formule algebra viorel ignatescu[1]

ALGEBRA-Evaluare Naional 2010 Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIU

1

e ,/{ = NxxB

,VD

};4,3,2, }3,2,1{= P

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGTIREA EXAMENULUI DE

EVALUARE NAIONAL, clasa a VIII-a - 2010

Propuntor: Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIU

coala cu clasele I-VIII Mteti, com. Spoca, jud. Buzu I. MULIMI I.1 MULIMI; RELAII Mulimea e un ansamblu de obiecte, numite elemente, grupate fie prin indicarea tuturor elementelor, fie prin formularea unor proprieti caracteristice lor i numai lor. Exemple:

1. C = {mulimea caietelor colare} 2. M= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3. E= {e, l, v elementele cuvntului elev} 4. D = {x/x este elev n clasa a VIII a}

Observaie: un element ntr-o mulime apare numai o singur dat. Exemple:

1. M se citete 9 aparine mulimii M, respectiv 12 nu aparine mulimii M M 12;92. EaE , 3. }3x

Mulimea care nu are nici un element se numete mulimea vid. Mulimea vid este notat cu . Observaie. Exist o singur mulime vid. O mulime A este inclus ntr-o mulime B dac i numai dac fiecare element al lui A este element i pentru mulimea B. Notaie: AB i se citete A este inclus n B i citete D nu este inclus n V O mulime A este submulime a mulimii B dac toate elementele lui A sunt i n B, sau altfel A este inclus n B. Mulimea este submulime pentru oricare mulime . Exemple Q Q 1{=P Dou mulimi sunt egale dac au aceleai elemente. Notaie: B= A I.2 OPERAII CU MULIMI Intersecia Mulimea elementelor comune mulimilor A i B (fiecare element comun mulimilor A i B figurnd o singur dat) se numete intersecia mulimilor A i B. Astfel: AxxBA = /{ }Bx i

DobreText BoxRevista Mateinfo.ro ISSN 2065 6432 nr. ianuarie 2010

ALGEB A-Evaluare Naional 2010 Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIUR

2

Notaie: B} }5,1{

, i se citete intersecia mulimilor A i B. AExemple: iar atunci },5,3,1{=A 5,2,1{=B = B

}7,8,2{=P }5,3,1{=Q

A (se iau elementele comune o singur dat). Dou mulimi sunt disjuncte dac intersecia lor este mulimea vid. Exemple: iar = QP Reuniunea Mulimea n care se afl toate elementele mulimilor A i B, i numai ale lor (fiecare element comun mulimilor figurnd o singur dat), se numete reuniunea mulimilor A i B. Astfel: sau AA xxB }Bx = /{Notaie: se citete reuniunea mulimilor A i B. Exemple: iar atunci }5,3,1{=A }5,2,1=B },5,3,2,1{= BA (se iau toate elementele o singur dat). Diferena Mulimea elementelor care aparin mulimii A, dar care nu aparin mulimii B, se numete diferena dintre mulimile A i B. Astfel: i AA xxB = /{ }Bx Notaie: B

}5,3,1{=A }5,2,1{=B }3{ sau A\B i se numete diferena mulimilor A i B. A

Exemple: iar atunci =BA

{=A

. I.3 MULIMI FINITE, MULIMI INFINITE Observm c exist mulimi vide i mulimi cu un numr finit de elemente, numite mulimi finite. Cardinalul unei mulimi finite este numrul finit de elemente, numite mulimi finite. Exemple:

1. },8,6,4,2 , vom scrie card 4=A 2. Dac =A , vom scrie card 0=A

O mulime infinit este o mulime pentru care irul elementelor este nesfrit. Exemple: mulimea numerelor naturale ={0, 1, 2, 4, ...........} * - mulimea numerelor naturale nenule ={ 1, 2, 4, ...........} mulimea numerelor ntregi ,......}2,1,0,1,2{...., = mulimea numerelor raionale (care pot fi scrise sub form de fracie) mulimea numerelor reale Observaie. ntre mulimile de mai sus, exist relaia: I.4 PROPOZIII Un element a crei valoare de adevr este bazat pe reguli explicit exprimate se numete propoziie. O propoziie se numete propoziie adevrat dac ea exprim un adevr. Exemple: Oraul Nehoiu se afl n judeul Buzu. 5X3=15 O propoziie se numete fals dac ea exprim un neadevr. Exemple: Municipiul Buzu este n Africa. 12 : 2 = 7 Notaie: Cu A se noteaz o propoziie adevrat, iar cu F se noteaz o propoziie fals i se spune c valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii este A sau F. Operaia de schimbare a valorii de adevr a unei propoziii se numete negarea propoziiei.


3

1535

ba

Exemple: Oraul Nehoiu nu se afl n judeul Buzu. (F)

(F) Municipiul Buzu nu este n Africa. (A) I.5 MULIMEA NUMERELOR NATURALE Numerele naturale sunt reprezentate prin cifre sub forma urmtorului ir: 0,1,2,3, ......., 10,11, ....... Observaie: Semnul ......, indic faptul c am omis s scriem unele numere naturale. Nu putem scrie toate numerele naturale, dup un numr natural urmeaz nc unul i aa mai departe. Proprietate: irul numerelor naturale este infinit. Observaie: Numerele naturale se pot reprezenta pe o dreapt. O dreapt pe care am fixat o origine, un sens i o msur, se numete axa numerelor. I.5.1 Inegalitatea dintre numerele naturale Vom spune c un numr natural a este mai mare dect un numr natural b i vom scrie a > b, dac exist un numr natural c, diferit de numrul 0, astfel nct s avem . Acest lucru se mai numete i inegalitate strict. Dac avem dou numere naturale a , b i dorim a indica faptul c a mai mare sau egal cu bscriem i citim a este mai mare sau egal cu b. Acest lucru se mai numete inegalitate nestrict.

cba +=

Exemple: 2 mai mare ca 1, deoarece exist c=1 care adunat cu 1 s fie egal cu 2.

