formule algebra (clasa ix-xii)
DESCRIPTION
FORMULE MATEMATICE UTILE - ALGEBRA CLASA IX-XIIDORU SAVULESCUTRANSCRIPT
Uutu i.rli:::-.lr_)
\
& t.\.
.J*\
- ".-"
{)
*lJf':lirt-r{JJ
;\39r lat==J*
lsBN 973-8355-98-2
J$XU$UIIIilIU][l
Distribulie la:
Tel/Fax (021)2223312
Q21) 222 B3B0
E-mai : [email protected]@meteorpress.ro
aZoDORU SAVULESCU
ALGEBRAFORMULE UTILE
pentru elevii claselor lX-Xll
I lilll lilll lilll illltilil ililtiltil il ilr*951 741 R*
':'(rn
Sr?- (**f .\f)Formule utile Futru elevii claelor IX-XII
Capitolul l. Elemente de logictr matematictrLucrarea a fost avizatl de Ministerul Educatiei,
Cercetdrii, Tineretului ;i Sportului(nr. 24243 I iamarie 2005 )
p€ntru a fi utilizat[ ca material auxiliar in scoli.
Meteor Press, edituri acreditati de C.N,C.S.I.S.Cod 145/2006
Referenli ;tiinliJici: Prof. drd. Simona Dinu
Prof. drd. Costicd lttpu
www.meteorpress.ro
@ 2003, reeditarc 2010 Toate drepturilc asupra acestei ediliismt rezervate editurii METEoR PRESS.
Contact: C.P.41-128Tel. / F ax: 021.222.33.12E-mail: [email protected]
Distribulie la:Tel. / F ax: 027.222.33.12E-mail: [email protected]
ISBN: 973-8355-98-2
l.l. Enun{. Propozifie. Valoare de adevtrr
Notiunea de inunl este o noliune primara care nu se defineqte
(cu ajutorul altor noliuni). Ea se poate descrie ca un ansamblu de
semne carora li s-a dat un sens.
Definifie. Se nume$tepropozilie (in sensul logicii matematice) un
enunl aespre care se poate spune ca este adeverat sau fals, dar nu
$i adevtrrat $i fals.
Observagii:0 Propoziliile se noteaza'. p, q, r, s, P, O, & S etc'
0 Fieclrei propozilii i se poate asocia atributul ,,adev[rat" sau
,,fals".0 Noliunile ,,adevtuat" fi ,,fals" sunt notiuni primare'
0 Logica matematica se mai numeqte logicd bivalentd'
Dacl o piopozilie p este adevarata se spune cd are valoarea. Iogicl
sau valoarea de adevlr ,,adevlrat" $i notam '(P) = 1 sau v(P) = a'
Daci o propozilie p este falstr se spune cd are valoarea logici sau
valoarea de adevdr "fals" 5i nottrm v(p) = 0 sau u(p) =lPropoziliile se pot compune cu ajutorul operatorilor (conectorilor)
logici.
1.2. Operafii logice elementareNegalia propozi,tiei. Negafia propoziliei p este propozilia notata
non p, 1 p tu, i care este fals[ cdnd p este adev6ratA $i este
adevlratl ctndp este falstr. P I LTabla de adevf,r a propozifiei p este: -I-fi-
rl0Conjunc{ia propozifiilor. Conjunclia a doul'propozilii oarecare
p, q esle propozilia notatA,;, $i q",,p n 4"' sau ,p & 4" care este
adev[rati cand ambele propozi{ii sunt adevarate 9i este falstr in
cclelalte cazuri.
FoflDule utile Pcntru cleviichsr ].-\ll
Tabela de adev{r a propozi{iei p r' q este:
Proprietate. Conjunc{ia propozitiilor este
- cotnulativa p ^
q = q ^
p $i
- asociativA (p rq) r v= p,r(q n r)
Disjunc(ia propozifiilor. Disjuncfia a dou[ propozifii oarecare pgi q este propozilia nolall,p sau q",,,p v q" care este falsa cand
anrbele propozilii sunt fhlse $i adeviratl in toate celelalte cazuri(adicd cel pufin una din propozitii este adev[rati),Tabla de adevlr a propozi{iei p v 4 este:
Proprietd{i. Disjunclia propozitiilor este:
- asociativtr lp v q) v 7 = p v (q v r);-comutativtr pvq=qvP.
Observagie. Propozitiile compuse se obtin din propozifii simple(p, q, r, .r, ...) prin aplicarea de un numtrr finit de ori a
conectorilor logici: 1. a, v.
lmplicalia propozifiilor. Implica[ia propoziliilor p $i q este pro-pozilia notatl ,p 4 d' care este thlsd dac[ qi nurnai dactr p este
adevirattr qi q falstr, iar in toate celelalte cazuri este adevf,rata.
La implicafia p --, q, propozi(ia p se numeite ipotezd salu
antecendentul iar propozilia q se nume$te concluzia sauconsecventul implicatiei.
Fo[nulc utile FErtru eleviiclaelor IX-XIl
Echivalenla logictr. Propoziliile p 9i q sunt echivalente logic $i
scriem p <+ q dach amdndoul sunt simultan adev6rate sau
sinrultanfalse. Propozi{iape+qsecite$te p I q lpeq,ro dacd gi numai daci q".'l'abladeatleviraechivalenteip<+4este: 1 I 0 I 0
Tabla de adevdr a implica{iei p -) 4 este:
Propriet5[i : implicalia propozi{iilor este
tranzitivd (p -> q) n (q -+ r\ -+ (p -+ r).
Observalii.0 Propoziliap -) q este echivalenti cu propozi{ia 1p v q.
0 t)ropozifiap <+ 4 este echivalenti cu propozilia{p-->q)a(q--sp).
Proprieta1i:I ) Echivalenla logicl a propo-ziliilor este asociativd $i comutativa'
2) Legite lui cle Morgan: a) I (p v q\ <+ I P n I q',
b)lrP" ql<+ lPv lq'3) Proprietdtile de distributivitate:p ^(qv
r) ++ (p n q)v (p ^r)-
aconjunc{iei ta{Ide disjunctie;
p v (q ^
r) <+ (p v q) t (o v r) - a disjuncfiei faih de conjuncfie' Folosind propozifiile p, q, r, ... qi simbolurile conectorilor
logici -1,
v, n, -r, e+ se pot formula diverse expresii numite
foimule (expresii) logice sau formule ale calculului cu propozilii
care se noteaztr cu cL p. . . . sau 0(p, q, . . . ).
Expresii echivalente. Doui expresii o 9i p se utmesc echivalente
daCa pentru orice propozilii pt, p2, ... cele doud expresii
reprezinta propozilii compuse cu aceeaqi valoare de adevlr.
Lcge, tautologie. DacI indiferent de valoarea de adevar a
propoziliilor componente, valoarea de adevdr a fbrmulei logice aiste l, atunci fomrula se nume$te lege satt tautologie sau formuliidentic adevArata.
Exetuple: I. Legea te4ului exclus: d= p v p =+ v(o.) = l '
2. Principiul contradicliei: B= p "
p =, v(0) =0.
-)1
0
1
I
0l1l 0
plqwY1tll l00t1
pls q
Fonnule utile lEntru e]erii rlsor lX-Xll
1.3. PredicatSe numegte predica sau propoTiyie cu variabile un enunl
care depinde de una sau mai multe variabile qi are proprietatea c6pentru orice valori date variabilelor se obfine o propozilie.Predicatele se noteaz[ p(x, y, z, ...), q(xt, Jt, zr, ...) qi se numescunare (cdnd au o variabild), binare (cdnd au douA variabile),i e r nar e (tr ei variabi le), . .., n- are (depind de n variabile).
Mullimea de definilie este mulfimea valorilor pe care le potlua variabilele.
Predicate echivalente. Dou[ predicate p(x, y, z, ...) qi q(x, y, z,...) se numesc echivalente dac6, oricare ar fi valorile pe care le iauvariabilele x, y, z, ... in acelaqi domeniu, propoziliile oblinute suntechivalente. Se scriep(x, y, z, ...) e q(x, y, z, ...).
1,4. CuantilicatoriCuantificator existenfial. Fie un predicat unar p(x), unde .jr esteun element oarecare dintr-o multime data E. Se nume$te
' propozilie existenyiald propozilia: ,,existi cel pulin un x din Eastfel incat p(-r)" 9i se noteazd l-r, p(x) sau (ar) xe E, p(x) sau
, (are$ p(x). Este adevlratA dacl existf, cel pufin un xg€E astfelI incit p(.v6) sf, fie adevirat[ gi este fals6 in caz contrar. Simbolul ]I se numegte cuantilicatot existenfia/qi se citegte ,,exist6".
t Cuantificator uniyersal. Fie un predicat unar p(x), t€8. SeI numeEte propoziyie universald propozilia ,,oricare ar fi r din E,
, p(r)" $i se noteazA V-rp(x) sau (Vx) p(x) sau (VxeE) p(x) sau(Yx)xcE, p(r. Este adevAratA dacf, pentru orice xeE, p(x) este
I adevara6 qi este falsl dacA exista cel putin un.ro€E pentru care
I p(/0) este falstr. Simbolul V se numegte cuantificator universal Sise cite$te ,,oricare ar fi".
Foflnule utile lEntru elevii claselor IX-XII 7
Reguli de negare.Predicate unare (predicate care depind de o singurtr variabilE)
notatp(r).Negarea cuantificatorului universal se face prin cuantificatorul
existenlial qi invers: I (Vxeg.p(x)) <+ (l-reE' lp(x)) $i | (freE'p(.r)) <+ (Vxe E. I p(x)).'PreJicatul
q(.r) se numefte consecitl(d logicri a predicatului p(x) 9i
scriem p(x)=+q(x) dac[ propozifia (Vx)(p(x)-+4ft)) este adevarat5'
Predicatele p(x) Ei q(x) se numesc echivdlente $i scriem p(-r) eq(.r) daci este adevaratA propozilia (V,r) (p(x) <.> q(x)'i)b'servalie. Uneori pentru a infirma o implicafie care confine
cuantificatorul V este suficient sd se construiascaun contraexem'
pti. Acestarezultd din: 'l
(v.rxp(.r)-+q(;r)) <+ (l-Y) (p(x) n I q(x))'
Predicate binare (care depind de doul variabile) notatep(x, ))'Pundnd in fala unui pretlicat binat p(x, y) unul dintre
cuantificatorii V sau 3 se obtrin predicate unare:
(3.t) p(x, y), (Y x) p(x, y) - predicate unare in care y este variabildliber6.
(=y) p(x, y), (Vy) p(x, y) - predicate unare in care x este variabi16libertr.
Proprietati de comutativitate a cuantificatorilor de acelaEi fel:
0 (VxXVy) p(x, y) <+ (VYXVx) P(x, Y)
0 Gr)(ly) p(x, y) <+ (lYXlr) P(r, Y)
Reguli de negare:- O I fVx)€yl p(x, y) <+ (atXvy)lp(x, y)
O I (:xxvy) p(x, y) <+ (V.rXly) lP(x, Y).
Fonnule utile penn.u elevii ch*lor tX-Xll
Capitolul 2. Mul(imi
2.1. MulfimiO mulfime este o coleclie de obiecte (numite elementele
mullimii) de naturd oarecare, bine tleterminate qi distincte.- Mul{imile se noteaza cu litere mari A, B, e, p, R, iar elemen-tele cu litere mici a, b, x, y.
Mullimile se pot defini: - sintetic prin indicarea elementelorlor (intre acolade sau in interiorul unei diagrame). Exemplu. {5, 2 }.
- analitic prin specificarea unei proprietafi caracteristice ele-
mentelor lor. Exemplu: {xe N I x2 - 7x + I0 = 0 }.Mulf imea care nu confine nici un elemerrt se nunlefte
mallime vidd qi se noteazd cu A. P$en spune ca A = gl x + xl .
2.2. Relafii intre elemente qi mulfimia) Relatia de apartenen{i (simbolul e). Daci un elernent x apa4i-ne unei mullirni .4 aceasta se noteazA,y€A gi citim ,;r aparline A,'.' b) Rela{ia de neapartenentA (simbolul €). Dacd un elemenr y nuapartine multimii A scriem xeA.
I 2.3. Relalii intre mul(imi'. 2.3.1. Relaliu de egalitate. Dou[ rnulfimi A qi B sunt egale dacd' suntfonrate din aceleagi elenrente scriemA=8. Avem echivalenla:' A=B€(VxXr€A+>.r€B).' Relulitt de neegalitute. Dacd doul rnulfimi A $i B nu sunt egale. scriem A * B citim mullinreaA este dif'eritl de mullirnea B.
Avem echivalenta A* B <+ ((1reA)rr(xeB)) v ((lye B),^.(ye A)).
I Proprieteti: 0 VA, A = A - reflexivitatea;
| 0 (A = B) = (B -_ A) - simetria;C (A = B 9i B = C) = (A = C)-rranzitivitarea.
2.3.2. Relalia tle incluzittne. Spunenr cd mullimea A este inclus[irr nrultimea B qi scriem A c B daca orice element al multimii A
FohDulc utile pentru elevii clu*lor lx-Xll 9
este gi element al mullimii B. Spunem ca A este o parte sau osubmullime a mullimii B.
Avem eclrivalen\a: (A c B) <+ (Vi€A * xeB).Relalia de neincluziune. Spunem cA mullimea A nu este inclusd inmullirnea 8 qi scriern A G B dacd3reA Si xeB.Proprietdli: 0 VA avemA cA:
0 VA avemA cA - reflexivitatea;0 (A c B) qi (B c A) + (A = B) - antisimetria;0 (A c 8 si B c C) * A c C - tranzitivitatea.
Mulsinrea pdrlilor unei mullimi (fi. Fie o multime A. MulJimea
care are ca elemente toate submullimile lui A se numepte mulli-mea pa4i lor f ui A qi se noteaz A 4A). Dacd A = A a ;:ll,/\ = {A l ;
dacf,A = Ixl 1."4A)= IA, &\l,dacbA= {.r, y} = qil= @,{-r}, {y}, {-r, y}} iar dacd A are n elemente atlunci qA\ arc 2"
elemente.
2.4. Operafii cu mulfimi
Reuniunea (u). Se nume$te reuniunea a doui mul{irni A gi Imullimea tuturor elementelor care aparline cel pulin uneia din
muflimileA sau B. ScriemA v g = lxlxeA sau,r€B).Proprietdtile reuniunii :
l VAavemAvA=A;F VA avemA v A= A - idempotenla;> VA, BavemAu B = B v A-comutativitatea;> VA, B, Cavem(Av B)v C=A u (B u C)-asociativitatea.
Intersec{ia (n). Se numeqte intersecyia mulfimilor A 9i B rnul{i-mea formatfi din elementele (comune acestora) care apadin lui Aqi lui B. Notam A n B = {xlxe A Si xeB}.Doui mullimi A qi B se numesc disjuncte dacd A a B = A.
l0 Fonnule utile peDh! elevii claslor IX-XII
Propriettrfile i ntersec[iei:F VA avemA aO =O:} VAavemA aA=A- idempotenfa;> VA, EavemA n B = BnA-comutativitatea;> VA, 8, Cavem (A a B) n C = An (B^ O-asociarivitarea;
> VA, B, Cavem(A uB)nC=(A^C;u(Bn e-distribu-tivitatea interseclie fald de reuniune:
> VA, B, Cavem (A n B) u C= (A u O n (B u O - disrribu-tivitatea reuniunii fa{A de interseclie;
> VA, BavemAi'r (Ae B)=A giA u(A ^B)=A -absorbfia.
Diferenfa 0 sau -). Diferenla dintre rnullimea A qi mullimea Beste multimea fonnat[ din elementele lui A care nu sunt elementeale lui B. Scriem A \ B = {x l-re A qi xeBl.Proprietlfile diferenfei :
} VA avemA \A=A'
> VA, BavemA\B =A \(A nB);> VA, BavemA = (A n B)u (A \B).
I
i Diferenfa simetricl a multimilor A gi B se defineqte astfel:, AaB=(A\B)u(B\A).' Proprietl[ile diferen{ei simetrice:
F VAavemA dA=AaA--A;I > YA, B avemA rB = (AuB)\(A nB);I > VA, B, C avemA^ (B^ C) = @ ^
B)^ (A ^
C);> VA, B, Cavem(A tB) aC=Aa (Ba Q-asociativitatea.
Fonnule utile pentru elevii claselor lX-Xll I -
Complementara unei mul{imi. Fie A o submultime a mul}imii ESe numeqte cornplementara lui A tn raport cz E submullimea luE formati din acele elemente care nu apadin lui A.
Notam CrA = [xlxeESix*Al.Proprietit(ile complementarei, Y A, B c E avem:> Cr (CrA) = A - principiul reciprocitafii;} AcBeCEBCCEA;> Cua=E si CeE=a;> CrA = E\A;F A u Ce A= E-Wincipiul extinderii te4ului;F An CrA=@ -principiul necontradicfiei.Fonnulele lui de Morgan,VA,B c E avem:) Cr(AuB)=CrAnCsB;> Cr(A . B) =CEAJ CrB.
Produsul cartezian a doutr mul{imi. Se numeqte perecftrordonatd (cuplul) format din elementele x qi y gi o ordine intftelementele .rr $i ) in sensul ctr x este primul element, iar y este a
doilea element. Se noteaza (x, y) in perechea (a, D), a se numegttprima componentd iar D a doua componentd.Avem (a, b) = (c, Q dacl qi numai dach a -- c Ei b = d.
Produsul cartezian al mulfimilor A qi B (in ac€asta ordine) est(
mullimea ale ctrrei elemente sunt toate perechile ordonate (a, b) 1r
care a€A $i b€8.NotamA x B = 1@, Dl aeA n beBl.DaclA =BatunciA xA=A?.Propriettrtile produsului cartezian , VA, B, C, D avem'.F AxB*BxAdacaA*B;l Ax(BvC)=(Ax8)u(AxO;> (A u B) x C= (A x C) u (B xC)',
(AnB)x C--(Ax C)n(BxQ.
12 Fomule utile peltru elevii olaselor IX-XII
Cardinalul unei multimi A, notat lA I ruo .r,'d A, este numarulde elernente al mullirnii.
Mulfimi echipotente. Doui nrul{inri A gi B se nlumesc echipo-tente dacd au acelagi numtrr de elemente (sau existd o funcliebijectivd definitl pe una dintre mulfimi cu valori in cealaltd
'mullime).
Mulfime finittr. O mullime ,4 se numegte.;/iziti dacd A = A sauexistd ne N astfel incdt mullinrea A sa fie echipotentf, cu nrullirneaU,2,...,n!.Mullime infinittr. O mullime A se nume$te inJinitd dacd ea nteste finita. (Exemple: N, Z, Q, R, C).Mulfime numlrabiltr. O nrul{ime A se nume$te numdrabild dacdeste echipotentA cu mullimea numerelor naturale N.O nrulfime A se numegte mullime cel mult numfrrahild dach este
finitf, sau numdrabild.
2.5. Teoreme
Axiomele sunt propozilii admise adevlrate (propozilii t'undamen-. tale) care nu se demonstreazf,.
Teoremele sunt propozitii care se dovedesc a fi adevarate in urmaunei demonstratii. Forma gramaticalA a unei teoreme este a unei
, propozilii condilionale: ,,daci ...... atunci ......", iar forma
, generaltr (logicA) este p( x1,.r2,..., xn) * q( x1, x2,..., -r, ) unde
, predicatul p(\,x2,...,xn) se nurnegte ipoteza teorernei iat
predicatul q( xt, x2,..., -ro ) se n'umeSle cancluzla teoremei.
. Demonstra{ia teoremei este un qir de ralionamente logicet folosind axiomele sau alte teoreme demonstrate.Colsecin(ele sau corolarele unei teoreme sunt propozitiileadevdrate care rezultf, imediat din aceasttr teoremS.
Fo[Dulc utile lEnrru elevii claselor IX-XII l:
Lernele sunt acele rezultate care pregAtesc demonstratia une
teoreme. Fie teorema p(-r) = q(x). Spunem cd p(.r) este o condilitsaJicientd pentru 4(,v) sau q(-r) este o condilie necesard pentrtp(x)-Reciproca unei teoreme date este propozilia care se oblintinlocuirrd in acea teoremd ipoteza cu concluzia gi concluzia ctipoteza. Dacd reciproca este o propozilie adevarata atunci ea srnume$te teorema reciprocd a teoremei date care se va numteorema directd.
Prin urmare: Teorema directl este p( \, x2,...,xn)=q(.r1, x2,...,xr',
iar teorema reciprocd (TR) este q( \, x2,..., x n)+p( ty x2, ..., xn ).
Teorema directd gi teorema reciproca se pot scrie cumulat:
p( x1, x2, ..., xr) a q( x1, x2,..., .r, ) $i se poate citi: ,,o condilit
necesarA qi suficientd pentru p( xr, x2, ,..,x, ) este q( ,rl, x2, ..., xn )"
sau ,p(x1, x2,...,Xa) daca gi numai dacl q(x1,x2,...,xr)" sau
,,1t( x1, x2,..., x, ) atunci gi numai atunci cdnd q( x1, x2,..., xr).
in cazul p( x1, x2, ..., xn) 4 q( \, xz, ..., x, ) dar q( x1, x2, ..., x, 1
= p(.\, x2,..., xn ) spunern ch p( x1, x2,..., xn ) este o cotttli\ie
necesarii dar nu suficien d penfi'u Q(x1,x2,...,xr). Dactr avem
p( x1, x2,..., xn) * q( xy, x2,..., ir, ) dar q( x1, x2,..., xn) Ap(.1, x2,..., xn ) spunem cA p(xt, x2,..., xn ) este o coruli\ie
sulicientd, dar nu Si necesard penrru q( x;, 12. ..., x, ).
2.6. Ra{ionamentul este un Eir de judecd{i care conduce fa o
anumittr concluzie. in cazul c6nd concluzia este incontestabilA(definitive) rationamentul se nume$te demonstrativ. iar cindconcluzia nu este definita se nume$te /afianament plauzibil.
l5t4 Fonnule utile pertrru Eleviicl{f,lor 1X-Xll
,Logica matem at icd utilize azA:
;J ra\ionamentul deductiv - permite trecerea de la general laparticular (este ralionament demonstrativ);
',1 rasionamentul inductiv - permite trecerea de la cazuiI particulare la concluzii generale caro pot fi adevtrrate sau
. I false (este ralionament plauzibil).rContrara unei propozi{ii. Propozilia I p - I 4 se nume$te
contrara propoziliei p -s q.'Data o teoremd p(x1,x2,...,xr) * e(xr,x2,...,-rn) propozilia
(V x1 )(V xz ). .(V x)(f p( x1, x2,...,x,) + lq( x1,x2,...,.r, )) se
nume$te conlrara leoremei. Daca aceastA propozilie este
ladevlratd ea se va numi teorcma contard (TC) teoremei date.
,Teorema contrarA are forma 1 p( x1, x2, ...,x,)=1 q( x1, x2, ..., xr).
rSe demonstreazd c[ formula (p -+ q) o (l q -+ I p) este otautologie adicd orice teoremd este echivalentd cu contraru
, ,reciprocei
sale.
' Metoda reducerii la absurd se baz9rud pe un ralionamenldemonstrativ care const5 in inlocu'yzddemonstrafiei directe prin
, pemonstrarea contrarei reciproc6i. Se presupune ca nu esl.e
' adevtrratl concluzia teoremei date qi se ajunge la o contradic{ie
I {adica la neearea ipotezei sau a altui adevli mitematic cunoscut).
I Metoda inducfiei matematice (ralionamentul prin recurentA) estet b metod[ prin care se arata cA o proprietate PQl, n> a, ,?€N datA
. Fau intuid este adevAratf, pentru orice numir natural n incepdndde la un numf,r n atural dat a gi presupune parcurgerea etapelor:
. 11. etapa de verificare in care se araffi cIP(a) este adevdratA;I 2. etapa de demonstrafie. Se presupune ci P(n) este adevdratd $iI 1 se demonstreazA cdP(n+ I) este adevtrratf,;13. se trage concluzia: P(rl) este adevtrrat[ pentru orice n 2 a,ineN.
Fomrulc utile lrcittru eleviiclaselor IX-XII
Capitolul 3. Mul{imea numerelor reale
3.I. Mulfimi de numereMul{imeanumerelor naturale N = {0, l, 2,3, ..., n,..,}.MulIimea numerelor naturale nenule
N* =N\ {0} = {0, 1,2,3,...,n,...1.Mullimea numerelor intregi
Z= 1...,- tl, ...,-2,- t,0, 1,2,3, ...,n,...1.Mullimea numerelor intregi nenule
z* =z\{0} = {.., _ t1,...,_2,_ 1,1,2,3,..., n,...1.Mullirnea numerelor intregi negative .
Z--- {.. ,- tt, ...,-2,- l).Mullinrea numerelor intregi pozitive
Z+ = 11,2, 3, ..., n, ...1.ltt
Mullimea numerelor ralionale a = ] g laeZ si beZ* I .
l.l'l )
Mulfimea numerelor ra]ionale nenule Q* = Q \ {0}.Multimea numerelor reale R = (- -, +-).Mullirnea numerelor reale nenule R* = R \ {0}.Mullimea nurnerelor reale pozitive R- = (0, + -).Mullimea numerelor reale negative R- = (- -, 0).Mul[imea numerelor irajionale R \ Q.Mullimea nunterelor complexe Q = {a + bila,beR,$i i'?= - l }.Avem incluziunea: N c Z c Q c R c C.
Fiecdrui nurndr ii putern asocia un punct pe axa numerelor.Axa numerelor este o dreaptf, orientatA d pe care s-a fixat unpunct o numit o rigine si o unitate de misurl.
|1|lll-a,bc 0 --l, ;#CO AB
I (l Fonnule utile pertru elevii cla$br IX-XII
$i nurnerele irafionale se pot reprezenta pe axa numerelor.
A o-------- D
t\-t, J,l\al'#Bl \c o M
,l,3.2. Ordonarea numerelor pe axI, Considerim numerele a gi b cwe corespund pe axi punctelor A qi
B. Spunern ce 4 este mai mic decAt b qi notIm a < l, daca punctulI A se afla Ia stdnga punctului B pe axa numerelor. (Mai spunem gi
I cA D este mai mare decdt a gi scriem b > a).
,#rAOB1 Observalie. Numerele reale care corespund punctelor axei aflatet la dreapta originii se numesc numere pozitive. iar cele care se atlf,'. la stdnea orieinii se numesc numere nesative.I R"rorp-rru doud numere irr.rrnna-i-rtuiililnt*qdouf, numereI date una dintre relaliile: mai mare, mai mic sau egal.
-
' Relatia de inegalitate stricta (< sau >) este tranzitiva:j ain a<b si b<()a<c.r Relalia de inegalitate nestrictA (< citit ,,mai mic sau egal",
, \> citit,,mai mare sau egal") a ( D inseamni,,a < b salu a = b"r { are proprietdfile:
, f l. a<a, YaeRir2. Va,beR, dacha<b qi D<aatuncia = D;
.13. Va,D,r:e R, dacda<b$i b<catuncid<c.J1
ll 3.3. Intervale de numere reale{ Fie a,beR,a<Dmulfimea: {xe Rla<xqix<D} se numeqtei interval inchis de extremit6ti a, D gi se noteazlla, b).
Frnnule utile pengu elevii claslor IX-XII 17
Asemanator penru a,beR, a < b se definesc:
- interval deschis de extremitdli a, b notat:(a,b)=laeLla<x<bl;
- interval deschis la stdnga qi inchis la dreapta notat:
(a, Dl = i.re Rl a<x<b\',- interval inchis la stiinga gi deschis la dreapta notat:
ta, b)= {xeRl a<x<-bl.
Intervalele nemtrrginite sunt:
- interval inchis la sl6nga,gi nemirginit la dreapta notat:
[a, +-; = {xe Rla(x}:- interval deschis la stanga $i nemdrginit la dreapta notat:
(a,+-;={xeRla<x)l- interval nemargrnit la stiinga gi inchis la dreapta notat:
(- -, Dl = {xe R lx < t'};- interval nemlrginit stanga $i deschis la dreapta notat:
(-*,b)={-reRlx<b}.Observalii: l. Se mai foloseEte scrierea R = (--, +-)' simbolurile
- - gi + - nu reprezintA numere reale.
