Matematici superioare

as. Ciprian Deliu

Universitatea ”Gheorghe Asachi” Iasi

Iasi2009

Cuprins

1 Numere reale. Functii. Limite. Continuitate 21.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Operatii cu functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Limite si continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Limita unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Limite la infinit si limite infinite . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Functii transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Functia exponentiala si functia logaritmica . . . . . . . 101.3.2 Functiile trigonometrice si inversele lor . . . . . . . . . 121.3.3 Limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Siruri si serii de numere reale 142.1 Siruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Definitie. Marginire. Monotonie . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Definitie. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Derivabilitate. Serii de puteri 203.1 Functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale . . . . . . . . . . . 203.1.2 Derivatele functiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Operatii cu functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Aplicatii ale derivabilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie . . . . 233.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor . . . . . 26

2

3.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Functii de mai multe variabile 294.1 Definitie. Limite. Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Diferentiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Functii vectoriale de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . 334.5 Functii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile . . . . 37

5 Calcul integral 395.1 Integrala nedefinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.2 Metode de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.3 Primitivele functiilor rationale . . . . . . . . . . . . . . 425.1.4 Schimbari de variabila uzuale . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Integrala definita (Riemann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.1 Functii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Proprietati ale functiilor integrabile . . . . . . . . . . . 475.2.3 Metode de calcul al integralelor definite . . . . . . . . . 485.2.4 Aplicatii ale integralei definite . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe . . . . . . . . . 495.3.2 Integrala curbilinie de prima speta . . . . . . . . . . . . 515.3.3 Integrala curbilinie de speta a doua . . . . . . . . . . . 535.3.4 Aplicatii ale integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Integrala dubla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.1 Definirea integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.2 Proprietati ale functiilor integrabile . . . . . . . . . . . 575.4.3 Metode de calcul pentru integrale duble . . . . . . . . . 585.4.4 Aplicatii ale integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Ecuatii diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.2 Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . 625.5.3 Existenta si unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Matrice. Determinanti. Sisteme de ecuatii liniare 656.1 Matrice. Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.1.2 Operatii cu matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.1.3 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3

6.1.4 Inversa unei matrice. Rangul unei matrice . . . . . . . 696.2 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Spatii vectoriale. Aplicatii liniare. Forme biliniare si formepatratice 737.1 Spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune . . . . . . . . . 767.1.4 Schimbari de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.5 Spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2 Aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.1 Definitii si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.2 Matricea unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.3 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 Forme biliniare. Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.2 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8 Vectori liberi. Planul si dreapta 908.1 Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 Produse cu vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.3.1 Produsul scalar a doi vectori . . . . . . . . . . . . . . . 938.3.2 Produsul vectorial a doi vectori . . . . . . . . . . . . . . 948.3.3 Produsul mixt a trei vectori . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4 Planul si dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.4.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.4.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.4.3 Unghiuri si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9 Conice 999.1 Conice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.1.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.1.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.1.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.1.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.2 Schimbari de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2.1 Rotatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.3 Reducerea conicelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . 102

4

9.3.1 Invariantii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.3.2 Reducerea la forma canonica a conicelor cu centru . . 1039.3.3 Reducerea la forma canonica a conicelor cu o infinitate

de centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3.4 Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru . 105

1

Capitolul 1

Numere reale. Functii. Limite.Continuitate

1.1 Preliminarii

1.1.1 Numere reale

Definitia 1.1.1. Numim multimea numerelor reale multimea tuturornumerelor care pot fi reprezentate cu ajutorul zecimalelor.

Exemple:

5 = 5,00000...

−34= −0.750000...

1

3= 0,3333...

√2 = 1,4142...π = 3,14159...

Numerele reale pot fi reprezentate geometric ca puncte pe o axa orientatape care o vom numi axa reala si o vom nota prin R.

Proprietati ale numerelor reale:

• proprietati algebrice (legate de operatiile algebrice uzuale: adunare,scadere, ınmultire, ımpartire)

• proprietati de ordine (se refera la ordinea ın care apar numerele pe axareala)

2

• proprietatea de completitudine: daca A este o submultime nevida denumere reale cu proprietatea ca

∃y ∈ R astfel ıncat x ≤ y ∀x ∈ A

atunci exista un cel mai mic y ∈ R cu aceeasi proprietate. Altfel spus,pe axa reala nu exista goluri, fiecare punct corespunde unui numar real.

Submultimi de numere reale:

• multimea numerelor naturale: N = {0,1,2,3, . . .}

• multimea numerelor ıntregi: Z = {0,±1,±2,±3, . . .}

• multimea numerelor rationale: Q = {mn ∣m,n ∈ Z, n ≠ 0}

• multimea numerelor irationale: R ∖Q

• intervale de numere reale (finite sau infinite); exemple:

[a, b) = {x ∈ R∣a ≤ x < b}(a,∞) = {x ∈ R∣x > a}

1.1.2 Functii

Definitia 1.1.2. Fie A, B doua multimi nevide. Spunem ca f este ofunctie definita pe A cu valori ın B daca exista o regula care asociazafiecarui element x din A un unic element f(x) din B.

Vom nota o astfel de functie prin f ∶ A→ B, unde A si B se numesc dome-niu de definitie, respectiv domeniu de valori (sau codomeniu) ale functiei f .

Daca A si B sunt submultimi de numere reale (A, B ⊆ R), spunem caf ∶ A→ B este o functie reala (de o variabila). Pentru astfel de functii, regulade asociere x→ f(x) este in general data printr-o formula. Exemple:

f(x) = x2, f(x) =√x, f(x) = 1

x, f(x) = ∣x∣

Definitia 1.1.3. Fie o functie reala f ∶ A→ B. Se numeste graficul functieif multimea perechilor

Gf = {(x, y)∣x ∈ A, y = f(x)}

Graficul unei astfel de functii f poate fi reprezentat ıntr-un sistem carteziande coordonate xOy ca fiind multimea tuturor punctelor de coordonate (x, f(x)),unde x variaza ın domeniul de definitie A.

3

Aplicatie: Sa se gaseasca domeniul maxim de definitie si sa se trasezegraficul functiilor date prin:

a)f(x) = x; b)f(x) = x2; c)f(x) = x3; d)f(x) =√x; e)f(x) = 1

x; f)f(x) = ∣x∣

Definitia 1.1.4. Fie o functie reala f ∶ A→ B cu proprietatea ca

x ∈ A⇒ −x ∈ A.

1. Spunem ca f este o functie para daca f(−x) = f(x), ∀x ∈ A;

2. Spunem ca f este o functie impara daca f(−x) = −f(x), ∀x ∈ A.Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy, iar graficul unei

functii impare este simetric fata de originea O a sistemului de coordonate.

1.1.3 Operatii cu functii

Definitia 1.1.5. Fie doua functii reale f si g definite pe acelasi domeniu(f, g ∶D → R). Putem defini functiile f + g, f − g, fg, f/g ın felul urmator:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f − g)(x) = f(x) − g(x)(fg)(x) = f(x)g(x)

(fg) (x) = f(x)

g(x)pentru g(x) ≠ 0.

Definitia 1.1.6. Fie functiile f ∶ A → B si g ∶ B → C. Definim functiacompusa g ○ f ∶ A→ C data prin

g ○ f(x) = g(f(x))

Aplicatie: Fie functiile reale date prin f(x) =√x si g(x) = x + 1. Sa se

determine functiile f +g, f −g, fg, f/g, f ○g, g ○f, f ○f, g○g pe domeniile undeacestea pot fi definite.

Definitia 1.1.7. Fie o functie f ∶ A→ B. Spunem ca:

1. f este injectiva daca

∀x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2⇒ f(x1) ≠ f(x2)

2. f este surjectiva daca

∀y ∈ B, ∃x ∈ A astfel ıncat y = f(x)

3. f este bijectiva daca este injectiva si surjectiva.

4

Orice paralela la axa Ox (dusa pentru o valoare a lui y din codomeniu)intersecteaza graficul unei functii injective in cel mult un punct, iar graficulunei functii surjective ın cel putin un punct.

Definitia 1.1.8. Fie o functie bijectiva f ∶ A→ B. Definim functia inversaf−1 ∶ B → A prin:

f−1(y) = x, ∀y ∈ Bunde x ∈ A este unica valoare din domeniul de definitie al lui f pentru caref(x) = y.

Proprietati ale functiei inverse:

1. x = f−1(y)⇔ y = f(x);

2. f−1(f(x)) = x, ∀x ∈ A;

3. f(f−1(y)) = y, ∀y ∈ B;

4. graficele lui f si f−1 sunt simetrice fata de prima bisectoare.

Aplicatie: Sa se arate ca functia f ∶ [−12 ,∞) → [0,∞) data prin f(x) =√

2x + 1 este bijectiva si sa se gaseasca inversa ei.

1.2 Limite si continuitate

1.2.1 Limita unei functii ıntr-un punct

Definitia 1.2.1. Fie o functie f ∶D → R si a ∈ R. Spunem ca f are limitaL cand x tinde catre a si scriem

limx→a

f(x) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

∣x − a∣ < δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε. (1.1)

Altfel spus, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x este sufi-cient de aproape de a. In multe cazuri, valoarea acestei limite se evalueazacalculand f(a), daca acesta exista.

Observatie: Daca ın (1.1) ınlocuim ∣x−a∣ < δ cu 0 > x−a > −δ (respectiv0 < x − a < δ), obtinem limita la stanga a lui f ın a:

f(a − 0) = limx↗a

f(x),

5

respectiv limita la dreapta a lui f ın a:

f(a + 0) = limx↘a

f(x).

Teorema 1.2.1. O functie are limita L ın punctul a daca si numai dacaexista ambele limite laterale ın a si sunt egale cu L:

limx→a

f(x) = L⇔ limx↗a

f(x) = limx↘a

f(x) = L

Urmatoarea teorema ajuta la calculul limitelor multor tipuri de functiiatunci cand sunt cunoscute cateva limite elementare:

Teorema 1.2.2. Daca limx→a f(x) = L si limx→a g(x) = M , iar α este oconstanta reala, atunci:

1. limx→a[f(x) + g(x)] = L +M

2. limx→a[f(x) − g(x)] = L −M

3. limx→a

f(x)g(x) = LM

4. limx→a

αf(x) = αL

5. limx→a

f(x)g(x)

= L

Mdaca M ≠ 0

6. limx→a[f(x)]α = Lα atunci cand ridicarea la putere este posibila

7. daca f(x) ≤ g(x) pe un interval care ıl contine pe a ın interior, atunciL ≤M .

Aplicatie: Sa se calculeze limx→a

x2 + x + 4x3 − 2x2 + 7

si limx→2

√2x + 1.

Teorema 1.2.3. Fie P (x) si Q(x) doua functii polinomiale si a ∈ R astfelıncat Q(a) ≠ 0. Atunci:

a) limx→a

P (x) = P (a)

b) limx→a

P (x)Q(x)

= P (a)Q(a)

.

6

Teorema 1.2.4 (teorema clestelui). Fie functiile f, g, h cu proprietateaca f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pentru orice x ıntr-un interval deschis continandu-l pea (eventual mai putin chiar ın x = a). Daca

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = L,

atunci de asemenea limx→a

g(x) = L.

Aplicatie: Daca√5 − 2x2 ≤ f(x) ≤

√5 − x2 pentru x ∈ [−1,1], atunci sa

se calculeze limx→0

f(x).

1.2.2 Limite la infinit si limite infinite

Definitia 1.2.2. Fie o functie f ∶ D → R, unde D contine un intervalnemarginit la dreapta. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre in-finit si scriem

limx→∞

f(x) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

x > δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Cu alte cuvinte, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x estesuficient de mare. In mod similar se defineste si limita unei functii catre −∞:

Definitia 1.2.3. Fie o functie f ∶ D → R, unde D contine un intervalnemarginit la stanga. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre −∞si scriem

limx→−∞

f(x) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

x < −δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Aplicatie: Sa se calculeze limx→∞

1

xsi lim

x→−∞

x√x2 + 1

.

Exista functii ale caror valori pot creste (sau scade) arbitrar de mult ınvecinatatea unui punct (sau la infinit). In astfel de situatii spunem ca functiaare limita infinit (sau −∞) ın punctul respectiv (sau la infinit). Pentru aobtine o definitie formala, nu avem decat sa ınlocuim in definitiile anterioare∣f(x) −L∣ < ε cu f(x) > ε (respectiv f(x) < −ε).

Aplicatie: Sa se calculeze:

limx↗0

1

x, lim

x↘0

1

x, lim

x→0

1

x2, lim

x→±∞(3x3 − x2 + 2), lim

x→±∞(x4 − 5x3 − x)

7

Teorema 1.2.5. Fie P (x) = amxm+⋅ ⋅ ⋅+a1x+a0 si Q(x) = bnxn+⋅ ⋅ ⋅+b1x+b0doua functii polinomiale de grade m, respectiv n. Atunci limita

limx→±∞

P (x)Q(x)

este:

(a) 0, daca m < n;

(b) ambn

daca m = n;

(c) ±∞ daca m > n, semnul fiind dat de semnul raportului ambn

si de paritatealui m − n.

Aplicatie: Sa se calculeze limitele:

limx→±∞

2x2 − x + 33x2 + 5

, limx→±∞

5x + 22x3 − 1

, limx→±∞

x3 + 1x2 + 1

1.2.3 Asimptote

Definitia 1.2.4. Spunem ca graficul functiei f are asimptota verticalax = a daca

limx↗a

f(x) = ±∞ sau limx↘a

f(x) = ±∞

sau ambele.

Definitia 1.2.5. Spunem ca graficul functiei f are asimptota orizontalay = L daca

limx→−∞

f(x) = L sau limx→∞

f(x) = L

sau ambele.

Definitia 1.2.6. Spunem ca graficul functiei f are asimptota oblica y =mx + ndaca

limx→−∞

[f(x) −mx − n] = 0 sau limx→∞[f(x) −mx − n] = 0

sau ambele.

In cazul ın care exista, valorile lui m si n se calculeaza ca fiind

m = limx→±∞

f(x)x

, n = limx→±∞

[f(x) −mx]

Aplicatie: Sa se gaseasca asimptotele verticale, orizontale si oblice alefunctiilor:

1

x2 − x,x4 + x2

x4 + 1,x2 + 1x

.

8

1.2.4 Continuitate

Definitia 1.2.7. Fie f ∶ D → R si a ∈ D. Spunem ca f este continua ın adaca

limx→a

f(x) = f(a).

Daca limita de mai sus nu exista, este infinita sau exista dar nu este egalacu f(a), spunem ca f este discontinua ın a.

In termeni grafici, o functie este continua ıntr-un punct daca graficul einu este discontinuu ın acel punct.

Definitia 1.2.8. Fie f ∶D → R si a ∈D. Spunem ca

1. f este continua la stanga ın a daca

limx↗a

f(x) = f(a)

2. f este continua la dreapta ın a daca

limx↘a

f(x) = f(a)

Teorema 1.2.6. O functie este continua ıntr-un punct daca si numai dacaeste continua la stanga si la dreapta ın acel punct.

Definitia 1.2.9. Fie f ∶ D → R. Spunem ca f este continua pe D dacaeste continua ın orice a ∈D.

Aplicatie: Sa se studieze continuitatea functiilor√x, 1

x , [x] pe domeni-ile lor de definitie.

Alte exemple de functii continue: functiile polinomiale, rationale, expo-nentiale, logaritmice, trigonometrice sunt continue pe domeniile pe care suntdefinite.

Teorema 1.2.7. Fie f, g ∶ D → R doua functii ocntinue ın a ∈ D si α ∈ R.Atunci si functiile:

f + g, f − g, fg, αf,f

g, fα

sunt continue ın a (ın cazul ın care acestea sunt bine definite ın a).

Teorema 1.2.8. Fie functiile f ∶ A → B, g ∶ B → R si a ∈ A. Daca f estecontinua ın a, iar g este continua ın f(a), atunci si g ○ f este continua ın a.

9

Teorema 1.2.9 (Weierstrass). Fie o functie f ∶ [a, b] → R continua.Atunci exista x1, x2 ∈ [a, b] astfel ıncat

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x ∈ [a, b].

m = f(x1) se numeste valoare minima a lui f , iar M = f(x2) se numestevaloare maxima a lui f .

O astfel de functie, care are proprietatea ca

∃C > 0 astfel ıncat ∣f(x)∣ < C

se numeste marginita. Asadar, o functie continua definita pe un intervalcompact (ınchis si marginit), este marginita si ısi atinge marginile.

Problemele de maxim si minim apar foarte des ın aplicatii practice. Teo-rema anterioara arata existenta maximului si minimului unei functii, insa nuspune nimic despre cum putem gasi aceste valori, lucru care va fi ınsa posibilcu ajutorul instrumentelor date de calculul diferential.

Aplicatie: Sa se gaseasca aria maxima a unui dreptunghi de perimetru200.

Teorema 1.2.10. Fie f ∶ I → R continua, unde I este un interval. Atuncif are proprietatea ca:

∀a, b ∈ I, a < b,∀λ ıntre f(a) si f(b), ∃c ∈ [a, b] astfel ıncat f(c) = λ. (1.2)

Proprietatea (1.2) poarta numele proprietatea lui Darboux. Asadar, oricefunctie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux. Reciproca ınsanu este intotdeauna valabila.

Aplicatie: Sa se studieze semnul functiei f ∶ R→ R, f(x) = x3 − 4x.

1.3 Functii transcendente

1.3.1 Functia exponentiala si functia logaritmica

Definitia 1.3.1. Se numeste functie exponentiala o functie f ∶ R→ (0,∞)data prin f(x) = ax, unde a este o constanta pozitiva (a > 0).

Proprietati ale functiei exponentiale:

1. a0 = 1

2. ax+y = axay

10

3. a−x = 1ax

4. ax−y = ax

ay

5. (ax)y = axy

6. (ab)x = axbx

Trecand pe x la limita catre ±∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx→−∞

ax = 0 si limx→∞

ax =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx→−∞

ax =∞ si limx→∞

ax = 0.

Definitia 1.3.2. Se numeste functie logaritmica o functie f ∶ (0,∞) → Rdata prin f(x) = loga x, unde a este o constanta pozitiva diferita de 1 (a >0, a ≠ 1).

Proprietati ale functiei logaritmice:

1. loga 1 = 0

2. loga(xy) = loga x + loga y

3. loga ( 1x) = − loga x

4. loga (xy) = loga x − loga y

5. loga(xy) = y loga x

6. loga x =logb xlogb a

Trecand pe x la limita catre 0 sau ∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx↘0

loga x = −∞ si limx→∞

loga x =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx↘0

loga x =∞ si limx→∞

loga x = −∞.

Observatii:

(a) Pentru aceeasi valoare a constantei a > 0, a ≠ 1, functiile exponentiala silogaritmica corespunzatoare sunt inverse una alteia. Asadar, avem:

loga(ax) = x, ∀x ∈ Raloga x = x, ∀x > 0.

11

(b) Doua cazuri particulare de functii exponentiale, respectiv logaritmice pecare le vom folosi des sunt cele obtinute pentru cazul particular ın careconstanta a este numarul irational

e = limx→∞(1 + 1

x)x

= 2,71828...

si anume

f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex

g ∶ (0,∞)→ R, g(x) = loge x = lnx.

(c) Functiile exponentiala si logaritmica sunt functii continue pe domeniilelor de definitie.

1.3.2 Functiile trigonometrice si inversele lor

Fie un sistem cartezian de coordonate xOy si un cerc de raza 1 cu cen-trul ın originea acestui sistem, pe care ıl vom numi cercul trigonometric.Consideram acum o a treia axa de numere reale, cu originea ın punctul decoordonate (1,0), perpendiculara pe axa Ox si avand aceeasi orientare ca siaxa Oy. Infasurand aceasta axa pe cercul trigonometric, gasim ca fiecaruinumar real t de pe aceasta axa ıi corespunde un punct Pt pe cercul trigono-metric. Astfel, punctele de coordonate (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1) vorcorespunde numerelor reale 0, π

2 , π,3π2 .

Definim acum functiile

cos, sin ∶ R→ [−1,1]

asociiind fiecarui numar real t valorile coordonatelor punctului corespunzatorPt de pe cercul trigonometric. Astfel, cos t si sin t sunt abscisa, respectivordonata punctului corespunzator lui t de pe cercul trigonometric.

Definim acum functia

tg ∶ R ∖ {(2k + 1)π2; k ∈ Z}→ R, tgx = sinx

cosx.

Aplicatie: Sa se scrie valorile functiilor trigonometrice sin, cos si tgcorespunzatoare urmatoarelor numere reale:

0,π

6,π

4,π

3,π

2,3π

4, π,

7π

6,3π

2,5π

3,2π

Proprietati ale functiilor trigonometrice:

12

(a) sin2 t + cos2 t = 1

(b) functiile sin si cos sunt periodice de perioada 2π, iar functia tg esteperiodica de perioada π:

cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t, tg(t + π) = tgt

(c) functia cos este para, iar functiile sin si tg sunt impare:

cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t, tg(−t) = −tgt

(d) cos (π2 − t) = sin t si sin (π2 − t) = cos t

(e) functiile sin, cos si tg sunt continue pe domeniile lor de definitie.

