Functii derivabile

Unitatea de învăţare Nr. 7 Functii derivabile Cuprins Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 7 7.1. Derivata unei functii 7.2. Derivatele functiilor elementare si compuse 7.3. Proprietati ale functiilor derivabile (teorema Fermat, Lagrange, Rolle) si aplicatii ale lor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7

Pagina

2 2 4 5

6 6 7

Matematici aplicate în economie 1

Functii derivabile

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 7 Principalele obiective ale unităţii de învăţare Nr. 7 sunt:

• Sa cunoasca notiunile de multime liniar independenta, sistem de generatori • Sa cunoasca notiunea de operator liniar • Sa cunoasca notiunile de imagine si nucleu pentru un operator liniar • Sa aplice proprietatile operatorului liniar

7.1. Derivata unei functii Spatiu vectorial, vectori scalari

Matematici aplicate în economie 2

Functii derivabile

Multime liniar independenta, sistem de generatori,baza

Test de autoevaluare 7.1.

1. Fie 2 , 1

( ), 12 3xx ax

f xxax b≤⎧ +

= ⎨ >+⎩

Sa se afle astfel incat f derivabila pe . ,a b∈

Matematici aplicate în economie 3

Functii derivabile

2. Fie 2( ) 1f x x= + . Sa se calculeze folosind definitia '(1)f Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.

7.2. Derivatele functiilor elementare si compuse Definitii echivalente ale operatorilor liniari

Matematici aplicate în economie 4

Functii derivabile

Test de autoevaluare 7.2. 1. Sa se calculeze '( )f x pentru functia:

2 1( ) , : (0, )2

xf x fx−

= +∞ →

2. Fie . Sa se calculeze 2( ) ( ), :xf x e x x f= + → "( )f x

Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.

7.3. Proprietati ale functuulor derivabile (teorema Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, regula lui L’Hospital ) si aplicatii ale lor Imaginea unui operator, nucleul unui operator

Matematici aplicate în economie 5

Functii derivabile

Test de autoevaluare 7.3. 1. Sa se aplice Teorema lui Rolle functiei:

2 , 2( )

4 , 2ax bx x

f xax b x

⎧ + ≤= ⎨

+ >⎩ pe intervalul [0,3]

2. Fie { }2 2( ) , : \ 1

1x xf x f

x−

= −+

→ .

Sa se realizeze tabelul de variatie pentru f, f’, f” Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul unităţii de învăţare nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare unitate de învăţare nr. 7

1. Fie 2( ) 3 8 1f x x x= + + . Sa se calculeze . '(0)f

2. Sa se calculeze ( ) ( )nf x pentru ( ) ( 1)xf x e x= + . 3. Sa se demonstreze folosind Teorema Lagrange urmatoarea inegalitate:

*1 1ln( 1) ln , ( )1

n n nn n

< + − < ∀ ∈+

*1 1ln( 1) ln , ( )1

n n nn n

< + − < ∀ ∈+

Pentru răspunsurile studenţilor lăsaţi spaţii adecvate între întrebări.

Matematici aplicate în economie 6

Functii derivabile

Răspunsurile testelor de autoevaluare

Răspuns 7.1. Răspuns 7.2. Răspuns 7.3.

Bibliografie unitate de învăţare nr. 7

[1] - P.Anghel, S. Fulina, Matematici superioare Ed. Muntenia, 2006 [2] - V. Brînzănescu, O. Stănăşilă, Matematici Speciale (teorie, exemple, aplicaţii), Ed. All, Bucureşti, 1998. [3] - G. Cenuşă, A. Filip, D. Baz, B. Ieftimie, C. Raischi, M. Toma, L. Badin, A, Agapia, Matematici pentru economişti, Culegere de probleme, Editura Cison, Bucureşti, 2002. [4] - I. Colojoară, Analiză Matematică, Editura Didactică şi Pedagocică, Bucureşti, 1983. Romane, 1991, Bucureşti, 2001. [5] - C. Mortici, Analiză Matematică. Culegere de probleme. Ed. Plus, Bucureşti, 2001. [6] - S. Rădulescu, M. Rădulescu, Teoreme şi Probleme de Analiză Matematică, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1982.

Matematici aplicate în economie 7