TRANSFERUL DE CALDURATRANSFERUL DE CALDURA

1.1. Definiie:Transferul de cldur este tiina proceselor spontane, ireversibile, depropagare a cldurii n spaiu i reprezint schimbul de energie termic ntredou corpuri, dou regiuni ale unui corp sau dou fluide sub aciunea uneidiferene de temperatur.

1.2. Cmpul de temperatur: Temperatura caracterizeaz starea termic a unui corp, caracteriznd gradulde nclzire a acestuia.

1. CONDIDERATII GENERALE

Temperatura caracterizeaz starea termic a unui corp, caracteriznd gradulde nclzire a acestuia. M (x,y,z) tridimensional si nestationar T= T (x,y,z,) sau (cel mai simplu)

cmpul stationar (permanent) unidirectional: T = T (x).

1.3. Suprafaa izoterm : Suprafaa izoterm este locul geometric al punctelor din spaiu care la unmoment dat au aceeai temperatur. n regim nestaionar suprafeele izoterme sunt mobile i deformabile; n regimstaionar ele sunt invariabile. Suprafeele izoterme nu se pot intersecta, acelai punct din spaiu, la acelaimoment de timp, neputnd avea temperaturi diferite. T [K] sau [C].

1.4. Gradientul de temperatur :

Cmpul de temperatur fiind o funcie derivabil se poate defini n orice punct M, lafiecare moment un vector al gradientului de temperatur n direcia normal lasuprafaa izoterm care trece prin acel punct.

=

=

m

Kn

Tn

tTgradn 0lim

n

x

T+t n x

TT

1.5. Fluxul termic:

Fluxul termic este cantitatea de cldur care trece printr-o suprafa izoterm nunitatea de timp:

unde: Q este cantitatea de cldur, n J; este intervalul de timp n s.

[ ]WQQ

=

1.6. Fluxuri termice unitare:

Fluxul termic unitar de suprafa (densitatea fluxului termic) reprezint fluxul termiccare este transmis prin unitatea de suprafa:

Fluxul termic unitar linear este fluxul termic transmis prin unitatea de lungime a uneisuprafee:

= 2m

WSQqs

=

m

WLQql

Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbit de unitatea devolum dintr-un corp:

=

mLql

= 3m

WVQqv

1.7. Linii si tub de curent:

Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densitii fluxului termic qs.Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formeaz tubul de curent.

Analogia electric a transferului de cldur

Dou fenomene sunt analoge dac difer ca natur dar au ecuaii care lecaracterizeaz identice ca form:

[ ]ARUI

m

WRTq

ets

=

= 2

Modurile fundamentale de transfer al cldurii

conducia termic; conducia termic; convecia termic; radiaia termic.

Conducia termic este procesul de transfer al cldurii dintr-o zon cu otemperatur mai ridicat ctre una cu temperatur mai cobort, n interiorul unuicorp (solid, lichid sau gazos) sau ntre corpuri solide diferite aflate n contact fizicdirect, fr existena unei deplasri aparente a particulelor care alctuiesc corpurilerespective.

Mecanismul conduciei termice = f (cinetica molecular, interaciunea energeticntre microparticulele (molecule, atomi, electroni)).

solide nemetalice transferul energiei vibraiilor atomilor fononi ;

metale fononi ct i prin electroni liberi. n acest caz ponderea electronilor liberieste de 10 30 ori mai mare dect cea a fononilor;

gaze macroscopic imobile schimbul de energie de translaie, de rotaie ivibraie a moleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann);

lichide ciocnirile elastice legate de micarea de mic amplitudine a moleculelorn jurul poziiilor lor de echilibru i deplasarea electronilor liberi (potenialul Van derWaals).Ecuaia fundamental a conduciei termice (legea lui Fourier):

[ ]WdxdTSQ = sau:

= 2m

WgradTqs

Ecuaia legii lui Fourier este valabil pentru conducia termic unidirecional n regimstaionar, prin corpuri omogene i izotrope, fr surse interioare de cldur.

