300

Circuitul echivalent a unei bobine

Orice conductor din care este realizat bobina prezint o anumit rezisten electric. Adeseori, cerinele

circuitului impun cea mai mic dimensiune posibil bobinelor din componen. Din acest motiv, nu exist o bobin

ideal. Conductorii bobinelor prezint de obicei o rezisten electric serie substanial. Distana foarte mic

dintre doi conductori adiaceni ai nfsurrii d natere unei capacitti parazite. Toate aceste lucruri interacioneaz

cu caracteristicile pur inductive ale tuturor bobinelor.

Spre deosebire de condensatoare, ce sunt relativ uor de confecionat pentru obinerea unor efecte parazite

neglijabile, bobinele sunt greu de gsit n forma lor pur. n unele aplicaii, aceste caracteristici nedorite pro pune

serioase probleme inginereti.

Mrimea fizic a bobinelor

Fizic, bobinele tind s fie mult mai mare dect condensatoarele, pentru aceiai valoare a energiei stocate.

Acest lucru este cu att mai adevrat dac lum n considerare condensatoarele electrolitice, ce permit stocarea unei

energii (capacitive) mari ntr-un spaiu relativ mic. Dac dorim stocarea unei energii mari ntr-un volum mic, ntr-

un anumit circuit pe care-l proiectm, dac putem alege ntre o bobin i un condensator, de cele mai multe ori

alegerea corect o reprezint condensatorul.

O excepie notabil a acestei regului o reprezint aplicaii care necesit capaciti sau inductane extrem de

mari pentru stocarea energiei electrice: bobinele realizate din fire supraconductoare (rezisten electric zero) sunt

mai practice din punct de vedere al realizrii lor dect condensatoarele de aceiai valoare, i probabil sunt i mai

mici.

Interferena cauzat de bobine

Bobinele pot afecta componentele adiacente dintr-un circuit electric sau electronic datorit cmpurilor

magnetice create. Aceste cmpuri se ntind pe o distana relativ mare fat de bobin. Acest lucru este adevrat mai

ales n cazul n care exist i alte bobine n apropierea acesteia. n cazul n care cmpurile magnetice a dou sau mai

multe bobine se cupleaz, n circuit vor exista inductane mutuale precum i inductane proprii, ducnd la efecte

nedorite.

Acesta este un alt motiv pentru care, la proiectarea circuitelor, se aleg de obicei condensatoare n dauna

bobinelor, acolo unde acest lucru este posibil: cmpul electric al condensatoarelor nu se mprtie pe o suprafa

mare precum cel al bobinelor, i nu genereaz efecte mutuale cu celelalte componente din circuit.

16 - Constantele de timp RC i L/R

301

1. Rspunsul tranzitoriu al condensatorului

Condensatoarele se comport aproximativ asemenea bateriilor secundare n cazul aplicrii unei tensiuni la

bornele lor: reacia iniial este de a produce un curent foarte mare ce tinde spre zero cu timpul

Un condensator complet descrcat se comport iniial asemenea unui scurt circuit atunci cnd la bornele

sale se aplic o anumit tensiune. Dup ce se ncarc la valoarea tensiunii sursei de alimentare, se comport

precum un circuit deschis

ntr-un circuit RC (rezistor-condensator) alimentat, tensiunea condensatorului crete de la zero la valoarea

sursei de alimentare, pe cnd curentul trece de la valoarea maxim spre zero; ambele variabile au o variaie

puternic la nceput, i se apropie tot mai greu de valorile lor finale odat cu trecerea timpului

Circuit RC simplu

Condensatoarele tind s se comporte asemenea

bateriilor secundare datorit posibilitii de stocare

i eliberare ulterioar a energiei sub form de cmp

electric.

Un condensator complet descrcat genereaz o tensiune de zero voli la bornele sale, iar un condensator

ncrcat menine o valoare constant a tensiunii la bornele sale, asemenea unei baterii. Atunci cnd acetia sunt

introdui ntr-un circuit cu alte surse de tensiune, absorb energie de la aceste surse, la fel precum o baterie

secundar se ncarc atunci cnd este conectat la un generator. Un condensator complet descrcat, avnd o cdere

de tensiune zero la bornele sale, conectat la o surs de tensiune, se va comporta iniial precum un scurt-circuit,

folosind un curent maxim de la surs pe msur ce se ncarc.

