sainvatamgeometriaprinrezolvareadeproble me

5/17/2018 Sainvatamgeometriaprinrezolvareadeproble Me - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sainvatamgeometriaprinrezolvareadeproble-me 1/11

Învăţăm geometria prin rezolvarea de probleme

ARGUMENT

Problemele de geometrie sunt atât de variate, încât nu se pot da indicaţii generale pentru

rezolvarea lor. Dificultăţile principale ale acestor probleme constau în caracterul lor nonstandard.

Fiecare problemă de geometrie plană sau în spaţiu comportă o investigare specifică în care sunt

implicate, în afara cunoştinţelor primite la clasă şi o anumită obişnuinţă de a rezolva probleme, o

gândire logică bine structurată, precum şi o anumită creativitate, interes şi motivaţie pentru

studiul acestei discipline.

Procesul învăţării geometriei, stăpânirea unor metode de explorare/cercetare/investigare

care să permită accesul rapid la „tainele” problemelor de geometrie sunt obiective dificil de

realizat. Cunoaşterea unor scheme de raţionament în studierea geometriei sunt necesare pentru

că, pe de o parte, ele înlesnesc înţelegerea demonstraţiilor, iar pe de altă parte, constituie

mijloace de cercetare, de explorare/investigare în rezolvarea problemelor.

Opţionalul Învăţăm geometria prin rezolvarea de probleme are drept obiectiv

principal: introducerea elevilor, prin „exerciţiu”, în largul evantai de metode şi tehnici, generale

şi specifice, de rezolvare a problemelor de geometrie plană şi în spaţiu.



COMPETENŢE GENERALE

CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care

au fost definite

CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţurimatematiceCG3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală

a unei situaţii concrete

CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete

şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii- problemă

CG6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor

din diferite domenii

VALORI ŞI ATITUDINI

şi în acţiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate

arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practiceticii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi

profesională



COMPETENŢE SPECIFICE ŞI EXEMPLE DE ACTIVITAŢI DEÎNVĂŢARE

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul încare au fost definite

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţare

Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în

configuraţii geometrice date- Exerciţii de identificare, diferenţiere şi

denumire a patrulaterelor- Exerciţii de identificare a patrulaterelor pe

cor puri geometrice sau pe desfăşurări ale

acestora- Exerciţii de scriere şi de identificare a unor

elemente ale patrulaterelor: laturi, unghiuri,diagonale- Analizarea unor exemple de patrulatere cu sau

fără axă de simetrie- Exerciţii de identificare a centrelor/axelor desimetrie pentru patrulaterele studiate- Utilizarea triunghiurilor particulare pentru adescompune patrulatere convexe

Identificarea perechilor de triunghiuriasemenea în configuraţii geometrice date

- Stabilirea relaţiei de asemănare între două

triunghiuri date utilizând măsurarea unghiurilor

şi proporţionalitatea laturilor

- Exerciţii de stabilire a proporţionalităţii

lungimilor unor segmente care reprezintă laturi

ale unui triunghiRecunoaşterea şi descrierea elementelor unuitriunghi dreptunghic într-o configuraţie

geometrică dată

- Exerciţii de identificare a proiecţiei unuisegment pe o dreaptă în diferite configuraţii

geometrice- Folosirea instrumentelor geometrice pentru areprezenta proiecţia unui punct/segment pe o

dreaptă

Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui

cerc, într-o configuraţie geometrică dată

- Exerciţii de identificare a elementelor unui

cerc pe configuraţii date- Exerciţii de identificare a unor proprietăţi ale

arcelor şi coardelor; diametrul perpendicular pecoardă

- Identificarea poziţiei unei drepte faţă de un

cerc



CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în

enunţuri matematice


Identificarea patrulaterelor particulare utilizând

proprietăţi precizate

- Demonstrarea proprietăţilor paralelogramului

- Exerciţii de stabilire a unor paralelograme particulare pe baza unor proprietăţi precizate

- Demonstrarea proprietăţilor paralelogramelor

particulare utilizând metode variate- Exerciţii de identificare a liniei mijlocii în

trapez pe baza definiţiei/proprietăţilor acesteia

- Exerciţii de identif icare a simetriei trapezuluiisoscel şi caracterizarea tipului de simetrie

