oscilatii unde

8/18/2019 Oscilatii Unde

1/34

1

2.1 Oscilatorul armonic

Mi̧scarea armonic¼a simpl¼a de-a lungul unei axe este o mişcare de…nit¼a delegea

x(t) = A sin(!t + '), (2.1)

unde A; ! şi ' sunt m¼arimi constante: A se numeşte amplitudinea mi̧sc¼arii,!t + ' - reprezint¼a faza mi̧sc¼arii, ' - faza iniţial¼a şi ! - pulsaţia.

Viteza punctului material care execut¼a o mişcare armonic¼a se obţine de-rivând x(t) în raport cu t:

v(t) =

dx

dt = !A cos(!t + '): (2.2)

Prin derivarea în raport cu timpul a vitezei punctului material se ob̧tineacceleraţia

a(t) = dv

dt =

d2x

dt2 = !2A sin(!t + ') = !2x: (2.3)

Cinematica oscilatorului armonic este dat¼a de rela̧tiile 2.1, 2.2 şi 2.3.A; ! şi ' sunt parametri independenţi; A şi ' pot … determina̧ti numai dincondi̧tiile ini̧tiale iar ! din condiţiile dinamice ale sistemului, aşa cum vom

vedea în cele ce urmeaz¼a. Mişcarea este periodic¼a cu perioada T = 2=!,independent¼a de amplitudine.

Forţa care genereaz¼a oscilaţia armonic¼a este de tip elastic, proporţional¼acu deplasarea faţ¼a de poziţia de echilibru, cu semn negativ, adic¼a F = kx şik = !2m:Se observ¼a c¼a pulsaţia şi, deci, perioada mi̧sc¼arii sunt determinatede valoarea masei punctului material şi de caracteristicile forţei elastice, adic¼ade condi̧tiile ini̧tiale.

Pentru un sistem ce execut¼a o mişcare oscilatorie, soluţia de tip oscilatorarmonic se obţine în limitele în care forţa care determin¼a mişcarea este liniar¼aîn deplasare sau, la o dezvoltare în serie în jurul pozi̧tiei de echilibru, termenii

de ordin superior pot … neglija̧ti.Propriet ¼ aţile ecuaţiei oscilatorului armonic Ecuaţia diferenţial¼a a oscilatorului armonic

d2x(t)

dt2 + !2x(t) = 0 (2.4)

este o ecuaţie diferenţial¼a de ordinul al doilea, omogen¼a şi cu coe…cienţiconstanţi. Se poate veri…ca imediat c¼a dac¼a x(t) este o soluţie a ecua̧tiei(2.4), atunci şi ax(t), cu a o constant¼a este o solu̧tie a aceleiaşi ecua̧tii. De


2/34

2

asemenea, dac¼a y(t) este o soluţie, atunci şi z(t) = x(t) + y(t) veri…c¼a relaţia

(2.4).Într-adev¼ar,

d2z

dt2 =

d2

dt2(x + y) =

d2x

dt2 +

d2y

dt2 = !2x !2y = !2(x + y) = !2z

şi se observ¼a c¼a proprietatea este adev¼arat¼a datorit¼a liniarit¼aţii ecuaţiei (2.4).Se demonstreaz¼a c¼a o ecua̧tie de tipul oscilatorului armonic admite dou¼a

soluţii independente şi c¼a oricare soluţie se poate exprima ca o combina̧tieliniar¼a a acestor soluţii care, în domeniul real, sunt funcţiile sin !t şi cos !t.Soluţia general¼a a unei ecua̧tii de forma (2.4) este, deci,

x(t) = a cos !t + b sin !t

care poate … scris¼a în dou¼a moduri:

x(t) = A sin(!t + '); cu a = A sin ' şi b = A cos ' (2.5)

x(t) = B cos(!t + '0); cu a = B cos '0 şi b = B sin '0

Din (2.5) rezult¼a c¼a

A = p a2

+ b2

= B; tan ' =

a

b ; tan '0

= b

a

Ecuaţia diferenţial¼a neomogen¼a care corespunde rela̧tiei (2.4) este

d2x(t)

dt2 + !2x(t) = f (t), (2.6)

unde f (t) este o funcţie generic¼a ce depinde de timp şi care, în particular,poate … o constant¼a.

Dac¼a x p(t) este o soluţie particular¼a a ecua̧tiei neomogene, soluţia gener-al¼a a acestei ecuaţii va …

x(t) = a cos !t + b sin !t + x p(t): (2.7)

Fie x1(t) soluţia ecua̧tiei (2.6) corespunz¼atoare funcţiei f 1(t); respectiv x2(t)soluţia corespunz¼atoare funcţiei f 2(t): Atunci, pentru f 1(t) + f 2(t); soluţia va… x1(t) + x2(t):

Deci,

d2

dt2(x1 + x2) + !

2(x1 + x2) = d2x1

dt2 + !2x1 +

d2x2dt2

+ !2x2 = f 1 + f 2:


3/34

3

Acest rezultat care este consecinţa liniarit¼aţii ecuaţiei, se numeşte principiul

superpoziţiei : dac¼a într-o situaţie determinat¼a exist¼a o soluţie a ecua̧tiei demişcare iar într-o situaţie divers¼a o alt¼a soluţie, pentru veri…carea simultan¼aa celor dou¼a soluţii se consider¼a drept soluţie suma celor dou¼a (pentru c¼acontemporaneitatea nu altereaz¼a în nici un mod situa̧tiile preexistente).

Consideraţiile de mai sus sunt valabile şi pentru ecua̧tia

d2x(t)

dt2 + C

dx(t)

dt + !2x = 0;

cu C o constant¼a, numai c¼a soluţiile nu mai sunt de forma sin !t şi cos !t:

2.2 Energia oscilatorului armonic

Referindu-ne la punctul material care oscileaz¼a sub acţiunea unei forţeelastice, care este o forţ¼a conservativ¼a, energia total¼a se conserv¼a. Cum

E c = 1

2mv2 =

1

2m!2A2 cos2(!t + ')

E p = 1

2kx2 =

1

2kA2 sin2(!t + ') (2.8)

se poate veri…ca imediat c¼a

E mec = E c + E p = 1

2kA2 =

1

2m!2A2 = const: (2.9)

Termenul 1

2kA2 este valoarea maxim¼a a energiei potenţiale, considerat¼a în

extremit¼a̧tile unde energia cinetic¼a este nul¼a; termenul 1

2m!2A2 este valoarea

maxim¼a a energiei cinetice considerat¼a în centrul oscila̧tiei, unde energiapotenţial¼a este nul¼a.

Deci, E mec = E p;max + E c;max:

Într-o poziţie oarecare a punctului material,

E mec = 1

2mv2(x) +

1

2kx2:

În Fig.2.1 este reprezentat¼a energia în funçtie de timp iar în Fig.2.2 estereprezentat¼a dependenţa energiei în funcţie de poziţie.


4/34

4

t

Ep

Ec

Emec

π/ω 2π/ω

Fig.2.1

mec

-A A

E

Ec

Ep

Fig.2.2

Legea conserv¼arii energiei permite deducerea ecuaţiei diferenţiale a mişc¼arii.Astfel, diferenţiind rela̧tia

1

2mv2 +

1

2kx2 = const:

se obţine

(mv)dv + (kx)dx = 0 sau dv

dx = k

m

x

v (2.10)

Din v(t) = v [x(t)] rezult¼a c¼a

a = dv

dt =

dv

dx

dx

dt =

dv

dxv şi

dv

dx =

a

v (2.11)

Egalând cele dou¼a expresii de mai sus şi ţinând cont de relaţia !2 = k

m,

rezult¼aa

v = k

m

x

v =) a = k

mx = !2x: (2.12)


5/34

5

Într-o mişcare periodic¼a în care diverse m¼arimi caracteristice sunt funçtii

de timp, poate … interesant¼a calcularea valorilor medii ale acestora într-operioad¼a. Valoarea medie a unei funçtii de…nit¼a în intervalul (x1; x2) estedat¼a de

f m = 1

x2 x1

x2Z x1

f (x)dx (2.13)

În cazul funçtiei sinus, media într-o perioad¼a va …

(sin )m = 1

2

2

Z 0

sin d = 1

2

(

cos )

j20

= 0:

Acelaşi rezultat se obţine şi pentru media funcţiei cosinus într-o perioad¼a.Situaţia este diferit¼a pentru sin2 !t şi cos2 !t; funcţii periodice cu perioada care, …ind tot timpul pozitive, nu pot avea valoarea medie nul¼a.

