Multimi, functii, numere reale 1)MultimeaAare6elemente,iarmultimeaBare4elemente.Sestieca B Acontine 256 de submultimi. Cate elemente are intersectiaB A ? A) 3 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 Solutie.Sestiecaomultimefinitacunelementeare2nsubmultimi.Din relatia 2n = 256, rezulta caB Aare n=8 elemente. Cunoscand relatia: B A B A B A + (1) (prinX am desemnat numarul de elemente al unei multimi finite X) rezulta2 B A . Raspunsul corect este deci D). OBSERVATIE.Relatia(1)sededuceusortinandcontdedefinitia operatiilordereuniunesiintersectie.InmanualeledeclasaaIX-a(editiile 1980-1998) este propusa ca exercitiu. 2)Cate elemente are multimea: ( ) { 1997 5 2 , + y x y x N NA) 200 B) 199 C) 996 D) 201 E) 1997 Solutie.Aiciintrampetaramulrezolvariiecuatiilordiofanticeliniareindoua variabile. Aceste ecuatii (care nu se studiaza in scoala) apar totusi in exercitii din unele culegeri de larga circulatie (Nita/Nastasescu sau Pirsan/Lazanu de exemplu). Forma unei astfel de ecuatii este: c by ax + ,Z c b a , ,(2) Evident ca se cer solutiile intregi ale acestei ecuatii. Deregulaavem( ) 1 , b a (darnuesteobligatoriu),Daca( ) 1 , > d b a , avem doua posibilitati: a)fiec d siatunciprinsimplificarecud seobtineoecuatieincare ( ) 1 , b ab)fiec nuestedivizibilcud siatunciecuatianuaresolutiiin Z Z (deoarece membrul stang este divizibil cu d, iar membrul drept nu este). Incazulincare( ) 1 , b a ,secautaosolutieparticulara( )0 0, y x a ecuatiei (aceasta este de regula usor de gasit; exista insa si cazuri rebele, in caredeterminareaeidevineoproblemadificila).Solutiageneralaaecuatiei (2) este data de: Z ' + tat y ybt x x,00 (3) Scriind ca solutia particulara( )0 0, y xverifica ecuatia (2), avem: c by ax +0 0 (*) Inlocuind in ecuatia (2) solutia generala (3), rezulta: ( ) ( ) c by ax abt by abt ax at y b bt x a by ax + + + + + +0 0 0 0 0 0 Mai multe despre acest tip de ecuatii puteti afla din lucrarea Compendiu de matematica de A.E. Beju si I. Beju, aparuta la Ed. Stiintifica in 1983 (de fapt, si subsemnatul tot de acolo s-a informat). Revenimacumlaecuatiadata:1997 5 2 + y x .Osolutieparticularaeste: 399 , 10 0 y x . Conform celor afirmate mai inainte, solutia generala este: Z ' + tt yt x,2 3995 1 Observam insa ca trebuie sa cautam solutii naturale, adica intregi si pozitive. Se pun deci conditiile: 199 00 2 3990 5 1 ' +ttt Exista 200 de valori intregi ale lui t in intervalul [0; 199]. Prin urmare, multimea are 200 de elemente. Raspunsul corect este A). 3)Cate elemente are multimea: ''+ + 1000 ,..., 2 , 1 ,4522nn nnx x Q? A)999 B) 1000 C) 1002 D) 989 E) 998 Solutie.Unprimraspunscarearveniinminteaoricuieste1000.Ne reamintiminsadedefinitiamultimii:elementelesaletrebuiesafiedistincte ( { 2 , 4 , 3 , 2 continedoar3elementesinu4).Prinurmare,trebuiesavedem dacaexistaperechi( ) 1000 , 1 , ,2 1 2 1 n n n n astfelincat( ) ( )2 1n f n f (unde ( )4522+ +n nnn f ) si mai precis cate astfel de perechi distincte exista. Egalitatea( ) ( )2 1n f n f sescrie 45452222212121+ ++ +n nnn nn.Dupainmultiriin diagonala, reduceri si grupari de termeni cu care nu va mai plictisesc, rezulta: 2 1n n sau0 52 1 2 1 + + n n n nAceasta a doua egalitate ne ofera perechile de care avem nevoie. Adunam si scadem o unitate, pentru a o transforma: ( )( ) 6 1 12 1 + + n nDe aici rezulta: a) '' + +506 11 12121nnnncarenuconvinepentruca 1n areovaloare infoerioara lui 1. b) '' + +213 12 12121nnnn Solutia '' + +122 13 12121nnnn este aceeasi cu cea de la punctul b) (neavand importantacaredinparametrii 2 1, n n arevaloarea1sicarearevaloarea2). Similar,sisolutiadelapunctula)(caredefaptnuesteosolutie)admiteo simetrica.Prinurmare,singurapereche( )2 1, n n cu 2 1n n caresatisface egalitatea( ) ( )2 1n f n f este(1,2).Multimeadataaredeci1000-1=999de elemente. Raspunsul corect este A). 4)Se stie ca312+ + x xx. Care este valoarea expresiei 13 63+ +x xxE? A) 32B)27C) 7327 D) 1927 E) 2027 Solutie. Cea mai la indemana idee pare rezolvarea ecuatiei si calculul lui x. Numai ca ecuatia nu admite solutii reale si calculul cu numere complexe este extrem de incomod. Ideeaingenioasaestesaimpartimfractiainitialacux,scriindegalitatea data sub forma: 3111+ +xx.Notam xx t1+ si avem deci: 32311 311 + +t tt In acelasi spirit, expresia E se scrie sub forma: 11133+ +xxE (4) Ramane sa exprimam 331xx +in functie de xx t1+ . Pentru aceasta, ridicam tla puterea a treia: txxxxxxxx t 31 131 1333333+ + ,`

