 . (1.258)

d) Schema echivalentă derivaţie se obţine prin descompunerea fdt în fracţii simple având în vederecă 1p,5p,10p 321 .

Funcţia de transfer (1.245) se scrie astfel:

1sc

5sc

10sc

1s5s10s50

)s(R)s(Y)s(H 321

0

. (1.259)

sau

)s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y)s(H 3210 (1.260)

şi corespunzător: )s(H)s(H)s(H)s(R)s(Y 321 (1.261)

în care:

1825

5110150)s(Hpslimc

5,215105

50)s(Hpslimc

910

11051050)s(Hpslimc

033pp3

022pp2

011pp1

Relaţiei (1.261) i se asociază schema echivalentă paralel prezentată în figura 1.45.

Fig. 1.45

Ca şi în cazul precedent (punctul c), ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşire blocurilorintegratoare. Sistemul de 3n ecuaţii diferenţiale se obţine din ecuaţiile sumatoarelor, astfel:

rxxrx5xrx10x

33

22

11

(1.262)

iar mărimea de ieşire este:

321 x1825x5,2x

910y (1.263)

Relaţiile (1.262), (1.263) se scriu sub forma matriceal-vectorială astfel:

r111

xxx

1000500010

xxx

3

2

1

3

2

1

, (1.264)

T321 xxx18255,2

910y

(1.265)

şi respectiv:)t(rb)t(X)t(X 1 , (1.266)

)t(Xc)t(y T1 , (1.267)

unde:

0d,18255,2

910c,

111

b,100

0500010

T11

. (1.268)

Matricea sistemului este o matrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală suntpolii funcţiei de transfer (rădăcinile ecuaţiei caracteristice). În astfel de cazuri, se spune că variabilele destare sunt complet decuplate [1]. Forma matriceală obţinută poartă denumirea de forma canonică diagonală[16].

Se determină condiţiile iniţiale, 3:1i),0(x i , după acelaşi procedeu descris la punctul c (condiţiileiniţiale se introduc în blocurile integratoare) .Se obţine 0)0(x)0(x)0(x 321 .

e) Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează realizarea de stare T11 c,b, determinată la

punctul d. Schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, este prezentată în figura 1.46.

Fig. 1.46

Parametrii blocului State - Space sunt:

0:D

18/255.29/10:C

1;1;1:B

100;050;0010:A

Initial conditions: 0

Parametrii blocurilor StepStep Step 1

Step time: 0 0Initial value: 0 0

Final value: 1 0.95

Properties: Scope

0minY2.1maxY

Time range: auto

Simulation parameters:Start time: 0.0 Stop time: 10.0

)t(u)t(u)t(u 21 , (1.292)unde )t(u1 este tensiunea de intrare (aplicată), iar )t(u 2 este tensiunea de ieşire a circuitului de corecţiefuncţionând în gol (fără sarcină). Se aplică transformata directă Laplace ecuaţiei de funcţionare (1.292):

)s(U)s(U)s(U 21 , (1.293)unde:

)t(uL)s(U,)t(uL)s(U,)t(uL)s(U 2211 Schema echivalentă operaţională a circuitului este reprezentată în figura 1.58.b. Corespunzător

figurii 1.58.b se calculează impedanţa operaţională echivalentă a circuitului:

211 R)s(Z

)s(I)s(U

)s(Z , (1.294)

unde )s(Z1 este impedanţa operaţională a celor două componente 11 C,R conectate în paralel:

sCR1R

Cs1R

Cs1R

)s(Z11

1

11

11

1

, (1.295)

şi deci:

sCR1sCRRRR

RsCR1

R)s(I)s(U

)s(Z11

121212

11

11

. (1.296)

Se calculează tensiunea )s(U care apare în relaţia (1.293):

sCRRRRR

)s(U)s(Z)s(Z)s(U

)s(Z)s(I)s(U12121

111

11

. (1.297)

Introducând (1.297) în (1.293) se obţine:

)s(UsCRRRR

R)s(U)s(U 2

12121

111

,

care devine:

)s(UsCRRRR

sCRRR)s(U 2

12121

12121

. (1.298)

În baza relaţiei (1.298) se determină fdt a circuitului de corecţie:

sT1sT1

KsC

RRRR

1

sCR1RR

R)s(U)s(U

)s(H2

1

121

21

11

21

2

1

2c

, (1.299)

unde:

.)(secTKCRR

RRT.),(secCRT,

RRR

K 1121

212111

21

2

.

Se constată că pentru 21 TT,1.0K , constanta de timp 1T impune caracterul derivativ (deavans) a circuitului electric de corecţie.

b) Calculul caracteristicilor de frecvenţăSe obţine răspunsul la frecvenţă a circuitului de corecţie făcând în fdt substituţia js :

)(Vj)(UTj1Tj1

K)j(U)j(U

)j(H2

1

1

2c

, (1.300)

în care: )j(HI)(V,)j(HR)(U cce m .

Din relaţia (1.300) se obţine:

22

221

22

221

2

22

221

T1)TT(K

jT1TT1

KT1

Tj1Tj1K)j(Hc

,

deci:

22

221

22

221

2

T1)TT(K

)(V,T1TT1

K)(U

. (1.301)

Din relaţiile (1.301) se constată:

0)(V,0)0(V,TT

K)(U;K)0(U2

1 .

Pentru a obţine locul de transfer, din dependenţa )(Uf)(V se elimină astfel:

2122

22 TT1KT1)(U ,

din care )(UKTTK)(UT 21

22

2 ,şi notând:

2

1

TT

, (1.302)

se obţine:

)(UKTK)(U

22

2

. (1.303)

Se introduce (1.303) în expresia )(V din (1.301):

)(UKK)(U

)(UKK)(U1

)(UKK)(UTT

TK

)(V21

2

. (1.304)

Se ridică la pătrat relaţia (1.304) şi se pune sub forma: 222 K)(U)1(K)(V)(U . (1.305)

În relaţia (1.305) se adună şi se scade 22

)1(4

K , obţinându-se:

222

22

22 K14

K14

K)(U)1(2K2)(V)(U . (1.306)

Relaţia (1.306) se scrie sub forma:

22

22

14

K)(V12K)(U

, (1.307)

sau

22

221

22

2

2

21

T4)TT(K

)(VT2

)TT(K)(U

. (1.308)

S-a obţinut ecuaţia unui cerc cu centrul pe axa reală: 222 r)(Vd)(U , (1.309)

distanţa dintre centrul cercului şi centrul de coordonate este:

2

21

T2TTK

12Kd

, (1.310)

iar raza cercului este:

2

21

T2TTK

21Kr

. (1.311)

Corespunzător datelor problemei 21 TT , în acest caz, pentru ,0 ecuaţia (1.308)corespunde unui semicerc situat în cadranul I, din planul .t.d.l , deoarece )(V are numai valori pozitive.

Cu datele problemei )s(1.0T),s(0.1T,1.0K 21 , pentru trasarea caracteristicilor de frecvenţăse utilizează următorul program în MATLAB:

%%Caracteristicile de frecventa ale circuitului de corecţie serie cu avans%% de faza; k=0.1, T1=1.0 (sec), T2=0.1 (sec).%% F.d.t. Ho(s)=k(1+T1s)/(1+T2s)w=logspace(-4,3,200);k=0.1;T1=1;T2=k*T1;num=[k*T1 k],den=[T2 1]%%Locul de transferfigure(1)[u,v]=nyquist(num,den,w);plot(u,v,'-k'),gridaxis equaltitle('Locul de transfer')xlabel('Real Axis'),ylabel('Imag Axis')axis([0.01 1.05 -0.1 0.5])figure(2)%%Diagramele Bodew=logspace(-2,2,200);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)%%Caracteristica logaritmica amplitidine-pulsatiesemilogx(w,20*log10(mag),'-k'),gridtitle('Caracteristica logaritmica amplitudine-pulsatie')axis([10^-2 10^2 -30 5])xlabel('Omega(rad/sec)'),ylabel('A[dB]')subplot(212)%%Caraceristica logaritmica faza-pulsatiew=logspace(-2,2,200);fimax=max(phase)semilogx(w,phase,'-k'),gridtitle('Caracteristica logaritminca faza-pulsatie')xlabel('Omega(rad/sec)'),ylabel('Fi(Omega),[grade]')

Locul de transfer este reprezentat în figura 1.59, iar diagrama Bode în figura 1.60.

Fig. 1.59

Fig. 1.60

Din fereastra de comandă: grade8991,54max . Se poate demonstra că valoarea maximă a fazei

corespunde pulsaţiei sec/radTT/1 210 , aspect care rezultă şi din caracteristica fază-pulsaţie.Caracteristica având numai valori pozitive evidenţiază efectul derivativ (de avans) a circuitului electricde corecţie.

Privind caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie )(A dB , se disting trei zone de pulsaţie:

- zona de pulsaţie 1T1

1

, în care caracteristica are nivelul dB20Klg20 ;

- zona de pulsaţie cu panta dec/dB20 cuprinsă între 1T1

11 şi 10

T1

22 , această pantă

evidenţiază, de asemenea, efectul de avans (derivativ) a circuitului electric de corecţie serie;

- zona de pulsaţii 10T1

2

în care caracteristica se suprapusul peste abscisă.

Pulsaţia 1623,3TT

1

210 se încadrează în zona cu panta de .dec/dB20

Deci, caracteristica logaritmică )(A dB exactă, reprezentată în figura 1.60, poate fi aproximată, cuo bună precizie, printr-o caracteristica asimptotică corespunzătoare celor trei zone de pulsaţii menţionate mai

sus,. Erorile de aproximare apar la pulsaţiile 1T1

11 şi 10

T1

22 .

PP.1.29. Pentru SRA descris de funcţia de transfer:

1s33,0s01,0s1058,11s33,0

)s(R)s(Y)s(H 2340

, (1.312)

să se calculeze performanţele în raport cu răspunsul indicial utilizând caracteristicile de frecvenţă )(M şi)(P , cu program în MATLAB.

RezolvareSe construiesc caracteristicile de frecvenţă amplitudine-pulsaţie )(M şi reală de pulsaţie )(P ale

sistemului închis necesare determinării performanţelor aproximative, iar pentru verificarea rezultatelorobţinute în baza caracteristicilor de frecvenţă se calculează şi răspunsul indicial cu performanţele asociate.

Program în MATLAB:%Legatura dintre domeniul frecvential şi cel al timpului%F.d.t. a sistemului inchis:%Ho(s)=(0.33s+1)/(1.58*10^(-4)s^3+0.01s^2+0.33s+1)figure(1)%%Caracteristica amplitudine-pulsatiew=logspace(0,1,3);num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1];[mag,phase,w]=bode(num,den);mv=max(mag)%Valoarea de varf Mvv=w; df1=0.707*(diff(v)./diff(w));wd=w(2:length(w));semilogx(w,mag,'-k',wd,df1,'-k'),gridaxis([0 1000 0 1.2])title('Caracteristica amplitudine-pulsatie a sistemului inchis')xlabel('Omega(rad./sec)'),ylabel('M(omega)')figure(2)%%Caracteristica reala de pulsatiew=logspace(0,1,3);num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1];[mag,phase,w]=bode(num,den); c=cos(phase*pi/180);preal=mag.*c;pmax=max(preal)pmin=min(preal)p0=preal(1,1)semilogx(w,preal,'-k'),gridaxis([0 1000 -0.4 1.2])title('Caracteristica reala de pulsatie a sistemului inchis')xlabel('Omega(rad./sec)'),ylabel('P(omega)')sigma1=(1.18*pmax+0.274*pmin-p0)/p0%Suprareglajul calculat in baza

% funcţiei P(w)

figure(3)%%Rapunsul indicialt=(0:0.001:1.4);num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1];ys=step(num,den,t);ysmax=max(ys)sigma=ysmax-1v=t;df1=1.05*(diff(v)./diff(t));df2=0.95*(diff(v)./diff(t));td=t(2:length(t));plot(t,ys,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k'),gridtitle('Raspunsul indicial')xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)')wt=30;%(rad/sec);tr=2.5*pi/wt[X,Y]=ginput

Fig. 1.61

Fig. 1.62

Fig. 1.63

Pentru caracteristica )(P de forma celei obţinute (fig.1.62), prezentând un maxim şi nu minim, s-au calculat:

00,1p0p,2322,0pP,0701,1pP 0minminmaxmax . (1.313)S-a calculat suprareglajul [6]:

1882,0p

pp274,0p18,1

0

0minmax1

. (1.314)

Valoarea obţinută 1 satisface condiţia [6]:

1 , (1.315)unde este valoarea exactă a suprareglării.

Valoarea exactă a suprareglării s-a obţinut calculând răspunsul indicial, prezentat în figura 1.63 şi s-aobţinut:

1412,0 . (1.316)Se constată că relaţia (1.314) permite determinarea suprareglării cu o bună aproximaţie. Cu cât

valorile maximă şi minimă a caracteristicii )(P vor fi mai mari, cu atât mai pronunţat vor fi caracteruloscilant al răspunsului.

Valoarea staţionară a răspunsului este dată de valoarea funcţiei )(P pentru 0 :00,1p)0(Py 0ST . (1.317)

Timpul de răspuns a sistemului s-a calculat cu relaţia aproximativă [22]:

t

r 32t

, (1.318)

unde t este pulsaţia de tăiere, pentru care 1M t .

Din caracteristica )(M , (fig.1.61), se determină valoarea sec/rad30wtt şi s-a calculat:

(sec)2618,030

5,2t r

. (1.319)

Având calculat răspunsul indicial s-a determinat timpul de răspuns 2565,0t r , considerat exact.Se constată că relaţia (1.318) conduce la rezultate corespunzătoare.

Din caracteristica )(M s-a calculat valoarea de vârf 1002,1mvMV , valoarea care satisfacecondiţia [1]:

3,1MV , (1.320)deci performanţele SRA sunt bune.

Din figura 1.61 rezultă că banda de trecere a SRA este sec/rad50B . În general, cu cât bandade trecere este mai mare, cu atât timpul de răspuns rt este mai mic.

1.3. Probleme propuse spre rezolvare

PP.1.1. Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale utilizând transformata Laplace:

a) t2e4)t(x2dt

)t(dxdt

)t(xd2dt

)t(xd2

2

3

3

,

1)0(x,0)0(x,1)0(x .

b) 2)t(x2dt

)t(dx2dt

)t(xd2

2

, 0)0(x)0(x .

c) 1)t(xdt

)t(dx3dt

)t(xd3dt

)t(xd2

2

3

3

, 0)0(x)0(x)0(x

d) 1)t(xdt

)t(dxdt

)t(xd2

2

, 0)0(x)0(x

e) 1)t(xdt

)t(dx2dt

)t(xd2

2

, 0)0(x)0(x

f) 1)t(xdt

)t(dx3dt

)t(xd2

2

, 0)0(x)0(x

g) t

0

1d)(x5)t(x2dt

)t(dx, x(0)=0.

Indicaţii şi răspunsuri.

a) 2s

1s4)s(X21)s(sXs)s(Xs21s)s(Xs 223

,

)s(sP)s(P

)s(P)s(P

)4s5s(s8s9s6s)s(X

3

1

2

124

24

,

.2s,1s,2s,1s;04s5s)s(P 432124

3 Se foloseşte a doua teoremă a dezvoltării:

ts4k

1k

k

k3k

k1

3

1 e)s(Ps

)s(P)0(P)0(P

)t(x

,

t2tt2t e121e

311e

1217e

322)t(x .

b) ,)2s2s(s

2)s(X 2

.j1s,j1s,0s,0)2s2s(s 3212

j1sC

j1sB

sA

,0)2s2s(s2)s(X 2

,

2

j1)s(X)ss(limB

,1)s(sXlimA

22ss

1ss

2

j1)s(X)ss(limC 33ss

.

t)j1(t)j1( e2

j1e2

j11)t(x

.

Se are în vedere relaţia: )btsinjbt(cosee att)jba( ,).tsint(cose1)t(x t

g) ,2)1s(

221

5s2s1)s(X 222

t2sine5,0)t(x t , (vezi Anexa 1).PP.1.2. Să se calculeze transformata inversă Laplace pentru următoarele funcţii:

a) 4s1ss2)s(F 22

;

b) 5s2ss1)s(F 2

;

c) 22

23

1ss2s3ss3)s(F

;

d) 3s1s1s

2)s(F 22 .

PP.1.3. Să se calculeze valoarea finală x a funcţiei )t(x dacă imaginea Laplace a acestora suntde forma:

a) 1s3s3ss1)s(X 23

;

b) 2s1s2s1ss8s9s6s)s(X

24

.

PP.1.4. Să se calculeze valoarea iniţială )0(x a funcţiei )t(x dacă imaginea Laplace a acesteia estede forma:

2ss2s2ss8s9s6s)s(X 23

24

;

PP:1.5. Pentru SLN de ordinul trei descris de ecuaţia diferenţială:

)t(r4)t(y4dt

)t(dy2dt

)t(yd3dt

)t(yd2

2

3

3

cu 0)0(y)0(y)0(y ,se cere:

a) să se calculeze răspunsul indicial, )t(1)t(r , rezolvând ecuaţia diferenţială prin metodatransformatei Laplace;

b) să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, cu program în MATLAB, şi să sedetermine performanţele sistemului;

c) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, funcţia pondere.Indicaţii

a))4s2s3s(s

4)s(Y 23 ,

1917,1j1018,0s,1917,1j1018,0s,7963,2s,0s,0)4s2s3s(s

4321

23

432432 ssD

ssC

ssB

sA

)ss()ss()ss(s4)s(Y

,

2732,244

)ss)(ss(s4lim)s(Y)ss(limB

1)s(Y)ss(limA

432

1

2ss2ss

1ss

0385,4j364,7

4)ss)(ss(s

4lim)s(Y)ss(limC42

33ss3ss

,

0385,4j364,7

4)ss)(ss(s

4lim)s(Y)ss(limD32

44ss4ss

,

,)1917,1j1018,0s(

1538,70

)0385,4j364,7(4)1917,1j1018,0s(

1538,70

)0385,4j364,7(4)7963,2s(

12732,244

s1)s(Y

)t1917,1sin(0385,4)t1917,1cos(364,7(e269,354e

0683,611)t(y tt 1018,07963,2

PP.1.6. Pentru SLN de ordinul trei descris de ecuaţia diferenţială precizată în PP.1.5, se cere:a) să se determine răspunsul sistemului la mărime de intrare rampă unitară, t)t(v)t(r ,

întocmind schema echivalentă de modelare în SIMULINK;b) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi reprezentare grafică a răspunsului

sistemului dacă t)t(v)t(r .

PP.1.7. Pentru SLN de ordinul 2 descris de ecuaţia diferenţială

)t(r5)t(y5dt

)t(dy2dt

)t(yd2

2

,

cu 0)0(y)0(y ,se cere:

a) să se aducă ecuaţia diferenţială la forma ryy2y 2n

2nn ;

b) să se calculeze funcţia de transfer;c) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, răspunsul sistemului pentru

)t(1)t(r ; să se determine performanţele;d) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu programul cu MATLAB, răspunsul sistemului pentru

t)t(v)t(r ;e) să se întocmească schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, pentru determinarea

răspunsului indicial şi corespunzător să se determine performanţele;f) să se determine, în SIMULINK, răspunsul sistemului pentru t)t(v)t(r .

PP.1.8. Pentru SLN descris prin funcţia de transfer:

a)1s4s3

1s2)s(R)s(Y)s(H 20

;

b)1ss2s

1)s(R)s(Y)s(H 230 .

să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial şi corespunzător să se determine performanţele, cuprogram în MATLAB.

PP. 1.9. Pentru SLN descris prin schema de structură:

în care:

1s1,01

)s(Y)s(Y

)s(H,)1s2(s

10)s()s(Y)s(H r

rd

,

se cere să se întocmească un program în MATLAB care să se realizeze:a) calculul funcţiei de transfer a sistemului închis;b) reprezentarea polilor şi zerourilor .t.d.f a sistemului în planul complex;c) calcularea şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, determinarea performanţelor şi

corespunzător evaluarea performanţelor.

PP.1.10. Pentru SLN descris prin schema de structură:

se cere să se realizeze un program în MATLAB care să realizeze:a) calculul funcţiei de transfer a sistemului )s(R/)s(Y ;b) calculul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice a sistemului închis şi reprezentarea acestora în planul

complex;c) calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial şi corespunzător determinarea şi evaluarea

performanţelor.

PP.1.11. Pentru elementul ideal de amplificare (element proporţional), K)s(R/)s(Y)s(W , săse calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă

)(),(V),(U),(A , precum şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie.

PP.1.12. Pentru elementul de integrare ideal (de tip I):

ctK,sK

)s(R)s(Y)s(W ,

să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă)(),(A),(V),(U , precum şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie.

PP.1.13. Pentru elementul derivativ ideal (de tip D):

ctK,sK)s(R)s(Y)s(W ,

să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă)(),(A),(V),(U şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie.

PP.1.14. Pentru SLN format din două elemente aperiodice de ordinul 1, conectate în serie, avândfuncţiile de transfer:

)s(1,0T),s(1T,10KK,1sT

K)s(W,

1sTK

)s(W 21212

2

1

11

,

se cere:a) să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic diagrama Bode a ansamblului;b) să se întocmească programul în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a diagramei Bode a

ansamblului.

PP.1.15. Având două elemente aperiodice de ordinul 1 cu funcţiile de transfer:

)s(25,0T),s(1T,1,0K,10K,1sT

K)s(W,

1sTK

)s(W 21212

22

1

11

,

să se întocmească un program în MATLAB care să realizez:a) calcularea şi trasarea diagramei Bode pentru ansamblul format din cele două elemente aperiodice

conectate în serie;b) calcularea şi trasarea diagramei Bode pentru ansamblul format din cele două elemente aperiodice

de ordinul 1 conectate conform schemei:

c) să se interpreteze rezultatele obţinute .

PP.1.16. Pentru elementul de anticipare de ordinul 1 descris ecuaţia diferenţială:

)s(1,0T,100K,)t(rdt

)t(drTK)t(y

,

se cere:a) să se calculeze funcţia de transfer;b) să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă

)(),(A),(V),(U şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie.

PP.1.17. Pentru circuitul electric de corecţie serie cu întârziere de fază de forma:

se cere:a) să se calculeze funcţia de transfer;

b) adoptând )s(1T,10 11 , să se întocmească programul MATLAB pentru calcularea şitrasarea grafică a locului de transfer şi a diagramei Bode. Să se interpreteze rezultatele obţinute.

Indicaţii:

a)2

221

221 sC

sC)RR(1sC

1RR)s(Z

,sC)RR(1

sC)s(U

)s(Z)s(U

)s(I221

21

1

,

sC)RR(1sCR1

)s(U)s(I)sC

1R()s(U221

221

222

,

sC)RR(1sCR1

)s(U)s(U

)s(H221

22

1

2C

, .t.d.f se aduce la forma:

2

21i22i

ii

i

1

2

RRR

),s(CRT,1sT

1sT)s(U)s(U

)s(HC

.

PP.1.18. Pentru SLN în circuit închis descris de schema de structură:

să se calculeze performanţele în raport cu răspunsul indicial utilizând caracteristicile de frecvenţă )(M şi)(P .

PP.1.19. Pentru funcţia de transfer:

6s11s6s2s3s)s(H 23

2

,

să se verifice dacă sistemele )c,b,A( T menţionate mai jos constituie o realizare a acesteia.

a) 001c,93

1b,

6116100010

A T

;

b) 931c,001

b,610

1101600

A T

;

c) 301c,021

b,700

080003

A T

.

PP.1.20. Având matricea sistemului de forma:

200020012

A

să se calculeze matricea fundamentală utilizând metoda transformatei Laplace.

PP.1.21. Pentru cele trei sisteme descrise prin realizările de stare Tc,b,A , de la PP.1.19, săcalculeze şi să se traseze grafic răspunsul sistemului )t(y pentru o mărime de intrare treaptă unitară, cuprogram în MATLAB.

PP.1.22. Să se calculeze matricea fundamentală t pentru SLN de ordinul 2n descris deurmătoarea matrice a sistemului:

4102

A

utilizând:a) metoda transformatei Laplace;b) metoda polinomului matriceal;c) metoda polinomului de interpolare Lagrange-Silvester;d) metoda seriei infinite.

PP.1.23. Având SLN de ordinul 2n descris de următoarea matrice a sistemului :

1201

A ,

cu condiţia iniţială T11)0(X)t(X 0t să se calculeze:

a) matricea de tranziţie a stării;b) componenta liberă a vectorului de stare;c) să se interpreteze rezultatul obţinut.

PP.1.24. Pentru SLN de ordinul 3n , descris de următoarea ecuaţie diferenţială:

)t(r4)t(y4dt

)t(dy2dt

)t(yd3dt

)t(yd2

2

3

3

cu condiţiile iniţiale: 0)0(y)0(y)0(y ,se cere:

a) să se calculeze realizarea de stare Tc,b,A utilizând variabilele de fază;b) având cunoscută realizarea de stare de la punctul a, să se întocmească schema de modelare

echivalentă în SIMULINK şi corespunzător să se determine performanţele pentru )t(1)t(r ;c) având cunoscută realizarea de stare de la punctul a, să se întocmească un program în MATLAB

pentru calcularea şi trasarea grafică a răspunsului sistemului la mărime de intrare )t(1)t(r . Să se calculezeperformanţele.

PP.1.25. Pentru SLN de ordinul 2n având matricea sistemului de forma:

32

10A

să se calculeze:a) valorile proprii asociate matricei A;b) vectorii proprii;c) forma diagonală a matricei A;d) matricea fundamentală )t( utilizând metoda polinomului matriceal.

PP.1.26. Având cunoscută matricea sistemului:

121210101

A

să se calculeze analitic şi cu program în MATLAB:a) matricea transpusă şi )Adet( ;b) valorile proprii;c) vectorii proprii;d) matricea fundamentală;e) adoptând condiţia iniţială T100)0(X să se calculeze componenta liberă a vectorului de stare.

PP.1.27. Pentru SLN de ordinul 4n descris de funcţie de transfer:

4s3s2s1s1

)s(R)s(Y)s(H0 ,

se cere:a) să se calculeze realizarea de stare Tc,b,A utilizând metoda algoritmului serie;

b) să se calculeze realizarea de stare Tc,b,A utilizând metoda algoritmului paralel;c) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a răspunsului

indicial utilizând realizarea de stare de la punctul b;d) să se interpreteze rezultatele obţinute.

PP.1.28. Pentru SLN de ordinul 5 având funcţia de transfer de forma:

1s3s4s3s2s1ss3s21s2s3

)s(R)s(Y)s(H 2345

2

0

,

să se calculeze, cu program în MATLAB:a) realizarea de stare d,c,b,A T ;b) funcţia de transfer exprimată prin poli şi zerouri

PP.1.29. Pentru SLN monovariabil descris prin realizarea de stare d,c,b,A T unde:

6d,07202613c,

00001

b,

0100000100000100000113432

A T

să se întocmească un program în MATLAB prin care să se realizeze:a) calcularea funcţiei de transfer utilizând funcţia MATLAB tf2ss ;b) calcularea funcţiei de transfer utilizând funcţia MATLAB zp2ss ;c) trecerea de la exprimarea fdt prin poli şi zerouri, calculată la punctul b, la exprimarea funcţiei de

transfer prin raportul a două polinoame )s(den/)s(num .

PP:1.30. Pentru SLN de ordinul 3n descris prin funcţia de transfer:

1s5,03ss1s

)s(R)s(Y)s(H 20

să se calculeze realizarea de stare d,c,b,A T .

Unitatea de învăţare 3ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR LINIARE

CuprinsObiectiveRegulatoare automate clasice. Funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate tipizate. Funcţia

de transfer simplificată a regulatorului automat electronic. Scheme de regulatoare automateelectronice pentru procese rapide, deducerea funcţiilor de transfer. Criteriul modului şi simetriei deacordare optimă a regulatoarelor automate

Corecţia sistemelor liniare netede. Definiţii, clasificări, metode de corecţie. Corecţia serie şiderivaţie, circuite de corecţie.

Aplicaţii.Teste de autoevaluare.

OBIECTIVE- să indice principalele regulatoare clasice;- să cunoască funcţiile de transfer ale automatelor clasice;- să definească metodele de corecţie;- să clasifice metodele de corecţie;- să prezinte metodele de corecţie serie şi derivaţie;- să ilustreze modul de alegere al circuitelor de corecţie.

ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIAREŞI CONTINUE

3.1. PROBLEMA PROIECTĂRII. CRITERII DE PERFORMANŢĂSinteza sau proiectarea sistemelor de reglare automată porneşte de la date iniţiale care cuprindinstalaţia tehnologică supusă automatizării şi performanţele impuse funcţionării sistemului dorit,având ca scop determinarea structurii şi parametrilor celorlalte elemente din sistem [1]. Întrucâtelementul de execuţie EE (figura 2.46 şi 2.48) şi traductoarele sunt de cele mai multe ori livrateîmpreună cu instalaţia tehnologică, fiind legate de tipul construcţiei acestei instalaţii, iar varietateaelementelor de execuţie care pot fi utilizate este foarte restrânsă în practică, principalul rezultaturmărit în proiectare constă în obţinerea structurii şi parametrilor regulatorului automat (în unelelucrări este folosit termenul de compensator dinamic) care să asigure performanţele dorite pentrufuncţionarea întregului ansamblu al sistemului de reglare automată [1].Caracterizarea cantitativă a răspunsului sistemului la referinţe sau perturbaţii impuse seconcretizează într-o serie de criterii (indicatori) de performanţă [2]. Criteriile de performanţăutilizate în proiectarea SRA pot fi exprimate în domeniul real al timpului în baza răspunsului lareferinţă treaptă unitară şi respectiv la perturbaţie treaptă unitară, precum şi în domeniul frecvenţial.Criteriile de performanţă în raport cu mărimea de referinţă treaptă unitară sunt exprimate astfel:pentru suprareglaj ,imp pentru timpul de răspuns ,tt imprr pentru gradul de amortizare

imp şi pentru eroarea staţionară în raport cu referinţa ,impSTST iar criteriile de performanţăîn raport cu perturbaţia treaptă unitară sunt impuse suprareglării ,imp duratei regimuluitranzitoriu imprr tt şi erorii staţionare în raport cu perturbaţia .impSTST Aceste valori limităsunt stabilite în funcţie de specificul procesului tehnologic condus şi de comportarea specifică lavariaţia referinţei (comportarea sistemului la semnal mare) sau la variaţia perturbaţiei (comportareasistemului la semnal mic) [2]. Au rezultat două categorii de date iniţiale referitoare la performanţeleSRA, denumite şi performanţe de comportare. Asigurarea unei erori staţionare nule pentru semnalede referinţă treaptă reprezintă problema reglării. Păstrarea acestei performanţe în condiţiile variaţieiunor parametri ai IT (sub acţiunea unor perturbaţii parametrice), variaţii care să nu afectezestabilitatea sistemului, reprezintă problema reglării robuste.Dacă sistemul proiectat, în practică, este supus în principal variaţiilor mărimii de referinţă, iarvariaţiile mărimilor perturbatoare nu sunt intense şi nici frecvente, atunci proiectarea se poate facepornind de la indicii de performanţă în raport cu mărimea de referinţă treaptă. Dimpotrivă, dacă înpractică mărimea de referinţă a sistemului proiectat nu suferă modificări însemnate, dar influenţaperturbaţiilor asupra mărimii de ieşire are un caracter esenţial, atunci proiectarea se poate facepornind de la criteriile de performanţă în raport cu perturbaţia treaptă. O asemenea proiectare înfuncţie de o singură categorie de performanţe este denumită proiectare minimală şi nu poateconduce la rezultate optime în cazul SA care sunt supuse atât variaţiilor importante ale mărimii dereferinţă, cât şi acţiunii intense a unor perturbaţii [1]. În asemenea cazuri este necesar să se găseascăsoluţii care să ţină seama de ambele categorii de performanţe specificate, rezultând o proiectareoptimă, denumită curent acordare optimă [1] .În proiectarea SRA utilizând metoda caracteristicilor de frecvenţă se pot utiliza indicatori deperformanţă exprimaţi astfel:- indicatori de performanţă specifici caracteristicii de frecvenţă a sistemului închis :0 jHM

.

,MM

impBB

impVV

- indicatori de performanţă privind stabilitatea, specifici caracteristicilor de frecvenţă ale sistemuluideschis:

imp

impAA

MM

1MM

Cerinţele de performanţă impuse răspunsului la frecvenţă au corespondent în domeniul timpului şisatisfacerea acestora asigură răspunsul dorit.Rezultatele proiectării depind în mare măsură de exactitatea datelor iniţiale referitoare la descriereamatematică a proceselor desfăşurate în instalaţia tehnologică supusă automatizării; această descrierematematică, care poate fi făcută prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale, al funcţiilor de transfer saual caracteristicilor de frecvenţă, este denumită identificarea proceselor [1]. Admiţând că procesuleste identificat, deci are un model matematic dat, şi că datele iniţiale referitoare la ansamblulelement de execuţie (EE) şi traductor sunt cunoscute, rezultă că partea fixată a SRA (blocul F) sepoate exprima sub forma unui model matematic. În proiectare, acest model matematic trebuie să fiecunoscut aprioric. Se consideră structura SRA din figura 3.1. în care se precizează acţiuneaperturbaţiei principale. În figura 3.1 partea fixată a sistemului este împărţită în două blocuri, iarfuncţia de transfer a părţii fixate este .sHsHsH 2F1FF Funcţia de transfer a procesului poate avea diferite forme în funcţie de natura acestuia.

Fig. 3.1

În cazul proceselor rapide funcţia de transfer a părţii fixate se poate scrie sub forma:

,sT1sT1

KsUsYsH

k1k

nm

1i

FF

i

(3.1)

unde FK este factorul de amplificare al blocului F. În funcţia de transfer a părţii fixate sunt puse înevidenţă două categorii de constante de timp: constante de timp principale kT şi constante de timpparazite .T Constantele de timp parazite au valori mult mai mici decât constantele de timpprincipale şi suma constantelor de timp parazite este mult mai mică decât valoarea celei mai miciconstante de timp principale. Deoarece 1T i secundă, cu aproximaţie se scrie:

;T...TTs1sT1...sT1sT1sT1 m21m21i

m

1i

Se notează suma constantelor de timp parazite cu :T,T...TTT m21

şi atunci:

,sT1sT1 i

m

1i

(3.2)

Cu luarea în consideraţie a relaţiei (3.2), expresia funcţiei de transfer a părţii fixate devine:

,sT1sT1

KsUsYsH

k1k

nF

F

(3.3)

În cazul proceselor rapide constantele de timp KT au valori mai mici de 10 secunde. În relaţia (3.3),.TT k

În cazul proceselor lente constantele de timp ale procesului sunt mari, iar în multe cazuri prezenţatimpului mort conduce la următoarea reprezentare matematică pentru partea fixată [1, 2]:

,esT1sT1

KsUsYsH s

k1k

nF

F

(3.4)

în care este timpul mort.Pentru proiectarea SALC sunt folosite diferite metode care au la bază modele matematice de tipulintrare-ieşire sau modele intrare-stare-ieşire. Pentru SALC invariante monovariabile sunt frecventutilizate metoda repetiţiei poli-zerouri, metoda locului rădăcinilor, metoda caracteristicilor defrecvenţă etc. [1, 2, 36]. În cazul când se cunoaşte modelul matematic al părţii fixate, cerinţele deperformanţă impuse şi mărimile de excitaţie, obiectivul proiectării optimale constă în determinareaalgoritmului de reglare sau de conducere a procesului şi adoptarea echipamentului (regulatorului)corespunzător.Pentru îmbunătăţirea condiţiilor de fabricare, majoritatea producătorilor de regulatoare electronicefabrică un număr limitat de regulatoare. Regulatoarele automate care primesc la intrare eroarea şiau la ieşire mărimea de comandă u, realizează algoritmi de comandă (de reglare) prin intermediulcărora mărimea de comandă u poate conţine componente proporţionale cu eroarea , cu integrala întimp a erorii şi cu prima şi a doua derivată, în raport cu timpul, a erorii [1]. Astfel de regulatoareautomate se numesc tipizate. În unele cazuri pot rezulta din proiectare regulatoare cu funcţii detransfer corespunzătoare unor algoritmi de reglare care să includă derivate de ordin superiorderivatei a doua. În asemenea situaţii se preferă să nu se complice algoritmul de reglare şiconstrucţia regulatorului automat, acestea rămânând limitate la variantele tipizate care introduccomponente proporţionale cu cel mult derivata a doua, complicându-se schema de structură a SRAprin folosirea mai multor regulatoare (reglarea în cascadă) [1].O fază de proiectare de amploare redusă este corecţia SRA. În acest caz SRA este dat, dar nucorespunde din punctul de vedere al performanţelor de comportare impuse. Se cere să se proiectezeun element suplimentar, denumit element de corecţie, care introdus în dispozitivul de automatizaresă conducă la obţinerea performanţelor impuse.