(sin2 )m = 1

Z 0

sin2 d = 1

2 ; (cos2 )m =

1

Z 0

cos2 d = 1

2

În cazul oscilatorului armonic, valorile medii ale poziţiei, vitezei şi accelera̧tieiîntr-o perioad¼a sunt toate nule. Îns¼a, valorile medii ale celor dou¼a forme deenergie nu sunt nule:

(E c)m = 1

2m!2A2[cos2(!t + ')]m =

1

4m!2A2 =

1

2E mec (2.14)

(E p)m = 1

2kA2[sin2(!t + ')]m =

1

4kA2 =

1

2E mec (2.15)

Deci, (E c)m respectiv (E p)m reprezint¼a jum¼atate din valoarea energiei mecanice.

2.3 Compunerea oscilaţiilor armonice pe acceaşi ax¼aConsider¼am un punct material supus acţiunii a dou¼a forţe elastice, egale

sau diferite dar având aceeaşi direcţie. Fiecare dintre forţe va genera o miş-care armonic¼a. Vom analiza suma mişc¼arilor pe aceeaşi ax¼a.

Compunerea forţelor care au constantele elastice egale

Pentru început vom considera cazul în care constantele elastice sunt egale,adic¼a

x1 = A1 sin(!t + '1) ; x2 = A2 sin(!t + '2) (2.16)


6/34

6

Cele dou¼a mişc¼ari veri…c¼a aceeaşi ecuaţie diferenţial¼a (2.4); ! este acelaşi

îns¼a condi̧tiile ini̧tiale sunt diferite. Aşa cum am subliniat în paragraful 1al acestui capitol, şi x = x1 + x2 este o soluţie a ecuaţiei (2.4) suma este omi̧scare armonic¼a cu aceeaşi pulsaţie,

x = A sin(!t + ), (2.17)

relaţie pentru care trebuie s¼a calcul¼am amplitudinea A şi faza ini̧tial¼a . Înorice moment de timp t este valabil¼a egalitatea

x = A sin(!t + ) = A1 sin(!t + '1) + A2 sin(!t + '2)

=) A cossin !t + A sincos !t= (A1 cos '1 + A2 cos '2)sin !t + (A1 sin '1 + A2 sin '2)cos !t

Egalitatea de mai sus implic¼a egalitatea coe…cienţilor lui sin !t respectiv,cos !t:

A cos = A1 cos '1 + A2 cos '2A sin = A1 sin '1 + A2 sin '2

Ridicând la p¼atrat şi sumând relaţiile obţinem:

A =q

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos('1 '2) (2.18)

iar împ¼arţind cele dou¼a relaţii rezult¼a

tan = A1 sin '1 + A2 sin '2A1 cos '1 + A2 cos '2

: (2.19)

Un rezultat important care se obţine este c¼a amplitudinea mişc¼arii rezultante

depinde doar de diferenţa de faz¼a ' = '1 '2: Aceasta este:- maxim¼a pentru ' = 0; 2; 4;::: şi are valoarea A1 + A2- minim¼a pentru ' = ; 3; 5;::: şi are valoarea jA1 A2j :Fiind date dou¼a sinusoide de perioade egale, amplitudinea sursei depinde

de poziţia lor relativ¼a sau de defazajul dintre cele dou¼a sinusoide, aşa cumse poate observa în Fig. 2.3, în cazul particular A1 = A2:

Rezultatele obţinute se aplic¼a la studiul suprapunerii undelor, mai precisîn fenomenele de interferenţ¼a.


7/34

7

t

t

t

x(t)

t

t

t

x(t)

t

t

t

∆ϕ=π,3π∆ϕ=0,2π ∆ϕ=0,3π/2

in faza cuadratura de faza opozitie de faza

Fig.2.3

Compunerea forţelor care au constantele elastice diferite

În acest caz, pulsa̧tiile sunt diferite:

x1 = A1 sin(!1t + '1) , x2 = A2 sin(!2t + '2): (2.20)

Ecuaţiile difereņtiale sunt diferite şi x = x1 + x2 nu este soluţie pentru niciuna dintre ele.

Pentru studiul acţiunii forţelor diferite se foloseşte construcţia lui Fresnel

(metod¼a ce poate … utilizat¼a şi în cazul forţelor egale) bazat¼a pe faptul c¼aproiecţia unei mi̧sc¼ari circulare pe un diametru este o mişcare armonic¼a. ÎnFig.2.4,

!A 1 este un vector care se roteşte în planul (x; y) cu viteza unghiular¼a

!1 şi formeaz¼a unghiul 1 = !1t + '1 cu axa y. Proiecţia lui pe !

A 1 pe axax este A1 sin(!1t + '1): Analog,

!A 2 este un vector care se rotȩste cu viteza

unghiular¼a !2 şi formeaz¼a unghiul 2 = !2t + '2 cu axa y. Proiecţia lui !

A 2pe axa x este A2 sin(!2t + '2):

δ2δ

A1

A2

A +A1 2

x

y

0

Fig.2.4


8/34

8

Unghiul dintre cei doi vectori rotitori (ce va depinde de timp) este

= 1 2 = (!1t + '1) (!2t + '2) = (!1 !2)t + ('1 '2): (2.21)Vectorul rezultant are modulul variabil în timp de forma

A(t) =q

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos[(!1 !2)t + ('1 '2)]: (2.22)

Mişcarea rezultant¼a nu este o mişcare armonic¼a simpl¼a deoarece amplitudineaeste o funcţie de timp şi se poate vorbi despre modulaţii în amplitudine. Deexemplu, dac¼a A1 = A2 = A şi '1 = '2 = 0, se obţine:

x = x1 + x2 = A(t)sin !1t + A(t)sin !2t (2.23)= 2A(t)cos

!1 !22

t sin !1 + !22

t (1)

saux(t) = A(t)sin !t = 2A(t)cos t sin t: (2.24)

Amplitudinea A(t) se obţine din relaţia (2.22) cu condiţiile iniţiale date.În cazul în care pulsa̧tiile !1 şi !2 au valori apropiate, se poate consideramişcarea rezultant¼a ca …ind o mişcare oscilatorie armonic¼a cu pulsaţia:

= !1 + !2

2 (2.25)

şi o amplitudine modulat¼a cu pulsaţia:

= !1 !2

2 : (2.26)

Gra…cul mi̧sc¼arii este reprezentat în Fig.2.5 în are se observ¼a dou¼a oscilaţiicu pulsaţiile şi < . Mişc¼arile oscilatorii nearmonice, obţinute prin com-punerea a dou¼a mi̧sc¼ari oscilatorii armonice cu pulsaţii apropiate ( !2!1 !1; !2) se numesc b¼ at ¼ ai . Fenomenul se întâlneşte în acustic¼a, electronic¼a.

t

Fig.2.5


9/34

9

2.4 Compunerea oscilaţiilor armonice pe axe ortogonale

S¼a consider¼am acum cazul în care punctul material este supus acţiunii adou¼a forţe elastice cu direcţiile perpendiculare, de-a lungul axei x, respectivde-a lungul axei y. Cele dou¼a forţe au aceeaşi constant¼a elastic¼a, adic¼a celedou¼a mi̧sc¼ari au aceeaşi pulsaţie:

x = A sin !t , y = B sin(!t + ') (2.27)

unde ' este defazajul dintre cele dou¼a mi̧sc¼ari.

Dac¼a mişc¼arile sunt în faz¼a, ' = 0; atunci x

y =

A

B. Punctul material

are o mişcare armonic¼a de-a lungul unui segment de dreapt¼a între poziţiileA;B şi A; B. Acest segment de dreapt¼a formeaz¼a cu axa x unghiul = arctan B=A.

