Proiect FizicaProiect FizicaOscilatii mecaniceOscilatii mecanice

Elevi:- Cotoi FlorinElevi:- Cotoi Florin

- Dragonea Ovidiu- Dragonea Ovidiu

- Lefegiu Gina- Lefegiu Gina

- Marinescu Cosmin- Marinescu Cosmin

- Orneata Daniel- Orneata Daniel

- Stama Emilian- Stama Emilian

OSCILATORUL LINIAR OSCILATORUL LINIAR ARMONIC.ARMONIC.

10.1.1 Miscarea oscilatorie10.1.1 Miscarea oscilatorie EXPERIMENTEEXPERIMENTE

1. De un fir lung si inextensibil, suspendam un corp (bila) pe care-l lovim astfel incat sa nu-i imprimam o 1. De un fir lung si inextensibil, suspendam un corp (bila) pe care-l lovim astfel incat sa nu-i imprimam o deviatie prea mare fata de pozitia de repaus (fig. 10.1,a). Un astfel de sistem mecanic este numit deviatie prea mare fata de pozitia de repaus (fig. 10.1,a). Un astfel de sistem mecanic este numit pendulul gravitational.pendulul gravitational.

2. De un resort de otel, suspendam un corp si prin intermediul lui tragem resortul in jos (fig.10.1, b). Sistemul 2. De un resort de otel, suspendam un corp si prin intermediul lui tragem resortul in jos (fig.10.1, b). Sistemul incepe sa se miste in sus si in jos. Un astfel de sistem este numit pendul elastic.incepe sa se miste in sus si in jos. Un astfel de sistem este numit pendul elastic.

3. Fixam de o banda de otel la unul din capate si apoi o deviem din pozitia initiala ca in figura 10.1,c. Sistemul 3. Fixam de o banda de otel la unul din capate si apoi o deviem din pozitia initiala ca in figura 10.1,c. Sistemul se numeste pendul cu arc lamellar.se numeste pendul cu arc lamellar.

4. Turnam apa intr-un tub indoit, din sticla, cu diametrul de citiva cm. Astupam unul dintre capete4 cu un dop 4. Turnam apa intr-un tub indoit, din sticla, cu diametrul de citiva cm. Astupam unul dintre capete4 cu un dop de pluta si suflam aer la celalalt capat. In acest fel coloana de apa este pusa in miscare (fig. 10.1, d).de pluta si suflam aer la celalalt capat. In acest fel coloana de apa este pusa in miscare (fig. 10.1, d).

5. Pe marginea unui disc fixam intr-o pozitie oarecare o bila. Rotim discul cu viteza unghiulara constanta. Cu 5. Pe marginea unui disc fixam intr-o pozitie oarecare o bila. Rotim discul cu viteza unghiulara constanta. Cu ajutorul unei lampi de proiectie, proiectam pe un ecran miscarea bilei de pe disc (fig. 10.1, e ). Vom ajutorul unei lampi de proiectie, proiectam pe un ecran miscarea bilei de pe disc (fig. 10.1, e ). Vom constata ca umbra bilei are o miscare alternativa, dus-intrors. In toate cazurile studiate mai sus are loc o constata ca umbra bilei are o miscare alternativa, dus-intrors. In toate cazurile studiate mai sus are loc o miscare continua de o parte si de alta (dus-intors) a pozitiei initiale (de repaus) a corpului (sau a umbrei miscare continua de o parte si de alta (dus-intors) a pozitiei initiale (de repaus) a corpului (sau a umbrei sale in cazul experimentului 5).sale in cazul experimentului 5).