3.2. ROLUL REGULATOARELOR ÎN SISTEMELE DE REGLARE AUTOMATĂ.CLASIFICAREA REGULATOARELOR AUTOMATE

Legea de dependenţă dorită între mărimea de ieşire ty şi mărimea de referinţă tr pe care trebuiesă o realizeze sistemul de reglare automată, în principal este asigurată prin dependenţa tftu realizată de regulatorul automat [1, 2].În continuare, se fac referiri numai la regulatoarele automate electronice. Elementele fundamentaleale acestora sunt elementele de amplificare şi circuitele de corecţie (circuitele de reacţieoperaţională). În construcţia acestor regulatoare mai intervin însă şi alte elemente, legate îndeosebide asigurarea unor condiţii cât mai bune de exploatare [36]. Astfel, blocurile de reglare trebuie săasigure trecerea din regimul de funcţionare AUTOMAT al instalaţiei tehnologice, când comandaeste elaborată de regulator, în regimul de funcţionare MANUAL când mărimea de comandă estegenerată de un element specializat de comandă manuală, precum şi trecerea inversă. Trecereaautomat-manual este necesară în cazul intrării în revizie a regulatorului sau în cazul unor defecte aacestora, iar trecerea manual-automat intervine după revizii sau reparaţii ale regulatorului, precumşi la punerea în funcţiune a SRA.Din punct de vedere al referinţei utilizate, regulatoarele pot fi cu referinţă externă şi cu referinţăinternă. Referinţa externă poate fi de la un bloc special, exterior regulatorului, de la un alt regulatorsau la un calculator numeric [32, 2].Trecerea de la funcţionarea automată la funcţionarea manuală (şi invers), precum şi trecerea de lafuncţionarea cu sursă internă (locală), pentru mărimea de referinţă, la funcţionarea cu o sursăexternă (şi invers) trebuie să se efectueze fără şocuri care ar solicita IT. Pentru a evita astfel de

şocuri este necesară o echilibrare prealabilă care se realizează prin intermediul unor butoane,avându-se în vedere indicaţia unor dispozitive de măsură prevăzute pe regulator.O problemă importantă, pentru practică, este legată de atribuirea semnului comenzii .tuRegulatoarele pentru procese lente sunt prevăzute cu un comutator “DIRECT-INVERS”, care înfuncţie de ventilul de reglare permite alegerea semnului comenzii .tu Blocurile de reglare maisunt prevăzute cu dispozitive de stabilire a parametrilor de acordare ,T,T,K diR precum şi cuaparate indicatoare [36].Există mai multe criterii de clasificare a regulatoarelor, criterii determinate de tipul şicaracteristicile instalaţiei tehnologice şi respectiv de caracteristicile de funcţionare ale RA [2].În funcţie de tipul instalaţiei tehnologice se întâlnesc regulatoare pentru procese invariante, a cărorfuncţionare este descrisă prin modele cu parametri constanţi, şi regulatoare pentru procese cucaracteristici variabile în timp, denumite regulatoare adaptive şi extremale.După viteza de răspuns a instalaţiei tehnologice, regulatoarele se clasifică în regulatoare pentruprocese lente şi regulatoare pentru procese rapide.După caracteristicile de funcţionare ale RA, acestea se clasifică în regulatoare cu acţiune continuă şiregulatoare cu acţiune discretă, liniare şi neliniare. Regulatoarele liniare sunt caracterizate de odependenţă liniară ,tftu iar cele neliniare printr-o dependenţă neliniară care poate fi de tipreleu, liniarităţi cu saturaţie etc. Regulatoarele cu acţiunea discretă pot fi cu impulsuri modulare şirespectiv numerice.După caracteristicile construcţiei RA şi ale semnalelor de intrare şi ieşire ale regulatoarelordeosebim regulatoare unificate care au la intrare şi ieşire mărimi unificate, adică mărimi de aceeaşinatură fizică şi cu aceeaşi gamă de variaţie, şi regulatoare specializate construite special pentruanumite procese.După sursa de energie pe care o utilizează regulatoarele deosebim RA cu acţiune directă şi respectivRA cu sursă externă de energie, categorie în care sunt incluse majoritatea regulatoarelor. RA cuacţiune directă elaborează mărimea de comandă folosind numai energia rezultată din procesul demăsurare a mărimii reglate, nu au sursă exterioară de energie, nu pot fi utilizate în cazul unoralgoritmi de comandă complecşi şi nici în situaţia când elementul de execuţie necesită o puteremare de comandă. Astfel de RA sunt specializate (de presiune, temperatură, etc.).După agentul purtător de semnal se deosebesc RA electronice, pneumatice, hidraulice şi mixte.Cele mai răspândite regulatoare automate sunt regulatoarele cu acţiune continuă liniare de tipproporţional (P), proporţional-integral (PI), proporţional-derivativ (PD) şi proporţional-integrator-derivativ (PID). Acestea însă, din ce în ce mai frecvent, lasă locul RA numerice.

3.3. FUNCŢIILE DE TRANSFER ALE REGULATOARELOR AUTOMATEÎn cadrul regulatoarelor automate analogice elementele de amplificare sunt realizate caamplificatoare operaţionale (AO), iar elementele de corecţii dispuse pe reacţia operaţională suntrealizate, în marea majoritate a cazurilor, ca reţele pasive RC; în foarte puţine construcţii se folosescelemente de corecţie (reacţie operaţională) active [1].Schema de principiu a unui RA electronic cu AO, frecvent utilizată în practică, este redată în figura3.2.

Fig. 3.2

În analiza comportării reale a RA trebuie să se ţină seama şi de faptul că amplificatorulelectronic al regulatorului este caracterizat nu numai de amplificarea A ci şi de o constantă de timpechivalentă T , extrem de redusă, din categoria constantelor de timp parazite, întrucât transferulsemnalelor prin amplificator, de la intrare la ieşire, nu se face instantaneu, amplificatorul având (înbuclă deschisă) o funcţie de transfer de forma [1]:

,1sT

AsA

Deosebirile între comportarea reală şi cea ideală a regulatoarelor sunt determinate de diferenţeledintre funcţia de transfer reală şi cea aproximativă, precum şi de prezenţa constantei T [1]. Înfuncţia de transfer ideală (sau aproximativă) se consideră că amplificarea teoretic tinde către infinit ,A iar .0T De multe ori, semnalele de intrare în regulatoare sunt filtrate, urmare autilizării reacţiilor tahometrice de curent continuu, a traductoarelor de curent etc. Componentele P, Işi D sunt fundamentale, deoarece din combinaţia acestora se obţine algoritmul de comandă dorit.Este important a se evidenţia rolul componentelor I şi D din algoritmul de comandă (legea dereglare). Componenta integrală din algoritmul de comandă este definită de prezenţa unui pol înorigine în funcţia de transfer sHR a regulatorului automat. Este importantă, pentru regimulstaţionar, deoarece dacă în funcţia de transfer a părţii fixate nu mai apare un alt pol în origine,atunci polul în origine din funcţia de transfer a RA determină obţinerea unui SA de tipul ,1pentru care 0 ST la referinţă treaptă .ctC,tlCtr Dacă funcţia de transfer a părţii fixate conţine un pol în origine, atunci se obţine un SA de tipul

2 şi deci eroarea de viteză 0v (pentru referinţă rampă). Componenta derivatăîmbunătăţeşte regimul tranzitoriu datorită efectului de anticipare pecare îl asigură derivata. Se compensează astfel parţial întârzierile în transmiterea semnalelor,inerente oricărui sistem.

a) Regulatorul proporţional sau de tip P este un element proporţional care realizează cuaproximaţie (neglijând constantele de timp parazite) o dependenţă între mărimea de comandă u şieroarea de forma:

,tKtu R (3.5)şi rezultă funcţia de transfer idealizată:

,KssUsH RR

(3.6)

unde parametrul RK este factorul de proporţionalitate (de amplificare) al regulatorului.Uneori în loc de factorul RK se utilizează mărimea BP (banda de proporţionalitate), definită

astfel:

,domeniul

udomeniulK1

100BP

R (3.7)

Dacă RA este unificat, atunci (domeniul u/domeniul ) = 1 şi relaţia (3.7) devine:

,K100BP

R

(3.8)

Pentru multe aplicaţii valoarea acestui parametru este cuprinsă între 1 şi 400%. De exemplu,pentru %,2002BP rezultă ,200K1002 R .505,0K R

Ecuaţia de funcţionare a regulatorului P real poate fi, de exemplu, de forma:,KuuT R1

care conduce la funcţia de transfer reală:

,

1sTK

ssUsH

1

RR

(3.9)

în care se evidenţiază un element deîntârziere de ordinul I cu funcţia detransfer ),1(1 1 sT a cărui efect este defiltrare. Cu cât constanta de timp 1T va fimai mare, cu atât efectul de întârziere alelementului aperiodic de ordinul I va fimai mare (fig. 3.3). Mărirea factoruluide amplificare (reducerea benzii deproporţionalitate) determină micşorareaerorii staţionare a parametrului reglat, în situaţii când parteafixată nu conţine pol în origine, iar rezerva de

Fig. 3.3stabilitate se va micşora corespunzător.

b) Regulatorul integrator, sau de tip I este un element integrator care realizează cuaproximaţie o dependenţă fftu de forma:

,dttT1tu

i (3.10)

rezultând o funcţie de transfer idealizată de forma:

,

sT1

ssUsH

iR

(3.11)

unde iT este constanta de timp a componentei integrale sau constanta de timp de integrare.Răspunsul indicial al unui regulator I ideal este o rampă cu panta .T1Ktg ii Regulatoarele Ireale au termeni inerţiali în membrul I al ecuaţiei (3.10) şi atunci dinamica unui astfel de regulatorva fi descrisă de ecuaţia:

,T1K,dttKuuT iii1 (3.12)

şi respectiv de funcţia de transfer:

,1sTs

KssUsH

1

iR

(3.13)

Dacă se rezolvă ecuaţia (3.12) pentru o variaţie a erorii sub formă de treaptă unitară, atuncise obţine:

,0t,e1TKtKtu 1T/t1iir (3.14)

Diferenţa între cele două răspunsuri indiciale ideal tu i şi real tu r este dată de relaţia[2]:

,e1TKtKtKtututa 1T/t1iiiri

sau

,e1TKta 1T/t1i

(3.15)de unde .TTTKa i11i

Răspunsurile indiciale ale regulatorului ideal şi real sunt prezentate în figura 3.4.

Fig. 3.4Existenţa polului de ordinul I în funcţiile de transfer (3.11) şi (3.13) determină anularea eroriistaţionare 0 ST în cazul când partea fixată nu conţine pol în origine, însă rezerva de stabilitate asistemului poate să scadă. În general, regulatorul I nu se foloseşte în sistemele de reglare subaceastă formă, ci în combinaţie cu regulatorul P [2].

c) Regulatorul proporţional-integrator sau de tip PI realizează cu aproximaţie o dependenţăde forma:

,dttT1tKtu

iR

(3.16)

rezultând o funcţie de transfer idealizată de forma:

,

sT1sT

KsT

11KssUSH

i

iR

iRR

(3.17)

La un asemenea algoritm de comandă se dispune de doi parametri de acord ce pot fimodificaţi, astfel încât să se asigure performanţele dorite [1].

Răspunsul indicial al regulatorului PI ideal, corespunzător cu (3.16), va fi:

,TKK,tKtlKtT

KtlKtu iRiiR

i

RR (3.18)

şi este reprezentat în figura 3.5.b. Semnificaţia factorului RK din ecuaţia (3.18) este evidenţiată şiîn figura 3.5.b: la t = 0, .Ku R Factorul iRi TKK reprezintă panta componentei integrale ;Ktg i la t = 1, ,KKu iR ceea ce permite construirea uşoară a componentei integrale pebaza ecuaţiei regulatorului (3.18).

a) b) c)Fig. 3.5

Prelungind componenta integrală până la intersecţia cu axa t se găseşte, din considerareatriunghiului OAB, că ,TOA i astfel: ;OAOBKtg i .TKKKOBOA iiRi Dinecuaţia (3.18) se mai constată că la ,Tt i ,K2u R ceea ce permite să se definească constanta detimp de integrare ca fiind timpul până la care comanda u capătă o valoare dublă faţă de cea pe careo ia la momentul iniţial, datorită componentei proporţionale. Datorită acestui fapt, constanta iT maieste denumită şi timp de dublare prin componenta integrală. Mărirea lui iT echivalează cumicşorarea vitezei de variaţie a lui u, respectiv la micşorarea vitezei de deplasare a elementului de

execuţie, iar pentru iT componenta integrală se anulează. Un regulator PI real este descris deecuaţia:

,dtt

TK

tKtutuTi

RR1 (3.19) iar funcţia de

transfer asociată regulatorului PI real este de forma:

,

1sT1

sT11K

ssUsH

1iRR

(3.20)

În expresia (3.20) elementul de întârziere de ordinul I cu funcţia de transfer 1sT1 1 poate fiprivit ca un element de filtrare. Răspunsul indicial al regulatorului PI real este reprezentat în figura3.5.c.

La alegerea unui regulator PI pentru o parte fixată dată, se vor avea în vedere frecvenţaperturbaţiilor şi modul de variaţie al mărimii de referinţă. Pentru variaţii rapide ale referinţei şifrecvenţe mari ale perturbaţiilor nu se recomandă regulatorul PI [5].

d) Regulatorul proporţional-derivativ sau de tip PD.Trebuie menţionat că un regulator de tip D (derivativ) nu poate fi utilizat singur. Un regulator de tip

D exprimă dependenţa:

,dt

tdTtu d

(3.21)

în care dT este constanta de timp de derivare. Din (3.21) se constată că dacă ct atunci comandaeste nulă ,0u ceea ce echivalează cu o întrerupere în transmisia semnalelor, iar dacă eroarea ar fio rampă unitară ,tt atunci ,tlTdtdu d deci acţiunea regulatorului ar rămâneconstantă indiferent de timpul în care ar acţiona eroarea. Componenta derivativă a erorii seutilizează în combinaţie cu componenta P sau P şi I, rezultând regulatoare de tipul PD sau PID.

Regulatorul de tip PD realizează cu aproximaţie o dependenţă de forma:

,dt

tdTtKtu dR

(3.22)

rezultând o funcţia de transfer idealizată de forma:

,sT1KssUsH dRR

(3.23)

Corespunzător ecuaţiei (3.22) răspunsul indicial al regulatorului PD ideal este de forma: ,tTKtlKtu dRR (3.24)

şi este reprezentat în figura 3.6.a. După trecerea impulsului de amplitudine infinită (Dirac) mărimeade comandă rămâne constantă şi proporţională cu eroarea, factorul de proporţionalitate fiind RK(fig. 3.6.a). Din relaţia (3.22) se constată că pentru 0Td se obţine un regulator de tip P. Datorităinerţiilor inevitabile, nici un sistem fizic real nupoate produce la ieşire un impuls de amplitudine infinită la o variaţie treaptă unitară a mărimii deintrare. Din relaţia (3.23) rezultă că funcţia de transfer a regulatorului ideal nu este realizabilă fizicdeoarece gradul polinomului, de variabilă complexă s, de la numărător (gradul unu) este mai maredecât a polinomului de la numitor (gradul zero). Este necesar ca şi gradul numitorului să fie celpuţin egal cu unu, aspect care se realizează prin introducerea unui element de filtrare sub formaunui element de întârziere deordinul I, obţinându-se astfel f.d.t. a regulatorului PD real sub forma:

,

1sT1sT

KssUsH

d

dRR

(3.25)

Relaţia (3.25) corespunde unui algoritm de comandă PD un filtru (PDF). În (3.25) constantade timp fTTd reprezintă constanta de timp de filtrare, iar valorile practice ale coeficientului sunt .125,01,0

a) b) c)Fig. 3.6

Răspunsul indicial al regulatorului PDF este prezentat în figura 3.6.b. În baza teoremeivalorii iniţiale se poate calcula valoarea comenzii la momentul t = 0, astfel:

,sHsslimssUlimtulim0u R0 sst

în care sHiar,s1s R este dată de relaţia (3.25). Se obţine:

,TT,TT

KsHlim0u dd

RR ff

s

Pentru o rampă unitară ,tt deci pentru 2s1s transformata răspunsului ideal alunui regulator PD, conform cu (3.23), are expresia:

,sTK

sK

sU dR2R

rezultând răspunsul ideal: ,tKtlTKtu RdR (3.26)

care conţine suma unei trepte de valoare dR TK cu o rampă de pantă RK (fig. 3.6.c).Din relaţia (3.26) se constată că pentru dTt se obţine: dd TK2Tu R (3.27)

deci dublul valorii dR TK0u a răspunsului, fapt pentru care constanta dT mai este denumită“timp de dublare prin componenta derivativă”[36].

În algoritmul de comandă PD, prezenţa componentei derivative introduce un efect deanticipaţie ce atrage o îmbunătăţire a stabilităţii sistemului. În cazul unor procese supuse unorperturbaţii cu frecvenţă foarte mare, componenta derivativă nu se recomandă. De asemenea,componenta derivativă are o acţiune nefavorabilă în cazul proceselor cu timp mort.

e) Regulatorul proporţional-integrator-derivativ sau de tip PID.Regulatorul PID realizează cea mai cuprinzătoare formă de prelucrare a semnalului de

abatere, întrunind avantajele celor trei componente P, I, D, 1. Se întâlnesc mai multe variante deastfel de regulatoare.

e1) Regulator de tip PID fără filtrare şi fără interinfluenţă.Realizează cu aproximaţie o dependenţă de forma:

,dt

tdTtT1tKtu d

iR

(3.28)

în care diR T,T,K reprezintă factorul de amplificare, respectiv constanta de timp de integrare şiconstanta de timp de derivare. Parametrii diR T,T,K reprezintă parametri de acord ai regulatorului.

Corespunzător relaţiei (3.28) se obţine funcţia de transfer idealizată a regulatorului de forma:

,

sT1sTsTT

KsTsT

11KssUsH

i

i2

diRd

iRR

(3.29)

Transformata răspunsului ideal al unui regulator PID la o treaptă unitară ,s1s areexpresia:

,TKsT

Ks

KsU dd2

i

RR (3.30)

rezultând răspunsul ideal, în domeniul timpului:

,tTKtT

KtlKtu dR

i

RR (3.31)

care conţine suma unei trepte de valoare RK cu o rampă de pantă iR TK şi cu un impuls unitar(Dirac). La ;0,0 ut la t = 0, răspunsul este un impuls unitar; la ,Ku,0t R iar la t >0,

.tT

KKu

i

RR

Răspunsul indicial ideal este reprezentat în figura 3.7.a.Din expresia (3.29) se constată că funcţia de transfer nu este fizic realizabilă, deoarece

gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, conţinând două anticipări contra oîntârziere. Trebuie ca şi numitorul funcţiei de transfer să fie de gradul doi, ceea ce se realizează prinintroducerea unui element de filtrare. Privind componentele P, I, D se pune problema de a stabili încanalul cărei componente este util a se introduce filtrare.

Componenta cea mai sensibilă la zgomote este componenta derivativă. Zgomotele suntsemnale aleatoare de frecvenţe înalte, cu viteze mari de variaţie şi deoarece componenta derivativă, la ieşire,generează semnale a căror valori sunt proporţionale cu viteza de variaţie în timp a semnalului de intrare, seafirmă că “derivata amplifică zgomotele”. Rezultă că cel mai indicat este să se introducă filtrarea pecomponenta derivativă.

a) b) c)Fig. 3.7

e2) Regulator de tip PID cu filtrare şi fără interinfluenţăFuncţia de transfer a unui regulator PID real când filtrarea se introduce pe componenta

derivativă este de forma:

,

1sTST

sT11K

ssUsH

d

d

iRR

(3.32)

în care 1 şi valorile practice sunt cuprinse între .125,01,0 Şi în acest caz fTTd reprezintă constanta de timp a circuitului de filtrare. Filtrarea semnalelor de înaltă frecvenţă(perturbaţiilor) se mai poate realiza prin plasarea filtrului la ieşirea regulatorului PID ideal,rezultând o funcţie de transfer a regulatorului PID real de forma:

,

1sTsT

sTsT

11KssUsH

d

dd

iRR

(3.33)

În continuarea se va utiliza funcţia de transfer a regulatorului PID real descrisă de relaţia(3.32). Răspunsul indicial al regulatorului PID real este reprezentat în figura 3.7.b. Se constată cămărimea de comandă, la t = 0, creşte brusc până la valoarea ,TTK fdR apoi scade exponenţial cuconstanta de timp fT şi creşte din nou liniar cu timpul, cu panta constantă. Valoarea răspunsului lamomentul t = 0 se determină utilizând teorema valorii iniţiale în care ,s1s astfel:

.TTKsHsslimtulim0u fdRRs0t

Comportarea tipică a unui regulator PID real este dată în figura 3.7.c.În cazul proceselor tehnologice sensibile la şocuri se pune problema dacă este bine să se

deriveze eroarea, adică în algoritmul de comandă derivata să fie aplicată erorii. De exemplu, dacăSRA este cu reacţie principală directă şi la intrare se aplică o mărime de excitaţie treaptă unitară ,tltr atunci derivata erorii tytrt devine:

,dt

tdydt

tlddt

td

(3.34)

În relaţia (3.34) termenul dttdy oferă informaţii despre tendinţa de variaţie a mărimii deieşire, iar termenul dttld este un impuls unitar, deci un şoc care poate avea urmări negativeasupra procesului tehnologic. În situaţia unui proces tehnologicsensibil la şocuri, se preferă ca această componentă derivativă să nu se introducă în canalul erorii,

ci în canalul mărimii de ieşire y, obţinându-se un algoritm de comandă de forma [1]:

,sY1sT

sTs

sT1sKsU

f

d

iR

(3.35)

În unele cazuri şi componenta proporţională se introduc în canalul mărimii de ieşire y,rămânând în canalul erorii numai componenta integrală, aceasta tot în scopul evitării şocurilor îninstalaţia tehnologică. Se are în vedere faptul că pentru SRA cu reacţie principală directă având laintrare aplicată o treaptă, în primul moment mărimea de ieşire y nu are timp să se modifice datorităinerţiei procesului şi atunci la momentul aplicării excitaţiei ,trt care se amplifică cu ,K R setransmite o variaţie bruscă la IT, care poate avea urmări nedorite. Deci, în practică sunt situaţii încare componentele P şi D din algoritmul de comandă apar în canalul mărimii de ieşire y [1].

e3) Regulator de tip PID fără filtrare şi cu interinfluenţăRegulatorul PID fără filtrare şi cu interinfluenţă poate fi realizat prin conectarea în serie a

unui bloc PI cu unul PD, obţinându-se funcţia de transfer idealizată de forma:

,sT1

sT11K

ssUsH d

iRR

(3.36)

care mai poate fi scrisă astfel:

,

sT1sTTsTT

KsHi

di2

diRR

(3.37)

Funcţia de transfer idealizată (aproximativă) a unui regulator PID fără filtrare şi fărăinterinfluenţă este descrisă de relaţia (3.29):

,sT

1sTsTTKsT

sT11KsH

i

i2

diRd

iRR

(3.38)

Deosebirea dintre (3.37) şi (3.38) este determinată de efectul de interinfluenţă [36]. Pentru ascoate în evidenţă efectul de interinfluenţă se aduce f.d.t. (3.37) la o formă analoagă cu (3.38). Senotează parametri echivalenţi ai regulatorului PID fără filtrare şi cu interinfluenţă cu diR T,T,K şiatunci relaţia (3.37) este adusă la forma echivalentă cu (3.38):

,sT

1sTsTTKsH

i

i2

diRR

(3.39)

Identificând (3.37) cu (3.39) se obţine:

,T

TTKK,

TK

TK

,TT

TTTTT

T

,TTT

i

diRR

i

R

i

R

di

di

i

did

dii

(3.40)

Relaţiile (3.40) indică faptul că parametri diR T,T,K depind de cel puţin doi dintre parametri.T,T,K diR Interinfluenţa acordării parametrilor blocului de reglare constă în faptul că modificarea

parametrului id TsauT conduce la modificarea tuturor parametrilor echivalenţi .T,T,K diR În general, la regulatoarele electronice PID la care prin construcţia regulatorului nu se

asigură eliminarea interinfluenţei, funcţia de transfer idealizată poate fi adusă la forma1:

,TT

qsTsT

11KsHi

dd

iRR

(3.41)

unde q este factorul de interinfluenţă. Din (3.36) se constată că în cazul considerat q = 1. Folosireaunor canale separate pentru componentele P, I, D elimină complet toate dificultăţile aferenteinterinfluenţei, asigurând realizarea funcţiei de transfer (3.38), deci cu un grad de interinfluenţă q =0 şi o independenţă totală a acordării parametrilor .TşiT,K diR Schema de principiu a unuiregulator PID cu canale separate pentru componentele P, I, şi D este redată în figura 3.8 [1].

Fig. 3.8

În figura 3.8. sunt specificate cele trei canale corespunzătoare elementelor separate P, I, D.Prin canalul superior, al componentei proporţionale, se transmite direct eroarea (sub forma uneitensiuni electrice) la amplificatorul sumator AS, pe canalul median (al componentei D) se găseşteblocul derivativ B1, format dintr-un amplificator cu reacţie operaţională care realizează funcţia detransfer aproximativă ,sTd iar pe canalul inferior (al componentei I) se găseşte blocul integrator B2,care este tot un amplificator operaţional cu reacţia corespunzătoare pentru realizarea funcţiei detransfer aproximative .sT1 i Amplificatorul sumator AS, este prevăzut cu o reacţie negativă prinintermediul rezistenţei reglabile R, care permite ajustarea factorului de proporţionalitate RK dinrelaţia (3.38). Constantele de timp id TşiT pot fi ajustate independent prin intermediul rezistenţelorreglabile incluse în circuitele de corecţie ale blocurilor B1 şi B2 [36, 1]. Soluţia din figura 3.8 estecaracterizată, comparativ cu varianta din figura 3.2, de un cost mai ridicat, în schemă intervin treiamplificatoare operaţionale, faţă de unul singur din schemele anterioare (care sunt conform cufigura 3.2). Soluţia din figura 3.8 pe lângă eliminarea completă a interinfluenţelor asigură şi ofiabilitate ridicată, fapt pentru care este utilizată în realizarea regulatoarelor electronice dinstructura autopiloţilor navali.

e4) Regulator de tip PID cu filtrare şi cu interinfluenţăAcest algoritm se realizează prin conectarea în serie a unui bloc PI cu un bloc PDF

(proporţional-derivativ cu filtru), obţinându-se funcţia de transfer de forma:

,1sT

1sTsT

11KsHd

d

iRR

(3.42)

Pentru realizarea funcţiei de transfer din (3.42) se pot utiliza două variante de conexiuni,frecvent întâlnite în practică[19].

Varianta A: funcţia de transfer (3.42) se scrie sub forma:

,sT

KK

1sT1sT

sHi

RR

d

dR

(3.43)

În relaţia (3.43) se distinge un modul PDF cu funcţia de transfer 1sT1sT dd şi un

modul PI cu f.d.t. .sT

KK

i

RR

Relaţiei (3.43) i se asociază schema de structură din figura 3.9.

Fig. 3.9

Varianta B: funcţia de transfer se scrie sub forma:

,s1

TK

sK1sT

1sTsH

i

RR

d

dR

(3.44)

Conform relaţiei (3.44) funcţia de transfer se realizează prin conectarea în serie a trei module: unmodul PDF cu un modul PD şi un modul integrator ideal. Schema de structură este prezentată în figura 3.10.

Algoritmii de reglare (3.43) şi (3.44) sunt uşor de transpus în module software în vedereaimplementării pe un microcalculator regulator [19].

Fig. 3.10

3.4. ACORDAREA OPTIMĂ A REGULATOARELOR PENTRU SISTEME AUTOMATELINIARE CONTINUE ŞI INVARIANTE

Prin acordare optimă a unui regulator automat se înţelege determinarea funcţiei de transfer şia valorilor parametrilor care intervin în aceasta, astfel încât să se asigure o comportare optimă asistemului automat în raport cu un criteriu de performanţă adoptat.

Sunt utilizate două categorii de criterii de optimizare. Prima categorie de criterii porneşte dela satisfacerea performanţelor în raport cu semnalul de referinţă şi totodată selectează soluţia careasigură cea mai bună comportare a sistemului automat în raport cu perturbaţia. A doua categorie decriterii se bazează pe minimizarea valorii unei integrale, fiind denumite criterii integrale.

3.4.1. Acordarea regulatoarelor pentru procese rapideÎn cazul proceselor rapide modelele matematice ale părţii fixate sunt stabilite cu un grad ridicat de

precizie, iar constantele de timp dominante sunt mai mici de 10 secunde. Pentru acordarea regulatoarelorsunt utilizate criteriul modulului şi criteriul simetriei.

a) Criteriul modululuiAcest criteriu porneşte de la ideea că un sistem liniar invariant are o comportare ideală în

raport cu semnalul de referinţă şi cu perturbaţia aditivă, în sensul că răspunsul în raport cu referinţa

este identic cu referinţa, iar răspunsul în raport cu perturbaţia este nul [2]. Se consideră schema destructură a SRA cu reacţie principală directă reprezentată în figura 3.1. SRA fiind liniar, la acţiuneasimultană a referinţei şi perturbaţiei, mărimea de ieşire y va avea două componente:

,tytyty pr sau în imagini Laplace:

,sYsYsY pr

unde tysY rr L este componenta răspunsului determinată de referinţa r, iar tysY pp Leste componenta răspunsului determinată de perturbaţia adiţională. Deci, comportare idealăînseamnă 0yşitrty p sau ,0 t pentru 0r şi .0p

Întrucât ,sRsHsY 0r (3.45) ,sPsHsY p0p (3.46)

unde sRsYsH,tpsP r0 L este funcţia de transfer a sistemului automat închis înraport cu referinţa r, iar sPsYsH pp0 este funcţia de transfer a sistemului închis în raport cuperturbaţia p. Pentru un sistem ideal în care tot timpul ,0 t se obţin condiţiile:

,1sH0 (3.47) ,0sH p0 (3.48)

Trecând în domeniul frecvenţial, cu substituţia ,js rezultă: ,1jH0 (3.49)

,0jH p0 (3.50)şi deci pentru module se obţin condiţiile:

,1MjH 0 (3.51)

,0MjH pp0 (3.52)care caracterizează, în domeniul frecvenţial, o comportare ideală. Din aceste condiţii impusemodulelor derivă şi denumirea de “Criteriul modulului”. Condiţiile ideale (3.51), (3.52) ar trebuisatisfăcute pentru toată gama de variaţie a pulsaţiei . Pentru a stabili ce implicaţii ar aducerespectarea acestor condiţii ideale se dezvoltă relaţiile (3.51) şi (3.52) în serie Mac-Laurin:

nn

n2

2

2

000 dMd

!n1

dMd

21

ddM0MM (3.53)

nn

pn

22

p2

ppp

000 dMd

!n1

dMd

21

ddM

0MM (3.54)

Corespunzător relaţiei (3.53), condiţia ideală (3.51) este îndeplinită dacă au loc relaţiile: ,10jH0M 0 (3.55)

,0

dMd,0

ddM

002

2

(3.56)

Condiţia 10 M este asigurată prin prezenţa unui pol în origine în f.d.t. a sistemuluideschis, deci pentru SA de tipul ,2sau1 ceea ce asigură totodată o eroare staţionară nulă(la referinţă treaptă), conform tabelei 2.1.

Având în vedere (3.54), condiţia ideală (3.52) este îndeplinită dacă au loc relaţiile:

,0

dMd

,0d

dM,00M

002

p2

pp

(3.57)

Deoarece SA nu poate fi ideal, condiţiile (3.56) şi (3.57) nu pot fi exact realizate [1].Acordare optimă înseamnă satisfacerea (3.55) şi realizarea unor condiţii cât mai apropiate decondiţiile ideale (3.56) şi (3.57). În baza acestor considerente a fost elaborat criteriul modulului,folosit atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul proceselor lente [19].

În cazul proceselor rapide funcţia de transfer a părţii fixate este descrisă cu o bună preciziede relaţia (3.1.):

,sT1sT1

KsUsYsH n

K

FF

1k

(3.58)

În varianta Kessler a criteriului modulului se demonstrează [36, 19] că pentru a rezulta oacordare optimă este necesar ca funcţia de transfer a regulatorului automat să aibă o expresie deforma:

,

s

s1

ssUsH

n

1KR

k

(3.59)

în care parametrii regulatorului în funcţie de cei ai părţii fixate trebuie să aibă valorile [1, 2]:,TK2,T Fkk (3.60)

Având în vedere condiţiile de acordare optimă (3.59) şi (3.60) ale variantei Kessler acriteriului modulului, pentru funcţia de transfer a sistemului deschis sH d se obţine expresia:

,

sT1sT1

Ks

S1sHsHsH n

F

n

FRd

1kk

1kk

respectiv, cu luarea în considerare a relaţiilor (3.60):

,sT1sT21sHd

(3.61)

rezultând un SA de tipul 0deci,1 ST pentru o referinţă treaptă. Se mai constată căregulatorul automat compensează efectul constantelor de timp principale ale părţii fixate asuprarăspunsului. Acest aspect este conform cu relaţia .Tkk

Dacă f.d.t. sH F conţine un pol în origine, având aspectul [1]:

,sT1sT1s

KsH n

FF

1kk

(3.62)

atunci în varianta Kessler a criteriului modulului se demonstrează că funcţia de transfer aregulatorului automat trebuie să aibă expresia:

,s1

sH

n

R1k

k

(3.63)

în care parametrii k şi au valorile din (3.60).Având în vedere că ,sHsHsH FRd precum şi expresiile (3.62) şi (3.63), se constată

că pentru sistemul deschis se obţine tot expresia (3.61). Din (3.61), rezultă că funcţia de transfer aSRA cu reacţie principală directă are expresia:

,

1sT2sT21

sH1sH

sRsYsH 22

d

d0

(3.64)

Din expresia (3.64) se constată că realizând acordarea optimă a regulatorului automat prinvarianta Kessler a criteriului modulului se obţine în ansamblu un sistem de ordinul II, indiferent defuncţia de transfer sH F [1].

