Termotehnică 63

6.TRANSFERUL DE CALDURĂ

Termocinetica sau transferul de căldură este capitolul care se ocupă de studiul modului în care se propagă căldura printr-un corp, între partea lui caldă şi cea rece, sau între două corpuri cu temperaturi diferite. Transmiterea căldurii este consecinţă a diferenţei de potenţial termic. Cunoaşterea fenomenelor de transfer are ca scop principal activarea sau frânarea cantitativă a transferului. 6.1.Moduri elementare de transfer termic 6.1.1 Conducţia reprezintă fenomenul de transfer de căldură efectuat prin contactul direct al particulelor unui corp (la nivel microscopic are loc un transfer de energie cinetică între moleculele vecine). Fenomenul presupune imobilitatea corpului în interiorul căruia există un gradient de căldură. Conducţia este caracteristică pentru corpurile solide. Se poate vorbi şi despre conducţie în corpuri fluide aflate în repaus, dar imobilitatea acestora în prezenţa unui gradient de temperatură este mai greu de conceput. De aceea, transferul conductiv în fluide este însoţit de convecţie şi radiaţie. 6.1.2 Convecţia este fenomenul de transfer termic realizat prin transfer de masă, între zone cu temperaturi diferite. Fenomenul presupune mişcarea mediului în interiorul căruia există un gradient de temperatură, deci convecţia este caracteristică mediilor fluide. Fenomenul se manifestă la suprafaţa de separaţie a fazelor (solid –lichid; solid –gaz; lichid –gaz) 6.1.3 Radiaţia reprezintă transferul de căldură de la un corp la altul prin unde electromagnetice, cu condiţia ca mediul care le separă să fie transparent pentru radiaţiile termice. Mecanismul radiaţiei constă în transformarea unei părţi a energiei interne a corpului în energie radiantă, care se propagă sub formă de unde electromagnetice în spaţiu şi care, întâlnind celălalt corp, se retransformă în energie termică la zona de contact. 6.2.Noţiuni şi mărimi caracteristice transferului de căldură Regim de transfer al căldurii: -permanent-regimul în care transferul nu depinde de timp; corpul considerat este în echilibru termic, căldura primită în unitatea de timp fiind egală cu cea cedată (corpul nici nu se încălzeşte, nici nu se răceşte); -tranzitoriu- regimul în care transferul se modifică în timp; acest regim este caracteristic perioadei de încălzire sau de răcire a unui corp, când căldura primită în unitatea de timp diferă de cea cedată. Pentru un interval de timp tinzând la infinit, regimul tranzitoriu devine regim permanent Câmp de temperatură-totalitatea valorilor temperaturilor la un moment oarecare τ, în spaţiu.

=→τ,rfT

unde →r -vector de poziţie al punctului de temperatură T;

τ -momentul la care punctul are temperatura T.

64 Termotehnică

Suprafaţă izotermă- locul geometric al punctelor cu aceeaşi temperatură T, într-un corp. Gradient de temperatură-vector perpendicular pe două izoterme infinit apropiate, care exprimă variaţia maximă de temperatură raportată la lungime.

Fig. 6.1 Secţiune transvesală prin trei suprafeţe izoterme infinit apropiate

n

TngradT

O ∂∂=

→

unde →

0n versorul normalei la suprafaţa izotermă T=ct

→n vectorul normalei la suprafaţa izotermă T=ct

sau, altfel scris

→→→

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇= k

z

Tj

y

Ti

x

TTgradT

unde ∇ -operatorul ″nabla″

→→→kji ,, -versorii celor trei direcţii în spaţiu.