Restrangand domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice definitemai sus astfel ıncat ele sa devina bijective, putem defini inversele lor:

arcsin ∶ [−1,1]→ [−π2,π

2]

arccos ∶ [−1,1]→ [0, π]

arctg ∶ R→ (−π2,π

2)

1.3.3 Limite fundamentale

Teorema 1.3.1. Exista urmatoarele limite fundamentale:

1. limx→0

sinx

x= lim

x→0

tgx

x= lim

x→0

arcsinx

x= lim

x→0

arctgx

x= 1

2. limx→0

ln(x + 1)x

= 1

3. limx→0

ax − 1x= lna

4. limx→0

(1 + x)a − 1x

= a

13

Capitolul 2

Siruri si serii de numere reale

2.1 Siruri de numere reale

2.1.1 Definitie. Marginire. Monotonie

Definitia 2.1.1. Se numeste sir de numere reale (an)n∈N o functie n→ andefinita pe multimea N a numerelor naturale si cu valori reale. Numerelea1, a2, a3, . . . se numesc termenii sirului, iar an se numeste termenulgeneral al sirului.

Asadar putem identifica un sir cu multimea valorilor acestei functii, vazutaca o secventa infinita dar numarabila de numere reale. Exemple:

an = n; {1,2,3,4, . . .}

an = (−1

2)n

; {−12,1

4,−1

8, . . .}

an =n − 1n

; {0, 12,2

3,3

4, . . . ,}

an = (1 +1

n)n

, {2,(23)2

,(43)3

, . . .}

Unele siruri sunt date printr-o relatie de recurenta, adica sunt precizateuna sau mai multe valori initiale, iar termenul general este dat ın functie deanteriorii. Exemple:

a1 = 1, an+1 = an + 2, n ≥ 1 (progresie aritmetica de ratie 2)

a1 = 1, an+1 = 3an, n ≥ 1 (progresie geometrica de ratie 3)

a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an, n ≥ 1 (sirul lui Fibonacci)

14

Definitia 2.1.2. Spunem ca sirul (an)n∈N este marginit daca exista m,M ∈R astfel ıncat m ≤ an ≤ M, ∀n ∈ N. In cazul ın care doar una din celedoua inegalitati este satisfacuta, spunem ca sirul este marginit inferior(respectiv marginit superior)

Definitia 2.1.3. Spunem ca sirul (an)n∈N este crescator (respectiv de-screscator) daca an+1 ≥ an, ∀n ∈ N (respectiv an+1 ≤ an, ∀n ∈ N).

Un sir care este crescator sau descrescator se numeste monoton.

2.1.2 Convergenta

Definitia 2.1.4. Spunem ca sirul (an)n∈N are limita L cand n tinde catre∞ si scriem

limn→∞

an = L

daca pentru orice ε > 0, exista N ∈ N (depinzand de ε) astfel ıncat

n ≥ N ⇒ ∣an −L∣ < ε. (2.1)

Daca ınlocuim ın definitia de mai sus L cu ∞ si ∣an − L∣ < ε cu an > ε,obtinem un sir cu limita ∞. Un sir care are limita finita L ∈ R se numesteconvergent, iar un sir care nu are limita sau are limita infinita se numestedivergent.

Limita unui sir poate fi privita ca limita unei functii atunci cand argu-mentul acesteia tinde catre infinit:

daca limx→∞

f(x) = L si an = f(n), atunci limn→∞

an = L. (2.2)

Teorema 2.1.1. Fie (an)n∈N si (bn)n∈N doua siruri convergente si o constantaα ∈ R. Atunci avem:

1. limn→∞(an ± bn) = lim

n→∞an ± lim

n→∞bn

2. limn→∞(αan) = α lim

n→∞an

3. limn→∞

anbn = ( limn→∞

an)( limn→∞

bn)

4. limn→∞

anbn= limn→∞ anlimn→∞ bn

(daca limn→∞ bn ≠ 0)

5. daca an ≤ bn, ∀n ≥ N , atunci limn→∞

an ≤ limn→∞

bn

6. daca an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ N , si limn→∞

an = limn→∞

cn = L, atunci limn→∞

bn = L.

15

Aplicatie: Sa se calculeze limitele:

limn→∞

2n2 − n − 15n2 + n − 3

; limn→∞

cosn

n; lim

n→∞(√n2 + 2n − n).

Teorema 2.1.2. Orice sir convergent este marginit.

Demonstratie. Fie L = limn→∞

an. Conform definitiei limitei, pentru ε = 1 exista

N ≥ 1 astfel ıncat∣an −L∣ < 1, ∀n ≥ N

de unde rezulta ca∣an∣ < ∣L∣ + 1, ∀n ≥ N

DefinindK =max{∣a1∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣+1}, din inegalitatea anterioara obtinemca

∣an∣ ≤K, ∀n ∈ N,ceea ce ınseamna ca (an) este marginit.

Teorema 2.1.3. Orice sir crescator si marginit superior este convergent.Orice sir descrescator si marginit inferior este convergent.

Asadar, orice sir monoton si marginit este convergent.

Corolar 2.1.1. Fie (an)n∈N un sir crescator. Daca (an) este marginit su-perior, atunci este convergent, iar daca este nemarginit superior atunci estedivergent si are limita ∞.

Aplicatie: Sa se arate ca sirul recurent

a1 = 1, an+1 =√6 + an, n ≥ 1

este convergent si sa se gaseasca limita lui.

2.2 Serii de numere reale

2.2.1 Definitie. Convergenta

Definitia 2.2.1. Se numeste serie de numere reale o suma infinita

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . ;

an se numeste termenul general al seriei, iar sirul

Sn =n

∑k=1

an = a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an, n ≥ 1

se numeste sirul sumelor partiale.

16

Exemple de serii:

∞∑n=1

1

n= 1 + 1

2+ 1

3+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

n+ . . . (seria armonica)

∞∑n=0

an = 1 + a + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . , a ∈ R (seria geometrica)

Definitia 2.2.2. Spunem ca seria ∑∞n=1 an este convergenta daca sirulsumelor partiale Sn corespunzator seriei converge catre o valoare finita S ∈ R,numita suma seriei. In caz contrar, spunem ca seria este divergenta.

Aplicatii:

1. Sa se studieze convergenta seriei geometrice dupa valorile parametruluia ∈ R;

2. Sa se arate ca seria∞∑n=1

1

n(n + 1)este convergenta si sa se calculeze suma ei.

Teorema 2.2.1. Daca seria ∑∞n=1 an este convergenta, atunci limn→∞

an = 0.

Asadar o conditie necesara pentru convergenta unei serii este ca termenulei general sa convearga catre 0. Daca acest lucru nu se ıntampla, atunci seriaeste divergenta.

Aplicatie: Sa se arate ca∞∑n=1

n

2n − 1este divergenta.

Teorema 2.2.2. Fie seriile∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn convergente catre A, respectiv B.

Atunci:

(a)∞∑n=1

αan este convergenta catre αA (unde α ∈ R);

(b)∞∑n=1(an ± bn) este convergenta catre A ±B;

(c) Daca an ≤ bn, ∀n ≥ 1, atunci A ≤ B.

Teorema 2.2.3. Fie seria armonica generalizata∞∑n=1

1

np, unde p ∈ R. Atunci:

1. daca p ≤ 1, atunci seria este divergenta;

17

2. daca p > 1, atunci seria este convergenta.

Definitia 2.2.3. Se numeste serie alternata o serie de forma ∑(−1)nan,cu an ≥ 0, ∀n ∈ N, asadar produsul oricaror doi termeni consecutivi estenegativ.

Teorema 2.2.4 (Criteriul lui Leibniz). Fie o serie alternata ∑(−1)nan.Daca sirul an este descrescator si convergent catre 0, atunci seria este con-vergenta.

Definitia 2.2.4. Spunem ca seria∞∑n=1

an este absolut convergenta daca

seria modulelor∞∑n=1∣an∣ este convergenta.

Teorema 2.2.5. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Reciproca acestei teoreme nu este valabila. Exista serii convergente carenu sunt si absolut convergente. Astfel de serii se numesc semiconvergente.

Aplicatie: Seria∞∑n=1(−1)n 1

n2este absolut convergenta, iar

∞∑n=1(−1)n 1

neste

semiconvergenta.

2.2.2 Serii cu termeni pozitivi

O serie cu termeni pozitivi este o serie ın care termenul general este pozitiv:an ≥ 0, ∀n ≥ 1. Pentru astfel de serii avem la dispozitie un numar de criteriipentru a stabili convergenta lor, fara ınsa a putea gasi suma lor.

Un prim tip de criterii sunt cele de comparatie, ın care este stabilitanatura unei serii cu ajutorul unei alte serii a carei natura este cunoscuta:

Teorema 2.2.6 (Criteriul 1 de comparatie). Fie doua serii cu termeni poz-itivi ∑an si ∑ bn astfel ıncat an ≤ bn, ∀n ≥ N , unde N ∈ N fixat. Atunci:

1. daca ∑ bn este convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

2. daca ∑an este divergenta, atunci si ∑ bn este divergenta.

Aplicatie: Sa se stabileasca natura seriilor:

∞∑n=1

1

2n + 1;∞∑n=1

3n + 1n3 + 1

;∞∑n=2

1

lnn.

Teorema 2.2.7 (Criteriul 3 de comparatie). Fie doua serii cu termeni poz-itivi ∑an si ∑ bn astfel ıncat exista limita L = limn→∞

anbn. Daca 0 < L < ∞,

atunci cele doua serii au aceeasi natura.

18

Aplicatie: Sa se stabileasca natura seriilor:∞∑n=1

1√n + 1

;∞∑n=1

n + 5n3 − 2n + 3

.

In continuare prezentam cateva criterii de convergenta ın care natura uneiserii este gasita prin calculul unor limite:

Teorema 2.2.8 (Criteriul radacinii). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an

astfel ıncat exista limita L = limn→∞

n√an. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Aplicatie: Sa se stabileasca natura seriilor:

∞∑n=1

2n+1

nn;

∞∑n=1( n

n + 1)n2

Teorema 2.2.9 (Criteriul raportului). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an

astfel ıncat exista limita L = limn→∞

an+1an

. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Aplicatie: Sa se stabileasca natura seriilor:∞∑n=1

99n

n!;

∞∑n=1

n5

2n

∞∑n=1

n!

nn;

∞∑n=1

(2n)!(n!)2

.

Observam ca niciunul din cele doua criterii anterioare nu precizeaza naturaseriei daca limita L = 1. Pentru astfel de situatii se poate utiliza urmatorulrezultat:

Teorema 2.2.10 (Criteriul Raabe-Duhamel). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an astfel ıncat exista limita L = limn→∞

n( anan+1

− 1). Atunci:

1. daca L > 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L < 1, atunci seria este divergenta.

Aplicatie: Sa se stabileasca natura seriei∞∑n=1

1 ⋅ 5 ⋅ 9 . . . (4n − 3)4nn!

19

Capitolul 3

Derivabilitate. Serii de puteri

3.1 Functii derivabile

3.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale

Definitia 3.1.1. Fie o functie f ∶ I → R, unde I este un interval si a ∈ I.Se numeste derivata a functiei f ın a, limita

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x − a

daca aceasta exista. Daca limita de mai sus este finita, spunem ca f estederivabila ın a.

Teorema 3.1.1. Daca functia f ∶ I → R este derivabila ın a ∈ I, atunci estecontinua ın a.

Derivata unei functii intr-un punct, daca exista, este egala cu panta tan-gentei la graficul functiei ın acel punct. Asadar, derivata ne da o masura avitezei cu care creste (sau scade) functia ın vecinatatea acelui punct.

Definitia 3.1.2. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste derivata la stanga(respectiv la dreapta) limita

f ′s(a) = limx↗a

f(x) − f(a)x − a

(respectiv f ′d(a) = limx↘a

f(x) − f(a)x − a

)

daca aceasta exista. Daca limita este finita, spunem ca f este derivabilala stanga (respectiv la dreapta) ın a.

Teorema 3.1.2. Fie f ∶ I → R si un punct interior a ∈ I. Atunci f arederivata ın a daca si numai daca exista ambele derivate laterale ın a si suntegale.

20

Definitia 3.1.3. Spunem ca functia f ∶ I → R este derivabila pe I dacaeste derivabila ın orice a ∈ I.

Definitia 3.1.4. Fie f ∶ I → R derivabila. Functia f ′ ∶ I → R care asociazafiecarui punct x ∈ I valoarea derivatei f ′(x) se numeste functia derivataa lui f .

3.1.2 Derivatele functiilor elementare

Teorema 3.1.3. Urmatoarele functii sunt derivabile si au urmatoarele derivate:

1. f ∶ R→ R, f(x) = c, c ∈ R; f ′(x) = 0, ∀x ∈ R;

2. f ∶ R→ R, f(x) = x; f ′(x) = 1, ∀x ∈ R;

3. f ∶ R→ R, f(x) = xn, n ∈ N; f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R;

4. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) =√x; f ′(x) = 1

2√x, ∀x ∈ (0,∞);

5. f ∶ R ∖ {0}→ R, f(x) = 1x ; f ′(x) = − 1

x2 , ∀x ≠ 0;

6. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = xα, α ∈ R; f ′(x) = αxα−1, ∀x ∈ (0,∞);

7. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex; f ′(x) = ex, ∀x ∈ R;

8. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ax, a > 0; f ′(x) = ax lna, ∀x ∈ R;

9. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = lnx; f ′(x) = 1x , ∀x > 0;

10. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = loga x, a > 0, a ≠ 1; f ′(x) = 1x lna , ∀x > 0;

11. f ∶ R→ R, f(x) = sinx; f ′(x) = cosx, ∀x ∈ R;

12. f ∶ R→ R, f(x) = cosx; f ′(x) = − sinx, ∀x ∈ R;

13. f ∶ R ∖ {(2k + 1)π2}→ R, f(x) = tgx; f ′(x) = 1cos2 x , ∀x ≠ (2k + 1)

π2 ;

14. f ∶ [−1,1]→ [−π2 ,

π2] , f(x) = arcsinx; f ′(x) = 1√

1−x2, ∀x ∈ (−1,1);

15. f ∶ [−1,1]→ [0, π] , f(x) = arccosx; f ′(x) = − 1√1−x2

, ∀x ∈ (−1,1);

16. f ∶ R→ (−π2 ,

π2) , f(x) = arctgx; f ′(x) = 1

1+x2 , ∀x ∈ R;

21

3.1.3 Operatii cu functii derivabile

Teorema 3.1.4. Fie functiile f, g ∶ I → R derivabile si α ∈ R. Atunci sifunctiile f ±g, (αf), fg, f/g (pentru g(x) ≠ 0) sunt derivabile, iar derivatelelor sunt date de:

(f ± g)′ = f ′ ± g′

(αf)′ = αf ′

(fg)′ = f ′g + fg′

(fg)′= f ′g − fg′

g2.

Teorema 3.1.5. Fie functiile f ∶ I → J si g ∶ J → R derivabile. Atunci sifunctia compusa g ○ f ∶ I → R este derivabila, iar derivata ei este data prin:

(g ○ f)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f ′(x), ∀x ∈ I.

Teorema 3.1.6. Fie functia f ∶ I → J strict monotona si derivabila. Atunciexista functia inversa f−1 ∶ J → I, este derivabila, iar derivata ei este datade:

(f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)), ∀y ∈ J.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca valorile a, b ∈ R pentru care functia

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + b, x < 02 sinx + 3 cosx, x ≥ 0

2. Sa se calculeze derivatele functiilor:

(a) f(x) = 3 3√x2 − 2√

x3

(b) f(x) =√x (5 − x − x2

3 )

(c) f(x) = x5√3+x6

(4+x2)3

(d) f(x) = sin√x

1+cos√x

3. Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie ale axei Ox cutangentele la graficul functiei f(x) = x+1

x−3 care formeaza unghiul 3π4 cu

axa Ox;

22

3.2 Aplicatii ale derivabilitatii

3.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie

Definitia 3.2.1. Fie functia f ∶ I → R si a ∈ I. Spunem ca a este un punctde minim (respectiv maxim) local daca exista o vecinatate V a lui a astfelıncat

f(x) ≥ f(a)(respectiv f(x) ≤ f(a)), ∀x ∈ V ∩ I. (3.1)

Daca a este punct de maxim sau minim local al functiei f , atunci spunemca este punct de extrem local al lui f . Daca una dintre inegalitatile de la(3.1) are loc pentru orice x ∈ I, spunem ca este un punct de extrem global allui f .

Teorema 3.2.1 (Fermat). Fie f ∶ I → R si a un punct de extrem local dininteriorul lui I. Daca f are derivata ın a, atunci aceasta este nula:

f ′(a) = 0.

Un punct ın care derivata functiei f se anuleaza se numeste punct stationar(sau critic) al lui f . Reciproca teoremei lui Fermat nu este ınsa valabila, ınsensul ca nu orice punct critic este si punct de extrem.

Teorema 3.2.2 (Rolle). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

3. f(a) = f(b),

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) ın care derivata se anuleaza:

f ′(c) = 0.

Teorema 3.2.3 (Lagrange). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)b − a

= f ′(c) (3.2)

23

Teorema lui Lagrange este o generalizare a teoremei lui Rolle. Formula(3.2) poarta numele de formula cresterilor finite.

O alta aplicatie a derivabilitatii, consecinta a teoremei lui Lagrange, estestabilirea monotoniei unei functii:

Teorema 3.2.4. Fie f ∶ I → R o functie derivabila pe I, unde I este uninterval deschis. Atunci avem:

1. daca f ′(x) = 0, ∀x ∈ I, atunci f este constanta pe I;

2. daca f ′(x) > 0, ∀x ∈ I, atunci f este crecatoare pe I;

3. daca f ′(x) < 0, ∀x ∈ I, atunci f este descrecatoare pe I.

Asadar studiind semnul derivatei unei functii putem trage concluzii asuprapunctelor de extrem si a monotoniei acestei functii.

Urmatoarea teorema este o generalizare a teoremei lui Lagrange:

Teorema 3.2.5 (Cauchy). Fie functiile f, g ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f si g sunt continue pe [a, b];

2. f si g sunt derivabile pe (a, b);

3. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b);

atunci g(a) ≠ g(b) si exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

= f ′(c)g′(c)

. (3.3)

Aplicatie: Folosind rezultatele anterioare referitoare la puncte de extremsi monotonie, sa se schiteze graficele functiilor:

1. f ∶ [−2,2]→ R, f(x) = x4 − 2x2 − 3

2. f ∶ R→ R, f(x) = xe−x2

3. f ∶ R ∖ {0}→ R, f(x) = x2+2x+42x

4. f ∶ R ∖ {−2,2}→ R, f(x) = x2−1x2−4

O alta aplicatie a derivabilitatii este ın calculul unor limite pentru cazurilede nedeterminare 0

0 si ∞∞ .

24

Teorema 3.2.6 (Regula lui l’Hospital pentru cazul 00). Fie doua functii

f, g ∶ (a, b)→ R derivabile si c ∈ (a, b). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b);

2. limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x)

= L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x)

= L.

Teorema 3.2.7 (Regula lui l’Hospital pentru cazul ∞∞). Fie doua functiif, g ∶ (a, b)→ R derivabile si c ∈ (a, b). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b);

2. limx→c

g(x) = ±∞;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x)

= L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x)

= L.

Regulile lui l’Hospital enuntate mai sus raman valabile si daca se ınlocuiesclimitele lim

x→ccu lim

x↘asau lim

x↗b, chiar si atunci cand a = −∞ sau b =∞.

Aplicatie: Folosind regulile l’Hospital, sa se calculeze limitele:

1. limx→1

lnx

x2 − 1

2. limx→0

2 sinx − sin 2x2ex − x2 − 2x − 2

3. limx→∞

x2

ex

4. limx↘0

xa lnx, unde a > 0

5. limx→∞(1 + sin 3

x)x

25

3.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor

Definitia 3.2.2. Fie f ∶ I → R o functie derivabila. Daca functia derivataf ′ ∶ I → R este la randul ei derivabila pe I, derivata acesteia se numestederivata a doua a lui f si se noteaza cu f ′′.

In mod similar se pot defini derivatele de ordin 3, 4, si in general derivatade ordin n, notata prin f (n).

Aplicatie: Sa se gaseasca derivatele de ordinul n ale functiilor:

f(x) = 1

1 + x; g(x) = sin(ax + b).

Multe probleme ingineresti sunt prea dificile pentru a putea fi rezolvateexact, motiv pentru care ın multe situatii se opteaza pentru solutii aproxima-tive cu o toleranta acceptabila. O alta aplicatie a derivatelor este ın gasireaunor aproximari polinomiale pentru o functie ın vecinatatea unui punct dat.

Definitia 3.2.3. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste linearizare a functieif ın vecinatatea lui a, functia de gradul 1 definita prin

P1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)

Graficul linearizarii ın a este de fapt chiar tangenta la graficul functiei fın punctul corespunzator lui a. Asadar, P1(x) descrie comportamentul luif(x) ın vecinatatea lui a mai bine decat orice alta functie de gradul 1.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca linearizarile functiilor√1 + x ın jurul lui 0 si 1

x ın jurullui 1

2 .