Criterii de inegalitate a numerelor naturale: 1. Este mai mare numrul n care o cifr este mai mare dect cifra de acelai ordin din cel de-al

doilea numr, cifrele de ordine superioar fiind egale dou cte dou. 2. Dintre dou numere naturale, care au acelai numr de cifre, este mai mare acela care are

mai multe cifre. I.5.2 Scrierea numerelor naturale n baza 10

Orice numr natural admite o descompunere n baza 10. Exemple:

730050005307 ++= =++= 7100310005 0123 107100103105 +++=

n general, numrul abcd , unde a, b, c, d, sunt cifre, cu 0a , se scrie sub urmtoarea form:

023 10101010 +++= dcbaabcd Membrul stng al egalitii de mai sus reprezint scrierea unui numr natural n baza zece,

iar membrul drept, scrierea aceluiai numr sub form zecimal desfurat. I.5.3 Operaii cu numere naturale Adunarea Prin suma a dou numere naturale a i b numite termenii sumei se obine al treilea numr natural notat . bas +=

baProprietile adunrii numerelor naturale:

1. Oricare ar fi numerele naturale a i b avem: ab +=+ (comutativitatea adunrii). 2. Oricare ar fi numerele a, b, i c avem: )(( cb) acba +++ =+ (asociativitatea adunrii).


4

3. exist numrul natural 0 numit element neutru care nu modific prin adunare valoarea oricrui numr natural.

Scderea Dac a i b sunt dou numere naturale, astfel nct , diferena dintre a i b, notat prin

, este acel numr natural c, pentru care aba

ba cb += . Termenul a se numete desczut iar b se numete scztor. nmulirea Produsul unui numr natural, diferit de 0 i de 1, se exprim printr-o sum n care primul apare ca termen de attea ori de cte ori arat al doilea numr natural.

Excepii: 1. Produsul unui numr natural 0 este 0. 2. Produsul unui numr natural cu 1 este numrul natural considerat.

Proprietile nmulirii numerelor naturale: 1. Oricare ar fi numerele naturale a i b avem:

bba = a comutativitatea nmulirii 2. Oricare ar fi numerele naturale a, b i c avem:

)()( cbacba =

acb

asociativitatea nmulirii 3. Exist numrul natural 1 numit element neutru care nu modific prin nmulire valoarea

oricrui numr natural 4. oricare ar fi numerele a, b i c avem: caba + = +)(

14864232)43(

distributivitatea nmulirii fa de adunare.

Exemplu: 2 = + =+=+acba

5. Oricare ar fi numerele a, b i c avem: cab =)( distributivitatea nmulirii

fa de scdere mprirea

Operaia invers a nmulirii, cnd se cunoate produsul i trebuie aflat unul din factori e mprirea. Semnul operaiei este : Exemplu: Demprit mpritor Ct 43:12 =

Nn

Observaii: 1. mprirea nu are totdeauna rezultat n mulimea numerelor naturale

a. 3 7 =Exemplu: 7 nu se poate mpri exact la 3 (nu exist n

0b rqb +

) 2. mprirea cu 0 nu este posibil deoarece nu exist nici un numr natural care, nmulit cu

0 s dea un numr diferit de 0. 3. Ctul dintre 0 i un numr natural a, diferit de 0, este 0.

Teorema mpririi cu rest a numerelor naturale Oricare ar fi numerele naturale a i b, cu , exist i sunt unice dou numere naturale q i r astfel nct a = , unde r


5

625555554 ==

ma( m aa :

0

n care se numete baza puterii, iar n se numete exponentul puterii. Exemplu: Excepii:

1. orice numr natural ridicat la puterea 0 este 1 2. orice numr natural ridicat la puterea 1 este numrul nsui.

Proprietile puterii numerelor naturale: Dac a, m, n sunt numere naturale, atunci:

1. nmn m aaa +=2. nmn a =)3. nmn a =

I.5.4 Divizibilitatea numerelor naturale Un numr natural a este divizibil cu un numr natural b dac exist un numr natural c, astfel ca . Se mai spune c a se divide cu b, b se divide pe a sau c a este multiplu al lui b.

cba =

ab /ba :

32

Notaie: i se citete b divide pe a i se citete a este divizibil cu b

Exemplu: 6 este divizibil cu 2, pentru c exist 3 astfel nct 6 = Toi divizorii unui numr natural poart denumirea de mulimea divizorilor acelui numr natural. Exemplu: Fie 12=n }12,6,4,3,2,1{12 =DObservaie: Orice numr natural m are divizori improprii 1 i m. Orice alt divizor este numit divizor propriu. Proprietile ale divizibilitii numerelor naturale

1. Orice numr natural este divizibil cu 1. Astfel: a/1 oricare ar fi a 2. 0 este divizibil cu orice numr. Astfel: 0/a , oricare ar fi a 3. Orice numr natural se divide cu el nsui. Astfel: aa / oricare ar fi a 4. Fie a i b dou numere naturale. Dac a este divizibil cu b i b este divizibil cu a, atunci

ba = Astfel: dac i , atunci oricare ar fi ba / ab / ba = ba,

5. Fie a, b, c trei numere naturale. Dac b se divide cu a, iar c se divide cu b atunci c se divide cu a.

Astfel: dac i , atunci a oricare ar fi ba / cb / c/ cba ,,6/2 12/ 12/2

Exemplu: i 6 , atunci

6. Dac un numr natural se divide cu un numr natural, atunci primul se divide cu toi divizorii celui de-al doilea.

Exemplu: Numrul 24 se divide cu toi divizorii lui 12 adic 1,2,3,4,6,12 7. Dac fiecare termen al unei sume de dou numere naturale se divide cu un numr natural,

atunci i suma lor se divide cu acel numr natural. Dac: am / i bm / , atunci )/( bam + , oricare ar fi mba ,,

Exemple: 12 se divide cu 3; 15 se divide cu 3 12 2715 =+ iar 27 se divide cu 3

8. Dac unul dintre termenii unei sume de dou numere naturale se divide cu un singur numr natural, iar cellalt termen m se divide cu acel numr natural, atunci suma nu se divide cu acel numr natural.