Dac¼a mi̧sc¼arile sunt în opoziţie de faz¼a, ' = ; x

y = A

B şi situaţia este

analog¼a celei descrise mai sus, cu modi…carea > (Fig.2.6).

-A

-B

B P

y

x

*

ϕ=0

ϕ=π

0

Fig.2.6

OP = r = p x2 + y2 =p

A2 + B2 sin !t

Atunci când mi̧sc¼arile sunt în cuadratur¼a de faz¼a, ' = =2;

x = A sin !t

y = B sin(!t +

2) = B cos !t

Rezult¼a c¼a xA

2+ y

B

2= 1, (2.28)


10/34

10

relaţie care reprezint¼a ecua̧tia unei elipse. Deci, traiectoria punctului material

va … o elips¼a, parcurs¼a în sens orar.Dac¼a, ' =

3

2, se obţine acelaşi rezultat dar mişcarea se efectueaz¼a în

sens antiorar (Fig.2.7). În particular, dac¼a A = B, traiectoria este circular¼a.

y

x

y

ϕ=π/2 ϕ=3π/2

Fig.2.7

În …ne, dac¼a ' este oarecare, traiectoria este întotdeauna o elips¼a daraxele ei nu sunt paralele cu axele sistemului cartezian (chiar şi când A = B)(Fig.2.8a,b)

x

y

x

y

ϕ=3π/4

Fig.2.8

x

y

ϕ=5π/4

x

Fig.2.8

În concluzie, suma a dou¼a mişc¼ari armonice cu pulsa̧tiile egale pe axeortogonale conduce întotdeauna la o mişcare în plan cu traiectoria eliptic¼a; însituaţii particulare, traiectoria poate degenera într-un segment de dreapt¼a sau


11/34

11

un cerc. Aceste rezultate sunt utilizate în studiul fenomenelor de polarizare

a undelor electromagnetice.Foŗta care genereaz¼a aceast¼a mişcare are componentele F x = kx şi F y =

ky iar forma vectorial¼a se va scrie:

!F = kx!u x ky!u y = k(x!u x + y!u y) = k!r : (2.29)

Este vorba, deci, de o foŗt¼a elastic¼a bidimensional¼a, foŗt¼a central¼a subacţiunea c¼areia punctul material va descrie o traiectorie eliptic¼a. Foŗta

!F =

k!r este o forţ¼a conservativ¼a iar energia sa potenţial¼a este E p = 12

kr2.

Energia mecanic¼a va … de forma:

E c = 1

2m(v2x + v

2

y) = 1

2m!2[A2 cos2 !t + B2 cos2(!t + ')]

E p = 1

2kr2 =

1

2m!2r2 =

1

2m!2[A2 sin2 !t + B2 sin2(!t + ')]

E mec = E c + E p = 1

2m!2A2 +

1

2m!2B2 =

1

2k(A2 + B2): (2.30)

Termenul

1

2m!2A2 =

1

2kA2

este energia mecanic¼a a mi̧sc¼arii de-a lungul axei x şi, analog,

12

m!2B2 = 12

kB2

reprezint¼a energia mecanic¼a corespunz¼atoare mi̧sc¼arii de-a lungul axei y.Suma lor, E mec, nu depinde de defazajul dintre celor dou¼a mi̧sc¼ari.

În cazul în care se compun dou¼a mi̧sc¼ari armonice pe axe ortogonale, cupulsa̧tii diferite, analiza este mult mai complicat¼a. Not¼am numai faptul c¼amişcarea rezultant¼a r¼amâne periodic¼a numai în cazul în care !1=!2 este unnum¼ar raţional; altfel, se obţin mi̧sc¼ari care nu mai sunt periodice.


12/34

12

2.5 Oscilatorul armonic amortizat într-un mediu vâscos

S¼a analiz¼am situaţia în care asupra punctului material acţioneaz¼a, în afaraforţei elastice, o forţ¼a datorit¼a vâscozit¼aţii proporţional¼a şi opus¼a vitezei,v. Ecuaţia de mişcare se scrie:

ma = kx v

saud2x

dt2 +

m

dx

dt +

k

m = 0: (2.31)

Not¼am cu =

2m coe…cientul de amortizare şi cu !0 =p

k=m pulsaţiaproprie a oscilatorului şi rescriem ecuaţia (2.31) sub forma:

d2x

dt2 + 2

dx

dt + !2

0 = 0: (2.32)

Relaţia (2.32) se numeşte ecuaţia diferenţial ¼ a a oscilatorului armonic amor-tizat ; aceasta este o ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordinul al doilea, omogen¼aşi cu coe…cienţi constanţi.

Deoarece prezenţa vâscozit¼aţii conduce la o atenuare exponenţial¼a a mi̧sc¼arii,se caut¼a pentru ecuaţia (2.32) o soluţie de forma:

x(t) = exp(t): (2.33)

Introducând soluţia (2.33) în ecuaţia (2.32) se obţine:

d2

dt2[exp(t)] + 2

d

dt[exp(t)] + !2

0 exp(t) = 0:

exp(t) este o soluţie a ecuaţiei (2.32) dac¼a satisface ecuaţia caracteristic¼ade ordinul al doilea

2 + 2 + !20

= 0 (2.34)

sau dac¼a =

q 2 !2

0. (2.35)

Exist¼a trei cazuri posibile:

2 > !20

; 2 = !20

; 2 < !20.

Tipul de soluţie depinde de leg¼atura dintre parametrii …zici ai oscilatorului.Cazul întâi : amortizare puternic¼a 2 > !2

0 sau 2 > 4mk


13/34

13

poate avea dou¼a valori distincte:

1 = +q

2 !20

şi 2 = q

2 !20

iar soluţia general¼a a ecuaţiei (2.32) este

x(t) = A exp(1t) + B exp(2t)

= A exp[( +q

2 !20)t] + B exp[(

q 2 !2

0)t]

= exp(t)[A exp( tq

2 !20) + B exp( t

q 2 !2

0)]

adic¼a o exponenţial¼a descresc¼atoare; A şi B se determin¼a din condiţiile in-

i̧tiale. Mi̧scarea se numeşte mi̧scare aperiodic¼a; sistemul revine asimptotic înpoziţia de echilibru f ¼ar¼a a executa vreo oscila̧tie.

Cazul al doilea : amortizare critic¼a 2 = !20 sau 2 = 4mk.

Cele dou¼a soluţii ale ecuaţiei (2.32) sunt identice, 1 = 2 = ; iarsoluţia general¼a a ecua̧tiei (2.32) este de forma

x(t) = exp(t)[At + B]; (2.36)din nou o exponeņtial¼a descresc¼atoare. Mişcarea se numeşte mişcare amor-tizat¼a critic¼a.

tT0 2T0

12

34

Fig.2.9

În Fig.2.9 sunt prezentate diferite situa̧tii posibile: pe abscis¼a este reprezen-

tat timpul în unit¼a̧ti T 0 = 2=!, perioada oscilatorului neamortizat. Trecândde la curba 1 la curba 3 scade raportul =!0, adic¼a scade amortizarea; curba4 corespunde amortiz¼arii critice, cu = !0, iar punctul material tinde mairapid spre poziţia de echilibru x = 0. În condi̧tiile amortiz¼arii puternice saucritice, mişcarea nu mai este oscilatorie.

Cazul al treilea : amortizare slab¼a 2 < !20 sau 2


14/34

14

2 =

iq !20

2 =

i!

iar soluţia general¼a a ecuaţiei (2.32) este

x(t) = A exp(1t) + B exp(2t) = exp(t)[A exp(i!t) + B exp(i!t)].

Utilizând formula Euler, exp(!t) = cos !t i sin !t se obţine:

x(t) = exp(t)[(A + B)cos !t + i(A B)sin !t].

Deoarece rezultatul trebuie s¼a …e real iar constantele A şi B sunt diferite,înseamn¼a c¼a A şi B sunt complex conjugate:

A = a + ib , B = a ib =) A + B = 2a , A B = 2ib.

Deci,x(t) = exp(t)[(2a cos !t 2b sin !t]

relaţie care poate … scris¼a mai simplu sub forma:

x(t) = A0 exp(t) sin(!t + ') (2.37)

cu A0 şi ' determinate din condiţiile iniţiale.

