oscilatii 1

8/22/2019 Oscilatii 1

1/27

OSCILAII 111

3. OSCILATIISe numete oscilaie sau micare oscilatorie o micare ce se repet

periodic sau cuasiperiodic n timp1.

Micarea oscilatorie este nsoit de o transformare a energiei dintr-o

form n alta, reversibil sau parial reversibil.In funcie de natura energiei implicate n transformare, pot fi date ca

exemple urmtoarele tipuri de oscilaii :

- mecanice : pentru care energia cinetic se transform n energie

poteniali invers ;- electromagnetice : n care energia de natur electric se transform n

energie magnetici invers ;

- electromecanice : n care energia electric se transform n energiemecanici reciproc.

3.1. Oscilaii neamortizate (nedisipative sau conservative)3.1.1. Micarea oscilatorie armonicMicarea oscilatorie armonic este cea mai simpl form de micare

periodic. Ea se efectueaza sub aciunea unei fore elastice2

:r

, care

este o for statici conservativ.

r rF r k r ( ) =

Constanta k este o constant de proporionalitate numit constant

elastic sau coeficient de elasticitate. Ea

este ntotdeauna un numr pozitiv.Fr

M

corp de

masa m

y

x

z0

Figura 3.1

Atunci cnd micarea are loc de-a lungul

unei singure direcii, de exemplu de-a

lungul axei Ox (cazul aplicaiei 2.6.2.,

oscilatorul armonic liniar) , micarea este

unidimensional. Reamintim c se aplic

legea fundamental (legea II) a dinamicii :

xx2

2

xx 1xk1dt

xdm1xkFF

rrrrr=== (3.1)

1 Exemple bine cunoscute de micri oscilatorii sunt : btaia inimii, micarea

moleculelor unui corp solid n jurul unei poziii de echilibru n reeaua cristalin, pistonul

unui motor, curentul (sau tensiunea) alternativ, vibraiile unui diapazon, etc.

2 Deoarece asemenea fore apar n cazul deformaiilor elastice ale corpurilor, au

primit numele de fore elastice. De asemenea, prin generalizare, toate forele - indiferent de

natura lor (electric, magnetic, gravitaional) - care tind s readuc un corp ntr-o poziie de

echilibru i care sunt proporionale cu distana pn la poziia de echilibru, se numesc forecuasielastice.


2/27

OSCILAII NEAMORTIZATE112

=;m

kcu 0

20 = pulsaia oscilaiei.

Ecuaia (3.1) este ecuaia diferenial a micrii oscilatorii armonice.

Soluia acestei ecuaii este legea de oscilaie :

x(t) =Asin (0t+0)

unde (vezi3) :

A = const. , 0 = const.

Reamintim c x se numete elongaia micrii oscilatorii, A este

amplitudinea oscilaiei (elongaia maxim) iar 0 se numete defazaj (faziniial) a oscilaiei.

Argumentul (t)= (0t+0) se numetefaza instantanee a micrii.Se observ c :

dt

d0

=

ceea ce indic faptul c pulsaia reprezint viteza de variaie a fazei.

Micarea oscilatorie este o micare periodic, ntruct funcia

trigonometricsin(t) este o funcie periodic de timp ; x(t) ia aceeai valoare

atunci cnd timpul t crete cu o perioad :

x(t) = x(t+T)

adic :

===++=++ 2T22T)Tt(2t 000000

unde este frecvena oscilaiei. Frecvena reprezint numrul de oscilaiicomplete n unitatea de timp i are ca unitate de msur :

S.I. = Hz (hertz) unde 1 Hz = 1 s-1

Deoarecem

k0 = , perioada oscilaiei poate fi exprimat i prin

relaia :

k

m2T =

relaie a crei form a putut fi dedus (cu excepia constantei 2) i prin analizdimensional (vezi & 1.6).

Faptul c durata unei oscilaii complete este independent de

amplitudinea micrii (mare sau mic) poart denumirea de izocronism.

3 Constantele A i se determin aplicnd legea condiiilor iniiale (trebuie

cunoscut poziia i viteza punctului material la momentul iniial).


3/27

OSCILAII 113

Observaie. Micarea efectuat de punctul material, n condiiile n care

asupra lui - dup ce a fost scos din poziia de echilibru - nu mai acioneaz nici o

for cu excepia forei elastice, poate dura la infinit (amplitudinea oscilaiilor

rmnnd constant !). O asemenea micare se numete oscilaie neamortizati

reprezint un caz ideal.Viteza punctului material este :

( )& ( ) ( ) cosx t v t A tx= = + 0 0 0

iar acceleraia acestuia este :

( )&&( ) ( ) sin ( )x t a t A t x tx= = + = 02

0 0 02

fiind proporionali de sens contrar cu elongaia.

