culegere de probleme de electrotehnicaferrari.lce.pub.ro/studenti/~viomarin/culegere de... ·...

Prefa\`

Culegerea de probleme de Electrotehnic` se adreseaz`, [n principiu, studen\ilor

Facult`\ii de Ingineria Sistemelor Biotehnice ]i studen\ilor Facult`\ii de Transporturi,

dar poate fi util` ]i altor studen\i de la facult`\ile cu profil mecanic.

Lucrarea a fost elaborat` pe baza programei analitice a p`r\ii de Electrotehnic`,

a cursului de Electrotehnic`, Ma]ini ]i Ac\ion`ri Electrice predat la facultatea de

Ingineria Sistemelor Biotehnice ]i a cursului de Electrotehnic` predat la facultatea de

Transporturi.

Lucrarea cuprinde urm`toarele patru capitole: Cap 1. Electrostatica; Cap 2

Circuite electrice de curent continuu; Cap 3. Circuite electrice de curent alternativ; ]i

Cap 4. Circuite trifazate. Fiecare capitol este constituit din trei subcapitole: un breviar

teoretic [n care sunt prezentate principalele no\iuni ]i teoreme, care sus\in con\inutul

]tiin\ific al capitolului, un subcapitol cu probleme rezolvate semnificative din punct de

vedere didactic, urmat de un subcapitol cu probleme propuse pentru dezvoltarea

aptitudinilor ]i [ndem@n`rii studen\ilor de a rezolva aplica\ii. Aceste subcapitole sunt [n

concordan\` cu no\iunile ]i aplica\iile predate la curs ]i eviden\iate [n lucrarea

Electrotehnica [1].

Lucrarea prezint` [n anexe sub form` de tabel constantele de material necesare

rezolv`rii problemelor, pecum ]i m`rimile specifice cu care opereaz` electrotehnica,

unit`\ile de m`sur` ]i rela\iile de defini\ie.

Culegerea contine 123 pagini ]i 107 probleme.

Autorul mul\ume]te profesorilor Prof. Dr. Ing. Ni\escu Miruna, Prof. Dr. Ing.

Constantinescu Florin ]i Conf. Dr. Ing. Cazacu Emil, care prin sprijinul acordat ]i [n

urma discu\iilor avute au f`cut posibil` apari\ia acestei lucr`ri.

Autorul este deschis oric`ror discu\ii ]i sugestii pentru [mbun`t`\irea lucr`rii ]i

mul\ume]te cu anticipa\ie tuturor cititorilor care vor semnala anumite erori sau

neconcordan\e.

28.08.2014

Autorul

Cuprins

1. Electrostatica.........................................................................................................................5

1.1. Breviar teoretic ..............................................................................................................5

1.2. Probleme rezolvate ......................................................................................................11

1.3. Probleme propuse .......................................................................................................27

2. Circuite de curent continuu...............................................................................................33

2.1. Breviar teoretic ........................................................................................................... 33

2.2. Probleme rezolvate ......................................................................................................45

2.3. Probleme propuse ...................................................................................................... 53

3. Circuite de curent alternativ monofazat......................................................................... 61

3.1. Breviar teoretic ............................................................................................................61

3.2. Probleme rezolvate ..................................................................................................... 73

3.3. Probleme propuse ..................................................................................................... 85

4. Circuite de curent alternativ trifazat................................................................................ 95

4.1. Breviar teoretic .............................................................................................................95

4.2. Probleme rezolvate .....................................................................................................107

4.3. Probleme propuse ......................................................................................................113

5. Anexe..................................................................................................................................119

6. Bibliografie.........................................................................................................................123

1.Electrostatica 5 1. ELECTROSTATICA

1.1. Breviar teoretic

Electrostatica este partea Electrotehnicii [n care se studiaz` st`rile electrice,

invariabile [n timp(deci toate derivatele m`rimilor sunt nule 0=¶·¶t

), ne[nso\ite de curen\i

electrici de conduc\ie(densitatea curentului electric de conduc\ie este nul` 0=J ), respectiv ne[nso\ite de transform`ri energetice (adic` 0=jp ).

1.1. 1. Ecua\iile fundamentale ale electrostaticii Aplicând ipotezele regimului electrostatic rezult` formele particulare ale legilor

câmpului electromagnetic numite ecua\iile fundamentale ale electrostaticii: 1. Legea fluxului electric, care sub form` integral` are expresia

dVAdDD

vòòòòòS

=S

r (1.1.1)

iar sub form` local`

vDdiv r= (1.1.2)

2. Legea leg`turii dintre D , E ]i P

PED += 0e (1.1.3)

3. Legea polariza\iei electrice temporare

EP et ce 0= (1.1.4)

La materialele f`r` polariza\ie permanent` 0=pP ]i deci tPP = , legea

polariza\iei electrice temporare se folose]te [mpreun` cu legea leg`turii dintre D , E ]i P :

ED e= (1.1.5) unde e este o m`rime de material numit` permitivitate cu expresia re eecee 00 )1( =+= (1.1.6)

Rezult` permitivitatea relativ` amediului(material dielectric):

er cee

e +== 10

(1.1.7)

4. Rela\ia de conservare a sarcinii electrice, care rezult` prin anularea membrului al doilea al legii conserv`rii sarcinii electrice. {n general, sarcina total` a unui sistem de corpuri izolat electric (adic` [nconjurat de materiale electroizolante), este constant`: .constq

k

k =å (1.1.8)

Rela\ia (1.1.8) reprezint` o consecin\` particular` valabil` pentru corpuri izolate electric a legii conserv`rii sarcinii electrice. 5. Teorema poten\ialului electrostatic form` particular` a legii induc\iei electrice rezultat` prin anularea derivatei cu timpul din membrul drept: Enun\: Circula\ia intensit`\ii c@mpului electric este nul` pe orice curb` [nchis` G .

0=òG

sdE (1.1.9)

6 1. Electrostatica Consecin\e ale teoremei potentialului electrostatic: 10 {n c@mpul electrostatic nu exist` linii de c@mp [nchise. 20 {n c@mpul electrostatic tensiunea electric` [ntre dou` puncte nu depinde de drum. 6. Condi\ia de echilibru electrostatic care se deduce din legea conduc\iei electrice [n

acord cu condi\ia 0=J . Rezult` pentru medii conductoare neomogene:

0=+ iEE (1.1.10)

{n aplica\ii intereseaz` [n primul r@nd conductorii omogeni. {n acest caz 0=iE ]i condi\ia de echilibru electrostatic devine

0=E (1.11)

Deoarece intensitatea c@mpului electric E este nul` [n interiorul conductoarelor

omogene ( 0=P ), conform rela\iei ED 0e= rezult` c` ]i induc\ia electric` este nul`

0=D . Consecin\e: a) Toate punctele din interiorul conductorului au acela]i poten\ial; suprafa\a conductorului este o suprafa\` echipoten\ial`. b) Liniile c@mpului electric exterior sunt perpendiculare pe suprafa\a conductorului omogen.Deci c@mpul electric la suprafa\a exterioar` a unui conductor omogen nu are component` tangen\ial` ci numai component` normal`. c) Sarcina electric` este repartizat` superficial [n cazul conductorilor omogeni, respectiv sarcina din interiorul conductorului este nul`. c) Efectul de ecran. Liniile de c@mp electric din exteriorul unui conductor nu p`trund [n interiorul unui gol existent [n conductor.

1.1.2. Marimi si forțe in câmp electrostatic {n regimul electrostatic sursele câmpului electric sunt sarcina electric` ]i polariza\ia

permanent` pP .

For\a F care se exercit` [n c@mp electric asupra unui mic corp electrizat este:

vEqF = (1.1.12) unde:

- q este sarcina electric` a corpului; unitatea de sarcin` electric` este coulombul C, egal cu sarcina electric` care trece [ntr-o secund` prin sec\iunea unui conductor str`b`tut de un curent electric de un amper: 1C=1Ax1s;

- vE este intensitatea c@mpului electric [n vid; unitatea de m`sur` a c@mpului electric este voltul pe metru (V/m).

Pentru corpurile cu dimensiuni mari, comparabile cu distan\ele la care se studiaz` c@mpul electric, caracterizarea st`rii de electrizare prin sarcina electric` total` este nesatisf`c`toare ]i trebuie definite densit`\i ale sarcinii electrice: - de volum

dv

dq

v

q

vv =

DD

=®D 0

limr (1.1.13)

- de suprafa\`

dA

dq

A

q

As =

DD

=®D 0

limr (1.1.14)

- de linie

ds

dq

s

q

sl =

D

D=

®D 0limr (1.1.15)

1.1. Electrostatica. Breviar teoretic 7

Polariza\ia electric` poate fi temporar` tP sau permanent` pP :

pt PPP += (1.1.17)

{n S.I. unit`\ile de m`sur` ale m`rimilor moment electric ]i polariza\ie electric` sunt: ( )mCmetrucoulomb ×× ]i, respectiv ( )2/ mCpatratmetrupecoulomb .

Fig. 1.1.1

For\a 12F pe care o exercit` un mic corp electrizat 1M

av@nd sarcina electric` 1q , asupra unui alt mic corp

electrizat 2M , av@nd sarcina 2q , ca [n fig. 1.1.1, este (rela\ia lui Coulomb):

12

12

2

12

2112

4 r

r

r

qqF

pe= (1.1.18)

unde:

- 12r este raza vectoare care une]te corpul 1M cu

corpul 2M . - e este permitivitatea mediului omogen sau constanta lui dielectric`, care caracterizeaz` mediul dielectric din punct de vedere al c@mpului electric. Dac` sarcinile au acela]i semn se resping, iar dac` au sarcini contrare, se atrag.

1.1.3. Intensitatea c@mpului electric produs de un mic corp [nc`rcat cu sarcina q, aflat [ntr-un mediu dielectric omogen de permitivitate e :

34 r

rqE

pe= (1.1.19)

Dac` c@mpul electric este produs de mai multe corpuri punctiforme electrizate, intensitatea c@mpului electric este egal` cu suma vectorilor intensit`\ii c@mpului electric pe care l-ar produce fiecare corp luat [n parte:

å=i i

i

ir

rqE

34

1

pe (1.1.20)

Formula lui Coulomb pentru determinarea câmpului într-un punct P pentru corpuri cu Vr ,

Sr , lr , kq

úû

ùêë

é+++= ò ò ò å

Vînc Sînc lînck

klSVR

Rqrd

R

Rsd

R

Rdv

R

RPE

33334

1)(

rr

rr

rrr

rrrpe

(1.1.21)

Formula lui Coulomb se poate aplica dacă: - spaţiul este omogen (ε = constant); - se cunosc Vr , Sr , lr , kq ;

- problema e formulat` în spa\iul infinit -se cunosc dimensiunile ]i forma corpurilor înc`rcate (care trebuie s` fie finite) -se cunosc distan\ele la care sunt situate aceste corpuri

1.1. 4. Poten\ialul electrostatic corespunz`tor intensit`\ii c@mpului electric E al unui corp:

)()( 00

pVsdEpVP

p+-= ò (1.1.22)

8 1. Electrostatica Constanta )( 0pV depinde de alegerea originii poten\ialelor ]i se determin` preciz@nd

valoarea poten\ialului [ntr-un punct din domeniu. Adesea punctual de referin\` se ia la infinit, iar poten\ialul lui se ia nul; dac` o astfel de alegere duce la valori infinite pentru poten\ial, punctul de referin\` nu poate fi luat la infinit.

Poten\ialul (electrostatic) electric corespunz`tor c@mpului unui corp punctiform de sarcin` q situat [ntr-un dielectric omogen de permitivitate e :

0

4

1V

r

qV +=

pe (1.1.23)

Prin superpozi\ie rela\ia (1.23) se generalizeaz` pentru un sistem de corpuri punctiforme cu sarcinile iq :

å=i i

i

r

qV

pe4

1 (1.1.24)

Pentru cazul corpurilor înc`rcate cu vr , sr , lr ]i q potentialul electrostatic pate fi

determinat cu formula lui Coulomb:

( ) úû

ùêë

é+×++×-= åò ò ò

k k

k

Vînc Sînc lînclsv

R

q

R

dl

R

dA

R

dVPV rrr

pe4

1 (1.1.25)

Formula se poate aplica dac` sunt indeplinite urmatoarele condi\ii: - spa\iul este omogen (e = constant) -se cunosc vr , sr , lr ]i q

-problema e formulat` în spa\iul infinit -se cunosc dimensiunile ]i forma corpurilor înc`rcate (care trebuie s` fie finite) -se cunosc distan\ele la care sunt situate aceste corpuri Dac` problema e formulat` în planul infinit extins (avem un plan conductor de poten\ial nul), formulele anterioare se pot aplica dac` consider`m imaginile lor fa\a de acest plan 1.1.5.Tensiunea electric` {n c@mpul electrostatic tensiunea electric` [ntre dou` puncte este egal` cu diferen\a de poten\ial dintre aceste puncte.

21

2

1

2

1

12 VVdVsdEU -=-== òò (1.1.26)

Suprafe\ele care con\in toate punctele de acela]i poten\ial se numesc suprafe\e echipoten\iale: .),,( ctkzyxV == (1.1.27)

Vectorul c@mp E este normal [n fiecare punct din c@mp pe o suprafa\` echipoten\ial` care trece prin punctul considerat. Deci toate elementele de arc cuprinse intr-o suprafa\`

echipoten\ial` sunt normale pe direc\ia local` a vectorului intensitate c@mp electric E . Liniile de c@mp sunt, deci, traiectorii ortogonale ale suprafe\elor echipoten\iale. 1.1.6. Condensatorul electric este un sistem format din dou` conductoare omogene [nc`rcat cu sarcinile electrice q1 ]i q2, egale ]i de nume contrare: qq =1 ]i qq -=2 . Conductoarele se numesc arm`turi, [ntre ele g`sindu-se dielectrici omogeni sau neomogeni

dar ne@nc`rca\i ]i f`r` polariza\ie permanent`, adic` 0=Vr ]i 0=pP .

Capacitatea electric` a condensatorului este raportul dintre sarcina uneia dintre arm`turi ]i diferen\a de poten\ial dintre ele

1.1. Electrostatica. Breviar teoretic 9

U

q

U

q

U

q

VV

qC

D

===-

=21

2

12

1

21

1 (1.1.28)

Unitatea de m`sur` a capacit`\ii este faradul (F). F este capacitatea unui condensator care [nc`rcat cu sarcina de 1 C Coulomb stabile]te [ntre arm`turile sale o tensiune de 1 Volt (1 V).

1.1.7. Re\ele de condensatoare .{n cazul unei re\ele de condensatoare, cu dou` borne A ]i B de acces se nume]te capacitate echivalent` m`rimea:

AB

eU

qC = (1.1.29)

Capacitatea echivalent` a unei re\ele de condensatoare este deci capacitatea unui condensator care, fiind supus la aceea]i tensiune ca ]i sistemul de condensatoare, se [ncarc` cu acee]i sarcin` ca ]i sistemul dat.

Fig.1.1.2

a) Condensatoare legate [n paralel

å=

=n

k

ke CC1

(1.1.30)

Enun\: Capacitatea echivalent` a n condensatoare conectate [n paralel este egal` cu suma capacit`\ilor condensatoarelor.

Fig.1.1.3

a) Condensatoare legate [n serie

å=

=n

k ke CC 1

11 (1.1.31)

Enun\: Valoarea reciproc` a capacit`\ii echivalente a n condensatoare conectate [n serie este egal` cu suma valoarilor reciproce ale capacit`\ilor condensatoarelor.

1.1.8. Energia [n c@mp electrostatic. Se consider` c@mpul electrostatic creat de n conductoare [nc`rcate cu sarcinile electrice nqqq ,...,, 21 ]i aflate la poten\ialele nVVV ,...,, 21 .

Energia electrostatic` este dat` de rela\ia:

å=

=n

k

kke qVW12

1 (1.1.32)

{n particular pentru un condensator de capacitate C rezult` qq =1 , qq -=2 ]i

UVV =- 21 , deci:

C

qCUqUVVqWe

22

212

1

2

1

2

1)(

2

1===-= (1.1.33)

10 1. Electrostatica [n care q este sarcina condensatorului ]i U tensiunea la borne. 1.1.9. Teoremele for\elor generalizate [n c@mp electrostatic. Prima teorem`.Enun\: For\a generalizat` F, corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata cu semn schimbat a energiei (exprimat` [n func\ie de sarcini ]i de

coordonate generalizate ),( xqWW ee = ) [n raport cu coordonata generalizat` x, la sarcini

constante ale conductoarelor.

ctq

e

x

WF

=÷÷ø

öççè

æ-=

¶¶

(1.1.34)

A doua teorem`.Enun\: For\a generalizat` F, corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata energiei (exprimat` ca func\ie de poten\iale ]i coordonata

generalizat` ),( xVWW ee = ) [n raport cu coordonata generalizat`, la poten\iale constante

ale conductoarelor.

ctV

e

x

WF

=÷÷ø

öççè

æ=

¶¶

(1.1.35)

1. Electrostatica 11 1.2. Probleme rezolvate

Pr. 1.2.1. Fie două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn de valoare q=1μC, la distanţa r12 = 0,1m. Se cere sa se determine forţa coulombiană în vid şi în ulei de transformator cu er = 2,5. Rezolvare {n modul forţa coulombiană are expresia:

2

12

2

124 r

qqF

pe=

Sarcinile fiind de acelasi semn forta este de respingere. - în vid :

( )

Nr

qqF 9,0

10

1010

4 21

66

2

12

2112 =

××=

-

--

pe

- în ulei transformator :

NF

Fru

v 36,05,2

9,012

12 ===e

Deci for\a de respingere se reduce [n ulei de transformator. Pr. 1.2.2. Fie un corp punctiform incarcat cu sarcina electrica q = 1μc. Să se determine intensitatea câmpului electric în vid şi în ulei de trasformator într-un punct situat la distanţa de 0,1m. Rezolvare

- în modul 24 r

qE

pe=

- în vid cmkVmVE /9/10910

10

4

1094 5

2

69

=×=×××

=-

-

pp

- în ulei cmkVE

E v

u /6,35,2

9

5,2===

Pr. 1.2.3. Fie un corp punctiform incarcat cu sarcina electrica q = 1μC. Să se determine potentialul electric într-un punct situat în vid şi în ulei de trasformator situat la distanta r.

Rezolvare r

qV

pe4

1=

- în vid

- în ulei KVV

V vu 36

5,2

90

5,2===

Deci potenţialul se reduce de re ori. Pr. 1.2.4. Fie un condensator plan cu dielectricul din hârtie er = 2,5, A = 1 m2 şi distanţa dintre armaturi d = 0,2mm.Să se determine capacitatea condensatorului plan. Rezolvare

d

AC

×=e

12 1. Electrostatica

FFC mp

11.01011,0102

1

1094

5,2 6

49=×=

××

××= -

-

Pr. 1.2.5. Fie un cablu electric format din doi cilindri coaxiali de raze R = 20 mm si r = 10 mm.Să se determine capacitatea lui lineica. Rezolvare Capacitatea condensatorului cilindric este:

r

R

lCl

ln

2 ep=

Capacitatea lineică este l

CC l =

r

RCl

ln

2pe=

şi

[ ]mFCl /102,0

10

20ln

1

1094

5,22 9

9

-×=×××

×=

pp

l = 100 m = 0,02 x 10 –6 = 0,02 μ F Pr. 1.2.6. Fie trei condensatoare , cu capacităţile C1=125 nF, C2 = 0,5 μF, C3 =25 000pF. Să se determine capacitatea echivalentă dacă condensatoarele se cuplează în paralel şi apoi în serie. Rezolvare

a) å=

=n

K

Ke CC1

Exprimând capacitaţile în aceeaşi unitate C1=125 nF, C2 = 500 nF, C3 =25 nF. nFC pe 65025500125 =++=

b) nFC se 2025

500

500

25

1

25

1

500

1

125

1

1===

÷ø

öçè

æ ++=

Pr. 1.2.7. Fie un condensator plan ca [n figura 1.2.1 cu arm`turile plane de suprafata A, paralele ]i apropiate, desp`r\ite de un dielectric de permitivitate e ]i grosime d. Se cere sa se determine capacitatea condensatorului plan.

Fig 1.2.1

Rezolvare. Pe fiecare arm`tur` sarcina electric` se repartizeaz` practic uniform pe suprafa\a dinspre dielectricul separator cu

densitatea A

qs =r .

Aplic@nd legea fluxului electric suprafe\ei S :

1.2 Electrostatica. Probleme rezolvate 13

qADdADAdD D=D=×==Y òò òòS

S (1.2.1)

respectiv:

A

q

A

qD s ==

DD

= r (1.2.2)

Rezult` expresia intensit`\ii c@mpului electric

A

qDE

ee== (1.2.3)

Tensiunea electric` [ntre cele dou` arm`turi [n lungul unei linii de c@mp este:

ò ò ===2

1

2

1

12 EdEdssdEU (1.2.4)

respectiv:

A

qdU

e= (1.2.5)

Rezult` capacitatea condensatorului plan conform rela\iei de defini\ie:

d

A

U

qC

e== (1.2.6)

Pr. 1.2.8. Fie un condensator cilindric ca [n figura 1.2.2. Arm`turile

condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a ]i b, b>a, de lungime l [ntre care exist` un dielectric de permitivitate e . Din motive de simetrie liniile de c@mp au direc\ie radial`. Se aplic` legea fluxului electric pe suprafa\a S format` dintr-un cilindru coaxial de raz` r, a<r<b ]i lungime l:

òò ò ò òS

S =×=++==Y qrlDAdDAdDAdDAdD

b tlS B S

p21 2 0

Rezult`: rl

qD

p2= (1.2.7)

Fig. 1.2.2.

Intensitatea c@mpului electric este

rl

qDE

pe 2== (1.2.8)

Tensiunea [ntre cele dou` arm`turi calculat` de-a lungul unei linii de c@mp:

a

b

l

q

r

dr

l

qEdrsdEU

b

a

ln22

2

1

2

1pepe

==== ò òò (1.2.9)

rezult` capacitatea:

a

b

l

U

qC

ln

2pe== (1.2.10)

Din rela\ia (1.2.10.) se deduce expresia capacit`\ii lC pe unitatea de lungime, utilizat` [n

cazul cablurilor monofilare(coaxiale) lCCl /= .


Pr. 1.2.9. For\a cu care se atrag arm`turile unui condensator plan Fie un condensator plan cu arm`turile de arie A ]i dielectric de grosime d cu permitivitateae . Se cere s` se determine for\a cu care se atrag arm`turile Rezolvare: Problema se rezolv` [n dou` moduri utiliz@nd pe r@nd ce dou` teoreme ale for\elor generalizate [n c@mp electrostatic. Cum for\a ac\ioneaz` [n sensul diminu`rii coordonatei generalizate dx -¶=¶ . Energia [n func\ie de sarcini ]i de coordonate generalizate, lu@nd [n considerare capacitatea condensatorului plan, este dat` de rela\ia:

dA

q

C

qxqWe e

22

2

1

2

1),( == (1.2.11)

Aplic@nd prima teorem` a for\elor generalizate [n c@mp electrostatic rezult`:

A

q

d

d

A

q

x

WF

ctq

e

e¶¶

e¶¶ 22

2

1

2

1=÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ-=

=

(1.2.12)

Energia ca func\ie de poten\iale ]i coordonata generalizat`, lu@nd [n considerare capacitatea condensatorului plan, este dat` de rela\ia:

d

AUCUxVWe

1

2

1

2

1),( 22 e== (1.2.13)

Aplic@nd a doua teorem` a for\elor generalizate [n c@mp electrostatic rezult`:

( )

d

CU

d

AU

d

dAU

x

WF

ctV

e

2

2

22

2

1

2

1/1

2

1==÷÷

ø

öççè

æ-=÷÷

ø

öççè

æ=

=

e¶

¶e

¶¶

(1.2.14)

Consider@nd rel. (1.2.11, 1.2.12, 1.2.13 ]i 1.2.14) se constat` c` cele dou` teoreme conduc la acela]i rezultat.Totodat` [n cazul condensatorului plan [ntre for\` ]i energie exist` rela\ia:

d

WF e= . (1.2.15)

Pr. 1.2.10. Să se determine energia unui condensator cu capacitatea de 1μF încarcat la tensiunea de 100V. Rezolvare

C

qCUqUWe

22

2

1

2

1

2

1===

2

2

1CUWe =

mJJWe 510510102

1 346 =×=××=Þ --

Pr . 1.2.11. Fie bobinajul unui transformator de izolare. Se cere s` se determine capacit`\ile spiră-spiră și spiră-ecran. {n figură 1.2.3. este prezentată o secțiune transversală prin spirele bobinajului din [2].


