oscilatii
DESCRIPTION
oscilatiiTRANSCRIPT
3. OSCILAŢII
3.1. Noţiuni generale
Energia unui corp poate fi reprezentată prin suma mai multor termeni, dependenţi de diferite tipuri de parametri de stare (mecanici, electrici, magnetici, termici, etc.), care se pot schimba odată cu aceşti parametri. Aceşti termeni se numesc energii de diferite forme: energie mecanică (depinde de parametri mecanici), la rândul ei - cinetică sau potenţială, energie electrică (depinde de parametri electrici), etc.
Se numeşte oscilaţie, în sens larg, un fenomen în care energia se transformă dintr-o formă în alta în mod periodic sau pseudoperiodic, reversibil sau numai parţial reversibil.
Din punct de vedere al formelor de energie care se transformă distingem: - oscilaţii mecanice (elastice) în care se transformă energia cinetică şi potenţială. - oscilaţii electromagnetice, fiind implicate energia electrică şi magnetică. - oscilaţii electromecanice (în particular electroacustice), legate de energia mecanică pe de o
parte şi cea electrică sau magnetică pe de altă parte. Se numeşte oscilaţie liniară o oscilaţie în cursul căreia mărimile care caracterizează sistemul
oscilant (masa, constanta elastică, coeficienţii de proporţionalitate între forţele de frecare şi viteze, sarcina electrică, etc.) rămân constante în timp.
Oscilaţia neliniară este oscilaţia pentru care aceste mărimi depind de timp, de coordonatele generalizate şi de vitezele generalizate. O oscilaţie în cursul cărora variaţia în timp a acestor mărimi este periodică se numeşte oscilaţie parametrică.
Se numesc oscilaţii disipative acelea care se efectuează cu scăderea energiei sistemului oscilant (transformarea ei în căldură sau transferul către mediul exterior) iar oscilaţiile nedisipative sunt cele în care transformarea energiei dintr-o formă în alta este reversibilă.
Dacă sistemul pus în oscilaţie este izolat şi a primit un impuls iniþial, oscilaţiile efectuate se numesc oscilaţii libere sau oscilaţii proprii. Oscilaţia proprie nedisipativă se numeşte oscilaţie neamortizată. Frecvenţa unei asemenea oscilaţii se numeşte frecvenţa proprie a sistemului. O oscilaţie proprie disipativă este amortizată.
Dacă sistemul pus în oscilaţie nu este izolat, el fie pierde energie în exterior, oscilaţiile amortizându-se, fie primeşte energie, în care caz oscilaţiile devin oscilaţii forţate sau întreţinute. Dacă energia este primită periodic, cu o frecvenţă adecvată sistemului oscilant, sistemul intră în rezonanţă cu mediul exterior.
Se numeşte oscilaţie de relaxare o oscilaţie întreţinută de însuşi sistemul oscilant. Este o oscilaţie neliniară, caracterizată prin aceea că în cursul unei perioade energia potenţială creşte de la o limită inferioară până la un anumit maxim, apoi scade aproape brusc (se produce relaxarea) până la limita inferioară, de unde fenomenul reîncepe.
Din punct de vedere al variaţiei în timp a mărimilor care caracterizează oscilaţia, deosebim: oscilaţii periodice, în decursul cărora aceste mărimi variază periodic şi oscilaţii pseudoperiodice, în cursul cărora mărimile respective sunt funcţii pseudoperiodice de timp, adică funcţii care reprezintă produsul dintr-o funcţie periodică şi o funcţie neperiodică.
Un sistem (corp) efectuează o mişcare oscilatorie armonică, dacă este supus acţiunii unei forţe de tip elastic, adică o forţă al cărei suport trece întotdeauna printr-un punct fix O, al cărei modul este proporţional cu distanţa de la punctul O la punctul de aplicaţie al forţei şi al cărei sens este opus deplasării:
rkF eerr
∆−= (3.1) unde ke este o constantă de proporţionalitate numită constantă elastică.
Forţa elastică tinde să readucă corpul în poziţia de echilibru, de energie potenţială minimă. O astfel de forţă mai este denumită şi forţă de rapel (de revenire). Dacă forţa de rapel depinde şi de puteri superioare ale lui rr∆ , oscilaţia devine anarmonică.
