2 oscilatii - final.doc

MECANICA

1

Tema 2

Ecuaiile difereniale ale micrii. Fore conservative. Oscilatorul liniar armonic, amortizat i ntreinut. Compunerea oscilaiilor paralele i perpendiculare

2.1 Ecuaiile difereniale ale micrii

Dac asupra unui punct material de mas acioneaz o for , aceasta va imprima punctului material, conform legii a 2-a a dinamicii, acceleraia:

(2.1)

Se poate demonstra c tiind raza vectoare i impulsul la un moment oarecare de timp , dat fiind fora care n general este o funcie de , i , se pot determina raza vectoare i impulsul punctului material la momentul imediat ulterior. Introducem notaiile

i . (2.2)

Raza vectoare i impulsul punctului material la momentul vor fi:

(2.3)

(2.4)Procedeul pote fi continuat din aproape n aproape, iar afirmaia demonstrat este cunoscut sub numele de principiul determinismului clasic, sau principiul determinismului de tip Laplace.

S deducem ecuaiile de micare ale unui punct material, plecnd de la definiiile acceleraiei i vitezei:

(2.5)Pentru simplificare vom considera o micare rectilinie. Vom alege un sistem de referin cu axa pe direcia forei , i astfel putem folosi numai mrimi scalare. Considerm originea timpului n momentul nceperii micrii .

Dac i obinem ecuaia vitezei:

(2.6)Ecuaia coordonatei se obine din definiia vitezei:

,

.

(2.7)Eliminnd timpul ntre ecuaiile (2.6) i (2.7) obinem ecuaia lui Galilei:

. (2.8)Prin nlocuirea acceleraiei din legea a doua a dinamicii se obine

,

de unde rezult:

,

(2.9)unde reprezint lucrul mecanic efectuat de fora n timpul deplasrii corpului de la la . Aceast ultim relaie scris sub forma:

(2.10)constituie teorema energiei cinetice.

2.2 Punctul material n cmp de fore elastice

Fora elastic este una dintre cele mai ntlnite n practic i n viaa cotidian, avnd o importan deosebit n multe domenii ale fizicii i tehnicii. Fora elastic are dou proprieti importante:

a) modulul forei este proporional cu distana fa de poziia de echilibru;

b) fora este ndreptat permanent spre poziia de echilibru:

(2.11)unde este constanta elastic a resortului (arcului).

Fora elastic nefiind constant, lucrul efectuat de fora elastic care acioneaz asupra unui punct material de mas deplasndu-l ntre dou poziii date de elongaiile (distanele fa de poziia de echilibru) i , se determin astfel:

(2.12)nlocuind expresia (2.12) n teorema energiei cinetice obinem

,

i obinem legea conservrii energiei mecanice n cazul aciunii forei elastice:

(2.13)

O aplicaie simpl a legii conservrii energiei sub aciunea forelor elastice este imprimarea unei viteze , pe direcia axei , unui resort de constant elastic , nedeformat n starea iniial (fig.1). Punctul material de mas legat de resort se va deplasa fr frecare din starea iniial n punctul de coordonat ( este amplitudinea micrii, unde . Din legea conservrii energiei obinem:

.

(2.14)

S artm c un punct material efectueaz sub aciunea unei fore elastice o micare oscilatorie armonic, a crei ecuaie este dat de una din expresiile

sau ,

(2.15)unde este amplitudinea micrii, pulsaia proprie a oscilatorului, iar faza iniial a micrii. Vom scrie expresia energiei mecanice a sistemului:

,

de unde rezult:

.

(2.16)Impunnd condiiile iniiale , din condiia rezult , de unde . nlocuind n expresia (2.16) obinem:

(2.17)Integrnd relaia de mai sus, obinem:

(2.18)Din condiia iniial la , , de unde:

(2.19)Cu notaia , ecuaia oscilatorului armonic n cazul general devine:

.

(2.20)

2.3 Punctul material n cmp de fore centrale (conservative)

O for invers proporional cu ptratul distanei dintre dou corpuri i cu direcia pe linia ce unete centrele celor dou corpuri, este o for de tip central.

(2.21)S-a considerat originea sistemului de coordonate n centrul unuia dintre corpuri, ce creeaz cmpul prin intermediul cruia interacioneaz cu cel de-al doilea corp, a crui poziie este dat de raza vectoare . Particulariznd pe se poate obine expresia forei gravitaionale (), sau a forei electrostatice .

S artm c, n cazul mai general al unei fore a crei formula este:

,

(2.22)unde este un numr ntreg nenul, energia mecanic a sistemului celor dou corpuri se conserv.

Se poate arta c legea conservrii energiei se aplic i n cazul unui sistem format din mai multe corpuri aflate n cmp de fore centrale.

Determinm mai nti expresia lucrului mecanic al forei (2.22):

,

unde am folosit faptul c . Efectum schimbarea de variabil i integrm definit:

(2.23)

Se constat urmtoarele cazuri particulare:

Cazul 1: i , unde este energia potenial elastic. Conform teoremei energiei cinetice:

,de unde se obine

,

(2.24)adic legea conservrii energiei n cmp de fore elastice.

Cazul 2: , , , unde este energia potenial gravitaional.

Din teorema energiei cinetice obinem , de unde rezult:

, (2.25)care constituie legea conservrii energiei n cmp de fore gravitaionale.

Valoarea constantei din formula de definiie a energiei poteniale gravitaionale se determin din condiia de zero pentru , adic n funcie de alegerea punctului n care energia potenial are valoarea zero.

(2.26)Din (2.26) rezult interpretarea fizic a energiei poteniale gravitaionale: lucrul mecanic efectuat de fora gravitaional pentru a deplasa unul dintre cele dou corpuri din poziia n care distana dintre corpuri este , pn la infinit. Pentru sistemul Pmnt-corp se poate alege cnd , de unde Dac alegem cnd (corpul pe suprafaa Pmntului), atunci

i, (2.27)

unde am folosit notaia pentru masa Pmntului i pentru masa corpului aflat n cmpul gravitaional al Pmntului. Se observ c, indiferent de alegerea configuraiei de zero, i deci a constantei , expresia diferenei ntre energia potenial pentru dou poziii oarecare rmne aceeai. Exemplul 1.

S deducem expresia lui n cazul deplasrii corpului de mas ntre dou poziii aflate n apropierea suprafeei Pmntului.

(2.28)ns din i rezult:

(2.29)n aproximaia considerat i formula (2.29) ia forma:

,

(2.30)unde s-a folosit expresia acceleraiei gravitaionale la suprafaa Pmntului:

.

