mate ma plic

Upload: nico-olteanu

Post on 03-Jun-2018

283 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    1/222

    3

    Cuprins

    Prefa....................................................................................................................5

    I. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR ........................................................... 7Matrici.........................................................................................................8Matrici particulare ......................................................................................9Inversa unei matrici ..................................................................................13Sisteme de ecuaii liniare..........................................................................15Problema compatibilitii sistemelor ........................................................17Problema determinrii sistemelor............................................................. 18ntrebri de controli exerciii .................................................................19Metode de rezolvare a sistemelor liniare..................................................20

    Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare.............................................21Metoda eliminrii complete (Gauss-Jordan) ............................................23Spaii vectoriale (liniare) ..........................................................................25

    II. PROGRAMAREA LINIAR ........................................................................30Rezolvarea problemei de programare liniar ...........................................32Clasificarea soluiilor................................................................................33Algoritmul Simplex ..................................................................................34Determinarea soluiei optime a problemei de programare liniar ............43Cazul soluiei infinite................................................................................48

    Degenerarea n problemele de programare liniar ...................................49Soluii multiple. Soluia general .............................................................50Exerciii i probleme. ntrebri de control................................................50

    III. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC ............................................54Formula lui Taylor....................................................................................55Funcii reale de mai multe variabile reale ................................................57Derivate par iale .......................................................................................60Interpretri economice ale derivatelor par iale.........................................63Derivatele funciilor compuse ..................................................................64Formula lui Taylor pentru funcii de dou variabile ................................ 65Extremele funciilor de dou variabile .....................................................67Extreme pentru funcii de mai multe variabile.........................................71Ajustarea datelor numerice.......................................................................73Extensii ale noiunii de integral ..............................................................78Funciile lui Euler de spea ntia (Funcia Beta)i de spea a doua

    (Funcia Gamma) ..........................................................................80Exerciii i probleme.................................................................................83

    IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR .....................................................90Matrici asociate unui graf .........................................................................94

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    2/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    3/222

    5

    PREFA

    Matematica a furnizat ntotdeauna modelei metode de calculutile, uneori chiar eseniale, celor mai diverse domenii ale activitiiumane. Unele din aceste modele i ateapt nc utilizarea, aprnddiferene i de 200 de ani de la crearea conceptului matematiciutilizarea acestuia.

    Pe bun dreptate s-a afirmat c matematica este locomotiva caretrage dup sine altetiine.

    tiinele economice au luat n ultimul timp o mare amploare,datorit intensificrii legturilor internaionale dintre ageniieconomicii datorit globalizrii. Dezvoltarea rapid a cunotinelordin domeniul economic a fost posibil prin utilizarea din plin amodelelor matematice, mai vechi sau mai noi, precumi dezvoltrii puternice a informaticii.

    Noiunile din capitolele Algebr liniar i Elemente de analiz matematic din acest volum au aplicaii directe n economie dup cumse vede din unele exemple, n plus pregtesc cititorul pentru

    nelegerea altor noiuni.Din portofoliul problemelor de optimizare cunoscuti sub

    denumirea de "Cercetri operaionale" aprute n ultimii 70 de ani amdezvoltat doar "Programarea liniar " i "Elemente de teoria grafurilor"care sunt mai uor de neles i totui foarte importante. Alte modeleca Teoria jocurilor, Programarea stohastic, Teoria stocurilori Teoria

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    4/222

    6

    ateptrii pot fi nelese cu ajutorul noiunilor de baz culese din acestvolum.

    n multe cazuri hazardul, ntmplarea i pun amprenta pe

    desf urarea n timp a proceselori fenomenelor economice. Noiunilede eveniment, probabilitate, variabile aleatoarei caracteristicinumerice ale acestora, fac obiectul de studiu al capitolului V"Elemente de teoria probabilitilor". Acest capitol pregtete cititoruli pentru studiul statisticii care la rndul ei e prezent n toate ramurileeconomice.

    Materialul coninut n acest volum reprezint un minim necesar pentru abordareatiinific a problemelor economice. Recomandmstudenilor, viitori economiti, s aprofundeze aceste noiuni studiindi bibliografia indicat.

    Noiunile prezentate n fiecare capitol sunt ilustrate prin

    exemple, majoritatea fiind rezolvatei amnunit explicate.Au fost eliminate demonstraiile prea lungii greoaie, astfel c,

    materialul este uor de abordat chiar de cei care studiaz individualaceast disciplin.

    Prezentul volum este util studenilor de latiinele economice, n

    special pentru cei de la nvmntul la distan, dar poate fi cercetatcu folosi de ali specialiti care utilizeaz matematica.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    5/222

    I. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR

    Prin form liniar se nelege o expresie de mai multe variabiletoate la puterea ntia.

    n

    7

    E = a x x x+ a + + a =1 1 2 2 n n=1i

    ii

    unde a

    xa

    mai multe produse dar s ne ncadr m ntr-o anumit sum vom avea

    are liniar " pe care o vom studia n unul din pito

    i liniare l constituie

    oiunile de matricei determinant precu rietile acestora.

    i sunt coeficieni, de obicei numere reale, iar xi sunt variabile.

    Aceste expresii liniare sunt frecvent utilizate n modelele economice,deoarece n economie apar formule cum ar fiS = q p, unde S este

    suma obinut, q cantitatea de marf i p preul unitar. Dac dorims achiziionm

    q1 p1 + q2 p2 + + qn pn S .

    Astfel de expresii apari n modelele matematice cuprinse subdenumirea"Programca lele urmtoare.

    Unul din principalele subiecte al algebresistemele liniare care au fost studiatei n liceu.

    n continuare dorim s evideniem cteva proprieti noi precumi a unor metode noi de rezolvare a acestora. Legat de sistemele liniareau fost studiatei sunt utile n

    m i prop

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    6/222

    8

    oar coeficienii aij. Dac n acestrmenii liberi atunci vom obine aa numita matrice

    extins a sistemului liniar. Reamintim pe scurt cteva operaii i proprieti de baz ale matricilor.

    Fie

    Matrici

    O matrice este un tablou dreptunghiular de numere. Ele auaprut prin eliminarea dintr-un sistem liniar a variabilelori a

    semnelor de operare r mnnd dtablou lum te

    n ,1 jm ,1iij

    22221 na...aaa A =

    mn2m1m a...aa Egalitatea matricilor . Fie A = || a

    n11211

    ij a............

    a...aa

    ===

    =

    A = B aij

    p, adic au acelai numr de liniii acelai numr de coloane.

    C = A + B

    ij ||, B = || bij ||, i = 1,m, j = 1,n,= bij.

    Adunarea matricilor . Se poate face doar dac A i B sunt deacelai ti

    n ,1 jm ,1iijcC

    === cij = aij + bij

    nmul irea cu un scalar . Fie K un numr real sau complex.

    Atunci

    n ,1 jm ,1iij Ka A K

    ===

    nmul irea a dou matrici se poate face doar dac numrul dea matrice este gal cu cel de linii de la a doua. Fie

    deci:

    coloane de la prim e

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    7/222

    9

    ik a A= p ,1 j=m ,1i=

    n j ,1=

    avem c

    pk kjb B

    ,1==

    n ,1 j m ,1iij

    =cC AB == unde

    =

    ==

    p

    1k kjik ij

    M

    ba .

    atrici particulare

    Matricea zero este matricea care are toate elementele egale cuzero. Se noteaz de o m,n

    de cele de pe diagonala principal care sunt egale cu 1,dic

    c

    bicei cu0 . Matrice unitate.Este o matrice ptrat avnd toate elementele

    zero n afar a

    ij I = unde ==

    idac jidac

    01

    ij j

    Are proprietatea c A I = I A, matrice A cu care se poate face

    nmulirea. Matrice diagonal este matricea care are elemente diferi e de

    zero numai pe diagonala principal, n rest toatet

    fiind egale cu zero.ie dia

    elementele de

    iular inferior".trice care are o singur linie respectiv

    c re o singur coloan.

    p gonala principal unele elementele pot fi zero. Matrice triunghiular . O matrice care are toate

    sub diagonala principal egale cu zero, se numete "triunghiular superior" A = || aij ||, undeaij = 0 pentrui > j. Dac e inversaij = 0 pentrui < j se numete "triungh Matrice linie este o mamatricea oloan este aceea care a

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    8/222

    10

    dat de ordinul celui maiexma

    Propriet i ale rangului

    1.

    Rangul unei matrici A, este numrultins determinant diferit de zero care se poate extrage din aceatrice. Se noteaz cu rang A.

    Dac n ,1 j=

    ng A B min{ rang A, rang B}.

    m ,1iija A =

    2. Ra

    ntele unei alteumr oarecare.

    inanilor (a

    le;

    de mai sus rezult c ou

    = rang A min{ m,n}

    3. Rangul unei matrice nu se schimb dac:

    a) se transpune matricea (se schimb liniilei coloanele ntre ele);

    b) se nmulesc elementele unei linii sau coloane cu un numrnenul;

    c) se permut ntre ele dou linii (coloane);d) se adaug la elementele unei linii (coloane) eleme

    linii (coloane) eventual nmulit cu un n Aceste afirmaii rezult din proprietile determminorilor de un anumit ordinr extrai din matrice). Prin aplicareaoperaiilor de mai sus situaia unui minor de a fi zero sau diferit dezero nu se schimb.

    Prin "Transform ri elementare " aplicate unei matrici nelegem:

    1) nmulirea unei linii sau coloane cu un numr nenul;2) permutarea a dou linii (coloane) ntre e3) adunarea unei linii (coloane) cu o alt linie (coloan).

    Dou matrici ce rezult una din alta prin transformri elementarese numescechivalente. n baza observaiilord matrici echivalente au acelai rang.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    9/222

    11

    elementare sunt

    ct

    nilor i care

    ma aflare a rangului unei matrici:

    2.

    supra celorlalte linii (coloane) pn ce pe coloana (linia)

    cel mult un element diferitde

    aceste elemente diferite

    tricea ar fi diagonal.Acest lucru nu este ns util dup cum se va vedea.5. Rangul matricii este egal cu numrul de elemente diferite de zero

    din matricea quasidiagonal obinut.

    Se va dovedi n continuare c transformrilefoarte utile pentru aflarea rangului, pentru obinerea matricii inverse,

    i pentru rezolvarea sistemelor liniare.

    Aceste operaii efectuate doar cu ajutorul determinaau fost studiate la liceu sunt extrem de dificile mai ales dac ordinul

    tricei respectiv al sistemului este mai mare.Procedeul practic de

    1. Se alege un element pivot (de lucru) din matrice.Se efectueaz transformri elementare cu linia (coloana) pe care st pivotul a pe care st se obin numai zerouri (exceptnd pivotul).

    3. Dac pe toat coloana pivotului s-au obinut zerouri atunci automat pe linia lui putem nlocui toate elementele cu zerouri (exceptnd pivotul) sau reciproc.

