m.e.f. – principii de baza

M.E.F. – PRINCIPII DE BAZA

Probleme de fizica aplicata intalnite curent in ingineria civila:

- distributia eforturilor unitare si a deformatiilor specifice in solide elastice - distributia si campului termic - curgerea prin medii poroase (infiltratii)

Toate aceste probleme pot fi rezolvate prin doua abordari:

abordarea diferentiala sau abordarea variationala

METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice

1

ABORDAREA DIFERENTIALA

0A

)(

.

.

.

)(

)(

)(

2

1

uA

uA

uA

u

n

0B

)(

.

.

.

)(

)(

)(

2

1

uB

uB

uB

u

n

Conditii de margineimpuse

Sistemul de ecuatii diferentialecu derivate partiale

• Ecuatiile diferentiale ce definesc problema sunt cunoscute (date)

• Functia necunoscuta – u = scalar sau vector


2

ABORDAREA VARIATIONALA

Functia necunoscuta u este cea care minimizeaza o functionala E (scalar)

D

dx

uuGdD

x

uuFE ,...),(,...),(

cu F si G “operatori”

E = 0 0)()( D

TT duudDuuE BA

Daca E este definita prin sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0 si de conditiile de margine B(u) = 0, conditia de minim este exprimata prin


3

n

iiinna azyxNazyxNazyxNazyxNuu

12211 ),,(),,(...),,(),,(

cu: Ni(x,y,z) - functii de aproximare (functii de forma) ai - parametri independenti.

Solutia aproximativa cautata pentru functia u

• functionala E va fi exprimata numai in functie de parametrii ai

0...22

11

n

n

aa

Ea

a

Ea

a

EE

• conditia de minim va fi satisfacuta daca si numai daca

0

.

.

.2

1

na

E

a

Ea

E

E

a


4

MEF se bazeaza pe abordarea variationala, urmand principiile de baza ale metodei Rayleigh-Ritz, cu deosebirea ca domeniul pe care este analizat fenomenul este descompus (prin linii sau suprafete imaginare) in m subdomenii numite elemente finite.

m

eEE1

De ee GdFdDE

x

y (D )

(De )

A(u) = 0B(u) = 0

( )

(e)


5

• Functiile de aproximare (functiile de forma) sunt alese astfel incat sa defineasca in mod unic functia necunoscuta u pe fiecare subdomeniu (element finit) De; functiile de aproximare pot fi definite mult mai usor datorita geometriei simple si a proprietatilor unice ale sub-domeniului (elementului).

• Parametrii ai sunt alesi (atribuiti) astfel incat sa corespunda cu valorile functiei necunoscute u din nodurile discretizarii; astfel, parametrii primesc semnificatia fizica a valorilor nodale ui ale functie necunoscute:

n

iiia uzyxNuu

1

),,(


6

ruuku Te

TeE

2

1

unde este matricea de rigiditate globala, corespunzatoare domeniului D;

vectorul incarcarii

u vectorul valorilor nodale ale functie necunoscute (necunoscutele primare); contine toate valorile nodale ale discretizarii.

RuuKuruuku Te

Tm

Te

Tm

eEE 2

1)

2

1(

11

m

e1

kK

m

1

rR

Se demonstreaza ca daca E este quadratica (functia u si derivatele sale apar cel mult la puterea a 2-a), functionala Ee se reduce la forma standard


7

0

.

.

.2

1

nu

E

u

Eu

E

E

u0

RKuu

E

;;;111

i

ni

i

ni

n

iii u

y

N

y

uu

x

N

x

uuNu

Minimizarea functionalei E in raport cu functia necunoscuta u


8

Concluzii Advantajele aproximarii prin elemente finite:

• domeniul continuu este divizat intr-un numar finit de de subdomenii (elemente); comportarea fiecarui element este definita printr-un numar de parametri ce corespund valorilor nodale ale problemei;

• obtinerea solutiei pentru un sistem fizic complex, ca ansamblu al componentelor sale, urmareste intocmai pasii si regulile aplicate la Metoda Rigiditatii (DSM).


9

Comparatie cu metoda Rayleyh-Ritz:

• In cazul metodei Rayleyh-Ritz functiile de aproximare au expresii valabile pe tot domeniul, conducand la sisteme de ecuatii simultane cu matrici ale coeficientilor complete. In cazul MEF, functia necunoscuta este definita local, valoarea nodala influentand numai elementele conectate (respectiv vice-versa); astfel, matricea coeficientilor devine o matrice-banda, dezvoltata in lungul diagonalei principale.

• Domenii complexe, fara restrictii privind forma geometrica si omogenitatea, pot fi asamblate din elemente relativ simple.