(2.31)Reiese clar incorectitudinea afirmaiei energia potenial gravitaional a unui corp de mas aflat la nlimea fa de suprafaa Pmntului este . ns afirmaia diferena dintre energia potenial gravitaional a unui corp de mas aflat la o nlime neglijabil fa de raza Pmntului i a aceluiai corp aflat la suprafaa Pmntului, este este corect.Exemplul 2

S se determine nlimea pn la care poate ajunge un proiectil lansat de la suprafaa Pmntului pe vertical n sus cu viteza iniial , neglijnd efectul micrii de rotaie a Pamntului. Se cunosc raza medie a Pmntului , masa Pmntului i constanta atraciei gravitaionale .

Rezolvare

Se scrie legea conservrii energiei ntre cele dou poziii ale corpului:

,de unde se obine nlimea :

.

Dac am fi calculat nlimea din formula lui Galilei , am fi obinut . Acest rezultat difer substanial de cel corect, din cauz c valoarea acceleraiei gravitaionale este o aproximare bun numai pentru nlimi mici fa de suprafaa Pmntului.

2.4 Legea conservrii energiei mecanice

Plecnd de la definiia lucrului mecanic s-a demonstrat teorema energiei cinetice pentru un punct material: . S deducem aceast teorem analitic.

de unde rezult n cazul unei fore care nu variaz n timp,

,

(2.32)unde este lucrul mecanic elementar. Integrnd ntre starea iniial (1) i final (2) obinem:

(2.33)

n unele cazuri particulare de fore integrala din (2.33) nu depinde de drum, astfel c poate fi scris ca diferena dintre valorile unei mrimi ce depinde numai de coordonate, numit energie potenial a corpului, n cele dou stri (1, respectiv 2). n acest caz fora se numete for conservativ, deoarece sub aciunea acestei fore energia mecanic a corpului se conserv n timp.

. (2.34)

Comparnd (2.33) i (2.34) se obine:

,

adic

Forma diferenial a relaiei (2.34):

(2.35)se mai numete i diferenial total exact.

Expresia (2.35) se mai poate scrie i astfel:

,

de unde rezult i , sau echivalent:

EMBED Equation.DSMT4 .

(2.36)Prin gradientul unei funcii scalare de coordonate nelegem operatorul diferenial nabla, care este un vector:

(2.37)aplicat funciei respective, n cazul nostru :

(2.38)

Dac pentru oricare pereche de dou componente ale forei facem operaiile urmtoare:

se obine, n condiiile teoremei lui Schwartz egalitatea:

,

(2.39)

de unde, prin permutri circulare obinem , respectiv .

Definind operatorul diferenial rotor aplicat unui vector prin relaia

(2.40)i aplicnd acest operator vectorului , obinem:

unde s-a inut cont de relaiile dintre versorii , i : i

Astfel, innd cont de identitile (2.39) se obine

(2.42)care este o condiie necesar i suficient ca fora s fie conservativ.

Din relaia rezult c este definit pn la o constant ce este determinat din condiia ca s aib valoarea aleas ntr-un punct.

Sumnd relaiile de tipul

(2.43)pentru toate punctele materiale ale unui sistem, obinem:

, (2.44)

unde . Aceste integrale depind, n cazul general, de traiectoriile tuturor punctelor sistemului.

n cazul forelor interioare de tip conservativ, integralele nu depind de drum, i putem scrie, sub form diferenial sau integral:

(2.45)Sumnd pe toate particulele sistemului obinem:

(2.46)

fiind energia potenial a ntregului sistem datorat forelor interioare, iar

Din (2.44) obinem:

,

(2.47)formul valabil n cazul general cnd asupra sistemului acioneaz fore exterioare neconservative.

Dac sistemul nu sufer aciuni din exterior i toate forele interioare sunt conservative, atunci:

,

sau, renunnd n acest caz la indicele int:

,

(2.48)adic legea conservrii energiei mecanice pentru sistemul de puncte materiale.

2.5 Micarea oscilatorie

2.5.1 Oscilatorul armonic liniar (pendulul elastic)

Sub aciunea unei fore elastice un punct material de mas execut o micare oscilatorie armonic. Un exemple simplu este deformarea unui arc (resort). S deducem ecuaia de micare a unui corp punctiform de mas sb aciunea forei elastice . n fig.2 n cazul resortului netensionat, cnd fora elastic este zero. Corpul fiind scos din poziia de echilibru i lsat apoi liber, asupra lui va aciona fora elastic datorat alungirii sau comprimrii resortului. Dependena de timp a poziiei corpului se obine aplicnd legea a doua a lui Newton:

;

EMBED Equation.3 ,

de unde obinem ecuaia diferenial de micare a oscilatorului armonic liniar: . (2.49)

Ecuaia:

(2.50)

este o ecuaie diferenial omogen cu coeficieni constani, cu soluia general:

,

(2.51)

unde i sunt dou constante care se determin din condiiile iniiale, iar i rdcinile ecuaiei caracteristice:

,

(2.52)

Ecuaia (2.52) s-a obinut prin introducerea soluiei (2.51) n ecuaia (2.50).

Ecuaia caracteristic a oscilatorului armonic liniar (2.49), este:

,

(2.53)

cu soluiile:

,

(2.54)

unde am folosit notaia . Mrimea se numete pulsaia proprie a oscilatorului armonic liniar. Aceasta depinde de constanta elastic a resortului i de masa a corpului, constituind o caracteristic fundamental a oscilatorului elastic. Sensul acestei pulsaii este urmtorul: dac oscilatorul armonic liniar este scos din poziia de echilibru i lsat liber, acesta poate oscila numai cu pulsaia lui proprie . n absena frecrilor, pentru ca un oscilator armonic s oscileze cu o pulsaie este necesar ca, pe lng fora elastic a arcului, asupra oscilatorului s mai acioneze o for exterioar periodic de pulsaie . Din punct de vedere dimensional pulsaia se msoar n unitatea :

.

Folosind soluia (2.54), unde , ecuaia (2.51) se va scrie:

.

(2.55)

Deoarece elongaia reprezint o mrime cu sens fizic (deplasarea fa de poziia de echilibru), ea trebuie s fie exprimat printr-un numr real. Acest lucru nu se poate realiza dect n condiiile n care constantele i sunt mrimi complexe. Astfel, vom alege pentru cele dou constante forma analitic:

, .

(2.56)

n aceste condiii, expresia (2.55) devine:

.Utiliznd relaiile lui Euler:

; ,

(2.57)

ecuaia de micare a unui oscilator armonic liniar va avea forma:

.

(2.58)

Din (2.56) putem determina mrimile i funcie de i . Fiind soluia unei ecuaii difereniale de gradul doi, (2.58) trebuie s conin dou constante ce sunt determinate de poziia iniial i de viteza iniial :

.