Fluxul termic reprezintă cantitatea de căldură transferată (printr-un corp sau între două corpuri) în unitatea de timp:

(5.1) dt

dQQ =•

; wQ =

•

Fluxul termic unitar (intensitatea fluxului termic) reprezintă fluxul termic raportat la unitatea de suprafaţă izotermă:

(6.2) dAdQq

••= ; 2m

wq =

•

unde dA-suprafaţa elementară pe care fluxul cade normal. Considend aria ca fiind orientată după direcţia normalei, fluxul termic unitar

este o mărime vectorială. Observând fig.6.1, se poate spune că fluxul termic unitar se propagă de la izoterma de temperatură TT ∂+ către cea de temperatură T după direcţie normală, adică pe drumul de minimă rezistenţă la propagare. Gradientul termic are aceeaşi direcţie, dar sens contrar.

on

n

TT ∂+

TT ∂− T

Termotehnică 65

6.3Conducţia termică 6.3.1 Legea lui Fourier Fluxul termic unitar conductiv, care trece printr-un corp imobil, între două feţe laterale ale acestuia, în direcţie normală, în timpul dτ, prin suprafaţa dA, este proporţional cu gradientul de temperatură dintre cele două feţe:

(5.3) gradTq ⋅−=•

λ

unde λ-coeficient de conductivitate termică specific mediului material prin care trece fluxul. Considerând componentele fluxului unitar pe cele trei direcţii, se mai poate scrie:

→•→•→••++= kqjqiqq zyx

unde x

Tq xx ∂

∂−=•

λ ; y

Tq yy ∂

∂−=•

λ z

Tq zz ∂

∂−=•

λ

Deoarece, experimental, nu se poate determina gradientul de temperatură, fluxul termic unitar nu se poate calcula direct din legea lui Fourier. 6.3.2Ecuaţia lui Fourier pentru transferul de căldură conductiv

Se consideră un element de volum, dv, dintr-un corp prin care trece căldura prin conductivitate. Se face bilanţul termic, considerând următoarele ipoteze:

! corpul este solid (sau fluid imobil) omogen; ! parametrii termofizici au aceeaşi valoare în orice punct; ! deformarea elementului de volum sub acţiunea căldurii este neglijabilă; ! sursa internă, de flux unitar qv , este uniform distribuită în volumul

considerat. In timpul dτ, elementul de volum dv primeşte un flux termic conductiv dQi,

prin trei dintre feţele sale şi cedează un flux termic conductiv dQe,, prin celelalte trei feţe. In acelaşi interval de timp, sursa internă generează fluxul termic dQs.

Ecuaţia de bilanţ termic exprimă faptul că diferenţa dintre căldura primită (intrată în elementul de volum şi cea generată de sursa internă) şi cea cedată contribuie la încălzirea / răcirea elementului de volum, deci a corpului.

Fig.6.2 Elementul de volum considerat pentru ilustrarea bilanţului

termic conductiv

z

x

y

dQx dQx+dx

dQy+dy

dQz+dz

dQz

dQy

66 Termotehnică

Considerăm căldura primită mai mare decât cea cedată, deci corpul se va încălzi. Pentru elementul de volum dv , căldura primită în timpul dτ de la elementele vecine, este:

zyxi dQdQdQdQ ++=

iar cea cedată este: dzzdyydxxe dQdQdQdQ +++ ++=

Căldura rămasă în elementul de volum dv, în timpul dτ , pe direcţia x, este dQrx :

τddzdyqqdQdQdQ dxxxdxxxrx ⋅⋅

−=−= +••

+

unde fluxul termic unitar s-a raportat la elementul de arie dAyz=dy.dz

Funcţia dxxq +•

, fiind continuă în intervalul dx, se poate dezvolta în serie:

dxx

qq...

!3

dx

x

q

!2

dx

x

qdx

x

qqq x

x

3

3x

32

2x

2x

xdxx ∂∂

+≈+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+=

••

••••

+•

S-au neglijat termenii infinit mici din dezvoltarea în serie şi s-au reţinut numai primii doi termeni. Expresia căldurii rămase devine:

ττ ddzdydxx

qddzdydx

x

qqqdQ xx

xxrx ⋅⋅⋅∂∂

−=⋅⋅

∂∂

−−=

••••

Analog, pentru direcţile y şi z se pot scrie relaţiile:

τddzdydxy

qdQ

yry ⋅⋅⋅

∂

∂−=

•

; τddzdydxz

qdQ z

rz ⋅⋅⋅∂∂

−=

•

Căldura rămasă în elementul de volum dv, în timpul dτ, este: (6.4)

τ

τ

ddvz

q

y

q

x

q

ddzdydxz

q

y

q

x

qdQdQdQQdQ

zyx

zyxrzryrx

3

1krkr

⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=

=⋅⋅⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=++=∑=

•••

•••

=

Căldura primită de elementul de volum dv , în timpul dτ, de la sursa internă este:

(6.5) ττ ddvqddzdydxqdQ vvs ⋅=⋅⋅⋅=••

Căldura totală rămasă în elementul de volum dv va fi:

(6.6) ττ ddvqddvz

q

y

q

x

qdQdQdQ v

zyxsr ⋅+⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=+=•

•••

Termotehnică 67

Căldura totală rămasă va încălzi elementul de volum dv, a cărui temperatură va creşte în unitatea de timp cu

τ∂∂T . Din ecuaţia calorimetriei rezultă:

(6.7) dvdT

cdQ ⋅∂∂= ττ

ρ

unde c-căldura specifică masică a corpului, KkgJ

⋅ ;

ρ-densitatea corpului, 3mkg .

Egalând relaţiile (6.6) şi (6.7) se obţine viteza de variaţie a temperaturii corpului:

(6.8) ρρτ ⋅

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅=

∂∂

••••

c

q

z

q

y

q

x

q

c

1T szyx

Conform legii lui Fourier:

x

Tq xx ∂

∂−=•

λ ;y

Tq yy ∂

∂−=•

λ ;z

Tq zz ∂

∂−=•

λ

deci 2

2

xx

x

T

x

q

∂

∂−=∂∂•

λ ; 2

2

yy

y

T

y

q

∂

∂−=∂

∂•

λ ; 2

2

zz

z

T

z

q

∂

∂−=∂∂•

λ .

Ecuaţia (6.8) se mai poate scrie:

(6.9a) ρ

λλλρτ ⋅

+

∂

∂+∂

∂+∂

∂⋅

=∂∂

•

c

q

z

T

y

T

x

T

c

1T s2

2

z2

2

y2

2

x

sau, pentru corpuri omogene, pentru care λλλλ === zyx , ecuaţia (5.8) devine:

(6.9b) ρρ

λτ ⋅

+

∂

∂+∂

∂+∂

∂⋅

=∂∂

•

c

q

z

T

y

T

x

T

c

T s2

2

2

2

2

2

sau

(6.9c) ρ

∆τ ⋅

+=∂∂

•

c

qTa

T s

unde ∆-operatorul Laplace; 2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

TT

∂

∂+∂

∂+∂

∂=∆ ;

a-coeficient de difuzivitate termică; ρλ⋅

=c

a ; [ ] sma

2= .

Ecuaţia (6.9) se numeşte ecuaţia lui Fourier pentru conducţia termică. Ea exprimă faptul că, viteza de variaţie a temperaturii unui corp, sub acţiunea unui flux termic conductiv şi a unei surse interne de căldură, depinde de gradientul de temperatură şi de valoarea coeficientului de difuzivitate termică a materialului din care este alcătuit corpul. Coeficientul de difuzivitate termică,a, depinde la rândul său de temperatură şi presiune. El exprimă, din punct de vedere fizic, inerţia termică a corpului. Ecuaţia conducţiei termice permite determinarea:

68 Termotehnică

! câmpului de temperaturi: ( )τ,z,y,xTT = ,pentru regimul tranzitoriu; ( ),z,y,xTT = pentru regimul

permanent ! fluxului termic unitar:

gradTq ⋅−=•

λ , ! fluxului termic:

AqQ ⋅=••

Astfel, se pot aborda probleme de optimizare a proceselor de propagare a căldurii şi de dimensionare a instalaţiilor termice. Ecuaţia se particularizează în funcţie de tipul regimului studiat, permanent sau tranzitoriu şi de existenţa sau nu a surselor interne de căldură. 6.3.3Condiţii de unicitate pentru ecuaţia conducţiei termice Integrarea ecuaţiei lui Fourier pentru conducţia termică introduce constante de integrare care fac ca soluţia găsită să reflecte o întreagă clasă de fenomene asemănătoare. Pentru determinarea soluţiei unice trebuie impuse condiţii de unicitate. Condiţiile de unicitate se pot împărţi în : Condiţii temporale. Se cunoaşte câmpul de temperatură la un anumit moment,τo, considerat iniţial: (6.10) ( )o,z,y,xTT τ=

Condiţii spaţiale (condiţii de margine sau de frontieră). Se dau, în continuare, trei tipuri de condiţii de frontieră:

• Condiţii tip Dirichlet. Se cunoaşte câmpul de temperatură pe suprafeţele limită (pe frontierele sistemului).

• Condiţii tip Neumann. Se cunoaşte gradientul de temperatură pe suprafeţele de frontieră:

(6.11) ( )τ,z,y,xfgradT = ceea ce permite cunoaşterea fluxului termic unitar pe aceste frontiere:

( )τλ ,z,y,xqgradTq••

=−=

• Condiţii de tip Fourier (de propagare a căldurii prin suprafeţe). Aceste condiţii impun faptul că, valoarea fluxului termic, la suprafaţa de separaţie dintre un solid şi un fluid, nu se modifică. Fluxul termic unitar care a străbătut solidul prin conducţie termică şi a ajuns la suprafaţa de separaţie dintre solid şi fluid este preluat în întregime de către fluid prin convecţie şi radiaţie:

(6.12) gradTq λ−=•

A= ( )∞−TTAα unde α -coeficient de propagare a căldurii prin suprafaţă; TA-temperatura suprafaţei; T∞ -temperatura medie a fluidului.

Termotehnică 69

6.3.4 Conducţia termică în regim permanent prin corpuri fără surse interioare de căldură În cazul propagării căldurii prin conducţie, în corpuri fără surse de căldură, ecuaţia lui Fourier (6.9c) ia o formă particulară, transformându-se într-o ecuaţie eliptică de tip Laplace: (6.13) 0=∆Ta pentru 0=

•

sq 6.3.4.1.Transferul de căldură prin pereţi plan-paraleli, infiniţi Se consideră un perete din material omogen şi izotrop, cu suprafeţele limită plane paralele şi infinite. Se consideră, pentru simplificare, că temperatura variază numai în direcţia x, deci suprafeţele izoterme sunt plane paralele cu planul yOz. Suprafeţele limită coincid cu izotermele particulare de temperatură To şi respectiv T1.

În aceste condiţii, ecuaţia (6.13) devine:

(6.14) 0x

T2

2=

∂

∂

Soluţia generală a acestei ecuaţii este de forma: (6.15) 21 CxCT += deci temperatura variază liniar în lungul axei Ox a peretelui, aşa cum se observă în fig.6.3. Constantele de integrare C1, C2 se determină în funcţie de condiţiile de unicitate, obţinându-se astfel soluţia particulară căutată. Fig 6.3 Variaţia liniară a temperaturii într-un perete cu feţe plan paralele, infinit Condiţii de unicitate tip Dirichlet: (6.16) ;0x = 0TT =

;x δ= 1TT = Punând aceste condţii ecuaţiei (6.15), rezultă soluţia particulară:

001 Tx

TTT +

−=

δ

Din legea Fourier rezultă, mai departe, fluxul unitar termic:

(6.17) ( )10 TTq −=δλ

! ,

2m

W

Relaţia intensităţii fluxului termic (6.17) permite şi precizarea sensului fizic al coeficientului de conducţie termică,λ .În expresia:

δ

T1

T0

x 0

T

70 Termotehnică

τδδδλ

A

Q

TTA

Q

TTq

TT 101010 −=

−=

−=

!! .