Punctul material, în condiţiile amortiz¼arii slabe, execut¼a oscila̧tii cu pul-sa̧tia ! =p

!20 2 < !0 şi pseudoperioada T = 2=!. Amplitudinea este

amortizat¼a exponeņtial. Mişcarea se inverseaz¼a la intervale regulate, egale

cu T

2 , dar nu este periodic¼a deoarece punctul material nu revine în aceleaşi

pozi̧tii.

Cum x(t + T )

x(t) = exp(T ), rezult¼a c¼a într-o pseudoperioad¼a ampli-

tudinea se reduce cu un factor exp(T ) (Fig.2.10).

- tγ

x(t)

t

Fig.2.10


15/34

15

O m¼arime ce caracterizeaz¼a oscilaţiile amortizate este decrementul log-

aritmic al amortiz ¼ arii de…nit ca logaritmul natural al raportului a dou¼avalori succesive ale amplitudinii, separate printr-un interval de timp egal cuo pseudoperioad¼a:

= ln A(t)

A(t + T ) T = T

=

1

N (2.38)

unde m¼arimea = 1= este timpul de relaxare şi reprezint¼a intervalul detimp în care amplitudinea A(t) = A exp(t) scade de e ori, iar N reprezint¼anum¼arul de oscilaţii (vibraţii) dup¼a care amplitudinea scade de e ori.

2.6 Oscilatorul amortizat forţat (întreţinut)S¼a analiz¼am fenomenele de oscila̧tie studiate pân¼a acum. Atunci când

punctul material este deplasat din pozi̧tia sa de echilibru, acesta tinde s¼arevin¼a în aceeaşi poziţie sub acţiunea forţei elastice. Dac¼a mişcarea nu esteamortizat¼a, oscilaţia este in…nit¼a; dac¼a exist¼a o amortizare constant¼a saude tipul frec¼arii, se obţine o oscilaţie amortizat¼a care dispare într-un timp…nit (fenomen tranzitoriu). Deoarece în fenomenele reale exist¼a întotdeaunafrecare, oscila̧tia liber¼a este întotdeauna amortizat¼a. Dorim s¼a studiem cumse poate obţine o oscilaţie întreţinut¼a, adic¼a cum se poate realiza un sistem…zic care oscileaz¼a cu o frecvenţ¼a bine de…nit¼a şi cu o amplitudine constant¼aşi în prezenţa unei forţe de frecare.

S¼a aplic¼am oscilatorului o forţ¼a sinusoidal¼a F = F 0 sin !t şi ecuaţia sa demi̧scare devine

ma = kx v + F 0 sin !tsau

d2x

dt2 + 2

dx

dt + !2

0x =

F 0m

sin !t. (2.39)

Ecuaţia (2.39) are aceeaşi parametrii introduşi în ecuaţia (2.32), dar nu maieste omogen¼a. Se observ¼a c¼a forţa aplicat¼a are o pusaţie ! care este, îngeneral, diferit¼a de pulsaţia !0 a oscilatorului.

Dorim s¼a veri…c¼am faptul c¼a ecuaţia de mişcare (2.39) admite o soluţieparticular¼a oscilatorie neamortizat¼a de tipul

x(t) = A sin(!t + ') (2.40)

adic¼a cu aceeaşi pulsaţie ca şi forţa aplicat¼a.Introducem soluţia x(t) = A sin(!t + ') în ecuaţia de mi̧scare (2.39) şi

obţinem:

!2A sin(!t + ') + 2!A cos(!t + ') + !20A sin(!t + ') =

F 0m

sin !t.


16/34

16

Dezvoltând sin(!t + ') şi cos(!t + ') rezult¼a:

[(!20 !2)A cos ' 2!A sin ']sin !t+

[(!20 !2)A sin ' + 2!A cos ']cos !t = F 0

m sin !t

Egalitatea de mai sus trebuie s¼a …e valabil¼a pentru orice t, deci

(!20 !2)A cos ' 2!A sin ' = F 0

m

(!20

!2)A sin ' + 2!A cos ' = 0.

Şi în …nal se obţine:

A = F 0m

1p (!2

0 !2)2 + 4 2!2 (2.41)

tan ' = 2!!20 !2 . (2.42)

S¼a rezum¼am concluziile analizei noastre, conţinute în relaţiile (2.41) şi (2.42);a) la o solicitare sinusoidal¼a, oscilatorul armonic r¼aspunde cu o deplasare

sinusoidal¼a; pulsaţia sa nu este cea proprie !0, ci cea imprimat¼a din exterior!;

b) deplasarea este defazat¼a fa̧t¼a de foŗt¼a;c) mişcarea oscilatorului nu este aceeaşi pentru orice !: amplitudinea şi

foŗta mi̧sc¼arii depind de ! .R¼ aspunsul oscilatorului în funcţie de !1. ! !0

A F 0k

; ' 0

x F 0k

sin !t în faz¼a cu forţa,

parametrul dominant este k , constanta elastic¼a a oscilatorului;

2. ! !0A F 0

m!2 ; '

x F 0m!2

sin !t în opoziţie de faz¼a cu forţa,

parametrul dominant este m, masa oscilatorului;


17/34

17

3. ! = !0

A F 02m!

0

; ' 2

x F 02m!

0

cos !t în cuadratur¼a de faz¼a cu forţa,

parametrul dominant este , coe…cientul de amortizare.

În acest caz se poate vorbi de fenomenul de rezonaņt¼a. Din dA(!)

dt = 0 se

obţine maximul funcţiei A(!) pentru

! = !M =q

!20 2 2 < !0. (2.43)

Maximul exist¼a numai dac¼a !20

> 2 2, adic¼a pentru oscilaţii slabe; altfel,A(!) este monoton descresc¼atoare (Fig.2.11).

AM = A(!M ) = F 0

2m p

!20 2 2 > A(!0). (2.44)

ω0 ω

Fig.2.11

Dac¼a tinde la zero, !M tinde la !0 şi AM tinde la in…nit; în cazul uneiamortiz¼ari foarte uşoare, sistemul se a‡¼a în condiţii de rezonanţ¼a (primeledou¼a curbe ale …gurii 2.11). Practic, se poate vorbi despre rezonaņt¼a numaiatunci când sistemul se a‡¼a în aceste condiţii.

În general, putem exprima condi̧tiile de mai sus şi sub forma: toate sis-temele …zice absorb selectiv vibra̧tiile pe care ar putea s¼a le emit¼a ele însele.


18/34

18

Puterea medie furnizat ¼ a de forţ ¼ a

Foŗta F = F 0 sin !t care determin¼a mişcarea oscilatorului cu viteza

v = dx

dt = !A cos(!t + ') (2.45)

furnizeaz¼a sistemului puterea instantanee

P (t) = F v = !AF 0 sin !t cos !t cos ' !AF 0 sin2 !t sin ' ==

1

2!AF 0 cos ' sin2!t !AF 0 sin ' sin2 !t.

Prin medierea rela̧tiei de mai sus într-o perioad¼a, ţinînd cont de faptul c¼aprimul termen care conţine sin 2!t este zero, amintindu-ne c¼a valoarea mediea lui sin2 !t este 1=2 iar

sin ' = tan 'p

1 + tan2 '= 2!p

(!20 !2)2 + 4 2!2

( folosind relaţia (2.42)), se obţine pentru puterea medie P m expresia:

P m = A!2F 0

p (!20 !2)2 + 4 2!2

= m!2A2 (2.46)

unde am folosit relaţia (2.41).Se observ¼a c¼a şi puterea medie este o funcţie de ! şi se poate demonstra

uşor, anulând dP m=d!, c¼a valoarea maxim¼a a puterii medii se ob̧tine pentru! = !0 şi este

P m;rez = m!2

0A2rez . (2.47)

Deci, la rezonanţ¼a, se ob̧tine un transfer maxim de putere; în general pentruorice ! , P m este proporţional¼a cu p¼atratul amplitudinii.