[ ] [ ] [ ]KTm

WWqQmSKm

Ws ;,,;; 2

2

Convecia termic reprezint procesul de transfer de cldur ntre un perete i unfluid n micare, sub aciunea unei diferene de temperatur ntre perete i fluid.Convecia presupune aciunea combinat a conduciei termice n stratul limit defluid de lng perete, a acumulrii de energie intern i a micrii de amestec aparticulelor de fluid.Intensitatea procesului de convecie depinde n msur esenial de micarea deamestec a fluidului. Dup natura micrii se disting dou tipuri de micare crora lecorespund dou tipuri de convecie: liber sau natural i forat.Ecuaia fundamental a conveciei termice (formula lui Newton):

[ ]WTSTTSQ pf == // sau:

= 2mWTqs

Coeficientul de convecie , caracterizeaz intensitatea transferului de cldurCoeficientul de convecie , caracterizeaz intensitatea transferului de cldurconvectiv. El este definit de legea lui Newton ca fiind fluxul termic transmis princonvecie prin unitatea de suprafa izoterm la o diferen de temperatur de 1 K.Valoarea coeficientului de convecie depinde de numeroi factori: natura fluidului,viteza fluidului, presiune, temperatur, starea de agregare, geometria suprafeei, etc.

Fluidul i tipul conveciei , n W/(m2K)Gaze, convecie liber 6 - 30Gaze, convecie forat 30 - 300Ulei, convecie forat 60 - 1800

Ap, convecie forat 500 - 40.000Ap, fierbere 3000 - 60.000Abur, condensare 6000 - 120.000

Radiaia termic este procesul de transfer de cldur ntre corpuri cu temperaturidiferite separate n spaiu.Orice corp S emite prin radiaii electromagnetice energie. Transportul se realizeazprin fotoni, care se deplaseaz n spaiu cu viteza luminii. Energia transportat deacetia este n funcie de lungimea de und a radiaiei.

Relaia de baz a transferului de cldur prin radiaie a fost stabilit experimental deStefan i teoretic de Boltzmann. Ecuaia Stefan Boltzmann exprim fluxul termicemis de un corp negru absolut sub forma:

[ ]WTSQ 40 = [ ]WTSQ 0 = unde: 0 este coeficientul de radiaie a corpului negru (0 = 5,67.10-8 W/(m2K4)); S, T suprafaa, respectiv temperatura, n m2, respectiv K.

2. TRANSFERUL DE CALDURA PRIN CONDUCTIE

2.1. ECUAIILE DIFERENIALE ALE CONDUCIEI TERMICE

Ecuaia general a conduciei termice

Ecuaia caracterizeaz conducia tridimensional, n regim nestaionar, prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite.

Ipotezele care stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt:

- corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic este constant- corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic este constanti are aceleai valori n toate direciile: x = y = z = = const.

- cldura specific cp i densitatea sunt constante n intervalul de temperaturconsiderat;

- n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cu densitateavolumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

- deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturii este neglijabil.

)=

=

)+

)1

3

2

( corpn acumulata caldura

( caldura de interioaresurse de generata caldura

( exterioare lui esuprafetelprin corpn ramasa si intrata caldura

dQ

dQdQ

Cldura intrat n elementul dv prin conducie dup direcia Ox:

[ ]Jddzdyx

TddzdyqdQ sx

==1

Cldura ieit din elementul dv dup aceeai direcie:

[ ]Jddzdydxx

TTx

dQx

+

=2

Cldura rmas n elementul dv dup direcia Ox:

TT

[ ]Jddvx

Tddzdydxx

T

ddzdydxx

TTx

ddzdyx

TdQdQdQ xxx

=

=

=

+

+

==

2

2

2

2

21

n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas n elementul dv dup direciile Oy i Oz:

[ ]JddvyTdQy

= 2

2 [ ].22

Jddvz

TdQz

=

Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral a elementului dv i rmas n aceasta va fi:

[ ]JddvTddvz

TyT

x

TdQ ,222

2

2

2

2

1 =

+

+

=

Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur uniform distribuite este:

[ ]JddvqdQ v =2 Cldura acumulat n corp: Cldura acumulat n corp:

[ ]JdTdvcdTcmdQ pp

=

=3

nlocuind valorile lui dQ1, dQ2 si dQ3 n ecuaia bilanului termic, se obine:

ddvqddvTddvTc vp +=

2.