2. Pentru un interval [4, b] numdrul b 'a se nunleste lungilnea
intervalului.3. Pentru a = b avem fa, al = la]r Si (a, a1 - @, al = la, a) = A.4. Deoarece intervalele sunt rnul{irni de numere, cu ele se pot
efectua acelea5i opera{ii care se pot face cu orice mullimi date:
reuniune, interseclie. di feren[a.
3.4. Valoarea absoluttr sau modululValoarea absoluti sau modulul unui numlr real x, notatd l;r l,
este acela dintre numerele x gi - x care este pozitiv.
lx. daci x>0Avem: Ixl= 1_r. dacl x<o
I 8 FooDule utile pentru elevii claselor IX-XII
Pentru a>0 avemegalitalile:
1;eRl lxl <a) = t-a. al 9i {xeRl l-rl <a} = 1-a, al.Opusul numf,rului real a este nunrarul real - a. Opusul numf,ruluireal - D este numdrul real b.
3.5. Propriettr(ile modululuil. lrl>0. VaeR qi lal=0<+a=0.2. l- r l= la l, VaeR.3. lol=lble(a=b sau a=-b),Ya,beR..4. l".bl=lol lul, va,beR.
s. lgl=la. va.beR. b+0.I 1, I l1,l
6. -lol<o<lal, VaeR.,'t. latbl<lal+lbl qi llal-lbll <lo-bl<lal+lbl.
3,6. Opera{ii cu numere realeAdunarea este aplicalia f : R x R -+ R, (x, y) -r x + y numitd
suma numerelor.r qi y.Proprietatile adunf,rii:
- asociativitatea: (x +y) + z=x+ (y + z), Vx,y,zeR.
- comutrtivitatea:,r+) =y+.r, V.r,yeR.
- elementul neutru este numdrul 0. Avem: -x+0=0+x--;r, V.xeR.
- Suma dintre orice numtrr real qi opusul sAu este zero.
VxeR=x+(-x)=-x+x=0.Diferenla dintre numerele reale x gi y se noteaza x - y gi se
defdefinegte: x-y = x+(-y).Pentru ae R gi ne N+ notam suma: (! t4:!-:::r,g = n. a .
inmullirea este aplicalia ,; " : R x R --+ R, @+)-+.ry numit pro-dusul numerelor x Ei y.
Fonnule utile pentru elevii cldslor IX-XII lg
Propriettr!i:1. Asociativitatea: (r. )). z=x. O.z), Vx,y,zeR.2. Comutativitatea: x. y =y. x, V.r,yeR.3. Elementul neutru este numdrul 1. Avem: "r 1=1 x=x, V.re R.
4. Elementul inversabil. Pentru orice r€R*, existA .r-l eR*
numit inversul lui x astfel incdt x. ,r-1 = x-l . x: 1 Numdrul
-r I /-r\-lx se mar scrie -. iar \x '/ = x .
x5. Distributivitatea inmullirii fafd de adunare: Vx,y,ee R avern
x(Ytz)=x!+xz.Observalii:l. Uneori este utild scrierea. ry ! xz = x(y ! z).
2. DacIae R* definim a0 =1', al =ai an =a.a.d..,..a $i
o-' = | . a-n ={. e"n,rra=0gineN+avem a' =0.-nua
3. Numdrul 0 se numeqte element absorbant pentru inmul{iredeoarece 0. x=x. 0=0, V.reR.4. Avem regula semnelor:
(-.r) ' y = x'(-y) = -xy si (-x) '(- y) = xy , vx,ye R.
3.7. Puteri intregi ale numerelor reale
Puterea a n-a a numf,rului real a se scrie a' gi n se numeqte
exponentul puterii, iar d se nume$te baza puterii.Avem urmf,toarele formule:
1 Iil n hr+il ^
m tm , t\mt. a .u =a . L o :a =4 7.4 .o =\aD)
4. (o")' * u"' . 5. (+a)n =11' . 6. (-a12n =a2' .
1 t -\2x+r -2n+t o lnt . hilt =( L\"' , O*0.t. \-0) =-a 6. q " _lo )
20
3.8. Identit[{iPentru orice numere reale a, b, t:, x, y avem:
l. (a+b)(a-b)=a'-bt.2. (a!b)2=o2+2ob*b2.
3. (tt+b+c)2 =u2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc.
4. (a+b)3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3 .
5. ,t 763 =1a!b)(a2+ab+b2).
6. (a+b+c)3 =a3 +b3 +c3 +3(a+b)(b+t:)(c:+a).
'7. 1a2 +b211xz + y21=1ax+by)2 +(bx-ay)2 .
3.9. Radicali
Numtrrul real -rr>0 care are propdetatea x2 =4, unde a>0I se numegte rdddcina patrata a lui a sau radicalul de ordinul doi al
lui a gi se noteazd, .r = Ji .
Re{inem ca JF =l a | , Vae R.
Propriet{i ale radicalului de ordinul doi:
r. va > o, b>0, J;; = J; .Ji .
z. -E=8.r,>0. D>0.lb Jt
3. Jil' =(.6)", vo>o, vnreN*.
+. ,[ik + =noJi,vo>o,b>g-v*€N4
,. .,fr =G)-', vo,o.
Furilule utile pentru elcvii claselor IX-XII 2t
O5icare ar fi numirul real a 2 0 6i Vze N*, existd un numf,r
real .r ) 0 astfel incit ,r'=a. Numtrrul ,r > 0 cu proprietatea
.,r" =a, n€N* se nume$te radical de ordinul n al lui a 5i se
noteaza x =\li .
Pentru: rr=l=+!,li=a:,t=2= 'J; = J; (radical de ordinul doi cu propriet[-
tile de nrai sus);
n = j =1 {f este raclicalul cle ordinul trei care are pro-prietdfile de mai sus in care dispar restricliile a > 0. b > 0 iar celede tipul a > 0, D > 0 se transformdin a + 0 qi D * 0.
3.10. Puteri cu exponent ra{ional
Considerdm a€Q, a=!!, neZ, nez* $i De R*. Definimn
n1
puterea lui D cu exponerrtul rational n numirul b" = bi =4{b'
Proprietilitn 11 tn,f
l. att.aq=dr 4,(a>0).
mmm2. (a.b'ln =an 'bn,(a>0, b>0).
nt l, m_p
3. o,t : Ar! = A,, ,l , (A > O).
n!!( a\ " an4. l-l =L,(a>0.r>0).I hl m '
bn
Fonnule utile penm elevii claelrr lX-XIl
Fonnule utile pentru elevii claselor IX-XIIFolrule utile pentru elevii clawlor IX-XIl
Expresii
3.12. Baze de numerafieCifrele fblosite in sistemul de numerafie zecimal (cu baza l0)
sunt: 0. l, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9.Oricare ar fi numdrul a > 0 existf, cifrele zecimale as, ay,
. .., n, unic determinate astfel incat:
a = ar.l\n I nr-r.l}n-l +...+al .10+ao = rfr-t-ra% .
Pentru o althbza de numera(ie beN, b ) 2 cifrele folositesunt:0, l, ..., b-l qi avem
;i;;A \h) = o,' b' + a,-,'b'-t + + a,'b + ao'
Cornpararea a doui numere naturale se face astfel:
23ll
.lI !\
" !!
5. \u" ) =a" " .(a>o)
,4,
l
5.
Fie a > 0 q; A eQ. Prin definifie aII
3.11. Opera{ii cu radicali,Lr-
r (V,)" =, p.noua>0Ei nnumarparsauVaeRqi nimpar'
zu+fi =_a2*t =-2,,*li , @>O).
\t; 'l; =t{ii , 1">0, r,>01.
r:4o,4lo=tlL, v>0. b>o).
lb4lo.4o =^4lo^*' , (o>o).
- -\l4o =44o, (d>o).
-
Jo+JO=la+bt2Jab . (a>0. D>0).
,l,tJi =lT.t/T dacd a2 -b2 =c2
-;- Im
an
6.
,7.
.8.
9.
:10.
:l
i
Bi nresi r Exoresia coniusattr Produsul
J; J; a
o -Ji o*Ji ),a -D
o*Ji "-Ji oz -bJi *Ji J; -Jb a-b
J; -.ti Ji *JE a-b
{i *{i ',fF -lm *{t; a+b
'J; -1lb ',[7 *'J"o *{7 a-b
'"F -:m *{rs {i +3Ji a+b,4t{ nri]i\a d
24 Fortrule utile Irentru elevii claslor tx-Xll
Dacd numerele a $i b scrise in baza 10 au ru respectiv n cifre
rtunci a <bem<rx sau 4< be>m=n $i=k<'ll astfelincat
d,=bn,.'., ak-t =bt-r $i a*<br'
3.13. Nurnere zecimale
Fie numdrul rational , a,beZ, b * 0. Prin imPd(irea lui a
Putem sA scriem an.a1a2...a,
la b se obline un numdr de forma a,aga1...an... care se nume$te
frac{ie zecimal6.Obsiervayie. Dac6 a gi b sunt nutnere zecimale atunci 9i a + D,
a ' b. - a, aD sunt numere zecimale.
a, At At= a^ + ---.:- + --+- +--+- + ...," lo l# to'
Fomrulc utile pentru eleviiclaslor IX-Xll 25
c ./racfie zecimalii periodicit tttixtit, daci descompunerea numi-torului in produs de factori primi.contine amt unul sauamdndoi factorii 2 9i 5, cdt qi un alt factor.
E.tenwre. 441 - 441
-B.0rr8r, 16061 =0.32(154).' 55 5.ll 49950
3,14. Transforrnarea i nverstrFi'acliu zet:inald./itlitd este egali cu fracfia care are la numS-
rtrtor fraclia zecirnald fird virguld, iar la numitor l0 la exponentegal cu numirul de zecimale (ale fracqiei zecimale date)_
E.renryle.l,zso=7 256 : nJt,b,-lr- =olE i;' 1000 " 10,,
Fnrcyiu zecimuli lteriodicd simpld este egali cu numlrul deintregi unrat de liac{ia care are la num[rf,tor numbrul dinperioadd, iar la nunritor se scrie cifra 9 de atdtea ori c6te cifre areperioada.
Exenyl e. 26,G27 \ = 26 12'',
o I b, b, - b - I = o btb' " 4. eee qJ
, cifre
Fraclia zecimali periodicit ntixtd este egala cu numtrrul deintregi urmat de fraclia care are la numdrtrtor diferenla dintrenumIrul fdrd paranteze, situat dupA virgul[ 9i numlrul situat lapartea zecimala neperiodictr. La nunritor se scriu atdtea cifre de 9cdte cifre are partea periodicl urnate de atatea zerouri cate cifreare partea zecimal6 neperiodici.
51268-5t 5t2l'7E.rentple. 61,51(268) = 0, -9nr0"'
= 61 -:j-=j- r
,6:bkch...c^-rilq999...9000...0++
rx ori I ori
a
b
I
I
unrle ag eZiar a1,a2,... suntcifreinbazal0'
in funblie de factorii in care se descompune numitorul D al
fractiei ireductibile a, fractia zecimala oblinutl prin lmpf,(irea,blui a la D poate fi:o .fraclie zecimald./initd, daci nurnitorul contine (in descompu-
nerea in produs de factori primi) factorul 2 sau 5 sau amandoi'
Exennte. l-=J---0.r5, ?3- =!--o.oz ."..-....-_. 20 f.5 25 5,
in acest caz, numf,rul de zecimale de la partea zecimale este
egal cu maximul exponen!ial din descompunerea numitorului'
t .fruclie zecimald periodicd simpld, dacd descompunerea
nuinitorului in produs de factori primi conline alti factori
decrit 2 gi 5. -
Erennte. t7 - t-t -0,,"'"8=rP=3'(003)''-"- -'--. r r I 3.3'7 333 3' .37
a,b1b2...b1, Q6:2...c ^) = a
26 Fonnule utilc [Entru elcvii cluselor IX-XII
3.15. Rapoarte
O expresie de tipul a, a,beR*, b + 0, se nume$te raportulD
termenilor d $i D. Numerele rz $i D se numesc termenii raportului.
Numirul c =4, obtinut prin impd(irea lui a la b, se nume$teb
valoarea raportului.
Exemple de rapoarteRapottul a doud mdfimi, exprimate prin aceea$i unitate de
nrAsurl, este raportul numerelor care exprimi mlrimile respective.
Titlul unui aW Q) este raportul dintre masa metaluluiprefios (nr), [a care ne ret'erim. qi masa aliajului (M) (cele doud
mese fiind exprimate in aceea$i unitate de mdsurd).
Concentru(ia unei solulii (c) este raportul dinfe masa
substanlei care se dizolv5 (m) qi masa amestecului (M).Scara unei hdqi este raportul dintre distanfa de pe hafia (d)
qi distanla din teren (D) exprimate in aceeaqi unitate de mdsurtr.
Probabilitatea de realizare a unui evenimenl (p) este rapor-
tul dintre numdrul cazurilor favorabile (n) realizdrii evenimen-tului qi numlrul tuturor cazurilor posibile (nr).
Aflarea unui termen necunoscut al raportului cAnd se cu-noagte valoarea raportului ti celtrlalt termen
xaa-=c =x =Dc $l -=r = )=7
3.16. Propor{ii
Propo4iaeste egalitatea a doua rapoarte +=;
expresiile
a, b, c, d sunttermenii proportiei;q$i d se numesc ertremi, iar b
$i c se numesc mezi. -\
Proprietatea fundamentall a unei proporliiin orice propo(ie produsul mezilor este egal cu produsul
extremilor'=' oad=bc.bd
Propor{ii derivateo propor{ii derivate cu aceeagi termeni:
o =' -
d=c lschimbareaintreei aextremilor.ll
bdbaa(ab - "^himbarea intre ei a mczilor):b-7';-7'*',!-=L -
D =4 iinr.rrarea fiecarui raport).bdo(:
o propo(ii derivate cu al{i terment:
a c a a+( a cJr
- =
-b d b b+d b d
dc- a-b c-d'
a-b c-dbd
acnrl ' mb ntd '
a _c u ka _ kt:
b d rnb+ nb mc+ tld
Allarea unui termen necunoscut al unei proporfiiorodusul mezilor
Avem:extremulnecunoscut=' : :,adictrpxlremul cunosclll
Fonnule utile lcItru elevii claselor IX-XII 27
I
I a d-c
b b-d.a t
sl -=-'hdocacb d a+b c+da c a+b t:*dbdbd
.a c'bd
a(:bd
28
xcbt'b=; - r=- ll
Forrnule utile pentru elevii clapkr IX-Xll
acbc_=_ :+ jr=_.bxo
F()f,nule utile pcDtru elevii oluwlor IX-XII 29
intre nrullimile { \, *2, ..., xn i qi { ol , a2, ..., an I
exista o propo4ionolitate directd (d.p.) dacf,: 'l = "r2 = ... =a1 4.2
- x"
= k,(/< este coeficient de proporJionalitate).an
Doud mirimi, care depind una de alta, sunt inversproporlionale daca atunci cand una se mare$te (mic$oreazd) de unanumit numlr de ori, cealalttr se mic$oreaza (mhregte) de acelaginumar de ori.
intre mullimile {xt, *2, ..., xn } Si { nt , a2, ..., alti}
exisll o proporlionalitate inversd (i.p.) dac6: x1 .b1= x, . $r= . ..
x, Yr _ _xn...=tn.bn sau I =-l-= =fbtbr4
3.19. Regula de trei simpllRegula de trei sirnpltr este un procedeu prin care se determinI
un element necunoscut al unei mullirni, cend sunt date douimulfimi intre care exist[ o propo4ionalitate directi sau inversi.lntte la, bl $i {c, .r} existI o propo4ionalitate directil scriem:
d.n.o ...::f:..-c a ( b.rba:--... r: b=; - r--;
intre {a, b} gi {c, x} existS o proporfionalitate inverstr; scriem:
o t'P t' a.(b ............. x :' o't =1J'J = .r=-7;
Avem: nrezul necunoscut = @43t!!L . uar"a
a (' ad o z n'ezul cunoscut
- i.=- ji
-=- - :=-yd'tb(l-b
3.17. $ir de rapoarte egale
Mai multe rapoarte care au aceeagi vatoare ( lL=lL= =-"--[r, a,
= +l formeazr utt sir de rapoarte egale.bn)
Propriettrfi
1 At _O2 _ - On At+AZ+.-.1o,br 4. bu bt+bz+...+bn'
, al _ a2 _ . Q, a1k+a2nt+...+ailr .
bt bz bn brk+b2m+...+b,,r'
r.:
1
t
n ol a2 an
b, bz bn
3.18. MIrimi direct proporfionaleqi mtrrimi invers proporfionale
Doui nrdrimi, care depind una de alta, sunt dircct ptoporyio-nale dacd atunci cand una se m[re$te (micEoreazd) de un anumitnumdr de ori gi cealaltl se-mireqtu{micgoreazi) de acelati numarde ori.
Fonnule utile peDm elevii clarelor lX-Xll Fonnule utile pentru elevii claselor IX-Xll 3 t
intr-un cdmp de evenimente se definesc urmAtoarele evenimente:
0 evenimentul contrar lui A, notat 7, este erenimentul care serealizeazl cand nu se rcalizeazd evenimentul A, in aceeaqiexperienlA;
0 evenimentul ,r4 sau 8" este evenimentul care se realizeaz|atunci cand se realizeza cel putin unul dintre evenimenteleA qi B. Evenimentului ,r4 sau B" i se asociaz[ mullimeaAv B;
0 evenimentul ,,4 Si B" este evenimentul care se realizeazd,atunci cand se realizeazf, ambele evenimente A gi B. Eveni-mentului ,l li B" i se asociazf, mullimea A n B;
0 numim diferenla evenimentelor A gi B evenimentul care serealizeazd atunci cdnd serealizeazlA dar nu se realizeazl B.SenoteazAA\Bi
0 ,,evenimentul A implicd evenimentul B" (scriem A -+ B) daciB se realizeazd de fiecare datd cdnd se rcalizeazd A.Dac6, A-+B atunci intre mullimile A gi B existn relalia AcB.
intrucdt un eveniment poate fi interpretat ca o submulfime acdmpului de evenimente E se poate observa dualitatea de limbajintre evenrmente si multimi
iVeninientd' mliil: '11,.' ' ..!
lvenimentiveniment siguriveniment imposibilron A (eveniment contrar lui A)lvenimentul elementarI gi B evenimente incompatibilelsauBI6i BI minus Bt implicl B
submultime a lui EN4ullimea totala EMulfimea vidE ZC6,4 sau I-(81) sau E1 e E4 r-,8 =O4,v B4^B4\B4cB
30
I
(
l,I
l
I
I
i'I,(:I
t.:1
t
3.20. Procente
Un raport de forma # * nume$te raport procentual (se
scrie PEo).
Aflarea apTo dintr'un numlr' Se lnmulleqte -I- su nssl
numar. P din a este egal "u
1 'o'"""'*' 100 -"-'' " 100
Aflarea unui numtrr rational, cend cunoa$tem p%o din el'
Notarnnumarul cu.($i avem: 1='*=o- *=to9-o100 p
Aflarea raportului procentual a dou[ numere date' Se
face scriind rapoitul lor ca raport cu numitorul 100'
a D al00-
tj=4
b 100 b
Capitolul 4. Calculul probabilitlfilor
4.1. Evenimente. Probabilittr{iSe numesc evenimente rezultatele obtinute printr-o expenen-
ff,. Evenimentele care se produc intamplAtor se numesc aleatoare '
Mullimea tuturor evenimentelor legate de o .experientf,
tor*.La w cbmp de evenimente notat K in cimpul de eveni-
mente al unei experienfe se intdlnesc:
0 evenimentul sigur {notatE) care se produce cu celtitudine in
efectuarea experienfei. (Exemplu: la aruncarea unul zar se
obline unul din numerele 1,2,3' 4' 5,6);
0 evenimenlul imposibil (notat Z) care nu se produce in cadrul-.*ptri.nt.i (Exemptuila o aruncare a zarului aparilia fe$ei
cu 10 puncte);
l!
I(:I
I:1
t
32 Fonrule utile peurt elevii claselor lX-Xll
Definifie. Doud evenimente referitoare la acelagi experiment (dinacelagi c6mp de evenimente XJ se numesc:
- incompatibile cdnd nu pot avea loc simultan (adicd A n B = A):* contpalibile cand pot avea loc simultan.
Despre o submultime K' a hti K spunem ca este formatA dinevenimente elementare Ei dacd'.
a) K'nu confine Z;b) oricare dou6 evenimerrte ale lui K'sunt incompatibile (81 aE'==A)ic) K'conline toate evenimentele lui K, care verificl a) qi b)-
Aceasta aratA ca pentru un cdnrp finit de evenimente toate
evenimentele lui K se pot scrie cu ajutorul elementelor lui Kr
astfel A; Ei; Eiu E1; Eiw \u E6 ...i EtQ Ezv ... Q E,, = E.
Considerlm o experien{f, qi un eveniment A corespunzdtoracesteia. Repetdnd experienla de n ori, evenimentul A se poate
realiza de nr ori.
Numdrul .f n(A) = ttA
se nume$te frecvenJs. Acesta variazitl
in funclie de numtrrul de experienle dar tinde cf,tre un numar care
se nums$te probabilitatea P(A) a evenimentului A. Aceasta
proprietate se numeqte /egea numerelor mari. Deci P(A)=ttA
Spunem cf, evenimentele A qi B sunt egal posibile
aceeaqi gansd de realizare.
ndac[ au
Definifia clasicf, a probabilitdfii - Laplace. Considerdm o expe-
rienld cu n evenintente elementare egal posibile gi fie A uleveniment oarecare (ata$at experienlei) care se realizeazb de ar ori(m < tt). Se numegte probabilitatea evenimentului A, numdrul
P(A)= ttt
adici raportul dintre num[rul cazurilor favorabilen
realiztrrii lui A qi numlrul tuturor cazurilor egal posibile.
Fonnule utile peutru elevii claslor lX-XIl 33
Defini(ia modernl a probabilitalii. O probabilitate pe mullimeafinita E (a rezultatelor posibile ale unui experiment) este o funcliecare asociazd oricdrui eveniment A c E, un numf,r real P(A),numit probabilitatea lui A, cu urm[toarele propriet5li:a)0<P(A)< l;b) P(r) = I si P(Z) = 0;
c) Pentru orice evenimenr AcE are loc rela{ia P(A) = IP({r}) .
^eASe numegte cdmp de probabilitate rnullimea evenimentelor
legate de o experienlA impreunf, cu probabilitAlile respective.Propriettr{ile probabilittrrilor:1.0<P(A)<1; 2.P(E)=t'. 3.P(A)=0i4. P(A)= I - P(A); s. P(A) < P(B) dacaA cB i6. P(A v B) = p(A) + P(^B) daci evenimentele A gi B sunt incom-patibileadicdA
^B=Ai7 P(A - B) = P(B) - P(A) dach A c B ;
8. P(B - A) = P(B) - P(A ^
B), Y A,BeE ;
9. P(AQ B) = P(A) + P(B) - P(A a B), VA,BeE.ln general avem formula lui Poincard:
P(Ayv A2u...o An; =!p(A;) -L ptAi c\ A j) +
+ XP(Ai n Aj. At ) - ... +1-t1n-r pqAla A2r-t...n A,,).
4.2, Probabilitii[i condifionateFie o experienli in care se produc succesiv doud evenimente.
Ne punem intrebarea care este probabilitatea ca evenimentul A sdse realizeze dupf, ce gtim cf, s-a realizat evenimentul B. Notind cu
PB (A) aceastA probabilitate condilionati avem:
nertt=!!!!!)
34 Fomle utile IEntru elevii clarelor IX-XII
Se poate generaliza oblinand formula:
P ( Ar)' P At ( Az)' P ef h ( A3) ..... P tr n a2 n A3 n...r-t Ar4 ( An) =
= P(Al r\, Az n 43 n...n An ) .
4,3. Evenimente independenteSpunem cA douA evenimente A qi I sunt independente dactr
P(A a B) = P(A) . P(B). Trei evenimente sunt independente daca:P(A
^ B n O = P(A) . P(B). P{q.
4.4. Scheme clasice de probabilitate7. Schema lui Poisson
Se dau n urne U;, Uz, ..., U,, care conlin bile albe gi negre inproporfii date. Prin urmare cunoa$tem probabilit4ile P, (, = 1l )
cu care este extrasA o bile albi din urma Ui.Probabilitatea ca extragand din fiecare uma cate o bila sA
obtinem ,t bile albe (qi evident n - k bile negre) este egalf, cu
coeficientul A1 al lui .rt din dezvoltareapolinomului:
P(x)--(ptx+ q)(p2x+ q)...(p,x+ q) = p1pz...p,,x" + An_y{-t +
+ ... + Alrxk + ... + Arx + QtQZ...Ln. unde q; =l- pi Q =l,n ).
2. Sclrcnw lui BeruoulliCele n urne din exemplul precedent sunt identice. Deci avem
n ume identice, scoatem cate o bilA din fiecare qi dorim str
oblinem k bile albe gi n - k bile negre.Situalia este aceeagi ca atunci c6nd avem o singurd umd,
scoatem o bil6, notdm rezultatul, o punem la loc in umtr. Apoiscoatem din nou o bill gi a.m.d. repeta pantr cdnd am scos n bile.
Fof,nule utile lEDtru elevii olaslor IX-XII
in schema anterioari avem
35
pt= pz=...= pn= p qi
qr=qr=...=qn-l- p.Probabilitatea exu'agerii a k bile albe gi (n - k bile negre) este
coeficientul lui X& dinpolinomul (pX +q)n ^dica
Pr,* = c* pk qn-o = '. , ." |
,, '. pr q'-o .
t!(n-k)!'Schema lui Bernoulli cu mai multe stdri
Considertrm o umA care contine bile de n culori: \, c2 t ...,
c^ $i pi este probabilitatea ca la o extragere sa se obtinA o biltr
de culoarea c; .
Probabilitatea ca in n extrageri (cu bila intoarsd - reintrodusa
in um[) sI oblinem n1 bile de culoarea c1, n2 bile de culoarea
c2, ..., n. bile de culoarea cD este:
p = ttl' n,nt,h...,nil, n1ht2ln1l.,n*Tpi''
pi'',..' p:,1' (unde n1+n2+
+ ... + ttn = ,1).
3. St:hena bilei netntoarse
Considerlm o urnl care conline d, bile de culoarea c; (i == 1, 2, ..., rn). Probabilitatea ca in,l extrageri sA se scoatA nl bile
de culoarea c1, n2 bile de culoarea c2, n^ bile de culoarea
c, (de fiecare dattr bila extrasfl nu mai este pusain umA) este:
gnt .6-nz ....,1-nrtD_ 4l A2 A,n
C n1+ n2+...t h m4t+4, +,,.+A,tl
36 Fonnule urile pelrr!! eleviicla$lor IX-XII
.1.5. Variabile aleatoareO variabild aleatoare este o funclie definitd pe mullimea finitd
E a evenimentelor elementare ale unui cdmp de probabilitate. Sereprezintt prin tabelul:
,-( .r,, xt. ...- r- \ / r. \At ', I se noteaztr Xl", l, i =1,n. unde\Pt. pz. ... p, ) -- "[p, )'
' - ""pi=P(X =.ri) este probabilitatea ca X sd ia valoarea .r, pi
pt + p2 + ...+ pa = I . Tabelul (schema) de mai sus se numeqte gi
repartilia sau distribulia variabilei aleatoare.
4.6. Operafii cu variabile aleatoareL DacE a este o constanta gi X o variabil[ aleatoare atunci aX gi
a + X sunt variabile aleatoare 5i x[ -rl 'r2 " ', ) =r(Pr P2 ... Pn)
-ax(L\ ak "' .rh.1sio+x(o+*, o
\Pr P2 ... p,)' I p,
2. Fic variabilete xrrr '\2 *, ) ,l y[\Pt P2...p,)' \
Arunci (x * n(r::,,) f iir, =,.]\nini ) \A;;' )(t, )I LLnii =l I unde pii= pip.i dac6 variabilele aleatoare sunr\ t=ri=r )independente.