Punând expresia (3.64) sub forma:

,

T21s

T1s

T21

sH

22

2

0

(3.65)

şi identificând (3.65) cu (2.105) rezultă:

,T2

1n

(3.66)

şi ,7,022

212

1

2

1

T

TT

n

(3.67)

Introducând (3.67) în expresia suprareglajului (2.130) se obţine:%,3,4043,0 (3.68)

iar cu valoarea = 0,7 şi având în vedere (3.60) din (2.139) rezultă:

,T74,6

T2178,478,4t

nr

(3.69)

Valorile din (3.68) şi (3.69) arată că performanţele tranzitorii ale sistemului proiectat suntfoarte bune [1]. Varianta Kessler a criteriului modulului are avantajul că se aplică foarte uşor,conducând imediat la tipul regulatorului automat şi la valorile parametrilor regulatorului.Comparând expresiile (3.59) şi (3.63) cu funcţiile de transfer idealizate ale regulatoarelor tipizate seconstată că aceste regulatoare se încadrează în categoria celor tipizate dacă în expresiile menţionate

,2n adică să existe cel mult două constante de timp principale. Dacă în expresia sH F apar maimult de două constante de timp principale, atunci realizarea sistemului cu ajutorul regulatoarelortipizate poate fi obţinută prin folosirea schemei de reglare în cascadă [1].

b) Criteriul simetrieiCriteriul simetriei a fost elaborat tot de Kessler şi se deosebeşte de criteriul modulului (în

varianta elaborată de acelaşi autor), în principal, prin faptul că se urmăreşte obţinerea unui pol deordinul doi în origine în funcţia de transfer a sistemului deschis ,sHd care asigură o eroare deviteză nulă, pentru variaţii în rampă a referinţei[36, 1, 2]. Întrucât prezenţa unui pol de ordinul doi în origine înrăutăţeşte performanţele tranzitoriiale răspunsului la semnale treaptă aplicate la intrarea sistemului, criteriul simetriei se foloseşte deregulă în cazul SA cu semnale de intrare variabile liniar în timp [36].

Criteriul simetriei porneşte de la forma (3.58) a funcţiei de transfer sH F a părţii fixate,rezultând pentru funcţia de transfer în frecvenţă a acestuia, expresia [36]:

,1Tj1Tj

KjH n

1

FF

kk

(3.70)

Întrucât calitatea procesului tranzitoriu este determinată de aspectul caracteristicilor defrecvenţă în zona pulsaţiilor de tăiere [14], care are valori ridicate, se poate admite pentru aceastăzonă a pulsaţiilor aproximaţia ,Tj1Tj kk expresia (3.70) devenind [36]:

,Tj1Tj

KjH n

1

FF

kk

(3.71)

Revenind la funcţia de transfer se obţine:

,1

1

n

kk

FF

sTsT

KsH (3.72)

Se demonstrează că funcţia de transfer a regulatorului are expresia [36]:

,

ss1

ssUsH

nC

R

(3.73)

unde:

,T

TK2

,nT4

n

1kk

nC

F

C

Reţinând primii doi termeni din expresia care rezultă prin ridicarea la puterea n a binomuluide la numărătorul relaţiei (3.73), se obţine pentru funcţia de transfer a sistemului deschis expresia[36]:

,1sTsT81sT4

sH 22d

(3.74)

iar pentru SRA cu reacţie principală directă se obţine funcţia de transfer:

,

1sT4sT8sT81sT4

sH1sH

sH 2233d

d0

(3.75)

Din (374) rezultă că se obţine un SA de tipul ,2 deci eroarea în regim permanent laintrare rampa este nulă şi eroarea staţionară, la intrare treaptă, este de asemenea nulă. Ca şi în(3.64), în (3.75) intervine numai suma constantelor de timp parazite ,T deci constantele de timpprincipale kT din funcţia de transfer a părţii fixate sunt compensate.

Funcţia de transfer (3.75) se scrie astfel încât să se evidenţieze polii şi zeroul acesteia:

,

T21s

T41s

T21s

T41s

T21

1sT21sT2sT41sT4

sH

22

2

220

sau

,pss2s

zszp

sH3

2nn

2

32n

0

(3.76)

şi prin identificare obţinându-se:

,T21p;5,0;

T41z;

T21

3n

,1jp 2nn2,1

O asemenea distribuţie a polilor şi zerourilor lui sH d asigură o bună comportare în raportcu semnalele de tip rampă şi o comportare nesatisfăcătoare în raport cu referinţa sub formă detreaptă .%43

3.4.2. Probleme ale acordării optime a regulatoarelor pentru procese lenteProcesele lente sunt caracterizate prin modele matematice aproximative având constante de

timp mai mari de 10 secunde şi de regulă, conţin şi timp mort. Acestea fac ca acordarea optimă aregulatoarelor pentru procese lente să fie mult mai dificilă decât cea corespunzătoare proceselorrapide [1]. În literatura de specialitate [2, 5], în baza experienţei în proiectarea şi exploatarea SRAsunt prezentate recomandări privind alegerea tipului de RA pentru diverse funcţii de transfer alepărţii fixate şi respectiv pentru diverşi parametri tehnologici. Astfel, tabelul 3.1 conţine algoritmi dereglare recomandaţi pentru diverse tipuri de funcţii de transfer sH F ale părţii fixate, iar în tabelul3.2 se prezintă unele recomandări privind algoritmul de reglare pentru diverşi parametri tehnologici.

Tabelul 3.1Algoritmul de reglare P PI PD PID

1sTK

F

F

DA

DAdacă se impuncerinţe asupra

erorii staţionare

DAdacă FT

este precisdeterminat

NU

1sT1sTK

21

F

DAcu performanţe

reduse

DAcu restricţii

asupraamplificării

Seutilizează

rar

DAcu restricţii

asupraamplificării

n

1KK

F

1sT

K Rar utilizat,performanţe

scăzuteDA

Seutilizează

rarDA

1sTeK

F

Fs

DAcând

,1,0

FTiar ST este în

limiteadmisibile

DA Foarte rar

Neconvenabil când timpul

mort esteprodus detimpul detransport şi

existăzgomot

seK F NU NU NU NU

1sT1sTeK

2F

Fs

NU DA NU

Rar, înfuncţie de

tipultimpuluimort şiefectul

componentei D

Conform cu [36, 2, 5], în continuare sunt prezentate unele criterii verificate în practicăprivind alegerea tipului de RA, ţinând seama de caracteristicile procesului şi performanţele impuse.Prezenţa timpului mort în funcţionarea unui proces tehnologic impune o serie de precauţii laalegerea tipului de regulator. Timpul mort, fie reduce rezerva de stabilitate a sistemului, înrăutăţindperformanţele tranzitorii, fie determină pierderea stabilităţii. Aceste efecte negative sunt cu atât maipronunţate, cu cât valoarea a timpului mort este mai mare. Datorită acestui fapt prezintăimportanţă pentru comportarea sistemului valoarea raportului ,FT dintre valoarea timpului mortşi valoarea constantei de timp FT a părţii fixate [36]. În cazul proceselor tehnologice cu timp mortse recomandă atât regulatoare liniare PI, PID cât şi regulatoare neliniare de tip bipoziţional sau

tripoziţional. Componenta derivativă se include într-un algoritm pentru proces cu timp mort numaiîn măsura în care se obţine o îmbunătăţire a performanţelor. Pentru valori ale raportului 2,0 FT se pot recomanda algoritmi neliniari, în măsura în care cerinţele de performanţă nusunt foarte înalte [2].

Tabelul 3.2.

Tipul regulatorului

Parametrul reglat

P PI PID Bipoziţional

TemperaturăDA

Dacă 1,0

FTDA DA

DAîn funcţie deraportul

FT/

Presiune

DAdacă nu există

timpi morţi preamari

DAÎn

cazurispeciale

-

Debit NU DA NU -

Nivel

DAdacă nu există

timpi morţi preamari

DA - DA

Amplitudinea şi frecvenţa perturbaţiilor trebuie luate în consideraţie la alegerea tipului deregulator. Astfel, pentru procese cu constantă de timp medie şi un timp mort redus, la o amplitudinemedie a perturbaţiei şi o frecvenţă redusă a acestora, se recomandă un regulator bipoziţional sau unregulator P. Pentru o frecvenţă mai mare a perturbaţiilor, având diverse amplitudini, se recomandăun algoritm PI, iar pentru un proces cu mai multe constante de timp şi timp mort redus la oamplitudine mare a perturbaţiilor şi o frecvenţă mare a acestora, se recomandă un algoritm PID.

De asemenea, pentru procese cu două sau mai multe constante de timp dominante nu serecomandă un regulator P, ci un regulator PI sau PID, care anulează eroarea staţionară şi asigură oviteză de răspuns mai ridicată.

În funcţie de parametrul reglat sunt recomandate diverse tipuri de regulatoare având învedere dinamica procesului FT, şi caracterul perturbaţiilor. Astfel, pentru reglări de nivel pot fiutilizate atât regulatoare P cât şi regulatoare PI, aceasta în funcţie de precizia urmărită şi de tipulperturbaţiilor. Dacă perturbaţiile în cazul reglării de nivel sunt determinate atât de variaţia debituluide intrare cât şi de variaţia debitului de ieşire, iar eroarea staţionară se cere a fi zero, se recomandăun regulator PI. Pentru reglări de presiune se recomandă utilizarea unor regulatoare PI, ai cărorparametrii de acord sunt diferiţi pentru gaze şi lichide, având în vedere că pentru lichide constantade timp este mai redusă decât pentru gaze. În cazul unor reglări de debite şi amestecuri de fluid, datfiind că asemenea procese sunt caracterizate printr-o constantă de timp mică şi o amplificare mare,sunt recomandate regulatoarele PI. Prezenţa zgomotelor determinate de variaţiile debitului faceinoportună utilizarea componentei derivative în reglarea debitelor (derivata amplifică zgomotele).La reglări de temperatură, când raportul FT este mare, sunt recomandate regulatoarele PI sau PID[2].

Alegerea şi acordare regulatoarelor pentru procese cu timp mort reprezintă una dintreproblemele cele mai dificile în practica reglării automate. Aceasta datorită atât dificultăţilor dedeterminare cu precizie a timpului mort ce caracterizează procesul cât şi influenţei nefavorabile atimpului mort asupra comportării tranzitorii a unui SRA.

Odată stabilită legea de reglare pentru un proces dat, se impune luarea în considerare atipului de regulator din punctul de vedere al agentului purtător de semnal. Din punctul de vedere allegilor de reglare P, I sau D, sistemele pneumatice şi electronice sunt echivalente. Alegerea unuiregulator pneumatic este determinată de tipul procesului, de tipul parametrilor reglaţi, de tipulelementelor de execuţie şi de tipul traductoarelor[2, 5].

Siguranţa în medii cu pericol de explozie şi incendii poate constitui un argument în favoarearegulatoarelor pneumatice, însă şi regulatoarele electronice prevăzute cu siguranţă intrinsecă pot fiutilizate în asemenea medii [2, 5]. Pentru procesele la care sunt utilizate traductoare pneumatice şielemente de execuţie pneumatice, este indicat un regulator pneumatic, fiind utilizat în acest caz unsingur agent purtător de informaţie. Considerentele economice constituie, de asemenea, un elementimportant în adoptarea soluţiei pneumatice sau electronice [2, 5].

Pentru procesele fără timp mort sau cu timp mort neglijabil, criteriile de acordare optimă aRA pentru procese rapide pot fi extinse [36, 1, 5, 2]. Dificultăţile legate de identificarea proceselorlente, comportarea neliniară a unor asemenea procese precum şi caracterul aleatoriu al anumitorperturbaţii ce intervin în funcţionarea proceselor, fac ca metodele analitice de acordare aregulatoarelor să aibă un caracter limitat. Ca urmare, au primit o largă extindere metodeleexperimentale, atât pentru identificare proceselor, cât şi pentru acordarea optimă a regulatoarelordin aceste sisteme.

Metodele experimentale de acordare au la bază experienţa acumulată în alegerea şiacordarea regulatoarelor. Astfel, pentru un sistem dat, în funcţiune, cu mărimea de referinţă şi cumărimile perturbatoare menţinute constante, prin modificarea parametrilor de acord până se ajungela limita de stabilitate, se determină amplitudinea şi perioada oscilaţiilor întreţinute. Folosind acestemărimi caracteristice limitei de stabilitate a SRA, se determină valorile parametrilor de acord airegulatorului.

Metoda Ziegler-Nichols se aplică la acordarea regulatoarelor pentru procese lente la careperturbaţiilor sunt determinate de sarcină şi au o durată mare [2, 5].

Pentru un regulator PID se fixează acordul pentru iT la valoarea maximă iT şipentru dT la valoarea minimă 0Td şi se modifică RK până ce mărimea de ieşire a sistemului yintră într-un regim de oscilaţii neamortizate, deci SRA ajunge la limita de stabilitate. Valoareafactorului de amplificare corespunzător limitei de stabilitate 0RK şi perioada oscilaţiilorneamortizate 0T sunt utilizate pentru determinarea parametrilor de acordare optimă. Pornind de laasigurarea unui raport de 1/4 între amplitudinea celei de a doua oscilaţii pozitive şi amplitudineaprimei oscilaţii pozitive (“amortizare în sfert de amplitudine”) criteriul Ziegler-Nichols recomandăurmătoarele valori de acordare optimă în funcţie de 0RK şi 0T [5, 2]. Pentru regulatoare P:

0RoptR K5,0K , (3.77) Pentru regulatoare PI:

,K45,0K 0RoptR (3.78).T8,0T 0opti (3.79)

Se recomandă o reducere a factorului de amplificare (3.78) faţă de regulatorul P, justificatăca urmare a necesităţii comportării efectelor nefavorabile ale componentei I asupra procesuluitranzitoriu. Pentru regulatoarele PID:

0RoptR K75,0K ,

0opti T6,0T , (3.80)

0optd T1,0T .

pentru factor de interinfluenţă q = 0. Se remarcă creşterea lui RK şi reducerea lui iT care conduc lacreşterea factorului total de amplificare, aspect posibil datorită îmbunătăţirii performanţelortranzitorii determinate de prezenţa componentei D 2.

Pentru factorul de interinfluenţă q = 1 se recomandă:0RoptR K6,0K ,

0opti T5,0T , (3.81)

0optd T12,0T ,În acest caz, factorul de amplificare optioptR TK se reduc foarte puţin faţă de cazul în care q=0, 5.În literatura de specialitate 2,5,36 sunt prezentate şi alte metode practice de acordare optimă aregulatoarelor.

3.4.3. Criterii integraleCriteriile integrale sunt utilizate pentru aprecierea calităţii proceselor tranzitorii fără a se recurge ladeterminarea performanţelor, precum şi pentru acordarea regulatoarelor automate în baza tehnicilorde optimizare parametrică. Criteriile integrale de calitate reprezintă integrale definite (de la 0 la )ale unor funcţii de timp ce caracterizează procesele dinamice din SRA. Funcţiile de timp trebuie săfie absolut integrabile, altfel criteriile integrale nu au sens. Această condiţie este îndeplinită derăspunsul indicial, funcţia pondere, derivatele lor etc.

Un proces tranzitoriu, în cazul unui SRA cu reacţie principală directă, ar fi ideal dacă înpermanenţă r(t)=y(t) (aspect care practic nu este posibil), ceea ce ar conduce la condiţia:

0yr ,din care decurge şi condiţia ideală:

0

1 0dt)t(I , (3.82)

care practic nu poate fi realizată; conform acestei condiţii răspunsul la o referinţă treaptă ar fi otreaptă identică. Un proces tranzitoriu posibil, deci care nu respectă relaţia (3.82), va fi cu atât maiapropiat de cel ideal cu cât integrale 1I (sau una analoagă acesteia) va avea o valoare mai redusă,deci dacă va rezulta:

0

1 mindt)t(I , (3.83)

Dacă SRA funcţionează cu eroare staţionară diferită de zero, la o referinţă treaptă, (SA estede tipul =0), atunci integrala 1I din (3.83) nu poate fi utilizată pentru aprecierea calităţiiprocesului tranzitoriu, întrucât valoarea sa va fi în toate cazurile infinită, datorită faptului că

0ST . În asemenea cazuri se poate utiliza, pentru aprecierea calităţii regimului tranzitoriu, uncriteriu integral de forma:

0

ST2 mindt)yy(I , (3.84)

întrucât în regim staţionar STyy şi diferenţa 0yyST ; ca urmare valoarea integralei 2I nu esteafectată de existenţa unei erori staţionare diferită de zero şi este determinată numai de aspectulregimului tranzitoriu. Criteriile integrale (3.83) şi (3.84) pot fi utilizate numai pentru cazurile încare răspunsul SRA la o referinţă r(t)=1(t) este aperiodic, deoarece în cazul proceselor tranzitoriioscilante (fig. 3.11) apar arii cu semne diferite, delimitate de variaţiile în timp ale mărimilor y şi rsau STy şi deci poate rezulta o valoare redusă a integralelor 1I sau 2I , chiar dacă procesultranzitoriu nu are o calitate satisfăcătoare.De aceea, este preferabilă utilizarea unor criterii integrale pătratice, de forma:

mindtyyI0

2ST3

, (3.85)

iar dacă 0ST şi ,ryST pentru r(t)=1(t), de forma:

0

24 mindtI , (3.86)

Fig. 3.11

Dificultatea legată de semnele diferite ale ariilor este înlăturată prin ridicarea la pătrat a funcţiilor desub integrală.

În alte cazuri, se utilizează criterii integrale de forma:

mindtdt

)yy(dTyyI

0

2ST22

ST5

, (3.87)

respectiv, dacă ryST şi 0ST , pentru r(t)=1(t), de forma:

mindtdtdTI

222

6

, (3.88)

unde T este un factor de pondere.Criteriile (3.87) şi (3.88) sunt cazuri particulare ale criteriului integral pătratic de forma

generală:

0

7 mindtVI , (3.89)

în care V este o funcţie pătratică de tipul:

,dt

xdA

dtdx

AxAV2

n

n

n

2

12

0aa

a

(3.90)

undeyyx STa , (3.91)

La sistemele cu 0yr STST pentru )t(1)t(r , deci cu ryST , rezultă: yryyx STa , (3.92)

Folosirea criteriilor integrale pentru acordarea optimă presupune cunoscută structuraregulatorului, deci algoritmul de reglare adoptat, urmând ca în cadrul acordării să fie determinatevalorile optime ale parametrilor care intervin în legea de reglare. Cunoscând funcţia de transfer

)s(H R (cu parametrii diR T,T,K introduşi literar) şi )s(H F (din datele iniţiale) se determină funcţiade transfer )s(H0 a sistemului închis. Având determinată expresia lui )s(H0 , se calculează )s( curelaţia:

)s(R)s(H)s(H1

1)s(FR

, (3.93)

Relaţia (3.93) evidenţiază faptul că eroarea )s( se poate calcula în funcţie de parametrii cunoscuţiai părţii fixate şi în funcţie de parametrii necunoscuţi ( diR T,T,K ) ai algoritmului de reglare.Notând cu I criteriul integral folosit şi presupunând că a fost ales un algoritm de reglare PI, se vaobţine:

)T,K(fI iR , (3.94)Valorile optime optioptR TşiK sunt cele care asigură minimizarea integralei I şi se obţine

prin intermediul ecuaţiilor:

0KI

R

, (3.95)

0TI

i

, (3.96)

3.5. Sisteme de reglare automată cu mai multe regulatoarePrin utilizarea unor scheme cu mai multe regulatoare se extinde aria performanţelor care pot fiasigurate.

3.5.1. Reglarea în cascadăRegulatoarele tipizate (PI, PID) au funcţii de transfer cu polinomul de la numărător de cel multgradul doi ( în relaţia (3.59) şi respectiv (3.63), n2), rezultă deci că acestea pot compensa efectelenedorite a cel mult două constante de timp principale ale părţii fixate 1, 2, 36, 19. În cazulproceselor tehnologice cu structuri mai complicate, care determină prezenţa unui număr mai marede constante de timp principale în funcţia de transfer )s(H F , problema acordării optime poate firezolvată cu ajutorul mai multor regulatoare tipizate conectate într-o schemă specială numităschemă de reglare în cascadă. În practică, schemele de reglare în cascadă conţin cel mult patruregulatoare automate.În figura 3.12 este reprezentată schema de reglare în cascadă pentru cazul a două blocuri de reglare RA1 şiRA2.

Fig. 3.12

Blocul părţii fixate F este separat în subansamblele F1 şi F2 din următoarele considerente: mărimeaintermediară 1y să prezinte interes din punctul de vedere al reglării; mărimea 1y să fie măsurabilăprin mijloace tehnice simple şi să aibă viteza de răspuns mai mare la acţiunea unor perturbaţii, încomparaţie cu mărimea de ieşire y (să fie mai rapidă); fiecare subansamblu F1, F2 să fiecaracterizat de cel mult două constante de timp principale; un număr de perturbări să acţionezeasupra subansamblului F1. Prin intermediul mărimii 1y se realizează o buclă interioară de reglareRA1, iar prin intermediul mărimii reglate y se realizează bucla exterioară de reglare cu RA2. Încondiţiile menţionate RA1 şi RA2 pot fi blocuri de reglare tipizate, urmând să compenseze fiecarecel mult două constante de timp principale din subansamblul F1 şi respectiv F2. A rezultat căschema permite reglarea simultană a mai multor mărimi din cadrul blocului F, ceea ce determină oreducere însemnată a duratei regimului tranzitoriu.

Un alt avantaj constă în faptul că se poate impune o limitare a valorilor mărimii intermediare,1y printr-o ajustare corespunzătoare a nivelului de saturaţie a RA1.

Reglarea în cascadă este utilizată atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul proceselor lente, cutimp mort. Acordarea optimă începe totdeauna cu bucla interioară, respectiv cu RA1 din figura 3.12.Considerând că schema se referă la procese rapide şi folosind criteriul modulului în varianta Kessler, pentrubucla 1 se obţine o funcţie de transfer de forma (3.64) respectiv

,1sT2

11sT2sT2

1sH11

221

1O

(3.97)

unde 1T este suma constantelor de timp parazite din bucla interioară, iar aproximaţia din(3.97) este permisă deoarece lT 1 secundă.Întreaga buclă interioară intervine în cea exterioară ca un element de întârziere de ordinul I cu oconstantă de timp .2 1T Blocul RA2 va compensa cele maximum două constante principale detimp din F2, funcţia sa de transfer fiind obţinută utilizând din nou criteriul modulului, în funcţie de

,sH 2F iar 12 T va fi inclusă în suma constantelor de timp parazite 2T din bucla exterioară. Îngeneral, pentru unele bucle poate fi folosit criteriul modulului, iar pentru altele, criteriul simetriei, înfuncţie de tipul variaţiei în timp a semnalelor de intrare a buclelor [36]. Reglarea în cascadă poate fifolosită împreună cu reglarea combinată cu compensarea perturbării.

3.5.2. Reglarea combinată cu compensarea perturbăriiÎntrucât principalele funcţiuni ale RA constau în reducerea în cât mai mare măsură a influenţeiperturbărilor asupra mărimii de ieşire şi în asigurarea unei comportări cât mai bune a sistemului înraport cu semnalele de intrare, au fost elaborate scheme în care intervine şi un regulator carecontrolează variaţiile unei perturbări (se selectează cea cu acţiune intensă şi frecvenţă ridicate) şiacţionează în sensul compensării influenţei exercitate de această perturbare asupra mărimii deieşire. În acest mod, reglarea după eroare este completată cu reglarea după perturbare (principiulreglării după perturbaţie), rezultând schema de reglare combinată din figura 3.13.

Fig. 3.13

Perturbaţia p fiind măsurabilă, mărimea v de la ieşirea traductorului este aplicată unui regulator deperturbaţie RP şi aceasta transmite comanda pu unui sumator, la ieşirea căruia rezultă comanda:

puuu , (3.98)aplicată blocului F.

În relaţia (3.98) s-a notat cu u componenta comenzii generată de regulatorul RA, urmare aprelucrării erorii . S-a considerat că perturbaţia p este aplicată cu semnul plus unui sumatorintermediar dintre blocurile F1 şi F2. Ca urmare, componenta pu se aplică cu semnul minus laintrarea blocului F, asigurându-se compensarea efectului perturbaţiei p asupra răspunsului y.

Sistemul fiind liniar şi aplicând principiul superpoziţiei, rezultă că mărimea de ieşire y, dinfigura 3.13, are trei componente corespunzătoare celor trei mărimi r, p, up aplicate sistemului,rezultând pentru transformata Laplace a mărimii de ieşire ,sY expresia: ,sUsHsPsHsRsHsY popo oup (3.99)

în care sH,tusU,tpsP oppp LL este funcţia de transfer a sistemului închis înraport cu perturbaţia ,sP iar sHoup este funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu

.sU p

În (3.99), funcţiile de transfer care intervin au expresiile:

,sH1

sHsH

d

do

(3.100)

,sH1sH

sHd

2Fop

(3.101)

,sH1

sHsH

d

Foup

(3.102)

în care: ,sHsHsHsHsHsH 2F1FRFRd

Înlocuind (3.101) şi (3.102) în (3.99) se obţine:

,sH1

sHsHsHsH1

sHsPsR)s(HsY

d

RPF

d

2Fo

Trp

(3.103)

întrucât sPsHsHsU TrpRPp

Pentru ca răspunsul y să nu fie influenţat de perturbarea p, este necesar ca paranteza pătrată din(3.103) să fie nulă, deci:

,0sH)s(HsHsH TrpRPF2F respectiv

,sHsH

1sHsH

sHsH

TrpTrp 1FF

2FRP

(3.104)

Relaţia (3.104) permite proiectarea regulatorului RP. Reglarea combinată are avantajul că permitesă fie eliminată influenţa perturbării p asupra răspunsului y, care permite ca regulatorul RA să fieproiectat numai din considerentul asigurării unor performanţe impuse răspunsului y la o variaţie areferinţei r [1].

3.6. FUNCŢIA DE TRANSFER APROXIMATIVĂ A REGULATORULUI ELECTRONIC.EXEMPLE DE REGULATOARE ELECTRONICERegulatorul reprezintă echipamentul cel mai complex în cadrul unui SRA, fiind destinat prelucrăriiinformaţiei şi elaborării strategiei de reglare sau conducere. Într-un sens general, noţiunea deregulator automat presupune o anumită strategie de conducere obţinută ca rezultat al problemeireglării [19], formulată ca obiect matematic.Implementarea algoritmului de comandă pe un suport fizic, fie ca program aplicativ pe uncalculator, fie pe un suport hard cum ar fi regulatorul electronic analogic sau numeric, asigurărealizabilitatea fizică a algoritmului de comandă 2,19.Regulatoarele electronice prelucrează informaţia privind evoluţia erorii într-un SRA sau / şi evoluţiadirectă a mărimii de ieşire din proces, după legi prestabilite, generând comanda u(t). În figura 3.14se prezintă structura unui SRA în care regulatorul este plasat pe calea directă (fig. 3.14.a) şirespectiv pe calea directă şi pe reacţie (fig. 3.14.b). În figura 3.14.b, regulatorul realizează legi dereglare diferite pe cele două canale: eroare şi ieşire din proces. O asemenea configuraţie deregulator este întâlnită la majoritatea sistemelor unificate pentru procese lente, ca urmare aavantajelor oferite 19.

a) b)Fig. 3.14.

3.6.1. Funcţia de transfer aproximativă a regulatorului electronicPrincipalele elemente componente ale regulatorului automat au fost prezentate în figura 3.2.Elementul de bază al regulatorului este amplificatorul. Regulatoarele analogice sunt realizate pebaza amplificatoarelor operaţionale prevăzute cu circuite de corecţie la intrare şi circuite de corecţiepe reacţie (reacţia operaţională). Cea mai simplă schemă de principiu a unui regulator electroniceste reprezentată în figura 3.15, în care A este coeficientul de amplificare a amplificatorului înabsenţa reacţiei (în circuit deschis), borna (-) este intrarea inversoare, borna (+) este intrareaneinversoare, 1Z reprezintă impedanţa circuitului de intrare, 2Z este impedanţa circuitului reacţieinegative, iar iR este rezistenţa de intrare a amplificatorului. La intrarea blocului regulator se aplicăeroarea sub forma tensiunii ,1u iar la ieşire se obţine mărimea de comandă .2uu

Fig. 3.15

Deoarece trebuie determinată funcţia de transfer a blocului regulator, relaţiile de calcul se vor scrieutilizând metoda operaţională bazată pe transformata Laplace, pentru cazul în care condiţiile iniţialesunt nule.Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul m, se obţine: ,sIsIsI i21 (3.105)

în care:

,

RsU

sI;sZ

sUsUsI;

sZsUsU

sIi

ii

2

2i2

1

i11

(3.106)

În relaţiile de mai sus sZ1 reprezintă impedanţa operaţională a circuitului de intrare, iar sZ2

impedanţa operaţională a circuitului de reacţie. Având în vedere configuraţia inversoare aamplificatorului se poate scrie: tAutu i2 şi corespunzător:

,

AsU

sU 2i (3.107)

Introducând relaţiile (3.106) şi (3.107) în (3.105) se obţine:

,sUsZA11

RAsU

sZAsU

sZsU

22i

2

1

2

1

1

şi respectiv

A11

sZsZ

RiAsZ

A1sUsU

2

1121

în care se dă factor comun sZsZ 21 , obţinându-se:

;

A11

RiAsZ

AsZsZ

sZsZ

sUsU 1

1

2

2

121

(3.108)

Din (3.108), rezultă funcţia de transfer a regulatorului definită astfel:

,

AR

sZsZsZ

11

1sZsZ

sUsU

sH

i

2

1

21

2

1

2R

(3.109)

Dacă se alege un coeficient de amplificare A de valoare mare, adică

i

2

1

2

RsZ

sZsZ

1A , (3.110)

atunci funcţia de transfer aproximativă a regulatorului automat va fi de forma:

,sZsZ

sUsU

sH1

2

1

2R (3.111)

Din relaţia (3.110) rezultă că în cazul când rezistenţa de intrare Ri are valori mici, atunci pentru a seobţine acelaşi grad de aproximare este necesară creşterea factorului de amplificare A. Din (3.107) seconstată că pentru amplificări mari A, care asigură condiţia (3.110), se obţine ,0u i decipotenţialul bornei inversoare este foarte apropiat de cel al masei, iar .0i i

Punctul m (figura 3.15) se bucură de proprietatea de masă virtuală (punct de masă virtuală)deoarece tensiunea de intrare iu fiind foarte mică, potenţialul lui m este practic egal cu cel al masei.Creşterea factorului de amplificare, corelată cu mărirea corespunzătoare a valorilor elementelorpasive R, C din circuitele de corecţie, este impusă şi de necesitatea realizării unor valori ridicatepentru parametrii de acord ai regulatorului .TşiT,K idR Realizarea unor amplificări mari laamplificatoarele de curent continuu întâmpină dificultăţi legate de deriva nulului (tensiunea dedecalaj sau offset). Pe de altă parte, folosirea amplificatoarelor de curent continuu cu reacţieoperaţională este indicată din cauza simplităţii realizării reacţiei în curent continuu pentru obţinereaalgoritmului de comandă dorit [1].În cazul utilizării amplificatoarelor operaţionale integrate (au intrarea diferenţială), amplificarea înbuclă deschisă este mare ,1010 64 impedanţa de intrare diferenţială este mai mare de (1 ... 10)M, iar impedanţa de ieşire este foarte mică (zeci de ). Rezistenţa diferenţială de intrare la unamplificator operaţional (AO) depinde de tipul etajului de intrare.În privinţa preciziei realizării algoritmului de comandă dorit, abaterile de la acest algoritm suntdeterminate de deosebirile dintre relaţia exactă (3.109) şi relaţia (3.111); de asemenea precizia esteinfluenţată de apariţia fenomenelor de saturaţie [1]. În literatura de specialitate se tratează şi cazulcând pentru realizarea regulatorului se utilizează AO în montaj neinversor [2].

3.6.2. Structuri de regulatoare liniare pentru procese rapideProcesele rapide (acţionări electrice, procese electroenergetice, sisteme de comunicaţii etc.) sunt

caracterizate prin constante de timp mici undesec10TiT iar procesele sunt identificate cu o bunăprecizie. Constantele de timp de valori reduse specifice proceselor rapide impun valori mai micipentru parametrii de acord ai regulatoarelor electronice în comparaţie cu valorile parametrilor deacord pentru regulatoarele destinate proceselor lente. Regulatoarele electronice pentru proceserapide pot fi realizate cu ajutorul amplificatoarelor operaţionale integrate prevăzute cu circuite decorecţie corespunzător alese pentru obţinerea diferiţilor algoritmi de comandă. Valorile relativ

reduse ale parametrilor de acord pot fi obţinute cu o bună precizie cu ajutorul elementelor de circuitpasive R, C [19] .Pentru obţinerea celor mai uzuale legi de reglare convenţionale pentru procese rapide sunt utilizatecircuite de corecţie de tip serie, de tip derivaţie sau în formă de T.

3.6.2.1. Circuitele de intrare ale regulatoarelorDe multe ori semnalele de intrare şi în special tensiunea culeasă de pe traductoare conţin armonicide tensiune (de exemplu, la tahogeneratoare de curent continuu datorită colectorului, nesimetriilormagnetice, bătăilor mecanice; la traductoarele de curent ondulaţia curentului datorită pulsurilor deredresare etc.). Pentru filtrarea acestor armonici se prevăd circuite de intrare ca, de exemplu, înfigura 3.16.Conform figurii 3.16 se pot scrie relaţiile:

sCR11)s(I

sC1R

sC1)s(I)s(I

112

112

11

, (3.112)

Fig. 3.16

,1

1

1 112111211

1121

112

112

11

1

sCRRRRsCRsU

sCR

sCR

R

sUsI

(3.113)

,

sT1sCR1

RsU

sCRR

RR1

sCR1R

sUsI

f

112

1

1

11211

1211

112

1

1

(3.114)

în care 12111 RRR , iar 11211

1211f C

RRRR

T

.

Introducând (3.114) în (3.112) se obţine:

,

sT11

RsU

sCR11

sT1sCR1

RsU

sIf1

1

112f

112

1

1

(3.115)

Dacă pentru circuitul de intrare din figura 3.16 se consideră sU1 ca mărime de intrare, iar sI1 camărime de ieşire, atunci funcţia de transfer a circuitului de filtrare are forma:

,C

RRRR

T,sT1

1R1

sUsI

11211

1211f

f11

1

(3.116)

deci s-a obţinut expresia unui element de întârziere de ordinul I. Din (3.116) mai rezultă impedanţaoperaţională a circuitului de filtrare definită astfel:

,sT1RsIsU

sZ f11

11 (3.117)

În unele cazuri, pentru obţinerea algoritmului de comandă dorit, se impune ca circuitul de intraresă aibă un comportament PD, ca în figura 3.17.a, sau PDF ca în figura 3.17.b.Conform figurii 3.17.a, impedanţa operaţională a circuitului de intrare este:

,CRT,sT1

RsZ 11

1

11

(3.118)

unde ,11 CRT este constanta de timp a circuitului de intrare. Pentru circuitul din figura 3.17.a sepoate defini o funcţie de transfer de forma:

,sT1

R1

sUsI

111

1 (3.119)

din care se constată comportamentul PD al circuitului de intrare.

a) b)

Fig. 3.17

Impedanţa operaţională a circuitului de intrare din figura 3.17.b este:

,

sT1sT1

RsCRR1

CsR1R

C1RR

sC1RR

sZd

f1

1f1

1f1

1f1

1f1

1

(3.120)

unde: .TTCRRT;CRT;CRT f1ff1d1ff111 Funcţia de transfer a circuitului este:

,

sT1sT1

R1

sUsI

f

d

11

1

(3.121)

Circuitul de intrare din figura 3.17.b îmbină proprietăţile circuitului PD cu ale celui de filtrare.