Atunci cnd 0 = 0 , maniera de variaie a acestor mrimi poate fi

urmrit n figura 3.2.

tsinAax 020x ==&&

t

& cosx v A tx= = 0 0

Figura 3.2

x=Asin 0t

Alte exprimri echivalente pentru soluii ale ecuaiei difereniale a

micrii oscilatorii armonice liniare sunt :

( )+= tcosB)t(x 0 (3.2.a)

tsinDtcosC)t(x 00 += (3.2.b)

( ) ( ) ( )[ ]tsinjBtcosBRe=eBRe=x(t) 00)tj( 0 +++ + (3.2.c)Se observ c forma (3.2.c) este echivalent cu forma (3.2.a).Utilizarea exprimrii prin intermediul exponenialei (reprezentare n

complex simplificat) , prezint avantajul unor calcule mai simple. De exemplu,

introducnd funciile :

u t B eu t B e

x tj t

j t( )* ( ) *

( ) Re( )

( )=

=

= +

+

0

0

2 u(t) iar u(t) u* (t) = B B*= B

Alte mrimi importante sunt :

energia cinetic Ec a oscilatorului armonic liniar, obinut prin

nlocuirea expresiei vitezei n formula energiei cinetice :


4/27


( )tcosmA2

1mv

2

1E 00

220

22xc +== (3.3)

energia potenial, calculat cu ajutorul expresiei forei elastice (for

statici conservativ):

( )

( ) (3.4)tsinAm2

1mk

tsinkA2

1

2

kxdxkx=U

dxkx=dU

1dxdU1kxF

00222

0

20

0022

2xxx

+==

=+==

==

rrr

Reamintim c notaia U desemneaz (de o manier general) energia

potenial a punctului material.Se poate remarca faptul c energia mecanic total se conserv :

.constkA21

mkmA

21mA

21EEE 2220

2pc ====+= (3.5)

deci este independent de timp, reprezentnd - prin urmare - o constant.

Aceast concluzie este normal : s-a artat n paragraful anterior(teoreme de conservare) c, atunci cnd forele sunt statice i conservative,

energia mecanic total a sistemului se conserv.Relaia (3.5) conduce la un calcul echivalent al vitezei :

22

x

222

xxA

m

kvkA

2

1kx

2

1mv

2

1==+ (3.6)

ceea ce ne permite s stabilim (cu excepia semnului, dependent de sensul

micrii) valoarea vitezei n orice

poziie dat.

Semnificaia relaiei (3.5)

poate fi urmriti pe figura 3.3.

Curba care reprezint energia

potenial este o parabol, iarobservaia :

E = Etotal = constant

se traduce prin trasarea dreptei

(paralele cu axa Ox) care impune

limitarea micrii n zona pentru care

este ndeplinit condiia : (deci pentru -A x +A ).EEp

Energie

E = const.

2p kA

2

1UE ==

EpEc

+Ax-A O

Figura 3.3

Dat fiind aspectul curbei, se spune c micarea are loc ntr-o "groap de

energie potenial".Se poate observa uor pe grafic c :


5/27

OSCILAII 115

Am

k

m

E2v0)xndac(atunciEmv

2

1E maxxmaxximmaxc =====

)

O ultim observaie n ceea ce privete "jocul" dintre energie cinetici

energie potenial se refer la valorile medii ale acestor energii.

Media temporal a unei anumite mrimi fizice M pe un interval de timp

T este definit de relaia :

>===<

Pentru energia potenial, folosind aceleai observaii (0 = 0 i integralaal crei rezultat este indicat mai sus), se obine :

20

22p mA

4

1kA

4

1E =>=<

Prin urmare :

>>==>=


6/27


Egalitatea mediilor temporare ale energiilor cinetici potenial este o

proprietate special a oscilatorului armonic. Observaia E = = const.

reconfirm faptul cenergia total este o constant a micrii.

3.1.2. Compunerea a dou oscilaii armonice paralele, avnd aceeaifrecvenUn punct material poate fi supus aciunii simultane a dou micri

oscilatorii armonice, avnd aceeai pulsaie i exercitndu-se pe aceeai direcie.

S presupunem c cele dou oscilaii sunt guvernate de legile de micare :

( )( )

x A t A e

x A t A e

j t

j t1 1 0 1 1

2 2 0 2 2

0 1

0 2

= + = = + =

+

+cos( )

cos( )

u

u1

2

Este de ateptat ca oscilaia rezultant s aib aceeai pulsaie 0 i o

faz oarecare .Ne propunem s stabilim (utiliznd calculul n complex simplificat)

amplitudinea oscilaiei rezultante, presupunnd liniaritatea fenomenului (deci cu

respectarea principiului independenei i suprapunerii efectelor) ; prin urmare :

x = x1 +x2

( )

( )

( ) (

( ) ( )

eAeA*u

eAeAuuu

eAu

eAu

2010

2010

20

10

tj2

tj1

tj2

tj121

tj22

tj11

++

++

+

+

+=

+=+=

=

= )

)

unde u are forma : . Prin urmare :( += tj0eAu

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]212120102010

jj21

22

21

tj2

tj1

tj2

tj1

2

eeAAAA

eAeAeAeA*uuA

++++

+++=

=++==

dar :

( ) ( ) ( ) ( )212122

21

221

jjcosAA2AAAcos2ee 2121 ++==+

(3.8)

Din relaia (3.8) rezult faptul c amplitudinea oscilaiei rezultante

depinde nu numai de amplitudinile oscilaiilor componente, ci i de diferenadintre fazele iniiale (precizate i constante !) ale acestora.

Atunci cnd :

1maxAAndac

21max21

A2AA

AAA=A,1=2mcosNm,m2

21 ==

+===

se spune c cele dou oscilaii sunt n faz ; dac :

0AA

AAA=A,11)+(2mcosNm,)1m2(

minAAndac

21min21

21 ==

==+==

cele dou oscilaii sunt n opoziie de faz. Atunci cnd :


7/27

OSCILAII 117

22

21

221 AAA,0

21)+(2mcosNm,

2)1m2( +==

+=

cele dou oscilaii sunt n cuadratur.

