TEORIA MULTIMILOR

Notiunea de MULTIME apare pentru prima oara, in lucrarile lui George Cantor(1845 - 1918)o Este o notiune elementarao O colectie se poate numi multime daca se poate spune cu exactitate, daca un obiect apartine sau nu

acelei multimio Un obiect poate figura o singura data in multime.o Multime - finite

- infinitao Se noteaza cu litere capitale A,B,……Xo Elementele se noteaza cu litere mici a,b,c…….xo Apartenenta - a A = a apartine multimii A - a A = a nu apartine multimii A - A a = multimea A contine elementul a - Semnul “ ” a fost folosit pentru prima oara in 1858 de Giuseppe Peanoo O multime se poate determina prin doua moduri

Enumerand elementele Enuntand o proprietate A={x|x are proprietatea P} A={x|P(x)}

o Multimea vida = SUBMULTIME: Daca orice element din A apartine lui B => A este submultimea lui B

Daca o Clasa tuturor submultimilor lui A => P(A)o Proprietati Submultimi:

Reflexivitate: Antisimetrie: Tranzitivitate:

MULTIMEA NUMERELOR NATURALE: No Numere cardinale: indica marimea multimii, cate elemente sunt intr-o multimeo Numere ordinale: indica ordinea elementelor intr-o multimeo Multimea N nu poseda nici o alta proprietate, fiind o multime amorfa, sau nestructuratao Operatii : Adunarea a+b=c

Comutativa: a+b=b+a Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c 0 element neutru Semnul “+” apare prima oara in 1400, Dresda Operatie de ordinul unu Scaderea a-b=c sau a+(-b)=c Scaderea este opusa adunarii

Inmultirea: Comutativa: Asociativa: 1 element neutru Semnul “x” apare pentru prima oara in 1600 Operatie de ordinul 2

Distributivitatea intre adunare si inmultire: Ridicarea la putere: , a= baza, n= exponent

Ordonarea numerelor naturale: Operatia : Reflexiva: Antisimetrica: Tranzitiva: Monotonia adunarii: Monotonia inmultirii:

MULTIMEA NUMERELOR INTREGI:Zo Numere opuse daca atunci opusul lui a este , o a+c=b+c => a=b Reducereo ac=bc => a=b Simplificareo Modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg: |a|= a daca a 0 -a daca a<0

MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE: Q

o Un numar rational se poate reprezenta sub forma de fractie ordinara sau de fractie zecimala a,b

Fractie zecimala finite Transformare

Fractie zecimala infinita Transformare

Fractie zecimala infinita periodic simpla: Transformare

Fractie zecimala infinita periodic mixta: Transformare

o Partea intreaga a numarului a, numarul notat [a] ,este cel mai mare intreg mai mic sau egal cu a

o Partea fractionara a numarului a , numarul notat{a}, este egala cu diferenta dintre a si partea sa intreaga : {a} = a – [a]

o

MULTIMEA NUMERELOR REALE :R

Definirea unui numar real = irational spre ex: sau 1.001100101001….Aproximarea prin lipsa – trunchiere, se elimina zecimalele unui numar real pozitivAproximare prin adaos se mareste ultima cifra cu 1

o Formule de calcul prescurtat: binomul la patrat diferenta de patrate

suma si diferenta cuburilor

o Intervale de numere reale

o Medii :

Media armonica:

Media geometrica:

Media aritmetica:

Media patratica:

Inegalitatea mediilor:

ELEMENTE DE CALCULUL PROPOZITIILOR

Cele doua principii ale logicii matematice:o Principiul tertului exclus: care presupune ca o propozitie este fie adevarata fie falsao Principiul non –contracdictiei: o propozitie nu poate fi si adevarata si falsa

Alfabet:o multime de de semneEnunt:orice succesiune de semne dintr-un alfabetSe numeste predicat un enunt care contine mai multe variabile, carora atribuindu-le valori obtinem propozitii adevarate sau falseDaca predicatul contine 1,2,3…n variabile se numeste unar , binar, ternary: p(x); q(x,y); r(x,y,z)Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate.

o Operatii logice elementare: Negatia: Negatia propozitiei ‘p’ este propozitia notata ‘non p’ care este adevarata cand p

este falsa si invers. Notam negatia lui p cu Conjunctia: operatie logica ce antreneaza doua propozitii => operatii binare. Conjunctia

propozitiilor p si q este o propozitie care este adevarata doar daca p si q sunt adevarate , altfel este falsa, se noteaza cu citim p si q

Se numeste disjunctia propozitiilor p si q propozitia care este adevarata daca cel putin una dintre propozitii este adevarata, alrfel este falsa, se noteaza cu citim p sau q

Implicatia: se numeste implicatia propozitiilor p si q in aceasta ordine, propozititia notata => p implica q, care este falsa daca si numai daca p este adevarata si q este falsa. In

rest este adevarata