.|+ + + ,`

.|+ 27462782 232313333 + ,`

.| + t txxDin relatia (4), rezulta imediat ca 7327127461+ E . Raspunsul corect este C). 5)Cu care din numerele urmatoare trebuie sa amplificam fractia: 3 34 3 2 21+ pentru rationalizarea numitorului ? A) 3 34 2 4 + + B) 3 34 2 3 4 + C) 3 34 2 5 4 + D) 3 34 2 5 4 E) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect. Solutie. Sigur ca o varianta este sa inmultim numitorul fractiei pe rand cu fiecare din numerele propuse, oprindu-ne daca rezultatul este rational. In caz ca nici unul din cele patru produse nu este rational, raspunsul corect este E). Aceasta metoda de forta bruta contravine insa spiritului logic al matematicii. FieQ + + c b a c b a , , , 4 23 3 numarul cautat. Efectuam produsul: ( )( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 34 2 3 2 6 2 2 6 2 4 3 2 2 4 2 c b a c b a c b a c b a + + + + + + + + +Acest numar este rational daca si numai daca: c b c ac b ac b ac b ac b ac b ac b a4 , 24 2 66 22 36 20 2 30 6 2 ' + ' + ' + + + Cum nici unul dintre numerele A)-D) nu satisface aceste conditii, raspunsul corect este E). 6)Cate elemente are multimea: { N Z 172x x DA)doua B) patru C) unul D) niciunul E) trei Solutie. FieN 172x y ( )( ) 17 17 172 2 2 2 + y x y x y x x yDeci,numereleintregiy x + siy x trebuiesasegaseascaprintre divizorii lui 17. Posibilitatile sunt: i)8 , 9117 ' +y xy xy x ii)8 , 9171 ' +y xy xy x.Aceastanuesteosolutie,deoarece y trebuie sa fie pozitiv. iii)8 , 9117 ' +y xy xy x Nici aceasta nu este o solutie. iv)8 , 9171 ' +y xy xy x

