Aproximarea functiilor continue prin polinoame

Prima teorema de aproximare a lui Weierstrass

Una din cele mai importante probleme ale analizei matematice este aceea de a reprezenta o funcţie cu ajutorul unor funcţii de o structură mai simplă. Prima teoremă de aproximare dă un răspuns la această problemă, in cayul în care functia este continuă.

Prima teoremă de aproximare a lui WEIERSTRASSFie f o funcţie reală, continuă pe intervalul compact . Există

un sir de functii polinomiale P1, P2, ..., Pn ,… care converge uniform, pe , către funcţia f.

Demonstratia acestei teoreme a lui Weierstrass este dată de matematicianul sovietic S. N. Bernstein. Această demonstraţie are meritul de a da un procedeu constructiv, efectiv, de obţinere a polinoamelor căutate.De la intervalul se poate trece la intervalul prin transformarea :

şi prin această transformare calitatea de polinom se păstrează, rezultă că este suficient să demonstrăm teorema pentru intervalul Notăm cu numărul combinărilor de n obiecte luate câte m şi considerăm aşa-numitele polinoame ale lui Bernstein asociate funcţiei f :

.

Stabilim câteva relatii privitoare la coeficientii . Se stie că dacă n este un numar natural, atunci :

. (1)

Derivăm în ambii membrii în raport cu p şi multiplicăm cu p rezultatele obtinute :

. (2)

Derivăm din nou în raport cu p şi multiplicăm cu p rezultatele obtinute în cei doi membrii :

. (3)

În ecuatia (1) înlocuim şi :

. (4)

În ecuatiile (2) , (3) înlocuim şi :

. (5)

. (6)

Înmultim cei doi membrii din ecuatia (4) cu , cei doi membrii din (5) cu şi adunăm membru cu membru egalităţile astfel obţinute cu egalitatea ecuatiei (6) :

deci:

. (7)

Fie o valoare arbitrară, dar fixată, în intervalul . Fie δ un număr pozitiv arbitrar.Notăm cu:

suma acelor termeni din membrul al doilea al egalităţii (4), pentru care m satisface inegalitatea

;Notăm cu:

.

suma termenilor din membrul al doilea al egalităţii (4) care nu figurează. Avem deci :

.Pentru termenii sumei este îndeplinită inegalitatea :

avem :

.

Comparăm cu relaţia (7) şi obţinem :

.

Pentru că :

Deci avem :

Rezultă că :

. (8)

Revenind la :

sau, cunoscînd relaţia (4), avem :

(9)

f este uniform continuă pe , ca funcţie compactă pe un interval compact :

astfel încât din Din relaţia (9) obţinem :

(10)

unde: şi sunt asociate valorii lui care corespunde

numărului se extinde la acele valori ale lui m pentru care , atunci :

(11)

Din faptul că f este continuă pe rezultă că există un număr 0M , astfel încât pentru . Cum se extinde la acele valori ale

lui m pentru care , rezultă cu ajutorul relaţiei (8), că :

Luăm şi obţinem :

(12)

Definitie:

Dacă algebra A=A (E) se bucură de proprietatea că ori de câte ori (fn) este un sir de funcţii din A, care converge uniform pe E catre o funcţie f, atunci f A, vom spune că A este algebră uniform închisă..

Mulţimea a tuturor funcţiilor care sunt limite de şiruri de funcţii uniform convergente din A se numeşte inchiderea sau aderenţa uniformă a lui A .

Exemplu: Mulţimea tuturor polinoamelor reale de a variabile constituie un exemplu de algebra de funcţii reale.

Teorema lui Weierstrass pentru funcţiile de s variabile, se enunţă astfel:

Clasa C(K) a funcţiilor continue pe un compact K din spaţiul euclidian este inchiderea uniformă a algebrei A a polinoamelor reale definite pe K (adică a resticţiilor la mulţimea K a polinoamelor reale de s variabile).

TEOREMĂ : Dacă = (E) este ănchiderea uniformă a unei algebre A=A

(E) de funcţii mărginite pe o mulţime E, atunci este o algebră uniform închisă.Demonstraţie:

Demonstrăm că este o algebră.Cum orice funcţie din este limita unui şir uniform convergent pe E de funcţii din A, înseamnă că luăm două funcţii h şi g din atunci există două şiruri de (hn) si (gn) de funcţii din A care converg uniform pe E respectiv către h si g.Ştiind că funcţiile din A sunt mărginite pe E, rezultă că sunt şi uniforme pe E:

Cum h+g, hg şi αh sunt limite de şiruri din A (pentru că A e algebră hn+gn, hngn şi αhn aparţin de asemenea lui A), rezultă că , şi rezultă că e o algebră.Să arătăm că este uniform închisă va trebui să demonstrăm că orice şir din uniform convergent pe E are o limită în :Considerăm un şir (hn) care e uniform convergent pe E către o funcţie h, dar cum hn şi funcţiile din această mulţime sunt limite de şiruri uniform convergente din A, rezultă că se poate găsi un şir (gn) A pentru care avem:

când u E.Cum (hn) converge uniform către h, rezultă că şirul (gn) va converge uniform către h,adică h rezultă că este o algebră uniform închisă