manual oscilatii si unde cl a xi-a

OscilaÆii çi unde mecanice 217

4.1. OscilaÆii. Oscilatorul liniar armonicÎn viaÆa de toate zilele întâlnim deseori miçcåri în care un sistem mecanic, scos

din poziÆia sa de echilibru çi låsat liber, este readus în acea poziÆie cu o anumitåvitezå, sub acÆiunea unei forÆe de revenire; de aici, datoritå inerÆiei, el îçi continuåmiçcarea în sens opus. Corpul este adus din nou de cåtre forÆa de revenire în poziÆiade echilibru, de unde miçcarea continuå datoritå inerÆiei.

Miçcarea de dus-întors efectuatå de o parte çi de cealaltå a poziÆiei de echilibrupoartå numele de oscilaÆie sau vibraÆie.

Un exemplu cunoscut este miçcarea pendulului consti-tuit dintr-un corp de maså m suspendat de un fir inextensibil(fig. 4.1). În poziÆia de echilibru (O), corpul atârnå de firulvertical. Când este scos din aceastå poziÆie çi apoi eliberat(din poziÆia A, spre exemplu), corpul începe så oscileze de oparte çi de alta a poziÆiei de echilibru, descriind un arc decerc, într-un mod regulat çi care se repetå. ForÆa care facecorpul så revinå de fiecare datå spre poziÆia de echilibrueste componenta tangenÆialå a greutåÆii, tG . Ea joacå rolde forÆå de revenire. Masa m a corpului, måsurå a inerÆieiacestuia, determinå continuarea oscilaÆiei la fiecare trecereprin poziÆia de echilibru.

Un alt exemplu de sistem mecanic oscilant este o lamåelasticå de oÆel fixatå cu un capåt într-o menghinå (fig. 4.2).Deplasând lateral capåtul superior çi eliberându-l, lamaîncepe så vibreze (oscileze) în jurul poziÆiei verticale deechilibru. Pentru orice poziÆie instantanee M, forÆa de revenireeste forÆa elasticå ce ia naçtere în lama deformatå çi esteorientatå spre poziÆia ei de echilibru. Cum forÆa elasticådepinde de deformare, iar aceasta variazå în timpul

oscilaÆiei, ne açteptåm ca çi acceleraÆia pe care forÆa de revenire o imprimå lameiså depindå de deformare. Cu cât lama se îndepårteazå mai mult de poziÆia deechilibru, deci cu cât deformarea ei (sågeata) s este mai mare, cu atât forÆa elasticåçi acceleraÆia sunt mai mari în modul. RemarcaÆi cå atât sensul forÆei elastice, câtçi sensul acceleraÆiei sunt opuse sensului deformårii s .

Când lama se îndepårteazå de poziÆia de echilibru, miçcarea ei este încetinitå,astfel cå la capåtul cursei viteza oscilatorului se anuleazå. În acest moment, forÆaelasticå este maximå çi acceleraÆia de asemenea. Revenirea la poziÆia de echilibrueste o miçcare acceleratå (viteza çi acceleraÆia având acelaçi sens). Viteza devinemaximå la trecerea prin poziÆia de echilibru, poziÆie în care forÆa de revenire çiacceleraÆia se anuleazå. Miçcarea continuå în sens opus, încetinitå la dus çi acceleratåla întoarcere.

Fig. 4.1

Fig. 4.2

OSCILAæIIÇI UNDE MECANICE

CAPITOLUL

4

218 Fizicå – Manual pentru clasa a XI-a

O miçcare oscilatorie liniarå (rectilinie) efectueazåçi corpul din fig. 4.3, suspendat de un resort elastic de masåneglijabilå. ªi aici forÆa de revenire este forÆa elasticå.

Studiul acestui oscilator elastic va face obiectul unuiparagraf special.

Putem menÆiona multe alte exemple de oscilatorimecanici: balansierul unui ceas, pistonul unui motorcu ardere internå, corzile unui instrument muzical,nodurile (atomii, ionii) reÆelei cristaline a unui corp solidcare vibreazå în jurul poziÆiilor lor de echilibru etc. Inima

este de asemenea un sistem oscilant. Toate instrumentele muzicale comportå, açacum veÆi vedea în paragraful de acusticå, sisteme oscilante.

Vom studia mai întâi oscilatorii mecanici – sisteme închise – care au suferit operturbaÆie iniÆialå (scoatere din poziÆia de echilibru, comunicarea unui impuls dinexterior), fiind apoi låsaÆi så oscileze liber fårå nici o altå influenÆå. Astfel deoscilatori efectueazå oscilaÆii libere numite çi oscilaÆii proprii.

Vom aborda studiul sistemelor oscilatorii libere pe modelul simplificat al unuipunct material care oscileazå liniar armonic. Din punct de vedere cinematic, vomcaracteriza miçcarea oscilatorie liniar armonicå prin:

direcÆia de miçcare a oscilatorului (punctul material),cåreia îi ataçåm o axå de coordonate Ox, de obicei cuoriginea în poziÆia de echilibru a oscilatorului, axå pecare vom considera un sens pozitiv de deplasare;poziÆia instantanee M a oscilatorului este reperatåfaÆå de poziÆia de echilibru prin vectorul de poziÆieOM . ProiecÆia acestuia pe axa Ox reprezintåelongaÆia oscilaÆiei, x. Aceasta ia, în mod alternativ,valori pozitive çi negative prin deplasarea oscilatoruluide o parte çi de alta a originii axei.PoziÆiei de echilibru O îi corespunde x = 0. Depen-

denÆa de timp a elongaÆiei x = x(t) reprezintå legea sauecuaÆia de miçcare a oscilatorului.

ExperienÆa aratå cå miçcarea oscilatorie este limitatå la un interval de lungimeale cårui extremitåÆi sunt simetrice faÆå de poziÆia de echilibru. Vom numi amplitudinea oscilaÆiei liniare armonice valoarea maximå a elongaÆiei sale çi o vom nota cu A :

A = xmax (1)ExtremitåÆile cursei oscilatorului sunt punctele A de absciså A çi respectiv A′ de

absciså –A , simetrice faÆå de poziÆia O de echilibru. Viteza liniarå instantanee a oscilatorului se defineçte prin:

v def=

0lim

→∆t tx

∆∆ (2)

având (dupå cum çtiÆi de la analiza matematicå) semnificaÆia de derivatå în raportcu timpul t a funcÆiei x(t) la momentul t, notatå:

v = dtdx = x (3)

Fig. 4.3

Fig. 4.4

Fig. 4.5


Vectorul vitezå v în miçcarea oscilatorie liniar armonicå îçi modificå sensul înmod periodic, la fiecare capåt al cursei de oscilaÆie.

Numim perioadå a oscilaÆiei intervalul de timp T necesar efectuårii uneioscilaÆii complete, adicå timpul scurs între douå treceri consecutive ale oscilatoruluiprin aceeaçi poziÆie çi în acelaçi sens. De exemplu, drumul O → A → O → A′ → Osau A → O → A′ → O → A constituie oscilaÆii complete. Miçcarea oscilatorie liniararmonicå este o miçcare periodicå, mobilul trecând consecutiv prin aceeaçi poziÆie,în acelaçi sens çi cu aceeaçi vitezå la intervale de timp egale. Perioada sa, T, este omårime constantå.

Atât funcÆia x(t), care reprezinå ecuaÆia de miçcare, cât çi funcÆia v(t),reprezentând legea vitezei în miçcarea oscilatorie liniar-armonicå, sunt funcÆiiperiodice de timp:

x(t) = x(t + kT) (4)v(t) = v(t + nT) (5)

unde k, n ∈ NNNNN. Inversul perioadei reprezintå frecvenÆa oscilaÆiei, adicå numårul de oscilaÆii

efectuate în unitatea de timp:

υ = T

1(6)

Unitatea de måsurå pentru T în SI este secunda, iar pentru frecvenÆå este s–1 (Hertz). Oscilatorul liniar armonic este adesea caracterizat prin mårimea frecvenÆå

unghiularå sau pulsaÆie, ω, definitå cinematic prin relaÆia:

ω = Tπ2 = 2πυ (rad/s) (7)

VeÆi vedea în paragrafele urmåtoare cå pulsaÆia este legatå de proprietåÆile fiziceale oscilatorului. Påtratul såu, ω2, reprezintå intensitatea forÆei de revenire raportatåla valoarea deformårii (elongaÆiei) çi la masa oscilatorului.

AcceleraÆia instantanee a oscilatorului este, conform definiÆiei studiate înclasa a IX-a:

tva

t

def

∆∆=

→∆ 0lim (8)

având semnificaÆia derivatei vitezei la momentul t, notatå:

tva =

dd = v (9)

Dacå Æinem cont de (3) atunci acceleraÆia momentanå reprezintå derivata adoua a coordonatei de poziÆie, x, la momentul respectiv de timp, notatå:

txa =≡ 2

2

dd x (10)

Prin definiÆie, miçcarea oscilatorie liniarå este armonicå dacå acceleraÆiamobilului este în orice moment proporÆionalå çi de sens contrar cu elongaÆia:

a = – ω2 x (11)constanta de proporÆionalitate fiind egalå cu påtratul pulsaÆiei.

RelaÆia (11) reprezintå condiÆia de armonicitate, definitorie pentru acest model deoscilator. Oscilatorul armonic serveçte drept model exact sau aproximativ pentrutratarea multor miçcåri periodice din fizica clasicå çi fizica microobiectelor (cuanticå).


4.2. Cinematica miçcårii oscilatorii liniar armonice

Singura miçcare periodicå pe care aÆi studiat-o în clasaa IX-a este miçcarea circularå uniformå. Så ne reamintim cåmobilul aflat în miçcare circularå uniformå parcurge arcede cerc egale în intervale de timp egale, adicå viteza luiliniarå v este constantå în modul. Vectorul vitezå liniarå v ,tangent în fiecare moment la traiectoria circularå, îçimodificå în mod continuu orientarea. AcceleraÆia miçcårii,datoratå exclusiv variaÆiei orientårii vitezei, se numeçtecentripetå çi are expresia:

Rvacp

2= (1)

unde R – raza traiectoriei.Perioada T, reprezentând intervalul de timp în care mobilul efectueazå o rotaÆie

completå, este constantå.Viteza unghiularå ω a miçcårii circulare uniforme reprezintå unghiul la centru

måturat de raza vectoare R în unitatea de timp:

t∆α∆=ω (2)

Viteza unghiularå se måsoarå în rad ⋅ s–1 çi este constantå în timp.Modulul vitezei liniare çi viteza unghiularå sunt legate prin relaÆia:v = ω ⋅ R (3)FrecvenÆa miçcårii circulare υ, reprezintå numårul de oscilaÆii efectuate în unitatea

de timp:

υT1= (4)

çi se måsoarå în s–1 = Hz (Hertz)Între frecvenÆå çi viteza unghiularå se stabileçte relaÆia:

ω = 2πυTπ= 2 (5)

Så vedem care este legåtura dintre miçcarea oscilatorie liniar armonicå de-alungul unei direcÆii çi miçcarea circularå uniformå, având în vedere periodicitateaamândurora. Vom putea stabili, pe baza acestei legåturi, ecuaÆia miçcårii liniararmonice x(t), ecuaÆia vitezei v(t) çi dependenÆa de timp a acceleraÆiei a(t), dând ointerpretare geometricå pulsaÆiei (frecvenÆei unghiulare) oscilaÆiei armonice.

Fig. 4.6

vvv

vvv

===

≠≠

||||||dar

321

321

v


ExperimentLa marginea platoului unei centrifuge manuale,

instalaÆi o tijå verticalå cu o bilå în vârf (fig. 4.7). FaceÆiîntuneric în salå çi plasaÆi centrifuga în apropierea unuiperete sau ecran. De la o distanÆå oarecare luminaÆi tijacu un fascicul paralel de luminå de la un aparat deproiecÆie. UrmåriÆi miçcarea umbrei bilei pe perete întimpul rotirii cu turaÆie constantå a platoului. Este aceastao miçcare oscilatorie liniarå? Dar armonicå?

4.2.1. EcuaÆia de miçcare a oscilatorului liniar-armonicVom demonstra cå proiecÆia miçcårii circulare uniforme pe direcÆia unuia dintre

diametrele cercului (sau pe o direcÆie coplanarå cu traiectoria circularå) este omiçcare oscilatorie armonicå.

Fie x′Ox o axå de coordonate pe direcÆia diame-trului AA′ al cercului de razå R, descris de un mobilîn miçcare circularå uniformå (fig. 4.8). În timp ceacesta descrie cercul, proiecÆia sa pe axå descrie omiçcare oscilatorie liniarå în jurul poziÆiei centraleO, între extremitåÆile A çi A′ ale diametrului.

Fie M0 poziÆia mobilului la momentul iniÆial, t0 = 0,reperabilå prin unghiul la centru ϕ pe care raza vec-toare 0OM îl face cu direcÆia Oz, ortogonalå pe Ox.

ProiecÆia P0 a punctului M0 pe axa Ox va constituipoziÆia iniÆialå în miçcarea oscilatorie liniarå.ElongaÆia corespunzåtoare poziÆiei iniÆiale:

ϕ=≡ sin00 RxOP (1)Fie ω viteza unghiularå constantå a mobilului ce descrie cercul în sens pozitiv

trigonometric (invers acelor de ceasornic) çi fie M poziÆia acestuia la momentul t (t> t0). Unghiul la centru descris de raza vectoare în intervalul de timp t – t0 = t esteωt. ProiecÆia lui M pe axa Ox este punctul P. Acesta constituie poziÆia la momentult în miçcarea oscilatorie.

ElongaÆia instantanee reprezentatå de segmentul OP se calculeazå trigonometricdin triunghiul dreptunghic OMP, în care unghiul OMP α = ωt + ϕ. Se obÆine:

( ) == OMOPtx sin α = R sin(ωt + ϕ) (2)Valoarea maximå a elongaÆiei oscilaÆiei se obÆine când M ajunge în extremitatea

A a diametrului; în acest moment, proiecÆia lui M se aflå, de asemenea, în A.Rezultå cå amplitudinea oscilaÆiei este egalå cu raza R a cercului:

xmax ≡ A = R (3)EcuaÆia miçcårii oscilatorii liniare obÆinutå prin proiectarea descriså se va scrie:

x(t) = A sin(ωt + ϕ) (4)

unde ϕ, conform (1) çi (3), va fi dat de relaÆia:

A0arcsin

x=ϕ (5)

Fig. 4.7

Fig. 4.8


Argumentul funcÆiei sinus din ecuaÆia (4), unghiul (ωt + ϕ), se numeçte unghide fazå sau pe scurt faza miçcårii la momentul t.

La momentul iniÆial t0 = 0, faza miçcårii este unghiul ϕ, numit fazå iniÆialå(sau fazå la originea timpului).

Din punct de vedere matematic, funcÆia sinusoidalå (4) ce descrie miçcareaoscilatorie este continuå pe intervalul t ∈ [0, ∞), mårginitå (ia valori între limitelexmax = A çi xmin = –A ) çi periodicå. Perioada oscilaÆiei obÆinute prin proiecÆie esteevident egalå cu cea a miçcårii circulare. Mobilul M çi oscilatorul P ajung simultanîn extremitåÆile diametrului, aça încât în timpul în care mobilul M efectueazå orotaÆie completå, proiecÆia sa P efectueazå o oscilaÆie completå.

FrecvenÆa oscilatorului este çi ea egalå cu frecvenÆa υ a miçcårii circulare.FrecvenÆa unghiularå (pulsaÆia) a oscilatorului reprezintå viteza unghiularå ω amobilului în miçcare circularå, aflându-se în aceeaçi relaÆie cu perioada T:

πν=π=ω 22

Tυ (6)

Periodicitatea se verificå imediat în baza periodicitåÆii funcÆiei sinus:

x(t + kT) = A sin ( )

ϕ++π kTt

T2 = =

ϕ+π+π k2sinA

Tt2

= )sin(2sin ϕ+ω=

ϕ+π t

Tt AA = x(t) (7)

Tot pe baza periodicitåÆii vom alcåtui, în vederea trasårii graficului, tabelul devariaÆie a funcÆiei x(t) doar pentru prima perioadå de oscilaÆie, t ∈ [0, T], çtiind cåvalorile ei se repetå ca mårime, direcÆie çi sens de variaÆie dupå o perioadå sau unmultiplu întreg al acesteia.

Exemplu aplicativ 1EnunÆ: TrasaÆi graficul dependenÆei de timp a elongaÆiei unui oscilator liniar descris

de ecuaÆia: x1(t) = 5 sin2tπ (cm) (8)

SoluÆie: Amplitudinea oscilaÆiei este A = 5 cm, pulsaÆia 2π=ω rad ⋅ s–1, iar faza la

originea timpului, ϕ = 0. Perioada oscilaÆiei, ωπ= 2T = 4 s.

Alcåtuim tabelul de variaÆie pentru o perioadå.

t (s) 0 5,08

=T4T = 1

2T = 2

43T = 3 T = 4

faza: 2tπ=α 0

4π

2π π

23π 2π

x1 = 5 sin2tπ (cm) 0

225 5 0 – 5 0

Max. min.

Graficul funcÆiei x(t) este redat prin sinusoida din fig. 4.9, obÆinutå prin extinderea, înbaza periodicitåÆii, a domeniului de la t ∈ [0, T] la t ∈[0, ∞).


Ordonata la originea timpului, având semnificaÆia de poziÆie iniÆialå a oscilatorului,este în acest caz nulå, x01 = 0. Oscilatorul se aflå la momentul iniÆial în poziÆie deechilibru, cåci faza la origine ϕ = 0.

Så observåm cå punc-tele B, D, F din grafic,corespunzând aceleiaçivalori x a elongaÆiei,dar çi aceluiaçi sens devariaÆie (descrescåtor) alacesteia, sunt separateprin intervale temporaleegale cu o perioadå sauun multiplu întreg alacesteia. Deçi punctele A

çi B (sau A çi D etc.) corespund çi ele aceleiaçi valori a elongaÆiei, x, ele diferå prinsensul de variaÆie a elongaÆiei: pentru A, elongaÆia creçte, iar pentru B sau D elongaÆiadescreçte. Prin urmare, tB – tA ≠ T (respectiv tD – tA ≠ kT, k ∈ N).

Exemplu aplicativ 2

EnunÆ: ReprezentaÆi acum graficul dependenÆei de timp a elongaÆiei oscilatorului descrisde ecuaÆia:

x2(t) = 5 sin

π+π

32t (cm) (9)

SoluÆie:Så observåm cå amplitudinea çipulsaÆia oscilatorului sunt aceleaçi caîn prima aplicaÆie. Cele douå oscilaÆiidiferå prin faza la originea timpului.În al doilea caz, aceasta are valoarea:

3

π=ϕ (10)

ceea ce înseamnå cå faÆå de primaoscilaÆie, aceasta este defazatå în avanscu π/3. Graficul lui x2(t) se obÆinedin primul grafic printr-o translaÆie(fig. 4.10) în lungul axei timpului,echivalentå cu decalajul temporaldintre cei doi oscilatori:

s32

62===⋅

πϕ=

ωϕ=∆ TTt (11)

Ordonata la originea timpului, adicå poziÆia iniÆialå a oscilatorului, va fi în acest caz:

x02 = A sin ϕ = 235 cm (12)

Fig. 4.9

Fig. 4.10


4.2.2. EcuaÆia vitezei oscilatorului liniar

Viteza liniarå tv în miçcarea circularå uniformåeste tangentå la cerc în punctul M, unde se aflåmobilul la momentul de timp t, iar modulul såupåstreazå valoarea constantå:

vt = ωR = ωA (1)ProiecÆia vitezei tangenÆiale tv pe axa Ox repre-

zintå viteza instantanee v a oscilatorului liniar, aflatîn poziÆia P de elongaÆie x, la momentul t (fig. 4.11):

v = vx = vt · cos α (2)unde α este unghiul de fazå la momentul t:

α = ωt + ϕ (3)Înlocuind (1) çi (3) în (2) obÆinem ecuaÆia vitezei:

v(t) = A ω cos(ωt + ϕ) (4)

Så observåm cå funcÆia v(t) este continuå çiperiodicå pentru t ∈ [0, ∞), ca çi x(t).

Valorile extreme ale vitezei în miçcarea oscilatorie(vmax = A ω çi respectiv vmin = –A ω) sunt atinse latrecerea oscilatorului prin poziÆia centralå O (fig.4.12), într-un sens çi în altul, iar anularea vitezei deoscilaÆie are loc în poziÆiile extreme ale cursei, A çiA′, în care elongaÆia atinge valorile maxime A çirespectiv –A .

Oricum, ne açteptåm la acest defazaj între vitezav(t) çi elongaÆia corespunzåtoare, x(t), ele fiinddescrise matematic prin funcÆii sinus çi cosinus ale

aceluiaçi argument, între care existå relaÆia cunoscutå:

cos(ωt + ϕ) = sin

π+ϕ+ω2

t (5)

Rezultå cå viteza oscilatorului liniar este, în orice moment de timp, defazatå cu

2π radiani (90°) în avans faÆå de elongaÆie. Se spune cå viteza este în cuadraturå

avans faÆå de elongaÆie.

ObservaÆ ieAnalitic, çtim de la matematici cå în orice punct de extrem al unei funcÆii

continue çi derivabile derivata se anuleazå. æinând cont cå x = ± A sunt punctede maxim, respectiv minim ale elongaÆiei çi cå derivata acesteia în raport cutimpul reprezintå viteza în punctele (la momentele) respective, deducem cå vitezase anuleazå în poziÆiile extreme ale cursei oscilatorului.

xm = ± A ⇒ v = 0 (6)Viteza oscilatorului este pozitivå în jumåtatea de perioadå corespunzåtoare

deplasårii de la A′ la A çi negativå în jumåtatea de perioadå destinatå deplasåriide la A spre A′.

Fig. 4.11

Fig. 4.12


Reprezentarea graficå a vitezei cafuncÆie de timp ilustreazå alternanÆasemnului vitezei çi defazajul acesteiaîn raport cu elongaÆia.

Pentru oscilatorul:

x1(t) = 5 sin t2π (cm) din exemplul 1,

viteza are forma analiticå

v1(t) = t⋅ππ2

cos25 (cm/s)

çi reprezentarea graficå din fig. 4.13.a.Pentru oscilatorul:

x2(t) = 5 sin

π+π32

t (cm),

graficul dependenÆei vitezei

v2(t) =

π+ππ

32cos

25 t (cm/s)

este ilustrat în fig. 4.13.b. RemarcaÆicå ordonata la originea timpuluireprezintå viteza iniÆialå a oscila-torului:

v0 = v(t0 = 0) = A ω cos ϕ (7)

v01 = 25π cm s–1

v02 = 1s cm45 −π

4.2.3. AcceleraÆia oscilatorului liniar

ObÆinem expresia acceleraÆiei oscilatorului la momentult prin proiectarea acceleraÆiei instantanee centripete amobilului M în miçcare circularå uniformå (fig. 4.14).

Cum ac = A222

ω=ω= RRvt (1)

rezultå:a = – ac sin(ωt + ϕ) = – ω2A sin(ωt + ϕ) (2)Este de remarcat faptul cå la orice moment de timp,

vectorul poziÆie OP al oscilatorului çi vectorul accele-raÆie a sunt de sensuri opuse.

Aceasta revine la a spune cå acceleraÆia a(t) çielongaÆia x(t) sunt în orice moment de semne contrare.

Fig. 4.13

Fig. 4.14

a)

b)


Comparând ecuaÆia miçcårii oscilatorii studiate:x(t) = A sin(ωt + ϕ) (3)

cu expresia acceleraÆiei datå de (2) ajungem la relaÆia:

a = – ω2 x (4)

Faptul cå acceleraÆia miçcårii oscilatorii liniare este în orice moment proporÆionalåcu elongaÆia çi de sens contrar acesteia face cå aceastå miçcare så fie armonicå.

AcceleraÆia oscilaÆiei liniar-armonice obÆinute prin proiectarea miçcårii circulareuniforme este defazatå faÆå de elongaÆie cu π radiani (180°):

a(t) = – ω2A sin(ωt + ϕ) = ω2A sin(ωt + ϕ + π) (5)

iar faÆå de vitezå cu 2

π radiani în avans. Spunem cå acceleraÆia este în opoziÆie de

fazå cu elongaÆia çi în cuadraturå avans faÆå de vitezå.Aceste defazaje sunt puse

în evidenÆå çi prin compa-rarea graficelor acceleraÆiei,vitezei çi elongaÆiei ca funcÆiide timp, trasate în acelaçisistem de axe (fig. 4.15).

AcceleraÆia devine ma-ximå (A ω2) când elongaÆiaeste minimå (–A ) çi invers.Ambele mårimi se anuleazåsimultan, la trecerea oscila-torului prin poziÆia centralåO (x = 0, a = 0).

ObservaÆii1. Armonicitatea oscilaÆiilor sinusoidale este o consecinÆå a formei lor analitice.

Într-adevår, pentru funcÆia de forma:x(t) = A sin(ωt + ϕ) (6)

derivata întâi în raport cu timpul, având semnificaÆia fizicå de vitezå instantaneea oscilatorului, va avea expresia cunoscutå:

)(d

)(d)( tx

ttx

tv == = –A ω cos(ωt + ϕ) (7)

Derivata a doua a elongaÆiei, reprezentând acceleraÆia instantanee, este deasemenea funcÆie sinusoidalå de timp:

)(d

)(d)( tv

ttv

ta == = –A ω2 sin(ωt + ϕ) (8)

Astfel cå funcÆia çi derivata a doua a funcÆiei în raport cu timpul au, la oricemoment de timp t, valori direct proporÆionale çi de semne opuse:

a(t) = – ( )tx2ω (9)ceea ce determinå armonicitatea oscilaÆiilor.

Fig. 4.15


2. Trebuie menÆionat cå atât proiecÆia miçcårii circulare uniforme pe direcÆiaOx a diametrului 'AA al cercului, cât çi proiecÆia pe direcÆia Oz a diametrului 'BBperpendicular pe 'AA constituie miçcåri oscilatorii liniar armonice (fig. 4.16).

Într-adevår, oscilaÆia obÆinutå prin proiectareape Oz are ecuaÆia:

z(t) = A cos(ωt + ϕ) (10)PulsaÆia ω çi amplitudinea A sunt aceleaçi. Cele

douå oscilaÆii perpendiculare diferå doar prin fazala originea timpului:

z(t) = A cos(ωt + ϕ) = A sin

π+ϕ+ω

2t (11)

Defazajul între oscilaÆii se menÆine constant, egal

cu 2π .

Putem astfel privi miçcarea circularå uniformåca rezultat al compunerii a douå miçcåri oscilatorii

liniar armonice de aceeaçi amplitudine çi frecvenÆå, perpendiculare çi defazate cu

2

π una faÆå de cealaltå.

Considerând planul xOz ca plan complex, vectorul de poziÆie OM de modul Aeste determinat prin afixul såu complex, notat A :

A = A cos(ωt + ϕ) + iA sin(ωt + ϕ) = A ϕω ⋅ iti ee (12)Afixul A reprezintå miçcarea oscilatorie liniar armonicå, întrucât atâtRe A = A cos(ωt + ϕ) = z(t) (13)

cât çiIm A = A sin(ωt + ϕ) = x(t) (14)

reprezintå elongaÆiile a doi oscilatori liniar armonici.Mårimea complexå A se numeçte elongaÆie complexå armonicå. Viteza

complexå çi acceleraÆia complexå vor fi reprezentate prin derivatele de ordinulîntâi çi respectiv doi ale elongaÆiei complexe:

A=v AA ω=⋅ω= ϕω ieei iti (15)

va = AA 22 ω−=⋅ω−= ϕω iti ee (16)

4.2.4 Reprezentarea fazorialå a oscilaÆiei liniar armonice

Reprezentarea mårimilor oscilatorii prin vectori, numiÆifazori, reduce multe probleme legate de oscilaÆii la problemede geometrie elementarå.

Un fazor este un vector rotitor în planul xOz (fig. 4.17) acårui origine este fixå çi coincide cu originea axelor decoordonate; extremitatea fazorului se roteçte uniform în senspozitiv trigonometric cu o vitezå unghiularå ω egalå cu pulsaÆiaoscilaÆiei; la momentul iniÆial t0 = 0, fazorul face cu axa Oz un

Fig. 4.16

Fig. 4.17


unghi ϕ egal cu faza iniÆialå a oscilaÆiei; modulul fazorului corespunde amplitudiniioscilaÆiei reprezentate. Astfel, modulul fazorului prin care se reprezintå elongaÆiaunei miçcåri oscilatorii liniar armonice:

x(t) = A sin(ωt + ϕ)corespunde amplitudinii A . ProiecÆia fazorului, la orice moment de timp t, pe axaOx este chiar elongaÆia miçcårii la acel moment, x(t).

Fazorul ce reprezintå viteza oscilatorului liniar armonic:v(t) = A ω cos(ωt + ϕ)

se roteçte cu aceeaçi vitezå unghiularå ω, are modulul egal cu amplitudinea vitezei

vmax = A ω çi este, la orice moment de timp, defazat cu 2π înaintea fazorului

elongaÆiei (cuadraturå avans). PoziÆia relativå a celordoi fazori nu se modificå în timpul rotirii lor (fig. 4.18)

Fazorul reprezentativ pentru acceleraÆia oscilatoruluiarmonic:

a(t) = –A ω2sin(ωt + ϕ)va avea modulul A ω2, se va roti cu aceeaçi vitezåunghiularå ω çi va fi în permanenÆå opus fazoruluielongaÆiei, ceea ce corespunde defazajului de π radianiexistent între acceleraÆie çi elongaÆie (opoziÆie de fazå).În raport cu fazorul vitezei, fazorul acceleraÆiei este încuadraturå avans (fig. 4.18).

Reprezentarea oscilaÆiilor armonice prin fazori este foarte utilå în studiulcircuitelor de curent alternativ çi în opticå. Metoda fazorialå de tratare a oscilaÆiilora fost puså la punct de fizicianul francez Fresnel.

ExerciÆiu aplicativ

EnunÆ: ScrieÆi ecuaÆia de miçcare a unui oscilator cu frecvenÆa υ = 50 Hz dacå lamomentul iniÆial:a) este låsat så oscileze liber dintr-o poziÆie aflatå pe direcÆia de oscilaÆie Ox

la distanÆa x0 = 3 cm de poziÆia sa de echilibru O;

b) se aflå în poziÆia de echilibru x0 = O çi i se comunicå un impuls p0 = 5π kg ms–1

pe direcÆia de oscilaÆie;c) se aflå în punctul de absciså x0 = 4 cm çi are viteza v0 = 3π ms–1.

SoluÆie: Scrierea ecuaÆiei oscilaÆiei liniar armonice:x(t) = A sin(ωt + ϕ)presupune cunoaçterea pulsaÆiei, ω, a amplitudinii, A çi a fazei la origineatimpului, ϕ.PulsaÆia se determinå din relaÆia:ω = 2πυ = 100π rad s–1

Constantele A çi ϕ sunt unic determinate de condiÆiile iniÆiale ale problemei,adicå de poziÆia iniÆialå x0 a oscilatorului çi de viteza acestuia la momentuliniÆial, v0.

Fig. 4.18


Pentru t0 = 0, din ecuaÆia de miçcare çi ecuaÆia vitezei se obÆine sistemul dedouå ecuaÆii cu douå necunoscute:

( )( )í

ìë

jw=¹=jÖ=¹= A

Acos0sin0

00

00vtvxtx

(1)

Pentru aflarea lui A çi ϕ, punem ecuaÆiile sistemului sub forma:

A 0sin

x=ϕ ; ω

=ϕA

0cosv

(2)

Prin ridicarea la påtrat çi adunarea membru cu membru a ecuaÆiilor, obÆinempentru amplitudine:

A 220

20

1 ω+ω

= xv (3)

ÎmpårÆind ecuaÆiile (2) membru cu membru, gåsim: 0

0tgv

x ω=ϕ (4)

Am expus aici metoda generalå de calcul pentru aflarea amplitudinii çi fazeiiniÆiale. Ea poate fi particularizatå pentru condiÆii iniÆiale concrete. În unelesituaÆii, rezolvarea sistemului (1) devine mult mai uçoarå:a) La t0 = 0, x0 = 3 cm = 3 ⋅ 10–2 m, iar v0 = 0. Sistemul de ecuaÆii (1) este:

3 ⋅ 10–2= A sin ϕ (5)0 = A ω cos ϕ

Rezultå direct cos ϕ = 0, ϕ =2π , iar A = 3 ⋅ 10–2 m.

EcuaÆia oscilatorului este în acest caz:

x(t) = 0,03 ( ) ⋅= sin03,0tx

π+π2

100n t (m) adicå:

( ) ttx π⋅= 100cos03,0 (m) (6)

b) La t0 = 0, x0 = 0, iar v0 = 10 ms−π= mp

Înlocuind în (1):0 = A sin ϕπ = 100π A cos ϕ

Rezultå imediat: ϕ = 0 çi A = 0,01 m. EcuaÆia miçcårii se va scrie:x(t) = 0,01 sin 100πt (m) (7)

c) În aceastå situaÆie este indicatå aplicarea rezultatelor metodei generale.Înlocuind valorile lui x0 çi v0 în ecuaÆia (3) obÆinem valoarea amplitudinii:

A = ( ) ( )2222 101043100

1 π⋅⋅+ππ

− m = 0,05 m

Din relaÆia (4) gåsim pentru faza iniÆialå:

34arctg

310104arctg

22=

ππ⋅⋅=ϕ

−

EcuaÆia oscilatorului devine: ( )

+π⋅=34arctg100sin050 t,tx (m) (8)


4.3. Compunerea oscilaÆiilorUn sistem oscilant poate fi supus simultan la douå sau mai multe miçcåri

oscilatorii, datoritå acÆiunii diferitelor perturbaÆii exterioare. Câteva exemple maisimple sunt: pendulul dublu (fig. 4.19.a), douå pendule cuplate printr-un resortslab (fig. 4.19.b), o coardå elasticå pe care sunt prinse douå corpuri punctiforme(fig. 4.19.c). Sistemele acestea prezintå douå sau mai multe grade de libertate,adicå posibilitåÆi de oscilaÆie independente, sub acÆiunea a douå forÆe de revenirediferite. Dacå fiecårui grad de libertate îi corespunde o oscilaÆie liniar armonicå deo anumitå frecvenÆå, se demonstreazå cå miçcarea generalå este o superpoziÆie a

celor douå miçcåri armoniceindependente ce au loc simultan(aplicarea principiului super-poziÆiei din mecanica newto-nianå). Fiecare dintre oscilaÆiileindependente (numite moduri deoscilaÆie) poate så difere de cea-laltå prin: direcÆia de oscilaÆie,frecvenÆå (pulsaÆie), amplitudineçi/sau prin faza iniÆialå.

Vom studia aici doar cazul oscilaÆiilor coliniare.

4.3.1. Compunerea a douå oscilaÆii armonice paralele çi de aceeaçi frecvenÆåVom considera cele douå oscilaÆii armonice acÆionând simultan asupra unui

punct material dupå o direcÆie comunå. De pildå, så presupunem cå am gåsit ecuaÆiade miçcare a unui pendul elastic (punct material + resort elastic) ce corespundeunui anumit set de condiÆii iniÆiale (poziÆie çi vitezå) çi o altå ecuaÆie de miçcare aaceluiaçi pendul elastic, având deci aceeaçi direcÆie çi aceeaçi pulsaÆie, dar carecorespunde altui set de condiÆii iniÆiale. Dupå cum aÆi putut observa din exerciÆiulde la paragraful precedent, condiÆiile iniÆiale determinå unic amplitudinea çi fazainiÆialå a miçcårii. Fie deci oscilaÆiile armonice coliniare (Ox):

x1(t) = A 1 sin(ωt + ϕ1) (1)x2(t) = A 2 sin(ωt + ϕ2) (2)Presupunem cå dorim så aflåm ecuaÆia miçcårii rezultate prin suprapunerea

condiÆiilor iniÆiale (poziÆia iniÆialå egalå cu suma algebricå a poziÆiilor iniÆiale, iarviteza iniÆialå egalå cu suma algebricå a vitezelor iniÆiale). Noua miçcare va firezultatul superpoziÆiei ecuaÆiilor de miçcare (1) çi (2):

( ) ( ) ( )txtxtx 21 += (3)OscilaÆia rezultantå va fi tot o miçcare liniar-armonicå, de aceeaçi pulsaÆie ca çi

componentele:x(t) = A sin(ωt + ϕ) (4)Ne propunem så determinåm amplitudinea sa, A , çi faza iniÆialå ϕ utilizând

pentru operaÆia de compunere (3) reprezentarea fazorialå (Fresnel) a oscilaÆiilorarmonice componente x1(t) çi x2(t). Fazorii reprezentativi (fig. 4.20), de module A

Fig. 4.19

a) b) c)


A 1 çi respectiv A 2, fac cu axa Oz, la momentul t, unghiuriegale cu fazele oscilaÆiilor: (ωt + ϕ1) çi respectiv (ωt +ϕ2). DiferenÆa fazelor lor ∆ϕ = ϕ2 – ϕ1 nu variazå întimp, vectorii påstrându-çi constantå poziÆia lor relativå.Din acest motiv, oscilaÆiile componente se numesc sincronesau coerente.

Vectorul rezultant 21 AAA += obÆinut princompunere geometricå (regula paralelogramului) se varoti cu aceeaçi vitezå unghiularå ca çi 1A çi 2A .Modulul rezultantei va fi:

++= cos2 212

22

12 AAAAA ∆ϕ 5)

Cum 1cos1 ≤ϕ∆≤– , rezultå cå amplitudinea este cuprinså în intervalul:

2121 AAAAA +≤≤− (6)

Valoarea maximå A max = A 1 + A 2 corespunde situaÆiei în care fazele iniÆialeale componentelor sunt egale (oscilaÆii în fazå, fig. 4.21.a), iar valoarea minimå

21min AAA −= , cazului în care oscilaÆiile componente sunt în opoziÆie de fazå:π=ϕ−ϕ 22 (fig. 4.21.b).

Dacå oscilaÆiile x1 çi x2 sunt în cuadraturå

π±=ϕ∆2

, ca în fig. 4.21.c:

22

21 AAA += (7)

Pentru determinarea fazei iniÆiale a oscilaÆieirezultante, ϕ, relaÆia vectorialå:

21 AAA += (8)se proiecteazå pe cele douå axe de coordonate(fig. 4.22). Se obÆine sistemul de ecuaÆii:

2211 sinsinsin ϕ+ϕ=ϕ AAA (9)

2211 coscoscos ϕ+ϕ=ϕ AAAPrin împårÆirea lor membru cu membru, gåsim:

tg ϕ 2211

2211

coscossinsin

ϕ+ϕϕ+ϕ

=

AAAA

(10)

Fig. 4.20

Fig. 4.21

Fig. 4.22

a) b) c)


În cazurile particulare prezentate în fig. 4.21, faza iniÆialå a oscilaÆiei rezultante:a) are valoarea ϕ = ϕ1 = ϕ2 dacå oscilaÆiile componente sunt în fazå;b) are valoarea ϕ1 dacå A 1 > A 2 çi respectiv ϕ2 = ϕ1 + π dacå A 2 > A 1 în cazul

compunerii a douå oscilaÆii în opoziÆie de fazå;

c) are valoarea 1

21 arctg

AA

±ϕ=ϕ , dacå cele douå oscilaÆii componente sunt

în cuadraturå avans, respectiv retard (în urmå), fig. 4.21.c).Când oscilaÆiile componente au aceeaçi amplitudine A 1 = A 2 , obÆinem

( )2

cos2cos12cos22 12

12

12

1jD=jD+=jD+= AAAAA (11)

çi tg ϕ 2

tg

2cos

2cos2

2cos

2sin2

coscossinsin 21

2121

2121

21

21 ϕ+ϕ=ϕ−ϕϕ+ϕ

ϕ−ϕϕ+ϕ

=ϕ+ϕϕ+ϕ=ϕ

(12)

de unde 2

21 ϕ+ϕ=ϕ (13)


EnunÆ: Legea de miçcare a unui oscilator are forma:

( ) tttx p+p= 10sin10cos3 (cm)CalculaÆi: a) amplitudinea oscilatorului; b) faza iniÆialå a oscilaÆiei.

SoluÆie: OscilaÆia poate fi privitå ca rezultat al compunerii oscilaÆiilor paralele çi deaceeaçi pulsaÆie:

π+π=π=

210sin310cos3)(1 tttx çi ( ) ttx π= 10sin2

a) Aplicând relaÆia (5) pentru A 1 = 3 cm, A 2 = 1 cm çi 2π=ϕ∆ , gåsim

amplitudinea oscilaÆiei date: 22

21 AAA += = 2 cm

b) Pentru aflarea fazei iniÆiale a miçcårii utilizåm relaÆia (10):

30cos

2cos3

0sin2

sin3tg =

+π

+π

=ϕ

de unde 3π=ϕ

EcuaÆia oscilaÆiei se va scrie:

π+π=

310sin2)( ttx (cm)


*4.3.2. Compunerea oscilaÆiilor paralele cu frecvenÆe puÆin diferite.Fenomenul de båtåi

Så consideråm douå oscilaÆii armonice paralele având frecvenÆe puÆin diferite. Pentrusimplitate, consideråm cå amplitudinile celor douå oscilaÆii sunt egale çi, de asemenea, cåfazele lor iniÆiale sunt egale (se poate demonstra cå defazajul introdus de faze iniÆialediferite nu influenÆeazå fenomenul):

x1 = A sin(ω1t + ϕ) (1)x2 = A sin(ω2t + ϕ) (2)

DiferenÆa pulsaÆiilor ∆ω = ω2 – ω1 are o valoare foarte micå (∆ω << ω1, ∆ω << ω2).Amplitudinea miçcårii rezultante se determinå din

diagrama fazorialå ridicatå la momentul t (fig. 4.23).

A2 = A 2 + A 2 + 2A 2 cos ∆ωt = = 2A 2(1 + cos ∆ωt) =

= 4A 2cos2

2ω∆ t (3)

Rezultå cå amplitudinea este funcÆie periodicå de timp:

( )tA 2= A cos t2ω∆ (4)

Faza instantanee ϕ(t) a oscilaÆiei rezultante este datå derelaÆia cunoscutå:

tg ϕ(t)= ttt

tt

tttt

2tg

2cos

2cos2

2cos

2sin2

coscossinsin 21

1221

1221

21

21 w+w=

w-wÖ

w+w

w-wÖ

w+w

=w+ww+w

AAAA

De aici rezultå pentru faza oscilaÆiei expresia: ( ) tt2

21 ω+ω=ϕ (5)

OscilaÆia rezultantå va avea o amplitudine lent variabilå în timp, cu perioada 12

4ω−ω

π=T ,

cu atât mai mare cu cât diferenÆa pulsaÆiilor componentelor este mai micå.În schimb, oscilaÆia rezultantå are pulsaÆia egalå cu media aritmeticå a celor douå pulsaÆii,

221 ω+ω=ωm . Perioada corespunzåtoare acestei oscilaÆii,

21

4ω+ω

π=mT , este mult mai

micå decât perioada amplitudinii T.EcuaÆia miçcårii rezultate prin suprapunere se va scrie:

tttx2

sin2

cos2)( 2112 w+wÖ

w-w= A

Sinusoida de pulsaÆie 2

21 ω+ω=ωm este „modulatå“ în amplitudine, ale cårei valori

devin lent, periodic, maxime sau minime (nule în cazul amplitudinilor egale ale compo-nentelor egale (fig. 4.26).

Un maxim çi un minim al amplitudinii se succed cu frecvenÆa ∆υ = υ2 – υ1 (la intervale detimp egale cu T/2). Fenomenul este cunoscut sub numele de „båtåi“ çi este sesizabil în acusticå.

Fig. 4.23


ExerciÆiu aplicativEnunÆ: Un punct material efectueazå simultan douå miçcåri oscilatorii armonice rectilinii:

t x 41cos41 = (cm) çi t x 40cos52 = (cm)PulsaÆiile ω1 = 41 rad/s çi ω2 = 40 rad/s fiind foarte apropiate, apare fenomenul debåtåi. CalculaÆi amplitudinile maximå çi minimå, precum çi perioada båtåilor.

SoluÆie: Conform diagramei fazoriale de compuneredin fig. 4.25 ridicatå la momentul t în raportcu axa Ox (pe care se face proiecÆia fazorilor),amplitudinea rezultantå este:

( )21212

22

12 cos2 ω−ω++= AAAAA t.

Numeric: A 2(t) = 41 + 40 cos tValoarea maximå se obÆine la momentul detimp t pentru care cos t = 1 (tk = 2kπ, k ∈ Z)çi are valoarea

A max 21cm94041 AA +==+= Amplitudinea minimå corespunde luicos t = –1 (t′ = (2k + 1)π, k ∈ Z) çi are valoarea:

A min 21n cm14041 AA −==−= Perioada båtåilor este:

28,622

21 =π=

ω−ωπ=T s.

ObservaÆi cå perioadaoscilaÆiei compuse:

2

2221

=ω+ωπ=

ωπ=m

mT

155,0s814 ≈π= s

este mult mai micådecât perioada båtåilor(fig. 4.26).

Fig. 4.25

Fig. 4.26

ExperimentLuaÆi douå diapazoane identice care emit sunetul la, produs de o

oscilaÆie cu frecvenÆa de 440 Hz. AtaçaÆi unuia dintre diapazoane omicå clamå de oÆel, ceea ce îi va modifica foarte puÆin frecvenÆa, såzicem la 445 Hz (fig. 4.24).