(2.59)

Cu condiiile iniiale i rezolvnd sistemul acestor dou ecuaii determinm expresiile lui i :

(2.60)Se observ unele diferene eseniale ntre mrimile i pe de o parte, i pe de alt parte. n timp ce este o mrime intrinsec ce caracterizeaz oscilatorul, depinznd de constanta elastic a resortului i de masa acestuia, i pot lua valori diferite pentru acelai oscilator, n funcie de condiiile iniiale.

Semnificaia termenilor din relaia (2.58) este urmtoarea:

- reprezint elongaia micrii oscilatorii, reprezentnd deplasarea oscilatorului fa de poziia de echilibru la un moment de timp ;

- reprezint amplitudinea micrii oscilatorii, fiind distana maxim a oscilatorului fa de poziia sa de echilibru;

- reprezint faza micrii oscilatorii, unde este faza iniial;

Se observ c funcia din (2.58) este periodic n timp. Perioada a micrii poate fi dedus din condiia , de unde se obine:

,

iar rezult expresia perioadei este

.

(2.61)Eliminnd timpul ntre (2.58) i (2.59) deducem relaia dintre vitez i elongaie:

,de unde rezult

.

(2.62)Referitor la semnul vitezei putem spune c n general acesta poate fi + sau -, deoarece la o micare oscilatorie armonic exist, pentru o elongaie dat, dou poziii ale corpului n care viteza are aceeai valoare, dar sensuri opuse (fig.3, punctele i ). Din (2.62) se poate observa de asemenea c pentru elongaia maxim se obine , iar pentru elongaia zero viteza este maxim:

.

(2.63)

Acceleraia micrii oscilatorii armonice liniare se obine prin derivarea vitezei:

.

(2.64)

Relaia reprezint definiia micrii oscilatorii armonice i poate fi obinut direct din legea a doua a dinamicii:

;De aici rezult c acceleraia este ntotdeauna de sens opus elongaiei, avnd valoarea zero cnd oscilatorul trece prin poziia de echilibru, i valoarea maxim n momentele n care oscilatorul se afl la distana maxim fa de poziia de echilibru. Valoarea maxim a acceleraiei este:

.

(2.65)n fig.3 se mai poate observa cum se poate obine micarea oscilatorie armonic liniar prin proiectarea pe una din axe a unei micri circulare uniforme. Astfel, elongaia , viteza i acceleraia se obin proiectnd pe axa , la momentul , raza vectoare, viteza, i respectiv acceleraia normal a punctului ce execut micarea circular. Se obin astfel ecuaiile de micare sub forma:

,

(2.66)

unde este amplitudinea micrii, iar viteza i acceleraia sunt:

(2.67)

(2.68)

Formulele (2.58), (2.59), (2.64), i respectiv (2.66), (2.67), (2.68) reprezint aceleai legi de micare, singura deosebire fiind faptul c n primele trei formule apare , iar n ultimele trei apare , n timp ce funciile sinus i cosinus se inverseaz ntre ele.

Exemplul 3.

La momentele i , valorile corespunztoare ale elongaiilor i ale unui oscilator liniar armonic sunt legate ntre ele prin relaia . S se determine valoarea minim a frecvenei oscilatorului, dac n momentul iniial acesta se afla n poziia de echilibru, iar

Rezolvare

Ecuaia de micare a oscilatorului este , iar din condiia problemei se obine ecuaia trigonometric

.

Rezolvnd ecuaia obinem, pentru , , respectiv

.Exemplul 4S se determine amplitudinea, faza iniial i pulsaia proprie a unui oscilator armonic liniar, cunoscnd condiiile iniiale: i la momentul .

Particulariznd expresiile lui , i din ecuaiile de micare: , i la momentul , obinem sistemul de trei ecuaii cu trei necunoscute :

Din ultima ecuaie se obine direct , iar din primele dou obinem, prin rezolvarea sistemului:

2.5.2 Energia oscilatorului armonic liniar

Energia oscilatorului armonic liniar (pendulul elastic) se compune din energia cinetic a punctului material i energia potenial a resortului de care acesta este prins, . Cu i obinem , respectiv . Valoarea maxim a lui este se atinge la trecerea prin poziia de echilibru , iar a lui n poziia de elongaie maxim . Energia total a oscilatorului armonic liniar va fi:

. (2.69)

SHAPE \* MERGEFORMAT

Acest rezultat reprezint conservarea energiei oscilatorului armonic n timpul micrii. Din (2.69) rezult de asemenea c , adic n procesul de oscilaie energia cinetic a oscilatorului trece continuu n energie potenial i invers, suma lor rmnnd constant n fiecare moment (fig.4).

2.5.3 Pendulul elastic n cmp gravitaional

Presupunem un resort de constant elastic n poziie vertical, fixat la captul de sus. S stabilim ecuaia de micare a unui corp de mas , care se fixeaz la momentul de captul liber al resortului (fig.5). Asupra corpului acioneaz greutatea , i deci la momentul corpul ncepe s cad cu acceleraia . Deoarece n acest moment n resort nu s-a creat nc o for elastic care s se opun greutii, corpul tinde s coboare accelerat. Pe msur ce corpul se ndeprteaz de nivelul (resortul nedeformat) alungirea resortului ncepe s creasc, i o dat cu aceasta va crete i fora elastic, care este de sens opus greutii. Pe msur ce resortul se deformeaz fora elastic care se opune greutii crete, ajungnd ntr-o poziie n care fora elastic este egal i de sens contrar cu greutatea (). Deoarece pe distana corpul s-a deplasat accelerat, el are n punctul o vitez maxim i nu se oprete n acel punct, continund s se deplaseze ncetinit pn n punctul de oprire . Deoarece fora elastic n punctul devine dublul greutatii , corpul se va mica accelerat din n , apoi din nou ncetinit din n . n aceste condiii corpul va oscila n jurul punctului cu amplitudinea , care se obine din condiia:

.

(2.70)Ecuaia de micare a oscilatorului este, dup formula general,

,

unde i , astfel c ecuaia de micare devine:

.

(2.71)Faza iniial poate fi determinat din condiiile iniiale i este funcie de sensul de orientare al axei . Dac axa este orientat n jos, atunci la i n consecin , de unde i (fig.5). Dac axa este orientat n sus, atunci pentru , , de unde i .

2.5.4 Pendulul matematic (gravitaional)

Pendulul gravitaional reprezint un corp punctiform de mas , suspendat de un punct fix printr-un fir inextensibil de lungime i greutate neglijabil. Poziia de echilibru a pendulului gravitaional este cu firul n poziie vertical. Dac firul este scos din poziia de echilibru, pentru unghiuri mici cu verticala (), asupra corpului va aciona o for cuasielastic care tinde s-l aduc n poziia de echilibru prin executarea de oscilaii n jurul acestei poziii. Fora cuasielastic nu este de natur elastic, ns n anumite condiii satisface cerinele impuse asupra forei elastice. Pentru unghiuri mici fa de vertical putem aproxima traiectoria punctului material cu o dreapt paralel cu axa , i putem scrie cu bun aproximaie pentru o deplasare fa de poziia de echilibru relaiile (fig.6):

. (2.72)

Se ajunge astfel la concluzia c dac unghiul firului cu verticala n timpul micrii este suficient de mic, fora tangenial care caut s readuc pendulul n poziia de echilibru este proporional cu distana fa de aceast poziie, adic fora tangenial are aceeai proprietate ca i o for elastic. Astfel de fore cu aciune analog forei elastice se numesc fore cuasielastice. Astfel, pendulul gravitaional poate fi privit ca un pendul elastic asupra cruia acioneaz un resort cu constanta elastic , avnd pulsaia proprie

.