Pentru :

1 - 2 = oarecare, A1 - A2 A A1 + A2

Diferena de faz (1 - 2 ) , numiti defazaj, este independent de timp(invariant fa de schimbarea originii timpului).

O alt metod (bazat strict pe utilizarea funciilor trigonometrice) poate

fi urmrit n cazul problemei rezolvate 3, inserat n paragraful 3.3. Utilizarea

funciilor trigonometrice permite i determinarea valorii fazei oscilaiei

rezultante () .

Observaie. De asemenea, dac se folosete reprezentarea fazorial amicrii oscilatorii armonice se obin soluii identice (pentru amplitudinea i

faza micrii rezultante), dar mult mai uor ! (vezi i paragraful 3.4).

Din figura 3.4 seobserv direct c :

( )1221

22

21

2

cosA2A

AAA

+

++=

(teorema lui Pitagorageneralizat, aplicat

pentru fazori - definii ca

vectori rotitori de module

A1, A2 - pentru care, dat

fiind faptul c se rotesc cu

aceeai vitez unghiular,

conteaz doar unghiurile

relative 1 , 2) i respectiv :

A1sin1

A2sin

2

A1cos1

A2cos2

2

1

A1cos1 + A2cos2

A1sin1

+A2sin2

A 1A 2

A

Figura 3.4

2211

2211

cosAcosA

sinAsinAtg

++=

In reprezentarea fazorial cuadratura oscilaiilor nseamn

perpendicularitatea fazorilor, n timp ce faza / respectiv opoziia de faz dintre

oscilaii nseamn coliniaritatea acestora.

3.1.3. Compunerea oscilaiilor armonice paralele cu frecvene puindiferite

In cazul n care cele dou oscilaii armonice paralele au frecvenediferite, dar apropiate ca valoare, de exemplu :


8/27


( )

( ) ( 2122222

1111

ttcosAtcosAx

tcosAx

++=+= )

+=

unde 2 = 1 + , iar este foarte mic, termenul t (care variaz foarte

lent cu timpul) poate fi inclus n faz. Atunci, efectund calculele asemntorcazului precedent, se obine :

( )tcosAA2AAA 212122

21

2 ++=

ceea ce implic :

2121 AAAAA +

Se observ c amplitudinea oscilaiei rezultante are o uoar variaie n

timp ; la rndul ei, i aceast variaie are o anume periodicitate proprie. Dac

perioada de variaie a amplitudinii se noteaz cu , putem scrie condiia :

12

222

=

==

sau :

t

Figura 3.5

22

112

12 =

=

=

unde :

= frecvena de variaie aamplitudinii rezultante ;

1,2 = frecveneleoscilaiilor componente.

Calculul n detaliu indic i faptul c diferena de faz caracteristic

oscilaiei rezultante nu este constant n timp ; din acest motiv rezultatul obinut

corespunde unei oscilaii "aproape" armonice.

Prin urmare oscilaia rezultant (vezi figura 3.5) va fi o oscilaie

cuasiarmonic de frecven aproximativ egal cu 1 ("frecvena nalt"), daravnd o amplitudine care variaz n timp cu frecvena = 2 - 1 ("frecvena

joas").

In acustic (unde s-a observat pentru prima dat !) acest fenomen poart

numele de bti.

Observaie. Atunci cnd A1 = A2 Amin = 0 .

3.1.4. Compunerea a dou oscilaii armonice perpendiculare, avndaceeai frecven

Fie un punct material supus simultan unei micri oscilatorii ce seexercit de-a lungul axei Ox , avnd legea de micare :


9/27

OSCILAII 119

x = A cos(0 t+1 )

i unei micri oscilatorii pe direcia Oy (perpendicular pe direcia Ox) , dat de

legea :

y = B cos(0 t+2 )Sub aciunea acestor dou oscilaii punctul material va efectua o micare

n planul xOy, probabil dup o traiectorie exprimat prin intermediul unei funcii

de dou variabile : f(x, y) = 0.

Pentru a efectua calculele se introduc urmtoarele notaii :

( )

( )

=+=

=

+

+=

=

sinsin-coscoscosB

y

cosAx

=si

t=cu

cosB

y

cosA

x

12

10

Rezult :

y

Bx

A

x

A

2

22

2

2

2 2

2

21

2= +

cos cos sin cos

123 123 14 34sin cos sin sin

cos cos -y

B

=22

{

( )

=x

Acos + 2

y

Bcos =

x

A

2

22

x/A

2

2

cos sin cos cos

cos sin sin cos cos sin cos

2 2

22 2

2 2 22

22

2

22

1 2

2 2 2

2 2

+

= + + = + +

x

A

x

A

x y

A B

x

A

x y

A B

x A

123

Rearanjnd termenii obinui, se scrie ecuaia :

sincos

BA

yx2

B

y

A

x 22

2

2

2

=

+ (3.9)

ceea ce reprezint ecuaia unei elipse

avnd axele rotite cu un unghi (figura3.6).

x

yx'y'

Figura 3.6

Se poate verifica uor faptul c

aceast elips se ncadreaz ntr-un

dreptunghi de laturi 2A i 2B iar centrul

acesteia coincide cu originea sistemului

de axe xOy. Caracteristicile elipsei suntdeterminate de amplitudinile celor dou


10/27


oscilaii A i B, precum i de diferena de faz dintre fazele iniiale ale celordou oscilaii.

Oscilaiile de tipul oscilaiei rezultante n acest caz poart numele de

oscilaii polarizate eliptic.