• Parametrii nedeterminati ai metodei Rayleyh-Ritz (numere) sunt inlocuiti cu valori nodale cu semnificatie fizica (important pentru interpretarea inginereasca).

• Metoda poate fi implementata relativ usor in programe de calcul automat, datorita procedurii standard de definire a caracteristicilor elementelor.


10

DISTRIBUTIA EFORTURILOR UNITARE SI A DEFORMATIILOR SPECIFICE IN MEDIUL LINEAR-ELASTIC

Evaluarea campului eforturilor unitare pentru structuri (masive) supuse la incarcari masice, concentrate, distribuite si a unui sistem de legaturi.

Starea de eforturi Tzxyzxyzyx σ

Starea de deformatii Tzxyzxyzyx ε

0

0

0

zzyzxz

yyzyxy

xxzxyx

fyxz

fzxy

fzyx

Echilibrul Navier


11

Relatiile deplasare – deformatie specifica

x

ux

y

vy

z

wz

x

v

y

uxy

y

w

z

vyz

z

u

x

wzx

unde u, v, w sunt componentele deplasarii in lungul axelor sistemului de coordonate 3D Cartesian.


12

Relatiile deplasare – deformatie specifica in forma matriceala:

d ε

w

v

u

xz

yz

xy

z

y

x

z

u

x

wy

w

z

vx

v

y

uz

wy

vx

u

zx

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

w

v

u

dvectorul componentelor deplasarii

matrice a operatorilor diferentiali


13

Pentru solide elastice (cu comportare linear-elastica a materialului),legea lui Hook generalizata

00 σεεEσ

xy

y

x

σConsiderand cazul particular bidimensional (2D) in conditii de efort plan

yxxx EE

10,

yxyy EE 1

0,

yxxyxy E )1(2

0,

Relatiile lui Hook


14

2

100

01

01

1 2

E

ERezulta matricea de elasticitate

- Functia neunoscuta u din A(u) = 0 este vectorul deplasarii d = d(x, y, z)

- Ecuatiile Navier si legea lui Hook reprezinta sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0.

- Conditiile de margine B(u) = 0 sunt exprimate de incarcarile si legaturile aplicate pe contur.


15

ABORDAREA VARIATIONLA

WUddVdVdVdVEV c

TTT

V V

T

V

TT

RδpdfdEεεσεσε 002

1

Energia potentiala totala de deformatie

- primii 3 termeni (in prima paranteza) reprezinta energia de deformatie U datorata eforturilor unitare induse, a eforturilor unitare initiale 0 si a deformatiilor specifice initiale 0;

- ultimii 3 termeni (in cea de-a doua paranteza) reprezinta energia potentiala W a incarcarilor exterioare datorate fortelor masice f, incarcarilor distribuite p si a celor concentrate Rc.

V este volumul domeniului (structurii) si granita pe care se aplica conditiile de margine.


16

ECUATIILE IN ELEMENTE FINITE

Structura este separata prin discretizare intr-un numar de elemente finite.

Pe fiecare element, functia deplasare este definita prin inermediul functiilor de aproximare, pe baza deplasarilor nodale, in forma generala:

eii zyxzyx δNδNd ),,(),,(

Exemplu

Aproximare 2D, solid patrulater, 2 GL/nod (numai deplasari)

44332211 ),(),(),(),(),( δNδNδNδNd yxyxyxyxyx

Interpolare lineara → functiile de aproximare Ni(x,y) sunt lineare, deci polinoame de ordinul I.


17

),,(

),,(

),,(

),,(

zyxw

zyxv

zyxu

zyxd vectorul componentelor deplasarii

i

i

i

i

w

v

u

δ deplasarile nodului i

2

1 3

4

x

y

),( yxd ),( bxd 1

2

3

4

a

xx )()0,( 121 δδδd

a

xbx )(),( 434 δδδd

4

1

)]0,(),([)0,(),(i

iib

yxbxxyx δNdddd


18

19


b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

a

x

a

xy,x 2 12143411 δδδδδδδδδ)d(

b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

a

x

a

xy,x 2 12143411 δδδδδδδδδ)d(

Nod 1 11 00000 δδ)d( ,

Nod 2 2121 000 δδδδ)d( ,a

Nod 3 3423114121 δδδδδδδδδδ)d( b,a

Nod 4 4141 000 δδδδ)d( b,

Campul deplasarilor pe sprafata elementului devine:

xyab

ya

xa

y,x 432114121

δδδδδδδδδ)d(

20


4311 δδδδ)d(

ab

xy

b

y

ab

xy

ab

xy

a

x

ab

xy

b

y

a

xy,x 2

ab

xy

b

y

a

xy,xN 11 )(

ab

xy

a

xy,xN )(2

ab

xyy,xN )(3

ab

xy

b

yy,xN )(4

Functiile de aproximare devin:

21


10001001 )( ,N

000002 )( ,N

0003 )( ,N

000004 )( ,N

Propertatile functiilor de aproximare

000101 a

a,aN )(

1002 a

a,aN )(

003 )( ,aN

00004 )( ,aN

011 ab

ab

b

b

a

ab,aN )(

02 ab

ab

a

ab,aN )(

13 ab

abb,aN )(

04 ab

ab

b

bb,aN )(

000101 b

bb,N )(

00002 )( b,N

003 )( b,N

1004 b

bb,N )(

Functiile Ni (x,y,z) au fost alese astfel incat, prin inlocuirea coordonatelor, sa rezulte valorile nodale exacte ale deplasarilor (ui pentru coordonatele nodului i s.a.m.d.), in timp ce pentru coordonatele oricarui alt nod j functia se anuleaza :

IN ),,( iiii zyx

0NN .....),,(),,( kkkijjji zyxzyx


22

114321 ab

xy

b

y

ab

xy

ab

xy

a

x

ab

xy

b

y

a

xNNNN

11

z,y,xNn

i

Suma functiilor de aproximare (pentru elemente finite cu n noduri) este 1

23


Cunoscand deplasarile in orice punct in interiorul elementului, deformatiile specifice rezulta

ee BδNδdε

unde B – matricea derivatelor functiilor de aproximare.

Necunoscutele secundare ale problemei

xy

y

x

0

0 x

ux

44332211 uNuNuNuNu

44

33

22

11 u

x

Nu

x

Nu

x

Nu

x

Nx

e

xy

y

x

v

u

v

u

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

Ny

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

Bδε

4

4

3

3

2

2

1

1

44332211

4321

4321

0000

0000


24

Eforturile unitare – pentru un material linear-elastic (se considera deformatii specifice si eforturi unitare initiale nule)

eδBEεEσ

Energia potentiala de deformatie pe element – prin substitutia relatiilor anterioare in expresia functionalei

ddVdVdVdVE TT

eVe

TTeVe

TTeVe

TTeeVe

TTee pNδfNδEεBδ σBδδEBBδ 002

1

Constatari:

- functionala depinde numai de valorile deplasarilor nodale e;

- integralele sunt exprimate in functie de functiile cunoscute N, B si de valorile

cunoscute E, 0, 0, f, p.


25

Notatii:

Ve

T dVEBBk

pfTT

eVe

TTeVe

TTeVe

TTe ddVdVdV rrrrpNδfNδEεBδ σBδr 0000

Energia potentiala totala pe element rezulta:

rδkδδ Tee

TeeE

2

1

Energia potentiala totala a structurii se obtine prin sumarea contributiilor fiecarui element finit din discretizare si a fortelor exterioare concentrate in noduri (altele decat cele actionand la nivelul elementului):

cT

eEE Rδ


26

Considerand vectorul ca vector al tuturor deplasarilor nodale din discretizare:

cT

mT

mTE Rδrδδkδ

112

1

Notatii:

m

1

kK m

c1

RrR

Energia potentiala totala a structurii devine

RδKδδ TTE 2

1


27

Ecuatii de echilibru structural

Conditia de minimizare a energiei potentiale totale in raport cu deplasarea:

0,1

nii

E

δ

Ceea ce conduce la: K = R

• K se identifica cu matricea de rigiditate a structurii (matricea de rigiditate globala) si, drept urmare, k este matricea de rigiditate elementala;

• R reprezinta vectorul fortelor nodale, iar vectorul r reprezinta fortele nodale datorate fortelor masice rf, eforturilor initiale r0

, fortelor distribuite

rp, deformatiilor initiale r0 actionand pe fiecare element.


28

CONCLUZIE

Aproximarea solutiei prin elemente finite se reduce la o problema de minimizare a energiei potentiale totale de deformatie E, definita in raport cu un numar finit de deplasari nodale. Procedeul conduce la formularea unui set de ecuatii algebrice, ce poate fi rezolvat dupa impunerea conditiilor de margine.

Campul deplasarilor, deformatiilor specifice si al eforturilor unitare (necunoscute secundare):

d = N e

e = B e

e = E B - E 0 + 0


29

PP

PP

PP P

P

ph

ph

ph

ph

4

12

3 56

78

PP

PP

PP P

PP

zxy


30

CONDITII DE MARGINE

In analize structurale, conditiile de margine se exprima sub forma legaturilor structurii la un mediu considerat infinit rigid (grade de libertate GL suprimate sau impuse).