Cu timpul, tensiunea la bornele sale crete spre valoarea tensiunii aplicate de surs, iar curentul prin

condensator scade din aceast cauz. Dup ce condensatorul a atins valoarea maxim a tensiunii sursei, nceteaz s

mai consume curent de la aceast, i se comport practic precum un circuit deschis.

nchiderea ntreruptorului

Graficul alturat prezint variaia tensiunii cu timpul, variaie

cunoscut sub numele de rspuns tranzistoriu

condensatorului, n acest caz).

(al

302

Atunci cnd ntreruptorul este nchis prima dat, tensiunea la bornele condensatorului (considerat complet

descrcat) este de zero voli; de aceea, n prim faz se comport precum un scurt-circuit. Cu timpul, tensiunea

condensatorului crete pn la valoarea tensiunii bateriei, moment n care condensatorul se comport precum un

circuit deschis. n aceast configuraie, curentul prin circuit este determinat de raportul dintre diferena de tensiune

dintre baterie i condensator i valoarea rezistenei, 10 k. Pe msur ce tensiunea condensatorului se apropie de

cea a bateriei, curentul prin circuit se apropie i el de valoarea zero. Odat atins tensiunea bateriei de ctre

condensator (15 V), curentul va fi exact zero.

Tabelul variaiei

Mai jos este prezentat tabelul variaiei tensiunii cu timpul, n primele 10 secunde de la nchiderea

ntreruptorului:

Timp (secunde) Tensiune baterie Tensiune condensator Curent --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 15 V 0 V 1500 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.5 15 V 5,902 V 909,8 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 15 V 9,482 V 551,8 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 15 V 12,970 V 203,0 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 15 V 14,253 V 74,68 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 15 V 14,725 V 27,47 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 15 V 14,899 V 10,11 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 15 V 14,963 V 3,718 uA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 15 V 14,999 V 0,068 uA

n timp, tensiunea condensatorului se apropie de 15 voli iar curentul se apropie de zero; acest grafic se

numete asimptotic

, adic, ambele variabile se apropie tot mai mult de valoarea lor final cu timpul, dar niciuna nu

atinge exact acea valoare. Din punct de vedere practic ns, putem presupune c valoarea tensiunii la bornele

condensatorului atinge la un moment dat 15 V, iar curentul 0 A.

303

2. Rspunsul tranzitoriu al bobinei

O bobin complet descrcat se comport iniial precum un circuit deschis atunci cnd la bornele sale este

aplicat o tensiune. Dup ce se ncarc, curentul prin ea este maxim, iar tensiunea zero, comportamentul

fiind asemenea unui scurt-circuit.

ntr-un circuit rezistor-bobin, curentul bobinei trece de la zero la valoarea maxim, iar tensiunea de la

valoarea maxim la zero; ambele variabile au o variaie puternic la nceput.

Circuit L/R simplu

O bobin complet descrcat (nu exist cmp magnetic), prin

care nu trece niciun curent, la conectarea unei surse de

tensiune la bornele sale, se va comporta iniial asemenea unui

circuit deschis (ncearc s menin un curent de zero

amperi), cderea de tensiunea la bornele sale fiind maxim.

n timp, curentul crete spre valoarea maxim permis de circuit, iar tensiunea scade spre zero. Odat atins

valoarea de zero voli (pentru o bobin ideal), curentul rmne la nivelul maxim, iar bobina se va comporta

asemenea unui scurt-circuit.

nchiderea ntreruptorului

La nchiderea ntreruptorului, cderea de tensiune pe bobin

sare direct la valoarea tensiunii bateriei (precum un circuit

deschis) i scade spre zero cu timpul (ajungnd s se

comporte precum un scurt-circuit).

Tensiunea pe bobin se determin calculnd care este cderea de tensiune de pe R cunoscnd curentul prin

bobin; diferena dintre tensiunea bateriei i cea a rezistorului este tensiunea de pe bobin. La nchiderea iniial a

ntreruptorului, curentul este zero, dar crete apoi cu timpul pn ajunge s fie egal cu raportul dintre tensiunea

furnizat de baterie i rezistena rezistorului conectat n serie (1 n acest caz). Comportamentul acesta este exact

invers fa de circuitul RC (rezistor-condensator), unde curentul iniial a fost maxim iar tensiunea pe condensator

zero.