In ceea ce privete unghiul cu care este rotit sistemul de axe proprii al

elipsei (xOy) n raport cu sistemul de referin (xOy), se poate demonstra

faptul c unghiul este dependent de A, B i prin intermediul relaiei :

cosBA

BA2tg

22

= (3.10)

Se pot evidenia cteva cazuri particulare :

1

B

y

A

x,0=tg

2

1)+(2m=)a2

2

2

2

=+

elipsa revine pe axele Ox, Oy (oscilaii n cuadratur) ; atunci cnd A=B

elipsa devine un cerc ;

( )b) = 2m2

, sin =0 , cos =(-1)x

A

saux

A

m2

2

+

=

=

y

B

x y

A By

B

m

m

2

22 1 0

1 0( )

Se observ c ecuaia corespunztoare este ecuaia unei drepte (n faptelipsa degenereaz n dou drepte confundate). Cele dou oscilaii componente

sunt n faz pentru m pari n antifaz pentru m impar.

= 0 sau 2

=

= /2

= 3/2

0 < < /2 /2 < <

< < 3/2 3/2 < < 2

Figura 3.7

Atunci cnd sensul de parcurgere al elipsei este spre dreapta (vezi figura

3.7) oscilaia corespunzatoare se numete oscilaie eliptic polarizat dreapta;

n caz contrar (atunci cnd unghiul se gsete n cadranele 3 sau 4 se observ


11/27

OSCILAII 121

c sensul de parcurgere al elipsei este spre stnga, oscilaiile corespunztoare

numindu-se oscilaii eliptice polarizate stnga.

3.1.5. Compunerea a dou oscilaii cu frecvene diferite, care au loc

pe direcii perpendiculareAtunci cnd punctul material este supus simultan unei micri oscilatorii

exercitate pe direcia dat de axa Ox, cu legea de micare : x = A cos (1t+1)i unei micri oscilatorii pe direcia axei Oy : y = B cos(2t+2) , unde12 , traiectoria rezultat f(x,y) = 0 nu mai are forma unei elipse.

Se pot evidenia , totui, cteva cazuri particulare.

Atunci cnd raportul frecvenelor este o fracie raional :

=

nsincu,n

n21

2

1

2

1

traiectoria este o curb nchis, a crei form depinde de raportul n1 / n2 , precum

i de diferena de faz = 2 - 1 . Aceste curbe nchise se numesc figurile luiLissajous.

Atunci cnd n1/n2 este un numr iraional, traiectoria rezultant nu se mai

nchide ; tot ceea ce se poate spune despre ea este c suprafaa ocupat este un

dreptunghi de laturi 2A i 2B.

Rezultatele prezentate n figurile urmtoare corespund primei condiii

(fracie raional) i au fost obinute cu ajutorul calculatorului.A) Cazul I

x(t)= cos(2t+1) y(t)= cos(t+2) =2 - 1 (2 / 1 = 1/2) 0

4

2

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

3 .

4

y t( )

x ( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x ( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve


12/27


B) Cazul II

x(t)= cos(3t+1) y(t)= cos(t+2) =2 - 1 (2 / 1 = 1/3) 0

4

2

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

3 .

4

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

C) Cazul III

y t( )

x t( )1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

x(t)= cos(3t+1) y(t)= cos(2t+2) =2 - 1 (2 / 1 = 2/3) 0

4

2

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

3 .4

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve


13/27

OSCILAII 123

D) Cazul IV

x(t)= cos(6t+1) y(t)= cos(5t+2) =2 - 1 (2 / 1 = 5/6) 0

4

2

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

3 .

4

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

y t( )

x t( )

1 0 1

1

0

1Parametric Curve

y t( )

x( )

1 0 1

1

0

1

Parametric Curve

3.2. Oscilaii amortizate (neconservative sau disipative)In cazul micrii oscilatorii neamortizate s-a observat c amplitudinea

oscilaiei rmne constant n timp. De asemenea energia mecanic total seconserv.

In realitate orice oscilaie liber este nsoit de pierderi continue de

energie.

Oscilaiile amortizate sunt acele oscilaii n care energia sistemului nuse conserv. Drept consecin, valorile maxime ale principalelor mrimi

caracteristice (elongaie, vitez, acceleraie) scad n timp.

Studiem cel mai general caz al unei oscilaii liniare : toate forele se

exercit pe aceeai direcie (axa Ox). Asupra punctului material acioneaz

simultan trei tipuri de fore :

- fora elastic : Fx = -kx ;

- fora de frecare (sau de rezisten a mediului) : F ; se

observ c aceast for nu mai este de tip conservativ, ea fiind proporional cu

viteza

xr x = &

v t x t( ) & ( )= prin intermediul unui coeficient de proporionalitate , care

poart numele de coeficient de rezistent . Fora de rezisten se opune micriicorpului, ceea ce explic apariia semnului "-" n definiia de mai sus.


14/27

OSCILAII AMORTIZATE124

- fora exterioar, care ntreine oscilaiile : aceasta for poate avea

expresia general F(t).Ecuaia diferenial corespunztoare acestei micri are forma :

{ {

m

)t(Fx+x2+x

m

)t(F

xm

k

x

2

m+xsau)t(Fxkxxm

20

20

=

==

+

+=

&&&

&&&&&&

0 se numetepulsaie proprie iar se numete coeficient de amortizare.