Excitarea (prin lovire cu un ciocånel) simultanå a diapazoanelorproduce douå sunete care se compun. Indiferent de poziÆiaobservatorului (deci de diferenÆa de fazå dintre sunete), urechea lepercepe ca båtåi, adicå sub forma unui sunet cu amplitudinea variabilåîn timp. Intensitatea sunetului compus creçte çi slåbeçte periodic întimp. Urechea nu percepe båtåi pentru ∆υ > 10 Hz.

Fig. 4.24


4.4. Dinamica oscilatorului liber fårå frecareCele mai simple sisteme oscilante libere sunt pendulul elastic çi pendulul matematic

(simplu).În cele ce urmeazå vom analiza rolul forÆei de revenire çi al inerÆiei sistemului în

determinarea miçcårilor oscilatorii ale celor douå sisteme, demonstrând cå, în absenÆafrecårilor, oscilaÆiile acestora pot fi considerate liniar armonice.

4.4.1. Studiul dinamic al pendulului elastic

Pendulul elastic este constituit dintr-uncorp de mici dimensiuni (punct material)de maså m, legat de un resort presupus per-fect elastic çi fårå maså, având constantade elasticitate k.

Îndepårtând masa m din poziÆia de echi-libru pe direcÆia resortului çi eliberând-oapoi, observåm oscilaÆiile libere ale acesteiaîn jurul poziÆiei de echilibru (fig. 4.27).

ExperimentPentru înregistrarea miçcårii oscilatorii a masei m sus-

pendate de resortul având constanta de elasticitate k, se poatefolosi osciloscopul catodic sau calculatorul, prin convertireavariaÆiilor poziÆiei corpului în tensiune electricå variabilå.

Pentru aceasta, se fixeazå de corpul m o tijå metalicåuçoarå a cårei extremitate se scufundå mai mult sau maipuÆin într-o cuvå cu o soluÆie conductoare. La suprafaÆalichidului çi pe fundul acestuia se gåsesc douå plåci con-ductoare plane legate la o baterie (fig. 4.28). Între tija meta-licå çi una dintre plåcile cuvei se conecteazå un osciloscopcatodic. El måsoarå diferenÆa de potenÆial între una dintreplåci (C) çi extremitatea tijei. Aceastå tensiune, U, esteproporÆionalå cu distanÆa d dintre extremitatea tijei çi placaconductoare C. În timpul oscilaÆiilor, aceastå distanÆåvariazå, aça încât tensiunea înregistratå va fi de asemeneavariabilå. Potrivind baza de timp în mod convenabil, peecranul osciloscopului vom vizualiza miçcarea extremitåÆiitijei, deci a masei m (fig. 4.29). Miçcarea este periodicå,sinusoidalå (uçor amortizatå din cauza frecårilor slabe aletijei cu lichidul çi ale întregului sistem oscilant cu aerul). Putemdetermina perioada T prin citiri pe ecranul osciloscopului,folosindu-ne de indicaÆia bazei de timp.

Reluåm experimentul, modificând amplitudinea miçcårii. Constatåm cå perioadanu se modificå (fig. 4.30). Dacå înså înlocuim corpul cu un altul de maså diferitå,perioada se modificå.

Fig. 4.27

a) b) c)

Fig. 4.28

Fig. 4.29


În fig. 4.31sunt redate înre-gistrårile supra-puse ale unui osci-lator constituit dinacelaçi resort, darcu douå mase di-ferite, m2 > m1.PuteÆi observa cåT2 > T1.

Studiul dinamicSistemul studiat este punctul material de

maså m supus greutåÆii proprii çi forÆeielastice cu care acÆioneazå asupra sa resor-tul ideal având constanta de elasticitate k(fig. 4.32). La echilibru, punctul material mocupå poziÆia O, iar resortul este alungit cus0. ForÆele ce acÆioneazå asupra lui m suntgreutatea G çi forÆa elasticå

0eF , corespun-zåtoare alungirii s0. Dupå cum çtiÆi, intensi-tatea forÆei elastice este proporÆionalå cudeformarea resortului.

Conform principiului I al dinamicii, vom scrie:

00

=+ eFG (1)

În proiecÆia pe axa Ox, orientatå vertical în jos:mg – ks0 = 0 (2)Resortul este deformat (alungit sau comprimat) çi eliberat fårå vitezå iniÆialå

(momentul t0 = 0). Punctul material m oscileazå liniar. La un moment oarecare detimp t, fie x(t) elongaÆia punctului faÆå de poziÆia de echilibru. Alungirea totalå aresortului, s0 + x, determinå apariÆia unei forÆe elastice eF orientatå spre poziÆiade echilibru. Fie a acceleraÆia oscilatorului la momentul considerat. Se aplicåprincipiul fundamental al dinamicii sub formå vectorialå:

amFG e =+ (3)În proiecÆia pe axa Ox: mg – k(s0 + x) = ma (4)Din (2) çi (4) obÆinem:

ma = – kx (5)sau

a = –mk x (6)

Cum momentul de timp este oarecare, tragem concluzia cå în timpul oscilaÆieiacceleraÆia este proporÆionalå cu elongaÆia çi de sens contrar acesteia, deci cåoscilatorul considerat este armonic. Conform condiÆiei de armonicitate, constantade proporÆionalitate între a(t) çi x(t) este påtratul pulsaÆiei proprii de oscilaÆie.

Fig. 4.30 Fig. 4.31

Fig. 4.32


Deducem cå pentru pendulul elastic, pulsaÆia proprie este:

mk=ω (7)

Så observåm cå aceasta nu depinde decât de elasticitatea resortului çi de masaoscilatorului. Într-adevår, forÆa de revenire, orientatå în orice moment spre poziÆiade echilibru, este forÆa elasticå:

Fr = Fe = –kx (8)Interpretarea dinamicå a påtratului pulsaÆiei proprii ca raport al forÆei de reve-

nire pe unitatea de deformare çi al masei sistemului ne conduce la acelaçi rezultat:

mk

mxF

mxF er

===ω2 (9)

Perioada proprie a oscilatorului elastic va fi proporÆionalå cu rådåcina påtratåa masei acestuia:

kmT π= 2 (10)

ceea ce se poate constata experimental.

ObservaÆ ieRelaÆia (6) poate fi scriså sub forma:x + ω2

x = 0 (11)Din punct de vedere matematic, ecuaÆia prin care sunt legate o funcÆie çi una

sau mai multe din derivatele sale în raport cu variabila independentå constituie oecuaÆie diferenÆialå. Oscilatorul armonic este descris de ecuaÆia diferenÆialå deordinul doi (apare derivata de ordinul doi x (t) a funcÆiei x(t)) omogenå (11),care admite drept soluÆie funcÆia sinusoidalå:

x(t) = A sin(ωt + ϕ) (12)Constantele A (amplitudinea oscilaÆiei) çi ϕ ( faza iniÆialå) sunt unic determi-

nate de condiÆiile iniÆiale (t0 = 0, x(0) = x0, v(0) = v0).


EnunÆ: Un pendul elastic orizontal (fig. 4.33)este constituit dintr-un mic cilindru demaså m = 0,1 kg ce poate culisa fåråfrecåri în lungul unei tije orizontale. Acestaeste legat de un resort elastic ideal avândconstanta de elasticitate k = 10 N/m,înfåçurat în jurul tijei çi fixat la cealaltåextremitate. Abscisa x a oscilatorului estereperatå faÆå de poziÆia de echilibru O.La momentul iniÆial t0 = 0, abscisamobilului este x0 = +2 cm, iar viteza sa v0 = – 0,20 ms–1. CalculaÆi:a) PulsaÆia proprie, perioada çi frecvenÆa oscilatorului.b) ScrieÆi ecuaÆia de miçcare çi ecuaÆia vitezei oscilatorului.c) CalculaÆi poziÆia çi viteza acestuia la momentul t = 6 s.

Fig. 4.33


SoluÆie: a) Utilizåm pentru calcul relaÆia (7). Gåsim succesiv:

s, 628,0s rad5

2,s rad10 11 =π=ωπ===ω −− T

mk υ =

T1

= 1,59 Hz.

b) EcuaÆia de miçcare çi ecuaÆia vitezei se scriu sub forma generalå:( ) ( )ϕ+ω= ttx sinA , ( ) ( )ϕ+ωω= ttv cosA

Punând condiÆiile iniÆiale, obÆinem sistemul:

−=ϕ=ϕ

)(ms200cos10(m)020sin

1– , ,

AA

Prin împårÆirea ecuaÆiilor obÆinem: tg ϕ = –1, deci ϕ = 43π

apoi din prima ecuaÆie, A = 2 · 0,02 m = 0,028 m.

EcuaÆia de miçcare devine: ( )

π+=

4310sin0280 t,tx (m) sau

( )

π+=4

10cos0280 t,tx (m)

iar ecuaÆia vitezei: ( )

π+⋅−=4

10sin28,0 ttv (ms–1)

c) La momentul t = 6 s obÆinem: 013,04

6cos028,0 )( −=

π+⋅= radx m

25,04

60sin28,0 )( =

π+⋅−= radv ms–1

4.4.2. Energia mecanicå a oscilatorului elastic fårå frecåri

Pentru simplitate, vom considera cazul unui oscilator elastic orizontal (fig. 4.33)format dintr-un mic corp de maså m, legat de un resort având constanta de elasticitatek; corpul poate culisa fårå frecåri pe o tijå orizontalå. OscilaÆiile libere sunt consid-erate liniar armonice, în ipoteza neglijårii oricåror forÆe de frecare. Energia mecanicåEm a sistemului maså-resort este suma dintre energia cineticå Ec çi energia potenÆialåelasticå Ep a oscilatorului. Alegem drept stare de referinÆå poziÆia de echilibru, cândresortul nu este deformat (x = 0).

Energia cineticå a oscilatorului este la un moment dat:

2

21 mvEc = (1)

unde v reprezintå viteza oscilatorului liniar armonic, la momentul t:v(t) = A ω cos(ωt + ϕ) (2)

PulsaÆia oscilatorului elastic: mk=ω (3)

Înlocuind (2) în (1), exprimåm energia cineticå în funcÆie de timp:

( ) ( )ϕ+ωω= tmtEc222 cos

21 A (4)


sau Æinând cont de (3):

( ) ( )ϕ+ω= tktEc22 cos

2A (5)

Energia potenÆialå elasticå ce corespunde stårii de deformare (elongaÆie) x a resortului:

2

2xkEp = (6)

depinde de timp prin intermediul elongaÆiei:x(t) = A sin(ωt + ϕ) (7)

Deci: ( ) ( )ϕ+ω= tktEp2

2sin

2A (8)

Så observåm cå atât Ec(t) cât çi Ep(t) sunt funcÆii periodice de timp, de amplitudiniegale:

222

222max

maxmaxAA 2 ω==== mmvkEE cp (9)

Reprezentarea lor graficåeste redatå în fig. 4.34, pentruϕ = 0. Am notat prin Tperioada oscilaÆiei armonice.

Perioada de variaÆie aenergiei cinetice çi a celeipotenÆiale este jumåtate dinperioada oscilaÆiei. Cândenergia potenÆialå estemaximå (x = ±A ) energiacineticå este minimå (v = 0)

çi invers (fig. 4.35). Când energia cineticå creçte, energiapotenÆialå scade çi invers. Suma lor, reprezentând energiamecanicå a sistemului, råmâne înså constantå în timp:

( ) ( ) =+= tEtEE cpm

( ) ( )[ ] .ct2

cossin2

222 ==ϕ+ω+ϕ+ω= AA 2 kttk

(10)Spunem cå pentru sistemul oscilator elastic izolat energia mecanicå se conservå.Valoarea energiei mecanice depinde de påtratul amplitudinii:

22

22 AA ω== mkEm

2(11)

Fig. 4.34

Fig. 4.35

Ep Ec


Fig. 4.37

Fig. 4.38

4.4.3. Pendulul matematic fårå frecåri

Un pendul matematic (sau pendul simplu) este un corp de masåm suspendat de un fir inextensibil de lungime l çi de maså neglijabilå.Dimensiunile corpului sunt neglijabile faÆå de l (punct material –fig. 4.36).

Pentru a pune pendulul în oscilaÆie, îl îndepårtåm de la poziÆiaverticalå de echilibru cu un unghi θ0 çi îl låsåm liber. El oscileazå cuamplitudinea unghiularå θm = θ0 (fig. 4.37). ForÆa de revenire estecomponenta tangenÆialå tG a greutåÆii gmG = , orientatå spre poziÆiade echilibru, O, oricare ar fi poziÆia instantanee M a pendulului. Compo-nenta normalå a greutåÆii, nG , çi forÆa centrifugå de inerÆie sunt

echilibrate în orice moment de tensiunea T apårutå în fir.Pentru poziÆia instantanee M, caracterizatå de elon-

gaÆia unghiularå θ, putem scrie: maG tt =− (1)

unde at reprezintå acceleraÆia tangenÆialå a masei m apendulului, iar

θ⋅= sinmgGt (2)EcuaÆia (1) devine:

θ⋅−= singat (3)În general, forma oscilaÆiilor θ(t), soluÆii ale ecuaÆiei

(3), nu este armonicå, deçi miçcarea curbilinie descrisåeste periodicå. Se demonstreazå cå perioada oscilaÆiilor pendulului matematicdepinde de amplitudinea unghiularå θm, dacå aceasta nu este mult mai micå decât1 radian.

AproximaÆia micilor oscilaÆiiDacå amplitudinea pendulului matematic nu depåçeçte 20°,

se constatå experimental cå perioada proprie a oscilaÆiilorpendulului matematic nu mai depinde practic de amplitudine.

În acest caz vorbim despre micile oscilaÆii ale pendulului.Deoarece arcul OA corespunzåtor unei amplitudini unghiulareθm mici diferå foarte puÆin de coarda OA , putem consideramiçcarea masei m aproximativ liniarå. Fie Ox axa de coordonateataçatå direcÆiei de oscilaÆie çi x abscisa poziÆiei M a mobiluluila un moment dat (fig. 4.38). Fie θ unghiul corespunzåtor deînclinare a firului faÆå de verticalå.

Pentru θ exprimat în radiani çi mai mic de 5° utilizåm aproximaÆia:sin θ ≈ θ (4)

Putem scrie: xOMOM =≈ , unde OM = l ⋅ sin θ ≈ l ⋅ θ.Deci elongaÆia liniarå x este proporÆionalå cu deviaÆia unghiularå θ exprimatå

în radiani:x ≈ l ⋅ θ (5)Putem aplica çi în acest caz ecuaÆia de miçcare (3), unde at va reprezenta aici

acceleraÆia oscilatorului liniar çi va avea direcÆia axei de miçcare, Ox.

Fig. 4.36


EcuaÆia (3) aplicatå micilor oscilaÆii (θ < 20°, caz în care se aproximeazå sin θ = θ) devine:a ≈ –g ⋅ θ (6)

sau, conform cu (5): xlg

a ⋅−≈ (7)

Rezultå cå micile oscilaÆii ale unui pendul matematic sunt aproximativ liniararmonice, acceleraÆia fiind proporÆionalå cu elongaÆia liniarå çi de sens opus acesteia.

PulsaÆia proprie a micilor oscilaÆii este deci: lg=ω (8)

iar perioada lor proprie: glT π= 2 (9)

Experimente fåcute cu pendule matematice de mase diferite, de lungimi diferite çicårora li s-au imprimat mici oscilaÆii de amplitudini unghiulare diferite, au verificatvalabilitatea expresiei (9) pentru perioada proprie a micilor oscilaÆii. RezultateleobservaÆiilor experimentale au stat la baza formulårii legilor pendulului matematic.

Perioada proprie a micilor oscilaÆii ale unui pendul matematic:1. este independentå de masa acestuia (ca de altfel pentru toate miçcårile ce au

loc în câmpul gravitaÆional, masa nu intervine);2. este independentå de amplitudinea oscilaÆiilor (proprietate numitå izocronismul

micilor oscilaÆii);3. este proporÆionalå cu rådåcina påtratå a lungimii l a firului de suspensie.VerificaÆi experimental aceste legi în laboratorul de fizicå.


EnunÆ: Un pendul simplu este îndepårtat de la poziÆia sa de echilibru cu un unghiα0 = 45°. Corpul suspendat de fir este asimilabil unui punct material cu masam = 200 g. Lungimea firului este l = 0,8 m.a) Considerând planul orizontal ce conÆine poziÆia de echilibru ca nivel de

referinÆå, exprimaÆi energia potenÆialå a sistemului Påmânt-pendul înfuncÆie de elongaÆia unghiularå instantanee α; reprezentare graficå.

b) ExprimaÆi energia cineticå a pendulului în funcÆie de unghiul α; reprezentaregraficå.

c) CalculaÆi perioada oscilaÆiilor acestui pendul pentru o amplitudine unghiularåα0 = 10°.

d) ExprimaÆi energia cineticå çi energia potenÆialå ca funcÆii de timp, çtiindcå la momentul iniÆial (t0 = 0), α0 = 10° çi v0 = 0.

Se considerå g = 10 ms–2.

SoluÆie: a) Conform fig. 4.39, înålÆimea la care se aflåpendulul faÆå de nivelul de referinÆå,corespunzåtoare unghiului α, este:

( )lOAh α−== cos1Energia potenÆialå gravitaÆionalå în funcÆie deα are expresia: Ep(α) = mgl(1 – cos α)Numeric: Ep(α) = 1,6(1 – cos α) Fig. 4.39


Valoarea maximå a ener-giei potenÆiale este atinså

pentru 4π±=α±=α m çi

are valoarea:Ep max = 0,47 J.Reprezentarea graficå esteredatå în fig. 4.40 (curbade culoare neagrå).

b) Conservarea energiei mecanice permite exprimarea energiei cinetice înfuncÆie de amplitudinea unghiularå:Ec(α) = Em – Ep(α) = Ep max – Ep(α)Ec(α) = 1,60 cos α – 1,13 (J)Graficul Ec(α) este redat în fig. 4.40 (curba de culoare gri).

c) La amplitudinea αm = α0 = 10° putem vorbi de mici oscilaÆii liniar armonice,a cåror perioadå este:

T = 2π s7761s10

80286 , ,,gl ==

d) EcuaÆia oscilatorului liniar-armonic çi ecuaÆia vitezei:

ϕ+ωω⋅α⋅=ϕ+ωα⋅=

)cos()()sin()(

0

0tltv

tltx

În condiÆiile iniÆiale date, rezultå cos ϕ = 0, 2

π=ϕ , deci:

( )tx18

8,0 π⋅= cos 3,535t ≅ 0,14 cos 5,535t (m)

iar v(t) = 0,493 ⋅ sin 3,535t (ms–1)DependenÆa de timp a energiei cinetice este:

( ) ( ) ( ) ,t Etmv

tE cc sin02430;2

22

== 3,535t (J)

iar dependenÆa de timp a energiei potenÆiale (deduså din conservareaenergiei mecanice):

( ) ( ) ( ) ,tEEtEEtE cccmp cos02430 2max =−=−= 3,535t (J)

ObservaÆie. Energia potenÆialå este de naturå gravitaÆionalå. Valoarea sa maximå

calculatå ca la a): ( ) 0246036

236

sin218

cos12

22

0 ,mglmglmglEP ≈π⋅≈π=

π−=α (J)

nu diferå decât foarte puÆin de cea calculatå la d).

Fig. 4.40


Lucrare de laboratorStudiul pendulului matematic

1. Obiective: ∗ Så observåm cå perioada pendulului simplu nu depinde de maså.∗ Så studiem influenÆa amplitudinii asupra perioadei.∗ Så studiem influenÆa lungimii asupra perioadei în cazul micilor oscilaÆii.

2. Materiale: – bile de acelaçi diametru din lemn, aluminiu çi fier– fire inextensibile (circa 1,30 – 1,50 m fiecare)– suport vertical– raportor

3. Modul de lucru:(1) ConstruiÆi cu ajutorul celor trei bile trei pendule de aceeaçi lungime. PuneÆi-le în oscilaÆie

îndepårtându-le cu acelaçi unghi α0 faÆå de verticalå çi observaÆi miçcårile lor.(2) StudiaÆi variaÆiile perioadei T în funcÆie de amplitudinea unghiularå αm = α0 (pentru valori

cuprinse între 5° çi 60°). TrageÆi concluzii.(3) ImprimaÆi pendulului mici oscilaÆii çi modificaÆi lungimea l a firului, måsurând de fiecare

datå perioada. TrageÆi concluzii.(4) DeterminaÆi acceleraÆia gravitaÆionalå, g.

4. Måsuråtori. Valorificarea rezultatelor(1) InfluenÆa masei: Un interval de timp destul de lung, cele trei pendule oscileazå cu aceeaçi

perioadå. Perioada nu depinde de masa pendulului.

(2) InfluenÆa amplitudinii oscilaÆiilor: Se måsoarå durata a doar 5 perioade, interval în careamplitudinea αm poate fi consideratå constantå. Pentru intervale mai mari, amortizarea devineperceptibilå (αm descreçte). InseraÆi în tabelul de mai jos valorile gåsite:

α0 = αm (°) 5 10 15 20 25 30 40 50 60

5 T (s)

T (s)

VeÆi constata izocronismul micilor oscilaÆii pentru amplitudini unghiulare sub 20°. Perioadacreçte uçor cu amplitudinea oscilaÆiilor pentru α > 20° çi oscilaÆiile nu mai pot fi considerateizocrone.

(3) InfluenÆa lungimii pendulului asupra perioadei micilor oscilaÆii: Pentru diferite lungimi alependulului, måsuraÆi durata a 10 oscilaÆii complete de micå amplitudine çi determinaÆi defiecare datå perioada.AtenÆie! Lungimea pendulului este egalå cu lungimea firului, la care se adaugå raza bilei.TreceÆi datele în tabelul:

l (m) 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20

10T (s)

T (s)

ConstruiÆi graficul T2 = f(l).JustificaÆi matematic liniaritatea sa.

(4) CalculaÆi din panta graficului valoarea medie a acceleraÆiei gravitaÆionale. ComparaÆi-o cuvaloarea cunoscutå pentru latitudinea noastrå, g = 9,8 ms–2 .

(5) SpecificaÆi sursele de erori.


ExerciÆii çi probleme propuse1. Un oscilator elastic orizontal fårå frecåri este constituit

dintr-un resort de constantå k = 20 Nm–1 çi un mic corp demaså m = 0,2 kg. Corpul este îndepårtat cu 3 cm faÆå depoziÆia sa de echilibru çi låsat apoi liber så oscileze. CalculaÆi:a) perioada de oscilaÆie;b) valoarea energiei potenÆiale elastice a oscilatorului înmomentul eliberårii sale;c) energia cineticå la trecerea oscilatorului prin poziÆia deechilibru; deduceÆi de aici amplitudinea vitezei;d) momentele de timp çi poziÆiile oscilatorului pentru careenergia cineticå este egalå cu energia potenÆialå.

2. De un resort ideal de lungime nedeformatå l0 = 0,10 msuspendat vertical se ataçeazå o maså m = 50 g.Lungimea resortului devine l = 0,12 m la echilibru (g= 9,8 ms–2).a) CalculaÆi constanta de elasticitate a resortului.b) Corpul este deplasat în jos pe o distanÆå a = 1 cmçi eliberat. CalculaÆi perioada proprie de oscilaÆiea sistemului.c) Drept nivel zero pentru energia potenÆialågravitaÆionalå a sistemului Påmânt-oscilator se con-siderå poziÆia O de echilibru (fig. 4.41) a masei m.CalculaÆi energia mecanicå a sistemului Påmânt-oscilator la momentul t0 = 0.*d) ExprimaÆi viteza oscilatorului în funcÆie de elongaÆiasa x, utilizând teorema conservårii energiei mecanice.

3. Un corp de maså m suspendat de un resort avândconstanta de elasticitate k oscileazå cu pulsaÆia ω0.Dacå tåiem resortul în douå pårÆi egale çi suspendåmacelaçi corp de una dintre ele, pulsaÆia devine ω1(fig. 4.42).a) EvaluaÆi raportul ω1/ω0.b) Suspendåm acum corpul de cele douå jumåtåÆidispuse ca în fig. 4.42.c. ExprimaÆi pulsaÆia ω2 aoscilatorului obÆinut.

4. Douå resorturi cu aceeaçi lungime în stare nedefor-matå, dar având constante elastice diferite, k1 çi respectiv k2, sunt legatede un mic corp ce poate aluneca fårå frecåri pe o suprafaÆå orizontalå.CalculaÆi perioada proprie de oscilaÆie în fiecare dintre cazurileprezentate în fig. 4.43.

5. Un corp de maså m este suspendat prin douå resorturi de constante k1çi k2 çi de lungimi nedeformate l01 çi l02 între douå puncte situate peaceeaçi verticalå, la distanÆa a (a > l01 + l02), ca în fig. 4.44. DeterminaÆi:a) poziÆia de echilibru a corpului m considerat de dimensiuni neglijabile;b) pulsaÆia çi perioada proprie de oscilaÆie a corpului;c) scrieÆi ecuaÆia de miçcare dacå la momentul t0 = 0, corpului,

aflat în poziÆia de echilibru, i se imprimå viteza v0. Se cunosck1 = 6 000 N/m, k2 = 4 000 N/m, l01 = 40 cm, l02 = 30 cm,a = 1 m, m = 100 kg, v0 = 0,9 ms–1.

Fig. 4.41

Fig. 4.42

Fig. 4.43

a) b) c)

a)

b)

c)

Fig. 4.44


*6. Un corp de maså m este låsat så cadå liber de la înålÆimea h pe platanulde maså M susÆinut de resortul vertical de constantå k (fig. 4.45).Considerând ciocnirea perfect plasticå, scrieÆi legea de miçcare asistemului dupå impactul lui m cu platanul.

7. Un oscilator mecanic este constituit dintr-o biluÆå de maså m ce poatealuneca fårå frecåri într-un jgheab circular, plasat în planul vertical çi avândraza R (fig. 4.46). AråtaÆi cå dacå bila este deplasatå faÆå de poziÆia sa deechilibru cu un unghi la centru mic çi eliberatå fårå vitezå iniÆialå, eaoscileazå armonic. CalculaÆi perioada micilor oscilaÆii ale biluÆei.

*8. Suportul unui pendul gravitaÆional de lungime l este fixat pe un cåruciorcare coboarå pe un plan înclinat de unghi α. ExprimaÆi perioada miciloroscilaÆii ale pendulului în jurul poziÆiei sale de echilibru (fig. 4.47).

*9. O cutie are o miçcare de translaÆie verticalå sinusoidalå descriså deecuaÆia x = xm sin ωt (fig. 4.48). Pentru a obÆine aceastå miçcare,cutia se sprijinå pe un resort elastic de constantå k. De capaculcutiei este atârnat un pendul de lungime l çi de maså m. Masa cutieieste M.a) ScrieÆi condiÆia de echilibru a corpului m suspendat în cutie;deduceÆi de aici expresia tensiunii în firul de suspensie.b) Pentru ce valoare minimå a amplitudinii xm a oscilaÆiilor cutieifirul nu mai råmâne întins?AplicaÆie numericå: k = 10 Nm–1,M = m = 100 g, xm = 20 cm.

*10. Corpul de maså m, electrizat cu sarcina q > 0 este suspendat deun fir de lungime l, inextensibil, izolator çi plasat într-un câmpelectric uniform de intensitate E .ExprimaÆi perioada micilor oscilaÆii ale pendulului în jurulpoziÆiei de echilibru în urmåtoarele cazuri:a) E paralel çi de acelaçi sens cu g ;b) E paralel, dar de sens opus lui g ;c) E perpendicular pe g .

*11. Un dop de plastic de secÆiune S, înålÆime H çi densitate ρ pluteçte lasuprafaÆa unui lichid de densitate ρ0 (ρ0 > ρ) (fig. 4.49).a) CalculaÆi adâncimea h0 cu care se scufundå dopul la echilibru.b) Dopul este împins puÆin în lichid, apoi este eliberat. AråtaÆi cådopul va efectua o miçcare rectilinie sinusoidalå. CalculaÆi perioadaacesteia. Se neglijeazå frecårile (rezistenÆa la înaintare în fluide).Se cunosc S = 2 cm2, H = 5 cm, ρ = 500 kg m

–3, ρ0 = 1000 kg m–3.

*12. Douå sarcini electrice punctiforme identice, Q, suntfixate la distanÆa 2a una de cealaltå. O particulå demaså m çi sarcinå q plasatå la mijlocul distanÆei dintresarcinile Q se poate deplasa în lungul segmentuluice le uneçte sau în lungul mediatoarei acestuia.AråtaÆi pe ce direcÆie pot avea loc mici oscilaÆii aleparticulei cu sarcina q, în cazurile:a) Qq > 0; b) Qq < 0.ExprimaÆi în fiecare caz perioada micilor oscilaÆii aleparticulei. Se neglijeazå greutatea particulei faÆå deintensitatea forÆelor coulombiene.

Fig. 4.45

Fig. 4.46

Fig. 4.47

Fig. 4.48

Fig. 4.49

246 Fizicã – Manual pentru clasa a XI-a

*4.5. Oscilator mecanic liber cu frecare. AmortizareaExperienþa aratã cã toþi oscilatorii mecanici liberi efectueazã oscilaþii a cãror amplitudine

scade în timp, numite oscilaþii amortizate. Cauza este scãderea energiei mecanice aoscilatorului datoratã frecãrilor cu mediul în care sistemul oscileazã:

∆Em = Lf < 0Energia mecanicã este transferatã parþial mediului sub formã de cãldurã ºi parþial

sistemului însuºi ca energie internã. Scãderea progresivã a energiei mecanice duce lascãderea amplitudinii. Un oscilator neamortizat este un caz ideal.

Se disting douã tipuri de amortizare, dupã cum forþele de frecare sunt datorate unuifluid (gaz, lichid) sau unui solid în contact cu oscilatorul.

Amortizarea fluidãÎn fig. 4.50 este reprezentat un dispozitiv experimental

destinat observãrii variaþiilor amplitudinii oscilatorului cufrecare vâscoasã. Paleta ataºatã oscilatorului este introdusãîntr-un lichid. În felul acesta, oscilatorul întâmpinã la înaintareo forþã de rezistenþã pe care o putem considera proporþionalãcu viteza lui:

vCFf −= (1)

Aceasta este responsabilã, în cea mai mare parte, deamortizarea oscilaþiilor.

Constanta C, mãsuratã în N ⋅ s/m, depinde de vâscozitateafluidului ºi de aria secþiunii transversale a corpului în contactcu fluidul. Dacã paleta este cufundatã mai adânc în fluid,amortizarea este mai rapidã.

Cu ajutorul unui calculator cu interfaþã (sau a unuiosciloscop) se poate vizualiza ºi înregistra variaþia în timp aoscilaþiei amortizate (fig. 4.51). Curba obþinutã reprezintãvariaþia în timp a elongaþiei sistemului. Aceasta nu mai este osinusoidã, cãci amplitudinea scade progresiv.

Totuºi, valorile maxime ale elongaþiei sunt atinse laintervale de timp succesive egale (fig. 4.52). Miºcareaoscilatorie amortizatã este numitã pseudoperiodicã, iar T,pseudoperioada acesteia. Pseudoperioada T este puþin maimare decât perioada proprie T0 a oscilatorului fãrã frecãri:

T > T0 (2)ºi creºte o datã cu creºterea coeficientului de frecare fluidã C.

Principiul fundamental al dinamicii aplicat, de exemplu,unui oscilator elastic cu frecare fluidã, scris sub forma

amFF ef =+ (3)

în proiecþie pe direcþia de oscilaþie, devine:

0=++ xm

kv

m

Ca (4)

Cum 20ω=

m

k(5)

reprezintã pãtratul pulsaþiei proprii în absenþa frecãrilor,se obþine ecuaþia:

020 =ω++ xx

m

Cx (6)

Fig. 4.50

Fig. 4.51

Fig. 4.52

eF

N

Oscilaþii ºi unde mecanice 247

Se demonstreazã cã pentruC < 2mω0 (7), soluþia ecuaþiei (6)reprezintã legea unei miºcãrioscilatorii de forma:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tetxt

m

C

sin2–

0A (7)

Amplitudinea oscilaþiei:

( )t

m

C

et 20

−= AA (8)

scade exponenþial cu timpul ºiaceastã scãdere este cu atât mai accentuatã cu cât coeficientulC de frecare vâscoasã este mai mare. Reprezentarea graficã alegii de miºcare este redatã în fig. 4.52.

Dacã frecarea devine importantã (C > 2mω0), oscilatorul,o datã scos din poziþia de echilibru, revine în aceastã poziþiefãrã a mai oscila: miºcarea se numeºte aperiodicã (fig. 4.53).

Pentru C = 2mω0, amortizarea este numitã criticã(fig. 4.54).

Amortizarea uscatãAmplitudinea miºcãrii unui oscilator elastic orizontal aflat

în contact permanent cu o suprafaþã planã, cu frecare micã,scade liniar în timp (fig. 4.55.b) pânã la oprirea definitivã amobilului. Dacã frecarea este mare, mobilul revine în poziþiade echilibru cu vitezã nulã ºi nu mai oscileazã.

ExerciÆiu aplicativEnunþ:Curba din fig. 4.56 este în-registrarea elongaþiei unuioscilator elastic amortizat.a) Determinaþi din graficpseudoperioada T aacestui oscilator.b) Admiþând cã aceastadiferã foarte puþin de pe-rioada proprie a oscila-torului elastic fãrã frecãri,calculaþi constanta deelasticitate k a resortului,ºtiind cã masa oscila-torului este m = 205,9 g.c)* Se defineºte decremen-tul logaritmic δ al

oscilaþiei amortizate prin relaþia: 1

ln−

=δn

n

AA

, unde A n ºi A n–1 sunt douã amplitudini consecu-

tive (la interval de o pseudoperioadã) oarecare. Arãtaþi cã : Tm

C ⋅=δ2

.

d)* Determinaþi δ din grafic ºi apoi calculaþi coeficientul C de frecare fluidã.

Fig. 4.53 Fig. 4.54

Fig. 4.55

Fig. 4.56

a)

b)


Soluþie:

a) Se mãsoarã durata corespunzãtoare celor 20 de perioade: s38,1cm

s5cm4,5

20

1 =⋅⋅=T

b) Cum k

mTT π=≈ 20 , prin ridicare la pãtrat gãsim

m

N5,4

42

2

≅π=T

mk

c) Din legea de variaþie a amplitudinii rezultã: nT

m

C

n e 20

−= AA , iar

Tnm

C

n e)1(

201

−−− = AA

Prin împãrþire ºi logaritmare rezultã decrementul logaritmic: Tm

C

n

n

2ln

1

==δ−A

A.

d) Pentru a mãri precizia mãsurãtorilor, vom considera mai întâi raportul:

( )nn

n

n

eδ+ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=A

AAA

AA

AA

AA 1

3

2

2

1

1

00

Prin logaritmare gãsim o altã expresie a decrementului: nn A

A0ln1=δ

Pentru n = 20 de oscilaþii complete, 2,888cm0,9

cm2,60 ==nA

A, deci 0515,0888,2ln

20

1 ≅=δ

Rezultã: 11 skg1940,0skg38,1

0515,02596,022 −− ≅⋅⋅=δ=

TmC .

*4.6. OscilaÆii întreÆinute. OscilaÆii forÆate. RezonanÆaPentru a menþine constantã amplitudinea unui oscilator

mecanic cu frecare, trebuie sã i se furnizeze din exterior unlucru mecanic care sã compenseze pierderile energetice.Oscilaþiile se numesc întreþinute. Spre exemplu, la orologiilevechi, întreþinerea oscilaþiilor se face prin aporturi energeticebruºte ºi scurte provenind din exterior. Oscilaþiile balansieruluisunt menþinute la o amplitudine constantã de cãtre sistemulancorã-roatã cu dinþi, prin care energia greutãþii care coboarãeste transmisã prin ºocuri (sãrituri), în momentul treceriioscilatorului prin poziþia de echilibru (fig. 4.57).

Un copil într-un leagãn îºi întreþine singur oscilaþiile pringhemuiri ºi destinderi succesive în ritmul oscilaþiilor propriiale leagãnului.

Existã, de asemenea, posibilitatea de a întreþine, într-unsistem oscilant, oscilaþii a cãror frecvenþã poate fi mult diferitãde frecvenþa lor proprie. Oscilaþiile se numesc în acest cazoscilaþii forþate. Aceastã operaþie necesitã intervenþia unui aldoilea oscilator, cuplat cu primul.

Vom numi primul oscilator, cel care efectueazã oscilaþiile forþate, rezonator. Al doileaoscilator, cel care întreþine oscilaþiile primului, este numit excitator. Vom presupune în celece urmeazã cã excitatorul nu suferã reacþii din partea rezonatorului.

Excitatorul impune frecvenþa sa rezonatorului. Dupã stingerea oscilaþiilor propriiamortizate, amplitudinea oscilaþiilor rezonatorului devine constantã.

Spunem cã rezonatorul intrã în regim permanent cu frecvenþa excitatorului.

ExperimentMembrana ºi bobina unui difuzor (fig. 4.58), dispozitiv studiat de voi la electromagnetism,

constituie un oscilator mecanic (rezonator) caracterizat printr-o frecvenþã proprie de vibraþie.

Fig. 4.57

furcã

balansier

pendul

contra-greutate


Când este alimentatã de un generator de tensiune alternativãde joasã frecvenþã, bobina este supusã unei forþe electromagneticede aceeaºi fercvenþã cu tensiunea excitatoare.

Acum membrana nu mai vibreazã cu frecvenþa proprie, ci cufrecvenþa impusã de tensiunea excitatoare. Ea efectueazã oscilaþiiforþate de amplitudine constantã. Modificând frecvenþa tensiuniiproduse de generator, putem observa cã amplitudinea oscilaþiilorforþate ale membranei se modificã. Amplitudinea vibraþiilormembranei devine maximã când frecvenþa generatorului seapropie de frecvenþa proprie de vibraþie a membranei. Fenomenuleste numit rezonanþã.

ExperimentDouã pendule E ºi R sunt fixate pe un tub de cauciuc întins

orizontal între doi suporþi rigizi A ºi B. Planele lor de oscilaþie suntparalele (fig. 4.59). Pendulul excitator, E, este constituit dintr-o

tijã rigidã în lungul cãreia poate culisa un disc de masã mare(circa 1 kg). În felul acesta, frecvenþa oscilaþiilor excitatoruluipoate fi variatã. Dacã pendulul R oscileazã în aer, oscilaþiileproprii sunt slab amortizate. Ataºându-i o paletã, care în timpuloscilaþiilor întâmpinã rezistenþa unui lichid, amortizarea creºte.

Utilizând un cronometru, mãsurãm mai întâi frecvenþaproprie υ0 a rezonatorului R în aer, menþinând excitatorul înrepaus. Punem apoi excitatorul în oscilaþie ºi mãsurãm frecvenþasa υ, corespunzãtoare unei anumite poziþii a masei M. Observãmcã dupã regularizarea oscilaþiilor, rezonatorul începe sã oscilezecu aceeaºi frecvenþã cu cea a excitatorului. Variem frecvenþa υ a

excitatorului. Constatãm cã oscilaþiile rezonatorului (intrat în regim permanent pe frecvenþa exci-tatorului) au amplitudini mici, exceptând cazul în care frecvenþa excitatorului, υ, ia o valoareaproximativ egalã cu frecvenþa proprie, υ0, a rezonatorului. Spunem cã pendulul R a intrat înrezonanþã cu pendulul E. Rezonanþa este foarte pronunþatã (netã) în cazul amortizãrii slabe.

Dacã mãrim amortizarea prin frecarea cu un fluid, constatãm cã maximul amplitudiniieste mai puþin pronunþat, iar frecvenþa excitatorului la rezonanþã este mai micã decât frecvenþaproprie, υ0, a rezonatorului. Pentru amortizãri mari, fenomenul de rezonanþã dispare.

Dependenþa amplitudinii rezonatorului de frecvenþa (pulsaþia) oscilaþiilor impuse deexcitator poartã numele de curbã de rezonanþã.

ExperimentPentru a provoca oscilaþii forþate unui pendul elastic (masã m, resort de constantã de elasticitate

k) în cazul frecãrii fluide ( vCFf −= ), se acþioneazã asupra sistemului cu o forþã periodicã de

amplitudine constantã ºi de frecvenþã (pulsaþie) reglabilã.În acest scop, de extremitatea superioarã a resortului se

leagã un fir elastic, lung, trecut peste un scripete ºi fixat cucelãlalt capãt, excentric, la un motor de curent continuu.Frecvenþa motorului poate fi variatã montând în circuitul sãude alimentare un reostat, care permite creºterea sau scãdereaintensitãþii curentului. Când extremitatea A a firului elasticdescrie o miºcare circularã de vitezã unghiularã ω reglabilã,cealaltã extremitate a sa, B (aflatã la distanþã mare de A),executã o miºcare sinusoidalã de pulsaþie ω. Forþa transmisãastfel oscilatorului este de forma:

F(t) = Fm sin ωt (1)unde amplitudinea Fm este constantã, iar ω este pulsaþiareglabilã a motorului, mãsurabilã fie stroboscopic, fie prinînregistrare pe osciloscop (calculator cu interfaþã).

Fig. 4.58

Fig. 4.59

Fig. 4.60

)(tF


Forþa F(t) are rolul de a întreþine oscilaþiile pendulului elastic.Mãsurãm mai întâi perioada proprie T0 a oscilaþiilor (cu motorul oprit ºi paleta P scoasã

din lichid).Punem motorul în funcþiune ºi aºteptãm stabilirea regimului permanent. Determinãm

amplitudinea oscilaþiilor ºi pulsaþia lor. Comparãm aceastã pulsaþie cu cea de rotaþie a motorului.Modificãm pulsaþia ω a motorului ºi mãsurãm de fiecare datã amplitudinea A a oscilaþiilor

forþate.Studiem trei cazuri:a) oscilaþiile masei m au loc în aer;b) oscilaþiile masei m cu paleta P (foarte uºoarã) scufundatã în apã;c) oscilaþiile cilindrului de masã m cufundat complet în apã.Aceste cazuri corespund unei amortizãri slabe, uneia medii ºi respectiv unei amortizãri

puternice, produse de forþe de frecare fluidã de diferite intensitãþi.Înscriem datele în trei tabele corespunzãtoare fiecãrui caz studiat:

a) T (s) 0,6 0,7 0,75 0,8 0,9 1,0 1,1 1,3 1,5 1,6 1,8 2,3 3,2 5

ω (s–1) 10,47 8,97 8,37 7,85 6,97 6,28 5,71 4,83 4,18 3,92 3,49 2,73 1,96 1,26

A (cm) 3,5 4,6 5,5 6 7,5 17,5 22 20 13 12 7 4 3 2

b) T (s) 0,6 0,7 0,8 1 1,1 1,3 1,4 2,3 3,4 5,3 7,9

ω (s–1) 10,47 8,97 7,85 6,28 5,71 4,83 4,48 2,73 1,85 1,18 0,80

A (cm) 1 4 5 10 20 16 7,5 3,5 2,5 2 2

c) T (s) 0,6 0,7 0,9 1,1 1,2 1,7 2,2 2,8 3,3 4,3 5,1

ω (s–1) 10,47 8,97 6,98 5,71 5,23 3,69 2,85 2,24 1,90 1,46 1,23

A (cm) 1 1,3 2,3 3,2 3,6 4,3 3 2,4 2 2 2

Perioada proprie a oscilatorului elas-tic utilizat a fost T0 = 1,05 s, iar pulsaþia

proprie ω0 = 1

0

srad89,52 −=π T

.

Am trasat pe acelaºi grafic, în culoridiferite, dependenþa A (f) în fiecare dincazurile avute în vedere (fig. 4.61).

Valorificarea rezultatelorAnaliza curbelor de rezonanþã trasate

aratã cã:– În toate cazurile când pulsaþia

(frecvenþa) impusã de excitator, ω, tindecãtre zero, amplitudinea tinde cãtre ovaloare-limitã impusã de amplitudineaforþei sinusoidale de întreþinere, Fm.

– Când frecvenþa (pulsaþia) impusãeste foarte mare, amplitudinea tinde sprezero. Din cauza inerþiei mari, rezonatorulnu mai poate oscila la frecvenþele mariimpuse de excitator.

– Pentru o anumitã valoare a pulsaþieiimpuse, ωr, curba trece printr-un maxim alFig. 4.61


amplitudinii, A max = A (ωr). Pulsaþia ωr este pulsaþia de rezonanþã. Valoarea sa este inferioarãpulsaþiei proprii ω0 a rezonatorului.

– În cazul amortizãrii slabe (cazul a)), rezonanþa este pronunþatã, curba este îngustã,maximul amplitudinii are valoare mare, iar pulsaþia de rezonanþã este foarte apropiatã depulsaþia proprie ω0.

– Cu cât amortizarea este mai mare (cazurile b) ºi c))rezonanþa este mai puþin pronunþatã, curba mai platã, maxi-mul amplitudinii are valoare mai redusã, iar frecvenþa (pul-saþia) de rezonanþã este clar inferioarã celei proprii, ωr <ω0.

Pentru a caracteriza numeric lãrgimea curbei de rezonanþã,se defineºte banda de trecere. Banda de trecere (zisã de 3decibeli (dB) ) este intervalul de frecvenþe (pulsaþii) pentrucare amplitudinea A îndeplineºte condiþia:

A > 2

maxA

unde A max este amplitudinea la rezonanþã (fig. 4.62).– Intervalul ∆ω = ω2 – ω1 între valorile extreme ω1 ºi ω2 ale benzii de trecere se numeºte

lãrgime de bandã.