3.6.2.2. Circuitele de reacţie ale regulatoarelorCircuitele de reacţie ale regulatoarelor determină în mod hotărâtor tipul acestora. În general, acestecircuite de reacţie sunt cazuri particulare ale schemelor din figura 3.18.Având în vedere factorul de amplificare foarte mare al amplificatorului se consideră 21 ii şipentru schema din figura 3.18.a. rezultă:

,ZZZZZZ

Zu

ZZZZ

Z

uZZ

Zi

Zu

i212323222221

232

2321

232122

2

2321

232

1

11

iar funcţia de transfer a

regulatorului are expresia [14]:

,

sZsZsZsZsZsZsZsZ

sUsU

sH231

212323222221

1

2R

(3.122)

a) b)Fig. 3.18

Dacă circuitul de intrare este de forma reprezentată în figura 3.16, atunci funcţia de transfer (3.122)devine:

,

sT11

sZRsZsZsZsZsZsZ

sHf231

212323222221R

(3.123)

în care constanta de timp de filtrare are expresia din (3.116).Pentru schema din figura 3.18.b rezultă, similar [14]:

,

sZsZsZsZsZsZsZsZ1sH

231

212323222221R

(3.124) unde

reprezintă cota parte a tensiunii de ieşire aplicată circuitului de reacţie, în mod obişnuit0,11,0 , 1.

Principalele legi de reglare convenţionale pentru procese rapide sunt P, PI, PD, PID. Specific estefaptul că, de regulă, este necesară introducerea unei filtrări a semnalelor de reacţie şi/sau dereferinţă. În continuare se prezintă principalele tipuri de regulatoare sub formă de cazuri particulareale schemei din figura 3.18 şi a relaţiilor (3.117) ... (3.124).Regulatorul PÎn figura 3.19 se prezintă regulatorul P fără filtrare.

În cazul regulatorului P: .sZ;0sZ;RsZ;RsZ 232222111 Corespunzătorschemei din figura 3.18.a:

,K

RR

sZsZ

sUsU

sH R1

2

1

21

1

2R (3.125)

unde RK este factorul de amplificare al regulatorului.Corespunzător schemei din figura 3.19.b se poate scrie:

;Ru

Ru

;ii2

2

1

121

în care s-a avut în vedere că intensitatea curentului prin potenţiometrul R este Ru2 şicorespunzător unei poziţii a cursorului R, rezultă tensiunea culeasă de pe potenţiometru:

22 uRuR , în care .0,11,0

a) b)Fig. 3.19

Rezultă funcţia de transfer a regulatorului, de forma:

,KK1

RR1

sUsU

sH RR1

2

1

2R

(3.126)

Coeficientul de amplificare RK al regulatorului poate fi modificat în limitele .K10K RR

În figura 3.20 este reprezentat regulatorul P cu filtru, în două variante.

a) b)Fig. 3.20

Structura de regulator din figura 3.20.a, este un caz particular al schemei din figura 3.18.a, şi seconstată că pentru circuitul de reacţie impedanţele operaţionale au expresiile:

,sZ;0sZ;sT1

RCsR1

R

sC1R

sC1R

sZZ 2322f

2

f2

2

f2

f2

212

iar .RsZ 11 Se obţine funcţia de transfer aproximativă a regulatorului de forma:

,

sT11K

sT11

RR

sZsZ

sHf

Rf1

2

1

2R

(3.127)

în care fT este constanta de timp de filtrare, iar .RRK 12R În figura 3.20.b pentru circuitul de reacţie ;0sZ;RsZsZ 222212 ,sZ23 iar

pentru circuitul de intrare, care este un circuit de filtrare, conform cu relaţia (3.117) impedanţaoperaţională are expresia:

,CRR

RRT,sT1RsZ 1

1211

1211ff11

şi expresia funcţiei de transfer este:

,

sT11K

sT11

RR1

sZsZ

sHf

Rf1

2

1

2R

(3.128)

în care ,K1RR1K R

1

2R

iar .0,11,0

Răspunsurile indiciale ale regulatorului P fără filtrare şi cu filtrare sunt reprezentate înfigura 3.3.Regulatorul PIAlgoritmul de comandă PI fără filtrare se obţine cu ajutorul schemelor de structură din figura 3.21,unde în figura 3.21.a. circuitul de corecţie este de tip serie, iar în figura 3.21.b. de tip derivaţie.

a) b)Fig. 3.21

În figura 3.21.a, având în vedere schema din figura 3.18, pentru circuitul de reacţie 0sZ;sC1sZsZ 222212 şi respectiv ,sZ23 iar conform relaţiei (3.118) impedanţa

operaţională a circuitului de intrare este:

,CsR1

RsZ

11

11

şi corespunzător funcţia de transfer aproximativă a regulatorului devine:

,

sT11K

CsR11

CC

CsRCsR1

sZsZ

sHi

R112

1

21

11

1

2R

(3.129)

unde 111i CRTT este constanta de timp de integrare egală cu constanta de timp a circuitului deintrare, iar 21R CCK este factorul de amplificare. Se constată că modificare capacităţiicondensatorului 1C conduce atât la modificarea factorului ,K R cât şi a constantei de timp ,Ti

aspect care evidenţiază interinfluenţa acordării parametrilor regulatorului.În figura 3.21.b pentru circuitul de reacţie:

,sZ;0sZ;sC

CsR1sC

1RsZsZ 23222

22

22212

iar .RsZ 11 Rezultă funcţia de transfer aproximativă:

,

sT11K

CsR11

RR

CsRCsR1

sZsZ

sHi

R221

2

21

22

1

2R

(3.130)

în care .CRTiar,RRK 22i12R Şi în acest caz se constată interinfluenţa acordăriiparametrilor, modificând 2R se modifică .TşiK iR

Algoritmul PI cu filtrare se poate obţine cu ajutorul schemelor de structură din figura 3.22.

a) b)

Fig. 3.22

În figura 3.22.a, ,sZ;0sZ;sC1sZsZ 23222212 iar conform cu (3.120):

,

sCRR1CsR1R

sZ1f1

1f11

Funcţia de transfer a regulatorului va fi de forma:

;

CsR11

CRCRR

CsR1

CsR11

CsRsCRR1

sZsZ

sH1f21

1f1

211f21

1f1

1

2R

care se mai

scrie astfel:

,CsR1

1CRRs

11CC

RRR

sH1f1f12

1

1

f1R

sau

,sT11

sT11KsH

fiRR

(3.131)

unde:

,CRT;CRRT;CC

RRR

K 1ff1f1i2

1

1

f1R

(3.132)

Regulatorul din figura 3.22.b, reprezintă un caz particular al regulatorului reprezentat în figura 3.18în care: ;/1 222212 sCsCRsZsZ 0)(22 sZ ; )(23 sZ , iar sZ1 corespunde relaţiei(3.117).Având în vedere expresiile impedanţelor operaţionale menţionate, se obţine funcţia de transfer aregulatorului prezentat în figura 3.22.b de forma :

,

sT11

sT11K

sT11

sCR11

RR

sZsZ

sHfi

Rf221

2

1

2R

(3.133)

unde:

,CRRRR

T;CRT;RR

K 11211

1211f22i

1

2R

(3.134)

Din relaţiile (3.132) şi (3.134) se constată interinfluenţa în acordarea parametrilor .TşiK iR

Regulatorul PD cu filtruAlgoritmul de comandă PD cu filtru se poate obţine utilizând schemele de structură din figura 3.23.

a) b)Fig. 3.23

Pentru schema din figura 3.23.a, funcţia de transfer a regulatorului are expresia:

,

sT1sT1

KsCR1

1sRRC1RR

sZsZ

sHf

dR

1ff11

1

2

1

2R

(3.135)

în care:

,CRT;CRRT;RR

K 1ff1f1d1

2R (3.136)

Pentru schema din figura 3.23.b, dacă se are în vedere structura din figura 3.18.a, pentru circuitul dereacţie se pot scrie relaţiile: ,RsZ 2121 2222 RsZ , sC/1)s(Z 223 Cu aceste expresii se obţine:

,

sT1RsCRRRR

)s(ZsZsZsZsZsZsZsZ

sHf1

222212221

231

212323222221R

sau:

,sT1sT1

KsT1

1sCRR

RR1

RRR

sHf

dR

f2

2221

2221

1

2221R

(3.137)

unde:

,CRRRR

T;RRRR

K 22221

2221d

1211

2221R

(3.138)

Şi în acest caz se evidenţiază interinfluenţa parametrilor de acord.Regulatorul PIDAlgoritmul de comandă PID se poate obţine utilizând schemele de structură din figura 3.24.

a) b)Fig. 3.24

Schema de structură din figura 3.24.a corespunde unui algoritm PID fără filtrare şi cuinterinfluenţă. Conform acestei scheme:

,sC

sCR1sZ;

sCR1R

sZ2

222

11

11

iar funcţia de transfer aproximativă devine:

,sT1sT

11KsT

sT1sT1K

sZsZ

sH di

Ri

idR

1

2R

(3.139)

sau:

,TT

sTsT

11KsHi

dd

iRR

(3.140)

unde:

,CRT;CRT;RR

K 11d22i1

2R

Se constată că factorul de interinfluenţă este q = 1. Din cauza componentelor parazite de frecvenţăridicată, amplificate de componenta D a regulatorului, se impune existenţa unui filtru în circuitul deintrare, aşa cum se prezintă, de exemplu, în figura 3.24.b. Determinarea funcţiei de transfer, aregulatorului din figura 3.24.b, rămâne în sarcina cititorului, iar pentru studiu se recomandă [2, 17].

3.6.3. Regulatoare automate pentru procese lenteProcesele lente sunt caracterizate de existenţa unor constante de timp mari şi uneori a unui timp mort

în funcţia de transfer a părţii fixate, care în general, se poate exprima printr-o relaţie de forma [17, 2]:

,esT1

KsH s

F

FF

(3.141)

În unele cazuri, funcţia de transfer a blocului F se poate exprima şi astfel:

,esT1sT1

KsH s

21

FF

(3.142)

unde 21 ,TT sunt constantele de timp, iar timpul mort. O altă particularitate a proceselor lenteconstă în faptul că identificarea funcţiilor lor de transfer se face, în general, cu precizie scăzută.Datorită acestor particularităţi regulatoarele pentru procese lente trebuie să aibă parametrii deacordare variabili în limite largi. Aşa cum s-a arătat în paragraful precedent, pentru asigurarea uneiaproximaţii admisibile în realizarea algoritmului de comandă dorit, regulatoarele electronice trebuiesă aibă la bază amplificatoare operaţionale cu anumite caracteristici privind factorul de amplificare,rezistenţa de intrare şi deriva nulului. Aceste caracteristici trebuie să fie cu atât mai mult îndepliniteîn cazul regulatoarelor pentru procese lente, unde sunt necesare constante de timp de integrare şi dederivare cu valori mari, care pot ajunge până la zeci de minute.

Un procedeu din ce în ce mai utilizat constă în realizare unui algoritm PI pe canalul erorii,iar pe canalul mărimii reglate y se realizează un algoritm PID, pentru a se evita şocurile provocatede componenta derivativă asupra IT. Pentru a se evita interinfluenţa acordării parametrilor, înpractică, se adoptă soluţia cu amplificatoare operaţionale separate pentru componentele P, D şi PI.Totodată sunt asigurate game suficient de mari de variaţie a parametrilor de acord, valorile întâlniteîn practică fiind 2: BP=2% ... 500% (sau 2% ... 1000%), .6006,0,20001 ssTssT di

În canalul componentei D sunt prevăzute filtrări, realizate cu elemente de întârziere deordinul I sau cu elemente de avans-întârziere, necesare pentru limitarea efectelor zgomotelor şievitarea unor variaţii abrupte ale comenzii, care ar putea duce la şocuri în funcţionarea IT. Pentruacelaşi scop se introduce şi în canalul componentei P o anumită filtrare, cu un element de întârzierede ordinul I cu o constantă de timp foarte mică. O schemă de structură a unui regulator utilizat înpractică este prezentată în figura 3.25.

Principalele module ale regulatorului continuu sunt: modulul adaptor (Ad) de intrare,modulul PD, modulul P + PI şi modulul convertor de ieşire (asigură semnalul unificat 4-20 mAcc).

Fig. 3.25

Se constată că eroarea obţinută din elementul de comparaţie, inclus în modulul adaptor deintrare (Ad), este transmisă modulului P + PI, iar mărimea reglată y este aplicată atât elementului decomparaţie, cât şi modulul PD, rezultând astfel o prelucrare prealabilă a acestei mărimi după unalgoritm cu PD; iar dacă se ţine seama şi de modulul P + PI, se obţine pentru mărimea y un algoritmPID.

3.7. CORECŢIA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE

3.7.1. Definiţii, clasificări, metode de corecţieAnaliza SALC permite să se determine comportarea acestora şi să se stabilească performanţele pe care

le realizează atât în regim staţionar cât şi în regim tranzitoriu.Apar situaţii în care performanţele obţinute să nu satisfacă criteriile impuse, potrivit destinaţiei

sistemului. În asemenea cazuri se pune problema modificării parametrilor sistemului sau/şi structurii sale,

astfel încât să se obţină performanţele dorite. Ansamblul de măsuri destinate acestui scop alcătuieşte corecţiasistemelor automate.De menţionat este faptul că funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice (IT) nu poate fi modificată,în scopuri de corecţie, deoarece ea caracterizează procesul tehnologic a cărui desfăşurare în timp nutrebuie afectată. De asemenea, nici asupra elementului de execuţie şi traductorului nu se poateacţiona, partea fixată a sistemului fiind impusă. Deci, corecţia se poate realiza fie prin modificareaparametrilor de acordare a regulatorului automat, fie prin introducerea în dispozitivul deautomatizare a unor elemente de corecţie (de compensare) astfel alese încât să asigureperformanţele dorite.

Din punctul de vedere al dispunerii elementului de corecţie există trei posibilităţi de realizare acorecţiei SA:

CORECŢIA SERIE: elementul de corecţie se introduce în ramura directă a sistemului,în serie cu instalaţia automatizată (IT), aşa cum se ilustrează în figura 3.26.

Conform figurii 3.26 funcţia de transfer a sistemului automat deschis necorectat, notată cu ,sH d este:

,sHsHsHsH ITEERAd iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis corectat, notată cu ,sHdC este:

,sHsHsH CddC (3.143)unde sHC este funcţia de transfer a elementului de corecţie.

Fig. 3.26

CORECŢIA DERIVAŢIEI: elementul de corecţie este introdus în paralel cu unul sau maimulte blocuri din ramura directă a sistemului, aşa cum se prezintă în figura 3.27.

a) b)Fig. 3.27

Figura 3.27.a corespunde unei corecţii derivaţie cu acţiune inversă, iar figura 3.27.b unei corecţiiderivaţie cu acţiune directă.

CORECŢIA MIXTĂ: reprezintă o combinaţie a variantelor prezentate.Pentru a se evidenţia efectele introducerii elementelor de corecţie, se consideră un SA de

tipul ,0 stabil în circuit deschis şi instabil în circuit închis, a cărui loc de transfer jHd asistemului automat deschis necorectat se prezintă în figura 3.28.

Fig. 3.28

Modificarea locului de transfer jHd astfel încât să nu înconjoare punctul critic destabilitate ,0j,1 deci SA închis să fie strict stabil şi să aibă performanţe bune, se poate realizaprin următoarele metode [13]:

m1) Micşorarea modulului locului de transfer a SA deschis necorectat ,jHd prinmicşorarea adecvată a coeficientului total de amplificare dK a sistemului deschis, aşa cum se aratăîn figura 3.29.

m2) Creşterea argumentului locului de transfer a SA deschis necorectat jHd , prinintroducerea unor elemente (circuite) de corecţie cu avans de fază, cu efectul prezentat în figura3.30.

m3) Modificarea simultană a modulului şi argumentului locului de transfer a SA deschisnecorectat jHd , în sensul micşorării modulului şi creşterii argumentului.Referitor la metoda m1, din figura 3.29 se constată că:

Fig. 3.29Fig. 3.30

,1m,jHKm

jHjH d

ddC

unde jHdC este modulul l.d.t. a SA deschis corectat, iar jHd este modulul l.d.t. a SAdeschis necorectat.Din figura 3.29 mai rezultă faptul că pentru fiecare pulsaţie, de exemplu ,K faza rămânenemodificată, deci:

,KCK unde .jHargşijHarg KdCKCKdK

Referitor la metoda m2, din figura 3.30, se constată că modulul răspunsului la frecvenţă,pentru fiecare pulsaţie considerată, rămâne constant, iar argumentul creşte cu unghiul (rotaţia esteconsiderată pozitivă dacă se face în sens direct trigonometric), deci:

,ejHjH jddC

de unde:

,0jcareîn,jjC cu .jHjH dCd

Modificarea răspunsului la frecvenţă jHd a sistemului deschis necorectat, în scopulcorecţiei, se poate realiza prin următoarele căi:

modificarea coeficienţilor de transfer şi a constantelor de timp ale elementelor dincomponenţa dispozitivului de automatizare a sistemului necorectat. Modificarea coeficienţilor detransfer ai elementelor componente conduce la modificarea coeficientului total de amplificare dK asistemului deschis şi deci la modificarea l.d.t. jHd a sistemului deschis. Modificarea constantelorde timp ale elementelor componente determină, în general, modificarea atât a modulului, cât şi aargumentului l.d.t. jHd a sistemului deschis.

introducerea în dispozitivul de automatizare a unor elemente de corecţie (de compensare).Acest procedeu se impune atunci când modificare parametrilor elementelor care compun sistemulnecorectat este insuficient de eficace. În practică, elementele de corecţie trebuie plasate cât maiaproape de începutul ramuri directe, deoarece în acest caz sunt străbătute de semnale de putere micăşi ca urmare construcţia lor rezultă mai ieftină.În proiectarea sistemelor automate trebuie rezolvate problemele privind asigurarea stabilităţii şi aperformanţelor impuse procesului de reglare, probleme care de regulă sunt contradictorii.Rezolvarea corespunzătoare a problemei privind asigurarea rezervei de stabilitate poate conduce laperformanţe nesatisfăcătoare ale sistemului în regim tranzitoriu şi permanent. Este posibil şi cazulopus, când realizarea criteriilor de performanţă impuse, de exemplu legate de ridicarea preciziei înregim permanent, este însoţită de o micşorare inadmisibilă a rezervei de stabilitate. Astfel,micşorarea erorii permanente (tabelul 2.1) prin creşterea coeficientului total de amplificare dK asistemului deschis conduce la micşorarea rezervei de stabilitate. Micşorarea erorii permanente prinridicarea gradului de astatism 2,1 influenţează, de asemenea, în sensul micşorării rezervei destabilitate şi creşterea caracterului oscilant al răspunsului.

Rezolvarea problemelor asigurării atât a rezervei de stabilitate cât şi a performanţelorimpuse procesului de reglare impune utilizarea simultană a procedurilor amintite, la care se adaugăintroducerea unor elemente de corecţie, în dispozitivul de automatizare.Principala destinaţie a elementelor de corecţie constă în modificarea proprietăţilor dinamice alesistemului, în sensul dorit, prin modificarea caracteristicilor de frecvenţă ale sistemului în aceldomeniu de pulsaţii care este esenţial în obţinerea criteriului de performanţă impus.Caracteristicile amplitudine-pulsaţie A şi fază-pulsaţie ale sistemului deschis, de regulăprezentate la scară logaritmică – diagrama Bode, permit aprecierea răspunsului în timp a SRA.Există o corespondenţă strânsă între caracteristicile de pulsaţie ale sistemului deschis şi răspunsul întimp al SRA. În raport cu pulsaţia de tăiere t , întregul domeniu de pulsaţii, al caracteristicilor A şi ale sistemului deschis, poate fi împărţite în trei zone [13]:

zona frecvenţelor joase (de exemplu, ;1,0 t zona centrală a pulsaţiilor (de exemplu, ;101,0 tt zona pulsaţiilor ridicate (de exemplu, .10 t

Zona pulsaţiilor joase 0 corespunde regimului staţionar .t Procesul tranzitoriupropriu-zis cu indicii care îl caracterizează (suprareglaj, amortizare, timp de răspuns) este

determinat exclusiv de zona centrală a pulsaţiilor, din jurul pulsaţiei de tăiere .t Zona pulsaţiilorridicate corespunde începutului procesului tranzitoriu. În figura 3.31 se prezintăcorespondenţa dintre caracteristicile logaritmice de pulsaţie şiAdB şi răspunsul indicial alSRA.

Fig. 3.31

3.7.2. Corecţia serieDin punct de vedere matematic un element de corecţie serie poate realiza dependenţa:

,dttxbdt

tdxatxKtx 1

11C2

(3.144)

în care tx,tx 21 reprezintă mărimile de intrare şi ieşire ale elementului de corecţie ,EC conform figurii

3.32.a. Figura 3.32.b corespunde relaţiei (3.143), în care sH C este funcţia de transfer a elementului de

corecţie, iar sH dC este funcţia de transfer a sistemului deschis corectat.

a) b)Fig. 3.32

3.7.2.1. Corecţia prin introducerea unui element serie de tip PD

Corespunzător relaţiei (3.144) elementul de corecţie serie de tip PD realizează dependenţa:

,

dttdx

atxKtx 11C2

şi îi corespunde funcţia de transfer:

,as1KsXsX

sH C1

2C (3.145)

Considerând în (3.145) că valoarea coeficientului e transfer este ,1KC funcţia de transfera sistemului deschis corectat, conform figurii 3.32.b, este:

,sasHsHas1sHsHsHsH dddCddC (3.146)Prin substituţia ,js se trece în domeniul frecvenţial:

,jaHjjHjH dddC (3.147)şi se consideră că răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis necorectat este de forma:

,eAjH jd

(3.148)în care s-a ţinut seama că pentru sistemele reale . Având în vedere că j este un operatorde rotaţie cu 2 în sens direct trigonometric, introducând (3.148) în (3.147) se obţine:

,eAajjHjH 2jddC

(3.149)Din (3.149) se constată că, pentru fiecare pulsaţie ,K vectorul KdC jH a sistemului

deschis corectat este suma a doi vectori: vectorul sistemului deschis necorectat Kd jH şi unvector de modul KKaA şi de argument 2 K , care este rotit cu 2 în sens directtrigonometric faţă de .jH Kd În figura 3.33.a se prezintă relaţia (3.149) pentru un SA de tipul .1 Din figura 3.33.a sedesprind următoarele aspecte referitoare la efectele introducerii elementului de corecţie serie de tipPD: printr-o alegere adecvată a coeficientului a se obţine o creştere considerabilă a rezervei destabilitate; coeficientul de amplificare total al sistemului deschis corectat se măreşte, ceea cecontribuie la micşorarea erorii permanente a sistemului corectat; se realizează o creştere a pulsaţieide tăiere şi deci şi a benzii de tăiere şi rapidităţii sistemului.

S-au obţinut două fenomene care de regulă sunt contradictorii: micşorarea erorii staţionare şiîmbunătăţirea stabilităţii.

Este de menţionat că elementul de corecţie trebuie să fie cauzal şi un astfel de circuit pasiv cu avansde fază este prezentat în figura 3.33.b. Funcţia de transfer a circuitului de corecţie din figura 3.33.b. este deforma 15:

,

sT1sT11

sUsU

sHd

dd

d1

2C

(3.150)

având ponderent pe ddT de la numărător, din efectul derivativ.În expresia (3.150):

CRR

RRT,

RRR

21

21d

2

21d

, (3.151)

iar în practică 15: undesec1,0Tşi10...5 dd

a) b)Fig. 3.33

3.7.2.2. Corecţia prin introducerea unui element serie de tip PIElementul de corecţie serie de tip PI, corespunzător cu (3.144) realizează dependenţa:

,dttxbtxKtx 11C2

(3.152)

şi pentru ,1KC îi corespunde funcţia de transfer:

sbasHC , (3.153)

iar funcţia de transfer a sistemului deschis corectat devine:

,sb1sHsHsHsH dCddC

(3.153)

şi prin substituţia ,js admiţând pentru răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis necorectatexpresia (3.148), se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis corectat de forma:

,eAbjHjH 2jddC

(3.154)

Din relaţia (3.154) se constată că, pentru orice pulsaţie vectorul sistemului deschiscorectat este suma a doi vectori din care unul este al sistemului deschis necorectat

Kd jH , la care se adaugă vectorul ,jHjb KdK rotit în sens invers trigonometric cu 2faţă de .jH Kd În figura 3.34.a, pentru un SA de tipul ,1 se reprezintă diagramele Nyquist corespunzătorecuaţiei (3.154).Din figura 3.34.a se constată că introducerea elementului de corecţie serie de tip PI conduce lamicşorarea rezervei de stabilitate, deoarece jHdC se apropie de punctul critic de stabilitate ,0j,1 totuşi introducerea integralei îmbunătăţeşte regimul staţionar prin micşorarea eroriistaţionare.

a) b)Fig. 3.34

În figura 3.34.b se prezintă un circuit de corecţie serie cu întârziere de fază [15] utilizat în practică,funcţia de transfer a acestuia fiind de forma:

,

sT1sT1

sUsU

sHii

i

1

2C

(3.155)

având preponderent termenul iiT de la numitor din efectul integrator. În expresia (3.155) :

,CRT,R

RR2i

2

21i

(3.156)

3.7.3. Corecţia derivaţieElementele de corecţie derivaţie (paralel) formează legăturile inverse locale (sau interioare), ele seconectează în paralel cu unul sau mai multe elemente componente ale sistemului deschis necorectat.

Legăturile inverse locale pot fi: legături inverse rigide negative sau pozitive; legături inverse elastice

,K KdC jH

3.7.3.1. Legătura inversă rigidăSe consideră schema de structură din figura 3.35 în care elementul de corecţie, cu funcţia de transfer

sHC , este un element de reacţie rigidă. Legătura inversă se numeşte rigidă dacă acţionează atât înregim permanent cât şi în regimul tranzitoriu.

Funcţia de transfer a unui astfel de element de reacţie, în general, poate avea una din formele: ,sT1KsH,ctKsH CCCCC (3.157)

deci elementul legăturii rigide este un element de tip P sau element de întârziere de ordinul I.

Fig. 3.35

În primul caz legătura de reacţie se numeşte, simplu, rigidă, iar în al doilea caz se numeşterigidă cu inerţie [22]. În continuare se va considera legătura de reacţie rigidă.

Dacă în figura 3.35 funcţia de transfer a elementelor afectate de reacţie rigidă este de forma:

,1ss1ss

sK

sHsHsH1

nn

1m

mi21i

(3.158)

deci, are un pol de ordinul în origine, atunci în cazul unei reacţii negative, funcţia de transferechivalentă sH are expresia:

1ssKK1sass

1ssK

sHsH1sH

sH

1m

mCi1n

n

1m

mi

Ci

i

(3.159)

în care s-a avut în vedere că .KsH CC Din expresia (3.159) se constată că aplicarea legăturii de reacţie rigidă negativă elementului

cu astatism de ordinul unui (1) sau mai mare, conduce la pierderea astatismului, deoarece înrelaţia (3.159) atât la numărător, cât şi la numitor termenul liber este diferit de zero. De exemplu,dacă s/KsH ii şi respectiv ,KsH CC atunci funcţia de transfer echivalentă a elementuluiintegrator cu reacţie rigidă negativă este ,sT1KsH 11 în care ,K1K C1 iar ,KK1T Ci1 deci s-a obţinut un element de întârziere de rodinul I.

Din expresia funcţiei de transfer echivalentă (3.159) se mai constată că pentru valori mariale factorului de amplificare din calea directă 1, ii KcuK , ca urmare a micşorării coeficienţilorpolinomului caracteristic CinCi1Ci KK;;KK;KK1 în f.d.t. echivalentă (3.159) semicşorează constantele de timp, precum şi coeficientul de transfer echivalent. Pentru exemplificare,se consideră cazul particular când în ramura directă se află un element aperiodic de ordinul I cuf.d.t. de forma:

,sT1

KsH

i

ii

(3.160)

afectat de o reacţie rigidă negativă, ;ctKsH CC rezultând o f.d.t. echivalentă sH de forma:

,sT1

K

sKK1

T1

1KK1

KsTKK1

KsHK1

sHsH

e

e

Ci

iCi

i

iCi

i

iC

i

(3.161)

în care .KK1TT;KK11K CiiCi ee S-a obţinut tot un element de întârziere de ordinul I,dar cu coeficientul de transfer eK şi constanta de timp echivalentă eT mai mici decât aleelementului iniţial (fără reacţie).

La expresia (3.161) se putea ajunge şi direct din (3.159) făcând.0şiT;0;0 i1n32m21 Din cele menţionate se mai constată

următoarele aspecte referitoare la introducerea reacţiei rigide negative: constantele de timp alefuncţiei de transfer echivalente sH se micşorează, deci durata procesului tranzitoriu a SRA semicşorează; coeficientul de transfer din f.d.t. echivalentă se micşorează, contribuind laîmbunătăţirea rezervei de stabilitate a SRA prin micşorarea coeficientului total de amplificare asistemului deschis şi totodată la micşorarea preciziei statice a sistemului.

Prin aplicarea legăturii rigide pozitive unui element astatic se obţine un element instabil,deoarece termenul liber al polinomului caracteristic devine negativ.Dacă legătura rigidă pozitivă se aplică unui element static, atunci se poate obţine o creştere acoeficientului de transfer. De exemplu, elementul aperiodic de ordinul I afectat de o reacţie rigidăpozitivă, conduce la următoarea funcţie de transfer echivalentă:

,sT1

K

sKK1

T1

1KK1

KsH

e

e

Ci

iCi

i

Printr-o alegere corespunzătoare a coeficientului reacţiei rigide CK se poate obţine ocreştere adecvată a coeficientului de transfer echivalent (a amplificării); pentru 1KK Ci elementulechivalent devine instabil, iar pentru 1KK Ci rezultă ,Te sistemul fiind de neconceput.

3.7.3.2. Legătura inversă elasticăLegătura inversă locală se numeşte elastică dacă acţionează numai în regim tranzitoriu, aspectposibil dacă funcţia de transfer a elementului de reacţie inversă are una din expresiile:

,sT1sKsH;sKsH CCCCC deci elementul de corecţie este de tip D sau de tip D cu filtru. În primul caz legătura inversă elasticăeste ideală, iar al doilea caz corespunde unui element real de reacţie locală elastică (se mai numeştereacţie locală izodromă). Pentru a evidenţia influenţa acestei legături inverse se consideră reacţiaelastică ideală.

Dacă în figura 3.35 elementul de reacţie corespunde unei reacţii elastice ideale, sKsH CC , iar f.d.t. )s(HsHsH 21i are expresia (3.158), atunci f.d.t. echivalentă a

ansamblului cuprins de reacţia elastică ideală sH va fi de forma:

1sssKK1sss

1ssKsH

1m

mCi1n

n

1m

mi

, (3.162)

Din relaţia (3.162) se constată că reacţia elastică ideală nu contribuie la pierderea astatismuluielementului afectat de reacţie. De exemplu, elementul integrator ideal cu f.d.t. sKsH ii afectatde o reacţie elastică ideală sKsH CC rămâne tot un element integrator ideal, cu f.d.t.echivalentă:

,s

Ks1

KK1K

sH e

Ci

i

dar cu coeficientul de transfer echivalent .KK ie Legătura inversă elastică ideală permite creşterea amortizării oscilaţiilor, care la elementele

de ordinul II este caracterizată prin factorul de amortizare. Pentru exemplificare se consideră că ,1Ts2sTKsH 22

ii iar corespunzător expresia f.d.t. echivalente elementului afectat dereacţia elastică ideală este de forma:

,1sT2KKT2sTKsH Ci22

i Dacă noua valoare a factorului de amortizare 1T2KK Ci , atunci elementul nu mai

este oscilant. Se poate obţine acest lucru prin alegerea corespunzătoare a lui .KC Legătura elasticăideală, în unele cazuri, determină reducerea constantei de timp. Astfel, dacă:

,1sTsK

sHi

ii

se obţine:

,1sTsK

1KK1Tss1

KK1K

sHe

e

CiCi

i

în care noile valori ale coeficientului de transfer eK şi ale constantei de timp eT sunt mai micidecât cele iniţiale (fără reacţie elastică ideală) de CiKK1 ori.

3.7.4. Circuite de corecţie în curent alternativCircuitele de corecţie RC prezentate în subcapitolul precedent reprezintă cele mai simple circuite

utilizate în scop de corecţie şi sunt folosite, cu precădere, în curent continuu, dar şi în cazul sistemelordiscrete.

Corecţie cu circuite RC, în sistemele de curent alternativ, se utilizează în cazurile cândpentru transmiterea informaţiei în sistem se foloseşte o tensiune modulată cu pulsaţia purtătoarei

0 şi pulsaţia înfăşurătoarei .În calitate de circuite de corecţie RC, în sistemele de curent alternativ, de obicei sunt

utilizate filtre rezonante în formă de T, acordate la pulsaţie 0 . Pentru a acţiona asupraînfăşurătoarei din canalul semnalului modulat, sunt utilizate numai circuite cu caracter derivativ.

În figura 3.36.a. se prezintă un exemplu de circuit electric de corecţie în formă de T, iar înfigura 3.36.b. este redată, în principiu, caracteristica logaritmică amplitudine pulsaţie a circuitului.

Se constată din figura 3.36.b. segmentul cu panta de +20 dB / dec. specifică unui element deanticipaţie de ordinul I.

a) b)Fig. 3.36.

Circuitele de corecţie realizate cu circuite rezonante prezintă un dezavantaj prin faptul căproprietăţile lor dinamice depind în mod esenţial de variaţia pulsaţiei purtătoarei 0 . De aceeaastfel de circuite de corecţie sunt recomandate a fi utilizate în sistemele în care se asigurăstabilizarea acestei frecvenţe.

Pentru a elimina influenţa variaţiei pulsaţiei 0 , circuitele de corecţie, în sistemele de curentalternativ, adesea sunt realizate sub forma unor circuite obişnuite de curent continuu cudemodularea iniţială a semnalului aplicat şi respectiv cu modularea semnalului rezultat la ieşireacircuitului de corecţie. În astfel de cazuri circuitele de corecţie sunt analizate în mod similar celordin circuitele de curent continuu.

Utilizarea corecţiei sistemului prin procedura menţionată (cu demodulare-modulare) într-ooarecare măsură este limitată, deoarece la ieşirea detectorului sincron trebuie introdus un filtru denetezire, care determină, în sistem, o întârziere suplimentară.

Aplicaţii

PR.2.1. Utilizând criteriul Hurwitz, să se analizeze stabilitatea SRA de ordinul 4n , a căruiecuaţie caracteristică este [4]:

0asasasasa 012

23

34

4 , (2.31)în care:

100a,103,1a,103a,102a,102a 01

13

25

39

4 .Să se calculeze, în MATLAB, rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi corespunzător să se reprezinte în

planul complex.RezolvareAvând 4:0i,0a i , se verifică dacă toţi determinaţii minori Hurwitz sunt strict pozitivi, deci

dacă se respectă condiţia:4,3,2,1i,0i . (2.32)

Se întocmeşte determinantul Hurwitz:

024

13

024

13

321

4

aaa0

0aa0

0aaa

00aa

, (2.33)

în care s-au evident şi determinanţii minori după diagonala principală (determinanţii minori Hurwitz ). SRAeste stabil IMEM dacă sunt satisfăcute condiţiile (2.32). Calculând determinanţii se obţine:

0102a 531 ,

010974,5102103,1103102aaaaaaaa 85135

412324

132 ,

01023,32

10401077,7102103,1103102103,1

aaaaaaaaaaaaaaaa0aaa0aa

9

9991351

3041231214

230123

13

024

13

3

A rezultat că SRA este instabil. Pentru SLN de ordinul 4n , se are în vedere că determinantul 2se regăseşte în termenul strict pozitiv 2141231 aaaaaa al determinantului 3 , iar acest termen

21a , pentru 0a1 , poate fi strict pozitiv numai dacă 02 . De aceea pentru SLN de ordinul 4n verificarea condiţiei 02 nu este necesară. De asemenea, nu este necesară verificarea condiţiei 0n ,

indiferent de ordinul sistemului n , deoarece 1n0n a şi deci pentru 0a 0 este necesar să severifice numai dacă toţi determinanţii minori Hurwitz până la ordinul 1n inclusiv, sunt strict pozitivi.

Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se reprezintă în planul complex rădăcinileecuaţiei caracteristice:

%%Repartitia radacinilor ecuatiei caracteristice in planul radacinilorp=[2*10^(-9) 2*10^(-5) 3*10^(-3) 1.3*10^(-1) 100];r=roots(p)plot(real(r),imag(r),'Ok'),gridaxis([-12000 2000 -160 160])uisetfont(gca,'Fonturi')%Arial-Bold-12title('Repartitia radacinilor ec. caracteristice in planul radacinilor')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')

În fereastra de comandă se obţine:

i1457.00366.0i1457.00366.0

2250.08483.9

*003e0.1r

Se constată că ecuaţia caracteristică are o pereche de rădăcini complexe conjugate cu partea realăpozitivă (rădăcini instabile), deci poziţionate în C din planul complex. Această pereche de rădăcinidetermină instabilitatea SRA. Repartiţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex este redată înfigura 2.1.

Fig.2.1.

PR.2.2. Utilizând criteriul Hurwitz, să se stabilească condiţiile ca polinomul caracteristic de gradul2n să fie un polinom Hurwitz.

0a,aaaP 2012

2 . (2.34)RezolvareDeterminantul Hurwitz în acest caz este de forma:

02

12 aa

0a .

Se constată că 11 a şi 012 aa . A rezultat condiţia necesară şi suficientă ca polinomul

caracteristic P să fie Hurwitzian: 0a1 şi 0a 0 . În acest caz rădăcinile ecuaţiei 0P se vor găsi

exclusiv în C .

PR.2.3. Utilizând criteriul Hurwitz, să se stabilească condiţia ca rădăcinile asociate polinomuluicaracteristic de gradul 3n să aibă partea reală strict negativă.

3:0i,0a,aaaaP i012

23

33 . (2.35)

RezolvareDeterminantul Hurwitz pentru polinomul 3P este:

02

13

02

3

aa00aa0aa

Condiţiile Hurwitz sunt de forma:0a 21

0aaaaaaaa

031213

022

0a 203 Pe lângă condiţia ca toţi coeficienţii să fie strict pozitivi (condiţie necesară), pentru ca polinomul

3P să fie polinom Hurwitz trebuie să se îndeplinească inegalitatea (condiţia) 2031 a/aaa .

PR.2.4. Pentru SRA deschis prin schema de structură prezentată mai jos:

se cere:a) să se calculeze, utilizând criteriul Hurwitz, valorile parametrului real 0K pentru care SRA este

strict stabil extern;b) să se întocmească un program în MATLAB pentru reprezentarea polilor SRA în planul complex

adoptând un domeniu de variaţie a parametrului real K care să evidenţieze starea instabilă, la limită destabilitate şi de strict stabilitate externă.

Rezolvarea) Funcţia de transfer a sistemului închis este:

)s(P)s(P

Kss1,1s1,0s1,01K

)s(R)s(Y)s(H

2

1230

. (2.36)

Polinomul caracteristic asociat fdt (2.36) este de gradul 3n :Kss1,1s1,0)s(P 23

2 .Determinantul Hurwitz este de forma:

K1,10011,00K1,1

3 , (2.37)

şi corespunzător se pun condiţiile:01,11 , (2.38)

0K1,01,12 , (2.39) 0KK1,01,1K 23 . (2.40)

Din condiţiile (2.39) şi (2.40) rezultă că SRA este strict stabil extern dacă parametrul K ia valori îndomeniul:

11K0 (2.41)Din cele prezentate mai rezultă:- SRA se află la limită de stabilitate pentru 0K şi 11K ;- SRA este instabil dacă: 0K şi 11K .b) Adoptând pentru parametrul K domeniul 16,2K , cu următorul program MATLAB se

calculează şi se reprezintă poli fdt )s(H0 în planul complex:%Repartitia polilor f.d.t. a SRA in planul complex%Polinomul caracteristic al SRA%P2(s)=0,1s^3+1,1s^2+s+k; Domeniul de variaţie al parametrului k=-5...15K=([-2:2:16]);for i=1:length(K)

p=[0.1 1.1 1 K(i)];r(:,i)=roots(p);

endplot(real(r),imag(r),'Ok'),griduisetfont(gca,'Fonturi')%Arial-Bold-12title('Repartitia polilor f.d.t. Ho(s)in planul complex')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')gtext('Polinomul caracteristic al SRA:')gtext('P2(s)=0,1s^3+1,1s^2+s+k')gtext('k= -2:2:16')

În figura 2.2. se reprezintă repartiţia polilor fdt )s(Hd .

Fig. 2.2.Pentru interpretarea corectă a reprezentării din figura 2.2. s-a apelat la câteva calcule, efectuate în

fereastra de comandă MATLAB, astfel: Valorile polilor pentru 11K : )p(rootsr;11,1,1.1,1.0p

i1623.30000.0i1623.30000.0

0000.11r

Polii dispuşi pe axa imaginară, din figura 2.2., corespund limitei de stabilitate, pentru care 11K . Valorile polilor pentru 0K : )p(rootsr;0,1,1.1,1.0p

1.0000-10.0000-

fig.2.2înoriginedinpolul0000.0r

Valorile polilor pentru 15K : )p(rootsr;15,1,1.1,1.0p

i6420.31455.0i6420.31455.0

2909.11r

Se obţine o pereche de rădăcini complexe conjugate cu partea reală pozitivă (rădăcini instabile), deciperechile de rădăcini complexe instabile, dispuse în C , corespund pentru 11K .

Valorile polilor pentru 2K : )p(rootsr;2,1,1.1,1.0p

instabilrealpol9415.01751.27664.9

r

PR.2.5. Pentru SRA descris prin funcţia de transfer [4]:

012

23

34

45

56

60 asasasasasasa

1)s(R)s(Y)s(H

, (2.42)

în care: 0.1a,0.6a,0.15a,0.30a,0.10a,0.5a,1.0a 0123456 ,să se verifice stabilitatea utilizând criteriul Routh.Rezolvare

Se întocmeşte tabloul Routh, prezentat în tabelul 2.1. După introducerea valorilor coeficienţilor seobţin rezultatele prezentate în tabelul 2.2.

Deoarece toţi coeficienţii primei coloane din tabelul Routh sunt strict pozitivi (condiţie necesară şisuficientă ca polii f.d.t. a sistemului, care sunt şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice, să se găsească exclusiv în

C ), SRA este strict stabil extern (stabil IMEM).

Tabelul 2.1Nr.rând

Numărul coloanei1 2 3 4

1. 1,0a 6 10a4 15a2 1a 0

2. 5a 5 30a 3 6a1 0

3.

5

35

46

13 aaaaa

detc

5

15

26

23 aaaaa

detc

5

5

06

33 a0a

aadet

c 0

4.

13

2313

35

14 cccaa

detc

13

3313

15

24 cccaa

detc

13

13

5

34 c0c0a

detc

0

5.

14

2414

2313

15 ccccc

detc

14

3414

3313

25 ccccc

detc

14

14

13

35 c0c0c

detc

0

6.

15

2515

2414

16 ccccc

detc

15

3515

3414

26 ccccc

detc

0c36 0

7.

16

2616

2515

17 ccccc

detc

16

3616

3515

27 ccccc

detc

0c37 0

Tabelul 2.2.Nr.rând

Numărul coloanei1 2 3 4

1. 1,0a 6 10a 4 15a 2 1a 0

2. 5a 5 30a 3 6a1 0

3. 4,9c13 90,14c23 0,1c33 0

Nr.rând

Numărul coloanei1 2 3 4

4. 1,22c14 46,5c24 0c34 0

5. 6,12c15 1c25 0 0

6. 7,3c16 0c26 0 0

7. 1c17 0c27 0 0

PR.2.6. Pentru SRA a cărui structură este prezentată în PR.2.4., să se determine valorileparametrului real K astfel încât sistemul să fie strict stabil extern, utilizând criteriul Routh.

RezolvarePolinomul caracteristic asociat fdt a SRA este de forma:

KsasaSa)s(P 12

23

32 , (2.43)în care:

Ka,0.1a,1.1a,1.0a 0123 Se construieşte tabloul Routh:

Nr.rând

Numărul coloanei1 2

1. 1,0a 3 0,1a1

2. 1,1a 2 Ka 0

3.

2

02

13

13 aaaaa

detc 0

a0a0a

detc

2

2

3

23

4.

13

2313

02

14

ccaa

detc

0c24

Se calculează coeficienţii: K

1,11,01

1,11,1K1,0c13

, (2.44)

K

ccK0

c13

1314

. (2.45)

Pentru ca SRA să fie strict stabil extern este necesar şi suficient ca toţi coeficienţii primei coloane, atabloului Routh, să fie strict pozitivi, deci:

0K1,11,01c13 ,

0Kc14 .Din ultimele două relaţii rezultă că SRA este strict stabil extern pentru valori ale parametrului real

K cuprinse în limitele:11K0

obţinându-se, firesc, acelaşi rezultat ca în PR.2.4.

PR.2.7. Să se verifice stabilitatea SRA, cu reacţie principală unitară, utilizând criteriul Mihailov, înfuncţie de parametrul real K , dacă funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma (element aperiodicinstabil de ordinul 1):

1sTK

)s()s(Y)s(H d

, (2.46)

în care .ctT RezolvareFdt a sistemului închis cu reacţie unitară este:

K1sTK

)s(H1)s(H

)s(R)s(Y)s(H

d

d0

, (2.47)

şi corespunzător polinomul caracteristic al sistemului închis este:K1sT)s(D . (2.48)

Se trece în domeniul frecvenţial, făcând substituţia js , şi se obţine expresia hodografuluiMihailov:

)(jyxTj1K)j(D , (2.49)unde:

T)(y,1K)(x , (2.50)iar )(x nu depinde de pulsaţie, este o constantă.

Din (2.50) se constată că pentru 0)(x,1K , deci hodograful Mihailov (pentru 0 ) nupleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă, astfel că nu sunt îndeplinite condiţiile de stabilitate şideci SRA este instabil.

Pentru 0)(x,1K , hodograful Mihailov pleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă şievoluează în cadranul I (ordinul SA este n=1), deci SRA este strict stabil extern.

În figura 2.3. sunt prezentate, în principiu, cele două cazuri analizate mai sus.

Fig. 2.3

PR.2.8. Să se verifice stabilitatea SRA, cu reacţie unitară, utilizând criteriul Mihailov, dacă funcţiade transfer a sistemului deschis este de forma:

1sTsK

s)s(Y)s(H d

, (2.51)

în care: )s(1.0T,50K RezolvareSe determină fdt a SRA cu reacţie unitară:

)s(D)s(A

KssTK

)s(H1)s(H

)s(R)s(Y)s(H 2

d

d0

, (2.52)

în care polinomul caracteristic este:KssT)s(D 2 . (2.53)

În (2.53) se face substituţia js şi se obţine ecuaţia hodografului Mihailov:

)(yj)(xjTK)j(D 2 , (2.54)în care:

)(y,TK)(x 2 . (2.55)

Din relaţiile (2.55), pentru 0 , se obţine K)0(x şi 0)0(y , deci hodograful pleacă dintr-unpunct situat pe semiaxa reală pozitivă, de coordonate 0,K . Pentru a studia evoluţia hodografului pentru

,0 , se determină coordonatele punctului de intersecţie cu axa imaginară:

TK,0TK)(x 2 , (2.56)

şi se reţine pulsaţia pozitivă T/K1 .Corespunzător:

T/K)(y 11

deci, hodograful intersectează semiaxa imaginară negativă în punctul de coordonate T/K,0 . Seconstată că hodograful pleacă din punctul de pe semiaxa reală pozitivă, de coordonate 0,K , parcurge însens invers trigonometric cadranul IV, intersectează semiaxa imaginară negativă în punctul de coordonate T/K,0 şi se continuă în cadranul III.

A rezultat că SRA este instabil.Pentru valorile numerice (sec)1,0T,50K , se obţine 26,221 , coordonatele punctului din

care pleacă hodograful sunt 0,50 , iar coordonatele punctului în care hodograful intersectează semiaxaimaginară negativă sunt 36,22,0 .

Se calculează şi reprezintă hodograful MIhailov cu următorul program în MATLAB:

%Hodograful Mihailov: k=50, T=0.1 (sec)%Polinomul caracteristic al sistemului închisk=50;T=0.1;w=0:1:50;%Domeniul de pulsatiix=k-T*w.^2;y=-w;plot(x,y,'-k'),gridaxis([-250 100 -50 20])title('Hodograful Mihailov')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')gtext('Polinomul caracteristic al sistemului inchis')gtext('D(s)=Ts^2-s+k')gtext('k=50, T=0,1(sec)')

Hodograful Mihailov este prezentat în figura 2.4.

PR. 2.9. Utilizând criteriul Mihailov, să se întocmească un program în MATLAB pentru apreciereastabilităţii SRA descris de următoarea funcţie de transfer:

KsTs2sTK

)s(R)s(Y)s(H 2320 , (2.57)

Fig. 2.4.

pentru cazurile:a) 4,0(sec),01,0T,80K b) 5,1(sec),01,0T,80K RezolvarePolinomul caracteristic al sistemului închis este:

3n,KsTs2sT)s(D 232 ,iar ecuaţia hodografului Mihailov:

)(jy)(xKjT2jT)j(D 232 în care:

222 T1)(y,T2K)(x (2.58)Se calculează şi se trasează hodograful Mihailov, pentru cele două cazuri a şi b, cu următorul

program MATLAB:

%Trasarea hodografului Mihailov pentru SRA de ordinul n=3;%Polinomul caracteristic al sistemului inchis:%D(s)=T^2*s^3+2*eta*T*s^2+s+k;%Cazul a:T=0.01, k=80, eta1=0.4; Cazul b:T=0.01, k=80, eta2=1.5k=80;T=0.01;eta1=0.4;eta2=1.5;w=0:1:200;xa=k-2*eta1*T*w.^2;ya=w.*(1-(T^2)*w.^2);xb=k-2*eta2*T*w.^2;yb=w.*(1-(T^2)*w.^2);plot(xa,ya,'-k',xb,yb,'-k'),gridaxis([-1200 200 -600 100])title('Hodograful Mihailov pentru SRA de ordinul n=3')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')text(-1114.5,35.5263,'Polinomul caracteristic al sistemului inchis:')text(-1114.5,-27.9249,'D(s)=T^2*s^3+2*eta*T*s^2+s+k')text(-1114.5,-71.8596,'(1):k=80, T=0.01, eta1=0.4')text(-1114.5,-136.4035,'(2):k=80, T=0.01, eta2=1.5')text(-127.4,-257.1637,'---------(1)')

text(-695.2,-255.1170,'---------(2)')În figura 2.5 se prezintă hodograful Mihailov pentru cele două cazuri analizate.

Fig. 2.5Din figura 2.5 se constată:- hodograful (1), care corespunde cazului a, trece prin centrul de coordonate, deci SRA este la limită

de stabilitate. Pulsaţia corespunzătoare trecerii hodografului prin centrul de coordonate trebuie să verificesistemul de ecuaţii:

0T1)(y,0T2Kx 222 ,şi este egală cu sec)/rad(100T/10 ;

- hodograful (2), care corespunde cazului b, evidenţiază faptul că SRA este strict stabil extern,deoarece hodograful pleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă şi pentru ,0 parcurgesuccesiv cadranele I, II, III ( 3n , iar variaţia argumentului vectorului )j(D pentru ,0 este egalăcu 2/n );

- în ambele cazuri, hodograful pleacă din punctul de pe semiaxa reală pozitivă de coordonate 0,K ,deoarece pentru pulsaţia 0 se obţine 80K)0(x şi 0)0(y .

PR.2.10. Având ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis de forma: 0KssTTsTT)s(D 2

my3

my , (2.59)

în care mT este cunoscută, să se determine domeniul de stabilitate în planul coeficienţilor K şi yT . În calcule

se consideră (sec)5,0Tm .RezolvareSe utilizează descompunerea D , utilizând criteriul Mihailov.În (2.59) se face substituţia js şi se obţine: jyxTTjTTjKjD my

3my

2 . (2.60)

Conform criteriului Mihailov, sistemul închis se află la limită de stabilitate dacă hodograful jDtrece prin centrul de coordonate. Ecuaţiile pentru cazul limitei de stabilitate sunt: 0x şi 0y .Corespunzător relaţiei (2.60) se obţine:

0TTKX my2 , (2.61)

0TTY my3 . (2.62)

Rezolvând sistemul de ecuaţii, în raport cu parametrii K şi yT , se obţine:

2m

m2

my T

T1K,

T1T

, (2.63)

în care ,0 .Având relaţiile (2.63), se dau valori pulsaţiei ,0 şi se calculează parametrii yT şi K , iar cu

valorile obţinute se trasează curba descompunerii D în planul yT,K . Valorile parametrilor K , yT suntaceleaşi pentru pulsaţii pozitive şi respectiv negative. În tabelul de mai jos sunt calculate câteva valori aleacestor parametrilor.

0 20 30 40 50 60 70 - - - K mT/1 202 452 802 1252 1802 2452 - - -

yT 0,0050 0,0022 0,0013 0,0008 0,0006 0,0004 - - - 0

Din relaţiile (2.63) se constată că pentru pulsaţii mici, 0 , asimptotă, în planul yT,K , este

dreaptă mT/1K , iar pentru pulsaţii mari, teoretic , asimptotă este abscisa 0Ty . Deci, pentru

,0 , curba descompunerii D are forma de hiperbolă cu asimptotele menţionate (fig.2.6). Pentru astabili haşurile ce definesc domeniul de stabilitate se determină semnul determinantului (iacobianului):

y

y

TY

KY

TX

KX

, (2.64)

în care:

1TTKKK

Xmy

2

,

2my

2

yy

TTKTT

X

,

0TTKK

Ymy

3

,

m3

my3

yy

TTTTT

Y

,

şi introducând derivatele parţiale în (2.64) se obţine:

m3

m3

2

TT0

1

. (2.65)

A rezultat:- pentru frecvenţe negative, ]0,( , determinantul 0 , deci deplasându-ne pe curba D de la

la 0 (de jos în sus) trebuie haşurat domeniul situat în stânga curbei (fig.2.6);- pentru frecvenţe pozitive, ,0 , 0 , deci deplasându-ne pe curba D de la 0 la

(de sus în jos) trebuie haşurat domeniul dispus în dreapta curbei.Sub curba D s-a obţinut o haşurare dublă. Deoarece parametrii K şi yT trebuie să fie pozitivi,

domeniul de stabilitate este limitat de curba D şi semiaxele pozitive K şi yT . Cu următorul program înMATLAB se poate trasa curba D şi stabili domeniul de stabilitate:

%Domeniul de stabilitate al unui SRA de ordinul n=3%Polinomul caracteristic: D(s)=TyTms^3+(Ty+Tm)s^2+s+k; Tm=0,5(sec)

w=0:0.1:100;Tm=0.5;Ty=1./(Tm*w.^2);k=(1/Tm)+Tm*w.^2;plot(k,Ty,'-k'),gridaxis([0 10 0 5])title('Domeniul de stabilitate pentru un SRA de ordinul n=3')xlabel('k'),ylabel('Ty')text(4,4.25,'Polinomul caracteristic:')text(4,3.8,'D(s)=s^3+(Ty+Tm)s^2+s+k; Tm=0,5')gtext('Domeniul')gtext('de stabilitate')

În figura 2.6 se prezintă curba D . După obţinerea curbei în MATLAB, haşurile s-au efectuat, înPaint, conform regulilor prezentate.

După trasarea domeniului de stabilitate, este necesar ca pentru un punct oarecare din interioruldomeniului, utilizând oricare din criteriile cunoscute, să se verifice stabilitatea sistemului. Dacă pentrupunctul arbitrar ales sistemul este stabil, atunci sistemul va fi stabil şi pentru celelalte puncte situate îninteriorul domeniului. Pentru exemplificarea s-a ales punctul, din domeniul de stabilitate, de coordonate 1T,2K y . Se verifică stabilitatea sistemului utilizând criteriul Hurwitz. Pentru

2K,1T,5.0T ym , ecuaţia caracteristică a sistemului închis (2.59) devine:

02ss5,1s5,0)s(D 23 ,iar determinantul Hurwitz are forma:

25,10015,0025,1

3 .

Se verifică: 05,015,12 , deci SRA este stabil IMEM. Rezultatul se extinde pentru toate puncteledin domeniul de stabilitate.

Fig. 2.6

PR.2.11. Se consideră SRA a cărui schemă de structură este de forma:

Se cere:a) trasarea aproximativă a locului de transfer a sistemului deschis prin punctele de intersecţie a

acestuia cu axele de coordonate şi aprecierea stabilităţii utilizând criteriul Nyquist;b) întocmirea unei program, în MATLAB, pentru aprecierea stabilităţii SRA utilizând criteriul

Nyquist.Rezolvarea) SRA având un element traductor în circuitul reacţiei principale negative, se calculează fdt a

sistemului pe canalul ry astfel:

)s(P

)s(P2s1s1s

1ss242s

11s

s21s

1S4s22

)s()s(Y

)s(H2

12

r1d

.

(2.66)Ecuaţia caracteristică asociată fdt (2.66) este:

02s1s1s)s(P2 , (2.67)iar polii fdt sunt:

2s,1s,1s 321 . (2.68)

Sistemul deschis are doi poli instabili 2s,1s 31 , situaţi în C , deci sistemul deschis esteinstabil şi se utilizează varianta generalizată a criteriului Nyquist 2N p . În (2.66) se face substituţia

js obţinându-se expresia analitică a locului de transfer a sistemului deschis. Se are în vedere că: 2ss2s2s1s1s 23 .

2322

322

23

2

1d22

j22j2142j2j

1j24)j(H

După calcule elementare se obţine:

2222322 4122 , 222222 23j5211j12j21 .A rezultat:

)(jV)(U41

23j5214jH222

222

1d

, (2.69)

unde:

22

2

22

2

41234)(V,

41524)(U

. (2.70)

Pulsaţiile corespunzătoare punctelor de intersecţie a ldt )j(H 1d cu axele de coordonate (din planulldt ) şi respectiv coordonatele acestor puncte se determină astfel:

052,0U 2 cu rădăcinile 5/24,2

Pentru pulsaţia 5/2 se obţine:

9,0212/12,1

524

521

52235/24

5/2V

.

Deoarece V este o funcţie impară: 9,05/2V5/2V .Se constată că axa imaginară )(Vj este intersectată într-un punct de coordonate 9,0V,0U

la pulsaţia 5/22 şi într-un punct 9,0V,0U la pulsaţia 5/24 . Pentru 0 seobţine 0)0(V , iar pentru rezultă 0)(V .

0234,0)(V 2 , cu rădăcinile 2/3,0 5,31 ,

2)0(UU 1

6,12/3U ; s-a avut în vedere că )(U este o funcţie pară, deci UU .Pentru se obţine 0)(U .Au rezolvat pulsaţiile şi coordonatele punctelor de intersecţie a ldt a sistemului deschis cu axele de

coordonate:0)0(V,2)0(U:01 , (2.71)

9,0)(V,0)(U:5/2 222 , (2.72)

0)(V,6,1)(U:2/3 333 , (2.73) 0VU: , (2.74)

0)(V,6,1U:2/3 555 , (2.75)

9,0V,0U:5/2 444 . (2.76)Punctele obţinute şi locul de transfer jH 1d , în principiu, sunt redate în figura 2.7.

Deoarece locul de transfer jH 1d înconjoară în sens direct trigonometric punctul critic destabilitate de două ori 2N p , atunci când , , rezultă că SRA este strict stabil extern.

Fig. 2.7

b) Program în MATLAB pentru aprecierea stabilităţii utilizând criteriul Nyguist

%Stabilitatea SLN utilizand criteriul Nyquistnum1=[4 2 2];den1=[1 0];

num2=[1];den2=[1 -1];num3=[2 0];den3=[1 1];num4=[1];den4=[1 -2];numa=conv(num1,num2);numb=conv([2 0],[1]);numc=conv(numa,numb);dena=conv(den1,den2);denb=conv(den3,den4);denc=conv(dena,denb);[num,den]=minreal(numc,denc);printsys(num,den)figure(1)num=[8 4 4];den=[1 -2 -1 2];z=roots(num);p=roots(den);%Se calculeaza polii si zerourile f.d.t.plot(real(p),imag(p),'o',real(z),imag(z),'*');gridaxis([-1.5 2.5 -1 1])title('Repartitia polilor si zerourilor in planul complex')xlabel('Real axis')ylabel('Imaginary axis')text(0.25,0.75,'o---POLI')text(0.25,0.50,'*---ZEROURI')figure(2)w=logspace(-5,3,200);num=[8 4 4];den=[1 -2 -1 2];nyquist(num,den,w)axis([-2.5 2.5 -1.5 1.5])

Diagrama repartiţiei polilor şi zerourilor fdt )s(H 1d este redată în figura 2.8, iar diagrama Nyguistîn figura 2.9.

Fig. 2.8

Fig. 2.9

Din figura 2.8 se constată existenţa celor doi poli instabili 2N,2s,1s p21 , iar din figura

2.9 rezultă că sistemul închis este strict stabil extern deoarece ldt jH 1d înconjoară în sens directtrigonometric punctul critic de stabilitate 0j,1 de 2N p ori.

PR.2.12. Pentru SRA descris prin următoarea schemă de structură

se cere:a) utilizând mediul MATLAB, să se reprezinte polii funcţiei de transfer a sistemului deschis în

planul rădăcinile şi să se analizeze stabilitatea sistemului închis folosind diagramele Nyquist şi Bode, pentru12,10,3K . Să se calculeze marginile de stabilitate;

b) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, răspunsurile indiciale ale SRApentru 12,10,3K . Să se analizeze rezultatul.

Rezolvarea) Se foloseşte următorul program în MATLAB:k1=3;k2=10;k3=12;figure(1)%Repartitia polilor in planul complexnum1=[k1];den1=[0.2 1];num2=[1];den2=[0.2 1 0];num=conv(num1,num2);den=conv(den1,den2);printsys(num,den)p=roots(den);%Se calculeaza polii f.d.t.

plot(real(p),imag(p),'o');gridaxis([-6 1.5 -8*10^-8 8*10^-8])title('Repartitia polilor in planul complex')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')figure(2)%Diagrama Nyquistw=logspace(-5,3,200);nyquist(num,den,w);axis([-2 1 -2 2])figure(3)%Diagrame Bode, Rezerva de stabilitatew=logspace(-2,1,200);num1=[k1];den1=[0.2 1];num2=[1];den2=[0.2 1 0];num=conv(num1,num2);den=conv(den1,den2);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag));gridtitle('Caracteristica logaritmica amplitudine-pulsatie')xlabel('Pulsatia(rad/sec)'),ylabel('Adb(w)')subplot(212)semilogx(w,phase),gridtitle('Caracteristica logaritmica faza-pulsatie')xlabel('Pulsatia(rad//sec)'),ylabel('Faza(grade)')

În figura 2.10 se prezintă, pentru 3K1 , repartiţia polilor fdt a sistemului deschis în planulrădăcinilor; în figura 2.11 se prezintă diagrama Nyquist, iar în figura 2.12 se redă diagrama Bode.

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Fig. 2.12

Din figura 2.10 se constată că sistemul deschis, pentru 3K1 , nu are poli în C , deci apreciereastabilităţii sistemului se face utilizând varianta simplificată a criteriului Nyquist 0N p . Se mai constatăcă sistemul este de tipul 1 , sistemul deschis având un pol de ordinul unul în origine. În acest caz 1 asimptota, ldt a sistemului deschis, pentru pulsaţii joase (teoretic 0 ) este semiaxa imaginarănegativă.

Din figura 2.11 reiese că sistemul închis este strict stabil extern deoarece ldt a sistemului deschisparcurs pentru pulsaţii crescătoare ,0 şi respectiv 0, lasă punctul critic de stabilitate 0j,1 în stânga.

În fereastra de comandă, pe lângă fdt a sistemului deschis care este de forma:

s2^s4,03^s04,03

den/num

(2.77)

sunt returnate şi următoarele valori:3334.3G m , 2027.38Pm (grade), 0000.5Wcg (rad/sec), 4276.2Wcp (rad/sec)

Semnificaţia notaţiilor de mai sus este următoarea:- marginea de amplitudine mA GM - marginea de fază: mPM

- pulsaţia corespunzătoare fazei de -1800: cg180 W

- pulsaţia de tăiere: cpt W

Corespunzător valorilor deţinute, pentru 3K1 , rezultă că sistemul este stabil IMEM deoarece

t180A ,0M,1M şi, în plus, valorile marginilor de stabilitate se încadrează în limitelerecomandate pentru sisteme cu performanţe bune:

grade6020M,102M A

Din figura 2.12 se constată că pulsaţiile t şi 180 se găsesc în limitele decadei de la 100 la 101 şi

180t . Din relaţia 180A A/1M rezultă 180AA Alg20Mlg20dBM , deci margineade amplitudine, exprimată în decibeli, pentru 3K1 , este negativă. Valoarea calculată prin program,

3334.3G m , nu este exprimată în decibeli.Pentru 10K 2 , se foloseşte acelaşi program în care în loc de 1K se introduce 10K 2 . În figura

2.13 se prezintă diagrama Nyquist, iar în figura 2.14 diagramele Bode.

Fig. 2.13

Fig. 2.14

Din figura 2.13 se constată ca ldt al sistemului deschis trece prin punctul critic de stabilitate 0j,1 , deci sistemul închis se află la limită de stabilitate. În fereastra de comandă sunt returnateurmătoarele valori:

0000.1G m 004e3643.5Pm

0000.5Wcg

0000.5Wcp Şi din aceste valori calculate rezultă că sistemul închis este la limită de stabilitate deoarece

0M,1M, A180t . Acelaşi lucru se desprinde şi din diagrama Bode, figura 2.14, din care

rezultă că 0000.5180t (pulsaţia t corespunde intersecţiei caracteristici logaritmice amplitudine-

pulsaţie cu axa abscisei, iar 180 corespunde intersecţie caracteristicii )( cu nivelul 0180 ).

Pentru 12K3 , în figura 2.15 se redă diagrama Nyquist, iar în figura 2.16 se prezintă diagramaBode. Din figura 2.15 reiese că ldt al sistemului deschis înconjoară punctul critic de stabilitate, pentrupulsaţii crescătoare , , deci sistemul închis este instabil. În fereastra de comandă sunt afişateurmătoarele rezultate:

Fig. 2.15

Fig. 2.168333.0G m 0980.5Pm 0000.5Wcg

4660.5Wcp

Din valorile de mai sus rezultă că, pentru 12K3 , sistemul închis este instabil deoarece0M,1M, A180t . Acelaşi aspect rezultă şi din diagrama Bode (fig. 2.16). Se constată că

pentru 10K SLN este stabil IMEM, pentru 10K se află la limită de stabilitate, iar pentru 0K SLNeste instabil. Cele prezentate conduc la următoarea concluzie: creşterea coeficientului de amplificare alsistemului deschis înrăutăţeşte stabilitatea (rezerva de stabilitate), dar cum s-a arătat, îmbunătăţeşte eroareastaţionară.

b) Cu următorul program MATLAB sunt calculate şi prezentate grafic răspunsul indiciale pentrucele trei situaţii 12K,10K,3K 321 :

%Calculul raspunsului indicial pentru SLN3

%f.d.t. a SRA :Ho(s)=k/(0.04s^3+0.4s^2+s+k); k=5,10,12t=0:0.1:7;figure(1)%SLN3 stabil (k1=5)si la limita de stabilitate (k2=10)k1=3;k2=10;num1=[k1];den1=[0.04 0.4 1 k1];num2=[k2];den2=[0.04 0.4 1 k2];p1=[0.04,0.4,1,3];r1=roots(p1)p2=[0.04 0.4,1,10];r2=roots(p2)ys1=step(num1,den1,t);ys2=step(num2,den2,t);plot(t,ys1,'-k',t,ys2,'-k'),gridtitle('Raspunsurile indiciale pentru SLN3 stabil si la limita de stabilitate')xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)')figure(2)%SLN3 instabil cu k=12k3=12;num3=[k3];den3=[0.04 0.4 1 k3];p3=[0.04,0.4,1,12];r3=roots(p3)ys3=step(num3,den3,t);plot(t,ys3,'-k'),gridtitle('Raspunsul indicial al SLN3 instabil')xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)')

În fereastra de comandă sunt returnate valorile polilor fdt a sistemului închis:- pentru

i8924.29740.0i8924.29740.0

0520.0r:3K 11

- pentru

i0000.50000.0i0000.50000.0

0000.10r:10K 22

- pentru

i3735.51884.0i3735.51884.0

3768.10r:12K 33

În figura 2.17 sunt prezentate răspunsurile indiciale pentru 3K1 şi 10K 2 , iar în figura 2.18pentru 12K3 .

Fig. 2.17

Fig. 2.18

Din figura 2.17 se constată că, pentru 3K1 , sistemul este stabil IMEM, răspunsul indicial esteoscilant amortizat, cu 1)0(Hy 0ST . Caracterul oscilant amortizat al răspunsului indicial se datoreazăperechi de poli 8924,2j9740,0 ai fdt a sistemului închis. Privind răspunsul indicial al sistemului lalimită de stabilitate 10K 2 , se constată că sistemul închis are o pereche de poli situaţi pe axa imaginară,

5j , axa imaginară fiind axa limitei de stabilitate. Răspunsul indicial din figura 2.18 corespunde sistemuluiînchis instabil 12K3 . Instabilitatea sistemului se datorează perechii de poli complecşi conjugaţi cu

partea reală pozitivă (situaţi în C ): 3735,5j1884,0 .

PR. 2.13. Se consideră sistemul de urmărire deschis de următoarea schemă de structură:

în care:

1sTsK)s(H

. (2.78)

Să se analizeze stabilitatea sistemului calculându-se valorile timpului critic de întârziere cr pentrudiferite valori ale coeficientului de amplificare K .

RezolvareFuncţia de transfer a sistemului deschis, cu timp de întârziere, este:

1sTseK

)s()s(Y)s(H

S

d

. (2.79)

Se constată că, în absenţa timpului de întârziere 0 , pentru sistemul deschis a cărui fdt este(2.78) se obţine stabilitatea sistemului închis indiferent de valorile parametrilor 0K şi 0T . Acest lucruse poate stabili calculând fdt a sistemului închis şi aplicând criteriul de stabilitate Hurwitz.

La început, considerând valorile oarecare 0K , 0T , se calculează locul de transfer a sistemuluideschis fără timp de întârziere. Diagrama Nyquist obţinută, pentru acest caz, ajută la definirea timpului critic

de întârziere şi la stabilirea condiţiei de stabilitate a sistemului cu timp mort. În principiu, în figura 2.19,locul de transfer a circuitului deschis fără timp de întârziere corespunde caracteristicii (1). Pulsaţia Areprezintă pulsaţia de tăiere a acestui loc de transfer, iar 0A este faza corespunzătoare pulsaţiei detăiere.