Aceasta miscare prezinta urmatorele caracteristici:Aceasta miscare prezinta urmatorele caracteristici:

Fig. 10.1 Exemple de oscilatori: a) pendul gravitational; b) Fig. 10.1 Exemple de oscilatori: a) pendul gravitational; b) pendul elastic; c) pendul cu arc lamellar; d) coloana de pendul elastic; c) pendul cu arc lamellar; d) coloana de apa oscilanta; e) proiectia pe un ecran a unei miscari apa oscilanta; e) proiectia pe un ecran a unei miscari circulare uniforme.circulare uniforme.

a) dupa intervale de timp egale, procesul individual de miscare, se repeat, este un process periodic;a) dupa intervale de timp egale, procesul individual de miscare, se repeat, este un process periodic;

b)miscarea are loc de fiecare data simetric fata de o anumita pozitie, pozitia de repaus sau de b)miscarea are loc de fiecare data simetric fata de o anumita pozitie, pozitia de repaus sau de echilibru a oscilatorului.echilibru a oscilatorului.

Miscarea unui corps au a unui sistem material care se repeta la intervale de timp egale si care se face Miscarea unui corps au a unui sistem material care se repeta la intervale de timp egale si care se face simetric fata de o pozitie de repaus se numeste miscare oscilatorie sau oscilatie mecanica.simetric fata de o pozitie de repaus se numeste miscare oscilatorie sau oscilatie mecanica.

Pentru studiul miscarii oscilatorii se definesc urmatoarele marimi fizice:Pentru studiul miscarii oscilatorii se definesc urmatoarele marimi fizice:

Perioada miscarii oscilatorii T, reprezinta timpul necesar efectuarii unei oscilatii complete.Perioada miscarii oscilatorii T, reprezinta timpul necesar efectuarii unei oscilatii complete.

Daca notam cu n numarul de oscilatii effectuate de un oscillator in intervalul de timp t atunci avem: Daca notam cu n numarul de oscilatii effectuate de un oscillator in intervalul de timp t atunci avem: T = Unitatea de masura in S.I. este:Unitatea de masura in S.I. este:

[T]S.I. = 1s.[T]S.I. = 1s.

Frecventa miscarii este numarul de oscilatii efectuate in unitatea de timp:Frecventa miscarii este numarul de oscilatii efectuate in unitatea de timp:

=

Unitatea de masura pentru frecventa in S.I. este hertzul (Hz):Unitatea de masura pentru frecventa in S.I. este hertzul (Hz):

[ ]S.I. = 1 s = 1 Hz

Din relatiile de definite ale frecventei si perioadei rezulta relatia:Din relatiile de definite ale frecventei si perioadei rezulta relatia:

T=1

t

n

n

t

Elongatia miscarii notata cu x sau y reprezinta deplasarea (departarea) Elongatia miscarii notata cu x sau y reprezinta deplasarea (departarea) oscilatorului fata de pozitia de repaus la un moment dat.oscilatorului fata de pozitia de repaus la un moment dat. Din definitia elongatiei rezulta ca ea variaza in timp. Aceasta marime are o Din definitia elongatiei rezulta ca ea variaza in timp. Aceasta marime are o directie, o valoare si un sens, deci poate fi reprezentata printr-un vector sau . In S.I. directie, o valoare si un sens, deci poate fi reprezentata printr-un vector sau . In S.I. unitatea de masura pentru elongatie este metrul:unitatea de masura pentru elongatie este metrul:

[x]S.I. = 1 m.[x]S.I. = 1 m.