    4. Se continu acest procedeu producnd ct mai multe zerouri pn cnd pe fiecare linie sau coloan exist

    zero.Aceast form a matricei o numim formaquasidiagonal . Dac

    s-ar mai face permutri de liniii de coloane

    de zero ar ajunge pe diagonala principal i ma

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    10/222

    12

    Observa ie . Pozi ia elementelor diferite de zero este util nalegerea deter inantului principal, e sar pentru stab irea naturiiunui sistem liniar (compatibil, incompatibil).

    lu. S se determine rangul matricii 2211

    12211

    000022

    00000001

    00200000

    L1 (-1) + 21 (-1 3

    m n ce il

    Exemp

    =

    23112211 A

    2211 11

    231 4520 4520

    0001

    L

    L ) + L n forma qvasidiagonal sunt dou elemente diferite de zero decirang =2. Un determinant diferit de zero de ordin maxim ce s-ar puteaextrage din aceast matrice ar fi

    211

    11 p =

    =

    El a fost gsit da i iial alegem liniileic d n matricea incoloanele corespunztoare elementelor diferite de zero din formaqvasidiagonal.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    11/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    12/222

    14

    op

    I = L A pe de alt parte I= A-1 A

    luc em pe A la forma unitate vom

    matrici.

    este posibil nseamn c matriceaA nu admite invers lucru ce se poate verifica i calculnddeterminantul ata at matricii care ar fi f st egal cu zero (matrice singular ). 2. Aplicm aceleai transformri elementare matricii unitate care se

    transform n matricea L adic A .

    ntru r m aceste transformriconc atricii turi.

    cr m numai cu coloanele aezm matricea A i I una s rile crie pe marg fle inv

    I = L A C

    Demonstra ie. Acest lucru rezult prin aplicarea repetat aeraiunilor din observaia 1.

    S presupunem acum c am putut aduce matricea A la formaunitate cu transformri elementare numai pe linii. Atunci relaia dinteorem devine

    Comparnd cele dou relaii rezult c L = A-1. Analog dac

    r m numai pe coloane ca s aducavea c A-1 = C .

    Procedeu practic de ob inere a inversei unei

    1. Aplicm transformri elementare numai pe linii asupra matricii A pn ce o aducem la forma unitate.

    Observa ie. Dac acest lucru nu

    o

    -1

    Observa ie. Pe apiditate efectuomitent asupra m A i I a ezate al Dac dorim s luub alta. Transform efectuate le vom s ine. Exemplu. S se a ersa matricii

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    13/222

    15

    A

    Transformrielementare pe linii

    = 211 111

    021

    A I

    1 1 1

    1 -1 21

    0 1 0L1(-1) + L2L1(-1) + L3

    1 0 0

    -2 0 0 0 1

    1 1 10 -2 1

    0 -3 -1

    0

    -1 0 1

    L2 21 + L1

    L2

    23

    1 0-1 1 0

    + L3

    1 0 3/20 1 -1/20 0 -5/2

    1/2 1/2 01/2 -1/2 01/2 -3/2 1

    L3

    53 + L1

    L3

    51 + L2

    1 0 00 1 00 0 1

    4/5 -2/5 3/52/5 -1/5 -1/5-1/5 3/5 -2/5

    I A-1

    Se poate verifica reuita calculelor prin produsul A-1 A = I .

    Sisteme de ecu

    Dup num o e ora oS inia

    a) compatibile:

    a ii liniare

    rul s luiilor ac st sistemele p t fi:isteme l re:

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    14/222

    16

    determinate o singur sol- ne ateincompatibile nici o soluie.

    Prin solu n necunoscute se nelege evidentde numere

    - uie;determinate o infinit de soluii.

    b)

    un n-upluie a unui sistem cu

    00 0n21 x ,..., x , x care verific toate ecuaiile

    secundare am1 x1+am2 x2+ +amr xr

    + +amn xn =bm

    Fr a micora generalitatea problemei putem presupune c determinantul de ordinr diferit de zero care a stabilit rangul matricii

    sistemului este aezat n colul din stnga sus. Acest determinant se

    ndare. Ecuaiile sistemului care

    au lin umr de r , celelalte

    sistemului. Vom aminti pe scurt condiiile ca sistemul liniar s fie nuna din cele trei situaii.

    Fie un sistem liniar dem ecuaii cu n necunoscutei rang r ,

    r

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    15/222

    Determinant caracteristic car,h se formeaz din p la care se

    adun o linie secundar ., precumi coloana termenilor liberi (doar ctncape din fiecare).

    17

    hhr 1h ba...a

    Evident se pot formam-r determinani caracteristici, adic cteunul pentru fiecare

    r b

    ecuaie secundar .

    Vom reaminti mai jos dou teoreme principale care dau

    Teorema lui Rouch. Condi ia necesar i suficient pentru ca

    Scaracteristici s fie nuli.

    Aceast teorem spune de fapt c orice soluie a sistemului princ totalitate. Acest lucru

    S' f term

    sufi fie

    1

    ph ,car

    bM

    =

    Problema compatibilit ii sistemelor

    condiiile necesarei suficiente pentru compatibilitate.

    sistemul liniar s fie compatibil este ca to i determinan ii

    ipal verific i ecuaiile secundare nrezult din proprietile determinanilor.

    Se numete matricecomplet sauextins a sistemuluiS matriceaormat din coeficienii necunoscutelor la care se adaug i coloanaenilor liberi.Teorema lui Kronecker-Capelli. Condi ia necesar i

    cient ca sistemul liniarS s fie compatibil este ca rangul luiS s egal cu rangul matricei completeS'.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    16/222

    Se observ rolul important jucat de rang n studiul sistemelor.Dup verificarea compatibilitii sistemului, ecuaiile secundare pot finlturate, reinndu-le doar pe cele principale care formeaz sistemul

    principal.

    18

    Problema determin rii sistemelor

    Se compar rangul r cu numrul necunoscutelorn.n nu avem necunoscute secundarei sistemul este

    det ie care se poate determina de

    exemplu prin regula lui Cramer.

    trecute n membrul doi, avnd rol de parametri. Sistemul estenedeterminat, adic are o infinititate de solu

    Observa ie. n problemele economice cele mai ntlnite i mai

    b

    indic specialistului c restriciile impuse sunt prea tarii n consecin problema studiat nu are soluii. Eventual trebuie modificate o partedin condiii.

    a) Dac r=erminat. El are o singur solu

    b) Dac r

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    17/222

    19

    111

    = 7 311 A 91433

    4

    es 13141 p =

    =Se obine uor rangS=2 unde am al . Rezult

    utele secundare x i u,

    singur determinant caracteristic

    c necunoscutele principale sunt y i z, necunoscecuaiile principale primele dou, ecuaie secundar a treia. Exist un

    0143231141

    3 , =car =

    este compatibili anume nedeterminat. El sema

    =

    Rezult c sistemuli poate scrie:

    =u7 x2 z3 y

    S

    y = 5 x 25 u, z = 1 6u

    , u} unde x, u R.

    trol i exerci ii

    1. Ce este determinantul principali ci pot fi?2. Ce legtur exist ntre rangul sistemului rul ecuaiilor i cel

    al necunoscutelor.3. n ce situaie se afl sistemele pentru care avem:

    u x1 z4 y

    Prin rezolvare cu o metod elementar se obine:

    Mulimea soluiilor sistemului depinde de doi parametriin i u

    { x, 5 x 25u, 1 6u

    ntrebri de con

    , num

    a) m = 7, n = 6, r = 5

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    18/222

    20

    b) m = 5, n = 7, r = 5c) m = 6, n = 6, r = 5d) m = 4, n = 6, r = 5

    unde m = numrul ecuaiilor, n = numrul necunoscutelori r =rangul.

    4. Ce le n rezolvareasis

    transformri elementare s se determine inverseleurm

    sunt necunoscutele secundarei ce rol au etemului.

    5. Cum pot fi scrise toate soluiile n cazul sistemelor nedeterminatetiind c acestea sunt o infinitate.

    6. Folosindtoarelor matrici

    1210

    1023

    121

    1220112 i

    2321

    348

    7. S se determine r

    angul urmtoarelor matrici

    16 531312312

    431221543121

    Metoda lui Cramer, cu ajuto determinanilor, devine foarteeoa

    calculatorului nu este de

    are

    542

    1312

    312100121

    1216

    Metode de rezolvare a sistemelor liniare

    rulgr ie dac sistemele sunt mai mari adic tocmai cazul problemelorce provin din economie. Nici chiar utilizarea

    m ajutor.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    19/222

    21

    Vom da n continuare dou metode simplei utile pentru astfelde sisteme de mrime mijlocie10 30 ecuaii.

    Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare

    12 x2 + + a1n xn = b1

    uaie cu a11 0. nmulim noua ecuaie

    do

    b xa....................................

    =+

    Fie sistemul

    a11 x1 + aa21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2

    am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

    mpr im prima ecrespectiv cu-a21 , -a31 , , -am1 i o adunm respectiv la ecuaiile a

    ua, a treiai aa mai departe. Obinem astfel sistemul

    2nn2222

    1nn12121b xa... xab xa... xa x=++=+++

    22m ... xa + mnmn Vom face un lucru analog cu ecuaia a doua apoi a treia

    iilor de mai jos.n final vom avea forma

    x

    d xc xc xc x

    =

    =++ =+++

    =++++

    ...........................................

    ...

    333

    222

    11132121

    Sistemul de mai sus se rezolv extrem de uor nlocuindvariabilele de jos n sus.

    Pe parcursul algoritmului pot aprea urmtoarele situaii:

    acionnd doar asupra ecua

    nn

    nn

    nn

    nn

    d x

    d xc x d xc xc323

    3

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    20/222

    22

    or unei ecuaii devin toi nuli iar termenulliber este diferit de zero. n acest caz sistemul este incompatibili

    b) coeficorespunztor sunt toi nuli. n acest caz aceast ecuaie dispare.

    a) coeficienii necunoscutel

    rezolvarea se sisteaz.

    cienii necunoscutelor unei ecuaii, inclusiv termenul liber

    Mai simplu aceste operaii se pot face direct pe matricea complet asistemului, ne mai trebuind s scriem variabilele xi i semnele deoperare.

    Exemplu: S se rezolve sistemul

    =++=++

    =++

    =+5 x x3 x2 x x x27 x5 x x

    321

    321

    321

    14 x3 x3 x2 321 Avem matricea

    527

    131112511

    ~

    14332

    7 511

    12420~

    16 910

    281310

    1

    4416

    7

    22091

    51

    ~00

    442200

    7 5114416

    0220910

    ~000

    0

    7 511

    210016

    00

    910

    Sistemul devine

    00

    ==+=++

    2 x16 x97 x5 x x

    3

    3

    321 x2

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    21/222

    23

    c ad ite lu x 1, x -2.