3.2. Oscilaţii armonice libere
În cele ce urmează vom considera numai mişcarea armonică unidimensională, în lungul axei Oy, fig. 3.1., când forţa elastică este de forma Fe= -key.
2
Fig. 3.1 În absenţa forţelor exterioare (de frecare sau de întreţinere) oscilaţia este liberă şi descrisă de
ecuaţia:
ykdt
ydm e−=2
2
(3.2)
unde m este masa oscilatorului.
Mărimea mke=0ω (3.3)
se numeşte pulsaţie proprie a mişcării. Ecuaţia de mişcare (3.2) ia forma:
0202
2
=+ ydt
yd ω (3.4)
care este o ecuaţie diferenţială omogenă de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. Pentru rezolvarea ei se construieşte ecuaţia caracteristică, adică o ecuaţie algebrică obţinută din ecuaţia diferenţială prin înlocuirea derivatelor funcţiei cu o necunoscută la putere egală cu ordinul derivatei respective. In cazul ecuaţiei diferenţiale (3.4), ecuaţia caracteristică este 02
02 =+ωp , cu rădăcinile 02,1 ωip ±= . Soluţia
ecuaţiei diferenţiale (3.4) este tptp eCeCy 2121 += adică:
titi eCeCy 0021
ωω −+= (3.5) unde C1 şi C2 sunt constante de integrare, pentru a căror determinare se impun condiţiile iniţiale: la
0=t , y = y0 şi 0vy =& . Rezultă sistemul:
⎩⎨⎧
−=+=
20100
210
CiCivCCy
ωω
din care se obţin constantele:
0
0001 2 ω
ωi
vyiC
+=
0
0002 2 ω
ωi
vyiC
−=
Ecuaţia de mişcare a oscilatorului armonic (soluţia (3.5)) poate fi scrisă şi în formă trigonometrică. Pentru aceasta, înlocuim în (3.5) constantele de integrare prin expresiile lor şi ţinem seamă de formulele lui Euler:
2
cosαα
αii ee −+
= ; iee ii
2sin
αα
α−−
=
Se obţine, succesiv:
O
y
A
A y
m
ke
ymax ; v=0 ; amax
ymax ; v=0 ; amax
y=0 ; vmax ; a=0
3
=−
++
= − titi ei
vyiei
vyiy 00
0
000
0
000
22ωω
ωω
ωω
4342143421t
ieev
t
eeytitititi
0
0
0
0
0
sin2
cos2
0000
ωω
ω
ωωωω −− −+
+=
)sin(sin
)cossinsin(cossin 00
0000
0
0 ϕωϕ
ϕωϕωϕ
+=+= ty
tty
y oo
unde s-a notat 0
00
0
00 cos
sintan
vyω
ϕ =ϕϕ
= (3.6)
Ţinând seamă că:
20
20
20
00
02
00
tan1
tansin
vy
y
+=
+=
ω
ω
ϕ
ϕϕ
se obţine ecuaţia de mişcare în forma trigonometrică: )sin( 00 ϕω += tAy (3.7)
în care 020
20
20 /ωω vyA += (3.8)
este amplitudinea oscilaţiei, y - elongaţia, 00 ϕω +t este faza mişcării iar 0ϕ este faza iniţială. Perioada proprie a oscilaţiilor libere este
0
02ωπ
=T (3.9)
Fig. 3.2 In fig. 3.2 este reprezentată legea de mişcare (3.7), cât şi amplitudinea şi perioada proprie a oscilatorului armonic liber.
Ecuaţiile vitezei şi acceleraţiei mişcării oscilatorii vor fi, respectiv:
)cos( 000 ϕωω +== tAdtdyv (3.10)
şi
)sin( 000 ϕωω +−== tAdtdva (3.11)
0sinϕA A
-A
t
y
T0
T0
4
Se observă că viteza de oscilaţie a particulei este maximă când particula trece prin poziţia de echilibru, în vreme ce acceleraţia particulei este maximă când elongaţia particulei este maximă (fig. 3.1).
