5 oscilatii si unde_trimis

7/21/2019 5 Oscilatii Si Unde_trimis

1/55

127

Partea 4

4. Oscilaii mecanice i electromagnetice. Unde.

7. Optica ondular

8. Natura cuantic a iradierii (I)


2/55

128

4.Micare oscilatorie

4.1.Oscilaii armonice i caracteristicile lor

Oscilaiile sunt pe larg rspndite n natur i tehnic. Numim oscilaii procesele periodice,

carese repet peste intervale egale ori aproximativ egale de timp . O astfel de proprietate de a se

repeta, posed de exemplu oscilaiile pendulului unui ceasornic (fig.4.1), vibraiile unei coarde,

tensiunea dintreplcile unui condensator n conturul unui radioreceptor, e.t.c..

Procesele oscilatorii difer unele de altele din punct de vedere calitativ prin

natura lor fizic, ns cantitativ ele au multe aspecte comune i sunt descrise de

aceleai ecuaii.

n dependen de natura fizic a procesului periodic, deosebim oscilaii:

mecanice, electromagnetice, electromecanice, e.t.c.. Fig.4.1

ns dup caracterul aciunii exercitate, asupra sistemului oscilant, ezist oscilaii libere i

oscilaii forate.

Oscilaiile se numesc libere (sau proprii) dac ele se produc pe contul energiei iniial

comunicate cnd sistemul oscilant a fost scos din poziia de echilibru.

Cele mai simple i mai des ntlnite sunt oscilaiile armonice, adicoscilaiile ce au loc n

confotmitate cu legea cosinusului ori sinusului i se descriu prin relaia:

0

0

cos

sin

x A t

x A t

(4.1)

unde x este elongaia- devierea sistemului de lapoziiade echilibru, A este devierea maximal a

sistemului oscilant de la poziiade echilibru, numitamplitudinea oscilaiei (valoarea maxim a

elongaiei); 0( )t - se numete faza oscilaiei n momentul de timp t; reprezint faza

iniial a oscilaiei n momentul de timp 0t . Valoarea amplitudinii depinde de mrimea

elongaiei iniiale sau de impulsul, sub aciunea cruieasitemul a fost scos din poziia de echilibru.

Mrimea 0 exprim numrul de oscilaii efectuate n 2 secunde i se numete pulsaie sau

frecvena ciclic:T

20

(4.2)

unde T reprezint perioada oscilaiei, adic perioada de timp dup care oscilaia se repet identic.

Numrul de oscilaii complete, efectuate ntr-o unitate de timp se numete frecvenaoscilaiilor .

Este evident, c ntre durata unei oscilaii T i frecvena exist urmtoarea relaie:


3/55

129

T

1 (4.3)

Drept unitate de msur pentru frecvena oscilaiei n SI este Hertz (Hz), 11 1Hz s .

Aa dar, ntre frecvena ciclic0

, frecvena oscilaiei i perioadaTexist urmtoarea

relaie: 0 2 2T (4.4)

Se poate demonstra c att viteza ct i acceleraiea de asemenea variaz dup legea armonic:

0 0 0 0sin cos2

dxA t A t

dt

(4.5)

Comparnd (4.5) cu (4.1) se observ, c viteza este n avans de faz fa de elongaie cu2

.

Derivnd relaia (4.5) nc odat n raport cu timpul, obinem relaiea acceleraiei:

2

2 2

0 0 0 02 cos cos

d xa A t A t

dt (4.6)

Din relaia (4.6) rezult, c acceleraia i elongaia se afl n antifaz. Ceea ce nseamn, cn

momentul cnd acceleraia atinge valoarea maxim negativ, elongaia atinge valoarea maxim

pozitiv i invers.n figura 4.2, sunt reprezentate graficele elongaiei, vitezei i acceleraiei.

Observm din relaia pentru acceleraie c ea poate

fi scris astfel:

22

02

d xS

dt sau

22

02 0

d xS

dt (4.7)

Aceast ecuaie, reprezint o ecuaie

diferenial omogen de ordinul doi, care descrie

procesele oscilatorii armonice. Soluia creea este

ecuaia de baz a oscilaiilor armonice, relaia(4.1).

Pentru descrierea grafic a oscilaiilor se

folosete metoda diagramei vectoriale. Dintr-un punct

arbitrar O , ales pe axa OX sub un unghi egal cu

faza iniial a oscilaiei cercetate, se depune vectorul

A egal n modul cu amplitudinea A a acestei oscilaii. Fig. 4.2.

Dac acest vector se va roti cu viteza unghiular ,0 atunci proiecia vectorului A se va deplasa

de-a lungul axei OX n limitele ;A A , iar mrimea oscilatorie se va descrie conform relaiei

(4.1), graficul crora este reprezentat pe figura 4.3.


4/55

130

Fig.4.3.

Fora cvasielastic este conservativ. Aa dar, cunoscnd acceleraia putem determina fora

care acioneaz asupra unui punct material care oscileaz . De aceea energiea total a oscilaiilor

armoce trebuie s fie constant.

20F kx m x (4.8)n momentul deplasrii maxime de la poziia de echilibru, energia total const numai din

energia potenial ce atinge valoarea maxim maxpE :

2

max2

p

kxE E (4.9)

La trecerea sistemului prin poziia de echilibru, energia total const numai din energia

cinetic, care la momentul dat atinge valoarea sa maxim maxcE :2 2 2

max 0max

2 2c

m mAE E

(4.10)

S vedem n continuare, cum variaz cu timpul energia cinetic cE i energia potenial pE a

oscilaiilor armonice.

2 2 2 2 22

2max 0 00 0

sin 1 cos 22 2 2 4

c

m mA mAmxE t t

(4.11)

x

Pm x mA mAE Fdx cos t cos t

2 2 2 2 2 220 0 0

0 0

0

1 22 2 4

(4.12)

Energia total a sistemului oscilanteste:

2 2

0

2t c p

mAE E E

(4.13)

Din relaiile (4.11) i (4.12) se observ, c cE i pE variaz, avnd frecvena 02 , aa dar o

frecven de dou ori mai mare dect frecvena oscilaiilor armonice. Energia ntr-un sistem nu

apare i nu dispare din nimic i se conserv.


5/55

131

4.2.Oscilatori armonici.

Sistemul definit prin relaia2

0 0,x x (4.14)

se numete oscilator armonic, unde 20

este o mrime constant pozitiv.

Prin urmare, oscilatorul armonic reprezint un sistem, care efectuiaz oscilaii armonice njurul poziiei de echilibru. Drept oscilatoare armonice pot servi pendulul elastic, matematic,

pendulul fizici circuitul oscilant.

a) Pendulul elastic

Pendulul elastic reprezint un sistem, format dintr-o greutate cu masa m, suspendat

de un arc absolut elastic (resort) care efectuaz oscilaii armonice.n figura 4.4, este reprezentat

un pendul cu resort. n starea de echilibru fora mgse echilibreaz cu fora deelastic F k x ,

unde keste coeficientul de elasticitate a resortului iar semnul - ne indic, c elongaia i fora au

sensuri opuse. Aa dar, fora posed urmtoarele proprieti: 1) ea este proporional cu deplasarea

bilei din poziia de echilibru, 2)ea este ntotdeauna orientat spre poziia de echilibru.

kxdt

xdmmaF

2

2

2

2 0;

d x k

xd t m

deci ecuaia micrii acestui pendul este: 0;k

x xm

(4.15)

Coeficientul de pe lngxeste pozitiv i de aceea poate fi

scris: 2

0

k

m (4.16)

Substituind n (4.15) relaia(4.16), obinem:

2

0 0x x (4.17)

Fig. 4.4.

Astfel, micarea corpului sub aciunea forei elastice este caracterizat de asemenea de o

ecuaie diferenial omogen de ordinul doi.Soluia relaiei (4.15)poate fi scris sub forma:

t

m

kAx cos (4.19)


6/55

132

Aa cumm

k

T

20

rezult c, perioada oscilaiilor pendulului elastic, poate fi

determinat din relaia:k

mT 2 (4.20)

b) Pendulul fizicPendulul fizic reprezint un corp rigid, care poate oscila n jurul unui punct fix, ce nu

coincide cu centrul lui de inerie.n poziia de echilibru centrul de inerie al pendulului C se afl

mai jos de punctul de suspensie al pendulului O, pe aceeai dreapt cu el (fig. 4.5). La scoaterea

pendulului din poziia de echilibru, apare un moment de rotaie, care tinde s readuc pendulul la

poziia de echilibru, deci este asemntor cu fora cvasielastic.

n corespundere cu ecuaia fundamental a dinamicii micrii de rotaie avem:

,M I (4.21)Prin urmare, relaia momentului de rotaie are

aspectul:

sinM mga mgl (4.22)

unde m este masa pendulului, iar l distana

dintre punctul de suspensie i centrul de inerie al

pendulului. Semnul - arat c momentul derotaie M este orientat mpotriva deplasrii

unghiulare .

Deoarece

2

2

d

dt

, atunci obinem:

2

2 sin

dI mgl

dt

(4.23)

Fig. 4.5.

n cazul unor oscilaii mici(pentru unghiuri mici sin ) (4,23) se transform ntr-o

relaie cunoscut: 0mgl

I (4.24)

sau2

0 0 (4.25)

n cazul dat prin 20

este notat mrimea:2

0

mgl

I (4.26)


7/55


8/55

134

aa dar, am obinut ecuaia diferenial omogen de ordinul doi, care descrie starea pendulului

matematic. Prin urmare, n cazul oscilaiilor mici abaterea unghiular a pendulului matematic

variaz cu timpul dup legea armonic.

Relaia pentru determinareaperioada oscilaiilor pendulului matematic (fig.4.6) are aspectul:

2

l

T g (4.35)

4.3.Oscilaii electromagnetice n circuitul oscilant. Formula lui Thomson.

Procesele oscilatorii se pot desfuran diverse sisteme, inclusiv n circuitele electrice formate

dintr-o bobin i un condensator. Astfel de circuit se numete circuit oscilant. Aa dar, ntr-un

circuit oscilant, oscilaiilepot fi excitate, ncrcnd condensatorul sau crend un curent de inducienbobin cu ajutorul unui cmp magnetic periodic exterior.