304

Tabelul variaiei

Mai jos este prezentat tabelul variaiei tensiunii cu timpul, n primele 10 secunde de la nchiderea

ntreruptorului:

Timp (secunde) Tensiune baterie Tensiune condensator Curent --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 15 V 15 V 0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.5 15 V 9,098 V 5,902 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 15 V 5,518 V 9,482 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 15 V 2,030 V 12,97 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 15 V 0,747 V 14,25 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 15 V 0,275 V 14,73 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 15 V 0,101 V 14,90 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 15 V 37,181 mV 14,96 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 15 V 0,681 mV 14,99 A

La fel ca n cazul circuitului RC, graficul tensiunii i al curentului cu timpul este asimptotic

3. Analiza circuitelor tranzitorii RC i L/R

.

Paii pentru analiza circuitelor tranzitorii RC i L/R: 1. Determinarea constantei de timp a circuitului (RC sau L/R)

2. Identificarea variabilei de calculat (tensiune pentru condensator, curent pentru bobin)

3. Determinarea valorilor iniiale i finale a variabilei alese

4. Introducerea valorilor (iniiale, finale, constantei de timp) n formula universal a constantei de timp i

rezolvarea acesteia (calcularea variaiei)

5. Dac valoarea iniial a fost zero, atunci valoarea actual la timpul specificat este egal cu variaia calculat

cu ajutorul formulei universale. n caz contrar, valoarea actual este suma dintre variaia calculat i

valoarea iniial a variabilei

305

Exist o metod sigur de calcul a tuturor variabilelor dintr-un circuit reactiv (cu bobine i/sau

condensatoare) de curent continuu. Primul pas este identificarea valorilor iniiale i a celor finale pentru tensiune n

cazul condensatoarelor i pentru curent n cazul bobinelor.

Valorile iniiale

La nchiderea ntreruptorului (sau deschiderea) dintr-un circuit, componentul reactiv ncearc s menin

aceast cantitate (tensiune pentru condensator, curent pentru bobin) la valoarea existent nainte de acionarea

ntreruptorului (vezi rspunsul tranzistoriu al condensatorului i rspunsul tranzistoriu al bobinei); aceast valoarea

este prin urmare folosit ca valoare iniial.

Valorile finale

Valoarea final a acestor mrimi este cantitatea la care acestea ajung dup o durat de timp infinit de la

acionarea ntreruptorului

Constanta de timp

. Aceasta poate fi determinat n analiza circuitului capacitiv considernd condensatorul

un circuit deschis, iar n cazul analizei circuitului inductiv, considernd bobina un scurt-circuit, deoarece acesta este

comportamentul lor dup ce sunt ncrcate la maxim (dup o perioad de timp infinit).

Urmtorul pas este calcularea constantei de timp a circuitului: timpul necesar pentru ca valorile tensiunii i

ale curentului s variaze cu aproximativ 63% din valoarea final, ntr-o situaie tranzitorie. Constanta de timp se

exprim n secunde i este simbolizat prin litera greceasc tau

Circuit RC serie

, .

ntr-un circuit RC serie, constanta de timp este egal cu produsul dintre rezistena total n ohmi i

capacitatea n Farad:

Circuit L/R serie

Pentru un circuit serie L/R, constanta de timp este egal cu raportul dintre inductana total n Henry i

rezistena total n ohmi.

Explicaie

306

Creterea i descreterea valorilor circuitului reactiv tranzitoriu, este asimptotic, curbele graficului sunt

prin urmare exponeniale.