Fig.1.2.3. Secțiune prin spirele bobinajului

Se presupune că poate fi asimilată capacitatea intre două spire adiacente ttC cu

capacitatea pe unitatea de lungime a doi cilindri conductori infinit lungi plasați într-un mediu omogen. Cilindrii sunt de raze egale aRR == 21 și au axele paralele, distanța între axe fiind: RD 2> . Cilindrii fiind foarte lungi câmpul este plan paralel. Pentru rezolvare

se foloseste metoda imaginilor. Se înlocuiesc cilindrii cu două fire imagini 1c1

și 2c

încarcate cu sarcinile pe unitatea de lungime lr și lr- , plasate ca în figura 1.2.4(la

distanța x de axele respective), pentru ca suprafețele cilindrilor să rămână echipotențiale.

Fig.1.2.4.Secțiune transversală prin cilindrii infinit lungi

Potențialul perechii de fire într-un punct P aflat la distanțele 1r și 2r , din [6] are expresia:

( ) 0

1

2ln2

1V

r

rpV l += r

pe (1.2.16)

unde .0 constV = este potențialul de referință iar e este permitivitatea dielectrică.

Liniile echipotențiale sunt date de ecuația din [6]:


( )0

2

1

2VV

ler

r -

== rpe

l (1.2.17)

care reprezintă cercurile lui Apollonius referitoare la segmentul 1c1

2c . Suprafețele pot fi deci echipotențiale în câmpul imaginilor, dacă poziția acestora este convenabil aleasă.

Scriind echipotențialitatea punctelor B și 'B , respectiv A și 'A se obține:

xaD

xa

r

r

xaD

xa

r

r

xa

xaD

r

r

xa

xaD

r

r

AA

BB

-++

=÷÷ø

öççè

æ=

---

=÷÷ø

öççè

æ=

+-+

=÷÷ø

öççè

æ=

---

=÷÷ø

öççè

æ=

'

'

1

2

1

22

1

2

1

21

l

l

(1.2.18)

Se face calculul și se obțin rădăcinile lui x :

( )( ) ( )( )

2

4

0

22

2,1

22

2222

1

aDDx

aDxx

xaxDxaxaaDxaxDxaxaaD

xaDxaxaDxaxa

xaD

xa

xaD

-±=Þ

=+-

+---+=--+--

-+-=--+Þ+-+

=---

=l

Pentru: 2

2

42a

DDx --= se obține pentru 1l valoarea:

=

-+÷ø

öçè

æ --

-+-=

-+-

-+--=

---

=2

2

22

22

22

1

42

42

42

42

aD

aD

aD

aD

aDD

a

aDD

aD

xa

xaDl

=

++--

++-=

+-+---

+-+--=

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

22

22

2222

2222

a

aDD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

aD

2

4

22

242

2

22

22 222

2

2

2

-+=

+-+

++-+-=

÷÷ø

öççè

æ---

÷÷ø

öççè

æ++-

=

1.2 Electrostatica. Probleme rezolvate 17 Potențialele celor doi cilindrii vor fi:

01022

022

011

2ln2

1

4

2ln

2ln

2

1

VVVV

VaDD

aVV

l

ll

+-=+=

+--

=+=

lrpe

per

lrpe

(1.2.19)

Tensiunea dintre cei doi cilindrii:

( )22

012112

4

2ln2

aDD

aVVVVU l

--=-=-=per

(1.2.20)

Capacitatea specifică(pe unitatea de lungime) a cilindrilor rezult`:

22

12

4

2ln

aDD

aUC l

s

--

==per

(1.2.21)

Capacitatea spiră-ecran poate fi asimilată capacitații unui cilindru față de un plan

conductor. După introducerea a două fire imagini se obține aceeasi expresie a potențialului, suprafața pământului fiind planul de simetrie.

HD

aDD

aVVU ll

2

4

2ln

2ln

2 2210112

=--

==-=per

lper

(1.2.22)

Capacitatea în acest caz:

22

12

4ln

2/

aHH

aUlC l

ts

--

==per

(1.2.23)

Se observă ca avem sts CC ´= 2 , deoarece în cazul celor doi cilindri putem considera că

punem in serie două capacități de tipul sbC .

Pentru dD = distanța dintre centrele conductoarelor si ar = raza conductoarelor rezultă:

12

1ln

4

2ln

222

-÷ø

öçè

æ-

=

--

=

r

d

r

d

l

rdd

r

lC

epep (1.2.24)

Capacitatea echivalentă este dată de conexiunea în serie a capacităților dintre spire luând în considerare izolația conductorului cC și aerul dintre conductoare gC . Capacitatea

gC este dată de relația (1.2.24):


÷÷

ø

ö

çç

è

æ-÷

ø

öçè

æ--

=

122

ln

2

r

d

r

d

lCg

ep (1.2.25)

cC rezultă din formula capacității condensatorului cilindric din [6], unde rar +=2 ,

a este grosimea radială a izolației iar r este raza conductorului:

÷ø

öçè

æ +=

+==

r

a

l

r

ra

l

r

r

lCc

1ln

2

ln

2

ln

2

1

2

epepep (1.2.26)

Iar capacitațile lineice(pe unitatea de lungime) sunt:

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-÷

ø

öçè

æ--

=

122

ln

/2

r

d

r

d

lCg

ep (1.2.27)

÷ø

öçè

æ +=

r

alCc

1ln

2/

ep (1.2.28)

Capacitatea echivalentă considerând în serie 2 capacitați cC și una gC este:

gc

gc

ecCC

CCC

2+=

(1.2.29)

Capacitatea echivalentă pe unitatea de lungime este:

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-÷

ø

öçè

æ--

+

÷ø

öçè

æ +

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-÷

ø

öçè

æ--

´

÷ø

öçè

æ +

=

1'2'2

ln

2

1ln

2

1'2'2

ln1ln

2

2

0

2

0

r

d

r

dr

a

r

d

r

dr

a

Cec pepe

pepe

úúúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêêê

ë

é

-÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+-

+

÷ø

öçè

æ +

=

÷ø

öçè

æ ++

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+-

+-

=

1

1

2

1

2

1

ln

1ln1

1

2

1

2ln

2

0

0

2

0

0

r

ar

d

r

ar

d

r

ar

a

r

ar

d

r

ar

d

ee

pe

ee

pee

1.2 Electrostatica. Probleme rezolvate 19 Respectiv după simplificări:


û

ù


ë

é

-÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+-

+

÷ø

öçè

æ +

=

1

1

2

1

2

1

ln2

1

0

r

ar

d

r

ar

d

r

a

C

r

ec

e

pe

(1.2.30)

S-a considerat arr +=' si:


û

ù


ë

é

-

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+-

+

÷ø

öçè

æ +

=

1

1

2

1

2

1

ln2

1

0

r

ar

d

r

ar

d

r

a

lC

r

tt

e

pe

(1.2.31)


û

ù


ë

é

-÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+-

+

÷ø

öçè

æ +

=´=

1

1

2

1

2

1

ln

22

2

1

0

r

ar

d

r

ar

d

r

a

lCC

r

ttts

e

pe

(1.2.32)

Calculul capacității parazite totale Circuitul echivalent pentru o bobina cu două straturi este prezentat în figura 1.2.5. Pentru simplificare capacitatea spiră-spiră s-a notat cu C.


Fig.1.2.5. Circuitul echivalent pentru o bobină cu două straturi

Capacitatea echivalentă este:

CC

CCe 12

11

++=

CC

CC

CCe

12

1

12

12

++

++= (1.2.33)

…………………………….

1

12

1

-

++=

n

e

CC

CCn

Se observă că se poate calcula capacitatea echivalentă cu o formula de recurență.

Fig.1.2.6. Variația

a

a pentru capacitatea echivalentă spiră-spiră

1.2 Electrostatica. Probleme rezolvate 21 În urma calculului in funcție de numărul de spire n s-a obținut că aceasta capacitate echivalentă este egală cu capacitatea C multiplicată cu un coeficient )(na funcție de n:

CnCne ´= )(a (1.2.34)

Funcția )(nf=a este reprezentată grafic în figura 1.2.6. Se poate observa că acest coeficient este variabil până la 10 spire. Pentru un bobinaj cu mai mult de 10 spire coeficientul a devine constant: 366,1=a . Deci, în acest caz, capacitatea echivalentă pentru bobina cu două straturi este dată de formula:

CC

ne ´= 366,1 (1.2.35)

Pentru a calcula capacitatea echivalentă de la bobină la ecran se considera circuitul echivalent cu ecran prezentat in figura 1.2.7.

Fig1..2.7.Circuitul echivalent cu ecran

Capacitatea echivalentă este:

CC

CCe

2

11

12

1

++=

CC

CC

CCe

2

11

12

11

12

2

++

++= (1.2.36)

……………………………

1

11

12

-

++=

n

e

CC

CCn

Se observa că se poate calcula capacitatea echivalentă cu o formula de recurență. In

urma calculului în funcție de numărul de spire n, s-a obținut că această capacitate echivalentă este egală cu un coeficient a care este reprezentat grafic in figura 1.2.8

înmulțit cu capacitatea C . Pentru un bobinaj cu mai mult de 10 spire coeficientul a devine constant: 302,2=a .


Fig.1.2.8. Variația capacității echivalente spiră-ecran funcție de numărul de spire

Deci, în acest caz, capacitatea echivalentă pentru bobina cu două straturi este dată

de formula: CC

ne ´= 302,2 (1.2.37)

Pentru calculul capacității echivalente a bobinajului primar ecranat se folosește

schema din figura 1.2.9. Se aproximează capacitatea echivalentă ca fiind egală cu cu cele trei capacități echivalente conectate în serie:

CDBCABAD CCCC

1111++=

Fig.1.2.9. Circuitul echivalent pentru bobinajul primar ecranat cu doua straturi


și conform formulei (1.2.35), se aproximează cu capacitatea echivalentă a capacităților tsC conectate în paralel(n este numărul de spire pe strat).

tt

ntt

ttBC C

CC

CC ´=+

+=

-

366,112

1

1

ts

ntt

tttsAD Cn

CC

CCnC ´

+

++

+´

=

-

1

12

1

111

1

tttttttsAD CCnCCnC ´+

´´=

´+

´=

366,1

1

22

1

366,1

1

2

11

și în final:

ttAD Cn

nC

´+´´

=4366,1

4366,1 (1.2.38)

Din datele de proiectare se calculeaza capacitățile spiră-spiră și spiră-ecran. Apoi se

determina capacitatea echivalentă conform (1.2.38). Similar se calculează capacitatea echivalentă a bobinajului secundar. Pentru calculul capacității echivalente primar secundar se folosește schema din figura

1.2.10.

Fig.1.2.10. Circuitul echivalent pentru bobinajul primar-secundar cu două straturi


Capacitatea echivalentă este dată de înserierea a trei capacități echivalente:

''''

111

1

BABBAA

AB

CCC

C

++=

(1.2.39)

unde:

- 'AAC este capacitatea echivalenta primar –ecran

- 'BBC este capacitatea echivalenta secundar –ecran

- ''BAC este capacitatea echivalenta ecran-ecran. Din formula (1.2.31) se obține: ttAA

CC ´= 302,2' (1.2.40)

Calculul capacității ecran-ecran

Capacitatea ecran-ecran se calculeaza prin înserierea celor două capacități 21 ,CC . Între cele două ecrane se formează o capacitate după cum se prezintă in figura 1.2.11. În continuare se determină formulă de calcul pentru capacitatea ecran-ecran.

Fig. 1.2.11. Condensator format de doua ecrane

Se aplică pe suprafața închisă S din figura 1.2.11 legea fluxului electric.

qAdD ==Y òòS

S


( )[ ] lrLLDdADAdDAdDAdDAdD

latlatbb sSSS

p22 21

21

++==++= òòòòòòòòòòS

.

deoarece AdD pe suprafețele 1bS si 2bS .

Rezultă inducția electrică:

( )[ ] lrLL

qD

p22 21 ++= (1.2.41)

și ținând cont de relația ED ´= e pentru medii fără polarizație permanentă, rezultă intensitatea câmpului electric:

( ) lrlLL

qE

pee 22 21 ++= (1.2.42)

Din relația (1.2.42) rezultă tensiunea electrică:

òòò+

+====

2

1 21

2

1

2

12

rLL

dr

l

qdrEdsEU

ppe

(1.2.43)

Se notează cu: rLL

x ++

=p

21 respectiv drdx = și rezultă:

=úû

ùêë

é÷ø

öçè

æ +-÷ø

öçè

æ+

+===

++

+

++

+ò pppepepe

p

p

p

p

2121 lnln2

ln22

21

21

21

21

LLd

LL

l

qx

l

q

x

dx

l

qU

dLL

LL

dLL

LL

p

ppe 21

21

ln2 LL

dLL

l

q

+

++

=

și după simplificări:

÷÷ø

öççè

æ

++=

21

1ln2 LL

d

l

qU

ppe

(1.2.44)

Rezultă capacitatea:

÷÷ø

öççè

æ

++

==

21

1ln

2

LL

d

l

q

UC

p

pe

(1.2.45)


și capacitatea pe unitatea de lungime:

÷÷ø

öççè

æ

++

==

21

1ln

2/

LL

dq

UlC

p

pe

(1.2.46)

Cu relațiile astfel obținute se pot determina în continuare capacitățile parazite ale transformatorului.

1.Electrostatica 27 1.3. Probleme propuse

Pr. 1.3.1. Fie două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn de valoare q=1μC, la distanţa r= 0,1m. Se cere sa se determine forţa coulombiană în vid şi în ulei de transformator cu 5,2=re . Pr. 1.3.2. Fie un corp punctiform încărcat cu sarcina electrică q=1μc. Să se determine intensitatea câmpului electric în vid şi în ulei de transformator într-un punct situat la distanţa de 0,1m. Pr. 1.3.3. Fie un corp punctiform încărcat cu sarcina electrică q=1μC. Să se determine potentialul electric într-un punct situat la distanţa de 10 cm de corp în vid şi în ulei de transformator ( 5,2=re ).

Pr. 1.3.4. Un condensator plan cu hârtie cu 5,2=re , are suprafa\a arm`turii A=1m2 şi distanţa dintre armaturi d= 0,2 mm. Sa se determine capacitatea condensatorului plan. Pr. 1.3.5. Fie un cablu electric format din doi cilindri coaxiali de raze R=20 mm şi r=10 mm, cu izola\ia de hârtie cu 5,2=re . S` se determine capacitatea lui lineică. Pr. 1.3.6. Fie trei condensatoare, cu capacit`\ile C1= 250 nF, C2 = 1 μF şi C3 =50 000 pF. Să se determine capacitatea echivalenta în două cazuri : 1.Condensatoarele se cuplează în paralel 2.Condensatoarele se cuplează în serie Pr. 1.3.7. Să se determine energia unui condensator cu capacitatea de 1μF încărcat la tensiunea de 100 V. Pr. 1.3.8. Să se determine for\a cu care se atrag armăturile unui condensator plan de arie A şi dielectric de grosime d cu permitivitatea e care are capacitatea C.Se dau C = 0,11 μF, U = 200 V şi d =0,2 mm. ( Acasa : F şi We C = 1 μF, U = 500 V şi d =0,5 mm ) Pr. 1.3.9. Fie un mediu omogen oarecare în care [n punctul O există un corp punctiform sarcina q. Se cere să se determine intensitatea câmpului electric ]i poten\ialul electric [ntr-un punct P situat la distan\a R de punctul O. Pr. 1.3.10. Fie o sferă de rază a încarcată uniform cu densitatea de sarcină ρv. Să se determine intensitatea câmpului electric produs de sferă. Pr. 1.3.11. Fie o sferă metalică de rază a, a cărei suprafaţa este uniform încarcată cu sarcina electrică adevarată q. Sa se determine câmpul şi potenţialul electric. Pr. 1.3.12. Fie un corp punctiform incarcat cu sarcina q = 1 mC. Se cere sa se determine pentru un punct P situat la distanta de 0,1 m : 1.intensitatea campului electric in vid si in ulei de transformator( e r = 2,5); 2. potentialul electric in vid si in ulei de transformator. Pr. 1.3.13. Fie un triunghi ABC cu unghiul A dreptunghic. In varfurile B si C se afla sarcinile punctuale q(B) = 5 mC si q(C) = -2 mC. Se dau: AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm si BD = 1 cm. Se cere s` se determine: 1. să se determine intensitatea câmpului electric [n punctele A ]i D 2. valorile potentialului electric [n punctele A ]i D, respectiv AV ]i VD ; 3. tensiunea electrica [ntre punctele C ]i D. sa se determine tensiunea electrica intre punctele C si D.

28 1. Electrostatica Pr. 1.3.14. Fie un mic corp punctiform inc`rcat cu sarcina q, situat [n punctul O, care produce [n punctul P situat la distanta R=20 cm un poten\ial de 100 V. Se consider` c` punctele de la infinit au potentialul Vo=0 ]i dielectricul este uleiul de transformator. Se cere s` se determine valoarea sarcinii electrice q. Pr. 1.3.15. Fie trei corpuri punctiforme inc`rcate cu sarcinile q1=20 nC, q2=-10 nC ]i q3=40 nC, situate [n punctele O1, O2 ]i O3. Fie un punct P situat la distan\ele PO1=10 cm, PO2=20 cm ]i PO3=5 cm de cele trei corpuri. Dielectricul este uleiul de transformator. Se cere s` se determine poten\ialul [n punctul P. Pr. 1.3.16. Fie un condensator plan circular cu raza armaturii r = 6 cm, distanta dintre armaturi d = 5 mm, cu permitivitatea relativa a dielectricului e r = 4, incarcat la tensiunea U = 1000 V. Se cere sa se determine: capacitatea C, intensitatea campului electric E intre armaturi, inductia D, sarcina electrica q pe armaturi si densitatea r A a sarcinii electrice de pe armaturi. Pr. 1.3.17. Fie un condensator plan circular cu raza armaturii r = 6 cm, distanta dintre armaturi d = 5 mm, cu permitivitatea relativa a dielectricului e r = 4, incarcat la tensiunea U = 1000 V. Se cere sa se determine: energia electrostatica We a condensatorului si forta dintre armaturi. Pr. 1.3.18. Fie un condensator plan cu armaturile de arie A si dielectric de grosime d cu permitivitatea e = e o e r . Se cere sa se determine utilizand prima teorema a fortelor

generalizate relatia fortei cu care se atrag armaturile condensatorului. Aplicatie numerica: permitivitatea relativa e r = 2,5, aria A = 1 m2 , d = 0,2 mm, tensiunea U = 200 V. Pr. 1.3.19. Fie un condensator cilindric format din doi cilindri coaxiali de raze r si R (r < R), izola te cu un dielectric avand permitivitatea relativa e r , si lungimea l. Se cere sa se determine utilizand legea fluxului electric relatiile capacitatii condensatorului si a capacitatii lui lineice. Aplicatie numerica: R=20 mm, r = 10 mm, permitivitatea relativa e r = 2,5, l = 100 m. Pr. 1.3.20. Doua corpuri mici de proba conductoare (practic punctuale), situate la distanta r1 unul de altul se atrag cu forta F1. Dupa ce se aduc corpurile in contact si se asaza la distanta r2 unul de altul ele se resping cu forta F2, sarcinile corpurilor dupa separare fiind egale cu (q1-q2)/2, conform principiului conservarii sarcinii electrice. Se cere sa se calculeze sarcinile q1 si q2 ale celor doua corpuri. Aplicatie numerica: r1 = 1 cm, r2 = 2 cm, F1 = 1N, F2 = 1 N. Pr.1.3.21. Fie circuitele din figuile 1.3.21-1.3.34. Condensatoarele au acee]i capacitate C. Se cere s` se determine capacitatea echivalent`

ABC la bornele A a ]i B.

Fig. 1.3.21

Fig. 1.3.22

1.3.Electrostatica. Probleme propuse 29

Fig. 1.3.23

Fig. 1.3.24

Fig. 1.3.25

Fig. 1.3.26

Fig. 1.3.27

Fig. 1.3.28


Fig. 1.3.29

Fig. 1.3.30

Fig. 1.3.31

Fig. 1.3.32

Fig. 1.3.33

Fig. 1.3.34

1.3.Electrostatica. Probleme propuse 31

Pr.1.3.22. Fie dat un transformator de izolare cu schema de conexiuni ca [n figura 1.3.35. Nota\iile din figur` au urm`toarele semnifica\ii. A – inceputul infasurarii primare; este conectata la faza retelei la tensiunea de 220 V; X– sfarsitul infasurarii primare; este conectata la nulul retelei 0; a – inceputul infasurarii secundare; x – sfarsitul infasurarii secundare; E1 – ecranul dintre infasurarea primara si miez; se conecteaza la masa(se impamanteaza); E2 – ecranul dintre infasurarea primara si infasurarea secundara; se conecteaza la masa(se impamanteaza); S1 – ecranul infasurarii primare; se conecteaza la nulul retelei 0; S2 – ecranul infasurarii secundare; se conecteaza la priza mediana a infasurarii secundare;

Fig. 1.3.35. Schema de conexiuni

Modul de dispunere a

bobinajelor, izolatiilor si ecranelor prezentat in figura 1.3.36. Se noteaza cu

1S ecranul primarului, 2S ecranul

secundarului, 1E ecranul plasat langa

miez si 2E ecranul plasat intre infasurari. Din datele de proiectare prezentate in [2] rezulta urmatoarele caracteristici ale infasurarilor: - diametrul conductorilor:

mm8,221 ==ff si deci mmr 4,11 = - grosimea izolatiei 35,0=g si deci

mmt 17,02

35,0==

- diametrul spirei izolate mmdd 15,335,08,221 =+==

Fig. 1.3.36. Dispunerea bobinajelor, izolatiilor

si ecranelor - numarul de spire pe strat 50=n ; - lungimea capetelor de bobina ml 16,0= ;

- lungimea conductorului bobinajului primar ml 45,01 = ;

-lungimea conductorului bobinajului secundar ml 5,02 = .


1.3.22.a. Fie un transformator de izolare cu ecranele decuplate. Se d` circuitul echivalent al transformatorului de izolare,

in cazul in care 1S , 2S , 1E ,

2E nu sunt cuplate, [n figura 1.3.37. Se cere s` se calculeze capacit`\ile transformatorului. Observa\ie.Capacitatea primar-masa este capacitatea

echivalenta ACC formata prin

inserierea capacitatilor ABC si

BCC . Capacitatea ABC se aproximeaza cu o capacitate echivalenta a n

n

capacitati de tipul spira ecran( n este numarul de spire/strat).

Fig.1.3.37.Circuitul echivalent al transformatorului de izolare cu ecranele decuplate

1.3.22.b. Fie un transformator de izolare.

{n cazul in care ecranele 1S ,

2S sunt cuplate si 1E , 2E sunt decuplate, circuitul echivalent al transformatorului de izolare este dat [n figura 1.3.38. Se cere s` se calculeze capacit`\ile transformatorului.