Pentru a determina l¼argimea curbei de rezonanţ¼a, c¼aut¼am valori ale pul-saţiei !1 < !2 < !0 astfel încât

P m(!1) = P m(!2) = 1

2P m;rez.

Se obţine

!1 = +q

2 + !20

, !2 = +q

2 + !20

şi se de…neşte ca l¼argime a rezonanţei m¼arimea

! = !2 !1 = 2 (2.47)


19/34

19

iar ca factor de merit al rezonaņtei raportul

Q = !0!

= !02

care este cu atât mai mare cu cât este mai îngust¼a rezonanţa.

2.7 Analiza Fourier

Oscilatorul armonic apare ca un sistem particular care descrie o mişcareperiodic¼a; exist¼a îns¼a şi alte sisteme care oscileaz¼a dar dup¼a legi diferite. Seacord¼a mai mult¼a atenţie oscilatorului armonic deoarece acestui sistem i se

poate aplica teorema lui Fourier.S¼a consider¼am o funçtie periodic¼a f (t), cu perioada T , care trebuie s¼a

satisfac¼a singura condiţie c¼a intervalul T poate … împ¼arţit într-un num¼ar…nit de intervale în care f (t) s¼a …e continu¼a şi monoton¼a.

Astfel, f (t) este întotdeauna exprimat¼a ca o sum¼a de termeni sinusoidali:

f (t) = a0+1X

m=1

(am sin m!t+bm cos m!t) = c0+1X

m=1

cm sin(m!t+'m). (2.48)

Coe…cienţii acestei dezvolt¼ari în serie Fourier se calculeaz¼a pornind de la

funçtia f (t):

am = 2

T

T Z 0

f (t) sin(m!t)dt , bm = 2

T

T Z 0

f (t) cos(m!t)dt (2.49)

cm =p

a2m + b2m , tan 'm =

bmam

(2.50)

Aşa cum am precizat, T este perioada lui f (t) iar ! = 2=T ; a0 este valoareamedie a lui f (t)

a0 = 1T

T Z 0

f (t)dt (2.51)

Termenul cu m = 1 se numȩste termenul fundamental sau prima armonic¼aşi are pulsaţia !; termenii cu m > 1 se numesc armonicele superioare şi aupulsaţiile 2!; 3!;:::

De fapt, dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei f (t) spune c¼a aceasta poate… privit¼a ca sum¼a de sinusuri cu pulsa̧tiile multipli de ! = 2=T şi amplitudinişi defazaje calculabile pornind de la f (t). Atunci când cunoscând funcţia f (t)


20/34

20

se pot determina am şi bm, se poate spune c¼a a fost efectuat¼a o analiz¼a Fourier

sau o analiz¼a armonic¼a a funcţiei.Teorema Fourier se aplic¼a şi unei funcţii f (x), periodic¼a cu perioada k,

cum ar … o perturba̧tie care se propag¼a în lungul axei x considerat¼a …indla un moment bine daterminat, de exemplu t = 0. Pentru aceast¼a funcţie,relaţia (2.48) se scrie

f (x) = a0 +1X

m=1

(am sin mkx + bm cos mkx) (2.52)

cu k = 2= şi coe…cienţi daţi de

am = 2

Z 0

f (x)sin(mkx)dx , bm = 2

Z 0

f (x)cos(mkx)dx

a0 = 1

Z 0

f (x)dx.

Formalismul dezvolt¼arii în serie Fourier se poate extinde şi la funçtii nepe-riodice; în locul unui spectru discret (!; 2!; 3!;::) se ob̧tine un spectru con-

tinuu de pulsa̧tii de la zero la in…nit (! devine o variabil¼a continu¼a, nu maieste legat¼a de perioad¼a care, în acest caz, nu exist¼a):

f (t) =

1Z 0

[(a(!)sin !t + b(!)cos !t)]d! (2.53)

a(!) = 1

1Z 1

f (t) sin(!t)dt , b(!) = 1

1Z 1

f (t)cos(!t)dt

f (x) =

1Z 0

[a(k)sin kx + b(k)cos kx)]dk

a(k) = 1

1Z 1

f (x) sin(kx)dx , b(k) = 1

1Z 1

f (x) cos(kx)dx.

Funçtia neperiodic¼a poate … descris¼a ca o suprapunere de termeni armonici,ale c¼aror contribuţii sunt date de funcţiile a şi b, continue în variabilele ! şik.


21/34

21

Ca un exemplu al utiliz¼arii teoremei Fourier, pornind de la formula Euler

se obţine:

sin(m!t) = 1

2i[exp(im!t) exp(im!t)] ,

cos(m!t) = 1

2[exp(im!t) + exp(im!t)]

şi, deci, termenul m din ecuaţia (2.48) devine:

am sin(m!t) + bm cos(m!t) = cm exp(im!t) + cm exp(im!t),

unde coe…cienţii cm sunt numere complex conjugate

cm = bm iam

2 , cm =

bm + iam2

.

În concluzie, dac¼a c0 = a0 se obţine:

f (t) =1X

m=1

cm exp(im!t) , cm = 1

T

T Z 0

f (t)exp(im!t)dt. (2.54)

Rela̧tia (2.54) reprezint¼a seria complex¼a Fourier a unei funcţii reale periodice

f (t); o funcţie similar¼a este valabil¼a şi pentru f (x). În …ne, pentru o funcţieneperiodic¼a se obţine:

f (u) =

1Z 1

c(z) exp(izu)dz; c(z) = 1

2

1Z 1

f (u)exp(izu)du;

notându-se cu u şi z dou¼a variabile ce corespund lui t şi ! sau lui x şi k.S¼a observ¼am importaņta practic¼a a rezultatului: dac¼a f (t) este aplicat¼a

oscilatorului armonic, pentru a determina r¼aspunsul sistemului se face o dez-voltare în serie Fourier a lui f (t) şi se calculeaz¼a r¼aspunsul pentru …ecare

termen al dezvolt¼arii, pe baza principiului superpoziţiei.

2.8 Descrierea unei unde. Ecuaţia diferenţial¼a a undelor plane

Propagarea unei m¼arimi …zice prin intermediul unei unde este unul dintrefenomenele cele mai importante în …zic¼a.

Undele elastice au nevoie de un mediu material pentru a se propaga iarpropagarea lor este datorat¼a interaçtiilor dintre atomii sau moleculele medi-ului; de exemplu, o und¼a sonor¼a într-un gaz se transmite prin ciocniri între


22/34

22

molecule. Propagarea undelor elastice nu comport¼a un transport efectiv de

materie, atomii sau moleculele oscilând în jurul unei poziţii de echilibru. Setransport¼a îns¼a energie şi o cantitate de mişcare, aşa cum se deduce din fap-tul c¼a unda elastic¼a poate pune în mi̧scare un corp legat de mediul în careea s-a propagat. Pe acest efect se bazeaz¼a construcţia instrumentelor ce potpune în evidenţ¼a prezeņta undelor de presiune (traductori).

Subliniem faptul c¼a exist¼a şi alte tipuri de unde care nu au nevoie deun mediu pentru a se propaga; printre acestea sunt undele electromagnetice.Aceste unde au în vid viteza c = 3108 m=s; atunci când undele electromag-netice se propag¼a în medii materiale, viteza lor este întotdeauna mai mic¼adecât c.

Undele au originea într-o surs¼a în care se produce perturba̧tia; aceastapoate … o vibra̧tie a unui corp care va genera un anumit tip de mi̧scare aatomilor sau moleculelor unui mediu (unde elastice), sau o mişcare a sarcinilorelectrice (unde electromagnetice).

În cele ce urmeaz¼a vom analiza câteva caracteristici generale, comunetuturor tipurilor de unde, care permit o descriere matematic¼a uni…cat¼a aacestora.

Formal, o und¼a se leag¼a de perturbaţia care a generat-o prin condiţiilede echilibru ale unui câmp care descrie o proprietate a sistemului …zic. S¼ane reamintim faptul c¼a no̧tiunea de câmp indic¼a o m¼arime …zic¼a ce poate …

de…nit¼a la orice moment de timp în orice punct din spa̧tiu.De exemplu, temperatura sau presiunea, gândite ca medii continue, suntcâmpuri descrise cu ajutorul unor funcţii de tipul

T (x:y;z;t) , p(x ; y; z; t):

Aceste câmpuri sunt câmpuri scalare deoarece este su…cient¼a o singur¼afunçtie pentru a le de…ni complet: valoarea câmpului într-un punct (x;y;z),la un moment de timp t, este un num¼ar.

