curs 3 - serii de numere reale. serii cu termeni pozitiviandreea.arusoaie/cursuri/scurs3.pdf ·...

CURS 3Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitivi

A. Arusoaiee-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

15 Octombrie, 2019

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Structura cursului

1 Serii de numere realeDefinitii. ProprietatiExempleConditia necesara de convergentaCriteriul lui Cauchy de convergentaOperatii cu serii

2 Serii cu termeni din pozitiviCriterii de comparatieCriteriul de condensare al lui CauchyCriteriul radacinii - al lui CauchyCriteriul lui KummerCriteriul raportului - al lui D’AlembertCriteriul lui Raabe-DuhamelCriteriul lui BertrandCriteriul lui Gauss

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 32

Structura cursului




Serii de numere reale

Definitie

Numim serie de numere reale, cuplul format din sirurile (xn)n∈N∗ si (Sn)n∈N∗ ,unde

I (xn)n∈N∗ este un sir de numere reale

I (Sn)n∈N∗ se numeste sirul sumelor partiale atasat seriei, cu

Sn = x1 + x2 + . . .+ xn,∀n ∈ N∗,

Notatie:

((xn), (Sn))n∈N∗not=∑n∈N∗

xnnot=∑n≥1

xnnot=

∞∑n=1

xn.

Terminologie:

I termenul xn, n ∈ N∗ se numeste termen general al seriei;

I termenul Sn, n ∈ N∗ se numeste suma partiala de rang n a seriei.



I Daca (Sn)n∈N∗ este convergent, atunci seria∞∑n=1

xn este convergenta; notam

∞∑n=1

xn(C);

I Daca (Sn)n∈N∗ este divergent, atunci seria∞∑n=1

xn este divergenta si notam

∞∑n=1

xn(D);

I Daca limn→∞

Sn = S ∈ R, atunci numim S suma seriei∞∑n=1

xn si scriem

S =

∞∑n=1

xn.



Observatie: Daca p ∈ N∗, seriile∞∑n=1

xn si∞∑n=p

xn au aceeasi natura(adica, ambele

sunt convergente sau ambele sunt divergente).

Definitie

Pentru p ∈ N, numim restul de ordin p al seriei∞∑n=1

xn, seria∞∑

n=p+1

xnnot= Rp.

Teorema∞∑n=1

xn este convergenta daca si numai daca ∀p ∈ N, seria Rp este convergenta.

Daca seria∞∑n=1

xn este convergenta, atunci limp→∞

Rp = 0.


Exemple

1. Seria geometrica de parametru q ∈ R:∞∑n=0

qn.

Sirul sumelor partiale atasat seriei are termenul general

Sn = 1 + q + q2 + . . .+ qn =

1− qn+1

1− q, q 6= 1

n+ 1, q = 1

,∀n ∈ N.

Asadar, avem ca:

I

∞∑n=0

qn(C), pentru q ∈ (−1, 1);

I

∞∑n=0

qn(D), pentru q ∈ R \ (−1, 1).

I In plus, avem∞∑

n=0

qn =

{ 11−q

, q ∈ (−1, 1);+∞, q ≥ 1;

Daca q = −1, seria∞∑n=0

(−1)n = 1− 1 + 1− 1 + . . . se numeste seria lui

Grandi, si este divergenta.


Exemple

2. Seria∞∑n=1

ln

(1 +

1

n

)este divergenta.

Pentru orice n ∈ N∗ putem scrie Sn astfel:

Sn =

n∑k=1

ln

(1 +

1

k

)=

n∑k=1

lnk + 1

k

=

n∑k=1

[ln (k + 1)− ln k

]︸︷︷︸

suma telescopica

= ln (n+ 1).

Cum, limn→∞

Sn = limn→∞

ln(n+ 1) = +∞, obtinem ca∞∑n=1

ln

(1 +

1

n

)(D).


Exemple

3. Seria∞∑n=2

n−√n2 − 1√

n2 − neste convergenta.