    Metoda elimin rii complete (Gauss-Jordan)

    Se bazeaz ri elementare asupramatric e a sistemului pr lte zerouri pn cen locul matricii A stemului va obine matricea unitate. Selu ea ev n imultani asupra termenilor liberi. n final se poateciti direct solu si mului. Reamintim c aceast metod poate fiu za i n o nerea matricii inverse lui A, care la rndul ei

    l a sistemelor liniare. Exemplu: Folosind metoda eliminrii complete a lui Gauss-

    Jordan s se rezolve

    1 2 3 + x4 = 1

    1 2 3 4

    1 = 5 Calculele se vor org l, ca mai jos. Pe marginea

    tabelului se recomand s rile elementare ce au fostefectuate.x1 x2 3 4 b T

    are m so ia 1 = 2 = 2, x3 =

    pe efectuarea de transformii extins oducnd ct mai mu

    a si secr z ide t s

    ia stetili t pe tru bi

    poate servi la rezolvarea matricia

    sistemul x 2x + x x x + 3x 2x = 1

    x + 2x + x + 5x2 3 4aniza ntr-un tabe scriem transform

    x x ransformri elementare

    1

    11

    -2-12

    1-15

    L1 )+L2L1 )+L3 nghi ca pivot

    121

    1-25

    (-1(-1

    Se alege elementul dindreptu

    100

    -21

    4

    1-24

    L2 )+L1L2 )+L3

    110

    1-34

    (2(-4

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    22/222

    24

    100

    010

    31-4

    5316 1

    L3 ) apoiL2

    L )+L1

    322

    (-1/4L3(-1)+

    3(-3

    10

    01

    61-30 0 1 -4

    00

    71

    Rezult soluia sistemului x1 = 6 7x4

    x2 = 1 x4

    x2 + x3 = 6

    2x2 = 0 b T s

    x3 = 3 + 4x4 x4 = necunoscut secundar (parametru)

    Exemplul 2: S se rezolve sistemul x1 + x1 x2 + 2x3 = 5 x1

    x1 x2 x3 ran formri elementare

    1

    1 -1 2

    1 -2 0

    65-3

    -1 1L1(-1)+L2L1(-1)+L3

    1 100

    -2

    -3

    1-1

    -1-9

    L1 6 L2(-1/2) apoi

    2(-1)+L1L2(3)+L3

    1 0 3/2

    0 1 -1/2

    0 -5/20

    11/2 L3(-2/5) apoi1/2 L

    -15/2 L

    3(-3/2)+L1

    3(1/2)+L2

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    23/222

    25

    100

    010

    001

    023

    Soluia este

    ===

    3 x2 x1 x

    3

    2

    1

    Exist i alte metode exacte de rezolvare pentru sistemelel st i eto

    rte mari,

    3 = 9

    4x1 7x2 +

    b) 2x1 + 2x2 x3 + x4 = 4

    64 = 12

    liniare: Metoda matricia , metoda radicalului etc. Exi m deaproximative care permit rezolvarea chiar a unor sisteme foade ordinul sutelor de ecuaii. Probleme propuse: S se rezolve urmtoarele sisteme prinmetoda eliminrii complete:a) 2x1 x2 + 3x

    3x1 5x2 + x3 = -4 4x1 + 3x2 x3 + 2x4 =x3 = 5 8x1 + 5x2 3x3 + 4x

    3x1 + 3x2 2x3 + 2x4 = 6

    Spa ii vectoriale (liniare)

    Vom ncerca s facem legtura dintre noiunea de vector subforma geometric cunoscut de la fizic i forma analitic care va fifolosit n capitolul urmtor.

    Descompunerea unui vector dup trei direc ii n R 3

    Vectorulvr se descompune folosind regula paralelogramului n

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    24/222

    3vuv rrr +=

    21 vvu rrr +=

    26

    1

    M(a,b,c)vr 3 vr k j

    rvr 2

    vr ir

    ur

    r

    adic apoi

    321 vvvv rrr ++= .

    Vom considera pefiecare ax cte unvector standard demodul 1 avnd acelaisens cu axa. Aceti

    tai cu k , j ,i rrr

    se numesc versori. Vectorii 1 , 2 ,vr vr vr 3 a, b, c.

    vectori unitari nose pot exprima cu ajutorul versorilori a unor constante

    Putem scrievr = vr 1+ vr

    2+ vr

    3 = k c jbia rrr

    ++ = (a, b, c . Cu alte

    nte exist o coresponden biunivoc

    )

    cuvi ntre mulimea vectorilorir . Cele trei numere sunt de fapt coordonatele

    vectorului.or se poate exprima ca unn-uplu de numere

    (a11 , a12 , , a1n ),

    a t ipletelor de numere

    punctuluiM din vrfuln Rn un vect

    vr 1 vr

    2(a21 , a22 , , a2n )

    ij

    n capitolul u i matrici, liniile privite ca vectori. Vom folosi frecvent

    rici.entr istemele liniarei

    nc alte cteva expresii a ti comune este indicat

    a se numesc componente ale vectorilor. Primul indice indic vectorul, al doilea, numrul componentei n vector.

    rmtor vom lucra mult cu sistemei coloanele acestora pot fidenumirile de vector linie sau vector coloan. Operaiile cu vectorii proprietile acestora sunt utile n operaiile cu sistemei matP u c vectorii (linii sau coloane), matricile, s

    lgebrice au proprie

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    25/222

    27

    al, ca

    or po are (produs)x S astfelnct oricare ar fix, y, z S ie verificate urm toarele

    ax1. x + (y + z) = (x + y) + z

    2. x + y = y + x 3.

    4.

    0

    . (

    8. 1 x = x

    tr-un

    Dac exist scalarii a ca relaia de mai sus s

    c, rezult c { x1 , x2 , , xn} este un sistem liniar dependent.Defini ie 2. Un sistem tori) bi

    B=

    o scurt privire asupra noiunii de spaiu liniar sau spaiu vectoristructur algebric.

    Defini ie. O mul ime S se nume te spa iu liniar dac pentru

    ice dou elementex, y din S i orice numr (scalar) dinK R seate defini o sum x + y S i o multiplic

    i i K s f iome:

    exist n S un element neutru (zero) aa ca x + 0 = x

    fiecrui element x S i se ataeaz un alt element x S numitopusul lui x, aa ca x + (x) =

    5. (x + z) = x + y

    6. ( + )x = x + x

    7 )x = ( x)

    Defini ie 1. Un sistem finit de elemente{x1, x2, , xn} din spa iu liniarS se nume te liniar independent dac din faptul c

    1 x1 + 2 x2 + + n xn =0 , ai K

    rezult a1 = a2 = = an = 0.

    a1 , a2 , , an K a

    aib lo

    de elemente (vec

    {b , b , , b }1 2 n

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    26/222

    28

    a iului liniar, dac :

    ,

    as

    dintr-un spa iu liniarS se nume te baz a sp1. B este o mul ime liniar independent i

    2. B este un sistem de generatori n sensul c orice elementx S se

    poate reprezenta ca i o combina ie liniar a elementelor dinBdeci x S exist un sistem de scalari

    c1 , c2 , , cn K

    tfel nct

    =

    =n

    1k k k bc x

    Cu acest procedeu avnd dat o baz se poate construi tot spa iu . Reprezentarea oric dinS cuajuto este

    Da mentelor (vectorilor) d n atunciorice sis lemente este liniar depe

    o baz

    B = {b1 , b2 , , bn} format dinn elemente atunci se spune c S are dimensiunean.

    Se observ c dimensiunea unui spa iu finit dimensionalcoincide cu numrul maxim de elemente liniar independente care

    exist n acel spa iu. De exemplu n spa iul R n sistemul de elemente E = {e1 , e2, , en}

    undee1(1, 0, 0, , 0)e2(0, 1, 0, , 0)

    en(0, 0, 0, , 1)

    l vectorial S rui elementrul unei baze mic .c numrul ele intr-o baz estetem den + 1 e ndent.

    Defini ie 3. Dac n spa iul liniarS exist

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    27/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    28/222

    30

    II. PROGRAMAREA LINIAR

    Noiunea "program" sau plan se refer la stabilirea unor date,cantiti, necesare a fi produse, cumprate, sau vndute bineneles naa fel ca totul s se situeze n poziia optim (minim sau maxim).

    it , heltuieli minime, timp de producie minim etc.a punerea problemei sunt

    afar de acest model mai exist i altele ca programarea ptratic, programarea stohastic, programarea dinamic, programarea parametric, etc.

    Exemple:

    1. Organizarea optim iei

    O ntreprindere urmeaz s oduc n tipuri de produse P j ,

    Prof maxim c Dac funciile i expresiile ce servesc l

    liniare atunci modelul matematic se numete programare liniar . n

    a produc

    pr

    m ,1i =n ,1 j = prin utilizarea am tipuri de resurse Ri , . Se cunosc

    coefic Ri necesar producerii unei uniti din produsul P ), cantitile disponibileb din

    resursele R,

    ienii tehnici aij (adic cantitatea din resursa

    j i

    i m ,1i = i beneficiile unitarec j pentru fiecare produs P , jn ,1 j = . S se ntocmeasc planul (programul) optim de producie al

    societii, astfel nct beneficiul total s fie maxim.Restriciile ce vor aprea se datoreaz limit rselor, iarrii resu

    funcia de optimizat (maximizat) este chiar funcia ce reprezint

    beneficiul total. S notm cu x , j n ,1 j = cantitatea ce se va produce

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    29/222

    din produsul P j. Vom constata c modelul matematic al problemei propuse este

    31

    (1)

    +

    +++

    ++

    +++

    mnmn

    2222121

    nn1212111

    a xa....................

    ba... xa xa

    b xa... xa xa

    (2) x j 0,

    1

    nn2 x

    22mn1m b xa... x...............................

    n ,1 j =

    (3) f' = c1 x1 + c2 x2 + + cn x m

    Dac notm cu A=

    n maxi

    n ,1m ,1 matricea coefic jiija == ienilor tehnologici

    u B

    b

    0

    c = (b1 , b2 , , bm ) vectorul cantitilor disponibile cuC(c1 , c2 , ,cn ) vectorul beneficiilor unitarei cu X=(x1 , x2 , , xn ) vectorulnecunoscutelor, atunci modelul matematic precedent se scrie subforma matriceal mai simpl

    Ax

    x

    f = cx maxim

    2. Problema ra iei optime

    Se consider substanele nutritiveS i , m ,1i = necesare vieii din

    care trebuie asigurate zilnic cantitile b ,i m ,1i = . Asigurarea acestor

    substane se realizeaz prin consumarea alimentelor A j, n ,1 j = care

    conin acele substane n propor ii date. Cunoscnd cantitile aij din

    n ,1 j = precumisubstanele S i ce se gsesc n alimentele A j, m ,1i = ,

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    30/222

    n ,1 j = ,

    32

    co r A j,sturile unitarec j ale alimentelo s se ntocmeasc o

    raac notm cu x j cantitatea ce se va consuma din alimentul A j

    modelul mate

    ie optim adic costul raiei s fie minim.D

    matic devine:

    +++

    ++++++ 1nn1212 b xa... xa

    mnmn22mn1m b xa... xa xa...................................................

    2nn2222121 b xa... xa xa

    111 xa

    x j 0, n ,1 j = f' = c x + c x + + cn xn minim

    Sau matriceal

    Ax b

    x 0

    c la problemele de

    matematic al acesteia este

    liniar

    1 1 2 2

    f = cx minim .

    Observa ie. Se va vedea n continuare programare liniar este util ca restric iile s fie sub forma unoregalit i, adic s avem a a numita problem canonic sau standard.

    Modelul Ax = B

    x 0

    f = cx optim (maxim sau minim )

    Rezolvarea problemei de programare

    Metoda de rezolvare a vom dezvolta pe aa numita form canonic (standard) pe care o vom scrie mai jos dezvoltat. Vom vedea

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    31/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    32/222

    34

    z.

    Este una din cele mai importantei uoare metode de rezolvare a problemelor de programare e la baz metoda eliminrii

    complete de rezolvare a unui sistem de ecuaii liniare, care esteadaptat pentru gsirea numai a soluiilor cu componente nenegativei n final a so liniar f are valoare optim.

    Metoda de rezolvare este descris pentru forma canonic aroblemei. n practic ns nu totdeauna transcrierea problemei

    Pe al cuinegaliti la forma standard numai cu egaliti vom introducenecunoscute noi numite necunoscutede compensare sau artificiale sau alii le spunecart.

    De exemplu la inegalitatea

    Reamintim c m este numrul ecuaiilor principale (egal curangul). Soluia de baz se obine cnd necunoscutele secundare se iauegale cu zero.

    3. O soluie de baz se zice degenerat dac numrul componentelorstrict pozitive este mai mic dectm.

    Soluiile de baz sunt importante deoarece se arat c solu iaoptim cutat este una dintre soluiile de ba Pentru soluia optim funcia de scop i atinge valoarea maxim n cadrul problemelor de maximi respectiv minimul n cadrul problemelor de minim.