2. Folosind linearizarea lui√x ın jurul lui 25, sa se gaseasca o valoare

aproximativa a lui√26.

Daca functia f ∶ I → R admite derivate de ordin superior ın vecinatatealui a ∈ I, atunci putem gasi aproximari mai bune pentru f ın vecinatatealui a, folosind polinoame de grad superior (2,3,...). Astfel, aproximarea deordinul 2

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)2(x − a)2

descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai bine decat aproximareade ordinul 1 (linearizarea) si decat orice alta functie polinomiala de gradul 2.

Pe cazul general, daca f admite derivate de ordin n pe un interval deschiscontinandu-l pe a, atunci polinomul

Pn(x) = f(a) +f ′(a)1!(x − a) + f ′′(a)

2!(x − a)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)(a)

n!(x − a)n (3.4)

26

are proprietatea ca derivatele lui calculate ın a sunt egale cu cele ale functieif ın a:

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f ′(a), . . . , P(n)n (a) = f (n)(a)

si ın consecinta descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai binedecat orice alt polinom de grad n.

Polinomul definit de (3.4) se numeste polinom Taylor de grad n al luif ın a.

Aplicatie: Sa se gaseasca polinomul Taylor de ordinul n corespunzatorfunctiei ex ın vecinatatea lui 0, si cu ajutorul acestuia sa se aproximezenumarul e.

Teorema 3.2.8 (Formula lui Taylor). Fie f ∶ I → R o functie derivabilade n + 1 ori si a ∈ I. Atunci pentru orice x ∈ I avem:

f(x) = f(a) + f ′(a)1!(x − a) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)(a)

n!(x − a)n

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Pn(x)

+ f(n+1(ξ)(n + 1)!

(x − a)n+1

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En(x)

unde ξ este un numar ıntre a si x.

Cantitatea En(x) se numeste restul lui Lagrange si ne da o masura aerorii aproximarii cu ajutorul polinomului Taylor de ordinul n:

En(x) = f(x) − Pn(x)

3.3 Serii de puteri

Definitia 3.3.1. O serie de forma

∞∑n=0

an(x − a)n = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + . . .

se numeste serie de puteri ale lui x−a. Termenii sirului (an)n∈N se numesccoeficientii seriei de puteri.

Un exemplu de serie de puteri este seria geometrica

∞∑n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .

care este convergenta pentru orice x ∈ (−1,1), avand suma 11−x .

27

Teorema 3.3.1. Fie seria de puteri∞∑n=0

an(x − a)n. Atunci avem una din

urmatoarele trei variante:

(i) seria este convergenta numai pentru x = a;

(ii) seria este convergenta pentru orice x ∈ R;

(iii) exista R > 0 astfel ıncat seria este convergenta ∀x ∈ (a − R,a + R) sidivergenta ∀x ∈ (−∞, a −R) ∪ (a +R,∞).

Numarul real R care apare ın varianta (iii) se numeste raza de convergentaa seriei. Astfel, variantele (i) si (ii) corespund razelor de convergenta 0,respectiv ∞. De asemenea, observam ca ın varianta (iii) nu se specificanimic despre convergenta seriei pentru x = a −R si x = a +R.

Teorema 3.3.2. Raza de convergenta a unei serii de puteri∞∑n=0

an(x − a)n

este R = 1L , unde

L = limn→∞∣an+1an∣ sau L = lim

n→∞n√∣an∣.

Daca L =∞ atunci R = 0, iar daca L = 0 atunci R =∞.

Aplicatie: Sa se determine multimea de convergenta a seriilor de puteri:

∞∑n=0

(2x + 5)n(n2 + 1)3n

,∞∑n=0

xn

n!,∞∑n=0

n!xn.

Definitia 3.3.2. Fie f ∶ I → R si a ∈ I astfel ıncat f are derivate de oriceordin ın a. Atunci seria de puteri

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(x − a)n = f(a) + f ′(a)1!(x − a) + f ′′(a)

2!(x − a)2 + . . .

se numeste seria Taylor asociata functiei f ın punctul a. Daca a = 0,atunci seria Taylor corespunzatoare

∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn

se numeste seria MacLaurin asociata lui f .

Aplicatie: Sa se gaseasca seriile MacLaurin corespunzatoare functiilor

ex, cosx, sinx,1

1 − x, ln(1 + x), arctgx

precizand si multimile de convergenta corespunzatoare.

28

Capitolul 4

Functii de mai multe variabile

4.1 Definitie. Limite. Continuitate

Multe cantitati pot fi privite ca depinzand de mai mult de o variabila reala,deci sunt functii de mai multe variabile reale. Spre exemplu, volumul unuicilindru circular este V = πr2h, asadar depinde de raza bazei r si de ınaltimeah. Functia corespunzatoare este

V ∶ {(r, h)∣r > 0, h > 0}→ R, V (r, h) = πr2h

Domeniul de definitie al functiei de mai sus este o submultime a multimiiR2 = {(x, y)∣x ∈ R, y ∈ R}, iar codomeniul este R. In mod similar putemdefini functii de mai multe variabile definite pe spatiul n-dimensional

Rn = {(x1, x2, . . . , xn)∣xi ∈ R, i = 1,2, . . . , n}

si cu valori reale. Asadar o functie

f ∶D ⊂ Rn → R

se numeste functie reala de n variabile reale.Aplicatie: Sa se reprezinte grafic urmatoarele functii de doua variabile:

1. f ∶ D → R, f(x, y) = 3 (1 − x2 −

y4), unde D = {(x, y)∣0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

4 − 2x}

2. f ∶D → R, f(x, y) =√9 − x2 − y2, unde D = {(x, y)∣x2 + y2 ≤ 9}

La fel ca si ın cazul functiilor reale de o variabila, putem defini notiuneade limita a unei functii de doua variabile ıntr-un punct.

29

Definitia 4.1.1. Fie f ∶ D ⊂ R2 → R si (a, b) un punct aderent lui D (oricevecinatate a lui contine cel putin ınca un punct din domeniul D). Spunemca f are limita L cand (x, y) tinde catre (a, b) si scriem

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

(x, y) ∈D,√(x − a)2 + (y − b)2 < δ⇒ ∣f(x, y) −L∣ < ε.

Teorema 4.1.1. Fie f, g ∶D → R doua functii care au limitele

L = lim(x,y)→(a,b)

f(x, y); M = lim(x,y)→(a,b)

g(x, y)

ın punctul (a, b). Atunci avem:

1. lim(x,y)→(a,b)

(f(x, y) ± g(x, y)) = L ±M

2. lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y) = LM

3. lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y)

= L

Mdaca M ≠ 0.

Definitia 4.1.2. Limitele functiei de doua variabile f ∶ D → R atunci candx si y tind succesiv catre a, respectiv b

L12 = limx→a(limy→b

f(x, y)) ; L21 = limy→b(limx→a

f(x, y))

se numesc limite iterate.

Teorema 4.1.2. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile. Daca existalimita functiei ıntr-un punct si una din limitele iterate ın acest punct, atunciaceste limite sunt egale.

Aplicatie: Sa se studieze existenta limitelor functiilor

f(x, y) = 2xy

x2 + y2, g(x, y) = x2y

x2 + y2

atunci cand (x, y) tinde catre (0,0).

Definitia 4.1.3. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile si (a, b) ∈ D.Spunem ca f este continua ın (a, b) daca

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b).

30

4.2 Derivate partiale

Definitia 4.2.1. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile. Se numescderivate partiale ale lui f ın raport cu x, respectiv y, functiile

∂f

∂x(x, y) = lim

h→0

f(x + h, y) − f(x, y)h

∂f

∂y(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h) − f(x, y)h

daca aceste limite exista.

Aceste functii se obtin folosind regulile de derivare de la functii de ovariabila, considerand pe rand una din cele doua variabile ca fiind constanta.

Aplicatie: Sa se calculeze derivatele partiale ın raport cu x si y alefunctiilor:

f(x, y) = x2 sin y, g(x, y) = x3y2 + x4y + y4, h(x, y) = exy cos(x + y)

La fel ca si ın cazul functiilor de o variabila, putem defini derivate partialede ordinul doi ın felul urmator:

∂2f

∂x2= ∂

∂x(∂f∂x) ; ∂

2f

∂y2= ∂

∂y(∂f∂y)

∂2f

∂x∂y= ∂

∂x(∂f∂y) ; ∂2f

∂y∂x= ∂

∂y(∂f∂x)

Ultimele doua derivate partiale de ordinul 2 se numesc derivate partialemixte de ordinul 2. In mod similar se pot defini derivatele partiale de ordinsuperior pentru funtii de doua sau mai multe variabile.

Aplicatie: Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale functiilorf(x, y) = x3y4 si g(x, y, z) = ex−2y+3z.

Teorema 4.2.1. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile. Daca f arederivate partiale de ordinul 2 mixte si acestea sunt continue, atunci suntegale:

∂2f

∂x∂y= ∂2f

∂y∂x

Rezultate asemanatoare sunt valabile pentru derivate partiale mixte deordin superior. Cu alte cuvinte, ordinea ın care se face derivarea partiala nuinfluenteaza rezultatul final.

In continuare vom vedea cum se transcrie regula de derivare a functiilorcompuse ın cazul functiilor de mai multe variabile.

31

Teorema 4.2.2. Daca f este o functie de doua variabile x si y cu derivatepartiale de ordinul 1 continue, iar x si y sunt functii derivabile de variabilat, atunci derivata functiei compuse f(x(t), y(t)) este:

df

dt= ∂f

∂x

dx

dt+ ∂f

∂y

dy

dt

Teorema 4.2.3. Daca f este o functie de doua variabile x si y cu derivatepartiale de ordinul 1 continue, iar x si y sunt functii de variabilele s si tderivabile partial de ordinul 1, atunci derivatele partiale ale functiei compusef(x(s, t), y(s, t)) ın raport cu s si t sunt

∂f

∂s= ∂f

∂x

∂x

∂s+ ∂f

∂y

∂y

∂s∂f

∂t= ∂f

∂x

∂x

∂t+ ∂f

∂y

∂y

∂t

Aplicatie: Fie f(x, y) = sin(x2y), cu x = st2 si y = s2 + 1t . Sa se calculeze

derivatele partiale ale lui f ın raport cu s si t.

4.3 Diferentiabilitate

Definitia 4.3.1. Fie f ∶D → R o functie de doua variabile si (a, b) ∈D astfelıncat f are derivate partiale ın (a, b). Se numeste linearizare a functiei fın vecinatatea punctului (a, b), functia de gradul 1 definita prin

L(x, y) = f(a, b) + ∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − a)

La fel ca si ın cazul functiilor de o variabila, linearizarea aproximeazavalorile functiei f ın vecinatatea lui (a, b), graficul liniarizarii fiind planultangent la suprafata reprezentata de graficul lui f , ın punctul corespunzatorlui (a, b).

Aplicatie: Sa se aproximeze valoarea functiei f(x, y) =√2x2 + e2y ın

(2,2;−0,2).In cazul functiilor de o variabila, derivabilitatea garanteaza faptul ca ın

vecinatatea punctului ın care se face linearizarea, distanta dintre valoareafunctiei si valoarea data de linearizare este mica raportata la distanta panala punctul ın care se face linearizarea:

limh→0

f(a + h) −L(a + h)h

= 0.

In cazul functiilor de mai multe variabile, existenta derivatelor partiale nugaranteaza acelasi lucru, asa ıncat vom introduce notiunea de diferentiabilitate:

32

Definitia 4.3.2. Fie f ∶D → R o functie de doua variabile si (a, b) ∈D astfelıncat f are derivate partiale ın (a, b). Spunem ca f este diferentiabila ın(a, b) daca

lim(h,k)→(0,0)

f(a + h, b + k) − f(a, b) − h∂f∂x(a, b) − k

∂f∂y (a, b)√

h2 + k2= 0.

Conceptul de diferentiabilitate poate fi definit ın mod similar si pentrufunctii de mai mult de doua variabile. Teorema urmatoare arata ca existentasi continuitatea derivatelor partiale garanteaza diferentiabilitatea:

Teorema 4.3.1. Fie f ∶D → R o functie de doua variabile si (a, b) ∈D astfelıncat f are derivate partiale continue ın vecinatatea lui (a, b). Atunci f estediferentiabila ın (a, b).

4.4 Functii vectoriale de mai multe variabile

O functie vectoriala este o functie al carei domeniu de valori este Rm, cum > 1. Asadar f ∶ D ⊂ Rn → Rm asociaza fiecarui punct (x1, x2, . . . , xn) ∈ Dun alt punct (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm dat prin

y1 = f1(x1, x2, . . . , xn)y2 = f2(x1, x2, . . . , xn)⋮

ym = fm(x1, x2, . . . , xn)

unde f1, f2, . . . , fm ∶ D → R sunt functii reale de n variabile. Daca acestefunctii au derivate partiale ın raport cu x1, x2, . . . , xn, atunci variatia functieiın raport cu variabilele x1, x2, . . . , xn poate fi caracterizata cu ajutorul urmatoareimatrici:

Definitia 4.4.1. Fie o functie vectoriala f ∶D → Rm de n variabile, ale careicomponente f1, f2, . . . , fm admit derivate partiale ın raport cu x1, x2, . . . , xn.Se numeste matrice Jacobiana a lui f ın a = (a1, a2, . . . , an) ∈D matricea

Df(a) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fm∂x1

∂fm∂x2

. . . ∂fm∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

unde toate derivatele partiale sunt calculate ın a.

33

Aplicatie: Sa se gaseasca matricea Jacobiana a functiei f ∶ R2 → R3 dataprin

f(x, y) = (xey + cos(πy), x2, x − ey)

ın punctul (1,0).

Teorema 4.4.1. Fie f ∶ Rm → Rn, g ∶ Rn → Rp doua functii vectorialecare admit derivate partiale. Atunci matricea jacobiana a functiei compuseg ○ f ∶ Rm → Rp ıntr-un punct x = (x1, x2, . . . , xn) este

D(g ○ f)(x) =Dg(f(x))Df(x).

Daca ın definitia anterioara avem m = n, atunci matricea Jacobiana estepatratica, iar determinantul ei se numeste Jacobian al lui f :

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

=

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fn∂x1

∂fn∂x2

. . . ∂fn∂xn

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

4.5 Functii implicite

In studiul functiilor de o variabila ıntalnim de multe ori functii definiteimplicit ca solutii ale unor ecuatii ın doua variabile de forma

F (x, y) = 0.

Sa presupunem ca (a, b) este o solutie a ecuatiei anterioare, si ca Fare derivate partiale continue ın vecinatatea lui (a, b). Se pune problemaexistentei unei solutii y ca functie de x ın vecinatatea lui (a, b). Asadarcautam o functie y(x) definita pe un interval deschis I = (a − h, a + h) cuproprietatea ca y(a) = b si astfel ıncat

F (x, y(x)) = 0, ∀x ∈ I. (4.1)

In cazul ın care o astfel de functie exista, putem calcula derivata acesteiaın x = a derivand ecuatia F (x, y) = 0 implicit ın raport cu x si evaluandrezultatul ın (a, b):

∂F

∂x+ ∂F

∂y

dy

dx= 0

de unde obtinem

y′(a) = −∂F∂x (a, b)∂F∂y (a, b)

34

daca ∂F∂y (a, b) ≠ 0.

In mod asemanator se pot calcula si derivatele de ordin superior alefunctiei implicite y(x) calculate ın x = a.

Aplicatie: Fie functia implicita y(x) data prin

x3 + y3 + xy − y2 = 0, y(0) = 1.

Sa se gaseasca y′(0), y′′(0).

Un alt caz este acela ın care avem o ecuatie ın 3 variabile:

F (x, y, z) = 0 (4.2)

si cautam o functie implicita z(x, y) ın vecinatatea unui punct (x0, y0, z0)care satisface (4.2). Derivand ecuatia ın raport cu x si cu y obtinem:

∂F

∂x(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂x= 0

∂F

∂y(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂y= 0

de unde gasim

∂z

∂x(x0, y0) = −

∂F∂x (x0, y0, z0)∂F∂z (x0, y0, z0)

∂z

∂y(x0, y0) = −

∂F∂y (x0, y0, z0)∂F∂z (x0, y0, z0)

daca ∂F∂z (x0, y0, z0) ≠ 0.

Aplicatie: Fie functia implicita z(x, y) data prin

(x + y)ez − xy − z = 0, z(2,2) = 0.

Sa se gaseasca derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale lui z(x, y), calculateın (2,2).

Un al treilea caz este acela ın care avem un sistem de ecuatii

F (u, v, x, y) = 0G(u, v, x, y) = 0

35

si cautam functiile implicite x(u, v) si y(u, v) ın vecinatatea unui punct(u0, v0, x0, y0) care satisface sistemul anterior. Derivand cele doua ecuatiiın raport cu u obtinem:

∂F

∂x

∂x

∂u+ ∂F

∂y

∂y

∂u+ ∂F

∂u= 0

∂G

∂x

∂x

∂u+ ∂G

∂y

∂y

∂u+ ∂G

∂u= 0

Rezolvand sistemul anterior ın necunoscutele ∂x∂u si ∂y

∂u gasim:

∂x

∂u= −

∂(F,G)∂(u,y)∂(F,G)∂(x,y)

∂y

∂u= −

∂(F,G)∂(x,u)∂(F,G)∂(x,y)

care pot fi evaluate ın (u0, v0) daca ∂(F,G)∂(x,y) (u0, v0, x0, y0) ≠ 0.

In mod asemanator se gasesc si derivatele lui x si y ın raport cu v calculateın (u0, v0).

Sa enuntam acum rezultatul general care include toate cele 3 cazuri par-ticulare anterioare:

Teorema 4.5.1 (Teorema functiilor implicite). Fie sistemul

F1(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0⋮Fn(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0

si un punct P0 = (a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn) care satisface sistemul de maisus. Daca avem:

(i) F1, F2, . . . , Fn au derivate partiale continue ın raport cu x1, . . . , xm, y1, . . . , ynın vecinatatea lui P0;

(ii) ∂(F1,...,Fn)∂(y1,...,yn) (P0) ≠ 0;

Atunci exista functiile implicite yi(x1, . . . , xm), i = 1, . . . , n definite pe ovecinatate a lui (a1, . . . , am) astfel ıncat :

1. yi(a1, . . . , am) = bi, ∀i = 1, . . . , n;

2. Fi ((x1, . . . , xm, y1(x1, . . . , xm), . . . , yn(x1, . . . , xm)) = 0, ∀i = 1, . . . , n

36

Mai mult, aceste functii implicite au derivate partiale continue ın vecinatatealui (a1, . . . , am) date prin:

∂yi∂xj

=∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,xj ,...,yn)∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,yj ,...,yn)

4.6 Puncte de extrem pentru functii de mai

multe variabile

Definitia 4.6.1. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R.

1. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈ D se numeste minim local al lui f dacaexista o vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≥ f(a1, . . . , an),pentru orice (x1, . . . , xn) ∈ V ∩D;

2. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈ D se numeste maxim local al lui f dacaexista o vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an),pentru orice (x1, . . . , xn) ∈ V ∩D.

Teorema 4.6.1. Fie o functie de n variabile f ∶ D ⊂ Rn → R si a =(a1, . . . , an) un punct interior lui D. Daca f are ın punctul a un extremlocal si admite derivate partiale de ordinul 1 ın acest punct, atunci acestederivate se anuleaza ın a:

∂f

∂xi

(a1, . . . , an) = 0, ∀i = 1, . . . , n.

Un punct care are proprietatea de mai sus ca derivatele partiale se an-uleaza, se numeste punct stationar (sau critic) al lui f . Teorema anterioarane spune ca punctele de extrem local ale unei functii se gasesc printre punctelecritice. Teoremele urmatoare precizeaza care dintre punctele critice sunt ıntr-adevar si puncte de extrem:

Teorema 4.6.2. Fie o functie de 2 variabile f ∶ D ⊂ R2 → R derivabilapartial de 3 ori pe D si (a, b) ∈D un punct stationar al lui f . Notam cu

∆ = ( ∂2f

∂x∂y(a, b))

2

− ∂2f

∂x2(a, b)∂

2f

∂y2(a, b).

Atunci avem:

1. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) > 0, atunci (a, b) este punct de minim local;

37

2. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) < 0, atunci (a, b) este punct de maxim local;

3. Daca ∆ > 0, atunci (a, b) nu este punct de extrem local.

Aplicatie: Sa se determine punctele de extrem ale functiei

f(x, y) = x4 + y4 − x2 − y2.

Teorema 4.6.3. Fie o functie de n variabile f ∶ D ⊂ Rn → R derivabilapartial de 3 ori pe D si (a1, . . . , an) ∈ D un punct stationar al lui f . Notamcu

Aij =∂2f

∂xi∂xj

(a1, . . . , an), ∀i, j = 1, . . . , n.

Atunci avem:

1. Daca numerele

∆1 = A11, ∆2 = ∣A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆n =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de minim local;

2. Daca numerele

∆∗1 = −A11, ∆∗2 = ∣A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆∗n = (−1)n

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de maxim local;

Aplicatie: Sa se determine punctele de extrem ale functiei

f(x, y, z) = y + z2

4y+ x2

z+ 2

x, x > 0, y > 0, z > 0.