Valoarea me<lie a unei variabile aleatoare X( xt x2 ... ,, )[p, p2 ... p,)
este datd de fbrmula lr = M{X) = pfit+ p2:q +...+ pnxn =ip,*,
tx2..'P2
Yt Yz
Pt P2
iar (XY)
a+rr)Pr)... ), )... p^ )'( ,,y, \ln,n, )'
Foinulc utile Jtnnu elevii claselor IX-XII 31
ProprietEfil. M(X + a) = M(X) + a; 2. M(X + Y) = M(y) + M(Y);3. M6n = M(y) " M(Y) dacd,variabilele X qi I sunt independente.
Formulele 2 qi 3 pot fi generalizate.Valorile tipice ale unei variabile aleatoare care aratA gradul de
imprd5tiere a valorilor variabilei aleatoare de la valoarea medie.
Abaterea de la medie a variabilei X (sau scurt abaterea variabileiX) este variabila X - M(n.
Avem M(X ' nt) = 1V71Y1 - tn = 0.
Dispersia o2 a unei variabile aleatoare X este datl de:
o2 = D2 ( x ) = ul(x -,,t)2)= m (x')-,,t .
Abatcrea medie ptrtraticl D(X)are formula:
o = D( x ) -- \tfrl n = "tM V-,I:F
Capitolul 5. Logaritmi
Fie a > 0, a * I $i D > 0 doutr numere reale. Se numegtelogariln al numirului (strict pozitiv) D exponentul la care trebuieridicat numirul a, numit bazA, pentru a obline nurn[rul b.
Scriem logo b qi citim ,,logaritmulinbazaa a nurnf,rului 0".
Avem 6=4lo8rl'. Rezultaimediat logra=l , logal=0.
Dacda: l0 se obfine log196. togaritmii in baza l0 se numesc
logaritmi zecimali qi se noteazd lg D.
Dacda = e se obline log"D . Logaritmii in baza e se numesc
logarifini naturali sau neperieni gi se noteazd lnb.
38 Fonnule utile pentru elevii claelor IX-XII
Formule de schimbare de baztr:
logrA=lo96A . log, b e log1,O=':"!lo9a l)
Proprietlfile ale Iogaritmilorl. logob . log6a = 1.
2. log,,xy=logax +log4y, x>0, y>0.
3. logra-togox-log,,y, x>0, y>0.v
4. logaan =,1.
1
5. log,Ub =-log,,b. a,b>tJ, a+1.
6. log,-r =log, ) <+.r=y .r>0, y>0.
'7. logob =log,,n bn .
8. ot=rrl"t',(v)rcR, a>0, a*1.9. Pentru n>l qi 0<b<c= logrb<logoc.
10. Pentru 0<a<l $i 0<r<c=+ log, b > logot:.
11. Dacl 0<a<l $i D>1.=+ log.,b<0.
12.Dacd 0<a<l $i 0<b<1=lognb>0.13. Dactr a>l qi 0<b<1=logob<0.l4. Dactr a>l Si b>1=+ logdb>0.
Fonnule utile peDtru elevii claelor IX-XII
Capitolul 6. Ecua(ii
Se numeqte ecuatie o egalitate adevarat6 pentru anumitevalori date necunoscutei dintr-o mul{ime datd. Mulfimea in carenecunoscutele iau valori se nume$te domeniul de deJini|ie. Dacdacest domeniu nu este precizat se convine ca el sa fie mullimea Ra numerelor reale.
Se numegte soluyie a ecualiei acea valoare din domeniu de
definilie care pusa in locul necunoscutei rezultl o propozifieadevarat[. Multimea formatf, din toate solutiile ecua{iei se
nume;te mullimea soluliilor ecuatiei. A rezolva o ecuafieinseamntr a-i determina mullimea S a solutiilor.Defini{ie. Doud ecualii se numesc echivalente dactr au acelagidomeniu de definilie qi aceea5i mullime de solulii.
Pornind de Ia o ecualie datl se poate obline o ecualieechivalentd cu aceasta printr-o transformare echivalent[:0 adunarea in ambii membrir a aceleiaqi expresii;0 inmulfirea ambilor membrii ai ecua{iei cu acela5i numir real
nenul.
6.1. Ecua{ii de forma ax + b = 0, a,beRO ecualie de forma ax + b = 0, a,beR qi -reE c R se
nume$te ecualie liniard cu o singurE necunoscutd.
Pentru a*0 ecualia L\+b= 0 senumegteecualiedegradul I cu o necunoscutA.
La rezolvarea ecualiei ax + b = 0 avem cazurile:
Q a*oa *=-b = s={-l} ecuatiaaresolutieunicd:a I a)0 a =0, b=0 +0x=0.+reR+ S= \ ecualiadatresteo
e eu alie nedeter mi natd',
0 a = 0, b * 0 = 0x = -beste propozilie falsdqi ecualianu are
solu{ie. AvemS=2.
39
4t) For:nulc utile ;rrruu elcviiclaslor IX.Xll
OhseruulieSe poate ajunge la o ecuatie de forma ar + D = 0, pdn
transformiri echivalente, de la o ecuatie de fomra E(x) = F(x\.Dacd irr expresiile E(x), F(x) necunoscuta ,r apare la numitorulunei fractii atunci domeniul de definitie al ecuafiei nu continevalorile lui r: care anuleazi numitorii.
Daci in E(.r), F(x) necunoscuta .r apare sub radical de ordinpar se pune conditia ca expresia de sub radical sA fie nenegativa.
6.2. Ecua{ia de forma ax + b! + c = 0, a,b,ceR se nume$te
ecuafie de gradul intai cu douA necunoscute in care a $i D sunt
coellcien[ii necunoscutelor iar c este termenul liber.
Pentru b + 0 putem scrie y=J9r1 Ei solulia ecua[iei'h
este multi,nea ,=1[,,#)1,.* ]. .on","," din pran
Foflrule utile pentru elevii clarekrr tX-Xll
la axa Oy dusd prin punctul .r = -aa
Dacd a--0,b+O=yb + t:=0(: - -.( c)
=+ y=--.PuncteleMl x.-'"t" ,l'xe R, formeazA dreapta paralel{ la
axa ox dustr prin punctul 1, = - | .
b
6.3. Ecua[ia de gradul IISe numeqte ecualie algebilcd de gradul II cn coeficienli reali
o ecuafie de tipul rrr2 + bx + t: -- 0, a,b,c-eR, a + 0.
Cazuri particulare
l)b=t:=0= ax2=0 = xt=x2--O'
2\ t: = $, b * 0a ax2 + bx =O e x(a,( +D) =0= xr = O . r, = - b
:a
3)b=0, <:*0= ax2 +r:=0 = "'=-.L:daca -a>0=aa
+ x12=! €R, iar daca -a< 0 = x1.2 eC \ R tia
xt.z = 4i
Cazul general: ax2 + bx + t, = 0, abt: + 0.
DactrA>0= xr,2 €RSi *t.r=alL2a
PerrtruA=0= -rl=12eRli ,r=*r=- !za
41
*le-
care au coordon urt" f *.ffLJ se ana pe dreapta numiti\.
dreapla soluliilor ecuafiei ax + by + c = 0.
Considerdnd ab*0 9i x=0.+ y/ -\=+ v =--i- + tvtl o,-- l. iar pentru" b l. b)
) = 0.=+ r = -L * Nf -i-.0) .
a\a)Pentru r=0 gi a*0=+ax+c=0
- r=-:.Avempunctete ,(-; ,)
y€ R care in plan tbrmeazi dreapta paraleli
NothmL=b2 -4ac.
c
4342 Fonnule utile peltru elevii claselor lX-Xll
Dac[ A < 0 = x1,2 € R. (in C avem solu{iile x,., = :!:4)
Condifii necesare gi suficiente pentru anumite relatii intredoud numere reale o, 0 qi r[ddcinile reale x1, x2 ale ecualiei
ax2 +bx+c=0, a+0.
Formule utile pentla elevii claelor IX-XII
6.4. Formulele lui Vj6te
Notdnd cu .rl $i x2 rf,dicinile ecualiei
aalculeaz|qi se noteazd: s =xt+.tz--1,d
Xt+X)=S -ZP.
Avemechivalen\a ax2 +bx+c=0 es x2 -Jx+p=0.Naturagi semnulradAcinilor x1 , x2 aleecualiei ax2+bx+c'-O
sediscutlinfunctiede L=b2 *4ac,S=.r1 *x2 qiP=.r1 12.
6.5. Ecuafia de gradul trei
Areforma ax3 +bx2 +cx+d=0, a.blldeF-, a*0.It
Notlnd x=y** r. obfine ecualia y3+py+q=17 "u1A
<, b2 2b3 bc dp = - - ---; il 4 = ------ - ----i * - a cdrei solrrgie reali datd rJea 3a' 27 a-' 3a' c
formula lui Cardan este:
ax2 +bx+c=0
cp=xtx2=-,a
se
iar
Conditii necesare qi suficiente "
L< x1<x2 \>0; a/(o) >O; u<--!-
rr<xz<B \>0; a"f(p) rO, --!-.p
r<.r1 <x2<B \ > 0, a/(o)>O, a/(F)>0; cx<- b
2atFr-*
xl<([<0<"I2 \ > 0, aJ(s) < 0, af(p) < 0
r<11<$<x2 \ > 0, /(s) ."f(g) < 0
xy<0<x2<B \ > 0, l(cr) /(p) < 0
A P'. s N atrira]S iisemni!liaddaifi ildi],ta<0
-r1 , ,r2 e R (sunt numere complexe).
A=0 PO
s>0 xL= xz> 0.
s<0 xl= x2<0.S=0 \= x2=o.
a>0 P<0 s<0-r1 , Jr2 € R, .r1 qi x2 au seme contrare
.rl < 0, -i2 > 0 qi I -xl l> l"r2 D.
S=0 x1,*2eR, xt=-x2.s>0 x1 , .r2 €R, x1<0, x2 > 0 ii | .rl l< -{2 .
P=0 s<0-[1 , ,r2 € R, .tl = 0, .r2 < 0.
S=0 J1 ,-r2€R, -)rt=12=0.s>0 ,r1 ,,12 €R, xI=0, x2>0.
P>0 s<0 Jl ,x2€R,,Yt<0,,I2<0.s>0 .r1 ,J2eR, J1 >0, -r2>0.
Celelalte solutii sunt:
A+B A-B r A+B A-B rv. ----+I.-Vj , yr =---t.--r,rj2222
6.6. Ecuafia de gradul patru
Are forma ar4 +bx3 +cx2 +dx+e=0, unde a,b,c,d,eeR,
a r0. Se face inlocuirea r = y --!- 9i se obline forma4a'
yo + py2 + qy + r --0 qi apoi descompunerea
ya + py2 +qy+r= ()2 +crl,+0Xt,2 -o)+Y).Se obline astfel ecua(ia (y2 +uy+p;1.v2 -oy+T): 0 $i se
rezolvd cele doud ecuatii de gradul al doilea.
6.7. Ecualii iralionaleSe numesc ecua{ii iralionale ecualiile care confin necunoscuta
sub radical. g* fiJ * {/J:l = 1
Se rezolvtr parcurgdnd etaPele:
l. se pun conditiile de existenfd pentru radicali;2. se rezolvtr ecuafia;
3. se verifici solu{iile.6.8. Ecua{ii reciproce
Ecuafiile reciproce sunt ecualiile ai ciror coelicien!i ai
necunoscutelor sunt simetfici. Ex. ttx3 !bx2 +bx+a=0' a + 0l
,oo +br3 +t:x2 !bx+a=0, a,b,ceR, a*a.Teoremtr. Orice ecualie reciprocd de grad impar are ca solufie pe
x=-l.Exenryle.,rr3 ! br2 ! bx + a = oc+ (x+ tt[cx2 + t-b - a)x + a)= 0 :
Fonnule utile pentru elevii claplor IX-XII
*5 * br4 ! cx3 ! t,x2 + ga+ 11 =Q s<+ 1x + t;[ar4 + (+ b * a) x3 + (aT b + c) x2 + (!b - a) x + af= O .
Ecuatia reciprocd de gradul patru rua Lbxl tcx2 +b-r+a =0 se
rezolvd prin algoritmul:
1. se imparte prin ;t2 Ei se obline ecualia d+bx+r,t!+1=O
on(r'*l'itrr[r*1)t.=o; x (
[ *'J I x)
2. se face substitulia y=.r+l - .r2 *{= y2 -2 qi sexx'
obtine ecuatia a(Yz - 21 + 6Y a s = g 1
3. se rezolvd ecuatia in y determinandu-se y1 9i y2 ;
4. se rezolvdecua{iile in -r urmltoare x+l= )1 9i -r+1=yr.XX
Ecua{ia reciprocd de grad par, mai mare decdt patru, se rezolva
asemAnAtor.
6.9. Ecua{ii bipltrate
Ecuafia de forma axa +b] +c=0, a,b,t:eR,a * 0 se nume$te
ecilolie bipirtrutd Se face substitutia x2 = y $i se obline ecuatia
ay2 +by+c.=O care se rezolvtroblindnd solu{iile y1 qi y2. Se
rezolvi apoi ecualiile x2 = )r $i x2 = yz .
1544
r i-unae e={--{-.l+-*
Fonrule ulile lEntru clcviiclcslor IX-XIl
16 Fonnule utile pe,rtru elcviiclaslor IX-XII
6.10, Ecuafii binome
Sunt ecuafiile de forma ar' + bxk = 0 unde nt,keN, a,beC,
4 + 0. Notlm p = rrll{nt, &}. Se imparte pin a.rP qi se obfirre o
ecuatie de forma xa = -a .
"u,r, -aeC scriem
b--=r(cosg+lsine).
'ro,ur,,,. ecualiei sunr *r =rl;( "orl:2kn* irin I n 2h
) .
ke {0, I , 2, .., tt - 11.
6.1l. Ecuafii trinome
Ecuafia de forma ax^ +bx' +cxt'=O unde m > n > p Si
ttt,n,peR se nume$te ecualie tilnomd. Ea are p rtrddcini nenule.
impA4im prin :rP gi se oblirre ecuatia arn-P + bxn-P + c =0 .
Ecuatia trinomA arzk +brk +c=0, teN se rezolvtr folosind
substitulia !=xk -s ay2 +by+c=O curlddcinile yr $i yz $i
apoi se rezolvl ecuaJiile binome xt = y, gi rt = y2 .
6.12. Ecua{ii exponenfiale. Ecualiile exponenliale sunt acele ecuatii in care necunoscuta
estelaexponent' afc)=b unde a>0, b>0, a*1.Folosind injectivitatea funcliei logaritmice se obline:
/(x) = log, D sau /1x1 = JEIlga
Ecua{ia de f6nna nf(x) = as('r) sunt echivalente cu /(x) = g(;r)care se rezolvl
Fonnule utile peutru elevii claslor IX-XII 4l
6,13. Ecua{ii logaritmice
Sunt ecualiile de forma log1q,, g(x) = a <+ glry = (/(x;) a
in condiliile /(x) > 0, "f(.t) I 1, g(r) > 0.Alt tip de ecualii logaritmice este: logn./(x) = Iogo g(x) care
este echivalentl cu /(x) = g(r) in condiliile J(x) > 0 qi g(x) > 0.
Capitolul 7. Sisteme de ecuatii
O multime formatE din doua sau mai multe ecuatii (inaceleaqi necunoscute) formeazd un sistem.
Sistemul de ecualii de gradul intdi cu doud necunoscute are
- [a,x+b,v+., =otorma .{ ' .'' unde a1 ,a2,\,b2 eR sunt coefici-la2x+b2Jtt'2=l)enlii necunoscutelor sistemului iar c, gi c2 sunt termenii liberi.
Perechea de numere reale (o, B) se nume;te solufie asistemului dacd propoziliile qc7+bl B +c1 = 0 Si a2a+b2p +
+ c2 = 0 sunt amandoui adevarate.
Doui sisteme se numesc echivalente dact au aceeagi mullimede solulii. Obtinem sisteme echivalente prin:a) p6strdm o ecuatie neschimbatd iar in cealalttr trecem uniitermenii dintr-un membru in celtrlalt schimbAndu-le semnul sauinmullim / impd4im ambii membrii cu acelaqi num[r nenul;b) inlocuim o ecuatie a sistemului prin ecuafia care se oblineadundnd I sc6zdnd, membru cu membru, cele doul ecuafii alesrstemului.
t. d1ad2=ars.F)- l;:; *" a
48
7.1. Metode de rezolvare
Formule utile Jrntru elevii claselor IX-XII
a) lVletoda gralictr. Metoda graficd de rezolvare a sistemului
Ia,x+b,v+(r =0i ' ,'' ' ^ . consta in reprezelltarea in acelaqi sistem dela;.r'+ D2 y + r', = lJ '
axeadreptei d1 asoluliilorecua{iei a,x+6,y+cl =0 $i adreptei
d2 a soluliilor ecualiei a2x+ b2y + cz =0. Pot apArea urmdtoa-
rele cazuri:
Foilnule utile pentru elevii clarelor lX-Xll ,t9
2. se inlocuieqte necunoscuta exprimatd in cealaltl ecua{ie a
sistemului qi se obfine o ecuatie cu o necunoscutl care se
rezolv6;3. introducem valoarea gAsit[ in substitutia f6cutA Ia inceput 9i
determindm, astfel, prirna necunoscuta.
c) Metoda reducerii. Presupune urmdtoarele etape:1. se stabileqte necunoscuta care va fi redustr qi se inmullesc
cele doud ecualii ale sistemului cu numerele corespunzf,toareastfel incdt prin adunarea ecualiilor obtinute (dupd inmullire)aceasta sa se reducS. Se obline o ecua{ie cu o necunoscuta;
2. se rezolvi ecualia cu o necunoscuta obtinutA;3. necunoscuta determinat6 se introduce in una dintre ecuatiile
sistemului qi se determinA gi cealaltd necunoscuti.
7.2. Sisteme de forma {'*':' esre un sistem simetric (prinlxv=p
schimbarea lui x cu y gi a lui y cu x se obline acelagi sistem).
Se formeaz[ ecualia 12 -rz+p=0 care se rezolvtr qi se oblin
solufiile z1 $i 12.sisrernul aresotuliite j1=i' r,{i ?.*' lY=zz |.Y=zr
S = {( zr , z2); (22 , z1)).
ln:rr-+7.3. Sisteme de forma 1"'^ r' " .=
| ,n,n,r,b,c€ R. d * 0.
lat'+bx*t=YSe rezolvd ecualia ax2 +bx+t:=nlx+n care conduce Ia x1 qi x2 .
Solutiasistemului este S= {(;rq, rrrl +n);(x2,nt x2* n)|.
solulia sistemului, S = {(o, B)}. O
2.
J.
Sistenrul are sotutia uni., (3r- * ir-) .' la, b.ld1lld2 = d1 ad2=Qa* S = A qi sistemul este incom-
a, 1-r, ,, \patibil(areloc '=:'/ ' l.. a2 b2 (2)dt= dz dreptele sunt confundate,
sistemul are o infinitate de solulii
5=](o.-''-''ollo.nl'=1[*' ,, .jl*'^f t'
se nume$te sistem nedetenninat (are ^"+=+=*
)t fa.
o+4-,
l.
b) Metoda substitutiei.Cuprinde parcurgerea etapelor urmatoare:se exprimi o necunoscutf, (de preferinti cea care are coeflci-entul I sau - l, dacl existd) dintr-o ecualie a sistentului:
'd2
50 Fonnuie utile pertru elevii clarlor IX-XII
Dacd reprezentim in acelagi reper cartezian jro), dreapta de
ecualie ] =,?tx.+fl gi parabola de ecualie y=ax2 +bx+cputem avea una dintre situaliile:
comune distincte cu la parabold (au un nu au puncteparabola. Sistemul are singur punct comun). comune. SoluliadouI solutii.
S = {(.rr, yr); (;rr, yr)}
Sistemul are o solutie. sistemului este
S = {(xo, ro) }
Fulilulc utile pentru elcvii cla$lor IX-XII
4. Pe mul{imea R au loc echivalenlele:0 x>ac+xe(a,+-);0 x<a<+xe(--,a);
5l
0 x>ac+xe[a,+*);0.r<a<+xe(--,al;
Capitolul 8. Inecuafii gi sisteme de inecua{ii
Propozilia cu cel pulin o variabilA, care contine o singurd dat6
Exemplu. 2x-5>7 , xeR.Un numdr t0 se nulne$te solulie a inecualiei dacd propozifia
obtinuta prin inlocuirea necunoscutei x cu numtrrul .r0 este
adevaratA. A rezolva o inecualie inseamna a determina mullimeatuturor soluliilor. Spunem cd doutr inecua{ii sunt echivalente dacdau aceleagi mullimi de solulii.In rezolvarea inecualiilor se folosesc proprietitile inegalititilor:l. Dac[ a>b=a+c>b+c Ai a-c>b-c.2. Dac6,a>b qi c>0=>ac>bc.3. Daca a>b Si c<0=ac<bc.
Q a<x <baxe1a.b)'. 0 aS.r( b++xela, b):0 a<x<baxela,b\ 0 a<x<baxe(a,bl.
8.1. Inecuafia de gradul intfliAre forma:
1. ax+b<0, a,b,xeR.NotdmcuSmullimeasolufiilor.Dac[: a=0li b<0=S=R;
a=0 $i b>0=ir<0 (F)=S=O;
a> 0 = a-r. - b o r. -! * S= (- -, -al,ad
a <o = ax< -b <=rx> -A = s = 1-L, * *1.da
2. at + b> 0, a,b,xeR.Dacd: 4=0 $i D<0=D)0(F1=S=A;
4=0 $i ,>0=+s=R;
a > 0 =s a.x -<-b =+ S= 1 - D, +-;:a
a < 0 =+a't) -D =+ S= t- -' -ll'd
Analog se rezolvdecuafiile ax+ b> 0, ax + b < 0.
8.2. Sisteme de inecua{ii de gradul int6ilax+ b>OAu forma 1-- -.- I sau o formd aseminltoare in care[.x+d >0
semnul ,,<" se inlocuiegte cu oricare din semnele ,,<, <, >".
Solulia sistemului este ,l = 51 n 52 unde 51 este solutia
primei inecualii $i 52 este solu{ia celeilalte inecualii.
S=A
52
Observa{ie. Dacf, sistemul con{ine mai multe inecualii (de exem-plu ,r) atunci solulia sa este S = S, n 52 n 53 n ... n S, unde .!;este solutia inecualiei l.
Inecualiile de forma (ar + b)(mx + n) > 0 au ca solulie mulli-
mea S = Sr u s2 unde s1 este solulia sistemului {ar + b> 0 '
lru+t>0 lil
s) este solutia sistemului {ax+ b <0
Irar+n<0'
8.3. Inccuafii de forma * n b <0. Se rezolv[ sistemele:na+,1
lar+b<O . lat+b>O
]r,x+n >0 $' 1;..;; 9i se reunesc solutiile celor doud sisteme'
8.4. Inecuafii de gradul al doilea au forma axz + bx+ c > 0 sau
ax2 + bx+ c) 0 sau ax2 r bx* t: <Osau ar2 +bx+c (0.
Rezolvtrm inecuafia axz + bx+ t: 50.Scriem ecuatia alaSatd, ar2+bx+c= 0, calculdm A qi in
cazul A > 0 determindm .r1 9i x2 . Avem situaliile:
^:.la'.. Ititid'.'i,'r:.i"i-,'.i.r',,r.t,lr:r1:.,;l
A<C a<O i=Ra<0 a>O =aA=0 a>0 ={rl}A=0 a<0 -xA>0 a. <O =(--, rr)vlxz,+-), x1 <x2!>0 a>O =[xy, x2), x1<x2
8.5. Sisteme de inecua{ii care confin ti inecuatii de gradul aldoilea
Exenrple. {*' n or * "o . lax2^+
bx + r>0 ,r"lmx+rt2O lmt, +ttx+ p<0
Se rezolvd fiecare inecua{ie in parte iar solulia sistemului estedati de interseclia soluliilor tuhrror inecua{iilor componente aleacestuia.Observa{ie. A determina semnul unei expresii, de exemplu
_ ax +ox+ct, (-r) = ---------:----i: . revine la a rezolva sistemele de inecualii
n*z +ttx+ p
fa.rz +bx+c>o Iax2 +bx+c<oL - $i i'-', qi reuniunea solutiilorirr.x'+,rr+p>0 lnu' +nx+ p<0
lor dau intervalul(ele) pe care aceasttr expresie este pozitiva.Expresia este negativA pe R - S unde S este intervalul pe careE(-r) > 0.
Fonilulc utilc Fntru elevii claslor IX-XII )J
8.6. Inecua{ii ira{ionaleInecualiile care conlin necunoscute sub radical se numesc
inecua!ii irafionale.r--:---i-
E.retnpte. #+ rr* t, J7*3 <4-x .
Pentru rezolvare se parcurg etapele:0 se pun condiliile de existenld pentru radicali, stabilindu-se
domeniul de d€finiIie D;0 se rezolvtr inecualia (prin ridicare la putere gi alte operafii);0 se intersecteazd D cu solulia obtinutd.
8.7. Inecuafii exponenfialeLa rezolvarea inecualiilor exponenliale se aplicA proprietAtile
de monotonie ale funcliilor exponen{iale.
Fonnule utile penhr elevii claelor IX-XII
Analog rnecualil.
:_
54 Fonnule utile pentru elevii clavlor IX-XII
Inecualiile exponenliale au forma: a'> b; a' < b; a'> b;
c'< b. Exemplificdm prin rezolvarea inecualiei a" > b a c6reio notzirn cu
,.:a| .b,',: lsolufia.:i t:a>1 b>0 S=(log,,b,+-)0<a<l b>0 S=(--, log,&)a*1a>O b<o s=R
Analog se rezolvl celelalteinecuatii.
8.8. Inecua(ii logaritmicein rezolvarea inecualiilor logaritmice: logo * > b', log o x 2 b;
logo x < b; logox < D se foloseqte proprietatea de monotonie a
funcliei logaritmice: funclia logaritrnicd este crescltoare dacAbaza este supraunitartr ;i este descrescAtoare daca baza este
subunitard.
Exemplificf,m cu inecualia log, x > D, beR. Avem:
.-4. r,Sdllittih'r
a>1 S=(n/,,+-;0<a<1 S=(0, a')
Sistemele formate din inecualii exponenliale sau logaritmicese rezolvi dupf, algoritmul cunoscut:
0 se rezolvtr fiecare inecualie oblinandu-se soluliile Sl ,..., S, i
Fonnule utile pelm elevi.i claselor IX-Xll
Capitolul 9. Funcfii
9.1. Produs cartezian. Reprezentare geometriclPentru doul mul{imi nevide A gi B s-a definit produsul lor
cartezian A x B = l@. b)laeA Si beB| iar elementele mullimiiA x B sunt perechi ordonate sau cupluri de elemente. Doudperechi (4 b) qi (c, d) sunt egale (qi scriem (a, b) = (c, d)) dacA 9inumaidactr a=c $i b=d.
Prin reper ortonormal sau sistemortogonal de coordonate carleziene intr-tnplan 7 dat,notatx?y, in{elegem un ansam-blu de doui axe de coordonate perpendicu-lare Ox gi Oy din planul ?, care au aceeagi origine, aceeagi unitatede mf,surd qi sensurile pozitive indicate prin sagefi. Axa O,r senume$te axa absciselor, iar Oy se nume$te axa ordonatelor,
Considerdm punctul Me P pi construim y
MM, L Ox, M,eOx Si M% L Oy, MreOy.Notdm OM, = x $i OMt = y. Numerele.;r qiy se numesc coordonatele carteziene ale luiM in xOy: x este abscisa l:ui M, iar y este ordonatdefiil ? astfel 3= { (x, y) | .re R, ye R } .
Definifie. Se numeqte reprezentare geometricd sau graficA a uneimullimi G c R x R, in planul @ inzestrat cu un sistem ortogonalde coordonate carteziene, multimea punctelor M(x, y) cl proprie-tatea c6, (x, y)e G.
9.2. Defini{ia func{ieiDefinifie. Fie A 9i B doud mullimi nevide. Prin funclie definiti pe
mullimea A cu valori in mulJimea B inlelegem orice lege,procedeu, formula notatA cu / in baza cdreia oricArui element aeAi se asociazd un unic element din B notat /(a).
55
Analog se rezolvlcelelalte inecualii.