Deoarece pentru orice n ∈ N∗, n ≥ 2, avem

Sn =

n∑k=2

k −√k2 − 1√

k2 − k=

n∑k=2

( k√k2 − k

−√k2 − 1√k2 − k

)=

n∑k=2

(√k

k − 1−√k + 1

k

)︸︷︷︸

suma telescopica

=√2−

√n+ 1

n.

Cum limn→∞

(√2−

√n+ 1

n

)=√2− 1 ∈ R, obtinem ca (Sn)n∈N este

convergent, deci seria este convergenta. In plus,∑n≥2

n−√n2 − 1√

n2 − n=√2− 1.


Conditia necesara de convergenta

Teorema

Daca∞∑n=1

xn este convergenta, atunci limn→∞

xn = 0.

Observatii:

I Daca sirul (xn)n∈N∗ nu converge la 0, atunci seria∞∑n=1

xn este divergenta.

I limn→∞

xn = 0 nu implica neaparat convergenta seriei∞∑n=1

xn!


Criteriul lui Cauchy de convergenta

Teorema

Seria∞∑n=1

xn este convergenta daca si numai daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N∗,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗ : |xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.

Demonstratie: Fie Sn = x1 + x2 + . . .+ xn, n ∈ N∗. Din criteriul lui Cauchy de

convergenta pentru siruri, rezulta ca∞∑n=1

xn este convergenta daca si numai daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N∗,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗ : |Sn+p − Sn| < ε.

Dar cum Sn+p − Sn = xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p pentru orice n, p ∈ N∗, ceea cedemonstreaza concluzia.


Criteriul de divergenta

Daca negam criteriul lui Cauchy de convergenta pentru serii, obtinem urmatorulrezultat

Propozitie

Seria∞∑n=1

xn este divergenta daca si numai daca

∃ε > 0,∀n ∈ N∗,∃kn ≥ n, ∃pn ∈ N∗ : |xkn+1 + xkn+2 + . . .+ xkn+pn | ≥ ε.


Exemplu. Seria armonica

Seria armonica1

∞∑n=1

1

neste divergenta.

Aratam ca sirul sumelor partiale (Sn)n∈N∗ nu este sir Cauchy.Fie n, p ∈ N∗, p ≥ n. Atunci avem

|Sn+p − Sn| =1

n+ 1+

1

n+ 2+ . . .+

1

n+ p>

p

n+ p,∀n, p ∈ N∗.

Asadar, pentru ε =1

2> 0, n ∈ N∗, exista kn := n, pn := n ∈ N∗ astfel ıncat

∣∣∣ 1

kn + 1+ . . .+

1

kn + pn

∣∣∣ ≥ pnkn + pn

=1

2= ε.

Prin urmare, seria armonica este divergenta.

1Se numeste asa ıntrucat xn verifica relatia:2

xn=

1

xn−1+

1

xn+1, ∀n ∈ N∗, n ≥ 2, adica xn

este media armonica a numerelor xn−1 si xn+1.Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 32

Operatii cu serii

Fie λ ∈ R∗ si∞∑n=1

xn,∞∑n=1

yn doua serii de numere reale.

I Seria∞∑n=1

(xn + yn) se numeste suma seriilor∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn;

I Seria∞∑n=1

(λxn) se numeste produsul seriei∞∑n=1

xn cu scalarul λ ∈ R.


Operatii cu serii

Teorema

Fie λ ∈ R∗ si∞∑n=1

xn,∞∑n=1

yn doua serii convergente, cu S :=

∞∑n=1

xn si T :=

∞∑n=1

yn.

i) Daca xn ≤ yn,∀n ∈ N∗, atunci S ≤ T ;

ii) Seria∞∑n=1

(xn + yn) este convergenta si∞∑n=1

(xn + yn) = S + T .

iii) Seria∞∑n=1

(λxn) este convergenta si∞∑n=1

(λxn) = λS.