Fig.1.3.38. Circuit echivalent cu ecranele 1S , 2S

cuplate si 1E , 2E decuplate

2. Circuite electrice de curent continuu 33

2. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU 2.1. Breviar teoretic Un sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se nume]te circuit electric. Circuitul electric con\ine surse ]i consumatoare (receptoare) de energie electric`. Un ansamblu de circuite electrice formeaz` o re\ea electric`. Se vor studia circuitele de curent continuu filiforme (adic` suficient de sub\iri pentru ca intensitatea curentului s` poat` fi considerat` uniform repartizat` pe sec\iunea lor) ]i liniare (adic` av@nd laturi cu rezisten\e constante, independente de valorile curen\ilor). Rela\iile fundamentale ale electrocineticii au urm`toarele forme:

- ò ==G 0sdEu - teorema poten\ialului electric sta\ionar. (2.1.1)

- òòS

S == 0AdJi - teorema continuit`\ii liniilor de curent (2.1.2)

unde rel. (2.1.2) este o form` particular` a legii conserv`rii sarcinii; - Rieu f =+ - legea conduc\iei electrice sau (2.1.3)

- Riub = pentru 0=e (2.1.4)

- 2RiPk = - puterea Joule-Lenz dispat` [ntr-un rezistor. (2.1.5)

- eiPg = - puterea produs` de un generator de tensiune electromotoare (2.1.6)

Rel. (2.1.5 ]i 2.1.6) sunt forme particulare ale legii transform`rii energiei [n conductori. Primele trei rela\ii permit determinarea curen\ilor c@nd se cunosc t.e.m. ale surselor care produc ace]ti curen\i ]i rezisten\ele receptoarelor cu ajutorul unor consecin\e. 2.1.1. Elemente de topologie a circuitelor Topologia circuitelor se refer` la modul de conectare a elementelor de circuit. Unui circuit electric ]i se ata]eaz` un graf constituit dintr-o mul\ime de noduri (1,2,...,N) legate [ntre ele prin laturi (l1 , l2 ,...,lL). Latura este o por\iune de circuit format` din elemente conectate [n serie (adic` sunt parcurse de acela]i curent), cuprinse [ntre dou` noduri. Nodul este un punct al re\elei [n care sunt legate cel pu\in trei laturi.

Fig. 2.1.1

Dac` laturile sunt orientate (au sens de referin\`), graful este orientat. Graful circuitului con\ine toate informa\iile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu con\ine informa\ii asupra dependen\elor dintre uk (t) ]i ik (t).

34 2. Circuite electrice de curent continuu Orice element de circuit poate fi reprezentat printr-un element al grafului: - un dipol se reprezint` printr-o latur` a grafului conectat` [ntre cele dou` noduri ca [n figura 2.1.1; - un tripol ca [n figura 2.1.2 ]i prin generalizare un n-pol.

Fig. 2.1.2

Un n-pol este reprezentat prin graful radial cu n noduri ]i n-1 laturi ce con\ine numai laturi ale c`ror tensiuni ]i curen\i sunt m`rimi liniar independente [ntre ele. De exemplu, pentru tripol u12 = u13 - u23 ]i i3 = -i1 -i2 iar tensiunea u12 ]i curentul i3 nu sunt asociate nici unei laturi din graf.

Graful circuitului se ob\ine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri interconectate intre ele la fel ca elementele c`rora le corespund.

Fig. 2.1.3

Acesta descrie propriet`\ile de interconexiune ale circuitului ]i, dac` este orientat, arat` ]i sensurile curen\ilor ]i tensiunilor. Aplica\ie. Circuitului din figura 2.1.3 [i corespunde graful al`turat. S`ge\ile de pe laturi indic` sensurile de referin\` ale curen\ilor ]i tensiunilor, uk ]i ik

fiind asociate dup` regula de la receptoare.

Graful are N=5 noduri ]i L = 8 laturi. {ntr-un graf G cu N noduri ]i L laturi se definesc urm`toarele mul\imi de laturi: 1) O bucl` (B) este o mul\ime de laturi care formeaz` o cale [nchis`, fiecare latur` fiind parcurs` o singur` dat`. {n exemplul precedent B1={1,2,6} si B2={3,4,5}sunt bucle. 2) Un arbore (A) este o mul\ime de laturi care conecteaz` [ntre ele toate nodurile din graful G f`r` s` formeze bucle. Un graf poate avea mai mul\i arbori. Un arbore are N-1 laturi. O latur` a arborelui se nume]te ramur`. In exemplul precedent A = {1, 2, 3, 4} este

un arbore. 3) Un coarbore (C) este format din mul\imea laturilor grafului care nu sunt con\inute [n arborele corespunz`tor A. Un coarbore con\ine L-N+1 laturi. O latur` a coarborelui se nume]te coard`. În exemplul precedent coarborele C = {2,5,7,8} corespunde arborelui A = {1, 2, 3, 4}. 4) Sistemul fundamental de bucle este mul\imea buclelor ob\inute ata]@nd la o coard` calea din arbore care une]te nodurile coardei respective. Num`rul buclelor fundamentale este L-N+1, egal cu num`rul coardelor.

2.1. Circuite electrice de current continuu. Breviar teoretic 35 5) Sec\iunea este o mul\ime de laturi intersectate de o suprafa\` S [nchis` care are [n interior cel pu\in un nod. å1={1,6,3,5,8} sau å2={3,4,7} sunt dou` sec\iuni [n exemplul

precedent. 6) Sistemul fundamental de sec\iuni este mul\imea sec\iunilor pentru care fiecare

suprafa\` S k intersecteaz` c@te o singur` latur` a arborelui. Num`rul sec\iunilor

fundamentale dintr-un graf este N-1 egal cu num`rul ramurilor.

{n exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele

{1,2,3,4} este format din L-N+1=4 bucle ({1,2,6}, {3,4,5}, {1,2,3,7}, {2,3,4,8}) ]i

sistemul fundamental de sec\iuni este format din N-1=4 sec\iuni ({6,7,1}, {6,7,8,2},

{5,7,8,3}, {5,8,4}).

2.1.1.1. Asocierea sensurilor de referin\` [n circuitele electrice Formularea ]i aplicarea teoremelor lui Kirchhoff [n care m`rimile i, e ]i u care intervin sunt m`rimi algebrice (pozitive, nule sau negative) necesit` precizarea (f`r` ambiguitate) a sensurilor de referin\` ale acestor m`rimi. Regula de la receptoare

Fig. 2.1.4

Tensiunea u ]i curentul i sunt asociate dup` regula de la receptoare atunci c@nd s`ge\ile curentului ]i tensiunii “ies din aceea]i born`” sau intr` [n aceea]i born` (vezi figura 2.1.4). Conven\ia este denumit` astfel deoarece puterea la borne P uib =

este efectiv primit` de latur` c@nd este pozitiv` (]i efectiv cedat` c@nd este negativ`). Regula de la generatoare.

Fig. 2.1.5

Tensiunea u ]i curentul i sunt asociate dup` regula de la generatoare atunci c@nd s`ge\ile tensiunii ]i curentului “nu ies din aceea]i born`” (respectiv atunci c@nd unul intr` cel`lalt iese) ca [n figura 2.1.5. Conven\ia este denumit` astfel

doarece puterea la borne P uib = este efectiv cedat` de latur` c@nd este pozitiv` (]i efectiv

primit` c@nd este negativ`). 2.1.2. Teoremele lui Kirchhoff 2.1.2.1. Prima teorem` a lui Kirchhoff Din legea conserv`rii sarcinii electrice [n regim sta\ionar rezult`: 0=Si (2.1.7)

36 2. Circuite electrice de curent continuu Dac` suprafa\a [nchis` S [nconjoar`, de exemplu, nodul (r) al unei re\ele, suma intensit`\ilor curen\ilor, care concur` [n nodul (r), este nul`. Sensul de referin\` al curen\ilor fa\` de nod se alege dirijat dinspre nod spre exterior (pleac` din nod). Rela\ia care exprim` prima teorem` a lui Kirchhoff este:

å-

=

=1

1

0N

k

kI pentru k = 1, 2, ..., N (2.1.8)

Enun\: Suma algebric` a curen\ilor laturilor ce se [nt@lnesc [ntr-un nod este nul`. Se consider` cu un semn curen\ii care ies din nod (spre exemplu cu +) ]i cu semnul contrar ([n exemplul dat cu -) curen\ii care intr` [n nod. Altfel spus, suma curen\ilor care intr` [n nod este egal` cu suma curen\ilor care ies din nod. 2.1.2.2. A doua teorem` a lui Kirchhoff

Scriind tensiunea electromotoare ( )òG

+ sdEE i pe curba G care trece prin axa

conductorilor ce formeaz` bucla (B), din forma local` a legii conduc\iei electrice rezult`:

( ) òòGG

=+ sdJsdEE i r (2.1.9)

{n regim sta\ionar 0=òG

dsE iar membrul drept al rel. 2.1.9. devine:

åòåò==G

==B

k

kk

kk

k RIA

dsIsdJ

1)(1

rr (2.1.10)

Rezult` rela\ia care exprim` a doua teorem` a lui Kirchhoff pentru bucla B å å

Î Î

=Buclak Buclak

kkk RIE (2.1.11)

unde Bk ,...,2,1= ]i 1+-= NLB

Enun\: Suma algebric` a t.e.m. ale surselor [n lungul unei bucle este egal` cu suma algebric` a c`derilor de tensiune din laturile buclei. La scrierea rela\iei (2.1.11) semnul (+) se pune [n fa\a t.e.m., respectiv a produsului

kk RI , numit c`dere de tensiune, dac` t.e.m., respectiv curen\ii, sunt [ndrepta\i [n sensul de

integrare al rela\iei (2.1.9), adic` [n sensul ales ales arbitrar al lui sd ; [n caz contrar, se pune semnul (-). Sensul de integrare numit ]i sens de scriere a teoremei se marcheaz` cu o s`geat` [ncurbat` pe bucl`. 2.1.3. Teorema conserv`rii puterilor Teorema se poate enun\a [n dou` moduri: a) Suma algebric` a puterilor primite de toate laturile re\elei pe la bornele lor este nul` pentru o re\ea izolat`.

å=

=L

k

kbk IU1

0 (2.1.12)

2.1. Circuite electrice de current continuu. Breviar teoretic 37 Rela\ia (2.1.12) este scris` cu conven\ia de la receptoare pentru toate laturile. b) Suma algebric` a puterilor debitate de sursele din re\ea este egal` cu suma puterilor disipate [n rezisten\ele laturilor:

01 1

2 >=å å= =

L

k

L

k

kkkk IRIE (2.1.13)

adic`

å å= =

=L

k

L

k

kkkk IRIE1 1

2 . (2.1.14)

O aplica\ie direct` a teoremei este verificarea bilan\ului puterilor. Demonstra\ia de mai sus arat` c` teorema conserv`rii puterilor este o consecin\` a teoremelor lui Kirchhoff. 2.1.4. Teorema transferului maxim de putere Enun\: O surs` de tensiune cu parametrii E ]i iR , transfer` o putere maxim` unui

rezistor R conectat la bornele ei dac` iRR = .

2.1.5. Teoremele rezisten\elor echivalente

a) Rezistoare cuplate [n serie Fie dat un circuit ca [n figura 2.1.7 format din n rezistoare cuplate [n serie. Se cere s` se determine rezisten\a echivalent` la borne.

Fig. 2.1.6

Fig. 2.7

å=

=n

k

ke RR1

(2.1.15)

Enun\: Rezisten\a echivalent` a n rezisten\e [n serie este egal` cu suma rezisten\elor. Unde eR este rezisten\a echivalent` din Fig 2.1.6.

b) Rezistoare cuplate [n paralel. Fie dat un circuit ca [n figura 2.1.8 format din n rezistoare cuplate [n paralel. Se cere s` se determine rezisten\a echivalent` la borne.

Fig. 2.1.8

å=k ke RR

11 (2.1.16)

Enun\: Valoarea invers` a rezisten\ei echivalente a n rezisten\e [n paralel este egal` cu suma inverselor acestor rezisten\e. Fie conductan\ele:

n

n

e

eR

GR

GR

G1

...;1

;1

1

1 === (2.1.17)

38 2. Circuite electrice de curent continuu Cu acestea rela\ia (2.1.17) se mai poate scrie å=

k

ke GG (2.1.17)

Divizorul de tensiune ]i divizorul de curent Divizorul de tensiune (fig. 2.1.9) [mparte tensiunea U în dou` p`r\i U1 ]i U2 (U=U1+U2).

Fig. 2.1.9

Fig. 2.1.10

Calcul@nd 21 RR

UI

+= , rezult`:

U UR

R R1

1

1 2

=+

]i U UR

R R2

2

1 2

=+

(2.1.18)

Fie un generator ideal de curent care are proprietatea de a debita un curent dat I, independent de re\eaua conectat` la bornele ei. Divizorul de curent (Fig 2.1.10) [mparte curentul I în dou` p`r\i I1 ]i I2 (I=I1+I2). Dac` se scrie 2211 IRIRU == rezult` :

21

12

RR

RII

+= ]i

21

21

RR

RII

+= . (2.1.19)

2.1.6. Teorema superpozi\iei Enun\: {ntr-un circuit liniar cu mai multe surse independente orice curent (sau tensiune) al unei laturi a circuitului este suma algebric` a curen\ilor (sau tensiunilor) produse de fiecare surs` independent` luat` separat atunci c@nd celelalte surse independente sunt pasivizate. 2.1.7.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (T. Thevenin) Enun\: Curentul ABI debitat de o re\ea liniar` [ntr-o rezisten\` R legat` la bornele

(A, B) este egal cu raportul dintre tensiunea 0ABU de mers [n gol la bornele (A, B) ]i suma

Fig. 2.1.11

dintre rezisten\a exterioar` R ]i rezisten\a interioar` 0ABR a

re\elei pasivizate.

0

0

AB

AB

ABRR

UI

+= (2.1.20)

Rezult` c` o re\ea electric` liniar` poate fi [nlocuit` [ntre dou` borne printr-un generator echivalent de tensiune av@nd t.e.m.

0ABUE = ]i rezisten\a interioar` 0ABi RR = , ca

[n figura 2.1.11.

2.1. Circuite electrice de current continuu. Breviar teoretic 39 2.1.7.2. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton) Enun\: Tensiunea ABU produs` [n sarcin` de o re\ea liniar` care alimenteaz` [ntre bornele A ]i B o rezisten\` exterioar` R, este egal` cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al re\elei

scABscI la bornele A, B ]i suma dintre conductan\a interioar` a re\elei

pasivizate 0

0

1

AB

ABR

G = ]i conductan\a R

G1

= .

Fig. 2.1.12

GG

IU

AB

ABsc

ABsc

+=

0

(2.1.21)

Din aceast` teorem` rezult` c` orice re\ea electric` liniar` se poate [nlocui [ntre dou` borne A, B cu un generator de curent [n care debiteaz` o surs` de curent

scABg II = ]i are o conductan\` interioar`

0ABi GG = , ca [n figura 2.1.12.

Aplica\ie: echivalen\a [ntre o surs` real` de tensiune ]i o surs` real` de curent fig. 2.1.13.

Fig. 2.1.13

Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’

i pozitive ]i de valoare finit`. Aplic@nd teorema generatorului echivalent de curent sursei reale

de tensiune rezult` R’i=Ri ]i IS =

E

Ri

. Dac` Ri=0,

sursa de tensiune nu se poate transforma [n surs` de curent (rezult` Is=¥), iar daca R’i= ¥, sursa de curent nu se poate transforma [n surs` de tensiune (rezult` E=¥).

Observa\ie. Generatoarele echivalente nu există pentru orice circuit. Iat` c@teva exemple:

Fig. 2.1.14

Circuitul din fig. 2.1.14 are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente; acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai {U=0, I=0} ]i se numeste nulator -dac` RAB0= 0 există numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de tensiune UAB0 și care nu poate fi transformată într-un generator de curent. -dac` RAB0=¥ există numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de curent IABSC și care nu poate fi transformată [ntr-un generator de tensiune.

Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil să se calculeze mai întâi RAB0. Daca RAB0=0 se calculează apoi UAB0 iar dacă RAB0=¥ se calculează IABSC. Dacă 0<RAB0<¥ se poate calcula UAB0 sau IABSC.

40 2. Circuite electrice de curent continuu 2.1.8. Analiza circuitelor rezistive [n curent continuu Problema analizei unui circuit de curent continuu se formuleaz` astfel: a) Se dau elementele cunoscute: 1 - valorile parametrilor elementelor kk ER , ]i

ksI .

2 - modul de interconectare a elementelor de circuit. b) Se cere s` se determine toate tensiunile ]i to\i curen\ii. Algoritmul de rezolvare al problemei este urm`torul: 1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curen\ii din laturi. 2. Se determin` sensul tensiunii la bornele fiec`rei laturi prin asociere cu sensul curentului dup` regula de la generatoare pentru surse sau dup` regula de la receptoare pentru rezistoare. 3. Se scriu ecua\iile circuitului respectiv cele N-1 ecua\ii date de teorema I a lui Kirchhoff ]i cele L-N+1 ecua\ii date de teorema a doua a lui Kirchhoff. 4. Se rezolv` ecua\iile circuitului. 5. Se verific` solu\ia cu bilan\ul puterilor. 2.1.9. Metode sistematice pentru rezolvarea circuitelor [n curent continuu 2.1.9.1.Metoda poten\ialelor nodurilor Algoritmul de scriere a ecua\iilor poten\ialelor nodurilor este urm`torul: 10 Se fac transform`rile posibile ale surselor de tensiune [n surse de curent si ale comenzilor in curent in comenzi intensiune; 20 Se alege poten\ialul de referin\` astfel [nc@t c@t mai multe poten\iale ale nodurilor s` poat` fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare; 30 Se scrie sistemul de ecua\ii: å

ÎåÎ

åÎ

=-jk jik jk sk

Ik

GiVk

GjV,

(2.1.22)

la care se adaug` ecua\iile suplimentare de forma: aEVV me =- (2.1.23)

Rela\ia (2.1.22) reprezint` ecua\ia [n nodul j [n care prima sum` con\ine toate conductan\ele conectate [n nodul j, a doua sum` con\ine toate produsele Vi Gk unde Gk este conectat` [ntre nodurile j ]i i iar suma din membrul drept con\ine to\i curen\ii surselor

Fig. 2.1.15

(independente sau comandate) conectate la nodul j (lua\i cu semnul + dac` intr` [n nodul j ]i cu semnul - dac` ies din acesta). Referitor la pct. 1 al algoritmului, dac` circuitul con\ine o surs` real` de tensiune (o surs` ideal` de tensiune [n serie cu un rezistor), atunci aceasta poate fi transformat` [ntr-o surs` de curent ca [n aplica\ia ilustrat` [n fig. 2.1.13. Exist` [ns` ]i surse de tensiune care nu se pot transforma [n surse de curent (surse ideale de tensiune). Dac` circuitul con\ine doar o singur` surs` de acest tip fig. 2.1.15, atunci se alege 01 =V ]i rezult` EV =2 (nu se mai scrie teorema I a lui Kirchhoff [n nodul de potential V2).

Evident, dac` exist` mai multe surse de acest tip care au un nod comun, nodul de potential nul va apar\ine acestei structuri iar poten\ialele celorlalte noduri ale structurii respective se pot exprima ca sume de tensiuni electromotoare.

2.1. Circuite electrice de current continuu. Breviar teoretic 41

Fig. 2.1.16

Dac` circuitul con\ine dou` astfel de surse care nu au un nod comun, ca [n figura 2.1.16, se alege V1=0, rezult` V2=E ]i se introduce o necunoscut` suplimentar` I. C@nd se scriu ecuatiile [n nodurile de poten\iale V3 si V4 latura cu E2 se consider` parcurs` de curentul I. Acestei necunoscute suplimentare [i corespunde ecua\ia suplimentar` V4-V3=E.

Fig. 2.1.17

P@n` acum am considerat c` avem doar surse comandate [n tensiune. Comanda [n curent se poate transforma [n command` [n tensiune ca [n figura 2.1.17.

Dac` aceast` transformare nu este posibil`, ca [n figura 2.1.18, se consider` o surs` cu

Fig. 2.1.18

E=0 [n latura de comand` ]i se procedeaz` ca [n cazul sursei ideale de tensiune ([n ecua\iile nodurilor de poten\iale V1 ]i V2 latura de command` apare prin -i ]i +i ]i se adaug` ecua\ia V1=V2).

2.1.9.2. Metoda curen\ilor ciclici Algoritmul de scriere a ecua\iilor curen\ilor ciclici este urm`torul: 1. Se fac toate transform`rile posibile ale surselor de curent [n surse de tensiune (nu exist` surse comandate); 2. Se aleg cele B=L-N+1 bucle fundamentale astfel [nc@t sursele de curent netransformate s` fie plasate [n coarbore; 3. Consider@nd c` cele B bucle sunt parcurse de ni]te curen\i fictivi BIII ,...,, 21 numi\i curen\i ciclici se aleg sensurile acestora ]i se scrie sistemul de ecua\ii:

åÎ

=+åÎ iBk k

Rj

I

iBk kR

iI '' E

kk BiÎå (2.1.24)

sau: ksb II =' (2.1.25)

Rela\ia (2.1.24) reprezint` ecua\ia corespunzatoare buclei iB parcurs` de curentul

ciclic I’i unde, Rk din primul termen din st@nga reprezint` rezisten\ele din bucla iB parcurse

42 2. Circuite electrice de curent continuu de curentul ciclic I’i iar Rk din cel de-al doilea termen din st@nga reprezint` rezisten\ele comune buclelor iB ]i jB parcurse simultan de curen\ii ciclici I’

i si I’j ; produsul I’j Rk se

ia cu semnul (+) daca I’i ]i I’

j au acela]i sens prin Rk ]i cu semnul (-) dac` I’i si I’

j au sensuri diferite prin Rk. Referitor la pct. 1 al algoritmului, dac` circuitul con\ine ]i surse de curent acestea pot fi transformate [n surse de tensiune dac` au c@te un rezistor [n paralel(invers ca [n aplica\ia ilustrat` [n fig. 2.1.13.). Sursele de curent ideale se plaseaz` [n coarbore. {n acest caz curentul ciclic al buclei fundamentale care con\ine sursa de curent este chiar curentul acestei surse deci ecua\ia corespunz`toare este

kk sb II =' .

Pentru a avea mai pu\ine necunoscute este preferabil s` se transforme comenzile [n tensiune [n comenzi [n curent. Dac` tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor

Fig. 2.1.19

de rezisten\a R atunci transformarea comenzii se face simplu ic=uc./R. Evident ic se exprim` u]or ca o sum` de curen\i ciclici.Dac` tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor corespunzator mersului [n gol, atunci bucla se sparge [n dou` bucle care au latura comun` cu R=¥ ca [n figura 2.1.19; necunoscuta suplimentar` u apare [n ecua\iile corespunzatoare celor dou` bucle ]i se introduce o ecua\ie [n plus ]i anume I’1 + I’2 =0.

2.1.10. Circuite neliniare [n curent continuu 2.1.10.1. Elemente de circuit neliniare Fie un rezistor pentru care mul\imea perechilor admisibile tensiune-curent poate fi reprezentat` printr-o curb` [n planul u-i. Ecua\ia 0),( =iuf a acestei curbe se nume]te ecua\ia constitutiv` a rezistorului. Aceast` curb` se nume]te caracteristica rezistorului. Dac` curba este o dreapt` care trece prin origine ca [n figura 2.1.20 rezistorul este liniar;

Fig. 2.1.20

[n celelalte cazuri rezistorul este neliniar. Un rezistor liniar satisface legea lui Ohm RIu = unde tensiunea la borne I este intensitatea curentului ]i R este rezisten\a. Toate elementele de circuit pasive a c`ror caracteristic` tensiune curent u(I) [n curent continuu nu este o linie dreapt` ce trece prin origine se numesc rezistoare neliniare(sau elemente de circuit

neliniare).Circuitele care con\in unul sau mai multe elemente de circuit neliniare se numesc circuite neliniare. 2.1.10.2. Tipuri de elemente de circuit neliniare. Dioda semiconductoare. Caracteristica ]i simbolul sunt prezentate [n figura 2.1.21. Dac` se aproximeaz` caracteristica liniar` cu segmente se ob\ine un rezistor cu caracteristica liniar` pe por\iuni prezentat` [n figura 2.1.22.