--tM(x, y)
n
s=0s,
M"x
0 se scrie solutia sistemului
56 Fonnule utile penttu elevii claElor IX-XIl
Existenla unei funclii presupune trei elemente:0 dorneniul de definilie care este mulfimea A pe care funclia
este definita;0 codorneniul sau mullimea valorilor func{iei este mulfimea B
in care funcfia ia valori;0 legea, formula, procedeul / prin care fiectrrui element din
domeniu ii corespunde un unic element din codomeniu.Se noteazA h f = {f@)laeAl = lbeBllaeA astfel incdt
f (a) = b). Numdrul funcliilor ce se pot defini pe mul{imea A cuvalori in mullimeaB snde cardA=m $i cardB =n esteegal cu
n
Dou[ func{ii f : A -+ B qi g : C -+ D sunt egale St scriem
f = g dacdA = C, B -- D qi /(.r) = s(x), V"reA.
9.3. Restric{ie. PrelungireFie funcfia J : A -> B gi g : C -a D unde CcA, D c B. Dacd
S@) = f (.\), V;e C atunci funcfia g se nume$te restriclia funcliei /la C iar funclia / se nume$te prelungirea funcliei g la mullirnea A.
9.4, Moduri de a defini o funcfie0 O funclie f : A -+ B este definitf,sintetic dacd pentru fiecareelement din A numim elementul din B care i se asociazl.
Punerea in evidentl a acestei asocieri se poate face prin:enumerare
/ : {0, 1, 2} --> {a, b, t:, d}f(0) = a, f(1) = t', f(2) = d
0 O tunclie J : A -+ B este definiffi analitic atunci cind se
specificf, o proprietate, lege, formuld ce leagA orice element aeAde elementul J(a)e B.
Estntplu./ : N -r R, /(x) = fu a l.
Fonnule utile peltru clevii claselor IX-XII 5j
O funclie / : A--+B se nume$te funclie numerictr dacAA,BcR.
9.5. Func{ii monotoneO lunclie / : [a, b] -+ R este monotond pe [a, b] dack:
- din ;t-1 lxz - l(,rr) < /(x2) sau x1)x2 - f(\)> f(xz)se nume$te monotonA strict crescatoare. Are loc Ai relalia
(xt-xz)$(xt)-f(x2)) > 0 sau 'f@)-"f(x)> 0 (inlocuindxl-xz
peste tot < cu S respectiv > cu > funclia se nume$te monotoncrescatoare).
-din x1 1x2 * "f(xr )>/(x2)sau 11 ).r.2 - f(\)<f(xz)se nume;te monoton stricl descrescltoare. Are loc Ai rela[ia
(xr-xz)$(.rr)- f(xz)) < 0 sau 'fG)-'f(x) <0 (inlocuindxt-xz
funciia se nume$te monotonpe < cu < respectiv > cu >,descrescdtoare).
9.6. Gralicul unei functiiPrin graficul unei funclii /
G,=l(a,f(g)laeAl.Exenrplu./ : {1. 3} + R, f(I) = l, f(3) = 2,Avem G = i(I, l), (3,2)).
9.7. Compunerea funcfiilorFie functiile/ : A -+ B qi g
compusa lui g cu / functia lr : ,,1
V-reA.Nottrmh=g"f.
A--sB
C -+ D unde B c C. Se nume$te, D definita prin h(x) = g$@)),
in{elegem mullirnea
tabel
58 FouDule utile peDtru elevii claplor IX-Xlt
Propriet5li ACompunerea functiilor este asociativA
f : A -+ B, g : B -+ C, h : C --s D,(hos)"f=lt"(9""f).
2. Compunerea funcfiilor nu este comu- i
tativA: in general / o g * g o f .
9.8. Func(ia identictrO funclie f : A -+ A, f(x) = x, Yx€A se nume$te functia
identicdqi semai noteazf,qi cu la:A--->A, i1 (x)=x,V-reA.Proprietate. Fie / : A -+ B. Au loc:
f"1e=f qi lBof=f.
9.9. Func{ia constantiO funclie f : A -+ B,'A,B c R se nume$te functie constantA
daclJ(-r) = c,VxeA.
9.10. Funcfii injective, surjective. bijectiveDelini{ie. Spunem cI o functie f : A --+ B este funclie injectiv6dactrpentruY x1 ,x2eAc:u xr+x2 rezulttrJ(x1 )*f(x2).Proprietate. O funclie f : A -+ B este injectivf, dac[ qi numai
daci din /(,r1 ) = f ( xz) = x1= 7, .
Delini{ie. O funclie f : A -+ B este surjectiva (sau sut'eclie) daclpentru orice element De I = =aeA
astfel incdt J(a) = b.Defini{ie. O funclie f : A -+ B care este injectivd $i surjectiv[ se
nume$te bijectiv[.Definifie. O funcfie f : A -+ B se numegte inversabiltr daci existlo funcfie g: d -+ A astfel incAt I o f -1A 9i / o g = l, .
Fornule utile fEntru elevii olaselor IX-XII 59
Teoremtr. O funcfie f : A -+ B este inversabiltr dactr gi numaidacd f este bijectivl.
O mullime A c R se nume$te ,nterval simetric dacf, V;eA =+ -.r€4.Exenrplu. A = (- 3, 3).Definifie. O funclie f : A-s R,A cR,A mullime simetric4senumegtefuncSie pard dachVxeA, f(-x) = f(x).Exentplu. / : t- 10, 101 -+ R, f(x)=4x2 +1 .
Definifie. O funclie f : A --t R, A mullime simetricd, se nume$te
funclie impard dacd V,teA =.f(-.r) = - "f(.r).Exentplu. I : t 2, 2)-+ R. /("r) = - y3.
9.I1. Variafia unei funcfiiA studia varialia unei func1ii / : A-+B inseamni a determina
irrtervalele din mullimea A pe care functia este cr€scltoare,respectiv descrescAtoare. Rezultatele gasite se introduc intr-untabel numit tabel de varialie at funcJiei.
Exemplu. Func{ia J : R + R, f(x) = - x2 + 4x - 4.Pentru .r1 , -r2 € (- e, 2), x1* x2 *
f(x,t- f(x"l-
- =-lrlT.r2lf +=xt- x2
= 2 - xt+ 2 - x2> 0 = / este strict
crescatoare.
Pentru rr ,x2e(2,+-), .rr *rr-JSLJ2L <0+/estext-x2
strict descrescltoare. Tabloul de varialie este:
rl-- 2 +*/(x)l -- -/'> 0 =\ --
60 Fomule utile 1rrrtru elevii clarelor IX-XII
Considertrm functia / : A -+ R, A c R -{0 €A.Spunem cA funclia are o valoare maximl pe mulfimea A in
punctul xe dacl J(,r) <.f(;o), V,veA. Numdrul .r0 se nume$te
punct de maxim iar /( xs ) este valoarea maximd a funcfiei.
Notim max f(.r) = "f( xo ), V-reA.
Spunem ci func{ia / are valoarea minim[ in punctul *[ eA
daca /(.r) > l(xi), V-reA. Numlrul ;ri se nume$te punct de
minim iar /(.ri) valoarea minim6. Notiim min f(x) = f(xi)),V"re A.
Punctele de minim ( -r[ ) gi de maxim ( x6 ) se numesc puncte
de extrem iar I(x6) $i "f( -r0) se numesc valori extreme ale
funcliei /.Delinifie. Fie / un interval din R. Funclia / : 1+ R, se nume$te
convexi, dacA pentru orice x, , x2 e1 qi orice oe [0, l], are loc:
/((1 - o) x, + o.{2 ) < (l - o)f(.rr ) + af( x).Func{ia / : 1 -+ R se nume$te funclie concavd, dacf, -/ este
funcfie convextr.
Fonnule utile Jrutru elevii.claelor IX-XIl 6l
Defini{ie. O functie f : R --+ R se nume;te peilodicd daci 3Ze R,I > 0 astfel incdt f(x + 7) = f(x), Vxe R.
9.12. Func(ia de gradul intiiDefinifie. Funclia/: R-+ R, f(x)=ax + D, unde a,beR,a+0se numeite funclie de gradul intdi (sau funclie liniarl).
Dacd a > 0 funclia / : R -+ R, f(x) = ax + b, este:
- crescdtoare pe R;
- are reprezentarea grafici o dreaptf, ce
- descrescf,toare pe R;
- are ca reprezentare grafice dreapta care
trece prin punctele A(0. ai si a [ - b , o) .
ldl. I -1).- are semnul: x
I
Ftl .T--6:9.13. Func{ia de gradul al doileaDefinifie. Se numegte funcfie de gradul al doilea o funcfie
/ : R -r R, f(x) = atz + bx+ r:, a,b,ceg, a*0.Reprezentarea geometric[ a graticului func{iei de gradul al
doilea este o curbi numittrp arabold alcarei virf este ,f 3 :4)'lz"' t" )unde A = D2 - 4ac . Avem urmetoarele reprezenttrri:
Observafie. Fie M qi iV doutr puncte ale graficului funcliei /.DacA toate punctele graficului situate intre M qi N se aflIdedesubtul dreptei MN tirnclia este convexA (iar dactr se aflddeasupra dreptei MN funcfia este concava.
FonDul€ utilc lEutn elevii cluxlor IX-XII Fonnule utile [Ertru elevii claslor IX-XII 63
Dacd a>o avem: , l-- + +6
,,.irypentru xel--,-+l = /t ) este descrescatoare iar penrru
\ za)(b\
xe I --:-. 1- I =.f(x) este cresc5toare.\2a )
9.16. Funcfia caracteristictr a unei mul{imiDefini{ie. Fie o mul{ime nevidd E gi o submultime a sa (A c E) senume$tefanclie caracteristicd a multimii A in E funcJia
<p1: E -+ {0. t }. aA(.r) = {i. ffl i? iFunclia caracteristicA are proprietatile:
0 qr (r) = 1, VreE;
0 Qa (x) = 0, VxeE;
0 qe^a(x) =ea(x). ea(r) , YxeE, VA,BcE;
0 Qera(*) =9,r(x) + ea(x) -e,r^a(x) ,YxeE,VA,BcE;0 eara(x)=ge(x)-ee(r) .AaG), VxeE, YA,BcE;
0 9ce(x)= I -qe(x),YxeE,AcEsi c1=E- A.
9.17. Funcfia putere
Delini{ie. Fie ne N*. Funcfia / : R -+ R, f(x) =x" se numeste
funclia putere de gradul n.Observa{ii:l. Pentru n = I oblinem funcJia de gradul intdi J@) = x iar
pentru ,? :2 se obline funcfia de gradul al doilea /(,r) = 'r2 .
Expresia funcfiei de gradul al doilea /(.r) = ai + bx+ t: scris[ sub
lf b\' t,,-a.n.ltorma r(.r) - all x+- l -" 1"' I poarta numele de fonna
Lt 2") 4a' Icanonicd a funcfiei de gradul al doilea.9.14. Semnul funcliei de gradul al doileaPentru A<0 avem: x l-- +@
,f(x)l semnul lui a
A=o avem: * l-- u,L +@
ffiA>0avem: ,l-- xt x2 +q
,lui a
9.15. Monotonia functiei de gradul al doilea
,bDacf,a<0avem:,rl-- -n +€/m( b\pentru r€l--,-il = f(x) este crescatoare iar pentru' \ 2o)(b\-
-re I - - .+- I = f(x)estedescrescetoare.\ za ) ""
-
64 Fof,nule utile Peitru elevii claselor IX-Xll
2. a) Pentru ,, numar irnpar funclia f(x) = xn este strict cresca-
toare.
b) Pentru ,t numAr par funclia f(x) =.rn este strict descres-
cAtoare pe (- -, 0] ii strict crescAtoare pe [0, + *;.Teoremtr. Pentru ,r numdr impar funclia putere este imparl (/(-x)= - "f(xD iar pentru n par functia putere este para (f(-x) = "f(x).Observalie. Graficul lunctiei putere trece prin oriqine.
Graficul func{iei.f : R -+ R, f (x) = x3
simetric fa(i de origine.
Craficul funcliei /: R+ R, f(x)= xa
este o parabold simetrici fa!6 de axa Oy.
Fonnule utile pentru elevii claselor IX-Xll 65
9.18. Funcfia radical
Funcfia/:[0,+*; -+ [0, +-), f{i=\1i,,?€N- {0, l} se
numegle funcgia rad ic al.Observafie. DacA n este num6r impar atunci se poate defini
/:R+R,/(.r)=(/i.
Propriet[{i:l) Functia radical este crescAtoare.2) Funclia radical este bijectivl deci este inversabill. Inversa
funcliei radical /: [0, + -; -r t0, +-), "f(x) =Vi este
func{ia putere g : [0, + -) --l t0, +-), g(x) = x' .
Graficul funcfiei
"f :[0,+-;+[0,+*),f(n=,1;.
9.19. Funcfia exponen{ialii
Considerlm cz€R, d > 0. Funcfia / : R -+ (0, + *), f (x) = a'se fiumeilefunclia exponenliald (debazl O.Dacd,a= I obtinem funcliaconstantdf : R-+ (0, + -), J(-t) = t.
Propriettr{i ale funcfiei exponenfialeL ,r = 0 = f(0) = l. Graficul funcliei exponenliale trece prin
punctul de coordonate (0, l).
f :R-+R,
f(i=wv +f(i=wl +--
o.
Functia.fr:R-{0}+R,
,(;r) = -v-l are graficul o hiper-(doud ramuri simetrice fa!5
Functia/z: R - {0} ->
fz@) = x-2 are graficul format
din doutr rarnuri simetrice faldde axa Oy.
66
.,
Fornlule utile fEilrru elevii clawlor [X-Xll
Dacia < I atunci pentru -r> 0 avem a, < l, iar pentrux < 0
avem a'> L
Daci a > i ai rnci pentru,r'> 0 avem a-'> I, iar pentru x < 0
avem a" < 1
DacI a > I tunctia e,yponen(iala este strict crescAtoare iardacd 0< a < I ltrncgia exponerrliali este strict descresc[toare.
estc biiectiva deci gi inversabill.Funclia exponenlrali
l@)=a' undca> [. l(.t)=c-' unde0<a< I
v
9.20. Func(ia logaritmirtrFie ae R. a > 0. a * l. Functia / : (0. +-y -+ R, /(-r) = log,, _t
se numegle lu n cyi a loga rit mi c d.
Proprietl{il. .r = I .+ /(l) = 0 =r graticul iiurcfie logaritrnice cou[ine
punctul (1, 0).2. I)aci a > I funclia logaritmici este strict orescatoare.3. DacE 0 < a < I tunclia logaritrnicl este strict descrescaitoare.4. Funclia logaritnricd esre bijectiva.5. Inversa functiei logaritmice este t'unclia exponentiala. (Crati-
cele lor sunt sinretrice la{[ de prinra biscctoare).
Fonnule utile peiltru elevii chselor lX-XII
Graficul func(iei
: (0, + -; -+ R, /(x) =log,, x
nd a>1.3.
6't
Graficul flrncliei
f : (0, +-; -+ R, J(x) =logu xcdnd 0<a< 1.
9.21. Alte funcfiil, Funcgia modul: J : R -+ t0, + -;,
[-''u' Pentru x<o[k) =lxlsau/(x)= { 0, pentru x=0
I x. pentru x>0are graficul altrturat.
2. Funcpia parte tntreagd: / : R -+ Z, f(x) - [x], unde [x] estecel mai mare numAr intreg mai mic sau egal cu,r.
Graficul funcfiei parte intreagA
3. Funclia parte froclionord I : R{x} = x - [x], .re R, are graficul:
or[-1, pentru x<0unde sgn.r = I 0, pentru .r = 0
I l, pentru x>oare graficul:
5. Fanclia tui Diricta f : t --+ R, /(x) = {i,;??1,'.,o, ,
ulde 1 c R este un interval.
68 Fonnule utile JrcnAu elevii ola*lor IX_XII
4. Funclia,JS:2" (sau functia ,,semn") / : R -+ R, /f,r) = 5gn I
Fornule utile pentx elevii claelor IX-XII 69
Exemplu. tr : N* --+ Z, u(n) = - n + 3. Rezultd u1= -), 112= -1,,/3 = 0. ...
0 $irul definit recurentModul recurent de definire a unui gir inseamnd indicarea
unei formule care sa exprime orice ternren al girului, incepdnd de
la un anumit rang, in func[ie de unul sau mai mulli termeni prece-
denfi.
Exemplu. (-rn ) n, cu .\ =3 , :i2 =5 , xn+z = xnt - xzn .
1.0.3. Progresii aritmetice
Definilie. Un qir (an ) rl de numere reale se numeqte progresie
aritmeticl dacd existtr un numer real r, numit ralie astfel incdtfiecare termen al stru incepdnd cu al doilea, se obline din prece-
dentul adunat cu /.
Adicd'. a2= at+,', a3= a2+ r'
Capitolul 1.0. Progresii
10.1. $iruri numerice
Definilte. Fre M o mulfime oarecare. Se numeqte gir de elernentedin mulfimea M o funclie a : N* -r M.
Pentru M c R girul se numegte 5ir de numere reale.Fie girul a : N* -) R. NumErul a(n) se numegte termenul ile
rangul n al girului gi se noteazd u, . Termenii in ordine crescf,-
toafesunt: ut. u2,..., un,..-
10.2. Moduri de definire a unui gir0 $irul definit descriptiv
Se scriu primii termeni ai qirului pdnd cdnd regula de obfinerea acestora devine clartr.Exemolu. l, 4, 9, 16, 25, ...0 $iruri definite cu ajutorul unei formule explicite un= f(n) ca
ajutorul cdreia se poate calcula orice termen al 9irului.
., dn=dn-l*r' d1
fiind fixat.Exemplu. $irul 0, 2, 4, 6, 8, ... este o progresie aritmeticd avdnd
rulia2. 01 a3 a4r i i r > Dentrur>Odr at+r a2+r dt+r
A4 A3 A2
I I I | > pentrur<0di+r a!+r ai+r dr
Observa{ie. Pentru a arf,ta cA un $i (a, ) r>r este progresie arit-
metice este suficient sa aratam cI diferenta ah+r-an este
constant6 (nu depinde de n).
70 Fonrrule utilc fEnrru clevii clowlor IX-XII
Proprieti{i.l. $irul (an)n, formeaza o progresie aritmeticA dac6 gi numai dacd
pentru orice tre N, x 2 ? are Ia egalitatet Za,, = a,r,, * a,r*, .
2. Terrnenul general al unei progresii aritrrctice (a, ) o, cu primul
ternen al qi raliareste dn=al+(,t-l)r.3. Fie nurprele at. aZ, ..., ar in progresie aritmeticd, neN*,
r > 3. Pentru orice &eN, I S ( < I are loc egalitatea at+an=
= Ak + Aa-k+t .
10.4. S.na termenilor unei progresii aritmeticeSuma primilor r termeni ai unei progresii aritmetice rr,r cu primul
- n(n-l\Jn=nat*-r- .r.
10.5, Progresii geometrice
Delinilie. Un gir (b,, ) r, d" numere reale se numesre progresie
geometticd (sau qir geornetric) dacn D1 * 0 ii fiecare termen al sAu,
lncepind cu al doilea, se obgine din cel precedent prin inmullirea cu unacelagi numdr nenul numit ralia progresiei.
Exemplu. I : N+ -+ R, /(n) = J' = rl = 5, bz = 52, ..., bn = 5n, ... se
vede cI 6n*1 = 5. |, .
Obserualii.
l. Verificdm dacd un gir (b, ) r=, este progresie geometricd cal-culand
raportul hL . Dac6 acest raport este constant $irul (0, ) r, este obn
progresie geometricS.
Foflnule utile peutru elevii clawlor IX-Xll 'l 1
2. O progresie geometricf, este complet determinatl dacd se
cunosc: primul termen gi ralia.
Proprietate. Fie (0, ),=, un $ir cu termeni strict pozitivi, $irul
(0, ) n, formeazi o progresie geometrica dacl qi numai dactr
pentru orice,?€N, n2 2 avem *, = bns' bn*t.
Proprietate. Fie (0, ),r, o progresie geometricf, de ralie 4. Ter-
menul general D, al progresiei geometrice are forma
bn = br' qn-t, (v) neN, n > 2'
10.6. Suma termenilor unei progresii geometrice
fie (0,)r>l o progresie geometricl. NotAm ,tu =br+bz+
^ br(qr -l)... * br= )b1 . Pentru ruliaq * I avem S =-:-Llr------i-.
k=t q-l
Pentru4=1* Sn=rt4.n+l
Exemplu. l*x+x2+...lxn ='t -'x-l
7372 Fonrulc util€ IEtrh elevii clawlor IX-Xll li)nrulc urile IEntru eleviicla*lor IX-XII
Varianta II.FienreN, nr>2.Dacd:l. lnoe N astfel incat P(,b), P(no + I ), ..., PQr + rn - 1) sunt
adevArate;
2. Din P(k) adevArata = Pg + m) adevdratd, atunci P(/,) esre
adevdrati pentru orice n ) zr.Varianta IIL
Fie propozilia P(n) care depinde de n > noeN. Dac6:L PQ?o) este adevArata;
2. V nreN, ngm< k pentru P(rfl) adevarat[ +P(t) adevAratii,atunci P(n) este adevArata pentru orice n 2 no, neN.
Capitolul 12. Combinatoricl $i binomul lui Newton
12.1. PermuttrriDeJinilie. Fie A o mullime cu n elemente. Fiecare din mulfimileordonate care se formeazd cu cele n elemente ale multimii A senume$te permutare a acestei mullimi,
Fie n un numdr natural. Desemn6m prin z! (n factorial)numlrul natural:
n!= 1.2.3.... .(n -1). n dacdn+0$in! = I dacdn=0.Fie neN. Numlrul permutlrilor de n elemente, notat e,, este
P^ = ttl.Observa1ie. Daod n gi k sunt numere naturale gi 0 < k < n atunci:
ttl=(n -k)t .(n -k+ 1).(n -,t+ 2). ... .(n- t).n.Pentru calcule cu permutIri mai retinem urmdtoarele proprie-
tIli:
l. rt.ttl = (n + l)!- z!;
Capitolul 11. Induc{ia matematici
Propozifiile matematice se pot grupa in propozitii generale tipropozilii particulare. Se nume$te deduclie procedeul prin care
din propozitii generale se oblin propozilii particulare.
11.1. Inducfia este o metoda de ralionament care conduce de la
propozilii particulare la o propozilie generala.
Inducfie completl este un procedeu de demonstrare a unei
propoi4ii P(n), care depinde de un numar natural rt, parcurgdnd
urmetoarele etape:a) stabilirea celui mai mic numlr natural no pentru care P(a)
are sensi
b) verificarea propriettrtii pentru n = na;
c) in ipoteza c6 P(rr) este adeverata se demonstreaztr ca
P(n + 1) este adev6rat{.Prin ipoteza unei probleme. teoreme intelegem ansamblul de
elemente iare sunt date qi pe baza ctrrora se face demonstralia
11,2. Axioma de recuren{[ a lui Peano
Fie A o parte a lui N, astfel incdt
l.oeA;2. V neN, neA- il+ I e A-
Atunci rezultlA = N.
11.3. Metoda induc(iei matemrticeVarianta I.
Fie neN $i propozilia P(rD, iar nt3 tt' tn numa'r natural fixat'
Dacf,:l. P(n) este adevarata;
2. V &€N, k> nt, P(k) adevdrata + P(& + l) adevtrrati, atunci
P0?) este adevArata Pentru V n 2 nt.
^nll(z+1) ! nt (r1+1) |
l-
74 Fonnulc utilc Peiltru elelii cluslor IX-XU
12.2. AraqiamenteDelinitre. Fii A o mullime cu a elemente gi ft < n, &eN' Submulli-
miie ordonate ale lui A, avind fiecare cite & elemente distincte,
0 S & < n, setomesc araniamente de 't
elemente luate cate t'Tcorcml. Numlrul aranjamentelor de n elemente luate cflte t' 0 <
<t(nnotat 4ert"el '0r-l)""'0-t+l)trr -k) !
(Convenimc[ Af = l).
Acest numir coincide cu numlrul funcfiilor injective J: A--+B
unde A are /< elemente iar B are ,l elemente'
Proprietlfi. Dac[ z 9i t sunt doua numere naturale 03 k < n
ahmci:
r. 4=4-r+*' e!,:!t 2' e!=n'Af-t "
3. A!=Qt-t+ r) ei--i : a' Af =-!= o:-,
12.3. CombinlriO"tinitU. Fie A o mul$me (tinita) de n elenrente 9i t)< & S a' &eN'
Sribmu$imile lui A avflnd fiecare cite ft elemente se numesc
**ti"ari de n elemente luate cite t' Doui astfel de mul{imi
diferl orin natura elenrentelor (nu 5i prin ordine)'
ii"i.itl. Numdrul combindrilor de n elemente luarc cete t'
0<ksnnotat Ci este:
,. tt! Al ,r(,t-l)""'('t-t+l)"' (r-k)t'tt kt t!
Proprietlfi. Dac[ n 9i k sunt dou4 numere naturale 5i 0 < t < n'
afirnci au loc egalitilile:
l. C* = Ci-k (formula combinitrilor complementare);
i:(rmule utile ltrtru eleviiclarlor IX-XII j5
2, n .C!-1- (n - k) c! = 1* + D .C:'1 i
3. c: c[=cl.cl-X=5*-t.cl_r*p, peN, 0(ps*;
4. C!+C)+...+Cf;= t"'.
s. c!+cl+Cl+ . =C],+cl+Cs,+... = zn-t'
6. cf,il =cl" +cj lformula de recurenta pentru calculul
combinf,rilor);
1. (cl)' *(c',)'*...* (c;)'=cy,t8. cf. cfl+c). cl,t' *... +cl .cl^=Ci*^.
12.4. Triunghiul lui Pascal
Cu ajutorul formulei CI=CI-r+Cj:f putem calcula pe
C! atunci cdnd gtim C!-, Si C!-1. Calcullm pe rdnd pentru
n = 0, apoi pentru ,1 = I , pentru n = 2 g.a.m.d. Valorile le scriemsub forma unul triunghi numit triunghiul lui Pascal.n=0tt=1n=2n=3n=4n=5tt=6
t33l14641
I 510 10 5 1
I 615 20 15 6 IIn linia Qr + l) a tabelului sunt a$ezate in ordine numerele:
cl ,c',, ,Ci. Semaitineseamacd C2=CX= l, C:=C],-t=
= rr etc. ( Cl = 6^-* ). Observim c5 numerele Cf--f qi Cf-1 sunt
76 Fomule utile penm el€vii claslor lx-xll
dispuse in acest tabel in linia precedentd celei tn care se glse$te
Cf la st6nga 9i la dreapta acestuia.
De exemplu 6 din linia a VII-a se obline din adunarea numerelorI 9i 5 din linia a VI-a, numlrul 15 (din linia a VII-a) este suma
numerelor 5 qi I 0 de deasupra stanga $i dreapta de pe linia a V-a.
l2J. Binomrl lui NewtonPentru orice numere reale a, D gi pentru orice numtrr natural n
are lx fo rm ula lui N ew to n :
(a+b)i =60an +cla"-tb+...+Cf a'-k6r +...+clbn .
( (a - b)' = c$an - 6t on-r b + ... + 1-\k cl an -k bk + ...+ 1-11n cf; bn 1 -
Coeficientii cl , ct, , C'z^ , , Ci, din dezvoltarea binomului
la putere se numesc coef cienyii binorutlui.Termenul de rang k + I din formula lui Newton este dat de
formula I1*1 =C!,a'-k .bk , k=0, 1,2,...,tt.Relafia de recurenta intre termenii succesivi ai dezvoltdrii
binomiale este: T1*2 = 'l- *. ' b .70*, .k+l a
Folosind Ei triunghiul lui Pascal putem rapid calcula:
{a+b)t =a+b:(a+b12 =a2 +Zab+ bz :
(a+b)3 =a3 +3azb+3ab2 +b3;
(a+b'.a =aa +4a3b+6a2b2 +4ab3 +ba:
(a+b16 =a6 +6asb+l5a4b2 +2oa3b3 +l1azba +6abs +b6 .