În decursul oscilaţiei, sistemul are energia cinetică
)(cos21
21
00222
02 ϕ+== tAmmvEc ωω (3.12)
şi energia potenţială elastică
)(sin21)(sin
21
21
00222
000222 ϕ+=ϕ+== tAmtAkykU ee ωωω , (3.13)
care se transformă periodic una în alta, energia totală fiind constantă (fig. 3.3):
2202
1 AmUEE c ω=+= (3.14)
Fig. 3.3
3.3. Oscilaţii amortizate
Cazul descris mai sus, al oscilaţiilor libere, este unul ideal, în care nu intervine frecarea. În realitate, din cauza forţelor de frecare, energia oscilatorului scade şi, ca urmare şi amplitudinea oscilaţiilor, acestea devenind oscilaţii amortizate.
În foarte multe situaţii, forţa de frecare care acţionează asupra oscilatorului este proporţională cu viteza acestuia, vrFr
rr−= , r fiind un coeficient de rezistenţă mecanică. Legea a doua a lui Newton
în acest caz se va scrie: re FFam
rrr+= (3.15)
ma= -key –rv (3.16) sau
02
2
=++ ykdtdyr
dtydm e (3.17)
care se scrie şi în forma:
02 202
2
=++ ydtdy
dtyd ωβ (3.18)
în care s-a notat β2=mr
(3.19)
şi 20ω=
mke
Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale ordinare omogene (3.18) este 02 2
02 =++ ωβpp
t
Ec , U, E
E
U
Ec
2/220 Amω
5
care are rădăcinile:
20
22,1 ωββ −±−=p
Se disting, acum, următoarele cazuri: a) Forţa de amortizare este mare, adică 0ωβ > , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi
distincte. Soluţia ecuaţiei (3.12) va fi
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+= −−−− ttttptp eCeCeeCeCy
20
220
221
2121ωβωββ (3.20)
unde C1 şi C2 sunt constante arbitrare. Se observă că 0→y pentru ∞→t , adică mobilul scos din poziţia de echilibru va reveni spre aceasta într-o mişcare aperiodică.
b) 0ωβ = ; β−=2,1p astfel că soluţia ecuaţiei (3.12) va fi:
tetCCy β−+= )( 21 (3.21) indicând de asemenea o mişcare aperiodică, cu amortizare critică.
c) Dacă forţa de amortizare (frecare) nu este prea mare, astfel ca 0ωβ < , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe:
ωβ ip ±−=2,1 unde
220 βωω −= (3.22)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.12) este în acest caz: )( 21
titit eCeCey ωωβ −− += (3.23) care poate fi scrisă şi în formă trigonometrică:
)sin(0 ϕωβ += − teAy t (3.24)
în care ωβω /)( 200
20
20 yvyA ++= (3.25)
şi )/(tan 000 yvy βωϕ += (3.26) Mişcarea este oscilatorie amortizată, având amplitudinea descrescătoare în timp (fig. 3.1):
teAA β−= 0 (3.27)
Fig. 3.1
Perioada (pseudoperioada) mişcării este:
22
0
22βω
πωπ
−==T (3.28)
Se observă că 00 /2 ωπ=> TT
ϕs in
A0
y
T
t0
teA β−0
A0
-A0
6
Descreşterea amplitudinii oscilaţiilor se caracterizează prin decrementul logaritmic definit ca logaritmul raportului a două amplitudini succesive, separate printr-un interval de timp egal cu o perioadă:
TeTtA
tA T βδ β ==+
= ln)(
)(ln (3.29)
Fie )()( TtEtEE +−=∆ energia disipată într-o perioadă. Atunci micşorarea relativă a energiei, în timp de o perioadă, în cazul amortizării slabe (β mic), este:
δββ 221)(
)()( 22
22
=≅−=+−
=∆ − Te
tATtAtA
EE T
(3.30)
unde s-a folosit dezvoltarea xe x −≅− 1 , pentru x mic. Timpul τE după care energia scade de e=2.71.... ori se numeşte timp de relaxare (energetică) :
E
Ee
ee
tAtAe
tEtE
t
t
EE
βττβ
β
ττ2
)(2
2
2
2
)()(
)()(
==+
==+ +−
−
de unde rezultă βτ 2/1=E (3.31) In mod asemănător, se poate defini un timp de relaxare a amplitudinii. Se numeşte factor de calitate al sistemului oscilant mărimea fizică dată de relaţia
TEEQ Eτππ 22 =∆
= (3.32)
Un factor de calitate mare arată că sistemul oscilant pierde în decursul unei perioade de oscilaţie o cantitate de energie mică în raport cu energia oscilatorului la începutul acelei perioade. Dacă se ţine seama că pentru amortizare slabă T≈T0 , atunci, ţinând seamă de (3.30) şi (3.31), factorul de calitate se mai poate scrie şi în forma
βωτω2
00 == EQ (3.32’)
Menţionăm că se pot ivi situaţii în care forţa de rezistenţă este de altă formă decât cea luată în considerare mai sus, spre exemplu, forţa de frecare este constantă în cazul mişcării cu frecare de alunecare. Evident că în această situaţie legea de atenuare a amplitudinii este de altă formă.