    Algoritmul Simplex

    liniar . Ar

    luiei pentru care funcia

    peconomice conduce la sistemul standard. n forma general un sistem poate s conin inegaliti de ambele sensurii egaliti.

    ntru transformarea problemei de la forma gener

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    33/222

    35

    ai1n1 + + ain n bi

    de nenegativitate. n acest cazcua

    inus se obine micorareade

    ine ri se introduc variabile de compensare, sau artificiale

    ob ie de baz, care n acest caz estefor nsare se introduccu la n cadrulalgori

    4x3 ilele xi verific urmtoarele restricii:

    x2 3x3 + 2x4 8

    x

    Se adaug n membrul nti xn+1 0 i inecuaia devineai1 x1+

    + a in xn + xn+1 = bi.

    Pentru o restricie de formaak1n1 + + akn xn bk

    Se va considera necunoscuta de compensare xn+2 0. Toatevariabilele trebuie s respecte condiiilee ia devine

    ak1n1 + ak2 x2+ + akn xn xn+2 = bk Prin introducerea ei cu semnul mcorespunztoare a membrului nti. Numrul de variabilecompensare ce trebuiesc introduse este evident egal cu numrul de

    galiti. Uneochiar i n egaliti cte una distinct pentru fiecare ecuaie pentru a

    ine de la bun nceput o solumat numai din variabile de compensare.

    n funcia de eficien necunoscutele de compe coeficieni egali cu zero. Variabilele artificiale se vor ru

    tmului de rezolvarei n general vor fi eliminate treptat.

    Exemplu: S se gseasc maximul formei liniare f = 3x1 + 7x2 x4 dac variab

    2x1 + 5x2 x3 + x4 = 11

    4x1 6x2 5x3 + 2x4 6

    x1 +

    x j 0, 4 ,1 j =

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    34/222

    5x1 + 2x2 + x3 x4 9

    36

    mai

    8 x8

    7 =+=+

    Dm mai jos forma standard n care se transform problema de

    sus dup introducerea variabilelor de compensare toate nenegativemax f = 3x1 + 7x2 4x3 x4 + 0 x5 + 0 x6 + 0 x7 + 0 x8

    9 x x x y12 x5 4321 ++ x2 x3 x x

    6 x x2 x5 x6 x411 x x x x5 x2

    4321

    6 4321

    54321

    ++=+

    =++

    8 ,1 j = x j 0,

    Algoritmul simplex este o metod general i foarte practic pentru rezolvarea problemelor de programare liniar . Ea a fostdescris pentru prima dat de G.B.Dantzig n 1947. Ea are la baz metliniare dar orientat n permanen dup scopul urmrit adic opti Una din teoremele imp ale programrii liniare afirm c soluia optim dac exist trebuie s fie una de baz.

    1. A2. G

    r 3. T

    o

    oda eliminrii complete de rezolvare a unui sistem de ecuaii

    mizarea funciei de scop (eficient).ortante

    Etapele algoritmului Simplex sunt:

    ducerea sistemului la forma canonic (standard, cu egaliti);sirea unei soluii de baz (cu numere, componente pozitivei

    estul zero);recerea de la o soluie de baz, la alta mai bun dect ea, n sensul

    ptimului enunat. Mai precis:

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    35/222

    37

    a trebuie s re o o m m d t v he

    Pentru nc de cop ca e se ere a in ers

    Soluia pti nu se caut la ntmplare printre cele de bazeriu de bunt unc i

    de efic 4. G i aflar valorii optime a funciei e

    n. Evident se folosete un criteriu care stabilete dacajuns la valoarea optim i funcia de scop nu mai poate fimbuntit.

    rimelem coloane (m n) adic n baz se afl primelevariabile x1 , x ctorii P 1 , P 2 , ,

    loan P i.

    ) Dac pentru funcia de scop se cere minim, atuncigene ze val area ai ic ec cea ec .

    b) fu ia s la r c m xim v .

    o m cidirijat verificnd permanent un crit m ire a f ie

    ien .sirea solu iei optime ea d

    eficie s-a

    Vom lua pe rnd aceste etape indicndi operaiile dedesf urare a acestora.A. Pentru determinarea unei soluii de baz vom utiliza metoda

    eliminrii complete (Gaus-Jordan). Presupunem c am produs

    zerouri pe p

    2, , xm (sau n alt exprimare ve P m). Reamintim c unei coloanei corespunztoare unei variabile xi i se mai spune vectorul co Matricea sistemului devine

    +

    +

    m

    1

    mn1m ,

    n11m ,1

    b...

    b

    a..................

    a...a0

    Dac toi b' i 0,

    ...01+ 2n21m ,2 b

    ............a...a0...10

    ma1...00

    m ,1i = soluia de baz este B = (b' 1 , b' 2 , ,b' m , 0 0).

    1

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    36/222

    38

    1 j j j

    B. Schimbarea bazei olu i de baz mai bune.

    ctor P i n locul lui punem altul P .

    Pentru uurina calculelor acest lucr se face ntr-un tabeli se

    lucreaz cu transformri elementare. O astfel de operaie se

    ex construit pe baza iniial

    P Pm Pk P Pn

    Pentru aceast soluie B1 funcia de scop devine

    f(B1 ) = m

    bc =

    = gsirea altei s i Obinerea unei noi soluii de baz se va face prin schimbareadoar a unei singure variabile. n limbaj vectorial, spunem c din

    baza veche scoatem un ve

    u

    numete pas simplex i comport mai multe operaiuni. Fie urmtorul tabel simpl

    Baza P0 P1 P2

    P1P2

    M

    b

    P

    M

    b

    Pm bm 0 0

    M

    0

    M

    M

    1

    M

    M

    amk

    M

    M

    am

    M

    M

    amn

    1

    b2M

    10

    M

    01

    M

    00

    00

    a a1

    a2

    a1na2n

    1k

    a2k

    M

    0

    M

    0

    M

    1

    M

    0 a anak

    Ne propunem s scoatem din baz vectorul P (variabila x) i s

    ik torului

    k

    introducem n locul lui vectorul P (variabila x ).

    Observa ie. Exprimarea vectorilor din afara bazei n func ie devectorii bazei se face chiar cu coeficien ii a de pe coloana vecP de exemplu:

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    37/222

    39

    element privot sau de lucru.

    P k = a1k P 1 + a2k P 2 + + amk P m Elementula de la intersec ia liniei i coloanei se nume te

    1. Prima operaie este mpr irea liniei cu elementul privot obinnd

    valorile

    a k = , k = 1, 2, , n. ak

    2. Apoi producem zerouri pe toat coloana privotului mai puin nlocul acestuia unde r mne 1.

    Elementele noii matrici vor fi:{ } == jk jk jk

    am ,1 j ,aaa

    = k k

    Urmrind acum ca soluia nou s fie de asemenea o soluie de baz, adic cele m componente diferite de zero s fie pozitive trebuie

    s avem satisf cute inegalitile:b j - a j > 0, { } = m ,1 j .

    Pentru c numereleb sunt pozitive (ele apar ineau vechii baze)

    ficient ca pentru

    pozitiv s avema j pozitivi

    j

    pentru a fi satisf cute inegalitile de mai sus este su

    j jab0

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    38/222

    40

    Un

    e combinaii de semne arngreuna metoda inutil.

    Pentru fixarea vectorului P (variabilei x ) care se scoate din baz se determin numrul pozitiv

    vector P (variabil x ) din afara bazei poate fi introdus n baza

    nou dac are componente pozitive. Alt

    aamin

    j j=

    =

    +

    considernd c j ia doar valorile care corespund coefi

    bb j

    cienilor pozitivi

    a .Rezolvarea practic a trecerii de la o soluie de baz la alta, adic

    de la un tabel simplex la urmtorul se realizeaz prin aa numitaod

    1. Fixarea vectorului P (variabilei x ) care se introduce n baz.

    l are rap rte p iv b j / a j pentr e cu ajutorul cru af ul P (variabila x ) care

    se scoate din baz.3 et inarea n noul tabel sim lex a elementelo de

    re nz are vecto lui introdus n baz adic a numerelor k u rel iile

    j

    met simplex. Calculele se efectueaz n urmtoarele etape:

    2. Ca cul a oa lor ozit e u det rminareanumrului ia lm vector

    . D erm p r pe linia

    co spu to ru P c a

    a

    a ,ab k =

    adic mpr irea liniei cu elementul pivot.eterm na a oul t el mp x a lementelor de pe celelalte

    linii cu relaiile

    k =

    4. D i re n n ab si le e

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    39/222

    { } = = j= m ,1 j ,aaa s Abb j jk jk j j

    Aceast ultim etap se poate rezolva uor i rapid prin ap aa numi i u tri gh lu d ptun ic: Un lement l

    ine scznd din elementul situat n vrfulunghiului drept produsul elementelor de la extremitatea ipotenuzei.

    ultatul se pune n noul tabe n l ul o spunz r celui ocupat decel din vrful drept din vechiul tabel, dup schema.

    i k

    licarea te reg li a un iu i re gh e din nou

    tabel simplex se ob

    Rez l, oc c re to

    b j a j a jk a j

    41

    Exemplu: S se ntocmeasc tabelele simplex corespunztoare

    soluiilor de baz, pentru urmtorul sistem:

    6 ,1 j ,0 x10 x x8 x3 x4 6 321 =++12 x5 =+ x4 x27 x x2 x

    j

    21

    432

    =

    = x3 1 ++

    int

    s uare i cu o coloan pentru

    sus vom avea urmtoarele calcule:

    j a' jk

    k

    b'

    Se observ c o soluie de baz este (0,0,0,7,12,10) deci n baz r variabilele x4 , x5 , x6 (vectorii P 4 , P 5 , P 6 ).

    Observa ie. Pentru sistematizarea calculelor se recomand ca se a eze tabelele simplex n contin

    rapoartele b j / a j.Pentru exemplul de mai

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    40/222

    42

    Exemplu: 3

    10214a;2227 12b5 = ===

    333 52

    Baza P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 j

    j

    a

    b TabeleS

    P 4 7 3 -1 2 1 0 0 =7 3

    P 5 12 2 -4 0 0 1 0 6 2 = 12

    S I1 P = P

    P 6 10 -4 -3 8 0 0 1 -

    -31 32 31 0 0 27 32:37 = P 1 37 1

    P 5 322 0 -

    310 -

    34 -

    32 1 0 -

    P 332

    34 0 16 3

    58 0 -313

    ==

    =

    16

    29332:

    358

    S II P = P 3

    -16 1 0 P 1 8

    9 141 0 - 1 ==

    29

    41:

    89

    16

    P 5 439 0 -

    8 0 -31

    21 1

    81 -

    P 316

    29 0 -

    32

    13 1

    8

    1 0

    32

    3

    2

    29

    8

    1

    1

    :

    6

    29

    P

    =

    S III = P 4

    P 4 29 -4

    41 0 1 0 -

    41

    P 5 12 2 -4 - - -1 32 27

    P 3 45 -

    21 -

    83 1 0 0 -

    1281

    S IV

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    41/222

    Determinarea solu iei optime a problemei de programare liniar

    43

    op (sau de scop) care

    Problema programrii liniare const, n determinarea valorii

    time (minime sau maxime) a funciei de eficienestei ea liniar

    =n

    = j j xc f (1)

    as G

    ice c optimul a fost atinsi numai este necesar schimbarea bazei.

    ntru aceasta vom studia varia ei de icien laea soluiei de baz.