S studiem un circuit electric ce conine o

surs de curent , condensatorul cu capacitatea C,

bobina cu inductana L i un rezistor cu rezistena

R ,(fig. 4.7). Conectnd comutatorul kla sursa de

curent (poziia1), condensatorul C se ncarc,

pe plcile condensatorului apar sarcini de semncontrar ( ,q q ). Iar ntre plci apare un cmp

electric, energia cruia esteegal cu:

2 2

2 2E

CU qW

C (4.36)

Dac schimbm apoi comutatorul din poziia 1 n poziia 2, n acest moment toat energia

transmis sistemului este concentrat n condensatorul C, care ncepe s se descarce. Prin bobina de

reactan L v-a trece un curent electric. Ca rezultat energia cmpului electric se va micora, nschimb v-a aprea o energie mereu crescnd a cmpului magnetic, condiionat de curentul care

circul prin inductan.Aceast energie fiind egal cu:

2

2B

LIW (4.37)

Deoarece rezistena activ R a circuitului este nul, atunci energia sumar a cmpului electric i

magnetic rmne constant: E BW W const (4.38)


9/55

135

Deacea n momentul, cnd tensiunea pe condesator i energia cmpului electric devine egal cu

zero, atunci energia cmpului magnetic i curentul vor atinge valori maxime.Din acest moment

curentul circul pe contul t.e.m. de autoinducie (n conformitate cu regula Lenz). Ulterior curentul

se va micora, cnd sarcinile de pe plcile condesatorului ating valoarea iniial i intensitatea

curentului va deveni egal cu zer. Aceleai etape au loc n ordine invers, iar sistemul revine la

starea iniial, dup careprocesul se v-a repeta.

Comparnd oscilaiile electrice cu cele mecanice observm, c enrgia cmpului electric2

2

q

C

este analoag cu energia potenial adeformaiei elastice, iar energia cmpului magnetic2

2

L Icu

energia cinetic. InductanaLjoac rolul masei m, iar mrimea invers capacitii1

C rolul

coeficientului de rigiditate. Mai jos vom observa, c analogia dintre oscilaiile electrice i mecanicese extinde i asupra ecuaiilor matematice, care le descriu.

Deducem ecuaia acestui proces oscilatoriu. n corespundere cu legea lui Ohm pentru acest

contur avem c cderea de tensiune pe condensator este cq

Uc

; t.e.m. de autoinducie, care

apare n bobin la trecerea prin ea a unui curent variabil autdI

Ldt

, iar RU IR este cderea

de tensiune pe rezistor, care n sum trebuie s fie egal cu zero. Admitem c rezistena activ a

circuitului 0R .

R c autU U (4.39)

Prin urmare:q dI

IR Lc dt

(4.40)

Aa cum 0R obinem: 0dI q

Ldt C

(4.41)

mprind relaia (4.41) la L i innd cont de definiia curentului electric,2

2dI d q qdt dt

obinem: 1 0q qLC

(4.42)

aa dar, am obinutecuaiea tipic micrii oscilatorii, n care oscileaz sarcina electric q conform

legii: 0cosmq q t (4.43)

Introducnd notaia 201

LC (4.44)


10/55

136

relaia(4.42) primete forma 20 0q q (4.45)

Pentru perioada oscilaiilor conturului oscilant obinem aa numita formul a lui Thomson

(4.46).

0

22T LC

(4.46)

Derivnd funcia (4.43), n rapot cu timpul, obinem expresiaintensitii curentului n circuit:

max 0 0 max 0sin cos2

dqI q t I t

dt

(4.47)

Iar valoarea maximal a curentului n circuitfiind: max max 0 max1

I q qLC

(4.48)

Comparnd (4.44) i (4.48), concludem: cnd curentul ajunge valoarea maxim, sarcina se

egaleaz cu zero i invers.

Capacitatea condesatorului i sarcina pe plcile acestuea sunt legate prin relaiaC

qU , atunci,

max 0 max 0cos cosq

U t U t C

(4.49)

Comparm relaiile (4.47) cu (4.49) observm c, curentul fa de tensiunea pe plcile

condensatorului este defazat cu2

. Amplitudinea tensiunii va fi:

ma xma x ,

qU

C

max maxL

U I

C

(4.50)

4.4.Oscilaiile libere amortizate. Decrementul logaritmic al amortizrii

n cazurile precedente, deducnd ecuaia oscilaiilor armonice, noi am considerat c, sistema

n care iau natere aceste oscilaii, se afl sub aciunea forei cvasielestice F kx (pentru sistema

mecanic) iC

qU

C (sistema electric). Am examinat numai oscilaiile libere n sisteme perfecte,

unde lipsete rezistena mediului exterior sau cea electric.ns merit de menionat c, n toate sistemele reale, att mecanice ct i electrice, exist

pierderi de energie, deoarece paralel cu factorii sus menionai, de asemenea n cazul sistemelor

reale sunt prezeni i ali factori, existena crora trebuie s fie luat n consideraie. n sistemele

mecanice, fora de rezisten a mediului este proporional cu viteza micrii corpului oscilant:

rF r (4.51)


11/55

137

Semnul -indic c, fora rF ,este ndreptat n sens opus micrii, reste coeficientul de rezisten

al mediului.

n cazul pendulului cu resort, ecuaia micrii, conform legii de baz a dinamicii are

aspectul:2

2

d x d xF ma kx r kx r

dt dt

(4.52)

de unde2

2 0

d x r dx k x

dt m dt m sau 0

r kx x x

m m (4.53)

n cazul circuitului oscilant care conine o rezisten activ (fig.4.8) legea lui Ohm poate fi

scrisastfel:q dI

IR LC dt

(4.54)

sau0

2

2

C

q

dt

dqR

dt

qdL

(4.55)

de unde 012

2

qLCdt

dqLR

dtqd

ori1

0R

q q qL L C

(4.56)

Prin urmare dac n relaiile (4.53) i (4.56), notm

coeficienii: 2 r

m (pentru sistema mecanic) i respectiv 2

R

L

(sistema electric), iar totodat innd cont de relaiile 20k

m

(pendulul elastic) i 20

1

LC (conturul oscilant), atunci relaia de baz

a oscilaiilor n sistemele realeare aspectul:

22

02 2 0

d S dS S

dt dt (4.57)

unde Seste elongaia x ( la pendulul elastic) sau sarcina electric q (circuitul oscilant), iar se

numete coeficientul de amortizare. Aceasta este ecuaia oscilaiilor libere amortizate. Soluia

ecuaii difereniale (4.57) este:

costmS S e t

(4.58)

unde2 2

0 (4.59)

Conform celor sus menionate, rezult c, oscilaia unui sistem real poate fi considerat ca o

oscilaie armonic cufrecvena ciclic (4.59) i amplitudinea (4.60)carese micoreaz n timp


12/55

138

conform legii exponeniale, din cauza pierderilor de energie (fig.4.9). Asfel de oscilaii se

numesc amortizate.

tmS t S e

(4.60)

n momentul de timp 0t , avem 0 cosmS S , care reprezint elongaia iniial. Intervalul

de timp1

t

n decursul cruia amplitudinea se micoreaz de e ori, se numete timp de

relaxare.De unde i reiese sensul fizic al coeficientului de amortizare, care reprezint mrimea

invers timpului n care amplitudinea oscilaiei se micoreaz de e ori.

Perioada oscilaiilor amortizate are aspectul:

2 2

0

2 2T

(4.61)

Pentru a caracteriza cantitativ viteza de descretere a amplitudinii oscilaiilor amortizate se

introduce noiunea de decrement logaritmic al amortizrii, care reprezint logaritmul natural al

raportului dintre valorile amplitudinilor oscilaiilor amortizate ce difer cu o perioad (n

momentele t i t T ).

( )ln ln ln

tTm

t Tm

S t S ee T

S t T S e

(4.62)

Deci (4.62) este decrementul logaritmic de amortizare, deoarece1

t

, atunciT

t , (4.63)

Aa dar, decrementul logaritmic de amortizare indic mrimea invers a numrului de

oscilaii eN , efectuate n timpul, n care amplitudinea oscilaiilor se micoreaz de e ori.

n ncheiere vom meniona, c la mrirea coeficientului de amortizare , perioada

oscilaiilor crete 0 , devine infinit de mare. n acest caz micarea devine aperiodic.


13/55

139

Un interes deosebit pentru aplicaiile tehnice l prezint aa numitele autooscilaii.

Autooscilaiile (autopulsaiile)sunt nite oscilaii neamortizate, care sunt meninute ntr-un sistem

disipativ pe contul unei surse de energie exterioare, aa nct proprietile acestor oscilaii se

determin de sistemul oscilatoriu, adic sistemul singur dirijaz alimentarea cu energie din exterior

n tact cu oscilaiile pe care le produce. De exemplu ceasul, motoarele cu ardere intern, turbinele

cu aburi, generatorul cu tub electronic e.t.c..

Fig.4.10.