Cazul oscilaţiilor amortizate prezentate mai sus s-a referit la un sistem oscilant mecanic (de exemplu, pendulul elastic) dar rezultatele obţinute sunt aplicabile şi altor sisteme, indiferent de natura oscilaţiilor.
Astfel, să considerăm un circuit electric format dintr-o bobină cu inductanţa L, un condensator cu capacitatea C şi un rezistor cu rezistenţa R, legate în serie (fig. 3.3) )(ti R
CL
0
vr)(ty
rFr
eFr
Fig. 3.3
La variaţia curentului electric în circuit, ia naştere o t.e.m. de autoinducţie dtdiLtuL −=)(
astfel că legea a doua a lui Kirchhoff, pentru acest circuit, se scrie: uL(t)=uC(t)+uR(t) (3.33)
7
unde uC(t)=C1
q(t) şi uR(t)=Ri(t) sunt tensiunile la bornele condensatorului şi respectiv rezistorului;
q(t) şi i(t) sunt sarcina electrică a condensatorului şi respectiv intensitatea curentului din circuit la momentul t (valori instantanee).
Înlocuind, se obţine:
RiCq
dtdiL +=−
sau, ţinând seama că dtdqi = , se obţine ecuaţia diferenţială:
012
2
=++ qCdt
dqRdt
qdL (3.34)
care descrie variaţia oscilantă a sarcinii electrice la bornele condensatorului. Ecuaţia (3.34) este analoagă ecuaţiei (3.17), sau după împărţirea cu L, ecuaţia devine:
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd
(3.35)
analoaga ecuaţiei (3.18).
Astfel, pentru cazul LCL
R 12
< , soluţia ecuaţiei (3.21) se poate scrie:
)sin(20 ϕω +=
−teqq
tL
R
(3.36) indicând oscilaţia amortizată a curentului; pulsaţia oscilaţiilor proprii este
LC/10 =ω , (3.37)
iar pulsaţia oscilaţiilor amortizate este 2
2
41
LR
LC−=ω . (3.38)
În decursul oscilaţiilor curentului, are loc transformarea periodică a energiei magnetice a câmpului magnetic creat în bobina în energia câmpului electric dintre armăturile condensatorului. Amortizarea oscilaţiilor se datoreşte disipării energiei sub formă de căldură în rezistor prin efect Joule.
3.4. Oscilaţii forţate (întreţinute)
3.4.1. Ecuaţia oscilaţiilor forţate
Dacă asupra unui punct material de masă m, ce efectuează oscilaţii amortizate acţionează şi o forţă periodică, exterioară, neconservativă, oscilaţiile se numesc forţate sau întreţinute.
Fie o astfel de forţă de forma: tFF pp ωsin0= (3.39)
astfel ca ecuaţia mişcării oscilatorului este:
tFykdtdyr
dtydm pe ωsin02
2
=++ (3.40)
sau
tmF
ydtdy
dtyd
pωωβ sin2 0202
2
=++ (3.41)
Aceasta este o ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul doi, neomogenă (cu membrul drept). Soluţia generală a ecuaţiei (3.41) este egală cu suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene
y0(t) (ecuaţia (3.18) a oscilaţiilor amortizate) şi o soluţie particulară yp(t) a ecuaţiei neomogene (3.41): y(t)=y0(t)+yp(t) (3.42)
8
După un timp suficient de mare (teoretic - infinit, dar practic - un timp finit care defineşte regimul tranzitoriu) soluţia ecuaţiei omogene y0(t) se anulează şi sistemul va efectua oscilaţii armonice întreţinute sau forţate, descrise de yp(t), realizându-se regimul de mişcare permanent.