(2.73)

i perioada:

.

(2.74)

Comparnd datele de la pendulul elastic i gravitaional, n tabelul 1 se face o analogie interesant a formulelor pentru pulsaia proprie, perioad i frecven. n fine, din formula (2.74) rezult cele 4 legi ale pendulului gravitaional, stabilite de Galilei pe cale experimental:1) ; 2) ; 3) nu depinde de ; 4) nu depinde de (legea izocronismului micilor oscilaii).Tabelul 1. Analogia dintre pendulul elastic i pendulul gravitaionalPendul elasticPendul gravitaional

2.5.5 Compunerea oscilaiilor paralele de aceeai pulsaie

n unele cazuri un corp de mas este supus concomitent aciunii a dou sau mai multor fore elastice. Micarea acestui corp este rezultanta micrilor oscilatorii individuale pe care le-ar efectua corpul sub aciunea fiecrei fore elastice n parte. S presupunem c sub aciunea forelor elastice i corpul execut separat micrile oscilatorii (2.75) i (2.76)

,

(2.75)

.

(2.76)

Cele dou fore acionnd concomitent (simultan) asupra punctului material, acesta va executa o micare, de asemenea oscilatorie armonic, dat de formula:

.

(2.77)Problema compunerii micrilor oscilatorii se rezolv exprimnd mrimile i funcie de i . Cea mai bun metod este bazat pe reprezentarea fazorial a micrii oscilatorii (fig.7). SHAPE \* MERGEFORMAT

Mrimea (2.77) poate fi reprezentat printr-un vector de lungime , care la momentul face cu axa unghiul . Dac acest vector se rotete n jurul punctului cu viteza unghiular constant , proieciile vrfului su pe axele i execut micri oscilatorii.

;

.

n fig.8 se reprezint sub form fazorial micrile (2.75) i (2.76), prin compunerea crora vom obine micarea rezultant (2.77). Proiectnd relaia vectorial pe cele dou axe, obinem sistemul de ecuaii:

(2.78)

Prin mprirea ecuaiilor (2.78) obinem:

.

(2.79)

Ridicnd la ptrat ecuaiile (2.78) i adunndu-le, obinem:

.

(2.80)

Se observ c amplitudinea rezultant depinde att de amplitudinile i , ct i de diferena dintre fazele iniiale .

Se disting urmtoarele cazuri particulare:

a) ; . n acest caz oscilaiile sunt n faz, i prin compunerea lor se obine pentru micarea oscilatorie rezultant amplitudinea maxim.

b) , unde ; . n acest caz se spune c oscilaiile sunt n cuadratur.

c) ; . Oscilaiile sunt n opoziie de faz i amplitudinea rezultant este minim (dac, rezult ). Astfel, prin compunerea a dou oscilaii n opoziie de faz se obine repaus, adic micrile oscilatorii se anihileaz reciproc. Asest caz prezint un interes tehnic special, fiind singura posibilitate de nlturare a unor vibraii nedorite.

Metoda reprezentrii fazoriale a micrii oscilatorii permite generalizarea rezultatelor de la compunerea a dou oscilaii la compunerea mai multor oscilaii. Astfel, pentru compunerea a trei unde formulele amplitudinii i fazei iniiale a oscilaiei rezultante (2.79) i (2.80) devin:

;

(2.81)

(2.82)

2.5.6 Compunerea oscilaiilor perpendiculare de aceeai pulsaie

S considerm un punct material supus concomitent aciunii a dou fore elastice acionnd pe direcii perpendiculare. Sub aciunea acestor fore punctul material va efectua dou micri oscilatorii de aceeai pulsaie, ns cu faze iniiale diferite. Alegnd pentru cele dou direcii perpendiculare axele i , ecuaiile celor dou micri oscilatorii vor fi:

(2.83)Ecuaia traiectoriei punctului supus simultan aciunii celor dou fore elastice se deduce eliminnd timpul ntre ecuaiile (2.83). Rescriem ecuaiile sub forma:

(2.84)Din sistemul (2.84) obinem expresiile lui i sub forma:

(2.85)Vom nota cu diferena dintre fazele iniiale ale celor dou oscilaii.

Pentru a elimina timpul ntre ecuaiile (2.83) ridicm la ptrat expresiile (2.85), apoi le adunm folosind identitatea trigonometric ;

,

i printr-un calcul trigonometric simplu se obine:

.

(2.86)Relaia (2.86) reprezint ecuaia unei elipse cuprins ntr-un dreptunghi de laturi i (fig.9). Se remarc urmtoarele cazuri particulare:

a) , unde este un numr ntreg, i ecuaia (2.86) devine:

,

(2.87)

Reprezintnd o elips cu axa mare i axa mic , iar axele de coordonate i axe principale ale elipsei (fig.10).b) ; n acest caz obinem din ecuaia (2.86):

dac este impar, respectiv dac este par.Astfel, elipsa degenereaz ntr-o dreapt (fig.11).

n general, putem spune c un punct material supus concomitent la dou micri oscilatorii de aceeai pulsaie, ce au loc pe dou direcii perpendiculare, se va deplasa pe o traiectorie eliptic. Sensul micrii pe elips se poate determina n funcie de diferena de faz dintre cele dou micri oscilatorii. Acest subiect are aplicaii n mai multe domenii ale fizicii, printre care i n optic, la polarizarea undelor electromagnetice.

Pentru a determina unghiul dintre axa mare a elipsei i axa din fig.9 efectum o rotaie de unghi a sistemului de coordonate . Apoi deducem relaiile dintre acestea i coordonatele sistemului rotit (fig.12) pentru un punct oarecare M. n relaiile ce urmeaz vom renuna la indicele M.

(2.88)

Din (2.88) determinm pe i n funcie de i i obinem:

(2.89)Introducem (2.89) n (2.86), obinnd ecuaia elipsei n coordonate , caz n care semiaxa mare, respectiv semiaxa mic, vor coincide cu direcia axei de coordonate rotite , respectiv . n noua form a ecuaiei elipsei, termenul care conine produsul va fi:

Anulm coeficientul termenului care conine produsul i obinem:

care se poate scrie mai simplu sub forma

. (2.90)Exemplul 5

Un corp punctiform efectueaz simultan dou micri oscilatorii pe dou axe perpendiculare Ox i Oy, cu ecuaiile , respectiv . Dac rad/s, s se determine valorile vitezei i acceleraiei corpului la momentul ( este perioada de oscilaie).

