1

CALCULUL PLCILOR ACIONATE DE FORENORMALE PE PLANUL MEDIAN PRIN METODAELEMENTELOR FINITE

1. CONSIDERAII PRELIMINARII

n metoda elementelor finite (MEF), plcile plane supuse la ncovoiere se trateaz considernd aceleai ipoteze ca i n cazul celorlalte metode folosite.

Placa se partiioneaz n subdomenii disjuncte numite elemente finite. n planul median al plcii, elementele finite pot fi triunghiulare, dreptunghiulare, paralelograme sau patrulatere oarecare. n continuare se vor considera elemente finite de form dreptunghiular, frecvent folosite pentru plcile de aceeai form.

Punctele nodale se iau n coluri i eventual pe laturi. Pentru fiecare punct nodal se adopt un numr convenabil de grade de libertate (GDL). La punctele nodale din coluri gradele de libertate luate n considerare sunt: deplasrile normale pe planul median, w, i rotirile normalelor la planul median n jurul laturilor, x i

.y Unui punct nodal i se asociaz deci, trei grade de libertate. Numrul gradelorde libertate pe nod poate crete i cu ali parametri luai n considerare, ca de exemplu curburile suprafeei mediane deformate a elementului finit.

2. MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI FINIT

a. Fiecare element finit se raporteaz la un sistem de referin cartezianpropriu (local), fig.1.

Fig.1. Element finit dreptunghiular (grade de libertate i eforturi la noduri)

Deplasrile nodale, n numr de trei pentru fiecare nod (sgeata w i rotirile

2

x i ,y fig.1 a), n total 12, reprezint componentele vectorului deplasrilor

nodale, Nd sau ed

, ,

, ,

Nii

Nje N Ni xi

Nkyi

Nl

j k l

Nj xj Nk xk Nl xl

yk ylyj

dw

dd d d

dd

w w wd d d

(1)

Forele nodale, reprezentnd efectele sumate ale eforturilor de pe marginile elementului finit i ale ncrcrilor concentrate n noduri, NP , precum i al forelor distribuite (inclusiv forelor masice) aferente domeniului ocupat de elementul finit, au componentele dirijate dup deplasrile nodale i formeaz, de asemenea, un vector cu 12 componente, cte trei pe fiecare nod. Vectorul forelor nodale echivalente se noteaz cu NF sau eF , componentele sale fiind:

, ,

, ,

NNii

Nj Ne N Ni xi

Nk Nyi

Nl

N N Nj k l

N N NNj xj Nk xk Nl xl

N NNyk ylyj

FV

FF F F M

FM

F

V V VF M F M F M

M MM

(2)

ntre forele i deplasrile nodale se stabilete o relaie de legtur, n particular liniar pentru plci din materiale care ascult de legea lui Hooke.

b. Funcia de deplasare se alege sub forma unui polinom cu 12 parametri,corespunztor numrului gradelor de libertate nodale:

2 2 31 2 3 4 5 6 7

2 2 3 3 38 9 10 11 12

( , )w x y a a x a y a x a xy a y a x

a x y a xy a y a x y a xy

(3)

n care ( , ) ex y D ( eD fiind domeniul pe care este definit elementul finit e). Un punct M din planul elementului finit se regsete n ,M pe suprafaa

3

deformat a acestuia, la distana w (fig.2). Curbele de pe suprafaa deformat, obinute prin intersecie cu plane paralele la cele de coordonate, au n M

x i y care au expresiile:

2 2 2 32 4 5 7 8 9 11 122 3 2 3x

w a a x a y a x a xy a y a x y a yx

(4)

2 2 3 23 5 6 8 9 10 11 122 2 3 3y

w a a x a y a x a xy a y a x a xyy

(5)

Fig.2. Deplasrile unui punct curent dup deformarea plcii

Funcia de deplasare w(x,y) i pantele x i y sunt continue n orice punctdin interiorul domeniului eD . Se poate verifica continuitatea i pe frontiera elementului finit. Dac deplasrile pe frontier, ntre dou noduri consecutive, se pot exprima n mod univoc n raport cu parametrii nodali, satisfac condiiile de continuitate; n caz contrar continuitatea pe frontier, ntre noduri, nu este asigurat. Fie de exemplu latura ij, pentru care expresiile deplasrilor sunt:

2 31 3 6 10

2 32 5 9 12

23 6 102 3

x

y

w a a y a y a ya a y a y a ya a y a y

(6)

Se constat c deplasrile de pe aceast latur depind de 8 parametri. Se exprim deplasrile din i i j pentru y = 0 i respectiv ey b ,