Se consideră s1;m1A;K1TT;m1 10 ===−= τδ şi rezultă λ numeric egal cu Q.

Deci, coeficientul de conducţie termică , λ , reprezintă cantitatea de căldură care străbate într-o secundă printr-o suprafaţă de 21m ,un perete omogen gros de 1m , la care diferenţa de temperatură între suprafeţele sale limită este 1K . Relaţia (6.17) poate fi pusă sub forma:

(6.18) sR

TTTTq 1010 −

=−

=

λδ

!

unde sR -rezistenţa specifică la permeabilitate termică a peretelui, definită prin analogie cu legea lui Ohm din electrocinetică . Cele două fenomene sunt analoage . În cazul peretelui finit , perturbarea spectrului de izoterme pe contur modifică gradientul de temperatură şi valoarea ariei suprafeţei izoterme ,relaţia (6.18) nemai fiind valabilă . Totuşi (6.18) se foloseşte în tehnică ,erorile introduse fiind foarte mici . Condiţii de unicitate tip Neumann Cunoscându-se gradientul de temperatură pe frontiera A, se utilizează legea Fourier pentru determinarea constantei C1:

1Cq

gradT =−=λ!

A A Cea de-a doua constantă se scoate dintr-o condiţie tip Dirichlet:

20 CTT,0x === .

Deci, câmpul de temperatură se determină sub forma:

(6.18) ( )TTx

qTxq

T 00 −=⇒+−= λλ

!!

.

Se regăsesc rezultatele stabilite anterior pentru δ=x . Condiţii de unicitate de contact În cazul peretelui plan compus din mai multe straturi de material se utilizează legea de conservare a intensităţii fluxului termic la suprafaţa de contact între două straturi. Condiţiile de contact sunt însoţite de condiţii tip Dirichlet pentru suprafeţele limită ,exprimate sub forma :

n

n

1kk

o

TT;x

TT;0x

=∑=

==

=δ

unde kδ -grosimea stratului k Pentru un strat curent k, relaţia (6.17) se scrie:

k

kk1k qTT

λδ

!=−−

Termotehnică 71

Ştiind că fluxul termic unitar este constant (aceeaşi valoare în fiecare strat) se poate face însumarea :

(6.19) ( )∑

∑∑ −=⇒=−− n

sk

nn

k

kn

kk

R

TTqqTT

1

0

111 !!

λδ

Temperatura într-un strat curent k variază liniar . Legea de frângere a curbei

temperaturii la suprafaţa de separaţie arată că 1kkj

1kk tgtg −

−= ΨλλΨ . Dreptele vor

avea înclinare mare în straturile izolatoare . Fig.6.4 Variaţia temperaturii în perete plan cu feţe paralele, compus din mai multe straturi, care au coeficienţii de conductivitate termică λ1, λ2,..λn. Condiţii de unicitate de tip Fourier Circulaţia fluidului de-a lungul suprafeţelor limită (x=0 şi x=δ ) şi fenomenele de radiaţie fac ca temperatura să prezinte variaţii accentuate în vecinătatea acestor suprafeţe .

Fig 6.5 Variaţia temperaturii în perete plan, cu suprafeţe paralele, de-a lungul

cărora circulă un fluid

Tn

x

δk

ψk

ψk-1

λn λk

λ1

Tk

Tk-1

T0

0

T

δn δ1

T1

αe

αi

λ

Te

T0

0

T

δ

x

Ti

72 Termotehnică

Se cunosc: temperatura fluidului la interior iT şi la exterior eT ,precum şi

coeficienţii de transfer termic prin suprafaţa interioară iα şi exterioară eα . Se

impun condiţii de determinare a constantelor 21,CC , sub forma :

( )( )ee

ii

TCCC

CTC

−+=−−=−

211

21

δαλαλ

Ştiind că :

1

21

Cx

T

CxCT

=∂∂

+=

Rezultă câmpul de temperaturi:

(6.20) ( )

+++−=λδ

ααλ ei

i

eie T

TKxTT

KT

1

unde K coeficient specific total de transformare termic:

(6.21)

ei

K

αλδ

α11

1

++= , [ ]

kmW

2 . Rezultă intensitatea fluxului termic:

(6.22) ( )R

TTTTKq ei

ei

−=−=!