Aspecte energeticeBilanþul energetic al sistemului oscilant care executã

oscilaþii forþate (rezonatorul) este redat în fig. 4.63. Acesta:– primeºte lucrul mecanic Le > 0 pe care i-l furnizeazã

excitatorul (lucrul mecanic al forþei de întreþinere);– transferã energie spre exterior sub formã de caldurã,

Q, corespunzãtoare lucrului Lf < 0 al forþelor de frecare.Dacã amplitudinea oscilaþiilor forþate rãmâne

constantã ºi, în consecinþã, energia mecanicã medie asistemului rãmâne constantã, rezultã Le = |Lf|.

În practicã existã situaþii în care fenomenul de rezo-nanþã trebuie evitat. Astfel, în industrie, oscilaþiile forþatepun probleme serioase maºinilor cu componente ce executãmiºcãri periodice. Miºcarea de rotaþie a unei roþi masivepoate determina vibraþii nedorite ale arborelui ºi ale suporþilor

de sprijin. Astfel, la motoarele prost echilibrate poate sã se producã ruperea arborelui sau abatiului dacã frecvenþa de vibraþie devine egalã cu frecvenþa proprie a acestora.

Înþelegem acum cã echilibrarea roþilor unui vehicul este necesarã pentru a evita vibraþiide amplitudine mare ale direcþiei.

Corpul uman este ºi el un sistem mecanic mai mult sau mai puþin amortizat. Anumitepãrþi ale sale posedã frecvenþe proprii de vibraþie: aparatul digestiv (1 Hz), masa abdominalã(3 Hz), capul (20 Hz), globii oculari (35 – 75 Hz). Supuse vibraþiilor exterioare, acestepãrþi pot intra în rezonanþã. Din acest motiv, atunci se resimt senzaþii neplãcute: dureri decap, rãu de mare, rãu de maºinã. Când cãlãtorim cu maºina, suntem supuºi vibraþiilor.Ansamblul caroserie-suspensie constituie un oscilator. Pentru confortul pasagerilor, frecvenþaproprie a autoturismului trebuie sã fie egalã cu o frecvenþã apropiatã de cea a mersului(1,3 Hz). Pentru absorbirea altor frecvenþe se folosesc amortizoare din ce în ce maiperfecþionate. Ele absorb totodatã ºocurile violente ºi zguduiturile repetate provocate detoate tipurile de terenuri. Furcile amortizoare pot fi cu un resort unic, cu resort în asocierecu un elastomer, hidraulice cu resort sau oleopneumatice (douã compartimente: unul cuulei ºi altul cu aer sub presiune care comunicã între ele).Fenomenul de rezonanþã poate fi în unele cazuri util:

– la cutiile de rezonanþã ale instrumentelor muzicale ºi ale diapazoanelor, din care,datoritã vibraþiilor unei mase de aer, sunetele ies întãrite (amplificate). Aceºti rezonatori nu

Fig. 4.62

Fig. 4.63


sunt selectivi, ei amplificã toate vibraþiile cu frecvenþe între 20 Hz – 20 000 Hz (audibile);– timpanul urechii, placa unui receptor telefonic, membrana unui difuzor sau a unui

microfon sunt oscilatori cu amortizare puternicã. Ei pot intra în vibraþii forþate sub acþiuneaunor excitatori externi (sunete sau forþe electromagnetice variabile periodic în timp),reproducând fidel vibraþiile excitatorului pentru o gamã largã de frecvenþe (vezi paragraful„Elemente de acusticã“);

– mareele sunt rezultatul unor oscilaþii forþate. Oscilatorul este masa de apã a oceanelor,iar excitatorii sunt Luna ºi Soarele. Sub efectul fenomenului de rezonanþã, amplitudineamareelor poate deveni, în anumite golfuri, foarte mare. Acolo, apa prezintã o perioadãproprie de oscilaþie (modul de „clãtinare“) de ordinul a 12 h, perioadã apropiatã de cea amareelor (12 h 25 min), care este determinatã de perioada de rotaþie a Soarelui (24 h 50min) ºi a Lunii (23 h 56 min) faþã de sistemul de referinþã al Pãmântului. În acest caz aparerezonanþa, care amplificã fenomenul; în astfel de golfuri, mareea înaltã (fluxul) areamplitudini de 10 m, în timp ce în larg amplitudinea nu depãºeºte 0,3 m. Energia mareelorde mare amplitudine este folositã în centrale electrice.

Test de evaluare rapidå1. Descrieþi un dispozitiv experimental care ilustreazã fenomenul de oscilaþii forþate. Precizaþi

excitatorul ºi rezonatorul.

2. Daþi definiþia:

a) fenomenului de rezonanþã;b) benzii de trecere.

3. Indicaþi transferurile de energie

care intervin în cazul oscilaþiilorforþate ale unui oscilatormecanic; redaþi printr-o schemãbilanþul energetic.

5. Graficul din fig. 4.64 repre-

zintã curba de rãspuns a unuisistem oscilant supus unoroscilaþii forþate. Determinaþi:a) frecvenþa de rezonanþã;b) lãrgimea benzii de trecere.

5. Una din roþile unui automobil

este prost echilibratã. Centrulsãu de greutate se aflã puþin în afara axului de rotaþie. Când automobilul se deplaseazã cuvitezã constantã, roata se comportã ca un excitator pentru ansamblul caroseriei. Schimbãtorulde vitezã vibreazã cu o amplitudine crescutã pentru v = 120 km/h.Calculaþi frecvenþa de rezonanþã a schimbãtorului de vitezã. Diametrul roþilor este d = 0,6 m.

6. O pistã de încercãri prezintã denivelãri (încreþituri) care se succed regulat la distanþa l = 0,6 m.

Un automobil parcurge aceastã pistã cu o vitezã constantã, v.a) La ce intervale de timp trece roata automobilului de la o ridicãturã la alta? Deduceþi

frecvenþa fenomenului.b) Oscilatorul constituit din roatã, resortul suspensiei ºi amortizor este caracterizat de

frecvenþa proprie υ0 = 5 Hz. Supus impulsurilor roþii, acest oscilator se aflã în regimforþat. Pentru ce valoare v0 a vitezei oscilatorul riscã sã intre în rezonanþã?

c)* Raportul dintre frecvenþa proprie a acestui oscilator, υ0, ºi lãrgimea benzii de trecere, |υ1

– υ2|, se numeºte factor de calitate, =Q|| 21

0

υ−υυ

, ºi are valoarea 4.

Determinaþi cu aproximaþie intervalul de viteze ce trebuie evitate pentru a nu provocaoscilaþii de prea mare amplitudine.

Fig. 4.64


Test sumativOscilaþii mecanice1. Referitor la miºcarea oscilatorie armonicã, dintre afirmaþiile de mai jos, care este falsã?

a) Amplitudinea miºcãrii este constantã.b) Energia totalã a oscilatorului liniar armonic este constantã în timp.c) Energia potenþialã maximã depinde de timp.d) Faza iniþialã depinde de poziþia ºi viteza iniþialã.

e) Relaþia între elongaþie ºi vitezã este: v = 22 yA −ω± .

2. Un corp cu masa m = 2 g, pornind din repaus, executã o miºcare oscilatorie armonicã.Pentru a îndepãrta corpul din poziþia de echilibru pânã într-un punct A, situat la distanþamaximã faþã de poziþia de echilibru, se consumã un lucru mecanic de 23 mJ, iar în punctulA, asupra corpului acþioneazã o forþã de 1,15 N, îndreptatã spre poziþia de echilibru. Careeste ecuaþia miºcãrii corpului?a) y = 8 sin 120 t (m); b) y = 2 sin 120 t (cm); c) y = 2 sin 120 t (m);d) y = 4 sin 200 t (cm); e) y = 4 sin 100 t (m).

3. Un punct material cu masa m = 1 kg oscileazã dupã legea: y = 5 sin t5

π (m).

Expresiile energiei cinetice (Ec), energiei potenþiale (Ep) ºi energiei totale (Et) ale punctuluimaterial sunt:

a) Ec = Ep = Et = 5 t5

cos2 π (J); b) Ec = Ep = Et = 5 t

4sin2

π (J);

c) Ec = Ep = 5 t5

cos2 π (J); Et = 5 J; d) Ec = Ep = 5 t

5sin2 π

(J); Et = 5 J;

e) Ec = 5 t5

cos2 π (J); Ep = 5 t

5sin2 π

(J); Et = 5 J.

4. Un punct material executã o miºcare armonicã dupã ecuaþia y =a sin

πt

6m.

În cât timp punctul material parcurge:a) drumul de la poziþia de echilibru la elongaþia maximã;b) prima jumãtate a drumului cerut la punctul a)?a) 3 s; 1 s; b) 2 s; 1 s; c) 3 s; 2 s; d) 6 s; 2 s; e) 3 s; 0,5 s

5. Într-un ascensor se aflã un pendul elastic ºi unul gravitaþional. Când ascensorul se aflã înrepaus, raportul perioadelor lor de oscilaþie este n1. Dacã ascensorul urcã uniform accelerat,raportul perioadelor lor devine n2. Acceleraþia ascensorului este:

a) a = g( )

21

21

22

n

nn +; b) a = g

( )21

21

22

n

nn −; c) a = g

2

21

n

nn −; d) a = g

1

21

n

nn +; e) a = g

22

21

n

n

6. Un oscilator armonic de masã m ºi de constantã de elasticitate k are, la t0 = 0, elongaþia x0

ºi energia E. În funcþie numai de aceºti parametri, elongaþia oscilatorului la momentul tpoate fi exprimatã prin relaþia:

a) ( )

+⋅=

E

kx

m

kt

k

Etx

2arcsinsin

2 0 ; b) ( )

+=

A

xt

m

kxtx 0

0 arccossin ;

c) ( ) ( )

ϕ++= 00 sin

m

kxAtx ; d) ⋅= Ex sin2

+⋅

E

kmx

m

kt

2arcsin 0 ;

e) ⋅= Ex sin2

+

A

x

m

kt 0arccosn .

Rãspunsuri:1. c; 2. d; 3. e; 4. a; 5. b; 6. a.


4.7. Unde mecanice. Propagarea undelor mecaniceSuntem familiarizaþi cu fenomenul numit undã, pe care îl sesizãm frecvent în

viaþa cotidianã. Valurile produse de vânt sau de o piatrã pe suprafaþa apei (fig. 4.65),sunetele emise de corzile unei viori (fig. 4.66) sau de tuburile de orgã (fig. 4.67)sunt doar câteva manifestãri ale acestui fenomen în medii materiale elastice.

Experiment 1Aveþi la dispoziþie o coardã elasticã lungã (furtun de cauciuc de 4-5 m). Întindeþi

coarda pe orizontalã (fig. 4.68) ºi izbiþi-o puternic în vecinãtatea unuia dintrecapete, provocându-i o deformare (perturbaþie) de scurtã duratã, perpendicularpe direcþia sa. Aceasta constituie un puls (semnal de scurtã duratã).

Veþi putea observa propagarea pulsului de la un capãt la altul al corzii.

Experiment 2Luaþi un fir de oþel de câþiva metri; legaþi lamela unui vibrator electromagnetic

la unul dintre capete ºi întindeþi firul trãgând de celãlalt capãt. Conectaþielectromagnetul vibratorului la o sursã de tensiune alternativã (fig. 4.69). Veþi observaîn aceste condiþii propagarea unei deformãri sinuoase de la un capãt la altul alfirului. Aþi realizat propagarea unei oscilaþii neîntrerupte, numitã undã progresivãelasticã, în mediul elastic constituit de firul de oþel.

Unda este numitã progresivã deoarece înainteazã de la un capãt la altul alfirului ºi elasticã deoarece propagarea ei se datoreazã elasticitãþii mediului.

Fig. 4.65 Fig. 4.66 Fig. 4.67

Fig. 4.68

Fig. 4.69

sursã sens de propagare a semnalului receptor

excitaþie

mediu de propagare

sursã sens de propagare a undei receptor

excitaþie

mediu de propagare


Experiment 3Pentru a observa undele la suprafaþa apei, dispunem de o

cuvã dreptunghiularã transparentã în care se toarnã apã. Cuvase aºazã pe retroproiector. Pe ecran apare imaginea suprafeþeiapei. Într-un punct al acesteia plasãm un vârf metalic finconectat la un vibrator ºi care loveºte vertical suprafaþa apei,producând o vibraþie cu frecvenþa tensiunii de alimentare avibratorului.

Pe ecran veþi observa o serie continuã de cercuri concentricecare se propagã de la vârf spre marginile cuvei (fig. 4.70).Vârful constituie sursa undei, iar suprafaþa apei, mediul elas-tic de propagare. Elasticitatea acesteia este conferitã deexistenþa tensiunilor superficiale.

Înlocuind vârful vibratorului cu o rigletã perpendicularãpe suprafaþa apei, veþi observa înaintarea unei unde cu aspectrectiliniu (fig. 4.71).

Experiment 4Pentru observarea undelor progresive vom utiliza acum

aparatul Weller: pe un fir de nylon întins vertical sunt dispusela distanþe egale tije orizontale de aceeaºi lungime. Fixând unvibrator la extremitatea primei tije, veþi putea observapropagarea unei unde. Fiecare tijã reproduce succesiv miºcareaoscilatorie a primeia (fig. 4.72).

Experiment 5Luaþi un resort lung de 4-5 m pe care îl întindeþi orizontal. Legaþi una dintre

extremitãþile sale de lama unui vibrator. Trageþi de cealaltã extremitate cu mâna,pentru a tensiona resortul (fig. 4.73). Comprimãrile ºi alungirile succesive aleextremitãþii resortului impuse de vibrator se vor propaga în lungul acestuia. Mediulelastic de propagare a acestei unde îl constituie resortul.

De ce este necesarã existenþa unui mediu elastic pentru propagarea undelor mecanice?Sã ne imaginãm un mediu format dintr-un numãr mare de particule, fiecare

fiind cuplatã cu vecinele ei prin legãturi elastice. Dacã una dintre ele este perturbatãprintr-un impuls mecanic, adicã scoasã din poziþia de echilibru, deplasarea nuapare imediat în toate celelalte puncte ale mediului. Perturbaþia iniþialã dã naºtere

Fig. 4.70

Fig. 4.71

Fig. 4.72

Fig. 4.73

sursã

sens de propagare a undei

zone de comprimare zone de întindere

deplasarea unei spire


Fig. 4.75

unei forþe elastice care acþioneazã asupra particulei imediat vecine; aceasta sedeplaseazã, generând la rândul sãu o forþã elasticã ce acþioneazã asupra urmãtoareiparticule, ºi aºa mai departe. Având în vedere inerþia particulelor, propagareaperturbaþiei de la una la cealaltã nu se produce instantaneu, ci cu o vitezã finitã cedepinde de natura mediului elastic. Prin perturbaþia aplicatã primei particule setransferã acesteia energie mecanicã din exterior. Când particula exercitã asupraparticulei vecine o forþã elasticã, are loc un transfer de energie în urma cãruiaenergia primei particule scade, iar energia vecinei creºte. Transferul energetic areloc din particulã în particulã pe tot parcursul procesului de propagare. Dupã trecereaperturbaþiei, particulele îºi reiau poziþiile iniþiale de echilibru.

ExperimentSã considerãm un ºir de bile de oþel identice, echidis-

tante, suspendate prin fire de aceeaºi lungime (fig. 4.74).Îndepãrtãm uºor din poziþia de echilibru prima bilã

ºi o lãsãm liberã. Ea ciocneºte bila cea mai apropiatã.Sub efectul ciocnirii, aceasta începe sã se miºte, ciocneºtebila urmãtoare ºi aºa mai departe. Ciocnirile succesivetransmit perturbaþia de la un capãt la altul al ºirului debile. Dupã trecerea perturbaþiei, fiecare dintre bileefectueazã câteva oscilaþii repede amortizate, revenind

rapid în poziþia ei iniþialã de echilibru. ªirul de bile nu este deplasat în mod perma-nent în timpul propagãrii. Aceasta presupune doar transfer energetic de la o bilã laalta ºi nu un transport de substanþã. Ne putem convinge de acest adevãr dacã punempe suprafaþa apei, pe care se propagã o undã, un dop de plutã. El va oscila vertical

Fig. 4.74

sens de propagare a undeivibraþie


când este atins de valuri, fãrã ca acestea sã-l antrenezeîn sensul propagãrii. Trecerea undei nu produce nici untransport de materie de la un punct la altul al suprafeþeiapei.

În concluzie, propunem urmãtoarea definiþie:

Numim undã mecanicã fenomenul de propagarea unei perturbaþii într-un mediu elastic, omogen,infinit, realizatã prin transfer energetic din aproapeîn aproape într-o anumitã direcþie ºi fãrã transportde substanþã.

În cazul utilizãrii unei surse de oscilaþii neîntrerupte,putem observa cã fiecare punct al mediului efectueazãîn timp oscilaþii de aceeaºi frecvenþã cu cele ale sursei încontact cu mediul. În fig. 4.75 sunt redate aspectesuccesive ale corzii (firului de oþel) în diferite momenteale propagãrii undei. Remarcaþi poziþiile succesiveocupate de punctul M al corzii în raport cu poziþia sainiþialã de echilibru. Direcþia acestei oscilaþii esteperpendicularã pe direcþia de propagare. Vorbim despreo undã transversalã.

Atât undele circulare, cât ºi cele liniare produse pesuprafaþa apei sunt transversale (fig. 4.76 ºi 4.77).

Undele produse în lungul resortului elastic lung princomprimãri ºi alungiri succesive imprimate de un vibra-tor sunt unde longitudinale (fig. 4.73). Vopsiþi cu alb ungrup de 2-3 spire alãturate. Urmãriþi miºcãrile acestoraîn timpul propagãrii undei. Veþi observa cã ele oscileazãpe o direcþie ce coincide cu direcþia de propagare.

Nici în acest caz nu existã transport de materie:fiecare spirã vibreazã slab în jurul poziþiei iniþiale fãrã afi transportatã de la un capãt la altul al resortului. Undatransferã în schimb energie de la spirã la spirã.

4.7.1. Viteza de propagare a undelor

Studiul propagãrii undelor aratã cã pentru a ajunge de la sursã pânã într-unanumit punct, acestea se propagã cu o anumitã vitezã finitã.

Dacã mediul este omogen ºi izotrop, viteza de propagare are aceeaºi valoare întoate punctele acestuia.

Pentru determinarea vitezei de propagare într-un fir metalic (coardã) întins, vãpropunem urmãtorul

ExperimentFolosim dispozitivul experimental din fig. 4.78. Firul metalic este tensionat prin

suspendarea de una din extremitãþi a masei M. Valoarea acesteia poate fi variatã,

pentru a urmãri dependenþa vitezei de propagare de tensiunea T din fir. Extremitatea

Fig. 4.76

Fig. 4.77

maximminim

undã progresivã

vibraþie

linie deundã

direcþiede

propa-gare


Fig. 4.80

corzii este legatã de un bloc de material absorbant

(burete) pentru a se evita reflexia undelor.

Se produce o deformare instantanee (puls) la capãtulA al firului. Trecerea pulsului prin dreptul senzorilor C1

ºi C2 ai cronometrului electronic permite mãsurarea

intervalului de timp t necesar propagãrii sale pe direcþia

d = 21CC .

Raportul:t

dv = (1)

permite determinarea vitezei de propagare a pulsului.Se poate astfel constata cã:a) Pentru o coardã omogenã datã, semnalul se propagã cu vitezã constantã

(câteva zeci de metri pe secundã).b) Viteza de propagare este independentã de forma semnalului,

în particular de amplitudinea ºi de durata acestuia (fig. 4.79).c) Viteza de propagare a undei nu depinde decât de proprie-

tãþile fizice ale mediului de propagare.Astfel, pentru undele transversale se demonstreazã teoretic ºi ex-

perimental cã viteza de propagare depinde numai de tensiunea T încoardã ºi de densitatea liniarã µ a acesteia (masa unitãþii de lungime):

µ= T

vt (2)

Cu cât masa M atârnatã de coardã este mai mare, deci cu cât aceasta este maitensionatã, viteza de propagare mãsuratã prin experimentul descris va fi mai mare.Schimbând coarda iniþialã cu una a cãrei densitate liniarã este mai mare, se constatã,pentru aceeaºi tensiune, o scãdere a vitezei de propagare.

Undele longitudinale sunt caracteristice mediilorsolide ºi gazelor. Ca ºi în cazul resortului, o barã metalicãelasticã lovitã brusc longitudinal la capãtul liber propagãacest puls prin comprimãri ºi întinderi succesive aleparticulelor mediului (fig. 4.80) care cuprind rând perând întreaga barã. Viteza de propagare a undei longi-tudinale într-un mediu elastic depinde de proprietãþileelastice ale acestuia ºi de densitate:

vl ρ= E

(3)

unde E – modulul lui Young, iar ρ – densitatea mediului.

Fig. 4.78

Fig. 4.79

A

cronometruelectronic

ObservaÆieRelaþiile (2) ºi (3) sunt valabile doar pentru corzi ideale ºi respectiv medii

elastice ideale, în care deformaþiile longitudinale nu provoacã ºi deformaþiitransversale ºi invers.


Undele sonoreVibraþiile membranei unui difuzor legat la un generator de semnal sinusoidal de

joasã frecvenþã (frecvenþã audio) constituie o sursã sonorã. Vibraþiile sonore se transmitdin aproape în aproape (în gaze, lichide sau solide), constituind o undã sonorã. Unreceptor (urechea, microfonul) aºezat la o anumitã distanþã de sursa sonorã recepþioneazã

oscilaþiile mediului în punctul în care este plasat, sub formaunui sunet (vezi paragraful „Elemente de acusticã“). În aer,unda sonorã se propagã prin comprimãri ºi destinderisuccesive ale pãturilor de aer pe direcþia de propagare (fig.4.81). Peste miºcarea haoticã a moleculelor se suprapune omiºcare oscilatorie a cãrei direcþie coincide cu direcþia depropagare a sunetului.

Moleculele de aer în oscilaþie produc o creºtere localã apresiunii (comprimare) urmatã de o scãdere localã aacesteia (dilatare). Ordinul de mãrime al acestora este de

0,1 Pa, adicã610

1 din presiunea atmosfericã normalã.

Variaþiile locale ale presiunii aerului antreneazã timpanulurechii sau membrana unui microfon într-o miºcare oscila-torie forþatã de aceeaºi frecvenþã cu cea a sursei sonorecare genereazã unda. Un microfon conectat la osciloscopredã caracterul sinusoidal al oscilaþiilor de presiune într-un punct de pe direcþia de propagare (fig. 4.82).

Aceste oscilaþii locale de presiune sepropagã, afectând din aproape în aproapemediul (aerul). Undele sonore sunt undelongitudinale. Mecanismul propagãriisunetelor în lichide ºi solide este asemãnãtor.

Viteza sunetului depinde de mediul depropagare. Ea este mai mare în solide ºi înlichide decât în gaze (tabel).

Se demonstreazã teoretic ºi se confirmãexperimental (tabel) cã viteza sunetuluiîntr-un gaz depinde de temperaturaabsolutã T a acestuia ºi de natura lui:

c =µ

γRT(4)

unde γ – indicele adiabatic, µ – masa mo-larã a gazului, iar c – viteza de propagarea sunetului.

Substanþa v (ms–1)

Gaze aer 343la 20°C bioxid de carbon 327

azot 349hidrogen 1307

Lichide apã 1500

Solide oþel 5500beton 1000-2000scoarþa Pãm. 5000-9000

t (°C) –20 0 20

caer (ms–1) 319 331 342

ExerciÆiu aplicativEnunþ: Într-o zi cu furtunã un observator cronometreazã intervalul de timp ∆t = 4 s

scurs între observarea fulgerului ºi auzirea tunetului. Calculaþi distanþa de laobservator la punctul în care s-a produs fulgerul, considerând viteza depropagare a sunetului în aer 340 ms–1. Se va neglija durata propagãrii luminii.

Soluþie: Se considerã mediul de propagare omogen.Rezultã d = c ⋅ ∆t = 340 ms–1 ⋅ 4 s = 1360 m ≈ 1,4 km.

Fig. 4.81

Fig. 4.82

difuzor

zone de comprimare

zone de dilatare

deplasarea moleculelor de aer

difuzor

osciloscop

microfon

generatorde frecvenþã


4.7.2 Front de undå. SuprafaÆå de undå. Principiul lui HuygensUndele pot fi unidimensionale, bidimensionale sau tridimensionale, în funcþie de

numãrul de direcþii (dimensiuni) în care mediul elastic permite propagarea.Astfel, undele care se propagã în lungul unei corzi elastice sau în lungul unui

resort sunt unidimensionale. Undele de pe suprafaþa apei sunt bidimensionale.Undele emise radial în toate direcþiile de o sursã punctiformã plasatã în volumulunui mediu elastic sunt tridimensionale.

Prezenþa unei surse de oscilaþii într-un mediu elastic pune în oscilaþie din aproapeîn aproape toate punctele cuprinse în volumul mediului dat.

Locul geometric al tuturor punctelor pânã la care a ajuns unda la un moment datse numeºte frontul undei. Frontul de undã la un moment dat este suprafaþa ceseparã punctele mediului care au fost deja cuprinse de procesul oscilatoriu de celeîn care unda nu a ajuns încã, pânã la acel moment. Având în vedere acest fapt,unda are un singur front de undã.

ExperimentÎn faþa unui difuzor conectat la un generator de joasã frecvenþã, plasaþi douã

microfoane unul lângã celãlalt. Conectaþi cele douã microfoane la cele douã intrãriale unui osciloscop cu dublu spot (fig. 4.83). Tensiunile sinusoidale captate de cele

douã microfoane reproduc oscilaþiilede presiune ale aerului antrenat deunda sonorã în cele douã puncte.

Maximele celor douã semnalesunt atinse simultan; la fel minimelesau anularea tensiunilor. Putemafirma cã oscilaþiile în puctele M1 ºiM2 sunt în fazã.

Lãsaþi unul din microfoane fix ºi deplasaþi-l pe cel de al doilea astfel încât celedouã semnale sã rãmânã în fazã. Marcaþi pe o foaie de hârtie orizontalã poziþiilesuccesive ale microfonului deplasat. Precizaþi forma curbei obþinute prin deplasareamicrofonului.

Curba descrisã are forma unui arc de cerc având raza egalã cu distanþa de ladifuzor la microfoane. Ea reprezintã, în fapt, intersecþia cu planul foii a uneisuprafeþe sferice de aceeaºi razã, numitã suprafaþã de undã.

Numim suprafaþã de undã locul geometric al punctelor ce oscileazã în fazã.În cazul unei surse punctiforme, de dimensiuni mici în raport cu distanþa la care

am plasat receptorul (analizorul, observatorul) ºi într-un mediu omogen ºi izotrop,suprafeþele de undã sunt sfere concentrice, având sursa în centru. Undele sferice sepropagã în toate direcþiile cu aceeaºi vitezã.

ObservaÆieSuprafaþa de undã poate fi dusã prin orice punct al spaþiului care a intrat

în procesul de oscilaþie. Numãrul suprafeþelor de undã este infinit. Aceste supra-feþe sunt fixe ºi trec prin poziþiile de echilibru ale particulelor care oscileazãcu aceeaºi fazã.

Fig. 4.83


Într-un mediu omogen ºi izotrop,linia perpendicularã pe frontul deundã care indicã direcþia depropagare a energiei undelor senumeºte razã. La undele sferice,razele sunt direcþiile radiale carepleacã din sursa punctiformã în toatedirecþiile (fig. 4.85.a).

Deplasarea microfonului în lungul unei raze face ca între oscilaþiilecorespunzãtoare celor douã poziþii sã aparã un defazaj (fig. 4.84). Veþi remarca deasemenea micºorarea amplitudinii oscilaþiilor pe mãsura îndepãrtãrii de sursã,fenomen numit atenuare ºi datorat absorbþiei unei pãrþi a energiei undei de cãtremediul elastic, precum ºi împrãºtierii (difuziei) undelor.

La distanþe mari de sursã, suprafeþele de undã sferice au raze de curburã mari ºipot fi considerate, pe zone restrânse, aproximativ plane. Unda a cãrei suprafaþã deundã este un plan se numeºte undã planã (fig. 4.85.a).

Undele plane se propagã într-o singurã direcþie. Razele sunt drepte paralele cudirecþia de propagare, perpendiculare pe suprafeþele de undã plane (fig. 4.85.b).

Undele pe suprafaþa apei generate deun vârf vibrator au frontul de undã circu-lar, iar cele generate de o rigletã vibratoare,o linie dreaptã (fig. 4.76, 4.77). Suprafeþelede undã se reduc la cercuri concentrice ºirespectiv la drepte paralele.

Construcþia suprafeþelor de undã sebazeazã pe principiul enunþat în 1690 deChristian Huygens.

El i-a verificat valabilitatea, fãrã însãa-i da o demonstraþie riguros ºtiinþificã.Principiul sãu a fost fundamentat mult maitârziu prin teoria generalã a elasticitãþii.

Fig. 4.84

Christian Huygens(1629-1695), fizician,matematician ºi astro-nom olandez. A elabo-rat prima teorie ondula-torie a luminii, deve-nind adversarul luiNewton, care funda-mentase teoria corpus-cularã a luminii. Con-troversa a durat înlumea ºtiinþificã pânã la Einstein (1905).

Opere: „ Tratat asupra luminii“, „Despreoscilaþiile orologiilor“.

Fig. 4.85

Fig. 4.86

a) b)


ExperimentPe suprafaþa liniºtitã a unui lichid (apã, mercur) se

propagã o undã (fig. 4.87). În faþa undei aºezaþi unobstacol în care s-a prevãzut un mic orificiu. Indiferentde forma undei ce se propagã de la sursa primarã, seconstatã cã orificiul se comportã ca o sursã elementarã(punctiformã) de oscilaþii, care dã naºtere unei unde cese propagã de cealaltã parte a obstacolului ºi ale cãreisuprafeþe de undã sunt arce concentrice de cerc (respectiv

sfere concentrice, într-un mediu omogen tridimensional). Fenomenul poartã numelede difracþie ºi este cu atât mai bine sesizat cu cât deschiderea obstacolului este maiapropiatã de lungimea de undã, λ, definitã ca distanþa parcursã de undã în timp deo perioadã a oscilaþiei propagate.

Acest experiment ne sugereazã cã fiecare punct al mediului pânã la care aajuns frontul de undã poate fi considerat ca o sursã elementarã (secundarã)de oscilaþii. Undele care se propagã în exteriorul unei suprafeþe închise îninteriorul cãreia se aflã sursa primarã, determinate de aceasta, sunt identiceca formã ºi efect cu undele care s-ar obþine prin suprimarea sursei primare ºiînlocuirea ei cu surse elementare secundare convenabil alese pe suprafaþaînchisã. Frontul de undã la un moment ulterior se gãseºte ca înfãºurãtoare asuprafeþelor de undã corespunzãtoare surselor secundare de oscilaþii (principiullui Huygens).

Dacã aceastã suprafaþã este chiar frontul de undã Σ la un moment oarecare t,principiul lui Huygens ne permite sã construim frontul de undã Σ’ la momentulimediat urmãtor, t + ∆t. Pentru aceasta, vom considera fiecare punct al frontului deundã Σ, la momentul t, o sursã secundarã de oscilaþie, din care se propagã unde deaceeaºi formã. Undele produse de sursele secundare se propagã atât spre interiorulsuprafeþei Σ, spre sursa primarã, cât ºi în exteriorul acesteia (fig. 4.88 a, b). Undelecare se îndreaptã spre interiorul suprafeþei Σ sunt în opoziþie de fazã cu cele care

vin de la sursa primarã ºi dau orezultantã nulã. Deci, în continuare sepropagã numai undele dirijate spre exte-riorul suprafeþei Σ (unda progresivã). Înfiecare punct – sursã secundarã – sepoate construi un front de undãelementar semisferic (semicircular, laundele de suprafaþã) de razã ∆r = v∆t,unde v este viteza de propagare.Suprafaþa (curba) Σ’, înfãºurãtoareatuturor fronturilor de undã elementare,va reprezenta frontul de undã Σ’ lamomentul t + ∆t.

Fig. 4.87

Fig. 4.88

a) b)


4.8. Unda planå sinusoidalåSã considerãm o undã generatã de o sursã de oscilaþii liniar armonice care se

propagã într-o singurã direcþie (undã planã) într-un mediu omogen ºi izotrop.Fie Ox direcþia sa de propagare cu viteza v constantã

(fig. 4.89). Amplitudinea oscilaþiilor oricãrui punct almediului se considerã constantã în timpul propagãrii.

Raþionamentul urmãtor este valabil atât pentru undeletransversale, cât ºi pentru cele longitudinale. Vom consideracã oscilaþiile armonice ale sursei, plasate în O, au loc înlungul axei Oy ºi sunt de forma:

( )T

ttty π=ω= 2sinsin0 A A (1)

unde A – amplitudinea oscilaþiei, ω – pulsaþia, iar T – perioada acesteia.O particulã a mediului aflatã pe direcþia de propagare a undei plane în punctul

M de abscisã xOM = va intra în oscilaþie dupã intervalul de timp v

x=τ (2).

Luând ca origine a timpului momentul în care sursa O începe sã oscileze, elongaþiapunctului M se va scrie:

( )

−π=τ−ω=v

xt

Tty

2sinsin A A (3)

Definim lungimea de undã (λλλλλ) ca fiind distanþa parcursã de undã în timp de operioadã T a oscilaþiei propagate:

Tv ⋅=λ (4)Ecuaþia elongaþiei în punctul M(x) va fi:

( ) π=txy 2sin, A

λ

− x

T

t(5)

Aceastã ecuaþie reprezintã ecuaþia undei plane sinusoidale ºi permite aflareapoziþiei punctului oscilant aflat la distanþa x de sursã la orice moment de timp tîntr-un mediu omogen ºi izotrop.

Ecuaþia undei plane exprimã faptul cã elongaþia y este funcþie dublu periodicãde t ºi x.

Experiment 1Difuzorul alimentat la un genera-

tor de semnal sinusoidal de joasãfrecvenþã ºi un microfon plasat la oanumitã distanþã de difuzor sunt co-nectate la cele douã intrãri ale unuiosciloscop cu douã spoturi (fig. 4.90).

Membrana difuzorului efectueazãoscilaþii sinusoidale de aceeaºi

frecvenþã cu cea a generatorului. Ea constituie sursa de oscilaþii. În punctul undeeste plasat microfonul, unda sonorã face ca aerul sã oscileze cu aceeaºi frecvenþã.Membrana microfonului converteºte vibraþiile sonore sinusoidale în tensiune sinu-soidalã de aceeaºi frecvenþã. Pe ecranul osciloscopului apar cele douã sinusoide deaceeaºi frecvenþã (perioadã).

Experimentul dovedeºte periodicitatea temporalã a ecuaþiei undei (5). Oricarear fi poziþia microfonului, oscilaþia înregistratã are aceeaºi perioadã (frecvenþã)ca a sursei (difuzorului).

Fig. 4.89

Fig. 4.90


Toate punctele de pe direcþia de propagare a undei plane efectueazã miºcãrioscilatorii de aceeaºi perioadã ºi aceeaºi amplitudine cu cea a sursei dacã atenuarea(împrãºtierea ºi absorbþia energiei undei de cãtre mediu) este slabã.

Pentru o poziþie x0 fixã a observatorului (receptorului), elongaþia este funcþieperiodicã de timp, conform (5):

( )

λ−π= 02sin

xtty A (6)

Dacã notãm cu λπ≡ϕ 02 x

, ecuaþia (6) devine:

( ) ( )ϕ−ω= tty A sin (7)

Elongaþia este funcþie periodicã de timp, cu perioada T a sursei:

)()sin()2sin()(2

sin)( tytktkTtT

kTty =ϕ−ω=ϕ−π+ω=

ϕ−+π=+ AAA (8)

Experiment 2Microfonul ºi generatorul ce alimenteazã difuzorul

se conecteazã la cele douã intrãri ale osciloscopului.Sensibilitãþile celor douã cãi sunt aceleaºi. Deplasãmmicrofonul în lungul unei direcþii de propagare (raze).Oricare ar fi poziþia microfonului, pe ecran se observãdouã sinusoide de aceeaºi perioadã. Pentru o anumitãpoziþie a microfonului, M1, cele douã sinusoide sunt înfazã. Punctul M1, aflat pe direcþia de propagare a undei,reproduce oscilaþia sursei cu o amplitudine mai micã,din cauza amortizãrii (fig. 4.91.a). Îndepãrtãmmicrofonul de difuzor pe aceeaºi direcþie. Între oscilaþiasursei ºi oscilaþia captatã de microfon apare un defazaj(fig. 4.91.b). Continuând deplasarea microfonului,defazajul creºte. Pentru poziþia M2, cele douã sinusoide

sunt din nou în fazã (fig. 4.91.c). Distanþa 21MM = λ.Continuând sã îndepãrtãm microfonul, vomregãsi periodic sinusoide în fazã cu cea a surseiîn puncte situate la distanþe egale cu λ, 2λ, 3λ,… faþã de punctul M1.

Unda sonorã (în general, unda mecanicãplanã) prezintã o periodicitate spaþialãcaracterizatã de lungimea de undã λ. Lungimeade undã reprezintã distanþa ce separã douãpuncte consecutive, aflate pe aceeaºi direcþie depropagare, care oscileazã în fazã.

O fotografie instantanee a oscilaþiilor parti-culelor unui mediu elastic omogen neabsorbant

în care s-ar propaga o undã planã transversalã ar avea aspectul unei sinusoide desfãºurateîn lungul direcþiei de propagare (fig. 4.92). Punctele aflate la distanþe egale cu un multipluîntreg al lungimii de undã oscileazã în fazã. Într-adevãr, pentru un moment de timp τfixat, ecuaþia undei plane (5) este funcþie periodicã de poziþia x a punctului:

)(2sin2sin)( xyxkx

kxy =

λπ−ωτ=

λλ+π−ωτ=λ+ AA , unde k ∈ N (9)

Fig. 4.91

Fig. 4.92


ObservaÆieFaza unei unde plane ce se propagã în lungul unei

direcþii determinate de versorul u , într-un punct de vec-

tor de poziþie r (fig. 4.93) se poate scrie:

)( rkt ⋅−ω (10)

unde vectorul k , numit vector de undã, este orientat

dupã direcþia de propagare de versor u ºi are expresia:

uv

ukω=⋅

λπ= 2

(11)

Dacã direcþia de propagare coincide cu direcþiaradialã OP, atunci faza momentanã se scrie:

ϕ = (ωt – kr) (12)

Se numeºte vitezã de fazã vf viteza cu care se depla-seazã suprafeþele de undã de aceeaºi fazã (fig. 4.94):

kt

rv f

ω==d

d(13)

Viteza de fazã este, în cele mai multe situaþii, egalãcu viteza de propagare a undei. Dacã mãrimilecaracteristice mediului (tensiunea T, modulul de elas-ticitate E, densitatea liniarã, µ, sau volumicã, ρ) suntconstante, viteza de fazã a undelor nu depinde defrecvenþa oscilaþiilor. Mediul se numeºte nedispersiv.

Dacã viteza de fazã (de propagare) depinde defrecvenþa undelor, mediul se numeºte dispersiv.


Enunþ: Un diapazon emite în aer un sunet de frecvenþã υ = 1000 Hz a cãrui vitezã depropagare este 340 ms–1.a) Calculaþi distanþa minimã dintre douã puncte aflate pe aceeaºi direcþie de

propagare care oscileazã în fazã.b) Scrieþi ecuaþia undei sonore consideratã planã, ºtiind cã are amplitudinea

constantã 2 · 10–4 ms–1.

Soluþie: a) m34,0min =υ

=⋅=λ= vTvd .

b)

−π⋅= −

−

34,0102sin102),(

3

4 xtxtu (m)

sau

( )xtxtu 94,2102sin102),( 34 −π⋅= − (m)

Fig. 4.93

Fig. 4.94


Fig. 4.95

ExerciÆii çi probleme propuse1. O undã sinusoidalã cu amplitudinea de 10 cm ºi lungimea de undã de 200 cm se

propagã în lungul unei coarde orizontale întinse, cu viteza de 100 cm ⋅ s–1. Calculaþi:

a) frecvenþa undei; b) numãrul de undã definit prin relaþia k = λπ2

. Scrieþi:

c) ecuaþia undei, ºtiind cã la momentul iniþial extremi-tatea din stânga a corzii (fig. 4.95) se aflã în origine ºise miºcã în sus;

d) ecuaþia de miºcare a unei particule a corzii aflate la150 cm în dreapta originii;

e) ecuaþia vitezei de oscilaþie (transversalã) a particuleicorzii aflate la 150 cm în dreapta originii.

f) Calculaþi deplasarea ºi viteza transversalã a particulei respective la t = 3,25 s.

2. Ecuaþia unei unde longitudinale se scrie: u(x, t) = 2 sin 2π

30104

,

x–t ,

unde x se mãsoarã în m, u în cm, iar t în secunde. Determinaþi:a) amplitudinea; b) perioada; c) lungimea de undã; d) viteza de propagare a undei;e) modulul lui Young pentru mediu, dacã densitatea acestuia este 11 300 kg/m3.

3. O undã planã cu lungimea de undã 3 cm se propagã într-un mediu omogen ºiizotrop cu viteza 3 ⋅ 103 ms–1. Calculaþi:a) frecvenþa oscilaþiilor ºi pulsaþia acestora;

b) numãrul de undã k, definit prin relaþia k = λπ2

;

c) defazajul dintre douã puncte situate pe una dintre direcþiile de propagare ladistanþa de 2,25 cm; 4,5 cm; 18 cm unul de celãlalt.

4. Un vibrator punctiform loveºte suprafaþa apei cu frecvenþa υ = 25 Hz dând naºtereunei unde circulare ce se propagã cu viteza v = 0,25 ms–1.a) Redaþi aspectul suprafeþei apei în secþiune perpendicularã pe aceasta în momentul

în care vârful vibratorului are elongaþia maximã de 3 mm.b) Scrieþi ecuaþia undei sinusoidale ce se propagã în lungul unei direcþii radiale. Se

neglijeazã reflexiile undei de pereþii vasului.

5. Se mãsoarã viteza de propagare v a undelor pentru diferite valori ale grosimii h aunui strat de apã. Se obþin valorile:

h (mm) 1 4 9 16 25

v (ms–1) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Exprimaþi dependenþa vitezei de propagare de adâncimea apei. (g = 10 ms–2)

6. Un difuzor (S), considerat sursã sonorã punctiformã, este alimentat de un generatorde joasã tensiune ºi frecvenþã reglabilã. Viteza de propagare a undelor sonore în aerare aceeaºi vitezã în toate direcþiile, v = 340 ms–1.a) Într-un punct M situat la distanþa d = 2 m de difuzorul S este plasat un microfon.

Precizaþi numãrul punctelor aparþinând segmentului SM care oscileazã în fazã cuoscilaþia captatã de microfon, dacã frecvenþa generatorului a fost fixatã la 450 Hz.

b) Se modificã frecvenþa la valoarea de 550 Hz. La ce distanþã minimã de M, pesegmentul SM, trebuie plasat un alt microfon pentru a detecta o vibraþie sonorãîn fazã cu cea captatã de microfonul din M?


*4.9. Energia undei. Intensitatea undeiÎn cursul procesului de propagare, o undã mecanicã pune în miºcare particulele mediului

respectiv. Acestea intrã în oscilaþie una dupã alta. Unda transmite energia de la un oscilatoral mediului la altul. Unda transferã energie cineticã de miºcare a particulelor ºi energiepotenþialã de deformare localã a mediului.

Prin definiþie, densitatea volumicã de energie w într-un punctal unui mediu elastic în care se propagã o undã este energiamecanicã a particulelor mediului cuprinse în unitatea de volum(fig. 4.96):

wV

=→∆

lim0 V

W

∆∆

(1)

Aceasta se mãsoarã în SI în J/m3.Densitatea de energie a unui mediu elastic omogen ºi izotrop în care are loc un proces

ondulatoriu se poate exprima în funcþie de numãrul oscilatorilor din unitatea de volum ºide energia unui oscilator:

E = 2

1mA 2ω2 (2)

unde m – masa oscilatorului, A – amplitudinea oscilaþiei, iar ω – pulsaþia acesteia.Rezultã:w = n ⋅ E = n ⋅ 2π2mA 2υ2 (3)

unde n – concentraþia particulelor mediului aflate în oscilaþie (oscilatorilor), considerateidentice, iar υ este frecvenþa undei.

Introducând densitatea mediului elastic prin relaþia:ρ = nm (4)

densitatea volumicã de energie devine:

w = 2π2ρA 2υ2 =2

1 ω2ρA 2 (5)

Prin urmare, pentru o undã care se propagã într-un mediu elastic omogen ºi izotrop,densitatea de volum a energiei depinde de densitatea mediului, de pãtratul amplitudinii ºi depãtratul frecvenþei undei.

ObservaÆieCând unda se propagã într-un mediu real, chiar omogen ºi izotrop, datoritã frecãrilor

interne ºi a vâscozitãþii, undele mecanice se atenueazã ca amplitudine, energia lor fiindabsorbitã de mediu ºi transferatã sub formã de cãldurã. În acest caz, densitatea volumicãde energie nu mai are aceeaºi valoare în toate punctele mediului, ci scade pe mãsuraîndepãrtãrii de sursã.

Intensitatea I a unei unde mecanice este mãrimea energeticã definitã ca energia mecanicãde oscilaþie transportatã de undã în unitatea de timp, prin unitatea de arie situatã perpen-dicular pe direcþia de propagare a undei.

Într-un mediu elastic omogen, izotrop, neabsorbant încare se propagã o undã planã, intensitatea este tocmaienergia conþinutã într-un paralelipiped drept având bazaunitarã ºi lungimea egalã cu viteza de propagare a energieiundei (fig. 4.97), v.