38

Capitolul 5

Calcul integral

5.1 Integrala nedefinita

5.1.1 Primitive

Definitia 5.1.1. Fie f ∶ I → R unde I este un interval de numere reale. Senumeste primitiva a lui f pe I o functie F ∶ I → R cu proprietatea ca estederivabila si

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Urmatoarea teorema arata ca daca o functie admite o primitiva, atunciaceasta nu este unica:

Teorema 5.1.1. Fie f ∶ I → R si F o primitiva a lui f . Atunci oricare ar fiC ∈ R, functia G ∶ I → R definita prin

G(x) = F (x) +C, ∀x ∈ I

este de asemenea o primitiva a lui f . Mai mult, orice alta primitiva a lui fpe I este de aceasta forma.

Asadar daca avem o primitiva a unei functii f , putem obtine o infinitatede alte primitive prin adaugarea unei constante arbitrare reale, lucru careeste datorat faptului ca derivata oricarei functii constante este nula.

Definitia 5.1.2. Multimea tuturor primitivelor unei functii f ∶ I → R senoteaza cu

∫ f(x)dx

si se numeste integrala nedefinita a functiei f .

39

Din teorema anterioara deducem ca

∫ f(x)dx = {F (x) +C ∣ F primitiva a lui f si C ∈ R}

Teorema 5.1.2. Exista urmatoarele integrale nedefinite:

1. ∫ xαdx = xα+1

α+1 +C, x ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1xdx = ln ∣x∣ +C, x ∈ R ∖ {0};

3. ∫ axdx = ax

lna +C, x ∈ R, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ exdx = ex +C, x ∈ R;

5. ∫ sinxdx = − cosx +C, x ∈ R;

6. ∫ cosxdx = sinx +C, x ∈ R;

7. ∫ 1cos2 xdx = tgx +C, x ∈ R ∖ {(2k + 1)π2 ;k ∈ Z} ;

8. ∫ 1sin2 x

dx = − 1tgx +C, x ∈ R ∖ {kπ;k ∈ Z};

9. ∫ 1x2+a2dx =

1aarctg

xa +C, x ∈ R, a ≠ 0;

10. ∫ 1x2−a2dx =

12a ln ∣

x−ax+a ∣ +C, x ∈ R, a > 0, ∣x∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−x2

dx = arcsin xa +C, x ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√x2+a2

dx = ln(x +√x2 + a2) +C, x ∈ R;

13. ∫ 1√x2−a2

dx = ln ∣x +√x2 − a2∣ +C, x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞), a > 0.

In general, orice functie continua admite primitive. Urmatoarea teoremaarata proprietatea de linearitate a integralei nedefinite, care, ımpreuna cu teo-rema anterioara, ajuta la gasirea primitivelor functiilor obtinute prin sumareasau ınmultirea cu o constanta a functiilor elementare.

Teorema 5.1.3. Fie f, g ∶ I → R si α,β ∈ R. Daca f si g admit primitive peI, atunci si αf + βg admite primitive pe I si avem:

∫ (αf + βg)(x)dx = α∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx.

In sectiunea urmatoare prezentam diverse alte metode de integrare, careımpreuna cu primitivele functiilor elementare ajuta la gasirea primitivelorunor functii mai complicate.

40

5.1.2 Metode de integrare

Teorema 5.1.4 (metoda integrarii prin parti). Fie f, g ∶ I → R cu derivatede ordinul 1 continue pe I. Atunci:

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx.

Aplicatie: Sa se calculeze ∫√a2 − x2dx pentru x ∈ (−a, a).

Teorema 5.1.5 (metoda schimbarii de variabila). Fie functiile u ∶ I → Jderivabila si f ∶ J → R care admite primitiva F . Atunci:

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C, ∀x ∈ I.

Aplicand teorema anterioara functiilor elementare din teorema 5.1.2, obtinem:

1. ∫ u(x)αu′(x)dx =u(x)α+1α+1 +C, u(x) ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1u(x)u

′(x)dx = ln ∣u(x)∣ +C, u(x) ∈ R ∖ {0};

3. ∫ au(x)u′(x)dx = au(x)

lna +C, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ eu(x)u′(x)dx = eu(x) +C;

5. ∫ sinu(x)u′(x)dx = − cosu(x) +C;

6. ∫ cosu(x)u′(x)dx = sinu(x) +C;

7. ∫ 1cos2 u(x)u

′(x)dx = tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ {(2k + 1)π2 ;k ∈ Z} ;

8. ∫ 1sin2 u(x)u

′(x)dx = − 1tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ {kπ;k ∈ Z};

9. ∫ 1u(x)2+a2u

′(x)dx = 1aarctg

u(x)a +C, a ≠ 0;

10. ∫ 1u(x)2−a2u

′(x)dx = 12a ln ∣

u(x)−au(x)+a ∣ +C, a > 0, ∣u(x)∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−u(x)2

u′(x)dx = arcsin u(x)a +C, u(x) ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√u(x)2+a2

u′(x)dx = ln(u(x) +√u(x)2 + a2) +C;

13. ∫ 1√u(x)2−a2

u′(x)dx = ln ∣u(x) +√u(x)2 − a2∣ + C, u(x) ∈ (−∞,−a) ∪

(a,∞), a > 0.

Aplicatie: Sa se calculeze integrala ∫ sin2 x cosxdx.

41

5.1.3 Primitivele functiilor rationale

Definitia 5.1.3. Se numeste fractie simpla (sau ireductibila) o functierationala de forma

A

(x − a)n, x ≠ a sau

Ax +B(x2 + bx + c)n

, n ∈ N, b2 − 4c < 0.

Teorema 5.1.6. Fie o functie rationala f ∶ I → R, f(x) = P (x)Q(x) al carei

numitor se descompune ın factori ireductibili

Q(x) = (x − a1)k1 . . . (x − al)kl(x2 + b1x + c1)m1 . . . (x2 + bnx + cn)mn .

cu b2j − 4cj < 0, ∀j = 1, . . . , n. Atunci f(x) se poate descompune ın mod unicca o suma de fractii simple de forma:

f(x) =R(x) +l

∑i=1( Ai1

x − ai+ Ai2

(x − ai)2+ ⋅ ⋅ ⋅ + Aiki

(x − ai)ki)+

+n

∑j=1(Bj1x +Cj1

x2 + bjx + cj+

Bj2x +Cj2

(x2 + bjx + cj)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +

Bjmjx +Cjmj

(x2 + bjx + cj)mj)

unde R(x) este un polinom, mai precis catul ımpartirii lui P (x) la Q(x).

Folosind teorema de mai sus si proprietatea de linearitate a integraleinedefinite, putem scrie orice primitiva a unei functii rationale ca o suma deprimitive de fractii simple, care pot fi calculate folosind metodele de integrareprezentate in sectiunea anterioara.

Aplicatie: Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii rationale:

(a) 1x(x−1)2 , x > 1

(b) x5+x4−8x3−4x , x > 2

(c) x2

(x+2)2(x+4)2 , x > −2

(d) 4x2−8x(x−1)(x2+1)2 , x > 1

(e) 4x4+4x3+16x2+12x+8(x+1)2(x2+1)2

(f) x7−2x6+4x5−5x4+4x3−5x2−xx6−2x5+3x4−4x3+3x2−2x+1

42

5.1.4 Schimbari de variabila uzuale

Schimbari de variabila trigonometriceFie o primitiva de forma

∫ R(sinx, cosx)dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile. Pentru astfel de primitivese poate folosi schimbarea de variabila t = tg x

2 , pentru care avem:

sinx = 2t

1 + t2, cosx = 1 − t2

1 + t2, dx = 2

1 + t2dt.

Alte schimbari de variabila trigonometrice se pot folosi ın una din urmatoarelesituatii:

I. Daca R(sinx, cosx) este impara ın sinx, adica

R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)

atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = cosx.

II. Daca R(sinx, cosx) este impara ın cosx, adica

R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx)

atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = sinx.

III. Daca R(sinx, cosx) este para atat ın sinx cat si ın cosx sau se poatescrie sub forma R1(tgx), atunci se poate folosi schimbarea de variabilat = tgx, pentru care avem:

sin2 x = t2

1 + t2, cos2 x = 1

1 + t2, dx = 1

1 + t2dt.

Aplicatie: Sa se calculeze primitivele:

(a) ∫ 1sinxdx

(b) ∫ sin2 x cos3 xdx

(c) ∫ sin3 xcos4 xdx

(d) ∫ 11+sin2 xdx

(e) ∫ 12+sinx cosx

43

Integrale binomeO integrala binoma este o integrala nedefinita de forma

∫ xm(a + bxn)pdx

unde a, b ∈ R si m,n, p ∈ Q. Pentru astfel de integrale folosim urmatoareleschimbari de variabila:

1. daca p ∈ Z, folosim x = tr unde r este cel mai mic multiplu comun alnumitorilor lui m si n;

2. daca p ∉ Z, dar m+1n ∈ Z, atunci folosim a+bxn = ts unde s este numitorul

lui p;

3. daca m+1n ∉ Z, dar

m+1n + p ∈ Z, atunci folosim ax−n + b = ts unde s este

numitorul lui p.

Aplicatie: Sa se calculeze urmatoarele integrale binome:

(a) ∫√x(1 + 3

√x)2dx

(b) ∫ x√1+ 3√

x2dx

(c) ∫ 1

x4√1+x2

dx

Substitutiile lui EulerPrimitivele de forma

∫ R (x,√ax2 + bx + c)dx

nde R este o functie rationala de doua variabile, se reduc la primitive defunctii rationale cu ajutorul unei din urmatoarele schimbari de variabila:

1.√ax2 + bx + c =

√ax + t daca a > 0;

2.√ax2 + bx + c = tx +

√c daca c > 0;

3.√ax2 + bx + c = t(x − λ) unde λ este o radacina a lui ax2 + bx + c, cu

b2 − 4ac > 0.

Aplicatie: Sa se calculeze primitivele:

1. ∫ dx

x+√x2+x+1

2. ∫ x√−x2 + 4x + 5dx

3. ∫ x√−x2+3x+4

dx

44

5.2 Integrala definita (Riemann)

5.2.1 Functii integrabile

Definitia 5.2.1. Fie un interval ınchis si marginit [a, b].

1. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] o multime de puncte ∆ ={x0, x1, . . . , xn} ⊂ [a, b] astfel ıncat

a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b.

2. Lungimea celui mai mare subinterval de forma [xi, xi+1], i = 0,1, . . . , n − 1al unei diviziuni ∆ se numeste norma diviziunii:

∥∆∥ = max0≤i≤n−1

(xi+1 − xi)

3. Daca ın fiecare subinterval [xi, xi+1] al unei diviziuni ∆ alegem cate unpunct xi ≤ ξi ≤ xi+1, i = 0,1, . . . , n− 1, aceste puncte se numesc puncteintermediare ale diviziunii ∆.

4. Se numeste suma Riemann a functiei f ∶ [a, b] → R corespunzatoarediviziunii ∆ si punctelor intermediare ξi, i = 0, . . . , n − 1 urmatoareasuma:

σ∆(f) =n−1∑i=0

f(ξi)(xi+1 − xi)

Din punct de vedere geometric, sumele Riemann corespunzatoare uneifunctii pe un interval aproximeaza aria subgraficului acestei functii atuncicand diviziunea este foarte fina (norma este suficient de mica).

Definitia 5.2.2. Spunem ca functia f ∶ [a, b] → R este integrabila Rie-mann pe [a, b] daca pentru orice sir de diviziuni ∆n cu norma tinzand catre0 si orice alegere a punctelor intermediare corespunzatoare ξni , sirurile core-spunzatoare de sume Riemann σ∆n(f) au o limita finita comuna I. Aceastavaloare I se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] sise noteaza cu

∫b

af(x)dx.

Daca f este o functie integrabila pe [a, b], atunci definim

∫a

bf(x)dx = −∫

b

af(x)dx,

45

avand consecinta imediata ca ∫a

a f(x)dx = 0.De asemenea, se poate vedea usor ca daca f este o functie constanta

f(x) = C pe [a, b], atunci

∫b

af(x)dx = C(b − a).

Teorema 5.2.1. Functia f este integrabila pe [a, b] daca si numai dacaexista un numar I ∈ R cu proprietatea ca pentru orice ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat oricare ar fi diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δ si punctele intermediare

corespunzatoare ξi sa avem ∣σ∆(f) − I ∣ < ε. In acest caz, I = ∫b

a f(x)dx.

Teorema 5.2.2. Fie f ∶ [a, b] → R. Daca f este integrabila pe [a, b], atuncif este marginita pe [a, b]:

∃m,M ∈ R, m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x).

Definitia 5.2.3. Fie f ∶ [a, b]→ R marginita si ∆ o diviziune a lui [a, b].

1. Se numeste suma Darboux inferioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

s∆(f) =n−1∑i=0

mi(xi+1 − xi), unde mi = infx∈[xi,xi+1]

f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

2. Se numeste suma Darboux superioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

S∆(f) =n−1∑i=0

Mi(xi+1 − xi), unde Mi = supx∈[xi,xi+1]

f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

Daca m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x), atunci avem:

m(b − a) ≤ s∆(f) ≤ σ∆(f) ≤ S∆(f) ≤M(b − a)

pentru orice puncte intermediare corespunzatoare diviziunii ∆.

Teorema 5.2.3. O functie marginita f este integrabila pe [a, b] daca si nu-mai daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat oricare ar fi diviziunea∆ cu ∥∆∥ < δ sa avem S∆(f) − s∆(f) < ε.

Teorema 5.2.4. Fie f ∶ [a, b]→ R.

(a) Daca f este monotona pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b];

(b) Daca f este continua pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b].

46

5.2.2 Proprietati ale functiilor integrabile

1. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe [a, b] si

∫b

a(αf(x) + βg(x))dx = α∫

b

af(x)dx + β ∫

b

ag(x)dx;

2. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b], atunci si fg, fg , f

g sunt integrabile

pe [a, b] (daca sunt bine definite);

3. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], atunci

∫b

af(x)dx ≤ ∫

b

ag(x)dx;

4. Daca f este integrabila pe [a, b], atunci si ∣f ∣ este integrabila pe [a, b]si avem

∣∫b

af(x)dx∣ ≤ ∫

b

a∣f(x)∣dx;

5. Teorema de medie: daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si daca g ≥ 0,atunci exista µ ∈ [m,M], unde m = inf

a≤x≤bf(x), M = sup

a≤x≤bf(x), astfel

ıncat

∫b

af(x)g(x)dx = µ∫

b

ag(x)dx;

6. Proprietatea de ereditate: Daca f este integrabila pe [a, b], atunci feste integrabila pe orice subinterval [a′, b′] ⊂ [a, b];

7. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe [a, b] si c ∈ [a, b],atunci

∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx;

8. Daca f este o functie impara integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 0;

9. Daca f este o functie para integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 2∫

a

0f(x)dx.

47

5.2.3 Metode de calcul al integralelor definite

Teorema 5.2.5 (Formula Leibnitz-Newton). Fie f ∶ [a, b]→ R o functieintegrabila. Daca F este o primitiva a lui f , atunci

∫b

af(x)dx = F (b) − F (a).

Teorema 5.2.6 (formula de integrare prin parti). Daca f si g sunt douafunctii care au derivatele de ordin 1 continue pe [a, b], atunci

∫b

af(x)g′(x)dx = f(x)g(x)∣ba − ∫

b

af ′(x)g(x)dx.

Teorema 5.2.7 (formula de schimbare de variabila). Fie f ∶ [a, b]→ R con-tinua si u ∶ [α,β]→ [a, b] cu derivata continua pe [α,β] si u(α) = a, u(β) = b.Atunci

∫b

af(x)dx = ∫

β

αf(u(t))u′(t)dt.

Aplicatie: Sa se calculeze integralele:

∫1

0

dx

x + 1; ∫

2

1x3 lnxdx; ∫

e

1

sin(lnx)x

dx.

5.2.4 Aplicatii ale integralei definite

1. Fie f ∶ [a, b] → R integrabila si pozitiva. Atunci aria subgraficului luif este

A = ∫b

af(x)dx;

2. Fie f, g ∶ [a, b]→ R doua functii integrabile astfel ıncat f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a, b]. Atunci aria suprafetei dintre graficele lui f si g este

A = ∫b

a(f(x) − g(x))dx;

3. Fie f ∶ [a, b]→ R o functie integrabila pozitiva, cu derivata de ordinul 1continua pe [a, b]. Atunci aria suprafetei obtinute prin rotirea graficuluilui f ın jurul axei Ox este

A = 2π∫b

af(x)

√1 + f ′2(x)dx;

4. Fie f ∶ [a, b] → R o functie integrabila si pozitiva. Atunci volumulcorpului obtinut prin rotirea graficului lui f ın jurul axei Ox este

V = π∫b

af2(x)dx.

48

5.3 Integrala curbilinie

5.3.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe

Definitia 5.3.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b].

1. Se numeste curba plana o multime de puncte din R2 ale caror coor-donate sunt date parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b];

2. Se numeste curba ın spatiu o multime de puncte din R3 ale carorcoordonate sunt date parametric prin

(C) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b].

Daca functiile x(t), y(t), z(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarileparametrice de mai sus se numesc drumuri. O curba poate fi data prin maimulte parametrizari, deci poate fi imaginea mai multor drumuri echivalente.De exemplu, un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentareaparametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].

In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat siprin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

Definitia 5.3.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunemca acest drum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoarenu are puncte multiple, nu se autointersecteaza;

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoaret ∈ [a, b] pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

49

In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ın spatiu.Un punct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeste punct singular al curbei. Pentru astfel de puncte,tangenta la curba nu exista. Asadar, un drum neted are proprietatea caadmite tangenta ın orice punct.

Definitia 5.3.3. Fie C1 si C2 doua curbe date prin reprezentarile parametrice

(C1) ∶ r1(t) = (x1(t), y1(t)) , t ∈ [a, b]

(C2) ∶ r2(t) = (x2(t), y2(t)) , t ∈ [b, c]

cu proprietatea ca r1(b) = r2(b). Se numeste juxtapunerea curbelor C1 siC2 urmatoarea curba:

C1 ∪C2 ∶ r(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

r1(t), daca t ∈ [a, b]r2(t), daca t ∈ [b, c]

.

Definitia 5.3.4. Un drum se numeste neted pe portiuni daca este juxta-punerea unui numar finit de drumuri netede.

Sa consideram acum o curba data prin

(C) ∶ r(t) = (x(t), y(t)) , t ∈ [a, b]

si o diviziune∆ ∶ a = t0 < t1 < t2 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn−1 < tn = b

a intervalului [a, b]. Notam cuM0,M1,M2, . . . ,Mn punctele de pe curba core-spunzatoare punctelor diviziunii ∆, asadar Mi (x(ti), y(ti)) , i = 0,1, . . . , n.Aceste puncte definesc o diviziune a lui C, pe care o vom nota cu ∆C . Numimnorma a diviziunii ∆C numarul

∥∆C∥ = maxi=0,...,n−1

∥MiMi+1∥,

unde prin ∥MiMi+1∥ ıntelegem lungimea segmentului MiMi+1, mai precis

∥MiMi+1∥ =√(x(ti+1) − x(ti))2 + (y(ti+1) − y(ti))2, i = 0,1, . . . , n − 1

Diviziunea ∆C a lui C defineste o linie poligonala M0M1M2 . . .Mn−1Mn

ınscrisa ın C, a carei lungime este

l∆C=

n−1∑i=0∥MiMi+1∥ =

n−1∑i=0

√(x(ti+1) − x(ti))2 + (y(ti+1) − y(ti))2

50

Definitia 5.3.5. O curba C se numeste rectificabila daca exista si estefinita limita lungimilor liniilor poligonale ınscrise ın C cand norma diviziuniitinde catre 0. Valoarea acestei limite

L = lim∥∆C∥→0

l∆C

se numeste lungimea curbei C.

Teorema 5.3.1. Fie o curba neteda data prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b];

Atunci lungimea acestei curbe este

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Cantitatea ds =√x′(t)2 + y′(t)2dt se numeste elementul de arc pe curba

C. In mod similar se definesc lungimea unei curbe si elementul de arc pentrucurbe ın spatiu:

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

ds =√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

Aplicatie: Sa se calculeze lungimea unui cerc de raza R.

5.3.2 Integrala curbilinie de prima speta

Fie din nou o curba plana neteda data prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si o diviziune ∆C = {M0,M1,M2, . . . ,Mn} corespunzatoare diviziunii ∆ ∶ a =t0 < t1 < t2 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn a intervalului [a, b]. Consideram acum pe fiecare dintrearcele de curba MiMi+1 punctele intermediare Pi corespunzatoare valorilort = θi ∈ [ti, ti+1], i = 0,1, . . . , n − 1. Notam prin

si = ∫ti+1

ti

√x′(t)2 + y′(t)2dt, i = 0,1, . . . , n − 1

lungimile arcelor de curba MiMi+1 corespunzatoare diviziunii ∆C .

51

Definitia 5.3.6. Fie f ∶D → R o functie de doua variabile, unde domeniul Dinclude curba C. Se numeste suma integrala a functiei f corespunzatoarediviziunii ∆C a curbei C si punctelor intermediare Pi suma

σ∆C(f) =

n−1∑i=0

f(Pi)si =n−1∑i=0

f(x(θi), y(θi))si.

