Relatia lui Leibniz

Fie ABC un triunghi si G- centrul sau de greutate.Sa se arate ca pentru oricare punct M din plan are loc egalitatea:MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2

Demonstratie:

Folosind relatia lui Chasles se obtin egalitatile vectoriale: MA=MG+GA, MB=MG+GB, MC=MG+GC. Din prima relatie se obtine :MA2=MG2+GA2+2MG×prMG(GA), (1)In mod analog, celelalte doua relatii conduc la egalitatile:MB2=MG2+ 2MG× prMG(GB)MC2=MG2+GC2+2MG×prMG(GC), (2).Prin adunarea celor 3 relatii se obtine ca:MA2+MB2+MC2=3MG+GA2+GB2+GC2+MG×prMG(GA+GB+GC).Dar GA+GB+GC=0 si rezulta relatia ceruta.

Raza cercului circumscris si raza cercului inscris unui triunghi

F

B DC

G

E

A

M

O

M

B

A Fie C(O,R) un cerc si punctele A, B pe acesta. Notam cu M simetricul lui A in raport cu O. Din triunghiul dreptunghic ABM obtinem sin(AMB)=AB/AMsi rezulta ca Ab=2Rsin sau AB/sin=2R. Asadar, raportul dintre o coarda si sinusul unghiului inscris in cerc care subintinde aceasta coarda este constant si egal cu 2R.

Teorema 6

In oricare triunghi ABC, raza R a cercului circumscris verifica egalitatea 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC.

DemonstratieFie C(O,R) cercul circumscris triunghiului ABC.Conform proprietatii anterioare avem:AB=2RsinC.AC=2RsinbBC=2RsinA.Din aceste relatii rezulta ca 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC si teorema este demonstrata.

Teorema 7

Raza r a cercului inscris intr-un triunghi este egala cu raportul dintre aria S a triunghiului si semiperimetrul acestuia: r=S/p.

DemonstratieFie I centrul cercului inscris in triunghiul ABC si D,E,FProiectiile acestuia pe laturile triunghiului.Rezulta:S=ABIC+AAIB=1/2BC×ID+1/2AC×IE+1/2AB×IF=r(a+b+c)/2=p×r si astfel r=S/p.

O

B C

A

B D C

A

FE

I