2

p

v

p c

qTc

T

+

=

sau:

Difuzivitatea termic: pc

a

=

vqTT

a

conductieiageneralaEcuatia

+=

21:

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

Denumire Regimul Ecuaia

Ecuaia general aconduciei

Regim tranzitoriu cu surse interioare de

cldur

Ecuaia lui PoissonRegim constant cu surse interioare de

vqTT

a+=

21

02 =

+ vqTEcuaia lui Poisson surse interioare de cldur

Ecuaia lui FourierRegim tranzitoriu fr

surse interioare de cldur

Ecuaia lui LaplaceRegim constant fr surse interioare de

cldur

0=

+ T

TTa

21 =

02 = T

Pentru corpuri neomogene i neizotrope :

( )zyx ,,=)(T=

)(Tcc pp =( ),,, iiii zyxq

( ) ( )

( ).,,,0

ii

n

iiiz

yxp

zyxqz

Tz

yT

yxTTTTc

=

+

+

+

+

=

Condiii de determinare univoc a proceselor de conducie

Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n care se desfoarprocesul de conducie;

Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului: , , cp i variaia surselorinterioare de cldur;

Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i dau de obicei, valorilecmpului de temperatur, la momentul iniial = 0;

Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cu mediul ambiant icare se pot defini n mai multe forme.

a) Condiiile la limit de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer la cunoatereacmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice moment de timp:

Tp(x, y, z, ).

Caz particular - suprafaa corpului este izoterm n timp: Tp = ct.

b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care se cunosc valorilefluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:

( ) ,,, zyxfn

Tqp

sp =

=

n acest caz exist dou cazuri particulare:-fluxul termic unitar pe suprafa este constant: qS = const.-fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic adiabat): .0=

pn

T

c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperatura fluidului carenconjoar corpul Tf i legea de transfer de cldur ntre corp i fluid.n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeaz prin convecie,condiia la limit de ordinul III se scrie:

).( fpp

TTn

T=

d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile de transfer la interfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferite

Solid 1 Solid 2

T

Ts

T1

1

T2

2

n cazul n care contactul ntre cele doucorpuri este perfect (nu exist rezistenetermice de contact), fluxul termic unitar desuprafa fiind acelai n ambele corpuri,condiiile la limit de ordinul IV se scriu:

x

T2

1 2

.

22

11

pp dxdT

dxdT

=

La interfaa de contact pantele celor dou variaii ale temperaturilor ndeplinesccondiia:

.

1

2

2

1 consttgtg

=

=

Conductivitatea termicConductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:

=

KmW

Tgrandqs

Definitie: reprezinta fluxul transmis prin conducie prin unitatea de suprafa izoterm la ungradient de temperatur de 1K/m. Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor caredepinde de natura acesteia, temperatur i presiune.

Ordinul de mrime al conductivitii termice pentru diferite materiale

Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui este neglijabil, variaia cu temperatura avnd forma:

( )

=Km

WT 10

Variaia cu temperatur a conductivitii termice:solide lichide gaze

Conducia termic unidirecional n regim constanta) Corpuri cu forme geometrice simple fr surse interioare de cldurPeretele plan Condiii la limit de ordinul I:

Tp1

Tf1

Tp2

Se cunosc:p [m]; p [W/(mK)]; Tp1 i Tp2 [C], S [m2].

Se cer: T(x), qs i Q

Fluid

cald

1

Fluid

rece

2

Tf2

Tp2

xx =p

p

Tf1Tf2

Rs1 Rs2 Rs3Tp1 Tp2

qs

Se cer: T(x), qs i Q

n acest caz conducia fiindunidirecional, n regimpermanent, fr surse interioarede cldur se poate pleca de laecuaia legii lui Fourier:

dxdTqs =

( )p

p

ppspppps

T

Tps

TTqTTqdTdxq

p

p

p

21

210

2

1

===

Rezistena termic conductiv pentru un perete plan:

=

WKmR

p

ps

2

[ ]2mSqQ S =Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia lui Fourier se va integra de la 0 la x, respectiv de la Tp1 la T(x):

( )( )[ ] ( )

xTT

TxTT

T

xqTxTxTTxqdTdxq

p

ppp

p

p

p

ppp

psppps

xT

T

x

ps

p

=

=

====

211

211

110 1

n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz liniar cutemperatura:

( )

+=Km

WT 10

+= 20 )1( m

WdxdTTqs

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

++=

+=+=

22121210

22

21210

00

21

21

2

1

m

WTTqTTTT

q

TTTTqdTTdxq

ppm

spppp

pS

pppppS

T

Ts

p

p

p

2 mp

121)(

0

2

1

+=

xqTxT sp

=

111

1spf

qTT

Peretele plan Condiii la limit de ordinul III:Se cunosc:p [m]; p [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], 1 i 2 [W/(m2.K)], S [m2].Se cer: qs i Q, Tp1 i Tp2

( ) ( ) ( )

=== 222221111 m

WTTTTTTq fpppp

ppfs

=

=

222

21

1

1

sfp

p

pspp

qTT

qTT

++

=

++= 2

21

21

2121 11

11m

WTTqqTT

p

p

ffs

p

psff

La acelai rezultat se ajunge folosind analogia electric a transferului de cldur. nacest caz apar trei rezistene termice nseriate:

++=

WKmRRRR SSSSt

2

321

Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

( )

=

== 21 mW

RTTTTTqs

pfpfs

Rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:

=

KmR21

Rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:

=

WKmRscv

1

++

=

= 2

21

21

11 mWTT

RTq

p

p

ff

sts

Coeficientul global de transfer de cldur :

++

==

KmW

RK

p

psts 2

21

1111

( ) [ ]WTTSKQ ffS 21 =

Temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin cu relaia:

( )322111 sssfssfp RRqTRqTT ++==xSSx RqTT = 0,0

++==

2111

112

p

psfsfp qTqTT

( ) RqTRRqTT +=+= ( ) 322112 ssfsssfp RqTRRqTT +=+=

22

112

11

+=

+= sf

p

psfp qTqTT

Peretele plan Rezistene termice de contact:

Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelor i de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 18% din suprafaa total

Rezistena termic de contact:

=

WKm

qTRs

csc

2

Conductana termic de contact:

=

KmW

Rsc 2* 1

Rezistena termic de contact este compus din dou rezistene termice legate nparalel: rezistena termic prin punctele solide de contact Rss i rezistena termicprin fluidul din interstiii Rsf:

+==Km

WRRR sfsssc 2

* 111

Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

( ) [ ]WTTSSR

TTSR

TTQ fsf

c

ss

21*2121

=

+

=

+

+

= ffc

SS

SS

2121

21*

+=

+

=+=

ff

medc

fsfss

SS

SS

sau

SSRR

1

;

*

21

2

2

1

1

Rezistena termic de contact, respectiv conducia termic de contact depind de: presiunea de strngere a celor dou suprafee; rugozitatea suprafeelor; rezistena la rupere r a materialului cu duritate mai mic; conductivitatea termic a celor dou solide; conductivitatea termic a fluidului din interstiii.

Variaia conductanei termice de contact

Curbanr.

Perechea demateriale

Rugozitateasuprafeelor

mFluidul dininterstiiu

Temperaturamedie decontact

CC

1 Aluminiu 1,221,65 Vid (10-2 Pa) 432 Aluminiu 1,65 Aer 93

3 Aluminiu 0,150,2(neplane)Foi de plumb

(0,2 mm) 43

4 Oel inoxidabil 1,081,52 Vid (10-2 Pa) 305 Oel inoxidabil 0,250,38 Vid (10-2 Pa) 306 Oel inoxidabil 2,54 Aer 93

7 Cupru 0,180,22 Vid (10-2 Pa) 46

8 Oel inoxidabilaluminiu 0,761,65 Aer 93

9 Magneziu 0,20,41(oxidat) Vid (10-2 Pa) 30

10 Fieraluminiu Aer 27

Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:

Se cunosc:1 [m]; 2 [m]; 1 [W/(mK)]; 2 [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], 1 i 2 [W/(m2.K)], S [m2].Se cer: qs i Q, Tp1; Tp2; Tp3 i Tp4

++++

=

=

=

2

22

2*

1

1

1

215

1

21

111 mWTT

R

TTq ff

isi

ffs

( ) [ ]WTTSKSqQ == ( ) [ ]WTTSKSqQ ffSs 21 ==

( )

( )

.