    Fie z0 valoarea funciei de eficien f corespunztoare primeis de d

    1 j

    n vederea obinerii scopului fixat va trebui s urmrim dou

    pecte:1. sirea unui criteriu, care s indice c o soluie de baz nou este

    mai bun dect cea veche, n sensul optimului funciei de eficien.2. Stabilirea unui criteriu, care s ind

    Peschimbar

    oluii

    ia funci ef

    baz a ic

    m ,1 j ,b xciccb xc z j jm

    1 j j j

    n

    1 j j j0 ====

    == (2)

    Fie z' 0 valoarea funciei f corespunztoare soluiei de baz dintab ul urmel tor, SII adic

    = j

    jc j0 b z ( )

    Dar cum soluia de baz II se obine din I prin formulele derecuren

    3

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    42/222

    =

    j

    jab j

    avem

    +=+= 4342143421

    z j

    j j

    z j

    j j j

    j j j0 caccbccab z

    0

    notm cu

    j , j (4)

    ( )

    =

    j

    j j ca z (5)Dac

    vom avea

    +=+= 000 z zc z z (6)

    Observa ie. este totdeauna pozitiv (acest lucru s-a fixat n prealabil prin conven ie pentru simplificarea regulilor ce trebuiesc

    rite, n cazul c iei de

    eficien ). a) Det ui func iei de eficien

    Dac = c - z > 0 > 0 z' 0 > z0 adic prinoarea funciei de eficien devine mai

    mare. Cu alte cuvinte pentru maxi izarea funciei de eficien sunt

    necesare urmtoarele dou condiii:1. S existe n afara bazei cel puin un vector P (variabil x ) care s

    2. Vectorului ales P trebuie s-i corespund o diferen pozitiv =

    urm se cauz maximul, respectiv minimul func

    erminarea maximul

    cum rezulttrecerea de la o baz la alta val

    m

    aib cel puin o component pozitiv (a j > 0).

    c - z > 0.

    44

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    43/222

    45

    o diferen negativ

    = c - z < 0 care conduce la z' 0 < z0.

    Pentru o mai bun organizare a calculelor, tabelul precedentce t tre re e b la alta, se va completa cu trei linii

    co an, n o a osSI

    c1 c c ck

    b) n cazul cutrii minimului funciei de eficien, singurul lucru care

    se modific, este c lui P trebuie s-i corespund

    ne sar pen ru ce a d la o azi o lo av d f rm de mai j .

    Tabelul

    2 m c cnCoefi-

    nci

    co punz-

    or bazei

    Baz1 2 Pm Pk

    cie ii

    res-

    t i

    a P0P P P Pn

    c1c2M

    c

    cm

    P1P2M

    P

    M

    Pm

    M

    Bm

    M

    0

    0

    M

    0

    M

    0

    00

    M

    1

    1k

    2k

    M

    ak

    M

    amk

    a1a2vM

    a

    1n

    2n

    an

    amn

    M

    B1B2

    B

    M

    10

    0

    M

    1

    0

    M

    aa

    M M

    am

    aa

    M

    zk z0 z1 z2 zm zk z z n

    k k ck z= - -z c2-z2 c -c1 1 m zm ck -zk c-z cn-zn

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    44/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    45/222

    47

    0 1 -3 0 2 0c Baza P P P P P P5 P6 j

    j Explicareaab

    lelorcalcu j 0 1 2 3 40 7 1 3 -1 0 2 0 -P1

    0 12 0 -2 4P4 1 0 0 3412

    =

    0 P6 10 0 -4 3 0 8 1 3 ,3310 =

    zk 0 0 0 0 0 0 0

    k = k - 0 1 -3 0 2 0

    S Iiferene

    ;este3=-3

    evectorului P 3

    =3 m nt de

    soluie (pivot) 4ck -z

    Dk =ck -zk

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    46/222

    48

    ac ar mai exista, vectorul

    la

    calcula

    ndiii:

    Obinerea soluiei care realizeaz optimul (n acest caz minimul)

    este marcat de urmtoarele condiii:- Nu mai exist diferene k =ck -zk

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    47/222

    49

    0 1 -3 0c j Baza P0

    P1 P2 P3 P4 j j

    ab

    Explicarea calculelorTabelaS

    1 P1 1 1 0 -12

    1 2

    2 P2 1 0 1 1 -1 -

    zk 3 1 2 1-

    23

    - 0

    S I

    Maximk > 0

    4= 25 ; P = P 4; =2;

    P =P ; Element de

    soluie

    1

    21

    k 0 1 25

    1 P4 22 0 -2 12 P2 2 -1 03 1

    zk 68 2 -4 1

    k -5 6 0

    II

    Maxim > 0; 3 =

    ; cci P ecomponentele negative- 0

    S

    k 6

    Nu exist P 3 ar

    m opr carea algoritm simp S II; funcia f(x ste

    nemrginit. Pr ema d rogram ar admite luie.

    Degenerarea n problemele de programare liniar

    Reamintim c so ia de baz se n ete degenerat dac

    num zitive e mai mi ect m (undem este numrul de ecua , deci ce uin o necunoscut rincipal revaloarea zero. Aceast situaie, ap e cnd ntrodu ea n bunui vector, e mai multe elem te poz are fu zeaz iraport minim

    A it apli ului lex la ) eobl e p are lini nu so

    lu um

    rul componentelor sale strict po ste c dii) l p p a

    ar la i cer az axist en itive c rni acela.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    48/222

    50

    Solu ii multiple. Solu ia general

    Exist ii n care problema de programare liniar ar cel pu so ii disti care conduc la aceiai val e optim n

    acest caz solu optim ral s oate sc ca o co inaie r convex a sol ilor inde ndente inute.

    Fie de e mplu X 2 dou luii op e distin atunc

    X G X 1 + unde 1 , 2 , 1 + 1.

    Rezult c avnd dou soluii optime prin variaia lui 1 i 2

    ceast situaie, n practic,economistul trebuie s se hotrasc asupra unui singur rezultat, n

    a fixasoluia f r ca optimul s se modifice.

    Exerci ii i probleme. ntreb ri de control1. Ce este o so

    e e baz este degenerat?3. Care sunt elementele unei probleme de programare liniar

    4. Cum se poate transforma o problem de programare liniar general n una standard?

    5. Poate avea o pr g ar mai multe soluiioptime diferite. Cum se procedeaz n cest caz?

    S se rezolve, cu algoritmul simplex, urmtoarea de programare liniar

    situa ein dou lu ncte oar .

    ia gene e p rie mb liniaui pe obxe 1 i X so tim cte i

    = 1 2 X 2 0 2 =

    obinem, de fapt, n final o infinitate de soluii optime. Evident prinsoluie se nelege un n-uplu. n a

    consecin, va mai impune o condiie convenabil aleas care v

    luie de baz?2. Cnd o solui d

    standard?

    oblem de pro ram e liniar

    Exemplu.

    problem

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    49/222

    51

    =++ 5 x2 x x 321

    +++==

    =+++

    =++

    immax x5 x3 x2 x f 4 ,1 j ,0 x

    8 x x x2 x

    6 x2 x x2

    4321

    j

    4321

    31

    Etapele algoritmului simplex vor fi parcurse prin ntocmireaurmtorului tabel

    1 2 3 5 c

    x 42

    cB Baza P1 P2 P3 P4 be1e2

    e3

    2

    1

    -1

    11

    2

    -12

    1

    20

    1

    65

    81 P1

    e2e3

    100

    1/21/2

    5/2

    -1/25/21/2

    1-12

    3211

    1

    2

    P1

    P2e3

    1

    00

    0

    10

    -3

    5-12

    2

    -27

    1

    41

    125

    P1P2P4

    100

    010

    3/7

    11/7-12/7

    001

    5/730/71/7

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    50/222

    52

    z j 1 2 -5 5 10-c j - z j 0 0 8 0

    3

    25

    P3

    P2P4

    7/3

    -11/34

    0

    10

    1

    00

    0

    01

    5/3

    5/33

    z j 59/3 2 3 5 70/3c j - z j -56/3 0 0 0 -

    n consecin, am obinut soluia optim, deoarece toatediferene c j z j sunt nepozitive,i astfel

    370 f cu3 ,

    35 ,

    35 ,0 xt opt =

    = .max

    S se rezolve urmtoarele probleme de programare liniar

    1. ==+=++

    + x x2 x 321 =+ 0 x4

    maxim

    4 ,1 j ,0 x6 x x2 x x9 x3 x3 x2 x2 j

    4321

    4321

    f = 3x1 + x2 + 3x3 x4

    = 57 ,27 ,0 x ,195 f opt max R spuns: 14

    3 ,1414

    2.

    14

    =++=++

    =++ x x3 x 5 x x4 x2 421321

    2 x x x 521

    x

    6

    j 0, 5 ,1 j =

    f = 2x1 + 2x2 maxim

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    51/222

    R spuns: ( ) == 0 ,3 ,0 ,1 ,3 x;0 ,4 ,1 ,0 ,2 x;4 f 2opt max 22opt

    =+3.

    ++ =+++

    +++

    x2 x x10 x x x2 x

    15 x2 x x3 x2

    3214321

    4321

    11 x2 4

    x j 0, 4 ,1 j =

    f = 3x1 + 2x2+ 4x3 + 2x4 minim

    ( )0 ,2 ,2 ,3 ,0 R spuns: x;18 f min = opt

    53

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    52/222

    54

    re poate fi de o variabil independent, sau de mai multeai

    uliosturile de producie,

    Funciile de o variabil au fost n general bine studiate n liceustudiul culminnd, n mare, cu obinerea reprezentrii grafice pe carese pot citii, de altfel, toate proprietile funcie i de unde se pot

    amintim principalele etape pentru obinerea unui grafic lafunciile de o variabil:

    2. limitele la capetele domeniului de lucru;3. asimptote (verticale, oblice sau orizontale);4. puncte principale pe axe;

    erivatei ntiai a semnului acesteia pentru obinereamonotonieii a punctelor de extre

    . calcularea derivatei a doua (numai dac este necesar pentru precizarea studiului) care ne d intervalele de concavitate,conexitatei punctele de inflexiune;

    III. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC Majoritatea proceselor economice au ca model matematic o

    funcie cavariabile. De exemplu beneficiul unei ntreprinderi depinde de mm factori care pot fi considerai variabile independente: productivitatea muncii, preurile de achiziie, c pierderi, consum de energie, etc.

    iobine diferite interpretri economice.

    Re

    1. fixarea domeniului maxim de definiie al funciei care apoi putea firestrns doar la o zon de interes;

    5. calcularea dm;

    6

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    53/222

    55

    7. centra lei n

    Pentru eco onotonie care

    indic trendul fenom xtrem care sunt n

    n prezent utiliznd calculatorul graficul unei funcii se obine pid

    zare a formulei lui Lagrange. Este util n analizamatem mai mare cti pentru calcularea valorilor unei uncii mai complicate, cu ajutorulunor polinoame.

    atunci exist un numr c cuprins ntrea i x I astfel nct s aib lor rela ia

    lizarea tuturor informaiilor ntr-un tablou de variabisfr it trasarea graficului.

    nomiti sunt importante intervalele de m

    enului precumi punctele de egeneral puncte de optim.

    ra i cu mare precizie. Mai r mne doar s se fac interpretrile.