Perturba̧tia unui câmp care, produs¼a de o surs¼a, se propag¼a în spaţiu,

se poate reprezenta cu ajutorul unei funçtii (x ; y; z; t), numit¼a funcţie de und ¼ a . Simbolul poate … atribuit deplas¼arii unui element al sistemului faţ¼ade poziţia sa de echilibru, ca în cazul undelor elastice ca şi unei varia̧tii pde presiune sau de densitate.

Un caz particular îl constituie undele plane descrise de funçtia de und¼a (x; t) care sunt unidimensionale. Numele de und¼a plan¼a vine de la faptulc¼a la momentul t0, perturbaţia are aceeaşi valoare (x0; t0) în toate puncteleplanului de ecuaţie x = x0, perpendicular pe direcţia de propagare x şi, deci,paralel planului (x; y).


23/34

23

Considerând numai undelor plane, funcţia de und¼a (x; t) satisface ecuaţia

diferenţial¼a de ordinul al doilea omogen¼a, cu coe…cienţi constanţi şi liniar¼a,@ 2

@x2 =

1

v2@ 2

@t2 sau

@ 2

@t2 = v2

@ 2

@x2 (2.56)

numit¼a ecuaţia undelor plane sau ecuaţia lui d’Alembert.Originea …zic¼a a propriet¼a̧tii de liniaritate, în cazul undelor elastice, rezid¼a

în faptul c¼a deplas¼arile faţ¼a de poziţiile de echilibru sunt mici, perturbaţiilecare produc aceste deplas¼ari sunt mici.

Se poate demonstra c¼a solu̧tia general¼a a ecuaţiei (2.56) este

= f (x vt) + g(x + vt). (2.57)Funçtiile f şi g care se presupun a … derivabile cel pu̧tin de ordinul al doileasunt funcţii arbitrare; ele pot … determinate din condiţiile iniţiale. Ecuaţia(2.56) impune faptul c¼a argumentul lui f este (x vt) iar acela al lui g este(x + vt).

f (x vt) se numeşte und ¼ a progresiv ¼ a şi se propag¼a în sensul pozitiv alaxei Ox.

g(x + vt) se numeşte und ¼ a regresiv ¼ a şi se propag¼a în sensul negativ al axeiOx.

Relaţia (2.57) poate … scris¼a în forma echivalent¼a

= f (t xv

) + g(t + x

v). (2.58)

S¼a presupunem acum c¼a perturbaţia are un caracter vectorial! (de exemplu,

un câmp electric). Ecua̧tia de propagare a undelor va avea forma:

@ 2!

@x2 =

1

v2@ 2!

@t2 (2.59)

Ecuaţia (2.59) conduce la trei ecuaţii seculare de tipul:

@ 2

x@x2

= 1v2

@ 2

x@t2

(2.60)

cu expresii similare pentru y, respectiv z. În general, x; y şi z nu suntfuncţii numai de argumentul (x vt), ci şi de celelalte dou¼a coordonate y şiz:

Soluţia ecuaţiei (2.60), limitându-ne numai la partea progresiv¼a, se poateexprima ca un produs de dou¼a funcţii:

x = '(y; z) f (x vt). (2.62)


24/34

24

Relaţia (2.62) de…neşte soluţia und ¼ a plan ¼ a .

Dac¼a '(y; z) = const:, unda se numeşte plan¼a şi uniform¼a. În funcţie derelaţiile care exist¼a între componentele vectorului

! , urm¼atoarele cazuri lim-

it¼a sunt mai importante: y = z = 0 şi perturbaţia se numȩste longitudinal ¼ a ,iar când x = 0 perturbaţia se numeşte transversal ¼ a.

2.9 Propagarea undelor elastice într-o bar¼a solid¼a

S¼a consider¼am aplicarea unei forţe la extremitatea unei bare solide; ştimc¼a aceasta se va pune în mi̧scare cu viteza v = p=m; unde p este modulul

impulsului forţei iar m masa barei. Datorit¼a propriet¼a̧tilor elastice ale barei seobserv¼a c¼a, dup¼a un timp, perturba̧tia aplicat¼a la un cap¼at al barei soseştela cel¼alalt cap¼at al acesteia. Se spune c¼a perturbaţia elastic¼a se propag¼ade-a lungul barei şi, aşa cum o s¼a vedem, viteza de propagare depinde decaracteristicile …zice ale materialului barei.

Fie un element dx al barei a‡at la distanţa x de un cap¼at al acesteia; înFig.2.12 acesta este reprezentat ca un cilindru cu baza S , secţiunea barei, şiîn¼aļtimea dx:

x

F(x) F(x+dx)

Fig.2.12

Asupra celor dou¼a baze ale cilindrului acţioneaz¼a foŗtele F (x) şi F (x+dx)exercitate respectiv de elemente ale barei care se a‡¼a la stânga şi la dreaptacilindrului. Forţa F nu este constant¼a; ea variaz¼a atât în lungul axei x, câtşi în timp. Sub acţiunea acestor forţe, …ecare secţiune de-a lungul barei îşimodi…c¼a pozi̧tia.

Consider¼am (x; t) funcţia care descrie deplasarea faţ¼a de pozi̧tia ini̧tial¼aa coordonatei x; la momentul t şi cu (x+dx;t) deplasarea, la acelaşi momentde timp t, a coordonatei x + dx: (Fig.2.13)


25/34

25

Fig.2.13

În¼alţimea cilindrului, care era dx; devine

[x + dx + (x + dx; t)] [x + (x; t)] = dx + d ,

unde (x + dx; t) = (x; t) + d:Alungirea relativ¼a a cilindrului este @=@x: Ţinând cont de expresia de-

form¼arii relative @=@x a unui element de bar¼a solid¼a sub acţiunea forţeiF ,

@

@x =

1

E

F

S , (2.63)

unde S este secţiunea barei iar E este modulul de elasticitate a lui Young;rezult¼a c¼a:

F (x) = ES @

@x: (2.64)

Utilizând aceast¼a rela̧tie, putem scrie rezultanta foŗtelor care açtioneaz¼aasupra cilindrului:

F (x + dx) F (x) = @F @x

dx = ES @ 2

@x2dx: (2.65)

Pe de alt¼a parte, mişcarea cilindrului de mas¼a dm = Sdx se face cu accel-

eraţia a = @ 2

@t2 şi, conform legii lui Newton,

S @ 2

@t2dx = ES

@ 2

@x2dx: (2.66)

Rezult¼a c¼a@ 2

@t2 =

E

@ 2

@x2 = v2

@ 2

@x2, (2.67)

unde v =

r E

reprezint¼a viteza de propagare a perturba̧tiei în bara solid¼a.

În procesul de propagare a perturbaţiei de-a lungul barei deplasarea fa̧t¼ade poziţia de echilibru (x; t) (m¼arimea …zic¼a care se propag¼a) satisface oecuaţie diferenţial¼a de ordinul al doilea în care derivata de ordinul al doilea


26/34

26

în raport cu timpul a lui (x; t) este proporţional¼a cu derivata de ordinul al

doilea în raport cu poziţia a lui (x; t); coe…cientul de proporţionalitate aredimensiunea p¼atratului unei viteze.

În afara cazului banal = 0 care reprezint¼a bara nesupus¼a unei pertur-baţii sau = const, deformaţia static¼a, soluţia ecuaţiei diferenţiale indic¼amodul de propagare a perturba̧tiei în lungul barei.