4.4. Oscilaiile forate. Fenomenul de rezonan

Pentru a obine oscilaii neamortizate ntr-un sistem oscilatoriu real, este nevoie s compensm

pierderile de energie. O asemenea compensare se poate realiza cu ajutorul unei fore exterioare

periodice ce se modific dup o lege armonic. Numim oscilaii forate, oscilaiile ce au loc sub

aciunea unei fore exterioare periodice. Admitem c aceast for determinant variazcu timpul

conform legii armonice: 0cosF F t (4.64)

unde este frecvena de aciune a forei exterioare.

n cazul dat asupra unui sistem mecanic oscilant vor aciona trei fore:

a) Fora carentoarce sistemul n poziia de echilibru. Spre exemplu n cazul pendulului elastic:

F k x ,

b) Fora de rezisten a mediuluinconjurtor:d x

F r rd t

,

c) Fora determinant care variazcu timpul conform legii armonice (4.64), 0cosF F t

Deci, fora rezultant sre aspectul:2

max2 cos

d x dxF ma m k x r F t

dt dt (4.65)

sau 0cosmx kx r x F t


14/55

140

mprind ambele pri ale relaiei (4.65) la mi innd cont de mrimile:

2

0

m

k; 2

m

r ; 00

Ff

m ;

vom obine:

22

0 02 2 cos

d x dxx f t

dt dt

(4.66)

2

0 02 cosx x x f t

(4.67)

n cazul oscilaiilor electromagneticeavem:

0cosU U t (4.68)

Lund n consideraie c: RU IR ; cq

Uc

; autdI

Ldt

; i egalnd suma cderilor de

tensiune pe elementele circuitului cu tensiunea aplicatobinem:

0c osdI q

L IR U tdt C

(4.69)

mprind ambele pri ale relaiei (4.69) la Li considernd mrimile:

2r

m ; 20

1

L C ; 0

0

Uu

L ;

atunci:2

2

0 02 2 cos

d q dqq u t

d t d t (4.70)

sau

2

0 02 cosq q q u t (4.71)Relaiile (4.67) i (4.71) sunt ecuaii difereniale neomogene de ordinul doi care descriu starea

sistemului real, n care este prezent factorul periodic exterior, unde S x (n cazul oscilaiilor

mecanice) sau q (oscilaii electrice),

2

0 02 cosS S S f t (4.72)

soluia creia este egal cu suma dintre soluia general a ecuaiei omogene 1S i o soluie

particular de forma termenului de neomogenitate 2S ;

1 2S S S (4.73)

unde 1 0 costS A e t (4.74)

2 cosS A t (4.75)

nlocuim (4.75) n (4.67), i innd cont de derivata produsului si functiei compuse, obinem:

2 20 0cos 2 sin cos cosA t A t A t f t

cos cos cos sin sin


15/55

141

sin sin cos cos sin

folosind formulele de mai sus obinem:

2 2cos cos sin sin 2 sin cosA t A t A t

2 20 0 02 cos sin cos cos sin sin cosA t A t A t f t

de gasit eroarea la deducerea formulei de mai jos

2 2

0 0

2 2

0

cos 2 sin cos

sin 2 cos sin 0

A A A f

A A A

2 2

0 0

2 2

0

cos 2 sin

sin 2 cos 0

A A f

A A

2 20

2

tg

(4.76)

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

cos 4 sin cos 4 sin

sin 4 sin cos 4 cos 0

A A A f

A A A

2

2 2 2 2 2 2 2

0 04A A f

0

2

2 2 2 20 4

fA

(4.77)

Deci, amplitudinea oscilaiilor forate este proporional cu mrimea forei exterioare i

depinde de frecvena aciunii acestei fore.

Aa dar, oscilaiile forate sunt oscilaii armonice cu frecvena egal cu frecvena de aciunea forei exterioare, iar faza oscilaiilor forate rmne n urm fa de faza aciunii forei exterioare.

Datorit dependenei amplitudinei oscilaiilor forate de frecvena forei exterioare, pentru o

anumit frecven a sistemului dat, amplitudinea oscilaiilor forate atinge valoare maxim. Acest

fenomen se numete rezonan, iar frecvena corespunztoare se numete frecven de rezonan.

Frecvena de rezonan poate fi determinat, punnd condiia 0dA

d

,

avem:

2 2 2

0 0 2 2 2 2 2

0 02

2 2 2 2

0

2 2 80 2 0 2

2 4

f

Aa dar 2 20

2r e z

(4.78)


16/55

142

Dac substituim (4.78) n (4.77) obinem valoarea

amplitudinii de rezonan:

0

2 2

02r e z

fA

(4.79)

Prin urmare, rezult c amplitudinea oscilaiei

forate la rezonan crete cu micorarea lui . Pe

cnd din (4.78) se observ, c dac 0 atunci

0re z . Deci, sistemul intr n rezonan atunci

cnd frecvena de aciune a forei exterioare coincide

cu frecvena proprie a sistemului oscilant. Cu ct

este mai mare, cu att amplitudinea i frecvena de

rezonan este mai mic. Referitor la curbele deFig. 4.11. rezonan (fig.4.11) concludem:

Cnd 0 , toate curbele ating aceeai valoare limit egal cu 02

0

f

pentru sistema

mecanic i respectiv 02

0

u

pentru acea electric, ceea ce reprezint elongaia, deplasarea de la

poziia de echilibru, care ar primi-o sistemul sub aciunea unei fore constante0

F ori tensiuni0

U .

Cnd , toate curbele tind asimtotic ctre zero, deoarece la frecvene foarte mari, forai schimb att de repede direcia, nct sistemul nu reuete s reacioneze la aceast for

exterioar ( 0, 0A q ).

De asemenea, se evideniaz c n cazul cnd 0 , atunci reeind din (4.79) amplitudinea

de rezonan este: 0

02

r e z

fA

(4.80)

Fenomenul de rezonan are o importan enormde mare n tehnic, n special n radiotehnic,acustic, etc.


17/55

143

5. Procese ondulatorii

5.1. Propagarea undelor ntr-un mediu elastice. Ecuaia undei.

Dac ntr-un punct al uni mediu elastic (solid, lichid sau gazos) provocm oscilarea particulelor

lui, atunci datorit interaciunii dintre particule aceast oascilaie ncepe s se propage n mediu cu

o anumit vitez .

Procesul de propagare a oscilaiilor n spaiu se numete proces ondulatoriu sau und.

n dependen de direcia de oscilare a particulelor fa de direcia n care se propag unda,

deosebim unde transversale i longitudinale.

Transversale sunt undele n care particulele mediului oscileaz perpendicular pe direcia de

propagare a undei,iarlongitudinale oscileaz de-a lungul direciei de de propagare a undei.

Distana parcurs de und ntr-un interval de timp egal cu o perioad se numete lungime de

und, (fig.5.1). T (5.1)

Substituin n (5.1) perioad T prin 1 , - frecvena oscilaiilor,

obinem: (5.2)

Locul geometric al punctului la care ajung oscilaiile la un moment

de timp tse numete front al undei. Iar locul geometric al punctelor

care oscileaz n aceeai faz se numete suprafaa undei.

Exist o mulime infinit de suprafee de und, pe cnd n fiecare

moment exist un singur front de und.

Frontul undei se deplaseaz permanentiar suprafeele undei sunt imobile.

Suprafeele de und pot avea orice form, cel mai simplu ntlnindu-se sub form de plan ori

sfer. i respectiv unda se numeteundplan sau sferic.

n cazul undei plane suprafaele de und reprezint o totalitate de plane reciproc paralele, pe

cnd n unda sferic un sistem de sfere concentrice.

Relaia care exprim elongaia unui punct oscilant ca o funcie de coordonatelex, y, zi timpul t

se numete ecuaia undei.

( , , , )f f x y z t (5.4)

S determinm aceast funcie n cazul undei plane, presupunnd c oscilaiile sunt armonice.

Pentru a deduce ecuaia undei vom cerceta o und plan, considernd c oscilaiile au un

caracter armonic i axaxcoincide cu direcia de propagare a undei. n acest caz suprafeele de und

sunt perpendiculare pe axa x i deoarece toate punctele suprafeei de und oscileaz n aceeai faz

(identic), atunci mrimea ce caracterizeaz micarea oscilatorie v-a depinde numai de coordonata x

itimpul t, adic:


18/55

144

,f f x t (5.3)

Admitem, c oscilaiile punctelor, situate n planul 0x (fig.5.2) au aspectul:

0, cosf t A t (5.4)

n cele ce urmeaz, vom determina oscilaiile particulelor ntr-un plan, ce corespunde unei

valori arbitrare a lui x. Unda v-a parcurge spaiul de la planul

0x pn la acest plan n timpulx

, unde este viteza de

propagare a undei. Aadar, oscilaiile punctelor, ce se afl n

planul x , vor rmne n urm fa de oscilaiilr punctelor din

planul 0x cu timpul i vor aveaforma:

, cos cos x

f x t A t A t

(5.5)

n cazul general ecuaia undei plane, ce se propag de-a lungul direciei pozitive a axei x

ntr-un mediu ce nu absoarbe energie are forma:

, cos x

f x t A t

(5.6)

n (5.6) expresiax

t

reprezint faza undei.

S presupunem c n procesul ondulatoriu faza este constant:

xt const

(5.7)

Difereniind relaia (5.7) obinem:1

0dt dx

(5.8)

de undedx

dt (5.9)

Aadar, viteza de propagare a undei , este viteza deplasrii fazei. Viteza de propagare a fazei

undei i se numete vitez de faz. S deducem acum ecuaia de und, adic ecuaia de propagare a

undelor.

Deci, relaia co s x

f A t

, definete unda, care se propag n sensul creterii luix. Iar unda

care se propag n sens opus, adic n sensul micorrii luix, are aspectul:

cos x

f A t

(5.10)


19/55

145

Ecuaia undei plane se poate scrie sub o form simetric n raport cu x i t, introducnd

noiuneade numr de und k:2

k

(5.11)

Conform relaiilor (5.1) i (5.11)rezult c ntre viteza de faz , frecvena ciclic i numrul

de und kexist urmtoarea relaie:k

(5.12)

Substituind relaia (5.12) n (5.6) i n urma unor transformri matematice primim:

, cosf x t A t k x (5.13)

Astfel s-a constatat, c ecuaia oricrei unde este o soluie a ecuaiei difereniale care este numit

ecuaia undei.Relaia (5.13) este ecuaia undei plane ce se propag n direcia luix.

Admitem c unda se propag ntr-o direcie arbitrar, n cazul dat, oscilaia unui punct pe

suprafa de und considerat, v-a fi determinatde raz vectoare r a punctului dat.