    Formula lui Taylor

    Este o generaliatic att pentru studiul funciilor cu o finee

    f

    Teorem . Dac F : I R este de n +1 ori derivabil pe I

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnn2

    Ra f !na x...a f

    !2a xa f

    !1a xa f x f +++++=

    unde

    ( )( ) ( )( )c f !1n a x R 1n1n

    n ++

    +=

    ula aproximeaz ori ct de bine dorim o funcie polinom. Cu ctn este mai mare restul

    aia este mai bun. Din

    R se nume te restul sub forma lui Lagrange. n n esen form f(x) n orice punct x cu undevine mai mici aproximaia este mai bun. De asemenea, cu ct

    punctul x este mai aproape dea aproxim

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    54/222

    56

    estimaia restului se poate calcula ci termeni sunt necesari pentru aobine o eroare de calcul mai mic dect cea propus. Calculatoarele

    buzunar prin arhitectura lor utilizeaz

    lu r pe ii uzuale ca sin x, cos x e x ,

    i MacLaurin. Exemple. Pentr la se poate aplica

    electronice PCi cele de

    formula i Taylo ntru a calcula funcln x,etc.

    Observa ie. Dac a = 0 formula se nume te a luu funcii mai simple formu

    direct prin derivarea de mai multe ori a funciei.( ) ( )

    ( ) xn

    e x f = i ( )1) Dac f(x) = e x

    i a = 0 vom obine 10 f n

    = , n N . Deci

    n!n!2!1

    2) Fie f(x) = ln (1+x), a = 0, vom avea ( )

    n2 x... x x + x R1e ++++=

    ( ) ( ) ( )

    ( )n

    1nn

    x1!1n1n f

    +=

    ( )( ) deci( ) ( )!1n10 f 1nn = +

    ( ) ( ) nn

    1n32

    Rn

    x1...3

    x2

    x1 x x1ln +++=+

    3) f(x) = sin x, a = 0. Funcia sin x este indefinit derivabil, atuncicalcul

    Fiend succesiv derivatele obinem

    +=( ) ( )

    ( )

    ==

    1k 2ndac ,10 f k

    n k 2ndac ,0

    Rezult

    ( )( ) n

    1n2n

    53 R

    !1n21...

    !5!3!1 x sin +

    += x x x x

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    55/222

    57

    cosinus avemAnalog pentru

    ( )( ) n!n2!6 !4!2

    4) S

    n2n

    6 42 R x1... x x x1 xcos +++=

    se dezvolte n serie MacLaurin funcia

    r

    f (n) (x) =

    f (n)(0) = ( -1 ) ( - n + 1)

    f : (-1, ) R, f(x) = (1 + x) , R, 0, 1, 2,

    Funcia admite derivate de orice o din n punctul x = 0. Avem:

    ( -1) ( - n + 1)(1 +x) -n

    Formula lui MacLaurin devine:

    ( ) ( ) ( ) ( ) n2

    R!n

    1n...1...!2

    x1 x ++++

    Formula de mai sus poart numele de binomul lui Newton

    Func ii reale de mai multe variabile reale

    Mul imi i puncte din R n . Vecin t i

    Reamintim c Rn este mulimea sistemelor ordonate den numereale

    1 , x2 , , xn ) / xi R} oate organiza ca un spaiu liniar (vectorial)

    Rn i nmulirea cu

    ) se nume te distan

    dac :

    !11 x1 ++=

    i

    generalizat. Pentru diferite valori ale lui se obin dezvoltri pentru

    tot felul de radicali.

    re adic

    Rn = { x = (xS-a vzut c Rn se p

    fa de operaiile de adunare a dou elemente dinscalari din R.

    Defini ie. Aplica ia d: R n R n [0,

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    56/222

    58

    ) d(x n n 0 x

    2) d(x, y) = d(y, x)

    ie. Dac x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) suntou

    1 , y) 0, (x, y) R R , d(x, y) = = y

    3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

    Observa

    d elemente dinR n atunci se vede u or c

    ( ) ( )=

    =n

    1i

    2ii y x y , xd

    verific axiomele distan ei

    entr p u n =1 d(x, y) =| x - y| i n = 2 d(x, y) = ( ) ( )222211 y x y x + .

    Defini ie. Fie x0 R n i r > 0 atunci mul imea

    S r (x0 ) = { x Rn / d(x, x0 ) < r } se nume te sfer deschis cu centrul n x0 i de raz r(sau hipersfer ).

    Orice mul ime V R n este o vecin tate a punctului x0 dac exist o sfer deschis cu centrul n x0 inclus n V , adic

    0 r 0

    iz ca punct aderent, punct frontier , punct de acumulare, punct interior, punct izolat.

    n continuare vom lucra frecvent cu funcii de dou variabile, pentru simplitatei numai uneori vom trata cazul cun variabile.

    lgeneral.

    x S (x ) V

    Rezult c ns i aceste sfere formeaz un sistem de vecin t in R n. Cu ajutorul acestor vecin t i se pot defini no iuni importante

    n anal

    Rezultatele de la dou variabile se pot extinde uor la cazu

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    57/222

    59

    Fie A R2 x1 , x2) este

    un numr real.

    Defini ie 1 ita func iei f n punctul

    (a, b) dac > are ar fi (x, y) (a, b) cu proprietatea|x - avem|f(x, y) - l| < .

    i f A R. Valoarea funciei n punctul (

    . Spunem c l R este lim

    0, () > 0, astfel ca oric a| < () i |y - b| < () s

    Defini ie 2. ( ) y , x f liml a xb y

    c pentru orice ir de puncte

    A(xn,yn) cu proprietatea (xn, yn)

    = da

    n (a,b) i (xn, yn) (a, b)

    avemf(xn, yn) n l.

    Defini ie 3. Fie A R 2, f : A R i (a, b) A. Spunem c f estecontinu n punctul (a, b) dac ( ) y , x f lim

    b ya x

    exist i este finit i

    n plus ( )( ) ( )

    ( )b ,a f y , x f lim = . Dac n cele dou defini ii 1 i 2b ,a y. x

    de mai sus nlocuiml cu f(a, b) ob inem dou defini ii echivalente pentru continuitate.

    Exemplu. Fie funcia

    ( ) ( ) ( )

    = 0 ,0 y , x y x

    y , x f 22 ( ) ( )=

    +0 ,0 y , x0

    y x

    22

    irul ( x , y) aa ca y = x ,unde este un

    parametru reali ( x , y) (0, 0). Dac x 0 yn 0. Avem

    Aceast funcie nu este continu n origine, ba chiar f nici nu are

    limit n origine. Fie n n n n

    n n n

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    58/222

    ( ) 2nn0 x 1nn +

    21

    0 y

    y , x f lim =

    nu are limit n origine deci nu

    e nici continu n origine.

    e A R2 , f : A R i (a, b) A (interior).

    Defini ia 4. Func ia f par ial n raport cu x n

    punctul(a, b) dac

    Valoarea limitei depinznd de

    Derivate par iale

    Fi

    este derivabil

    ( ) ( )a x b ,a f b , x f lima x exist i este finit .

    Vom nota aceast limit cu f' x(a, b) sau( ) x

    b ,a f

    i o vom numi

    derivata par ial de ordinul nti a funciei f n raport cu variabila x n

    y n punctul(a, b)interior luiA dac

    punctul(a, b).

    Defini ia 5. Func ia f este derivabil par ial n raport cu

    ( ) ( )b yb y

    b ,a f y ,a f lim

    exist i este finit .

    Vom nota analog aceast limit cu ( ) ( )

    yb ,a f

    b ,a f y

    = .

    Observa ie. Din defini ie rezult c atunci cnd calcul m

    constant i derivm ca i cum am avea o singur variabil x. Analogulte

    derivata par ial n raport cu x , variabila y este considerat

    cnd calcul m derivata n raport cuy. Dac func ia are mai m

    60

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    59/222

    61

    variabile toate celelalte variabile n afara celei cu care lucreaz seconsider constante.

    se

    Observa ie. Dac derivatele par iale f'x i f'y sunt la rndul lor

    derivatele par iale n raport cux i y atunci se pot defini derivatele par iale de ordinul doi. Vom avea n total 4 derivate de ordinul doi ianume

    ( )( ) ( ) y , x f x y y y

    ; y , x f x

    22 y x2 == y , x f f f

    x f

    x

    22 =

    =

    ( ) ( ) y , x f y f

    y f

    y; y , x f y x f

    y f

    x y22

    xy2

    2

    =

    =

    =

    =

    Exemple: 1. Fie f(x, y) = 2x

    2

    6x + 7y 113 3 2 2

    f' = 6x y + 6x y 10xy +7

    f" yx = 24x

    2. Fie g(x, y) = ln (1 + x2 + y2 )

    4 y3 + 3x2 y2 5xy2 + f' x = 8x y + 6xy 5 y + 6

    4 2 2 y

    f" x2 = 24x2 y3 + 6y2

    f" xy = 24x3 y2 + 12xy 10y3 2 y + 12xy 10y4 2 f" y2 = 12x y + 6x 10x

    2222 y x1 y2

    y f

    ; y x1 x2

    x f

    ++=

    ++=

    ( ) ( )22222

    2

    222

    2 y x1

    y x12 f ; z x1 x ++

    +=+

    222 y y x1 ++

    2 2 f =

    ( ) ( )222

    22 xy4 f 222

    y x1

    xy4 x y f ;

    y x1 y x

    ++

    =

    ++

    =

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    60/222

    62

    Se observ c n ambele exemple derivatele par iale mixte derdin are loc n general.

    Criteriul urmtor s re lo tatea acestora.

    A R2 R are derivate par iale mixte de ordinul doi continue, ntr-o vecinta ului(a,b) atunci .

    f : A R R e par iale ntr-o

    vecin tate a lui (a, b) ele sunt continue atunci spunem c func ia f

    este diferen iabil .Defini ie. Fie f : A R 2 R diferen iabil n (a, b)interior lui

    A. Expresia liniar df(x, y, a, b) = (x - a)f' x(a, b) + (y - b)f' y(a, b)

    se nume te diferen iala func iei f n punctul(a, b).

    te scrie

    o ul al doilea sunt egale. Aceast egalitate nutabilete n ce condiii a c egali

    Criteriul lui Schwarz. Dac f :te a punct

    ( ) ( )b ,a f b ,a f xy yx =

    Teorem . Dac 2 admite derivat i

    Observa ie. Dac (x, y) = x i (x, y) = y, atuncid (x, y) = dx = x a ; d(x, y) = dy = y b

    dx i dz se numesc diferen ialele variabilelor independente. inndcont de aceast observa ie diferen iala lui f ntr-un punct oarecare semai poa

    dy y x f

    dx f

    df

    +

    = Diferen ialele de ordin superior se definesc n mod recurent prin

    rela iad n f = d (d n-1 f)

    de exemplu

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    61/222

    22

    222

    2

    22 dy

    y f dxdy +

    y x f 2dx

    x f f d

    +

    =

    n general, putem scrie simbolic c

    ( )n( ) y , x f

    yd

    x f d n dy x +

    atele obinute pentru funcii reale de dou variabilesunt adevratei se extindi pentru funcii den variabile.

    Interpret ri economice ale derivatelor par iale

    Fie f Rn R care admite derivate per iale de ordinul nti.