Rezolvare

Din i rezult:

Din i rezult:

Identificnd expresia analitic a produsului scalar dintre vectorii vitez i acceleraie:

cu formula de definiie a produsului scalar:

,

se obine:

La momentul i pentru se obine , i astfel unghiul dinttre vitez i acceleraie va fi:

.

2.5.7 Micarea oscilatorie amortizat

n general, un punct material asupra cruia acioneaz o for elastic ntmpin n micarea sa rezistena mediului, prin aciunea unei fore de frecare. Forma analitic a forei de frecare este greu de dedus n cazul general. Dac ns considerm fora de frecare proporional cu viteza corpului i orientat n sens opus micrii, vom obine rezultate n bun concordan cu experimentele. n aceste condiii legea a doua a dinamicii se scrie astfel:

,

(2.91)

unde

,

(2.92)

i este o mrime strict pozitiv. nlocuind (2.92) n (2.91) se obine:

. (2.93)

Introducem notaia

,

(2.94)

unde se numete coeficient de amortizare. Din (2.93) obinem:

.

(2.95)

Cutm soluia ecuaiei (2.95) sub forma:

,(2.96)

unde este o constant. Introducem expresia (2.96) i derivatele i n (2.95), obinnd ecuaia caracteristic: ,

(2.97)cu rdcinile

.

(2.98)

Pentru a avea o micare oscilatorie, rdcinile i trebuie s fie numere imaginare, deoarece numai n acest caz micarea este limitat n spaiu. Aceast cerin este satisfcut numai cnd coeficientul de amortizare este mai mic dect pulsaia proprie , caz n care putem scrie

(2.99)Soluia general a ecuaiei difereniale (2.95) devine astfel:

(2.100)Soluia general a unei ecuaii difereniale de gradul doi conine dou constante de integrare. Elongaia micrii oscilatorii fiind o mrime real, cele dou constante i trebuie s fie numere complexe. Pentru dou numere complexe exist dou numere reale i astfel ca s fie ndeplinite relaiile:

(2.101)

Cu aceste notaii soluia (2.100) poate fi scris sub forma:

(2.102)

Folosind relaiile lui Euler (2.57) se obine legea de micare a punctului material supus unei fore elastice, ct i forei de frecare:

,

(2.103)

unde

(2.104)

reprezint pulsaia micrii amortizate.

Prezena amortizrii conduce la urmtoarele dou efecte importante:

- pulsaia micrii amortizate este ntotdeauna mai mic dect cea a micrii neamortizate, i depinde de valoarea coeficientului de amortizare ;- amplitudinea micrii, i deci energia oscilatorului, scad exponenial n timp, pn cnd n final corpul se oprete.

n fig.13, respectiv 14, se reprezint elongaia unei micri oscilatorii armonice fr amortizare, respectiv cu amortizare. Prezena amortizrii conduce la scderea amplitudinii, i deci n final la ncetarea micrii oscilatorului. Se observ din (2.103) c dup un interval de timp , denumit durata de relaxare a oscilaiei amortizate, amplitudinea micrii oscilatorii scade de "" ori, iar energia oscilatorului de "" ori. n general o micare oscilatorie armonic amortizat este caracterizat prin decrementul logaritmic :

(2.105)

care se mai poate scrie i sub forma:

(2.106)

De aici rezult semnificaia fizic a decrementului logaritmic: inversul decrementului logaritmic reprezint numrul de oscilaii complete efectuate de oscilator n intervalul de timp n care amplitudinea scade de "" ori.

Micarea oscilatorie armonic este un caz particular al micrii oscilatorii amortizate n cazul limit , cnd din relaia (2.103) obinem ecuaia de micare a oscilatorului armonic . La oscilatorul armonic amplitudinea este constant, iar energia se conserv n timp:

Pentru ca un punct material s poat efectua micri oscilatorii fiind supus unor fore de frecare (amortizare), este necesar ca asupra sa s acioneze o for exterioar periodic (excitator), adic oscilaiile s fie ntreinute sau forate. Rolul forei exterioare de ntreinere este acela de a suplini, prin lucrul mecanic efectuat, pierderile de energie datorate amortizrii. Este foarte important momentul i sensul n care n care acioneaz periodic fora de ntreinere. Transferul de energie de la excitator la sistemul excitat, care se face n fiecare perioad a excitatorului, este maxim cnd pulsaia excitatorului este apropiat de pulsaia proprie a sistemului excitat. Procesul selectiv de transfer de energie ntre dou sisteme fizice se numete rezonan.Exemplul 6

S se determine decrementul logaritmic al micrii amortizate pentru un oscilator cu frecvena proprie , dac frecvena micrii amortizate este .

Rezolvare

Din relaiile cunoscute rezult:

.

2.5.8 Micarea oscilatorie ntreinut

Energia unui oscilator fiind proporional cu ptratul amplitudinii, prezena forelor de frecare la un oscilator amortizat conduce la scderea energiei medii n timp dup legea:

, (2.107)

Pentru a menine constant energia oscilatorului, energia pierdut trebuie recuperat prin aciunea unei fore periodice , pe care pentru simplitate o vom presupune de forma:

(2.108)

Dac asupra punctului material din fig.2 acioneaz fora elastic , fora de frnare i fora exterioar de ntreinere , ecuaia diferenial a micrii oscilatorului va fi:

. (2.109)

Introducnd expresiile forelor i mprind la , obinem ecuaia diferenial de gradul al doilea, neomogen i cu coeficieni constani:

(2.110)Soluia acestei ecuaii este suma dintre soluia ecuaiei omogene (2.103) i o expresie de forma termenului liber . Datorit scderii exponeniale a amplitudinii n timp, soluia ecuaiei omogene devine neglijabil dup timpul , i se caut pentru ecuaia diferenial (2.110) o soluie de forma:

, (2.111)

unde nu depinde de timp i se determin introducnd (2.111), ca i derivatele , n ecuaia (2.110):

Aceast expresie mai poate fi scris sub forma:

(2.112)Pe baza formulelor (2.57) se obine:

,

de unde rezult:

(2.113)

Soluia ecuaiei difereniale (2.110) devine astfel:

(2.114)

Se poate observa uor n fig.15 c ntre elongaia i fora exterioar apare o diferen de faz , cu valori cuprinse ntre i .