3.2.1. Micarea oscilatorie armonic amortizatStudiem doar cazul n care oscilaiile sunt strict amortizate, deci fora

exterioar (care ar fora oscilaia) este nul : F(t)=0. Prin urmare, ecuaiadiferenial a oscilaiilor amortizate este :

&& &x + 2 x + 02 x = 0 (3.11)

Aceast ecuaie este o ecuaie diferenial liniar omogen de ordinul

doi, pentru care se poate propune o soluie de forma :

x t C ert( ) =

Inlocuind aceast soluie n ecuaia (3.11) se obine ecuaia

caracteristic :

=

===++

+

eCx

eCxr0r2r

t

2

t

120

21,2

20

2

20

2

20

2

care permite punerea n eviden a existenei celor dou soluii particulare liniarindependente ; soluia general este o combinaie liniar a celor dou soluii

particulare :

( ) ( )x t C e C et t

( ) = + +

1 2

2

0

2 2

0

2

valoarea constantelor C1 i C2 poate fi stabilit prin impunerea condiiilor

iniiale.

In funcie de raportul n care se situeaz valorile numerice ale

coeficientului de amortizare () fa de valorile numerice ale pulsaiei proprii,putem avea urmtoarele cazuri :

a) < 0

=

=

tjtt 220

20

2

eReeCeCRe)t(x


15/27

OSCILAII 125

( ) )tcos(A(t)x(t)tcoseRe)t(AeC

notatie220

220

tj

t

220 =

=

=

=

(3.12)

Notaia (mrimea) se numetepseudopulsaie.

Relaia final poate fi interpretat drept reprezentnd legea de micare a

unei oscilaii armonice a crei amplitudine descrete exponenial n timp i a

crei pulsaie este mai mic dect pulsaia proprie (aceast concluzie era fizic

previzibil : frecarea ncetinete/ngreuneaz micarea).

Energia sistemului (n cazul

amortizrilor) este "cheltuit" treptat, subform de lucru mecanic necesar nvingerii

forei de frecare, deci descrete conform

relaiei :

x(t)teC

t20 eEE

= tunde E0 este valoarea iniial a acesteia

(valoarea corespunztoare momentuluiiniial t = t0 ).

Figura 3.9

Gradul de amortizare al unei oscilaii se evalueaz prin intermediul unei

mrimi, numitdecrement logaritmic, definit prin relaia :

1n

n

x

xln

.def

+

=

unde xni xn+1 sunt dou elongaii maxime (amplitudini) succesive, ntre care -

ca interval de timp - se scurge o perioad. Deoarece :

TeC

eCln

eC)Tt(A

eC)t(A)Tt(

t

)Tt(

t

=

=

=+

=+

+

(3.13)

b) > 0 (rezistena mediului estemare) :

t2

t1

21 eCeC)t(x +=

t2

2eC

( )( ) 0


16/27


urmare micarea este amortizat aperiodic (fr oscilaie).

In acest caz sistemul scos din poziia de echilibru revine la poziiainiial.

c) = 0 cele dou soluii particulareale ecuaiei difereniale (2.31) sunt reale iconfundate (rdcin dubl).

t2 etC

t

In acest caz cele dou soluii particulare

sunt liniar dependente (nu independente !) i -

drept consecin a teoriei calculului diferenial -soluia general este de forma : Figura 3.11

( ) t21 etCC)t(x+=

Valoarea elongaiei tinde asimptotic ctre zero (odat cu cretereatimpului).

3.2.2. Micarea oscilatorie armonic foratPentru ca un sistem s oscileze ntr-un mediu real, el trebuie s

primeasc (prin intermediul aciunii unei fore exterioare) energie.

Atunci cnd F(t) 0 , oscilaiile se numesc oscilaii forate.Ele pot fi oscilaii forate :

m

)t(Fx+x2+x:frecarecu

m

)t(Fx+x0=:frecarearaf

20

2

0

=

=

&&&

&&((

ale cror soluii sunt mai complicate.

Pentru ca fora aplicat din exterior s ntrein micarea oscilatorie, ea

trebuie s fie tot de natura unei oscilaii. S presupunem c expresia ei concreteste :

( )tjeRetcos)t(F ==

i prin urmare ecuaia corespunztoare unor oscilaii forate cu frecare (cel maigeneral caz) va fi (n complex):

tj20 e

mxx2x

=++ &&& (3.14)

Pulsaia 0 este pulsaia natural (proprie) a sistemului (n absenafrecrilor), n timp ce desemneaz pulsaia forei exterioare (deci are o valoareimpus din exterior).

Soluia unei ecuaii difereniale neomogene de ordinul doi este suma

soluiei ecuaiei omogene cu soluia particular (de forma neomogenitii) aecuaiei neomogene.


17/27

OSCILAII 127

Am vzut n paragraful precedent c ecuaia diferenial omogen de

ordinul doi (3.11) are soluii de tipul :

t

2,1

20

2

eC)t(x

=

Propunem pentru ecuaia neomogen o soluie particular de forma :( )+= tjp eB)t(x

unde B = real dar necunoscut i = constant necunoscut ; nlocuim soluiaparticular n ecuaia (3.14).

Se obine :

( ) ( ) ( ) tjtj20

tjtj2 em

BeejB2eB +++

=++

( ) mejB2eBjj22

0

=+

(3.15)de unde :

( )

( )

( )

( ) 222220

222220

2

2*

j

220

*

j

220

4

m/B

4

mBBB

ej2

mB

ej2

mB

+

=

+

==

=

+

=

+

Se observ c amplitudinea B, aa cum a aprut ca soluie a ecuaiei

(3.15) este o valoare complex5.