Din punct de vedere matematic se poate demonstra c¼a soluţiile ecuaţiei(2.67) sunt funcţii în care x şi t apar într-o combinaţie liniar¼a de forma xvtsau x + vt; adic¼a funcţii de tipul:

f (z) = f (x vt) ; g(z0) = g(x + vt): (2.68)

S¼a veri…c¼am faptul c¼a f (z) satisface ecuaţia (2.56):

@f

@x =

@f

@z

@z

@x =

@f

@z

@ 2f

@x2 =

@

@x

@f

@x

=

@

@z

@f

@x

=

@ 2f

@z2

@f

@t =

@f

@z

@z

@t = v @f

@z

@ 2f

@t2 = @

@t@f

@t

= v @

@z@f

@t

= v2

@ 2f

@z2

=) @ 2f

@t2 = v2

@ 2f

@z2 = v2

@ 2f

@x2

adic¼a f (z) = f (x vt) satisface rela̧tia (2.67), indiferent de forma sa partic-ular¼a. În mod similar se poate ar¼ata c¼a şi g(z0) = g(x + vt) veri…c¼a ecuaţia(2.67).

Soluţia general¼a a ecuaţiei (2.67) este dat¼a de suma

G(x; t) = f (x vt) + g(x + vt): (2.69)

Pentru a vedea care este semni…ca̧tia …zic¼a a funcţiei f (xvt); s¼a consider¼amc¼a în punctul x0; la momentul t0; funcţia are valoarea f 0:

f 0 = f (x0 vt0):

În oricare alt punct t > t0; funcţia va avea valoarea f 0 în punctul x caresatisface condiţia:

x vt = x0 vt0 =) x = x0 + v(t t0)


27/34

27

relaţie care exprim¼a o mişcare rectilinie uniform¼a cu viteza v:

Deci, funcţia f are valoarea f 0 la momentul t0 şi, în punctul x în carecoordonata creşte liniar cu timpul; f (x vt) reprezint¼a o funçtie care sedeplaseaz¼a în sensul pozitiv al axei x cu viteza v (Fig.2.14). Similar, g(x+vt)se deplaseaz¼a în sensul negativ al axei x cu viteza v:

xxx0

v

x0

tt0

f 0

Fig.2.14

Împreun¼a cu deplasarea fa̧t¼a de pozi̧tia de echilibru, în lungul barei

solide se propag¼a şi foŗta F: Într-adev¼ar, din rela̧tiile (2.64) şi (2.67), seobţine

@ 2F

@t2 = ES

@ 2

@t2

@

@x

= ES

@

@x

@ 2

@t2

= ESv2

@

@x

@ 2

@x2

: (2.70)

Dar@ 2F

@x2 = ES

@ 2

@x2

@

@x

= ES

@

@x

@ 2

@x2

(2.71)

Din (2.70) şi (2.71) rezult¼a c¼a:

@ 2F

@t2 = v2

@ 2F

@x2 : (2.72)

De-a lungul barei exist¼a, deci, şi o und¼a de forţ¼a; mai precis, exist¼a o und¼ade presiune dac¼a ne reamintim c¼a în procesele de compresie este importantraportul F=S .

Atât deplasarea (x vt) cât şi foŗta F (x vt); care descriu unde ce sepropag¼a de-a lungul axei x; sunt paralele cu aceast¼a ax¼a. Astfel de unde senumesc longitudinale.


28/34

28

2.10 Unde plane armonice

Un tip particular dar foarte important de und¼a plan¼a este unda armonic¼a,a c¼arei funcţie de und¼a se scrie

(x; t) = 0 sin[k(x vt)] sau (x; t) =

0 cos[k(x vt)] (2.73)

unde 0

este amplitudinea undei iar constanta k, ce a fost introdus¼a dinconsiderente dimensionale (argumentul sinusului sau cosinusului trebuie ex-primat în radiani, şi nu în metri), se numeşte num ¼ ar de unde .

Rela̧tiile (2.73) pot … rescrise sub forma:

(x; t) = 0 sin(kx !t) sau (x; t) =

0 cos(kx !t) (2.74)

unde! = kv (2.75)

se numeşte pulsaţia undei armonice .Aşa cum am v¼azut, o funcţie cu structura de forma (2.74) se propag¼a de-a

lungul axei x cu viteza v (v = !=k): La momentul t0, valoarea funcţiei deund¼a va … (x; t0) în toate punctele axei x; este vorba, deci, de o sinusoid¼a învariabila x care se repet¼a pentru …ecare pereche de puncte având coordonatele

x1 şi x2 astfel încât k(x1 x2) = 2. Distanţa = x1 x2 dat¼a de =

2

k (=) k = 2

) (2.76)

se numeşte lungime de und ¼ a a undei armonice; aceasta exprim¼a perioadaspaţial¼a a lui (2.73). Din (2.76) k este egal cu num¼arul de lungimi de und¼adintr-o distanţ¼a egal¼a cu 2 metri; din aceast¼a proprietate deriv¼a numele denum¼ar de unde.

Dac¼a …x¼am pozi̧tia x = x0; din (2.74) se obţine variaţia în timp a funcţeide und¼a (x0; t): Fiind vorba de o varia̧tie armonic¼a, funcţia de und¼a are

aceeaşi valoare în dou¼a momente succesive t1 şi t2, astfel încât !(t1t2) = 2:Intervalul de timp T = t1 t2 este perioada undei armonice şi este legat¼a depulsaţie prin relaţia

T = 2

! : (2.77)

Din (2.75), (2.76) şi (2.77) se g¼aseşte relaţia care leag¼a cele dou¼a perioade,spaţial¼a respectiv temporal¼a T

= v T (2.78)


29/34

29

sau, cu ajutorul frecvenţei oscilaţiei = 1

T

;

= v: (2.79)

Lungimea de und¼a are, deci, semni…ca̧tia distanţei parcurse de o und¼a ar-monic¼a într-o perioad¼a.

În cele ce urmeaz¼a vom considera unde armonice de forma

(x; t) = 0 sin(kx !t + ) (2.80)

unde este valoarea argumentului sinusului pentru x = 0 şi t = 0 şi pentru

oricare alt¼a pereche de valori x şi t astfel încât kx !t = 0:Argumentul complet al funcţiei,

(x; t) = kx !t + (2.81)

se numeşte faza undei armonice.Ţinând cont de (2.76) şi de (2.77), exist¼a mai multe moduri echivalente

pentru a scrie expresia general¼a a funcţiei de und¼a armonice:

(x; t) = 0 sin(kx !t + ) =

0 sin[2(

x

t

T ) + )] = (2.82)

0 sin[2(

x

t) + )]Unda armonic¼a face parte din clasa undelor periodice pentru care se poateaplica teorema lui Fourier. Dac¼a dorim s¼a studiem propagarea unei unde într-un mediu, se face analiza Fourier a funçtiei de und¼a şi se examineaz¼a com-portamentul diverselor unde armonice. Soluţia problemei se obţine sumândtermenii singulari.

2.11 Polarizarea undelor

Într-un mediu de referiņt¼a cartezian vom considera unda! = y

!y + z!z (2.83)

format¼a prin suprapunerea a dou¼a unde plane armonice, transversale, propagându-se de-a lungul axei x şi având pulsaţia ! :

y = Ay sin(kx !t) , z = Az sin(kx !t + ) (2.84)

unde reprezint¼a difereņta de faz¼a dintre cele dou¼a unde componente.


30/34

30

Vectorul !

poate avea la un moment t, în diferite puncte ale axei x,

oricare direcţie perpendicular¼a pe x. În cazul în care ! depinde în modoarecare de x şi t, unda se numeşte nepolarizat ¼ a . Dac¼a variaţia direcţiei lui! în planul (y; z) în funcţie de x şi t este dat¼a de o funçtie bine de…nit¼a,

unda se numeşte polarizat ¼ a .Amplitudinile y; z ale celor dou¼a componente împreun¼a cu difereņta de

faz¼a dintre ele permit determinarea funcţiei de und¼a : Când = 0 (com-ponentele sunt în faz¼a), în orice punct al axei x şi la orice moment de timp,vectorul de und¼a

! are o direcţie …x¼a, formând cu axa y unghiul dat de

tan = z

y

= Az

Ay

= const: (2.85)

Când = (componentele sunt în opoziţie de faz¼a) situaţia este asem¼an¼a-toare cu cea de mai sus, cu difereņta c¼a direcţia lui

! formeaz¼a cu axa y

unghiul :Atunci când vectorul

! are o direcţie …x¼a se spune c¼a unda plan¼a este

polarizat ¼ a liniar , direcţia lui !

se numeşte direcţie de polarizare iar planul…x în care oscileaz¼a

! se numeşte plan de polarizare (Fig.2.15).

x

y

z

Fig.2.15

Când =

2, relaţiile (2.84) devin

y = Ay sin(kx !t) , z = Az cos(kx !t): (2.86)La orice moment de timp, într-un punct de coordonat¼a x0; componenteleundei satisfac relaţia

yAy

2

+

zAz

2

= 1 (2.87)


31/34

31

care este ecua̧tia unei elipse în planul (y; z) cu centrul în origine şi cu axele

paralele cu cele ale sistemului cartezian. În timp, vârful vectorului ! descrieo elips¼a; perioada de rotaţie este 2=! iar sensul de rota̧tie este cel orar.