Founule utile IpDtru elevii claslor IX-XII '77
Crpttrtrt tS. wtrttDeJinilie. Se numeEte numf,r complex orice element te(a, b)ee R x R = l@, b)l a.beR\ inzestratf, cu doua operatii algebrice:
0 adunarea: Vaz'eRxR, x = (a,b) , 7'= (a',b') ,
def
z+zt=(a+a',b+b') qi
0 inmullirea: Vz,ztRxR, x = (a,b) , 7'= (a',b') ,
def
77' = (aa'-bb',ab'+a'b) .
Notam cu C mulfimea numerelor complexe.
13.1. Forma algebrictr a numerelor complexeIdentificdm numlrul complex (a, 0) cu numf,rul real a. Notim
, = (0, l) avem i2 = (0,1X0,1) = (-1,0; = -1 , iar numlrul
(b,0) .(0, 1) = (0, b).Avem: (a, b) = (a,0) + (0, b) = a + bi.Numirul complex 7 = (a, b) areforma algebricd z= a + bi.La numlrul complex z = a + }i, numdrul a se n]ume$te pdrteareald Si se scrie a = Re(z), iar bi este partea imaginafi,nurnirul D fiind coeticientul pa(ii irnaginare 9i scriem b = kn(z).Doutr numere z = a + bi qi zt = at + bi sunt egale qi scriem
z=Ae)a.=at $i b=bt.DacI z = a + bi atunci nunrirul a * bi se nume$te conjugatul
lui i gi se noteazl I Rezulta cd z +1 = 2a si : .i = 2bi.
Puterile lui i. Avem: i? = -1 ; i3 =12.;=-i t io =,rj')'=1-1;2 =1
ingeneral: i4k-l' i4k-t-i, i4k*2=-1 ' 14't+:=-i,VkeZ.Propriettr(i ale numerelor complexe conjugate
-'-.'"; i, :l 7=G)'tl:r+q=i+:u; 2
?8 FonNlc urilc ftnttu clcvii clawlor lX-Xll
$ z= z a b = O(adicd zeR). Analog z = -i <+ a= 0 (adicaz€iR).
/-\5)lal=jl,:z*0.\zz ) Z2
6) z.i =(a + bt){a - bi) = a2 + b2 .
Operafii cu numere complexe
fre z1 = a1+ ih , z2 = a2 + ib2. Se definesc operaliile:
0 adunarea: 4+ zz = (ar + a2)+ i(\ + b2).
0 sclderea: \ - z2 = (e - a2) + i(b, - b2, .
0 lnmulfirea: z1z2 = e\a2 - b1b2 + i(a1b2 + u2b) .
0 impd4irea: zt - aF2+btbz-i(a2bt-aP?)z2 oZ *8
0 ridicarea la puterea n, nG N*: in = (a + ib)n =
- on - 92 on-2 62 + ca an -a b4 - ... + i(c)a'1 o - cla'-3 tt3 + ...).
0 oxtragerea rtrddcinii de ordinul n: 4lil6 = x + iy unde
o={ -*,*nay'*4*'-oyo -... si b=c)x"-ty-c}xn-3y3 +....
Proprietlfile adunlrii: Adunarea numerelor complexe este:
l) comutativi: 21 * z2 = z2 + z1,V \, z2 eCl
2) asociativl: ( z1 + z2 ) + 4 = zt + ( z2 + 4 ), Y 21, 22, z3 € C;
3) Numirul 0:0 + 0i = (0, 0) este element neutru pentru adunare:z+0=0+z=2, Vr€C:
4) Orice numdr complex z = a + bi are un opus, pe - z = -a - bi
Si z+(-z)=-u +z=0.
Ii)nNle utile IEntru elevii ciarelor IX-XII '79
Propriettrfile inmulfirii: inmullirea numerelor complexe este:
1) comutativi: 21. 22= qr. \, V 21, zz eci2) asociativd: (zt.zz). 4= zt.(zz.zt), V 21,22,4 €C;
3)numdrul z=(1,0)= I +0i = I esteelementneutrupentruin-mulfireanumerelor complexe: z. I = 1 . z- z, YzeCl,4) Orice numlr complex diferit de zero z -- a + bi * 0 are un
iovers notat z-r li z .z-t =z-r. z = 1 iar z-t =(a+bi!-l =
abi= ---;-------i - --;-----;- .
a'+b" a'+b'Modulul numtrrului complex
Fie numdrul complex z = a + bi.Num[rul ,"il ,[717 ""
nume$te modulul numtrrului complex z = a + bi 5i se scrie
lrl=lo * bil=,k;7. Rezulta lrl=.ti .
Propriet[{ir) lzl=0 aa=b=0.Tl q.zz I=1., I'1., l.at I z, l-l ,rl<l ,1*12l.l
sr ljr-l=L:rL'lzzl lzzl
I3.2, Reprezentarea geometrictr a numerelor complexeNumerele complexe pot fi pre- y
zentate in planul xQr prinE-un punctM(a, b) cwe se nume$te imaginea b
geometrica a num6rului complex:= a + b! (iar numlrul a + bi se
nume$te afixul punctului I4;. i
Notind cu o mf,sura unghiului MOx O
D lzl=lZ I
_t,l-lal tlt 42 t.
6)|zl='t7'I
80 Fomulc utile fErtru €lcviicleslor IX-Xll
Si cu r - OMseobline imediata = rcos cL D = rsin c, iar
disril\^OM =r este ,=r[@-0)'*(b-O)' =JFG,rr"numeste modulul num[ru.lui cornplex iar o = ar"tgl este
aargumentul numdrului complex z = a+bi. Atunci
z=a+bi= r(coso+ isincl) . Avem \ = z2 (+ \ = rz gi
at=ttz+2kn , keZ. Formt i = r(cosct+isind,) se nume$te
tonna trigonometricd a numdrului complex z = tt + bi .
133. Operafii cu numere complexe scrise sub formtrtrigonometrictr
Fie z1 =r1 (cos or + i sin crr) gi z7-ti(cos o: + I sin cr).
Avem:
0 produsul: \ z2= t\ 12 [cos(or + s, + i sin(cxr + ct:)].
0 catul: zl = 4 [cos(crr-o3)+isin(o,1 -u1)]pentru z2*0.z2 ti
0 ridicarea la putere: i" = r'" (cos no + i sin ,ro).Formula lui Moivre (cazul r' = I ) (cos cr + i sin cr)" =
= cos no + i sin nu :+ cos nct = cos' cr - Cj cos"-2 osin2 o, + ,. .
qi sin ncr=C) cos"-l ctsino-Cjcos"-3osin3 cr+ ...
0 extragerea rddtrcinii de ordinul n: i = r(cos u + i sin c)'a
*(t6)- =,*[.* "Y* *;,;n "124 ].k=0, r. 2...., n-l.
I3.4. Rldlcinile de ordinul z ale unittr(ii
Soluliile ecuatiei zx =l se numesc rldlcinile de ordinul nale unitetii.
Fonnule utile fEDtru elevii claslor [X-Xtl 8l
Avem lz1 l=l $i z'=cos6+isin0 =r,,=ror?!!*irinZkn ,tx ,t
Vk =0,n-1. NoHm e = cos 2[ + i sin
2r * z1 =gknnMullirnea rlddcinilor de ordinul n ale unitSlii o putem nota:
It n= | zp lt=d,;:i ) qi un = {1, e, e2, r',..., E'-'}.
Capttotut l4. Poti
Delinitie. Fie C(N) mul{imea qirurilor (infinite) de numere com-
plexe de forma / = ( a6, a1, ..., a n,...) care au un numdr finit
de termeni a; nenuli, adici exist[ un numdr natural ,1 astfel incflt
di=0Pentru i>m.Se nume$te polinom cu coeficienli complecai iar numerele
a; (ieN) se numesc coeficien{ii polinomului /.Se numegte polirrom nul polinomul / = (0, 0, 0, .. ., 0, . ..).
DeJinilie. Fie polinoamele f =(ao, d1 ,..., an,.. ) 5i g = (Ds,
br, bz, ., bo,...) din CN. Polinomul f + g = (an+bn,
a1+ b1 , a2+ b2 , ..., dn + bn, ...) se nume$te suma polinoa-
melor J gi g iar operafia astfel definitl se nume$te adunarea
polinoamelor.Teoremtr. Adunarea polinoamelor are propriet6file:
- este corect detinit6, adicE / + g este tot un polinom;
-este asociativa $ + g) + h= f + (g + h);
- este comutativit f + g = g + f;- are ca element neutru polinomul nul / + /0 = /0 + / = f;
82 Fonnule utile pnm elevii claelor IX-XII
- Fiecare polinom f = (ao, a1, a2, ..., dn, ...) are un opus
notat-f definitastfel (-.f) = (-ao ,-a1,-a2, ..., -a,,...) $i
"f+(-"f)=-f+f=fs.DeJinilie. Fie polinomul / = ( ap, a1, d2, ..., a n, ...), I = (bo,
4, bz, ..., bn, ...)eC(N). Se numegte produsul polinoamelor /$i g notat / 'g polinomul I . S = (co, c1, c2, ..., cn,...) unde
n
cr=\a1,bn-1 , VneN.
Teoremtr. a) inmullirea polinoamelor:
- este corect definiti, adicd / .g este tot un polinom;
- este asociativf, (J . d. h = f . Q . h);
- este comutativA I . S -- S. J',
- are element neutru polinomul (1, 0,0, ...,0, ...) notat cu 1;
f.r=t.f=li- este distributivd fatA de adunare J . G + h) = f . g + J . h 9i
(/ +s).h=f .h+s.h, V/,s,fteCN.Dacd / qi g sunt polinoame nenule atunci produsul lor este un
poliuom nenul.(Simplificarea cu un factor nenul). DacE f , S Si h sunt poli-
noame astfel inc|t f . g = f ' ft qi / este nenul atunci g = ft .
Notam cu CtC(N), C' = @, A, 0, .., 0, ...). Funclia <p:C-+C',<p(a) = (a,0, 0, ..., 0, ...) este o funclie bijectivl. Putem deciidentifica polinomul (a, 0, 0, 0, . . ., 0, . . ) cu numArul complex d.Polinoamele de forma (a, 0, 0, . . ., O, . . .) = o se numesc polinoa-me constante.
Notdm prin X polinomul (0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) $i citim nede-
terminataX. in general avem X' = (p,0....,0r 1,0, ...,0, ...)'----r--,-
Fomule utile pentru elevii claslor IX-XII 83
$i atunci polinomul J=(ao, at, a2,..., atr,...)sepoatescrie
subforma f = ao+atX+a, X2 *...+a, Xn,...= laiXii>0
numitAforma algelrlcd a polinomului f.Avind /e C@ =+ lneN astfel incit a, = 0 pentru orice i > n
qi deci avem/= as*a1X*a2 X2 +...+a, Xo +...,
Numerele a; (ie {0, l, . , ,}) se numesc
polinomului /.Se numesc mazoarae polinoamele de forma a Xn laeC $i n€N).Pentru mullimea CN adopEm notalia ClXl - mul{imea polinoa-melor cu coeficienli complexi in nedeterminanta X. Are loc inclu-ziunea: ZIX) c QlXl c RlXl c C[X].DeJinilie. Se numeqte gradul polinomului /, notat grad /, cel mai
mare numfu natural n cu proprietatea cd a n * 0.
Convenim ctr gradul polinomului nul este - -. Polinoameleconstante au gradul zero, iar X este un polinom de gladul intii.Propriettrfi. a) grad(/ + g) S max(grad /, grad g);
b) grad/. g = grad/ + grad g;
c) dacl grad/. 8 =0= $adJ= 0 sau gradg -0.Definifie. Fie polinomul /= ao + at X+ a2 X2 +...+ a n X' e CtX)
qi numf,rul o€C. Numtrrul "f(o) = ao *d1a.*... +ao cC' se
nume$te valoarea polinomului / in o.ProprietS{i. DacAf ,g,heClx7 qi oeC atunci:
a) (/ + sxa) = /(d) + s(s);b) (/ . s)(cr) = J(o,) . s(o):
= ?^"'*'
'
coeficienlii
84 Fonnule utile penrru elevii claelor IX-XII
c) Daca /e RlXl $i crc C + /( a i = /tcrt :
d) Daci /eQtxl, ae Q, De Q asrfel incar Ji eQ +
= f1a lJi ) = A t B Ji undeAeQ $i BeQ.DeJinilie. Fie ge Cffi. Funcfia / : C -+ C, /(o) = g(o).Vo€C se
nume$te func{ia polinomialf, atagatf, polinomului g.1'eoremi. (Teorema impi(irii polinoamelor). Fiind date polinoa-mele oarecare /eCtX] qi g€C[X] cu g + 0, atunci existf, doulpolinoame cu coeficienli complexi c Ai rastfelincAt /= g. c + rgi gradr<gradg.
Polinoamele r: (numit cat) $i / (numit rest) determinate maisus sunt unice. Polinoamele / gi g se numesc deimpdr{it qi irnpdr-Iitor.Teoremtr. (Teorema restului la irnpd(irea prin X - a). Restul im-p[(irii unui polinom / + 0 prin binomul X - a este egal cu valoa-rea /(a) a polinomului / in a.
Delinilie. Fie / qi g doud polinoame. Spunem cf, polinomul gdivide polinomul / daci existl un polinom c asrfel incit / = gc gi
scne g l J.Propriettr!i (ale relafiei de divizibilitate a polinoamelor):
a) Din teorema impa(irii cu rest rezultA gll dacl Ei numaidacl reslul r al, impi4irii lui / la g este zero:
b) Daca g | / gi / * 0 atunci grad g < grad /:c) Polinoamele de gradul zero, adic[toate constantele nenule,
divid orice polinom;
Q DacA /e CtXl qi oe C, o + 0, atunci uf | /;DacI / este un polinom, divizorii de forma a qi af , aeC qi
a * 0 se numesc divizori improprii ai polinomului /. Divizoriicare nu sunt improprii se numesc divizori proprii.
e) Relafia de divizibilitate:i) este reflexiv[: / I /, VJe CtXl:ii) este tranzitivi : dac6, I I g qi g I q, atunci J I q;
FonDule utile pennu elevii claselor IX-XII 85
iii) daca g I /, si s I f, iu, qt qi 42 sunt doui polinoamearbitrare atunci g | /rqr + /:q::
iv) daca / | S 9i g | /, atunci existd ae C astfel incat /=4'g.Polinoamele / 9i g pentru ca.e / lg Si S l/ se utmesc asociate
ln divizibititategi se noteaza ; I g.
Defini{ie. Fie / 9i g doutr polinoame. Un polinom d se numeqte
un cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor / gi
g dactr verificd urmatoarele condilii:Ddlf $i dlsi2) Orice alt divizor comun d'al hti / 9i g divide 5i polinomul d.
Teoremtr. DacI / gi g sunt doua polinoame, atunci exista un
c.m.m.d.c. al lui / 9i g.
Algoritmul lui Euclid. Pentru a obline c.m.m.d.c. a douf, polinoa-
me nenule / Ei g impa4im pe / la g (dacd grad f > grad g). Dacirestul imp[rfirii este zero atunci g este c.m.m.d.c.; daci nuimpdr{im pe g le restul implrtirii, pe urmd irnpdr{itorul celei de-a
doua impS4irii la noul rest q.a.m.d. Ultimul rest nenul este
c.m.m.d.c. al celor douf, polinoame.Teoremii. Fie / 9i g doui polinoame ;i d un c.m.m.d.c. al lui / qi
g. Atunci:l) Dac[ aec, a + 0, atunci ad este un c.m.m.d.c. al polinoa-
melor / 6i gl2) lnvers, dacd d'este un c.m.m.d.c. al lui / qi g existd un aeC,
d *0astfel incdtd'= a.d.Teorcmtr. Fie / gi g doutr polinoame. DacI d este un c.m.m.d.c. al
lui / qi g atunci existl polinoamele ft qi 4 astfel incil/ = fg + hr1.
Definilie. Spunem c[ polinoamele J $ g srnt prtme intre ele dacd
I este c.m.m.d.c. al lui / qi g.
De/inilie. Fie / qi g doul polinoame. Un polinom ,ri se numefteun cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor / gi
g daci verifictr urmAtoarele conditii:
86 Fonnule urile peDrru elevii claslor IX-Xll
l. rnestemultiplucomunallui/qi gadicl flm qi glnr;2. , Orice al multiplu comun ru'al lui / 9i g este multiplu al lui rr$lm'5i glm'=nlnr).Teoremtr. Fie / gi g douf, polinoame dintre care cel pulin unuleste nenul. Daci d este c.m.m.d.c. al lui / qi g atunci polinomul
,r= 'f 'rs este un c.m.m.m.c. al lui J qi g.
dDeJinilie. Fie feC[X]. Un numtrr complex d€C este rtrdEcin[ apolinomului J dacd f (a) = 0.
Teoremil. (Teorema lui BEzout). Fie / * 0 un polinom nenul.Numtrrul 4€C este rdd[cintr a polinomului J dac6 Si numai dacf,X-a divide/.Definifie. Se numeqte ecualie algebilcd cu o singuri necunoscutAo ecuarie de forma /(x) = 0, xeD, unde / este un polinom nenul
iar D multimeain carex iavalori. Dacd f = a, Xn + ... + a1X +
* es, dq* 0 atunci ecualia algebricd are forma:
an X' + ... + a1X + ao= 0.
Gradul lui / se numeqte gradul ecualiei algebrice iarnumerele complexe ag, a1 , d2, ..., dn se numesc coeficienlii
ecualiei algebrice.O ecualie care nu poate fi redusd la o ecua{ie algebricl
folosind operaliile de adunare, inmullire, ridicare la putere etc. sen ume$te e cu alie t r ansce nde nt d.
Numdrul o este solufia sau radAcina ecuafiei algebrice
a,, xn + ... *a1x +rt'= 0 dacd qi numai daca/(o) = 0 adic6seste radAcina a lui /.Teorema. (Abel - Ruffini). Ecualia algebricd de grad mai maredecdt patru nu poate fi rezolvattr prin radicali.
Fonnule utile lenm elevii claselor IX-XII 8'7
Teoremi. (D'Alambert - Gauss - Teorema fundamentaltr a alge-
brei). Orice ecuatie algebricd an )cn + ... *a1x +a6= Q, dg trnd
mai mare sau egal cu I $i cu coeficienti complexi, are cel pulin o
rAdacina complexa.De/inilie. Fie / * 0 un polinom nenul gi ae C o rldAcinA a lui /.Numtrrul natural ,?x > 1 cu proprietdfile cd (X -4)' divide poli-
nomul f iar (X - o)^*1 nu divide / se nume$te ordinul de multi-
plicitate al radacinii a.
Teoremtr. Fie / + 0 un polinom nenul. Dactr cL1, cL2, ..., o, SUnt
rlddcini ale lui / avAnd ordinele de multiplicitate kt, k2,...
respectiv t, atunci polinomul g -q1kt 1x - oq1b ....' 1x - e^r)b
divide polinomul /.Consecinfe. 1) Orice polinom f de grad n ) I are n rAddcini (nu
neaptrrat distincte; o rlddcinl se repetA de un numf,r de ori egal cu
ordinul sAu de multiplicitate).
2)Fie J =an Xn + ... +atx +ao, an*O, n> 1 unpolinom.
Dacf, x1 ,x2,...,.xu suntradacinile lui/, attJrilciJ =an (X--rr)'.(X - xz). ... .(X - xn ) qi aceasti descompunere a lui /in facto-
ri liniardeste unictr.
3) Dacl un polinom / de gradul n se anuleazf, pentru rz + I valori
distincteatunciJ=Q.
Teoremii. (Relafiile lui Viete). Fie f =e1, Xn +an-1 Xn-l+...
...1an-k Xi-k +... +alx+ao unpolinom degradn, an*0.Dacd dr, dz, ..., d, sunt rf,dacinile lui J atunci:
88 Fonnulc utile frentru eleviiclaslor IX-XII
( o-,l0r * CIr* ... +U,=-Llo,I
lo,or* o,o, +... + drc,,+... +0,,-rc[,, = T
I\
I O,,O.. .. O.o*O,C.. ..04-1CI1*1*. ..*0,,-*+roG-l+z...otrr=( -tf . !f!-
lanI
Lo,or' ... '0, = (-t)" .5an
Invers, dacd numerele complexe or, oz, ..., cr, satisfac rela-
liile (*) atunci or, oz, . . ., g, sunt ridlcinile polinomului /.Consecinltr. DacA noum lSr = or + 0] * ... + Ox
S: = 0rdz + 0,1C13 * ... + (I,,- tCI,
atunci ecuatia care are ca if,dtrcini pe oy, 01, ..., cq, este:
xn -s1x"-l + Srx'-2 +... +(-l)n.gr =0.Tcoremtr. Fie / un polinom nenul cu coeficien{i reali. Dactra = a + bi (D * 0) este o rf,ddcind complextr a lui /, atunci:
l. a= a-rD este de asemeneaorlddcinda lui/;2. o gi d au acelaqi ordin de multiplicitate .
Consecinle. l) Orice polinom cu,coeficienli reali are un num6rpar de rddtrcini conrplexe (care nu sunt numere reale).2) Orice polinom cu coeficienli reali de grad impar are cel pulin orddlcinl realf,.
Fonnule utile Jrtrttu elevii claslor IX-Xll 89
Teoremtr. Orice polinom/= an Xn + ... I a1X + as,de grad> I
cu coeficienli reali.este un produs de polinoame de gradul I saugradul Il cu coeficienfi reali, adicd poate fi scris sub forma
f =an (X -cl)tr . ....(X -C,,ryku (X2 +b,tx +ct)Ir .... .
. {X2 + brx+cr)r. undeclr, orz, ..., flp€R$i bl -4c, <0',...:
bf, -k:, <o .
Teoremtr. Fie / un polinom nenul cu coeficienli rafionali qi
a + Ji 1crt a,beQ, , > 0 ti JE- e Q) o radacina a lui /. Atunci:
l. a - Ji este de asemenea rdddcind a lui /;2. a + Ji g a - Ji au acelaqi ordin de multipticitate.
Teoremfi. Fre f = (tr' in * ... + arx + as un polinom de gradul
n Qt> l) cu coeficienli intregi. DacI cr = p
@, q prime intre ele)q
este radicina a lui / atunci:
l. p divide termenul liber a6 ;
2. q divide coeficientul termenului de grad maxim: a, .
Consecinftr. F,re f =a, X' + ... + a1X + an un polinom cu coe-
ficienti intregi. DacA o, este o rf,d6cinf, intreagA a lui J, atunci oeste un divizor al termenului liber a6 .
Rezolvarea unor ecualii algebrice de grad superior
a\ Ecualii binome suntecualii de forma,rn - a =0, aeC, n> 1
gi pentru a = r(cos g + i sin g) avem soluliile
*o =r1f ,or'p*2kn * i.in Q*2h l, 0 <ft <, - r."tnn-l
9l90
b)
Fomule utile pentru elevii claelor IX-XII
Ecualiibipdtrate. ax4 +bx2 +c=O, a,b,ceC, a+0.Se face substitulia x2 = y gi se obtine,,rezolvanta" ecualiei
date. ay2 + by + c = O care se rezolvtr 9i gdsim soluliite:
x=rc) EcuaTii reciproce sunt ecuafiile de forma:
a, xn +an-1 ,'-l + ... *a2 x2 *alxiao=O, an*Ocu proprietatea cd an-i=ai, i = 1,2, ..., n, adic| an=as,
An_l = Al, .-.
Propriettrti: 1. Dacl
tot o solulie.2. Dacd n este impar, atunci x = - I este solutie $i ecuatia r[mas6dupd simplificarea cu.r + I este o ecualie reciprocA de grad par.
O ecuafie reciprocf, de grad par azp x + a2p_r x2p-t + ...
*a1r+r xp+l +ao xp +ao-y xp-l * ... *r\x+ag= 0 so rezolva
astfel: se imparte prin xP , se grupeazd primul termen cu ultimul,
al doilea cu penultimul g.a.m.d. Se face substitulia x+ I = y $ix
rezthd x2 *I= r' -2 . x3 **= yfy, -3) erc., apoi sexx-rezolvA ecuafia in y gi se revine la substitutia f6cut6 de unde sedetermind;r.
'r = 0, + 0 este o solu{ie, atunci .r =l "r,"0
Fonnule utile pemru eleviiclarelor IX-XII
Capitqlul 15. Matrice gi determinan{i
15,1. MatriceDefinifie. Fie mulfimile M = {1,2,..., nr} 9i N = 11,2, ..., rt). OfuncliaA : M x N -+ Rse numeste matrice. NotAmA(,, j) = ar,
( on at2 at3 ... ar, )aii €R sau ,1, --l
az: o22 a23 "' o2, l=h,,\" I ... .,. ... I ' ',t',l<isnI I l(i(n[arl an2 am3 ... ar, )
la orice element ai,, primul indice i arati linia pe care se
g5se$te acesta iar al doilea I coloana pe care se gase$te prinurmare aiJ se gase$te la interseclia liniei i cu coloana j. Numerele
nr (numdrul liniilor) 9i n (numtrrul coloanelor) reprezinti dimen-siunea matricei; An.n se cite$te ,,matricea A de dimensiuni rr, n,,.
Definifie. Fie E o multime de numere. Se numeqte matrice cu nr
linii qi n coloane (rn,neN*) orice familie A =(o,r),=* A"j=1' n
elemente din multimea t.Dacd E = R scriem A€ -4^,n (R) este o mulfime cu elemente
numere reale, pentru E = C scriem Ae -4^,, (C), este o matdcecu elemente numere complexe. Tipuri de matrice:0 Matricea nulf, este acea matrice in care toate elementele sunt(o o ... o\
o=l o o. ol
[; ; ;jegale cu 0
92
( -ott -aD ... -aln \l-o", -a I
matn6ea - A = I -' 22 "' -o'n l.I......1[-"' -am) "' ''^' )
o Matricea linie - rnatricea cu o singurd linieA=(an at2 ... q*)e.,/4,".
l.'" )o Matricea coloana- matricea cu o singurtr coloantrA -1'z' I
e
U;,,l€ 'drr.t'o Matricea pltraticf, in care m = n numf,rul liniilor este egal cu
("' ao ''' )numirul coloanelor Ae . t4 . e =l
o zr a22 ' o" I
[";, olu,z ;",, )Sistemul ordonat de elemente ( all a22 an, ) se numeqte
diagonala principalI a matricei A, iar sistemul ordonat de
elemente ( a1, d2 n_t . . . ani ) se numegte diagonala secundard
a matricei.
o Matricea unitate este matricea patraticA in care a;i = 1 pentru
i = i si ai1 = 0 pentru i * j, (V)i je(1 ,2, .. . , tt),
Fomule utile nenrru elevii!.laselor lX-XIl
(t o ... o\, lo r .. ol,n -l |
.I""l[o o ... t,
Egalitatea a doul matrice poate avea loc numai dacd au aceleaSidimensiuni.
Spunem cd matricele A,Be -{*,n, A =(o,)i=r,t, A =(U),=&j=l,n j=l,n
sunt egale (9i scriem A = B) dacf, gi numai dacd aU=b,r,
(Vie 1fr , je l,n .
15.2. Opera{ii cu matrice
Adunarea. Fie matricete A,Be -4,,o, e =(",)*@,A =(b)it,^.j=t,n j=l,n
Spunem ca suma matricelor A fi B este matricea ce -lfi,n $iscriemA + B = (),C=G,),=U dach ci,=aii+bii, (V),e r,,n,
'i=L' n
je 1,,, .
Proprietlfile aduntrrii:l. Comurativitatea A + B = B + A,(V)A,Be -/41\n.
2. Asociativitatea(A + B) +C=A+(B + q,(V)A,B,Cc -/4.n.3. Elementul neutru este matricea nuld: A+ 0r,, =\n.n + A = A,
(V)Ae .4n.n.
4. Orice matrice are un opus: A + (-A) -- - A + A, (V)Ae -fi, .
lcdtlereu matricelor este posibiltr nurnai dacd acestea au acelea5r.lirnensiuni.
Fonnule utile pentru clevii claelor [X-XII
I o| at2 ... atn
o Matricea opusd matricei A =lazr a2z " azn
t"'\art am2...amn
Fonnule utile ltntru elevii cluslor IX-Xl]
Matricea O = (d,i),=r,^ se nume$te diferen{a matricelor
j=l' n
tl=(a,,\. - si a= (r,,) - daca D = A+(- B), adica\ tt tl=l,m , ' \t,t=I.nt
'j=\' i=\'tlii= ai1 - b1. iVl'e t'' . je tn '
htmultirea nrutricelorA. inmullirea unei matrice cu un scalar.