In cazul studiat :

( )( )

( )

+

=

=

+

=+

=

j

2jarctg

222220

j

2jarctg

222220

j

220

ee4

m/

e

e4

mej2

mB

22

0

220

Totui, se impune de la bun nceput condiia ca B s fie real. Acest lucru

este valabil numai atunci cnd :

5 Dac un numr z este complex :

( )

a

barctgsibaz

sinzb

cosza

sinjcoszezjbaz

22

j

=+=

=

=

+==+=

se constat c el poate fi exprimat sub forma unei exponeniale.


18/27


( ) 2022200j

2jarctg 2

arctg2

-arctg1eee22

0

+=

===

Prin urmare, soluia particular cutat a ecuaiei difereniale neomogene

de ordinul doi are foma :

( )

+

+

=

20

2

2arctgtj

222220

p e

4

m/)t(x

Deoarece n paragraful precedent am vzut c atunci cnd 0pierderile (prin frecare) sunt att de mari nct nu se mai poate vorbi - practic -

despre micare oscilatorie, vom studia, n cele ce urmeaz numai cazul pentru

care < 0 , pentru care soluia general (omogen + neomogen) are forma :( )+++= tcosBtcoseC)t(x 220t

cu B i avnd valorile determinate mai sus.Primul termen corespunde unei oscilaii amortizate iar cel de-al doilea

unei oscilaii forate. Dac timpul t , se observ c primul termen seanuleaz i micarea oscilatorie a punctului material va fi dat numai de fora

exterioar.

Observaie. Rspunsul sistemului n stare staionar (dup trecerea

unui interval de timp necesar depirii efectelor tranzitorii gen "oscilaieamortizat") are exact frecvena (pulsaia) forei externe.

Amplitudinea oscilaiei rezultante depinde de amplitudinea oscilaiei

proprii (Ce-t) i de amplitudinea oscilaiei forate (B).Cautm un maxim pentru amplitudinea oscilaiilor forate :

( )

4

m/B

222220 +

= (3.16)

( ) =+ 222220maxim 4B minimsau, folosind derivata (pentru condiia de minim) :

( ) ( ) ( ) 08220d

4d 2220

222220 =+=

+

220

2220 2aadic02 ==++

(

Mrimea 022

0 2 = poat numele de pulsaie de rezonan.Ea depinde de coeficientul de amortizare i este puin diferit de pulsaia


19/27

OSCILAII 129

proprie.

Rezult c :

( )( ) ( ) 2202220222

020

max

2

m/

242

m/B

=

+

=

Atunci cnd frecarea (respectiv ) este foarte mic, se observ c :

= 0

022

0

max2

m/

2

m/B

In cazul n care amplitudinea B a oscilaiei forate este maxim, ea va fi

mult mai mare dect amplitudinea oscilaiilor libere ; prin urmare amplitudinea

oscilaiei rezultante este mare, indiferent de faza pe care o au cele dou oscilaiirezultante. Fenomenul se numete rezonan

6.

Dac, folosindu-se relaia general (3.16), se introduc condiiile :

+

=

arctg

2

/mB

2

,cu

220

0

020

2

0

0

0

apare mai evident faptul c amplitudinea oscilaiei forate (deci i cea a oscilaiei

rezultante) crete dac

scade

scade

Practic se poate

considera c pulsaia "ideal"

pentru care are loc fenomenul

de rezonan are valoarea

0 ( 0).

B()

0

= 0,02

= 0,06

= 0,1

= 0,04

= 0,08

Figura 3.12

Dac i factorul de

amortizare tinde ctre zero

(caz ideal !) amplitudineamicrii la rezonan devine

infinit.

6 Dac0

< , amplitudinea oscilaiei forate nu mai prezint nici un maxim, prin

urmare nu se poate vorbi despre rezonan.


20/27


Reprezentarea grafic corespunztoare ctorva cazuri particulare poate fi

urmrit n figura 3.12.

Dac se studiaz maniera de evoluie a

diferenei de faz () dintre oscilaiasistemului i fora exterioar, se constat cavem de a face ntotdeauna cu valori negative

(vezi figura 3.13) . Acest lucru se explic prin

faptul c oscilaia sistemului este mereu n

urm (retardeaz) fa de fora exterioar.

De exemplu : rspunsul maxim

corespunde unui defazaj de - /2, adic apareatunci cnd fora exterioar "ntrzie" fa de elongaie cu /2, fiind ns n faz

cu viteza oscilatorului. Fizic vorbind, atunci cnd corpul are vitez maximiprimete suplimentar un impuls, devierea lui va fi maxim. Prin urmare

rezonana este cel mai bine explicat n funcie de defazajul dintre vitezi fora

extern.

0

0

2

Figura 3.13

Fr a intra n detalii (fr demonstraii) trebuie precizat c sistemul fizic

care efectueaz o asemenea micare oscilatorie forat cu frecare absoabe tot

timpul energie n dauna sursei forei exterioare. O parte din aceast energie estedisipat ca urmare a frecrii.