Dup cum am spus mai sus, constanta de timp este durata de timp necesar pentru ca oricare dintre aceste

valori s varieze cu 63% fa de valoarea lor iniial spre cea final. Cu fiecare constant de timp, aceste valori se

situeaz cu 63% mai aproape de valoarea lor final. Formula matematic pentru determinarea precis a procentelor

variaiei este urmtoarea:

Litera e este constanta lui Euler, aproximativ 2,7182818. La formula de mai sus s-a ajuns cu ajutorul

analizei matematice, dup analiza asimptotic a valorilor circuitului. Dup un timp egal cu o constant de timp,

procentul variaiei fa de valoarea iniial este de:

Dup o perioad de dou constante de timp, procentul variaiei fa de valoarea iniial este:

Dup zece constante de timp

Formula universal a constantei de timp

:

Cu ct perioada de timp de la aplicarea tensiunii bateriei la bornele bobinei/condensatorului este mai lung,

cu att este mai mare valoarea numitorului fraciei, ntreaga fracie fiind astfel mai mic, iar totalul sczut din

valoarea 1 se apropie eventual spre 1, sau, 100%.

Putem deduce o formul universal pentru determinarea valorilor curentului i ale tensiunii n circuitele

tranzitorii, asfel:

unde,

final = valoarea variabilei dup un timp infinit (valoarea final)

iniial = valoarea iniial a variabilei considerate

307

e = constanta lui Euler (2,7182)

t= timpul (s)

= constanta de timp a circuitului ()

Analiza circuitului RC serie

S analizm circuitul RC serie de la nceputul capitolului:

Constanta de timp

Din moment ce constanta de timp () a unui circuit RC serie este produsul dintre rezisten i capacitate,

valoarea obinut este de 1 secund:

Calcularea tensiunii

Analizm n acest caz tensiunea deoarece este valoarea pe care condensatoarele ncearc s o menin

constant. Cu toate c formula se poate aplica la fel de bine i pentru curent, valorile finale i cele iniiale pentru

curent sunt de fapt derivate din tensiunea condensatorului, prin urmare, calcularea tensiunii este o metod mai

direct. Rezistena este de 10 k iar capacitatea de 100 F (microfarad).

Dac iniial condensatorul este complet descrcat (0 V), putem folosi aceast valoare pentru tensiunea

iniial. Valoarea final va fi tensiunea bateriei, 15 V. Formula universal pentru tensiunea condensatorului n acest

circuit arat astfel:

Dup 7,25 de secunde de la aplicarea tensiunii la bornele condensatorului (prin nchiderea ntreruptorului),

tensiunea va crete astfel:

308

Deoarece tensiunea iniial la bornele condensatorului a fost de 0 V, o cretere cu 14,989 V se traduce

printr-o cdere de tensiune de 14,989 V la bornele condensatorului dup 7,25 s de la nchiderea circuitului.

Calcularea curentului

Aceeai formul poate fi folosit i pentru determinarea curentului din circuit. tim c un condensator

descrcat se comport precum un scurt-circuit, prin urmare, curentul iniial va fi maximul posibil n circuit:

tim de asemenea c valoarea final a curentului va fi zero, din moment ce condensatorul se va comporta

eventual precum un circuit deschis, prin urmare, nu va exista curgere a electronilor prin circuit. Cunoscnd valorile

iniiale i cele finale, putem folosi formula universal pentru determinarea valorii curentului dup 7,25 de secunde

de la nchiderea aceluiai circuit RC de mai sus:

Observm c valoarea obinut este negativ, nu pozitiv! Acest lucru nseamn o descretere a curentului

i nu cretere a acestuia n timp. Din moment ce am nceput cu un curent de 1,5 mA, aceast descretere de 1,4989

mA se traduce prin existena unui curent de 0,001065 mA (1,065 A) dup un interval de timp de 7,25 de secunde

de la nchiderea circuitului. Am fi putut determina curentul prin circuit dup 7,25 s, scznd tensiunea condensatorului din tensiunea

bateriei pentru obinerea tensiunii pe rezistor; aflam apoi curentul prin rezistor (i prin ntreg circuitul) folosind

legea lui Ohm (I =E / R). n ambele cazuri, ar trebui s obinem acelai rezultat:

Analiza circuitului L/R serie

S analizm acum circuitul L/R serie de la nceputul

capitolului.

309

Constanta de timp

Cu o inductan de 1 Henry i o rezisten serie de 1 ohm, constanta de timp a circuitului de fa este de 1

secund:

Calcularea curentului

Deoarece este un circuit inductiv, iar bobinele tim c se opun variaiei curentului, vom aplica formula

universal folosind valorile iniiale i finale ale curentului. Dac iniial ntreruptorul este deschis, curentul este

egal cu zero (valoarea iniial). Dup o perioad de timp infinit, curentul va atinge valoarea sa final, egal cu

raportul dintre tensiunea sursei i rezistena total din circuit (I =E / R), 15 A n acest caz.