1

;11

;1

;1

2224

*1

1

1132113

1

1

112112

11111

+=+=

++=++=

+=+=

==

sfspsfp

sfssssfp

sfsssfp

sfssfp

qTRqTT

qTRRRqTT

qTRRqTT

qTRqTT

Perete compozit:76

543

21 1111

ss

sss

ssst RR

RRR

RRR ++++

++=

27

1

16

1

12

11

1;;;

1

==== ssss RRRR

332

21

12

321

Tzbzbzb

qqqq ssss

++=

=++=

5241

12

1

111 TTTTqs ====

332

22

12

Tzbzbzb

++=

.

1

;1

;1

32

2

32

2

2

325

21

2

21

2

2

214

12

2

12

2

2

123

bb

zbzbR

bb

zbzbR

bb

zbzbR

s

s

s

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Pentru determinarea rezistenelor termicevom scrie fluxul termic unitar pe fiecare zon,considernd o lime a peretelui z, astfel cazb=1m2.

Peretele cilindric Condiii la limit de ordinul I:Se cunosc:di [m]; de [m]; [W/(mK)]; Tp1 i Tp2 [C], S [m2].Se cer: T(r), ql i Q

[ ]mWdqq sl = pi( )

dTrq

drdT

rdrdTSlqQ l

=

===

pi

pi

2

2

drrql = pi2

Separnd variabilele i integrnd se obine:

r

drqdTe

i

p

p

r

r

e

T

T

= pi22

1

=

m

W

r

r

TTq

i

e

ppl

ln2

121

pi

=

=

WKm

dd

r

rRi

e

i

el ln2

1ln2

1pipi

i

lp

r

rqrTT ln

2)(1

= pi

( ) )/(ln)/(ln)( 211

ie

ippp

rr

rrTTTrT =

n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cu temperatura: = 0.(1+.T)

( )drdT

rTql += pi 210Prin integrare ntre limitele r1 i r, respectiv Tp1 i T(r), rezult:

( )pi

+=

1/ln1)(0

12

1rrqTrT lp

Distribuia temperaturii la conducia termicprintr-un perete cilindric omogen

Condiii la limit de ordinul III:Se cunosc:di [m]; de [m]; [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], i i e [W/(m2.K)], S [m2].Se cer: ql i Q, Tp1 i Tp2

++

=

m

WRRR

TTq

lll

ffl

321

21

pi

==

==T

lQq

TlrTSQ

l 1

2 ( )ln11

;1

2112

1111

e

lllfp

eilfllfp

dqT

RRqTTd

qTRqTTpi

=

+=

=+=

==

pi dl 1

Rezistena termic linear convectiv:

=

WKm

dR cvl pi

1,

+

+

=

m

W

ddd

d

TTq

eei

e

ii

ffl

pipipi1ln

211

21

+

+

=

KmW

ddd

d

K

eei

e

ii

l

pipipi1ln

211

1 ( ) [ ]WTTlKQ ffl 21 =

.

1

ln2

11

232

1

ee

lfllf

i

e

iilf

dqTRqT

dd

dqT

pi

pipi

+=+=

=

+=

Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia depropagare a cldurii:

232

3

2*

21

2

111

2211

1ln2

11ln2

11pi

+pi

+pi

+pi

+pi

=

=++++=

ddd

ddd

d

RRRRRR llplclpllt

++++=

KmW

ddd

ddd

d

K l

232

3

2*

21

2

111

1ln2

11ln2

111

pipipipipi

( ) [ ]mWTTKq pfll 11 =( )

( ) [ ]CRRqTRRRqTT

lpllf

lclpllfp++=

=++=

222

1113

Peretele sferic Condiii la limit de ordinul I:

Separnd variabilele i integrnd se obine:

( ) [ ]WdrdT

rdrdTSQ == 24pi

=2

1

2

1

24

r

r

T

T r

drQdTp

ppi

=

2121

114 rrQTT pp pi 214 rrpi

( )