Ca urmare: I = wv (6)Înlocuind (5) în (6) rezultã:

I =2

1 ω2ρA 2v (7)

Fig. 4.96

Fig. 4.97


Fig. 4.98

Deducem cã intensitatea undei depinde de mãrimile caracteristice acesteia – pulsaþia ωºi amplitudinea A – ºi de mãrimi caracteristice mediului – densitatea ρ ºi viteza de propagarea energiei undei, v. Unitatea de mãsurã pentru intensitatea undei în SI este W/m2.

ObservaÆieTrebuie subliniat faptul cã unda reprezintã un transfer de energie ºi nu un transport

de substanþã. În ceea ce priveºte propagarea sa, în relaþia (7) intervine viteza de propagarea energiei transferate (viteza de propagare) ºi nu viteza sa de fazã. Pentru mediilenedispersive, cele douã viteze sunt egale.

ExerciÆiu aplicativEnunþ: De la o sursã punctiformã de unde, a cãrei putere medie de ieºire este P, se propagã

unde sferice într-un mediu omogen ºi izotrop, neabsorbant. Presupunând cã sursaradiazã uniform în toate direcþiile, exprimaþi:a) dependenþa intensitãþii undei de distanþa r pânã la sursã;b) dependenþa amplitudinii undei de distanþa r;c) aceleaºi întrebãri pentru o sursã liniarã infinitã de putere P care produce o undã

progresivã cilindricã într-un mediu omogen neabsorbant (fig. 4.98).

Soluþie: a) Atunci când frontul de undã se propagã de la oanumitã distanþã r1 de sursã pânã la o distanþã r2, ariasuprafeþei sale creºte de la 4πr12 la 4πr22. Energia totalãtransferatã de undã pe secundã rãmâne constantã, egalãcu puterea P a sursei, asfel încât:

P = 4π 121 Ir = 4π 2

22 Ir

Rezultã:21

22

2

1

r

r

I

I =

Deci, intensitatea undei variazã invers proporþional cupãtratul distanþei pânã la sursã:

( )20

r

IrI = , unde I0 – intensitatea undei la nivelul sursei.

b) Aplicând relaþia (7), gãsim cã amplitudinea undei sferice scade cu distanþa pânã la

sursã conform: ( )r

r0A

A = , unde A 0 – amplitudinea oscilaþiei sursei.

c) Pentru unda cilindricã, la nivelul a douã suprafeþe de undã de raze r1 ºi r2 (r1 > r2)vom putea scrie:P = 2 πr1LI1 = 2 πr2LI2unde L – lungimea generatoarei, consideratã foarte mare.

Rezultã:1

2

2

1

r

r

I

I =

Intensitatea undei scade cu distanþa r pânã la sursa liniarã: r

IrI 0)( =

deci amplitudinea scade cu distanþa conform relaþiei: ( )r

r 0AA =

unde A 0 – amplitudinea oscilaþiilor sursei.


ObservaÆie importantåDoar pentru unda planã intensitatea ºi amplitudinea rãmân constante în lungul

direcþiei de propagare.

*4.10. Efectul DopplerCând sursa de oscilaþii ºi observatorul (receptorul) se aflã în miºcare unul faþã de altul,

frecvenþa undei recepþionate se modificã faþã de cea a undei emise. Acest fenomen senumeºte efect Doppler. Exemplul cel mai obiºnuit este creºterea înãlþimii sunetului emis desirena unei ambulanþe pe mãsura apropierii acesteia, fapt datorat creºterii frecvenþeisunetului recepþionat de observator. Invers, pe mãsura îndepãrtãrii ambulanþei, sunetulsirenei devine tot mai grav, adicã frecvenþa recepþionatã este din ce în ce mai micã.

Vom considera urmãtoarele situaþii:1. Sursa S mobilã cu viteza vs (fig. 4.99) ºi observatorul P fix. Se considerã S1 ºi S2

poziþiile sursei la momentele de timp t1 = 0 ºi t2 = T0, unde T0 este perioada de oscilaþie asursei. Presupunem cã frontul de undã emisã în S1 la t1 = 0 ajungela observatorul P la momentul t. Frontul de undã emis în S2 lamomentul t2 = T0 ajunge în P la momentul t – T0 + T, unde T va fiperioada aparentã a undei recepþionate. Notãm cu v viteza depropagare a undei în mediul considerat imobil ºi fie θ unghiuldintre direcþia de propagare a undei (S1P) ºi direcþia de deplasarea sursei.

Se poate scrie:

021 TvSS s ⋅=tvPS ⋅=1 (1)

( ) θ−≅−=+−= cos2111102 SSPSMSPSTTtvPS

De aici gãsim: ( ) θ−≅+− cos00 TvvtTTtv s

ºi în final, relaþia între perioada T0 a oscilaþiilor emise ºi perioada T a celor recepþionate:

θ−= cos10

v

vTT s (2)

respectiv între frecvenþele corespunzãtoare sursei mobile ºi observatorului fix:

υ = υ0

θ− cos1

1

v

vs

(3)

Caz particular: Dacã sursa se deplaseazã pe direcþia sursã-observator, apropiindu-se deobservator (θ = 0), relaþia între frecvenþa emisã ºi cea recepþionatã devine:

v

vs−

υ=υ

1

0 (4)

ceea ce confirmã justeþea observaþiilor noastre: sunetul sirenei ambulanþei care se apropieeste perceput de receptorul fix ca fiind mai înalt (cu o frecvenþã mai mare).

Dacã sursa se îndepãrteazã de observator pe direcþia S – P (θ = 180°), frecvenþarecepþionatã este mai micã decât cea emisã, sunetul perceput fiind mai grav:

v

vs+

υ=υ

1

0 (5)

Fig. 4.99


2. Sursa S fixã, iar observatorul mobil cu viteza v0. Fie P0 poziþia observatorului lamomentul t0 = 0 ºi P1 poziþia acestuia la momentul t1 = T, unde T reprezintã perioadaoscilaþiei recepþionate (fig. 4.100).

Rezultã: 10PP = v0T (6)

Fie t intervalul de timp necesar undei emise de S pentru aajunge în P0 cu viteza de propagare v:

0SP = vt (7)

Frontul de undã emis în S dupã o perioadã T0 a oscilaþieisursei ajunge la observatorul aflat acum în P1, dupã intervalulde timp t – T0 + T, deci:

1SP = v(t – T0 + T) (8)

Geometric putem scrie:

0SP ≅ 1SP + 01PP cos θ (9)

de unde, înlocuind, gãsim relaþia între perioada oscilaþiilor emise ºi a celor recepþionate deobservatorul mobil:

T =

θ+ cos1 0

0

v

v

T(10)

Între frecvenþa sursei ºi frecvenþa oscilaþiei recepþionate obþinem relaþia:

υ = υ0

θ+ cos1 0

v

v(11)

În particular, dacã observatorul se deplaseazã pe direcþia PS, spre sursã (θ = 0°)frecvenþa creºte:

υ = υ0

+

v

v01 (12)

ºi dacã se îndepãrteazã de sursã (θ = 180°) frecvenþa scade:

υ = υ0

v

v0–1 (13)

3. Sursã mobilã cu viteza vs ºi observator mobil cu viteza v0.Fie θs ºi θ0 unghiurile pe care le fac la un moment dat vectorii sv ºi

respectiv 0v cu direcþia ce uneºte sursa cu observatorul în acel mo-

ment (fig. 4.101).

În acest caz, mãrimile percepute de observator vor avea expresiile:

00

0

cos1

cos1

θ+

θ−=

v

vv

v

TTs

s

(14)

υ = υ0

ss

v

vv

v

θ−

θ+

cos1

cos1 00

(15)

Fig. 4.100

Fig. 4.101


ObservaÆii1) În relaþiile stabilite, vitezele v0, vs ºi v sunt toate considerate faþã de sistemul de

referinþã al mediului elastic de propagare (aerul). Efectul Doppler apare ºi în cazul undelorelectromagnetice (lumina, undele radio). În acest caz nu existã un „mediu“ faþã de care sãse considere vitezele sursei ºi observatorului. Veþi studia la opticã efectul Doppler, vorbindnumai de viteza relativã a sursei faþã de observator.

2)Dacã sursa se deplaseazã cu o vitezã mai mare decât viteza de propagare a oscilaþiilor,vs > v, ºi observatorul se gãseºte pe traiectoria sursei, acesta nu recepþioneazã oscilaþiiledecât în momentul în care sursa ajunge în dreptul sãu. Observatorul poate chiar percepeundele în ordinea inversã emisiunii lor.

Notå documentaråÎn urmårire… Câteva aplicaÆii ale efectului Doppler

Efectul Doppler oferã posibilitatea urmãririiunui satelit care emite un semnal radio defrecvenþã constantã, υ0. Frecvenþa υ a semna-lului recepþionat de observatorul fix P de pePãmânt (fig. 4.102) scade când satelitul trecepe deasupra staþiei de observare, deoarececomponenta vitezei în direcþia staþiei (vs cos θ)scade când satelitul trece din poziþia S1 în poziþiaS2. Frecvenþa recepþionatã creºte apoi din noucând satelitul se îndepãrteazã din poziþia S2 spreS3, deoarece componenta vitezei pe direcþiastaþiei creºte din nou, dar în sens contrar.

O tehnicã asemãnãtoare estefolositã de agenþii de circulaþiepentru a mãsura vitezele auto-mobilelor. O sursã de oscilaþii aflatãîn maºina poliþiei staþionatã lamarginea drumului emite unde de oanumitã frecvenþã. Unda estereflectatã de automobilul în miºcare,ce se comportã ca o sursã mobilã.Unda reflectatã are frecvenþamodificatã datoritã efectului Dop-pler. Semnalul reflectat se compune

cu semnalul generat de sursã, dând naºterefenomenului de bãtãi. Cu cât viteza automo-bilului care se apropie este mai mare, cu atâtfrecvenþa bãtãilor este mai mare. Din înre-gistrarea pe osciloscop se poate deduce vitezaautomobilului.

Efectul Doppler este important ºi pentrucercetãrile de astrofizicã. Analiza undelorluminoase emise de stelele îndepãrtate a pus înevidenþã modificãri ale frecvenþelor faþã de celeemise de aceleaºi elemente chimice de pePãmânt (fig. 4.103). Aceste modificãri sedatoresc deplasãrii stelelor respective ºi pun înevidenþã micºorarea frecvenþei (deplasarea „spreroºu“) adicã îndepãrtarea lor. Astfel de obser-vaþii stau la baza teoriilor cosmologice ale„universului în expansiune“, care considerã cãuniversul a luat naºtere în urma unei exploziiuriaºe (big bang) care a avut loc cu câtevamiliarde de ani în urmã într-o regiune finitã aspaþiului.Fig. 4.102

Fig. 4.103

sursã lungime de undã observatã spectru

a)

b)

c)


4.11. Reflexia undelor

Experiment 1Folosiþi o cuvã orizontalã în care se

aflã un strat de apã de 1-2 cm grosime.Cu ajutorul unei lame orizontale ataºatevibratorului, produceþi unde plane pesuprafaþa apei. Plasaþi o placã sub unanumit unghi faþã de direcþia de pro-pagare a undei. Puteþi observa întoar-cerea undei dupã întâlnirea obstacolului,urmãrind modificarea direcþiei sale depropagare ºi a fronturilor sale de undã(fig. 4.104).

Fenomenul de întoarcere a undei inci-dente în mediul în care se propagã, înmomentul în care atinge suprafaþa de se-paraþie a altui mediu, se numeºte reflexie.

În cazul experimentului descris, aceasta este suprafaþa planã a obstacolului rigid.Fronturile undelor incidente (1, 2, 3, 4, 5...) ºi cele ale undelor reflectate (1′, 2′,

3′, 4′, 5′, …) din fig. 4.104 se intersecteazã sub un unghi ce depinde de înclinareaobstacolului plan faþã de direcþia de propagare a undei incidente.

Reflexia se face cu schimbarea direcþiei ºi sensului de propagare.Dupã reflexie, unda planã îºi pãstreazã caracterul plan.

În mod asemãnãtor, reflexia unei unde circulare deun obstacol fix conduce la obþinerea unei undereflectate, de asemenea circularã (fig. 4.105).Denumiri. Fie AB suprafaþa planã de separare între

mediile 1 ºi 2 omogene ºi izotrope. Unda planã incidentãemisã de o sursã aflatã în mediul 1 are direcþia depropagare (raza) SI. Punctul I poartã numele de punctde incidenþã (fig. 4.106). Unghiul format de razaincidentã ºi normala la suprafaþa de separaþie senumeºte unghi de incidenþã ºi se noteazã prin i.Experienþa aratã cã direcþia de propagare a undeireflectate IR se aflã în acelaºi plan cu raza incidentã ºicu normala în punctul de incidenþã. Direcþia razeireflectate IR face cu normala In unghiul i′, numit unghide reflexie.

Mãsurarea unghiurilor de incidenþã ºi de reflexie aratãcã acestea sunt egale (legea reflexiei):

i′′′′′ = i (1)

Fig. 4.104

Fig. 4.105

Fig. 4.106


Egalitatea celor douã unghiuri poate fi doveditã ex-perimental prin mãsurarea unghiurilor fronturilor deundã plane cu suprafaþa de separaþie înainte ºi dupãreflexie (fig. 4.107).

Legea reflexiei poate fi explicatã pe baza principiuluilui Huygens. Sã presupunem cã pe suprafaþa de separaþieplanã (obstacol plan) cade o undã planã. Fiecare dinpunctele 1, 2, 3, … ce alcãtuiesc frontul de undã plan alundei incidente oscileazã în fazã ºi constituie sursesecundare de unde. Înfãºurãtoarea fronturilor de undãsecundare generate de aceste puncte este o undã planã(fig. 4.108).

Întâlnind în drumul ei suprafaþade separaþie (obstacolul) planã,care face unghiul i cu frontul deundã, unda este reflectatã. Sã presu-punem cã la momentul t0 = 0, undadin punctul 1 a atins suprafaþa(obstacolul) în punctul 1′. Acestpunct devine o nouã sursã deoscilaþii ºi începe sã emitã o undã

secundarã. La momentul t1, unda de la punctul 2 atingesuprafaþa în punctul 2′ ºi devine ºi ea o sursã secundarãde unde. În sfârºit, la momentul T ajunge pânã lasuprafaþã unda de la punctul 5. Undele secundare cucentrele în punctele 1′, 2′, 3′, 4′ ºi 5′ se propagã în timpulcare a trecut de la t0 pânã la T cu aceeaºi vitezã, pedistanþe respectiv din ce în ce mai scurte, astfel încâtînfãºurãtoarea fronturilor lor de undã secundareconstituie frontul plan al undei reflectate. Figura 4.109vã poate ajuta sã demonstraþi geometric faptul cã frontulde undã reflectat (NP′) ºi cel incident (MP) al razelorextreme fac unghiuri egale cu planul suprafeþei deseparaþie.

PMN = i = P′NM = i′În mod analog, pe baza principiului lui Huygens

puteþi construi unda reflectatã în cazul când pe unobstacol plan cade o undã sfericã (fig. 4.110).

ObservaÆie importantåÎn funcþie de raportul densitãþilor mediilor 1 ºi 2, reflexia poate avea loc în

douã moduri. Astfel, dacã densitatea mediului reflectant 2 este mai mare decât acelui în care se propagã unda incidentã 1, reflexia are loc cu schimbarea sensuluielongaþiei.

Fig. 4.107

Fig. 4.108

Fig. 4.109

Fig. 4.110


Fenomenul poate fi observat (stroboscopic) lareflexia unei unde transversale printr-o coardã întinsãfixatã la un capãt (fig. 4.111). Când unda ajunge lacapãtul fix, ea exercitã o forþã asupra suportului rigid.

În virtutea legii a III-a a lui Newton, suportulexercitã o forþã egalã ºi de sens opus asupra corzii,generând o undã ce se va propaga în sens opus,inversându-ºi totodatã ºi sensul deplasãriitransversale. Reflexia pe suprafaþa de separaþie cuun mediu mai dens are loc cu schimbarea sensului

elongaþiei, unda reflectatã având fazã opusã faþã de cea a undei incidente. Dacãfaza undei incidente este în punctul de fixare N al corzii:

ϕi = 2π

λx

T

t– (2)

faza undei reflectate va fi în acelaºi punct:

ϕr = 2π

λx

T

t– + π = 2π

λ

λ−2–

x

T

t(3)

Prin urmare, o astfel de reflexie se produce cu pierdere de λλλλλ/2.Reflexia pe un mediu mai puþin dens nu produce

schimbarea sensului elongaþiei ºi nici pierderea de λ/2. Spreexemplu, la reflexia undei transversale într-o coardã elasticãpe un capãt ce se poate miºca liber transversal (fig. 4.112),unda reflectatã este în fazã cu cea incidentã.

4.12. RefracÆia undelorAþi constatat cã viteza de propagare a undelor depinde de proprietãþile elastice

ale mediului prin care se propagã. Experimental se aratã cã dacã unda atingesuprafaþa de separaþie dintre douã medii elastice în care vitezele de propagaresunt diferite, direcþia sa de propagare se modificã.

Spre exemplu, trecerea undelor produse de o lamã vibrantã peste frontiera ceseparã douã compartimente cu adâncimi diferite ale apei se produce cu modificarea

direcþiei de propagare (fig. 4.113). Se ºtie cã viteza depropagare este mai micã în apa puþin adâncã decât înapa adâncã ºi aceeaºi relaþie se menþine ºi între lungimilede undã. Puteþi observa modificarea corespunzãtoare adistanþei dintre „crestele“ paralele ale valurilor din celedouã compartimente, reprezentând fronturile undeisurprinse în momentul fotografierii.

Fenomenul de schimbare a direcþiei de propagare aunei unde la traversarea suprafeþei de separare dintre douãmedii diferite poartã numele de refracþie.

Fenomenul de refracþie este însoþit, în general, de

Fig. 4.111

Fig. 4.112

Fig. 4.113

firsubþire


reflexia pe suprafaþa de separaþie (fig. 4.114). O parte din energia undei incidentese întoarce în mediul 1 ºi o altã parte este transmisã mediului 2 prin refracþie.

În cazul a douã medii omogene, fenomenul de refracþie a unei unde planesinusoidale într-un punct al suprafeþei de separaþie se pro-duce potrivit urmãtoarelor douã legi:

1. Raza incidentã (SI), normala la suprafaþa de separaþieîn punctul de incidenþã (I) ºi raza refractatã (transmisã, IT)se aflã în acelaºi plan;

2. raportul dintre sinusul unghiului de incidenþã (i) ºi alcelui de refracþie (r) este constant ºi egal cu raportul vitezelorde propagare a undei în cele douã medii:

r

i

sin

sin=

2

1

v

v= const. (1)

Legea a doua a refracþiei, observatã experimental, poate fi explicatã utilizândprincipiul lui Huygens. Suprafaþa AB separã douã medii omogene de densitãþi diferiteρ1 < ρ2, în care vitezele de propagare a undei plane sunt respectiv v1 ºi v2, astfel încâtv1 > v2. Vom considera razele incidente paralele 1 ºi 2 ce delimiteazã fasciculul inci-dent. Conform fig. 4.115, când raza 1 atinge în M suprafaþa de separaþie, frontul de

undã este MP , perpendicular pe direcþia de propagare a undei incidente.

În timp ce unda 2 parcurge distanþa PN , unda

secundarã produsã de punctul M se propagã în mediul

al doilea cu o vitezã mai micã. Unda refractatã va

ajunge în acelaºi interval de timp pe un front de undã

sferic cu raza MP ′ mai micã decât distanþa PN .

Pentru a afla direcþia razei refractate, ducem din N

tangenta la acest front de undã, de razã MP ′. Din

triunghiurile dreptunghice ∆ MPN ºi ∆ MP′N rezultã:

sin i = MN

NP (2) ºi sin r =

MN

MP' (3)

Fie ∆t intervalul de timp necesar propagãrii undei incidente pe distanþa PN .

Avem: tvPN ∆⋅= 1 (4)ºi totodatã: tvPM ∆⋅=′ 2 (5)

Înlocuind în (2) ºi respectiv (3), gãsim apoi raportul: 2

1

2

1

sin

sin

v

v

MN

tvMN

tv

r

i =∆⋅

∆⋅

= .

Pentru orice valoare a unghiului de incidenþã: const.v

v

r

i ==2

1

sin

sin

Raportul, constant pentru douã medii date, poartã numele de indice de refracþie(n) al mediului 2 în raport cu mediul 1:

n21 = 2

1

v

v(6)

ObservaÆieLegea refracþiei aratã ºi experienþa confirmã cã unghiul de refracþie este mai

mic decât cel de incidenþã (r < i) dacã v2 > v1.

Fig. 4.114

Fig. 4.115

i


Întrebåri, exerciÆii çi probleme propuse

1. Plasaþi într-o cuvã cu apã un obstacol de forma unei elipse

(fig. 4.116). Daþi naºtere în punctul A, situat pe axa mare aelipsei, unei perturbaþii de scurtã duratã (de exemplu, lãsaþisã cadã o picãturã de apã în acest punct). Pentru o anumitãpoziþie a punctului A, puteþi observa cã, dupã reflexia pepereþii barierei, fronturile de undã converg într-un alt punct,B, situat de asemenea pe axa mare a elipsei.a) Corelaþi cele observate cu geometria elipsei.

Ce reprezintã punctele A ºi B pentru elipsã?b) Ce se întâmplã dacã perturbaþia este generatã în punctul B?

2. O undã liniarã (fig. 4.117) se reflectã de o barierã în unghi

drept sub unghiul de 45°.Desenaþi fronturile de undã ce pot fi observate dupã reflexiacu pereþii barierei.

3. Într-un punct al unei cuve cu apã se produc unde circulare

lãsând sã cadã picãturi dintr-o pipetã la intervale regulatede timp. Luminând suprafaþa apei cu un stroboscop (pentrua observa o imagine staticã) mãsurãm diferenþa dintre razaprimului cerc ºi a celui de-al ºaselea cerc, gãsind-o de 10 cm.a) Calculaþi lungimea de undã.b) Experimentul se repetã deplasând sursa (pipeta) cu vitezã constantã de la un capãt la

altul al cuvei. Un observator plasat la una din extremitãþile cuvei mãsoarã lungimea deundã de 0,8 cm. Se apropie sau se îndepãrteazã sursa de observator?

c) Calculaþi raportul dintre viteza de propagare a undei ºi viteza de deplasare a sursei.

4. O undã liniarã se propagã pe suprafaþa apei în secþiunea mai adâncã a unei cuve cu viteza de

34 cm/s. Frontul de undã întâlneºte linia de separaþie cu secþiunea mai puþin adâncã a cuveisub un unghi de 60°. În aceastã regiune, unda se propagã cu viteza de 24 cm/s.a) Calculaþi unghiul de refracþie ºi indicele relativ de refracþie al celui de al doilea

compartiment faþã de primul.b) Prin modificarea frecvenþei sursei, viteza de propagare a undelor superficiale se modificã.

Spunem cã mediul de propagare este dispersiv. Descrieþi douã modalitãþi de evidenþierea fenomenului de dispersie.

5. Într-o coardã elasticã cu densitatea liniarã

µ = 20 g/m, tensiunea este T = 10 kN. Coarda estefixatã de un obstacol rigid aflat la distanþa L = 1,5 mde sursa de oscilaþii transversale (fig. 4.118).Cunoscând amplitudinea oscilaþiilor imprimateA = 3 mm ºi frecvenþa sursei υ = 50 Hz, scrieþi:a) ecuaþia undei sinusoidale incidente la momentul

t într-un punct al corzii, M, de abscisã x; dreptorigine a timpului se considerã momentul când punctul O al corzii se aflã pe direcþiaorizontalã ºi începe sã se miºte vertical în sus;

b) ecuaþia undei reflectate de obstacol în acelaºi punct M(x) al corzii, la momentul t.c) Exprimaþi defazajul dintre cele douã unde, incidentã ºi reflectatã; arãtaþi cã acesta nu

depinde decât de poziþia punctului M pe coardã.

Fig. 4.116

Fig. 4.117

Fig. 4.118


4.13. InterferenÆa undelor

4.13.1. Principiul superpoziÆiei undelor

Într-un mediu se pot propaga în acelaºi timp douã sau mai multe unde careprovin de la surse diferite. Experienþa aratã cã undele acþioneazã independent unade alta, ceea ce înseamnã cã elongaþia unei particule a mediului, la un momentdat, este rezultanta elongaþiilor pe care le-ar produce fiecare undã acþionând indi-vidual. Acest proces de compunere (vectorialã) a elongaþiilor individuale se numeºtesuprapunere (superpoziþie). Astfel, într-un sunet putem identifica notele emise defiecare instrument dintr-o orchestrã, deºi unda sonorã perceputã de urechea noastrãde la întreaga orchestrã este foarte complexã.

Principiul suprapunerii (superpoziþiei) face posibilã analiza unei miºcãrioscilatorii complicate ca o combinaþie de miºcãri sinusoidale simple.

Matematicianul francez J. Fourier (1768 – 1830) a arãtat cã orice miºcareperiodicã a unei particule poate fi reprezentatã ca o suprapunere de miºcãriarmonice simple. Astfel, dacã y(t) reprezintã miºcarea unei surse de oscilaþii cuperioada T, ea poate fi scrisã:

y(t) = A 0 + A 1 sin ωt + A 2 sin 2ωt + A 3 sin 3ωt +… + + B 1 cos ωt + B 2 cos 2ωt + B 3 cos 3ωt + … (1)

unde ω = T

π2(2)

Aceastã serie se numeºte serie Fourier; coeficienþii A i, B i sunt bine determinaþipentru orice miºcare periodicã particularã.

Fourier a generalizat rezultatul, arãtând cã orice miºcare a unei surse de unde(perturbaþie localã) poate fi reprezentatã cu ajutorul miºcãrilor armonice simple.În consecinþã, undele generate de o perturbaþie oarecare pot fi analizate ca fiindcombinaþii de unde sinusoidale (plane).

În capitolul „Elemente de acusticã“ vom aplica analiza Fourier undei sonorecomplexe emise de un instrument muzical.

4.13.2. Unde coerente

În cazul particular al suprapunerii într-un punct almediului elastic omogen a douã unde sinusoidale deaceeaºi frecvenþã apare un fenomen foarte interesantnumit interferenþã.

ExperimentSe sudeazã, de tija unui diapazon la distanþa de 2-3

cm unul de altul, douã ace identice, ca în fig. 4.119.Vârfurile acestora ating uºor suprafaþa apei dintr-o cuvãtransparentã.

Excitând diapazonul cu un ciocãnel, vârfurile S1 ºiS2 devin surse de unde de aceeaºi frecvenþã (cea a diapa-zonului care vibreazã armonic, emiþând un sunet pur).

Fig. 4.119


Observaþi aspectul suprafeþei libere a apei. Aparregiuni distincte unde amplitudinea oscilaþiilor este ma-ximã („crestele“ sunt bine reliefate în lungul anumitordirecþii) ºi alte regiuni în care suprafaþa apei nu estevãluritã, deci amplitudinea este nulã.

Acest aspect al mediului poartã numele de figurã de inter-ferenþã ºi se caracterizeazã prin alternanþa zonelor de inten-sitate maximã (interferenþa constructivã) cu cele de inten-sitate minimã (interferenþa distructivã) a undei rezultante.

Undele sinusoidale de aceeaºi frecvenþã care prin suprapunere într-un mediu elasticdeterminã apariþia unor minime ºi maxime ale intensitãþii se numesc unde coerente.

Diferenþa fazelor oscilaþiilor produse de cele douã unde componente într-un punctal mediului se menþine constantã în timpul macroscopic de observaþie.

Vom arãta cã în acest caz intensitatea undei rezultante într-un punct nu esteegalã cu suma intensitãþilor celor douã unde componente în acel punct, ci estemai mare sau mai micã, în funcþie de diferenþa de fazã dintre componente,corespunzãtoare acelui punct.

4.13.3. InterferenÆa undelor sinusoidale

Fie sursele coerente S1 ºi S2. Undele considerate sinusoidale ce se propagã de laacestea în direcþia unui punct P al mediului considerat omogen ºi izotrop ºi care sesuprapun aici, se scriu:

y1 = A 1 sin 2π

λ1–r

T

t(3)

respectiv: y2 = A 2 sin 2π

λ2–

r

T

t(4)

Am considerat cã oscilaþiile celor douã surse sunt în fazã (ϕ01 = ϕ02),dar amplitudinile lor pot fi, în general, diferite (A 1 ≠ A 2).

Elongaþia rezultantã în P va fi, în conformitate cu principiulsuperpoziþiei:

yP = y1 + y2 (5)Compunerea fazorialã (vectorialã) a celor douã

oscilaþii este ilustratã în fig. 4.122, unde:

ϕ1 = ωt – λπ 12 r

ºi ϕ2 = ωt – λπ 22 r

(6)

reprezintã fazele celor douã oscilaþii la momentul t.Unda rezultantã va fi o undã sinusoidalã de amplitudineA P ºi fazã ϕP, ce pot fi determinate geometric.

Obþinem pentru pãtratul amplitudinii undei rezultante:A 2P = A 1

2 + A 22 + 2 A 1A 2 cos ∆ϕ (7)

unde: ∆ϕ = ϕ2 – ϕ1 = λπ2

(r1 – r2) (8)

reprezintã defazajul apãrut între unde în punctul Pdatoritã diferenþei de drum la cele douã surse:

∆r = r1 – r2 (9)

Fig. 4.120

Fig. 4.121

Fig. 4.122


Intensitatea undei rezultate prin suprapunere în punctul P depinde de pãtratulamplitudinii oscilaþiei imprimate acestui punct.

Tragem concluzia cã intensitatea undei rezultante:

I P = I 1 + I 2 + 2 21II cos 2πλ∆r

(10)

depinde de diferenþa de drum a punctului la cele douã surse.Punctele pentru care aceastã diferenþã de drum satisface relaþia:

cos 2πλ∆r

= 1 (11)

vor avea amplitudinea ºi deci intensitatea maximã:A P max = A 1 + A 2 (12)

IP max = I 1 + I2 + 2 21II (13)

Pentru aceste puncte, amplitudinile individuale se adunã, interferenþa fiind numitãconstructivã. Locul geometric al acestor puncte are ecuaþia:

∆r = kλ = 2k2

λ, k = 0, ±1, ±2,… (14)

ºi reprezintã familia curbelor (suprafeþelor) trasate cu albastru în planul surselorpunctiforme (fig. 4.123). Din punct de vedere geometric, acestea sunt hiperbolepentru undele superficiale (hiperboloizi de rotaþie pentru un mediu omogen tridi-mensional în care oscileazã douã surse punctiforme coerente). Pentru k = 0 seobþine maximul central de interferenþã constituit de punctele aflate pe mediatoarea

segmentului 21SS (respectiv în planul median).

În concluzie, punctele mediului pentru care diferenþa de drum la cele douã sursecoerente este un multiplu întreg al lungimii de undã prezintã maxime de interferenþã,caracterizate printr-o valoare maximã a amplitudinii de oscilaþie ºi a intensitãþiiundei rezultante.

Punctele mediului pentru care

cos 2πλ∆r

= –1 (15)

adicã pentru care diferenþa de drum:

∆r =

+

2

1k λ = (2k + 1)

2

λ(16)

este un multiplu semiîntreg al lungimii de undã, prezintã minime de interferenþãcaracterizate printr-o valoare minimã a amplitudinii oscilaþiei rezultante(interferenþã distructivã):

A min = |A 1 – A 2| (17)ºi a intensitãþii undei rezultante:

I P min = I 1 + I 2 – 2 21II (18)

Locul geometric al punctelor în care interferenþa se manifestãdistructiv îl constituie familia de hiperbole (hiperboloizi) avânddrept ecuaþie relaþia (16). Aceste curbe sunt dispuse alternantcu cele corespunzãtoare maximelor de interferenþã, între douãmaxime aflându-se un minim ºi reciproc. În fig. 4.123 celedouã familii sunt redate cu albastru – cele corespunzãtoaremaximelor – ºi cu roºu – cele corespunzãtoare minimelor deinterferenþã. Coincidenþa cu imaginea obþinutã experimental(fig. 4.120) confirmã coerenþa surselor S1 ºi S2 constituite devârfurile acelor sudate pe furca diapazonului.Fig. 4.123

I 1I 2

I 1I 2

I 1I 2


Dacã diferenþa fazelor oscilaþiilor produse în punctul considerat de cãtre undelecomponente variazã în timpul observaþiei (nu este constantã în timp), intensitateaundei rezultante este egalã cu suma intensitãþilor undelor componente:

I = I 1 + I 2În acest caz, fenomenul de interferenþã nu are loc; sursele nu sunt coerente.Imaginea de interferenþã nu apare dacã se folosesc douã ace sudate la douã

diapazoane ce emit sunete de frecvenþe diferite. Chiar dacã frecvenþa diapazoaneloreste aceeaºi, datoritã amortizãrii poate apãrea o diferenþã de fazã variabilã întimp, ceea ce conduce la deteriorarea imaginii de interferenþã.


Enunþ: Într-o cuvã cu apã de dimensiunimari se produc unde liniaresinusoidale de frecvenþã datã.Paralel cu frontul lor de undã seaºazã un paravan prevãzut cudouã deschideri înguste, identice,situate la distanþa d = 5 cm unade cealaltã (fig. 4.124). Se urmã-reºte dispunerea maximelor ºi mi-nimelor de interferenþã la distanþaL = 80 cm de planul paravanului.a) Exprimaþi poziþiile minimelor de interferenþã în raport cu mediatoarea

segmentului ce uneºte deschiderile S1 ºi S2.b) Calculaþi lungimea de undã a undelor pe suprafaþa apei ºtiind cã distanþa

dintre douã minime consecutive la distanþa L de paravan este i = 16 cm.

Soluþie: Deschiderile practicate în paravan devin surse secundare coerente, în fazã ºide aceeaºi amplitudine, punctele S1 ºi S2 fãcând parte din acelaºi front deundã liniar. În punctul P aflat pe dreapta OP paralelã cu planul S1S2 interferãunde ce pot fi considerate sinusoidale, dat fiind L >> λ. Diferenþa lor de drum

∆r = r1 – r2 poate fi aproximatã prin segmentul AS1 , unde A este piciorulperpendicularei duse din S2 la direcþia S1P.

Avem ( MOPASS drdr ∆∆ ~21 ):MO

OP

MP

OP

SS

AS ≈==θ21

1sin , deci: L

x

d

r ≈∆

unde OPx = este poziþia unuia dintre minimele de interferenþã.

În aceste condiþii: (∆r)min =

+

2

1k · λ unde k = 0, ±1, ±2, ±3,…

Rezultã poziþiile minimelor, marcate prin puncte întunecate:

xk = d

L· (∆r)min =

+

2

1k ·

d

Lλ

b) Distanþa dintre douã minime consecutive: d

Lxxi kk

λ=−= +1

Rezultã 180

516 =⋅==λL

id cm

Aproximaþia utilizatã λ << L este, deci, corectã.

Fig. 4.124


ExerciÆii çi probleme propuse1. În fiecare din schemele din fig. 4.125 existã o

sursã punctiformã de ultrasunete S ºi douãdeschideri S1 ºi S2 punctiforme într-un paravan(surse secundare). Distanþele de la sursã ladeschideri ºi de la acestea pânã la un punct Msunt indicate în cm.(1) Calculaþi în fiecare caz diferenþa de drum

la punctul M;(2) ªtiind cã lungimea de undã este 8 mm,

determinaþi situaþiile în care în punctul M:a) interferenþa este constructivã;b) interferenþa este distructivã.

2. Douã difuzoare identice sunt aºezate faþã în faþã.Ele emit acelaºi sunet ºi oscileazã în fazã.Frecvenþa sunetului emis este de 1600 Hz, iarviteza de propagare în aer este 336 ms–1.Distanþa dintre centrele S1 ºi S2 ale difuzoareloreste 120 cm.a) Un microfon este aºezat în mijlocul O al seg-

mentului 21SS . Explicaþi de ce intensitateasunetului captat în acest punct este maximã.

b) Care sunt punctele M de pe dreapta S1S2pentru care intensitatea sunetului captateste, de asemenea, maximã? Reperaþi aceste puncte prin abscisa lor x = OM .

c) Se aºazã acum microfonul într-un punct situat la 169 cm de S1 ºi 106 cm de S2.Caracterizaþi intensitatea sunetului captat în acest punct.

3. Douã surse oscileazã într-un mediu elastic, conform ecuaþiilor:

ty π= 10sin21 (cm) ºi ty π= 10sin5,12 (cm)

Viteza de propagare a celor douã unde este v = 2 ms–1. Calculaþi:a) amplitudinea undei rezultante într-un punct al mediului pentru care diferenþa

de drum la cele douã surse este ∆r =10 cm;b) pentru ce valori ale diferenþei de drum amplitudinea undei rezultante este minimã;c) valoarea minimã a amplitudinii rezultantei.

4. La extremitãþile A ºi B ale unei ºine având densitatea ρ = 2700 kg m–3 ºi modulul luiYoung E = 6,75 ⋅ 1010 Nm–2 sunt plasate douã surse de oscilaþii ale cãror ecuaþii sunt:yA = 8 sin 250πt (mm) ºi yB = 10 sin 250πt (mm). Calculaþi:a) lungimea barei AB, dacã într-un punct intermediar C oscilaþiile provenite de la

cele douã surse se scriu:

π−π=

2250sin8/ ty CA (mm) ºi, respectiv:

π−π=

4250sin10/ ty CB (mm)

b) amplitudinea undei rezultate prin suprapunerea undelor generate de cele douãsurse în punctul C.

c) Cele douã surse sunt dispuse acum la capetele unei ºine din acelaºi material, culungimea de 4 ori mai mare. Considerând cã nu au loc reflexii, studiaþiamplitudinea A a oscilaþiilor unui punct al ºinei situat la distanþa x de capãtul A

al ºinei. Reprezentaþi grafic A(x) pentru x ∈ [0, l], unde l = AB .

Fig. 4.125


4.14. Unde staÆionareUndele staþionare constituie un caz particular de interferenþã a undelor plane,

caracterizat prin stãri de oscilaþie de amplitudine constantã în timp pentru oricepunct al mediului.

ExperimentUn fir metalic din material feromagnetic este fixat la

unul din capete, celãlalt capãt fiind trecut peste un scripetefix ºi tensionat cu ajutorul maselor marcate m (fig. 4.126).Un electromagnet alimentat în curent alternativ (defrecvenþã υ = 50 Hz) este plasat în apropierea capãtuluifix al firului.

Pentru anumite valori ale masei m, deci ale tensiunii înfir, puteþi observa formarea unor „fuse“ (fig. 4.127)caracteristice. Unda incidentã transversalã produsã de sursaperturbatoare (electromagnet) ºi unda reflectatã peextremitatea firului interferã, apãrând stãri de oscilaþie carenu se deplaseazã în timp, fiind staþionare. Punctele în careamplitudinea este constant nulã sunt numite noduri. Un „fus“este cuprins între douã noduri consecutive. Punctele în careamplitudinea este maximã poartã numele de ventre. Puncteleintermediare ale firului, situate între un nod ºi un ventru,oscileazã cu amplitudini constante în timp, ale cãror valorisunt cuprinse între 0 ºi valoarea maximã atinsã în ventru.Persistenþa imaginilor succesive ale punctelor în oscilaþie pe

retinã dã impresia unor „pânze“ continue pe întinderea fuselor.Apariþia „fuselor“ indicã formarea undelor staþionare. Experimentul dovedeºte

cã lungimea unui fus depinde de tensiunea în fir. La rândul sãu, tensiunea în firdeterminã viteza de propagare ºi deci lungimea undelor transversale λ ce se propagãîn fir. Prin urmare, distanþa dintre douã noduri consecutive (douã ventre consecu-tive) depinde de lungimea de undã.

Vom demonstra teoretic acest fapt, admiþând cã unda staþionarã se obþine prinsuprapunerea a douã unde plane de aceeaºi frecvenþã ºi aceeaºi amplitudine ce sepropagã în sensuri opuse.

Sã presupunem cã astfel de unde se propagã de-a lunguldirecþiei AA′, cea incidentã de la A spre dreapta ºi ceareflectatã de la A′ spre stânga (fig. 4.128).

Admitem ca origine a unei axe de coordonate pe aceastãdirecþie punctul O, în care cele douã unde sunt în fazã.Drept origine a timpului considerãm momentul în care fazainiþialã a celor douã unde este nulã în punctul O.

Astfel, ecuaþia undei ce se propagã spre dreapta ºi atingeun punct oarecare M al mediului, de abscisã x, va avea forma:

y1 (x, t) =

λ

−π=

⋅

−π x

T

t

Tv

x

T

t2sin2sin A A (1)

unde v – viteza de propagare a undei.

Fig. 4.126

Fig. 4.127

Fig. 4.128

π

π


Ecuaþia undei ce se propagã de la dreapta spre stânga (fãrã salt de fazã la reflexie)se scrie, analog:

y2 (x, t) =

λ

+π=

⋅−

−π x

T

t

Tv

x

T

t2sin2sin A A (2)

Prin suprapunere în M(x), se obþine ecuaþia undei rezultante:

( ) ( ) ( ) xt

xttxytxytxy =

λπ+ω+

λπ−ω=+= A 2sin2sin,,, 21

tx ω⋅λ

π= A sin2cos2

Ecuaþia undei staþionare rezultate:

( ) tx

txy ω⋅λ

π= A sin2cos2, (3)

aratã cã fiecare punct al mediului oscileazã cu pulsaþia ω, comunã undelor incidentã(progresivã) ºi reflectatã (regresivã). Amplitudinea rezultantã depinde însã depoziþia x a punctului faþã de origine:

A (x) = 2 A cosλ

π x2 (4)

Întrucât cosinusul are valori absolute cuprinse între 0 ºi 1, amplitudineadiferitelor puncte va avea valori cuprinse între 0 (noduri) ºi 2A (ventre).

Poziþiile ventrelor corespund soluþiilor ecuaþiei: 12cos ±=λ

π vx

adicã:2

λ= kxv , unde k ∈ N (5)

Poziþiile nodurilor corespund ecuaþiei: 02cos =λ

π Nx

adicã ( )2

12λ⋅+= kxN , k ∈ N (6)

Un calcul simplu aratã cã distanþa dintre douãventre consecutive este egalã cu distanþa dintre douãnoduri consecutive (adicã lungimea unui fus) ºi are

valoarea2

λ (fig. 4.129).

Distanþa dintre un nod ºi ventrul vecin este 4

λ.

4.14.1. VibraÆiile corzilor fixate la ambele capeteO perturbaþie transversalã sinusoidalã apãrutã într-o coardã elasticã fixatã la

ambele capete dã naºtere undelor staþionare. Întrucât capetele sunt fixate, acesteavor constitui noduri.

ExperimentO coardã metalicã este întinsã între doi suporþi. O tijã solidarã cu membrana unui

difuzor este în contact cu coarda în apropierea unuia din capetele acesteia. Difuzoruleste alimentat de un generator de joasã frecvenþã. Sistemul generator-difuzor-tijã animatde o miºcare oscilatorie forþatã constituie excitatorul, iar coarda – rezonatorul.

Fig. 4.129

π

π

π

π


Modificând frecvenþa υ a excitatorului prin reglarea generatorului, vom observapentru anumite frecvenþe formarea în coardã a fuselor caracteristice undelor

staþionare. Amplitudinea în centrul fuselor iavalori mari pentru frecvenþele υ1, 2υ1, 3υ1, …. Numãrul de fuse (1, 2, 3, …) esteproporþional cu frecvenþa impusã de excitator(fig. 4.130).

Frecvenþele υ1, 2υ1, 3υ1, … pentru careamplitudinea este maximã sunt frecvenþe de

rezonanþã. O coardã întinsã constituie deci un rezonator cu frecvenþe multiple.Acestea sunt frecvenþe proprii numite armonicele frecvenþei fundamentale υ1.

Într-adevãr, la formarea fuselor, lungimea corzii poate fi:2

32

22

111 λλλ,,

sau în general orice multiplu întreg de jumãtãþi de lungime de undã 1

1 ν=λ v

.

Într-o coardã de lungime L pot forma fuse numai oscilaþiile care dau naºtereunor unde cu lungimea de undã:

n

L, ...,

L,

LL,

2

3

2

2

22 (n = 1, 2, 3, …)

Viteza de propagare v fiind aceeaºi pentru toate frecvenþele (aceeaºi tensiune încoardã – mediu nedispersiv) rezultã cã frecvenþele pentru care obþinem fuse sunt:

υ1 ,L

v

2= υ2 2

2

2 ν===L

v

L

v υ1,υ3 32

3 ν==L

v υ1, υ4 = 4υ1, …

Frecvenþa fundamentalã, care corespunde formãrii unui singur fus, este cea

mai joasã: υ1L

v

21 = . Celelalte, numite armonice superioare, sunt multipli întregi ai

celei fundamentale. Ele formeazã o serie armonicã. Fiecare din armonici corespundeunui mod normal de oscilaþie. Când coarda unui instrument muzical (vioarã, ghitarã,pian) este excitatã (prin frecare cu arcuºul, prin ciupire sau prin lovire), în vibraþiarezultantã este prezentã nu numai vibraþia fundamentalã, ci ºi multe dintrearmonice. Miºcarea ei este o superpoziþie de moduri normale. Frecvenþafundamentalã a coardei vibrante este :

υ1 µ= T

L2

11

unde T = tensiunea corzii, reglatã prin „acordarea“ instrumentului, iar µ – densitateaei liniarã. Faptul cã frecvenþa este invers proporþionalã cu lungimea sa L esteilustrat de corzile baºilor pianului sau contrabasului, mult mai lungi decât cele alesectorului sopran al acestor instrumente sau decât corzile viorii.