Observatie: Daca∞∑n=1

xn(D) si∞∑n=1

yn(D), este posibil ca∞∑n=1

(xn + yn)(C);

Spre exemplu∞∑n=1

(−1)n(D) si∞∑n=1

(−1)n+1(D), dar∞∑n=1

[(−1)n + (−1)n+1](C).



Teorema

Daca asociem termenii unei serii convergente ın grupuri finite, pastrand ordineatermenilor, obtinem tot o serie convergenta, cu aceeasi suma.

Observatie:

Uneori, asocierea termenilor unei serii divergente definesc o serie convergenta.

Spre exemplu, daca asociem doi cate doi termenii seriei lui Grandi∞∑n=1

(−1)n,

care este divergenta, obtinem seria

(−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .+ (−1 + 1) + . . .

care este convergenta, avand suma 0.


Structura cursului




Serii cu termeni din pozitivi

Spunem ca o serie∞∑n=1

xn are termeni pozitivi daca xn ≥ 0,∀n ∈ N∗.

Cum xn ≥ 0,∀n ∈ N∗, este clar ca si sirul sumelor partiale (Sn)n∈N∗ estecrescator. Asadar, are loc:

Propozitie

Seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

xn este convergenta daca si numai daca sirul sumelor

sale partiale, (Sn)n∈N∗ , este majorat.


Criteriul I de comparatie - CCI

In cele ce urmeaza, vom prezenta unele criterii de convergenta si de divergentapentru serii cu termeni pozitivi.

Teorema - CCI

Fie seriile cu termeni pozitivi∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn, astfel ıncat xn ≤ yn, ∀n ∈ N∗.

i) Daca∞∑n=1

yn (C), atunci∞∑n=1

xn (C);

ii) Daca∞∑n=1

xn (D), atunci∞∑n=1

yn (D).

Exemple:

1. Seria∞∑n=1

1

nα, α < 1 este divergenta.

2. Seria∞∑n=1

1

n2este convergenta.


Criteriul II de comparatie - CCII

Teorema - CCII

Fie seriile∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn, cu xn > 0, yn > 0 si

xn+1

xn≤ yn+1

yn, ∀n ∈ N∗.

i) Daca∞∑n=1

yn(C), atunci∞∑n=1

xn(C);

ii) Daca∞∑n=1

xn(D), atunci∞∑n=1

yn(D).


Criteriul de comparatie cu limita - CCIII

Teorema - CCIII

Fie∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn, cu yn > 0, n ∈ N∗. Daca exista limn→∞

xnyn

= ` ∈ R+, atunci:

i) daca ` ∈ (0,+∞), atunci seriile∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn au aceeasi natura;

ii) pentru ` = 0, avem

a) daca∞∑

n=1

yn(C) atunci∞∑

n=1

xn(C);

b) daca∞∑

n=1

xn(D), atunci∞∑

n=1

yn(D);

iii) pentru ` = +∞, avem

a) daca∞∑

n=1

xn(C), atunci∞∑

n=1

yn(C);

b) daca∞∑

n=1

yn(D), atunci∞∑

n=1

xn(D).


Exemple:

1. Seria∞∑n=1

sin1

neste divergenta.

2. Seria∞∑n=1

n+ 3

2n4 + 1este convergenta.


Criteriul de condensare al lui Cauchy

Teorema

Fie (xn)n∈N∗ un sir descrescator de numere pozitive.

Atunci seria∞∑n=1

xn are aceeasi natura cu seria∞∑n=1

2nx2n .


Exemplu. Seria armonica generalizata

Seria∞∑n=1

1

nα, α ∈ R se numeste serie armonica generalizata.

I Aplicand criteriul condensarii, obtinem ca natura seriei∞∑n=1

1

nαeste aceeasi cu

a seriei∞∑n=1

2n(

1

2n

)α=

∞∑n=1

1

2(α−1)n, care nu este altceva decat o serie

geometrica cu ratia1

2α−1.

I Aceasta converge daca1

2α−1< 1, adica pentru α > 1 si divergenta ın rest.