2.1. Circuite electrice de current continuu. Breviar teoretic 43

Fig. 2.1.21

Fig. 2.1.22

Dioda Zener este o diod` care are pentru 0<u o zon` [n care se poate considera

.ctu @ ]i este utilizat` la stabilizarea tensiunii.

Fig. 2.1.23

{n figura 2.1.23 sunt date simbolul, caracteristica ]i modelul ei liniarizat pe por\iuni. 2.1.11. Analiza circuitelor neliniare de curent continuu Analiza re\elelor electrice de curent continuu ce con\in rezistoare neliniare este mult mai dificil` dec@t [n cazul re\elelor liniare deoarece nu se pot utiliza metodele care au la baz` teorema superpozi\iei. Circuitele neliniare se rezolv` prin metode analitice, grafico-analitice ]i numerice. 2.1.11.1. Teoremele lui Kirchhoff [n circuite neliniare Teoremele lui Kirchhoff [n circuite neliniare au forma: Teorema I a lui Kirchhoff 0

)(

=ån

kI (pentru fiecare nod n=1,..., N-1) (2.1.26)

Teorema a II-a a lui Kirchhoff åå =

)()( b

k

b

k UE (pentru fiecare bucl` b=1,2,...,B; B=L-N+1) (2.1.27)

Dac` toate elementele din circuit sunt neliniare atunci termenul din dreapta al teoremei a II-a a lui Kirchhoff exprim` suma tensiunilor la bornele elementelor neliniare date de ecua\iile constitutive ale acestora: ( )kk IfU = (2.1.28)

{n cazul unui circuit combinat din rezisten\e liniare ]i neliniare ecua\iile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff con\in at@t sume de produse kk IR c@t ]i tensiuni ( )kk IU .

44 2. Circuite electrice de curent continuu 2.1.11.2. Analiza unor circuite simple neliniare. Caracteristici de intrare ]i transfer. Fie dou` rezistoare neliniare conectate [n serie ca [n figura 2.1.23.

Fig.2.1.23

Se cunosc caracteristicile f1(u1, i1)=0 ]i f2(u2,

i2)=0 ]i se cere s` se determine caracteristica de

intrare [ntre bornele A ]i B f(u, i)=0. Ecua\iile care descriu conexiunea serie sunt i= i1=i2 ]i

u=u1+u2.Cunosc@nd graficele f1 (u1, i1)=0 ]i f2(u2, i2)=0, curba f(u,i)=0 se poate

determina prin puncte adun@nd tensiunile corespunzatoare aceluia]i curent. Evident aceast` opera\iune este posibil` numai pentru mul\imea curen\ilor admisibili pentru ambele rezistoare. Daca i1Î[I1m, I1M] si i2Î[I2m, I2M] (unde cu m s-au notat curen\ii minimi si

cu M s-au notat curen\ii maximi) atunci iÎ[I1m, I1M]Ç[I2m, I2M].

Fig.2.1.24

Fie dou` rezistoare neliniare conectate [n paralel ca [n figura 2.1.24. Se procedeaz` asem`n`tor, adic` ecua\iile conexiunii paralel fiind u=u1=u2 ]i i=i1+i2, se adun`

curen\ii corespunz`tori aceleia]i tensiuni. Aceast` opera\iune se face pentru uÎ[U1m, U1M]Ç[U2m, U2M]

semnifica\iile m`rimilor fiind similare cu conexiunea serie.

2.1.11.3. Determinarea solu\iei prin metoda dreptei de sarcin`

Fie circuitul din fig. 2.1.25 care con\ine un singur rezistor neliniar cu caracteristica

Fig. 2.1.25

alaturat`. M`rimile u ]i i trebuie s` satisfac` teorema a doua a lui Kirchhoff i rela\ia constitutiv` a rezistorului neliniar. Teorema a doua a lui Kirchhoff se scrie Ri+u=E ]i poate fi reprezentat` [n planul u-i printr-o dreapta numit` dreapta de sarcin`. Pentru a desena dreapta de sarcina consider`m punctele (i=0, u=E) ]i (u=0, i=E/R). Valorile u ]i i se g`sesc la intersec\ia caracteristicii rezistorului cu dreapta de

sarcin` ca [n figura 2.1.26.

Fig. 2.1.26

Fig. 2.1.27

Observa\ii:- similar se pot determina u ]i i in circuitul din figura 2.1.27 [n care se cunoa]te caracteristica rezistorului neliniar; [n acest caz ecua\ia dreptei de sarcina rezult` din prima teorema a lui Kirchhoff;

- dac` circuitul con\ine un singur rezistor neliniar atunci se construie]te generatorul echivalent al par\ii liniare ]i problema se reduce la rezolvarea unuia dintre cele dou` circuite prezentate [n acest paragraf.


2.2. Probleme rezolvate. Analiza circuitelor electrice de curent continuu

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Pr. 2.2.1. Fie circuitul din figura 2.2.1.a.

Fig. 2.2.1.a.

Se cere: a) S` se determine toate necunoscutele; b) S` se verifice juste\ea solu\iei prin bilan\ul puterilor. Rezolvare. Se determin` num`rul de noduri ]i de laturi ale circuitului. Din figura 2.2.1.a. rezult` c` circuitul are trei noduri 3=N ]i cinci laturi

5=L . Nodurile sunt notate 1N , 2N ]i 3N [n figura 2.2.1.b. {n continuare se aplic` pas cu

pas algoritmul de rezolvare prezentat [n cap. 1. 1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curen\ii necunoscu\i din laturi 1I , 2I , 3I ]i 4I ,

opera\ie

Fig.2.2.1.b.

indicat` cu [n figura 2.2.1.b. {n cazul [n care sensul ales arbitrar pentru curentul necunoscut este opus fa\` de sensul real, curentul va rezulta cu semnul minus. {n cazul [n care [n latur` exist` o surs` de tensiune electromotoare (t.e.m.) E, sensul curentului prin latur` se alege la fel ca sensul tensiunii electromotoare (t.e.m.) E. {n cazul [n care sensul curentului prin latur` este opus fa\` de sensul t.e.m. E, la bilan\ul puterilor E se ia negativ.

2. Se determin` sensul tensiunii la bornele fiec`rei laturi prin asociere cu sensul curentului dup` regula de la generatoare pentru surse sau dup` regula de la receptoare pentru rezistoare, opera\ie indicat` cu [n figura 2.2.1.b. Se noteaz` cu gU tensiunea

necunoscut` la bornele sursei de curent. 3. Se scriu ecua\iile circuitului respectiv cele 21=-N ecua\ii date de teorema I a lui Kirchhoff ]i cele 31=+-NL ecua\ii date de teorema a doua a lui Kirchhoff. Necunoscutele

46 2. Circuite electrice de curent continuu sunt curen\ii prin rezistoare ]i surse de tensiune ]i tensiunea labornele sursei de curent adic`: 1I , 2I , 3I , 4I ]i gU . Primele dou` ecua\ii sunt date de teorema I a lui Kirchhoff

aplicat` in nodurile 1N ]i 2N alese arbitrar, opera\ie indicat` cu [n figura 2.2.1.b. Rezult`: (1) 0453 =+-- III

(2) 0531 =-+ II

Pentru a aplica teorema doua a lui Kirchhoff [n cele trei bucle [ ]1B , [ ]2B ]i [ ]3B , se allege

un sens arbitrar de parcurs, opera\ie indicat` cu [n figura 2.2.1.b. Rezult`: [ ]1 01 1 =×+- IU g

[ ]2 011 34 =+×-×- gUII

[ ]3 0721 54 =-×+× II

4. Se rezolv` ecua\iile circuitului. Prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff rezult` un sistem de cinci ecua\ii cu cinci necumoscute. Sistemul de ecua\ii este univoc determinat ]i prin rezolvare result` solu\ia: AI 41 = , AI 13 = , AI 34 = , AI 25 = ]i VU g 4=

5. Se verific` solu\ia cu bilan\ul puterilor. Puterea debitat` de surse [n circuit este: WUIEIEP gk

k

kdeb 34452741 =×+×=×+×=×=å

Puterea absorbit` de rezistoarele din circuit este: WIIIIIRP

k

kkabs 34223111412111 22222

5

2

4

2

3

2

1

2 =×+×+×+×=×+×+×+×=×=å

Deci puterea debitat` de surse [n circuit este [n fiecare moment egal` cu puterea absorbit` de rezistoarele din circuit. {n cazul [n care bilan\ul puterilor nu se verific` atunci solu\ia este gre]it`. Pr. 2.2.2. Fie circuitul din figura 2.2.2.a.

Fig. 2.2.2.a.

Se cere: a) S` se determine toate necunoscutele; b) S` se verifice juste\ea solu\iei prin bilan\ul puterilor. Rezolvare. Fa\` de problema 2.2.1.a. circuitul din figura 2.2.2.a. con\ine o surs` de curent comandat` [n curent AII s 35 ×= [n locul

sursei independente de curent AI s 5= .

2.2 Circuite electrice de curent continuu. Probleme rezolvate 47 Circuitul are tot trei noduri 3=N ]i cinci laturi 5=L . Problema se rezolv` ca ]i [n cazul

Fig. 2.2.2.b.

precedent. Primele dou` puncte ale algoritmului se aplic` identic, opera\iile fiind indicate [n figura 2.2.2.b. La punctual trei al algoritmului ecua\ia dat` de teorema I a lui Kirchhoff aplicat` [n nodul 2N devine: (2) 05 313 =×-+ III

Celelalte patru ecua\ii r`m@n neschimbate. Punctele 4 ]i 5 ale algoritmului sunt identice ca ]i [n cazul problemei precedente.

Metoda poten\ialelor la noduri. Pr.2.2.3. Fie dat circuitul din figura 2.2.3.a. Se cere s` se scrie ecua\iile metodei poten\ialelor nodurilor. Rezolvare: Se transform` sursa de tensiune de 1V [n serie cu rezistorul de 1W [ntr-o surs` de curent, ]i comanda [n curent I3 [n comand` [n tensiune U3. R`m@n dou` surse ideale de tensiune care nu pot fi transformate [n surse de curent. Problema se rezolv` conform metodei prezentate la cap. 2.1., una din bornele sursei de 2V se alege ca poten\ial de referin\`, V5=0 iar [n serie cu ce-a de a doua surs` se in troduce necunoscuta I. Astfel rezult` circuitul din figura 2.2.3.b.Datorit` introducerii necunoscutei I trebuie ad`ugat` o ecua\ie suplimentar` EVV =- 32 .

Fig. 2.2.3.a

Fig. 2.2.3.b.

48 2. Circuite electrice de curent continuu Cu nota\iile din figura 2.2.3.b. rezult` ecua\iile date de metoda poten\ialelor la noduri. Curen\ii surselor independente sunt lua\i cu semnul (+) dac` intr` [n nodul (j) ]i cu (-) dac` ies din nod.

22

1

2

1111

15

1

5

1

1

1

2

1

5

1

5

1

2

1

2

2

0

23

321

4

43

142

332

4543

1

5

=÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ-÷÷ø

öççè

æ++

-=÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ +

=÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ +

==-

=-=

=

=

VVRRR

V

IVV

IVVV

UEVV

VVVU

V

V

Rezult` un sistem de 7 ecua\ii cu 7 necunoscute V1-V5, U3, I. Metoda curen\ilor ciclici. Pr. 2.2.4. Fie dat circuitul din figura 2.2.4.a. Se cere s` se scrie ecua\iile metodei curen\ilor ciclici. Rezolvare: Se transform` sursa de curent de 1A [mpreun` cu rezistorul conectat [n paralel [n surs` de tensiune. Totodat` se transform` comanda [n tensiune U3 [n comand` ]n curent I3 ]i se ob\ine circuitul din figura 2.2.3.a. Sursa ideal` de curent de 2A nu poate fi trasformat` [n surs` de tensiune. Aceasta trebuie s` fie plasat` [n coarbore. Se alege arborele ca [n figura 2.2.4.b. [n care laturile ce apar\in arborelui, ramurile, sunt figurate cu linie continu` ]i laturile ce apar\in coarborelui, coardele, sunt figurate cu linie [ntrerupt`. Se aleg curen\ii fictivi '

1I , '

2I , '

3I ]i '

4I numi\i curen\i ciclici ca [n figura 2.2.4.b.

Fig. 2.2.4.a.

Fig. 2.2.4.b.

2.2 Circuite electrice de curent continuu. Probleme rezolvate 49 Cu nota\iile din figuri ecua\iile date de metoda curen\ilor ciclici sunt:

'

4

'

2

'

13

3

'

3

'

2

'

1

'

4

3

'

4

'

2

'

3

'

4

'

3

'

1

'

2

'

1

41)5()25()2()125(

4)5()5()25(

2)25()5()2()252(

2

IIII

IIIII

IIII

IIII

I

++=

+=++++++

=+++

=++++++

=

Rezult` un sistem de 5 ecua\ii cu 5 necunoscute '

1I , '

2I , '

3I , '

4I ]i 3I .

Generatoare echivalente Pr. 2.2.5. Fie dat circuitul din figura 2.2.5.a. Se cere s` se determine elementele generatoarelor echivalente ale circuitului dat [ntre bornele A ]i B. Rezolvare: 1.Conform algoritmului, la primul punct se determin` rezisten\a echivalent` [ntre bornele A ]i B ale circuitului pasivizat 0ABR . Prin pasivizare sursa de tensiune de 3V se

[nlocuie]te cu un scurtcircuit iar sursa de curent de 3A se [nlocuie]te cu un gol. Sursele comandate nu se pasivizeaz` ]i astfel [n circuit r`m@ne o surs` de curent comandat`. Pentru a determina rezisten\a echivalent` 0ABR [ntre bornele A ]i B ale circuitului se

introduce o surs` de tensiune cu tensiunea electromotoare de 1V ]i curentul necunoscut I. Rezult` circuitul din figura 2.2.5.b. Prin metodele de analiz` cunoscute trebuie determinat` necunoscuta I.

Fig. 2.2.5.a. Fig. 2.2.5.b.

Se scriu ecua\iile date de metoda teoremelor lui Kirchhoff pentru circuitul din figura 2.2.5.b.

02

0

3432

321

=-++

=+++-

IIII

IIII

50 2. Circuite electrice de curent continuu

01

012

011

011

4

23

21

1

=+-

=-

=++-

=-

UI

II

UII

I

Solu\iile sistemului sunt: AI 11 = , AI 22 = , AI 13 = , AI 14 -= , VU 1-= ]i AI 4= .

Rezult`: W==4

10

I

ERAB . Deci ¥ññ 00 ABR ]i circuitul admite at@t generator echivalent de

tensiune c@t ]i generator echivalent de current. 2.La punctual doi al algoritmului se determin` tensiunea [ntre bornele A ]i B ale circuitului 0ABU , la mersul [n gol.

Fig. 2.2.5.c. Fig. 2.2.5.d.

Se scriu ecua\iile date de metoda poten\ialelor la noduri [n circuitul din figura 2.2.5.c.

312

12

321

3

2

32

1

1

1

2

1

1

1

1

1

22

1

1

1

2

1

1

1

1

1

0

IVV

VV

IVV

V

=-

=÷ø

öçè

æ +-÷ø

öçè

æ ++

-=÷ø

öçè

æ +-÷ø

öçè

æ ++

=

Rezultatele sunt: VV2

11 = ]i VV

2

32 = deci VU AB

2

30 = ]i rezult` generatorul echivalent de

tensiune reprezentat [n figura 2.2.5.d. 3.La punctual trei al algoritmului se determin` curentul de scurtcircuit [ntre bornele A ]i B ale circuitului ABscI .

2.2 Circuite electrice de curent continuu. Probleme rezolvate 51

Se alege arborele ca [n figura 2.2.5.f. [n care laturile ce apar\in arborelui, ramurile, sunt figurate cu linie continu` ]i laturile ce apar\in coarborelui, coardele, sunt figurate cu linie [ntrerupt`. Se aleg curen\ii fictivi '

1I , '

2I , '

3I ]i '

4I numi\i curen\i ciclici ca [n figura 2.2.5.f.

Fig. 2.2.5.e Fig. 2.2.5.f

Se scriu ecua\iile date de metoda curen\ilor ciclici [n circuitul din figura 2.2.5.c.

Fig.2.2.5.g.

'

4

'

2

'

1

'

4

'

3

'

22

'

33

'

3

'

2

'

4

'

4

'

2

'

3

'

3

'

2

'

1

3)1()1()11(

0)1()1()12(

2

3

IIII

IIII

II

III

III

II

I

ABsc +-=

--=

=

=+-+

=+-+

=

=

Rezultatele sunt: AI 3'

1 = , AI 2'

2 -= , AI 1'

3 -= , AI 1'

4 = ]i AI ABsc 6= ]i rezult`

generatorul echivalent de curent reprezentat [n figura 2.2.5.g. Analiza unor circuite simple neliniare. Caracteristici de intrare ]i transfer Pr. 2.2.6. Fie dat circuitul din figura 2.2.6. Se d` caracteristica diodei [n figura 2.2.7.b. Se cere s` se determine caracteristica de intrare f(U, I)=0. Rezolvare: Cele trei rezistoare sunt conectate [n paralel iar ecu\iile sunt:

sdR IIII -+=

sdR UUUU ===

Caracteristica de intrare f(U, I)=0 se determin` prin puncte adun@nd pentru aceea]i tensiune curen\ii corespunz`tori. Deci trebuie determinat domeniul tensiunilor admisibile pentru toate

52 2. Circuite electrice de curent continuu rezistoarele.

Fig. 2.2.6

Din figura 2.2.7 rezult` ),( ¥+-¥ÎRU , ]0,(-¥ÎdU

),( ¥+-¥ÎsU . Domeniul tensiunilor admisibile

pentru toate rezistoarele U rezult` la intersec\ia celor trei domenii ]0,(-¥ÎU .

1.Pentru intervalul )0,(-¥ÎU 0=dI , R

UI R

R = ]i

ecua\ia caracteristicii este: 1-= RII .

2. Pentru 0=U avem 0=RI , ),0( ¥+ÎdI ]i ecua\ia

caracteristicii este: 1-= dII .

Caracteristica de intrare f(U, I)=0 este reprezentat` [n figura 2.2.8.

Fig. 2.2.7

Fig. 2.2.8


2.3. Probleme propuse

Pr. 2.3.1. Fie circuitul din figura 2.3.1.

Fig. 2.3.1.

Se dau: W=101R , W= 52R , W= 33R ,

VE 101 = , VE 52 = , VE 103 = .

Se cere: a) S` se determine toate necunoscutele; b) S` se verifice juste\ea solu\iei prin bilan\ul puterilor.


Fig. 2.3.2

Se dau: W= 51R , W=102R , W=103R ,

VE 101 = , VE 202 = , VE 203 = .



Fig. 2.3.3

Se dau: W=101R , W=102R , W= 203R ,

W= 34R , VE 101 = , VE 102 = ,

VE 53 = .




Fig. 2.3.4

Se dau: W= 201R , W=102R , W= 53R ,

VE 51 = , VE 102 = , VE 103 = ,

VE 404 = , VE 205 = .



Fig. 2.3.5

Se dau:

W= 51R , W=102R , W=103R ,

W=104R , VE 101 = , VE 52 = ,

VE 203 = , VE 104 = .



Fig. 2.3.6

Se dau: W=101R , W=102R , W=103R ,

W= 34R , W=105R , W= 56R ,

VE 701 = , VE 902 = , VE 1003 = .


2.3. Circuite electrice de curent continuu. Probleme propuse 55


Fig. 2.3.7

Se dau: W= 51R , W=102R , W= 403R ,

W= 404R , VE 101 = , VE 52 = ,

VE 203 = , VE 104 = .



Fig. 2.3.8

Se dau: W=101R , W= 52R , W= 203R ,

W=104R VE 101 = , VE 102 = ,

VE 53 = , VE 104 = .



Fig. 2.3.9

Se dau: W=11R , W=12R , W= 23R , W=14R ,

VE 11 = , VE 23 = , AI 31 = .


56 2. Circuite electrice de curent continuu Pr. 2.3.10. Fie circuitul din figura 2.3.10.

Fig. 2.3.10

Se dau: W= 31R , W= 32R , W= 13R , W=14R ,

W=105R , VE 31 = , VE 32 = , VE 23 = ,

AI 31 = .



Fig. 2.3.11

Se dau:

W= 21R , W= 42R , W= 63R , W= 44R ,

W= 25R , VE 121 = , AI 101 = .


Pr. 2.3.12. Se dau circuitele din figurile 2.3.12.-2.3.17.Se cere: 1.s` se resolve cu ajutorul metodei teoremelor lui Kirchhoff circuitele din figurile 2. S` se verifice bilan\ul puterilor.

Fig. 2.3.12.

Fig. 2.3.13.


Fig. 2.3.14

Fig. 2.3.15

Fig. 2.3.16

Fig. 2.3.17

Pr.2.3.13. Se dau circuitele din figurile 2.3.18-2.3.25 Se cere s` se scrie ecua\iile metodei poten\ialelor nodurilor.

Fig. 2.3.18

Fig. 2.3.19


Fig. 2.3.20.

Fig. 2.3.21.

Pr. 2.3.14. Se dau circuitele din figurile 2.3.22.-2.3.30. Se cere: 1.s` se determine toate necunoscutele, curen\i ]i tensiuni. 2. S` se verifice bilan\ul puterilor.

Fig. 2.3.22

Fig. 2.3.23

Fig. 2.3.24 Fig. 2.3.25


Fig. 2.3.26 Fig. 2.3.27

Fig. 2.3.28 Fig. 2.3.29

Pr. 2.3.15. Se dau circuitele din figurile 2.3.30.-2.3.37. Se cere: 1.s` se determine toate necunoscutele, curen\i ]i tensiuni. 2. S` se verifice bilan\ul puterilor.

Fig. 2.3.30 Fig. 2.3.31


Fig. 2.3.32 Fig. 2.3.33

Fig. 2.3.34 Fig. 2.3.35

Fig. 2.3.36 Fig. 2.3.37

3. Circuite electrice de curent alternativ monofazat 61

3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT 3.1. Breviar teoretic 3.1.1. Regimul permanent sinusoidal Circuitele de curent alternativ(c.a.) sunt circuite electrice alimentate cu tensiuni electromotoare alternative, adic` cu tensiuni periodice de valoare medie nul`. {n cazul [n care tensiunile alternative sunt sinusoidale, curen\ii de regim permanent din toate laturile circuitelor liniare sunt ]i ei sinusoidali ]i de acee]i pulsa\ie. Aceasta este o consecin\` care decurge din caracterul liniar al ecua\iilor diferen\iale ale circuitului ]i din proprietatea func\iunilor sinusoidale de a fi singurele func\iuni alternative reale care []i p`streaz` forma prin derivare ]i integrare. Pentru orice alt tip de varia\ie alternativ` a tensiunii de alimentare, curen\ii au alt` form`, [n cazul general diferit` de la o latur` a circuitului la alta, adic` prezint` distorsiuni. Un circuit func\ioneaz` [n regim sinusoidal dac` toate tensiunile ]i to\i curen\ii sunt m`rimi sinusoidale de aceea]i pulsa\ie. Un circuit liniar cu rezistoare cu rezisten\ele pozitive, bobine cu inductivit`\ile pozitive, condensatoare cu capacit`\ile pozitive ]i [n care toate sursele independente sunt sinusoidale de aceea]i pulsa\ie w, func\ioneaz` [n regim sinusoidal atunci c@nd timpul care trece de la cuplarea surselor tinde c`tre infinit. Spunem c` regimul permanent (care se ob\ine pentru pentru t®¥) al acestui circuit este sinusoidal. Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite liniare. Importan\a studiului acestui regim este deteminat` de faptul c` energia electric` se produce cu generatoare sinusoidale (cu frecven\a standardizat` de 50 Hz, respectiv 60 Hz [n America, numit` frecven\` industrial`) ]i se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; [n plus foarte multe circuite electronice func\ioneaz` [n acest regim. 3.1.2. M`rimi periodice ]i m`rimi sinusoidale Valoarea instantanee a unei m`rimi variabile este valoarea pe care o are acea m`rime la un moment oarecare t; se noteaz` cu litera mic` a simbolului stability prin conven\ie pentru m`rimea respectiv`. M`rimea periodic` este o m`rime variabil` a c`rei sccesiune de valori se reproduce [n acee]i succesiune dup` trecerea unor intervale de timp egale. Valoarea instantanee a unei m`rimi periodice (s-a ales simbolul curentului, dar propriet`\ile exemplificate pot fi ale oric`rei m`rimi) satisface pentru orice t condi\ia: )()( nTtiti += , (3.1) unde: - n este un num`r [ntreg pozitiv sau negativ; - T este perioada m`rimii variabile, adic` cel mai mic interval de timp dup` care se reproduce ]n aceea]i succesiune valorile instantanee ale m`rimii periodice respective. Frecven\a este num`rul de perioade cuprins [n unitatea de timp:

T

f1

= , (3.2)

Unitatea de frecven\` se nume]te hertz [ ]Hz .