Fig. 2.19

În relaţia (2.78) se face substituţia js şi se obţine expresia răspunsului la frecvenţă a sistemuluideschis fără timp mort:

1TKj

1TKT

TjTK

1TjjKjH 2222224

2

,

care se pune sub forma: VjUjH , (2.80)

unde:

1TKV,

1TKTU 2222

. (2.81)

Se determină expresiile caracteristicilor amplitudine-pulsaţie A şi fază-pulsaţie :

1T

KVUA22

22

, (2.82)

Tarctg

2T1arctg

UVarctg

. (2.83)

Se scrie răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis, fără timp de întârziere, utilizând relaţiile (2.82)şi (2.83), astfel:

Tarctg2/je1T

KeAjH22

j

. (2.84)

Pentru orice valori atribuite parametrilor 0K şi 0T , hodograful (1) are un singur punct de

intersecţie cu cercul de rază unitară 1OA , iar pulsaţia corespunzătoare acestui punct este pulsaţia de

tăiere A (fig. 2.19).Valoarea timpului de întârziere corespunzătoare trecerii ldt a sistemului deschis, jHd , prin

punctul critic de stabilitate 0j,1 se numeşte timp critic de întârziere, notat cu cr , şi pentru cazulconsiderat se calculează din condiţia:

0, AcAA r , (2.85)de unde:

AA /cr . (2.86)

Se constată din (2.85) şi (2.86) că unghiul crA reprezintă marginea de fază M a sistemului fărătimp de întârziere. În cazul sistemului deschis cu timp de întârziere, pentru ca sistemul închis să fie stabilIMEM trebuie satisfăcută condiţia:

rc . (2.87)Relaţia (2.87) reprezintă condiţia de stabilitate a sistemului cu timp de întârziere. Pulsaţia de tăiere

A şi respectiv faza A , care apar în relaţia (2.86). pot fi determinate analitic astfel:

11T

KjHA22

AA

AA

, (2.88)

de unde:

222222A TK415,05,0

T1TK41

T21

T21

. (2.89)

Pulsaţia din (2.89) se introduce în relaţia (2.83) şi se obţine:

.22A TK415,05,0arctg

2

. (2.90)

Introducând pe A şi A în relaţia (2.86) se calculează timpul critic de întârziere:

TTK415,05,0

TK415,05,0arctg2M

/22

22

AAAcr

(2.91)

Pentru ca sistemul închis să fie stabil IMEM, atunci când sistemul deschis are timp de întârziere,trebuie satisfăcută condiţia (2.87), deci:

TTK415,05,0

TK415,05,0arctg2

22

22

cr

. (2.92)

Adoptând, de exemplu, valorile 10K şi (sec)1,0T , timpul de întârziere nu trebuie sădepăşească timpul critic de întârziere sec115,0cr . Dacă cr atunci sistemul se află la limită de

stabilitate deoarece ldt a sistemului deschis jHejH jd trece prin punctul critic de stabilitate

0j,1 . Pentru sistemul este instabil. Ne convingem de acest lucru calculând diagrama Nyquistpentru următoarele cazuri:

a) sistem fără timp de întârziere: sec1,0T,10K,0 ;b) sistem cu timp de întârziere, la limită de stabilitate: sec1,0T,10K , sec115,0cr ;

c) sistem cu timp de întârziere, instabil: cr1 2,0,sec1,0T,10K Pentru calcularea locurilor de transfer menţionate la subpunctele b şi c s-a avut în vedere:

jyxUsinVcosjVsinUcos

jVUsinjcosjHe

tttt

tttj

unde: VsinUcosx tt , UsinVcosy tt

în care At este pulsaţia de tăiere a sistemului fără timp de întârziere. Pentru calcularea şireprezentarea ldt menţionate se poate folosi următorul program în MATLAB:

%Studiul stabilitatii sistemului cu timp de intarziere

k=10;T=0.1;num=[k];den=[T 1 0];figure(1)%Stabilitatea sistemului fără timp de întârzierew=logspace(-1,3,500);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);[Gm,Pm,Ecg,Wcp]=margin(mag,phase,w)nyquist(num,den,w)axis([-1.1 0.2 -40 40])figure(2)%Sistemului cu timp de intarziere%Sistemul la limita de stabilitate:tau=0.115(timp critic)%Sistemul instabil:tau1=0.2>tau=0.115w=logspace(-1,3,500);wt=7.8615;tau=0.115;tau1=0.2;[x,y]=nyquist(num,den,w);c=cos(wt*tau);s=sin(wt*tau);c1=cos(wt*tau1);s1=sin(wt*tau1);xt=c*x+s*y;yt=c*y-s*x;%Pentru tau=0.115xt1=c1*x+s1*y;yt1=c1*y-s1*x; %Pentru tau1=0.2plot(xt,yt,'-k',xt1,yt1,'-k'),gridaxis([-8 1 -6 2])title('Locuri de transfer pentru k=10,T=0.1,tau critic=0.115,tau=0.2')xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')text(-5.5915,-3.3450,'Sistem la limita de stabilitate:tau critic=0.115')text(-6.5588,1.2164,'Sistem instabil:tau=0.2>tau critic=0.115')

În figura 2.20 se prezintă diagrama Nyquist pentru cazul sistemului fără timp de întârziere, iar înfigura 2.21 sunt prezentate ldt pentru sistemul cu timp de întârziere )s(115,0cr (sistemul fiind la

limită de stabilitate) şi cr1 2,0 (sistem instabil).

Fig. 2.20

Fig. 2.21Condiţia (2.92) permite să se traseze dependenţa Kfcr pentru ctT . Curba Kfcr

separă planul parametrilor cr1 ,K în două subdomenii. Domeniul mărginit la curba Kfcr şi axele de

coordonate corespunde valorilor parametrilor ,K pentru care condiţia cr este satisfăcută şi sistemul

închis este stabil IMEM, iar domeniul aflat în dreapta curbei Kfcr este domeniul de instabilitate asistemului. Coordonatele punctelor de pe curbă corespund sistemului la limită de stabilitate. Pentru trasareadependenţa Kfcr , pentru s1,0 , s-a întocmit următorul program în MATLAB:

%Dependenta taucr=f(k) pentru T=0.1 (secunse)figure(3)k=0.5:0.1:15;a=0.5*sqrt(1+0.04*k.^2);b=sqrt(-0.5+a);c=atan(b);d=(pi/2)-c;tau=(d./b)*0.1;plot(k,tau,'-k');gridaxis([0 15 0 3])title('Depandenta timpului critic de intarziere functie de K, cu T=0.1(s)')xlabel('K'),ylabel('Timpul critic de intarziere pentru T=0.1 (s)')În figura 2.22 se prezintă dependenţa Kfcr şi corespunzător sunt precizate cele două domenii

menţionate. A rezolvat că sistemul fără timp de întârziere, având fdt în stare deschisă (2.78), stabil în stareînchisă pentru orice valori 0T,0K , poate deveni instabil prin introducerea timpului de întârziere

cr .

Fig. 2.22PR. 2.14. Se consideră SLN de ordinul 2 cu realizarea de stare:

0d,01c,10

b,20

11A T

şi T100X

pentru care se cere:a) să se aprecieze stabilitatea internă în baza localizării valorilor proprii ale matricelor A şi N;b) să se aprecieze stabilitatea internă în baza matricei fundamentale t ;c) să se aprecieze stabilitatea internă în baza componentei libere tX a vectorului de stare;d) să se aprecieze stabilitatea internă utilizând ecuaţia Liapunov;e) să se întocmească un program un program în MATLAB pentru soluţionarea problemelor de la

punctele precedente.Rezolvarea1) Verificarea localizării valorilor proprii ale matricei A. Valorile proprii ale matricei A sunt

rădăcinile ecuaţiei: 0sIAdet 2 . (2.93)

Se calculează:

s201s1

sIA 2 , (2.94)

şi rezultă că: 2s,1s,0s2s1sIAdet 212 . (2.95)

Spectrul matricei A este: 2,1A . (2.96)

Valorile proprii ale matricei A sunt reale şi strict negative, CA , deci sistemul este internasimptotic stabil.

a2) Verificarea localizării valorilor proprii ale matricei N.Matricea N calculează cu relaţia:

122 IA2IN . (2.97)

Valorile proprii ale matricei N sunt rădăcinile ecuaţiei: 0INdet 2 . (2.98)

Se calculează:

31061

21

IA,30

12IA 1

22 ,

310310

IA2IN,

320311

IA2 122

12 ,

31,0,0

31INdet 212

. (2.99)

SLN este intern asimptotic stabil deoarece valorile proprii ale matricei N sunt localizate în interiorulcercului de rază unitate.

Procedura cea mai simplă de verificare a localizării valorilor proprii ale matricei N constă înridicarea acesteia la diverse puteri (de regulă la puterea ,2,1r,2 r ); dacă elementele matricei N, ridicatăla puteri tot mai mari, satisface condiţia

n/1n

r

ij unde n este ordinul sistemului, calculele se încheie.

În cazul considerat ,2n şi pentru r=2 se obţine:

1111,001111,00

N2 , (2.100)

rezultând că:

2,1i,2/1n2

ij şi j=1,2,deci sistemul este intern asimptotic stabil.

b) Matricea fundamentală a sistemului este de forma (relaţia (1.188) din PR1.19):

0t,e0

eeet

t2

t2tt

. (2.101)

Deoarece: 0tlim

t

, (2.102)

SLN 2 este intern asimptotic stabil.c) Componenta liberă a vectorului de stare este:

0t,

eee

0Xttxtx

tXt2

t2t

2

1

, (2.103)

şi 0tXlim

t

, (2.104)

rezultând că SLN2 este intern asimptotic stabil.d) În ecuaţia Liapunov

QPAPAT , (2.105)se adoptă 2IQ , iar P are forma:

2221

1211

pppp

P . (2.106)

Se obţine:

10

01p4p2p3p

p3pp2PAPA

22121211

121111T , (2.107)

din care rezultă sistemul de ecuaţii:

1p4p20p3p

1p2

2212

1211

11

(2.108)

cu soluţiile:3333,0p;1666,0pp;5,0p 22211211

Matricea P are forma:

3333,01666,01666,05000,0

P , (2.109)

şi având minorii Nyguist strict pozitivi 01389,0Pdet , este pozitiv definită, deci SLN2 este internasimptotic stabil.

e) Se foloseşte următorul program în MATLAB:

%Stabilitatea interna: A=[-1 1;0 -2];b=[0;1];cT=[1 0];x(0)=[0;1];A=[-1 1;0 -2];lamda=eig(A)%Valorile proprii ale matricei AN=eye(2)+2*inv(A-eye(2))npr=eig(N)%Valorile proprii ale matricei Nx0=[0;1]%Condiţia initialăX=[]for t=0:0.01:3

X=[X expm(t*A)*x0];endfigure(1)plot(X(1,:)),grid%Variabila x1 a componentei libere a vectorului de stareaxis([0 300 0 0.27])title('Variabila x1(t) a componentei libere a vectorului de stare')xlabel('t(s)'),ylabel('x1(t)')figure(2)plot(X(2,:)),grid%Variabila x2 a componentei libere a vectorului de stareaxis([0 300 0 1])title('Variabila x2(t) a componentei libere a vectorului de stare')xlabel('(t)'),ylabel('x2(t)')b=A';q=eye(2);p=lyap(b,q)dp=det(p)syms tA=sym([-1 1;0 -2]);fi=expm(t*A)

În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate

21

lamda

3333.003333.00

N

3333.00

np r

3333.01667.01667.05000.0

p

1389.0dp

t*2exp,0

texpt*2exp,texpFi

În figura 2.23 se prezintă evoluţia în timp a variabilei tx1 , iar în figura 2.24 evoluţia în timp a

variabilei tx 2 . Din cele două figuri rezultă că pentru 0txtxtX,t T21

Fig. 2.23

Fig. 2.24PR.2.15. Pentru SLN descris prin schema de structură:

se cere:a) să se întocmească un program în MATLAB pentru determinarea realizării d,c,b,A T ,

polinomului caracteristic al matricei A şi funcţiei de transfer a sistemului închis;b) să se aprecieze stabilitatea internă şi externă a sistemului folosind criteriul HurwitzRezolvarea) polinomul caracteristic al matricei A este de forma: AsIdetAp , (2.110)

iar fdt a sistemului închis se determină cu relaţia: bAsIc)s(H 1T

d . (2.111)

Pentru calcularea realizării d,c,b,A T se utilizează funcţia MATLAB: tf2ss.Secvenţe MATLAB:

num1=[3];den1=[2 1];num2=[1];den2=[4 1];num3=[1];den3=[3 1];[num4,den4]=series(num1,den1,num2,den2);printsys(num4,den4)% f.d.t. a sistemului deschis[num,den]=feedback(num4,den4,num3,den3,-1);printsys(num,den)% f.d.t. a sistemului închis[A,b,c,d]=tf2ss(num,den)syms spd=det(s*eye(3)-A)% Polinomul caracteristic al matricei AT=c*inv(s*eye(3)-A)*b% f.d.t. a sistemului închis calculată cu matricele A, b, cT

În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate:

4s9s26s243s9

dennum,

1s6s83

4den4num

232

,

00000.10000000.1

1667.03750.00833.1A

0d;1250.03750.00c;001b TT ,

61s

83s

1213spd 23 ,

4s9s26s243s9T 23

b) Cunoscând polinomul caracteristic, pd , al matricei sistemului A, se întocmeşte determinantulHurwitz:

61

12130

0831

061

1213

HA ,

şi

09623

61

83

1213HA2

A rezultat că sistemul este intern asimptotic stabil. În baza polinomului caracteristic asociat fdt asistemului închis se întocmeşte determinantul Hurwitz:

0138HO;426009240426

HO 2

deci sistemul este strict stabil extern.

PR.2.16 Pentru SLN cu realizarea de stare: 0d;01c;0;2b;31;20A T ,

şi condiţia iniţială: 0;10x;0x0X T

21 se cere:

a) să se calculeze componenta liberă a vectorului de stare şi să se prezinte grafic variabilele de stare tx1 şi tx 2 , în MATLAB. Să se aprecieze stabilitatea internă;

b) să se calculeze valoarea matricei fundamentale t la momentul s5,0dt , în MATLAB.Rezolvare

Secvenţe MATLABA=[0 -2;1 -3];B=[2;0];C=[1 0];D=[0];x0=[1 0];t=[0:0.01:7];u=0*t;%Intrarea nula[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);plot(t,x(:,1),'-k',t,x(:,2),'-k'),gridtitle('Evolutia in timp a variabilelor x1(t) si x2(t)')xlabel('t(s)'),ylabel('x1(t), x2(t)')

text(1.1532,0.5336,'-----x1(t)')text(0.2016,0.1477,'-----x2(t)')dt=0.5;Fi=expm(A*dt)

În figura 2.24. sunt prezentate graficele tx1 şi tx 2 . Se constată că se respectă condiţia 0tX când t , deci sistemul este intern asimptotic stabil.

În fereastra de comandă sunt returnate valorile matricei fundamentale la momentul s5,0dt

1292.02387.04773.08452.0

Fi

PR.2.17 Ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma: 0K1sT1sT1sTsD 321

în care 25K;s05,0T;s5,0T 32 Să se întocmească un program în MATLAB pentru calculul domeniilor de stabilitate în raport cu

parametrul real 1T .RezolvareEcuaţia caracteristică a sistemului închis se scrie astfel:

0K1sTTTsTTTTTTsTTT 3212

1332213

321 . (2.112)Se rezolvă (2.112) în raport cu 1T şi se obţine:

Fig. 2.24

ssTTsTT

K1sTTsTTT 2

323

32

322

321

. (2.113)

În (2.113) se face substituţia js : jvuT cr1 , (2.114)

unde:u cr1TRe , iar cr1TImv .

Deoarece 1T este real 0TImv cr1 şi se caută domeniile de stabilitate pe axa reală u a locului detransfer.

Program în MATLAB

T2=0.5;T3=0.05;k=25;w=2*pi*[-50:0.1:50];s=w*i;n=-[T2*T3*s.^2+(T2+T3)*s+1+k];d=T2*T3*s.^3+(T2+T3)*s.^2+s;d1=conj(d);d3=d.*d1;T1=n.*d1./d3;u=real(T1);v=imag(T1);plot(u,v,'-k'),gridaxis([-0.05 0.8 -0.06 0.06])title('Descompunerea in domenii de stabilitate dupa parametrul T1')xlabel('Real(T1cr)'),ylabel('Imag(T1cr)')

Locul de transfer cr1T este prezentat în figura 2.25.

Fig. 2.25

Pentru stabilirea domeniilor de stabilitate se fac câteva verificări pentru puncte, de pe axa abscisei u , corespunzătoare celor trei zone evidenţiate (fig.2.25). Se utilizează criteriul Hurwitz

a) Valoarea 54,0T1 (s) corespunde punctului de pe abscisă care se află pe curba critică a limiteide stabilitate. Se introduce valoarea 54,0T1 în relaţia (2.112) şi se obţine:

026s09,1s322,0s0135,0sD 23 Se întocmeşte determinantul Hurwitz:

26322,00009,10135,0026322,0

3

şi se constată că:00135,02609,1322,02

deci, sistemul se află la limită de stabilitate.

b) Valoarea 02,0T1 corespunde punctului de pe abscisă din domeniul I(fig. 2.25). Pentru 02,0T1 relaţia (2.112) devine:

026s57,0s036,0s0005,0sD 23 şi corespunzător:

26036,000570,00005,0026036,0

3 ,

000752,00005,02657,0036,02 rezultând că sistemul este strict stabil extern.

c) Valoarea 3,0T1 corespunde punctului de pe abscisă din domeniul II(fig. 2.25). Introducând 3,0T1 în (2.112) se obţine:

026s85,0s19,0s0075,0sD 23 ,şi

261900,0008500,00075,000000,261900,0

3

00335,0075,02685,019,02 sistemul fiind instabil.

d) Valoarea 0,1T1 corespunde punctului de pe abscisă din domeniul III.

026s55,1s575,0s0025,0sD 23 ,

26575,000550,1025,0026575,0

3

0241,0025,02655,1575,02 ,sistemul este stabil IMEM.

A rezultat că domeniul I şi III sunt domenii de stabilitate pentru valorile: s047,0T0 1 şi s54,0T1

2.3. Probleme propuse spre rezolvare

PP.2.1. Să se analizez stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacăecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma:

a) 0Ks3,1s4,0s02,0 2

b) 0Kss4,0s05,0s001,0 234

PP. 2.2. Având ecuaţia caracteristică a sistemului închis de forma:02s4s5s3s 234

să se verifice stabilitatea sistemului utilizând criteriul Routh.

PP.2.3. Pentru SLN a cărui schemă de structură este de forma:

să se calculeze ecuaţia caracteristică a sistemului închis şi să se verifice stabilitatea sistemului utilizândcriteriul Routh pentru cazurile:

a) 5,9K R ;b) 0,11K R ;c) 0,12K R .

PR. 2.4. Să se analizeze stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacăschema de structură a sistemului este de forma:

PR. 2.5. Să se analizeze stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacăschema de structură a sistemului este de forma:

PP. 2.6. Folosind criteriul Routh, să se verifice stabilitate dacă funcţia de transfer a sistemului închiseste de forma:

8s10s9s4s

1sRsYSH 2340

PP. 2.7. Pentru SRA a cărui schemă de structură este de forma:

se cere:a) să se calculeze şi să se traseze, prin punctele de intersecţie a locului de transfer cu axele de

coordonate, diagrama Nyquist şi să se aprecieze stabilitatea sistemului;b) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea diagramei Nyquist, diagramei Bode

şi marginilor de stabilitate; să se evalueze stabilitatea sistemului.

PP.2.8. Utilizând criteriul Mihailov, să se verifice stabilitatea sistemului, dacă ecuaţia caracteristicăa sistemului închis este de forma:

010s2s5,0s04,0sD 23

PP.2.9. Pentru SLN descris prin următoarea schemă de structură:

în care:

1s1,0s1,0sG,

1s2,0s2,0SG,

1s05,05sG,

1s02,060sG 4321

,

să se întocmească un program în MATLAB pentru verificarea stabilităţii externe utilizând criteriileMihailov, Nyquist, Bode; să se calculeze marginile de stabilitate şi să se evalueze stabilitatea sistemului.

PP.2.10 Având polinomul caracteristic al sistemului închis: K1s5ss25,0s02,0sD 234

să se calculeze valoarea parametrului K corespunzător limitei de stabilitate, utilizând criteriul Mihailov.Să se întocmească un program în MATLAB pentru trasarea grafică a hodografului Mihailov

adoptând pentru K o valoare corespunzătoare sistemului stabil IMEM şi o valoare corespunzătoaresistemului instabil.

PP.2.11. Pentru SRA descris prin schema de structură:

în care 3K1 şi 2K3 , iar condiţiile iniţiale nule, se cere:

a) să se calculeze analitic realizarea d,c,b,A T adoptând varianta variabilelor de fază;b) să se calculeze analitic matricea de tranziţie t şi să se aprecieze stabilitatea internă;c) să se calculeze analitic componenta liberă tX a vectorului de stare şi să se aprecieze

stabilitatea internă;d) să se calculeze spectrul matricei A,A , şi să se aprecieze stabilitatea internă;e) să se verifice stabilitatea internă utilizând criteriile Hurwitz şi Routh;f) să se verifice stabilitatea externă utilizând criteriile Hurwitz şi Routh.

PP. 2.12. Pentru SLN descris prin schema de structură:

se cere:a) să se verifice stabilitatea externă folosind criteriul Routh;b) să se întocmească programul în MATLAB pentru verificarea stabilităţii în baza diagramelor

Nyquist şi Bode; să se calculeze marginile de stabilitate;c) să se întocmească programul MATLAB pentru verificarea stabilităţii externe, utilizând criteriul

Mihailov.

PP. 2.13. Pentru SLN descris prin schema de structură:

se cere:a) să se calculeze funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu referinţa şi să se stabilească

ecuaţia caracteristică asociată acesteia;b) să se calculeze valorile parametrului RK pentru care sistemul este strict stabil extern, la limită de

stabilitate, instabil;c) adoptând o valoare RK pentru care sistemul este strict stabil extern, să se întocmească un

program în MATLAB pentru calcularea realizării d,c,b,A T şi verificarea stabilităţii interne;d) să se calculeze eroarea staţionară în raport cu mărimea de intrare şi perturbaţia.

PP: 2.14. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, a cărui funcţie de transfer a sistemului deschiseste de forma:

1s03,01s02,0s

40ssYsH d

să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a diagramelor Nyquist şiBode; să se calculeze marginile de stabilitate şi să se evalueze stabilitatea sistemului.

PP. 2.15. Să se calculeze, în MATLAB, diagrama Nyquist şi marginile de stabilitate pentru un SRA,cu reacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:

1s31s41s2

3ssYsH d

şi să se aprecieze stabilitatea.

PP. 2.16. Să se calculeze, în MATLAB, diagrama Bode şi marginile de stabilitate pentru un SRA, cureacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:

1s51ss

1sRsYsH d

şi să se evalueze stabilitatea.

PP. 2.17. Ecuaţia caracteristică a SLN cu circuit închis este: 01s34s3ssD 23

Utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după un parametru, să se determine pentruce valori ale parametrului real sistemul rămâne stabil.

PP. 2.18. Ecuaţia caracteristică a SLN cu circuit închis este de forma: 0ssssD 23

Utilizând metoda descompunerii D să se calculeze domeniul de stabilitate în planul parametrilor şi .

PP. 2.19. Pentru un SRA, cu reacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:

1sTs

1sTKssYsH

2

1d

în care: s1,0T1 şi s5,0T2 , utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după unparametru, să se determine pentru ce valori ale parametrului real K sistemul rămâne stabil.

PP. 2.20. Pentru SLN cu circuit închis având polinomul caracteristic de forma: K1sT1sT1sTsD 321

în care s1T,s1,0T,s5,0T 321 , utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după unparametru, să se calculeze pentru ce valori ale parametrului real K sistemul rămâne stabil IMEM.

PP. 2.21. Având cunoscută matricea SLN:

0100016168

A

se cere întocmirea unui program în MATLAB pentru verificarea stabilităţii interne utilizând:a) ecuaţia Liapunov;b) verificarea localizării valorilor proprii ale matricei A;c) verificarea localizării valorilor proprii ale matricei N.

PP. 2.22. Pentru SLN descris prin realizarea de stare:

0d,100c,001b,1010051001

A TT

,

şi T1110X ,

să se întocmească un program în MATLAB pentru:a) verificarea stabilităţii interne prin calcularea şi prezentare grafică a variaţiei în timp a elementelor

componentei libere a vectorului de stare;b) verificarea stabilităţii externe.

Unitatea de învăţare 4SISTEME AUTOMATE NELINIARE

ObiectiveIntroducere privind sistemele neliniare. Definiţii, scheme de structură. Principalele tipuri de

neliniarităţi statice. Particularităţile sistemelor neliniare în raport cu sistemele liniareAnaliza sistemelor neliniare. Metoda planului fazelor. Metoda liniarizării armonice,

principiul metodei, funcţia de descriere, studiul stabilităţii pe baza liniarizării armonice. Analizasistemelor neliniare cu regulatoare bipoziţionale şi tripoziţionale.

Aplicaţii.Teste de autoevaluare.

OBIECTIVE- să definească sisteme automate neliniare;- să indice principalele scheme de structură;- să prezinte particularităţile sistemelor automate neliniare;- să enumere, să definească şi să compare metodele de analiză a sistemelor automate

neliniare.

SISTEME DE REGLARE AUTOMATĂ NELINIARE

4.1. Definiţii, scheme de structură, principalele tipuri de neliniarităţi staticeUn sistem automat se numeşte neliniar (SAN) dacă conţine cel puţin un element neliniar. Blocurileneliniare sunt descrise matematic prin ecuaţii diferenţiale neliniare.În cazul SAN nu se aplică principiul superpoziţiei şi nu este permisă extrapolarea, în sensul căavând cunoscut răspunsul la un anumit semnal de referinţă nu se poate deduce direct răspunsul la unsemnal de acelaşi tip, dar de alţi parametri.

Neliniarităţile pot fi neesenţiale şi esenţiale. Neliniarităţile neesenţiale pot fi neglijate şi pentru acestease acceptă modelul liniar. Neliniarităţile esenţiale nu pot fi neglijate şi acceptarea unui model matematicliniar conduce la erori grave de calcul, fapt pentru care SAN sunt analizate prin metode specifice.Un SAN pe lângă elemente (blocuri) neliniare conţine totdeauna un ansamblu de elemente liniare.Elementele neliniare sunt utilizate în mod intenţionat în structuri de SA în scopul realizăriiperformanţelor dorite.Privind schemele de structură ale SAN deosebim:

Structuri în care cele două grupe de elemente (liniare EL şi neliniare EN) pot fi separate

direct (fig. 6.1).a) b)

Fig. 4.1.

Structuri în care neliniarităţile nu pot fi separate direct, acestea apărând în diferite poziţii înstructura SAN, aşa cum se arată în fig. 4.2.

Fig. 4.2Astfel de scheme de structură pot fi transformate în cheme echivalente în care să se poată separa cele

două grupe de elemente (liniare şi neliniare). În figura 4.3 se prezintă schema echivalentă a sistemuluineliniar prezentat în figura 4.2 2.

Fig. 4.3.

La SAN comportarea (evoluţia în timp a răspunsului) depinde în mod esenţial de condiţiile iniţiale,iar problema stabilităţii se tratează diferit faţă de SALC. invariante. Astfel, stabilitatea unui SANeste dependentă de intrarea acestuia şi de starea lui iniţială, spre deosebire de SALC undestabilitatea este o proprietate intrinsecă a sistemului, independentă de mărimea aplicată la intrareaacestuia şi de starea iniţială. În plus, SAN le este specifică funcţionarea cu oscilaţii întreţinute(regim de autooscilaţii), care nu presupune instabilitatea sistemului. Aceste autooscilaţii sunt

similare cu cele ale SALC la limită de stabilitate, dar se deosebesc de acestea prin faptul cămărimea de intrare poate fi chiar nulă (parametrii autooscilaţiilor nu depind de mărimea de intrare).Neliniarităţile care apar într-un SAN pot fi statice sau dinamice, după cum modelul matematicneliniar este staţionar sau dinamic. Spunem că neliniaritatea este statică dacă între mărimea de ieşire

ex şi mărimea de intrare ix există o relaţie de forma: ixfex , (4.1)

în care nu apare timpul 2. Mărimile xi , xe corespund figurii4.4.

Forma cea mai generală a modelului matematic a unuiEN este neliniaritatea dinamică care poate fi redată astfel 2:

Fig. 4.4 t,x,...,x,x,x....,,x,xfx )m()1n(

iiieeee)n( , (4.2)

în care coeficienţi ecuaţiei diferenţiale pot fi funcţii de variabilele xi , xe şi de derivatele lor.Principalele neliniarităţi statice întâlnite în structura SAN sunt redate în tabelul 4.1.

O clasă specială de neliniarităţi, frecvent întâlnite în structura SAN, o reprezintă clasaneliniarităţilor sectoriale , definite generic prin 21 k,k . Caracteristicile ce aparţinacestor neliniarităţi sectoriale satisfac condiţia 2:

,00

,0,kk 21

(4.3)

unde k1 şi k2 sunt valori cunoscute şi definite astfel: ,supk,infk 21

(4.4)

Un caz particular al clasei de neliniarităţi 21 k,k este clasa k,0 , care este cel mai frecventutilizată în literatura de specialitate 2. Cele două clase de neliniarităţi sectoriale sunt prezentate înfigura 4.5.

Tabelul 4.1.Denumireaneliniarităţii Caracteristica statică Modelul matematic

Zonă deinsensibilitate

ie x.ptr,0x

iie

iie

xptrxkxxptrxkx

.,

.,

Zonă desaturaţie

iie

iie

x.ptr,xsignBx

x.ptr,xkx

Insensibilitateşi saturaţie

kBx

.ptr,xkx

x.ptr,0x

i

ie

ie

kBx.ptr,xsignBx

xkB

.ptr,xkx

iie

i

ie

Releu ideal

.0x.ptr,B0x.ptr,nedef

0x.ptr,B

xsignBxi

ii

ie

Tabelul 4.1 (continuare)

Releu cu zonăde insensibilitate

iie

ie

x.ptr,xsignBxx.ptr,0x

Releubipoziţional cuhistarezis

,0dt

dxşix.ptr

,Bx

0dt

dxşix.ptr

,Bxx.ptr,Bx

x.ptr,Bx

ii

e

ii

e

ie

ie

Fig. 4.5

4.2. Analiza sistemelor neliniare prin metoda planului fazelorMetoda planului fazelor este o metodă grafo-analitică precisă utilizată în analiza SALC şi SANdescrise de ecuaţii diferenţiale de ordinul II, care conţine neliniarităţi ce pot fi redate grafic. Altfelspus, metoda planului fazelor permite obţinerea unei imagini complete privind evoluţia sistemuluide ordinul II, liniar sau neliniar, fără a determina soluţia ecuaţiei diferenţiale. Metoda planuluifazelor ne dă informaţii privind caracterul mişcării(periodic, aperiodic), regimul staţionar şi modulde desfăşurare a mişcării în sensul stabilităţii.

Se ştie că planul fazelor este un caz particular al spaţiului stărilor, când ordinul sistemului este n=2,iar variabilele de stare se aleg ca variabile de fază. Pentru a explica esenţa metodei, se consideră un SA deordinul II a cărui regim liber (tranzitoriu) este descris de următoarea ecuaţie diferenţială scrisă sub forma:

,y,yfy (4.5)SA este liniar sau neliniar după forma funcţiei y,yf din (4.5). Notând variabilele de fază cu x1, x2

şi adoptând ca variabilă de bază x1=y, rezultă:,yx1 (4.6)

,yxx 12 (4.7) ,x,xfyx 212 (4.8)

Planul a cărui coordonate sunt yxşiyx 2 este denumit planul fazelor (fig. 4.6).

Fig. 6.6

Evoluţia în timp a SA, în planul fazelor, este dată de o curbă integrală (C) gradată în timp, denumitătraiectorie de fază. Ecuaţia traiectoriei de fază, în forma diferenţială, se obţine prin simpla împărţire a relaţiei(4.8) la (4.7), în care timpul este eliminat:

2

21

1

2

x)x,x(f

dxdx

, (4.9)

Traiectoria de fază este reprezentarea geometrică a soluţiei x2 = F(x1) aferente ecuaţiei (4.9).Punctul curent de pe traiectoria de fază care reflectă starea SA în momentul instantaneu considerat, senumeşte punct imagine. Creşterea timpului se indică pe traiectoria de fază prin săgeţi. În figura 6.6, luând înconsideraţie sensul săgeţii de pe traiectoria de fază, rezultă t1 t2 t3 ...

Panta traiectoriei de fază se poate exprima astfel:

1

2

xx

tg

,

sau

2

21

1

2

xx,xf

yy

dtdxdt

dx

tg

, (4.10) Se constată că atunci

când 0xxfşi0xy 212 , rezultă tg , deci unghiul sub care traiectoria de fazăintersectează axa abscisei este totdeauna 900.

De reţinut este faptul că panta traiectoriei de fază nu depinde de timp.Ecuaţiile (4.6)(4.10) evidenţiază o serie de particularităţi ale planului fazelor, astfel:a) În conformitate cu (4.7),(4.8), dacă f(x1, x2) are pentru fiecare x1 o valoare unică, atunci12 dxdx în fiecare punct din planul fazelor, cu excepţia unor puncte singulare, are o valoare unică. Aceasta

înseamnă că traiectoriile de fază nu se intersectează, aspect care asigură claritatea portretului fazelor.b) Deoarece pentru 0yxx 12 valorile răspunsului y trebuie să crească, rezultă că în

semiplanul superior, al planului fazelor, cu creşterea timpului t punctul imagine se mişcă pe traiectoria defază de la stânga la dreapta. Corespunzător, în semiplanul inferior mişcarea are loc de la dreapta spre stânga.Aşa cum s-a menţionat, sensul de creştere a timpului t se indică cu săgeată pe traiectoria de fază.

c) Ecuaţia (6.9) în mod unic determină tangenta la traiectoria de fază în toate punctele, cu excepţiaacelor puncte în care concomitent sunt satisfăcute condiţiile:

0x,0)x,x(f 221 , (4.11)Punctele în care sunt satisfăcute ecuaţiile (4.11) se numesc puncte singulare. Din aceste puncte

pornesc sau converg mai multe traiectorii de fază. În punctele planului fazelor în care nu sunt satisfăcuteconcomitent ecuaţiile (4.11) trace numai o singură traiectorie de fază. Astfel de puncte ne numescnesingulare. Din ecuaţiile (4.7) (4.11) rezultă că în punctele singulare derivatele variabilelor de fază suntnule, ca urmare punctele singulare reprezintă puncte de echilibru ale sistemului. Pentru a se determina, înplanul fazelor, punctele de echilibru (punctele singulare) trebuie să se rezolve sistemul format din ecuaţiile(4.11).

d) În punctele în care 0x,xf,0x 212 , adică în punctele nesingulare de pe axa abscisei,conform relaţiei (4.10), traiectoriile de fază intersectează axa abscisei sub un unghi de 90 grade de sus în josîn semiplanul drept, din planul fazelor, şi de jos în sus în semiplanul stâng.

A. Sisteme de ordinul II liniare sau liniarizatePentru a interpreta corect portretul de fază este necesar a corela forma traiectoriei de fază cu evoluţia

în timp a răspunsului sistemului, respectiv cu tipul rădăcinii ecuaţiei caracteristice. Referindu-ne la evoluţialiberă a SA, considerăm următoarele cazuri care prezintă interes:

Oscilaţia armonică neamortizată, care este specifică SA aflat la limită de stabilitate. În acest cazrădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt dispuse pe axa imaginară din planul rădăcinilor.