Matricea K din sistemul global de ecuatii este singulara, astfel incat un numar minim GL trebuie sa anuleze posibilitatea de deplasare ca solid-rigid.

GL blocate (cu valoare nula)

0δ

0

0

0

i

i

i

i

w

v

u

Procedeul este echivalent cu eliminarea (stergerea) din sistemul global de ecuatii a ecuatiilor (liniilor si coloanelor) corespunzatoare nodului i.


31

Deplasari impuse (GL atribuite cu valoare ne-nula) 0nδ

Sistemul de ecuatii global se partitioneaza:

n

u

n

u

nnu

unu

R

R

δ

δ

KK

KKRδK

Indicii u and n au semnificatiile u = necunoscut ; n = cunoscut

u – deplasari nodale ce trebuie calculaten – deplasari nodale impuse.

Sistemul de ecuatii se rescrie sub forma

Iar prima ecuatie devine:

ununuu RδKδK

nnnunu RδKδK

*RδKRδK nunuuu


32

Artificiu practic:

- coeficientul matriceal diagonal (din K) corespunzator GL in cauza se multiplica cu un numar foarte mare;

- in acelasi timp, termenul liber al ecuatiei este inlocuit prin multiplicarea deplasarii cunoscute cu acelasi numar.

Efectul este de inlocuire a ecuatiei i cu ceea ce indica faptul ca deplasarea pe directia GL respectiv este (aproape) egala cu cea impusa.

ni δKδK

* Echivalent cu conectarea unui resort foarte rigid in nodul i pe directia GL, simultan cu aplicarea unei forte concentrate foarte mari pe directia GL.


33

D1

D2

H1

H2

p

z

1

2

3

4

5

6

7

8

D1

D2

zxy

C

C

q

1

2

65

v

Problema consta in determinarea:

- distributiei potentialului hidraulic;

- gradientilor hidraulici;

- debitului infiltrat.

p

zH

12

12

L

HHgradHi

0

z

q

y

q

x

q zyx

INFILTRATII IN REGIM PERMANENT


34

z

Hk

y

Hk

x

Hkv xzxyxx

z

Hk

y

Hk

x

Hkv yzyyxy

z

Hk

y

Hk

x

Hkv zzyzxx

gradH

q

q

q

z

y

x

k q

- vx, vy vz componentele vitezei de infiltratie;

- ki permeabilitate.

Prin inlocuirea in ecuatia de continuitate, expresiile fenomenului de infiltratie conduc la forma generala:

0gradHgrad k


35

Conditii de margine:

- potential hidraulic impus pe limita H ;

- debit specific (flux) impus pe q

In abordarea variationala, functionala asociata este

HdqdVgradHE

T

Vq

2

1

(primul termen reprezinta energia hidraulica disipata in fenomenul de infiltratie, iar al doilea energia asociata conditiilor de margine).

Potentialul hidraulic H(x, y, z) este exprimat pe baza functiilor de aproximare, pe baza valorilor nodale Hi

882211 ),,(...),,(),,(),,( HzyxNHzyxNHzyxNzyxH

ezyxH NH),,(


36

Gradientul hidraulic asociat elementului finit:

eqgradgradH HBNH

Din legea Darcy, debitul specific in functie

eqHkBq

Functionala la nivelul elementului finit

ee

dqdVE TTeV q

Tq

Tee NH - HkBBH

2

1

Prima integrala reprezinta matricea de infiltratie a elementului, in timp ce a doua repezinta vectorul conditiilor de margine:

eV q

Tqs dVkBBk

e

dqTNr


37

rHHkH Tees

TeeE

2

1

RHHKHrHHkH Ts

Tm

Tm

sT

m

eeEE

2

1

2

1

111

Pentru intregul domeniu de infiltratie:

Conditia de minim (stationar) conduce la sistemul de ecuatii algebrice

0/,1

niiHE

RHK s

Conditiile de margine (valori impuse ale potentialului hidraulic),

HkHk j

se adauga ecuatiei j .


38

Gradientii hidraulici si debitul (necunoscutele secundare) sunt evaluate prin revenire la nivelul elementului

Debitul infiltrat prin fata (latura) unui element este

eS ne dSqQ

q n

z

y

x

zyxn

q

q

q

nnnq

eqnq HB k n

eqeS qee

dSQ HCHB k n

Debitul total infiltrat printr-o sectiune transversala sau suprafata laterala rezulta prin adunarea contributiilor elementale care formeaza acea sectiune (sau suprafata laterala)


39

m.e.f. – principii de baza

Documents