- Calcularea ariilor unor suprafeţe folosind

decupări, pavaje şi reţele

Stabilirea relaţiei de asemănare între două

triunghiuri prin metode diferite

- Exerciţii cu rapoarte şi proporţii formate cu

lungimi de segmente- Stabilirea relaţiei de asemănare între douătriunghiuri date utilizând definiţia sau utilizând

criterii de asemănare

- Transpunerea în desen a unor perechi detriunghiuri care verifică un criteriu deasemănare cu identificarea laturilor

proporţionale şi a unghiurilor congruente

- Aplicarea teoremei fundamentale aasemănării în diferite contexte

Aplicarea relaţiilor metrice într -un triunghi

dreptunghic pentru determinarea unor elementeale acestuia

- Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora

pentru stabilirea perpendicularităţii a douădrepte sau a naturii unui triunghi- Calcularea unor lungimi de segmenteutilizând teorema înălţimii sau teorema catetei

- Calcularea unor lungimi de segmenteutilizând teorema lui Pitagora- Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei şi

cotangentei pentru unghiurile ascuţite ale unui

triunghi dreptunghic- Determinarea valorilor pentru sinus, cosinus,

tangenta şi cotangenta unghiurilor de , , 30 45

60- Determinarea elementelor unui triunghidreptunghic utilizând relaţiile metrice şi

trigonometrice studiateCalcularea unor lungimi de segmente şi a unor

măsuri de unghiuri utilizând metode adecvateîn configuraţii care conţin un cerc

- Calculul unor lungimi de segmente în cerc- Exerciţii de determinare a măsurii unghiurilor

unui poligon regulat- Exerciţii de calculare a elementelor (latură,



apotemă, perimetru) poligoanelor regulate:triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat

- Exerciţii de utilizare a instrumentelor

geometrice adecvate pentru a reprezentaconfiguraţii geometrice care conţin un cerc

CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sauglobală a unei situaţii concrete


Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale

patrulaterelor în rezolvarea unor probleme- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile paralelogramelor particulare:dreptunghi, romb şi pătrat- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţiletrapezului isoscel- Analizarea şi construcţia unor figuri cu simetrieaxială sau centrală- Construcţia cu ajutorul instrumentelor

geometrice a unor patrulatere respectândcondiţii date- Exerciţii de desenare a paralelogramuluiutilizând definiţia sau proprietăţi ale acestuia- Justificarea unor proprietăţi ale patrulaterelor

pe baza simetrieiUtilizarea noţiunii de paralelism pentru

caracterizarea locală a unei configuraţii

geometrice date

- Determinarea unor lungimi de segmente şi a

unor măsuri de unghiuri, utilizând asemănarea

triunghiurilor şi proprietăţile şirului de rapoarteegale- Calcularea unor lungimi de segmente întriunghi utilizând teorema fundamentală a

asemănării

- Calculul de perimetrelor şi de ariilor a două

triunghiuri asemenea, prin utilizarea raportuluide asemănare- Stabilirea paralelismului unor drepte utilizândreciproca teoremei lui Thales- Utilizarea definiţiei şi a proprietăţilor liniei

mijlocii într-un triunghi- Utilizarea condiţiilor teoremei reciproce a

liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismulunor drepte- Utilizarea definiţiei şi proprietăţilor liniei



mijlocii în trapez- Exerciţii de identificare a liniei mijlocii în

trapez pe baza definiţiei/proprietăţilor acesteia

- Determinarea lungimii unor segmente prinutilizarea teoremei paralelelor echidistante, a

teoremei lui Thales sau a proporţiilor derivate- Calcularea unor lungimi de segmentedeterminate de diagonalele unui trapez pe liniamijlocie

Utilizarea informaţiilor oferite de o

configuraţie geometrică pentru deducerea unor

proprietăţi ale cercului

- Rezolvarea de probleme în care se utilizează

proprietăţi ale arcelor, coardelor şi diametrul

perpendicular pe coardă

- Rezolvarea unor probleme folosind proprietăţile tangentelor duse dintr -un punctexterior la un cerc- Evidenţierea concurenţei bisectoarelor unui

triunghi circumscris unui cerc- Calcularea unor lungimi de segmente şi a

măsurilor de unghiuri şi de arce de cerc;triunghi înscris în cerc- Exerciţii de determinare a măsurii unghiurilorunui poligon regulat

CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţiiconcrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora


Exprimarea proprietăţilor figurilor geometrice

(segmente, triunghiuri, trapeze) în limbajmatematic

- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile trapezului isoscel

- Utilizarea concurenţei medianelor într -untriunghi în rezolvarea de probleme- Argumentarea alegerii între teoremafundamentală a asemănării şi teorema lui

Thales pentru rezolvarea unor problemespecifice

Exprimarea, în limbaj matematic, aperpendicularităţii a două drepte prin relaţiimetrice

- Exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desenrelaţii între elementele unor figuri sau

configuraţii geometrice (congruenţă,

paralelism, perpendicularitate)- Observarea diferenţei dintre condiţiile

necesare şi suficiente în contexte geometricevariate



Exprimarea proprietăţilor elementelor unui

cerc în limbaj matematic- Utilizarea instrumentelor geometrice pentru areprezenta prin desen cercul şi elementele sale- Construcţii de arce congruente utilizândunghiuri la centru- Evidenţierea concurenţei bisectoarelor unui

triunghi circumscris unui cerc- Utilizarea instrumentelor geometrice pentruconstrucţia triunghiului echilateral, pătratului şi

hexagonului regulat- Exerciţii de determinare a perimetrului

triunghiului circumscris unui cerc- Calcularea lungimilor unor arce de cerc şi

aria sectorului de cerc folosind regula de treisimplă

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problem


Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate

în vederea optimizării calculelor de lungimi de

segmente, de măsuri de unghiuri şi de arii

- Calcularea ariei triunghiului şi a

patrulaterelor studiate cu ajutorul formulelor- Exerciţii de alegere a celei mai potrivite

unităţi de măsură pentru un anumit context dat

- Exerciţii de utilizare a instrumentelor

geometrice pentru a reprezenta prin desenrelaţii între elementele unor figuri sau

configuraţii geometrice (congruenţă,paralelism, perpendicularitate)- Utilizarea unor metode diferite de calculare aariei unui triunghi şi/sau a unui patrulater

Interpretarea asemănării triunghiurilor în

corelaţie cu proprietăţi calitative şi/ sau metrice

- Discutarea, analiza şi compararea unor

metode diferite de rezolvare a unei problemede asemănare

- Identificarea şi analizarea unor metode

alternative de rezolvare a problemelor degeometrie utilizând asemănarea triunghiurilor

Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu

rezolvarea triunghiului dreptunghic- Utilizarea tabelelor trigonometrice înrezolvarea unor probleme practice- Calculul ariei unui triunghi folosind noţiuni

de trigonometrie- Determinarea elementelor unui triunghidreptunghic utilizând relaţiile metrice şi

trigonometrice studiate- Exerciţii de calcul a unor lungimi de

segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii



ale unor configuraţii geometrice- Utilizarea unor metode diferite de calculare aariei unui triunghi şi/sau a unui patrulater

Deducerea unor proprietăţi ale cercului şi ale

poligoanelor regulate folosind reprezentări

geometrice şi noţiuni studiate

- Poziţionarea unei drepte faţă de un cerc înraport cu numărul de puncte de intersecţie

dintre dreaptă şi cerc- Deducerea unor relaţii între latura poligonului

regulat şi raza cercului circumscris acestuia

CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea

cunoştinţelor din diferite domenii


Interpretarea informaţiilor deduse dinreprezentări geometrice în corelaţie cu anumite

situaţii practice

- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile trapezului şi a paralelogramelor

particulare: dreptunghi, romb şi pătrat


alternative de rezolvare a problemelor degeometrie utilizând proprietăţi ale

patrulaterelor particulare- Analizarea unei situaţii- problemă sau a unor

probleme practice care necesită aplicarea

proprietăţilor patrulaterelor particulare şi aletrapezului isoscel

- Observarea diferenţei dintre condiţiilenecesare şi suficiente în contexte geometricevariate

Aplicarea asemănării triunghiurilor înrezolvarea unor probleme matematice saupractice