Fie matricea e =("u),=r- gi )"eR. Produsul matricei A cu
ij|itscalarul I este matricea B=lA unde bi1 =)'ai1. tVlie t,rr. je I7 .
I arr at2 ... ay \ ( \a11 Lorz ... lar, ), , .-, I azr azz ... ,r, l-l M,, )'rzz ... ),"r,
1"^-"1......1-ll[r,, dn2 ... o^,) lM^, M^z . t"o^,)
Proprietlfi:r. A. I = A; 2.)'A = A)"; 3. l.(sA) = o'(M) = ()'cr)A;
4. (1. + cx)A = ),A + oA; 5. 0 .A = 0n., .
B. inmul{irea a douh matrice este posibild dacl numf,rul coloane-lor primei matrice (deinmullitul) este egal cu numarul liniilotcelei de a doua matrice (inmultitor).
Fie A = ("),=A si o =(u,),=r. Se nume;te produsul
j=1, n k=1, P
matricelor A qi B matricea C (qi scriem C = AB), C =(ci*)i=t*k-J, t,
unde c, este suma produselor dinhe elementele din linia I a ma-
tricei A, cu elementele corespunzatoare din coloana t a matricei
Fonnule utile pentru elevii claselor IX-XII 95
B, adicd ci1, =ai1b11, +ai2bzk+...+airbg. (Yli=t*, i=Gg
SCflS restrans ci1, = /aiibil .
J=l
Observalie. Produsul a doutr matrice nu este comutativ. in generalA'B*8,A.Propriettr{ile inmulfirii matricelor:1. Asociativitatea: (A .B) .C = A.@ .a;2. Distributivitatea: (A+B).C = AC+BC pi A.(B+A = AB+AC.3. Elementul neutru este matricea unitate. Fie Ae -.//),r(C) *
= I..A=A'ln=A.4. FieAe -/y'^,, (C)=A.\nk=omk; 0p,.A=06.5. a. (A. B)=(d,4).8=A.(08).6. DacdAB = BA arunci: a) (A! B)2 = A2 +2AB + 82 ;
b) A2 - 82 =(A- B)(A+ B) i
n
c) (A+ B)n =\C',e'-iAi .
i=0
Se poate defini ridicarea la putere prin: Ar = !. A.+..... A. I
Ao=In; A^.A'=A^*n; (A^)n=trn. non
Transpusa unei matrice
Transpusa unei matrice A = ("U)H_ este matricea 'e =(a1)i=6j=l'n
(obfinute prin schimbarea Iiniilor ?n coloane qilinii).
a coloanelor in
Fonnule utilc lentru elevii claslor IX-XII96 Fonnule utile pentru elevii claslor tx-Xll
( a1 do ... al, ) ( arr d2t ... arr )
^ -l ny a22 ... azn I - | ^ I op a2z ... a,nz I^-1..1"^-1..1t^rrt
lont dn2 ... ann ) \dtn aZ, ... ar, )Proprietl{ile transpusei unci matrice oarecare A sunt:
r. '('a)=e; 2.t(A+B)='A+'B; 3.t(AB)=tB tA:
4. t(ctA) = c.tA .
15.3, PermutilriO funclie bijectivl J : 11,2, ..., n\ -+ 11,2, ..., n) se numeqtepermutare sau substitulie de gradul r $i se noteMa
1 I 2 3 ... i ... l\[0, ;, rr i, ... r,) *" (4' kz" 't,)'
Numdrul permutarilor de gradul n este egal cu ,, !
Se noteazd cu S, mul{imea tuturor permutarilor ds ordinul n.
Se numeEre permutare idenrici permuta*. " =[l ', 1 ',i,)
(adica /(;r) = x, xeli ).
15.4. Compunerea sau produsul permuttrrilorFie o qi q doud permutf,ri dinS,. Avem o : A -> A, rg : A -s A
sunt funcfii bijective pe mulfimea A rezultd ci qi (o o Q)G) == o(q(r)) este bijectivd pe A deci este permutare de gradul n.
Aceasta se nume$te compusa sau produsul permuttrrilor ,o gi tp qi
se noteazd oe.Observa{ii: l. Doutr permutIri se pot compune (inmul}i) numaidacd sunt de acelEi grad.
2. in general produsul permutdrilor nu este comutativ og + qo.
-. ll 2... ,r) 11 2 ... rr)Fre6=l lslo=l I=f o, o,2 ... o^ ) [q' Qz ... Q, )(12...n\
=oo=l l.' lotQr) o(Qz) ... o(Qn)/
Se noteaza o2 = o.o; b3 = o2 'o; o4 = o3 'o; . . ., a'*l = o' 'o.Proprietdf ile irrmullirii permut2trilor:
l. Asociativitatea: o(pq) = (op)q.2. Elementul neutru este pernutarea identici: a'o = o'e = o.
3. Orice permutare o€ Sn are o permutare inversd o-le S,
astfel incdt oo-l =o-l o = e.
Transpozifia. fie ijeA = {1,2, .... nl, i * j. Funclii t, : A -+A
li d^ca k=idefinitr prin ril (,() = ] i daci t = .r se nume$te transpozifia
[fr daca ,t e {i, i }
tt 2 ... i ... k ... j ... ,,)iJ $i se noteaza tir = (i,, =l ,
\l 2 ... i ... k ... i .. n)'Numlru] tuturor tratrspoziliilor de gradul n este egal cu
^2 tt(n-l)2
15.5. lnversiunile unei pcrmutlriFie o permutare o€ .t, . O pereche ordonati (i, j), i <i. cu
proprietatea o(i) > o(7) sau k; > k; se nume$te inversiune pentru
permutarea o. Numdrul tuturor inversiunilor o se noteaza cu ,,r(o)
sau l( kr , k2. .... t, ) qr are loc: 0 < ili(o). n(rr-- l)7
98 Fomule utile peurru elevii clarclor IX-XII
, k2 , . .., tr ) numtrrul
(-l;'to)= I gi respectiv
t(,t) =(-1)u (&)
se numegte
imparA t(r,) ) = - 1 unde
15.6. Semnul unei permuttrriSe numegte semnul permutdrii ( t1
gryt(h,k ,...,t,5 sau (_l)a(o) .
Permuarea o se numeste pard dacd
imparl dacd (-l;'t"1 = - I. Numtrrulsignatura (semnul) permut6rii.Observafii. l. Orice transpozilie este
Tij = G, i, i <j este transpozilie.
2. Dacd permutlrile o gi ge .tr arunci e(og) = s16;61q;.
3. Orice permuhre din S, (n > 2) este un produs de transpozilii.
4. Mulfimea permutarilor pare de ordinul u ur" ,! elemente.
I5.7. DeterminanfiDeterminantul de ordinul doi
Fiemariceaa=( art ar2 l.Numtrul dete=lrn orrl=
\ozr ozz ) -lou ozzl-= alp22 - aeazt se nume$te determinantul matricei A sau deter-minatul de ordinul doi.Determina ntul de ordinul trei
( ort at2 arr )Fie maricea O =lo4 azz ,r, jNrrnirn determinantul de
(':r a32 aB )ordinul trei sau determinantul maricei A numarul
Fonnule utilc pcrtru elevii claselor IX-XII 99
l',, an anlA = det A =lo1 o2 a4l= arp22ay* a2p32ap+ aeozja3r-
la3t a3z aBl
- a11a22ag - a32d23ai - a2pna33.
Reguli de calcul pentru determinantul de ordinul trei:a) Regula lui Sarrus. Se copie sub ultima linie a tabloului determi-nantului primele doul linii din tablou:
I a11- ap ..as I
det A = | n2 1r.);i-, n 23 | = n r ro 22n 33 + a zp32a I j + a pa 2ta3t -| "-tid"'
| - nrrnrror, - t\2a23a11- a2taD(43| - a31a22a3 - a32a23a11 - a2gDa33.lrir-,-ar1 an Aduntrrn produsul elcmentelor diago-ai a22 -az., nalei principale gi a liniilor paralele cu
aceasta (linii continuie) qi scddem produsul elementelor de pe
diagonala secundarl gi a liniilor (punctate) paralele cu aceasta.
b) Regula triunghiului.
I ott at2 ar.r I
det A =l a, at> ar.l .
l";'' ';; ";;llatr,-opan I Termenii precedafi de semnul plus in dezvol-la21)ffa41 t*.u detenninantului'se obtin astfel: se face
I a3i-i32\ n33 I produsul termenilor de pe diagonala principa-
la gi apoi elementele care se afltr in vdrfurile triunghiului care au olaturtr paraleli cu aceasttr diagonal6.
lar $Ezrlr: I termenii precedali de semnul minus in dez-I rI2F\rZ >423 I voltarea determinantului se obtin astfel: se
I n.l/n$ n33 | face produsul termenilor de pe cliagonala se-
cundarl qi apoi elementele care se afli in vdrfurile triunghiuluicare au o laturtr paraleli cu aceasttr diagonali.
100 Fomule urile pe[rru elevii claelor IX_Xll
Detenninantul de ordinul patru
de ordinul 3 rrotat di care se obtine din matricea A prin elimi-
narea liniei i 5i a coioaneil.Complementul algebric al elementului a, din determinantul
matricei A este numirul Aii =(11i+i 4.. .
Numim determinant de ordinul patru asociat matricei A numarul4
det A =}akjt-Dk+idkj (acest determinant contine 4 | = 24k=l
termeni formali fiecare dintr-un produs de patru factori care suntelemente ale matricei de ordinul patru care figureazl c6te unul depe fiecare linie, respectiv coloanA). Aceasta se mai nume;te gidezvoltarea determinantului det A dupi elementele coloanei ,t.Asemanator se poate realiza dezyoltarea determinantului dupa
elementele liniei l: aet,O,=lo1,Gl)tn'de, .
in mod asemf,nltor se pot defini determinanlii de ordinul 5, 6 etc.
Deterntinantul de ordinul n
Fie matriceaA = ( aU ). i,j = ti .
Numirul ){-l)t(")o,o,,ra2a(2)...dna(il) notat detA =l "u I r"o€ S,
nume$te detelminantul matricei A sau determinantul de ordinul n.Pentru calculul determinanfilor se utilizeazd pi propriet6tile acestora.
i ,-Fomule utilc JErlru eleuir cla*lor lx'xflf l t''' I ] i
II
Fie A o matrice p5tratici
l. detA = det /A .
2. Dac6, toate elementele unei linii (cotoane) in malricea A suntzero atunci detA = 0.
3. DacE elementele a doui linii (sau coloane) sunt egale saupropo(ionale atunci detA = 0.
4. DacI in matricea A schimbdm intre ele dou6 linii (coloane)atunci notind cu A'matricea obtinuta avem det A = - 6s1 4,.
5. Daci intr-o nratrice o linie (coloand) este o combinatie liniar[a celorlalte linii sau coloane atunci detA = 0.
6. Daca intr-o matrice patratic[,4 inmut{im o Iinie (coloan6) cu unnumar o., oblinem matricea notatA B gi avem det B=cr det A.'7. Daci la o linie (coloand) a matricei A adundm elementeleultimei linii (coloane) inmullite cu un acela5i numir, atunciaceasta matrice are determinantul egal cu det A.
8. det (A .B) = det A . det B.
9. DacdA = (aii), ij =t,, ii Aij=GDi+id- sunr comple-
menfii algebrici ai elementelor a,; atunciD
detA=ia,1All =t n,o,,.i=l t=l
15.8. Tipuri de determinantiDeterminantul orincipal al unei matrice Ae _/{^,n este determl-
nantul de ordinul maxim care se poate forma cu elementelematricei A, care nu este nul.Determinantul Vandeermonde este determinantul de tipul:
-a i)
41
t02 Fomule utile pentru elevii claslor IX-X]I
Determinantul triunghiular care eLre formele:
l 11 at2 at3 ... arn
I
| 0 a2z a23 ... a2n I
I o o ,x ... ,..,, l=a1p22a33...an, 5ittt""""'l| 0 0 0 ... annl
I o,t ot2 aB ... uhl| ,r, an dn ... 0 I r(r-1ltt| . ..|=t-tl 2 anlan_12...a2n_tdtn.
lan-tt un-t2 0 ... 0 |
lon, 0 0 ..01
15.9. Rangul unei matriceFie matricea Ae -,y'{^.n (C), rz,n,reN* qi r < minQn, z). De-
terminantul de ordinul ," format cu elementele matricei A situate lainterseclia a r linii qi r coloane so nume$te minor de ordin r. in
total se pot forma CI .C'^ minori de ordinul r.
Fie matricea nenulf, Ae .,flr,,(C). Se spune cA matricea A
are rangul r qi scriem rang A = r, daci matricea A are un minornenul de ordinul r, iar tofi minorii, lui A de ordin mai mare decdt r(dacd existtr) sunt nuli. Matricea nuld are rangul zero.
15.10. Matrice inversabileO matrioe plraticd se nume$te sinsulari sau degenerata dacd
determinantul sf,u este nul. O matrice pdtratictr A se numeqtenesingular[ sau nedegeneratf, dac[ det A + 0 (determinantul sAu
este nenul).Spunem ca matricea pAtraticd de ordinr.rl n este inversabil[
dacl existlmatriceaBdeordinul n astfelincntA. B = B.A = In .
Fonnule utile pentru elevii claplor IX-XII 1 03
Matricea B se nume$te inversa matricei A $i se noteuA B = A-1 $i
are locA' A-l = A-l . A = I n.Inversa unei matrice patratice A dac6 existd este unicf,.Teoremtr. O matrice Ae .//"(C) este inversabil[ dacf, qi numai
dacd este nesingulari adicl det A * O.
15.11. Matricea reciproctr (sau matricea adjunct6)
Fie matricea A = (aij), ij =1,n. Se numeqte matricea
reciproctr matricei A (sau matricea adjunctA a matricei A) qi se
( At, 4t A:r . 4,r )noteaztr A* urmatoarea matrice: A* =la, e, er, ' 4,
I
[r;; i,, i,, +,,)unde A;; sunt complemenlii algebrici ai elementelor a, din
matricea rA .
Inversa unei matrice pdtratice nesingulare se calculeazd dupdalgoritmuL:I . se calculeazA det A:
2. se scrie matricea transpusa 'A ;
(il 4t ..
3. sescriematriceareciprocd(adjuncta)A+=l 4z 42."
li;4. Se scrie matricea inversd A-1 = # o-.
4'),\a I
t'
4,)
104
(a11 ap as1Exemplu. A=l at aT o)7
l: l) detA =atp22afi+a)ta32aB*
1.n31 n32 oe 1
+ aea23a3t - a3p22aB * d32d23a11 - a\aea$;( all a21 all \
zt'e=1";; .;; "r,l, :l A,,=(-r)r+r lli:, i:Xl,*,lr,3 ,r3 n3-, J
4tA.t= | -A*.' detA
Propriettr{ile inversei:
I ) (a-')-' = A; 2) (AB)-t = 6-t o-t; 3) de( A-1 ) = det A-r ;
+1'(e-t)=('a)-' ; sl (la;-r= 1 a-r .
Alte tipuri tle matrice pdtratice.
l. Matricea p[traticd A = (aii), ,J = m se nume$te simetricd
dacf, 9i numai dacd a1, = a ii , N)ij =li adicd A =t A .
2. Matricea pitraticAA=(aij l,ij=l,n se nume$te antisimetficd
rlaci qi numai dacdA=-tA sau ,, = -a1i,ft)ij =tj .
3. Matricea A = (ai.i), i,j =l-u se nume$te ortogonaltr daci gi
numai dacf,A .t A = l, adicf, A-l ='A. Avem de(A'a ;=1
=cletA. detlA = I =detA = I sau detA =- l.
Fornrule utile pentru elevii clasehr lX-XIl 1 05
Capitolul 16. Sisteme de ecua(ii liniare
Un sistem folmat din lr ecualii lirriare care contin ,r necunos-
cute .rl , x2, ..., ta cste u;.. sistem de forma
la1 yr 1 + a1,x2 *... * a1,,.t,, = b1
ldtr.b - d>txt * ...* at,,x- -- b>
I -' " ' (*) care se Poate scne resrans:t.........-"...,...lar,1-r1 + a,,,2x2 + -..+ Amnl. b,,
!o,1*i=t,, I <l<r.
(o" oP "' ar')
Sisternului i se poate ata5a matricea e =lnt d)2 "' o"
It...1["'' ont2 " annt )
formatZt din coeficienlii necunoscutelor lnumill matricea sistemu-
{ att at .-. At, 4 \I,IIzi gi rnatricea A=lazt a22 "' azu th
I numita maticear""'lInr' au,2 ... a^n b,, )
etTinsd a sistemului.
O mullirne ordonata de numere (lr , lz ,..., Lr) se nume$te
solulie a sistemului (*) dac6inlocuind numerele xt, x2,..., xn
prin aceste numere, toate ecualiile sunt verificate adici
\ai;)t 1 = b1, | < i < msunt toate adevdrate.
Un sistem de ecuatii poate fi:l. compatibil dacd are solulii
Fomule utilc pentm clevii claslor IX-Xll
106 Fonnule utile pltru elevii claelor IX-XII
a) determinat dacA are solutie unica;b) nedeterminat daci are cel putim doutr solufii;
2. incompatibil dacl nu are solufii.Ecuatii matriceale
Un sistem de ecualii liniare (*) io,1*1=ti, 1 < i < rn se
mai poate scrie sub forma ecuatiei matriceale AX = B undeA estematricea coefi cientilor necunoscutelor sistemului:
(ort an ... arn\ [r,] (br\e=l"l a22 .. rr,l.x=lrrl. B=lhlt......tt...i't_..t
[r,, an2 o^, ) [r, .,J [r, .]
Rezolvarea sistemelorMetoda matricealA
Ecuatia matriceald AX=B,pentru det A+0 are solulia X = A-l . B.Metoda lui Gauss
Sistemul tiniar (*) dat se transformd folosind metoda
reducerii, in alt sistem echivalent in care .r1 apare intr-o singurd
ecualie (spunem ci x1 a fost eliminat din celelalte m - 1 ecuatii).
Analog din cele m - I ecualii (care nu conlin pe x1 ) obfinem o
ecua[ie care sdin conlinA pe "r2 .
Repetand acest procedeu se poate ajunge la:1. un sistem in care ultima ecualie contine numai necunoscuta
x, , gi atunci sistemul este compatibiI determinat;
2. un sistem in care ultima ecualie este de forma x* = f( x*+t ,
..., rn ) unde t < n gi atunci sistemul este compatibil
uedeterminat. (Notand xk+t = d, x*+z = 9, , .., xn =.0.
trot
A = det A + 0 este compatibil determinat $i solutiile sunt date de
A_formuleleluiCramer: r,=-i, i=1.n unde Ar_ estedeter-
minantul oblinut din A inlocuind coloana i cu coloana B a terme-nilor liberi.
Exemolu. {a16r+ar2x2=b.t . o.'( atr or2) si a=derA=
Idz$t+a22x2=b2 (r2| a22 )
73r', ?r:l= o,,o r, - a pa 2 1 *o' o ",
=lui !r' | = u p r, - t rq, ;
Foflrrule ulile peotru elevii ciaslor IX-XII I 07
3. un sistem in care ultima ecuatie este de forma 0 = D, DeR* $iatunci sistemul este incompatibil.
Metoda lui Cramer de rezolvarea sistemelor de z ecuatii cu znecunoscute
Un sistem de n ecualii liniare cu n
o,,=l::r', uil=""r- a21b1=,,=+ $i ,*, =+Rezolvarea sistemului de ar ecualii liniare cu rr necunoscute.folos ind determina-nti iTeorema Kronecker-Capelli. Un sistem de ecua{ii de forma
() la11x, =bi, I 3 i <,,r este compatibil dacd qi numai dacd
rangA=rang 7.Observa{ie. Sistemul (*) este: a) compatibil determinat dactr qi
numai dacd rang A = rang 7 = numdrul necunoscutelor;
b) compatibil nedeterminat dacd pi numai dacf, rang A = rang tr< numdrul necunoscutelor.Numf,rul necunoscutelor principale este egal cu rang A. Dacdrang A = r, atunci exist[ un minor de ordinul r nenul al lui A,
109r08 Fomrule utile pntru elevii claselor [X-XIl
notat cu d. Acest minor se nume$te minor principal sau deter-
minant principal. Orice minor de ordinul r + I care se oblineprin bordarea acestuia cu coloatra termenilor liberi qi cate una dinIiniile rf,mase (in afara minorului principal) se numegte minor
caracteristic.Teorema lui Rouche. Un sistem de ecuafii (*) este compatibil
dacd qi numai dacA toli determinanli caracteristici sunt nuli.Alsoritmul de rezolvare a unui sistem (*) comoatibil este:
l. Stabiilm determinantul (minorul) principal Ei scriem sistemulprincipal format din ecualiile gi necunoscutele ai clrorcoeficienti tbrmeazf, determinantul principal, trecfuld lnrnembrul drept toti termenii care conlin necunoscutele
secundare gi atribuind acestor necunoscute secundare valoriarbitrare: 0, p,y, ... etc.
2. Rezolvf,m cu formulele lui Cranter sistemul principal qi obli-nem necunoscutele principale lt tunclie de termenii liberi Ei
de necunoscutele secundare. (Gradul de nedetenninare al
sisternului este egal cu numlrul neounoscutelor secundare)
Capitolul 17. Sisteme de ecua(ii omogene
DacAinsistemul(*) iailxi=bi , 1<i<nt to[i termeniij=l
liberi sunt nuli bi = 0, t < I < nr sistemul se numefte omogen.
Orice sistem omogen admite solutia banaltr .r1 =0, x2 {, ..., xn d)'
Fie un sistem omogen pentfu care rangA = r.l. Daca r = n, atunci solulia tranald este singura solulie a siste-
mului.2. Dactr r < n, atunci sistemul are qi solulii nenule. Acestea se
determind aplic6nd algoritmul de mai sus.
FolDule utile peDtru elevii claselor IX-XIl
Capitolul 18. Relafii binare
l. Rela{ii binare. Fiind date doua mulfimi A gi B distincte sau nu,orice submulJime 9l a produsului A x I se numegte relatie binard.
Elementele -r, ) pentru care ("r, y)e 9t se numesc elementeasociate prin relalia !t gi se scrie .r 9t y (citim: , este in relalia 9tcu )).Exemplu. Relafia de egalitate pe mullimea A, 91 = {(.r, illxe4.Avem (.r, y)e9l <+ x = y.Proprietali ale relatiei binarea) Reflexivitatea. Spunem ci o relalie binard 9i pe o mullime Aeste reflexivi dacA pentru orice xeA are loc x 91 x.b) Simetria. O relatie binartr 91 pe mullimea A este simetricA dactr
pentru orice .r,r€A astfel incat x !t y, atunci are loc Ai y 9i x.c) Atttisintetria. O relafie binarl 9i pe mullimea A se numegte
antisimetricd dacd din ,t 9t y 9i y 9t.r rezultd x = !.d) Tranzitivitatea. O relalie binarl 9l pe mulfimea A se nume$tetranzitiyh dacd oricare ar fi x,y,zeA astfel incdt.r 91 y qi y 91 z
atunci x 9l z.Relatia de echivalenttr
O relalie binari 9l definitl pe mulfimea A se numeSte relaliede echivalenld dacl este reflexivi, simetrictr qi tranzitiva.
Daci 9t este o relalie de echivalenld, atunci doui elementeasociate prin relalia 9t se numesc echivalente.
Clasd de echivalenlI. Fie 91 o relalie de echivalenti pe
nrullimea A gi .reA. Subrnullirnea C r = ltteA I y!tr) se nunle$te
clasa de echivalenyd a elementului x $i se noteaza Cr = i .
Propriettr{i ale claselor de echivalenltrFie A o nevidd qi 91 o relalie de echivalen{i pe A. Atunci
clasele de echivalenla determinate de 91 pe A au proprietdfile:
l. C, I A, (V)xeA.
ll0
2.
Fonnule utile pentru elevii clarelor IX-Xll
Dacf, "r 9l y atunci C, = C y, iar dacd x nu este in relalie cu y
atunci Cx {lCr,=9.3. Orice element din A aparfine unei singure clase de echiva-
len[[.Defini{ie. Fie 9i o relalie de echivalen{l pe A. Mullimea claselorde echivalenld se numefte muqimea factor (sat mulimea cA) a
lui A in raport cu relalia de echivalenli fr qi se noteazd A / 91.
Rela{ia de congruen!tr modulo n se define$te astfel: Fien€N. Definim relalia 91 pe Z x Z astfel: x 9t y e x - y esre
multiplu de z. Relafia de congruenll modulo ,r, x 9t y se noteazdx = y(mod n) gi citim ,,r congruent modulo n".
Utilizdnd teorema impar{irii cu rest ln Z avem: J : /, = c restr, cez ;i 0 1 r < nscriemx= r(mod n) = i = i .
Multimeaclaselord esteZ,= {0, i,2,...,n-l l.Relatia de ordine
O relalie 91 : A x A se numefte relafie de ordine dacf, esterefl exivA, tranzitivtr qi antisimetric6.
18.1. Legi de compozi{ie binartrPrin lege de comoozitie binard sau operatie binarA inlelegem
o aplicatie a mulJimii A x B intr-o altl mullime M.Aplicalia o notam cu o literi J, g sau cu un semn: +; -; x; I
$i scriem/ : A x B -+ M, + : A x B -+ M.Aplicafia notatl ,,+" se spune ca a fost notatA aditiv, iar
notatia ,,." se spune cA a fost notatfl multiplicativ.Exemple: l) +:N x N-+N, (.r, b)-+a + D (adunareapeN).2) Z x Z --s Z, (x, y) + x - y (sctrderea in Z).3) -./{,(C) x -/{,(C) --+ ..1./,(C), (A, B) --> A . B (inmultirea
matricelor pAtratice).
Fonnule utile pentru elcviiclaelor X-XII I I I
Pentru cazul cdnd mullimile A $i B au numtrr finit de elemen-te legea se poate defini cu ajutorul unui tabel al operafiei.Exemplu. A-- 11,2,3), B = {1, 2,3, 4, 5} 9i * : A x B ) M,
x este a/' unde ae A qi beB.
Se numeqte lege de compozilie ertemd sau operulie extetnd,o aplicalie x '. M x A -; M. (Exemplu: inmultirea matricelor cuun scalar).
Se nume$te lege de compozilie internd sau operulie intemd oaplicalie * : M x M -+ M. (Exemplu: inmullirea numerelor natu-rale).
18.2. Lege de compozifie intern[ definittr pe o multimeFie A * @. O aplicalie / definita pe A x A cu valori in A,
f : A x A -+ A, (d, b) -+ f (a, b) se nume$te lege de compozilieinternd saa lege internd. Numlrul J@, b) se numeqte compusullui a cu b prin / qi este unic.
18.3. Partea stabiltr a unei mulfimi fa{tr de o legeFie o muljime A pe care este dattr legea de compozilie /. O
submullime B c A cu proprietatea : (Y)a,beB * f(a, b)eB se
nume$te parte stabiltr a lui A in raport cu legea /.Tabla unei legi de compozitie e : A x A + A, definiti pe o
mullime finiteA = I at, az, ..., a, I este un tabel cu n lunii qi n
coloane, la interseclia liniei a; cu coloana a; afldndu-se elementulq(ai, oj).
tt2 Fonrrrle utile pentru elevii clo*lor lX-Xll
ProprietSfile legilor de compozitie internl1, Asociativitated. O lege de compozilie * : AxA ---> A se nume$te
asociativA dacA Y a,b,ce A are loc (4 * $) x c = s * (b * c).
Exemple: 1 ) (-r + y) + z = x + (y + z): 2) (x . y) . z = x . (l . z);
3) (-rry) -r z=xr Cvrz); 4) (/ og) o lt =Jo (g o h).
2. Comutativitatea. O lege de compozilie * : AxA -+ A se numegte
comutativa daca Vx,yeA are 169 v * y =y *.r.Exemple: adunarea matricelor, interseclia (n) qi reuniunea (u)mullimilor, innrullirea in R.3. Elenrcnt neutru. Un element eeA se numeste element neutrupentru legea *: AxA JA dacdVx€A au locegalitalilex* a =
= x * x = x. Elementul neutru, dactr exist6" este unic.