Dac vrem s aflm valoarea curentului la 3,5 secunde dup nchiderea ntreruptorului, aplicm formula

universal astfel:

Din moment ce valoarea iniial a curentului a fost zero, valoare acestuia dup 3,5 secunde este de 14,547

amperi.

Calcularea tensiunii

Avnd doar un singur rezistor n circuit, calculm mai nti cderea de tensiune pe acesta pentru timpul de

3,5 s:

Fcnd diferena ntre tensiunea bateriei i cea a rezistorului, cderea de tensiune pe bobin este de 0,453 V

pentru timpul de 3,5 s:

4. De ce L/R i nu LR

Circuitele tranzitorii i transferul de energie

310

Pentru cei care studiaz teoria circuitelor electrice pentru prima dat, este destul de greu de neles motivul

pentru care calculul constantei de timp pentru un circuit inductiv este diferit fa de circuitul capacitiv. Pentru un

circuit rezistor-condensator (RC), constanta de timp (n secunde) se calculeaz ca produs dintre rezistena n ohmi i

capacitatea n Farad: = RC. Totui, pentru un circuit rezistor-bobin (L/R), constanta de timp se calculeaz ca

raport dintre inductana n Henry i rezisten n ohmi: = L/R.

Aceast diferen a modului de calcul are implicaii profunde asupra analizei calitative a rspunsului

tranzitoriu al circuitului. Circuitele RC au un rspuns mai rapid pentru o valoare mic a rezistenei i un rspuns

mai lent pentru o valoare mare a rezistenei; circuitele L/R au un rspuns mai rapid cu o rezisten mai mare i unul

mai lent pentru o rezisten mai mic, exact opusul situaiei precedente. Circuitele RC n general sunt destul de

intuitive, dar cele inductive sunt mai greu de neles.

Cheia care st la baza nelegerii circuitelor tranzitorii este o nsuire temeinic a conceptului transferului

de energie

Descrcarea condensatorului i a bobinei

i natura sa electric. Att condensatoarele ct i bobinele pot stoca energie, condensatorul sub form de

cmp electric iar bobina sub form de cmp magnetic. Energia electrostatic a condensatorului tinde s menin

constant valoarea tensiunii de la terminalele sale. Energia electromagnetic a bobinei tinde s menin constant

valoarea curentului prin ea.

S lum n considerare ce se ntmpl n

cazul fiecrui component reactiv n

momentul descrcrii, i anume, atunci

cnd energia stocat n dispozitiv (bobin

sau condensator) este eliberat pe un

rezistor i disipat de acesta sub form de

cldur.

n ambele cazuri, cldura disipat de rezistor constituie energie ce prsete

Prin urmare,

circuitul, n consecin,

componentul reactiv (condensatorul sau bobina) i pierde energia stocat n timp; rezultatul este fie o descretere a

tensiunii condensatorului sau o descretere a curentului bobinei, lucru reprezentat pe grafic. Cu ct rezistorul disip

mai mult putere, cu att mai rapid este descrcarea dispozitivelor, deoarece puterea, prin definiie, este rata

transferului de energie cu timpul.

constanta de timp a unui circuit tranzitoriu depinde de rezistena circuitului. Desigur, aceasta

depinde i de capacitatea de stocare a componentului reactiv, dar ne vom concentra momentan doar pe efectul

rezistorului asupra circuitului. Constanta de timp a circuitului este mai mic (o rat de descrcare mai rapid) dac

311

valoarea rezistorului este n aa fel nct maximizeaz disiparea puterii (rata transformrii energiei n cldur) din

circuit.

Pentru un circuit capacitiv, unde energia stocat este sub form de tensiune, acest lucru nseamn c

rezistorul trebuie s posede o valoare mic a rezistenei pentru maximizarea curentului, oricare ar fi tensiunea

existent. Pentru un circuit inductiv, unde energia stocat este sub form de curent, acest lucru nseamn c

rezistorul trebuie s posede o valoare mare a rezistenei pentru maximizarea cderii de tensiune, oricare ar fi

valoarea curentului (lund n considerare faptul c produsul dintre tensiune i curent este egal cu puterea).