Amplitudinea miscarii A este elongatia maxima pe care o poate avea oscilatorul in cursul Amplitudinea miscarii A este elongatia maxima pe care o poate avea oscilatorul in cursul oscilatiei.oscilatiei. Daca in experimentele anterioare 1, 2, 3, 4, se lasa sistemele (corpurile) sa oscileze Daca in experimentele anterioare 1, 2, 3, 4, se lasa sistemele (corpurile) sa oscileze un interval de timp mai mare, se observa ca amplitudinea miscarii oscilatorii nu ramane un interval de timp mai mare, se observa ca amplitudinea miscarii oscilatorii nu ramane constanta in timp. In experimental 5, insa, amplitudinea miscarii (a proiectiei miscarii) constanta in timp. In experimental 5, insa, amplitudinea miscarii (a proiectiei miscarii) ramane neschimbata. Distingem deci doua cazuri:ramane neschimbata. Distingem deci doua cazuri: a) miscarea oscilatorie (oscilatia) este neamortizata, aplitudinea ramane a) miscarea oscilatorie (oscilatia) este neamortizata, aplitudinea ramane neschimbata de la o oscilatie la alta;neschimbata de la o oscilatie la alta; b) miscarea oscilatorie (oscilatia) este amortizata, aplitudinea scade de la o b) miscarea oscilatorie (oscilatia) este amortizata, aplitudinea scade de la o oscilatiela alta.oscilatiela alta.

10.1.2 Oscilatorul liniar armonic10.1.2 Oscilatorul liniar armonic

Sa analizam un resort elastic care Sa analizam un resort elastic care are lungimea l in stare nedeformata (fig. are lungimea l in stare nedeformata (fig. 10.2, a). Dupa legea lui Hooke deformarea 10.2, a). Dupa legea lui Hooke deformarea unui resort elastic este proportionala cu forta unui resort elastic este proportionala cu forta care actioneaza asupra resortului. Forta care actioneaza asupra resortului. Forta elastica care ia nastere in resort este de elastica care ia nastere in resort este de asemenea proportionala cu deformarea asemenea proportionala cu deformarea resortului dar de sens opus acesteia. Avem, resortului dar de sens opus acesteia. Avem, deci:deci:

= sau scalarsau scalar F=-ky

Unde sint considerate positive valorile Unde sint considerate positive valorile citite incepand de la punctual cel mai de jos citite incepand de la punctual cel mai de jos al resortului netensionat, in jos.al resortului netensionat, in jos.

Daca se suspenda de resort un corp cu Daca se suspenda de resort un corp cu masa m, el se va alungi cu datorita fortei masa m, el se va alungi cu datorita fortei

= (fig. 10.2, b) si de aici rezulta: (fig. 10.2, b) si de aici rezulta:

= = =

eF>>>>>>>>>>>>>>

Fig. 10.2. Oscilator armonic liniar.

eF>>>>>>>>>>>>>>

ky>>>>>>>>>>>>>>

0y

G>>>>>>>>>>>>>>

mg

G>>>>>>>>>>>>>>

mg0ky

>>>>>>>>>>>>>>0eF

Aceasta relatie valabila pentru pozitia de repaus a Aceasta relatie valabila pentru pozitia de repaus a pendulului elastic.pendulului elastic.

Scotinad pendulul din pozitia de repaus el incepe sa oscileze vertical, Scotinad pendulul din pozitia de repaus el incepe sa oscileze vertical, forta indreptata in jos isi pastreaza valoarea, in timp ce forta elastica forta indreptata in jos isi pastreaza valoarea, in timp ce forta elastica din resort variaza in functie de alungirea din resort variaza in functie de alungirea y y a acestuia (fig. 10.2, c,d). Suma a acestuia (fig. 10.2, c,d). Suma vectoriala a celor doua forte sau diferenta valorilor lor da ca rezultanta vectoriala a celor doua forte sau diferenta valorilor lor da ca rezultanta forta care la orice moment tinde sa aduca pendulul spre pozitia de repaus. forta care la orice moment tinde sa aduca pendulul spre pozitia de repaus. Se obtine pentru aceasta forta expresia: Se obtine pentru aceasta forta expresia:

= + = + = ( - )

sau sau = ( - )

Asadar forta care actioneaza asupra pendulului elastic in timpul oscilatiei este Asadar forta care actioneaza asupra pendulului elastic in timpul oscilatiei este proportionala cu deplasarea (departarea) fata de pozitia de repaus, si de sens contrar proportionala cu deplasarea (departarea) fata de pozitia de repaus, si de sens contrar acesteia adica este o forta de tip elastic.acesteia adica este o forta de tip elastic.

punct material care se misca rectiliniu sub actiunea unei fote de formapunct material care se misca rectiliniu sub actiunea unei fote de forma = = (sau(sau = ) = ) se numeste oscillator liniar armonic. Miscarea sa de oscilatie se numeste oscillator liniar armonic. Miscarea sa de oscilatie este numita miscare oscilatorie armonica.este numita miscare oscilatorie armonica.