    . Se a acesteia n raport cu xi adic

    =

    Toate rezult

    1 numete valoare marginal sau viteza de varia ie a lui f nraport cu variabila xi derivata par ial

    ( ) ( )i

    n21i x

    x ,..., x , x f x , f VM

    =

    2. Se numete ritm de varia ie a lui n raport cu variabila xi expresia f

    ( ) ( ) ( ) f

    x , f VM x

    x ,..., x , x f f 1 x , f R i

    in21

    i ==

    3. Se numete elasticitate a lui f n raport cu variabila xi expresia

    ( ) ( ) ( )iii

    n1ii x , f VM f

    x x

    x ,..., x f f x x , f E =

    =

    Dac se ia exemplul pieei de mrfuri unde funcioneaz legeacereriii a ofertei,i avem o funcie care depinde de preurile tuturormrfurilor, variaiilecereri ata este de exemplu

    e cererea pentru marfa xi, cnd

    preul ei crete.

    atunci derivata par ial a acestei funcii arati cnd unul dintre preuri variaz. Dac deriv

    negativ ea arat viteza cu care scad

    63

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    62/222

    Elasticitatea ne d o informaie mai complet a variaiei cereriin raport cu preul sau, ea reprezint viteza descreterii relative acererii pentru o cretere relativ a preului sau invers.

    Derivatele func iilor compuse

    Teorem . Dac func iile u i v : X R, X R au derivatecontinue peX , dac func ia f(u, v) definit pe Y R 2 are derivate

    64

    par iale continue pey atunci func ia compus F(x) = f(u(x), v(x))

    e deriar vat continu pe X , dat de

    ( )dxdu

    v f

    dxdu

    u f

    dxdF x F

    +

    ==

    Teorem . Dac func iile u, v : E R, E R 2 are derivate par iale continue peE i dac f(u, v)are derivate par iale continue pe

    G R 2

    atunci func ia F (x, y) = f[u(x, y), v(x, y)]

    are derivate par iale continue peE R 2 date de:

    xv f u f

    x F

    v xu

    +

    =

    y

    v

    v

    f

    y

    u

    u

    f

    y

    F

    +

    =

    Exemplul 1. S se calculeze derivata funciei

    F(x) = f(1 + x2 , sin x) x R

    Notm u = 1 + x2 , v = sin x. Avem

    ( )v

    f xcos f x2 xv

    v f

    xu

    u f x F

    u +

    =

    +

    =

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    63/222

    Exemplul 2. S se calculeze derivatele funciei F(x, y) = f(x2 + y2 , x y)

    Notm u = x2 + y2 , v = x y.

    Avem

    v f

    u f x2

    xv

    v f

    xu

    u f

    x F

    +

    =

    +

    =

    vu yv yu y f f y2v f u f F

    65

    =

    +

    =

    n + 1 pe A. Aplicnd funciei F(t) formula lui Taylor(MacLaurin) pentru funciile de o variabil avem

    Formula lui Taylor pentru func ii de dou variabileFie f : A R2 R i (a, b) un punct interior lui A. Presupunem

    c f este difereniabil de cel puin n + 1 ori n(a, b) i c ordinea ncare se deriveaz nu conteaz (derivatele mixte de acelai ordin suntegale).

    Vom considera funcia

    F(t) = f[a + t(x a), b + t(y b)], (a, b) A, (x, y) A, t [0, 1]

    Petru t = 0, F(0) = f(a, b) i t =1, F(1) = f(x, y), F(t) estederivabil de n +1 ori pe[0, 1], deoarece f(x, y) are derivate pn laordinul

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 F !2

    10 F !110 F 1 F ++= ( ) nn R0 F !n

    ...0 +++

    Cu( )

    ( )( )c F !1n +

    1 R 1nn += 0 < c < 1.

    Pentru calculul derivatelor F (m)(0)folosim formula de derivare afunciilor compuse. Vom scrie F(t) = f(x(t), y(t)) unde

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    64/222

    x(t) = a + t(x a) i y(t) = b + t(b a) Avem

    ( )( )

    ( ) ( )( )=

    t y ,t x f dy y x

    t F d m

    m += dx

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( ) = mm

    ( )

    +

    = dt t y ,t x f

    yb y

    xa x

    ( )

    ( ) ( )( )

    0 F m ( )b ,a f

    yb y

    xa xm

    +

    =

    innd seama de acest rezultat obinem formula lui Taylor pentru funcia f(x, y) n punctul(a, b):

    66

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = 1 f y , x f +

    + b ,a f

    yb x

    xa x

    !1b ,a

    ( ) ( )( )21 ( )

    ( ) ( )( )n

    xa x

    !n1...

    ++

    b ,a f

    yb x

    xa x

    !2 +

    +

    +

    ( ) n Rb ,a f yb x +

    +

    unde

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    !1n

    1n

    n += ( ) ( )[ ]b yb ,a xa f

    yb x

    xa x1 R ++

    +

    +

    n = 0 formula lui Lagrange (a cre terilor finite), adic

    f(x, y) f(a, b) = (x a)f' x( , ) + (y b)f' y( , )

    (0, 1).

    Observa ii. Dac n formula lui Taylor punem ob inem

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    65/222

    67

    ) este un punct de maxim local (respectiv

    minim local) dac exist o vecin tate V a lui (a, b) , astfel nctoricare ar fi (x, y) V are loc inegalitateaf(x, y) f (a, b)(respectiv

    Aceste puncte se numesc de extrem local.

    Teorem . Dac func ia f: A R 2 R are un extrem local ni l p punctului , b),

    atunci derivatele par iale n acest punct sunt nule, adic f'x(a, b) = 0 i

    Demonstra ie. Consider m funcia (x) = f(x, b). Deoarece

    p xtrem e

    extrem pentr emei lui Fermat f' x(a, b) = 0. n

    mod asemntor considernd funcia (f) = f( a, y) se va obine x(a,b

    Observa ie. Rec e nu este n general

    x(a,b)=0 i f'y(a,b)=0nu rezult neaprat c (a, b) este un punct de extrem pentruf .

    0 i f'y(a, b) = 0 se nume te punct sta ion

    . Cele care nu

    care s putem

    Extremele func iilor de dou variabile

    Fie f : A R2 R i (a, b) A.

    Defini ie. Puntul (a, b

    f (x, y) f(a, b)).

    (a,b) i admite derivate par a e e o vecin tate a (a

    f'y(a, b) = 0.

    (a,b) este un unct de e pentru f(x, y) atunci x = a ste punct de

    u (x) deci conform teor

    f' )=0.iproca teoremei precedent

    adevrat adic dac ntr-un punct(a, b) avemf'

    Defini ie. Un punct(a, b) pentru caref'x(a, b) =ar.

    Nu toate punctele sta ionare sunt puncte de extrem sunt puncte de extrem se numesc "puncte a".

    Va trebui n continuare s gsim criterii prinseleciona punctele de extrem dintre cele staionare.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    66/222

    68

    roblemelePuntele de extrem sunt foarte importante n peconomice deoarece ele reprezint n general un optim al problemei,obiectiv urmrit permanent de economiti.

    S observm c din definiia puntelor de extrem rezult c diferena f = f(x, y) f(a, b) trebuia s admit un semn constant ntr-o vecintate orict de mic a punctului(a, b). Vom considera ncontinuare formula lui Taylor sub forma

    ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ++== y x f b y f a x1b ,a f y , x f f b ,a!1

    ( ) )( ) ([ ]( ) 3b ,a y

    2 xy x

    2 R f b y f b ya x f a x!2

    122 ++++ ( )2

    )i (y b) pot fi luate orict de

    oilea

    depinde de fapt de primul termen din formula lui Taylor, restul fiind

    foarte mici n comparaie cu acesta, nu conteaz. Termenul ce conine

    om studia n continuare semnul termenului aldoilea ce conine parantezele(x a) i (x b) la puterea a douai estevide

    innd cont c diferenele (x a

    mici dorim, rezult c semnul lui f sau al membrului al d

    parantezele(x a) i (y b) la puterea ntia nu pstreaz semnconstant deci suntem obligai s punem condiiile f' x(a, b) = 0 i f' y(a,b) = 0 sistem care genereaz punctele staionare dup cum amar tat i mai sus. V

    e nt o form biliniar . Pentru simplitate vom scrie acest termen subforma

    ( ) + +

    = t sa x2r

    b ya xb y

    !21T

    22

    2 b y

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    67/222

    69

    b)2 i am utilizat notaiile luiAm dat factor comun pe(yMonge pentru derivatele de ordinul II

    ( ) ( ) ( ) t b ,a f , sb ,a f ,r b ,a f 22 y xy x ===

    not zb ya x Mai m =

    avem

    ( ) ( )!21 22

    2

    trinom de gradul doi n z. Apelm la cunotinele de

    t sz2rzb yT ++=

    un la liceu n

    2

    da r < 0

    referitoare la separarea

    Teorem . R 2 R ct sta ionar al su.

    = s2 rt < 0 atunci (a, b) este un punct deextrem i anume:

    legtur cu acest subiect.Se tie c T 2 are semn constant dac = s rt < 0 i anume

    c r > 0 T 2 > 0 i decii f = f(x, y) f(a, b) > 0 dac

    T 2 < 0 i f = f(x, y) f(a, b) < 0.

    innd cont de definiia extremelor locale pentru maximiminim putem enuna urmtoarea regul punctelor staionare.

    Fie f(x, y) o func ie definit pe A

    derivabil par ial cel pu in de 3 ori i (a, b) un pun

    1. Dac n punctul(a, b),

    a) dac ( ) 0b ,a f r 2 >= atunci(a, b) este un punct de minim;

    de maxim.

    2. Dac n (a, b), > 0 atunci(a, b) nu este punct de extrem. Punctul(a, b) se nume te punct a.

    b) dac r < 0 atunci(a, b) este un punct

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    68/222

    70

    iu su

    Exemple 1. Un bazin are forma unui paralelipiped drept f r

    (aria total fixat) s se proiecteze dimensiunile bazinului astfel nctcapacitateav a recipientului s fie maxim.

    Rezolvare: Notm cu x i y dimensiunile bazei, z nlimea i a

    aria total. Avema = xy + 2xz + 2yz, i volumul v = xyz. Funcia alcrei maxim n cutm este

    3. Dac n (a, b), = 0 nu putem trage nici o concluzie asupra punctului (a,b). Situa ia acestuia se va l muri cu un stud

    plimentar.

    capac. Presupunnd c avem la dispoziie o cantitate de tabl dat

    2

    2

    ( )( ) y x2

    xya xy y , xv =

    Avem

    2

    +

    ( ) ( )2222

    2

    222

    y x2 y xy2a xv

    , x xy2a y

    xv

    =

    =

    y y x2 +

    Rezolvnd sistemul 0 xv =

    , 0

    yv =

    obinem soluia

    3a y x == .

    Calculm34

    a s ,32

    ar == i32

    a z = .

    Avem 016 a

    12a

    48art s 2222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    69/222

    71

    Punctele staionare sunt soluiile sistemului

    )

    Calculm derivatele de ordinul al doilea. Avemr = 6x, s = 3, t = 6y

    M nu este de extremi anume este puncta.

    Pentru M (-1, -1) obinem = s rt = -27 < 0.

    Rezult c punctul M (-1, -1) este punctul de extrem pentrufuncia dat i anume un maxim deoarece

    ( ) ( 1 ,1 M i0 ,0 M 0 x y

    0 y x0 f 0 f

    212

    2

    y

    x =+=+

    ==

    Pentru punctul M(0, 0) avem = s2 rt = 9 > 0.