6

bm /

9. Fie a, b, m numere naturale, ba . Dac a se divide cu m i b se divide cu m, atunci i ba se divide cu m. Astfel:

Dac i , atunci am / )b/(am oricare ar fi mba ,, ba 410 410

410 =

am / abm /

, Exemplu: Fie diferena , , 10 se divide cu 2, 4 se divide cu 2. Diferena

se divide cu 2. 610. Dac un numr natural a se divide cu un numr natural m, atunci produsul lui a cu orice

numr natural se divide cu m. Astfel: Dac , atunci , oricare ar fi mba .,

427

Exemple: 6 se divide cu 2 6 = se divide cu 2 I.5.5 Criterii de divizibilitate 1. Criteriul de divizibilitate cu 10 - Un numr natural care are ultima cifr egal cu 0, se divide cu 10 - Un numr natural care are ca ultima sa cifr pe 0, se divide cu 2 i 5 Exemple: 130 se divide cu 10 13010130 = , deci se divide cu 2 i 5; 1302 = ; 1 0565 326 = 2. Criteriul de divizibilitate cu 2 - Dac ultima cifr a unui numr natural este o cifr par, atunci acel numr se divide cu 2. Exemplu: 220, 222, 224, 226, 228, se divid cu 2, deoarece au fiecare ultima cifr par: 0, 2, 4, 6, 8. 3. Criteriul de divizibilitate cu 5. - Dac ultima cifr a unui numr natural este 5 sau 0, atunci acel numr se divide cu 5. Exemplu: 435 se divide cu 5; 190 se divide cu 5. 4. Criteriul de divizibilitate cu 4. - Dac numrul format din ultimele dou cifre ale unui numr natural este divizibil cu 4,

atunci numrul considerat este divizibil cu 4 Exemplu: 224 se divide cu 4 deoarece 24 se divide cu 4 5. Criteriul de divizibilitate cu 25 - Dac numrul natural format din ultimele dou cifre ale unui numr natural este divizibil cu

25, atunci numrul considerat este divizibil cu 25. Exemplu: 225 se divide cu 25, deoarece 25 se divide cu 25. 6. Criteriul de divizibilitate cu 3 - Dac suma cifrelor unui numr natural este divizibil cu 3, atunci acel numr este divizibil

cu 3. Exemplu: Numrul 47193 este divizibil cu 3, deoarece 4+7+1+9+3=24 i 24/37. Criteriul de divizibilitate cu 9 - Dac suma cifrelor unui numr natural este divizibil cu 9, atunci acel numr e divizibil cu 9 Exemplu: numrul 47160 este divizibil cu 9 deoarece 4+7+1+9+3=18, care se divide cu 9.

I.5.6 Numere prime Se numete numr prim orice numr natural , diferit de 1, care are divizori numai pe 1 i pe el nsui. Astfel: Se numete numr prim acel numr natural care are numai doi divizori. De aici: Se numete numr compus numrul cu cel puin 3 divizori. Observaie: Numrul 1 nu admite dect un singur divizor, deci el nu este nici prim i nici numr compus.

Algoritm pentru a stabili dac un numr este prim sau nu: 1. mprim numrul pe rnd, la toate numerele prime n ordine cresctoare ncepnd cu 2,

pn obinem un ct mai mic sau egal cu mpritorul. Dac numrul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident c el nu este prim.


7

Tabel cu numere prime pn la 1000

2 61 149 239 347 443 563 659 773 887 3 67 151 241 349 449 569 661 787 907 5 71 157 251 353 457 571 673 797 911 7 73 163 257 359 461 567 677 809 919 11 79 167 263 367 463 583 683 811 929 13 83 173 269 373 467 593 691 821 937 17 89 179 271 379 479 599 701 823 941 19 97 181 277 383 487 601 709 827 947 23 101 191 281 389 491 607 719 829 953 29 103 193 283 397 499 613 727 839 967 31 107 197 293 401 503 617 733 853 971 37 109 199 307 409 509 619 739 857 977 41 113 211 311 419 521 631 743 859 983 43 127 223 313 421 523 641 751 863 991 47 131 227 317 431 541 643 757 877 997 53 137 229 331 433 547 647 761 881 - 59 139 233 337 439 557 653 769 883 -

I.5.7 Descompunerea numerelor naturale n factori primi (C.m.m.d.c. i C.m.m.m.c.)

A descompune un numr natural n factori primi nseamn a scrie acel numr ca produs de puteri ale cror baze sunt numere prime distincte.

De obicei, factorii se scriu n ordinea cresctoare a bazelor. Aceast scriere este unic. Exemplu: 53260 2 =

605321980;2100;360 2 ==1)10;15;6( = 3)15;6( = 5)10;15(

Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a i b, nu ambele nule este numrul natural care:

1. divide pe a i pe b i 2. este divizibil cu orice numr ce divide pe a i pe b.

Acesta se noteaz cu (a; b). Pentru a afla c m m d c al mai multor numere procedm astfel:

- descompunem numerele n factori primi - facem produsul factorilor primi comuni tuturor numerelor, cu exponenii cei mai mici i am

obinut c m m d c. Observaie: Dac dou sau mai multe numere naturale au c m m d c egal cu 1, atunci ele se numesc numere prime ntre ele. Exemplu: (360; 2100; 1980) = ? 532360 23 = 75322100 22 = 1980 115 32 22 =

deci = i 2)10;6( = Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a i b este numrul natural care:

1. este multiplu al lui a i al lui b i 2. divide orice alt multiplu al numerelor a i b

C.m.m.m.c. al numerelor naturale a i b se noteaz [ ];ba0]0; =a

15]5;3 = 6]2;6 = 56]14;8Observaie: [ , oricare ar fi numrul natural a Exemple: [ , [ , [ = Pentru a afla c.m.m.m.c. al mai multor numere procedm astfel:


8

- descompunem numerele date n factori primi - lum toi factorii primi o singur dat, cu exponenii cei mai mari care apar n

descompuneri. Produsul lor este c.m.m.m.c. I.6 MULIMEA NUMERELOR NTREGI Numerele ntregi reprezint un ir de forma: ....., -11, -10 .., -2, -1, 0, 1, 2, ........, 10, 11, .............. unde prin semnul - am nsemnat numerele negative. Mulimea numerelor ntregi se noteaz cu . Evident, . I.6.1 Valoarea absolut: Orice numr negativ (-a) are valoarea absolut (modulul)a, iar orice numr ntreg pozitiv a are valoarea absolut a sau dac a este 0, atunci modulul este 0. Astfel:

=

0,,,

aaZa

a < 0,aZ

adaca

adac

22 =Exemple: 33 = 00 = 1. Modulul unui numr ntreg este un numr negativ: 0a 2. aa oricare ar fi a

I.6.2 Operaii cu numere ntregi Adunarea

baS + Fie a, b dou numere ntregi. Se spune c = este suma celor dou numere i ea este tot un numr ntreg.

Valoarea lui S se obine astfel: Cazul I , deci termenii sumei sunt numere ntregi i pozitive 0, ba S ba += , adunndu-le i dou numere naturale Exemple: 4 532 =+ 117 =+

d=3 unde Cazul II.a, b


9

( )1 5 5 = a c

a b c=

I.6.3. Divizibilitatea la numere ntregi Un numr ntreg este divizibil cu un numr ntreg b dac exist un numr ntreg astfel nct . Obs: n raport cu divizorii unui numr natural se adaug i numerele cu semnul (negative). ex: divizorii lui 6 sunt: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 divizorii lui 11 sunt: -11, -1, 1, 11. I. 7. MULIMEA NUMERELOR RAIONALE

O fracie reprezint una sau mai multe pri dintre prile egale n care a fost mprit un ntreg (sau mai muli ntregi identici)

ex: 14

:

fracie se numete (sau fracia a a ` ,b` cu b

* este): O

a b b 72

0, 0

Fracii echivalente: Fie a, b, c, d, b d . Fraciile ab

i cd

a d b = se numesc echivalente dac i

numai dac . cex: 2 4

5 10= 2 10 4 5 = pentru c

O fracie ab

cu a , b*se numete ireductibil atunci cnd numitorul i numrtorul sunt numere prime ntre ele, adic c.m.m.d.c. al lor este 1.

ex:157

; 2125

,a b

Numerele reprezentate printr-un raport de dou numere ntregi cu forma ab

0 cu b reprezint mulimea tuturor numerelor de forma dat mai sus i formeaz mulimea numerelor raionale, care se noteaz cu . Un numr raional poate fi reprezentat pe o ax a numerelor ocupnd o poziie n raport de valoarea sa. I.7.1. Egalitatea numerelor raionale

ALGEBRA-Evaluare Naional 2010 Prof. IGN TESCU VIOREL OVIDIU

10

Dou numere raionale notate cu m asin b

sunt egale dac fraciile m asin b

m b =

a

sunt fracii echivalente

adic dac . n aRelaia de egalitate n domeniul numerelor raionale are proprietile:

1. Reflexivitatea egalitii: a avem a a=2. Simetria egalitii: a, b , dac b= atunci b a =3. Tranzitivitatea egalitii: a, b, c , dac i b , atunci a b= c= a c= . 4. Relaia de egalitate n domeniul numerelor raionale avnd proprietile de reflexivitate,

simetrie, tranzitivitate este o relaie de echivalen.

I.7.2. Operaii cu numere raionale

Adunarea m sin b

a Suma a dou numere raionale este dat de fracia mb nanb+ .

ex: ( )5 3 2 25 2 15 4 11

2 3 2 3 6 6 + + + = = = ( )( )

( )7 3 4 47 4 21 16 5 5

4 3 4 3 12 12 12 + + + = = = =

Adunarea numerelor raionale are urmtoarele proprieti

1. Comutativitatea adunrii: a, b , atunci a b b a+ = +2. Asociativitatea adunrii:

( ) ( a, b, c , atunci )c a b c= + +

( ) 0a a a a+ = =

a b+ + 3. Exist elementul 0 numit element neutru cu proprietatea c: a, atunci 0 0a a a+ = + =4. Exist elementul opus oricrui numr raional a , notat cu a astfel incat: a,-a a.. ( ) +Scderea

Oricare ar fi numerele raionale ib avem a ( )a b a b = + . Astfel, dac dorim s scdem dintr-un numr raional un alt numr raional , adunm la numrul raional opusul numrului

adic (a b a

b )b ex: ( )7 3 7 3 4 = + =Obs:

1. Operaia de scdere se poate efectua ntre oricare ar fi aceste numere raionale 2. Oricare ar fi un numr raional avem: 0a a = , 0 a a = 3. Oricare ar fi , ,a b c numere raionale, dac avem a b= , avem: c a c b =4. Oricare ar fi , , ,a b c d numere raionale, dac a b= i c d= , avem: b d a c = nmulirea

ALGEBRA-Evaluare Naional TESCU VIOREL OVIDIU 2010 Prof. IGN

11

Prin produsul a dou numere raionale mn

i ab

se obine un al treilea numr raional notat

cu c astfel: m acn b

= ex:

( )2 52 5 103 7 3 7 21

= = ( )

( )2 12 1 2 2

5 11 5 11 55 55 = = =

Proprietile nmulirii numerelor raionale: 1. Comutativitatea nmulirii: a, b atunci a b b a = 2. Asociativitatea nmulirii: a, b, c,atunci ( ) ( )a b c a b c = 3. Distributivitatea nmulirii fa de adunare: a, b, c, avem ( )a b c ab ac= +

1 1a a a = =4. Exist elementul 1 numit element neutru cu proprietatea c: a ,atunci 5. Exist elementul invers oricrui numr raional a notat cu 1

a astfel: 1 1a a

a a = = 1

Obs: 1. Oricare ar fi a raional avem:

( ) ( )1 1a a = a = 2. Oricare ar fi , ,a b c raionale, dac a b= atunci b ca c = 3. oricare ar fi , , ,a b c d raionale, dac a b= , c d= atunci b d = a c

mprirea

Prin ctul a dou numere raionale mn

i ab

cu , , 0a b n se obine un al treilea numr raional

notat astfel: c

mm bnc = = a n a

b

deci se nmulete dempritul cu inversul mpritorului.

ex:

22 7 143 = =5 3 5 15

7

Proprietile mpririi numerelor raionale

1. Oricare ar fi a numr raional, avem: 11

a a: = a =

2. Oricare ar fi a raional, avem: 11a aa

1 : = = I.8 MULIMEA NUMERELOR REALE Mulimile de numere cunoscute sunt: ={0, 1, 2, 3, ....} -numerele naturale


12

={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} -numerele ntregi =

}0{,, ZnZm

nm

),+

a a b> a b

-numerele raionale

Mulimea numerelor reale reprezint reuniunea dintre mulimea numerelor raionale i cele iraionale, notat cu . Este evident c toate mulimile studiate sunt submulimi ale mulimii numerelor reale: Mulimea numerelor iraionale se obine prin - . Obs: 1.Din punct de vedere geometric, mulimea numerelor reale reprezint o dreapt creia i se asociaz un punct numit origine corespunztor valorii 0 i un sens de parcurgere corespunztor numerelor pozitive, iar sensul opus corespunztor numerelor negative. 2.Mulimea numerelor reale este infinit n ambele sensuri: pozitiv i negativ ( , unde:

se citete minus infinit se citete plus infinit sau infinit

I.8.1 Relaia de ordine pe Oricum am alege dou numere ib reale, exist cel puin una din relaiile sau , astfel, oricare dou numere reale pot fi comparate. Astfel ( , ) este o mulime total ordonat n raport cu relaia de ordine (mai mic sau egal). Proprietile relaiei :

1. Oricare ar fi a , avem a a 2. Oricare ar fi a, b, dac a b i b a , atunci a b= 3. Oricare ar fi a, b, c , dac a b i b c , atunci a c 4. Relaia de ordine este compatibil cu adunarea i nmulirea numerelor reale n sensul

c: 1) Dac a, b, c i a b , atunci b ca c+ + i reciproc 2) Dac a, b, c i a b , atunci: a c b c dac 0c > i b c dac 0ca c < i

reciproc 5. Dac a, b, c, d i a b , c d atunci: b da c+ +

I.8.2. Valoarea absolut, valoare maxim, valoare minim; partea ntreag i partea fracionar

Numrul pozitiv notat x reprezint valoarea absolut a numrului real x i este definit astfel:

, 0, 0

x


13

Fie a, b ,atunci prin max ( ),a b a b

( ),a b bb

notm maximul dintre numerele reale i definit astfel:

max = ,a daca a

b daca a

I.8.3 Intervale de numere reale Fie a i b numere reale cu Notm cu [ mulimea {x axb}. Acest interval se numete interval nchis cu extremitile a, b.

;a b

Notm cu ( mulimea {x a


14

Adunarea Prin adunarea a dou numere reale se obine un al treilea numr real notat cu unde reprezint suma, iar i termenii sumei.

s a b= + sa b

Proprietile adunrii numerelor reale: 1. Comutativitatea: a b b a , a, b + = +2. Asociativitatea: ( ) ( ) , a, b, c a b

0 0+ =( )

c a b c+ + = + +3. Elementul neutru: a a a+ = , a

( ) 0a = a a+ = +a4. Exist elementul opus: Astfel se poate defini scderea: Prin scderea a dou numere reale a , se obine un al treilea numr natural numit diferen iar scztor i desczut, definit astfel:

ba b ( )d a b a b= = +

Inmulirea Prin nmulirea a dou numere reale numii factori se obine un al treilea numr real ,a bp numit produs i definit astfel: p a=

a b

bProprietile produsului numerelor reale: 1. Comutativitatea: oricare a, b , b a = 2. Asociativitatea: oricare a, b, c , ( ) ( )aa b c b c =

( )a b c a b a c3. Distributivitatea fa de adunare: oricare a, b, c + =1 1a a = =

+ 4. Exist elementul 1 numit element neutru cu proprietatea c oricare a , atunci

1 5. Exist elementul invers oricrui numr real notat cu 1

aastfel: oricare a , exist- a

astfel nct 1 1a aa a

= = 1 Ridicarea la putere cu exponent numr ntreg: Dac este un numr real, iar n un numr natural astfel nct i a 0n 1n atunci:

, unde este baza iar exponentul ........nn ori

a a a a= a n

n

Obs: 1. Oricare ar fi a*, a0 =1 2. Oricare ar fi a*, a1 =a

Proprieti : 1. Dac a i m, n , atunci m n ma a a + = 2. Dac a i m, n , atunci ( )n nm ma a = 3. Puterea produsului este egal cu produsul puterilor 2 ......

na ,oricare a1,

a2, ..., an , n ( )1 2 1...... n n ni ia a a a a =

4. Dac a *, m, n , atunci nm n ma a a = :5. Dac a *, n atunci 1n na a=

x , notat [ ] Partea ntreag a unui numr real x este cel mai mare numr ntreg mai mic sau egal cu x .

ALGEBRA-Evaluare Na ional 2010 Prof. IGN TESCU VIOREL OVIDIU

15

[ ]x x [ ] se noteaz cu { }x { }x . x x x= i se numete partea fracionar a lui Exemplu:

[ ][ ]2,3 2= [ ] ( )4,37 4,37 5 6,63 = =

{

4,37 5 =

}2,3 0,3= Observaie:

[ ]1, x k= 1) Dac k, x i k x k < +2) { }0 1x < oricare ar fi x 3) Dac { } 0,5x < , atunci rotunjirea la uniti a lui x este[ ]x . 4) Dac { }0,5 x , atunci rotunjirea la uniti a lui x este[ ]x 1+

I.9 PUTERI I RADICALI I.9.1. Rdcina ptrat a unui numr natural ptrat perfect Puterea a doua a unui numr natural se mai numete i ptratul acelui numr. Numrul natural

care este ptratul altui numr natural se numete ptrat perfect. Exemplu:

1) 249 7= 2) ( )2 26 135 5=3) ( )2= 2k ka a

0,1, 4,5,6,9

a

Teorem: Ptratul oricrui numr natural se termin numai cu una din cifrele . I.9.2 Rdcina ptrat a unui numr raional pozitiv Ptratul unui numr raional este totdeauna pozitiv sau zero (adic negativ).