Fie dato und i un punct arbitrar pe suprafa de und situat la distana l, de la originea de

coordonate (fig. 5.3), iar oscilaiile n planul dat, care trec prin

originea de coordonate au forma: 0 cosf A t (5.14)

Ecuaia oscilaiei punctuli dat pe suprafaa undei va fi:

, cos ( ) co s ( )l l

f r t A t A t

cosA t kl (5.15)

Relaia (5.15) s-a obinut tinnd cont denumrul de und ki Fig.5.3.

deoarece cos ,l r r n (5.16)

n este vectorul unitar al normalei putem scrie astfel:

, cosf r t A t k r n (5.17)

Notm vectorul k k n (5.18)

fiind egal ca modul cu numrul de und2

k

, dar orientat n direcia normalei la suprafaa de

und(direcia propagrii undei)i numit vector de und. Prin urmare, ecuaia undei ce se propag

n direcia arbitrav are aspectul:

, co sf r t A t k r (5.19)

Pentru cazul cnd direcia de propagare a undei coincide cu axa x , atunci ecuaia acestei unde

este descris de relaia (5.13), astfel derivnd aceast relaie de dou ori n rapor cu coordonata x i

timpul t, obinem:


20/55

146

sinf

A t k xdt

(5.20)

2

2 2

2 cos

fA t k x f

t

(5.21)

de unde urmeaz:

2

2 2

1 d f

f dt (5.22)

Atunci cnd derivm n raport cu x avem:

s indf

Ak t kxdx

(5.23)

2

2

2 co s

d fAk t kx k f

dx (5.24)

de unde urmeaz:2

2 2

1 d ff

k dx (5.25)

Egalnd (5.22) cu relaia (5.25), primim:2 2

2 2 2 2

1 1d f d f

k dx dt

sau2 2 2

2 2 2

d f k d f

dx dt (5.26)

Aa cum, numrul ondulatoric k

iar

2

2 2

1k

atunci relaia (5.26)primete forma:

2 2

2 2 2

1d f d f

dx dt (5.27)

asfel am obinut ecuaia undei, care se propag de-a lungul axei x al spaiului.n cazul cnd und

se propag ntr-o direcie arbitrar, atunci:

2 2 2 22

2 2 2 2 0

f f f f

t x y z

sau2 2 2 2

2 2 2 2 2

1f f f f

x y z t

(5.28)

Introducem operatorul lui Laplace, care reprezint operatorul sumei derivatelor pariale de

ordinul doi n raport cu coordonatelex, y, z:

2 2 2

2 2 2

f f ff

x y z

(5.29)

astfel folosind operatorul Laplace, relaia (5.29) poate fi scris sub o form mai simpl:

2

2 2

1 ff

t

(5.30)


21/55

147

5.2. Principiul superpoziiei. Viteza de grup

Dac mediul n care se propag n acela timp mai multe unde, este liniar, adic proprietile

lui nu se modific sub axiunea perturbaiilor produse de und, atunci aceste unde se supun

principiului superpoziiei (suprapunerii) undelor: dac ntr-un mediu liniar se propag mai

multe unde, atunci fiecare und se propag astfel de parc celelalte nici nu ar exista, iar

perturbaia rezultant ntr-un punct oarecare al mediului este egal cu suma perturbaiilor

corespunztoare fiecrei unde aparte.

Reeind din principiul superpoziiei i dezvoltarea n serie Fourier a unei funcii arbitrare

01 1

sin cosn nn n

f x b a n x b n x

(5.31)

se poate afirma, c orice und poate fi reprezentat ca o sum de unde armonice, adic ca un pachet

sau grup de unde. Aadar, se numete pachet de unde, superpoziia undelor cu frecvene ce sedeosebesc puin i care ocup n fiecare moment de timp o regiune finit a spaiului.

Fie dou unde ce constituie cel mai simplu pachet de unde cu amplitudini egale , ce se

propag n aceeai direcie de-a lungul axei x n direcia pozitiv, cu frecvenele i numerele de

und foarte apropiate. Atunci:

0 0 0cos cosf A t k x A d t k dk x

02 cos cos cos2t d x dk

A t k x A t k x

(5.32)

Amplitudinea este o funcie lent variabil fa de coordonat i timp. Drept vitez de propagare a

acestei unde nearmonice (pachetului de unde), se ia viteza de propagare a maximului amplitudinei,

considerndu-l drept centru al pachetului de unde.

Din condiia td x dk const (5.33)

Obinemdx d

Udt dk

(5.34)

care este viteza de grup.

S gsim legtura ntre viteza de grupi viteza de fazk

d kd d d d d d U k k k

dk dk dk d dk k d d

2

k

(5.35)


22/55

148

5.3. Energia undelor elastice. Vectorul lui Umov

Admitem, c este dat un mediu elastic, n care se propag o und elastic conform legii (5.13):

, cosf x t A t kx

Separm n mediu dat un volum infinit de mic d V , astfel nct s putem considera c

deformaia lui ct i viteza micrii n toate punctele acestui volum sunt egale cuf

d x

i respectiv

f

d t

. innd cont de densitatea energie deformaiei elastice, volumul separat, v-a poseda energia

potenial de deformaie elastic:22

2 2p

E E fd W dV dV

x

(5.36)

unded f

d x

; iarE - modulul lui Young.

nlocuind modulul lui Young prin 2E , unde este densitatea mediului, iar - viteza

de faz a undei. Atunci relaia energiei poteniale (5.36) primete forma:

22

2p

fdW dV

x

(5.37)

Volumul elementar consideratposed i energie cinetic:2

2c

fdW dV

t

(5.38)

unde dV este masa volumului, iar ft

- viteza lui.

Suma energiilor cinetice i poteniale ne d energia total a volumului elementar separat:

c pdW dW dW

2 2

2

2

f fd W dV

dt x

(5.39)

mprind relaia (5.39) la volumul dV, obinem densitatea energiei totale:2 2

2

2

dW f f w

dV dt x

(5.40)

Derivnd ecuaia undei plane (5.13) n rapor cuxi tobtinem:

s i n

si n

fA t k x

tf

A t k xx

(5.41)


23/55

149

Substituind (5.41) n (5.40) primim (5.42):

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2s in sin si n2 2

Aw A t kx A k t kx k t kx

(5.42)

substituind n (5.42) k atunci: 2 2 2sinw A t kx (5.43)

Reeind din relaia (5.43) rezult, c densitatea energiei n orice moment este diferit n

diferite puncte ale spaiului i totodat n fiecare punct al mediului variaz cu timpul dup legea

ptratului sinusului.Cantitatea de energie transportat de und ntr-o unitate de timp printr-o unitate

de suprafa perpendicular pe direcia fluxului, se numete flux de energie, se noteaz prin i

poate fi msurat n wai.dW

d t (5.44)

Acest flux de energie, poate avea n diferite puncte ale mediului diferit intensitate. Iar mrimea

egal numeric cu cantitatea de energie, transportat de und ntr-o unitate de timp printr-o unitatesuprafa perpendicular pe direcia fluxului se numete densitate a fluxului de energie:

d Wj

dS dt

(5.45)

innd cont de relaia (5.44) putem scrie:d

jd S

(5.46)

Admitem, c prin suprafaa cercetat dS (fig 5.4) ntr-un interval de timp d t v-a fi

transportat energia dE, care se conine n volumul unui cilindru, dV dS dT .

Deoarece densitatea de energie n toate punctele

cilindrului se consider aceeai (innd cont de dimensiunile

mici ale cilindrului), atunci energia dW va fi egal cu

dW w dV wdS dt (5.47)

Substituind (5.47) n (5.45):

wd S dt d W

j wdS d t dS d t

(5.48) Fig.5.4.

Aa cum, viteza de faz este un vector, iar direcia ei coincide cu direcia de propagare a

undei, atunci: j w (5.49)

unde j este vetorul lui Umov. n conformitate cu (5.43), relaia (5.49) poate fi scris astfel:

2 2 2

si nj A t k x (5.50)

n consecin, concludem c vectorul lui Umov, ca i densitatea energiei, este diferit n diferite

puncte ale spaiului, pe cnd n punctul dat variaz cu timpil dup legea ptratului sinusului.


24/55

150

5.4.Unde electromagnetice iproprietile lor

n conformitate cubazele teoriei lui Maxwell, cunoatem cpentru cmpul electromagnetic,

una din consecinele ecuaiilor lui Maxwell este existena undelor electromagnetice. Deci,

perturbaia cmpului electromagnetic variabil n spaiu reprezint unda electromagnetic.

Ecuaiile care descriu cmpul electromagnetic n orice punct al spaiului i n orice moment

de timp au acpectul:

2 2

0 02 2

E E

x t

sau

2 2 2 2

0 02 2 2 2

E E E E

x y z t

(5.51)

2 2

0 02 2

H H

x t

sau

2 2 2 2

0 02 2 2 2

H H H H

x y z t

(5.52)

Aceste relaii pot fi unite printr-o funcie (ecuaie de und), care satesface aceste condiiii

se propag n spaiu cu o anumit vitez.2 2 2 2

2 2 2 2 2

1E E E F

x y z t

(5.53)

Comparnd (5.51) i (5.52) cu (5.53) obinem:

0 0

1

(5.54)

Aceste relaii ne demonstreaz, c n acest caz cmpurile electromagnetice pot exista sub

form de unde electromagnetice cu viteza de faz . Pentru vid n aceast relaie vom obine:

0 0

1c

(5.55)

Aadar, viteza de faz a undelor electromagnetice n vid coincid cu viteza luminii c . n cele

ce urmeaz vom cerceta unda electromagnetic plan, ce se propag ntr-un mediu omogen, n care

lipsesc sarcinile electrice 0 i de asemenea este un mediu dielectric 0j , vectorul

induciei electrice fiind 0D E i al induciei magnetice 0B H unde i sunt

permitivitatea dielectrici permiabilitatea magnetic ale mediului.

Orientnd axa x perpendicular pe suprafeelea odndulatorii, atunci Ei H i componentele

lor nu vor depinde de de coordonatele y i z. Atunci putem scrie:


25/55

151

0

0

0x

yz

y z

H

t

HE

x t

E H

x t

(5.56) i respectiv0

0

0x

yz

y z

E

t

EH

x t

H E

x t

(5.57)

0xH

x

(5.58) 0x

E

x

(5.59)

de unde rezult, c proieciile xE i xH pot fi diferite de zero numai n prezena cmpurilor

omogene constante suprapuse pe cmpul electromagnetic al undei.