62 3.Circuite electrice de curent alternativ monofazat

Fig. 3.1

M`rimile periodice care iau valori de un singur semn se numesc m`rimi pulsatorii, iar cele care iau valori de ambele semne se numesc m`rimi alternative. Valoarea de v@rf a unei marimi periodice este cea mai mare valoare periodic` atins` [n decursul unei perioade; dac` valoarea

instantanee este i, valoarea de v@rf se noteaz` Ù

i sau maxI , ca [n figura 3.1.

Valoarea medie a unei m`rimi periodice este media aritmetic` a valorilor ei instantanee [ntr-un interval de timp egal cu o perioad` T:

ò+

=Tt

t

med idtT

I

1

1

1 (3.3)

Valoarea efectiv` (sau eficace) I sau efI , a unei m`rimi periodice este r`dacina

patrat` a mediei p`tratelor valorilor ei instantanee [ntr-un interval de timp egal cu o perioad`:

ò+

=Tt

t

dtiT

I

1

1

21 (3.4)

Valoarea efectiv` a unui curent alternativ este egal` cu intensitatea curentului continuu care, [ntr-un rezistor cu aceea]i rezisten\`, dezvolt` aceea]i caldur` [n timp de o perioad` ca ]i curentul periodic. M`rimea sinusoidal` sau armonic`, reprezentat` [n figura 3.2, este o m`rime alternativ` a c`rei varia\ie [n timp este descris` printr-o expresie de forma: )sin()( max jw += tIti (3.5)

Fig. 3.2

unde:

- II 2max = este amplitudinea egal` cu modulul

valorii maxime a m`rimii sinusoidale; - I este valoarea efectiv`; - T este perioada; - f = 1/T este frecven\a; - w este pulsa\ia w=2pf ; - j este faza ini\ial`.

Valoarea medie pe o perioad` a m`rimii sinusoidale este nul`. 0=medI . (3.6)

Valoarea efectiv` m`rimii sinusoidale este:

22

)](2cos1[2

)(sin1 max

2

max

2

max22

max

IT

T

Idtt

T

IdttI

TI

T

o

T

o

==+-=+= òò jwjw . (3.7)

M`rimile sinusoidale se reprezint` [n electrotehinic` cu ajutorul valorii efective:

).sin(2)( jw += tIti (3.8)

3.1. Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Breviar teoretic 63 3.1.3. Reprezentarea [n complex a m`rimilor sinusoidale

Reprezentarea [n complex a m`rimii sinusoidale y(t) = 2 Y sin(wt + j), ca [n figura 3.3

Fig. 3.3

este num`rul complex

jjYeY = (3.9)

unde: - Y este modulul numarului complex; - j este argumentul numarului complex;

- j = -1 . Evident Y=Ycosj + jYsinj, (3.10)

unde: - Ycosj este partea real` a lui Y; - Ysinj este partea imaginar` a lui Y.

Reprezentarea grafic` a lui Y [n planul complex se nume]te fazor. Propriet`\i:

a) liniaritatea: ay

1 (t) + by

2 (t) Û aY

1+ bY

2 cu a,bÎR (3.11)

b) derivarea marimii sinusoidale [n raport cu timpul:

dydt

Û jw Y (3.12)

3.1.4. Caracterizarea [n complex a elementelor dipolare de circuit (EDC) Fie un element dipolar de circuit (EDC), ca [n figura 3.4, av@nd tensiunea la borne

( )utUtu jw += sin2)( , (3.13)

Fig. 3.4

]i curentul

( )itIti jw += sin2)( (3.14)

respectiv [n complex U=Uejju ]i I = Iejji unde j = ju - ji este defazajul [ntre tensiune ]i curent.

Se consider` u(t) ]i i(t) asocia\i dup` regula de la receptoare (ca ]i m`rimile complexe corespunzatoare U ]i I) Se defineste impedan\a complex` a EDC ca raportul dintre tensiunea U ]i curentul I:

Z = U

I=

U

Ie

jZe

jj j= (3.15)

unde raportul Z = U

I este impedan\a EDC. Z ]i Z se m`soar` [n W.

Se noteaz`: Z= R + jX , (3.16) unde - Re{Z}=R este rezisten\a de curent alternativ; - Im{Z}=X este reactan\a; Deci:

Z=R + jX = R X ej arctgX R

Zej2 2+ =/ j . (3.17)


Se defineste admitan\a complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si tensiunea U:

jBGj

YeZU

IY -=-=== j1

, (3.18)

unde - Y este admitanta EDC, - G=Re{Y} este conductanta EDC - B=Im{Y} este susceptanta EDC. Y si Y se masoara in Siemens (W- 1 ).

3.1.5. Schemele echivalente [n complex ale (EDC) {n continuare sunt prezentate elementele dipolare de circuit [n c.a. ]i schemele lor echivalente [n complex. Pentru surse u(t) ]i i(t) se consider` asociate dup` regula de la generatoare. Pentru celelalte elemente de circuit u(t) ]i i(t) se consider` asociate dup` regula de la receptoare. Sursa ideala de tensiune(SIT)

Fig. 3.5

SIT are tensiunea electromotoare sinusoidal`:

e(t) = 2 E sin(wt + a), deci [i corespunde [n complex

e(t)ÛE=Eeja. (3.19)

{n figura 3.5 sunt desenate sursa ]i schema ei echivalent` [n complex.

Sursa ideal` de curent (SIC)

Fig. 3.6

are curentul electromotor

is(t) = 2 Is sin(wt + ß)

cu reprezentarea [n complex bj

ss eII = (3.20)

]i schema echivalent` din figura 3.6.

Rezistorul ideal. Fie un rezistor ideal ca [n figura 3.7.a. Dac`:

u(t) = 2 U sinwt

atunci i(t) = u t

R

( ) = 2

U

R sinwt,

Fig. 3.7

Rezult` [n complex: U=RI (3.21) deci impedan\a rezistiv`: ZR =R (3.22)

Rezistorul are schema echivalent` [n complex din figura 3.7.b. {n schemele echivalente [n complex impedan\ele complexe se simbolizeaza ca ni]te rezistoare. Defazajul [ntre tensiune ]i curent este j = ju - ji = 0, (3.23)

si reprezentarea fazorial` a lui U ]i I este dat` [n figura 3.7.c.

3.1. Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Breviar teoretic 65 Bobina ideal` Fie o bobin` ideal` ca [n figura 3.8.a. Dac`:

i(t) = 2 Isinwt atunci din ecua\ia de functionare

u(t) = Ldi t

dt

( ) = 2 ILwsin(wt+p/2) (3.24)

rezult` [n complex:

Fig. 3.8

U= jwLI (3.25) Deci impedan\a inductiv`: Z

L = jwL = jXL (3.26)

unde X

L=wL (3.27)

este reactan\a inductiva a bobinei.

Bobin` ideal` are schema echivalent` [n complex din figura 3.8.b. Defazajul [ntre tensiune ]i curent este

j= ju - ji= p / 2 (3.28)

iar reprezentarea fazoriala a lui U si I este dat` [n figura 3.8.c. Deci bobina ideal` defazeaza cu p / 2 tensiunea [naintea curentului (sau curentul [n urma tensiunii). Condensatorul ideal

Fie un condensator ideal ca [n figura 3.9.a Dac` u(t) = 2 Usinwt atunci din ecuatia de func\ionare

i(t) = Cdu t

dt

( )= 2 UCwsin(wt+p/2) (3.29)

rezult`

Fig. 3.9

I= jwC U (3.30) Sau:

U = 1

j Cw (3.31)

]i deci impedan\a capacitiv` este dat` de rela\ia:

ZC= -j 1

wC = jXC, (3.32)

unde: XC= -1

wC , (3.33)

este reactan\a capacitiv` a condensatorului. Condensatorul ideal are schema echivalent` [n complex din figura 3.9.b. Defazajul [ntre tensiune ]i curent este: j = ju-ji=-p/2 (3.34)

iar reprezentarea fazorial` a lui U ]i I este dat` [n figura 3.9.c. Deci condensatorul ideal defazeaz` cu p / 2 tensiunea [n urma curentului (sau curentul [naintea tensiunii).


3.1.6. Puteri [n circuitele de curent alternativ Deoarece produsul a dou` m`rimi instantanee nu este o m`rime sinusoidal`, puterea instantanee p(t) la bornele unui dipol nu se poate reprezenta [n complex dup` regulile reprezent`rii stabilite pentru m`rimi sinusoidale.

Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = 2 Usinwt si i(t) = 2 Isin(wt - j). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Se definesc urmatoarele puteri: Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este: p(t)= u(t) *i(t) =2UI sinwt *sin(wt - j) = UIcosj - UIcos(2wt - j). Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

ò ==T

UIdttpT

P0

cos)(1

j (3.35)

Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere jcos si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este Wattul, [P] = 1W.

Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul:

i(t) = 2 I*sinwt rezulta u(t) = Ri(t) = RI 2 sinwt si

ò ==T

RIdttituTabs

P0

2)()(1

(3.36)

Deci valoarea efectiva a unui curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule. • Puterea reactiva Q, este: Q = UI sinj (3.37) avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper reactiv). • Puterea aparenta S, este: S = UI (3.38)

si are unitatea de masura [S] = [VA]. Evident 22 QPS += (3.39)

Se define]te [ns` o m`rime complex` care str@nge [n aceea]i expresie puterea activ`, puterea reactiv` ]i puterea aparent`, utilizate pentru a caracteriza regimul permanent al circuitelor. Puterea complex` (puterea aparent` complex`) este definit` de produsul dintre tensiunea complex` ]i valoarea conjugat` a curentului complex:

S = U I*=UIej j =UIcosj +jUIsinj=P+jQ. (3.40) Deci puterea complex` are modulul egal cu puterea aparent`(S=UI), argumentul egal cu defazajul circuitului(j), partea real` egal` cu puterea reactiv`( P=UIcosj) ]i partea imaginar` egal` cu puterea reactiv`( Q=UIsinj). Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt: a) - rezistorul ideal absoarbe puterea activ` P=RI2

]i, deoarece j=0, puterea reactiv` absorbita este Q=UIsinj=0 deci puterea complex` absorbit` este:

Sa =RI2 +j0. (3.41)

b) - bobina ideal` parcurs` de curentul i(t)= 2 Isinwt are tensiunea la borne

3.1. Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Breviar teoretic 67

u(t)= 2 wLIsin(wt + p/2) deci j=p/2 si rezulta Q=UIsinp/2=wL I2=U2/wL > 0, P = UI cosp/2 = 0, deci bobina absoarbe puterea complex`:

Sa=0+jwLI 2. (3.42)

Media pe o period` a energiei acumulate [n bobin` este ~

( )WmT

Li t dt LIT

= =ò1 2 2

0.

c) - condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = U 2 sinwt este parcurs de

curentul i(t)= 2 wCUsin(wt + p/2), deci j = -p/2 ]i rezult` Q = UIsin(-p/2)= -1 2

wCI = -

U2wC < 0, P = UI cos(-p/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complex`:

Sa=0-jwC U2 (3.43)

Media pe o period` a energiei acumulate [n condensator este ~

( )WeT

Cu t dt CUT

= =ò1 2 2

0.

Deoarece condensatorul ]i bobina schimb` cu circuitul [n care sunt conectate o putere reactiv` nenul`, ele se numesc elemente reactive.

d) - sursa ideal` de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= 2 Esinwt,

parcurs` de curentul i(t)= 2 I sin(wt+j) debiteaz` o putere complex`:

Sd=E I* = EIe-jj = EIcosj-jEIsinj (3.44) unde ca [n figura 3.5 U ]i I sunt asociate dup` regula de la generatoare sau I parcurge sursa [n sensul s`ge\ii lui E.

e) - sursa ideala de curent cu curentul electromotor is(t)= 2 Is sin(wt+j) cu tensiunea

la borne u(t)= 2 U sinwt debiteaz` o putere complex`:

Sd = U I* = UIse-jj = UIscosj-jUIssinj , (3.45)

unde ca [n figura 3.6 U ]i Is sunt asociate dup` regula de la generatoare. Observatii - puterea activ` este absorbit` numai de rezistoarele ideale; - puterea reactiv` este absorbit` numai de bobinele ]i condensatoarele ideale;

- impedan\a complex` Z=R+jX absoarbe puterea aparent` complex`: Sa =U I*= Z I I*=

ZI2=(R+jX) I2 =RI² + jXI² deci Pa=RI2 ]i Qa =XI2; - sursele debiteaz` at@t putere activ` c@t ]i putere reactiv`. 3.1.7. Teoremele lui Kirchhoff [n complex Teorema I a lui Kirchhoff este : i

k( )

k Ni

tÎå = 0 (3.46)

si datorita liniaritatii reprezentarii in complex se ob\ine: Ik

k Ni

Îå = 0 (3.47)

Enun\: suma algebrica a curen\ilor [n complex dintr-un nod al unui circuit este nul`. Teorema a II-a a lui Kirchhoff este: u

kkt

Îå =

00( ) (3.48)

]i similar rezulta: U kkÎå =

00 (3.49)


Enun\: suma algebric` a c`derilor de tensiune complexe la bornele elementelor de circuit care apartin aceleia]i bucle este nul`. 3.1.8. Teorema conservarii puterilor complexe Enun\: Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-un circuit este egal` cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedan\ele din acela]i circuit: S kd S ka

toate sursele toate impedanteleå = å . (3.50)

|in@nd seama c` Sd = Pd + jQd ]i Sa = P

a + jQa rezult`:

Pkd

Pkatoate sursele toate rezistoarele

å = å , (3.51)

Qkd

Qkatoate sursele toate elementele reactive

å = å , (3.52)

adic` puterile active ]i puterile reactive se conserv`.

Observa\ii: - puterile aparente Sk nu se conserv`; - conservarea puterilor complexe poate fi folosit`, similar cu consevarea puterilor [n

circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor ob\inute prin rezolvarea problemelor de analiza a circuitelor de c.a;

- \in@nd seama c` pentru o bobina Qa=w~

Wm ]i pentru un condensator Qa=-w ~

We

rezult` c` Qa Wm We= -åå w (~ ~

) deci, un dipol RLC are caracter inductiv dac` Qa

toateZå >0, are caracter capacitiv dac` Qa

toateZå <0 ]i are caracter rezistiv sau este la

rezonan\` (vezi paragraful 4.9) dac` QatoateZå =0

- condensatorul nu genereaz` putere reactiv` chiar dac` absoarbe o putere reactiv` negativ`; asa cum rezult` din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiv` (pozitiv` sau negativ`) este generata de surse; - defazajul j [ntre curent ]i tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -p/2 si +p/2 deoarece

UIcosj= Rk

Iktoate R

20>å deci cosj>0.

3.1.9. Teoremele impedan\elor echivalente a) Legarea [n serie a impedan\elor. Fie n dipoli pasivi, necupla\i inductiv, conecta\i [n serie. Impedan\a echivalent` complex` este:

å=

=n

k

kes ZZ1

(3.53)

Dar eseses jXRZ += ]i kkk jXRZ += ]i explicit@nd p`r\ile reale ]i imaginare rezult`:

å=

=n

k

kes RR1

]i å=

=n

k

kes XX1

(3.54)

La dipolii conecta\i [n serie, necupla\i inductiv, impedan\a echivalent` complex` este suma impedan\elor complexe ale elementelor, rezisten\a echivalent` este suma rezisten\elor lor, iar reactan\a echivalent` este suma reactan\elor lor.

3.1. Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Breviar teoretic 69 b) Legarea [n paralel a impedan\elor. Fie n dipoli pasivi, necupla\i inductiv, conecta\i [n paralel. Admitan\a echivalent` complex` este:

å=

=n

k

kep YY1

(3.55)

respectiv: å=

=n

k

kep GG1

]i å=

=n

k

kep BB1

(3.56)

La dipolii conecta\i [n paralel, necupla\i inductiv, admitan\a echivalent` complex` este suma admitan\elor complexe ale elementelor, conductan\a echivalent` este suma conductan\elor lor, iar susceptan\a echivalent` este suma susceptan\elor lor. 3.1.10. Teorema superpozi\iei

Fie un circuit de curent alternativ cu mai multe surse: eEE ...1 , mes II ...1, + . Orice

curent (sau tensiune) din circuit se poate scrie ca o sum` a curen\ilor (tensiunilor) din aceea]i latur` produ]i de fiecare surs` independent` separat, celelalte surse independente fiind pasivizate.

De exemplu å=

=m

k

lkl II1

unde lkI este curentul produs [n latura l de sursa

independent` din latura k celelalte surse fiind pasivizate. Teorema este o consecin\` a caracterului liniar al ecua\iilor circuitului. Sursele

comandate nu se pasivizeaz`. 3.1.11. Teoremele generatoarelor echivalente a) Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol.

Fig. 3.10

Fie un dipol liniar cu

bornele A ]i B ca [n figura

3.10. Oricât de complicat ar fi

acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o surs` de tensiune 0ABU

[n serie cu o impedan\` 0ABZ

unde 0ABU este tensiunea de mers [n gol m`surat` la bornele A ]i B (impedan\a Z fiind

Fig. 3.11

scoas` din circuit) ]i 0ABZ care este impedan\a echivalent` [ntre bornele A ]i B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaz`).Tensiunea de mers [n gol 0ABU ]i impedan\a echivalent`

0ABZ sunt prezentate [n figura 3.11. b) Generatorul echivalent de curent al unui dipol. Fie un dipol liniar cu bornele A ]i B ca in figura 3.12. Oricât de complicat ar fi

acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o surs` de curent ABscI [n

paralel cu o impedan\` 0ABZ


Fig. 3.12

unde ABscI este curentul de scurtcircuit [ntre bornele A ]i B (impedan\a Z fiind scoas` din

scurtcircuitate) ]i 0ABZ este impedan\a echivalent` [ntre bornele A ]i B a circuitului pasivizat.

3.1.12. Schemele electrice echivalente ale bobinelor liniare cuplate magnetic

Se procedeaza [n modul urm`tor. Se pleac` de la binecunoscutele ecua\ii ale bobinelor liniare cuplate magnetic din [3]:

( ) ( ) ( )

dt

tdiM

dt

tdiCLtu 21

11 ±=

( ) ( ) ( )dt

tdiM

dt

tdiCLtu 12

22 ±= (3.57)

In complex aceste ecua\ii devin:

2111 MIjILjU ww ±=

1222 MIjILjU ww ±= (3.58) Rezult` circuitul echivalent al bobinelor liniare cuplate magnetic cu surse de tensiune comandate [n curent ca [n figura 3.13. Dac` bornele polarizate sunt atacate de curen\i [n acela]i mod, adic` cei doi curen\i intr` in borna polarizat` sau ies simultan din borna polarizat` atunci M este pozitiv. {n caz contrar M se ia cu semnul negativ.

Fig 3.13 Fig 3.14 Un alt caz deosebit [l reprezint` bobinele liniare cuplate magnetic care au un punct comun. Dac` cele dou` bobine cuplate au un nod comun exist` un circuit echivalent mai simplu f`r` surse comandate. Ecua\iile de func\ionare ale celor dou` bobine cuplate magnetic care au un punct comun se ob\in din ecua\ia ( 3.58) [n care [n prima ecua\ie se scade ]i se adun` termenul 1MIjw iar

[n cea de a doua ecuatie se efectueaz` aceea]i opera\ie cu termenul 2MIjw . Rezult`

ecua\iile ( ) ( )21111 IIMjIMjLjU ++-= www , ( ) ( )21222 IIMjIMjLjU ++-= www

care corespund circuitului echivalent din figura 3.14. Acest procedeu se nume]te spargerea cuplajului. Dac` bornele polarizate sunt atacate diferit de curen\i atunci M se [nlocuie]te cu –M.

3.1. Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Breviar teoretic 71 3.1.12. Analiza circuitelor de curent alternativ 3.1.12.1. Formularea problemei

Prin utilizarea reprezentarii [n complex a m`rimilor sinusoidale, [ntr-un circuit de c.a. al carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecua\ii liniar independente [ntre ele: - N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchoff ; - L-N+1 ecua\ii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff;

- L ecua\ii date de leg`turile [ntre Uk ]i Ik pentru fiecare latur` a grafului. Ecua\iile unui circuit de c.a. sunt ecua\ii algebrice de aceea]i form` cu ecua\iile unui circuit liniar de c.c. deoarece: - teoremele lui Kirchhoff au aceea]i form`;

- [n ecua\iile de legatur` [ntre Uk ]i Ik , Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc.

La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt m`rimi reale iar ecuatiile sunt liniare [n Ik

]i Uk av@nd coeficien\i reali. La circuitele de c.a. Ik ]i Uk sunt m`rimi complexe iar

ecua\iile sunt liniare [n Ik ]i Uk av@nd coeficien\i complec]i. Ca urmare metodele de analiz` a circuitelor de c.a. sunt acelea]i cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. {n continuare se va relua pe scurt metoda de rezolvare cu teoremele lui Kirchhoff insist@ndu-se asupra particularit`\ilor circuitelor de c.a.. Problema analizei unui circuit de c. a. se formuleaz` astfel:

a) - se dau: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck, Mk, ek(t), isk(t)) ]i modul de interconectare a elementelor de circuit; b) - se cere s` se determine toate tensiunile ]i to\i curen\ii. Rezolvarea acestei probleme const` [n scrierea sistemului de 2L ecua\ii ale

circuitului ]i determinarea solu\iei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L). 3.1.12.2. Algoritmul de rezolvare Algoritmul de analiz` a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape: 1) Se construie]te circuitul echivalent cu surse ]i impedan\e complexe utiliz@nd schemele echivalente [n complex ale elementelor de circuit; 2) Se scriu ecua\iile acestui circuit utilizand una din metotedele cunoscute; 3) Se rezolv` sistemul de ecua\ii ]i se determine` valorile complexe ale curen\ilor ]i

tensiunilor, (Uk, Ik

, k = 1, ... , L) de forma Uk = U

kejjk;

4) Se verific` rezultatele ob\inute prin bilan\ul puterilor complexe;

5) Se determin` valorile instantanee de forma uk(t) = U

k2 sin(wt +jk).

3.1.12.3. Algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor • se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale

comenzilor in curent in comenzi in tensiune • se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor

sa poata fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii din (3.59) si ecuatiile suplimentare: å

ÎåÎ

åÎ

=-jk jik jk

skIkYiVkYjV,

(3.59)

• Este preferata comanda in tensiune deoarece marimea de comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale.

• Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate nu este potrivit pentru scrierea ecuatiilor metodei nodale.


• Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu surse de curent comandate in tensiune Un exemplu ilustrativ in acest sens este prezentat in problema 3.2.3. Se rezolva ecuatiile de functionare ale bobinelor cuplate:

U1=jwL1I1±jwMI2 , U2=jwL2I2±jwMI1

in raport cu necunoscutele I1 si I2 si rezulta ecuatiile 13

2

32

223231

1 Uj

j

UIsiU

j

j

UI +=+=

3.1.12.4. Algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este: • se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale

comenzilor in tensiune in comenzi in curent • se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent

netransformate sa fie plasate in coarbore • considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi (curentii ciclici),

se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

åÎ

å

ÎÎ

=+åÎ iBk

kE

jBk

iBkkZ

jI

iBkkZ

iI '' (3.60)

si ecuatiile suplimentare 3.1.13. Aplica\ii tehnice ale rezonantei Una din cele mai importante aplica\ii tehnice ale rezonantei este compensarea factorului de putere. Fie o linie de transport al energiei electrice la cap`tul careia este conectat consumatorul inductiv , a]a cum sunt majoritatea consumatorilor energetici, prezentat` [n figura 3.12.a. Curentul absorbit de consumator este :

Fig. 3.12

IU

R

U

j L= +

w 3.61)

deci

I UR L

= +1

2

1

2 2w (3.62)

iar factorul de putere este:

cosj =P

UI

U

RUR L

L

R L

=

+

=+

2

2 1

2

1

2 2

2 2 2

w

w

w. (3.63)

Se conecteaz` un condensator [n paralel cu consumatorul(fig. 3.12.b.) astfel [nc@t:

ww

LC

=1

(3.64)

{n acest caz avem un circuit RLC deriva\ie la rezonan\`, a c`rui impedan\` de intrare este

Z=R Ca in figura 3.12.c. ]i curentul absorbit de receptor este: IU

RI' = á . (3.65)

. Exprim@nd puterile reactive [n func\ie de puterea activ` P absorbit` de consumator

(Q=Ptgj, Q’=Ptgj‘) rezult` CPtg Ptg

U=

-j jw

'2

; [n acest calcul se consider` ca U nu se

modific` prin conectarea condensatorului. Fenomenul de rezonant` are ]i alte aplica\ii practice cum ar fi cazul circuitelor de filtrare, destinate a favoriza sau defavoriza trecerea m`rimilor de anumite frecven\e.


3.2. Probleme rezolvate Pr. 3.2.1. Reprezentarea în complex

1. Fie m`rimea sinusoidal` y(t) = 220 2 sin (wt + p/2). Se cere sa se determine num`rul complex corespunzator.

Num`rul complex corespunzator este de forma Y = Yejj cu Y = 220 si j = p/2, respectiv Y = 120ejp/2 = 220 ( cos p/2 +jsin p/2) = 220j. 2. Fie m`rimea sinusoidal` y(t) = 220 sin (wt + p/4). Se cere să se determine num`rul complex corespunzator

Y = 2

220ejp/4 =

2

220( cosp/4 +jsinp/4 ) . Rezulta:

Y =110 ( 1+j ). 3. Fie numărul complex Y = 5+5j. Se cere să se determine marimea sinusoidală corespunzătoare

Marimea sinusoidală corespunzatoare este de forma y(t) = Y 2 sin(wt + j) cu Y

= 22 55 + = 5 2 si j = arctg 5/5 = 450 =p/4 și deci y(t) = 10sin (wt +p/4 ) Pr. 3.2.2. Fie circuitul din figura 3.2.2.

Fig. 3.2.2.

Se dau:

( ) tte wcos210= , 11 -= sw , FC 5.0= ,

W= 2R , HL 1= ;

Se cere:

1. să se determine L

X , C

X , X , RZ , LZ ,

CZ , Z, Z, j , I, LU , RU , CU ;

2. sa se determine puterea aparenta

complexa debitată de sursă în circuit,

puterea aparentă

complexă absorbită de impedante în circuit, și să se verifice soluția cu bilanțul puterilor

complexe.

Rezolvare. Se determină elementele schemei electrice echivalente în complex:

( ) )2

(sin210cos210p

ww +== ttte ; rezulta

][10)2

sin2

(cos1010 2 VjjeUj

=+==ppp

74 3. Circuite electrice de curent alternativ monofazat

Determinarea reactanțelor:

][1 W== LX L w ; ][21

W-=-=C

X C w ; si reacțanta echivalentă:

][1 W-=+= CL XXX

Determinarea impedanțelor:

][2 W== RZR ; ][1 W×=== jLjjXZ LL w ; ][2 W-=-== jC

jXjZ CC w

;

Impedanța echivalentă la bornele sursei:

][222 W-=-+=++= jjjZZZZ CCC ; respectiv jjXRZ -=+= 2 W ;

Rezultă modulul impedanței Z: [ ]W=+= 522 XRZ

și faza 0565.262

1-=÷

ø

öçè

æ-=÷ø

öçè

æ= arctgR

Xarctgj

Curentul complex prin circuit:

( ) ( ) ][242214

210

2

10Ajjj

jj

j

j

Z

UI -=+=

++

=-

== ;

Căderile de tensiune la bornele elementelor de circuit :

( ) ][24421 VjjjIZU LL --=+-==

( ) ][484221 VjjjIZU CC +=+--==

( ) ][844221 VjjIZU RR +-=+-==

2. Bilanțul puterilor complexe din circuit:

Puterea aparentă complexă debitată de sursa în circuit este:

( ) ( ) ][22040204210*

VAjjjjIUS d -=+-=--=×= ;

Dar ddd QjPS += și rezultă puterile active și reactivă debitate de sursă în circuit:

];[40 WPd = ];[20 VARQd =

Puterea aparentă complexă absorbită de impedanțe în circuit este:

( ) ( )( )( ) ( ) ][2040220424222 *2VAjjjjjIIjIZS a -=-=--+--=××-=×= .

Rezultă puterile active si reactivă absorbite de impedanțe în circuit: ][40 WPa = ,

][20 VARQa = .

3.2. Circuite electrice de curent alternativ monofazat . Probleme rezolvate 75


Fig. 3.2.3.

Se dau:

)4

sin()(p

w -= ttu , W=== 202

1

1 RC

Lw

w

Se cere să se determine:

1. să se determine L

X , C

X , X , RZ , LZ ,

CZ , Z, Z, j , 1,, IiI , 221 ,, iIi ;

2. să se determine puterea aparentă

complexă debitată de sursă în circuit,

puterea aparentă

complexă absorbită de impedanțe în circuit, și să se verifice soluția cu bilanțul puterilor complexe.

Rezolvare. Se determin` elementele circuitului echivalent [n complex.

W-=-=

W==

101

20

1

1

1

1

CX

LX

C

L

w

w

W-=-=

W==

jC

jZ

jLjZ

C

L

101

20

1

1

1

1

w

w

jjU -=-= 1)1(2

2

2

2 V

jjjj

jjZ p 20

10

200

1020

)10(*20-==

--

= W

Aj

j

Z

UI

jjZ

e

e

20

1

)1(20

1

)1(202020

=--

==

W-=-=

tti wsin220

1)( =Þ


11ZIIRU +=

pjeAj

jIIjj

20

1

20

1

2020

20

1201 11 =-=

-=Þ×=×=-

)sin(220

1)(1 pv += tti

AIIIIII10

1)

20

1(

20

11221 =--=-=Þ+=

tti wsin20

2)(2 =

)1(20

1

20

1)1( jjIUS x -=-=×= ; WP

20

1= ; VARQ

20

1-= .

Pr. 3.2.4. Fie circuitul din figura 3.2.4.a.

Fig. 3.2.4.a

Fig. 3.2.4.b.

Se dau:

e(t) = 100 2 sin wt, is (t) = 2 cos (wt-p/4), L=0,8 H, C=125 Fm w=100 s-

1. Se cere s` se calculeze: 1.curen\ii ]i tensiunea necunoscut`; 2. bilan\ul puterilor complexe. Rezolvare. Conform algoritmului: 1 - se determin` circuitul echivalent cu surse ]i impedan\e complexe care este prezentat [n figura 3.2.4.b. 2 - se scrie sistemul de ecua\ii dat de teoremele lui Kirchhoff: (1) I1 + I2 = 1+j [1] 20 I2 -80j I1 = 100 [2] 80j I1 - 80j (1+j) - U = 0. 3 – se rezolv` sistemul de ecua\ii ]i rezult` solutiile: I1 = j , I2 = 1 ]i U = - 80j

3.2. Circuite electrice de curent alternativ monofazat . Probleme rezolvate 77 4 – se verific` corectitudinea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe: Skd

toate surseleå = E I1

* + U Is* = 100×1 + (-80j) (1-j) = 20 -80j

S katoate impedantele

å = R×I22 + wLj×I1

2 -1

wCj×Is

2 = 20×1 + 80j×1- 80j×2 = 20 - 80j

5 – se determin` valorile instantanee ale necunoscutelor complexe determinate la pct. 3:

i1 = 2 sin( wt+p/2), i2 (t) = 2 sin wt, ]i u(t) = 80 2 sin( wt-p/2).


Fig. 3.2.5.

Se dau:

mFCmFC

mFCmHL

mHLR

RHzf

tte

pp

pp

p

pw

3

5,

5,2

5,

100

80,2

2,50

)4

cos(100)(

32

13

12

1

1

==

==

=W=

W==

-=

Se cere să se determine: 1. schema echivalentă în complex a circuitului, 2. impedanta echivalentă eZ la bornele sursei E ,

3. curenţii 1I , 2I şi 3I ;

4. puterile .,,,, QPQPS ggg

Rezolvare Se determina valorile elementelor de circuit pentru costituirea circuitului echivalent in complex

)4

sin(100)42

sin(100)4

cos(100)(1

pw

ppw

pw +=-+=-= tttte

)1(50)1(1

2

2

100)

4sin

4(cos

2

100

2

1004 jjjeE

j

+=+×=+==ppp

V

W=×××== - jjLjZ L 81080

502 3

1 ppw ;

W-=-=××

-=-=-

jjjC

jZC 25

10

104

5100

11

31

pw ;


W=××= - jjZ L 1010100

100 3

3 pp ;

W-=×

-= jjZC 445

100

103

2

pp

W-=×

-= jjZC 6

3

5100

103

3

pp

Impedan\a paralel este:

W+=-=-+-

= jjjjj

jjZ p 48)42(2

424

)42(4 ;

Rezult` impedan\a echivalenta la bornele sursei W+×=+++= )1(106248 jjjZe

}i curentul I1 prin surs`

Aj

jI 5

)1(10

)1(501 =

++

=

Pentru determinarea Curen\ilor I2 ]i I3 se scrie sistemul de dou` ecuații cu dou` necunoscute:

0)42(4 23 =-- IjIj

523 =+ II

Si dupa calcule Þ 0)42()5(4 22 =--- IjIj

23 5 II -=

042204 222 =+-+ IjIjIj

Rezult curen\ii necunoscu\i: jI 102 = ; )21(53 jI -= .

Rezult` marimile instantanee:

)43,63sin(105)(55

43,63)2(;5512510025

cos210)2

sin(210)(10

sin25)(5

3

)2(

3

3

22

2

1

0

1

-=Þ=

-=-===+=

=+=Þ=

=Þ=

- ttieI

arctgI

tttieI

ttieI

jarctg

j

j

w

j

wp

w

wp

Bilan\ul puterilor complexe:

ggg jQPVAjjIES +=+=×+=×= )1(2505)1(50*

11

Rezult` puterile active` ]i reactiv` debitat` de surs`: WPg 250= ]i VAQg 250=

3.2. Circuite electrice de curent alternativ monofazat . Probleme rezolvate 79 Puterea absorbit` de impedan\e este:

jjjj

jjjjjjjjjIZIZIZSa

25025050040020015050

)105)(105(4)10)(10)(42()5)(5)(62(2

33

2

22

2

11

+=+-++=

=+-+--++=++=

{n concluzie bilan\ul puterilor complexe verific` juste\ea solu\iilor. Pr. 3.2.6. Fie circuitul din figura 3.2.6.

Fig. 3.2.6.

Se dau:

tte 4cos2)( = ; )4

4sin(2)(p

+= tts

i .

HL 5,01= , HL 5,0

2= , HM 25,0= ,

HL 25,03= , FC 25,0

1=

FC 25,01= ; W= 5

1R W= 5

2R ;

W=103

R .

Se cere să se scrie ecuațiile metodei potențialelor nodurilor.

Rezolvare. Cele dou` bobine cuplate nu au un punct comun ]i deci cuplajul nu se poate sparge. Pentru scrierea ecua\iilor poten\ialelor la noduri este necesar` construc\ia circuitului echivalent cu surse de curent comandate in tensiune. Se procedeaz` [n modul urm`tor. 1. Se scriu ecua\iile de functionare ale acestor doua bobine:

1222,2121 IjIjUIjIjU +=+=

2. Se rezolvă ecuațiile de mai sus în raport cu necunoscutele I1 si I2 si rezultă ecuațiile

23231

1 Uj

j

UI +=

13

2

32

2 Uj

j

UI +=

3. Cu aceste ecua\ii poate fi realizat circuitul echivalent cu surse de curent comandate in tensiune pentru cele dou` bobine cuplate. jE =1 , .1 jsI +=

Schema echivalentă în complex este prezentată în figura 3.2.6.b.

80 3. Circuite electrice de curent alternativ monofazat Se observa ca circuitul RLC serie este un circuit rezonant cu Ze = j-j+5 =5 si doua surse ideale de tensiune care nu se pot transforma in surse de curent dar care au un punct comun. Se alege ca potential de referinta borna comun` a acestor surse.

Fig. 3.2.6.b

Rezulta circuitul echivalent din figura 3.2.6.c. si ecuatiile metodei potentialelor nodurilor sunt date in continuare.

j

VVI

IVV

V

--

=

=-

=

10

413

3351

05

Fig. 3.2.6.c

211

3

42

135

14

5

13

3

21

5

1

5

1

3

22

VVU

jV

VU

Uj

VVj

Vj

V

-=

=

-=

=---÷÷ø

öççè

æ++

jUj

Vj

Vjj

V ++=---

-÷÷ø

öççè

æ

-++ 11

35

12

10

11

10

1

5

1

3

24

Rezulta un sistem de 8 ecuatii cu 8 necunoscute: 3,2,1,5,...,1 IUUVV

3.2. Circuite electrice de curent alternativ monofazat . Probleme rezolvate 81 Pr. 3.2.7. Fie circuitul din figura 3.2.7.a.

Fig. 3.2.7.a.

Se dau:

tte 2cos22)(1 = ; )4

2sin(2)(2

p-= tte ; )

42cos(2)(

p-= ttsi .

HL 11= , HL 1

2= , HM 5,0= , HL 1

3= , HL 5,0

4= , FC 5,0

1= FC 25,0

2= ;

W= 21

R , W= 12

R .

Se cere: 1- sa se determine circuitul echivalent in complex; 2- sa se calculeze )1(0 W=ABAB ZZ ; Rezolvare:

Se determin` valorile elementelor de circuit pentru costituirea circuitului echivalent in complex

)1(2

2

2

2)

4sin

4(cos

2

2

2

24 jjeI

j

s +=+==ppp

; )1( jI s += ;

jjeEj

-=-==-

1)4

sin4

(cos2

2

2

24

2

ppp

;

Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul; bornele fiind polarizate diferit rezulta:

jjMjLM -=××-=-= 5.02w ;

jjMLjL M 3)5.01(2)( 11 =×+×=+-= w ;

jjMLjL M 3)5.01(2)( 22 =×+×=+-= w


Fig. 3.2.8.b

Fig. 3.2.8.c

Rezulta circuitul echivalent in complex din figura 3.2.8.b. Se calculeaza impedantele echivalente si se tine cont ca 0=-= jjZ es , adica este un

scutcircuit, iar ¥=-×-

=jj

jjZ ep

22

22, adica este un gol

Se pasivizeaza circuitul, si rezulta circuitul din figura 3.2.8.c. Se conecteaza intre bornele A si B o sursa de tensiune cu E=1V , si rezulta

j

j

jI

6

31

2

1

6

1 +=+=

si

10

61

31

610

j

j

j

IABZ

+=

+== .

Problema 3.2.9. Fie circuitul din figura 3.2.8.a.

Se dau:

tte 2cos22)(1 = ; )4

2sin(2)(2

p-= tte ;

)4

2cos(2)(p

-= ttis

Se cere:

1. să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor;

2. să se scrie ecuaţiile metodei curentilor ciclici. Rezolvare

Pct.1. Se determina circuitul echivalent in complex.

3.2. Circuite electrice de curent alternativ monofazat . Probleme rezolvate 83

)4

2sin(2)24

2sin(2ppp

+=+-= ttis ;

jjeEj

2)2

sin2

(cos22 21 =+==

ppp

;

)1()4

sin4

(cos2

2

2

22

2 jjeEj

-=-==- ppp

)1(2

2

2

2)

4sin

4(cos

2

2

2

24 jjeI

j

s +=+==ppp

Fig. 3.2.9.a.

Bobinele cuplate având un nod comun se poate sparge cuplajul. Bornele polarizate sunt atacate diferit şi calculând impedanţele echivalente rezultă circuitul echivalent in complex din figura 3.2.8.b. Se tine cont ca 0=-= jjZ es , adica este un scutcircuit, iar

¥=-×-

=jj

jjZ ep

22

22, adica este un

gol, si rezulta circuitul din figura 3.2.9.a. Se transforma sursa de tensiune VjE 21 = [n serie cu

impedanta W= 21sZ [n surs` de curent. Circuitul contine o sursa ideala de tensiune VjE )1(2 -= care nu poate fi transformata in sursa de curent ]i nodul 4 se alege ca nod de referinta, respectiv potentialul nodului 4 este nul, 04 =V ]i rezulta circuitul din

figura 3.2.9.b.

Fig. 3.2.9.b.

Ecuatiile date de metoda potentialelor la noduri sunt:

04 =V

jV -=11

jj

VVj

V -=--++ )3

1()

1

1()

3

1

2

1

1

1( 312

jj

Vjj

V --=-+ 1)3

1()

3

1

3

1( 23

84 3. Circuite electrice de curent alternativ monofazat Rezulta un sistem de 4 ecuatii cu 4 necunoscute Pct.2. Fie circuitul din figura 3.2.9.a. Exista o sursa ideala de curent, AjI s )1( += , care nu poate fi transformata in sursa de tensiune si care este plasata [n coarbore. Rezulta arborele din figura 3.2.9.c, figurat cu linie plin`, curentii ciclici corespunzatori celor trei bucle ]i circuitul din figura 3.2.9.d.

Fig. 3.2.9.c.

Fig. 3.2.9.d.

Ecuatiile date de metoda curentilor ciclici sunt:

'

22

'

1

'

2

'

3

'

2

'

11

21

'

1

'32

'

'

1

1211)12(

1)12(1)212(

1

II

jjIII

III

IjjIjjIIjjI

jI

-=

-+-=+++

+=

+-+-=++×-++

+=

Rezulta un sistem de 5 ecuaţii cu 5 necunoscute '

1I , '

2I , '

3I , 1I , 2I


3.3. Probleme propuse Pr.3.3.1. Fie circuitul din figura 3.3.1. Se dau:

FC 01.0= ; W= 20R ; HL 1,0= ;

( ) ];[)2/sin(220 Vttu pw += 1100 -= sw ;

Se cere:

1. să se determine LX , CX , X , RZ , LZ , CZ , Z, Z,

j , I, LU , RU , CU , )(ti .

2. să se determine puterea aparentă complexă debitată de sursă în circuit, puterea aparentă complexă absorbită de impedanțe în circuit, și să se

verifice soluția cu bilanțul puterilor complexe.

Fig. 3.3.1

Pr.3.3.2. Fie circuitul din figura 3.3.2 Se dau:

,80

,2,2

,50],[)4

cos(100)(

131

1

mHLRR

HzfVtte

p

pw

=W=W=

=-=

;100

2 mHLp

= ,5

1 mFCp

=

;3

5,

5,232 mFCmFC

pp==

Se cere: 1.să se determine schema echivalentă în

complex a circuitului şi curenţii 1I ,

2I şi 3I

2.bilanţul puterilor complexe 3.valorile instantanee ale mărimilor determinate la punctul 1

Fig.3.3.2

86 3. Circuite electrice de curent alternativ monofazat Pr.3.3.3. Fie circuitul din figura 3.3.3. Se dau:

];[sin2)(

;20,20

1,1;1,1

33

2211

Vtte

HLR

HLRHLR

=

=W=

=W==W=

Se cere:

1.să se determine curenţii 1I , 2I , 3I şi

3U

2.bilanţul puterilor complexe 3.valorile instantanee ale mărimilor determinate la punctul 1.

Fig.3.3.3.

Pr. 3.3.4. Fie circuitul din figura 3.3.4. Se dau:

];[sin2)(

;20,20

;1,1

33

11

Vtte

HLR

HLR

=

=W=

=W=

Se cere: 1. Să se determine curenţii şi tensiunile

necunoscute; 2. Să se verifice bilanţul energetic.

Fig.3.3.4 Pr.3.3.5. Fie circuitul din figura 3.3.5. Se dau:

;sin230)( tte w=

];[)4

sin(2)( Attis

pw +=

;100 1-= sw

Se cere să se determine:

1.curenţii 1I , 2I şi tensiunea

U necunoscute

2.bilanţul puterilor complexe 3.valorile instantanee ale mărimilor determinate la punctul 1

Fig. 3.3.5

3.3 Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Probleme propuse 87 Pr. 3.3.6. Fie circuitul din figură. Se dau:

];[sin2220)(

;50,33

;111

,221

32

31

21

Vttu

HzfLL

CCRR

w

ww

ww

=

=W==

W=W===

Se cere: 1.Să se determine curenţii şi tensiunile necunoscute; 2. Să se verifice bilanţul energetic; 3.Puterile active şi reactive absorbite.

Fig.3.3.6

Pr.3.3.7. Fie circuitul din figura 3.3.7. Se dau:

;101

W===C

LRw

w

];[sin2100)( Vtte w=

Se cere: 1.Să se determine curenţii şi tensiunile necunoscute; 2. Să se verifice bilanţul energetic; 3.Puterile active şi reactive absorbite.

Fig.3.3.7


;101

1

11 W===C

LRw

w

];[sin2100)( Vtte w=

Se cere:

1.Să se determine curenţii curenţii 1I , 2I şi

3I şi tensiunile necunoscute;

2.. Să se verifice bilanţul energetic; 3.Puterile active şi reactive absorbite.

Fig.3.3.8


];[)4

(sin2100)( Vttep

w +=

;10

;3 11 mHLRp

=W=

;2000

;5 22 FCR mp

=W=

;50

3 mHLp

=

Se cere:

1.Să se determine curenţii curenţii 1I ,

2I şi 3I şi tensiunile necunoscute;


Fig.3.3.9


];[sin2120)( Vtte =

;1;6 12 FCR =W=

;1;8 33 HLR =W=

Se cere:

1.Să se determine curenţii curenţii 1I ,

2I şi 3I şi tensiunile necunoscute;


Fig.3.3.10


];[2sin2)( Vtte =

];[2cos4)( AttiS =

;21 W=R ;5.01 FC = ;11 HL =

;12 W=R ;12 FC = ;12 HL =

Se cere:

1.Să se scrie ecuaţiile metodei

potenţialelor la noduri;

2.Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor

ciclici;

3.Să se calculeze ABU ., 0ABU , 0ABZ .