Amplitudinea micrii este dat de expresia:

, (2.115)i prezint un maximum pentru pulsaia (pulsaia de rezonan, care se obine din condiia ca termenul de la numitor s fie minim):

(2.116)

Pulsaia la rezonan nu este egal cu pulsaia proprie a sistemului, ci depinde de coeficientul de amortizare .

n fig.16 este indicat aproximativ dependena , pentru valori diferite ale parametrului . Introducnd (2.116) n (2.115) obinem amplitudinea la rezonan :

(2.117)

Se observ c amplitudinea la rezonan este cu att mai mare cu ct coeficientul de amortizare este mai mic. Fenomenul de rezonan are aplicaii multiple n tiin i tehnic, fiind n unele cazuri deosebit de util, iar n alte cazuri duntor.

Exemplul 7

S artm cum se determin pulsaia de rezonan a unui oscilator ntreinut, dac pentru dou pulsaii i amplitudinea oscilaiilor are aceeai valoare. Rezolvare

Folosind (2.115), din condiia obinem:

,Rezolvnd ecuaia, obinem dup calcule simple:

,innd cont de (2.116) se obine

.Bibliografie

1. Murray R. Spiegel. Schaums outline of Theory and Problems of Theoretical Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1967.2. David Halliday and Robert Resnick. Fizic vol.I, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1975.3. Frank S. Crawford, Jr. Cursul de Fizic Berkeley. Unde. vol.III, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983.4. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics vol.I, Definitive edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 2006.5. I. Irodov, I. Saveliev et O Zamcha. Recueuil de Problmes de Physique Gnrale. dition MIR, Moscou, 1976. 6. Traian I. Creu. Fizica General vol.I. Editura Tehnic, Bucureti, 1986.

7. Dan G. Sipoen. Culegere de probleme de fizic. Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureti, 1999.8.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 11. Reprezentarea grafic a cazului b)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 10. Reprezentarea grafic a cazului particular a)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 9. Reprezentarea traiectoriei unui punct material supus simultan aciunii a dou fore elastice ce acioneaz pe dou direcii perpendiculare (cazul general)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 15. Defazajul dintre elongaie i fora

exterioar la o micare oscilatorie ntreinut,

funcie de pulsaia forei exterioare

EMBED Equation.DSMT4



EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 14. Variaia n timp a elongaiei unei micri oscilatorii amortizate

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 13. Variaia n timp a elongaiei unei micri oscilatorii armonice

EMBED Equation.3

Figura 12. Rotirea sistemului

de coordonate

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 8. Reprezentarea fazorial a dou micri

oscilatorii armonice paralele i de aceeai pulsaie

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 16. Variaia amplitudinii micrii oscilatorii

ntreinute cu pulsaia micrii





Figura 1. Legea conservrii energiei pentru oscilatorul elastic de constant EMBED Equation.DSMT4 i mas EMBED Equation.DSMT4



















EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 7. Reprezentarea fazorial

a unei micri oscilatorii armonice

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 6. Pendulul matematic

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3



EMBED Equation.3

Figura 5. Pendulul elastic

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 4. Reprezentarea grafic a

energiei oscilatorului armonic liniar

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 3. Proiecia unei micri circulare