Oscilatorul liniare armonic este un oscillator ideal.Oscilatorul liniare armonic este un oscillator ideal.

>>>>>>>>>>>>>>G

>>>>>>>>>>>>>>eF

>>>>>>>>>>>>>>F

>>>>>>>>>>>>>>eF

>>>>>>>>>>>>>>G

ky

0ky k

y

0y

F k y 0y

F kyF kx

Oscilatorul liniare armonic este un oscillator idealOscilatorul liniare armonic este un oscillator ideal

Fig. 10.3. Proiectia ortogonala a miscarii Fig. 10.3. Proiectia ortogonala a miscarii circulare uniforme a punctului pe unul din circulare uniforme a punctului pe unul din diametrele traiectorieidiametrele traiectoriei ( B ( B11BB22))

Pentru a stabili legea miscarii Pentru a stabili legea miscarii oscilatorului armonic, depdenta elongatiei oscilatorului armonic, depdenta elongatiei yy de de timp, timp, y y = = yy(t), ne vom folosi de miscarea (t), ne vom folosi de miscarea circulara uniforma a unui punct material si de circulara uniforma a unui punct material si de proiectia acestei miscari pe unul din diametrele proiectia acestei miscari pe unul din diametrele traiectoriei.traiectoriei. Sa urmarim, in acelasi timp, miscarea Sa urmarim, in acelasi timp, miscarea circulara uniforma cu viteza unghiulara pe un circulara uniforma cu viteza unghiulara pe un cerc de raza R = A, a unui punct material P de cerc de raza R = A, a unui punct material P de masa si miscarea proiectiei sale P’, proiectie masa si miscarea proiectiei sale P’, proiectie ortogonala pe axa (diametrul in figura ortogonala pe axa (diametrul in figura 10.3). In timp ce P face o rotatie completa 10.3). In timp ce P face o rotatie completa plecind din in sensul indicat pe figura, proiectia plecind din in sensul indicat pe figura, proiectia sa P’ efectueaza o oscilatie cu aplitudine sa P’ efectueaza o oscilatie cu aplitudine constanta A, plecind din O asa cum arata figura constanta A, plecind din O asa cum arata figura 10.4. Se observa: ca componenta pe axa 10.4. Se observa: ca componenta pe axa yy a a deplasarii lui P este totdeauna aceeasi cu deplasarii lui P este totdeauna aceeasi cu deplasarea lui P’;deplasarea lui P’;

componenta pe axa componenta pe axa y y a vitezei lui P este totdeauna aceeeasi cu viteza lui a vitezei lui P este totdeauna aceeeasi cu viteza lui P’;P’;

component ape axa component ape axa y y a acceleratiei lui P este totdeauna aceeasi cu a acceleratiei lui P este totdeauna aceeasi cu acceleratia lui P’. Deci miscarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisa acceleratia lui P’. Deci miscarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul a miscarii circulare uniforme a punctului P. Sa ca proiectia pe diametrul a miscarii circulare uniforme a punctului P. Sa aratam ca aceasta miscare oscilatorie este o miscare oscilatorie armonica.aratam ca aceasta miscare oscilatorie este o miscare oscilatorie armonica.

Oy

PFig. 10.4. Miscarea concomitenta a punctului si a proiectiei sale P’

’.