Fig.3.3.11

3.3 Circuite electrice de curent alternativ monofazat. Probleme propuse 89 Pr.3.3.12. Fie circuitul din figura 3.3.12. Se dau:

];[sin2)( AttiS =

;11 W=R ;11 FC = ;11 HL =

;22 HL = ;5.02 FC = ;23 HL =

Se cere:




curenţilor ciclici;

3.Să se calculeze ABU ., 0ABU , 0ABZ

Fig.3.3.12


];[cos2)(1 Vtte =

];[sin2)( AttiS =

;21 W=R ;11 HL = ;11 FC =

;22 HL = ;5.02 FC = ;23 HL =

Se cere:






Fig.3.3.13


];[sin2)( Atti =

;11 W=R ;11 HL = ;11 FC =

;22 HL = ;5.02 FC = ;23 HL =

Se cere:






Fig.3.3.14


];[2sin22)(1 Vtte =

];[)4

2(sin2)(2 Vttep

-=

;21 W=R ;11 HL = ;4

11 FC = ;12 W=R

;12 HL = ;5.02 FC =

Se cere:

1.Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor la

noduri;


ciclici;


Fig.3.3.15


];[2cos22)(1 Vtte =

];[)4

2(sin2)(2 Vttep

-=

];[)4

2(cos2)( AttiS

p-=

;11 W=R ;5.01 FC = ;11 HL =

;22 W=R

;12 FC = ;12 HL = ;23 HL =

;24 HL = Se cere:




ciclici;


Fig.3.3.16


];[sin2)(1 Vtte = ;21 W=R ;11 FC =

;21 HL = ;12 W=R ;5.02 FC =

;22 HL =

Se cere:

1.Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor la

noduri;


ciclici;


Fig.3.3.17

Pr.3.3.18. Fie circuitul din figura 3.3.18. Se dau: ];[2sin2)(1 Atti =

;21 W=R ;5.01 FC = ;21 HL =

;12 W=R ;22 HL =

Se cere:




ciclici;


Fig.3.3.18 Pr.3.3.19. Fie circuitul din figura 3.3.19 Se dau:

];[2cos2)(1 Vtte =

];[)4

2(cos2)( AttiS

p+=

;11 W=R ;5.01 FC = ;11 HL =

;32 W=R ;5.02 FC = ;5.02 HL =

;23 HL =

Se cere:




ciclici;


Fig.3.3.19


Circuite de c.a. in regim deformant Pr.3.3.20. Fie circuitul din figura 3.3.20. Se dau:

;3841

1

1 W==C

Lw

w

;252 W=Lw ;2251

2

W=Cw

[ ]Vt

ttte

w

ww

5sin220

3sin2100sin2200)(

+

+=

Se cere: 1. Sa se determine tensiunea u(t) si curentul i(t); 2. Puterile debitate de sursa pentru circuitul din figura.

Fig.3.3.20


;10W=R ;5W=Lw ;201

W=Cw

[ ]Vt

ttte

)3

5sin(250

)3

3sin(2100sin2200)(

pw

pww

++

+-+=

Se cere: 1. Sa se determine valoarea instantanee a curentului i(t) prin sursa; 2. Puterile debitate de sursa in cazul alimentarii cu tensiunea e(t).

Fig.3.3.21


;1;1 11 W== RHL ;2

1;2 22 FCHL ==

][2sin24cos222)( AtttiS ++=

Se cere: 1. Sa se determine valoarea efectiva in regim permanent a tensiunii u(t); 2. Puterile debitate de sursa .

Fig.3.3.22


;101 W=R ;22 W=R ;103 W=R

;34 W=R ;15;5 W-=W= CL XX

++= tte wsin220010)(

][3sin220 Vtw+

Se cere: 1. Sa se determine curentul i(t); 2. Valoarea efectiva a curentului i(t); 2. Puterile debitate de sursa .

Fig.3.3.23


;15W=R ;10 mHL = ;100 FC m=

][2sin2300sin2150150)( Vttte ww ++=

][1000 1_s=w

Se cere: 1. Sa se determine valoarea i(t) a curentului absorbit de circuit; 2. Puterile absorbite de circuit: activa, reactiva, aparenta si deformanta;.


;31

1

1 W==C

Lw

w ;91

2

W=Cw

;13 W=Lw ;3321 W=== RRR

][3sin2100sin212060)( Vttte ww ++=

Se cere: 1. Sa se determine curentul i(t) prin sursa; 2. valoarea efectiva a curentului i(t) prin sursa ; 3. Puterile debitate de sursa .

Fig.3.3.25


;10

1 HmLp

= ;104

2 FC mp

==

;50 Hzf = ;121 W== RR

][3sin2100sin2100)( Vttte ww +=

Se cere: 1. Sa se determine curentul i(t) prin sursa si valoarea sa efectiva ; 2. Sa se determine u(t); si valoarea efectiva in regim permanent a tensiunii u(t); 3. Puterile debitate de sursa .


;1;1 11 W== RHL ;2

1;2 22 FCHL ==

][2sin25cos222)( AtttiS ww ++=

][5sin223sin25)( Vttte ww +=

][1 1_s=w

Se cere: 1. Sa se determine curentul i(t) prin sursa si valoarea sa efectiva ; 2. Sa se determine valoarea efectiva in regim permanent a tensiunii u(t); 3. Puterile debitate de surse .

Fig.3.3.27


;1;1 11 W== RHL ;2

1;2 21 FCFC ==

][2sin24cos222)( AtttiS ww ++=

][3sin210)( Vtte w=

][10 1_s=w

Se cere: 1. Sa se determine curentul i(t) prin sursa si valoarea sa efectiva ; 2. Sa se determine valoarea efectiva in regim permanent a tensiunii u(t); 3. Puterile debitate de surse .

Fig.3.3.28

4. Circuite de curent alternativ trifazat 95

4. CIRCUTE DE CURENT ALTERNATIV TRIFAZAT 4.1. Breviar teoretic 4.1.1. Sisteme trifazate; caracterizare ]i propriet`\i Un sistem trifazat este un ansamblu de trei m`rimi sinusoidale de aceea]i pulsa\ie w . Fie sistemul:

( )( )( )333

222

111

sin2

sin2

sin2

aw

aw

aw

+=

+=

+=

tYy

tYy

tYy

(4.1.1)

Sistemul (4.1.1) are reprezentarea [n complex dat` de rela\ia:

Fig. 4.1.1

3

2

1

33

22

11

a

a

a

j

j

j

eYY

eYY

eYY

=

=

=

(4.1.2)

diagrama fazorial` fiind prezentat` [n figura 4.1.1. Un sistem trifazat simetric este un sistem trifazat ale c`rui m`rimi

sinusoidale sunt defazate [ntre ele cu 3

2p ]i au modulele sunt egale

[ntre ele: YYYY === 321 (4.1.3)

Un sistem trifazat simetric poate fi de succesiune direct` dac` secven\a 321 ,, YYY se

ob\ine prin parcurgere [n sens orar ]i de succesiune invers` dac` aceea]i secven\` se parcurge [n sens antiorar. Fie un sistem simetric de succesiune direct`. Sistemul m`rimilor instantanee este:

÷ø

öçè

æ -=

÷ø

öçè

æ -=

=

3

2sin2)(

3

2sin2)(

sin2)(

3

2

1

pw

pw

w

tYty

tYty

tYty

(4.1.4)

Reprezentarea [n complex a sistemului dat de rel. (4.1.4) este:

aYYeY

YaYaYeY

YY

j

j

==

===

=

-

3

2

3

2

1

23

2

2

1

p

p

(4.1.5)

96 4. Circuite de curent alternativ trifazat

Fig. 4.1.2.

Diagrama fazorial` a sistemului dat de rel. (4.1.5) este prezentat [n figura 4.1.2. {n rela\iile de mai sus s-au folosit nota\iile:

2

3

2

1

3

2sin

3

2cos3

2

jjeaj

+-=+==ppp

2

3

2

1

3

2sin

3

2cos3

2

2 jjeaj

--=-+-==- ppp

(4.1.6) Se observ` c` 1, a ]i a2 sunt solu\iile ecua\iei 013 =-x

]i satisfac urm`toarele rela\ii:

01 2 =++ aa , 2* aa = , ( ) aa =

*2, 13 =a , aa =4

, 25 aa = . (4.1.7)

4.1.2. M`rimi trifazate {n centralele electrice se produce energie electric` cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care furnizeaz` tensiuni ce formeaz` un sistem trifazat simetric de succesiune direct`:

)3

2sin(2)(

)3

2sin(2)(

sin2)(

3

2

1

pw

pw

w

+=

-=

=

tEte

tEte

tEte

(4.1.8)

Producerea energiei electrice cu generatoare trifazate este foarte eficient`. Transmisia energiei electrice la receptor se face prin intermediul liniilor electrice.

Fig. 4.1.3

Fiecare faz` a generatorului trifazat ar putea alimenta un receptor separat ]i deci linia ar putea avea ]ase conductoare. Acest sistem de transmisie nu este [ns` economic. Prin conexiuni speciale, [n stea sau [n triunghi ale receptoarelor, num`rul de conductoare se poate reduce la trei sau patru ca [n figura 4.1.3..

Avantajele distribu\iei trifazate a energiei electrice sunt: - transmisie de energie mai economic` (economie de material – Al sau Cu Cond),

puterea maxim` pe conductor fiind mai mare; - posibilitatea de a avea dou` valori pentru tensiuni la utilizator: fU ]i lU ;

- posibilitatea producerii c@mpurilor magnetice [nv@rtitoare pe care se bazeaz` func\ionarea motoarelor asincrone.

Un circuit trifazat con\ine cel pu\in un generator ]i un receptor conectate [ntre ele prin conductoarele liniei de transport al energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care sunt parcurse de acela]i curent formeaz` o faz` a generatorului. Faza receptorului este format` asem`n`tor din elemente de circuit parcurse de acela]i curent. Un generator trifazat, ca ]i un receptor trifazat are trei faze.Pentru a utiliza c@t mai pu\ine conductoare de leg`tur` at@t generatoarele c@t ]i receptoarele trifazate se conecteaz` [n stea sau [n triunghi.

4.1. Circuite de curent alternativ trifazat. Breviar teoretic 97 Fie, de exemplu, un generator conectat [n stea legat cu un receptor conectat [n stea. Fazele generatorului formate din gZE 11 ( faza 1), gZE 22 (faza 2) ]i gZE 33 (faza

3), sunt legate [mpreun` [n punctul 0 neutrul generatorului. Fazele receptorului 1Z , 2Z ]i

3Z sunt legate [mpreun` la neutrul receptorului N, dup` cum se prezint` [n figura 4.1.4.

Fig. 4.1.4.

Conexiunea stea se caracterizeaz` prin legarea tuturor fazelor la un punct neutru. Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport a energiei care are patru conductoare: cele trei faze: conductoarele 1-1’, 2-2’ ]i 3-3’ ]i conductorul neutru 0-N care, [n general, are o impedan\` NZ . {n tehnic`, tensiunea la bornele unei faze a generatorului

sau a receptorului se nume]te tensiune de faz` (de exemplu gU 1

sau NU 2 ). Asem`n`tor

curentul printr-o faz` a generatorului sau a receptorului se nume]te curent de faz`. Tensiunea [ntre o faz` a liniei ]i conductorul de nul se nume]te tot tensiune de faz` de]i, [n general, are alt` valoare dec@t tensiunea de faz` a generatorului sau a receptorului. De exemplu 10U , 20U , 30U sunt tensiuni de faz` dar, [n acest caz

gUU 110 = ]i

NUU 110 ¹ .

Curen\ii care trec prin prin conductoarele 1-1’, 2-2’ ]I 3-3’ se numesc curen\i de linie - 321 ,, III .

Curentul care trece prin conductorul neutru se nume]te curent de nul NI . Tensiunile [ntre conductoarele 1-1’, 2-2’ ]i 3-3’ se numesc tensiuni de linie, de exemplu 12U , 23U ]i 31U .

La conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faz`:

fl II UU = (4.1.9)

adic`

rg

rg

rg

III

III

III

333

222

111

==

==

==

(4.1.10)

Dac` tensiunile de faz` 10U , 20U , 30U formeaz` un sistem simetric de succesiune

direct`, atunci ]i tensiunile de linie 12U , 23U ]i 31U formeaz` un sistem simetric de

succesiune direct` cu valori efective de 3 ori mai mari, [ntre tensiunile de faz` ]i de linie exist@nd rela\ia:

fl UU UU = 3 . (4.1.11)

98 4. Circuite de curent alternativ trifazat Fie fazorii:

Fig. 4.1.5.

103031

302023

201012

UUU

UUU

UUU

-=

-=

-=

(4.1.12)

Rezult` diagrama de fazori din figura 4.1.5.

Se ob\ine un triunghi echilateral cu latura lU ]i cu 3

2 din

[n`l\ime egal` cu fU . Cum [ntre [n`l\ime ]i latur` [ntr-un

triunghi echilateral exist` rela\ia:

2

3ah = , (4.1.13)

rezult`: 2

3

2

3ef UU = , (4.1.14)

respectiv:

fe UU 3= . (4.1.15)

Un receptor trifazat se poate considera ca fiind alimentat fie cu sistemul tensiunilor

10U , 20U , 30U , fie cu sistemul tensiunilor 12U , 23U ]i 31U .

Fig. 4.1.6

La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sf@r]itul unei faze este legat la [nceputul fazei urm`toare.

Fie un receptor [n triunghi cu fazele 12Z , 23Z ]i

31Z alimentat printr-o linie cu trei conductoare de leg`tur` ca [n figura 4.1.6. Se observ` c` tensiunea de linie 12U este ]i tensiunea la bornele fazei 12Z a

receptorului ]i a]a mai departe. Deci la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este egal` cu tensiunea de faz`: fl UU DD = . (4.1.16)

{n acest caz, curen\ii de linie sunt 1I , 2I ]i 3I iar curen\ii de faz` sunt 12I , 23I ]i

31I , [ntre curen\ii de linie ]i curen\ii de faz` exist@nd rela\ia:

lf II DD = 3 . (4.1.17)

4.1.3. Puteri. Compensarea factorului de putere 4.1.3.1. Puteri Fie un receptor cu patru borne de acces ca [n figura 4.1.7. Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol se ob\ine:

bbb jQPIUIUIUS +=++= *

330

*

220

*

110 , (4.1.18)

unde bS este puterea aparent` complex` absorbit` de receptorul [n stea.

4.1. Circuite de curent alternativ trifazat. Breviar teoretic 99

Fig. 4.1.7.

Aplic@nd teorema conserv`rii puterilor aparente complexe, adic`, puterea aparent` complex` primit` pe la borne de receptor este egal` cu puterea aparent` complex` consumat` [n impedan\e, rezult`:

+++== *

333

*

222

*

110 IIZIIZIIZSS cb

*

NNN IIZ+ , (4.1.19)

unde 1Z , 2Z , 3Z ]i NZ sunt impedan\ele receptorului [n stea.{n cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice exist` rela\iile:

131030

1

2

210

2

20

110

aIIUaU

IaIUaU

eIIUU j

ff

==

==

== - j

(4.1.20)

Din rela\iile (4.1.19- 4.1.20) rezult`: jjj j

ff

j

ff

j

ff

j

ffsteab eIUaaeIUaaeIUeIUIUIUIUS 3)( *22*

330

*

220

*

110 =×++=++=

respectiv:

j

j

sin3

cos3

llstea

llstea

IUQ

IUP

=

= (4.1.21)

]i:

2

2

3

3

ffsteacsteab

ffsteacsteab

IXQQ

IRPP

==

== 4.1.22)

Fie un receptor cu trei borne de acces ca [n figura 4.1.8. Rezult`:

Fig. 4.1.8.

*

232

*

112 IUIUSb += (4.1.23)

Dac` receptorul este [n triunghi:

23313

12232

31121

III

III

III

-=

-=

-=

(4.1.24)

]i 0312312 =++ UUU . (4.1.25)

Deci:

*

3131

*

2323

*

3112

*

2332

*

3132

*

3112

*

1212 IUIUIUIUIUIUIUSb ++=-+-= . (4.1.26)

Expresia ob\inut` reprezint`, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze. Din bilan\ul puterilor aparente complexe rezult`: 2

3131

2

2323

2

1212 IZIZIZSS cb ++== . (4.1.27)

Pentru receptorul echilibrat [n triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu jj

f eII -=12 ].a.m.d. rezult`:

jjffb eIUS 3=D , (4.1.28)

respectiv:

2

2

3sin3

3cos3

ffceeb

ffceeb

IXQIUQ

IPPIUP

===D

===D

D

D

j

j. (4.1.29)

100 4. Circuite de curent alternativ trifazat 4.1.3.2. Compensarea factorului de putere Receptoarele industriale fiind inductive, [mbun`t`\irea factorului de putere se poate efectua cu baterii de condensatoare conectate [n stea (fig. 4.1.9.) sau [n triunghi (fig.

4.1.10.).

Fig. 4.1.9.

Fig. 4.1.10.

{n cazul unor receptoare echilibrate not`m: - Q – puterea reactiv` a receptorului inductive; - Qc- puterea reactiv` a condensatorului; - Q’=Q+Qc- puterea reactiv` a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare; o valoare pozitiv` foarte mic` care corespunde unei medii statice [n timp pentru consumatorul respective.

Rezult` rela\iile:

2

2

3

3

fYYC

lC

UCQ

UCQ

w

w

-=

-= DD (4.1.30)

Rezult` pentru capacitatea pe faz`:

33

'

3

'

2

2

Y

l

f

Y

C

U

QQC

U

QQC

=-

=

-=

D w

w (4.1.31)

Cum YCC <D , compensarea cu baterii de condensatoare legate [n triunghi este mai

avantajoas` din punctul de vedere al pre\ului condensatoarelor. Totu]i condensatorul DC

lucreaz` la o tensiune mai mare dec@t YC ceea ce [i m`re]te pre\ul. Solu\ia optim` se alege [n fiecare caz concret. 4.1.4. Analiza circuitelor trifazate Analiza circuitelor trifazate const` [n determinarea curen\ilor de faz` ]i de linie c@nd se cunosc tensiunile de alimentare ]i impedan\ele fazelor. Se pot aplica toate metodele de analiz` studiate anterior. Exist` ]i algoritmi specifici circuitelor trifazate care vor fi prezenta\i [n continuare. 4.1.4.1. Analiza unor receptoare trifazate simple. Receptorul [n stea 4.1.4.1.1. Receptorul [n stea cu fir neutru Fie un receptor [n stea cu fir neutru ca [n figura 4.1.11. Se noteaz` cu N nulul receptorului ]i cu 0 nulul de la generator. Se cunosc: - tensiunile de faz` care alimenteaz` receptorul 10U , 20U , 30U ;

4.1. Circuite de curent alternativ trifazat. Breviar teoretic 101 - impedan\ele fazelor 1Z , 2Z , 3Z ]i impedan\a conductorului neutru NZ ;

Fig. 4.11.

Se cere s` se determine m`rimile: - curen\ii dintre fazele receptorului 1I , 2I , 3I ;

- curentul din firul neutru NI ;

- tensiunea 0NU .

Se scriu urm`toarele ecua\ii date de teoremele lui Kircchhof ]i Legea lui Ohm aplicate [n circuitul dat:

3003

2002

1001

UUU

UUU

UUU

NN

NN

NN

=+

=+

=+

(4.1.32)

]i

321

0

333

222

111

IIII

YUI

YUI

YUI

YUI

N

NNN

N

N

N

++=

=

=

=

=

(4.1.33)

unde:

1

1

1

ZY = ,

2

2

1

ZY = ,

3

3

1

ZY = ,

N

NZ

Y1

= . (4.1.34)

Prin opera\ii elementare asupra acestor ecua\ii rezult`:

N

NYYYY

YUYUYUU

+++

++=

321

330220110

0 (4.1.35)

Aceast` expresie se nume]te formula lui Millman sau formula de calcul a deplas`rii punctului neutru. Algoritmul de analiz` a circuitelor este urm`torul: 1). Se pleac` de la tensiunile de faz` de alimentare ( 10U , 20U ]i 30U ) ]i admitan\ele

receptorului din rel.(4.1.34), cu care se determin` 0NU din rela\ia (4.1.35).

2). Se determin` tensiunile de faz` la receptor NU 1 , NU 2 ]i NU 3 cu rel. (4.1.32)

3). Se determin` curen\ii dintre fazele receptorului 1I , 2I , 3I ]i curentul din firul neutru

NI cu rel. (4.1.33). Dac` tensiunile de alimentare formeaz` un sistem simetric:


f

f

f

aUU

UaU

UU

=

=

=

30

2

20

10

(4.1.36)

]i receptorul este echilibrat jeYeYZ

-==1

atunci rela\ia (4.1.35) devine:

03

)1( 2

0 =+

++=

N

f

NYY

aaUYU (4.1.37)

]i tensiunile de faz` ]i curen\ii de faz` formeaz` sisteme simetrice:

fN

fN

fN

aUUU

UaUU

UUU

==

==

==

303

2

202

101

(4.1.38)

respectiv

je

fN

je

fN

je

fN

eaIYUI

eIaYUI

eIYUI

-

-

-

==

==

==

33

2

22

11

(4.1.39)

]i 0321 =++= IIII N Se poate observa c` la receptorul echilibrat [n stea alimentat cu tensiuni simetrice:

fl UU 3= (4.1.40)

fl II =

4.1.4.1.2. Receptorul [n stea f`r` fir neutru Fie un receptor stea f`r` fir neutru ca [n figura 4.1.12.

Fig. 4.1.12

Se dau: - tensiunile de linie care alimenteaz` receptorul:

eUU =12

eUaU 2

23 = (4.1.41)

eaUU =31

]i impedan\ele fazelor 321

,, ZZZ .

Se cere s` se determine curen\ii [n fazele receptorului 321

,, III .

4.1. Circuite de curent alternativ trifazat. Breviar teoretic 103

Avem ecua\iile:

0321

3

3

3

33

2

2

2

22

1

1

1

11

=++

-==

-==

-==

III

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

NN

NN

NN

(4.1.42)

Pentru determinarea poten\ialului NU se allege ca poten\ial de referin\` poten\ialul

neutrului re\elei ca ]i cum ar fi accesibil:

321

332211

YYY

YUYUYUU N ++

++= (4.1.43)

unde:

6313

6232

6121

3

3

3

p

p

p

j

j

j

eU

U

eU

U

eU

U

-

-

-

=

=

=

(4.1.44)

{n cazul particular al receptorului echilibrat: ZZZZ === 321 (4.1.45) ]i din (4.1.43) :

03

)( 321 =++

=Y

UUUYU N

rezult`:

j

j

jj

j

f

j

f

j

f

jl

eaII

eIaZ

UI

eIeZ

U

Z

UI

-

-

--

=

==

===

3

2

2

22

1

11

3

(4.1.46)

]i: 0321 =++ III Tensiunile de faz` ]i curen\ii de faz` formeaz` sisteme simetrice. La receptorul echilibrat [n stea alimentat cu tensiuni simetrice avem:

fl UU 3= (4.1.47)

fl II =


4.1.4.1.3. Receptorul [n triunghi Fie un receptor [n triunghi ca [n figura 4.1.13. Sunt cunoscute tensiunile de linie U12, U23 , U31 ]i impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31. Se cere s` se calculeaze curen\ii de linie: I1 , I2 , I3 ]i curentii din fazele receptorului: I12, I23 , I31 . {n total sunt ]ase necunoscute de determinat.

Fig. 4.1.13

Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui Kirchhoff rezult`:

12

1212

Z

UI = ,

23

2323

Z

UI = ,

31

3131

Z

UI = ,

31121 III -= , (4.1.48)

12232 III -= ,

23313 III -= .

O alt` metod` de a ob\ine curen\ii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea ]i aplicarea algoritmului din paragraful 4.1.4.1.1. Dac` receptorul [n triunghi este echilibrat

( jjZeZZZ === 312312 ) ]i este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni

( 32

,32

, 312312

pp jUeU

jUeUUU =

-== ) atunci curen\ii din fazele receptorului sunt:

j×-= je

Z

UI 12

)3

2(

23

pj+×-=

je

Z

UI ]i

)3

2(

31

pj-×-=

je

Z

UI (4.1.49)

]i formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu j fata de tensiunile U12, U23 , U31 ca [n

Fig. 4.1.14

figura 4.1.14. Curen\ii de linie sunt: )

6(

63)]2

3

2

1(1[1

pjpjj --

=--=+---=

je

lI

je

jeIj

je

Z

UI f

)3

26

(

2

ppj ++-=

jeII l (4.1.50)

)3

26

(

3

ppj +--=

jeII l

]i formeaz` tot un sistem simetric. Se observ` ca [n cazul receptorului echilibrat [n triunghi alimentat cu tensiuni simetrice: lf UU = (4.1.51)

fl II 3= .

Deci pentru receptoarele echilibrate [n stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice este suficient s` se fac` analiza pentru o faz`, marimile celorlalte faze rezult@nd din proprie`\tile de simetrie.