=

=

21

21

21

21

112

1114

dd

TT

rr

TTQ pppp

pi

pi

Rezistena termic conductiv n cazul sferic:

pi=

21

112

1dd

Rtcd

Prin integrarea de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r, rezult ecuaia cmpului de temperatur (hiperbolic):

( )21

1211

11 11

1111

4)(

rr

rrTTTrr

QTrT pppp

=

=

pi

Conducia termic unidirecional n regim constantb) Corpuri cu forme geometrice simple cu surse interioare de cldur uniform distribuitePeretele plan Perete rcit uniform pe ambele fee:

Ecuaia lui Poisson (cmp de temperatur unidirecional):02

2

=

+ v

qdx

Td

Integrnd de dou ori se obine:Integrnd de dou ori se obine:

1Cxq

dxdT v +

=

212

2CxCxqT v ++=

Pentru determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se pot pune condiii lalimit de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind rcit uniform pe ambele fee, ncentrul plcii temperatura va fi maxim (Tm):

la x = 0, 0=dxdT

condiiile la limit de ordinul I:

la x = , T =Tp2

21 20 +==

vp

qTCsiC

+=2

2 12

xqTT vp2

2 +=

vpm

qTT

la x = 0, T =Tm mTCsiC == 21 0

2

2x

qTT vm

= 2 condiiile la limit de ordinul III:

la x = 0, 0=dxdT

la x = , ( )fp TTdxdT

=

+== vfp

qTTsiC 01

+

+=2

2 12

xqqTT vvf [ ]WSqdxdTSQ v

x

===

2/1

Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa S:

Perete rcit neuniform pe cele dou fee: condiiile la limit de ordinul I:

la x = 0, T =Tp1; la x = 2, T =Tp2.

+

=

=

vpp

p

qTTC

TC

2

;

121

12

Ecuaia cmpului de temperatur:

112

2

22 pvppv Txq

TTxqT +

+

+

=

Temperatura maxim se realizeaz la distana x = xm, care rezult din ecuaia dT/dx = 0:

+=

212 pp

v

m

TTq

x ( ) ( )2121222

21

82 ppppvv

m TTTTqqT ++

+

=

Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa S:

( )

==

+

==

22

2

122

121

ppvmv

vppmv

TTqSxSqQ

qTTSxSqQ

condiiile la limit de ordinul III:

la x = 0,

la x = 2,

( )111 fp TTdxdT

=

( )222 fp TTdxdT

=

++

++

+=

1

2

1

212

1121

12 vfffp

qTTTT

++

++

+=

2

1

2

121

22

2

21

12 vfffp

qTTTT

Peretele cilindricEcuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonate cilindrice:

0122

=+ vq

drdT

rdrTd

21

2

ln4

CrCrqT v ++

=

la r = 0, 0=drdT

la r = 0, T=Tm

C1 = 0 i C2 = Tm

Ecuaia cmpului de temperatur:

=

4

2rqTT vm

Temperatura peretelui se obine pentru r = R:

=

4

2RqTT vmp

Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuia:

( ) [ ]WlTTqlRdrdTSQ pmv

r

===

=

pipi 420

Peretele cilindric tubularn cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubul cilindric areperei subiri (de/di 1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaie ca un perete plan.n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se pot ntlni trei cazuri: tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai la exterior (fig. a); tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai la interior (fig. b); tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. c).

Perete tubular cu surse interioare de cldur

Cmpul detemperatur

Rcit pe ambele fee(fig.c)

Rcit la interior(fig. b)

Rcit la exterior(fig. a)

Mrimea

= 1ln2

4

22

ii

ivi R

r

RrRqTT

= 1ln2

4

22

ee

ev

e Rr

RrRqTT

( ) ( )( )

( ) ( )

+

=

4

/ln/ln

422

22

ievei

ei

iivi

RRqTT

RRRrRrqTT

( ) ( )q

0Fluxultransmisprin pereteleexterior

0Fluxultransmisprin pereteleinterior

Rm = RiRaza la caretemperaturaeste maxim

Rm = Ri

( ) viei lqRRQ 22 pi=

( ) viee lqRRQ 22 pi=

( ) ( )

i

ev

iev

ie

m

RRq

RRqTTR

ln2

422

+

=

( ) vimi lqRRQ 22 pi=

( ) vmee lqRRQ 22 pi=