Se consideră oscilaţia sinusoidală de forma:tsinAxy 1 , (4.12)

din care rezultă:tcosAxyx 12 , (4.13)

Eliminând variabila t, se obţine:

,tcosAx

,tsinAx 21

1A

xAx

22

22

2

21

, (4.14)

Se constată că oscilaţia neamortizată se reprezintă în planul fazelor printr-o elipsă cu semiaxele A şiA. În figura 4.7 se reprezintă evoluţia în timp a oscilaţiei neamortizate (fig.4.7.a) precum şi imagineaacesteia (traiectoria de fază) în planul fazelor (fig. 4.7.b.).

a) b)Fig. 4.7

Pentru A=ct. şi se obţine o familie de elipse cu axa comună 2A=ct. şi cu axa:

pentru,

0pentru,0A2

Pentru diferite amplitudini A şi o pulsaţie dată, se poate construi o familie de elipse incluse uneleîn altele.

Oscilaţie neamortizată care este specifică sistemului instabil; în acest caz rădăcinileecuaţiei caracteristice asociate sistemului de ordinul II sunt complexe conjugate cu partea realăpozitivă, poziţionate în C+. Pentru astfel de oscilaţii traiectoria de fază are forma unei spiralelogaritmice neconvergentă [1]. În figura 4.8 se prezintă răspunsul instabil al sistemului (fig. 4.8.a.)şi traiectoria de fază aferentă (fig.4.8.b.).

a) b)Fig. 4.8

Oscilaţia amortizată care este specifică sistemului stabil, în acest caz rădăcinileecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă, poziţionate în C . Pentruastfel de oscilaţii traiectoria de fază are forma unei spirale logaritmice convergentă spre origineaaxelor. În figura 4.9 se prezintă răspunsul oscilant amortizat al sistemului (fig. 4.9.a) şi traiectoriade fază (fig. 4.9.b); centrul de coordonate fiind un punct de echilibru stabil.

a) b)Fig. 4.9

Privind punctele de echilibru (punctele singulare) din planul fazelor, acestea pot fi stabile sauinstabile. Traiectoriile de fază converg în punctele de echilibru stabile şi pornesc din punctele deechilibru instabile. Dacă traiectoriile de fază în jurul punctelor de echilibru sunt radiale, acestea senumesc noduri, iar dacă au forma de spirală, ele se numesc focare. Deci, în planul fazelor, pot săapară noduri stabile sau instabile, respectiv focare stabile sau instabile.Se studiază stabilitatea soluţiei ecuaţiei de stare omogene la 0x,0x 21 ,care reprezintă soluţiatrivială a ecuaţiei (4.9), aceasta deoarece totdeauna printr-o translatare a planului fazelor se poateaduce centrul de coordonate )0x,0x( 21 în punctul de echilibru analizat. În continuare seconsideră că această translatare este realizată şi corespunzător se analizează numai comportarealiberă a sistemului.

Evoluţia liberă a sistemului liniar de ordinul II este descrisă de ecuaţia omogenă matriceal-vectorială:

AXX , (4.15)echivalentă cu sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul I (asociat ecuaţiei (4.15)):

21111 xbxa

dtdx

, (4.16)

22122 xbxa

dtdx

, (4.17)

Răspunsul liber al sistemului este de forma:t2t1 eCeCy 21

, (4.18)

unde C1 şi C2 sunt constante de integrare, iar 1 , 2 sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice:0)AsIdet( , (4.19)

care mai poate fi scrisă sub forma:0)abba(s)ba(s 212121

2 , (4.20)Corespunzător cu (6.18) ecuaţiile care descriu evoluţia sistemului şi definesc portretul de

fază sunt:t2t1 eCeCx 211

, (4.21)

t2t1 eCeCx 22112

, (4.22)Pentru 0C 2 , din (6.21), (6.22), se constată că traiectoria de fază devine o dreaptă descrisă

de ecuaţia:

0xx 112 , (4.23)iar pentru 0C1 se obţine o altă dreaptă descrisă de ecuaţia:

0xx 122 , (4.24)care, de asemenea, este una dintre traiectoriile de fază.

Dacă 21 şi sunt reale şi negative, atunci dreptele (4.23), (4.24) trec prin centrul decoordonate şi se găsesc în cadranele doi şi patru. În figura 4.10.a., se prezintă poziţia reciprocă aacestor drepte pentru 21 (dreapta I corespunzător cu (4.23) şi dreapta II corespunzător cu(4.24)).Deoarece pentru 0şi0 21 componenta tranzitorie se anulează şi corespunzător derivatelevariabilelor de fază, cu trecerea timpului, tind către zero, rezultă că punctul imagine de petraiectoriile de fază (4.23), (4.24) se mişcă către centrul de coordonate, atât în cadranul doi cât şi dincadranul patru. Portretul de fază pentru 0şi0 21 se reprezintă în figura 4.10.a. Un astfel deportret de fază corespunde unui răspuns aperiodic, iar centrul de coordonate este un nod stabil. Dacărădăcinile 21 , sunt reale negative şi multiple, atunci în locul a două drepte (4.23), (4.24), înplanul fazelor vom avea o singură dreaptă (fig.4.10.b). Şi în acest caz, portretul fazelor (figura4.10.b) corespunde unui răspuns aperiodic strict stabil, iar centrul de coordonate este un nod stabil.

Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă,atunci traiectoria de fază are forma unei spirale logaritmice care tinde spre centrul de coordonate,acesta fiind un focar stabil. (fig. 4.10.c).

Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini pur imaginare, atunci sistemul se află la limită destabilitate, iar în planul fazelor punctul reprezentativ, cu creşterea timpului, se mişcă pe traiectoriide fază închise sub formă de elipsă. În astfel de cazuri pentru pulsaţii ale sistemului neamortizat

1n traiectoriile de fază au forma redată în figura 4.10.d, pentru 1n traiectoriile de fază suntredate în figura 4.10.e, iar pentru 1n sunt redate în figura 4.10.f.

Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate cu partea reală pozitivă, atuncisistemul este instabil şi traiectoriile de fază au forma unor spirale logaritmice care pornesc dinorigine, în acest caz centrul de coordonate fiind un focar instabil (fig. 4.10.g).

Fig. 4.10

În situaţia în care rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi pozitive, răspunsul va fi aperiodic şiinstabil. Portretul de fază va avea forma din figura 4.10.h., pentru cazul rădăcinilor distincte şiforma din figura 4.10.i. pentru cazul când rădăcinile sunt multiple.Dacă sistemul are rădăcinile reale şi de semne contrare, atunci portretele de fază pot avea formeleprezentate în figurile 4.10.j. 4.10.l., astfel: pentru cazul când valoarea absolută a rădăciniinegative este mai mică portretul de fază corespunde figurii 4.10.j., pentru valori absolute egalecorespunde figurii 4.10.k., iar pentru cazul când valoarea absolută a rădăcinii negative este maimare corespunde figurii 4.10.l. Punctul singular pentru acest caz este tot originea şi este cunoscutsub denumirea de punct şa.

În planul fazelor pot să apară una sau mai multe traiectorii de fază închise, denumite cicluri limită,de-a lungul acestora mişcarea având un caracter periodic. Ciclurile limită pot fi stabile când toatetraiectoriile de fază din jur tind către acestea sau instabile când traiectoriile de fază se depărteazăcontinuu de acestea. Un ciclu limită stabil caracterizează funcţionarea SAN cu autooscilaţii. Unastfel de sistem este stabil, dar nu asimptotic. Ciclurile limită instabile caracterizează o marevarietate de SAN zise „stabile în mic” şi „instabile în mare”. Asemenea sisteme prezintă ocomportare liberă periodică amortizată, deci sistemul este asimptotic stabil pentru anumite condiţiiiniţiale date de valorile 0xşi0x 21 cuprinse în interiorul ciclului limită instabil (fig. 4.11traiectoria a) şi o comportare liberă periodică instabilă în cazul când condiţiile iniţiale 0xşi0x 21 se găsesc în afara ciclului limită instabil (fig. 4.11, traiectoria b). După cum rezultă şi

din figura 4.11 centrul de coordonate este un punct de echilibru stabil. Practic, un sistem nu poateoscila stabil pe un asemenea ciclu deoarece o deviere cât de mică de pe acest ciclu (datorită unorperturbări) face ca oscilaţiile să se stingă, fie dimpotrivă să se amplifice cu timpul 8.

Fig. 4.11 Fig. 4.12

În general, SAN pot prezenta două cicluri limită: unul stabil, celălalt instabil. În cazul cândciclul limită stabil este spre exterior celui instabil (fig. 4.12), atunci mişcarea liberă periodică fie sestinge complet dacă punctul iniţial al traiectoriei, corespunzător condiţiilor iniţiale, se găseşte îninteriorul ciclului limită instabil ( centrul de coordonate fiind un punct de echilibru instabil), fiesistemul oscilează întreţinut cu amplitudine mare, corespunzător ciclului limită stabil, în cazultuturor celorlalte condiţii iniţiale 8.Dacă, spre deosebire de situaţiaanterioară, ciclul limită exterior esteinstabil (fig. 4.13), atunci mişcarealiberă periodică fie se amplifică mereucu timpul, dacă condiţiile iniţialecorespund unui punct exterior cicluluilimită instabil, fie că sistemul oscileazăîntreţinut cu amplitudine mică,corespunzător ciclului limită stabil, încazul când punctul iniţial al traiectorieieste în interiorul ciclului limită instabil.

B. Traiectorii de fază pentru sisteme neliniare cu neliniarităţi de tip releuSe consideră o structură de sistem cu Fig. 4.13

neliniaritate de tip releu şi se arată modul de trasare a traiectorie de fază. În schema de structură dinfigura 4.14 se consideră că blocul neliniar conţine o neliniaritate de tip releu cu zonă deinsensibilitate (fără histerezis), iar partea liniară este formată din două integratoare 2.

Fig.4.14

Caracteristica statică a blocului neliniar fx e corespunde poziţiei 6 din tabelul 4.1.Oscilaţiile libere ale unui astfel de sistem, când r(t)=0, vor fi descrise de ecuaţia:

0yFy , (4.25)unde 0sau1yF .

În cazul considerat kyF , în care k poate lua valorile 1 şi 0. Notând variabilele de fazăcu 21 x,x se poate scrie:

yx1 , (4.26)yxx 12 , (4.27) kyFyx 2 , (4.28)

S-a obţinut sistemul de două ecuaţii diferenţiale de ordinul I:kx,xx 221 , (4.29)

Ecuaţia diferenţială a traiectoriei de fază va fi:

21

2

xk

dxdx

, (4.30)

care integrată ne dă ecuaţia traiectoriei de fază : 0

220

22 yyk2xx , (4.31)

Prin integrarea ecuaţiilor (4.27),(4.28) se poate abţine legea de variaţie în timp a lui yx1 şi respectiv yx 2 , în limitele fiecărei porţiuni specifice neliniarităţii.

Din (4.27),(4.28) rezultă:202 xktx , (4.32)

020

2

ytx2

kty , (4.33)

Pentru 0k mărimea yx 2 (viteza de variaţie a lui y) are o variaţie liniară, iar y(t) are o variaţiedupă o parabolă. Pentru k=0 se constată că .ctyx 2 , iar yx1 variază liniar cu timpul. Înfigura 4.15 se redă familia de traiectorii de fază. Pentru k = 1 traiectoriile de fază sunt parabole, iarpentru k=0 ( în zona de insensibilitate) traiectoriile de fază sunt drepte paralele cu axa abscisei.Orice traiectorie de fază, pentru condiţiiiniţiale oarecare, este închisă deoareceparabolele sunt simetrice în raport cu axa x1 ,iar în zona de insensibilitate x2 = ct.

Portretul de fază obţinut corespunde unuisistem conservativ, care se caracterizează prinaceea că fiecărei condiţii iniţiale îi corespunde ooscilaţie periodică. Datorită existenţei zonei deinsensibilitate rolul punctului singular de tipcentru îl are segmentul de dreaptă de lungime 2de pe axa abscisei. În cazul în care se obţintraiectorii de fază corespunzătoare uneineliniarităţi de tip releu ideal bipoziţional (poziţia4 din tabelul 4.1) Fig. 4.15

4.3. Metoda liniarizării armoniceMetoda se aplică mai ales în cazul neliniarităţilor discontinue şi permite cu o bună aproximaţiedeterminarea soluţiilor periodice (a parametrilor autooscilaţiilor) şi aprecierea stabilităţii. În cazulneliniarităţilor continue, precum şi la sistemele cu mai multe neliniarităţi, dificultatea calculelorcreşte considerabil. Pentru SAN stabile, fără autooscilaţii, metoda nu este prea eficientă, întrucâtoferă puţine indicaţii asupra calităţii sistemului 19.

4.3.1. Principiul metodei. Funcţia de descriere.Metoda se aplică SAN în care se poate separa neliniaritatea de partea liniară a sistemului, iar partea

liniară se comportă ca un filtru trece jos (FTJ). Se consideră SAN din figura 4.16 în care se presupune cămărimea de intrare în sistem r(t)=0, iar mărimea de intrare în blocul neliniar este sinusoidală de forma:

tsinAt ,(4.34)

Blocul liniar are o comportare deFTJ, în sensul că permite trecerea numai aarmonicii fundamentale a lui tx e încondiţiile în care la intrarea BN se aplicăun semnal sinusoidal. În calcule tx e se aproximează prin prima armonică.Fig. 4.16

La ieşirea BN se obţine un semnal tx e periodic dar nesinusoidal, care poate fi descompus în serieFourier:

)ticosbtisina(2

ax i

1iie

0

, (4.35)

în care ii bşia sunt coeficienţi dezvoltării în serie Fourier:

tdtx1a2

00 e

,

tdtisintx1a2

0ei

,

tdticostx1b2

0ei

,

Dacă BN are caracteristica statică fx e simetrică, atunci componenta continuă din dezvoltareaîn serie Fourier este nulă (a0 = 0), iar semnalul de ieşire este şi el simetric faţă de abscisă.

În baza metodei liniarizării armonice aproximăm semnalul de la ieşirea BN cu armonicafundamentală:

tcosbtsinatxtx 11eFe , (4.36)iar armonicele superioare sunt neglijate, acestea urmând a fi filtrate de BL.

Relaţia (6.36) mai poate fi scrisă astfel [2]:

dt

tdqtqtsinA

dtd1

Ab

tsinAAa

tx baeF

11

, (4.37)

în care :

A

),A(b.Aq,

A,Aa

,Aq 11ba

, (4.38)

se numesc coeficienţi liniarizării armonice. Coeficienţi liniarizării armonice pot fi exprimaţi astfel:

tdtsintxA1,Aq

2

0ea

, (4.39)

tdtcostxA1,Aq

2

0b e

, (4.40)

Pentru blocul liniar BL a cărui mărime de intrare este ,tx e iar mărimea de ieşire este y(t) se poatescrie relaţia:

eee xd

dtdx

ddt

xddyc

dtdyc

dtydc 01m

m

m01n

n

n , (4.41)

în care n m.Dacă se notează dtdp , relaţia (6.41) devine: txdpdpdtycpcpc e01

mm01

nn , (4.42)

care poate fi scrisă astfel: txpDtypC e , (4.43)

în care: ,dpdpdpD

,cpcpcpC

01m

m

01n

n

sunt operatori de diferenţiere, iar txtx eFe .Dacă ţinem seama de faptul că (t)= y(t), în condiţiile în care r(t)=0, din (6.43) rezultă:

txpDtεpC Fe ,sau:

,0tpCtxpD Fe (4.44)iar cu luarea în consideraţie a relaţiei (6.37) se obţine:

,0tpCtp),A(q

),A(qpD ba

(4.45)

Relaţia (6.45) reprezintă ecuaţia diferenţială (dacă A şi sunt constante) pentru SANliniarizat armonic.

Pentru neliniarităţi care depind numai de mărimea de intrare (t) şi nu depind de derivataacesteia, coeficienţii bqşiqa depind numai de amplitudinea A şi nu depind de pulsaţia . Pentruneliniarităţi univoce fără buclă de histerezis 0,Aq b .

Se consideră o neliniaritate simetrică pentru care se scrie relaţia (4.37) în complexnesimplificat. Notând reprezentările în complex nesimplificat ale mărimilor tşitx Fe prin:

,tx Fe tşix Fe cncn FF

relaţia (4.37) devine:

j

AqAqx b

F ae

sau AjqAqx bF ae , (4.46)

Se defineşte funcţia de descriere (coeficientul de transfer armonic) notată cu N(A) prinrelaţia:

AjqAqx

)A(N bF

ae

, (4.47)

Conform cu (4.47), mărimea complexă N(A) definită ca raportul dintre reprezentările încomplex nesimplificat ale fundamentalei mărimii de ieşire şi ale mărimii de intrare în BN senumeşte funcţie de descriere(coeficient de transfer armonic). Reprezentarea grafică a funcţiei dedescriere(f.d.d.) se numeşte loc de descriere(l.d.d.). Funcţia de descriere N(A) este o funcţie

complexă având acelaşi rol ca şi al caracteristicii amplitudine-fază în cazul SALC. Pentruneliniarităţi univoce pentru care 0Aqb , f.d.d. N(A) este o funcţie reală.

În continuare se calculează funcţia de descriere pentru următoarele cazuri:a) Neliniaritate de tip releu ideal (poziţia 4 din tabelul 4.1)

În figura 4.17 sunt redate formele semnalelor de intrare şi de ieşire din blocul neliniar, formasemnalului de ieşire tx e fiind corelată cu caracteristica statică fx e menţionată.

Fig. 4.17.În acest caz, neliniaritatea fiind univocă 0Aqb şi deci N(A) este o funcţie reală.Coeficienţii dezvoltării în serie Fourier sunt:

,0a 0

001

B4tdtsinB2tdtsintx2a e ,

,0tdtcostx2b e1

A rezultat:

AB4

Aa

Aq 11

, (4.48)

şi corespunzător: ,Aqx 1Fe

deci

Aqx

)A(N 1Fe

, (4.49)

b) Neliniaritate de tip releu cu zonă de insensibilitate (poziţia 6 din tabelul 4.1)

Fig. 4.18

Din figura 4.18 se constată:

,;1cos

;coscossin1

,sin;sin

122

2

1

12

2

2

12

12

111

ttA

t

tA

tt

AttAt

Coeficienţii dezvoltării în serie Fourier au expresiile:,0a 0

,tcosB4tcostcosB2

tcostcosB2tdtsinB2tdtsintx2a

111

120

1

2t

1te

şi conform cu relaţia (6.51) se obţine:

,A

1B4a 2

2

1

(4.53)

iar,0b1 (4.54)

A rezultat:

,

A1

AB4

AAa

Aq 2

21

1

(4.55)

şi

,A

1AB4Aq)A(N 2

2

1

(4.56)

4.3.2. Studiul stabilităţii pe baza liniarizării armoniceSe consideră SAN din figura 6.16, în care r(t)=0, neliniaritatea este simetrică, iar blocul liniar estecaracterizat de funcţia de transfer H(s).

Pentru aprecierea stabilităţii unui SAN se utilizează funcţia critică, care este o funcţiecomplexă definită astfel:

,AN1AC (4.57)

Reprezentarea funcţiei critice în coordonate polare sau logaritmice determină aşa numitulloc critic, care este gradat în amplitudini.

Se extinde aplicabilitatea criteriului de stabilitate Nyquist şi la SAN. Se poate stabili un locde transfer echivalent pentru SAN deschis, astfel:

,jH)A(NjjYjHSAN

(4.58)

în care N(A) este funcţia de descriere a BN, iar jH este răspunsul în frecvenţă al blocului liniarBL.

Se stabileşte condiţia pe care trebuie să o îndeplinească SAN pentru a fi în regim deautooscilaţii, deci condiţia corespunzătoare limitei de stabilitate a sistemului. Pentru aceasta se scrieexpresia l.d.t. a SAN închis:

jH)A(N1

jHANjH SAN0 , (4.59)

Condiţia ca SAN să se afle la limită de stabilitate este: ,1jHAN (4.60)

Din această ecuaţie, separând părţile reală şi imaginară se obţin două ecuaţii în real din carese determină parametrii autooscilaţiilor k şi kA .

Parametrii autooscilaţiilor )A,( kk se pot obţine mai simplu, pe cale grafică, dacă se puneecuaţia (4.60) sub forma:

,AC)A(N

1jH (4.61)

Reprezentând în planul complex l.d.t. jH care este o caracteristică gradată în pulsaţii şifuncţia )A(N1 care este o caracteristică gradată în amplitudini, se obţin soluţiile ecuaţiei (4.61),adică parametrii kk A, , care corespund punctului de intersecţie a celor două caracteristici.

A rezultat că poziţia locului critic )A(N1)A(C în raport cu l.d.t. jH a blocului liniarBL ne permite să apreciem stabilitatea SAN. Metoda se cunoaşte şi sub denumirea de metodaNyquist cu punct critic variabil, considerându-se că locul critic s-a substituit punctului critic (-1, j0).Caracteristica C(A) se mai numeşte loc de transfer invers negativ 2. SAN va fi asimptotic stabil(deci în sistem nu apar oscilaţii întreţinute) dacă locul de transfer jH parcurs în sensul creşteriipulsaţiei lasă locul critic )A(N1 în stânga (fig. 4.19.a). Dacă locul de transfer jH şi loculcritic )A(N1 sunt tangente, atunci SAN se află la limită de stabilitate, deci în sistem aparoscilaţii întreţinute (curba 1 din fig. 4.19.b), iar dacă l.d.t. jH lasă locul critic )A(N1 îndreapta (curba 2 din fig. 4.19.b) SAN este instabil. De reţinut este faptul că autooscilaţiile pot fistabile, sau instabile. Dacă punctele de pe curba )A(N1 , vecine punctelor de intersecţie,corespunzătoare unor amplitudini mai mari decât cea din punctul de intersecţie, sunt în afarasuprafeţei mărginite de curba jH , atunci autooscilaţiile de pulsaţie şi amplitudinecorespunzătoare punctului de intersecţie sunt stabile ( punctul P din fig. 4.19.c). În caz contrar,autooscilaţiile sunt instabile (punctul Q din fig. 4.19.c).

Fig.4.19În cele mai multe probleme practice, acest criteriu frecvenţial simplificat este nu numai necesar, ci şisuficient 2.

4.4. Analiza sistemelor neliniare cu regulator bipoziţionalRegulatoarele bipoziţionale au o largă utilizare îndeosebi datorită simplităţii şi costului redus.Aceste regulatoare au o caracteristică statică de releu cu două poziţii, reprezentând dependenţadintre mărimea de comandă u şi eroarea ; în cazul idealizat dependenţa are aspectul din figura4.20, iar în cazul când se consideră şi prezenţa ciclului de histerezis (de lăţime 2h) are aspectul dinfigura 4.21. Datorită aspectului caracteristicii, regulatoarele bipoziţionale sunt denumite„regulatoare tot sau nimic”.

Fig. 4.20 Fig. 4.21

Se va considera un sistem neliniar de reglare a temperaturii cu regulator automatbipoziţional (RABP). În bucla sistemului automat regulatorul bipoziţional RABP comandă directinstalaţia tehnologică IT, întrucât aspectul caracteristicii din figura 4.21 nu permite comanda îndouă sensuri a unui element de execuţie de tipul unui motor electric, dar închiderea sau deschidereacontactului RABP poate conecta sau deconecta circuitul de alimentare al rezistenţei de încălzire acuptorului electric.

În cazul concret al sistemului considerat, schema de structură a sistemului cu RABP este deforma prezentată în figura nr. 4.22.

Fig. 4.22

După cum s-a menţionat, IT reprezintă cuptorul electric şi considerăm că funcţia de transfera acestuia este fără timp mort, de forma:

1sT

KsUsYsH

f

ff

, (4.62)

În acest caz autooscilaţiile mărimii reglate y (temperatura) au în regimul stabilizat aspectuldin figura 4.24. Când contactul RABP este închis (fig.4.23) şi deci:

maxUu , (4.63)

atunci temperatura y creşte după o exponenţială, conform cu relaţia (4.62), iar când mărimea yatinge valoarea:

hry , (4.64)deci rezultă

,h)hr(ryr (4.65)contactul RABP se deschide, după cum rezultă din figura 4.21, şi tensiunea aplicată rezistenţei deîncălzire va fi:

,0u (4.66)Graficul din figura 4.24 corespunde următoarelor valori: Tf=25 secunde, Kf= 0,454 grade/V, Ktr=0,1mAcc / 0C, h=1mAcc , Umax=220V, unde Ktr este coeficientul de transfer al traductorului. Pentrucazul sistemului unificat considerat 2...10 mAcc, la 1mAcc corespunde 10 grade. Valoareaprescrisă a temperaturii în cuptor este de 80 grade.

Rezistenţa de încălzire fiind deconectată, are loc scăderea temperaturii y totdupă o exponenţială până la valoarea:

,hry (4.67)când rezultă:

h)hr(ryr ,(4.68)şi are loc din nou închidereacontactului, conform figurii 6.21,trecându-se deci din nou la u=Umax.

Notând cu t1 şi t2 intervalelede timp în care contactul este închisşi respectiv deschis, se obţineperioada autooscilaţiilorT=t1+t2, (4.69) (4.69)şi factorul de umplere pentru impulsurile u: Fig. 4.23

=t1/T,(4.70)În cazul considerat T=30 secunde, iar=80%. Se constată că în regimstabilizat de autooscilaţii abatereamaximă a mărimii y ,de la valoareaprescrisă prin mărimea de referinţă r= 80 grade, este egală cu h. În cazulconcret analizat h = 100C.

Pentru aprecierea stabilităţii SAneliniar cu regulator bipoziţional se poatefolosi metoda planului fazelor. Traiectoriile de fază în cazul SA descrise de ecuaţii diferenţiale de ordinulîntâi sunt Fig. 6.24segmente de dreaptă, aşa cum este şi în cazul considerat 58.Forma traiectoriei de fază este redată în figura 4.25.În cazul când IT are timp mort şi deci funcţia de transfer are aspectul:

1sT

eksH

f

ff

s

, (4.71)

Fig. 4.25

autooscilaţiile, din regimul stabilizat a mărimii y, au forma din figura 4.26.a, iar impulsurile detensiune u au aspectul din figura 4.26.b.

Fig. 4.26Când mărimea y atinge valoarea rh (punctul A) are loc deschiderea contactului RABP şi trecereala u , ca şi în cazul din figura 4.23, dar mărimea y continuă să crească pe durata , până înpunctul B, întrucât efectele variaţiei mărimii u se fac simţite la ieşire numai după un interval egal cutimpul mort . În mod analog, după atingerea valorii rh mărimea y continuă să scadă pe durata .Datorită acestui fapt au loc depăşiri ale gamei de variaţie delimitate de rh şi rh; aceste depăşirisunt cu atât mai mari, cu cât valoarea este mai mare. De asemenea, depăşirile cresc pentru valoriTf mai mici, întrucât în acest caz viteza de variaţie a mărimii y este mai mare şi pe durata au locvariaţii mai importante ale mărimii y în afara gamei menţionate 36. Creşterea depăşirilor gameirh şi rh înrăutăţeşte calitatea regimului stabilizat, întrucât rezultă variaţii relativ mari eletemperaturii (care reprezintă mărimea reglată în exemplul considerat), fiind necesară o limitare adepăşirilor. În acest scop, deoarece depăşirile cresc cu creşterea şi cu scăderea Tf , în practică serecomandă ca regulatoarele bipoziţionale să fie utilizate când are loc condiţia 36:

2,0Tf

(4.72)

deci când timpul mort este mic în raport cu Tf.Analiza unui SAN de reglare a temperaturii cu RA tripoziţional este prezentată în 1.

4.5. Criteriul frecvenţial de stabilitate absolutăCând sunt studiate condiţiile de stabilitate nu numai pentru un sistem neliniar izolat, ci

pentru o familie de sisteme care conţin blocuri neliniare a căror caracteristici sunt în întregimecuprinse în cadranele I şi III ale planului caracteristicilor statice (), unde şi sunt mărimile dela ieşirea şi intrarea blocului neliniar, şi trec prin originea acestui plan (fig. 4.5), se spune că estestudiată stabilitatea absolută.

Savantul român, matematician şi inginer, Vasile Mihai Popov a conceput un criteriufrecvenţial de stabilitate absolută (1959), care are avantajul de a permite aprecierea stabilităţiisistemelor neliniare pe o cale mai simplă decât alte criterii şi de a utiliza reprezentări graficeanaloage cu cele folosite la criteriile de frecvenţă pentru studiul sistemelor liniare [1,2]. Acestcriteriu de stabilitate absolută este denumit, în literatura de specialitate, criteriul Popov de stabilitateabsolută [2].

Se consideră, de exemplu, sistemul cu reacţie din figura 4.27. în ipoteza că mărimea dereferinţă are valoarea zero ( se studiază regimul de autooscilaţii). Se consideră că relaţia dintremărimea de intrare şi mărimea de ieşire ale blocului liniar BL este descrisă printr-o ecuaţiediferenţială liniară cu coeficienţi constanţi de ordinul n, respectiv prin funcţia de transfer H(s).Cazul când H(s) are toţi polii în semiplanul stâng al planului rădăcinilor, este strict proprie şi cufactor de amplificare unitar, îl vom numi cazul de bază. În continuare ne vom referi numai la cazulde bază.

Fig. 4.27.

Mărimea de ieşire a blocului neliniar BN este legată de mărimea de intrare a acestui bloc printr-oneliniaritate de clasă (0,k) (se poate lua şi k ), care satisface relaţiile:

,00

,k0

(4.73)

În figura 6.27 mărimea de ieşire din blocul liniar BL a fost notată cu , deci y = ,reprezentând şi mărimea de intrare în blocul neliniar BN.

Blocul liniar poate fi descris prin relaţiile:

,Xcy,bAXX

T

(4.74)

iar cuplarea dintre cele două subsisteme (blocuri) se realizează prin relaţiile: sau .

Sistemul descris prin relaţiile:

XcybAXX

T

(4.75)

a cărui soluţie trivială 0xxx n21 este asimptotic stabilă pentru orice condiţii iniţiale )n,...,2,1i(,0x i şi pentru orice funcţie adoptată care satisface condiţia

,k0

(4.76)

se numeşte absolut stabil în sectorul unghiular [0,k].Criteriul de stabilitate al lui V.M.Popov se enunţă astfel: Pentru ca sistemul (6.75) să fie

absolut stabil în sectorul unghiular [0,k], este suficient să existe un număr real finit q pentru carerelaţia

,0k1)j(Hqj1Re (4.77)

să fie satisfăcută în tot domeniul de pulsaţii 0.Răspunsul la frecvenţă al blocului liniar BL poate fi exprimat sub forma:

,)(jV)(U)j(H (4.78)Având în vedere relaţia (6.78), relaţia (6.77) devine:

0k1)(Vq)(U , (4.79)

Criteriul Popov permite o remarcabilă interpretare grafică [1]. Pentru interpretarea grafică acondiţiei (4.79) V.M.Popov a introdus caracteristica modificată de frecvenţă )j(H definită derelaţiile:

)(U)j(HRe)(U)j(HRe , (4.80) )(V)j(HIm)(V)j(HIm , (4.81)

Notând prin X şi Y corespunzător partea reală şi respectiv imaginară a lui )j(H :)(UX , (4.82)

)(VY , (4.83)condiţia (4.79) devine:

)0pentru(0k1qYX , (4.84)

Curba definită parametric prin relaţiile (4.82), (4.83), pentru , poartă denumirea de„locul de transfer Popov” sau hodograf modificat.

În planul XY (adică în planul )j(H ) ecuaţia :

0k1qYX , (4.85)

sau ecuaţia echivalentă cu aceasta:

)k1X(

q1Y , (4.86)

reprezintă o dreaptă (fig. 4.28) care trece prin punctul ( 1/k, j0). Dreapta (4.86) este numită„dreapta lui Popov”. Panta dreptei lui Popov este 1/q. Condiţia (4.84) este satisfăcută în orice puncta planului )j(H dispus în dreapta dreptei Popov. Altfel spus, conform condiţiei (4.84) hodografulmodificat )j(H trebuie să fie complet situat în dreapta dreptei Popov. În baza celor menţionate sepoate formula următoarea interpretare geometrică a criteriului Popov: Pentru ca sistemul (4.75) săfie absolut stabil în sectorul unghiular k este suficient ca în planul )j(H să poată fi trasată odreaptă prin punctul de coordonate j astfel încât hodograful modificat să fie complet situatîn semiplanul drept definit de dreapta Popov.4Conform criteriului V.M.Popov condiţia desuficienţă a stabilităţii absolute a sistemelorneliniare se deosebeşte esenţal de cerinţelecriteriului de stabilitate Nyquist pentru44444444444sisteme liniare. CriteriulNyquist apreciază stabilitatea sistemului

Fig. 4.28impunând condiţii valorii Re[Hd(j)] numai în punctele în care Im[Hd(j)]=0, în timp ce condiţiade suficienţă a criteriului V.M.Popov de stabilitate absolută a sistemelor neliniare impune restricţiivalorilor Re[(1+jq)H(j)] pentru , şi nu numai în punctele în care Im[H(j)]=0.

În figurile 4.29.a şi 4.29.b sunt ilustrate două cazuri în care condiţia de stabilitate absolutăeste îndeplinită, iar figurile 4.30.a şi 4.30.b ilustrează două cazuri în care condiţia de stabilitateabsolută nu este îndeplinită deoarece prin punctul (1/k, j0) nu poate fi trasată o dreaptă care să nuintersecteze caracteristica modificată de frecvenţă )j(H a părţii liniare a sistemului [1].

Dacă nu există q astfel încât să se poată duce o dreaptă prin punctul de coordonate (1/k, j0)care să lase hodograful modificat de aceeaşi parte a dreptei ca şi originea, criteriul nu se aplică,adică nu putem afirma nimic despre stabilitatea absolută a sistemului [2]. În astfel de cazuri seapelează la alte metode [2].

a) b)Fig. 4.29

a) b)Fig. 4.30

În general, pentru stabilitatea absolută a sistemului neliniar în sectorul unghiular [0,k] existăun larg spectru de drepte Popov. Într-o problemă în care se cere sectorul maxim de stabilitate, seduce dreapta Popov astfel încât intersecţia cu axa absciselor să fie cât mai aproape de origine [2].

Aplicaţia 1. Considerăm că funcţia de transfer a părţii liniare a unui sistem automat este de forma[59]:

)s1(ss)p1(s4)s(H 2

2

, (4.87)

unde p este un parametru, iar neliniaritatea este de tipul (4.76).Se cere să se determine pe baza criteriului Popov, dacă sistemul este absolut stabil.În transformată Fourier (3.87) devine:

)j1(p)p1(j4)j(H 2

2

,

în care separând partea reală de partea imaginară devine:

)1()1(p3j

)1(4)j(H 2

2

22

2

, (4.88)

iar caracteristica modificată de frecvenţă va fi de forma:

)1()1(p3j

)1(4)j(H 2

2

22

2

, (4.89)

şi este reprezentată în figura 4.31.a. pentru p 3 şi în figura 4.31.b. pentru p 3.

a) b)Fig. 4.31.

În fig. 4.31.a. dreapta Popov intersectează semiaxa reală negativă într-un punct (-1/K) foarte aproapede origine şi are o înclinare foarte redusă. În acest fel se poate aprecia că, la limită, când K tinde spre infinit,iar panta dreptei tinde spre zero (fără să atingă această valoare), sistemul este absolut stabil. În cazul p 3(fig. 4.31.b.) nu se găseşte o astfel de dreaptă, deci sistemul este instabil.