Exemnle: 0 pentm adunarea in N; I pentru inmullirea in Q; 1,
pentru inmulfirea matricelor de forrna Ae .,/1,(C). La o opera{ie
necomutativA se det'inesc: element neutru la stdnga es* x = x,
Vxe A gi element neutru la dreapta x* ed= x,VxeA.[-a o lege notatA multiplicativ elementul neutru se nume$te
elemerrt unitote (notat cu simbolul 1).
La o lege notatl aditiv elementul neutru se nume$te elementnal (notat cu simbolul 0).
Ii'nrNl( utilc pentru elevii claselor lX-XIl I l -l
Pe o mullime A pe care s-a definit o lege nohtA multiplicativ
qi are element neutru e avem: .r' -,{x'x- 'r(rlfactor)'dacan>0-' le, daci n=0
Rezultii: Vnlne N gi xeA = x'n .x" = x''*nPe o mulfime A pe care s-a detinit o lege notatd aditiv, 9i are
element neutru 0. avem: ,Lr = I-r+-r+ "+r (rt termenil'daci rr>010. aua n =o
Rezultf,: Vrn,neN gi xeA =,ta + nx = lrrr + rt)x.4. Elenrcnt regulat (sitttplifrcare). Fie o mul{imeA 9i o lege *. Un
element aeA se nume$te regulat fald de legea * dacf, Vx,-veA din
a*x=a xy saudin x*a=yxa rezultd x=y.Dacd a * x = b * x = a = D spunem cax€E este element cu
care putem snzplifica la dreapta.
Dactr .r * a = x * b = a = b spunem cdxeEeste element cu
care putem sirzplifica la stdnga.
5. Element singular. Fie legea * definitA pe nrullimea A. Un ele-
ment.r€A se nume{te singular dacdVaeA ate loc r*a = d*s =.r.Exemolu. 0 este element singular la illmulfirea in R.
Otrservafie. Se pot defini elemente singulare la stinga' la dreapta.
6. Elenrcnte sintetrizabile. Fie o lege * asociativa qi un element
neutru / definita pe mullimea A. Un element ,r€A se nume$te
simetriubil fa15 de legea de cornpozilie x, dacl at'e A astfel incat
:t' * x = x * x' = e. Elementul -r'se nume$te simetricul lui r 9i este
unic.Exemple: Pe N, falI de inmulfire singurul element sinretrizabil
este l. Pe Z falh de adunare orice xez este simetrizabil (are ca
simetric pe - -r).Dactr legea datl este aditivl simetricul lui -r (care este simetri-
zabil) se nunre$te oprrs gi se noteazf, - x.
g(ai,a1)
I 14 Fonnule utile pertru elevii claselor IX-XII
Dacd legea data este multiplicativA simetricul unui element
simetrizabilx se numefte invers gise noteza r-' ruu l.x
Au loc egalitaf ile: x-' = (r-' ) ' n€N*, x * 0, xeA gi
(- n)-r = n(- x), neN*.Fie o lege de compozilie * datl pe A care este asociativ[ 9i cu
element neutru. Au loc:
a) Dacb a,beA sunt simetrizabile atunci a*b este simetrizabilqi (a * D)' = b'x a'.
b) PentruaeA simetrizabil areloc (a') = a.
c) Dacd d€,4 este simetrizabil, iar De A nu este simetrizabilatunci a * b 9i b x a €A nu sunt simetrizabile.Observafie. Se poate defini simetricul la stdnga (la dreapta).
Spunem cd;reA este simetrizabil la st6nga (la dreapta) inraport cu legea x dacl 3-rieA (respectiv x',1eA) astfel incat
x'r* x=s, (respectiv"r * x'd=ert).'1. Distributivitatea snei legi fafl de alt[ lege. Pe mullimea Aconsiderdm doul legi de compozilie x gi -1.a) Dac[ pentru orice a,b,ceA ere lss ax(bLc) = (axb)L(a*c)spunem ca operalia * este distributivf, Ia stinga fafd de operatia 1.b) Dac[ pentru orice a,b,ceA areloc (a-J,b)*c = (d*c)-L(b*r) spu-nem cd operafia * este distributivi la dreapta fa{tr de operalia I.c) DacA *este distributiva atat la stanga cat gi [a dreapta fa{[ de
operafia -L atunci spunem ca operatia * este distributiva fafa de I.
lijrmule utile penhu elevii claselor IX-XII
Capitolul 19. Structuri algebrice
Se nurneqte structutd algebricd o mulfime A de elemente pe
care sunt definite una sau mai multe operalii (notatd (A, *) sau
(A, *, o, I, T).
19.1. Parte stabiltrDelinifie. Fie (A, x) o structura algebrici qi BcA, B * A. DacL
Va,beB rezultd a*beB, atunci spunem cA B este stabil[ a lui A in
raport cu operalia *. Despre legea de compozilie x '. BxB --> B
spunem ca este indusd de legea de compozilie din A.
Exemole. (N, +) este parte stabild a lui N in raport cu adunarea;
(R, .) Si QcR, Q este parte stabild a lui R in raport cu inmullirea'
Observa(ie. Propriet{ile pe care Ie are operatia * in A le are $i
legea industr de eape BcA.
19.2. SemigrupDefini{ie. O structurf, algebric[ (S, x), unde mullimea S + O 9i x
este o lege de compozilie pe S se numeqte semigrup dacf, legea *
este asociativd.in cazul cdnd legea * este li comutativa semigrupul se va
numi semigrup comutativ. Exemple. (N, +); (Q, ')t ("//,(:C), +)
in cazul c6nd (S, *) este semigrup 9i AcS, A * A, (4, *) este
semigrup, atunci A se nume$te subsemigrup al semigrupului S'
19.3. MonoidDefini{ie. O mullime nevidaM estemonoidir' raport cu legea de
compozilie * definith pe M dac6
Mr. Legea * este asociativa x * (y * z) = (.r * y) * z, V x)t,ze A'
ll5
=1xn
I I 6 Formule utile pentru elevii clarelor IX-Xll
M2. lrgea * are element neutru (:e€M astfel incat e * x ==j6*s=a,YaEM).
Spunenr cA monoidul (M, *) esle comutativ dacA:
M3. Legea * este comutativd (x * y = y * x, V x,ye lv[).
Exernole: (N. ')r (2. -)t ( , //n(Ct. +).
Se observd cA orice monoid este subgrup.Dat un monoid (M, *) se poate defini submonoidul (A, {.) al
monoidului (M, *) daca AcM, A + a si (A, s) este monoid.Delinifie. Fie (M, *; un monoid. Un element x e M se nume$te
element simetriubil al monoidului M fatd de operatia ,,*" daca
existA un element -r' € M astfelincat-r * x' = x' x r = /. NotAnlu(M) = {x e M I x simetrizabil}.Observalie. U(M+A, deoarece eeU(iO, e fiind elementul neutru.TeoremI. Fie (M,' )un monoid $i jr € M. Atunci:
t)/'' /' =./'--, (V)n,rt€ N;
zy Gu)^ = x"'^ , (Y)n,,r € N.
Dao6, in plus, xe U(M) (.x este inversabil) egalitatile precedente au
foc pentru otice n,meZ.Teoremtr. Fie (M, +) un monoid qi xeM. Atunci:
l) rtt + na = (n + nt)x, (V) n,rrr e N;2) niln-r(= (nru)x, (V) n,rre N.
Dac6, in plus, -reU(M), egalitAlile precedente au loc pentru orice,1,nt€2,Observalie. Rezulti, in particular, cA orice doud puteri naturaleale unui elernent (respectiv orice douA puteri intregi ale unuielement iuversabil) comutd intre ele, adic6./' . l" = {'. f,(V)n,rrre N [respectiv, (Y)n,nrcZ, cind -re U(I[)].
Corespunzitor, in scrierea aditivd, oricare doi multipliicomutA: ,Lr + fia = mrc + rrr, (V)n,rneN (respectiv, (Y)n,nrcZ,cind xe U(M)).
Fonnule utile ;crtru elevii claselor lx-Xll 1 l7
Defini{ie. Fie (S, *) un semigrup. O submul{ime nevidtr A a lui S,
care este parte stabil[ fa1a de operalia ,,*", se nun'le$te
subsentigrup al semigrupului S. Aceasta inseamnd ca (,4, *) este
tot un semigrup.Dac6" in plus, elenlentul neutru e'al monoidului A coincide
cu elementul neutru e al monoidului M (echivalent, c€,4), atunciA se numegte sabmonoid unilar al monoidului M.Delini(ie. I) Fie (S, *) gi (S', ") doud semigrupuri. O aplicatie
/ : S -+ S'cu cu proprietatea cA: /(r * y) = /(-r) " /Cv), (VEy€Sse nurne$le morllism de semigrupui.
2) fie (M,,r) qi (M', .) doi monoizi. O aplicatie f : M -+ M'care este morfism de semigrupuri se nume$te morfam de
monoizi. DacI in plus / satisface proprietatea: f(e) = e', ul.de e, e'sunt elemente neutre din M, respectiv M', spunem ca / este un
morfim unitar de monoizi.3) Un morfism de la un semigrup (monoid) la el insuqi se
ntrmelte endomorfisnl al acelui semigrup (monoid).Observalie. Prin compunerea a douA morfisme de semigrupuri(respectiv de monoizi) se obline un morfism de semigrupuri(respectiv de monoizi).Delini{ie. l) Un morfism de semigrupuri, respectiv de monoizi,care este inversabil (func[ie inversabili, cu inversa de asemenea
morfisrn de grupuri, respectiv monoizi) se nume$te izomorfism de
semigrupui rcspectiv izomorfism de monoizi.2) Un izomorfism de la un semi$up (respectiv monoid) la el
insuqi se nume$te automorfism al acelui semigrup (respectiv
monoid).3) Dac[ intre doutr semigrupuri (monoizi) se poate defini un
izomorfism, spunem ca semigrupurile (monoizii) sunt izomorfe(izomorfi). Scriem (S, x; = (S', .), respectiv (M, *) = (M', o).
Teoremtr. Orice izomorfism de monoizi este un morfism unitar.Teoremii. Un morfism de semigrupuri (monoizi) este izomorfismde semigrupuri (monoizi) dac[ qi numai daca este bijectiv.
-
l l8 Fonmle utile pentru elevii cla*lor IX-XII
19.4. GrupFie G o mullime nevidl 9i * o lege de compozilie pe G. per
chea (G, *) se nume$te grup dacd:G1. legea este asociativd;G2. Iegea x are element neutru;Gl. orice element al lui G este simetrizabil.
Dactr, in plus, legea * are qi proprietatea:Ga. legea * este comutativd
Spunem cA grupul (G, *) este grup abelian (sau comutativ).Exemple: (2, +); (Q, +)l (Rr, .): (../1,., (C), +): (2,,, +) este
grup abelian, numit grupul claselor de resturi modulo n.
Fonnule utile fErilu elevii claselor IX-XII I 19
Teoremh. Fie G o mul{ime nevida inzestratA cu o operatie nota6multiplicativ. Atunci (G, ) este un grup dacA $i numai dacA sunt
indeplinite axuimele:G'1) Operafia este asociativa;G':) Pentru frecare a,beG ecua{iile a,c = b $i xa = D au solutiein G.Teoremtr. Fie G o mullime nevidi inzestratd cu o operatie notata
multiplicativ. Atunci (G,' ) este un grup daci 9i numai daca sunt
indeplinite axiomele:G"1) Operalia este asociativtr;
G"2) Existd ee C astfel incat ex = x, Y xeG:G":) Pentru fiecare xe G existi -r e G astfel incat ,v:r = e (se poate
formula o propozilie asemanAtoare pentru intnulJirea la dreapta).
Ohservalie. Dac6 grupul )G, ) este abelian, putem simplificaprintr-un element indif'erent daca acesta este situat la st&lga sau la
dreapta. De exemplu: xz = zy e x = y.
Teorem[. Daci intr-un grup (G,' ) avem x2 = e, (V)xe G, atuncigrupul este abelian.
Observa[ie. in grupul lui Klein arem/- = e, (V).reK $i acesta este
un grup abelian.Gruouri remarcabile
1. Grupul claselor de resturi modulo n. Fie neN* I Zr= {0 , i ,
2 , . . . , ;:l ) mullimea de resturi modulo n. Definim operalia
+ : Z,xZn-)Z,, (a,b) --s k+6 = {lu.Atunci (2,, +)
este grup aditiv al calselor de resturi modulo n.
2. Grupul rddf,cinilor de ordinul n ale unit6{ii este grupul ( U, , ')
abelian finit in care n€ N+ iar I) n = lzeCl zn = I ) este mul{irnea
ridhcinilor de ordinul n ale unit[tii date de formula
2kn zkn . -
ai =cos-+l sln-, k= I,n- t .
nn
Reguli de calcul in grup: l) a".a'n ={t'*^ , b')^ =o". ,
vae 6. rr,ae N+ . D b,, ), = (r, )-, , vae G qi rre N*.3) ab = at: * b = c; ba = ca = b = t:,ya,b,ceG.4\ ila = g + a + ... + a, Vne N+, ae G; n(- a) = - (tta), VneN*.
n ori
Observalie. Un grup este un monoid in care orice element estesimetrizabil, adicl in care U(G) = G. Reciproc nu este adevprat,adicf, nu orice monoid este un grup.Defini{ie. Fie (G. x; un grup. Dacd mullimea G este finita spunemcd grupul G este finit, iar numf,rul elementelor (cardinalul)mullimii G se numegte ordinul grupului. Dacd multimea G esteinfinitd, spunem ca G este un grup infinit, sau av0nd ordinul -.Teoremtr, Fie (M,. ) un rnonoid. Mullimea U(M) a elementelorinversabile din monoidul M este un grup relativ la operatiamonoidului, numit grupul elementelor inversabile (grupulunitAlilor) din monoidul M.
120
Se mai scrie
, 2tt..2nq=cos-+tsil'l-
Fornule utilc frertru el
u, =b,E,L'....,6'-']={E"lr.a} unde
l:onnule utile peDtru elevii claselor IX-XII
Tabla de operatii este:
S), 56 i S.,
Defirii{ie. O mul{ime AEG a unui grup (G, *) se numefte subgrulal grupului (G, *) dacI legea * din G induce pe.4 o lege de
compozilie astfel incdt (H, *) sa fie grup.Exemple de subgrupuri: 1) (2, +) este subgrup al grupului (Q, +).2) (Q+, .) este subgrup al grupului (R*, .).
3) (R*, ') este subgrup al grupului (C+, .).
Defini{ie. Fie (G, *) un grup Ei .re G fixat.
l'. Dacf, (:yre W* ct x" = e cel mai mic numdr neN* cu aceasti
proprietate se nume$te ordin u/ elementului x in grupul G.
2". in caz contra, adicd (V)ze N* = xn + e , spunem ci elementur
x are ordinul - in grupul G.
Exemple: I ) in grupul (Q*, .), elementul - 1 are orclinul 2.
2) in grupul (C*, .), elementul I are ordinul 4.
3) in grupul (R*, .), elementul 7 are ordinul -.DeJinilie. Fie (G, ) un grup qi rcc un element fixat- Submul-
limea lui G formatd din toate puterile intregi ale elementului -r,
adic5: <, > = { ro lk Zl "tt"
un subgrup al grupului 6, numitsubgrup ciclic ger.erzl de elementul ,.Exemple de subgruouri. ciclice:
1)ingrupul(Q*,.)avem:<*1 >= lGDr l*eZl ={-1, l}.2)ingrupul(C*,.)avem: <i>= { (Dr lkezl = {1,-1.-,,,}.
121
j S, S., 56
srisosyI
s,
S,,3. Crupul permutlrilor de ordinul n. Fie M = 11,2,..., ,r) $i
o.. M ) r.o J -'.,. -1". -|l ,l s-a notat s, rnutlimeaIottl o(z) ... o('r)/
tuturor permutdrilor de ordinul n gi definim compunerea
pennutdrilor o : S, -) S,, , (o, rp) -+ o " <p.
Grupul ( S, , o) (care este grup finit de ordinul z !) se nu-
me$te grupul permuttuilor de ordinul x.
4. Grupul (G, .) unde Q = le, a, oz , n3 7 qi
grupul ciclic generat de elementul a-
5. Crupul lui Klein.
a4=esenume$te
Pe planul 17 = p1p inzesffat cu reperul xoy se considerdurmtrtoarele transformiri :
a) aplicalia identicd a planului:l : ?--s 'fl i(x, y) = (x, y);
b)simetriain mportcu Or: S, :,7-->,? Sr1x,y)=(A -y);
c) sirnetria in raport cu Oy: S , : ,?--s ? S , (x, y) = (--r, y);
d) simetria in raport cu O: 36: ?-+ @, 561x, y) = (-.r, -y).
Pe mulfimea r( = {i, S.r , Sr, , So } se defineqte operalia,,o"
de compunere a funcliilor. Grupul abelian (K, .) se nume$tegrupul lui Klein.
122 Fornule utile pentru elevii cluElor IX'XII
3)ingrupul(R*,.)avem: <7>= { <lf lfeZl= {, + 1r'' l'1,7,72,...1.Teorema lui Lagrange. Ordinul oric[rui subgrup al unui grup
finit este un divizor al ordinului grupului.Consecinle. l. intr-un grup finit ordinul oric6rui eletnent este finitgi este divizor al ordinului grupului.
2. Pentru orice ,reG ate loc x"''l(") =4, unde e este slementul
neutru al grupului G,
3. Orice grup de ordin prim este grup ciclic.
Funclii aritmetice. Func{ia lui EulerDeJini(iiL Se numeEte funclie uritmeticd orice funclie / : N* -+ C.
Notam mullimea funcliilor aritmetice cu F".
2. O funclie aritmeticd /eF. se il)me$re funclie multiplicativd
dacd f * 0 9i /Qn . n) = f(nt) ' fQr) pentru orice pereche de
numere ,rr, n relativ prime (nr, n) = 1.
3. Spunem cd funclia aritrnetici JeF" este o funclie complet
muttiplicativd daca f * 0 qi JQn ' tt) - f(nt) /(n) pentru orice
pereche Qn, n)e N+ x N*.4. Dac[ (G, *; qi (G', o) sunt doul grupuri, func{ia / : g + 6'senume$te morfism de grupui dacd f{x * y) = /(, ' "fcv),(V)ayeG.5. Un morfism cle grupuri f : G -+ G'se numeqte izomorlism de
grupuri dacf,J este o funclie bijectivd.
6. Un morfism de grupuri f : G -+ G se numeqte endomorfism al
lui G.7. Un endomorfism al lui G care este Ei izomorfism se numefte
automorfism al fui G.
Fonnule utile peum elevii claselor IX-XII 121
8. Func{ia aritmeticf, rp : N* -+ N*, qfr) = numlrul numerelornaturale k, mai mici sau egale cu n gi prime cu lr, se nume$te
funclia aritmeticd a lui Euler.Teoremtr. Funclia lui Euler q : N* -+ N* are expresia
oo,r =,.[r-11[,--L] [, I l. una. p,. p2,.... p,,, sunr
I p,/[ P,) \ p.)numere prime care apar in descompunerea lui n in factori primi,t,l-t,\tt= Ot ' Or' ""' P; )'
Teoremtr (Fermat). Dacd peN* este un numdr prirn qi aeZ un
num5r intreg, atunci af' = a(mod p).
TeoremE (Wilson). Dacd p > 2 este un numdr natural atunciurmAtoarele afirma!ii sunt echivalente:
l'.p este numf,rprim; 2".(p -1) !+ 1 = 0(modp).Teoremtr. Fie J : G + G'un morhsm de grupuri. Notdnd cu e, e'elementele neutre din grupurile (G, ") respectiv (G', .) avem:
1". f(e) = s'. 2". f(x' )= [,ftrll-', (v)-reG;
3'. f ( *" > [f txl]' , (v)xe G, (Y)nez.
Remarca. Transcrierea aditivl a teoremei de mai sus conduce la:
l'. /(0) =0i 2". f(- x) = - f(x): 3" f(nx) = nf(x)' (Y)xeG'(Y)neZ.DeJini\ie. Dactr / : (G. .) -+ (G'. .) este un morfism de grupuri,
submullimea lui G definita prin: Ker 1 = lxeGlJk\ = eJ se
nume;te nucleul morftsmului f .
DeJinilie. Un grup (G, +) se nume$te finit dac[ G este mullimefinita gi card G se nume$te ordinul grupului. Dactr G este infinitagi grupul se nume$te grup infinit.
111 Forlnul( utilc leilttu clcvii claselor IX.Xll
19.5. InelFie A o mullime nevidf, pe care s-a defirrit doud operalii
inteme ,,+" qi ,,." nurnite adunare respectiv irrmullire. Se numeEte
inel tripletul (A, +, .) dacd au loc axiomele:Ir. (A, +) este grup abelian;12. (A, .) este semigrup;I:. Inmullirea este distributivd fa{d de adunare:
a.(b + c)=a.b + t:.a, (b + c).a--b.a + c.a,Va,b,ceA.Daci (,4, .) este un monoid atunci (A, +, .) se nume$te inel cu
element unitate sau inel unitar
^ Daca are loc gi axioma:
Ia. lnmul{irea pe A este comutativ4 atunci inelul este comutativ.Elementul nul al inelului este elementul neutru al grupului
(A, +), notat cu 0.Elementul unitate al inelului este elementul neutru al
monoidului (A, .), notat cu 1.
Exemple: (2, +, .): (R, +, .), (. /1,,(Cl. +, .) inelul matricelor
pAtratice de ordinul ,r, (C[Xl, +. .) inelul polinoamelor cu
coefrcienti complexi, (7.lil. +, .) inelul intregilor lui Gauss unde
Zlil = la + ibla,beZ. i' = - I ).Regulidecalculintr-uninel: l) I *0; 0.-r=.r.0=0, VxeA;
2) (--r).y= jr.(-)); (-x).(-y) ="r.); (-x)'=-rtr penffu,r
numir par qi (-r)" = *,r' pentru,r numdr impar; .r'Cv - z) =
= x.y -x Z: O -z). x = y' x - z. x, Yx,1t,x6!.
^ n n , ,. ,Fl n-2 n-l - )h+l 2n+lJ) .r -) =(J-y)(.r +Jr J+...+y ); r + y
=(x+,v)(.{2n -x2'-1y+...+ y2'; . vayeA.Teoremtr. in orice inel au loc egalitlfile:I ) -r. 0 = 0. x = 0, (V)-reA (se spune cA 0 este,,absorbant");
I-innrule utile pcnrru elevii claslor IX,XII l2S
-. [x'(- v) = (--r). ] = *.r' vt) 1. . .'',(V)x,yeA(,,regulasemnelor"la[(-x).(-v)=x.y inmullire).
- [.rt v -.) =.rv -.r:J) i. .(V),r.y,:eA (innrullirea este distributiva{ (.v - ;)x = ,x - ?J lata de ,.scAdere'').
Teoremtr. Dacd A este un inel cu element unitate, urmdtoareleafi rmafii sunt eclrivalente:l) Inelul A con{ine cel pulin 2 elemente.2)0*1.Teoremtr. DactrA este un inel cu elentent unitate gi 0 * l. Atunci:I ) Elementul nul 0 nu este inversabil, adica 0e U(A).2) Dacd.re U(A), atunci $i -.re U(A).Tcoremtr. Fie A un inel cu element unitate. Daca elententul .r€Aeste inversabil, atunci x nu este divizor al lui zero.Teorem5. Fie A un inel integru. Pentru oricare trei elementea,x,yeA, ca a * 0, avem echivalentele:l) cut = ay (+.r = y.
2)xa=va€)r=-v.Definifie. Considerdrn un inel A. Un elementleA cu proprietateaI = .r se numeste elemert idempotent al lui A. Un element .reAcu proprietatea cd (3)neN* astfel incat./'= 0 se numeqte elementttilpotent al lui A.Teoremtr. DacAA este un inel, atunci:I ) Orice element nilpotent nenul din A (dacd existl) este divizor allui zero.2) Dacd, A este un inel cu element unitate, orice element nilpotentdin A diferit de 0 gi I (dac6 existd), este un divizor al lui zero.Teoremtr. Fie A un inel cu element unitate qi xeA un elementnilpotent. Atunci elementele I +,r gi I - _r sunt inversabile.Definifie. Fie A un inel cu element unitate. Dac6 (i)ze N* cuproprietatea n. 1 = 0 (adic6 !+l+...+l=0 ) cel mai mic n cu
n ofl
126 Fomule utile pentru elevii claselor IX-Xll
aceilsta proprietate se nume$te cdrdcteristica inelului A. Altfelspus caracteristica este ordinul elementuhri I din gupul (A, +). incaz conlrar, adici (V)neN* =a n. 1 + 0, spunem cl inelul A arecaracteristica 0.
Teoremtr. in orice inel integru cu element unitate caracteristicainelului este 0 sau un numAr prim.
19,6. Inel integruFie (A, +, ) un inel. Un element ae A, a * 0 (0 este elementul
neutru penru adunare) se nume$te divizor la stdnga (la dreapta)
al lui zero dacl existf, DeA astfel incat ab = 0 (respectiv Da = 0).
Exemple: Dk(Zn,+,'), q *0, 4+0 dar 9.4 =0./0 0\ r0 0\
2) tn (. /4(zt. +,.). a =[j [J+oz $i B =[0 i)*0, au,
AB =02 spunem despre inelul (A, +, .) ctr are divizori ai lui zero
dacd A confine cel pulin un divizor al lui zero.
Se numegte inel integru sau domeniul de integrilale un inelcare nu are divizori ai lui zero, este comutativ qi are elementunitate.Exemple: (Q,+,'); (C,+,.); (ZtN,+,.); (RtE,+,.).
Considerf,m un inel (A, + ). AfirmaJiile urmAtoare sunt echi-valente:
a) A este inel integru;b)Ya,beA, a+0 qi b*0=abi0ic)Ya,beAcu, ab=0=a=0 sau b=0.
Daci (A, +, .) este inel integru atunci Va,.r,yeA cu a l0 are loc:@c = ay e x = y (simplificare la stinga),xa = ya <- x = y (simplificare la dreapta).
FonDule utile pcruu elevii claselor IX-XII 12.1
19.7, SubinelDefinifie. Considerf,m inelul (A, +, .). O mul{ime BcA nevidl senume$te subinel al inelului A dacl legile de compozilie din Ainduc pe B legi de compozi{ie astlel irrcdt (8, +, ) s6 fie inel.Defini{ie. Fie A un inel cu element unitate 1a, iar B un subinel allui A. Spunem cd B este subinel unitar al lui A dac6 B are elementunitate lr, $i are loc lr = la.Teoremtr. Fie (A, +, . ) un inel (respevtiv un inel cu elementunitatel, iar B o submul{ime nevidtr a lui A. Urm[toarele aflrmaqiisunt echivalente:I ) B este subinel (respectiv un subinel unitar) al lui A.2) (V)x,yeB * "r - ye B qi .rye B (respectiv lleB qi (V)aye B =x - ye B si .ry€ B).
19.8. Morfism de ineleDefinifie. Fie (Ar, +,.) qi (A:, x, o) douI inele. O aplicalief : A1 -+ Ar se numegte morfism (sau omomorfism) de inele dacdsatisface:
I ) f(x + l) = "f(x) * /Cy), x,l,€A r;
2) f(xy)= f(x) o f(y), x,yeAr.Un morfism de inele este in acela$i timp gi un morfism de
grupuri (de Ia (Ar, +) la (A:, *)). Dactr Ar = Az = A morfismulf : A -+ A se nume$te endomorfism al inelului A.Definifie. Fie doud inele unitare (Ar, +, .) qi (a,, x, o). Se numeqtemorfum unilar de inele, an morfism f : A1 -: A2 cu proprietatea
"f(t) = l'(unde I qi 1' sunt elementele unirare din A1 qi respectivA).
Fie / : 41 -+ 42 un morfism de inele:a) dacd, f este injectivE atunci f se numegte morfum injectiv;b) dac[ / este surjectivd atunci / se numeEte rzo rfism surjectiv;c) dacd / este bijectivd atunci / se numeqte izomorfism.
128 Formule utile peDtru elevii claslor IX-XII
Dacl / : At -) A: un izornorfism de inele spunem ci inelelesunt izomorfe ($i scriem Ar 'Az).