Corzile baºilor se înfãºoarã cu sârmã pentru a le mãri densitatea liniarã, înscopul micºorãrii frecvenþei lor fundamentale.

4.14.2. VibraÆiile tuburilor sonore

ExperimentLa una din extremitãþile unui tub de sticlã (fig. 4.131) se monteazã un difuzor

alimentat de un generator de frecvenþã reglabilã. Variind frecvenþa sunetului emis,constatãm o întãrire a sunetului pentru anumite frecvenþe: υ1, 2υ1, 3 υ1, … .

Fig. 4.130


Aerul din tub constituie rezonatorul, iar difuzorul excitatorul.Rezonatorul posedã frecvenþe multiple pentru care intrã înrezonanþã, când devine sediul unor unde staþionare. Dacã tubuleste deschis la ambele capete, lungimile de undã λk satisfacrelaþia:

k kkL =λ=2 k

c

υ2

unde L – lungimea tubului, c – viteza de propagare a sunetului,iar k = 1, 2, 3…

Rezultã cã frecvenþele de rezonanþã, numite armonice,

υkL

ckk

2=

sunt multipli întregi ai frecvenþei fundamentale:

υ1L

c

2=

Instrumentele muzicale cu tuburi (orga, trombonul)folosesc tuburi sonore deschise sau închise care sunt rezonatoride frecvenþe multiple.


Enunþ: Un tub de orgã A, cu lungimea de 60 cm, închis la un capãt, vibreazã cufrecvenþa celei de a doua armonice. Un alt tub de orgã, B, cu lungimea de 40cm, deschis la ambele capete, vibreazã cu frecvenþa fundamentalã. Consideraþiviteza sunetului în aer c = 340 ms–1. Calculaþi:a) frecvenþa sunetului emis de A;b) frecvenþa sunetului emis de B.

Soluþie: Pentru tubul A, închis la unul dintre capete (fig. 4.133.a):

AAAAL =λ=λ+λ=

4

5

4

5

422

A

c

υ

rezultã υA 3,7084

5 ==L

cA Hz

Pentru tubul B avem (fig. 4.133.b):

BBL =λ=

2 B

c

υ2

de unde υB 4252

==L

cB Hz

Fig. 4.131

Fig. 4.132

Fig. 4.133

a) b)


*4.15. Elemente de acusticå

Acustica este capitolul fizicii care se ocupã cu studiul producerii, propagãrii ºi al proprie-tãþilor sunetelor.

Am definit sunetele ca fiind oscilaþiile mecanice capabile sã impresioneze organul auditival omului – urechea (receptor). Undele sonore sunt unde mecanice longitudinale ce sepropagã în solide, lichide ºi gaze, despre care am discutat în paragrafele anterioare.

Pentru a fi percepute de ureche, undele sonore trebuie sã îndeplineascã urmãtoarele condiþii:– sã fie produse de o sursã sonorã, adicã de un corp care adus în stare de oscilaþii

emite sunete în urma excitãrii mecanice printr-un procedeu dat (corzi vibrante,coloane de aer vibrante, plãci, membrane vibrante, lame vibrante etc.);

– sã existe un mediu elastic de propagare între sursa sonorã ºi receptor; sunetele nuse propagã în vid;

– frecvenþa oscilaþiilor sunetelor trebuie sã fie cuprinsã într-un anumit interval defrecvenþe;

– intensitatea undelor sonore trebuie sã fie suficientã pentru a produce o senzaþie auditivã;– durata sunetului trebuie sã depãºeascã un interval de timp minim (≅ 0,05 s) pentru

a fi sesizat de organul auditiv.

4.15.1. Receptarea sunetelor

Urechea este organul auditiv, constituind un receptor sonor.O ureche omeneascã normalã percepe sunete cu frecvenþele cuprinse între circa 20 Hz

ºi 20 000 Hz. Aceste limite variazã de la un individ la altul ºi se modificã cu vârsta, subefectul expunerii prelungite la zgomot sau în urma unor afecþiuni netratate (otite). Sunetelede frecvenþe puþin inferioare lui 20 Hz, numite infrasunete, nu produc senzaþii auditive.Unele infrasunete sunt totuºi percepute la nivelul cuºtii toracice.

Sunetele cu frecvenþe de peste 18 kHz, numite ultrasunete, nu produc nici ele senzaþiiauditive la om. În figura 4.134 sunt redate benzile de trecere ale urechii omului ºi alecâtorva specii de animale.

Fig. 4.134

banda detrecere aurechii

om

banda detrecere aurechii

om

broascã

câine

pisicã

pasãre

insectã

delfin

liliac

banda deemisie aurechii


Senzaþia auditivãSenzaþia auditivã depinde de intensitatea sunetelor

recepþionate. Undele sonore transportã energie, care esteprimitã parþial de timpan. Se defineºte intensitatea acusticã(sonorã) I ca fiind puterea acusticã recepþionatã pe unitateade arie a receptorului. Ea se mãsoarã în Wm–2.

Urechea este un receptor de foarte mare sensibilitate,detectând sunete ale cãror intensitãþi acustice sunt cuprinseîntre 10–12 Wm–2 (pragul de audibilitate) ºi 102 Wm–2 (pragulde durere).

Senzaþia auditivã nu este, însã, proporþionalã cu intensi-tatea acusticã. Dacã într-o salã unde funcþioneazã un difuzorse instaleazã un al doilea difuzor ce reproduce acelaºi sunet,senzaþia auditivã nu se modificã. Deºi intensitatea acusticã sedubleazã, ascultãtorul nu percepe un sunet de douã ori maiputernic. De aceea s-a definit o mãrime corelatã cu senzaþiaauditivã a urechii, numitã nivelul intensitãþii acustice.

Nivelul intensitãþii acustice, L (simbol provenit de la termenullevel = nivel, în limba englezã), se mãsoarã în decibeli (dB) cuaparatul numit sonometru. (Denumirea unitãþii de mãsurã afost datã în onoarea lui Graham Bell (1847-1920), inventatorultelefonului în 1876.)

S-a stabilit experimental cã nivelul intensitãþii acustice,L, depinde logaritmic de intensitatea sonorã, dupã legea fizi-co-psihicã a lui Weber ºi Fechner:

L ~ lg IAstfel, dacã intensitatea acusticã se dubleazã, nivelul

intensitãþii acustice creºte cu numai 3 dB. Iar dacã intensitateaacusticã creºte de 10 ori, nivelul intensitãþii acustice creºtecu 10 dB.

În fig. 4.135 vã este prezentatã în paralel o scarã aintensitãþilor acustice ºi scara corespunzãtoare a nivelelor deintensitate acusticã.

Senzaþia auditivã depinde de frecvenþã. Urechea prezintão sensibilitate maximã în jurul frecvenþei de 3000 Hz.

Nivelul acustic sub care un sunet nu mai este perceptibilla o frecvenþã datã poartã numele de prag al percepþiei (deaudibilitate).

Valoarea sa la 1 kHz este prin convenþie egalã cu 0 dB.Pragul de audibilitate variazã cu frecvenþa ºi prezintã unminim între 2 kHz ºi 5 kHz (sensibilitate mare).

Nivelul acustic deasupra cãruia sunetul provoacã osenzaþie dureroasã se numeºte prag de durere. El variazã foartepuþin cu frecvenþa, valoarea sa fiind de ordinul a 130 dB.Cele douã curbe reprezentând valorile pragurilor deaudibilitate ºi de durere pentru diferite frecvenþe (fig. 4.136)delimiteazã domeniul audibilitãþii sunetelor sau câmpulauditiv al urechii.

Ascultarea binauralã (cu douã urechi) ne permite în ge-neral localizarea sursei sonore, creierul interpretând uºoarelediferenþe de percepþie între cele douã urechi.

Stereofonia este un sistem de redare sonorã ce recreazãimpresia rezultantã prin repartizarea surselor sonore în spaþiu.Fig. 4.136

Fig. 4.135

10–12

10–11

0

10

10–1020

10–930

10–840

10–750

10–660

10–570

10–480

10–390

10–2100

10–1110

1120

10130

100140

(W·m–2)(d

B)

niv

elu

l in

ten

sitã

þii

acu

stic

e intensitateacusticã

dureros

periculos

obositor

deranjant

odihnitor

decolarea

unei rachete

reactoarele

de avion

pista de

formula 1

casetofon la

maxim

ciocan

pneumatic

motocicletã

la 2 m

cantina

ºcolii

stradã

animatã

conversaþie

normalã

birou

calm

vacanþã

calmã

dormitor

deºert

camerã

izolatã fonic

pragul de

audibilitate

pragul de senzaþiedureroasã

vocea umanã

curbã de egalãsenzaþie auditivã

pragul deaudibilitate

υ(Hz)


Înregistrarea stereofonicã constã în plasarea mai multor microfoane (cel puþin douã) pescenã. Semnalele captate de cele douã microfoane sunt înregistrate ºi tratate separat.Reproducerea sunetului în stereofonie necesitã douã incinte acustice (boxe). Fiecare dintreacestea redã înregistrarea microfonului corespunzãtor ºi trebuie sã fie plasate de o parte ºide alta a ascultãtorului.

4.15.2. Elemente de acusticå muzicalå

ExperimentVom începe prin a compara sunetele emise de un diapazon

ºi de un instrument muzical ce emite aceeaºi notã, de exempluun la3. Înregistrãm aceste sunete cu ajutorul unui microfonconectat la un osciloscop.

Oscilograma corespunzãtoare diapazonului este o sinusoidã(fig. 4.137.a). Oscilograma corespunzãtoare aceleiaºi note (la3)cântatã de o vioarã este o curbã complexã (fig. 4.137.b).Constataþi totuºi cã ea este periodicã ºi are aceeaºi perioadã caºi sinusoida diapazonului.

Sunetul emis de diapazon este un sunet pur. Sunetul emisde un instrument muzical este un sunet complex. Un sunetmuzical este periodic.

Calitãþile sunetelor sunt: intensitatea, înãlþimea ºi timbrul.

1. IntensitateaCu ajutorul aceluiaºi instrument muzical se poate produce

un sunet mai mult sau mai puþin puternic (de la fortissimo lapianissimo). Amplitudinea semnalului vizualizat va fi cu atâtmai mare cu cât sunetul este mai intens.

Intensitatea unui sunet depinde de valoarea amplitudiniivibraþiilor sonore (undei sonore).

2. ÎnãlþimeaNotele gamei (do, re, mi, fa, …) sunt percepute de ureche

ca diferite. Ele sunt mai grave (joase) sau mai acute (înalte).Semnalele periodice corespunzãtoare la douã sunete diferite(la3 ºi do3) vizualizate pe ecranul osciloscopului au frecvenþediferite (fig. 4.138 a ºi b).

Calitatea sunetului determinatã de frecvenþã se numeºteînãþime.

Un sunet acut (ascuþit) are o frecvenþã înaltã; un sunet gravare o frecvenþã joasã.

În muzicã, nota la3, a cãrei frecvenþã este de 440 Hz, serveºtedrept reper. Fiecãrei note muzicale îi corespunde o frecvenþãbine determinatã. În fig. 4.139 aveþi corespondenþa notã –frecvenþã.

Anumite raporturi de frecvenþe dau o impresie agreabilã;sunetele corespunzãtoare sunt consonante. Diferitele game suntconcepute plecând de la anumite raporturi de frecvenþãexistente între note.

Fig. 4.137

a)

b)

Fig. 4.138

b)

a)


Notå documentarå

Fig. 4.139

Elaboratã în sec. al XVII–lea de Werckmeister(1645-1706) pentru a uºura transpunereapartiturilor instrumentelor cu corzi lainstrumentele cu clape, gama temperatã ainspirat pe compozitorii J. S. Bach (1685-1750)ºi J.-P. Rameau (1683-1764), care au contribuitla rãspândirea ei. O gamã este o suitã de sunetece se succed pe un interval de o octavã. Octavaeste împãrþitã în 12 semitonuri distincte.Frecvenþele a douã note distincte plasate la uninterval de semiton satisfac relaþia:

12

2

1

υυ

= 2

adicã2

1

υυ

06,1212 ==

Pe principiul gamei temperate suntconstruite pianele ºi orgile, la care cu ajutorul aºapte clape albe ºi cinci negre (pentru diezi # ºibemoli b) sunt produse toate sunetele dintr-ooctavã (fig. 4.140). O notã alteratã de un diezcreºte în înãlþime cu un semiton. Alteratã de unbemol, scade cu un semiton.

ExerciÆiu aplicativEnunþ: Calculaþi frecvenþa notei sol3.

Soluþie: 06,1#

3

3

la

la =υυ

ºi 06,1#

3

3

sol

la =υυ

Rezultã 2

sol

la)06,1(

3

3 =υυ

, deci 3solυ

( )392

1,06

Hz4402

== Hz

3. TimbrulÎn fig. 4.141 sunt prezentate oscilogramele notei do3 cântatã de douã instrumente

diferite, vioarã ºi trombon.Timbrul este calitatea sunetului ce permite urechii sã perceapã distinct douã sunete complexe

de aceeaºi înãlþime ºi de aceeaºi intensitate, produse de instrumente muzicale diferite.Prin ce se disting cele douã oscilograme?Prin complexitatea sunetelor emise.

Fig. 4.140


Un sunet complex de frecvenþã υ poate fi descompus într-o„serie Fourier“ (J. Fourier – fig. 4.142) finitã de sunete simplede frecvenþe υ, 2υ, 3υ, ... Sunetul simplu de frecvenþã υ senumeºte sunet fundamental, iar cele de frecvenþe 2υ, 3υ, ...poartã numele de armonici superioare.

Analiza unui sunet muzical de frecvenþã datã înseamnãdeterminarea frecvenþei fundamentale ºi a frecvenþelor armo-nicelor superioare emise simultan de instrumentul respectiv,precum ºi a intensitãþilor (amplitudinilor) acestora. Diagramareprezentând amplitudinea armonicelor în funcþie de frecvenþalor constituie spectrul (discontinuu) al sunetului complex. Înfig. 4.143 este redat spectrul sunetului do3 emis de un oboi.

Timbrul instrumentelor muzicale diferã prin numãrul ºiintensitatea armonicelor. Nu este obligatoriu ca toatearmonicele sã se afle în spectru. Uneori lipseºte chiar sunetulfundamental.

Spre deosebire de sunete, un zgomot nu are frecvenþãprecisã ºi nu este periodic. Spectrul sãu comportã toatefrecvenþele; este un spectru continuu (fig. 4.144).

Fig. 4.141

b)

a)

Notå documentaråSintetizoarele

Fig. 4.142 Fig. 4.143 Fig. 4.144

Cu ajutorul dispoziti-velor electronice numitesintetizoare sunt reprodusesunetele instrumentelormuzicale ºi sunt fabricatesunete cu timbre noi por-nind de la frecvenþelefundamentale ºi ale armo-nicelor superioare. Pentru areda cãldura ºi caracterulsunetului unui instrument,sintetizorul trebuie sãreproducã ºi desfãºurarea

temporalã a emiterii unuisunet natural, care prezintão porþiune de atac, un corpºi o extincþie a sunetului,reproduse în fig. 4.145.

Sintetizoarele numericeutilizate azi permit genera-rea unor „obiecte“ muzicalece pot fi memorate de uncomputer, apoi asociate învederea creãrii partituriiunei compoziþii muzicale desintezã.Fig. 4.145


ExerciÆii çi probleme propuse1. Alegeþi rãspunsul corect:

a) Un sunet muzical are un spectru continuu/discontinuu.b) Reconstituirea unui sunet plecând de la fundamentalã ºi câteva armonici constituie

analiza/sinteza sunetului complex.c) Într-o gamã, o notã caracterizeazã înãlþimea/timbrul unui sunet.d) Un do4 este mai grav/acut decât un do3.e) Nota la3 are frecvenþa de 440 Hz/880 Hz.

2. În fig. 1.146 este redat spectrul sunetului emis de un

tub de orgã.a) Care este frecvenþa fundamentalã?b) Care este frecvenþa celei de a treia armonici?c) Care dintre frecvenþe determinã înãlþimea acestui

sunet?d) Care este frecvenþa armonicei cu amplitudinea cea

mai mare?

3. Perioada semnalului observat pe ecranul osciloscopului la înregistrarea notei sol3 emisã de

un flaut este 2,55 ms.a) Care este frecvenþa semnalului observat?b) În spectrul sunetului mai apar frecvenþele: 784 Hz, 1568 Hz ºi 2352 Hz. Identificaþi armonicele.

4. În fig. 1.147 este dat spectrul unei note cântate de un

violoncel.a) Câte sunete pure compun acest spectru?b) Care este frecvenþa fundamentalã?c) Care sunt armonicele inferioare frecvenþei de 1600 Hz

absente din spectru?

5. Analiza unui sunet emis de un sintetizor a dat armoni-

cele 220 Hz ºi 440 Hz.a) Justificaþi faptul cã frecvenþa 220 Hz nu corespunde

sunetului fundamental.b) Alegeþi dintre frecvenþele de mai jos pe cea a sunetului fundamental: 50 Hz, 110 Hz, 440 Hz.c) Care este frecvenþa semnalului periodic observat pe osciloscop corespunzãtor sunetului emis?

6. Se ºtie cã frecvenþa notei do3 este 262 Hz, iar a notei mi3 este 330 Hz.

a) Calculaþi frecvenþele notelor do3# ºi mi3b.b) Nota do a unui clarinet are aceeaºi frecvenþã cu nota si bemol a flautului.

Un flaut cântã nota do3. Care este frecvenþa sunetului emis de un clarinet care ar cântaaceeaºi notã?

Fig. 4.146

Fig. 4.147


Fig. 4.149

Fig. 4.150

*4.16. UltrasuneteleVibraþiile elastice care au frecvenþe mai mari de 20 000 Hz genereazã unde sonore ce nu

pot fi auzite de urechea omeneascã. Ele se numesc ultrasunete.Delfinii, balenele, liliecii etc. comunicã ºi se orienteazã prin emiterea ºi recepþionarea

ultrasunetelor. Pentru a chema câinii sunt folosite fluiere cu ultrasunete.Sunetele a cãror frecvenþã este mai micã de 20 Hz sunt de asemenea inaudibile. Ele se

numesc infrasunete. Acestea sunt emise, de pildã, de cãtre elefanþi.Pentru producerea ultrasunetelor se utilizeazã generatoare

electromecanice care funcþioneazã pe baza fenomenelor depiezoelectricitate ºi magnetostricþiune.

Generatorul piezoelectric. Dacã dintr-un cristal de cuarþ setaie în mod corespunzãtor o plãcuþã ºi pe feþele ei acoperitemetalic se aplicã o tensiune continuã, plãcuþa se deformeazã.Când asupra unei astfel de plãcuþe se aplicã o tensiunealternativã, ea începe sã vibreze cu frecvenþa tensiunii aplicate,devenind o sursã de ultrasunete (fig. 148).

Generatorul magnetostrictiv. S-a observat cã dimensiunileplãcuþelor construite din anumite substanþe feromagneticevariazã prin magnetizare. Dacã acestea sunt dispuse într-un câmpmagnetic variabil de o anumitã frecvenþã, vor începe sã oscileze,devenind surse de ultrasunete (nichel, aliaje de nichel ºi cobalt).În ambele cazuri de generare este necesar ca dimensiunileplãcuþelor oscilante sã fie astfel alese încât frecvenþa lor propriesã coincidã cu frecvenþa de excitaþie a câmpurilor electric ºirespectiv magnetic aplicate. Generatoarele de ultrasunetelucreazã deci în regim de rezonanþã.

Undele ultrasonore produse prin propagareaultrasunetelor într-un mediu elastic au aceeaºi naturã ca ºiundele sonore. Ca ºi sunetele, ele nu se propagã în vid, cinumai în medii materiale. Ele au aceeaºi vitezã ca ºi sunetele.Viteza de propagare a ultrasunetelor în aer este de 340 m/sla temperatura de 20°C ºi la p0 = 1 atm.

Proprietãþi ale ultrasunetelorExperiment

Un generator de ultrasunete alimentat de un generatorde joasã frecvenþã emite ultrasunete de o anumitãfrecvenþã. Un receptor de ultrasunete (generatorreversibil) conectat la un osciloscop este rotit în jurulgeneratorului pe o traiectorie circularã de razã d.Semnalul detectat este vizualizat pe ecranulosciloscopului. Se constatã cã tensiunea detectatã estemaximã în direcþia emiþãtor-generator ºi scade rapidcu unghiul α (fig. 4.149 ºi 4.150).

În concluzie, undele ultrasonore se propagãîntr-un con îngust având generatorul în vârf. Fascicululde ultrasunete este directiv, spre deosebire de undelesonore audibile.

Ultrasunetele produc fenomenul de difracþie. Latrecerea printr-o deschidere îngustã ale cãrei dimen-siuni sunt de ordinul de mãrime al lungimii sale deundã, unda ultrasonorã îºi pierde directivitatea ºi sepropagã mai departe într-un fascicul larg (fig. 4.151).

Fig. 4.148


Cum explicaþi fenomenul pe baza principiului lui Huygens?Fenomenul de difracþie este specific undelor. Sunetele sunt

ºi ele difractate; lungimile lor de undã fiind de ordinul a 1 m,toate deschiderile ºi obstacolele obiºnuite difractã sunetele.

Un alt fenomen caracteristic undelor ultrasonore (dar ºisonore) este reflexia de un obstacol rigid. Liliecii emit undeultrasonore pe care le detecteazã apoi, captând ecoul trimisde pereþii peºterii, de copaci, stânci etc.

Legile reflexiei undelor ultrasonore pot fi uºor verificatedatoritã bunei lor directivitãþi; utilizãm un emiþãtor ºi un re-ceptor de ultrasunete. În faþa acestora (fig. 4.152) este aºezatão foaie de carton drept obstacol.

Raza incidentã (EI), raza reflectatã (IR) ºi normala (IN)în punctul de incidenþã sunt coplanare, definind planul deincidenþã.

Pentru diferite poziþii ale receptorului R în planul deincidenþã, amplitudinea semnalului reflectat este maximãpentru i = i′. Rezultã cã unghiul de reflexie este egal cu unghiulde incidenþã.

Sunetele se reflectã dupã aceleaºi legi ca ºi ultrasunetele.Teatrele antice foloseau acest fenomen pentru ca actorii sã fieauziþi perfect de toþi spectatorii. Sunetele reflectate de pereþiiverticali ºi de scenã se suprapun sunetelor ce ajung direct la

spectatori. Sãlile de concert actuale sunt concepute þinând cont dereflexii.

În lungul autostrãzilor sunt dispuse plãci antifonice reflectãtoarepentru a proteja riveranii de zgomot.

Reflexia ultrasunetelor este folositã în funcþionarea sonarului.Acesta cuprinde un emiþãtor ºi un receptor de ultrasunete. Sursa emiteimpulsuri ultrasonore scurte (1 ms – 2 ms) într-un con foarte îngust.Obstacolele (fundul mãrii, bancuri de peºti etc.) le reflectã spre sonar,care, între douã serii de impulsuri, detecteazã ultrasunetul reflectat.

Dacã între emisie ºi recepþie se scurge intervalul de timp τ,adâncimea la care se aflã obstacolul va fi:

vh ⋅τ=2

unde v este viteza de propagare a ultrasunetelor în apã (fig. 4.153).Undele ultrasonore sunt rapid atenuate în aer. Energia de vibraþie

transportatã de ele este absorbitã de mediu ºi are drept consecinþãscãderea rapidã a amplitudinii cu distanþa pânã la emiþãtor. Fenomenulpoartã numele de atenuare. Atenuarea este cu atât mai rapidã cu câtfrecvenþa ultrasunetelor este mai mare. Ea este mai puternicã în gazedecât în lichide.

Pentru o aceeaºi frecvenþã, distanþa pentru care intensitateaacusticã iniþialã a ultrasunetelor se reduce cu 90% depinde de mediu.Astfel, la frecvenþa de 100 kHz, aceastã distanþã mãsoarã 5 m în aerºi 10 km în apã.

Într-un acelaºi mediu, spre exemplu în apã, distanþa pentru careintensitatea acusticã iniþialã a ultrasunetelor se reduce la 50% depindede frecvenþã, conform tabelului alãturat.

În mod similar, sunetele mai acute sunt mai repede amortizatedecât cele grave. De aceea, instrumentele ce emit sunete acute(viorile) sunt dispuse în faþa orchestrei.

Fig. 4.151

Fig. 4.152

Fig. 4.153

Frecvenþa Distanþa

40 kHz 16 km 2 MHz 6,44 m10 MHz 0,23 m

plan deincidenþã


Fig. 4.154

Fig. 4.155

Efectele produse de ultrasunete:– duc la omogenizarea unor sisteme disperse, soluþii coloidale, emulsii etc.;– pot altera omogenitatea unor sisteme;– dacã în aer se aflã particule de lichid sau solid, dimensiunile acestora pot creºte

prin acþiunea ultrasunetelor;– pot accelera ºi chiar provoca unele reacþii chimice;– produc încãlziri locale ale þesuturilor vii prin transferul unei pãrþi a energiei lor;– sunt utilizate la tratarea unor nevralgii;– provoacã perturbaþii mecanice în interiorul celulelor vii. Pot distruge astfel unele

microorganisme, fiind utilizate la prepararea serurilor ºi vaccinurilor, la sterilizareaalimentelor etc.

Notå documentaråUtilizarea ultrasunetelor în medicinå

Ecografia medicalã. Aceastã tehnicã utilizeazãundele ultrasonore produse de o sondã cu dublurol: de emiþãtor ºi de receptor. Frecvenþeleutilizate depind de organele sau þesuturilebiologice de sondat. Astfel, pentru inimã ºi ab-domen frecvenþa este cuprinsã între 2 MHz ºi3MHz, în pediatrie sau pentru organele mici sefoloseºte frecvenþa de 6 MHz, iar în oftalmo-logie frecvenþe variind între 8 MHz ºi 15 MHz.

Undele ultrasonore se propagã în þesuturi ºisunt parþial reflectate. Sonda plasatã într-unpunct de pe piele primeºte ecourile reflectate desuprafeþele de separaþiedintre þesuturi. Cunoscânddurata întoarcerii ecoului,amplitudinea acestuia ºiviteza lui de propagare, sededuc informaþii asupra na-turii ºi grosimii þesuturilortraversate. Aceste informaþiisunt transmise unui com-puter care le prelucreazã ºifurnizeazã o imagine desintezã a organelor sondate.

Ecografia permite o diagnosticare mai precisãîn numeroase domenii ale medicinei. Încardiologie, ecografia 2D permite evaluareacaracteristicilor dimensionale ale inimii în func-þionare: diastola ºi sistola (fig. 4.154), iarecografia T. M. (timp-miºcare) permite studiulmiºcãrilor ventriculare ºi diagnosticareaanomaliilor valvelor.

În oftalmologie, ultrasunetele sunt utilizatepentru operarea cataractei (opacizarea crista-linului) prin phakoemulsificare (tehnicaKelman). Cristalinul distrus de ultrasunete este

aspirat ºi înlocuit imediat cuun implant suplu.

În estetica medicalã,ultrasunetele cu frecvenþade 1 MHz permit tratareaunor degradãri ale pieliiprin stimularea circulaþiei ºia metabolismelor celulare,creºterea secreþiei decolagen ºi elastinã a pielii.


Enunþ: Viteza de propagare a ultrasunetelor nu este aceeaºiîntr-un fluid în repaus sau într-unul în miºcare. Fiev viteza lor de propagare în fluidul aflat în repaus ºifie u viteza de curgere a fluidului. Într-o canalizareparcursã de acest fluid se aºazã un emiþãtor E ºi unreceptor R la distanþa L unul de celãlalt (fig. 4.155).Emiþãtorul E emite un semnal scurt. Fluidul curgede la E spre R. Un osciloscop permite mãsurarea


timpului t1 de propagare a semnalului. Se permutã apoi rolurile lui R ºi E; un semnalemis de R este primit de E. Osciloscopul permite mãsurarea duratei t2 de propagarea acestui semnal.a) Exprimaþi duratele t1 ºi t2 în funcþie de L, v ºi u.b) Exprimaþi diferenþa τ între t1 ºi t2.c) Calculaþi viteza de curgere a fluidului, u, pentru L = 1,5 m, v = 1500 m/s ºi τ = 4 µs.

Soluþie: a) Când semnalul se propagã în sensul de curgere a fluidului:

uv

Lt

+=1

Când el se propagã în sens contrar: uv

Lt

−=2

b) Rezultã τ = 12 2Ltt =−22 uv

u

−

c) Cum u << v putem aproxima:2

2

v

Lu≈τ

De aici L

vu

2

2τ≈ 162

ms3s

m

5,12

1041500 −−

≈⋅

⋅⋅=

Constatãm cã într-adevãr viteza de curgere a fluidului, u, este neglijabilã faþã deviteza de propagare a ultrasunetelor, v.

*4.17. NoÆiuni de seismologieUn cutremur de pãmânt se manifestã, aºa cum ºtiþi cu toþii, printr-o miºcare de vibraþie ºi

uneori printr-o miºcare violentã resimþitã la suprafaþa pãmântului. Undele care se propagã înurma acestei perturbaþii locale strãbat interiorul planetei, oferind cea mai utilã metodã destudiu a structurii sale geologice. Seismologia este ramura fizicii Pãmântului care studiazãundele generate de miºcãrile din straturile geologice profunde (deplasãri orizontale sau verticalerapide). Cutremurele sunt unde de ºoc ce traverseazã interiorul Pãmântului de câteva milioanede ori pe an, dar marea lor majoritate sunt foarte slabe ºi nu pot fi detectate decât cu aparaturãde mare fineþe. Existã ºi cutremure de mare intensitate, devastatoare pentru regiuni întinse.

Cauza cutremurelor sunt miºcãrile plãcilor tectonice, care creazã tensiuni la nivelulcontactului dintre ele. Rocile posedã proprietãþi elastice ºi energia se acumuleazã îndeformãri elastice ale litosferei. Dacã forþele ce determinã aceste deformãri sunt suficientde mari pentru a depãºi forþele de frecare din lungul limitelor plãcilor, atunci pereþii ce vinîn contact se deplaseazã brusc ºi energia elasticã acumulatã în roci este eliberatã, provocândun cutremur. Dacã limita de elasticitate a rocii nu este depãºitã, dupã miºcare ea revineelastic la forma originalã. În acest caz, cutremurul este resimþit doar ca o zvâcniturã elasticã.Dacã însã limita de elasticitate a rocilor este depaºitã, au loc rupturi ale acestora, însoþiteuneori de apariþia unor falii (de exemplu, falia tectonicã San Andreas din California, formatãpe linia de separaþie dintre placa Pacificului ºi placa americanã).

Pe harta din fig. 4.156.a observaþi cele 6 mari plãci tectonice ale globului ºi miºcãrilelor relative generatoare de tensiuni. Harta din fig. 4.156.b prezintã în roºu regiunile globuluicu risc înalt în producerea cutremurelor de mare intensitate. De notat cã „inelul Pacificului“îºi datoreazã seismicitatea ridicatã activitãþii vulcanice.

Punctul sau regiunea eliberãrii iniþiale de energie într-un cutremur se numeºte focar.Marea majoritate a cutremurelor au loc în crusta sau în mantaua superioarã (fig. 4.157),astfel încât focarul se aflã la adâncimi de câteva zeci de km pânã la sute de km. Geologiinumesc punctul de pe suprafaþa Pãmântului aflat chiar deasupra focarului epicentru.

Energia eliberatã în focarul cutremurului se propagã prin unde seismice. Existã în ge-neral douã tipuri de unde seismice produse de vibraþia cutremurului: unde de suprafaþã(numite unde L), care traverseazã suprafaþa Pãmântului, ºi unde de adâncime care se propagã


Fig. 4.158 Fig. 4.159 Fig. 4.160

prin interiorul Pãmântului. Undele de suprafaþã produccele mai mari prejudicii. Ele au o concentraþie mai marede energie, se propagã pe distanþe mai mari ºi auamplitudini mai mari decât cele de adâncime.

Undele de adâncime sunt de douã categorii: undeleprimare (P), care sunt longitudinale, ºi undelesecundare (S), care sunt transversale.

Viteza de propagare a undelor longitudinale P estede aproximativ 2 ori mai mare decât viteza de propagarea undelor transversale S. Undele S se pot propaga numaiprin solide. Undele de compresiune longitudinale P sepropagã prin orice mediu, solid, lichid sau gaz.

În figura 4.158 este reprezentat schematic procesulde propagare a undelor sferice care pornesc din focarulnotat cu O. Razele seismice ajung la suprafaþaPãmântului în momente diferite. Distanþa de laepicentrul E pânã la locul de observaþie poartã numelede distanþã epicentralã. Când undele întâlnesc unmediu în care viteza de propagare devine mai micã,se vor refracta. Viteza lor de propagare depinde dedensitatea materialului scoarþei terestre, care în ge-neral creºte cu adâncimea. Undele se refractã cândîntâlnesc suprafaþa de separaþie dintre douã medii.

Refracþia undelor seismice ºi faptul cã undele S nu pot traversamediile lichide au permis geofizicienilor sã fundamenteze modelulactual de structurã internã a Pãmântului (fig. 4.159). Existenþaaºa-numitelor „zone de umbrã“ ale undelor S ºi P i-au determinatsã presupunã cã Pãmântul are un nucleu interior solid înconjuratde un nucleu lichid foarte vâscos.

Undele seismice sunt înregistrate cu ajutorul unui instrumentnumit seismograf, al cãrui principiu este ilustrat în fig. 4.160.

Seismograma înregistratã dã indicaþii asupra intervalelor detimp dupã care sosesc diferitele tipuri de unde directe saureflectate, ca ºi asupra energiei transportate de acestea (prinanalizarea amplitudinii lor).

Intensitatea cutremurelor este reprezentatã în diferite scale.Cele mai des utilizate sunt: scala Richter, care exprimã logaritmicenergia eliberatã la o anumitã distanþã epicentralã standard, ºiscala Mercalli modificatã, care descrie intensitatea cutremuruluiprin observarea efectelor sale în epicentru. În tabelul de mai josaveþi o comparaþie a celor douã scale.

Fig. 4.157

Fig. 4.156

a)

b)

crustã manta superioarã

manta

nucleu interior nucleu exterior

nucleuinteriorsolid

nucleuexterior

vâscosmanta

fascicul deluminã

sursã luminoasã

hârtiefotograficã

cadru deancorare

tamburrotativ


Scala Richter (introdusã deCharles Richter în 1935 laInstitutul de Tehnologie din Cali-fornia) este o scalã logaritmicã,ce se exprimã în numere zecimalecuprinse între 1 ºi 9. Fiecarenumãr întreg corespunde uneienergii de circa 31 de ori maimare decât cea corespunzãtoarenumãrului întreg precedent.Astfel, un cutremur cu magnitu-dinea 8 nu elibereazã de douã orimai multã energie decât unul cumagnitudinea 4, ci de un milionde ori mai multã!

Scala Richter nu dã indicaþiidecât asupra potenþialului distructiv al cutremurelor. Pagubele produse de acestea nu depindnumai de magnitudinea lor, ci ºi de poziþiile focarului ºi epicentrului, de specificul geological zonei, de densitatea populaþiei ºi de tipul de construcþii. Scala modificatã a lui Mercalli(pusã la punct în 1890, înainte de descoperirea seismografului) dã indicaþii mai preciseasupra efectelor cutremurelor.

În principiu, cutremurele nu pot fi prevãzute. Dar populaþia din zonele cu seismicitatefrecventã sau intensã trebuie sã cunoascã un numãr de reguli de bazã în caz de cutremur:

– sã nu intre în panicã;– sã nu alerge pe scãri, deoarece acestea se prãbuºesc printre primele;– sã stingã gazele ºi electricitatea;– sã se adãposteascã în locuinþe, sub tocul uºii;– pe stradã, sã nu se adãposteascã sub balcoane, coloane sau streºini;– sã înveþe sã dea primul ajutor în caz de rãnire sau arsurã;– sã cheme telefonic ambulanþa în caz de urgenþã.Temå: În baza celor expuse ºi a celor studiate de voi la geografie, alcãtuiþi un eseu despre

„Seismicitatea regiunii Vrancea“, precizând cauzele producerii cutremurelor, cutremurelemajore survenite ºi efectele acestora, periodicitatea lor.

Distribuþia geograficã a seismelorCutremurele de mare magnitudine urmeazã limitele plãcilor tectonice, observându-se

existenþa a douã zone înguste ºi alungite care concentreazã 99% din activitatea seismicã aplanetei: „cercul circumpacific“. Aceastã zonã corespunde marilor falii inverse în carecontinentele alunecã deasupra domeniului oceanic, ducând la închiderea Pacificului.

Cea de-a doua zonã corespunde arcului munþilor terþiari; acest relief înalt este consecinþacompresiunii rezultate din închiderea completã a mãrii Tethys. În cadrul acestor zone deorogen, seismele locale se datoreazã frecvent unor decroºãri orizontale de blocuri în lungulunor falii verticale.

Celor douã regiuni li se mai adaugã traseele imensului lanþ submarin, secundare din punctde vedere al energiilor desfãºurate, dar importante prin semnificaþia lor tectonicã, aicinãscându-se o nouã scoarþã oceanicã, ce duce la împingerea, de-o parte ºi de alta, a continentelor.

Seismicitatea în RomâniaRomânia este o þarã seismicã, anual producându-se cca. 500 de cutremure, dintre care în

ultimele douã secole 50 au avut magnitudinea de peste 5 grade pe scara Richter. TeritoriulRomâniei este afectat în proporþie de peste 50% de seisme puternice sau moderate. În raportcu Japonia însã, cantitatea de energie seismicã eliberatã anual este de 400 de ori mai micã.

Studiul seismicitãþii a dus la conturarea mai multor regiuni epicentrale: vrânceanã,fãgãrãºeanã, bãnãþeanã etc. Dintre acestea, cutremurele vrâncene sunt singurele de tipintermediar (cu adâncimi situate sub 170 km). Ele elibereazã periodic cea mai mare cantitatede energie, provoacã cele mai mari distrugeri ºi se resimt pe areale ce se extind pânã laMoscova ºi Marea Egee.

Descriere

detectat numai deinstrumente

este resimþit slab

se simte; obiectelevibreazã uºor

produce panicã;distrugeri moderate

cutremur major;distrugeri majore

cutremur catastrofal

Magnitudineape scala Richter

1-2

3-4

4-5

6-7

7-8

8+

Intensitatea pe scalaMercalli modificatã

I

II-III

IV-V

VI-VIII

IX-X

XI-XII


Test sumativUnde mecanice

1. O undã longitudinalã se propagã într-un mediu elastic de densitate ρ = 2600 kg/m3

dupã legea

υπ−π⋅= xty

21000sin2,1 (cm). Diferenþa de fazã dintre douã puncte

aflate pe abscisã, la distanþa ∆x = 3,2 m, este π=ϕ∆5

4rad.

Modulul de elasticitate al mediului elastic prin care se propagã unda este:a) 3,16 ⋅ 106 N/m2; b) 41,6 ⋅ 106 N/m2; c) 9,8 ⋅ 106 N/m2;d) 2 ⋅ 106 N/m2; e) 5,6 ⋅ 1011 N/m2.

2. Printr-un mediu elastic se propagã o undã planã conform ecuaþiei:

y= 0,02 · sin(120πt+ 0,025x) (m). Raportul dintre viteza de propagare a undei ºiviteza maximã de oscilaþie a punctelor materiale din mediul elastic este:a) 200; b) 160; c) 260; d) 100; e) 10.

3. În lungul unui cablu elastic se propagã o undã elasticã transversalã cu viteza v = 15 m/s.

Perioada oscilaþiilor este T = 1,2 s ºi amplitudinea A = 2 cm. Acceleraþia oscilaþieiunui punct al cablului aflat la x = 45 m de sursa de oscilaþii, la momentul t = 4 s,este egalã cu:a) 0,27 m/s2; b) 0,12 m/s2; c) 0,39 m/s2; d) 0,47 m/s2; e) 0,6 m/s2.

4. O undã elasticã longitudinalã cu frecvenþa υ = 1000 Hz se propagã printr-un mediu

elastic cu densitatea ρ = 9000 kg/m3 ºi modul de elasticitate E = 1,44 ⋅ 109 N/m2.Distanþa dintre douã puncte ale mediului elastic între care diferenþa de fazã este ∆ϕ= π este egalã cu:a) 0,3 m; b) 0,1 m; c) 0,2 m; d) 0,5 m; e) 0,6 m.

5. La capãtul A al ramurii unui diapazon se leagã un fir de lungime

l = 2 m ºi de masã m = 12 g. La celãlalt capãt al firului sesuspendã un corp de masã m1 = 960 g. Se produc oscilaþii alediapazonului. În firul AB apar unde staþionare, punctele A ºi Bfiind noduri. Care este frecvenþa oscilaþiilor diapazonului dacãpe fir s-au format 10 ventre?a) 100 Hz; b) 50 Hz; c) 40 Hz; d) 10 Hz; e) 75 Hz.

6. Un automobil se deplaseazã cu viteza v = 108 km/h. Claxonul

automobilului emite un sunet de frecvenþã υ0 = 300 Hz. Careeste diferenþa frecvenþelor percepute de doi observatori aflaþiîn repaus pe ºosea, în faþa ºi respectiv în spatele automobilului? (c = 330 m/s)a) 50 Hz; b) 55 Hz; c) 60 Hz; d) 5 Hz; e) 100 Hz.

Oficiu

Total Rãspuns:1. b; 2. a; 3. d; 4. c; 5. a; 6. b

Fig. 4.161

1 p

1 p

1 p

2 p

2 p

2 p

1 p10p

OscilaÆii çi unde electromagnetice 299

OSCILAæII ÇI UNDEELECTROMAGNETICE

CAPITOLUL

5*5.1. OscilaÆii electromagnetice libere

5.1.1. Descårcarea unui condensator (C) printr-o bobinå idealå (L)

Vom aråta în cele ce urmeazå cå procesul de descårcare a unui condensator printr-obobinå genereazå oscilaÆii ale tensiunii, ale sarcinii de pe armåturile condensatorului çi

respectiv ale intensitåÆii curentului ce parcurge circuitul dedescårcare.

ImaginaÆi-vå montajul din fig. 5.1, alcåtuit din elementeideale de circuit. Condensatorul de capacitate C se încarcåiniÆial de la un generator de tensiune U0 cu sarcina Q0 = CU0.

Prin comutarea contactului din poziÆia 1 în poziÆia 2,condensatorul este pus så se descarce prin bobina idealå deinductanÆå purå L (presupunem cå rezistenÆa electricå aînfåçurårilor acesteia este neglijabilå).

Fie ± q(t) sarcinile de pe armåturile condensatorului lamomentul t al descårcårii çi i(t) valoarea instantanee aintensitåÆii curentului prin bobinå.

CondiÆiile iniÆiale ale descårcårii vor fi:

C.I. ( )

( )

====

=

0

0

00

000

0

iiCUQq

t(1)

Prin definiÆie, intensitatea este sarcina ce traverseazå orice secÆiune a circuitului înunitatea de timp, la un moment dat:

tq

it

=∆∆=

→∆lim

0 tq

dd

(2)

ceea ce reprezintå derivata sarcinii momentane q(t) în raport cu timpul.Curentul ce traverseazå bobina idealå genereazå un câmp magnetic variabil, al cårui

flux prin suprafaÆa spirelor acesteia, numit flux propriu, depinde liniar de intensitate:

( ) ( )tiLt ⋅=Φ (3)

La bornele bobinei ia naçtere o t.e.m. de autoinducÆie ea proporÆionalå, conform legii luiFaraday, cu viteza de variaÆie a fluxului magnetic inductor, aici, fluxul propriu:

ea −=td

dΦ (4)

Din (3) çi (4) rezultå cå:

Lea −=ti

dd (5)

T.e.m. autoinduså este proporÆionalå cu viteza de variaÆie a intensitåÆii curentului çi de senscontrar acesteia. Datoritå ei, bobina întârzie scåderea çi prelungeçte creçterea intensitåÆiicurentului.

Fig. 5.1


Pe måsurå ce sarcina de pe armåturile condensatorului scade,intensitatea curentului creçte; aceastå creçtere nu este bruscå, deoarecetensiunea autoinduså în bobinå çi curentul autoindus prelungescdescårcarea. Prin inductanÆa sa, bobina manifestå inerÆie la variaÆiilecurentului. Când sarcina de pe armåturi s-a anulat, intensitatea curentuluia devenit maximå (fig. 5.2 a çi b) çi curentul continuå så circule, datoritåinerÆiei inductanÆei, în acelaçi sens, reîncårcând condensatorul cu sarcinide semn contrar. De pe placa încårcatå negativ în etapa anterioarå, acumneutrå, pleacå în continuare electroni. Curentul circulå în acelaçi sens,dar, în acest timp, intensitatea lui scade; t.e.m. induså tinde så se opunåacestei scåderi, prelungind-o (fig. 5.3 a çi b).

Curentul se anuleazå în momentul când sarcina de pe armåturasuperioarå a devenit –Q0 (çi +Q0 pe cea inferioarå).