Aplicaţia 2. Se cere a se rezolva aceeaşi problemă ca la aplicaţia 1, funcţia de transfer a părţii liniare asistemului fiind de forma [59]:

)s5,01)(s1,01(s

)1ps(100sH2

, (4.90)

unde p este un parametru: p = -1; 0,1; 2.Făcând substituţia s = j, funcţia de transfer frecvenţială a expresiei (4.90) este:

j5,010,1j1j

1)pω100(jH2

, (4.91)

care, după raţionalizare devine:

)0,25ω)(10,01ωω(1)0,05ω)(1pω(1j100

)0,25ω)(10,01ω(1pω160H(s) 22

22

22

2

, (4.92)

obţinându-se caracteristica modificată de frecvenţă:

)0,25ω)(10,01ω(1)0,05ω)(1pω(1j100

)0,25ω)(10,01ω(1pω160(s)H 22

22

22

2

, (4.93)

Funcţia (4.93) este reprezentată în figura 4.32.a. pentru p=-1 şi p=0, iar în figura 4.32.b. pentru p=1 şip=2.

a) b)Fig. 4.32

Din figura 4.32 rezultă că indiferent de valoarea parametrului p, se poate trasa o dreaptă Popov, decisistemul este absolut stabil.Aplicaţia 3. Partea liniară a unui sistem are funcţia de transfer[59]:

)Ts(1sTssT1KH(s) 222

22

, (4.94)

iar partea neliniară a sistemului îndeplineşte condiţiile impuse de criteriul Popov.Corespunzător expresiei (4.94), calculând răspunsul la frecvenţă şi după separarea părţii reale de parteaimaginară, se obţine:

)Tωω(1

KTjωKjH 222

, (4.96)

iar caracteristica modificată de frecvenţă va fi:

222 Tω1KTj

ωKjH

, (4.97)

şi este reprezentată în figura 4.33, din care se constată că nu segăseşte (nu se poate trasa) o dreaptă Popov care să taiesemiaxa reală negativă astfel încât semiplanuldreptei care cu conţine originea să nu conţină nici un punct alcurbei H*(j). Sistemul este deci instabil. Fig. 4.33

Aplicaţii

PROBLEME REZOLVATE

PR. 3.1. Pentru SLN de ordinul 2 având schema de structură de forma:

se cere:a) să se traseze locul rădăcinilor şi să se calculeze factorul de amortizare şi pulsaţia naturală a

sistemului neamortizat n ;b) să se calculeze performanţele sistemului în baza locului rădăcinilor adoptând ,s01,0T1 [1].Rezolvare.

a) Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:

ass

K1sTs

KssYsH

1

dd

, (3.17)

în care:

11

d

T1a,

TK

K , (3.18)

Funcţia de transfer a sistemului închis, cu reacţie unitară, este:

Ksas

KsH1

sHsRsYSH 2

d

d0

. (3.19)

Ecuaţia caracteristică a sistemului închis, având în vedere relaţia (3.19), este:0Kass2 , (3.20)

iar rădăcinile acesteia (polii fdt a sistemului închis) sunt:

K4

a2as

2

2,1 . (3.21)

În relaţiile (3.20), cta şi dK0 , respectiv K0 . Pentru 0K , din (3.20), se obţinrădăcinile 0s1 şi 12 T/1as , care sunt şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului deschis 0ass . Pentru 0K se constată că polii fdt a sistemului închis sunt aceeaşi cu polii fdt a sistemului

deschis. În planul complex, se trasează locul geometric al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, aferentesistemului închis, în funcţie de variaţia factorului total de amplificare a sistemului deschis dK , respectiv K .Acest loc geometric reprezintă locul rădăcinilor LR . Totdeauna LR are n ramuri distincte, nreprezentând gradul ecuaţiei caracteristice a sistemului. În cazul analizat 2n . Ramurile LR pornesc dinfiecare pol a sistemului deschis, care sunt aceeaşi cu polii sistemului închis pentru 0K . În figura 3.6 poliifdt a sistemului deschis sunt prezentaţi cu buline.

Fig. 3.6Dacă 4/aK0 2 , rădăcinile se vor deplasa pe axa reală, corespunzător săgeţilor de pe ramura

LR dispusă pe această axă (fig. 3.6) şi pentru 4/aKK 21 cele două rădăcini 21 s,s se suprapun într-o

rădăcină multiplă 2/ass 21 . În continuare, cu creşterea lui 4/aK,K 2 , rădăcinile 21 s,s devincomplexe conjugate (cu partea reală negativă ct2/asR 2,1e ) şi ramurile celor două traiectorii sedesprind de axa reală şi tind spre , după o dreaptă paralelă cu axa imaginară (fig. 3.6).

Din figura 3.6 se constată: LR este simetric în raport cu axa reală (este regulă generală); pe porţiunea axei reale, ce aparţine LR , între doi poli adiacenţi ai sistemului deschis

există un punct de ramificare (de desprindere de pe axa reală), în cazul analizat, de coordonate 0,K1 ;

pentru orice valori 0K , deci 0K d , sistemul este stabil IMEM deoarece polii fdt a

sistemului închis se găsesc poziţionaţi în C .SLN fiind de ordinul 2, fdt a sistemului închis poate fi scrisă sub forma:

2

nn2

2n

0 s2ssRsYsH

, (3.22)

cu ecuaţia caracteristică:0s2s 2

nn2 . (3.23)

Identificând (3.23) cu (3.20) se obţine:

1dn T/KK , (3.24)

1dn TK21

K2a

2a

. (3.25)

Din relaţiile (3.24) şi (3.25) rezultă că valoarea factorului de amortizare se micşorează cu creşterealui 0K d , iar pulsaţia naturală a sistemului neamortizat n creşte.

b) Funcţia de transfer a sistemului deschis pentru s01,0T1 devine:

1s01,0s

KssYsH d

d

, (3.26)

şi corespunzător fdt a sistemului închis este:

d

2d

d

d0 Kss01,0

KsH1

sHsRsYsH

,

sau [1]:

d

2d

0 K100s100sK100

sRsYsH

. (3.27)

Din relaţiile (3.24). (3.25) sau din (3.27) prin identificare cu (3.22), se obţine:

dd1dn K10K100T/K , (3.28)

dd

1d K5

K102

1TK2

1

. (3.29)

Polii fdt a sistemului închis, conform cu (3.27), au expresiile:

02,0K04,011

s,02,0

K04,011s d

2d

1

, (3.30)

iar polii fdt a sistemului deschis, conform cu (3.26), sunt:

10001,01s,0s 21 , (3.31)

şi sunt aceeaşi cu polii fdt a sistemului închis pentru 0K d .Pentru trasarea LR se foloseşte tabelul 1 întocmit în baza relaţiilor (3.30).

Tabelul 1Kd 0 10 20 25 50 100s1 0 -11,27 -27,64 -50 -50 + j 50 -50 + j 86,60s2 -100 -88,73 -72,36 -50 -50-j 50 -50-j 86,60

Pentru valorile adoptate pentru dK , din tabelul 1, parametrii caracteristici ai SLN2, conformrelaţiilor (3.28), (3.29), sunt redaţi în tabelul 2.

Tabelul 2Kd 10 20 25 50 100

1,58 1,12 1 0,707 0,50

n 31,62 44,72 50 70,71 100

LR este prezentat în figura 3.7.

Fig. 3.7

Din figura 3.7 rezultă: SLN2 este stabil IMEM pentru orice valori 0K d ;

pentru valori 25K0 d , rădăcinile ecuaţiei caracteristice, aferente sistemului închis,sunt reale negative şi simple, iar răspunsul sistemului este supraamortizat (tabelul 2). În acest caz 0 , iareroarea staţionară este nulă, 0ST , deoarece sistemul este de tipul 1 . Eroarea de viteză v (pentru

intrare ttr ), de exemplu pentru 20K d , este:

%505,0201

K1

dv . (3.32)

pentru 25K d , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale negative şi multiple 50s n2,1 , răspunsul sistemului este aperiodic critic. Factorul de amortizare 1 (tabelul 2).

Pentru o mărime de intrare treaptă unitară eroarea staţionară este nulă, 0ST , iar pentru rampă unitară ttr , eroarea de viteză are valoarea:

%404,0251

K1

dv . (3.33)

Suprareglajul este nul 0 . pentru 50K d se obţine răspunsul optim al SLN2, factorul de amortizat 707,0

(tabelul 2), eroarea staţionară la o mărime de intrare treaptă unitară, t1tr , este nulă 0ST , iar la omărime de intrare rampă unitară, ttr , eroarea de viteză are valoarea:

%202,0501

K1

dv . (3.34)

Suprareglajul în acest caz are valoarea %3,4043,0 [1]. pentru 100K d rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală

negativă (tabelul 1), factorul de amortizare are valoarea 50,0 ; răspunsul este oscilant amortizat. Cucreşterea coeficientului 50K d , factorul de amortizare scade (relaţia 3.29) şi caracterul oscilant al

răspunsului este mai pronunţat. Parametrul n cu creşterea coeficientului dK creşte (relaţia 3.28). La omărime de intrare rampă unitară, t1tr , eroarea de viteză are valoarea:

%101,0100

1K1

dv , (3.35)

iar suprareglajul are valoarea [1]:%1616,0 . (3.36)

Se evidenţiază faptul că mărirea coeficientului total de amplificare al sistemului deschis, dK ,influenţează în mod opus performanţele tranzitorii şi cele staţionare, conducând la înrăutăţirea (mărirea)suprareglajului şi la îmbunătăţirea (micşorarea) erorii permanente.

PR.3.2. Pentru SLN deschis prin schema de structură:

se cere:a) să se calculeze analitic şi să se traseze locul rădăcinilor LR . Să se interpreteze LR obţinut;b) să se calculeze şi să se traseze LR utilizând mediul matematic MATLAB.Rezolvarea) În expresia fdt a sistemului deschis:

2s2ss

3sK)s(sYsH 2

dd

, (3.34)

gradul polinomului de la numitor este 3n , iar a celui de la numărător este 1m . Din ecuaţiacaracteristică a sistemului deschis:

02s2ss 2 , (3.35)se obţin polii fdt sH d :

j1s,j1s,0s 321 . (3.36)Din (3.34) rezultă că sistemul deschis are un zero:

3z1 . (3.37)Ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma: 0asasasasD 01

22

33 , (3.38)

în care:d0d123 K3a,K2a,2a,1a . (3.39)

Se constată că punând în (3.38) 0K d se obţine relaţia (3.35). În figura 3.8 sunt prezentaţi polii şizeroul sistemului deschis. Pentru trasarea LR s-au utilizat proprietăţile geometrice ale acestuia, enunţatesub forma unor reguli.

Regula 1LR are 3n ramuri în lungul cărora dK0 . Cele 3n ramuri ale LR încep din polii fdt

a sistemului deschis, deci din punctele în care 0K d . Fiecare pol a sistemului deschis este un punct iniţialpentru o ramură a LR .

Fig. 3.8Regula 2Dacă numărul de zerouri ale sistemului deschis este m , atunci pentru dK , m ramuri ale

LR se termină în cele m zerouri finite, iar mn ramuri tind către punctul de la infinit. În cazul analizat,o ramură a LR începe din 0s1 şi se termină în zeroul 3z1 , iar celelalte două ramuri pleacă din polii

32 s,s ai sistemului deschis şi tind la infinit spre asimptotele corespunzătoare (fig. 3.8).Regula 3Asimptotele celor mn ramuri care, pentru dK , tind la infinit reprezintă drepte care sunt

toate concurente într-un punct de pe axa reală numit originea asimptotelor sau centrul LR . Abscisacentrului LR se calculează cu relaţia :

mnZpn

1i

m

1KKi0

, (3.40)

unde ip şi Kz sunt polii şi zerourile sistemului deschis.În cazul considerat: 213mn

şi3z,j1sp,j1sp,0sp 1332211 (relaţiile 3.36) şi (3.37)).

Se obţine: 5,0133j1j100 . (3.41)

Regula 4Unghiurile între asimptotele ramurile care tind la infinit şi axa reală se calculează cu relaţia:

,...2,1,0N,mn

1N2a

(3.42)

în care introducând 2mn şi 1,0N rezultă că cele două asimptote sunt înclinate faţă de axa abscisei

cu unghiurile 0a 90 şi 00 90270 . În figura 3.8, în principiu, sunt trasate cele două asimptote,

unghiurile corespunzătoare şi coordonate centrului LR .Regula 5Pentru 0K d , un segment de pe axa reală aparţine LR dacă în dreapta oricărui punct de pe acest

segment diferenţa dintre numărul de poli şi zerouri este un număr impar. În cazul analizat, pentru orice punct

de pe segmentul care pleacă din 0s1 şi se încheie în 3z1 , în dreapta punctului considerat se află unsingur pol, deci segmentul este o ramură a LR (fig. 3.8)

Regula 6Pe porţiunile axei reale, care aparţin LR , cuprinse între doi poli adiacenţi sau două zerouri

adiacente există un punct de ramificare. În cazul analizat, pe axa reală nu se găsesc doi poli şi nici douăzerouri, deci nu are loc nici desprindere şi nici apropiere a unor ramuri faţă de axa reală.

Regula 7Unghiul x corespunzător tangentei dusă la ramura LR în polul complex (pentru 0K d ) se

calculează cu relaţia (unghiul de plecare a ramurii LR din polul complex):

n m

ki1i

zj1j

Si0

xK 180 , (3.43)

unde: xK este unghiul corespunzător tangentei dusă la ramura LR în polul complex de ordinul K , notatcu Ks ;

n

ki1i

si este suma algebrică a unghiurilor pe care le face segmentele de dreaptă, care unesc polii is

cu polul Ks ,cu axa reală;

m

1jzj este suma algebrică a unghiurilor pe care le face segmentele de dreaptă, care unesc zerourile

jz şi polul Ks , cu axa reală.

În figura 3.9 se explică convenţia de semne, pentru unghiurile Si şi Zj , necesară determinării

unghiului de plecare a ramurii LR din polul complex 2s şi respectiv din polul complex 3s .

Fig. 3.9

Corespunzător figurii 3.9.a, 5,02/1arctg 1Z şi 01Z 28 iar din figura 3.9.b. rezultă că

01Z 28 .

Se calculează: 00000

1Z3S1S0

2x 172890135180180 , (3.44)

0000001Z2S1S

03x 173772890135180180 . (3.45)

Se constată, şi din aceste rezultate, simetria LR faţă de axa reală.Regula 8Punctele de intersecţie a LR cu axa imaginară (puncte critice) se pot determina apelând la un criteriu

de stabilitate (Routh, Nurwitz sau Mihailov).

Se utilizează criteriul Routh. Corespunzător relaţiilor (3.38), (3.39) ecuaţia caracteristică a sistemului închiseste de forma:

0K3sK2s2ssD dd23 . (3.46)

Se întocmeşte tabloul lui Routh:

Nr.crt.

Nr. coloană1 2 3

1. 1a 3 d1 K2a 0a 5

2. 2a 2 d0 K3a 0a 6

3.d

2

02

13

13 K5,02a

aaaa

detc

0c23 0

4.d

13

2313

02

14 K3c

ccaa

detc

0 0

Se calculează amplificarea corespunzătoare punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară egalândcu zero coeficientul 13c :

4K,0K5,02c dd13 . (3.47)Coordonatele punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară a planului complex se determină

utilizând criteriul Mihailov. Se obţine expresia analitică a hodografului Mihailov făcând substituţia jsîn polinomul caracteristic al sistemului închis sD (relaţia (3.46)). Se obţine:

jQPK3K2j2jjD dd23 , (3.48)

în care: 3

dd2 K2Q,K32P . (3.49)

Se obţin coordonatele punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară din ecuaţia:

45,2,6243

2K3

;0K32;0P d2d

2

. (3.50)

Pentru trasarea LR (figura 3.10) se utilizează următorul tabel:

dK 0 5,0 5,1 4 7

1s 0 00,1 59,1 00,2 57,2

2s j1 118,1j5,0 67,1j22,0 45,2j 22,3j28,0

3s j1 118,1j5,0 67,1j22,0 45,2j 22,3j28,0

Fig. 3.10Analizând LR din figura 3.10 se pot formula următoarele concluzii:

SLN este de ordinul 3n , iar 1m ; LR are trei ramuri; sistemul în stare închisă, pentru 0K d , are un pol real negativ 1S şi o pereche de poli

complecşi conjugaţi 32 S,S ;

cu creşterea coeficientului dK polul 1S se deplasează pe axa reală depărtându-se decentrul sistemului de coordonate, deci în timp componenta răspunsului liber determinată de acest pol se vaamortiza mai repede (în timp mai scurt);

perechea de rădăcini (poli) complexe conjugate 32 S,S determină caracterul oscilant al

răspunsului. Cu creşterea amplificării, în domeniul 4K0 d , rădăcinile 32 S,S au partea reală negativă(sunt rădăcini stabile) şi se apropie de axa imaginară (axa limitei de stabilitate) imprimând răspunsului uncaracter oscilant din ce în ce mai pronunţat. Pentru 4K d , rădăcinile 32 S,S sunt poziţionate pe axa

imaginară şi sistemul închis se află la limita de stabilitate. Pentru 4K d sistemul închis este instabil

deoarece rădăcinile 32 S,S au partea reală pozitivă (poziţionate în C );

SA fiind de tipul 1 , la mărime de intrare treaptă unitară, t1tr , eroarea staţionarăeste nulă 0ST , pentru 4K0 d (pentru sistemul stabil IMEM);

la mărime de intrare rampă unitară ttr , eroarea permanentă este constantă şi scadecu creşterea amplificării dK , în limitele 4K0 d :

ctK1

dv

pentru fiecare valoare 4K0 d b) Ecuaţia caracteristică a sistemului închis mai poate fi scrisă astfel:

02s2ss

3sK1sH1 2dd

. (3.51)

Forma (3.51) este necesară pentru utilizarea funcţiei MATLAB „rlocus” destinată generării LR .Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:

s2s2ssa,3ssb,sasbK

ssYsH 23

dd

(3.52)

şi atunci relaţia (3.51) devine:

sasbK1sH1 dd (3.53)

în care dK0 . Din (3.53) sunt folosite polinoamele sb şi sa .Se trasează LR utilizând funcţiile MATLAB „rlocus” şi „rlocfind”, cu următoarele secvenţe:

%%Trasarea LR.%%Functia de transfer a sistemului deschis:Hd(s)=Kd(s+3)/s(s^2+2s+2)b=[1 3];a=[1 2 2 0];figure(1)rlocus(b,a)axis([-4 1 -8 8])figure(2)rlocus(b,a)rlocfind(b,a)

Funcţia rlocus, pe lângă trasarea LR , permite ca pentru fiecare punct selectat, de pe ramura LR , săse afişeze în fereastra grafică următoarele mărimi: System: sys: Gain (amplificare dK ), Pole (valoareapolului) Damping (amortizarea), Overshoot [%] (suprareglajul), Frequency (rad/sec).

În figura 11.a se prezintă LR obţinut cu funcţia rlocus. Polii din care pleacă ramurile LR 0K d sunt redaţi prin cruciuliţe, iar zeroul cu cerculeţ. În figura 11.b se prezintă acelaşi LR , dar cu selectareapunctului (de pe ramura care pleacă din polul 2S ) în care ramura LR intersectează axa imaginară,obţinându-se în fereastra grafică următoarele valori:

System: sysGain: 4;Pole: - 0,00367+2.4500 i;Damping: 0,0015;Overshoot (%): 99.5;Freqnency (rad/sec): 2.45

Valorile obţinute depind de precizia selectării punctului respectiv.

a)

b)Fig. 3.11

Valoarea suprareglajului 5,99% corespunde valorii determinată cu relaţia aproximativă:

21

exp100%

, în care pentru 0015,0 se obţine 5299,99%

Funcţia rlocfind permite selectarea unui singur punct de pe ramurile LR şi se returnează, înfereastra de comandă, coordonatele punctului şi valoarea amplificării dK . pentru valoarea dK obţinută semarchează, cu cruciuliţă roşie, poziţia punctelor de pe toate ramurile LR . În figura 3.12 a fost selectat, peramura LR care pleacă din 2S , un punct din dreapta axei imaginare (din C ). S-a returnat în fereastra decomandă următoarele valori:

Select a point in the graphies windowselect - point =

0.1558 + 3.4037 ians =

8.9141

Fig. 3.12

În figura 3.12, se constată că sunt marcate, cu cruciuliţă, punctele de pe toate ramurile LRcorespunzătoare amplificării 8,9141.

PR. 3.3. Pentru SRA descris prin schema de structură:

în care:

1s1

sYsY

sH,2s2ss

KssYsH r

22d

1

,

să se traseze LR , cu program în MATLAB, şi să se interpreteze aceste din punctul de vedere alperformanţelor în raport cu răspunsul indicial.

RezolvareFuncţia de transfer a sistemului în stare deschisă este de forma:

0m,4n,sasb

2s2s1ssK

sHsHssY

sH 2d

21r

d

, (3.54)

având polii:j1s,j1s,1s,0s 4321 (3.55)

În relaţia (3.54), dK0 . Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis este:

sPsP

K2s2s1ss1sK

sHsH1sH

sRsYsH

2

1

d2

d

21

10

(3.56)

Ecuaţia caracteristica a sistemului închis se pune sub următoarea formă, necesară funcţiei MATLABrlocus:

0sasbK1sHsH1sP d212 , (3.57)

în care:

2s2s1sssa,1sb 2 (3.58)SLN deschis neavând zerouri 0m , cei doi poli reali 21 s,s şi perechea de poli complecşi

conjugaţi 43 s,s , vor determina 4n ramuri ale LR care tind spre infinit când dK .Cu următorul program MATLAB se trasează LR :

%LR pentru SLN cu m=0 şi n=4b=[1];a=conv([1 1 0],[1 2 2]);rlocus(b,a)

LR este prezentat în figura 3.13. Pe ramurile LR au fost selectate următoarele puncte (fig. 3.13):

Fig. 3.13

punctul A, care corespunde desprinderii ramurilor LR de pe axa reală, acest punctcorespunde situaţiei când polii 21 s,s sunt multipli;

punctul B, care corespunde punctului critic în care ramura LR intersectează axaimaginară;

puncutul C, care se află pe ramura LR ce se suprapune cu axa reală, în stânga punctului dedesprindere a ramurilor LR .

Pentru punctele selectate s-au obţinut următoarele valori:System: sys

Punctul selectat A B CGain: 326,0 230,2 202,0Pole: i107,2396.0 8 i818,000155,0 746,0Damping: 1 00189,0 1Overshoot(%): 0 101 0Frequency(ras/sec): 0,396 0.818 0.746

dK 0 5,0 5,1 4 7

1s 0 00,1 59,1 00,2 57,2

2s j1 118,1j5,0 67,1j22,0 45,2j 22,3j28,0

3s j1 118,1j5,0 67,1j22,0 45,2j 22,3j28,0

Analizând LR din figura 3.10 se pot formula următoarele concluzii:

LR are trei ramuri; sistemul în stare închisă, pentru 0K d , are un pol real negativ 1s şi o pereche de poli

complecşi conjugaţi 32 s,s ;

cu creşterea coeficientului dK polul 1s se deplasează pe axa reală depărtându-se decentrul sistemului de coordonate, deci în timp componenta răspunsului liber determinată de acest pol se vaamortiza mai repede (în timp mai scurt);pereche de rădăcini (poli) complexe conjugate 32 s,s determină caracterul oscilant al răspunsului. Cu

creşterea amplificării, în domeniul 4K0 d , rădăcinile 32 s,s au partea reală negativă (sunt rădăcinistabile) şi se apropie de axa imaginară (axa limitei de stabilitate) imprimând răspunsului un caracter oscilantdin ce în ce mai pronunţat. Pentru 4K d , rădăcinile 32 s,s sunt poziţionate pe axa imaginară şi

sistemul închis se află la limita de stabilitate. Pentru 4K d sistemul închis este instabil

deoarece rădăcinile 32 s,s au partea reală pozitivă (poziţionate în C );

SA fiind de tipul 1 , la mărime de intrare treaptă unitară, t1tr , eroarea staţionarăeste nulă ( 0ST ) pentru 4K0 d (pentru sistemul stabil IMEM);

la mărime de intrare rampă unitară ttr , eroarea permanentă scade cu creştereaamplificării dK ( 4K0 d ):

ctK1

dv

pentru fiecare valoare 4K0 d

Fig. 3.10

b) Ecuaţia caracteristică a sistemului închis mai poate fi scrisă astfel:

02s2ss

3sK1sH1 2dd

. (3.51)

Forma (3.51) este necesară pentru utilizarea funcţiei MATLAB „rlocus” destinată generării LR .Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:

s2s2ssa,3ssb,sasbK

ssYsH 23

dd

, (3.52)

şi atunci relaţia (3.51) devine:

sasbK1sH1 dd , (3.53)

în care dK0 . Din (3.53) sunt folosite polinoamele sb şi sa .Se trasează LR utilizând funcţiile MATLAB „rlocus” şi „rlocfind”, cu următoarele secvenţe:

%%Trasarea LR.%%Functia de transfer a sistemului deschis:Hd(s)=Kd(s+3)/s(s^2+2s+2)b=[1 3];a=[1 2 2 0];figure(1)rlocus(b,a)axis([-4 1 -8 8])figure(2)rlocus(b,a)rlocfind(b,a)

Funcţia rlocus, pe lângă trasarea LR , permite ca pentru fiecare punct selectat, de pe ramura LR , săse afişeze în fereastra grafică următoarele mărimi: System: sys: Gain (amplificarea dK ), Pole (valoareapolului), Damping (amortizarea), Overshoot [%] (suprareglajul), Frequency (rad/sec).

În figura 11.a se prezintă LR obţinut cu funcţia rlocus. Polii din care pleacă ramurile LR 0K d sunt redaţi prin cruciuliţe, iar zeroul cu cerculeţ. În figura 11.b se prezintă acelaşi LR , dar cu selectareapunctului (de pe ramura care pleacă din polul 2s ) în care ramura LR intersectează axa imaginară,obţinându-se în fereastra grafică următoarele valori:

System: sysGain: 4;Pole: - 0,00367+2.4500 i;Damping: 0,0015;Overshoot (%): 99.5;Freqnency (rad/sec): 2.45

Valorile obţinute depind de precizia selectării punctului respectiv.

a)

b)Fig. 3.11

Valoarea suprareglajului 5,99% corespunde valorii determinată cu relaţia aproximativă:

21

exp100%

, în care pentru 0015,0 se obţine 5299,99% .

Funcţia rlocfind permite selectarea unui singur punct de pe ramurile LR şi se returnează, înfereastra de comandă, coordonatele punctului şi valoarea amplificării dK . Pentru valoarea dK obţinută semarchează, cu cruciuliţă roşie, poziţia punctelor de pe toate ramurile LR . În figura 3.12 a fost selectat, peramura LR care pleacă din 2s , un punct din dreapta axei imaginare (din C ). S-a returnat în fereastra decomandă următoarele valori:

Select a point in the graphies window

select - point =0.1558 + 3.4037 i

ans =8.9141

Fig. 3.12

În figura 3.12, se constată că sunt marcate, cu cruciuliţă, punctele de pe toate ramurile LRcorespunzătoare amplificării 8,9141.

PR. 3.3. Pentru SRA descris prin schema de structură:

în care:

1s1

sYsY

sH,2s2ss

KssYsH r

221

,

să se traseze LR , cu program în MATLAB, şi să se interpreteze acesta din punctul de vedere alperformanţelor în raport cu răspunsul indicial.

RezolvareFuncţia de transfer a sistemului în stare deschisă este de forma:

0m,4n,sasb

2s2s1ssK

sHsHssY

sH 2d

21r

d

, (3.54)

având polii:j1s,j1s,1s,0s 4321 . (3.55)

În relaţia (3.54), dK0 . Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis este:

sPsP

K2s2s1ss1sK

sHsH1sH

sRYssH

2

1

d2

d

21

10

. (3.56)

Ecuaţia caracteristica a sistemului închis se pune sub următoarea formă, necesarăutilizării funcţiei MATLAB rlocus:

0sasbK1sHsH1sP d212 , (3.57)

în care: 2s2s1sssa,1sb 2 . (3.58)

SLN deschis neavând zerouri 0m , cei doi poli reali 21 s,s şi perechea de poli complecşiconjugaţi 43 s,s , vor determina 4n ramuri ale LR care tind spre infinit când dK .

Cu următorul program MATLAB se trasează LR :

%LR pentru SLN cu m=0 şi n=4b=[1];a=conv([1 1 0],[1 2 2]);rlocus(b,a)LR este prezentat în figura 3.13. Pe ramurile LR au fost selectate următoarele puncte (fig. 3.13):

Fig. 3.13

punctul A, care corespunde desprinderii ramurilor LR de pe axa reală, acest punctcorespunde situaţiei când polii 21 s,s sunt multipli;

punctul B, care corespunde punctului critic în care ramura LR intersectează axaimaginară;

puncutul C, care se află pe ramura LR ce se suprapune cu axa reală, în stânga punctului dedesprindere a ramurilor LR .

Pentru punctele selectate s-au obţinut următoarele valori:System: sys

Punctul selectat A B CGain: 326,0 230,2 202,0Pole: i107,2396.0 8 i818,000155,0 746,0Damping: 1 00189,0 1Overshoot(%): 0 101 0Frequency (rad/sec) 0.396 0,818 0,746

Selectarea punctelor de pe ramura LR , care prezintă interes trebuie să se facă cu acurateţe astfelîncât erorile comise prin selectare să fie neglijabile.

Pentru valorile selectate 202,0K;230,2K;326,0K cba , cu următorul program înMATLAB s-au calculat şi reprezentat grafic răspunsurile indiciale:

figure(1)t=0:0.1:35;ka=0.326;numa=[ka ka];dena=[1 3 4 2 ka];ysa=step(numa,dena,t);kc=0.202;numc=[kc kc];denc=[1 3 4 2 kc];ysc=step(numc,denc,t);v=t;df1=(diff(v)./diff(t));td=t(2:length(t));df2=0.95*df1;plot(t,ysa,'-k',t,ysc,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k' ),gridaxis([0 35 0 1.1])title('Raspunsul indicial pentru Ka=0.326 si Kc=0.202')xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)')text(6.0484,0.6867,'---------------Ka=0.326')text(16.4171,0.8572,'------------Kc=0.202')figure(2)t=0:0.1:35;kb=2.23;numb=[kb kb];denb=[1 3 4 2 kb];ysb=step(numb,denb,t);plot(t,ysb,'-k'),gridtitle('Raspunsul indicial corespunzator punctului critic Kb=2.23')xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)')

În figura 3.14 sunt prezentate răspunsurile indiciale asociate punctelor A şi C din figura 3.13, deci pentru326,0K a şi 202,0K b , iar în figura 3.15 se prezintă răspunsul indicial corespunzător punctului B (SA

la limită de stabilitate).

Fig. 3.14

Fig. 3.15LR , din figura 3.13, poate fi interpretat astfel:

conţine 4n ramuri care pleacă din polii fdt a sistemului deschis şi acestea tind la infinitcând dK (sistemul deschis nu conţine zerouri)

polii 43 s,s (fiind şi cei mai îndepărtat de axa imaginară) indiferent de valoarea

dK0 se găsesc poziţionaţi în semiplanul C din planul S al rădăcinilor (sunt poli stabili) şi nuinfluenţează asupra stabilităţii sistemului închis;

pentru 0K d , polii 21 s,s definesc o ramură LR care se suprapune cu semiaxa reală

negativă. Cu creşterea lui dK aceşti poli se apropie unul de altul şi pentru 326,0K d (punctul A) rezultă396,0ss 21 (poli multipli reali negativi). Pentru valori ale coeficientului total de amplificare a

sistemului deschis 326,0K0 d , componentele răspunsului sistemului închis determinate de 21 s,s voravea un caracter aperiodic (fără oscilaţii);

pentru 326,0K d , se desprind de pe semiaxa reală negativă două ramuri ale LR , care

tind la infinit, atunci când dK . Cele două ramuri intersectează axa imaginară în puncte, numite critice,care corespund limitei de stabilitate a sistemului închis. Polii 21 s,s în punctele de intersecţie cu axaimaginară au valori pur imaginare. De exemplu, punctul B (figura 3.13) corespunde valorii 23,2K d , iarvaloarea polului este: i818.000.0 . În punctul simetric de pe semiaxa imaginară vom avea:

i818.000.0 . Pentru ca sistemul în circuit închis să fie stabil IMEM se impune restricţia: 23.2K0 d ,

iar pentru 23,2K d , polii 21 s,s se găsesc poziţionaţi în C din planul complex s, sistemul fiind instabil.Din figura 3.14, se constată că răspunsurile indiciale au caracter aperiodic, deci 0 , iar

amortizarea 1 . Mai rezultă că durata regimului tranzitoriu este mai mică în cazul 396,0ss 21 ,decât în cazul polilor simpli.

Pentru răspunsul indicial al sistemului la limită de stabilitate (corespunzător punctului B) s-adeterminat perioada oscilaţiilor (fig. 3.15) s6613,7T , ceea ce corespunde frecvenţei

sec/rad8201,0T/2f obţinută şi prin selectarea punctului B de pe ramura LR

3.3. Probleme propuse spre rezolvare

PP. 3.1. Pentru SRA având schema de structură de forma:

în care:

1ss

KssYsH d

d

se cere:a) să se traseze LR şi să determine factorul de amortizare şi pulsaţia naturală a sistemului

neamortizat n ;b) să se interpreteze LR obţinut.

PP. 3.2. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis deforma:

2s1ss

KssYsH d

d

se cere:a) să se calculeze şi să se traseze LR ;b) să se interpreteze rezultatul obţinut.

PP. 3.3. Pentru SRA având schema de structură de forma:

în care:

cazul 1: 2s2s3ss

KssYsH 2

dd

,

cazul 2:

2s2s3ss

2sKssYsH 2

dd

se cere:a) să se întocmească programul în MATLAB pentru trasarea LR în cele două cazuri;b) să se compare rezultatele obţinute evidenţiind influenţa zeroului din funcţia de transfer a

sistemului deschis.

PP.3.4. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, având funcţia de transfer de forma:

20s4sass

Ka20ssYsH 2

dd

,

se cere:a) să se traseze LR , cu program în MATLAB, pentru 0.20,0.4,2.0a ;b) să se interpreteze rezultatele obţinute evidenţiind modificările determinate de valorile mici şi

respectiv mari ale parametrului a.

PP. 3.5. Pentru SRA având schema de structură de forma:

în care sH1 este funcţia de transfer a elementului de corecţie serie, iar sH 2 are expresia:

2s2ss1sH 22

,

se cere întocmirea programului în MATLAB care să realizeze:a) pentru 1KsH 11 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze LR ;

b) pentru 01,0,15K,s

KsKsH 11

, să se calculeze marginile de stabilitate şi să se

traseze LR ;c) să se analizeze rezultatele obţinute.

PP. 3.6. Pentru SRA având schema de structură şi expresia funcţiei de transfer sH 2 din problemaPP. 3.5, se cere să se întocmească programul în MATLAB care să realizez:

a) pentru 1K,sKsH 111 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze LRpentru cazurile 3;4;2;0 . Să se analizeze rezultatele obţinute;

b) pentru 3n,2,ns

sKsH 11

, să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze

LR . Să se compare rezultatul obţinut cu cazul 2 de la punctul a.

PP.3.7. Pentru SRA deschis prin schema de structură:

se cere să se întocmească programul în MATLAB care să realizeze:a) pentru 0K,1K,1K idp , să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, să se

calculeze marginile de stabilitate şi LR ;b) pentru 1K,1K,1K idp , să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, să se

calculeze marginile de stabilitate şi LR ;c) să se analizeze, comparativ, rezultatele obţinute.

PP. 3.8. Pentru SRA deschis prin schema de structură:

în care:

3s1

sYsY

sH;2ss1sK

ssYsH r

rd

se cere:a) să se întocmească programul în MATLAB pentru trasarea LR ;b) să se interpreteze rezultatul obţinut.