Un izomorfismJ:A -+A se nume$teautomorfrsm.TeoremX. Fie / : A -+ A'un izomorfism de inele. Daed unul dininelele A sau A'are element unitate, atunci $i celtrlalt inel are ele-
ment unitate, iar izomorfismul / este un morfism unitar de inele.Teoremtr (Teorema fundamental{ de izomorfism de inele). Fie
f : A --+ A'un izomorfism de inele. Atunci:l) Exista un izomorfism canonic de inele A I r*r = Irn.f .
2) Daca / este morfism surjecti v arunci A I x* 1 . /'.
19.9. CorpDefini{ie. Fie K o mullime cu cel putin doud elemente qi douloperafii ,,+" numiti adunare 9i ,,." numitd inmultire. Se numeqte
corp tripletul (r(, +, .) care satisface axiomele:Kr. (rK, +) este grup abelian cu elementul neutru 0;
Kr. (K-{0}, .) este grup cu elementul neutru 1i
K3. Inmullirea este distributivd fa{f, de adunare:
a (b + <:1 = ab + ac, (a + b)' c -- ac + bt:, Ya,b,ceK.Daca este satislicuttr gi axioma:
IQ. inmullirea este comutativA a.b = b.a V a,be K atunci (K, +, .)
se nume$te colp comutativ sau cdmp.Alttr definilie: Un inel (1(, +, .) unitar in care I * 0 (deci are
cel pulin 2 elemente) qi in care orice element nenul este inver-sabil.
Teoremtr. Inelul ( Z, , +, .) al claselor de resturi modulo n este
corp dacd gi numai daca n este nurndr prim (gi se numeqte corpulclaselor de resturi modulo n).
Exemple de comuri: (Q, +, .); (R, +, .); (O( Jt ), +, .) unde
pez-{l} este Iiber de pdtrate .
TeorenrI. Orice corp este un inel integru, adictr lird divizori ai lui7.ef o.
Firrnule utile Jcrlu elevii claselor IX-XII 129
19.10. SubcorpFie un corp (K, +,') 5i KrcK, Kt*A. Ktse nume$te subcorp
al lui r( dacd legile de compozitie din inelul K induc legi de
compozilie pe r(1 astfel incfrt (Kr, +, .) sd fie corp.
Exemplu: (Q, +, .) este subcorp al lui (R, +, ').Teoremfi. Fie (K, +, ) un corp gi L o submullime nevidl a lui K.
Urmitoarele afirmalii sunt echivalente:
l) (1, +, )este subcorp al lui (r(, +, ).
2) (Y)x,ye L = x - ye L $i(V)-r,)eL* = ry- te L*.
Teoremtr. Fie A un domeniu de integritate qi l, un corp care ilinclude pe A ca subinel. Atunci L include corpul de fraclii r( al lui
A. Echivalent spus corpul de fraclii al unui domeniu de integritate
este cel mai mic corp ce conline inelul respectiv.
19.ll. Morfism de corpuriFie (Kr, +, ') li (&, *, o) doua corpuri. O aplicalie f : Kr+ Kz
se numegte morfsm de corpuri dac[:
1).f(.r + y) = f(x) * f 6,), Y x,ye Kt2) f(x . y) = f(x) " f(y), Vx,ye K1.
Proprietate. Orice morhsm de corpud este injectiv.
19.12. Izomorfrsm de corpuriFie corpurile (Kr, +, ) li (K:, *, "). O aplicatie f : Kt -) K2se
nunteste izomorfrsm de corpuri daci:l) / este morllsm de corpun:2) / este bijectie.
Un izomorfism de la un corp la el insuqi se nume$te automorfism
al acelui corp.Dac[ intre dou[ corpuri r( 5i K'existl un izomorfism, spunem ca
ele sunt izomorfe 9i scriem K = K'.
'l130 Fornule utile pe[fiu elevii c]aselor IX-XII
I9.13. Spa{ii vectorialeFie (r(, +, .) un corp comutativ. Se numegte spaliu vectotial
(sau spa{iu liniar) peste corpul K multimea ordonatA (K, % @, O)unde y + A, @ : VxV --> V este operalie internd pe V,
O : Kx7+ Veste operalie extema pe Vcu domeniul cle operatoriK, care satisface axiomele:SVr). ( Y. @) esre grup abelian:SVr). lO (ur @ uu) =i.O vr +), Ovz, V],eK, yr,v:eV;SV3). (l.r +12) O y = lr O v @ lz O y, Ylw,L ze K, Y veV.,SV1). (Ir .tr) O v = trr O (l: O v), V},r,l"ze ,(, Vve V;SVr. 1 O y = y, Vu€ V, unde I este elementul neutru relativ lainmullirea din K.
Exemple:
l. y = { 6 } constAnd dintr-un singur vector (cel nul), este Kspa(iu vectorial, peste orice camp 1(, numit spaliu vectorial nul.2. Spayii vectoriale aritmetice. Fie (K, +,. ) un cdmp qi ne N, iar
K'= Kx...x K= 1i =1x. xz,...,xu) l;rer() pentru n> l gi
n0= {0i (0-elementul neutru al lui K). Daci pentru i = (-rr,x2,
..., x,), ; = St,!2, ...,y,,)eK' 9i aer(definim:
il i + i =(x1 +y1,x2+yz,...,x, +)J $i
ii) qz = (arr, o-r:, ..., o*,,),atunci (K', +,. )este un spafiu vectorial aritmetic n dimensional.3. Spalii vectrtriale de matrice. Pentru un corp (K, +,. ) Si,il,,?€N*, fie nrullimea matricelor de tim,,t x ,1 cu elemente din r(:
. //,,,,,,1K) = lA = (ati\. a,leK, i - l.nt, j =l- |
Pentru A = (ar) 9i B = 1b,,)eJl,,, qi ae K definim:
!:omule utilc pettru elevii claselor IX-XII 1 3l
i A + B =(aii + b,), i=Ln,. j =1.n.
li) aA = (aai), i = t. rt . j =t^ n,
atunci tripletul (../1,, ",(K),
+, ) este un K spa{iu al matricelor de
tipmxn.4'. Spa[ii vectoriale de polinoame. Fie r<[X] mullimea
polinoamelor in nedeterminata X, cu coeficienJi, dintr-un cimp(K. +, '). Considerdnd ,.+" ca ilind adunarea uzuald a
polinoamelor din I([Xl 9i ,; " inmullirea unui polinom din KlXl cu
elemente din K, obtinem spaliul vectorial (,qXJ, +'' ).
Reguli de calcul in spaliul vectorial y1) ). O 0y = 0v, Vl.eK qi 0 O u = 0rr, Vve V iar 0 este elemen-
tul neutru la adunarea din K.
\ tr A v=0v dacd$i numai daci)'=0 sau v =0y.3)l O (- v) = (- )") O v= -(l o v), Vl.eK$i vey;
(-i)O(-v)=)"Ov.
19.14. Subspa{iu vectorialFie un spaliu vectorial (K, V, O, O) peste corpul K qi ScV'
Atunci (S, O, O) se nume;te subspaliu vectorial al lui V, dactr S
este spaliul vectorial peste corpul I( in raport ou operaliile O
respectiv O.Atunci cdnd nu se pot confunda operatiile @ $i O ce vor nota
+ respectiv ..
Fie spafiul vectorial (K, V, +, '). Mulfimea de vectori {v1, u2,
..., v,,) c Yse nume$te:
- liniar indepentlentd dacd din l.rvr + )'zvzt ... +1",,v,=5,
=),r=12=...=1,,=0, l,e K. i =l.n I
- liniar dependentd dacd existf, )'r,)' 2,...,tr,,€ K, nu toli nuli
astfcl ?ncit 11u1 * i'2v2 + .. . + )',v, = Qy
132 Fomrulc utile JrcDu! elevii cluselor IX-XIi
Teoremi. Fie (7, +,' ) un spatiu vectorial peste K. O submultimenevida W c y este spatiu vectorial peste K, in raport cu restricliilela W ale operatiilor fa{tr de care V este spa{iu vectorial, dacA $inumai dacl:a) "r' y 6 W, (Y) x,y e W;
b) ctr € I4l, (V) s e K, x e W. in acest caz !7 se numeqtesubspaliu al lai V.
19.15. Bazf,Mullimea let, et, ..., e,,) de vectori din spaliul vectorial (K, 7,
+, .) constituie o bazd a acestui spatriui vectorial daci rnullimea
ler, ez, ..., e,,) este liniar independentf, gi ea genereaztr spa{iulvectorial (K, y, +, -). Numlrul ,1 se nums$te dimensiunea bazei.TeoremI. a) Orice spaliu vectorial (care nu se reduce la vectorulnul) admite cel pulin o baz[.
b) DacI un spa{iu vectorial admite o baz[ finitd cu n elemente(neNx), atunci orice bazi a sa are tot n elemente (un astfel despaliu se numeqte n - dimensronal $i se noteazf, V,,).
TeoremI. Se cousideri V,, un spaliu vectorial peste corpul K gi
nrullimea g = le1, e1 ..., e,,) inclusl in y,,- Atunci, B este o bazd a
lui % daci qi numai dacl orice -y€y,, se poate scrie in rnod unicsub forma: x = x(r * x1e2 + ... * xt€tr, xieK, i = 1,2, ..-, n (ca ocornbinafie liniari a vectorilor din B).
19.16. Coordonatele unui vectorDacf, {e1, et ..., e,\ este baz[ in spafiul vectorial (K, V, +,.\
qi un vector ueVse scrie v =),er*),zez* ... +),,e, atunci scalariitrr,l :,.. .,tr ,e 1(, unic determina{i se numesc coordonatelevectorului v in baz\, datd,.
Fonilule utile pentru elevii clasekf IX-XII 1 33
TeoremI. Fie. y,, un spatiu vectorial peste r(, de dimensiune finitdn. Atunci, oricare n vectori liniari independenli al lui % fbnneazlo baza pentru 14,.
Definifie. O aplicalie /: V+ V'se nume$te:
l) morfism de spalii liuiare (vectoriale), dac[ verific[ proprietl'
tile:a) /(.r + y) = /(r) + f(v), (V)ir,) € 7 (se spune ca / este aditivd);
b) /(Lr) = l"f(r, (V)l€ 1(, (V).re v ( se spune cA / este omogena).
Un rnorfism de spaliu liniar de ta un spa{iu la el irrsuqi se nume$te
endomorfism.2) izontorfiun de spa{ii liniare (vectoriale), dac[ verifici proprie-
tilile:i) / este morlisnr spalii liniare.
ii) / este biiectivl.in acest c.v spunem cE spaliile vectoriale V qi V' sunt
izonrorfe Ei scriem V z V'. tJn izomorfisnl de la un spa{iu liniar la
el insuqi se nume$te aulomorfism.
19.17. Aplicatii liniareFie doud spalii vectoriale peste acela$i corp comutativ tr,
(K, V. +, .) qi (r, Vr, +, '). O tunclie f : V --> Vi se nume$te
aplicayie liniord a lui Vin Vr daci au loc proprietafile:
I ) Vvr,v:e V avem /(vr + v2) = J(v1) + f(v) (f este aditivf,);
Z\ VXe K, Vve Vavem J(tr v) = tr' /(v) (J este omogeni).
Consecin{e1. Dacf, f este aplicalie liniari de la V la V', atunci:
f(cra + Fv) = c-f(&) + B/(v), (V)o,p€R, (V)r,ve V.
2. Dacd 0r,e V este vectorul nul din l/, iar 0r" e 7'este vectorul nul
din V', anrnci are toc /(0r) = 0r" ' oricare ar fr f : V --s Y'aplicafieliniartr.
134 Fonnule urile rentru eleviiclaselor IX-Xll
3, Pentru f :V--+V', aplicaiie Iiniar6, avem f (-u) = *f(u), (y)ueV.
4. Dactr h1,u1...,u7€V ;i d\,ct 2,...,o 1€R, J : V --> V, aplicalieIiniarS, atunci f(apt + ct2uz+ ... + atu)= srf(rr) + aif@z) + ...+ odf(ai).5. Dac6 vectorii ut,u2,...,rr€y sunt liniar dependenfi, atunci qi
vectorii imagine f(u), f(uz), ..., f(oi printr-o aplicalie liniarAf : V -+ V' vor fi liniar independenii.6. Dacd vectorii u1,u2,...,uk genereaza pe 7, atunci f(u), f(u2), ...,/(lr) genereazd pe J(y). pentru / aplicalie liniara, unde J(I) == {flul I re 7) reprezinttr imaginea spafiului vectorial 1z prinaplicalia liniard f.Proiectia. Proieclia vectorilor din R3 pe un plan din R3 data de p :
R3 --+ R3, P(x, y, z) = (x, y, 0), (VXx,y,z)e R3 este o aplicalieliniar[.Simetria. Dacd Vs este spatiul vectorial real al vectorilor legali(de 0) din spaliul O"q,3, atunci definim aplicatia 56 : V6 -+ V6 prinS(r)=*u, (Y)ueVs.
Avem S,, (uu + Bv) = o So (r) + P S0 (v), (Y)u,ve V,, ,
(V)o,,Be R. Deci S,, este aplica{ie liniarS, numita simetria centrali.
Rotatia. Fie V, spaliul vectorial al vectorilor lega{i (de 0) din
planul .xOy. Definim aplicatia ,1 3 , % -r V,, , OeR, prin
fis |,1)=f ":'l -vsin:1. rvr[*]. y(,. numita rotaria <re
\ )i r ,rs,nu !)cosu ) \y )centru O gi unghi 0* .
F(rnule utile penn! elevii claslor IX-XII 135
Omotetia. Considerlm aplicalia H!: V,,-+ V,,, H!, fu) = ku,
(V)ile I{, , numita omotetia de centru O gi raport ke R*.
DeJinilie. Fie /, g : V --> V'doui aplica(ii liniare. Spunent cd
aplica{ia liniarl / este egald cu aplicalia liniartr g 9i scrient
f = g dacd f(u) = g(a), (V)re V,
Defini1ie. Fie /, g : V -> V'doul aplicalii liniare. Se nume$te
suma funcliilor f, g, aplica\ia f + I : V -+ V'definiti prin
ff + sxu) = f (u) + g(u), (v)ueV.TeoremI. Suma a dou6 aplicalii liniare este tot o aplicafie liniard.
Delinilie. Fie f : V -+ V'o aplicafie liniar[ qi ],eR. Se nume$te
produsul lui / cu scalarul l, aplicalia notatd l/ definitl prin
),f : v -s v', (),f)(u) =),f (u), (V)ue V.
Teoreml. Produsul dintre o constanta ].eR qi o aplica]ie liniardeste tot o aplicalie liniarl.DeJinilie. Aplicalia g " J : V -+ V" se numegte compunerea (sau
produsul) celor doui aplicalii liniare /, g $i este definitl prin (g .f)(u) = s(f(u)), (V)uev.Teoremtr. Produsul a doui aplicalii liniare este o aplicalie liniarl.DeJini1ie. Aplicafia f : V -+ V este inversabill dacd exista o
aplica{ie g : V--> Vpentru care f o I - I " f = lu .
Teoremtr. Dacd / : y + y este o aplicalie liniarl bijectivd (deci /este un izomorfism de spaliu vectoriale), atunci inversa ei .l'-' :
V -+ V este tot o transformare liniar6.
Cnnl ,i,r; r. . . ... r ;r. I
B;L:u- .,'; ,,u,*.f- rni'' I
I 36 Fomule utilc petrtru elevii olaslor IX-XII
BIBLIOGRAFIEl. E. Beju, L Beju - Compendiu de matematictr; Editura
$tiin{ificA qi Enciclopedicd, Bucuregti, 1978.
2. L Curtui - Memorator de matematicA. Algebr[ pentruclasele X-XIL Editura BOKLET, Bucureqti, 2003.
3. T. Dumitrescu, M.C. Fronescu, V. Pdunescu - AlgebrS.Nofiuni qi formule de baza. Editura CISON.
4. P. Flondor, L. Preoteasa, O. Stiindsild - Matematictr.Manual pentru clasa a X-a, Editura ALL, 2000.
5. A. Gomolea, M. TaraS Chirculescu, G. Caba, D. Sdvulescu
- Matematicd. Manual pentru clasa a X-a, Editura Teora,2000.
6. A. Gomoleq M. TaraS Chirculacu, D. Sdvulescu - Mate-maticf,. Manual pentru clasa a XI-a, Editura Teora, 2001.
7. A. Gomolea" M. Taras Chirculescu, D. Sdvulescu - Mate-maticd. Manual penru clasa a XII-a, Editura Teora, 2002.
8. S. IanaS, M, lena, M. Nicolae - Matematicd Mr. Manualpentru clasa a X-a. Editura CORINT, 2000.
9. Ion D. Ion - Algebrd, Editura Didactictr qi Pedagogicd,Bucuregti,1975.
10. D. V, Ionescu - Complemente de Matematici pentru licee,Editura Didactic[ qi Pedagogici, 1978.
11. C. Ndstdsesca, C. Nild, C. Vraciu -Bazele algebrei. EdicuraAcaderniei, BucureEti, 1986.
12. I. Pop, Gh. Neagu - Algebri liniarl gi geometrie analiticd inplan gi spatiu, Editura Plumb, Baclu, 1996.
13. D. Sdvulescu, M. Chirciu, $t. Alexe, N. Dragomir, T,
Diaconu, A. Petrescu - Matematicd. Manual pentruclasa a IX-a (Trunchi comun + curriculum diferenJiat).Editura Corint, Bucureqti, 2004.
14. M. lenh - Algebrd - Structuri fundamentale penhu liceu.Editura Corint. Bucure5ti. I 996.
137
CUPRINSCap. l. Elenrentedelogic[maternatici .......... ..... . ... 3
l.l. Enun!. Propoziiie. Valoare de adevdr .........-.. 31.2. Opera{ii Iogiceclementare ..,..................... 31.3. Predicat 61.4. Cuantificatori ............... 6
Cap.2. Mul{imi 82.1. Multimi 82.2. Reta{ii intre elenrente 9i multirni 82.3. Retalii intre nrullirni 82.4. Operalii cu n:ullimi 92.5. Teoreme 122.6. Ra{ionamentul .............. 13
Cap.3.Mul1irneanumerelorreale................. 15
3.1. Mulfimi de numere 15
3.2. Ordonareanumerelorpe axa ....................... l63.3. Intervaledenumerereale ................. .. .. .. l63.4. Valoareaabsolu6sau modulul ................... 1'7
3.5. ProprietAtile modulului l83.6. Operalii cu numere reale ........................... l83.7. Puteri intregi ale numerelor reale .....'........... l93.8. Identitafi ...... 203.9. Radicali ....... 203.10. Puteri cu exponent rational ................-....... 2l3.1 l. Operafii cu radicali 223.lZ.Baze de numeralie 233.13. Numere zecimale ....... ........ 243. 14. Transformarea frac{iilor zecimale ......... . ...... 253.15. Rapoalte ...... 263.16. Propo4ii ....., 263.17.$irderapoarteegale.......,.... 283.18. Mlrirni direct gi invers proportionale 283.19. Reguladetrei simplf, ........... 29
138
3.20. ProcenteCap. 4. Calculul probabiliralilor
4.1. Evenimente. ProbabilitIti4.2. Probabilitali condilionare4.3. Evenirnente independente4.4. Scherne clasice de probabilitate4.5. Variabile aleatoare4.6. Operatii cu variabile aleatoare
Cap. 5. l.ogaritmi ................ .
Cap. 6. Ecuafii6.1 . Ecualii de forma ax + b = 0, a,beR6.2. Ecualii deforrnaa,r + by + c=O, a,b,ceR .....6.3. Ecualia de gradul Il6.4. Formulele lui Vidte6.5. Ecualia de gradul al treilea6.6. Ecuatia de gradul al patrulea ... ... . . .
6.7. Ecuatii iralionale6.8. Ecuatii reciproce6.9. Ecuatii bipatrate6.10. Ecualii binome6.11. Eoualiitrinome6. I 2. Ecuafii exponentiale6. I 3. Ecualii logaritmice
Cap. 7. Sistenre de ecua{ii7.1 . Metode de rezolvare
a) Metoda graficab) Metoda substituliei ... . . .... ... . .. .
c) Metoda reducerii ..................7.2. Sisteme de forma .r * y = 5,' ry = p .............7.3. Sistemedeforma na+n=v: of +bx+c=v
Cap. 8. Inecualii gi sisterne de inecualii ... .. .. . . ... . . .... . ..8.1. Inecuafii de gradul int6i8.2. Sisteme de inecualii de gradul intrli ...............8.3. Inecua(ri de forma (ax + b) / (nu + tt) < 0 ......
3030303334)43636373939404t424344444445464646
4"t
4848
8.4. lnecua(ii de gradul al doilea8.5. Sisteme de inecualii de gradul al doilea8.6. Inecuafii iralionale ..8.7. Inecualii exponenfiale8.8. Inecualii logaritmice
139
5253535354555555565657
5'7
585858596l6l626263636565
Cap. 9. Funclii9. I . Produs cartezian. Reprezentare geometric6 ......9.2. Definitia lirncliei ..........9.3. Restriclii. Prelungire9.4. Moduri de a defini o functie9.5. Funcfii monorone9.6. Graficul unei funclii9.7. Compunerea funcfiilor9.8. Func{ia identici .......,.9.9. Funclia constanta9. I 0. Funclii injective, surjective. biiective9.1 L Variatia unei func1ii9. I 2. Funcfia de gradul intdi9.13. Funcfiade gradul al d"il;; .........,,........ ..:.9.14. Semnul funcliei de gradul al doilea ...............9.15. Monotonia funcliei de gradul al doilea ..........9. 16. Funcfia caracteristica a unei multini9. I 7. Funclia putere ...........,..9. I 8. Funclia radical9. i 9. Funcfia exponen{ialA9.20. Funclia logaritmic69.21. Alte funclii ... . . . .. . ..
Cap. I0. Progresii10.1. giruri numerice10.2. Moduri de definire a unui qirI 0.3. hogresii aritmetice10.4. Suma termenilor unei progresii aritmetice10.5. Progresii geometrice10.(1. Suma termenilor unei progresii geometrice
666768686869'70
707\
48494949505l5l52
l4l140
Cap. I l. luducliamatematicl ..............I Ll.Induclia11.2. Axioma de recurenli a lui Peano .......... ......I 1.3. Metoda induc{iei ntatentatice
Cap.12. Combinatoricl qi binomul lui Newton
I 2.1 . Perrnutf,ri12.2. Aranjamente ................12.3. Cornbindri12.4. Triunghiul lui Pascal
12.5. Binornul lui NewtonCap. 13. Mulfimea nunrerelor contplexe
I .l . Forma algebricl a numerelor complexe . . .... '..1.2. Reprezentarea geonretricf, a numerelor complexe
1.3. Operalii cu nuntere complexe scrise sub
formdtrigonometricd ........ .. . ...... ...... 80
1.4. Rldiciniledeordinulnaleunitatii .. .... . . . 80
Cap. 14. Polinoame cu coeficien{i conrplecai ............... 81
Cap. 15. Matrice qi determinanli . ..... 9ll5.l . Matrice ......' 91
15.2. Operatii cu matricc 93
l5.3. Permutlri . . .. 96
I 5.4. Conrpunerea sau produsul permutf,rilor .. . . .. . . . 96
I 5.5. Inversiunile unei permutiri ... . . . . . . ...'.. 97
15.6. Semnul unei permutdri 98
l5.7.Determinarlli ................ 98l5.8.Tipuridedetentrinan(i ......'...10115.9. Rangul unei matrice .......'..... 102
I 5. 10. Matrice inversabile ................ .............. 102
t 5. I L Matricea reciproci ........... -.................. 103
16. Sisteme de ecualii liniare ................. ... ..... 105
17. Sistenre de ecuatii omogene ................. ...... 108
l8.Relatiibinare........... ...........10918.1. Legi de compozilie binari ...............'......... I l0Iti.2. Legi de compozi{ie interni deiinite pe o mullime I I I
18.3. Partea stabiltr a unei multimi fat[ de o lege .1ll115
7272
7273'13
74741576777779
Cap. 19. Sn'ucturi rlgebrice19.1. Parte stabila " " l t5
l15115
116124125t21t27128129129130
130131
132132133
136
19.2. SemigruP19.3. Monoid ... ..
19.4. CruPI 9.5. Inel
19.6. Inel integru19.7.Subinel . .
19.8. Morfism de inele
19.9. CorP
19.10. SubcorP..'19.ll. Morfismdecorpun':"""""" " "'19.12. lzomorhsm de corPun
19.13. SPa[iivectoriale19.14. SubsPalii vectoriale
19.15. Ba2h ..... """19.16. Coordonatele unui vector
19.17. APlicaliiliniare
Bibliografie
cap.cap.cap.
www.meteorpres.roOferta editurii METEOR PRE,SS
Comenzlle, distribu{la Ei corespondenta se fac pe adresa:
Str. Bahluiului nn 1,0112E1, scctorul l, Bucureqti, C.P. 41-12E
e-mail: [email protected]
Tel.: 021.222.33,12; t'ax: 021.222.83.E0;
e-mail : comenzi @meteorpress.ro
ESENTTALE
Trigonometrie 9i Geometrie - cl. lx-Xll - D. Sdvulescu
88 pag. 9x12 cm 3,50 lei
Analizi matematicd - cl. Xl-Xll - D. Siivu/escu,
T. Deaconu, C. Dragomir N. Dragomir
72pag. 9x12 cm 3,50lei
Matematicd - cl. V-Vlll - D. Sdvulescu, l. Rogu
64 pag. 9x't2 cm 3,50 lei
Fizicd - cl. Vl-Xll - O. Crocnan, T. Julea
192 pag. 9x12 cm 5,00 lei
Geografia Rom6niei cl. a Xll-a - C. $erban, N. Burcea
120 pag. 9x12 cm 5,00 lei
Chimie organicd - L. L Doicin, A. Stoica
104 pag. 9x12 cm 5,00 lei
Limba romAnd cl. V-Vlll - gt. ltinca,l. prodea,
P. Constantin 112pag. 9x12 cm 3,50 tei
Geografia Rom6niei cl. a Vlll-a - C. gerban, N. Burcea
96 pag. 9x12 cm 3,80 leilstoria rom6nilor cl. a Vlll-a - Vasile pdsditd
96 pag. 9x12 cm 3,50 lei
GIMNAZIU
Matematicd - ex. 9i probl. - cl. a V-a, sem. I 2010-201.1 -Gheorghe Drugan, lon Ghica
208 pag. 13x20 cm 10,00 teiMatematicd - ex. 9i probl. - cl. a V-a, sem. ll 2010 - /onGhica, Gheorghe Drugan
152pag. 13x20 cm 10,00 teiMatematic6 - ex. 9i probl. - cl. a Vl-a, sem. I 20,t0-2011
- Comel Moroti, Maius Giurgiu
240pag. 13x20cm 10,00teiMatematicd - ex. 9i probl. - cl. a Vl-a, sem. ll 2010 -Maius Giurgiu, Comel Moroti
192pag. ,13x20 cm 10,00 tei
Matematicd - ex. 9i probl. - cl. a Vll-a, sem. | 2010-2011 -lon - Ghica, Gheorghe Drugan
216 pag. 13x20 cm 10,00 lei
Matematicd - ex. 9i probl. - cl. a Vll-a, sem. ll 2010 -Gheorghe Drugan, lon Ghica
192pag. 13x20cm 10,00|ei
Matematicd - ex. 9i probl. - cl. a Vlll-a, sem. I 201G2011 -Maius Giurgiu, Comel Moroti
208pag. 13x20cm 10,00lei
Matematicd - ex. 9i probl. - cl. a Vlll-a, sem. ll 2010 -Cornel Moroti, Maius Giurgiu
160 pag. 13x20 cm 10,00 lei
Matematici - culegere pentru cl. a Vlla- coord. Florica Banu
384pag. 17x24cm 15,00|ei
Matematicd - culegere pentru cl. a Vla- card. Florba Banu
304 pag. 17x24 cm '15,00 lei
Matematicd - culegere pentru cl. a V-a- coud. Florica Banu
200pag. 17x24cm 14,00|ei
Comenzile vor fi onorate ln limita stocului disponibil.Hditura Meteor Press iEi rezervi dreptul de a-gi actualiza
prefurile in funclie de noile costuri tipogratice.
a -.-l -l"