Se stie ca in miscare circulara uniforma acceleratia cetripeta Se stie ca in miscare circulara uniforma acceleratia cetripeta are valoare .Componenta sa pe are valoare .Componenta sa pe

diametruldiametrul (fig 10.5) reprezinta acceleratia miscarii punctului P’ si are valoarea: (fig 10.5) reprezinta acceleratia miscarii punctului P’ si are valoarea:

a a = (10.3)= (10.3)

cpa

2R

1 2BB2 sinR

P

.

Fig. 10.5. Miscarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul a miscarii circulare a punctului P. 1 2BB

Din figura 10.5 se observa ca putem scrie:

y = (10.4)sinR

In acest caz relatia (10.3) devine:

a= sau = (10.5)2y a

2y

Unde semnul minus semnifica faptul ca acceleratia

si elongatia au sensuri opuse.

a

y

Punctul P’ se misca la fel ca si cind ar fi un punct material de masa Punctul P’ se misca la fel ca si cind ar fi un punct material de masa mm si asupra lui ar si asupra lui ar actiona o forta actiona o forta FF care sa-i imprime acceleratia data de (10.5). care sa-i imprime acceleratia data de (10.5).

Deci:Deci:

F=ma= (10.6)

Pentru valori determinate ale masei m si ale vitezei unghiulare constante , produsul = k si relatia (10.6) devine:

F=-ky (10.6’)

Asadar miscarea punctului P’ se face ca si in cazul in care forta sub actiunea careia

are loc miscarea este o forta de tip elastic si deci acest punct material descrie o miscare oscilatorie armonica.

Stiind ca = si ca R = A este amplitudinea miscarii oscilatorii, relatia (10.4),

devine: y= (10.7)y= (10.7)

2m y

2m

t

sinA t

Aceasta relatie reprezinta ecuatia elongatiei oscilatorului liniar armonic, adica reprezinta legea, de miscare a oscilatorului, dependenta y=y(t)

Daca proiectia miscarii punctului P se face pe diametrul atunci se obtine pentru Daca proiectia miscarii punctului P se face pe diametrul atunci se obtine pentru ecuatia elongatiei expresia:ecuatia elongatiei expresia:

x=x=

Putem formula acum o alta definitie a miscarii oscilatorii armonice:Putem formula acum o alta definitie a miscarii oscilatorii armonice:

orice punct material care se misca rectiliniu, fata de un SR, astfel incat legea de miscare de orice punct material care se misca rectiliniu, fata de un SR, astfel incat legea de miscare de forma:forma:

y= sau x= y= sau x= descrie o miscare oscilatorie descrie o miscare oscilatorie armonica.armonica.

Tinand seama de relatia (10.7) si de relatia (10.5) expresia acceleratiei devine acum:Tinand seama de relatia (10.7) si de relatia (10.5) expresia acceleratiei devine acum:

a= (10.5’)a= (10.5’)

Componenta vitezei tangentiale =Componenta vitezei tangentiale = , pe diametrul reprezinta viteza de , pe diametrul reprezinta viteza de

miscare a lui P’, adica viteza miscarii oscilatorii armonice:miscare a lui P’, adica viteza miscarii oscilatorii armonice:

v= (10.8)v= (10.8)

1 2A A

cosA t

sinA t cosA t

2 sinA t

tv A 1 2BB

cosA t

Faza si perioada miscarii oscilatorii armonice.Faza si perioada miscarii oscilatorii armonice. Argumentrul functiei y= , Argumentrul functiei y= , = , se numeste faza miscarii = , se numeste faza miscarii

oscilatorii. Faza se masoara in radiani si este una dintre marimile de stare ale oscilatorii. Faza se masoara in radiani si este una dintre marimile de stare ale oscilatorului. Daca in figura 10.3 oscilatorul P’ ar fi fost la momentul initial oscilatorului. Daca in figura 10.3 oscilatorul P’ ar fi fost la momentul initial in ‘( corespunzator punctului de pe cerc),Faza la momentul =0 ar fi fost .