i uniforme pe axa Oy

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 2. Pendulul elastic


PAGE 56

_1285870409.unknown

_1285873371.unknown

_1285931440.unknown

_1299746679.unknown

_1299753386.unknown

_1301498272.unknown

_1301498364.unknown

_1301498429.unknown

_1301498927.unknown

_1301498966.unknown

_1301498480.unknown

_1301498582.unknown

_1301498624.unknown

_1301498466.unknown

_1301498403.unknown

_1301498416.unknown

_1301498390.unknown

_1301498315.unknown

_1301498343.unknown

_1301498295.unknown

_1299766118.unknown

_1299780902.unknown

_1301498228.unknown

_1301498251.unknown

_1299780948.unknown

_1299780963.unknown

_1299781000.unknown

_1299780929.unknown

_1299766808.unknown

_1299767703.unknown

_1299767758.unknown

_1299770945.unknown

_1299771389.unknown

_1299767714.unknown

_1299767188.unknown

_1299767535.unknown

_1299767268.unknown

_1299767141.unknown

_1299766185.unknown

_1299766565.unknown

_1299766158.unknown

_1299765772.unknown

_1299765996.unknown

_1299766011.unknown

_1299765978.unknown

_1299753579.unknown

_1299753613.unknown

_1299753403.unknown

_1299752191.unknown

_1299752598.unknown

_1299753053.unknown

_1299753292.unknown

_1299752986.unknown

_1299752556.unknown

_1299752566.unknown

_1299752476.unknown

_1299752499.unknown

_1299748370.unknown

_1299748888.unknown

_1299749016.unknown

_1299748879.unknown

_1299747073.unknown

_1299748224.unknown

_1299746750.unknown

_1288334671.unknown

_1298113585.unknown

_1298114629.unknown

_1299746464.unknown

_1299746507.unknown

_1298115128.unknown

_1298176106.unknown

_1298114745.unknown

_1298113757.unknown

_1298114326.unknown

_1298114578.unknown

_1298113788.unknown

_1298114300.unknown

_1298113774.unknown

_1298113715.unknown

_1298113737.unknown

_1298113700.unknown

_1297685412.unknown

_1298113524.unknown

_1298113568.unknown

_1298113501.unknown

_1288334965.unknown

_1297450350.unknown

_1297450423.unknown

_1297450528.unknown

_1297450369.unknown

_1297450349.unknown

_1296378706.unknown

_1288334748.unknown

_1288334898.unknown

_1288334915.unknown

_1288334852.unknown

_1288334725.unknown

_1285934404.unknown

_1285936010.unknown

_1285936688.unknown

_1286611358.unknown

_1288036970.unknown

_1285936746.unknown

_1285936765.unknown

_1285936726.unknown

_1285936120.unknown

_1285936612.unknown

_1285936668.unknown

_1285936633.unknown

_1285936591.unknown

_1285936577.unknown

_1285936052.unknown

_1285935199.unknown

_1285935247.unknown

_1285935986.unknown

_1285935997.unknown

_1285935966.unknown

_1285935229.unknown

_1285935125.unknown

_1285935147.unknown

_1285935108.unknown

_1285932914.unknown

_1285933697.unknown

_1285934380.unknown

_1285934391.unknown

_1285934365.unknown

_1285933569.unknown

_1285932747.unknown

_1285932839.unknown

_1285932913.unknown

_1285932849.unknown

_1285932783.unknown

_1285932796.unknown

_1285931460.unknown

_1285932708.unknown

_1285932746.unknown

_1285931749.unknown

_1285932686.unknown

_1285931662.unknown

_1285931450.unknown

_1285885833.unknown

_1285924690.unknown

_1285930612.unknown

_1285931071.unknown

_1285931073.unknown

_1285931400.unknown

_1285931074.unknown

_1285931072.unknown

_1285930756.unknown

_1285931019.unknown

_1285930613.unknown

_1285930614.unknown

_1285929821.unknown

_1285929888.unknown

_1285929991.unknown

_1285930541.unknown

_1285930552.unknown

_1285930510.unknown

_1285929921.unknown

_1285929989.unknown

_1285929990.unknown

_1285929913.unknown

_1285929902.unknown

_1285929852.unknown

_1285929865.unknown

_1285929843.unknown

_1285929834.unknown

_1285928257.unknown

_1285928320.unknown

_1285929811.unknown

_1285928334.unknown

_1285928297.unknown

_1285928310.unknown

_1285927744.unknown

_1285928233.unknown

_1285928245.unknown

_1285928223.unknown

_1285926824.unknown

_1285926836.unknown

_1285926863.unknown

_1285926802.unknown

_1285926813.unknown

_1285926701.unknown

_1285918401.unknown

_1285922743.unknown

_1285924237.unknown

_1285924402.unknown

_1285924661.unknown

_1285924279.unknown

_1285924248.unknown

_1285924198.unknown

_1285924223.unknown

_1285922745.unknown

_1285922744.unknown

_1285921988.unknown

_1285922532.unknown

_1285922681.unknown

_1285922701.unknown

_1285922742.unknown

_1285922691.unknown

_1285922668.unknown

_1285922543.unknown

_1285922056.unknown

_1285922516.unknown

_1285921293.unknown

_1285921374.unknown

_1285921401.unknown

_1285921429.unknown

_1285921440.unknown

_1285921419.unknown

_1285921388.unknown

_1285921348.unknown

_1285921362.unknown

_1285921312.unknown

_1285921327.unknown

_1285918810.unknown

_1285921094.unknown

_1285921248.unknown

_1285921271.unknown

_1285919119.unknown

_1285918494.unknown

_1285887125.unknown

_1285914808.unknown

_1285917074.unknown

_1285917883.unknown

_1285917895.unknown

_1285917749.unknown

_1285916510.unknown

_1285888217.unknown

_1285914444.unknown

_1285887140.unknown

_1285886997.unknown

_1285887070.unknown

_1285887087.unknown

_1285887018.unknown

_1285887047.unknown

_1285886917.unknown

_1285886934.unknown

_1285886963.unknown

_1285886338.unknown

_1285886828.unknown

_1285873841.unknown

_1285874024.unknown

_1285874442.unknown

_1285874927.unknown

_1285875003.unknown

_1285875024.unknown

_1285875067.unknown

_1285874945.unknown

_1285874606.unknown

_1285874839.unknown

_1285874898.unknown

_1285874679.unknown

_1285874736.unknown

_1285874796.unknown

_1285874721.unknown

_1285874628.unknown

_1285874536.unknown

_1285874562.unknown

_1285874481.unknown

_1285874121.unknown

_1285874205.unknown

_1285874221.unknown

_1285874177.unknown

_1285874064.unknown

_1285874087.unknown

_1285874044.unknown

_1285873936.unknown

_1285873979.unknown

_1285874004.unknown

_1285873952.unknown

_1285873874.unknown

_1285873890.unknown

_1285873859.unknown

_1285873584.unknown

_1285873694.unknown

_1285873795.unknown

_1285873818.unknown

_1285873770.unknown

_1285873628.unknown

_1285873658.unknown

_1285873606.unknown

_1285873511.unknown

_1285873544.unknown

_1285873564.unknown

_1285873528.unknown

_1285873403.unknown

_1285873486.unknown

_1285873385.unknown

_1285871868.unknown

_1285872627.unknown

_1285872995.unknown

_1285873203.unknown

_1285873282.unknown

_1285873324.unknown

_1285873349.unknown

_1285873302.unknown

_1285873250.unknown

_1285873265.unknown

_1285873230.unknown

_1285873108.unknown

_1285873156.unknown

_1285873178.unknown

_1285873128.unknown

_1285873045.unknown

_1285873066.unknown

_1285873021.unknown

_1285872781.unknown

_1285872921.unknown

_1285872957.unknown

_1285872967.unknown

_1285872947.unknown

_1285872874.unknown

_1285872896.unknown

_1285872857.unknown

_1285872726.unknown

_1285872748.unknown

_1285872770.unknown

_1285872738.unknown

_1285872705.unknown

_1285872717.unknown

_1285872653.unknown

_1285872380.unknown

_1285872499.unknown

_1285872565.unknown

_1285872607.unknown

_1285872616.unknown

_1285872596.unknown

_1285872529.unknown

_1285872547.unknown

_1285872509.unknown

_1285872446.unknown

_1285872478.unknown

_1285872488.unknown

_1285872458.unknown

_1285872421.unknown

_1285872430.unknown

_1285872397.unknown

_1285872286.unknown

_1285872336.unknown

_1285872360.unknown

_1285872370.unknown

_1285872347.unknown

_1285872311.unknown

_1285872320.unknown