Efectund un ir de transformri matematice aceste sisteme de ecuaii difereniale luate pentru

singura direciax , se reduc la urmtoarele ecuaii:

2 2

0 02 2y y

E E

x t

(5.60)

2 2

0 02 2

z zH H

x t

(5.61)

Deoarece cunoatem conform relaiei (5.55), c0 02

1

c , rezult:

2 2

2 2 2

y yE E

x c t

(5.61) i respectiv

2 2

2 2 2

z zH H

x c t

(5.62)

Deci fcnd o comparaie ntre relaiile (5.61) i (5.62) cu ecuaia undei elastice (5.27)

putem conchide c reprezint de asemenea nite ecuaii de und, ce se propag de-a lungul axei x

cu vitezac

, i aa cum pentru vid 1; c .

O consecin a ecuaiilor lui Maxwell este i faptul c unda electromagnetic este o und

transversal, adic vectorii E i H sunt reciproc perpendiculari. i cea mai simpl soluie a

acestor relaiilor este:1cos( )y mE E t kx (5.63)

2cos( )z mH H t kx (5.64)

Pentru vectorilor E i H fazele iniiale ale oscilaiilor coincid 1 2 , iar amplitudinile

oscilaiilor acestor vectori se afl din relaia:

0 0m mE H , adic,0

0

m

m

E

H

(5.65)


26/55

152

Orice und electromagnetic poate fi reprezentat grafic astfel: (fig.5.5 i 5.6)

Fig. 5.5. Fig. 5.6.

5.5. Energia undei electromagnetice. Vectorul lui Poynting.

Posibilitatea detectrii undelor electromagnetice demonstreaz c aceste unde transport nspaiu energie. Densitatea fluxului de energie transportat de unda electromagneticeste cantitatea

de energie transportat ntr-o unitate de timp printr-o suprafa unitar, perpendicular pe direcia

transportrii energiei.

Admitem, c o undelectromagnetic sepropagn vid, cu viteza , egal cu viteza luminii c .

Densitatea energiei cmpului electromagnetic este egal cu suma densitilor energiei cmpurilor

electricE

w i magneticH

w :

2 20 0

2 2E H

E Hw w w (5.66)

pentru vid, 1 , atunci avem:

2 2

0 0

2 2

E Hw

(5.67)

Aa cum vetorii E i H oscileaz n aceeai faz, n relaia amplitudinilor lor se poate de

substituit valorile lor maximale cu valorile lor instantanii i anume:

0 0m mE H se poate de scris sub forma 0 0E H (5.68)

Din (5.68) rezult, c E Hw w (5.69)

atunci: 2 0 02 Ew w E EH (5.70)

Dar nnd cont c 0 01

c , relaia (5.70) primete forma:

EHw

c (5.71)


27/55

153

Dac vom nmuli densitatea de energie cu viteza c , vom obinemodulul densitii fluxului

de energie: S w c EH (5.72)

prin urmare vectorul densitii fluxului de energie se poate reprezenta ca produsul vectorial al

vectorilor Ei H : S EH (5.73)

Vectorul densitii fluxului de energie Sse numete vectorul lui Poynting,care exprim fluxul deenergie transportat de unda electromagnetic n spaiu.

Dup cum rezult din experiene undele electromagnetice pot fi absorbite sau reflectate de

ctre diferite corpuri. Deci ele pot exercita asupra corpurilor o presiune oarecare i rezult c cmpul

electromagneticposed un impuls. Impulsul cmpului electromagnetic se definete cu relaia

Wp mc

c (5.74)

unde Weste energia cmpului electromagnetic, de unde rezult:2

W mc (5.75)relaia (5.75) reprezint legtura dintre mas i energie cmpului, care este o lege universal a

naturii.

Pentru prima dat, a fost confirmat experimental existena i propagarea undelor

electromagnetice de ctre fizicianul german Heinrich Hertz. El a determinat experimental viteza de

propagare a undelor electromagnetice8

3 1 0 mcs

i totodat a confirmat c viteza de propagare a

undelor electromagnetice n vid este egal cu viteza luminii.

De asemenea ulterioar s-a demonstrat c att lumina vizibil, ct i cea ultraviolet,

infraroie, razele X,razele , sunt de natur electromagnetic i se deosebesc doar prin lungime de

und i frecven. Ca exemplu, n figura 5.7 este prezentat scara undelor electromagnetice.

Fig.5.7.


28/55

154

MAI DEPARTE NU ESTE REDACTAT

Tema 4.4 Interferena luminii

1. Unde luminoase coerente i monocromatice

Fenomenul de interferen al luminii const n faptul c la suprapunerea undelor de lumin

are loc o amplificare a lor n unele puncte ale spaiului i o slbire n alte puncte. Condiia

necesar pentru observarea acestui fenomen este coerenaacestor unde. Acestei condiii i satisfac

undele monocromaticeundele care au o frecven anumit care rmne tot timpul constant. Aa

cum nici o surs real de lumin nu emite unde monocromatice, undele emise de surse independente

ntotdeauna sunt necoerente, deoarece emisia luminii este rezultatul unor procese atomice. n cazul

a dou surse independente lumina este emis de atomi care nu sunt corelai ntre ei. n fiecare atom

procesul de radiaie dureaz un timp foarte scurt S. 810 Atomul poate relua emisia de unde

luminoase ns cu o alt faz iniial. Aa dar are loc o variaie permanent a diferenei de faz a

radiaiilor emise de atomi independeni i ntr-un timp mare t undele radiate de atomi sunt

necoerente. n intervalul de timp S810 ns undele emise au amplitudini i faze aproximativ

constante formnd un grup de unde. Durata medie a unui grup de unde se numete timp de coeren

810coer s.

ntr-un mediu omogen unda parcurge n timpul coer distana coer. coer.l c numit distana de

coeren. Cu ct unda este maiaproape de unda monocromatic cu att coer i coer.l sunt mai mari.

Aa dar undele provenite de la dou surse independente nu pot fi coerente i deci nu vor daniciodat imagine de interferen. Undele coerentepot fi obinute prin divizarea radiaiei emise de o

surs n dou fascicole care parcurg drumuri diferite pn la punctul de suprapunere de pe ecran. La

nceputul anilor 60au fost create surse de lumin cu un nalt grad de coeren numite laser.

2. Interferena luminii. Calculul tabloului dat de dou surse de lumin.


29/55

155

Fie dou unde de lumin monocromatic ce genereaz ntr-un punct oarecare al spaiului

dou oscilaii de aceeai direcie

x A cos t

x A cos t ,

1 1 1

2 2 2

(4.91)

atunci amplitudinea oscilaiei rezultante este

A A A A A cos . 2 2 21 2 1 2 2 12 (4.92)

Este cunoscut cintensitatea luminii este proporional cu A .2 Atunci

I I I I I cos . 1 2 1 2 2 12 (4.93)

Diferena de faz

S SS n S n

v v

L L ,

2 1

2 2 1 1

2 1 0

2 1

0 0

2

2 2

(4.94)

undeL=Sn este lungimea de drum optic, iar estediferena de drum optic.

m ; m 0

2 max de interf.

02 1 ; 2 12 2

m m

minde interf.

Fie dou surse coerente de lumin S1i S

2ce se afl la distana duna de alta. Pe un ecran ce se afl

la distana l d se obine tabloul de interferen. S determinm coordonatele max i min deinterferen.

Figura 4.8

Intensitatea luminii n orice punctAal ecranului ce se afl la distanax de la centru se determin cu

diferena de drum optic S S . 2 1

Din fig. se vede


30/55

156

d dS l x ; S l x

xdS S xd S S .

S S

2 2

2 2 2 2

2 1

2 2

2 1 2 1

1 2

2 2

22

(4.95)

Deoarece l d atunci S S l 1 2 2 i

xd xd,

l l

2

2 (4.96)

atunci pentru max avem (franj luminoas)

max

xd lm x m ,

l d

0 0 (4.97)

iar pentru min( franj ntunecat)

minxd l

m x m .

l d

0

0

12 1

2 2

(4.98)

Distana dintre dou maxsau dou minvecine se numete interfranj

l l l

x k k .d d d

0 0 0

1 (4.99)

3. Interferena luminii n lame subiri.Aplicaiile interferenei luminii.

Fie o lam transparent cu fee plan- paralele de grosime di indice de refracie n.

Figura 4.9


31/55

157

Asupra acestei lame cade o und monocromatic de lumin sub un unghi de inciden i. Pentru

determinarea condiiilor de maxi mineste necesar s aflm diferena de drum optic

n OC CB OA .0

2 (4.100)

Din fig. se observ:

dOC CB ; OA OB sin i dtg r sin i ,

cos r 2 (4.101)

atunci

sin rdn d sin i

cos r cos r

d sin r sin r dnn sin r dn

cos r cos r cos r cos r

dn cos r dn cos r cos r

dn sin r d n sin i .

0

2

2

2 2 2

22

2

22 12

22

2 1 2

(4.102)

Aa dar

d n sin i .

2 2 022

(4.102)

n punctul de observaie o s avem maxde interferen, adic

d n sin i m 2 2 0 022

max (4.103)

i minde interferen dac

d n sin i m .

2 2 0 0

2 2 12 2

min (4.104)

Din relaiile obinute rezult, c fiecrui unghi de inciden i i corespunde un tablou de

interferen propriu. Franjele obinute de la undele de lumin ce cad asupra lamei sub unul i acela

unghi sunt numite franje de egal nclinare.

n practic se mai ntlnesc i tablouri de interferen cu franje de egal grosime. Franjele de egal

grosime se obin de la lamecu grosime variabil.n prezent fenomenul de interferen se aplic n

diferite domenii ale tehnicii i n diferite procese tehnologice.

Vom enumera cele mai importante aplicaii ale fenomenului de interferen.

1) Determinarea lungimii de und.

2) mbuntirea calitii instrumentelor optice i obinerea suprafeelor cu o capacitate mare de

reflexie.


32/55

158

3) Aparate de msurat cu precizie nalt numite interferometre.

4) La controlul calitii prelucrrii suprafeelor pieselor metalice se folosete aparatul numit

micro-interferometru.

Interferena n lame subiri se utilizeaz pentru micorarea pierderilor la reflexie n diferite

dispozitive optice. S acoperim sticla cu un strat dielectric foarte subire cu indicile de refracie n

care ndeplinete condiia

0

1 n n , (4.105)

unde n0

este indicile de refracie al sticlei. Grosimea stratului dielectric se ia egal cu 1

4sau cu un

numr impar de ,4

adic m .