( )a 0Fie un numr raional negativ . Numrul negativ x se numete rdcina ptrat a numrului a dac . 2x a=

Notm rdcina ptrat a numrului cu a a . Atunci: 1) 0a i a x= nseamn 2x a= i 0 x

( )2) 2a a= , 0a I.9.3 Proprietile radicalilor Numerele iraionale nu pot fi explicit scrise cu orice precizie i din aceast cauz se prefer

a fi lsate sub forma numit notaie cu radicali. Radicalii au cteva proprieti remarcabile: 2, 31. Radicalii se nmulesc astfel: , ,a b a b unde b 0a= Exemplu: 2 3 2 3 6 = =


16

2. Radicalii se mpart

astfel: , 0, 0,

a b a b unde a b saubb

= >: : a >a a= , 0, 0unde b 8 8 4 2= =

22Exemplu: =

3. Dac a *avem a a= i deci 2a a=

Exemplu:2

2 2

12 4 3 2 3 2 3

2 3 5 6 5

= = == =

180 4 9 5 2 3 5= = Observaie: Proprietatea 3 este adevrat i reciproc atunci cnd dorim a introduce sub

radicali anumii termeni. 25 3 5 3 25 3 75= = =Exemplu:

Numim operaie de raionalizare a numitorului unei fracii, care conine la numitor radicali,

amplificarea acestuia astfel ca numitorul s nu mai conin radicali. Astfel pentru:

( )a a b am amplificat cu b

bb

a x y

=

a am amplificat cu x yx yx y

= +

......, :na avem

I.9.4 Ordinea efecturii operaiilor

1) Adunarea i scderea sunt numite operaii de ordinul I 2) nmulirea i mprirea sunt numite operaii de ordinul II 3) Ridicarea la putere i radicalii sunt numite operaii de ordinul III Ordine de efectuare:

A. Dac n expresie nu exist paranteze, iar operaiile sunt de acelai ordin, ele se efectueaz de la stnga spre dreapta. B. Dac n expresie nu exist paranteze, iar operaiile nu sunt de acelai ordin, prima dat se efectueaz operaiile de ordin III, iar apoi de ordin II i ultimele operaiile de I. C. Dac n expresie exist paranteze ,se efectueaz prima dat operaiile dintre paranteze, acolo unde este posibil.

I.9.5 Medii

Media aritmetic a dou sau mai multe numere reale este numrul real obinut prin mprirea sumei numerelor respective la numrul lor. Pentru numerele reale 1 2, ,a a

1 2a

a am = ... nan

+ + +

Exemplu: pentru 2,5,8: 2 5 8 15 5am+ += = =

3 3

Media geometric sau proporional a dou numere negative este egal cu rdcina ptrat din produsul lor.

0, 0 ga b m a b = Media geometric a dou numere negative este cuprins ntre cel mai mic i cel mai

mare dintre numerele respective

ALGEB 2010 Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIURA-Evaluare Naional

17

Dac 0 ,a b at unci a a b b 2 8gm = = 16 4= Exemplu: pentru 2,8

Media aritmetic ponderat a numerelor cu ponderile (pozitive) este: 1 2,, .... na a a 1, 2,..., np p p

1 1p

a p amp p

+= +2 2

1 2

.......

p ++ +

n n

n

a pp

+

Exemplu: pentru 2 5 i 3 cu ponderile 2 i 5 2 2 5 2 3 2 5 4 5 15 22 5 7p

m + += =+

a b:

I.9.6. Rapoarte i proporii

Numrul raional , unde a i b sunt numere raionale i , se numete raportul

numerelor a i b i se noteaz prin

0b ab

(a i b se numesc termenii raportului).

Exemplu:

125, 4 4; 12,8 52

Egalitatea a dou rapoarte se numete proporie: a cb d

=O proporie are 4 termeni: 2 mezi (b i c) i 2 extremi (a i d). Proprietate: Proprietatea fundamental a proporiei:

{ }, 0 , a c + i b d_ _Fie : a cb d

=Dac , atunci i reciproc, dac a d b c = a d b c = , atunci a cb d

= Exemplu:

2,5 7,5 2,5 186 18

= din 6 7,5= 7 21din 7 9 21 33 9

= =Dac ntr-o proporie se cunosc trei din cei patru termeni, l putem afla pe al patrulea astfel:

produsul mezilorcellalt extrem

= un extrem

un mezprodusul extremilor

cellalt mez=

Exemplu: 4 4 10 8

10 5 5x x = = =1)

2) 3 3 37 11

x x= = =11 37 7

Dou mrimi variabile care depind una de cealalt astfel nct dac msura uneia crete ( descrete) de un numr de ori, atunci i msura celeilalte crete (descrete) de acelai numr de ori, se numesc mrimi direct proporionale.

M1 a b M2 c d

ALGEBR TESCU VIOREL OVIDIUA-Evaluare Naional 2010 Prof. IGN

18

a c a bsau a d b c saub d c d

= = =

1 2

Dou mrimi variabile care depind una de cealalt astfel nct dac msura uneia crete ( descrete) de un numr de ori, atunci msura celeilalte descrete (crete) de acelai numr de ori, se numesc mrimi invers proporionale.

si M sunt invers proporionale dac: Mrimile M

M1 a b M2 c d

1 1a d a bsau a c b d saub c

c d

= = =

Numrul p din proporia 100

a pb

= se numete procent i reprezint ct la sut din numrul este numrul sau ct la sut este din ; 0b a a b ( )100p a= :b .