Energia potenial i energia cinetic

Ca i o analogie, putem recurge la o exemplificare mecanic a stocrii energiei sub form capacitiv i

inductiv. Condensatoarele, stocnd energie electrostatic, sunt rezervoare de energie potenial. Bobinele, stocnd

energie electromagnetic (electrodinamic), sunt rezervoare de energie cinetic. Mecanic, energia potenial poate fi

reprezentat cu ajutorul unei mase suspendate, iar energia cinetic cu ajutorul unei mase aflate n micare.

Energia potenial

S considerm ilustraia alturat pentru

condensator, considernd energia stocat n

acesta ca fiind energie potenial.

Cruciorul, atunci cnd se afla n vrful pantei, posed energie potenial datorat influenei gravitaiei i

poziiei sale din vrf. Dac lum n considerare sistemul de frnare al cruciorului, acesta este analog rezistenei

circuitului/sistemului, iar cruciorul este n acest caz condensatorul; ntrebarea este, ce valoare (mic sau mare) a

rezistenei ajut la o eliberare mai rapid (parcurgerea mai rapid a pantei) a energiei poteniale? Desigur, o

rezisten minim (lipsa frnelor) ar duce la parcurgerea cea mai rapid a pantei de ctre crucior!

Fr ca sistemul de frnare s acioneze, cruciorul se va deplasa liber pe pant n jos, folosind

(consumnd) energie potenial pe msur ce pierde din nlime. Atunci cnd sistemul de frnare acioneaz la

capacitate maxim, cruciorul nu se va deplasa la vale (sau o va face foarte ncet), iar energia sa potenial se va

pstra pentru o perioad mai ndelungat de timp. Acelai lucru se ntmpl i n cazul circuitului capacitiv, ce se

descarc rapid dac rezistena sa este mic, i se descarc lent dac rezistena este mare.

312

Energia cinetic

S considerm acum o analogie mecanic

pentru bobin, reprezentnd energia stocat

de aceasta sub form cinetic.

De aceast dat, cruciorul se afl la nivelul solului i este deja n micare. Energia sa n acest caz este

energie cinetic (micare), nu potenial (nlime). Din nou, considernd sistemul de frnare al cruciorului ca

fiind analog rezistenei din circuit, atunci putem considera cruciorul ca fiind bobina; ntrebarea n acest caz este

este asemntoare celei din cazul condensatorului, i anume, ce valoare a rezistenei faciliteaz eliberarea rapid a

energiei cinetice stocate? Desigur, o rezisten maxim (sistemul de frnarea acionat la maxim) va ncetini

cruciorul cel mai repede (ntr-o perioad de timp ct mai scurt).

Cu sistemul de frnare acionat la maxim, cruciorul se va opri foarte repede, folosind (consumnd)

energia cinetic pe msur ce ncetinete. Fr aciunea frnelor, cruciorul se deplaseaz liber, pentru o perioad

de timp infinita (neglijnd frecarea i rezistena aerodinamic n acest caz), iar energia sa cinetic va fi meninut

(stocat) pentru o perioad lung de timp. Analog, un circuit inductiv se descarc rapid dac rezistena pe care se

descarc este mare

5. Cazuri speciale de calcul

i invers, se descarc lent dac rezistena este mic.

Valori iniiale diferite de zero

Exist cazuri de analiz a circuitelor de curent continuu tranzitorii n care componentele reactive

(condensatoare sau bobine) nu sunt iniial descrcate, prin urmare, valorile iniiale ale tensiunii i curentului nu

sunt zero. Cu alte cuvinte, condensatorul poate fi parial ncrcat la momentul iniial (tensiunea la bornele sale este

diferit de zero), iar bobina poate fi deja strbtuta de un anumit curent la momentul iniial.

Circuit L/R simplu

S lum circuitul alturat ca i exemplu; iniial ntreruptorul

este deschis, iar la momentul final acesta este nchis.

313

Deoarece acesta este un circuit inductiv, ncepem analiza prin determinarea valorilor iniiale i finale ale

curentului. Acest pas este extrem de important n analiza circuitelor inductive, deoarece valorile iniiale i finale ale

tensiunii nu pot fi cunoscute dect dup determinarea curentului!