Atunci, la momentul t faza este = + . Ecuatia elongatiei se va scrie in + . Ecuatia elongatiei se va scrie in

acest caz:acest caz: y= ( + ) (10.9)y= ( + ) (10.9)

Pentru miscarea oscilatorie marimeaPentru miscarea oscilatorie marimea se numeste pulsatie si reprezinta viteza de variatie se numeste pulsatie si reprezinta viteza de variatie

a fazei. Aceasta marime se masoara in S.I. in rad/s.a fazei. Aceasta marime se masoara in S.I. in rad/s.

Ca si miscarea circulara frecventa ,perioada T si pulsatia Ca si miscarea circulara frecventa ,perioada T si pulsatia , marimi caracteristici , marimi caracteristici

miscarii oscilatorii, sint valabile relatiile: miscarii oscilatorii, sint valabile relatiile:

= , = (10.10)= , = (10.10)

Din relatia k= tinind seama de relatia (10.10) obtinem: k=m ∙ / Din relatia k= tinind seama de relatia (10.10) obtinem: k=m ∙ / de unde rezulta: de unde rezulta:

T= (10.11)T= (10.11)

sinA t t

0P0P 0t 0

0 t

sinA t 0

2T 2

2m 24 2T

2 mk

Aceasta relatie reprezinta perioada oscilatorului liniar armonic si ea arata ca Aceasta relatie reprezinta perioada oscilatorului liniar armonic si ea arata ca

perioada unui oscillator depinde de proprietatile sale inertiale, prin masa , si de cele perioada unui oscillator depinde de proprietatile sale inertiale, prin masa , si de cele elastice, prin constata elastica sin u depinde de conditiile initiale in care se afla elastice, prin constata elastica sin u depinde de conditiile initiale in care se afla oscilatorul.oscilatorul.

10.1.3 10.1.3 Energia oscilatorului armonic.Energia oscilatorului armonic.Dupa cum stiti, un punct material de masa m, sub actiunea unei forte elasticeDupa cum stiti, un punct material de masa m, sub actiunea unei forte elastice F=-ky, F=-ky,

descrie o miscare armonica. descrie o miscare armonica. . . La un moment dat La un moment dat tt, elongatia este , elongatia este y=y= iar viteza iar viteza

miscarii = (considerind ca =0).miscarii = (considerind ca =0).

Cum energia de pozitie in cimpul fortelor elastice este = , pentru oscilatorul Cum energia de pozitie in cimpul fortelor elastice este = , pentru oscilatorul liniar armonic avem: liniar armonic avem:

= = (10.12) = = (10.12)

iar pentru energia cinetica a oscilatorului:iar pentru energia cinetica a oscilatorului:

= = = (10.13) = = = (10.13)

(pentru ca =k).(pentru ca =k).

sinA tv cosA t 0

pE2

2ky

pE12

2ky 2 21sin

2kA t

cE12

2mv 12

2 2 2cosm A t 12

2 2coskA t

2m

Fig. 10.6. a) Spectrul unei oscilatii; b) schema nivelelor de energie a doua oscilatii.

Energia mecanica totala a oscilatorului liniar armonic este:

E= + = ( + ) = = = (10.14)

Din relatia 10.14 deducem ca energia totala a oscilatorului liniar armonic este constanta in timp – este un invariant. Se folosesc doua moduri de reprezentare a energiei unui oscillator:

pE cE12

2kA 2sin t 2cos t12

2kA 12

2 2m A 2 22 A m

a) se reprezinta grafic energia in functie de frecventa ( enrgia pe ordonata si frecventa pe abscisa). Se obtine astfel un spectru al procesului respective. O oscilatie armonica se reprezinta printr-o linie spectrala (fig. 10.6, a); b) printr-o schema de nivele de energie. Intr-o schema de nivele de energie, energia oscilatorului se reprezinta printr-o dreapta orizontala situate la o inaltime corespunzatoare valorii energiei (fig. 10.6, b). Se spune ca oscilatorul se afla pe un anumit nivel de energie.