Se scrie p urmat de semnul i se citete p la sut. %

Exemplu: 25 este 4% din 625 deoarece 4100

=25625

Pentru a afla p% dintr-un numr se nmulete numrul cu 100

p : p% din a este 100

p a

Dac p% din x este a, atunci 100

p x a = , deci 100100

px a ap

= = :

Exemplu: 5% din 20 este 5 120 20 1100 20

= = Calculul probabilitii de realizare a unui eveniment: Dac: p este probabilitatea realizrii

evenimentului, m- numrul cazurilor favorabile; n- numrul cazurilor posibile, atunci: mpn

= II CALCULALGEBRIC II.1 Reguli de calcul prescurtat

1. ( )ab ac a b c+ = + 2. 22 2( ) 2a b a ab b+ = + + 3. 22 2( ) 2a b a ab b = + 4. 2 2( )( )a b a b a b + = 5. 33 3 2 2( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 6. 3 3 2 2( ) 3 3a b a a b ab b3 = + 7. ) 3 3 2 2( )(a b a b a ab b+ = + +8. ) 3 3 2 2( )(a b a b a ab b = + +9. 2 2 2 2 2( ) 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +10. 2 2 2 2 2( ) 2 2a b c a b c ab ac bc + = + + + 11. 2 2 2 2 2( ) 2 2a b c a b c ab ac bc+ = + + + 12. 2 2 2 2 2( ) 2 2a b c a b c ab ac bc = + + +


19

II.2 Inegaliti O inegalitate reprezint o relaie matematic adevrat sau fals care se stabilete ntre dou expresii matematice. n general, cu inegalitile se respect urmtoarele reguli specifice: A. Dac a,b,c sunt numere reale astfel nct a b< , atunci ca c b+ < + B. Dac a,b,c sunt numere reale astfel nct a b< i > 0c , atunci ac bc< C. Dac a b< i > 0c , atunci >ac bc D. Dac nmulim ambii termeni ai unei inegaliti cu un numr negativ, sensul inegalitii se

schimb (se inverseaz). Observaie: Regulile A,B,C,D sunt valabile i dac nlocuim semnul < cu , respectiv > cu .

( )( )

k a b c ka kb kck a b c ka kb kc

+ = + + = +

Exemplu: -6 < 7 -Prin urmare la ambii membri cu 5 : -1 < 13 adevrat -Prin nmulire cu 2: -12 < -14 adevrat -Prin nmulire cu -2 12 > -14 adevrat II.3. Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Produsul dintre un numr real i o sum algebric se efectueaz nmulind acest numr cu fiecare termen al sumei, respectnd regula semnelor de la nmulire, dup care se adun noii termeni astfel obinui. Exemplu:

Produsul dintre dou sume algebrice se efectueaz nmulind fiecare termen al unei sume cu fiecare termen al celei de-a doua i nsumnd noii termeni astfel obinui.

Exemplu: ( )( )a b c d e ad ae bd be cd ce+ = + + III. FUNCII

Dac printr-un procedeu oarecare facem ca oricrui element din mulimea A s-i corespund un singur element dintr-o alt mulime B, spunem c am definit o funcie de la A la B. A se numete mulimea (domeniul) de definiie a funciei. B se numete mulimea n care funcia ia valori (codomeniul). Procedeul se numete lege de coresponden Notaie : f :AB citit f definit pe A cu valori n B Exemplu: f :, f(x)=2x+3

Observaie : Pentru a caracteriza o funcie trebuie date trei elemente : 1) mulimea de definiie ;


20

2) legea de coresponden ; 3) mulimea n care ia valori ;

Dou funcii sunt egale dac: 1) au aceeai mulime de definiie 2) f(x)=g(x) pentru orice element din mulimea de definiie ; 3) iau valori n aceeai mulime.

Mulimea de puncte avnd coordonatele n plan (x,y), unde x este un element din mulimea de definiie A, iar y=f(x) se numete graficul funciei f. O funcie f : descris de o lege de forma f(x)= ax+b , unde a i b sunt constante reale, se numete funcie liniar. Observaie: Graficul unei funcii liniare este o dreapt. Pentru reprezentarea grafic a unei funcii liniare urmrim algoritmul :

1) Se calculeaz f(0)=b. Se reprezint punctul (0,b). Acest punct reprezin punctul de intersecie dintre graficul funciei i axa ordonatelor Oy.

2) Se rezolv ecuaia ax+b=0. Se reprezint punctul ( ,0)ba

.Acest punct reprezint punctul de intersecie dintre graficul funciei i axa absciselor Ox.

3) Se traseaz dreapta care unete cele dou puncte obinute i astfel se traseaz graficul funciei liniare f(x)= ax+b.

Observaii : 1) Dac a=0 i b 0 obinem funcii de genul f(x)=b ale cror grafice sunt paralele cu axa Ox.

Aceste funcii se numesc constante nenule. 2) Dac a 0 i b=0, se obin funcii de forma f(x)=ax , funcii care trec prin originea sistemului

de axe. 3) Pentru a=b=0, se obine ca grafic chiar axa absciselor Ox. Proprieti ale funciilor liniare : Fie funcia f :AB definit printr-o relaie f(x). Proprietatea 1: Dac pentru oricare ar fi r,sA cu , avem r s> ( ) ( )f r f s> i spunem c

funcia este strict cresctoare Proprietatea 2: Dac pentru oricare ar fi r,sA cu , avem r s> ( ) ( )f r f s< i spunem c

funcia este strict descresctoare. Observaie: n general, o funcie descris de legea f(x)= ax+b poate fi:

- strict cresctoare dac 0a > , - constant dac a=0, - strict descresctoare dac 0a < .

IV.ECUAII I INECUAII O ecuaie este o propoziie cu o variabil (propoziiile cu o singur variabil se mai numesc i

predicate) n care apare , o singur dat semnul de egal. { }0,2,3,5x Exemplu: 2x-1=5 cu

22 3 1;2 1

x x R+ = x


21

{

O ecuaie cu o necunoscut are forma general: S(x)=D(x), xM; necunoscuta fiind x, iar S i D se numesc membrul stng i respectiv membrul drept al ecuaiei, iar M este mulimea soluiilor ecuaiei.