Condensatorul reîncårcat se va descårca prin bobinå. Curentul elec-tric va avea acum sens contrar. Bobina va prelungi descårcarea. În

momentul anulårii sarcinii, intensitatea curentului devine maximå,dar de sens opus, –Im (fig. 5.4 a çi b). Deçi condensatorul e descårcat,curentul continuå så circule reîncårcându-l cu o sarcinå pozitivåpe armåtura superioarå çi negativå pe cea inferioarå. În acestinterval de timp curentul scade în valoare absolutå, påstrându-çisensul negativ, pânå la anulare (fig. 5.5 a çi b). Se revine la stareainiÆialå, dupå încheierea unui ciclu de evoluÆie. Acesta se repetåperiodic, generând oscilaÆii concomitente ale sarciniicondensatorului çi respectiv ale intensitåÆii curentului. Simultan,oscileazå çi valoarea tensiunii la bornele condensatorului:

( ) ( )Ctq

tuc = (6)

Vom demonstra cå oscilaÆiile generate de circuitul ideal LC(bobinå-condensator) sunt de tip armonic, sinusoidal, analoageoscilaÆiilor mecanice libere fårå frecare, liniar armonice.

Scriem legea lui Ohm pentru circuitul LC, valabilå pentru orice

Fig. 5.2

Fig. 5.3

Fig. 5.4 Fig. 5.5

b)

a)

b)

a)

b)

a)

b)

a)


moment de timp t:ea(t) = uc(t) (7)

Utilizând (5) çi (6), relaÆia (7) devine:

–Lti

dd

Cq=

sau încå:

ti

dd q

LC⋅−= 1 (8)

EcuaÆia (8) este perfect analoagå, ca formå matematicå, ecuaÆiei ce descrie oscilatorulmecanic liniar-armonic:

a = – ω2x (9)

UrmåriÆi analogia dintre mårimileoscilatorii mecanice çi respectiv celeelectrice din tabelul alåturat.

În baza acestei analogii putem afirmacå oscilaÆiile electrice generate în circuitulideal LC au pulsaÆia datå de relaÆia:

LC12 =ω (10)

iar perioada:

LCT π= 2 (11)çi sunt descrise de funcÆii sinusoidale.

SoluÆia ecuaÆiei (9) fiind:x(t) = A sin(ωt + ϕ) (12)

vom putea exprima sarcina instantanee de pe condensator prin analogie:

q(t) ===== Qm sin(ωωωωωt + ϕϕϕϕϕ) (13)

unde amplitudinea Qm çi faza iniÆialå ϕ a oscilaÆiei se determinå din condiÆiile iniÆiale.Tensiunea oscileazå de asemenea sinusoidal:

( ) ( ) ( )ϕ+ω== tUCtq

tu m sin (14)

cu amplitudinea Um = Qm/C (15) Intensitatea instantanee a curentului se va exprima, în mod analog vitezei oscilatorului

mecanic, prin funcÆia:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti m cos (16)

unde amplitudinea intensitåÆii curentului:

Im ===== Qmωωωωω (17)

Curentul electric generat în circuitul LC este un curent alternativ sinusoidal al cårui sensse schimbå de douå ori într-o perioadå.

AÆi studiat în clasa a X-a mårimile caracteristice ale unei tensiuni çi ale unui curentalternative. ReamintiÆi-le!

Tot în clasa a X-a aÆi studiat despre generarea tensiunii çi curentului alternativ prinfenomenul de inducÆie într-o spirå ce se roteçte uniform într-un câmp magnetic omogen.Deçi principiul generårii este altul în cazul circuitului oscilant LC, caracteristicile mårimilorsinusoidale nu se modificå.

VeÆi observa înså cå în cazul circuitului LC, intensitatea curentului este defazatå cu π/2(un sfert de perioadå) înaintea tensiunii, ceea ce se remarcå çi din reprezentarea graficå acelor douå funcÆii (fig. 5.6).

Mãrimi mecanice Mãrimi electrice

elongaÆia x(t) ←→ q(t) sarcina instantaneepe condensator

viteza ( )tv =tx

dd ←→ ( )ti =

tq

dd

intensitatea curentului

acceleraÆia ( )ta =tv

dd ←→

ti

dd viteza de variaÆie

a intensitãÆii curentului


Reprezentarea fazorialå aoscilaÆiilor tensiunii çi curentuluieste redatå în fig. 5.7. ProiecÆiafazorilor pe axa Oy, la orice momentde timp, oferå valorile instantaneeale tensiunii çi respectiv intensitåÆiicurentului.

BilanÆul energeticÎn condensatorul de capacitate C, câmpul electric omogen çi uniform este presupus a fi

concentrat numai în spaÆiul dintre armåturi. Intensitatea sa variazå sinusoidal în timp.Energia câmpului electric:

( )( )

CqCu

W tttel 22

2)(

2

==

este datoratå stårii de încårcare a condensatorului.„Elasticitatea“ sistemului oscilant

electric este conferitå de condensator,care are tendinÆa de a reveniîntotdeauna la starea de neutralitateelectricå. Pornind de la analogia dintreelongaÆia oscilatorului elastic çi sarcinå,putem stabili analogia dintre forÆaelasticå çi tensiunea electricå, precumçi pe cea dintre energia potenÆialåelasticå çi energia electrostaticå. Vomcompleta astfel tabloul analogiilor.

În ceea ce priveçte „dinamica“ bobinei, ea se manifestå ca inerÆie a sistemului, inductanÆaproprie L fiind analoagå masei oscilatorului mecanic. Câmpul magnetic presupus concentratîn interiorul bobinei ideale, este omogen çi uniform. InducÆia sa magneticå variazå sinusoi-dal în timp, în fazå cu intensitatea curentului:

( ) ( )ltiN

tB 0µ=

Energia câmpului magnetic (a cårei expresie aÆi studiat-o în clasa a X-a):

( )( )

2

2 tLiW tmg =

este analoagå energiei cinetice a oscilatorului mecanic.

Fig. 5.6 Fig. 5.7


x ←→ qconstanta de elasticitate ←→ inversul capacitãÆii

k 1/C

forÆa elasticã Fe = – kx ←→ ea = – uc = – Cq

energia potenÆialã ←→ energia câmpului electric

Ep = 2

2xk Wel = C

q2

2


Putem stabili uçor analogiile dintabelul alåturat.

În fig. 5.8 sunt ilustrate variaÆiile înraport cu timpul ale energiilor câmpuluimagnetic çi câmpului electric, în timpuloscilaÆiilor.

În timpul descårcårii condensa-torului, energia câmpului electric scade,în schimb se acumuleazå energie încâmpul magnetic al bobinei. Anulareasarcinii corespunde unui maxim alenergiei câmpului magnetic:

2

2

maxm

mgLI

W =

Scåderea intensitåÆii curentului çi implicit a energieimagnetice este corelatå cu o creçtere a energieicâmpului electric. Aceasta devine maximå:

22

22

maxmm

elCU

CQ

W ==

în momentul anulårii curentului.Perioada variaÆiilor energiei câmpului electric/mag-

netic este jumåtate din perioada oscilaÆiilor tensiunii/intensitåÆii curentului.

AråtaÆi cå amplitudinile energiilor sunt egale:

CQLI

WW mmmgel 22

22

maxmax ===

În timpul oscilaÆiilor are loc un balans al energiei între câmpul electric çi cel magnetic,prin transfer energetic între condensatorul çi bobina ideale, astfel încât în orice momentenergia totalå så påstreze o valoare constantå:

( ) ( ) ( ) ( ) =ϕ+ω+ϕ+ω=+= tLI

tC

QWWW mm

tmgtel2

22

2

cos 2

sin 2

= ( ) ( )[ ] .22

cossin2

2222

2

constC

QLItt

LI mmm ===ϕ+ω+ϕ+ω

Spunem cå energia totalå a circuitului oscilant ideal LC se conservå.

ExerciÆiu aplicativEnunÆ: Un condensator de capacitate C = 2,2 µF este încårcat sub o tensiune U = 24 V. El se

descarcå apoi printr-o bobinå de inductanÆå L = 28 mH de rezistenÆå neglijabilå.a) CalculaÆi frecvenÆa oscilaÆiilor electrice.b) CalculaÆi amplitudinea Im a intensitåÆii curentului.c) ExprimaÆi variaÆia în timp a tensiunii u(t) la bornele condensatorului çi a intensitåÆii

curentului i(t).d) CalculaÆi primul moment de timp de la începerea oscilaÆiilor în care energia

câmpului electric devine egalå cu cea a câmpului magnetic.

SoluÆie: a) FrecvenÆa oscilaÆiilor:

υ Hz 6,641s482,228,6

10s1028102,228,6

12

1 14

136

=⋅

=⋅⋅⋅⋅

=π

= −−−−LC


viteza txv

dd= ←→

tqi

dd= intensitatea

masa m ←→ L inductanÆa

impulsul p = mv ←→ Φ = Li fluxul propriu

energia cineticã ←→ energia câmpului magnetic

2

2mvEc =2

2LiWmg =

Fig. 5.8


b) Amplitudinile energiilor electricå çi magneticå sunt egale: 22

22mm LICU

=

Rezultå: A213,01028102,224 3

6=

⋅⋅=⋅== −

−

LCU

LCUI mm

c) La momentul iniÆial t0 = 0, u(0) = U, i(0) = 0.

Gåsim: ϕ=

ϕ= cos0

sinm

mIUU

çi de aici 2π=ϕ , iar Um = U

PulsaÆia oscilaÆiilor este ω = 2πυ = 4025 s–1

ObÆinem u(t) = 24 cos 4025t (V)çi i(t) = –0,213 sin 4025t (A)

d) CondiÆia problemei: Wel(t) = Wmg(t)

ne conduce la: sin2 4025t = cos2 4025t

de unde: tg 4025t = 1, s 195s 40254

µ=⋅

π=t

Test de verificare rapidåAlegeÆi råspunsul corect:

1. Perioada unui circuit (L, C) este datå de relaÆia:

a) LC

Tπ

=2

1 ; b) LCT π= 2 ; c) CLT π= 2 .

2. Perioada unui circuit oscilant (L, C) este egalå cu perioada variaÆiei:a) energiei condensatorului; b) sarcinii condensatorului;c) intensitåÆii curentului; d) energiei bobinei.

3. Capacitatea condensatorului unui circuit oscilant cu frecvenÆa proprie de 1 MHz este C = 0,2 nF.CalculaÆi valoarea inductanÆei bobinei.

4. În fig. 5.9 este reprezentatå oscilograma tensiunii labornele condensatorului unui circuit oscilant (L, C) derezistenÆå neglijabilå. Se cunosc C = 6,9 µF,sensibilitatea verticalå 2 V/div. çi durata baleiajului1 ms/div. CalculaÆi:a) perioada oscilaÆiilor;b) inductanÆa bobinei;c) energia circuitului oscilant;d) valoarea maximå a intensitåÆii curentului

în circuit.

5. Un oscilator electric este constituit dintr-o bobinå deinductanÆå L = 0,1 H çi rezistenÆå neglijabilå çi uncondensator de capacitate C = 10 µF.a) CalculaÆi pulsaÆia çi perioada oscilatorului.b) ExprimaÆi variaÆia sarcinii de pe armåturile condensatorului în funcÆie de timp, q(t),

dacå la momentul iniÆial t0 = 0 condensatorul este încårcat sub tensiunea U = 10 V çiintensitatea curentului este nulå.

c) Aceeaçi întrebare dacå la momentul iniÆial condensatorul este descårcat, dar curentulare intensitatea de 0,4 A.

Fig. 5.9


ExerciÆii çi probleme propuse1. Un circuit oscilant conÆine o bobinå idealå de inductanÆå L = 0,1 H alcåtuitå din N = 5000 de

spire de arie S = 10–4 m2 fiecare çi un condensator plan cu aer de capacitate C = 10 µF çi cudistanÆa dintre armåturi d = 5 mm. La momentuliniÆial, curentul prin circuit are intensitatea i = 100 mA,iar condensatorul este descårcat.a) CalculaÆi perioada proprie a oscilaÆiilor circuitului.b) ExprimaÆi intensitatea curentului i(t) çi tensiunea

instantanee u(t) la bornele fiecåruielement de circuit.

c) StabiliÆi dependenÆa de timp a intensitåÆiicâmpului electric E(t) din condensator çi ainducÆiei câmpului magnetic B(t) din bobinå.ReprezentaÆi-le fazorial.

2. Un condensator cu capacitatea C se descarcå prin douåbobine ideale de inductanÆe L1 çi respectiv L2, legate în paralel(fig. 5.10). Se cunoaçte amplitudinea intensitåÆii curentuluiprin prima bobinå, Im1. ExprimaÆi:a) perioada oscilaÆiilor;b) tensiunea sub care a fost încårcat iniÆial condensatorul.

3. Se då circuitul oscilant ideal din fig. 5.11.a) GåsiÆi frecvenÆa proprie a circuitului oscilant.b) ªtiind cå la momentul iniÆial sarcina de pe unul dintre

condensatoare este q0, celålalt fiind descårcat, iarintensitatea este nulå, exprimaÆi valoarea maximå aintensitåÆii curentului.

c)* ExprimaÆi dependenÆa de timp a sarcinilor de pe celedouå condensatoare: q1(t) çi q2(t).

d)* GåsiÆi un sistem mecanic oscilant analog circuitului dinfig. 5.11.

4. Un generator electric de tensiune electromotoare continuå Eeste legat în serie cu o bobinå idealå de inductanÆå L çi uncondensator de capacitate C, ca în fig. 5.12. DeduceÆi expresiileintensitåÆii curentului çi a tensiunii la bornelecondensatorului ca funcÆii de timp. Momentul iniÆial co-incide cu închiderea întrerupåtorului K.

5. Se då circuitul oscilant din fig. 5.13, în care se cunosccapacitåÆile C ale celor douå condensatoare identice çiinductanÆa L a bobinei ideale. IniÆial, comutatorul dublueste închis; intensitatea curentului prin bobinå încursul oscilaÆiilor libere este descriså de ecuaÆia:i(t) = Im cos ωt, unde Im este cunoscut. La momentul

4Tt = , comutatorul dublu se deschide. ScrieÆi ecuaÆia

intensitåÆii curentului prin circuit începând din acest moment.

6.* Se considerå circuitul oscilant din fig. 5.14, unde inductanÆabobinelor identice ideale este L, iar capacitatea condensa-torului, C. La momentul iniÆial, ambele întrerupåtoare suntdeschise, iar condensatorul este încårcat complet subtensiunea U0. Se închide întrerupåtorul K1 çi, când tensiuneape condensator devine nulå, se închide çi întrerupåtorul K2.DeterminaÆi tensiunea maximå pe condensator dupåînchiderea lui K2.

Fig. 5.10

Fig. 5.11

Fig. 5.12

Fig. 5.13

Fig. 5.14


*5.1.2. Descårcarea unui condensator (C) printr-o bobinå realå (L, r)În realitate, orice bobinå caracterizatå prin inductanÆa proprie L posedå çi o rezistenÆå

electricå, r. Descårcarea unui condensator de capacitate C printr-o bobinå realå (L, r) genereazåoscilaÆii libere amortizate ale sarcinii de pe armåturile condensatorului çi respectiv ale inten-sitåÆii curentului din circuit. Pentru observarea acestora realizåm urmåtorul experiment:

ExperimentSe utilizeazå un generator de joaså

frecvenÆå ce produce la mersul în golun semnal dreptunghiular (fig. 5.15).Acesta poate fi vizualizat direct peecranul osciloscopului çi constå îndeschideri çi întreruperi bruçte aletensiunii de alimentare.

Generatorul alimenteazå circuituloscilant din fig. 5.16, alcåtuit dintr-un

condensator de capacitate C (0,1 µF sau 0,22 µF) çi o bobinåde inductanÆå L (13 mH sau 4,7 mH) çi rezistenÆå r. În circuitse monteazå în serie çi un reostat (4,7 kΩ). Notåm prin RrezistenÆa totalå a circuitului serie.

Fiecare variaÆie a tensiunii dreptunghiulare aplicate (stabiliri/întreruperi bruçte) determinå oscilaÆii libere amortizate alecircuitului (R, L, C). OscilaÆiile tensiunii la bornele condensatoruluipot fi observate pe ecranul osciloscopului, conectat între borneleacestuia (fig. 5.17).

Pentru måsurarea perioadei lor proprii se impune reglareabazei de timp a osciloscopului.

Se urmåreçte:a) influenÆa capacitåÆii condensatorului

asupra perioadei proprii;b) influenÆa inductanÆei bobinei asupra

acestei perioade;c) influenÆa rezistenÆei totale R a circui-

tului asupra aspectului oscilaÆiilor.

Valorificarea observaÆiilorObservåm cå amplitudinea oscilaÆiilor descreçte în

timp (fig. 18). Cu un baleiaj de 50 µs/div, determinåmpentru C = 0,1 µF çi L = 13 mH o perioadå a oscilaÆiilor T= 2,2 ⋅ 10–4 s.

a) Modificåm capacitatea condensatorului påstrândconstantå valoarea inductanÆei. Datele experimentalesunt indicate în tabelul:

C (µF) 0,1 0,22 0,32

T (s) 2,2 ⋅ 10–4 3,2 ⋅ 10–4 3,9 ⋅ 10–4

T/ C 687 660 667

PuteÆi verifica proporÆionalitatea perioadei proprii cu

rådåcina påtratå a capacitåÆii: CT ≈ .

Fig. 5.15

Fig. 5.16

Fig. 5.17

Fig. 5.18


b) MenÆinem capacitatea C = 0,1 µFçi înlocuim bobina de inductanÆå L = 13 mHcu una de inductanÆå L = 4,7 mH.Perioada se modificå de la 2,2 ⋅ 10–4 s la1,4 ⋅ 10–4 s. Verificåm astfel cå perioadaproprie este proporÆionalå cu rådåcinapåtratå a inductanÆei bobinei: LT ≈

c) Creçtem acum treptat rezistenÆacircuitului prin deplasarea cursoruluireostatului. ObservaÆi cå amortizareadevine din ce în ce mai rapidå (fig. 5.19 açi b).

OscilaÆiile dispar pentru o anumitåvaloare a rezistenÆei circuitului, numitårezistenÆå criticå, Rc (fig. 5.19.c). Pentruvalori mai mari ale rezistenÆei circuituluidecât Rc, descårcarea este aperiodicå(fig. 5.19.d).

În concluzie, cauza amortizåriioscilaÆiilor este rezistenÆa circuitului.

EcuaÆia ce descrie fenomenul se obÆine din aplicarea legii lui Ohm circuitului:ea = uR + uc (1)

unde uR = Ri este cåderea de tensiune pe elementul rezistiv al circuitului (rezistenÆa satotalå R, rezultatå prin înserierea generatorului de semnal, a bobinei reale çi a reostatului).Rezultå ecuaÆia:

0dd =++

Cq

RitiL (2)

analoagå ecuaÆiei ce descrie oscilaÆiile mecanice libere cu frecare fluidå (studiate în capitolul 4):

0=++ kxCvma (3)unde C reprezintå coeficientul de frecare la înaintarea oscilatorului în fluidul vâscos.

Dupå cum vå reamintiÆi, oscilaÆiile se produc numai dacå frecarea este slabå, adicå pentru:

0 2 ω< mC (4)

unde mk=ω0 reprezintå pulsaÆia oscilatorului (elastic) în absenÆa frecårilor.

Analogul coeficientului de frecare C pentru oscilaÆiile electrice îl reprezintå rezistenÆaelectricå, R a circuitului; dupå cum prin frecare o parte din energia oscilatorului este transferatåmediului sub formå de cåldurå, tot astfel, prin efect Joule, la trecerea curentului prin rezistenÆaelectricå o parte a energiei electromagnetice a circuitului este transferatå mediului.

Pentru ca regimul descårcårii så fie oscilant, vom impune rezistenÆei valori mici, astfel încât:

22 0 CLLR =ω< (5)

unde LC1

0 =ω reprezintå pulsaÆia proprie a circuitului oscilant ideal (L, C) corespunzåtor.

Dacå rezistenÆa circuitului:

CLRR C 2== (6)

descårcarea este numitå criticå (fig. 19.c),

iar dacå CLR 2> (7)

regimul este aperiodic (fig. 5.19.d).

a) b)

c) d)

Fig. 5.19


Fig. 5.20

Tot prin analogie, stabilim cå soluÆia ecuaÆiei (2) în regim de oscilaÆii este:

( ) ( )ϕ+ω⋅= teQtqt

LR

sin2–

0 (8)

Amplitudinea sarcinii de pe condensator: ( )t

LR

m eQtQ 2–

0= (9)scade exponenÆial în timp, ceea ce confirmå aspectul observat pe ecranul osciloscopului (fig.5.18). PulsaÆia oscilaÆiilor amortizate este inferioarå pulsaÆiei proprii ω0 a circuitului ideal(L, C) corespunzåtor:

2

2

2

220 4

14 L

RLCL

R −=−ω=ω (10)

iar perioada oscilaÆiilor amortizate, mai mare decât perioada proprie a circuitului idealcorespunzåtor:

LCTT π=> 20 (11)

Datele experimentale analizate anterior dovedesc o diferenÆå de cca. 3% între perioada

måsuratå pe ecran (T = 2,2 ⋅ 10–4 s) çi perioada oscilaÆiilor circuitului ideal ( 20 =π= LCT

= 2,26 · 10–4 s).

ExerciÆiu aplicativEnunÆ: Într-un circuit (R, L, C) serie se vizualizeazå pe

ecranul osciloscopului tensiunea u în funcÆie detimp la bornele condensatorului în timpuldescårcårii acestuia în circuit (fig. 5.20).Sensibilitatea orizontalå a osciloscopului este de100 µs/div, iar cea verticalå de 2 V/div.a) DeterminaÆi perioada çi frecvenÆa oscila-

Æiilor electrice amortizate.b) AdmiÆând cå amortizarea nu modificå

sensibil frecvenÆa oscilaÆiilor, calculaÆicapacitatea condensatorului, dacåinductanÆa bobinei este L = 0,1 H.

c) CalculaÆi energia iniÆialå a condensatorului.d) CalculaÆi energia disipatå prin efect Joule în cursul primei oscilaÆii.

SoluÆie: a) Pentru a måri precizia determinårii perioadei, vom numåra diviziunile orizontalecorespunzåtoare unui numår întreg de oscilaÆii. Astfel, pentru 3 perioade gåsim6 diviziuni.

Rezultå: s 200s 100631 µ=µ⋅⋅=T . FrecvenÆa oscilaÆiilor va fi: 50001 ==ν

T Hz

b) Dacå admitem cå LCTT π=≈ 20 , rezultå: nF 13,10 F 10013,14

82

2≅⋅=

π≅ −

LTC

c) IniÆial, tensiunea corespunde la 3,5 diviziuni, deci: V 7V 25,30 =⋅=U

Energia electricå iniÆialå are valoarea: J 1048,2J 2

491013,102

79–2

00

−⋅≅⋅⋅==CU

Wel

d) La sfârçitul primei oscilaÆii, tensiunea corespunde la 1,5 diviziuni, adicå:U1 = 1,5 ⋅ 2 = 3 V

deci energia electricå a devenit: J 1045,021 72

11

−⋅== CUWel

Energia disipatå prin efect Joule va fi:WJ = Wel 0

– Wel 1 = (2,48 – 0,45) · 10–7 J = 2,03 · 10–7 J


ExerciÆii çi probleme propuse1. IndicaÆi trei regimuri de variaÆie în timp a intensitåÆii curentului dintr-un circuit oscilant (R, L,

C). ReprezentaÆi aspectul acestora.Cum poate fi modificat circuitul pentru a observa succesiv cele trei regimuri? IndicaÆi maimulte procedee.

2. Curbele din fig. 5.21 repre-zintå oscilaÆii ale tensiunii labornele condensatorului adouå circuite oscilante (R, L, C)având aceeaçi inductanÆå.a) Care dintre circuite, (a)

sau (b), are rezistenÆa maimare? JustificaÆi råspunsul.

b) Au cele douå circuiteaceeaçi capacitate?JustificaÆi råspunsul.

3. Un circuit (R, L, C) conÆine un condensator de capacitate C = 1,8 µF çi o bobinå de inductanÆåL = 10 mH. Condensatorul este încårcat iniÆial sub o tensiune de 20 V.a) CalculaÆi energia iniÆialå furnizatå circuitului.b) Dupå 100 de oscilaÆii, energia electricå a scåzut cu 80%. CalculaÆi sarcina maximå a

condensatorului çi intensitatea maximå a curentului dupå 100 de oscilaÆii.c) CalculaÆi puterea medie disipatå prin efect Joule în cursul primelor 100 oscilaÆii.

4. Tensiunea la bornele condensatorului unui circuitoscilant (R, L, C) este vizualizatå pe osciloscop(fig. 5.22). Baza de timp este 50 µs/div, iarsensibilitatea verticalå 2 V/div.a) VerificaÆi cå raportul dintre douå amplitudini

succesive ale tensiunii este constant.b)*Se defineçte decrementul logaritmic al descårcårii

ca logaritmul natural al raportului constant a douåamplitudini succesive ale tensiunii oscilante:

1

ln+

=δn

n

UU

ExprimaÆi decrementul logaritmic în funcÆie de R, L çi C. Se considerå amortizarea slabå.c) Se cunoaçte valoarea inductanÆei, L = 0,2 H. CalculaÆi capacitatea C çi rezistenÆa R ale circuitului.d) CalculaÆi fracÆiunea din energia iniÆialå înmagazinatå în condensator disipatå prin efect

Joule în decursul primelor patru perioade. Se considerå cå i = 0 când tensiunea uc estemaximå.

5. Trei condensatoare identice cu capacitatea C = 5 µF fiecare se încarcå de la o baterie apoi seconecteazå la bornele unei bobine cu rezistenÆa R = 2 Ω çi inductanÆa L = 0,02 H. De câte orise modificå perioada oscilaÆiilor amortizate dacå, prima oarå, condensatoarele sunt conectateîn serie çi a doua oarå, în paralel?

6. CalculaÆi rezistenÆa unui circuit oscilant a cårui inductanÆå este L = 1 H dacå dupå t = 0,1 s,valoarea amplitudinii tensiunii dintre armåturile condensatorului s-a micçorat de 4 ori.

Fig. 5.21

Fig. 5.22

a) b)


5.2. Circuitul oscilant (R, L, C) în regim forÆat

5.2.1. Råspunsul circuitului serie (R, L, C)la aplicarea unei tensiuni alternative sinusoidale

În paragraful precedent aÆi putut constata cå oscilaÆiile libere ale unui circuit serie (R, L,C) se amortizeazå în timp. Pentru a menÆine constante amplitudinea tensiunii la bornelecondensatorului çi cea a intensitåÆii curentului, pierderile energetice datorate efectuluiJoule în rezistenÆa activå a circuitului trebuie compensate prin aport energetic exterior.

Acest lucru se realizeazå conectând la bornele circuitului un generator de tensiune alternativå.

ExperimentConectåm în serie un rezistor de rezistenÆå r1, un

condensator de capacitate C çi o bobinå de inductanÆå L çirezistenÆå r. La bornele acestui circuit, un generator de joasåfrecvenÆå furnizeazå o tensiune alternativå sinusoidalå defrecvenÆå υ (pulsaÆie ω = 2πυ) reglabilå dupå voie (fig. 5.23).Un voltmetru conectat în paralel la bornele generatoruluiînregistreazå valoarea eficace U constantå a acestei tensiuni.ªtiÆi din clasa a X-a cå amplitudinea Um a tensiunii se calculeazåprin relaÆia:

2UUm = (1)

Un osciloscop cu douå spoturi va permite vizualizareasimultanå a tensiunii:

tUtu ω⋅= sin2)( (2)impuså de generator çi a tensiunii u1(t) la bornele rezistorului r1.

Cum: ( ) ( )tirtu ⋅= 11 (3)

al doilea semnal va fi proporÆional çi în fazå cu intensitatea curentului i(t).Pentru o pulsaÆie ω a tensiunii de alimentare a generatorului, pe ecranul osciloscopului

apar douå sinusoide de aceeaçi perioadå, de amplitudini constante, diferite çi decalate (defazate)una în raport cu cealaltå (fig. 5.24).

Oricare ar fi frecvenÆa generatorului, constatåm cåfrecvenÆa intensitåÆii curentului alternativ sinusoidal dincircuit este aceeaçi cu frecvenÆa impuså de generator. AceaståfrecvenÆå este în general diferitå de frecvenÆa proprie

LCπ=υ

21

0 a circuitului oscilant (R, L, C). Circuitul este

deci sediul unor oscilaÆii forÆate, impuse de generator.Defazajul celor douå sinusoide poate fi determinat

cunoscând baza de timp a osciloscopului çi måsurânddecalajul temporal τ dintre ele:

Tτπ=ϕ 2 (4)

Modificând valoarea inductanÆei L (prin introducerea unui miez de fier moale) sau acapacitåÆii C a condensatorului (condensator variabil) se poate modifica defazajul ϕ dintrecurent çi tensiune.

Fig. 5.23

Fig. 5.24


Notând prin I valoarea eficace a intensitåÆii curentului,vom putea exprima valoarea sa instantanee în regim de oscilaÆiiforÆate:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti sin2 (5)unde ω este pulsaÆia impuså de generator, iar ϕ defazajul

dintre curent çi tensiune.ExperienÆa aratå cå prin modificarea frecvenÆei genera-

torului, valorile intensitåÆii eficace I çi a defazajului ϕ variazå(fig. 25.a, b, c).

Pentru valori ale pulsaÆiei generatorului inferioare pulsaÆieiproprii a circuitului, ω < ω0, intensitatea este în avans de fazå(ϕ > 0) faÆå de tensiunea aplicatå. Pentru pulsaÆii alegeneratorului superioare celei proprii, ω > ω0, intensitatea esteîn întârziere faÆå de tensiune (ϕ < 0). Doar pentru o pulsaÆie ageneratorului egalå cu cea proprie a circuitului, ω = ω0, curentulçi tensiunea sunt în fazå.

Amplitudinea intensitåÆii curentului (ca çi valoarea eficaceI a acesteia) depinde çi ea de pulsaÆia generatorului. Mårindcontinuu pulsaÆia generatorului çi menÆinând constantå ampli-tudinea tensiunii de alimentare, observåm cå amplitudineacurentului creçte continuu, atinge un maximum çi apoidescreçte. Maximul amplitudinii intensitåÆii este atins înmomentul în care pulsaÆia (frecvenÆa) generatorului devine egalåcu pulsaÆia proprie a circuitului. Spunem cå are loc fenomenulde rezonanÆå a intensitåÆii circuitului serie R.L.C. Circuituleste rezonatorul, iar generatorul – excitatorul.

La rezonanÆa intensitåÆii, amplitudinea intensitåÆii curentuluieste maximå, iar intensitatea curentului este în fazå cu tensiuneageneratorului.

În tabelul de mai jos sunt înregistrate valorile frecvenÆeireglabile υ a generatorului, concomitent cu valorile amplitudinii

Im a curentului çi a defazajului ϕ între curent çi tensiune pentru un circuit conÆinând bobinade inductanÆå L = 8 mH çi rezistenÆå r = 8 Ω, condensatorul de capacitate C = 0,22 µF çirezistorul de rezistenÆå r1 = 1 Ω.

υ (Hz) 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000

Im (mA) 7,5 9 11 13 17 21 29 40 80 110 90

T

τ

τπ=ϕ

T2 +0,245 +0,245 +0,245 +0,245 +0,24 +0,24 +0,22 +0,22 +0,18 0 –0,16

4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400 5600 5800 6000

52 36 28 23 19 17 15 13 12 11,5

–0,20 –0,22 –0,23 –0,23 –0,24 –0,24 –0,24 –0,24 –0,245 –0,245

Curba ce reprezintå variaÆia amplitudinii intensitåÆii curentului în funcÆie de frecvenÆa(pulsaÆia) generatorului este numitå curbå de rezonanÆå çi este redatå cu roçu în fig. 5.26pentru o rezistenÆå totalå R = r + r1 = 8 Ω + 1 Ω = 9 Ω. Cu albastru am figurat curba derezonanÆå a circuitului conÆinând aceeaçi bobinå çi acelaçi condensator în serie, cu o rezistenÆåohmicå mai mare, r1 = 55 Ω (Rtot = r + r1 = 63 Ω). ObservaÆi cå pentru o valoare datå aamplitudinii tensiunii, valoarea maximå a amplitudinii intensitåÆii (sau valoarea sa eficace

Fig. 5.25

a)

b)

c)


maximå Imax) atinså la rezonanÆå este cu atât mai mare cu cât rezistenÆa totalå R a circuituluieste mai micå. FrecvenÆa de rezonanÆå este aceeaçi în ambele cazuri,υ = υ0 = 3800 Hz, fiind determinatå exclusiv de valorile inductanÆei L çi a capacitåÆii C.

În fig. 5.27 este reprezentatå grafic variaÆia defazajului curent-tensiune în funcÆie defrecvenÆa impuså de generator pentru cele douå valori ale rezistenÆei totale a circuitului.RemarcaÆi anularea defazajului pentru frecvenÆa de rezonanÆå υ = υ0 = 3800 Hz.

5.2.2. Diagrama fazorialå a circuitului serie (R, L, C)alimentat de o tensiune alternativå sinusoidalå

Pentru a modela matematic oscilaÆiile forÆate impuse circuitului serie (R, L, C) de tensiuneasinusoidalå aplicatå, vom începe prin a scrie legea lui Ohm pentru întregul circuit:

( ) ( ) ( )tututue Rca +=+ (1)

Fig. 5.26

Fig. 5.27

υ(Hz)

υ(Hz)


unde ( ) ( ) ( )tututu rrR += 1 reprezintå tensiunea impuså la bornele asociaÆiei serie dintre

rezistenÆa bobinei çi cea a rezistorului din circuit. Aceasta se transcrie sub forma diferenÆialå:

tUCq

RitiL ω⋅=++ sin2

dd (2)

unde ω – pulsaÆia reglabilå a generatorului.Într-o primå etapå, dupå conectarea generatorului, variaÆia intensitåÆii este complexå.

Peste oscilaÆiile proprii, care se amortizeazå rapid, se suprapun cele impuse de generator.Aceastå fazå în evoluÆia sistemului oscilant, numitå regim tranzitoriu, dureazå doar câtevamiimi de secundå, dupå care amplitudinea curentului råmâne constantå, iar pulsaÆiaoscilaÆiilor sale devine egalå cu cea a generatorului. Sistemul evolueazå acum în regimpermanent. SoluÆia ecuaÆiei (2) în regim permanent o scriem sub forma:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti sin2 (3)Vom utiliza construcÆia fazorialå Fresnel, numitå diagrama fazorialå a tensiunilor, pentru

determinarea dependenÆei intensitåÆii eficace I (sau a amplitudinii 2IIm = ) çi a defazajuluiϕ de pulsaÆia (frecvenÆa) tensiunii aplicate. Tensiuneainstantanee u(t) se repartizeazå în fiecare moment la borneledipolilor circuitului: rezistenÆa totalå R = r1 + r, inductanÆa L çicapacitatea C (ecuaÆia (2)).

Så consideråm drept referinÆå a fazelor tensiunilor, faza(ωt + ϕ) a intensitåÆii curentului.

Tensiunea la bornele elementului rezistiv R = r1 + r este înfazå cu intensitatea:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIRtuR sin2 (4)

având valoarea efectivå UR = IR (5)

În reprezentarea fazorialå din fig. 5.28, tensiunea uR(t) este reprezentatå prin fazorul(1) suprapus fazorului reprezentând intensitatea curentului.

Tensiunea la bornele elementului inductiv (inductanÆei pure a bobinei) la momentul t:

( ) ( )

π+ϕ+ω⋅ω=ϕ+ω⋅ω==2

sin2cos2dd tILtILtiLtuL (6)

Valoarea sa efectivå este:

ω⋅= LIUL (6’)

Definim reactanÆa inductivå a bobinei la pulsaÆia respectivå prin relaÆia:

XL = L · ω (7)

ReactanÆa XL se måsoarå în Ω, când inductanÆa se måsoarå în H, iar pulsaÆia în rad ⋅ s–1.

Astfel, LL XIU ⋅= (8)

Så observåm cå tensiunea la bornele elementului inductiv (L) de circuit are un avans de

fazå de 2π faÆå de intensitatea curentului (este în cuadraturå avans faÆå de aceasta):

π+ϕ+ω⋅⋅=2

sin2 tXIu LL (9)

Pe diagramå, tensiunea uL(t) este reprezentatå prin fazorul (2).Tensiunea instantanee la bornele elementului capacitiv (C) al circuitului are expresia:

( ) ( )CtqtuC = (10)

Fig. 5.28


Utilizând relaÆia dintre intensitate çi sarcina instantanee

( ) ( )ttqti

dd= (11)

obÆinem:

( ) ( )[ ]

π−ϕ+ω⋅ω

=ϕ+ω−ω

=2

sin2cos2 tCIt

CItuC (12)

Mårimea ω

=C

XC1 (13)

defineçte reactanÆa capacitivå a condensatorului la frecvenÆa respectivå a tensiunii çi semåsoarå în Ω, când pulsaÆia se måsoarå în rad ⋅ s–1 iar capacitatea în F.

Astfel tensiunea efectivå la bornele condensatorului devine:

CC IXU = (14)Så observåm cå tensiunea instantanee uC(t) este în orice moment de timp defazatå în

urma intensitåÆii cu 2

π (cuadraturå retard). În fig. 5.29 am reprezentat-o prin fazorul (3),

aflat în opoziÆie cu fazorul (2), ce reprezintå tensiunea la bornele elementului inductiv, uL(t).Suma vectorialå a fazorilor (1), (2) çi (3) este, conform regulii poligonului, fazorul (4),

reprezentând tensiunea la bornele generatorului. Cum faza acesteia este ωt rezultå cåunghiul dintre fazorii (1) çi (4) este chiar defazajul ϕ dintre tensiunea generatorului çiintensitatea curentului. RemarcaÆi cå dacå UC > UL, adicå XC > XL (circuit capacitiv), intensitateaeste în avans de fazå faÆå de tensiune (ϕ > 0).

Dacå circuitul este inductiv, XL > XC (fig. 5.29), curentul estedefazat în urma tensiunii generatorului (ϕ < 0).

ConstrucÆia geometricå çi relaÆiile din triunghiul drept-unghic format permit calculul intensitåÆii efective a curentului:

( )22CL XXR

UI−+

= (15)

Mårimea de la numitor poartå numele de impedanÆå acircuitului serie la pulsaÆia ω, impuså de generator:

Z = ( )2

222 1

ω

−ω+=−+C

LRXXR CL (16)

ImpedanÆa Z se måsoarå în Ω, ca çi rezistenÆa R çi reactanÆele XL çi XC.

RelaÆia (15) devine ZUI = (15')

çi reprezintå legea lui Ohm în circuitul de curent alternativ.DependenÆa intensitåÆii eficace de pulsaÆia generatorului este:

( )2

2 1

ω

−ω+

=ω

CLR

UI (17)

Reprezentarea sa graficå este curba de rezonanÆå trasatå experimental în paragrafulprecedent. RezonanÆa intensitåÆii are loc atunci când valoarea eficace a intensitåÆii curentului(çi implicit a amplitudinii acesteia) atinge un maxim, adicå atunci când impedanÆa Z(ω)devine minimå. Se verificå analitic faptul cå aceasta are loc pentru:

01 =ω

−ωrez

rez CL (18)

de unde ωrez LC1

0 =ω= (19)

Fig. 5.29


PulsaÆia generatorului pentru care se instaleazå rezonanÆa este egalå cu pulsaÆia proprie ω0a circuitului.

În condiÆiile rezonanÆei, impedanÆa este egalå cu rezistenÆa circuitului:

Zrez = R (20)

ReactanÆele elementelor inductive sunt egale larezonanÆå:

XL rez = XC rez (21)

iar tensiunile la bornele acestora, reprezentate prin fazorii2 çi 3, sunt egale çi în opoziÆie de fazå:

UL rez = UC rez (22)

Valoarea efectivå maximå atinså la rezonanÆå este:

RUI =max (23)

ÎnÆelegeÆi acum de ce rezonanÆa este cu atât maipronunÆatå (maximum mai înalt) cu cât rezistenÆa

circuitului oscilant este mai micå (fig. 5.30).Revenind la triunghiul fazorilor (fig. 5.28 çi fig. 5.29)

obÆinem imediat funcÆiile trigonometrice ale unghiului dedefazaj ϕ, în funcÆie de pulsaÆia generatorului. Astfel:

ωω−=

ω−ω=−=ϕ

RCLC

R

LC

RXX LC

211

tg (24)

RemarcaÆi cå dacå circuitul este capacitiv (XC > XL)curentul este în avans de fazå în raport cu tensiunea apli-catå (ϕ > 0), iar dacå este inductiv (XL > XC), curentul estedefazat în urma tensiunii (ϕ < 0).

La rezonanÆå (XL rez = XC rez), curentul este în fazå cutensiunea (ϕ = 0, fig. 5.31).

DependenÆa defazajului ϕ de pulsaÆia generatoruluieste redatå în fig. 5.32 pentru diferite valori aleparametrului R, rezistenÆa circuitului. Aspectul teoretic alacestor grafice confirmå curbele experimentale obÆinuteîn paragraful anterior (fig. 5.27).

ExerciÆiu aplicativEnunÆ: Un generator de joaså frecvenÆå variabilå este conectat la bornele unui circuit serie

constituit dintr-un rezistor de rezistenÆå R = 220 Ω, un condensator de capacitateC = 22 nF çi o bobinå de inductanÆå L necunoscutå çi de rezistenÆå proprie neglijabilåfaÆå de R. Cu ajutorul unui osciloscop cu dublu spot s-au obÆinut oscilogramele din fig.5.33, cu un baleiaj orizontal (baza de timp) de 0,1 ms/div çi o sensibilitate verticalå de1 V/div, pentru tensiunile u(t), la bornele generatorului (albastru), çi u1 = Ri(t), labornele rezistorului (roçu).a) CalculaÆi amplitudinea tensiunii furnizate de generator çi valoarea sa eficace.b) CalculaÆi amplitudinea intensitåÆii curentului çi valoarea sa eficace.c) DeterminaÆi defazajul dintre curent çi tensiune.d) CalculaÆi impedanÆa circuitului.e) CalculaÆi inductanÆa bobinei.f) Pentru ce valoare a frecvenÆei generatorului cele douå tensiuni u(t) çi u1(t) ar fi în

fazå, dacå inductanÆa bobinei devine L = 0,5 H?

Fig. 5.30

Fig. 5.31

Fig. 5.32


SoluÆie: a) Um = 2,9 V; U = 2mU = 2,05 V;

b) Im = 2,8220

8,11 =λ

=R

U m mA; 8,52

== mII mA;

c) °==⋅⋅

⋅π=τπ=ϕ 5,88rad 543,1ms 1,0295,2

ms 1,045,122T

;

d)R

LC

ω−ω=ϕ

1

tg ; rezultå ϕ⋅ω

−ω

= tg 1L 2R

CSe cunoaçte C = 22 ⋅ 10–9 F, se determinå:

rad/s 644 10s

rad101,0295,2

223 =

⋅⋅⋅π=π=ω −T

çi tg 88,5° = 38,2.

Rezultå: L = 0,4012 – 0,0005 = 0,4007 ≅ 0,4 H.f) RezonanÆa se instaleazå dacå pulsaÆia proprie este egalå cu cea a tensiunii aplicate.

În acest caz, defazajul este nul, ϕ’ = 0

''

10 ω==ω

CL

Rezultå: s

rad7,9534s

rad0488,110

srad

10225,0

1'4

90 ==⋅⋅

=ω=ω−

FrecvenÆa generatorului va fi: υ2

' =π

ω= 1 518 Hz.

Fig. 5.33

0,1 ms

1 V


Probleme propuse1. Cu ajutorul unui rezistor de rezistenÆå R, al unui

condensator de capacitate C çi al unei bobine deinductanÆå L çi de rezistenÆå neglijabilå serealizeazå succesiv trei dipoli: un circuit serie(R, L); un circuit serie (R, C); un circuit serie (R,L, C).Se alimenteazå pe rând circuitele de la un gene-rator de tensiune alternativå u(t), de valoare efectivå U çi de pulsaÆie ω variabilå.a) ExprimaÆi pentru fiecare dintre dipolii (circuitele) descriçi impedanÆa în funcÆie de

caracteristicile acestora çi de pulsaÆia ω a generatorului.b) Se studiazå dependenÆa impedanÆei fiecårui dipol de frecvenÆa generatorului. Se obÆin curbele

din fig. 5.34.a, b çi c. DeduceÆi corespondenÆa dintre cele trei curbe çi cele trei circuite.c) Ce reprezintå ordonata A de pe fiecare curbå?d) JustificaÆi faptul cå inductanÆa se comportå ca un scurt-circuit la frecvenÆe joase çi faptul

cå un condensator se comportå ca un scurt-circuit la frecvenÆe înalte.e) În cazul dipolului (R, L, C), exprimaÆi frecvenÆa pentru care impedanÆa este minimå.

2. Un generator alimenteazå un circuit serie (R, L, C) sub o tensiune alternativå sinusoidalå:( ) ttu π⋅= 100 sin25 (V)

Intensitatea curentului ce traverseazå acest dipol este de forma: ( )

π−π⋅=4

100sin5,0 tti (A).

a) CalculaÆi impedanÆa circuitului.b) CalculaÆi rezistenÆa circuitului.c) CalculaÆi inductanÆa L a bobinei çi capacitatea C a condensatorului, çtiind cå pentru o

frecvenÆå υ0 = 44 Hz a generatorului curentul este în fazå cu tensiunea aplicatå.Amplitudinea tensiunii råmâne constantå, 25 V.