Soluţia particulară yp(t) se alege, de obicei de forma forţei perturbatoare, fiind impusă de aceasta:
)sin()( pppp tAty ϕ−= ω (3.43)
Amplitudinea Ap a oscilaţiei întreţinute şi faza ei iniţială pϕ se determină impunând condiţia ca soluţia (3.43) să verifice ecuaţia (3.41):
tmF
tAtAtA
p
ppppppppppp
ω
ωωωβωωω
sin
)sin()cos(2)sin(
0
20
2
=
=ϕ−+ϕ−+ϕ−−
Această egalitate trebuie să fie identic satisfãcutã pentru orice moment de timp, în particular şi pentru cele date de:
2πω =tp :
mF
AA pppppp022
0 sin2cos)( =ϕ+ϕ− βωωω
0=tpω : 0cos2sin)( 220 =ϕ+ϕ−− pppppp AA βωωω
Ridicând la pătrat cele două ecuaţii ale sistemului şi adunând, se obţine:
2222
0
0
)2()( pp
pm
FA
βωωω +−= (3.44)
iar din a doua ecuaţie a sistemului se obţine:
220
2tan
p
pp ωω
βω
−=ϕ (3.45)
Valoarea amplitudinii oscilaţiei forţate Ap este funcţie de pulsaţia forţei întreţinătoare pω . Fenomenul de apariţie al unui maxim al amplitudinii mişcării se numeşte rezonanţa. maximul amplitudinii fiind determinat de condiţia 0/ =pp ddA ω . Se găseşte că maximul se realizează pentru o frecvenţă a forţei întreţinătoare:
220 2βωωω −=≡ rezp (3.46)
Această pulsaţie este numită pulsaţie de rezonanţă şi se observă că este ceva mai mică decât pulsaţia proprie 0ω a sistemului oscilant; coincide cu aceasta numai în absenţa frecărilor ( 0=β ).
Amplitudinea de rezonanţă este
=+−
=22222
0
0,
4)( rezrez
rezpm
FA
ωβωω
= =−++− )2(4)2( 22
02222
020
0
βωββωωm
F
=22
0
042
02
0
244 βωββωβ −=
− m
F
m
F
În figura 3.4 se arată dependenţa amplitudinii oscilaţiei forţate de pulsaţia forţei întreţinătoare precum şi influenţa frecărilor asupra acesteia şi asupra pulsaţiei de rezonanţă.
9
pA
0=β
0≠β
0 rezω pω0ω
rezpA ,
Fig. 3.4
Fenomenul de rezonanţă are numeroase aplicaţii în fizică şi tehnică. În unele situaţii însă
trebuie evitată coincidenţa (apropierea) frecvenţei proprii de oscilaţie a sistemelor cu cea a perturbaţiilor periodice care pot să apară în timpul funcţionării.
Din (3.45) rezultă că oscilaţiile sunt defazate în urmă faţă de forţa exterioară (fig. 3.5). Mărimea defazajului depinde de coeficientul de amortizare, β. Dacă amortizarea este slabă, 0ωω ≅rez
şi 2π
=ϕ p . În acest caz faza forţei exterioare coincide cu faza vitezei iar puterea absorbită de sistemul
oscilant va fi maximă (vezi mai jos).
Fig. 3.5
3.4.2. Aspecte energetice ale oscilaţiilor forţate.
Puterea forţei exterioare, întreţinătoare a sistemului oscilant, este absorbită de sistem:
)cos(sin)()(
)( 0 pppppppa
a tAtFdtdytF
dtdytF
dtdL
tP ϕ−⋅==== ωωω
astfel că puterea absorbită medie pe o perioadă Tp este:
∫∫ =−=>=<pp T
pppp
pp
T
ap
a dtttT
AFdttPT
P0
00
)cos(sin1)(1 ϕωωω
=== 220 sin
21
ppppp AmAF βωϕω ( ) 2
20
222220
2
4 mFm
pp
p
ωβωω
βω
+−
În regim de oscilaţii amortizate sistemul oscilant disipă energie sub formă de caldură, din cauza forţei de frecare, puterea instantanee disipată fiind:
10
)(cos22)( 22222pppp
rd tAmymyr
dtdyF
tP ϕωωββ −===−= &&
iar puterea disipată medie pe o perioadă este:
=−=>=< ∫∫ dttT
AmdttPT
P p
T
p
T
pppd
pd
pp
)(cos12)(1
0
2
0
22 ϕωωβ
22pp Amβω=
Se observă că în regim (staţionar) de oscilaţii întreţinute, puterile medii absorbite şi disipate de sistem sunt egale.