Optimizarea pereţilor plani compuşi. a) Înlocuirea materialelor În aplicaţiile tehnice se pune problema înlocuirii unui perete compus din mai multe straturi cu un perete simplu din alt material, cu condiţia ca densitatea fluxului termic să nu se modifice: -dacă se păstrează grosimea iniţială, materialul înlocuitor trebuie să aibă coeficientul de conducţie termică echivalent, eλ :

(6.23)

∑

∑=

=

=n

1k k

k

n

1kk

e

λδ

δλ

unde n-numărul de straturi -dacă se impune materialul , deci se cunoaşte λ , rezultă grosimea echivalentă din condiţia de egalitate a intensităţii fluxului termic:

(6.24) ∑=n

1 k

ke λ

δλδ .

La valori ee ,λδ apropiate de cele reale , alegerea se face din consideraţii tehnico-

economice . b)Acumularea căldurii în pereţi

Termotehnică 73

Ordinea de aşezare a straturilor într-un perete plan influenţează cantitatea de căldură acumulată în straturi . În cazul în care stratul izolator se aşează pe suprafaţa caldă , cantitatea de căldură acumulată în perete este mai mică. Pentru un perete plan compus din n straturi , cantitatea minimă de căldură acumulată în perete corespunde aşezării materilelor în ordinea crescătoare a valorilor coeficienţilor de conducţie termică, începând de la suprafaţa caldă. 6.3.4.2.Transferul de căldură prin pereti cilindrici, infiniţi Se consideră un perete cilindric, infinit de lung, fără surse de căldură

interioare, 0=•

vq . Se admite că temperatura este constantă în lungul axei Oz, axa longitudinală a cilindrului. Temperatura variază numai în lungul razei cilindrului. Ecuaţia lui Euler, în acest caz, are forma (6.13)

0=∆Ta care, în coordonate carteziene, bidimensional:

(6.25) 02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

T

x

T

Fig. 6.6 Transmiterea căldurii printr-un perete cilindric scăldat de două fluide.a)Secţiune transversală ; b)Scţiune longitudinală şi reprezentarea câmpului

de temperatură

Ecuaţia cercului este: (6.26) 222 ryx =+ Exprimând ecuaţia (6.25) în coordonate cilindrice, ea devine:

(6.27) 01 =

dr

dTr

dr

d

r

pentru cazul presupus, ( )rTT = . Soluţia generală a ecuaţiei (6.27) este: (6.28) BrAT += ln , cu condiţia 0≠r unde A,B constante de integrare. Determinarea constantelor A,B şi , deci, determinarea soluţiei particulare se realizează punând condiţii de unicitate.

re

ri λ

Te

αe

αi

λ

Ti

2re

2ro

λ

To To

T1 T1

Ti, αi

Te, αe Te, αe

74 Termotehnică

Condiţii de unicitate de tip Fourier Se cunosc: Ti, temperatura fluidului din interiorul cilindrului; Te, temperatura fluidului din exteriorul cilindrului;

iα -coeficientul de transfer termic prin suprafaţa interioară; eα -coeficientul de transfer termic prin suprafaţa exterioară; λ -coeficientul de conducţie termică prin materialul peretelui. Condiţiile Fourier impun conservarea fluxului termic unitar la suprafaţa de separaţie dintre două faze. Pentru suprafaţa interioară a cilindrului, de rază ro şi lungime L, condiţiile Fourier se exprimă prin relaţia:

(6.29) ( )TTLrdr

dTLr iio −⋅=⋅⋅⋅− αππλ 022

Pentru suprafaţa exterioară, de rză re şi lungime L, avem analog:

(6.30) ( )eeee TTLrdr

dTLr −⋅=⋅⋅⋅− αππλ 22

unde T este funcţia căutată, câmpul de temperaturi în perete. Introducând expresia (6.28) în ecuaţiile (6.29) şi (6.30) se obţin constantele de integrare A şi B, deci se află câmpul de temperaturi în perete. Rezultă fluxul termic sub forma:

(6.31) ( )

eeo

e

0i

ei

r

1

r

rln

1

r

1

TTL2Q

αλα

π

++

−=

•

Dacă studiem influenţa razei exterioare, re , asupra fluxului termic transmis

prin perete, •Q ,considerăm funcţia: ( )erfQ =

•, care prezintă un punct de maxim la

valoarea razei exterioare:

(6.32) cre

e rr ==αλ

numită raza critică (figura 6.7).

Fig 6.7 Variaţia fluxului termic transmis, în funcţie deraza exterioară a peretelui

cilindric

rcr r

max

•Q

•Q

Termotehnică 75

Efectul de izolaţie a peretelui se obţine pentru o rază exterioară mult diferită de cea critică.

Intensificarea transferului de căldură prin perete se obţine la o rază exterioară apropiată de cea critică. Aceste concluzii se utilizează la dimensionarea conductelor. 6.3.5.Conducţia termică în regim staţionar prin bare cu răcire laterală Nervurarea suprafeţei de transfer termic conduce la intensificarea fenomenelor de transfer. Metoda este folosită la racirea cu aer a motoarelor. Problemele principale sunt: determinarea câmpului de temperaturi de-a lungul nervurii şi a fluxului termic pe care poate să-l evacueze nervura. Fie o bară (nervura )confecţionată din material omogen şi izotrop, care nu are izvoare interioare de căldură. Se consideră că nervura face corp comun cu un perete solid. Contactul dintre bară şi perete este perfect, lipsit de discontinuităţi. Bara se consideră înconjurată de un fluid cu temperatura constantă, Te, iar coeficientul de transfer termic prin suprafaţă,α, este constant în timp şi spaţiu. Bara se consideră foarte lungă şi cu secţiune dreptunghiulară. Ecuaţia de bilanţ termic se scrie:

(6.33) ldxxx QQQ•

+••

+= δ

unde dxdx

dTA

dx

dQdx

dx

QQQ x

xxdxx

−+=+=

••

•+

•λ

δ

( )dxTTPQ el −=•

αδ

A-aria secţiunii transversale, P-perimetrul secţiunii transversale. Rezultă:

(6.34) ( ) 0TTP

dx

dTA

dx

de =−−

λα

Se notează: eTT −=θ

A

P

λββ =

şi rezultă ecuaţia: (6.35) 02"" =− θβθ care are soluţia de tip Euler:

(6.36) x2

x1 eCeC ββθ −+=

x

dxxQ +

•

lQ•

δ

δ

xQ•

0

T0

76 Termotehnică

Fig.6.8 Secţiune prin bară de secţiune dreptunghiulară,pentru efectuarea bilanţului termic În cazul barelor foarte lungi şi subţiri, se pun condiţii de tip Dirichlet pentru determinarea constantelor de integrare din soluţia generală: (6.37) 0x = ; 0TT = ; adică e0 TT −==θθ

∞=x ; eTT = ; adică ;0=θ 0C1 =

Din soluţia generală (6.36)se obţine câmpul de temperaturi: (6.38) ( )xexp0 βθθ −=

Relaţia este valabilă atât pentru răcire cât şi pentru încălzirea barelor prin suprafaţa de contact cu fluidul. De-a lungul barei, temperatura variază exponenţial. Gradientul de temperatură depinde de coeficientul β , care ţine cont de caracteristicile termice ( )λ şi de cele geometrice ale barei. În figura 6.9. este reprezentat câmpul de temperatură pentru cazul răcirii barei.

Fig. 6.9 Variaţia exponenţială a temperaturii în cazul răcirii laterale a unei bare

subţiri, cu secţiune dreptunghiulară

x

21 ββ >

1β Te

T0

T