Rezulta{ 9 , 9 D . Raspunsul corect este A). 7)Se dau numerele: ( ) 5 , 0 a34 2 461+ b2 c867 d... 0111213 1234567891 , 0 e (dupavirgulasuntscrisetoatenumerele naturale). Care dintre acestea sunt rationale ? A)e a siB)e b a si ,C)a doar D)niciunul E)b a si Solutie. Este clar ca a este rational. La fel de clar este ca numerele c si d suntirationale.Ramanindiscutiedoarbsie.Incazulluib,dacaefectuam calculele, rezulta: 31861 3 bcare este evident rational. Numaruleareoreprezentarezecimalainfinita,careinsanuesteperiodica. Prin urmare, nu este rational. Raspunsul corect este deci E). 8)Se dau functiile4 , 1 , : i D fi iR : ( ) 27 4310 3121+ x x x f( )21 22+xxx f( )'< +3 , 6 43 , 223x xx xx f( ) 2001 234+ + x x x fdefinite pe domeniile maxime. Care dintre ele sunt injective ? A)toate B) doar f3 C) f2 si f3 D) f2,f3 si f4 E) niciuna Solutie. Expresia functiei f1 se rescrie sub forma: ( ) ( ) 27 42 3101+ x x x f .Seobservaacumcuusurintaca ( ) ( ) 27 2 01 1 f f . Prin urmare, functia f1 nu este injectiva. Pentru f2, scriem: ( )2522+ xx f . Din egalitatea( ) ( )2 2 1 2x f x f rezulta asadar: 2 12 1 2 12525252252 x xx x x x + + . Functia f2 este injectiva. Pentru f3, trebuie analizate trei situatii: i)daca3 ,2 1 x xastfel incat( ) ( )2221 2 3 1 32 2 x x x f x f ( )( ) 0 22 1 2 1 + x x x x . Cum02 1> + x x , rezulta 2 1x x ii)daca3 ,2 1< x xastfel incat( ) ( )2 1 2 1 2 3 1 36 4 6 4 x x x x x f x f + + iii)fie3 , 32 1 < x x .Avem( ) ( ) 18 2 , 18 6 422 2 3 1 1 3 < + x x f x x f . Rezulta( ) ( )2 3 1 3x f x f . Prin urmare, si functia f3 este injectiva. In fine, pentru f4, fieR 2 1, x xastfel incat( ) ( )2 4 1 4x f x f ( )( ) 0 2 2 222 2 121 2 1 232 131 + + + + + x x x x x x x x x x . Insa, 2 12222122 2 1210 24322 x x xxx x x x x > + + ,`

.|+ + + + .Rezultacasif4este injectiva. Raspunsul corect este deci D). 9)Functia( )( )( )' > + + + 2 , 2 22 , 5 4 3 2, :x x mx m x mx f fm mR RundeZ m este strict descrescatoare pe R. Cate valori poate lua parametrulm? A)o infinitate B) doua C) niciuna D) una E) patru Solutie. Pentru ca functia mf sa fie strict descrescatoare pe R, trebuie ca: i)ramurile sale (adica restrictiile la intervalele( ] 2 , si ( ) , 2 ) sa fie strict descrescatoare; ii)limita la stanga a functiei in 2 sa fie superioara limitei la dreapta. i)Restrictiile functiei mf la intervalele date sunt functii de gradul I, deci monotonialorestestabilitadesemnulcoeficientuluiluix.Sepun deci conditiile: '< +< mmm0 20 3 2 ii)Numaiestenecesarsapunemaceastaconditie,dinmomentce multimea acceptabila de valori pentrum a devenit vida. Raspunsul corect este C). 10) (Olimpiada,1983,enuntmodificat).Fiemultimea{ 1 , 0 \ R E sifunctia ( )xxx f E E f1, : .Sedefinescfunctiile1 , : k E E fkprin: f f f f f f f f fk ko o o1 2 3 2,..., , .Catesolutiiareecuatia ( ) ( ) 121997 x f ? A)doua B) niciuna C) una D) mai mult de douaE) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect Solutie. Se calculeaza pe rand functiile1 , k fk. Avem: ( ) ( ) ( )( )( ) xxxxxxxxx fx fx f f x f 111111112 ( ) ( ) ( )( )Ef xx xxx fx f f x f 111111113 2 3 Cum E1 esteelementneutrupentruoperatiadecompunereafunctiilor, rezulta mai departe foarte simplu ca: f f f fk +1 3 7 4... 2 2 3 8 5... f f f fk + E kf f f 1 ...3 9 6 (putetidemonstraafirmatiileprininductiedupa1 k ).Noinumaipierdem timpulsiobservamca2 665 3 1997 + .Ecuatiaderezolvatestedeci ( ) ( ) 111sau1111111222 ,`

.| x x xx f . Ecuatia111 x are solutia2 x , in timp ce111 x ar avea solutia E x 0 .Prinurmare,ecuatiadataareosingurasolutie.Raspunsulcorect este C).