==>≡>=<< 22)( pppda AmPPP βωω 2
20
222220
2
4)( mFm
pp
p
ωβωωβω+−
(3.47)
Dependenţa )( pP ω este reprezentată în fig. 3.6 constituind curba de rezonanţă. Puterea maximă se realizează pentru pulsaţia forţei întreţinătoare egală cu pulsaţia proprie a oscilatorului:
0ωω =p
după cum se poate verifica uşor din condiţia 0=pd
dPω
.
Fig. 3.6
iar puterea maximă este m
FPPβ
ω4
)(2
00max == (3.48)
De remarcat că maximul puterii medii absorbite (sau disipate) se realizează pentru pulsaţia forţei întreţinătoare 0ωω =p în vreme ce maximul amplitudinii are loc pentru
220 2βωωω −== rezp
Puterea efectivă este jumătate din puterea maximă
2maxP
Pef = (3.49)
adică
m
FPef β8
20= (3.50)
iar lărgimea curbei de rezonanţă este: 12 ωωω −=∆ rez , (3.51)
unde ββωω m2202,1 += sunt valorile pulsaţiei corespunzătoare unei puteri egală cu cea efectivă.
Se observă că lărgimea curbei de rezonanţă este egală cu inversul timpului de relaxare:
0
efP
maxP
)(P pω
pω2ω0ω1ω
11
τ
βω 12 ==∆ rez (3.52)
Dacă ţinem seama de (3.32’), factorul de calitate al sistemului care execută oscilaţiile
întreţinute se poate exprima şi în forma:
12
000
2 ωωω
ωω
βω
−=
∆==
rez
Q (3.53)
adică un sistem oscilant cu factor de calitate mare are o lărgime a curbei de rezonanţă mică, deci curba de rezonanţă este ascuţită.
3.5. Compunerea oscilaţiilor
În unele cazuri un punct material este obligat să se supună la două sau mai multe mişcări oscilatorii armonice, mişcarea rezultantă fiind una complexă obţinută prin compunerea acestora.
1. Compunerea oscilaţiilor paralele. Fie două oscilaţii care se efectuează pe aceaşi direcţie:
)sin( 1111 ϕ+= tAy ω şi )sin( 2222 ϕ+= tAy ω . Introducând notaţiile 2/)( 21 ωωω += şi 2/)( 21 ωωω −=∆ , rezultă: ωωω ∆+=1 şi
ωωω ∆−=2 . Ecuaţiile celor două oscilaţii devin
)sin()sin( '11111 ϕ+=ϕ+∆+= tAttAy ωωω
şi )sin()sin( '
22222 ϕ+=ϕ+∆−= tAttAy ωωω , în care tω∆+ϕ=ϕ 1
'1 iar tω∆−ϕ=ϕ 2
'2 . Mişcarea rezultantă din compunerea celor două oscilaţii
va fi descrisă de: )sin()sin( '
22'1121 ϕ++ϕ+=+= tAtAyyy ωω (3.28)
Căutând ecuaţia mişcării rezultante de forma )sin( ϕ+= tAy ω , după identificarea cu (3.28) (se dezvoltă sinusul sumei şi se egalează coeficienţii lui tωsin şi tωcos din cele două expresii), se obţine sistemul
'22
'11
'22
'11
sinsinsin
coscoscos
ϕ+ϕ=ϕ
ϕ+ϕ=ϕ
AAA
AAA
din care se obţine
)](2cos[2 212122
21 ϕϕω −+∆++= tAAAAA (3.31)
)cos()cos()sin()sin(
tan2211
2211
ϕωϕωϕωϕω−∆++∆−∆−+∆
=ϕtAtAtAtA
(3.32)
Aşa cum se observă din relaţiile (3.31) şi (3.32), atât amplitudinea cât şi faza iniţială variază în timp, deci în general, oscilaţia rezultantă nu mai este armonică.