Cu ntreruptorul n poziia deschis (condiia iniial), rezistena serie total este de 3 , ceea ce limiteaz

valoarea final a curentului din circuit la 5 A:

astfel, chiar nainte de a nchide ntreruptorul, avem un curent de 5 A prin bobin, fa de 0 A n exemplul

din seciunea precedent). Cnd ntreruptorul este nchis (condiia final), rezistorul de 1 este scurt-circuitat, iar

valoarea total a rezistenei din circuit se reduce la 2 (R 1); valoarea final a curentului prin circuit cu

ntreruptorul nchis este:

Prin urmare, bobina din acest circuit are un curent iniial de 5 A i unul final de 7,5 A. Deoarece ne

intereseaz ce se ntmpl n circuit dup nchiderea ntreruptorului i scurt-circuitarea rezistorului R2, calcularea

constantei de timp se realizeaz pentru L1 i R1: 1 Henry / 2 , sau = 0,5 secunde. Cu aceste valori, putem acum

calcula valorile curentului n timp. Tensiunea pe bobin este egal cu diferena dintre tensiunea bateriei (15 V) i

produsul dintre curentul circuitului (7,5 A) i rezistena R1

Tabelul variaiei

(2 ). Dac observm c t ensiunea iniial la bornele

bobinei este de 5 V i apoi scade la 0 V dup un timp infinit de la nchiderea ntreruptorului, putem folosi aceste

valori n formula universal a constantei de timp pentru a ajunge la aceleai rezultate:

Mai jos este prezentat tabelul variaiei tensiunii cu timpul, n primele 3 secunde de la nchiderea

ntreruptorului:

314

Timp (secunde) Tensiune baterie Tensiune condensator Curent --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 15 V 5 V 5 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 15 V 4.094 V 5.453 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.25 15 V 3.033 V 5.984 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.5 15 V 1.839 V 6.580 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 15 V 0.677 V 7.162 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 15 V 0.092 V 7.454 A --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 15 V 0.012 V 7.494 A

6. Circuite complexe

Pentru analiza circuitelor RC sau L/R mai complexe dect cele serie simple, putem transforma circuitul

ntr-un circuit echivalent Thevenin considernd compoentul reactiv (condensator sau bobin) ca fiind

sarcina i reducnd restul componentelor la un circuit echivalent cu o surs de tensiune i un rezistor

serie. Apoi, analizm comportamentul circuitului n timp, folosind formula universal a constantei de timp

Circuit RC paralel

Ce facem n cazul n care avem un circuit mai

complicat dect configuraiile serie

considerate pn acum? S considerm

circuitul alturat, de exemplu.

Formula constantei de timp ( = RC) se bazeaz pe un circuit capacitiv serie simplu, format dintr-un

condensator i un rezistor conectate n serie. Acelai lucru este valabil i pentru constanta de timp n circuitul

inductiv serie simplu ( = L / R). Ce p u tem face p rin u rmare ntr -o situaie asemntoare celei de fa, unde

rezistorii sunt conectai ntr-o configuraie serie-paralel cu condensatorul / bobina?

Aplicarea teoremei lui Thevenin

315

Rspunsul este c putem folosi

metodele nvate la analiza

reelelor. Teorema lui Thevenin ne

spune c putem reduce oricare

circuit liniar la un circuit

echivalent compus dintr-o surs de

tensiune, un rezistor conectat n serie cu aceasta i o sarcin, urmnd civa pai simpli.

Pentru aplicarea teoremei lui Thevenin circuitului de fa, considerm componentul reactiv, condensatorul,

ca fiind sarcina

Determinarea tensiunii la bornele sarcinii

; pasul urmtor este ndeprtarea acestuia din circuit pentru determinarea tensiunii i a rezistenei

Thevenin. Apoi, dup ce am determinat valorile din circuitul echivalent, reconectm condensatorul i determinm

tensiunea i curentul n funcie de timp, exact cum am fcut i pn acum.

Dup ce am identificat condensatorul ca fiind sarcina circuitului, l

ndeprtm i determinam tensiunea la bornele sarcinii (ntreruptorul

este nchis, vezi figura de mai sus). Aplicnd metoda tabelului,

valorile sunt cele alturate.