10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA

10.2.1. 10.2.1. Pendulul gravitationalPendulul gravitational. . Un pendul gravitational este un corp idealizat Un pendul gravitational este un corp idealizat ( experimental 1) redus la un punct material de masa , suspendat de un fir ( experimental 1) redus la un punct material de masa , suspendat de un fir inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita sa de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei de greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime fortei de greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime l , masa m , care formeaza cu verticala un unghi numit l , masa m , care formeaza cu verticala un unghi numit elongatie elongatie

unghiularaunghiulara..Fortele care actioneaza asupra lui sunt: =Fortele care actioneaza asupra lui sunt: = , forta de greutate si , forta de greutate si

tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia razei este =mg tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia razei este =mg iar componenta tangentiala = . Componenta tangentiala este forta de iar componenta tangentiala = . Componenta tangentiala este forta de

restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar forta de restabilire este:pozitie de echilibru. Asadar forta de restabilire este:

F= = (10.21)F= = (10.21)

G>>>>>>>>>>>>>>

mg

T>>>>>>>>>>>>>>

nG cos

tG sinmg

tG sinmg

Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui pendul gravitational.

Remarcam ca forta F nu este proportionala cu elongatia unghiulara ci cu sinMiscarea pendulului nu este deci o miscare oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie. Doua oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu mai sint izocrone.

Daca unghiurile sint mai mici atunci sin este foarte apropiat de exprimat in radiani.

Analizaind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5° putem scrie ca in radiani. sin

Daca exprimam unghiul in radiani avem = Daca exprimam unghiul in radiani avem = si vom obtine inlocuind si vom obtine inlocuind

cu : F= = = x= , unde, semnul minus indica faptul ca aceasta forta cu : F= = = x= , unde, semnul minus indica faptul ca aceasta forta

este totdeauna de sens opus elongatiei.este totdeauna de sens opus elongatiei. Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ

de tip elastic ( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi de tip elastic ( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o miscare oscilatorie armonica.considerata in acet caz o miscare oscilatorie armonica.

Cum =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine:Cum =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine:

T= = = (10.22)T= = = (10.22)

Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational este independenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.este independenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.

Pendulul gravitational ofera o metoda simpla pentru determinarea valorii acceleratiei Pendulul gravitational ofera o metoda simpla pentru determinarea valorii acceleratiei gravitationale gravitationale g, g, masurind cu eroare cit mai mica lungimea masurind cu eroare cit mai mica lungimea ll si perioada proprie si perioada proprie TT a a

pendulului.pendulului.

*xt

sin mg x

mgl

mgl

kx

mgl

2 mk

2mmgl

2 lg

10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA

10.2.1. 10.2.1. Pendulul gravitationalPendulul gravitational. Un pendul gravitational este un corp idealizat . Un pendul gravitational este un corp idealizat ( experimental 1) redus la un punct material de masa m , suspendat de un fir ( experimental 1) redus la un punct material de masa m , suspendat de un fir inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia sa de inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei de greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime l ,greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime l ,

masa m, care formeaza cu verticala un unghi numit masa m, care formeaza cu verticala un unghi numit elongatie unghiularaelongatie unghiulara. Fortele care actioneaza . Fortele care actioneaza asupra lui sunt asupra lui sunt GGnn=mg =mg forta de greutate si tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia forta de greutate si tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia razei este razei este =mg=mg , , iar componenta tangentiala iar componenta tangentiala GGtt= . Componenta tangentiala este forta = . Componenta tangentiala este forta de restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in pozitie de de restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar forta de restabilire este:echilibru. Asadar forta de restabilire este:

FF==GGtt= (10.21)= (10.21)

l

G>>>>>>>>>>>>>> T

>>>>>>>>>>>>>>

cos sinmg

sinmg

.

Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui pendul gravitational

Remarcam ca forta Remarcam ca forta F F nu este proportionala cu elongatia unghiulara ci cu . Miscarea nu este proportionala cu elongatia unghiulara ci cu . Miscarea pendulului nu este deci o miscare oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorbi de o pendulului nu este deci o miscare oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie. Doua oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu perioada proprie de oscilatie. Doua oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu mai sint izocrone. mai sint izocrone.

Daca unghiurile Daca unghiurile sunt mai mici atuncisunt mai mici atunci este foarte apropiat de exprimat in radiani.este foarte apropiat de exprimat in radiani.

Analizaind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5Analizaind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5° ° putem scrie ca putem scrie ca in radiani. in radiani.

sin

sin

sin

Daca exprimam unghiu in radiani avem Daca exprimam unghiu in radiani avem = si vom obtine inlocuind= si vom obtine inlocuind

cu : cu : F= = = x = -kx, unde,semnul minus indica faptul ca aceasta forta este F= = = x = -kx, unde,semnul minus indica faptul ca aceasta forta este

totdeauna de sens opus elongatiei.totdeauna de sens opus elongatiei.

Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip elastic Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip elastic

( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o miscare ( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o miscare oscilatorie armonica.oscilatorie armonica.

Cum Cum =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine: =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine:

T= = =T= = =

Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa

pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational este independenta de pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational este independenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.

*xt

sin mgx

mgl

mgl

mgl

2mk2

mmgl2

lg

EXPERIMENT EXPERIMENT

De un fir lung si subtire cu lungimeaDe un fir lung si subtire cu lungimea l=1 m, suspendat la un capat, se atirna o mica l=1 m, suspendat la un capat, se atirna o mica

sfera de plumb (otel sau bronz) cu un diametru de 2-3 cm. Se scoate pendulul astfel sfera de plumb (otel sau bronz) cu un diametru de 2-3 cm. Se scoate pendulul astfel format din pozitia de echilibru, deplasindu-l fata de verticala cu un unghiformat din pozitia de echilibru, deplasindu-l fata de verticala cu un unghi care sa nu care sa nu depaseasca 5° si se lasa apoi liber. Sistemul incepe sa oscileze. Se noteaza un anumit depaseasca 5° si se lasa apoi liber. Sistemul incepe sa oscileze. Se noteaza un anumit numar numar nn de oscilatii de oscilatii tt corespunzator acestora. Perioada de oscilatie se determina din corespunzator acestora. Perioada de oscilatie se determina din relatia T=relatia T=t/nt/n.Considerand sistemul bila – fir un pendul gravitational, din .Considerand sistemul bila – fir un pendul gravitational, din

expresia perioadei T= ,obtinem expresia perioadei T= ,obtinem g= , g= , relatie din care putem determina relatie din care putem determina

valoarea acceleratiei gravitationale locale. Rezultatele unui numar mare de valoarea acceleratiei gravitationale locale. Rezultatele unui numar mare de determinari se trec intr-un table de forma:determinari se trec intr-un table de forma:

2lg

2

2

4 lT

Ce observatii puteti face ? Coincid rezultatele determinarilor ? De ce ? Care sint erorile pe Ce observatii puteti face ? Coincid rezultatele determinarilor ? De ce ? Care sint erorile pe care credeti ca le-ati facut ? Cum s-ar putea inlatura sau micsora aceste erori ?care credeti ca le-ati facut ? Cum s-ar putea inlatura sau micsora aceste erori ?

____________________________________________

* * Am notat cu distanta de la pozitia de echilibru masurata pe cerc astfel: Am notat cu distanta de la pozitia de echilibru masurata pe cerc astfel: xx > 0 in > 0 in dreapta pozitiei de echilibru si dreapta pozitiei de echilibru si xx < 0 in stinga pozitiei de echilibru. < 0 in stinga pozitiei de echilibru.