I Asadar,∞∑n=1

1

nα(C), daca α > 1;

∞∑n=1

1

nα(D), daca α ≤ 1.


Criteriul radacinii - al lui Cauchy

Teorema

Fie∞∑n=1

xn o serie cu termeni pozitivi. Daca exista ` = limn→∞

n√xn ∈ [0,∞], atunci:

i) daca ` < 1, seria∞∑n=1

xn este convergenta;

ii) daca ` > 1, seria∞∑n=1

xn este divergenta;

iii) daca ` = 1, nu putem spune nimic despre natura seriei∞∑n=1

xn.

Exemplu: Seria∞∑n=1

(√n+ 2−

√n+ 1

)neste convergenta.


Criteriul lui Kummer

Teorema

Fie seria∞∑n=1

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗ si fie (an)n∈N∗ ⊂ R∗+.

Daca exista limn→∞

(an

xnxn+1

− an+1

)= ` ∈ R atunci:

i) cand ` > 0, seria∞∑n=1

xn (C);

ii) daca ` < 0 si∞∑n=1

1

an(D), atunci

∞∑n=1

xn (D).

iii) daca ` = 0 nu putem spune nimic despre natura seriei∞∑n=1

xn.


Criteriul raportului - al lui D’Alembert

I daca luam ın criteriul lui Kummer, an = 1, n ∈ N∗, obtinem urmatorulrezultat:

Teorema

Fie seria∞∑n=1

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Daca exista limita

limn→∞

xn+1

xn= ` ∈ [0,∞]

atunci:

i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn (C);

ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

xn (D);

iii) daca ` = 1, nu ne putem pronunta asupra naturii seriei∞∑n=1

xn.


Criteriul lui Raabe-Duhamel

I daca luam ın criteriul lui Kummer, an = n, n ∈ N∗, obtinem urmatorulrezultat:

Teorema

Fie seria∞∑n=1

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, astfel ıncat exista

limn→∞

[n

(xnxn+1

− 1

)]= ρ.

i) Daca ρ > 1, atunci∞∑n=1

xn (C);

ii) Daca ρ < 1, atunci∞∑n=1

xn (D);

iii) Daca ρ = 1, nu putem stabili natura seriei.


Criteriul lui Bertrand

I daca luam ın criteriul lui Kummer, an = n lnn, ∀n ∈ N∗, atunci obtinem:

Teorema

Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Presupunem ca exista

limn→∞

(xnxn+1

n lnn− (n+ 1) ln (n+ 1)

)= µ ∈ R.

i) Daca µ > 0, atunci∞∑n=1

xn (C);

ii) Daca µ < 0, atunci∞∑n=1

xn (D);

iii) Daca µ = 0, nu ne putem pronunta asupra naturii seriei∞∑n=1

xn.


Criteriul lui Gauss

Teorema

Fie∞∑n=1

xn o serie cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Presupunem ca exista α, β ∈ R, γ ∈ R∗+

si (yn)n∈N∗ un sir marginit astfel ıncat

xnxn+1

= α+β

n+

ynn1+γ

,∀n ∈ N∗.

i) daca α > 1, atunci∞∑n=1

xn (C);

ii) daca α < 1, atunci∞∑n=1

xn (D);

iii) daca α = 1 si β > 1, atunci∞∑n=1

xn (C);

iv) daca α = 1 si β ≤ 1, atunci∞∑n=1

xn (D).


Exercitiu: Sa se studieze natura seriilor:

1.∞∑n=1

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)

3 · 5 · . . . · (3n− 1);

2.∞∑n=1

(2n)!

(n!)2 · 22n;


Bibliografie

A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1993.

F.L. Tiplea, Introducere ın teoria multimilor, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1998.

M. Postolache, Analiza matematica (teorie si aplicatii), Editura Fair Partners,Bucuresti, 2011.

G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)

G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.


http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/

curs 3 - serii de numere reale. serii cu termeni pozitiviandreea.arusoaie/cursuri/scurs3.pdf ·...

Documents