Se pot distinge însă câteva cazuri particulare interesante. Dacă oscilaţiile paralele care se compun au aceeaşi frecvenţă, atunci 0=∆ω şi oscilaţia
rezultantă este tot armonică, având amplitudinea
)cos(2 212122
21 ϕϕ −++= AAAAA (3.31')
şi faza iniţială
2211
2211
coscossinsin
tanϕϕϕϕ
AAAA
++
=ϕ (3.32')
12
constante. Dacă πn221 =ϕ−ϕ rezultă A = A1 + A2, oscilaţiile fiind în fază. Dacă π)12(21 +=ϕ−ϕ n se obţine 21 AAA −= , oscilaţiile fiind în opoziţie de fază; în particular dacă
A1 = A2 rezultă A = 0, deci punctul material rămâne în repaus. Dacă oscilaţiile paralele care se compun au pulsaţii apropiate, atunci 21 ωωω −=∆ este mică
în comparaţie cu 2/)( 21 ωωω += deci funcţiile A(t) şi )(tϕ variază foarte lent în comparaţie cu funcţiile tωsin şi tωcos . Cu alte cuvinte, mişcarea rezultantă este o oscilaţie modulată atât în amplitudine cât şi în fază. Din (3.31) rezultă că amplitudinea A(t) variază între limitele A1 + A2 şi
21 AA − . Succesiunea în timp a valorilor maxime şi minime ale amplitudinii unei mişcări periodice produsă prin suprapunerea a două oscilaţii armonice de pulsaţii apropiate constituie fenomenul de bătăi.
Perioada bătăilor Tb este intervalul de timp între două treceri succesive ale amplitudinii prin valoarea maximă sau minimă. Din (3.31) se observă că pulsaţia bătăilor este 212 ωωω −=∆ , deci
perioada bătăilor este 21
2ωωπ−
=bT , iar frecvenţa lor este 211 ννν −==b
b T, unde 1ν şi 2ν sunt
frecvenţele oscilaţiilor componente. Considerentele de mai sus pot fi extinse şi în cazul suprapunerii mai multor oscilaţii armonice
având pulsaţii care sunt multipli întregi ai unei pulsaţii fundamentale ω . Se obţine în acest caz o oscilaţie rezultantă complexă, care în general nu mai este însă
armonică. Reciproc, oscilaţia periodică complexă (nearmonică) a unei mărimi fizice periodice S(t) poate fi reprezentată printr-o suprapunere de oscilaţii armonice de forma
∑∞
=
++=1
0 )sin(2
)(n
nn tnAS
tS ϕω (3.33)
unde 22nnn baA += şi φn = arctg
n
n
ab
, iar coeficienţii an şi bn sunt daţi de formulele Euler - Fourier:
∫−
=2/
2/
cos)(2 T
Tn tdtntS
Ta ω
∫−
=2/
2/
sin)(2 T
Tn tdtntS
Tb ω n = 0,1,2,....
Seria (3.33) este seria Fourier pentru mărimea S(t), iar dezvoltarea în serie Fourier a unei oscilaţii complexe se numeşte analiză armonică. Termenii acestei serii având pulsaţii multipli ai fundamentalei se numesc armonice.
20. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare. Să considerăm că punctul material este solicitat simultan să efectueze, atât pe direcţia Ox cât şi
pe direcţia Oy, câte o mişcare oscilatorie armonică de aceeaşi pulsaţie de forma: )sin( 1ϕ+= tAx ω )sin( 2ϕ+= tBy ω
Ecuaţiile de mai sus reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei; pentru determinarea ecuaţiei traiectoriei în coordonate carteziene, se elimină timpul între cele două ecuaţii. Pentru aceasta se rescriu ecuaţiile în forma:
11 sincoscossin ϕ+ϕ= ttAx ωω
22 sincoscossin ϕ+ϕ= ttBy ωω
Prin înmulţire cu cosφ2 şi respectiv cu cosφ1, apoi cu sinφ2 şi respectiv sinφ1 şi scăderea ecuaţiilor, se obţine:
13
)sin(coscoscos 1212 ϕ−ϕ−=ϕ−ϕ tBy
Ax ω
)sin(sinsinsin 1212 ϕ−ϕ=ϕ−ϕ tBy
Ax ω
Ridicând la pătrat ecuaţiile de mai sus şi adunându-le se obţine ecuaţia traiectoriei:
)(sin)cos(2 122
122
2
2
2
ϕ−ϕ=ϕ−ϕ−+By
Ax
By
Ax
(3.34)
care este ecuaţia unei elipse. Aşadar, rezultanta a două mişcări oscilatorii armonice de aceeaşi frecvenţă, pe direcţii perpendiculare, este în general o mişcare pe traiectorie eliptică (fig. 3.7, Ay≡A, Ax≡B).