Definitia 5.3.7. Fie functia de doua variabile f ∶D → R si o curba C inclusaın domeniul D. Spunem ca f este integrabila pe curba C daca pentru oricesir de diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punctelorintermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sume integraleσ∆C(f) au o limita finita comuna I:

lim∥∆c∥→0

σ∆C(f) = I

Aceasta valoare I se numeste integrala curbilinie de prima speta afunctiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)ds.

Teorema 5.3.2. Fie o curba neteda C data parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si o functie f ∶ D → R, unde domeniul D include curba C. Daca functiacompusa f(x(t), y(t)) este integrabila pe [a, b], atunci f este integrabila peC si avem

∫Cf(x, y)ds = ∫

b

af(x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Teorema 5.3.3. Fie C = C1 ∪ C2 ∪ . . .Cp un drum neted pe portiuni si f ofunctie integrabila pe fiecare Ci, i = 1, . . . , p. Atunci f este integrabila pe Csi avem

∫Cf(x, y)ds =

p

∑i=1∫Ci

f(x, y)ds.

In mod similar se defineste integrala curbilinie de prima speta a uneifunctii de trei variabile pe o curba neteda ın spatiu, si avem:

∫Cf(x, y, z)ds = ∫

b

af(x(t), y(t), z(t))

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Aplicatii: Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de prima speta:

52

1. ∫Cxyds, unde C este portiunea din primul cadran a elipsei x2

a2 +y2

b2 = 1.

2. ∫C(x + y + z)ds, unde C este elicea circulara

x = r cos t, y = r sin t, z = ht, t ∈ [0,2π].

5.3.3 Integrala curbilinie de speta a doua

Fie o curba plana neteda C pe care alegem un sens de parcurgere, sio diviziune ∆C = {M0,M1,M2, . . . ,Mn}, unde Mi(xi, yi), i = 0, . . . , n. Con-sideram acum pe fiecare dintre arcele de curba MiMi+1 punctele intermediarePi(αi, βi), i = 0,1, . . . , n − 1.

Definitia 5.3.8. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile, unde domeniulD include curba C.

I. Se numeste suma integrala ın raport cu x a functiei f corespunzatoarediviziunii ∆C si punctelor intermediare Pi suma

σx∆C(f) =

n−1∑i=0

f(αi, βi)(xi+1 − xi).

II. Se numeste suma integrala ın raport cu y a functiei f corespunzatoarediviziunii ∆C si punctelor intermediare Pi suma

σy∆C(f) =

n−1∑i=0

f(αi, βi)(yi+1 − yi).

Definitia 5.3.9. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile, unde domeniulD include curba C.

I. Spunem ca f este integrabila pe C ın raport cu x daca pentru orice sirde diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punctelorintermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sume inte-grale σx

∆C(f) au o limita finita comuna Ix:

lim∥∆C∥→0

σx∆C(f) = Ix

Aceasta valoare Ix se numeste integrala curbilinie de speta a douaın raport cu x a functiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)dx.

53

II. Spunem ca f este integrabila pe C ın raport cu y daca pentru orice sirde diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punctelorintermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sume inte-grale σy

∆C(f) au o limita finita comuna Iy:

lim∥∆C∥→0

σy∆C(f) = Iy

Aceasta valoare Iy se numeste integrala curbilinie de speta a douaın raport cu y a functiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)dy.

Observam ca daca C este aceeasi curba dar parcursa ın sens opus, atuncisumele integrale corespunzatoare aceleiasi diviziuni ısi schimba semnul, asadaravem

∫Cf(x, y)dx = −∫

Cf(x, y)dx;

∫Cf(x, y)dy = −∫

Cf(x, y)dy.

Definitia 5.3.10. Fie o curba neteda orientata C si P,Q ∶D → R functii dedoua variabile, unde domeniul D include curba C. Daca P este integrabila peC ın raport cu x, iar Q este integrabila pe C ın raport cu y, atunci integrala

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

CP (x, y)dx + ∫

CQ(x, y)dy

se numeste integrala curbilinie de speta a doua sub forma generala.

Teorema 5.3.4. Fie o curba neteda orientata

C ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si P,Q ∶D → R functii de doua variabile, unde domeniul D include curba C.Daca functiile compuse P (x(t), y(t)) si Q(x(t), y(t)) sunt continue pe [a, b],atunci avem

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

b

a[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)]dt.

54

In mod similar se defineste integrala curbilinie de speta a doua pentrucurbe ın spatiu, iar teorem de mai sus se transcrie:

∫CP (x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

= ∫b

a[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + P (x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt.

Daca C = C1 ∪C2 este o curba neteda pe portiuni, atunci avem:

∫CPdx +Qdy +Rdz = ∫

C1

Pdx +Qdy +Rdz + ∫C2

Pdx +Qdy +Rdz

Aplicatie: Sa se calculeze ∫C xdx + dy − xzdz, unde curba C este juxta-punerea curbelor C1, C2 si C3 parcursa ın sensul precizat pe figura:

5.3.4 Aplicatii ale integralei curbilinii

• Masa unui corp filiform:

m(C) = ∫Cρ(x, y, z)ds

unde ρ este densitatea de masa.

• Coordonatele centrului de greutate al unui corp filiform:

xG = ∫Cxρds

∫C ρds, yG = ∫C

yρds

∫C ρds, zG = ∫C

zρds

∫C ρds

unde ρ este densitatea de masa.

• Aria unui domeniu plan:

A(D) = 1

2 ∫Cxdy − ydx

unde D este domeniul plan delimitat de curba ınchisa neteda (sauneteda pe portiuni) C.

55

• Lucrul mecanic al unui camp de forte:

L = ∫C

Ð→F dÐ→r = ∫

CPdx +Qdy +Rdz

unde P, Q si R sunt componentele forteiÐ→F care actioneaza asupra

unui corp care se deplaseaza de-a lungul curbei C.

5.4 Integrala dubla

5.4.1 Definirea integralei duble

Fie D ⊂ R2 o multime de puncte din plan. Se numeste diametru al multimiiD marginea superioara a distantelor dintre doua puncte din D:

d(D) = supA,B∈D

∥AB∥.

Spunem ca o multime de puncte din plan este marginita daca diametrulei este finit.

Definitia 5.4.1. Fie o multime marginita D ⊂ R2. Se numeste diviziune amultimii D o multime finita de submultimi ale lui D, fara puncte interioarecomune, a caror reuniune este D:

∆ = {D1,D2, . . . ,Dn}, Di ⊂D, i = 1, . . . , n,n

⋃i=1

Di =D.

Pentru o diviziune ∆ a domeniului D, notam cu di si ωi diametrul, re-spectiv aria submultimii Di, si alegem cate un punct intermediar Pi(α1, βi) ∈Di, i = 1, . . . , n. Definim de asemenea

∥∆∥ = maxi=1,...,n

di

norma diviziunii ∆.

Definitia 5.4.2. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile. Se numestesuma Riemann a functiei f corespunzatoare diviziunii ∆ a multimii D sipunctelor intermediare Pi urmatoarea suma:

σ∆(f) =n

∑i=1

f(αi, βi)ωi.

56

Definitia 5.4.3. Spunem ca functia f ∶ D → R este integrabila pe D dacapentru orice sir de diviziuni ∆ ale lui D cu norma tinzand catre 0 si oricealegere a punctelor intermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoarede sume Riemann σ∆(f) au o limita finita comuna I:

lim∥∆∥→0

σ∆(f) = I

Aceasta valoare I se numeste integrala dubla a functiei f pe domeniul Dsi se noteaza cu

∬Df(x, y)dxdy.

Daca functia f este marginita, atunci putem defini

mi = inf(x,y)∈Di

f(x, y), Mi = sup(x,y)∈Di

f(x, y), i = 1, . . . , n.

Definitia 5.4.4. Fie f ∶D → R marginita si ∆ o diviziune a lui D. Sumele

s∆ =n

∑i=1

miωi, S∆ =n

∑i=1

Miωi

se numesc sume Darboux inferioara, respectiv superioara corespunzatoarefunctiei f si diviziunii ∆.

Teorema 5.4.1. Functia f ∶ D → R este integrabila pe D daca si numaidaca oricare ar fi ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat pentru orice diviziune ∆ cu∥∆∥ < δ sa avem S∆ − s∆ < ε.

Orice functie continua definita pe un domeniu ınchis si marginit D esteintegrabila pe D. Mai mult, daca multimea punctelor de discontinuitateconsta dintr-un numar finit de curbe netede, atunci de asemenea functia esteintegrabila.

5.4.2 Proprietati ale functiilor integrabile

1. Daca f este o functie constanta f(x, y) = c, ∀(x, y) ∈D, atunci

∬Df(x, y)dxdy = cA(D)

unde A(D) este aria domeniului D. In particular, pentru c = 1 gasim

A(D) =∬Ddxdy;

57

2. Daca f si g sunt integrabile pe D si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe D si

∬D(αf(x, y) + βg(x, y))dxdy = α∬

Df(x, y)dxdy+β∬

Dg(x, y)dxdy;

3. Daca f si g sunt integrabile pe D si f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,atunci

∬Df(x, y)dxdy ≤∬

Dg(x, y)dxdy;

4. Daca f este integrabila pe D, atunci si ∣f ∣ este integrabila pe D si avem

∣∬Df(x, y)dxdy∣ ≤∬

D∣f(x, y)∣dxdy;

5. Teorema de medie: daca f si g sunt integrabile pe D si daca g ≥ 0,atunci exista µ ∈ [m,M], unde m = inf

(x,y)∈Df(x, y), M = sup

(x,y)∈Df(x, y),

astfel ıncat

∬Df(x, y)g(x, y)dxdy = µ∫

Dg(x, y)dxdy;

6. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe D, care esteımpartit ın doua subdomenii D1 si D2 printr-o curba neteda (eventualpe portiuni), atunci f este integrabila pe D1 si D2, si avem

∬Df(x, y)dxdy =∬

D1

f(x, y)dxdy +∬D2

f(x, y)dxdy;

5.4.3 Metode de calcul pentru integrale duble

Pentru domenii dreptunghiulare avem:

Teorema 5.4.2. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala I(x) = ∫d

c f(x, y)dy. Atunciexista si integrala ∫

b

a I(x)dx si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

b

a[∫

d

cf(x, y)dy]dx.

58

Teorema 5.4.3. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala I(y) = ∫b

a f(x, y)dx. Atunciexista si integrala ∫

d

c I(y)dy si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

d

c[∫

b

af(x, y)dx]dy.

Aplicatie: Sa se calculeze ∬D(1 − x)(1 − xy)dxdy, unde

D = {(x, y) ∈ R2∣1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.

Un domeniu plan marginit de doua drepte verticale x = a si x = b si degraficele a doua functii continue y = g1(x) si y = g2(x)

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

se numeste simplu ın raport cu axa Oy. Pentru un astfel de domeniu avem:

Teorema 5.4.4. Fie o functie f integrabila pe domeniul simplu ın raport cu

Oy astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala F (x) = ∫g2(x)g1(x) f(x, y)dy.

Atunci exista si integrala ∫b

a F (x)dx si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

b

a[∫

g2(x)

g1(x)f(x, y)dy]dx.

Un domeniu plan marginit de doua drepte orizontale y = c si y = d si degraficele a doua functii continue x = h1(y) si x = h2(y)

D = {(x, y) ∈ R2∣c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

se numeste simplu ın raport cu axa Ox. Pentru un astfel de domeniu avem:

Teorema 5.4.5. Fie o functie f integrabila pe domeniul simplu ın raport cu

Ox astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala G(y) = ∫h2(y)h1(y) f(x, y)dx.

Atunci exista si integrala ∫d

c G(y)dy si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

d

c[∫

h2(y)

h1(y)f(x, y)dx]dy.

Aplicatie: Sa se calculeze ∬D xydxdy unde D este interiorul triunghiuluideterminat de punctele O(0,0),A(1,0),B(1,2).

59

Teorema 5.4.6 (Formula lui Green). Fie D un domeniu plan marginit deo curba C, si P,Q ∶D → R doua functii de 2 variabile, continue, astfel ıncatP are derivata partiala ın raport cu y si Q are derivata partiala ın raport cux. Atunci avem:

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy =∬ (∂Q

∂x− ∂P

∂y)dxdy

unde sensul de parcurgere al curbei C este ales astfel ıncat domeniul D saramana ın stanga.

Aplicatie: Folosind formula lui Green sa se calculeze integrala curbilinie

∫C2(x2 + y2)dx + (x + y)2dy

unde C este linia poligonala cu varfurile A(1,1),B(2,2),C(1,3).

Sa consideram acum doua domenii planeD siD′ marginite de curbe ınchisenetede (eventual pe portiuni), si o functie vectoriala bijectiva

φ ∶D′ →D, φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), ∀(u, v) ∈D′

ale carei componente admit derivate partiale continue ın raport cu x si y.Reamintim ca Jacobianul lui φ este

D(x, y)D(u, v)

= ∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣

Teorema 5.4.7. Fie f ∶ D → R continua si transformarea φ definita maisus. Atunci avem:

∬Df(x, y)dxdy =∬

D′f(x(u, v), y(u, v)) ∣D(x, y)

D(u, v)∣dudv.

Aplicatie: Sa se calculeze ∬D xydxdy, unde

D = {(x, y) ∈ R2∣x2 + y2 ≤ R2, x > 0, y > 0}.

5.4.4 Aplicatii ale integralei duble

• Masa unei placi plane:

m(D) =∬Dρ(x, y)dxdy

unde ρ este densitatea de masa.

60

• Coordonatele centrului de greutate al unei placi plane:

xG = ∬D xρdxdy

∬D ρdxdy, yG = ∬D yρdxdy

∬D ρdxdy

unde ρ este densitatea de masa.

• Momente de inertie:

– momentul de inertie fata de originea axelor:

IO =∬D(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy

– momentul de inertie fata de axele de coordonate:

IOx =∬Dy2ρ(x, y)dxdy, IOy =∬

Dx2ρ(x, y)dxdy

unde ρ este densitatea de masa.

Aplicatie: Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al unuidreptunghi de laturi a si b daca densitatea variaza direct proportional cupatratul distantei de la punct la unul din varfurile dreptunghiului.

5.5 Ecuatii diferentiale

5.5.1 Introducere

O ecuatie diferentiala este o ecuatie ın care apar una sau mai multe derivateale unei functii necunoscute. In forma generala, o ecuatie diferentiala se scrie:

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0, (5.1)

unde n este ordinul ecuatiei diferentiale.A rezolva o ecuatie diferentiala ınseamna a gasi o functie (sau toate

functiile) y(x) care satisface ecuatia de mai sus. A gasi o solutie a ecuatieidiferentiale care satisface ın plus o conditie initiala y(x0) = y0 ınseamna arezolva problema lui Cauchy corespunzatoare ecuatiei si conditiei initiale.

Daca functia F din (5.1) este liniara ın y, y′, . . . , y(n), ecuatia se numesteecuatie diferentiala lineara si are forma generala

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = f(x)

61

5.5.2 Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai

Ecuatiile diferentiale de ordinul ıntai pot aparea fie sub forma implicita

F (x, y, y′) = 0,

fie sub forma explicita

y′ = f(x, y) sau dy

dx= f(x, y).

In cazul particular ın care f nu depinde decat de x, ın mod evident solutiaecuatiei este

y(x) = ∫ f(x)dx.

Sa vedem ın continuare cum se rezolva diverse tipuri de ecuatiile diferentialede ordinul ıntai:

1. Ecuatii cu variabile separabile

In cazul cand f(x, y) = g(x)h(y), ecuatia

dy

dx= g(x)h(y)

se poate rescriedy

h(y)= g(x)dx,

de unde se obtine solutia implicita

H(y) = G(x),

unde H este o primitiva a lui 1h(y) iar G este o primitiva a lui g(x).

Aplicatii:

(a) Sa se rezolve ecuatia diferentiala

dy

dx= x

y

(b) Sa se rezolve problema Cauchy

dy

dx= x2y3, y(1) = 3.

62

2. Ecuatii liniare de ordinul ıntai

Pentru o ecuatie de forma

dy

dx+ p(x)y = q(x)

fie µ(x) o primitiva a lui p(x):

µ(x) = ∫ p(x)dx.

Atunci solutia ecuatiei este

y(x) = e−µ(x)∫ eµ(x)q(x)dx.

Aplicatii: Sa se rezolve ecuatiile:

dy

dx+ y

x= 1

dy

dx+ xy = x3

3. Ecuatii omogene

O ecuatie diferentiala de forma

dy

dx= f (y

x)

se reduce la o ecuatie cu variabile separabile facand schimbarea devariabila z = y

x :dy

dx= z + xdz

dx= f(z),

de unde obtinemdz

dz= f(z) − z

x

Aplicatie: Sa se rezolve ecuatia

dy

dx= x2 + xyxy + y2

.

63

4. Ecuatii exacte

O ecuatie diferentiala de forma

dy

dx= −M(x, y)

N(x, y)

se poate rescrie ın felul urmator:

M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0.

Spunem ca ecuatia de mai sus este exacta daca M(x, y) si N(x, y) suntderivatele partiale ın raport cu x, respectiv y ale unei functii de douavariabile ϕ(x, y):

∂ϕ

∂x=M(x, y), ∂ϕ

∂y= N(x, y)

In acest caz solutia ecuatiei este data sub forma implicita

ϕ(x, y) = C, C ∈ R.

O conditie necesara pentru ca o ecuatie diferentiala sa fie exacta este

∂M

∂y= ∂N

∂x.

Aplicatie: Sa se rezolve ecuatia

(2x + sin y − ye−x)dx + (x cos y + cos y + e−x)dy = 0.

5.5.3 Existenta si unicitate

Pentru ecuatii diferentiale de ordinul ıntai avem urmatoarea teorema deexistenta si unicitate a solutiei problemei Cauchy corespunzatoare:

Teorema 5.5.1. Fie ecuatia diferentiala de ordinul ıntai y′ = f(x, y), undef are derivata partiala ın raport cy y continua pe un domeniu dreptunghiularD = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} si fie (x0, y0) un punct ın interiorul luiD. Atunci exista δ > 0 si o unica functie φ ∶ (x0 − δ, x0 + δ) → R cu derivatacontinua astfel ıncat φ(x0) = y0 si

φ′(x) = f(x,φ(x)), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

64

Capitolul 6

Matrice. Determinanti.Sisteme de ecuatii liniare

6.1 Matrice. Determinanti

6.1.1 Matrice

Definitia 6.1.1. Se numeste matrice reala cu m linii si n coloane o functiecare asociaza fiecarei perechi (i, j), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n un unic numarreal aij. Se foloseste notatia

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Multimea tuturor matricelor reale cu m linii si n coloane o vom notaprinMm,n(R). Numerele aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n se numesc elementelematricei. Dupa cum sunt numerele m si n, putem defini urmatoarele tipuride matrice:

• daca m = n, matricea se numeste matrice patratica

• daca m = 1, matricea se numeste matrice linie

• daca n = 1, matricea se numeste matrice coloana

Se numeste matrice nula o matrice care are toate elementele 0.

65

Matricea patratica

In =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 . . . 00 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

se numeste matrice unitate de ordinul n.

6.1.2 Operatii cu matrice

Doua matrice A,B ∈Mm,n(R) sunt egale daca elementele corespunzatoaresunt egale:

A = B⇔ aij = bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Definitia 6.1.2. Prin suma a doua matrice A,B ∈Mm,n(R) ıntelegem onoua matrice C = A+B ∈Mm,n(R) ale carei elemente sunt suma elementelorcorespunzatoare din cele doua matrice:

cij = aij + bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Definitia 6.1.3. Prin produsul matricei A ∈Mm,n(R) cu scalarul α ∈ Rse ıntelege o noua matrice, de aceleasi dimensiuni, obtinuta prin ınmultireatuturor elementelor lui A cu scalarul α:

αA =⎛⎜⎜⎜⎝

αa11 αa12 . . . αa1nαa21 αa22 . . . αa2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

αam1 αam2 . . . αamn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Teorema 6.1.1. Fie A,B,C ∈Mm,n(R) si α,β ∈ R. Atunci avem:

a. A +B = B +A;

b. (A +B) +C = A + (B +C);

c. A + 0 = A;

d. α(A +B) = αA + αB;

e. (α + β)A = αA + βA;

f. α(βA) = (αβ)A.

66

Definitia 6.1.4. Prin produsul matricelor A ∈Mm,n(R) si B ∈Mn,p(R)se ıntelege o noua matrice C = AB, ale carei elemente sunt date prin:

cij =n

∑k=1

aikbkj, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p.

Remarcam faptul ca nu oricare doua matrice pot fi ınmultite, asadar nuıntotdeauna exista ambele produse AB si BA, iar chiar cand acestea existanu sunt neaparat egale.

Aplicatie: Sa se calculeze AB si BA, unde

A =⎛⎜⎝

1 −12 01 5

⎞⎟⎠, B = ( 0 1 2

1 −2 4) .