- Construcţia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor configuraţii geometrice

respectând condiţii date de asemănare

- Analizarea prin activităţi de grup sauindividuale a unei situaţii problemă sau a unor

probleme practice care necesită aplicarea

criteriilor de asemănare

Transpunerea rezultatelor obţinute prin

rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice lasituaţii-probleme date


alternative de rezolvare a problemelor degeometrie utilizând relaţii metrice şi noţiuni detrigonometrie- Compararea diferitelor metode utilizate înrezolvarea unor probleme referitoare la relaţii

metrice într-un triunghi dreptunghicInterpretarea informaţiilor conţinute în

probleme practice legate de cerc şi de

- Utilizarea unor relaţii între latura poligonului

regulat şi raza cercului circumscris acestuia în



poligoane regulate contexte geometrice variate- Identificarea şi analizarea unor metode

alternative de rezolvare a problemelor degeometrie utilizând proprietăţi ale cercului sau

ale poligoanelor regulate



CONŢINUTURI

1. Concurenţa liniilor importante în triunghi (2 ore)

Concurenţa medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si înalţimilor Cercul înscris în triunghi, cercul circumscris si exînscris unui triunghi

2. Teoremele Menelaus si Ceva (4 ore)

Teorema lui Menelaus în triunghi şi în patrulater Teorema lui Ceva în triunghi şi în patrulater. Reciprocele acestor teoreme in triunghi Teorema Van – Aubel

3.Cercul. Generalitati (3 ore)

Cercul – elemente de istorie a matematicii Definiţie, elemente. Poziţia unei drepte faţă de un cerc Unghi la centru, unghi inscris un cerc

4. Patrulatere inscriptibile si circumscriptibile (5 ore)

Mediatoarele unui patrulater. Patrulater inscriptibil Condiţii de inscriptibilitate Teorema lui Ptolemeu Cercul lui Euler Patrulater circumscriptibil.Condiţii de circumscriptibilitate

5. Probleme de coliniaritate (4 ore)

Metode de demonstrare a coliniarităţii unor puncte Teorema lui Euler ; dreapta lui Simpson Teorema lui Gauss pentru patrulatere Relaţia lui Carnot

6. Probleme de concurenta (4 ore)

Metode de demonstrare a concurenţei unor drepte Teoremele lui Nagel si Gergone Teorema lui Steiner Teorema lui Miquel

7. Relatii metrice in triunghi si patrulater (4 ore)

Teorema Pitagora generalizată Teorema medianei Relaţia lui Stewart Relaţia lui Euler pentru patrulatere



MODALITĂŢI DE EVALUARE

În cadrul cursului descris mai sus se vor evalua :

referate conţinând demonstraţii ale unor proprietăţi, referate întocmite pe baza unei bibliografii ce va fi pusă la dispoziţia elevilor de către profesor, cu sprijinul nemijlocital acestuia ;

participarea actiăa la rezolvarea frontală dirijată a problemelor ;

redactarea clara, concisa şi riguroasă a soluţiei unei demonstraţii matematice.

BIBLIOGRAFIA PROFESORULUI

1. Traian Lalescu - Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova 1993

2. Ion Pascaru, Petre Nachila - Matematica gimnaziala in concursurile scolare,Editura Tiparg 2005

3. Ion Chitescu, Marcel Chirita – Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998

4. Constantin Ionescu – Tiu - Geometrie plana si in spatiu pentru admitere, Editura

Albatros 1976

5. Liviu Nicolescu, Vladimir Broskov – Probleme practice de geometrie, EdituraTehnica Bucuresti 1990

6. Miron Oprea – Scurta istorie a matematicii, Editura Premier, Ploiesti 2000

7. Anton Negrilă şi co. – Algebră.Geometrie, clasa a VII -a Editura Paralela 45 Piteşti

8. Anton Negrilă şi co. – Subiecte posibile – 100 variante pentru testele naţionale,

Editura Paralela 45 Piteşti

9. Artur Bălăucă şi co. – Algebră. Geometrie, clasa a VIII -a Editura Taida Iaşi 2005

10. Manual de matematica, clasa a VII-a, Editura Teora

11. www.didactic.ro

sainvatamgeometriaprinrezolvareadeproble me

Documents