Fig. 3.7
Se pot ivi însă cazuri particulare remarcabile în funcţie de diferenţa de fază 12 ϕ−ϕ=∆ϕ între cele două oscilaţii.
a) Dacă πn212 =ϕ−ϕ (n = 0,1,2,....), oscilaţiile sunt în concordanţă de fază, iar relaţia (3.34) devine:
022
2
2
2
=−+ABxy
By
Ax
de unde xABy =
Ecuaţia obtinută este ecuaţia unei drepte care coincide cu prima diagonală a dreptunghiului amplitudinilor. Deci, prin compunerea a două mişcări oscilatorii de aceeaşi perioadă, care se execută în concordanţă de fază pe direcţii perpendiculare se obţine o mişcare oscilatorie armonică ce se efectuează de-a lungul primei diagonale din dreptunghiul amplitudinilor (Fig. 3.8, în care A1≡A şi
A2≡B). În lungul acestei direcţii elongaţia este 22 yxsOM +== iar amplitudinea 22 BA + .
14
Fig. 3.8 Ecuaţia mişcării pe această direcţie va fi:
)sin( 12222 ϕ++=+= tBAyxs ω
Este adevarată şi reciproca acestei concluzii: orice mişcare oscilatorie armonică liniară se poate descompune în două mişcări armonice în concordanţă de fază, pe direcţii perpendiculare.
b) Dacă π)12(12 +=ϕ−ϕ n , (n = 0,1,2,.....) oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, iar (3.34) devine:
022
2
2
2
=++ABxy
By
Ax
sau xABy −=
adică mişcarea rezultantă este oscilatorie armonică în lungul celei de a doua diagonală a dreptunghiului amplitudinilor.
c) Dacă 2
)12(12π
+=ϕ−ϕ n (n = 0,1,2,.....) oscilaţiile care se compun se numesc în
cuadratura, iar din (3.34) rezultă:
12
2
2
2
=+By
Ax
adică ecuaţia unei elipse raportată la axele sale (fig. 3.9, în care A1≡A şi A2≡B). În particular, dacă B = A elipsa devine un cerc de ecuaţie x2 + y2 = A2.
Fig. 3.9
Reciproc, orice mişcare circulară se poate descompune în două oscilaţii armonice liniare,
perpendiculare, de amplitudini egale, având diferenţe de fază (2n + 1)π/2.
15
Dacă perioadele T1 şi T2 nu sunt egale, traiectoria rezultantă are o formă mult mai complicată.
Se poate arăta că atunci când raportul perioadelor este un număr raţional 2
1
2
1
nn
TT
= (n1 şi n2 - nr.
naturale), se obţin traiectorii închise cunoscute sub numele de figuri Lissajou. PROBLEMĂ Două corpuri de mase m1 şi m2 sunt legate printr-un resort (fără masă) de constanta elastică k.
Sistemul oscilează liber pe o suprafaţă orizontală fără frecare. Să se afle perioada de oscilaţie. Rezolvare. Dacă l0 este lungimea resortului nedeformat iar x1 şi x2 poziţia capetelor sale la un
moment dat, deformaţia resortului va fi: x = (x2 - x1) - l0 (*) Ecuaţia de mişcare pentru fiecare din cele două corpuri este:
kxdt
xdm =2
12
1
kxdt
xdm −=2
22
2
Se înmulţeşte prima ecuaţie cu m2, a doua cu m1 şi se scade din a doua; se obţine:
kxdt
xxd−=
−2
122 )(
µ = - kx (**)
unde 21
21
mmmm+
=µ este masa redusă a sistemului. Derivind (*) şi înlocuind în (**) se obţine:
xkdt
xdµ
−=2
2
astfel că µ
ω k=2
0 şi deci k
T µπ20 =