MULTIMEA NUMERELOR REALE

1) Teorema fundamentală a algebrei

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C2) Partea întreagă a numărului x este cel mai mare număr întreg mai mic decât x.

x−1<[ x ]≤x

3) Partea zecimală a unui număr este diferenţa dintre numărul respectiv şi partea sa întreagă.

{x}=x−[ x ] , {x }∈[ 0,1)Exemple: a) [3,76]=3 {3,76}=3,76-[3,76]=3,76-3=0,76b) [10]=10; {10}=10-[10]=0;c) [-3,16]=-4, {3,16}=-3,16-[3,16]=3,16-(-4)=-3,16+4=0,84De observat că partea fracţionară a numărului este pozitivă

4) Sume remarcabile

S=1+2+. . . +n=n(n+1)

2

S=12+22+. . . +n2=

n(n+1 )(2n+1)6

S=13+23+ . . . +n3=[ n(n+1)

2 ]2

5) Modulul : |x|=¿ {x , x≥0 ¿ ¿¿¿

. Pentru inecuaţii cu modul, se utilizează definiţiile:

|a|≤c⇔−c≤a≤c ; |a|≥c⇔a≤−c sau a≥c ;

6) Medii

Aritmetică M a=

a1+a2+. . .+ann ; (Caz particular

M a=a+b

2 )

Geometrică M g=n√a1⋅a2⋅. . .⋅an ; (Caz particular M g=√ab )

Armonică

M h=n

1a1

+ 1a2

+. . .+ 1an ;

Inegalitatea mediilor M a≥M g≥M h .

7) Formule de calcul prescurtat

(a+b )2=a2+2ab+b2;

(a−b )2=a2−2ab+b2;

a2−b2=(a−b ) (a+b ) ;(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

;

(a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

a3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2) ;

a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 ) ;(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ;

8) Puteri

an=a⋅a⋅. . .⋅a (de n ori); a0=1 ;

a−n= 1

an ;

amn=

n√am ;

ax⋅a y=ax+ y ; ;

(ax )y=ax⋅y ;

(a⋅b )x=ax⋅bx ;

(a :b )x=ax :bx

1.Mulţimi si elemente de logică matematicăa) Mulţimea numerelor realeIn acest paragraph vom prezenta principalele mulţimi de numere pe care le-aţi studiat în anii

precedenţi, indicând proprietăţile algebrice, de ordine şi corespondenţă cu punctele unei drepte.Prima mulţime de numere cunoscute este mulţimea numerelor naturale, notată N={0, 1,

2, 3, …,n,…}, iar mulţimea numerelor naturale fără zero. N*= {1, 2, 3,…,n, …}S-a precizat, că nu se poate efectua scăderea între două numere naturale obţinându-se de fiecare dată un număr natural. Exemplu 10-15=-5 care nu este număr natural.

Atunci apare necesitatea extinderii acestei mulţimi de numere. Apare mulţimea

numerelor întergi, notată Z= {…-n, …,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, …,n, …}, observându-se că NZ.In această mulţime nu se poate efectua împărţirea de fiecare dată ca să onţinem un număr întreg. Exempu 7:2=3,5R.Atunci vom fi conduşi la ideea extinderii mulţimii numerelor întregi, obţinând mulţimea

numerelor raţionale, notată Q={mn /m,n∈Ζ ,n≠0} numite şi fracţii cu observaţia că NZQ, Q conţine numerele zecimale finite, periodice simple şi periodice compuse.

yxyx aaa :

Dar mai apar şi alte numere în calcularea diagonalei unui pătrat de latură 1, unde

diagonala este√2 , . Calculând pe √2 ,√3 , √5 ,… s-a observat că se obţin numere zecimale cu un număr infinit de zecimale care nu se repetă periodic .

Toate aceste numere reunite dau mulţimea numerelor reale , notată cu R. Deci: Numărul real este o fracţie zecimală, finită sau infinită.Mulţimea numerelor reale împreună cu operaţia de adunare sau înmulţire formează o structură algebrică. Ne referim la perechea (R, +) Proprietăţile adunării pe R.A1. Adunarea este asociativă : (a+b)+c=a+(b+c); a, b, c R.A2. Adunarea este comutativă : a+b=b+c; a, b, c R.A3. Numărul 0 est element neutru pentru adunare : a+0=0+a=a. A4. Numărul (-a) este simetricul lui a (opusul ) faţă de adunare : a+(-a)=(-a)+a=0Ca exerciţiu scrieţi proprietăţile înmulţirii pe R. Propietatea care leagă cele două operaţii între ele se numeşte : distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea a· (b+c)=a·b+ a·b ()a, b, c R. (revedeţi scoaterea factorului comun)