3. Un condensator de capacitate C = 5 µF este traversat de un curent alternativ sinusoidal defrecvenÆå υ = 400 Hz çi de intensitate eficace I = 0,16 A. Intensitatea instantanee a acestuia

este de forma: ( ) tIti m ω= sin

a) ScrieÆi expresia tensiunii instantanee la bornele condensatorului.b) Acelaçi curent traverseazå acum o bobinå de inductanÆå L = 3 mH çi de rezistenÆå neglijabilå.

ScrieÆi expresia tensiunii instantanee la bornele bobinei.c) Se considerå acum cå bobina de inductanÆå L = 3 mH este realå çi are rezistenÆa r = 20 Ω,

fiind parcurså de curentul a cårui intensitate instantanee aÆi exprimat-o la punctul a).ScrieÆi expresia tensiunii instantanee la bornele bobinei reale.

d) Condensatorul çi bobina realå sunt înseriate çi sunt parcurse acum de curentul deintensitate i(t) determinatå la a). ScrieÆi expresia tensiunii instantanee la bornelecircuitului serie format.

4. O bobinå alimentatå sub o tensiune continuå de 120 V este parcurså de un curent cuintensitatea de 2 A; alimentatå sub o tensiune sinusoidalå cu frecvenÆa de 50 Hz çi valoareaeficace de 100 V, bobina este parcurså de un curent cu intensitatea eficace de 0,5 A.a) CalculaÆi inductanÆa çi rezistenÆa bobinei.b) CalculaÆi în grade faza curentului faÆå de cea a tensiunii alternative sinusoidale aplicate la

bornele bobinei.c) ScrieÆi expresiile valorilor instantanee ale tensiunii la borne çi respectiv intensitåÆii

curentului.

Fig. 5.34

a) b) c)υ υ υ


5. Se realizeazå montajul din fig. 5.35, unde R = 100 Ω,iar C este un condensator de capacitate necunoscutå.Se alimenteazå circuitul serie (R, C) de la un gene-rator de tensiune sinusoidalå. Se observå simultanpe ecranul osciloscopului tensiunea la bornelerezistorului çi cea de la bornele dipolului (R, C),reprezentate în fig. 5.36.Baza de timp este de 1 ms/div, iar sensibilitateaosciloscopului de 2 V/div pentru ambele cåi.a) CalculaÆi impedanÆa circuitului serie (R, C).b) DeterminaÆi defazajul între curent çi tensiunea

aplicatå.c) CalculaÆi reactanÆa çi capacitatea condensatorului.

6. Se monteazå în serie o bobinå de rezistenÆå r çiinductanÆå L çi un condensator de capacitate C çi sealimenteazå ansamblul sub o tensiune:

( ) Utu ⋅= 2 sin2πυt, cu U = 120 V çi frecvenÆa υreglabilå. Pentru frecvenÆa υ0 = 159 Hz, intensitateaeficace a curentului prin circuit are valoarea maximåI0 = 1,33 A. Pentru o altå frecvenÆå, υ1, intensitateaeficace are valoarea I1 = 0,8 A çi tensiunea eficace labornele condensatorului este UC1 = 128 V.a) CalculaÆi rezistenÆa r a bobinei. DeterminaÆi impedanÆa circuitului serie çi reactanÆa

condensatorului la frecvenÆa υ1.b) DesenaÆi diagrama fazorialå a tensiunilor la υ1. CalculaÆi defazajul dintre curent çi tensiunea

aplicatå pentru aceastå frecvenÆå.c) CalculaÆi L, C çi υ1.

7. Fie un dipol D de naturå necunoscutå montat în seriecu un rezistor de rezistenÆå R = 100 Ω çi un genera-tor de tensiune sinusoidalå ale cårei frecvenÆå çitensiune eficace sunt reglabile (fig. 5.37). Fig. 5.38reprezintå oscilograma tensiunii la bornele circuituluiserie (R, D) çi respectiv la bornele rezistorului.Osciloscopul are urmåtoarele reglaje: 50 µs/cmpentru baza de timp; 0,5 V/cm pentru (Y1) çi 1 V/cm pentru (Y2).a) Se fac urmåtoarele ipoteze:

– D este un rezistor de rezistenÆå R;– D este o bobinå de rezistenÆå r çi inductanÆå L;– D este un condensator de capacitate C;– D este un circuit serie bobinå (r, L)-condensator (C).AråtaÆi cå unele dintre ipoteze pot fi eliminate înurma analizei oscilogramei.

b) Tensiunea eficace la bornele generatorului fiindmenÆinutå constantå, U = 12 V, se variazå frec-venÆa sa. Se constatå cå intensitatea eficace treceprintr-un maxim a cårui valoare este I0 = 107 mApentru frecvenÆa υ0 = 2,15 kHz. Care este naturadipolului D? DeduceÆi caracteristicile acestuia.

Fig. 5.36

Fig. 5.37

Fig. 5.38

Fig. 5.35


*5.2.3. Banda de trecere. Factorul de calitate

Caracterizåm curba de rezonanÆå Im(ω) sau I(ω) a unuicircuit serie (R, L, C) alimentat de o tensiune alternativåsinusoidalå de frecvenÆå reglabilå çi valoare efectivåconstantå prin lårgimea benzii sale de trecere, numitå çibanda de 3 dB.

Banda de trecere reprezintå intervalul de frecvenÆe(pulsaÆii) pentru care amplitudinea Im a curentului este

superioarå valorii 2maxmI (fig. 5.39).

ObservaÆieDecibelii corespund unei scåri logaritmice çi permit måsurarea raportului a douå

mårimi de acelaçi fel. Putem exprima astfel o intensitate în dB dacå am ales o intensitate

de referinÆå. De exemplu, raportul ( )( )

( )( ) 2

1

0

2

0

1 =ωω=

ωω

m

m

m

m

II

II

conduce, prin logaritmare, la

relaÆia ( )( ) dB 3

21lg 20lg 20

0

1 −==ωω

m

m

II

PulsaÆiile ω1, ω2 care delimiteazå banda de trecere se deduc din condiÆia:

( ) ( ) ( )22

0max21

ω==ω=ω mmmm

IIII (1)

unde LC1

0 =ω (2)

reprezintå pulsaÆia de rezonanÆå egalå cu pulsaÆia proprie de oscilaÆie a circuitului.

Rezultå R

U

CLR

U mm

21 22

=

ω

−ω+

(3)

çi de aici: 221 R

CL =

ω−ω (4)

Pentru ω < ω0 (circuit capacitiv, ω>ω

LC1 ) ecuaÆia (4) se scrie:

RLC

=ωω

–1

sau 01–2 =ω+ω RCLC

çi are soluÆia realå, pozitivå: LC

LCCRRC2

422

1++−=ω (5)

Pentru ω > ω0

ω

>ωC

L 1inductiv,circuit ecuaÆia (4) devine: RC

L =ω

−ω 1

sau 012 =−ω−ω RCLC

cu soluÆia realå, pozitivå:LC

LCCRRC2

422

2++=ω (6)

Fig. 5.39


Fig. 5.40

Fig. 5.41

Lårgimea benzii pulsaÆiilor de trecere va fi: LR=ω−ω=ω∆ 12 (7)

Banda de trecere va cuprinde domeniul de frecvenÆe: ∆υL

Rπ

=πω∆=

22(8)

Så observåm cå, cu cât rezistenÆa circuituluieste mai mare, cu atât curba de rezonanÆå estemai platå, iar lårgimea de bandå mai mare.

În fig. 5.40 sunt redate curbele de rezonanÆåpentru douå circuite serie de aceeaçiinductanÆå, L = 11,3 mH, çi aceeaçi capacitate,C = 0,1 µF, dar care diferå prin rezistenÆå; curbaascuÆitå este trasatå pentru R1 = 32 Ω, iar ceaplatå pentru R2 = 122 Ω. FrecvenÆa de rezonanÆåυ0 = 4725 Hz este aceeaçi pentru ambelecircuite. Ele diferå prin lårgimea de bandå, (∆υ)1≅ 450 Hz pentru primul circuit çi (∆υ)2 ≅ 1600Hz pentru cel de-al doilea.

O altå caracteristicå a circuitului oscilant serie alimentat de o tensiune alternativå estefactorul de calitate Q, definit prin raportul dintre frecvenÆa de rezonanÆå çi lårgimea de bandå:

υ∆υ

= 0def

Qω∆

ω= 0 (9)

Rezultå:CL

RQ 1= (10)

Factorul de calitate nu depinde de amplitudinea tensiunii impuse de generator, fiinddeterminat exclusiv de mårimile caracteristice circuitului, R, L çi C.

Curba de rezonanÆå este cu atât mai îngustå (rezonanÆå înaltå) cu cât factorul de calitateeste mai mare faÆå de 1. Amplitudinea intensitåÆii nu ia valori importante decât într-undomeniu îngust de frecvenÆe. Spunem cå circuitul este selectiv.

Dacå Q este de ordinul unitåÆii sau inferior lui 1, curba de rezonanÆå este platå; circuitulnu privilegiazå nici o frecvenÆå, el nu este selectiv.

Fenomenul de supratensiuneMåsurând tensiunea la bornele condensatorului în cazul unui

circuit selectiv aflat la rezonanÆå, veÆi constata cå valoarea sa eficace(egalå cu cea de la bornele bobinei) este foarte mare. Uneoritensiunea la bornele condensatorului întrece cu mult tensiuneaeficace aplicatå de generator (fig. 5.41).

PuteÆi verifica faptul cå raportul dintre amplitudinea tensiuniila bornele condensatorului sau bobinei la rezonanÆå çi amplitudineatensiunii generatorului este chiar factorul de calitate al circuitului:

( ) ( )CL

RRL

RC

UU

UU

Qm

rezLm

m

rezCm 11

00 =ω=ω=== (11)

Fenomenul este numit supratensiune. Valorile lui (UCm)rez sau (ULm)rez pot atinge câtevasute de volÆi, ceea ce poate provoca „stråpungerea“ condensatorului sau, pentru o bobinå derezistenÆå micå, descårcåri electrice între spire.


ExerciÆii aplicative1. Într-un experiment s-a studiat intensitatea

efectivå a curentului într-un circuit serie (R, L,C) în funcÆie de frecvenÆa generatorului. S-a trasatgraficul amplitudinii intensitåÆii în funcÆie defrecvenÆå, Im(υ), reprezentat în fig. 5.42.a) EvaluaÆi frecvenÆa de rezonanÆå υ0 çi ampli-

tudinea maximå Im max a intensitåÆii.b) CalculaÆi rezistenÆa totalå R a circuitului,

çtiind cå amplitudinea tensiunii aplicate este4 V.

c) DeterminaÆi frecvenÆele υ1 çi υ2 ce mårginescbanda de trecere, precum çi lårgimea acesteia.

d) CalculaÆi factorul de calitate çi caracterizaÆiselectivitatea circuitului.

e) CalculaÆi inductanÆa bobinei çi rezistenÆa totalå a circuitului dacå se cunoaçte capacitateacondensatorului, C = 1 µF.

2. Figura 5.43 reprezintå curba de rezonanÆå a unuidipol (R, L, C) serie alimentat de o tensiunealternativå.a) DeterminaÆi grafic frecvenÆa de rezonanÆå çi

lårgimea benzii de trecere.b) CalculaÆi factorul de calitate al circuitului;

caracterizaÆi rezonanÆa.c) RezistenÆa totalå a circuitului este R = 1012 Ω.

CalculaÆi valoarea efectivå a tensiuniifurnizate de generator.

d) CalculaÆi inductanÆa bobinei çi capacitateacondensatorului.

3. S-a trasat experimental graficul dependenÆeiimpedanÆei unui dipol (R, L, C) serie în funcÆiede frecvenÆå (fig. 5.44).a) DeterminaÆi frecvenÆa de rezonanÆå çi

lårgimea de bandå.b) Valoarea eficace a tensiunii aplicate fiind U =

12 V çi frecvenÆa acesteia υ = 1500 Hz,calculaÆi valoarea eficace a intensitåÆiicurentului prin dipol.

c) CalculaÆi supratensiunea la bornelecondensatorului la rezonanÆå.

4. Un generator de tensiune alternativå cu valoareaeficace U = 5 V constantå alimenteazå un circuitserie (R, L, C). Se cunosc frecvenÆa de rezonanÆåυ0 = 1125 Hz çi valoarea eficace maximå acurentului Imax = 50 mA. Banda de trecere estede 160 Hz.a) CalculaÆi valoarea rezistenÆei R a circuitului çi factorul de calitate, Q.b) CalculaÆi amplitudinea tensiunii la bornele condensatorului, la rezonanÆå.c) CalculaÆi impedanÆa circuitului la frecvenÆele ce delimiteazå banda de trecere.d) TrasaÆi curba de rezonanÆå a circuitului serie.

Fig. 5.42

Fig. 5.43

Fig. 5.44


5.3. Puterea în regim sinusoidal. Schimburi energetice

Fie un circuit serie (R, L, C) alimentat de tensiunea alternativå instantanee:

( ) tUtu ω⋅= sin2 (1)de valoare eficace U constantå çi pulsaÆie ω. Circuitul este parcurs de curentul alternativsinusoidal a cårui valoare instantanee este:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti sin2 (2)Aceasta are aceeaçi pulsaÆie cu tensiunea, are valoarea

eficace I çi este defazatå faÆå de tensiune cu un unghi ϕ(fig. 5.45).

Definim puterea instantanee primitå de dipolul (R, L,C) serie prin produsul:

( ) ( ) ( )titutp ⋅= (3) Efectuând grafic produsul (eventual cu ajutorul unei

interfeÆe) obÆinem curba verde din fig. 5.46, care redåvariaÆia în timp a puterii.

Se constatå cå aceastå putere are o valoare medienenulå (axa orizontalå a sinusoidei este situatå deasupraaxei timpului) çi cå frecvenÆa sa este dublul frecvenÆeitensiunii çi intensitåÆii.

Într-adevår, înlocuind (1) çi (2) în (3) çi efectuândcalculele, obÆinem:

( ) ϕ⋅= UItp cos + ( )ϕ+ω⋅ tUI 2cos (4)Puterea instantanee este suma a doi termeni, primul

constant în raport cu timpul çi celålalt funcÆie sinusoidalåde timp, de pulsaÆie 2 ω, deci cu perioada jumåtate dincea a tensiunii sau curentului.

Puterea instantanee p(t) aratå numai dacå la un moment dat dipolul primeçte energie(p(t) > 0) sau cedeazå energie (p(t) < 0).

Puterea medie P consumatå de dipol în regim alternativ se obÆine prin medierea puteriiinstantanee pe un interval de timp dat (macroscopic). Matematic, se aratå cå puterea medieeste datå de termenul constant çi pozitiv:

( ) ϕ⋅==>< cos UIPtp (4’)Media pe o perioadå a termenului sinusoidal al puterii instantanee (4) este nulå.Puterea medie este numitå çi putere activå çi se måsoarå în Watt când tensiunea eficace

U se exprimå în V, iar intensitatea eficace I în A. Factorul cos ϕϕϕϕϕ este numit factorul de putere

al dipolului considerat çi este întotdeauna pozitiv (pentru 22π<ϕ<π− , 0 < cos ϕ < 1).

Puterea medie (activå) se måsoarå cu aparatul numit wattmetru (contor casnic) sau cudispozitive electronice.

Cazuri particularea) Pentru un circuit de curent alternativ ce conÆine numai rezistoare de rezistenÆå totalå R,

curentul este în fazå cu tensiunea, ϕ = 0, iar factorul de putere cos ϕ = 1. Puterea activå va fi:

RURIUIP

22 === (5)

Aceastå putere medie (activå) este absorbitå prin efect Joule çi transferatå mediului subformå de cåldurå.

Fig. 5.45

Fig. 5.46


b) Dacå circuitul conÆine numai un condensator ideal, tensiunea la bornele sale este

defazatå în urma intensitåÆii cu 2π . Rezultå cos ϕ = 0. Puterea medie este nulå.

Un condensator perfect nu consumå, global, energie de la generator.

Puterea instantanee: ( ) tUItp ω⋅= 2 sin (6)variazå cu pulsaÆia 2ω; condensatorul „înmagazineazå“ energie în timpul unei jumåtåÆi deperioadå çi o restituie în semiperioada urmåtoare generatorului.

c) Dacå circuitul conÆine numai o bobinå idealå de inductanÆå L, tensiunea este încuadraturå avans faÆå de curent, deci cos ϕ = 0. Puterea medie este nulå. O bobinå idealå nuconsumå global nici o energie; ea înmagazineazå energie magneticå în timp de o semiperioadåçi o restituie generatorului în cursul semiperioadei urmåtoare.

d) Puterea medie (activå) consumatå de un dipol serie (R, L, C) alimentat de o tensiunealternativå.

Factorul de putere are expresia: ZR=ϕ cos (7)

unde2

2 1

ω

−ω+=C

LRZ (8)

iar ZIU = (9)Rezultå pentru puterea activå expresia:

2RIP = (10)În regim alternativ sinusoidal, întreaga putere medie (activå) debitatå de generator unui

dipol serie (R, L, C) este absorbitå de componenta rezistivå a dipolului prin efect Joule çitransferatå mediului exterior sub formå de cåldurå.

2 cos RIUIP =ϕ⋅= (11)ObservaÆie. Puterea medie absorbitå de dipolul serie (R, L, C) alimentat de un generator

de tensiune alternativå sinusoidalå de valoare eficace constantå çi de frecvenÆå reglabilå

depinde de frecvenÆa generatorului. La rezonanÆå

=ω=ω

LCrez1

0 puterea activå atinge

un maxim:

RURIP

22maxmax == (12)

Pentru cele douå pulsaÆii ω1 çi ω2 corespunzåtoare limitelorbenzii de trecere, puterea activå reprezintå jumåtate dinputerea maximå absorbitå la rezonanÆå (fig. 5.47).

2)(

)()( 021

ω=ω=ω

PPP (13)

ceea ce corespunde unei diminuåri de 2 ori a valoriiintensitåÆii eficace faÆå de cea atinså la rezonanÆå:

( ) ( ) ( )20

21ω=ω=ω I

II (14)

Fig. 5.47


Puterea aparentåPrin definiÆie, produsul dintre tensiunea eficace la bornele dipolului çi intensitatea eficace

este numit putere aparentå, notatå prin S:

S = UI (15)

În electrotehnicå, puterea aparentå este exprimatå în VA (voltamper) pentru a o distingede puterea activå (medie) efectiv consumatå, exprimatå în watt.

ObservaÆi cå: ϕ⋅= cosSP (16)

Schimburi energeticePentru a evidenÆia schimburile energetice care au loc între generator, elementele circui-

tului oscilant çi mediu, vom porni de la ecuaÆia tensiunilor în regim permanent sinusoidal:

( )CqRi

tiLtu ++=

dd (17)

Amplificând-o cu dq = i ⋅ dt, obÆinem:

tRidqqC

iLitui d 1d d 2++= (18)

În membrul I al ecuaÆiei (18) am pus în evidenÆå lucrul electric elementar furnizat degenerator, exprimat ca produs al puterii instantanee çi al intervalului de timp infinitezimal, dt:

ui dt = p(t) ⋅ dt = L gen (19)

Membrul II al ecuaÆiei conÆine termenii:

mgWLiiLi d2

dd 2

=

= (20)

çi: elWC

qqq

Cd

2dd 1 2

=

= (21)

reprezentând variaÆia elementarå a energiei câmpului magnetic din bobinå çi respectiv aenergiei câmpului electric din condensator în acelaçi interval de timp.

Suma acestor termeni va avea semnificaÆia variaÆiei elementare a energiei totale dinelementele reactive ale circuitului: dW = d(Wel + Wmg).(22)

Ultimul termen din membrul II al ecuaÆiei (18) reprezintå energia disipatå prin efectJoule pe elementul rezistiv al circuitului:

tRiW dd 2J ⋅= (23)

Rezultå:

( ) 2dd d tRittpW =−= L gen – dWJ (24)

Pentru frecvenÆe diferite de frecvenÆa de rezonanÆå, lucrul elementar al generatoruluieste diferit de energia elementarå disipatå prin efect Joule.

Puterea disipatå în rezistenÆå este întotdeauna pozitivå, pe când cea furnizatå de genera-tor poate fi atât pozitivå, cât çi negativå. În anumite momente, generatorul primeçte energiede la circuit çi aceasta provine din energia înmagazinatå în condensator sau în bobinå (electro-

magneticå). În medie înså, pentru o perioadå,energia furnizatå de generator este întotdeaunaegalå cu energia medie transferatå prin efectJoule în elementul rezistiv.

La rezonanÆå, puterea instantaneefurnizatå de generator este constant pozitivå çiegalå cu cea disipatå în rezistenÆa electricå prinefect Joule (fig. 5.48).Fig. 5.48


Puterea reactivåPuterea instantanee datå de relaÆia (4) se mai poate scrie:

p(t) = u(t) ⋅ i(t) = UI cos ϕ (1 – cos 2ωt) + UI sin ϕ sin 2ωt (25)

Valoarea medie a primului termen pe un numår întreg de perioade este egalå cu puterea activå:

P = UI cos ϕAl doilea termen al puterii instantanee:

p2 = UI sin ϕ sin 2ωt (26)

este o putere sinusoidalå cu pulsaÆia dublå faÆå de cea a curentului çi are amplitudinea:

Q = UI sin ϕ (27)

având o valoare medie nulå pe un numår întreg de perioade. Deci, aceastå parte a puteriiinstantanee nu corespunde unui aport continuu de energie electricå într-un sens dat. Valoareasa maximå (27) este denumitå putere reactivå. Ea se poate scrie în general:

XIUIQ 2 sin =ϕ= (28)unde X reprezintå reactanÆa circuitului.

Pentru circuitul serie (R, L, C), puterea reactivå are expresia:

ω−ω

= LC

IQ 12 (29)

Puterea reactivå este legatå de schimbul oscilant de energie între surså çi câmpul electrical condensatorului sau câmpul magnetic al bobinei.

Puterea reactivå totalå Q a circuitului reprezintå diferenÆa dintre puterea reactivå ωC

I2a

condensatorului çi puterea reactivå a bobinei, ωLI2. În consecinÆå, în funcÆie de valorilereactanÆelor, puterea reactivå poate fi pozitivå sau negativå.

Puterea reactivå se måsoarå în VAR (voltamper reactiv).Între puterea aparentå, cea activå çi cea reactivå existå relaÆia:

222 QPS += (30)

ExerciÆiu aplicativEnunÆ: La bornele unui dipol serie (R = 20 Ω, L = 0,5 H, C = 5 µF) se aplicå o tensiune

sinusoidalå cu valoarea efectivå U = 24 V.CalculaÆi pentru frecvenÆa de rezonanÆå çi pentru frecvenÆa υ = 50 Hz a generatorului:intensitatea eficace a curentului; puterea aparentå; puterea medie consumatå.CalculaÆi frecvenÆele pentru care puterea medie este cuprinså între puterea maximåçi jumåtate din aceasta.ExprimaÆi în funcÆie de factorul de calitate al circuitului raportul dintre energiaacumulatå în elementele reactive ale circuitului çi energia disipatå prin efect Jouleîntr-o perioadå, la rezonanÆå.

SoluÆie: 1) RezonanÆa se instaleazå la frecvenÆa: υ0 7,1002

1 =π

=LC

Hz

a) La rezonanÆå Z = R, iar 2,12024

max ====RUII A

La frecvenÆa υ = 50 Hz, 2

2

212

πυ−πυ+=

CLRZ = 480 Ω, iar

ZUI = 05,0 A

48024 == A


b) Pentru υ0, 8,282,124max =⋅=⋅= IUS VA,

iar pentru υ = 50 Hz, 2,105,024 =⋅== UIS VA

c) Pentru υ0, 8,28)2,1(20 22maxmax =⋅=== RIPP W

iar pentru υ = 50 Hz, 05,0W)05,0(20 22 =⋅== RIP W

2) Fie ω1 çi ω2 pulsaÆiile pentru care: ( ) ( )

21

max

2

max

1 =ω=ωP

PPP

rezultå ( )2max

1,2P

P =ω

çi de aici: ( )2

2max

2,12 RI

RI =ω , adicå 2

2

2

2,12,1

2

2

21 RU

CLR

U =

ω

−ω+

Gåsim:

rad/s 8,6522

4

rad/s 8,6122

4

22

2

22

1

≅++=ω

≅++−=ω

LCLCCRRC

LCLCCRRC

FrecvenÆele corespunzåtoare, υ1 ≅ 97,6 Hz çi υ2 ≅ 104 Hz, delimiteazå banda detrecere Du = υ1 – υ2 = 6,4 Hz, foarte îngustå (circuit cu selectivitate mare).Energia acumulatå în timp de o perioadå în elementele reactive este:

22

2LI

LIW m

reactiv ==

Energia disipatå prin efect Joule, într-o perioadå:

TRIWJ2=

Raportul energiilor este: RTL

WW

J

reactiv =

La rezonanÆå, LCTT π== 20 . Astfel, raportul devine:

π=

π=

π=

221

2Q

CL

RLCRL

WW

J

reactiv

Numeric: 8,151 ==CL

RQ iar 52,2≅

J

reactiv

WW


ExerciÆii çi probleme propuse1. Tensiunea instantanee la bornele unui aparat este: u(t) = 311 sin 100πt(V).

Intensitatea curentului care traverseazå aparatul are expresia matematicå:i(t) = 2,4 sin (100πt + 0,3)(A). DeterminaÆi:a) intensitatea çi tensiunea eficace; b) factorul de putere al circuitului;c) puterea aparentå; d) puterea medie consumatå;e) energia consumatå, exprimatå în J çi kWh, timp de 15 h de funcÆionare.

2. Un circuit este constituit dintr-un rezistor çi o bobinå de rezistenÆå neglijabilå.(1) Circuitul este alimentat sub o tensiune continuå de 6 V. Intensitatea curentului este 0,2 A.

Circuitul este alimentat apoi sub o tensiune alternativå de valoare eficace 6 V çi de frecvenÆå50 Hz. Intensitatea eficace a curentului este 0,1 A. CalculaÆi:a) factorul de putere çi puterea activå în curent alternativ;b) reactanÆa bobinei çi inductanÆa acesteia.

(2) Un condensator asociat în serie cu bobina çi rezistorul aduce factorul de putere la 0,8. CalculaÆi:a) impedanÆa noului circuit çi reactanÆa acestuia;b) valorile posibile ale capacitåÆii condensatorului;c) puterea medie consumatå de circuit, dacå tensiunea eficace la bornele asociaÆiei råmâne

egalå cu 6 V.

3. O bobinå de inductanÆå L = 0,2 H are rezistenÆa r = 36 Ω. Tensiunea furnizatå de reÆea areexpresia instantanee: ( ) ttu π⋅= 100 sin2220 (V).Pentru a evita deteriorarea bobinei, intensitatea eficace a curentului nu trebuie så depåçeascå2 A. Pentru aceasta, aveÆi de ales între douå montaje:– conectarea în serie cu bobina a unui condensator de capacitate variabilå C;– conectarea în serie cu bobina a unui rezistor de rezistenÆå variabilå R.(1) Ce condiÆii se impun valorilor lui C, respectiv R pentru ca bobina så nu se deterioreze?(2) Pentru aceeaçi intensitate eficace, comparaÆi puterile medii (active) în cele douå montaje.

Care este montajul mai economic?

4. Un circuit serie cuprinde un rezistor (R = 6 Ω), o bobinå idealå (L = 20 mH) çi un condensator

(C = 5 µF). La bornele sale se aplicå tensiunea: ( ) ttu π⋅= 960 sin224 (V).

a) DaÆi expresia intensitåÆii instantanee a curentului prin circuit, i(t).b) Se variazå rezistenÆa R fårå modificarea celorlalÆi parametri. ExprimaÆi în funcÆie de R

puterea medie (activå) din circuit. Pentru ce valoare a lui R puterea activå devine maximå?

5. Între punctele A çi B ale circuitului din fig. 5.49 se monteazå o bobinå de impedanÆå Z1, iarîntre punctele B çi C un rezistor de rezistenÆå R2. Intensitatea instantanee a curentului prin

circuit este: ( ) ( )ϕ+ω= tIti msin , unde ω este pulsaÆia generatorului, iar ϕ – defazajul

dintre curent çi tensiunea aplicatå.(1) Un voltmetru de impedanÆå mare este conectat succesiv între A çi B, între B çi C çi apoi

între A çi C. Acesta indicå valorile eficace: UAB = 45 V; UBC = 40 V çi UAC = 75 V.AråtaÆi cå factorul de putere al circuitului verificå

relaÆia: ABBC

ABBCAC

UUUUU

⋅−−=ϕ

2 cos

222

(2) Cunoscând R2 = 20 Ω, calculaÆi:a) puterea consumatå în rezistorul R2;b) puterea consumatå în bobinå;c) rezistenÆa bobinei.

Fig. 5.49


6. Fie un dipol electric AB a cårui naturå exactå nu se cunoaçte; se presupune cå dipolul ar puteaconÆine:a) o bobinå de rezistenÆå R çi inductanÆå L;b) un condensator de capacitate C în serie cu un rezistor de rezistenÆå R;c) un rezistor de rezistenÆå R.(1) Se alimenteazå dipolul sub o tensiune continuå çi se constatå cå este parcurs de un curent

de intensitate constantå. TrageÆi concluzii.(2) Se alimenteazå acum dipolul de la un generator de tensiune alternativå de frecvenÆå

υ = 50 Hz çi se observå cå:– un wattmetru indicå puterea medie P = 25 W;– un ampermetru indicå intensitatea eficace I = 0,5 A;– un voltmetru conectat la bornele dipolului AB indicå tensiunea eficace U = 100 V.DeterminaÆi elementele componente ale dipolului AB çi valorile lor numerice.

(3) Dipolul AB este montat apoi în serie cu un condensator de capacitate variabilå. AsociaÆiaeste alimentatå de aceeaçi tensiune sinusoidalå ca la punctul (2).CalculaÆi valoarea capacitåÆii pentru care tensiunea la bornele dipolului AB çi intensitateacurentului sunt în fazå.

Fig. 5.50

*5.4. Reprezentarea în complex a mårimilor electrice sinusoidale

Dupå cum çtiÆi, unei mårimi oscilatorii i se poate asocia un vector rotitor, numit fazor,astfel încât valoarea instantanee a mårimii respective se regåseçte în una dintre componentelefazorului pe axele de coordonate.

O formå echivalentå de reprezentare a vectorilor înplan sunt numerele complexe.

Fie a çi b douå numere reale, iar j2 = –1. Atunci:

z = a + jb (1)

se numeçte numår complex.Oricårui numår complex îi corespunde în planul com-

plex (fig. 5.50) un punct M(a, b).Numårul complex z este reprezentat de vectorul OM .Modulul numårului complex z este dat de relaÆia:

22 bazz +== (2)

Argumentul numårului complex z este unghiul θ pe care OM îl face cu axa realå.Conjugatul numårului complex z este: z* = a – jb (3)Din produsul: z ⋅ z* = z2 (4)

obÆinem: *zzz ⋅= (5)Un numår complex, respectiv conjugatul såu pot fi exprimate sub formå trigonometricå:z = z (cos θ + j sin θ) (6)z* = z (cos θ – j sin θ) (7)

Folosind formulele lui Euler:

θ−θ=θ+θ=

θ−

θ

sin cos sin cos

jeje

j

j

(8)

Numårul complex çi respectiv conjugatul såu se exprimå sub formå exponenÆialå:θ⋅= jezz (9)

θ−⋅= jez*z (10)


Derivata întâi, respectiv a doua în raport cu argumentul sunt date de:

π+θ+

π+θ===

θ= θ

2sin

2cos

dd' jzzjzje

zz j (11)

π−θ+

π−θ=−=

θ=

2sin

2cos

dd '

" jzzjzz (12)

În planul complex, derivata întâi s-ar reprezenta printr-un vector

defazat cu 2π în avans, iar derivata a doua printr-un vector defazat cu

2π în urma vectorului ce reprezintå numårul complex z (fig. 5.51).

Pentru studiul circuitelor de curent alternativ se pot asociaintensitåÆilor, tensiunilor, reactanÆelor çi impedanÆelor numerecomplexe. Valorile instantanee ale mårimilor alternative sunt datede partea imaginarå sau partea realå a numårului complex asociat.

Exemplea) Fie expresia intensitåÆii curentului din circuit de forma:

( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti sin2 (13)Numårul complex asociat este:

( ) ( ) ( )[ ]ϕ+ω+ϕ+ω== ϕ+ω tjtIeII tj sincos22 (14)

În acest caz: i(t) = Im ( )ϕ+ω⋅= tII sin2 (13')

b) Tensiunea la bornele circuitului ( ) tUtu ω⋅= sin2 (15)

se asociazå cu numårul complex: tjeUU ω= 2 (16)a cårui parte imaginarå este tensiunea instantanee.

c) ImpedanÆa complexå a circuitului se defineçte prin legea lui Ohm pentru mårimilecomplexe:

IU

Z = (17)

Modulul impedanÆei complexe va fi: IUZZ == (18)

iar argumentul impedanÆei complexe: ϕ=−= IUZ arg arg arg (19)unde ϕ reprezintå defazajul curent-tensiune. ImpedanÆa complexå se va scrie:

Z = Z(cos ϕ + jsin ϕ) (20)

deci: ZZ

Re Im

tg =ϕ (21)

Cazuri particulare de impedanÆe:

a) rezistor de rezistenÆå R: RI

UZ

R

RR == (22)

b) bobinå idealå de inductanÆå L: ω=== jLjXXZ LLL (23)

c) condensator ideal: ω

⋅−=−==C

jjXXZ CCC1 (24)

Fig. 5.51


Fig. 5.52

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ utilizând formalismul complexLegea lui Ohm pentru o porÆiune din circuitul de curent alternativ se scrie la fel ca în

curent continuu:

ZU

I = (25)

Legile lui Kirchhoff pot fi scrise în complex:

a) pentru nod: ∑=k

kII (26)

unde kI sunt intensitåÆile complexe ale curenÆilor care se întâlnesc într-un nod;

b) pentru ochi: kk

kj

j ZIE ∑∑ = (27)

unde jE sunt tensiunile electromotoare complexe ale generatoarelor, iar kk ZI sunt

cåderile de tensiune pe laturile ochiului.ConsecinÆele legilor lui Kirchhoff çi Ohm se pot transpune în cazul reÆelelor de curent

alternativ, utilizând formalismul complex.Astfel, pentru asocierea impedanÆelor vom avea în complex aceleaçi relaÆii ca pentru

asocierea similarå a rezistoarelor în curent continuu. Pentru calculul impedanÆei complexeechivalente asocierii serie de impedanÆe utilizåm relaÆia:

∑=k

sZ kZ (28)

iar pentru calculul impedanÆei complexe echivalente asocierii în paralel a mai multorimpedanÆe utilizåm:

∑=k kp ZZ

11 (29)

AplicaÆii

1. Circuitul serie (R, L, C)Legea lui Kirchhoff pentru ochiul de reÆea se scrie în complex (fig. 5.52)

ω−ω+=+

ω−ω=++=++=

CLjRIIRI

CjIjLIRIXIXUUUU CLRCL

1 (30)

unde tensiunea complexå se scrie: tjeUU ω= 2 (31)

iar intensitatea complexå: ( )ϕ−ω= tjeII 2 (32)

ImpedanÆa complexå a circuitului serie va fi:

ω

−ω+==C

LjRIU

Z 1 (33)

Modulul såu:

ω

−ω+=⋅=C

LRZZZ 12* (34)

iar

arg ϕ=Z , cu R

XXZZ CL −==ϕ

Re Imtg (35)


5.5. Circuitul paralel bobinå-condensator.RezonanÆa circuitului paralel

Se realizeazå un dipol AB prin asocierea în paralel a unuicondensator de capacitate C çi a unei bobine reale de inductanÆåL çi rezistenÆå r (fig. 5.53). Se alimenteazå dipolul de la ungenerator de tensiune alternativå de valoare eficace U çipulsaÆie ω. Tensiunea este aceeaçi la bornele condensatoruluiçi ale bobinei:

( ) ( ) ( ) tUtututu bC ω⋅=== sin2 (1)

Curentul principal i(t) se împarte în nodurile A sau B întrecele douå ramificaÆii:

( ) ( ) ( )tbc ititi += (2)

Expresia valorii sale instantanee în regim permanent va fi:

( ) ( )ϕ−ω⋅= tIti sin2 (3)

unde am notat prin I valoarea sa eficace çi prin ϕ defazajul dintre tensiune çi curentul principal.Calculåm impedanÆa dipolului derivaÆie utilizând formalismul complex:

ω+ω+

= jCjLrZ

11 (4)

ObÆinem:

( )

ω−ω+ω

ω+=+ω+ω

ω+=

CLjrCj

jLrjLrCjjLr

Z11

Notåm prin:

ω−ω=

CLX 1 (5)

Rezultå: ( )jXrCj

jLrZ+ω

ω+=

sau, prin amplificare cu conjugatul complex al numitorului:

( ) ( ) ( )[ ]LXrjXLrXrC

Z ω−−+ω+ω

= 222

1 (6)

Modulul impedanÆei este:

( ) ( ) ( )222222

1 LXrXLrXrC

Z ω−++ω+ω

= (7)

Defazajul tensiune-curent este dat de relaÆia:

( )XLrLXr

+ωω−=ϕ

2tg (8)

Fig. 5.53


Studiul rezonanÆei circuitului paralel

Experiment 1Se realizeazå montajul din fig. 5.54, unde alimentarea

în tensiune se face de la un generator de frecvenÆå variabilå.Intensitatea efectivå I a curentului este menÆinutå constantåcu ajutorul rezistenÆei variabile R. Valoarea acesteia se alegeîn funcÆie de sensibilitatea miliampermetrului çi avoltmetrului.

Se urmåresc variaÆiile tensiunii U la bornele circuituluiparalel (dipol AB) în funcÆie de frecvenÆa generatorului detensiune.

Se traseazå curba de rezonanÆå U(υ) çi se determinåfrecvenÆa de rezonanÆå, adicå frecvenÆa pentru care valoareaeficace a tensiunii atinge un maxim (fig. 5.55).

Care este valoarea frecvenÆei de rezonanÆå în acest caz?Cum:

( ) ( )ω⋅=ω ZIU (9)

rezultå cå rezonanÆa aparecând impedanÆa circuitului(7) atinge un maxim. Con-diÆia de rezonanÆå va fi:

( ) 0d

d =ωωZ

(10)

çi este satisfåcutå pentru:

02 =ω− LXr (11)De aici gåsim:

21

+=ωLr

LCrez (12)

ImpedanÆa la rezonanÆå va fi pur activå:

2rQrC

LZrez =⋅

= (13)

unde Q este factorul de calitate al circuitului.Dacå rezistenÆa bobinei se micçoreazå (r → 0), maximul tensiunii eficace tinde spre infinit:

CrLIU =max (14)

Rezultatul teoretic este confirmat de graficul experimental din fig. 5.55. Pentru o bobinåcu inductanÆa L = 230 mH çi rezistenÆa r = 100 Ω çi un condensator de capacitate C = 0,15 µFs-a obÆinut rezonanÆa la frecvenÆa υ0 ≅ 1100 Hz, menÆinând intensitatea curentuluiconstantå, I = 0,5 mA. Corespunzåtor, Umax ≅ 0,76 V.

Din relaÆia (13) gåsim factorul de calitate al circuitului:

41max ≅=⋅

=CL

rrIU

Q

Micçorând valoarea capacitåÆii (de exemplu C = 51 nF sau C = 7,5 nF) curba de rezonanÆåU(υ) va avea un maxim mai pronunÆat çi mai îngust, deci un factor de calitate mai mare.

Fig. 5.54

Fig. 5.55

U(V)


Experiment 2Dacå acum menÆinem constantå, printr-un montaj potenÆiometric, valoarea tensiunii U

la bornele dipolului, vom constata la rezonanÆå o scådere a curentului din porÆiuneaneramificatå a circuitului (fig. 5.56). Utilizând aceeaçi bobinå çi un condensator de capaci-tate C = 0,1 µF, am urmårit variaÆiile lui I în funcÆie de frecvenÆa υ a generatorului. Trasareagraficului în scarå semilogaritmicå este prezentå în fig. 5.57.

Se remarcå anularea curentului pentru frecvenÆa de rezonanÆå:

υrez 1200121 2

≈

+π

=Lr

LCHz

Circuitul para-lel joacå în acestcaz rol de filtru,care nu laså såtreacå o anumitåfrecvenÆå (aici,cea de 1200 Hz)pentru care esteconstruit (acordat).

ExerciÆiu aplicativEnunÆ: Fie un dipol constituit prin conectarea în derivaÆie a unei bobine ideale de inductanÆå

L, a unui condensator de capacitate C çi a unui rezistor de rezistenÆå R. Se alimenteazåcircuitul de la un generator de tensiune alternativå cu valoarea eficace U constantå çifrecvenÆå reglabilå.a) ConstruiÆi diagrama fazorialå a intensitåÆilor prin ramuri, aplicând teorema I a lui

Kirchhoff.b) DeterminaÆi curentul din circuitul neramificat.c) DeterminaÆi expresia frecvenÆei de rezonanÆå çi valoarea intensitåÆii efective a

curentului principal la rezonanÆå. TrasaÆi curba de rezonanÆå.d) DaÆi expresia valorilor eficace ale curenÆilor prin bobinå çi condensator la rezonanÆå

çi comparaÆi-le cu intensitatea curentului principal. Concluzii.e) ExprimaÆi puterile activå çi aparentå pentru o frecvenÆå datå a generatorului çi

pentru frecvenÆa de rezonanÆå.

SoluÆie: a) Circuitul este reprezentat în fig. 5.58.Prima teoremå a lui Kirchhoff pentru nodulA (sau B) ne conduce la relaÆia între curenÆi:

( ) ( ) ( ) ( )titititi CLR ++=FaÆå de tensiunea u(t), curentul ic este în avans

de fazå cu 2π , curentul iL este în întârziere

de fazå cu 2π , iar curentul iR este în fazå cu

aceasta.

Fig. 5.56 Fig. 5.57

Fig. 5.58


Valorile eficace ale curenÆilor se scriu:

RUIR = ;

LL X

UI = ;C

C XUI =

Diagrama fazorialå a curenÆilor este redatå înfig. 5.59.Suma lor vectorialå este fazorul reprezentândintensitatea curentului principal, defazatå cuunghiul ϕ faÆå de tensiune.

b) Presupunând tensiunea scriså sub forma: ( ) tUtu ω⋅= sin2

curentul principal va avea valoarea instantanee ( ) ( )ϕ+ω⋅= tIti sin2unde I çi ϕ se determinå din diagrama fazorialå:

2

2

2

211111

ω−ω+=

−+=

CL

RU

XXRUI

CL

ω−ω

=−

=ϕ CL

R

R

XX CL 11

11

tg

c) La rezonanÆå, IC = IL, iar ϕ = 0. Rezultå

pulsaÆia de rezonanÆå LC1

0 =ω pentru

care valoarea eficace minimå a intensitåÆii

curentului principal este: RUI =min .

Curba de rezonanÆå are aspectul din fig. 5.60.

d) La rezonanÆå: LCUII rezCrezL ==

Raportul: QCL

RII

rezL==

1 reprezintå factorul de calitate al circuitului.

Dacå Q > 1, intensitåÆile curenÆilor în elementele reactive pot atinge valori mari,superioare curentului din ramura principalå, ceea ce poate prejudicia elementelerespective de circuit.

e) Puterea activå pentru orice frecvenÆå: R

UI

IUIUIP R

2 cos =⋅=ϕ⋅=

depinde numai de rezistenÆa circuitului.

Puterea aparentå depinde de frecvenÆå: 2

22 11

ω−ω+==

CL

RUUIS

La rezonanÆå ea devine minimå: R

UIUS2

minmin =⋅= , egalå cu puterea activå.

Temå. TrataÆi aceleaçi chestiuni utilizând formalismul complex!

Fig. 5.59

Fig. 5.60


Notå documentaråTeorema transferului optim de putere în curent alternativ

Dorim så determinåm valoarea impedanÆeisarcinii, SZ , pentru care un generator de t.e.m.E çi impedanÆå internå iii jXRZ += transferåacestei sarcini o putere activå maximå. Altfel spus,vrem så stabilim condiÆiile de adaptare a sarciniila generator.

Puterea activå transferatå impedanÆei desarcinå SSS jXRZ += este datå de relaÆia:

( )22

2

iSSS

ZZERIRP =+

==

( ) ( )222

iSiS

S

XXRRR

E+++

=

Expresia are valoarea maximå în raport cureactanÆele dacå ( ) 02 =+ iS XX , adicå:

iS XX −=În acest caz, puterea transferatå sarcinii are

valoarea:

( )22

iS

SXX

RR

REP

iS +==

çi este maximå pentru acea valoare a rezistenÆeide sarcinå pentru care derivata în raport cu

rezistenÆa de sarcinå, SR

Pdd , este egalå cu zero.

Fig. 5.61

( )( )

022

dd

4

2

=+

+−++=iS

iSSiiSS

S RR

RRRRRRRRP

de unde rezultå Ri2 = RS

2 respectiv Ri = RS.RelaÆiile deduse mai sus sunt echivalente cu

*iS ZZ = sau iS ZZ = çi iS ϕ−=ϕ .

Se poate afirma cå puterea activå transmisåde un generator unui circuit receptor este maximåatunci când impedanÆa complexå echivalentå areceptorului este egalå cu complex conjugataimpedanÆei interne complexe a generatorului.Acesta este enunÆul teoremei transferului maximde putere.