2 14

Atunci diferena de drum optic a undelor reflectate la

frontiera aer-dielectric i dielectric-sticl va fi egal cu .

2 Adic ambele unde se reflect cu o

variaie a fazei egal cu . . Dac amplitudinile ambelor unde ar fi egale, atunci nu ar exista nici o

reflexie de la asemenea sistem. Se poate demonstra c coeficientul de reflexie este

n nr

n n

n nnr ; r ; r r

n n n

n nn n n .n n n

2 1

2 1

0

0 0

0

0

0

0

1

1

11

(4.106)

De obicei stratul dielectric este ales astfel ca s rein partea galben-verde a spectrului, iar razele

roii i albastre au un coeficient de reflexie diferit de zero. Din aceast cauz sticla acoperit cu

asemenea strat pare albstrie sau purpurie. Dispozitivele prelucrate astfel sunt numite optic

albastr.

Tema 4.6 Difracialuminii.

1. Principiul Huygens-Fresnel. Metoda zonelor Fresnel. Propagarea

rectilinie a luminii.

Se numete difracie a luminii fenomenul de ocolire a obstacolelor ntlnite n calea

propagrii undelor sau orice deviere de la legile opticii geometr ice la propagarea undelor de


33/55

159

lumin n apropierea obstacolelor. Fenomenul de difracie poate fi explicat cu ajutorul principiului

Huygens-Fresnel. Conform principiului Huygens orice punct pn la care ajunge unda luminoas

este centrul unei noi unde sferice secundare, astfel nct nfurtoarea lor va fi un front de und

ntr-un moment ulterior. Fresnel a completat acest principiu cu ideea despre interferena undelor

secundare. Conform principiului Huygens- Fresnel unda de lumin poate fi prezentat carezultatul

superpoziiei undelor secundare coerente care sunt emise de surse imaginare. n calitate de surse

imaginare pot servi elemente infinit mici ale suprafeei de und. Acest principiu trebuia s explice

procesul de propagare rectilinie a luminii. Fresnel a rezolvat aceast problem cercetnd interferena

undelor secundare folosind o metod de calcul, care n prezent poart numele de metoda zonelor

Fresnel. S determinm amplitudinea undei de lumin ntr-un punct arbitrar M. Conform

principiului Huygens-Fresnel vom nlocui aciunea sursei de lumin S prin aciunea unor surse

imaginare aezate pe suprafaa frontului de und F.

Figura 4.10

Fresnel a mprit suprafaa de und FS n zone inelare numite ulterior zone Fresnel. Aceste zone

se construiesc astfel nct diferena distanelor de la marginile a dou zone vecine pn la punctul

M s fie egal cu

2

, adic

P M P M P M P M ... .

1 0 2 1

2 (4.107)

n acest mod oscilaiile care sosesc n punctul M de la dou zone Fresnel vecine vor avea faza

opus i la suprapunere ele se vor atenua reciproc.

i i iA A A

A A AA A AA A A ...

1 1

3 3 51 1 1

2 4

1

2

2 2 2 2 2 2

(4.108)


34/55

160

2. Difracia Fresnel pe un orificiu circular i pe un disc mic.

a) Difracia pe un orificiu mic

Figura 4.11

Aspectul imaginii de difracie n punctul M situat vizavi de centrul orificiului poate fi determinat

constr. pe regiunea BC a frontului de und zonele Fresnel corespunztoare punctului M. Dac n

orificiul BC se cuprind m zone Fresnel, atunci n M amplitudinea depinde de paritatea sau

imparitatea lui m :

m

mA A A A ... A , 1

1 2 3 1 (4.109)

adic

m

m

A AA ,

A A

1

1

1

2

1

2

(4.110)

dac m este impar max; dac m este par min.

b) Difracia pe un disc mic

FIGURA 4.12

Imaginea de interferen pe ecranul E are aspectul unor inele concentrice alternante ntunecate i

luminoase cu centrul n M unde totdeauna se afl maxim de interferen ( pata lui Poisson).

Amplitudinea luminii n M este egal cu o jumtate din A1 ce corespunde aciunii n acest punct


35/55

161

numai a primei zone Fresnel deschise. Odat cu creterea raportului dl

intensitatea petei Poisson

scade, inelul ntunecat ce urmeaz se lrgete i se formeaz regiunea de umbr. n rezultatul

calculelor efectuate Fresnel a demonstrat, c amplitudinea

A A A A A ... 1 2 3 4

(4.111)

a oscilaiilor ce sosesc n M este egal cu jumtate din amplitudinea oscilaiei generate de prima

zon sau zona central. Aa dar aciunea suprafeei de und asupra punctului M se reduce la

aciunea unui sector mic al ei, care este mai mic dect zona central. Cu alte cuv inte propagarea

luminii de la sursa S ctre punctul M are loc astfel, de parc fluxul de lumin se propag printr-un

canal foarte ngust de-a lungul direciei SM, adic rectiliniu. S determinm raza unei zone

Fresnel arbitrar. Grania zonei m va delimita pe suprafaa de und o calot sferic cu nlimea

hm.

Figura 4.13

Din figur se observ

m

mr a a hm b b hm

ahm bm bhm a, b

2

2 22 2

2

2 2

(4.112)

bmhm ;

a b

2 (4.113)

m mabm ab

r ahm r m .a b a b

22 (4.114)

3. Difracia luminii de la o fant.


36/55

162

Fizicianul german Fraunhofer a studiat fenomenul de difracie n lumin paralel sau

difracia undelor plane de lumin dup schema reprezentat n figur.

Figura 4.14

Diferena de drum optic dup cum se vede din figur este

NK a sin . (4.115)

mprim fanta MN n zone Fresnel. Pe distanaavor ncpea : 2

zone. Aa cum amplitudinile

undelor secundare sunt egale, atunci amplitudinea undei n punctul de observaie va fi maxim sau

egal cu zero n dependen de numrul de zone Fresnel care ncap pe distana a. Aa dar, dac

numrul zonelor Freuel este ntreg atunci n punctul de observaie vom cpta minadic

a sin m m , ... ,

2 1 22

minde difracie. (4.116)

iar dac acest numr este impar, atunci vom cpta max:

a sin m m , ... .

2 1 1 22

maxde difracie. (4.117)


37/55

163

Cnd 0 lumina se propag cu intensitatea cea mai mare i avem maxde difracie central.

3. Difracia luminii de la o reea de difracie. Noiuni de holografie.

O importana practic mare are studiul difraciei de la o reea unidimensional de difracie,

care reprezint un sistem de fante peralele, egale, de lime a, situate n acelai plan i separate prin

intervale opace egale de lime b.Distana d a b se numete constanta sau perioada reelei.

Figura de difracie obinut n acest caz este determinat de dou fenomene: difracia de la fiecare

fant i interferena fasciculelor luminoase difractate de toate fantele. Diferena de drum optic de la

dou fante vecine va fi aceeai

d sin , (4.118)

pentru unghiul dat n limitele ntregii reele.Este evident, c minimile de intensitate ce se obin dela fiecare fant n parte vor fi minime i pentru reeaua de difracie. Aa dar condiia

a sin m m , ... ,

2 1 22

(4.119)

este condiia minimelor principale. n afara acestor minime, dup interferena undelor de lumin se

vor mai obine i alte minime numite minime suplimentare care se obin din condiia

d sin m m , , ... .

2 1 0 1 22

(4.120)

Pe de alt parte, maximul de la o fant va fi amplificat de aciunea altei fante, dac

d sin m m , , , ... ,

2 0 1 22

(4.121)

care este condiia maximelor principale. Fenomenele de interferen i difracie ( adic fenomenele

dirijate de legile opticii ondulare) stau la baza holografiei o metod special de nscriere i

restabilire ulterioar a cmpului ondular, care se bazeaz pe nregistrarea figurii de interferen.


38/55

164

Figura 4.15

Aceast metod principiul nou de nregistrare i detectare a imaginilor spaiale ale obiectelor a fost

inventat de ctre fizicianul englez Gabor n 1947 ( Premiul Nobel 1971) i realizat experimental

dup apariia laserilor n 1962.

Figura 4. 16

Un mediu optic neomogen, a crui neomogenitate se repet periodic la variaia celor 3 coordonate

spaiale este numit reea spaial de difracie sau reea tridimensional.

Drept exemplu de reea spaial poate servi reeaua cristalin a unui corp solid.

Fizicienii englezi, fraii Bragg i fizicianul rus Vulf au propus n 1913 o metod simpl de calcul al

difraciei razelor Rontgen ca rezultat al reflexiei lor de la un sistem de plane- reele ale cristalului


39/55

165

AD DB d sin d sin i d cos i .

2 2 2

2 (4.122)

Condiia Bragg Vulf

d sin n . 2 (4.123)

Figura 4.17

Tema 4.7 Dispersia luminii.

1. Dispersia luminii. Teoria electronic a dispersiei luminii.

Se numete dispersie a luminii dependena indicelui de refracie n a substanei de frecvena

v (lungimea de und) sau dependena vitezei de faz a undelor de lumin v de frecvena v. Aa

dar

n f . (4.124)

S cercetm dispersia luminii de la o prism

Rrou; V - violet


40/55

166

Figura 4.18

A. 1 1 2 2 1 2 (4.125)

Fie unghiul 1este mic atunci sunt mici i

2,

1i

2. Atunci

sinn

sin

sin,

sin n

1 1

1 1

2 2

2 2

1 (4.126)

de unde

n n A n A nA ,n

1

2 2 1 1 (4.127)

atunci

nA A n A. 1 1 1 (4.128)

Aa dar unghiul de deviere a luminii prin prism este cu att mai mare cu ct unghiul prismei A.

Deoarece n f razele cu lungimi de und diferite sunt abtute de prism cu unghiuri diferite.

Mrimea

dnD .

d

(4.129)

Se numete dispersie a substanei i arat ct de repede variaz indicele de refracie n

dependen de lungimea de und.Dac la micorarea lungimii de und (creterea v ) indicele de

refracie crete dispersia este numit dispersie normal. n cazul micorrii indicelui de refracie n

cu micorarea lungimii de und ( micorarea v ) dispersia se numete anomal.