Acest pas al analizei reflect faptul c tensiunea la bornele sarcinii (aceeai ca la bornele rezistorului R2

Determinarea rezistenei Thevenin

)

este de 1,8182 V atunci cnd nu este conectat nicio sarcin. Dac suntem ateni, observm c aceast tensiunea

este chiar tensiunea final la bornele condensatorului, deoarece un condensator complet ncrcat se comport

precum un circuit deschis (curent zero). Folosim aceast valoare a tensiunii pentru circuitul echivalent Thevenin.

Pentru determinarea rezistenei

Thevenin, trebuie s eliminm toate

sursele de putere din circuitul

original i s recalculm rezistena

aa cum este ea vzut de la

terminalele sarcinii (vezi circuitul

alturat)

Formulele de calcul arat astfel:

RThevenin = R2 // (R1 -- R3)

RThevenin = 500 // (2 k + 3 k)

RThevenin

Mrime

= 454,545

R R1 R2 Total 3 Unitate E 7,273 1,818 10,909 20 V I 3,636 3,636 3,636 3,636 A R 2k 500 3k 5,5k

316

unde,

// reprezint conectarea n paralel a rezistorilor

-- reprezint conectarea n serie a rezistorilor

Desenarea circuitului echivalent Thevenin

Urmtorul pas este redesenarea circuitului original

sub forma circuitului echivalent Thevenin.

Constanta de timp pentru acest circuit va fi egal cu produsul dintre rezistena Thevenin i capacitatea

condensatorului ( = RC).

Cu valorile de mai sus, putem face urmtoarele calcule:

Determinarea tensiunii la bornele condensatorului

n acest moment putem afla i tensiunea la bornele condensatorului direct din formula universal de calcul

a constantei de timp. S facem calculele pentru o valoare de 60 de milisecunde. Deoarece este o formul capacitiv,

vom face calculele n funcie de tensiune:

Din nou, deoarece valoarea iniial a tensiunii condensatorului am presupus-o ca fiind 0 V, cderea de

tensiune actual pe condensator dup un interval de 60 ms de la nchiderea ntreruptorului este suma dintre

valoarea iniial (0 V) i cea final (1,3325 V), adic 1,3325 V

7. Rezolvarea circuitului pentru variabila timp

.

317

Determinarea duratei de timp

n unele cazuri este necesar determinarea duratei de timp pentru care circuitul va atinge o valoare

predeterminat. Acest lucru este n special ntlnit n cazurile n care proiectm circuitul RC sau L/R pentru o

aplicaie n funcie de timp. Pentru acest calcul, trebuie s modificm formula universal a constantei de timp. Cea

original arat astfel:

n acest caz dorim ns s realizm un calcul n funcie de timp. Pentru aceasta, modificm formula, i

scoatem variabila timp n stnga formulei, n loc de variaie:

unde,

v = variaia (tensiunii sau a curentului); a nu se confunda cu tensiunea instantanee

i = valoarea iniial (a nu se confunda cu, curentul instantaneu

f = valoarea final

Iar ln reprezint logaritmul natural: inversa lui e:

dac ex = a, atunci ln a = x - puterea la care trebuie ridicat e pentru a produce rezultatul a

318

Exemplu

Folosim acelai circuit rezistor-condensator de la

nceputul capitolului i ne folosim de datele deja

determinate pentru a afla durata de timp.

Constanta de timp este aceeai, 1 secund (10 k nmulit cu 100 F); iar valorile iniiale i finale rmn i

ele neschimbate (tensiunea iniial a condensatorului este iniial 0 V, iar cea final 15 V). Dup cum reiese din

tabelul de la nceputul capitolului, dup 2 secunde condensatorul va fi ncrcat la 12,970 V.

S introducem aadar valoarea de 12,970 V n formula determinat mai sus pentru a vedea dac timpul

rezultat este de 2 secunde:

ntr-adevr, rspunsul este cel ateptat, i anume 2 secunde. Putem ns afla duratele de timp necesare

ncrcrii condensatorului pentru oricare valoare din intervalul (iniial, final). De exemplu, care este durata de timp

pentru care condensatorul se ncarc la 10 V?