Teorema 6.1.2. Fie A ∈ Mm,n(R), B,C matrice ale caror dimensiuni sapermita efectuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

a. A(BC) = (AB)C;

b. A(B +C) = AB +AC;

c. (B +C)A = BA +CA;

d. α(AB) = (αA)B = A(αB);

e. ImA = AIn.

Definitia 6.1.5. Pentru o matrice A ∈Mm,n(R), se numeste transpusa luiA, matricea obtinuta prin interschimbarea liniilor si coloanelor lui A:

AT =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮a1n a2n . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mn,m(R)

Teorema 6.1.3. Fie A,B doua matrice ale caror dimensiuni sa permitaefectuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

a. (AT )T = A;

b. (A +B)T = AT +BT ;

c. (αA)T = αAT ;

d. (AB)T = BTAT .

O matrice patratica A care are proprietatea ca A = AT se numeste matricesimetrica.

67

6.1.3 Determinanti

Definitia 6.1.6. Fie o matrice patratica A ∈Mn(R). Se numeste deter-minant al matricei A, si se noteaza cu detA, un numar real definit recurentın felul urmator:

(i) daca n = 2, atunci

detA = ∣ a11 a12a21 a22

∣ = a11a22 − a12a21;

(ii) daca n > 2, atunci

detA =n

∑i=1(−1)1+ia1iD1i = a11D11 − a12D12 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)1+na1nD1n

unde D1i este determinantul matricei patratice de ordinul n−1 obtinutaprin eliminarea primei linii si a coloanei i din matricea A, pentru i =1,2, . . . , n.

Pentru n = 3 se obtine regula lui Sarrus :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

RRRRRRRRRRRRRR= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.

Numarul Aij = (−1)i+jDij se numeste complement algebric corespunzatorliniei i si coloanei j, pentru i, j = 1, . . . , n. Folosind complementii algebricicorespunzatori unei linii sau unei coloane, putem calcula determinantul uneimatrice printr-o formula asemanatoare celei din definitie, dezvoltand dupa olinie sau coloana oarecare a matricei:

Teorema 6.1.4. Fie A ∈ Mn(R). Atunci pentru i, j ∈ {1,2, . . . , n} fixatiavem:

detA =n

∑k=1

aikAik = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ainAin

=n

∑k=1

akjAkj = a1jA1j + a2jA2j + ⋅ ⋅ ⋅ + anjAnj.

Sa vedem ın continuare cum se modifica determinantul unei matriceatunci cand efectuam diverse operatii asupra liniilor sau coloanelor matri-cei:

68

Teorema 6.1.5. Fie A ∈Mn(R). Atunci avem:

(i) daca matricea B este obtinuta prin adaugarea la o linie a lui A a uneialte linii ınmultita cu o constanta, atunci

detB = detA;

(ii) daca matricea B este obtinuta prin interschimbarea a doua linii ale luiA, atunci

detB = −detA;

(iii) daca matricea B este obtinuta prin ınmultirea unei linii a lui A cu oconstanta α ∈ R, atunci

detB = αdetA.

Aceleasi proprietati raman valabile daca operatiile de mai sus se efectueazaasupra coloanelor matricii A.

Teorema 6.1.6. Fie A,B ∈Mn(R). Atunci:

1. detAT = detA;

2. detAB = detAdetB.

Aplicatie: Sa se calculeze determinantii urmatoarelor matrice:

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3 −7 8 9 −60 2 −5 7 30 0 1 5 00 0 2 4 −10 0 0 −2 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

2 −8 6 83 −9 5 10−3 0 1 −21 −4 0 6

⎞⎟⎟⎟⎠,

⎛⎜⎜⎜⎝

3 −1 2 −50 5 −3 −6−6 7 −7 4−5 −8 0 9

⎞⎟⎟⎟⎠

6.1.4 Inversa unei matrice. Rangul unei matrice

O matrice patratica A ∈Mn(R) se numeste nesingulara daca are determi-nantul nenul, si se numeste singulara daca detA = 0.

Definitia 6.1.7. Fie A ∈Mn(R) o matrice nesingulara. Se numeste ma-trice inversa a lui A o matrice A−1 ∈Mn(R) cu proprietatea ca

AA−1 = A−1A = In.

Pentru gasirea inversei unei matrice nesingulare, se poate folosi urmatoareateorema:

69

Teorema 6.1.7. Fie A ∈ Mn(R) o matrice nesingulara. Atunci inversaacesteia este data prin:

A−1 = 1

detA

⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠.

Matricea de mai sus se noteaza cu

A∗ =⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠

si se numeste matrice adjuncta a lui A.Aplicatie: Sa se gaseasca inversa matricei

A =⎛⎜⎝

1 2 30 −1 22 3 1

⎞⎟⎠.

Definitia 6.1.8. Fie A ∈Mm,n(R) si p ≤min(m,n).

I. Se numeste minor de ordinul p al matricii A, orice determinant alunei matrice obtinute prin intersectarea a p linii si p coloane din A;

II. Se numeste rangul matricei A, ordinul maxim al minorilor nenuli ailui A.

Operatiile care pastreaza rangul unei matrice se numesc transformari el-ementare si sunt urmatoarele:

- ınmultirea unei linii cu o constanta nenula

- interschimbarea a doua linii

- adunarea unei linii ınmultita cu o constanta la o alta linie

precum si operatiile analoage pe coloane.Aplicatie: Sa se calculeze rangul matricei

⎛⎜⎝

1 2 3 13 −1 −5 172 3 4 4

⎞⎟⎠.

70

6.2 Sisteme de ecuatii liniare

Se numeste sistem de ecuatii liniare un sistem de forma

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2⋮am1x1 + am2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnxn = bm

(6.1)

Matricele formate cu ajutorul coeficientilor sistemului

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠, A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

am1 am2 . . . amn bm

⎞⎟⎟⎟⎠

se numesc matricea sistemului, respectiv matricea extinsa a sistemului. Dacatoti termenii liberi sunt nuli (b1 = b2 = ⋅ ⋅ ⋅ = bm = 0), sistemul se numesteomogen. Rangul matricei A se numeste rangul sistemului. Daca existax1, x2, . . . , xn ∈ R care verifica (6.1), spunem ca sistemul este compatibil, iarvalorile care satisfac ecuatiile sistemului se numesc solutii. Asadar a rezolvaun sistem de ecuatii ınseamna a gasi solutii (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

In cazul ın care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor(m = n), pentru rezolvarea sistemului se poate folosi regula lui Cramer:

Teorema 6.2.1 (Cramer). Fie sistemul cu n ecuatii si n necunoscute

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2⋮an1x1 + an2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annxn = bn

Daca detA ≠ 0, atunci sistemul este compatibil si are solutia unica

x1 =D1

D,x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D

unde D = detA, iar Di este determinantul matricei obtinuta prin ınlocuireaın matricea A a coloanei i cu coloana termenilor liberi, pentru i = 1,2, . . . , n.

Sistemul (6.1) poate fi rescris ın forma matriceala

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

b1b2⋮bm

⎞⎟⎟⎟⎠

71

sau pe scurt Ax = b, unde x = ( x1 x2 . . . xn )T ∈ Mn,1(R) si b =

( b1 b2 . . . bm )T ∈Mm,1(R).

Daca A este matrice patratica nesingulara, atunci solutia sistemului estedata de

x = A−1b.

Teorema 6.2.2 (Kronecker-Capelli). Sistemul (6.1) este compatibil dacasi numai daca matricele A si A au acelasi rang.

Intrucat matricea extinsa A este obtinuta prin adaugarea unei coloane lamatricea A, ın general avem ca rang(A) ≥rang(A). Asadar un sistem esteincompatibil daca prin adaugarea coloanei termenilor liberi se mareste rangulmatricei.

Fie un sistem compatibil, r =rang(A) =rang(A) si un minor nenul de ordinr al matricei A. Necunoscutele corespunzatoare coloanelor acestui minorle vom numi necunoscute principale, iar celelalte se vor numi necunoscutesecundare De asemenea, ecuatiile corespunzatoare liniilor acestui minor levom numi ecuatii principale. Solutiile sistemului se obtin parametrizandnecunoscutele secundare si rezolvand sistemul format din ecuatiile principalesi necunoscutele principale.

Aplicatie: Sa se rezolve sistemele:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 + x2 + x3 = 4−x1 + 2x3 = 23x1 + x2 + 3x3 = −2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 02x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 03x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 02x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0

72

Capitolul 7

Spatii vectoriale. Aplicatiiliniare. Forme biliniare si formepatratice

7.1 Spatii vectoriale

7.1.1 Definitii si exemple

Definitia 7.1.1. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial realdaca pe V sunt definite doua operatii:

• o operatie interna (adunarea):

+ ∶ V × V → V ; (x, y)→ x + y

• o operatie externa (ınmultirea cu scalari):

⋅ ∶ R × V → V ; (α,x)→ α ⋅ x

care satisfac urmatoarele axiome:

1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V

2. ∃0V ∈ V ∶ x + 0V = 0V + x = x, ∀x ∈ V

3. ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V ∶ x + (−x) = (−x) + x = 0V

4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V

5. α(βx) = (αβ)x, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

73

6. α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R, x, y ∈ V

7. (α + β)x = αx + βx, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

8. 1 ⋅ x = x, ∀x ∈ V

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori, iar numerele reale cucare operam asupra vectorilor le vom numi scalari. Vectorul 0V se numestevectorul nul, iar vectorul −x se va numi opusul vectorului x.

Din axiomele definitiei spatiului vectorial, rezulta urmatoarele consecinte:

1. 0 ⋅ x = 0V , ∀x ∈ V

2. α ⋅ 0V = 0V ,∀α ∈ R

3. (−1) ⋅ x = −x, ∀x ∈ V

4. αx = 0V ⇒ α = 0 sau x = 0V , α ∈ R, x ∈ V

5. αx = βx⇒ α = β, α, β ∈ R, x ∈ V ∖ {0V }

6. αx = αy⇒ x = y, α ∈ R ∖ {0}, x, y ∈ V

Exemple de spatii vectoriale reale:

1. Rn, ımpreuna cu operatiile:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)

2. Rn[X], multimea polinoamelor de grad cel mult n, ımpreuna cu adunareapolinoamelor si ınmultirea polinoamelor cu scalari;

3. Mm,n(R) ımpreuna cu adunarea matricelor si ınmultirea matricelor cuscalari

4. C0[a,b], multimea functiilor reale continue definite pe intervalul [a, b],

ımpreuna cu adunarea functiilor si ınmultirea functiilor cu scalari

74

7.1.2 Subspatii vectoriale

Definitia 7.1.2. Fie V un spatiu vectorial. O submultime nevida U ⊂ V senumeste subspatiu vectorial al lui V daca

1. v1 + v2 ∈ U, ∀v1, v2 ∈ U ;

2. αv ∈ U, ∀α ∈ R, v ∈ U .

Cele doua conditii de mai sus pot fi scrise pe scurt:

αv1 + βv2 ∈ U, ∀α,β ∈ R, v1, v2 ∈ U.

Multimea V si multimea {0V } sunt subspatii vectoriale.Aplicatie: Sa se arate ca multimea

U = {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 − x2 + x3 = 0}

este un subspatiu vectorial al lui R3.

Teorema 7.1.1. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vectorialV . Atunci U1 ∩U2 si U1 +U2 sunt subspatii vectoriale, unde

U1 +U2 = {v ∈ V ∣v = v1 + v2, v1 ∈ U2, v2 ∈ U2}

se numeste suma subspatiilor U1 si U2.

Definitia 7.1.3. Spunem ca un vector v ∈ V este o combinatie liniara avectorilor v1, v2, . . . , vn ∈ V daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn ∈ R astfel ıncat

v = α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Teorema 7.1.2. Fie vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V . Atunci multimea tuturorcombinatiilor liniare ale acestor vectori

Sp{v1, . . . , vn} = {v =n

∑i=1

αivi∣αi ∈ R, i = 1, . . . , n}

este un subspatiu al lui V si se numeste subspatiul generat de v1, v2, . . . , vn.

Definitia 7.1.4. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V formeaza un sistemde generatori pentru V daca subspatiul generat de acesti vectori coincidecu V . Cu alte cuvinte,

∀v ∈ V, ∃α1, . . . , αn ∈ R astfel ıncat v = α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Exemple:

1. In Rn[X], vectorii 1,X,X2, . . . ,Xn constituie un sistem de generatori

2. In R3, vectorii v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1), v3 = (0,0,1) formeaza unsistem de generatori.

75

7.1.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune

Definitia 7.1.5. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V sunt liniar independentidaca are loc implicatia:

α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V ⇒ α1 = α2 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0.

In caz contrar, daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn nu toti nuli astfel ıncatα1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V , spunem ca v1, v2, . . . , vn sunt liniar dependenti.

Daca o multime de vectori sunt liniar independenti, atunci orice submultimedin acesti vectori sunt de asemenea linear independenti. Orice multime for-mata dintr-un singur vector este linear independenta, iar orice multime carecontine vectorul nul este linear dependenta.

Aplicatie: Sa se arate ca ın C0[a,b], vectorii v1 = et, v2 = e−t, v3 = sht sunt

linear dependenti.

Definitia 7.1.6. Spunem ca sistemul de vectori B = {e1, e2, . . . , en} este obaza a spatiului vectorial V daca vectorii e1, e2, . . . , en sunt liniar independentisi formeaza un sistem de generatori pentru V .

Teorema 7.1.3. Un sistem de vectori B = {e1, e2, . . . , en} este baza a lui Vdaca si numai daca orice vector x ∈ V se exprima ın mod unic ca o combinatieliniara de vectorii din B:

x = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n.

Scalarii x1, x2, . . . , xn se numesc componentele vectorului x ın baza B.

Teorema 7.1.4. Daca B = {e1, e2, . . . , en} este o baza a spatiului vectorialV , atunci orice submultime a lui V care contine mai mult de n vectori esteliniar dependenta. De asemenea, orice alta baza a lui V are exact n vectori.

Definitia 7.1.7. Se numeste dimensiune a spatiului vectorial V si senoteaza dimV , numarul vectorilor dintr-o baza oarecare a lui V .

Exemple:

1. Baza canonica ın Rn esteB = {e1, e2, . . . , en}, unde e1 = (1,0, . . . ,0), e2 =(0,1, . . . ,0), . . . , en = (0,0, . . . ,1), deci dimRn = n;

2. Baza canonica ın Rn[X] este B = {1,X,X2, . . . ,Xn}, deci dimRn[X] =n + 1;

3. Baza canonica ınM2(R) este

B = {E1 = (1 00 0

) ,E2 = (0 10 0

) ,E3 = (0 01 0

) ,E4 = (0 00 1

)} ,

deci dimM2(R) = 4.

76

Teorema 7.1.5. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a spatiului vectorial real V ,si un sistem de vectori v1, v2, . . . , vp ∈ V . Consideram S ∈ Mn,p(R) ma-tricea care are pe coloane componentele ın baza B ale vectorilor v1, v2, . . . , vp.Atunci:

a) vectorii v1, v2, . . . , vp sunt liniar independenti daca si numai daca rangulmatricei S este p;

b) dimSp{v1, . . . , vn} = rang(S).

Aplicatie: Sa se arate ca vectorii v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,−1), v3 = (2,3,1)din R3 sunt liniar dependenti si sa se scrie unul dintre acesti vectori ca ocombinatie liniara de ceilalti.

Teorema 7.1.6 (Grassman). Daca U1, U2 sunt subspatii vectoriale ale spatiuluivectorial V , atunci

dim(U1 +U2) = dimU1 + dimU2 − dim(U1 ∩U2).

7.1.4 Schimbari de baze

Fie V un spatiu vectorial n-dimensional siB = {e1, e2, . . . , en}, B′ = {f1, f2, . . . , fn}doua baze ın V . Fiecare vector din B′ poate fi scris ın mod unic ın baza Bastfel:

f1 = a11e1 + a21e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an1en

f2 = a12e1 + a22e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an2en

⋮fn = a1ne1 + a2ne2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annen

sau pe scurt

fj =n

∑i=1

aijei, ∀j = 1, . . . , n.

Definitia 7.1.8. Se numeste matrice de trecere de la baza B la baza B′

matricea care are pe coloane componentele vectorilor din B′ ın baza B:

SBB′ =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mn(R).

77

Teorema 7.1.7. Fie B = {e1, e2, . . . , en}, B′ = {f1, f2, . . . , fn} doua baze ınspatiul vectorial V , si fie vectorul v ∈ V , scris ın bazele B si B′ astfel:

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen = y1f1 + y2f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynfn.

Atunci avem:⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠= SBB′

⎛⎜⎜⎜⎝

y1y2⋮yn

⎞⎟⎟⎟⎠,

unde SBB′ este matricea de trecere de la B la B′.

Teorema 7.1.8. Fie B,B′ doua baze ale spatiului vectorial V . Atunci ma-tricea de trecere de la B la B′ este nesingulara si avem

SB′B = S−1BB′

Aplicatie: Fie baza canonica B = {e1, e2, e3} din R3, o alta baza B′ ={f1, f2, f3}, unde

f1 = (1,0,1), f2 = (1,−1,0), f3 = (2,0,1),

si vectorul v = (1,2,3). Folosind matricea de trecere de la B la B′, sa sedetermine componentele lui v ın baza B′.

7.1.5 Spatii euclidiene

Definitia 7.1.9. Fie V un spatiu vectorial. Se numeste produs scalar peV o functie

⟨⋅, ⋅⟩ ∶ V × V → R

care asociaza fiecarei perechi de vectori din V un numar real ⟨u, v⟩ si caresatisface conditiile:

1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩, ∀u, v ∈ V

2. ⟨u1 + u2, v⟩ = ⟨u1, v⟩ + ⟨u2, v⟩, ∀u1, u2, v ∈ V

3. ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

4. ⟨u,u⟩ ≥ 0, ∀u ∈ V ; ⟨u,u⟩ = 0⇔ u = 0V .

Din cele patru proprietati de mai sus, se mai pot deduce urmatoarele:

1. ⟨u, v1 + v2⟩ = ⟨u, v1⟩ + ⟨u, v2⟩, ∀u, v1, v2 ∈ V

78

2. ⟨u,λv⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

3. ⟨0V , v⟩ = ⟨v,0v⟩ = 0, ∀v ∈ V

Definitia 7.1.10. Un spatiu vectorial ınzestrat cu un produs scalar ⟨⋅, ⋅⟩ senumeste spatiu euclidian.

Exemple:

1. Pe spatiul vectorial Rn definim produsul scalar standard

⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnyn

unde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn

2. Pe spatiul vectorial al matricelor patratice Mn(R) definim produsulscalar

⟨A,B⟩ = Tr(ATB), ∀A,B ∈Mn(R)

3. Pe spatiul vectorial C0[a,b] definim produsul scalar

⟨f, g⟩ = ∫b

af(x)g(x)dx, ∀f, g ∶ [a, b]→ R continue.

Definitia 7.1.11. Se numeste norma pe spatiul vectorial V o functie

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R

care satisface conditiile:

1. ∥v∥ ≥ 0, ∀v ∈ V ; ∥v∥ = 0⇔ u = 0V

2. ∥λv∥ = ∣λ∣∥v∥, ∀λ ∈ R, v ∈ V

3. ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥, ∀u, v ∈ V

Definitia 7.1.12. Un spatiu vectorial ınzestrat cu o norma ∥ ⋅ ∥ se numestespatiu normat.

Teorema 7.1.9. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Atunci functia

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R, ∥v∥ =√⟨v, v⟩, ∀v ∈ V

este o norma pe V , numita norma euclidiana indusa de produsul scalar.

Aplicatie: Sa se gaseasca normele induse de produsele scalare standardpe Rn,Mn(R) si C0

[a,b].

79

Definitia 7.1.13. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Doi vectoriu, v ∈ V se numesc ortogonali daca produsul lor scalar ⟨u, v⟩ = 0.

Definitia 7.1.14. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si o multime devectori U ⊂ V . Multimea tuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din U :

U� = {v ∈ V ∣⟨u, v⟩ = 0, ∀u ∈ U}

se numeste complementul ortogonal al lui U si este un subspatiu vectorialal lui V .

Teorema 7.1.10. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca vectoriiv1, v2, . . . , vn sunt ortogonali doi cate doi:

⟨vi, vj⟩ = 0, ∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}, i ≠ j

atunci sunt liniar independenti.

Definitia 7.1.15. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian n-dimensionalsi o baza B = {e1, e2, . . . , en}.

1. Baza B se numeste ortogonala daca e1, . . . , en sunt ortogonali doi catedoi:

⟨ei, ej⟩ = 0, ∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}, i ≠ j

2. Baza B se numeste ortonormata daca este ortogonala si toti vectoriidin B au norma 1:

⟨ei, ej⟩ = {1, daca i = j0, daca i ≠ j ,∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}

Teorema 7.1.11 (Gram-Schmidt). Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial eu-clidian n-dimensional si o baza B = {v1, v2, . . . , vn}. Atunci se poate construio baza ortonormata {e1, e2, . . . , en} pornind de la baza B.

Aplicatie: Sa se ortonormalizeze baza

B = {u1 = (1,1,1), u2 = (1,2,0), u3 = (0,1,2)} ⊂ R3.