Din teoria lui Maxwell pentru undele electromagnetice tim c

n , (4.130)

unde i sunt permitivitatea dielectric i permiabilitatea magnetic a mediului. Pentru regiunea

optic a spectrului toate mediile au . 1 Aa dar

n . (4.131)

Aceast relaie evideniaz unele devieri de la faptele experimentale. Pe de alt parte n este variabil

pentru diferite , iarpe de alt parte este o constant material. Valoarea numeric obinut din

(4.131) nu coincide cu cea experimental. Greutile care apar la descrierea dispersiei din punct de

vedere al teoriei electromagnetice au fost nlturate cu teoria electronic a lui Lorentz. n aceast

teorie dispersia luminii este cercetat ca rezultatul interaciunii undelor electromagnetice cu


41/55

167

particulele ncrcate ale substanei, ce execut oscilaii forate n cmpul electromagnetic variabil al

undei.

De la electrostatic cunoatem

Pn x

E

2

0

1 1 , (4.132)

unde P este polarizabilitatea substanei care este rezultatul polarizrii electronice (polarizarea prin

orientare va avea un efect nul din cauza frecvenelor foarte nalte 1510 Hz). Pentru un electron

avem

P n p n ex, 0 0 (4.133)

unde n0

este concentraia atomilor, e este sarcina electronului, iar x estedeplasarea electronului de

la poziia de echilibru sub aciunea cmpului electric al undei de lumin. Din (4.131) (4.133) avem

n exn ,E

2 0

0

1 (4.134)

unde

E E cos t . 0 (4.135)

Ecuaia oscilaiilor forate ale electronului are forma

F e

x x cos t E cos t .m m

2 00 0 (4.136)

Soluia acestei ecuaii este x A cos t , (4.137)

unde

eE

A .m

0

2 2

0

(4.138)

Aa dar

n e

n .m

2

2 0

2 2

0 0

11 (4.139)

Dac n substana considerat exist i electroni care au frecvenele proprii i0 atunci

i

i

i i

en m

n .

2

2 0

2 2

0 0

1 (4.140)


42/55

168

Figura 4.192. Absorbia luminii

Se numete absorbie a luminii fenomenul de pierdere a energiei undei luminoase la

trecerea ei printr-un mediu oarecare n urma transformrii energiei undei n alte forme.

n rezultatul absorbiei intensitatea luminii se micoreaz. Absorbia luminii n substan este

descris de legea Bouguer- Lambert

xI I e , 0 (4.141)

unde I0

i I sunt intensitile undei monocromatice plane la intrare i la ieire din stratul mediului

cu grosimea x, iar este coeficientul de absorbie al mediului, care depinde de lungimea de und a

luminii i de natura chimic i starea mediului absorbant.

Pentru gazele monoatomice i vaporii metalelor este aproximativ zero i numai n anumite

regiuni foarte nguste are valori mari ( spectrul liniar de absorbie). La mediile dielectrice

cm 3 5 110 10 iar la metale cm 3 5 110 10 din care cauz ele sunt netransparente pentru

lumin.

n dependen de caracterul dispersiei viteza de grup U a luminii n substan poate fi mai mare sau

mai mic dect viteza de faz v. ntradevr

d nU ; w ; k

Cdk v C

2 2 2 22 (4.142)


43/55

169

dC vdU .

dn dndnnn

d n dC d

2

21

(4.143)

Dispersie normal

0dn

U v.d

(4.144)

Dispersie anomal

0dn

U v.d

(4.145)

3. Radiaia Vavilov- Cerencov

Cercetnd luminescena lichidelor transparente sub aciunea radiaiei Cerencov a descoperit

c radiaia provoac o emisie albstruie slab a lichidelor transparente. S-a demonstrat aceast

radiaie nu are nimic comun cu luminescena.

Vavilov a naintat ideea c aceast radiaie este rezultatul micrii n substan a electronilor liberi

formai sub aciunea radiaiei . ncercarea de a explica aceast radiaie prin frnarea electronilor n

lichid n-a fost ncununat de succes. Calculele au artat c pentru toate lichidele cercetate de

Cerencov intensitatea radiaiei ntrecea cu mult intensitatea radiaiei de frnare a electronilor.

Radiaia Vavilov- Cerencov a fost explicat de ctre Tamm i Frank. Ei au demonstrat c particula

ncrcat care se mic n substan cu viteza superlumin SC v C

n trebuie s radieze unde

electromagnetice.

Tema 4.8 Polarizarea luminii

1. Lumina polarizat i lumina natural. Polarizarea luminii n rezultatul

reflexiei irefraciei la frontiera dintre doi dielectici.

Pentru studiul fenomenului de polarizare a luminii vom considera caracterul ondulator al

acesteia. Din teoria lui Maxwell este cunoscut, c unda electromagnetic ( unda de lumin) este

caracterizat de vectorii intensitii cmpului electric i magnetic reciproc perpendiculari. La

aciunea undei de lumin asupra substanei importana principal o are componenta electric a


44/55

170

undei, care acioneaz asupra electronilor din substan. Din acest motiv la studiul polarizrii vom

considera anume acest vector. ntr-un mediu izotrop toate direciile de oscilaie a vectorului E sunt

egal probabile. Aa dar lumina la care vectorul E are orientare egal probabil n orice direcie se

numete natural, iar cea la care direcia i amplitudinea vectorului E variaz dup o anumit lege

se numete polarizat. n funcie de traiectoria pe care o descrie extremitatea vectoruluiE

deosebim lumin plan polarizat, circular polarizat i parial polarizat ( eliptic). Planul de

polarizare este planul n care oscileaz vectorul E .

Figura 4.20

Drept msur a gradului de polarizare se iamrimea

max min

max min

I IP

I I

(4.146)

Daca P=1 ( minI =1) atunci lumin este plan polarizat iar daca P=0 ( minI = maxI ) lumineste

natural. Lumina natural poate fi transformat n lumin polarizat cu ajutorul unor dispozitive

numitepolarizoare. Polarizorul las s treac unda de lumin a crei plan de polarizare este paralel

cu planul polarizorului i reine complet lumina a crei oscilaii sunt perpendiculare pe acest plan.

fie planul polarizorului 00 i unda luminoas plan caracterizat de vectorul E . Atunci


45/55

171

E E cos 0 (4.147)

Aa cum I E2 obinem

I I cos , 20 (4.148)

aceasta reprezint legea lui Malus. Pentru analiza gradului de polarizare se folosesc dispozitivele

numite analizoare, care sunt la fel ca i polarizoarele.

Figura 4.21

La trecerea luminii naturale prin dou polarizoare, planele de polarizare ale crora formeaz unghiul

atunci din primul va iei lumin plan polarizat cu intensitatea nI I ,01

2 iar din al doilea

I I cos 20 .

Aa dar dup doi polarizori avem

nI I cos 21

2 (4.149)

i max nI I 1

2 ( polarizorii sunt paraleli)

minI 0 ( polarizorii sunt cu plane de polarizare perpendiculare).

Dac lumina natural cade pe suprafaa de separaie a doi dielectrici atunci lumina parial se reflect

i parial se refract. Cercetnd cu un analizor aceste raze observm c ele sunt parial polarizate.

Analiznd acest fenomen Brewster a cptat legitate conform creia pentru un unghi de inciden iB

ce se determin din relaia


46/55

172

itg B n 21 (4.150)

Unde n21

indicele de refracie relativ al mediului 2fa de 1, raza reflectat devine plan polarizat,

iar raza refractat este maxim polarizat,dar nu total.

2. Birefrigena. Prisme de polarizare. Rotirea planului de polarizare.

Toate cristalele transparente ( cu excepia cristalelor de simetrie cubic ) posed proprietatea de

birefrigen, adic de mprire n dou fascicole refractoare. (Danezul E. Bartholik pentru spatul de

Islanda CaCO3, 1669). Unul din fascicole se supune legii refraciei obinuite i se numete raz

ordinar. Pentru aceast raz viteza de propagare a luminii, adic i indicele de refracie n au

aceleai valori n toate direciile.

Figura 4.22

Pentru raza a doua numit extraordinar( e) indicele de refracie depinde de unghiul de inciden.

Intensitatea razelor Oi e este una i aceeai, ns sunt polarizate n plane reciproc perpendiculare.

Fenomenul de birefrigen este utilizat pentru construirea polarizoarelor. Drept exemplu poate servi

prismele de polarizare i n particular prisma Nicol. Ea este alctuit din dou jumti din spat de

Islanda lipite cu o substan a crei indice de refracie este mai maredect indicele de refracie al

razei extraordinare dar mai mic dect al celei ordinare. La o alegere corespunztoare a unghiului de

inciden egal sau mai mare ca unghiul limit, raza ordinar sufer o reflexie total i este absorbit

de faa CB nnegrit, iar raza extraordinar va iei din cristal fiind paralel cu raza incident.


47/55

173

Figura 4.23

Unele substane numite optic active (soluie de zahr, oetul din vin.a.) posed proprietatea de a

roti planul de polarizare, care este numit activitate optic. (Francezul Arago, 1811) Unghiul de

rotaie este proporional cu distana l parcurs de lumin prin substana optic activ

l, (4.151)

unde este rotaia specific sau constanta de rotaie a soluiei. n soluii unghiul de rotaie a

planului de polarizare este proporional cu distana li cu concentraia substanei active C

Cl. (4.152)

Fenomenul rotirii planului de polarizare st la baza metodei de determinare precis a concentraiei

soluiilor, numitpolarimetrie.

Faraday a stabilit experimental c mediul optic neactiv obine sub aciunea unui cmp magnetic

exterior proprietatea de a roti planul de polarizare a luminii ce se propag n direcia cmpului.

Acest fenomen se numete efectul lui Faraday sau rotaie magnetic a planului de polarizare

VHl, (4.153)

unde H este intensitatea cmpului magnetic, iar V este constanta lui Verdet care depinde de natura

substanei i de lungimea de und a luminii .0

Anizotropia optic artificial.Seebeck i Brewster au descoperit fenomenul fotoelasticitate ce const n faptul c un corp solid

optic izotrop devine anizotrop sub aciunea unei deformaii mecanice

eon n k , 0 (4.154)

k caracterizeaz proprietile substanei, este tensiunea normal.