Se observå cå în cazul în care relaÆia deadaptare ( )*

iS ZZ = este îndeplinitå, putereaactivå transmiså este:

iREP4

2

max =

în timp ce puterea activå produså de generatoreste:

( ) max

22 2

2P

REIRRP

iSi ==+=

astfel încât în cazul transferului maxim de putererandamentul este:

5,0max ==ηP

P

Aceastå valoare este mult sub necesitåÆiletransmisiei eficiente de energie. În electro-energeticå, unde se lucreazå cu randamente câtmai mari çi unde în general Ri << RS, suntemdeparte de condiÆia de adaptare.

În radioelectronicå, unde intereseazå, în ge-neral, så se obÆinå de la generator maximum deputere activå, se cautå så se lucreze în condiÆiicât mai apropiate de condiÆia de adaptare.


Test sumativCircuite de curent alternativ

1. InductanÆa unei bobine cu rezistenÆa R = 20 Ω, alimentatå la tensiune alternativå cu frecvenÆade 100 Hz, defazatå înaintea intensitåÆii curentului cu

6π=ϕ , este:

a) 38 mH; b) 1 H; c) 18,37 mH; d) 10 mH; e) 25,34 mH.

2. Factorul de putere al unui circuit RC serie este cos ϕS = 0,6.Factorul de putere al circuitului paralel RC compus dinaceleaçi elemente este:

a) 38 ; b)

21

; c) 32

; d) 23

; e) 25

.

3. Valoarea frecvenÆei unui curent alternativ care stråbateun circuit serie RLC având R = 1 kΩ, L = 0,4 H çi C = 0,2µF, astfel încât puterea activå este egalå cu putereareactivå, este egalå cu:a) 1,2 kHz; b) 50 Hz; c) 10 Hz; d) 796 Hz; e) 400 Hz.

4. În circuitul electric din fig. 5.62, capacitatea condensa-torului pentru care intensitatea curentului total este înfazå cu tensiunea la bornele circuitului este egalå cu:

a) L

Rω

2; b)

R

22L ω ; c) R+ωL ;

d) R

LR 222 ω+ ; e) 222 LR

Lω+

.

5. În circuitul din fig. 5.63 se cunosc U = 60 V, R1 = 8 Ω,L = 19,1 mH, R2 = 50 Ω, C = 31 µF çi υ = 50 Hz. Care estevaloarea efectivå a intensitåÆii curentului prin surså?a) 6,14 A; b) 2 A; c) 3,14 A; d) 4,5 A; e) 8 A.

6. În circuitul din fig. 5.64, pulsaÆia c.a. are valoarea:

LC1=ω , L = 1 H, U = 100 V, C = 1 µF. Intensitatea

efectivå a curentului prin rezistor este:a) 0,1 A; b) 1 A; c) 100 A; d) ∞; e) 0,01 A.

Oficiu

Total

Fig. 5.62

Fig. 5.63

Fig. 5.64

Råspunsuri:1. c; 2. a; 3. d; 4. e; 5. a; 6. d.

1 p

1 p

1 p

1 p

2 p

2 p

2 p

10 p


5.6. Câmpul electromagnetic

Problema legåturii dintre electricitate çi magnetism i-a preocupatpe fizicienii secolului al XIX-lea. Experimentele lui Oerstedt çi Ampèredovedeau apariÆia unui câmp magnetic în vecinåtatea unui conductorparcurs de un curent electric. Ampère considera încå din 1819 cåtoate fenomenele magnetice sunt efecte pur electrice. Chiarmagnetismul terestru s-ar datora unor curenÆi în interiorul globuluipåmântesc. A råmas celebrå în epocå „foiÆa lui Ampère“, adicå spiraconductoare parcurså de curent care se comportå ca un magnet extremde subÆire, având polul nord pe una dintre feÆe çi sudul pe cealaltå(fig. 5.65).

În 1831, dupå o multitudine de experimente urmårite cutenacitate, Michael Faraday descoperå fenomenul de inducÆieelectromagneticå, ce constå în generarea unei tensiuni electromotoarela bornele unui circuit intersectat de un flux magnetic variabil. Dacåcircuitul era închis, prin el trecea un curent electric indus (fig. 5.66).

În 1865, fizicianul scoÆian Clark Maxwell (1831-1879), fig. 5.67,publicå celebra teorie a câmpului electromagnetic çi a undelorelectromagnetice luminoase, care demonstra identitatea celor douåforme de energie: luminoaså çi electromagneticå.

Teoria sa a revoluÆionat fizica, deçi se baza pe un suport fals:presupunerea cå aceste unde au nevoie pentru a se propaga de unmediu elastic cu proprietåÆi stranii, pe care fizicienii îl numeau „eter“.Cu toate cå teoria „eterului“ a fost abandonatå de mult, ecuaÆiile luiMaxwell, ce descriu complet câmpul electromagnetic, au råmas odescoperire teoreticå de prim rang.

În 1888, Herz pune în evidenÆå propagarea unui câmp electric înspaÆiu cu proprietåÆi analoage undelor luminoase, verificând astfelteoria lui Maxwell.

Mai mult încå, el face ca undele electrice så interfere, determinåventre çi noduri çi måsoarå lungimea lor de undå. Calculând apoiviteza lor de propagare, constatå cu stupoare cå este egalå cu vitezaluminii!

Câmpul electromagnetic este caracterizat, într-un punct al spaÆiului,prin suprapunerea unui câmp electric çi a unui câmp magnetic variabile în timp, care secondiÆioneazå çi se genereazå reciproc. În fiecare punct al câmpului, asupra corpurilor încårcatesau polarizate electric, a celor polarizate magnetic (de exemplu, ace magnetice sau magneÆipermanenÆi) sau prin care circulå curent electric, acÆioneazå forÆe çi cupluri de forÆe deter-minate de valorile momentane ale componentei electrice E çi a celei magnetice B .

Câmpul electromagnetic este descris complet, într-un punct al spaÆiului, de ecuaÆiile luiMaxwell. Acestea sunt scrise pentru câmpuri în vid, în prezenÆa unei densitåÆi de sarcinå çia unui curent de conducÆie. Prima ecuaÆie o constituie legea inducÆiei a lui Faraday, carearatå cå un câmp magnetic variabil în timp genereazå un câmp electric a cårui variaÆie localåeste proporÆionalå cu viteza de variaÆie a câmpului magnetic çi de sens opus ei.

A doua ecuaÆie a lui Maxwell exprimå dependenÆa câmpului magnetic de viteza devariaÆie a câmpului electric çi de curentul de conducÆie sau de viteza de deplasare a uneisarcini electrice în miçcare.

A treia ecuaÆie a lui Maxwell este echivalentå legii lui Coulumb. În fine, a patra ecuaÆieexprimå faptul cå nu existå „surse“ de câmp magnetic analoage sarcinilor electrice (surseale câmpului electric), singurele „surse“ de câmp magnetic fiind curenÆii electrici.

Un exemplu de generare reciprocå a câmpurilor electric çi magnetic îl constituie circuitul

Fig. 5.65

Fig. 5.66

Fig. 5.67


oscilant LC. Acesta este sediul unor oscilaÆii simultane (întreÆinute) de curent çi tensiune.VariaÆia sinusoidalå a tensiunii la bornele condensatorului:

( ) tUtu m ω= sin (1)

este datoratå unei variaÆii de aceeaçi formå a câmpului elec-tric, presupus uniform çi omogen în fiecare moment, dintrearmåturile condensatorului (fig. 5.68).

tEtE m ω= sin)( (2)unde Em reprezintå amplitudinea oscilaÆiilor câmpului electric.

dU

E mm = (3)

când condensatorul este plan çi d reprezintå distanÆa dintrearmåturile sale.

VariaÆia în timp a câmpului electric genereazå un curent deconducÆie prin circuit a cårui intensitate este proporÆionalå cu viteza de variaÆie a sarcinii çiimplicit a câmpului electric:

( )tE

tu

tq

tidd~

dd~

dd= (4)

Curentul generat, de asemenea sinusoidal:

( ) tIti m ω= cos (5)

parcurge spirele bobinei ideale L generând în interiorul acesteia un câmp magnetic omogençi uniform în fiecare moment de timp.

( ) ( ) tBtilNtB m ω⋅=µ= cos (6)

Putem spune cå variaÆiile câmpului electric au condus în acest circuit la apariÆia unuicâmp magnetic variabil.

Dar çi reciproca este valabilå. ApariÆia la nivelul bobinei a unui câmp magnetic variabil dånaçtere unui flux propriu variabil în timp, ceea ce produce fenomenul de autoinducÆie,adicå generarea unei t.e.m. la bornele bobinei:

tiL

tea d

ddd −=Φ−= (7)

proporÆionalå cu viteza de variaÆie a câmpului magnetic:

tBea d

d~ − (8)

Aceastå tensiune, aplicatå la bornele condensatorului, genereazå între armåturile acestuiaun câmp electric a cårui intensitate:

( )de

du

tE aC −== ~tB

dd (9)

este proporÆionalå cu viteza de variaÆie a câmpului magnetic.Circuitul oscilant LC este sediul unui câmp electromagnetic ale cårui componente, electricå

E çi magneticå B , variabile în timp, nu pot fi concepute separat, cåci se condiÆioneazå çi segenereazå reciproc.

Din punct de vedere energetic, existenÆa câmpului electromagnetic este determinatå înacest caz de un transfer continuu de energie electricå dinspre condensator spre bobinå çi deenergie magneticå dinspre bobinå spre condensator, astfel încât energia totalå a câmpuluielectromagnetic så se conserve:

( ) ( ) ( ) ( ) .22

22

consttLiCtqtWtWW mgel =+=+= (10)

Fig. 5.68


Så consideråm un circuit oscilant constituit din elemente ideale: condensator plan cu vidçi bobinå idealå fårå miez, în care câmpurile se considerå omogene çi uniforme çi concen-trate în interiorul acestora.

Energia câmpului electric variabil în timp dintre armåturile condensatorului se mai scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V

tEdS

tEdtE

dStu

CCtq

tWel ⋅ε

=⋅⋅ε

=⋅⋅ε

=⋅==22222

20

20220

22

unde V reprezintå volumul ocupat de liniile de câmp.Densitatea de energie a acestuia va fi:

wel ( )

2

20 tE

VWel ε== (11)

În mod analog, energia câmpului magnetic cu sediul în interiorul bobinei ideale cu Nspire, lungimea l çi aria unei spire S, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VtBlSl

tiNti

lSNtLitWmg ⋅

µ=

µ⋅⋅µ=µ==

0

2

02

2202

2

0

2

2222unde V = S ⋅ l reprezintå volumul bobinei.

Astfel, densitatea de energie magneticå devine:

wmg ( )0

2

2µ= tB

(12)

Densitatea totalå de energie a câmpului electromagnetic din circuitul oscilant LC va fi:

( ) ( )

µ

+ε=+= tBtEWWW mgel2

0

20

121 (13)

Rezultatele (12) çi (13) se generalizeazå pentru orice punct din spaÆiu în care existå uncâmp electric, respectiv magnetic variabile.

În punctul în care existå un câmp electromagnetic, densitatea de energie totalå areexpresia (13).

VeÆi remarca, drept consecinÆå a legii de conservare (10), cå amplitudinile densitåÆilorde energie sunt egale. Deci:

2

0

20 2

121

mm BEµ

=ε (14)

De aici relaÆia între amplitudinile celor douå componente ale câmpului electromagneticoscilant:

00µε= m

mB

E (15)

VeÆi fi poate surprinçi când veÆi calcula coeficientul de proporÆionalitate; acesta estetocmai viteza de propagare a luminii în vid:

skm000 3001

00≈=

µεc (16)

Deci, componenta magneticå a câmpului este de c ori mai micå decât cea electricå:

cE

B mm = (17)

Dar de existenÆa ei depinde apariÆia componentei electrice în orice punct al spaÆiuluiunde existå un câmp electromagnetic.

ω ω ω


5.7. Propagarea câmpului electromagnetic

În paragraful precedent ne-am ocupat deenergia câmpului electromagnetic concentratîntr-un circuit oscilant LC.

Pentru a transmite energie în spaÆiu estenevoie de un circuit oscilant deschis, astfel încâtliniile de câmp så se întindå în spaÆiulînconjuråtor. ImaginaÆi-vå cå armåturilecondensatorului s-ar îndepårta progresiv una decealaltå; liniile câmpului electric ar cåpåta odispersie spaÆialå din ce în ce mai mare. Dacåsimultan firul conductor din care sunt confec-Æionate înfåçurårile bobinei ar fi întins, liniilecâmpului magnetic s-ar distribui într-o regiune aspaÆiului din ce în ce mai mare (fig. 5.69).

În fiecare punct P al spaÆiului înconjuråtor, câmpul electromagnetic s-ar caracteriza prin

componentele sale ( )tE çi ( )tB variabile în timp çi perpendiculare una pe cealaltå.InductanÆa proprie L çi capacitatea C ale circuitului oscilant deschis sunt distribuite pe

toatå lungimea firului conductor.Un cablu coaxial alcåtuit dintr-un fir conductor

central çi un conductor cilindric dispus coaxial înjurul firului (fig. 5.70) permit transmiterea în spaÆiua energiei electromagnetice, cu o vitezå finitå.

Vom presupune cå acest cablu este infinit lungçi elementele sale au rezistenÆå nulå. Între capetelecelor doi conductori ce constituie cablul se instaleazåun generator de semnal sinusoidal (de frecvenÆåde ordinul a câtorva sute de MHz). Cablul coaxial

devine sediul propagårii unei unde de tensiune çi simultan a unei unde de curent sinusoidale,progresive.

La nivelul unui punct situat la distanÆa x de generator între cele douå elemente alecablului existå tensiunea

( )

⋅

−π=Tc

xTtUtxU m 2 sin, (1)

çi circulå curentul de intensitate:

( )

⋅

−π=Tc

xTtItxi m 2 sin, (2)

Viteza de propagare a acestor unde este egalå cu viteza de propagare a luminii, c, iarlungimea lor de undå are valoarea:

=⋅=λ Tcυc (3)

La nivelul fiecårei secÆiuni a cablului am reprezentat (fig. 5.71) liniilecâmpurilor electric (radiale) çi magnetic (circulare) la un moment dat.

Dacå linia de transmisie constituitå din cablul coaxial se terminå printr-un obstacol (de exemplu un contact metalic între elemente sau un izolator),în linie iau naçtere unde staÆionare de curent çi tensiune çi respectivunde electromagnetice staÆionare, caracterizate prin ventre çi noduri(fig. 5.72).

Fig. 5.69

Fig. 5.70

Fig. 5.71


Unui ventru al intensitåÆii câmpului electric(ce corespunde unui ventru pentru tensiuneadintre conductori) îi corespunde un nod pentruinducÆia magneticå (determinat de apariÆia unuinod al intensitåÆii curentului pe linie).

DistanÆa dintre douå noduri consecutive saudouå ventre consecutive reprezintå jumåtatedin lungimea de undå.

Pentru ca linia de transmisie electromag-neticå (în speÆå cablul coaxial) så permitåenergiei så treacå în spaÆiul exterior, adicå såfie radiatå çi så genereze o undå progresivå înspaÆiul liber, ea se terminå cu doi conductoridispuçi ca în fig. 5.73. Aceçtia constituie o antenådipol electric. DiferenÆa de potenÆial dintre ceidoi conductori variazå sinusoidal dupå cumunda ajunge la ei, efectul fiind cel al unui dipolelectric al cårui moment dipolar p variazå întimp. Liniile componentei electrice E acâmpului electromagnetic formeazå contururiînchise ce se îndepårteazå de dipol cu viteza c.Simultan se genereazå un câmp magnetic culinii de câmp închise ce se propagå cu aceeaçivitezå. Aceste câmpuri formeazå radiaÆiaelectromagneticå.

Dacå lungimea l a dipolului este astfel calculatå încât pentru frecvenÆa de oscilaÆie respectivåså formeze un „fus“ al undelor staÆionare de curent çi tensiune (respectiv electromagnetice),puterea radiantå a dipolului creçte. O astfel de antenå se numeçte semiundå:

2λ=l (4)

Undele electromagnetice se propagå în vid (mediul intragalactic) fårå un suport mate-rial, ci doar prin transmiterea energiei de tip electromagnetic. În atmosfera terestrå (aer),cu excepÆia ionosferei, undele electromagnetice se propagå cu aceeaçi vitezå ca çi în vid.

Putem dovedi acest fapt efectuând urmåtorul experiment:

ExperimentUn ecran reflectåtor metalic E este açezat în faÆa antenei unui generator de microunde

(cu frecvenÆa de ordinul 109 Hz – fig. 5.74.a). Pe direcÆia generator-ecran se plaseazå undipol detector al componentei magnetice a câmpului (fig. 5.74.b). VibraÆiile componenteimagnetice B induc în bucla (L) un curent ce este detectat de dioda D, apoi amplificat çi cititpe ecranul unui miliampermetru (fig. 5.75).

În urma reflexieiundei pe ecranul metalicE se formeazå unde sta-Æionare. Prin deplasareadetectorului pe direcÆiagenerator-ecran se obser-vå succesiv noduri çi ven-tre ale inducÆiei magne-tice traduse prin minimeçi maxime ale intensitåÆiicurentului detectat.

Fig. 5.72

Fig. 5.73

Fig. 5.74

b)a)


Se verificå echidistanÆa nodurilor çi cea a ventrelor consecutive prin måsuråtoripe bancul gradat. Pentru frecvenÆa υ = 1500 MHz a generatorului, am gåsit cåventrele sunt situate la distanÆa medie d = 10 cm unul de celålalt.

Deducem de aici lungimea de undå în vid: λ = 2d = 20 cm.În consecinÆå, viteza de propagare a undelor electromagnetice este în aer (vid):

c = λ · υ 86 H 103Hz 101500m 2,0 ⋅=⋅⋅= m · s–1 = 300 000 km · s–1.

5.8. Unda electromagneticå planå

Un circuit oscilant LC în care au loc oscilaÆii electromag-

netice cu frecvenÆa proprie υ0 2

1LCπ

= çi cåruia i se

ataçeazå o antenå dipol ce radiazå în spaÆiu energiacâmpului electromagnetic constituie sursa unei undeelectromagnetice sferice. Viteza de propagare a undei esteaceeaçi în toate direcÆiile, dacå mediul este vidul sau unmediu material omogen transparent pentru frecvenÆarespectivå (fig. 5.76).

În orice mediu omogen dielectric transparent, vitezade propagare v este mai micå decât în vid (v < c). Raportulsupraunitar:

nvc = (1)

defineçte indicele de refracÆie al mediului respectiv.Dacå indicele de refracÆie al mediului depinde de frecvenÆa undei, mediul se numeçte

dispersiv.Teoria lui Maxwell aratå cå într-un mediu dielectric omogen viteza de propagare a undei

electromagnetice este datå de relaÆia:

εµ= 1v (2)

unde ε este permitivitatea dielectricå, iar µ – permeabilitatea magneticå a mediului.

Cum 0ε⋅ε=ε r çi 0µ⋅µ=µ r , relaÆia (2) devine:

rrrr

cvµε

=µεµε

=00

1 (3)

Rezultå pentru indicele de refracÆie al mediului:

rrn µε= (4)

Deoarece pentru majoritatea dielectricilor 1≅µr , indicele de refracÆie devine:

rn ε≅ (5)

Fig. 5.75

Fig. 5.76


ObservaÆii1. Undele electromagnetice nu se pot propaga într-un mediu conductor, deoarece

câmpul E genereazå curenÆi prin care energia undei este disipatå. Când o undåelectromagneticå atinge suprafaÆa unui conductor ideal, este total reflectatå (câmpulelectric în interior este nul).

2. În timpul propagårii undei electromagneticesferice, fluxul energetic transferat prin unitatea de arieîn unitatea de timp scade cu påtratul distanÆei r pânå lasurså. RemarcaÆi cå dacå distanÆa se dubleazå, fluxulenergetic scade la sfert, deoarece energia transferatåde undå se repartizeazå unei arii de 4 ori mai mari (fig.5.77). Rezultå cå amplitudinea undei electromagneticesferice scade cu distanÆa r pânå la surså:

( )r

ErE m

m0= , ( )

rB

rB m0=

unde Em0, Bm0 sunt amplitudinile câmpului la nivelul sursei.

La distanÆe mari de surså çi pentru regiuni limitate din suprafeÆele de undå, acestea potfi aproximate cu porÆiuni de plane paralele, perpendiculare pe direcÆia de propagare. Putem

vorbi astfel de o undå electromagneticå planå. În mod ideal,la nivelul oricårui front de undå plan, amplitudineacomponentei electrice çi respectiv magnetice a câmpuluisunt aceleaçi.

Undele electromagnetice sunt unde transversale; înfiecare punct al mediului, atât componenta electricå E ,

cât çi cea magneticå B ale câmpului electromagnetic suntperpendiculare pe direcÆia de propagare çi totodatåperpendiculare una pe cealaltå. Triedrul B E, v, este di-

rect (ca çi kji , , – versorii axelor).Fie Ox una dintre direcÆiile de propagare a unei unde

electromagnetice plane. Fronturile de undå plane vor fiparalele cu planul yOz (fig. 5.79).

Vectorii câmp electric E çi magnetic B oscileazå înfazå, în lungul axelor Oy çi respectiv Oz.

Presupunem cå la momentul t, oscilaÆia electro-magneticå la nivelul frontului de undå x = 0 (în originea Oa axelor), este de forma:

( )( )

ω=ω=

tBtBtEtE

m

m

sin sin

(6)

unde ω = 2πυ este pulsaÆia sursei.Unda electromagneticå planå în punctul P de absciså x va fi, la acelaçi moment de timp

t, defazatå cu:

Tτπ=ϕ 2 (7)

unde: vx=τ (8)

este intervalul de timp necesar propagårii undei de la O pânå la P, iar T – perioada oscilaÆieielectromagnetice.

Fig. 5.77

Fig. 5.78

Fig. 5.79


Componentele câmpului în punctul P(x) sunt:

( )

π−ω=vTxtEtxE m 2sin,

( )

π−ω=

vTxtBtxB m 2sin, (9)

Definind lungimea de undå a undei respective prin relaÆia:

λ = vT (10)

çi înlocuind în (9) obÆinem:

( )

( )

λ

−π=

λ

−π=

xTtBtxB

xTtEtxE

m

m

2 sin,

2 sin,(11)

RelaÆiile (11) constituie ecuaÆiile undei electromagnetice plane de frecvenÆå υ = 1/T ce sepropagå dupå direcÆia Ox într-un mediu omogen çi izotrop.

RemarcaÆi dubla perio-dicitate în timp çi în spaÆiu aundei, ilustrate în fig. 5.80çi respectiv 5.81.

Un observator fix situatpe direcÆia de propagarepoate detecta variaÆii sinu-soidale în timp ale intensi-tåÆilor componentei electriceçi respectiv magnetice, cu

perioada: =Tυ1 , unde υ –

frecvenÆa generatorului deoscilaÆii electromagnetice.

O „fotografie“ a mediu-lui de propagare la un mo-ment de timp dat pune înevidenÆå faptul cå în puncteseparate printr-o distanÆåegalå cu lungimea de undåsau un multiplu întreg allungimii de undå (λ),oscilaÆiile câmpului electro-magnetic sunt în fazå.

Spre exemplu: E (xA) = E (xD) çi

B (xA) = B (xD) (12)dacå ∆x = xD – xA = kλ, k ∈ N (13)

Într-adevår, defazajul kx π=λ

∆π=ϕ∆ 22 , k ∈ N (14) este fie nul, fie multiplu întreg

de 2π, ceea ce implicå egalitåÆile (12).

Fig. 5.80

Fig. 5.81

x = fixat

+=ϕ+ω=+=ϕ+ω=

)()sin()()()sin()(

kTtBtBtBkTtEtEtE

m

m , k ∈ NNNNN

t = fixat

λ+=

Φ+

λπ=

λ+=

Φ+

λπ=

)(2sin)(

)(2sin)(

kxBxBxB

kxExExE

m

m , k ∈ N

ϕ

ϕ


Clasificarea undelor electromagnetice

Criteriul unic de clasificare a undelor electromagnetice este cel al frecvenÆei acestora,respectiv al lungimii lor de undå. Pe måsurå ce frecvenÆa undei este mai înaltå, lungimea ei

de undå este mai micå:υ

=λ c .

În fig. 5.82 aveÆi redatå schematic oclasificare a radiaÆiilor electromagnetice pedomenii de frecvenÆe (lungimi de undå).

Undele cu frecvenÆele cuprinse întreaprox. 103 Hz çi aprox. 1012 Hz poartånumele de unde hertziene (unde radio) çiservesc la transmiterea informaÆiilor prinradio çi TV. Dupå lungimile lor de undå, sunt:unde lungi L (λ ~ 1 km), medii M (λ ~ 100 m),scurte S (λ ~ 1 m), ultrascurte US (λ ~ 1 dm)çi microundele (λ ~ 1 cm ÷ 1 mm).

Undele radio, care se propagå în liniedreaptå, sunt reflectate de ionosferå (70-80 kmaltitudine).

Reflexia undelor radio de påturile de ioni depinde deuniformitatea densitåÆii acestora. Orice creçtere a activitåÆiisolare produce o avalançå de particule ionizante, ceea ce con-duce la perturbåri ale comunicaÆiilor prin unde radio. Cablurilesuboceanice çi sateliÆii de telecomunicaÆii (radio çi TV) reuçescaståzi så înlåture acest neajuns (fig. 5.83).

În ordinea crescåtoare a frecvenÆei urmeazå undeleinfraroçii, cu frecvenÆe cuprinse între aprox. 1011 çi 1014 Hz(respectiv cu lungimi de undå mai mari de 7600 Å, pânå laaproximativ 300 µ). Acestea sunt radiaÆiile electromagneticeemise de corpurile aflate la temperaturi obiçnuite. Lungimile

lor de undå sunt invers proporÆionale cu temperatura lor. De aceea, prin utilizarea unuispectrometru în infraroçu, care determinå lungimile de undå ale radiaÆiilor emise, se poateafla temperatura unor surse (în meteorologie).

În jurul frecvenÆei de 1014 Hz , într-un domeniu extrem de îngust (400 nm < λ < 700 nm)se situeazå radiaÆiile vizibile (domeniul optic sau lumina). Diferitele frecvenÆe (lungimi deundå) din acest domeniu sunt percepute de ochiul uman ca fiind diferit colorate (de la roçu laviolet), iar strålucirea culorii depinde de energia transportatå de unda electromagneticå.

Domeniul imediat urmåtor în ordinea crescåtoare a frecvenÆelor (1015 Hz ÷ 1017 Hz)corespunde radiaÆiilor ultraviolete. RadiaÆii ultraviolete emit Soarele sau substanÆele gazoaseaflate la temperaturi foarte înalte sau în care se produc descårcåri electrice sub tensiuni înalte.

Ele au proprietatea de a produce disocierea unor molecule, ca de exemplu disociereaoxigenului, având drept urmare formarea ozonului. Stratul de ozon ce înconjoarå atmosferala înålÆimea de cca. 30 km absoarbe puternic radiaÆiile ultraviolete. Cantitatea de radiaÆiiultraviolete care atinge suprafaÆa Påmântului are drept efect bronzarea din timpul verii.

Dincolo de domeniul ultraviolet se întinde domeniul radiaÆiilor X (Roentgen) cu frecvenÆede ordinul 1017 Hz ÷ 1019 Hz çi respectiv cu lungimi de undå cuprinse între 1 Å ÷ 100 Å.Este binecunoscutå puterea lor mare de påtrundere prin diferite substanÆe, ceea ce poateda indicaÆii asupra naturii acestora. Sunt utilizate în investigarea proprietåÆilor cristalelor,în defectoscopie (detectarea defectelor de structurå ale unor materiale) çi în biologie çimedicinå (radiografii, radioscopii).

În fine, radiaÆiile cu frecvenÆe mai mari de 1020 Hz (lungimi de undå sub 1 Å) sunt numiteradiÆii γ. Ele însoÆesc tranziÆiile nucleelor atomice de pe un nivel superior pe unul inferior deenergie sau frânarea unor particule rapide, încårcate electric, la trecerea printr-o substanÆå. Deasemenea apar ca urmare a proceselor de dezintegrare radioactivå a unor nuclee. Sunt puternicabsorbite çi atenuate de substanÆele prin care trec. În cantitate mare sunt nocive fiinÆelor vii.

Fig. 5.82

Fig. 5.83


ExerciÆii çi probleme propuse1. CalculaÆi lungimea de undå pe care emite un radioemiÆåtor dacå generatorul este un circuit

oscilant cu inductanÆa proprie L = 1,5 mH çi capacitatea C = 450 pF.

2. CalculaÆi viteza de propagare a undelor electromagnetice în sticlå, dacå pentru acest materialεr = 7, iar µr = 1.

3. O linie bifilarå, cuplatå inductiv cu un generator de oscilaÆii electromagnetice, este cufundatåîn alcool. CalculaÆi frecvenÆa generatorului dacå distanÆa dintre douå noduri consecutive aleundei staÆionare este 0,5 m, iar valorile relative ale permitivitåÆii dielectrice çi respectivpermeabilitåÆii magnetice ale spirtului sunt 26 çi 1.

4. În ce condiÆii o particulå încårcatå radiazå o undå electromagneticå, dacå se miçcå cu vitezå constantå?

5. Conform teoriei lui Maxwell, o particulå încårcatå electric ce se miçcå accelerat radiazå undeelectromagnetice. Se pot genera unde electromagnetice la trecerea unui curent electric continuuprintr-un conductor circular (spirå)? De ce?

6. Teoria maxwellianå aratå cå dacå o particulå încårcatå efectueazå o miçcare armonicå cufrecvenÆa υ, ea creazå un câmp electromagnetic ce radiazå în spaÆiu ca undå, cu lungimea de

undå υ

=λ c .

a) Într-un radioemiÆåtor sarcinile efectueazå miçcåri armonice în antenå. Pe ce frecvenÆåemite acesta dacå lungimea dipolului antenei este de 5 cm?

b) Pentru a explica emisia undelor electromagnetice de frecvenÆe înalte se poate recurge lamodelul atomic al lui Rutherford (planetar). CalculaÆi frecvenÆa miçcårii electronului înatomul de hidrogen çi apreciaÆi lungimea de undå a radiaÆiei emise. Cårui domeniu dinspectru îi corespunde aceasta? Se cunoaçte r = 0,53 Å raza orbitei electronului.

7. Circuitul oscilant al unui generator de unde radio posedå un condensator de capacitateC = 500 pF çi o bobinå a cårei inductanÆå variazå între 0,5 mH çi 1,5 mH.CalculaÆi domeniul lungimilor de undå în care poate emite circuitul.

8. DirecÆia de propagare a unei unde electromagnetice plane sinusoidale cu frecvenÆa 300 MHzeste perpendicularå pe o suprafaÆå metalicå planå ce constituie o „oglindå reflectåtoare“.CalculaÆi poziÆiile nodurilor çi ventrelor componentei: a) electrice; b) magnetice; a undeielectromagnetice faÆå de placa metalicå.

9. În fig. 5.84 este reprezentat câmpul electric alunei unde plane sinusoidale la momentul t = 0,ce se propagå în lungul axei Oz, în vid. ScrieÆiecuaÆia undei electromagnetice plane.

10. Douå unde electromagnetice plane coliniare, deaceeaçi frecvenÆå çi având aceeaçi orientare acomponentelor electrice:

ϕ+

−ω 110sin c

ztE çi respectiv

ϕ+

−ω 220sin c

ztE se suprapun.

CalculaÆi amplitudinea intensitåÆii câmpului electric al undei rezultante çi faza acesteia.11.* Un receptor de semnale radio care urmåreçte apariÆia unui satelit al Påmântului la orizont

este situat pe malul unui lac la înålÆimea H = 3 m deasupra nivelului apei. Pe måsurå cesatelitul se ridicå deasupra orizontului, se înregistreazå variaÆii periodice ale intensitåÆiisemnalului recepÆionat. CalculaÆi frecvenÆa radiosemnalului emis de satelit dacå pentruunghiurile α1 = 3° çi α2 = 6° la care s-a ridicat satelitul deasupra orizontului s-au înregistratdouå maxime succesive ale intensitåÆii. SuprafaÆa lacului se considerå „oglindå“ perfectreflectåtoare pentru unda electromagneticå.

Fig. 5.84


*5.9. Emisia çi recepÆia

Pentru a construi un sistem de emisie-recepÆie sunt necesare douå sisteme electronicedistincte.

RadioemiÆåtorul este instalaÆia electronicå ce produce unde electromagnetice folosite înradiocomunicaÆii. Are în componenÆa sa un bloc oscilator de radiofrecvenÆå care trebuie såîndeplineascå urmåtoarele caracteristici:

– gama frecvenÆelor generate så fie cuprinså în domeniul utilizat (ex. 150 kHz – 30 MHz);– posibilitatea de variaÆie a frecvenÆei, gama frecvenÆelor putând fi împårÆitå în subgame;– posibilitatea de a modula amplitudinea sau frecvenÆa semnalului de radiofrecvenÆå

cu ajutorul unui semnal de audiofrecvenÆå (MA sau MF);– posibilitatea reglårii nivelului de ieçire (pe antenå) de la câÆiva microvolÆi la sute de

milivolÆi sau mult mai mult, în funcÆie de necesitåÆi;– precizia scårii de frecvenÆå çi stabilitatea frecvenÆei så fie cât mai mari (de ordinul

10–3 ÷ 10–4).ModulaÆia reprezintå modificarea uneia dintre cele douå caracteristici ale semnalului de

înaltå frecvenÆå (semnalul purtåtor al informaÆiei ce dorim så o transmitem) – amplitudineasau frecvenÆa, în conformitate cu forma curentului de joaså frecvenÆå (semnalul modulatorpreluat spre exemplu de la un microfon).

În cazul modulaÆiei în amplitudine, frecvenÆa curentului care produce undeleelectromagnetice în antenå råmâne constantå çi variazå doar amplitudinea acestuia, înfuncÆie de forma çi caracterul semnalului de modulaÆie (ex. voce, muzicå, impulsuri etc.).

În cazul modulaÆiei în frecvenÆå, amplitudinea curentului de înaltå frecvenÆå råmâneconstantå, variind doar frecvenÆa acestuia într-un interval dat, în jurul unei valori medii.ModulaÆia de frecvenÆå a fost descoperitå încå din 1920, dar a fost folositå practic abia înjurul anilor 1935-1940, când s-a dezvoltat tehnica undelor ultrascurte.

În prezent, în tehnica radiotelecomunicaÆiilor, radiodifuziunii çi televiziunii, alåturi demodulaÆia în amplitudine (MA) se utilizeazå modulaÆia de frecvenÆå (MF) çi modulaÆia defazå (MFz – oscilaÆiile modulate în frecvenÆå sunt în avans de fazå sau în urma semnaluluipurtåtor, în corelaÆie cu semnalul modulator). ModulaÆia de fazå este simultan çi o modulaÆiede frecvenÆå.

EmiÆåtorul trebuie så asigure producerea unui c.a. de înaltå frecvenÆå, pe care så-ltransmitå în antenå. Datoritå prezenÆei acestui curent, în jurul antenei apare un câmpelectromagnetic (undå electromagneticå) ce variazå cu mare vitezå concomitent cu variaÆiilecurentului din antenå. În drumul lor, undele ajung la antena receptorului. Aici, câmpulelectromagnetic ce trebuie recepÆionat este identic cu cel de la antena emiÆåtorului, dar multmai slab (de milioane de ori mai slab), în funcÆie de distanÆa dintre cele douå antene.

Asupra antenei receptorului acÆioneazå simultan o mulÆime de unde electromagnetice,de la diverse emiÆåtoare radio care funcÆioneazå concomitent, precum çi diverse undeelectromagnetice create de fenomenele electrice din atmosferå (provenite de la Soare,stele, fulgere sau create de diverse instalaÆii electrice industriale sau casnice). Toate acesteaau diverse frecvenÆe çi intensitåÆi. Pentru ca din aceastå mulÆime de semnale deradiofrecvenÆå så se poatå separa numai semnalul dorit, receptorul trebuie så aibå o anumitå„selectivitate“, adicå så poatå selecta semnalele de radiofrecvenÆå ale unui singur emiÆåtor.

În cazul emisiunilor de radiodifuziune, când se transmite în fonie, emiÆåtorul emite unîntreg spectru de frecvenÆe. De aceea, receptoarele radio trebuie så aibå o asemeneaselectivitate, încât så recepÆioneze semnalele transmise într-o anumitå porÆiune de bandåde frecvenÆe; aceastå bandå de frecvenÆe poartå denumirea de „bandå de trecere“ sau purçi simplu „selectivitatea“ unui receptor çi se exprimå în Hz. În cazul radioreceptoarelor deradiodifuziune, banda de trecere trebuie så fie de 9 kHz, deoarece ecartul de frecvenÆå(intervalul de frecvenÆå) între douå emiÆåtoare este de 9 kHz.


RadiorecepÆiaÎn cazul în care antena receptoare este

relativ aproape de postul de emisie, curentulindus în aceasta poate avea o valoare relativmare çi nu necesitå o amplificare prealabilåpentru a fi folosit la reproducereasemnalului de radiofrecvenÆå transmis. Înacest caz se poate realiza cel mai simplureceptor radio, denumit radioreceptorul cusimplå detecÆie (fig. 5.85.a, b).

Schema conÆine un dispozitiv selectorformat dintr-o bobinå de inductanÆå L çiun condensator variabil Cv. Circuitul selec-tor se acordeazå cu ajutorul conden-satorului variabil Cv pe frecvenÆa emiÆå-torului, respectiv pe frecvenÆa postuluidorit. Dioda D detecteazå semnalul deradiofrecvenÆå preluat de pe o prizå abobinei L çi, dupå ce undele de înaltåfrecvenÆå sunt filtrate cu ajutorul conden-satorului C, semnalul obÆinut este aplicatcåçtilor radio sau unui difuzor.

Radioreceptorul cu amplificare directåAcest radioreceptor conÆine urmåtoarele blocuri componente: dispozitivul selector,

amplificatorul de înaltå frecvenÆå, etajul detector, amplificatorul de joaså frecvenÆå çi difuzorul(fig. 5.86.a, b).

Fig. 5.85

a) Schema bloc a radioreceptorului cu simplå detecÆie

b) Schema electricå a radioreceptorului cu simplå detecÆie

Fig. 5.86

a) Schema bloc a radioreceptorului cu amplificare directå

b) Schema electricå a radioreceptorului cu amplificare directå

D


L1-Cv1 – dispozitiv selector

T1 – amplificator de înaltå frecvenÆåL2-Cv2

– circuit oscilant acordat pe aceeaçi frecvenÆå ca çi L1-Cv1D – etaj detectorT2 – amplificator de joaså frecvenÆåAcest tip de receptor este mai sensibil decât receptorul cu simplå detecÆie, datoritå celor

douå etaje amplificatoare, çi mai selectiv, ca urmare a folosirii a douå circuite oscilante acordate.Pentru mårirea selectivitåÆii çi a calitåÆii audiÆiei se utilizeazå etaje suplimentare de

detecÆie, filtrare çi amplificare a semnalelor recepÆionate.În funcÆie de modul în care se realizeazå aceste funcÆii, existå o varietate largå de

scheme electronice, cele mai utilizate dintre acestea fiind de tipul superheterodinå.Principiul superheterodinei constå în translatarea frecvenÆelor recepÆionate la o valoare

fixå a frecvenÆei, numitå frecvenÆå intermediarå. Acest proces se realizeazå într-un etajspecial cu care este dotat radioreceptorul superheterodinå, numit schimbåtor de frecvenÆå.Astfel, pe baza acestui principiu, se înlåturå modificarea parametrilor radioreceptoarelor înfuncÆie de frecvenÆele ce se doreçte a fi recepÆionate.

*5.10. Astrofizica – o çtiinÆå nouåÎncå din antichitate, observarea astrelor a determinat oamenii så-çi punå întrebåri asupra

originii Universului. Dezvoltarea tehnicii a permis ca Universul så fie explorat din ce în cemai departe, så i se reconstituie istoria, pårând så dezvåluie tot mai multe aspecte privindoriginea sa. Prin folosirea unor tehnologii sofisticate (spectroscoape, radiotelescoape, camereCCD), astronomia a deschis un domeniu mult mai larg de cercetare – astrofizica.

Astrofizica s-a nåscut o datå cu descoperirea spectroscopiei, al cårei obiect de studiu îlconstituie descrierea çi explicarea proprietåÆilor fizice ale astrelor.

Metodele astrofizicii se bazeazå pe urmåtoarele:– Postulatul unitåÆii naturii, care constå în a considera cå legile descoperite în laboratoarele

terestre sunt adevårate pretutindeni în Univers çi cå råmân valabile în timp.– Aplicarea legilor fizicii interacÆiilor fundamentale: gravitaÆia, care guverneazå structura

generalå a Universului, interacÆia electromagneticå, interacÆia slabå çi interecÆia tare, careintervin în energia radiatå de stele.

Domeniile de investigare ale astrofizicii sunt numeroase çi variate; ele permit determi-narea distanÆelor, a traiectoriilor, a temperaturilor, compoziÆiilor chimice çi vârstei stelelor.

Universul constituie un vast laborator de studiere a legilor fizicii çi a consecinÆelor acestora.

Undele electromagnetice – mesageri ai stelelorFiecare radiaÆie electromagneticå este caracterizatå printr-o lungime de undå λ

asociatå fotonilor de energie hυ. RadiaÆiile electromagnetice nu se limiteazå la cele dinspectrul vizibil, ele se întind în domeniul lungimilor de undå cuprinse între câteva sutede metri (unde radio) çi 10–12 m (radiaÆiile γ). Mult timp, spectrul vizibil a fost singurulaccesibil pentru observaÆiile astronomice, atmosfera absorbind toate radiaÆiile, cuexcepÆia a douå ferestre: cea din vizibil çi cea din domeniul frecvenÆelor radio. AstronomiaspaÆialå se efectueazå azi deasupra atmosferei, permiÆând captarea practic a tuturorradiaÆiilor ansamblului spectrului electromagnetic çi îmbogåÆind considerabil cunoaçtereaUniversului.


Domenii de observaÆieDe la ultraviolet la infraroçu (0,4 µm < λ < 0,8 µm)Acest domeniu corespunde radiaÆiei vizibile sau invizibile apropiate, emiså de stele

masive çi calde çi de gazele incandescente interstelare. Analiza în spectru vizibil a luminiiprovenite de la stele permite cunoaçterea condiÆiilor fizice care existå în straturile externeale acestora, elementele chimice care sunt prezente acolo çi abundenÆa lor.

Stelele prezintå diferite culori, cåci temperaturile lor superficiale sunt diverse: Siriuseste albå, Vega albåstruie çi Antares roçcatå.

De la infraroçu la unde milimetrice (0,8 µm < λ < 1 µm)Acest domeniu corespunde radiaÆiei obiectelor reci (T < 3000 K) ale Universului: nuclee

de galaxii, nori interstelari.Astrofizica este un domeniu delicat pentru cå, pe de o parte, nu se poate practica decât

dincolo de atmosferå, iar pe de alta, semnalele primite fiind foarte slabe, sunt înecate deradiaÆiile instrumentelor înseçi. De aceea este necesarå råcirea atmosferei de lucru între 10K çi 70 K.

Studiul acestei radiaÆii prezintå un interes particular pentru detecÆia speciilor chimice(ioni, atomi çi molecule) çi a abundenÆei lor. Aceastå tehnicå dateazå din anii ’60. O cartografieîn I.R. a Universului efectuatå în 1983 a contribuit mult la cunoaçterea Universului apropiatçi îndepårtat.

RadiofrecvenÆele (1 mm < λ < 1 km)Radioastronomia s-a dezvoltat considerabil dupå al doilea råzboi mondial prin utilizarea

radarelor. Pentru a recepÆiona un flux de energie cât mai mare sunt necesare radiotelescoapegigantice. Aceasta permite detectarea radiaÆiilor foarte slabe çi creçterea puterii separatoare.Astfel pot fi observate anumite radiaÆii caracteristice atomilor (de hidrogen, heliu, carbon)çi moleculelor (metan, amoniac, etanol) din spaÆiul interstelar al galaxiei noastre.

Descoperirea în 1964 a radiaÆiei de fond cosmic, numitå radiaÆia termicå de 27 K, aconsolidat teoria BIG BANG.

Emisia radio a galaxiilor provine de la plasmele conÆinând particule foarte energice(electroni relativiçti) în miçcare în câmpuri magnetice intense.

RadiaÆia ultravioletå (0,01 µm < λ < µm)Detectarea acestei radiaÆii puternic absorbite de atmosfera terestrå necesitå instrumente

aflate la bordul sateliÆilor sau baloanelor-sondå.Analiza radiaÆiei U.V. contribuie la o mai bunå cunoaçtere a compoziÆiei chimice a stelelor;

ea permite interpretarea formårii çi evoluÆiei stelelor.

RadiaÆiile de energie înaltå (1 fm < λ < 10 nm)Domeniul lor se întinde de la razele X la cele γ. Corespund unor energii de ordinul celor

ale particulelor accelerate.Aceastå radiaÆie este foarte bogatå în informaÆie caracteristicå evenimentelor deosebit

de violente: explozii de supernove, radiaÆiile pulsarilor, aglomeråri de materie. Ea esteabsorbitå de atmosferå çi nu poate fi studiatå decât de sateliÆi.

ProprietåÆile fizice ale radiaÆiilor X çi γ sunt asemånåtoare, dar detectorii sunt foartediferiÆi. Astfel, telescoapele X au o structurå opticå clasicå, în timp ce detectorii γ folosesctehnici ale fizicii particulelor (scintilatori, spre exemplu). Aceste douå tehnici, dezvoltatedupå 1970, aduc rezultate esenÆiale pentru cunoaçterea Universului.

manual oscilatii si unde cl a xi-a

Documents