_1285872302.unknown

_1285871971.unknown

_1285872267.unknown

_1285872277.unknown

_1285872019.unknown

_1285871949.unknown

_1285871960.unknown

_1285871910.unknown

_1285871148.unknown

_1285871437.unknown

_1285871654.unknown

_1285871778.unknown

_1285871818.unknown

_1285871858.unknown

_1285871789.unknown

_1285871731.unknown

_1285871760.unknown

_1285871670.unknown

_1285871511.unknown

_1285871541.unknown

_1285871556.unknown

_1285871593.unknown

_1285871520.unknown

_1285871490.unknown

_1285871500.unknown

_1285871472.unknown

_1285871274.unknown

_1285871376.unknown

_1285871405.unknown

_1285871419.unknown

_1285871393.unknown

_1285871324.unknown

_1285871356.unknown

_1285871365.unknown

_1285871284.unknown

_1285871201.unknown

_1285871254.unknown

_1285871264.unknown

_1285871221.unknown

_1285871175.unknown

_1285871189.unknown

_1285871167.unknown

_1285870733.unknown

_1285871002.unknown

_1285871045.unknown

_1285871112.unknown

_1285871136.unknown

_1285871071.unknown

_1285871100.unknown

_1285871023.unknown

_1285871032.unknown

_1285871013.unknown

_1285870922.unknown

_1285870948.unknown

_1285870967.unknown

_1285870991.unknown

_1285870958.unknown

_1285870935.unknown

_1285870753.unknown

_1285870911.unknown

_1285870742.unknown

_1285870579.unknown

_1285870667.unknown

_1285870690.unknown

_1285870722.unknown

_1285870679.unknown

_1285870632.unknown

_1285870648.unknown

_1285870613.unknown

_1285870498.unknown

_1285870546.unknown

_1285870557.unknown

_1285870523.unknown

_1285870465.unknown

_1285870477.unknown

_1285870420.unknown

_1285865287.unknown

_1285867980.unknown

_1285869959.unknown

_1285870188.unknown

_1285870306.unknown

_1285870351.unknown

_1285870373.unknown

_1285870383.unknown

_1285870361.unknown

_1285870329.unknown

_1285870339.unknown

_1285870317.unknown

_1285870245.unknown

_1285870280.unknown

_1285870293.unknown

_1285870259.unknown

_1285870219.unknown

_1285870231.unknown

_1285870199.unknown

_1285870088.unknown

_1285870139.unknown

_1285870159.unknown

_1285870174.unknown

_1285870148.unknown

_1285870117.unknown

_1285870128.unknown

_1285870103.unknown

_1285870000.unknown

_1285870051.unknown

_1285870066.unknown

_1285870010.unknown

_1285869978.unknown

_1285869988.unknown

_1285869969.unknown

_1285868257.unknown

_1285869820.unknown

_1285869880.unknown

_1285869928.unknown

_1285869948.unknown

_1285869916.unknown

_1285869857.unknown

_1285869869.unknown

_1285869834.unknown

_1285869774.unknown

_1285869797.unknown

_1285869808.unknown

_1285869787.unknown

_1285868316.unknown

_1285868336.unknown

_1285868300.unknown

_1285868083.unknown

_1285868166.unknown

_1285868203.unknown

_1285868214.unknown

_1285868176.unknown

_1285868113.unknown

_1285868153.unknown

_1285868095.unknown

_1285868027.unknown

_1285868057.unknown

_1285868070.unknown

_1285868040.unknown

_1285868003.unknown

_1285868014.unknown

_1285867991.unknown

_1285866974.unknown

_1285867334.unknown

_1285867818.unknown

_1285867927.unknown

_1285867952.unknown

_1285867964.unknown

_1285867939.unknown

_1285867897.unknown

_1285867913.unknown

_1285867876.unknown

_1285867394.unknown

_1285867785.unknown

_1285867804.unknown

_1285867406.unknown

_1285867357.unknown

_1285867369.unknown

_1285867346.unknown

_1285867193.unknown

_1285867269.unknown

_1285867308.unknown

_1285867318.unknown

_1285867296.unknown

_1285867248.unknown

_1285867258.unknown

_1285867236.unknown

_1285867214.unknown

_1285867095.unknown

_1285867140.unknown

_1285867177.unknown

_1285867105.unknown

_1285867041.unknown

_1285867064.unknown

_1285866990.unknown

_1285866665.unknown

_1285866790.unknown

_1285866874.unknown

_1285866925.unknown

_1285866948.unknown

_1285866906.unknown

_1285866846.unknown

_1285866859.unknown

_1285866810.unknown

_1285866734.unknown

_1285866757.unknown

_1285866778.unknown

_1285866745.unknown

_1285866699.unknown

_1285866715.unknown

_1285866678.unknown

_1285865511.unknown

_1285866524.unknown

_1285866570.unknown

_1285866595.unknown

_1285866554.unknown

_1285865614.unknown

_1285866496.unknown

_1285865551.unknown

_1285865378.unknown

_1285865420.unknown

_1285865457.unknown

_1285865400.unknown

_1285865339.unknown

_1285865356.unknown

_1285865320.unknown

_1285854667.unknown

_1285856988.unknown

_1285864283.unknown

_1285864994.unknown

_1285865099.unknown

_1285865252.unknown

_1285865271.unknown

_1285865126.unknown

_1285865045.unknown

_1285865082.unknown

_1285865017.unknown

_1285864904.unknown

_1285864957.unknown

_1285864976.unknown

_1285864921.unknown

_1285864810.unknown

_1285864882.unknown

_1285864299.unknown

_1285864064.unknown

_1285864211.unknown

_1285864249.unknown

_1285864267.unknown

_1285864235.unknown

_1285864085.unknown

_1285864169.unknown

_1285864073.unknown

_1285863962.unknown

_1285864016.unknown

_1285864041.unknown

_1285863992.unknown

_1285863917.unknown

_1285863932.unknown

_1285863892.unknown

_1285856562.unknown

_1285856821.unknown

_1285856895.unknown

_1285856934.unknown

_1285856955.unknown

_1285856911.unknown

_1285856861.unknown

_1285856877.unknown

_1285856837.unknown

_1285856740.unknown

_1285856777.unknown

_1285856797.unknown

_1285856754.unknown

_1285856633.unknown

_1285856648.unknown

_1285856601.unknown

_1285856620.unknown

_1285855461.unknown

_1285856469.unknown

_1285856527.unknown

_1285856548.unknown

_1285856488.unknown

_1285856443.unknown

_1285856456.unknown

_1285856393.unknown

_1285856413.unknown

_1285856312.unknown

_1285855264.unknown

_1285855329.unknown

_1285855359.unknown

_1285855297.unknown

_1285855176.unknown

_1285855198.unknown

_1285854813.unknown

_1285843678.unknown

_1285854067.unknown

_1285854503.unknown

_1285854579.unknown

_1285854618.unknown

_1285854640.unknown

_1285854594.unknown

_1285854542.unknown

_1285854558.unknown

_1285854527.unknown

_1285854221.unknown

_1285854272.unknown

_1285854485.unknown

_1285854240.unknown

_1285854115.unknown

_1285854137.unknown

_1285854098.unknown

_1285853845.unknown

_1285853952.unknown

_1285853994.unknown

_1285854046.unknown

_1285853975.unknown

_1285853898.unknown

_1285853918.unknown

_1285853862.unknown

_1285851022.unknown

_1285851107.unknown

_1285853802.unknown

_1285853821.unknown

_1285851076.unknown

_1285850993.unknown

_1285851007.unknown

_1285850977.unknown

_1285843195.unknown

_1285843436.unknown

_1285843533.unknown

_1285843587.unknown

_1285843601.unknown

_1285843565.unknown

_1285843464.unknown

_1285843480.unknown

_1285843497.unknown

_1285843448.unknown

_1285843298.unknown

_1285843328.unknown

_1285843351.unknown

_1285843311.unknown

_1285843227.unknown

_1285843266.unknown

_1285843210.unknown

_1285843014.unknown

_1285843083.unknown

_1285843132.unknown

_1285843150.unknown

_1285843116.unknown

_1285843043.unknown

_1285843062.unknown

_1285843028.unknown

_1285352518.unknown

_1285842881.unknown

_1285842955.unknown

_1285842974.unknown

_1285842901.unknown

_1285842844.unknown

_1285842860.unknown

_1285842716.unknown

_1155103332.unknown

_1285271119.unknown

_1285326952.unknown

_1155291253.unknown

_1162232954.unknown

_1155103364.unknown

_1152999400.unknown

_1155103264.unknown

_1152999019.unknown

_1152855053.unknown

2 oscilatii - final.doc

Documents