Dac se definete mrimea :

dt

dE)(I =

avnd ca semnificaie energia disipat, n medie, pe unitatea de timp i se

consider c fora de frecare (cea responsabil pentru pierderi) poate fi

exprimat (prin analogie cu o for conservativ care deriv dintr-un potenial)

ca gradient (cu semn schimbat) al unei funcii specifice :

xd

)x(dRxFrx

&

&& ==

rezult :

222 xmxm22

1x

2

1xdx)xR( &&&&&& ====

Mrimea ( )xR & se numetefuncia disipativ a lui Rayleigh.In cazul unei micri liniare funcia disipativ Rayleigh reprezint

jumtate din energia disipat n unitatea de timp pentru efectuarea unui lucru

mecanic mpotriva forelor disipative, adic :

R2)(I = (semnul "-" indic pierderea de energie)

Deoarece :


21/27

OSCILAII 131

( ) ( )

( )2

1mBtsinmBxmR

tsinBxtcosBx

222222

tt

=+==

+=+=

&

&

Se observ c factorul2

mB 22reprezint energia mecanic total a

sursei care ntreine oscilaiile ; n acest context mrimea I() semnific putereaabsorbit de la sursa extern.

( )( )2220

2222

4

mm

2

mB2)(I

+

=

=

( ) 220

2

0m4

)(I+

Dac se noteaz :

=== m4

II2

00

(absorbia de putere la rezonan)

rezult :

( ) 220

2

0

0

I

)(I

+

=

(3.17)

Relaia (3.17) are o semnificaie aparte, pe care o vom discuta n detaliu

la capitolul de electromagnetism.

Graficul corespunztor este indicat n

figura 3.14. Se observ c rezonana

(amplitudinea maxim a micrii oscilatorii)

corespunde unui maxim de absorbie a puterii

de la sursa exterioar).

Intervalul [ ]+ , poart numele desemilrgime a curbei de rezonana.

Cele dou grafice corespunztoare

indic faptul c micorarea valorii lui conduce la obinerea unei curbe de rezonan

i totodat a unei curbe de dispersie mai "ascuite".

- +

0

0

I

)(I 1

1/2

0

Figura 3.14

Calculele explicite demonstreaz faptul c (totui), indiferent de forma

curbei, suprafaa mrginit de ea este tot timpul constant :

m4d)(I

2

0

=

cu alte cuvinte puterea absorbit de la surs este o constant dependent de

caracteristica (respectiv mrimea ) forei exterioare i de masa asupra creia seexercit aceasta.


22/27


3.3. Probleme rezolvate1. Un mobil de masm descrie o micare dat de ecuaia :

y = a sint + b costCunoscnd a, bi s se determine :a) Amplitudinea i faza iniial a micrii oscilatorii armonice ;

b) Ecuaia vitezei i acceleraiei ;

c) Viteza maxim, acceleraia maximi fora maxim care se exercitasupra mobilului .

Rezolvare

a) a sint + b cost = A sin(t + ) ,a sint + b cost = A sint cos + A cost sin

a = A cos , deci cos2 = a2 / A2 b = A sin , deci sin2 = b2 / A2

sin cos

sin

cos

2 2 22

22

22

1

+ = = + +

= =

+

a

A

b

Ab

tgb

a

bA = a

= arctgb

a

y = a sin t + arctgb

a

22

b y a b

y

dty a b

) &

&&

v =dy

dtcos t + arctg

b

a

a =d

sin t + arctgb

a

2

= = +

= = +

2 2

22 2 2

c y a b

y a b m a m a

) &

&&

max

max max

v

a Fmax

max max

= = += = + = = +

2 2

2 2 2 2 2 2b

2. Un punct material P efectueaz o micare rectilinie oscilatorie de o

parte i de alta a punctului O pe axa Ox . Amplitudinea micrii este A, perioadasa este T.

a) Care este viteza iniialv0 , la momentul t = 0, n cazul n care abscisa

este x0

? Cazuri particulare : x0

= 0i x0

= A.b) Scriei ecuaia de micare tiind cT = 2 s, x0 = 5 cm , A = 10 cm i

v0 > 0.

c) Ce devine ecuaia de micare dac se ia ca nou origine a timpuluimomentul n care P trece prin O cu o vitez pozitiv ?

Rezolvare

a) Ecuaia micrii are forma :

x = A cos(t+)

iar viteza instantanee este :

v dxdt

A t= = + sin( )


23/27

OSCILAII 133

nula)initiala(viteza0vrezulta,Apentru x-

maxima)(valoareaAvrezulta,0pentru x-:Deci

xAv

1A

v

A

x

12cossin

A

v-=sinsinAv

A

x=coscosAx,0=tLa

00

00

2

0

2

0

22

20

2

20

22

00

00

==

==

=

=

+

=+

=

=

(cm)3

-tcos10=x:estemiscaredeEcuatia

3

-=0)sin-A(=Dar v

k23

=

2

1

=coscm10A,cm5x,A

x

=cos

rad/s=2s=T,T

2=Deoareceb)

0

0

0

+

==

>=

=

0


24/27


Prin identificare ntre cele dou expresii ale lui x rezult :

( ) ( )cos(AA2AAAsinAsinAcosAcosA

1

)sin(cosA

sinAsinAsinA

cosAcosA=Acos

212122

21

2

2

2211

2

2211

222

2211

2211

++=+++=

=

)

=

+

+=

+ 44 844 76

iar tA A

Ag =

A1

1 1 2 2

1 2 2

sin sin

cos cos

++

Atunci cnd A1=A2 avem urmtoarele concluzii

2cos2A=A

2cos2

)(cos1A2)(cosA2A2A

211

212

2122

12122

121

2

=

+=+=444 3444 21

iar :

tg tg

=++ =

+

+

=+

+sin sin

cos cos

sin cos

cos cos

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 22

2 2

22 2

2 2=

4. Se consider c sistemul mecanic indicat n figur efectueaz o

micare oscilatorie amortizat n prezena unui amortizor cu aer. Acesta produce

o for de frecare proporional cu viteza i egal cu xf & ; coeficientul defrecare fpoate fi scris sub forma : f = 20 m .

a) Scriei ecuaia diferenial a

micrii. Ce inegalitate trebuie s verifice f

pentru ca micarea s fie oscilatorie

amortizat ?