Kerr a constatat c un dielectric izotrop lichid sau solid, introdus ntr-un cmp electric omogen

suficient de puternic, devine optic anizotrop. Acest fenomen se numete efectul lui Kerr.

Schema instalaiei pentru observarea ecestui fenomen n lichid este


48/55

174

Figura 4.24

Sub aciunea cmpului electric omogen lichidul se polarizeaz i capt proprietile unui cristal

uniaxial birefrigent

eo o extn n B E ,

2

0 (4.155)0

este lungimea de und a luminii n vid. B este constanta Kerr. B (natura substanei, 0

,T).

Deseori se folosete alt constant KerrB

K ,n

0 n este indicele absolut de refracie al lichidului

n lipsa cmpului electric.

Tema 4.9 Radiaia termic.

1. Caracteristica radiaiei termice.

Experienele arat c toate corpurile nclzite la o anumit temperatur T emit radiaii,

cunoscute sub denumirea de radiaii termice. Structura spectral a acestei radiaii depinde de

temperatura T a corpurilor. (Pmntul domeniul infrarou ndeprtat, Soarele domeniile

ultraviolet vizibil, infrarou). S-a stabilit c indiferent de temperatura corpurilor, radiaiile emise

sunt unde electromagnetice. Pentru a caracteriza radiaia termic din punct de vedere cantitativ mai

nti vom introduce urmtoarele mrimi:

1) Radiana energetic (emitana total) este raportul dintre fluxul energetic d emis de o

suprafa elementar i aria dSa acestei suprafee

d W

R RdS m

2 (4.156)


49/55

175

2) Mrimea detrminat cu raportul dintre radiana energetic dR i intervalul de lungimi de

und d este numitputere spectral de emisie( emitan spectral). Aa dar

,T

dRr .

d

(4.157)

Cunoscnd puterea de emisie putem determina radiana energetic

,TR r d .

0

(4.158)

3) Puterea de absorbie a unui corp se definete prin raportul dintre fluxul radiaiei absorbite i

fluxul radiaiei incidente.

a,T

i

a .

(4.159)

n acelai interval de lungimi de und.Corpul care absoarbe toate radiaiile incidente, independent de lungimeade und i de temperatur,

adic pentru care

,Ta 1 (4.160)

se numete corp absolut negru.

De rnd cu noiunea de corp absolut negru se mai folosete i noiunea de corp cenuiu. Aceasta este

un corp puterea de absorbtie a cruia este mai mic ca unitatea, dar este aceeai pentru toate

lungimile de und i depinde numai de temperatur, natura corpului i starea suprafeei lui. Aa dar

1cen.

,T Ta a const (4.161)

Relaiile (1.2) (1.5) au fost definite ca funcii de i T. Folosind legtura dintre i v

C , (4.162)

aceste relaii pot fi reprezentate ca nite funcii de v i T .

2. Legile clasice ale radiaiei termice.

Fizicianul german Kirchhoff a artat n anul 1869 c raportul dintre puterea spectral de

emisie ,Tr i puterea spectral de absorbie ,Ta - este o funcie numai de lungime de und i

de temperatur T , independent de natura corpului

,T

,T

rf , T .

a (4.163)

Aceast relaie este cunoscut sub numele de legea lui Kirchhoff.


50/55

176

Pe baza datelor experimentale, fizicianul austriac J. Stefan a stabilit n 1879, iar Boltzmann n 1884

a dedus analitic folosind metoda termodinamicii pentru corpurile absolut negre, ca radiaia

energetic este proporional cu temperatura absolut la puterea a patra

TR T . 4 (4.164)

Fizicianul german Wilhelm Wien, a stabilit dependena lungimii de und ce corespunde maximului

funciei ,Tr n funcie de temperatur. Aceast dependen este cunoscut sub numele de legea

deplasrii a lui Wien

max

b.

T

(4.165)

Figura 4.25

3. Formulele Rayleigh -Jeans i a lui Planck.

Legile lui Stefan Boltzmann i Wien au artat c metoda termodinamic pentru

determinarea funciei Kirchhoff nu au dat rezultatele dorite. Urmtoarea ncercare a fost fcut de

fizicienii englezi Rayleigh i Jeans, care au folosit metodele fizicii statistice pentru radiaia termic,


51/55

177

utiliznd pentru aceasta legea clasic de distribuie uniform a energiei dup gradele de libertate.

Formula RayleighJeans pentru puterea spectral de emisie a unui corp negru are forma

,Tr kTc c

2 2

2 2

2 2 (4.166)

unde kT este energia medie a unui oscilator cu frecvena proprie .

ns nici aceast relaie nu este n acord cu datele experimentale pentru ,Tr . Mai mult ca att din

formula de mai sus nu rezult legea Stefan Boltzmann

,T

kTR r d d .

c

22

0 0

2

(4.167)

Figura 4.26

Formula corect pentru funcia Kirchhoff al unui corp absolut negru a fost stabilit abea n 1900 de

ctre fizicianul german Max Planck. Pentru aceasta Planck a naintat ipoteza cuantic, adic

oscilatorii atomici emit energia nu continuu ci n anumite poriuni numite cuante. Pe de alt parte ela considerat, c formula Rayleigh Jeans este corect pn la etapa determinrii energiei medii a

oscilatorului. n cazul ipotezei cuantice energia medie a oscilatorului nu mai este egal cu kT.

Pentru Planck a obinut

h

kT

h.

e

1 (4.168)

i pentru puterea spectral de emisie el a gsit formula


52/55

178

,T h

kT

hr ,

ce

3

2

2 1

1 (4.169)

cndh

kT h

h kT e ,kT

1 atunci ,Tr kT.

c

2

2

2 (RayleighJeans)

h h

kT kT,T

hh kT e e r .

c

3

2

21

(4.170)

Tema 4.9 Natura cuantic a iradierii (II)

1. Fotoefectul. Legile efectului fotoelectric. Ecuaia lui Einstein pentru

efectul fotoelectric exterior. ( sinestttor la laborator)

2. Masa i impulsul fotonului. Presiunea luminii.

Conform ipotezei lui Einstein despre cuantele de lumin, lumina se absoarbe, se iradiaz i

se propag n poriuni discrete (cuante) numite fotoni. Energia unui foton este h . 0 Din relaia

de legtur a masei i energiei

E mc , 2 (4.171)

obinem pentru masa fotonului

f

hm .c

2 (4.172)

Aa dar fotonul este o particul elementar care ntotdeauna se mic cu viteza luminii ci are masa

de repaos egal cu zero. Cu alte cuvinte spre deosebire de alte particule elementare (electron,

proton, neutron) fotonul n stare de repaos nu exist. Impulsul fotonului se definete cu

f f

h hP m c c .

c cc

0

2 (4.173)


53/55

179

Relaiile (4.172) i (4.173) mpreun cu h 0

leag caracteristicile corpusculare ale fotonului

(masa, impulsul, energia) cu caracteristicile ondulare ale luminii (frecvena, lungimea de und).

Deoarece fotonii posed impuls, la incidena lor asupra unui corp, vor produce asupra lui o presiune

oarecare din cauza transmiterii de ctre foton impulsului su. Fie un flux de lumin monocromatic

care cade perpendicular pe suprafaa unui corp. S calculm presiunea luminii. Dac ntr-o

unitate de timp pe o unitate de suprafa vor cdeaNfotoni, atunci dac suprafaa este caracterizat

de coeficientul de reflexie ,N sunt fotonii ce se vor reflecta, iar 1 N se vor absorbi. Fiecare

foton absorbit va transmite suprafeei un impulsf

hp

c

iar fiecare foton reflectat f

hp .

c

22

Presiunea luminii este

p h h h

P ; P N N N.S c c c

21 1 (4.174)

n (4.174) Nhv I este energia tuturor fotonilor care cad pe o unitate de suprafa ntr-o unitate

de timp, adic intensitatea luminii iar Iwc

este densitatea volumic a energiei radiaiei incidente.

Aa dar

I

p w .c

1 1 (4.175)

3. Efectul Compton

Efectul Compton a constituit nc o dovad experimental a existenei fotonilor de lumin.

Acest efect are loc la mprtierea radiaiilor X (Rontgen) pe electronii slab legai i const n

faptul, c lungimea de und a radiaiei mprtiate este mai mare dect a celei incidente, iar

diferena depinde numai de unghiul de mprtiere v, ceea ce contravine prevederilor

clasice conform crora . S cercetm acest efect din punctul de vedere al naturii cuantice a

luminii. Vom considera, c fotonii radiaiei incidente se ciocnesc cu electronii. n acest proces de

ciocnire se ndeplinesc legile de conservare ale energiei i impulsului

h m c mc h

h hmv

c c

2 2

0

(4.176)


54/55

180

h hcos v mv cos

c c

hsin v mv sin

c

0

(4.177)

m v c h h h cos v . 2 2 2 2 2 2 2 22 (4.178)

Ridicm la ptrat(4.176)

m c h m c h m c h m c . 2

2 4 2 2 2 2 2 2 4

0 0 02 2 (4.179)

Scdem din (4.179) relaia (4.178)

m c c v m c h cos v m c h . 2 2 2 2 2 4 2 20 02 1 2 (4.180)

Din

2 2 2 2 20

02

2

.v

1

mm m c v m c

c

sa deosebim v de niu (4.181)

Din (4.179) avem

m c m c

cos v ,h h

2 2

0 0 1 1

1

(4.182)

sau h h v

cos v sin ,m c m c

2

2 2

0 0

1 1 21

2

(4.183)

darc

, (4.184)

atunci ch v v

sin sin ,m c

2 2

0

2

2 2 (4.185)

unde ch

m c

0

2este lungimea de und Compton care pentru electron este 2.426 pm.

Electronul care n efectul Compton obine impulsul ep mv i energia Wse numete electronde recul.


55/55

Figura 4.27

De aratat pe viitor minumil necesar pentru un nota 5

5 oscilatii si unde_trimis

Documents