80

7.2 Aplicatii liniare

7.2.1 Definitii si proprietati

Definitia 7.2.1. Fie V si W doua spatii vectoriale reale. O functie T ∶ V →W se numeste aplicatie liniara (sau morfism) de spatii vectoriale dacaındeplineste urmatoarele conditii:

1. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V

2. T (αv) = αT (v), ∀α ∈ R, v ∈ V

Daca aplicatia liniara T este bijectiva, se numeste izomorfism de spatiivectoriale. Daca V =W , atunci T se numeste endomorfism al lui V . Un en-domorfism bijectiv se numeste automorfism. Vom nota cu L(V,W ) multimeaaplicatiilor liniare de la V la W si cu L(V ) multimea endomorfismelor lui V .

Cele doua proprietati din definitia aplicatiei liniare sunt echivalente cuurmatoarea proprietate:

T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀α,β ∈ R, u, v ∈ V.

De asemenea, pentru o aplicatie liniara T ∶ V →W avem:

1. T (0V ) = 0W

2. T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V

3. T (∑ni=1αivi) = ∑n

i=1 αiT (vi), ∀αi ∈ R, vi ∈ V, i = 1, . . . , n.

Aplicatie: Sa se arate ca

T ∶ R3 → R2, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3)

este o aplicatie liniara.

Teorema 7.2.1. 1. Multimea aplicatiilor liniare L(V,W ) ımpreuna cuadunarea si ınmultirea funtiilor cu scalari formeaza un spatiu vecto-rial real.

2. Daca U,V,W sunt trei spatii vectoriale reale, si T1 ∈ L(U,V ), T2 ∈L(V,W ), atunci T2 ○ T1 ∈ L(U,W ).

Teorema 7.2.2. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci avem:

81

1. Daca U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci

T (U) = {w ∈W ∣∃u ∈ U, T (u) = w} ⊂W

este un subspatiu vectorial al lui W .

2. Daca U este un subspatiu vectorial al lui W , atunci

T −1(U) = {v ∈ V ∣T (v) ∈ U} ⊂ V

este un subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 7.2.2. Fie T ∈ L(V,W ).

1. MultimeaKerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0} ⊂ V

se numeste nucleul lui T .

2. MultimeaImT = {w ∈W ∣∃v ∈ V, T (v) = w} ⊂W

se numeste imaginea lui T.

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare T ∈ L(V,W ) sunt subspatii vec-toriale ale lui V , respectiv W . Dimensiunile acestor subspatii se numescrangul, respectiv defectul lui T , si ıntre ele exista urmatoarea relatie:

RangT + defT = n

unde n este dimensiunea lui V .

Teorema 7.2.3. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci:

1. T este injectiva daca si numai daca kerT = {0V }

2. T este surjectiva daca si numai daca imT =W .

Teorema 7.2.4. 1. Daca T ∈ L(V,W ) este un izomorfism de spatii vec-toriale, atunci si aplicatia inversa T −1 ∶W → V este o aplicatie liniara.

2. Spatiile vectoriale V si W sunt izomorfe daca si numai daca dimV =dimW .

82

7.2.2 Matricea unei aplicatii liniare

Fie V si W doua spatii vectoriale de dimensiuni n, respectiv m, si T ∶ V →W o aplicatie liniara. Consideram de asemenea bazele B = {e1, . . . , en} ın Vsi B′ = {f1, . . . , fm} ın W . Vectorii T (e1), . . . , T (en) din W pot fi scrisi ınbaza B′ astfel:

T (e1) = a11f1 + a21f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am1fm

T (e2) = a12f1 + a22f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am2fm

⋮T (en) = a1nf1 + a2nf2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnfm

Definitia 7.2.3. Matricea

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mm,n(R)

care are pe coloane componentele vectorilor T (e1), . . . , T (en) ın baza B′ senumeste matricea lui T ın raport cu bazele B si B′.

Teorema 7.2.5. Fie T ∈ L(V,W ), B = {e1, . . . , en} baza ın V , B′ = {f1, . . . , fm}baza ın W , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Daca x = ∑n

i=1 xieisi y = T (x) = ∑m

i=1 yifi, atunci avem:

⎛⎜⎜⎜⎝

y1y2⋮ym

⎞⎟⎟⎟⎠= A ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Teorema 7.2.6. Fie T ∈ L(V,W ), B, B doua baze ın V , B′, B′ doua bazeın W , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Atunci matricea luiT ın raport cu bazele B si B′ este:

A = S−1B′B′

ASBB

unde SBB este matricea de trecere de la B la B si SB′B′ este matricea detrecere de la B′ la B′.

Aplicatie: Fie endomorfismul T ∈ L(R3) care are ın baza canonica ma-

tricea A =⎛⎜⎝

1 1 00 1 11 0 1

⎞⎟⎠. Sa se determine matricea lui T ın baza B = {f1 =

(2,1,−3), f2 = (3,2,5), f3 = (1,−1,1)}.

83

7.2.3 Valori si vectori proprii

Definitia 7.2.4. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism.Vectorul v ∈ V, v ≠ 0V se numeste vector propriu la lui T daca exista unscalar λ ∈ R astfel ıncat

T (v) = λv.In acest caz, scalarul λ ∈ R se numeste valoare proprie a lui T . Multimeatuturor valorilor proprii ale unui endomorfism poarta denumirea de spectrullui T si se noteaza cu σ(T ).

Definitia 7.2.5. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism. Unsubspatiu vectorial U ⊆ V se numeste subspatiu invariant ın raport cu Tdaca T (U) ⊆ U .

Teorema 7.2.7. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism allui V

1. Daca λ este o valoare proprie a lui T , atunci multimea vectorilor propriicorespunzatori lui λ

V (λ) = {v ∈ V ∣T (v) = λv}

este un subspatiu vectorial invariant ın raport cu T , numit subspatiupropriu asociat valorii proprii λ.

2. Vectorii proprii ai lui T corespunzatori la valori proprii distincte suntliniar independenti.

Fie V un spatiu vectorial, B = {e1, e2, . . . , en} o baza ın V , T ∈ L(V )un endomorfism, si λ ∈ σ(T ). Consideram A matricea lui T ın baza B, siv ∈ V (λ). In baza B, vectorul v se scrie

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen

iar egalitatea T (v) = λv devine

A

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠= λ⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠

sau echivalent

(A − λIn)⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

00⋮0

⎞⎟⎟⎟⎠

84

Cum v ≠ 0V , rezulta ca sistemul de mai sus admite solutii nebanale, decidet(A − λIn) = 0.

Definitia 7.2.6. Polinomul cu coeficienti reali

p(λ) = det(A − λIn)

se numeste polinomul caracteristic al lui T . Ecuatia

det(A − λIn) = 0

se numeste ecuatia carecteristica a lui T .

Polinomul caracteristic al unui endomorfism T ∈ L(V ) nu depinde de bazaın care este scrisa matricea A a lui T , iar radacinile reale ale acestui polinomsunt chiar valorile proprii ale lui T . Ordinul de multiplicitate (ca radacinaa polinomului caracteristic) al unei valori proprii λ ∈ σ(T ) se numeste mul-tiplicitate algebrica a lui λ, iar dimensiunea subspatiului de vectori propriicorespunzator lui λ ∈ σ(T ) se numeste multiplicitate geometrica a lui λ.

Teorema 7.2.8. Fie V un spatiu vectorial real, T ∈ L(V ), si λ ∈ σ(T ).Atunci multiplicitatea geometrica a lui λ este cel mult egala cu multiplicitateaalgebrica a lui λ.

Aplicatie: Fie T ∶ R3 → R3, data prin

T (x1, x2, x3) = (4x1 − x2 + x3, x1 + 3x2 − x3, x2 + x3)

Sa se gaseasca valorile proprii ale lui T si subspatiile de vectori proprii core-spunzatoare.

Definitia 7.2.7. Un endomorfism T ∈ L(V ) se numeste diagonalizabildaca daca exista o baza a lui V astfel ıncat matricea lui T ın aceasta baza safie diagonala.

Teorema 7.2.9. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca si nu-mai daca exista o baza a lui V formata numai din vectori proprii ai lui T .

In cazul ın care este diagonalizabil, matricea endomorfismului T ∈ L(V )are pe diagonala valorile proprii corespunzatoare vectorilor proprii din baza.

Teorema 7.2.10. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca sinumai daca orice valoare proprie λ ∈ σ(T ) are multiplicitatile algebrica sigeometrica egale.

Aplicatie: Sa se arate ca endomorfismul T ∶ R3 → R3 definit prin

T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)

este diagonalizabil.

85

7.3 Forme biliniare. Forme patratice

7.3.1 Forme biliniare

Definitia 7.3.1. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatieF ∶ V × V → R se numeste forma biliniara pe V daca satisface conditiile:

1. F (u + v,w) = F (u,w) + F (v,w), ∀u, v,w ∈ V

2. F (αu, v) = αF (u, v), ∀α ∈ R, u, v ∈ V

3. F (u, v +w) = F (u, v) + F (u,w), ∀u, v,w ∈ V

4. F (u,αv) = αF (u, v), ∀α ∈ R, u, v ∈ V

Cele patru conditii din definitia unei forme biliniare sunt echivalente cuurmatoarele doua:

F (αu + βv,w) = αF (u,w) + βF (v,w), ∀α,β ∈ R, u, v,w ∈ VF (u,αv + βw) = αF (u, v) + βF (u,w), ∀α,β ∈ R, u, v,w ∈ V

Aplicatie: Sa se arate ca F ∶ R2 ×R2 → R definita prin

F (u, v) = x1y2 − x2y1, ∀u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2

este o forma biliniara.Sa consideram acum un spatiu vectorial V , o baza B = {e1, . . . , en} ın V si

forma biliniara F ∶ V × V → R. Fie de asemenea doi vectori oarecare u, v ∈ Vexprimati ın baza B astfel:

u =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

v =n

∑i=1

yiei = y1e1 + y2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynen, yi ∈ R, i = 1, . . . , n

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

F (u, v) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

yjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

xiyjF (ei, ej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxiyj (7.1)

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n.

86

Definitia 7.3.2. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial Vsi B = {e1, . . . , en} o baza ın V . Matricea

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n, se numestematricea asociata formeibiliniare F ın baza B.

Daca introducem notatiile

X =⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠, Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

y1y2⋮yn

⎞⎟⎟⎟⎠

atunci (7.1) devineF (u, v) =XTAY.

Teorema 7.3.1. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial Vsi doua baze B = {e1, . . . , en}, B = {f1, . . . , fn} ın V . Fie SBB matricea detrecere de la B la B si A, A matricele asociate formei biliniare F ın raportcu bazele B, respectiv B. Atunci avem:

A = STBB

ASBB

Definitia 7.3.3. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial V senumeste simetrica daca

F (u, v) = F (v, u), ∀u, v ∈ V.

Teorema 7.3.2. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial Veste simetrica daca si numai daca exista o baza B a lui V ın raport cu carematricea asociata lui F este simetrica.

Aplicatie: Fie forma biliniara F ∶ R3 ×R3 → R data prin

F (u, v) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3, ∀u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) ∈ R3

Sa se scrie matricea lui F ın baza

B = {f1 = (1,1,1), f2 = (1,1,−1), f3 = (1,−1,−1)}

si sa se verifice ca F este simetrica.

87

7.3.2 Forme patratice

Definitia 7.3.4. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatieΦ ∶ V → R se numeste forma patratica pe V daca exista o forma biliniarasimetrica F ∶ V × V → R astfel ıncat

Φ(u) = F (u,u), ∀u ∈ V.

Asadar oricarei forme biliniare simetrice ıi putem asocia o forma patratica.Reciproc, daca avem o forma patratica Φ, atunci forma biliniara din careprovine aceasta este F ∶ V × V → R data prin

F (u, v) = 1

2[Φ(u + v) −Φ(u) −Φ(v)], ∀u, v ∈ V.

Sa consideram acum o baza B = {e1, . . . , en} ın spatiul vectorial V , oforma patratica Φ ∶ V → R si forma biliniara simetrica F ∶ V × V → R dincare provine Φ. Fie de asemenea vectorul oarecare u ∈ V exprimat ın bazaB astfel:

u =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

Φ(u) = F (u,u) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

xjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj =XTAX

unde

X =⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠

iar A este matricea asociata lui F ın baza B.

Definitia 7.3.5. Matricea A asociata formei biliniare simetrice F ın baza Bse numeste matricea asociata formei patratice Φ ın baza B.

Definitia 7.3.6. Spunem ca o forma patratica Φ ∶ V → R este redusa laforma canonica daca se determina o baza B = {f1, . . . , fn} a lui V ınraport cu care expresia lui Φ sa fie de forma

Φ(u) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny

2n

unde λi ∈ R, i = 1, . . . , n iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului u ∈ V ınbaza B.

88

Teorema 7.3.3. Pentru orice forma patratica Φ ∶ V → R exista cel putin obaza B ın raport cu care Φ este ın forma canonica.

Aplicatie: Sa se aduca la forma canonica (folosind metoda lui Gauss)urmatoarele forme patratice:

1. Φ1(X) = x21 + 5x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3

2. Φ2(X) = x1x2 + x1x3 + x2x3

precizand si baza corespunzatoare.

Teorema 7.3.4 (Jacobi). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica avand ın bazaB = {e1, . . . , en} matricea sociata A cu proprietatea ca toti minorii principali

∆i =RRRRRRRRRRRRRR

a11 . . . a1i⋮ ⋱ ⋮ai1 . . . aii

RRRRRRRRRRRRRR, i = 1, . . . , n

sunt nenuli. Atunci exista o baza B = {f1, . . . , fn} a lui V ın care Φ areforma canonica

Φ(u) = ∆0

∆1

y21 +∆1

∆2

y22 + ⋅ ⋅ ⋅ +∆n−1

∆n

y2n

unde ∆0 = 1 iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului u ın baza B.

Teorema 7.3.5 (Sylvester). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica. Atuncinumarul termenilor pozitivi si al celor negativi dintr-o forma canonica a luiΦ nu depinde de baza ın care este obtinuta aceasta.

Fie p si q numarul termenilor pozitivi, respectiv negativi din forma canonicaa unei forme patratice Φ. Evident, p + q ≤ n. In functie de valorile acestorconstante, avem urmatoarea clasificare a formelor patratice:

• Φ este pozitiv definita daca p = n

• Φ este negativ definita daca q = n

• Φ este pozitiv semidefinita daca q = 0 si p < n

• Φ este negativ semidefinita daca p = 0 si q < n

• Φ este nedefinita daca pq ≠ 0

89

Capitolul 8

Vectori liberi. Planul si dreapta

8.1 Vectori liberi

Consideram ın spatiul geometric tridimensional E3 un segment orientatÐ→AB. Punctul A se numeste originea segmentului, iar B se numeste extrem-itatea segmentului. Daca A ≠ B, atunci dreapta determinata de cele douapuncte se numeste dreapta suport a segmentului. In cazul ın care originea siextremitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul.

Doua segmente orientate au aceeasi directie daca dreptele lor suport co-incid sau sunt paralele.

Un segment orientatÐ→AB determina ın mod unic pe dreapta AB un sens

de parcurgere a acesteia. Doua segmente orientate nenule, de aceeasi directie,au acelasi sens daca extremitatile lor se afla ın acelasi semiplan determinat dedreapta care uneste originile segmentelor ın planul dreptelor suport paralele.In caz contrar, spunem ca cele doua segmente orientate (de aceeasi directie)au sensuri opuse.

Lungimea unui segment orientatÐ→AB se defineste ca fiind distanta dintre

punctele A si B, si se noteaza cu ∥Ð→AB∥. Un segment orientat are lungimea

0 daca si numai daca este segmentul nul.Doua segmente orientate care au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi

lungime se numesc echipolente. Relatia de echipolenta este o relatie deechivalenta, ale carei clase de echivalenta se numesc vectori liberi. Asadar,

prin vectorul liber corespunzator segmentului orientatÐ→AB ıntelegemmultimea

tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie, sens si lungime cuÐ→AB.

Directia, sensul si lungimea comune reprezentantilor unui vector liber Ð→vse vor numi directia, sensul si lungimea vectorului liber Ð→v . Vectorul liberde lungime 0 se numeste vectorul nul, iar un vector liber de lungime 1 senumeste versor.

90

Definitia 8.1.1. 1. Doi vectori liberi se numesc coliniari daca au aceeasidirectie;

2. Doi vectori liberi coliniari care au aceeasi lungime dar sensuri opuse senumesc vectori opusi. Opusul vectorului Ð→v se noteaza cu −Ð→v ;

3. Doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor sunt segmente ori-entate echipolente;

4. Trei sau mai multi vectori liberi nenuli care au reprezentantii paralelicu acelasi plan se numesc vectori coplanari.

Multimea tuturor vectorilor liberi se noteaza cu V3. Sa consideram acumun punct oarecare O ∈ E3. Oricarui punct M ∈ E3 ıi corespunde un unic

vector liber Ð→r ∈ V3 al carui reprezentant esteÐÐ→OM . Reciproc, oricarui vector

liber Ð→r ıi corespunde un unic punct M ∈ E3 astfel ıncatÐÐ→OM sa fie reprezen-

tant al lui Ð→r . Vectorul liber Ð→r = ÐÐ→OM se numeste vectorul de pozitie alpunctului M fata de originea O.

Definitia 8.1.2. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3,

Ð→OA un reprezentant al lui Ð→a si

Ð→AB un

reprezentant al luiÐ→b . Vectorul liber Ð→c care are ca reprezentant segmentul

orientatÐ→OB se numeste suma vectorilor Ð→a si

Ð→b .

Vectorii Ð→a ,Ð→b si Ð→c = Ð→a +

Ð→b sunt coplanari. Regula de mai sus pentru

obtinerea sumei a doi vectori liberi se numeste regula triunghiului. De aseme-nea, suma a doi vectori liberi poate fi definita si folosind regula paralelogra-mului, ca fiind diagonala paralelogramului determinat de doi reprezentantiai celor doi vectori avand aceeasi origine.

Definitia 8.1.3. Fie λ ∈ R si Ð→v ∈ V3. Prin ınmultirea vectorului Ð→v cuscalarul λ ıntelegem vectorul liber λÐ→v definit astfel:

• daca Ð→v ≠ Ð→0 si λ ≠ 0, atunci λÐ→v este vectorul care are aceeasi directiecu Ð→v , acelasi sens cu Ð→v daca λ > 0 si sens opus daca λ < 0, iarlungimea lui este ∥λÐ→v ∥ = ∣λ∣∥Ð→v ∥;

• daca Ð→v =Ð→0 sau λ = 0, atunci λÐ→v =Ð→0 .

Teorema 8.1.1. Multimea vectorilor liberi V3 ımpreuna cu operatiile deadunare si ınmultire cu scalari definite mai sus formeaza un spatiu vecto-rial real.

91

8.2 Coliniaritate si coplanaritate

Teorema 8.2.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 doi vectori liberi nenuli.

1. Daca Ð→a siÐ→b sunt coliniari, atunci exista un unic λ ∈ R astfel ıncat

Ð→b = λÐ→a .

2. Multimea tuturor vectorilor coliniari cu Ð→a este un subspatiu vectorialde dimensiune 1, generat de Ð→a :

V1 = {Ð→v ∈ V3∣∃λ ∈ R,Ð→v = λÐ→a }.

Teorema 8.2.2. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3, cu

Ð→a ,Ð→b necoliniari.

1. Daca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c sunt coplanari, atunci exista α,β ∈ R unici astfel ıncat

Ð→c = αÐ→a + βÐ→b .

2. Multimea tuturor vectorilor coplanari cu Ð→a ,Ð→b este un subspatiu vecto-

rial de dimensiune 2, generat de Ð→a siÐ→b :

V2 = {Ð→v ∈ V3∣∃α,β ∈ R,Ð→v = αÐ→a + βÐ→b }.

Teorema 8.2.3. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 necoplanari si un vector oareacare v ∈ V3.

Atunci exista α,β, γ ∈ R unici astfel ıncat

Ð→v = αÐ→a + βÐ→b + γÐ→c .

Fie acum versoriiÐ→i ,Ð→j ,Ð→k ∈ V3 necoplanari, ale caror directii sunt perpen-

diculare doua cate doua, siÐ→OA,Ð→OB,Ð→OC trei reprezentanti ai acestor versori

avand originea comuna O. Conform teoremei anterioare, orice vector liberÐ→v ∈ V3 poate fi scris ın mod unic ca o combinatie liniara de

Ð→i ,Ð→j ,Ð→k :

Ð→v = xÐ→i + yÐ→j + yÐ→k .

Expresia de mai sus se numeste expresia analitica a vectorului Ð→v , iar scalariix, y, z se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului Ð→a . Daca

ÐÐ→OM este un

reprezentant al lui Ð→v cu originea ın O, atunci expresia anterioara devine

ÐÐ→OM = x

Ð→OA + y

Ð→OB + z

Ð→OC.

Sistemul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } se numeste reper cartezian ortogonal ın V3, iar

x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctuluiM ın reperul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k }.

92

Definitia 8.2.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 }. Numarul φ ∈ [0, π] ce reprezinta

unghiul dintre dreptele suport ale vectorilor Ð→a siÐ→b se numeste unghiul

dintre vectorii Ð→a siÐ→b .