Figura 3.15

Atunci cnd este ndeplinit aceast

condiie, care este legea de micare dac la

momentul iniial x(0) = ai v(0) = 0 ?b) Care este valoarea decrementului

logaritmic exprimat n funcie de ?Rezolvare

a) Ecuaia diferenial a micrii se scrie :

{ {

md x

dtf

dx

dtkx sau

d x

dt

f

m

dx

dt

k

mx

2

2

2

2

2 00

2

= =

adic : 0xx2x 200 =++ &&&


25/27

OSCILAII 135

ceea ce este o ecuaie liniar, omogen, de ordinul doi n x.

Ecuaia caracteristic corespunztoare este :

0r2r 2002 =++

i are soluiile :

)1(r 22001,2 =

Pentru ca micarea s fie oscilatorie amortizat este necesar ca rdcinile

r1i r2 s fie complexe ; prin urmare :

1


26/27


5. Un corp de mas m cade de la nalimea h pe un platan de mas

neglijabil fixat de un resort avnd constanta elastick. Stiind c dup ciocnire

corpul rmne pe platan, s se calculeze amplitudinea micrii efectuate de

sistemul platan - corp i viteza maxim a corpului.

Rezolvare La atingerea platanului corpul de

mas m are viteza :

gh2vB = Deoarece platanul nu are mas, dup

ciocnire corpul are aceeai vitez vB.

Din acest moment corpul se afl sub

aciunea greutii sale i a forei elastice

exercitate de ctre resort.

Iniial Fe = 0 iar acceleraia corpuluieste a = g ; dup impact viteza corpului

crete pn cnd Fe = G, corespunztor noii

poziii de echilibru O pe axa Oy. In punctul

O corpul are viteza v0 .

0

B'

B

hy

m

eFr

Gr

0vr

Figura 3.16

Dup depirea punctului O corpul i continu micarea dar, deoarece

Fe > G, aceasta devine ncetinit neuniform pn se oprete n punctul B'.

Prin urmare micarea este oscilatorie cu ecuaia :

( + )= tsinAy , unde pulsaia mk=

Amplitudinea poate fi calculat aplicnd legea de conservare a energieimecanice totale a sistemului (innd cont de faptul c forele care acioneaz

sunt statice i conservative) :( ) ( ) ( )

'BcOcBcEUEEUEEUE ++=++=++

unde :

Ec = energia cinetic a corpului de mas m ;

U = energia potenial a corpului de mas m, relativ la punctul O,

considerat drept origine a axei Oy ;E = energia total a resortului, atunci cnd se ine cont de deformarea

relativ a acestuia.

( ) mgAAy2

ky

2

k

2

mvmgy

2

mv 20

20

20

0

2B +=+=+

unde OBy0 = este distana pe vertical de la punctul ciocnirii corp-platan pnla poziia O de echilibru a sistemului, iar A este amplitudinea oscilaiei, egal cu

segmentul 'OB .

In punctul O : ky0 = mg

Deci :

Aky2

kAAky2

kyky2

mv0

2

0

202

0

2B +++=


27/27

OSCILAII 137

2

2220

2B

220

2B

k

gmgh2

k

myv

k

mA

2

kA

2

ky

2

mv+=+==+

adic :

mg

kh21

k

mgA +=

iar viteza maxim este viteza din punctul O :k

mgvv

22BO +=

3.4. Reprezentri simbolice ale micrii oscilatorii armoniceFuncia periodic este o funcie a crei succesiune de valori se reproduce

exact dup trecerea unor intervale de timp egale, numite (dup cum am mai

vzut) perioade :

)nTt(f)Tt(f)t(f +=+=

Prin definiie valoarea medie a unei mrimi oarecare pe un interval dat

este (vezi figura 3.17) :

=

b

a

dx)x(fab

1)x(f

a bx

f(x)

sau, pentru o funcie periodic (n timp) :

==nT

0

T

0

dt)t(y

nT

1dt)t(y

T

1)t(y

Mrimea alternativ este o mrime periodic

a crei valoare medie n cursul unei perioade este nul. Mrimea alternativexprimat prin intermediul funciei "sinus" sau "cosinus" se numete mrime

sinusoidal sau mrime armonici are forma cunoscut :

Figura 3.17

( )+= tsinIi max

Pornind de la aceast definiie se introduc urmtoarele mrimi

particulare :

- valoarea medie pe o semiperioad :

( ) maxmax2/T

0

maxmed I637,0I2

dttsinI2/T

1I =

=+=

- valoarea efectiv :

maxmax

T

0

2ef I707,0

2

Idti

T

1I ==

(Dac mrimea notat cu "i" desemneaz un curent alternativ, atunci

valoarea efectiv reprezint intensitatea unui curent continuu care ar produce -n condiii identice - acelai efect termic ca i curentul alternativ considerat.)

oscilatii 1

Documents