Observaii: 1. Orice valoare din mulimea M poate fi nlocuit n ecuaie i se poate obine o propoziie

adevrat sau fals. Dac propoziia obinut este adevrat atunci valoarea respectiv este soluie a ecuaiei.

2. Prin rezolvarea ecuaiei nelegem gsirea tuturor soluiilor ecuaiei, din mulimea M.

}Exemplu: din 2x-1=5, 0,2,3,5x

" "'( ) '( )S x D x=

prin nlocuirea lui x obinem o propoziie adevrat doar pentru x=3.

Dou ecuaii sunt echivalente dac au aceleai soluii . Notaie : semnul echivalenei dispus ntre dou ecuaii, adic : S(x)=D(x)

Exist o serie de proprieti pe care ne bazm n rezolvare i pe care folosindu-le obinem

ecuaii echivalente i astfel gsim mulimea de soluii ale ecuaiei. Proprietate : Adunnd la (sau scznd din) ambii membri ai unei ecuaii acelai numr real

obinem o ecuaie echivalent cu prima. Consecin : Se pot trece termenii unei ecuaii din membrul stng n membrul drept i invers

schimbnd doar semnul termenului. Exemplu : 3x+1=2x+1 +(-1) 3x=2x Proprietate : nmulind (sau mprind) ambii membri ai unei ecuaii cu acelai numr real,

diferit de zero, se obine o ecuaie echivalent. Exemplu : 4x-2=5 2 8x-4=10 Proprietate : O ecuaie este nedeterminat dac exist mai mult de o valoare din mulimea M

care genereaz propoziii adevrate prin nlocuire n ecuaie. Exemplu : 2x-1=(6x-2)-4x+1, x echivalent cu 0=0, adic adevrat pentru orice x real. IV. 1. ECUAIA DE GRADUL I O ecuaie de forma ax+b=0, x n care 0a ; a,b poart denumirea de ecuaie de gradul

I cu o necunoscut. Soluia ecuaiei este unic , bxa

=

Exemplu : 2x-2=0 2x=2 22

x = x=1 IV.2 SISTEME DE ECUAII DE GRADUL I Un sistem de ecuaii reprezint o colecie de dou sau mai multe ecuaii care au aceleai

necunoscute. Observaie : Dac n ecuaii necunoscutele sunt la puterea 1, atunci sistemul este un sistem de

ecuaii de gradul I. Rezolvarea unui sistem de ecuaii se bazeaz pe proprietile enunate la capitolul ecuaii.

Astfel, distingem dou metode devenite clasice : 1.Metoda substituiei : Se exprim una din necunoscute dintr-o ecuaie i se nlocuiete n cea de-a doua rezultnd o

ecuaie cu o singur necunoscut care se rezolv i apoi se exprim i cea de-a doua necunoscut.

ALGEBRA-Evaluare Na TESCU VIOREL OVIDIUional 2010 Prof. IGN

22

Exemplu :

22 4 4 2 3

xx y y x

2 6 2(4 2 ) 6 83

x y x x y

=+ = = + = + = =

2. Metoda reducerii: Se nmulesc ecuaiile cu expresii a cror valoare este astfel aleas nct n urma adunrii

ecuaiilor obinute , s rezulte o ecuaie cu o singur necunoscut.

Exemplu : 2 4 ( 1) -2x - y = -4

3 8x y

y + =

2x + 4y = 122 6 2x y + =

= 83

y

23

x

= =

2 0, , , , 0,ax bx c a b c R a x R+ + = 2 0a b c

IV.3 ECUAIA DE GRADUL AL-II-LEA

Ecuaia de forma poart denumirea de ecuaie de gradul al II-lea. Se numete soluie a ei un numr real astfel nct : + + =

2 4b ac

Rezolvarea ecuaiei de gradul al II-lea: Se calculeaz discriminantul ecuaiei cu formula: = n funcie de semnul acestuia, avem cazurile: I. ecuaia nu admite soluii reale 0

III. ecuaia are dou rdcini reale distincte: 2 2

1 24 4

2 2b ac b b acxa a

= =

2 1 0

x xsolutii reale

+ + =

bx +

Exemplu: a) 21 4 1 1 1 4 3 0 nu avem = = = <

24 4 1 0x x+ + =

b) 2

1 24 14 4 4 1 16 16 0

4 2 2x x = = = = = =

c)

2

1 2

5 6 0

( 5) 1 5 1 6 5 1 43 22 1 2 2 2 2

x x

x x

+ = + = = = = = = =

, , ,

IV. 4 INECUAII O relaie de tipul f(x) rel. g(x), unde rel. reprezint o relaie de tipul < > iar f(x) i g(x) sunt funcii definite pe numere reale cu valori reale se numete inecuaie.


23

ba c

A rezolva o inecuaie nseamn a gsi toate valorile lui x, pentru care este adevrat inegalitatea. Pentru rezolvare se transform inecuaia n inecuaii echivalente mai simple pe baza unor proprieti ale inecuaiilor. Proprieti: 1. Dac a b< , atunci c b c si a c+ , atunci b c < i : :b ca c < 3. Dac a b< i 0c < , atunci b ca c > i b c> : :a c4. Dac vrem, n loc de a b< putem scrie i b a> Observaie: Aceleai proprieti sunt valabile i dac nlocuim semnul < cu sau semnul >

cu . Dou sau mai multe inecuaii grupate se numesc sistem de inecuaii. A rezolva un sistem de inecuaii nseamn gsirea acelor valori ale necunoscutei care

ndeplinesc simultan condiiile din inecuaiile respective. Aceste valori se determin prin rezolvarea fiecrei inecuaii i apoi determinarea prin operaia de intersecie a mulimii de soluii comune.

formule algebra viorel ignatescu[1]

Documents