Daca unghiul dintre doi vectori este π2 , atunci vectorii se numesc ortogo-

nali.

8.3 Produse cu vectori liberi

8.3.1 Produsul scalar a doi vectori

Definitia 8.3.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si φ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 }. Se numeste produs scalar al vectorilor Ð→a ,

Ð→b numarul

real definit prin:

Ð→a ⋅Ð→b =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ cosφ, daca Ð→a ,

Ð→b ≠Ð→0

0, daca Ð→a =Ð→0 sauÐ→b =Ð→0

Proprietati ale produsului scalar:

1. Ð→a ⋅Ð→b =Ð→b ⋅Ð→a , ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. λ(Ð→a ⋅Ð→b ) = (λÐ→a ) ⋅

Ð→b =Ð→a ⋅ (λ

Ð→b ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3, λ ∈ R;

3. Ð→a ⋅ (Ð→b +Ð→c ) =Ð→a ⋅

Ð→b +Ð→a ⋅Ð→c , ∀Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c ∈ V3;

4. Ð→a ⋅Ð→a > 0, ∀Ð→a ∈ V3 ∖ {Ð→0 };

5. Ð→a ⋅Ð→a = 0⇔Ð→a =Ð→0 ;

6. Ð→a ,Ð→b ∈ V3 sunt ortogonali ⇔Ð→a ⋅

Ð→b = 0;

7. daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului scalar este

Ð→a ⋅Ð→b = a1b1 + a2b2 + a3b3,

iar lungimea lui Ð→a este

∥Ð→a ∥ =√a21 + a22 + a23

93

8. daca Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 } si φ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b , atunci

cosφ =Ð→a ⋅Ð→b

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥= a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a22 + a23 ⋅√b21 + b22 + b23

Aplicatie: Fie Ð→a = Ð→u − 3Ð→v ,Ð→b = −Ð→u + 2Ð→v , ∥Ð→u ∥ = 3, ∥Ð→v ∥ =

√2 si

unghiul dintre vectorii Ð→u si Ð→v este θ = π4 . Sa se calculeze Ð→a ⋅

Ð→b , lungimile

diagonalelor paralelogramului determinat de cei doi vectori, si unghiul dintreele.

8.3.2 Produsul vectorial a doi vectori

Definitia 8.3.2. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si φ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖{

Ð→0 }. Se numeste produs vectorial al vectorilor Ð→a si

Ð→b vectorul

Ð→a ×Ð→b = ∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ ⋅ sinφ ⋅Ð→e

unde Ð→e este versorul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectorisi orientat dupa regula burghiului, adica sensul de ınaintare a unui burghiu

cand Ð→a se roteste catreÐ→b printr-un unghi minim.

Proprietati ale produsului vectorial:

1. Ð→a ×Ð→b = −(

Ð→b ×Ð→a ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. λ(Ð→a ×Ð→b ) = (λÐ→a ) ×

Ð→b =Ð→a × (λ

Ð→b ), ∀λ ∈ R,Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

3. (Ð→a +Ð→b ) ×Ð→c =Ð→a ×Ð→c +

Ð→b ×Ð→c , ∀Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c ∈ V3

4. Ð→a ×Ð→a =Ð→0 , ∀Ð→a ∈ V3

5. ∥Ð→a ×Ð→b ∥2 = ∥Ð→a ∥2 ⋅ ∥

Ð→b ∥2 − (Ð→a ⋅

Ð→b )2, ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

6. daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului vectorial este

Ð→a ×Ð→b =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

a1 a2 a3b1 b2 b3

RRRRRRRRRRRRRRR

7. ∥Ð→a ×Ð→b ∥ este aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→a si

Ð→b .

94

8. Ð→a ×Ð→b =Ð→0 daca Ð→a =Ð→0 sau

Ð→b =Ð→0 sau Ð→a ,

Ð→b sunt coliniari.

Aplicatie: Fie punctele A(−1,1,0),B(2,−1,3),C(4,2,2). Sa se calculezearia triunghiului ABC.

8.3.3 Produsul mixt a trei vectori

Definitia 8.3.3. Se numeste produs mixt al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 numarul

real care este egal cu produsul scalar dintre vectorii Ð→a siÐ→b ×Ð→c :

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =Ð→a ⋅ (

Ð→b ×Ð→c )

Proprietati ale produsului mixt:

1. dacaÐ→a = a1Ð→i +a2

Ð→j +a3

Ð→k ,Ð→b = b1

Ð→i +b2

Ð→j +b3

Ð→k siÐ→c = c1

Ð→i +c2

Ð→j +c3

Ð→k ,

atunci expresia analitica a produsului mixt este

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =

RRRRRRRRRRRRRR

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

RRRRRRRRRRRRRR

2. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = (

Ð→b ,Ð→c ,Ð→a ) = (Ð→c ,Ð→a ,

Ð→b )

3. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = −(Ð→a ,Ð→c ,

Ð→b )

4. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = 0 daca cel putin unul dintre vectorii Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c este

Ð→0 sau

daca cei trei vectori sunt coplanari;

5. ∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣ este volumul paralelipipedului determinat de vectoriiÐ→a ,

Ð→b ,Ð→c .

Aplicatie: Fie punctele A(2,3,1),B(4,1,−2),C(6,3,7),D(−5,−4,8). Sase calculeze:

1. Perimetrul si aria triunghiului ABC, masura unghiului A si lungimeaınaltimii duse din C.

2. volumul tetraedrului ABCD si lungimea ınaltimii duse din D.

95

8.4 Planul si dreapta

8.4.1 Planul

Fie {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } un reper cartezian ınE3. Prin ecuatia unui plan ıntelegem

ecuatia pe care o verifica coordonatele tuturor punctelor din acel plan. Ecuatiagenerala a unui plan este

Ax +By +Cz +D = 0

unde A,B,C,D ∈ R cu A2 +B2 +C2 > 0.

Definitia 8.4.1. Fie un plan α ⊂ E3.

1. Un vector Ð→n ∈ V3 ∖ {Ð→0 } se numeste vector normal la planul α daca

dreapta lui suport este perpendiculara pe planul α;

2. Doi vectori necoliniari Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 } se numesc vectori directori

ai planului α daca dreptele lor suport sunt paralele cu planul α.

Teorema 8.4.1 (Ecuatia planului determinat de un punct si un vec-

tor normal). Fie un punct M0(x0, y0, z0) ∈ E3 si vectorul Ð→n = AÐ→i +BÐ→j +CÐ→k ∈ V3. Atunci ecuatia planului care trece prin M0 si are vectorul normalÐ→n este:

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0.

Teorema 8.4.2 (Ecuatia planului determinat de un punct si doi

vectori directori). Fie un punct M0(x0, y0, z0) ∈ E3 si vectorii Ð→v 1 = l1Ð→i +

m1Ð→j + n1

Ð→k ,Ð→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j + n2

Ð→k ∈ V3. Atunci ecuatia planului care trece

prin M0 si are vectorii directori Ð→v 1,Ð→v 2 este:

RRRRRRRRRRRRRR

x − x0 y − y0 z − z0l1 m1 n1

l2 m2 n2

RRRRRRRRRRRRRR= 0.

Teorema 8.4.3 (Ecuatia planului determinat de trei puncte necol-iniare). Fie punctele Mi(xi, yi, zi) ∈ E3, i = 1,2,3 necoliniare. Atunci ecuatiaplanului care trece prin M1,M2,M3 este:

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

RRRRRRRRRRRRRR= 0.

Aplicatie: Sa se aplice teoremele anterioare pentru diverse plane de-terminate de punctele M1(3,−2,1),M2(5,4,1),M3(−1,−2,3) si vectorii v1 =Ð→i − 2Ð→j +

Ð→k , v2 = 3

Ð→i + 2Ð→j + 4

Ð→k .

96

8.4.2 Dreapta

Fie {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } un reper cartezian ın E3. Prin ecuatia unei drepte

ıntelegem ecuatia pe care o verifica coordonatele tuturor punctelor de peacea dreapta.

Definitia 8.4.2. Fie o dreapta d ⊂ E3. Un vector Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + n

Ð→k ∈

V3 ∖ {Ð→0 } se numeste vector director al dreptei d daca dreapta suport a

lui Ð→v este paralela cu d. Componentele l,m,n ale vectorului director Ð→v senumesc parametri directori ai dreptei d.

Teorema 8.4.4 (Ecuatiile dreptei determinate de un punct si un

vector director). Fie un punct M0(x0, y0, z0) ∈ E3 si vectorul Ð→v = lÐ→i +

mÐ→j + n

Ð→k ∈ V3. Atunci ecuatiile dreptei care trece prin M0 si are vectorul

director Ð→v sunt:x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n.

Daca egalam cele trei rapoarte din teorema anterioara cu un parametruoarecare t ∈ R se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + lty = y0 +mt

z = z0 + nt

Teorema 8.4.5 (Ecuatiile dreptei determinate de doua puncte dis-tincte). Fie doua puncte M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) ∈ E3. Atunci ecuatiiledreptei care trece prin cele doua puncte sunt:

x − x1

x2 − x1

= y − y1y2 − y1

= z − z1z2 − z1

.

Ecuatiile unei drepte pot fi date si ca intersectia a doua plane:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

A1x +B1y +C1z +D1 = 0A2x +B2y +C2z +D2 = 0

unde rang( A1 B1 C1

A2 B2 C2) = 2, lucru care garanteaza faptul ca cele doua

plane nu sunt paralele.

97

8.4.3 Unghiuri si distante

1. Unghiul a doua drepteFie dreptele d1, d2 date prin ecuatiile:

d1 ∶x − x1

l1= y − y1

m1

= z − z1n1

d2 ∶x − x2

l2= y − y2

m2

= z − z2n2

Atunci unghiul θ dintre cele doua drepte este dat de:

cos θ = l1l2 +m1m2 + n1n2√l21 +m2

1 + n21 ⋅√l22 +m2

2 + n22

2. Unghiul a doua planeFie planele α1, α2 date prin ecuatiile:

α1 ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

α2 ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0unghiul θ dintre cele doua plane este dat de:

cos θ = A1A2 +B1B2 +C1C2√A2

1 +B21 +C2

1 ⋅√A2

2 +B22 +C2

2

3. Unghiul dintre o dreapta si un planFie dreapta d si planul α date prin ecuatiile:

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

α ∶ Ax +By +Cz +D = 0Atunci unghiul θ dintre dreapta d si planul α este dat de:

sin θ = Al +Bm +Cn√A2 +B2 +C2 ⋅

√l2 +m2 + n2

4. Distanta de la un punct la un planFie punctul M(x0, y0, z0) si planul α date prin ecuatia

α ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Atunci distanta de la punctul M0 la planul α este

d(M0, α) =Ax0 +By0 +Cz0 +D√

A2 +B2 +C2

98

Capitolul 9

Conice

Definitia 9.0.3. Fie E2 spatiul euclidian bidimensional si {O,Ð→i ,Ð→j } un

reper ortonormat. Se numeste conica o curba plana definita ca multimeapunctelor ale caror coordonate ın reperul considerat verifica o ecuatie alge-brica de gradul al doilea de forma

f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

unde aij ∈ R, i, j = 1,2,3 si a211 + a212 + a222 > 0.

9.1 Conice pe ecuatii reduse

9.1.1 Cercul

Definitia 9.1.1. Fie punctul C(a, b) si numarul real r > 0. Se numeste cercde centru C si raza r multimea tuturor punctelor din plan aflate la distantar de punctul C.

Orice punct M(x, y) de pe cerc verifica ecuatia

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

saux2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

asadar cercul este un caz particular de conica.Ecuatiile parametrice ale cercului sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a + r cos ty = b + r sin t

, t ∈ [0,2π).

99

9.1.2 Elipsa

Definitia 9.1.2. Fie punctele F (c,0) si F ′(−c,0), cu c > 0 si numarul reala > c. Se numeste elipsa multimea punctelor din plan cu proprietatea casuma distantelor la punctele F si F ′ este 2a. Punctele F si F ′ se numescfocarele elipsei.

Orice punct M(x, y) de pe elipsa verifica ecuatia

x2

a2+ y2

b2= 1

unde b2 = a2 − c2.Axele de coordonate Ox si Oy sunt axe de simetrie pentru elipsa, iar

originea O este centru de simetrie pentru elipsa. Numerele reale pozitive a, bse numesc semiaxele elipsei, iar punctele A(a,0),A′(−a,0),B(0, b),B′(0,−b)se numesc varfurile elipsei.

Ecuatiile parametrice ale elipsei sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos ty = b sin t

, t ∈ [0,2π).

9.1.3 Hiperbola

Definitia 9.1.3. Fie punctele F (c,0) si F ′(−c,0), cu c > 0 si numarul reala ∈ (0, c). Se numeste hiperbola multimea punctelor din plan cu proprietateaca modulul diferentei distantelor la punctele F si F ′ este 2a. Punctele F siF ′ se numesc focarele hiperbolei.

Orice punct M(x, y) de pe hiperbola verifica ecuatia

x2

a2− y2

b2= 1

unde b2 = c2 − a2.Axele de coordonate Ox si Oy sunt axe de simetrie pentru hiperbola, orig-

ineaO este centru de simetrie pentru hiperbola, iar puncteleA(a,0),A′(−a,0)se numesc varfurile hiperbolei.

Dreptele de ecuatii

y = ± bax

se numesc asimptotele hiperbolei.Daca a = b, hiperbola se numeste echilatera.

100

9.1.4 Parabola

Definitia 9.1.4. Fie punctul F (p/2,0) si dreapta de ecuatie x = −p/2, cup > 0. Se numeste parabola multimea punctelor din plan cu proprietatea cadistanta pana la punctul F este egala cu distanta pana la dreapta d. PunctulF se numeste focarul parabolei, dreapta d se numeste directoarea parabolei,iar numarul p se numeste parametrul parabolei.

Orice punct M(x, y) de pe parabola verifica ecuatia

y2 = 2px

Axa Ox este axa de simetrie pentru parabola, iar originea O(0,0) senumeste varful parabolei

9.2 Schimbari de repere carteziene

9.2.1 Rotatia

Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper ortonormat si punctul M(x, y). Construim un nou

reper cartezian ortonormat {O,Ð→i ′,Ð→j ′} obtinut din cel initial prin rotirea

versorilorÐ→i si

Ð→j cu unghiul θ ∈ [0, π). Relatia dintre coordonatele x, y ale

punctului M ın reperul initial si coordonatele x′, y′ ale punctului M ın noulreper sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

Relatiile de mai sus definesc o transformare de coordonate numita rotatie.Transformarea inversa este data de relatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = x cos θ + y sin θy′ = −x sin θ + y cos θ

9.2.2 Translatia

Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper ortonormat si punctul A(x0, y0). Construim noul

reper cartezian ortonormat {A,Ð→i ,Ð→j }. Relatia dintre coordonatele x, y alepunctului M ın reperul initial si coordonatele x′, y′ ale punctului M ın noulreper sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

101

Relatiile de mai sus definesc o transformare de coordonate numita translatie.Transformarea inversa este data de relatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = x − x0

y′ = y − y0

Compunerea unei translatii cu o rotatie este data prin relatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ

si se numeste rototranslatie.

9.3 Reducerea conicelor la forma canonica

Fie conica de ecuatie generala

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 (9.1)

ıntr-un reper ortonormat {O,Ð→i ,Ð→j }. Se pune problema gasirii unui nou

reper {O′,Ð→i ′,Ð→j ′} ın care conica sa aiba o forma canonica (sau redusa), depreferinta una din formele din sectiunea 9.1.

9.3.1 Invariantii unei conice

Definitia 9.3.1. Fie o conica de ecuatie generala (9.1). Numerele reale

I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12a12 a22

∣ , ∆ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR

se numesc invariantii conicei.

Teorema 9.3.1. Fie o conica de ecuatie generala (9.1). Atunci invariantiiconicei I, δ,∆ raman neschimbati dupa efectuarea unei translatii sau rotatii.

Asadar, daca dupa efectuarea unei translatii sau rotatii ecuatia coniceidevine

a′11x′2 + 2a′12x′y′ + a′22y′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a′33 = 0

102

atunci avem

I = a11 + a22 = a′11 + a′22

δ = ∣ a11 a12a12 a22

∣ = ∣ a′11 a′12

a′12 a′22∣

∆ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR

a′11 a′12 a′13a′12 a′22 a′23a′13 a′23 a′33

RRRRRRRRRRRRRR

9.3.2 Reducerea la forma canonica a conicelor cu cen-tru

Fie o conica de ecuatie generala (9.1) si presupunem ca

δ = ∣ a11 a12a12 a22

∣ ≠ 0

Atunci sistemul liniar de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x + a12y + a13 = 0a12x + a22y + a23 = 0

este compatibil determinat si fie (x0, y0) solutia acestui sistem. Dupa efec-tuarea translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

ecuatia conicei devine

a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 +

∆

δ= 0

Observam ca originea C(x0, y0) reperului ın care avem ecuatia de mai suseste centru de simetrie pentru conica.

Daca a12 = 0, atunci conica este deja ın forma canonica. Daca a12 ≠ 0,efectuam transformarea de coordonate corespunzatoare formei canonice aformei patratice

Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2.

In noul reper, ecuatia conicei are forma canonica

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0 (9.2)

103

unde λ1, λ2 sunt valorile proprii ale matricei

( a11 a12a12 a22

) ,

adica radacinile ecuatiei caracteristice

λ2 − Iλ + δ = 0,

alese astfel ıncat λ1 − λ2 are acelasi semn cu a12.Se poate arata ca transformarea de coordonate care face trecerea de la

x′, y′ la X,Y este o rotatie de unghi θ ∈ [0, π2 ) dat de

tg θ = λ1 − a11a12

= a12a11 − λ2

sau

tg 2θ = 2a12a11 − a22

In concluzie, forma canonica a conicei cu centru (9.1) este (9.3), iarlegatura dintre coordonatele initiale x, y si cele ın care avem forma canonicaX,Y este data de

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ

Daca δ > 0, atunci din ecuatia caracteristica obtinem λ1λ2 > 0, de undeλ1 si λ2 au acelasi semn, deci conica este de tip elipsa (adica o elipsa, unpunct, sau multimea vida, ın funtie de semnul lui ∆).

Daca δ < 0, atunci din ecuatia caracteristica obtinem λ1λ2 < 0, de unde λ1

si λ2 au semne contrare, deci conica este de tip hiperbola (adica o hiperbolasau reuniunea a doua drepte concurente, dupa cum ∆ este nenul sau 0).

Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica senumeste degenerata.

Aplicatie: Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica:

5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0.

9.3.3 Reducerea la forma canonica a conicelor cu o in-finitate de centre

Fie o conica de ecuatie generala (9.1) si presupunem ca

δ = ∣ a11 a12a12 a22

∣ = 0, iar rang( a11 a12 a13a12 a22 a23

) = 1

104

Atunci sistemul liniar de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x + a12y + a13 = 0a12x + a22y + a23 = 0

este compatibil nedeterminat si fie (x0, y0) o solutie a acestui sistem. Dupaefectuarea translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

ecuatia conicei devine

a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0

Daca a12 = 0, a22 = 0 si a11 ≠ 0, atunci conica degenereaza ın doua drepteparalele sau multimea vida. O situatie similara se gaseste daca a12 = 0, a11 = 0si a22 ≠ 0.

Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212, rezulta ca a11 si a22 au acelasi semn, siobtinem (ınmultind cu −1 daca cei doi coeficienti sunt negativi)

(√a11x

′ ±√a22y

′)2 ± f(x0, y0) = 0

deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate, sau estemultimea vida.

9.3.4 Reducerea la forma canonica a conicelor fara cen-tru

Fie o conica de ecuatie generala (9.1) si presupunem ca

δ = ∣ a11 a12a12 a22

∣ = 0, iar rang( a11 a12 a13a12 a22 a23

) = 2

Atunci sistemul liniar de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x + a12y + a13 = 0a12x + a22y + a23 = 0

este incompatibil, deci nu putem elimina termenii de grad 1 printr-o translatieconvenabila.

Daca a12 ≠ 0, efectuam transformarea de coordonate corespunzatoareformei canonice a formei patratice

Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.

105

In noul reper, ecuatia conicei are forma canonica

λ1x′2 + λ2y

′2 + ∆

δ= 0 (9.3)

unde λ1, λ2 sunt valorile proprii ale matricei

( a11 a12a12 a22

) ,

adica radacinile ecuatiei caracteristice

λ2 − Iλ + δ = 0,

adica λ1 = 0 si λ2 = I, deci ın noile coordonate ecuatia conicei devine

Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a33 = 0,

iar transformarea efectuata corespunde rotatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

unde tg θ = −a11a12

.Dupa efectuarea translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

X = x′ + 1a′13(a33 − a′223

I )Y = y′ + a′23

I

ecuatia conicei devineIY 2 + 2a′13X = 0,

iar forma canonica esteY 2 = ±2pX

cu p =√−∆

I3 .Daca a12 = 0, atunci a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatia conicei

devinea22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,care reprezinta doua drepte paralele sau confundate, sau multimea vida (pen-tru a13 = 0) sau o parabola (pentru a13 ≠ 0).

Aplicatie: Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica:

x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0.

106