Când = 3

2 fenomenul este similar, dar sensul de rota̧tie este antiorar.

În ultimile dou¼a cazuri unda este polarizat ¼ a eliptic (vezi Fig.2.16).

x

y

zz

y

Fig.2.16

Un caz particular, cu =

2 (sau =

3

2 ), este cel în care Ay = Az = A

şi ecua̧tia (2.87) devine ecua̧tia unui cerc

2y + 2

z = A2; (2.88)

iar unda se numeşte polarizat ¼ a circular .

În general, dac¼a defazajul dintre cele dou¼a unde are o valoare oarecare,polarizarea r¼amâne eliptic¼a, dar axele elipsei nu mai sunt paralele cu cele alesistemului cartezian.

S¼a observ¼am faptul c¼a relaţiile (2.84) cu constant constitue o leg¼atur¼aîntre componentele undei armonice transversale şi, deci, furnizeaz¼a o lege devariaţie a direcţiei şi modulului lui

! : Pe existenţa acestei legi se bazeaz¼a

de…niţia polariz¼arii undei transversale. Rezult¼a c¼a conceptul de polarizarenu are semni…ca̧tie în cazul undei longitudinale.


32/34

32

2.12 Reprezentarea tridimensional¼a a unei unde. Unde sferice

si cilindrice

În paragrafele precedente am de…nit ca und¼a plan¼a, unda care se propag¼aîntr-o direcţie bine de…nit¼a. Dac¼a direçtia de propagare coincide cu axa x,unda este armonic¼a iar funcţia de und¼a se scrie sub forma = 0 sin(kx!t):Valoarea funcţiei este constant¼a în orice plan perpendicular pe direçtia depropagare; în punctele acestui plan, faza ' = kx!t este constant¼a şi toatepunctele din plan oscileaz¼a în faz¼a. De fapt, atunci când spunem c¼a unda sepropag¼a în lungul axei x, nu înţelegem c¼a fenomenul este localizat în puncteleaxei x, ci c¼a este acelaşi în toate punctele cu aceeaşi abscis¼a x:

Se de…nȩste ca un front de und¼a o suprafaţ¼a în care, la un moment t;faza undei este constant¼a. Pentru o und¼a plan¼a, frontul de und¼a este un plansau o poŗtiune dintr-un plan. Frontul de und¼a se deplaseaz¼a cu viteza v depropagare a undei, parcurgând o distanţ¼a egal¼a cu lungimea de und¼a ; într-operioad¼a T ; dou¼a fronturi de und¼a consecutive, între care exist¼a diferenţa defaz¼a 2;sunt distanţate cu (Fig.2.17a).

x

y

λ

v v

k

r

P

x

y

z

θ

a) b)

Fig.2.17

Pentru a caracteriza direcţia de propagare a undei plane, care depinde desurs¼a şi nu de sistemul de coordonate se introduce vectorul de propagare !k ;având modulul k = 2= şi aceeaşi direcţie cu !v :

Fie !r raza vectoare a punctului P al unui front de und¼a (Fig.2.17b)!k !r = kr cos = kx; (2.89)

iar funcţia de und¼a se poate scrie

= 0 sin(

!k !r !t): (2.90)


33/34

33

Invariaņta produsului scalar !

k

!r ne asigur¼a c¼a relaţia (2.90) reprezint¼a

expresia general¼a a unei unde plane armonice, independent¼a de sistemul decoordonate ales pentru descrierea ei analitic¼a; direcţia de propagare este aceeaa vectorului

!k ; fronturile de und¼a sunt planele ortogonale pe aceast¼a direcţie,

adic¼a locul punctelor în care faza !

k !r !t este constant¼a.Într-un sistem oarecare de coordonate carteziene

!k = kx

!u x + ky!u y + kz!u z , !r = x!u x + y!u y + z!u z (2.91)

şi relaţia (2.90) devine

= 0 sin(kxx + kyy + kzz !t) (2.92)cu

k2x + k2

y + k2

z = k2 =

!2

v2 : (2.93)

În acest sistem de coordonate ecua̧tia general¼a a undelor plane este

@ 2

@x2 +

@ 2

@y2 +

@ 2

@z2 =

1

v2@ 2

@t2: (2.94)

Ecuaţia (2.94) admite şi soluţii diferite de unda plan¼a. În cazul tridimen-

sional, pot … soluţii ale ecuaţiei (2.94) şi undele cu fronturile de und¼a sfericesau cilindrice. Primele sunt emise de surse cu simetrie sferic¼a, la limit¼a punc-tiforme, iar cele din urm¼a de o surs¼a distribuit¼a de-a lungul unei linii.

Frontul de und¼a poate … sferic numai dac¼a viteza de propagare a per-turba̧tiei este aceeaşi în toate direçtiile; în cazul simetriei cilindrice vitezatrebuie s¼a …e aceeaşi cel puţin pentru toate direcţiile perpendiculare pe axape care se a‡¼a sursa.

Noţiunea de front de und¼a plan, sferic, cilindric sau de oricare alt¼a form¼aeste legat¼a de no̧tiunea de raz¼a. Se numeşte raz¼a, linia perpendicular¼a pefrontul de und¼a într-un punct dat şi reprezint¼a direcţia de propagare a undei

şi a energiei acesteia.O und¼a produs¼a de o surs¼a punctiform¼a se propag¼a în toate direcţiile iarfrontul de und¼a va … sferic cu centrul în surs¼a dac¼a viteza de propagare esteaceeaşi în toate direcţiile, adic¼a dac¼a mediul este izotrop.

Funcţia de und¼a a undei sferice armonice este

(r; t) = 0

r sin(kr !t) (2.95)

unde r este distanţa frontului faţ¼a de surs¼a.


34/34

34

Undele cilindrice au fronturile de und¼a sub forma unor suprafeţe cilindrice

coaxiale.Dac¼a distanţa r este distanţa frontului de und¼a fa̧t¼a de surs¼a, m¼asurat¼a

de-a lungul razei perpendiculare pe surs¼a, funcţia de und¼a a unei unde cilin-drice este de forma:

(r; t) =

0p r

sin(kr !t):

Caracteristicile undelor mecanice legate de propriet ¼ aţile mediului

Examinând propriet¼a̧tile undelor, se poate spune c¼a o parte dintre eledepind de surs¼a, cum ar … frecvenţa, amplitudinea, în timp ce altele depindde caracteristicile mediului, cum ar … viteza de propagare.

Proprietatea undelor de a … longitudinal¼a sau transversal¼a depinde atât desurs¼a cât şi de mediu. Într-un ‡uid ideal, undele pot … numai longitudinale,o oscila̧tie transversal¼a neputându-se propaga. Într-un solid, îns¼a, se potpropaga atât unde longitudinale cât şi transversale.

Pentru undele transversale, poate exista fenomenul de polarizare: emisiaundelor polarizate poate … o caracteristic¼a a sursei sau polarizarea poate …obţinut¼a în medii particulare, ca de exemplu cele în care exist¼a o direcţiepreferenţial¼a de vibra̧tie. În vid, nu este posibil s¼a se propage unde mecanicedatorit¼a faptului c¼a propagarea acestora este datorat¼a interacţiilor dintreparticulele mediului.

oscilatii unde

Documents