    Rezult c punctul 1

    2 2

    2

    ( )2 6 1 ,1 f r == .

    care admite derivate par iale de

    cesar ca diferena f = f(x1 , x2 , , xn ) = f(a1 , a2 , , an ) s

    aib semn constant este ca prima parantez care conine diferen le(x-a) la puterea ntia s fie nul. Se obine sistemul cu derivatele

    1 2 n 1 2 n

    Extreme pentru func ii de mai multe variabile

    Fie avem F : A Rn Rordinul doi ntr-o vecintate a punctuluia = (a1 , a2 , , an ) interior lui A. Condiiile de gsire a punctelor de extrem sunt analoage cu cele dela dou variabile. Ele se bazeaz evident tot pe formula lui Taylor. O

    condiie ne

    e

    i i

    par iale de ordinul nti: f (x , x , , x ) = 0, f (x , x , , x ) = 0, , f

    1 x 2 x n x (x1 , x2 , , xn ) = 0

    biliniar i are formacare rezolvat ne d puncte staionare.

    Paranteza de ordinul doi este o form

    ( )( ) ( )=

    =n

    1 j ,in1 x x ji a ,...,a f x x x x

    2

    1 ji

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    70/222

    72

    ordinul doiSemnul acestei expresii este hotrt de unir de determinani

    extrai din matricea ce conine toate derivatele par iale decalculate ntr-un punct staionar, numit matricea lui Hesse sau

    "matrice hessian".

    ( )

    2n3n2n1n

    n3232313

    x x x x x x x

    x x x x x x xn21...............

    f ... f f f a ,...,a ,a H

    n232

    2212

    n1312121

    x x x x x x x

    x x x x x x x

    f ... f f f

    f ... f f f f ... f f f

    =

    Vom considera minorii (determinani extrai din matrice) care audiagonala principal suprapus pe cea a matricei hessienei ncep dincolul stnga sus

    n x x x

    x x x2 x1 f f

    f f 2212

    21212

    1 ..., , , f

    ==

    Vom avea urmtorul rezultat:

    a) Dac to

    = determinantul matricii.

    i determinanii extrai 1 , 2 , ,n calculai ntr-un punct

    staionar sunt pozitivi atunci forma biliniar se numete pozitiv

    de

    Da

    se numete negativ definit, adic

    f < 0i punctul staionar este un punct de maxim local.

    Dac , 2 , ,n nu respect

    cele dou reguli de mai sus atunci forma biliniar (ptratic) nu

    este definit i (a1 , a2 , , an) A nu este punct de extrem.

    finit i f este pozitiv adic punctul staionar este un punct de

    minim.b) c determinanii extrai au semnele alternate, ncepnd cu

    negativ, atunci forma biliniar

    c) semnele determinanilor din irul 1

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    71/222

    73

    Observa ie. Evident cazul func iei de dou variabile sereg se te n cazul general. Prezentarea lui separat a fost f cut doar

    etodei.

    Exemplu: S se determine punctele de extrem ale funciei f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z

    Avem f' x = 3x + 2, f' y = 2y + 4, f' z = 2z 6Sistemul

    pentru n elegerea mai u oar a m

    ==+=+

    06 z204 y202 x2

    Exist un singur punct staionar M (-1, -2, 3).Calculm derivatele de ordinul doi.

    0 f f f ,2 f f f yz xz xy z y x 222 ======

    0028 ,4= ,2

    2000 20 H 321 ==

    14.

    Ajustarea datelor numerice

    Am vzut c majoritatea fenomenelor economice pot fi descrise

    nu este cunoscut,

    =

    Rezult c punctul M(-1, -2, 3) este un punct de minim pentrufuncia dat iar valoarea acestui minim a lui f este f(-1, -2, 3)= -

    din punct de vedere matematic ca o funcie de o variabil sau maimulte variabile. n general aceast funcieeconomistul avnd la dispoziie doar valori observate culese dinactivitatea practic cum ar fi cele din tabelul de mai jos:

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    72/222

    74

    x x1 x2 xnf(x) y1 y2 yn

    Se pune problema gsirii unei funcii (trend) care s verifice

    perechil enomenulstudiat. Exist desigur mai multe metode matematice care rezolv aceast problem, unele mai simple dar nu aa de precise, altele foarteelaborate.

    distingem dou etape. n prima etap determinm clasa din care faceui). Acest lucru se realizeaz n general prin

    ecti

    Exemple: funcia liniat y = ax + b dep de dea i b, funcia parabolic y = ax2 + bx + c de trei parametrii, funcia exponenial

    ace

    se justarea liniar ).

    dreapt putem lansa ipoteza c funcia cutat esteliniar adic de forma y = ax + b.

    e de puncte(xi , yi ) i s se apropie ct mai mult de f

    n rezolvarea acestei probleme prin metode mai simple

    parte funcia (tipul trendulexperiena pe care o are economistul resp v din cercetri anterioare.Ca exemple uzuale de clase de funcii, amintim pe cele liniare, parabolice, logaritmice, exponeniale, etc. O astfel de funcie depindens de mai muli parametrii.

    in

    y = b a x dea i b etc.Etapa a doua presupune determinarea cu precizie ct mai mare a

    stor parametrii.

    Pentru nceput vom aminti o metod extrem de simpl dar careaplic doar la funcia liniar (adic doar pentru a

    Este vorba de "metoda centrelor de greutate". Dac punctele ce suntimagini ale perechilor de numere din tabelul de mai sus se aeaz aproximativ n linie

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    73/222

    yB

    A

    x

    75

    i B care conin r

    cu media

    Se mpart punctele n dou clase A respectiv n r puncte, apoi se calculeaz coordonatele punctelor cesunt "centre de greutate" pentru clasa A respectiv Baritmetic

    +=+===

    ====n

    1 r ii B

    n

    1r ii B

    r

    1ii A

    r

    1ii A y

    1 y , x1 x , y1 y , x1 x

    Dup obinerea coordonatelor punctelor A(x

    r nr nr r

    B , y A , y A ) i B(x B ) vom scrie ecuaia dreptei ce trece prin dou puncte

    ( ) A B

    A B A

    x x x x

    y y y y

    =

    Observa ie. Ecua ia dreptei difer destul de pu in n func ie de

    ai mici

    tra

    )

    mpr irea punctelor n cele dou clase.O metod mai des utilizat este ns "metoda celor m

    p te" conceput de Gauss n 1794 la vrsta de 17 ani.

    Aceast metod const n determinarea parametrilorai ai funciei y = f(x, a1 , a2 , , a p ) astfel nct urmtoarea sum s fie minim.

    ( ) ([ ]=

    =n

    1k k

    2 p21k k p21 wa ,...,a ,a , x f ya ,...,a ,aS

    unde xk i yk sunt valorile determinate experimentali sunt prezentaten tabelul de mai sus. Expresiilew(xk ) sunt nite ponderii acord o

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    74/222

    76

    impo ecriter ncrederea ntr-o anumit aloa

    sunt valori numerice date rezult c S(a1 , a2 , ,a p ) este de fapt o funcie de p variabile a1 , a2 , , a p. Pentrueterm

    rtan mai mare sau mai mic diferitelor paranteze n funcie dii stabilite: precizia msur torilor,

    v re etc.

    Pentru c xk i yk

    d inarea punctelor de minim local ale funciei S se determin mainti punctele staionare prin rezolvarea sistemului de ecuaiialgebrice:

    0aS

    ..., ,0aS

    ,0aS

    p21 =

    =

    =

    Se poate ar ta c funcia S(a1 , a2 , , a p ) are un singur puncttaio

    r considera toate

    ie. Vom considera c funcia f(x) este de formab

    mizat expresia

    s nari acesta este un punct de minim local.Pentru simplificare, n cele ce urmeaz se vo

    ponderilewk = 1.Aplica

    Y = ax +n acest caz trebuie mini

    ( ) [ ]=

    +=1

    n

    k

    2aS

    e conduce l l algebric

    k k ybaxb ,

    car a sistemu( ) ( )

    ( ) ( )=+=

    =+=

    =n

    k k

    n

    1k k k k

    0 ybax2b

    b ,aS

    0 x ybax2a

    b ,aS

    =1k

    sau

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    75/222

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    76/222

    78

    Extensii ale no iunii de integral

    La definirea integralei Riemann se preciza c intervalul de

    rare. Dac aceste condiii nu suntndeplinite vom reui totui s definim alte tipuri de integrale numiteintegrale improprii.

    Defini ie 1. Fie func ia f : [a, ]R integrabil Riemann pe, ] [a, ] i pentru care exist

    integrare trebuie s fie mrginit iar funcia care se integreaz s fie

    mrginit pe intervalul de integ

    orice interval mrginit [

    ( )

    adx x f lim i este finit , atunci aceast limit se nume te integral

    tia a func iei f pe intervalul [a, +) i senoteaz

    Observa ii. a) Dac limita de mai sus este infinit vom spune c integrala

    im interes.

    e integ De asemeni pot exista integrale improprii convergente (auva

    toa

    improprie de spe a n

    ( ) ( )

    +

    B

    a Ba

    dx x f limdx x f

    proprie este divergent i nu prezint b) O defini ie analoag cu cea de mai sus se poate da i dac

    intervalul d rare este nemrginit la stnga.

    loare finit ) cu ambele limite infinite adic integrarea se face pe

    t axa real ( )+

    dx x f .

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    77/222

    79

    Defini ie 2. Fie acum func ia f : [a, b] R nemrginit ntr-ovecin tate a lui b dar mrginit i integrabil Riemann pe orice

    subinterval nchis[a, ] [a, b]. Dac exist i este finit limita

    ( )

    li t limit se nume te integral improprie de

    sp este finit integrala se sp gent altfel se nume te divergent .

    Punctul n care funcia de sub integral este nemrginit poate fiextremitatea din dreapta, sau extremitatea din stnga sau ambele. De

    asemenea funcia f : [a, b] R poate fi nemrginit ntr-un punctc

    din ). n acest caz integrala se

    descompune n dou

    e dou integrale improprii din membrul doi suntconvergente atuncii cea dat este de asemenea convergent.

    portante pentru a putea defini dou tipuride aumu ii mai ales la calculul probabilitilor ce va fi studiatnt

    ab

    e a a doua a func iei f pe intervalul [a, b).Observa ie. Dac limita de mai sus

    dx x f m atunci aceas

    une c este conver

    ( )b

    adx x f interiorul intervalului (a, b

    integrale impropriii anume

    ( ) ( ) ( ) += dx x f dx x f dx x f b

    c

    c

    a

    b

    a

    Dac cel

    Aceste integrale sunt im integrale numitei funcii ale lui Euler care la rndul lorltiple aplicar-un alt capitol.

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    78/222

    80

    c ia Beta) i deamma)

    te func ie Gamma, func ia definit pentru

    or

    Func iile lui Euler de spe a ntia (Funspe a a doua (Func ia G

    Defini ie. Se nume

    ice a > 0 de rela ia

    ( )

    =0

    x1a dxe xa

    atu mma este definit doar

    ca itate rval de

    int laritatei la captuldin nt est

    Teorem . Integrala improprie care (a) este

    convergent (are valoare finit ) pentru oricea > 0. ii

    2)

    3) n N

    4)

    Observa ie. Dac a 1 nci func ia Ga o integral avnd sigular n partea dreapt adic inte

    egrare infinit. Pentru0 < a < 1 integrala improprie are sigu

    stnga n sensul c n veci atea lui zero funcia de sub integrale nemrginit.

    define te func ia

    Propriet i. Funcia Gamma satisface urmtoarele rela

    1) (1) = 1

    (a + 1) = a (a) pentru oricea > 0

    (n+1) = n! pentru

    a sin (a) (1-a) = formula complementelor

    5) 2

    a > 0.

    Observa ie. Proprietatea a doua rezult prin integrarea prin pr i, a treia prin recuren a dat de a doua. Proprietatea a cincea

    (a) = 2 t 1a2 dt t

    e0

  • 8/12/2019 Mate Ma Plic

    79/222

    81

    rez l schimbare de va