2 31 1 3 6 10

2 32 2 5 9 12

23 3 6 10

,

,

, 2 3

i j e e e

xi xj e e e

yi yj e e

w a w a a b a b a b

a a a b a b a b

a a a b a b

(7)

Se remarc faptul c w i y depind de 4 parametri 1 3 6 10, , , ,a a a a care pot

4

fi exprimai univoc n raport cu deplasrile nodale , , , .i j yi yjw w Urmeaz c w i

y sunt continue pe frontiera .ij Panta (rotirea) x n direcie normal la frontiera

ij depinde de patru parametri 2 5 9 12, , ,a a a a i condiiile din nodurile i i j sunt n numr de dou, insuficiente pentru determinarea necunoscutelor. Deci x nu esteunivoc determinat n raport cu deplasrile nodurilor adiacente, prezentnd discontinuiti. Funcia (3) nu asigur continuitatea pentru pantele n direcia normal la contur. Analiznd ntreaga frontier se ajunge la concluzii similare.

c. Deplasrile w(x,y), ( , ),x x y ( , )y x y formeaz un vector

( , ) , , Tx yd x y w , care n raport cu parametrii generalizai ga (g = 1,2,...,12) are expresia:

( , ) ,d x y x y a (8) unde ,x y

2 2 3 2 2 3 3 3

2 2 2 3

2 2 3 2

10 1 0 2 0 3 2 0 30 0 1 0 2 0 2 3 3

x y x xy y x x y xy y x y xyx y x xy y x y y

x y x xy y x xy

(9)

1 2 12, ,...,Ta a a a (10)

Deplasrile n nodurile elementului finit ( 0, 0),i ii x y ( 0, ),j j ej x y b ( , ), ( , 0)k e k e l e lk x a y b l x a y au forma:

, 0,0

, 0,

, ,

, ,0

Ni i i

Nj j j e

Nk k k e e

Nl l l e

d x y a a

d x y a b a

d x y a a b a

d x y a a a

(11)

Particularizarea coordonatelor s-a fcut pentru sistemul de referin local utilizat.

Vectorul deplasrilor nodale TN Ni Nj Nk Nld = d d d d rezult din (11) Nd A a (12)

n care A este matrice ptrat cu dimensiunea 12 12 , nesingular.

5

( , ) (0,0), (0, )

( , )( , )( ,0)( , )

i i

j j e

e ek k

el l

x y

x y bA

a bx yax y

(13)

Din ecuaia (12), prin inversarea matricei [A ], se obin parametriigeneralizai ,a n funcie de deplasrile nodale Nd

1 Na A d

(14)

n continuare vectorul variabil ,d x y poate fi exprimat n raport cudeplasrile nodale

1( , ) ( , ) ( , )N Nd x y x y A d N x y d

(15)

unde s-a notat cu 1, ,N x y x y A - matricea funciilor de form sau de interpolare.

d. Deformaiile specifice ,x y i xy exprimate n raport cu w(x,y) sunt date de relaiile (1.9) i anume:

2 2 2

2 2, , 2x y xyw w wz z z

x y x y

(16)

Fie , , Tx y xy vectorul deformaiilor specifice, care innd cont de w(x,y), (4) i (5), ia forma:

yxdyxBzyxyxyxw

xy

y

xz

y

x

xy

y

x

,,,,,

0

00

00

(17)

sau , , ,N Nz B x y N x y d z B x y d (18)

unde 1, , , , ,B x y B x y N x y B x y x y A (19)

Matricea ( , )B x y , ca i A , depinde de forma aleas pentru w(x,y) i de

6

sistemul de referin adoptat. e. Pentru determinarea tensiunilor se folosesc legile fizice; n particular, se

consider dou cazuri de plci frecvent utilizate: ortotrope i izotrope. Tensiunile se pot exprima sub forma: E (20)

n care matricea de elasticitate ,E depinde de material. n particular pentrumateriale ortotrope legea constitutiv (5.4) se poate pune sub forma urmtoare:

00

0 0

x x x

y y y

xy xy

E EE E E

G

(21)

Pentru materiale izotrope legea (1.16) se pune sub forma:

21 0

1 01

10 02

x x

y y

xy xy

E E

(22)

Din relaiile (21), respectiv (22) rezult expresia matricei de elasticitate a materialelor ortotrope, respectiv izotrope.

Dac se ine cont de (18) se obine expresia tensiunilor ( , ) Nz E B x y d (23)

Bibliografie:

Calculul plcilor-Teorie si Aplicaii, Mihai Vrabie i Nicolae Ungureanu, Editura societii academice Matei-Teiu Botez, Iasi 2012.