4.1. Circuite de curent alternativ trifazat. Breviar teoretic 105 4.1.5. Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea

Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedan\ele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului

Fig. 4.1.15

echivalent ca [n figura 4.1.15. Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 [n ambele circuite si se calculeaz` impedan\a echivalent` [ntre bornele 1 si

2 (Ze12) care trebuie s` fie aceea]i:

32

32112

ZZ

ZZZZ

Y

e ++= (4.1.52)

]i

231212

111

ZZZ e

+=D

(4.1.53)

deci :

313221

32

2312

11

ZZZZZZ

ZZ

ZZ +++

=+ (4.1.54)

{n mod asem`nator se ob\in rela\iile:

313221

31

2312

11

ZZZZZZ

ZZ

ZZ +++

=+ ]i313221

21

3123

11

ZZZZZZ

ZZ

ZZ +++

=+ (4.1.55)

Se adun` cele trei ecua\ii (4.1.54 - 4.1.55) ]i se simplific` cu 2:

313221

321

312312

111

ZZZZZZ

ZZZ

ZZZ ++++

=++ (4.1.56)

Din relatia de mai sus se scade pe r@nd fiecare din ecua\iile ini\iale ]i se obtin:

3

31322112

Z

ZZZZZZZ

++=

1

31322123

Z

ZZZZZZZ

++= (4.1.57)

2

31322131

Z

ZZZZZZZ

++=

Dac` steaua este echilibrat` de impedan\` ZY pe fiecare faz`, atunci triunghiul

echivalent este ]i el echilibrat , de impedant\` ZD = 3ZY.

106 4. Circuite de curent alternativ trifazat Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea (fig. 4.1.16) se procedeaz` similar,

Fig. 4.1.16

consider@nd pe r@nd c@te o born` [n gol.:

312312

312312)3(12

)(

ZZZ

ZZZZ ingole ++

+=D (4.1.58)

21)3(12 ZZZY

ingole += (4.1.59)

{n continuare calculul continu` ca [n cazul stea-triunghi.

Rezult`:

312312

31121

ZZZ

ZZZ

++= , ,

312312

12232

ZZZ

ZZZ

++=

312312

23313

ZZZ

ZZZ

++= . (4.1.60)

Un triunghi echilibrat de impedanta ZD are o stea echivalenta echilibrata de impedanta

ZY= ZD3

.

4.Circuite de curent alternativ trifazat. 107

4.2. Probleme rezolvate

Pr. 4.2.1. Fie receptorul trifazat echilibrat din figura 4.2.1. Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 380= .

Se dau: W= 5R ]i W= 35L

X .

Se cere s` se determine: 1.Valorile instantanee ale curen\ilor )(

1ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;

2.Puterile P ]i Q consumate; 3.Factorul de putere al circuitului.

Fig. 4.2.1.

Rezolvare:

1.Pentru conexiunea stea sunt indeplinite rela\iile: f

Ul

U 3= ]i f

Il

I = ; rezult` c`

VlU

fU 220

3

380

3=== .

Receptorul este echilibrat, deci poten\ialul punctului neutru este VN

V 0= ]i tensiunile

formeaz` un sistem trifazat simetric de succesiune direct`. Rezult`: 220

101==U

NU ;

3

2

220202

pj

eUN

U-

== ; respectiv )31(110)2

3

2

1(220

2jj

NU --=--= ;

3

2

220303

pj

eUN

U == ; respectiv )31(110)2

3

2

1(220

2jj

NU +-=+-= .

Impedan\a pe faz` este data de rela\ia: L

XjRfZ += ; respectiv )31(5 jfZ += ;

Rezult` admitan\a pe faz`: 20

31

)31(5

31

)31(5

11 jj

jfZfY

-=

+

-=

+==

Rezult` curen\ii:

322)31(1122020

3111

pj

ejj

NUfYI-

=-=-

==

pjej

jNUfYI

-=-=--

-== 2222)31(110

20

3122

108 4.Circuite de curent alternativ trifazat

322)31(11)31(11020

3133

pj

ejjj

NUfYI =+=+--

==

Deci curen\ii formeaz` un sistem trifazat simetric de succesiune direct`. Valorile instantanee ale curen\ilor )(

1ti , )(

2ti ]i )(

3ti sunt determinate [n continuare.

Pentru 311111 ×-= jI , valoarea efectiv` este AAI 22113111

22 =×+= . Defazajul

este dat de rela\ia 3

60311

311 pj -=-=-=

×-= oarctgarctg .

Rezult`:

Atti )3

sin(222)(1

pw -××= .

Pentru 222 -=I , valoarea efectiv` este AI 222= . Defazajul este pj -= .

Rezult`:

Atti )sin(222)(2

pw -××= .

Pentru 311113 ×+= jI , valoarea efectiv` este AAI 22113113

22 =×+= .

Defazajul este dat de rela\ia 3

60311

311 pj ===

×= oarctgarctg .

Rezult`:

Atti )3

sin(222)(3

pw +××= .

2. Puterea activ` P consumat` este dat` de rela\ia:

23f

If

RP ×= ; respectiv WP 726022253 =××=

Puterea reactiv` Q consumat` este dat` de rela\ia:

23f

If

XQ ×= ; respectiv VARP 1257537260222533 ==×××=

3.Factorul de putere

Impedan\a pe faz` este )31(5 jfZ += ; iar modulul

W=+=+= 107525)22f

Xf

Rf

Z .

Factorul de putere este dat de rela\ia:

fZ

fR

=jcos deci 5,010

5cos ==j ]i

360

pj == o

4.2 Circuite de curent alternativ trifazat. Probleme rezolvate 109 Pr.4.2.2. Fie receptorul trifazat echilibrat reprezentat [n figura 4.2.2. Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni simetric de succesiune direct` 3x220/127 V. Se d` impedan\a pe faz` )1(2 jZ += .

Se cere s` se determine: 1. Curen\ii de faz`; 2. Curen\ii de linie; 3.Puterile trifazate active, reactive ]i aparente; 4.Factorul de putere al circuitului. Rezolvare: Receptorul este echilibrat ]i curen\ii formeaz` un sistem trifazat simetric. Din aceast` proprietate rezult` c` este suficient s` se calculeze curentul pe o singur` faz`, Fig. 4.2.2 ceilal\i curen\i pot fi u]or determina\i lu@nd [n considerare [ndeplinirea condi\iei de simetrie.

1.Pentru conexiunea triunghi sunt indeplinite rela\iile: f

Ul

U = ]i f

Il

I 3= .

Sistemul de tensiuni este: 20212 =U

202223 ×= aU

20231 ×= aU

Curentul 12I este dat de rela\ia Z

UI 1212 = ]i rezult`:

)1(552

)1(110

)1(2

22012 j

j

jI -×=

-×=

+= ;

Valoarea efectiv` este AI 78,7725525525512

=×=+=

Defazajul este dat de rela\ia 4

45155

55 pj -=-=-=-= oarctgarctg .

Rezult` sistemul de curen\i de faz`:

425512

pj

eI-

=

12

11

255122

23

pj

eIaI-

=×=

12

5

2551231

pj

eIaI =×=


2. Curen\ii de linie se determin` aplic@nd teorema 1 a lui Kirchhoff [n nodurile triunghiului:

)1(1231121 aIIII -×=-= ;

6312)2

1

2

3(312)

2

3

2

3(12))

2

3

2

1(1(12)1(42551

p

p

-××=-

××=-×=+--×=--

=

eIj

IjIjIaeI

Unde defazajul este: 6

303

3

23

21 pj -=-=-=-= oarctgarctg . Deci curen\ii de linie

formeaz` un sistem trifazat simetric de succesiune direct` defazat cu 6

p [n urma sistemului

trifazat simetric de succesiune direct` format de curen]ii de faz`. Totodat` valoarea

efectiv` a curen\ilor de linie este cu 3 mai mare dec@t valoarea efectiv` a curen\ilor de faz`. Rezult`:

64255363121

pppj

ej

ej

eII-

×-

×=-

××=

64255321

22

ppj

ej

eaIaI-

×-

××=×=

64255313

ppj

ej

eaIaI-

×-

××=×=

3. Puterea aparent` este dat` de rela\ia: VAf

If

Ul

Il

US ××=××= 33 ; rezult`:

VAS 513362552203 =×××=

Puterea activ` este dat` de rela\ia: WSf

If

Ul

Il

UP jjj coscos3cos3 ×=×××=×××= ;

Defazajul a fost determinat anterior 4

45p

j == o ]i rezult`: WP 363004

cos51336 =×=p

Puterea reactiv` este dat` de rela\ia:

VARSf

If

Ul

Il

UQ jjj sinsin3sin3 ×=×××=×××=

]i rezult`: VARQ 363004

sin51336 =×=p

4. Factorul de putere este dat de rela\ia: Z

R

S

P==jcos ; rezult`:

7071,02

1

22

2

2222

2cos ===

+

=j ]i 4

45p

j == o .

4.2 Circuite de curent alternativ trifazat. Probleme rezolvate 111 Pr.4.2.3. Fie receptorul trifazat dezechilibrat reprezentat [n figura 4.2.3.

Se dau: 24010 =U , 3

2

24020

pj

eU-

= ,

3

2

24030

pj

eU = , W= 30R ,

W== 3101

CXL

X .

Se cere s` se determine curen\ii )(1

ti , )(2

ti

)(3

ti ]i puterea activ` absorbit` de circuit [n

cazurile:

Fig. 4.2.3

1. {ntreruptorul k este deschis; 2.{ntreruptorul k este [nchis; Rezolvare: Tensiunile pe faz` sunt:

24010 =U ; )31(120)2

3

2

1(24020 jjU --=--=

)31(120)2

3

2

1(24030 jjU +-=+-=

Impedan\ele ]i admitan\ele pe faz` sunt:

W== 301 RZ ; 30

1

1

11 ==

ZY ;

310302 jCZRZ -=+= ; 120

33

31030

1

2

12

j

jZY

+=

-== ;

310303 jLZRZ +=+= ; 120

33

31030

1

3

13

j

jZY

-=

+== .

1.Se aplic` teorema deplas`rii punctului neutru (formula lui Millman):

321

330220110

YYY

YUYUYUNV

++

++= ;

96

120

33

120

33

30

1

120

33)31(120

120

33)31(120

30

1240

=-

++

+

-+-+

+--+

=jj

jj

jj

NV

Rezulta curen\ii: 8,430

96240

1

101 =

-=

-=

Z

NVUI ;


12

5

653,838,44,231030

96)31(120

2

202

pj

ejj

j

Z

NVUI =--=

-

---=

-=

Unde valoarea efectiv` este: AI 653,8134,22)38,4(2)4,2(2

==-+-=

Defazajul este: 12

57432

4,2

38,4 pj @==

-

-= oarctgarctg .

12

5

653,838,44,231030

96)31(120

3

303

pj

ejj

j

Z

NVUI

-=+-=

+

-+-=

-=

Unde valoarea efectiv` este: AI 653,8134,22)38,4(2)4,2(3

==+-=

Defazajul este: 12

57432

4,2

38,4 pj -@-=-=

-= oarctgarctg .

Puterea activ` absorbit` de circuit este dat` de rela\ia: å=k

kI

kRP 2

WP 5154)13134(24.2302)134,2(302)134,2(3028,430 =++××=×+×+×=

2.{n cazul [n care [ntreruptorul k este [nchis poten\ialul punctului neutru este nul 0=NV

]i calculele se desf`]oar` ca la pct.1. Rezulta curen\ii:

830

240

1

101 ===

Z

UI ;

2343431030

)31(120

2

202

pj

ejj

j

Z

UI

-=-=

-

--==

Unde valoarea efectiv` este: AI 928,6342

===

Defazajul este: 2

90p

j -=-= o .

2343431030

)31(120

3

303

pj

ejj

j

Z

UI ==

+

+-==

Unde valoarea efectiv` este: AI 928,6342

==

Defazajul este: 2

90p

j == o .

Puterea activ` absorbit` de circuit este dat` de rela\ia: å=k

kI

kRP 2

WP 4800)334(24302)34(302)34(302830 =++××=×+×+×=

4. Circuite de curent alternativ trifazat 113 Cap 4.3. Probleme propuse


lU 220= .

Se dau: W= 10R ]i W= 310L

X .

Se cere s` se determine: 1.Valorile instantanee ale curen\ilor )(

1ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;

2.Puterile P ]i Q consumate; 3. Factorul de putere al circuitului.

Fig. 4.3.1.


lU 220= .

Se d`: 68 jZ += .

Se cere s` se determine: 1.Curen\ii prin laturile sarcinii; 2.Valorile instantanee ale curen\ilor )(

1ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;


Fig. 4.3.2


lU 220= .

Se d`: 68 jZ += .

Se cere s` se determine: 1.Curen\ii prin laturile sarcinii; 2.Valorile instantanee ale curen\ilor )(

1ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;


Fig. 4.3.3


Pr.4.3.4. Fie receptorul trifazat dezechilibrat din figura 4.3.4. Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 380= .

Se dau: W= 101

R , W= 52

R , W= 53

R ]i

W= 310L

X , W= 310C

X .

Se cere s` se determine: 1.Tensiunile NU1 , NU 2 ]i NU 3

2.Valorile instantanee ale curen\ilor )(1

ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;

3.Puterile activ` P, reactiv` Q ]i aparenta S consumate;

Fig.4.3.4

Pr.4.3.5. Fie receptorul trifazat dezechilibrat din figura 4.3.5.

Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 380= .

Se dau: W= 101

R , W= 52

R , W= 53

R ]i

W= 310L

X , W= 310C

X .



ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;


Fig.4.3.5

4.3. Circuite de curent alternativ trifazat. Probleme propuse 115

Pr.4.3.6. Fie receptorul trifazat dezechilibrat din figura 4.3.6. Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 380= .

Se dau: W= 101

R , W= 52

R , W= 53

R ]i

W= 310L

X , W= 310C

X .



ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;

3 3.Puterile activ` P, reactiv` Q ]i aparenta S consumate;

Fig.4.3.6

Pr.4.3.7. Fie circuitul din figura 4.3.7 Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de fază V

fU 240= .

Se dau: W= 315L

X ]i W= 35C

X .



ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;


Fig.4.3.7



fU 240= .

Se dau: W= 101

R , W= 52

R , W= 53

R ,

W= 3151L

X ]i W= 352C

X .



ti ,

)(2

ti ]i )(3

ti ;


Fig.4.3.8


fU 240= .

Se dau: W= 52

R , W=1N

R ,

W= 353L

X ]i W= 321C

X .



ti ,

)(2

ti , )(3

ti ]i )(0

ti ;


Fig.4.3.9

4.3. Circuite de curent alternativ trifazat. Probleme propuse 117 Pr.4.3.10. Fie circuitul din figura 4.3.10 Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 220= .

Se dau: W= 52

R , W= 53

R ,

W= 352L

X , W= 351C

X ]i

W= 3CN

X .



ti ,

)(2

ti , )(3

ti ]i )(0

ti ;


Fig.4.3.10

Pr.4.3.11. Fie circuitul din figura 4.3.11 Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie V

lU 220= .

Se dau: W= 101

R , W= 52

R , W= 53

R ,

W= 3153L

X , W= 310LN

X ]i

W= 351C

X .



ti ,

)(2

ti , )(3

ti ]i )(0

ti ;


Fig.4.3.11

118 4. Circuite de curent alternativ trifazat Pr.4.3.12. Fie circuitul din figura 4.3.12 Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie .380V

lU =

Se dau: W= 101

R , W= 12

R ,

W== 53 N

RR , W= 33L

X ]i

W= 352C

X .

Se cere s` se determine: 1.Tensiunile NU1 , NU 2 , NU 3 ]i NU


ti ,

)(2

ti , )(3

ti ]i )(0

ti ;


Fig.4.3.12

Pr.4.3.13. Fie circuitul din figura 4.3.13 Receptorul este alimentat cu un sistem de tensiuni de succesiune direct` cu tensiunea de linie .380V

lU =

Se dau: W=102

R , W= 53

R ,

W= 20N

R , W= 3153L

X ,

W= 31C

X ]i W= 352C

X .



ti ,

)(2

ti , )(3

ti ]i )(0

ti ;


Fig.4.3.13

5. Anexe 119

Anexa1. Valorile permitivit`\ii relative re pentru c@teva materiale dielectrice uzuale sunt date [n tabelul 2.1. Tabel 2.1 Materialul re

Bachelit` 2,8 Cauciuc dur 3..3,5 Pre]pan 3,4..4,3 Ulei de transformator 2..2,5 Aer uscat 1,0006 Polistiren 2,3..2,8

Materialul re Plexiglas 3..3,6 Sticl` 4..17 Mic` 7 Ap` distilat` 80..81 Por\elan (glazurat) 5..6,5 Steatit` (glazurat`) 5..6,4 Micafoliu(]elac cu 70% mic`) 4..5

{n tabelul 2.2 sunt date rigidit`\ile dielectrice ale unor materiale uzuale. Tabel 2.2 Materialul [ ]cmkVEd /

Hartie de cablu (uleiata) 1000 Bachelita 200 Cauciuc dur 100... 300 Prespan 110... 300 Ulei de transformator 80... 120 Aer uscat 45

Materialul [ ]cmkVEd /

Sticla 120... 200 Cuart 170... 200 Mica 2500... 3500 Portelan (glazurat) 300... 380 Steatita (glazurata) 200... 300 Micafoliu 300... 400

Anexa 2. M`rimile utilizate [n Electrotehnic` ]i unit`\ile lor de m`sur`.

Nr. crt.

Nume Simbol Defini\ie U/M

1

Intensitatea c@mpului electric (Vector ce depinde de punct ]i moment)

E -

V/m

2

Induc\ia electric` (Vector ce depinde de punct ]i moment)

D -

C/m2

3

Intensitatea c@mpului magnetic (Vector ce depinde de punct ]i moment)

H - A/m

4

Induc\ia magnetic` (Vector ce depinde de punct ]i moment)

B -

T=wb/m2

5 Densitatea curentului electric (Vector ce depinde de punct ]i moment)

J -

A/m2

6

Densitatea de sarcin` (Scalar ce depinde de punct ]i moment)

Vr -

C/m3

7

Fluxul electric (Scalar asociat unei suprafe\e)

y ò=S

AdDy C

8

Tensiunea electric` (Scalar asociat unei curbe)

u, U

ò= CsdEu V

120 5.Anexe

9

Tensiune magnetic` (Scalar asociat unei curbe)

mu ò= Cm sdHu A

10 Fluxul magnetic (Scalar asociat unei

suprafe\e) fj, ò= S

AdBj Wb

11

Intensitatea curentului electric(Scalar asociat unei suprafe\e)

Ii, ò= SAdJi A

12

Sarcina electric` (Scalar asociat unui domeniu)

q ò= D

qdVq C

13

Poten\ialul electric (Scalar asociat unui punct)

V ò=

0

)(

M

M

rdEMV

V

14 Permitivitatea (Caracteristic` de material) e ED /=e F/m 15 Rigiditatea dielectric` (Caracteristic` de

material) re maxE V/m

16

Polariza\ia permanent` (Vector caracteristic de material)

pP EDP p e-= C/m2

17 Permeabilitatea (Caracteristic` de material)

m H/B=m H/m

18

Conductivitatea (Caracteristic` de material)

s EJ /=s ( ) 1-Wm

19 Rezistivitatea (Caracteristic` de material) r sr /1= mW

20 C@mpul electric imprimat (Vector caracteristic de material)

iE EJE i -= r V/m

21

Densitatea de energie electric` (Scalar ce depinde de punct ]i moment)

ew

2

EDwe =

J/m3

22

Densitatea de energie magnetic` (Scalar ce depinde de punct ]i moment)

mw

2

HBwm =

J/m3

23

Capacitatea (M`rime caracteristic` unui condensator)

C u

qC =

F

24

Rezisten\` (M`rime caracteristic` unui rezistor)

R i

uR =

W

25

Conductan\a (M`rime caracteristic` unui rezistor)

G R

G1

= 1-W

26

Reluctan\a (M`rime caracteristic` unui tronson de circuit magnetic)

mR j/mm UR = 1-H

27

Inductivitatea (M`rime caracteristic` unei bobine)

L

iL /j= H

28

Inductivitatea mutual` (M`rime caracteristic` unei perechi de bobine)

L12

02112 1/ == iiL j H

29

Tensiune electromotoare (M`rime caracteristic` unui generator ideal de tensiune)

e, E

- V

30

Curent electromotor (M`rime caracteristic` unui generator ideal de curent)

j, J

- A

5. Anexe 121

31 Valoarea efectiv` (Caracteristic` unei m`rimi sinusoidale)

U, I

2/II

2/UU

max

max

=

=

AV ,

32

Pulsa\ia (Caracteristic` a m`rimilor sinusoidale)

w T/2pw = srad /

33

Frecven\` (Caracteristic` a m`rimilor sinusoidale)

f T

f1

= Hz

34

Perioada (Caracteristic` a m`rimilor sinusoidale)

T

-

s

35 Faza ini\ial` (M`rime caracteristic` a func\iilor sinusoidale)

ij -

rad

36

Fazor (Num`r complex asociat unei m`rimi sinusoidale)

I,U

i

u

j

j

eII

eUU

j

j

=

=

-

37

Impedan\a complex` (Num`r complex, caracteristic dipolilor pasivi [n regim sinusoidal)

Z

I/UZ = -

38

Rezisten\a de curent electric alternativ (Caracteristic` a unui dipol pasiv [n regim sinusoidal)

R

[ ]ZR Re= W

39

Reactan\a (Caracteristic` a unui dipol pasiv [n regim sinusoidal)

X [ ]ZX Im= W

40

Admitan\a (Num`r complex, caracteristic unui dipol pasiv )

Y Z/1Y = -

41

Impedan\a (Parametru caracteristic unui dipol pasiv [n regim sinusoidal)

Z

I/UZZ == W

42

Defazaj (Parametru caracteristic unui dipol pasiv [n regim sinusoidal)

j iu jjj -= rad

43

Putere instantanee (Func\ie de timp ce caracterizeaz` transferul energetic [n regim sinusoidal)

p iup = W

44

Puterea complex` (Num`r complex ce caracterizeaz` transferul energetic [n regim sinusoidal)

S *IUS ×= -

45

Puterea activ` (M`rime scalar` ce caracterizeaz` viteza medie de transfer a energiei [n regim sinusoidal)

P

[ ]SP Re= W

46

Puterea reactiv` (M`rime scalar` ce caracterizeaz` transferul energetic [n regim sinusoidal)

Q [ ]SQ Im= VAr

47

Puterea aparent` (M`rime ce caracterizeaz` capacitatea de transfer a puterii [n regim sinusoidal)

S IUSS ×== VA

48

Factorul de putere (Parametru caracteristic unui dipol pasiv)

jcos,k jcos=k -

6.Bibliografie 123

6. BIBLIOGRAFIE

1. Marin, C., V., Electrotehnica Editura Printech, Bucuresti, 2002, ISBN 973-652-680-1 2. Marin C. V., Marin D, Trusca V., Transformatorul de izolare cu ecrane multiple. Teorie, simulari, verificari experimentale. Editura Printech, Bucuresti 2006, ISBN 978-973-718-431-3. 3. Nitescu, M., Constantinescu, Fl., Bazele Electrotehnicii. Partea I Teoria circuitelor electrice. Curs pentru studentii Facultatii de Energetica. Editura Printech, Bucuresti, 1998, ISBN 973-98453-5-5 4. Constantinescu F., Ionescu A., Marin C. V., Nitescu M., “Analiza circuitelor electrice cu Pspice. Lucrari de laborator”, Editura Printech, Bucuresti, 2003, ISBN 973-652-759-x. 5. Mocanu, C. Teoria circuitelor electrice Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1979 6. Radulet, R., Bazele Electrotehnicii. Probleme vol II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1975. 7. Moraru, A., Hortopan, V., Ciric, I., Electrotehnica, Masurari si Masini electrice Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1976 8. Antoniu, I., S., Bazele electrotehnicii. Vol II. Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1974. 9. Timotin, A., Hortopan, V., Lectii de Bazele Electrotehnicii vol I, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964 10. Timotin, A., Hortopan, V., Mastero, S., Ifrim, A., Lectii de Bazele Electrotehnicii vol II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964

culegere de probleme de electrotehnicaferrari.lce.pub.ro/studenti/~viomarin/culegere de... ·...

Documents